BLOQUE 3
M. C. Escher “Path of life II” Xilografía, 1958.
156
Competencias que se favorecen: • Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas eficientemente
Aprendizajes esperados • Resuelve problemas que implican efectuar multiplicaciones o divisiones con expresiones algebraicas • Justifica la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o polígono y utiliza esta propiedad en la resolución de problemas. • Resuelve problemas que implican usar la relación entre unidades cúbicas y unidades de capacidad. • Lee y comunica información mediante histogramas y gráficas poligonales.
EJES Sentido numérico y pensamiento algebraico
Forma, espacio y medida
Manejo de la información
Problemas multiplicativos
Figuras y cuerpos
Proporcionalidad y funciones
• Resolución de cálculos numéricos que implican usar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis, si fuera necesario, en problemas y cálculos con números enteros, decimales y fraccionarios.
• Formulación de una regla que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.
• Representación algebraica y análisis de una relación de proporcionalidad y = kx, asociando los significados de las variables con las cantidades que intervienen en dicha relación.
• Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios.
• Análisis y explicitación de las características de los polígonos que permiten cubrir el plano.
Medida • Relación entre el decímetro cúbico y el litro. Deducción de otras equivalencias entre unidades de volumen y capacidad para líquidos y otros materiales. Equivalencia entre unidades del Sistema Internacional de Medidas y algunas unidades socialmente conocidas, como barril, quilates, quintales, etcétera.
Análisis y representación de datos • Búsqueda, organización y presentación de información en histogramas o en gráficas poligonales (de series de tiempo o de frecuencia), según el caso y análisis de la información que proporcionan. • Análisis de propiedades de la media y mediana.
157
Problemas multiplicativos
¿Qué pasó con las reglas de ortografía?
TEMA
CONTENIDO: Resolución de cálculos numéricos que implican usar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis, si fuera necesario, en problemas y cálculos con números enteros, decimales y fraccionarios.
D
esde que estabas en la primaria has estado en la escuela trabajando mucho en la materia de español en conocer todas las reglas de puntuación y ortografía para que las ideas que quieres expresar cuando escribes queden claras y las personas que lo leen comprendan tu mensaje. Observa el enunciado que a continuación te presentamos sin ningún tipo de puntuación:
el delantero dijo el lateral izquierdo le cometió una falta al portero ¿Entendiste?... No mucho, ¿verdad? Observa ahora qué pasa si le ponemos puntuación: “El delantero”, dijo el lateral izquierdo, “le cometió una falta al portero”. El delantero dijo: “el lateral izquierdo le cometió una falta al portero”. Observa el siguiente enunciado sin puntuación: como se cayó la lámpara Pero si ponemos puntuación le damos un orden a la idea y un sentido: “¿Cómo se cayó la lámpara?” o bien: ¡Cómo! ¿se cayó la lámpara? ¡Cómo! ¡se cayó la lámpara!
En matemáticas también existen reglas y signos de puntuación que nos ayudan a darle a las operaciones el sentido y significado que queremos.
158
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Problemas multiplicativos
•
En tu calculadora realiza las siguientes operaciones y compara tus resultados con tus compañeros. 1
12 + 5 x 30 =
2
120 - 30 ÷ 3 =
3
14 + 8 -2 x 5 =
4
200 - 4 x 52 + 14 =
ACTIVIDAD 1
¿Que resultados obtuviste?, ¿coinciden con los de tus compañeros? Analicen por qué obtienen diferentes resultados y saquen sus propias conclusiones al respecto. Al igual que en el español, las matemáticas requieren de un orden y cierta puntuación para que puedas obtener los resultados que esperas o que quieres obtener. Las siguientes operaciones están hechas en el orden que deben hacerse de acuerdo a lo que los matemáticos han establecido. Trata de investigar qué operaciones se hicieron primero para ver si puedes establecer un orden, de acuerdo a la respuesta. 1
20 + 40 x 4 - 10 ÷ 2 = 175
2
12 - 3 ÷ 3 + 4 x 5 = 31
3
18 + 4 x 3 ÷ 3 x 2 = 26
4
21 - 16 ÷ 2 + 7 x 2 = 27
5
2x5+8-9=9
6
9-4x2+6 ÷3+2=5
ACTIVIDAD 2
Así como en el español, en matemáticas se ha establecido un orden y una puntuación para resolver las operaciones. Precisamente porque al resolverlas se daban resultados diferentes, se decidió que deberían de resolverse siguiendo un orden a l que se le llama “Jerarquía de Operaciones” y establece que: Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
159
• La jerarquía de operaciones (también conocida como orden o prioridad de las operaciones) es el conjunto de reglas que indican qué operaciones deben realizarse primero en una expresión que incluye varias operaciones. En resumen, el orden de las operaciones es: 1. Simplificar expresiones dentro de signos de agrupación (paréntesis) 2. Calcular potencias y raíces
Problemas multiplicativos
Primero resolvemos las potencias y las raíces que encuentres; despues resolveremos multiplicaciones y divisiones; por último resolveremos las sumas y restas. Pero hay una condición más... Si en la operación que vas a efectuar hay alguna operación entre paréntesis, se resuelve primero lo que está dentro de él. Es decir, el paréntesis ( ) me dice: “haz ésto primero”. Los paréntesis reciben el nombre de agrupadores porque agrupan operaciones a las que tienes que dar prioridad y pueden ser de tres tipos: los paréntesis que conocemos ( ), los corchetes [ ] y las llaves { }. Si tienes varios agrupadores unos dentro de otros, se resuelven de adentro hacia afuera. Veamos un ejemplo:
3. Calcular multiplicaciones y divisiones 4. Calcular sumas y restas
En la operación primero resuelvo los productos Después las sumas
3+4x5= 3 + 20 = 23
Pero si escribo El paréntesis me dice: “haz primero lo que está dentro” Y ahora sí, por jerarquía de operaciones hacemos la multiplicación
(3 + 4 ) x 5 =
En la operación
3 x 4 ÷ 12=
7x5= 35
ambas operaciones pertenecen a la misma jerarquía, así que no importa qué hagamos primero 12 ÷ 12 = 1 o bien,
3 x 13 = 1
Hagamos ejercicios En los siguientes ejercicios se nos perdieron los agrupadores. Busca dónde debieron haberse colocado para que los resultados sean correctos. 1
160
260 + 140 ÷ 2 + 150 = 480 260 + 140 ÷ 2 + 150 = 350
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Problemas multiplicativos
2
2x3-1+3= 7 2 x 3 - 1 + 3 = 10 2x3-1+3= 8
3
14 + 5 - 9 x 2 = 1 14 + 5 - 9 x 2 = 20 14 + 5 - 9 x 2 = 6
4
5 + 6 x 4 - 10 ÷ 2 = 24 5 + 6 x 4 - 10 ÷ 2 = 39
5
18 -12 ÷ 2 + 25 ÷ 5 = 17 18 -12 ÷ 2 + 25 ÷ 5 = 8
6
16 + 36 ÷ 2 x 2 +49 = 101 16 + 36 ÷ 2 x 2 + 49 = 1734 16 + 36 ÷ 2 x 2 + 49 = 74
7
8 x 32 ÷ 4 + 3 + 5 = 72 8 x 32 ÷ 4 + 3 + 5 = 48
8
9
10
2 3 2 3 3 4 3 4
x x + +
3 4 3 4 3 2 3 2
+ + x x
1 2 1 2 1 3 1 3
•
=1 =
5 6
+
1 4 1 4
+
= =
3 2 21 16
6.4 x 3.1 + 81 + 4.2 x 1.3 = 34.3 6.4 x 3.1 + 81 + 4.2 x 1.3 = 135.616
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
161
•
Problemas multiplicativos
Escribe con los signos y agrupadores adecuados las operaciones que se requieren para resolver las siguientes operaciones. Teresita compró tres cuadernos de $12, cuatro lápices de $4 y pagó con un billete de $100. Recibió un cambio de $48. 11
José Antonio compró con $50, cinco paletas de $2, tres dulces de $1.25 y unas galletas de $12.50 Su cambio fue de $23.75. 12
Irma compró tres barnices de uñas por $40 cada uno. Le hicieron un descuento de $16. pagó con un billete de $200 y su cambio fue de $96. 13
Mariel y Ramón tienen $200 y $400 respectivamente. Si compran tres paraguas de $160, su cambio es de $120. 14
Pilar compró cinco blusas de $210 cada una. Le descontaron $150 del total de su cuenta. pagó con un billete de $1000 y su cambio fue de $100. 15
Andrea compró tres tazas de $20, tres platos de $15 y tres cucharas de $12. pagó con un billete de $500 y su cambio fue de $359. 16
162
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
E
CONTENIDO: n el periódico mural de la escuela, debemos poner trabajos de 4 materias. El mural está dividido de la siguiente forma: 6 metros
historia
matemáticas
y
Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios.
Problemas multiplicativos
Utilizando álgebra en la geometría
TEMA
ciencias
computación
2 metros
x • ¿Cuánto mide el largo de la sección que se destina a ciencias? • ¿Puedes calcular su área? • ¿Cuánto tiene de largo el área que se destina para exponer temas de matemáticas? • ¿Qué área tiene? • ¿Cómo puedes encontrar el área total del mural?
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
163
•
Problemas multiplicativos
La maestra de Matemáticas propone al maestro de cómputo que trabajen un tema en común, como por ejemplo: “Uso de tecnología en ejercicios de geometría”. ¿Cuál es el área que se destinará a matemáticas y computación juntas? • ¿Si damos valor a x y a y , podemos calcular el valor real de las áreas de trabajo para cada materia? ACTIVIDAD 1
Supongamos que x vale 2 y y vale 6, Encuentra ahora el área de trabajo con la que cuenta cada materia. Compara tus respuestas con las de tus compañeros, expongan y argumenten sus estrategias de solución.
ACTIVIDAD 2
Encuentra dos formas diferentes de obtener el área de las siguientes figuras. Toma en cuenta que sus representaciones no están hechas a escala.
20 m
8m
30 m
4m
10 m
20 m
6m
3m
Como podrás darte cuenta, puedes encontrar el área de cada uno de los rectángulos y sumar después las áreas o bien, sumar las longitudes de los datos y encontrar las áreas.
¿Qué pasa si nos falta un dato? La siguiente figura nos representa una bodega de frutas. Está dividida en dos partes, una que tiene refrigeración y otra que no tiene refrigeración. 10 m Área de refrigeración
Sabemos que la bodega tiene 10 metros de largo por 3 de ancho, pero no sabemos cuánto se asignó específicamente para las frutas que requieren refrigeración.
x 164
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Frutas sin refrigeración
3m
Problemas multiplicativos
•
• ¿Qué largo tiene el área sin refrigeración? No la conoces exactamente, pero podemos decir que es de 10 metros menos el valor de x, o sea ( 10 - x ) Podemos calcular el área de esta zona multiplicando la medida del largo del área sin refrigeración por el ancho total de la bodega:
3 ( 10 - x ) = Esto sería igual al área total de la bodega 3(10) menos el área que se asigna a las frutas de refrigeración 3(x) Esto significa que:
3 ( 10 - x ) = 3 ( 10 ) - 3 ( x ) = 30 - 3x
• Buscando información para poder encontrar el dato del valor de x en la bodega de frutas, uno de los empleados encontró un plano en el que dice que el área de refrigeración de la bodega es de 6 m2, ¿crees que con este dato podríamos encontrar el valor de x? Siendo así, ya podemos encontrar cuánto mide cada el espacio asignado para frutas en refrigeración y cuánto mide el asignado para frutas sin refrigeración.
Hagamos algunos ejercicios más: En las siguiente figuras completa los datos que falten para obtener las medidas de los lados de las figuras, las medidas de las áreas de las figuras que se forman y el área total. Construye la expresión algebraica que represente el área total de cada figura. 20 m
ACTIVIDAD 3
x
1
9
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
165
•
Problemas multiplicativos
2 2
3
18 x
4m 3
72 m2
8m
3m 4
60 m2
30m2
3m
10m
5
2m
10m2
166
Eje: Sentido numĂŠrico y pensamiento algebraico
Problemas multiplicativos
•
6
3
6a + 3b
4x 7
12 x
8x
Ahorrando energía... ¿Has oido hablar de los colectores fotosolares? Son dispositivos que producen energía eléctrica a partir de la luz del sol, y están hechas con celdas rectangulares fabricadas de materiales muy especiales. Lo que hacen estas celdas es transformar la energía del sol en energía eléctrica que se puede aprovechar en las casas para calentar el agua o para calefacción. Los agricultores las utilizan para invernaderos solares, para las plantas de purificación y de desalinización de agua. En una granja, se decidió comprar paneles solares para reducir el costo en el consumo de electricidad. Cada panel consta de 36 celdas de forma rectangular cuyo largo es dos veces mayor que el ancho, como se muestra el el dibujo:
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
167
•
Problemas multiplicativos
• ¿Puedes calcular el área del panel? • Si ya conoces el área de cada celda, ¿qué superficie tiene el panel que van a adquirir en la granja? Toma 36 regletas rojas e imagina que cada una de ellas representa una celda. Construye los diferentes rectángulos que puedas con ellas para ver las opciones que hay de colocar las celdas en el techo de la granja. Encuentra las dimensiones de cada uno de los rectángulos que construiste.
2x
x
La empresa que vende los paneles envió a la granja una propuesta para construir el panel de la granja con celdas que miden 2x de largo por 3x de ancho. ¿con cuántas de estas celdas, se cubriría la misma superficie de los 36 celdas que ya habías calculado?
Construyendo rectángulos ACTIVIDAD 4 Un polinomio es una expresión algebraica de la forma: a0 +a1x +a2x2 +_ _ _+anxn donde n es un número entero, que se conoce como el grado del polinomio.
En el bloque anterior construíste expresiones algebraicas a partir de modelos geométircos: vamos ahora a aplicar esos conocimientos para construir un rectángulo que mida 2x en uno de sus lados y (x+4) en el otro lado.
Los coeficientes a0,a1,a2, _ _ _ ,an son números reales y an es diferente de 0. El nombre particular que recibe cada polinomio depende del número de términos que lo formen.
168
A la expresión algebraica que consta de un solo término, que en este caso es 2x se le llama monomio y a las expresiones algebraicas que constan de dos términos o más se les llama polinomios, en el rectángulo que construiste el polinomio es ( x + 4) Los polinomios pueden ser binomios si tienen dos términos, trinomios si tienen tres términos. Cuando tienen 4 o más términos se generaliza a polinomios.
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
Problemas multiplicativos
•
Hagamos ejercicios
Un monomio es un po-
Construye los rectángulos que representen las siguientes expresiones algebraicas, identifica el monomio y el polinomio en cada expresión algebraica y busca una estrategia para resolverlo. 1
x(x+7)
2
2x ( 3x + 2y +2)
3
a ( x+a)
4
3ab ( 3a + 3b + 3)
5
5y (x + 9)
linomio que tiene exactamente un término. Por ejemplo, la expresión 7x2y es un monomio. Cuando hablamos de polinomios, monomio es sinónimo de término.
Ahora te daremos el binomio y el área del rectángulo para que tu encuentres el polinomio por el que se multiplicó el monomio. 1 x
x2 + x
3
2 2x
4x2 + 10x
3x
15x2 + 6x
4 16mn + n
n
Con los conocimientos que ya tienes y las fórmulas de figuras geométricas que conoces, ¿cómo te sientes para encontrar las áreas de las siguientes figuras? 1
2 4 4x
8x + 2
x+2
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico
169
Figuras y cuerpos
Recordando un poco para poder empezar
TEMA
CONTENIDO: Formulación de una regla que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.
E
n grados anteriores comprobaste que los ángulos internos de cualquier triángulo, siempre suman 180o. Esto es un dato muy importante que necesitas tomar en cuenta para trabajar este tema.
También debes recordar que dentro de los polígonos podemos traza diagonales, es decir líneas que une un vértice con otro, no consecutivo. Pero aquí va a ser muy importante que hagamos una aclaración respecto a los polígonos para poder seguir trabajando.
ACTIVIDAD 1 Hagan equipos de 4 compañeros y cada uno del equipo construya uno de los siguientes polígonos.
1
3
170
Sentidoespacio numérico y pensamiento algebraico Eje: Forma, y medida
2
4
Figuras y cuerpos
•
• ¿Qué diferencias notas entre los polígonos? En el polígono que te tocó elije un vértice y marca con una liga las diagonales que tenga. • ¿Qué diferencias encuentras en las diagonales?
Un polígono es convexo cuando todos sus ángulos internos miden menos que un ángulo llano (ninguno de sus ángulos internos es entrante). El siguiente polígono es convexo:
• ¿Qué tienen diferente entre si los polígonos? Aquí tendremos que dar una definición de polígonos que probablemente no conocías y que es importante: Si existen dos puntos que al unirse con un segmento, una parte de éste queda fuera del polígono entonces el polígono es no convexo. • De los cuatro polígonos que tienen en sus geoplanos, ¿cuáles son convexos y cuáles no convexos? Justifiquen sus respuestas. ACTIVIDAD 2 Observa ahora los siguientes polígonos, clasifícalos en convexos y no convexos y justifica tu respuesta. 1
Es decir, un polígono es convexo si todos sus ángulos internos miden menos de 180°. Más formalmente, se dice que una figura geométrica es convexa si todo segmento con extremos dentro de la figura, todo (el segmento) está dentro de la figura.
2
Un polígono es cóncavo o no convexo si al menos uno de sus ángulos internos es entrante. El siguiente polígono es cóncavo:
3
4
Si es posible dibujar un segmento de recta con extremos dentro del polígono, pero parte del segmento fuera de la figura, entonces el polígono es cóncavo. Eje: Forma, espacio y medida
171
•
Figuras y cuerpos
Ahora sí... ¡sólo para convexos! A partir de ahora trabajaremos sólo con polígonos convexos, ¿de acuerdo? Toma tu geoplano y construye, en cualquier lado de él, un polígono. Con ligas marca las diagonales que tiene tu figura y registra tu trabajo en el cuaderno correspondiente. Intercambia geoplanos con tres compañeros más y registra los polígonos de tus compañeros con sus diagonales. Observen detenidamente los polígonos y busquen en qué se parecen y en qué son diferentes. • ¿Qué figura se forma dentro de los polígonos al trazar las diagonales? • ¿En todos los polígonos se forma la misma figura que en el tuyo? Observa ahora los siguientes polígonos que probablemente se parezcan a los de ustedes. Traza sus diagonales.
1
2
3
4
• ¿Qué figura se formó dentro de los polígonos? • ¿Es la misma figura que se formó dentro de los polígonos que ustedes construyeron? 172
Eje: Forma, espacio y medida
Figuras y cuerpos
•
Cómo podrás observar dentro de cualquier polígono, si trazamos las diagonales que salen de un vértice, podemos dividir la figura en triángulos. Construye en tu geoplano circular los siguientes polígonos que pueden ser regulares o no, marca sus diagonales y llena la tabla: Polígono
Número de lados
Número de triángulos en que quedó dividido
Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octágono Nonágono Decágono Analiza los datos de la tabla y responde: • ¿Cuántos triángulos crees que se formarían dentro de un polígono de 15 lados?, ¿y de 20?, ¿de 100? • ¿Podrías decir cuántos triángulos se formarían dentro de un polígono de n lados? • ¿Qué relación encuentras entre el número de lados de un polígono y la cantidad de triángulos que se forma dentro él al trazar las diagonales que salen de un solo vértice? Si el número de lados de un polígono lo representamos con y el número de triángulos con t, escribe una expresión algebraica que nos diga cuántos triángulos se forman dentro de un polígono. Bien, ahora ya sabes cómo calcular el número de triángulos que se pueden formar dentro de un polígono, y como ya sabes que los ángulos internos de un triángulo suman 180o, ¿podrías calcular cuánto vale la suma de los ángulos internos de un polígono cualquiera?.....Recuerda, esto es sólo para convexos.
La diagonal de un polígono es el segmento de recta que tiene sus extremos en dos vértices no consecutivos del polígono. Si el segmento de recta tiene sus extremos en dos vértices consecutivos del polígono, entonces se trata de uno de sus lados.
Regresa a la tabla que ya habías llenado y complétala ahora así: Eje: Forma, espacio y medida
173
• Polígono
Figuras y cuerpos
Número de lados
Número de triángulos
Suma de los ángulos internos
Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octágono Nonágono Decágono El número de triángulos que se pueden formar dentro de un polígono convexo es:
T= n-2 Donde T es el número de triángulos y n es el número de lados del polígono
La suma de ángulos internos de un polígono convexo es igual al número de triángulos que se pueden formar dentro de él, multiplicado por 180°
S= 180T S= 180(n-2)
174
Eje: Forma, espacio y medida
• ¿Podrías generalizar una regla para calcular los ángulos internos de un polígono convexo cualquiera? • Y… si ya tienes la regla para calcular el número de triángulos que hay dentro de un polígono y la regla para calcular la suma de sus ángulos internos, podrías calcular directamente la suma de los ángulos internos de un polígono sólo conociendo el número de sus lados?
Resumiendo… Dentro de todo polígono podemos construir a partir de un vértice, diagonales que nos dividen al polígono en triángulos. La cantidad de triángulos que se pueden encontrar dentro de un polígono es igual al número de lados del polígono, menos dos. Si T es el numero de triángulos y n el número de lados del polígono, entonces tenemos que T= n-2 Si cada triángulo tiene 180o en sus ángulos internos, entonces tenemos que la suma de los ángulos internos de un polígono es igual a 180º por el número de triángulos que contiene. Si S es la suma de los ángulos internos de un polígono tenemos que S= 180T Y si fusionamos ambas fórmulas tenemos que: S=180(n-2) Comenta con tus compañeros estas fórmulas, compáralas con las tuyas y argumenta en qué son diferentes, en qué son iguales y por qué.
S
usana tiene un terreno en la parte de atrás de su casa y quiere recubrirlo con algún material porque como sus cuatro hijos juegan mucho al futbol, cuando entran a la casas siempre llevan mucha tierra en los zapatos y ensucian la casa. Se lo propuso a Sergio, su esposo y a sus hijos y estuvieron de acuerdo. El problema ahora sería ponerse de acuerdo en el tipo de piso que les gustaría poner así que decidieron visitar el zócalo, las plazas, parques, iglesias y demás lugares donde el piso está recubierto para decidir cuál les gustaba. Algunos de los pisos que vieron y les gustaron fueron los siguientes:
CONTENIDO: Análisis y explicitación de las características de los polígonos que permiten cubrir el plano.
Figuras y cuerpos
¿Cómo podemos cubrir el piso?
TEMA
Cuando volvieron a casa los hijos de Susana empezaron a hacer propuestas de cómo cubrir el piso. Juan Pablo propuso que se cubriera con adoquín de forma pentagonal, Mauricio opinaba que mejor el adoquín tuviera forma hexagonal, Sergio votaba por un adoquín heptagonal y Jorge por uno cuadrado. Aun cuando Susana pensaba que lo ideal sería que se cubriera con triángulos, les propuso algo a los niños. Hagamos un dibujo cada uno con su diseño y así podremos elegir el que más nos guste.
Eje: Forma, espacio y medida
175
• ACTIVIDAD 1
Figuras y cuerpos
Formen equipos de 5 compañeros de tal manera que cada uno de los integrantes haga el diseño de los pisos que sugieren. Haz un molde de la figura que elegiste, toma una hoja de papel y empieza a trazar el molde para formar el diseño del piso. Si quieres puedes colorear alguna de las figuras para que el piso se vea de colores. A continuación te damos las figuras que te pueden servir de molde, cópialas en algún papel grueso como cartulina para que puedas copiarlo varias veces en tu diseño.
Conforme los hijos de Susana empezaron a hacer sus dibujos se dieron cuenta de que no es tan fácil llenar un piso con cualquier figura y que requiere tener características especiales. • Analiza cada una de las figuras, observa bien con cuáles es posible cubrir el piso y con cuales no es posible. • ¿Encuentras alguna relación entre las figuras con las que no se puede llenar el piso? ¿Por qué crees que no se pueda llenar el piso con algunas figuras? Aquí va a ser muy importante que tomes en cuenta las medidas de los ángulos internos de los polígonos, que ya tienes en una tabla del tema anterior, ¿recuerdas? Como tus polígonos son regulares entonces puedes dividir la suma de los ángulos internos entre el número de vértices del polígono para saber la medida de cada vértice. Por ejemplo: En el hexágono sabemos que la suma de sus ángulos internos es de 720o, lo que implica que cada uno de sus ángulos internos por ser regular, mide 120o. 176
Eje: Forma, espacio y medida
120o
Figuras y cuerpos
•
Si te fijas, para poder cubrir el piso con polígonos regulares, lo que debes hacer es ir colocando alrededor de un vértice, varios de éstos polígonos sin sobreponerlos ni dejar huecos y el ángulo total que deben medir es de 360o. Por ejemplo, los hexágonos encajan perfectamente porque cada uno de sus ángulos internos mide 120o y al sumar tres de ellos se tienen exactamente 360o.
120o 120o 120o
• Calcula ahora con cuáles de los polígonos propuestos se puede hacer el recubrimiento y con cuáles no. Justifiquen sus respuestas y compárenlas con la de los demás equipos.
Otras formas de cubrir el piso
Se llama teselado a la
Existen muchas formas de cubrir un plano (o un piso) y cómo verás lo que se requiere es que elijas figuras tales que, al unir sus vértices sumen exactamente 360o.
cobertura del plano por polígonos de manera que cada punto del plano esté cubierto por solamente un polígono y que dos polígonos se toquen solamente en sus lados.
Te ponemos algunos ejemplos: Elige una o varias figuras, las que quieras y con ellas llena los planos que se te presentan
ACTIVIDAD 2
Eje: Forma, espacio y medida
177
•
Figuras y cuerpos
Como verás existen muchas formas de cubrir un plano, ya sea con una figura o con una combinación de figuras. Se puede hacer con figuras regulares o irregulares. Como por ejemplo la obra de Maurits Cornelis Escher, más conocido como M. C. Escher, artista holandés, conocido por sus grabados en madera, xilografías y litografías que tratan sobre figuras imposibles, teselaciones y mundos imaginarios. Los teselados Escher han interesado a muchos matemáticos, por su manejo de figuras para cubrir planos. A continuación te presentamos algunas de sus obras.
Maurits Cornelis Escher Países Bajos, 1898 - 1972 178
Eje: Forma, espacio y medida
Y
a trabajamos con cubos hechos con regletas y llenaste una tabla. Vamos a retomar esos cubos que construiste para que analices ahora cómo varía el volumen de un cubo en relación con la medida de sus aristas. Ya no necesitamos que nos digas cuánto mide el largo, el ancho y la altura del cubo, puesto que ya puedes determinar su volumen por medio de la fórmula. Encuentra ahora cuántas regletas blancas requieres para construir cada uno de los cubos y encuentra también cómo varía el volumen de un cubo al variar su arista. Con tus regletas, tú puedes construir hasta el cubo amarillo, pero a partir del verde obscuro, tendrás que juntarte con tus compañeros para construir los demás cubos hasta el cubo naranja.
Regleta
Medida de la arista
Regletas blancas necesarias
Volumen
Variación de volumen
b
1
1
1cm3
r
2
8
8cm3
8 -1 = 7
v
3
27
27cm3
27 - 8 = 19
CONTENIDO:
Medida
¿Le cabe una vez más o más veces? Relación entre el decímetro cúbico y el litro. Deducción de otras equivalen- TEMA cias entre unidades de volumen y capacidad para líquidos y otros materiales. Equivalencia entre unidades del Sistema Internacional de Medidas y algunas unidades socialmente conocidas, como barril, quilates, quintales, etcétera.
R a V n c A N
Eje: Forma, espacio y medida
179
•
Medida
De acuerdo a la tabla que construiste, responde las siguientes preguntas: Si tienes un cubo al que le caben 125 cm3 de agua, ¿cuánto miden sus aristas? Si se duplica la medida de las aristas del cubo: Se conoce como vo-
a
lumen a la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo.
b
Su unidad de medida es el metro cúbico.
Si tienes ahora un cubo al que le caben 216 cm3 ¿qué medidas tiene sus aristas? Si duplicamos las aristas del cubo:
La capacidad de un re-
c
cipiente es el volumen del objeto que lo llena.
d
La unidad de medida de capacidad es el litro. Un litro equivale a un decímetro cúbico (m3).
¿Qué cantidad de agua le cabría? La cantidad de agua que se tenía inicialmente, ¿se duplica?
¿Qué cantidad de agua le cabría? ¿Se duplica la cantidad de agua que tenía inicialmente?
Al cubo que armaste con regletas naranjas se le conoce también como decímetro cúbico, pues es un cubo que mide un decímetro en cada una de sus aristas. Pero… el agua se mide en litros, ¿no? Así es, lo que acabamos de medir es el volumen, y si queremos expresarlo en litros, lo que estamos midiendo es la capacidad. e
¿Podrías decirnos cuál es la diferencia entre volumen y capacidad?
Con tus compañeros y tu maestro hagan una lluvia de ideas acerca de la diferencia entre volumen y capacidad. Den cinco ejemplos de objetos que tienen volumen pero no capacidad, cinco ejemplos de objetos que tienen volumen y capacidad, y discutan la posibilidad de que haya objetos que tengan capacidad pero no volumen.
¿Cómo sabemos cuánto le cabe? Toma un envase de cartón de un litro de leche o de jugo vacío y lávalo bien por dentro. Estás de acuerdo que su capacidad es de un litro, ¿verdad? Bien, toma con cuidado sus medidas para que calcules su volumen. Es probable que el volumen no sea muy exacto pero deberá estar cerca de los 1000 cm3. Se aproxima mucho al cubo que armaste con regletas naranjas. Trata de que las medidas que tomes sean lo más exactas posibles para que te acerques más a los 1000 cm3. Compara las medidas de tu envase con las de tus compañeros para ver que todas son aproximadamente de 1000 cm3. 180
Eje: Forma, espacio y medida
Medida
•
Bien… ahora toma bien la medida del alto de tu bote, vas a marcar la mitad y vas a cortar sólo tres lados de él, de tal manera que lo puedas doblar como se muestra en el dibujo:
Trata de llenar el bote con regletas naranjas para que calcules cuántos centímetros cúbicos (o regletas blancas) le caben dentro. Es probable que tengamos un ligero margen de error por las medidas del bote y porque quedarán espacios pequeños sin poderse rellenar con las regletas. Si lo requieres cambia regletas naranja por su equivalente en regletas de otro color. Como podrás darte cuenta, un litro equivale a 1000 cm3 o 1 dm3. Comenta con tus compañeros si están de acuerdo con estas medidas o no, y por qué.
Buscando más equivalencias... Ya sabemos entonces que la capacidad de un dm3 es de un litro. • ¿Qué capacidad tiene un metro cúbico? Aprovechen los envases que tienen de cartón de leche para ver aproximadamente cuántos caben en un metro y después calcularán cuántos caben en un metro cuadrado y posteriormente cuántos caben en un metro de altura. Así sabrán cuántos cubos como los que construyeron caben en un metro cúbico. Te deben de caber 10 dm3 a lo ancho, 10 dm3 a lo largo y 10 dm3 a lo alto. Esto es 10 x 10 x 10 = 1000 dm3, o sea, 1000 litros.
Eje: Forma, espacio y medida
181
• Cabe 1 litro 1dm 1dm
1dm
v= 1dm = 1 l 3
Figuras y cuerpos
Aquí te mostramos algunas equivalencias que ya conoces, pero es bueno que las tengas a la mano: VOLUMEN y CAPACIDAD
m3
(metro cúbico)
1 m3 = 1000 000 cm3
dm3
(decímetro cúbico) 1 dm3 = 1000 cm3 = 1 litro 1 dm3 = 1000 000 mm3
cm3
1 m3 = 1000 dm3 = 1000 litros
(centímetro cúbico) 1 cm3 = 1 000 mm3
Hagamos ejercicios Un tanque de almacenamiento de agua instalado en una comunidad tiene forma de un cubo y una capacidad de 8000 litros, ¿puedes calcular cuánto mide su arista? 1
Se requieren construir dos prismas rectangulares. Ambos deben tener la misma capacidad. Uno de ellos debe tener una base de 5 dm de largo por 3 dm de ancho. El otro debe tener 2 dm de ancho en su base y 20 dm de altura. Si la capacidad de ambos es de 180 dm3, calcula las dimensiones de cada uno de los prismas. 2
Organícense en equipos y elaboren situaciones didácticas donde utilicen los conceptos de volumen y capacidad. 3
Intercambien entre los equipos los problemas que redactaron y resuelvanlos. 4
Comenten con el maestro y con los compañeros sus ejercicios y las respuestas.
182
Eje: Forma, espacio y medida
CONTENIDO:
V
amos a trabajar en parejas, con tus regletas. Hagamos un ejercicio. Uno de ustedes va a tomar una regleta amarilla, y por cada regleta amarilla que tomen su compañero les debe dar su equivalente en regletas blancas. • Si tomas una regleta amarilla, ¿cuántas blancas te dará tu compañero? ¿Y si tomas 3 amarillas? Vamos a llenar la siguiente tabla:
Representación algebraica y análisis de una relación de proporcionalidad y = kx, asociando los significados de las variables con las cantidades que intervienen en dicha relación.
Proporcionalidad y funciones
Relacionando un número con otro
TEMA
Número de regletas amarillas
2
1
5
7
10 23 45 70
X
Equivalente en regletas blancas
• ¿Cuántas regletas blancas recibiste cuando tú le diste a tu compañero 5 regletas amarillas? • ¿Y si le hubieras dado 30? • ¿Qué sucede con las regletas blancas si aumentas la cantidad de regletas amarillas? • Cuando recibiste 100 regletas blancas, ¿cuántas regletas amarillas entregaste? • ¿Podrías establecer una regla de correspondencia entre una cantidad y otra?
Eje: Manejo de la información
183
•
Proporcionalidad y funciones
Veamos otra relación: Javier tiene animales exóticos en la Isla de Cozumel, para que los turistas se saquen fotos con ellos. De cada foto que vende, a él le tocan 4 dólares. Llena la siguiente tabla: Fotos tomadas
2
1
8
12
16
20
X
Dólares ganados • ¿Cuántos dólares gana Javier si se venden 10 fotos? • ¿De que depende la cantidad de dólares que gane? • Si gana 76 dólares, ¿cuántas fotos sacó? • ¿Podrías establecer una relación entre las fotos que saca y los dólares que gana? En la fábrica de chocolates en donde trabaja Alonso, se calcula que por cada caja de chocolates de cierto tipo, la fábrica tiene una utilidad de $6. Llena la siguiente tabla con la información que nos proporciona la fábrica. Cajas de chocolates
2
50
125
300
330
425
X
Ganancia para la fábrica
Cuando dos cantidades se relacionan entre sí, y se puede establecer una regla de correspondencia entre ellas, es decir, que una cantidad depende del valor de otra, se dice que tenemos una relación funcional entre ellas.
184
Eje: Manejo de la información
• En la venta a una dulcería la fábrica obtuvo una ganancia de $6000, ¿cuántas cajas de chocolates compró la dulcería? • ¿Cuánto gana la fábrica en la venta de 500 cajas? • ¿Cómo establecerías una relación entre las cajas de chocolate que se venden y la ganancia de la fábrica? En cada una de las situaciones anteriores te pedimos que establecieras una relación entre una cantidad y otra.
Proporcionalidad y funciones
•
A esta relación también la llamamos función y como te diste cuenta las dos cantidades que están involucradas en la función pueden variar. Tenemos dos cantidades que pueden variar, sólo que la forma en que varía una de ellas depende de cómo varía la otra. Retomemos cada uno de los ejercicios que ya trabajamos: • En el ejercicio de las regletas, ¿de qué depende la cantidad de regletas blancas que vas a recibir? • ¿Cuál sería la variable dependiente? • ¿Y la independiente? Explica por qué. • En el ejercicio de las fotos que saca Javier a los turistas, ¿de qué depende la cantidad de fotos que toma Javier? • ¿De qué depende la cantidad de dólares que gana? • ¿Cuál sería en este caso la variable independiente y cuál la dependiente? ¿Por qué? • Y en el caso de los chocolates, ¿cuál crees que es la variable que depende de otra? Justifica tu respuesta. En todos los ejemplos que trabajamos, se involucra una tercera cantidad que no varía. • ¿Podrías decirnos cuál es la cantidad que no varía en el caso de las regletas? • ¿Y en el caso de las fotos?, ¿y en los chocolates?
La función es la relación que se establece entre dos cantidades que pueden variar. La función es la regla de correspondencia entre ambas cantidades. Una variable es una literal que se supone cambia de valor. En la función y = 2x, la variable independiente es la variable en la cual sustituimos los valores, generalmente se representa con x. Es la variable que va cambiando su valor. Por otra parte, la variable dependiente es el valor que la función toma, usualmente se representa con y. El valor de la variable dependiente, como su nombre lo indica, depende del valor que toma la variable independiente. En matemáticas las variables se denotan usando las últimas letras del alfabeto: t, u, v, x, y, z, etc.
Una constante es una expresión matemática que no cambia de valor.
Eje: Manejo de la información
185
•
Proporcionalidad y funciones
Para trabajar de manera más sencilla establecemos una forma algebraica de representar ésta relación funcional: • Llamemos “x” a la variable independiente (su valor no depende de ninguna otra cantidad) • Llamamos “y” a la variable dependiente. • Llamamos “k” a la constante. Establezcamos ahora las reglas de correspondencia para cada una de las situaciones. a
Para las regletas amarillas:
b
Para las fotos de Javier:
c
Para las ganancias de la fábrica:
Llena la siguiente tabla de acuerdo a lo que has aprendido hasta ahora. Variable independiente “x”
Variable dependiente “ y “
Constante “ k ”
Regletas amarillas Las fotos de Javier Las ganancias de la fábrica
ACTIVIDAD 1
186
Eje: Manejo de la información
Ahora te presentamos tres relaciones funcionales en las que se te pide que determines cuál es la variable dependiente, la independiente y la constante. Además describe una situación en la que podamos aplicar cada una de las relaciones que te damos. a
y= 12x
b
x=4x
c
x=6x
Proporcionalidad y funciones
•
¿Y si le tenemos que aumentar algo? Ahora vamos a ver otro tipo de situaciones en las que debemos sumar o restar algo a la variable independiente. Vuelve a trabajar en parejas y ahora vas a darle a tu compañero una regleta, la que tú quieras y lo que él debe hacer es sumarle 6. Llenen la siguiente tabla Tomas una regleta:
Le sumas:
Amarilla
6
Roja
6
Azul
6
Verde claro
6
Naranja
6
Operación que realizas:
Resultado
• En este caso, ¿cuál será tu variable independiente? • ¿Y la dependiente? • ¿Tienes alguna constante? • ¿Puedes establecer la relación funcional? Regina es dos años mayor que su hermano Emilio. Llena la siguiente tabla con las edades correspondientes de Regina y Emilio de acuerdo a la información que tienes. Edad de Emilio
Le sumas 2
Operación a realizar:
Edad de Regina
6
+2
6+2
8
8 14 + 2 12 25
Eje: Manejo de la información
187
•
Proporcionalidad y funciones
• ¿Cuál es tu variable independiente en este caso? • ¿Cuál es tu variable dependiente? • ¿Y tu constante? Establece la relación funcional que describe la situación: Observa bien la situación que hay entre las edades de Regina y Emilio. En el ejercicio consideramos que la variable independiente es la edad de Emilio y a eso le sumamos los dos años de diferencia entre sus edades. • ¿Podríamos considerar la edad de Regina como nuestra variable independiente? • Si consideras que sí, entonces ¿qué operación tendrías que hacer para encontrar la edad de Emilio? Escribe cuál sería la relación funcional que describe la situación. Las compañías de teléfonos ofrecen planes a sus clientes para el cobro de sus llamadas. Nacho contrató un plan de teléfono en el que paga $350 mensuales y tiene derecho a 100 llamadas sin costo, pero por cada llamada extra que haga le cobrarán $2. Llena la siguiente tabla con lo que Nacho va a pagar mensualmente dependiendo de las llamadas que haga.
Número de llamadas
25
60
100
150
200
230
400
490
600
Llamadas extras Costo por llamadas extra Operación a realizar Monto a pagar • ¿Cuál es la variable independiente de esta situación? • ¿Cuál es la variable dependiente? • ¿Cuál es la constante? • ¿Tienes alguna otra constante en esta situación? Establece una relación funcional que describa de manera adecuada la situación. 188
Eje: Manejo de la información
Proporcionalidad y funciones
•
Claudia, la esposa de Nacho, eligió un plan diferente, ella va a pagar $300 mensuales pero a ella sólo se le incluyen 80 llamadas. Pagará $2.20 por cada llamada extra que haga. Llena la siguiente tabla con el plan que eligió Claudia. Número de llamadas
25
60
100
150
200
230
400
490
600
Llamadas extras Costo por llamadas extra Operación a realizar Monto a pagar • ¿Cuáles son las variables independiente y dependiente de este plan? • ¿Qué cifras mantienes constantes en este plan? Establece una relación funcional para el plan de Claudia. Ahora compara ambos planes, el de Nacho y el de Claudia y analiza cuál conviene más, y hasta qué número de llamadas conviene tenerlos.
Resumiendo… Establecimos dos tipos de relación una que es y = kx donde el valor que toma “y” depende del valor que toma “x” y tenemos una constante “k”. • Decimos que este tipo de relaciones son directamente proporcionales, ¿nos puedes explicar por qué?
También establecimos relaciones del tipo y = ax + b donde “a” y “b” son constantes y el valor de “y” depende del valor que tome “x”. • ¿Crees que este tipo de relación varía de forma proporcional o no? Coméntalo con tus compañeros y justifiquen sus respuestas.
Eje: Manejo de la información
189
•
Proporcionalidad y funciones
Hagamos ejercicios A una cisterna le quedan 50 litros de agua. Si se abre la llave de llenado caen 6.5 litros de agua por minuto. Construye una tabla con la cantidad de agua que tendrá la cisterna si se deja la llave abierta durante 10 minutos, 15 minutos, 25 minutos y 30 minutos. Establece una relación funcional que te describa el problema y calcula cuánto tiempo debe de permanecer abierta la llave para que la cisterna tenga 635 litros de agua. 1
Una vez que tengamos los 635 litros en la cisterna, se abrirá una llave de desagüe, para regar un jardín que tiene una salida de 3.5 litros por minuto. Establece una relación funcional que te describa la salida de agua y calcula cuánta agua le quedará a la cisterna si se riega el jardín durante 18 minutos. 2
Andrés debe tomar un taxi para ir a la universidad que está a 45 km de su casa pues su coche está en el taller. Al tomar el taxi se da cuenta de que el taxímetro ya marca $12.50 que es la cuota fija de inicio que te cobra el taxi y a eso se le agrega $3.15 por cada kilometro recorrido. Establece la relación funcional que nos describe cuánto cobra el taxi y calcula cuánto le va a cobrar a Andrés por llevarlo a la universidad. 3
Si Irene vive en la misma ciudad que Andrés y toma un taxi, ¿cuánto le cobrará si hace un recorrido de 10 km?, ¿y si va a una distancia de 27 km? Irene quiere saber de qué depende el costo del recorrido, explícaselo con tus palabras. 4
• ¿El costo del recorrido es proporcional a la distancia que se recorre o no? Ahora te damos ciertas relaciones funcionales y tu describe una situación a la que se puedan adaptar, encuentra al menos 5 valores de cada una de ellas, y encuentra si su variación es proporcional o no. 5
190
Eje: Manejo de la información
a
y= ½ x
b
y= 6x + 28
c
y= 3.5x + 1.2
d
y= 3.14x
e
y= 4x + 2
E
n la vida diaria se presentan fenómenos o situaciones tan diversas que en ocasiones es necesario analizarlas, pero no es tan sencillo comprenderlas si no se tienen los datos en orden.
En una actividad que se realizó en el salón de clases por parejas, los alumnos tomaron 25 regletas blancas y 25 regletas rojas. Uno de ellos tomó las regletas y las colocó en una bolsa. Después le pidió a su compañero que en 10 turnos tomara un puño de regletas cada vez. En cada turno registraron el número de regletas de cada color que salian, y las regresaban a la bolsa. Este proceso se repitió con el otro compañero y con las regletas rojas. A continuación se presentan los datos obtenidos: Regletas blancas (b): 3, 5, 5, 10, 6, 9, 1, 2, 4, 6. Regletas rojas (r): 3, 3, 9, 5, 3, 3, 8, 12, 4, 4.
CONTENIDO: Búsqueda, organización y presentación de información en histogramas o en gráficas poligonales (de series de tiempo o de frecuencia), según el caso y análisis de la información que proporcionan.
Análisis y representación de datos
Vamos a graficar la información
TEMA
Con base en los resultados registrados responde las siguientes preguntas: a
¿En qué turno sacaron más regletas rojas?
b
¿En qué turno sacaron más regletas blancas?
c
¿Qué cantidad de regletas fue la más baja en cada color?
d
¿Qué cantidad de regletas fue la más alta en cada color?
e
¿Te es fácil analizar la información como la presentaron los alumnos?
Eje: Manejo de la información
191
•
Análisis y representación de datos
Imagina que el juego se repite unas 10 veces más. Ya no sería tan práctico mostrar los datos de ésta forma, en forma de lista. Así que se propuso una nueva forma de presentar los datos, observa con atención: Turno
Número de regletas blancas
Turno
Número de regletas rojas
1
3
1
3
2
5
2
3
3
5
3
9
4
10
4
5
5
6
5
3
6
9
6
3
7
1
7
8
8
2
8
12
9
4
9
4
10
6
10
4
1 a
Contesta las siguientes preguntas con base en las tablas: ¿Ves alguna ventaja en tener los datos acomodados en una tabla?
¿Puedes responder con mayor facilidad las preguntas anteriores con la tabla? b
¿Puedes decir ahora, cuál es el número que se repite más veces en la columna “número de regletas” en cada color? c
192
Eje: Manejo de la información
Análisis y representación de datos
•
• ¿Cuál es el turno que más regletas tuvo en cada color? • ¿Crees que exista una forma aún más fácil de representar estos datos? Existe una manera más sencilla de representar la información. Observa cómo se relacionan los datos de la lista, de las tablas y en una gráfica:
Regletas blancas Cantidad de regletas
1514 13 12 11
10 9 5
8 7 6 4 3 2 1
Turnos:
1 2
3
4 5
6 7
8
9 10
3
4 5
6 7
8
9 10
Regletas rojas Cantidad de regletas
1514 13 12 11
10 9 5
8 7 6 4 3 2 1
Turnos:
1 2
Como observas en las gráficas, tenemos los mismos datos que están en forma de lista y que a su vez están en las tablas. Eje: Manejo de la información
193
•
Análisis y representación de datos
Ahora es tu turno Ahora trabajarás con un compañero, realizarán la misma actividad antes descrita, aquí la tienes de nuevo: 2
a
Toma 25 regletas blancas y 25 regletas rojas y colócalas en una bolsa.
b
Pídele a tu compañero que tome en 10 turnos un puño de regletas.
En cada turno deberán registrar el número de regletas que tomaron y regresalas a la bolsa. c
d
Turno
Llenen las siguientes tablas con los datos obtenidos.
Número de regletas blancas
Turno
Número de regletas rojas
Ahora, en la siguiente página grafiquen sus resultados uniendo los puntos determinados por esos resultados. 194
Eje: Manejo de la información
Análisis y representación de datos
•
Regletas blancas
Regletas rojas
Cantidad
Cantidad
de regletas
de regletas
2524
2524
23 22 21
23 22 21
2019
2019
18 17 16
18 17 16
1514
1514
13 12 11
13 12 11
10 9
10 9
8 7 6
8 7 6
5
5
4 3 2 1
Turnos:
1 2
3
4 5
6 7
8
9 10
4 3 2 1
Turnos:
1 2
3
4 5
Si te das cuenta, en las gráficas pueden unir los puntos que se colocan en ella. Se parecerá a un polígono. Si unes el primer y último punto al eje horizontal obtendrás un polígono, es por eso que este tipo de gráficas son llamadas “polígonos de frecuencia” y con este tipo de gráficas nos damos cuenta rápidamente de manera visual de algunos datos relevantes. Por ejemplo, puedes saber en nuestro caso, qué color de regletas fue el que salió más veces y en qué turno. Puedes saber también, cuál turno tuvo menor cantidad de regletas de cada color, o saber cuál es la cantidad que más veces se tomó. También, qué turnos tuvieron la misma cantidad de regletas en ambos colores. Algo muy importante de este tipo de gráficos es que, además puedes comparar ambos resultados. Si te das cuenta tienen los mismos números en ambos ejes (horizontal y vertical), a estos números y la separación que hay entre ellos (0, 5, 10, 15, 20 y 25 en el vertical, además del 1 al 10 de uno en uno en el horizontal) se le llaman escalas.
6 7
8
9 10
Un polígono de frecuencia es una gráfica de una distribución de frecuencias que se elabora uniendo los puntos medios de la base superior de cada rectángulo en un histograma.
La escala en una gráfica es conjunto de marcas sobre un los ejes del plano cartesiano que nos dan la referencia y nos permiten hacer mediciones.
Ambas escalas de las gráficas son las mismas, por lo tanto hasta podemos ahorrar trabajo y colocar los dos gráficos en un mismo plano cartesiano. Observa con atención la siguiente gráfica, la cual contiene ambos gráficos (regletas blancas y rojas) del ejemplo anterior en un mismo plano: Eje: Manejo de la información
195
•
Análisis y representación de datos Regletas blancas Regletas rojas
Cantidad de regletas
25 20 15 10 5
Turnos:
1 2
3
4 5
6 7
8
9 10
Ahora traza tus dos gráficas juntas en el siguiente plano cartesiano: Cantidad de regletas
2524 23 22 21
2019 18 17 16
1514 13 12 11
10 9 5
8 7 6 4 3 2 1
Turnos:
1 2
3
4 5
6 7
8
9 10
Gráfica de regletas blancas y rojas
Escribe dos ejemplos en los cuales puedas usar este tipo de gráficas: Ejemplo 1 : ________________________________________________ Ejemplo 2 : ________________________________________________ 196
Eje: Manejo de la información
Análisis y representación de datos
•
Reúnete de nuevo en parejas y grafiquen un ejemplo en tu cuaderno de registro de centímetro cuadrado. Además planteen preguntas que pueden obtener respuestas rápidas con sólo ver la gráfica. Investiguen también los siguientes conceptos: 1
Frecuencia.
2
Gráfica de barras.
3
Histograma.
Hagamos ejercicios Organizados en parejas representen en una gráfica poligonal la información que contienen las siguientes tablas, relacionada con la variación en la temperatura de dos pacientes.
Paciente A Hora
6 A.M.
8 A.M. 10 A.M. 12 A.M. 2 P.M. 4 P.M. 6 P.M.
8 P.M.
Temperatura (°C)
39.5
38.5
36.5
Hora
6 A.M.
8 A.M. 10 A.M. 12 A.M. 2 P.M. 4 P.M. 6 P.M.
Temperatura (°C)
38.5
38.5
38
37
37
36.5
36.5
Paciente B
37
37
37
38
38.5
8 P.M. 39
Eje: Manejo de la información
197
Análisis y representación de datos
Analizando la información CONTENIDO: Análisis de propiedades de la media y mediana.
A
continuación haremos un análisis de información, para eso te presentamos unas gráficas con los resultados de los exámenes del primer bimestre del grupo de 6o de primaria de una escuela.
Evaluación
1er bimestre 2009 - 2010 • 6o de primaria
TEMA
Reactivos
Título del gráfico 100 90
Promedio
80 70 60 50 40 30 20 10 0
1
2
3
4
5
6
Reactivo
198
Eje: Forma, espacio y medida
7
8
9
10
Análisis y representación de datos
•
Los temas de cada uno de los reactivos fueron:
Las medidas de tendencia central son la
1. Notación desarrollada 2. Factorización 3. Operaciones básicas 4. Suma y resta de fracciones 5. Multiplicación de fracciones 6. Polígonos regulares 7. Problemas de operaciones básicas 8. Problemas de fracciones 9. Problemas de área 10. Invención de disfraces
media (aritmética), la moda y la mediana. La medida de tendencia central más frecuentemente utilizada es la media.
De acuerdo a la información que puedas interpretar de las gráficas responde las siguientes preguntas: • ¿En qué tema obtuvo el grupo el mejor promedio?
La media aritmética de una muestra es igual al promedio de todos los datos.
• ¿En qué tema se obtuvo el promedio más bajo? Se sugiere que en los temas en los que el promedio general del grupo sea menor de 80% se retome el tema para que los alumnos lo comprendan mejor y suban el promedio. ¿Qué temas serian los que la maestra tendría que retomar? • ¿Podrías saber por interpretación de las gráficas los promedios exactos de cada reactivo? Las gráficas te muestran una visión general de la información, pero para la información exacta a veces no se puede saber. A continuación te damos los datos exactos de los promedios de cada reactivo para que veas si las respuestas que diste a las preguntas anteriores están correctas.
Reactivo 1 2 3 4 5
Promedio 96 86 92 88 70
6
76
7
80
8
59
9
98
10
90 Eje: Manejo de la información
199
• Al acomodar los datos en orden de menor a mayor, la mediana es el dato central de la lista.
En una muestra, la moda es el valor que aparece con mayor frecuencia.
Análisis y representación de datos
• ¿Cuál es el promedio general del grupo de acuerdo a la información de la tabla? • ¿Cuál es la mediana? ¿Y la moda? Cómo podrás recordar: El promedio o media aritmética es el valor al cual todos los datos tienden a acercarse. La mediana es el dato central de la lista cuando está acomodada en orden de mayor a menor. La moda es el dato que más aparece.
El rango de un conjunto de datos se define como la diferencia entre el mayor y el menor de todos los datos. En otras palabras, el rango de un conjunto de datos es el intervalo más pequeño que los contiene a todos. El rango es una medida de dispersión de los datos, pues indica qué tan distantes están los datos más alejados de la muestra.
Los valores de moda, mediana, y promedio, se conocen como medidas de tendencia central y nos permiten advertir en dónde se concentran los datos. Así como has trabajado con medidas de tendencia central, existen también medidas de dispersión de datos como son el rango y la desviación de un dato. El rango es la diferencia que hay entre el dato mayor y el dato menor y la desviación de un dato es la diferencia que hay entre ese dato y el promedio.
Hagamos ejercicios En la escuela de Rodrigo y Santiago, se va a premiar al que haya obtenido mejores calificaciones en matemáticas en el bimestre pasado. A continuación te presentamos las calificaciones de ambos grupos para que las analices. 1
Grupo de Rodrigo
9
8
7
8
8
6
Grupo de Santiago
6
9
9
8
9
10 10
2
9 10 7 7
6
8
6
9
9
5 10
6
8
9
7
8
9
Con estos datos encuentra el promedio, la moda, la mediana y el rango de cada grupo y construye una gráfica de barras.
200
Eje: Manejo de la información
Análisis y representación de datos
•
Elige, de acuerdo a los datos que grupo crees que se merece el premio. Argumenta con tus compañeros, y justifiquen sus respuestas. Alonso distribuye dulces y chocolates de una fábrica en la zona del Bajío y debe visitar las ciudades de Guanajuato, León, Querétaro, La Piedad y Salamanca. Sus estadísticas le marcan lo que debe vender en cada zona para no bajar sus ventas mensuales de acuerdo a la siguiente tabla: 2
Zona
Guanajuato
León
Salamanca
Querétaro
La Piedad
Ventas
$ 90 000
$ 70 000
$ 50 000
$ 100 000
$ 30 000
De acuerdo a estos datos: • Calcula el promedio de ventas mensual de Alonso. • Calcula el rango de ventas que tiene Alonso en su zona. • En qué zona tiene Alonso más ventas • En qué zona tiene menos ventas • Cuál es la media de las ventas mensuales. • Construye una gráfica que ayude a Alonso a visualizar mejor sus ventas. Diego juega hockey sobre pasto. Las estaturas de los jugadores del equipo son: 1.76m, 1.85m, 1.76m, 1,70m, 1.76m, 1.59m, 1.62m, 1.66m 1.70m, 1.95m, 1.55m, 1.69m. De acuerdo a estos datos encuentra el promedio de las estaturas, la mediana, la moda y el rango. 3
Trabaja en equipo con 2 compañeros y busquen situaciones de su vida cotidiana en las que se pueda encontrar promedio, moda, mediana y rango. Hay muchas situaciones e este tipo, así que no usen ninguna de las que ya usamos en estos problemas, encuentren nuevas situaciones, por lo menos dos por equipo, hagan las encuestas necesarias para recabar la información. 4
Eje: Manejo de la información
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Síntesis
Síntesis: ¡Terminaste el bloque 3 de tu libro! Esto significa que cada vez estás más cerca de completar tus aprendizajes esperados para este ciclo escolar. En este bloque aprendiste varias cosas importantes. Te damos un resumen.
Jerarquía de operaciones: La jerarquía de operaciones (también conocida como orden o prioridad de las operaciones) es el conjunto de reglas que indican qué operaciones deben realizarse primero en una expresión que incluye varias operaciones. Es importante que recuerdes siempre este orden: Primero debes simplificar expresiones dentro de signos de agrupación (paréntesis) Dentro de estos signos de agrupación debes de seguir el mismo orden jerarquico que cuando no tengas agurpadores, es decir, primero vas a calcular potencias y raíces después vas a calcular multiplicaciones y divisiones y por último vas a reslover sumas y restas.
Polígonos: Encontramos en este bloque que un polígono es convexo cuando todos sus ángulos internos miden menos que un ángulo llano (ninguno de sus ángulos internos es entrante). El siguiente polígono es convexo:
Es decir, un polígono es convexo si todos sus ángulos internos miden menos de 180°. Más formalmente, se dice que una figura geométrica es convexa si todo segmento con extremos dentro de la figura, todo (el segmento) está dentro de la figura.
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Síntesis • Bloque 3
Síntesis
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Un polígono es cóncavo o no convexo si al menos uno de sus ángulos internos es entrante. El siguiente polígono es cóncavo:
Si es posible dibujar un segmento de recta con extremos dentro del polígono, pero parte del segmento fuera de la figura, entonces el polígono es cóncavo. Aprendiste también que la diagonal de un polígono es el segmento de recta que tiene sus extremos en dos vértices no consecutivos del polígono. Si el segmento de recta tiene sus extremos en dos vértices consecutivos del polígono, entonces se trata de uno de sus lados. Dentro de cualquier polígono convexo, al trazar todas las diagonales que parten de un mismo vértice encontramos que el número de triángulos que se pueden formar es: T= n-2 Donde T es el número de triángulos y n es el número de lados del polígono Aprendiste que la suma de ángulos internos de un polígono convexo es igual al número de triángulos que se pueden formar dentro de él, multiplicado por 180° S= 180T S= 180(n-2)
Síntesis • Bloque 3
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Síntesis
Figuras que cubren el plano: Se llama teselado a la cobertura del plano por polígonos de manera que cada punto del plano esté cubierto por solamente un polígono y que dos polígonos se toquen solamente en sus lados.
Volumen y capacidad: Encontraste que el volumen de un cubo, se encuentra multiplicando por si misma tres veces la medida de su arista. Aprendiste también en este bloque que el volumen es el espacio que ocupa un cuerpo, mientras que la capacidad es un espacio tridimensional en el que cabe algo. Las unidades de volumen son unidades de longitud cúbicas, como metro cúbico (m3), decímetro cúbico (dm3), etc. Mientras que las unidades de capacidad son el litro, decilitro, centilitro, etc. En una figura de un decímetro cúbico de volumen, cabe un litro. Es decir, tiene un litro de capacidad.
Relación funcional: Cuando dos cantidades se relacionan entre sí, y se puede establecer una regla de correspondencia entre ellas, es decir, que una cantidad depende del valor de otra, se dice que tenemos una relación funcional entre ellas. Una función es la relación que se establece entre dos cantidades que pueden variar. La función es la regla de correspondencia entre ambas cantidades. Una variable es una literal que se supone cambia de valor. En la función y = 2x, la variable independiente es la variable en la cual sustituimos los valores, generalmente se representa con x. Es la variable que va cambiando su valor. Por otra parte, la variable dependiente es el valor que la función toma, usualmente se representa con y. El valor de la variable dependiente, como su nombre lo indica, depende del valor que toma la variable independiente. En matemáticas las variables se denotan usando las últimas letras del alfabeto: t, u, v, x, y, z, etc. Una constante es una expresión matemática que no cambia de valor.
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Síntesis • Bloque 3
Síntesis
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Diagramas y tablas Un polígono de frecuencia es una gráfica de una distribución de frecuencias que se elabora uniendo los puntos medios de la base superior de cada rectángulo en un histograma. La escala en una gráfica es conjunto de marcas sobre los ejes del plano cartesiano que nos dan la referencia y nos permiten hacer mediciones.
Medidas de tendencia central: Las medidas de tendencia central son la media (aritmética), la moda y la mediana. La medida de tendencia central más frecuentemente utilizada es la media. La media aritmética de una muestra es igual al promedio de todos los datos. Al acomodar los datos en orden de menor a mayor, la mediana es el dato central de la lista. En una muestra, la moda es el valor que aparece con mayor frecuencia. El rango de un conjunto de datos se define como la diferencia entre el mayor y el menor de todos los datos. En otras palabras, el rango de un conjunto de datos es el intervalo más pequeño que los contiene a todos. El rango es una medida de dispersión de los datos, pues indica qué tan distantes están los datos más alejados de la muestra.
Síntesis • Bloque 3
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Evaluación
Evaluación 1
Coloca los paréntesis necesarios para que las igualdades se cumplan:
12 + 8 x 4 + 10 = 90 12 + 8 x 4 + 10 = 54 12 + 8 x 4 + 10 = 280
Escribe con los signos y agrupadores adecuados las operaciones que te ayuden a resolver el siguiente problema: 2
Alfredo compró tres discos de $150 cada uno y 2 discos de $90 cada uno. Si pagó con dos billetes de $500, ¿cuantó recibió de cambio?
Construye la figura geométrica que representa las siguientes expresiones: 3
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Evaluación • Bloque 3
a
n (n + 8) =
a
2y2 + 3y =
Evaluación
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Indica cual será la suma de los ángulos internos de un pentágono cualquiera si “s: suma de los ángulos internos” y “n: número de lados del polígono”. 4
a
s=180(n-2), n=5, s=540º
b
s=360(n), n=5, s=1800º
c
s=180(n), n=5, s=900º
d
s=360(n+5), n=1, s=2160º
e
ninguna de las anteriores
La siguiente gráfica determina el precio de una taza de café: 5
Elige la respuesta que determine el costo de 30 tazas de café.
a
$200
b
$100
c
$50
d
$150
e
ninguna de las anteriores
20 15 10 5
1
2
3
4
5
Tazas de café
Evaluación • Bloque 3
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Evaluación
En la siguiente tabla se muestra el cobro bimestral en función de consumo de energía eléctrica. 5
Llena los espacios vacíos con el valor correcto. Puedes usar tu calculadora. a
x Consumo (kwh) 786 578 400 615 926.52 1500.5
y Cobro bimestral ($) 982.50 500
Obtén la ecuación que representa la relación del costo de energía eléctrica en función del consumo b
Redacta una situación en la que puedas utilizar las medidas de tendencia central ( media, mediana, moda y rango). Describe brevemente para qué te sirve cada una de estas medidas. 6
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Evaluación • Bloque 3
Evaluación
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Ahora formen 8 equipos con los compañeros del salón y hagan un sorteo del los 8 apartados de este bloque. 7
Cada equipo, elabore un problema, ejercicio o situación didáctica del apartado que les tocó y resuélvanlo. Muéstrenlo al profesor(a) para que lo revise, tanto el planteamiento del ejercicio como la solución.
Cada equipo, comparta al grupo el ejercicio que elaboraron para que se resuelva de forma grupal. Compartan las diferentes estrategias de solución que utiliza cada uno para resolver los ejercicios planteados por tus compañeros de clase. 8
Evaluación • Bloque 3
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