FRACTALES
• Linares Acuña Xiomara
INTEGRANTES
• Mori Perez Evelyn • Pomacaja Mancilla Gianella • Velando Gonzales Victor • Vicente Tupiño Gaby
ETIMOLOGIA
• El término fractal es un vocablo derivado del latín, fractus (participio pasado de frangere), que significa quebrado o fracturado y se lo utiliza para designar a objetos “semigeométricos” cuya estructura básica se repite a diferentes escalas.
BENOÎT MANDELBROT • Fue el creador de la geometría fractal, al presentarla en su libro The Fractal Geometry of nature en 1982. • Desarrolló una teoría que describe mejor los contornos irregulares y aparentemente caóticos del mundo que nos rodea: sus fórmulas permiten estudiar la configuración de árboles y nubes, cordilleras y costas, células y órganos, compuestos químicos y galaxias.
PROPIEDADES • DIMENSIÓN NO ENTERA. Como se mostrará en el apartado siguiente la dimensión de un fractal no es un número entero sino un número generalmente irracional.
• COMPLEJA ESTRUCTURA A CUALQUIER ESCALA. Los fractales muestran estructuras muy complejas independientemente de la escala a la cual lo observemos.
• INFINITUD. Se consideran infinitos ya que a medida que aumentamos la precisión del instrumento de medición observamos que el fractal aumenta en longitud o perímetro.
• AUTOSIMILITUD. Existen fractales plenamente autosimilares de manera que el todo está formado por pequeños fragmentos parecidos al todo.
GEOMETRÍA FRACTAL • Busca y estudia los aspectos geométricos que son invariantes con el cambio de escala. • Es la geometría de los contornos irregulares de la naturaleza. Piense en el hombre primitivo: él estaba rodeado de muy pocas formas simples, como la luna llena o la pupila del ojo. En su experiencia había casi exclusivamente contornos accidentados.
De estas observaciones se puede concluir que la duplicación ocurre a razón exponencial de 2, 4, 8 y así sucesivamente. Aritméticamente, estos números pueden expresarse como:
Siendo P las porciones obtenidas del número de divisiones n elevado a la dimensión D. Si examinamos el valor del exponente en cada caso, encontramos que éste es idéntico al valor de la dimensión de cada objeto: 1, 2 y 3. Así pues esta forma de calcular la dimensión de un objeto resulta totalmente válida.
EJEMPLOS
TRIANGULO DE SIERPINSKI
ALFOMBRA DE SIERPINSKI
โ ขDibujamos un triangulo grande, colocamos otros tres triรกngulos en su interior a partir de sus esquinas, repetimos el ultimo paso
EL CONJUNTO DE MANDELBROT • Fue propuesto en los años setenta, pero no fue hasta una década más tarde cuando pudo representarse gráficamente con un ordenador. Este conjunto se define a partir de un número “c” cualquiera, que define la siguiente sucesión:
• Para diferentes valores de “c”, obtenemos diferentes sucesiones. Si la sucesión es acotada, “c” pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no, queda excluido. Por ejemplo, para c=1 se obtiene: 0, 1, 2, 5, 26, 677, etc.(0, 1=02+1, 2=12+1, 5=22+1, etc.) Para c=-0.5 obtenemos 0, -0.5, -0.25, -0.4375, -0.30859375, -0.404769897, etc. De esta forma, c=-0.5 pertenece al conjunto y c=1 no.
APLICACIONES • Estudio de los suelos para la prospección petrolera. • Diseño de circuitos electrónicos. • Virus del SIDA • Estudio del cuerpo humano y de microorganismos, elaboración de fármacos. • Análisis de tablas de variaciones de precios. • Arquitectura e ingeniería. • Pintura y música.
FRACTALES EN EL CINE • El ingeniero canadiense Loren Carpenter debía recrear virtualmente los nuevos aviones no sobre una imagen estática, sino en un escenario realista por el que pudieran evolucionar. Tras leer "The Fractal Geometry of Nature" de Benoît Mandelbrot, tuvo la idea de aproximar la forma de una montaña a partir de 100 triángulos dibujados a mano. Luego, un programa de ordenador iría fraccionando una y otra vez esos triángulos en nuevos triángulos, salientes o entrantes, siguiendo una pauta algorítmica.
En 1982, La ira de Khan (Star Trek II. N. Meyer) presentó por vez primera un escenario fractal en la pantalla de cine: el planeta Génesis recreado de forma muy sencilla en comparación con los efectos actuales.
. El siguiente fotograma es de Up (P. Docter y B. Peterson. 2009), producida por Pixar, compañía del Grupo Disney que hoy dirige Carpenter
FRACTALES EN LA PINTURA
• Realizado por Jackson Pollock. Cuando Taylor analizo la obra, encontro que no tenìa dimension fractal, por lo que seguramente habìa sido realizado por un artista.
FRACTALES NATURALES • Existen multitud de fractales naturales en las cosas que pasamos por alto cada día. Estos fractales no son infinitos (porque fuera del elegante universo de las matemáticas ese concepto es difícil), pero si son autosimilares a muchos niveles.
ARQUITECTURA FRACTAL
LE CORBUSIER •En 1922 Le Corbusier presentó su concepto de “villa”. Una de sus ideas era el desarrollo de una tipología habitacional para la construcción en altura en los centros urbanos, que debía tener el mismo confort que una villa aislada.
ZVI HECKER ZVI HECKER Casa en Espiral
FERNANDO HIGUERAS En la naturaleza la forma siempre es complementaciรณn de la funciรณn
DANIEL LIBESKIND MUSEO REAL DE ONTARIOÂ
MUSEO JUDIO DE BERLIN
ZAHA HADID Centro de Ciencias en AlemaniaÂ
MUCHAS GRACIAS