Libro matematicas by ymk

PERIODO UNO

CRITERIOS DE EVALUACIÓN Durante el año lectivo 2016, el estudiante deberá llevar un portafolio con la información de todas sus notas y en los porcentajes que se comentarán a continuación, con el fin de confrontar los procesos evaluativos y así tenga derecho a reclamos posibles. Las notas no se montan en la página, debido a la gran cantidad que se tiene de ellas y a las pocas casillas para involucrarlas. Cualquier inquietud, remitirse al sistema de evaluación institucional y decreto 1290 de 2009 50% Aspecto Académico: Evaluaciones individuales teóricas y prácticas, evaluaciones virtuales, sustentaciones de actividades como tareas, talleres entre otros. Competencias básicas en manejo de programas y aplicaciones. 20% Evaluación de Período. 10% Autoevaluación. 10% Aspecto Social: Comportamiento en el aula y actividades como tareas, talleres, trabajos en grupo, participación, entré otros.

10% Aspecto personal: Responsabilidad como, puntualidad respeto por la norma, presentación personal. Él incumplimiento de éstas rebaja por cada falta o.5, esto, sé empieza el período con 5.0 en éste aspecto y se va rebajando por lo antes mencionado. No olvidar que una excusa a tiempo y con los criterios exigidos por la institución, evita sanciones y nos hace más amables y comunicativos. Si hay dificultades háganla saber por éste medio o la excusa pertinente. Las tareas se entregan a las 12:00 del día y no cinco minutos después, ya que ustedes deben de estar al menos 10 minutos antes de comenzar la jornada.

PROGRAMACION ANUAL Y POR PERÍODOS NOMBRE DE LA UNIDAD: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Funciones y aplicaciones Conceptos analíticos de geometría plana Ángulos y sistemas de medición Circunferencia y circulo Circulo geométrico y razones trigonométricas Razones trigonométricas en círculos no unitarios Triángulos rectángulos y sus razones trigonométrica

Logros: Identifico tipos de funcione y sus parámetros fundamentales Conceptualizo los elementos propios de la geometría Represento ángulos positivos y negativos en posición normal Identifico la circunferencia desde el ámbito analítico Determino las razones trigonométricas a partir del circulo geométrico Resuelvo triángulos rectángulos utilizándolas razones trigonométricas y la aplico en la solución de problemas en diferentes contextos

RELACIONES Y FUNCIONES Relaciones: una correspondencia entre elementos de dos (2) conjuntos de la misma clase atraves de una regla. ď&#x192;źRegla de R.Reales Reales (Re)

abscisas

ordenadas

Correspondencia entre conjuntos. ELEMENTOS DEL CONJUNTO DE PARTIDA

SE PUEDEN ESCRIBIR COMO EL PRODUCTO CARTESIANO

v=comunes. /=tal que. =entonces. =para todo. Є=pertenece. =y-común. =existe. =si y solo si =es la tendencia a crecer o decrecer de manera negativa – o positiva+, sin ∞ límite

Q’=NO SE PUEDE ESCRIBIR COMO FRACCION, p, E √ 2, √ 7,DECIMALES NO PERIODICOS. Porque N,Z son Q = Porque como denominador se le puede colocar una unidad y así queda como fracción.

"EN LA RAIZ CUADRADA EL RADICAL NO PUEDE DAR NEGATIVO”

¿Porque se llaman diagramas sagitales? Se puede utilizar el diagrama sagital para representar tanto relaciones como funciones, en esta caso se usara para representar la siguiente relación: Definimos el Conjunto de partida conformado por José, Ana, Luis, Raúl, Silvia, Carlos, Pedro y Omar. Definimos el conjunto de llegada cuyos elementos son las asignaturas Matemática, Biología, Lenguaje y Historia. Por ultimo definimos la relación entre los dos conjuntos anteriores de la siguiente forma José, Ana y Luis tienen preferencia por Matemática; Ana, Raúl y Silvia tienen preferencia por Biología y Luis, Carlos y Pedro tienen preferencia por Lenguaje e Historia; Omar no tiene preferencia.

SĂmbolos matemĂĄticos

FUNCION: ES UNA RELACION DONDE TODOS LOS ELEMENTOS DEL COJUNTO DE PARTIDA ESTAN RELACIONADAS UNA SOLA UNA VEZ. En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito). Ver: Relaciones y funciones En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”. Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso. A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?: 1 --------> 1 3 --------> 9

2 --------> 4 4 --------> 16

Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda. La regla es entonces "elevar al cuadrado": 1 --------> 1 2 --------> 4 3 --------> 9 4 --------> 16 x --------> x2. F(X):Y

FUNCIÓN:

F(X) FUNCION QUE DEPENDE DE X G(X) H(X) Y

CIRCUNFERENCIA: aquel que tiene perímetro CIRCULO: es aquel que tiene área

TIPOS DE RELACIONES 1.RELACIÓN DE IGUALDAD: univocas que se establecen con la misma variable. Es una equivalencia en doble vía y que se verifica algunos valores o infinitos . ejemplo: ecuaciones X+1=2

SI X=1

x2 +8X+15=0 (X+5) (X+3) =02. 2.RELACIONES DE EQUIVALENCIAS: se verifican para infinitos valores(identidades). Sea el conjunto de los números naturales:

y consideremos el conjunto , que consiste de todas las parejas ordenadas de números naturales

donde ordenadas quiere decir que (2,4) no es igual a (4,2). Sea ”X” el subconjunto de ,de parejas cuyo segundo número es distinto de cero, es decir

Definamos la siguiente relación de equivalencia en “X si solo si A primera vista, no es fácil reconocer cual es la propiedad que tienen en común los elementos de una clase de equivalencia (aparte de satisfacer la igualdad anterior). Analicemos por ejemplo la clase de equivalencia de la pareja (1,2):

Relación-función: R=a-b,r=axb[(x,y),xEA,xEB] R=re re F=re re,x r y solo una vez osea no hay 1”x” con 2”y” 2.RELACIONES DE ORDEN: es una correspondencia que determina la posición de un RE en la recta numérica Axioma de completitud >=mayor que a>b ”a esta a la derecha de b” <=menor que a<b, ”a, esta a la izquierda de b” ≥=mayor igual que ≤=menor igual que • Estos símbolos permiten establecer intervalos, donde se verifican la solución de una situación problema.

INTERVALO ABIERTO Es aquel intervalo en que ninguno de los extremos pertenecen al conjunto que él representa

INTERVALO CERRADO Es aquel intervalo en que ambos extremos pertenecen al conjunto que él representa

INTERVALO SEMI-CERRADO (SEMI-ABIERTO) Es cerrado por la izquierda y abierto por la derecha, e incorpora solo al límites "a" entre sus componentes. Es cerrado por la derecha y abierto por la izquierda, e incorpora solo al límites "b" entre sus componentes.

INTERVALOS INFINITOS En este tipo de intervalos se conoce el límite izquierdo pero no el derecho. Para este tipo de intervalos se pueden dar dos situaciones, que el intervalo sea abierto ó el intervalo sea cerrado en la izquierda, en cuyo caso se representan:

INFINITO NEGATIVO En este tipo de intervalos se conoce el lĂmite derecho pero no el izquierdo. Para este tipo de intervalos se pueden dar dos situaciones, que el intervalo sea abierto Ăł el intervalo sea cerrado en la derecha, en cuyo caso se representan:

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN. Dominio: son los valores de “x” que satisfacen la función Rango: los valores de “y” que satisfacen la función (En gramática, probablemente le llame al dominio el conjunto reemplazo y al rango el conjunto solución. Quizá también estos han sido llamados la entrada y salida de la función.) Ejemplo 1: Considere la función mostrada en el diagrama.

Aquí, el dominio es el conjunto {A, B, C, E}.D no está en el dominio, ya que la función no está definida para D. El rango es el conjunto {1, 3, 4}. 2 no está en el rango, ya que no hay letra en el dominio que se enlace con el 2. Ejemplo 2: El dominio de la función f(x) = 1/X es todos los números reales excepto el cero (ya que en x = 0, la función no está definida: la división entre cero no está permitida!). El rango también es todos los números reales excepto el cero. Puede ver que hay algún punto en la curva para cada valor de y excepto para y = 0.

Los dominios pueden también estar explícitamente especificados, si hay valores para los cuales la función pudiera estar definida, pero que no deseamos considerarlos por alguna razón. Ejemplo 3: La notación siguiente muestra que el dominio de la función está restringido al intervalo (–1, 1). f(x) = x2, –1 < x < 1 La gráfica de esta función es como se muestra. Dese cuenta de los círculos abiertos, que muestran que la función no está definida en x= –1 y x = 1. Los valores del rango de y desde 0 hasta el 1 (incluyendo el 0, pero no incluyendo el 1). Así el rango de la función es 0 y < 1.

DO, RA; FUNCIONES ALGEBRAICAS 1.funciones polinómicas: Las funciones polinómicas vienen definidas por un polinomio. f(x) = a0 + a1 x + a1 x² + a1 x³ +··· + an xn Su dominio es , es decir, cualquier número real tiene imagen. En las funciones polinómicas todos los valores de x sirven Funciones polinómica de primer grado: f(x) = mx+n Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función. Tipos de funciones polinómicas

a-Función constante: El criterio viene dado por un número real. f(x)= k,ke re DO=RE RAN=[K] La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

b-función lineal o función pendiente o intercambio f(x)=mx+b

Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas. Y = 2x Ejemplo: X=0,1,2,3,4 Y = 2x 0,2,4,6,8

2.f(x)=mxb (función canónica)paramétrica Función pendiente –intercepto Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola. Para llegar a esta expresión se parte de la forma polinómica y se completan cuadrados. a. pendiente intercepto m: inclinación de la recta respecto al eje + b: intercepto con el eje y corte con el eje y m es la pendiente de la recta. La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas. Si m > 0 la función es creciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.

Si m < 0 la funciรณn es decreciente y el รกngulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.

FUNCIÓN CUADRÁTICA Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola. f(x) = ax² + bx + c Representación gráfica de la parábola Podemos construir una parábola a partir de estos puntos: 1. Vértice Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola. La ecuación del eje de simetría es:

2. Puntos de corte con el eje O X En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos: ax² + bx + c = 0 Resolviendo la ecuación podemos obtener: Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² − 4ac > 0 Un punto de corte: (x1, 0) si b² − 4ac = 0 Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0 3.Punto de corte con el eje O Y En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos: f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c (0,C) Ejemplo Representar la función f(x) = x² − 4x + 3. 1. Vértice Xv = − (−4) / 2 = 2 V(2, −1)

yv= 2² − 4· 2 + 3 = −1

4. Puntos de corte con el eje OX xÂ˛ â&#x2C6;&#x2019; 4x + 3 = 0 (3, 0) (1, 0) 5. Punto de corte con el eje OY (0, 3)

FORMA POLINÓMICA Se llama así porque la función está expresada por un polinomio: FORMA FACTORIZADA Toda función cuadrática se puede factorizar en función de sus raíces. Dada: se puede factorizar como: Siendo a el coeficiente principal de la función, por ello se extrae siempre como factor común, de no escribirse, el coeficiente de x2 sería siempre 1. x1 y x2representan las raíces de f(x). En el caso de que el Discriminante Δ sea igual a 0 entonces x1 = x2 por lo que podríamos escribir: En este caso a x1 se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2.

Funciones a trozos Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren. Funciones en valor absoluto. Función parte entera de x. Función mantisa. Función signo. Funciones racionales: El criterio viene dado por un cociente entre polinomio:

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador. Funciones radicales El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical. El dominio de una función irracional de índice impar es R. El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

FUNCIÓN RADICAL DE ÍNDICE IMPAR El dominio es Ejemplos:

Función radical de índice par El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero. Ejemplo:

INYECTIVO, SOBREYECTIVO Y BIYECTIVO "Inyectiva, sobreyectiva y biyectiva" te dan informaciรณn sobre el comportamiento de una funciรณn. Puedes entender una funciรณn como una manera de conectar elementos de un conjunto "A" a los de otro conjunto "B":

"INYECTIVA" significa que cada elemento de "B" tiene como mucho uno de "A" al que corresponde (pero esto no nos dice que todos los elementos de "B" tengan alguno en "A").

"SOBREYECTIVA" significa que cada elemento de "B" tiene por lo menos uno de "A" (a lo mejor más de uno). "BIYECTIVA" significa inyectivo y sobreyectivo a la vez. Así que hay una correspondencia perfecta "uno a uno" entre los elementos de los dos conjuntos. Definiciones formales INYECTIVA Una función f es inyectiva si, cuando f(x) = f(y), x = y. Ejemplo: f(x) = x2 del conjunto de los números naturales a es una función inyectiva. (Pero f(x) = x2 no es inyectiva cuando es desde el conjunto de enteros (esto incluye números negativos) porque tienes por ejemplo f(2) = 4 y f(-2) = 4)

Nota: inyectiva también se llama "uno a uno", pero esto se confunde porque suena un poco como si fuera biyectiva. SOBREYECTIVA (o también "epiyectivo") Una función f (de un conjunto A a otro B) es sobreyectiva si para cada y en B, existe por lo menos un x en Aque cumple f(x) = y, en otras palabras f es sobreyectiva si y sólo si f(A) = B. Así que cada elemento de la imagen corresponde con un elemento del dominio por lo menos. Ejemplo: la función f(x) = 2x del conjunto de los números naturales al de los números pares no negativos es sobreyectiva. Sin embargo, f(x) = 2x del conjunto de los números naturales a no es sobreyectiva, porque, por ejemplo, ningún elemento de va al 3 por esta función.

BIYECTIVA Una función f (del conjunto A al B) es biyectiva si, para cada y en B, hay exactamente un x en A que cumple que f(x) = y Alternativamente, f es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva. Ejemplo: La función f(x) = x2 del conjunto de números reales positivos al mismo conjunto es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto es biyectiva. (Pero no desde el conjunto de todos los números reales porque podrías tener por ejemplo f(2)=4 y f(-2)=4)

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS RECTAS PARALELAS

1. Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son paralelos, es decir, si éstos son linealmente dependientes.

2.Dos rectas son paralelas si tienen sus vectores directores iguales. 3.Dos rectas son paralelas si tienen sus pendientes iguales. 4.Dos rectas son paralelas si los coeficientes de x e y respectivos son proporcionales.

5 .Dos rectas son paralelas si forman un รกngulo de 0ยบ.

Ejemplos 1 .Calcular una recta paralela a r ≡ x + 2 y + 3 = 0, que pasen por el punto A(3,5).

2 .Calcula k para que las rectas r ≡ x + 2y - 3 = 0 y s ≡ x - ky + 4 = 0, sean paralelas.

3. Hallar la ecuación de la recta paralela a r ≡ 3x + 2y -4 = 0, que pasa por el punto A(2, 3). 3 · 2 + 2· 3 + k = 0 k = -12 3x + 2y - 12= 0 4 .La recta r ≡ 3x + ny - 7 = 0 pasa por el punto A(3,2) y es paralela a la recta s ≡ mx + 2y - 13 = 0. Calcula m y n.

RECTAS PERPENDICULARES

1. Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo. 2. Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares.

Ejemplos 1. Hallar una recta paralela y otra perpendicular a r ≡ x + 2 y + 3 = 0, que pasen por el punto A(3,5).

2. Calcula k para que las rectas r ≡ x + 2y - 3 = 0 y s ≡ x - ky + 4 = 0, sean paralelas y perpendiculares.

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS SEGÚN SU MEDIDA Agudo < 90°

Convexo < 180°

Nulo = 0º

Recto = 90°

Llano = 180°

Completo = 360°

Obtuso > 90°

Cóncavo > 180°

Negativo < 0º

Mayor de 360°

Tipos de ángulos según su posición Ángulos consecutivos Ángulos consecutivos son aquellos que tienen el vértice y un lado común.

Ángulos adyacentes Ángulos adyacentes son aquellos que tienen el vértice y un lado común, y los otros lados situados uno en prolongación del otro. Forman un ángulo llano.

Ángulos opuestos por el vértice: Son los que teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de los lados del otro.

Los ángulos 1 y 3 son iguales. Los ángulos 2 y 4 son iguales. 3 Clases de ángulos según su suma

Ángulos complementarios: Dos ángulos son complementarios si suman 90°.

Ángulos suplementarios Dos ángulos son suplementarios si suman 180°.

4 Ángulos entre paralelas y una recta transversal. Ángulos correspondientes

Los รกngulos 1 y 2 son iguales. ร ngulos alternos internos

Los รกngulos 2 y 3 son iguales.

Ángulos alternos externos

Los ángulos 1 y 4 son iguales. Ángulos en la circunferencia Ángulo central El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios. La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.

Ángulo inscrito El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella. Mide la mitad del arco que abarca.

Ángulo semi-inscrito El vértice de ángulo semi-inscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella.

Mide la mitad del arco que abarca.

Ă ngulo interior Su vĂŠrtice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella. Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.

Ángulo exterior Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella.

Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que abarcan sus lados sobre la circunferencia. Ángulos de un polígono regular

Ángulo central de un polígono regular Es el formado por dos radios consecutivos. Ejemplo: Si n es el número de lados de un polígono: Ángulo central = 360° : n Ángulo central del pentágono regular= 360° : 5 = 72º Ángulo interior de un polígono regular Es el formado por dos lados consecutivos. Ángulo interior = 180° − Ángulo central Ángulo interior del pentágono regular = 180° − 72º = 108º Ángulo exterior de un polígono regular Es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo. Los ángulos exteriores e interiores son suplementarios, es decir, que suman 180º. Ángulo exterior = Ángulo central Ángulo exterior del pentágono regular = 72

SISTEMA CICLICO O CIRCULAR Este sistema utiliza como unidad fundamental al radian. El radian es el Angulo central subtendido por un arco igual a la longitud del radio del circulo. Un radián (1rad) equivale a 57.29° y TT rad equivalen a 180°. Conversión de grados a radianes y de radianes a grados Grados a Radianes

Axiomas Un “axioma” es una proposición evidente por sí misma y por lo tanto no necesita demostración. Los axiomas y los conceptos primitivos son la base fundamental de la geometría. Axiomas básicos 1. El espacio tiene infinitos puntos, rectas y planos. 2. El plano tiene infinitos puntos y rectas. 3. La recta tiene infinitos puntos. 4. Por un punto pasan infinitas rectas.

5. Por una recta pasan infinitos planos.

6. Por dos puntos pasa una Ăşnica recta.

7. Por tres puntos no alineados pasa un Ăşnico plano. En este caso debemos aclarar que significa alineados. Tres puntos estĂĄn alineados si pertenece a una misma recta.

8. Si dos puntos pertenecen a un plano, la recta que pasa por esos dos puntos tambiĂŠn se encuentra en el mismo plano.

GeometrĂa analĂtica recta y circunferencia

Para hallar los puntos comunes a una cónica y una recta resolveremos el sistema formado por las ecuaciones de ambas. En general se obtiene un ecuación de segundo grado, que tendrá dependiendo del signo del discrimínante, , las siguientes soluciones: 1. Si Δ > 0 Dos soluciones: la recta y la cónica son secantes.

2. Si Δ = 0 Una solución: la recta y la cónica son tangentes.

3. Si Δ < 0 Ninguna solución: la recta y la cónica son exteriores.

Ejemplos Calcula la posición relativa de la circunferencia

y la recta

PERIODO DOS

PROGRAMACION ANUAL Y POR PERÍODOS NOMBRE DE LA UNIDAD: APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS. Problemas que originan triángulos rectángulos. Teorema del seno y del coseno. Aplicaciones en problemas de originan triángulos oblicuángulos. Identidades trigonométricas.

Logros: Soluciona problemas que originan razones trigonométricas en triángulos rectángulos. Resuelvo triángulos oblicuángulos, utilizando la ley del seno y coseno; y los aplico en la solución de problemas. Resuelvo identidades fundamentales y demuestro otras a partir de esta.

QUE ES FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA? Las funciones trigonométricas son periódicas. El seno y coseno tienen periodo de 360º o 2π. F(x)={θ+360ºn } nEZ Hallar las funciones trigonométricas y graficar hallar el θR y punto trigonométrico. • -210º • 780º • -405º

Llenar la siguiente tabla:

• Tanx=senx/cosx y/x • Cotx=cosx/senx x/y • Secx=1/cosx 1/x • Cscx=1/senx 1/y

Calcular: • Sen30º=1/2 • Cos30º=√3/2 • Tan30º=1/2/√3/2= 2/2√3= 1/√3= √3/3 • Cot30º=√3/1= √3 • Sec30º=2/√3= 2√3/3 • Csc30º=2/1= 2 Se le llama ángulo coterminal a todo ángulo que tiene el mismo lado inicial y el mismo lado final y por lo tanto el mismo punto trigonométrico.

Existen ángulos notables en el 2do, 3er y 4to cuadrante que se toman con ángulos de referencia del primer cuadrante. Los puntos trigonométricos son los mismos pero diferentes en signo. Sea θ en posición normal: •

II θ=180º- θR=ΘR = 180º- θ

•

III θ=180º+θR=ΘR = θ-180º

•

IV θ=360º- θR=Θr =360º-θ

Signos de las funciones trigonomĂŠtricas:

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN CÍRCULOS NO UNITARIOS

Triangulo rectángulo: estas tienen un ángulo recto (90º=π/2)

A, B,C son los ángulos

A, b ,c son los lados Se llaman así los lados catetos e hipotenusa. Cumplen: ley Pitágoras H2 = C2 + C2

• • • • • •

Suma interior 180º Los ángulos no rectos son complementarios No tiene ángulo obtuso Identifique la hipotenusa La hipotenusa siempre es mayor que los catetos Propiedad de desigualdad triangular

NO UNITARIOS UNITARIOS Seno= Y/R

Seno= Y

Coseno= X/R

coseno= X

Tangente= Y/X

tangente= Y/X

Cotangente= X/Y

cotangente= X/Y

secante= R/X

secante= 1/X

Cosecante= R/Y

cosecante= 1/Y CANONICA X2+Y2=R2

EJERCICIOS • Hallar el valor del seno, coseno y tangente para teta en posición normal. Cuyo lado final pasa por (15,-8) X2+y2=R2 (15)2+(-8)2Rr2 225+64=R2 289=R2 √R2= √289 R=17 SENO=-8/17 COSENO=15/17 TANGENTE=-8/15 COTANGENTE=-15/8 SECANTE=17/15 COSECANTE=-17/8

R=17

(15,-8)

Sea coseno θ igual √3/2 IV cuadrante 0 ≤ θ ≤ 2π

TALLER • Si secα=-7/3, con α en el II cuadrante, hallar las otras cinco funciones trigonométricas y hallar el valor de α • Si cotβ=5, con β en el III cuadrante, hallar las otras cinco funciones trigonométricas y hallar el valor de β • El lado final de un angulo θ esta sobre el punto p (-5,-7). Hallar las seis funciones trigonométricas de θ y su valor • Encontrar el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas del angulo θ de la figura 6-15

RAZONES TRIGONOMETRICAS Llamamos razones trigonométricas a las razones entre los lados y ángulos. Se llama cateto opuesto al lado que se encuentra al frente del ángulo en cuestión. Se llama cateto adyacente al contiguo al ángulo C b

Hipotenusa= c Cateto opuesto =b Cateto adyacente=a

TALLER 1 sea el triangulo ABC recto en C. calcular las partes restantes si: A a=614m c=806cm B A=52º a=7cm c=5cm C B=52º a=15cm 2 calcular el lado de un pentágono regular inscrito en una circunferencia del radio 10cm.hallar la apotema 3 desde un faro colocado a 40m sobre el nivel del mar, se observa un barco con un ángulo de depresión de 55º. A que distancia del faro se encuentra el barco. 4 desde una distancia de 25m de un alcantarillado se observa un nido con un ángulo de elevación de 35º. Desde el mismo punto el ángulo de elevación a la cima del alcantarillado es de 47º. Que distancia hay entre el nido y la cima?

5. desde cierto punto del suelo se ve el punto mas alto de un edificio con un ángulo de elevación de 30º. Si nos acercamos al pie del edificio 75m, el angulo de elevación es de 60º. Determine las distancias de las dos observaciones al extremo superior del edificio

TEOREMA DEL SENO Y COSENO Ángulos oblicuángulos acutángulos

obtusángulo

Acutángulos +0º-90º Obstusangulo+90º-180º

TEOREMA DEL SENO La ley del seno se aplica en los siguientes casos: a. Conociendo dos ángulos y un lado b. Conociendo dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos El seno y el coseno no pueden pasar de 1 o -1

En un triángulo cada lado es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto.

EJEMPLO: De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes elementos.

TEOREMA DEL COSENO El teorema del coseno relaciona un lado del triángulo con los otros dos y el ángulo que forman éstos. El teorema enuncia que: El cuadrado de un lado (a, b o c) cualquiera de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del ángulo (A, B o C) que forman.

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras para cualquier triángulo. De hecho, si el ángulo A fuese recto (90º), su coseno seria cero, quedando: a2 = b2+c2. Si el ángulo A fuese obtuso, es decir >90º, entonces el coseno sería negativo. Aplicaciones del teorema del coseno • Averiguar los ángulos del triángulo sabiendo todos sus lados. • Sabiendo dos lados y el ángulo que forman, calcular el otro lado. Cálculo de los ángulos de un triángulo sabiendo los tres lados Mediante el teorema del coseno se pueden calcular los ángulos de un triángulo sabiendo todos sus lados.

Los รกngulos son el arcocoseno de la razรณn entre la suma del cuadrado de los lados contiguos al รกngulo menos el cuadrado del lado opuesto y el doble del producto de los lados contiguos.

EJEMPLO: Sea un triángulo con dos costados conocidos (a=4 cm y c=6 cm) y sabiendo el ángulo que forman (B=85º). ¿Cuánto mide el costado b? Utilizaremos el teorema del coseno para calcularlo.

Y se obtiene que el lado b=6,92 cm. Si fuese necesario, se podrían calcular los dos ángulos restantes mediante el teorema del seno.

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones. Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.

Identidades trigonométricas fundamentales 1.Relación seno coseno cos² α + sen² α = 1 2.Relación secante tangente sec² α = 1 + tg² α 3.Relación cosecante cotangente cosec² α = 1 + cotg² α

EJEMPLO: 1. Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

2. Sabiendo que sen α = 3/5, y que 90º <α <180°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

PERIODO TRES

PROGRAMACION ANUAL Y POR PERÍODOS NOMBRE DE LA UNIDAD: GEOMETRÍA ANALÍTICA-PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Ecuaciones trigonométricas. Graficas de las funciones trigonométricas. La parábola., la elipse y la hipérbole. Conceptos fundamentales de estadística. Teoría de la probabilidad.

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS. Una ecuación trigonométrica es la que contiene funciones trigonométricas

Elementos: • Tener la ecuación en función de una sola F.T (funciones trigonométricas), usar identidades y procesos algebraicos. • Círculo unitario: signos de las F.T y ángulos en posición normal( ángulos de referencia) • Analizamos soluciones para Θ≤ 0º≤360º; Θ≤0º≤2 π • Todas las razones que intervengan en una ecuación deben expresarse en función de un mismo ángulo y de una sola razón, utilizando transformaciones trigonométricas adecuadas.

ejemplos: EJEMPLO NUMERO 1 2cscx+4 =0 2cscx=-4 Cscx=-4/2 Cscx=-2 Senx= -½ X= sen-1 (-1/2) X=30° EJEMPLO NUMERO 2 Tanx+secx=1 Sec2x=(1-tanx) 2 sec2x = 1-2tanx+ tan2 tan2 x= 1-2tanx+ tan2 x tan2 x-tan2 x+1-1+2tanx=0 2tanx=0 Tanx=0/2 X= tan-1 (0) X= 0°, 180°, 360° Pero: tan 180° + sec 180°= -1, entonces x 0°, 360°

GRAFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Grafica de la Función seno Se llama función seno a la aplicación f definida por, f(x) = senx es decir, la función que asocia a cada número real x el seno del ángulo cuya medida en radianes es x. Do=Re Ran= [-1,1] P=2π Crece= 0 aπ, 3π/2 a 2π Decrece= π a π/2, π/ 2 a 3π/2 https://www.youtube.com/watch?v=n-Pivhz2kJk (revisa que te parecen los videos)

Grafica de la función coseno Se llama función coseno a la aplicación f definida por,f(x) = cosx es decir, la función que asocia a cada número real x el coseno del ángulo cuya medida en radianes es x. Do=Re Ran= [-1,1] P=2π Crece= πa 2π Decrece=0 a π

https://www.youtube.com/watch?v=YhJ2z1mELy4

•

grafica de la función tangente

Do=Re - nπ/2, no impar. No está definida la tanx, hay asíntotas verticales ( rectas que se acercan al valor pero nunca hace un intercepto. Puede haber tendencia a valores f(x)=∞,+∞ Ran= todos los Re Función creciente Periodo es π https://www.youtube.com/watch?v=HTKL-kdOz7Y

Grafica de la función cotangente Como la función cotangente viene definida por el siguiente cociente cotx =cosx/senx el dominio de la función será el formado por todos los números reales excepto aquellos en los que se anula el denominador. Do=Re - nπ, n € z se forman A.V(asindotas verticales) Ran= Re P=π Función decreciente

https://www.youtube.com/watch?v=5l1q1Z8atjk

grafica de la función cosecante Como la función cosecante viene definida por el siguiente cociente cscx =1/senx el dominio de la función será el formado por todos los números reales excepto aquellos en los que se anula el denominador.

Do=Re-nπ , n € z Se forman A.V Ran= Re- (-1, 1) P= 2π

https://www.youtube.com/watch?v=ilKiDeuyEXs

grafica de la función secante Como la función secante viene definida por el siguiente cociente secx =1/cosx el dominio de la función será el formado por todos los números reales excepto aquellos en los que se anula el denominador.

Do=Re – P=2π

n impar Se Forman A.V

https://www.youtube.com/watch?v=wt6RlPAU7pY

Durante el año lectivo 2016, el estudiante deberá llevar un portafolio con la información de todas sus notas y en los porcentajes que se comentarán a continuación, con el fin de confrontar los procesos evaluativos y así tenga derecho a reclamos posibles. Las notas no se montan en la página, debido a la gran cantidad que se tiene de ellas y a las pocas casillas para involucrarlas. Cualquier inquietud, remitirse al sistema de evaluación institucional y decreto 1290 de 2009 50% Aspecto Académico: Evaluaciones individuales teóricas y prácticas, evaluaciones virtuales, sustentaciones de actividades como tareas, talleres entre otros. Competencias básicas en manejo de programas y aplicaciones. 20% Evaluación de Período. 10% Autoevaluación. 10% Aspecto Social: Comportamiento en el aula y actividades como tareas, talleres, trabajos en grupo, participación, entré otros.

VARIACIONES DE LA FUNCIÓN SENO Y COSENO y=Asen(ax±δ) ±k y=Acos(ax±δ)±k

entre 0 y 1= función propia La función se reduce entre números Negativos.

A=amplitud: aumenta o disminuye de forma vertical a=coeficiente de x , determina el cambio en el periodo. Si es –a hacia la derecha +a hacia la izquierda K= determina el corrimiento de la gráfica de manera vertical, es decir que, traslada el eje de la gráfica hacia arriba o hacia abajo, por tanto, modifica el rango de la función. Por ejemplo:

el valor de δ nos indica el nuevo origen de la gráfica de la función trigonométrica. El desfase de una función es que tanto esta corrido el inicio de la gráfica de la función tomando como referencia algún punto del eje de coordenadas en el plano cartesiano, habitualmente se toma como punto de referencia el punto de origen del sistema de coordenadas es decir el punto (0,0).

https://www.youtube.com/watch?v=5Sr5KNl5hOU ( aquí hay varios ejemplos ya resueltos)

SECCIÓN CONICA Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.

La elipse se define como una línea curva cerrada tal que la suma de las distancias a dos puntos fijos, F y F' , llamados focos, es constante.

Elipse Se trata de una circunferencia achatada que se caracteriza porque la suma de las distancias desde cualquiera de sus puntos P hasta otros dos puntos denominados focos (F y F') es siempre la misma. Ten en cuenta que para cualquier punto de la elipse siempre se cumple que: dP,F+d(P,F')=2·a Donde d(P,F) y d(P,F') es la distancia de un punto genérico P al foco F y al foco F' respectivamente. Elementos de la elipse Los siguientes elementos se encuentran en cada elipse:

1.Centro: Es el punto de intersección de los ejes. Es, además, centro de simetría. 2.Eje principal o focal: Es el eje en el que se encuentran los focos. Es un eje de simetría. 3.Eje secundario: Es el eje perpendicular al eje principal, mediatríz del segmento que une los focos. 4.Vértices: Puntos de intersección de la elipse con los ejes. 5.Distancia focal: Distancia entre los focos. Su longitud es 2·c. 6.Semidistancia focal: Distancia entre el centro y cada foco. Su longitud es c. 7.Semieje mayor o principal: Segmento entre el centro y los vértices del eje principal. Su longitud es a. 8.Semieje menor o secundario: Segmento entre el centro y los vértices del eje secundario. Su longitud es b y cumple b=a2-c2 9.Radio vectores: Cada punto de la elipse cuenta con dos radio vectores que son los segmentos que unen dicho punto a cada uno de los focos. Para un punto P(x , y) se cumple que d(P , F) = a -e·x y d(P, F') = a+e·x Ecuación de la elipse Ecuación de eje mayor horizontal centrada en un punto cualquiera P(x0,y0)

La ecuación de una elipse cuyo eje mayor es horizontal viene dada por: x-x02a2+y-y02b2=1 Donde: •x0 , y0 : Coordenadas x e y del centro de la elipse •a : Semieje de abscisas •b : Semieje de ordenadas. En nuestro caso debe cumplirse que b ⩽ a.

ejemplo: Dado que sabemos que el eje mayor (2·a) es 10: 2a = 10 ⇒a = 5 Y que la distancia focal (2·c) mide 6: 2c = 6 ⇒c= 3 Partiendo de estos datos, podemos calcular la longitud del semieje menor (b) por medio de la siguiente ecuación: b2=a2−c2 ⇒ b2=52 −32 ⇒ b=√(25-9)⇒ b = ±4 Dado que no puede existir una longitud negativa nos quedaremos con que b = 4. Utilizando ahora la fórmula de la ecuación de una elipse de eje mayor horizontal situada en el punto P(0,0) o lo que es lo mismo x0 = 0 e y0 = 0.

La parรกbola

Partiendo de la definición de la parábola como lugar geométrico, consideremos que P(x,y)P(x,y) es un punto arbitrario de la parábola. Por la definición de la distancia entre dos puntos: |PF|=x2+(y−p)2−−−−−−−−−−√|PF|=x2+(y−p)2 y la distancia de PP a la directriz es |y+P||y+P|. El caso que estamos considerando es cuando p>0p>0, según la gráfica 2. Por la igualdad de las distancias, según la definción: |PF|=|y+p|⇒x2+(y−p)2−−−−−−−−−−√=|y+p||PF|=|y+p|⇒x2+(y−p)2=|y+p|

tomando el cuadrado en ambos lados de la ecuación: x2+(y−p)2=|x+p|2=(y+p)2x2+(y−p)2=|x+p|2=(y+p)2 Luego de simplificar, obtenemos: x2+y2−2py+p2=y2+2py+p2⇒x2+y2−2py+p2=y2+2py+p2⇒ x2=4pyx2=4py Resumiendo, podemos decir que: La parábola: x2=4pyx2=4py tiene su foco en (0,p)(0,p) y su recta directriz tiene por ecuación y=−py=−p La parábola se abre hacia arriba si p>0p>0 y hacia abajo si p<0p<0

x2=4py,p>0x2=4py,p>0

x2=4py,p<0x2=4py,p<0

En el caso de que el foco de la parabola esté en el eje x y en el punto (p,0)(p,0), entonces La parábola: y2=4pxy2=4px tiene su foco en (p,0)(p,0) y su recta directriz tiene por ecuación x=−px=−p La parábola se abre hacia la derecha si p>0p>0 y hacia la izquierda si p<0p<0

y2=4px,p<0y2=4 px,p<0

y2=4px,p>0y2=4 px,p>0

Si consideramos el caso más general, el vértice de la parábola tendrá coordenadas x=x′+hx=x′+h y y=y′+ky=y′+k por lo que la ecuación canónica se transforma en:

(x−h)2=4p(y−k)(x−h)2=4p(y−k) o

La hipérbola Una hipérbola se define como el lugar geométrico de los puntos del plano en el que la diferencia de distancias a dos puntos fijos denominados focos, F y F', es siempre constante.

Hipérbola Las líneas azules constituyen lo que se conoce como una hipérbola. Observa sus focos F y F'. Estos puntos son muy importantes ya que la diferencia de la distancia entre cada punto P(x,y) y estos puntos es siempre constante. Por tanto, debes tener en cuenta que para cualquier punto de la hipérbola siempre se cumple que: |d(P,F)−d(P,F')|=2⋅a Donde d(P,F) y d(P,F') es la distancia de un punto genérico P de la hipérbola al foco F y al foco F Respectivamente. Y donde 2a es una constante.

Elementos de la hipérbola En las hipérbolas podemos distinguir ciertos elementos comunes que se detallan a continuación: •Focos (F y F'). Puntos fijos en los que la diferencia de distancia entre ellos y cualquier punto de la hipérbola es siempre la misma. •Eje focal, principal o real. Recta que pasa por los focos. •Eje secundario o imaginario. Mediatriz del segmento que une los dos focos. •Centro (O). Punto de intersección de los ejes focal y secundario. •Semidistancia focal (c). La mitad de la distancia entre los dos focos F y F'. Su valor es c. •Distancia focal (2c). Distancia del segmento que une los dos focos F y F'. Su longitud es 2c. •Los vértices (A y A'). Puntos de la hipérbola que cortan al eje focal. •Semieje real (a). Segmento que va desde el origen O hasta cualquiera de los vértices A o A'. Su longitud es a. • Semieje imaginario (b). b=c2−a2−−−−−−√

Ecuación de la hipérbola De manera general podemos encontrarnos dos tipos de hipérbolas, aquellas en las que el eje focal se encuentra horizontal o vertical. De este modo podemos definir dos tipos de ecuaciones. Hipérbola de eje focal horizontal centrada en un punto P(x0,y0) cualquiera

La ecuación de una hipérbola de eje focal horizontal viene dada por: (x−x0)2a2−(y−y0)2b2=1

Donde: •x0 , y0 : Coordenadas x e y del centro de la hipérbola •a : Semieje real •b : Semieje imaginario CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ESTADÍSTICA definición de estadística La Estadística trata del recuento, ordenación y clasificación de los datos obtenidos por las observaciones, para poder hacer comparaciones y sacar conclusiones. Conceptos de Estadística Población: Una población es el conjunto de todos los elementos a los que se somete a un estudio estadístico. Individuo: Un individuo o unidad estadística es cada uno de los elementos que componen la población. Muestra: Una muestra es un conjunto representativo de la población de referencia, el número de individuos de una muestra es menor que el de la población. Muestreo: El muestreo es la reunión de datos que se desea estudiar, obtenidos de una proporción reducida y representativa de la población. Valor: Un valor es cada uno de los distintos resultados que se pueden obtener en un estudio estadístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos dos valores: cara y cruz. Dato: Un dato es cada uno de los valores que se ha obtenido al realizar un estudio estadístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos 5 datos: cara, cara, cruz, cara, cruz.

Variables estadísticas Variable cualitativa: Las variables cualitativas se refieren a características o cualidades que no pueden ser medidas con números. Podemos distinguir dos tipos: Variable cualitativa nominal: Una variable cualitativa nominal presenta modalidades no numéricas que no admiten un criterio de orden. Variable cualitativa ordinal o variable cuasi cuantitativa: Una variable cualitativa ordinal presenta modalidades no numéricas, en las que existe un orden. Variable cuantitativa: Una variable cuantitativa es la que se expresa mediante un número, por tanto se pueden realizar operaciones aritméticas con ella. Podemos distinguir dos tipos: Variable discreta: Una variable discreta es aquella que toma valores aislados, es decir no admite valores intermedios entre dos valores específicos. Variable continua: Una variable continua es aquella que puede tomar valores comprendidos entre dos números. Distribución de frecuencias: La distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en forma de tabla de los datos estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente. Diagrama de barras: Un diagrama de barras se utiliza para de presentar datos cualitativos o datos cuantitativos de tipo discreto. Los datos se representan mediante barras de una altura proporcional a la frecuencia. Polígonos de frecuencias: Un polígono de frecuencias se forma uniendo los extremos de las barras mediante segmentos. También se puede realizar trazando los puntos que representan las frecuencias y uniéndolos mediante segmentos.

Diagrama de sectores: Un diagrama de sectores se puede utilizar para todo tipo de variables, pero se usa frecuentemente para las variables cualitativas. Los datos se representan en un círculo, de modo que el ángulo de cada sector es proporcional a la frecuencia absoluta correspondiente. Histograma: Un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras. Se utilizan para variables continuas o para variables discretas, con un gran número de datos, y que se han agrupado en clases. En el eje abscisas se construyen unos rectángulos que tienen por base la amplitud del intervalo, y por altura, la frecuencia absoluta de cada intervalo. Medidas de centralización. Moda: La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta. Se representa por Mo. Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas. Cálculo de la moda para datos agrupados 1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud. 2º Los intervalos tienen amplitudes distintas. En primer lugar tenemos que hallar las alturas. La clase modal es la que tiene mayor altura.

Mediana: Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor. La mediana se representa por Me. La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas. Cálculo de la mediana 1. Ordenamos los datos de menor a mayor. 2. Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma. 3. Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales. Cálculo de la mediana para datos agrupados La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas. Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre.

Media aritmética: La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos.es el símbolo de la media aritmética. Media aritmética para datos agrupados Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:

Medidas de posición Cuartiles: Los cuartiles son los tres valores de la variable dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales. Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos. Deciles: Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales. Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al 90% de los datos. Percentiles: Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales. Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos.

Medidas de dispersión Desviación media: La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media. La desviación media se representa por Desviación media para datos agrupados Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la desviación media es:

Varianza: La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza. La desviación típica se representa por σ. Desviación típica para datos agrupados Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores. Desviación típica para datos agrupados Desviación típica La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza. La desviación típica se representa por σ. Desviación típica para datos agrupados Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores. Desviación típica para datos agrupados

Coeficiente de variación: El coeficiente de variación es la relación entre la desviación típica de una muestra y su media.

Puntuaciones típicas: Las puntuaciones típicas son el resultado de dividir las puntuaciones diferenciales entre la desviación típica. Este proceso se llama tipificación.

TEORÍA DE PROBABILIDAD El concepto de probabilidad nace con el deseo del hombre de conocer con certeza los eventos futuros. Es por ello que el estudio de probabilidades surge como una herramienta utilizada por los nobles para ganar en los juegos y pasatiempos de la época. El desarrollo de estas herramientas fue asignado a los matemáticos de la corte. Con el tiempo estas técnicas matemáticas se perfeccionaron y encontraron otros usos muy diferentes para la que fueron creadas. Actualmente se continúo con el estudio de nuevas metodologías que permitan maximizar el uso de la computación en el estudio de las probabilidades disminuyendo, de este modo, los márgenes de error en los cálculos. A través de la historia se han desarrollado tres enfoques conceptuales diferentes para definir la probabilidad y determinar los valores de probabilidad:

El enfoque clรกsico Dice que si hay x posibles resultados favorables a la ocurrencia de un evento A y z posibles resultados desfavorables a la ocurrencia de A, y todos los resultados son igualmente posibles y mutuamente excluyente (no pueden ocurrir los dos al mismo tiempo), entonces la probabilidad de que ocurra A es:

El enfoque clรกsico de la probabilidad se basa en la suposiciรณn de que cada resultado sea igualmente posible. Este enfoque es llamado enfoque a priori porque permite, (en caso de que pueda aplicarse) calcular el valor de probabilidad antes de observar cualquier evento de muestra. Ejemplo: Si tenemos en una caja 15 piedras verdes y 9 piedras rojas. La probabilidad de sacar una piedra roja en un intento es: jkhkk

El enfoque de frecuencia relativa También llamado Enfoque Empírico, determina la probabilidad sobre la base de la proporción de veces que ocurre un evento favorable en un numero de observaciones. En este enfoque no ese utiliza la suposición previa de aleatoriedad. Porque la determinación de los valores de probabilidad se basa en la observación y recopilación de datos. Ejemplo: Se ha observado que 9 de cada 50 vehículos que pasan por una esquina no tienen cinturón de seguridad. Si un vigilante de transito se para en esa misma esquina un ida cualquiera ¿Cuál será la probabilidad de que detenga un vehículo sin cinturón de seguridad? Tanto el enfoque clásico como el enfoque empírico conducen a valores objetivos de probabilidad, en el sentido de que los valores de probabilidad indican al largo plazo la tasa relativa de ocurrencia del evento.

El enfoque subjetivo Dice que la probabilidad de ocurrencia de un evento es el grado de creencia por parte de un individuo de que un evento ocurra, basado en toda la evidencia a su disposición. Bajo esta premisa se puede decir que este enfoque es adecuado cuando solo hay una oportunidad de ocurrencia del evento. Es decir, que el evento ocurrirá o no ocurrirá esa sola vez. El valor de probabilidad bajo este enfoque es un juicio personal. Concepto de Probabilidad Se define como cálculo de probabilidad al conjunto de reglas que permiten determinar si un fenómeno ha de producirse, fundando la suposición en el cálculo, las estadísticas o la teoría. El objetivo de esta práctica es realizar varios experimentos de probabilidad, anotar los resultados y posteriormente compararlos con los resultados teóricos. Objetivos de las Probabilidades El objetivo fundamental de la probabilidad, es la de mostrar al alumno la importancia y utilidad del Método Estadístico en el ámbito económico-empresarial. Con tal fin, el alumno deberá aprender a manejar los métodos y técnicas más adecuadas para el correcto tratamiento y análisis de la información proporcionada por los datos que genera la actividad económica. Para ello se comienza afianzando los conocimientos que el alumno ya posee de Estadística Descriptiva, además de algunos conceptos nuevos relacionados con este tema.

El valor de la probabilidad El valor más pequeño que puede tener la probabilidad de ocurrencia de un evento es igual a 0, el cual indica que el evento es imposible, y el valor mayor es 1, que indica que el evento ciertamente ocurrirá. Entonces si decimos que P(A) es la probabilidad de ocurrencia de un evento A y P(A´ ) la probabilidad de no-ocurrencia de A, tenemos que:

BIBLIOGRAFร A Y CIBERGRAFIA. http://lalupa3.webcindario.com/matematicas/simbolos%20matematicos.htm http://fsymbols.com/es/signos/raiz/ http://numerosromanos.babuo.com/II-numero-romano%22 http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Relaciones_y_funciones.html. https://sites.google.com/site/cd121ramirezcjulian/home/1-numeros-reales/tipos-de-intervalos. https://sites.google.com/site/matematica331/forma-factorizada-y-forma-canonica-de-la-funcion-cuadratica www.Matematicasvirtuales.weebly.com www.Edumediavirtual.wix.com/matemรกticas www.Edumediavirtual.simplesite.com

AGRADECIMIENTOS. Mis más sinceros agradecimientos a todas aquellas personas que de una u otra manera hicieron posible la creación de éste libro. A Daniela Rivera, Andrea Herrera y Alejandra Castro por sus aportes en la elaboración de la temática del primer, segundo y tercer periodo. En la edición, ilustración y revisión estuvieron a cargo de Erika Parra y Karen Alexandra Urrea Coronado. Finalmente, agradecemos por la experticia y pedagogía de nuestro profesor el Licenciado Carlos Mario Osorio y a nuestra I.E Inmaculada Concepción por ser forjadora de hombres y mujeres del bien y de la paz.