×ÁÑÁËÁÌÐÏÕ. Ê. ÔÅÑÆÉÄÇ ÊÁÈÇÃÇÔÇ ÔÏÕ ÔÅÉ ÈÅÓÓÁËÏÍÉÊÇÓ
ËÏÃÉÓÌÏÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÙÍ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ & ÄÉÁÖÏÑÉÊΕΣ ÅÎÉÓÙÓÅΙΣ
êĆďĄĕĂĄ 148, ĕĊĎ.: 2310 235.297 & 2310 239.537 fax: 2310 265.126, 546 21 íĈĔĔĄĎđďĂčĊ êĆďĄĕĂĄ 156, ĕĊĎ.: 2310 861.917, fax: 2310 891.201 Ĉďĕĝē õĄďĈ ČĔĕĊ ĂđĖ ñĄčĈćđďĂĄē e-mail: anikoula@otenet.gr
Áöéåñþíåôáé óôç óýæõãü ìïõ, ÊõñéáêÞ
ÐÅÑÉÅ×ÏÌÅÍÁ ÐÑÏËÏÃÏÓ ÊÅÖÁËÁÉÏ 1: ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ 1.ÅÉÓÁÃÙÃÉÊÅÓ ÅÍÍÏÉÅÓ 2.ÏÑÉÁ ÊÁÉ ÓÕÍÅ×ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÙÍ ÄÕÏ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 3.ÌÅÑÉÊÅÓ ÐÁÑÁÃÙÃÏÉ 3.1 ÃÅÙÌÅÔÑÉÊÇ ÅÑÌÇÍÅÉÁ ÔÙÍ ÌÅÑÉÊÙÍ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÐÑÙÔÇÓ ÔÁÎÇÓ 4.ÄÉÁÖÏÑÉÓÉÌÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 5.ÓÕÍÈÅÔÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 6.ÐËÅÃÌÅÍÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 7.ÁÊÑÏÔÁÔÅÓ ÔÉÌÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÙÍ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 7. 1 ÌÅÃÉÓÔÁ ÊÁÉ ÅËÁ×ÉÓÔÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÙÍ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ ÓÁÃÌÁÔÉÊÁ ÓÇÌÅÉÁ. 7.2 ÊÁÈÏÑÉÓÌÏÓ ÔÙÍ ÁÊÑÏÔÁÔÙÍ ÔÉÌÙÍ ÌÉÁÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ 7.3 ÁÊÑÏÔÁÔÁ ÕÐÏ ÓÕÍÈÇÊÅÓ. ÌÅÈÏÄÏÓ ÔÙÍ ÐÏËËÁÐËÁÓÉÁÓÔÙÍ ÔÏÕ LAGRANGE. 8.ÅÉÄÉÊÅÓ ÊÁÔÇÃÏÑÉÅÓ ÅÖÁÑÌÏÃÙÍ ÔÙÍ ÌÅÑÉÊÙÍ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ 8.1 ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ ÅÎÁÑÔÙÌÅÍÁ ÁÐÏ ÐÁÑÁÌÅÔÑÏ 8.2 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÔÉÊÏÉ ÕÐÏËÏÃÉÓÌÏÉ ÊÁÉ ÕÐÏËÏÃÉÓÌÏÉ ÓÖÁËÌÁÔÙÍ ÌÅ ÔÇ ÂÏÇÈÅÉÁ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ. 8.3 ÌÅÈÏÄÏÓ ÔÙÍ ÅËÁ×ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ ÃÉÁ ÔÇÍ ÊÁËÕÔÅÑÇ ÐÑÏÓÁÑÌÏÃÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ÓÅ ÅÍÁ ÓÕÍÏËÏ ÄÅÄÏÌÅÍÙÍ 9. ÈÅÙÑÇÌÁÔÁ ÌÅÓÇÓ ÔÉÌÇÓ
ÊÅÖÁËÁÉÏ 2: ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÁ ÊÁÉ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÁ ÐÅÄÉÁ 1.ÂÁÓÉÊÅÓ ÅÍÍÏÉÅÓ
2.ÉÓÏÓÔÁÈÌÉÊÅÓ ÊÁÌÐÕËÅÓ ÊÁÉ ÅÐÉÖÁÍÅÉÅÓ- ÃÑÁÌÌÅÓ ÑÏÇÓ 3.ÓÕÌÌÅÔÑÉÅÓ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÙÍ ÊÁÉ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÙÍ ÐÅÄÉÙÍ 4.ÃÅÙÌÅÔÑÉÊÇ ÐÁÑÁÓÔÁÓÇ ÔÙÍ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÙÍ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÙÍ 5.ÏÑÉÁ ÊÁÉ ÓÕÍÅ×ÅÉÁ ÔÙÍ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÙÍ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÙÍ 6.ÐÁÑÁÃÙÃÏÉ ÔÙÍ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÙÍ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÙÍ 7.ÅÑÌÇÍÅÉÁ ÔÙÍ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÔÙÍ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÙÍ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÙÍ 8.ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ ÔÙÍ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÙÍ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÙÍ 9.ÔÁ×ÕÔÇÔÁ ÊÁÉ ÅÐÉÔÁ×ÕÍÓÇ ÔÇÓ ÊÉÍÇÓÇÓ ÕËÉÊÏÕ ÓÇÌÅÉÏÕ
ÊÅÖÁËÁÉÏ 3: KËIÓH, ÁÐÏÊËÉÓÇ ÊÁÉ ÓÔÑÏÖÇ 1.ÐÁÑÁÃÙÃÏÓ ÊÁÔÁ ÊÁÔÅÕÈÕÍÓÇ 2.ÊËÉÓÇ ÔÙÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÙÍ ÐÅÄÉÙÍ 3.ÁÐÏÊËÉÓÇ ÊÁÉ ÓÔÑÏÖÇ ÔÙÍ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÙÍ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÙÍ 4.ÊÁÈÅÔÇ ÅÕÈÅÉÁ ÊÁÉ ÅÖÁÐÔÏÌÅÍÏ ÅÐÉÐÅÄÏ ÌÉÁÓ ÅÐÉÖÁÍÅÉÁÓ ÔÏÕ ×ÙÑÏÕ R3. 5.ÃÅÙÌÅÔÑÉÊÇ ÅÑÌÇÍÅÉÁ ÔÏÕ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÕ 6.ÅÖÁÐÔÏÌÅÍÇ ÊÁÉ ÊÁÈÅÔÏ ÅÐÉÐÅÄÏ ÌÉÁÓ ÊÁÌÐÕËÇÓ ÓÔÏ ×ÙÑÏ R3 7.ÐÁÑÁÃÙÃÏÓ ÊÁÔÁ ÔÇÍ ÊÁÔÅÕÈÕÍÓÇ ÔÇÓ ÅÖÁÐÔÏÌÅÍÇÓ ÌÉÁÓ ÊÁÌÐÕËÇÓ ÓÔÏ ×ÙÑÏ R3.
ÊÅÖÁËÁÉÏ 4: ÄÉÐËÁ ÊÁÉ ÔÑÉÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ 1.ÂÁÓÉÊÅÓ ÔÏÐÏËÏÃÉÊÅÓ ÅÍÍÏÉÅÓ 2.ÏÑÉÓÌÏÓ ÔÏÕ ÄÉÐËÏÕ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÏÓ 3.ÉÄÉÏÔÇÔÅÓ ÔÏÕ ÄÉÐËÏÕ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÏÓ 4.ÕÐÏËÏÃÉÓÌÏÓ ÔÏÕ ÄÉÐËÏÕ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÏÓ 5.ÔÏ ÔÑÉÐËÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ 6.ÌÅÔÁÓ×ÇÌÁÔÉÓÌÏÉ ÄÉÐËÙÍ ÊÁÉ ÔÑÉÐËÙÍ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÙÍ 6.1. ÌÅÔÁÓ×ÇÌÁÔÉÓÌÏÓ ÄÉÐËÏÕ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÏÓ ÓÅ ÐÏËÉÊÅÓ ÓÕÍÔÅÔÁÃÌÅÍÅÓ 6.2. ÌÅÔÁÓ×ÇÌÁÔÉÓÌÏÓ ÔÑÉÐËÏÕ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÏÓ ÓÅ ÊÕËÉÍÄÑÉÊÅÓ ÊÁÉ ÓÅ ÓÖÁÉÑÉÊÅÓ ÓÕÍÔÅÔÁÃÌÅÍÅÓ
7.ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ ÔÙÍ ÄÉÐËÙÍ ÊÁÉ ÔÑÉÐËÙÍ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÙÍ 7.1 ÕÐÏËÏÃÉÓÌÏÓ ÅÌÂÁÄÙÍ ÊÁÉ ÏÃÊÙÍ 7.2 ÊÅÍÔÑÁ ÌÁÆÁÓ ÊÁÉ ÑÏÐÅÓ ÁÄÑÁÍÅÉÁÓ
ÊÅÖÁËÁÉÏ 5: ÅÐÉÊÁÌÐÕËÉÁ ÊÁÉ ÅÐÉÖÁÍÅÉÁÊÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ 1.ÏÑÉÓÌÏÓ ÔÏÕ ÅÐÉÊÁÌÐÕËÉÏÕ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÏÓ 2.ÉÄÉÏÔÇÔÅÓ ÔÙÍ ÅÐÉÊÁÌÐÕËÉÙÍ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÙÍ 3. ÕÐÏËÏÃÉÓÌÏÓ ÔÙÍ ÅÐÉÊÁÌÐÕËÉÙÍ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÙÍ 4. ÅÐÉÊÁÌÐÕËÉÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ ÁÍÅÎÁÑÔÇÔÁ ÔÏÕ ÄÑÏÌÏÕ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇÓ 5.ÅÐÉÊÁÌÐÕËÉÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ ÊÁÉ ÅÑÃÏ 6.ÔÏ ÅÐÉÖÁÍÅÉÁÊÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ 7.ÕÐÏËÏÃÉÓÌÏÓ ÔÙÍ ÅÐÉÖÁÍÅÉÁÊÙÍ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÙÍ 8.ÔÁ ÈÅÙÑÇÌÁÔÁ ÁÐÏÊËÉÓÅÙÓ ÊÁÉ SÔÏÊÅS
ÊÅÖÁËÁÉÏ 6: ÄÉÁÖÏÑÉÊÅÓ ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ 1.ÅÉÓÁÃÙÃÉÊÅÓ ÅÍÍÏÉÅÓ 2.ÄÉÁÖÏÑÉÊÅÓ ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ 1çò ÔÁÎÇÓ 2.1 ÂÁÓÉÊÅÓ ÅÍÍÏÉÅÓ 2.2 ÄÉÁÖÏÑÉÊÅÓ ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ÐÑÙÔÇÓ ÔÁÎÇÓ ÓÔÉÓ ÏÐÏÉÅÓ ÏÉ ÌÅÔÁÂËÇÔÅÓ ×ÙÑÉÆÏÍÔÁÉ 2.3 ÏÌÏÃÅÍÅÉÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÅÓ ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ÐÑÙÔÇÓ ÔÁÎÇÓ 2.4 ÃÑÁÌÌÉÊÅÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÅÓ ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ÐÑÙÔÇÓ ÔÁÎÇÓ 2.5 ÐËÇÑÅÉÓ ÄÅ ÐÑÙÔÇÓ ÔÁÎÇÓ 2.6 ÄÉÁÖÏÑÉÊÅÓ ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ LAGRANGE KAI CLAIRAUT 2.7 ÐÅÑÉÂÁËËÏÕÓÁ ÌÉÁÓ ÏÉÊÏÃÅÍÅÉÁÓ ÊÁÌÐÕËÙÍ. ÉÄÉÁÆÏÕÓÅÓ ËÕÓÅÉÓ 2.8 ÏÑÈÏÃÙÍÉÅÓ ÔÑÏ×ÉÅÓ 3.ÃÑÁÌÌÉÊÅÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÅÓ ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ÁÍÙÔÅÑÇÓ ÔÁÎÇÓ 3.1 ÏÑÉÓÌÏÉ ÊÁÉ ÂÁÓÉÊÅÓ ÅÍÍÏÉÅÓ
3.2 ÃÑÁÌÌÉÊÅÓ ÏÌÏÃÅÍÅÉÓ ÄÅ ÌÅ ÓÔÁÈÅÑÏÕÓ ÓÕÍÔÅËÅÓÔÅÓ 3.3 Ç ÏÌÏÃÅÍÇÓ ÃÑÁÌÌÉÊÇ ÄÅ ÄÅÕÔÅÑÇÓ ÔÁÎÇÓ 3.4 ÄÅ ÔÏÕ EULER 3.5 ÌÇ ÏÌÏÃÅÍÅÉÓ ÃÑÁÌÌÉÊÅÓ ÄÅ ÌÅ ÓÔÁÈÅÑÏÕÓ ÓÕÍÔÅËÅÓÔÅÓ 4.ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 4.1 ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ ÄÅ 1 çò ÔÁÎÇÓ 4.2 ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ ÄÅ 2 çò ÔÁÎÇÓ 5.ÓÕÓÔÇÌÁÔÁ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 5.1. ÂÁÓÉÊÅÓ ÅÍÍÏÉÅÓ 5.2. ÓÕÓÔÇÌÁÔÁ ÃÑÁÌÌÉÊÙÍ ÄÅ 5.3. ÓÕÓÔÇÌÁÔÁ ÃÑÁÌÌÉÊÙÍ ÄÅ ÄÅÕÔÅÑÇÓ ÔÁÎÇÓ 6.ÄÉÁÖÏÑÉÊÅÓ ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ÌÅ ÌÅÑÉÊÅÓ ÐÁÑÁÃÙÃÏÕÓ 6.1 ÂÁÓÉÊÅÓ ÅÍÍÏÉÅÓ 6.2 ÃÑÁÌÌÉÊÅÓ ÄÅ ÌÅ ÌÅÑÉÊÅÓ ÐÁÑÁÃÙÃÏÕÓ 1çò ÔÁÎÇÓ 6.3 ÄÅ ÌÅ ÌÅÑÉÊÅÓ ÐÁÑÁÃÙÃÏÕÓ 2çò ÔÁÎÇÓ
ÐÁÑÁÑÔÇÌÁÔÁ É.ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ I: ÓÕÓÔÇÌÁÔÁ ÊÁÌÐÕËÏÃÑÁÌÌÙÍ ÓÕÍÔÅÔÁÃÌÅÍÙÍ ÉÉ.ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ II: ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ TOY MAXWELL
ÂÉÂËÉÏÃÑÁÖÉÁ
ÐÑÏËÏÃÏÓ
Ôï âéâëßï áõôü ðåñÝ÷åé ôçí ýëç ôïõ Ëïãéóìïý ÓõíáñôÞóåùí Ðïëëþí Ìåôáâëçôþí êáé Äéáöïñéêþí Åîéóþóåùí , ðïõ öñïíïýìå, üôé ðñÝðåé íá äéäÜóêåôáé óôïõò öïéôçôÝò ôùí ó÷ïëþí, ôùí ôå÷íïëïãéêþí åöáñìïãþí, ôçò áíþôáôçò ôñéôïâÜèìéáò ôå÷íïëïãéêÞò ìáò åêðáßäåõóçòêáé Ý÷åé ãñá öåß ìå ãíþìïíá ôéò áíÜãêåò áõôþí ôùí öïéôçôþí. Ãéá ôï ëüãï áõôü Ý÷åé äïèåß éäéáßôåñç âáñýôçôá óôéò åöáñìïãÝò. ÐáñÜëëçëá âÝâáéá Ýãéíå ðñïóðÜèåéá ãéá ìéá êáôÜ ôï äõíáôüí óùóôÞ ìáèçìáôéêÞ èåìåëßùóç ôïõ èåùñçôéêïý ìÝñïõò ôïõ êåéìÝíïõ. Áðïôåëåßôáé áðü Ýîé êåöÜëáéá. Ôï ðñþôï êåöÜëáéï ðåñéëáìâÜíåé ôçí ýëç ôïõ Äéáöïñéêïý Ëïãéóìïý ÓõíáñôÞóåùí Ðïëëþí Ìåôáâëçôþí êáé áðïôåëåßôáé áðü åííÝá ðáñáãñÜöïõò. Óôçν ðñþôç ðáñÜãñáöï áíáöÝñïíôáé ïñéóìÝíåò åéóáãùãéêÝò Ýííïéåò êõñßùò ôïðïëïãéêïý ÷áñáêôÞñá. Óôç äåýôåñç ðáñÜãñáöï áíáðôýóóïíôáé ïé Ýííïéåò ôùí ïñßùí êáé ôçò óõíÝ÷åéáò óõíáñôÞóåùí ðïëëþí ìåôáâëçôþí, åíþ óôç ôñßôç ïñßæïíôáé êáé ìåëåôþíôáé ïé ìåñéêÝò ðáñÜãùãïé äýï Þ ðåñéóóïôÝñùí ìåôáâëçôþí êáé äßíåôáé ç ãåùìåôñéêÞ åñìçíåßá ôùí ìåñéêþí ðáñáãþãùí ðñþôçò ôÜîçò. Óôçí ôåôÜñôç, ðÝìðôç êáé Ýêôç ðáñÜãñáöï ãßíåôáé ç ìåëÝôç áíôßóôïé÷á ôùí äéáöïñßóéìùí, ôùí óýíèåôùí êáé ôùí ðëåãìÝíùí óõíáñôÞóåùí. Óôçí Ýâäïìç ðáñÜãñáöï ìåëåôþíôáé ïé áêñüôáôåò ôéìÝò óõíáñôÞóåùí ðïëëþí ìåôáâëçôþí êáé óôçí üãäïç ðåñéãñÜöïíôáé ïñéóìÝíåò åéäéêÝò êáôçãïñßåò åöáñìïãþí ôùí ìåñéêþí ðáñáãþãùí. Ôï êåöÜëáéï êëåßíåé ìå ôá èåùñÞìáôá ìÝóçò ôéìÞò ãéá óõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí. Óôï äåýôåñï êåöÜëáéï ìåëåôþíôáé ôá áñéèìçôéêÜ êáé äéáíõóìáôéêÜ ðåäßá êáé áðïôåëåßôáé êáé áõôü áðü åííÝá ðáñáãñÜöïõò. Óôçν ðñþôç ðáñÜãñáöï áíáöÝñïíôáé ïñéóìÝíåò åéóáãùãéêÝò Ýííïéåò, óôç äåýôåñç ðåñéãñÜöïíôáé ïé éóïóôáèìéêÝò êáìðýëåò êáé åðéöÜíåéåò êáé ïé ãñáììÝò ñïÞò, óôçν ôñßôç ïé óõììåôñßåò ôùí áñéèìçôéêþí êáé äéáíõóìáôéêþí ðåäßùí êáé óôçν ôÝôáñôç ç ãåùìåôñéêÞ ðáñÜóôáóç ôùí äéáíõóìáôéêþí
óõíáñôÞóåùí. Óôçí ðÝìðôç êáé Ýêôç ðáñÜãñáöï ãßíåôáé ç ìåëÝôç áíôßóôïé÷á ôùí ïñßùí, ôçò óõíÝ÷åéáò êáé ôùí ðáñáãþãùí ôùí äéáíõóìáôéêþí óõíáñôÞóåùí åíþ óôçí Ýâäïìç äßíåôáé ç åñìçíåßá ôùí ðáñáãþãùí ôùí äéáíõóìáôéêþí óõíáñôÞóåùí êáé óôçí üãäïç ìåëåôÜôáé ç ïëïêëÞñùóÞ ôïõò. Ôï êåöÜëáéï êëåßíåé ìå ôç ìåëÝôç ôçò ôá÷ýôçôáò êáé åðéôÜ÷õíóçò åíüò õëéêïý óçìåßïõ. Óôï ôñßôï êåöÜëáéï ìåëåôþíôáé ç Êëßóç ôùí áñéèìçôéêþí ðåäßùí êáé ç Áðüêëéóç êáé ÓôñïöÞ ôùí äéáíõóìáôéêþí êáé áðïôåëåßôáé áðü åðôÜ ðáñáãñÜöïõò. Óôçν ðñþôç ðáñÜãñáöï ìåëåôÜôáé ç ðáñÜãùãïò êáôÜ êáôåýèõíóç, óôç äåýôåñç ç Êëßóç ôùí áñéèìçôéêþíðåäßùí êáé óôçν ôñßôç ç Áðüêëéóç êáé ÓôñïöÞ ôùí äéáíõóìáôéêþí óõíáñôÞóåùí. Óôçν ôÝôáñôç ðáñÜãñáöï ìåëåôÜôáé ç êÜèåôç åõèåßá êáé ôï åöáðôüìåíï åðßðåäï ìéáò åðéöÜíåéáò ôïõ ÷þñïõ R 3 , óôçν πÝìðôç äßíåôáé ç ãåùìåôñéêÞ åñìçíåßá ôïõ äéáöïñéêïý êáé óôçí Ýêôç ìåëåôÜôáé ç åöáðôïìÝíç êáé ôï êÜèåôï åðßðåäï ìéáò êáìðýëçò óôï ÷þñï R 3 . Ôï êåöÜëáéï êëåßíåé ìå ôç ìåëÝôç ôçò ðáñáãþãïõ êáôÜ ôçí êáôåýèõíóç ôçò åöáðôïìÝíçò ìéáò êáìðýëçò óôï ÷þñï R 3 . Óôï ôÝôáñôï êåöÜëáéï ìåëåôþíôáé ôá äéðëÜ êáé ôñéðëÜ ïëïêëçñþìáôá êáé áðïôåëåßôáé êáé áõôü áðü åðôÜ ðáñáãñÜöïõò. Óôçν ðñþôç ðáñÜãñáöï áíáöÝñïíôáé ïñéóìÝíåò âáóéêÝò Ýííïéåò ôïðïëïãéêïý ÷áñáêôÞñá. Óôç äåýôåñç, ôñßôç êáé ôÝôáñôç ðáñÜãñáöï äßíåôáé áíôßóôïé÷á ï ïñéóìüò, ïé éäéüôçôåò êáé ï õðïëïãéóìüò ôïõ äéðëïý ïëïêëçñþìáôïò, åíþ óôçí ðÝìðôç ìåëåôÜôáé ôï ôñéðëü ïëïêëÞñùìá. Óôçí Ýêôç ðáñÜãñáöï ðåñéãñÜöïíôáé ïé ìåôáó÷çìáôéóìïß äéðëþí êáé ôñéðëþí ïëïêëçñùìÜôùí, τïõ äéðëïý ïëïêëçñþìáôïò óå ðïëéêÝò óõíôåôáãìÝíåò êáé ôïõ ôñéðëïý óå êõëéíäñéêÝò êáé óå óöáéñéêÝò. Ôï êåöÜëáéï êëåßíåé ìå ôéò åöáñìïãÝò ôùí äéðëþí êáé ôñéðëþí ïëïêëçñùìÜôùí óôïí õðïëïãéóìü åìâáäþí, üãêùí, êÝíôñùí ìÜæáò êáé ñïðþí áäñÜíåéáò. Óôï ðÝìðôï êåöÜëáéï ìåëåôþíôáé ôá åðéêáìðýëéá êáé åðéöáíåéáêÜ ïëïêëçñþìáôá êáé áðïôåëåßôáé áðü ïêôþ ðáñáãñÜöïõò. Óôçν ðñþôç, äåýôåñç êáé ôñßôç ðáñÜãñáöï, äßíåôáé áíôßóôïé÷á ï ïñéóìüò, ïé éäéüôçôåò êáé ï õðïëïãéóìüò ôïõ åðéêáìðýëéïõ ïëïêëçñþìáôïò. Óôçí ðÝìðôç ðáñÜãñáöï ìåëåôþíôáé åðéêáìðýëéá ïëïêëçñþìáôá áíåîÜñôçôá ôïõ äñüìïõ ïëïêëÞñùóçò êáé óôçí Ýêôç ç ó÷Ýóç åðéêáìðýëéïõ ïëïêëçñþìáôïò êáé Ýñãïõ. Ôï êåöÜëáéï êëåßíåé ìå ôá ÈåùñÞìáôá Áðïêëßóåùò êáé Stokes.
Ôï Ýêôï êåöÜëáéï ðåñéëáìâÜíåé ôçí ýëç ôùí äéáöïñéêþí åîéóþóåùí êáé áðïôåëåßôáé áðü Ýîé ðáñáãñÜöïõò. Óôç ðñþôç ðáñÜãñáöï áíá öÝñïíôáé ïñéóìÝíåò åéóáãùãéêÝò Ýííïéåò, åíþ óôç äåýôåñç áíáðôýóóïíôáé äéåîïäéêÜ, ïé äéáöïñéêÝò åîéóþóåéò ðñþôçò ôÜîçò, ôùí äéáöüñùí ìïñöþí. Óôçν ôñßôç ðáñÜãñáöï ìåëåôþíôáé ïé ãñáììéêÝò äéáöïñéêÝò åîéóþóåéò áíþôåñçò ôÜîçò, åíþ óôçν ôÝôáñôç äßíïíôáé ïñéóìÝíá ÷áñáêôçñéóôéêÜ ðáñáäåßãìáôá åöáñìïãþí ôùí äéáöïñéêþí åîéóþóåùí. Óôçí ðÝìðôç ðáñÜãñáöï ìåëåôþíôáé ôá óõóôÞìáôá äéáöïñéêþí åîéóþóåùí. Ôï êåöÜëáéï êëåßíåé ìå ìéá åéóáãùãÞ óôç èåùñßá ôùí äéáöïñéêþí åîéóþóåùí ìå ìåñéêÝò ðáñáãþãïõò. Ôï âéâëßï êëåßíåé ìå äýï ÐáñáñôÞìáôá. Óôï ðñþôï ðåñéãñÜöïíôáé ôá óõóôÞìáôá ôùí êáìðõëüãñáìùí óõíôåôáãìÝíùí åíþ óôï äåýôåñï ìåëåôþíôáé ïé åîéóþóåéò Maxwell. Ðñï÷ùñÞóáìå óôï ãñÜøéìï ôïõ âéâëßïõ áõôïý ðéóôåýïíôáò üôé ç õðÜñ÷ïõóá âéâëéïãñáößá, áõôïý ôïõ åðéðÝäïõ, åßôå áðïêëßíåé ðñïò ôçí áõóôçñÞ åðéóôçìïíéêÞ èåìåëßùóç êáé áõôü óå âÜñïò ôïõ áíáãêáßïõ åêðáéäåõôéêïý ÷áñáêôÞñá Þ áíôéóôñüöùò äßíåé âáñýôçôá óôçí åêðáéäåõôéêÞ ìåèïäïëïãßá óå âÜñïò ôçò åðéóôçìïíéêÞò áõóôçñüôçôáò. Åäþ ðñïóðáèÞóáìå íá êñáôÞóïõìå ôçí áíáãêáßá éóïññïðßá, åðéäéþêïíôáò áöåíüò ôçí êáôÜ ôï äõíáôüí áõóôçñÞ èåùñçôéêÞ èåìåëßùóç, áðïöåýãïíôáò üìùò ôéò áðïäåßîåéò ôùí äéáöüñùí èåùñçìÜôùí êáé áöåôÝñïõ õëïðïéþíôáò ôïí åêðáéäåõôéêü ÷áñáêôÞñá, ü÷é ìüíï ìå ôï åßäïò ôùí ðáñáäåéãìÜôùí êáé ôùí áíôéðñïóùðåõôéêþí áóêÞóåùí, áëëÜ êõñßùò ìå ôç äéáôýðùóç ôùí ðñïâëçìáôéóìþí åêåßíùí, ïé ïðïßïé åßíáé áðáñáßôçôïé óôçí åìðÝäùóç ôùí äéáöüñùí åííïéþí. Åõ÷áñéóôïýìå üëïõò üóïõò âïÞèçóáí ãéá ôçí óùóôÞ ðáñïõóßáóç τïõ âéâëßïõ áõôïý êáé èÝëïõìå íá ôïíßóïõìå üôé êÜèå õðüäåéîç ó÷åôéêÞ ìå ëÜèç åßíáé ü÷é ìüíï åõðñüóäåêôç áëëÜ êáé áíáãêáßá ãéá ôç âåëôßùóÞ ôïõ. ×.Ê.Ôåñæßäçò
ÊÅÖÁËÁÉÏ
1
ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ 1. ÅÉÓÁÃÙÃÉÊÅÓ ÅÍÍÏÉÅÓ 2. ÏÑÉÁ ÊÁÉ ÓÕÍÅ×ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÙÍ ÄÕÏ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 3. ÌÅÑÉÊÅÓ ÐÁÑÁÃÙÃÏÉ 4. ÄÉÁÖÏÑÉÓÉÌÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 5. ÓÕÍÈÅÔÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 6. ÐËÅÃÌÅÍÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 7. ÁÊÑÏÔÁÔÅÓ ÔÉÌÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÙÍ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 8. ÅÉÄÉÊÅÓ ÊÁÔÇÃÏÑÉÅÓ ÅÖÁÑÌÏÃÙÍ ÔÙÍ ÌÅÑÉÊÙÍ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ 9. ÈÅÙÑÇÌÁÔÁ ÌÅÓÇÓ ÔÉÌÇÓ
ο
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
o
1. ÅÉÓÁÃÙÃÉÊÅÓ ÅÍÍÏÉÅÓ Óõ÷íÜ ç áíôéìåôþðéóç öõóéêþí Þ ãåùìåôñéêþí ðñïâëçìÜôùí ïäçγåß óå ó÷Ýóåéò ìåôáîý äéáöüñùí ðïóïôÞôùí, ïñéóìÝíåò áðü ôéò ïðïßåò êáèïñßæïíôáé áðü ôéò ôéìÝò ôùí õðïëïßðùí. ¸ôóé åßíáé ãíùóôü üôé ç ðßåóç Ñ åíüò ôÝëåéïõ áåñßïõ, ç èåñìïêñáóßá ôïõ Ô êáé ï üãêïò ôïõ V óõíäÝïíôáé ìå ôç ó÷Ýóç PV=áÔ üðïõ á ìéá óôáèåñÞ, ÷áñáêôçñéóôéêÞ ôïõ áåñßïõ. Áêüìç ãíùñßæïõìå üôé, áí x, y, z åßíáé ïé äéáóôÜóåéò åíüò ïñèïãþíéïõ ðáñáëëçëåðßðåäïõ, ôüôå ï üãêïò V êáé ôï åìâáäüí Å ôçò ðáñÜðëåõñçò åðéöÜíåéáò äßíïíôáé áíôßóôïé÷á áðü ôéò ó÷Ýóåéò V= x y z êáé Å=2(x y + y z + z x) Ç ìåëÝôç ôÝôïéùí ðñïâëçìÜôùí, ïäçãåß óôç ìåëÝôç ôùí ðñáãìáôéêþí óõíáñôÞóåùí äýï Þ ðåñéóóüôåñùí ðñáãìáôéêþí ìåôáâëçôþí. ¼ðùò îÝñïõìå ìå ôçí Ýííïéá ìéáò ðñáãìáôéêÞò óõíÜñôçóçò, ðñáãìáôéêÞò ìåôáâëçôÞò, f : D → E óõíõðÜñ÷ïõí äýï óýíïëá D êáé Å, ðñáãìáôéêþí áñéèìþí êáé Ýíáò íüìïò ìïíüôéìçò áðåéêüíéóçò. Áðåéêüíéóçò ôùí óôïé÷åßùí ôïõ óõíüëïõ ïñéóìïý D, óôï óýíïëï ôéìþí Å. Ç ßäéá óõìðåñéöïñÜ åðåêôåßíåôáé êáé óôéò ðñáãìáôéêÝò óõíáñôÞóåéò äýï Þ ðåñéóóüôåñùí ðñáãìáôéêþí ìåôáâëçôþí, ìå ôç äéáöïñÜ, üôé åäþ ôï óýíïëï ïñéóìïý åßíáé Þ Ýíá õðïóýíïëï ôïõ åðßðåäïõ Þ ôïõ ôñéóäéÜóôáôïõ ÷þñïõ Þ ôÝëïò åíüò ÷þñïõ ðåñéóóüôåñùí äéáóôÜóåùí. Ãéá ôï ëüãï áõôü ðñéí ðñï÷ùñÞóïõìå óôç ìåëÝôç ôùí ðñáãìáôéêþí óõíáñôÞóåùí ðïëëþí ìåôáâëçôþí, âñßóêïõìå óêüðéìï íá ðåñéãñÜøïõìå ôéò âáóéêÝò ôïðïëïãéêÝò Ýííïéåò, ðïõ áöïñïýí ÷þñïõò äýï Þ ðåñéóóüôåñùí äéáóôÜóåùí. Óôç óõíÝ÷åéá èá ðåñéïñéóôïýìå óôç ìåëÝôç óõíáñôÞóåùí äýï Þ ðåρéóóüôåñùí ðñáãìáôéêþí ìåôáâëçôþí, ïñéóìÝíùí êõñßùò óå ìéá åéäéêÞ êáôçãïñßá óõíüëùí ôïõ ÷þñïõ R n , üðïõ n Öõóéêüò áñéèìüò, n ≥ 2
R n = {{x 1 , x 2 ,..., x n ) | x 1 , x 2 ,..., x n ∈ R}
3
ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ
Ôá óýíïëá áõôÜ ëÝãïíôáé ôüðïé. Ãéá ôïí ïñéóìü ôïõò üìùò, áðáñáßôçôç åßíáé ðñïçãïõìÝíùò ç ãåíßêåõóç ôçò Ýííïéáò ôçò ðåñéï÷Þò åíüò óçìåßïõ, óå ÷þñïõò ðåñéóóüôåñùí äéáóôÜóåùí. Ùò ãíùóôü óôï óýíïëï R ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí, ä-ðåñéï÷Þ π(Μ 0 , δ) ενüò óçìåßïõ M 0 ( x 0 ) , åßíáé ôï óýíïëï
π(Μ 0 , δ) = {x | x ∈ R , | x − x 0 |< δ} åíþ ðåñéïñéóìÝíç ä-ðåñéï÷Þ ôïõ, π(Μ 0 , δ) ôï óýíïëï π(Μ 0 , δ) = π(Μ 0 , δ) − {x 0 }
Ïé Ýííïéåò áõôÝò ãåíéêåýïíôáé ãéá ôá óçìåßá ôïõ åðßðåäïõ R 2 ùò åîÞò:
ÏÑÉÓÌÏÓ 1. Áí M 0 ( x 0 , y 0 )
åßíáé Ýíá óçìåßï ôïõ åðßðåäïõ R 2 , ïñßæïõìå ùò ôåôñáãùíéêÞ ä-ðåñéï÷Þ ôï óýíïëï
π(Μ 0 , δ) = {M( x , y) | M ∈ R 2 , | x − x 0 |< δ, | y − y 0 |< δ} åíþ ùò ðåñéïñéóìÝíç ôåôñáãùíéêÞ ä-ðåñéï÷Þ ôïõ, ôï óýíïëï
π(Μ 0 , δ) = π(Μ 0 , δ) − {M 0 } Ùò êõêëéêÞ ä-ðåñéï÷Þ ôïõ óçìåßïõ áõôïý, ïñßæïõìå ôï óýíïëï
π c (Μ 0 , δ) = {M( x , y) | M ∈ R 2 , | MM 0 |< δ} åíþ ùò ðåñéïñéóìÝíç êõêëéêÞ ä-ðåñéï÷Þ ôïõ, ôï óýíïëï
π c (Μ 0 , δ) = π c (Μ 0 , δ) − {M 0 } Áðïäåéêíýåôáé üôé ìéá êõêëéêÞ ðåñéï÷Þ åíüò óçìåßïõ ðåñéÝ÷åé ðÜíôïôå ìéá ôåôñáãùíéêÞ ðåñéï÷Þ ôïõ êáé ðåñéÝ÷åôáé óå ìéá ôåôñáãùíéêÞ ðåñéï÷Þ ôïõ. Ôï ãåãïíüò áõôü ìáò åðéôñÝðåé íá ÷ñçóéìïðïéïýìå ìå éóïäýíáìï ôñüðï, ôåôñáãùíéêÝò Þ êõêëéêÝò ðåñéï÷Ýò, áíÜëïãá ìå ôéò áðáéôÞóåéò êÜèå óõãêåêñéìÝíïõ ðñïâëÞìáôïò.
ÏÑÉÓÌÏÓ 2. ¸íá óçìåßï Ì åíüò óõíüëïõ Ó ôïõ åðßðåäïõ R 2 , ëÝãåôáé åóùôåñéêü óçìåßï ôïõ Ó, áí õðÜñ÷åé ðåñéï÷Þ ôïõ óçìåßïõ áõôïý π(Μ, δ) , ãéá ôçí ïðïßá åßíáé π(Μ, δ) ⊂ Σ .
4
ο
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
o
¸÷ïíôáò õðüøç ôïõò ðáñáðÜíù ïñéóìïýò, ìðïñïýìå íá ðñï÷ùñÞóïõìå ôþñá óôïí ïñéóìü ôçò åííïßáò ôïõ áíïéêôïý óõíüëïõ ôïõ R 2 .
ÏÑÉÓÌÏÓ 3. ¸íá óýíïëï Ó ôïõ R 2 ëÝãåôáé áíïéêôü, áí áðïôåëåßôáé ìüíïí áðü åóùôåñéêÜ óçìåßá
Ãéá ôçí Ýííïéá üìùò ôïõ ôüðïõ, áðáñáßôçôç åßíáé áêüìç êáé ç Ýííïéá ôïõ óõíáöïýò Þ óõíåêôéêïý óõíüëïõ
ÏÑÉÓÌÏÓ 4. ¸íá óýíïëï ôïõ R 2 ëÝãåôáé óõíáöÝò Þ óõíåêôéêü, áí
äýï ïðïéáäÞðïôå óçìåßá ôïõ, ìðïñïýí íá óõíäåèïýí ìå ðïëõãùíéêÞ ãñáììÞ üëá ôá óçìåßá ôçò ïðïßáò áíÞêïõí óôï óýíïëï. ¸÷ïíôáò õðüøç ôïõò ðáñáðÜíù ïñéóìïýò, ìðïñïýìå íá ïñßóïõìå ðëÝïí ôçí Ýííïßá ôïõ ôüðïõ.
ÏÑÉÓÌÏÓ 5. ¸íá óýíïëï ôïõ R 2 ëÝãåôáé ôüðïò áí åßíáé áíïéêôü
êáé óõíáöÝò. Åéäéêüôåñá Ýíáò ôüðïò ëÝãåôáé êõñôüò áí ôï åõèýãñáììï ôìÞìá ðïõ ïñßæïõí äýï ïðïéáäÞðïôå óçìåßá ôïõ áíÞêåé óå áõôüí ¸óôù ôþñá f : D → E , D ⊆ R 2 , E ⊆ R ìéá ðñáãìáôéêÞ óõíÜñôçóç äýï ðñáãìáôéêþí ìåôáâëçôþí. Áí Ì åßíáé Ýíá óçìåßï ôïõ D êáé Æ ôï óçìåßï ôïõ Å, ðïõ áíôéóôïé÷åß óôï Ì äéáìÝóïõ ôçò f, ãñÜöïõìå Z = f (M ) . Ôï óçìåßï üìùò ôïõ Ì ùò óçìåßïôïõ ÷þñïõ R 2 êáèïñßæåôáé áðü äýï áñéèìïýò, ôéò óõíôåôáãìÝíåò ôïõ x, y ùò ðñïò Ýíá óýóôçìá áîüíùí. ÅðïìÝíùò ìðïñïýìå íá ãñÜøïõìå Z = f ( x , y) . Óõíåðþò áí èåùñÞóïõìå üôé ôï óýíïëï D åßíáé Ýíá õðïóýíïëï ôïõ åðéðÝäïõ ×ÏÕ, ôüôå óå êÜèå óçìåßï ôïõ, áíôéóôïé÷åß äéá ìÝóïõ ôçò f Ýíá óçìåßï A( x , y, z) ôïõ ÷þñïõ R 3 . Ôç óõíÝ÷åéá ôùí óõíáñôÞóåùí ðïëëþí ìåôáâëçôþí èá ôç ìåëåôÞóïõìå óå åðüìåíç ðáñÜãñáöï. Åäþ üìùò ìðïñïýìå íá óçìåéþóïõìå, üôé óôç ðåñßðôùóç ðïõ ç óõíÜñôçóç z = f ( x , y) åßíáé óõíå÷Þò óôïí ôüðï ïñéóìïý ôçò, ôüôå ç ãåùìåôñéêÞ ðáñÜóôáóç üëùí áõôþí ôùí óçìåßùí, áðïôåëåß ìéá åðéöÜíåéá ôïõ ÷þñïõ R 3 , R 3 = {( x, y, z) | x, y, z ∈ R} , ðïõ Ý÷åé åîßóùóç z = f ( x , y) .
5
ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ
Ð.÷. ç óõíÜñôçóç z = (r 2 − x 2 − y 2 )1 2 , áðïôåëåß ôçí åîßóùóç ìéáò çìéóöáéñéêÞò åðéöÜíåéáò, ôçò ïðïßáò óýíïëï ïñéóìïý åßíáé ï ôüðïò D ôïõ R 2
D = {( x , y) | ( x 2 + y 2 )1 2 ≤ r, x , y ∈ R} . Áíôßèåôá ï ôüðïò ïñéóìïý ôçò ðáñáâïëéêÞò åðéöÜíåéáò z = x 2 + y 2 , åßíáé ôï óýíïëï ôùí óçìåßùí ôïõ åðßðåäïõ ×Õ. ÐáñÜ üìùò ôï ãåãïíüò, üôé ãéá óõíáñôÞóåéò äýï ìåôáâëçôþí, Ý÷ïõìå ãåùìåôñéêÞ åðïðôåßá, óôéò ðåñéóóüôåñåò ðåñéðôþóåéò åßíáé ðñáêôéêÜ áäýíáôç ç ìåëÝôç ôùí åðéöáíåéþí óôïí ôñéóäéÜóôáôï ÷þñï. ÅîÜëëïõ ãéá óõíáñôÞóåéò ðåñéóóïôÝñùí ôùí äýï ìåôáâëçôþí äåí Ý÷ïõìå êáìéÜ åðïðôåßá ôùí ãåùìåôñéêþí ôïõò ðáñáóôÜóåùí. Ðáñüëá áõôÜ ìðïñïýìå íá Ý÷ïõìå ÷ñÞóéìåò ðëçñïöïñßåò, ÷ñçóéìïðïéþíôáò ôéò éóïóôáèìéêÝò êáìðýëåò ìéáò óõíÜñôçóçò äýï ìåôáâëçôþí, Þ ôéò éóïóôáèìéêÝò êáìðýëåò êáé åðéöÜíåéåò ìéáò óõíÜñôçóçò ôñéþí Þ ðåñéóóüôåñùí ìåôáâëçôþí. Z C1
C8
C4 C7
C6
C5
Y C3
X
C8 C7 C
4
C1
C2 C6
C5
Ó÷.1 6
ο
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
o
Áò õðïèÝóïõìå ëïéðüí üôé ìáò äßíåôáé ìéá åðéöÜíåéá (Ó÷.1) óôï ÷þñï R 3 , ìå åîßóùóç ùς ðñïò Ýíá ôñéóïñèïãþíéï óýóôçìá áîüíùí Ï×ÕÆ ôç óõíÜñôçóç z = f ( x , y) . Ïé ðñïâïëÝò óôï åðßðåäï ×ÏÕ, ôùí ôïìþí ôçò åðéöÜíåéáò áõôÞò ìå ôá åðßðåäá z = c , åßíáé êáìðýëåò ìå åîéóþóåéò f ( x , y) = c êáé êÜèå ìéá áðü áõôÝò ðáñéóôÜíåé ôï óýíïëï ôùí óçìåßùí ôçò åðéöÜíåéáò, óôá ïðïßá ç óõíÜñôçóç Ý÷åé óôáèåñÞ ôéìÞ c. Èåùñïýìå ôçí åðéöÜíåéá ôïõ Ó÷.1. Ïé éóïóôáèìéêÝò êáìðýëåò áõôÞò ôçò åðéöÜíåéáò, ðñïêýðôïõí ùò åîÞò: ÕðïèÝôïõìå üôé Ýíá åðßðåäï êéíåßôáé ðñïò ôá ðÜíù, ðáñÜëëçëá ðñïò ôï åðßðåäï ×ÏÕ. Ôï åðßðåäï áõôü êáôÜ ôç ìåôáôüðéóÞ ôïõ ôÝìíåé ôçí åðéöÜíåéá óå êáìðýëåò, ôùí ïðïßùí ôéò ðñïâïëÝò ðáßñíïõìå ðÜíù óôï åðßðåäï ×ÏÕ, ÷áñáêôçñßæïíôáò êÜèå ìßá, ìå ôç ôéìÞ ôïõ ýøïõò, ôçò áíôßóôïé÷çò êáìðýëçò ôçò åðéöÜíåéáò. ¸÷ïíôáò ôþñá áíôßóôñïöá ôéò éóïóôáèìéêÝò êáìðýëåò ìéáò óõíÜñôçóçò z = f ( x , y) , ðïõ ðñïêýðôïõí èÝôïíôáò äéÜöïñåò ôéìÝò óôï z, âãÜæïõìå ÷ñÞóéìá óõìðåñÜóìáôá ãéá ôç ìïñöïëïãßá ôçò åðéöÜíåéáò óôçí ïðïßá áíôéóôïé÷ïýí. Ð.÷. áðü ôéò éóïóôáèìéêÝò êáìðýëåò ôïõ Ó÷.1, ãéá ôéò ïðïßåò åßíáé c1 > c 2 > ... > c8 , óõìðåñáßíïõìå üôé óôá óçìåßá ãýñù áðü ôá ïðïßá êëåßíïõí, ç åðéöÜíåéá ðáñïõóéÜæåé áêñüôáôá, (åëÜ÷éóôá óôçν ðåñßðôùóç áõôÞ). Áêüìç áðü ôï üôé óôï áñéóôåñü ôìÞìá ôïõ åðßðåäïõ, ïé éóïóôáèìéêÝò êáìðýëåò åßíáé ðéï ðõêíÝò áðü üôé óôï äåîéü, óõìðåñáßíïõìå üôé ôï áñéóôåñü ôìÞìá ôçò åðéöÜíåéáò Ý÷åé ìåãáëýôåñç êëßóç áðü üôé ôï äåîéü.
y , ðïõ ïñßæåôáé óôï R 2 , x + y2 åêôüò áðü ôçí áñ÷Þ (0,0) ôùí áîüíùí. Ïé éóïóôáèìéêÝò êáìðýëåò ôçò óõíÜñôçóçò áõôÞò óôï åðßðåäï ×ÏÕ, ðñïêýðôïõí èÝôïíôáò z = c , ïðüôå ¸óôù ð.÷. ç óõíÜñôçóç: z = f ( x , y) =
2
y 1 1 = c , Þ áêüìç x 2 + ( y − ) 2 = ( ) 2 2 2c 2c x +y 2
Ç åîßóùóç áõôÞ åßíáé ç åîßóùóç ìéáò ìïíïðáñáìåôñéêÞò ïéêïãÝíåéáò êýêëùí, êÝíôñïõ (0,1/2c) êáé áêôßíáò 1/2c.
7
ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ
Ó÷. 2
8
ο
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
o
2. ÏÑÉÁ ÊÁÉ ÓÕÍÅ×ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÙÍ ÄÕÏ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ ¸óôù D Ýíá õðïóýíïëï ôïõ R 2 êáé M 0 Ýíá óçìåßï ôïõ åðßðåäïõ, ðïõ ìðïñåß íá áíÞêåé Þ ü÷é óôï D. Áí ãéá êÜèå ðåñéïñéóìÝíç ðåñéï÷Þ π(Μ 0 , δ) ôïõ óçìåßïõ áõôïý åßíáé
π ( Μ 0 , δ) ∩ D ≠ ∅ ôüôå ôï óçìåßï áõôü ëÝãåôáé ïñéáêü óçìåßï Þ óçìåßï óõóóþñåõóçò ôïõ óõíüëïõ D. ¸óôù ôþñá f : D → R ìéá óõíÜñôçóç ïñéóìÝíç óôï óýíïëï D ⊆ R 2 êáé M 0 Ýíá ïñéáêü óçìåßï ôïõ óõíüëïõ áõôïý.
ÏÑÉÓÌÏÓ É. Èá ëÝìå üôé ç óõíÜñôçóç f Ý÷åé üñéï k óôï ïñéáêü óçìåßï M 0 ( x 0 , y 0 ) , áí ãéá êÜèå èåôéêü áñéèìü å, õðÜñ÷åé áñéèìüò ä ôÝôïéïò þóôå, üôáí x − x 0 < δ êáé y − y 0 < δ íá åßíáé f ( x , y) − k < ε Óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ ãñÜöïõìå
lim
f ( x , y) = k Þ áêüìç
( x , y ) →( x 0 , y 0 )
lim f (M ) = k .
M →M 0
¸óôù ôþñá ìéá óõíÜñôçóç, ðïõ Ý÷åé ùò óýíïëï ïñéóìïý ôï óýíïëï ôùí öõóéêþí áñéèìþí êáé ùò óýíïëï ôéìþí Ýíá õðïóýíïëï ôïõ R 2 . Ìéá ôÝôïéá óõíÜñôçóç ëÝãåôáé áêïëïõèßá óçìåßùí ôïõ R 2 êáé óõìâïëßæåôáé ìå {M n } . Ìéá ôÝôïéá áêïëïõèßá ëÝìå üôé óõãêëßíåé óôï R 2 êáé Ý÷åé ùò üñéï M 0 , Þ áðëïýóôåñá üôé óõãêëßíåé óôï M 0 , áí ãéá êÜèå
ε > 0 , õðÜñ÷åé äåßêôçò n 0 , ôÝôïéïò þóôå íá åßíáé Μ n Μ 0 < ε , ãéá êÜèå
n > n 0 , ïðüôå ãñÜöïõìå lim M n = Μ 0 . Óå ìéá ôÝôïéá ðåñßðôùóç ëÝìå n →∞
áêüìç, üôé ôï óçìåßï M 0 ðñïóåããßæåôáé äéá ìÝóïõ ôçò áêïëïõèßáò
{M n } , n = 1,2,... 9
ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ
Éó÷ýåé ôï áêüëïõèï Èåþñçìá.
ÈÅÙÑÇÌÁ. ¸óôù
f : D → R ìéá ðñáãìáôéêÞ óõíÜñôçóç äýï ðñáãìáôéêþí ìåôáâëçôþí ïñéóìÝíç óôï õðïóýíïëï D ôïõ R 2 êáé Ýóôù M 0 Ýíá ïñéáêü óçìåßï ôïõ D. Ç f Ý÷åé üñéï k óôï óçìåßï M 0 , áí êáé ìüíïí áí ãéá êÜèå áêïëïõèßá {M n } , n = 1,2,... óçìåßùí ôïõ D, äéáöüñùí ôïõ M 0 ðïõ óõãêëßíåé óôï M 0 , ç áíôßóôïé÷ç áêïëïõèßá {f (M n )} ôùí ôéìþí ôçò óõíÜñôçóçò óõãêëßíåé óôï k. Äçë. lim f (M ) = k áí êáé ìüíïí áí lim f (M n ) = k , üôáí lim Mn = Μ0 M →M 0
n →∞
n →∞
Ç áîßá ôïõ èåùñÞìáôïò áõôïý âñßóêåôáé óôï üôé, áí äéáðéóôþóïõìå, üôé ôï üñéï ìéáò óõíÜñôçóçò f óå Ýíá ïñéáêü óçìåßï M 0 ôïõ ðåäßïõ ïñéóìïý ôçò Ý÷åé ãéá äýï ôïõëÜ÷éóôïí äéáöïñåôéêïýò ôñüðïõò ðñïóÝããéóçò ôïõ óçìåßïõ M 0 , äéáöïñåôéêÝò ôéìÝò, áõôü èá óõíåðÜãåôáé üôé äåí õðÜñ÷åé ôï üñéï ôçò f óôï M 0 . Z
Γ1
Δ1 B1 A1
O Α X
Δ
Γ
Y
Β
Ó÷. 3 10
ο
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
o
Ð.÷. áò õðïèÝóïõìå üôé ç ãåùìåôñéêÞ ðáñÜóôáóç ìéáò óõíÜñôçóçò z = f ( x , y) åßíáé áõôÞ ôïõ Ó÷.3. ¸óôù üôé åîåôÜæïíôáò ôç óõìðåñéöïñÜ ôçò óõíÜñôçóçò f ( x , y) , êáôÜ ìÞêïò ôùí åõèåéþí y = mx , ïäçãïýìáóôå óå ìéá ó÷Ýóç ôçò ìïñöÞò f ( x, y) = f (m) . Óå ìéá ôÝôïéá ðåñßðôùóç ëÝìå üôé äåí õðÜñ÷åé ôï üñéï ôçò f ( x , y) óôï (0,0). ÐñÜãìáôé áí m 1 åßíáé ï óõíôåëåóôÞò äéåýèõíóçò ôçò åõèåßáò ÏÁ, ôüôå ãéá ìéá áêïëïõèßá óçìåßùí {M n } , n = 1,2,... ôçò åõèåßáò áõôÞò, ðïõ óõãêëßíåé óôï óçìåßï Ï, èá åßíáé
lim
( x , y )→( 0,0)
f ( x , y) = φ(m 1 ) = OA 1 .
Áí ôþñá m 2 åßíáé ï óõíôåëåóôÞò äéåýèõíóçò ôçò åõèåßáò ÏÂ, ôüôå
lim
( x , y ) →( 0 , 0 )
f ( x , y) = φ(m 2 ) = OB1 ≠ OA 1 , ðïõ óçìáßíåé üôé ôï
lim
f ( x , y)
( x , y )→( 0,0)
åßíáé äéÜöïñï ãéá ôéò äéÜöïñåò ôéìÝò ôïõ m. Áò õðïèÝóïõìå ôþñá üôé f 1 êáé f 2 åßíáé äýï óõíáñôÞóåéò ïñéóìÝíåò óå Ýíá óýíïëï D ôïõ R 2 êáé c1 , c 2 åßíáé äýï óôáèåñÝò. Áí M 0 åßíáé Ýíá ïñéáêü óçìåßï ôïõ D éó÷ýïõí ïé áêüëïõèåò éäéüôçôåò 1. lim [c1f 1 (M ) + c 2 f 2 (M )] = c1 lim f 1 (M ) + c 2 lim f 2 (M) M →M 0
M →M 0
M →M 0
2. lim [f 1 (M ) ⋅ f 2 (M )] = lim f 1 (M ) ⋅ lim f 2 (M) M →M 0
M →M 0
M→M 0
lim f 1 (M ) f 1(M ) M → M 0 = 3. lim , ãéá lim f 2 (M ) ≠ 0 lim M →M 0 f 2 (M) M →M 0 f 2 (M) M →M 0
Åêôüò üìùò ôïõ ïñßïõ ìéáò óõíÜñôçóçò óå Ýíá ïñéáêü óçìåßï M 0 ( x 0 , y 0 ) ôïõ óõíüëïõ ïñéóìïý ôçò D, ïñßæïíôáé êáé ôá äéðëÜ Þ åðáíáëáìâáíüìåíá üñéÜ ôçò lim [ lim f ( x , y)] , lim [ lim f ( x , y)] x → x 0 y→ y0
y→ y0 x → x 0
11
ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ
Ð.÷. ãéá ôïí ïñéóìü ôïõ ðñþôïõ áðü áõôÜ èåùñïýìå ôï lim f ( x , y) y→ y 0
ãéá óôáèåñü x ≠ x 0 , ïñßæïíôáò êáôÜ áõôüí ôïí ôñüðï ìéá óõíÜñôçóç ôïõ x. Ôï èåùñïýìåíï äéðëü üñéï åßíáé ôï üñéï ôçò óõíÜñôçóçò áõôÞò üôáí ôï x → x 0 . ¼ìïéïò åßíáé êáé ïñéóìüò ôïõ äåýôåñïõ áðü ôá ðáñáðÜíù üñéá. Ôá äéðëÜ üñéá lim lim f ( x , y) , lim lim f ( x , y) åöüóïí õðÜñ÷ïõí, åßx → x 0 y→ y0
y→ y0 x → x 0
íáé åí ãÝíåé äéÜöïñá ìåôáîý ôïõò. ÁëëÜ áí õðÜñ÷åé êáé ôï üñéï lim f ( x , y) = k , ôüôå ôá äéðëÜ áõôÜ üñéá åßíáé ßóá ìåôáîý ôïõò êáé ( x , y ) →( x 0 , y 0 )
Ý÷ïõí ôéìÞ k. ÅðïìÝíùò áí äéáðéóôþóïõìå üôé ôá äéðëÜ áõôÜ üñéá õðÜñ÷ïõí, áëëÜ åßíáé äéÜöïñá ìåôáîý ôïõò, áõôü èá óõíåðÜãåôáé üôé lim f ( x , y) . ÔÝëïò ðñÝðåé íá ôïíéóôåß üôé åßíáé äåí õðÜñ÷åé ôï üñéï ( x , y )→( x 0 , y 0 )
äõíáôüí íá õðÜñ÷ïõí êáé íá ßóá ôá üñéá
lim lim f ( x , y)
êáé
x → x 0 y→ y0
lim lim f ( x , y) ÷ùñßò áõôü íá óõíåðÜãåôáé ðÜíôïôå ôçí ýðáñîç ôïõ
y→ y 0 x → x 0
ïñßïõ
lim
( x , y )→( x 0 , y 0 )
f ( x , y) óôï óçìåßï ( x 0 , y 0 ) .
Ç ýðáñîç ôïõ ïñßïõ ìéáò óõíÜñôçóçò f : D → R , D ⊆ R 2 óå Ýíá ïñéáêü óçìåßï M 0 ôïõ óõíüëïõ ïñéóìïý ôçò, ðïõ áíÞêåé üìùò óå áõôü, åßíáé âáóéêÞ ðñïûðüèåóç ãéá ôç óõíÝ÷åéá ôçò óõíÜñôçóçò óôï óçìåßï M0 . ÐñÜãìáôé Ý÷ïõìå ôïí áêüëïõèï ïñéóìü.
ÏÑÉÓÌÏÓ ÉÉ. Èá ëÝìå üôé ç óõíÜñôçóç f : D → R åßíáé óõíå÷Þò óôï
óçìåßï M 0 ∈ D , áí lim f (M ) = f (M 0 ) , áí äçë. õðÜñ÷åé ôï üñéï ôçò óõM →M 0
íÜñôçóçò óôï óçìåßï M 0 êáé éóïýôáé ìå ôçí ôéìÞ ôçò óõíÜñôçóçò óôï óçìåßï áõôü. Åöüóïí M 0 = lim M , ç ðáñáðÜíù ó÷Ýóç ãñÜöåôáé M →M 0
áêüìç: lim f (M ) = f ( lim M0 ) M →M 0
12
M →M 0