2016
POLINOMIO Y ALGEBRAICA
WIULFER JESUS SUAREZ LEAL CI: 27.008.160 Aﾃ前:5Tﾂｰ
Secciﾃｳn AF
Polinomio Una expresión matemática constituida por
un
conjunto
determinadas o
finito
y constantes (números
de variables (no desconocidas)
fijos
llamados
coeficientes), utilizando únicamente las
operaciones aritméticas de suma, resta y
multiplicación, así como Es frecuente el
término polinómico (ocasionalmente también el anglicismo polinomial), como adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar como polinomios de algún parámetro, como por ejemplo: Tiempo polinómico
Algebraica
un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas)
y constantes (llamadas coeficientes), con las operaciones aritméticas de
suma,
resta
y
multiplicación,
así
como
también
exponentes enteros positivos. Pueden ser de una o de varias variables .
Polinomios especiales
Polinomios completos completos: es aquel polinomio que tienes todos sus grados en forma consecutiva desde la mayor hasta el cero o viceversa o en forma desordenada. Polinomios homogéneos homogéneos:: son aquellos que constan de términos monomios tienen igual grado.
Polinomios heterogéneos heterogéneos: es aquel polinomio inomio que consta de una variable llamada ordenatriz la cual los exponentes de dicha variable van aumentando o disminuyendo según sus grados.
Polinomios idénticos idénticos:: son aquellos polinomios que tienen igual coeficiente y parte literal.
Polinomios idénticamen idénticamente nulos: es aquel polinomio que tiene como coeficientes de todos sus términos el 0.
Polinomios de una variable Para a0, …, an constantes
en
algún anillo A (en
podemos tomar un cuerpo, como
o
particular
, en cuyo caso los
coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero y
, entonces un polinomio
variable x es un objeto de la forma Un polinomio
matemática finita
Representado como:
de grado n en la
no es más que una sucesión
tal que
.
el polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como:
Las constantes a0, …, an se llaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el coeficiente constante (o término independiente) y a an, el coeficiente principal. principal
Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normalizado.
Polinomios de varias variables
Como ejemplo de polinomios de dos variables, desarrollando los binomios:
Estos
polinomios
son
son coeficientes binomiales
mónicos, homogéneos, simétricos y
(2)
sus
coeficientes
Para obtener la expansión de las potencias de una resta (véase productos notables), notables basta con tomar -y en lugar de y en el ccaso aso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:
Los polinomios de varias variables, a diferencia de los de una variable, tienen en total más de una variable. Por ejemplo los monomios: En detalle el último de ellos
es un monomio de tres variables (ya
que en él aparecen las tres letras x, y y z), ), el coeficiente es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1 de x, y y zrespectivamente.
Grado de un polinomio
Se define el grado de un monomio como el exponente de su variable. El grado de
un polinomio es el del monomio de mayor grado. Ejemplos
P(x)) = 2, polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del término independiente).
P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.
P(x) = 3x² + 2x,, polinomio de grado dos.
P(x) = 2x3+ 3x + 2, polinomio de grado tres.
P(x) = 4x4+ 4x + 2, polinomio de grado cuatro. P(x) = 2x5+ 3x + 1, polinomio de grado cinco.
Operaciones con polinomio
Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un
polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio y luego se simplifican los monomios semejantes. Ejemplo
Sean los polinomios: el producto es:
y
, entonces
Para poder realizar eficazmente la operación se tiene que adquirir los datos necesarios de mayor a menor. Una fórmula analítica que expresa el producto de dos polinomios es la siguiente siguiente:
Aplicando esta fórmula al ejemplo anterior se tiene:
Puede comprobarse que para polinomios no nulos se satisface la siguiente relación entre el grado de los polinomios (*)
y
y el polinomio producto
:
Puesto que el producto de cualquier polinomio por el polinomio nulo es el propio polinomio nulo, se define convencionalmente que
(junto con la operación
) por lo que la expresión puede extenderse también al caso
de que alguno de los polinomios sea nulo.
Funciones nes polinómicas
Una función polinómica es una función matemática expresada mediante un polinomio. Dado un polinomio P[x]] se puede definir una función polinómica asociada al polinomio dado substituyendo la variable x por un elemento del anillo: Ejemplo
Factorización de polinomio En un anillo conmutativo
una condición necesaria para que un monomio sea un factor
de un polinomio de grado n > 1, es que el término independiente del polinomio sea divisible por la raíz del monomio: Necesariamente
divide a
En caso de que el polinomio no tenga término independiente se sacará la incógnita
como factor común y ya está factorizado. También se puede factorizar usando las igualdades notables.
Un polinomio factoriza dependiendo del anillo sobre el cual se considere cons la factorización, por ejemplo el binomio
no factoriza sobre
pero sí factoriza
no factoriza ni sobre , ni tampoco sobre
aunque factoriza
sobre :
Por otra parte sobre :
Un cuerpo en el que todo polinomio no constante factoriza en monomios es un cuerpo algebraicamente cerrado
Grado relativo
es el exponente que tiene una variable.
Ejemplo 4a3b2 --> > a con exponente 3 y b con exponente 2
El grado relativo será el exponente que afecta a cada letra.
GR(a) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 3) y el GR(b) = 2 (el Grado Relativo con respecto a la letra b es 2) Otross ejemplo para poder entender: x5y3z --> > (x) con exponente 5, ((y) con exponente 3, (z) con exponente 1. GR(x) = 5 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 5) GR(y) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 3) GR(z) = 1 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 1)
Grado absoluto: es la suma de ttodos odos los grados relativos, exponentes o letras de cada variable. Ejemplo:
4a3b2 --> a con exponente 3; y b con exponente 2. Entonces: GA = 3 +2 = 5 (el Grado Absoluto es 5)
BibliografĂas http://matematicasmodernas.com/polinomios-de-una-variable/