Autor Wisfrank PĂŠrez C.I. 25.403.677 1
INTRODUCCION
Al comenzar los estudios del Cálculo se suele trabajar de forma especial con coordenadas planas o coordenadas cartesianas, dejando de lado las coordenadas polares. Sin embargo, conforme se continúa avanzando en el estudio del Cálculo, nos damos cuenta de la necesidad de utilizar coordenadas polares para realizar ciertos cálculos y procedimientos que no podrían realizarse exitosamente con coordenadas cartesianas. No se trata de que un sistema de coordenadas sea mejor que el otro, sino que ambos son importantes pero uno servirá algunas veces y el otro servirá en otras ocasiones, dependiendo de nuestras necesidades y del trabajo que estemos realizando. En el presente trabajo de calculo II se busca adquirir nuevos conocimientos asi como afianzar los que ya se tienen estudiando diferentes puntos relacionados a las coordenadas polares, se busca estudiar las coordenadas polares empezando por su definición, la ubicación de puntos, la transformación de coordenadas polares a coordenadas rectangulares y viceversa, los criterios de simetría, las rectas, circunferencias, lemniscatas, cardiodes, caracoles, rosas y espirales. Con todos los objetivos alcanzados se podrá conocer los temas a profundidad que hacen un aporte importante e indispensable para el ingeniero y el calculo.
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Coordenadas Polares
Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas para definir la posiciĂłn de un punto en un espacio bidimensional consistente en un ĂĄngulo y una distancia, definido por un origen O y una lĂnea semi-infinita L saliendo del origen. A L se le conoce tambiĂŠn como eje polar.
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En el caso del movimiento bidimensional de un punto material resulta útil en muchas ocasiones trabajar con coordenadas polares. Usaremos la figura para definirlas. Sea un punto P situado en el plano OXY con coordenadas cartesianas (x,y). Su vector de posición respecto al origen del sistema de referencia es
Las coordenadas polares (ρ,θ) se definen de la siguiente forma La coordenada ρ es la distancia del punto P al punto O. Puede variar entre los valores 0 y La coordenada θ es el ángulo que forma el vector
.
con el eje OX. Puede variar entre los valores 0 y 2π.
Estas dos coordenadas permiten describir de forma unívoca la posición de cualquier punto en el plano OXY.
El intervalo para θ es abierto a la derecha para evitar llegar al valor de 2π. De lo contrario, los puntos del eje OX aparecerían dos veces, paraθ = 0 y para θ = 2π.
Ubicación de Puntos en las Coordenadas Polares
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Si queremos localizar un punto (r,Φ) en este sistema de coordenadas, lo primero que tenemos que hacer es trazar una circunferencia de radio r, después trazar una línea con un ángulo de inclinación q y, por último, localizamos el punto de intersección entre la circunferencia y la recta; este punto será el que queríamos localizar
Respecto a los signos:
Para Φ : puede ser positivo (sentido antihorario) o negativo (sentido horario), partiendo del eje polar Para r : también puede ser positivo o negativo, positivo indica que sale del origen hacia la recta terminal del ángulo Φ, si el valor es negativo parte del origen hacia el lado opuesto a la recta terminal del ángulo Φ
Ejemplo:
las coordenadas (-3, π/3) si hablamos de cuadrantes estará ubicada en el tercer cuadrante , par ubicarla trazas la recta terminal del ángulo π/3 y se mide 3 unidades en la prolongación de la recta terminal (hacia el lado contrario de dicha recta), este punto también se puede escribir con r >0, le corresponde la coordenada (3, 4π/3) o con Φ<0 (3, -2π/3) o tambien con ambos negativos (-3,-5π/3)
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Entonces es el mismo punto con diferentes coordenadas polares (-3, π/3)=(3, 4π/3) = (3, -2π/3) = (-3,-5π/3) y si a cada ángulo le agregas 2 k π ( k vueltas) puedes obtener muchos mas, según le des valores enteros a k Para facilitar la traficación en coordenadas polares se construye circunferencias con centro en el polo , del cual también parten rayos que forman distintos ángulos (π/6, π/3, π/2, etc) con el eje polar. Cada punto P del plano es la intersección de una circunferencia con un rayo. El
radio r de la circunferencia y el ángulo Φ que forma el rayo con el eje polar, nos proporciona un juego de coordenadas polares (r. Φ) de punto P. Al eje horizontal se lo llama “Eje Polar”, al eje vertical se lo llama “Eje π/2 ”. El punto de intersección entre estos dos ejes se lo llama “Polo”.
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Observar que:
1. El rayo del ángulo π/2, llamado eje π/2, es semieje positivo de las ordenadas 2. El rayo del ángulo π ó –π es semieje al negativo de las abscisas. 3. El rayo del ángulo 3π/2 ó –π/2 es el semieje negativo de las ordenadas.
Transformación de Polares a Rectangulares y Viceversa
Para establecer la relación entre las coordenadas polares y las rectangulares, hagamos coincidir el eje polar con el semieje x positivo y el polo con el origen, puesto que (x, y)esta sobre una circunferencia de radio r, se sigue que r 2 =x 2 + y 2 . Además para r >0, la definición de las funciones trigonométricas implica que:
tg =
y y x , cos = y sen = r x r
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El lector puede comprobar que si r<0,se verifican las mismas relaciones.
Las coordenadas polares (r, ) de un punto están relacionados con sus coordenadas rectangulares (x, y) por:
x = r cos
y x r 2 =x 2 + y 2
2. tg =
y = r sen
Ejemplo: Cambio de coordenadas polares a rectangulares.
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Para el punto c = (2, ), x = r cos =2 cos =-2 e y = r sen =2 sen =0 Así pues, las coordenadas rectangulares son (x, y)=(-2,0).
Para el punto (r, ) = ( 3 ,
X= 3 cos
6
=
3 2
e
6
3 sen
),
6
=
3 2
Por tanto, las coordenadas (x, y)= 3 , 3 2 2
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Ejemplo: Cambio de coordenadas rectangulares a polares
ď&#x201A;ˇ
Para el punto del segmento cuadrante (x. y)=(-1,1)
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tg =
3 4
y = -1 x
Dado que se ha escogido en el mismo cuadrante que (x, y), debemos tomar un valor de r positivo.
x2 y2
r=
= (1) 2 (1) 2
2
=
Esto implica que un conjunto de coordenadas polares es (r, )= 2, 3
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Como el punto (x, y)= (0,2) esta en el eje y positivo, elegimos = es (r, )=2,
2 ).
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2 y r=2, de modo que un conjunto de coordenadas polares
Criterios de Simetría en Coordenadas Polares
El grafico de una ecuación polar es simétrica respecto al
1. Eje polar: si al remplazar (r, ɵ) por (-r, -ɵ) ó (r, 2. El eje
/2
si al remplazar (r, ɵ) por (r,
3. Polo si al remplazar (r, ɵ) por (-r, ɵ) ó (r,
- ɵ) en la ecuación se obtiene, una ecuación equivalente.
-ɵ) ó (r, - ɵ) en la ecuación se obtiene, una ecuación equivalente.
+ ɵ) en la ecuación se obtiene, una ecuación equivalente.
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Ejemplo: Probar que el grafico de: 1. r = 2 cos ɵ es simétrica respecto al eje polar 2. r = 2 sen ɵ es simétrica respecto al eje
/2
2
3. r = 4 sen 2 ɵ es simétrica respecto al polo Solución: 1. Sustituimos (r, -ɵ) por (r, ɵ) en r = 2 cos ɵ : r = 2 cos (-ɵ) = 2 cos ɵ Esta sustitución no ha alterado la ecuación. Luego, el grafico de r = 2 ɵ es simétrica respecto al eje polar.
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2. Sustituimos ( r , ɵ ) por ( ( ( )
) en r = 1 + sen
) (
)
Esta sustitución no ha alterado la ecuación. Luego, el grafico del r = 1 +
es simétrica respecto al eje
3. Sustituimos (
)
(
)
2
r = 4 sen 2 .
( ) Esta sustitución no ha alterado la ecuación. Luego, el grafico de
es simetrica
Respecto al polo
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Rectas
1. Rectas que pasan por el polo: La grafica de la ecuaci贸n Es la recta que pasa por el polo y forma un 谩ngulo de
radianes con el eje polar. Esta misma recta es la grafica de la ecuaci贸n
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2. Rectas que no pasan por el polo: Si ( ) Es la recta pendiente
corta los ejes en (c/a, 0) (0, c/b)
En efecto,
( (
) )
(
)
Esto es,
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( )
En consecuencia, el grafico de la ecuaci贸n (1) es la recta de la pendiente m = a/b y que corta al eje X en el punto (c/a, 0) y al eje Y en (0,c/b). Como en casos particulares de la ecuaci贸n (1) tenemos las rectas verticales y horizontales. En efecto:
a. Rectas Verticales. Si en la ecuacion (1) hacemos b=0 tenemos:
Pero,
Esto es , b. Rectas Horizontales. En forma enteramente an谩loga, si en la ecuacion (1) hacemos a=0 tenemos que: r =k sec es la recta horizontal y=k.
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Circunferencia La ecuación general para una circunferencia con centro en ( 0, φ) y radio
es
En ciertos casos específicos, la ecuación anterior se puede simplificar. Por ejemplo, para una circunferencia con centro en e l polo y radio a, se obtiene:8
Esta función nos presenta una forma conocida por todos y es precisamente la circunferencia, la cual será formada en el gráfico polar mediante la siguiente función:
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c. Ahora veamos una nueva gráfica que resulta en una circunferencia, con la única diferencia que ahora aparece arriba del rayo inicial (o del eje x que todos conocemos), a diferencia del gráfico anterior, que la circunferencia aparecía abajo del radio inicial. La función con su gráfico es esta:
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LEMNISCATA a) En matemáticas, una leminscata es un tipo de curva descrita por la siguiente ecuación en coordenadas polares: b) c) La representación gráfica de esta ecuación genera una curva similar a . La curva se ha convertido en el símbolo del infinito y es ampliamente utilizada en matemáticas. El símbolo en sí mismo es, a veces, llamado lemniscata. Un ejemplo de esta función con su respectivo gráfico lo apreciamos a continuación:
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Tenemos otro ejemplo de lemniscata, pero ahora aparece a lo largo del eje x o en sentido horizontal:
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Finalmente se muestra un grĂĄfico como los dos anteriores, donde aparece una lemniscata, con la Ăşnica diferencia que ahora se muestra en sentido vertical. Veamos:
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CARDIOIDES
A continuación se presenta el tipo de gráfico que se denomina cardioide. Para este ejemplo se presenta una cardioide simétrica
con respecto al eje poplar y que apunta hacia la derecha. Podemos observar que se distingue una figura como de un corazón, razón por la cual se llama este gráfico cardioide. La función que lo ha generado es:
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Habiendo visto el primer grรกfico de una cardiode, se presenta otro grรกfico de este tipo pero ahora apunta hacia arriba, tal como lo vemos a en el grรกfico de la siguiente funciรณn:
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LIMACONES O CARACOLES Limaçon viene del latín limax que significa caracol. El caracol de Pascal, lo descubrió Etienne Pascal padre de Blaise Pascal en la primera mitad del siglo XVII y el nombre se lo dio Roberval en 1650 cuando la usó como ejemplo para mostrar su método para trazar tangentes. Un limaçon o las gráficas polares que generan limaçones son las funciones en coordenadas polares con la forma: r = 1 + b cos Ahora veamos un ejemplo concreto de un gráfico de este tipo, donde se muestra un caracol que apunta hacia la derecha y que tiene un lazo interior. La función para este gráfico es la siguiente:
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Veamos otro grรกfico de una funciรณn que tiene como resultado un caracol con un lazo interior pero que a diferencia del grรกfico anterior, este apunta hacia abajo. Veamos:
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Continuando con la grรกfica de caracoles o limacones, hay otro tipo que es el caracol con hendidura o caracol con concavidad. Como podremos observar, este no tiene lazo, y estรก dirigido hacia la izquierda. Veamos a continuaciรณn el grรกfico que resulta, el cual apunta hacia la izquierda:
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Ahora se muestra un grรกfico igual al anterior con la diferencia que ahora estรก dirigido hacia la derecha, de modo que tenemos un limaรงon o caracol con hendidura o concavidad que estรก dirigido hacia la derecha:
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Antes de terminar el tema de los limacoides o caracoles, veamos otro grรกfico diferente a los otros, que es conocido como caracol convexo o caracol ovalado, el cual estรก apuntando hacia arriba, como lo vemos en el grรกfico siguiente:
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ROSAS
DE CUATRO HOJAS/PÉTALOS Este tipo de gráfico se conoce como Rosa de cuatro pétalos. Es fácil ver cómo se forma una figura parecida a una rosa con cuatro pétalos. La función para este gráfico es:
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ROSA DE TRES HOJAS/PÉTALOS Presentamos ahora el gráfico llamado Rosa de tres pétalos. Analógicamente al gráfico de la rosa de cuatro pétalos, este gráfico es parecido pero tiene sólo tres hojas o pétalos en su forma gráfica. Un ejemplo es el siguiente:
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ROSA DE OCHO HOJAS/PÉTALO El siguiente gráfico es como los dos anteriores, pero ahora con ocho hojas o pétalos, tal como lo vemos en la siguiente función graficada
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UNA ROSA DENTRO DE OTRA Un caso interesante y especial que se puede dar es el que se muestra en la gráfica que vemos a continuación, donde se aprecia una rosa de tres pétalos precisamente dentro de otra rosa de tres pétalos u hojas. Veamos:
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ESPIRALES 44
Este gráfico tiene la forma de una espiral, tal como su nombre lo indica. La espiral más simple la podemos encontrar al mirar una cuerda enrollada sobre sí misma. La forma de una espiral la vemos en una serpiente enrollada por ejemplo. El gráfico que se presenta a continuación es también conocido como Espiral de Arquímedes, precisamente en honor Arquímedes, quien fue un notable físico y matemático griego que al ser fascinado por la belleza de esta curva, realizó un estudio profundo sobre sus propiedades matemáticas en su escrito titulado Sobre las espirales, escrito en el siglo III antes de Cristo. Para mostrar el gráfico que se forma, presentamos la siguiente función en coordenadas polares que formará la espiral polar siguiente:
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Veamos ahora otra gráfica espiral conocida como espiral de Fermat, pues fue examinada por Fermat en 1936. Su ecuación es r² = a² + . En el siguiente ejemplo se muestra una función y su respectiva gráfica que nos permiten conocer la espiral de Fertat:
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Un segundo gráfico espiral lo tenemos en la función que veremos ahora, que podríamos encontrarla con dos nombres refiriéndose al mismo gráfico. Ambos nombres equivalen a lo mismo como podremos apreciar . Dichos nombres con los que se conoce a esta espiral son: espiral recíproca o espiral hiperbolica. Tendremos entonces:
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Otro caso que se puede dar es la espiral logarítmica, que se ilustra mediante la siguiente función y su respectivo gráfico:
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