BLOQUE 1
M. C. Escher “Liberación” Litografía, 1955. 30
Competencias que se favorecen: • Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas eficientemente
Aprendizajes esperados • Resuelve problemas que implican el uso de las leyes de los exponentes y de la notación científica. • Resuelve problemas que impliquen calcular el área y el perímetro del círculo. • Resuelve problemas que implican el cálculo de porcentajes o de cualquier término de la relación: Porcentaje = cantidad base × tasa. Inclusive problemas que requieren de procedimientos recursivos. • Compara cualitativamente la probabilidad de eventos simples.
EJES Sentido numérico y pensamiento algebraico
Forma, espacio y medida
Manejo de la información
Problemas multiplicativos
Figuras y cuerpos
Proporcionalidad y funciones
• Resolución de multiplicaciones y divisiones con números enteros.
• Identificación de relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificación de las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos.
• Resolución de problemas diversos relacionados con el porcentaje, como aplicar un porcentaje a una cantidad; determinar qué porcentaje representa una cantidad respecto a otra, y obtener una cantidad conociendo una parte de ella y el porcentaje que representa.
• Cálculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo.
• Construcción de triángulos con base en ciertos datos. Análisis de las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones.
Medida • Resolución de problemas que impliquen el cálculo de áreas de figuras compuestas, incluyendo áreas laterales y totales de prismas y pirámides.
• Resolución de problemas que impliquen el cálculo de interés compuesto, crecimiento poblacional u otros que requieran procedimientos recursivos.
Nociones de probabilidad • Comparación de dos o más eventos a partir de sus resultados posibles, usando relaciones como: “es más probable que…”, “es menos probable que…”.
Análisis y representación de datos • Análisis de casos en los que la media aritmética o mediana son útiles para comparar dos conjuntos de datos.
31
Problemas multiplicativos
Los números y sus simétricos CONTENIDO: Resolución de multiplicaciones y divisiones con números enteros.
E
n primero de secundaria estuviste trabajando con simetrías, ¿recuerdas? Vamos a trabajar ahora con tu tablero de números positivos y negativos, en este tablero podemos trabajar con números positivos y negativos. Imagina que la línea que divide en dos partes tu tablero es tu eje de simetría. ACTIVIDAD 1 Para esta actividad vas a trabajar con un compañero. Uno de ustedes haga un diseño libre con regletas en el lado positivo del tablero y su compañero haga en diseño simétrico en el lado negativo del tablero. 1
Ahora traza en tu libro el simétrico del siguiente diseño.
2
Colorea tu diseño de acuerdo al valor de las regletas.
3
Ahora responde las siguientes preguntas:
TEMA
• ¿Qué valor toma el simétrico de la regleta roja? • ¿Y el simétrico de la regleta rosa?, ¿y el de la amarilla?
32
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Problemas multiplicativos
4
•
¡Bien! Entonces tenemos que:
El simétrico de +r es El simétrico de +v es El simétrico de +a es El simétrico de +R es 5
Ahora vamos a dibujar el simétrico del siguiente diseño:
6
Colorea tu diseño de acuerdo al valor de las regletas.
Responde las preguntas: • ¿Qué valor toma el simétrico de –r? • ¿Qué valor toma el simétrico de –R?, ¿y el de –v? Es decir: El simétrico de -r es El simétrico de -R es El simétrico de -v es De acuerdo….ahora te proponemos algo: para evitar escribir tantas veces “el simétrico”, cada vez que queramos encontrar un simétrico le pondremos un signo negativo (-), es decir que cada vez que veas este signo (-) junto a un número vas a pensar en el simétrico.
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
33
•
Problemas multiplicativos
ACTIVIDAD 2 Retomemos los ejercicios que ya resolviste en la actividad anterior sólo que ahora usaremos el signo (-) en lugar de escribir “simétrico” 1
El simétrico de +r = -(+r) = -r
2
El simétrico de +2 = -(+2) = -2
El simétrico de +v = -(+v) = -v 4 El simétrico de +3 = -(+3) = -3
3
5
El simétrico de +a = -(+a) = -a
6
El simétrico de +5 = -(+5) = -5
7
El simétrico de +R = -(+R) = -R
8
El simétrico de +4 = -(+4) = -4
¿Fácil?...ahora observa los siguientes: El simétrico de -r = - (-r) = +r El simétrico de -2 = -(-2) = +2 El simétrico de -R = - (-R) = +R El simétrico de -4 = -(-4) = +4 El simétrico de -v = - (-v) = +v El simétrico de -3 = -(-3) = +3 Cómo te habrás dado cuenta, encontrar el simétrico de un número equivale al mismo número pero con el signo contrario: -(-6) = -(+6) = -(+12) = -(-12) = -(+17) = - (-17) = • ¿Te has puesto a pensar que pasaría si queremos buscar el simétrico del simétrico de una figura? ¡Inténtalo en tu tablero! Construye un diseño, saca su simétrico y al diseño que construiste vuélvele a sacar su simétrico. 9
• ¿Qué sucedió? • ¿A dónde regresaste al sacar el simétrico del simétrico?
34
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Problemas multiplicativos
•
El simétrico del simétrico de una regleta amarilla, es decir de +a, lo representaríamos como: -(-(+a))=
Ponemos paréntesis para que podamos ver cuántas veces aplicamos el simétrico.
¡Así es!
-(-(+a))=+a ¡doble simétrico equivale a no hacer nada!
Imagina que a este doble simétrico le asignamos el signo positivo (+) y cuando lo veas pensaras, “no hago nada”, ¿de acuerdo? Observa: El simétrico del simétrico de +8 significa “no le hagas nada” a +8 Es decir – (-(+8)) = +8 Entonces: Un signo negativo te dice “cámbiale el signo al número” Un signo positivo te dice “no le hagas nada al número”
Hagamos ejercicios ¿Practicamos lo que aprendimos? 1
-(+4) =
6
-(-8) =
11
-(-15) =
2
+ (-8) =
7
-(+8) =
12
+(+7) =
3
-(-4) =
8
-(+7) =
13
+(-15) =
4
+(+4) =
9
+(+15) =
14
+(-7) =
5
+(+8) =
10
-(-7) =
15
-(+15) =
Ahora unos ejercicios más complicados: 1
+(+(-2)) =
2
-(-(-3)) =
3
+(-(+(-8))) =
4
-(+(-(+4))) =
5
-(-(+5)) = Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
35
• 6
+(+(+3)) =
7
-(-(-(-10))) =
8
-(+(-(-5))) =
Problemas multiplicativos
Te recomendamos ir resolviendo los paréntesis siempre de adentro hacia afuera. -(+(-3)) = - (-3) = +3 a (-3) primero no le hago nada, queda (-3)
a (-3) le saco su simétrico
Si te acostumbras a trabajar siempre así tus paréntesis, te ayudará a llevar un orden en el desarrollo de las operaciones.
Vamos a multiplicar Podríamos hacer con tus regletas las siguientes operaciones o representaciones: (r + r + r) que sería lo mismo que (3 veces r) Utilizaremos varias formas de escribir lo mismo, observa con atención: 3 veces r = 3r = 3 x 2 = 3 (2) ACTIVIDAD 3 Construye la siguiente secuencia con tus regletas, puedes usar tu tablero de positivos y negativos: 1
4 veces r
8
El triple de 10
2
2 veces N
9
El cuádruple de 2
3
8 veces 2
10
El doble de 15
4
3 veces 10
11
El triple de 4
5
5 ( 3)
12
3(4)
6
6(8)
13
El cuádruple de 3
7
Duplica el 10
14
4(3)
Hasta aquí muy sencillo, ¿no? • ¿Cuáles ejercicios te dan el mismo resultado?
36
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Problemas multiplicativos
•
Representa en tu tablero, formando un rectángulo (4 veces r) y ahora representa (4 veces –r) ó (4 veces –2) 1
• ¿Dónde te quedó el rectángulo? 2
Representa (2 veces N) y ahora representa (2 veces –N) o (2 veces –10)
• ¿Cambia el tamaño del rectángulo? • ¿Dónde dejarías el rectángulo, en el lado positivo o en el negativo? 3
Representa (8 veces 2) y (8 veces –2)
4
Representa (3 veces 10) y (3 veces –10)
5
Representa 5 (3) y 5 (–3)
6
6(8) y 6(–8)
7
Duplica el 10, y ahora duplica el –10
8
El triple de 10, y el triple de –10
9
El cuádruple de 2, y el cuádruple de –2
10
El doble de 15, y el doble de –15
11
El triple de 4, y el triple de –4
12
3(4), y 3(–4)
13
El cuádruple de 3, y el cuádruple de –3
14
4(3), y 4(–3)
ACTIVIDAD 4 Escribe los ejercicios anteriores en forma matemática, usando sólo números, signos y paréntesis. Algunos de ellos ya los escribiste de esta forma: 1
4 ( –___ )
8
3( –10 )
2
2( –___ )
9
____( 2 )
3
___ ( – 2 )
10
______
4
___ ( ___ )
11
______
5
5 ( ___ )
12
______
6
6(–8)
13
______
7
___( –10 )
14
______ Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
37
•
Problemas multiplicativos
¿Recuerdas la propiedad conmutativa? Si la aplicamos en la multiplicacion tenemos que 3 x 2 = 2 x 3. Es decir, que podemos alterar el orden de los factores sin alterar el resultado. Aplica la propiedad conmutativa en los siguientes ejercicios.
Operación
Aplicando la propiedad conmutativa
Resultado
4 (–2)
–2 (4)
–8
2 (–5)
–5 (2) –9(10)
(+4)(–2) (+7)(–1) El simétrico de 6 veces –3
–3 veces el simétrico de 6
–6 (–3)
18
(–8) (+8) (+9)(–9) El simétrico de 5 veces -5
-5 veces el simétrico de 5
El simétrico de -5 veces -5 –(5) (–5) –(–4)( 4) (–4)(–4) Con estos ejercicios te irás familiarizando con el uso de paréntesis en la multiplicación Operación
Aplicando la propiedad conmutativa
Resultado –18 –25
38
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Problemas multiplicativos
•
Inventa algunos ejercicios usando al menos un signo negativo Aplicando la propiedad conmutativa
Operación
Resultado
Ahora analizaremos algunos ejemplos de tu tabla anterior: Cuando resolviste “El simétrico de (6 veces –3)” quiere decir que colocaste 6 regletas “v” en la zona de los negativos de tu tablero de signos. • Por tanto, ¿qué signo tiene el resultado? Ahora, cuando resolviste el ejemplo (–8) (+8), • ¿Qué signo tiene el resultado?
Recuerda que decir el simétrico, equivale a cambiar de signo o de lugar un número en tu tablero de signos. Analicemos la siguiente tabla: Operación
Resultado
Signos de los factores
Signo del resultado
(+4)(–2)
–8
(+)(–)
(–)
(–4)(+2)
–8
(–)(+)
(–)
(+4)(+2)
+8
(+)(+)
(+)
(–4)(–2)
+8
(–)(–)
(+)
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
39
•
Problemas multiplicativos
Ahora inténtalo tú: Operación
Resultado
Signos de los factores
Signo del resultado
(+6)(–2) (–3)(+2) (+4)(+5) (–4)(–8) –8
(–)
– 16
(–)
(3)(+5) (–4)( ) (+5)(–12)
Observa y analiza todos los ejercicios que ya resolviste y responde: • ¿Qué signo obtienes al multiplicar un número positivo por un número negativo? • ¿Y si multiplicas dos positivos? • ¿Y dos negativos? A lo que acabamos de hacer se le conoce como ley de los signos para la multiplicación y establece que:
Combinación de signos
40
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Signo del resultado
(+)(+)
(+)
(+)(-)
(-)
(-)(-)
(+)
(-)(+)
(-)
Problemas multiplicativos
•
¡Ahora a dividir! • ¿Recuerdas cuál es la operación inversa a la suma? • ¿Y cuál es la operación inversa a la multiplicación? Vamos a retomar este conocimiento que ya tienes desde la primaria en la que sabes que si multiplicas un número por otro obtienes un resultado, y la operación inversa a la multiplicación es la división. Observa detenidamente: Sabemos que 3 veces 5 es igual a 15, ¿cierto?, es decir: 3(5)= 15 de ahí podemos deducir que 15/3 = 5 así como que 15/5 = 3
Lo mismo ocurre cuando estamos dividiendo números con signo (+3)(-5) = -15 entonces -15/+3 = -5 así como -15/-5 = +3 (-3)(-5) = +15 entonces +15/-3 = -5 así como +15/-5 = -3 (-3)(+5) = -15 entonces -15/-3 = +5 así como -15/+5 = -3 (+3)(+5) = +15 entonces +15/+3 = -5 así como +15/+5 = +3
¿Puedes deducir de aquí la “Ley de los signos para la división”?
Combinación de signos
Signo del resultado
(+)/(+)
(+)
(+)/(-)
(-)
(-)/(-)
(+)
(-)/(+)
(-)
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
41
•
Problemas multiplicativos
Hagamos ejercicios Completa la tabla resolviendo los ejercicios e indicando las operaciones inversas que correspondan en cada caso: 1
Operación
Operación inversa
21 x 28 = 8 x ___ = 32 54 9
=
42 7
=
(6)(-6) = (+8)(-6) = (+12)(-6) = -10 = (-5)(__) +20 = (+5)(+__ ) +20 = (-5)(__) -20 = (-5)(__) -20 = (+5)(__)
42
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
-15 -3
= +5
-15 +3
= -
+15 -3
= -
+15 +3
= +5
Problemas multiplicativos
•
Resuelve los siguientes ejercicios. Si tienen dificultad con alguno, comentenlo con el maestro y el grupo. 2
1
-11 x 0 =
16
(-3)(8) =
2
(-5)(-6) =
17
(+1)(+2) =
3
(+7)(-1) =
18
(-6)(-6) =
4
(-8.5)(+5) =
19
(- 25 )x(- 34 ) =
5
(-5)(+4)(-8) =
20
(- 13 )x(- 76 )(-3)=
6
(-2)(+5)(+1)(-3) =
21
(-6)(-3)(- 34 )(-0.2)(-1)=
7
(+9)(+7) =
22
( )÷(+7) = 9
8
( )(+3) = +24
23
( )÷(+3) =
9
( )(-6) = -30
24
(-30)÷( ) =
10
(-2)( ) = -8
25
(-8)÷(-2) =
11
(- 53 )(- 47 ) =
26
( )÷(-47 ) = -53
12
(-8.2)( ) =
27
( )÷(-1) = -8.2
13
(-7)( ) =
28
(-7)÷( ) = -7
14
(-12)(+1) =
29
(-12)÷( ) = +1
15
( )(-2.7) = 0
30
( )÷(-2.7) =
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
43
Problemas multiplicativos
Los aviones y las torres CONTENIDO: Cálculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo.
E
n la etapa propedéutica de tu libro estuvimos trabajando con los aviones para representar los productos, ¿recuerdas? 6 (4) se representa cruzando una regleta V y una R como si fueran un avión:
V (R) = 6 (4) = 24
TEMA
Cuando los productos tienen más de dos factores iguales, les llamamos torres.
(r) (r) (r) = 2 (2) (2)
Con una regleta de algún color busca qué altura tiene la torre. • ¿Cuál fue? Entonces podemos representar:
= (r) (r) (r)
=
r3
Exponente Base
44
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Problemas multiplicativos
•
Representa con tus regletas las siguientes torres y encuentra su altura. Da el resultado con notación en exponentes. 1
Una potencia es el resultado de multiplicar un número (la base) por sí mismo varias veces.
4 (4) (4) =
base
exponente
23 = 8
2
3 (3) (3) =
3
6 (6) =
4
5 (5) (5) (5) =
5
8 (8) (8) (8) (8) =
23 = 2 x 2 x 2 = 8
¿Y si multiplicamos más? Vamos ahora a representar los siguientes productos:
r 3:
r 4:
• ¿Qué pasa si te pedimos que multipiques (r3) (r4) ? • ¿Qué tienes qué hacer ?
Si lo desarrollamos tendríamos:
(r3) (r4) = (r) (r) (r) (r) (r) (r) (r) • ¿Qué altura tiene tu torre?
(r3) (r4) = r 3 + 4 = r 7
= Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
45
• ACTIVIDAD 1
Representa en forma de torre las siguientes expresiones y después escríbelas en notación exponencial de acuerdo a la altura de tu torre:
Para multiplicar potencias con la misma base, se deja la misma base y se suman los exponentes
am an = am+n
Problemas multiplicativos
1
( 83 ) ( 83 ) =
4
( 22 ) ( 24 ) ( 23 ) =
2
( 65 ) ( 62 ) =
5
( 7 4 ) ( 7 2) =
3
( 54 ) ( 52 ) =
6
( 3 3 ) ( 3 2) ( 3 ) =
• ¿Qué sucede con los exponentes cuando tus bases son iguales ?
Haz más ejercicios De esta forma ya no requieres de las regletas para resolver los siguientes ejercicios: 1
( 33 ) ( 32 ) ( 38 ) =
2
( 119 ) ( 1123 ) ( 112 ) =
3
( c15 ) ( c14 ) =
4
( 313 ) ( 321 ) ( 32 ) =
5
( a8 ) ( a9 ) ( a ) =
6
( 62 ) (62 ) ( 63 ) =
7
( 315 ) ( 313 ) ( 311 ) =
8
( 42 ) ( 43 ) ( 48 ) =
• ¿Y si elevamos una potencia a otra? Representa con tus regletas r3. Si quisieras elevar r3 al cubo, ¿qué harías?
(r 3) 3 = r 3
•
•
r3 46
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
•
r3
•
r3
•
r3
•
r3
Problemas multiplicativos
•
Si ponemos todo esto en una torre, ¿qué altura tendría?
(r 3) 3 = r 3
•
r3
•
r3=r9 Cuando
Representa con tus regletas las siguientes operaciones y encuentra la torre que te da el resultado final:
1
( 32 )3 =
6
( 42 )2 =
2
( 33 )2 =
7
( 52 )3 =
3
( 23 )4 =
8
( 62 )3 =
4
( 24 )3 =
9
( 102 )3 =
5
( 52 )4 =
10
( 93 )3 =
queremos
elevar un número expresado en potencias a otra potencia, se deja la misma base y se multiplican los exponentes.
(a m) n = a mn
• ¿Qué es lo que haces para obtener el resultado de una potencia elevada a otra?
Haz más ejercicios 1
( 32 )3 =
6
( y3 )3 =
2
( 73 )2 =
7
( m8 )8 =
3
( 43 )5 =
8
( z2 )3 =
4
( 24 )8 =
9
( 103 )9 =
5
( x2 )3 =
10
( x8 )2 = Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
47
•
Problemas multiplicativos
¿Y si hay que quitar pisos? Como verás en tu representación con regletas, cada vez que multiplicas un número por otro le aumentas un piso a la torre. • ¿Qué crees que haríamos con una torre, si en lugar de multiplicar por un número, la dividimos? Construye con tus regletas 32. Ahora divídelo entre 3.
32 = 3 (3) 3 3
El resultado de dividir potencias de misma base, se deja la base y se restan los exponentes.
am am
Es decir que si multiplicas le aumentas un piso a la torre y si divides, le quitas un piso.
m-n = a
32 = 3 (3) 3 3
Quito un piso Me dice: “quito un piso”
¿Qué sucede si tenemos 25 y queremos dividirla entre 23 ? Construye 25 en una torre con tus regletas y divídela 23. O sea, quítale 3 pisos a tu torre.
25 = 23
(2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2)
= 22
Realiza las siguientes operaciones con tus regletas. Representa tus torres y quítale los pisos que se te piden. 1
33 = 3
3
64 = 62
2
46 = 42
4
54 = 52
• ¿Qué les hacemos a los pisos de la torre cuando dividimos? • ¿Qué le hacemos al exponente de un número cuando dividimos entre la misma base? 48
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Problemas multiplicativos
•
Si tenemos una división de potencias con la misma base, basta con que restemos los exponentes:
am = a m - n an
Haz más ejercicios Ahora, ya sin tus regletas simplifica las siguientes operaciones: 1
308 = 302
4
1412 = 148
2
124 = 12
5
63 = 62
3
189 = 188
6
98 = 92
¡Se me acabaron los pisos! Vamos a utilizar la misma regla para que encuentres. a
62 = 62
b
89 = 89
c
16 3 = 16 3
d
14 8 = 14 8
• ¿Sabes cuánto vale en realidad un número elevado a la potencia cero?
2 = 1-1 = 0 2 2 2 Pero tú sabes que: 2 = 1 2 Observa:
Entonces:
20 = 1
Probemos con otro:
Pero sabemos que: Entonces:
24 = 4 - 4 = 0 2 2 24 24 = 16 = 24 16 1
20 = 1 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
49
•
Problemas multiplicativos
¿Podremos generalizar esto como una regla? Inténtalo. a
32 = 32
b
22 = 22
93 = 93
c
d
53 = 53
Entonces tenemos que:
Resuelve ahora: 1
90 =
4
45780 =
2
910 =
5
6’478,2500 =
3
10000 =
Todo número elevado a una potencia cero, es igual a la unidad
a0 = 1
¿Y si me faltan pisos? • ¿Qué pasaría ahora si el exponente del denominador fuera mayor que el exponente del numerador? Es decir:
43 46 • Si lo representas con regletas, ¿qué va a suceder? • ¿Cuántos pisos le van a faltar a tu torre para poder realizar la operación?
43 = 4 3-6 = 4 -3 46 O sea que el exponente negativo nos indica que nos faltaron pisos en la torre de regletas.
4 (4) (4) 43 = 4 (4) (4) (4) (4) (4) 46 Así que: 50
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
1 -3 3 = 4 4
=
1 43
•
Problemas multiplicativos
Realiza las siguientes operaciones. Escribe primero los exponentes en forma de producto. Cancela entre sí numerador y denominador. Después representa la división como resta de exponentes y compara ambos resultados.
1
73 = 75
2
9 = 97
3
123 = 128
4
154 = 156
5
17 = 179
ACTIVIDAD 2
Cualquier base elevada a una potencia negativa es igual a la unidad entre la base a la misma potencia pero positiva.
1 = a- m am
7
5
Haz más ejercicios Ahora elimina el exponente negativo en los siguientes ejercicios:
a
9-2 =
b
6-4 =
c
8-4 =
d
16 - 9 =
e
x -2 =
Lo que acabamos de trabajar se resume bajo el concepto de: “Leyes de los exponentes”
Multiplicar
Potencia
División
A0
Para multiplicar potencias con la misma base, se deja la misma base y se suman los exponentes
Cuando queremos elevar un
El resultado de
Todo número
dividir potencias de misma base, se deja la base y se restan los exponentes.
elevado a una potencia cero, es igual a la unidad.
am an = am+n
número expresado en potencias a otra potencia, se deja la misma base y se multiplican los exponentes.
(a m) n = a mn
am am
m-n = a
a0 = 1
Potencia Negativa Cualquier base elevada a una potencia negativa es igual a la unidad entre la base a la misma potencia pero positiva.
1 = a- m am
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
51
Figuras y cuerpos
En el estacionamiento CONTENIDO:
Identificación de relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificación de las relaciones TEMA entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos.
E
n esta lección vamos a analizar qué sucede cuando cortamos líneas entre sí. Encontraremos un uso práctico y muy común que le dan los dibujantes desde los arquitectos hasta los diseñadores de interiores y de ropa. ¿Qué sucede con las rectas?, ¿Qué tipo de ángulos se forman? Comenzamos...
ACTIVIDAD 1 El siguiente dibujo es el croquis de un plano de estacionamiento que está por construirse:
Banqueta
Jardinera Cajón de estacionamiento
Banqueta
52
Eje: Forma, espacio y medida
Figuras y cuerpos
•
Los constructores repiten varias veces este patrón y deben buscar la forma de acomodarlo para aprovechar los espacios en el terreno. Para poder construir sin problemas, los dibujantes deben trazar las inclinaciones correctas, así como los ángulos de las líneas de las jardineras con repecto a la banqueta, pues al momento de su construcción se necesitan estos datos para girar la figura sin mayor problema y queden todas de la misma forma y con la misma inclinación, para que los cajones sean equitativos en espacio. Vamos a trazarlo en tu geoplano:
Figura 1
¿Puedes encontrar el ángulo que deben saber los constructores para poder construir este estacionamiento (Figura 1)? Compara el resultado con tus compañeros. En tu geoplano Didacta sólo señalaste con unas cuantas ligas un croquis elemental del dibujo. Construye este mismo croquis en una hoja en blanco. Si te das cuenta el dibujo quedó más o menos así:
Si observas con atención te darás cuenta que hay un patrón que se repite.
Eje: Forma, espacio y medida
53
•
Figuras y cuerpos
Si juntamos 2 banquetas, el esquema básico será como la Figura 2
Figura 2 a
¿Cuántos ángulos tiene la figura?
b
Identifica cada ángulo con una letra.
c
¿Crees que todos son diferentes?
d
¿Cuáles crees que tengan la misma medida?
e
En el cruce de dos líneas rectas, ¿Cuántos ángulos se forman?
f
¿Cuánto es la suma de esos ángulos formados en cada cruce de líneas?
g
Ya tienes el valor de un ángulo, ¿puedes encontrar los demás valores? Anótalos aquí.
La estructura que estamos analizando es clásica en la geometría y la base de muchas cosas, tiene diferentes partes, así como diferentes ángulos y además estos ángulos también tienen nombre. Veamos:
b d f h
a c
e g Figura 3
54
Eje: Forma, espacio y medida
Figuras y cuerpos
•
Cuando un par de rectas paralelas son cortadas por una secante, se forman 8 ángulos que mantiene una relación entre ellos y se clasifican en: Ángulos opuestos por el vértice si la prolongación de los lados de uno son los lados del otro. Los ángulos opuestos por el vértice tienen la misma medida. (Ejemplo: los ángulos a y d de la figura 3) Los cuatro ángulos que quedan entre las rectas paralelas son los ángulos internos. (Ejemplo los ángulos internos son d, c, f, e de la figura 3) Los cuatro ángulos que quedan fuera de entre las rectas paralelas son los ángulos externos. (Ejemplo: los ángulos b, a, h, g)
Cuando un par de rectas paralelas son cortadas por una secante, se forman 8 ángulos. A la relación que forman entre ellos estos 8 ángulos se le conoce como ángulos relevantes. Los ángulos pueden ser: internos, externos, alternos-internos, alternos-externos y correspondientes.
Si dos ángulos no adyacentes se encuentran del mismo lado respecto de la secante, siendo uno interno y el otro externo, entonces los ángulos son correspondientes. (Ejemplo: los ángulos a y e) Si dos ángulos se encuentran en diferente lado respecto de la secante y no comparten el vértice, entonces los ángulos son alternos. (Ejemplo c y f; a y h) Pueden ser alternos internos si ambos están dentro de las paralelas (c y f) y alternos externos si están fuera de las paralelas (a y h) Si dos ángulos se encuentran en el mismo lado respecto de la secante y no comparten el vértice, entonces los ángulos son colaterales. (Ejemplo: b y h; d y f) Pueden ser colaterales internos si se encuentra dentro de las paralelas (d y f) y colaterales externos si se encuentran fuera de las paralelas (b y h).
¿Son iguales las aberturas? Ahora ya conoces los nombres de los ángulos, usaremos esos nombres. Si observaste con atención, algunos ángulos son iguales. Pero haremos esto más interesante; trabajaremos de manera concreta. Sigue con cuidado las siguientes instrucciones y al final contesta las preguntas que se te piden:
ACTIVIDAD 2
Toma una hoja de tu libreta y dóblala en 3 partes, no importa que no sean iguales. a
b
Te quedarán dos líneas paralelas, márcalas con tu lápiz.
Toma cualquiera de las 4 esquinas de tu hoja y dóblala de manera que sea en forma transversal a las paralelas, o sea que cruce ambas líneas. Marca con tu lápiz esta línea. c
Eje: Forma, espacio y medida
55
• d
Figuras y cuerpos
Marca y nombra los 8 ángulos que se forman entre esas 3 líneas.
Ahora corta la hoja de manera que el corte sea una línea recta y pase entre las dos paralelas que ya marcaste, también paralelamente. e
Ahora deberás verlos a contraluz de manera que el vértice de los primeros coincidan con los segundos. f
a
b
d
c
e
f
Intenta responder sin el uso del transportador:
56
Eje: Forma, espacio y medida
a
Los ángulos opuestos por el vértice, ¿tienen igual o diferente medida?
b
Los ángulos alternos internos, ¿tienen igual o diferente medida?
c
Los ángulos alternos externos, ¿tienen igual o diferente medida?
d
Los ángulos correspondientes, ¿tienen Igual o diferente medida?
e
Los ángulos suplemetarios, ¿cuánto suman?
f
Los ángulos colaterales internos, ¿cuánto suman?
Figuras y cuerpos g
•
Los ángulos colaterales externos, ¿cuánto suman?
Ángulos y paralelogramos En esta nueva parte de la lección trabajaremos lo que ya aprendiste, pero ahora usaremos dos figuras como la estructura principal. Traza en una hoja en blanco dos líneas paralelas y además dos transversales a éstas, que también deberán ser paralelas. a
Indica todos los ángulos que se obtienen y nómbralos. Deben ser 16 ángulos b
a c
b d
Figura 4
¿Cuánto suman los 4 ángulos que se observan en el cruce de cualesquiera dos líneas rectas? c
Si observas con atención, la suma de los ángulos a y b debe ser 1800, aunque no conozcas el valor de cada uno de ellos. De la misma manera los ángulos c y d suman 1800 también.
d
¿Cuánto crees que debe valer la suma de los ángulos a y c?
Eje: Forma, espacio y medida
57
• e
Figuras y cuerpos
¿Cuánto crees que deben valer la suma de los ángulos b y d?
¿Será el mismo valor de los ángulos a, b, c y d en todos los cruces de las líneas? f
Observa con atención y verás como todos los ángulos a, b, c y d quedan dentro del paralelogramo formado con las paralelas:
a c a c
a
b d
c a
b d
c
b d
b d Figura 5
AsÍ que podemos concluir que la suma de este cuadrilátero es de:_____0 Y si dividimos el cuadrilátero en dos partes iguales con diagonales, de manera que formemos triángulos, ¿cuál crees que sea la suma de todos los ángulos de cada uno de esos dos triángulos?______0
Veamos que pasa en el geoplano Construye la siguiente figura
a
c
b Ángulo central Ángulo interno Figura 6
58
Eje: Forma, espacio y medida
Figuras y cuerpos
•
Observa la figura y responde: a
¿Cuánto mide cada ángulo interno del cuadrado?
b
¿Cuánto mide el ángulo central?
c
¿Cuánto medirán los ángulos a y b?
d
¿Cuánto medirá el valor de la suma de los ángulos a, b y c?
e
¿Cuánto miden la suma de los 4 ángulos internos del cuadrado?
Ahora, con ayuda de tu geoplano Didacta circular y tu cuaderno de registro, construye algunos polígonos más y analiza sus triángulos formados para estudiar la suma de los ángulos de esos triángulos. 1
Construye un hexágono regular en tu geoplano Didacta.
2
Dibújalo en tu cuaderno de registro circular.
3
Dibuja los triángulos que forma cada uno de sus lados con el centro.
4
¿Qué tipo de triángulos se forman?
5
¿Qué características tienen estos triángulos?:
a
_________________________________________________
b
_________________________________________________
ACTIVIDAD 3
Eje: Forma, espacio y medida
59
•
Figuras y cuerpos
En el siguiente registro circular, sin usar tu transportador, investiga el valor de cada uno de los ángulos de los triángulos A, B, C, D. ¡Puedes trabajar en equipo! A B C D
Figura 7
Escribe tus estrategias y conclusiones:
¿Cuánto suman los ángulos internos de cada triángulo?
60
Eje: Forma, espacio y medida
Figuras y cuerpos
•
En esta actividad veremos de manera concreta cuánto miden los ángulos internos de un triángulo, de cualquier triángulo:
ACTIVIDAD 4
Toma una hoja de papel y recorta un triángulo como sea, puede ser equilátero, isósceles, escaleno, acutángulo, obtusángulo o rectángulo. Por ejemplo, te mostraremos un triángulo rectángulo que además es triángulo isósceles. a
Marca los 3 ángulos: a, b, c. Recorta las puntas del triángulo.
b
Junta las puntas, las esquinas donde están los ángulos marcados, y verás como en cualquier caso siempre suman 180o. c
a a 900
900
b b
Figura 8
Intentalo con diferentes triángulos
Eje: Forma, espacio y medida
61
•
Figuras y cuerpos
Hagamos ejercicios 1
Observa la siguiente figura y responde:
a c e g
b d
f h
a
Si
a = 144 o , cuánto mide
b=
c=
d=
b
Si
e = 150 o , cuánto mide
d=
h=
f=
c
Si c = 49 o , cuánto mide
g=
d
Si
e=
g = 86 o , cuánto mide
f= f=
a= h=
Mide con tu transportador los ángulos del siguiente cuadrilátero, traza sus diagonales; mide o calcula los ángulos que se forman en cada vértice de la figura y los ángulos centrales que forman las diagonales. 2
Ahora tú traza un cuadrilátero cualquiera, traza sus diagonales y encuentra los ángulos que se forman en cada vértice (con tu transportador) y los ángulos centrales que forman sus diagonales. 3
62
Eje: Forma, espacio y medida
V
amos a trabajar con tus regletas formando triángulos. Los vamos a formar considerando la medida del lado del triángulo como la medida de la regleta, te ponemos un ejemplo (figura 1) :
Con tus regletas construye lo siguiente: R
R
R
Figura 1
a
Triángulo A: con una regleta verde claro, una rosa y una amarilla.
b
Triángulo B: con rosa, amarillo y naranja
c
Triángulo C: con dos regletas amarillas y una negra
d
Triángulo D: café, verde claro y rosa.
Triángulo equilátero con regletas R.
CONTENIDO: Construcción de triángulos con base en ciertos datos. Análisis de las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones.
Figuras y cuerpos
Formando triángulos con regletas
TEMA
• ¿Pudiste construir triángulos con todas las combinaciones de regletas que te propusimos? • ¿En qué caso no pudiste construir los triángulos que te pedimos? • ¿A qué crees que se deba que no se pudieron construir? En los triángulos que no se pudieron construir, cambia alguna de las regletas para que puedas construirlo. Analiza con tu maestro y tus compañeros qué requisitos deben de cumplir las medidas de los lados de los triángulos para que se puedan construir.
Eje: Forma, espacio y medida
63
•
Figuras y cuerpos
Una vez que hayan establecido las condiciones, con tus regletas construye tres triángulos diferentes a los que ya habías construido, y clasifícalos de acuerdo a sus lados (equilátero, isósceles o escaleno) y de acuerdo a sus ángulos (acutángulo, recto y obtusángulo). Deja tus tres triángulos construidos sobre tu mesa porque en la siguiente actividad los vas a necesitar.
Trazando triángulos con compás y escuadras En el siguiente espacio, escribe las medidas de los triángulos que construiste: Triángulo E: _________________________ Triángulo F: _________________________ Triángulo G: _________________________ En la primaria aprendiste a construir triángulos con tu regla y tu compás, ¿recuerdas? Por si no recuerdas los pasos necesarios para construirlos, te los recordamos a continuación: Vamos a construir un triángulo cuyos lados miden 4 cm, 5 cm y 6 cm. Paso 1 Traza una recta y señala en ella el punto a.
1
a 2
a
6 cm
b
Paso 3 Con tu compás, toma la medida de cualquiera de los otros dos lados (ya sea 4 o 5 cm) y traza un arco apoyándote en a. Elegiremos 5 cm.
3
a
64
Eje: Forma, espacio y medida
Paso 2 Abre tu compás con la medida del lado más largo del triángulo a trazar (6 cm) y marca con ella el punto b.
b
Figuras y cuerpos
4
•
Paso 4 Por último, toma la medida del lado restante (4 cm) y apoyado en b traza un arco que cruce el arco anterior. Llama a este cruce c.
c
a
b
c Paso 5 Une ac y bc para obtener el triángulo que te pedimos.
5
5 cm
a
4 cm
6 cm
b
Hagamos ejercicios Construye en tu cuaderno los triángulos E, F, y G que construiste con tus regletas al inicio de este subtema. a
b
Construye al menos otros 3 triángulos
Para que sea factible construir un triángulo se requiere que la suma de las medidas de sus lados más cortos, sea mayor que la medida del lado más largo.
¿Y si sólo tengo la medida de dos de sus lados? A Lourdes le pidieron en la escuela que trazara de tarea dos triángulos. La maestra Paty anotó las medidas de los lados de los triángulos en el pizarrón y Lourdes las copió. Cuando llegó a su casa, se dio cuenta que sólo había copiado las medidas de dos de los lados de los triángulos, pero pensó que el tercer lado no sería importante y de todas formas los trazó. Construye con tus regletas los triángulos que tenía que hacer Lourdes de tarea con las siguientes medidas: Eje: Forma, espacio y medida
65
•
Figuras y cuerpos
Triángulo A: 6 cm y 7 cm Triángulo B: 4 cm y 5 cm Cuando llegó a la clase y le entregó la tarea a la maestra Paty, se dio cuenta que su tarea estaba incorrecta. • Compara con tus compañeros los triángulos que cada uno de ustedes construyó y verifiquen si son iguales. • ¿Cuántos triángulos diferentes se pueden construir si tienes sólo la medida de dos de sus lados?, ¿por qué crees que pase ésto? La maestra Paty le pidió a Lourdes que volviera a hacer sus triángulos pero ahora con las medidas de los tres lados, tal y como ella los había pedido: Triángulo A: 6 cm, 7 cm y 10 cm. Triángulo B: 4 cm, 5cm y 7 cm. • Construye primero con tus regletas, los triángulos que tiene que hacer Lourdes para que los visualices. Después constrúyelos con tu compás y tu regla en tu cuaderno para que los puedas recortar. Al terminar de trazarlos, recórtalos y compara tus triángulos con los de tus compañeros. • ¿Los triángulos dibujados por cada uno de ustedes fueron iguales a los de sus compañeros? Si hubo diferencias, analicen sus trazos para encontrar a qué se debieron dichas diferencias. • Si les damos las medidas de tres lados de un triángulo, ¿será suficien- te para que todos ustedes construyan triángulos iguales? Observa los siguientes triángulos y mide cada uno de sus lados:
1
C
A
66
Eje: Forma, espacio y medida
2
B
C’
AB =
A’B’ =
BC =
B’C’ =
CA=
A’
A’
C’A’ =
Figuras y cuerpos • ¿Son iguales las medidas del
•
ABC con las del
A ’B ’C ’? Dos triángulos son congruentes si las medidas de sus lados son iguales.
Los lados congruentes de dos triángulos se representan con unas líneas pequeñas sobre los lados de los triángulos para que se identifique cuál lado es congruente con cuál otro.
C
C
A
B
B
A
Y si nos dan otros datos… ¿podremos construir los triángulos? Marcela y Macarena quieren construir dos triángulos iguales pero sólo conocen la medida de dos de sus lados. Como Lourdes les dijo que eso no es suficiente para que los triángulos quedan iguales, decidieron fijar el ángulo que ambos lados forman entre sí. Si el triángulo tiene un lado de 3.5 cm, otro de 4 cm y el ángulo que forman entre ellos es de 45o, ¿crees que el triángulo de Marcela quede igual al de Macarena? Construye tú también el triángulo en una hoja para recortarlo y compáralo con el de tus compañeros para ver si son congruentes. Una vez que tienes trazados los dos lados y el ángulo que forman, sólo te queda trazar el tercer lado. Triángulo de Marcela
Triángulo de Macarena
A
A’
3,5 cm
3,5 cm
45o B
Si AB
A’B’,
y BC
B’C’
B
B’
45o 4 cm
C
B’
4 cm
C’ Eje: Forma, espacio y medida
67
•
Figuras y cuerpos
• Si unimos AB y A´B´, ¿crees que sean congruentes entre sí? • Entonces el ángulo A es congruente con el ángulo A´? • ¿Y el ángulo C es congruente con C´? • Entonces... ¿también podemos construir triángulos congruentes si nos dan la medida de dos de sus lados y el ángulo que se forma entre ellos?
60o
35o 5 cm
Figura 2
A Marina también le dejaron de tarea construir unos triángulos, pero su tarea se le rompió y cuando sacó la hoja de su mochila se encontró con un pedazo de uno de sus triángulos igual al que se muestra en la figura 2.
• ¿Crees que esta información le será suficiente a Marina para reconstruir su triángulo? Construye un triángulo con los siguientes datos y verifica si es congruente con los de tus compañeros: - Un lado de 7 cm y los ángulos que se forman sobre él y los otros lados son de 65o cada uno. - Un lado de 4 cm que forma un ángulo de 90o y otro de 45o con los otros lados del triángulo
Resumiendo... En general nos podemos dar cuenta de que no es necesario establecer la correspondencia de todos los lados y todos los ángulos de dos triángulos para afirmar que son congruentes. Es suficiente con establecer tres elementos del triángulo para que sean congruentes. En los triángulos de Lourdes vimos que dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes sus tres lados. A esta congruencia se le denomina congruencia lado-lado-lado y se representa como (L L L). En los triángulos de Marcela y Macarena vimos que dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes dos lados y el ángulo formado por dichos lados. Congruencia lado-ángulo-lado (L A L). Y por último tuvimos que para que Marina pudiera construir dos triángulos congruentes bastaba con que tuviera dos ángulos y el lado comprendido entre ellos congruentes. Esta congruencia se denomina ángulo-ladoángulo (A L A). 68
Eje: Forma, espacio y medida
E
CONTENIDO: n cursos anteriores te hemos venido dando muchas herramientas que te ayudarán a resolver los siguientes problemas:
En tu geoplano traza las siguientes figuras y calcula su área:
a
b
Medida
Calculando áreas y perímetros Resolución de problemas que impliquen el cálculo de áreas de figuras TEMA compuestas, incluyendo áreas laterales y totales de prismas y pirámides.
• Ahora responde: ¿qué estrategias utilizaste para encontrar el área de las figuras? • ¿Tus compañeros usaron las mismas estrategias? • ¿El resultado es el mismo, aún cuando hayan usado diferentes estrategias?
Hagamos ejercicios José quiere comprar un terreno rectangular de 1850 m2. Le preguntó al vendedor las medidas del terreno, pero sólo le supo decir que uno de los lados mide 23 m. ¿Cuánto mide el otro lado? 1
Eje: Forma, espacio y medida
69
•
Medida
Junto al terreno que quiere comprar José, hay otro que le interesa comprar a Jorge. También tiene forma rectangular y el vendedor tampoco sabe las medidas. Sólo sabe que una línea divide al terreno de tal forma que se forman dos trapecios rectángulos iguales, que la base mayor de ellos es de 18m de largo y que el área del terreno es de 880 m2. 2
Enfrente de los terrenos que quieren comprar Jorge y José hay un parque al que se le quiere poner una jardinera alrededor. Te presentamos un diseño del parque para que le ayudes al vendedor a calcular el área que la jardinera le reducirá al parque.
12
3
10 12
• ¿Cuál es el área del parque sin jardinera?
10 10
6.66 8
12 Jardinera
• ¿Qué área ocupará la jardinera? • ¿Qué área quedará después de la construcción para jugar?
María Elena compró junto a su casa un terreno en forma de rombo y lo quiere para hacer un jardin. En un extremo del terreno quiere poner una fuente con forma de medio círculo como se muestra en la figura. Si el terreno mide 640 m2 y una de sus diagonales mide 32 m, ¿qué medidas tiene la otra diagonal, si el diámetro de la fuente es de 10 m? 4
10
D d
• ¿Qué área requiere la fuente? • ¿Qué área queda para el jardin?
5
Observa y analiza la siguiente figura:
• ¿Qué área tiene el rectángulo? • ¿Puedes calcular el área de todas las figuras? 2m
e
a
f
g
c 2m
• Si juntamos las figuras b, c, d, ¿qué área tendríamos? • ¿Y si juntamos f, g, h? 70
Eje: Forma, espacio y medida
b
d
h
Medida
•
• ¿Qué área ocupan a, e, f juntos? • ¿Podrías encontrar una combinación de figuras que nos represente la mitad del área total del terreno? • ¿Y que nos represente la cuarta parte? • ¿Y la tercera parte? Ahora crea un problema que describa la situación que se adapte a la siguiente figura: 4
30 1 2
de 12
1 3
de 12
• Compartan sus problemas entre ustedes y resuelvan algunos en el pizarrón.
12
Eje: Forma, espacio y medida
71
Proporcionalidad y funciones
¿Qué tanto del total corresponde? CONTENIDO:
Resolución de problemas diversos relacionados con el porcentaje, como aplicar un porcentaje a una cantidad; determinar qué porcentaje representa una cantidad respecto a otra, y obtener una cantidad conociendo una parte de ella y el TEMA porcentaje que representa.
S
eguramente muchas veces has oído hablar del porcentaje, en los productos de consumo, en la ropa, en los bancos, en los préstamos… De hecho si te fijas, cuando vas por la calle verás varios aparadores en donde aparece el símbolo %, que es el de porcentaje. También has aprendido a calcular estos porcentajes durante tu vida escolar, ¿cierto? Lo primero que tenemos que recordar, es que los porcentajes son una razón entre una cantidad respecto a otra. Las razones ya las hemos venido trabajando desde el principio del ciclo y como verás cada vez encuentras más cosas en qué aplicarlas. Vamos a iniciar con este trabajo, ¿te parece?
Cuántos de cada 100... Primero trabajaremos con tus regletas. A continuación te presentamos una cuadricula de 10 x 10, la cual debes de llenar con regletas de colores. Procura usar al menos 6 colores para que este trabajo sea interesante. Tu cuadricula tiene 100 cuadritos en total, ¿de acuerdo? Entonces vamos a buscar cuántos de esos 100 cuadritos cubrirás con regletas de cada color.
72
Eje: Manejo de la información
Proporcionalidad y funciones
•
Llena la siguiente tabla de acuerdo al ejercicio con regletas que realizaste en la cuadrícula: Color
¿Cuántas regletas usaste?
¿Qué parte de 100 ocupan? (fracción)
Expresión en porcentaje
Blanco Rojo Verde claro Rosa Amarillo Verde oscuro Negro Café Azul Naranja
En esta tabla consideramos nuestro entero dividido en 100 partes, pero no siempre sucede así ya que los porcentajes no son siempre de 100. Podemos calcular también porcentajes de 135, de 300, de 127, etc. De hecho lo más común es que el porcentaje sea de un valor diferente. Eje: Manejo de la información
73
•
Proporcionalidad y funciones
Por ejemplo, vamos a construir otro cuadrado, pero ahora queremos que mida 12 x 12, es decir que lo vamos a dividir en 144 partes y tus porcentajes te van a indicar cuántos cuadritos, de los 144 que tienes hay de cada color. Y el resultado en porcentajes te indica, si tuvieras sólo 100, cuántos de esos 100 serían de cada color, pero manteniendo una proporción.
Con esos datos llena la tabla siguiente. Acuérdate que en la expresión de fracción, tu denominador va a cambiar pues tu entero está dividido en 144 y no en 100 como el anterior. Color Blanco Rojo Verde claro Rosa Amarillo Verde oscuro Negro Café Azul Naranja 74
Eje: Manejo de la información
¿Cuántas regletas usaste?
¿Qué parte de 144 ocupan? (fracción)
Expresión en porcentaje
Proporcionalidad y funciones
•
• ¿Encontraste la diferencia de los porcentajes cuando varía la cantidad que tienes de referencia?
• ¿Cuál es el denominador de tu fracción cuando tienes una cuadricula de 100?
• ¿Cuál es el denominador de tu fracción cuando tienes 144 cuadritos?
• Si tuviéramos una cuadrícula de 230 cuadritos, ¿cuál sería el denominador de tu fracción?
• Bien, ahora responde, ¿cuál es la fracción que te representa el porcentaje si en la primera tabla hubieras cubierto 32 cuadritos con un color?
• Y si esos 32 cuadritos estuvieran en la segunda tabla, ¿cuál es la fracción que los representa?
• ¿Qué pasa si en una cuadricula de 230 cuadritos cubres los mismos 32?, ...¿Cuál es la fracción que los representa?
• ¿Qué operación tienes que hacer para expresar esas fracciones en porcentaje?
De acuerdo a todas estas operaciones llena las siguientes tablas:
Eje: Manejo de la información
75
• Tomo
de
10
40
15
240
16
35
49
59
265
690
128
300
34
480
51
60
600
1000
389
1200
956
4000
40
579
1
18
18
20
194
200
200
500
Proporcionalidad y funciones
Fracción
%
Decimal
Vamos ahora a calcular directamente el porcentaje. Observa bien las operaciones que has estado haciendo en los ejercicios anteriores para que puedas sacar directamente el porcentaje. Siempre debes tener en cuenta que el porcentaje es una razón, y que la regla de tres te es muy útil si tienes dudas.
%
76
de 120
%
25
145
23
30
60
67
120
40
56
123
Eje: Manejo de la información
de 300
Proporcionalidad y funciones
%
de 75
• %
45
13
39
10
18
4
3
30
70
29
de 30
Ahora vamos de regreso... En nuestro país, muchos de los productos y servicios que adquirimos, tienen un impuesto al que se le llama IVA. La mayoría de las cosas que adquirimos que requieren pagar dicho impuesto ya lo incluyen. Este impuesto es, en la mayor parte de los estados de la república del 16%, pero hay algunos, en las zonas fronterizas o zonas libres, en las que este impuesto es del 11%. Supongamos que estamos en una tienda en la que los precios ya tienen el impuesto incluido, del 16% • Si un pantalón nos cuesta $230 ¿cuánto nos costaría si no incluyera impuesto?
El porcentaje es una fracción de una cantidad que se toma por cada cien contenida en ella y que se denota con el símbolo %. Es decir, un porcentaje es una proporción que compara un número con el cien.
En realidad al 100% del valor del pantalón, por cuestión de impuestos se le agrega en 16% así que el precio que estás pagando equivale al 116% de su valor. • ¿Qué operaciones debes hacer para encontrar el precio real del pantalón sin impuestos? • ¿Cuánto representa ese 116% en números decimales? • ¿Qué te está representando el decimal que encontraste? • ¿Qué operación debes realizar entre el precio del pantalón y el porcentaje o decimal del precio con el IVA incluido? Del precio total del pantalón desglosa lo que es el precio real y el IVA y represéntalo como una suma. Con las operaciones que ya tienes para sacar el precio real de un artículo, llena la siguiente tabla: Eje: Manejo de la información
77
• Precio con IVA
Proporcionalidad y funciones
Precio real sin impuesto
impuesto agregado
3500 245 4000 459 12 250
Hagamos ejercicios Veamos algunas aplicaciones prácticas de todo esto que hemos visto: Julián quiere comprar un reproductor de música. Está buscando el mejor precio y encontró dos tiendas que le ofrecen el modelo que quiere en $1,500. En la primera tienda le ofrecen un descuento de 30% y en la segunda le ofrecen dos descuentos, uno del 20% y sobre ese precio el 20% adicional, ¿dónde le conviene más comprar su reproductor? 1
Alexis quiere comprar un disco de música. Encontró que en una tienda cuesta $189 + IVA. Si le ofrecen un descuento de 40% antes del IVA, ¿cuánto le va a costar el disco? 2
Héctor abrió una cuenta de ahorros con $7000. Cuando le llegó su estado de cuenta tenía $8400. ¿Cuál fue el porcentaje de ganancia? 3
Gustavo quiere comprar una caminadora porque no tiene mucho tiempo libre para salir a hacer ejercicio. Encontró una en $5400 que ya tenía un descuento del 30%. ¿Cuál era el precio de la caminadora antes del descuento? 4
Susi quiere comprar una computadora para sus hijos, el precio de la computadora es de $7899 + IVA si la paga en efectivo. Si usa si tarjeta de crédito le cargan la cuenta con un interés sobre el precio de la computadora (antes del IVA) del 12% y le ofrecen 18 meses para pagarla. Calcula cuánto pagará por la computadora si la paga en efectivo. Cuánto costará la computadora si la compra a crédito y cuánto pagaría mensualmente con la propuesta. 5
78
Eje: Manejo de la información
¿
Has oído habla de las tasas de interés? ¿Qué has escuchado?, ¿Qué entiendes como tasa de interés? La tasa de interés es aquel precio que se paga por el uso del dinero, durante un determinado período de tiempo. Este precio se calcula siempre en base a un porcentaje del dinero que se está usando. Si una persona pide dinero prestado a un banco, se fija una tasa de interés, es decir es el precio que el banco le va a cobrar por prestarle el dinero. Esta persona usará un dinero que no es suyo y por ese uso el banco le cobrará una cierta cantidad. Al final del plazo estipulado, la persona tendrá que devolver el dinero. Tú ya sabes calcular porcentajes, por lo que este trabajo te será sencillo. Que te parece si analizamos un ejemplo:
CONTENIDO: Resolución de problemas que impliquen el cálculo de interés compuesto, crecimiento poblacional u otros que requieran procedimientos recursivos.
Proporcionalidad y funciones
Vamos a calcular tasas de interés
TEMA
Una persona consigue un préstamo por $25,000.00 en un banco de la ciudad, con una tasa de interés del 4.5% mensual a tres años. 1
a
¿Cuál es su deuda a un mes de plazo?
b
¿Cuál es su deuda en tres meses?
c
¿Y en seis meses?
d
Al término de los tres años, ¿cuánto debe pagar?
Si calculamos mes a mes las diferencias de los adeudos, nos daremos cuenta que éstas son constantes, veamos : el 4° y 5° mes: 30,625 - 29,500 = 1,125 el 7° y 8° mes: 34,000 - 32,875 = 1,125 el 11° y el 12° mes: 38,500 - 37,375 = 1,125 Eje: Manejo de la información
79
•
Proporcionalidad y funciones
Completemos la siguiente tabla, para poder contestar las preguntas anteriores. Tiempo meses
Tasa %
Interés
Capital
0
4.5
0
$ 25,000.00
1
4.5
$ 1,125
2
4.5
$ 1,125
3
4.5
$ 1,125
4
4.5
$ 1,125
$ 29,500.00
5
4.5
$ 1,125
$ 30,625.00
6
4.5
$ 1,125
7
4.5
$ 1,125
8
4.5
$ 1,125
9
4.5
$ 1,125
$ 35,125.00
10
4.5
$ 1,125
$ 36,250.00
11
4.5
$ 1,125
12
4.5
$ 1,125
$ 27,250.00
$ 32,875.00
$ 38,500.00
Como podrás observar en la tabla el interés de un mes para otro es el mismo. Vamos a determinar una fórmula específica para calcular el adeudo en cualquier mes determinado. l Veamos: A un mes de préstamo tendremos como adeudo el capital más los intereses de un mes...................c + ct A dos meses de préstamo el adeudo será del capital más 2 meses de inter és....................................c + 2ct A tres meses el adeudo será el capital más 3 meses de interés.................... .....................................c + 3ct
Como podrás observar en este ejercicio, lo que se pagó mensualmente es un valor constante, a este tipo de situaciones se les conoce como interés simple.
80
Eje: Manejo de la información
Proporcionalidad y funciones
•
Trabajando de forma recursiva... Existen muchas situaciones problemáticas que tienes que ir resolviendo por fases, es decir, necesitas obtener un resultado parcial que te va a ser útil para resolver la siguiente fase del problema y así sucesivamente. A estos procedimientos les llamamos procedimientos recursivos. En el manejo de los préstamos bancarios, existe otro tipo de interés al que se le llama interés compuesto. En estos casos, el interés que se genera cada mes se abona a la deuda inicial y se obtiene una nueva deuda a la que se le vuelve a aplicar el porcentaje de interés. Esto se repite cada periodo hasta que se llega al final del plazo estipulado. Para que analices este tipo de interés te ponemos un ejemplo: Un arquitecto está terminando una casa. Le faltan $25 000.00 para todos los acabados finales y para obtener ese dinero tienen dos opciones, el banco MEXPREST les presta esa cantidad con un interés simple del 9% bimestral, mientras que el banco COMERCIAL le ofrece la misma cantidad con un interés compuesto del 8% bimestral. Si tiene planeado pagar el préstamo junto con los intereses al término de 12 bimestres, completen la siguiente tabla y contesten lo que se pide ya que para entonces habrá logrado vender o rentar la casa. Trabaja en pareja con otro compañero y completen la tabla. MEXPREST Bimestres
Préstamo inicial
0
$ 25,000.00
1
COMERCIAL Adeudo Total
Préstamo inicial
Interés Compuesto 8%
Adeudo Total
$ 25,000.00
$ 25,000.00
$ 0.00
$ 25,000.00
$ 25,000.00 $ 2,250.00
$ 27,250.00
$ 25,000.00
$ 2,000.00
$ 27,000.00
2
$ 25,000.00 $ 2,250.00
$ 29,500.00
$ 27,000.00
$ 2,160.00
$ 29,160.00
3
$ 25,000.00 $ 2,250.00
$ 31,750.00
$ 29,160.00
$ 2,332.80
$ 31,492.80
4
$ 25,000.00 $ 2,250.00
5
$ 25,000.00 $ 2,250.00
6
$ 25,000.00 $ 2,250.00
7
$ 25,000.00 $ 2,250.00
8
$ 25,000.00 $ 2,250.00
9
$ 25,000.00 $ 2,250.00
10
$ 25,000.00 $ 2,250.00
11
$ 25,000.00 $ 2,250.00
12
$ 25,000.00 $ 2,250.00
Interés Simple 9% 0
$ 31,492.80
Eje: Manejo de la información
81
•
Proporcionalidad y funciones
Compartan con sus demás compañeros los resultados que obtuvieron y respondan: a
¿En cuál banco le conviene pedir el préstamo?
¿Cuánto más tendría que pagar de intereses en el Banco que no le conviene, al término del plazo fijado? b
c
¿En que bimestre el monto a pagar coincide?
Analiza con tus compañeros el comportamiento del préstamo en cada banco y qué encuentran a favor y en contra de cada uno de los préstamos. d
Calculando una pensión alimenticia Luis ha decidido ir a estudiar a otra ciudad ya que donde él vive no hay una escuela que imparta el curso que él quiere tomar. Su papá quiere ver qué tan bueno es en matemáticas y le propone dos opciones para el dinero que le enviará para su manutención. Una mensualidad de $500.00 y un bono anual de $1000.00 que le será entregado al principio de año para que Luis lo distribuya durante el año como el considere pertinente. a
b
Una mensualidad de $500.00 con un incremento del 10% mensual.
• ¿Qué opción crees que sea mejor aceptar? • Elabora una tabla para ir calculando cuánto recibirá Luis cada mes durante el primer año. • Compara tu respuesta con tus compañeros y analicen las ventajas y desventajas de cada propuesta. • Analiza si en algún mes del año, considerando el bono, será igual tomar cualquiera de las dos opciones. • Otras aplicaciones.
82
Eje: Manejo de la información
Proporcionalidad y funciones
•
Este concepto de cálculos recursivos lo podemos aplicar en otro tipo de situaciones que no sea necesariamente en situaciones monetarias. Resuelve los siguientes ejercicios, puedes hacerlos junto con un compañero para que analicen lo que se propone y al terminar, justifiquen sus respuestas.
Hagamos ejercicios 1 En el año 2010 la población mundial de la Tierra era de 6,854 millones de habitantes. Suponiendo que la tasa de crecimiento durante una década es de 13% y ésta se mantiene constante, ¿cuál será la población en los años 2020, 2030 y 2040?
Completen la tabla con el cálculo de la población cada década. POBLACIÓN MUNDIAL DE LA TIERRA Año 2010
Cálculo para la siguiente década
Población 6,864 millones
2020 2030 2040 2 Una pequeña comunidad en el estado de Chiapas tiene 52,368 habitantes en la actualidad, si en los últimos 5 años ha crecido a una tasa del 7% anual, ¿cuántos habitantes tenía esa población hace 5 años?
En equipos de tres compañeros redacten una situación que se resuelva aplicando procedimientos recursivos como los que ya trabajaste. Compartan sus propuestas con los demás equipos. 3
Eje: Manejo de la información
83
Nociones de probabilidad
¿Es más propable o menos propable que...?
A
CONTENIDO: Comparación de dos o más eventos a partir de sus resultados posibles, usando relaciones como: “es más probable que…”, “es menos probable que…”.
lo largo de tu primer año de secundaria trabajaste con álgebra, con geometría, con azar y estadística. Ahora en este nuevo ciclo escolar vamos a trabajar nuevamente con eventos de azar.
Construyamos nuestro material ACTIVIDAD 1 Toma un dado o regleta blanca y marca dos de sus caras con un color rojo, otras dos con un color verde y las últimas dos con color azul. Puedes hacer una pequeña marca con un plumón, o bien pegarle un pequeño papel con el color.
TEMA
Toma también tu geoplano y divídelo en 8 partes iguales. Pega un papelito con la numeración del 1 al 8 en cada uno de los octavos en que quedó dividido. No vayas a pintar tu geoplano con algo que después no se pueda borrar. 8
Cara posterior: azul verde
1
7
2
6
3
azul rojo
Cara lateral: verde
84
Eje: Manejo de la información
Cara de abajo: rojo
5
4
Nociones de probabilidad
•
Bien... ¡a trabajar! Toma una regleta blanca y lánzala sobre tu geoplano que está marcado con los números. • ¿Qué probabilidad existe de que la regleta blanca caiga en el espacio marcado con el número 5? • ¿Qué probabilidad hay de que caiga en un número que sea múltiplo de dos? • ¿Y de que caiga en un número impar? • Para poder determinar estas probabilidad es primero tuviste que saber cuál es el espacio muestral. ¿Cuánto vale tu espacio muestral en este caso? • ¿Qué probabilidad de corresponde a cada uno de los elementos del espacio muestral? Ahora toma el cubo que hiciste de colores (con un dado o una regleta blanca) y lánzalo al aire. • ¿Qué probabilidad hay de que la cara que quede hacia arriba sea roja? • ¿Que sea verde? • ¿Que sea verde o azul? • ¿Que sea verde o roja? • ¿Que sea verde, roja o azul? • Igual que en el ejercicio anterior, tuviste que calcular primero el espacio muestral del evento, ¿cuál fue? • ¿Qué probabilidad de ese espacio muestral le corresponde a cada color? • ¿Cómo obtuviste la probabilidad de los eventos combinados, por ejemplo de que caiga rojo o azul? • Y en la ruleta ¿cómo obtuviste la probabilidad de que sea un número par?
Eje: Manejo de la información
85
•
Nociones de probabilidad
Como veras en el caso del dado, la probabilidad de que la cara que queda hacia arriba caiga de un determinado color, excluye la probabilidad de que caiga de otro color, es decir, no existe la probabilidad de que caiga rojo y azul al mismo tiempo.
Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si el hecho de que ocurra uno hace imposible la ocurrencia del otro. En otras palabras, si la ocurrencia simultánea de ambos eventos es imposible, los eventos son mutuamente excluyentes.
De igual forma, en la ruleta, si la regleta que lanzas cae en el número 4, no existe la probabilidad de que caiga al mismo tiempo el 8.
Calculemos más probabilidades Vamos a volver a lanzar la regleta blanca sobre tu geoplano marcado del 1 al 8. Planteamos dos eventos: A
Que la regleta blanca caiga en un número menor que 4
B
Que la regleta blanca caiga en un múltiplo de 4
• ¿Cuál es la probabilidad del evento A? • ¿Cuál es la probabilidad del evento B? • ¿Qué opciones tienes de que ocurra A o B? • ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A o B? Considera ahora lo siguientes dos eventos que pueden ocurrir al lanzar la regleta blanca sobe tu geoplano: C
Que la regleta caiga en un número mayor que 4
D
Que la regleta caiga en un múltiplo de 4
• ¿Cuál es la probabilidad de que se cumpla el evento C?, ¿y de que se cumpla D? • ¿Cuál es la probabilidad de que se cumplan C o D? Es importante cuando estés trabajando probabilidades que primero definas tu espacio muestral y calcules su valor, así como la probabilidad particular de cada evento. Esto permitirá que te des cuenta de si hay elementos comunes.
86
Eje: Manejo de la información
Nociones de probabilidad
•
¿Qué evento tiene más, menos o igual probabilidad de ocurrir? Toma ahora dos dados de diferente color. Decide cuál dado será el numero 1 y cuál el número 2 de acuerdo a su color. El experimento consiste en lanzar ambos dados y obtener pares de números en los cuales el primero es el resultado que salga del dado 1 y el segundo el resultado del dado 2. Completa la tabla para saber cuál es tu espacio muestral. Dado 2 1 1
2
Dado 1
4
6
2,3 3,2 4,5
4 5
5
1,1
2 3
3
5,4
6
6,6
• ¿Cuántos resultados posibles tiene tu experimento? • ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra cada uno de ellos?
Eje: Manejo de la información
87
•
Nociones de probabilidad
Ahora llena la siguiente tabla: Evento
Probabilidad
Posibles resultados
A. Que la suma sea 2 B. Que la suma sea 3 C. Que la suma sea 7 D. Que la suma sea 10 ‘
E. Que la suma sea 3 ó 10 F. Que la suma sea mayor que 10 ó múltiplo de 4 • De todos los eventos posibles, ¿cuál es el de mayor probabilidad? • ¿Y el de menor probabilidad? • ¿Qué eventos tienen la misma probabilidad de ocurrir? Encuentra y formula tres eventos compuestos por dos eventos, pero que sean mutuamente excluyentes y tres que no sean mutuamente excluyentes. Compártelos con tus compañeros y analízalos. Analiza los siguientes eventos que pueden ser de tu vida diaria e indica cuáles son mutuamente excluyentes y cuáles no.
- Que llueva el martes
- Que tu cumpleaños sea en abril
- Que llueva el jueves
- Que tengas un hermano de 15 años
- Que tengas el cabello claro
- Que todos tus hermanos tengan menos de 10 años
- Que tengas el cabello oscuro
- Que saques 9 en tu promedio general de este grado
- Que tu cumpleaños sea en julio
- Que saques 7 en tu promedio general de este grado
Encuentra ahora con tus compañeros eventos que sean mutuamente excluyentes y eventos que no lo sean. Compártelos con tus compañeros y tu maestro. 88
Eje: Manejo de la información
U
na productora discográfica en relación con distintas radiodifusoras del país, hicieron una encuesta popular vía mensaje de texto por teléfono celular, para saber cuál era el cantante de más popularidad en un determinado mes y así definir al artista de moda en ése momento. Una vez realizada la encuesta, sólo registraron a los diez artistas más sonados en la radio durante dicho mes, cuyos resultados representaron en la siguiente tabla.
Artista
Total de Votos (Frecuencia Absoluta)
1
195
2
231
3
217
4
200
5
245
6
180
7
188
8
175
9
169
10
160
Lugar
Frecuencia respecto al total de Votos (Frecuencia Relativa) 195 1 1960 = 10
Porcentaje
CONTENIDO: Análisis de casos en los que la media aritmética o mediana son útiles para comparar dos conjuntos de datos.
Análisis y representación de datos
Los índices de popularidad
TEMA
Eje: Manejo de la información
89
•
Análisis y representación de datos
Cuando la productora estaba vaciando los datos a la tabla anterior se presentaron problemas técnicos por lo cual no pudieron terminar el trabajo.
ACTIVIDAD 1
¿Podrías ayudar a completar la tabla para que la empresa pueda exhibir los resultados por Internet? 1
Una vez terminada la tabla contesta las siguientes preguntas:
a
¿Cómo obtienes el lugar de popularidad?
b
¿Cómo calculas la frecuencia relativa?
c
¿Cómo calculas el porcentaje?
d
¿Cuál es el artista de moda o de más popularidad para este mes?
e
¿Cómo podrías afirmar que dicho artista es el de moda?
La palabra moda es un término estadístico que se aplica en muchas situaciones de la vida cotidiana. Con tus palabras define lo que es moda de acuerdo a los datos (votos) mencionados en la tabla anterior. 2
Moda: _____________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________
90
Eje: Manejo de la información
Análisis y representación de datos
•
¿Cuántos votos suman los artistas que quedaron medianamente ubicados en la tabla de acuerdo al número de votos que obtuvieron? a
b
En una muestra, la moda es el valor que aparece con mayor frecuencia.
¿Qué artistas fueron?_____________________y________________
Si agregáramos un artista más con 150 votos, ¿Quién sería el que quedó a mitad de la tabla? c
Al acomodar los datos en orden de me¿Qué operaciones tendrás que hacer para saber cuántos puntos obtuvo cada artista en promedio? d
nor a mayor, la mediana es el dato central de la lista.
Realiza las operaciones antes señaladas y escribe el promedio de votos por artista. e
Compara tu resultado con el de otros dos compañeros y con tu maestro(a). 3
Si tuvieras que dar a conocer estos datos en el periódico mural de tu escuela, ¿cómo representarías los datos de la tabla a partir de un polígono de frecuencias? a
La media aritmética de una muestra es igual al promedio de todos los datos.
Una vez que hayas terminado, contextualiza tu trabajo con al menos cuatro de tus compañeros de clase, y si hay diferencias analicen por qué.
Eje: Manejo de la información
91
•
Análisis y representación de datos
Hagamos ejercicios En tu cuaderno de centímetro cuadrado escribe el nombre y un apellido de diez de tus compañeros, escribiendo una letra por cada cuadrito sin dejar espacios. Traza una tira de 10 cuadritos. En cada cuadrito registra (de mayor a menor) el número de letras que conforman el nombre y apellido de cada uno de tus compañeros. 1
Ejemplo: El nombre Héctor Ornelas quedaría registrado de la siguiente manera:
H
é
c
t
o
r
O
r
n
e
l
a
s
Este nombre consta de 13 letras, número que se registrará en la tira de 10 cuadritos, cuidando que las cantidades queden ordenadas de menor a mayor.
13 Encuentra la moda de la tira de 10 cuadritos. Calcula la media (el promedio) de letras que tienen los nombres de tus compañeros. Eliminando parejas de datos de los extremos (uno de cada lado) encuentra la mediana.
Un objeto se pesa con un mismo instrumento por ocho estudiantes de una clase y se obtienen los siguientes valores: 6.2, 6.0, 6.0, 6.3, 6.1, 6.0, 6.15, 6.2 2
• ¿Cuál es la mejor estimación del peso real del objeto?
En un ascensor hay 10 personas, 4 mujeres y 6 hombres. El peso promedio de las mujeres es de 60 kg. y de los hombres de 80 kg. ¿Cuál es el peso promedio de las 10 personas del ascensor? 3
92
Eje: Manejo de la información
Síntesis
•
Síntesis:
En este bloque has aprendido cosas muy interesantes y además muy útiles que deberás tener presentes el resto del ciclo escolar pues son la base de muchos conceptos con los que trabajarás: Multiplicación y división de números con signo Para trabajar número con signo debemos aplicar la “Ley de los signos” tanto para multiplicación como para división:
Para la multiplicación (+)(+) = (+)
Para la división
(+)/(+) = (+)
(+)(-) = (-)
(+)/(-) = (-)
(-)(-) = (+)
(-)/(-) = (+)
(-)(+) = (-)
(-)/(+) = (-)
Potencias, raíces y leyes de los exponentes: Una potencia es el resultado de multiplicar un número (la base) por sí mismo varias veces. base
exponente
23 = 8 23 = 2 x 2 x 2 = 8 Para multiplicar potencias con la misma base, se deja la misma base y se suman los exponentes
am an = am+n Para poder trabajar con potencias adecuadamente, se han establecido ciertas reglas que se conocen como “Leyes de los exponentes” Dichas leyes establecen que: Cuando queremos elevar un número expresado en potencias a otra potencia, se deja la misma base y se multiplican los exponentes
(a m) n = a mn Síntesis • Bloque 1
93
•
Síntesis
El resultado de dividir potencias de misma base, se deja la base y se restan los exponentes.
am am
m-n = a
Todo número elevado a una potencia cero, es igual a la unidad
a0 = 1 Cualquier base elevada a una potencia negativa es igual a la unidad entre la base a la misma potencia pero positiva.
1 = a- m am
Ángulos y rectas Un ángulo es una figura plana formada por dos segmentos de recta que se cortan en un punto que se llama vértice. Los segmentos son los lados del ángulo. La medida de un ángulo indica la abertura entre sus lados. Se llama punto al objeto geométrico que carece de longitud, ancho y fondo y se utiliza para indicar una ubicación en el espacio. En otras palabras, el punto tiene una longitud, un área y un volumen de cero unidades en cada uno. El punto se considera el objeto geométrico más fundamental. Una línea es el objeto geométrico que tiene solamente una dimensión: longitud. La línea no tiene espesor ni anchura. Usualmente en geometría cuando decimos línea nos referimos a cualquier tipo de línea, por ejemplo, una circunferencia también es una línea, pero no es recta, pues cambia constantemente de dirección. La línea recta es un caso particular muy especial de línea ya que no cambia de dirección. Una semirrecta es una parte de una recta que tiene un punto inicial y no tiene punto final.
94
Síntesis • Bloque 1
Síntesis
•
A la semirrecta también se le conoce como rayo. El punto medio de un segmento es el punto que está a la misma distancia de sus extremos. En otras palabras, el punto medio de un segmento es el punto que lo divide en dos segmentos de la misma longitud. Ángulos consecutivos son aquellos que tienen un lado y un vértice común. Dos ángulos son adyacentes cuando tienen el mismo vértice y comparten un lado común ubicado entre ellos, pero sus lados no comunes están alineados, es decir suman 180° Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es igual a la medida de un ángulo recto. Es decir, si la suma de dos ángulos es igual a 90° entonces los ángulos son complementarios. Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es igual a la medida de un ángulo llano. En otras palabras, si la suma de dos ángulos es igual a 180°entonces los ángulos son complementarios. Cuando un par de rectas paralelas son cortadas por una secante, se forman 8 ángulos. A la relación que forman entre ellos estos 8 ángulos se le conoce como ángulos relevantes. Los ángulos pueden ser: internos, externos, alternos-internos, alternos-externos y correspondientes. Ángulos opuestos por el vértice si la prolongación de los lados de uno son los lados del otro. Los ángulos opuestos por el vértice tienen la misma medida. Los cuatro ángulos que quedan entre las rectas paralelas son los ángulos internos. Los cuatro ángulos que quedan fuera de entre las rectas paralelas son los ángulos externos. Si dos ángulos no adyacentes se encuentran del mismo lado respecto de la secante, siendo uno interno y el otro externo, entonces los ángulos son correspondientes. Si dos ángulos se encuentran en diferente lado respecto de la secante y no comparten el vértice, entonces los ángulos son alternos.
Síntesis • Bloque 1
95
•
Síntesis
Pueden ser alternos internos si ambos están dentro de las paralelas y alternos externos si están fuera de las paralelas Si dos ángulos se encuentran en el mismo lado respecto de la secante y no comparten el vértice, entonces los ángulos son colaterales. Pueden ser colaterales internos si se encuentra dentro de las paralelas y colaterales externos si se encuentran fuera de las paralelas.
Construcción de triángulos: Como viste en este bloque para que sea factible construir un triángulo se requiere que la suma de las medidas de sus lados más cortos, sea mayor que la medida del lado más largo. Se dice que dos triángulos son congruentes si las medidas de sus lados son iguales. En los triángulos, podemos trazar varias líneas importantes que tienen características muy interesantes: La altura es igual a la distancia medida perpendicularmente desde la base del triángulo hasta el vértice opuesto.
Porcentajes: El porcentaje es una fracción de una cantidad que se toma por cada cien contenida en ella y que se denota con el símbolo %. Es decir, un porcentaje es una proporción que compara un número con el cien.
Probabilidad: Trabajamos con un concepto nuevo para ti respecto a probabilidad. Aprendiste que dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si el hecho de que ocurra uno hace imposible la ocurrencia del otro. En otras palabras, si la ocurrencia simultánea de ambos eventos es imposible, los eventos son mutuamente excluyentes.
96
Síntesis • Bloque 1
Síntesis
•
Medidas de tendencia central y dispersión: En este bloque trabajamos también con las medidas de tendencia central y vimos que en una muestra, la moda es el valor que aparece con mayor frecuencia. Si acomodas los datos de la muestra, en orden de menor a mayor, la mediana es el dato central de la lista y la media aritmética es igual al promedio de todos los datos.
Síntesis • Bloque 1
97
•
Evaluación
Evaluación 1
Resuelve los siguientes ejercicios:
a
(-6) (+4) (-8) + (4) (-3) =
b
(-6) (+4) (-8) + (4) (-3) =
2
De acuerdo a la ley de los signos que ya conoces llena la siguiente tabla.
Operación
Ley de los signos que aplicaste
Resultado
(-18)(12) / (-9) (+12)(-4) / (+4)(-12)
Reduce las siguientes potencias de acuerdo a las leyes de los exponentes y explica qué ley aplicaste en cada una de ellas: 3
98
Evaluación • Bloque 1
a
(94) (93) (96) =
b
(86)5
4
Resuelve: 489° y justifica tu respuesta.
=
Evaluación 5
•
En la siguiente figura marca lo que se te pide:
Marca el punto de intersección y encuentra le medida de los ángulos que se forman entre las dos líneas.
¿Cuáles son los ángulos adyacentes? ¿Cuáles son los opuestos por el vértice?
6
En las siguientes líneas marca lo que se indica:
Marca con A y A´ cualquier par de ángulos correspondientes Marca con B y B´ cualquier par de ángulos complementarios Marca con C y C´ cualquier par de ángulos colaterales internos
Evaluación • Bloque 1
99
• 7
Un triángulo cuyos lados midan, 3cm, 4 cm y 5 cm
b
Construye un triángulo cuyos lados midan 8 cm, 3 cm y 2 cm
c
Evaluación • Bloque 1
Con tus escuadras y tu compás construye los triángulos siguientes:
a
ta.
100
Evaluación
¿Pudiste construir los triángulos de los incisos a y b? Justifica tu respues-
Evaluación
•
¿Cuál es el área de la parte sombreada de la siguiente figura, si el radio del círculo grande mide un metro? Justifiquen su respuesta. 8
R=
En el comedor de mi casa tenemos una mesa de madera de forma cuadrada, como se muestra en la figura, queremos darle forma circular para evitar que mi hermanito se golpeé con las esquinas al pasar. 9
75 cm a
¿Qué área de la mesa que se va a utilizar?
b
¿Cuál es el área de la mesa que no se va a utilizar?
Al comprar una grabadora se pagaron 1380, iva incluido. ¿Cuánto era el costo de la grabadora sin incluir el iva? 10
Si se lanzan dos dados, ¿qué es más probable, obtener una suma de 9 o una suma de 4? Justifica tu respuesta. 11
Evaluación • Bloque 1
101
•
Evaluación
Una persona hace un depósito de $ 32,000.00 en un banco. El banco le dará el 2.1 % mensual si deja el dinero en la inversión al menos 12 meses. Elabora una tabla donde indiques cuánto dinero tendra esta persona mes con mes. 12
Tiempo meses
Tasa %
Interés
Capital
0
2.1
0
$ 32,000.00
1
2.1
672
$ 32,672.00
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
En una caja se colocan una ficha roja, una verde y una azul, junto con una canica amarilla, una morada y una naranja. Se extraen de la bolsa una canica y una ficha al azar. Con esta información llena la tabla con todas las combinaciones posibles de canica con ficha 13
ficha roja ficha verde ficha azul
102
Evaluación • Bloque 1
Evaluación
•
De acuerdo a los resultados que obtuviste, ¿cuántas combinaciones diferentes de ficha-canica puedes obtener? a
b
14
¿Qué probabilidad tienen de ocurrir cada una de ellas?
¿Cuál es la diferencia entre moda, mediana y media aritmética?
En un club deportivo se tomó el peso de los 12 integrantes del equipo infatil de basquetbol. Se obtuvieron los siguientes datos: 15
45, 40, 35, 38, 42, 40, 45, 48, 35, 39, 45, 38 Encuentra la moda, la medida y el promedio o media aritmética del peso del equipo.
Ahora formen 9 equipos con los compañeros del salón y hagan un sorteo de los 9 apartados de este bloque. 16
Cada equipo, elabore un problema, ejercicio o situación didáctica del apartado que les tocó y resuélvanlo. Muéstrenlo al profesor(a) para que lo revise, tanto el planteamiento del ejercicio como la solución.
Cada equipo, comparta al grupo el ejercicio que elaboraron para que se resuelva de forma grupal. Compartan las diferentes estrategias de solución que utiliza cada uno para resolver los ejercicios planteados por tus compañeros de clase. 17
Evaluación • Bloque 1
103