WiWi Formelsammlung Mathematik by wiwi

Dr. René M. Schröder, Michael Böttcher

Formelsammlung der Wirtschaftswissenschaften M at h e m at i k

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Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis 1

Grundlagen der Logik 1.1 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Mathematische Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Grundlagen der Mengenlehre 2.1 Grundlegende Definitionen . . . 2.2 Beziehungen zwischen Mengen 2.3 Mengenverkn端pfungen . . . . . 2.4 Produkte von Mengen . . . . . . 2.5 Relationen . . . . . . . . . . . .

. . . . .

10 10 10 11 13 13

Folgen und Reihen 3.1 Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 15 17

Finanzmathematik 4.1 Einfache Zinsrechnung 4.2 Zinseszinsrechnung . . 4.3 Rentenrechnung . . . . 4.4 Tilgungsrechnung . . . 4.5 Investitionsrechnung .

. . . . .

20 20 21 23 25 26

Funktionen einer Variablen 5.1 Grundlegende Definitionen . . 5.2 Darstellung von Funktionen . 5.3 Eigenschaften von Funktionen 5.4 Nullstellen von Funktionen . . 5.5 Elementare Funktionen . . . .

. . . . .

27 27 28 28 29 31

Differentialrechnung f端r Funktionen einer Variablen 6.1 Grenzwert von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Stetigkeit von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34 34 36 37

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6 6 8

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Inhaltsverzeichnis 6.4 6.5 6.6

Änderungsraten und Elastizitäten . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Taylor-Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Untersuchung von Funktionen mit Hilfe der Differentialrechnung 42

Funktionen mehrerer Variablen 7.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Differentialrechnung für Funktionen mehrerer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Optimierung ohne Nebenbedingungen . . . . 7.5 Optimierung mit Nebenbedingungen . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

46 46 47

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47 52 53

Integralrechnung 8.1 Unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . . 8.2 Bestimmtes Integral und Flächenberechnung 8.3 Integrationsmethoden . . . . . . . . . . . . 8.4 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . 8.5 Doppel- und Mehrfachintegral . . . . . . .

. . . . .

55 55 57 59 60 61

Lineare Algebra 9.1 Vektoren . . . . . . . . . . 9.2 Matrizen . . . . . . . . . . 9.3 Geraden . . . . . . . . . . 9.4 Ebenen . . . . . . . . . . 9.5 Determinanten . . . . . . . 9.6 Lineare Gleichungssysteme 9.7 Eigenwertprobleme . . . .

. . . . . . .

62 62 65 71 72 73 76 79

10 Lineare Optimierung 10.1 Grundlegende Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Simplexverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Dualität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82 82 83 86

11 Differentialgleichungen 11.1 Grundlegende Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . .

88 88 88

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Inhaltsverzeichnis

11.3 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung . . . . . . . . 11.4 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Lineare Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . .

90 91 93

12 Differenzengleichungen 12.1 Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung . . . . . . . . . . 12.2 Lineare Differenzengleichungen n-ter Ordnung . . . . . . . . 12.3 Lineare Differenzengleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94 94 95

Symbolverzeichnis

Stichwortverzeichnis

100

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1. Grundlagen der Logik

Grundlagen der Logik

1.1 Aussagenlogik Aussage: Eine Aussage ist eine Behauptung p, die entweder den Wahrheitswert wahr .w/ oder falsch .f / besitzt.

Aussageform: Eine Aussageform p.x/ ist eine Aussage, die von einer Variablen x abhängig ist. Der Wahrheitswert der Aussage ergibt sich nach Einsetzen eines konkreten Wertes für x.

Verknüpfung von zwei Aussagen: Negation Konjunktion Disjunktion Alternative Implikation Äquivalenz

:p p^q p_q p˚q p)q p,q

nicht p p und q (sowohl p als auch q) p oder q (nicht ausschließendes oder) entweder p oder q (ausschließendes oder) wenn p, dann q p genau dann, wenn q (p äquivalent zu q)

Wahrheitstafel: p

p^q

p_q

p˚q

p)q

p,q

w w f f

w f w f

f f w w

f w f w

w f f f

w w w f

f w w f

w f w w

w f f w

Tautologie und Kontradiktion: Eine Tautologie (Kontradiktion) ist eine verknüpfte Aussage, die stets wahr (falsch) ist.

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1. Grundlagen der Logik

Tautologien in der Aussagenlogik: p _ :p Satz vom ausgeschlossenen Dritten :.p ^ :p/ Satz vom Widerspruch :.:p/ , p Doppelte Negation :.p ) q/ , .p ^ :q/ Negation der Implikation :.p ^ q/ , .:p _ :q) :.p _ q/ , .:p ^ :q) de Morgansche Regeln .p ) q/ , .:q ) :p/ Kontraposition p ˚ q , Œ.p ^ :q/ _ .:p ^ q/ç .p ) q/ , .:p _ q/ .p , q/ , Œ.p ^ q/ _ .:p ^ :q/ç Œ.p ) q/ ^ .q ) r/ç ) .p ) r/ Transitivität Œp ^ .p ) q/ç ) q Direkter Schluss Œ.p1 _ p2 / ^ .p1 ) q/ ^ .p2 ) q/ç ) q Fallunterscheidung

Allaussage: Die Allaussage ^ p.x/ ist genau dann wahr, wenn alle Aussagen p.x/ wahr x sind, wobei x vorgegebene Werte annimmt. Man schreibt dann: 8xW p.x/

Existenzaussage: Die Existenzaussage _ p.x/ ist genau dann wahr, wenn für mindestens ein x x

die Aussage p.x/ wahr ist, wobei x vorgegebene Werte annimmt. Man schreibt dann: 9xW p.x/

1.2 Mathematische Beweise Direkter Beweis: Bei einem direktem Beweis der Implikation P ) Q nimmt man an, dass die Aussage P wahr ist und zeigt dann, dass die Implikation P ) Q wahr ist, indem man von P durch Folgerungen (eine Implikationskette) zu Q gelangt. Unter der Voraussetzung, dass P wahr ist, folgt daraus auch, dass Q wahr ist.

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1. Grundlagen der Logik

Indirekter Beweis (Beweis durch Widerspruch): Beim indirekten Beweis nutzt man die Äquivalenz .P ) Q/ , .Q _ :P / bzw. .P ) Q/ , Œ:.:Q ^ P /ç. Die Implikation P ) Q ist bewiesen, wenn man durch Folgerungen (eine Implikationskette) zeigt, dass :Q ^ P zu einem Widerspruch führt, so dass :.:Q ^ P / wahr sein muss. Unter der Voraussetzung, dass P wahr ist, folgt daraus auch, dass Q wahr ist.

Beweis durch Kontraposition: Beim Beweis durch Kontraposition macht man Gebrauch von der Äquivalenz .P ) Q/ , .:Q ) :P /. Die Implikation P ) Q ist bewiesen, wenn man durch Folgerungen (eine Implikationskette) von :Q zu :P gelangt. Unter der Voraussetzung, dass P wahr ist, folgt daraus auch, dass Q wahr ist.

Vollständige Induktion: Der Beweis einer Aussage A.n/ für alle natürlichen Zahlen n sich bei der vollständigen Induktion in drei Schritten:

n0 vollzieht

1. Induktionsanfang (Induktionsverankerung): Es wird gezeigt, dass die Aussage A.n/ für n D n0 wahr ist. 2. Induktionsannahme (Induktionsvoraussetzung): Man nimmt an, dass die Aussage A.n/ für eine natürliche Zahl n mit n n0 gilt. 3. Induktionsschluss (Induktionsschritt): Unter Benutzung der Induktionsannahme wird die Richtigkeit der Aussage A.n C 1/ gezeigt, indem A.n C 1/ aus A.n/ gefolgert wird.

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2. Grundlagen der Mengenlehre

Grundlagen der Mengenlehre

2.1 Grundlegende Definitionen Menge: Eine Menge M ist die Zusammenfassung bestimmter unterscheidbarer Objekte zu einer Gesamtheit. Die Objekte der Menge M heißen Elemente der Menge M . Die Grundmenge besteht aus allen potentiellen Objekten von M . Schreibweise: a 2 M ” a ist Element der Menge M a … M ” a ist nicht Element der Menge M

Leere Menge: Die leere Menge ; enthält kein Element. Mächtigkeit (Kardinalzahl) einer Menge: Die mit n.A/ bezeichnete Anzahl der Elemente einer Menge A heißt die Mächtigkeit (Kardinalzahl) von A.

2.2 Beziehungen zwischen Mengen Gleiche Mengen: Zwei Mengen A und B heißen gleich (Schreibweise: A D B), wenn sie dieselben Elemente besitzen. Eigenschaften: A D A Reflexivität A D B H) B D A Symmetrie .A D B/ ^ .B D C / H) A D C Transitivität

Disjunkte Mengen: Zwei Mengen werden als disjunkt bezeichnet, wenn sie kein gemeinsames Element besitzen.

Teilmenge: Die Menge A ist Teilmenge von B (Schreibweise: A ✓ B), wenn jedes Element von A auch Element von B ist. c WiWi-Media AG, 2013

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2. Grundlagen der Mengenlehre Eigenschaften: A ✓ A .A ✓ B/ ^ .B ✓ C / H) A ✓ C ; ✓ A für alle A

Reflexivität Transitivität ; ist Teilm. jeder Menge

Echte Teilmenge: Die Teilmenge A ist eine echte Teilmenge von B, wenn A ¤ B ist, also es mindestens ein Element in B gibt, dass nicht in A liegt (Schreibweise: A ⇢ B).

(Echte) Obermenge: Wenn A eine (echte) Teilmenge von B ist, dann heißt B eine (echte) Obermenge von A.

Potenzmenge: Die Menge aller Teilmengen einer Menge A heißt Potenzmenge von A und wird mit P.A/ bezeichnet: P.A/ D fM jM ✓ Ag Es gilt: n.A/ D k H) n.P.A// D 2k

2.3 Mengenverknüpfungen Definition von Mengenverknüpfungen: Vereinigungsmenge: Die Vereinigungsmenge A [ B der Mengen A und B besteht aus allen Elementen, die in A oder B oder beiden Mengen enthalten sind: A [ B D fxjx 2 A oder x 2 Bg

Schnittmenge: Die Schnittmenge A \ B der Mengen A und B besteht aus allen Elementen, die in A und B enthalten sind: A \ B D fxjx 2 A und x 2 Bg

Differenzmenge: Die Differenzmenge B n A besteht aus allen Elementen von B, die nicht in A enthalten sind: B n A D fxjx 2 B und x … Ag c WiWi-Media AG, 2013

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2. Grundlagen der Mengenlehre

Komplementärmenge: Die Komplementärmenge A von A bezüglich der Grundmenge besteht aus allen Elementen von , die nicht in A enthalten sind: A D fxjx 2 und x … Ag B

A A

A⋃B

Ω

A\B

A A⋂B

Ω

Eigenschaften von Mengenverknüpfungen: A[ADA A\ADA Idempotenzgesetze A[;DA A\;D; A[ D A\ DA Identitätsgesetze A[AD A\AD; ADA Komplementgesetze D; ;D A[B DB [A A\B DB \A Kommutativgesetze A [ .B [ C / D .A [ B/ [ C Assoziativgesetze A \ .B \ C / D .A \ B/ \ C A [ .B \ C / D .A [ B/ \ .A [ C / Distributivgesetze A \ .B [ C / D .A \ B/ [ .A \ C / A[B DA\B A\B DA[B de Morgansche Regeln A [ .A \ B/ D A A \ .A [ B/ D A Absorptionsgesetze

Mehrfache Verknüpfungen: Jedes Element folgender Menge ist in mind. einer der Mengen Ai enthalten: n S Ai D A1 [ A2 [ : : : [ An D fx j 9 i 2 f1; : : : ; ng W x 2 Ai g mit n 2 N i D1

Jedes Element folgender Menge ist in allen Mengen Ai enthalten: n T Ai D A1 \ A2 \ : : : \ An D fx j 8i 2 f1; : : : ; ng W x 2 Ai g mit n 2 N i D1

Es gilt:

n S

i D1

Ai D

n T

i D1

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n T

i D1

Ai D

n S

i D1

de Morgansche Regeln

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2. Grundlagen der Mengenlehre

2.4 Produkte von Mengen Geordnetes n-Tupel: a1 ; a2 ; : : : ; an (n 2 N) seien Elemente bestimmter Mengen. .a1 ; a2 ; : : : ; an / ist ein aus diesen Elementen gebildetes geordnetes n-Tupel. Das Element ai (i 2 1; : : : ; n) wird dabei als i -te Koordinate (auch: i-te Komponente, i -tes Glied) bezeichnet. Ist n D 2, dann spricht man von einem geordneten Paar. Zwei n-Tupel .a1 ; a2 ; : : : ; an / und .b1 ; b2 ; : : : ; bn / sind genau dann gleich, wenn ai D bi für alle i D 1; : : : ; n gilt.

Kartesisches Produkt: Das kartesische Produkt (auch: Kreuzprodukt, Kreuzmenge, Produktmenge) A1 ⇥ A2 ⇥ : : : ⇥ An der Mengen A1 ; A2 ; : : : ; An besteht aus der Menge aller geordneten n-Tupel .a1 ; a2 ; : : : ; an /, wobei ai ein Element der Menge Ai ist: A1 ⇥ A2 ⇥ : : : ⇥ An D f.a1 ; a2 ; : : : ; an / j ai 2 Ai für alle i D 1; : : : ; ng n-faches Kartesisches Produkt der Menge A :

An D A ⇥ A ⇥ : : : ⇥ A n-mal

2.5 Relationen Binäre Relation aus der Menge A in die Menge B: Eine Teilmenge R ✓ A ⇥ B heißt eine binäre (zweistellige) Relation aus der Menge A in die Menge B. Wenn a 2 A, b 2 B und .a; b/ 2 R, so sagt man „a steht in Relation R zu b“ und man schreibt in diesem Fall auch aRb.

Binäre Relation auf der Menge A: Eine Teilmenge R ✓ A ⇥ A heißt eine binäre Relation auf der Menge A.

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2. Grundlagen der Mengenlehre

Eigenschaften binärer Relationen auf der Menge A: Eine binäre Relation R ✓ A ⇥ A heißt ✏ reflexiv, wenn für alle x 2 A gilt: .x; x/ 2 R ✏ irreflexiv, wenn für kein x 2 A gilt: .x; x/ 2 R ✏ symmetrisch, wenn für alle x; y 2 A gilt: .x; y/ 2 R ) .y; x/ 2 R ✏ antisymmetrisch, wenn für alle x; y 2 A gilt: ..x; y/ 2 R/ ^ ..y; x/ 2 R/ ) x D y ✏ transitiv, wenn für alle x; y; z 2 A gilt: ..x; y/ 2 R/ ^ ..y; z/ 2 R/ ) .x; z/ 2 R

Spezielle Relationen: Äquivalenzrelation: Eine Relation R ✓ A ⇥ A heißt Äquivalenzrelation, wenn R reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Umkehrrelation (inverse Relation): R Allrelation: R D A ⇥ B

Gleichheitsrelation auf der Menge A:

D f.b; a/j.a; b/ 2 Rg

R D f.a; a/ja 2 Ag

Relation als Abbildung/Funktion: Eine Relation f ✓ A ⇥ B aus der Menge A in die Menge B heißt Abbildung oder Funktion aus der Menge A in die Menge B, wenn jedem a 2 A genau ein b 2 B zugeordnet ist (mit .a; b/ 2 f /. Schreibweisen (mit f .a/ 2 B): f WA!B a 7! f .a/ D b b D f .a/

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3. Folgen und Reihen

Folgen und Reihen

3.1 Folgen Zahlenfolge: Eine Funktion (oder Abbildung) f W N ! R heißt eine unendliche Zahlenfolge (kurz: Folge). Die Schreibweise dafür ist: .an / D a1 ; a2 ; : : : ; an ; : : : mit n D 1; 2; 3; : : : und a1 ; a2 ; ::: 2 R a1 wird als Anfangsglied und an als n-tes Glied der Folge bezeichnet.

Arithmetische Folge: Definition: .an / D a1 ; a1 C d; a1 C 2d; : : : ; a1 C .n 1/d; : : : explizite Bildungsvorschrift: an D a1 C .n 1/d 8n 2 N; d D const rekursive Bildungsvorschrift: anC1 D an C d 8n 2 N; d D const

Geometrische Folge: Definition: .an / D a1 ; a1 q; a1 q 2 ; : : : ; a1 q n explizite Bildungsvorschrift: an D a1 q n 1 rekursive Bildungsvorschrift: anC1 D an q

:::

.a1 ¤ 0; q ¤ 0/

Beschränkte Folgen: Eine Folge .an / heißt ✏ nach unten beschränkt, wenn gilt: an c1 8n 2 N (c1 : untere Schranke) ✏ nach oben beschränkt, wenn gilt: an  c2 8n 2 N (c2 : obere Schranke) ✏ beschränkt, wenn gilt: jan j  c 8n 2 N (c: Schranke)

Monotone Folgen: Eine Folge .an / heißt ✏ monoton steigend, wenn gilt: ✏ streng monoton steigend, wenn gilt: ✏ monoton fallend, wenn gilt: ✏ streng monoton fallend, wenn gilt:

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anC1 an anC1 > an anC1  an anC1 < an

8n 2 N 8n 2 N 8n 2 N 8n 2 N

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3. Folgen und Reihen

Konvergenz und Grenzwert einer Folge: Eine Folge .an / heißt konvergent mit dem Grenzwert a 2 R, wenn es zu jedem ✏ > 0 eine natürliche Zahl n0 gibt, so dass für alle n n0 gilt: jan aj < ✏ Schreibweise: lim an D a n!1

Divergenz einer Folge: Eine Folge .an / heißt divergent, wenn sie nicht konvergent ist und damit keinen Grenzwert besitzt.

Nullfolge: Eine Folge mit dem Grenzwert 0 heißt Nullfolge. Häufungspunkt einer Folge: Eine Zahl a 2 R heißt Häufungspunkt der Folge .an /, wenn es zu jedem reellen ✏ > 0 unendlich viele Glieder an der Folge gibt, die im Intervall .a ✏; a C ✏/ liegen.

Rechenregeln für konvergente Folgen: Die Folgen .an / und .bn / seien konvergent mit den Grenzwerten a und b. Dann gilt mit c 2 R: lim .an ˙ c/ D a ˙ c lim .c an / D c a n!1

n!1

lim .an ˙ bn / D a ˙ b

n!1

an a lim D n!1 bn b

lim .an bn / D a b

n!1

falls b ¤ 0 und alle bn ¤ 0

Spezielle Grenzwerte von Folgen:

✓ ◆ 1 an 1 n D0 lim D 0 .a 2 R/ lim 1 C De n!1 n n!1 nä n!1 n ✓ ◆ ✓ ◆n 1 n 1 lim 1 D lim 1 C De ( 2 R) n!1 n!1 n e n p p lim n a D 1 für a > 0 lim n. n a 1/ D ln a für a > 0 lim

n!1

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n!1

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3. Folgen und Reihen

3.2 Reihen n-te Partialsumme: Die Summe sn D a1 C a2 C ::: C an D

n P

ai der ersten n Glieder der Folge

iD1

.an / wird als n-te Partialsumme (auch: Teilsumme) dieser Folge bezeichnet.

Reihe: Die Folge .sn / der Partialsummen s1 ; s2 ; s3 ; : : : zu der unendlichen Folge .an / heißt unendliche Reihe (kurz: Reihe).

Arithmetische und geometrische Reihe: Ist .an / eine arithmetische (geometrische) Folge, dann heißt die dazugehörige Reihe .sn / eine arithmetische (geometrische) Reihe. Die Partialsumme sn berechnet sich bei der n P n ✏ arithmetischen Folge mit: sn D .a1 C .i 1/d / D .a1 C an / 2 i D1 n n P 1 q ✏ geometrischen Folge mit: sn D a1 q i 1 D a1 (für q ¤ 1/ 1 q i D1

Konvergenz, Divergenz und Grenzwert einer Reihe:

Eine (unendliche) Reihe .sn / heißt konvergent, wenn diese einen Grenzwert s besitzt. n 1 P P Man schreibt: s D lim sn D lim ai D ai n!1

n!1 i D1

i D1

Existiert für die Folge der Partialsummen sn kein Grenzwert, dann heißt die (unendliche) Reihe divergent.

Summe (Wert) einer Reihe: Der Grenzwert s D lim sn D n!1

1 P

i D1

ai einer (unendlichen) Reihe wird als

Summe oder Wert der (unendlichen) Reihe bezeichnet.

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3. Folgen und Reihen

Spezielle Partialsummen: sn D sn D sn D

n P

i D1 n P

i D 1 C 2 C 3 C ::: C n D

.2i

i D1 n P i D1 n P

n.n C 1/ 2

1/ D 1 C 3 C 5 C ::: C .2n

1/ D n2

2i D 2 C 4 C 6 C ::: C 2n D n.n C 1/

n.n C 1/.2n C 1/ 6 iD1  2 n P n.n C 1/ sn D i 3 D 13 C 23 C 33 C ::: C n3 D 2 i D1

sn D

i 2 D 12 C 22 C 32 C ::: C n2 D

Summen spezieller Reihen: 1 P

nD1 1 P

a1 q n

D a1 C a1 q C a1 q 2 C : : : D

a1 1

für jqj < 1 (geom. Reihe)

. 1/nC1 1 1 1 D1 C ˙ : : : D ln 2 n 2 3 4 nC1 . 1/ 1 1 1 ⇡ D1 C ˙ ::: D 1 3 5 7 4 nD1 2n 1 1 P 1 1 ⇡2 D 1 C 2 C 2 C ::: D 2 2 3 6 nD1 n 1 P . 1/nC1 1 1 1 ⇡2 D1 C 2 ˙ ::: D 2 2 2 n 2 3 4 12 nD1 1 1 P 1 1 1 D 1 C C C C ::: D e 1ä 2ä 3ä nD0 nä 1 . 1/n P 1 1 1 1 D1 C ˙ ::: D 1ä 2ä 3ä e nD0 nä nD1 1 P

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4. Finanzmathematik

Finanzmathematik

4.1 Einfache Zinsrechnung p i n T

K0 Kn Zn -

Zinssatz oder Zins (jeweils in Prozent) pro Zinsperiode p Zinsrate: i D 100 Anzahl der Zinsperioden (üblicherw. ist eine Zinsperiode ein Jahr) Anzahl der Zinstage (Nach der sogenannten deutschen Methode, die im Folgenden zugrunde liegt, besteht ein Jahr aus 12 Monaten mit jeweils 30 Tagen, also insgesamt 360 Zinstagen. Wenn eine Formel mit T verwendet wird, dann wird von einer einjährigen Zinsperiode T ausgegangen. Es gilt dann: n D 360 bzw. T D 360 n) Barwert/Anfangskapital Endwert/Endkapital nach n Zinsperioden Gesamter Zinsbetrag nach n Perioden

Grundlegende Formeln: Zn D K0 i n D K0 i

T 360

p 100 T 360 /

D K0

Kn D K0 .1 C i n/ D K0 .1 C i

Kn Kn K0 D D T 1Ci n 1 C i 360 ✓ ◆ ✓ ◆ Kn 1 Kn 360 iD 1 D 1 K0 n K0 T ✓ ◆ ✓ Kn 1 Kn nD 1 bzw. T D K0 i K0

Zinsbetrag

Endwert Barwert Zinsrate 1

◆

360 i

Laufzeit bzw. Zinstage

Regelmäßige Zahlungen innerhalb einer Zinsperiode: 1 Wenn m regelmäßige Zahlungen in der Höhe r (im Abstand m ) innerhalb einer Zinsperiode erfolgen, dann ergibt sich am Ende der Zinsperiode der Endwert Rvor (bei vorschüssiger Zahlung) bzw. Rnach (bei nachschüssiger Zahlung): ✓ ◆ ✓ ◆ mC1 m 1 Rvor D r m C i Rnach D r m C i 2 2

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4. Finanzmathematik

4.2 Zinseszinsrechnung p i q n m im ieff i⇤ K0 Kn -

Zinssatz oder Zins (jeweils in Prozent) pro Zinsperiode p Zinsrate: i D 100 (bei unterjähriger Verzinsung: nominelle Zinsrate) Aufzinsungsfaktor: q D 1 C i Anzahl der Zinsperioden (üblicherw. ist eine Zinsperiode ein Jahr) Anzahl unterjähriger Zinsperioden Zinsrate der unterjährigen (Teil-) Zinsperiode effektive Zinsrate Zinsintensität Barwert/Anfangskapital Endwert/Endkapital nach n Zinsperioden

Grundlegende Formeln: Kn D K0 .1 C i /n D K0 q n

Kn Kn K0 D D n .1 C i /n q r Kn n qD K0 r K n 1 iD n K0 ✓r ◆ Kn p D 100 n 1 K0 ln Kn ln K0 ln Kn ln K0 nD D ln.1 C i / ln q

Endwert Barwert Aufzinsungsfaktor Zinsrate Zinssatz Laufzeit

Unterjährige Verzinsung: Im Falle der unterjährigen Verzinsung wird das Kapital in einer Zinsperiode 1 m-mal mit der Zinsrate mi verzinst (jeweils nach der m Dauer der gesamten Zinsperiode). Die Zinsen werden dabei dem Kapital gutgeschrieben und wieder mitverzinst. Bei der unterjährigen Verzinsung wird i als die nominelle Zinsrate bezeichnet. Es gelten folgende Formeln:

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4. Finanzmathematik

⇣ Kn D K0 1 C im D

i m

⌘n m

Endwert relative unterjährige Zinsrate

Effektive und konforme Zinsrate: Diejenige Zinsrate ieff , die bei jährlicher Verzinsung zum selben Zinsbetrag führt wie eine unterjährige Verzinsung mit der nominellen Zinsrate i (mit im D i=m), heißt effektive Jahreszinsrate, d.h. es gilt K0 .1 C im /m D K0 .1 C ieff /. In diesem Zusammenhang heißt die unterjährige Zinsrate im die zur effektiven Zinsrate konforme (äquivalente) unterjährige Zinsrate und es gilt: ieff D .1 C mi /m 1 p im D m 1 C ieff 1 p i D m m 1 C ieff 1

effektive Zinsrate konforme (äquivalente) unterjährige Zinsrate nominelle Zinsrate

Stetige Verzinsung: Eine stetige Verzinsung ist gegeben, wenn bei einer unterjährigen Verzinsung die Anzahl der unterjährigen Zinsperioden m gegen unendlich geht. Es gilt: Kn D K0 ei n Kn K0 D i n e ln Kn iD

Endwert Barwert

✓ ◆ 1 Kn D ln n n K0 ✓ ◆ ln Kn ln K0 1 Kn nD D ln i i K0 ln K0

Zinsrate Laufzeit

Effektive Zinsrate und Zinsintensität: Der Begriff der effektiven Zinsrate (siehe oben) kann von der unterjährigen auf die stetige Verzinsung übertragen werden. Analog bezeichnet man in diesem Fall die nominelle Zinsrate als die Zinsintensität i ⇤ und es gilt K0 .1 C ieff / D ⇤ K0 e i . Folgende Formeln gelten: ieff D ei i⇤

⇤

D ln.1 C ieff /

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effektive Zinsrate Zinsintensität

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4. Finanzmathematik

4.3 Rentenrechnung p q r n

Zinssatz oder Zins (jeweils in %) pro Zinsperiode (ein Jahr) p Aufzinsungsfaktor: q D 1 C i i - Zinsrate: i D 100 Höhe der Rentenzahlungen (oder: Rentenraten) Anzahl der Zahlungsperioden (bei jährlichen Rentenzahlungen)

Konstante Renten mit jährlichen Rentenzahlungen: Annahme: Zins- und Zahlungsperiode stimmen überein qn 1 Bnvor D r n 1 Barwert einer vorschüssigen Rente q .q 1/ qn 1 Bnnach D r n Barwert einer nachschüssigen Rente q .q 1/ n q.q 1/ Envor D r Endwert einer vorschüssigen Rente q 1 qn 1 Ennach D r Endwert einer nachschüssigen Rente q 1 rq vor D B1 Barwert einer vorschüssigen ewigen Rente q 1 r nach D B1 Barwert einer nachschüssigen ewigen Rente q 1 ✓ ◆ ✓ ◆ 1 q 1 1 rq nD ln Envor C1 D ln Laufzeit ln q rq ln q rq Bnvor .q 1/ ✓ ◆ ✓ ◆ 1 q 1 1 r nD ln Ennach C1 D ln Laufzeit ln q r ln q r Bnnach .q 1/

Rentenbarwert- und Rentenendwertfaktor: vorschüssig qn 1 Rentenbarwertfaktor RBW D n 1 q .q 1/ q.q n 1/ vor Rentenendwertfaktor REW D q 1 vor

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nachschüssig qn 1 RBWnach D n q .q 1/ qn 1 nach REW D q 1

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4. Finanzmathematik

Konstante Renten mit unterjährigen Rentenzahlungen: bei unterjähriger Verzinsung: Werden m unterjährige Rentenzahlungen (der Höhe r; gleicher Abstand) gleichzeitig m-mal unterjährig mit einer anteiligen Jahreszinsrate mi verzinst, dann kann man die Formeln zur Berechnung des Bar- und Endwerts auf Seite 23 verwenden, indem man für q den Wert 1 C mi und für n den Wert n m einsetzt. bei jährlicher Verzinsung: Erfolgt die Verzinsung der m unterjährigen Rentenzahlungen (der Höhe r; gleicher Abstand) am Ende des Jahres, dann muss zunächst die konforme Jahresrente mit der Formel Rvor D r m C mC1 i bei vorschüssiger Zahlung oder 2 Rnach D r m C m2 1 i bei nachschüssiger Zahlung berechnet werden (s.a. S. 20; innerhalb des Jahres erfolgt eine einfache Verzinsung). Zur Berechnung des Bar- und Endwerts können die Formeln zur nachschüssigen Rente auf Seite 23 verwendet werden, indem für r der Wert Rvor bzw. Rnach eingesetzt wird.

Dynamische Renten: Arithmetisch fortschreitende Rentenzahlungen: Diese sind gegeben, wenn die Rentenzahlungen r1 ; r2 ; : : : ; rn folgende Beziehung zueinander haben (Zins- und Zahlungsperiode stimmen dabei überein): rt D rt 1 C d mit r1 D r .t D 2; : : : ; n und d D const.> 0// ✓ ◆ 1 d Bnvor D n 1 rC .q n 1/ nd Barwert (vorschüs. R.) q .q 1/ q 1 ✓ ◆ 1 d Bnnach D n rC .q n 1/ nd Barwert (nachschüs. R.) q .q 1/ q 1 ✓ ◆ q d Envor D rC .q n 1/ nd Endwert (vorschüssige R.) q 1 q 1 ✓ ◆ 1 d Ennach D rC .q n 1/ nd Endwert (nachschüssige R.) q 1 q 1 r d nach D B1 C Barwert (nachschüssige ewige Rente) q 1 .q 1/2

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4. Finanzmathematik

Geometrisch fortschreitende Rentenzahlungen: Diese sind gegeben, wenn die Rentenzahlungen r1 ; r2 ; : : : ; rn folgende Beziehung zueinander haben (Zins- und Zahlungsperiode stimmen dabei überein): rt D rt 1 c mit r1 D r .t D 2; : : : ; n und c D const.> 1// r cn qn qn 1 c q r cn qn Bnnach D n q c q cn qn vor En D r q c q cn qn nach En D r c q r nach B1 D mit c < q q c Bnvor D

Barwert einer vorschüssigen Rente Barwert einer nachschüssigen Rente Endwert einer vorschüssigen Rente Endwert einer nachschüssigen Rente Barwert einer nachschüssigen ewigen Rente

4.4 Tilgungsrechnung i - Zinsrate pro Zinsperiode q - Aufzinsungsfaktor: q D 1Ci n - Anzahl der Rückzahlungsperioden K0 - Kreditbetrag, Anfangsschuld, Darlehen Kt - Restschuld am Ende der Periode t .t D 1; : : : ; n/ Tt ; Zt - Tilgungs- bzw. Zinsbetrag in der Periode t .t D 1; : : : ; n/ At - Annuität in der Periode t: At D Tt C Zt .t D 1; : : : ; n/ Annahme: Zins- und Rückzahlungsperiode stimmen überein

Ratentilgung: Tt D T D const D Kt D K0 .1

K0 n

t n/

konstanter Tilgungsbetrag Restschuld

i D K0 .1 t n1 / i Zinsbetrag (bei nachschüssiger Rückz.) K0 At D Tt C Zt D .1 C .n t C 1/ i/ Annuität (bei nachschüssiger R.) n Zt D Kt

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4. Finanzmathematik

Annuitätentilgung: At D Tt C Zt D A D const q n .q 1/ A D K0 qn 1 Tt D .A K0 i / q t Kt D K0 q t Zt D K 0 i nD

ln A

konstante Annuität Annuität (bei nachschüssiger Rückz.)

Tilgungsbetrag (bei nachschüssiger Rückz.)

qt 1 A q 1 T1 .q t 1 1/

ln.A ln q

K0 i /

Restschuld (bei nachschüssiger Rückz.) Zinsbetrag (bei nachschüssiger Rückz.) vollständige Tilgungsdauer (nachschüs. Rückz.)

4.5 Investitionsrechnung et at ct E0 A0 n p

Ertrag/Einnahme in Periode t .t D 1; : : : ; n/ Ausgabe/Kosten in Periode t .t D 1; : : : ; n/ Ertragsüberschuss in Periode t : ct D et at .t D 1; : : : ; n/ Kapitalwert/Barwert der Erträge Kapitalwert/Barwert der Ausgaben Anzahl der Perioden; Nutzungsdauer p Kalkulationszinssatz q - Aufzinsungsfaktor: q D 1 C 100

Kapitalwertmethode: n e P t qt at A0 D t t D1 q

E0 D

t D1 n P

C0 D E0

A0 D

Kapitalwert der Erträge Kapitalwert der Ausgaben n c n e P P at t t D qt qt t D1

Kapitalwert der Investition

tD1

Interner Zinsfuß:

Als interner Zinsfuß wird der Zinssatz bezeichnet, bei dem der Kapitalwert C0 einer Investition gleich null ist. c WiWi-Media AG, 2013

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5. Funktionen einer Variablen

Funktionen einer Variablen

5.1 Grundlegende Definitionen Reelle Funktion einer reellen Variablen: Eine Abbildung f W Df ! Wf , die jedem x 2 R des Definitionsbereichs Df genau eine Zahl y 2 R aus dem Wertebereich Wf zuordnet, heißt reelle Funktion einer reellen Variablen. Die Elemente x 2 Df bezeichnet man als Urbilder oder Argumente von f und die Elemente y 2 Wf als Bilder oder Funktionswerte von f . Der Begriff Funktion wird meist synonym mit dem Begriff Abbildung verwendet. Schreibweisen: x 7! f .x/ D y oder y D f .x/ (Funktionsgleichung) Weitere Bezeichnungen: x W unabhängige Variable (Veränderliche) y W abhängige Variable (Veränderliche)

Surjektive/Injektive/Bijektive Funktion: Eine reelle Funktion f W Df ! Wf mit Df ; Wf ✓ R heißt ✏ surjektiv, wenn zu jedem Bild y 2 Wf mindestens ein Urbild x 2 Df mit y D f .x/ existiert. ✏ injektiv (oder eineindeutig), wenn für alle x1 ; x2 2 Df gilt: x1 ¤ x2 ) f .x1 / ¤ f .x2 / ✏ bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist.

Umkehrfunktion: Ist die Funktion y D f .x/ bijektiv, so existiert eine Funktion f 1 , welche die ursprüngliche Zuordnungsvorschrift umkehrt, also jedem Bild y 2 Wf sein Urbild x 2 Df zuordnet. f 1 wird als Umkehrfunktion oder inverse Funktion von f bezeichnet. Es gilt Df 1 D Wf und Wf 1 D Df und man schreibt x D f 1 .y/.

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5. Funktionen einer Variablen

Verknüpfungen von Funktionen: Art der Verknüpfung Summe Differenz Produkt Quotient Verkettung

Schreibweise F Df Cg F Df g F Df g F D f =g F Df ıg

Definition F .x/ D f .x/ C g.x/ F .x/ D f .x/ g.x/ F .x/ D f .x/ g.x/ F .x/ D f .x/=g.x/ F .x/ D f .g.x//

Für die Bildung der verketteten Funktion f .g.x// muss Wg ⇢ Df gelten. Dabei wird f .g.x// auch als mittelbare oder zusammengesetzte Funktion, g als innere und f als äußere Funktion bezeichnet.

5.2 Darstellung von Funktionen Rechtwinkliges (kartesisches) Koordinatensystem: Dieses besteht aus zwei aufeinander senkrecht stehenden Koordinatenachsen, der horizontalen x-Achse (Abszisse) und der senkrechten y-Achse (Ordinate). Der Punkt P D .a; b/ ist der Schnittpunkt der durch a verlaufenden parallelen Geraden zur y-Achse und der durch b verlaufenden parallelen Geraden zur xAchse.

Graph (Schaubild) einer Funktion: Als Graph (auch Schaubild) einer Funktion y D f .x/ wird die Darstellung aller zur Funktion f gehörenden Wertepaare .x; y/ in einem rechtwinkligen (kartesischen) Koordinatensystem bezeichnet.

5.3 Eigenschaften von Funktionen Beschränktheit: Gegeben sei eine Funktion y D f .x/ und ein c 2 R. Die Funktion f heißt ✏ beschränkt, wenn gilt: jf .x/j  c 8x 2 Df (c: Schranke) ✏ nach unten beschränkt, wenn gilt: f .x/ c 8x 2 Df (c: untere Schran.) ✏ nach oben beschränkt, wenn gilt: f .x/  c 8x 2 Df (c: obere Schran.) c WiWi-Media AG, 2013

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5. Funktionen einer Variablen

Monotonie: Eine Funktion f .x/ heißt ✏ monoton steigend, wenn gilt: f .x1 /  f .x2 / ✏ streng monoton steigend, w. gilt: f .x1 / < f .x2 / ✏ monoton fallend, wenn gilt: f .x1 / f .x2 / ✏ streng monoton fallend, wenn gilt: f .x1 / > f .x2 /

8x1 ; x2 8x1 ; x2 8x1 ; x2 8x1 ; x2

2 Df ; x1 2 Df ; x1 2 Df ; x1 2 Df ; x1

< x2 < x2 < x2 < x2

Periodizität: Eine Funktion f .x/ heißt periodisch mit der Periode p, wenn gilt: f .x C p/ D f .x/ 8x 2 Df

Symmetrie: Eine Funktion f .x/ heißt ✏ symmetrisch zur y-Achse oder gerade, wenn gilt: f . x/ D f .x/ 8x 2 Df ✏ punktsymmetrisch zum Ursprung oder ungerade, wenn gilt: f . x/ D f .x/ 8x 2 Df ✏ symmetrisch zur Geraden g W x D a, wenn gilt: f .a x/ D f .a C x/ 8x mit .a ˙ x/ 2 Df ✏ punktsymmetrisch zum Punkt P .a; f .a//, wenn gilt: 1 x/ C f .a C x/ç D f .a/ 8x mit .a ˙ x/ 2 Df 2 Œf .a

Krümmungseigenschaften: Gegeben sei eine Funktion f .x/. Wenn für alle und für alle 2 .0; 1/ gilt: f ..1 /x1 C x2 /  .1 /f .x1 / C f .x2 / f ..1 /x1 C x2 / < .1 /f .x1 / C f .x2 / f ..1 /x1 C x2 / .1 /f .x1 / C f .x2 / f ..1 /x1 C x2 / > .1 /f .x1 / C f .x2 /

verschiedenen x1 ; x2 2 Df ) ) ) )

f f f f

heißt konvex heißt streng konvex heißt konkav heißt streng konkav

5.4 Nullstellen von Funktionen Definition Nullstelle: Für die Nullstelle x0 2 Df einer Funktion f .x/ gilt: f .x0 / D 0. c WiWi-Media AG, 2013

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5. Funktionen einer Variablen

Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung: Halbierungsverfahren (Intervallhalbierung, Bisektionsverfahren): Geg. sind die Näherungen xL und xR für die Nullstelle x0 der stetigen Funktion f und eine Fehlerschranke ✏ > 0. Es gilt f .xL /f .xR / < 0 und xL < xR . 1. Berechne xH D 12 .xL C xR / 2. Ist jf .xH /j < ✏, dann stoppe und nimm xH als Näherung für x0 . 3. Ist f .xH /f .xR / < 0, dann setze xL ´ xH und gehe zu 1. Ist f .xH /f .xL / < 0, dann setze xR ´ xH und gehe zu 1. Regula falsi: Geg. sind die Näherungen xL und xR für die Nullstelle x0 der stetigen Funktion f und eine Fehlerschranke ✏ > 0. Es gilt f .xL /f .xR / < 0 und xL < xR . xR xL y▲ 1. xS D xL f .xL / f f .xR / f .xL / f (x R) 2. Ist jf .xS /j < ✏, dann stoppe und nimm xS als Näherung für x0 . xL xS 3. Ist f .xS /f .xR / < 0, dann x R x► x0 setze xL ´ xS und gehe zu 1. f (x L) Ist f .xS /f .xL / < 0, dann setze xR ´ xS und gehe zu 1. Newtonverfahren (Tangentenverfahren): Geg. ist eine differenzierbare Funktion f , ein Näherungswert x1 für die Nullstelle x0 und eine Fehlerschranke ✏ > 0. 1. Setze i D 1

f .xi / 2. Berechne xi C1 D xi f 0 .xi / 3. Ist jf .xi C1 /j < ✏, dann stoppe und nimm xi C1 als Näherung für x0 . 4. Setze i ´ i C 1 und gehe zu 2.

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y▲

f xi

►

xi + 1 x

f (xi )

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5. Funktionen einer Variablen

5.5 Elementare Funktionen Lineare Funktion: f .x/ D ax C b mit a; b 2 R Gilt speziell b ¤ 0, dann heißt f .x/ eine affin lineare Funktion. Der Graph der (affin) linearen Funktion stellt eine Gerade dar.

Quadratische Funktion: f .x/ D ax 2 C bx C c mit a; b; c 2 R und a ¤ 0 Der Graph der quadratischen Funktion stellt eine Parabel dar.

Ganzrationale Funktion oder Polynom: f .x/ D an x n C an

n 1 C: : :Ca x Ca 1 0

n P

i D0

ai x i (mit an ¤ 0; ai 2 R)

Diese Funktion heißt ganzrationale Funktion oder Polynom vom Grad n.

Potenzfunktion: Allgemeine Potenzfunktion: f .x/ D x r

Spezielle Potenzfunktionen (mit n 2 N):

mit r 2 R und x > 0

Parabel (n ungerade): f .x/ D x n Parabel (n gerade): f .x/ D x n Hyperbel (n ungerade): f .x/ D x n D x1n Hyperbel (n gerade): f .x/ D x n D x1n p 1 Wurzelfunktion (n unger.):f .x/ D x n D n x p 1 Wurzelfunktion (n ger.): f .x/ D x n D n x

Df Df Df Df Df Df

DR DR D Rnf0g D Rnf0g DR D RC

Wf Wf Wf Wf Wf Wf

DR D RC D Rnf0g D RC nf0g DR D RC

Gebrochen-rationale Funktion: g.x/ am x m C am 1 x m 1 C : : : C a1 x C a0 D h.x/ bn x n C bn 1 x n 1 C : : : C b1 x C b0 mit am ; bn ¤ 0 und m; n 2 N f .x/ D

Gilt m < n ) f .x/ heißt echt gebrochen-rationale Funktion Gilt m n ) f .x/ heißt unecht gebrochen-rationale Funktion c WiWi-Media AG, 2013

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5. Funktionen einer Variablen

Asymptotisches Verhalten (Verhalten im Unendlichen): (a) m < n ) Asymptote a.x/ ist die x-Achse .a.x/ D 0/ (b) m D n ) Asymptote a.x/ ist Parallele zur x-Achse .a.x/ D am =bn / (c) m D n C 1 ) Asymptote a.x/ ist linear und schief (d) m > n C 1 ) Asymptote a.x/ ist nichtlinear ! Bei (c) und (d) muss die Polynomdivision angewendet werden.

Nullstellen von f .x/ sind alle Nullstellen von g.x/, die nicht Nullstellen von h.x/ sind.

Polstellen von f .x/ sind ✏ zum einen Nullstellen von h.x/, die nicht Nullstellen von g.x/ sind und ✏ zum anderen die gemeinsame Nullstellen von g.x/ und h.x/, deren Vielfachheit bei g.x/ kleiner als bei h.x/ ist. Lücken (auch bezeichnet als: hebbare Unstetigkeit) von f .x/ sind die gemeinsamen Nullstellen von g.x/ und h.x/, deren Vielfachheit bei g.x/ größer oder gleich als bei h.x/ ist.

Exponentialfunktion: Allgemeine Exponentialfunktion: f .x/ D ax Definitionsbereich: Df D . 1; 1/ Wertebereich: Wf D .0; 1/ Spezialfall: Natürliche Exponentialfunktion:

mit a > 0

(Spezialfall: a D e)

f .x/ D e x

Logarithmusfunktion: Allgemeine Logarithmusfunktion: f .x/ D loga x Definitionsbereich: Df D .0; 1/ Wertebereich: Wf D . 1; 1/ Spezialfälle: Natürlicher Logarithmus: Dekadischer Logarithmus:

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f .x/ D ln x f .x/ D lg x

mit a > 0 und a ¤ 1

(Spezialfall a D e) (Spezialfall a D 10)

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6. Differentialrechnung für Funktionen einer Variablen

Differentialrechnung für Funktionen einer Variablen

6.1 Grenzwert von Funktionen Grenzwert an der Stelle x0 : g heißt Grenzwert von f .x/ an der Stelle x0 , wenn für jede gegen die Stelle x0 konvergierende Folge .xn / mit xn 2 Df und xn ¤ x0 gilt: lim f .xn / D g n!1

Schreibweise:

lim f .x/ D g

x!x0

Uneigentlicher Grenzwert: f .x/ besitzt an der Stelle x0 den uneigentlichen Grenzwert 1 bzw. 1, wenn für jede gegen die Stelle x0 konvergierende Folge .xn / mit xn 2 Df und xn ¤ x0 gilt: lim f .xn / D 1 bzw. lim f .xn / D 1 n!1

n!1

Schreibweise:

lim f .x/ D

1 bzw.

x!x0

lim f .x/ D 1

x!x0

Einseitiger Grenzwert: g heißt linksseitiger (rechtsseitiger) Grenzwert von f .x/ an der Stelle x0 , wenn zur obigen Definition „Grenzwert an der Stelle x0 “ die Einschränkung x < x0 .x > x0 / hinzugefügt wird. Schreibweise: lim f .x/ D lim f .x/ D g bzw. x!x0

x"x0

lim f .x/ D lim f .x/ D g

x!x0C

x#x0

Grenzwert im Unendlichen: g heißt Grenzwert von f .x/ für x gegen minus (plus) unendlich, wenn zu jedem ✏ > 0 eine Stelle x1 existiert, so dass für alle x < x1 .x > x1 / gilt: jf .x/ gj < ✏ Schreibweise: lim f .x/ D g bzw. lim f .x/ D g x! 1

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x!1

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6. Differentialrechnung für Funktionen einer Variablen

Asymptoten: ✏ Die Gerade x D x0 ist eine vertikale Asymptote von f .x/, wenn an der Stelle x0 eine Polstelle existiert. ✏ Die Gerade y D b ist eine horizontale Asymptote von f .x/, wenn gilt: lim f .x/ D b oder lim f .x/ D b x! 1

x!1

✏ Die schräge Gerade y D ax C b ist eine Asymptote von f .x/, wenn gilt: lim f .x/ D ax C b oder lim f .x/ D ax C b x! 1

x!1

✏ Die (nichtlineare) Funktion a.x/ ist eine Asymptote von f .x/, wenn gilt: lim f .x/ D a.x/ oder lim f .x/ D a.x/ x! 1

x!1

Rechenregeln für Grenzwerte: Ist lim f .x/ D a und lim g.x/ D b, dann gilt: x!x0

x!x0

lim Œf .x/ ˙ g.x/ç D a ˙ b

x!x0

lim Œf .x/ g.x/ç D a b

mit b ¤ 0

x!x0

f .x/ a lim D x!x0 g.x/ b

lim .f .x//n D an

Regel von de l’Hospital: f 0 .x/ 0 x!x0 g .x/

Wenn (1) f und g differenzierbar mit g 0 .x/ ¤ 0 sind, (2) lim

existiert

und (3) lim f .x/ D lim g.x/ D 0 oder lim f .x/ D lim g.x/ D ˙1 x!x0

x!x0

ist, dann gilt: lim

x!x0

f .x/ f 0 .x/ D lim 0 x!x0 g .x/ g.x/

x!x0

) Diese Regel gilt auch analog für die Fälle x ! dabei x ! x0 durch x ! 1 bzw. x ! 1).

x!x0

1 und x ! 1 (ersetze

Spezielle Grenzwerte von Funktionen: lim ln x D 1

x!1

lim ln x D

x!0C

ln.1 C x/ ax 1 D1 lim D ln a x!0 x!0 x!0 x x x ) Für weitere Grenzwerte siehe „Spezielle Grenzwerte von Folgen“ auf Seite 16 (ersetze dabei n durch x) lim

lim

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6. Differentialrechnung für Funktionen einer Variablen

6.2 Stetigkeit von Funktionen Stetigkeit einer Funktion: Eine Funktion f .x/ ist an der Stelle x0 stetig, wenn gilt: lim f .x/ D f .x0 / x!x0

Wenn dies für alle x 2 Df gilt, dann heißt f .x/ eine stetige Funktion. Hinweis: Der Graph einer stetigen Funktion lässt sich ohne Absetzen des Stiftes in einem Zug zeichnen.

Einseitige Stetigkeit: Eine Funktion f .x/ ist an der Stelle x0 linkseitig (rechtseitig) stetig, wenn gilt: lim f .x/ D f .x0 / bzw. lim f .x/ D f .x0 / x!x0C

x!x0

Unstetigkeitsstellen: Die Funktion f .x/ besitzt an der Stelle x0 eine(n) ✏ endlichen Sprung, wenn dort die beiden einseitigen Grenzwerte endlich sind und es zusätzlich gilt: lim f .x/ ¤ lim f .x/ x!x0

x!x0C

✏ Pol (Unendlichkeitsstelle), wenn gilt: j lim f .x/j D j lim f .x/j D 1 x!x0

x!x0C

✏ Lücke (hebbare Unstetigkeit), wenn gilt: lim f .x/ D lim f .x/ ¤ f .x0 / x!x0

x!x0C

Verknüpfung stetiger Funktionen: Wenn die Funktionen f und g stetig sind, dann sind auch ihre Verknüpfungen (siehe Seite 28) stetig.

Zwischenwertsatz: Ist die Funktion f im Intervall Œa; bç stetig und gilt f .a/ ¤ f .b/, so nimmt f in diesem Intervall alle Werte zwischen f .a/ und f .b/ mindestens einmal an.

Nullstellensatz: Ist die Funktion f im Intervall Œa; bç stetig und haben f .a/ und f .b/ verschiedene Vorzeichen, dann gibt es mindestens eine Nullstelle in diesem Intervall. c WiWi-Media AG, 2013

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6. Differentialrechnung für Funktionen einer Variablen

6.3 Differentiation Differenzenquotient: Åy f .x0 C Åx/ D Åx Åx

f .x0 /

Der Differenzenquotient gibt die Steigung der Sekante durch die Punkte P .x0 ; f .x0 // und Q.x0 CÅx; f .x0 C Åx// an.

y▲ Q

f (x 0 + Δ x) f (x 0)

f P

►

x0 + Δ x x

Differentialquotient (Ableitung): Existiert der Grenzwert f .x0 C Åx/ f .x0 / lim D f 0 .x0 / Åx!0 Åx so heißt dieser Grenzwert Differentialquotient oder Ableitung von f an der Stelle x0 . f 0 .x0 / ist gleich der Steigung der Tangente t an den Graphen von f im Punkt P .x0 ; f .x0 //.

y▲

t f

f (x 0)

►

Differenzierbarkeit: Eine Funktion f heißt differenzierbar an der Stelle x0 , wenn der Differentialquotient an der Stelle x0 existiert. Eine Funktion f heißt differenzierbar, wenn der Differentialquotient für alle x 2 Df existiert.

Ableitungsfunktion: Eine Funktion, die jedem x 2 Df der Funktion f seine entsprechende Ableitung zuordnet, heißt Ableitungsfunktion. Schreibweisen:

dy df df .x/ D D D f 0 .x/ D f 0 D y 0 .x/ D y 0 dx dx dx

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6. Differentialrechnung für Funktionen einer Variablen

Ableitungen höherer Ordnung: Die Funktion f heißt n-mal differenzierbar, wenn die Ableitungen f 0 ; f 00 ´ .f 0 /0 ; f 000 ´ .f 00 /0 ; : : : ; f .n/ ´ .f .n 1/ /0 existieren. Schreibweisen: dy dx

1. Ableitung:

f 0 .x/ D f 0 D y 0 D

2. Ableitung:

f 00 .x/ D .f 0 .x//0 D f 00 D y 00 D

n-te Ableitung: f .n/ .x/ D .f .n

1/ .x//0

d 2y dx 2

D f .n/ D y .n/ D

d ny dx n

Mittelwertsatz der Differentialrechnung: y▲ Wenn f in Œa; bç stetig und in ça; bŒ differenzierbar ist, dann gibt es mindestens eine Stelle z mit a < z < b für die gilt: f .b/ f .a/ D f 0 .z/ b a

f (b) f

f (a) z

►

Ableitungsregeln: Faktorregel:

f .x/ D c u.x/

Summenregel: f .x/ D u.x/ ˙ v.x/ Produktregel: f .x/ D u.x/ v.x/

f 0 .x/ D c u0 .x/ f

0 .x/

u0 .x/

.c 2 R/

v 0 .x/

f 0 .x/ D u0 .x/ v.x/ C u.x/ v 0 .x/

u.x/ mit v.x/ ¤ 0 v.x/ 0 u .x/ v.x/ u.x/ v 0 .x/ f 0 .x/ D Œv.x/ç2

Quotientenregel: f .x/ D

Kettenregel:

f .x/ D u.v.x//, z D v.x/

Ableitung der Umkehrfunktion:

x D g.y/ ist Umkehrfunktion von y D f .x/

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f 0 .x/ D u0 .z/ v 0 .x/ )

g 0 .y/ D

1 f 0 .x/

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6. Differentialrechnung für Funktionen einer Variablen

Logarithmische Differentiation: Gegeben ist eine Funktion f .x/ ) f 0 .x/ D .lnf .x//0 f .x/ mit f .x/ > 0 Ableitung einer Exponentialfunktion:

f .x/ D u.x/v.x/ mit u.x/ > 0 ✓ ◆ u0 .x/ f 0 .x/ D u.x/v.x/ v 0 .x/ ln u.x/ C v.x/ u.x/

Ableitungen spezieller Funktionen: f .x/

f 0 .x/

f .x/

f 0 .x/

c (konstant)

cos x

sin x

n xn

arcsin x

loga x

1 x ln a

arccos x

ln x

1 x

arctan x

p 1 1 x2 p 1 1 x2 1 1Cx 2

sin x

cos x

arccot x

1 1Cx 2

ln a

1 cos2 x

tan x cot x

Differential: Sei f .x/ eine an der Stelle x0 differenzierbare Funktion und Åx (auch dx geschrieben) eine beliebige Änderung der unabhängigen Variablen x. Dann heißt dy D f 0 .x0 / Åx D f 0 .x0 / dx das Differential der Funktion f an der Stelle x0 .

D 1 C tan2 x

1 sin2 x

y▲

f Δy dy x0

►

x0 + Δ x x

Wenn Åy die tatsächliche Funktionswertänderung bei Änderung der Variablen x um den Wert Åx ist, dann gilt: Åy ⇡ dy D f 0 .x0 / Åx

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6. Differentialrechnung für Funktionen einer Variablen

6.4 Änderungsraten und Elastizitäten Formeln: absolute Änderung von x

Åx Åf .x/ D f .x C Åx/

f .x/

Åx x Åf .x/ f .x C Åx/ f .x/ D f .x/ f .x/ Åf .x/ f .x C Åx/ D Åx Åx Åf .x/ 1 Åx f .x/ f 0 .x/ f .x/

mittlere relative Änderung von x .x ¤ 0/

mittlere relative Änderung von f im Intervall Œx; x C Åxç .f .x/ ¤ 0/ Differenzenquotient mittlere Änderungsrate von f im Intervall Œx; x C Åxç Änderungsrate von f im Punkt x

Åf .x/ x Åx f .x/ ✏f .x/ D x

f .x/

absolute Änderung von f im Intervall Œx; x C Åxç

f 0 .x/ f .x/

mittlere Elastizität von f im Intervall Œx; x C Åxç (Bogenelastizität) (Punkt-)elastizität von f im Punkt x

Bezeichnungen: Eine Funktion f heißt im Punkt x ✏ elastisch, wenn gilt: ✏ 1-elastisch oder proportional elastisch, wenn gilt: ✏ vollkommen elastisch, wenn gilt: ✏ unelastisch, wenn gilt: ✏ vollkommen unelastisch, wenn gilt:

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j✏f .x/j > 1 j✏f .x/j D 1 j✏f .x/j D 1 j✏f .x/j < 1 ✏f .x/ D 0

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6. Differentialrechnung für Funktionen einer Variablen

Rechenregeln für Elastizitäten: Konstanter Faktor: Summe/Differenz: Produkt: Quotient:

✏cf .x/ D ✏f .x/

mit c 2 R und c ¤ 0

f .x/ ✏f .x/ ˙ g.x/ ✏g .x/ ✏f ˙g .x/ D f .x/ ˙ g.x/ ✏f g .x/ D ✏f .x/ C ✏g .x/ ✏ f .x/ D ✏f .x/ g

✏g .x/

Verkettung:

✏f ıg .x/ D ✏f .g.x// ✏g .x/

Umkehrfunktion:

✏f

.y/ D

1 ✏f .x/

mit x D f

1 .y/

6.5 Taylor-Approximation Approximation durch das Taylor-Polynom: Die Funktion f sei an der Stelle x0 n-mal differenzierbar. Dann lässt sich die Funktion f um x0 durch folgendes Polynom approximieren: f 0 .x0 / f 00 .x0 / f .n/ .x0 / f .x/ ⇡ f .x0 /C .x x0 /C .x x0 /2 C: : :C .x x0 /n 1ä 2ä nä Dieses Polynom wird als Taylor-Polynom oder Taylor-Approximation n-ten Grades für die Funktion f um den Entwicklungspunkt x D x0 bezeichnet.

Das Restglied: Sei Pn .x/ das oben definierte Taylor-Polynom und RnC1 .x/ das Restglied, welches den Fehler bei der Taylor-Approximation darstellt. Dann gilt: f .x/ D Pn .x/ C RnC1 .x/

Restglied in Lagrange-Form: Sei f in einem Intervall I .n C 1/-mal differenzierbar und x0 ; x 2 I . Dann gilt: 1 RnC1 .x/ D f .nC1/ .h/.x x0 /nC1 mit h zwischen x und x0 .n C 1/ä

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6. Differentialrechnung für Funktionen einer Variablen

Taylor-Formel: f .x/ D f .x0 / C

f 0 .x0 / .x 1ä

x0 / C : : : C

f .n/ .x0 / .x nä

x0 /n C RnC1

Mac Laurinsche Form der Taylor-Formel (Spezialfall x0 D 0; mit 0 < c < 1): f .x/ D f .0/ C

f 0 .0/ f 00 .0/ 2 f .n/ .0/ n f .nC1/ .cx/ nC1 xC x C:::C x C x 1ä 2ä nä .n C 1/ä

6.6 Untersuchung von Funktionen mit Hilfe der Differentialrechnung Monotonieverhalten: f sei im Intervall I D Œa; bç differenzierbar. Gilt für alle x 2 I ✏ f 0 .x/ > 0, dann ist f streng monoton steigend in I . ✏ f 0 .x/ < 0, dann ist f streng monoton fallend in I . ✏ f 0 .x/ 0, dann ist f monoton steigend in I . ✏ f 0 .x/  0, dann ist f monoton fallend in I . ✏ f 0 .x/ D 0, dann ist f konstant in I .

Globale und lokale Extrempunkte: Die Funktion f mit dem Definitionsbereich Df hat an der Stelle x0 2 Df ein ✏ globales Maximum, wenn gilt: f .x/  f .x0 / 8x 2 Df ✏ globales Minimum, wenn gilt: f .x/ f .x0 / 8x 2 Df ✏ lokales Maximum, wenn es ein Intervall I D .a; b/ um x0 gibt, so dass gilt: f .x/  f .x0 / 8x 2 I \ Df ✏ lokales Minimum, wenn es ein Intervall I D .a; b/ um x0 gibt, so dass gilt: f .x/ f .x0 / 8x 2 I \ Df

Hinweise: ✏ Ersetzt man in den Ungleichungen  bzw. durch < bzw. >, so spricht man von einem strikten (globalen bzw. lokalen) Maximum oder Minimum. ✏ Ein globaler Extrempunkt ist zugleich auch immer ein lokaler Extrempunkt. ✏ Nach obiger Definition können auch Randpunkte des Definitionsbereichs und Knickstellen einer Funktion globale oder lokale Extrempunkte sein. c WiWi-Media AG, 2013

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6. Differentialrechnung für Funktionen einer Variablen

Notwendige Bedingung für Extrempunkte: Hat f .x/ an der Stelle x0 einen (globalen oder lokalen) Extrempunkt und ist zusätzlich in x0 2 .a; b/ differenzierbar, so gilt: f 0 .x0 / D 0 ! x0 heißt dann ein stationärer Punkt von f .

Hinweis: Für einen (globalen oder lokalen) Extrempunkt, der ein nicht differenzierbarer Randpunkt des Definitionsbereichs oder eine Knickstelle ist (f ist an einer Knickstelle nicht differenzierbar), gilt diese Bedingung nicht.

Hinreichende Bedingung für Extrempunkte: Allgemeine hinreichende Bedingung: In dem Intervall .a; b/ sei die Funktion f n-mal differenzierbar. f besitzt an der Stelle x0 2 .a; b/ einen lokalen Extrempunkt, wenn für ein gerades n gilt: f 0 .x0 / D f 00 .x0 / D : : : D f .n 1/ .x0 / D 0 und f .n/ .x0 / ¤ 0. ✏ Gilt dabei f .n/ .x0 / < 0 ) f hat ein striktes lokales Maximum in x0 . ✏ Gilt dabei f .n/ .x0 / > 0 ) f hat ein striktes lokales Minimum in x0 .

Spezialfall n D 2: ✏ f 0 .x0 / D 0 und f 00 .x0 / < 0 ) f hat ein striktes lokales Maximum in x0 . ✏ f 0 .x0 / D 0 und f 00 .x0 / > 0 ) f hat ein striktes lokales Minimum in x0 . Untersuchung der ersten Ableitung auf Extrempunkte: Es gelte f 0 .x0 / D 0. Dann existiert an der Stelle x0 ✏ ein striktes lokales Maximum, wenn es ein Intervall .a; x0 / links von x0 mit f 0 .x0 / > 0 für alle x 2 .a; x0 / und ein Intervall .x0 ; b/ rechts von x0 mit f 0 .x0 / < 0 für alle x 2 .x0 ; b/ gibt. ✏ ein striktes lokales Minimum, wenn es ein Intervall .a; x0 / links von x0 mit f 0 .x0 / < 0 für alle x 2 .a; x0 / und ein Intervall .x0 ; b/ rechts von x0 mit f 0 .x0 / > 0 für alle x 2 .x0 ; b/ gibt.

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6. Differentialrechnung für Funktionen einer Variablen

Randpunkte des Definitionsbereichs: Für die Randpunkte a (links) und b (rechts) des Definitionsbereichs gilt: f 0 .a/ < 0 ) f hat ein striktes lokales Maximum in a. f 0 .a/ > 0 ) f hat ein striktes lokales Minimum in a. f 0 .b/ > 0 ) f hat ein striktes lokales Maximum in b. f 0 .b/ < 0 ) f hat ein striktes lokales Minimum in b. Hinweis: Alle hier beschriebenen hinreichenden Bedingungen gelten für lokale Extrempunkte. Da ein globaler Extrempunkt jedoch auch stets die Bedingung für einen lokalen Extrempunkt erfüllt, kann man sich bei der Suche nach den globalen Extrempunkten auf die lokalen Extrempunkte beschränken.

Krümmungsverhalten: f sei im Intervall I D .a; b/ zweimal differenzierbar. Gilt für alle x 2 .a; b/ ✏ f 00 .x/ > 0, dann ist f streng konvex in I . ✏ f 00 .x/ < 0, dann ist f streng konkav in I . ✏ f 00 .x/ 0, dann ist f konvex in I . ✏ f 00 .x/  0, dann ist f konkav in I .

Notwendige Bedingung für Wendepunkte: Hat f .x/ an der Stelle x0 einen Wendepunkt und ist dort zweimal differenzierbar, so gilt: f 00 .x0 / D 0

Hinreichende Bedingung für Wendepunkte: Allgemeine hinreichende Bedingung: In dem Intervall .a; b/ sei die Funktion f n-mal differenzierbar. f besitzt an der Stelle x0 2 .a; b/ einen Wendepunkt, wenn für ein ungerades n 3 gilt: f 00 .x0 / D f 000 .x0 / D : : : D f .n 1/ .x0 / D 0 und f .n/ .x0 / ¤ 0.

✏ Gilt dabei f .n/ .x0 / > 0, dann geht f an der Stelle x0 von einem konkaven in einen konvexen Abschnitt über. ✏ Gilt dabei f .n/ .x0 / < 0, dann geht f an der Stelle x0 von einem konvexen in einen konkaven Abschnitt über.

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6. Differentialrechnung für Funktionen einer Variablen

Spezialfall n D 3:

✏ f 00 .x0 / D 0 und f 000 .x0 / > 0 ) f geht an der Stelle x0 von einem konkaven in einen konvexen Abschnitt über. ✏ f 00 .x0 / D 0 und f 000 .x0 / < 0 ) f geht an der Stelle x0 von einem konvexen in einen konkaven Abschnitt über. Sattelpunkt: Gilt zusätzlich zu den hinreichenden Bedingungen auch f 0 .x0 / D 0, dann hat f an der Stelle x0 einen Wendepunkt mit horizontaler Tangente, welcher als Sattelpunkt (auch: Terrassenpunkt, Horizontalwendepunkt) bezeichnet wird.

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7. Funktionen mehrerer Variablen

Funktionen mehrerer Variablen

7.1 Grundlagen Definition einer reellen Funktion mehrerer reeller Variablen: Eine reelle Funktion mehrerer reeller Variablen f ist eine Vorschrift, die jedem Vektor x D .x1 ; x2 ; : : : ; xn / des Definitionsbereichs Df (es gilt: Df ✓ Rn ) genau eine Zahl y 2 R zuordnet. Die Menge der Werte y, die durch die Funktion f dem Vektor x zugeordnet werden, bezeichnet man als Wertebereich Wf der Funktion f . Schreibweise: x 7! f .x/ D y bzw. .x1 ; x2 ; : : : ; xn / 7! f .x1 ; x2 ; : : : ; xn / D y oder y D f .x/ (Funktionsgleichung) Bezeichnungen: x1 ; x2 ; : : : ; xn W unabhängige Variablen (Veränderliche) y W abhängige Variable (Veränderliche) oder Funktionswert

Grafische Darstellung: Die grafische Darstellung einer reellen Funktion mehrerer reeller Variablen ist nur möglich, wenn es genau zwei unabhängige Variablen gibt. Die Funktion y D f .x1 ; x2 / lässt sich in einem Koordinatensystem darstellen, das aus drei paarweise orthogonalen Koordinatenachsen (x1 -Achse, x2 -Achse und yAchse) besteht. Die Darstellung aller Punkte .x1 ; x2 ; y/ in diesem Koordinatensystem bezeichnet man als Graph (Schaubild) der Funktion y D f .x1 ; x2 /. Eine Höhenlinie oder Niveaulinie der Funktion f zur Höhe c ist definiert als die Projektion der Menge der Punkte .x1 ; x2 / mit f .x1 ; x2 / D c auf die x1 ; x2 -Ebene.

Implizit definierte Funktion: Gegeben sei die Funktion f .x1 ; : : : ; xn ; y/ mit Df ✓ RnC1 und die Bedingung f .x1 ; : : : ; xn ; y/ D 0. Ist durch f .x1 ; : : : ; xn ; y/ D 0 eine Funktion y D h.x1 ; : : : ; xn / gegeben, dann bezeichnet man die Funktion h als eine durch die Gleichung f .x1 ; : : : ; xn ; y/ D 0 implizit definierte Funktion. Es ist nicht immer möglich, die Funktion h explizit anzugeben.

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7. Funktionen mehrerer Variablen

7.2 Eigenschaften Homogenität: Eine Funktion y D f .x1 ; x2 ; : : : ; xn / heißt homogen vom Grade r (mit r 2 R), wenn für alle a 2 R gilt: f .ax1 ; ax2 ; : : : ; axn / D ar f .x1 ; x2 ; : : : ; xn /

Konvexität und Konkavität: Eine Funktion y D f .x1 ; x2 ; : : : ; xn / heißt konvex (konkav) über dem Intervall I (mit I ✓ Df ✓ Rn ), wenn für alle möglichen Paare der n-Tupel .x1 ; : : : ; xn / 2 I und .x10 ; : : : ; xn0 / 2 I gilt: f . 12 x1 C 12 x10 ; : : : ; 12 xn C 12 xn0 /  . / 12 f .x1 ; : : : ; xn / C 12 f .x10 ; : : : ; xn0 / Ersetzt man in der Ungleichung  bzw. durch < bzw. >, so spricht man von einer strengen Konvexität bzw. Konkavität.

7.3 Differentialrechnung für Funktionen mehrerer Variablen Stetigkeit: Die Definition zur Stetigkeit einer Funktion mit mehreren Variablen lässt sich aus den Definitionen zum Grenzwert und zur Stetigkeit von Funktionen mit einer Variablen (siehe Seite 34 und 36) ableiten. In diesen Definitionen müssen lediglich die Urbilder xn ; x; x0 2 Df ✓ R durch die Vektoren xn ; x; x0 2 Df ✓ Rn ersetzt werden. Die Funktion f .x1 ; : : : ; xn / ist folglich stetig im Punkt x0 D .x10 ; : : : ; xn0 /, wenn gilt: lim f .x/ D f .x0 / x!x0

Wenn die beiden Funktionen mehrerer unabhängiger Variablen f und g stetig sind, dann sind auch ihre Verknüpfungen (siehe Seite 28) stetig.

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7. Funktionen mehrerer Variablen

Partielle Ableitung erster Ordnung: Existiert für die Funktion f .x1 ; : : : ; xn / im Punkt x0 D .x10 ; : : : ; xn0 / der Grenzwert f .x10 ; : : : ; xi0 1 ; xi0 C Åxi ; xi0C1 ; : : : ; xn0 / f .x10 ; : : : ; xn0 / lim , Åxi !0 Åxi dann wird dieser als partielle Ableitung erster Ordnung von f nach xi im Punkt x0 bezeichnet und f heißt im Punkt x0 partiell differenzierbar nach xi .

Partielle Differenzierbarkeit: Die Funktion y D f .x1 ; : : : ; xn / heißt in I ✓ Df ✓ Rn partiell differenzierbar nach xi , wenn f für alle .x1 ; : : : ; xn / 2 I die partielle Ableitung erster Ordnung nach der Variablen xi besitzt. Gilt dies für alle xi und ist zusätzlich I D Df , so heißt f partiell differenzierbar. Sind zusätzlich noch die partiellen Ableitungen stetige Funktionen, so heißt f stetig partiell differenzierbar. Die Schreibweisen der partiellen Ableitung erster Ordnung von f nach xi lauten @f @y D D fxi .x1 ; : : : ; xn / D fx0i .x1 ; : : : ; xn / D fx0i D fxi @xi @xi

Gradient: Die Funktion y D f .x1 ; : : : ; xn / mit Df ✓ Rn sei im Punkt x 2 Rn partiell differenzierbar nach allen Variablen. Dann ist der Gradient der Funktion f im Punkt x der aus den partiellen Ableitungen konstruierte Spaltenvektor: grad f .x/ D .fx1 .x/; : : : ; fxn .x//>

Kettenregel: Sei z D F .x1 ; : : : ; xn / eine zusammengesetzte (auch: verkettete, mittelbare) Funktion mit x1 D f1 .t1 ; : : : ; tm /; : : : ; xn D fn .t1 ; : : : ; tm /, dann gilt: @z @z @x1 @z @x2 @z @xn D C C ::: C für alle j D 1; 2; : : : ; m @tj @x1 @tj @x2 @tj @xn @tj Spezialfall m D n D 2:

Sei z D F .x; y/ mit x D f .t; s/ und y D g.t; s/, dann gilt: @z @z @x @z @y @z @z @x @z @y D C und D C @t @x @t @y @t @s @x @s @y @s c WiWi-Media AG, 2013

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7. Funktionen mehrerer Variablen

Spezialfall m D 1 und n D 2:

Sei z D F .x; y/ mit x D f .t / und y D g.t /, dann gilt: @z @z dx @z dy D C @t @x dt @y dt

Partielle Ableitungen höherer Ordnungen: Kann man die partielle Ableitung einer Funktion y D f .x1 ; : : : ; xn / wiederum partiell ableiten, dann spricht man von einer partiellen Ableitung zweiter Ordnung. Bildet man daraus wiederum eine partielle Ableitung, dann spricht man von einer partiellen Ableitung dritter Ordnung usw. Schreibweise: @2 f .x/ @2 y D D fxi xj .x/ D fx00i xj .x/ partielle Ableitung 2. Ordnung @xi @xj @xi @xj @3 f .x/ @3 y D D fxi xj xk .x/ D fx000i xj xk .x/ . . . . . . 3. Ordnung @xi @xj @xk @xi @xj @xk

Satz von Schwarz: Die Funktion y D f .x1 ; : : : ; xn / mit Df ✓ Rn sei zweimal partiell differenzierbar und fxi xj sowie fxj xi seien stetige Funktionen. Dann gilt: fxi xj .x/ D fxj xi .x/ für alle x 2 Df Hinweis: Dieser Satz gilt auch für Ableitungen 3. Ordnung und höher und besagt, dass die Differentiationsreihenfolge der Variablen keinen Unterschied macht.

Hesse-Matrix: Die Funktion f sei zweimal partiell differenzierbar. Die Hesse-Matrix von f im Punkt x D .x1 ; : : : ; xn / ist folgendermaßen definiert: 0 1 fx1 x1 .x/ fx1 x2 .x/ : : : fx1 xn .x/ Bfx x .x/ fx x .x/ : : : fx x .x/C 2 2 2 n B 2 1 C Hf .x/ D B C :: :: :: :: @ A : : : : fxn x1 .x/ fxn x2 .x/ : : : fxn xn .x/ c WiWi-Media AG, 2013

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Tangential(hyper)ebene: Tangential(hyper)ebene an den Graph der Funktion f .x1 ; : : : ; xn / D f .x/ im Punkt xO D .xO 1 ; : : : ; xO n /> : O > .x x/Cf O O D fx1 .x/.x O 1 xO 1 /C: : :Cfxn .x/.x O n xO n /Cf .x/ O grad f .x/ .x/ Spezialfall: zwei unabhängige Variablen (n D 2) Tangentialebene an den Graph der Funktion f .x; y/ im Punkt .x; O y/: O fx .x; O y/.x O x/ O C fy .x; O y/.y O y/ O C f .x; O y/ O

Partielles Differential: Gegeben sei eine Funktion y D f .x1 ; : : : ; xn / mit der partiellen Ableitung nach xi . Das partielle Differential von f im Punkt xO D .xO 1 ; : : : ; xO n / bezüglich der Variablen xi ist definiert als: @f O dxi D fxi .x/ O dxi dyxi D .x/ @xi

Totales (vollständiges) Differential: Gegeben sei eine Funktion y D f .x1 ; : : : ; xn / mit den partiellen Ableitungen nach allen Variablen. Das totale (vollständige) Differential von f im Punkt xO D .xO 1 ; : : : ; xO n / ist definiert als: @f @f O dx1 C : : : C O dxn D fx1 .x/ O dx1 C : : : C fxn .x/ O dxn dy D .x/ .x/ @x1 @xn

Partielle Elastizität: Die Funktion y D f .x1 ; : : : ; xn / mit Df ✓ Rn sei im Punkt x nach allen Variablen partiell differenzierbar. Die partielle Elastizität von f bezüglich xi im Punkt x ist dann definiert durch: xi ✏f;xi .x/ D fxi .x/ f .x/

Eulersche Homogenitätsrelation: Ist die Funktion y D f .x1 ; : : : ; xn / homogen vom Grad c und zusätzlich partiell differenzierbar, dann gilt: fx1 .x/ x1 C : : : C fxn .x/ xn D c f .x/ c WiWi-Media AG, 2013

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7. Funktionen mehrerer Variablen

Ableitung einer implizit definierten Funktion: Gegeben ist eine Funktion f .x1 ; : : : ; xn ; y/. Die Funktion h.x1 ; : : : ; xn / sei durch die Gleichung f .x1 ; : : : ; xn ; y/ D 0 impliziert definiert und h sei partiell differenzierbar. Dann gilt: fxi .x1 ; : : : ; xn ; y/ hxi .x1 ; : : : ; xn / D für alle i D 1; : : : ; n fy .x1 ; : : : ; xn ; y/

7.4 Optimierung ohne Nebenbedingungen Stationärer Punkt: Der Punkt x0 heißt stationärer Punkt von f .x1 ; : : : ; xn /, wenn gilt: grad f .x0 / D 0 bzw. fxi .x0 / D 0 für alle i D 1; : : : ; n

Bedingungen für Extrempunkte: Die Funktion f .x1 ; : : : ; xn / mit Df ✓ Rn sei hinreichend oft partiell differenzierbar und x ⇤ D .x1⇤ ; : : : ; xn⇤ / 2 Df eine lokaler Extrempunkt von f . Notwendige Bedingung für Extrempunkte: x ⇤ lokales Maximum ) grad f .x ⇤ / D 0 und Hf .x ⇤ / negativ semidefinit x ⇤ lokales Minimum ) grad f .x ⇤ / D 0 und Hf .x ⇤ / positiv semidefinit Diese Bedingungen gelten nicht für einen Extrempunkt, der zugleich ein Randpunkt oder eine nichtdifferenzierbare Stelle ist.

Hinreichende Bedingung für Extrempunkte: grad f .x ⇤ / D 0 und Hf .x ⇤ / negativ definit ) x ⇤ lokales Maximum grad f .x ⇤ / D 0 und Hf .x ⇤ / positiv definit ) x ⇤ lokales Minimum grad f .x ⇤ / D 0 und Hf .x ⇤ / nicht definit ) x ⇤ ist kein lok. Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt Spezialfall n D 2 mit f .x1 ; x2 / und x ⇤ D .x1⇤ ; x2⇤ /:

Gelte fx1 .x ⇤ / D 0 und fx2 .x ⇤ / D 0 sowie fx1 x1 .x ⇤ / fx2 x2 .x ⇤ / .fx1 x2 .x ⇤ //2 > 0; fx1 x1 .x ⇤ / < 0 ) x ⇤ lok. Max. fx1 x1 .x ⇤ / fx2 x2 .x ⇤ / .fx1 x2 .x ⇤ //2 > 0; fx1 x1 .x ⇤ / > 0 ) x ⇤ lok. Min. fx1 x1 .x ⇤ / fx2 x2 .x ⇤ / .fx1 x2 .x ⇤ //2 < 0 ) x ⇤ Sattelp. (keine Extremst.) c WiWi-Media AG, 2013

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7. Funktionen mehrerer Variablen

7.5 Optimierung mit Nebenbedingungen Die Funktion f .x1 ; : : : ; xn / mit Df ✓ Rn soll unter Beachtung der Nebenbedingungen gj .x1 ; : : : ; xn / D 0 mit Dgj ✓ Rn und j D 1; : : : ; m minimiert bzw. maximiert werden. Es soll dabei stets m < n gelten.

Lösung mit der Eliminationsmethode: Dieses Vorgehen wird auch Variablensubstitution genannt und vollzieht sich in vier Schritten: Schritt 1: Im Falle von linearen Nebenbedingungen, also gj .x1 ; : : : ; xn / D ai1 x1 C : : : C aj n xn bj für alle j D 1; : : : ; m, kann das zu diesen zugehörige lineare Gleichungssystem gelöst werden, wenn rg.A/ D rg.Ajb/ D k  m gilt. Die Lösung hat dann die Form (evtl. erst nach Vertauschung von Variablen) x1 D bO1 aO 1;kC1 xkC1 : : : aO 1n xn :: :: :: :: : : : : xk D bOk aO k;kC1 xkC1 : : : aO k n xn und die Variablen x1 ; : : : ; xk können somit jeweils in Abhängigkeit der Variablen xkC1 ; : : : ; xn angegeben werden.

Im Falle von nichtlinearen Nebenbedingungen löse, wenn möglich, die Nebenbedingungen so auf, dass die Variablen x1 ; : : : ; xk ebenfalls in Abhängigkeit der Variablen xkC1 ; : : : ; xn angegeben werden können. Schritt 2: Setze die in Schritt 1 ermittelten Ausdrücke für x1 ; : : : ; xk in f ein. Man erhält eine neue Funktion fQ mit n k Variablen xkC1 ; : : : ; xn . Schritt 3: Ermittle die Extrempunkte der Funktion fQ.xkC1 ; : : : ; xn / genauso wie in Kapitel 7.4 „Optimierung ohne Nebenbedingungen“. Schritt 4: Ermittle die restlichen k Komponenten x1 ; : : : ; xk des Extrempunkts durch Einsetzen von xkC1 ; : : : ; xn in das in Schritt 1 umgeformte Gleichungssystem.

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7. Funktionen mehrerer Variablen

Lösung mit der Lagrange-Methode: Schritt 1: Aufstellen der Lagrange-Funktion L.x; / D L.x1 ; : : : ; xn ; 1; : : : ;

1; : : : ;

D f .x/ C

m P

j D1

j gj .x1 ; : : : ; xn /

werden Lagrange-Multiplikatoren genannt.

Schritt 2: Berechnung der stationären Punkte der Lagrange-Funktion Optimiert der Vektor x ⇤ D .x1⇤ ; : : : ; xn⇤ / die Funktion f .x/ unter Berücksichtigung der Nebenbedingungen gj .x/, dann ist der Punkt .x ⇤ ; ⇤ / ein stationärer Punkt der Lagrange Funktion L.x; / (notwendige Bedingung für einen Extrempunkt). Zur Berechnung der stationären Punkte von L.x; / werden zunächst die partiellen Ableitungen gebildet und gleich null gesetzt: Lxi .x; / D 0 8i D 1; : : : ; n L j .x; / D 0 8j D 1; : : : ; m Anschließend wird für dieses Gleichungssystem mit n C m Gleichungen und n C m Unbekannten wenn möglich die Lösung .x ⇤ ; ⇤ / berechnet. Alle ermittelten Punkte .x ⇤ ; ⇤ / sind Kandidaten für die Lösung des Ausgangsproblems.

Schritt 3: Prüfung der hinreichenden Bedingung H .x; ⇤ / sei die Hesse-Matrix der Lagrange-Funktion in Abhängigkeit von den Variablen x1 ; : : : ; xn für die in Schritt 2 ermittelten festen Lagrange Multiplikatoren ⇤1 ; : : : ; ⇤m : 0 1 Lx1 x1 .x; ⇤ / : : : Lx1 xn .x; ⇤ / B C :: :: H .x; ⇤ / D @ A : : ⇤ ⇤ Lxn x1 .x; / : : : Lxn xn .x; / ✏ Ist H .x ⇤ ; ⇤ / negativ definit, dann ist x ⇤ ein lokales Maximum von f unter Beachtung der Nebenbedingungen gj .x/. ✏ Ist H .x ⇤ ; ⇤ / positiv definit, dann ist x ⇤ ein lokales Minimum von f unter Beachtung der Nebenbedingungen gj .x/. ✏ Ist H .x; ⇤ / negativ definit für alle x, dann ist x ⇤ ein globales Maximum von f unter Beachtung der Nebenbedingungen gj .x/. ✏ Ist H .x; ⇤ / positiv definit für alle x, dann ist x ⇤ ein globales Minimum von f unter Beachtung der Nebenbedingungen gj .x/.

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8. Integralrechnung

Integralrechnung

8.1 Unbestimmtes Integral Definitionen: Stammfunktion: Eine Funktion F mit DF D .a; b/ heißt Stammfunktion der Funktion f mit Df D .a; b/, wenn F 0 .x/ D f .x/ für alle x 2 .a; b/ gilt. Unbestimmtes Integral: Das unbestimmte Integral von f ist die Menge aller Stammfunktionen von f . Z Schreibweise: f .x/ dx D F .x/ C c mit c 2 R

Man bezeichnet dabei f .x/ als Integrand, x als Integrationsvariable und c als Integrationskonstante.

Rechenregeln für unbestimmte Integrale:

Z Z Œf .x/ C g.x/ç dx D f .x/ dx C g.x/ dx Z Z 2) a f .x/ dx D a f .x/ dx für alle a 2 R 1)

Wichtige Integrale: Hinweis: Die Integrationskonstante c wurde weggelassen. Z a2R a dx D ax Z 1 n 2 Z; n ¤ 1; x ¤ 0 für n < 0 x n dx D x nC1 nC1 Z 1 r 2 R; r ¤ 1; x > 0 x r dx D x rC1 r C 1 Z 1 x¤0 dx D ln jxj Z x 1 1 a 2 R; a ¤ 0 dx D ln jax C bj ax C b a c WiWi-Media AG, 2013

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56 Z Z Z Z Z

Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z

8. Integralrechnung

ln x dx D x ln x ln ax dx D x ln ax ax dx D

x>0

ax ln a

ax > 0; a 2 R a 2 R; a > 0; a ¤ 1

e x dx D e x e ax dx D

1 ax e a

a 2 R; a ¤ 0

1 n ¤ 1; x > 0 für n 2 R; x ¤ 0 .ax C b/nC1 für n 2 Z; x 2 R für n 2 N a.n C 1/ 1 1 x a>0 dx D arctan a2 C x 2 a a r 1 1Cx jxj < 1 dx D ln 1 x2 1 x r 1 x 1 jxj > 1 dx D ln x2 1 xC1 1 x p dx D arcsin jxj < a; a > 0 a a2 x 2 p x p dx D a2 x 2 jxj < a; a > 0 a2 x 2 ⇣ ⇣ ⌘⌘ p p 1 p 2 x 2 C a2 dx D x x C a2 C a2 ln x C x 2 C a2 a2R 2 p 1p 2 a2R x x 2 C a2 dx D .x C a2 /3 3 ⇣ ⌘ p 1 p dx D ln x C x 2 C a2 a>0 x 2 C a2 ⇣ ⇣ ⌘⌘ p p p 1 x 2 a2 dx D x x 2 a2 a2 ln x C x 2 a2 jxj > jaj 2 p p 1 jxj > jaj x x 2 a2 dx D .x 2 a2 /3 3

.ax C b/n dx D

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8. Integralrechnung Z Z Z Z Z Z

Z Z

1 x2

sin x dx D

⇣ p dx D ln x C x 2 cos x

⌘

jxj > jaj

cos x dx D sin x tan x dx D

ln jcos xj

cot x dx D ln jsin xj

x ¤ .2k C 1/

⇡ 2

x ¤ k⇡

1 sin2 x dx D .x sin x cos x/ 2 1 2 cos x dx D .x C sin x cos x/ 2 tan2 x dx D tan x

1 dx D cot x sin2 x Z 1 dx D tan x cos2 x

x ¤ .2k C 1/

⇡ 2

x ¤ k⇡ x ¤ .2k C 1/

⇡ 2

8.2 Bestimmtes Integral und Flächenberechnung Riemann-Summe: Die Funktion f sei auf dem Intervall Œa; bç beschränkt und stetig. Das Intervall Œa; bç werde durch die Zerlegung Zn in n gleichgroße Teilintervalle Œxi 1 ; xi ç unterteilt, wobei gilt a D x0 < x1 < : : : < xn 1 < xn D b und Åxi D xi xi 1 für alle i D 1; : : : ; n. Es sei zusätzlich ⇠i 2 Œxi 1 ; xi ç ein beliebiger Zwischenwert in jedem Teilintervall. Man bezeichnet dann n P f .⇠i /Åxi i D1

als Riemann-Summe bezüglich der Zerlegung Zn .

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8. Integralrechnung

Hinweis zur Flächenberechnung mit der Riemann-Summe: Die Riemann-Summe stellt eine Näherung für die Fläche zwischen der xAchse und der Funktion f in dem Intervall Œa; bç dar, sofern f .x/ 0 für alle x 2 Œa; bç gilt.

Bestimmtes Integral: Die Funktion f sei auf dem Intervall Œa; bç beschränkt und stetig. Das bestimmte Integral (auch: Riemann-Integral) von f über dem Intervall Œa; bç ist der Grenzwert der Riemann-Summe (Definitionen siehe Seite 57) für n ! 1 (was auch bedeutet Åxi ! 0): Zb n X f .x/ dx ´ lim f .⇠i /Åxi a; b: Integrationsgrenzen n!1

i D1

Hinweise zur Flächenberechnung mit dem bestimmten Integral: Für die Fläche A zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion f in dem Intervall Œa; bç gilt: Rb ✏ A D f .x/ dx, wenn f .x/ 0 für alle x 2 Œa; bç a

✏AD

Rb a

f .x/ dx, wenn f .x/  0 für alle x 2 Œa; bç

Eigenschaften und Rechenregeln des bestimmten Integrals: Za

f .x/ dx D

f .x/ dx D 0

f .x/ dx ˙

f .x/ dx

Zb a

g.x/ dx D

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k f .x/ dx D k

Zb a

f .x/ dx D

Œf .x/ ˙ g.x/ç dx

Zb a

f .x/ dx C

f .x/ dx

(Faktorregel)

(Summenregel)

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8. Integralrechnung

Erster Mittelwertsatz der Integralrechnung: Wenn f auf dem Intervall Œa; bç stetig ist, so gibt es mindestens ein ⇠ 2 Œa; bç für das gilt: Zb f .x/ dx D .b a/ f .⇠/ a

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Wenn f auf dem Intervall Œa; bç stetig und F eine Stammfunktion von f ist, dann gilt: Zb h ib f .x/ dx D F .b/ F .a/ D F .x/ a

8.3 Integrationsmethoden Partielle Integration: Zb a

h ib f .x/ g 0 .x/ dx D f .x/ g.x/

f 0 .x/ g.x/ dx

Integration durch Substitution: Zb a

f .g.x// g 0 .x/ dx D

g.b/ Z

f .t / dt

mit t D g.x/ und dt D g 0 .x/ dx

g.a/

Logarithmische Integration: Zb a

h ib f 0 .x/ dx D ln jf .x/j a f .x/

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mit f .x/ ¤ 0

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8. Integralrechnung

8.4 Uneigentliche Integrale Uneigentliche Integrale im Falle unbeschränkter Intervalle: Die Funktion f sei für alle x

a stetig. Wenn der Grenzwert lim

b!1 a

f .x/ dx

existiert, dann bezeichnet man diesen als konvergentes uneigentliches Integral von f im Intervall Œa; 1/ und man schreibt Z1 Zb f .x/ dx D lim f .x/ dx b!1

Existiert dieser Grenzwert nicht, dann spricht man von einem divergenten uneigentlichen Integral. Analog dazu definiert man das uneigentliche Integral von f im Intervall . 1; bç als Zb Zb f .x/ dx D lim f .x/ dx 1

a! 1

Uneigentliche Integrale im Falle unbeschränkter Funktionen: Die Funktion f sei auf dem Intervall Œa; b/ stetig und an der Stelle x D b nicht bR ✏ definiert (z.B. eine Polstelle). Wenn der Grenzwert lim f .x/dx existiert, ✏!0C a

dann bezeichnet man diesen als konvergentes uneigentliches Integral von f im Intervall Œa; bç und man schreibt b ✏ Zb Z f .x/ dx D lim f .x/ dx a

✏!0C

Existiert dieser Grenzwert nicht, dann spricht man von einem divergenten uneigentlichen Integral. Ist die Funktion stetig auf dem Intervall .a; bç und an der Stelle x D a nicht definiert, so gilt analog: Zb Zb f .x/ dx D lim f .x/ dx a

✏!0C aC✏

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8. Integralrechnung

8.5 Doppel- und Mehrfachintegral Doppelintegral: Die Funktion f mit Df ✓ R2 sei auf dem Bereich B D Œa; bç ⇥ Œc; d ç stetig. Das Doppelintegral von f über dem Bereich B wird dann definiert als 0 1 0 1 Z Z Zb Zd Zd Zb f .x; y/ dx dy D @ f .x; y/ dy A dx D @ f .x; y/ dx A dy B

Volumenberechnung mit dem Doppelintegral: Gilt f .x; y/ 0 für alle .x; y/ 2 B, dann ist das Doppelintegral gleich dem Volumen des Körpers zwischen der xy-Ebene und dem Graphen von f im Bereich B.

Mehrfachintegral: Das Mehrfachintegral ist eine Verallgemeinerung des Doppelintegrals. Die Funktion f mit Df ✓ Rn sei auf dem Bereich B D Œa1 ; b1 ç ⇥ : : : ⇥ Œan ; bn ç stetig. Das Mehrfachintegral von f über dem Bereich B wird dann definiert als Z Z Z ::: f .x1 ; x2 ; : : : ; xn / dx1 dx2 : : : dxn D Zb1

0 @

Zb2

:::@

Zbn

f .x1 ; x2 ; : : : ; xn / dxn A : : : dx2 A dx1

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9. Lineare Algebra

Lineare Algebra

9.1 Vektoren Spaltenvektor:

1 a1 B C Eine n ⇥ 1-Matrix a D @ ::: A heißt Spaltenvektor der Dimension n mit den an Koordinaten ai .

Zeilenvektor: Eine 1 ⇥ n-Matrix a> D .a1 ; : : : ; an / heißt Zeilenvektor der Dimension n mit den Koordinaten ai .

Einheitsvektoren des Rn : 0 1 0 1 1 0 B0C B1C B C B C e1 D B : C e2 D B : C @ :: A @ :: A 0 0

...

0 1 0 B :: C B:C en D B C @0A 1

Nullvektor: Ein Zeilen- oder Spaltenvektor, dessen Koordinaten alle gleich null sind, heißt Nullvektor (Schreibweise: o).

Rechenoperationen mit Vektoren: 0

1 0 1 0 1 a1 b1 a1 ˙ b1 B C B C B C :: a ˙ b D @ ::: A ˙ @ ::: A D @ A : aD

an 0 1 0 a1 B :: C B @ : AD@ an

1 a1 :: C : A

Addition und Subtraktion

an ˙ bn

Multiplikation mit einer reellen Zahl

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Hinein ins Geschehen

Karriere in der Finanzwirtschaft Gehaltsverhandlungen von Frauen

Die Zukunft des Controllings

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9. Lineare Algebra

0 1 0 1 0 a1 b1 a2 b3 a⇥b D @a2 A⇥@b2 A D @a3 b1 a3 b3 a1 b2

1 a3 b2 a1 b3 A a; b 2 R3 a2 b1

Skalarprodukt (Inneres Produkt): 0

1 b1 n P B C a> b D .a1 ; : : : ; an / @ ::: A D ai bi i D1 bn Eigenschaften:

a> b D 0 ” a ? b a> b D jaj jbj cos .a; b/ a> b D b> a a> .b C c/ D a> b C a> c . a> /b D a> . b/ D .a> b/

mit a; b ¤ o Kommutativgesetz Distributivgesetz mit 2 R

Betrag (Länge, Norm) eines Vektors: jaj D

a> a D

Eigenschaften:

q a12 C : : : C an2 D

ja> bj  jaj jbj ja C bj  jaj C jbj j aj D j j jaj

n P

i D1

ai2 Cauchy-Schwarz-Ungleichung Dreiecksungleichung mit 2 R

Linearkombination: Ein Vektor b 2 Rn heißt Linearkombination der Vektoren a1 ; : : : ; am 2 Rn mit den Koeffizienten 1 ; : : : ; m 2 R, wenn gilt: b D 1 a1 C : : : C m am

Lineare Unabhängigkeit: Die m Vektoren a1 ; : : : ; am 2 Rn heißen linear unabhängig, wenn die Gleichung 1 a1 C : : : C m am D o (mit i 2 R) nur für 1 D : : : D m D 0 lösbar ist. Ist dies nicht der Fall, dann heißen die Vektoren linear abhängig.

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9. Lineare Algebra

Basis des Vektorraumes Rn : Die Vektoren a1 ; : : : ; an 2 Rn nennt man Basis des Vektorraumes Rn , wenn diese linear unabhängig sind. Das bedeutet, dass sich jeder Vektor x 2 Rn als Linearkombination der Vektoren a1 ; : : : ; an 2 Rn darstellen lässt: x D 1 a1 C : : : C n an mit 1 ; : : : ; n 2 R

9.2 Matrizen Matrix: Das rechteckige Zahlenschema 0 1 a11 : : : a1j : : : a1n B :: :: :: C B : : : C B C C a : : : a : : : a ADB i1 ij i n C D .aij /mn B B :: :: :: C @ : : : A am1 : : : amj : : : amn

mit m; n 2 N

mit den Komponenten (Elementen) aij (i D 1; : : : ; mI j D 1; : : : ; n) heißt Matrix mit m Zeilen und n Spalten oder m ⇥ n Matrix.

Eine m⇥1-Matrix ist ein Spaltenvektor und eine 1⇥n-Matrix ein Zeilenvektor.

Rang einer Matrix: Der Rang einer m ⇥ n Matrix A ist gleich der Anzahl k linear unabhängiger Zeilenvektoren. Die Anzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren ist auch immer gleich der Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren. Man schreibt: rg.A/ D k Es gilt:

rg.A/ D rg.A > /  minfm; ng rg.A C B/  rg.A/ C rg.B/

rg.A > A/ D rg.AA > / D rg.A/ rg.AB/  minfrg.A/; rg.B/g

Gleichheit von Matrizen: Zwei Matrizen m⇥n Matrizen A und B heißen gleich (Schreibweise A D B), wenn aij D bij für alle i D 1; : : : ; m und j D 1; : : : ; n gilt.

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9. Lineare Algebra

Rechenoperationen mit Matrizen: Addition/Subtraktion: Voraussetzung: Die Matrizen A und B haben jeweils m Zeilen und n Spalten. 0 1 a11 ˙ b11 : : : a1n ˙ b1n B C :: :: A˙B D@ A : : am1 ˙ bm1 : : : amn ˙ bmn

Multiplikation mit einer reellen Zahl : 0 1 0 a11 : : : a1n a11 B :: B : : :: C AD @ : A D @ :: am1 : : : amn

:::

am1 : : :

Multiplikation zweier Matrizen:

1 a1n :: C : A

amn

Sei A eine m ⇥ p Matrix und B eine p ⇥ n Matrix. Dann sind A und B verkettbar und das Matrizenprodukt AB vom Typ m ⇥ n ist definiert als: 0 p 1 p P P 0 10 1 a1k bk1 : : : a1k bk n C B a11 : : : a1p b11 : : : b1n kD1 B kD1 C B :: C :: C B :: :: C D B :: :: C @ : : A@ : : A B : : B p C p @ A P P am1 : : : amp bp1 : : : bpn amk bk1 : : : amk bk n kD1

kD1

Falksches Schema zur Matrizenmultiplikation: AB D C a11 : : : a1p :: ::: : ai1 : : : aip :: :: : : am1 : : : amp

b11 : : : b1j :: :: : : bp1 : : : bpj

: : : b1n :: :

c11 : : : c1j :: ::: : ci1 : : : cij :: :: : : cm1 : : : cmj

: : : c1n :: :

mit cij D

: : : ci n :: : : : : cmn

D ai1 b1j C : : : C aip bpj

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: : : bpn p P

ai k bkj

kD1

.i D 1; :::; mIj D 1; :::; n/

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9. Lineare Algebra

Spezielle Matrizen: Transponierte Matrix: Vertauscht man in der m ⇥ n Matrix A die Zeilen und Spalten, dann erhält man die zu A transponierte n ⇥ m Matrix A > . 0 1 0 1 a11 a12 : : : a1n a11 a21 : : : am1 B a21 a22 : : : a2n C Ba12 a22 : : : am2 C B C B C > ADB : :: :: C ) A D B :: :: :: C @ :: @ : : : A : : A am1 am2 : : : amn a1n a2n : : : amn

Quadratische Matrix: Eine n ⇥ n Matrix A heißt quadratische Matrix und hat genauso viele Spalten wie Zeilen. Die Hauptdiagonale (Nebendiagonale) einer quadratischen Matrix A besteht aus den Elementen a11 ; a22 ; a33 ; : : : ; ann (a1n ; a2;n 1 ; a3;n 2 ; : : : ; an1 ). Obere/Untere Dreiecksmatrix: Eine n ⇥ n Matrix A heißt obere/untere Dreiecksmatrix, wenn alle Elemente unterhalb/oberhalb der Hauptdiagonalen gleich null sind. Sie hat die Form: 0 1 0 1 a11 : : : : : : a1n a11 0 : : : 0 B C B : : : : : : :: :: C :: :: :: C B 0 B :: C C B C ADB bzw. A D B :: C B C : : :: :: :: : : @ : @ : : : : 0 A : A 0 : : : 0 ann an1 : : : : : : ann

Diagonalmatrix: Eine n ⇥ n Matrix A heißt Diagonalmatrix, wenn alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen gleich null sind. Sie hat die Form: 0 1 a11 0 : : : : : : 0 B : :: C B 0 a22 : : : C B C B :: C : : : : :: :: :: ADB : :: C B C B :: C :: :: @ : : : 0 A 0 : : : : : : 0 ann c WiWi-Media AG, 2013

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9. Lineare Algebra

Einheitsmatrix: Eine Diagonalmatrix heißt Einheitsmatrix E , wenn alle Elemente auf der Hauptdiagonalen gleich Eins sind. Sie hat die Form: 1 0 1 0 ::: ::: 0 B : :: C B0 1 : : : C B C B :: : : : : : : :: C E D B: C : : : : B C B :: C :: @: : 1 0A 0 ::: ::: 0 1 Symmetrische Matrix:

Eine n ⇥ n Matrix A heißt symmetrisch, wenn A D A > gilt. Nullmatrix: Eine m ⇥ n Matrix heißt Nullmatrix O, wenn alle Elemente gleich null sind. Untermatrix (Teilmatrix): Streicht man aus einer m ⇥ n Matrix A die i -te Zeile und j -te Spalte, dann erhält man die zu dem Element aij zugehörige Untermatrix (auch: Teilmatrix) Aij vom Typ .m 1/ ⇥ .n 1/. Erweiterte Matrix: Die erweiterte Matrix AjB vom Typ m ⇥ .n C s/ erhält man, indem man die m ⇥ n Matrix A und die m ⇥ s Matrix B folgendermaßen zusammenfügt: 0 1 a11 : : : a1n b11 : : : b1s B :: :: :: C AjB D @ ::: : : : A am1 : : : amn bm1 : : : bms Reguläre Matrix: Eine n ⇥ n Matrix A heißt regulär, wenn det A ¤ 0 und rg.A/ D n gilt (diese beiden Bedingungen treten immer gemeinsam auf). Singuläre Matrix: Eine n ⇥ n Matrix A heißt singulär, wenn det A D 0 und rg.A/ < n gilt (diese beiden Bedingungen treten immer gemeinsam auf).

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Inverse Matrix: Die zur n ⇥ n Matrix A inverse Matrix A 1 erfüllt folgende Bedingung: AA 1 D A 1 A D E ✏ Die Inverse A 1 existiert genau dann, wenn die Matrix A regulär ist (d.h. es gilt auch det A ¤ 0 und rg.A/ D n). ✏ Die inverse Matrix kann berechnet werden, indem man die erweiterte Matrix AjE durch elementare Zeilenumformungen in die Form E jA 1 überführt. Orthogonale Matrix: Eine reguläre Matrix A heißt orthogonal, wenn AA > D E gilt.

Quadratische Form: Sei A eine symmetrische n ⇥ n Matrix und x 2 Rn . Als quadratische Form bezeichnet man die Funktion 0 10 1 a11 : : : a1n x1 n P n P B :: B:C : > :: C q.x/ D x Ax D .x1 ; : : : ; xn / @ : aij xi xj A @ :: A D an1 : : : ann

i D1 j D1

Definite Matrizen:

Sei A eine symmetrische n ⇥ n Matrix und x 2 Rn . Man nennt die Matrix A ✏ positiv definit, wenn gilt: x > Ax > 0 für alle x ¤ o ✏ positiv semidefinit, wenn gilt: x > Ax 0 für alle x ¤ o ✏ negativ definit, wenn gilt: x > Ax < 0 für alle x ¤ o ✏ negativ semidefinit, wenn gilt: x > Ax  0 für alle x ¤ o ✏ indefinit in allen anderen Fällen.

Kriterien für Definitheit: Sei Dk eine führende Hauptabschnittsdeterminante der Ordnung k und Åk eine beliebige Hauptabschnittsdeterminante der Ordnung k (Definitionen siehe Seite 75). Dann heißt die symmetrische n ⇥ n Matrix A ✏ positiv definit, wenn gilt: Dk > 0 für alle k D 1; : : : ; n ✏ positiv semidefinit, wenn gilt: alle Åk 0 für alle k D 1; : : : ; n ✏ negativ definit, wenn gilt: . 1/k Dk > 0 für alle k D 1; : : : ; n ✏ negativ semidefinit, wenn gilt: alle . 1/k Åk 0 für alle k D 1; : : : ; n c WiWi-Media AG, 2013

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Seien 1 ; : : : ; n die Eigenwerte der symmetrischen n ⇥ n Matrix A. A heißt ✏ positiv definit, wenn gilt: 1; : : : ; n > 0 ✏ positiv semidefinit, wenn gilt: 0 1; : : : ; n ✏ negativ definit, wenn gilt: 1; : : : ; n < 0 ✏ negativ semidefinit, wenn gilt: 1; : : : ; n  0 ✏ indefinit, wenn A positive und negative Eigenwerte hat.

Rechenregeln für Matrizen: ;

2 RI O ist eine NullmatrixI E ist n ⇥ n Einheitsmatrix

Addition: ACB DB CA .A C B/ C C D A C .B C C /

ACO DO CA DA A C . A/ D O

Multiplikation mit einer reellen Zahl: . C /A D A C A .A C B/ D A C B

ADA . A/ D .

Multiplikation von Matrizen: .AB/C D A.BC / D ABC AO D OA D O . A/. B/ D .AB/

A.B C C / D AB C AC .A C B/C D AC C BC . A/B D A. B/ D .AB/

Transponieren: .A C B/> D A > C B > .AB/> D B > A >

.A > /> D A . A/> D A >

Rechnen mit der inversen Matrix: AA 1 D A 1 A D E .AB/ 1 D B 1 A 1

.A 1 / 1 D A . A/ 1 D 1 A

.A 1

1 />

D .A > /

Rechnen mit der Einheitsmatrix: E> D E AE D EA D A AE D A EA D A

E 1DE wenn A eine n ⇥ n Matrix ist wenn A eine m ⇥ n Matrix ist wenn A eine n ⇥ m Matrix ist

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9.3 Geraden Punkt-Richtungs-Form einer Geraden: Gerade im Rn : Der Vektor p D .p1 ; : : : ; pn /> sei der Ortsvektor zum Punkt P . Die Gerade g durch den Punkt P mit dem Richtungsvektor a D .a1 ; : : : ; an /> ist: x D p C ta mit t 2 R Für die Komponenten von x gilt:

Spezialfall n D 2 (Gerade im R2 ): ✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆ x1 p1 a1 D Ct x2 p2 a2

xi D pi C t ai

i D 1; : : : ; n

P g ta Geben Sie hier eine Formel ein X p x

Spezialfall n D 3 (Gerade im R3 ): 0 1 0 1 0 1 x1 p1 a1 @x2 A D @p2 A C t @a2 A x3 p3 a3

Zwei-Punkte-Form einer Geraden: Gerade im Rn : Die Vektoren p D .p1 ; : : : ; pn /> und q D .q1 ; : : : ; qn /> seien die Ortsvektoren zu den Punkten P und Q. Die Gerade g durch die Punkte P und Q ist: x D p C t .q p/ mit t 2 R Für die Komponenten von x gilt:

Spezialfall n D 2 (Gerade im R2 ): ✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆ x1 p1 q1 p1 D Ct x2 p2 q2 p2 Spezialfall n D 3 (Gerade im R3 ): 0 1 0 1 0 1 x1 p1 q1 p1 @x2 A D @p2 A C t @q2 p2 A x3 p3 q3 p3 c WiWi-Media AG, 2013

xi D pi C t .qi

pi /

i D 1; : : : ; n

P g Q Geben Sie hier eine Formel ein X p q x 0

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9.4 Ebenen Punkt-Richtungs-Form (Parameterform) einer Ebene: Der Vektor p D .p1 ; p2 ; p3 /> sei der Ortsvektor zum Punkt P . Die Ebene E durch den Punkt P mit den zwei linear unabhängigen Richtungsvektoren a D .a1 ; a2 ; a3 /> und b D .b1 ; b2 ; b3 /> ist: x D p C t a C sb

mit t; s 2 R

Schreibweise mit Komponenten: 0 1 0 1 0 1 0 1 x1 p1 a1 b1 @x2 A D @p2 A C t @a2 A C s @b2 A x3 p3 a3 b3

b x

p 0

Normalenvektor einer Ebene: Ein Normalenvektor n der Ebene E steht senkrecht auf der Ebene E. Folglich steht der Normalenvektor auch senkrecht auf den zwei linear unabhängigen Richtungsvektoren a und b der Ebene E. Berechnung eines Normalenvektors: (a) mit den Gleichungen a n D 0 und b n D 0 oder (b) mit dem Vektorprodukt n D a ⇥ b

Normalenform einer Ebene: Der Vektor p D .p1 ; p2 ; p3 /> sei n der Ortsvektor zum Punkt P und n D .n1 ; n2 ; n3 /> sei ein NormalenP vektor der Ebene E. Die Normalenform der Ebene E durch den Punkt P mit dem Normalenvektor n ist: .x p/ n D 0 ” n x D A mit A D n p

X x

p 0

mit Komponenten (Koordinatengleichung): n1 x1 C n2 x2 C n3 x3 A D 0 mit A D n1 p1 C n2 p2 C n3 p3 c WiWi-Media AG, 2013

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9. Lineare Algebra

Hesse’sche Normalform einer Ebene: Der Vektor p D .p1 ; p2 ; p3 /> sei der Ortsvektor zum Punkt P und n D .n1 ; n2 ; n3 /> sei ein Normalenvektor der Ebene E. Die Hesse’sche Normalform der Ebene E durch den Punkt P mit dem Normalenvektor n ist: .x

n n x A D0” D0 jnj jnj

mit A D n p

mit Komponenten (Koordinatengleichung): n1 x1 C n2 x2 C n3 x3 A q D 0 mit A D n1 p1 C n2 p2 C n3 p3 n21 C n22 C n23

Abstandsvektor zwischen einer Ebene und einem Punkt:

Abstandsvektor d zwischen einer Ebene (x p/ n D 0 (Def. siehe Seite 72) und einem Punkt Q mit dem Ortsvektor q (d steht senkrecht auf der Ebene): ✓ ◆ .q p/ n .q p/ n dD n Es gilt: jdj D 2 jnj jnj

9.5 Determinanten n-reihige Determinanten: Jeder quadratischen n ⇥ n Matrix A wird die n-reihige Determinante (auch: Determinante der Ordnung n) det A zugeordnet: a11 : : : a1n :: det A D ::: : an1 : : : ann

Minor und Kofaktor: ✏ Als Minor (auch: Unterdeterminante) zum Element aij wird die Determinante der Untermatrix Aij (s.S. 68) bezeichnet und man schreibt det Aij . ✏ Der Kofaktor (auch: Adjunkte) cij zum Element aij wird berechnet durch: cij D . 1/i Cj det Aij c WiWi-Media AG, 2013

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9. Lineare Algebra

Berechnung von Determinanten mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz: Die n-reihige Determinante der n ⇥ n Matrix A kann nach jeder Zeile oder Spalte mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes entwickelt werden (benötigte Definitionen für folgende Formeln siehe Seite 73). Entwicklung nach der i -ten Zeile: n n P P det A D aij . 1/i Cj det Aij D aij cij für alle i D 1; : : : ; n j D1

j D1

i D1

Entwicklung nach der j -ten Spalte: n n P P det A D aij . 1/i Cj det Aij D aij cij

für alle j D 1; : : : ; n

2-reihige Determinanten: det A D

a11 a12 D a11 a22 a21 a22

a12 a21

3-reihige Determinanten: a11 a12 a13 a a det A D a21 a22 a23 D a11 22 23 a32 a33 a31 a32 a33

a12

a21 a23 a a Ca13 21 22 a31 a33 a31 a32

Regel von Sarrus bei dreireihigen Determinanten:

a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32

detA D

a11 a22 a33 Ca12 a23 a31 Ca13 a21 a32 a31 a22 a13 a32 a23 a11 a33 a21 a12

Determinante einer Dreiecksmatrix: Die n ⇥ n Matrix A sei eine Dreiecksmatrix. Es gilt dann: det A D a11 : : : ann .

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9. Lineare Algebra

Hauptabschnittsdeterminante: Streicht man in der n ⇥ n Matrix A n k Zeilen und n k Spalten, so dass eine reduzierte Matrix mit k Zeilen und k Spalten (1  k  n) entsteht, bei der die verbleibenden Zeilen- und Spaltennummern identisch sind, so heißt die Determinante dieser reduzierten Matrix eine Hauptabschnittsdeterminante der Ordnung k (Schreibweise: Åk ). Spezialfall: Führende Hauptabschnittsdeterminante Eine führende Hauptabschnittsdeterminante der Ordnung k besteht aus den ersten k Zeilen und k Spalten von A: a11 a12 : : : a1k a21 a22 : : : a2k Dk D : mit k D 1; : : : ; n :: :: :: :: : : : ak1 ak2 : : : akk

Rechenregeln für Determinanten: Seien A und B n⇥n Matrizen, Aij eine Untermatrix von A und k 2 R, so gilt: ✏ Die Determinante von A bleibt gleich, wenn man zu einer Zeile (Spalte) das k-fache einer anderen Zeile (Spalte) addiert. ✏ Vertauscht man zwei Zeilen (Spalten) von A, dann ändert sich das Vorzeichen der Determinante. ✏ Multipliziert man eine Zeile (Spalte) von A mit k, dann hat die Determinante der resultierenden Matrix den k-fachen Wert der Determinante von A. ✏ Sind zwei Zeilen (Spalten) von A gleich oder ist eine Zeile (Spalte) das Vielfache einer anderen, dann gilt det A D 0. ✏ Wenn eine Zeile (Spalte) von A nur aus Nullen besteht, dann gilt det A D 0. ✏ det A D det A > det A det.A 1 / D 1 ✏ det.A B/ D det A det B det.kA/ D k n det A 0 1 1C1 . 1/ det A11 : : : . 1/1Cn det An1 1 :: :: B C ✏ det A 1 D D@ A : : det A nC1 nCn . 1/ det A1n : : : . 1/ det Ann ✏ Im Allgemeinen gilt: det.A C B/ ¤ det A C det B c WiWi-Media AG, 2013

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9. Lineare Algebra

9.6 Lineare Gleichungssysteme Definition Lineares Gleichungssystem: Ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Variablen x1 ; : : : ; xn ist gegeben durch: a11 x1 C a12 x2 C : : : C a1n xn D b1 a21 x1 C a22 x2 C : : : C a2n xn D b2 :: :: :: :: : : : : am1 x1 C am2 x2 C : : : C amn xn D bm

Die Werte a11 ; a12 ; : : : ; amn werden als Koeffizienten und die Werte b1 ; : : : ; bm als rechte Seiten des Gleichungssystems bezeichnet. Ein lineares Gleichungssystem heißt homogen, wenn b1 D : : : D bm D 0 gilt. Andernfalls heißt es inhomogen. Ein Gleichungssystem heißt lösbar, wenn es Werte für die Variablen x1 ; : : : ; xn gibt, so dass alle Gleichungen erfüllt sind.

Darstellung mit Matrizen und Vektoren: Ax D b

”

10 1 0 1 a11 : : : a1n x1 b1 B :: :: C B :: C D B :: C @ : A @ A @ : : : A am1 : : : amn xn bm

A: Koeffizientenmatrix x: Lösungsvektor b: Konstantenvektor Ajb: erweiterte Koeffizientenmatrix (Def. erweiterte Matrix siehe S. 68)

Elementare Zeilenumformungen: Die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystem Ax D b ändert sich bei Durchführung von elementaren Zeilenumformungen nicht. Die elementaren Zeilenumformungen sind im Folgendem aufgeführt: ✏ Multiplikation einer Zeile mit r ¤ 0 ✏ Addition des r-fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile ✏ Vertauschen zweier Zeilen

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9. Lineare Algebra

Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme: Für das lineare Gleichungssystem Ax D b mit m Gleichungen und n Variablen gibt es folgende Lösungsmöglichkeiten: für b D o (homogenes Gleichungssystem): ✏ rg.A/ D rg.Ajo/ D n ) eindeutig lösbar (triviale Lösung: Nullvektor o) ✏ rg.A/ D rg.Ajo/ < n ) mehrdeutig lösbar für b ¤ o (inhomogenes Gleichungssystem): ✏ rg.A/ D rg.Ajb/ D n ) eindeutig lösbar ✏ rg.A/ D rg.Ajb/ < n ) mehrdeutig lösbar ✏ rg.A/ < rg.Ajb/ ) unlösbar

Spezialfall m D n: In diesem Fall kann neben dem Rang auch die Determinante von A verwendet werden. Es gilt für b D o (homogenes Gleichungssystem): ✏ det A ¤ 0 ) eindeutig lösbar (triviale Lösung: Nullvektor o) ✏ det A D 0 ) mehrdeutig lösbar für b ¤ o (inhomogenes Gleichungssystem): ✏ det A ¤ 0 ) eindeutig lösbar ✏ det A D 0 ) mehrdeutig lösbar oder unlösbar

Eliminationsverfahren von Gauß: Bei dem Eliminationsverfahren von Gauß wird das lineare Gleichungssystem Ax D b mit dem dazugehörigen Anfangstableau x1 x2 : : : xn a11 a12 : : : a1n b1 a21 a22 : : : a2n b2 :: :: :: : ::: ::: : : am1 am2 : : : amn bm durch elementare Zeilenumformungen (siehe S. 76) und evtl. Spaltenvertauschungen in folgendes Endtableau mit k Einheitsvektoren überführt:

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9. Lineare Algebra

x1 x2 1 0 0 1 :: :: : : 0 0 0 0 :: :: : :

: : : xk ::: 0 ::: 0 : :: : :: ::: 1 ::: 0 : :: : ::

:::

xkC1 : : : xn ⇤ ⇤ a1;kC1 : : : a1n b1⇤ ⇤ ⇤ a2;kC1 : : : a2n b2⇤ :: :: :: :: : : : : ⇤ ak;kC1 : : : ak⇤ n bk⇤ ⇤ 0 : : : 0 bkC1 :: :: :: :: : : : : ⇤ 0 ::: 0 bm

Zur Erzeugung des Endtableaus siehe „Pivotelement, Pivotspalte und Pivotzeile“ auf Seite 79. Feststellung der Lösbarkeit und Ermittlung einer Lösung: ⇤ ⇤ ungleich null ist, so ist das ✏ Wenn mindestens einer der Werte bkC1 ; : : : ; bm Gleichungssystem unlösbar. ⇤ ⇤ ⇤ D 0 und ✏ Wenn bkC1 D bkC2 D : : : D bm

ı k D n ist, so ist .x1 ; : : : ; xn /> D .b1⇤ ; : : : ; bn⇤ /> die eindeutige Lösung. ı k < n ist, so gibt es unendlich viele Lösungen (mehrdeutig lösbar). Für die n k Variablen xkC1 ; : : : ; xn können beliebige reelle Werte kC1 ; : : : ; n vorgegeben werden. Die restlichen Variablen x1 ; : : : ; xk werden dann folgendermaßen berechnet: n P ⇤ xi D bi⇤ aij für alle i D 1; : : : ; k j j DkC1

Basis- und Nichtbasisvariablen, Basislösung: Hat man durch das Eliminationsverfahren von Gauß ein Endtableau mit k Einheitsvektoren erzeugt, so bezeichnet man die zu den Einheitsvektoren zugehörigen Variablen x1 ; : : : ; xk als Basisvariablen. Die Variablen xkC1 ; : : : ; xn werden als Nichtbasisvariablen bezeichnet. Eine Basislösung ergibt sich, wenn man alle Nichtbasisvariablen gleich null setzt und folglich .x1 ; : : : ; xk ; xkC1 ; : : : ; xn /> D .b1⇤ ; : : : ; bk⇤ ; 0; : : : ; 0/> gilt.

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9. Lineare Algebra

Pivotelement, Pivotspalte und Pivotzeile: Bei einem linearen Gleichungssystem Ax D b soll in der Spalte t von A der Einheitsvektor es (d.h. eine 1 an Stelle s und sonst Nullen) erzeugt werden. Man bezeichnet dann das Element ast als das Pivotelement, die Spalte t als Pivotspalte und die Zeile s als Pivotzeile. Es gelten folgende Austauschregeln: Für alle Elemente aij außerhalb der Pivotzeile und Pivotspalte: ai t asj ait bs aij ´ aij bzw. bi ´ bi ast ast Für alle Elemente asj der Pivotzeile: asj bs asj ´ bzw. bs ´ ast ast

Cramersche Regel: Ist A eine reguläre n ⇥ n Matrix (d.h. det A ¤ 0), dann gilt für die Lösung x D .x1 ; : : : ; xn /> des linearen Gleichungssystems Ax D b: 0 1 a11 : : : a1;j 1 b1 a1;j C1 : : : a1n det Aj B :: :: :: :: C xj D mit Aj D @ ::: : : : : A det A an1 : : : an;j 1 bn an;j C1 : : : ann

9.7 Eigenwertprobleme Definition Eigenwert und Eigenvektor: Sei A eine n ⇥ n Matrix. Ist für eine Zahl x ¤ o das lineare Gleichungssystem a11 x1 C C a1n xn D :: :: Ax D x ” : : erfüllt, dann heißt von A.

an1 x1 C

und einen Vektor x 2 Rn mit

x1 :: : C ann xn D xn

Eigenwert von A und x der zu

Es gilt: Ax D x ” .A

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gehörige Eigenvektor

E /x D o

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9. Lineare Algebra

Charakteristische Gleichung: Eine Zahl ist genau dann Eigenwert der Matrix A, wenn det.A E/ D 0 gilt. Zur Berechnung der Eigenwerte einer n ⇥ n Matrix wird die charakteristische Gleichung (auch: Eigenwertgleichung oder charakteristisches Polynom) von A verwendet. Diese lautet: a11 a12 ::: a1n a21 a22 ::: a2n p. / D det.A E/ D D0 :: :: :: :: : : : : an1

an2

: : : ann

p. / ist ein Polynom n-ten Grades und hat somit n Nullstellen (reelle und komplexe Nullstellen sind möglich). Die Vielfachheit einer Nullstelle bezeichnet man als die Vielfachheit des Eigenwertes . Um den zum Eigenwert ⇤ gehörigen Eigenvektor x ⇤ zu ermitteln, muss das ⇤ E /x ⇤ D 0 gelöst werden. lineare Gleichungssystem det.A

Eigenschaften von Eigenwerten und Eigenvektoren: ✏ Sind x1 ; : : : ; xk zum selben Eigenwert gehörige Eigenvektoren, dann ist auch jede Linearkombination x D ˛1 x1 C : : : C ˛k xk (wobei mindestens ein ˛i ungleich null sein muss) ein zum Eigenwert gehöriger Eigenvektor. ✏ Für eine Dreiecks- oder Diagonalmatrix gilt: i D ai i mit i D 1; : : : ; n ✏ ist Eigenwert von A ” ist Eigenwert von A > ✏ A ist regulär (det A ¤ 0) H) ¤ 0 und 1= ist Eigenwert von A 1 ✏ A ist positiv definit H) > 0 mit i D 1; : : : ; n i ✏ A und B sind invertierbar H) AB und BA haben dieselben Eigenwerte ✏ Ist A eine reelle symmetrische n ⇥ n Matrix, dann gilt:

ı i 2 R mit i D 1; : : : ; n ı Für den Fall rg.A/ D k < n H) D 0 ist ein .n k/-facher Eigenwert ı Die zu verschiedenen Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren sind paarweise orthogonal. ı Es existiert eine orthogonale Matrix X D .x1 ; : : : ; xn / mit den zu den Eigenwerten 1 ; : : : ; n gehörenden Eigenvektoren x1 ; : : : ; xn . Diese Eigenvektoren haben folglich die Länge 1 und sind paarweise orthogonal.

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10 10.1

10. Lineare Optimierung

Lineare Optimierung Grundlegende Definitionen

Definition eines linearen Optimierungsproblems: Bei einem linearen Optimierungsproblem ist eine lineare Zielfunktion z.x/ D c1 x1 C : : : C cn xn

sowie lineare Nebenbedingungen in Form von linearen Gleichungen und/oder Ungleichungen a11 x1 C a12 x2 C : : : C a1n xn D .; / b1 a21 x1 C a22 x2 C : : : C a2n xn D .; / b2 :: :: :: :: : : : : am1 x1 C am2 x2 C : : : C amn xn D .; / bm

und eventuell Nichtnegativitätsbedingungen xj 0 (für alle, einige oder kein j D 1; : : : ; n) gegeben. Es soll ein Vektor x 2 Rn bestimmt werden, der alle Nebenbedingungen erfüllt und die Zielfunktion z.x/ minimiert (Minimierungsaufgabe) oder maximiert (Maximierungsaufgabe). Ein Vektor x 2 Rn , der alle Nebenbedingungen erfüllt, heißt zulässige Lösung (auch: zulässiger Vektor). Die Menge aller zulässigen Lösungen heißt Zulässigkeitsbereich oder zulässige Menge. Darstellung eines linearen Optimierungsproblem in Form von Matrizen: z.x/ D c > x ! max(min) mit Ax D .; / b; evtl. x o

Standardformen linearer Optimierungsprobleme: Standardminimumproblem: c > x ! min Standardmaximumproblem: c > x ! max Normalform: c > x ! max

mit mit mit

Ax b; x Ax  b; x Ax D b; x

o o o

Hinweis: Man kann jedes vorliegende lineare Optimierungsproblem in jede der drei Standardformen transformieren. Für die Lösung eines linearen Optimierungsproblems durch das Simplexverfahren wird die Normalform benötigt. Das Vorgehen zur Erzeugung der Normalform findet sich auf Seite 83.

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10. Lineare Optimierung

10.2

Simplexverfahren

Erzeugung einer Normalform: Liegt ein Standardmaximumproblem (siehe Seite 82) mit zusätzlich b dann kann unter Einführung sogenannter Schlupfvariablen y1 ; : : : ; ym Standardmaximumproblem in die Normalform transformiert werden:

o vor, 0 das

z.x/ D c1 x1 C : : : C cn xn ! max

unter den Nebenbedingungen a11 x1 C a12 x2 C : : : C a1n xn C y1 a21 x1 C a22 x2 C : : : C a2n xn C y2 :: :: :: : : : am1 x1 C am2 x2 C : : : C amn xn und xi

0 .i D 1; : : : ; n/; yj

Schreibweise mit Matrizen: z.x/ D c > x ! max mit

0 .j D 1; : : : ; m/

Ax C Ey D b; x

D b1 D b2 :: : C ym D bm

o; y

o; b

Hinweis: Liegt nicht das Standardmaximumproblem vor, dann können für die Umformung in die Normalform folgende Äquivalenzen von Bedeutung sein: c > x ! min ” c > x ! max ai> x bi ” ai> x  bi mit ai> : i -te Zeile von A ai> x D bi ” .ai> x  bi und ai> x  bi / xi ohne Nichtnegativitätsbedingung ” xi ´ ui vi ; ui 0; vi 0

Basislösung, Eckpunkte und optimale Lösung: Basislösung: ✏ Nach der Definition auf Seite 78 erhält man eine Basislösung .x; y/ 2 RnCm des (Restriktions)-Gleichungssystems Ax C Ey D b, indem man n Variablen gleich null setzt und die übrigen m Variablen, deren zugehörige Spaltenvektoren linear unabhängig sein müssen, so bestimmt werden, dass das Gleichungssystem Ax C Ey D b erfüllt ist. Die n Variablen nennt man Nichtbasisvariablen und die m Variablen Basisvariablen.

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10. Lineare Optimierung

✏ Eine Basislösung heißt zulässig, wenn diese die Nichtnegativitätsbedingungen erfüllt. ✏ Eine Basislösung heißt degeneriert oder entartet, wenn mindestens eine Basisvariable den Wert null annimmt. Eckpunkt: Jede zulässige Basislösung des (Restrik.)-Gleichungssystems Ax C Ey D b ist auch ein Eckpunkt des zulässigen Bereichs und umgekehrt. Zusammenhang zwischen Basislösung/Eckpunkt und optimaler Lösung: Für ein lineares Optimierungsproblem gilt: ✏ Existiert genau eine optimale Lösung, so ist diese eine zulässige (optimale) Basislösung bzw. ein (optimaler) Eckpunkt. ✏ Existieren mehrere optimale Lösungen, so sind dies die zulässigen und opti.i / .i / malen Basislösungen/Eckpunkte x .i / D .x1 ; : : : ; xn /> mit i D 1; : : : ; s s s P P .i / mit und alle Konvexkombinationen x D 0 und ix i i D 1. i D1

i D1

Aufstellen eines Ausgangstableaus für das Simplexverfahren:

Liegt das Optimierungsproblem in Normalform vor (s. Seite 83), dann wird für das Simplexverfahren folgendes Ausgangstableau aufgestellt: y1 :: :

x1 a11 :: :

::: ::: :: :

xn a1n :: :

ym z

am1 : : : amn c1 : : : cn

y1 : : : ym b 1 : : : 0 b1 :: : : : :: : :: : : 0 : : : 1 bm 0 ::: 0 0

In der ersten Spalte stehen die Bezeichnungen der Basisvariablen. Im Ausgangstableau sind dies die Schlupfvariablen y1 ; : : : ; ym . In der letzten Spalte stehen die zu den Basisvariablen gehörenden Lösungswerte. Dies sind im Ausgangstableau die Werte b1 ; : : : ; bm . In der letzten Zeile ist die zu z c1 x1 : : : cn xn D 0 umgeformte Zielfunktion enthalten. Ganz rechts unten steht der Zielfunktionswert c > x. Im Ausgangstableau ist dieser gleich null.

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10. Lineare Optimierung

Ablauf des Simplexverfahrens: .k/

.k/

Zu Beginn der k-ten Iteration des Simplexverfahrens seien aij ; bi die Einträge des Simplextableaus. Es hat dann folgende Form: x1 :: : :: : :: : z

:::

.k/

::: :: :

a1n :: :

.k/

:::

amn

:::

a11 :: :

am1

.k/

:::

::: :: :

a1;nCm :: :

a1;nC1 :: :

.k/

am;nC1 : : : am;nCm bm

.k/

b1 :: :

.k/

cnC1

:::

.k/

cnCm

.k/

und cj

.k/

c .k/

Zu Beginn der ersten Iteration gelte k ´ 1. In diesem Fall sind die Einträge des Simplextableaus gleich den entsprechenden Einträgen des Ausgangstableaus (siehe Seite 84). Eine vollständige Iteration des Simplexverfahrens besteht aus drei Schritten. Schritt 1: Wahl der Pivotspalte t .k/

Wähle Pivotspalte t, wenn gilt: ct .k/

min

.k/

f cj

j D1;:::;nCm

.k/

< 0g

Gibt es kein cj < 0 für j D 1; : : : ; n C m, dann stoppe. Die aktuelle Basislösung ist dann eine optimale Lösung. Schritt 2: Wahl der Pivotzeile s ( ) .k/ .k/ bi bs .k/ Wähle Pivotzeile s, wenn gilt: .k/ D min j ai t > 0 i D1;:::;m a.k/ ast it .k/

Sind alle ai t  0 mit i D 1; : : : ; m, dann stoppe. Die Zielfunktion ist dann durch die Restriktionen nicht beschränkt und es gibt keine optimale Lösung. Schritt 3: Basisaustausch .k/ Aus der Pivotspalte t und der Pivotzeile s resultiert das Pivotelement ast . Durch einen Basisaustausch wird die Nichtbasisvariable der Spalte t eine Basisvariable und die Basisvariable der Zeile s eine Nichtbasisvariable. Dazu wird in Spalte t durch elementare Zeilenumformungen der Einheitsvektor es , d.h. ein Vektor mit einer 1 an Stelle s und sonst Nullen, erzeugt (zum Vorgehen siehe Seite 79). Setze k ´ k C 1 und gehe zu Schritt 1. c WiWi-Media AG, 2013

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10.3

10. Lineare Optimierung

Dualität

Definition des primalen und dualen Problems: Als primales Problem bezeichnet man Als duales Problem bezeichnet man das lineare Optimierungsproblem das lineare Optimierungsproblem c1 x1 C : : : C cn xn ! max

b1 u1 C : : : C bm um ! min

und x1 ; : : : ; xn

und u1 ; : : : ; um

mit den Nebenbedingungen a11 x1 C : : : C a1n xn  b1 :: :: :: : : : am1 x1 C : : : C amn xn  bm

mit den Nebenbedingungen a11 u1 C : : : C am1 um c1 :: :: :: : : : a1n u1 C : : : C amn um cn

Schreibweise mit Matrizen: c > x ! max mit Ax  b; x

Schreibweise mit Matrizen: b> u ! min mit A > u c; u

Eigenschaften von primalen und dualen Problemen: ✏ Das duale Problem des dualen Problems ist das primale Problem. ✏ Schwacher Dualitätssatz: Ist der Vektor x für das primale und der Vektor u für das duale Problem zulässig, dann gilt c > x  b> u. ✏ Starker Dualitätssatz: Ist der Vektor x ⇤ für das primale und der Vektor u⇤ für das duale Problem zulässig und gilt c > x ⇤ D b> u⇤ , dann ist x ⇤ Optimallösung des primalen und u⇤ Optimallösung des dualen Problems. ✏ Wenn das primale (duale) Problem unbeschränkt ist, dann besitzt das duale (primale) Problem keine zulässige Lösung. ✏ Besitzt das primale (duale) Problem eine endliche optimale Lösung, dann besitzt auch das duale (primale) Problem eine endliche optimale Lösung und die beiden optimalen Zielfunktionswerte stimmen überein. ✏ Besitzt das primale (duale) Problem keine zulässige Lösung, dann ist entweder das duale (primale) Problem unbeschränkt oder besitzt auch keine zulässige Lösung.

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10. Lineare Optimierung

Die optimalen dualen Variablen als Schattenpreise: Wird durch das primale Problem ein Produktionsprozess zur Herstellung von n verschiedenen Produkten (mit dem Gewinnvektor c) auf m knappen Ressourcen (mit dem Ressourcenbeschränkungsvektor b) abgebildet und sei u⇤ D .u⇤1 ; : : : ; u⇤m / die Optimallösung des zugehörigen dualen Problems , dann gilt für die optimale Lösung des primalen Problems: Wird die Ressourcenbeschränkung bj um ein hinreichend kleines Åbj erhöht, dann steigt der Gewinn um u⇤j Åbj . Der Wert u⇤j wird in diesem Zusammenhang als Schattenpreis der Ressource j bezeichnet.

Ablesen der optimalen dualen Variablen im Endtableau: cQnC1 ; : : : ; cQnCm seien die zu den Schlupfvariablen gehörenden Werte in der letzten Zeile des Endtableaus nach Durchführung des Simplexverfahrens für das primale Problem (s. Seite 85). Dann gilt für die optimale Lösung u⇤ des dazugehörigen dualen Problems: .u⇤1 ; : : : ; u⇤m / D . cQnC1 ; : : : ; cQnCm /

Satz vom komplementären Schlupf: x ⇤ D .x1⇤ ; : : : ; xn⇤ / sei für das primale und u⇤ D .u⇤1 ; : : : ; u⇤m / für das duale Problem zulässig. x ⇤ und u⇤ sind genau dann Optimallösungen, wenn für alle i D 1; : : : ; n und j D 1; : : : ; m gilt: xi⇤ D 0, wenn a1i u⇤1 C : : : C ami u⇤m > ci a1i u⇤1 C : : : C ami u⇤m D ci , wenn xi⇤ > 0 u⇤j D 0, wenn aj1 x1⇤ C : : : C aj n xn⇤ < bj aj1 x1⇤ C : : : C aj n xn⇤ D bj , wenn u⇤j > 0

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11. Differentialgleichungen

Differentialgleichungen

11.1

Grundlegende Definitionen

Differentialgleichung: In einer Differentialgleichung sind die gesuchten Unbekannten keine Zahlen, sondern Funktionen. Zudem enthält eine Differentialgleichung mindestens eine Ableitung der gesuchten Funktion. Man spricht im Speziellen von einer gewöhnlichen Differentialgleichung, wenn die gesuchte Funktion nur von einer Veränderlichen abhängig ist. Für eine Differentialgleichung n-ter Ordnung mit der gesuchten Funktion y.x/ schreibt man: F .x; y.x/; y 0 .x/; : : : ; y .n/ .x// D 0 y .n/ .x/ D f .x; y.x/; y 0 .x/; : : : ; y .n

implizite Form explizite Form

1/ .x//

Spezielle und allgemeine Lösung einer Differentialgleichung: Eine im Intervall I D Œa; bç n-mal stetig differenzierbare Funktion y.x/, welche für alle x 2 Œa; bç die Differentialgleichung erfüllt, heißt spezielle (auch partikuläre) Lösung einer Differentialgleichung. Die Menge aller Lösungen für eine Differentialgleichung heißt allgemeine Lösung.

Anfangs- und Randwertaufgabe: Sind der Lösung einer Differentialgleichung im Intervall I D Œa; bç Zusatzbedingungen an der Stelle ✏ x D a gestellt, dann spricht man von einer Anfangswertaufgabe. ✏ x D a und x D b gestellt, dann spricht von einer Randwertaufgabe.

11.2

Differentialgleichungen 1. Ordnung

Definition: Eine Differentialgleichung 1. Ordnung besitzt nur Ableitungen 1. Ordnung und man schreibt: y 0 .x/ D f .x; y.x// c WiWi-Media AG, 2013

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11. Differentialgleichungen

Seperierbare Differentialgleichungen: Eine Differentialgleichung 1. Ordnung y 0 .x/ D f .x; y.x// heißt seperierbar, wenn sie die Form y 0 .x/ D r.x/s.y/ besitzt. Lösungsmethode für seperierbare Differentialgleichungen: dy dy ✏ Ersetze y 0 .x/ durch , so dass man D r.x/s.y/ erhält. dx dx dy ✏ Trenne die Variablen, so dass man D r.x/ dx erhält. s.y/ Z Z dy ✏ Integriere beide Seiten: D r.x/ dx s.y/ ✏ Man erhält eine allgemeine Lösung, indem man (wenn es möglich ist) die beiden Integrale bestimmt und die resultierende Gleichung nach y auflöst. ✏ Ist die Anfangswertaufgabe y 0 .x/ D r.x/s.y/ mit y0 D y.x0 / gegeben, dann erhält man eine eindeutige Lösung, indem man die Gleichung Zy Zx dt D r.u/ du nach y auflöst. s.t/ y0

Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung: y 0 .x/ C a.x/y.x/ D b.x/

✏ Gilt b.x/ ¤ 0, dann spricht man von einer inhomogenen linearen Differentialgleichung 1. Ordnung, sonst von einer homogenen. ✏ Sei y.x/ die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung, yH .x/ die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung und yI .x/ eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung. Es gilt: y.x/ D yH .x/ C yI .x/ Allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung: yH .x/ D C e

a.x/ dx

C D const

Spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung: ✓ ◆ Z R R yI .x/ D e a.x/ dx C C e a.x/ dx b.x/ dx C D const c WiWi-Media AG, 2013

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11. Differentialgleichungen

11.3

Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung

Definition: an .x/y .n/ .x/ C an

1 .x/y

.n 1/ .x/ C : : : C a .x/y 0 .x/ C a .x/y.x/ 1 0

D b.x/

✏ Gilt b.x/ ¤ 0, dann spricht man von einer inhomogenen linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung, sonst von einer homogenen. ✏ Sei y.x/ die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung, yH .x/ die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung und yI .x/ eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung. Es gilt: y.x/ D yH .x/ C yI .x/

Allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung: ✏ Sind y1 .x/; : : : ; yn .x/ spezielle Lösungen der homogenen Differentialgleichung und zudem linear unabhängig (damit bilden sie ein Fundamentalsystem der Differentialgleichung), dann gilt für die allgemeine Lösung: yH .x/ D C1 y1 .x/ C : : : C Cn yn .x/

C1 ; : : : ; Cn sind Konstanten

✏ Die Lösungen y1 .x/; : : : ; yn .x/ sind linear unabhängig, wenn die WronskiDeterminante y1 .x/ ::: yn .x/ :: :: W .x/ D : : .n 1/

.n 1/

.x/ : : : yn

.x/

für mindestens ein x0 2 R ungleich null ist.

Spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung: Ist ein Fundamentalsystem y1 .x/; : : : ; yn .x/ der homogenen linearen Differentialgleichung bekannt (Def. siehe oben), dann kann mit der Methode Variation der Konstanten eine spezielle Lösung yI .x/ D C1 .x/y1 .x/ C : : : C Cn .x/yn .x/

der inhomogenen linearen Differentialgleichung ermittelt werden, indem man die Werte C10 .x/; : : : ; Cn0 .x/ durch Lösung des linearen Gleichungssystems

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11. Differentialgleichungen C10 .x/y1 .x/ C C10 .x/y10 .x/ C :: : C10 .x/y1

.n 2/

C20 .x/y2 .x/ C : : : C C20 .x/y20 .x/ C : : : C :: :

.x/ C C20 .x/y2

.n 2/

Cn0 .x/yn .x/ D Cn0 .x/yn0 .x/ D :: :

.x/ C : : : C Cn0 .x/yn

.n 2/

0 0 :: :

.x/ D

0 b.x/ an .x/ berechnet und danach die Funktionen C1 .x/; : : : ; Cn .x/ durch Integration bestimmt. .n 1/ C10 .x/y1 .x/

.n 1/ C20 .x/y2 .x/

C : : : C Cn0 .x/yn

.n 1/

.x/ D

Eulersche Differentialgleichung: Die Eulersche Differentialgleichung ist definiert als (mit a0 ; : : : ; an 2 R): an x n y .n/ .x/ C an

n 1 y .n 1/ .x/

C : : : C a1 xy 0 .x/ C a0 y.x/ D b.x/

Durch die Substitution x D e z .z D ln x/ kann man die Eulersche Differentialgleichung in eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten für die Funktion y.z/ überführen. Zum Lösungsansatz e z D e ln x für die homogene Gleichung gehört folgende charakteristische Gleichung (zum Lösungsvorgehen siehe Kapitel 11.4): an .

11.4

1/ : : : .

1// C : : : C a2 .

1/ C a1 C a0 D 0

Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Definition: an y .n/ .x/ C an

.n 1/ .x/

C : : : C a1 y 0 .x/ C a0 y.x/ D b.x/

✏ Es gilt a0 ; a1 : : : ; an 2 R. ✏ Gilt b.x/ ¤ 0, so spricht man von einer inhomogenen linearen Differentialgl. n-ter Ordnung mit konst. Koeffizienten, sonst von einer homogenen. ✏ Sei y.x/ die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgl., yH .x/ die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgl. und yI .x/ eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgl., so gilt: y.x/ D yH .x/ C yI .x/

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11. Differentialgleichungen

Allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung: Aus dem Lösungsansatz y.x/ D e an

C an

n 1

resultiert die charakteristische Gleichung

C : : : C a1 C a0 D 0

Diese Gleichung besitzt n (reelle oder komplexe) Nullstellen 1 ; : : : ; n . Aus den berechneten Nullstellen lassen sich dann n spezielle und linear unabhängige Lösungen y1 .x/; : : : ; yn .x/ für die homogene Gleichung (also ein Fundamentalsystem der Differentialgleichung; s. S. 90) folgendermaßen ermitteln: Art der Nullstelle j

reell

konjug. komplex mit j1 D ˛ iˇ und j2 D ˛Ciˇ

Vielunabhängige spezielle Lösungen y.x/ fachheit einfach

k-fach

einfach

e ˛x sin ˇx; e ˛x cos ˇx

k-fach

; xe

; : : : ; xk

e ˛x sin ˇx; xe ˛x sin ˇx; : : : ; x k

1 e ˛x sin

ˇx

e ˛x cos ˇx; xe ˛x cos ˇx; : : : ; x k 1 e ˛x cos ˇx

Die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung lautet dann yH .x/ D C1 y1 .x/ C : : : C Cn yn .x/

C1 ; : : : ; Cn sind Konstanten

Spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung: Bei bestimmten Formen von b.x/ führt der Störgliedansatz (auch: Ansatzmethode) zur Ermittlung einer speziellen Lösung yI .x/. In folgender Tabelle sind zu Formen von b.x/ die dazugehörigen Ansätze für yI .x/ aufgeführt. Auch Kombinationen einzelner Ansätze sind möglich. Form von b.x/

Ansatz für yI .x/

be ax b0 C b1 x C : : : C bm

ze ax xm

b1 sin ax b2 cos ax b1 sin ax C b2 cos ax

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z0 C z1 x C : : : C zm x m z1 sin ax C z2 cos ax

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11. Differentialgleichungen

Zuerst berechnet man die Ableitungen yI0 .x/; yI00 .x/; : : : ; yI .x/ und setzt diese in die Differentialgleichung ein. Durch einen Koeffizientenvergleich wird dann versucht, die z-Werte zu bestimmen. Ist dies nicht möglich (es liegt also ein sog. Resonanzfall vor), dann ersetzt man den Ansatz yI .x/ durch den Ansatz xyI .x/ bzw. xyI .x/ durch x 2 yI .x/ usw. (bis man eine Lösung erhält) .n/

11.5

Lineare Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Definition: y10 .x/ D a11 y1 .x/ C : : : C a1n yn .x/ C b1 .x/ :: :: :: :: : : : : ” y 0 .x/ D Ay.x/ C b.x/ yn0 .x/ D an1 y1 .x/ C : : : C ann yn .x/ C bn .x/

✏ Gilt b.x/ ¤ o, dann spricht man von einem inhomogenen System, sonst von einem homogenen. ✏ Sei y.x/ die allgemeine Lösung des inhomogenen Systems, yH .x/ die allgemeine Lösung des homogenen Systems und yI .x/ eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems. Es gilt: y.x/ D yH .x/ C yI .x/

Allgemeine Lösung des homogenen Systems: Die Matrix A habe n verschiedene reelle Eigenwerte 1 ; : : : ; n mit den dazugehörigen linear unabhängigen Eigenvektoren v1 ; : : : ; vn . Die allgemeine Lösung des homogenen Systems lautet dann: yH .x/ D C1 e

v1 C : : : C Cn e

C1 ; : : : ; Cn sind Konstanten

Spezielle Lösung des inhomogenen Systems: Jede Komponente von b.x/ besitze eine Form, welche in der Tabelle auf S. 92 aufgeführt ist. Durch eine additive Verknüpfung aller Komponenten von b.x/ erzeugt man einen Lösungsansatz für jede Komponente der Lösung yI .x/. Danach bestimmt man die Ableitung yI0 .x/ und setzt diese in das System ein. Schließlich ermittelt man durch einen Koeffizientenvergleich die z-Werte.

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12 12.1

12. Differenzengleichungen

Differenzengleichungen Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung

Definition: y.x C 1/ D a.x/y.x/ C b.x/

mit x D 0; 1; 2; : : :

Gilt b.x/ ¤ 0, dann spricht man von einer inhomogenen linearen Differenzengleichung 1. Ordnung, sonst von einer homogenen.

Allgemeine Lösung: y.x/ D y.0/

✓x 1 Q

kD0

◆ x 2 P a.k/ C b.k/ kD0

xQ1

lDkC1

a.l/ C b.x

Dabei ist y.0/ 2 R frei wählbar. Lösungen für Spezialfälle sind: 8 ✓x 1 ◆ Q > > y.0/ a.k/ für b.x/ D 0 > > > > kD0 > > xP1 > > > b.k/ax 1 k für a.x/ D a <y.0/ ax C kD0 y.x/ D x > für a.x/ D a; b.x/ D 0 > >y.0/ a > > ax 1 > x > für a.x/ D a ¤ 1; b.x/ D b >y.0/ a C b > > a 1 > : y.0/ C bx für a.x/ D a D 1; b.x/ D b

Spezielle Lösung:

Eine spezielle Lösung erhält man, wenn in der allgemeinen Lösung für y.0/ ein Wert vorgegeben wird.

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12. Differenzengleichungen

12.2

Lineare Differenzengleichungen n-ter Ordnung

Definition: y.x C n/ C an

1 .x/y.x C n

1/ C : : : C a1 .x/y.x C 1/ C a0 .x/y.x/ D b.x/

✏ Gilt b.x/ ¤ 0, dann spricht man von einer inhomogenen linearen Differenzengleichung n-ter Ordnung, sonst von einer homogenen. ✏ Die Lösung einer linearen Differenzengleichung n-ter Ordnung ist eindeutig bestimmt, wenn n Anfangswerte y.0/; y.1/; : : : ; y.n 1/ vorgegeben sind. ✏ Sei y.x/ die allgemeine Lösung der inhomogenen Differenzengl., yH .x/ die allgemeine Lösung der homogenen Differenzengl. und yI .x/ eine spezielle Lösung der inhomogenen Differenzengl., so gilt: y.x/ D yH .x/ C yI .x/

Allgemeine Lösung der homogenen Differenzengleichung: ✏ Sind y1 .x/; : : : ; yn .x/ spezielle Lösungen der homogenen Differenzengleichung und zudem linear unabhängig (damit bilden sie ein Fundamentalsystem der Differenzengleichung), dann gilt für die allgemeine Lösung: C1 ; : : : ; Cn sind Konstanten

yH .x/ D C1 y1 .x/ C : : : C Cn yn .x/

✏ Die Lösungen y1 .x/; : : : ; yn .x/ sind linear unabhängig, wenn die WronskiDeterminante W D

12.3

y1 .0/ :: :

y1 .n

:::

yn .0/ :: :

1/ : : : yn .n

ungleich null ist.

Lineare Differenzengleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Definition: y.x C n/ C an

1 y.x

1/ C : : : C a1 y.x C 1/ C a0 y.x/ D b.x/

Dabei sind an 1 ; : : : ; a0 2 R. Es gelten dieselben Aussagen wie beim Punkt „Definition“ in Kapitel 12.2. An das Wort „Differenzengleichung“ muss dazu nur „mit konstanten Koeffizienten“ angehängt werden.

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12. Differenzengleichungen

Allgemeine Lösung der homogenen Differenzengleichung: Aus dem Lösungsansatz y.x/ D n

C an

n 1

resultiert die charakteristische Gleichung

C : : : C a1 C a0 D 0

Diese Gleichung besitzt n (reelle oder komplexe) Nullstellen 1 ; : : : ; n . Aus den berechneten Nullstellen lassen sich dann n spezielle und linear unabhängige Lösungen y1 .x/; : : : ; yn .x/ für die homogene Gleichung (also ein Fundamentalsystem der Differenzengleichung; s. S. 95) folgendermaßen ermitteln: Art der Nullstelle j

reell

Vielunabhängige spezielle Lösungen y.x/ fachheit einfach k-fach einfach

konjug. komplex mit j1 D ˛ iˇ und j2 D ˛Ciˇ

x j x x k 1 x j;x j;:::;x j x x r sin 'x; r cos 'x

mit p ˛ 2 C ˇ 2 ; sin ' D ˇ=r; cos ' D ˛=r

r x sin 'x; xr x sin 'x; : : : ; x k k-fach

r x cos 'x;pxr x cos 'x; : : : ; x k mit r D ˛ 2 C ˇ 2 und sin ' D ˇ=r; cos ' D ˛=r

1 r x sin

1 r x cos

Die allgemeine Lösung der homogenen Differenzengleichung lautet dann yH .x/ D C1 y1 .x/ C : : : C Cn yn .x/

C1 ; : : : ; Cn sind Konstanten

Spezielle Lösung der inhomogenen Differenzengleichung: Bei bestimmten Formen von b.x/ führt der Störgliedansatz (auch: Ansatzmethode) zur Ermittlung einer speziellen Lösung yI .x/. Die Ansätze in der Tabelle auf Seite 92 lassen sich mit Ausnahme des ersten Ansatzes (als Ersatz nehme dafür die Form bax mit Ansatz zax ) auch bei Differenzengleichungen anwenden. Auch Kombinationen einzelner Ansätze sind möglich. Zuerst berechnet man yI .x C1/; : : : ; yI .x Cn/ und setzt diese in die Differenzengleichung ein. Durch einen Koeffizientenvergleich wird dann versucht, die z-Werte zu bestimmen. Ist dies nicht möglich (Resonanzfall), so ersetzt man den Ansatz yI .x/ durch den Ansatz xyI .x/ bzw. xyI .x/ durch x 2 yI .x/ usw. c WiWi-Media AG, 2013

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Symbolverzeichnis

Symbolverzeichnis N N0 Z R RC Rn 8 9 e D 2; 71828 : : : ⇡ D 3; 14159 : : : minfa; bg maxfa; bg jaj .a; b/ Œa; bç .a; bç Œa; b/ p^q p_q p)q p,q a2A a…A ; A✓B A⇢B A[B A\B B nA A A⇥B

Menge der natürlichen Zahlen Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der Null Menge der ganzen Zahlen Menge der reellen Zahlen Menge der nichtnegativen reellen Zahlen Menge der n-Tupel reeller Zahlen für alle : : : es gibt (mindestens ein) : : : Eulersche Zahl Kreiszahl Minimum der Zahlen a und b Maximum der Zahlen a und b Betrag der reellen Zahl a offenes Intervall, d.h. a < x < b geschlossenes Intervall, d.h. a  x  b nach links halb offenes Intervall, d.h. a < x  b nach rechts halb offenes Intervall, d.h. a  x < b Konjunktion von Aussagen: p und q Disjunktion von Aussagen: p oder q Implikation von Aussagen: wenn p, dann q Äquivalenz von Aussagen: p äquivalent zu q a ist Element der Menge A a ist nicht Element der Menge A leere Menge A ist Teilmenge von B A ist echte Teilmenge von B Durchschnitt der Mengen A und B Vereinigung der Mengen A und B Differenz zwischen den Mengen B und A Komplementärmenge von A bezüglich kartesisches Produkt der Mengen A und B

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y D f .x/ f 1 Df Wf lim f .x/ x!x0

Symbolverzeichnis Funktionsgleichung: x ist Urbild und y Bild von f Umkehrfunktion von f Definitionsbereich der Funktion f Wertebereich der Funktion f Grenzwert von f .x/ an der Stelle x0

lim f .x/

linksseitiger Grenzwert von f .x/ an der Stelle x0

lim f .x/

rechtsseitiger Grenzwert von f .x/ an der Stelle x0

lim f .x/

Grenzwert von f .x/ für x gegen minus unendlich

lim f .x/

Grenzwert von f .x/ für x gegen plus unendlich

x!x0

x!x0C

x! 1 x!1 f 0 .x/

f 00 .x/ f .n/ .x/ Rb f .x/ dx a 0 1 x1 B C x D @ ::: A

xn x > D .x1 ; : : : ; xn / o y D f .x/ jxj fxi .x/ fxi xj .x/ grad f .x/ Hf .x/ A D .aij /mn A> A 1 E O rg.A/ det A

erste Ableitung der Funktion f zweite Ableitung der Funktion f n-te Ableitung der Funktion f bestimmtes Integral von f über dem Intervall Œa; bç Spaltenvektor der Dimension n Zeilenvektor der Dimension n Nullvektor Funktionsgleichung einer Funktion mehrerer Variablen Betrag des Vektors x partielle Ableitung 1. Ordnung von f nach xi partielle Ableitung 2. Ordnung von f nach xi und xj Gradient von f (Vektor der ersten part. Ableitungen) Hesse-Matrix der Funktion f Matrix mit m Zeilen und n Spalten transponierte Matrix von A inverse Matrix von A Einheitsmatrix Nullmatrix Rang der Matrix A Determinante der Matrix A

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Zentralbanken Praktika Professorenprofile Forschungsins Diplomarbeiten Business Schools Veranstaltungen Stude Literaturtipps Unternehmensportraits Diplomarbeiten Pra Berufsakademien Formelsammlungen Statistische Ämter Wirtschaftswörterbücher Literaturtipps Trainee Programm Stipendien Verlage Stellenangebote Wettbewerbe Zentra Hochschulstandorte Fachartikel Fachschaften Wirtschaft

100

Stichwortverzeichnis

Stichwortverzeichnis A Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37, 39 - höherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . 38 - implizit definierter Funktionen 52 - partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 49, 50 Ableitungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . 37 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Absorptionsgesetze . . . . . . . . . . . . . . 12 Abstandsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Abszisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Adjunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 affin lineare Funktion . . . . . . . . . . . . 31 Allaussage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Allrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Änderung - absolute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 - mittlere relative . . . . . . . . . . . . . . 40 Änderungsrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 - mittlere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Anfangskapital . . . . . . . . . . . . . . 20, 21 Anfangstableau . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Anfangswertaufgabe . . . . . . . . . 88, 89 Annuität - bei Ratentilgung . . . . . . . . . . . . . 25 - konstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Annuitätentilgung . . . . . . . . . . . . . . . 26 Ansatzmethode . . . . . . . . . . . . . . 92, 96 Äquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Äquivalenzrelation . . . . . . . . . . . . . . 14 Argumente einer Funktion . . . . . . . . 27 c WiWi-Media AG, 2013

Assoziativgesetze . . . . . . . . . . . . . . . 12 Asymptote . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32, 35 Aufzinsungsfaktor - bei Zinseszinsrechnung . . . . . . . 21 Ausgangstableau . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Aussage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Aussageform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 B Barwert - bei einfacher Zinsrechnung . . . 20 - bei stetiger Verzinsung . . . . . . . 22 - bei Zinseszinsrechnung . . . . . . . 21 - einer dyn. ewigen Rente . . . 24, 25 - einer dynamischen Rente . . 24, 25 - einer konstanten ewigen Rente 23 - einer konstanten Rente . . . . 23, 24 Barwertfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Basis eines Vektorraumes . . . . . . . . 65 Basisaustausch . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Basislösung . . . . . . . . . . . . . . 78, 83–85 - degenerierte . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 - entartete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 - zulässige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Basisvariable . . . . . . . . . . . . . 78, 83–85 beschränkte Folge . . . . . . . . . . . . . . . 15 beschränkte Funktion . . . . . . . . . . . . 28 Betrag eines Vektors . . . . . . . . . . . . . 64 Beweis - direkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 www.wiwi-online.de

Stichwortverzeichnis

101

- durch Kontraposition . . . . . . . . . . 9 - partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 - totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 - durch vollständige Induktion . . . 9 - durch Widerspruch . . . . . . . . . . . . 9 Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . 88 - allgemeine Lösung . . . . . . . . . . . 88 - indirekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 - Eulersche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 bijektiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 - gewöhnliche . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Bild einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . 27 - spezielle Lösung . . . . . . . . . . . . . 88 Bisektionsverfahren . . . . . . . . . . . . . 30 Bogenelastizität . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Differentialgleichung 1. Ordnung . 88 - seperierbare . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 C Differentialgleichung 1. Ordnung, Cauchy-Schwarz-Ungleichung . . . . 64 linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89 char. Gleichung . . . . . . . 80, 91, 92, 96 - allgemeine Lösung . . . . . . . . . . . 89 charakteristisches Polynom . . . . . . . 80 - homogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Cramersche Regel . . . . . . . . . . . . . . . 79 - inhomogene . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 - spezielle Lösung . . . . . . . . . . . . . 89 D Differentialgleichung n-ter de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Ordnung, linear . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 de Morgansche Regeln - allgemeine Lösung . . . . . . . . . . . 90 - bei Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 - homogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 - bei n Mengen . . . . . . . . . . . . . . . 12 - inhomogene . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 - bei zwei Mengen . . . . . . . . . . . . 12 - spezielle Lösung . . . . . . . . . . . . . 90 definit Differentialgleichung n-ter - negativ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69, 70 Ordnung, linear mit konst. Koeff. . 91 - positiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69, 70 - allgemeine Lösung . . . . . . . 91, 92 Definitionsbereich . . . . . . . . . . . 27, 46 - homogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 degenerierte Basislösung . . . . . . . . . 84 - inhomogene . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 - spezielle Lösung . . . . . . . . . 91, 92 - 2-reihige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Differentialgleichungssystem - 3-reihige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 1. Ordnung, linear . . . . . . . . . . . . . . . 93 - Entwicklung von . . . . . . . . . . . . . 74 - allgemeine Lösung . . . . . . . . . . . 93 - Hauptabschnitts- . . . . . . . . . . . . . 75 - homogenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 - Unter- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 - inhomogenes . . . . . . . . . . . . . . . . 93 - von Dreiecksmatrizen . . . . . . . . 74 - spezielle Lösung . . . . . . . . . . . . . 93 Diagonalmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Differentialquotient . . . . . . . . . . . . . . 37 Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Differentiationsregeln . . . . . . . . . . . . 38 c WiWi-Media AG, 2013

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102

Stichwortverzeichnis

Differenzengleichung 1. Ordnung, linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94 - allgemeine Lösung . . . . . . . . . . . 94 - homogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 - inhomogene . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 - spezielle Lösung . . . . . . . . . . . . . 94 Differenzengleichung n-ter Ordnung, linear . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 - allgemeine Lösung . . . . . . . . . . . 95 - homogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 - inhomogene . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Differenzengleichung n-ter Ordnung, linear mit konst. Koeff. . 95 - allgemeine Lösung . . . . . . . . . . . 96 - spezielle Lösung . . . . . . . . . . . . . 96 Differenzenquotient . . . . . . . . . . 37, 40 differenzierbar . . . . . . . . . . . . . . . 37, 38 - partiell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 - stetig partiell . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Differenzmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 disjunkte Mengen . . . . . . . . . . . . . . . 10 Disjunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Distributivgesetze . . . . . . . . . . . . 12, 64 Divergenz - einer Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 - einer Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Doppelintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Dreiecksmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 - Determinante einer . . . . . . . . . . . 74 Dreiecksungleichung . . . . . . . . . . . . 64 duales Problem . . . . . . . . . . . . . . 86, 87 Dualität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Dualitätssatz - schwacher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 - starker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 c WiWi-Media AG, 2013

Durchschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 E Ebene - Hesse’sche Normalform einer . 73 - Normalenform einer. . . . . . . . . .72 - Normalenvektor einer . . . . . . . . 72 - Parameterform einer . . . . . . . . . 72 - Punkt-Richtungs-Form einer . . 72 - Tangential(hyper)- . . . . . . . . . . . 51 echte Teilmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Eckpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 effektive Zinsrate . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Eigenvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . 79, 80 Eigenwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79, 80 Eigenwertgleichung . . . . . . . . . . . . . 80 Eigenwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . 79 Einheitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . 68, 70 Einheitsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 einseitig stetig . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 einseitiger Grenzwert . . . . . . . . . . . . 34 elastisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Elastizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40, 41 - mittlere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 - partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 elementare Zeilenumformungen . . 76 Elemente - einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 - einer Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Eliminationsmethode . . . . . . . . . . . . 53 Eliminationsverfahren v. Gauß 77, 78 Endkapital . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20, 21 Endtableau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Endwert - bei einfacher Zinsrechnung . . . 20 www.wiwi-online.de

Stichwortverzeichnis

103

- bei stetiger Verzinsung . . . . . . . 22 - Partialsumme einer . . . . . . . . . . . 17 - Teilsumme einer . . . . . . . . . . . . . 17 - bei unterjähriger Verzinsung . . 22 - unendliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 - bei Zinseszinsrechnung . . . . . . . 21 - einer dynamischen Rente . . 24, 25 Fundamentalsystem . . . . . . . 90, 95, 96 - einer konstanten Rente . . . . 23, 24 Funktion - affin lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Endwertfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 - Argumente einer . . . . . . . . . . . . . 27 entartete Basislösung . . . . . . . . . . . . 84 - Asymptote einer . . . . . . . . . . 32, 35 Entwicklungssatz von Laplace . . . . 74 - äußere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Eulersche Differentialgleichung . . . 91 - beschränkte . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Eulersche Homogenitätsrelation . . 51 - bijektive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Existenzaussage . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 - Bilder einer . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . 32 - Definitionsbereich einer . . . 27, 46 Extrempunkt - differenzierbare . . . . . . . . . . . . . . 37 - globaler . . . . . . . . . . . . . . . . . 42–44 - eineindeutige . . . . . . . . . . . . . . . . 27 - lokaler . . . . . . . . . . . . . . . 42–44, 52 - Exponential- . . . . . . . . . . . . . . . . 32 F - ganzrationale . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Faktorregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38, 58 - gebrochen-rationale . . . . . . . . . . 31 Falksches Schema . . . . . . . . . . . . . . . 66 - gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Flächenberechnung - Graph einer . . . . . . . . . . . . . . 28, 46 - durch Integration . . . . . . . . . . . . 58 - Grenzwert einer . . . . . . . . . . . . . 34 - mit der Riemann-Summe . . . . . 58 - homogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 - implizit definierte . . . . . . . . 46, 52 - Anfangsglied einer . . . . . . . . . . . 15 - injektive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 - arithmetische . . . . . . . . . . . . . . . . 15 - innere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 - beschränkte . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 - inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 - Divergenz einer . . . . . . . . . . . . . . 16 - (streng) konkave . . . . . . 29, 44, 47 - geometrische . . . . . . . . . . . . . . . . 15 - konstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 - Glied einer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 - (streng) konvexe . . . . . . 29, 44, 47 - Grenzwert einer . . . . . . . . . . . . . 16 - lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 - Häufungspunkt einer . . . . . . . . . 16 - Logarithmus- . . . . . . . . . . . . . . . . 32 - konvergente . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 - Lücke einer . . . . . . . . . . . . . . 32, 36 - (streng) monoton fallende . . . . . 15 - mehrerer Variablen . . . . . . . . . . . 46 - (streng) monoton steigende . . . 15 - mittelbare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 - Null- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 - (streng) monoton fallende . 29, 42 c WiWi-Media AG, 2013

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Stichwortverzeichnis

- (streng) monoton steigende 29, 42 - Nullstelle einer . . . . . . . . . . . 29, 32 - periodische . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 - Polstelle einer . . . . . . . . . . . . 32, 36 - Potenz- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 - punktsymmetrische . . . . . . . . . . 29 - quadratische . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 - reelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27, 46 - Stamm- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 - stetige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36, 47 - surjektive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 - symmetrische. . . . . . . . . . . . . . . .29 - Umkehr- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 - ungerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 - Urbilder einer . . . . . . . . . . . . . . . 27 - verkettete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 - verknüpfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 - Wertebereich einer . . . . . . . . 27, 46 - Wurzel- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 - zusammengesetzte . . . . . . . . . . . 28 Funktionsgleichung . . . . . . . . . . 27, 46 Funktionswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 G

Gauß - Eliminationsverfahren von.77, 78 gebrochen-rationale Funktion . . . . . 31 geordnetes n-Tupel . . . . . . . . . . . . . . 13 geordnetes Paar . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 - Punkt-Richtungs-Form einer . . 71 - Zwei-Punkte-Form einer . . . . . . 71 Gleichheitsrelation . . . . . . . . . . . . . . 14 Gleichung - charakteristische . . . 80, 91, 92, 96 c WiWi-Media AG, 2013

Gleichungssysteme - homogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 - inhomogene . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 - lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 - lösbare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 - Lösbarkeit linearer. . . . . . . .77, 78 Glieder - einer Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 - eines Tupels . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Graph einer Funktion . . . . . . . . . 28, 46 Grenzwert - an der Stelle x0 . . . . . . . . . . . . . . 34 - einer Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 - einer Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 - einseitiger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 - im Unendlichen . . . . . . . . . . . . . . 34 - linksseitiger . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 - rechtsseitiger . . . . . . . . . . . . . . . . 34 - uneigentlicher . . . . . . . . . . . . . . . 34 Grundmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 H Halbierungsverfahren . . . . . . . . . . . . 30 Häufungspunkt einer Folge . . . . . . . 16 Hauptabschnittsdeterminante . . . . . 75 - führende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Hauptdiagonale . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . 59 hebbare Unstetigkeitsstelle . . . . 32, 36 Hesse’sche Normalform . . . . . . . . . . 73 Hesse-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . 50, 54 Höhenlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 homogene Funktion . . . . . . . . . . . . . 47 www.wiwi-online.de

Stichwortverzeichnis homogenes Gleichungssystem . . . . 76 Horizontalwendepunkt . . . . . . . . . . . 45 Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Hyperbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 I Idempotenzgesetze . . . . . . . . . . . . . . 12 Identitätsgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Implikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 implizit definierte Funktion . . . 46, 52 indefinit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69, 70 Induktion - vollständige . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Induktionsanfang . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Induktionsannahme . . . . . . . . . . . . . . . 9 Induktionsschluss . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 inhomogenes Gleichungssystem . . 76 injektiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 inneres Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Integrale - bestimmte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 - Doppel- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 - mehrfache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 - Riemann- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 - unbestimmte . . . . . . . . . . . . . . . . 55 - uneigentliche . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Integrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Integration - durch Substitution . . . . . . . . . . . 59 - logarithmische . . . . . . . . . . . . . . . 59 - partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Integrationskonstante . . . . . . . . . . . . 55 Integrationsmethoden . . . . . . . . . . . . 59 Integrationsvariable . . . . . . . . . . . . . . 55 interner Zinsfuß . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 c WiWi-Media AG, 2013

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Intervallhalbierung . . . . . . . . . . . . . . 30 inverse Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . 27 inverse Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 inverse Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Investitionsrechnung . . . . . . . . . . . . . 26 K Kalkulationszinssatz . . . . . . . . . . . . . 26 Kapitalwert einer Investition . . . . . . 26 Kapitalwertmethode . . . . . . . . . . . . . 26 Kardinalzahl einer Menge . . . . . . . . 10 kartesisches Koordinatensystem . . . 28 kartesisches Produkt . . . . . . . . . . . . . 13 Kettenregel - bei einer Variablen . . . . . . . . . . . 38 - bei mehreren Variablen. . . .49, 50 Koeffizientenmatrix. . . . . . . . . . . . . .76 - erweiterte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Koeffizientenvergleich . . . . . . . . 93, 96 Kofaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Kommutativgesetz . . . . . . . . . . . 12, 64 komplementärer Schlupf . . . . . . . . . 87 Komplementärmenge . . . . . . . . . . . . 12 Komplementgesetze . . . . . . . . . . . . . 12 Komponenten - einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 - eines Tupels . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 konforme unterjährige Zinsrate . . . 22 Konjunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 konkav . . . . . . . . . . . . . . . 29, 44, 45, 47 - streng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29, 44 Konstantenvektor . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Kontradiktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Kontraposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 konvergente Folge . . . . . . . . . . . . . . . 16 www.wiwi-online.de

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Stichwortverzeichnis

konvergente Reihe . . . . . . . . . . . . . . . 17 konvex . . . . . . . . . . . . . . . 29, 44, 45, 47 - streng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29, 44 Koordinaten - eines Tupels . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 - eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Koordinatensystem - kartesisches . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Kreuzmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Kreuzprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 L Lagrange-Funktion . . . . . . . . . . . . . . 54 Lagrange-Methode . . . . . . . . . . . . . . 54 Lagrange-Multiplikatoren . . . . . . . . 54 Lagrange-Restglied . . . . . . . . . . . . . . 41 Länge eines Vektors . . . . . . . . . . . . . 64 Laplacescher Entwicklungssatz . . . 74 Laufzeit - bei einfacher Zinsrechnung . . . 20 - bei stetiger Verzinsung . . . . . . . 22 - bei Zinseszinsrechnung . . . . . . . 21 - einer konstanten Rente . . . . . . . 23 l’Hospitalsche Regeln . . . . . . . . . . . . 35 linear abhängig . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 linear unabhängig . . . . . . . . . . . . . . . 64 lineare Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 lineare Optimierung . . . . . . . . . . . . . 82 lineares Gleichungssystem . . . . . . . 76 Linearkombination . . . . . . . . . . . . . . 64 linksseitig stetig . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 linksseitiger Grenzwert . . . . . . . . . . 34 logarithmische Differentiation . . . . 39 Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . 32 Lösbarkeit lin. Gleichungssysteme 77 c WiWi-Media AG, 2013

Lösung - eines lin. Gleichungssystems . . 77 - optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . 84–87 - zulässige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Lösungsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Lücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32, 36 M Mac Laurinsche Form. . . . . . . . . . . .42 Mächtigkeit einer Menge . . . . . . . . . 10 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 - Addition von . . . . . . . . . . . . . 66, 70 - definite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69, 70 - Diagonal- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 - Dreiecks- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 - Einheits- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 - erweiterte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 - Gleichheit von . . . . . . . . . . . . . . . 65 - Hauptdiagonale von . . . . . . . . . . 67 - indefinite . . . . . . . . . . . . . . . . 69, 70 - inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69, 70 - Kofaktoren von . . . . . . . . . . . . . . 73 - Komponenten von . . . . . . . . . . . 65 - Minoren von . . . . . . . . . . . . . . . . 73 - Multiplikation mit Skalar . . 66, 70 - Multiplikation zweier . . . . . 66, 70 - Nebendiagonale von . . . . . . . . . 67 - Null- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 - orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 - quadratische . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 - Rang von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 - reguläre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 - singuläre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 - Subtraktion von . . . . . . . . . . . . . . 66 - symmetrische. . . . . . . . . . . . . . . .68 www.wiwi-online.de

Stichwortverzeichnis - transponierte . . . . . . . . . . . . . 67, 70 - Unter- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 - verkettbare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Maximierungsaufgabe . . . . . . . . . . . 82 Maximum - globales . . . . . . . . . . . . . . . . . 42, 54 - lokales . . . . . . . . . . . 42–44, 52, 54 Mehrfachintegral . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Menge(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 - Differenz von . . . . . . . . . . . . . . . . 11 - disjunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 - Durchschnitt von . . . . . . . . . . . . 11 - Elemente einer . . . . . . . . . . . . . . 10 - Gleichheit von . . . . . . . . . . . . . . . 10 - Grund- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 - Kardinalzahl einer . . . . . . . . . . . 10 - Komplement einer . . . . . . . . . . . 12 - leere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 - Mächtigkeit einer . . . . . . . . . . . . 10 - Ober- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 - Potenz- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 - Teil- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10, 11 - Vereinigung von . . . . . . . . . . . . . 11 - Verknüpfungen von . . . . . . . . . . 11 - zulässige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Mengenverknüpfungen . . . . . . . . . . . 11 - Eigenschaften von . . . . . . . . . . . 12 - mehrfache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Minimierungsaufgabe . . . . . . . . . . . . 82 Minimum - globales . . . . . . . . . . . . . . . . . 42, 54 - lokales . . . . . . . . . . . 42–44, 52, 54 Minor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 mittelbare Funktion . . . . . . . . . . . . . . 28 Mittelwertsatz c WiWi-Media AG, 2013

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- der Differentialrechnung . . . . . . 38 - der Integralrechnung . . . . . . . . . 59 monoton fallend . . . . . . . . . . 15, 29, 42 - streng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29, 42 monoton steigend . . . . . . . . . 15, 29, 42 - streng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29, 42 N nachschüssige Zahlung . . . . . . . . . . . 20 Nebenbedingungen - lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Nebendiagonale . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Negation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 negativ definit . . . . . . . . . . . . . . . 69, 70 negativ semidefinit . . . . . . . . . . . 69, 70 Newtonverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Nichtbasisvariable . . . . . . . . 78, 83, 85 Nichtnegativitätsbedingungen. . . . .82 Niveaulinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 nominelle Zinsrate . . . . . . . . . . . 21, 22 Norm eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . 64 Normalenform . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Normalenvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Normalform - Erzeugung einer . . . . . . . . . . . . . 83 - lin. Optimierungsprobleme. . . .82 n-Tupel - geordnetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Nullfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Nullmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Nullstelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 - einer gebrochen-rat. Funktion . 32 Nullstellenberechnung . . . . . . . . . . . 30 Nullstellensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Nullvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 www.wiwi-online.de

108

Stichwortverzeichnis

Nutzungsdauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 primales Problem . . . . . . . . . . . . 86, 87 Produkt O - inneres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Obermenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 - kartesisches . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 - echte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Produktmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Optimierung Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 - lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Punkt-Richtungs-Form - nichtlineare . . . . . . . . . . . . . . 52, 53 - einer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Optimierungsproblem - einer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . 71 - in Normalform . . . . . . . . . . . . . . 82 Punktelastizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 - lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 punktsymmetrische Funktion . . . . . 29 - Standardform eines linearen. . .82 Ordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Q quadratische Form . . . . . . . . . . . . . . . 69 P Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Paar - geordnetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 R Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Randwertaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Parameterform einer Ebene . . . . . . . 72 Rang einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . 65 Partialsumme . . . . . . . . . . . . . . . . 17, 18 Ratentilgung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 - einer arithmetischen Folge . . . . 17 Rechenregeln - einer geometrischen Folge . . . . 17 - für Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . 38 - für Beträge von Vektoren . . . . . 64 periodische Funktion . . . . . . . . . . . . 29 Pivotelement . . . . . . . . . . . . . . . . 79, 85 - für Determinanten . . . . . . . . . . . 75 Pivotspalte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79, 85 - für Elastizitäten . . . . . . . . . . . . . . 41 Pivotzeile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79, 85 - für Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . 35 Polstelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32, 36 - für Integrale . . . . . . . . . . . . . 55, 58 Polynom - für konvergente Folgen . . . . . . . 16 - für Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 - charakteristisches . . . . . . . . . . . . 80 - n-ten Grades . . . . . . . . . . . . . . . . 31 - für Mengenverknüpfungen . . . . 12 Polynomdivision . . . . . . . . . . . . . . . . 32 - für Ränge von Matrizen . . . . . . 65 positiv definit . . . . . . . . . . . . . . . . 69, 70 - für Skalarprodukte . . . . . . . . . . . 64 positiv semidefinit . . . . . . . . . . . 69, 70 rechtsseitig stetig . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Potenzfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 rechtsseitiger Grenzwert . . . . . . . . . 34 Potenzmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Reflexivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10, 11 c WiWi-Media AG, 2013

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Stichwortverzeichnis Regel - Cramersche . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 - von l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . 35 - von Sarrus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Regula falsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 - arithmetische . . . . . . . . . . . . . . . . 17 - divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 - geometrische . . . . . . . . . . . . . 17, 18 - Grenzwert von . . . . . . . . . . . . . . . 17 - konvergente . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 - Summe von . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 - unendliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 - Wert von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Relation - als Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . 14 - als Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 - antisymmetrische . . . . . . . . . . . . 14 - binäre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13, 14 - inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 - irreflexive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 - reflexive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 - symmetrische. . . . . . . . . . . . . . . .14 - transitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Rente - arithmetisch steigende . . . . . . . . 24 - Barwert einer . . . . . . . . . . . . . . . . 23 - Barwert einer dyn. ewigen . 24, 25 - Barwert einer dynamischen24, 25 - Barwert einer konst. ewigen . . . 23 - dynamische . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 - dynamische ewige . . . . . . . . 24, 25 - Endwert einer . . . . . . . . . . . . . . . 23 - Endwert einer dynamischen24, 25 - geometrisch steigende . . . . . . . . 25 c WiWi-Media AG, 2013

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- konstante . . . . . . . . . . . . . . . . 23, 24 - Laufzeit einer konstanten . . . . . 23 - unterjährige Verzinsung einer . 24 - unterjährige Zahlungen einer . . 24 Rentenbarwertfaktor . . . . . . . . . . . . . 23 Rentenendwertfaktor. . . . . . . . . . . . .23 Resonanzfall . . . . . . . . . . . . . . . . 93, 96 Restglied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 - in Lagrange-Form . . . . . . . . . . . . 41 Restschuld - bei Annuitätentilgung . . . . . . . . 26 - bei Ratentilgung . . . . . . . . . . . . . 25 Riemann-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Riemann-Summe . . . . . . . . . . . . 57, 58 S Sarrus - Regel von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Sattelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45, 52 Satz vom komplementären Schlupf 87 Satz von Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . 50 Schattenpreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Schaubild einer Funktion . . . . . 28, 46 Schlupf - komplementärer . . . . . . . . . . . . . 87 Schlupfvariablen . . . . . . . . . 83, 84, 87 Schnittmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Schranke einer Funktion . . . . . . . . . 28 semidefinit - negativ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69, 70 - positiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69, 70 Simplextableau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Simplexverfahren . . . . . . . . . . . . 83, 84 - Ablauf beim . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 www.wiwi-online.de

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Stichwortverzeichnis

Spaltenvektor . . . . . . . . . . . . . . . . 62, 65 Sprung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Standardmaximumproblem . . . . . . . 82 Standardminimumproblem . . . . . . . 82 stationärer Punkt . . . . . . . . . . . . . 43, 52 stetig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36, 47 - linksseitig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 - rechtsseitig . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 stetige Verzinsung . . . . . . . . . . . . . . . 22 Stetigkeit einer Funktion . . . . . . . . . 36 Störgliedansatz . . . . . . . . . . . . . . 92, 96 Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . 59 Summe einer Reihe . . . . . . . . . . . . . . 17 Summenregel . . . . . . . . . . . . . . . . 38, 58 surjektiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 symmetrische Funktion . . . . . . . . . . 29

Tilgungsdauer - bei Annuitätentilgung . . . . . . . . 26 Transitivität - bei Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 - bei Mengen . . . . . . . . . . . . . . 10, 11 transponierte Matrix . . . . . . . . . . . . . 67 Tupel - geordnetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 U Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 - Ableitung der . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Umkehrrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 uneigentlicher Grenzwert. . . . . . . . . 34 unelastisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Unendlichkeitsstelle . . . . . . . . . . . . . 36 Unstetigkeitsstelle. . . . . . . . . . . .32, 36 Unterdeterminante . . . . . . . . . . . . . . . 73 unterjährige Rentenzahlungen . . . . 24 unterjährige Verzinsung . . . . . . 21, 24 unterjährige Zinsrate - konforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 - relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Untermatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Urbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

T Tangentenverfahren . . . . . . . . . . . . . . 30 Tangentialebene . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Tangentialhyperebene . . . . . . . . . . . . 51 Tautologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6, 8 Taylor-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Taylor-Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 V Teilmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Teilmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Variable - abhängige . . . . . . . . . . . . . . . 27, 46 - echte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 - Basis- . . . . . . . . . . . . . . . . 78, 83–85 Teilsumme einer Folge . . . . . . . . . . . 17 - Nichtbasis- . . . . . . . . . . . 78, 83, 85 Terrassenpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 - Schlupf- . . . . . . . . . . . . . 83, 84, 87 Tilgungsbetrag - unabhängige . . . . . . . . . . . . . 27, 46 - bei Annuitätentilgung . . . . . . . . 26 - bei Ratentilgung . . . . . . . . . . . . . 25 Variablensubstitution . . . . . . . . . . . . 53 - konstanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Variation der Konstanten . . . . . . . . . 90 c WiWi-Media AG, 2013

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Stichwortverzeichnis Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 - Addition von . . . . . . . . . . . . . . . . 62 - Betrag von . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 - Eigen- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 - Einheits- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 - inneres Produkt von . . . . . . . . . . 64 - Länge von. . . . . . . . . . . . . . . . . . .64 - linear abhängige . . . . . . . . . . . . . 64 - linear unabhängige . . . . . . . . . . . 64 - Linearkombination von . . . . . . . 64 - Normalen- . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 - Null- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 - skalare Multiplikation von . . . . 62 - Skalarprodukt von . . . . . . . . . . . 64 - Spalten- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 - Subtraktion von . . . . . . . . . . . . . . 62 - Zeilen- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 - zulässige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Veränderliche . . . . . . . . . . . . . . . . 27, 46 Vereinigungsmenge . . . . . . . . . . . . . . 11 verkettbare Matrizen . . . . . . . . . . . . . 66 Verkettung von Funktionen . . . . . . . 28 Verknüpfung - von Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . 6 - von Funktionen . . . . . . . . . . 28, 36 - von Mengen . . . . . . . . . . . . . 11, 12 Verzinsung - einfache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 - stetige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 - unterjährige . . . . . . . . . . . . . . 21, 24 vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . 9 vorschüssige Zahlung . . . . . . . . . . . . 20

111

Wahrheitswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Wendepunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . 44, 45 Wert einer Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Wertebereich . . . . . . . . . . . . . . . . 27, 46 Widerspruchsbeweis . . . . . . . . . . . . . . 9 Wronski-Determinante . . . . . . . 90, 95 Wurzelfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Z Zahlenfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Zeilenumformungen - elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Zeilenvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . 62, 65 Zielfunktion - lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Zinsbetrag - bei Annuitätentilgung . . . . . . . . 26 - bei einfacher Zinsrechnung . . . 20 - bei Ratentilgung . . . . . . . . . . . . . 25 Zinsfuß - interner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Zinsintensität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Zinsrate - bei einfacher Zinsrechnung . . . 20 - bei stetiger Verzinsung . . . . . . . 22 - bei Zinseszinsrechnung . . . . . . . 21 - effektive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 - konforme unterjährige . . . . . . . . 22 - nominelle . . . . . . . . . . . . . . . . 21, 22 - relative unterjährige . . . . . . . . . . 22 Zinstage - bei einfacher Zinsrechnung . . . 20 zulässige Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Zulässigkeitsbereich . . . . . . . . . . . . . 82 W Zwei-Punkte-Form . . . . . . . . . . . . . . 71 Wahrheitstafel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . 36 c WiWi-Media AG, 2013