การหาจำนวนรูปสามเหลี่ยมทั้งหมดในรูปสามเหลี่ยม n หน่วย

การนับรูปสามเหลียมทั้งหมดในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

By W.Phoodee

1

จะนับรูปสามเหลีย่ มทัง้ หมดได้ อย่ างไร ผูอ้ ่านเคยพบกับปั ญหาในการนับจานวนรู ปสามเหลี่ยมไหมครับ ในบทความนี้ผเู้ ขียนจะ นาเสนอเกี่ยวกับวิธีการคิดในการนับจานวนรู ปสามเหลี่ยมโดยใช้ลาดับและอนุกรมเข้ามาใช้ช่วยใน การหาสู ตรการคานวณหาจานวนรู ปสามเหลี่ยมที่อยูภ่ ายในทั้งหมดของรู ปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มี ฐานยาวเท่ากับ n หน่วย จานวนรู ปสามเหลี่ยมที่อยูภ่ ายในรู ปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีฐานยาว 4 หน่วย จะได้ดงั นี้ รู ปสามเหลี่ยมฐานยาว 1 หน่วยมีจานวน 16 รู ป รู ปสามเหลี่ยมฐานยาว 2 หน่วยมีจานวน 7 รู ป รู ปสามเหลี่ยมฐานยาว 3 หน่วยมีจานวน 3 รู ป รู ปสามเหลี่ยมฐานยาว 4 หน่วยมีจานวน 1 รู ป ดังนั้นจะมีจานวนรู ปสามเหลี่ยมภายในทั้งหมด 27 รู ป อีกหนึ่งตัวอย่างนะครับ ในรู ปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีฐานยาว 7 หน่วย เราจะมีรูปสามเหลี่ยมภายใน ทั้งหมดกี่รูปครับ รู ปสามเหลี่ยมฐานยาว 1 หน่วยมีจานวน 49 รู ป รู ปสามเหลี่ยมฐานยาว 2 หน่วยมีจานวน 31 รู ป รู ปสามเหลี่ยมฐานยาว 3 หน่วยมีจานวน 21 รู ป รู ปสามเหลี่ยมฐานยาว 4 หน่วยมีจานวน 13 รู ป รู ปสามเหลี่ยมฐานยาว 5 หน่วยมีจานวน 7 รู ป รู ปสามเหลี่ยมฐานยาว 6 หน่วยมีจานวน 3 รู ป รู ปสามเหลี่ยมฐานยาว 7 หน่วยมีจานวน 1 รู ป ดังนั้นจะมีจานวนรู ปสามเหลี่ยมภายในทั้งหมด 125 รู ป แน่นอนว่าถ้าเกิดว่ามีรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีฐานยาว n หน่วย ละครับเราจะต้องนับ ยังไง ก่อนอื่นผูเ้ ขียนจะแยกการพิจารณาออกเป็ น 2 ส่ วนคือ รู ปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีฐานยาว 1 หน่วย และ รู ปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีฐานยาวตั้งแต่ 2 หน่วย ขึ้นไป

2

แถวที่

รู ปสามเหลีย่ ม

จานวนรู ปสามเหลีย่ มทีม่ ีความ ยาวฐาน 1 หน่ วย

1. พิจารณารู ปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีฐานยาว 1 หน่วย ที่อยูใ่ นรู ปสามเหลี่ยมด้านเท่าทั้งหมด

1

1

2

3

3

5

4

7







3

จากตารางจะพบว่า เราจะสามารถพิจารณารู ปสามเหลี่ยม 1 หน่วยในการนับออกได้เป็ น 2 ลักษณะ ได้แก่ ลักษณะที่ 1 รู ปสามเหลี่ยม 1 หน่วยที่มีหวั ตั้ง

ลักษณะที่ 2 รู ปสามเหลี่ยม 1 หน่วยที่มีหวั กลับ

ดังนั้นแต่ละแถวจะประกอบด้วย 1, 3, 5,7, ... นัน่ เอง ต่อมาประเด็นที่เราสนใจคือว่า ถ้านา จานวนคี่ที่เริ่ มจากต้นจาก 1 มาบวกกันไปเรื่ อยๆ แบบรู ้จบ กล่าวคือ คงตัวสุ ดท้ายเอาไว้ หลายท่าน ทราบเช่นนี้วา่ 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n เมื่อ n เป็ นจานวนนับใดๆ ขอย้อนกลับดูการพิสูจน์ แบบอุปนัยทางคณิ ตศาสตร์ (mathematical induction) ดังนี้ ให้ P(n) แทน 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n สมการที่ 1 กรณี ที่ 1 : n = 1 เมื่อแทน n = 1 ใน P(n) 2(1) - 1 = 12 2-1 =1 1 = 1 เป็ นจริ ง แสดงว่า P(1) เป็ นจริ ง กรณี ที่ 2 : ให้ P(k) เป็ นจริ ง จะแสดงว่า P(k+1)เป็ นจริ ง ยอมรับว่า 1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) = k เพราะให้ P(k) เป็ นจริ ง 1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) + [2(k+1) - 1] = k + [2(k+1) - 1] บวกด้วยสิ่ งที่เท่ากัน = k + (2k+2 - 1) การแจกแจง = k + 2k + 1 = (k+1)(k+1) = (k+1)2 นัน่ คือ P(k+1) เป็ นจริ ง ดังนั้นพจน์ทวั่ ไปของรู ปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีฐาน ยาว 1 หน่วย ที่อยูใ่ นรู ปสามเหลี่ยมด้านเท่าทั้งหมดเท่ากับ n 2

2

2

2

2

2

2

4

2. รู ปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีฐานยาวตั้งแต่ 2 หน่วย ขึ้นไป (ผูเ้ ขียนขอยกตัวอย่างรู ป สามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีฐานยาว 7 หน่วย)

จากภาพจะเห็นว่าเป็ นรู ปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีฐานยาว 7 หน่วย โดยผูเ้ ขียนจะพิจารณา จากรู ปสามเหลี่ยมตั้งแต่สองหน่วยขึ้นไปโดยจะมีลกั ษณะดังต่อไปนี้(ผูเ้ ขียนจะพิจาณาจากรู ปที่มี ขนาดใหญ่ไปหาขนาดเล็ก) ลักษณะที่ 1 รู ปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีฐานยาว 7 หน่วย มี 1 แบบ นับได้ 1 รู ป

ลักษณะที่ 2 รู ปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีฐานยาว 6 หน่วย มี แบบ นับได้ 3 รู ป

5

ลักษณะที่ 3 รู ปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีฐานยาว 5 หน่วย มี แบบ นับได้ 7 รู ป

ลักษณะที่ 4 รู ปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีฐานยาว 4 หน่วย มี 1 แบบ นับได้ 13 รู ป ต่อมาเราจะมาพิจารณาในส่ วนที่เป็ นรู ปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีฐานยาวตั้งแต่สองหน่วยขึ้น ไป เนื่องจากเราจะไม่พิจารณารู ปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีฐานยาว 1 หน่วย ดังนั้นเราจะพิจารณาไป ถึงพจน์ที่ n-1 จะได้ดงั นี้ 1 3 7 13 21 31 ... (m-1) พิจารณาพจน์ที่ n -1 จะได้ a1 = 1 = 1 x 1 a 2 = 3 = 2(1)+ 1 a 3 = 7 = 3 (2)+ 1 a 4 = 13 = 4 (3)+1  an1

=

m(m  1)  1

เราต้องการหาผลรวมของรู ปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีฐานยาวตั้งแต่สองหน่วยขึ้นไปที่อยูภ่ ายใน ทั้งหมดของรู ปสามเหลียมด้านเท่าที่มีฐานยาวเท่ากับ n หน่วย จะได้ n 1

n 1

n 1

n 1

 a   m(m  1)  1

สมการที่ 2

6

จากสมการที่ 1และสมการที่ 2 จะได้วา่ ของจานวนรู ปสามเหลี่ยมที่อยูภ่ ายในรู ปสามเหลี่ยม ด้านเท่าที่มีฐานยาว n หน่วย ดังนี้ n 1

M  n 2   m(m  1)  1 m 1

ให้ M แทนจานวนรู ปสามเหลี่ยมทั้งหมดที่อยูภ่ ายในสามเหลี่ยมด้านเท่าฐานยาว n หน่วย จะได้สมการดังนี้ n 1

M  n 2   m(m  1)  1 m 1 n 1





n 1

n 1

n 1

m 1

m 1

m 1

M  n   m2  m  1 2

m 1

M  n 2   m 2   m  1 (n  1)n(2n  1) n 2  n   (n  1) 6 2 2n 3  3n 2  n n 2  n M  n2    (n  1) 6 2 1 M  n 2  2n 3  3n 2  n  3n 2  3n  6n  6 6 1 M  2n 3  10n  6 6 M  n2 

 



พิสูจน์โดยใช้อุปนัยเชิงคณิ ตศาสตร์สาหรับจานวนเต็มบวก n  2 ให้ Pm, n : n 2   mm  1  1  1 2n 3  10n  6 n 1

6

m 1

พิจารณา Pm,2 : 2 2  1  1 2(2) 3  10(2)  6 6

55

ดังนั้น

P(m,2)

เป็ นจริ ง



7

ให้ P(m, k ) เป็ นจริ ง ดังนั้น k 2   mm  1  1  1 2k 3  10k  6 n 1

6

m 1

k

พิจารณา (k  1) 2   m(m  1)  1 m 1

k 1

 k 2  2k  1   [m(m  1)  1]  k (k  1)  1 m 1

k 1

 k 2   [m(m  1)  1]  k 2  k  2 m 1

1  [2k 3  10k  6]  k 2  k  2 6 1  2k 3  10k  6  6k 2  6k  12 6 1  (2k 3  6k 2  6k  2)  10  10k  6 6 1  2(k 3  3k 2  3k  1)  10(k  1)  6 6 1  2(k  1) 3  10(k  1)  6 6 P(m, k  1) เป็ นจริ ง















ดังนั้น ดังนั้น

n 1

M  n 2   mm  1  1  m 1





1 3 2n  10n  6 6

 สาหรับทุกจานวนเต็มบวก n  2

ดังนั้นจะสรุ ปได้วา่ จานวนรู ปสามเหลี่ยมที่อยูภ่ ายในทั้งหมดของรู ปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มี ฐานยาวเท่ากับ n หน่วย มีสูตรในคานวณดังนี้ M



1 3 2n  10n  6 6



เมื่อ M แทนจานวนรู ปสามเหลี่ยมทั้งหมดที่อยูภ่ ายในสามเหลี่ยมด้านเท่าฐานยาว n หน่วย