Libro de estructuras isostáticas versión venta

Estructuras

isostáticas Problemas resueltos Edición revisada

2D

Ortiz David Molina Marcos Martínez Hugo J. Bernal Elan Hernández Daniel García Pascual Berruecos Sergio

ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS Problemas resueltos 2D

ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS Problemas resueltos 2D Ortiz David

Martínez Hugo

Hernández Daniel

Berruecos Sergio

Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura

Molina Marcos Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería

J. Bernal Elan

García Pascual

Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Estudios Superiores Aragón

Colaboración Internacional: Hernan Manuel Anchapuri Rodríguez Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Facultad de Ingeniería Civil, Arquitectura y Geotecnia

Alex Henrry Palomino Encinas Universidad Nacional de Cajamarca Facultad de Ingeniería

Revisión Técnica Internacional: Ph. D. Genner Villarreal Castro Universidad de San Martín de Porres Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas Universidad Privada Antenor Orrego Revisión Técnica Nacional: Ing. Carlos Magdaleno Domínguez ESIA Zacatenco IPN Diseño de Portada y Contraportada:

Elizabeth Dorantes Soto FES Aragón UNAM México 2014

Datos de Catalogación bibliográfica Ortiz, D., Molina, M., Martínez, H., et al. Estructuras isostáticas en 2D: Problemas resueltos Primera edición INDEPENDIENTE, México, 2014 Distribuidora virtual oficial: CivilGeeks ISBN Trámite en proceso Área: Ingeniería Formato: Carta 21.6 cm x 27.9 cm

No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, con fines lucrativos.

DERECHOS RESERVADOS 2014, por David Ortiz Soto, Marcos Molina Elvira, Hugo Martínez Hernández, Elan Emmanuel José Bernal, Daniel Hernández Galicia, Pascual García Cuevas, Sergio Omar Berruecos Licona.

Impreso en México

DEDICATORIAS Ortiz David Dedico de manera especial este libro a Dios, mis padres Clara y Antonio, así como a mis hermanos José Carlos y Antonio. A mis abuelas Paulina Ramírez y Juana Marín. He sido bendecido por el apoyo y afecto que me ha brindado cada uno de los miembros de mi familia a lo largo de mi vida, lo cual les agradezco infinitamente, incluyendo aquellos que se han adelantado (abuelos Rafael y Antonio, y tía Lucía). Con toda sinceridad, les doy las gracias a todos mis amigos(as), compañeros(as), profesores(as) y colegas que siempre me han respaldado. A todas las personas de México y del extranjero que directa o indirectamente me han apoyado y/o han depositado su confianza en mí. A todo aquel que con los puños en alto sigue luchando por un mundo más justo (estudiantes, profesionistas honestos, obreros, campesinos, jornaleros y demás). Somos el pueblo trabajador, los siempre condicionados y reprimidos. Molina Marcos La presente obra está dedicada al ingeniero Hernández Pérez Rómulo quien fue mi principal mentor en la ingeniería estructural, pues hizo que diera los primeros pasos en el análisis y diseño estructural, así mismo, esta dedicatoria la extiendo al gran y maravilloso pero genio Dr. Esteban Flores Méndez quien me brindó grandes conocimientos en el modelo matemático puro aplicado a las estructuras y que de manera personal es el físico y estructurista más brillante del país y de los mejores a nivel mundial, por lo que le agradezco su tiempo y apoyo. Doy las gracias y dedico puramente este libro al público en general, particularmente a la comunidad de ingenieros civiles, físicos y matemáticos y por su puesto a todos los estudiantes de ingeniería y ciencias fisicomatemáticas. Martínez Hugo A mis padres y hermanos, por su apoyo incondicional. A mis amigos, que siempre han estado a mi lado en todo momento . J. Bernal Elan Agradezco a toda mi familia, en especial a mis padres Angélica y Cruz y abuelos Silverio, Jovita y Epifanía quienes han creído en mí y tengo apoyo incondicional desde que empecé mis estudios. A la Facultad de Estudios Superiores Aragón UNAM que es donde he recibido mi formación académica en la Carrera de Ing. Civil y de la cual me siento muy orgulloso. V

DEDICATORIAS

A mis profesores del área de Estructuras: Molina Elvira Marcos, García Cuevas Pascual, Hernández Sánchez Vicente, Jiménez Villegas Gustavo Adolfo, Heras Cruz Ricardo, Ortiz Soto David y Martínez Hugo. A mis amigos y a los lectores.

Hernández Daniel Doy gracias a Dios, mis padres Alfredo y Nazaria, mis hermanos, demás familiares y amigos. García Pascual A mi familia y a mis amigos. Berruecos Sergio A Dios: Por estar conmigo en cada momento, permitirme desarrollarme como persona y obtener nuevos conocimientos. A mi familia: Por su apoyo incondicional a lo largo de mi vida y sus sabios consejos que me han enseñado a superarme. A mis amigos: Por su compañía en todo momento y por sus palabras de aliento cuando las he necesitado. Al Instituto Politécnico Nacional y a la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación (SEPI-ESIA-UZ) por brindarme la oportunidad de formarme profesionalmente.

“El genio se compone del dos por ciento de talento y del noventa y ocho por ciento de perseverante aplicación.” Ludwig van Beethoven

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AGRADECIMIENTOS Expresamos nuestro agradecimiento a las instituciones y personas que han contribuido directa o indirectamente en la elaboración y/o difusión de este texto. El Instituto Politécnico Nacional, Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura, Unidad Zacatenco y la Universidad Nacional Autónoma de México, Facultad de Estudios Superiores Aragón y Facultad de Ingeniería, son las universidades en las que nos hemos formado académicamente a nivel de licenciatura y posgrado, incluso nos han brindado la oportunidad a algunos de nosotros de impartir determinadas asignaturas de las áreas estructuras y matemáticas. Le hacemos un reconocimiento especial al Ph. D. Genner Villarreal Castro por haber efectuado la revisión técnica internacional de este libro, su inmensa calidad humana y su impresionante trayectoria como investigador han sido una gran inspiración y motivación. Su filosofía de vida “Una educación universal, de calidad y al alcance de todos”, los conocimientos que nos ha ofrecido de Ingeniería Estructural a través de sus libros y videos tutoriales, entre otros aportes, y sus célebres frases como “México y Perú unidos por un conocimiento sin fronteras” nos han marcado. De igual forma, le rendimos un homenaje al revisor técnico nacional, el Ing. Carlos Magdaleno Domínguez (docente de la ESIA Zacatenco IPN). Su brillante trayectoria y los libros que ha escrito de Ingeniería Estructural representan una fuerte influencia para nosotros. Estamos muy agradecidos con los colaboradores internacionales de este texto, los peruanos Alex Henrry Palomino Encinas y Hernan Manuel Anchapuri Rodríguez. Valoramos el esfuerzo que han hecho los creadores y sus colaboradores de diversos blogs, grupos y páginas de Facebook de ingeniería para apoyarnos. Gracias a John Rojas de CivilGeeks: La web del ingeniero civil, a Luis Aguilar de Ing. Civil FREE, a los creadores de Ingeniería Civil 21, Descarga libros de Ingeniería Civil, Ayuda a Estudiantes de Ing. Civil, Material de apoyo para el estudiante de Ing. Civil, Ingeniería Civil Aragón, todos los ESIA Zacatenco, entre otros. Desde luego, los miembros y visitantes de estas páginas han desempeñado un papel trascendental. Agradecemos a los miembros directivos y demás personal de las universidades que nos han abierto y nos abrirán un espacio para presentarnos en los auditorios. A la Doctora Rajeswari Narayanasamy de la India por toda la solidaridad mostrada hacia nosotros y por invitarnos a participar en el Simposio de Investigación en Sistemas Constructivos, Computacionales y Arquitectónicos (SISCCA) 2014 con

VII

AGRADECIMIENTOS

sede en la Universidad Juárez del Estado de Durango, evento en el cual presentamos de manera oficial por primer vez el presente libro. Los creadores de SEPITIC, Frank Damián y Said Franco, nos han permitido difundir nuestro escrito en SEPITIC Estructuras, además de que en el programa de radio Ingeniería en Marcha 860 AM abordaron sobre nuestra literatura. Gracias también a los conductores de Ingenio Civil, principalmente a Estefanía Bárcenas y Diana Mancera, y a todos los de Nuestra Voz Radio: ¡La Voz del Pueblo Organizado!, por las invitaciones que nos han hecho a tal programa. A nuestros profesores por todos los conocimientos que nos han transmitido, a los directivos y personal administrativo de las instituciones mencionadas al inicio. A todos aquellos que se han unido a nuestra página oficial de Facebook de Biblioteca y/o la han recomendado. A la gran cantidad de amigos(as) que nos han apoyado en todo momento desde nuestras cuentas personales de Facebook. De igual forma, a los distintos Capítulos Estudiantiles de la ESIA Zacatenco. A Eduardo Caltenco, Víctor Carbajal, Juan Carlos Barrera, Rubén Domínguez y en general a todos los integrantes por su inmenso respaldo con nuestra publicación. Finalmente, agradecemos al Ing. Napoleón Franklin Cueva Guerra de Perú por su apoyo incondicional y sus buenos deseos hacia cada uno de los que hemos trabajado en la realización de este libro. Dedicamos este escrito a todos y cada uno de los lectores, con la esperanza de que sea de su agrado y utilidad. No sólo pretendemos contribuir en la aportación de conocimientos en el área de estructuras, también buscamos transmitirles mensajes de tipo social. LOS AUTORES

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NUESTRA FILOSOFÍA El libro lo hemos escrito integrantes de dos de las instituciones con mayor historia en México: La UNAM y el IPN, particularmente de las unidades Facultad de Ingeniería, FES Aragón y ESIA Zacatenco, las cuales durante mucho tiempo se han considerado equívocamente antagónicas desde nuestro punto de vista, sobre todo en el ámbito estudiantil a nivel medio superior y nivel superior. Con esta obra, los autores queremos mostrar que podemos trabajar en conjunto haciendo los prejuicios a un lado, por lo que proponemos un llamado a la unidad, no sólo entre estas universidades, sino global, ya que respetamos y admiramos la calidad de cada una de las instituciones existentes tanto en México como en otros países. Por otra parte, no estamos de acuerdo con las ofensas que se emiten entre las distintas carreras, pues pensamos que el respeto debe imperar, así que dirigimos este texto a las personas vinculadas con las Licenciaturas en Ingeniería Civil, Ingeniería Mecánica, Ingeniería Aeronáutica, Arquitectura o alguna otra afín, incluso, nos es indistinto que carrera cursen quienes gusten leer el texto, pues es una realidad que todos tenemos derecho a aprender lo que queramos. Hemos puesto para su libre descarga este libro, porque venimos siguiendo una ideología, bajo nuestra frase “la información no es sólo para el que la paga, es para todos”, ponemos al alcance de ustedes con toda humildad nuestra producción intelectual, ya que perseguimos un mundo más justo, más equitativo, con oportunidades para todos por igual, porque como dice nuestro gran amigo el Ph. D. Genner Villarreal “la educación es un derecho y no un privilegio”. Escribimos siempre pensando paralelamente en el apoyo a los demás, dándole un fuerte golpe a la desigualdad, todo como una respuesta a las injusticias. Puesto que realmente no existen fronteras ni banderas para el conocimiento, hablamos de países por simple contexto cultural. Tenemos como objetivo recorrer sino todas, casi todas las universidades de México en las que se imparte Ingeniería Civil, con la consigna de presentar este material a los estudiantes y que ejemplares impresos del mismo estén disponibles para su consulta en las bibliotecas. Nunca es ni será nuestra intención presumir nuestro estilo, sólo nos gusta compartir lo poco que sabemos. LOS AUTORES

IX

CONTACTO David Ortiz M en I https://www.facebook.com/davidortizMenI

Página de la Biblioteca Se les hace la amable invitación a unirse a la página oficial de Facebook de la Biblioteca; para localizarla, se les sugiere teclear en el buscador las palabras Problemario de Análisis de Estructuras en 2D Y 3D. Si buscas un sitio donde se haga válido el supuesto derecho que todos tenemos de "La educación es gratuita y no un privilegio", la Biblioteca citada es uno de los lugares indicados, pues toda la información que elaboramos (Libros, Tesis, Vídeos Tutoriales y Manuales) profesionistas de México, Perú, Bolivia y Ecuador es de libre descarga. Si necesitas una dosis de entretenimiento, ahí la encontrarás. Siempre serás bienvenido al lugar donde a través de la expresión artística manifestamos nuestra inconformidad ante un sistema injusto y carente de oportunidades para todos por igual. Es en la literatura de Ingeniería más combativa que jamás hayas visto donde podrás notar que pintamos las banderas de un solo color, pues todos(as) tienen cabida, y los egos y las envidias no existen. Que disfruten de nuestra producción intelectual: es la novel propuesta del siglo XXI.

XI

PREFACIO El libro se ha escrito con la finalidad de contribuir en el apoyo a profesores, estudiantes y todos los interesados en general en la enseñanza y el aprendizaje de las estructuras isostáticas, las cuales en conjunto representan un apartado trascendental en la disciplina denominada análisis estructural. Ésta última constituye uno de los pilares más importantes de la carrera de Ingeniería Civil y de otras como Ingeniería Mecánica, Ingeniería Aeronáutica y Arquitectura. Una estructura es el conjunto de elementos resistentes, convenientemente vinculados entre sí, que accionan y reaccionan bajo los efectos de las cargas; su finalidad es resistir y transmitir cargas a otros elementos y a los apoyos, y de ese modo garantizar su correcto funcionamiento. Los requisitos o exigencias básicas que una estructura debe cumplir son: equilibrio y estabilidad. Se entiende por análisis de una estructura al proceso sistemático que concluye con el conocimiento de las características de su comportamiento bajo un cierto estado de cargas; se incluye, habitualmente, bajo la denominación genérica de estudio del comportamiento tanto el estudio del análisis de los estados tensional y deformacional alcanzados por los elementos y componentes físicos de la estructura como la obtención de conclusiones sobre la influencia recíproca con el medio ambiente o sobre sus condiciones de seguridad. Es entonces el objetivo del análisis de una estructura, la predicción de su comportamiento bajo las diferentes acciones para las que se postule o establezca que debe tener capacidad de respuesta. Las estructuras se clasifican, de acuerdo a los métodos de análisis, en isostáticas o estáticamente determinadas, en hiperestáticas o estáticamente indeterminadas, y en hipostáticas. Las primeras son aquellas que se pueden analizar empleando solamente las ecuaciones de equilibrio de la estática y en las que la supresión de cualquiera de sus ligaduras conduce al colapso, o sea, se pueden determinar las fuerzas cortantes y normales, y los momentos flexionantes y torsionantes, con base en condiciones de equilibrio únicamente. De una forma un poco más técnica podemos decir que una estructura isostática posee igual número de ecuaciones que de incógnitas, por lo cual, se puede resolver mediante un simple sistema de ecuaciones lineales. Las segundas son aquellas que desde el punto de vista estático se encuentran en equilibrio, sin embargo, las ecuaciones que expone la estática no son suficientes para conocer las incógnitas que poseen, así que, para analizarlas es necesario plantear, además de las ecuaciones de equilibrio, ecuaciones de compatibilidad de deformaciones entre los miembros de la estructura o entre los miembros y apoyos. Por último, las estructuras hipóstaticas tienen un grado de indeterminación estática menor a cero. En este caso, el número de ecuaciones de equilibrio es excesivo ya que supera al número de incógnitas, entonces, son inestables y no oponen resistencia a estímulos de movimientos externos. XIII

PREFACIO

El énfasis de este libro es resolver, de manera minuciosa y clara, una gran variedad de ejercicios sobre estructuras isostáticas. Específicamente, en este texto se analizan cuatro tipos de estructuras: vigas, marcos rígidos, armaduras y arcos. Las cargas que se tratan son lo más variadas posibles, desde las más comunes como puntuales, uniformes distribuidas, triangulares, trapezoidales y momentos de par, hasta las más atípicas como las distribuidas irregularmente, parabólicas, trigonométricas, enjutas elípticas, polinómicas, radicales, exponenciales, entre otras. El solucionar un gran número de problemas, tiene como objetivo desarrollar en el lector tal habilidad, pues ello conllevará a que comprenda de una mejor forma como se transmiten las cargas a través de una estructura y a que tenga una idea más acertada de la manera en que se deforma la estructura. Así mismo, al dominar los principios que se aplican aquí, será más susceptible a entender métodos más avanzados del análisis estructural, los cuales brindan un medio para comprobar los resultados obtenidos en los programas de cómputo disponibles hoy en día, en vez de limitarse simplemente a confiar en los resultados generados. A continuación se proporciona el enfoque seguido en este libro. La obra se divide en cuatro capítulos; en cada uno de ellos se resuelven ejercicios de un solo tipo de estructura. En el capítulo 1 se analizan vigas. Para los primeros ejemplos se calculan el grado de indeterminación, las reacciones en los soportes y empleando el método de las secciones, las funciones de las fuerzas cortante y normal, y de momento flexionante. Para las vigas subsecuentes, se explica el trazo de los diagramas de las acciones internas, además de que se incluyen los métodos más usuales de deflexión, tales como el trabajo virtual, la integración doble y en el último tema, el de Castigliano. En el capítulo 2 se estudian los mismos temas a excepción del método de integración doble, pero aplicado a marcos. El capítulo 3 se enfoca a la resolución de armaduras; nuevamente, los principios usados son los mismos, sólo que aquí deben calcularse las fuerzas en las barras y no las funciones de las acciones internas; para esto último, se usa el método de los nodos. Finalmente, en el capítulo 4 se explican detalladamente las formas de calcular las reacciones en los soportes y determinar las funciones de las acciones internas en arcos tanto parabólicos como circulares.

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CONTENIDO

CAPÍTULO 1. ANÁLISIS DE VIGAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS .................... 1 1.1. REACCIONES EN LOS SOPORTES Y FUNCIONES DE FUERZA CORTANTE, DE FUERZA NORMAL Y DE MOMENTO ................................................................ 1 1.2. DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y DE MOMENTO. TRABAJO VIRTUAL. PENDIENTE Y CURVA ELÁSTICA CON EL MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN....................................................................................................... 49 1.3. TEOREMA DE CASTIGLIANO ............................................................................133

CAPÍTULO 2. ANÁLISIS DE MARCOS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS ...........149 2.1. REACCIONES EN LOS SOPORTES Y FUNCIONES DE LAS FUERZAS NORMAL Y CORTANTE, Y DEL MOMENTO FLECTOR ............................................................149 2.2. DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE, DE FUERZA NORMAL Y DE MOMENTO FLECTOR ...................................................................................................................184 2.3. MÉTODO DEL PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL ..........................................210 2.4. TEOREMA DE CASTIGLIANO .............................................................................283

CAPÍTULO 3. ANÁLISIS DE ARMADURAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS .....301 3.1. REACCIONES EN LOS SOPORTES Y DETERMINACIÓN DE LAS FUERZAS AXIALES POR EL MÉTODO DE LOS NODOS ...........................................................301 3.2. MÉTODO DEL PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL ..........................................317 3.3 TEOREMA DE CASTIGLIANO .............................................................................333

CAPÍTULO 4. RESOLUCIÓN DE ARCOS ISOSTÁTICOS ...........................................341 4.1.ARCOS PARABÓLICOS ......................................................................................341 4.2. ARCOS CIRCULARES .........................................................................................358

BIBLIOGRAFÍA ..............................................................................................................366

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CAPĂ?TULO 1 ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS 1.1 REACCIONES EN LOS SOPORTES Y FUNCIONES DE FUERZA CORTANTE, DE FUERZA NORMAL Y DE MOMENTO

Ejercicio 1.1 Determine las reacciones en los apoyos de la estructura mostrada en la figura 1-1a producidas por las cargas indicadas. Use el mĂŠtodo de las secciones para deducir las expresiones algebraicas que describen la variaciĂłn de los elementos mecĂĄnicos.

0.5đ?‘˜/đ?‘“đ?‘Ą

1

10´

5 12 đ?œƒ 2 24´

(a) Figura 1-1

SOLUCIĂ“N CĂĄlculo de las reacciones en los apoyos Diagrama de cargas. Este diagrama se muestra en la figura 1-1b. Se identifican las fuerzas reactivas en los apoyos (soportes); el soporte 1 es un rodillo, por lo que la reacciĂłn đ?‘…1 es perpendicular al plano de deslizamiento del apoyo, mientras que el soporte 2 es articulado y en ĂŠl se generan dos reacciones, una horizontal (đ?‘…2đ?‘‹ ) y una vertical (đ?‘…2đ?‘Œ ). Como hay tres incĂłgnitas de reacciĂłn y tres ecuaciones de equilibrio (∑ đ??šđ?‘‹ = 0, ∑ đ??šđ?‘Œ = 0, ∑ đ?‘€ = 0), la viga es isostĂĄtica. 1

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

El sentido de cada reacciĂłn ha sido supuesto arbitrariamente debido a que las fuerzas reactivas no son conocidas. Para la carga distribuida se tienen que determinar: a) la carga concentrada equivalente, es decir, la magnitud de la fuerza resultante de la carga, que es igual al ĂĄrea bajo la curva de carga (en este caso, por ser carga uniforme es el ĂĄrea del rectĂĄngulo) y b) el centroide de dicha ĂĄrea a travĂŠs del cual pasa la lĂ­nea de acciĂłn de la resultante,o sea, se halla el punto de aplicaciĂłn de la resultante. Por otra parte, se han establecido en sus cuadrantes positivos a los ejes coordenados đ?‘‹ y đ?‘Œ mĂĄs convenientes para aplicar las ecuaciones de equilibrio en la estructura; esto Ăşltimo hace que sea necesario descomponer a đ?‘…1 en sus componentes rectangulares horizontal y vertical, las cuales han sido etiquetadas como đ?‘…1đ?‘‹ y đ?‘…1đ?‘Œ respectivamente.

đ?‘Œ

0.5đ?‘˜/đ?‘“đ?‘Ą

đ?‘…1đ?‘‹ = 0.3846đ?‘…1 đ??´ = 12đ?‘˜

1 5

10´

12

đ?‘Ľ = 12´

đ?œƒ

đ?œƒ đ?‘…2đ?‘‹ 2

đ?‘…1đ?‘Œ = 0.923đ?‘…1

đ?‘‹

24´

(b)

đ?‘…2đ?‘Œ

La fuerza resultante de la carga uniforme distribuida y su punto de aplicaciĂłn son 1 2

đ??´ = (0.5đ?‘˜/đ?‘“đ?‘Ą)(24đ?‘“đ?‘Ą) = 12đ?‘˜

Ě… đ?‘Ľ = (24´) = 12´

De acuerdo a las figuras 1-1c y 1-1d, las componentes rectangulares de la reacciĂłn đ?‘…1 en el plano đ?‘‹ − đ?‘Œ son Plano de deslizamiento del soporte

5

90°

đ?œƒ = tan−1

đ?œƒ

đ?œƒ

12

(c) 2

5 = 22.6198° 12

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

đ?‘…1đ?‘‹ = đ?‘…1 sin đ?œƒ = đ?‘…1 ∙ đ?‘ đ?‘–đ?‘›22.6198° = 0.3846đ?‘…1 đ?œƒ

đ?‘…1đ?‘Œ

đ?‘…1đ?‘Œ = đ?‘…1 cos đ?œƒ = đ?‘…1 ∙ đ?‘?đ?‘œđ?‘ 22.6198° = 0.923đ?‘…1

đ?‘…1đ?‘‹

(d) Ecuaciones de equilibrio. Se aplican al diagrama de cargas para calcular las reacciones en los apoyos; la convenciĂłn de signos que se adopta es arbitraria. En caso de que la soluciĂłn de las ecuaciones de equilibrio proporcione una magnitud negativa para una fuerza reactiva, su sentido propuesto debe ser invertido.

Tomando momentos alrededor del punto 2 considerando los ejes pasan por tal punto, se puede despejar directamente el valor de đ?‘…1 .

que

+ ∑ đ?‘€2 = 0 ⇒ đ?‘…1đ?‘‹ (10) + đ?‘…1đ?‘Œ (24) − 12(12) = 0 (0.3846đ?‘…1 )(10) + (0.923đ?‘…1 )(24) − 144 = 0 ⇒ đ?‘…1 =

144 = 5.5385 26

∴ đ?‘…1 = 5.5385đ?‘˜

Los valores de las componentes rectangulares de đ?‘…1 = 5.5385đ?‘˜ son đ?‘…1đ?‘‹ = 0.3846đ?‘…1 = 0.3846(5.5385đ?‘˜ ) = 2.13đ?‘˜ đ?‘…1đ?‘Œ = 0.923đ?‘…1 = 0.923(5.5385đ?‘˜) = 5.112đ?‘˜

Finalmente, las reacciones đ?‘…2đ?‘‹ y đ?‘…2đ?‘Œ se obtienen al plantear las dos ecuaciones de equilibrio restantes, es decir, las de fuerzas. +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘…1đ?‘‹ − đ?‘…2đ?‘‹ = 0 ⇒ 2.13 − đ?‘…2đ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘…2đ?‘‹ = 2.13 ∴ đ?‘…2đ?‘‹ = 2.13đ?‘˜ +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘…1đ?‘Œ − đ?‘ˆđ?‘… + đ?‘…2đ?‘Œ = 0 ⇒ 5.112 − 12 + đ?‘…2đ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘…2đ?‘Œ = 6.888 ∴ đ?‘…2đ?‘Œ = 6.888đ?‘˜

3

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Funciones de fuerza cortante, de fuerza normal y de momento

0.5đ?‘˜/đ?‘“đ?‘Ą

đ?‘…1đ?‘‹ = 2.13đ?‘˜

đ??´ = 12đ?‘˜ 1

5

10´

12 đ?œƒ

12´

đ?œƒ đ?‘…2đ?‘‹ = 2.13đ?‘˜

đ?‘…1đ?‘Œ = 5.112đ?‘˜

2 24´ đ?‘…2đ?‘Œ = 6.888đ?‘˜

(e)

En la figura 1-1e se visualizan los valores de las reacciones en los soportes con sus correspondientes sentidos adecuados. La distribuciĂłn de la carga actuante no presenta discontinuidad, asĂ­ que sĂłlo serĂĄ necesario efectuar un corte perpendicular al eje de la viga para definir las acciones internas (đ?‘‰,đ?‘€ y đ?‘ ) de la estructura; se considera como origen del sistema coordenado al punto 1, asĂ­ que la coordenada đ?‘Ľ es positiva hacia la derecha y hacia abajo, y es vĂĄlida para la regiĂłn 1 − 2 (0 ≤ đ?‘Ľ ≤ 26´), debido a que la longitud de la viga es đ??ż = √(24´)2 + (10´)2 = 26´.Se secciona la viga en un punto arbitrario (intermedio en el segmento 1 − 2) a una distancia đ?‘Ľ del punto 1. En la figura 1-1f se proporciona un diagrama de cuerpo libre del segmento de viga con longitud đ?‘Ľ. El ĂĄrea đ??´đ??ś y su centroide đ?‘Ľđ??ś de la carga distribuida uniforme del corte se han determinado. Las acciones internas aparecen actuando en sus direcciones positivas de acuerdo a la convenciĂłn de signos mĂĄs usual y sus funciones se deducen usando las ecuaciones de equilibrio cuya convenciĂłn de signos si puede ser indistinta. La fuerza axial o normal đ?‘ siempre actĂşa en la misma direcciĂłn que la del eje de la viga, mientras que la fuerza cortante đ?‘‰ es perpendicular a esta.

4

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

0 ≤ đ?‘Ľ ≤ 26´

(f)

La carga concentrada equivalente de la carga distribuida uniforme del corte y su punto de aplicaciĂłn son, respectivamente đ??´đ??ś = (0.5)(0.923đ?‘Ľ) = 0.4615đ?‘Ľ

đ?‘Ľđ??ś =

1 đ?‘Ľ (đ?‘Ľ) = 2 2

Con base en la figura 1-1g se determinan las componentes rectangulares de la fuerza resultante đ??´đ??ś cuyas lĂ­neas de acciĂłn coinciden con las de đ?‘ y đ?‘‰, es decir, las componentes que actĂşan en forma paralela y perpendicular al eje de la viga. đ??´đ??śđ?‘‹ = đ??´đ??ś sin đ?œƒ = 0.4615đ?‘Ľ(0.3846) = 0.1775đ?‘Ľ đ??´đ??śđ?‘Œ = đ??´đ??ś cos đ?œƒ = 0.4615đ?‘Ľ(0.923) = 0.426đ?‘Ľ

đ??´đ??ś = 0.4615đ?‘Ľ đ?œƒ

(g) Las distancias auxiliares đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? y đ?‘‘ se deducen a partir del triĂĄngulo rectĂĄngulo que 5

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

se observa en la figura 1-1h. đ?‘? = đ?‘Ľ sin đ?œƒ = 0.3846đ?‘Ľ đ?‘Ž = đ?‘Ľ cos đ?œƒ = 0.923đ?‘Ľ

đ?‘? đ?œƒ

đ?‘?=

đ?‘Ž

đ?‘Ž đ?‘? ;đ?‘‘ = 2 2

(h) Si tomamos momentos alrededor del punto del corte, puede obtenerse directamente el momento đ?‘€ en funciĂłn de đ?‘Ľ. + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 

OpciĂłn 1.

Usando los momentos de las fuerzas con respecto a los ejes por el punto del corte se tiene

que pasan

đ?‘…1đ?‘Œ (đ?‘Ž) + đ?‘…1đ?‘‹ (đ?‘?) − đ??´đ??ś (đ?‘?) − đ?‘€ = 0 5.112(0.923đ?‘Ľ) + 2.13(0.3846đ?‘Ľ) − (0.4615đ?‘Ľ)(0.4615đ?‘Ľ) − đ?‘€ = 0 simplificando y despejando a đ?‘€ đ?‘€ = −0.213đ?‘Ľ 2 + 5.538đ?‘Ľ  OpciĂłn 2. đ?œƒ

Considerando los momentos de las fuerzas con respecto a los ejes pasan por el punto del corte obtenemos

que

đ?‘Ľ đ?‘…1 (đ?‘Ľ) − đ??´đ??śđ?‘Œ ( ) − đ?‘€ = 0 ⇒ đ?‘€ = −0.213đ?‘Ľ 2 + 5.5385đ?‘Ľ 2 De la suma de fuerzas en la direcciĂłn de la fuerza cortante (direcciĂłn perpendicular al eje de la viga) igual a cero se tiene + ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘…1 − đ??´đ??śđ?‘Œ − đ?‘‰ = 0 ⇒ 5.5385 − 0.426đ?‘Ľ − đ?‘‰ = 0 đ?‘‰ = 5.5385 − 0.426đ?‘Ľ o tambiĂŠn đ?‘‰=

đ?‘‘đ?‘€ đ?‘‘ (−0.213đ?‘Ľ 2 + 5.5385đ?‘Ľ) = 5.5385 − 0.426đ?‘Ľ = đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ

Si la suma de fuerzas en la direcciĂłn de la fuerza normal (direcciĂłn idĂŠntica a la del eje de la viga) es cero, entonces + ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ??´đ??śđ?‘‹ + đ?‘ = 0 ⇒ 0.1775đ?‘Ľ + đ?‘ = 0 ⇒ đ?‘ = −0.1775đ?‘Ľ 6

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Ejercicio 1.2 Determine las funciones de las acciones internas de la viga en voladizo que se muestra en la figura 1-2a cuyos tramos đ??´ − đ??ľ, đ??ś − đ??ˇ y đ??ˇ − đ??¸ soportan una carga uniformemente repartida gravitacional de 4đ?‘‡/đ?‘š, una carga cuya intensidad varĂ­a en forma exponencial desde đ?‘¤1 = 2.71828đ?‘‡/đ?‘š en el punto đ??ś hasta đ?‘¤2 = 61.86781đ?‘‡/đ?‘š en el punto đ??ˇ y una carga distribuida uniforme de 5đ?‘‡/đ?‘š ortogonal al eje de la viga, de forma respectiva.

đ??¸ đ?‘“đ?‘˘đ?‘›đ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› đ?‘’đ?‘Ľđ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘’đ?‘›đ?‘?đ?‘–đ?‘Žđ?‘™

đ??ˇ đ??ś

4�/�

9đ?‘š

đ??ľ

đ??´ 5đ?‘š

2đ?‘š

2.5đ?‘š

2.5đ?‘š

(a) Figura 1-2

SOLUCIĂ“N CĂĄlculo de las reacciones en los apoyos Diagrama de cargas. En primera instancia, construiremos una funciĂłn de tipo exponencial que ajuste a los dos puntos conocidos de la carga cuya intensidad varĂ­a de ese modo. Para ello, es indispensable determinar el valor de la longitud de la viga (đ??ż) y las distancias đ?‘Ž y đ?‘? a las cuales se encuentran posicionadas las intensidades de presiĂłn đ?‘¤1 y đ?‘¤2 respecto de đ??´. Por trigonometrĂ­a, figura 1-2b, se tiene đ??ż = √(12đ?‘š)2 + (9đ?‘š)2 = 15đ?‘š (7đ?‘š)(15đ?‘š) đ??ż đ?‘Ž = ⇒đ?‘Ž= = 8.75đ?‘š 12đ?‘š 7đ?‘š 12đ?‘š

(9.5đ?‘š)(15đ?‘š) đ??ż đ?‘? = ⇒đ?‘?= = 11.875đ?‘š 12đ?‘š 9.5đ?‘š 12đ?‘š

7

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Luego, proponemos una funciĂłn para la presiĂłn descrita por la curva en forma de funciĂłn exponencial del siguiente modo: đ?‘Ś = đ??´đ?‘’ đ??ľđ?‘Ľ − − − − − (1)

đ??¸ đ?‘“đ?‘˘đ?‘›đ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› đ?‘’đ?‘Ľđ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘’đ?‘›đ?‘?đ?‘–đ?‘Žđ?‘™

đ??ˇ đ??ś

4�/�

9đ?‘š

đ??ľ

đ??´ 12đ?‘š 9.5đ?‘š 7đ?‘š

(b)

De la figura 1-2b obsĂŠrvese que đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ = đ?‘Ž = 8.75đ?‘š, đ?‘Ś = đ?‘¤1 = 2.71828đ?‘‡/đ?‘š đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ = đ?‘? = 11.875đ?‘š, đ?‘Ś = đ?‘¤2 = 61.86781đ?‘‡/đ?‘š Sustituyendo tales puntos conocidos en la ecuaciĂłn (1) se tiene 2.71828 = đ??´đ?‘’ 8.75đ??ľ − − − − − (2) 61.86781 = đ??´đ?‘’ 11.875đ??ľ − − − − − (3) Las incĂłgnitas đ??´ y đ??ľ pueden ser halladas resolviendo el sistema simultĂĄneo de ecuaciones (2) y (3) usando cualquier mĂŠtodo que sea vĂĄlido; en este caso, se aplicarĂĄ el mĂŠtodo de igualaciĂłn. Despejando đ??´ de las ecuaciones (2) y (3) respectivamente, tenemos đ??´=

2.71828 − − − − − (4) đ?‘’ 8.75đ??ľ 8

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

đ??´=

61.86781 − − − − − (5) đ?‘’ 11.875đ??ľ

Al igualar la ecuaciĂłn (4) con la ecuaciĂłn (5) y despejar đ??ľ resulta 2.71828 61.86781 61.86781 11.875đ??ľâˆ’8.75đ??ľ = ⇒ đ?‘’ = đ?‘’ 8.75đ??ľ đ?‘’ 11.875đ??ľ 2.71828 61.86781 ln 2.71828 61.86781 ln(đ?‘’ 3.125đ??ľ ) = ln ⇒đ??ľ= = 1 − − − − − (6) 2.71828 3.125 Sustituyendo la ecuaciĂłn (6) en la ecuaciĂłn (5) da đ??´=

61.86781 ≅ 0.0004307 − − − − − (7) đ?‘’ 11.875(1)

Si se combinan las ecuaciones (6) y (7) con la ecuaciĂłn (1), obtenemos đ?‘Ś = 0.0004307đ?‘’ đ?‘Ľ El esquema de la figura 1-2c es Ăştil para calcular algunas distancias que serĂĄn necesarias al efectuar el anĂĄlisis restante de la viga.

đ??¸ đ?‘“đ?‘˘đ?‘›đ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› đ?‘’đ?‘Ľđ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘’đ?‘›đ?‘?đ?‘–đ?‘Žđ?‘™

đ??ˇ

đ?‘‘4 = 1.875đ?‘š đ?‘‘3 = 1.875đ?‘š

đ??ś

4�/�

đ?‘‘2 = 1.5đ?‘š đ??ľ đ?‘‘1 = 3.75đ?‘š

đ?œƒ đ??´

5đ?‘š

2đ?‘š

2.5đ?‘š

2.5đ?‘š

12đ?‘š

(c) 9

9đ?‘š

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Por triångulos semejantes, se deduce que 9 �1 9(5) = ⇒ �1 = = 3.75� 12 5 12 9 �3 9(2.5) = ⇒ �3 = = 1.875� 12 2.5 12

9 �2 9(2) = ⇒ �2 = = 1.5� 12 2 12 9 �4 9(2.5) = ⇒ �4 = = 1.875� 12 2.5 12

Aplicando el teorema de PitĂĄgoras se obtiene đ?‘‘5 = √52 + 3.752 = 6.25đ?‘š

đ?‘‘6 = √22 + 1.52 = 2.5đ?‘š

đ?‘‘7 = √2.52 + 1.8752 = 3.125đ?‘š đ?‘‘8 = đ?‘‘7 = 3.125đ?‘š Usando la definiciĂłn de las funciones trigonomĂŠtricas resulta 9 9 12 đ?œƒ = tan−1 = 36.87° sin đ?œƒ = = 0.6 cos đ?œƒ = = 0.8 12 15 15 Se calculan las fuerzas resultantes đ??´đ?‘– de las cargas distribuidas y sus puntos de aplicaciĂłn đ?‘ĽĚ…đ?‘– . -

Carga distribuida uniforme gravitacional. 1 đ??´1 = (4đ?‘‡/đ?‘š)(6.25đ?‘š) = 25đ?‘‡ đ?‘ĽĚ…1 = (6.25đ?‘š) = 3.125đ?‘š 2 -

Carga cuya intensidad varĂ­a en forma exponencial.

La ecuaciĂłn para determinar el ĂĄrea bajo la curva es đ??ż2

đ??´2 = âˆŤ đ?‘‘đ??´ = âˆŤ đ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ľ đ??ż1

donde đ??ż1 =limite inferior. đ??ż2 =limite superior. đ?‘Ś =ecuaciĂłn de la curva. En consecuencia, 11.875

0.0004307đ?‘’ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ

đ??´2 = âˆŤ 8.75

Al resolver la integral de forma indefinida da âˆŤ 0.0004307 đ?‘’ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = 0.0004307 âˆŤ đ?‘’ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = 0.0004307đ?‘’ đ?‘Ľ Por lo tanto, 11.875

đ??´2 = âˆŤ

0.0004307đ?‘’ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = 0.0004307[đ?‘’ 11.875 − đ?‘’ 8.75 ] ≅ 59.1437đ?‘‡

8.75

La expresiĂłn matemĂĄtica que permite calcular el centroide del ĂĄrea es đ??ż

2 âˆŤ đ?‘ĽĚƒ đ?‘‘đ??´ âˆŤđ??ż1 đ?‘Ľđ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘ĽĚ…2 = = đ??ż2 âˆŤ đ?‘‘đ??´ âˆŤ đ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ľ

đ??ż1

10

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Por consiguiente, 11.875

đ?‘ĽĚ…2 =

âˆŤ8.75

(đ?‘Ľ)(0.0004307đ?‘’ đ?‘Ľ )đ?‘‘đ?‘Ľ â „ 11.875 âˆŤ8.75 0.0004307đ?‘’ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ

Se procede a resolver la integral del numerador en forma indefinida. âˆŤ(đ?‘Ľ)(0.0004307đ?‘’ đ?‘Ľ )đ?‘‘đ?‘Ľ = 0.0004307 âˆŤ đ?‘Ľđ?‘’ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ Sea đ?‘˘ = đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ł = đ?‘’ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ Entonces đ?‘‘đ?‘˘ = đ?‘‘đ?‘Ľ âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ł = đ?‘Ł = âˆŤ đ?‘’ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘’ đ?‘Ľ Al integrar por partes tendremos âˆŤ đ?‘˘đ?‘‘đ?‘Ł = đ?‘˘đ?‘Ł − âˆŤ đ?‘Łđ?‘‘đ?‘˘ âˆŤ đ?‘Ľđ?‘’ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘Ľđ?‘’ đ?‘Ľ − âˆŤ đ?‘’ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘Ľđ?‘’ đ?‘Ľ − đ?‘’ đ?‘Ľ = đ?‘’ đ?‘Ľ (đ?‘Ľ − 1) Por lo tanto, 11.875

âˆŤ

(đ?‘Ľ) (0.0004307đ?‘’ đ?‘Ľ )đ?‘‘đ?‘Ľ = 0.0004307{[đ?‘’ 11.875 (11.875 − 1)]−[đ?‘’ 8.75 (8.75 − 1)]} = 651.681

8.75

ObsĂŠrvese que el denominador ya fue resuelto. Finalmente, đ?‘ĽĚ…2 = -

651.681 ≅ 11.0186� 59.1437

Carga distribuida uniforme ortogonal al eje de la viga.

đ??´3 = (5đ?‘‡/đ?‘š)(3.125đ?‘š) = 15.625đ?‘‡

đ?‘ĽĚ… 3 =

1 (3.125đ?‘š) = 1.5625đ?‘š 2

Se determinan las componentes rectangulares de las fuerzas resultantes đ??´2 y đ??´3 para el plano đ?‘‹ − đ?‘Œ, figuras 1-2d y 1-2e. đ??´2đ?‘‹ đ?œƒ đ??´2đ?‘Œ

Para đ??´2 = 59.1437đ?‘‡

sin đ?œƒ =

đ??´2đ?‘‹ ⇒ đ??´2đ?‘‹ = đ??´2 sin đ?œƒ = 59.1437đ?‘‡(0.6) = 35.4862đ?‘‡ đ??´2

cos đ?œƒ =

đ??´2đ?‘Œ ⇒ đ??´2đ?‘Œ = đ??´2 cos đ?œƒ = 59.1437đ?‘‡(0.8) = 47.3150đ?‘‡ đ??´2

(d)

11

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Para đ??´3 = 15.625đ?‘‡

đ??´3đ?‘‹ đ?œƒ đ??´3đ?‘Œ

sin đ?œƒ =

đ??´3đ?‘‹ ⇒ đ??´3đ?‘‹ = đ??´3 sin đ?œƒ = 15.625đ?‘‡(0.6) = 9.375đ?‘‡ đ??´3

cos đ?œƒ =

đ??´3đ?‘Œ ⇒ đ??´3đ?‘Œ = đ??´3 cos đ?œƒ = 15.625đ?‘‡(0.8) = 12.5đ?‘‡ đ??´3

(e)

đ??´3đ?‘Œ = 12.5đ?‘‡ đ??´2đ?‘Œ = 47.3150đ?‘‡

đ?œƒ đ?‘“đ?‘˘đ?‘›đ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› đ?‘’đ?‘Ľđ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘’đ?‘›đ?‘?đ?‘–đ?‘Žđ?‘™

đ??¸

đ?œƒ

đ??´3đ?‘‹ = 9.375đ?‘‡ đ??´2đ?‘‹ = 35.4862đ?‘‡

đ??ˇ

đ??´1 = 25đ?‘‡

đ??ś đ?‘“ = 8.0625đ?‘š

4�/�

đ?‘‘ = 6.6112đ?‘š

đ??ľ

đ?œƒ

đ?‘€đ??´

đ??´

9đ?‘š

đ?‘? = 1.875đ?‘š

đ?‘…đ??´đ?‘‹ đ?‘Œ

đ?‘…đ??´đ?‘Œ đ?‘Ž = 2.5đ?‘š đ?‘? = 8.8149đ?‘š

đ?‘‹ đ?‘’ = 10.75đ?‘š 12đ?‘š

(f)

El soporte en đ??´ es un empotre y tiene por lo tanto tres incĂłgnitas de reacciĂłn, una horizontal (đ?‘…đ??´đ?‘‹ ), una vertical (đ?‘…đ??´đ?‘Œ ) y una de momento (đ?‘€đ??´ ), las cuales deben ser 12

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

debidamente identificadas y cuyos correspondientes sentidos tienen que proponerse arbitrariamente debido a que se desconocen; de cualquier modo, si la magnitud de alguna de ellas resultarĂĄ negativa al resolver las ecuaciones de equilibrio, esto indicarĂĄ que el sentido de la fuerza o momento es opuesto al que se supuso.

Todo lo expuesto anteriormente puede ser resumido en el diagrama de cargas de la viga, figura 1-2f. A continuaciĂłn se calculan las distancias đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘‘, đ?‘’, đ?‘“ y đ?‘” que serĂĄn Ăştiles para la aplicaciĂłn de las ecuaciones de equilibrio, a partir de aplicar la definiciĂłn de las funciones trigonomĂŠtricas en los triĂĄngulos rectĂĄngulos de la izquierda, figura 1-2g.

đ?‘? = đ?‘ĽĚ…1 sin đ?œƒ = (3.125đ?‘š)(0.6) = 1.875đ?‘š đ?‘Ž = đ?‘ĽĚ…1 cos đ?œƒ = (3.125đ?‘š)(0.8) = 2.5đ?‘š

đ?‘?

đ?œƒ đ?‘Ž

đ?‘‘ = đ?‘ĽĚ… 2 sin đ?œƒ = (11.0186đ?‘š)(0.6) = 6.6112đ?‘š đ?‘‘

đ?‘? = đ?‘ĽĚ…2 cos đ?œƒ = (11.0186đ?‘š)(0.8) = 8.8149đ?‘š

đ?œƒ đ?‘?

đ?‘” = Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ˇ + đ?‘ĽĚ…3 = 11.875đ?‘š + 1.5625đ?‘š = 13.4375đ?‘š đ?‘“ đ?œƒ đ?‘’

(g)

đ?‘“ = đ?‘” sin đ?œƒ = (13.4375đ?‘š)(0.6) = 8.0625đ?‘š đ?‘’ = đ?‘” cos đ?œƒ = (13.4375đ?‘š)(0.8) = 10.75đ?‘š

Ecuaciones de equilibrio. Se aplican al diagrama de cargas para calcular las incĂłgnitas đ?‘€đ??´ , đ?‘…đ??´đ?‘‹ y đ?‘…đ??¸đ?‘‹ utilizando una convenciĂłn de signos arbitraria. Tomando momentos alrededor del punto đ??´ considerando los ejes por tal punto, se obtiene directamente el valor de đ?‘€đ??´ .

que pasan

+ ∑ đ?‘€đ??´ = 0 ⇒ −đ?‘€đ??´ + đ??´1 (đ?‘Ž) + đ??´2đ?‘‹ (đ?‘‘) + đ??´2đ?‘Œ (đ?‘?) + đ??´3đ?‘‹ (đ?‘“) + đ??´3đ?‘Œ (đ?‘’) = 0 13

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

−đ?‘€đ??´ + 25(2.5) + 35.4862(6.6112) + 47.315(8.8149) + 9.375(8.0625) +12.5(10.75) = 0 ⇒∴ đ?‘€đ??´ = 924.144đ?‘‡. đ?‘š De la suma de fuerzas en cualquier direcciĂłn igual a cero, se plantean las dos siguientes ecuaciones de equilibrio para determinar đ?‘…đ??´đ?‘‹ y đ?‘…đ??´đ?‘Œ , respectivamente. +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ −đ?‘…đ??´đ?‘‹ + đ??´2đ?‘‹ + đ??´3đ?‘‹ = 0 ⇒ −đ?‘…đ??´đ?‘‹ + 35.4862 + 9.375 = 0 ∴ đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 44.8612đ?‘‡ ↑ + ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Œ − đ??´1 − đ??´2đ?‘Œ − đ??´3đ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Œ − 25 − 47.3150 − 12.5 = 0 ∴ đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 84.815đ?‘‡

Funciones de fuerza cortante, de fuerza normal y de momento Los resultados obtenidos se muestran en la figura 1-2h.

đ??¸

đ?‘“đ?‘˘đ?‘›đ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› đ?‘’đ?‘Ľđ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘’đ?‘›đ?‘?đ?‘–đ?‘Žđ?‘™

đ??ˇ đ??´1 = 25đ?‘‡

đ??ś

đ?œƒ

đ??ľ

4�/�

đ?‘€đ??´ = 924.144đ?‘‡. đ?‘š

đ??´

đ?œƒ

đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 44.8612đ?‘‡

đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 84.815đ?‘‡

(h)

14

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Las variaciones de la fuerza cortante đ?‘‰đ?‘– , la fuerza normal đ?‘ đ?‘– y el momento đ?‘€đ?‘– en funciĂłn de la posiciĂłn đ?‘Ľ de un punto arbitrario a lo largo de la viga pueden obtenerse mediante el mĂŠtodo de las secciones (efectuando cortes). La funciĂłn de la fuerza cortante serĂĄ discontinua en los puntos donde el tipo o la magnitud de la carga distribuida cambia, o bien donde se apliquen fuerzas concentradas. La funciĂłn del momento flector, serĂĄ discontinua, ademĂĄs de lo anterior, en los puntos donde se apliquen momentos de par. En ambos casos, la carga distribuida y la fuerza concentrada, o una de sus componentes, actĂşan perpendicularmente al eje de la viga. Por su parte, la funciĂłn de la fuerza normal serĂĄ discontinua en los puntos donde se aplique una carga puntual o donde el tipo o la magnitud de la carga distribuida cambia, pero ahora todas estas cargas, o una de sus componentes, actĂşan en la direcciĂłn del eje de la viga. La distribuciĂłn de la carga actuante sobre la viga presenta discontinuidades en los puntos đ??ľ, đ??ś y đ??ˇ; por lo tanto, para obtener expresiones algebraicas que definan la variaciĂłn de las acciones internas (o elementos mecĂĄnicos) es necesario cortar a la estructura perpendicularmente a su eje a travĂŠs de secciones arbitrarias en los tramos đ??´ − đ??ľ, đ??ľ − đ??ś, đ??ś − đ??ˇ y đ??¸ − đ??ˇ. Se ha definido una sola coordenada đ?‘Ľ para toda la viga, por lo que es vĂĄlida para toda la regiĂłn đ??´ − đ??ˇ (0 ≤ đ?‘Ľ ≤ 15đ?‘š), su origen ha sido asociado en đ??´, y es positiva hacia la derecha y hacia arriba, sobre el eje de la estructura. Como podrĂĄ observarse mĂĄs adelante en cada diagrama de cuerpo libre surgido al realizar algĂşn corte, el equilibrio se efectuarĂĄ utilizando los ejes que coinciden con las lĂ­neas de acciĂłn de las fuerzas cortante y normal. Por tal motivo, la carga concentrada equivalente đ??´1 y las reacciones đ?‘…đ??´đ?‘‹ y đ?‘…đ??´đ?‘Œ son descompuestas en sus componentes rectangulares para los ejes que coinciden con las lĂ­neas de acciĂłn de la fuerza cortante y de la fuerza normal, figuras 1-2i, 1-2j y 1-2k.

-

Para đ??´1 = 25đ?‘‡

đ??´1đ?‘‹ ⇒ đ??´1đ?‘‹ = đ??´1 sin đ?œƒ = 25đ?‘‡(0.6) = 15đ?‘‡ đ??´1 đ??´1đ?‘Œ cos đ?œƒ = ⇒ đ??´1đ?‘Œ = đ??´1 cos đ?œƒ = 25đ?‘‡(0.8) = 20đ?‘‡ đ??´1

sin đ?œƒ = đ??´1 = 25đ?‘‡

đ?œƒ

(i)

15

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

-

Para đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 44.8612đ?‘‡

đ?‘…đ??´đ?‘‹đ?‘‹ ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘‹đ?‘‹ = đ?‘…đ??´đ?‘‹ cos đ?œƒ = 44.8612đ?‘‡(0.8) = 35.8890đ?‘‡ đ?‘…đ??´đ?‘‹ đ?‘…đ??´đ?‘‹đ?‘Œ sin đ?œƒ = ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘‹đ?‘Œ = đ?‘…đ??´đ?‘‹ sin đ?œƒ = 44.8612đ?‘‡(0.6) = 26.9167đ?‘‡ đ?‘…đ??´đ?‘‹

cos đ?œƒ = đ?œƒ đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 44.8612đ?‘‡

(j)

đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 84.815đ?‘‡

-

đ?œƒ

Para đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 84.815đ?‘‡

sin đ?œƒ =

đ?‘…đ??´đ?‘Œđ?‘‹ ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Œđ?‘‹ = đ?‘…đ??´đ?‘Œ sin đ?œƒ = 84.815đ?‘‡(0.6) = 50.889đ?‘‡ đ?‘…đ??´đ?‘Œ

cos đ?œƒ =

đ?‘…đ??´đ?‘Œđ?‘Œ ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Œđ?‘Œ = đ?‘…đ??´đ?‘Œ cos đ?œƒ = 84.815đ?‘‡(0.8) = 67.852đ?‘‡ đ?‘…đ??´đ?‘Œ

(k) Tome en cuenta ademĂĄs, que las lĂ­neas de acciĂłn de las fuerzas resultantes đ??´2 y đ??´3 al ser perpendiculares al eje de la viga coinciden con la lĂ­nea de acciĂłn de la fuerza cortante, asĂ­ que sus componentes rectangulares para los ejes đ?‘‹ − đ?‘Œ se vuelven innecesarias a partir de ahora en el anĂĄlisis restante de este ejercicio y por ello han sido omitidas en el diagrama de cargas, aunque bien pudieron haberse dejado. Para una mayor facilidad en los cĂĄlculos, se determinan las componentes rectangulares đ??šđ?‘Œ y đ??šđ?‘‹ de la resultante, cuyas lĂ­neas de acciĂłn coinciden con las de la fuerza cortante đ?‘‰1 y la fuerza normal đ?‘ 1 , respectivamente, del sistema de fuerzas concurrentes đ?‘…đ??´đ?‘Œ y đ?‘…đ??´đ?‘‹ , al sumar las componentes rectangulares de dichas fuerzas concurrentes vectorialmente, es decir, đ??šđ?‘‹ = đ?‘…đ??´đ?‘Œđ?‘‹ − đ?‘…đ??´đ?‘‹đ?‘‹ = 50.889đ?‘‡ − 35.889đ?‘‡ = 15đ?‘‡ đ??šđ?‘‹ = đ?‘…đ??´đ?‘‹đ?‘Œ + đ?‘…đ??´đ?‘Œđ?‘Œ = 26.9167đ?‘‡67.852đ?‘‡ = 94.7687đ?‘‡

A continuaciĂłn se aplica el mĂŠtodo de las secciones. Corte en el tramo â‘ (đ??´ − đ??ľ). Se secciona la viga en un punto arbitrario (intermedio en el segmento đ??´ − đ??ľ) a una distancia đ?‘Ľ del punto đ??´. En la figura 1-2l se proporciona un diagrama de cuerpo libre del segmento de viga con longitud đ?‘Ľ.

16

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

0 ≤ đ?‘Ľ ≤ 6.25đ?‘š La fuerza resultante de la carga uniforme distribuida gravitacional del corte es đ??´1đ??ś = (4đ?‘‡/đ?‘š)(đ?‘Ľ) = 4đ?‘Ľ y su punto de aplicaciĂłn es đ?‘ĽĚ…đ??ź =

1 đ?‘Ľ (đ?‘Ľ) = 2 2

đ??´1đ??ś = 4đ?‘Ľ

đ?œƒ 4đ?‘‡/đ?‘š

đ?‘€đ??´ = 924.144đ?‘‡. đ?‘š

đ?œƒ

đ??´

(l) Con base en la figura 1-2m, las componentes rectangulares de la carga concentrada equivalente đ??´1đ??ś cuyas lĂ­neas de acciĂłn coinciden con las de đ?‘ 1 y đ?‘‰1 son

sin đ?œƒ =

đ??´1đ??śđ?‘‹ ⇒ đ??´1đ??śđ?‘‹ = đ??´1đ??ś sin đ?œƒ = 4đ?‘Ľ(0.6) = 2.4đ?‘Ľ đ??´1đ??ś

cos đ?œƒ =

đ??´1đ??śđ?‘Œ ⇒ đ??´1đ??śđ?‘Œ = đ??´1đ??ś cos đ?œƒ = 4đ?‘Ľ(0.8) = 3.2đ?‘Ľ đ??´1đ??ś

đ??´1đ??ś = 4đ?‘Ľ

đ?œƒ

(m) El equilibrio estĂĄtico del cuerpo libre implica que + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0

17

CAPÍTULO 1

ANÁLISIS DE VIGAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

𝑥 −924.144 + 94.7687(𝑥) − 3.2𝑥 ( ) − 𝑀1 = 0 ⇒ 𝑀1 = 94.7687𝑥 − 1.6𝑥 2 − 924.144 2 𝑒𝑛 𝑥 = 0, 𝑀1 = −924.144𝑇. 𝑚; 𝑒𝑛 𝑥 = 6.25𝑚, 𝑀1 = −394.3396𝑇. 𝑚 𝑑𝑀1 𝑑(94.7687𝑥 − 1.6𝑥 2 − 924.144) 𝑉1 = = = 94.7687 − 3.2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒ 15 − 2.4𝑥 + 𝑁1 = 0 ⇒ 𝑁1 = 2.4𝑥 − 15 Corte en el tramo ②(𝐵 − 𝐶). En la figura 1-2n se muestra un diagrama de cuerpo libre de la sección cortada. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio, se tiene 6.25𝑚 ≤ 𝑥 ≤ 8.75𝑚

4𝑇/𝑚

𝐵

𝑀𝐴 = 924.144𝑇. 𝑚

𝐴

(n)

+ ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 −924.144 + 94.7687(𝑥) − 20(𝑥 − 3.125) − 𝑀2 = 0 ⇒ 𝑀2 = 74.7687𝑥 − 861.644 𝑒𝑛 𝑥 = 6.25𝑚, 𝑀2 = −394.3396𝑇. 𝑚; 𝑒𝑛 𝑥 = 8.75𝑚, 𝑀2 = −207.4179𝑇. 𝑚 𝑉2 =

𝑑𝑀2 𝑑(74.7687𝑥 − 861.644) = = 74.7687 𝑑𝑥 𝑑𝑥

+ ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒ 15 − 15 + 𝑁2 = 0 ⇒ 𝑁2 = 0

18

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Corte en el tramo ③(đ??ś − đ??ˇ). En la figura 1-2Ăą se representa el diagrama de cuerpo libre correspondiente al segmento inferior de la viga que se produce al cortarla en algĂşn sitio intermedio del tramo đ??ś − đ??ˇ.

8.75� ≤ � ≤ 11.875�

đ?‘“đ?‘˘đ?‘›đ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› đ?‘’đ?‘Ľđ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘’đ?‘›đ?‘?đ?‘–đ?‘Žđ?‘™ đ?‘Ś = 0.0004307đ?‘’ đ?‘Ľ

đ??ś 4đ?‘‡/đ?‘š

đ??ľ

đ?‘€đ??´ = 924.144đ?‘‡. đ?‘š

đ??´

(Ăą)

La carga concentrada equivalente de la presiĂłn del corte cuya intensidad es descrita por la funciĂłn exponencial es đ?‘Ľ

đ??´2đ??ś = âˆŤ

0.0004307đ?‘’ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = 0.0004307(đ?‘’ đ?‘Ľ − đ?‘’ 8.75 ) = 0.0004307đ?‘’ đ?‘Ľ − 2.71801

8.75

y su lĂ­nea de acciĂłn estĂĄ localizada a una distancia de đ?‘Ľ âˆŤ8.75(đ?‘Ľ)(0.0004307đ?‘’ đ?‘Ľ )đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘ĽĚ…đ??źđ??ź = đ?‘Ľ âˆŤ8.75 0.0004307đ?‘’ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ 19

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Resolviendo el numerador se tiene đ?‘Ľ

âˆŤ

(đ?‘Ľ)(0.0004307đ?‘’ đ?‘Ľ )đ?‘‘đ?‘Ľ = 0.0004307{[đ?‘’ đ?‘Ľ (đ?‘Ľ − 1)] − [đ?‘’ 8.75 (8.75 − 1)]}

8.75

= 0.0004307đ?‘Ľđ?‘’ đ?‘Ľ − 0.0004307đ?‘’ đ?‘Ľ − 21.0646 El denominador ya fue resuelto. Por lo tanto, đ?‘ĽĚ…đ??źđ??ź =

0.0004307đ?‘Ľđ?‘’ đ?‘Ľ − 0.0004307đ?‘’ đ?‘Ľ − 21.0646 0.0004307đ?‘’ đ?‘Ľ − 2.71801

El equilibrio estĂĄtico del cuerpo libre requiere que + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 −924.144 + 94.7687(đ?‘Ľ) − 20(đ?‘Ľ − 3.125) − (0.0004307đ?‘’ đ?‘Ľ − 2.71801) 0.0004307đ?‘Ľđ?‘’ đ?‘Ľ − 0.0004307đ?‘’ đ?‘Ľ − 21.0646 (đ?‘Ľ − ) − đ?‘€3 = 0 0.0004307đ?‘’ đ?‘Ľ − 2.71801 đ?‘€3 = −0.0004307đ?‘’ đ?‘Ľ + 77.4867đ?‘Ľ − 882.7086 đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ = 8.75đ?‘š, đ?‘€3 = −207.418đ?‘‡. đ?‘š; đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ = 11.875đ?‘š, đ?‘€2 = −24.4157đ?‘‡. đ?‘š đ?‘‘đ?‘€3 đ?‘‘(−0.0004307đ?‘’ đ?‘Ľ + 77.4867đ?‘Ľ − 882.7086) đ?‘‰3 = = = −0.0004307đ?‘’ đ?‘Ľ + 77.4867 đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ + ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘ 3 = 0

Corte en el tramo 4 (đ??ˇ − đ??¸). Se secciona la estructura en un punto arbitrario (intermedio en el segmento đ??ˇ − đ??¸) a una distancia đ?‘Ľ de đ??´; en la figura 1-2o se ofrece el diagrama de cuerpo libre que representa la porciĂłn de la estructura ubicada por debajo del corte. La fuerza resultante de la carga uniforme distribuida ortogonal al eje de la viga del corte es đ??´3đ??ś = (đ?‘Ľ − 11.875)(5) = 5đ?‘Ľ − 59.375 y su punto de aplicaciĂłn es 1 1 đ?‘ĽĚ…đ??źđ??źđ??ź = (đ?‘Ľ − 11.875) = đ?‘Ľ − 5.9375 2 2

Las acciones internas entre los puntos đ??ˇ y đ??¸ se definen como 11.875đ?‘š ≤ đ?‘Ľ ≤ 15đ?‘š + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 20

CAPÍTULO 1

ANÁLISIS DE VIGAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

−924.144 + 94.7687(𝑥) − 20(𝑥 − 3.125) − 59.1437(𝑥 − 11.0186) 1

−(5𝑥 − 59.375) ( 𝑥 − 5.9375) − 𝑀4 = 0 2

𝑀4 = −2.5𝑥 2 + 75𝑥 − 562.50299 𝑒𝑛 𝑥 = 11.875𝑚, 𝑀4 = −24.416𝑇. 𝑚; 𝑒𝑛 𝑥 = 15𝑚, 𝑀4 = 0 𝑑𝑀4 𝑑(−2.5𝑥 2 + 75𝑥 − 562.50299) 𝑉4 = = = −5𝑥 + 75 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒ 𝑁4 = 0

𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑦 = 0.0004307𝑒 𝑥

𝐷 𝐶 4𝑇/𝑚

𝐵

𝑀𝐴 = 924.144𝑇. 𝑚

𝐴

(o)

21

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Ejercicio 1.3 Calcule las fuerzas reactivas en los soportes y determine las funciones del momento flector y de las fuerzas cortante y normal de la viga isostĂĄtica mostrada en la figura 1-3a. ObsĂŠrvese que en los extremos izquierdo y derecho estĂĄn aplicadas cargas puntuales de 7đ?‘‡ con una pendiente de 3: 4 y de 5đ?‘‡ con una pendiente de 1: 1 respectivamente; sobre la regiĂłn đ??ľ − đ??ˇ se extiende una carga cuya intensidad varĂ­a linealmente desde 0 en el punto đ??ľ hasta 3đ?‘‡/đ?‘š en el punto đ??ˇ y sobre la regiĂłn đ??ˇ − đ??š la estructura soporta una carga distribuida irregularmente en la que se conocen seis puntos de intensidad de carga cuyos valores son indicados. Carga distribuida irregularmente

3�/�

3�/� 2�/�

2�/�

4

1�/� 3

đ??´

đ??ľ

1đ?‘š

đ??ˇ đ??¸

đ??ś

2đ?‘š

1

1đ?‘š

đ??š

1đ?‘š

1đ?‘š

1đ?‘š

1đ?‘š

1đ?‘š

đ??ş

2đ?‘š

(a) Figura 1-3 SOLUCIĂ“N CĂĄlculo de las reacciones en los apoyos Diagrama de cargas. En primer lugar, construiremos una funciĂłn polinomial que ajuste a los puntos conocidos de la carga distribuida irregularmente; como se tienen seis datos, se propone una funciĂłn polinĂłmica de grado cinco (ndatos -1) de la siguiente forma: đ?‘Ś = đ?‘Žđ?‘Ľ 5 + đ?‘?đ?‘Ľ 4 +đ?‘?đ?‘Ľ 3 + đ?‘‘đ?‘Ľ 2 + đ?‘’đ?‘Ľ + đ?‘“ − − − − − (đ??ź) Tomando como origen al punto đ??´ se sabe que đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ = 4đ?‘š, đ?‘Ś = 0; đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ = 5đ?‘š, đ?‘Ś = 2đ?‘‡/đ?‘š; đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ = 6đ?‘š, đ?‘Ś = 3đ?‘‡/đ?‘š đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ = 7đ?‘š, đ?‘Ś = 1đ?‘‡/đ?‘š; đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ = 8đ?‘š, đ?‘Ś = 2đ?‘‡/đ?‘š; đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ = 9đ?‘š, đ?‘Ś = 0 Si sustituimos los valores anteriores en la ecuaciĂłn (đ??ź), se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: 0 = đ?‘Ž(4)5 + đ?‘?(4)4 +đ?‘?(4)3 + đ?‘‘(4)2 + đ?‘’(4) + đ?‘“ 0 = 1024đ?‘Ž + 256đ?‘? + 64đ?‘? + 16đ?‘‘ + 4đ?‘’ + đ?‘“ − − − − − (1) 2 = đ?‘Ž(5)5 + đ?‘?(5)4 +đ?‘?(5)3 + đ?‘‘(5)2 + đ?‘’(5) + đ?‘“ 2 = 3125đ?‘Ž + 625đ?‘? + 125đ?‘? + 25đ?‘‘ + 5đ?‘’ + đ?‘“ − − − − − (2) 22

1

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

3 = đ?‘Ž(6)5 + đ?‘?(6)4 +đ?‘?(6)3 + đ?‘‘(6)2 + đ?‘’(6) + đ?‘“ 3 = 7776đ?‘Ž + 1296đ?‘? + 216đ?‘? + 36đ?‘‘ + 6đ?‘’ + đ?‘“ − − − − − (3) 1 = đ?‘Ž(7)5 + đ?‘?(7)4 +đ?‘?(7)3 + đ?‘‘(7)2 + đ?‘’(7) + đ?‘“ 1 = 16807đ?‘Ž + 2401đ?‘? + 343đ?‘? + 49đ?‘‘ + 7đ?‘’ + đ?‘“ − − − − − (4) 2 = đ?‘Ž(8)5 + đ?‘?(8)4 +đ?‘?(8)3 + đ?‘‘(8)2 + đ?‘’(8) + đ?‘“ 2 = 32768đ?‘Ž + 4096đ?‘? + 512đ?‘? + 64đ?‘‘ + 8đ?‘’ + đ?‘“ − − − − − (5) 0 = đ?‘Ž(9)5 + đ?‘?(9)4 +đ?‘?(9)3 + đ?‘‘(9)2 + đ?‘’(9) + đ?‘“ 0 = 59049đ?‘Ž + 6561đ?‘? + 729đ?‘? + 81đ?‘‘ + 9đ?‘’ + đ?‘“ − − − − − (6) Expresando el sistema simultĂĄneo de ecuaciones en forma matricial tenemos 1024 3125 7776 16807 32768 (59049

256 625 1296 2401 4096 6561

64 125 216 343 512 729

16 25 36 49 64 81

4 5 6 7 8 9

đ?‘Ž 1 0 đ?‘? 1 2 đ?‘? 1 = 3 đ?‘‘ 1 1 đ?‘’ 2 1 ( đ?‘“) ( ) 0) 1

Resolviendo el sistema resulta đ?‘Ž 1024 đ?‘? 3125 đ?‘? 7776 đ?‘‘ = 16807 đ?‘’ 32768 (đ?‘“) (59049

256 625 1296 2401 4096 6561

64 125 216 343 512 729

16 25 36 49 64 81

4 5 6 7 8 9

1 −1 0 −0.166667 1 2 5.33333 1 3 −66.8333 ∗ = 1 409.167 1 2 −1221.5 1 ( ) ( ) 0 1422 ) 1

Si se reemplazan los resultados obtenidos en la ecuaciĂłn (đ??ź), entonces la funciĂłn polinomial que describe la intensidad de la carga distribuida irregularmente es 1 16 4 401 3 đ?‘Ś = − đ?‘Ľ5 + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + 409.167đ?‘Ľ 2 − 1221.5đ?‘Ľ + 1422 6 3 6 Se calculan las cargas concentradas equivalentes đ??´đ?‘– de las presiones, asĂ­ como su punto de aplicaciĂłn đ?‘ĽĚ…đ?‘– . -

Carga cuya intensidad varĂ­a en forma lineal.

(3đ?‘‡/đ?‘š)(3đ?‘š) 2 = 4.5đ?‘‡ đ?‘ĽĚ…1 = (3đ?‘š) = 2đ?‘š 2 3 - Carga distribuida irregularmente. Para esta carga se conocĂ­an seis puntos de intensidad inicialmente; realmente no se sabĂ­a el comportamiento exacto de la curva que describe la carga distribuida hasta que se calculĂł la ecuaciĂłn y se graficĂł. Fue asĂ­ como se pudo observar que đ??´1 =

23

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

una pequeĂąa porciĂłn de la carga distribuida, especĂ­ficamente la que se extiende de 4đ?‘š a 4.45đ?‘š, actĂşa hacia arriba; lĂłgicamente en đ?‘Ľ = 4.45đ?‘š, đ?‘Ś = 0. La fuerza resultante para esta porciĂłn de carga distribuida es đ??ż2

đ??´2 = âˆŤ đ?‘‘đ??´ = âˆŤ đ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ľ đ??ż1 4.45

đ??´2 = âˆŤ 4

đ??´2 = [−

đ??´2 = − +

136389 1000

1 6

(− đ?‘Ľ5 +

1 36

16 4 401 3 đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + 409.167đ?‘Ľ2 − 1221.5đ?‘Ľ + 1422) đ?‘‘đ?‘Ľ 3 6

4.45 1 6 16 5 401 4 136389 3 2443 2 đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + 1422đ?‘Ľ] 36 15 24 1000 4 4

(4.456 − 4.006 ) +

(4.453 − 4.003 ) −

2443 4

16 15

(4.455 − 4.005 ) −

401 24

(4.454 − 4.004 )

(4.452 − 4.002 ) + 1422(4.45 − 4.00) ≈ −0.12 đ?‘‡

El signo negativo indica que la resultante đ??´2 actĂşa hacia arriba. Su punto de aplicaciĂłn es đ??ż

2 âˆŤ đ?‘ĽĚƒđ?‘‘đ??´ âˆŤđ??ż1 đ?‘Ľđ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘ĽĚ…2 = = đ??ż2 âˆŤ đ?‘‘đ??´ âˆŤ đ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ľ

đ??ż1

1 16 4 401 3 (đ?‘Ľ) (− đ?‘Ľ5 + đ?‘Ľ − 6 đ?‘Ľ + 409.167đ?‘Ľ2 − 1221.5đ?‘Ľ + 1422) đ?‘‘đ?‘Ľ 6 3 đ?‘ĽĚ…2 = 4.45 1 16 401 âˆŤ4 (− 6 đ?‘Ľ5 + 3 đ?‘Ľ4 − 6 đ?‘Ľ3 + 409.167đ?‘Ľ2 − 1221.5đ?‘Ľ + 1422) đ?‘‘đ?‘Ľ 4.45

âˆŤ4

Resolviendo el numerador se tiene 4.45

1 16 4 401 3 (đ?‘Ľ) (− đ?‘Ľ5 + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + 409.167đ?‘Ľ2 − 1221.5đ?‘Ľ + 1422) đ?‘‘đ?‘Ľ 6 3 6

âˆŤ 4

4.45

=âˆŤ 4

1 16 5 401 4 đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + 409.167đ?‘Ľ3 − 1221.5đ?‘Ľ2 + 1422đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ (− đ?‘Ľ6 + 6 3 6

4.45 1 7 8 6 401 5 409167 4 2443 3 2 = [− đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + 711đ?‘Ľ ] 42 9 30 4000 6 4

=− +

1 8 401 (4.457 − 4.007 ) + (4.456 − 4.006 ) − (4.455 − 4.005 ) 42 9 30

409167 2443 (4.454 − 4.004 ) − (4.453 − 4.003 ) + 711(4.452 − 4.002 ) ≈ −0.49 4000 6

El denominador ya fue resuelto. Por lo tanto, đ?‘ĽĚ… 2 =

−0.49 ≈ 4.083đ?‘š −0.12 24

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Ahora se analiza la parte de la carga distribuida que actĂşa hacia abajo, es decir, la que se extiende de 4.45đ?‘š a 9đ?‘š. La fuerza resultante es đ??ż2

đ??´3 = âˆŤ đ?‘‘đ??´ = âˆŤ đ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ľ đ??ż1 9

đ??´3 = âˆŤ

1 6

(− đ?‘Ľ5 +

4.45

= [−

9 1 6 16 5 401 4 136389 3 2443 2 đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + 1422đ?‘Ľ] 36 15 24 1000 4 4.45 1 16 401 6 6 5 5 4 4

=− +

136389 1000

16 4 401 3 đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + 409.167đ?‘Ľ2 − 1221.5đ?‘Ľ + 1422) đ?‘‘đ?‘Ľ 3 6

36

(9 − 4.45 ) +

(93 − 4.453 ) −

15 2443 4

(9 − 4.45 ) −

24

(9 − 4.45 )

(92 − 4.452 ) + 1422(9 − 4.45) = 8.87 đ?‘‡

y su punto de aplicaciĂłn es đ??ż

2 âˆŤ đ?‘ĽĚƒđ?‘‘đ??´ âˆŤđ??ż1 đ?‘Ľđ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘ĽĚ…3 = = đ??ż2 âˆŤ đ?‘‘đ??´ âˆŤ đ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ľ

đ??ż1

đ?‘ĽĚ…3 =

9 1 16 401 âˆŤ4.45(đ?‘Ľ) (− 6 đ?‘Ľ5 + 3 đ?‘Ľ4 − 6 đ?‘Ľ3 + 409.167đ?‘Ľ2 − 1221.5đ?‘Ľ + 1422) đ?‘‘đ?‘Ľ 9 1 16 401 âˆŤ4.45 (− 6 đ?‘Ľ5 + 3 đ?‘Ľ4 − 6 đ?‘Ľ3 + 409.167đ?‘Ľ2 − 1221.5đ?‘Ľ + 1422) đ?‘‘đ?‘Ľ

Resolviendo el numerador se tiene 9

1 16 4 401 3 âˆŤ (đ?‘Ľ) (− đ?‘Ľ5 + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + 409.167đ?‘Ľ2 − 1221.5đ?‘Ľ + 1422) đ?‘‘đ?‘Ľ 6 3 6 4.45 9

1 16 5 401 4 đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + 409.167đ?‘Ľ3 − 1221.5đ?‘Ľ2 + 1422đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ (− đ?‘Ľ6 + 6 3 6 4.45

=âˆŤ

9 1 7 8 6 401 5 409167 4 2443 3 2 = [− đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + 711đ?‘Ľ ] 42 9 30 4000 6 4.45

=−

1 7 8 401 5 409167 4 (9 − 4.457 ) + (96 − 4.456 ) − (9 − 4.455 ) + (9 − 4.454 ) 42 9 30 4000 2443 3 (9 − 4.453 ) + 711(92 − 4.452 ) = 59.3 − 6

El denominador ya fue resuelto. Por lo tanto, đ?‘ĽĚ…3 =

59.3 ≈ 6.685đ?‘š 8.87

Luego, se resuelven las fuerzas puntuales đ??š1 = 7đ?‘‡ y đ??š2 = 5đ?‘‡ en sus componentes rectangulares đ?‘‹ − đ?‘Œ, figuras 1-3b, 1-3c y 1-3d, 1-3e, respectivamente. 25

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Para đ??š1 = 7đ?‘‡

-

â„Ž1 = √32 + 42 = 5 4 3 sin đ?œƒ1 = ; cos đ?œƒ1 = 5 5

4 đ?œƒ1

đ??š1đ?‘‹ 3 ⇒ đ??š1đ?‘‹ = 7đ?‘‡(cos đ?œƒ1 ) = 7đ?‘‡ ( ) = 4.2đ?‘‡ 7đ?‘‡ 5 đ??š1đ?‘Œ 4 sin đ?œƒ1 = ⇒ đ??š1đ?‘Œ = 7đ?‘‡(sin đ?œƒ1 ) = 7đ?‘‡ ( ) = 5.6đ?‘‡ 7đ?‘‡ 5

cos đ?œƒ1 =

3

(b)

1 đ?œƒ2 1

đ??š1đ?‘Œ đ?œƒ1 đ??š1đ?‘‹

Para đ??š2 = 5đ?‘‡

(c)

â„Ž2 = √12 + 12 = √2 1 sin đ?œƒ2 = cos đ?œƒ2 = √2

(d) đ??š2đ?‘Œ 1 ⇒ đ??š2đ?‘Œ = 5đ?‘‡(sin đ?œƒ2 ) = 5đ?‘‡ ( ) = 3.53553đ?‘‡ 5đ?‘‡ √2 đ??š2đ?‘‹ 1 cos đ?œƒ2 = ⇒ đ??š2đ?‘‹ = 5đ?‘‡(cos đ?œƒ2 ) = 5đ?‘‡ ( ) = 3.53553đ?‘‡ 5đ?‘‡ √2 sin đ?œƒ2 =

đ??š2đ?‘Œ

đ?œƒ2

đ??š2đ?‘‹ (e)

El soporte đ??ś es un rodillo, por lo que se genera una fuerza reactiva vertical đ?‘…đ??śđ?‘Œ , mientras que el soporte đ??š es un pasador y tiene dos incĂłgnitas de reacciĂłn, una horizontal (đ?‘…đ??šđ?‘‹ ) y una vertical (đ?‘…đ??šđ?‘Œ ). En consecuencia, el diagrama de cargas de la viga, figura 1-3f, es đ??š1đ?‘Œ = 5.6 đ?‘‡

đ??´1 = 4.5 đ?‘‡

3�/�

3�/�

đ??´2 = 8.87 đ?‘‡

2�/�

Carga distribuida irregularmente

2�/�

4

1�/�

1

3 đ??š1đ?‘‹

đ??š2đ?‘Œ = 3.53553 đ?‘‡

= 4.2đ?‘‡ đ??´

đ?‘…đ??šđ?‘‹ đ??ľ

đ??ś

đ??ˇ

đ??´3 = 0.12 đ?‘‡

3đ?‘š đ?‘ĽĚ…1 = 2đ?‘š đ?‘ĽĚ…3 = 4.083đ?‘š

đ??š

đ??¸

3.685đ?‘š

6đ?‘š

1 đ??ş đ??š2đ?‘‹ = 3.53553đ?‘‡

2đ?‘š

đ?‘Œ

2.315đ?‘š

đ?‘…đ??šđ?‘Œ

đ?‘…đ??śđ?‘Œ đ?‘ĽĚ…2 = 6.685đ?‘š

đ?‘‹

(f) 26

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Ecuaciones de equilibrio. Se aplican al diagrama de cargas para calcular las incĂłgnitas đ?‘…đ??śđ?‘Œ y đ?‘…đ??¸đ?‘Œ y đ?‘…đ??¸đ?‘‹ usando una convenciĂłn de signos arbitraria. +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ 4.2 − đ?‘…đ??¸đ?‘‹ − 3.53553 = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??šđ?‘‹ = 0.66447đ?‘‡ + ∑ đ?‘€đ??ś = 0 ⇒ −5.6(3) − 0.12(1.083) + 8.87(3.685) − đ?‘…đ??šđ?‘Œ (6) + 3.53553(8) = 0 ⇒ ∴ đ?‘…đ??šđ?‘Œ = 7.34đ?‘‡ +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ −5.6 − 4.5 + đ?‘…đ??śđ?‘Œ + 0.12 − 8.87 + 7.34 − 3.53553 = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??śđ?‘Œ = 15.0456đ?‘‡

La fuerza reactiva vertical del soporte en đ??ś tambiĂŠn se puede obtener tomando momentos alrededor de đ??š. + ∑ đ?‘€đ??¸ = 0 ⇒ 3.53553(2) − 8.87(2.315) − 4.5(6) + 0.12(4.917) + đ?‘…đ??śđ?‘Œ (6) − 5.6(9) = 0

∴ đ?‘…đ??śđ?‘Œ = 15.0455đ?‘‡

Funciones de fuerza cortante, de fuerza normal y de momento En la figura 1-3g se muestran los resultados obtenidos. đ??š1đ?‘Œ = 5.6đ?‘‡

đ??´1 = 4.5đ?‘‡

3�/�

3�/�

Carga distribuida irregularmente

đ??´3 = 8.87đ?‘‡

2�/�

đ??š2đ?‘Œ = 3.53553đ?‘‡

2�/�

4

1�/�

1

3 đ??š1đ?‘‹ = 4.2đ?‘‡ đ??´

đ?‘…đ??šđ?‘‹ = 0.66447đ?‘‡ đ??ś

đ??ľ

đ?‘Ľ

đ??š

đ??ˇ đ??¸

đ??ş

đ??š2đ?‘‹ = 3.53553đ?‘‡

đ??´2 = 0.12 đ?‘‡

3đ?‘š

6đ?‘š

đ?‘ĽĚ…1 = 2đ?‘š

3.685đ?‘š

đ?‘…đ??śđ?‘Œ = 15.0456đ?‘‡

2đ?‘š 2.315đ?‘š đ?‘…đ??šđ?‘Œ = 7.34đ?‘‡

đ?‘ĽĚ…2 = 4.083đ?‘š đ?‘ĽĚ…3 = 6.714đ?‘š

(g)

La distribuciĂłn de la carga que actĂşa sobre la viga presenta discontinuidades en los puntos đ??ľ, đ??ś, đ??ˇ, đ??¸ y đ??š; asĂ­ que, para obtener expresiones algebraicas que definan la variaciĂłn de los elementos mecĂĄnicos es necesario cortar a la estructura perpendicularmente a su eje a travĂŠs de secciones arbitrarias en los tramos đ??´ − đ??ľ, đ??ľ − đ??ś, đ??ś − đ??ˇ, đ??ˇ − đ??¸ đ??¸ − đ??š y đ??š − đ??ş. 27

1

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Se ha definido una sola coordenada đ?‘Ľ para toda la viga, por lo que es vĂĄlida para toda la regiĂłn đ??´ − đ??ş (0 ≤ đ?‘Ľ ≤ 11đ?‘š), su origen ha sido asociado en đ??´, y es positiva hacia la derecha. Corte en el tramo â‘ (đ??´ − đ??ľ). Se secciona la viga en un punto arbitrario (intermedio en el segmento (đ??´ − đ??ľ) a una distancia đ?‘Ľ del punto đ??´. En la figura 1-3h se proporciona un diagrama de cuerpo libre del segmento de viga con longitud đ?‘Ľ. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio, se tiene 0 ≤ đ?‘Ľ ≤ 1đ?‘š + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ −5.6(đ?‘Ľ) − đ?‘€1 = 0 ⇒ đ?‘€1 = −5.6đ?‘Ľ

đ??š1đ?‘Œ = 5.6đ?‘‡

+↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ −5.6 − đ?‘‰1 = 0 ⇒ đ?‘‰1 = −5.6 4

o tambiĂŠn

đ?‘€1

3

đ?‘ 1

đ??š1đ?‘‹ = 4.2đ?‘‡ đ??´

�1 =

đ?‘‘đ?‘€1 đ?‘‘(−5.6đ?‘Ľ) = = −5.6 đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ

đ?‘Ľ

+→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ 4.2 + đ?‘ 1 = 0 ⇒ đ?‘ 1 = −4.2 đ?‘‰1

(h)

Corte en el tramo â‘Ą(đ??ľ − đ??ś). En la figura 1-3i se muestra un diagrama de cuerpo libre de la secciĂłn cortada. A la derecha, figura 1-3j, se proporciona un esquema para determinar el valor en funciĂłn de đ?‘Ľ de la intensidad đ?‘Š1 . 1đ?‘š ≤ đ?‘Ľ ≤ 3đ?‘š đ??š1đ?‘Œ = 5.6đ?‘‡

(đ?‘Ľ − 1)2 2

đ??´đ??ź =

3�/� �1

đ?‘Š1 = đ?‘Ľ − 1

4

đ?‘€2

3 đ??š1đ?‘‹ = 4.2đ?‘‡ đ??´

đ??ľ 1đ?‘š

đ?‘ĽĚ…đ??ź

đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’

đ??ľ

đ?‘ 2

đ??ˇ

đ?‘Ľ − 1đ?‘š

đ?‘Ľ − 1đ?‘š

3đ?‘š

đ?‘Ľ

3đ?‘‡/đ?‘š đ?‘Š1 = ⇒ đ?‘Š1 = đ?‘Ľ − 1 3đ?‘š đ?‘Ľ − 1đ?‘š

�2

(i)

(j) La fuerza resultante de la carga triangular cortada es (đ?‘Ľ − 1)(đ?‘Ľ − 1) (đ?‘Ľ − 1)2 đ??´đ??ź = = 2 2 28

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

y su punto de aplicaciĂłn es đ?‘ĽĚ…đ??ź =

1 (đ?‘Ľ − 1) 3

Por lo tanto, (đ?‘Ľ − 1)2 1 + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ −5.6đ?‘Ľ − [ (đ?‘Ľ − 1)] − đ?‘€2 = 0 2 3 1 1 đ?‘€2 = −5.6đ?‘Ľ − (đ?‘Ľ − 1)3 = −5.6đ?‘Ľ − [(đ?‘Ľ)3 − 3(đ?‘Ľ)2 (1) + 3(1)2 (đ?‘Ľ) − (1)3 ] 6 6 1 1 1 1 = −5.6đ?‘Ľ − [đ?‘Ľ 3 − 3đ?‘Ľ 2 + 3đ?‘Ľ − 1] = − đ?‘Ľ 3 + đ?‘Ľ 2 − 6.1đ?‘Ľ + 6 6 2 6

+↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ −5.6 −

(đ?‘Ľ − 1)2 − đ?‘‰2 = 0 2

(đ?‘Ľ)2 − 2(đ?‘Ľ)(1) + (1)2 1 1 1 đ?‘‰2 = −5.6 − = −5.6 − đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ − = − đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ − 6.1 2 2 2 2

o tambiĂŠn 1 3 1 2 1 đ?‘‘đ?‘€2 đ?‘‘ (− 6 đ?‘Ľ + 2 đ?‘Ľ − 6.1đ?‘Ľ + 6) 1 đ?‘‰2 = = = − đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ − 6.1 đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ 2

+→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘ 2 = −4.2 Corte en el tramo ③(đ??ś − đ??ˇ). Se representa el diagrama de cuerpo libre correspondiente al segmento izquierdo de la estructura que se produce al cortarla en algĂşn sitio intermedio del tramo đ??ś − đ??ˇ, figura 1-3k. El equilibrio estĂĄtico del cuerpo libre implica que 3đ?‘š ≤ đ?‘Ľ ≤ 4đ?‘š đ??š1đ?‘Œ = 5.6đ?‘‡

đ??´đ??ź =

(đ?‘Ľ − 1)2 2

đ?‘Š1

4

đ?‘€3

3 đ??š1đ?‘‹ = 4.2đ?‘‡ đ??´

đ??ś

đ??ľ

1đ?‘š

2đ?‘š

đ?‘ 3 đ?‘Ľ − 3đ?‘š đ?‘‰3

đ?‘Ľ − 1đ?‘š

đ?‘…đ??śđ?‘Œ = 15.0456đ?‘‡ đ?‘Ľ đ?‘ĽĚ…đ??ź

(k) 29

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

+ ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ −5.6đ?‘Ľ + 15.0456(đ?‘Ľ − 3) −

(đ?‘Ľ − 1)2 1 [ (đ?‘Ľ − 1)] − đ?‘€3 = 0 2 3

1 1 đ?‘Ľ 1 đ?‘€3 = −5.6đ?‘Ľ + 15.0514đ?‘Ľ − 45.1542 − đ?‘Ľ 3 + đ?‘Ľ 2 − + 6 2 2 6 1 1 đ?‘€3 = − đ?‘Ľ 3 + đ?‘Ľ 2 + 8.9456đ?‘Ľ − 44.9701 6 2

(đ?‘Ľ − 1)2 1 +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ −5.6 − + 15.0456 − đ?‘‰3 = 0 ⇒ đ?‘‰3 = − đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ + 8.9456 2 2 o tambiĂŠn 1 3 1 2 đ?‘‘đ?‘€3 đ?‘‘ (− 6 đ?‘Ľ + 2 đ?‘Ľ + 8.9456đ?‘Ľ − 44.9701) 1 đ?‘‰3 = = = − đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ + 8.9456 đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ 2 +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘ 3 = −4.2 Corte en el tramo 4 (đ??ˇ − đ??¸). Se secciona la estructura en un punto arbitrario (intermedio en el segmento (đ??ˇ − đ??¸) a una distancia đ?‘Ľ de đ??´; a continuaciĂłn se ofrece el diagrama de cuerpo libre que representa la porciĂłn de la estructura ubicada a la izquierda del corte, figura 1-3l. 4đ?‘š ≤ đ?‘Ľ ≤ 4.45đ?‘š

đ??š1đ?‘Œ = 5.6đ?‘‡

đ??´1 = 4.5đ?‘‡

3�/� Carga distribuida irregularmente

4

đ?‘€4

3 đ??š1đ?‘‹ = 4.2đ?‘‡ đ??´

đ??ˇ

đ??ś

đ??ľ

đ?‘ 4

đ??´đ??źđ??ź 3đ?‘š đ?‘…đ??śđ?‘Œ = 15.0514đ?‘‡ đ?‘Ľ đ?‘ĽĚ…đ??źđ??ź

1đ?‘š

�4

đ?‘Ľ − đ?‘ĽĚ…đ??źđ??ź

(l)

La carga concentrada equivalente de la carga distribuida irregularmente cortada es 30

CAP├НTULO 1

AN├БLISIS DE VIGAS EST├БTICAMENTE DETERMINADAS

ЁЭСе 1 16 4 401 3 ЁЭР┤ЁЭР╝ЁЭР╝ = тИл (тИТ ЁЭСе5 + ЁЭСе тИТ ЁЭСе + 409.167ЁЭСе2 тИТ 1221.5ЁЭСе + 1422) ЁЭССЁЭСе 6 3 6 4

=тИТ

1 6 16 5 401 4 136389 3 2443 2 ЁЭСе + ЁЭСе тИТ ЁЭСе + ЁЭСе тИТ ЁЭСе + 1422ЁЭСе тИТ 1346.05 36 15 24 1000 4

y su l├нnea de acci├│n est├б localizada a una distancia de ЁЭСе 1 16 401 тИл4 (ЁЭСе) (тИТ 6 ЁЭСе5 + 3 ЁЭСе4 тИТ 6 ЁЭСе3 + 409.167ЁЭСе2 тИТ 1221.5ЁЭСе + 1422) ЁЭССЁЭСе

ЁЭСе╠ЕЁЭР╝ЁЭР╝ =

ЁЭСе 1 16 401 тИл4 (тИТ 6 ЁЭСе5 + 3 ЁЭСе4 тИТ 6 ЁЭСе3 + 409.167ЁЭСе2 тИТ 1221.5ЁЭСе + 1422) ЁЭССЁЭСе

Resolviendo el numerador tenemos ЁЭСе

1 16 4 401 3 тИл (ЁЭСе) (тИТ ЁЭСе5 + ЁЭСе тИТ ЁЭСе + 409.167ЁЭСе2 тИТ 1221.5ЁЭСе + 1422) ЁЭССЁЭСе 6 3 6 4 ЁЭСе 1 16 5 401 4 тИл (тИТ ЁЭСе6 + ЁЭСе тИТ ЁЭСе + 409.167ЁЭСе3 тИТ 1221.5ЁЭСе2 + 1422ЁЭСе) ЁЭССЁЭСе 6 3 6 4

=тИТ

1 7 8 6 401 5 409167 4 2443 3 ЁЭСе + ЁЭСе тИТ ЁЭСе + ЁЭСе тИТ ЁЭСе + 711ЁЭСе 2 тИТ 1067.35 42 9 30 4000 6

El denominador ya fue resuelto. Por lo tanto,

1 7 8 6 401 5 409167 4 2443 3 ЁЭСе + ЁЭСе тИТ ЁЭСе + ЁЭСе тИТ ЁЭСе + 711ЁЭСе2 тИТ 1067.35 9 30 4000 6 ЁЭСе╠ЕЁЭР╝ = 42 1 16 5 401 4 136389 3 2443 2 тИТ ЁЭСе6 + ЁЭСе тИТ ЁЭСе + ЁЭСе тИТ ЁЭСе + 1422ЁЭСе тИТ 1346.05 36 15 24 1000 4 тИТ

Las acciones internas entre los puntos ЁЭР╖ y ЁЭР╕ quedan definidas como + тИС ЁЭСАЁЭСРЁЭСЬЁЭСЯЁЭСбЁЭСТ = 0 тИТ5.6ЁЭСе тИТ 4.5(ЁЭСе тИТ 3) + 15.0456(ЁЭСе тИТ 3) + ЁЭР┤1ЁЭСР (ЁЭСе тИТ ЁЭСе╠ЕЁЭР╝ ) тИТ ЁЭСА4 = 0 ЁЭСА4 = тИТ

1 7 8 6 401 5 136389 4 2443 3 ЁЭСе + ЁЭСе тИТ ЁЭСе + ЁЭСе тИТ ЁЭСе + 711ЁЭСе 2 тИТ 1341.1044ЁЭСе 252 45 120 4000 12 + 1035.7132 +тЖС тИС ЁЭР╣ЁЭСМ = 0 тЗТ тИТ5.6 тИТ 4.5 + 15.0456 + ЁЭР┤1ЁЭР╢ тИТ ЁЭСЙ4 = 0 31

CAPĂ?TULO 1

đ?‘‰4 = −

1 36

đ?‘Ľ6 +

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

16 15

đ?‘Ľ5 −

401 24

đ?‘Ľ4 +

136389 1000

đ?‘Ľ3 −

2443 4

2

đ?‘Ľ + 1422đ?‘Ľ − 1346.1044

o tambiÊn �4 =

=

đ?‘‘ (−

đ?‘‘đ?‘€4 đ?‘‘đ?‘Ľ

1 7 8 6 401 5 136389 4 2443 3 đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − 120 đ?‘Ľ + 4000 đ?‘Ľ − 12 đ?‘Ľ + 711đ?‘Ľ2 − 1341.1044đ?‘Ľ + 1035.7132) 252 45 đ?‘‘đ?‘Ľ 1 6 16 5 401 4 136389 3 2443 2 đ?‘‰4 = − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + 1422đ?‘Ľ − 1346.1044 36 15 24 1000 4

+→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘ 4 = −4.2 Corte en el tramo 5 (đ??¸ − đ??š). Se secciona la estructura en un punto arbitrario (intermedio en el segmento (đ??¸ − đ??š) a una distancia đ?‘Ľ de đ??´; en la figura 1-3m se representa el diagrama de cuerpo libre del segmento izquierdo de la viga. En consecuencia, 4.45đ?‘š ≤ đ?‘Ľ ≤ 9đ?‘š đ??š1đ?‘Œ = 5.6đ?‘‡

đ??´1 = 4.5đ?‘‡

3�/�

3�/� 2�/�

đ??´đ??źđ??źđ??ź

Carga distribuida irregularmente

1�/�

4 3 đ??š1đ?‘‹ = 4.2đ?‘‡ đ??´

đ??ś

đ??ľ

đ?‘€5 đ?‘ 5

đ??¸

đ??ˇ

đ??´2 = 0.12 đ?‘‡ 3đ?‘š

đ?‘Ľ − 3đ?‘š đ?‘‰5

1đ?‘š đ?‘Ľ

đ?‘…đ??śđ?‘Œ = 15.0456đ?‘‡ đ?‘ĽĚ…2 = 4.083đ?‘š

đ?‘Ľ − đ?‘ĽĚ…đ??źđ??ź

đ?‘ĽĚ…đ??źđ??źđ??ź

(m) La carga concentrada equivalente de la carga distribuida irregularmente cortada es đ?‘Ľ

1 16 4 401 3 đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + 409.167đ?‘Ľ2 − 1221.5đ?‘Ľ + 1422) đ?‘‘đ?‘Ľ (− đ?‘Ľ5 + 6 3 6 4.45

đ??´đ??źđ??źđ??ź = âˆŤ =−

1 6 16 5 401 4 136389 3 2443 2 đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + 1422đ?‘Ľ − 1345.935 36 15 24 1000 4

32

CAPÍTULO 1

ANÁLISIS DE VIGAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

y su línea de acción está localizada a una distancia de 𝑥 1 16 401 ∫4.45(𝑥) (− 6 𝑥5 + 3 𝑥4 − 6 𝑥3 + 409.167𝑥2 − 1221.5𝑥 + 1422) 𝑑𝑥 𝑥̅𝐼𝐼𝐼 = 𝑥 1 16 401 ∫4.45 (− 6 𝑥5 + 3 𝑥4 − 6 𝑥3 + 409.167𝑥2 − 1221.5𝑥 + 1422) 𝑑𝑥 Resolviendo el numerador tenemos 𝑥 1 16 4 401 3 ∫ (𝑥) (− 𝑥5 + 𝑥 − 𝑥 + 409.167𝑥2 − 1221.5𝑥 + 1422) 𝑑𝑥 6 3 6 4.45 𝑥

1 16 5 401 4 𝑥 − 𝑥 + 409.167𝑥3 − 1221.5𝑥2 + 1422𝑥) 𝑑𝑥 (− 𝑥6 + 6 3 6 4.45

∫

−

1 7 8 6 401 5 409167 4 2443 3 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 + 711𝑥 2 − 1066.85875 42 9 30 4000 6

El denominador ya fue resuelto. Por lo tanto, 𝑥̅𝐼𝐼𝐼

1 7 8 6 401 5 409167 4 2443 3 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 + 711𝑥 2 − 1066.85875 42 9 30 4000 6 = 1 16 401 136389 2443 − 36 𝑥 6 + 𝑥 5 − 24 𝑥 4 + 1000 𝑥 3 − 4 𝑥 2 + 1422𝑥 − 1345.935 15 −

Las acciones internas entre los puntos 𝐷 y 𝐸 quedan definidas como + ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 −5.6𝑥 − 4.5(𝑥 − 3) + 15.0456(𝑥 − 3) + 0.12(𝑥 − 4.083) − 𝐴2𝐶 (𝑥 − 𝑥̅ 𝐼𝐼𝐼 ) − 𝑀4 = 0 𝑀5 =

1 7 8 401 5 136389 4 2443 3 𝑥 − 𝑥6 + 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 − 711𝑥 2 + 1351.0006𝑥 252 45 120 4000 12 − 1098.9855 +↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒ −5.6 − 4.5 + 15.0456 + 0.12 − 𝐴𝑐2 − 𝑉4 = 0

𝑉5 =

1 36

6

𝑥 −

16 15

5

𝑥 +

401 24

4

𝑥 −

136389 1000

3

𝑥 +

2443 4

2

𝑥 − 1422𝑥 + 1351.0006

o también 𝑉5 =

=

𝑑𝑀5 𝑑𝑥

1 7 8 6 401 5 136389 4 2443 3 𝑑( 𝑥 − 𝑥 + 120 𝑥 − 4000 𝑥 + 12 𝑥 − 711𝑥2 + 1351.0006𝑥 − 1098.9855) 252 45 𝑑𝑥

33

CAPĂ?TULO 1

�5 =

1 36

đ?‘Ľ6 −

16 15

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

đ?‘Ľ5 +

401 24

đ?‘Ľ4 −

136389 1000

đ?‘Ľ3 +

2443 4

2

đ?‘Ľ − 1422đ?‘Ľ + 1351.0006

+→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘ 5 = −4.2 Corte en el tramo 5 (đ??š − đ??ş). Se secciona la estructura en un punto arbitrario (intermedio en el segmento đ??¸ − đ??š) a una distancia đ?‘Ľ de đ??´; en la figura 1-3n se representa el diagrama de cuerpo libre del segmento izquierdo de la viga. Por consiguiente, 9đ?‘š ≤ đ?‘Ľ ≤ 11đ?‘š đ??š1đ?‘Œ = 5.6đ?‘‡

đ??´1 = 4.5đ?‘‡

3�/�

3�/�

Carga distribuida irregularmente

đ??´2 = 8.87đ?‘‡

2�/�

2�/�

4

1�/� 3

đ??š1đ?‘‹ = 4.2đ?‘‡ đ??´

(n)

đ?‘…đ??¸đ?‘‹ = 0.66447đ?‘‡ đ??ś

đ??ľ

đ??ˇ

đ??š

đ??¸ đ??´3 = 0.12 đ?‘‡

3đ?‘š

đ?‘ 6 đ?‘Ľ − 9đ?‘š

6đ?‘š

�6

đ?‘ĽĚ…3 = 4.083đ?‘š đ?‘…đ??¸đ?‘Œ = 7.34đ?‘‡

đ?‘…đ??śđ?‘Œ = 15.0456đ?‘‡

đ?‘Ľ − 3đ?‘š

đ?‘ĽĚ…2 = 6.685đ?‘š

đ?‘Ľ − 6.685đ?‘š đ?‘Ľ

+ ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 −5.6đ?‘Ľ − 4.5(đ?‘Ľ − 3) + 15.0456(đ?‘Ľ − 3) + 0.12(đ?‘Ľ − 4.083) − 8.87(đ?‘Ľ − 6.685) + 7.34(đ?‘Ľ − 9) − đ?‘€6 = 0 đ?‘€6 = 3.5356đ?‘Ľ − 38.89074

+↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ −5.6 − 4.5 + 15.0456 + 0.12 − 8.87 + 7.34 − đ?‘‰6 = 0 ⇒ đ?‘‰6 = 3.5356 o tambiĂŠn đ?‘‰6 =

đ?‘€6

đ?‘‘đ?‘€6 đ?‘‘(3.5356đ?‘Ľ − 38.89074) = = 3.5356 đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ

+→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ 4.2 − 0.66447 + đ?‘ 6 = 0 ⇒ đ?‘ 6 = −3.53553

34

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Ejercicio 1.4 Determine las reacciones en los soportes y las ecuaciones de las acciones internas de la viga que se muestra en la figura 1-4a, la cual estĂĄ sometida a cargas distribuidas de variaciĂłn lineal y tiene una rĂłtula (articulaciĂłn) en đ??ľ.

4�/� 2�/�

2�/�

đ??´ 3đ?‘š

đ??ˇ

đ??ś

đ??ľ 2đ?‘š

3đ?‘š

(a) Figura 1-4

SOLUCIĂ“N VerificaciĂłn del grado de indeterminaciĂłn Para esta viga se tienen cinco reacciones de apoyo, de las cuales tres (đ?‘…đ??´đ?‘‹ , đ?‘…đ??´đ?‘Œ , đ?‘€đ??´ ) corresponden al empotramiento en đ??´ y las otras dos (đ?‘…đ??ˇđ?‘‹ , đ?‘…đ??ˇđ?‘Œ ) al apoyo articulado đ??ˇ, y existen tres ecuaciones de equilibrio (∑ đ??šđ?‘‹ = 0, ∑ đ??šđ?‘Œ = 0, ∑ đ?‘€ = 0). Sin embargo, como la carga axial es insignificante, de ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 se establece que tanto đ?‘…đ??´đ?‘‹ como đ?‘…đ??ˇđ?‘‹ son nulas. Siendo asĂ­, se puede decir que hay đ?‘&#x; = 3 incĂłgnitas de reacciĂłn, đ?‘› = 2 ecuaciones de equilibrio y ademĂĄs una ecuaciĂłn de condiciĂłn, es decir, đ?‘? = 1, debido a que el momento flexionante en la articulaciĂłn đ??ľ vale cero. Entonces, al cumplirse đ?‘› + đ?‘? = đ?‘&#x;, ya que 2 + 1 = 3, se infiere que la viga es estĂĄticamente determinada. CĂĄlculo de las reacciones en los apoyos Diagrama de cargas. La figura 1-4b indica el diagrama de cargas para esta viga. Se traza una lĂ­nea imaginaria que pase por la articulaciĂłn đ??ľ, de tal forma que la viga quede dividida en dos partes. Luego, en ambos segmentos deben determinarse las fuerzas resultantes de las cargas distribuidas y el punto donde se aplican. Para una mayor facilidad en los cĂĄlculos, conviene subdividir las cargas trapezoidales distribuidas extendidas en đ??´ − đ??ľ y đ??ˇ − đ??ľ, en cargas mĂĄs simples como lo son las triangulares y las rectangulares. Observe que es forzoso conocer el valor del punto de intensidad de carga đ?‘¤1; para ello, se hace uso de la trigonometrĂ­a, tal y como se observa en la figura 1-4c. 35

CAPÍTULO 1

ANÁLISIS DE VIGAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

𝑆𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑜

𝑤1 =

2𝑇/𝑚

𝑆𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜

4𝑇/𝑚

16 𝑇/𝑚 5

④ ⑥

②

③

① 𝐴

⑤ 𝐷

𝐶

𝐵 3𝑚

2𝑇/𝑚

2𝑚

3𝑚

(b)

4𝑇/𝑚 𝑤1 2𝑇/𝑚

2𝑇/𝑚

ℎ

2𝑇/𝑚

𝐴

𝑤1

= ℎ + 2𝑇/𝑚

𝐶

𝐵 3𝑚 5𝑚

(c)

De la última figura, por triángulos semejantes, se tiene 2 𝑇⁄𝑚 ℎ 6 = ⇒ ℎ = 𝑇⁄𝑚 5𝑚 3𝑚 5 En consecuencia, 6 16 𝑇 ⁄ 𝑤1 = 2 𝑇⁄𝑚 + 𝑇⁄𝑚 = 5 5 𝑚 Se calculan las áreas bajo los rectángulos y los triángulos, según sea el caso, y el centroide de cada área. 𝐴1 = (3𝑚)(2𝑇/𝑚) = 6𝑇

𝐴2 =

𝑥̅1 =

16 𝑇 ⁄ − 2𝑇/𝑚) 9 5 𝑚 = 𝑇 2 5

(3𝑚) (

36

1 (3𝑚) = 1.5𝑚 2 𝑥̅2 =

1 (3𝑚) = 1𝑚 3

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

đ??´3 = (2đ?‘š) (

đ??´4 =

16 � 32 ⠄�) = � 5 5

(2đ?‘š) (4 đ?‘‡â „đ?‘š − 2

1 đ?‘ĽĚ…3 = (2đ?‘š) = 1đ?‘š 2

16 � ⠄ ) 5 � = 4� 5

đ?‘ĽĚ…4 =

2 4 (2đ?‘š) = đ?‘š 3 3

1 đ?‘ĽĚ… 5 = (3đ?‘š) = 1.5đ?‘š 2

đ??´5 = (3đ?‘š)(2đ?‘‡/đ?‘š) = 6đ?‘‡ (3đ?‘š)(4 đ?‘‡â „đ?‘š − 2 đ?‘‡â „đ?‘š) đ??´6 = = 3đ?‘‡ 2

đ?‘ĽĚ…6 =

1 (3đ?‘š) = 1đ?‘š 3

Como es difĂ­cil establecer por inspecciĂłn el sentido adecuado de cada reacciĂłn, todos se suponen de forma arbitraria. Finalmente, el diagrama de cargas, figura 1-4d, es

đ?‘†đ?‘’đ?‘”đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘–đ?‘§đ?‘žđ?‘˘đ?‘–đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘œ đ??´2 = đ??´1 = 6đ?‘‡

9

5

�

�1 =

đ??´3 =

32

5

đ??´4 =

4 5

đ?‘†đ?‘’đ?‘”đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘?â„Žđ?‘œ đ?‘‡ đ??´6 = 3đ?‘‡

� 4�/�

16 �/� 5

đ??´5 = 6đ?‘‡

2đ?‘‡/đ?‘š đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 0

đ??´ đ?‘€đ??´ đ?‘…đ??´đ?‘Œ

2đ?‘‡/đ?‘š đ??ľ đ?‘ĽĚ…1 = 1.5đ?‘š đ?‘Ľ4 = (4/3)đ?‘š đ??ś đ?‘Ľ5 = 1.5đ?‘š 3đ?‘š

2đ?‘š đ?‘Ľ2 = 1đ?‘š đ?‘Ľ3 = 1đ?‘š

đ?‘…đ??ˇđ?‘‹ = 0 đ??ˇ

3đ?‘š đ?‘Ľ6 = 1đ?‘š

đ?‘…đ??ˇđ?‘Œ

(d)

Ecuaciones de equilibrio. Recuerde que si al aplicar las ecuaciones de la estĂĄtica, la magnitud de una fuerza o momento desconocido resulta negativo(a), tal sentido supuesto debe invertirse. En primer lugar se calcula el valor de đ?‘…đ??ˇđ?‘Œ con base en la ecuaciĂłn de condiciĂłn. Para ello, se establece que la suma de momentos respecto de la rĂłtula đ??ľ para el segmento derecho es igual a cero; de ese modo, la Ăşnica incĂłgnita es la reacciĂłn đ?‘…đ??ˇđ?‘Œ . Aunque la suma de momentos alrededor de đ??ľ para la porciĂłn izquierda tambiĂŠn debe ser nula, por ahora no es conveniente usar tal planteamiento, ya que de hacerlo aparecerĂĄn dos incĂłgnitas de reacciĂłn, đ?‘€đ??´ y đ?‘…đ??´đ?‘Œ . AquĂ­, hemos considerado 37

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

que los momentos horarios sean positivos, pero igual se pudo haber considerado una convenciĂłn en la que los momentos antihorarios fueran los positivos. Entonces, + ∑ đ?‘€đ??ľ đ?‘‘đ?‘’đ?‘&#x; = 0 ⇒ (

32 4 4 ) (1) + ( ) ( ) + (3)(2 + 1) + (6)(2 + 1.5) − đ?‘…đ??ˇđ?‘Œ (5) = 0 5 5 3 ∴ đ?‘…đ??ˇđ?‘Œ = 7.4933đ?‘‡

Una vez que se ha calculado đ?‘…đ??ˇđ?‘Œ , podemos aplicar en toda la viga la ecuaciĂłn que enuncia que la suma de fuerzas verticales es nula, y asĂ­ determinar directamente đ?‘…đ??´đ?‘Œ . En consecuencia, +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ −đ?‘…đ??´đ?‘Œ + 6 +

9 32 4 + + + 3 + 6 − 7.4933 = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 16.5067đ?‘‡ 5 5 5

La reacciĂłn desconocida faltante đ?‘€đ??´ se puede obtener si para toda la viga igualamos a cero la suma de momentos respecto de đ??´ o đ??ˇ, puntos que corresponden a la ubicaciĂłn del empotramiento y del apoyo articulado respectivamente; sin embargo, una forma mĂĄs sencilla de conocer el valor de đ?‘€đ??´ radica en tomar momentos alrededor de đ??ľ para el segmento izquierdo empleando el resultado de đ?‘…đ??´đ?‘Œ previamente obtenido. Por consiguiente, 9 + ∑ đ?‘€đ??ľ đ?‘–đ?‘§đ?‘ž = 0 ⇒ −đ?‘€đ??´ + (16.5067)(3) − 6(1.5) − ( ) (1) = 0 ⇒∴ đ?‘€đ??´ = 38.7201đ?‘‡. đ?‘š 5

Por otra parte, existe una forma alterna para calcular todas reacciones en los soportes, consistente en un proceso que engloba el cĂĄlculo de las reacciones en la articulaciĂłn. Se opta por explicar tal proceso mĂĄs adelante, cuando se resuelve un marco triarticulado. Funciones de fuerza cortante, de fuerza normal y de momento Se muestran los resultados en la figura 1-4e.

đ??´2 = đ??´1 = 6đ?‘‡

9 5

�

�1 =

đ??´3 =

32 5

đ??´4 =

4 5

đ?‘‡ đ??´6 = 3đ?‘‡

� 4�/�

16 �/� 5

đ??´5 = 6đ?‘‡

2đ?‘‡/đ?‘š đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 0

đ?‘€đ??´ = 38.7201đ?‘‡. đ?‘š đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 16.5067đ?‘‡

đ??´

2�/�

đ?‘Ľ1

đ??ľ đ?‘ĽĚ…1 = 1.5đ?‘š đ?‘Ľ4 = (4/3)đ?‘š đ??ś đ?‘Ľ5 = 1.5đ?‘š 3đ?‘š

2đ?‘š đ?‘Ľ2 = 1đ?‘š đ?‘Ľ3 = 1đ?‘š

(e) 38

đ?‘…đ??ˇđ?‘‹ = 0 đ?‘Ľ2

đ??ˇ

3đ?‘š đ?‘Ľ6 = 1đ?‘š

đ?‘…đ??ˇđ?‘Œ = 7.4933đ?‘‡

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Es evidente que al no haber cargas horizontales en la estructura, la fuerza normal đ?‘ đ?‘– (axial) serĂĄ igual a cero a lo largo de toda la viga. Es importante recalcar que las ecuaciones de las acciones internas no presentan discontinuidad alguna en el punto donde se localiza una articulaciĂłn. En cambio, las funciones de la fuerza cortante đ?‘‰đ?‘– y del momento flector đ?‘€đ?‘– son discontinuas en el punto đ??ś; la razĂłn es obvia, pues ahĂ­ la carga distribuida con variaciĂłn lineal sufre un cambio de pendiente. Por lo tanto, pueden distinguirse dos regiones distintas en la viga, una que va desde đ??´ hasta đ??ś y otra que va de đ??ˇ a đ??ś. Esto conlleva a que dos cortes perpendiculares al eje de la viga sean necesarios de efectuar, uno en cada tramo citado, dado que las funciones de las acciones internas no son iguales entre los segmentos đ??´ − đ??ś y đ??ˇ − đ??ś. Una sola coordenada đ?‘Ľ capaz de cubrir toda la longitud de la viga puede ser establecida; su origen bien puede asociarse en đ??´ o đ??ˇ. Sin embargo, los cĂĄlculos se simplificarĂĄn bastante si se elige una coordenada đ?‘Ľ diferente para cada regiĂłn. Entonces, se emplean las coordenadas đ?‘Ľ1 y đ?‘Ľ2 , cuyos orĂ­genes se definen en đ??´ y đ??ˇ, y que abarcan las regiones đ??´ − đ??ľ y đ??ˇ − đ??ľ, de forma respectiva. El origen de ambas coordenadas bien puede ser establecido en el punto đ??ś, pero esto elevarĂ­a el grado de dificultad de las deducciones. A continuaciĂłn se aplica el mĂŠtodo de secciones Corte en la regiĂłn đ??´ − đ??ś. Se secciona la viga en un punto arbitrario (intermedio en el segmento đ??´ − đ??ś) a una distancia đ?‘Ľ1 del punto đ??´, sin importar que esta sea mayor o menor a la distancia que hay entre đ??´ y la articulaciĂłn đ??ľ. En la figura 1-4f se proporciona un diagrama de cuerpo libre del segmento de viga con longitud đ?‘Ľ1 .

đ??´đ??źđ??ź =

1

2

2

1

5

5

(�1 ) ( �1 ) = �1 2 2 �2 = 2 + �1 5

đ??´đ??ź = 2đ?‘Ľ1 2đ?‘‡/đ?‘š

(2/5)đ?‘Ľ1

đ??źđ??ź đ??ź

đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 0

2�/�

đ??´

đ?‘ĽĚ…đ??ź = đ?‘Ľ1 /2

đ?‘€đ??´ = 38.7201đ?‘‡. đ?‘š

đ?‘€1

đ?‘Ľ1

đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 16.5067đ?‘‡

đ?‘ĽĚ…đ??źđ??ź = đ?‘Ľ1 /3 đ?‘‰1

(f)

39

đ?‘ 1

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

El valor de la intensidad de carga đ?‘¤2 en funciĂłn de đ?‘Ľ1 se determina de forma anĂĄloga a como se hizo con đ?‘¤1. 2 đ?‘‡â „đ?‘š 2 đ?‘‡ â „ (đ?‘Ľ1 )) = 2 + đ?‘Ľ1 đ?‘¤2 = 2 đ?‘š + ( 5đ?‘š 5 La carga trapezoidal seccionada se sustituye por una distribuciĂłn rectangular y una triangular. En el diagrama se indican la fuerza resultante de cada carga distribuida y el brazo de palanca que les corresponde. El equilibrio estĂĄtico del cuerpo libre es đ?‘Ľ1 1 đ?‘Ľ1 + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ −38.7201 + 16.5067(đ?‘Ľ1 ) − 2đ?‘Ľ1 ( ) − ( đ?‘Ľ1 2 ) ( ) − đ?‘€1 = 0 2 5 3

1 3 đ?‘Ľ 15 1

đ?‘€1 = −38.7201 + 16.5067đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ1 2 −

1 +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ 16.5067 − 2đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ1 2 − đ?‘‰1 = 0 5 1 đ?‘‰1 = 16.5067 − 2đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ1 2 5

+→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘ 1 = 0 Corte en la regiĂłn đ??ˇ − đ??ś. A continuaciĂłn, en la figura 1-4g se muestra un diagrama de cuerpo libre de la porciĂłn derecha de la viga que surge al seccionarla en un sitio intermedio al tramo đ??ˇ − đ??ś. Para definir el momento y el cortante en esta regiĂłn se sigue el procedimiento acostumbrado.

�3 = 2 +

2 5

đ??´đ??źđ??źÂ´ =

đ?‘Ľ1

1

2

2

1

3

3

(đ?‘Ľ2 ) ( đ?‘Ľ2 ) = đ?‘Ľ2 2 đ??´đ??źÂ´ = 2đ?‘Ľ2

2 đ?‘Ľ 3 2

đ??źđ??źÂ´

2đ?‘‡/đ?‘š đ??źÂ´

2đ?‘‡/đ?‘š đ?‘ 2 đ?‘€2

đ?‘Ľđ??źÂ´ = đ?‘Ľ2 /2

đ?‘…đ??ˇđ?‘‹ = 0 đ??ˇ

đ?‘Ľ2

�2

đ?‘…đ??ˇđ?‘Œ = 7.4933đ?‘‡ đ?‘Ľđ??źđ??źÂ´ = đ?‘Ľ2 /3

(g)

40

CAPÍTULO 1

ANÁLISIS DE VIGAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

El valor de la intensidad de carga 𝑤3 en función de 𝑥2 se obtiene de 2 𝑇⁄𝑚 2 (𝑥2 )) = 2 + 𝑥2 𝑤3 = 2 𝑇⁄𝑚 + ( 3𝑚 3 Por lo tanto, 𝑥2 1 𝑥2 + ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 ⇒ −7.4933(𝑥2 ) + 2𝑥2 ( ) + ( 𝑥2 2 ) ( ) + 𝑀2 = 0 2 3 3

1 𝑀2 = 7.4933𝑥2 − 𝑥2 2 − 𝑥2 3 9 1 1 +↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒ 7.4933 − 2𝑥2 − 𝑥2 2 + 𝑉2 = 0 ⇒ 𝑉2 = −7.4933 + 2𝑥2 + 𝑥2 2 3 3

+→ ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒ 𝑁2 = 0

41

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Ejercicio 1.5 Determine las reacciones en los soportes y las funciones de los elementos mecĂĄnicos de la viga gerber que se muestra en la figura 1-5a, en la que se tienen articulaciones en đ??ľ y đ??ˇ.

(a) Figura 1-5

SOLUCIĂ“N VerificaciĂłn del grado de indeterminaciĂłn Si en el apoyo articulado đ??´ se generan dos fuerzas reactivas (una horizontal y una vertical) y en cada uno de los rodillos đ??ś, đ??¸ y đ??š ocurre una reacciĂłn vertical, entonces se tienen cinco incĂłgnitas de reacciĂłn. Las ecuaciones de la estĂĄtica en el plano son tres. El problema se reduce de entrada si consideramos que la reacciĂłn horizontal es nula, lo cual es evidente, ya que la suma de fuerzas horizontales es igual a cero y la viga no estĂĄ sometida a alguna carga en tal direcciĂłn. De ese modo, ahora hay đ?‘&#x; = 4 incĂłgnitas de reacciĂłn (đ?‘…đ??śđ?‘Œ , đ?‘…đ??¸đ?‘Œ , đ?‘…đ??šđ?‘Œ ), đ?‘› = 2 ecuaciones de equilibrio ( ∑ đ??šđ?‘Œ = 0, ∑ đ?‘€ = 0) y đ?‘? = 2 ecuaciones de condiciĂłn, debido a que no existe momento flector en las rĂłtulas đ??ľ y đ??ˇ. Al satisfacerse đ?‘› + đ?‘? = đ?‘&#x;, puesto que 2 + 2 = 4, se concluye que la viga es estĂĄticamente determinada. CĂĄlculo de las reacciones en los apoyos Recuerde que la suma de los momentos respecto del punto de ubicaciĂłn de una rĂłtula, de las fuerzas situadas ya sea a la izquierda o a la derecha de la secciĂłn, es igual a cero. El valor de đ?‘…đ??´đ?‘Œ se obtiene de hacer nula la sumatoria de momentos alrededor de đ??ľ para el segmento izquierdo. 15 + ∑ đ?‘€đ??ľ đ?‘–đ?‘§đ?‘ž = 0 ⇒ −đ?‘…đ??´đ?‘Œ (15) + 5(15) ( ) = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 37.5 đ?‘˜đ?‘ 2

42

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Si se calcula el momento flexionante en la secciĂłn đ??ˇ como la suma de los momentos de las fuerzas situadas a la izquierda de la secciĂłn, se iguala a cero dicho momento, y se emplea el resultado de đ?‘…đ??´đ?‘Œ calculado previamente, se infiere directamente đ?‘…đ??śđ?‘Œ . 45 + ∑ đ?‘€đ??ˇ đ?‘–đ?‘§đ?‘ž = 0 ⇒ −37.5(45) − đ?‘…đ??śđ?‘Œ (15) + 5(45) ( ) = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??śđ?‘Œ = 225 đ?‘˜đ?‘ 2

Ahora observe como no hay otra opciĂłn mĂĄs que resolver un sistema simultĂĄneo de ecuaciones para calcular las reacciones restantes. No importa respecto de que soporte se tomen momentos, siempre se llegarĂĄ a una ecuaciĂłn con dos incĂłgnitas: đ?‘…đ??¸đ?‘Œ y đ?‘…đ??šđ?‘Œ . Lo mismo ocurre al tomar la suma de momentos alrededor de la articulaciĂłn đ??ˇ para la parte derecha o al plantear que la sumatoria de las fuerzas verticales para la viga completa es cero. Entonces, se utilizan las Ăşltimas dos opciones por ser las menos laboriosas. + ∑ đ?‘€đ??ˇ đ?‘‘đ?‘’đ?‘&#x; = 0 ⇒ đ?‘…đ??¸đ?‘Œ (15) + đ?‘…đ??šđ?‘Œ (30) − 5(40)(20) = 0

3đ?‘…đ??¸đ?‘Œ + 6đ?‘…đ??šđ?‘Œ − 800 = 0 − − − (1) +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 37.5 + 225 + đ?‘…đ??¸đ?‘Œ + đ?‘…đ??šđ?‘Œ − 5(85) = 0

đ?‘…đ??¸đ?‘Œ + đ?‘…đ??šđ?‘Œ − 162.5 = 0 − − − (2) Al resolver el sistema de ecuaciones (1) y (2) resulta đ?‘…đ??¸đ?‘Œ = 58.33 ⇒∴ đ?‘…đ??¸đ?‘Œ = 58.33đ?‘˜đ?‘

đ?‘…đ??šđ?‘Œ = 104.17 ⇒∴ đ?‘…đ??šđ?‘Œ = 104.17đ?‘˜đ?‘

Funciones de fuerza cortante, de fuerza normal y de momento En la figura 1-5b se muestran los resultados obtenidos.

(b) 43

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Las funciones de momento flector y de fuerza cortante son discontinuas en los puntos đ??ś, đ??¸ y đ??š, ya que en ellos se encuentran aplicadas de forma respectiva las fuerzas concentradas đ?‘…đ??śđ?‘Œ , đ?‘…đ??¸đ?‘Œ y đ?‘…đ??šđ?‘Œ . La viga debe cortarse perpendicularmente a su eje en secciones arbitrarias localizadas en las regiones đ??´ − đ??ś, đ??ś − đ??¸, đ??¸ − đ??š y đ??ş − đ??š para poder definir las acciones internas a lo largo de ella. Se opta por emplear dos coordenadas đ?‘Ľ; đ?‘Ľ1 y đ?‘Ľ2 con orĂ­genes establecidos en đ??´ y đ??ş, cubren las regiones đ??´ − đ??š y đ??ş − đ??š, respectivamente. AsĂ­, al aplicar el mĂŠtodo de las secciones, con base en las figuras 1-5c, 1-5d, 1-5e y 1-5f, se tiene 0 ≤ đ?‘Ľ1 ≤ 30đ?‘š đ?‘Ľ1 )=0 2

+ ∑ đ?‘€ đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ −đ?‘€1 + 37.5(đ?‘Ľ1 ) − 5(đ?‘Ľ1 ) (

5(đ?‘Ľ1 )2 đ?‘€1 = 37.5đ?‘Ľ1 − 2 đ?‘‰1 =

đ?‘‘đ?‘€1 = 37.5 − 5đ?‘Ľ1 đ?‘‘đ?‘Ľ1

+→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘ 1 = 0

(c) 30� ≤ �1 ≤ 60�

(d)

đ?‘Ľ1 )=0 2

+ ∑ đ?‘€ đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ −đ?‘€2 + 37.5(đ?‘Ľ1 ) + 225(đ?‘Ľ1 − 30) − 5(đ?‘Ľ1 ) (

44

CAPÍTULO 1

ANÁLISIS DE VIGAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

𝑀2 = − 𝑉2 =

5𝑥1 2 + 262.5𝑥1 − 6750 2

𝑑𝑀2 = −5𝑥1 + 262.5 𝑑𝑥1

+→ ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒ 𝑁2 = 0

60𝑚 ≤ 𝑥1 ≤ 75𝑚 𝑥1 )=0 2

+ ∑ 𝑀 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 ⇒ −𝑀3 + 37.5(𝑥1 ) + 225(𝑥1 − 30) + 58.33(𝑥1 − 60) − 5(𝑥1 ) (

𝑀3 = − 𝑉3 =

5𝑥1 2 + 320.833𝑥1 − 10250 2

𝑑𝑀3 = −5𝑥1 + 320.833 𝑑𝑥1

+→ ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒ 𝑁3 = 0

(e)

0 ≤ 𝑥2 ≤ 10𝑚

+ ∑ 𝑀 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 ⇒ 𝑀4 + 5(𝑥2 ) (

𝑉4 = −

𝑑𝑀4 = 5𝑥2 𝑑𝑥2

(f)

45

𝑥2 5𝑥2 2 ) = 0 ⇒ 𝑀4 = − 2 2

+→ ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒ 𝑁4 = 0

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Ejercicio 1.6 Determine las reacciones en los soportes y las funciones del momento flexionante y de la fuerza cortante de la viga mostrada en la figura 1-6a, la cual soporta un momento de par distribuido cuya intensidad varĂ­a linealmente đ?‘‡.đ?‘š đ?‘‡.đ?‘š desde 10 đ?‘š en đ??´ hasta 1 đ?‘š en đ??ľ.

10

�. � � 1

đ?‘‡. đ?‘š đ?‘š đ??ľ

đ??´ 5đ?‘š

(a) Figura 1-6

SOLUCIĂ“N CĂĄlculo de las reacciones en los apoyos Diagrama de cargas. Por inspecciĂłn, la viga es isostĂĄtica. Con el fin de calcular las reacciones en los soportes, la carga de par distribuida se reemplaza por un momento resultante igual al ĂĄrea del trapecio y cuyo punto de aplicaciĂłn puede estar en cualquier parte de la estructura. La fuerza reactiva horizontal en đ??´ se ha omitido por tener un valor nulo debido a que la viga no estĂĄ sometida a cargas en đ?‘‹. El diagrama de cargas de la viga es mostrado en la figura 1-6b.

10

�. � � 1

đ??ľ

đ??´ đ?‘€đ?‘… = đ?‘…đ??´đ?‘Œ

�. � �

55 �. � 2 5�

�. � �. � (10 � ) + (1 � ) 55 �� = [ ] (5�) = �. � 2 2

đ?‘…đ??ľđ?‘Œ

(b)

46

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Ecuaciones de equilibrio. Al aplicar las ecuaciones de la estĂĄtica en el diagrama de cargas resulta + ∑ đ?‘€đ??´ = 0 ⇒

55 11 − đ?‘…đ??ľđ?‘Œ (5) = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??ľđ?‘Œ = đ?‘‡ 2 2

+↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ −đ?‘…đ??´đ?‘Œ +

11 2

= 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Œ =

11 2

Funciones de fuerza cortante, de fuerza normal y de momento En la figura 1-6c se observan esquemĂĄticamente los resultados.

10

đ?‘‡. đ?‘š đ?‘š 1 đ??´

đ?‘…đ??´đ?‘Œ =

11 2

đ?‘‡. đ?‘š đ?‘š đ??ľ

� �� =

�

55 �. � 2 5�

đ?‘…đ??ľđ?‘Œ =

11 � 2

(c)

Debido a que no hay discontinuidad en la carga de par distribuida, sĂłlo se toma en cuenta una sola regiĂłn de đ?‘Ľ para describir las funciones de las acciones internas para toda la viga; entonces, la coordenada đ?‘Ľ con origen en đ??´ cubre toda la longitud de la estructura y es positiva hacia la derecha. La fuerza axial es insignificante. Al seccionar la viga en un sitio arbitrario en el tramo đ??´ − đ??ľ, se tiene el diagrama de cargas mostrado en la figura 1-6d.

10

đ?‘‡. đ?‘š đ?‘š 9 đ?‘€´ = 1 + (5 − đ?‘Ľ) 5

đ?‘€

đ??´

đ?‘…đ??´đ?‘Œ =

11 2

đ?‘€đ?‘…đ??ś đ?‘‡

9 2 = 10đ?‘Ľ − đ?‘Ľ 10 đ?‘Ľ

(d) 47

�

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Con base en la figura 1-6e, se determina la intensidad de momento đ?‘€´ en funciĂłn de đ?‘Ľ empleando conceptos bĂĄsicos de trigonometrĂ­a.

10 �. � � �. � 1 �

�. � �

9

đ?‘€´ â„Ž

1

đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’

đ??´

đ??ľ

�. � �

5đ?‘š − đ?‘Ľ

đ?‘Ľ 5đ?‘š

(e) đ?‘‡. đ?‘š 9 đ?‘š â„Ž 9 = ⇒ â„Ž = (5 − đ?‘Ľ) 5đ?‘š 5đ?‘š − đ?‘Ľ 5

9 đ?‘€´ = 1 + (5 − đ?‘Ľ) 5

Luego, el momento resultante, que puede aplicarse en cualquier punto de la viga, es igual a la siguiente ĂĄrea trapezoidal đ?‘€đ?‘…đ??ś

9 10 + [1 + (5 − đ?‘Ľ)] đ?‘Ľ(50 − 9đ?‘Ľ) 9 5 (đ?‘Ľ) = [ = ] + 5đ?‘Ľ = 10đ?‘Ľ − đ?‘Ľ 2 2 10 10

De aplicar las ecuaciones de equilibrio en el diagrama de cuerpo libre de la secciĂłn cortada resulta + ∑ đ?‘€ đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ −đ?‘€ −

11 9 2 11 9 (đ?‘Ľ) + (10đ?‘Ľ − đ?‘Ľ ) = 0 ⇒ đ?‘€ = − đ?‘Ľ + (10đ?‘Ľ − đ?‘Ľ2 ) 2 10 2 10

+↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = −

11 2

−đ?‘‰=0⇒đ?‘‰=−

11 2

Es importante aclarar que el momento en los soportes đ??´ y đ??ľ no debe ser 10 đ?‘‡. đ?‘š y 1 đ?‘‡. đ?‘š, respectivamente, y que mĂĄs bien es nulo en ambos puntos. Por otra parte, si se desea obtener el valor del cortante como la derivada del momento, la parte que estĂĄ entre parĂŠntesis en la funciĂłn de đ?‘€ debe ser considerada como constante, ya que al final de cuentas, se trata de una resultante de momento.

48

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

1.2 DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y DE MOMENTO. TRABAJO VIRTUAL. PENDIENTE Y CURVA ELĂ STICA CON EL MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIĂ“N Ejercicios 1.7-1.12 Para las vigas de las figuras 1-7a, 1-8a, 1-9a, 1-10a, 1-11a, 1-12a, calcular las reacciones en los soportes y dibujar los diagramas de momento, cortante, giro y flecha; tambiĂŠn determine los valores del momento mĂĄximo y de la flecha mĂĄxima. Suponga que đ??¸ e đ??ź son constantes. Ejercicio 1.7

(a) Figura 1-7 SOLUCIĂ“N CĂĄlculo de las reacciones en los apoyos Diagrama de cargas. Las reacciones en los apoyos han sido identificadas y el sentido de cada una de ellas se ha supuesto arbitrariamente por desconocerse; por otra parte, se ha determinado la carga concentrada equivalente đ??´ para la carga distribuida de intensidad con variaciĂłn lineal y su punto de aplicaciĂłn đ?‘ĽĚ… . La figura 1-7b indica el diagrama de cargas de la estructura. Ecuaciones de equilibrio. Se aplican al diagrama de cargas para obtener las fuerzas reactivas en los soportes; la convenciĂłn de signos a utilizar es indistinta. đ?‘¤đ??ż 2 đ?‘¤đ??ż2 đ?‘¤đ??ż + ∑ đ?‘€đ??´ = 0 ⇒ ( ) ( đ??ż) − (đ?‘…đ??ľđ?‘Œ )(đ??ż) = 0 ⇒ đ?‘…đ??ľđ?‘Œ = ⇒∴ đ?‘…đ??ľđ?‘Œ = 2 3 3đ??ż 3 +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??ľđ?‘‹ = 0 +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Œ −

đ?‘¤đ??ż đ?‘¤đ??ż đ?‘¤đ??ż + = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 2 3 6

49

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

(b) Funciones de fuerza cortante y de momento En la figura 1-7c se visualizan los valores de las reacciones en los soportes con sus correspondientes sentidos adecuados; se especifica la coordenada đ?‘Ľ a utilizar cuyo origen asociado estĂĄ en đ??´. El momento y el cortante deben estar en funciĂłn de đ?‘Ľ y como no hay discontinuidad de carga a lo largo de la estructura, sĂłlo se efectuarĂĄ un corte perpendicular al eje de la viga.

(c) Un diagrama de cuerpo libre del segmento de viga con longitud đ?‘Ľ es proporcionado en la figura 1-7d. Note que la intensidad de la carga triangular se encuentra en đ?‘¤ đ?‘ž đ?‘¤ proporciĂłn, es decir, đ??ż = đ?‘Ľ ⇒ đ?‘ž = đ??ż đ?‘Ľ. Se indica la fuerza resultante de la carga triangular del corte y su punto de aplicaciĂłn; đ?‘‰ y đ?‘€ aparecen actuando en sus direcciones positivas de acuerdo a la convenciĂłn de signos usualmente adoptada y sus funciones se deducen al hacer uso de las ecuaciones de equilibrio cuya convenciĂłn de signos si puede ser cualquiera. 50

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

0≤đ?‘Ľâ‰¤đ??ż

(d) đ?‘¤ (đ?‘Ľ) ( đ?‘Ľ) đ?‘Ľ đ?‘¤đ??ż đ??ż + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ −đ?‘€ + ( ) đ?‘Ľ − ( )=0 6 2 3 đ?‘€=

đ?‘¤đ??ż đ?‘¤ đ?‘Ľ − đ?‘Ľ3 6 6đ??ż

đ?‘¤ đ?‘¤đ??ż (đ?‘Ľ) ( đ??ż đ?‘Ľ) +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ − −đ?‘‰ =0 6 2 đ?‘‰=

đ?‘¤đ??ż đ?‘¤ 2 − đ?‘Ľ 6 2đ??ż

đ?‘œ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘šđ?‘?đ?‘–ĂŠđ?‘› đ?‘‰ =

đ?‘‘đ?‘€ đ?‘¤đ??ż đ?‘¤ đ?‘¤đ??ż đ?‘¤ 2 = − (3đ?‘Ľ 2 ) = − đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ 6 6đ??ż 6 2đ??ż

CĂĄlculo del momento mĂĄximo El momento mĂĄximo estĂĄ posicionado en un punto donde đ?‘‰ = đ?‘‘đ?‘€/đ?‘‘đ?‘Ľ = 0; realizando la sustituciĂłn correspondiente y resolviendo la ecuaciĂłn se tiene đ?‘¤đ??ż − 6 đ?‘¤đ??ż đ?‘¤ 2 2đ?‘¤đ??ż2 đ??ż2 đ??ż 2 0= − đ?‘Ľ ⇒đ?‘Ľ = đ?‘¤ = = ⇒∴ đ?‘Ľđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ = 6 2đ??ż 6đ?‘¤ 3 √3 − 2đ??ż Al hacer đ?‘Ľđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ = đ?‘Ľ en la ecuaciĂłn de đ?‘€, el momento mĂĄximo resulta ser đ?‘€đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ

đ?‘¤đ??ż đ??ż đ?‘¤ đ??ż 3 đ?‘¤đ??ż2 đ?‘¤đ??ż2 đ?‘¤đ??ż2 √3 2 = ( )− ( ) = − = đ?‘¤đ??ż ⇒∴ đ?‘€đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ = 6 √3 6đ??ż √3 6√3 6(√3)3 27 9√3

51

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Ecuaciones de la pendiente y la deflexiĂłn usando el mĂŠtodo de la integraciĂłn directa o doble Al aplicar la ecuaciĂłn diferencial đ?‘‘2 đ?‘Ś đ??¸đ??ź 2 = đ?‘€ đ?‘‘đ?‘Ľ e integrarla dos veces, se obtiene đ??¸đ??ź đ??¸đ??ź

đ?‘‘ 2 đ?‘Ś đ?‘¤đ??ż đ?‘¤ đ?‘‘(đ?‘‘đ?‘Ś) đ?‘¤đ??ż đ?‘¤ = đ?‘Ľ − đ?‘Ľ 3 ⇒ đ??¸đ??ź âˆŤ = âˆŤ ( đ?‘Ľ − đ?‘Ľ 3 ) đ?‘‘đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘Ľ 6 6đ??ż đ?‘‘đ?‘Ľ 6 6đ??ż

đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘¤đ??ż 2 đ?‘¤ 4 đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘¤đ??ż 2 đ?‘¤ 4 = đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ??ś1 ; si = đ?œƒ, đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œđ?‘›đ?‘?đ?‘’đ?‘ đ??¸đ??źđ?œƒ = đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ??ś1 − −→ â‘ đ?‘‘đ?‘Ľ 12 24đ??ż đ?‘‘đ?‘Ľ 12 24đ??ż

đ?‘¤đ??ż đ?‘¤ 4 đ?‘¤đ??ż 3 đ?‘¤ đ??¸đ??ź âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ ( đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ľ + đ??ś1 ) đ?‘‘đ?‘Ľ ⇒ đ??¸đ??źđ?‘Ś = đ?‘Ľ − đ?‘Ľ 5 + đ??ś1 đ?‘Ľ + đ??ś2 − −→ â‘Ą 12 24đ??ż 36 120đ??ż

En las expresiones que definen las curvas de pendiente y de deflexiĂłn hay dos constantes de integraciĂłn; por tanto, deben definirse dos condiciones que permitan evaluar dichas constantes. Para ĂŠsta viga simplemente apoyada, las condiciones de frontera son: 1) đ?‘Ś = 0 đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ = 0 y 2) đ?‘Ś = 0 đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ = đ??ż, ya que el apoyo simple (rodillo) y el apoyo articulado (pasador) no permiten la deflexiĂłn (flechamiento) de la viga en sus correspondientes puntos de ubicaciĂłn. Sustituyendo la condiciĂłn 1) en la ecuaciĂłn â‘Ą da đ??¸đ??ź(0) =

đ?‘¤đ??ż đ?‘¤ (0)3 − (0)5 + đ??ś1 (0) + đ??ś2 ⇒∴ đ??ś2 = 0 36 120đ??ż

Sustituyendo la condiciĂłn 2) y đ??ś2 = 0 en la misma ecuaciĂłn da đ??¸đ??ź(0) =

đ?‘¤đ??ż đ?‘¤ 7 (đ??ż)3 − (đ??ż)5 + đ??ś1 (đ??ż) + 0 ⇒∴ đ??ś1 = − đ?‘¤đ??ż3 36 120đ??ż 360

En consecuencia, las ecuaciones del giro y de la flecha son, respectivamente 1 đ?‘¤đ??ż 2 đ?‘¤ 4 7đ?‘¤đ??ż3 đ?œƒ= ( đ?‘Ľ − đ?‘Ľ − ) 0≤đ?‘Ľâ‰¤đ??ż đ??¸đ??ź 12 24đ??ż 360 1 đ?‘¤đ??ż 3 đ?‘¤ 7đ?‘¤đ??ż3 5 đ?‘Ś= ( đ?‘Ľ − đ?‘Ľ − đ?‘Ľ) đ??¸đ??ź 36 120đ??ż 360

52

0≤đ?‘Ľâ‰¤đ??ż

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

MĂŠtodo del trabajo virtual unificado con el mĂŠtodo de la integraciĂłn doble En ocasiones, las condiciones conocidas son insuficientes para calcular las constantes de integraciĂłn, asĂ­ que se puede(n) implementar alguna(s) condiciĂłn(es) de frontera si se calcula(n) algĂşn(os) giro(s) y/o flecha(s) preferentemente con el mĂŠtodo del trabajo virtual. Otra buena razĂłn para unificar ĂŠstos mĂŠtodos es que el sistema de ecuaciones podrĂ­a tener una soluciĂłn mĂĄs directa. Aunque para este ejercicio no es necesario, realizaremos este proceso a manera de ejemplificaciĂłn. Se sabe que en đ??´, Ăłsea en đ?‘Ľ = 0, đ?‘Ś = 0, pero en đ?‘Ľ = 0, đ?œƒ = Âż?, asĂ­ que aplicamos el mĂŠtodo trabajo virtual para calcular la rotaciĂłn (pendiente o giro) en đ??´. Momento real đ?‘´. Corresponde a la siguiente funciĂłn que ya ha sido deducida: đ?‘€=

đ?‘¤đ??ż đ?‘¤ đ?‘Ľ − đ?‘Ľ3 6 6đ??ż

0≤đ?‘Ľâ‰¤đ??ż

Momento virtual đ?’Žđ?œ˝ . La pendiente en đ??´ se determina al colocar un momento de par unitario virtual en ese punto, figura 1-7e; el sentido del par se ha propuesto horario (puede ser antihorario). Note que las cargas reales son removidas y que debe usarse la misma coordenada đ?‘Ľ que se empleĂł para đ?‘€. DespuĂŠs de calcular las reacciones en los soportes, se deduce el momento interno đ?‘šđ?œƒ con el mĂŠtodo de las secciones a partir de la figura 1-7f.

(e) Las reacciones en los soportes son resultado de + ∑ đ?‘€đ??´ = 0 ⇒ 1 − (đ??ż)đ?‘…đ??ľđ?‘Œ = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??ľđ?‘Œ = +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ −đ?‘…đ??´đ?‘Œ +

1 đ??ż

1 1 = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Œ = đ??ż đ??ż

En la figura 1-7f se muestra el diagrama de la secciĂłn cortada de la viga virtual; đ?‘šđ?œƒ actĂşa en la misma direcciĂłn que đ?‘€, es decir, en la positiva convencional.

53

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

.0 ≤ đ?‘Ľ ≤ đ??ż

(f) 1 1 + ∑ đ?‘šđ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ − đ?‘šđ?œƒ + 1 − (đ?‘Ľ) = 0 ⇒ đ?‘šđ?œƒ = 1 − đ?‘Ľ đ??ż đ??ż EcuaciĂłn del trabajo virtual. Entonces, la pendiente en đ??´ es resultado de đ??ż2

1 ∙ đ?œƒđ??´ = âˆŤ đ??ż1

1 ∙ đ?œƒđ??´ =

đ?‘€đ?‘šđ?œƒ đ?‘‘đ?‘Ľ đ??¸đ??ź

1 đ??ż đ?‘¤đ??ż đ?‘¤ 1 1 đ??ż đ?‘¤đ??ż đ?‘¤ đ?‘¤ đ?‘¤ âˆŤ ( đ?‘Ľ − đ?‘Ľ 3 ) (1 − đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ ( đ?‘Ľ − đ?‘Ľ 3 − đ?‘Ľ 2 + 2 đ?‘Ľ 4 ) đ?‘‘đ?‘Ľ đ??¸đ??ź 0 6 6đ??ż đ??ż đ??¸đ??ź 0 6 6đ??ż 6 6đ??ż

1 đ?‘¤đ??ż 2 đ?‘¤ 4 đ?‘¤ 3 đ?‘¤ 5 đ??ż 1 đ?‘¤đ??ż3 đ?‘¤đ??ż3 đ?‘¤đ??ż3 đ?‘¤đ??ż3 đ?œƒđ??´ = [ đ?‘Ľ − đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ ] = ( − − + ) đ??¸đ??ź 12 24đ??ż 18 30đ??ż2 đ??¸đ??ź 12 24 18 30 0 đ?œƒđ??´ =

7đ?‘¤đ??ż3 360đ??¸đ??ź

El signo positivo indica que el sentido de đ?œƒđ??´ es el mismo que el propuesto para el momento de par unitario virtual. 7đ?‘¤đ??ż3 ∴ đ?œƒđ??´ = 360đ??¸đ??ź Recuerde que por la convenciĂłn de signos que se maneja en el mĂŠtodo de doble integraciĂłn, un giro horario serĂĄ negativo. Las condiciones de frontera a emplear para calcular las constantes de integraciĂłn 7đ?‘¤đ??ż3

son: 1) đ?‘Ś = 0 đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ = 0 y 2)đ?œƒ = − 360đ??¸đ??ź đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ = 0. 7đ?‘Šđ??ż3

Sustituyendo đ?‘Ľ = 0, đ?œƒ − 360đ??¸đ??ź en la ecuaciĂłn â‘ tenemos

54

CAPĂ?TULO 1

đ??¸đ??ź (−

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

7đ?‘¤đ??ż3 đ?‘¤đ??ż đ?‘¤ 7đ?‘¤đ??ż3 (0)4 + đ??ś1 ⇒∴ đ??ś1 = − )= (0)2 − 360đ??¸đ??ź 12 24đ??ż 360

Sustituyendo đ?‘Ľ = 0, đ?‘Ś = 0, đ??ś1 = − 0=

7đ?‘¤đ??ż3 360

en la ecuaciĂłn â‘Ą tenemos

đ?‘¤đ??ż đ?‘¤ đ?‘¤đ??ż3 (0)5 − (0) + đ??ś2 ⇒∴ đ??ś2 = 0 (0)3 − 36 120đ??ż 360

ObsĂŠrvese que se llegaron a los mismos resultados. CĂĄlculo de la flecha mĂĄxima Para conocer la ubicaciĂłn del valor mĂĄximo de la flecha hacemos đ?œƒ = 0 y luego resolvemos la ecuaciĂłn de cuarto grado. đ?‘¤đ??ż 2 đ?‘¤ 4 7đ?‘¤đ??ż3 0= đ?‘Ľ − đ?‘Ľ − 12 24đ??ż 360 Al realizar el cambio de variable đ?‘§ = đ?‘Ľ 2 y despuĂŠs simplificar, obtenemos đ?‘¤ 2 đ?‘¤đ??ż 7đ?‘¤đ??ż3 1 2 đ??ż 7đ??ż3 − đ?‘§ + đ?‘§âˆ’ =0⇒− đ?‘§ + đ?‘§âˆ’ =0 24đ??ż 12 360 24đ??ż 12 360 Si aplicamos fĂłrmula general, se tiene đ?‘§= đ?‘Ž=−

−đ?‘? Âą √đ?‘? 2 − 4đ?‘Žđ?‘? 2đ?‘Ž

1 đ??ż 7đ??ż3 ,đ?‘? = ,đ?‘? = − 24đ??ż 12 360

đ??ż đ??ż 2 1 7đ??ż3 − (12) Âą √(12) − 4 (− 24đ??ż) (− 360) đ?‘§=

�1 = (1 +

1 2 (− 24đ??ż)

2√30 2 ) đ??ż = 1.730296743 đ??ż2 15

đ?‘§2 = (1 −

1 Âą √30 2 =( )đ??ż 15

2√30 2 ) đ??ż ≅ 0.2697032566 đ??ż2 15

Retomando el cambio de variable hecho incialmente đ?‘§ = đ?‘Ľ 2 ⇒ đ?‘Ľ = Âąâˆšđ?‘§ las raĂ­ces son đ?‘Ľ1 = √(1 −

2√30 2 2√30 2 ) đ??ż ≅ 0.5193296223 đ??ż; đ?‘Ľ2 = −√(1 − ) đ??ż ≅ −0.5193296223 đ??ż 15 15 55

CAPĂ?TULO 1

đ?‘Ľ3 = √(1 +

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

2√30 2 2√30 2 ) đ??ż ≅ 1.315407443 đ??ż ; đ?‘Ľ4 = −√(1 + ) đ??ż ≅ −1.315407443 đ??ż 15 15

Como la soluciĂłn debe estar dentro del intervalo real de la viga [0, đ??ż], la posiciĂłn de la flecha mĂĄxima es đ?‘Ľđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ = 0.5193296223 đ??ż. Sustituyendo đ?‘Ľđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ = đ?‘Ľ en la ecuaciĂłn de la flecha se determina el valor de la flecha mĂĄxima. đ?‘Śđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ =

1 đ?‘¤đ??ż đ?‘¤ 7đ?‘¤đ??ż3 (0.5193296223đ??ż)5 − (0.5193296223đ??ż)) ( (0.5193296223đ??ż)3 − đ??¸đ??ź 36 120đ??ż 360

đ?‘Śđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ

0.006522184231đ?‘¤đ??ż4 0.006522184231đ?‘¤đ??ż4 =− ⇒∴ đ?‘Śđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ = ↓ đ??¸đ??ź đ??¸đ??ź

Se considerĂł que por la convenciĂłn de signos en el mĂŠtodo de integraciĂłn doble, una deflexiĂłn negativa es hacia abajo. Si se desea conocer el valor de la pendiente en đ??ľ por ejemplo, basta con sustituir đ?‘Ľ = đ??ż en la ecuaciĂłn del giro y despejar đ?œƒđ??ľ . 1 đ?‘¤đ??ż đ?‘¤ 7đ?‘¤đ??ż3 đ?‘¤đ??ż3 đ?‘¤đ??ż3 2 4 đ?œƒđ??ľ = ( (đ??ż) − (đ??ż) − ) ⇒ đ?œƒđ??ľ = ⇒∴ đ?œƒđ??ľ = đ??¸đ??ź 12 24đ??ż 360 45đ??¸đ??ź 45đ??¸đ??ź

Diagramas de fuerza cortante, momento flector, rotaciĂłn y deflexiĂłn (curva elĂĄstica) Una vez que se han determinado las funciones de fuerza cortante, de momento flector, de rotaciĂłn y de deflexiĂłn, estas se evaluan en el intervalo 0 ≤ đ?‘Ľ ≤ đ??ż, tablas 1-1, 1-2, 1-3 y 1-4. Luego, los respectivos diagramas, figuras 1-7g, 1-7h, 1-7i y 1-7kj, se obtienen de graficar los datos dispuestos en forma tabular.

(g)

Tabla 1-1 56

CAPÍTULO 1

ANÁLISIS DE VIGAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

Tabla 1-2

(h)

Tabla 1-3

(i)

Tabla 1-4

(j)

57

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Ejercicio 1.8

(a) Figura 1-8

SOLUCIĂ“N CĂĄlculo de las reacciones en los apoyos Diagrama de cargas. El diagrama de cargas de la viga se muestra en la figura 1-8b.

(b)

Ecuaciones de equilibrio đ?‘ƒđ??ż − 2 đ??ż −đ?‘ƒđ??ż đ?‘ƒ + ∑ đ?‘€đ??´ = 0 ⇒ (đ?‘ƒ) ( ) − đ?‘…đ??śđ?‘Œ (đ??ż) = 0 ⇒ đ?‘…đ??śđ?‘Œ = = ⇒∴ đ?‘…đ??śđ?‘Œ = đ??ż 2 −2đ??ż 2 −1 +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 0 +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Œ − đ?‘ƒ + đ?‘…đ??śđ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Œ = đ?‘ƒ −

đ?‘ƒ đ?‘ƒ ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 2 2

Funciones de fuerza cortante y de momento En la figura 1-8c se especifica la coordenada đ?‘Ľ a utilizar y su origen asociado.

58

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Debido a que las funciones de fuerza cortante y de momento serĂĄn discontinuas en el punto donde estĂĄ aplicada la fuerza đ?‘ƒ, deben efectuarse dos cortes perpendiculares al eje de la viga; note que se tomarĂĄ como origen del sistema coordenado el punto đ??´, por lo que đ?‘Ľ es vĂĄlida para 0 ≤ đ?‘Ľ ≤ đ??ż.

(c)

Corte en el tramo â‘ (đ??´ − đ??ľ). Se secciona la viga a una distancia đ?‘Ľ de đ??´ en un punto arbitrario antes de la carga đ?‘ƒ. En consecuencia, el diagrama de cuerpo libre de la secciĂłn cortada, figura 1-8d, y su equilibrio estĂĄtico son 0≤đ?‘Ľâ‰¤

đ??ż 2 đ?‘ƒ đ?‘ƒ (đ?‘Ľ) ⇒ đ?‘€1 = đ?‘Ľ 2 2 đ?‘‘đ?‘€1 đ?‘ƒ đ?‘‰1 = = đ?‘‘đ?‘Ľ 2

+ ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ −đ?‘€1 +

(d)

Corte en el tramo â‘Ą (đ??ľ − đ??ś). Se secciona la viga en un punto arbitrario (intermedio en el segmento đ??ľ − đ??ś) a una distancia đ?‘Ľ del punto đ??´. El diagrama de cuerpo libre para ĂŠste segmento de viga con longitud đ?‘Ľ, figura 1-8e, y su correspondiente anĂĄlisis son đ??ż ≤đ?‘Ľâ‰¤đ??ż 2 + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ −đ?‘€2 +

đ?‘ƒ đ??ż đ?‘Ľ − đ?‘ƒ (đ?‘Ľ − ) = 0 2 2

đ?‘ƒ đ?‘ƒđ??ż đ?‘€2 = − đ?‘Ľ + 2 2 đ?‘‰2 = (e) 59

đ?‘‘đ?‘€2 đ?‘ƒ =− đ?‘‘đ?‘Ľ 2

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

CĂĄlculo del momento mĂĄximo đ??ż

Por la simetría de la estructura, el momento måximo se posiciona en ���� = 2 y su valor se halla haciendo ���� = � en la ecuación de �1 o �2 . ����1 =

đ?‘ƒ đ??ż đ?‘ƒđ??ż ( )= 2 2 4

đ?‘ƒ đ??ż đ?‘ƒđ??ż đ?‘ƒđ??ż đ?‘€đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ2 = − ( ) + = 2 2 2 4

Ecuaciones de la pendiente y la deflexiĂłn usando el mĂŠtodo de la integraciĂłn directa Al aplicar la ecuaciĂłn diferencial đ??¸đ??ź

đ?‘‘2 đ?‘Ś =đ?‘€ đ?‘‘đ?‘Ľ 2

e integrarla dos veces en cada tramo, se obtiene 0≤đ?‘Ľâ‰¤ đ??¸đ??ź

đ??ż 2

đ?‘‘2đ?‘Ś đ?‘‘2đ?‘Ś đ?‘ƒ đ?‘‘(đ?‘‘đ?‘Ś) đ?‘ƒ đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘ƒđ?‘Ľ 2 = đ?‘€ ⇒ đ??¸đ??ź = đ?‘Ľ ⇒ đ??¸đ??ź âˆŤ = âˆŤ ( đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ ⇒ đ??¸đ??ź = + đ??ś1 1 đ?‘‘đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘Ľ 2 2 đ?‘‘đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘Ľ 4 đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘ƒđ?‘Ľ 2 đ?‘ đ?‘– = đ?œƒ, đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œđ?‘›đ?‘?đ?‘’đ?‘ đ??¸đ??źđ?œƒ1 = + đ??ś1 − −→ â‘ đ?‘‘đ?‘Ľ 4 đ?‘ƒđ?‘Ľ 2 đ?‘ƒđ?‘Ľ 3 đ??¸đ??ź âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ ( + đ??ś1 ) đ?‘‘đ?‘Ľ ⇒ đ??¸đ??źđ?‘Ś1 = + đ??ś1 đ?‘Ľ + đ??ś2 − −→ â‘Ą 4 12 đ??ż ≤đ?‘Ľâ‰¤đ??ż 2 đ??¸đ??ź

đ??¸đ??ź

đ?‘‘2đ?‘Ś đ?‘‘2đ?‘Ś đ?‘ƒ đ?‘ƒđ??ż đ?‘‘(đ?‘‘đ?‘Ś) đ?‘ƒ đ?‘ƒđ??ż = đ?‘€ ⇒ đ??¸đ??ź =− đ?‘Ľ+ ⇒ đ??¸đ??ź âˆŤ = âˆŤ (− đ?‘Ľ + ) đ?‘‘đ?‘Ľ 2 2 2 đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ 2 2 đ?‘‘đ?‘Ľ 2 2

đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘ƒ đ?‘ƒđ??ż đ?‘‘đ?‘Ś = − đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ + đ??ś3 ; đ?‘ đ?‘– = đ?œƒ, đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œđ?‘›đ?‘?đ?‘’đ?‘ đ?‘‘đ?‘Ľ 4 2 đ?‘‘đ?‘Ľ

đ??¸đ??źđ?‘Ś2 = −

đ?‘ƒ đ?‘ƒđ??ż đ??¸đ??źđ?œƒ2 = − đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ + đ??ś3 − −→ ③ 4 2

đ?‘ƒ 3 đ?‘ƒđ??ż 2 đ?‘Ľ + đ?‘Ľ + đ??ś3 đ?‘Ľ + đ??ś4 − −→ â‘Ł 12 4

MĂŠtodo del trabajo virtual unificado con el mĂŠtodo de la integraciĂłn doble En las expresiones que definen las curvas de pendiente y de deflexiĂłn hay cuatro constantes de integraciĂłn; por lo tanto, deben definirse cuatro condiciones, algunas de frontera y otras de continuidad, que nos permitan evaluar dichas constantes. 60

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Para ĂŠsta viga, las condiciones de frontera a considerar son: 1) đ?‘Ś1 = 0 đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ = 0 y 2) đ?œƒ1 =Âż ? đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ = 0, esto debido a que el apoyo simple (rodillo) no permite la deflexiĂłn pero sĂ­ la rotaciĂłn en su punto de ubicaciĂłn. Las condiciones de đ??ż đ??ż continuidad son: 3) đ?œƒ1 = đ?œƒ2 en đ?‘Ľ = 2 y 4) đ?‘Ś1 = đ?‘Ś2 en đ?‘Ľ = 2, ya que se estĂĄ forzando la continuidad de la curva de deflexiĂłn en el extremo comĂşn de los dos segmentos. Para calcular el giro en A (đ?œƒđ??´ ), es decir la rotaciĂłn cuando đ?‘Ľ = 0, a continuaciĂłn se aplica el mĂŠtodo del trabajo virtual Momentos reales đ?‘´. Corresponden a las siguientes funciones que ya han sido deducidas: đ?‘€1 =

đ?‘ƒ đ?‘Ľ 2

0≤�≤

đ?‘ƒ đ?‘ƒđ??ż đ?‘€2 = − đ?‘Ľ + 2 2

đ??ż 2

đ??ż ≤đ?‘Ľâ‰¤đ??ż 2

Momento virtual đ?’Žđ?œ˝ . En la figura 1-8f se observa la estructura con momento virtual unitario aplicado en đ??´. Posteriormente, con base en la figura 1-8g en la que se proporciona un diagrama de cargas de la secciĂłn cortada de la viga virtual, se calcula el momento interno đ?‘šđ?œƒ empleando el mĂŠtodo de las secciones.

(f)

0≤đ?‘Ľâ‰¤đ??ż

(g) 1 1 + ∑ đ?‘šđ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ − đ?‘š1đ?œƒ + 1 − (đ?‘Ľ) = 0 ⇒ đ?‘š1đ?œƒ = 1 − đ?‘Ľ đ??ż đ??ż

61

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

EcuaciĂłn del trabajo virtual. Entonces, la pendiente en đ??´ es resultado de đ??ż2

1 ∙ đ?œƒđ??´ = âˆŤ đ??ż1 đ??żâ „ 2

1 1 ∙ đ?œƒđ??´ = âˆŤ đ??¸đ??ź 0

đ?‘€đ?‘šđ?œƒ đ?‘‘đ?‘Ľ đ??¸đ??ź

đ?‘ƒ 1 1 đ??ż đ?‘ƒ đ?‘ƒđ??ż 1 ( đ?‘Ľ) (1 − đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ + âˆŤ (− đ?‘Ľ + ) (1 − đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ 2 đ??ż đ??¸đ??ź đ??żâ „ 2 2 đ??ż 2

Resolviendo las integrales por separado se obtiene đ??żâ „ 2

1 âˆŤ đ??¸đ??ź 0

đ??żâ „ 2

đ?‘ƒ 1 1 ( đ?‘Ľ) (1 − đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ 2 đ??ż đ??¸đ??ź 0

đ??ż

â „2 đ?‘ƒ đ?‘ƒ 1 đ?‘ƒ đ?‘ƒ ( đ?‘Ľ − đ?‘Ľ 2 ) đ?‘‘đ?‘Ľ = [ đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ľ 3 ] 2 2đ??ż đ??¸đ??ź 4 6đ??ż 0

1 đ?‘ƒ đ??ż 2 đ?‘ƒ đ??ż 3 1 đ?‘ƒđ??ż2 đ?‘ƒđ??ż2 đ?‘ƒđ??ż2 [ ( ) − ( ) ]= [ − ]= đ??¸đ??ź 4 2 6đ??ż 2 đ??¸đ??ź 16 48 24đ??¸đ??ź 1 đ??ż đ?‘ƒ đ?‘ƒđ??ż 1 1 đ??ż đ?‘ƒ đ?‘ƒđ??ż đ?‘ƒ 2 đ?‘ƒ âˆŤ (− đ?‘Ľ + ) (1 − đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ (− đ?‘Ľ + + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ đ??¸đ??ź đ??żâ „ 2 2 đ??ż đ??¸đ??ź đ??żâ „ 2 2 2đ??ż 2 2

=

2

1 đ?‘ƒ 2 đ?‘ƒđ??ż đ?‘ƒ 3 đ??ż 1 đ?‘ƒ 2 đ??ż 2 đ?‘ƒđ??ż đ??ż đ?‘ƒ 3 đ??ż 3 đ?‘Ľ + đ?‘Ľ + đ?‘Ľ = − + − + − [− ] [− (đ??ż ( ) ) (đ??ż ) (đ??ż ( ) )] đ??żâ „ đ??¸đ??ź 2 2 6đ??ż đ??¸đ??ź 2 2 2 2 6đ??ż 2 2

=

1 đ?‘ƒ 3 đ?‘ƒđ??ż đ??ż đ?‘ƒ 7 đ?‘ƒđ??ż2 3 1 7 đ?‘ƒđ??ż2 [− ( đ??ż2 ) + ( ) + ( đ??ż3 )] = (− + + ) = đ??¸đ??ź 2 4 2 2 6đ??ż 8 đ??¸đ??ź 8 4 48 48đ??¸đ??ź đ?œƒđ??´ =

đ?‘ƒđ??ż2 đ?‘ƒđ??ż2 đ?‘ƒđ??ż2 + =+ 24đ??¸đ??ź 48đ??¸đ??ź 16đ??¸đ??ź

∴ đ?œƒđ??´ =

đ?‘ƒđ??ż2 16đ??¸đ??ź

Note como đ?œƒđ??´ es horario al igual que el momento de par virtual unitario debido a que la suma algebraica de todas las integrales para toda la viga es positiva,sin embargo, un giro horario se considera negativo en el mĂŠtodo de doble integraciĂłn; por đ?‘ƒđ??ż2

consiguiente, la segunda condiciĂłn de frontera es: 2) đ?œƒ1 = − 16đ??¸đ??ź đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ = 0. Sustituyendo la condiciĂłn 2) en la ecuaciĂłn â‘ resulta đ?‘ƒđ??ż2 đ?‘ƒ(0)2 đ?‘ƒđ??ż2 đ??¸đ??ź (− )= + đ??ś1 ⇒∴ đ??ś1 = − 16đ??¸đ??ź 4 16 Sustituyendo la condiciĂłn 1) en la ecuaciĂłn â‘Ą tenemos đ?‘ƒ(0)3 đ?‘ƒđ??ż2 (0) + đ??ś2 ⇒∴ đ??ś2 = 0 đ??¸đ??ź(0) = − 12 16 62

CAPÍTULO 1

ANÁLISIS DE VIGAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

Aplicando la condición 3) se obtiene 1 𝑃𝑥 2 1 𝑃 𝑃𝐿 ( + 𝐶1 ) = (− 𝑥 2 + 𝑥 + 𝐶3 ) , 𝐸𝐼 4 𝐸𝐼 4 2 𝐿 2 𝑃 (2) 4

−

𝑒𝑛 𝑥 =

𝐿 2

𝑃𝐿2 𝑃 𝐿 2 𝑃𝐿 𝐿 𝑃𝐿2 𝑃𝐿2 𝑃𝐿2 𝑃𝐿2 3𝑃𝐿2 =− ( ) + ( ) + 𝐶3 ⇒ − =− + + 𝐶3 ⇒∴ 𝐶3 = − 16 4 2 2 2 16 16 16 4 16

La aplicación de la condición 4) conlleva a 1 𝑃𝑥 3 1 𝑃 𝑃𝐿 2 ( + 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 ) = (− 𝑥 3 + 𝑥 + 𝐶3 𝑥 + 𝐶4 ) , 𝐸𝐼 12 𝐸𝐼 12 4

𝑒𝑛 𝑥 =

𝐿 2

𝑃 𝐿 3 𝑃𝐿2 𝐿 𝑃 𝐿 3 𝑃𝐿 𝐿 2 3𝑃𝐿2 𝐿 ( ) − ( )+0 =− ( ) + ( ) − ( ) + 𝐶4 12 2 16 2 12 2 4 2 16 2 𝑃𝐿3 𝑃𝐿3 𝑃𝐿3 𝑃𝐿3 3𝑃𝐿3 𝑃𝐿3 − =− + − + 𝐶4 ⇒ ∴ 𝐶4 = 96 32 96 16 32 48 En consecuencia, las ecuaciones de la pendiente y la deflexión de manera respectiva en cada tramo son 0≤𝑥≤

𝐿 2

1 𝑃𝑥 2 𝑃𝐿2 𝜃1 = ( − ) 𝐸𝐼 4 16

1 𝑃𝑥 3 𝑃𝐿2 𝑦1 = ( − 𝑥) 𝐸𝐼 12 16 𝐿 ≤𝑥≤𝐿 2

1 𝑃 2 𝑃𝐿 3𝑃𝐿2 𝜃2 = (− 𝑥 + 𝑥− ) 𝐸𝐼 4 2 16

1 𝑃 3 𝑃𝐿 2 3𝑃𝐿2 𝑃𝐿3 𝐸𝐼𝑦2 = (− 𝑥 + 𝑥 − 𝑥+ ) 𝐸𝐼 12 4 16 48

Cálculo de la flecha máxima de cada tramo 𝐿 0≤𝑥≤ 2 𝑃𝐿2 𝑃𝑥 𝑃𝐿 4𝑃𝐿2 𝐿2 2 𝐸𝐼𝜃1 = 0 = − ⇒ 𝑥 2 = 16 = = ⇒ 𝑥 = ±√𝐿 ⁄4 𝑃 4 16 16𝑃 4 4 2

𝑦𝑚𝑎𝑥1 =

2

1 𝑃 𝐿 3 𝑃𝐿2 𝐿 1 𝑃𝐿3 𝑃𝐿3 −𝑃𝐿3 − ( ( ) − ( )) = ( ) ⇒ 𝑦𝑚𝑎𝑥1 = 𝐸𝐼 12 2 16 2 𝐸𝐼 96 32 48𝐸𝐼

63

∴ 𝑥𝑚𝑎𝑥1 =

∴ 𝑦𝑚𝑎𝑥1 =

𝐿 2

𝑃𝐿3 ↓ 48𝐸𝐼

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

đ??ż ≤đ?‘Ľâ‰¤đ??ż 2 đ?‘ƒ 2 đ?‘ƒđ??ż 3đ?‘ƒđ??ż2 đ??¸đ??źđ?œƒ2 = 0 = − đ?‘Ľ − đ?‘Ľâˆ’ 4 2 16

1 2 đ??ż 3đ??ż2 0=− đ?‘Ľ − đ?‘Ľâˆ’ ⇒đ?‘Ľ= 4 2 16 1 1 −2 +4 đ??ż đ?‘Ľ1 = ( )đ??ż = 1 2 −2 đ?‘Śđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ2

đ??ż đ??ż 2 1 3đ??ż2 − 2 Âą √(2) − 4 (− 4) (− 16 ) 1 2 (− 4) 1 1 −2−4 3 đ?‘Ľ2 = ( )đ??ż = đ??ż 1 2 −2

1 1 −2 Âą 4 =( )đ??ż 1 −2

∴ đ?‘Ľđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ2 =

đ??ż 2

1 đ?‘ƒ đ??ż 3 đ?‘ƒđ?‘™ đ??ż 2 3đ?‘ƒđ??ż2 đ??ż đ?‘ƒđ??ż3 1 đ?‘ƒđ??ż3 đ?‘ƒđ??ż3 3đ?‘ƒđ??ż3 đ?‘ƒđ??ż3 = (− ( ) + ( ) − + − + ( )+ ) = (− ) đ??¸đ??ź 12 2 4 2 16 2 48 đ??¸đ??ź 96 16 32 48

đ?‘Śđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ2

đ?‘ƒđ??ż3 =− 48đ??¸đ??ź

∴ đ?‘Śđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ2

đ?‘ƒđ??ż3 = ↓ 48đ??¸đ??ź đ??ż

Observese que por la simetria de la viga, la flecha mĂĄxima y su posiciĂłn (2 forzosamente) en el primer tramo son iguales a la del segundo tramo. Diagramas de fuerza cortante, momento flector, rotaciĂłn y deflexiĂłn (curva elĂĄstica) Los datos acomodados en las tablas 1-5, 1-6, 1-7 y 1-8 son una consecuencia de evaluar las funciones de fuerza cortante, de momento flector, de rotaciĂłn y de deflexiĂłn en el intervalo para las que son vĂĄlidas. Las figuras 1-8h, 1-8i, 1-8j y 1-8k corresponden a los diagramas requeridos.

(h)

Tabla 1-5

64

CAPÍTULO 1

ANÁLISIS DE VIGAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

Tabla 1-6

(i)

Tabla 1-7

(j)

Tabla 1-8

(k)

65

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Ejercicio 1.9

(a) Figura 1-9

SOLUCIĂ“N CĂĄlculo de las reacciones en los soportes Diagrama de cargas. Este diagrama se visualiza en la figura 1-9b. ObsĂŠrvese que se ha determinado la fuerza resultante đ??´ de la carga distribuida uniforme y su punto de aplicaciĂłn đ?‘ĽĚ… .

(b)

Ecuaciones de equilibrio. đ??ż + ∑ đ?‘€đ??´ = 0 ⇒ (đ?‘¤đ??ż) ( ) − đ?‘…đ??ľđ?‘Œ (đ??ż) = 0 ⇒ đ?‘…đ??ľđ?‘Œ 2

+↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Œ − đ?‘¤đ??ż +

66

đ?‘¤đ??ż2 − 2 đ?‘¤đ??ż = ⇒∴ đ?‘…đ??ľđ?‘Œ = đ??ż 2 −1

đ?‘¤đ??ż đ?‘¤đ??ż = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 2 2

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

+→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 0

Funciones de fuerza cortante y de momento Los resultados obtenidos son observados en la figura 1-9c.

(c)

Se aplican las ecuaciones de equilibrio en el diagrama de cuerpo libre de la secciĂłn cortada, figura 1-9d, con la finalidad de obtener expresiones algebraicas que describan la variaciĂłn de los elementos mecĂĄnicos. 0≤đ?‘Ľâ‰¤đ??ż

(d)

+ ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ −đ?‘€ +

đ?‘¤đ??ż đ?‘Ľ đ?‘¤đ??ż đ?‘¤ (đ?‘Ľ) − (đ?‘¤đ?‘Ľ) ( ) = 0 ⇒ đ?‘€ = đ?‘Ľ − đ?‘Ľ2 2 2 2 2

�=

đ?‘‘đ?‘€ đ?‘¤đ??ż = − đ?‘¤đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ 2

67

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

CĂĄlculo del momento mĂĄximo La posiciĂłn del momento mĂĄximo se halla en el punto donde đ?‘‰ = 0. Luego, el valor mĂĄximo del momento se determina haciendo đ?‘Ľđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ = đ?‘Ľ en la ecuaciĂłn de đ?‘€. đ?‘¤đ??ż − 2 đ?‘¤đ??ż đ??ż 0= − đ?‘¤đ?‘Ľ ⇒ đ?‘Ľ = đ?‘¤ ⇒∴ đ?‘Ľđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ = 2 2 −1

����

đ?‘¤đ??ż đ??ż đ?‘¤ đ??ż 2 đ?‘¤đ??ż2 đ?‘¤đ??ż2 đ?‘¤đ??ż2 = ( )− ( ) = − = 2 2 2 2 4 8 8

Ecuaciones de la pendiente y la deflexiĂłn usando el mĂŠtodo de la integraciĂłn directa Al plicar la ecuaciĂłn diferencial đ?‘‘2 đ?‘Ś đ??¸đ??ź 2 = đ?‘€ đ?‘‘đ?‘Ľ e integrarla dos veces, se obtiene đ??¸đ??ź

đ?‘‘ 2 đ?‘Ś đ?‘¤đ??ż đ?‘¤ đ?‘‘(đ?‘‘đ?‘Ś) đ?‘¤đ??ż đ?‘¤ đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘¤đ??ż 2 đ?‘¤ 3 = đ?‘Ľ − đ?‘Ľ 2 ⇒ đ??¸đ??ź âˆŤ = âˆŤ ( đ?‘Ľ − đ?‘Ľ 2 ) đ?‘‘đ?‘Ľ ⇒ đ??¸đ??ź = đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ??ś1 2 đ?‘‘đ?‘Ľ 2 2 đ?‘‘đ?‘Ľ 2 2 đ?‘‘đ?‘Ľ 4 6

đ?‘ đ?‘–

đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘¤đ??ż 2 đ?‘¤ 3 = đ?œƒ, đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œđ?‘›đ?‘?đ?‘’đ?‘ đ??¸đ??źđ?œƒ = đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ??ś1 − −→ â‘ đ?‘‘đ?‘Ľ 4 6

đ?‘¤đ??ż đ?‘¤ đ?‘¤đ??ż 3 đ?‘¤ 4 đ??¸đ??ź âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ ( đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ľ 3 + đ??ś1 ) đ?‘‘đ?‘Ľ ⇒ đ??¸đ??źđ?‘Ś = đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ??ś1 đ?‘Ľ + đ??ś2 − −→ â‘Ą 4 6 12 24

MĂŠtodo del trabajo virtual unificado con el mĂŠtodo de la integraciĂłn doble Para calcular las constantes de integraciĂłn đ??ś1 y đ??ś2 usaremos dos condiciones de frontera. Por inspecciĂłn, la viga no experimenta desplazamiento vertical en el punto đ??´, por ende, 1) đ?‘Ś = 0 đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ = 0; la segunda condiciĂłn se plantearĂĄ a partir de calcular la rotaciĂłn en đ??´ (đ?œƒđ??´ ) por medio del mĂŠtodo del trabajo virtual como sigue Momento real đ?‘´. Corresponde a la siguiente funciĂłn que ya ha sido deducida:

68

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

đ?‘€=

đ?‘¤đ??ż đ?‘¤ đ?‘Ľ − đ?‘Ľ2 2 2

0≤đ?‘Ľâ‰¤đ??ż

Momento virtual đ?’Žđ?œ˝ . RemĂ­tase al ejercicio anterior. 1 đ?‘šđ?œƒ = 1 − đ?‘Ľ đ??ż

0≤đ?‘Ľâ‰¤đ??ż

EcuaciĂłn del trabajo virtual. Entonces, el giro en đ??´ es resultado de đ??ż2

1 ∙ đ?œƒđ??´ = âˆŤ đ??ż1

1 ∙ đ?œƒđ??´ =

đ?‘€đ?‘šđ?œƒ đ?‘‘đ?‘Ľ đ??¸đ??ź

1 đ??ż đ?‘¤đ??ż đ?‘¤ 1 1 đ??ż đ?‘¤đ??ż đ?‘¤ đ?‘¤ đ?‘¤ âˆŤ ( đ?‘Ľ − đ?‘Ľ 2 ) (1 − đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ ( đ?‘Ľ − đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ 3 ) đ?‘‘đ?‘Ľ đ??¸đ??ź 0 2 2 đ??ż đ??¸đ??ź 0 2 2 2 2đ??ż 1 đ??ż đ?‘¤đ??ż đ?‘¤ 3 1 đ?‘¤đ??ż 2 đ?‘¤ 3 đ?‘¤ 4 đ??ż 2 đ?œƒđ??´ = âˆŤ ( đ?‘Ľ − đ?‘¤đ?‘Ľ + đ?‘Ľ ) đ?‘‘đ?‘Ľ = [ đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ ] đ??¸đ??ź 0 2 2đ??ż đ??¸đ??ź 4 3 8đ??ż 0 1 đ?‘¤đ??ż3 đ?‘¤đ??ż3 đ?‘¤đ??ż3 đ?‘¤đ??ż3 đ?œƒđ??´ = ( − + )= đ??¸đ??ź 4 3 8 24đ??¸đ??ź

đ?‘¤đ??ż3 ∴ đ?œƒđ??´ = 24đ??¸đ??ź

đ?‘¤đ??ż3

En consecuencia, la otra condiciĂłn es: 2) đ?œƒ = − 24đ??¸đ??ź đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ = 0 Sustituyendo la condiciĂłn 2) en la ecuaciĂłn â‘ da đ??¸đ??ź (−

đ?‘¤đ??ż3 đ?‘¤đ??ż đ?‘¤ −đ?‘¤đ??ż3 )= (0)2 − (0)3 + đ??ś1 ⇒∴ đ??ś1 = 24đ??¸đ??ź 4 6 24

Sustituyendo la condiciĂłn 1) en la ecuaciĂłn â‘Ą tenemos 0=

đ?‘¤đ??ż đ?‘¤ đ?‘¤đ??ż3 (0) + đ??ś2 ⇒∴ đ??ś2 = 0 (0)3 − (0)4 − 12 24 24

Reemplazando los valores de las constantes en las expresiones â‘ y â‘Ą, se infiere que las ecuaciones de la pendiente y la deflexiĂłn son, respectivamente đ?œƒ=

1 đ?‘¤đ??ż 2 đ?‘¤ 3 đ?‘¤đ??ż3 ( đ?‘Ľ − đ?‘Ľ − ) đ??¸đ??ź 4 6 24

69

0≤đ?‘Ľâ‰¤đ??ż

CAPĂ?TULO 1

đ?‘Ś=

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

1 đ?‘¤đ??ż 3 đ?‘¤ 4 đ?‘¤đ??ż3 ( đ?‘Ľ − đ?‘Ľ − đ?‘Ľ) đ??¸đ??ź 12 24 24

0≤đ?‘Ľâ‰¤đ??ż

CĂĄlculo de la flecha mĂĄxima Para conocer la posiciĂłn de la flecha mĂĄxima hacemos đ?œƒ = 0, simplificamos y hallamos las raĂ­ces. 0=

đ?‘¤đ??ż 2 đ?‘¤ 3 đ?‘¤đ??ż3 1 đ??ż đ??ż3 đ?‘Ľ − đ?‘Ľ − ⇒ 0 = − đ?‘Ľ3 + đ?‘Ľ2 − 4 6 24 6 4 24

Haciendo uso del mĂŠtodo de la divisiĂłn sintĂŠtica es posible hallar una raĂ­z. −

1 6

đ??ż 2 −

1 6

đ??ż 4 đ??ż − 12 đ??ż 6

0 đ??ż2 12 đ??ż2 12

đ??ż3 − 24 đ??ż3 24 0

đ??ż 1 2 đ??ż đ??ż2 (đ?‘Ľ − ) (− đ?‘Ľ + đ?‘Ľ + ) = 0 2 6 6 12

đ?‘Ľ1 =

đ??ż 2

Las dos raĂ­ces restantes pueden obtenerse a travĂŠs de la fĂłrmula general. 1 đ??ż đ??ż2 − đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ + =0 6 6 12 đ??ż đ??ż 2 1 đ??ż2 − 6 Âą √(6) − 4 (− 6) (12) đ?‘Ľ=

1 2 (− 6)

1 −6

1 √6 −6 1 √3 đ?‘Ľ3 = ( − 6 )đ??ż = ( + )đ??ż 1 1 2 2 −3 −3

√3 1 √3 đ?‘Ľ2 = ( + 6 )đ??ż = ( − )đ??ż 1 1 2 2 −3 −3

De las tres raĂ­ces anteriores, Ăşnicamente la primera estĂĄ dentro del intervalo real de đ??ż

la viga [0, đ??ż], asĂ­ que đ?‘Ľđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ = 2.

70

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

El valor mĂĄximo de la deflexiĂłn es

đ?‘Śđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ =

1 đ?‘¤đ??ż 1 3 đ?‘¤ đ??ż 4 đ?‘¤đ??ż3 đ??ż 1 1 1 1 (( ) ( đ??ż) − ( ) ( ) − ( ) ( )) = (đ?‘¤đ??ż4 ( − − )) đ??¸đ??ź 12 2 24 2 24 2 đ??¸đ??ź 96 384 48

đ?‘Śđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ = (−

5 đ?‘¤đ??ż4 )( ) 384 đ??¸đ??ź

5 đ?‘¤đ??ż4 ∴ đ?‘Śđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ = ( )( )↓ 384 đ??¸đ??ź

Si se desea conocer el valor de la pendiente en đ??ľ por ejemplo, basta con sustituir đ?‘Ľ = đ??ż en la ecuaciĂłn del giro y despejar đ?œƒđ??ľ .

đ?œƒđ??ľ =

1 đ?‘¤đ??ż đ?‘¤ 7đ?‘¤đ??ż3 đ?‘¤đ??ż3 ( (đ??ż)2 − (đ??ż)4 − ) ⇒ đ?œƒđ??ľ = đ??¸đ??ź 12 24đ??ż 360 45đ??¸đ??ź

∴ đ?œƒđ??ľ =

đ?‘¤đ??ż3 45đ??¸đ??ź

Diagramas de fuerza cortante, momento flector, rotaciĂłn y deflexiĂłn Diversos valores de đ?‘Ľ son reemplazados en las ecuaciones đ?‘‰, đ?‘€, đ?œƒ y đ?‘Ś. Al graficar los datos de las tablas 1-9, 1-10, 1-11 y 1-12 se obtienen los diagramas necesarios, figuras 1-9e, 1-9f, 1-9g y 1-9h.

Tabla 1-9

(e)

71

CAPÍTULO 1

ANÁLISIS DE VIGAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

(f)

Tabla 1-10

Tabla 1-11

(g)

(h)

Tabla 1-12

72

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Ejercicio 1.10

�

đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;ĂĄđ?‘?đ?‘œđ?‘™đ?‘Ž

đ??ľ

đ??´

đ??ż/2

đ??ż/2

(a) Figura 1-10

SOLUCIĂ“N CĂĄlculo de las reacciones en los soportes Diagrama de cargas. Inicialmente se efectĂşa un anĂĄlisis de la presiĂłn cuya intensidad es descrita por una curva parabĂłlica. El procedimiento que se muestra a continuaciĂłn es Ăştil para determinar el ĂĄrea bajo la curva que representa la fuerza resultante y localizar el punto donde actĂşa, es decir el centroide de su ĂĄrea. La ecuaciĂłn de la intensidad parabĂłlica puede expresarse de la siguiente forma: đ?‘Ś = đ?‘Žđ?‘Ľ 2 + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? − − − (đ??ź) Si se toma como origen el punto đ??´, los tres puntos conocidos de la curva son đ??ż đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ = 0, đ?‘Ś = 0; đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ = , đ?‘Ś = đ?‘¤; đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ = đ??ż, đ?‘Ś = 0 2 Es posible construir un sistema de ecuaciones reemplazando cada uno de los puntos anteriores de manera individual en la ecuaciĂłn (đ??ź) con la finalidad de calcular las constantes đ?‘Ž, đ?‘? y đ?‘?. 0 = đ?‘Ž(0)2 + đ?‘?(0) + đ?‘? ⇒ 0đ?‘Ž + 0đ?‘? + đ?‘? = 0 − − → â‘ đ??ż 2 đ??ż đ??ż2 đ??ż đ?‘¤ = đ?‘Ž ( ) + đ?‘? ( ) + đ?‘? ⇒ đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘? = đ?‘¤ − −→ â‘Ą 2 2 4 2 0 = đ?‘Ž(đ??ż)2 + đ?‘?(đ??ż) + đ?‘? ⇒ đ??ż2 đ?‘Ž + đ??żđ?‘? + đ?‘? = 0 − −→ ③ 73

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Resolviendo el sistema por MĂŠtodo de Cramer tenemos 0 đ??ż2 Δ=| 4 đ??ż2

0 1 đ??ż 1 2 đ??ż 1 0

|0 đ??ż2 | 4 | đ??ż2

0 đ??ż3 đ??ż3 đ??ż3 đ??ż | = (0 + 0 + ) − (0 + 0 + ) = − 4 2 4 2 đ??ż

0

0 1 |0 đ??ż 1 |đ?‘¤ 2 đ??ż 1 |0

0 đ??ż | = (0 + 0 + đ?‘¤đ??ż) − (0 + 0 + 0) = đ?‘¤đ??ż 2 đ??ż

0

1

0

�

1

0

1

0 đ??ż2 Δc = | 4 đ??ż2

0 đ??ż 2 đ??ż

Δa = |�

0 đ??ż2 Δb = | 4 đ??ż2

|0 đ??ż2 | 4 | đ??ż2 0 đ?‘¤ 0

đ?‘¤ | = (0 + 0 + 0) − (0 + 0 + đ??ż2 đ?‘¤) = −đ??ż2 đ?‘¤ 0

|0 đ??ż2 | 4 2 |đ??ż

0 đ??ż | = (0 + 0 + 0) − (0 + 0 + 0) = 0 2 đ??ż

Δa đ?‘¤đ??ż đ?‘¤ Δb −đ??ż2 đ?‘¤ đ?‘¤ Δc 0 đ?‘Ž= = = −4 ; đ?‘? = = = 4 ; đ?‘? = = =0 −đ??ż3 −đ??ż3 −đ??ż3 Δ đ??ż2 Δ đ??ż Δ 4 4 4 En consecuencia, la ecuaciĂłn que define la intensidad parabĂłlica de la carga es đ?‘Ś = −4

đ?‘¤ 2 đ?‘¤ đ?‘Ľ +4 đ?‘Ľ 2 đ??ż đ??ż

El punto de aplicaciĂłn de la fuerza resultante se obtiene de đ??ż đ??ż2 đ?‘¤ 2 đ?‘¤ âˆŤ đ?‘ĽĚƒ đ?‘‘đ??´ âˆŤđ??ż1 đ?‘Ľđ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ âˆŤ0 đ?‘Ľ (−4 đ??ż2 đ?‘Ľ + 4 đ??ż đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘ĽĚ… = = đ??ż2 = đ??ż đ?‘¤ đ?‘¤ âˆŤ đ?‘‘đ??´ âˆŤđ??ż đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ âˆŤ0 (−4 2 đ?‘Ľ 2 + 4 đ??ż đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ 1 đ??ż

Resolviendo el numerador da đ??ż

âˆŤ đ?‘Ľ (−4 0 đ??ż

đ?‘¤ 2 đ?‘¤ đ?‘¤ đ??ż 3 đ?‘¤ đ??ż 2 đ?‘Ľ + 4 đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ = −4 âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ + 4 âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ đ??ż2 đ??ż đ??ż2 0 đ??ż 0 đ??ż

đ?‘¤ đ?‘Ľ4 đ?‘¤ đ?‘Ľ3 −4đ?‘¤ 4 4đ?‘¤ 3 4 2 đ?‘¤đ??ż2 4 3 2 [đ??ż − 0 ] + [đ??ż − 0 ] = −đ?‘¤đ??ż + đ?‘¤đ??ż = = −4 2 [ ] + 4 [ ] = đ??ż 4 0 đ??ż 3 0 4đ??ż2 3đ??ż 3 3 Resolviendo el denominador se tiene 74

CAPĂ?TULO 1 đ??ż

âˆŤ (−4 0 đ??ż

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

đ?‘¤ 2 đ?‘¤ đ?‘¤ đ??ż 2 đ?‘¤ đ??ż đ?‘Ľ + 4 đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ = −4 âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ + 4 âˆŤ đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ đ??ż2 đ??ż đ??ż2 0 đ??ż 0 đ??ż

đ?‘¤ đ?‘Ľ3 đ?‘¤ đ?‘Ľ2 4đ?‘¤ 4đ?‘¤ 2 4 2 [đ??ż − 02 ] = − đ?‘¤đ??ż + 2đ?‘¤đ??ż = đ?‘¤đ??ż = −4 2 [ ] + 4 [ ] = − 2 [đ??ż3 − 03 ] + đ??ż 3 0 đ??ż 2 0 3đ??ż 2đ??ż 3 3 đ?‘¤đ??ż2 3đ?‘¤đ??ż2 1 ∴ đ?‘ĽĚ… = 3 = = đ??ż 2đ?‘¤đ??ż 6đ?‘¤đ??ż 2 3 El ĂĄrea bajo la curva es igual a la carga concentrada equivalente de la presiĂłn. đ??ż2

đ??´đ?‘? = âˆŤ đ?‘‘đ??´ = âˆŤ đ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ľ đ??ż1

ObsĂŠrvese que dicha ĂĄrea siempre serĂĄ el denominador de la ecuaciĂłn para calcular el brazo de palanca. Por lo tanto, đ??ż

đ??´đ?‘? = âˆŤ (−4 0

đ?‘¤ 2 đ?‘¤ 2 đ?‘Ľ + 4 đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘¤đ??ż 2 đ??ż đ??ż 3

El diagrama de cargas, figura 1-10b, se completa identificando las reacciones en los apoyos cuyos sentidos se suponen arbitrariamente debido a que son incĂłgnitas. 2 đ??´đ?‘? = đ?‘¤đ??ż 3 đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;ĂĄđ?‘?đ?‘œđ?‘™đ?‘Ž

�

đ?‘…đ??´đ?‘‹

đ??ľ

đ??´ đ?‘…đ??´đ?‘Œ

đ?‘…đ??ľđ?‘Œ đ?‘ĽĚ… = đ??ż/2

đ??ż/2

(b) Ecuaciones de equilibrio. 2 1 + ∑ đ?‘€đ??´ = 0 ⇒ ( đ?‘¤đ??ż) ( đ??ż) − đ?‘…đ??ľđ?‘Œ (đ??ż) = 0 ⇒ đ?‘…đ??ľđ?‘Œ 3 2

đ?‘¤đ??ż2 − 3 đ?‘¤đ??ż2 1 = = ⇒∴ đ?‘…đ??ľđ?‘Œ = đ?‘¤đ??ż đ??ż 3đ??ż 3 − 1

2 1 1 +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Œ − đ??´đ?‘? + đ?‘…đ??ľđ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Œ = đ??´đ?‘? − đ?‘…đ??ľđ?‘Œ = đ?‘¤đ??ż − đ?‘¤đ??ż ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Œ = đ?‘¤đ??ż 3 3 3

75

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

+→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 0 Funciones de fuerza cortante y de momento En la figura 1-10c se especifica la coordenada đ?‘Ľ a utilizar cuyo origen se selecciona en đ??´. Como no hay discontinuidad de carga a lo largo de la estructura, sĂłlo se efectuarĂĄ un corte perpendicular al eje de la viga. 2 đ??´đ?‘? = đ?‘¤đ??ż 3 đ?‘¤

đ??´ 1 đ?‘…đ??´đ?‘Œ = đ?‘¤đ??ż 3

đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;ĂĄđ?‘?đ?‘œđ?‘™đ?‘Ž

đ??ľ

đ?‘Ľ

1 đ?‘…đ??ľđ?‘Œ = đ?‘¤đ??ż 3

đ??ż/2

đ?‘ĽĚ… = đ??ż/2

(c) A continuaciĂłn, en la figura 1-10d se proporciona un diagrama de cuerpo libre del segmento de viga con longitud đ?‘Ľ. Previo a la aplicaciĂłn de las ecuaciones de equilibrio para deducir las funciones de fuerza cortante y de momento, se determina la carga concentrada equivalente de la presiĂłn de intensidad parabĂłlica del corte y su punto de aplicaciĂłn. 0≤đ?‘Ľâ‰¤đ??ż đ??´đ?‘?đ?‘? đ?‘¤ đ?‘¤ đ?‘Ś = −4 2 đ?‘Ľ 2 + 4 đ?‘Ľ đ??ż đ??ż

đ?‘€

(d)

đ??´ đ?‘…đ??´đ?‘Œ =

1 đ?‘¤đ??ż 3

đ?‘ĽĚ…đ?‘?

�

đ?‘Ľ

đ?‘ĽĚ…đ?‘? =

âˆŤ đ?‘ĽĚƒ đ?‘‘đ??´ = âˆŤ đ?‘‘đ??´

đ??ż2 âˆŤđ??ż đ?‘Ľđ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ 1 đ??ż2 âˆŤđ??ż đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ 1

=

đ?‘Ľ đ?‘¤ đ?‘¤ âˆŤ0 đ?‘Ľ (−4 2 đ?‘Ľ 2 + 4 đ??ż đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ đ??ż đ?‘Ľ đ?‘¤ 2 đ?‘¤ âˆŤ0 (−4 2 đ?‘Ľ + 4 đ??ż đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ đ??ż

76

=

đ?‘Ľ

đ?‘Ľ

đ?‘Ľ

đ?‘Ľ

đ?‘¤ đ?‘Ľ4 đ?‘¤ đ?‘Ľ3 −4 2 [ 4 ] + 4 đ??ż [ 3 ] đ??ż 0 0 −4

đ?‘¤ đ?‘Ľ3 đ?‘¤ đ?‘Ľ2 [ ] + 4 đ??ż [ 2 ]0 đ??ż2 3 0

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

−4đ?‘¤ 4 4đ?‘¤ 3 đ?‘¤ 4đ?‘¤ 4 3 − 2 đ?‘Ľ 4 + 3đ??ż đ?‘Ľ 3 2 [đ?‘Ľ − 0 ] + 4đ??ż [đ?‘Ľ − 0 ] 4đ??ż đ??ż đ?‘ĽĚ…đ?‘? = = −4đ?‘¤ 3 4đ?‘¤ 2 4đ?‘¤ 2đ?‘¤ 2 3 2 [đ?‘Ľ − 0 ] + [đ?‘Ľ − 0 ] − 2 đ?‘Ľ 3 + 2đ??ż đ??ż đ?‘Ľ 3đ??ż2 3đ??ż đ??´đ?‘?đ?‘? = −

4đ?‘¤ 3 2đ?‘¤ 2 đ?‘Ľ + đ?‘Ľ 3đ??ż2 đ??ż

đ?‘¤ 4đ?‘¤ − 2 đ?‘Ľ 4 + 3đ??ż đ?‘Ľ 3 1 4đ?‘¤ 3 2đ?‘¤ 2 đ??ż + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ −đ?‘€ + ( đ?‘¤đ??ż) (đ?‘Ľ) − (− 2 đ?‘Ľ + đ?‘Ľ ) (đ?‘Ľ − )=0 4đ?‘¤ 3 2đ?‘¤ 2 3 3đ??ż đ??ż − 2đ?‘Ľ + đ?‘Ľ đ??ż 3đ??ż

đ?‘€=

đ?‘¤đ??ż 4đ?‘¤ 2đ?‘¤ 3 đ?‘¤ 4 4đ?‘¤ 3 đ?‘¤ 2đ?‘¤ 3 đ?‘¤đ??ż đ?‘Ľ − (− 2 đ?‘Ľ 4 + đ?‘Ľ + 2đ?‘Ľ − đ?‘Ľ ) = 2 đ?‘Ľ4 − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ 3 3đ??ż đ??ż đ??ż 3đ??ż 3đ??ż 3đ??ż 3 đ?‘‰=

đ?‘‘đ?‘€ 4đ?‘¤ 3 2đ?‘¤ 2 đ?‘¤đ??ż = đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘‘đ?‘Ľ 3đ??ż2 đ??ż 3 CĂĄlculo del momento mĂĄximo

El

momento

mĂĄximo estĂĄ posicionado en el punto donde 4đ?‘¤ 2đ?‘¤ 2 đ?‘¤đ??ż 4 2 đ??ż 0 = 2 đ?‘Ľ3 − đ?‘Ľ + ⇒ 0 = 2 đ?‘Ľ3 − đ?‘Ľ2 + 3đ??ż đ??ż 3 3đ??ż đ??ż 3

� = 0.

Como hemos visto en los ejercicios anteriores, sĂłlo una de las raĂ­ces es la requerida; para obtenerla, esta vez hacemos uso del mĂŠtodo de tanteos y debido a que el momento mĂĄximo estĂĄ ubicado dentro del intervalo real de la viga [0, đ??ż], 4

2

đ??ż

evaluamos de 0 a đ??ż el polinomio đ?‘“(đ?‘Ľ) = 3đ??ż2 đ?‘Ľ 3 − đ??ż đ?‘Ľ 2 + 3 y en donde haya un cambio de signo tenemos una soluciĂłn, tabla 1-13; iteramos “nâ€? veces hasta que nuestra soluciĂłn sea lo mĂĄs exacta posible.

Tabla 1-13

77

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Por lo tanto, el momento mĂĄximo se localiza a una distancia de đ?‘Ľđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ = 0.5đ??ż = đ??ż/2. El valor mĂĄximo del momento es đ?‘€đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ =

đ?‘¤đ??ż4 2đ?‘¤đ??ż3 3 đ?‘¤đ??ż2 5 − đ?‘Ľ + = đ?‘¤đ??ż2 2 48đ??ż 24đ??ż 6 48

Ecuaciones de la pendiente y la deflexiĂłn usando el mĂŠtodo de la integraciĂłn directa Al aplicar la ecuaciĂłn diferencial đ?‘‘2 đ?‘Ś đ??¸đ??ź 2 = đ?‘€ đ?‘‘đ?‘Ľ e integrarla dos veces, se obtiene đ??¸đ??ź đ??¸đ??ź

đ?‘‘2 đ?‘Ś đ?‘¤ 4 2đ?‘¤ 3 đ?‘¤đ??ż đ?‘‘(đ?‘‘đ?‘Ś) đ?‘¤ 4 2đ?‘¤ 3 đ?‘¤đ??ż = đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ ⇒ đ??¸đ??ź âˆŤ = âˆŤ ( đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ 2 3đ??ż2 3đ??ż 3 đ?‘‘đ?‘Ľ 3đ??ż2 3đ??ż 3

đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘¤ 5 đ?‘¤ 4 đ?‘¤đ??ż 2 đ?‘¤ 5 đ?‘¤ 4 đ?‘¤đ??ż 2 = đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ + đ??ś1 ⇒ đ??¸đ??źđ?œƒ = đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ + đ??ś1 − −→ â‘ 2 đ?‘‘đ?‘Ľ 15đ??ż 6đ??ż 6 15đ??ż2 6đ??ż 6

đ??¸đ??ź âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ ( đ??¸đ??źđ?‘Ś =

đ?‘¤ 5 đ?‘¤ 4 đ?‘¤đ??ż 2 đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ + đ??ś1 ) đ?‘‘đ?‘Ľ 15đ??ż2 6đ??ż 6

đ?‘¤ 6 đ?‘¤ 5 đ?‘¤đ??ż 3 đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ + đ??ś1 đ?‘Ľ + đ??ś2 − −→ â‘Ą 2 90đ??ż 30đ??ż 18

MĂŠtodo del trabajo virtual unificado con el mĂŠtodo de la integraciĂłn doble Para calcular las dos constantes de integraciĂłn anteriores usaremos dos condiciones de frontera. Por inspecciĂłn, la viga no experimenta desplazamiento vertical en el punto đ??´, por ende, 1) đ?‘Ś = 0 đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ = 0; la segunda condiciĂłn se plantearĂĄ a partir de calcular la rotaciĂłn en đ??´ (đ?œƒđ??´ ) por medio del mĂŠtodo del trabajo virtual. Momento real đ?‘´. Corresponde a la siguiente funciĂłn que ya ha sido deducida: đ?‘€=

đ?‘¤ 4 2đ?‘¤ 3 đ?‘¤đ??ż đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ 3đ??ż2 3đ??ż 3

0≤đ?‘Ľâ‰¤đ??ż

Momento virtual đ?’Žđ?œ˝ . RemĂ­tase al ejercicio 1.8. 1 đ?‘šđ?œƒ = 1 − đ?‘Ľ đ??ż

0≤đ?‘Ľâ‰¤đ??ż

78

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

EcuaciĂłn del trabajo virtual. Entonces, la pendiente en đ??´ es resultado de đ??ż2

1 ∙ đ?œƒđ??´ = âˆŤ đ??ż1

1 ∙ đ?œƒđ??´ =

đ?‘€đ?‘šđ?œƒ đ?‘‘đ?‘Ľ đ??¸đ??ź

1 đ??ż đ?‘¤ 4 2đ?‘¤ 3 đ?‘¤đ??ż 1 âˆŤ ( 2đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ) (1 − đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ đ??¸đ??ź 0 3đ??ż 3đ??ż 3 đ??ż

1 đ??ż đ?‘¤ 4 2đ?‘¤ 3 đ?‘¤đ??ż đ?‘¤ 2đ?‘¤ đ?‘¤ đ?œƒđ??´ = âˆŤ ( 2 đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − 3 đ?‘Ľ 5 + 2 đ?‘Ľ 4 − đ?‘Ľ 2 ) đ?‘‘đ?‘Ľ đ??¸đ??ź 0 3đ??ż 3đ??ż 3 3đ??ż 3đ??ż 3 đ?œƒđ??´ = đ?œƒđ??´ =

1 đ?‘¤ 6 đ?‘¤ 5 đ?‘¤ 4 đ?‘¤ 3 đ?‘¤đ??ż 2 đ??ż [− đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ ] đ??¸đ??ź 18đ??ż3 5đ??ż2 6đ??ż 9 6 0

1 đ?‘¤ đ?‘¤ đ?‘¤ đ?‘¤ đ?‘¤đ??ż đ?‘¤đ??ż3 đ?‘¤đ??ż3 6 5 4 3 2 [− (đ??ż) + (đ??ż) − (đ??ż) − (đ??ż) + (đ??ż) ] = ⇒∴ đ?œƒ = đ??´ đ??¸đ??ź 18đ??ż3 5đ??ż2 6đ??ż 9 6 30đ??¸đ??ź 30đ??¸đ??ź đ?‘¤đ??ż3

Finalmente, la otra condiciĂłn es: 2) đ?œƒ = − 30đ??¸đ??ź đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ = 0 Sustituyendo la condiciĂłn 2) en la ecuaciĂłn â‘ se obtiene đ??¸đ??ź (−

đ?‘¤đ??ż3 đ?‘¤ đ?‘¤ đ?‘¤đ??ż đ?‘¤đ??ż3 5 4 2 (0) (0) (0) )= − + + đ??ś ⇒ ∴ đ??ś = − 1 1 30đ??¸đ??ź 15đ??ż2 6đ??ż 6 30

Sustituyendo la condiciĂłn 1) en la ecuaciĂłn â‘Ą resulta đ??¸đ??ź(0) =

đ?‘¤ đ?‘¤ đ?‘¤đ??ż đ?‘¤đ??ż3 6 5 3 (0) (0) (0) (0) + đ??ś2 ⇒∴ đ??ś2 = 0 − + − 90đ??ż2 30đ??ż 18 30

Reemplazando los valores de las constantes en las ecuaciones â‘ y â‘Ą se infiere que las ecuaciones de la pendiente y la deflexiĂłn son, respectivamente 1 đ?‘¤ 5 đ?‘¤ 4 đ?‘¤đ??ż 2 đ?‘¤đ??ż3 đ?œƒ= ( đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − ) đ??¸đ??ź 15đ??ż2 6đ??ż 6 30 đ?‘Ś=

1 đ?‘¤ 6 đ?‘¤ 5 đ?‘¤đ??ż 3 đ?‘¤đ??ż3 ( đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ) đ??¸đ??ź 90đ??ż2 30đ??ż 18 30

0≤đ?‘Ľâ‰¤đ??ż

0≤đ?‘Ľâ‰¤đ??ż

CĂĄlculo de la flecha mĂĄxima Haciendo đ?œƒ = 0 y simplificando la expresiĂłn del giro se tiene 0=

1 5 1 4 đ??ż 2 đ??ż3 đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − 15đ??ż2 6đ??ż 6 30

Nuevamente aplicamos el mĂŠtodo de tanteos; el polinomio a evaluar de 0 a đ??ż es 79

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

đ?‘“(đ?‘Ľ) =

1 5 1 4 đ??ż 2 đ??ż3 đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − 15đ??ż2 6đ??ż 6 30

De acuerdo a la tabla 1-14 vemos como una sola iteraciĂłn es suficiente en este caso.

Tabla 1-14 La soluciĂłn de la ecuaciĂłn del giro igualada a cero indica que la deflexiĂłn mĂĄxima se presenta en el punto đ?‘Ľđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ = 0.5đ??ż = đ??ż/2. Sustituyendo đ?‘Ľđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ = đ?‘Ľ en la ecuaciĂłn de la deflexiĂłn se obtiene el valor de la flecha mĂĄxima de la viga. đ?‘Śđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ

1 đ?‘¤ đ??ż 6 đ?‘¤ đ??ż 5 đ?‘¤đ??ż đ??ż 3 đ?‘¤đ??ż3 đ??ż 1 đ?‘¤đ??ż4 đ?‘¤đ??ż4 đ?‘¤đ??ż4 đ?‘¤đ??ż4 = ( ( ) − ( ) + ( ) − ( )) = − + − ( ) đ??¸đ??ź 90đ??ż2 2 30đ??ż 2 18 2 30 2 đ??¸đ??ź 5760 960 144 60

đ?‘Śđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ = −

61đ?‘¤đ??ż4 5760đ??¸đ??ź

∴ đ?‘Śđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ =

61đ?‘¤đ??ż4 ↓ 5760đ??¸đ??ź

Si se desea conocer el valor de la pendiente en đ??ľ por ejemplo, basta con sustituir đ?‘Ľ = đ??ż en la ecuaciĂłn del giro y despejar đ?œƒđ??ľ . đ?œƒđ??ľ =

1 đ?‘¤ 2đ?‘¤ đ?‘¤đ??ż đ?‘¤đ??ż3 đ?‘¤đ??ż3 đ?‘¤đ??ż3 5 4 2 ( (đ??ż) − (đ??ż) + (đ??ż) − ) ⇒ đ?œƒ = ⇒∴ đ?œƒ = đ??ľ đ??ľ đ??¸đ??ź 15đ??ż2 12đ??ż 6 30 30đ??¸đ??ź 30đ??¸đ??ź

Diagramas de fuerza cortante, momento flector, rotaciĂłn y deflexiĂłn Los datos que se observan en las tablas 1-15, 1-16, 1-17 y 1-18 son producto de evaluar las funciones de fuerza cortante, de momento flector, de rotaciĂłn y de deflexiĂłn en el intervalo 0 ≤ đ?‘Ľ ≤ đ??ż. Las figuras 1-10e, 1-10f, 1-10g y 1-10h, corresponden a los diagramas requeridos. 80

CAPÍTULO 1

ANÁLISIS DE VIGAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

(e)

Tabla 1-15

Tabla 1-16

(f)

Tabla 1-17

(g)

Tabla 1-18

(h)

81

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Ejercicio 1.11 đ?‘ž

đ??ľ

đ??´ đ??ż

đ??ż

2

2

(a) Figura 1-11

SOLUCIĂ“N CĂĄlculo de las reacciones en los soportes Diagrama de cargas. ObsĂŠrvese que deben determinarse las cargas concentradas equivalentes đ??´đ?‘– de las dos presiones en forma de triĂĄngulo rectĂĄngulo, asĂ­ como su punto de aplicaciĂłn đ?‘ĽĚ…đ?‘– . El diagrama de cargas de la viga se proporciona en la figura 1-11b. đ??´2

đ??´1 đ?‘ĽĚ…1 đ?‘…đ??´đ?‘‹

đ?‘ĽĚ…2

đ??ľ

đ??´

đ?‘…đ??´đ?‘Œ

đ?‘ž

đ??ż

đ??ż

2

2

đ?‘…đ??ľđ?‘Œ

(b)

Ecuaciones de equilibrio. đ??ż 1 2 đ??ż đ??ż 1 đ??ż đ??ż 2 đ??ż + ∑ đ?‘€đ??´ = 0 ⇒ ( ) (đ?‘ž) ( ) ( ) ( ) + ( ) (đ?‘ž) ( ) ( + ( − ( ) ( ))) − đ?‘…đ??ľđ?‘Œ (đ??ż) = 0 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 đ??´1 2

đ?‘ĽĚ…1

đ??´2

2

đ?‘žđ??ż đ?‘žđ??ż + − đ?‘…đ??ľđ?‘Œ (đ??ż) = 0 ⇒ đ?‘…đ??ľđ?‘Œ 12 6

đ?‘ĽĚ…2

đ?‘žđ??ż2 đ?‘žđ??ż2 đ?‘žđ??ż = 4 = ⇒∴ đ?‘…đ??ľđ?‘Œ = đ??ż 4đ??ż 4 1

đ??ż 1 đ??ż 1 đ?‘žđ??ż đ?‘žđ??ż +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Œ − ( ) (đ?‘ž) ( ) − ( ) (đ?‘ž) ( ) + = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 2 2 2 2 4 4 82

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

+→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 0 Funciones de fuerza cortante y de momento Como se observa en la figura 1-11c, se tomarĂĄ como origen del sistema coordenado el punto đ??´; en consecuencia, đ?‘Ľ es vĂĄlida para 0 ≤ đ?‘Ľ ≤ đ??ż. đ??´2

đ??´1 đ?‘ĽĚ…1

đ?‘ĽĚ…2

đ??´ đ?‘…đ??´đ?‘Œ =

đ?‘žđ??ż 4

đ?‘ž

đ??ľ

đ?‘Ľ đ??ż

đ??ż

2

2

đ?‘…đ??ľđ?‘Œ =

đ?‘žđ??ż 4

(c) Como la distribuciĂłn de la carga que actĂşa a lo largo de la estructura presenta una discontinuidad (en la mitad del claro đ??´ − đ??ľ), deben efectuarse dos cortes perpendiculares al eje de la viga. Corte en el tramo â‘ . Se secciona la viga a una distancia đ?‘Ľ de đ??´ en un punto arbitrario antes de đ??ż/2, es decir, antes de que la intensidad de la carga triangular alcance el valor de đ?‘ž. El diagrama de cuerpo libre de la secciĂłn cortada se visualiza en la figura 1-11d. đ??ż 0≤đ?‘Ľâ‰¤ 2

(d) Debido a que la carga triangular se encuentra en proporciĂłn, se infiere que đ?‘ž đ?‘ž´ 2đ?‘ž = â&#x;š đ?‘ž´ = đ?‘Ľ đ??ż đ?‘Ľ đ??ż 2 83

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

El equilibrio estĂĄtico del cuerpo libre implica que đ??´1đ?‘?

đ?‘ĽĚ…1đ?‘?

đ?‘ž (đ?‘Ľ) (2 đ?‘Ľ) đ?‘žđ??ż đ??ż ] (đ?‘Ľ − 2 đ?‘Ľ) = 0 ⇒ đ?‘€ = đ?‘žđ??ż đ?‘Ľ − đ?‘ž đ?‘Ľ 3 + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ −đ?‘€1 + (đ?‘Ľ) − [ 1 4 2 3 4 3đ??ż đ?‘‰1 =

đ?‘‘đ?‘€1 đ?‘žđ??ż đ?‘ž 2 = − đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ 4 đ??ż

Corte en el tramo â‘Ą. Se secciona la viga a una distancia đ?‘Ľ de đ??´ en un punto arbitrario justo despuĂŠs de đ??ż/2. En la figura 1-11e es visualizado el diagrama de cuerpo libre para ĂŠste segmento de viga con longitud đ?‘Ľ. đ??ż ≤đ?‘Ľâ‰¤đ??ż 2

(e) Previo a la aplicaciĂłn de las ecuaciones de equilibrio, deben determinarse los valores de đ?‘ž´´ y de la carga concentrada equivalente y su punto de aplicaciĂłn de la presiĂłn mostrada. Con base en la fiigura 1-11f, el valor de la intensidad đ?‘ž´´ en funciĂłn de đ?‘Ľ es

đ?‘ž đ?‘ž´´ = đ??ż đ??żâˆ’đ?‘Ľ 2

đ?‘ž´´

đ?‘ž đ??´

đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’

đ??ľ

đ??ż

đ??ż 2

2

đ?‘ž´´ = đ??żâˆ’đ?‘Ľ

đ?‘Ľ đ??ż

(f) 84

đ?‘ž(đ??ż − đ?‘Ľ) 2đ?‘ž(đ??ż − đ?‘Ľ) = đ??ż đ??ż 2

CAPÍTULO 1

ANÁLISIS DE VIGAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

Para la parte izquierda de la presión seccionada, figura 1-11g, se deduce que

(g)

𝐴1 =

𝐴2𝑐 =

𝐿 2𝑞 (𝑥 − 2) (𝑞 − (2𝑞 − 𝐿 𝑥)) 2

𝐿 (2) (𝑞) 2

=

=

𝑞𝐿 𝑞𝐿 = 2 = 2 4 1

𝐿 2𝑞 (𝑥 − 2) (−𝑞 + 𝐿 𝑥) 2

2𝑞 𝑞𝐿 −𝑞𝑥 + 𝐿 𝑥 2 + 2 − 𝑞𝑥 = 2

𝑞 2 𝑞𝐿 𝑥 − 𝑞𝑥 + 𝐿 4

𝐿 2𝑞 2𝑞 2 2𝑞 𝐴3𝑐 = (𝑥 − ) (2𝑞 − 𝑥) = 2𝑞𝑥 − 𝑥 − 𝑞𝐿 + 𝑞𝑥 = − 𝑥 2 − 𝑞𝐿 + 3𝑞𝑥 2 𝐿 𝐿 𝐿 2 𝐿 𝐿 𝑥̅1 = ( ) = 3 2 3 𝑥̅2𝑐 =

𝐿 1 𝐿 𝐿 𝑥 𝐿 𝑥 𝐿 + (𝑥 − ) = + − = + 2 3 2 2 3 6 3 3

𝑥̅3𝑐 =

𝐿 1 𝐿 𝐿 𝑥 𝐿 𝑥 𝐿 + (𝑥 − ) = + − = + 2 2 2 2 2 4 2 4 𝐿 𝑞𝐿 𝑞𝐿2 𝑥̅1 𝐴1 = ( ) ( ) = 3 4 12

𝑥 𝐿 𝑞 𝑞𝐿 𝑞 3 𝑞𝑥 2 𝑞𝐿 𝑞 𝑞𝐿 𝑞𝐿2 𝑥̅2 𝐴2𝑐 = ( + ) ( 𝑥 2 − 𝑞𝑥 + ) = 𝑥 − + 𝑥 + 𝑥2 − 𝑥 + 3 3 𝐿 4 3𝐿 3 12 3 3 12 𝑥 𝐿 2𝑞 𝑞 3𝑞 2 𝑞𝐿𝑥 𝑞 2 3𝑞𝐿 𝑞𝐿2 𝑥̅3 𝐴3𝑐 = ( + ) (− 𝑥 2 + 3𝑞𝑥 − 𝑞𝐿) = − 𝑥 3 + 𝑥 − − 𝑥 − 𝑥− 2 4 𝐿 𝐿 2 2 2 4 4 La información obtenida se acomoda en la tabla 1-19.

85

CAPÍTULO 1

ANÁLISIS DE VIGAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

Componente

𝐴

𝑥̅

𝑥̅ 𝐴

1

𝑞𝐿 4

𝐿 3

𝑞𝐿2 12

2

𝑞 2 𝑞𝐿 𝑥 − 𝑞𝑥 + 𝐿 4

𝑥 𝐿 + 3 3

𝑞 3 𝑞𝐿 𝑞𝐿2 𝑥 − 𝑥+ 3𝐿 4 12

2𝑞 2 𝑥 + 3𝑞𝑥 − 𝑞𝐿 𝐿

𝑥 𝐿 + 2 4

𝑞 𝑞𝐿 𝑞𝐿2 − 𝑥 3 + 𝑞𝑥 2 + 𝑥 − 𝐿 4 4

3 −

∑ =

𝑞 𝑞𝐿 − 𝑥 2 + 2𝑞𝑥 − 𝐿 2

−

2𝑞 3 𝑞𝐿2 𝑥 + 𝑞𝑥 2 − 3𝐿 12

Tabla 1-19

Finalmente, el área total (carga concentrada equivalente) es 𝑞 𝑞𝐿 𝐴𝑇 = − 𝑥 2 + 2𝑞𝑥 − 𝐿 2 y el centroide del área (punto de aplicación) es −2𝑞 3 𝑞𝐿2 2 𝑥 + 𝑞𝑥 − ∑ 𝑥̅ 𝐴 12 a la derecha de A; donde 𝑥̅ < 𝑥 𝑥̅ 𝑇 = = 3𝐿 𝑇 𝑞 2 𝑞𝐿 ∑𝐴 − 𝐿 𝑥 + 2𝑞𝑥 − 2 Por lo tanto, + ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 −2𝑞 3 𝑞𝐿2 2 𝑥 + 𝑞𝑥 − 𝑞𝐿 𝑞 2 𝑞𝐿 12 ) = 0 −𝑀2 + (𝑥) − (− 𝑥 + 2𝑞𝑥 − ) (𝑥 − 3𝐿 𝑞 𝑞𝐿 4 𝐿 2 − 𝐿 𝑥 2 + 2𝑞𝑥 − 2 𝑞𝐿 𝑞 3 𝑞𝐿 2𝑞 3 𝑞𝐿2 𝑞 3 3𝑞𝐿 𝑞𝐿2 2 2 2 (𝑥) 𝑀2 = + 𝑥 − 2𝑞𝑥 + 𝑥 − 𝑥 + 𝑞𝑥 − = 𝑥 − 𝑞𝑥 + 𝑥− 4 𝐿 2 3𝐿 12 3𝐿 4 12 𝑉2 =

𝑑𝑀2 𝑞 2 3𝑞𝐿 = 𝑥 − 2𝑞𝑥 + 𝑑𝑥 𝐿 4

86

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Cålculo del momento måximo de cada tramo 0≤�≤

đ??ż 2

La posiciĂłn del momento mĂĄximo es đ?‘žđ??ż 2 2 2 đ?‘žđ??ż đ?‘ž 2 4 = đ?‘žđ??ż = đ??ż ⇒ đ?‘Ľ = Âąâˆšđ??ż 2 đ?‘‰1 = 0 = − đ?‘Ľ ⇒đ?‘Ľ = đ?‘ž 4 đ??ż 4đ?‘ž 4 4 đ??ż

∴ đ?‘Ľđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ1 =

đ??ż 2

El valor måximo del momento es ����1

đ?‘žđ??ż đ??ż đ?‘ž đ??ż 3 đ?‘žđ??ż2 đ?‘žđ??ż2 đ?‘žđ??ż2 = ( )− ( ) = − = 4 2 3đ??ż 2 8 24 12 đ??ż ≤đ?‘Ľâ‰¤đ??ż 2

La posición del momento måximo es �2 = 0 =

đ?‘ž 2 3đ?‘žđ??ż đ?‘Ľ − 2đ?‘žđ?‘Ľ + đ??ż 4

1 3 −(−2) Âą √(−2)2 − 4 (đ??ż) (4 đ??ż) đ?‘Ľ2 3 2Âą1 − 2đ?‘Ľ + đ??ż = 0 ⇒ đ?‘Ľ = ⇒đ?‘Ľ=( )đ??ż đ??ż 4 2(1/đ??ż) 2 3 đ?‘Ľ1 = đ??ż 2

1 đ?‘Ľ2 = đ??ż 2

1 ∴đ?‘Ľ đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ2 = đ??ż 2

El valor måximo del momento es ����2

đ?‘ž 1 3 1 2 3đ?‘žđ??ż 1 đ?‘žđ??ż2 đ?‘žđ??ż2 = ( đ??ż) − đ?‘ž ( đ??ż) + ( đ??ż) − = 3đ??ż 2 2 4 2 12 12

Para determinar el momento mĂĄximo de toda la viga deben compararse los momentos mĂĄximos de cada tramo y elegir el mayor. En este caso, por la simetrĂ­a đ??ż

de la viga el momento mĂĄximo y su posiciĂłn (2 forzosamente) del primer tramo coinciden con los del segundo tramo. Ecuaciones de la pendiente y la deflexiĂłn usando el mĂŠtodo de la integraciĂłn directa Al aplicar la ecuaciĂłn diferencial đ??¸đ??ź

đ?‘‘2 đ?‘Ś =đ?‘€ đ?‘‘đ?‘Ľ 2

87

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

e integrarla dos veces en cada tramo, se obtiene 0≤đ?‘Ľâ‰¤ đ??¸đ??ź

đ??ż 2

đ?‘‘2đ?‘Ś đ?‘‘2 đ?‘Ś đ?‘žđ??ż đ?‘ž 3 đ?‘‘(đ?‘‘đ?‘Ś) đ?‘žđ??ż đ?‘ž = đ?‘€ ⇒ đ??¸đ??ź = đ?‘Ľâˆ’ đ?‘Ľ ⇒ đ??¸đ??ź âˆŤ = âˆŤ ( đ?‘Ľ − đ?‘Ľ 3 ) đ?‘‘đ?‘Ľ 1 2 2 đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ 4 3đ??ż đ?‘‘đ?‘Ľ 4 3đ??ż đ??¸đ??źđ?œƒ1 =

đ?‘žđ??ż 2 đ?‘ž 4 đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ??ś1 − −→ â‘ 8 12đ??ż

đ?‘žđ??ż đ?‘ž 4 đ?‘žđ??ż 3 đ?‘ž 5 đ??¸đ??ź âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ ( đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ľ + đ??ś1 ) đ?‘‘đ?‘Ľ ⇒ đ??¸đ??źđ?‘Ś1 = đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ??ś1 đ?‘Ľ + đ??ś2 − −→ â‘Ą 8 12đ??ż 24 60đ??ż

đ??ż ≤đ?‘Ľâ‰¤đ??ż 2 đ??¸đ??ź

đ?‘‘2 đ?‘Ś đ?‘‘2đ?‘Ś đ?‘ž 3 3đ?‘žđ??ż đ?‘žđ??ż2 2 = đ?‘€ ⇒ đ??¸đ??ź = đ?‘Ľ − đ?‘žđ?‘Ľ + đ?‘Ľ − 2 đ?‘‘đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘Ľ 2 3đ??ż 4 12

đ??¸đ??ź âˆŤ

đ?‘‘(đ?‘‘đ?‘Ś) đ?‘ž 3đ?‘žđ??ż đ?‘žđ??ż2 (đ?‘Ľ) − = âˆŤ ( (đ?‘Ľ)3 − đ?‘ž(đ?‘Ľ)2 + ) đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ 3đ??ż 4 12

đ??¸đ??źđ?œƒ2 =

đ?‘ž 4 đ?‘žđ?‘Ľ 3 3đ?‘žđ??ż 2 đ?‘žđ??ż2 đ?‘Ľ − + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ??ś3 − −→ ③ 12đ??ż 3 8 12

đ?‘ž 4 đ?‘žđ?‘Ľ 3 3đ?‘žđ??ż 2 đ?‘žđ??ż2 đ??¸đ??ź âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ ( đ?‘Ľ − + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ??ś3 ) đ?‘‘đ?‘Ľ 12đ??ż 3 8 12 đ?‘ž 5 đ?‘ž 4 đ?‘žđ??ż 3 đ?‘žđ??ż2 2 đ??¸đ??źđ?‘Ś2 = đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ??ś3 đ?‘Ľ + đ??ś4 − −→ â‘Ł 60đ??ż 12 8 24 MĂŠtodo del trabajo virtual unificado con el mĂŠtodo de la integraciĂłn doble Para calcular las cuatro constantes de integraciĂłn anteriores usaremos cuatro condiciones, primero dos de frontera y luego dos de continuidad. La deflexiĂłn en el punto đ??´ de la viga es nula, asĂ­ que, 1) đ?‘Ś1 = 0 đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ = 0; en ese punto el giro es desconocido, por lo que la segunda condiciĂłn se plantearĂĄ a partir de calcular la rotaciĂłn en đ??´ (đ?œƒđ??´ ). Luego, por continuidad se establece que đ??ż

đ??ż

3) đ?œƒ1 = đ?œƒ2 en đ?‘Ľ = 2 y 4) đ?‘Ś1 = đ?‘Ś2 en đ?‘Ľ = 2. Para calcular el giro en đ??´ (đ?œƒđ??´ ), es decir la rotaciĂłn cuando đ?‘Ľ = 0, aplicamos el mĂŠtodo del trabajo virtual.

88

CAPÍTULO 1

ANÁLISIS DE VIGAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

Momentos reales 𝑴. Corresponden a las siguientes funciones que ya han sido deducidas: 𝑀1 =

𝑞𝐿 𝑞 𝑥 − 𝑥3 4 3𝐿

0≤𝑥≤

𝑞 3 3𝑞𝐿 𝑞𝐿2 2 𝑀2 = 𝑥 − 𝑞𝑥 + 𝑥− 3𝐿 4 12

𝐿 2

𝐿 ≤𝑥≤𝐿 2

Momento virtual 𝒎𝜽 . Remítase al ejercicio 1.8. 1 𝑚1𝜃 = 1 − 𝑥 𝐿

0≤𝑥≤𝐿

Ecuación del trabajo virtual. Entonces, la pendiente en 𝐴 es resultado de 𝐿2

1 ∙ 𝜃𝐴 = ∫ 𝐿1

𝑀𝑚𝜃 𝑑𝑥 𝐸𝐼

𝐿

1 2 𝑞𝐿 𝑞 1 1 𝐿 𝑞 3𝑞𝐿 𝑞𝐿2 1 1 ∙ 𝜃𝐴 = ∫ ( 𝑥 − 𝑥 3 ) (1 − 𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ ( 𝑥 3 − 𝑞𝑥 2 + 𝑥− ) (1 − 𝑥) 𝑑𝑥 𝐿 𝐸𝐼 0 4 3𝐿 𝐿 𝐸𝐼 3𝐿 4 12 𝐿 2

𝐿

𝐿

1 2 𝑞𝐿 𝑞 1 1 2 𝑞𝐿 𝑞 𝑞 𝑞 1 𝑞𝐿 ∫ ( 𝑥 − 𝑥 3 ) (1 − 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ ( 𝑥 − 𝑥 3 − 𝑥 2 + 2 𝑥 4 ) 𝑑𝑥 = [ 𝑥 2 𝐸𝐼 0 4 3𝐿 𝐿 𝐸𝐼 0 4 3𝐿 4 3𝐿 𝐸𝐼 8 𝐿

𝑞 4 𝑞 𝑞 1 𝑞𝐿 𝐿 2 𝑞 𝐿 4 𝑞 𝐿 3 𝑞 𝐿 5 17𝑞𝐿3 5 2 − 𝑥 − 𝑥3 + 𝑥 = [ ( ) − ( ) − ( ) + ( ) ] = ] 12𝐿 12 15𝐿2 𝐸𝐼 8 2 12𝐿 2 12 2 15𝐿2 2 960𝐸𝐼 0

1 𝐿 𝑞 3 3𝑞𝐿 𝑞𝐿2 1 2 ∫ ( 𝑥 − 𝑞𝑥 + 𝑥− ) (1 − 𝑥) 𝑑𝑥 𝐿 𝐸𝐼 3𝐿 4 12 𝐿 2

=

1 𝐿 𝑞 3 3𝑞𝐿 𝑞𝐿2 𝑞 𝑞 3𝑞 2 𝑞𝐿 ∫ ( 𝑥 − 𝑞𝑥 2 + 𝑥− − 2 𝑥4 + 𝑥3 − 𝑥 + 𝑥) 𝑑𝑥 𝐸𝐼 𝐿 3𝐿 4 12 3𝐿 𝐿 4 12 2

=

1 𝐿 𝑞 4𝑞 3 7𝑞 2 5𝑞𝐿 𝑞𝐿2 1 𝑞 𝑞 ∫ (− 2 𝑥 4 + 𝑥 − 𝑥 + 𝑥− ) 𝑑𝑥 = [− 𝑥5 + 𝑥4 2 𝐸𝐼 𝐿 3𝐿 3𝐿 4 6 12 𝐸𝐼 15𝐿 3𝐿 2

𝐿

7𝑞 3 5𝑞𝐿 2 𝑞𝐿2 1 𝑞 𝐿 5 𝑞 𝐿 4 5 4 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑥] = [− (𝐿 − ( ) ) + (𝐿 − ( ) ) 12 12 12 𝐿 𝐸𝐼 15𝐿2 2 3𝐿 2 2

7𝑞 3 𝐿 3 5𝑞𝐿 2 𝐿 2 𝑞𝐿2 𝐿 − (𝐿 − ( ) ) + (𝐿 − ( ) ) − (𝐿 − ( ))] 12 2 12 2 12 2

89

CAPÍTULO 1

=

ANÁLISIS DE VIGAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

1 31𝑞𝐿3 5𝑞𝐿3 49𝑞𝐿3 5𝑞𝐿3 𝑞𝐿3 𝑞𝐿3 [− + − + − ]= 𝐸𝐼 480 16 96 16 24 120𝐸𝐼

𝜃𝐴 =

17𝑞𝐿3 𝑞𝐿3 5𝑞𝐿3 + = 960𝐸𝐼 120𝐸𝐼 192𝐸𝐼

∴ 𝜃𝐴 =

5𝑞𝐿3 192𝐸𝐼

5𝑞𝐿3

Por lo tanto, la segunda condición de frontera es: 2) 𝜃1 = − 192𝐸𝐼 𝑒𝑛 𝑥 = 0. Sustituyendo la condición 2) en la ecuación ① da −5𝑞𝐿3 𝑞𝐿 𝑞 −5𝑞𝐿3 (0)2 − (0)4 + 𝐶1 ⇒∴ 𝐶1 = 𝐸𝐼 ( )= 192𝐸𝐼 8 12𝐿 192 Sustituyendo la condición 1) en la ecuación ② tenemos 𝐸𝐼(0) =

𝑞𝐿 𝑞 5𝑞𝐿3 (0)3 − (0)5 − (0) + 𝐶2 ⇒∴ 𝐶2 = 0 24 60𝐿 192

Aplicando la condición 3) se obtiene 1 𝑞𝐿 2 𝑞 4 5𝑞𝐿3 1 𝑞 4 𝑞𝑥 3 3𝑞𝐿 2 𝑞𝐿2 𝐿 ( 𝑥 − 𝑥 − )= ( 𝑥 − + 𝑥 − 𝑥 + 𝐶3 ) , en 𝑥 = 𝐸𝐼 8 12𝐿 192 𝐸𝐼 12𝐿 3 8 12 2 𝑞𝐿 𝐿 2 𝑞 𝐿 4 5𝑞𝐿3 𝑞 𝐿 4 𝑞 𝐿 3 3𝑞𝐿 𝐿 2 𝑞𝐿2 𝐿 ( ) − ( ) − = ( ) − ( ) + ( ) − ( ) + 𝐶3 8 2 12𝐿 2 192 12𝐿 2 3 2 8 2 12 2 𝐶3 = −

𝑞 𝐿 4 𝑞 𝐿 3 𝑞𝐿 𝐿 2 𝑞𝐿2 𝐿 5𝑞𝐿3 1 1 1 1 5 ( ) + ( ) − ( ) + ( )− = 𝑞𝐿3 (− + − + − ) 6𝐿 2 3 2 4 2 12 2 192 96 24 16 24 192

∴ 𝐶3 = −

𝑞𝐿3 64

La aplicación de la condición 4) conlleva a 1 𝑞𝐿 3 𝑞 5 5𝑞𝐿3 𝑥 1 𝑞 5 𝑞 4 𝑞𝐿 3 𝑞𝐿2 2 𝑞𝐿3 𝑥 𝐿 𝑥 − 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 − + 𝐶4 ) ,en 𝑥 = ( 𝑥 − )= ( 𝐸𝐼 24 60𝐿 192 𝐸𝐼 60𝐿 12 8 24 64 2

𝑞 𝐿 5 𝑞 𝐿 4 𝑞𝐿 𝐿 3 𝑞𝐿2 𝐿 2 𝑞𝐿3 𝐿 𝐶4 = − ( ) + ( ) − ( ) + ( ) − ( ) 30𝐿 2 12 2 12 2 24 2 96 2 𝐶4 = 𝑞𝐿4 (−

1 1 1 1 1 𝑞𝐿4 + − + − ) ⇒ ∴ 𝐶4 = − 960 192 96 96 192 960

En consecuencia, las ecuaciones de la pendiente y la deflexión son

90

CAPÍTULO 1

ANÁLISIS DE VIGAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

0≤𝑥≤ 𝜃1 =

1 𝑞𝐿 2 𝑞 4 5𝑞𝐿3 ( 𝑥 − 𝑥 − ) 𝐸𝐼 8 12𝐿 192

𝐿 2

𝑦1 =

1 𝑞𝐿 3 𝑞 5 5𝑞𝐿3 ( 𝑥 − 𝑥 − 𝑥) 𝐸𝐼 24 60𝐿 192

𝐿 ≤𝑥≤𝐿 2 𝜃2 =

𝑦2 =

1 𝑞 4 𝑞𝑥 3 3𝑞𝐿 2 𝑞𝐿2 𝑞𝐿3 ( 𝑥 − + 𝑥 − 𝑥− ) 𝐸𝐼 12𝐿 3 8 12 64

1 𝑞 5 𝑞 4 𝑞𝐿 3 𝑞𝐿2 2 𝑞𝐿3 𝑞𝐿4 ( 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 − 𝑥− ) 𝐸𝐼 60𝐿 12 8 24 64 960 Cálculo de la flecha máxima de cada tramo 0≤𝑥≤ 𝐸𝐼𝜃1 = 0 =

𝐿 2

𝑞𝐿 2 𝑞 4 5𝑞𝐿3 𝑥 − 𝑥 − 8 12𝐿 192

1 4 𝐿 2 5𝐿3 1 2 𝐿 5𝐿3 4 2 2 − 𝑥 + 𝑥 − = 0; 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑧 ⇒ 𝑥 = 𝑧, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 − 𝑧 + 𝑧− =0 12𝐿 8 192 12𝐿 8 192 𝐿 𝐿 2 1 5𝐿3 − (8) ± √(8) − 4 (− 12𝐿) (− 192) 𝑧=

1 2 (− 12𝐿) 𝑧1 =

1 2 𝐿 4

𝑧2 =

1 1 − 8 ± 12 =( ) 𝐿2 1 −6

5 2 𝐿 4

𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑥 = ± √𝑧 1 1 𝑥1 = √ 𝐿2 = 𝐿 4 2

1 1 𝑥2 = −√ 𝐿2 = − 𝐿 4 2

5 √5 𝑥4 = −√ 𝐿2 = − 𝐿 4 2

91

5 √5 𝑥3 = √ 𝐿2 = 𝐿 4 2

∴ 𝑥𝑚𝑎𝑥1 =

1 𝐿 2

CAPĂ?TULO 1

đ?‘Śđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

1 đ?‘žđ??ż đ??ż 3 đ?‘ž đ??ż 5 5đ?‘žđ??ż3 đ??ż đ?‘žđ??ż4 đ?‘žđ??ż4 = ( ( ) − ⇒∴ đ?‘Śđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ1 = ↓ ( ) − ( )) ⇒ đ?‘Śđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ1 = − đ??¸đ??ź 24 2 60đ??ż 2 192 2 120đ??¸đ??ź 120đ??¸đ??ź

đ??ż ≤đ?‘Ľâ‰¤đ??ż 2 đ??¸đ??źđ?œƒ2 = 0 =

đ?‘ž 4 đ?‘žđ?‘Ľ 3 3đ?‘žđ??ż 2 đ?‘žđ??ż2 đ?‘žđ??ż3 1 4 đ?‘Ľ 3 3đ??ż 2 đ??ż2 đ??ż3 đ?‘Ľ − + đ?‘Ľ − đ?‘Ľâˆ’ = đ?‘Ľ − + đ?‘Ľ − đ?‘Ľâˆ’ 12đ??ż 3 8 12 64 12đ??ż 3 8 12 64

Evaluamos el siguiente polinomio de 0 a đ??ż, ya que la soluciĂłn que nos interesa debe estar en el intervalo [0, đ??ż]: 1 4 1 3 3đ??ż 2 đ??ż2 đ??ż3 đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − đ?‘Ľâˆ’ 12đ??ż 3 8 12 64 Los resultados de la iteraciĂłn se proporcionan en la tabla 1-20.

Tabla 1-20

1 ∴ đ?‘Ľđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ2 = đ??ż 2 đ?‘Śđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ2

1 đ?‘ž đ??ż 5 đ?‘ž đ??ż 4 đ?‘žđ??ż đ??ż 3 đ?‘žđ??ż2 đ??ż 2 đ?‘žđ??ż3 đ??ż đ?‘žđ??ż4 = ( ( ) − ( ) + ( ) − ( ) − ( )− ) đ??¸đ??ź 60đ??ż 2 12 2 8 2 24 2 64 2 960 đ?‘Śđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ2

đ?‘žđ??ż4 =− 120đ??¸đ??ź

∴ đ?‘Śđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ2

đ?‘žđ??ż4 = ↓ 120đ??¸đ??ź

Diagramas de fuerza cortante, momento flector, rotaciĂłn y deflexiĂłn (curva elĂĄstica) A partir de las tablas 1-21, 1-22, 1-23 y 1-24 se determinan los diagramas solicitados, figuras 1-11h, 1-11i, 1-11j y 1-11k.

92

CAPÍTULO 1

ANÁLISIS DE VIGAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

(h)

Tabla 1-21

Tabla 1-22

(i)

Tabla 1-23

(j)

Tabla 1-24

(k)

93

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Ejercicio 1.12 2 �/� 3� 1 �/�

6 �/�

3đ?‘‡âˆ™đ?‘š đ??ś

đ??ľ

đ??´

6đ?‘š

2đ?‘š

đ??ˇ 1đ?‘š

(a) Figura 1-12 SOLUCIĂ“N CĂĄlculo de las reacciones en los soportes Diagrama de cargas. Al analizar la carga trapezoidal, es conveniente dividirla en una carga uniforme y una carga triangular, figura 1-12b. Las ĂĄreas y los centroides de ĂĄreas se presentan en la tabla 1-25. Componente

đ??´, đ?‘‡

đ?‘ĽĚ… , đ?‘š

đ?‘ĽĚ… đ??´, đ?‘‡ ∙ đ?‘š

â‘ =rectĂĄngulo

6(1) = 6

1 (6) = 3 2

18

â‘Ą= triĂĄngulo

6(1) =3 2

1 (6) = 2 3

6

∑đ??´ = 9

(b)

∑ đ?‘ĽĚ… đ??´ = 24

Tabla 1-25 Entonces, la carga concentrada equivalente de la carga trapezoidal distribuida es đ??´1 = ∑ đ??´ = 9đ?‘‡ y su lĂ­nea de acciĂłn estĂĄ localizada a una distancia de đ?‘ĽĚ…1 =

∑ đ?‘ĽĚ… đ??´ 24đ?‘‡. đ?‘š 8 = = đ?‘š a la derecha de B ∑đ??´ 9đ?‘‡ 3

La fuerza resultante de la carga distribuida uniforme y su punto de aplicaciĂłn son, respectivamente 94

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

đ?‘ĽĚ…2 = (1/2)(2đ?‘š) = 1đ?‘š a la izquierda de B

đ??´2 = (6đ?‘‡/đ?‘š)(2đ?‘š) = 12T

El diagrama de cargas de la estructura, figura 1-12c, se completa identificando las reacciones en los soportes proponiendo sus sentidos arbitrariamente. đ??´2 = 12đ?‘‡ 2 đ?‘‡/đ?‘š 3đ?‘‡

đ??´1 = 9đ?‘‡

6 �/�

1 đ?‘‡/đ?‘š 3đ?‘‡âˆ™đ?‘š

đ??´ đ?‘…đ??ľđ?‘‹ 2đ?‘š

đ??ś

đ??ľ đ?‘…đ??ľđ?‘Œ

đ?‘ĽĚ…2 = 1đ?‘š đ?‘ĽĚ…1 =

đ?‘…đ??śđ?‘Œ

6đ?‘š 10

8 đ?‘š 3

3

đ??ˇ 1đ?‘š

đ?‘š

(c) Ecuaciones de equilibrio. 8 + ∑ đ?‘€đ??ľ = 0 ⇒ −(3)(2) − (12)(1) + 9 ( ) − 6(đ?‘…đ??śđ?‘Œ ) + 3 = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??śđ?‘Œ = 1.5 đ?‘‡ 3 10 + ∑ đ?‘€đ??ś = 0 ⇒ 3 − 9 ( ) + 6(đ?‘…đ??ľđ?‘Œ ) − (12)(1 + 6) − 3(8) = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??ľđ?‘Œ = 22.5 đ?‘‡ 3 +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘…đ??ľđ?‘‹ = 0 Como comprobaciĂłn, se cumple que +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = − 3 − 12 + 1.5 − 9 + 22.5 = 0 đ?‘œđ?‘˜ ✓ Funciones de fuerza cortante y de momento

(d) 95

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

En la figura 1-12d se especifica la coordenada đ?‘Ľ a utilizar cuyo origen asociado estĂĄ en đ??´; note que đ?‘Ľ es vĂĄlida para 0 ≤ đ?‘Ľ ≤ 9đ?‘š. Debido a los cambios en el tipo de la carga distribuida y a las fuerzas reactivas en đ??ľ y đ??ś, las funciones de las acciones internas son discontinuas en esos puntos, asĂ­ que deberĂĄn efectuarse tres cortes perpendiculares al eje de la viga para definir el momento y la fuerza cortante a lo largo de la estructura. Corte en el tramo â‘ (đ??´ − đ??ľ). Se secciona la viga a una distancia đ?‘Ľ de đ??´ antes del punto đ??ľ, es decir, antes del punto de intensidad de 2đ?‘‡/đ?‘š de la presiĂłn trapezoidal. En consecuencia, el diagrama de cuerpo libre de la secciĂłn cortada, figura 1-12e, y su equilibrio estĂĄtico son 0 ≤ đ?‘Ľ ≤ 2đ?‘š + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0

3đ?‘‡ 6 đ?‘‡/đ?‘š đ??´

đ?‘€1 đ?‘Ľ

đ?‘Ľ đ?‘€1 = −6(đ?‘Ľ) ( ) − 3đ?‘Ľ = −3đ?‘Ľ 2 − 3đ?‘Ľ 2

�1

�1 =

(e)

đ?‘‘đ?‘€1 = −6đ?‘Ľ − 3 đ?‘‘đ?‘Ľ

Corte en el tramo â‘Ą(đ??ľ − đ??ś). Se secciona la viga en un punto arbitrario que se ubique justo despuĂŠs de que comience la carga trapezoidal distribuida pero antes de que la misma termine; se cumple que la longitud de la viga va desde el punto đ??´ hasta despuĂŠs del punto đ??ľ, pero sin llegar al punto đ??ś. En la figura 1-12f se muestra el diagrama de cuerpo libre para ĂŠste segmento de viga con longitud đ?‘Ľ. 2đ?‘š ≤ đ?‘Ľ ≤ 8đ?‘š

(f) Previo a la aplicaciĂłn de las ecuaciones de equilibrio, debe hallarse el ĂĄrea y su centroide de la presiĂłn trapezoidal del corte.

96

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Con base en la figura 1-12g, por trigonometrĂ­a puede determinarse el valor de la intensidad đ?‘Š1 en funciĂłn de đ?‘Ľ.

1đ?‘‡/đ?‘š đ?‘Ś = 6đ?‘š 8đ?‘š − đ?‘Ľ đ?‘Ś=

(1)(8 − đ?‘Ľ) 4 1 = − đ?‘Ľ 6 3 6

4 1 7 1 đ?‘Š1 = 1 + đ?‘Ś = 1 + ( − đ?‘Ľ) = − đ?‘Ľ 3 6 3 6

(g)

A continuaciĂłn, a partir de la figura 1-12h se hace el anĂĄlisis de la carga trapezoidal distribuida del corte.

(h) 7 1 7 1 14 1 1 8 14 đ??´1 = (đ?‘Ľ − 2) ( − đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ − đ?‘Ľ 2 − + đ?‘Ľ = − đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ − 3 6 3 6 3 3 6 3 3

đ??´2 =

7 1 (đ?‘Ľ − 2) (2 − ( − đ?‘Ľ)) 3 6 2

1 1 1 1 2 1 (đ?‘Ľ − 2) (− + đ?‘Ľ) − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ 2 + − đ?‘Ľ 3 6 3 6 3 3 = = 2 2

đ??´2 = đ?‘ĽĚ…1 =

1 2 1 1 đ?‘Ľ − đ?‘Ľ+ 12 3 3

đ?‘Ľâˆ’2 1 đ?‘Ľâˆ’2 1 2 = đ?‘Ľ − 1; đ?‘ĽĚ…2 = = đ?‘Ľâˆ’ 2 2 3 3 3

1 8 14 1 1 4 7 1 8 14 đ?‘ĽĚ…1 đ??´1 = (− đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ − ) ( đ?‘Ľ − 1) = − đ?‘Ľ 3 + đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ľ + 6 3 3 2 12 3 3 6 3 3 đ?‘ĽĚ…1 đ??´1 = −

1 3 3 2 14 đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − 5đ?‘Ľ + 12 2 3

1 1 1 1 2 đ?‘Ľ 3 đ?‘Ľ 2 đ?‘Ľ đ?‘Ľ 2 2đ?‘Ľ 2 đ?‘ĽĚ…2 đ??´2 = ( x 2 − x + ) ( đ?‘Ľ − ) = − + − + − 12 3 3 3 3 36 9 9 18 9 9 đ?‘ĽĚ…2 đ??´2 =

1 3 1 2 1 2 đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľâˆ’ 36 6 3 9 97

CAPÍTULO 1

ANÁLISIS DE VIGAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

La información obtenida se presenta en la tabla 1-26. Componente

𝐴

𝑥̅

①= rectángulo

1 8 14 − 𝑥2 + 𝑥 − 6 3 3

1 𝑥−1 2

②= triángulo

1 2 1 1 𝑥 − 𝑥+ 12 3 3

1 2 𝑥− 3 3

∑=

−

1 2 7 13 𝑥 + 𝑥− 12 3 3

𝑥̅ 𝐴 −

1 3 3 2 14 𝑥 + 𝑥 − 5𝑥 + 12 2 3

1 3 1 2 1 2 𝑥 − 𝑥 + 𝑥− 36 6 3 9 −

𝑥 3 4𝑥 2 14𝑥 40 + − + 18 3 3 9

Tabla 1-26 Finalmente, la fuerza resultante es 𝐴𝑇 = ∑ 𝐴 = −

1 2 7 13 𝑥 + 𝑥− 12 3 3

y el centroide a través del cual actúa es

𝑥̅ 𝑇 =

∑ 𝑥̅ 𝐴 = ∑𝐴

𝑥 3 4𝑥 2 14𝑥 40 − 18 + 3 − 3 + 9 1 7 13 − 12 𝑥 2 + 3 𝑥 − 3

a la derecha de B, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥̅ 𝑇 < (𝑥 − 2)

En consecuencia, 1 + ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 ⇒ −𝑀2 − 3(𝑥) − 6(2) ( (2) + (𝑥 − 2)) + 22.5(𝑥 − 2) 2 𝑥 3 4𝑥 2 14𝑥 40 − 18 + 3 − 3 + 9

2

− (−

𝑥 7 13 + 𝑥 − ) [(𝑥 − 2) − ( )] = 0 1 2 7 13 12 3 3 − 12 𝑥 + 3 𝑥 − 3

𝑀2 = −3𝑥 − 12(𝑥 − 1) + 22.5(𝑥 − 2) − (−

𝑥2 7 13 + 𝑥 − ) (𝑥 − 2) 12 3 3

𝑥 3 4𝑥 2 14𝑥 40 𝑥 3 7 2 13 + (− + − + ) = −3𝑥 − 12𝑥 + 12 + 22.5𝑥 − 45 − (− + 𝑥 − 𝑥 18 3 3 9 12 3 3 1 14 26 −𝑥 3 4𝑥 2 14𝑥 40 1 1 7 1 4 + 𝑥2 − 𝑥+ )+( + − + ) = 𝑥 3 ( − ) + 𝑥 2 (− − + ) 6 3 3 18 3 3 9 12 18 3 6 3 +𝑥 (

13 14 14 26 40 1 3 7 2 71 335 + − + 22.5 − 12 − 3) + (12 − 45 − + )= 𝑥 − 𝑥 + 𝑥− 3 3 3 3 9 36 6 6 9

98

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

�2 =

đ?‘‘đ?‘€2 1 2 7 71 = đ?‘Ľ − đ?‘Ľ+ đ?‘‘đ?‘Ľ 12 3 6

Corte en el tramo ③(đ??ś − đ??ˇ). En la figura 1-12i se representa el diagrama de cuerpo libre correspondiente a la porciĂłn izquierda de la viga que se produce al cortarla en algĂşn sitio intermedio del tramo đ??ś − đ??ˇ. Por lo tanto, 8đ?‘š ≤ đ?‘Ľ ≤ 9đ?‘š 2 đ?‘‡/đ?‘š 3đ?‘‡ 1 đ?‘‡/đ?‘š

6đ?‘‡/đ?‘š đ??ľ

đ??´

đ??ś

đ?‘…đ??ľđ?‘Œ = 22.5 đ?‘‡

�3 �3

đ?‘…đ??śđ?‘Œ = 1.5 đ?‘‡

2đ?‘š

6đ?‘š đ?‘Ľ

đ?‘Ľâˆ’8đ?‘š

(i) 1 + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ −đ?‘€3 − 3(đ?‘Ľ) − 6(2) ( (2) + 6 + đ?‘Ľ − 8) + 22.5(6 + đ?‘Ľ − 8) 2 −9 (6 −

8 + đ?‘Ľ − 8) + 1.5(đ?‘Ľ − 8) = 0 3

đ?‘€3 = −3đ?‘Ľ + 12 − 12đ?‘Ľ − 45 + 22.5đ?‘Ľ + 42 − 9đ?‘Ľ + 1.5đ?‘Ľ − 12 = −3 đ?‘‰3 =

đ?‘‘đ?‘€3 =0 đ?‘‘đ?‘Ľ

CĂĄlculo del momento mĂĄximo de cada tramo 0 ≤ đ?‘Ľ ≤ 2đ?‘š Para hallar la posiciĂłn del momento mĂĄximo en la regiĂłn đ??´ − đ??ľ hacemos đ?‘‰1 = 0 = −3 − 6đ?‘Ľ ⇒ 3 = −6đ?‘Ľ ⇒ đ?‘Ľ = −

3 1 =− 6 2

Debido a que la soluciĂłn no tiene sentido, o sea que no estĂĄ dentro del intervalo de distancia analizado de la viga [0,2đ?‘š], el punto donde se ubica el valor mĂĄximo del momento estĂĄ en el lĂ­mite superior. Por lo tanto, đ?‘Ľđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ1 = 2đ?‘š

đ?‘€đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ1 = −3(2) − 3(2)2 = −18đ?‘‡ ∙ đ?‘š

99

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

2đ?‘š ≤ đ?‘Ľ ≤ 8đ?‘š El momento mĂĄximo del tramo đ??ľ − đ??ś se localiza a una distancia respecto de đ??´ de 1 2 7 71 đ?‘‰2 = 0 = đ?‘Ľ − đ?‘Ľ+ ⇒đ?‘Ľ= 12 3 6

7 7 2 1 71 − (− 3) Âą √(− 3) − 4 (12) ( 6 ) 1 2 (12)

đ?‘Ľ1 = 3(√6) + 14 ≈ 21.34847 đ?‘š

7 Âą 1.224745 =3 1 6

đ?‘Ľ2 = 14 − 3(√6) ≈ 6.65153

∴ đ?‘Ľđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ2 = 3(√6)đ?‘š = 6.65153đ?‘š, ya que estĂĄ dentro del intervalo de distancia analizado de la viga [2đ?‘š, 8đ?‘š]. Entonces, đ?‘€đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ2 = (

3 2 1 7 71 335 ) (14 − 3(√6)) − ( ) (14 − 3(√6)) + ( ) (14 − 3(√6)) − 36 6 6 9

đ?‘€đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ2 = (9√6 − 24)đ?‘‡ ∙ đ?‘š = −1.9546 đ?‘‡. đ?‘š 8đ?‘š ≤ đ?‘Ľ ≤ 9đ?‘š El momento es constante a lo largo de este tramo, por lo que đ?‘€đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ3 = −3 đ?‘‡. đ?‘š. Realizando una comparativa, el momento mĂĄximo para toda la viga es de đ?‘€đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ = 18đ?‘‡ ∙ đ?‘š y se presenta en el punto đ?‘Ľđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ = 2đ?‘š; la posiciĂłn se mide a partir de đ??´. Ecuaciones de la pendiente y la deflexiĂłn usando el mĂŠtodo de la integraciĂłn directa Al aplicar la ecuaciĂłn diferencial đ??¸đ??ź

đ?‘‘2 đ?‘Ś =đ?‘€ đ?‘‘đ?‘Ľ 2

e integrarla dos veces en cada tramo, se obtiene 0 ≤ đ?‘Ľ ≤ 2đ?‘š đ??¸đ??ź đ??¸đ??ź

đ?‘‘2đ?‘Ś đ?‘‘2 đ?‘Ś đ?‘‘(đ?‘‘đ?‘Ś) = đ?‘€ ⇒ đ??¸đ??ź = −3đ?‘Ľ 2 − 3đ?‘Ľ ⇒ đ??¸đ??ź âˆŤ = âˆŤ(−3đ?‘Ľ 2 − 3đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ 1 2 2 đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ

đ?‘‘đ?‘Ś 3 đ?‘‘đ?‘Ś 3 = −đ?‘Ľ 3 − đ?‘Ľ 2 + đ??ś1 ; đ?‘ đ?‘– = đ?œƒ, đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œđ?‘›đ?‘?đ?‘’đ?‘ đ??¸đ??źđ?œƒ1 = −đ?‘Ľ 3 − đ?‘Ľ 2 + đ??ś1 − −→ â‘ đ?‘‘đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘Ľ 2

3 1 1 đ??¸đ??ź âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ (−đ?‘Ľ 3 − đ?‘Ľ 2 + đ??ś1 ) đ?‘‘đ?‘Ľ ⇒ đ??¸đ??źđ?‘Ś1 = − đ?‘Ľ 4 − đ?‘Ľ 3 + đ??ś1 đ?‘Ľ + đ??ś2 − −→ â‘Ą 2 4 2 100

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

2đ?‘š ≤ đ?‘Ľ ≤ 8đ?‘š đ??¸đ??ź

đ?‘‘2đ?‘Ś đ?‘‘2đ?‘Ś 1 3 7 2 71 335 = đ?‘€ ⇒ đ??¸đ??ź = đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľâˆ’ 2 2 2 đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ 36 6 6 9

đ??¸đ??ź âˆŤ đ??¸đ??ź đ?‘ đ?‘–

đ?‘‘(đ?‘‘đ?‘Ś) 1 7 71 335 = âˆŤ ( đ?‘Ľ3 − đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ − ) đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ 36 6 6 9

đ?‘‘đ?‘Ś 1 4 7 3 71 2 335 = đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ??ś3 đ?‘‘đ?‘Ľ 144 18 12 9

đ?‘‘đ?‘Ś 1 4 7 71 2 335 = đ?œƒ, đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œđ?‘›đ?‘?đ?‘’đ?‘ đ??¸đ??źđ?œƒ2 = đ?‘Ľ − đ?‘Ľ3 + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ??ś3 − −→ ③ đ?‘‘đ?‘Ľ 144 18 12 9 1 4 7 3 71 2 335 đ??¸đ??ź âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ ( đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ??ś3 ) đ?‘‘đ?‘Ľ 144 18 12 9 đ??¸đ??źđ?‘Ś2 =

1 5 7 4 71 3 335 2 đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ??ś3 đ?‘Ľ + đ??ś4 − −→ â‘Ł 720 72 36 18 8đ?‘š ≤ đ?‘Ľ ≤ 9đ?‘š

đ?‘‘2 đ?‘Ś đ?‘‘2đ?‘Ś đ?‘‘(đ?‘‘đ?‘Ś) đ?‘‘đ?‘Ś đ??¸đ??ź 2 = đ?‘€3 ⇒ đ??¸đ??ź 2 = −3 ⇒ đ??¸đ??ź âˆŤ = âˆŤ −3đ?‘‘đ?‘Ľ ⇒ đ??¸đ??ź = −3đ?‘Ľ + đ??ś5 đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘–

đ?‘‘đ?‘Ś = đ?œƒ, đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œđ?‘›đ?‘?đ?‘’đ?‘ đ??¸đ??źđ?œƒ3 = −3đ?‘Ľ + đ??ś5 − −→ ⑤ đ?‘‘đ?‘Ľ

3 đ??¸đ??ź âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ(−3đ?‘Ľ + đ??ś5 )đ?‘‘đ?‘Ľ ⇒ đ??¸đ??źđ?‘Ś3 = − đ?‘Ľ 2 + đ??ś5 đ?‘Ľ + đ??ś6 − −→ â‘Ľ 2 MĂŠtodo del trabajo virtual unificado con el mĂŠtodo de la integraciĂłn doble Para calcular las seis constantes de integraciĂłn anteriores usaremos seis condiciones, primero dos de frontera y luego cuatro de continuidad. Como no hay algĂşn apoyo en đ??´, la viga puede desplazarse verticalmente y girar en tal punto, asĂ­ que, 1) đ?‘Ś1 =Âż ? đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ = 0 y 2) đ?œƒ1 =Âż ? đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ = 0. Luego, por continuidad se establece que 3) đ?œƒ1 = đ?œƒ2 en đ?‘Ľ = 2đ?‘š ,4) đ?‘Ś1 = đ?‘Ś2 en đ?‘Ľ = 2đ?‘š, 5) đ?œƒ2 = đ?œƒ3 en đ?‘Ľ = 8đ?‘š y 6) đ?‘Ś2 = đ?‘Ś3 en đ?‘Ľ = 8đ?‘š. Para determinar la rotaciĂłn y la deflexiĂłn en đ??´ aplicamos el mĂŠtodo del trabajo virtual. Se sigue el siguiente procedimiento para calcular đ?œƒđ??´ . Momentos reales đ?‘´. Corresponden a las siguientes funciones que ya han sido deducidas: 101

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

đ?‘€1 = −3đ?‘Ľ 2 − 3đ?‘Ľ đ?‘€2 =

0 ≤ � ≤ 2�

1 3 7 2 71 335 đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľâˆ’ 36 6 6 9

2� ≤ � ≤ 8�

đ?‘€3 = −3

8� ≤ � ≤ 9�

Momentos virtuales đ?’Žđ?œ˝ . La pendiente en đ??´ se determina al colocar un momento de par unitario virtual de sentido propuesto horario en el punto đ??´, figura 1-12j. Note que las cargas reales son removidas y que debe usarse la misma coordenada đ?‘Ľ de la estructura real. DespuĂŠs de calcular las reacciones en los soportes, se deducen los momentos internos đ?‘šđ?œƒ con el mĂŠtodo de las secciones. 1 đ??´

đ??ľ

đ?‘Ľ

đ?‘…đ??ľđ?‘Œ = 2đ?‘š

đ??ś

1

đ?‘…đ??śđ?‘Œ =

6

đ??ˇ 1

1đ?‘š

6đ?‘š

6

(j)

+ ∑ đ?‘€đ??ľ = 0 ⇒ 1 − 6(đ?‘…đ??śđ?‘Œ ) = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??śđ?‘Œ = +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ −đ?‘…đ??ľđ?‘Œ +

1 6

1 1 = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??ľđ?‘Œ = 6 6

+→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘…đ??ľđ?‘‹ = 0 Es necesario efectuar tres cortes en la viga anterior. En la figura 1-12k se muestra el diagrama de cargas de la secciĂłn cortada en el primer tramo. 0 ≤ đ?‘Ľ ≤ 2đ?‘š + ∑ đ?‘šđ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 −đ?‘š1đ?œƒ + 1 = 0 ⇒ đ?‘š1đ?œƒ = 1 (k)

El diagrama de cuerpo libre de la secciĂłn cortada en el segundo tramo se indica en la figura 1-12l. 102

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

2đ?‘š ≤ đ?‘Ľ ≤ 8đ?‘š + ∑ đ?‘šđ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 1 −đ?‘š2đ?œƒ + 1 − (đ?‘Ľ − 2) = 0 6 1 4 đ?‘š2đ?œƒ = − đ?‘Ľ + 6 3

(l)

El diagrama de cargas de la secciĂłn cortada en el tercer tramo se proporciona en la figura 1-12m. 8đ?‘š ≤ đ?‘Ľ ≤ 9đ?‘š + ∑ đ?‘šđ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 1 1 −đ?‘š3đ?œƒ + 1 − (6 + đ?‘Ľ − 8) + (đ?‘Ľ − 8) = 0 6 6 1 đ?‘š3đ?œƒ = 1 + (−6 − đ?‘Ľ + 8 + đ?‘Ľ − 8) = 0 6

(m)

EcuaciĂłn del trabajo virtual. Entonces, la pendiente en đ??´ es resultado de đ??ż2

1 ∙ đ?œƒđ??´ = âˆŤ đ??ż1

1 ∙ đ?œƒđ??´ =

đ?‘€đ?‘šđ?œƒ đ?‘‘đ?‘Ľ đ??¸đ??ź

1 2 1 8 1 7 71 335 1 4 âˆŤ (−3đ?‘Ľ 2 − 3đ?‘Ľ)(1) + âˆŤ ( đ?‘Ľ 3 − đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľâˆ’ ) (− đ?‘Ľ + ) đ?‘‘đ?‘Ľ đ??¸đ??ź 0 đ??¸đ??ź 2 36 6 6 9 6 3 +

1 9 âˆŤ (−3)(0)đ?‘‘đ?‘Ľ đ??¸đ??ź 8

Resolviendo integrales por separado se tiene 1 2 1 2 1 3 2 2 2 2 3 âˆŤ (−3đ?‘Ľ − 3đ?‘Ľ)(1) = âˆŤ (−3đ?‘Ľ − 3đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ = [−đ?‘Ľ − đ?‘Ľ ] đ??¸đ??ź 0 đ??¸đ??ź 0 đ??¸đ??ź 2 0 1 3 14 = [−(23 − 03 ) − (22 − 02 )] = − đ??¸đ??ź 2 đ??¸đ??ź 1 8 1 3 7 2 71 335 1 4 1 8 1 4 7 3 71 2 âˆŤ ( đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľâˆ’ ) (− đ?‘Ľ + ) đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ (− đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ đ??¸đ??ź 2 36 6 6 9 6 3 đ??¸đ??ź 2 216 36 36 103

CAPĂ?TULO 1

+

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

335 1 14 142 1340 đ?‘Ľ + đ?‘Ľ3 − đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľâˆ’ ) đ?‘‘đ?‘Ľ 54 27 9 9 27

1 8 1 4 25 3 127 2 1187 1340 = âˆŤ (− đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľâˆ’ ) đ?‘‘đ?‘Ľ đ??¸đ??ź 2 216 108 36 54 27 1 1 25 4 127 3 1187 2 1340 8 5 = [− đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ] đ??¸đ??ź 1080 432 108 108 27 2 =

1 −1 25 4 127 3 1187 2 1340 (8 − 2)] (85 − 25 ) + (8 − 24 ) − (8 − 23 ) + (8 − 22 ) − [ đ??¸đ??ź 1080 432 108 108 27

=

1 1364 2125 1778 5935 2680 126 (− + − + − )=− đ??¸đ??ź 45 9 3 9 9 5đ??¸đ??ź 1 9 âˆŤ (−3)(0)đ?‘‘đ?‘Ľ = 0 đ??¸đ??ź 8 đ?œƒđ??´ = −

14 126 196 − +0=− đ??¸đ??ź 5đ??¸đ??ź 5đ??¸đ??ź

Como la suma algebraica de todas integrales para toda la viga es negativa, đ?œƒđ??´ tiene un sentido opuesto al del momento de par unitario. 196 5đ??¸đ??ź

∴ đ?œƒđ??´ =

Recuerde que una pendiente con sentido antihorario es positiva de acuerdo a lo que se establece en el mĂŠtodo de integraciĂłn doble; por tanto, la segunda condiciĂłn de 196 frontera es 2) đ?œƒ1 = 5đ??¸đ??ź đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ = 0. Se sigue el siguiente procedimiento para calcular đ?›żđ?‘‰đ??´ . Momentos reales đ?‘´. Las funciones correspondientes ya han sido mostradas. Momentos virtuales đ?’Ž. El desplazamiento vertical en đ??´ se obtiene al colocar una carga virtual unitaria con un sentido supuesto hacia abajo en ese punto, figura 1-12n. Note que las cargas reales son removidas y que debe usarse la misma coordenada đ?‘Ľ de la estructura real. DespuĂŠs de calcular las reacciones en los soportes, puede usarse el mĂŠtodo de las secciones para formular los momentos internos đ?‘š. 1

đ??ľ

đ??´

đ?‘Ľ

đ?‘…đ??ľđ?‘Œ = 2đ?‘š

đ??ś

4 3

6đ?‘š

(n) 104

đ??ˇ 1 đ?‘…đ??śđ?‘Œ = 3 1đ?‘š

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

+ ∑ đ?‘€đ??ľ = 0 ⇒ −1(2) + 6(đ?‘…đ??śđ?‘Œ ) = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??śđ?‘Œ = +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ −1 + đ?‘…đ??ľđ?‘Œ −

1 4 = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??ľđ?‘Œ = 3 3

1 3

+→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘…đ??ľđ?‘‹ = 0

Es necesario efectuar tres cortes en la viga anterior. En la figura 1-12Ăą se muestra el diagrama de cargas de la secciĂłn cortada en el primer tramo. 0 ≤ đ?‘Ľ ≤ 2đ?‘š + ∑ đ?‘šđ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 −đ?‘š1 − 1(đ?‘Ľ) = 0 ⇒ đ?‘š1 = −đ?‘Ľ (Ăą) El diagrama de cuerpo libre de la secciĂłn cortada en el segundo tramo se indica en la figura 1-12o.

2đ?‘š ≤ đ?‘Ľ ≤ 8đ?‘š + ∑ đ?‘šđ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 4 1 8 −đ?‘š2 − 1(đ?‘Ľ) + (đ?‘Ľ − 2) = 0 ⇒ đ?‘š2 = đ?‘Ľ − 3 3 3 (o)

El diagrama de cargas de la secciĂłn cortada en el tercer tramo se proporciona en la figura 1-12p. 8đ?‘š ≤ đ?‘Ľ ≤ 9đ?‘š + ∑ đ?‘šđ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 4 1 −đ?‘š3 − 1(đ?‘Ľ) + (6 + (đ?‘Ľ − 8)) − (đ?‘Ľ − 8) = 0 3 3 8 4 1 8 đ?‘š3 = −đ?‘Ľ − + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + = 0 3 3 3 3

(p)

EcuaciĂłn del trabajo virtual. Entonces, el desplazamiento vertical de đ??´ es 105

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS đ??ż2

1 ∙ đ?›żđ?‘‰đ??´ = âˆŤ đ??ż1

1 ∙ đ?›żđ?‘‰đ??´ = +

đ?‘€đ?‘š đ?‘‘đ?‘Ľ đ??¸đ??ź

1 2 âˆŤ (−3đ?‘Ľ 2 − 3đ?‘Ľ)(−đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ đ??¸đ??ź 0

1 8 1 3 7 2 71 335 1 8 1 9 âˆŤ ( đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľâˆ’ ) ( đ?‘Ľ − ) đ?‘‘đ?‘Ľ + âˆŤ (−3)(0)đ?‘‘đ?‘Ľ đ??¸đ??ź 2 36 6 6 9 3 3 đ??¸đ??ź 8

Resolviendo integrales por separado se tiene 2 1 2 1 2 1 3 4 2 3 2 3 âˆŤ (−3đ?‘Ľ − 3đ?‘Ľ)(−đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ (3đ?‘Ľ + 3đ?‘Ľ )đ?‘‘đ?‘Ľ = [ đ?‘Ľ + đ?‘Ľ ] đ??¸đ??ź 0 đ??¸đ??ź 0 đ??¸đ??ź 4 0 1 3 20 = [( ) (24 − 04 ) + (23 − 03 )] = đ??¸đ??ź 4 đ??¸đ??ź

1 8 1 3 7 2 71 335 1 8 1 8 1 4 7 71 335 âˆŤ ( đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľâˆ’ ) ( đ?‘Ľ − ) đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ ( đ?‘Ľ − đ?‘Ľ3 + đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľâˆ’ đ??¸đ??ź 2 36 6 6 9 3 3 đ??¸đ??ź 2 108 18 18 27

2 3 28 2 284 2680 1 8 1 4 25 3 127 2 1187 2680 đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ+ đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ+ ) đ?‘‘đ?‘Ľ ) đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ ( 27 9 9 27 đ??¸đ??ź 2 108 54 18 27 27 1 1 5 25 4 127 3 1187 2 2680 8 = [ đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ] đ??¸đ??ź 540 216 54 54 27 2 =[

1 25 4 127 3 1187 2 2680 (85 − 25 ) − (8 − 24 ) + (8 − 23 ) − (8 − 22 ) + (8 − 2)] 540 216 54 54 27 1 2728 4250 3556 11870 5360 252 [ − + − + ]= đ??¸đ??ź 45 9 3 9 9 5đ??¸đ??ź 1 9 âˆŤ (−3)(0)đ?‘‘đ?‘Ľ = 0 đ??¸đ??ź 8 đ?›żđ?‘‰đ??´ =

20 252 352 + +0= đ??¸đ??ź 5đ??¸đ??ź 5đ??¸đ??ź

Dado que la suma algebraica de todas integrales para toda la viga es positiva, đ?›żđ?‘‰đ??´ tiene el mismo sentido que la carga virtual unitaria. ∴ đ?›żđ?‘‰đ??´ =

352 ↓ 5đ??¸đ??ź

Tomando en cuenta que un desplazamiento hacia abajo es negativo de acuerdo a lo que se establece en el mĂŠtodo de integraciĂłn doble, la primera condiciĂłn de 352 frontera quedarĂ­a como:1)đ?‘Ś = − 5đ??¸đ??ź đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ = 0. Sustituyendo la condiciĂłn 2) en la ecuaciĂłn â‘ da 106

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

196 3 196 đ??¸đ??ź ( ) = −(0)3 − (0)2 + đ??ś1 ⇒∴ đ??ś1 = 5đ??¸đ??ź 2 5 Sustituyendo la condiciĂłn 1) en la ecuaciĂłn â‘Ą tenemos đ??¸đ??ź (−

352 1 1 196 −352 (0) + đ??ś2 ⇒∴ đ??ś2 = ) = − (0)4 − (0)3 + 5đ??¸đ??ź 4 2 5 5

Aplicando la condiciĂłn 3) se obtiene 3 1 4 7 3 71 2 335 −đ?‘Ľ 3 − đ?‘Ľ 2 + đ??ś1 = đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ??ś3 , đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ = 2 2 144 18 12 9 3 196 1 7 71 335 (2)4 − (2)3 + (2)2 − (2) + đ??ś3 −(2)3 − (2)2 + = 2 5 144 18 12 9 đ??ś3 = −(24 ) (

1 7 3 71 335 196 3554 ⇒∴ đ??ś3 = ) + (23 ) (−1 + ) + (22 ) (− − ) + (2) ( )+ 144 18 2 12 4 5 45

La aplicaciĂłn de la condiciĂłn 4) conlleva a 1 1 1 5 7 71 335 2 − (đ?‘Ľ)4 − (đ?‘Ľ)3 + đ??ś1 (đ?‘Ľ) + đ??ś2 = đ?‘Ľ − đ?‘Ľ4 + đ?‘Ľ3 − đ?‘Ľ + đ??ś3 đ?‘Ľ + đ??ś4 , đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ = 2đ?‘š 4 2 720 72 36 18

1 1 196 352 1 7 71 − (24 ) − (23 ) + ( ) (2) − =( ) (2)5 − ( ) (2)4 + ( ) (2)3 4 2 5 5 720 72 36 335 3554 880 −( ) (2)2 + ( ) (2) + đ??ś4 ⇒∴ đ??ś4 = − 18 45 9 Haciendo uso de la condiciĂłn 5) se deduce que 1 4 7 3 71 2 335 đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ??ś3 = −3đ?‘Ľ + đ??ś5 , đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ = 8đ?‘š 144 18 12 9 1 7 71 335 3554 66 ( ) (8)4 − ( ) (8)3 + ( ) (8)2 − ( ) (8) + = −3(8) + đ??ś5 ⇒∴ đ??ś5 = 144 18 12 9 45 5 Aplicando la cuarta condiciĂłn de continuidad resulta 1 5 7 71 335 2 3 đ?‘Ľ − đ?‘Ľ4 + đ?‘Ľ3 − đ?‘Ľ + đ??ś3 đ?‘Ľ + đ??ś4 = − đ?‘Ľ 2 + đ??ś5 đ?‘Ľ + đ??ś6 , đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ = 8đ?‘š 720 72 36 18 2 1 7 71 335 3554 880 ( ) (8)5 − ( ) (8)4 + ( ) (8)3 − ( ) (8)2 + ( ) (8) − 720 72 36 18 45 9 3 66 48 = (− ) (8)2 + (8) + đ??ś6 ⇒∴ đ??ś6 = − 2 5 5 En consecuencia, las ecuaciones de la pendiente y la deflexiĂłn en cada tramo son, de manera respectiva

107

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

0 ≤ đ?‘Ľ ≤ 2đ?‘š 1 3 196 (−đ?‘Ľ 3 − đ?‘Ľ 2 + ) đ??¸đ??ź 2 5 1 1 1 196 352 đ?‘Ś1 = (− đ?‘Ľ 4 − đ?‘Ľ 3 + đ?‘Ľâˆ’ ) đ??¸đ??ź 4 2 5 5 đ?œƒ1 =

2đ?‘š ≤ đ?‘Ľ ≤ 8đ?‘š 1 1 4 7 71 2 335 3554 đ?œƒ2 = (− đ?‘Ľ − đ?‘Ľ3 + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ+ ) đ??¸đ??ź 144 18 12 9 45 đ?‘Ś2 =

1 1 5 7 4 71 3 335 2 3554 880 ( đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + đ?‘Ľâˆ’ ) đ??¸đ??ź 720 72 36 18 45 9 8đ?‘š ≤ đ?‘Ľ ≤ 9đ?‘š 1 66 đ?œƒ3 = (−3đ?‘Ľ + ) đ??¸đ??ź 5 đ?‘Ś3 =

1 3 66 48 (− đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ − ) đ??¸đ??ź 2 5 5

CĂĄlculo de la flecha mĂĄxima de cada tramo 0 ≤ đ?‘Ľ ≤ 2đ?‘š 3 196 đ??¸đ??źđ?œƒ1 = 0 = −đ?‘Ľ 3 − đ?‘Ľ 2 + 2 5 Usando la tĂŠcnica de la divisiĂłn sintĂŠtica hallamos una raĂ­z. −1 2.9635

−

3 2

0

196 5

↓

−2.9635

−13.2276

−39.2

−1

−4.4635

−13.2276

0

(đ?‘Ľ − 2.9635)(−đ?‘Ľ 2 − 4.4635đ?‘Ľ − 13.2276) = 0 đ?‘Ľ1 ≈ 2.9635 Las raĂ­ces restantes se pueden calcular con la fĂłrmula general. −đ?‘Ľ 2 − 4.4635đ?‘Ľ − 13.2276 = 0 đ?‘Ľ=

−(−4.4635) Âą √(−4.4635)2 − 4(−1)(−13.2276) 2(−1)

108

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

đ?‘Ľ1 =

4.4635 − √−32.9882 = −2.23175 − 2.87174đ?’ž −2

đ?‘Ľ2 =

4.4635 + √−32.9882 = −2.23175 + 2.87174đ?’ž −2

ObsĂŠrvese que de las tres soluciones anteriores ninguna pertenece al intervalo de distancia analizado de la viga [0,2đ?‘š], por lo que la flecha mĂĄxima estĂĄ ubicada en el extremo donde no estĂĄ el apoyo, asĂ­ que đ?‘Ľ đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ1 = 0. Entonces, đ?‘Śđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ1 =

1 1 1 196 352 352 −70.4 (− (0)4 − (0)2 + (0) − ) ⇒ đ?‘Śđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ1 = − = đ??¸đ??ź 4 2 5 5 5đ??¸đ??ź đ??¸đ??ź ∴ đ?‘Śđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ1 =

70.4 ↓ đ??¸đ??ź

2đ?‘š ≤ đ?‘Ľ ≤ 8đ?‘š đ?œƒ2 = 0 = 1 144 4.26119 1 144

−

1 4 7 71 2 335 3554 đ?‘Ľ − đ?‘Ľ3 + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ+ 144 18 12 9 45

7 18

71 12

−

335 9

3554 45

0.02959

−1.53103

18.68801

−78.97778

−0.35930

4.38563

−18.53421

≈0

1 3 (đ?‘Ľ − 4.26119) ( đ?‘Ľ − 0.35930đ?‘Ľ 2 + 4.38563đ?‘Ľ − 18.53421) = 0 144 đ?‘Ľ1 ≈ 4.26119 1 144 36.4053 1 144

−0.35930

4.38563

−18.53421

0.25281

−3.876633

18.53

−0.106485

0.50900

≈0

1 2 (đ?‘Ľ − 36.4053) ( đ?‘Ľ − 0.106485đ?‘Ľ + 0.50900) = 0 144 đ?‘Ľ2 ≈ 36.4053 109

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

1 2 đ?‘Ľ − 0.106485đ?‘Ľ + 0.50900 = 0 144 đ?‘Ľ3 ≈ 7.66660 + 3.8122đ?’ž

đ?‘Ľ4 ≈ 7.66660 − 3.8122đ?’ž

Note que de las cuatros soluciones anteriores, la Ăşnica que estĂĄ dentro del intervalo de distancia analizado de la viga [2đ?‘š, 8đ?‘š] es đ?‘Ľ1 , asĂ­ que đ?‘Ľđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ2 = 4.26119 đ?‘š. Por lo tanto, đ?‘Śđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ2 =

+(

1 1 7 71 335 (( ) (4.26119)5 − ( ) (4.26119)4 + ( ) (4.26119)3 − ( ) (4.26119)2 đ??¸đ??ź 720 72 36 18

3554 880 23.32049531 23.32049531 ) (4.26119) − ( )) ⇒ đ?‘Śmax2 ≈ ⇒∴ đ?‘Śmax2 ↑ 45 9 đ??¸đ??ź đ??¸đ??ź 8đ?‘š ≤ đ?‘Ľ ≤ 9đ?‘š 66 66 đ?œƒ3 = 0 = −3đ?‘Ľ + â&#x;š đ?‘Ľ = 5 = 4.4 5 3

Como đ?‘Ľ estĂĄ fuera del intervalo del intervalo de distancia analizado de la viga [8đ?‘š, 9đ?‘š], se concluye que đ?‘Ľ3max = 9đ?‘š. En consecuencia, đ?‘Śđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ3 =

1 3 66 48 12.3 12.3 ((− ) (9)2 + ( ) (9) − ) ⇒ đ?‘Śđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ3 = − ⇒∴ đ?‘Śđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ3 = ↓ đ??¸đ??ź 2 5 5 đ??¸đ??ź đ??¸đ??ź

Diagramas de fuerza cortante, momento flector, rotaciĂłn y deflexiĂłn (curva elĂĄstica) Con base en las tablas 1-27, 1-28, 1-29 y 1-30 se dibujan los diagramas requeridos, figuras 1-12q, 1-12r, 1-12s y 1-12t.

Tabla 1-27

(q)

110

CAPÍTULO 1

ANÁLISIS DE VIGAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

Tabla 1-28

(r)

(s)

Tabla 1-29

(t)

Tabla 1-30

111

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Ejercicio 1.13 Determine las reacciones en el empotramiento đ??´ y las ecuaciones para la pendiente y la deflexiĂłn usando el mĂŠtodo de la doble integraciĂłn de la viga mostrada en la figura 1-13a. đ??¸đ??ź es constante. đ?‘ƒ

đ??´

đ??ľ đ??ż

(a) Figura 1-13 SOLUCIĂ“N Reacciones en los soportes Suponiendo el sentido de cada reacciĂłn arbitrariamente, se tiene que el diagrama de cargas de la estructura es como el que se observa en la figura 1-13b. đ?‘ƒ

đ?‘…đ??´đ?‘‹

đ??´

đ??ľ

đ?‘€đ??´

đ??ż đ?‘…đ??´đ?‘Œ

(b) Al aplicar las ecuaciones de equilibrio en tal diagrama resulta + ∑ đ?‘€đ??´ = 0 ⇒ −đ?‘€đ??´ + (đ?‘ƒ)(đ??ż) = 0 ⇒∴ đ?‘€đ??´ = đ?‘ƒđ??ż +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 0 +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Œ − đ?‘ƒ = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Œ = đ?‘ƒ Tenga en cuenta siempre que si una magnitud resultarĂĄ negativa para una fuerza reactiva, entonces deberĂĄ invertirse el sentido propuesto de esta.

112

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

FunciĂłn de momento En la figura 1-13c se indican esquemĂĄticamente los resultados obtenidos. Como no hay discontinuidad de carga, sĂłlo se necesitarĂĄ efectuar un corte perpendicular al eje de la viga para para definir el momento interno a lo largo de ella. El origen del sistema coordenado, que bien puede elegirse en el extremo empotrado đ??´, se selecciona en el extremo libre đ??ľ. đ?‘ƒ

đ?‘€đ??´

= đ?‘ƒđ??ż

đ??´

đ??ľ

đ?‘Ľ đ??ż

đ?‘…đ??´đ?‘Œ

=đ?‘ƒ (c)

Se toma una secciĂłn cualquiera de la viga a una distancia general đ?‘Ľ a partir del origen de coordenadas. Con base en el diagrama de cuerpo libre de la secciĂłn cortada, figura 1-13d, en el que las acciones internas actĂşan en su direcciĂłn positiva, se escribe la ecuaciĂłn de momento flexionante en funciĂłn de đ?‘Ľ. 0≤đ?‘Ľâ‰¤đ??ż đ?‘ƒ

đ?‘€

đ??ľ đ?‘Ľ

�

(d) + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ đ?‘€ + đ?‘ƒ(đ?‘Ľ) = 0 ⇒ đ?‘€ = −đ?‘ƒđ?‘Ľ Ecuaciones de la pendiente y la deflexiĂłn Al aplicar la ecuaciĂłn diferencial đ??¸đ??ź

đ?‘‘2 đ?‘Ś =đ?‘€ đ?‘‘đ?‘Ľ 2

e integrarla dos veces, se obtiene 113

CAPĂ?TULO 1

đ??¸đ??ź

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

đ?‘‘2đ?‘Ś đ?‘‘(đ?‘‘đ?‘Ś) đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘ƒ = −đ?‘ƒđ?‘Ľ ⇒ đ??¸đ??ź âˆŤ = âˆŤ −đ?‘ƒđ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ ⇒ đ??¸đ??ź = − đ?‘Ľ2 + đ??ś1 2 đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ 2 si

đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘ƒ = đ?œƒ, đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œđ?‘›đ?‘?đ?‘’đ?‘ đ??¸đ??źđ?œƒ = − đ?‘Ľ 2 + đ??ś1 − −→ â‘ đ?‘‘đ?‘Ľ 2

đ?‘ƒ đ?‘ƒ đ??¸đ??ź âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ (− đ?‘Ľ 2 + đ??ś1 ) đ?‘‘đ?‘Ľ ⇒ đ??¸đ??źđ?‘Ś = − đ?‘Ľ 3 + đ??ś1 đ?‘Ľ + đ??ś2 − −→ â‘Ą 2 6

Las dos constantes de integraciĂłn resultantes en las expresiones que definen las curvas de pendiente y de deflexiĂłn deben calcularse a partir de plantear condiciones que permitan evaluarlas. Si se sabe que el empotramiento en đ??´ impide la rotaciĂłn y el desplazamiento vertical en ese punto, entonces tenemos que las condiciones de frontera son: 1) đ?‘Ś = 0 đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ = đ??ż y 2) đ?œƒ = 0 đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ = đ??ż. Sustituyendo la condiciĂłn 2) en la ecuaciĂłn â‘ da đ?‘ƒ đ?‘ƒđ??ż2 đ??¸đ??ź(0) = − (đ??ż)2 + đ??ś1 ⇒∴ đ??ś1 = 2 2

Sustituyendo la condiciĂłn 1) y đ??ś1 =

đ?‘ƒđ??ż2 2

en la ecuaciĂłn â‘Ą resulta

đ?‘ƒ đ?‘ƒđ??ż2 đ?‘ƒđ??ż3 3 (đ??ż) (đ??ż) đ??¸đ??ź(0) = − +( + đ??ś2 ⇒∴ đ??ś2 = − ) 6 2 3

En consecuencia, las ecuaciones del giro y la flecha son, respectivamente đ?œƒ=

đ?‘Ś=

1 đ?‘ƒ đ?‘ƒđ??ż2 (− đ?‘Ľ 2 + ) đ??¸đ??ź 2 2

1 đ?‘ƒ đ?‘ƒđ??ż2 đ?‘ƒđ??ż3 đ?‘Ľâˆ’ (− đ?‘Ľ 3 + ) đ??¸đ??ź 6 2 3

0≤đ?‘Ľâ‰¤đ??ż 0≤đ?‘Ľâ‰¤đ??ż

Para una viga en voladizo, el valor mĂĄximo de la deflexiĂłn estĂĄ posicionado en el extremo libre, en este caso, en el punto đ??ľ. Por lo tanto, đ?‘Ľđ?‘šĂĄđ?‘Ľ = 0 đ?‘Śđ?‘šĂĄđ?‘Ľ =

1 đ?‘ƒ đ?‘ƒđ??ż2 đ?‘ƒđ??ż3 đ?‘ƒđ??ż3 (0) − (− (0)3 + ) ⇒ đ?‘Śđ?‘šĂĄđ?‘Ľ = − đ??¸đ??ź 6 2 3 3đ??¸đ??ź

En el mÊtodo de integración doble, un valor negativo de la deflexión es hacia abajo. Por consiguiente, ��å� =

đ?‘ƒđ??ż3 ↓ 3đ??¸đ??ź

114

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Ejercicio 1.14 Determine las reacciones en el empotramiento đ??´ y las ecuaciones para la pendiente y la deflexiĂłn de la viga mostrada en la figura 1-14a que soporta en toda su longitud una carga trigonomĂŠtrica variable. đ??¸đ??ź es constante.

đ?œ‹đ?‘Ľ đ??ż

(a) Figura 1-14 SOLUCIĂ“N Reacciones en los soportes Se calcula la fuerza resultante de la carga distribuida cuya intensidad varĂ­a de forma senoidal hallando el ĂĄrea bajo la curva del siguiente modo: đ??ż2

đ??´ = âˆŤ đ?‘‘đ??´ = âˆŤ đ?‘Šđ?‘‘đ?‘Ľ đ??ż1 đ??ż

đ??ż đ?œ‹đ?‘Ľ đ?œ‹đ?‘Ľ đ??ż đ?œ‹đ?‘Ľ đ??ż ) đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?œ”đ?‘œ âˆŤ đ?‘ đ?‘’đ?‘› ( ) đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?œ”đ?‘œ [−đ?‘?đ?‘œđ?‘ ( )] đ??ż đ??ż đ?œ‹ đ??ż 0 0

đ??´ = âˆŤ đ?œ”đ?‘œ đ?‘ đ?‘’đ?‘› ( 0

đ??ż đ??ż đ??ż = −đ?œ”đ?‘œ [đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?œ‹) − đ?‘?đ?‘œđ?‘ (0)] = −đ?œ”đ?‘œ (−1 − 1) = 2đ?œ”đ?‘œ đ?œ‹ đ?œ‹ đ?œ‹ Se determina el brazo de palanca de la resultante calculando el centroide del ĂĄrea. đ??ż2 đ??ż đ?œ‹đ?‘Ľ âˆŤ đ?‘ĽĚƒ đ?‘‘đ??´ âˆŤđ??ż1 đ?‘Ľđ?‘Š đ?‘‘đ?‘Ľ âˆŤ0 đ?‘Ľ [đ?œ”đ?‘œ đ?‘ đ?‘’đ?‘› ( đ??ż )] đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘ĽĚ… = = đ??ż2 = đ??ż đ?œ‹đ?‘Ľ âˆŤ đ?‘‘đ??´ âˆŤđ??ż đ?‘Š đ?‘‘đ?‘Ľ âˆŤ0 đ?œ”đ?‘œ đ?‘ đ?‘’đ?‘› ( đ??ż ) đ?‘‘đ?‘Ľ 1

Resolviendo el numerador se obtiene đ??ż đ?œ‹đ?‘Ľ đ?œ‹đ?‘Ľ đ??ż đ??ż đ?‘Ľđ?œ‹ đ?‘Ľđ?œ‹ đ??ż )] đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?œ”đ?‘œ âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘’đ?‘› ( ) đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?œ”đ?‘œ {[ đ?‘ đ?‘’đ?‘› ( ) − đ?‘Ľđ?‘?đ?‘œđ?‘ ( )] } đ??ż đ??ż đ?œ‹ đ?œ‹ đ??ż đ??ż 0 0

đ??ż

âˆŤ đ?‘Ľ [đ?œ”đ?‘œ đ?‘ đ?‘’đ?‘› ( 0

= đ?œ”đ?‘œ

đ??ż đ??ż đ??ż đ??ż {[ [đ?‘ đ?‘’đ?‘›(đ?œ‹)] − (đ??ż)[đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?œ‹)]] − [ [đ?‘ đ?‘’đ?‘›(0)] − (0)[đ?‘?đ?‘œđ?‘ (0)]]} = đ?œ”đ?‘œ (đ??ż − 0) đ?œ‹ đ?œ‹ đ?œ‹ đ?œ‹ 115

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

= đ?œ”đ?‘œ

đ??ż đ??ż2 (đ??ż − 0) = đ?œ”đ?‘œ đ?œ‹ đ?œ‹

El denominador ya fue resulto; en consecuencia, đ??ż2 đ?œ”đ?‘œ đ?œ‹ đ??ż2 1 đ?‘ĽĚ… = = = đ??ż đ??ż 2đ??ż 2 2đ?œ”đ?‘œ đ?œ‹ Se identifican las reacciones del empotramiento đ??´. En la figura 1-14b se observa el diagrama de cargas de la viga.

đ?œ‹đ?‘Ľ đ??ż

(b)

Al aplicar las ecuaciones de equilibrio, se obtiene đ??ż đ??ż đ??ż2 + ∑ đ?‘€đ??´ = 0 ⇒ (2đ?œ”đ?‘œ ) ( ) − đ?‘€đ??´ = 0 ⇒ ∴ đ?‘€đ??´ = đ?œ”đ?‘œ đ?œ‹ 2 đ?œ‹ +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Œ − đ??´đ?‘? = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Œ = đ??´đ?‘? = 2đ?œ”đ?‘œ

đ??ż đ??ż ⇒ ∴ đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 2đ?œ”đ?‘œ đ?œ‹ đ?œ‹

+→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 0

FunciĂłn de momento Los resultados son presentados en la figura 1-14c. Dado que la carga distribuida no presenta discontinuidad, la funciĂłn de momento no serĂĄ discontinua. El origen del sistema coordenado se selecciona en el extremo empotrado đ??´. 116

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

đ?œ‹đ?‘Ľ đ??ż

(c)

Se emplea el mĂŠtodo de secciones. A continuaciĂłn, en la figura 1-14d, se proporciona un diagrama de cuerpo libre del segmento de viga con longitud đ?‘Ľ. Con la intensidad de carga conocida, la resultante de la carga distribuida y su punto de aplicaciĂłn se encuentran de la manera usual. 0≤đ?‘Ľâ‰¤đ??ż

đ?œ‹đ?‘Ľ đ??ż

(d) đ?‘Ľ

đ?œ‹đ?‘Ľ đ??ż đ?œ‹đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ??ż đ?œ‹đ?‘Ľ đ??´đ??ś = âˆŤ đ?œ”đ?‘œ đ?‘ đ?‘’đ?‘› ( ) đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?œ”đ?‘œ [−đ?‘?đ?‘œđ?‘ ( )] = đ?œ”đ?‘œ {− [đ?‘?đ?‘œđ?‘ ( ) − đ?‘?đ?‘œđ?‘ (0)]} đ??ż đ?œ‹ đ??ż 0 đ?œ‹ đ??ż 0 đ??ż đ?œ‹đ?‘Ľ = đ?œ”đ?‘œ [1 − đ??śđ?‘œđ?‘ ( )] đ?œ‹ đ??ż đ?‘ĽĚ…đ??ś =

âˆŤ đ?‘ĽĚƒ đ?‘‘đ??´ = âˆŤ đ?‘‘đ??´

đ??ż2 âˆŤđ??ż đ?‘Ľđ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ 1 đ??ż2 âˆŤđ??ż đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ 1

=

đ?‘Ľ đ?œ‹đ?‘Ľ âˆŤ0 đ?‘Ľ [đ?œ”đ?‘œ đ?‘ đ?‘’đ?‘› ( đ??ż )] đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?œ‹đ?‘Ľ âˆŤ0 đ?œ”đ?‘œ đ?‘ đ?‘’đ?‘› ( đ??ż ) đ?‘‘đ?‘Ľ

117

=

đ??ż đ??ż đ?œ‹đ?‘Ľ đ?œ‹đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?œ”đ?‘œ đ?œ‹ {[đ?œ‹ đ?‘ đ?‘’đ?‘› ( đ??ż ) − đ?‘Ľđ?‘?đ?‘œđ?‘ ( đ??ż )] } 0

đ??ż đ?œ‹đ?‘Ľ đ?œ”đ?‘œ đ?œ‹ [1 − đ?‘?đ?‘œđ?‘ ( đ??ż )]

CAPÍTULO 1

𝑥̅𝐶 =

ANÁLISIS DE VIGAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

𝐿 𝜋𝑥 𝜋𝑥 𝐿 {[𝜋 𝑠𝑒𝑛 ( 𝐿 ) − 𝑥𝑐𝑜𝑠 ( 𝐿 )] − [𝜋 [𝑠𝑒𝑛(0)] − (0)[𝑐𝑜𝑠(0)]]} 𝜋𝑥 1 − 𝑐𝑜𝑠 ( 𝐿 ) 𝐿 𝜋𝑥 𝜋𝑥 𝑠𝑒𝑛 ( 𝐿 ) − 𝑥𝑐𝑜𝑠 ( 𝐿 ) 𝜋 = 𝜋𝑥 1 − 𝑐𝑜𝑠 ( 𝐿 )

Tomando momentos alrededor del punto del corte tenemos + ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0

𝐿 𝜋𝑥 𝜋𝑥 𝑠𝑒𝑛 ( 𝐿 ) − 𝑥𝑐𝑜𝑠 ( 𝐿 ) 𝐿2 𝐿 𝜋𝑥 𝐿 𝜋 −𝑀 − 𝜔𝑜 − 𝜔𝑜 [1 − 𝑐𝑜𝑠 ( )] [𝑥 − ] + 2𝜔𝑜 (𝑥) = 0 𝜋𝑥 𝜋 𝜋 𝐿 𝜋 1 − 𝑐𝑜𝑠 ( 𝐿 ) 𝐿2 𝐿 𝐿 𝜋𝑥 𝐿 𝐿2 𝜋𝑥 𝐿 𝐿2 𝑀 = −𝜔𝑜 − 𝜔𝑜 [𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 ( )] + 2𝜔𝑜 𝑥 = 𝜔𝑜 2 𝑠𝑒𝑛 ( ) + 𝜔𝑜 𝑥 − 𝜔𝑜 𝜋 𝜋 𝜋 𝐿 𝜋 𝜋 𝐿 𝜋 𝜋 Aunque el método no lo requiere, se calcula lo siguiente: La función de la fuerza cortante es 𝑉=

𝑑𝑀 𝐿 𝜋𝑥 𝐿 = 𝜔𝑜 𝑐𝑜𝑠 ( ) + 𝜔𝑜 𝑑𝑥 𝜋 𝐿 𝜋

El momento máximo se encuentra posicionado en el empotramiento, es decir, en 𝑥𝑚𝑎𝑥 = 0. Por lo tanto, 𝑀𝑚á𝑥 = 𝜔𝑜

𝐿2 𝜋(0) 𝐿 𝐿2 𝐿2 ( ) 𝑠𝑒𝑛 ( ) + 𝜔 0 − 𝜔 = −𝜔 𝑜 𝑜 𝑜 𝜋2 𝐿 𝜋 𝜋 𝜋

Ecuaciones de la pendiente y la deflexión Al aplicar la ecuación diferencial 𝑑2 𝑦 𝐸𝐼 2 = 𝑀 𝑑𝑥 e integrarla dos veces se obtiene 𝑑(𝑑𝑦) 𝐿2 𝑥𝜋 𝐿 𝐿2 𝐸𝐼 ∫ = ∫ (𝜔𝑜 2 𝑠𝑒𝑛 ( ) + 𝜔𝑜 𝑥 − 𝜔𝑜 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝜋 𝐿 𝜋 𝜋

118

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS 3

đ?œƒ = đ??¸đ??ź

2

đ?‘‘đ?‘Ś đ??ż đ?œ‹đ?‘Ľ đ??ż đ?‘Ľ2 đ??ż = −đ?œ”đ?‘œ 3 đ?‘?đ?‘œđ?‘ ( ) + đ?œ”đ?‘œ − đ?œ”đ?‘œ đ?‘Ľ + đ??ś1 − −→ â‘ đ?‘‘đ?‘Ľ đ??ż đ?œ‹2 đ?œ‹ đ?œ‹

đ??ż3 đ?œ‹đ?‘Ľ đ??ż đ?‘Ľ2 đ??ż2 đ??¸đ??ź âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ (−đ?œ”đ?‘œ 3 đ?‘?đ?‘œđ?‘ ( ) − đ?œ”đ?‘œ + đ?œ”đ?‘œ đ?‘Ľ + đ??ś1 ) đ?‘‘đ?‘Ľ đ?œ‹ đ??ż đ?œ‹2 đ?œ‹ đ??ż4 đ?œ‹đ?‘Ľ đ??ż đ?‘Ľ3 đ??ż2 đ?‘Ľ2 đ??¸đ??źđ?‘Ś = −đ?œ”đ?‘œ 4 đ?‘ đ?‘’đ?‘› ( ) + đ?œ”đ?‘œ − đ?œ”đ?‘œ + đ??ś1 đ?‘Ľ + đ??ś2 − −→ â‘Ą đ?œ‹ đ??ż đ?œ‹6 đ?œ‹ 2

Las dos constantes, đ??ś1 y đ??ś2 , se obtienen de las condiciones de frontera, esto es, que para 1)đ?‘Ľ = 0 , đ?œƒ = 0 y para 2)đ?‘Ľ = 0 , đ?‘Ś = 0. Reemplazando la condiciĂłn 1) en la ecuaciĂłn â‘ resulta đ??ż3 đ?œ‹(0) đ??ż (0)2 đ??ż2 đ??ż3 đ??¸đ??ź(0) = −đ?œ”đ?‘œ 3 đ?‘?đ?‘œđ?‘ [ ] + đ?œ”đ?‘œ − đ?œ”đ?‘œ (0) + đ??ś1 = 0 ⇒∴ đ??ś1 = đ?œ”đ?‘œ 3 đ??ż đ?œ‹ 2 đ?œ‹ đ?œ‹ đ?œ‹ Reemplazando la condiciĂłn 2) en la ecuaciĂłn â‘Ą se tiene đ??¸đ??źđ?‘Ś(0) = −đ?œ”đ?‘œ

đ??ż4 đ?œ‹(0) đ??ż (0)3 đ??ż2 (0)2 đ??ż3 đ?‘ đ?‘’đ?‘› [ ] + đ?œ” − đ?œ” + đ?œ” đ?‘œ đ?‘œ đ?‘œ 3 (0) + đ??ś2 = 0 ⇒∴ đ??ś2 = 0 đ??ż đ?œ‹ 6 đ?œ‹ 2 đ?œ‹4 đ?œ‹

Luego, las ecuaciones de la pendiente đ?œƒ y de la curva elĂĄstica đ?‘Ś quedarĂ­an de forma definitiva como đ?œƒ(đ?‘Ľ) =

1 đ??ż đ??ż2 đ?œ‹đ?‘Ľ 1 đ??ż2 đ?œ”đ?‘œ (− 2 đ?‘?đ?‘œđ?‘ ( ) + đ?‘Ľ2 − đ??żđ?‘Ľ + 2 ) đ??¸đ??ź đ?œ‹ đ??ż 2 đ?œ‹ đ?œ‹

1 đ??ż đ??ż3 đ?œ‹đ?‘Ľ 1 3 đ??ż 2 đ??ż2 đ?‘Ś(đ?‘Ľ) = đ?œ”đ?‘œ (− 3 đ?‘ đ?‘’đ?‘› ( ) + đ?‘Ľ − đ?‘Ľ + 2 đ?‘Ľ) đ??¸đ??ź đ?œ‹ đ??ż 6 2 đ?œ‹ đ?œ‹

Para esta viga, la flecha mĂĄxima se ubica en el punto đ??ľ, que corresponde al extremo libre de la viga, por lo que đ?‘Ľđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ = đ??ż. Por consiguiente, đ?‘Śđ?‘šĂĄđ?‘Ľ =

1 đ??ż đ??ż3 đ?œ‹(đ??ż) 1 đ??ż đ??ż2 1 đ??ż4 1 1 đ?œ”đ?‘œ (− 3 đ?‘ đ?‘’đ?‘› ( ) + (đ??ż)3 − (đ??ż)2 + 2 (đ??ż)) = đ?œ”đ?‘œ ( 2 − ) đ??¸đ??ź đ?œ‹ đ??ż 6 2 đ??¸đ??ź đ?œ‹ đ?œ‹ 3 đ?œ‹ đ?œ‹

119

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Ejercicio 1.15 Calcule la deflexiĂłn vertical del extremo libre đ??´ de la viga que se muestra en la figura 1-15a considerando Ăşnicamente las deformaciones por flexiĂłn, aplicando el mĂŠtodo del trabajo virtual. Suponga un đ??¸đ??ź constante.

(a) Figura 1-15 SOLUCIĂ“N Momentos reales đ?‘´ En primera instancia se deben calcular las reacciones en los soportes de la viga. + ∑ đ?‘€đ??ˇ = 0 ⇒ 6(336) − đ?‘…đ??ľđ?‘Œ (264) + 11(168) = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??ľđ?‘Œ = 14.6364đ?‘˜ +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ −6 + 14.6364 − 11 + đ?‘…đ??ˇđ?‘Œ = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??ˇđ?‘Œ = 2.3636đ?‘˜ +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??ˇđ?‘‹ = 0 Luego, se determinan los momentos internos đ?‘€ empleando el mĂŠtodo de las secciones. Puede utilizarse una sola coordenada đ?‘Ľ para determinar la energĂ­a de

(b) 120

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

deformaciĂłn por flexiĂłn en la viga, cuyo origen puede elegirse en đ??´ o en đ??ˇ, sin embargo, en este caso, se opta por usar una coordenada đ?‘Ľ para cada regiĂłn distinta, figura 1-15b. Cabe seĂąalar que las coordenadas deben cubrir las regiones donde no ocurren discontinuidades en las cargas tanto reales como virtuales. Entonces, las coordenadas đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , y đ?‘Ľ3 con orĂ­genes en đ??´, đ??ľ y đ??ś consideran la energĂ­a de deformaciĂłn dentro de los segmentos đ??´ − đ??ľ, đ??ľ − đ??ś y đ??ś − đ??ˇ, respectivamente. Con base en las figuras 1-15c, 1-15d y 1-15e, las funciones de momento đ?‘€ en cada regiĂłn de la viga son 0 ≤ đ?‘Ľ1 ≤ 72đ?‘–đ?‘› + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 −đ?‘€1 − 6(đ?‘Ľ1 ) = 0 ⇒ đ?‘€1 = −6đ?‘Ľ1

(c)

0 ≤ đ?‘Ľ2 ≤ 96đ?‘–đ?‘› + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 −6(72 + đ?‘Ľ2 ) + 14.6364(đ?‘Ľ2 ) − đ?‘€2 = 0 đ?‘€2 = 8.6364đ?‘Ľ2 − 432 (d) 0 ≤ đ?‘Ľ3 ≤ 168đ?‘–đ?‘›

(e) 121

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

+ ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 −6(72 + 96 + đ?‘Ľ3 ) + 14.6364(96 + đ?‘Ľ3 ) − 11(đ?‘Ľ3 ) − đ?‘€3 = 0 đ?‘€3 = 397.094 − 2.3636đ?‘Ľ3 Momentos virtuales đ?’Ž Las cargas reales son suprimidas y Ăşnicamente se coloca sobre la viga una carga virtual o ficticia unitaria en el punto y en la direcciĂłn donde se desea conocer el desplazamiento. Siendo asĂ­, el desplazamiento vertical del punto đ??´ se determina aplicando una carga vertical de 1 en đ??´ con un sentido hacia abajo, aunque no importarĂ­a si actuara hacia arriba, figura 1-15f. Se calculan las reacciones en los apoyos y utilizando las mismas coordenadas đ?‘Ľ que se usaron para determinar đ?‘€, se formulan los momentos internos đ?‘š a travĂŠs del mĂŠtodo de las secciones. Es obligatorio que đ?‘š actĂşe en la misma direcciĂłn positiva que đ?‘€.

(f) En la figura 1-15g se muestran los resultados obtenidos al aplicar las ecuaciones de equilibrio en el diagrama de cargas.

(g)

122

CAPÍTULO 1

ANÁLISIS DE VIGAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

+ ∑ 𝑀𝐷 = 0 ⇒ 1(336) − 𝑅𝐵𝑌 (264) = 0 ⇒∴ 𝑅𝐵𝑌 = 1.2727 +↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒ −1 + 1.2727 − 𝑅𝐷𝑌 = 0 ⇒∴ 𝑅𝐷𝑌 = 0.2727 +→ ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒∴ 𝑅𝐷𝑋 = 0 Ahora se escriben las ecuaciones para el momento flexionante 𝑚 en cada región de la viga son, a partir de las figuras 1-15h, 1-15i y 1-15j. 0 ≤ 𝑥1 ≤ 72𝑖𝑛 + ∑ 𝑚𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 −𝑚1 − 1(𝑥1 ) = 0 ⇒ 𝑚1 = −𝑥1 (h)

0 ≤ 𝑥2 ≤ 96𝑖𝑛 + ∑ 𝑚𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 −1(72 + 𝑥2 ) + 1.2727(𝑥2 ) − 𝑚2 = 0 𝑚2 = 0.2727𝑥2 − 72

(i) 0 ≤ 𝑥3 ≤ 168𝑖𝑛

(j) 123

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

+ ∑ đ?‘šđ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 −1(72 + 96 + đ?‘Ľ3 ) + 1.2727(96 + đ?‘Ľ3 ) − 11(đ?‘Ľ3 ) − đ?‘š3 = 0 đ?‘š3 = 0.2727đ?‘Ľ3 − 45.8208

EcuaciĂłn del trabajo virtual Si el trabajo externo es igual al trabajo interno, entonces el desplazamiento vertical de đ??´ es đ??ż2

1 ∙ ∆= âˆŤ đ??ż1

1 ∙ đ?›żđ?‘‰đ??´ = (

đ?‘€đ?‘š đ?‘‘đ?‘Ľ đ??¸đ??ź

72 96 1 ) [âˆŤ (−6đ?‘Ľ1 )(−đ?‘Ľ1 ) đ?‘‘đ?‘Ľ1 + âˆŤ (8.6364đ?‘Ľ2 − 432)(0.2727đ?‘Ľ2 − 72) đ?‘‘đ?‘Ľ2 đ??¸đ??ź 0 0 168

+âˆŤ

(397.094 − 2.3636đ?‘Ľ3 )(0.2727đ?‘Ľ3 − 45.8208) đ?‘‘đ?‘Ľ3 ]

0

1 182.325 = ( ) (746496 + 272342.76213 − 1019021.08759) = − đ??¸đ??ź đ??¸đ??ź Como se obtuvo una magnitud negativa para el desplazamiento, este actĂşa en sentido contrario al de la carga virtual unitaria. Por lo tanto, đ?›żđ?‘‰đ??´ =

182.325 ↑ đ??¸đ??ź

124

CAPÍTULO 1

ANÁLISIS DE VIGAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

Ejercicio 1.16 Determine el desplazamiento vertical y la pendiente del punto 𝐴 de la viga en voladizo mostrada en la figura 1-16a tomando en cuenta solamente las deformaciones debidas a la flexión, aplicando el método del trabajo virtual. Considere que 𝐸𝐼 es constante.

(a)

Figura 1-16

SOLUCIÓN Momentos reales 𝑴 Los momentos internos 𝑀 se formulan con base en el método de secciones. Se opta por emplear una sola coordenada 𝑥 para determinar la energía de deformación y su origen se elige en 𝐴, la figura 1-16b, con la intención de que el cálculo de las reacciones en el empotramiento 𝐵 no sea necesario. Las funciones de momento serán discontinuas en el punto de aplicación de la carga inclinada 𝑃, por lo que se requiere de dos cortes perpendiculares al eje de la viga para definir 𝑀 a lo largo de la estructura, figuras 1-16c y 1-16d.

(b)

125

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

0 ≤ đ?‘Ľ ≤ đ??żâ „2

(c)

+ ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ đ?‘€1 = 0

đ??żâ „ ≤ đ?‘Ľ ≤ đ??ż 2

(d)

đ??ż đ?‘ƒđ??ż + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ −đ?‘€2 − đ?‘ƒ sin đ?œƒ (đ?‘Ľ − ) = 0 ⇒ đ?‘€2 = −đ?‘ƒ sin đ?œƒ (đ?‘Ľ) + sin đ?œƒ 2 2

Momento virtual đ?’Ž El desplazamiento vertical de đ??´ se obtiene al incorporar una carga ficticia unitaria vertical en ese punto sobre la viga descargada, figura 1-16e. Se corta la viga, figura 1-16f, y se escribe la ecuaciĂłn de đ?‘š como funciĂłn de la variable đ?‘Ľ. El sistema coordenado debe ser idĂŠntico al empleado en đ?‘€.

126

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

(e)

0≤đ?‘Ľâ‰¤đ??ż + ∑ đ?‘šđ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ −đ?‘š1 − 1(đ?‘Ľ) = 0 ⇒ đ?‘š1 = −đ?‘Ľ

(f)

Momento virtual đ?’Žđ?œ˝ Puesto que queremos calcular la rotaciĂłn angular (pendiente) en đ??´ de la viga, aplicamos un par ficticio unitario en ese lugar con un sentido idĂŠntico al del giro de las manecillas del reloj o en el sentido contrario, suprimiendo las cargas reales, figura 1-16g. Se escribe la ecuaciĂłn đ?‘šđ?œƒ en funciĂłn de đ?‘Ľ con base en el diagrama de cuerpo libre de la secciĂłn cortada, figura 1-16h. La coordenada đ?‘Ľ debe ser la misma que la usada en đ?‘€.

(g)

0≤đ?‘Ľâ‰¤đ??ż + ∑ đ?‘šđ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ −đ?‘šđ?œƒ1 + 1 = 0 ⇒ đ?‘šđ?œƒ1 = 1 (h) 127

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

EcuaciĂłn del trabajo virtual Entonces, el desplazamiento vertical de đ??´ es đ??ż2

đ?‘€đ?‘š đ?‘‘đ?‘Ľ đ??¸đ??ź

1 ∙ ∆= âˆŤ đ??ż1

1 ∙ đ?›żđ?‘‰đ??´

đ??żâ „ 2

1 = [âˆŤ đ??¸đ??ź 0

đ??ż

(0)(−đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ + âˆŤ (−đ?‘ƒ sin đ?œƒ (đ?‘Ľ) + đ??żâ „ 2

đ?‘ƒđ??ż sin đ?œƒ) (−đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ] 2

đ??ż 1 đ?‘ƒ sin đ?œƒ 3 đ?‘ƒđ??ż 1 đ?‘ƒ sin đ?œƒ 3 đ??ż 3 đ?‘ƒđ??ż đ??ż 2 2 2 = [0 + đ?‘Ľ − sin đ?œƒ (đ?‘Ľ )] = [ sin đ?œƒ (đ??ż − ( ) )] (đ??ż − ( ) ) − đ??żâ „ đ??¸đ??ź 3 4 đ??¸đ??ź 3 2 4 2 2

=

1 7đ?‘ƒđ??ż3 3đ?‘ƒđ??ż3 5đ?‘ƒđ??ż3 [ sin đ?œƒ − sin đ?œƒ] = sin đ?œƒ đ??¸đ??ź 24 16 48đ??¸đ??ź ∴ đ?›żđ?‘‰đ??´ =

5đ?‘ƒđ??ż3 sin đ?œƒ ↓ 48đ??¸đ??ź

Por otra parte, la pendiente en đ??´ es resultado de đ??ż2

1∙đ?œƒ = âˆŤ đ??ż1 đ??żâ „ 2

1 1 ∙ đ?œƒđ??´ = [âˆŤ đ??¸đ??ź 0 =

đ?‘€đ?‘šđ?œƒ đ?‘‘đ?‘Ľ đ??¸đ??ź

đ??ż

(0)(1)đ?‘‘đ?‘Ľ + âˆŤ (−đ?‘ƒ sin đ?œƒ (đ?‘Ľ) + đ??żâ „ 2

đ?‘ƒđ??ż sin đ?œƒ) (1) đ?‘‘đ?‘Ľ ] 2

đ??ż 1 đ?‘ƒ sin đ?œƒ 2 đ?‘ƒđ??ż 1 đ?‘ƒ sin đ?œƒ 2 đ??ż 2 đ?‘ƒđ??ż đ??ż [0 − đ?‘Ľ + sin đ?œƒ (đ?‘Ľ)] = [− (đ??ż − ( ) ) + sin đ?œƒ (đ??ż − )] đ??żâ „ đ??¸đ??ź 2 2 đ??¸đ??ź 2 2 2 2 2

=

1 3đ?‘ƒđ??ż2 đ?‘ƒđ??ż2 đ?‘ƒđ??ż2 [− sin đ?œƒ + sin đ?œƒ] = − sin đ?œƒ đ??¸đ??ź 8 4 8đ??¸đ??ź

La magnitud negativa obtenida para đ?œƒđ??´ , indica que este en realidad es de sentido opuesto al momento virtual unitario. đ?‘ƒđ??ż2 ∴ đ?œƒđ??´ = sin đ?œƒ 8đ??¸đ??ź

128

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Ejercicio 1.17 Determine la deflexiĂłn vertical en los puntos đ??ľ y đ??ś de la viga indicada en la figura 1-17a con el mĂŠtodo del trabajo virtual. Sobre el tramo đ??´ − đ??ľ actĂşa una carga de 2đ?‘˜/đ?‘?đ?‘–đ?‘’. đ??¸ e đ??ź son constantes para toda la viga y đ??¸đ??ź = 276000đ?‘˜ − đ?‘?đ?‘–đ?‘’ 2 . 2đ?‘˜/đ?‘?đ?‘–đ?‘’

đ??´

đ??ś

đ??ľ

30´

đ??ˇ

40´

20´

(a) Figura 1-17 SOLUCIĂ“N Momentos reales đ?‘´ Se calculan las reacciones en los soportes. Como la viga no estĂĄ sometida a alguna fuerza horizontal, directamente de suma de fuerzas en la direcciĂłn đ?‘‹ se obtiene que đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 0. Luego, las fuerzas reactivas verticales de los apoyos se obtienen de 1 + ∑ đ?‘€đ??´ = 0 ⇒ 2(30) ( (30)) − đ?‘…đ??ˇđ?‘Œ (90) = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??ˇđ?‘Œ = 10đ?‘˜ 2 +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Œ − 2(30) + 10 = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 50đ?‘˜

Se emplea la coordenada đ?‘Ľ con origen en đ??´ para cubrir toda la longitud de la viga, figura 1-17b. Debido a que hay una discontinuidad de la carga uniformemente distribuida en el punto đ??ľ, se tienen que considerar dos regiones, la đ??´ − đ??ľ y la đ??ľ − đ??ˇ, y se debe efectuar un seccionamiento en cada una de ellas con el objetivo de describir las funciones de momento đ?‘€ para toda la viga, figuras 1-17c y 1-117d. 2đ?‘˜/đ?‘?đ?‘–đ?‘’

đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 0

đ??´

đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 50đ?‘˜

đ?‘Ľ

đ??ľ

đ??ˇ

đ??ś

40´

30´

(b) 129

20´ đ?‘…đ??ˇđ?‘Œ = 10đ?‘˜

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

0´ ≤ đ?‘Ľ ≤ 30´ + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 đ?‘Ľ −đ?‘€1 + 50(đ?‘Ľ) − 2(đ?‘Ľ) ( ) = 0 2 đ?‘€1 = 50đ?‘Ľ − đ?‘Ľ 2

(c)

30´ ≤ đ?‘Ľ ≤ 90´ + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 1 −đ?‘€2 + 50(đ?‘Ľ) − 2(30) (đ?‘Ľ − (30)) = 0 2 đ?‘€2 = 900 − 10đ?‘Ľ (d) Momentos virtuales đ?’Ž Para poder calcular el desplazamiento vertical en el punto đ??ľ, se coloca una carga virtual vertical de uno en đ??ľ, figura 1-17e. Por inspecciĂłn, las funciones de momento interno đ?‘š, que se formulan de la manera habitual, son discontinuas en el punto mencionado. đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 0 đ??´

đ?‘Ľ

đ??ˇ

đ??ś

đ??ľ 1

đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 0.6667

40´

30´

20´

(e) Se calculan las reacciones en los apoyos. + ∑ đ?‘€đ??´ = 0 ⇒ −1(30) + đ?‘…đ??ˇđ?‘Œ (90) = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??ˇđ?‘Œ = 0.3333 +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ −đ?‘…đ??´đ?‘Œ + 1 − 0.3333 = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 0.6667 +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 0 130

đ?‘…đ??ˇđ?‘Œ = 0.3333

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Al seccionar la viga en algĂşn sitio intermedio del tramo đ??´ − đ??ľ y del tramo đ??ľ − đ??ˇ de forma respectiva, figuras 1-17f y 1-17g, se tiene

0´ ≤ đ?‘Ľ ≤ 30´ + ∑ đ?‘šđ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 −đ?‘š1 − 0.6667(đ?‘Ľ) = 0 ⇒ đ?‘š1 = −0.6667đ?‘Ľ (f) 30´ ≤ đ?‘Ľ ≤ 90´ + ∑ đ?‘šđ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 đ?‘š2 = −0.6667đ?‘Ľ + 1(đ?‘Ľ − 30) = 0 đ?‘š2 = 0.3333đ?‘Ľ − 30 (g) Como tambiĂŠn se requiere conocer el desplazamiento vertical en đ??ś, la viga sin cargas reales se somete a una a una carga virtual vertical unitaria en ese punto, figura 1-17h. AquĂ­, las funciones de momento interno đ?‘š son discontinuas en đ??ś. đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 0

đ??´

đ?‘Ľ

đ??ś

đ??ľ

đ??ˇ 1

đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 0.2222

40´

30´

20´

đ?‘…đ??ˇđ?‘Œ = 0.7778

(h) Al calcular las reacciones en los soportes đ??´ y đ??ˇ, y al emplear el mĂŠtodo de secciones, figuras 1-17i y 1-17j, se tiene + ∑ đ?‘€đ??´ = 0 ⇒ −1(70) + đ?‘…đ??ˇđ?‘Œ (90) = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??ˇđ?‘Œ = 0.7778 +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ −đ?‘…đ??´đ?‘Œ + 1 − 0.7778 = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 0.2222 +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 0 131

CAPÍTULO 1

ANÁLISIS DE VIGAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

0´ ≤ 𝑥 ≤ 70´ + ∑ 𝑚𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 −𝑚1 − 0.2222(𝑥) = 0 ⇒ 𝑚1 = −0.2222𝑥

(i) 70´ ≤ 𝑥 ≤ 90´

(j) + ∑ 𝑚𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 ⇒ −𝑚2 − 0.2222(𝑥) + 1(𝑥 − 70) = 0 ⇒ 𝑚2 = 0.7778𝑥 − 70 Ecuación del trabajo virtual La expresión matemática del trabajo virtual para cargas de flexión es 𝐿2

1 ∙ ∆= ∫ 𝐿1

𝑀𝑚 𝑑𝑥 𝐸𝐼

Finalmente, se determina el desplazamiento vertical en los puntos 𝐵 y 𝐶. 1 ∙ 𝛿𝑉𝐵 =

30 90 1 [∫ (50𝑥 − 𝑥 2 )(−0.6667𝑥)𝑑𝑥 + ∫ (900 − 10𝑥)(0.3333𝑥 − 30)𝑑𝑥] 276000 0 30 = −1.46753𝑝𝑖𝑒𝑠 ∴ 𝛿𝑉𝐵 = 1.46753𝑝𝑖𝑒𝑠 ↓

1 ∙ 𝛿𝑉𝐶 =

30 70 1 [∫ (50𝑥 − 𝑥 2 )(−0.2222𝑥)𝑑𝑥 + ∫ (900 − 10𝑥)(−0.2222𝑥)𝑑𝑥 276000 0 30 90

+ ∫ (900 − 10𝑥)(0.7778𝑥 − 70)𝑑𝑥 ] 70

= −0.875511𝑝𝑖𝑒𝑠

∴ 𝛿𝑉𝐶 = 0.875511𝑝𝑖𝑒𝑠 ↓

132

CAPÍTULO 1

ANÁLISIS DE VIGAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

1.3 TEOREMA DE CASTIGLIANO Ejercicio 1.18 Determine el desplazamiento vertical en el punto 𝐷 (𝛿𝑣𝐷 ) de la viga que se visualiza en la figura 1-18a. Tome en cuenta sólo las deformaciones debidas a la flexión y considere que 𝐸𝐼 es constante. 3𝑇

5𝑇 2 𝑇/𝑚

(a) 𝐴

𝐷

𝐶

𝐵

2𝑚

2𝑚

Figura 1-18

2𝑚

SOLUCIÓN Fuerza externa 𝑷 Se coloca una carga 𝑃, cuya magnitud es variable, en el punto y en la dirección donde se requiere conocer el desplazamiento y su sentido se propone arbitrariamente. En este caso, la fuerza 𝑃 se aplica verticalmente en el punto 𝐷 y se ha supuesto hacia abajo tal y como se muestra en la figura 1-18b, y aunque momentáneamente reemplaza a la fuerza de 5𝑇 por encontrarse ubicada en el mismo punto, después será igual a un valor fijo de 5𝑇. 3𝑇

𝑃 2 𝑇/𝑚

𝐴

2𝑚

2𝑚

(b)

𝐷

𝐶

𝐵

2𝑚

En la figura 1-18c se proporciona un diagrama de cargas de la estructura anterior. 𝐴 3𝑇

𝑅𝐴𝑥

𝑥̅

𝑃 2 𝑇/𝑚

𝐴

𝐶

𝐵 2𝑚 𝑅𝐴𝑦

2𝑚

𝑅𝐶𝑦

𝐷

(c)

2𝑚

La fuerza resultante de la carga distribuida uniforme es 𝐴 = (2𝑇/𝑚)(2𝑚) y su punto de aplicación es 𝑥̅ = (1/2)(2𝑚); como las fuerzas reactivas 𝑅𝐴𝑥, 𝑅𝐴𝑦 y 𝑅𝐶𝑦 son in133

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

cĂłgnitas, sus sentidos se han supuesto arbitrariamente. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio en una secuencia y al emplear los resultados calculados previamente, se tiene 1 + ∑ đ?‘€đ??´ = 0 ⇒ 3(2) + (2)(2) (2 + (2)) − đ?‘…đ??śđ?‘Ś(4) + đ?‘ƒ(6) = 0 2 6 + 12 − 4đ?‘…đ??śđ?‘Ś + 6đ?‘ƒ = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??śđ?‘Ś =

9 3 + đ?‘ƒ 2 2

9 3 5 1 +↑ ∑ đ??šđ?‘Ś = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Ś − 3 − (2)(2) + ( + đ?‘ƒ) − đ?‘ƒ = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Ś = − đ?‘ƒ 2 2 2 2 +→ ∑ đ??šđ?‘Ľ = 0 ⇒ ∴ đ?‘…đ??´đ?‘Ľ = 0 Momentos internos đ?‘´ Los resultados obtenidos se indican esquemĂĄticamente en la figura 1-18d. đ??´

3�

đ?‘ƒ

đ?‘ĽĚ…

2 �/�

đ?‘…đ??´đ?‘Ľ = 0 đ??´

đ??ś

đ??ľ

đ??ˇ

(d)

đ?‘Ľ

2đ?‘š đ?‘…đ??´đ?‘Ś =

2đ?‘š

2đ?‘š

9 3 đ?‘…đ??śđ?‘Ś = + đ?‘ƒ 2 2

5 1 − đ?‘ƒ 2 2

Las funciones de momento, que son discontinuas en los puntos đ??ľ y đ??ś, se obtienen al aplicar el mĂŠtodo de las secciones; para ello, es necesario cortar a la estructura perpendicularmente a su eje a travĂŠs de secciones arbitrarias en las regiones đ??´ − đ??ľ, đ??ľ − đ??ś y đ??ś − đ??ˇ, figuras 1-18e, 1-18f y 1-18g. Se ha definido una sola coordenada đ?‘Ľ para toda la viga, por lo que es vĂĄlida para toda la regiĂłn đ??´ − đ??ˇ (0 ≤ đ?‘Ľ ≤ 6đ?‘š), su origen ha sido asociado en đ??´, y es positiva hacia la derecha. Las funciones de momento para cada regiĂłn y sus correspondientes derivadas parciales con respecto a đ?‘ƒ son 0 ≤ đ?‘Ľ ≤ 2đ?‘š + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0

đ?‘€1 đ??´

5 1 5 1 −đ?‘€1 + ( − đ?‘ƒ) (đ?‘Ľ) = 0 ⇒ đ?‘€1 = đ?‘Ľ − đ?‘ƒđ?‘Ľ 2 2 2 2 đ?œ•đ?‘€1 1 =− đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘ƒ 2

đ?‘…đ??´đ?‘Ś =

134

đ?‘ 1

đ?‘Ľ 5 1 − đ?‘ƒ 2 2

�1

(e)

CAPÍTULO 1

ANÁLISIS DE VIGAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

2𝑚 ≤ 𝑥 ≤ 4𝑚 + ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 (𝑥 − 2) 5 1 −𝑀2 + ( − 𝑃) (𝑥) − 3(𝑥 − 2) − 2(𝑥 − 2) ( )=0 2 2 2

𝑀2 𝐴

𝑁2

𝐵

5 1 𝑅𝐴𝑦 = − 𝑃 2 2

1 1 𝑀2 = −(𝑥 − 2)2 − 𝑥 − 𝑃𝑥 + 6 2 2

𝑉2

𝜕𝑀2 1 =− 𝑥 𝜕𝑃 2

(f)

4𝑚 ≤ 𝑥 ≤ 6𝑚 3𝑇 2 𝑇/𝑚 𝑀3 𝐴 𝑅𝐴𝑦 =

5 1 − 𝑃 2 2

𝑁3

𝐶

𝐵 𝑅𝐶𝑦 =

2𝑚

9 3 + 𝑃 2 2

2𝑚 𝑥

𝑉3

(g)

5 1 9 3 + ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 ⇒ −𝑀3 + ( − 𝑃) (𝑥) − 3(𝑥 − 2) − 2(2)(𝑥 − 3) + ( + 𝑃) (𝑥 − 4) = 0 2 2 2 2

𝑀3 =

5 1 9 3 𝑥 − 𝑃𝑥 − 3𝑥 + 6 − 4𝑥 + 12 + 𝑥 − 18 + 𝑃𝑥 − 6𝑃 2 2 2 2 𝑀3 = 𝑃𝑥 − 6𝑃 𝜕𝑀3 =𝑥−6 𝜕𝑃 Teorema del Castigliano

Hacemos 𝑃 = 5𝑇 en las ecuaciones de momento, debido a que ese es su valor real. Por consiguiente, 𝑀1 =

5 1 𝑥 − (5)𝑥 = 0 2 2

135

0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝑚

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

1 1 đ?‘€2 = −(đ?‘Ľ − 2)2 − đ?‘Ľ − (5)đ?‘Ľ + 6 = −đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ + 2 2 2 đ?‘€3 = 5đ?‘Ľ − 6(5) = 5đ?‘Ľ − 30

2� ≤ � ≤ 4�

4� ≤ � ≤ 6�

La ecuaciĂłn para conocer el desplazamiento en cualquier punto es ∆=

đ??ż2 đ?œ•đ?‘˘đ?‘– đ?œ•đ?‘€ đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ đ?‘€( ) đ?œ•đ?‘ƒđ?‘– đ?œ•đ?‘ƒ đ??¸đ??ź đ??ż1

Al aplicarla, tenemos 1 2 1 âˆŤ (0) (− đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ đ??¸đ??ź 0 2 4 1 1 1 6 2 + âˆŤ (−đ?‘Ľ + đ?‘Ľ + 2) (− đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ + âˆŤ (5đ?‘Ľ − 30)(đ?‘Ľ − 6)đ?‘‘đ?‘Ľ đ??¸đ??ź 2 2 đ??¸đ??ź 4 đ?›żđ?‘‰đ??ˇ =

Resolviendo integrales por separado se obtiene 1 4 1 1 4 1 3 1 2 1 4 1 3 1 2 4 2 (−đ?‘Ľ âˆŤ + đ?‘Ľ + 2) (− đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ ( đ?‘Ľ − đ?‘Ľ − đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ = [ đ?‘Ľ − đ?‘Ľ − đ?‘Ľ ] đ??¸đ??ź 2 2 đ??¸đ??ź 2 2 2 8 6 2 2

=

1 1 4 1 1 1 44 [ (4 − 24 ) − (43 − 23 ) − (42 − 22 )] = ( ) đ??¸đ??ź 8 6 2 đ??¸đ??ź 3

6 1 6 1 6 1 5 âˆŤ (5đ?‘Ľ − 30)(đ?‘Ľ − 6)đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ (5đ?‘Ľ 2 − 60đ?‘Ľ + 180)đ?‘‘đ?‘Ľ = [ đ?‘Ľ 3 − 30đ?‘Ľ 2 + 180đ?‘Ľ] đ??¸đ??ź 4 đ??¸đ??ź 4 đ??¸đ??ź 3 4

=

1 5 3 1 40 [ (6 − 43 ) − 30(62 − 42 ) + 180(6 − 4)] = [ ] đ??¸đ??ź 3 đ??¸đ??ź 3

Por lo tanto, đ?›żđ?‘‰đ??ˇ =

1 44 40 28 [0 + + ]= đ??¸đ??ź 3 3 đ??¸đ??ź

Como la suma resultante de todas las integrales definidas es positiva, el desplazamiento tiene el mismo sentido que el propuesto para la carga đ?‘ƒ. Por consiguiente, đ?›żđ?‘‰đ??ˇ =

28 ↓ đ??¸đ??ź

136

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Ejercicio 1.19. Determine la pendiente en el punto đ??ś (đ?œƒđ??ś ) de la viga en voladizo que se muestra en la figura 1-19a mediante el Teorema del Castigliano; tome en cuenta sĂłlo las deformaciones debidas a la flexiĂłn y considere que đ??¸đ??ź es constante. 3 đ?‘‡/đ?‘š đ??´

đ??ś

đ??ľ 2đ?‘š

(a)

đ?‘€

Figura 1-19

2đ?‘š

SOLUCIĂ“N Momento de par externo đ?‘´Â´ Debido a que se nos pide calcular la pendiente en đ??ś, colocamos un par externo đ?‘€´ sobre la viga en ese punto, el cual se opta que sea de sentido horario y parcialmente reemplaza al momento puntual đ?‘€ por estar ubicado en el mismo punto, tal y como se observa en la figura 1-19b. DespuĂŠs đ?‘€´ serĂĄ igual al valor fijo de đ?‘€. 3 đ?‘‡/đ?‘š đ??´

đ??ś

đ??ľ 2đ?‘š

đ?‘€´

(b)

2đ?‘š

El diagrama de cargas de la estructura anterior es proporcionado en la figura 1-19c. đ??´

đ?‘…đ??´đ?‘Ľ

đ??´

3 �/�

đ??ś đ?‘€´

đ??ľ

(c)

đ?‘Ľ

đ?‘€đ??´ đ?‘…đ??´đ?‘Ś

2đ?‘š

2đ?‘š

La fuerza resultante de la carga distribuida uniforme es đ??´ = (3đ?‘‡/đ?‘š)(2đ?‘š) y su punto de aplicaciĂłn es đ?‘ĽĚ… = (1/2)(2đ?‘š); como las reacciones đ?‘…đ??´đ?‘Ľ, đ?‘…đ??´đ?‘Ś y đ?‘€đ??´ son incĂłgnitas, sus sentidos se han supuesto arbitrariamente. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio, se obtiene 1 + ∑ đ?‘€đ??´ = 0 ⇒ (3)(2) ( (2)) + đ?‘€´ − đ?‘€đ??´ = 0 ⇒∴ đ?‘€đ??´ = 6 + đ?‘€´ 2 +↑ ∑ đ??šđ?‘Ś = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Ś − (3)(2) = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Ś = 6đ?‘‡ 137

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

+→ ∑ đ??šđ?‘Ľ = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Ľ = 0 Momentos internos đ?‘´ Los resultados obtenidos se muestran en la figura 1-19d. đ??´

đ?‘Ľ

3 �/�

đ?‘€đ??´ = 6 + đ?‘€´

đ??´

đ?‘…đ??´đ?‘Ľ = 0

(d)

đ??ś đ?‘€´

đ??ľ đ?‘Ľ

2đ?‘š

đ?‘…đ??´đ?‘Ś = 6đ?‘‡

2đ?‘š

Debido a que la distribuciĂłn de la carga presenta una discontinuidad en el punto đ??ľ, las funciones de momento no serĂĄn iguales en las regiones đ??´ − đ??ľ y đ??ľ − đ??ś; es evidente que la viga debe ser seccionada perpendicularmente a su eje a travĂŠs de secciones arbitrarias en tales regiones. Se ha definido una sola coordenada đ?‘Ľ para toda la viga, por lo que es vĂĄlida para toda la regiĂłn đ??´ − đ??ś (0 ≤ đ?‘Ľ ≤ 4đ?‘š), su origen ha sido asociado en đ??´, y es positiva hacia la derecha. Con base en las figuras 1-19e y 1-19f, las funciones de momento para cada regiĂłn y sus correspondientes derivadas parciales con respecto a đ?‘€´ son 0 ≤ đ?‘Ľ ≤ 2đ?‘š 3 đ?‘‡/đ?‘š đ?‘€1 đ?‘€đ??´ = 6 + đ?‘€´

đ?‘ 1

đ?‘…đ??´đ?‘Ś = 6đ?‘‡

đ?‘Ľ

(e)

�1

đ?‘Ľ + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ đ?‘€1 = −(6 + đ?‘€´) + 6(đ?‘Ľ) − 3(đ?‘Ľ) ( ) 2 3 2 đ?œ•đ?‘€1 đ?‘€1 = −6 − đ?‘€´ + 6đ?‘Ľ − đ?‘Ľ = −1 2 đ?œ•đ?‘€´ 2đ?‘š ≤ đ?‘Ľ ≤ 4đ?‘š 3 đ?‘‡/đ?‘š

đ?‘€2

đ?‘ 2

đ?‘€đ??´ = 6 + đ?‘€´ 2đ?‘š đ?‘…đ??´đ?‘Ś = 6đ?‘‡

đ?‘Ľ

138

�2

(f)

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

+ ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ −đ?‘€2 − (6 + đ?‘€´) + 6(đ?‘Ľ) − 3(2)(đ?‘Ľ − 1) = 0 đ?œ•đ?‘€2 =1 đ?œ•đ?‘€´

đ?‘€2 = đ?‘€´

Teorema del Castigliano Si se establece que đ?‘€´ = đ?‘€ en las ecuaciones de momento, debido a que ese es su valor real, tenemos que 3 đ?‘€1 = −6 − đ?‘€ + 6đ?‘Ľ − đ?‘Ľ 2 2 đ?‘€2 = đ?‘€

0 ≤ � ≤ 2�

2� ≤ � ≤ 4�

La ecuaciĂłn para conocer la rotaciĂłn en cualquier punto es đ?œƒ=

đ??ż2 đ?œ•đ?‘˘đ?‘– đ?œ•đ?‘€ đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ đ?‘€( ) đ?œ•đ?‘€đ?‘– đ?œ•đ?‘€´ đ??¸đ??ź đ??ż1

Al aplicarla se tiene đ?œƒđ??ś =

1 2 3 1 4 âˆŤ (−6 − đ?‘€ + 6đ?‘Ľ − đ?‘Ľ 2 ) (−1)đ?‘‘đ?‘Ľ + âˆŤ (đ?‘€)(1)đ?‘‘đ?‘Ľ đ??¸đ??ź 0 2 đ??¸đ??ź 2

Resolviendo integrales por separado se obtiene 1 2 3 1 2 3 âˆŤ (−6 − đ?‘€ + 6đ?‘Ľ − đ?‘Ľ 2 ) (−1)đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ (6 + đ?‘€ − 6đ?‘Ľ + đ?‘Ľ 2 ) đ?‘‘đ?‘Ľ đ??¸đ??ź 0 2 đ??¸đ??ź 0 2 2 1 = [(6 + đ?‘€)(đ?‘Ľ) − 3đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ 3 ] 2 0 1 1 1 [(6 + đ?‘€)(2) − 3(2)2 + (2)3 ] = (2đ?‘€ + 4) đ??¸đ??ź 2 đ??¸đ??ź 1 4 1 4 1 1 1 âˆŤ (đ?‘€)(1)đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ (đ?‘€)đ?‘‘đ?‘Ľ = [đ?‘€(đ?‘Ľ)]42 = [đ?‘€(4 − 2)] = (2đ?‘€) đ??¸đ??ź 2 đ??¸đ??ź 2 đ??¸đ??ź đ??¸đ??ź đ??¸đ??ź đ?œƒ=

1 4đ?‘€ + 4 đ?‘€+1 (2đ?‘€ + 4 + 2đ?‘€) = = 4[ ] đ??¸đ??ź đ??¸đ??ź đ??¸đ??ź

Como la suma resultante de todas las integrales definidas es positiva, la pendiente tiene el mismo sentido que el propuesto para el momento de par đ?‘€´. AsĂ­ que, đ?‘€+1 đ?œƒđ??ś = 4 [ ] đ??¸đ??ź

139

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Ejercicio 1.20 Determine la rotaciĂłn tangencial en el punto đ??ľ de la viga que se presenta en la figura 1-20a. Suponga que el material y la secciĂłn transversal no cambian a lo largo de la estructura, es decir, que đ??¸ e đ??ź son constantes. 3 đ?‘˜đ?‘ /đ?‘š 2 đ?‘˜đ?‘ /đ?‘š

đ??´

đ??ś

đ??ľ 4.5đ?‘š

4.5đ?‘š

(a)

Figura 1-20 SOLUCIĂ“N Momento de par externo đ?‘´Â´ Se incorpora en la estructura un momento de par ficticio variable đ?‘€´ en đ??ľ, puesto que en ese punto se desea conocer la rotaciĂłn, justo como se observa en la figura 1-20b. 3 đ?‘˜đ?‘ /đ?‘š 2 đ?‘˜đ?‘ /đ?‘š đ?‘€´ đ??´

đ??ś

đ??ľ

4.5đ?‘š

4.5đ?‘š

(b)

Se determinan las resultantes de las cargas distribuidas con intensidad de variaciĂłn lineal, ademĂĄs de su ubicaciĂłn. DespuĂŠs se identifican las reacciones en los soportes. En la figura 1-20c se representa el diagrama de cargas. Las fuerzas reactivas en los apoyos son resultado de + ∑ đ?‘€đ??´ = 0 ⇒ − ∴ đ?‘…đ??śđ?‘Ś =

2(4.5) 4.5 3(4.5) 2(4.5) ( ) − đ?‘€´ − (4.5 + ) + đ?‘…đ??śđ?‘Ś(9) = 0 2 3 2 3 51 đ?‘€´ + 8 9

+→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Ľ = 0

140

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

+↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Ś −

2(4.5) 3(4.5) 51 đ?‘€´ 39 đ?‘€´ − + + = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Ś = − 2 2 8 9 8 9

(2đ?‘˜đ?‘ /đ?‘š)(4.5đ?‘š)

(3đ?‘˜đ?‘ /đ?‘š)(4.5đ?‘š)

2

2

3 đ?‘˜đ?‘ /đ?‘š

2 đ?‘˜đ?‘ /đ?‘š đ?‘€´ đ?‘…đ??´đ?‘Ľ

đ??´

đ??ś

đ??ľ 4.5đ?‘š

4.5đ?‘š

đ?‘…đ??´đ?‘Ś

đ?‘…đ??śđ?‘Ś

4.5đ?‘š 3

2(4.5đ?‘š) 3

(c)

Momentos internos đ?‘´ Los resultados de visualizan en la figura 1-20d. A partir de las figuras 1-20e y 1-20f, se formulan los momentos internos empleando el mĂŠtodo de las secciones y a la vez se calculan sus derivadas parciales; se emplean dos coordenadas đ?‘Ľ, las cuales son đ?‘Ľ1 y đ?‘Ľ2 , cuyos orĂ­genes se asocian en đ??´ y đ??ś y se extienden en las regiones đ??´ − đ??ľ y đ??ś − đ??ľ de forma respectiva. (2đ?‘˜đ?‘ /đ?‘š)(4.5đ?‘š)

(3đ?‘˜đ?‘ /đ?‘š)(4.5đ?‘š)

2

2

3 đ?‘˜đ?‘ /đ?‘š

2 đ?‘˜đ?‘ /đ?‘š đ?‘€´ đ?‘…đ??´đ?‘Ľ = 0

đ??´

đ??ś

đ??ľ 39 đ?‘€´ đ?‘…đ??´đ?‘Ś = − 8 9

4.5đ?‘š

4.5đ?‘š

đ?‘Ľ1

4.5đ?‘š 3

đ?‘Ľ2

2(4.5đ?‘š) 3

(d)

141

đ?‘…đ??śđ?‘Ś =

51 đ?‘€´ + 8 9

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

0 ≤ �1 ≤ 4.5�

La intensidad đ?‘Š1 en funciĂłn de đ?‘Ľ1 se obtiene de 2đ?‘˜đ?‘ /đ?‘š đ?‘Š1 4đ?‘Ľ1 = ⇒ đ?‘Š1 = 2 − 4.5đ?‘š 4.5đ?‘š − đ?‘Ľ1 9

(e)

ObsĂŠrvese como es conviene dividir la carga distribuida trapezoidal en una carga triangular y una carga distribuida uniforme.

4đ?‘Ľ đ?‘Ľ1 ( 91 ) 2đ?‘Ľ1 39 đ?‘€´ 4đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ1 + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ − ( − ) (đ?‘Ľ1 ) + ( ) ( ) + đ?‘Ľ1 (2 − ) ( ) + đ?‘€1 = 0 8 9 2 3 9 2

đ?‘€1 =

39 đ?‘€´ 2 đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ1 2 + đ?‘Ľ1 3 8 9 27

đ?œ•đ?‘€1 đ?œ•đ?‘€´

1 9

= − đ?‘Ľ1

0 ≤ �2 ≤ 4.5�

La intensidad đ?‘Š2 en funciĂłn de đ?‘Ľ2 se obtiene de 3đ?‘˜đ?‘ /đ?‘š đ?‘Š2 2đ?‘Ľ2 = ⇒ đ?‘Š2 = 3 − 4.5đ?‘š 4.5đ?‘š − đ?‘Ľ2 3

(f) 142

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

2đ?‘Ľ đ?‘Ľ2 ( 3 2 ) 2đ?‘Ľ2 2đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ2 51 đ?‘€´ + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ −đ?‘€2 − đ?‘Ľ2 (3 − )( ) −( )( ) + ( + ) (đ?‘Ľ2 ) = 0 3 2 2 3 8 9

đ?‘€2 =

51 đ?‘€´ 3 1 đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ2 2 + đ?‘Ľ2 3 8 9 2 9

đ?œ•đ?‘€2 1 = đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘€´ 9 2

Teorema del Castigliano Haciendo đ?‘€´ = 0 en las ecuaciones de momento puesto que en la viga real no hay un momento de par aplicado en đ??ľ se tiene đ?‘€1 =

39 0 2 39 2 đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ1 2 + đ?‘Ľ1 3 = đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ1 2 + đ?‘Ľ1 3 8 9 27 8 27

0 ≤ �1 ≤ 4.5�

đ?‘€2 =

51 0 3 1 51 3 1 đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ2 2 + đ?‘Ľ2 3 = đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ2 2 + đ?‘Ľ2 3 8 9 2 9 8 2 9

0 ≤ �2 ≤ 4.5�

Aplicando la siguiente expresiĂłn matemĂĄtica đ??ż2

đ?œƒ = âˆŤ đ?‘€( đ??ż1

đ?œ•đ?‘€ đ?‘‘đ?‘Ľ ) đ?œ•đ?‘€´ đ??¸đ??ź

en la viga se obtiene đ?œƒđ??ľ =

1 4.5 39 2 1 âˆŤ ( đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ1 2 + đ?‘Ľ1 3 ) (− đ?‘Ľ1 ) đ?‘‘đ?‘Ľ đ??¸đ??ź 0 8 27 9

1 4.5 51 3 1 1 567 + âˆŤ ( đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ2 2 + đ?‘Ľ2 3 ) ( đ?‘Ľ2 ) đ?‘‘đ?‘Ľ = đ??¸đ??ź 0 8 2 9 9 640đ??¸đ??ź

Dado que la pendiente resultĂł positiva, esta tiene un sentido horario al igual que el momento de par ficticio. En consecuencia, đ?œƒđ??ľ =

567 0.8859 = 640đ??¸đ??ź đ??¸đ??ź

143

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Ejercicio 1.21 Calcule la deflexiĂłn del punto đ??ś de la viga mostrada en la figura 1-21a. Considere đ??¸đ??ź como constante. 4 đ?‘˜đ?‘ /đ?‘š

đ??´

đ??ľ 1đ?‘š

1.5đ?‘š

đ??ˇ

đ??ś 1đ?‘š

đ??¸ 1.5đ?‘š

(a)

Figura 1-21

SOLUCIĂ“N Fuerza externa đ?‘ˇ Aplicamos una carga ficticia vertical đ?‘ƒ hacia abajo (puede ir hacia arriba) en el punto đ??ś sobre la viga, figura 1-21b. đ?‘ƒ 4 đ?‘˜đ?‘ /đ?‘š

đ??´

đ??ľ 1.5đ?‘š

đ??ś 1đ?‘š

đ??ˇ 1đ?‘š

đ??¸ 1.5đ?‘š

(b)

En la figura 1-21c se representa el diagrama de cargas de la estructura anterior. Se divide la carga trapezoidal distribuida en dos cargas triangulares y una carga uniforme. Las resultantes, que son representadas por las ĂĄreas, actĂşan en el centroide de sus respectivas ĂĄreas. Luego, el sentido de cada fuerza reactiva es supuesto indistintamente.

144

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

(4đ?‘˜đ?‘ /đ?‘š)(1.5đ?‘š) 2

(4đ?‘˜đ?‘ /đ?‘š)(1.5đ?‘š)

đ?‘ƒ

2

4 đ?‘˜đ?‘ /đ?‘š

1.5đ?‘š

1.5đ?‘š

3

3 đ??´

đ?‘…đ??ľđ?‘Ľ 1.5đ?‘š

đ??ľ

đ??ś

1đ?‘š

đ??ˇ 1đ?‘š

đ?‘…đ??ľđ?‘Ś

đ??¸ 1.5đ?‘š

đ?‘…đ??ˇđ?‘Ś

(4đ?‘˜đ?‘ /đ?‘š)(2đ?‘š) (c)

Se calculan las reacciones en los soportes por medio de las ecuaciones de equilibrio. + ∑ đ?‘€đ??ˇ = 0 ⇒

4(1.5) 1.5 4(1.5) 1.5 ( + 2) − đ?‘…đ??ľđ?‘Ś(2) + đ?‘ƒ(1) + 4(2)(1) − ( )=0 2 3 2 3

∴ đ?‘…đ??ľđ?‘Ś = +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ −

đ?‘ƒ + 14 2

+→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??ľđ?‘Ľ = 0

4(1.5) đ?‘ƒ + 14 4(1.5) đ?‘ƒ + 14 + − đ?‘ƒ − 4(2) + đ?‘…đ??ˇđ?‘Ś − ⇒∴ đ?‘…đ??ˇđ?‘Ś = 2 2 2 2 Momentos internos đ?‘´

Los resultados se muestran en el diagrama correspondiente a la figura 1-21d. ObsĂŠrvese que hay discontinuidades de carga en los puntos đ??ľ, đ??ś y đ??ˇ. Se distinguen cuatro tramos distintos y se opta por usar una coordenada đ?‘Ľ para cubrir cada uno. Las coordenadas đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 y đ?‘Ľ4 con orĂ­genes en đ??´, đ??ľ, đ??¸ y đ??ˇ, abarcan las regiones đ??´ − đ??ľ, đ??ľ − đ??ś, đ??¸ − đ??ˇ y đ??ˇ − đ??ś, respectivamente. (4đ?‘˜đ?‘ /đ?‘š)(1.5đ?‘š) 2

(4đ?‘˜đ?‘ /đ?‘š)(1.5đ?‘š)

đ?‘ƒ

2

4 đ?‘˜đ?‘ /đ?‘š

1.5đ?‘š

1.5đ?‘š

3

3 đ??´ đ?‘…đ??ľđ?‘Ľ = 0 đ?‘Ľ1 1.5đ?‘š đ?‘…đ??ľđ?‘Ś =

đ?‘ƒ + 14 2

đ??ľ

đ??ś

1đ?‘š đ?‘Ľ2

đ??ˇ 1đ?‘š đ?‘Ľ4

(4đ?‘˜đ?‘ /đ?‘š)(2đ?‘š) (d) 145

đ?‘Ľ3

đ??¸

1.5đ?‘š đ?‘…đ??ˇđ?‘Ś =

đ?‘ƒ + 14 2

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

A partir de los diagramas de cuerpo libre de las figuras 1-21e y 1-21f, determinamos đ?‘€ y sus derivadas parciales con respecto a đ?‘ƒ. 0 ≤ đ?‘Ľ1 ≤ 1.5đ?‘š La intensidad đ?‘Š en funciĂłn de đ?‘Ľ1 es 4đ?‘˜đ?‘ /đ?‘š đ?‘Š 8 = ⇒ đ?‘Š = đ?‘Ľ1 1.5 đ?‘Ľ1 3

(e)

8 (đ?‘Ľ1 ) ( đ?‘Ľ1 ) đ?‘Ľ1 4 3 + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ ( ) ( ) + đ?‘€1 = 0 ⇒ đ?‘€1 = − đ?‘Ľ1 2 2 3 9

đ?œ•đ?‘€1 =0 đ?œ•đ?‘ƒ

0 ≤ �2 ≤ 1�

(f)

+ ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒

4(1.5) 1.5 đ?‘ƒ + 14 đ?‘Ľ2 ( + đ?‘Ľ2 ) − ( ) (đ?‘Ľ2 ) + 4(đ?‘Ľ2 ) ( ) + đ?‘€2 = 0 2 3 2 2

đ?‘€2 = −2đ?‘Ľ2 2 +

đ?‘ƒ đ?‘Ľ + 4đ?‘Ľ2 − 1.5 2 2

đ?œ•đ?‘€2 đ?‘Ľ2 = đ?œ•đ?‘ƒ 2

Dada la simetrĂ­a de la viga, las funciones de momento en los tramos đ??¸ − đ??ˇ y đ??ˇ − đ??ś son anĂĄlogas a las de los tramos đ??´ − đ??ľ y đ??ľ − đ??ś. En consecuencia, 146

CAPĂ?TULO 1

ANĂ LISIS DE VIGAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

0 ≤ đ?‘Ľ3 ≤ 1.5đ?‘š 4 đ?‘€3 = − đ?‘Ľ3 2 9

đ?œ•đ?‘€3 =0 đ?œ•đ?‘ƒ

0 ≤ đ?‘Ľ4 ≤ 1đ?‘š đ?‘€4 = −2đ?‘Ľ4 2 +

đ?‘ƒ đ?‘Ľ + 4đ?‘Ľ4 − 1.5 2 4

đ?œ•đ?‘€4 đ?‘Ľ4 = đ?œ•đ?‘ƒ 2

Teorema del Castigliano Dado que originalmente no habĂ­a una carga puntual en el punto đ??ś sobre la viga, se establece đ?‘ƒ = 0 (su valor real). Entonces, 4

đ?‘€1 = − đ?‘Ľ1 2

0 ≤ �1 ≤ 1.5�

9

đ?‘€2 = −2đ?‘Ľ2 2 +

( 0) đ?‘Ľ 2 2

+ 4đ?‘Ľ2 − 1.5 = −2đ?‘Ľ2 2 + 4đ?‘Ľ2 − 1.5 4

đ?‘€3 = − đ?‘Ľ3 2

0 ≤ �2 ≤ 1�

0 ≤ �3 ≤ 1.5�

9

đ?‘€2 = −2đ?‘Ľ4 2 + 4đ?‘Ľ4 − 1.5

0 ≤ �4 ≤ 1�

Al aplicar la ecuaciĂłn đ??ż2

đ?œ•đ?‘€ đ?‘‘đ?‘Ľ ∆= âˆŤ đ?‘€ ( ) đ?œ•đ?‘ƒ đ??¸đ??ź đ??ż1 resulta đ?›żđ?‘‰đ??ś = 1.5

âˆŤ 0

1.5 1 4 1 1 đ?‘Ľ2 (âˆŤ (− đ?‘Ľ1 2 ) (0)đ?‘‘đ?‘Ľ1 + âˆŤ (−2đ?‘Ľ2 2 + 4đ?‘Ľ2 − 1.5) ( ) đ?‘‘đ?‘Ľ2 đ??¸đ??ź 0 9 đ??¸đ??ź 0 2

1 1 đ?‘Ľ4 1 (− đ?‘Ľ3 ) (0)đ?‘‘đ?‘Ľ3 + âˆŤ (−2đ?‘Ľ4 2 + 4đ?‘Ľ4 − 1.5) ( ) đ?‘‘đ?‘Ľ4 ) = 9 đ??¸đ??ź 0 2 12đ??¸đ??ź 4

2

Debido a que la magnitud del desplazamiento calculado resultĂł positiva, este tambiĂŠn va hacia abajo como đ?‘ƒ. Por lo tanto, đ?›żđ?‘‰đ??ś =

1 0.08333 = ↓ 12đ??¸đ??ź đ??¸đ??ź

147

CAPĂ?TULO 2 ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS 2.1 REACCIONES EN LOS SOPORTES Y FUNCIONES DE LAS FUERZAS CORTANTE Y NORMAL, Y DEL MOMENTO FLECTOR Ejercicio 2.1 Determinar las expresiones algebraicas que describen la variaciĂłn de las acciones internas con el mĂŠtodo de las secciones en el marco visualizado en la figura 2-1a. Con referencia a las cargas aplicadas sobre el marco, obsĂŠrvese que perpendicularmente al eje del miembro đ??´ − đ??ľ y sobre su longitud, se encuentra una carga distribuida cuya intensidad varĂ­a linealmente desde cero en el apoyo đ??´ hasta 8đ?‘‡/đ?‘š en el punto đ??ľ; sobre el miembro đ??ľ − đ??ś se extiende una presiĂłn cuya intensidad varĂ­a logarĂ­tmicamente (especĂ­ficamente de la forma đ?‘Ś = đ?‘™đ?‘›(1 + đ?‘Ľ 2 )) desde cero en el punto đ??ľ hasta 3.91202 đ?‘‡/đ?‘š en el punto đ??ś; la carga de 4đ?‘‡ tiene su punto de aplicaciĂłn justo a la mitad del miembro E-C. Considere tambiĂŠn que el soporte en đ??´ estĂĄ girado de tal forma que su plano de deslizamiento es perpendicular al miembro đ??´ − đ??ľ.

� = ��(1 + � 2 )

3.91202�/�

đ??ś

đ??ľ

đ??ˇ

4�

3đ?‘š 3đ?‘š

đ??¸

đ??´ 5đ?‘š

7đ?‘š

(a)

Figura 2-1

SOLUCIĂ“N VerificaciĂłn del grado de indeterminaciĂłn El marco es isostĂĄtico ya que se cumple la condiciĂłn đ?‘&#x; + 3đ?‘š = 3đ?‘› + đ?‘?, puesto que: đ?‘š = 3 porque la estructura tiene tres miembros (đ??´ − đ??ľ; đ??ľ − đ??ś; đ??¸ − đ??ś), đ?‘&#x; = 3 debido a que en el soporte đ??´, por ser un rodillo, se genera una fuerza reactiva perpendicular a su plano de deslizamiento, mientras que el soporte đ??ˇ por ser articulado tiene dos incĂłgnitas de reacciĂłn (una horizontal y una vertical), đ?‘› = 4 ya que hay cuatro nodos (đ??´; đ??ľ; đ??ś; đ??¸), y đ?‘? = 0 por no haber condiciones impuestas por la construcciĂłn. 149

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

CĂĄlculo de las reacciones en los soportes Diagrama de cargas. Es mostrado en la figura 2-1b. Se han definido en sus cuadrantes positivos a los ejes đ?‘Ľ y đ?‘Ś mĂĄs convenientes para aplicar las ecuaciones de equilibrio en la estructura; en esta ocasiĂłn, las columnas son prolongadas hasta su punto de intersecciĂłn đ?‘ƒđ??ź (mĂĄs adelante se explicarĂĄ la razĂłn). Para la carga triangular y la carga con intensidad descrita por la funciĂłn logarĂ­tmica, deben calcularse su ĂĄrea bajo la curva, respectivamente, ademĂĄs del centroide de sus ĂĄreas correspondientes. Por otra parte, se identifica cada fuerza reactiva en los soportes suponiendo su sentido arbitrariamente. Es necesario descomponer a la carga concentrada equivalente đ?‘‡đ?‘&#x; y a la reacciĂłn đ?‘…đ??´ , individualmente, en sus componentes rectangulares horizontal y vertical. đ?‘ƒđ??ź

đ?‘Ś đ?‘‡đ?‘&#x;đ?‘Ś

đ??´đ?‘? = 16.242đ?‘‡ = 20 đ?‘‡ 3.91202đ?‘‡/đ?‘š

đ?‘‘ = 8.4đ?‘š đ??ˇÂ´ = 14.4đ?‘š

đ?œƒ1

đ??ľ

đ?œƒ2

đ??ś

đ?‘…đ??´đ?‘Ľ

3đ?‘š

đ?œƒ2

đ?‘‡đ?‘&#x;đ?‘Ľ = 24 đ?‘‡

đ??ˇ đ?œƒ1

đ??´

4�

4đ?‘š đ?‘…đ??¸đ?‘Ľ

đ??¸

3đ?‘š đ?‘Ľ

3.333đ?‘š đ?‘…đ??´

đ?œƒ2

đ?‘…đ??´đ?‘Ś

5đ?‘š

7đ?‘š

đ?‘…đ??¸đ?‘Ś

đ?‘Ľ2 = 4.513đ?‘š

(b)

De la figura 2-1b, por trigonometrĂ­a se deduce que đ??ˇÂ´ 6 = 12 5

â&#x;š đ??ˇÂ´ =

6(12) = 14.4đ?‘š; đ?‘‘ = 14.4đ?‘š − 6đ?‘š = 8.4đ?‘š 5

La longitud del miembro inclinado es đ??żđ??´âˆ’đ??ľ = √(5đ?‘š)2 + (6đ?‘š)2 = √61đ?‘š = 7.8102đ?‘š sin đ?œƒ2 =

5 √61

cos đ?œƒ2 =

6 √61

tan đ?œƒ2 =

5 6

A continuaciĂłn se efectĂşa un anĂĄlisis de las cargas distribuidas. Para la carga triangular se tiene que la carga concentrada equivalente es

150

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

đ?‘‡đ?‘&#x; =

(7.8102�)(8�⠄�) = 31.241� 2

y su punto de aplicaciĂłn de tal resultante se localiza a una distancia de 2 đ?‘Ľ1 = (7.8102đ?‘š) = 5.2068đ?‘š 3 Las componentes rectangulares horizontal y vertical de đ?‘‡đ?‘&#x; , figura 2-1c, son 5 đ?‘‡đ?‘&#x;đ?‘Ś = đ?‘‡đ?‘&#x; (sin đ?œƒ2 ) = 31.241đ?‘‡ ( ) = 20đ?‘‡ √61

đ?‘‡đ?‘&#x;

đ?‘‡đ?‘&#x;đ?‘Ś

6 đ?‘‡đ?‘&#x;đ?‘Ľ = đ?‘‡đ?‘&#x; (cos đ?œƒ2 ) = 31.241đ?‘‡ ( ) = 24đ?‘‡ √61

đ?œƒ2 đ?‘‡đ?‘&#x;đ?‘Ľ

(c)

El ĂĄrea bajo la curva de la carga cuya intensidad es descrita por la funciĂłn logarĂ­tmica se determina con la siguiente ecuaciĂłn: đ??ż2

7

đ??´đ?‘? = âˆŤ đ?‘‘đ??´ = âˆŤ đ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ đ?‘™đ?‘›(1 + đ?‘Ľ 2 )đ?‘‘đ?‘Ľ đ??ż1

0

Resolviendo la integral de manera indefinida se tiene âˆŤ đ?‘™đ?‘›(1 + đ?‘Ľ 2 )đ?‘‘đ?‘Ľ Sea đ?‘˘ = đ?‘™đ?‘› (1 + đ?‘Ľ 2 )

đ?‘‘đ?‘Ł = đ?‘‘đ?‘Ľ

Entonces �� =

2đ?‘Ľ 1 + đ?‘Ľ2

đ?‘Ł=đ?‘Ľ

Al integrar por partes tendremos âˆŤ đ?‘˘đ?‘‘đ?‘Ł = đ?‘˘đ?‘Ł − âˆŤ đ?‘Łđ?‘‘đ?‘˘ âˆŤ đ?‘™đ?‘›(1 + đ?‘Ľ

2 )đ?‘‘đ?‘Ľ

2đ?‘Ľ(đ?‘Ľ) đ?‘Ľ2 2 = đ?‘Ľđ?‘™đ?‘›(đ?‘Ľ + 1) − âˆŤ ( ) đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘Ľđ?‘™đ?‘›(đ?‘Ľ + 1) − 2 âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ľ 1 + đ?‘Ľ2 1 + đ?‘Ľ2 2

151

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS đ?‘Ľ2

La integral que obtuvimos, âˆŤ 1+đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘Ľ, es mĂĄs sencilla que la original pero todavĂ­a no es obvia, asĂ­ que efectuamos lo siguiente para resolverla: âˆŤ

đ?‘Ľ2 đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ đ?‘Ľ 2 (1 + đ?‘Ľ 2 )−1 đ?‘‘đ?‘Ľ 1 + đ?‘Ľ2

Esta Ăşltima integral es del tipo: âˆŤ(đ?‘Ľ đ?‘š )(đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ľ 2 )đ?‘› đ?‘‘đ?‘Ľ =

đ?‘Ľ đ?‘šâˆ’1 (đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ľ 2 )đ?‘›+1 đ?‘?(đ?‘› + đ?‘š) − đ?‘?(2đ?‘› + đ?‘š + 1) đ?‘?(2đ?‘› + đ?‘š + 1)

∗ âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘šâˆ’1 (đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ľ 2 )đ?‘› đ?‘‘đ?‘Ľ −

đ?‘Ž(đ?‘š − 1) âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘šâˆ’2 (đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ľ 2 )đ?‘› đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘?(2đ?‘› + đ?‘š + 1)

En este caso, đ?‘š = 2, đ?‘Ž = 1, đ?‘? = 0, đ?‘? = 1 y đ?‘› = −1. Sustituyendo y simplificando se tiene âˆŤ(đ?‘Ľ 2 )(1 + đ?‘Ľ 2 )−1 đ?‘‘đ?‘Ľ =

−

đ?‘Ľ 2−1 (1 + đ?‘Ľ 2 )−1+1 (0)(−1 + 2) − âˆŤ đ?‘Ľ 2−1 (1 + đ?‘Ľ 2 )−1 đ?‘‘đ?‘Ľ 1(2(−1) + 2 + 1) 1(2(−1) + 2 + 1)

1(2 − 1) đ?‘‘đ?‘Ľ âˆŤ đ?‘Ľ 2−2 (1 + đ?‘Ľ 2 )−1 đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘Ľ − âˆŤ 1(2(−1) + 2 + 1) 1 + đ?‘Ľ2 đ?‘‘đ?‘Ľ

La integral obtenida, âˆŤ 1+đ?‘Ľ 2 , ya es de soluciĂłn obvia, pues directamente se sabe que âˆŤ

đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘? tan(đ?‘Ľ) 1 + đ?‘Ľ2

Por lo tanto, âˆŤ

đ?‘Ľ2 đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ đ?‘Ľ 2 (1 + đ?‘Ľ 2 )−1 đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘Ľ − đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘? tan(đ?‘Ľ) 1 + đ?‘Ľ2

En consecuencia, âˆŤ đ?‘™đ?‘›(1 + đ?‘Ľ 2 )đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘Ľđ?‘™đ?‘›(1 + đ?‘Ľ 2 ) + 2(đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘? tan(đ?‘Ľ) − đ?‘Ľ) Finalmente, la carga concentrada equivalente es 7

đ??´đ?‘? = âˆŤ đ?‘™đ?‘›(1 + đ?‘Ľ 2 )đ?‘‘đ?‘Ľ = [đ?‘Ľđ?‘™đ?‘›(1 + đ?‘Ľ 2 ) + 2(đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘? tan(đ?‘Ľ) − đ?‘Ľ)]70 ≈ 16.242đ?‘‡ 0

El centroide del ĂĄrea se determina con la siguiente expresiĂłn matemĂĄtica: 152

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS đ??ż

7 2 2 âˆŤ đ?‘ĽĚƒ đ?‘‘đ??´ âˆŤđ??ż1 đ?‘Ľđ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ âˆŤ0 đ?‘Ľ(đ?‘™đ?‘›(1 + đ?‘Ľ ))đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ľ2 = = đ??ż2 = 7 âˆŤ đ?‘‘đ??´ âˆŤ0 (đ?‘™đ?‘›(1 + đ?‘Ľ 2 ))đ?‘‘đ?‘Ľ âˆŤđ??ż đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ 1

El denominador ya fue resuelto. Resolviendo el numerador tenemos 7

âˆŤ đ?‘Ľ(đ?‘™đ?‘›(1 + đ?‘Ľ 2 ))đ?‘‘đ?‘Ľ 0

La integral en forma indefinida es âˆŤ đ?‘Ľ(đ?‘™đ?‘›(1 + đ?‘Ľ 2 ))đ?‘‘đ?‘Ľ 1

Sea đ?‘§ = 1 + đ?‘Ľ 2 . Entonces đ?‘‘đ?‘§ = 2đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ, y por tanto đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ľ = 2 đ?‘‘đ?‘§. AsĂ­, la regla de sustituciĂłn da 1 âˆŤ đ?‘Ľ(đ?‘™đ?‘›(1 + đ?‘Ľ 2 ))đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ đ?‘™đ?‘›(đ?‘§)đ?‘‘đ?‘§ 2 La integral que obtuvimos, âˆŤ đ?‘™đ?‘›(đ?‘§)đ?‘‘đ?‘§, es mĂĄs sencilla que la original pero todavĂ­a no es obvia, asĂ­ que aplicamos la regla del producto para derivaciĂłn para resolverla. Sea đ?‘˘ = đ?‘™đ?‘›(đ?‘§)

�� = ��

Entonces 1 �� = �� �

�=�

Al integrar por partes tendremos âˆŤ đ?‘˘ đ?‘‘đ?‘Ł = đ?‘˘đ?‘Ł − âˆŤ đ?‘Ł đ?‘‘đ?‘˘, es decir, 1 âˆŤ đ?‘™đ?‘›(đ?‘§)đ?‘‘đ?‘§ = (đ?‘™đ?‘›(đ?‘§))(đ?‘§) − âˆŤ đ?‘§ ( đ?‘‘đ?‘§) = đ?‘§đ?‘™đ?‘›(đ?‘§) − âˆŤ đ?‘‘đ?‘§ = đ?‘§đ?‘™đ?‘›(đ?‘§) − đ?‘§ = đ?‘§[đ?‘™đ?‘›(đ?‘§) − 1] đ?‘§ Por lo tanto, âˆŤ đ?‘Ľ(đ?‘™đ?‘›(1 + đ?‘Ľ 2 ))đ?‘‘đ?‘Ľ =

1 đ?‘§[đ?‘™đ?‘›(đ?‘§) − 1] 2

Sustituyendo đ?‘§ = 1 + đ?‘Ľ 2 en la ecuaciĂłn anterior se obtiene 1 âˆŤ đ?‘Ľ(đ?‘™đ?‘›(1 + đ?‘Ľ 2 ))đ?‘‘đ?‘Ľ = (1 + đ?‘Ľ 2 )[đ?‘™đ?‘›(1 + đ?‘Ľ 2 ) − 1] 2 AsĂ­, tenemos 153

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS 7

7

âˆŤ đ?‘Ľ(đ?‘™đ?‘›(1 + đ?‘Ľ

2 ))đ?‘‘đ?‘Ľ

0

1 = [ (1 + đ?‘Ľ 2 )[đ?‘™đ?‘›(1 + đ?‘Ľ 2 ) − 1]] = 73.3006 2 0

Finalmente, la lĂ­nea de acciĂłn de la resultante estĂĄ localizada a una distancia de 73.3006 = 4.513đ?‘š 16.242

đ?‘Ľ2 =

Ecuaciones de equilibrio. La aplicaciĂłn de las ecuaciones de equilibrio en la siguiente secuencia permite una soluciĂłn directa para cada una de las incĂłgnitas. Si la soluciĂłn de tales ecuaciones proporciona una magnitud negativa para una reacciĂłn desconocida, esto indica que el sentido de la reacciĂłn es opuesto al que se supuso en el diagrama de cargas. El haber prolongado las columnas hasta su punto de intersecciĂłn đ?‘ƒđ??ź, nos permite calcular directamente el valor de đ?‘…đ??ˇđ?‘Ľ si lo despejamos al tomar momentos alrededor de đ?‘ƒđ??ź, ya que las reacciones đ?‘…đ??´ y đ?‘…đ??ˇđ?‘Ś , al pasar por este punto, no producen momento. En consecuencia, los momentos de đ?‘…đ??´đ?‘Ľ y đ?‘…đ??´đ?‘Ś con respecto a đ?‘ƒđ??ź se anulan entre sĂ­, ya que son las componentes rectangulares de đ?‘…đ??´ y por ello no se consideraran en la siguiente ecuaciĂłn: + ∑ đ?‘€đ?‘ƒđ??ź = 0 đ?‘…đ??ˇđ?‘Ľ (14.4) + 4(11.4) − 16.242(7 − 4.513) − 20(12 − 3.3333) − 24(14.4 − 4) = 0 đ?‘…đ??ˇđ?‘Ľ =

417.7279 ⇒∴ đ?‘…đ??ˇđ?‘Ľ = 29.0089đ?‘‡ 14.4

De la sumatoria de fuerzas en la direcciĂłn đ?‘Ľ igual a cero es posible calcular đ?‘…đ??´đ?‘Ľ . +→ ∑ đ??šđ?‘Ľ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Ľ + đ?‘‡đ?‘&#x;đ?‘Ľ − 4 − đ?‘…đ??ˇđ?‘Ľ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Ľ + 24 − 4 − 29.0089 = 0 ∴ đ?‘…đ??´đ?‘Ľ = 9.0089đ?‘‡ Los valores de đ?‘…đ??´đ?‘Ś y đ?‘…đ??´ se determinan a partir de la figura 2-1d.

đ?‘…đ??´

đ?œƒ2

đ?‘…đ??´đ?‘Ś

tan đ?œƒ2 =

đ?‘?đ?‘œ đ?‘…đ??´đ?‘Ľ = đ?‘?đ?‘Ž đ?‘…đ??´đ?‘Ś

đ?‘…đ??´đ?‘Ľ

(d)

đ?‘…đ??´đ?‘Ľ 5 6 6 = ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Ś = đ?‘…đ??´đ?‘Ľ = (9.0089đ?‘‡) = 10.8107đ?‘‡ đ?‘…đ??´đ?‘Ś 6 5 5 154

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Las resultante đ?‘…đ??´ es 2

đ?‘…đ??´ = √(đ?‘…đ??´đ?‘Ľ )2 + (đ?‘…đ??´đ?‘Ś ) = √(9.0089đ?‘‡)2 + (10.8107đ?‘‡)2 = 14.0724 đ?‘‡ La reacciĂłn faltante se puede conocer al plantear que la suma de fuerzas en đ?‘Ś es nula. +↑ ∑ đ??šđ?‘Ś = 0 ⇒ 10.8107 − 20 − 16.242 + đ?‘…đ??ˇđ?‘Ś = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??ˇđ?‘Ś = 25.4313 đ?‘‡ Como comprobaciĂłn, la suma de momentos con respecto al punto đ??´ para todo el marco debe ser igual a cero. + ∑ đ?‘€đ??´ = 24(4) + 20(3.3333) + 16.242(9.513) − 4(3) − 25.4313(12) ≈ 0 đ?‘œđ?‘˜

Funciones de la fuerza cortante, de la fuerza normal y del momento flector Los resultados obtenidos se muestran en la figura 2-1e. đ?‘‡đ?‘&#x;đ?‘Ś = 20 đ?‘‡

đ??´đ?‘? = 16.242đ?‘‡ 3.91202đ?‘‡/đ?‘š đ?‘Ś = đ?‘™đ?‘›(1 + đ?‘Ľ 2 )

đ??ľ đ?‘Ľ2 đ?‘‡đ?‘&#x;đ?‘Ľ = 24 đ?‘‡ 4đ?‘š đ?‘…đ??´đ?‘Ľ = 9.0089đ?‘‡

đ??´

đ??ˇ đ?‘Ľ3

4�

3đ?‘š

(e) 3đ?‘š

đ??¸ đ?‘…đ??ˇđ?‘Ľ = 29.0089đ?‘‡

3.333đ?‘š đ?‘…đ??´đ?‘Ś

đ??ś

4.513� = 10.8107� 7� 5�

đ?‘…đ??ˇđ?‘Ś = 25.4313đ?‘‡

Ya que se han calculado las fuerzas reactivas en los soportes, se deducen ecuaciones que describan la variaciĂłn de las acciones internas aplicando el mĂŠtodo de secciones. La funciĂłn de la fuerza cortante serĂĄ discontinua en los puntos donde el tipo o la magnitud de la carga distribuida cambia, o bien donde se apliquen fuerzas concentradas. La funciĂłn del momento interno, serĂĄ discontinua, ademĂĄs de lo anterior, en los puntos donde se apliquen momentos de par. En ambos casos, la carga distribuida y la fuerza concentrada, o una de sus componentes, actĂşan perpendicularmente al eje del miembro de su ubicaciĂłn. Por su parte, la funciĂłn de la fuerza axial serĂĄ discontinua en los puntos donde se aplique una carga puntual o 155

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

donde el tipo o la magnitud de la carga distribuida cambia, pero ahora todas estas cargas, o una de sus componentes, actĂşan en la direcciĂłn del eje del miembro donde se ubican. Un cambio en la geometrĂ­a de la estructura tambiĂŠn puede provocar una variaciĂłn en las funciones de las acciones internas. De acuerdo a lo anterior, podemos distinguir cuatro tramos distintos en la estructura: đ??´ − đ??ľ, đ??ľ − đ??ś, đ??¸ − đ??ˇ y đ??ˇ − đ??ś. Las funciones de las acciones internas deben determinarse para cada uno de esos tramos, lo cual implica cortar a la estructura a travĂŠs de secciones arbitrarias ubicadas en ellos. En el Ăşltimo esquema se han especificado las coordenadas đ?‘Ľ por separado y sus orĂ­genes asociados. Las coordenadas đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 y đ?‘Ľ3 que tienen sus orĂ­genes en đ??´, đ??ľ y đ??¸, son vĂĄlidas sĂłlo dentro de las regiones desde đ??´ hasta đ??ľ para đ?‘Ľ1 , de đ??ľ a đ??ś para đ?‘Ľ2 , y de đ??¸ a đ??ś para đ?‘Ľ3 . La punta de la flechita indica el sentido positivo de la coordenada, por tanto, đ?‘Ľ1 es positiva hacia arriba y a la derecha, đ?‘Ľ2 es positiva hacia la derecha y đ?‘Ľ3 es positiva hacia arriba. En cada diagrama de cuerpo libre para un segmento de la estructura, los elementos mecĂĄnicos aparecen actuando en sus direcciones positivas y sus expresiones algebraicas se deducen aplicando las ecuaciones de equilibrio. MIEMBRO đ??´ − đ??ľ. Sobre este miembro se extiende Ăşnicamente una carga triangular; al no haber discontinuidad de carga, se requiere efectuar un sĂłlo corte perpendicular al eje del miembro. Corte en el tramo đ??´ − đ??ľ. Se secciona la estructura en un punto arbitrario (intermedio en el segmento đ??´ − đ??ľ) a una distancia đ?‘Ľ1 de đ??´; en la figura 2-1f se proporciona un diagrama de cuerpo libre del segmento de estructura con longitud đ?‘Ľ1 , en el que se observan la fuerza resultante đ??´đ??ź de la carga triangular seccionada, asĂ­ como su punto de aplicaciĂłn đ?‘Ľđ??ź , para definir a los elementos mecĂĄnicos. En la figura 2-1g se muestra un esquema para determinar por trigonometrĂ­a el valor en funciĂłn de đ?‘Ľ1 de la intensidad đ?‘Š´. 0 ≤ đ?‘Ľ1 ≤ √61đ?‘š

(f)

(g)

đ?‘…đ??´ = 14.0724đ?‘‡

156

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

8đ?‘‡/đ?‘š √61đ?‘š

=

�′ ⇒ � ′ = 1.0243 �1 �1

(đ?‘Ľ1 )(1.0243đ?‘Ľ1 ) 1 + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ −đ?‘€1 − [ ] ( đ?‘Ľ1 ) = 0 ⇒ đ?‘€1 = −0.170716 đ?‘Ľ13 2 3 đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ1 = √61đ?‘š, đ?‘€1 = −81.3333 đ?‘‡. đ?‘š + ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒

(đ?‘Ľ1 )(1.0243đ?‘Ľ1 ) + đ?‘‰1 = 0 ⇒ đ?‘‰1 = −0.512148đ?‘Ľ12 2

đ?‘œ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘šđ?‘?đ?‘–ĂŠđ?‘›

�1 =

đ?‘‘đ?‘€1 = −0.512148đ?‘Ľ12 đ?‘‘đ?‘Ľ1

+ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘ 1 + 14.0724 = 0 ⇒ đ?‘ 1 = −14.0724 MIEMBRO đ??ľ − đ??ś. La distribuciĂłn de la carga que se extiende sobre este miembro no presenta discontinuidad, asĂ­ que sĂłlo es necesario realizar un corte perpendicular al eje del miembro. Corte en el tramo đ??ľ − đ??ś. En la figura 1-2h se representa el diagrama de cuerpo libre correspondiente a la porciĂłn izquierda de la estructura que se produce al cortarla en algĂşn sitio intermedio del tramo đ??ľ − đ??ś. El equilibrio estĂĄtico del cuerpo libre implica que 0 ≤ đ?‘Ľ2 ≤ 7đ?‘š

đ?‘‡đ?‘&#x;đ?‘Ś = 20 đ?‘‡

đ?‘‡đ?‘&#x;đ?‘Ľ = 24 đ?‘‡

đ?‘…đ??´đ?‘Ľ = 9.0089đ?‘‡

đ?‘…đ??´đ?‘Ś = 10.8107đ?‘‡

(h) 157

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Previo a la aplicaciĂłn de las ecuaciones de equilibrio, deben calcularse el ĂĄrea y su centroide de la presiĂłn del corte cuya intensidad es descrita por la funciĂłn logarĂ­tmica. đ?‘Ľ2

đ??´đ??źđ??ź = âˆŤ đ?‘™đ?‘›(1 + đ?‘Ľ 2 )đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?‘Ľ2 ∙ đ?‘™đ?‘›(đ?‘Ľ22 + 1) + 2[tan−1(đ?‘Ľ2 ) − đ?‘Ľ2 ] 0

đ?‘Ľđ??źđ??ź =

đ?‘Ľ2 âˆŤ0 đ?‘Ľ(đ?‘™đ?‘›(1 + đ?‘Ľ2 ))đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ľ2 âˆŤ0 đ?‘™đ?‘›(1 + đ?‘Ľ 2 )đ?‘‘đ?‘Ľ

(đ?‘Ľ22 + 1) ∙ đ?‘™đ?‘›(đ?‘Ľ22 + 1) đ?‘Ľ22 − 2 2 = đ?‘Ľ2 ∙ đ?‘™đ?‘›(đ?‘Ľ22 + 1) + 2[đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›âˆ’1 (đ?‘Ľ2 ) − đ?‘Ľ2 ]

+ ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ −đ?‘€2 + 10.8107(5 + đ?‘Ľ2 ) − 9.0089(6) − 24(2) − 20(1.6667 + đ?‘Ľ2 ) (đ?‘Ľ22 + 1) ∙ đ?‘™đ?‘›(đ?‘Ľ22 + 1) đ?‘Ľ22 − 2 2 −[đ?‘Ľ2 ∙ đ?‘™đ?‘›(đ?‘Ľ22 + 1) + 2[đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›âˆ’1 (đ?‘Ľ2 ) − đ?‘Ľ2 ]] [đ?‘Ľ2 − ]=0 đ?‘Ľ2 ∙ đ?‘™đ?‘›(đ?‘Ľ22 + 1) + 2[đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›âˆ’1 (đ?‘Ľ2 ) − đ?‘Ľ2 ]

−đ?‘Ľ22 ∙ đ?‘™đ?‘›(đ?‘Ľ22 + 1) đ?‘™đ?‘›(đ?‘Ľ22 + 1) 3 đ?‘€2 = + − 2đ?‘Ľ ∙ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›âˆ’1 (đ?‘Ľ2 ) + đ?‘Ľ22 − 9.1893đ?‘Ľ2 − 81.3339 2 2 2 đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ2 = 0, đ?‘€2 = −81.3339đ?‘‡. đ?‘š; đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ2 = 7đ?‘š, đ?‘€2 = −186.052đ?‘‡. đ?‘š +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ 10.8107 − 20 − {đ?‘Ľ2 ∙ đ?‘™đ?‘›(đ?‘Ľ22 + 1) + 2[tan−1 (đ?‘Ľ2 ) − đ?‘Ľ2 ]} − đ?‘‰2 = 0 đ?‘‰2 = −đ?‘Ľ22 ∙ đ?‘™đ?‘›(đ?‘Ľ22 + 1) − 2 đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›âˆ’1 (đ?‘Ľ2 ) + 2đ?‘Ľ2 − 9.1893 đ?‘œ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘šđ?‘?đ?‘–ĂŠđ?‘›

�2 =

đ?‘‘đ?‘€2 = −đ?‘Ľ22 ∙ đ?‘™đ?‘›(đ?‘Ľ22 + 1) − 2 đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›âˆ’1 (đ?‘Ľ2 ) + 2đ?‘Ľ2 − 9.1893 đ?‘‘đ?‘Ľ2

+→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ 9.0089 + 24 + đ?‘ 2 = 0 ⇒ đ?‘ 2 = −33.0089

Miembro đ??¸ − đ??ś. En este miembro se distinguen dos tramos, el đ??¸ − đ??ˇ y el đ??ˇ − đ??ś, debido a que la carga puntual de 4đ?‘‡ aplicada en đ??ˇ provocarĂĄ que las funciones de la fuerza cortante y del momento sean discontinuas en ese punto; por tanto, se tienen que hacer dos cortes perpendiculares al eje del miembro đ??¸ − đ??ś, especĂ­ficamente uno en cada tramo y ambos considerando como origen del sistema coordenado al punto đ??¸. Corte en el tramo đ??¸ − đ??ˇ. Se secciona la estructura en un punto arbitrario (intermedio en el segmento đ??¸ − đ??ˇ) a una distancia đ?‘Ľ3 de đ??¸; en la figura 1-2i se ofrece el diagrama 158

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

de cuerpo libre que representa la porciĂłn de la estructura ubicada por debajo del corte, las acciones internas entre los puntos đ??¸ y đ??ˇ se definen como

0 ≤ �3 ≤ 3�

+ ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ −đ?‘€3 + 29.0089(đ?‘Ľ3 ) = 0 ⇒ đ?‘€3 = 29.0089đ?‘Ľ3 đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ3 = 3, đ?‘€3 = 87.0267 +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘‰3 − 29.0089 = 0 ⇒ đ?‘‰3 = 29.0089 đ?‘œ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘šđ?‘?đ?‘–ĂŠđ?‘›

đ?‘…đ??ˇđ?‘Ś = 25.4313đ?‘‡

�3 =

đ?‘‘đ?‘€3 = 29.0089 đ?‘‘đ?‘Ľ3

+↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘ 3 + 25.4313 = 0 ⇒ đ?‘ 3 = −25.4313

đ?‘…đ??ˇđ?‘Ľ = 29.0089đ?‘‡

(i)

Corte en el tramo đ??ˇ − đ??ś. Se secciona la estructura en un punto arbitrario (intermedio en el segmento đ??ˇ − đ??ś) a una distancia đ?‘Ľ3 de đ??¸; el diagrama de cuerpo libre correspondiente al segmento inferior de la estructura, figura 2-1j, y su anĂĄlisis son

3� ≤ �3 ≤ 6�

+ ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ − đ?‘€4 + 29.0089(đ?‘Ľ3 ) + 4(đ?‘Ľ3 − 3) = 0 đ?‘€4 = 33.0089đ?‘Ľ3 − 12 đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ3 = 0, đ?‘€4 = 87.0267; đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ3 = 6, đ?‘€4 = 186.053 4đ?‘‡

+→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘‰4 − 4 − 29.0089 = 0 ⇒ đ?‘‰4 = 33.0089 đ?‘…đ??ˇđ?‘Ś = 25.4313đ?‘‡

đ?‘…đ??ˇđ?‘Ľ = 29.0089đ?‘‡

đ?‘œ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘šđ?‘?đ?‘–ĂŠđ?‘›

�4 =

đ?‘‘đ?‘€4 = 33.0089 đ?‘‘đ?‘Ľ3

+↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘ 4 + 25.4313 = 0 ⇒ đ?‘ 4 = −25.4313

(j)

159

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Ejercicio 2.2 Calcule las reacciones en los soportes del siguiente marco triarticulado de la figura 2-2a. Deduzca las funciones de las fuerzas cortante y normal, y del momento flector para los tres miembros utilizando las coordenadas đ?‘Ľ mostradas.

(a)

Figura 2-2 SOLUCIĂ“N VerificaciĂłn del grado de indeterminaciĂłn El marco es isostĂĄtico ya que se cumple la condiciĂłn đ?‘&#x; + 3đ?‘š = 3đ?‘› + đ?‘?, puesto que: đ?‘š vale tres porque la estructura tiene tres miembros (đ??´ − đ??ś; đ??ś − đ??š; đ??ş − đ??š), đ?‘&#x; = 4 debido a que en cada apoyo articulado hay dos incĂłgnitas de reacciĂłn (una horizontal y una vertical), đ?‘› = 4 ya que hay cuatro nodos (đ??´; đ??ś; đ??š; đ??ş), y đ?‘? vale uno por haber una ecuaciĂłn de condiciĂłn, la que indica que para el punto đ??¸, al situarse una articulaciĂłn, el momento flexionante es nulo. CĂĄlculo de las reacciones en los soportes Diagrama de cargas. Es mostrado en la figura 2-2b. Se han establecido los ejes coordenados đ?‘‹ y đ?‘Œ mĂĄs convenientes para aplicar las ecuaciones de equilibrio en la estructura. Para cada carga distribuida deben calcularse su ĂĄrea bajo la curva, es 160

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

decir, la carga concentrada equivalente (fuerza resultante) y su correspondiente centroide de ĂĄrea (punto de aplicaciĂłn). Por otra parte, se identifican las fuerzas reactivas en los soportes suponiendo sus respectivos sentidos arbitrariamente.

(b)

Se calculan de las cargas concentradas equivalentes de las cargas distribuidas, ademĂĄs de su punto de aplicaciĂłn. -

đ??´1 =

(4) (

-

đ??´2 =

Carga triangular del tramo đ??´ − đ??ľ. 1 10 đ?‘Š) = 1 đ?‘Š; đ?‘ĽĚ… = 2 (4đ?‘š) = 8 đ?‘š 1 2 5 3 3 Carga triangular del tramo đ??ľ − đ??ś.

đ??ż (2) (3) 2 -

3 1 đ??ż 1 = đ??ż; đ?‘ĽĚ… 2 = ( ) = đ??ż 4 3 2 6

Carga uniformemente repartida. đ??´3 = đ?‘Šđ??ż; đ?‘ĽĚ…2 =

161

đ??ż 2

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

-

Carga trapezoidal distribuida.

Rotamos la presiĂłn para mayor facilidad, figura 2-2c, y conviene dividirla en dos cargas mĂĄs sencillas, justo como se muestra en la figura.

(c)

đ??ż đ??´đ??ź = ( ) (2) = đ??ż 2

đ??ż 1 (2) (2 đ?‘Š) 1 đ??´đ??źđ??ź = = đ?‘Šđ??ż 2 8

1 đ??ż đ??ż đ?‘ĽĚ…đ??ź = ( ) ( ) = 2 2 4

2 đ??ż đ??ż đ?‘ĽĚ…đ??źđ??ź = ( ) ( ) = 3 2 3

đ??ż 1 đ?‘ĽĚ…đ??ź đ??´đ??ź = ( ) (đ??ż) = đ??ż2 4 4

đ??ż 1 1 đ?‘ĽĚ…đ??źđ??ź đ??´đ??źđ??ź = ( ) ( đ?‘Šđ??ż) = đ?‘Šđ??ż2 3 8 24

Los resultados obtenidos pueden visualizarse en la tabla 2-1. Componente

đ??´

đ?‘ĽĚ…

đ?‘ĽĚ… đ??´

đ??ź = rectĂĄngulo

đ??ż

đ??ż 4

1 2 đ??ż 4

đ??źđ??ź = triĂĄngulo

1 đ?‘Šđ??ż 8

đ??ż 3

1 đ?‘Šđ??ż2 24

∑=

1 đ??ż + đ?‘Šđ??ż 8

1 2 1 đ??ż + đ?‘Šđ??ż2 4 24 Tabla 2-1

1 ∴ đ??´4 = ∑ đ??´ = L + đ?‘Šđ??ż 8 1 2 1 2 ∑ đ?‘ĽĚ… đ??´ 4 đ??ż + 24 đ?‘Šđ??ż ∴ đ?‘ĽĚ…4 = = 1 ∑đ??´ L + 8 đ?‘Šđ??ż Ecuaciones de equilibrio. Se aplican al diagrama de cargas para obtener los valores de las reacciones en los apoyos.

162

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Planteamos una ecuaciĂłn de condiciĂłn tomando momentos con respecto a đ??¸ sĂłlo para la parte izquierda del marco. đ??ż 1 đ??ż 8 3 1 + ∑ đ?‘€đ??¸đ?‘–đ?‘§đ?‘ž = 0 ⇒ −đ?‘…đ??´đ?‘‹ (4 + ) + ( đ?‘Š) ( + ) + đ?‘…đ??´đ?‘Œ (7) − ( đ??ż) ( đ??ż) + 1 = 0 2 5 2 3 4 6

đ??ż 1 đ??ż 8 3 1 −đ?‘…đ??´đ?‘‹ (4 + ) + ( đ?‘Š) ( + ) + đ?‘…đ??´đ?‘Œ (7) − ( đ??ż) ( đ??ż) + 1 = 0 2 5 2 3 4 6 đ??ż 1 8 1 −đ?‘…đ??´đ?‘‹ (4 + ) + đ?‘Šđ??ż + đ?‘Š + 7đ?‘…đ??´đ?‘Œ − đ??ż2 + 1 = 0 2 10 15 8 đ??ż 1 1 8 7đ?‘…đ??´đ?‘Œ − (4 + ) đ?‘…đ??´đ?‘‹ = đ??ż2 − đ?‘Šđ??ż − đ?‘Š − 1 2 8 10 15

− − − (1)

Tomando momentos alrededor de đ??¸ sĂłlo para la parte derecha del marco tenemos đ??ż2 1 + 24 đ?‘Šđ??ż2 đ??ż 1 đ??ż 4 (đ?‘Šđ??ż) + ∑ đ?‘€đ??¸đ?‘‘đ?‘’đ?‘&#x; = 0 ⇒ ( ) + (đ??ż + đ?‘Šđ??ż) ( ) − đ?‘…đ??şđ?‘‹ ( ) − đ?‘…đ??şđ?‘Œ (đ??ż) = 0 1 2 8 2 đ??ż + 8 đ?‘Šđ??ż 1 đ??ż2 1 đ??ż 1 13 đ??ż đ?‘Šđ??ż2 + + đ?‘Šđ??ż2 − đ?‘…đ??şđ?‘‹ ( ) − đ?‘…đ??şđ?‘Œ (đ??ż) = 0 ⇒ −đ??ż ( đ?‘…đ??şđ?‘‹ + đ?‘…đ??şđ?‘Œ ) = đ??ż (− đ?‘Šđ??ż − ) 2 4 24 2 2 24 4

1 13 đ??ż đ?‘…đ??şđ?‘‹ + đ?‘…đ??şđ?‘Œ = đ?‘Šđ??ż + 2 24 4

− − − (2)

De la sumatoria de fuerzas en la direcciĂłn đ?‘‹ igual a cero es posible obtener una relaciĂłn entre las reacciones đ?‘…đ??şđ?‘‹ y đ?‘…đ??´đ?‘‹ . 1 3 1 +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ − đ?‘Š + đ??ż + 10 − (L + đ?‘Šđ??ż) + đ?‘…đ??şđ?‘‹ + đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 0 5 4 8 đ?‘…đ??şđ?‘‹ + đ?‘…đ??´đ?‘‹ =

1 1 1 đ?‘Šđ??ż + đ?‘Š − 10 + đ??ż 8 5 4

− − − (3)

La ecuaciĂłn de equilibrio restante permite obtener una relaciĂłn entre las reacciones đ?‘…đ??´đ?‘Œ y đ?‘…đ??şđ?‘Œ . +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Œ − đ?‘Šđ??ż + đ?‘…đ??şđ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Œ + đ?‘…đ??şđ?‘Œ = đ?‘Šđ??ż

− − − (4)

Resolvemos el sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incĂłgnitas usando el mĂŠtodo de sustituciĂłn e igualaciĂłn. Despejando đ?‘…đ??şđ?‘‹ de (2)y (3) respectivamente, se tiene

163

CAPÍTULO 2

ANÁLISIS DE MARCOS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS

𝑅𝐺𝑋 = 𝑅𝐺𝑋 =

13 𝐿 𝑊𝐿 + − 2𝑅𝐺𝑌 12 2

− − − (5)

1 1 1 𝑊𝐿 + 𝑊 − 10 + 𝐿 − 𝑅𝐴𝑋 8 5 4

− − − (6)

Igualando (5) con (6) da 13 𝐿 1 1 1 𝑊𝐿 + − 2𝑅𝐺𝑌 = 𝑊𝐿 + 𝑊 − 10 + 𝐿 − 𝑅𝐴𝑋 12 2 8 5 4

− − − (7)

Despejando 𝑅𝐺𝑌 de (7) tenemos 𝑅𝐺𝑌 =

23 1 1 1 𝑊𝐿 − 𝑊 + 5 + 𝐿 + 𝑅𝐴𝑋 48 10 8 2

− − − (8)

La sustitución de (8) en (4) conlleva a 𝑅𝐴𝑌 +

23 1 1 1 𝑊𝐿 − 𝑊 + 5 + 𝐿 + 𝑅𝐴𝑋 = 𝑊𝐿 48 10 8 2

− − − (9)

Despejando 𝑅𝐴𝑌 de (1) se tiene 𝑅𝐴𝑌 =

1 2 1 8 1 4 𝐿 𝐿 − 𝑊𝐿 − 𝑊 − + ( + ) 𝑅𝐴𝑋 56 70 105 7 7 14

− − − (10)

El valor de 𝑅𝐴𝑋 se obtiene al sustituir (10) en (9). 1 2 1 8 1 4 𝐿 23 1 1 1 𝐿 − 𝑊𝐿 − 𝑊 − + ( + ) 𝑅𝐴𝑋 + 𝑊𝐿 − 𝑊 + 5 + 𝐿 + 𝑅𝐴𝑋 − 𝑊𝐿 = 0 56 70 105 7 7 14 48 10 8 2 15 𝐿 1 899 37 34 1 𝑅𝐴𝑋 ( + ) = − 𝐿2 + 𝑊𝐿 + 𝑊− − 𝐿 14 14 56 1680 210 7 8

𝑅𝐴𝑋 =

−30𝐿2 − 𝐿(210 − 899𝑊) + 8(37𝑊 − 1020) 120(𝐿 + 15)

− − − (11)

Es posible determinar el valor de 𝑅𝐴𝑌 si sustituimos (11) en (10). 𝑅𝐴𝑌 =

1 2 1 8 1 4 𝐿 −30𝐿2 − 𝐿(210 − 899𝑊) + 8(37𝑊 − 1020) 𝐿 − 𝑊𝐿 − 𝑊 − + ( + )( ) 56 70 105 7 7 14 120(𝐿 + 15)

𝑅𝐴𝑌 =

13189𝑊 + 11760 25𝐿𝑊 175𝑊 + 288 + − 240(𝐿 + 15) 48 48

Despejando 𝑅𝐺𝑌 de (4) se tiene 𝑅𝐺𝑌 = 𝑊𝐿 − 𝑅𝐴𝑌 164

− − − (13)

− − − (12)

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

El valor de đ?‘…đ??şđ?‘Œ se calcula sustituyendo (12) en (13). đ?‘…đ??şđ?‘Œ = đ?‘Šđ??ż − ( đ?‘…đ??şđ?‘Œ = −

13189đ?‘Š + 11760 25đ??żđ?‘Š 175đ?‘Š + 288 + − ) 240(đ??ż + 15) 48 48

13189đ?‘Š + 11760 23đ??żđ?‘Š 175đ?‘Š + 288 + + 240(đ??ż + 15) 48 48

− − − (14)

Despejando đ?‘…đ??şđ?‘‹ de (2) da đ?‘…đ??şđ?‘‹ =

13 1 đ?‘Šđ??ż + đ??ż − 2đ?‘…đ??şđ?‘Œ − − − (15) 12 2

Para conocer el valor de đ?‘…đ??şđ?‘‹ sustituimos (14) en (15). đ?‘…đ??şđ?‘‹ = đ?‘…đ??şđ?‘‹ =

13 1 13189đ?‘Š + 11760 23đ??żđ?‘Š 175đ?‘Š + 288 đ?‘Šđ??ż + đ??ż − 2 (− + + ) 12 2 240(đ??ż + 15) 48 48

13189đ?‘Š + 11760 đ?‘Š 1 175đ?‘Š + 288 +đ??ż( + )− 120(đ??ż + 15) 8 2 24

− − − (16)

Como comprobaciĂłn de los resultados, debe cumplirse que la suma de momentos con respecto al punto đ??´ para todo el marco es nula. + ∑ đ?‘€đ??´ =

−[

1 4 (10 đ?‘Š) 2

đ??ż (2) (3) 1 2 đ??ż đ??ż đ??ż ] ( (4)) + [ ] (4 + ( )) + 10 ( + 4) + 1 + (đ?‘Š)(đ??ż) (7 + ) − 3 2 3 2 2 2

đ??ż2 1 2 1 đ??ż 4 + 24 đ?‘Šđ??ż 13189đ?‘Š + 11760 đ?‘Š 1 175đ?‘Š + 288 +đ??ż( + )− (đ??ż + đ?‘Šđ??ż) [( − ) + 4] + ( ) 1 8 2 120(đ??ż + 15) 8 2 24 đ??ż + 8 đ?‘Šđ??ż

(4) − (−

=−

13189đ?‘Š + 11760 23đ??żđ?‘Š 175đ?‘Š + 288 + + ) (7 + đ??ż) 240(đ??ż + 15) 48 48

4 1 1 đ??ż2 1 đ??ż2 1 đ?‘Š + 3đ??ż + đ??ż2 + 5đ??ż + 40 + 1 + 7đ?‘Šđ??ż + đ?‘Šđ??ż2 − − đ?‘Šđ??ż2 + + đ?‘Šđ??ż2 15 4 2 2 16 4 24 1 23 13 4 −4đ??ż − đ?‘Šđ??ż − đ?‘Šđ??ż2 − đ?‘Šđ??ż − 4đ??ż + đ?‘Š − 41 = 0 đ?‘‚đ??ž 2 48 2 15

165

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Funciones de fuerza cortante, fuerza normal y momento flector. Una vez que se han calculado las fuerzas reactivas en los soportes, pueden determinarse expresiones algebraicas que describan la variaciĂłn de los elementos mecĂĄnicos; para ello es necesario efectuar cortes en cada miembro de la estructura. En el diagrama de cuerpo libre para un segmento de la estructura, đ?‘‰, đ?‘ y đ?‘€ aparecen actuando en sus direcciones positivas de acuerdo a la convenciĂłn de signos mĂĄs usual y sus funciones se obtienen aplicando las ecuaciones de equilibrio. MIEMBRO đ??´ − đ??ś. La distribuciĂłn de la carga que estĂĄ aplicada sobre este miembro presenta una discontinuidad en el punto đ??ľ; en consecuencia, es necesario efectuar dos cortes perpendiculares al eje del miembro đ??´ − đ??ś, uno en el tramo đ??´ − đ??ľ y otro en el tramo đ??ľ − đ??ś.Desde el inicio del problema se ha especificado una coordenada đ?‘Ľ con origen asociado en đ??´, etiquetada como đ?‘Ľ1 . Corte en el tramo đ??´ − đ??ľ. Se secciona la estructura en un punto arbitrario (intermedio en el segmento đ??´ − đ??ľ) a una distancia đ?‘Ľ1 de đ??´. En la figura 2-2d se representa el diagrama de cuerpo libre de la porciĂłn de la estructura ubicada por debajo del corte para definir las acciones internas. A la derecha del diagrama se muestra un esquema para determinar por trigonometrĂ­a el valor en funciĂłn de đ?‘Ľ1 de la intensidad đ?‘Š1 , figura 2-2e. 0 ≤ đ?‘Ľ1 ≤ 4đ?‘š

1 đ?‘Š 10 đ?‘Š1

đ??ľ

đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’

đ??´

4đ?‘š đ?‘Ľ1

4đ?‘š − đ?‘Ľ1

(e) (d)

1 1 đ?‘Š đ?‘Š(4 − đ?‘Ľ1 ) đ?‘Š 1 1 1 1 10 = (4đ?‘Š − đ?‘Šđ?‘Ľ1 ) = ⇒ đ?‘Š1 = 10 = đ?‘Š − đ?‘Šđ?‘Ľ1 4 4 − đ?‘Ľ1 4 40 10 40 166

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Previo a la aplicaciĂłn de las ecuaciones de equilibrio, deben calcularse el ĂĄrea y su centroide de la carga trapezoidal distribuida. Se rota la presiĂłn y se divide en dos cargas mĂĄs sencillas, una rectangular y una triangular, figura 2-2f.

(f)

1 1 1 1 đ??´1´ = (đ?‘Ľ1 ) ( đ?‘Š − đ?‘Šđ?‘Ľ1 ) = đ?‘Šđ?‘Ľ1 − đ?‘Šđ?‘Ľ12 10 40 10 40 ∴ đ??´1đ?‘? = ∑ đ??´ =

đ??´2´ =

1 40 đ?‘Šđ?‘Ľ1 ) = 1 đ?‘Šđ?‘Ľ 2 1 2 80

(đ?‘Ľ1 ) (

1 1 đ?‘Šđ?‘Ľ1 − đ?‘Šđ?‘Ľ12 10 80

1 1 1 1 1 đ?‘ĽĚ…1´ đ??´1´ = ( đ?‘Ľ1 ) ( đ?‘Šđ?‘Ľ1 − đ?‘Šđ?‘Ľ12 ) = đ?‘Šđ?‘Ľ12 − đ?‘Šđ?‘Ľ13 2 10 40 20 80 2 1 1 đ?‘ĽĚ…2´ đ??´2´ = ( đ?‘Ľ1 ) ( đ?‘Šđ?‘Ľ12 ) = đ?‘Šđ?‘Ľ13 3 80 120 ∴ đ?‘ĽĚ…1đ?‘?

∑ đ?‘ĽĚ… đ??´ =

1 1 đ?‘Šđ?‘Ľ12 − đ?‘Šđ?‘Ľ13 20 240

1 1 3 2 ∑ đ?‘ĽĚ… đ??´ 20 đ?‘Šđ?‘Ľ1 − 240 đ?‘Šđ?‘Ľ1 = = 1 1 ∑đ??´ 2 10 đ?‘Šđ?‘Ľ1 − 80 đ?‘Šđ?‘Ľ1 đ?‘‘đ?‘œđ?‘›đ?‘‘đ?‘’ đ?‘ĽĚ…1đ?‘? < đ?‘Ľ1 .

−30đ??ż2 − đ??ż(210 − 899đ?‘Š) + 8(37đ?‘Š − 1020) + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ −đ?‘€1 − ( ) (đ?‘Ľ1 ) 120(đ??ż + 15) 1 1 đ?‘Šđ?‘Ľ12 − 240 đ?‘Šđ?‘Ľ13 1 1 20 2 + ( đ?‘Šđ?‘Ľ1 − đ?‘Šđ?‘Ľ1 ) ( )=0 1 1 10 80 2 đ?‘Šđ?‘Ľ − đ?‘Šđ?‘Ľ 1 1 10 80 1 1 30đ??ż2 + đ??ż(210 − 899đ?‘Š) − 8(37đ?‘Š − 1020) 3 2 đ?‘€1 = − đ?‘Šđ?‘Ľ1 + đ?‘Šđ?‘Ľ1 + ( ) (đ?‘Ľ1 ) 240 20 120(đ??ż + 15) đ?‘‰1 =

đ?‘‘đ?‘€1 1 1 30đ??ż2 + đ??ż(210 − 899đ?‘Š) − 8(37đ?‘Š − 1020) = − đ?‘Šđ?‘Ľ12 + đ?‘Šđ?‘Ľ1 + ( ) đ?‘‘đ?‘Ľ1 80 10 120(đ??ż + 15)

167

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

13189đ?‘Š + 11760 25đ??żđ?‘Š 175đ?‘Š + 288 +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘ 1 = − ( + − ) 240(đ??ż + 15) 48 48 Corte en el tramo đ??ľ − đ??ś. En la figura 2-2g se representa el diagrama de cuerpo libre correspondiente al segmento de la estructura que se produce al cortarla en algĂşn sitio intermedio del tramo đ??ľ − đ??ś. En la figura 2-2h se observa un esquema para determinar el valor en funciĂłn de đ?‘Ľ1 de la intensidad đ?‘Š2 . 4đ?‘š ≤ đ?‘Ľ1 ≤ 4đ?‘š + đ??ż/2

3�/�

đ?‘Š2

đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’

đ??ľ

đ??ś

đ??ż/2 đ?‘Ľ1 − 4đ?‘š

(h)

(g)

3 đ?‘Š2 3(đ?‘Ľ1 − 4) 3đ?‘Ľ1 12 6đ?‘Ľ1 24 = ⇒ đ?‘Š2 = = − = − đ??ż đ?‘Ľ1 − 4 đ??ż đ??ż đ??ż đ??ż đ??ż 2 2 2 2 La fuerza resultante de la carga triangular seccionada es

đ??´2đ?‘?

6đ?‘Ľ 24 (đ?‘Ľ1 − 4) ( 1 − ) đ??ż đ??ż = 2

y el centroide de su ĂĄrea a travĂŠs del cual actĂşa es đ?‘ĽĚ…2đ?‘? =

1 (đ?‘Ľ − 4) 3 1

−30đ??ż2 − đ??ż(210 − 899đ?‘Š) + 8(37đ?‘Š − 1020) + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ −đ?‘€2 − ( ) (đ?‘Ľ1 ) 120(đ??ż + 15) 6đ?‘Ľ 24 (đ?‘Ľ1 − 4) ( 1 − ) 1 1 4 đ??ż đ??ż ) ( (đ?‘Ľ − 4)) = 0 + ( đ?‘Š) (đ?‘Ľ1 − ) − ( 5 3 2 3 1 168

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

1 12 2 30đ??ż3 + 35đ??ż2 (6 − 25đ?‘Š) + 32đ??ż(2đ?‘Š + 75) − 86400 đ?‘€2 = − đ?‘Ľ13 + đ?‘Ľ1 + ( ) (đ?‘Ľ1 ) đ??ż đ??ż 120đ??ż(đ??ż + 15) 4(đ??żđ?‘Š − 240) − 15đ??ż đ?‘‘đ?‘€2 3 2 24 30đ??ż3 + 35đ??ż2 (6 − 25đ?‘Š) + 32đ??ż(2đ?‘Š + 75) − 86400 đ?‘‰2 = = − đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ + đ?‘‘đ?‘Ľ1 đ??ż đ??ż 1 120đ??ż(đ??ż + 15) +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘ 2 = − (

13189đ?‘Š + 11760 25đ??żđ?‘Š 175đ?‘Š + 288 + − ) 240(đ??ż + 15) 48 48

MIEMBRO đ??ś − đ??š. El momento de par aplicado en đ??ˇ provocarĂĄ que la funciĂłn de momento interno sea discontinua en ese punto; por otra parte, en đ??¸ la carga distribuida presenta una discontinuidad. Por tanto, deben realizarse tres cortes perpendiculares al eje de este miembro, uno en el tramo đ??ś − đ??ˇ , otro en el tramo đ??ˇ − đ??¸ y finalmente uno en el tramo đ??¸ − đ??š, todos considerando como origen del sistema coordenado al punto đ??ś de acuerdo a las instrucciones. Corte en el tramo đ??ś − đ??ˇ. Se secciona la estructura en un punto arbitrario (intermedio en el segmento đ??ś − đ??ˇ) a una distancia đ?‘Ľ2 del punto đ??ś; el diagrama de cuerpo libre de la porciĂłn izquierda del corte es proporcionado en la figura 2-2i. 0 ≤ đ?‘Ľ2 ≤ 3đ?‘š

(i)

169

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS −30đ??ż2 − đ??ż(210 − 899đ?‘Š) + 8(37đ?‘Š − 1020)

đ??ż

120(đ??ż + 15)

2

+ ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ −đ?‘€3 − (

) (4 + )

1 đ??ż 8 3 đ??ż 13189đ?‘Š + 11760 25đ??żđ?‘Š 175đ?‘Š + 288 + ( đ?‘Š) ( + ) − ( đ??ż) ( ) + ( + − ) (đ?‘Ľ2 ) = 0 5 2 3 4 6 240(đ??ż + 15) 48 48 13189đ?‘Š + 11760

đ?‘€3 = ( −

240(đ??ż + 15)

+

25đ??żđ?‘Š 48

−

175đ?‘Š + 288 48

) (đ?‘Ľ2 )

875đ??ż2 đ?‘Š + 40đ??ż(175đ?‘Š − 246) + 64(7đ?‘Š − 1020) 240(đ??ż + 15)

�3 =

đ?‘‘đ?‘€3 13189đ?‘Š + 11760 25đ??żđ?‘Š 175đ?‘Š + 288 = + − đ?‘‘đ?‘Ľ2 240(đ??ż + 15) 48 48

+→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘ 3 = − (

đ?‘ 3 =

−30đ??ż2 − đ??ż(210 − 899đ?‘Š) + 8(37đ?‘Š − 1020) 1 3 − đ?‘Š + đ??ż + 10) 120(đ??ż + 15) 5 4

13189đ?‘Š + 11760 đ??ż 175đ?‘Š + 288 − − 120(đ??ż + 15) 2 24

Corte en el tramo đ??ˇ − đ??¸. En la figura 2-2j se representa el diagrama de cuerpo libre correspondiente al segmento izquierdo de la estructura que se produce al cortarla en algĂşn sitio intermedio del tramo đ??ˇ − đ??¸. 3đ?‘š ≤ đ?‘Ľ2 ≤ 7đ?‘š

(j) 170

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

+ ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 −đ?‘€4 − (

−30đ??ż2 − đ??ż(210 − 899đ?‘Š) + 8(37đ?‘Š − 1020) đ??ż 1 đ??ż 8 3 đ??ż ) (4 + ) + ( đ?‘Š) ( + ) − ( đ??ż) ( ) 120(đ??ż + 15) 2 5 2 3 4 6 13189đ?‘Š + 11760 25đ??żđ?‘Š 175đ?‘Š + 288 +( + − ) (đ?‘Ľ2 ) + 1 = 0 240(đ??ż + 15) 48 48

đ?‘€4 = (

13189đ?‘Š + 11760 25đ?‘Šđ??ż 175đ?‘Š + 288 7(13189đ?‘Š + 11760) + − ) (đ?‘Ľ2 ) − 240(đ??ż + 15) 48 48 240(đ??ż + 15) 175đ??żđ?‘Š 7(175đ?‘Š + 288) − + 48 48 đ?‘‰4 =

đ?‘‘đ?‘€4 13189đ?‘Š + 11760 25đ??żđ?‘Š 175đ?‘Š + 288 = + − đ?‘‘đ?‘Ľ2 240(đ??ż + 15) 48 48

+→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘ 4 =

13189đ?‘Š + 11760 đ??ż 175đ?‘Š + 288 − − 120(đ??ż + 15) 2 24

Corte en el tramo đ??¸ − đ??š. Se secciona al miembro đ??ś − đ??š a una distancia arbitraria medida desde el punto đ??ś; el corte debe ser justo despuĂŠs de que la carga distribuida uniformemente comience. El diagrama de cuerpo libre para la secciĂłn cortada se muestra en la figura 2-2k. 7đ?‘š ≤ đ?‘Ľ2 ≤ 7đ?‘š + đ??ż

(k) 171

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

La fuerza resultante de la carga uniformemente distribuida seccionada es đ??´3đ?‘? = đ?‘Š(đ?‘Ľ2 − 7) y el centroide de su ĂĄrea a travĂŠs del cual actĂşa es đ?‘ĽĚ…3đ?‘? =

đ?‘Ľ2 − 7 2

+ ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 −đ?‘€5 − (

+(

−30đ??ż2 − đ??ż(210 − 899đ?‘Š) + 8(37đ?‘Š − 1020) đ??ż 1 đ??ż 8 3 đ??ż ) (4 + ) + ( đ?‘Š) ( + ) − ( đ??ż) ( ) 120(đ??ż + 15) 2 5 2 3 4 6

13189đ?‘Š + 11760 25đ??żđ?‘Š 175đ?‘Š + 288 đ?‘Ľ2 − 7 + − ) (đ?‘Ľ2 ) + 1 − đ?‘Š(đ?‘Ľ2 − 7) ( )=0 240(đ??ż + 15) 48 48 2 đ?‘€5 = −

đ?‘Š 2 125đ??ż2 đ?‘Š + 40đ??ż(67đ?‘Š − 36) + 16(1579đ?‘Š − 615) đ?‘Ľ2 + ( ) (đ?‘Ľ2 ) 2 240(đ??ż + 15) 7(125đ??ż2 đ?‘Š + 80đ??ż(23đ?‘Š − 18) + 8(1583đ?‘Š − 1230)) − 240(đ??ż + 15)

�5 =

đ?‘‘đ?‘€5 125đ??ż2 đ?‘Š + 40đ??ż(67đ?‘Š − 36) + 16(1579đ?‘Š − 615) =( ) − đ?‘Šđ?‘Ľ2 đ?‘‘đ?‘Ľ2 240(đ??ż + 15) +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘ 5 =

13189đ?‘Š + 11760 đ??ż 175đ?‘Š + 288 − − 120(đ??ż + 15) 2 24

MIEMBRO đ??ş − đ??š. La distribuciĂłn de la carga que se extiende sobre este miembro no presenta discontinuidad, asĂ­ que sĂłlo es necesario efectuar un corte perpendicular al eje del miembro. Corte en el tramo đ??ş − đ??š. El origen de la coordenada đ?‘Ľ a utilizar, etiquetada como đ?‘Ľ3 , se asocia al punto đ??š. A continuaciĂłn, en la figura 2-2l se proporciona un diagrama de cuerpo libre del segmento de estructura con longitud đ?‘Ľ3 . A la derecha se muestra un esquema para determinar el valor en funciĂłn de đ?‘Ľ3 de la intensidad đ?‘Š3 , figura 2-2m.

172

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

0 ≤ �3 ≤

đ??ż 2

(m) (l)

1 đ??ż 1 ( đ?‘Š) (2 − đ?‘Ľ3 ) đ?‘Š đ?‘Šđ?‘Ľ3 2đ?‘Š = đ?‘Œ ⇒ đ?‘Œ = 2 = − đ??ż đ??ż đ??ż 2 đ??ż 2 2 − đ?‘Ľ3 2

đ?‘Š đ?‘Šđ?‘Ľ3 ∴ đ?‘Š3 = 2 + đ?‘Œ = 2 + ( − ) 2 đ??ż

Previo a la aplicaciĂłn de las ecuaciones de equilibrio, con base en la figura 2-2n se calcula el ĂĄrea y el centroide de ĂĄrea de la carga trapezoidal distribuida seccionada.

(n)

đ??´1´´

đ?‘Š đ?‘Šđ?‘Ľ3 đ?‘Š đ?‘Š = (đ?‘Ľ3 ) (2 + ( − )) = 2đ?‘Ľ3 + đ?‘Ľ3 − đ?‘Ľ32 2 đ??ż 2 đ??ż

173

đ??´2´´ =

đ?‘Šđ?‘Ľ3 đ??ż ) = đ?‘Š đ?‘Ľ2 2 2đ??ż 3

(đ?‘Ľ3 ) (

CAPÍTULO 2

ANÁLISIS DE MARCOS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS

∴ 𝐴4𝑐 = ∑ 𝐴 = 2𝑥3 +

𝑊 𝑊 𝑥3 − 𝑥32 2 2𝐿

1 𝑊 𝑊 𝑊 𝑊 3 𝑥̅1´´ 𝐴1´´ = ( 𝑥3 ) (2𝑥3 + 𝑥3 − 𝑥32 ) = 𝑥32 + 𝑥32 − 𝑥 2 2 𝐿 4 2𝐿 3 2 𝑊 𝑊 3 𝑥̅2´´ 𝐴2´´ = ( 𝑥3 ) ( 𝑥32 ) = 𝑥 3 2𝐿 3𝐿 3 ∴ 𝑥̅ 4𝑐

∑ 𝑥̅ 𝐴 = 𝑥32 +

𝑊 2 𝑊 3 𝑥 − 𝑥 4 3 6𝐿 3

𝑊 𝑊 𝑥32 + 4 𝑥32 − 6𝐿 𝑥33 ∑ 𝑥̅ 𝐴 = = 𝑊 𝑊 ∑𝐴 2𝑥3 + 2 𝑥3 − 2𝐿 𝑥32 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥̅4𝑐 < 𝑥3

+ ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 −𝑀6 − (

13189𝑊 + 11760 𝑊 1 175𝑊 + 288 +𝐿( + )− ) (𝑥3 ) 120(𝐿 + 15) 8 2 24

𝑊 𝑊 𝑥32 + 4 𝑥32 − 6𝐿 𝑥33 𝑊 𝑊 2 + (2𝑥3 + 𝑥3 − 𝑥3 ) ( )=0 𝑊 𝑊 2 2 2𝐿 2𝑥3 + 2 𝑥3 − 2𝐿 𝑥3 𝑊 3 𝑊 𝑥3 + ( + 1) 𝑥32 6𝐿 4 15𝐿2 (𝑊 + 4) − 10𝐿(65𝑊 + 54) + 16(4𝑊 − 615) −( ) (𝑥3 ) 120(𝐿 + 15) 𝑀6 = −

(𝑊 + 4) 𝑑𝑀6 𝑊 = − 𝑥32 + 𝑥3 𝑑𝑥3 2𝐿 2 15𝐿2 (𝑊 + 4) − 10𝐿(65𝑊 + 54) + 16(4𝑊 − 615) − 120(𝐿 + 15) 𝑉6 =

+↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒ 𝑁6 = − (−

13189𝑊 + 11760 23𝐿𝑊 175𝑊 + 288 + + ) 240(𝐿 + 15) 48 48

174

CAPÍTULO 2

ANÁLISIS DE MARCOS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS

Ejercicio 2.3 Obtenga las expresiones algebraicas que describen la variación de la fuerza axial, de la fuerza cortante y del momento flector en la estructura que se muestra en la figura 2-3a, la cual está sometida a la acción de las cargas indicadas.

(a)

Figura 2-3

SOLUCIÓN Cálculo de las reacciones en los soportes Diagrama de cargas. El diagrama de cargas del marco se observa en la figura 2-3b.

(b)

175

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Se determinan las fuerzas resultantes de las cargas distribuidas, asĂ­ como su punto de aplicaciĂłn. -

Carga cuya intensidad es descrita por la curva de quinto grado.

El siguiente procedimiento debe llevarse a cabo para determinar el ĂĄrea bajo la curva que representa la fuerza resultante y para localizar el punto donde actĂşa tal fuerza, es decir el centroide de su ĂĄrea. Siendo conocidos tres puntos de la curva, la expresiĂłn mĂĄs sencilla que la ajusta es đ?‘Ś = đ?‘Žđ?‘Ľ 5 + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? − − − (đ??ź) Si tomamos como origen el punto đ??´, entonces đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ = 0đ?‘š, đ?‘Ś = 0;

�� � = 1�, � = 1�;

đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ = 2đ?‘š, đ?‘Ś = 0

Las constantes đ?‘Ž, đ?‘? y đ?‘? pueden calcularse construyendo un sistema de ecuaciones reemplazando cada punto conocido de manera individual en la ecuaciĂłn (đ??ź). đ?‘Ž(0)5 + đ?‘?(0) + đ?‘? = 0 đ?‘Ž(1)5 + đ?‘?(1) + đ?‘? = 1 đ?‘Ž(2)5 + đ?‘?(2) + đ?‘? = 0 Simplificando se tiene 0đ?‘Ž + 0đ?‘? + đ?‘? = 0 − − − (1) đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘? = 1 − − − (2) 32đ?‘Ž + 2đ?‘? + đ?‘? = 0 − − − (3) Si aplicamos el mĂŠtodo de Gauss – Jordan para resolver el sistema simultĂĄneo de ecuaciones, obtenemos 0 0 (1 1 32 2

1 1 1

0 1 1) ~ (32 0 0

1 2 0

Intercambiando renglones

1 1 1

1 1 0) ~ ( 0 0 0

1 −30 0

1 −31 1

−32R1 + R 2 1

0

1

~ (0

1

0

0

0

1

1 1 −32) ~ (0 0 0 1 - R2

1 1

31

16

30

15

0

1

−R 2 + R1

∴đ?‘Ž=−

1

1

0

0

0

1

0

0 0 −R 3 + R1

0

1

15 16 ) ~ ( 15

−

1 16 ,đ?‘? = ,đ?‘? = 0 15 15

De tal modo que

176

1

1

15 16 ) 15

0

1 ) ~ (0

0 −

30

−

1

31 30

1 1

1 0

16

1

0 0 R3 + R2

1

0

15

)

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

đ?‘Ś=−

1 5 16 đ?‘Ľ + đ?‘Ľ 15 15

El ĂĄrea bajo la curva es 1 5 16 1 6 8 2 2 64 đ??´1 = âˆŤ đ?‘‘đ??´ = âˆŤ đ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ (− đ?‘Ľ + đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ = [− đ?‘Ľ + đ?‘Ľ ] = đ?‘‡ 15 15 90 15 45 0 đ??ż1 0 đ??ż2

2

El centroide del ĂĄrea es 1 7 16 3 2 2 1 5 16 512 đ?‘Ľ + đ?‘Ľ ] [− đ?‘Ľ đ?‘Ľ + đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ (− âˆŤ 8 âˆŤ đ?‘ĽĚƒ đ?‘‘đ??´ 105 45 0 15 15 0 đ?‘ĽĚ…1 = = đ??ż2 = = = 315 = đ?‘š 2 1 16 64 64 7 âˆŤ đ?‘‘đ??´ âˆŤđ??ż đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ âˆŤ0 (− 15 đ?‘Ľ 5 + 15 đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ 1 45 45 đ??ż

2 âˆŤđ??ż1 đ?‘Ľđ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ

đ??´2 =

Carga triangular de menor intensidad.

(2�)(4 �⠄�) = 4� 2 -

đ??´3 =

1 2 đ?‘ĽĚ…2 = (2đ?‘š) = đ?‘š 3 3

Carga triangular de mayor intensidad.

(2�)(5 �⠄�) = 5� 2 -

2 4 đ?‘ĽĚ…2 = (2đ?‘š) = đ?‘š 3 3

Carga distribuida uniformemente.

đ??´4 = (2đ?‘š)(5 đ?‘‡â „đ?‘š) = 10đ?‘‡

1 5 đ?‘ĽĚ… 2 = (5đ?‘š) = đ?‘š 2 2

Se resuelve đ??š = 2đ?‘‡ en sus componentes rectangulares đ?‘‹ y đ?‘Œ, figura 2-3c.

đ??šđ?‘‹ = 2đ?‘‡(đ?‘ đ?‘’đ?‘›35°) = 1.147152873 đ?‘‡ (c)

đ??šđ?‘Œ = 2đ?‘‡(cos 35°) = 1.638304089 đ?‘‡

Ecuaciones de equilibrio. + ∑ đ?‘€đ??´ = 0 ⇒ (

64 8 2 4 ) ( ) + (4) (3 + ) + (5) (3 + ) + 1.638304089(5) 45 7 3 3

5 +1.147152873(1) + (10) ( ) − đ?‘…đ??šđ?‘Œ (5) = 0 2 đ?‘…đ??šđ?‘Œ

512 44 65 + + 3 + 8.191520445 + 1.147152873 + 25 72.29740348 = − [315 3 ]= −5 5 177

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

∴ đ?‘…đ??šđ?‘Œ = 14.45948070đ?‘‡ +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Œ −

64 − 4 − 5 − 1.638304089 + 14.45948070 = 0 45

đ?‘…đ??´đ?‘Œ = −2.398954389 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 2.398954389đ?‘‡ +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘‹ − 1.147152873 − 10 = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 11.14715287đ?‘‡ Funciones de la fuerza cortante, de la fuerza normal y del momento flector Los resultados obtenidos se visualizan esquemĂĄticamente en la figura 2-3d.

(d)

La distribuciĂłn de la carga que actĂşa sobre el marco presenta discontinuidades en los puntos đ??ľ, đ??ś, đ??ˇ y đ??¸ y en el punto đ??ˇ existe un cambio en la geometrĂ­a de la estructura; por tanto, para obtener las expresiones algebraicas que definan la variaciĂłn de las acciones internas es necesario cortar la estructura a travĂŠs de secciones arbitrarias en los tramos đ??´ − đ??ľ, đ??ľ − đ??ś, đ??ś − đ??ˇ, đ??š − đ??¸ y đ??¸ − đ??ˇ. Se ha definido una sola coordenada đ?‘Ľ por miembro. La coordenada đ?‘Ľ1 con origen en đ??´, es vĂĄlida para la regiĂłn que va desde đ??´ hasta đ??ˇ y es positiva hacia la derecha. La coordenada đ?‘Ľ2 , por su parte, tiene origen en đ??š, es vĂĄlida dentro de la regiĂłn desde đ??š hasta đ??ˇ y es positiva hacia arriba. Miembro đ??´ − đ??ˇ. ObsĂŠrvese que en los puntos đ??ľ y đ??ś existen discontinuidades en la distribuciĂłn de la 178

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

carga, ya que de đ??´ a đ??ľ se extiende una carga repartida variable en forma de curva de grado cinco, desde đ??ľ hasta đ??ś no hay carga alguna y del punto đ??ś al đ??ˇ se extienden dos presiones triangulares de distinta intensidad que se traslapan. Entonces, necesariamente el miembro đ??´ − đ??ˇ debe ser cortado perpendicularmente a su eje tres veces, siempre considerando como origen del sistema coordenado al punto đ??´. Corte en el tramo đ??´ − đ??ľ. Se secciona la estructura en un punto arbitrario (intermedio en el segmento đ??´ − đ??ľ) a una distancia đ?‘Ľ1 de đ??´; en la figura 2-3e se representa el diagrama de cuerpo libre de la porciĂłn izquierda de la estructura para definir las acciones internas. 0 ≤ đ?‘Ľ1 ≤ 2đ?‘š

(e)

Previo al establecimiento del equilibrio estĂĄtico del cuerpo libre, deben calcularse el ĂĄrea y su centroide de la presiĂłn seccionada cuya intensidad es descrita por la funciĂłn polinomial de quinto grado. 1 7 16 3 đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ1 1 16 1 16 âˆŤ0 đ?‘Ľ (− 15 đ?‘Ľ 5 + 15 đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ âˆŤ0 (− 15 đ?‘Ľ 6 + 15 đ?‘Ľ 2 ) đ?‘‘đ?‘Ľ [− 105 đ?‘Ľ + 45 đ?‘Ľ ]0 đ?‘ĽĚ…đ??ź = = = đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ1 1 5 16 1 5 16 1 8 âˆŤ0 (− 15 đ?‘Ľ + 15 đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ âˆŤ0 (− 15 đ?‘Ľ + 15 đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ [− 90 đ?‘Ľ 6 + đ?‘Ľ 2 ] 15 0 1 16 đ?‘Ľ1 7 + đ?‘Ľ1 3 45 đ?‘ĽĚ…đ??ź = 105 1 6 8 − 90 đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ1 2 15 −

đ?‘Ľ1

đ??´đ??ź = âˆŤ (− 0

1 5 16 1 8 đ?‘Ľ + đ?‘Ľ) đ?‘‘đ?‘Ľ = − đ?‘Ľ1 6 + đ?‘Ľ1 2 15 15 90 15

+ ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ −đ?‘€1 − 2.398954389(đ?‘Ľ1 ) − (− 1 16 đ?‘Ľ1 7 + đ?‘Ľ1 3 45 (đ?‘Ľ1 − 105 )=0 1 6 8 − 90 đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ1 2 15 −

179

1 6 8 đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ1 2 ) 90 15

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

đ?‘€1 = −2.398954389(đ?‘Ľ1 ) − đ?‘€1 = đ?‘‰1 =

1 16 1 8 đ?‘Ľ1 7 + đ?‘Ľ1 3 + đ?‘Ľ1 7 − đ?‘Ľ1 3 105 45 90 15

1 8 đ?‘Ľ1 7 − đ?‘Ľ1 3 − 2.398954389đ?‘Ľ1 630 45

đ?‘‘đ?‘€1 1 6 8 = đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ1 2 − 2.398954389 đ?‘‘đ?‘Ľ1 90 15

+→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ 11.14715287 + đ?‘ 1 = 0 ⇒ đ?‘ 1 = −11.14715287 Corte en el tramo đ??ľ − đ??ś. En la figura 2-3f se representa el diagrama de cuerpo libre correspondiente al segmento izquierdo de la estructura que se produce al cortarla en algĂşn sitio intermedio del tramo đ??ľ − đ??ś. El equilibrio estĂĄtico del cuerpo libre implica que 2đ?‘š ≤ đ?‘Ľ1 ≤ 3đ?‘š

(f)

64 8 + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ −đ?‘€2 − 2.398954389(đ?‘Ľ1 ) − ( ) (đ?‘Ľ1 − ) = 0 45 7 đ?‘€2 = −3.821176611đ?‘Ľ1 + đ?‘‰2 =

512 315

đ?‘‘đ?‘€2 = −3.821176611 đ?‘‘đ?‘Ľ1

+→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ 11.14715287 + đ?‘ 2 = 0 ⇒ đ?‘ 2 = −11.14715287 Corte en el tramo đ??ś − đ??ˇ. Se secciona la estructura en un punto arbitrario (intermedio en el segmento đ??ś − đ??ˇ) a una distancia đ?‘Ľ1 de đ??´; en la figura 2-3g se representa el diagrama de cuerpo libre de la porciĂłn izquierda del corte para definir las acciones internas. 180

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

3� ≤ �1 ≤ 5�

(g)

Con base en las figuras 2-3h y 2-3i se determinan por trigonometrĂ­a los valores en funciĂłn de đ?‘Ľ1 de las intensidades đ?‘Š1 ´ y đ?‘Š2 ´, respectivamente.

4 đ?‘‡â „đ?‘š đ?‘Š1´ = ⇒ đ?‘Š1´ = 10 − 2đ?‘Ľ1 2đ?‘š 5đ?‘š − đ?‘Ľ1

(h)

(i)

5 đ?‘‡â „đ?‘š đ?‘Š2´ = ⇒ đ?‘Š2´ = 2.5đ?‘Ľ1 − 7.5 2đ?‘š đ?‘Ľ1 − 3đ?‘š A continuaciĂłn, se analizan las presiones trapezoidal y triangular generadas al haber hecho el corte anterior en la estructura. Es conveniente subdividir a la carga distribuida cuya intensidad varĂ­a linealmente desde 4đ?‘‡/đ?‘š en el punto đ??ś hasta đ?‘Š1´ en el punto đ??ˇ, de tal modo que se formen dos cargas mĂĄs simples de analizar, una rectangular y una triangular, justo como se observa en la figura 2-3j.

(j)

181

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Las cargas concentradas equivalentes, asĂ­ como con su punto de aplicaciĂłn son đ??´đ??źđ??źđ??´ = [

(đ?‘Ľ1 − 3)(4 − (10 − 2đ?‘Ľ1 )) ] 2

đ??´đ??źđ??źđ??ľ = (đ?‘Ľ1 − 3)(10 − 2đ?‘Ľ1 )

đ?‘ĽĚ…đ??źđ??źđ??´ =

2 (đ?‘Ľ − 3) 3 1

đ?‘ĽĚ…đ??źđ??źđ??ľ =

1 (đ?‘Ľ − 3) 2 1

La fuerza resultante de la carga distribuida cuya intensidad varĂ­a linealmente desde 0 en el punto đ??ś hasta đ?‘Š2´ en el punto đ??ˇ y su brazo de palanca son đ??´đ??źđ??źđ??ź = [

(đ?‘Ľ1 − 3)(2.5đ?‘Ľ1 − 7.5) ] 2

1 đ?‘ĽĚ…đ??źđ??źđ??ź = (đ?‘Ľ1 − 3) 3

El equilibrio estĂĄtico del cuerpo libre del corte en el tramo đ??ś − đ??ˇ implica que + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 (đ?‘Ľ1 − 3)(4 − (10 − 2đ?‘Ľ1 )) 2 64 8 −đ?‘€3 − 2.398954389(đ?‘Ľ1 ) − ( ) (đ?‘Ľ1 − ) − [ ] ( (đ?‘Ľ1 − 3)) 45 7 2 3 (đ?‘Ľ1 − 3)(2.5đ?‘Ľ1 − 7.5) 1 1 −(đ?‘Ľ1 − 3)(10 − 2đ?‘Ľ1 ) ( (đ?‘Ľ1 − 3)) − [ ] ( (đ?‘Ľ1 − 3)) = 0 2 2 3 đ?‘€3 = −2.398954389đ?‘Ľ1 −

64 512 2 đ?‘Ľ1 + + đ?‘Ľ1 3 − 11đ?‘Ľ1 2 + 39đ?‘Ľ1 − 45 − đ?‘Ľ1 3 + 6đ?‘Ľ1 2 45 315 3

5 3 15 2 45 45 đ?‘Ľ1 3 5đ?‘Ľ1 2 17797 −18đ?‘Ľ1 + 18 − đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ1 + =− − + 5.928823389đ?‘Ľ1 − 12 4 4 4 12 4 1260

đ?‘‘đ?‘€3 đ?‘Ľ1 2 5đ?‘Ľ1 đ?‘‰3 = =− − + 5.928823389 đ?‘‘đ?‘Ľ1 4 2 +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ 11.14715287 + đ?‘ 2 = 0 ⇒ đ?‘ 2 = −11.14715287 Miembro đ??š − đ??ˇ. Aunque la carga distribuida uniforme de 2đ?‘‡/đ?‘š no provoca que las funciones de las acciones internas varĂ­en en la regiĂłn đ??š − đ??ˇ debido a que tal presiĂłn se encuentra aplicada a lo largo de todo el miembro citado, la carga puntual de 2đ?‘‡ en đ??¸ harĂĄ que las funciones de la fuerza cortante, de la fuerza axial y del momento flector sean discontinuas en ese punto; por tanto, se tienen que hacer dos cortes perpendiculares al eje del miembro đ??š − đ??ˇ.

182

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Corte en el tramo đ??š − đ??¸. A continuaciĂłn, en la figura 2-3k se muestra un diagrama de cuerpo libre de la secciĂłn cortada. La fuerza resultante de la carga distribuida uniforme es đ??´đ??źđ?‘‰ = (2đ?‘‡/đ?‘š)(đ?‘Ľ2 ) y su punto de aplicaciĂłn es đ?‘ĽĚ…đ??źđ?‘‰ = đ?‘Ľ2 /2. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio, se tiene 0đ?‘š ≤ đ?‘Ľ2 ≤ 4đ?‘š + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 đ?‘Ľ2 −đ?‘€4 + 2(đ?‘Ľ2 ) ( ) = 0 ⇒ đ?‘€4 = đ?‘Ľ2 2 2 đ?‘‰4 = (k)

đ?‘‘đ?‘€4 = 2đ?‘Ľ2 đ?‘‘đ?‘Ľ2

+↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ 14.4594807 + đ?‘ 4 = 0 đ?‘ 4 = −14.4594807

Corte en el tramo đ??¸ − đ??ˇ. El siguiente diagrama de cuerpo libre, figura 2-3l, corresponde al segmento inferior con longitud đ?‘Ľ2 que se origina al seccionar el marco en un punto arbitrario (intermedio en el segmento đ??¸ − đ??ˇ). Por lo tanto, 4đ?‘š ≤ đ?‘Ľ2 ≤ 5đ?‘š

+ ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 đ?‘Ľ2 −đ?‘€5 + 2(đ?‘Ľ2 ) ( ) + 1.147152873(đ?‘Ľ2 − 4) = 0 2 (l)

đ?‘€5 = đ?‘Ľ2 2 + 1.147152873đ?‘Ľ2 − 4.588611492 đ?‘‰5 =

đ?‘‘đ?‘€5 = 2đ?‘Ľ2 + 1.147152873 đ?‘‘đ?‘Ľ2

+↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ 14.4594807 + đ?‘ 5 = 0 đ?‘ 5 = −14.4594807 183

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

2.2 DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE, DE FUERZA NORMAL Y DE MOMENTO FLECTOR Ejercicio 2.4 Calcular las reacciones del marco isostĂĄtico triarticulado en dos aguas que se muestra en la figura 2-4a. Determine ademĂĄs las expresiones algebraicas que describen la variaciĂłn de las acciones internas en cada miembro y Ăşselas para realizar los diagramas correspondientes. Considere que las cargas uniformemente repartidas actĂşan perpendicularmente a los miembros đ??ľ − đ??ś y đ??ˇ − đ??ś, respectivamente.

đ??ś 4đ?‘š đ?œƒ đ??ˇ

đ??ľ

4đ?‘š đ??¸

đ??´ 5đ?‘š

5đ?‘š

(a)

Figura 2-4 SOLUCIĂ“N CĂĄlculo de las reacciones en los soportes Diagrama de cargas. En la figura 2-4b se muestra el diagrama de cuerpo libre de la estructura. Se proporciona el cĂĄlculo de las cargas concentradas equivalentes de las presiones, asĂ­ como su punto de aplicaciĂłn. -

Carga distribuida uniforme de 4�/�.

La longitud del miembro đ??ľ − đ??ś es đ??żđ??ľâˆ’đ??ś = √(5đ?‘š)2 + (4đ?‘š)2 = √41đ?‘š Por lo tanto, đ?‘ˆđ?‘…1 = (4đ?‘‡/đ?‘š)(√41đ?‘š) = 25.6125đ?‘‡

184

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS 1

đ?‘ĽĚ…1 = 2 (√41đ?‘š) = 3.20156đ?‘š đ?‘ˆđ?‘…1đ?‘Œ = 20đ?‘‡

đ?‘ˆđ?‘…2đ?‘Œ = 15đ?‘‡

đ?‘ˆđ?‘…1 = 25.6125đ?‘‡ đ?œƒ

đ?‘ˆđ?‘…2 = 19.2094đ?‘‡

đ?œƒ đ??ś

2đ?‘š

đ?‘ˆđ?‘…2đ?‘‹ = 12đ?‘‡

đ?œƒ

đ?œƒ

đ?‘ˆđ?‘…1đ?‘‹ = 16đ?‘‡

đ?‘Œ

đ??ľ

đ??ˇ 4đ?‘š

2.5đ?‘š

2.5đ?‘š

đ??´

đ?‘‹

đ?‘…đ??´đ?‘‹

4đ?‘š

5đ?‘š

đ??¸ đ?‘…đ??¸đ?‘‹

5đ?‘š

đ?‘…đ??´đ?‘Œ

đ?‘…đ??¸đ?‘Œ

(b)

Carga distribuida uniforme de 3�/�

-

La longitud del miembro đ??ˇ − đ??ś es đ??żđ??ˇâˆ’đ??ś = √41đ?‘š Por lo tanto, đ?‘ˆđ?‘…2 = (3đ?‘‡/đ?‘š)(√41đ?‘š) = 19.2094đ?‘‡ đ?‘ĽĚ…2 =

1 (√41đ?‘š) = 3.20156đ?‘š 2

Con base en las figuras 2-4c y 2-4d, se determinan las componentes rectangulares đ?‘‹, đ?‘Œ de las fuerzas resultantes đ?‘ˆđ?‘…1 y đ?‘ˆđ?‘…2. -

đ?œƒ = tan−1

đ?‘ˆđ?‘…1đ?‘‹

đ?œƒ

đ?‘ˆđ?‘…1đ?‘Œ

sin đ?œƒ =

4 = 38.6598° 5

đ?‘ˆđ?‘…1đ?‘‹ ⇒ đ?‘ˆđ?‘…1đ?‘‹ = đ?‘ˆđ?‘…1 sin đ?œƒ = 25.6125đ?‘‡(đ?‘ đ?‘–đ?‘›38.6598°) = 16đ?‘‡ đ?‘ˆđ?‘…1

cos đ?œƒ = (c)

Para đ?‘ˆđ?‘…1 = 25.6125đ?‘‡

đ?‘ˆđ?‘…1đ?‘Œ ⇒ đ?‘ˆđ?‘…1đ?‘Œ = đ?‘ˆđ?‘…1 cos đ?œƒ = 25.6125đ?‘‡(đ?‘?đ?‘œđ?‘ 38.6598°) = 20đ?‘‡ đ?‘ˆđ?‘…1 185

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

đ?‘ˆđ?‘…2đ?‘‹ đ?‘ˆđ?‘…2đ?‘Œ

sin đ?œƒ =

đ?œƒ

cos đ?œƒ =

Para đ?‘ˆđ?‘…2 = 19.2094đ?‘‡

đ?‘ˆđ?‘…2đ?‘‹ ⇒ đ?‘ˆđ?‘…2đ?‘‹ = đ?‘ˆđ?‘…2 sin đ?œƒ = 19.2094đ?‘‡(đ?‘ đ?‘–đ?‘›38.6598°) = 12đ?‘‡ đ?‘ˆđ?‘…2 đ?‘ˆđ?‘…2đ?‘Œ đ?‘ˆđ?‘…2

⇒ đ?‘ˆđ?‘…2đ?‘Œ = đ?‘ˆđ?‘…2 cos đ?œƒ == 19.2094đ?‘‡(đ?‘?đ?‘œđ?‘ 38.6598°) = 15đ?‘‡

(d)

Ecuaciones de equilibrio. La convenciĂłn de signos que se usarĂĄ para las siguientes ecuaciones es indistinta; si el lector opta por tomar las opuestas, deberĂĄ llegar a los mismos resultados. Tomando en cuenta que el momento en una articulaciĂłn siempre es nulo, es posible plantear que la suma de momentos en đ??ś es igual a cero, ya sea para la parte derecha, o como en este caso, para la parte izquierda. + ∑ đ?‘€đ??śđ?‘–đ?‘§đ?‘ž = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Œ (5đ?‘š) − đ?‘…đ??´đ?‘‹ (8đ?‘š) − đ?‘ˆđ?‘…đ??źđ?‘‹ (2đ?‘š) − đ?‘ˆđ?‘…1đ?‘Œ (2.5đ?‘š) = 0 5đ?‘…đ??´đ?‘Œ − 8đ?‘…đ??´đ?‘‹ − [16(2) + 20(2.5)] = 0 ⇒ 5đ?‘…đ??´đ?‘Œ − 8đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 82 − − − (1) Luego, para todo el marco tenemos +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Œ + đ?‘…đ??¸đ?‘Œ − đ?‘ˆđ?‘…đ??źđ?‘Œ − đ?‘ˆđ?‘…2đ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Œ + đ?‘…đ??¸đ?‘Œ − (20 + 15) = 0 đ?‘…đ??´đ?‘Œ + đ?‘…đ??¸đ?‘Œ = 35 − − − (2) +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘‹ − đ?‘…đ??¸đ?‘‹ + đ?‘ˆđ?‘…đ??źđ?‘‹ − đ?‘ˆđ?‘…2đ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘‹ − đ?‘…đ??¸đ?‘‹ + 16 − 12 = 0 đ?‘…đ??´đ?‘‹ − đ?‘…đ??¸đ?‘‹ = −4 − − − (3) + ∑ đ?‘€đ??´ = 0 ⇒ đ?‘ˆđ?‘…đ??źđ?‘‹ (6đ?‘š) + đ?‘ˆđ?‘…1đ?‘Œ (2.5đ?‘š) + đ?‘ˆđ?‘…2đ?‘Œ (7.5đ?‘š) − đ?‘ˆđ?‘…2đ?‘‹ (6đ?‘š) − đ?‘…đ??¸đ?‘Œ (10đ?‘š) = 0

16(6) + 20(2.5) + 15(7.5) − 12(6) − 10đ?‘…đ??¸đ?‘Œ = 0 ⇒ −10đ?‘…đ??¸đ?‘Œ = −186.5 − − − (4)

Se procede a resolver el sistema de ecuaciones enumerado anteriormente. Si se despeja đ?‘…đ??¸đ?‘Œ de la ecuaciĂłn (4), se tiene đ?‘…đ??¸đ?‘Œ = −

186.5 = 18.65 −10

Como el resultado obtenido es positivo, el sentido propuesto es correcto. ∴ đ?‘…đ??¸đ?‘Œ = 18.65đ?‘‡ 186

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Sustituyendo đ?‘…đ??¸đ?‘Œ = 18.65 en la ecuaciĂłn (2) y despejando đ?‘…đ??´đ?‘Œ , se obtiene đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 35 − 18.65 = 16.35đ?‘‡ De nuevo el sentido propuesto es adecuado. ∴ đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 16.35đ?‘‡ Sustituyendo đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 16.35 en la ecuaciĂłn (1) y despejando đ?‘…đ??´đ?‘‹ , da 5(16.35) − 8đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 82 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘‹ =

82 − 5(16.35) = −0.03125 −8

El signo negativo indica que el sentido de đ?‘…đ??´đ?‘‹ es opuesto al supuesto. ∴ đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 0.03125đ?‘‡ Sustituyendo đ?‘…đ??´đ?‘‹ = −0.03125 en la ecuaciĂłn (3) y despejando đ?‘…đ??¸đ?‘‹ resulta −0.03125 − đ?‘…đ??¸đ?‘‹ = −4 ⇒ đ?‘…đ??¸đ?‘‹ = −(−4 + 0.03125) = 3.96875 Por el signo resultante, efectivamente đ?‘…đ??¸đ?‘‹ actĂşa hacia la izquierda como se propuso en el diagrama de cargas. ∴ đ?‘…đ??¸đ?‘‹ = 3.96875đ?‘‡ Forma alterna. Otra manera de calcular las reacciones en los apoyos del marco triarticulado es haciendo uso de las reacciones en la articulaciĂłn; para ello, es necesario partir la estructura en dos, justo en donde se ubica la articulaciĂłn, en este caso en đ??ś, figura 2-4e. DespuĂŠs se aplican las ecuaciones de equilibrio en ambas porciones del marco. Una vez mĂĄs los sentidos de todas las fuerzas reactivas se proponen arbitrariamente; forzosamente las reacciones de la articulaciĂłn son de igual magnitud y direcciĂłn, pero de sentido opuesto y pueden ser calculadas si tomamos momentos respecto de đ??´ en la porciĂłn 1 y respecto de đ??¸ en la porciĂłn 2 usando una convenciĂłn de signos arbitraria (da lo mismo considerar como positivo a un momento horario o a un momento antihorario) y se resuelve el sistema simultĂĄneo de ecuaciones con incĂłgnitas đ??śđ?‘‹ y đ??śđ?‘Œ . Para la porciĂłn 1 tenemos + ∑ đ?‘€đ??´ = 0 ⇒ −đ??śđ?‘Œ (5đ?‘š) − đ??śđ?‘‹ (8đ?‘š) + đ?‘ˆđ?‘…1đ?‘Œ (2.5đ?‘š) + đ?‘ˆđ?‘…1đ?‘‹ (6đ?‘š) = 0 −5đ??śđ?‘Œ − 8đ??śđ?‘‹ + 16(6) + 20(2.5) = 0 ⇒ −5đ??śđ?‘Œ − 8đ??śđ?‘‹ = −146 ⇒ 5đ??śđ?‘Œ + 8đ??śđ?‘‹ = 146 − − − (đ?‘Ž) 187

CAPÍTULO 2

ANÁLISIS DE MARCOS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS

Para la porción 2 tenemos + ∑ 𝑀𝐸 = 0 ⇒ −𝐶𝑌 (5𝑚) + 𝐶𝑋 (8𝑚) − 𝑈𝑅2𝑌 (2.5𝑚) − 𝑈𝑅2𝑋 (6𝑚) = 0 −5𝐶𝑌 + 8𝐶𝑋 − [12(6) + 15(2.5)] = 0 ⇒ 8𝐶𝑋 − 5𝐶𝑌 = 109.5 − − − (𝑏)

𝑃𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛 1

𝑃𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛 2

𝑈𝑅1𝑌 = 20𝑇

𝐶𝑌

𝑈𝑅1 = 25.6125𝑇

𝐶

𝑈𝑅1𝑋 = 16𝑇

𝑈𝑅2 = 19.2094𝑇

𝐶𝑋

𝐶𝑋 2𝑚

𝐶𝑌

𝑈𝑅2𝑌 = 15𝑇

𝐶 𝑈𝑅2𝑋 = 12𝑇

𝐵

4𝑚

𝐷 2.5𝑚

2.5𝑚

4𝑚 𝐴

𝑅𝐴𝑋

𝐸 𝑅𝐸𝑋 5𝑚

5𝑚

𝑅𝐴𝑌

𝑅𝐸𝑌

(e)

Se resuelve el sistema de ecuaciones (𝑎) y (𝑏). Sumando la ecuación (𝑎) con la ecuación (𝑏) resulta 5𝐶𝑌 + 8𝐶𝑋 = 146 +

−5𝐶𝑌 + 8𝐶𝑋 = 109.5 16𝐶𝑋 = 255.5 𝐶𝑋 =

255.5 = 15.96875 16

Sustituyendo 𝐶𝑋 = 15.96875 en la ecuación (𝑏) y despejando 𝐶𝑌 da 8(15.96875) − 5𝐶𝑌 = 109.5 ⇒ 𝐶𝑌 = 188

109.5 − 8(15.96875) = 3.65 −5

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Si la suma de fuerzas en cualquier direcciĂłn es nula en la porciĂłn 1, obtenemos đ??śđ?‘‹ = 15.96875đ?‘‡

y đ??śđ?‘Œ = 3.65đ?‘‡

+→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ 16 − 15.96875 − đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 0.03125 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 0.03125đ?‘‡

+↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 3.65 − 20 + đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 16.35 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 16.35đ?‘‡ De manera anĂĄloga, para la porciĂłn 2 se tiene đ??śđ?‘‹ = 15.96875đ?‘‡

y đ??śđ?‘Œ = 3.65đ?‘‡

+→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ 15.96875 − 12 − đ?‘…đ??¸đ?‘‹ = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??¸đ?‘‹ = 3.96875đ?‘‡ +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ −3.65 − 15 + đ?‘…đ??¸đ?‘Œ = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??¸đ?‘Œ = 18.65đ?‘‡ Funciones de la fuerza cortante, de la fuerza normal y del momento flector Los resultados obtenidos se muestran esquemĂĄticamente en la figura 2-4f.

đ?‘ˆđ?‘…1đ?‘Œ = 20đ?‘‡

đ?‘ˆđ?‘…2đ?‘Œ = 15đ?‘‡

đ?‘ˆđ?‘…1 = 25.6125đ?‘‡

đ?‘ˆđ?‘…2 = 19.2094đ?‘‡

đ??ś

2đ?‘š

đ?‘ˆđ?‘…2đ?‘‹ = 12đ?‘‡

đ?‘ˆđ?‘…1đ?‘‹ = 16đ?‘‡

đ??ľ

đ?‘Ľ1

đ??ˇ

2.5đ?‘š đ??´

4đ?‘š

đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 0.03125đ?‘‡

4đ?‘š

đ?‘Ľ3

2.5đ?‘š đ??¸

đ?‘…đ??¸đ?‘‹ = 3.96875đ?‘‡ 5đ?‘š

5đ?‘š

đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 16.35đ?‘‡

đ?‘…đ??¸đ?‘Œ = 18.65đ?‘‡

(f)

189

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

La distribuciĂłn de la carga que actĂşa sobre el marco presenta discontinuidades en đ??ľ, đ??ś y đ??ˇ, y en cada uno de esos puntos existe ademĂĄs un cambio en la geometrĂ­a de la estructura; por tanto, para obtener funciones que definan la variaciĂłn de los elementos mecĂĄnicos es necesario cortar la estructura a travĂŠs de secciones arbitrarias en los tramos đ??´ − đ??ľ, đ??ľ − đ??ś, đ??¸ − đ??ˇ y đ??ˇ − đ??ś. En la figura anterior se observa la forma en las que han sido definidas las coordenadas đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 y đ?‘Ľ4 .

Miembro đ??´ − đ??ľ. Corte en el tramo đ??´ − đ??ľ. Se secciona la estructura perpendicularmente al eje del miembro en un punto arbitrario (intermedio en el segmento đ??´ − đ??ľ) a una distancia đ?‘Ľ1 de đ??´; en la figura 2-4g se muestra el diagrama de cuerpo libre de la porciĂłn inferior de la estructura para definir las acciones internas. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio, se tiene 0 ≤ đ?‘Ľ1 ≤ 4đ?‘š

+ ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ −đ?‘€1 + 0.03125đ?‘Ľ1 = 0 ⇒ đ?‘€1 = 0.03125đ?‘Ľ1 +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘‰1 − 0.03125 = 0 ⇒ đ?‘‰1 = 0.03125 o tambiĂŠn: đ?‘‰1 =

đ?‘‘đ?‘€1 = 0.03125 đ?‘‘đ?‘Ľ1

+↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ 16.35 + đ?‘ 1 = 0 ⇒ đ?‘ 1 = −16.35 (g)

Miembro đ??ľ − đ??ś. Corte en el tramo đ??ľ − đ??ś. En la figura 2-4h se representa el diagrama de cuerpo libre correspondiente a la porciĂłn izquierda de la estructura que se produce al cortarla (perpendicularmente al eje del miembro) en algĂşn sitio intermedio del tramo đ??ľ − đ??ś. La fuerza resultante de la carga distribuida uniforme es đ??š1 = (4đ?‘‡/đ?‘š)(đ?‘Ľ2 ) = 4đ?‘Ľ2 y su punto de aplicaciĂłn es đ?‘” = đ?‘Ľ2 /2.

190

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

0 ≤ đ?‘Ľ2 ≤ √41đ?‘š

đ?‘’=

20

đ??š1đ?‘Œ =

√41

5

2√41

đ?‘Ľ2

đ?‘Ľ2

đ?‘€2

đ?œƒ

đ??š1đ?‘‹ =

16

√41

đ?‘“=

đ?‘Ľ2

2 √41

đ?‘Ľ2 đ?‘?=

√41

đ?‘Ľ2

đ?œƒ

đ??ľ đ?œƒ

4đ?‘š

đ??´

đ?œƒ đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 0.03125đ?‘‡ đ?‘Ž=

đ?‘…đ??´đ?‘Œ

4

đ?œƒ = 16.35đ?‘‡

5 √41

đ?‘Ľ2 đ?‘…đ??´đ?‘‹đ?‘Œ + đ?‘…đ??´đ?‘Œđ?‘Œ = 0.01952đ?‘‡ + 12.7672đ?‘‡

(h)

Con los datos del marco original, es posible determinar trigonometrĂ­a, figura 2-4i. đ??ś

sin đ?œƒ = 4đ?‘š đ??ľ

cos đ?œƒ =

đ?œƒ

sin đ?œƒ y cos đ?œƒ usando

4 √41 5 √41

5đ?‘š

(i)

De la porciĂłn del corte considerada, las distancias đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? y đ?‘‘ se deducen aplicando identidades trigonomĂŠtricas, figura 2-4j.

191

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’

đ?‘Ž = đ?‘Ľ2 cos đ?œƒ = đ?‘?

đ?‘? = đ?‘Ľ2 sin đ?œƒ =

đ?œƒ

đ??ľ

5 √41 4 √41

đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ2

đ?‘Ž

(j)

đ??ľ

16 )= đ?‘š √41 √41 5 20 đ?‘‘ = (4đ?‘š) cos đ?œƒ = 4đ?‘š ( )= đ?‘š √41 √41 đ?‘? = (4đ?‘š) sin đ?œƒ = 4đ?‘š (

đ?œƒ 4đ?‘š

4

đ??´

Para aplicar las ecuaciones de equilibrio en el cuerpo libre, descomponemos đ?‘…đ??´đ?‘Œ , đ?‘…đ??´đ?‘‹ y đ??š1 en sus componentes rectangulares cuyas lĂ­neas de acciĂłn coinciden con la fuerza cortante đ?‘‰2 y la fuerza normal đ?‘ 2 , figuras 2-4k, 2-4l y 2-4m. -

Para đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 16.35đ?‘‡

đ?œƒ đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 16.35đ?‘‡

đ?‘…đ??´đ?‘Œđ?‘‹ = 16.35đ?‘‡ ( đ?‘…đ??´đ?‘Œđ?‘Œ

4

) = 10.2138đ?‘‡ √41 5 = 16.35đ?‘‡ ( ) = 12.7672đ?‘‡ √41

(k)

đ?œƒ đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 0.03125đ?‘‡

(l)

Para đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 0.03125đ?‘‡

5 đ?‘…đ??´đ?‘‹đ?‘‹ = 0.03125đ?‘‡ ( ) = 0.0244đ?‘‡ √41 4 đ?‘…đ??´đ?‘‹đ?‘Œ = 0.03125đ?‘‡ ( ) = 0.01952đ?‘‡ √41

192

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

đ??š1đ?‘‹ đ?œƒ

-

Para đ??š1 = 4đ?‘Ľ2

4 16 đ??š1đ?‘‹ = 4đ?‘Ľ2 ( )= đ?‘Ľ2 √41 √41 5 20 đ??š1đ?‘Œ = 4đ?‘Ľ2 ( )= đ?‘Ľ2 √41 √41

đ??š1đ?‘Œ

(m)

El equilibrio estĂĄtico del cuerpo libre implica lo siguiente: La suma de momentos en el punto del corte es nula. + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 

OpciĂłn 1.

Tomando momentos alrededor del punto del corte considerando los ejes pasan por tal punto, se puede despejar directamente đ?‘€2 .

que

−đ?‘€2 + đ?‘…đ??´đ?‘Œ (đ?‘Ž) + đ?‘…đ??´đ?‘‹ (4 + đ?‘?) − đ??š1đ?‘‹ (đ?‘“) − đ??š1đ?‘Œ (đ?‘’) = 0 5 4 16 2 −đ?‘€2 + 16.35 ( đ?‘Ľ2 ) + 0.03125 (4 + đ?‘Ľ2 ) − đ?‘Ľ2 ( đ?‘Ľ2 ) √41 √41 √41 √41 20 5 − đ?‘Ľ2 ( đ?‘Ľ2 ) = 0 ⇒ đ?‘€2 = −2đ?‘Ľ2 2 + 12.7867đ?‘Ľ2 + 0.125 2√41 √41 đ?‘†đ?‘– đ?‘Ľ2 = √41, đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œđ?‘›đ?‘?đ?‘’đ?‘ đ?‘€2 = 0, lo cual es correcto ya que el momento en una articulaciĂłn es nulo. 

OpciĂłn 2.

Tomando momentos alrededor del punto del corte considerando los ejes que pasan por tal punto, se puede despejar directamente đ?‘€2 . −đ?‘€2 + (đ?‘…đ??´đ?‘‹đ?‘Œ + đ?‘…đ??´đ?‘Œđ?‘Œ )(đ?‘? + đ?‘Ľ2 ) + (đ?‘…đ??´đ?‘‹đ?‘‹ − đ?‘…đ??´đ?‘Œđ?‘‹ )(đ?‘‘) − đ??š1 (đ?‘Ľ2 − đ?‘”) = 0 16 20 −đ?‘€2 + (0.01952 + 12.7672) ( + đ?‘Ľ2 ) + (0.0244 − 10.2138) ( ) √41 √41 đ?‘Ľ2 −4đ?‘Ľ2 ( ) = 0 ⇒ đ?‘€2 = −2đ?‘Ľ2 2 + 12.7867đ?‘Ľ2 + 0.125 2 La suma de fuerzas en la direcciĂłn del cortante es igual a cero. Por lo tanto,

193

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

+ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘‹đ?‘Œ + đ?‘…đ??´đ?‘Œđ?‘Œ − đ??š1 + đ?‘‰2 = 0 0.01952 + 12.7672 − 4đ?‘Ľ2 − đ?‘‰2 = 0 ⇒ đ?‘‰2 = 12.7867 − 4đ?‘Ľ2 o tambiĂŠn đ?‘‰2 =

đ?‘‘đ?‘€2 = 12.7867 − 4đ?‘Ľ2 đ?‘‘đ?‘Ľ2

La suma de fuerzas en la direcciĂłn de la normal es igual a cero. Por lo tanto, + ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Œđ?‘‹ − đ?‘…đ??´đ?‘‹đ?‘‹ + đ?‘ 2 = 0 ⇒ 10.2138 − 0.0244 + đ?‘ 2 = 0 ⇒ đ?‘ 2 = −10.1894

Miembro đ??¸ − đ??ˇ. Corte en el tramo đ??¸ − đ??ˇ. Se secciona la estructura perpendicularmente al eje del miembro en un punto arbitrario (intermedio en el segmento đ??¸ − đ??ˇ) a una distancia đ?‘Ľ3 de đ??¸; en la figura 2-4n se muestra un diagrama de cuerpo libre del segmento de estructura con longitud đ?‘Ľ3 . Por lo tanto, 0 ≤ đ?‘Ľ3 ≤ 4đ?‘š

+ ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ −đ?‘€3 + 3.96875đ?‘Ľ3 = 0

đ?‘ 3

đ?‘€3 = 3.96875đ?‘Ľ3 +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘‰3 − 3.96875 = 0 ⇒ đ?‘‰3 = 3.96875 đ?‘‰3

đ?‘€3

o tambiĂŠn:

đ?‘Ľ3

�3 =

đ??¸ đ?‘…đ??¸đ?‘‹ = 3.96875đ?‘‡

đ?‘‘đ?‘€3 = 3.96875 đ?‘‘đ?‘Ľ3

+↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ 18.65 + đ?‘ 3 = 0 ⇒ đ?‘ 3 = −18.65

đ?‘…đ??¸đ?‘Œ = 18.65đ?‘‡

(n)

194

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Miembro đ??ˇ − đ??ś. Corte en el tramo đ??ˇ − đ??ś. Se secciona la estructura perpendicularmente al eje del miembro en un punto arbitrario (intermedio en el segmento đ??ˇ − đ??ś) a una distancia đ?‘Ľ4 de đ??ˇ; el diagrama de cuerpo libre correspondiente a la porciĂłn derecha de la estructura que se origina al haber efectuado el corte es mostrado en la figura 2-4Ăą. 0 ≤ đ?‘Ľ4 ≤ √41đ?‘š đ?‘’=

đ?‘€4

5

2√41

đ?‘Ľ4

đ??š2đ?‘Œ =

15

√41

đ?‘Ľ4

đ?œƒ

đ?‘?=

đ?‘“=

4 √41

đ?‘Ľ4

2 √41

đ?‘Ľ4 đ??š2đ?‘‹ = đ?œƒ

12

√41

đ?‘Ľ4

đ??ˇ

4đ?‘š đ?œƒ đ??¸ đ?‘Ž=

5 √41

đ?‘…đ??¸đ?‘‹ = 3.96875đ?‘‡ đ?œƒ

đ?‘Ľ4 đ?œƒ

đ?‘…đ??¸đ?‘Œ = 18.65đ?‘‡

Nota: Tome en cuenta que el marco analizado es simĂŠtrico en cuanto a geometrĂ­a se refiere.

(Ăą)

La fuerza resultante de la carga distribuida uniforme es đ??š2 = (3đ?‘‡/đ?‘š)(đ?‘Ľ2 ) = 3đ?‘Ľ2 y su punto de aplicaciĂłn es đ?‘” = đ?‘Ľ4 /2. Tome en cuenta que el marco analizado es simĂŠtrico en cuanto a geometrĂ­a se refiere.

195

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Para aplicar las ecuaciones de equilibrio en el cuerpo libre, descomponemos đ?‘…đ??¸đ?‘Œ , đ?‘…đ??¸đ?‘‹ y đ??š2 en sus componentes rectangulares cuyas lĂ­neas de acciĂłn coinciden con la fuerza cortante đ?‘‰4 y la fuerza normal đ?‘ 4 , figuras 2-4o, 2-4p y 2-4q. - Para đ?‘…đ??¸đ?‘Œ = 18.65đ?‘‡ đ?œƒ

4 đ?‘…đ??¸đ?‘Œđ?‘‹ = 18.65đ?‘‡ ( ) = 11.6506đ?‘‡ √41 5 đ?‘…đ??¸đ?‘Œđ?‘Œ = 18.65đ?‘‡ ( ) = 14.5632đ?‘‡ √41

đ?‘…đ??¸đ?‘Œ = 18.65đ?‘‡

(o)

- Para đ?‘…đ??¸đ?‘‹ = 3.96875đ?‘‡

đ?‘…đ??¸đ?‘‹ = 3.96875đ?‘‡

5 đ?‘…đ??¸đ?‘‹đ?‘‹ = 3.96875đ?‘‡ ( ) = 3.099đ?‘‡ √41 4 đ?‘…đ??¸đ?‘‹đ?‘Œ = 3.96875đ?‘‡ ( ) = 2.4793đ?‘‡ √41

đ?œƒ

(p)

- Para đ??š2 = 3đ?‘Ľ4

đ??š2đ?‘‹ đ??š2đ?‘Œ

12 )= đ?‘Ľ4 √41 √41 5 15 = 3đ?‘Ľ4 ( )= đ?‘Ľ4 √41 √41

đ??š2đ?‘‹ = 3đ?‘Ľ4 (

đ?œƒ

(q)

đ??š2đ?‘Œ

4

El equilibrio estĂĄtico del cuerpo libre implica que đ?‘Ľ4 + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ đ?‘€4 + đ??š2 ( ) (đ?‘…đ??¸đ?‘‹đ?‘‹ + đ?‘…đ??¸đ?‘Œđ?‘‹ )(đ?‘‘) + (đ?‘…đ??¸đ?‘‹đ?‘Œ − đ?‘…đ??¸đ?‘Œđ?‘Œ )(đ?‘Ľ4 + đ?‘?) = 0 2 đ?‘Ľ4 20 16 đ?‘€4 + 3đ?‘Ľ4 ( ) + (3.099 + 11.6506) ( ) + (2.4793 − 14.5632) ( + đ?‘Ľ4 ) = 0 2 √41 √41

đ?‘€4 = −1.5đ?‘Ľ4 2 + 12.0839đ?‘Ľ4 − 15.875 đ?‘†đ?‘– đ?‘Ľ4 = √41, đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œđ?‘›đ?‘?đ?‘’đ?‘ đ?‘€4 = 0, lo cual es correcto ya que el momento en una articulaciĂłn es nulo. Cuando se corta sobre la superficie derecha, el cortante es igual a la derivada negativa del momento. En consecuencia, 196

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

đ?‘‰4 = −

đ?‘‘đ?‘€4 = 3đ?‘Ľ4 − 12.0839 đ?‘‘đ?‘Ľ4

La suma de fuerzas en la direcciĂłn de la normal es igual a cero. AsĂ­ que, + ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘…đ??¸đ?‘‹đ?‘‹ + đ?‘…đ??¸đ?‘Œđ?‘‹ + đ?‘ 4 = 0 ⇒ 3.099 + 11.6506 + đ?‘ 4 = 0 ⇒ đ?‘ 4 = −14.7496

Diagramas de fuerza cortante, de momento flector y de fuerza normal Las funciones deducidas se evalúan y luego se grafican los datos, así como se hizo para las vigas. Diagrama de fuerza cortante, figura 2-4r. �(�) �(�)

đ??ś

4

đ??ˇ

3.969 (+)

0.031 (+)

đ??ľ

đ??´

4 đ??¸

5

5

đ?‘ đ?‘œđ?‘Ąđ?‘Ž: đ?‘ đ?‘œ đ?‘Ž đ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘Žđ?‘™đ?‘Ž

(r)

La posiciĂłn donde el cortante es igual a cero, es decir, donde se ubica el momento mĂĄximo, es 0 = 12.7867 − 4đ?‘Ľ2 ∴ đ?‘Ľ2đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ = 3.19668đ?‘š − − − đ?‘€đ?‘–đ?‘’đ?‘šđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œ đ??ľ − đ??ś 0 = 3đ?‘Ľ4 − 12.0839 ∴ đ?‘Ľ4đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ = 4.02797đ?‘š − − − đ?‘€đ?‘–đ?‘’đ?‘šđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œ đ??ˇ − đ??ś Diagrama de momento flexionante, figura 2-4s. ObsĂŠrvese que el momento es nulo en la articulaciĂłn đ??ś y en otro punto intermedio al Miembro đ??ˇ − đ??ś. Para hallar su posiciĂłn hacemos

197

CAPÍTULO 2

ANÁLISIS DE MARCOS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS

0 = −1.5𝑥4 2 + 12.0839𝑥4 − 15.875 ⇒ 𝑥4,1 = 1.65285𝑚; 𝑥4,2 = 6.4031𝑚 Por otra parte, el momento máximo es 𝑀2𝑚𝑎𝑥 = −2(3.19668)2 + 12.7867(3.19668) + 0.125 = 20.56246𝑇. 𝑚 − − − 𝑀𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜 𝐵 − 𝐶

𝑀4𝑚𝑎𝑥 = −1.5(4.02797)2 + 12.0839(4.02797) − 15.875 = 8.46177𝑇. 𝑚 − − − 𝑀𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜 𝐷 − 𝐶 − − −𝑀𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜 𝐵 − 𝐶

𝑀(𝑇. 𝑚) 𝑑(𝑚)

𝐶

0.125

4

𝐵

𝐴 5

(+)

15.875

(+)

𝐷 4

𝐸

5

𝑁𝑜𝑡𝑎: 𝑁𝑜 𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎

(s)

Diagrama de fuerza normal, figura 2-4t.

𝑁(𝑇)

𝑑(𝑚)

𝐶

4

(−)

16.35

(−)

𝐴

18.65

𝐷

𝐵

4

𝐸 5

5

(t) 198

𝑁𝑜𝑡𝑎: 𝑁𝑜 𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Ejercicio 2.5 Dibuje los diagramas de fuerza cortante, de fuerza normal y de momento flexionante del marco visualizado en la figura 2-5a. 12�

10đ?‘‡ đ??ľ

đ??ś

(a)

5đ?‘š

Figura 2-5 đ??´

đ??ˇ

2đ?‘š

2đ?‘š

2đ?‘š

5đ?‘š

3đ?‘š

SOLUCIĂ“N CĂĄlculo de las reacciones en los soportes Diagrama de cargas. Se muestra en la figura 2-5b.

12đ?‘‡ đ??š1đ?‘Œ =

32 41 � 41 10�

đ??ľ

đ??š1đ?‘‹ =

40 41 � 41

đ??ś

đ?œƒ2

đ?œƒ2

đ??´1đ?‘Œ =

25 � 2

đ?œƒ4 đ?œƒ4đ??´1đ?‘‹ =

đ?œƒ1

đ?œƒ3

đ?‘Ž = 2.5đ?‘š đ?‘…đ??´đ?‘‹

đ??´

đ?‘…đ??´đ?‘Œ

đ?œƒ1

2đ?‘š

đ?œƒ3

2đ?‘š

2đ?‘š

đ??ˇ

5đ?‘š

3đ?‘š

đ?‘…đ??ˇđ?‘Œ

đ?‘Œ

10 đ?‘‘= đ?‘š 3

đ?‘‹

(b) 199

25 � 2

5đ?‘š 5 đ?‘?= đ?‘š 3

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

La longitud del miembro đ??´ − đ??ľ es đ??żđ??´đ??ľ = √(4đ?‘š)2 + (5đ?‘š)2 = 41đ?‘š En consecuencia, đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œƒ2 = 4â „ 4đ?‘š 41đ?‘š

=

đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œƒ2 = 5â „

41

(2đ?‘š)( 41đ?‘š) 2đ?‘š 41 â&#x;šđ?‘?= = đ?‘š đ?‘? 4đ?‘š 2

41

(5đ?‘š)(2đ?‘š) 4đ?‘š 2đ?‘š = â&#x;šđ?‘Ž= = 2.5đ?‘š 5đ?‘š đ?‘Ž 4đ?‘š

La longitud del miembro đ??ˇ − đ??ś es đ??żđ??ˇđ??ś = √(5đ?‘š)2 + (5đ?‘š)2 = 5 2đ?‘š Por lo tanto, đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œƒ4 = 5â „ = 1â „ 5 2 2

đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œƒ4 = 5â „ = 1â „ 5 2 2

đ?œƒ3 = đ?œƒ4

Con base en la figura 2-5c, las componentes rectangulares de la carga puntual de 8đ?‘‡ para el plano đ?‘‹ − đ?‘Œ son

(c)

đ??š1đ?‘Œ ⇒ đ??š1đ?‘Œ = đ??š1 sin đ?œƒ2 = 8đ?‘‡ ( đ??š1 đ??š1đ?‘‹ cos đ?œƒ2 = ⇒ đ??š1đ?‘‹ = đ??š1 cos đ?œƒ2 = 8đ?‘‡ ( đ??š1 sin đ?œƒ2 =

đ??š1đ?‘Œ đ?œƒ2 đ??š1đ?‘‹

4

32 41 � 41 41 5 40 41 )= � 41 41 )=

A continuaciĂłn se efectĂşa un anĂĄlisis de la carga con variaciĂłn lineal. La carga concentrada equivalente es đ??´1 =

(5 2�)(5�/�) 25 2 = � 2 2

y su punto de aplicaciĂłn se localiza a una distancia de đ?‘ĽĚ…1 =

1 5 (5 2đ?‘š) = 2đ?‘š 3 3

A partir de la figura 2-5d, las componentes rectangulares de la resultante đ??´1 son

(d)

sin đ?œƒ4 =

đ??´1đ?‘Œ 25 2 1 25 ⇒ đ??´1đ?‘Œ = đ??´1 sin đ?œƒ4 = đ?‘‡( ) = đ?‘‡ đ??´1 2 2 2

cos đ?œƒ4 =

đ??´1đ?‘‹ 25 2 1 25 ⇒ đ??´1đ?‘‹ = đ??´1 cos đ?œƒ4 = đ?‘‡( ) = đ?‘‡ đ??´1 2 2 2

đ??´1đ?‘Œ đ?œƒ4 đ??´1đ?‘‹

200

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Las distancias đ?‘? y đ?‘‘ pueden ser deducidas por trigonometrĂ­a como sigue: 5đ?‘š 5 2đ?‘š

=

đ?‘? 5 3 2đ?‘š

đ?‘‘ = √[(5 2đ?‘š) − (

â&#x;šđ?‘?=

5 5đ?‘š (3 2đ?‘š) 5 2đ?‘š

=

5 đ?‘š 3

2 2 5 5 10 2đ?‘š)] − (5đ?‘š − đ?‘š) = đ?‘š 3 3 3

Ecuaciones de equilibrio. 40 41 32 41 25 10 + ∑ đ?‘€đ??´ = 0 ⇒ ( ) (2.5) + ( ) (2) + (12)(6) − (10)(5) + ( ) (9 + ) 41 41 2 3 −(

25 5 ) ( ) − (đ?‘…đ??ˇđ?‘Œ )(14) = 0 ⇒ đ?‘…đ??ˇđ?‘Œ = 12.9247 ⇒∴ đ?‘…đ??ˇđ?‘Œ = 12.9247đ?‘‡ 2 3

+→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘‹ +

40 41 25 − 10 − = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 16.253 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 16.253đ?‘‡ 41 2

↑ + ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Œ −

32 41 25 − 12 − + 12.9247 = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 16.5729 41 2 ∴ đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 16.5729đ?‘‡

Como comprobaciĂłn, se debe cumplir que la suma de momentos respecto de đ??ˇ es nula. 25 5 25 10 32 41 + ∑ đ?‘€đ??ˇ = − ( ) ( ) − ( ) (5 − ) − (10)(5) − (12)(8) − ( ) (12) 2 3 2 3 41 +(

40 41 ) (2.5) + (16.5729)(14) ≈ 0 đ?‘œđ?‘˜ 41

Funciones de la fuerza cortante, de la fuerza normal y del momento flector Los resultados obtenidos se muestran en el diagrama de la figura 2-5e. En el marco se pueden distinguir cinco regiones distintas. En el miembro đ??´ − đ??ľ, un primer tramo va desde đ??´ hasta el punto de aplicaciĂłn de la carga puntual de 8đ?‘‡ y un segundo tramo serĂ­a la parte restante del miembro. Un tercer y cuarto tramo se observan por inspecciĂłn en el miembro đ??ľ − đ??ś debido a la aplicaciĂłn de la carga puntual de 12đ?‘‡. En el miembro đ??ś − đ??ˇ no hay variaciĂłn en la distribuciĂłn de la carga, por lo que toda su longitud comprenderĂ­a el quinto tramo. Para obtener funciones que definan la variaciĂłn de las acciones internas es necesario cortar la estructura a travĂŠs de secciones arbitrarias en los tramos mencionados. 201

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

A diferencia de los marcos resueltos anteriormente, en los que se habĂ­a establecido una coordenada đ?‘Ľ por miembro, esta vez se opta por definir una coordenada đ?‘Ľ para cada tramo distinto, lo cual tambiĂŠn es vĂĄlido. En la figura pueden notarse claramente la forma en las que han sido definidas las coordenadas đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 , đ?‘Ľ4 y đ?‘Ľ5 , las cuales cubren perfectamente cada una de las regiones de la estructura.

12�

(e)

đ??š1đ?‘Œ =

32 41 � 41 10�

đ??ľ đ??š1đ?‘‹ =

40 41 đ?‘‡ đ?œƒ2 41

đ?‘Ľ3

đ?‘Ľ4

đ?œƒ2

đ??´1đ?‘Œ =

đ??ś

25 � 2

đ?œƒ4 đ?œƒ4đ??´1đ?‘‹ =

đ?œƒ1 đ?‘Ž = 2.5đ?‘š đ?œƒ2

đ??´

đ?œƒ3 đ?œƒ3

đ?œƒ1

25 � 2

5đ?‘š

đ??ˇ

5 đ?‘?= đ?‘š 3

đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 16.253đ?‘‡

đ?œƒ3 đ?‘…đ??ˇđ?‘Œ = 12.9247đ?‘‡

đ?œƒ2 2đ?‘š

2đ?‘š

3đ?‘š

2đ?‘š

đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 16.5729đ?‘‡

5đ?‘š 10 đ?‘‘= đ?‘š 3

Con base en las figuras 2-5f, 2-5g y 2-5h, se calculan las componentes rectangulares de las reacciones en los apoyos que serĂĄn Ăştiles al efectuar el equilibrio en algunos diagramas de cuerpo libre originados al cortar la estructura. Para đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 16.253đ?‘‡

-

(f)

đ?œƒ2 đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 16.253đ?‘‡

sin đ?œƒ2 =

đ?‘…đ??´đ?‘‹đ?‘Œ 4 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘‹đ?‘Œ = đ?‘…đ??´đ?‘‹ sin đ?œƒ2 = 16.253đ?‘‡ ( ) = 10.1532đ?‘‡ đ?‘…đ??´đ?‘‹ 41

cos đ?œƒ2 =

đ?‘…đ??´đ?‘‹đ?‘‹ 5 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘‹đ?‘‹ = đ?‘…đ??´đ?‘‹ cos đ?œƒ2 = 16.253đ?‘‡ ( ) = 12.6915đ?‘‡ đ?‘…đ??´đ?‘‹ 41

Para đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 16.5729đ?‘‡

(g)

đ?œƒ2

đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 16.5729đ?‘‡

sin đ?œƒ2 =

đ?‘…đ??´đ?‘Œđ?‘‹ 4 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Œđ?‘‹ = đ?‘…đ??´đ?‘Œ sin đ?œƒ2 = 16.5729đ?‘‡ ( ) = 10.353đ?‘‡ đ?‘…đ??´đ?‘Œ 41

cos đ?œƒ2 =

đ?‘…đ??´đ?‘Œđ?‘Œ 5 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Œđ?‘Œ = đ?‘…đ??´đ?‘Œ cos đ?œƒ2 = 16.5729đ?‘‡ ( ) = 12.9413đ?‘‡ đ?‘…đ??´đ?‘Œ 41

202

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Para đ?‘…đ??ˇđ?‘Œ = 12.9247đ?‘‡

(h)

đ?œƒ3

đ?‘…đ??ˇđ?‘Œ = 12.9247đ?‘‡

sin đ?œƒ3 =

đ?‘…đ??ˇđ?‘Œđ?‘Œ 1 ⇒ đ?‘…đ??ˇđ?‘Œđ?‘Œ = đ?‘…đ??ˇđ?‘Œ sin đ?œƒ3 = 12.9247đ?‘‡ ( ) = 9.13914đ?‘‡ đ?‘…đ??ˇđ?‘Œ 2

cos đ?œƒ3 =

đ?‘…đ??ˇđ?‘Œđ?‘‹ 1 ⇒ đ?‘…đ??ˇđ?‘Œđ?‘‹ = đ?‘…đ??ˇđ?‘Œ cos đ?œƒ3 = 12.9247đ?‘‡ ( ) = 9.13914đ?‘‡ đ?‘…đ??ˇđ?‘Œ 2 Miembro đ??´ − đ??ľ.

Corte en el tramo â‘ . Se secciona la estructura perpendicularmente al eje del miembro a una distancia đ?‘Ľ1 de đ??´, antes del punto donde se encuentra aplicada la carga puntual de 8đ?‘‡; el diagrama de cuerpo libre de la secciĂłn cortada, figura 2-5i, con su anĂĄlisis son 0 ≤ đ?‘Ľ1 ≤

41 đ?‘š 2 đ?‘€1

(i)

đ?œƒ2

đ??´

đ?œƒ1

đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 16.253đ?‘‡

đ?œƒ2 đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 16.5729đ?‘‡

+ ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ 10.353(đ?‘Ľ1 ) − 12.6915(đ?‘Ľ1 ) − đ?‘€1 = 0 ⇒ đ?‘€1 = −2.3385đ?‘Ľ1 đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ1 =

41 đ?‘š, đ?‘€1 = −7.48685đ?‘‡. đ?‘š 2

+ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ 12.6915 − 10.353 + đ?‘‰1 = 0 ⇒ đ?‘‰1 = −2.3385 + ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ 10.1532 + 12.9413 + đ?‘ 1 = 0 ⇒ đ?‘ 1 = −23.0945 Corte en el tramo â‘Ą. Se secciona al marco perpendicularmente al eje del miembro a una distancia đ?‘Ľ2 del punto de aplicaciĂłn de la carga puntual de 8đ?‘‡; en la figura 2-5j se muestra el diagrama de cuerpo libre de la porciĂłn inferior de la estructura para definir las acciones internas. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio, se tiene 203

CAPÍTULO 2

ANÁLISIS DE MARCOS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS

0 ≤ 𝑥2 ≤

41 𝑚 2 𝑀2

(j) 𝜃2

𝐴

𝜃1

𝑅𝐴𝑋 = 16.253𝑇

𝜃2 𝑅𝐴𝑌 = 16.5729𝑇

41 + 𝑥2 ) − 8(𝑥2 ) − 𝑀2 = 0 2 𝑀2 = −10.3385𝑥2 − 7.48685 41 𝑒𝑛 𝑥2 = 0, 𝑀2 = −7.48685𝑇. 𝑚; 𝑒𝑛 𝑥2 = 𝑚, 𝑀2 = −40.5862𝑇. 𝑚 2 + ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 ⇒ (10.353 − 12.6915) (

+ ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒ 12.6915 − 10.353 + 8 + 𝑉2 = 0 ⟹ 𝑉2 = −10.3385 + ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒ 𝑁2 = −23.0945 Miembro 𝐵 − 𝐶. Corte en el tramo ③. Se representa el diagrama de cuerpo libre correspondiente a 0 ≤ 𝑥3 ≤ 2𝑚 𝐹1𝑌 =

32 41 𝑇 41

𝑀3

𝑁3

𝐵 𝐹1𝑋 =

40 41 𝑇 41

2.5𝑚

𝜃2

𝜃2

𝑉3

𝜃1 2.5𝑚 𝐴

𝜃1

𝑅𝐴𝑋 = 16.253𝑇

𝑅𝐴𝑌

2𝑚 2𝑚 = 16.5729𝑇

𝑥3

204

5𝑚

(k)

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

la porciĂłn izquierda de la estructura que se produce al cortarla (perpendicularmente al eje del miembro) en algĂşn sitio intermedio del tramo comprendido desde đ??ľ hasta el punto de ubicaciĂłn de la fuerza de 12đ?‘‡, figura 2-5k. Por lo tanto, + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 40 41 32 41 (16.5729)(4 + đ?‘Ľ3 ) − 16.253(5) − ( ) (2.5) − ( ) (2 + đ?‘Ľ3 ) − đ?‘€3 = 0 41 41 đ?‘€3 = 11.5753đ?‘Ľ3 − 40.5859 đ?‘Ľ3 = 0, đ?‘€3 = −40.5859đ?‘‡. đ?‘š; đ?‘Ľ3 = 2đ?‘š, đ?‘€3 = −17.4352đ?‘‡. đ?‘š 32 41 − đ?‘‰3 = 0 â&#x;š đ?‘‰3 = 11.5753 41 40 41 +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 â&#x;š 16.253 + + đ?‘ 3 = 0 â&#x;š đ?‘ 3 = −22.5 41

+↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 â&#x;š 16.5729 −

Corte en el tramo 4 . Se secciona al marco perpendicularmente al eje del miembro a una distancia đ?‘Ľ4 del punto donde estĂĄ aplicada la fuerza de 12đ?‘‡; en la figura 2-5l se muestra el diagrama de cuerpo libre de la porciĂłn izquierda de la estructura. El equilibrio estĂĄtico del cuerpo libre implica que 0 ≤ đ?‘Ľ4 ≤ 3đ?‘š đ??š1đ?‘Œ =

12�

32 41 � 41

đ?‘€4

đ?‘ 4

đ??ľ đ??š1đ?‘‹ =

40 41 � 41

2.5đ?‘š

đ?œƒ2

đ?œƒ2

�4

đ?œƒ1

5đ?‘š

(l)

2.5đ?‘š

đ??´

đ?œƒ1

đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 16.253đ?‘‡

đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 16.5729đ?‘‡

2đ?‘š

2đ?‘š

2đ?‘š

đ?‘Ľ4

+ ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 16.5729(6 + đ?‘Ľ4 ) − 16.253(5) −

40 41 32 41 (2.5) − (4 + đ?‘Ľ4 ) − 12(đ?‘Ľ4 ) − đ?‘€4 = 0 41 41

đ?‘€4 = −0.42466đ?‘Ľ4 − 17.4352 đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ4 = 0, đ?‘€4 = −17.4352đ?‘‡. đ?‘š; đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ4 = 3đ?‘š, đ?‘€4 = −18.7092đ?‘‡. đ?‘š

205

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

+↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ 16.5729 −

32 41 − 12 − đ?‘‰4 = 0 â&#x;š đ?‘‰4 = −0.42466 41

+→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘ 4 = −22.5 Miembro đ??ˇ − đ??ś. Corte en el tramo 5 . Se secciona la estructura perpendicularmente al eje del miembro en un punto arbitrario (intermedio en el segmento đ??ˇ − đ??ś) a una distancia đ?‘Ľ5 de đ??ˇ; en la figura 2-5m se muestra un diagrama de cuerpo libre del segmento de estructura con longitud đ?‘Ľ5 . 0 ≤ đ?‘Ľ5 ≤ 5 2đ?‘š

đ?‘€5

(m) đ?œƒ3

đ??ˇ

đ?œƒ3 đ?‘…đ??ˇđ?‘Œ = 12.9247đ?‘‡

Se procede a realizar un anĂĄlisis de la carga trapezoidal. El siguiente esquema, figura 2-5n, en el que se ha rotado el miembro đ??ˇ − đ??ś, es Ăştil para determinar el valor en funciĂłn de đ?‘Ľ3 de la intensidad đ?‘Š3 . Aplicando triĂĄngulos semejantes se tiene 5đ?‘‡/đ?‘š đ?‘Š´

(n)

5�/�

đ?‘Š´

đ??ś

đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ 7.07107đ?‘š − đ?‘Ľ5

đ??ˇ đ?‘Ľ5

5 2đ?‘š = 7.07107đ?‘š

5 đ?‘Š´ 5(7.07107 − đ?‘Ľ5 ) = â&#x;š đ?‘Š´ = = 5 − 0.707107đ?‘Ľ5 7.07107 7.07107 − đ?‘Ľ5 7.07107 206

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

A partir de la figura 2-5Ăą se determina el ĂĄrea đ??´đ??ź bajo la recta que representa la fuerza resultante. Esta fuerza actĂşa a travĂŠs del centroide de su ĂĄrea đ?‘ĽĚ…đ??ź . 5đ?‘‡/đ?‘š 0.707107đ?‘Ľ5

(Ăą)

2

đ?‘Š´

5đ?‘‡/đ?‘š − 0.707107đ?‘Ľ5

5�/� 1

đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’

đ??ˇ đ?‘Ľ5

đ??´đ??ź = đ??´1 + đ??´2 = (đ?‘Ľ5 )(5 − 0.707107đ?‘Ľ5 ) +

(đ?‘Ľ5 )(0.707107đ?‘Ľ5 ) 2

= (5đ?‘Ľ5 − 0.707107đ?‘Ľ5 2 ) + (0.353554đ?‘Ľ5 2 ) = 5đ?‘Ľ5 − 0.353554đ?‘Ľ5 2 1 1 2 2 ∑ đ?‘ĽĚ… đ??´ (5đ?‘Ľ5 − 0.707107đ?‘Ľ5 ) (2 đ?‘Ľ5 ) + (0.353554đ?‘Ľ5 ) (3 đ?‘Ľ5 ) 2.5đ?‘Ľ5 2 − 0.235702đ?‘Ľ5 3 đ?‘ĽĚ…đ??ź = = = ∑đ??´ 5đ?‘Ľ5 − 0.353554đ?‘Ľ5 2 5đ?‘Ľ5 − 0.353554đ?‘Ľ5 2 Si se aplican las ecuaciones de equilibrio en el diagrama de cuerpo libre, resulta + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 −9.13914đ?‘Ľ5 + (5đ?‘Ľ5 − 0.353554đ?‘Ľ5

2)

2.5đ?‘Ľ5 2 − 0.235702đ?‘Ľ5 3 (đ?‘Ľ5 − ) − đ?‘€5 = 0 5đ?‘Ľ5 − 0.353554đ?‘Ľ5 2

đ?‘€5 = −0.117851đ?‘Ľ5 3 + 2.5đ?‘Ľ5 2 − 9.13914đ?‘Ľ5 đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ5 = 5 2đ?‘š, đ?‘€5 = 18.7098đ?‘‡. đ?‘š + ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ 9.13914 − (5đ?‘Ľ5 − 0.353554đ?‘Ľ5 2 ) + đ?‘‰5 = 0 đ?‘‰5 = −0.353554đ?‘Ľ5 2 + 5đ?‘Ľ5 − 9.13914 + ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘ 5 + 9.13914 = 0 ⇒ đ?‘ 5 = −9.13914 Diagramas de fuerza cortante, de momento flector y de fuerza normal Diagrama de fuerza cortante, figura 2-5o. Para encontrar la posiciĂłn del cortante igual a cero en el miembro đ??ˇ − đ??ś, es decir, donde el momento es mĂĄximo, hacemos 0 = −0.353554đ?‘Ľ5 2 + 5đ?‘Ľ5 − 9.13914 207

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Al resolver la ecuaciĂłn de segundo grado resulta đ?‘Ľ5 =

−5 Âą √(5)2 − 4(−0.353554)(−9.13914) â&#x;š đ?‘Ľ5,1 = 2.15674; đ?‘Ľ5,2 = 11.9854 2(−0.353554)

Como la soluciĂłn debe de estar dentro del intervalo real del miembro [0,5 2đ?‘š], se infiere que đ?‘Ľ5đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ = 2.15674đ?‘š. 11.5753

�(�) �(�)

(+) đ??ś

đ??ľ

(−) 0.4247 5

(o) đ?‘?đ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘Łđ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘ đ?‘’đ?‘”đ?‘˘đ?‘›đ?‘‘đ?‘œ đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ

đ??´

đ??ˇ

đ?‘ đ?‘œđ?‘Ąđ?‘Ž: đ?‘ đ?‘œ đ?‘Ž đ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘Žđ?‘™đ?‘Ž 2

2

2

5

3

Diagrama de momento flexionante, figura 2-5p. �(�) �(�)

đ??ś

đ??ľ

(−)

18.7092

17.4352

40.586

(p)

5

đ??´

đ??ˇ

2

2

2

3

5

đ?‘?đ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘Łđ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘Ąđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x; đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘ đ?‘œđ?‘Ąđ?‘Ž: đ?‘ đ?‘œ đ?‘Ž đ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘Žđ?‘™đ?‘Ž

Un valor mĂĄximo del momento en el miembro đ??ˇ − đ??ś puede ser hallado sustituyendo đ?‘Ľ5 = đ?‘Ľ5đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ en la ecuaciĂłn de đ?‘€5 . đ?‘€5đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ1 = −0.117851(2.15674)3 + 2.5(2.15674)2 − 9.13914(2.15674) = −9.26423đ?‘‡. đ?‘š El otro momento mĂĄximo se determina evaluando đ?‘€5 en el extremo đ?‘Ľ5 = 5 2đ?‘š. 208

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS 3

2

đ?‘€5đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ2 = −0.117851(5 2) + 2.5(5 2) − 9.13914(5 2) = 18.7099đ?‘‡. đ?‘š La posiciĂłn del momento igual a cero en este mismo miembro puede hallarse al hacer 0 = −0.117851đ?‘Ľ5 3 + 2.5đ?‘Ľ5 2 − 9.13914đ?‘Ľ5 Como el momento nulo debe estar posicionado en el intervalo real del miembro [0,5 2đ?‘š], se cumple que una de las tres raĂ­ces estĂŠ dentro del rango de valores citado; tal raĂ­z puede ser calculada aplicando el mĂŠtodo de tanteos. Para ello, evaluamos el polinomio đ?‘“(đ?‘Ľ) = −0.117851đ?‘Ľ5 3 + 2.5đ?‘Ľ5 2 − 9.13914đ?‘Ľ5 en el intervalo mencionado y en donde haya un cambio de signo tenemos una soluciĂłn; iteramos “nâ€? veces hasta que nuestra soluciĂłn sea exacta o lo mĂĄs exacta posible (cuando đ?‘“(đ?‘Ľ) = 0 o đ?‘“(đ?‘Ľ)~0). Los resultados obtenidos se visualizan en la tabla 2-2.

Tabla 2-2 ∴ đ?‘Ľ5,1 = 4.695đ?‘š Evidentemente el momento tambiĂŠn es cero en đ?‘Ľ5,2 = 0, es decir, en el punto đ??ˇ. Diagrama de fuerza normal, figura 2-5q.

đ??ľ

đ?‘ (đ?‘‡) đ?‘‘(đ?‘š)

đ??ś (−) 22.5

(q)

5

đ??´

đ??ˇ đ?‘ đ?‘œđ?‘Ąđ?‘Ž: đ?‘ đ?‘œ đ?‘Ž đ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘Žđ?‘™đ?‘Ž 4

5

209

5

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

2.3 MÉTODO DEL PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL Ejercicio 2.6 Deduzca las expresiones algebraicas que describen la variaciĂłn de los elementos mecĂĄnicos en cada miembro del marco que se muestra en la figura 2-6a. AdemĂĄs, determine el desplazamiento vertical y la rotaciĂłn tomando en cuenta sĂłlo las deformaciones debidas a la flexiĂłn, ambos en el punto đ??ľ. Considere que đ??¸đ??ź es constante para los tres miembros. 6đ?‘‡/đ?‘š 4đ?‘‡/đ?‘š đ??´

đ??ľ

đ??¸ đ?œƒ1

3đ?‘š 2đ?œƒ

2đ?‘š đ??ˇ

40°

2

2đ?‘š

1

(a)

3đ?‘š

Figura 2-6

đ??ś

4đ?‘š

2đ?‘š

6đ?‘š

SOLUCIĂ“N CĂĄlculo de las reacciones en los soportes Diagrama de cargas. Con base en el esquema representado en la figura 2-6b se determinan el ĂĄngulo đ?œƒ1 y las distancias đ?‘Ž y đ?‘?. đ??¸ đ??š1đ?‘Œ đ?œƒ đ?œƒ1 1 40°

đ?œƒ1 = tan−1 đ??š1đ?‘‹

7đ?‘š

3đ?‘š đ??ś

đ?‘Ž 2đ?‘š

(b)

210

2 = 15.9454° 7

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

2� � 2(3) = ⇒�= = 0.857143� 7� 3� 7

đ?‘? = √(0.857143đ?‘š)2 + (3đ?‘š)2 = 3.12đ?‘š

La fuerza de 10đ?‘‡ se resuelve en sus componentes đ?‘‹ y đ?‘Œ, figura 2-6c. đ?›˝ = 40° + đ?œƒ1 = 40° + 15.9454° = 55.9454° đ??š1đ?‘‹ đ??š1đ?‘Œ

sin đ?›˝ =

đ??šđ??źđ?‘‹ ⇒ đ??š1đ?‘‹ = 10đ?‘‡(sin 55.9454°) = 8.28504đ?‘‡ đ??š1

cos đ?›˝ =

đ??šđ??źđ?‘Œ ⇒ đ??š1đ?‘Œ = 10đ?‘‡(cos 55.9454°) = 5.59983đ?‘‡ đ??š1

đ?›˝

(c)

Los sentidos de las fuerzas reactivas de los apoyos se suponen arbitrariamente. ObsĂŠrvese que el apoyo inclinado en A es libre, por lo que la reacciĂłn đ?‘…đ??´ es perpendicular al plano en que puede deslizarse dicho soporte, figura 2-6d. A partir de la figura 2-6e, se resuelve đ?‘…đ??´ en sus componentes rectangulares.

ℎ1 = √12 + 22 = √5

Plano de

đ?œƒ2

deslizamiento del

2

đ?œƒ2

sin đ?œƒ2 = 1â „ √5

soporte

cos đ?œƒ2 = 2â „ √5

1

(d) đ?‘…đ??´đ?‘‹

đ?‘…đ??´đ?‘Œ

đ?œƒ2

sin đ?œƒ2 =

1 đ?‘…đ??´đ?‘Œ â „đ?‘… ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Œ = đ?‘…đ??´ đ??´ √5

cos đ?œƒ2 =

2 đ?‘…đ??´đ?‘‹ â „đ?‘… ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘‹ = đ?‘…đ??´ đ??´ √5

(e)

Las cargas concentradas equivalentes đ??´đ?‘– de las cargas distribuidas uniformemente y sus puntos de aplicaciĂłn đ?‘ĽĚ…đ?‘– son -

Para �1 = 4�/�

đ??´1 = (4đ?‘‡/đ?‘š)(6đ?‘š) = 24đ?‘‡ -

1 đ?‘ĽĚ…1 = (6đ?‘š) = 3đ?‘š 2

Para �2 = 6�/�

đ??´2 = (6đ?‘‡/đ?‘š)(6đ?‘š) = 36đ?‘‡ 211

đ?‘ĽĚ…2 =

1 (6đ?‘š) = 3đ?‘š 2

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

En la figura 2-6f se visualiza el diagrama de cargas de la estructura.

đ??´1 = 24đ?‘‡

đ??´2 = 36đ?‘‡ đ?‘Ľ2 = 3đ?‘š 6đ?‘‡/đ?‘š

đ?‘ĽĚ…1 = 3đ?‘š đ?‘…đ??´đ?‘‹ =

2

√5

4�/�

đ?‘…đ??´

đ??ľ 3đ?‘š

2đ?œƒ

2

đ?‘…đ??´đ?‘Œ =

1

1 √5

đ?‘…đ??´

đ??š1đ?‘Œ = 5.59983đ?‘‡

đ??´

đ?œƒ2

đ??¸

đ?œƒ3

2đ?‘š

đ?œƒ1 đ?œƒ1 40°

đ??ˇ 2đ?‘š đ??š1đ?‘‹ = 8.28504đ?‘‡ 3đ?‘š

đ?‘…đ??śđ?‘‹

đ??ś

4đ?‘š

2đ?‘š

6đ?‘š

đ?‘Ž đ?‘…đ??śđ?‘Œ

(f)

Ecuaciones de equilibrio. Al haber descompuesto đ?‘…đ??´ en sus componentes rectangulares đ?‘‹ y đ?‘Œ, y al sumar los momentos alrededor de đ??ś se obtiene una soluciĂłn directa para đ?‘…đ??´ . Con este resultado es posible obtener đ?‘…đ??śđ?‘‹ y đ?‘…đ??śđ?‘Œ . + ∑ đ?‘€đ??ś = 0 ⇒ (

2

1 đ?‘…đ??´ ) (7) + ( đ?‘…đ??´ ) (4) − 24(1) + 36(5) + 5.59983(0.857143) √5 √5

−8.28504(3) = 0 ⇒ đ?‘…đ??´ = −

đ?‘…đ??´đ?‘Œ = đ?‘…đ??´đ?‘‹ =

1 √5 2 √5

135.9447 18√5 5

= −16.8879 ⇒∴ đ?‘…đ??´ = 16.8879đ?‘‡

(−16.8879) = −7.5525 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 7.5525đ?‘‡ (−16.8879) = −15.105 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 15.105đ?‘‡

212

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Los sentidos que se propusieron para đ?‘…đ??´ y sus componentes đ?‘…đ??´đ?‘Œ y đ?‘…đ??´đ?‘‹ tuvieron que invertirse ya que se obtuvieron magnitudes negativas en ellas. Para las siguientes dos ecuaciones deben usarse los sentidos correctos. +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ −15.105 − 8.28504 + đ?‘…đ??śđ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘…đ??śđ?‘‹ = 23.39 ⇒∴ đ?‘…đ??śđ?‘‹ = 23.39đ?‘‡ ↑ + ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ −7.5525 − 24 − 36 − 5.59983 + đ?‘…đ??śđ?‘Œ = 0 đ?‘…đ??śđ?‘Œ = 73.1523 ⇒∴ đ?‘…đ??śđ?‘Œ = 73.1523đ?‘‡ Como comprobaciĂłn, se tiene que + ∑ đ?‘€đ??´ = 0 24(3) + 5.59983(4.857143) + 8.28504(4) + 36(9) − 23.39(7) − 73.1523(4) ≈ 0 đ?‘œđ?‘˜

Funciones de la fuerza cortante, de la fuerza normal y del momento flector Los resultados obtenidos se presentan en la figura 2-6g. đ??´1 = 24đ?‘‡

đ??´2 = 36đ?‘‡

đ?‘ĽĚ…1 = 3đ?‘š

đ?‘Ľ2 = 3đ?‘š

6�/�

4đ?‘‡/đ?‘š đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 15.105đ?‘‡ đ?‘Ľ1 đ??ľ đ??¸ đ??š1đ?‘Œ = 5.59983đ?‘‡ 3đ?‘š đ?œƒ1 đ?œƒ1 đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 7.5525đ?‘‡ 40° đ??´

đ?œƒ2 2đ?œƒ

2

đ?œƒ3

2đ?‘š đ??ˇ 2đ?‘š

1 đ??š1đ?‘‹ = 8.28504đ?‘‡ 3đ?‘š đ?‘…đ??śđ?‘‹ = 23.39đ?‘‡

đ??ś

4đ?‘š

6đ?‘š

2đ?‘š đ?‘Ž

đ?‘…đ??śđ?‘Œ = 73.1523đ?‘‡

(g)

Las funciones de las acciones internas son discontinuas en đ??¸ por cualquiera de las siguientes dos razones que ocurren en ese punto: la magnitud de la carga distribuida uniforme cambia y existe un cambio en la geometrĂ­a de la estructura. De igual forma, son discontinuas en el punto de aplicaciĂłn de la fuerza de 10đ?‘‡. 213

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Se aplica el mĂŠtodo de las secciones para obtener las expresiones algebraicas que describan la variaciĂłn de los elementos mecĂĄnicos. Se ha optado por definir una sola coordenada đ?‘Ľ para cada miembro, es decir, las coordenadas đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 y đ?‘Ľ3 que tienen sus orĂ­genes en đ??´, đ??ś y đ??ˇ, son vĂĄlidas sĂłlo dentro de las regiones desde đ??´ hasta đ??¸ para đ?‘Ľ1 , de đ??ś a đ??¸ para đ?‘Ľ2 y de đ??ˇ a đ??¸ para đ?‘Ľ3 . Debe seccionarse perpendicularmente a su correspondiente eje, al miembro đ??´ − đ??¸ en un punto arbitrario (intermedio en su longitud) a una distancia đ?‘Ľ1 de đ??´, figura 2-6h, al miembro đ??ś − đ??¸ en un punto arbitrario a una distancia đ?‘Ľ2 de đ??ś en dos ocasiones, primero, en un punto intermedio a la regiĂłn que va de đ??ś al punto de aplicaciĂłn de la carga de 10đ?‘‡, figura 2-6l, y luego en un punto intermedio a la regiĂłn que va desde el punto de aplicaciĂłn de la carga de 10đ?‘‡ hasta đ??ľ, figura 2-6m, y al miembro đ??ˇ − đ??¸ en un punto arbitrario (intermedio en su longitud) a una distancia đ?‘Ľ3 de đ??ˇ, figura 2-6q. Las funciones de las acciones internas para cada regiĂłn distinta por miembro son deducidas a continuaciĂłn

Miembro đ??´ − đ??¸. 0 ≤ đ?‘Ľ1 ≤ 6đ?‘š đ??´1đ??ś = (4đ?‘‡/đ?‘š)(đ?‘Ľ1 ) = 4đ?‘Ľ1

4�/�

đ?‘€1

đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 15.105đ?‘‡

đ??´

đ?œƒ2 2đ?œƒ

2

đ?‘ 1

đ??ľ đ?‘ĽĚ…đ??ź = đ?‘Ľ1 /2

đ?‘Ľ1 đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 7.5525đ?‘‡ đ?‘‰1

(h)

đ?‘Ľ1 + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ −7.5525(đ?‘Ľ1 ) − 4đ?‘Ľ1 ( ) − đ?‘€1 = 0 ⇒ đ?‘€1 = −(7.5525đ?‘Ľ1 + 2đ?‘Ľ1 2 ) 2 ↑ + ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ −7.5525 − 4đ?‘Ľ1 − đ?‘‰1 = 0 ⇒ đ?‘‰1 = −(7.5525 + 4đ?‘Ľ1 ) +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ −15.105 + đ?‘ 1 = 0 ⇒ đ?‘ 1 = 15.105 214

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Miembro đ??ś − đ??¸. De acuerdo a la figura 2-6i, la longitud de este elemento inclinado es

đ??¸

đ??żđ??śâˆ’đ??¸ = √(2đ?‘š)2 + (7đ?‘š)2 = √53đ?‘š 2 sin đ?œƒ1 = √53 7 cos đ?œƒ1 = √53

đ?œƒ1 7đ?‘š

đ??ś

2đ?‘š

(i)

Las componentes rectangulares de las reacciones đ?‘…đ??śđ?‘‹ y đ?‘…đ??śđ?‘Œ para los ejes que coinciden con las lĂ­neas de acciĂłn de la fuerza normal y de la fuerza cortante del miembro đ??ś − đ??¸ son

sin đ?œƒ1 =

đ?‘…đ??śđ?‘‹đ?‘Œ 2 ⇒ đ?‘…đ??śđ?‘‹đ?‘Œ = đ?‘…đ??śđ?‘‹ sin đ?œƒ1 = 23.39đ?‘‡ ( ) = 6.42573đ?‘‡ đ?‘…đ??śđ?‘‹ √53

đ?œƒ1 đ?‘…đ??śđ?‘‹ = 23.39đ?‘‡

Para đ?‘…đ??śđ?‘‹ = 23.39đ?‘‡

cos đ?œƒ1 =

đ?‘…đ??śđ?‘‹đ?‘‹ 7 ⇒ đ?‘…đ??śđ?‘‹đ?‘‹ = đ?‘…đ??śđ?‘‹ cos đ?œƒ1 = 23.39đ?‘‡ ( ) = 22.49đ?‘‡ đ?‘…đ??śđ?‘‹ √53

(j)

-

đ?œƒ1

đ?‘…đ??śđ?‘Œ = 73.1523đ?‘‡

Para đ?‘…đ??śđ?‘Œ = 73.1523đ?‘‡

sin đ?œƒ1 =

đ?‘…đ??śđ?‘Œđ?‘‹ 2 ⇒ đ?‘…đ??śđ?‘Œđ?‘‹ = đ?‘…đ??śđ?‘Œ sin đ?œƒ1 = 73.1513đ?‘‡ ( ) = 20.0965đ?‘‡ đ?‘…đ??śđ?‘Œ √53

cos đ?œƒ1 =

đ?‘…đ??śđ?‘Œđ?‘Œ 7 ⇒ đ?‘…đ??śđ?‘Œđ?‘Œ = đ?‘…đ??śđ?‘Œ cos đ?œƒ1 = 73.1523đ?‘‡ ( ) = 70.3377đ?‘‡ đ?‘…đ??śđ?‘Œ √53

(k)

215

CAPÍTULO 2

ANÁLISIS DE MARCOS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS

0 ≤ 𝑥2 ≤ 3.12𝑚

𝑀2

𝐶

𝜃1 𝑅𝐶𝑋 = 23.39𝑇

𝜃1

𝑅𝐶𝑌 = 73.1523𝑇

(l)

+ ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 ⇒ −22.49𝑥2 + 20.0965𝑥2 − 𝑀2 = 0 ⇒ 𝑀2 = −2.3935𝑥2 + ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒ 22.49 − 20.0965 + 𝑉2 = 0 ⇒ 𝑉2 = −2.3935 + ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒ 6.42573 + 70.3377 + 𝑁2 = 0 ⇒ 𝑁2 = −76.7634 3.12𝑚 ≤ 𝑥2 ≤ √53𝑚

𝑀3

40° 50°

𝜃1

𝐶

𝑅𝐶𝑋 = 23.39𝑇

𝜃1 𝑅𝐶𝑌 = 73.1523𝑇

(m) 216

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

De acuerdo a la figura 2-6n, las componentes rectangulares de la fuerza de 10đ?‘‡ para los ejes que coinciden con las lĂ­neas de acciĂłn de đ?‘ 3 y đ?‘‰3son

50°

sin 50° =

đ??š1đ?‘Œ ⇒ đ??š1đ?‘Œ = 10đ?‘‡ sin 50° = 7.66044đ?‘‡ 10đ?‘‡

cos 50° =

đ??š1đ?‘‹ ⇒ đ??š1đ?‘‹ = 10đ?‘‡ cos 50° = 6.42788đ?‘‡ 10đ?‘‡

(n)

+ ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ −22.49đ?‘Ľ2 + 20.0965đ?‘Ľ2 + 6.42788(đ?‘Ľ2 − 3.12) − đ?‘€3 = 0 đ?‘€3 = 4.03438đ?‘Ľ2 − 20.055 + ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ 22.49 − 20.0965 − 6.42788 + đ?‘‰3 = 0 ⇒ đ?‘‰3 = 4.03438 + ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ 6.42573 + 70.3377 − 7.66044 + đ?‘ 3 = 0 ⇒ đ?‘ 3 = −69.103 Miembro đ??ˇ − đ??¸. Se calcula la longitud de este elemento inclinado con base en la figura 2-6Ăą. đ??żđ??ˇâˆ’đ??¸ = √(6đ?‘š)2 + (2đ?‘š)2 = 2√10đ?‘š 2 1 6 3 sin đ?œƒ3 = = cos đ?œƒ3 = = 2√10 √10 2√10 √10

6đ?‘š đ?œƒ3

đ??¸

2đ?‘š đ??ˇ

(Ăą)

0 ≤ đ?‘Ľ3 ≤ 2√10đ?‘š A partir de la figura 2-6o, la distancia đ?‘? sobre la cual se extiende la carga distribuida uniforme cortada es đ?‘? đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’

đ?œƒ3

cos đ?œƒ3 = đ??ˇ

đ?‘? 3 ⇒ đ?‘? = đ?‘Ľ3 cos đ?œƒ3 = đ?‘Ľ3 đ?‘Ľ3 √10

(o)

La fuerza resultante de tal carga y su ubicaciĂłn son đ??´2đ??ś = (6đ?‘‡/đ?‘š) (

3 √10

đ?‘Ľ3 ) =

9√10 đ?‘Ľ3 5 217

1 đ?‘Ľ3 đ?‘ĽĚ…đ??źđ??ź = (đ?‘Ľ3 ) = 2 2

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

De la figura 2-6p, se tiene que las componentes rectangulares de đ??´2đ??ś para los ejes que coinciden con las lĂ­neas de acciĂłn de đ?‘ 4 y đ?‘‰4 son

đ??´2đ??ś =

9√10 5

đ?‘Ľ3

đ?œƒ3

sin đ?œƒ3 =

đ??´2đ??śđ?‘‹ 9√10 1 9 ⇒ đ??´2đ??śđ?‘‹ = đ??´2đ??ś sin đ?œƒ3 = ( đ?‘Ľ3 ) ( ) = đ?‘Ľ3 đ??´2đ??ś 5 5 √10

cos đ?œƒ3 =

đ??´2đ??śđ?‘Œ 9√10 3 27 ⇒ đ??´2đ??śđ?‘Œ = đ??´2đ??ś cos đ?œƒ3 = ( đ?‘Ľ3 ) ( )= đ?‘Ľ đ??´2đ??ś 5 5 3 √10

(p)

đ??´2đ??ś =

9√10 đ?‘Ľ3 5

6đ?‘‡/đ?‘š đ?œƒ3

đ?‘€4 đ?œƒ3

(q)

đ??ˇ

đ?‘?=

3 √10

đ?‘Ľ3

27 đ?‘Ľ3 27 + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ ( đ?‘Ľ3 ) ( ) + đ?‘€4 = 0 ⇒ đ?‘€4 = − đ?‘Ľ3 2 5 2 10 + ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘‰4 −

27 27 �3 = 0 ⇒ �4 = � 5 5 3

o tambiĂŠn, como el corte fue efectuado en la cara derecha, el cortante es igual a la derivada negativa del momento, es decir, 27

đ?‘‘ (− 10 đ?‘Ľ3 2 ) 27 đ?‘‘đ?‘€4 đ?‘‰4 = − =− = đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ3 đ?‘‘đ?‘Ľ3 5 3 9 9 + ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ −đ?‘ 4 + đ?‘Ľ3 = 0 ⇒ đ?‘ 4 = đ?‘Ľ3 5 5 Para calcular el desplazamiento vertical en đ?‘Š, se sigue el siguiente procedimiento:

218

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Momentos reales đ?‘´ Los momentos internos đ?‘€ fueron deducidos en la estructura real. Efectuando un recuento tenemos Miembro đ??´ − đ??¸. đ?‘€1 = −(7.5525đ?‘Ľ1 + 2đ?‘Ľ1 2 )

0 ≤ �1 ≤ 6�

Miembro đ??ś − đ??¸. đ?‘€2 = −2.3935đ?‘Ľ2

0 ≤ đ?‘Ľ2 ≤ 3.12đ?‘š 3.12đ?‘š ≤ đ?‘Ľ2 ≤ √53đ?‘š

đ?‘€3 = 4.03438đ?‘Ľ2 − 20.055

Miembro đ??ˇ − đ??¸. đ?‘€4 = −

27 2 đ?‘Ľ 10 3

0 ≤ đ?‘Ľ3 ≤ 2√10đ?‘š

Momentos virtuales đ?’Ž Se aplica una carga virtual unitaria en el punto y en la direcciĂłn donde se requiere conocer el desplazamiento y su sentido se elige arbitrariamente; en este caso, la carga debe ser vertical, en đ??ľ y se opta por colocarla hacia abajo (puede ir hacia arriba), justo como se observa en la figura 2-6r. Las cargas reales son removidas y una vez que se calculen las reacciones en los soportes se deducen los momentos internos đ?‘š usando las mismas coordenadas đ?‘Ľ que se usaron para đ?‘€. 1

đ??´

đ??ľ

đ??¸

đ?œƒ3

2đ?‘š

3đ?‘š 2đ?œƒ

đ??ˇ

đ?œƒ1

2

1

5đ?‘š

đ??ś

4đ?‘š

6đ?‘š

2đ?‘š

(r)

219

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

El diagrama de cargas en el que los sentidos de las reacciones en los apoyos se suponen arbitrariamente se observa en la figura 2-6s. 1

đ?‘…đ??´đ?‘‹ =

2 √5

đ?‘…đ??´ đ??´

đ?œƒ2

đ??ľ

đ??¸

đ?œƒ3

2đ?‘š

3đ?‘š 2đ?œƒ

2

đ?‘…đ??´đ?‘Œ =

1

1

√5

đ??ˇ

đ?œƒ1

đ?‘…đ??´

5đ?‘š

(s) đ?‘…đ??śđ?‘‹

đ??ś

4đ?‘š

2đ?‘š

6đ?‘š

đ?‘…đ??śđ?‘Œ

Al aplicar las ecuaciones de equilibrio se tiene 2 1 1 √5 + ∑ đ?‘€đ??ś = 0 ⇒ ( đ?‘…đ??´ ) (7) + ( đ?‘…đ??´ ) (4) − (1)(1) = 0 ⇒ đ?‘…đ??´ = ⇒ ∴ đ?‘…đ??´ = 18 18√5 √5 √5 5 2 1 √5 ∴ đ?‘…đ??´đ?‘‹ = ( ) ( ) = 9 √5 18 +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒

đ?‘…đ??´đ?‘Œ = (

1

1 √5 )( ) = 18 √5 18

1 1 − đ?‘…đ??śđ?‘‹ = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??śđ?‘‹ = 9 9

+↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ −1 +

1 17 + đ?‘…đ??śđ?‘Œ = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??śđ?‘Œ = 18 18

Los resultados obtenidos se muestran en la figura 2-6t. Las funciones de momento, que son discontinuas en đ??ľ debido a la carga unitaria y en đ??¸ por el cambio de geometrĂ­a existente en la estructura, se deducen aplicando el mĂŠtodo de las secciones. Deben seccionarse perpendicularmente a su correspondiente eje, al miembro đ??´ − đ??¸ en un punto arbitrario a una distancia đ?‘Ľ1 de đ??´ en dos ocasiones, primero en un punto intermedio a la regiĂłn que va de đ??´ a đ??ľ y luego en un punto intermedio a la regiĂłn que va desde đ??ľ hasta đ??ś, al miembro đ??ś − đ??¸ en un punto arbitrario (intermedio en su 220

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

longitud) a una distancia đ?‘Ľ2 de đ??ś, y al miembro miembro đ??ˇ − đ??¸ en un punto arbitrario (intermedio a la regiĂłn đ??ˇ − đ??¸) a una distancia đ?‘Ľ3 de đ??ˇ. 1

đ?‘…đ??´đ?‘‹ =

2 √5

đ?‘…đ??´ =

1 9 đ?‘Ľ1 đ??ľ

đ??´

đ?œƒ2

đ?œƒ3

đ??¸

2đ?‘š

3đ?‘š 2đ?œƒ

2

đ?‘…đ??´đ?‘Œ =

1

1

√5

đ?‘…đ??´ =

1

đ??ˇ

đ?œƒ1

18

5đ?‘š

(t) đ?‘…đ??śđ?‘‹ =

đ??ś

4đ?‘š

1 9

6đ?‘š

2đ?‘š

đ?‘…đ??śđ?‘Œ =

17 18

Las funciones de momento đ?‘š para cada regiĂłn distinta por miembro son deducidas con base en la figuras 2-6u, 2-6v, 2-6w y 2-6x. Miembro đ??´ − đ??¸ 0 ≤ đ?‘Ľ1 ≤ 3đ?‘š đ?‘…đ??´đ?‘‹ =

1 1 (đ?‘Ľ1 ) − đ?‘š1 = 0 ⇒ đ?‘š1 = + ∑ đ?‘šđ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ đ?‘Ľ 18 18 1

1

đ?‘š1

9

đ?‘›1

đ??´

đ?œƒ2

đ?‘Ľ1 2đ?œƒ

2

đ?‘…đ??´đ?‘Œ =

3� ≤ �1 ≤ 6� (u)

1

đ?‘…đ??´đ?‘‹ =

1

đ?‘š2

9 đ??´

đ?œƒ2

3đ?‘š

(v) 2đ?œƒ

đ?‘›2

đ??ľ

đ?‘Ľ1 − 3đ?‘š đ?‘Ľ1

2

đ?‘…đ??´đ?‘Œ =

1 18

221

đ?‘Ł2

1 18 đ?‘Ł1

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

+ ∑ đ?‘šđ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒

1 17 đ?‘Ľ1 − 1(đ?‘Ľ1 − 3) − đ?‘š2 = 0 ⇒ đ?‘š2 = 3 − đ?‘Ľ1 18 18 Miembro đ??ś − đ??¸ 0 ≤ đ?‘Ľ2 ≤ √53đ?‘š

đ?‘š3

đ?œƒ1

đ??ś

đ?‘…đ??śđ?‘Œ =

17 18

đ?‘…đ??śđ?‘‹ =

đ?‘’=

7 √53

đ?‘Ľ2

1 9

đ?‘‘ = (2â „ ) đ?‘Ľ2 √53

(w)

Como Ăşnicamente nos interesa conocer đ?‘š3 , podemos tomar momentos alrededor del punto del corte considerando los ejes horizontal y vertical que pasan por tal punto y con ello evitar el descomponer a las reacciones en sus componentes rectangulares que coinciden con las lĂ­neas de acciĂłn de đ?‘›3 y đ?‘Ł3 . Las distancias đ?‘Ž y đ?‘‘ son đ?‘‘ 2 đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œƒ1 = ⇒ đ?‘‘ = đ?‘Ľ2 đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œƒ1 = đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ2 √53 đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œƒ1 =

đ?‘’ 7 ⇒ đ?‘’ = đ?‘Ľ2 đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œƒ1 = đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ2 √53

17 2 1 7 8√53 + ∑ đ?‘šđ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ ( ) ( đ?‘Ľ2 ) + ( đ?‘Ľ2 ) − đ?‘š3 = 0 ⇒ đ?‘š3 = đ?‘Ľ 18 √53 9 √53 159 2

222

CAPÍTULO 2

ANÁLISIS DE MARCOS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS

Miembro 𝐷 − 𝐸 0 ≤ 𝑥3 ≤ 2√10𝑚 𝑚4

+ ∑ 𝑚𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 ⇒ 𝑚4 = 0

(x) 𝐷

Ecuación del trabajo virtual Entonces, el desplazamiento vertical de 𝐵 es 𝐿2

1 ∙ ∆= ∫ 𝐿1

1 ∙ 𝛿𝑉𝐵 = ∫

3 −(7.5525𝑥1

𝐸𝐼

0 3.12 (−2.3935𝑥2 ) (

∫

1 𝑥 ) 18 1

+ 2𝑥1 2 ) (

𝑑𝑥1 + ∫

6 −(7.5525𝑥1

+ 2𝑥1 2 ) (3 −

8√53 𝑥 ) 159 2

√53

159

𝐸𝐼

3.12

+∫

27 2 𝑥 ) ( 0) 10 3

𝐸𝐼

0

𝑑𝑥1

8 53 (4.03438𝑥2 − 20.055) ( √ 𝑥2 )

𝑑𝑥2 + ∫ 2√10 (−

17 𝑥 ) 18 1

𝐸𝐼

3

𝐸𝐼

0

𝑀𝑚 𝑑𝑥 𝐸𝐼

𝑑𝑥2

𝑑𝑥3

Resolviendo las integrales por separado tenemos 3

∫ −(7.5525𝑥1 + 2𝑥1 2 ) ( 0

1 18

3

𝑥1 ) 𝑑𝑥1 = ∫ (− 0

𝑥1 3 − 0.419583𝑥1 2 ) 𝑑𝑥1 9

= [−0.027778𝑥1 4 − 0.139861𝑥1 3 ]30 = −0.027778(34 − 04 ) − 0.139861(33 − 03 ) = −6.02625 6

∫ −(7.5525𝑥1 + 2𝑥1 2 ) (3 − 3

17 18

6

17 3 𝑥 + 1.13292𝑥1 2 − 22.6575𝑥1 ) 𝑑𝑥1 9 1

𝑥1 ) 𝑑𝑥1 = ∫ ( 3

= [0.472222𝑥1 4 + 0.377639𝑥1 3 − 11.3288𝑥1 2 ]63 = 0.472222(64 − 34 ) +0.377639(63 − 33 ) − 11.3288(62 − 32 ) = 339.248

223

CAPĂ?TULO 2 3.12

(−2.3935đ?‘Ľ2 ) (

âˆŤ 0

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS 8√53 159

3.12

−0.876727đ?‘Ľ2 2 đ?‘‘đ?‘Ľ2 = [−0.292242đ?‘Ľ2 3 ]3.12 0

đ?‘Ľ2 ) đ?‘‘đ?‘Ľ2 = âˆŤ 0

= −0.292242(3.123 − 03 ) = −8.87578 √53

8√53

(4.03438đ?‘Ľ2 − 20.055) (

âˆŤ 3.12

159

√53

(1.4777đ?‘Ľ22 − 7.34604đ?‘Ľ2 )đ?‘‘đ?‘Ľ2

đ?‘Ľ2 ) đ?‘‘đ?‘Ľ2 = âˆŤ 3.12

= [0.492591đ?‘Ľ2 3 − 3.67302đ?‘Ľ2 2 ]√53 3.12 3

2

0.492591 ((√53) − 3.123 ) − 3.67302 ((√53) − 3.122 ) = 16.188 2√10

âˆŤ

(−

0

27 10

đ?‘Ľ3 2 ) (0)đ?‘‘đ?‘Ľ3 = 0

En consecuencia, đ?›żđ?‘‰đ??ľ =

1 340.534 (−6.02625 + 339.248 − 8.87578 + 16.188 + 0) = đ??¸đ??ź đ??¸đ??ź

Como la suma algebraica de todas las integrales para todo el marco es positiva, el desplazamiento vertical en đ??ľ tiene el mismo sentido que el supuesto para la carga virtual unitaria. ∴ đ?›żđ?‘‰đ??ľ =

340.534 ↓ đ??¸đ??ź

Para calcular la pendiente (giro o rotaciĂłn) en đ?‘Š, se sigue el siguiente procedimiento: Momentos reales đ?‘´ Los momentos internos đ?‘€ ya han sido deducidos en la estructura real y corresponden a las siguientes funciones Miembro đ??´ − đ??¸. đ?‘€1 = −(7.5525đ?‘Ľ1 + 2đ?‘Ľ1 2 )

0 ≤ �1 ≤ 6�

Miembro đ??ś − đ??¸. đ?‘€2 = −2.3935đ?‘Ľ2 đ?‘€3 = 4.03438đ?‘Ľ2 − 20.055

0 ≤ đ?‘Ľ2 ≤ 3.12đ?‘š 3.12đ?‘š ≤ đ?‘Ľ2 ≤ √53đ?‘š

Miembro đ??ˇ − đ??¸. đ?‘€4 = −

27 2 đ?‘Ľ 10 3

0 ≤ đ?‘Ľ3 ≤ 2√10đ?‘š

224

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Momentos virtuales đ?’Žđ?œ˝ La pendiente en đ??ľ se determina al colocar un momento de par unitario virtual en đ??ľ con un sentido que es indistinto (puede ser horario o antihorario), figura 2-6y. De igual forma que para los momentos internos đ?‘š, las cargas reales son removidas y deben usarse las mismas coordenadas đ?‘Ľ que se utilizaron para đ?‘€. Una vez que se determinan las fuerzas reactivas en los apoyos, se obtienen los momentos internos đ?‘šđ?œƒ con el mĂŠtodo de las secciones. 1 đ??´

đ??ľ

đ?œƒ3

đ??¸

2đ?‘š

3đ?‘š 2đ?œƒ

đ??ˇ

đ?œƒ1

2

1

5đ?‘š

(y)

đ??ś

4đ?‘š

6đ?‘š

2đ?‘š

En el diagrama de cargas, figura 2-6z, los sentidos de las reacciones en los apoyos se suponen arbitrariamente.

đ?‘…đ??´đ?‘‹ =

2 √5

1

đ?‘…đ??´

đ??´

đ?œƒ2

đ??ľ

đ??¸

đ?œƒ3

2đ?‘š

3đ?‘š 2đ?œƒ

2

1

đ?‘…đ??´đ?‘Œ =

1

√5

đ??ˇ

đ?œƒ1

đ?‘…đ??´

5đ?‘š

(z) đ?‘…đ??śđ?‘‹

đ??ś

4đ?‘š

2đ?‘š đ?‘…đ??śđ?‘Œ

225

6đ?‘š

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Al aplicar las ecuaciones de equilibrio se tiene + ∑ đ?‘€đ??ś = 0 ⇒ (

2

√5

đ?‘… đ??´ ) ( 7) + (

1

√5

đ?‘… đ??´ ) ( 4) − 1 = 0 ⇒ ∴ đ?‘… đ??´ =

2 1 √5 ∴ đ?‘…đ??´đ?‘‹ = ( ) ( ) = 9 √5 18

∴ đ?‘…đ??´đ?‘Œ = (

+→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒

1 √5

)(

√5 18

)=

√5 18

1 18

1 1 − đ?‘…đ??śđ?‘‹ = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??śđ?‘‹ = 9 9

1 1 − đ?‘…đ??śđ?‘Œ = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??śđ?‘Œ = 18 18

Los resultados obtenidos se presentan en la figura 2-6a´.

đ?‘…đ??´đ?‘‹ =

2

√5

đ?‘…đ??´ =

1 9

1 đ?‘Ľ1 đ??ľ

đ??´

đ?œƒ2

đ?œƒ3

đ??¸

2đ?‘š

3đ?‘š 2đ?œƒ

2

1

đ?‘…đ??´đ?‘Œ =

1

√5

đ?‘…đ??´ =

1

đ??ˇ

đ?œƒ1

18

5đ?‘š

đ?‘…đ??śđ?‘‹ =

đ??ś

4đ?‘š

6đ?‘š

2đ?‘š

đ?‘…đ??śđ?‘Œ =

1 9

1 18

(a´)

Las funciones de momento, que son discontinuas en đ??ľ debido al momento de par unitario y en đ??¸ por el cambio de geometrĂ­a existente en la estructura, se deducen en seguida con base en las figuras 2-6b´, 2-6c´, 2-6d´ y 2-6e´ aplicando el mĂŠtodo de las secciones.

226

CAPÍTULO 2

ANÁLISIS DE MARCOS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS

Miembro 𝐴 − 𝐸 0 ≤ 𝑥1 ≤ 3𝑚 𝑅𝐴𝑋 =

1

𝑚𝜃1

9

𝑛1

𝐴

𝜃2

+ ∑ 𝑚𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 1 1 (𝑥1 ) − 𝑚𝜃1 = 0 ⇒ 𝑚𝜃1 = 𝑥 18 18 1

𝑥1

2𝜃

𝑅𝐴𝑌 =

2

1 18 𝑣1

(b´)

3𝑚 ≤ 𝑥1 ≤ 6𝑚 𝑅𝐴𝑋 =

1

1

𝑚𝜃2

9 𝐴

𝜃2

𝑛2

𝐵 3𝑚

2𝜃

1 (𝑥 ) − 1 − 𝑚𝜃2 = 0 18 1

𝑥1 2

𝑅𝐴𝑌 =

+ ∑ 𝑚𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0

𝑥1 − 3𝑚

1 𝑣2

18

𝑚𝜃2 =

(c´)

1 𝑥 −1 18 1

Miembro 𝐶 − 𝐸 0 ≤ 𝑥2 ≤ √53𝑚

𝑚𝜃3

. + ∑ 𝑚𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 𝜃1

𝐶

𝑅𝐶𝑌 =

𝑅𝐶𝑋 =

𝑒=

7 √53

𝑥2

(−

1

𝑚𝜃3 =

9

1 18

1 2 1 7 )( 𝑥2 ) + ( 𝑥 ) − 𝑚𝜃3 = 0 18 √53 9 √53 2

𝑑 = (2⁄ ) 𝑥2 √53

(d´) 227

2√53 𝑥 159 2

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Miembro đ??ˇ − đ??¸ 0 ≤ đ?‘Ľ3 ≤ 2√10đ?‘š đ?‘šđ?œƒ4

+ ∑ đ?‘šđ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 đ?‘šđ?œƒ4 = 0 đ??ˇ

(e´)

EcuaciĂłn del trabajo virtual La ecuaciĂłn del trabajo virtual para conocer la rotaciĂłn en cualquier punto es đ??ż2

1∙đ?œƒ = âˆŤ đ??ż1

đ?‘€đ?‘šđ?œƒ đ?‘‘đ?‘Ľ đ??¸đ??ź

Al aplicarla en todo el marco, con los datos obtenidos, se tiene 1 ∙ đ?œƒđ??ľ = âˆŤ

3 −(7.5525đ?‘Ľ1

đ??¸đ??ź

0 3.12 (−2.3935đ?‘Ľ2 ) (

âˆŤ

1 đ?‘Ľ ) 18 1

+ 2đ?‘Ľ1 2 ) (

2√53 đ?‘Ľ ) 159 2

√53

đ??¸đ??ź 159

đ??¸đ??ź

3.12

+âˆŤ

0

đ?‘‘đ?‘Ľ1

2 53 (4.03438đ?‘Ľ2 − 20.055) ( √ đ?‘Ľ2 )

đ?‘‘đ?‘Ľ2 + âˆŤ 2√10 (−

1 đ?‘Ľ − 1) 18 1

+ 2đ?‘Ľ1 2 ) (

3

đ??¸đ??ź

0

đ?‘‘đ?‘Ľ1 + âˆŤ

6 −(7.5525đ?‘Ľ1

27 2 đ?‘Ľ ) ( 0) 10 3

đ??¸đ??ź

đ?‘‘đ?‘Ľ2

đ?‘‘đ?‘Ľ3

Resolviendo las integrales por separado resulta 3

âˆŤ −(7.5525đ?‘Ľ1 + 2đ?‘Ľ1 2 ) ( 0

1 18

3

1 9

đ?‘Ľ1 ) đ?‘‘đ?‘Ľ1 = âˆŤ (− đ?‘Ľ1 3 − 0.419583đ?‘Ľ1 2 ) đ?‘‘đ?‘Ľ1 0

6 1 4 1 3 = [− đ?‘Ľ1 − 0.139861đ?‘Ľ1 ] = − (34 − 04 ) − 0.139861(33 − 03 ) = −6.02625 36 36 3

228

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

6

âˆŤ −(7.5525đ?‘Ľ1 + 2đ?‘Ľ1 2 ) ( 3

1 18

6

1 9

đ?‘Ľ1 − 1) đ?‘‘đ?‘Ľ1 = âˆŤ (− đ?‘Ľ1 3 + 1.58042đ?‘Ľ1 2 + 7.5525đ?‘Ľ1 ) đ?‘‘đ?‘Ľ1 3

= [−0.027778đ?‘Ľ1 4 + 0.526806đ?‘Ľ1 3 + 3.77625đ?‘Ľ1 2 ]63 = −0.027778(64 − 34 ) +0.526806(63 − 33 ) + 3.77625(62 − 32 ) = 167.775 3.12

(−2.3935đ?‘Ľ2 ) (

âˆŤ 0

2√53 159

3.12

−0.219182đ?‘Ľ2 2 đ?‘‘đ?‘Ľ2 = [−0.073061đ?‘Ľ2 3 ]3.12 0

đ?‘Ľ2 ) đ?‘‘đ?‘Ľ2 = âˆŤ 0

= −0.073061(3.123 − 03 ) = −2.21895 √53

âˆŤ

2√53

(4.03438đ?‘Ľ2 − 20.055) (

3.12

159

√53

đ?‘Ľ2 ) đ?‘‘đ?‘Ľ2 = âˆŤ

(0.369443đ?‘Ľ2 2 − 1.83651đ?‘Ľ2 )đ?‘‘đ?‘Ľ2

3.12

= [0.123148đ?‘Ľ2 3 − 0.918255đ?‘Ľ2 2 ]√53 3.12 3

2

0.123148 ((√53) − 3.123 ) − 0.918255 ((√53) − 3.122 ) = 4.047 2√10

âˆŤ 0

(−

27 10

đ?‘Ľ3 2 ) (0)đ?‘‘đ?‘Ľ3 = 0

En consecuencia, la pendiente en đ??ľ es đ?œƒđ??ľ =

1 163.577 (−6.02625 + 167.775 − 2.21895 + 4. ,047 + 0) = đ??¸đ??ź đ??¸đ??ź

Como la suma algebraica de todas las integrales para todo el marco es positiva, el giro en đ??ľ tiene el mismo sentido que el supuesto para el momento de par unitario. ∴ đ?œƒđ??ľ =

163.577 đ??¸đ??ź

ObservaciĂłn: Debido a que su supone que el momento interno đ?‘€ actĂşa en la direcciĂłn positiva convencional, es forzoso que đ?‘š y đ?‘šđ?œƒ actĂşen en la misma direcciĂłn. Por ejemplo, note que al seccionar el mimbro đ??´ − đ??¸ de la estructura real, en el diagrama de cuerpo libre aparece đ?‘€1 actuando en sentido antihorario, por lo que para las estructuras con carga unitaria vertical y con momento de par unitario, al cortar el miembro đ??´ − đ??¸, aparecen đ?‘š1 y đ?‘š2 , y đ?‘šđ?œƒ1 y đ?‘šđ?œƒ2 actuando en sentido antihorario tambiĂŠn, respectivamente.

229

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Ejercicio 2.7 Determine la pendiente en el punto đ??´ del marco que se muestra en la figura 2-7a. Sobre el miembro đ??´ − đ??ľ se extiende una carga distribuida de tipo enjuta parabĂłlica cuya intensidad varĂ­a desde 20đ?‘™đ?‘?/đ?‘“đ?‘Ą en el punto đ??´ hasta 80đ?‘™đ?‘?/đ?‘“đ?‘Ą en el punto đ??ľ. Por otra parte, en toda la longitud del miembro đ??ś − đ??ľ se encuentra aplicada de manera ortogonal a su eje una carga distribuida definida por una enjuta elĂ­ptica cuya variaciĂłn de intensidad va de cero en đ??ľ a 50đ?‘™đ?‘?/đ?‘“đ?‘Ą en đ??ś.

(a)

Figura 2-7

SOLUCIĂ“N Momentos reales đ?‘´ En terminos generales, se calculan las reacciones en los soportes y luego, por medio del mĂŠtodo de secciones, se formulan los momentos internos đ?‘€. Se determinan las fuerzas resultantes de las cargas distribuidas, asĂ­ como su ubicaciĂłn. Empezamos por analizar la carga del elemento đ??´ − đ??ľ. Se rota este ele-

(b)

230

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

mento de tal forma que su eje sea horizontal y la carga tipo enjuta parabĂłlica se divide en una carga uniforme de 20đ?‘™đ?‘?/đ?‘“đ?‘Ą y una carga de enjuta parabĂłlica cuya intensidad ahora varĂ­e de cero en đ??´ a 60đ?‘™đ?‘?/đ?‘“đ?‘Ą en đ??ľ, figura 2-7b. La fuerza resultante de la carga distribuida uniforme es đ??´đ??ź = đ?‘Žđ?‘? = 6đ?‘“đ?‘Ą (20

đ?‘™đ?‘? ) = 120 đ?‘™đ?‘? đ?‘“đ?‘Ą

y el punto de aplicaciĂłn de đ??´đ??ź es 1 1 đ?‘ĽĚ…đ??ź = đ?‘Ž = (6đ?‘“đ?‘Ą) = 3đ?‘“đ?‘Ą 2 2 Se sigue el siguiente procedimiento para determinar el ĂĄrea bajo la curva y el centroide del ĂĄrea de una enjuta parabĂłlica. La ecuaciĂłn de una parĂĄbola es (đ?‘Ľ − â„Ž)2 = 2đ?‘?(đ?‘Ś − đ?‘˜) − − − −→ â‘ Donde đ?‘? = Distancia entre el foco y la recta directriz â„Ž,đ?‘˜ = Coordenadas del vĂŠrtice de la parĂĄbola Como el vĂŠrtice de la parĂĄbola estĂĄ en el origen, figura 2-7c, entonces đ?‘‰ = (â„Ž, đ?‘˜) = (0,0)

(c)

(0,0)

Sustituyendo â„Ž = đ?‘˜ = 0 en â‘ y despejando đ?‘Ś tenemos (đ?‘Ľ − 0)2 = 2đ?‘? (đ?‘Ś − 0) đ?‘Ľ 2 = 2đ?‘?đ?‘Ś 1 2 đ?‘Ś= đ?‘Ľ − − − −→ â‘Ą 2đ?‘? 1

Dado que 2đ?‘? es una constante đ?‘?, la ecuaciĂłn â‘Ą pasa a ser

231

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

đ?‘Ś = đ?‘?đ?‘Ľ 2 − − − −→ ③ El valor de đ?‘? puede obtenerse despejĂĄndolo de la expresiĂłn ③. đ?‘?=

đ?‘Ś − − − −→ â‘Ł đ?‘Ľ2

Sustituyendo las coordenadas del punto conocido, o sea, đ?‘Ľ = đ?‘Ž, đ?‘Ś = đ?‘?, en â‘Ł resulta đ?‘?=

đ?‘? − − − −→ ⑤ đ?‘Ž2

Al reemplazar la ecuaciĂłn ⑤ en la ③ se obtiene la ecuaciĂłn final de la curva en la que đ?‘Ś representa la carga y đ?‘Ľ la distancia. đ?‘? đ?‘Ś = 2 đ?‘Ľ2 đ?‘Ž El ĂĄrea bajo la curva es igual a đ??ż2

đ?‘Ž

đ??´ = âˆŤ đ?‘‘đ??´ = âˆŤ đ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ đ?‘Ž

đ??ż1 3 đ?‘Ž

0

đ?‘? 2 đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ž2

3

đ?‘? đ?‘? đ?‘Ľ đ?‘? đ?‘Ž − 03 1 2 đ??´ = 2 âˆŤ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = 2 [ ] = 2 [ ] = đ?‘Žđ?‘? đ?‘Ž 0 đ?‘Ž 3 0 đ?‘Ž 3 3 El centroide del ĂĄrea se define por la siguiente expresiĂłn đ?‘Ž đ??ż2 đ?‘? 2 âˆŤ đ?‘ĽĚƒ đ?‘‘đ??´ âˆŤđ??ż1 đ?‘Ľđ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ âˆŤ0 đ?‘Ľ (đ?‘Ž2 đ?‘Ľ ) đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘ĽĚ… = = đ??ż2 = đ?‘Ž đ?‘? âˆŤ đ?‘‘đ??´ âˆŤđ??ż đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ âˆŤ0 2 đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘Ľ 1 đ?‘Ž

Puesto que el denominador ya fue resuelto, sĂłlo se atiende al numerador. đ?‘Ž

đ?‘Ž

đ?‘Ž đ?‘? đ?‘? đ?‘? đ?‘Ž đ?‘? đ?‘Ľ4 đ?‘? đ?‘Ž4 1 âˆŤ đ?‘Ľ ( 2 đ?‘Ľ 2 ) đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ 2 đ?‘Ľ 3 đ?‘‘đ?‘Ľ = 2 âˆŤ đ?‘Ľ 3 đ?‘‘đ?‘Ľ = 2 [ ] = 2 [ ] = đ?‘Ž2 đ?‘? đ?‘Ž đ?‘Ž 0 đ?‘Ž 4 0 đ?‘Ž 4 4 0 0 đ?‘Ž

Entonces, 1 2 đ?‘Ž đ?‘? 3 đ?‘ĽĚ… = 4 = đ?‘Ž a la derecha del origen 1 4 3 đ?‘Žđ?‘? Luego, para el caso particular de una carga tipo enjuta parabĂłlica con đ?‘Ž = 6đ?‘“đ?‘Ą y đ?‘? = 60đ?‘™đ?‘?/đ?‘“đ?‘Ą se tiene

232

CAPĂ?TULO 2

đ?‘Ś=

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

60 2 5 2 đ?‘Ľ = đ?‘Ľ 62 3 đ?‘ĽĚ…đ??źđ??ź =

1 đ?‘™đ?‘? đ??´đ??źđ??ź = (6đ?‘“đ?‘Ą) (60 ) = 120 đ?‘™đ?‘? 3 đ?‘“đ?‘Ą

3 (6 đ?‘“đ?‘Ą) = 4.5 đ?‘“đ?‘Ą a la derecha de A 4

Finalmente, para la toda la carga distribuida del miembro đ??´ − đ??ľ tenemos que la carga concentrada equivalente es đ??´1 = 120đ?‘™đ?‘? + 120đ?‘™đ?‘? = 240đ?‘™đ?‘? y el punto de aplicaciĂłn de đ??´1 estĂĄ a đ?‘ĽĚ…1 =

∑ đ?‘ĽĚ… đ??´ (4.5đ?‘“đ?‘Ą)(120 đ?‘™đ?‘?) + (3đ?‘“đ?‘Ą)(120 đ?‘™đ?‘?) 900đ?‘™đ?‘?đ?‘“đ?‘Ą = = = 3.75đ?‘“đ?‘Ą de đ??´ ∑đ??´ 240đ?‘™đ?‘? 240đ?‘“đ?‘Ą

Ahora se analizarĂĄ la carga del elemento đ??ś − đ??ľ, fgura 2-7d, el cual tambiĂŠn se rota de tal forma que su eje sea horizontal.

(d)

Se sigue el siguiente procedimiento para determinar el ĂĄrea bajo la curva y el centroide del ĂĄrea de una enjuta parabĂłlica. La ecuaciĂłn que define una elipse es (đ?‘Ľ − â„Ž)2 (đ?‘Ś − đ?‘˜)2 + = 1 − − − −→ â‘ đ?‘Ž2 đ?‘?2

(e) (0,0)

233

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

ObsĂŠrvese en la figura 2-7e que đ?‘Ž es el semieje mayor de la elipse, đ?‘? es el semieje menor y â„Ž,đ?‘˜ es el punto central. Al sustituir (â„Ž, đ?‘˜) = (đ?‘Ž, đ?‘?) en la ecuaciĂłn â‘ da (đ?‘Ľ − đ?‘Ž)2 (đ?‘Ś − đ?‘?)2 + = 1 − − − −→ â‘Ą đ?‘Ž2 đ?‘?2 Al expandir los binomios al cuadrado de resta se tiene đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘Ž2 đ?‘Ś 2 − 2đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘? 2 + = 1 − − − −→ ③ đ?‘Ž2 đ?‘?2 Si se multiplica la ecuaciĂłn por đ?‘Ž2 đ?‘? 2 y si la igualamos a cero obtenemos đ?‘? 2 đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Žđ?‘? 2 đ?‘Ľ + đ?‘Ž2 đ?‘? 2 + đ?‘Ž2 đ?‘Ś 2 − 2đ?‘Ž2 đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘Ž2 đ?‘? 2 = đ?‘Ž2 đ?‘? 2 đ?‘? 2 đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Žđ?‘? 2 đ?‘Ľ + đ?‘Ž2 đ?‘Ś 2 − 2đ?‘Ž2 đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘Ž2 đ?‘? 2 = 0 − − − −→ â‘Ł Se hayan las dos raĂ­ces de đ?‘Ľ. Al emplear la fĂłrmula general đ?‘Ľ=

−đ??ľ Âą √đ??ľ 2 − 4đ??´đ??ś 2đ??´

en la que para este caso đ??´ = đ?‘?2 đ??ľ = −2đ?‘Žđ?‘? 2 đ??ś = đ?‘Ž2 đ?‘Ś 2 − 2đ?‘Ž2 đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘Ž2 đ?‘? 2 se obtiene −(−2đ?‘Žđ?‘? 2 ) Âą √(−2đ?‘Žđ?‘? 2 )2 − 4(đ?‘? 2 )(đ?‘Ž2 đ?‘Ś 2 − 2đ?‘Ž2 đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘Ž2 đ?‘? 2 ) đ?‘Ľ= − − − −→ ⑤ 2(đ?‘? 2 ) Al Simplificar el discriminante resulta 4đ?‘Ž2 đ?‘? 4 − 4đ?‘Ž2 đ?‘? 2 (đ?‘Ś 2 − 2đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘? 2 ) = 4a2 đ?‘? 2 (đ?‘? 2 − y 2 + 2by − b2 ) = 4đ?‘Ž2 đ?‘? 2 (2đ?‘?đ?‘Ś − đ?‘Ś 2 ) đ?‘Ľ=

2đ?‘Žđ?‘? 2 Âą √4đ?‘Ž2 đ?‘? 2 (2đ?‘?đ?‘Ś − đ?‘Ś 2 ) 2đ?‘Žđ?‘? 2 Âą √(2đ?‘Žđ?‘?)2 ∙ √đ?‘Ś(2đ?‘? − đ?‘Ś) = 2đ?‘? 2 2đ?‘? 2 1

2đ?‘Žđ?‘? 2 Âą 2ab√đ?‘Ś(2đ?‘? − đ?‘Ś) 2đ?‘?(đ?‘Žđ?‘? Âą a√đ?‘Ś(2đ?‘? − đ?‘Ś)) đ?‘Ľ= = = 2đ?‘? 2 2đ?‘?(đ?‘?)

234

đ?‘Ž (đ?‘? Âą (đ?‘Ś(2đ?‘? − đ?‘Ś))2 ) đ?‘?

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS 1

đ?‘Ž (đ?‘? + (đ?‘Ś(2đ?‘? − đ?‘Ś))2 ) đ?‘Ľ1 =

đ?‘? 1

đ?‘Ž (đ?‘? − (đ?‘Ś(2đ?‘? − đ?‘Ś))2 ) đ?‘Ľ2 =

đ?‘?

A diferencia de lo que hemos venido manejando, en estas ecuaciones đ?‘Ľ1 y đ?‘Ľ2 hacen referencia a la carga y đ?‘Ś a la distancia. Para ver cuĂĄl de estas dos funciones representa realmente la carga del miembro đ??ľ − đ??ˇ, se evalĂşan en el intervalo đ?‘Ś[0,5] y se observa el comportamiento de cada una. Si se conoce que đ?‘Ž = 50đ?‘™đ?‘?/đ?‘“đ?‘Ą y đ?‘? = 5đ?‘“đ?‘Ą, entonces se obtiene la siguiente informaciĂłn de la tabla 2-3. y

x1

y

x2

0

50

0

50

1

80

1

20

2

90

2

10

3

95.826

3

4.174

4

98.99

4

1.010

5

100

5

0

Tabla 2-3 Por lo tanto, la ecuaciĂłn de la curva realmente es đ?‘Ž (đ?‘? − (đ?‘Ś(2đ?‘? − đ?‘Ľ=

1 đ?‘Ś))2 )

đ?‘?

El ĂĄrea bajo la curva es igual a đ?‘? đ?‘Ž (đ?‘?

đ??ż2

đ??´ = âˆŤ đ?‘‘đ??´ = âˆŤ đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ đ??ż1

0

=

− (đ?‘Ś(2đ?‘? −

1 đ?‘Ś))2 )

đ?‘?

1 đ?‘Ž đ?‘? đ?‘‘đ?‘Ś = âˆŤ [đ?‘? − (2đ?‘?đ?‘Ś − đ?‘Ś 2 )2 ] đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘? 0

đ?‘? đ?‘? 1 đ?‘Ž {âˆŤ đ?‘?đ?‘‘đ?‘Ś − âˆŤ (2đ?‘?đ?‘Ś − đ?‘Ś 2 )2 đ?‘‘đ?‘Ś} đ?‘? 0 0

Las soluciones de las integrales en su forma indefinida son âˆŤ đ?‘?đ?‘‘đ?‘Ś = đ?‘?đ?‘Ś 235

CAPÍTULO 2

ANÁLISIS DE MARCOS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS

𝑦−𝑏 1 𝑏 2 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑖𝑛 [ ] 2 )2 (𝑦 − 𝑏)(2𝑏𝑦 − 𝑦 |𝑏| 2) ∫(2𝑏𝑦 − 𝑦 𝑑𝑦 = + 2 2 1 2

Entonces, 1

𝑎 (𝑏 − (2𝑏𝑦 − 𝑦 2 )2 ) ∫

𝑏

𝑦−𝑏 1 2 𝑎𝑏𝑦 𝑎(𝑦 − 𝑏)(2𝑏𝑦 − 𝑦 2 )2 𝑎𝑏 arcsin [ |𝑏| ] 𝑑𝑦 = − − 𝑏 2𝑏 2𝑏

𝑎𝑏 ∙ arcsin [ =−

𝑦−𝑏 ] |𝑏|

2

1

𝑎(𝑦 − 𝑏)(2𝑏𝑦 − 𝑦 2 )2 ) − + 𝑎𝑦 2𝑏

Por lo tanto, 𝑏 𝑎 (𝑏

1

− (2𝑏𝑦 − 𝑦 2 )2 )

𝐴=∫

𝑑𝑦 = 𝑎𝑏 −

𝑏

0

𝜋𝑎|𝑏| 4

El centroide del área es igual a 1

𝐿

2 ∫ 𝑦̃ 𝑑𝐴 ∫𝐿1 𝑦𝑥 𝑑𝑦 𝑦̅ = = 𝐿2 = ∫ 𝑑𝐴 ∫ 𝑥𝑑𝑦

𝑎 (𝑏 − (2𝑏𝑦 − 𝑦 2 )2 ) 𝑏 ] 𝑑𝑦 ∫0 𝑦 [ 𝑏

𝐿1

𝑏 ∫0

𝑎 (𝑏 − (𝑦(2𝑏 − 𝑏

1 𝑦))2 )

𝑑𝑦

Dado que el denominador ya se resolvió, de momento nos abocamos a atender el numerador. 1

𝑎 (𝑏 − (2𝑏𝑦 − 𝑦 2 )2 ) 𝑏 1 𝑎 𝑏 2 )2 ∫ 𝑦[ ] 𝑑𝑦 = − [∫ 𝑦(2𝑏𝑦 − 𝑦 𝑑𝑦 − ∫ 𝑏𝑦 𝑑𝑦] 𝑏 𝑏 0 0 0 𝑏

Se solucionan las dos integrales en su forma indefinida. ∫ 𝑏𝑦 𝑑𝑦 = 𝑏 ∫ 𝑦 𝑑𝑦 =

𝑏 2 𝑦 2

𝑦−𝑏 3 1 𝑏 3 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑖𝑛 [ ] 2 )2 2 )2 (2𝑏𝑦 − 𝑦 𝑏(𝑦 − 𝑏)(2𝑏𝑦 − 𝑦 |𝑏| 2) ∫ 𝑦(2𝑏𝑦 − 𝑦 𝑑𝑦 = − + + 3 2 2 1 2

En consecuencia, 236

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

1 đ?‘Śâˆ’đ?‘? 3 1 3 đ?‘Ž (đ?‘? − (2đ?‘?đ?‘Ś − đ?‘Ś 2 )2 ) (2đ?‘?đ?‘Ś − đ?‘Ś 2 )2 đ?‘?(đ?‘Ś − đ?‘?)(2đ?‘?đ?‘Ś − đ?‘Ś 2 )2 đ?‘? đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘? đ?‘ đ?‘–đ?‘› [ |đ?‘?| ] đ?‘? 2 đ?‘Ž âˆŤđ?‘Ś[ ] đ?‘‘đ?‘Ś = − [− + + − đ?‘Ś ] đ?‘? đ?‘? 3 2 2 2

đ?‘Žđ?‘? 2 ∗ đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘? đ?‘ đ?‘–đ?‘› [ =−

2

đ?‘Śâˆ’đ?‘? ] |đ?‘?|

3

1

đ?‘Ž(2đ?‘?đ?‘Ś − đ?‘Ś 2 )2 đ?‘Ž(đ?‘Ś − đ?‘?)(2đ?‘?đ?‘Ś − đ?‘Ś 2 )2 đ?‘Ž 2 + − + đ?‘Ś 3đ?‘? 2 2

Por lo tanto, 1

đ?‘Ž (đ?‘? − (2đ?‘?đ?‘Ś − đ?‘Ś 2 )2 ) đ?‘Žđ?‘? 2 (4 − 3đ?œ‹) đ?‘Žđ?‘? 2 âˆŤ đ?‘Ś[ ] đ?‘‘đ?‘Ś = + đ?‘? 12 2 0 đ?‘?

Finalmente, đ?‘Žđ?‘? 2 (4 − 3đ?œ‹) đ?‘Žđ?‘? 2 + 2 đ?‘?(3đ?œ‹ − 10) 12 đ?‘ŚĚ… = = a la izquierda del origen đ?œ‹đ?‘Žđ?‘? 3(đ?œ‹ − 4) đ?‘Žđ?‘? − 4 Para el caso particular de una carga tipo enjuta elĂ­ptica en la que đ?‘Ž = 50đ?‘“đ?‘Ą y đ?‘? = 5đ?‘“đ?‘Ą tenemos 1

50 (5 − ((2 ∗ 5)đ?‘Ś − đ?‘Ś 2 )2 ) đ?‘Ľ=

1

= 10(5 − (10đ?‘Ś − đ?‘Ś 2 )2 )

5

đ?‘™đ?‘? (3.1416) (50 ) (5đ?‘“đ?‘Ą) đ?‘™đ?‘? đ?‘“đ?‘Ą đ??´2 = (50 ) (5đ?‘“đ?‘Ą) − = 53.65 đ?‘™đ?‘? đ?‘“đ?‘Ą 4 đ?‘ŚĚ…1 =

(5đ?‘“đ?‘Ą)[3(3.1416) − 10] = 1.1168 đ?‘“đ?‘Ą a la izquierda de C 3(3.1416 − 4)

Con base en la figura 2-7f, se resuelve la carga concentrada equivalente đ??´2 en sus componentes rectangulares horizontal y vertical.

3 đ??šđ?‘Œ = 53.65 đ?‘™đ?‘?(đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?œƒ2 ) = 53.65 ( ) = 32.1903đ?‘™đ?‘? 5 4 đ??šđ?‘‹ = 53.65 đ?‘™đ?‘?(đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œƒ2 ) = 53.65 ( ) = 42.9203đ?‘™đ?‘? 5 (f) 237

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Se completa el diagrama de cargas, figura 2-7g, identificando las reacciones en los soportes cuyos sentidos se suponen arbitrariamente.

(g)

Para determinar las fuerzas reactivas en los apoyos por medio de la aplicaciĂłn de las ecuaciones de equilibrio al diagrama de cargas, se requiere de conocer las distancias đ?‘‘1 y đ?‘‘2 . 4đ?‘“đ?‘Ą đ?‘‘1 4 = ⇒ đ?‘‘1 = (5 − 1.1168)đ?‘“đ?‘Ą = 3.1065 đ?‘“đ?‘Ą 5đ?‘“đ?‘Ą 5đ?‘“đ?‘Ą − 1.1168đ?‘“đ?‘Ą 5 3đ?‘“đ?‘Ą đ?‘‘2 3 3 = ⇒ đ?‘‘2 = đ?‘‘1 = (3.1065 đ?‘“đ?‘Ą) = 2.3298đ?‘“ 4đ?‘“đ?‘Ą đ?‘‘1 4 4 Por consiguiente, +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Œ − 32.1903đ?‘™đ?‘? = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 32.1903 đ?‘™đ?‘? + ∑ đ?‘€đ??´ = 0 −đ?‘…đ??śđ?‘‹ (10) + 42.9203(9.1065 + 32.1903(2.3298) + 240(3.75) = 0 238

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

∴ đ?‘…đ??śđ?‘‹ = 136.5852 đ?‘™đ?‘? + ∑ đ?‘€đ??ś = 0 −32.1903(3 − 2.3298) − 42.9203(4 − 3.1065 ) − 240(10 − 3.75) + 32.1903(3) +đ?‘…đ??´đ?‘‹ (10) = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 146.3348đ?‘™đ?‘?

Como comprobaciĂłn, se cumple +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = −146.334845 + 240 + 42.92 − 136.585155 = 0 đ?‘œđ?‘˜ Se muestran los resultados obtenidos en la figura 2-7h. Se formulan las funciones de momento đ?‘€. Se debe usar una coordenada para la columna y otra distinta para la viga inclinada. Siendo asĂ­, la coordenada đ?‘Ľ1 con origen en đ??´ cubre la regiĂłn đ??´ − đ??ľ, mientras que la coordenada đ?‘Ś1 con origen en đ??ś abarca el tramo đ??ś − đ??ľ.

(h)

Como en ambos miembros no hay discontinuidad de carga, sĂłlo se requerirĂĄ de efectuar en cada miembro un corte perpendicular a su eje, figuras 2-7i y 2-7j. 239

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Miembro đ??´ − đ??ľ. 0đ?‘š ≤ đ?‘Ľ1 ≤ 6 đ?‘“đ?‘Ą

(i)

La carga concentrada equivalente de la caraga distribuida seccionada es đ?‘Ľ1

5 5 đ??´đ?‘– = (đ?‘Ľ1 )(20) + âˆŤ ( đ?‘Ľ 2 ) đ?‘‘đ?‘Ľ1 = 20đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ13 3 9 0 y su lĂ­nea de acciĂłn se localiza a una distancia de

∑ đ?‘ĽĚ… đ??´ đ?‘ĽĚ…đ?‘– = = ∑đ??´

đ?‘Ľ1 5 âˆŤ0 đ?‘Ľ (3 đ?‘Ľ 2 ) đ?‘‘đ?‘Ľ1 5 3 1 ( đ?‘Ľ ) ( đ?‘Ľ1 ) + ( đ?‘Ľ1 ) (20đ?‘Ľ1 ) 9 2 1 5 âˆŤ0 (3 đ?‘Ľ 2 ) đ?‘‘đ?‘Ľ1

5 20đ?‘Ľ1 + 9 đ?‘Ľ13

5 4 đ?‘Ľ1 + 10đ?‘Ľ12 12 = 5 20đ?‘Ľ1 + 9 đ?‘Ľ13

5 4 đ?‘Ľ1 + 10đ?‘Ľ12 5 3 12 + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ −đ?‘€1 + 146.3348(đ?‘Ľ1 ) − (20đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ1 ) [đ?‘Ľ1 − ]=0 5 9 20đ?‘Ľ1 + 9 đ?‘Ľ13 đ?‘€1 =

5 4 5 5 đ?‘Ľ1 + 10đ?‘Ľ12 − đ?‘Ľ14 − 20đ?‘Ľ12 + 146.3348đ?‘Ľ1 = − đ?‘Ľ14 − 10đ?‘Ľ12 + 146.3348đ?‘Ľ1 12 9 36

240

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Miembro đ??ś − đ??ľ. 0đ?‘š ≤ đ?‘Ś1 ≤ 5đ?‘“

đ??ś

(j)

La resultante de la caraga distribuida seccionada es đ?‘Ś1

1

đ??´đ?‘–đ?‘– = âˆŤ 10(5 − (10đ?‘Ś − đ?‘Ś 2 )2 ) đ?‘‘đ?‘Ś1 0

= −125 đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘? sin [

1 1 đ?‘Ś1 − 5 125 ] − (5đ?‘Ś1 )(10đ?‘Ś1 − đ?‘Ś12 )2 + 25(10đ?‘Ś1 − đ?‘Ś12 )2 + 50đ?‘Ś1 − đ?œ‹ 5 2

y su brazo de palanca es 1

đ?‘Ś

đ?‘ŚĚ…đ?‘–đ?‘– =

1 âˆŤ0 10đ?‘Ś1 [(5 − (10đ?‘Ś1 − đ?‘Ś12 )2 ] đ?‘‘đ?‘Ś1

1

đ?‘Ś

1 âˆŤ0 10 [(5 − (10đ?‘Ś1 − đ?‘Ś12 )2 ] đ?‘‘đ?‘Ś1

3 1 1 đ?‘Ś1 − 5 10 625đ?œ‹ (10đ?‘Ś1 − đ?‘Ś12 )2 − 25đ?‘Ś1 (10đ?‘Ś1 − đ?‘Ś12 )2 + 125(10đ?‘Ś1 − đ?‘Ś12 )2 + 25đ?‘Ś12 − 3 2 − 625 đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘? sin [ 5 ] = 1 1 đ?‘Ś −5 125 −125 đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘? sin [ 1 ] − (5đ?‘Ś1 )(10đ?‘Ś1 − đ?‘Ś12 )2 + 25(10đ?‘Ś1 − đ?‘Ś12 )2 + 50đ?‘Ś1 − 2 đ?œ‹ 5

Al descomponer đ?‘…đ??śđ?‘‹ en sus componentes rectangulares cuyas lĂ­neas de acciĂłn coinciden con las fuerzas cortante y normal del miembro, figura 2-7k, se tiene

241

CAPÍTULO 2

ANÁLISIS DE MARCOS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS

4 𝑅𝐶𝑋𝑋 = 𝑅𝐶𝑋 𝑠𝑒𝑛 𝜃1 = 136.5852𝑙𝑏 ( ) = 109.2681𝑙𝑏 5 3 𝑅𝐶𝑋𝑌 = 𝑅𝐶𝑋 𝑐𝑜𝑠 𝜃1 = 136.5852𝑙𝑏 ( ) = 81.951 𝑙𝑏 5 (k)

+ ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 ⇒ 𝑀2 − 109.2681(𝑦1 ) + [−125 𝑎𝑟𝑐 sin [

1 1 𝑦1 − 5 125 ] − (5𝑦1 )(10𝑦1 − 𝑦12 )2 + 25(10𝑦1 − 𝑦12 )2 + 50𝑦1 − 𝜋] 5 2

3 1 1 10 625𝜋 𝑦 −5 (10𝑦1 − 𝑦12 )2 − 25𝑦1 (10𝑦1 − 𝑦12 )2 + 125(10𝑦1 − 𝑦12 )2 + 25𝑦12 − − 625 𝑎𝑟𝑐 sin [ 1 ] 3 2 5 [𝑦1 − ] 1 1 𝑦 −5 125 −125 𝑎𝑟𝑐 sin [ 1 ] − (5𝑦1 )(10𝑦1 − 𝑦12 )2 + 25(10𝑦1 − 𝑦12 )2 + 50𝑦1 − 𝜋 5 2

𝑀2 = 125 𝑎𝑟𝑐 sin [ +

𝑦1 −5

𝑦1 −5

5

5

] − 625 𝑎𝑟𝑐 sin [

1

] + 5𝑦12 (10𝑦1 − 𝑦12 )2

3 1 1 10 (10𝑦1 − 𝑦12 )2 − 50𝑦1 (10𝑦1 − 𝑦12 )2 + 125(10𝑦1 − 𝑦12 )2 − 25𝑦12 + 305.6177𝑦1 3

Momentos virtuales 𝒎𝜽

(l) 242

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Como se ha visto, cuando se requiere determinar una pendiente en cierto punto, debe aplicarse a la estructura un momento de par unitario en tal punto eliminando las cargas reales. Entonces, para calcular la rotaciĂłn tangencial en đ??´ se coloca sobre el marco un momento de par ficticio de 1 con sentido propuesto horario en đ??´, figura 2-7l. Se calculan las reacciones en los soportes y se determinan los momentos internos đ?‘šđ?œƒ con el mĂŠtodo de las secciones utilizando las mismas coordenadas đ?‘Ľ1 y đ?‘Ś1 que se emplearon al formular đ?‘€, con el objetivo de determinar la energĂ­a de deformaciĂłn virtual total en el marco. El sentido correcto de cada reacciĂłn se supone arbitrariamente dado que no se tiene certeza de cual sea. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio en el diagrama de cargas, figura 2-7m, se obtiene

+ ∑ đ?‘€đ??´ = 0 ⇒ 1 − đ?‘…đ??śđ?‘‹ (10) = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??śđ?‘‹ = 0.1 +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘‹ − 0.1 = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 0.1 +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 0

(m)

En la figura 2-7n se muestran los resultados obtenidos y se establecen las coordenadas. A continuaciĂłn se escriben las ecuaciones para los momentos internos đ?‘šđ?œƒ . Observe que nuevamente en ambos miembros no hay discontinuidad de carga y un corte perpendicular al eje de cada miembro serĂĄ suficiente, figuras 2-7Ăą y 2-7o.

243

CAPÍTULO 2

ANÁLISIS DE MARCOS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS

(n)

Miembro 𝐴 − 𝐵. 0𝑚 ≤ 𝑥1 ≤ 6 𝑓𝑡

+ ∑ 𝑚𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 −𝑚𝜃1 + 1 − 0.1(𝑥1 ) = 0 𝑚𝜃1 = 1 − 0.1𝑥1

(ñ)

244

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Miembro đ??ś − đ??ľ. 0đ?‘š ≤ đ?‘Ś1 ≤ 5đ?‘“đ?‘Ą

La descomposiciĂłn de đ?‘…đ??śđ?‘‹ es 4 đ?‘…đ??śđ?‘‹đ?‘‹ = đ?‘…đ??śđ?‘‹ đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?œƒ1 = 0.1 ( ) = 0.08 5 3 đ?‘…đ??śđ?‘‹đ?‘Œ = đ?‘…đ??śđ?‘‹ đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œƒ1 = 0.1 ( ) = 0.06 5

(o)

+ ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ đ?‘šđ?œƒ2 − 0.08(đ?‘Ś1 ) = 0 ⇒ đ?‘šđ?œƒ2 = 0.08đ?‘Ś1 EcuaciĂłn del trabajo virtual La ecuaciĂłn del trabajo virtual para conocer la rotaciĂłn en cualquier punto es đ??ż2

1∙đ?œƒ = âˆŤ đ??ż1

đ?‘€đ?‘šđ?œƒ đ?‘‘đ?‘Ľ đ??¸đ??ź

Al aplicarla en el marco, con los datos obtenidos resulta 1 6 5 1 ∙ đ?œƒđ??´ = âˆŤ (− đ?‘Ľ14 − 10đ?‘Ľ12 + 146.3348 đ?‘Ľ1 ) (1 − 0.1đ?‘Ľ1 )đ?‘‘đ?‘Ľ1 đ??¸đ??ź 0 36 1 1 5 đ?‘Ś1 − 5 đ?‘Ś1 − 5 + âˆŤ [125 đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘? sin [ ] − 625 đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘? sin [ ] + 5đ?‘Ś12 (10đ?‘Ś1 − đ?‘Ś12 )2 đ??¸đ??ź 0 5 5

+

3 1 1 10 (10đ?‘Ś1 − đ?‘Ś12 )2 − 50đ?‘Ś1 (10đ?‘Ś1 − đ?‘Ś12 )2 + 125(10đ?‘Ś1 − đ?‘Ś12 )2 − 25đ?‘Ś12 3

+305.6177đ?‘Ś1 ](0.08đ?‘Ś1 )đ?‘‘đ?‘Ś1 ⇒ đ?œƒđ??´ =

1 1 (1076.416325 + 241.60845) = (1318.02477) đ??¸đ??ź đ??¸đ??ź

Debido a que se obtuvo una magnitud positiva en la pendiente calculada, ĂŠsta tiene el mismo sentido que el momento de par unitario. Por lo tanto, đ?œƒđ??´ =

1 (1318.02477) đ??¸đ??ź 245

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Ejercicio 2.8 Determine el desplazamiento vertical del punto đ??ś con el mĂŠtodo del trabajo virtual del marco que se muestra en la figura 2-8a considerando sĂłlo las deformaciones debidas a la flexiĂłn;suponga que đ??¸đ??ź es constante. 4 đ?‘‡/đ?‘š 3 đ?‘‡/đ?‘š 30°

đ??ś

đ??ľ

4đ?‘š 90°

1.5 đ?‘š đ??´

2đ?‘š

đ??ˇ

3đ?‘š

1đ?‘š

(a)

Figura 2-8 SOLUCIĂ“N Momentos reales đ?‘´ Se calculan las reacciones en los soportes y luego se deducen los momentos internos đ?‘€ del marco original. Las coordenadas đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 y đ?‘Ľ3 cubren las longitudes de los miembros đ??´ − đ??ľ, đ??ľ − đ??ś y đ??ˇ − đ??ś, respectivamente, figura 2-8b.

(b)

246

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Longitud del miembro inclinado es đ??żđ??ˇâˆ’đ??ś = √(1đ?‘š)2 + (4đ?‘š)2 = √17đ?‘š En consecuencia, đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?œƒ =

1

đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œƒ =

√17

4 √17

Como la fuerza de 3đ?‘‡ estĂĄ aplicada a la mitad del miembro đ??ˇ − đ??ś, por triĂĄngulos semejantes se infiere que la distancia đ?‘Ž es de 0.5đ?‘š. Con base en las figuras 2-8c y 2-8d, se determinan las componentes đ?‘Ľ y đ?‘Ś de las cargas puntuales inclinadas. -

Para đ??š1 = 5đ?‘‡ 5√3 đ?‘‡ 2 đ??šđ?‘Ś1 = 5đ?‘‡(sen 30°) = 2.5 đ?‘‡ đ??šđ?‘Ľ1 = 5đ?‘‡(cos 30°) =

đ??šđ?‘Ś1

30° đ??šđ?‘Ľ1

(c)

-

Para đ??š2 = 3đ?‘‡ 12 )đ?‘‡ = đ?‘‡ √17 √17 1 3 đ??šđ?‘Ś2 = 3đ?‘‡(sen đ?œƒ) = 3 ( )đ?‘‡ = đ?‘‡ √17 √17 đ??šđ?‘Ľ2 = 3đ?‘‡(cos đ?œƒ) = 3 (

đ??šđ?‘Ś1

đ?œƒ đ??šđ?‘Ľ2

4

(d)

Se determinan las cargas concentradas equivalentes đ??´đ?‘– de las presiones, asĂ­ como su punto de aplicaciĂłn đ?‘ĽĚ…đ?‘– . -

-

Para la carga distribuida uniforme. đ?‘‡ 1 đ??´1 = (3 ) (1.5đ?‘š) đ?‘ĽĚ…1 = (1.5đ?‘š) đ?‘š 2

Para la carga de intendidad con variaciĂłn lineal. đ?‘‡ [(1.5đ?‘š) (4 đ?‘š)] 2 đ??´2 = đ?‘ĽĚ…2 = (1.5đ?‘š) 2 3

247

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

De aplicar las ecuaciones de equilibrio resulta +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ −đ?‘…đ??´đ?‘Ľ + đ??šđ?‘Ľ1 − đ??šđ?‘Ľ2 = 0 5√3 12 −đ?‘…đ??´đ?‘Ľ + ( )−( ) = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Ľ = 1.4197đ?‘‡ 2 √17 + ∑ đ?‘€đ??´ = 0 ⇒ đ??šđ?‘Ľ1 (4) + đ??´1 (đ?‘ĽĚ…1 ) + đ??´2 (1.5 + đ?‘ĽĚ…2 ) + đ??šđ?‘Ś2 (3 + đ?‘Ž) − đ??šđ?‘Ľ2 (2) − đ?‘…đ??ˇđ?‘Ś(4) = 0 (1.5)(4) 5√3 1.5 2 3 12 ( ) (4) + (3)(1.5) ( ) + ( ) (1.5 + (1.5)) + ( ) (3.5) − ( ) (2) 2 2 2 3 √17 √17

5√3 3 −đ?‘…đ??ˇđ?‘Ś(4) = 0 ⇒ ( ) (4) + 4.5(0.75) + (3)(2.5) + ( ) (3.5) 2 √17 12 −( ) (2) − đ?‘…đ??ˇđ?‘Ś(4) = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??ˇđ?‘Ś = 6.2303đ?‘‡ √17 +↑ ∑ đ??šđ?‘Ś = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Ś − đ??šđ?‘Ś1 − đ??´1 − đ??´2 + đ?‘…đ??ˇđ?‘Ś = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Ś − 2.5 − 4.5 −3 − (

3

) + 6.2303 = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Ś = 4.4973đ?‘‡ √17

Las funciones de momento đ?‘€ para cada regiĂłn distinta por miembro son deducidas a partir de las figuras 2-8e, 2-8f, 2-8g, 2-8i y 2-8j. Miembro đ??´ − đ??ľ.

0 ≤ đ?‘Ľ1 ≤ 4đ?‘š + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ −đ?‘€1 + 1.4197 (đ?‘Ľ1 ) = 0 đ?‘€1 = 1.4197 đ?‘Ľ1

Miembro đ??ľ − đ??ś. 0 ≤ đ?‘Ľ2 ≤ 1.5đ?‘š

(e)

La fuerza resultante de la carga distribuida uniforme cortada es đ??´1đ??ś = (3đ?‘‡/đ?‘š)(đ?‘Ľ2 ) 1

y su punto de aplicaciĂłn es đ?‘ĽĚ…đ??ź = 2 (đ?‘Ľ2 ). 248

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

+ ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 đ?‘Ľ2 −đ?‘€2 + 4.4973(đ?‘Ľ2 ) + 1.4197(4) − 2.5(đ?‘Ľ2 ) − 3(đ?‘Ľ2 ) ( ) = 0 2 3 2 đ?‘€2 = − đ?‘Ľ2 + 1.9973đ?‘Ľ2 + 5.6788 2

(f)

1.5đ?‘š ≤ đ?‘Ľ2 ≤ 3đ?‘š El valor de la intensidad đ?‘¤Â´ en funciĂłn de đ?‘Ľ2 es 4 đ?‘‡â „đ?‘š đ?‘¤Â´ 8(đ?‘Ľ2 − 1.5) = ⇒ đ?‘¤Â´ = 1.5đ?‘š đ?‘Ľ2 − 1.5đ?‘š 3

La carga concentrada equivalente de la carga triangular seccionada y su punto de aplicaiĂłn son, respectivamente

đ??´2đ??ś

8(đ?‘Ľ − 1.5) (đ?‘Ľ2 − 1.5) [ 2 ] 3 =[ ] 2

đ?‘ĽĚ… đ??źđ??ź =

(g) 249

2 (đ?‘Ľ − 1.5) 3 2

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

+ ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ −đ?‘€3 + 4.4973(đ?‘Ľ2 ) + 1.4197(4) − 2.5(đ?‘Ľ2 ) − 3(1.5) (đ?‘Ľ2 −

1.5 ) 2

8(đ?‘Ľ2 − 1.5) (đ?‘Ľ2 − 1.5) [ ] 1 3 −[ ] [ (đ?‘Ľ2 -1.5)] = 0 2 3

đ?‘€3 = 4.4973đ?‘Ľ2 + 5.6788 − 2.5đ?‘Ľ2 − 4.5đ?‘Ľ2 +

27 4 − ( ) (đ?‘Ľ2 − 15)3 8 9

4 đ?‘€3 = − ( ) (đ?‘Ľ2 − 15)3 − 2.5027đ?‘Ľ2 + 9.0538 9

Miembro đ??ˇ − đ??ś. A partir de la figura 2-8h, se calculan las componentes rectangulares de đ?‘…đ??ˇđ?‘Ś para los ejes que coinciden con las lĂ­neas de acciĂłn de la fuerza cortante y de la fuerza normal del miembro đ??ˇ − đ??ś. 1 đ??šđ?‘Ľ = (6.2303đ?‘‡)(đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?œƒ) = (6.2303đ?‘‡) ( ) = 1.5111 đ?‘‡ √17

đ?‘…đ??ˇđ?‘Ś

4 đ??šđ?‘Ś = (6.2303đ?‘‡)(đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œƒ) = (6.2303đ?‘‡) ( ) = 6.0443 đ?‘‡ √17

0 ≤ �3 ≤

đ?œƒ

(h)

√17 đ?‘š 2

+ ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ −đ?‘€4 − 1.5111( đ?‘Ľ3 ) = 0 đ?‘€4 = −1.5111( đ?‘Ľ3 )

(i)

250

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

√17 đ?‘š ≤ đ?‘Ľ3 ≤ √17đ?‘š 2

+ ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 −đ?‘€5 − 1.5111( đ?‘Ľ3 ) + 3 (đ?‘Ľ3 −

đ?‘€5 = 1.4889 đ?‘Ľ3 −

√17 )=0 2

3√17 2

(j)

Momentos virtuales đ?’Ž Se requiere conocer el desplazamiento vertical en el punto đ??ś, entonces se analiza un marco con las misma geometrĂ­a y condiciones de apoyo que el marco real, pero sin las cargas a las que se somete este Ăşltimo, y a esta nueva estructura se le aplica una carga virtual unitaria vertical en đ??ś, figura 2-8k. Los momentos internos đ?‘š deben calcularse utilizando las mismas coordenadas đ?‘Ľ que se usaron para đ?‘€.

(k)

Las fuerzas reactivas en los apoyos son resultado de + ∑ đ?‘€đ??´ = 0 ⇒ 1(3) − đ?‘…đ??ˇđ?‘Ś(4) = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??ˇđ?‘Ś = 251

3 = 0.75 4

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

+↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Ś − 1 + 0.75 = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Ś = 0.25 +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Ľ = 0 Las funciones de momento đ?‘š para cada regiĂłn distinta por miembro son deducidas a continuaciĂłn, a partir de las figuras 2-8l, 2-8m y 2-8n. Miembro đ??´ − đ??ľ. 0 ≤ đ?‘Ľ1 ≤ 4đ?‘š

+ ∑ đ?‘šđ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ đ?‘š1 = 0

(l)

Miembro đ??ľ − đ??ś. 0 ≤ đ?‘Ľ2 ≤ 3đ?‘š + ∑ đ?‘šđ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 −đ?‘š2 + 0.25 (đ?‘Ľ2 ) = 0 ⇒ đ?‘š2 = 0.25 đ?‘Ľ2

(m)

Miembro đ??ˇ − đ??ś. 0 ≤ đ?‘Ľ3 ≤ √17đ?‘š Las componentes rectangulares de đ?‘…đ??ˇđ?‘Ś son 3 1 3√17 đ??šđ?‘Ľ = (0.75)(đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?œƒ) = ( ) ( )=( ) 4 √17 68

252

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

3 4 3 đ??šđ?‘Ś = (0.75)(đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œƒ) = ( ) ( )=( ) 4 √17 √17

+ ∑ đ?‘šđ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 3√17 3√17 −đ?‘š3 − ( ) đ?‘Ľ3 ⇒ đ?‘š3 = − ( ) đ?‘Ľ3 68 68

(n)

EcuaciĂłn del trabajo virtual Con base en los datos se tiene đ??ż2

1 ∙ ∆= âˆŤ đ??ż1

đ?‘€đ?‘š đ?‘‘đ?‘Ľ đ??¸đ??ź

3

1 4 1 2 3 1 ∙ đ?›żđ?‘‰đ??ś âˆŤ (1.4197 đ?‘Ľ1 )(0)đ?‘‘đ?‘Ľ1 + âˆŤ (− đ?‘Ľ22 + 1.9973đ?‘Ľ2 + 5.6788) (0.25đ?‘Ľ2 )đ?‘‘đ?‘Ľ2 đ??¸đ??ź 0 đ??¸đ??ź 0 2 1 3 4 + âˆŤ [− ( ) (đ?‘Ľ2 − 15)3 − 2.5027đ?‘Ľ2 + 9.0538] (0.25đ?‘Ľ2 )đ?‘‘đ?‘Ľ2 đ??¸đ??ź 3 9 2

√17 2

1 âˆŤ đ??¸đ??ź 0

(−1.5111( đ?‘Ľ3 )) (−

3√17 1 √17 3√17 3√17 đ?‘Ľ3 ) đ?‘‘đ?‘Ľ3 + + âˆŤ (1.4889 đ?‘Ľ3 − ) (− đ?‘Ľ ) đ?‘‘đ?‘Ľ3 68 đ??¸đ??ź √17 2 68 3 2

El desplazamiento vertical de đ??ś es entonces đ?›żđ?‘‰đ??ś =

1 1 [0 + 1.6843 + 2.3322 + 0.8028 + 1.6349] = [6.4542] đ??¸đ??ź đ??¸đ??ź

El signo positivo de la suma algebraica de todas las integrales de todo el marco indica que el desplazamiento calculado tiene el mismo sentido que el supuesto para la carga virtual unitaria. ∴ đ?›żđ?‘‰đ??ś =

1 [6.4542] ↓ đ??¸đ??ź 253

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Ejercicio 2.9 Determinar las reacciones en los soportes y las funciones de fuerza cortante, de momento flector y de fuerza normal del siguiente marco isostĂĄtico mostrado en la figura 2-9a. Calcular tambiĂŠn el desplazamiento vertical y la pendiente (ambos en el punto đ??ľ) tomando en cuenta Ăşnicamente las deformaciones debidas a la flexiĂłn utilizando el mĂŠtodo del trabajo virtual. Suponga que đ??¸đ??ź es constante. 5 đ?‘‡/đ?‘š 3đ?‘‡ đ??ľ

đ??ś 2đ?‘š 4đ?‘‡

đ??´

(a)

Figura 2-9

2đ?‘š đ??ˇ

2đ?‘š

2đ?‘š

SOLUCIĂ“N CĂĄlculo de las reacciones en los soportes Al aplicar las ecuaciones de equilibrio en una secuencia y al emplear los resultados calculados previamente, se tiene 5(2) 2 10 + ∑ đ?‘€đ??´ = 0 ⇒ 3(2) + ( ) (2 + (2)) − đ?‘…đ??ˇđ?‘Ś (4) = 0 ⇒ 6 + 5 ( ) − 4đ?‘…đ??ˇđ?‘Ś = 0 2 3 3 đ?‘…đ??ˇđ?‘Ś =

17 ⇒ ∴ đ?‘…đ??ˇđ?‘Ś = 5.67đ?‘‡ 3

+→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ 3đ?‘‡ + 4đ?‘‡ − đ?‘…đ??´đ?‘Ľ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Ľ = 7 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Ľ = 7đ?‘‡ +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ −đ?‘…đ??´đ?‘Ś −

5( 2) 2

+

17 3

= 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Ś =

2 đ?‘‡ ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Ś == 0.67đ?‘‡ 3

Funciones de la fuerza cortante, de la fuerza normal y del momento flector En la figura 2-9b se muestran los resultados obtenidos. Las funciones de las acciones internas son discontinuas en đ??ľ, al centro del miembro đ??ľ − đ??ś, en đ??ś y a la mitad del miembro đ??ˇ − đ??ś, y serĂĄn calculadas con el mĂŠtodo de las secciones. Se ha optado por definir una sola coordenada đ?‘Ľ para cada miembro, es decir, las coordenadas đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 y đ?‘Ľ3 que tienen sus orĂ­genes en đ??´, đ??ľ y đ??ˇ, son vĂĄlidas sĂłlo dentro de las regiones desde đ??´ hasta đ??ľ para đ?‘Ľ1 , de đ??ľ a đ??ś para đ?‘Ľ2 y de đ??ˇ a đ??ś para đ?‘Ľ3 . 254

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

5 �/� 3� �2

đ??ľ

đ?‘…đ??´đ?‘Ľ = 7đ?‘‡

đ??ś 2đ?‘š

đ?‘Ľ1 đ??´

4� �3

(b) 2 đ?‘…đ??´đ?‘Ś = đ?‘‡ = 0.67đ?‘‡ 3

2đ?‘š

đ??ˇ

đ?‘…đ??ˇđ?‘Ś = 2đ?‘š

17 � = 5.67� 3

2đ?‘š

Con base en las figuras 2-9c, 2-9d, 2-9e, 2-9f y 2-9g, las funciones de las acciones internas para cada regiĂłn distinta por miembro son deducidas a continuaciĂłn. Miembro đ??´ − đ??ľ. 0 ≤ đ?‘Ľ1 ≤ 2đ?‘š + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ −đ?‘€1 + 7(đ?‘Ľ1 ) = 0 ⇒ đ?‘€1 = 7đ?‘Ľ1 đ?‘‘đ?‘€1 =7 đ?‘‘đ?‘Ľ1 2 2 ↑ + ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘ 1 − = 0 ⇒ đ?‘ 1 = 3 3 đ?‘‰1 =

(c)

Miembro đ??ľ − đ??ś. 0 ≤ đ?‘Ľ2 ≤ 2đ?‘š 2 2 + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ −đ?‘€2 + (7)(2) − (đ?‘Ľ2 ) = 0 ⇒ đ?‘€2 = − đ?‘Ľ2 + 14 3 3 đ?‘‘đ?‘€2 2 đ?‘‰2 = =− đ?‘‘đ?‘Ľ2 3 +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ −7 + 3 + đ?‘ 2 = 0 ⇒ đ?‘ 2 = 4

2đ?‘š ≤ đ?‘Ľ2 ≤ 4đ?‘š El valor de la intensidad đ?‘¤ en funciĂłn de đ?‘Ľ2 es: 5 đ?‘¤ 5(đ?‘Ľ2 − 2) = â&#x;šđ?‘¤= 2 đ?‘Ľ2 − 2 2 255

(d)

CAPÍTULO 2

ANÁLISIS DE MARCOS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS

+ ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 5(𝑥 − 2) ( 22 ) (𝑥2 − 2) 1 2 −𝑀3 + 7(2) − (𝑥2 ) − ( (𝑥2 − 2)) = 0 3 2 3

2 5 (𝑥 − 2)3 𝑀3 = 14 − 𝑥2 − 3 12 2 𝑉3 =

𝑑𝑀3 2 5 = − − (𝑥2 − 2)2 𝑑𝑥2 3 4

+→ ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒ 𝑁3 = 4 (e)

Miembro 𝐷 − 𝐶. 0 ≤ 𝑥3 ≤ 2𝑚 + ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 ⇒ 𝑀4 = 0 ∴ 𝑉4 = 0 +↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒ 𝑁4 +

17 17 = 0 ⇒ 𝑁4 = − 3 3

(f)

2𝑚 ≤ 𝑥3 ≤ 4𝑚 + ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 ⇒ −𝑀5 − 4(𝑥3 − 2) = 0 ⇒ 𝑀5 = −4𝑥3 + 8 𝑉5 =

𝑑𝑀5 = −4 𝑑𝑥3

+↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒ 𝑁5 = −

17 3 (g)

Para calcular el desplazamiento vertical en 𝑩, se sigue el siguiente procedimiento: 256

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Momentos reales đ?‘´ Los momentos internos đ?‘€ fueron deducidos en la estructura real. Realizando un recuento tenemos Miembro đ??´ − đ??ľ. đ?‘€1 = 7đ?‘Ľ1

0 ≤ �1 ≤ 2�

Miembro đ??ľ − đ??ś. 2 đ?‘€2 = − đ?‘Ľ2 + 14 3

0 ≤ �2 ≤ 2�

2 5 đ?‘€3 = 14 − đ?‘Ľ2 − (đ?‘Ľ2 − 2)3 3 12

2� ≤ �2 ≤ 4�

Miembro đ??ˇ − đ??ś. đ?‘€4 = 0

0 ≤ �3 ≤ 2�

đ?‘€5 = −4đ?‘Ľ3 + 8

2� ≤ �3 ≤ 4�

Momentos virtuales đ?’Ž El desplazamiento vertical del punto đ??ľ se obtiene al colocar una carga virtual unitaria vertical en đ??ľ con un sentido supuesto hacia abajo, figura 2-9h. Las cargas reales son suprimidas y se usan las mismas coordenadas đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 y đ?‘Ľ3 que en đ?‘€ para calcular los momentos internos đ?‘š con el mĂŠtodo de las secciones. 1 đ??ľ

đ?‘Ľ2

đ??ś 2đ?‘š

đ?‘Ľ1 đ??´ đ?‘…đ??´đ?‘Ľ = 0

đ?‘Ľ3

2đ?‘š

đ??ˇ

đ?‘…đ??´đ?‘Ś = 1

đ?‘…đ??ˇđ?‘Ś = 0 4đ?‘š

(h)

Las reacciones en los apoyos son resultado de + ∑ đ?‘€đ??´ = 0 ⇒ −đ?‘…đ??ˇđ?‘Ś (4) = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??ˇđ?‘Ś = 0 257

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

+↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Ś − 1 = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Ś = 1 +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Ľ = 0 Por inspecciĂłn, los momentos internos đ?‘š son Miembro đ??´ − đ??ľ. đ?‘š1 = 0 0 ≤ đ?‘Ľ1 ≤ 2đ?‘š Miembro đ??ľ − đ??ś. đ?‘š2 = −(1)(đ?‘Ľ2 ) + (1)(đ?‘Ľ2 ) = 0

0 ≤ �2 ≤ 4�

Miembro đ??ˇ − đ??ś. đ?‘š3 = 0 0 ≤ đ?‘Ľ3 ≤ 4đ?‘š EcuaciĂłn del trabajo virtual Al aplicar la ecuaciĂłn del trabajo virtual al marco, con los datos que se obtuvieron, se tiene đ??ż2

1 ∙ ∆= âˆŤ đ??ż1

1 ∙ đ?›żđ?‘‰đ??ľ =

+

đ?‘€đ?‘š đ?‘‘đ?‘Ľ đ??¸đ??ź

1 2 1 2 2 âˆŤ (7đ?‘Ľ1 )(0)đ?‘‘đ?‘Ľ1 + âˆŤ (− đ?‘Ľ2 + 4) (0)đ?‘‘đ?‘Ľ2 đ??¸đ??ź 0 đ??¸đ??ź 0 3

1 4 2 5 1 2 1 4 âˆŤ [14 − đ?‘Ľ2 − (đ?‘Ľ2 − 2)3 ] (0)đ?‘‘đ?‘Ľ2 + âˆŤ (0)(0)đ?‘‘đ?‘Ľ3 + âˆŤ (−4đ?‘Ľ3 + 8)(0)đ?‘‘đ?‘Ľ3 đ??¸đ??ź 2 3 12 đ??¸đ??ź 0 đ??¸đ??ź 2

Por lo tanto, el desplazamiento vertical de đ??ľ es đ?›żđ?‘‰đ??ľ = 0 Para calcular el desplazamiento vertical en đ?‘Š, se sigue el siguiente procedimiento: Momentos reales đ?‘´ Recuerde que los momentos internos đ?‘€ son Miembro đ??´ − đ??ľ. đ?‘€1 = 7đ?‘Ľ1

0 ≤ �1 ≤ 2�

Miembro đ??ľ − đ??ś. 2 đ?‘€2 = − đ?‘Ľ2 + 14 3 258

0 ≤ �2 ≤ 2�

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

2 5 đ?‘€3 = 14 − đ?‘Ľ2 − (đ?‘Ľ2 − 2)3 3 12

2� ≤ �2 ≤ 4�

Miembro đ??ˇ − đ??ś. đ?‘€4 = 0

0 ≤ �3 ≤ 2�

đ?‘€5 = −4đ?‘Ľ3 + 8

2� ≤ �3 ≤ 4�

Momentos virtuales đ?’Žđ?œ˝ Se aplica un momento de par virtual en đ??ľ cuyo sentido se ha propuesto horario, puesto que debe determinarse la pendiente en ese punto, figura 2-9i. De una manera similar a los momentos đ?‘š, se calculan los momentos internos đ?‘šđ?œƒ . 1 đ??ľ

đ?‘Ľ2

đ??ś 2đ?‘š

đ?‘Ľ1 đ??´ đ?‘…đ??´đ?‘Ľ = 0

đ?‘Ľ3 đ?‘…đ??´đ?‘Ś =

1

2đ?‘š

đ??ˇ

4

đ?‘…đ??ˇđ?‘Ś =

1 4

4đ?‘š

(i)

Las reacciones en los soportes se obtienen de + ∑ đ?‘€đ??´ = 0 ⇒ 1 − đ?‘…đ??ˇđ?‘Ś (4) = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??ˇđ?‘Ś = 1/4 +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ −đ?‘…đ??´đ?‘Ś + (1/4) = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Ś = 1/4 +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Ľ = 0 Nuevamente por inspecciĂłn, los momentos internos đ?‘šđ?œƒ son Miembro đ??´ − đ??ľ. đ?‘š1 = 0 0 ≤ đ?‘Ľ1 ≤ 2đ?‘š Miembro đ??ľ − đ??ś. 1 đ?‘š2 = 1 − đ?‘Ľ2 0 ≤ đ?‘Ľ2 ≤ 4đ?‘š 4 Miembro đ??ˇ − đ??ś. 259

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

đ?‘š3 = 0

0 ≤ �3 ≤ 4�

EcuaciĂłn del trabajo virtual Entonces, la pendiente en đ??ľ es resultado de đ??ż2

1∙đ?œƒ =âˆŤ đ??ż1

đ?‘€đ?‘šđ?œƒ (đ?‘‘đ?‘Ľ) đ??¸đ??ź

1 2 1 2 2 1 1 ∙ đ?œƒđ??ľ = âˆŤ (7đ?‘Ľ1 )(0)đ?‘‘đ?‘Ľ1 + âˆŤ (− đ?‘Ľ2 + 14) (1 − đ?‘Ľ2 ) đ?‘‘đ?‘Ľ2 đ??¸đ??ź 0 đ??¸đ??ź 0 3 4 1 4 2 5 1 + âˆŤ [14 − đ?‘Ľ2 − (đ?‘Ľ2 − 2)3 ] (1 − đ?‘Ľ2 ) đ?‘‘đ?‘Ľ2 đ??¸đ??ź 2 3 12 4 1 2 1 4 + âˆŤ (0)(0)đ?‘‘đ?‘Ľ3 + âˆŤ (−4đ?‘Ľ3 + 8)(0)đ?‘‘đ?‘Ľ3 đ??¸đ??ź 0 đ??¸đ??ź 2 Resolviendo las integrales por separado se obtiene 1 2 2 1 1 1 25 âˆŤ (− đ?‘Ľ2 + 14) (1 − đ?‘Ľ2 ) đ?‘‘đ?‘Ľ2 = ( đ?‘Ľ22 − đ?‘Ľ2 + 14) đ?‘‘đ?‘Ľ2 đ??¸đ??ź 0 3 4 đ??¸đ??ź 6 6 2 1 1 3 25 2 1 1 25 181 = [ đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ2 + 14đ?‘Ľ2 ] = [ (23 ) − (22 ) + 14(2)] = đ??¸đ??ź 18 12 đ??¸đ??ź 18 12 9đ??¸đ??ź 0

1 4 2 5 1 1 4 5 25 3 47 2 52 (đ?‘Ľ2 − 2)3 ] (1 − đ?‘Ľ2 ) đ?‘‘đ?‘Ľ2 = âˆŤ ( đ?‘Ľ24 − âˆŤ [14 − đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − 10đ?‘Ľ2 + ) đ?‘‘đ?‘Ľ2 đ??¸đ??ź 2 3 12 4 đ??¸đ??ź 2 48 24 2 12 2 3

=

4 1 1 5 25 4 47 3 52 [ đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ2 − 5đ?‘Ľ22 + đ?‘Ľ2 ] đ??¸đ??ź 48 96 36 3 2

1 1 5 25 47 52 107 [ (4 − 25 ) − (44 − 24 ) + (43 − 23 ) − 5(42 − 22 ) + (4 − 2)] = đ??¸đ??ź 48 96 36 3 18đ??¸đ??ź En consecuencia, đ?œƒđ??ľ =

1 181 107 469 [0 + + + 0 + 0] = đ??¸đ??ź 9 18 18đ??¸đ??ź

El signo positivo de la suma algebraica de todas las integrales de todo el marco indica que el sentido propuesto del momento virtual unitario fue correcto,por lo que el giro calculado debe ser horario. ∴ đ?œƒđ??ľ =

469 18đ??¸đ??ź

260

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Ejercicio 2.10 Calcule el desplazamiento horizontal del punto đ??´ en el marco mostrado en la figura 2-10a. Sobre los miembros đ??´ − đ??ľ, đ??ľ − đ??ˇ y đ??¸ − đ??ˇ se extienden de forma respectiva una carga cuya intensidad varĂ­a linealmente desde 0 en el punto đ??´ hasta 4đ?‘‡/đ?‘š en đ??ľ, una carga distribuida uniforme de 3đ?‘‡/đ?‘š y una carga cuya intensidad, definida por la funciĂłn đ?‘Ś = 1/√5 − 2đ?‘Ľ, varĂ­a desde

√5 5

đ?‘‡/đ?‘š en đ??¸ hasta

1 đ?‘‡/đ?‘š en đ??ˇ. En la trabe hay una articulaciĂłn en đ??ś. Considere un đ??¸đ??ź constante.

(a)

Figura 2-10

SOLUCIĂ“N Momentos reales đ?‘´ Las fuerzas reactivas en los apoyos y los momentos reales đ?‘€ son calculados. Se usan las coordenadas đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 y đ?‘Ľ3 , justo como se observa en la figura 2-10b.

(b)

La expresiĂłn matemĂĄtica para determinar la fuerza resultante de la carga distribuida cuya intensidad se define por la funciĂłn radical es đ??ż2

2

đ??´đ??ś = âˆŤ đ?‘‘đ??´ = âˆŤ đ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ đ??ż1

0

1 √5 − 2đ?‘Ľ

Se resuelve la integral de forma indefinida. âˆŤ

1 √5 − 2đ?‘Ľ

1

đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ(5 − 2đ?‘Ľ)−2 đ?‘‘đ?‘Ľ

261

đ?‘‘đ?‘Ľ

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

1

1

Sean đ?‘› = − 2 y đ?‘˘ = 5 − 2đ?‘Ľ. Entonces đ?‘‘đ?‘˘ = −2đ?‘‘đ?‘Ľ, y por tanto đ?‘‘đ?‘Ľ = − 2 đ?‘‘đ?‘˘. AsĂ­, la regla de sustituciĂłn da 1

âˆŤ(5 −

1 2đ?‘Ľ)−2 đ?‘‘đ?‘Ľ

1 1 1 đ?‘˘đ?‘›+1 1 (5 − 2đ?‘Ľ)−2+1 đ?‘› đ?‘› = âˆŤ đ?‘˘ ∙ − đ?‘‘đ?‘˘ = − âˆŤ đ?‘˘ đ?‘‘đ?‘˘ = − ( )=− ( ) 1 2 2 2 đ?‘›+1 2 −2+1 1

= −(5 − 2đ?‘Ľ)2 2

âˆŤ 0

1 √5 − 2đ?‘Ľ

đ?‘‘đ?‘Ľ = [−(5 −

1 2 2đ?‘Ľ)2 ] 0

1

1

= [−(5 − 2(2))2 ] − [−(5 − 2(0))2 ]

= −1 + 2.23606777 = 1.236067977 Por lo tanto, đ??´ = 1.236067977 đ?‘‡ El punto de aplicaciĂłn de tal fuerza es đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ âˆŤ đ?‘ĽĚƒ đ?‘‘đ??´ − 2đ?‘Ľ √5 1 đ?‘ĽĚ… = = đ??ż2 = 2 1 âˆŤ đ?‘‘đ??´ âˆŤđ??ż đ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ âˆŤ0 1 √5 − 2đ?‘Ľ đ??ż

2 âˆŤđ??ż đ?‘Ľđ?‘Śđ?‘‘đ?‘Ľ

2

âˆŤ0

Como el denominador ya ha sido resuelto, sĂłlo atendemos al numerador. âˆŤ

đ?‘Ľ √5 − 2đ?‘Ľ

đ?‘‘đ?‘Ľ

Sea �=�

đ?‘‘đ?‘Ł =

1 √5 − 2đ?‘Ľ

đ?‘‘đ?‘Ľ

Entonces �� = ��

âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ł = đ?‘Ł = âˆŤ

1 √5 − 2đ?‘Ľ

1

đ?‘‘đ?‘Ľ = −(5 − 2đ?‘Ľ)2

Al integrar por partes tendremos âˆŤ đ?‘˘ đ?‘‘đ?‘Ł = đ?‘˘đ?‘Ł − âˆŤ đ?‘Ł đ?‘‘đ?‘˘ âˆŤ

đ?‘Ľ √5 − 2đ?‘Ľ

1

1

đ?‘‘đ?‘Ľ = (đ?‘Ľ) [−(5 − 2đ?‘Ľ)2 ] + âˆŤ(5 − 2đ?‘Ľ)2 đ?‘‘đ?‘Ľ

262

CAPÍTULO 2

ANÁLISIS DE MARCOS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS 3

∫(5 −

∫

1 2𝑥)2

3

1 (5 − 2𝑥)2 1 1 (5 − 2𝑥)2 𝑑𝑥 = − ∫(5 − 2𝑥)2 (−2𝑑𝑥) = − ( )=− 3 2 2 3 2 3

𝑥 √5 − 2𝑥

𝑑𝑥 = −𝑥(5 −

1 2𝑥)2

1

= (5 − 2𝑥)2 (−𝑥 − −𝑥 −

5 − 2𝑥 ) 3

5 − 2𝑥 −3𝑥 − 5 + 2𝑥 −𝑥 − 5 1 = = = − (𝑥 + 5) 3 3 3 3 ∫

2

1

1 (5 − 2𝑥)2 (5 − 2𝑥)(5 − 2𝑥)2 − = −𝑥(5 − 2𝑥)2 − 3 3

𝑥 √5 − 2𝑥

𝑑𝑥 = −

(√5 − 2𝑥)(𝑥 + 5) 3 2

(√5 − 2𝑥)(𝑥 + 5) 5√5 7 ∫ 𝑑𝑥 = [− ] = − ≈ 1.393446629 3 3 3 0 √5 − 2𝑥 0 𝑥

Por lo tanto, 𝑥̅ =

1.393446629 = 1.127322004𝑚 1.236067977

Al aplicar las ecuaciones de la estática se tiene + ∑ 𝑀𝐶 𝑖𝑧𝑞 = 0 ⇒ 𝑅𝐴𝑌 (4) − [

+→ ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒ [

(4)(2) 1 1 20 ] ( (2)) − (3)(4) ( (4)) = 0 ⇒∴ 𝑅𝐴𝑌 = 𝑇 2 3 2 3

(4)(2) ] − 2 − 1.236067977 − 𝑅𝐸𝑋 = 0 ⇒∴ 𝑅𝐸𝑋 = 0.763932023 𝑇 2

+↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒

20 34 − (3)(6) + 𝑅𝐸𝑌 = 0 ⇒∴ 𝑅𝐸𝑦 = 𝑇 3 3

+ ∑ 𝑀𝐶 𝑑𝑒𝑟 = 0 ⇒ (3)(2)((1/2) (2)) + 1.236067977(2 − 1.127322004) +(0.763932023)(2)(−(34/3)(2) + 𝑀𝐸 = 0 ⇒∴ 𝑀𝐸 = 14.0601133 𝑇 ∙ 𝑚

Con base en el método de secciones, se deducen los momentos internos 𝑀. Obsérvese que un solo corte en cada miembro es necesario, figuras 2-10c, 2-10e y 2-10f. 263

CAPÍTULO 2

ANÁLISIS DE MARCOS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS

Miembro 𝐴 − 𝐵. 0 ≤ 𝑥1 ≤ 2𝑚 + ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 (𝑥1 )(2𝑥1 ) 2 𝑥13 −𝑀1 − [ ] (𝑥1 − 𝑥1 ) = 0 ⇒ 𝑀1 = − 2 3 3 𝑥̅𝐼

𝐴𝑇𝐶

(c)

La intensidad 𝑤1 en función de 𝑥1 se obtiene con base en la figura 2-10d.

4 = 𝑤1 /𝑥1 ⇒ 𝑤1 = 2𝑥1 2

(d)

Miembro 𝐵 − 𝐷. 0 ≤ 𝑥2 ≤ 6𝑚 + ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 −𝑀2 +

(4)(2) 1 20 1 (𝑥2 ) − [ ] ( (2)) − (3)(𝑥2 ) ( 𝑥2 ) = 0 3 2 3 2

𝐴𝑇

𝑥̅1

𝐴𝑈𝑅𝐶

𝑥̅𝐼𝐼

8 20 3 𝑀2 = − + 𝑥2 − 𝑥22 3 3 2 𝑒𝑛 𝑥2 = 4, 𝑀2 = 0 ⟶ 𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜. (e)

264

CAPร TULO 2

ANร LISIS DE MARCOS ESTร TICAMENTE DETERMINADOS

Miembro ๐ ธ โ ๐ ท. 0 โ ค ๐ ฅ3 โ ค 2๐

(f)

La carga concentrada equivalente de la carga distribuida seccionada es ๐ ฅ3

๐ ด๐ ถ๐ ถ = โ ซ 0

1 โ 5 โ 2๐ ฅ

๐ ๐ ฅ = [โ (5 โ

1 ๐ ฅ3 2๐ ฅ)2 ] 0

= โ 5 โ โ 5 โ 2๐ ฅ3

y su punto de aplicaciรณn es ๐ ฅ ๐ ๐ ฅ โ 5 โ 2๐ ฅ = ๐ ฅ3 1 ๐ ๐ ฅ โ ซ0 โ 5 โ 2๐ ฅ ๐ ฅ3

๐ ฅฬ ๐ ผ๐ ผ๐ ผ

๐ ฅ3

โ ซ0

๐ ฅ3

(โ 5 โ 2๐ ฅ)(๐ ฅ + 5) 5โ 5 (โ 5 โ 2๐ ฅ3 )(๐ ฅ3 + 5) โ ซ ๐ ๐ ฅ = [โ ] = โ 3 3 3 0 โ 5 โ 2๐ ฅ 0 ๐ ฅ

โ ด ๐ ฅฬ ๐ ผ๐ ผ๐ ผ

5โ 5 (โ 5 โ 2๐ ฅ3 )(๐ ฅ3 + 5) โ 3 = 3 โ 5 โ โ 5 โ 2๐ ฅ3

+ โ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ก๐ = 0 โ โ ๐ 3 + 14.06011330 + 0.763932023(๐ ฅ3 ) 5โ 5 (โ 5 โ 2๐ ฅ3 )(๐ ฅ3 + 5) โ 3 +(โ 5 โ โ 5 โ 2๐ ฅ3 ) (๐ ฅ3 โ 3 )=0 โ 5 โ โ 5 โ 2๐ ฅ3 3 1 ๐ 3 = (5 โ 2๐ ฅ3 )2 + 3๐ ฅ3 + 10.33333333 3

265

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Momentos virtuales đ?’Ž Se incorpora en el marco una fuerza unitaria horizontal en el punto đ??´, figura 2-10g. Se calculan las reacciones en los soportes y despuĂŠs, los momentos internos virtuales usando unas coordenadas idĂŠnticas a las que se emplearon para đ?‘€.

(g)

Al aplicar las ecuaciones de equilibrio resulta + ∑ đ?‘€đ??ś đ?‘–đ?‘§đ?‘ž = 0 ⇒ −(1)(2) + đ?‘…đ??´đ?‘Œ (4) = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Œ =

1 2

+→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ 1 − đ?‘…đ??¸đ?‘‹ = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??¸đ?‘‹ = 1 +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ + ∑ đ?‘€đ??ś đ?‘‘đ?‘’đ?‘&#x; = 0 ⇒

1 1 − đ?‘…đ??¸đ?‘Œ = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??¸đ?‘Œ = 2 2

1 (2) + 1(2) − đ?‘€đ??¸ = 0 ⇒∴ đ?‘€đ??¸ = 3 2

A partir de las figuras 2-10h, 2-10i y 2-10j, se formulan los momentos internos đ?‘š a travĂŠs del mĂŠtodo de las secciones. Miembro đ??´ − đ??ľ.

0 ≤ đ?‘Ľ1 ≤ 2đ?‘š + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 −đ?‘€1 − 1(đ?‘Ľ1 ) = 0 ⇒ đ?‘€1 = −đ?‘Ľ1

(h) 266

CAPÍTULO 2

ANÁLISIS DE MARCOS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS

Miembro 𝐵 − 𝐷.

0 ≤ 𝑥2 ≤ 6𝑚 + ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 1 1 −𝑀2 + (𝑥2 ) − 1(2) = 0 ⇒ 𝑀2 = 𝑥2 − 2 2 2 𝑒𝑛 𝑥2 = 4, 𝑀2 = 0 → 𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝑛𝑢𝑙𝑜.

(i)

Miembro 𝐸 − 𝐷.

0 ≤ 𝑥3 ≤ 2𝑚 + ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 −𝑀3 + 1(𝑥3 ) − 3 ⇒ 𝑀3 = 𝑥3 − 3

(j)

Ecuación del trabajo virtual Entonces, el desplazamiento horizontal de 𝐴 es resultado de 𝐿2

1 ∙ ∆= ∫ 𝐿1

𝑀𝑚 𝑑𝑥 𝐸𝐼

2 6 1 𝑥13 8 20 3 1 (−𝑥 )𝑑𝑥 1 ∙ ∆𝐻𝐴 = ( ) [∫ (− ) 𝑥2 − 𝑥22 ) ( 𝑥2 − 2) 𝑑𝑥2 1 1 + ∫ (− + 𝐸𝐼 3 3 3 2 2 0 0 2

3 1 + ∫ ( (5 − 2𝑥3 )2 + 3𝑥3 + 10.33333333) (𝑥3 − 3)𝑑𝑥3 ] 0 3

267

CAPÍTULO 2

ANÁLISIS DE MARCOS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS

Se resuelven las integrales por separado. 2

2 𝑥13 𝑥14 𝑥15 32 (−𝑥 )𝑑𝑥 ∫ (− ) ] = 1 1 = ∫ ( ) 𝑑𝑥1 = [+ 3 3 15 0 15 0 0 2

6 6 8 20 3 1 3𝑥23 19𝑥22 44𝑥2 16 ∫ (− + 𝑥2 − 𝑥22 ) ( 𝑥2 − 2) 𝑑𝑥2 = ∫ (− + − + ) 𝑑𝑥2 3 3 2 2 4 3 3 3 0 0 6

3𝑥24 19𝑥23 22𝑥22 16𝑥2 = [− + − + ] = −19 16 9 3 3 0 2 3 1 ∫ ( (5 − 2𝑥3 )2 + 3𝑥3 + 10.33333333) (𝑥3 − 3)𝑑𝑥3 0 3 1

2

= ∫ [−(5 −

3 2𝑥3 )2

0

1

2𝑥32 (5 − 2𝑥3 )2 5𝑥3 (5 − 2𝑥3 )2 − + + 3𝑥32 + 1.33333𝑥3 − 31] 𝑑𝑥3 3 3

Una vez más se resuelven las integrales por separado. 2

∫ −(5 − 0

5 2

3 5 2 1 2 1 (5 − 2𝑥3 )2 1 2 ) ) = ∫ −(5 − 2𝑥3 (2)𝑑𝑥3 = [ ] = [(5 − 2𝑥3 2 ] 5 2 0 2 5 0 2 0 = −10.98033989

3 2𝑥3 )2 𝑑𝑥3

1

2

1 2𝑥32 (5 − 2𝑥3 )2 2 2 2 ∫ − 𝑑𝑥3 = − ∫ 𝑥3 (5 − 2𝑥3 )2 𝑑𝑥3 3 3 0 0

Sea 1

𝑢 = 𝑥32

𝑑𝑣 = (5 − 2𝑥3 )2 𝑑𝑥3

Entonces 3

𝑑𝑢 = 2𝑥3 𝑑𝑥3

−(5 − 2𝑥3 )2 ∫ 𝑑𝑣 = 𝑣 = 3

Al integrar por partes tendremos ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢

268

CAPÍTULO 2

ANÁLISIS DE MARCOS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS 3

2

3

1 2 2 2 2 −(5 − 2𝑥3 )2 −2𝑥3 (5 − 2𝑥3 )2 − ∫ 𝑥3 (5 − 2𝑥3 )2 𝑑𝑥3 = − [𝑥32 ( )−∫ 𝑑𝑥3 ] 3 0 3 3 3 0 2

3

3 2 −𝑥32 (5 − 2𝑥3 )2 2 =− [ + ∫ 𝑥3 (5 − 2𝑥3 )2 𝑑𝑥3 ] 3 3 3 0 3

∫ 𝑥3 (5 − 2𝑥3 )2 𝑑𝑥3 3

𝑑𝑣 = (5 − 2𝑥3 )2 𝑑𝑥3 5 1 ∫ 𝑑𝑣 = 𝑣 = − (5 − 2𝑥3 )2 5

𝑢 = 𝑥3

Sea Entonces

𝑑𝑢 = 𝑑𝑥3

Al integrar por partes tendremos ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢, es decir, 3 5 5 1 1 ∫ 𝑥3 (5 − 2𝑥3 )2 𝑑𝑥3 = − 𝑥3 (5 − 2𝑥3 )2 − ∫ − (5 − 2𝑥3 )2 𝑑𝑥3 5 5 5 7 5 1 1 1 1 = − 𝑥3 (5 − 2𝑥3 )2 − (5 − 2𝑥3 )2 = (5 − 2𝑥3 )2 (− 𝑥3 − (5 − 2𝑥3 ) ) 5 35 5 35

= (5 −

2

∫ −

2𝑥32 (5

0

1 2𝑥3 )2

− 3

5 1 2𝑥3 )2 (− 𝑥3

7

5

(𝑥3 + 1)(5 − 2𝑥3 )2 1 − )=− 7 7

−𝑥32 (5

2 𝑑𝑥3 = − [ 3

− 3

3 2𝑥3 )2

2 −(𝑥3 + 1)(5 − + [ 3 7

5 2𝑥3 )2

2

]] 0

3

2

3

2𝑥32 (5 − 2𝑥3 )2 4(𝑥3 + 1)(5 − 2𝑥3 )2 (5 − 2𝑥3 ) =[ + ] 9 63 = [(5 −

3 2 2𝑥3 )2 ( 𝑥32

9

2

0

4 + (𝑥3 + 1)(5 − 2𝑥3 ))] = [(5 − 63 0 3

= [(5 − 2𝑥3 )2 (

3 2 2𝑥3 )2 ( 𝑥32

9

8 2 4 20 2 − 𝑥3 + (𝑥3 ) + )] 63 21 63 0

3 6 2 2 4 20 2 12 20 2 𝑥3 + 𝑥3 + )] = [(5 − 2𝑥3 )2 ( 𝑥32 + 𝑥3 + )] 21 21 63 0 63 63 63 0 3 2

2(3𝑥32 + 6𝑥3 + 10)(5 − 2𝑥3 )2 =[ ] = −2.46995 63 0

269

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS 1

2

1 5đ?‘Ľ3 (5 − 2đ?‘Ľ3 )2 5 2 âˆŤ [ ] đ?‘‘đ?‘Ľ3 = âˆŤ đ?‘Ľ3 (5 − 2đ?‘Ľ3 )2 đ?‘‘đ?‘Ľ3 3 3 0 0

1

� = �3

Sea

đ?‘‘đ?‘Ł = (5 − 2đ?‘Ľ3 )2 đ?‘‘đ?‘Ľ3

3

(5 − 2đ?‘Ľ3 )2 âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ł = đ?‘Ł = − 3

Entonces �� = ��3

Al integrar por partes tendremos âˆŤ đ?‘˘đ?‘‘đ?‘Ł = đ?‘˘đ?‘Ł − âˆŤ đ?‘Łđ?‘‘đ?‘˘, es decir, 2

3

1 3 5 2 5 đ?‘Ľ3 (5 − 2đ?‘Ľ3 )2 1 âˆŤ đ?‘Ľ3 (5 − 2đ?‘Ľ3 )2 đ?‘‘đ?‘Ľ3 = [− + âˆŤ(5 − 2đ?‘Ľ3 )2 đ?‘‘đ?‘Ľ3 ] 3 0 3 3 3 0 3

2

5

3

3 2

(5 − 2đ?‘Ľ3 )2 5 đ?‘Ľ3 (5 − 2đ?‘Ľ3 )2 1 5đ?‘Ľ3 (5 − 2đ?‘Ľ3 )2 (5 − 2đ?‘Ľ3 )(5 − 2đ?‘Ľ3 )2 = [− + (− − ] )] = [− 3 3 3 5 9 9

0

0

= [(5 −

3 5 2đ?‘Ľ3 )2 (− đ?‘Ľ3

9

= [−

2 2 3 1 1 − (5 − 2đ?‘Ľ3 ) )] = [(5 − 2đ?‘Ľ3 )2 (− (3đ?‘Ľ3 + 5) )] 9 9 0 0

(3đ?‘Ľ3 + 5)(5 − 9

3 2 2đ?‘Ľ3 )2

] = 4.989077715 0

2

âˆŤ (3đ?‘Ľ32 + 1.33333đ?‘Ľ3 − 31) đ?‘‘đ?‘Ľ3 = [đ?‘Ľ33 + 0.666665đ?‘Ľ32 − 31đ?‘Ľ3 ]20 = −51.33334 0

∴ ∆đ??ťđ??´ =

1 32 [ − 19 − 10.98033989 − 2.46995 + 4.989077715 − 51.33334] đ??¸đ??ź 15 =−

76.66121884 đ??¸đ??ź

El signo negativo indica que ∆đ??ťđ??´ es opuesto al sentido que se propuso para la carga virtual unitaria horizontal. En consecuencia, ∆đ??ťđ??´ =

76.66121884 â†? đ??¸đ??ź 270

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Ejercicio 2.11 Determine el desplazamiento horizontal del punto đ??ś en el marco que se muestra en la figura 2-11a. Considere que đ??¸ e đ??ź son constantes. 21đ?‘˜

đ??´

đ??ľ 7đ?‘˜

8đ?‘“đ?‘Ą 7đ?‘“đ?‘Ą

3đ?‘“đ?‘Ą

đ??ś 6đ?‘“đ?‘Ą

15đ?‘“đ?‘Ą (a)

Figura 2-11

SOLUCIĂ“N Momentos reales đ?‘´ Se calculan las reacciones en los soportes y los momentos reales. Por conveniencia, se usarĂĄn las coordenadas đ?‘Ľ1 y đ?‘Ľ2 que se muestran en la figura 2-11b. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio se tiene + ∑ đ?‘€đ??´ = 0 ⇒ −21(8) − 7(18) + đ?‘…đ??śđ?‘Œ (21) = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??śđ?‘Œ = 14đ?‘˜ +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Œ − 21 + 14 − 7 = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 14đ?‘˜ +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 0

271

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

La longitud del miembro inclinado es đ??żđ??śâˆ’đ??ľ = √(8´)2 + (6´)2 = 10´

La fuerza de 7đ?‘˜ se encuentra aplicada sobre el miembro anterior a una distancia de đ?‘Ž=

1 1 đ??żđ??śâˆ’đ??ľ = (10´) = 5´ 2 2

Por otra parte, se infiere que sin đ?œƒ =

6 3 = 10 5

cos đ?œƒ =

8 4 = 10 5

21đ?‘˜

đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 0 đ??´

đ?‘Ľ1

đ??ľ

đ?‘Ľ2

7đ?‘˜ đ?œƒ

đ?œƒ

đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 14đ?‘˜ 8đ?‘“đ?‘Ą 7đ?‘“đ?‘Ą

3đ?‘“đ?‘Ą

đ??ś

6đ?‘“đ?‘Ą

15đ?‘“đ?‘Ą

đ?‘…đ??śđ?‘Œ

đ?œƒ = 14đ?‘˜

(b)

Con base en las figuras 2-11c y 2-11d, se determinan las componentes rectangulares para los ejes que coinciden con las lĂ­neas de acciĂłn de la fuerza normal y de la fuerza cortante del miembro đ??ś − đ??ľ.

272

CAPÍTULO 2

ANÁLISIS DE MARCOS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS

Para 𝐹 = 7𝑘

-

(c)

4 𝐹𝑌´ = 𝐹 cos 𝜃 = 7𝑘 ( ) = 5.6𝑘 5

𝐹 = 7𝑘

𝜃

3 𝐹𝑋´ = 𝐹 sin 𝜃 = 7𝑘 ( ) = 4.2𝑘 5

-

(d)

𝑅𝐶𝑌 = 14𝑘

Para 𝑅𝐶𝑌 = 14𝑘

4 𝑅𝐶𝑌𝑌 = 𝑅𝐶𝑌 cos 𝜃 = 14𝑘 ( ) = 10.2𝑘 5

𝜃

3 𝑅𝐶𝑌𝑋 = 𝑅𝐶𝑌 sin 𝜃 = 14𝑘 ( ) = 8.4𝑘 5 Se formulan los momentos internos 𝑀 aplicando el método de secciones, figuras 2-11e, 2-11f, 2-11g y 2-11h. Miembro 𝐴 − 𝐵. 0 ≤ 𝑥1 ≤ 8´ 𝑀1

𝑅𝐴𝑋 = 0

𝑁1

𝐴

+ ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0

𝑥1

−14(𝑥1 ) + 𝑀1 = 0 ⇒ 𝑀1 = 14𝑥1

𝑅𝐴𝑌 = 14𝑘

𝑉1 (e) 21𝑘

0 ≤ 𝑥2 ≤ 7´ 𝑅𝐴𝑋 = 0

𝑀2 𝑁2

𝐴 8𝑓𝑡

𝑅𝐴𝑌 = 14𝑘

𝑀2 + 21(𝑥2 ) − 14(8 + 𝑥2 ) = 0

𝑥2 (f)

+ ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0

𝑉2

273

𝑀2 = −7𝑥2 + 112

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Miembro đ??ś − đ??ľ 0 ≤ đ?‘Ľ3 ≤ 5´ + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 −đ?‘€3 − 8.4(đ?‘Ľ3 ) = 0 đ??ś

đ?‘…đ??śđ?‘Œ

đ?‘€3 = −8.4đ?‘Ľ3

đ?œƒ = 14đ?‘˜

(g)

7đ?‘˜

0 ≤ đ?‘Ľ4 ≤ 5´

đ?œƒ

+ ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 −đ?‘€4 + 4.2(đ?‘Ľ4 ) − 8.4(đ?‘Ľ4 + 5) = 0 đ?‘€4 = −4.2đ?‘Ľ4 − 42 đ??ś

đ?‘…đ??śđ?‘Œ

đ?œƒ = 14đ?‘˜

(h)

Momentos virtuales đ?’Ž ObsĂŠrvese en la figura 2-11i como se incorpora al marco descargado una carga unitaria horizontal en el punto đ??ś. Se determinan las reacciones en los soportes y los momentos internos virtuales con base en las mismas coordenadas đ?‘Ľ1 y đ?‘Ľ2 . 274

CAPÍTULO 2

ANÁLISIS DE MARCOS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS

𝑅𝐴𝑋 = 1 𝐴

𝐵

𝑥2

𝑥1

𝜃 𝑅𝐴𝑌 = 0.3809 8𝑓𝑡 7𝑓𝑡

3𝑓𝑡

𝐶

15𝑓𝑡

6𝑓𝑡 𝑅𝐶𝑌

𝜃 = 0.3809

(i)

Al aplicar las ecuaciones de equilibrio resulta + ∑ 𝑀𝐴 = 0 ⇒ 𝑅𝐶𝑌 (21) − 1(8) = 0 ⇒∴ 𝑅𝐶𝑌 = 0.3809 +↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒ −𝑅𝐴𝑌 + 0.3809 = 0 ⇒∴ 𝑅𝐴𝑌 = 0.3809 +→ ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒ 𝑅𝐴𝑋 − 1 = 0 ⇒∴ 𝑅𝐴𝑋 = 1 De las figuras 2-11j y 2-11k se dan las siguientes componentes rectangulares: (j)

Para 𝐹 = 1

4 𝐹𝑋´ = 𝐹 cos 𝜃 = 1 ( ) = 0.8 5

𝜃

3 𝐹𝑌´ = 𝐹 sin 𝜃 = 1 ( ) = 0.6 5

𝐹=1

𝑅𝐶𝑌 = 0.3809

(k)

𝜃

Para 𝑅𝐶𝑌 = 0.3809

4 𝑅𝐶𝑌𝑌 = 𝑅𝐶𝑌 cos 𝜃 = 0.3809 ( ) = 0.30472 5 3 𝑅𝐶𝑌𝑋 = 𝑅𝐶𝑌 sin 𝜃 = 0.3809 ( ) = 0.22854 5 275

𝜃 1

CAPÍTULO 2

ANÁLISIS DE MARCOS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS

Con base en las figuras 2-11l, 2-11m, 2-11n y 2-11ñ, se formulan los momentos internos 𝑚 con el método de secciones. Miembro 𝐴 − 𝐵. 0 ≤ 𝑥1 ≤ 8´ 𝑀1

𝑅𝐴 = 1

𝑁1

𝐴

+ ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0

𝑥1

𝑀1 + 0.3809(𝑥1 ) = 0 ⇒ 𝑀1 = −0.3809𝑥1

𝑅𝐴𝑌 = 0.3809

𝑉1 (l)

0 ≤ 𝑥2 ≤ 7´ 𝑅𝐴𝑋 = 1

+ ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0

𝑀2 𝑁2

𝐴 8𝑓𝑡

𝑥2

𝑅𝐴𝑌 = 0.3809

𝑀2 + 0.3809(8 + 𝑥2 ) = 0 𝑀2 = −3.0472 − 0.3809𝑥2 = 0

𝑉2

(m)

Miembro 𝐶 − 𝐵.

0 ≤ 𝑥3 ≤ 5´ + ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 𝐶

𝜃

−𝑀3 − 0.22854(𝑥3 ) + 0.8(𝑥3 ) = 0 1

𝑀3 = 0.5715𝑥3

𝜃 𝑅𝐶𝑌 = 0.3809

(n)

276

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

0 ≤ đ?‘Ľ4 ≤ 5´ + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 đ?œƒ

đ??ś

−đ?‘€4 − 0.2285(đ?‘Ľ4 + 5) + 0.8(đ?‘Ľ4 + 5) = 0

1

đ?‘€4 = 2.8575 + 0.5715đ?‘Ľ4 đ?œƒ đ?‘…đ??śđ?‘Œ = 0.3809 (Ăą)

EcuaciĂłn del trabajo virtual A partir de los datos, se tiene que el desplazamiento horizontal de đ??´ es đ??ż2

1 ∙ ∆= âˆŤ đ??ż1 8

1 ∙ ∆đ??ťđ??´ = âˆŤ 0

7 (14đ?‘Ľ1 )(−0.3809đ?‘Ľ1 ) (−7đ?‘Ľ2 + 112)(−3.0472 − 0.3809đ?‘Ľ2 ) đ?‘‘đ?‘Ľ1 + âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ľ2 đ??¸đ??ź đ??¸đ??ź 0

5 (−8.4đ?‘Ľ )(0.5715đ?‘Ľ ) 3 3

+âˆŤ

0

đ?‘€đ?‘š đ?‘‘đ?‘Ľ đ??¸đ??ź

đ??¸đ??ź

5 (−4.2đ?‘Ľ 4

đ?‘‘đ?‘Ľ3 + âˆŤ

0

− 42)(2.8575 + 0.5715đ?‘Ľ4 ) 4867.02 đ?‘‘đ?‘Ľ4 = − đ??¸đ??ź đ??¸đ??ź

El signo negativo indica que el desplazamiento es hacia la derecha, opuesto al de la carga unitaria hacia la izquierda. Es decir, ∆đ??ťđ??´ =

4867.02 → đ??¸đ??ź

277

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Ejercicio 2.12 Determine la rotaciĂłn tangencial en el punto đ??´ del marco mostrado en la figura 2-12a. Se indican los valores relativos del ĂĄrea y del momento de inercia de la secciĂłn transversal de cada elemento de la estructura. El mĂłdulo de elasticidad es igual para los dos elementos. 6đ?‘˜

đ??ľ

đ??ś

đ??´, 2I

3 đ??´, I

10´

4

đ??´

10´

10´

(a)

Figura 2-12

SOLUCIĂ“N Momentos reales đ?‘´ Se calculan las reacciones en los soportes y los momentos producidos por las cargas reales. Se usarĂĄn las coordenadas đ?‘Ľ1 y đ?‘Ľ2 para la columna y la viga respectivamente, figura 2-12b. 6đ?‘˜ đ?‘…đ??śđ?‘‹ = 1.6364đ?‘˜ đ??ľ

đ?‘Ľ2

đ??´, 2I

đ??ś 3

đ??´, I

10´

4 đ?‘…đ??śđ?‘Œ = 2.1818đ?‘˜

đ?‘Ľ1 đ??´

đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 1.6364đ?‘˜ 10´ đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 3.8182đ?‘˜

10´

(b) 278

đ?‘…đ??ś = 2.7273đ?‘˜

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

A partir de las figuras 2-12c y 2-12d, se resuelve la fuerza reactiva đ?‘…đ??ś en sus componentes rectangulares horizontal y vertical. Del triĂĄngulo 1, tenemos sin đ?œƒ = tan đ?œƒ =

3 4 , cos đ?œƒ = 5 5 đ?›˝=đ?œƒ

3 3 → đ?œƒ = tan−1 4 4

Del triĂĄngulo 2, se infiere đ?›ź = 90° − đ?œƒ = 90° − tan−1

2

3 4

90° + đ?›ź + đ?›˝ = 180° → đ?›˝ = 180° − đ?›ź − 90°

3 đ?œƒ

3 đ?›˝ = 180° − (90° − tan−1 ) − 90° 4

90° 4

(c)

sin đ?œƒ =

đ?‘…đ??śđ?‘‹ 3 ⇒ đ?‘…đ??śđ?‘‹ = đ?‘…đ??ś (sin đ?œƒ) = đ?‘…đ??ś đ?‘…đ??ś 5

cos đ?œƒ =

đ?‘…đ??śđ?‘Œ 4 ⇒ đ?‘…đ??śđ?‘Œ = đ?‘…đ??ś (cos đ?œƒ) = đ?‘…đ??ś đ?‘…đ??ś 5

đ?œƒ

đ?‘…đ??śđ?‘‹

1 đ?œƒ

3 đ?›˝ = tan−1 = đ?œƒ = 36.8699° 4

đ?‘…đ??śđ?‘Œ

�

90°

(d)

Al hacer uso de las ecuaciones de equilibrio resulta + ∑ đ?‘€đ??´ = 0 ⇒ 6(10) − đ?‘…đ??śđ?‘‹ (10) − đ?‘…đ??śđ?‘Œ (20) = 0 3 4 30 80 6(10) − đ?‘…đ??ś (10) − đ?‘…đ??ś (20) = 0 ⇒ 6(10) − đ?‘…đ??ś − đ?‘…đ??ś = 0 5 5 5 5 đ?‘…đ??ś (−

30 80 −60 − ) = −60 ⇒ đ?‘…đ??ś (−22) = −60 ⇒ đ?‘…đ??ś = ⇒∴ đ?‘…đ??ś = 2.7273đ?‘˜ 5 5 −22 3

4

đ?‘…đ??śđ?‘‹ = 5 (2.7273đ?‘˜) = 1.6364đ?‘˜

đ?‘…đ??śđ?‘Œ = 5 (2.7273đ?‘˜) = 2.1818đ?‘˜

+↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Œ − 6 + đ?‘…đ??śđ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Œ − 6 + 2.1818 = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 3.8182đ?‘˜ 279

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

+→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘‹ − đ?‘…đ??śđ?‘‹ = 0đ?‘…đ??´đ?‘‹ − 1.6364 = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 1.6364đ?‘˜ Con base en las figuras 2-12e, 2-12f y 2-12g, se deducen los momentos internos đ?‘€ empleando el mĂŠtodo de las secciones.

Miembro đ??´ − đ??ľ.

0 ≤ đ?‘Ľ1 ≤ 10´ + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ −đ?‘€1 − 1.6364(đ?‘Ľ1 ) = 0 đ?‘€1 = −1.6364đ?‘Ľ1

(e)

Miembro đ??ś − đ??ľ. 0 ≤ đ?‘Ľ2 ≤ 10´ + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 đ?‘€2 − 2.1818(đ?‘Ľ2 ) = 0 ⇒ đ?‘€2 = 2.1818đ?‘Ľ2 (f)

10´ ≤ đ?‘Ľ2 ≤ 20´ + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 đ?‘€3 + 6(đ?‘Ľ2 − 10) − 2.1818đ?‘Ľ2 = 0 đ?‘€3 = 60 − 3.8182đ?‘Ľ2 (g)

Momentos virtuales đ?’Žđ?œ˝ Como puede verse en la figura 2-12h, se incorpora un momento de par unitario en đ??´ y de una manera anĂĄloga a đ?‘€, se determinan los momentos internos đ?‘šđ?œƒ . 280

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

De las ecuaciones de la estĂĄtica se obtiene 3 4 + ∑ đ?‘€đ??´ = 0 ⇒ 1 − đ?‘…đ??ś (10) − đ?‘…đ??ś (20) = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??ś = 0.045455 5 5 3

4

đ?‘…đ??śđ?‘‹ = 5 (0.045455) = 0.027273

đ?‘…đ??śđ?‘Œ = 5 (0.045455) = 0.036364

+↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ −đ?‘…đ??´đ?‘Œ + đ?‘…đ??śđ?‘Œ = 0 → −đ?‘…đ??´đ?‘Œ + 0.036364 = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 0.036364 +â&#x;ś ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘‹ − đ?‘…đ??śđ?‘‹ = 0 → đ?‘…đ??´đ?‘‹ − 0.027273 = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 0.027273

đ?‘…đ??śđ?‘‹ = 0.027273 đ??ľ

đ?‘Ľ2 đ??ś

đ??´, 2I

3 đ??´,I

10´

4 đ?‘…đ??śđ?‘Œ = 0.036364

đ?‘Ľ1

đ??´

đ?‘…đ??ś = 0.045455

1

đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 0.027273 đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 0.036364

10´

10´

(h)

De las figuras 2-12i y 2-12j se escriben las ecuaciones de los momentos provocados por el momento de par unitario virtual. Miembro đ??´ − đ??ľ.

0 ≤ đ?‘Ľ1 ≤ 10´ + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ −đ?‘€1 + 1 − 0.027273(đ?‘Ľ1 ) = 0 đ?‘€1 = 1 − 0.027273đ?‘Ľ1

(i) 281

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Miembro đ??ś − đ??ľ. 0 ≤ đ?‘Ľ2 ≤ 20´

(j)

+ ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ đ?‘€2 − 0.036364(đ?‘Ľ2 ) = 0 ⇒ đ?‘€2 = 0.036364đ?‘Ľ2

EcuaciĂłn del trabajo virtual. Entonces, la pendiente en đ??´ es resultado de đ??ż2

1∙đ?œƒ =âˆŤ đ??ż1

đ?œƒđ??´ = +

đ?‘€đ?‘šđ?œƒ (đ?‘‘đ?‘Ľ) đ??¸đ??ź

10 1 (âˆŤ (−1.6364đ?‘Ľ1 )(1 − 0.027273đ?‘Ľ1 )đ?‘‘đ?‘Ľ1 ) đ??¸đ??ź 0

10 20 1 (âˆŤ (2.1818đ?‘Ľ2 ) (0.036364đ?‘Ľ2 )đ?‘‘đ?‘Ľ2 + âˆŤ (60 − 3.8182đ?‘Ľ2 ) (0.036364đ?‘Ľ2 )đ?‘‘đ?‘Ľ2 ) 2đ??¸đ??ź 0 10

=

1 1 (−66.9435 + 13.2232 + 1.65214) = (−52.0682) đ??¸đ??ź đ??¸đ??ź

El signo negativo indica que đ?œƒđ??´ es opuesto a la direcciĂłn del momento de par virtual unitario. Por lo tanto, đ?œƒđ??´ =

1 (52.0682) đ??¸đ??ź

282

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

2.4 TEOREMA DE CASTIGLIANO Ejercicio 2.13 Determine el desplazamiento vertical del punto đ??ľ del marco de dos miembros mostrado en la figura 2-13a; tome en cuenta sĂłlo las deformaciones debidas a la flexiĂłn y considere đ??¸đ??ź como constante.

(a)

Figura 2-13 SOLUCIĂ“N Fuerza externa đ?‘ˇ ObsĂŠrvese en la figura 2-13b que se coloca una carga đ?‘ƒ vertical sobre el marco en el punto đ??ľ debido a que debe determinarse el desplazamiento vertical en ese punto; tal fuerza de magnitud variable se ha supuesto arbitrariamente hacia abajo y aunque momentĂĄneamente reemplaza a la fuerza de 6đ?‘‡ por encontrarse aplicada en el mismo punto, despuĂŠs serĂĄ igual a un valor fijo de 6đ?‘‡. Luego se calculan las reacciones en los soportes de la estructura con carga đ?‘ƒ. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio, se tiene +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘‹ − 10đ?‘‡ = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 10đ?‘‡ 1 87 3 + ∑ đ?‘€đ??´ = 0 ⇒ 3(3) ( (3)) + đ?‘ƒ(3) + 10(3) − đ?‘…đ??śđ?‘Œ (4) = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??śđ?‘Œ = + đ?‘ƒ 2 8 4 +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Œ − 3(3) − đ?‘ƒ +

87 3 15 1 + đ?‘ƒ = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Œ = − + đ?‘ƒ 8 4 8 4

283

CAPÍTULO 2

ANÁLISIS DE MARCOS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS

(b)

Momentos internos 𝑴 Los resultados obtenidos se muestran en la figura 2-13c.

(c)

Las funciones de momento son discontinuas en 𝐵 por cualquiera de las siguientes tres razones que ocurren en ese punto: la carga distribuida de 3𝑇/𝑚 es discontinua, se aplica una carga puntual 𝑃 y existe un cambio en la geometría de la estructura. De igual forma, son discontinuas en el punto de aplicación de la fuerza de 10𝑇.

284

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Se aplica el mĂŠtodo de las secciones para obtener las expresiones algebraicas que describan la variaciĂłn del momento en la estructura. Se ha optado por definir una sola coordenada đ?‘Ľ para cada miembro, es decir, las coordenadas đ?‘Ľ1 y đ?‘Ľ2 que tienen sus orĂ­genes en đ??´ y đ??ś, son vĂĄlidas sĂłlo dentro de las regiones desde đ??´ hasta đ??ľ para đ?‘Ľ1 y de đ??ś a đ??ľ para đ?‘Ľ2 . El miembro đ??´ − đ??ľ debe ser seccionado perpendicularmente a su eje en un punto arbitrario (intermedio en su longitud) a una distancia đ?‘Ľ1 de đ??´, mientras que el miembro đ??ś − đ??ľ debe ser seccionado perpendicularmente a su eje en un punto arbitrario a una distancia đ?‘Ľ2 de đ??ś en dos ocasiones, primero, en un punto intermedio a la regiĂłn que va de đ??ś al punto de aplicaciĂłn de la carga de 10đ?‘‡ y luego en un punto intermedio a la regiĂłn que va desde el punto de aplicaciĂłn de la carga de 10đ?‘‡ hasta đ??ľ. A partir de las figuras 2-13d, 2.13f y 2-13h, las funciones de momento para cada regiĂłn y sus correspondientes derivadas parciales con respecto a đ?‘ƒ por mimbro son deducidas a continuaciĂłn: Miembro đ??´ − đ??ľ. 0 ≤ đ?‘Ľ1 ≤ 3đ?‘š

(d)

+ ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ −đ?‘€1 + (−

15 1 đ?‘Ľ1 + đ?‘ƒ) (đ?‘Ľ1 ) − 3(đ?‘Ľ1 ) ( ) = 0 8 4 2

3 15 1 đ?‘€1 = − đ?‘Ľ12 − đ?‘Ľ1 + đ?‘ƒđ?‘Ľ1 2 8 4 Miembro đ??ś − đ??ľ. 0 ≤ đ?‘Ľ2 ≤

√37 đ?‘š 2

La longitud del miembro inclinado es

285

đ?œ•đ?‘€1 1 = đ?‘Ľ1 đ?œ•đ?‘ƒ 4

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

đ??żđ??śđ??ľ = √(6đ?‘š)2 + (1đ?‘š)2 = √37đ?‘š En consecuencia, cos đ?œƒ = 6â „ √37

sin đ?œƒ = 1â „ √37

De acuerdo a la figura 2-13e, las componentes rectangulares de đ?‘…đ??śđ?‘Œ cuyas lĂ­neas de acciĂłn coinciden con las de la fuerza normal y la fuerza cortante del miembro đ??ś − đ??ľ son đ?‘…đ??śđ?‘Œ đ?œƒ 87 3 87 3 1 87√37 3√37 đ??šđ?‘‹ = ( + đ?‘ƒ) (sin đ?œƒ) = ( + đ?‘ƒ) ( )= + đ?‘ƒ 8 4 8 4 296 148 √37

(e)

87 3 87 3 6 261√37 9√37 đ??šđ?‘Œ = ( + đ?‘ƒ) (cos đ?œƒ) = ( + đ?‘ƒ) ( )= + đ?‘ƒ 8 4 8 4 148 74 √37

+ ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 87√37 3√37 −đ?‘€2 − ( + đ?‘ƒ) (đ?‘Ľ2 ) = 0 296 148 đ?‘€2 = −

(f)

87√37 3√37 đ?‘Ľ2 − đ?‘ƒđ?‘Ľ2 296 148

đ?œ•đ?‘€2 3√37 =− đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘ƒ 148 2

√37 đ?‘š ≤ đ?‘Ľ2 ≤ √37đ?‘š 2 De acuerdo a la figura 2-13g, las componentes rectangulares de la fuerza de 10đ?‘‡ cuyas lĂ­neas de acciĂłn coinciden con las de đ?‘ 3 y đ?‘‰3 son (g)

đ?œƒ

10�

đ?‘†đ?‘Œ = (10đ?‘‡)(sin đ?œƒ) = (10đ?‘‡) (

1

10 )= đ?‘‡ √37 √37

6 60 đ?‘†đ?‘‹ = (10đ?‘‡)(cos đ?œƒ) = (10đ?‘‡) ( )= đ?‘‡ √37 √37 286

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

(h)

Por lo tanto, + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ −đ?‘€3 − (

đ?‘€3 =

87√37 3√37 60 √37 + đ?‘ƒ) (đ?‘Ľ2 ) + ( ) (đ?‘Ľ2 − )=0 296 148 2 √37

393√37 3√37 đ?‘Ľ2 − đ?‘ƒđ?‘Ľ2 − 30 296 148

đ?œ•đ?‘€3 3√37 =− đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘ƒ 148 2

Teorema del Castigliano Hacemos đ?‘ƒ = 6đ?‘‡ en las ecuaciones de momento, debido a que ese es su valor real. En consecuencia, 3 15 1 3 3 đ?‘€1 = − đ?‘Ľ12 − đ?‘Ľ1 + (6)đ?‘Ľ1 = − đ?‘Ľ12 − đ?‘Ľ1 2 8 4 2 8 đ?‘€2 = − đ?‘€3 =

87√37 3√37 123√37 (6)đ?‘Ľ2 = − đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ2 296 148 296

393√37 3√37 357√37 (6)đ?‘Ľ2 − 30 = đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ2 − 30 296 148 296

0 ≤ �1 ≤ 3� 0 ≤ �2 ≤

√37 đ?‘š ≤ đ?‘Ľ2 ≤ √37đ?‘š 2

La ecuaciĂłn para conocer el desplazamiento en cualquier punto es ∆=

đ??ż2 đ?œ•đ?‘˘đ?‘– đ?œ•đ?‘€ đ?‘‘đ?‘Ľ = âˆŤ đ?‘€( ) đ?œ•đ?‘ƒđ?‘– đ?œ•đ?‘ƒ đ??¸đ??ź đ??ż1

Al aplicarla, tenemos 287

√37 đ?‘š 2

CAPร TULO 2

๐ ฟ๐ ๐ ต

ANร LISIS DE MARCOS ESTร TICAMENTE DETERMINADOS โ 37 2

1 3 3 3 1 1 = โ ซ (โ ๐ ฅ12 โ ๐ ฅ1 ) ( ๐ ฅ1 ) ๐ ๐ ฅ1 + โ ซ ๐ ธ๐ ผ 0 2 8 4 ๐ ธ๐ ผ 0 +

(โ

123โ 37 3โ 37 ๐ ฅ2 ) (โ ๐ ฅ ) ๐ ๐ ฅ2 296 148 2

1 โ 37 357โ 37 3โ 37 โ ซ ( ๐ ฅ2 โ 30) (โ ๐ ฅ ) ๐ ๐ ฅ2 ๐ ธ๐ ผ โ 37 296 148 2 2

Resolviendo integrales por separado se obtiene 1 3 3 2 3 1 1 3 3 3 2 โ ซ (โ ๐ ฅ1 โ ๐ ฅ1 ) ( ๐ ฅ1 ) ๐ ๐ ฅ1 = โ ซ (โ ๐ ฅ13 โ ๐ ฅ ) ๐ ๐ ฅ1 ๐ ธ๐ ผ 0 2 8 4 ๐ ธ๐ ผ 0 8 32 1 1 3 4 1 3 3 1 3 1 135 = [โ ๐ ฅ1 โ ๐ ฅ1 ] = [โ (34 ) โ (33 )] = โ ๐ ธ๐ ผ 32 32 ๐ ธ๐ ผ 32 32 16๐ ธ๐ ผ 0 โ 37 2

1 โ ซ ๐ ธ๐ ผ 0

โ 37 2

123โ 37 3โ 37 1 (โ ๐ ฅ2 ) (โ ๐ ฅ2 ) ๐ ๐ ฅ2 = โ ซ 296 148 ๐ ธ๐ ผ 0 โ 37

369 2 ( ๐ ฅ ) ๐ ๐ ฅ2 1184 2

3

1 123 3 2 1 123 โ 37 123โ 37 = [ ๐ ฅ2 ] = [ ( ) ]= ๐ ธ๐ ผ 1184 ๐ ธ๐ ผ 1184 2 256๐ ธ๐ ผ 0 1 โ 37 357โ 37 3โ 37 1 โ 37 45โ 37 1071 2 โ ซ ( ๐ ฅ2 โ 30) (โ ๐ ฅ2 ) ๐ ๐ ฅ2 = โ ซ ( ๐ ฅ2 โ ๐ ฅ ) ๐ ๐ ฅ2 ๐ ธ๐ ผ โ 37 296 148 ๐ ธ๐ ผ โ 37 74 1184 2 2

2

โ 37

1 45โ 37 2 357 3 = [ ๐ ฅ2 โ ๐ ฅ ] ๐ ธ๐ ผ 148 1184 2 โ 37 2 2

3

1 45โ 37 357 339โ 37 2 3 โ 37 โ 37 = [ ((โ 37) โ ( ) )โ ((โ 37) โ ( ) )] = โ ๐ ธ๐ ผ 148 2 1184 2 256๐ ธ๐ ผ Por lo tanto, ๐ ฟ๐ ๐ ต =

1 135 123โ 37 339โ 37 13.5698 [โ + โ ]โ โ ๐ ธ๐ ผ 16 256 256 ๐ ธ๐ ผ

Dado que la suma resultante obtenida de todas las integrales es negativa, el sentido propuesto en la carga ๐ fue incorrecto y entonces la deflexiรณn va hacia arriba. Es decir, ๐ ฟ๐ ๐ ต =

13.5698 โ ๐ ธ๐ ผ 288

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Ejercicio 2.14 Calcule la pendiente en el punto đ??ś del marco de tres elementos que se observa en la figura 2-14a. Considere đ??¸đ??ź como constante.

5đ?‘˜đ?‘ /đ?‘š

đ??´

đ??ľ 2đ?‘š 20đ?‘˜đ?‘ . đ?‘š

đ??ś 2đ?‘š đ??ˇ

đ??¸

5đ?‘š

5đ?‘š

(a)

Figura 2-14

SOLUCIĂ“N Momento de par externo đ?‘´Â´ Como se requiere calcular la rotaciĂłn tangencial en el punto đ??ś, se le agrega al marco un momento đ?‘€´ de sentido horario (puede ser antihorario) en đ??ś y se suprime momentĂĄneamente el momento de 20đ?‘˜đ?‘ . đ?‘š por estar situado el mismo punto, figura 2-14b. 5đ?‘˜đ?‘ /đ?‘š

đ??´

đ??ľ 2đ?‘š đ?‘€´

đ??ś 2đ?‘š đ??ˇ

đ??¸

5đ?‘š

5đ?‘š

(b) 289

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Las fuerzas reactivas en los apoyos se obtienen al emplear las ecuaciones de equilibrio. + ∑ đ?‘€đ??´ = 0 ⇒ −5(5)(2.5) − đ?‘€´ + đ?‘…đ??¸đ?‘Œ (10) = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??¸đ?‘Œ =

25 đ?‘€´ + 4 10

25 đ?‘€´ 75 đ?‘€´ +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Œ − 5(5) + ( + ) = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Œ = − 4 10 4 10 +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 0

Momentos internos đ?‘´ Se calculan las funciones de momento por tramos en los que la funciĂłn no varĂ­a. Se usan tres coordenadas đ?‘Ľ, una para cada elemento, figura 2-14c; asĂ­, las coordenadas đ?‘Ľ1 y đ?‘Ľ2 con orĂ­genes en đ??´ y đ??ˇ son vĂĄlidas para las vigas đ??´ − đ??ľ y đ??¸ − đ??ˇ, mientras que đ?‘Ľ3 cuyo origen se asocia en đ??ˇ comprende la columna đ??ˇ − đ??ľ. Ambas vigas tendrĂĄn una sola ecuaciĂłn de momento flexionante, en cambio, la columna requiere de dos cortes perpendiculares a su eje, pues đ?‘€ es distinta entre la regiĂłn đ??ˇ − đ??ś y đ??ś − đ??ľ debido al momento de par đ?‘€´ aplicado en el punto đ??ś.

5đ?‘˜đ?‘ /đ?‘š đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 0 đ??´

đ?‘…đ??´đ?‘Œ =

đ??ľ

đ?‘Ľ1

2đ?‘š

75 đ?‘€´ − 4 10

đ?‘€´

đ??ś đ?‘Ľ3 đ??ˇ

5đ?‘š

2đ?‘š đ?‘Ľ2 đ??¸

5đ?‘š

đ?‘…đ??¸đ?‘Œ =

25 4

+

đ?‘€´ 10

(c)

Con base en los diagramas de cuerpo libre representados en las figuras 2-14d, 2-14e, 2-14f y 2-14g, se escriben las ecuaciones de momento flector y se determinan las derivadas parciales con respecto a đ?‘€´.

290

CAPÍTULO 2

ANÁLISIS DE MARCOS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS

Miembro 𝐴 − 𝐵. 0 ≤ 𝑥1 ≤ 5𝑚

(d)

75 𝑀´ 𝑥1 5 𝑀´ 75 + ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 ⇒ ( − ) (𝑥1 ) − 𝑥1 (5) ( ) − 𝑀1 = 0 ⇒ 𝑀1 = − 𝑥1 2 − 𝑥1 + 𝑥1 4 10 2 2 10 4

𝜕𝑀1 1 = − 𝑥1 𝜕𝑀´ 10

Miembro 𝐸 − 𝐷. 0 ≤ 𝑥2 ≤ 5𝑚

(e)

+ ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 ⇒ − (

25 𝑀´ 25 𝑀´ + ) (𝑥2 ) + 𝑀2 = 0 ⇒ 𝑀2 = 𝑥2 + 𝑥 4 10 4 10 2 𝜕𝑀2 1 = 𝑥 𝜕𝑀´ 10 2

291

CAPÍTULO 2

ANÁLISIS DE MARCOS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS

Miembro 𝐷 − 𝐵. 0 ≤ 𝑥3 ≤ 2𝑚

(f)

25 𝑀´ 125 𝑀´ + ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 ⇒ − ( + ) (5) − 𝑀3 = 0 ⇒ 𝑀3 = − − 4 10 4 2 𝜕𝑀3 1 =− 𝜕𝑀´ 2

2𝑚 ≤ 𝑥3 ≤ 4𝑚

(g)

292

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

25 đ?‘€´ 125 đ?‘€´ + ∑ đ?‘€đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ = 0 ⇒ − ( + ) (5) + đ?‘€´ − đ?‘€4 = 0 ⇒ đ?‘€4 = − + 4 10 4 2 đ?œ•đ?‘€4 1 = đ?œ•đ?‘€´ 2

Teorema del Castigliano Al reemplazar đ?‘€´ = 20đ?‘˜đ?‘ . đ?‘š, su valor real, en las funciones de momento se tiene 5 20 75 5 67 đ?‘€1 = − đ?‘Ľ1 2 − đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ1 = − đ?‘Ľ1 2 + đ?‘Ľ1 2 10 4 2 4

đ?‘€2 =

25 20 33 đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ2 = đ?‘Ľ 4 10 4 2

đ?‘€3 = −

125 20 165 − =− 4 2 4

đ?‘€4 = −

125 20 85 + =− 4 2 4

0 ≤ �1 ≤ 5�

0 ≤ �2 ≤ 5� 0 ≤ �3 ≤ 2� 2� ≤ �3 ≤ 4�

Se aplica en el marco la siguiente expresiĂłn đ??ż2

đ?œƒ = âˆŤ đ?‘€( đ??ż1

đ?œ•đ?‘€ đ?‘‘đ?‘Ľ ) đ?œ•đ?‘€´ đ??¸đ??ź

Por consiguiente, 1 5 5 2 67 1 1 5 33 1 đ?œƒđ??ś = âˆŤ (− đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ1 ) (− đ?‘Ľ1 ) đ?‘‘đ?‘Ľ1 + âˆŤ ( đ?‘Ľ2 ) ( đ?‘Ľ2 ) đ?‘‘đ?‘Ľ2 đ??¸đ??ź 0 2 4 10 đ??¸đ??ź 0 4 10 1 2 165 1 1 4 85 1 1135 âˆŤ (− ) (− ) đ?‘‘đ?‘Ľ3 + âˆŤ (− ) ( ) đ?‘‘đ?‘Ľ4 = đ??¸đ??ź 0 4 2 đ??¸đ??ź 2 4 2 48đ??¸đ??ź

Debido a que la magnitud de la pendiente resultĂł positiva, esta pendiente es del mismo sentido que el momento de par variable. Por lo tanto, đ?œƒđ??ś =

1135 23.6458 = 48đ??¸đ??ź đ??¸đ??ź

293

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Ejercicio 2.15. Determine el desplazamiento horizontal del punto đ??ľ del marco representado en la figura 2-15a. Suponga que đ??¸ e đ??ź son constantes. 4đ?‘‡/đ?‘š 2đ?‘‡/đ?‘š

đ??ś

đ??ˇ

đ??¸

đ??š

đ??ş 2đ?‘š

đ??ť

đ??ľ

(a)

8�

Figura 2-15 3đ?‘š

đ??´

2đ?‘š

đ??ź

1.5đ?‘š

2.5đ?‘š

3đ?‘š

SOLUCIĂ“N Fuerza externa đ?‘ˇ En vista de que se desea conocer el desplazamiento horizontal en đ??ś, se aplica una carga đ?‘ƒ de magnitud variable en tal direcciĂłn y en ese punto, y su sentido se supone hacia la derecha, aunque bien puede ir hacia la izquierda. A continuaciĂłn se calculan las reacciones en los soportes por medio de las ecuaciones de equilibrio. +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘ƒ − 8 − đ?‘…đ??źđ?‘‹ = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??źđ?‘‹ = đ?‘ƒ − 8 3.5(2) 1 + ∑ đ?‘€đ??ź = 0 ⇒ −đ?‘…đ??´đ?‘Œ (4) − đ?‘ƒ(3) + ( ) ( (3.5) + 2.5) − 5.5(4)(0.25) + 8(3) = 0 2 3

∴ đ?‘…đ??´đ?‘Œ =

47 3 − đ?‘ƒ 6 4

294

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

47 3 3.5(2) 5.5(4) 53 3 +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ ( − đ?‘ƒ) − − + đ?‘…đ??źđ?‘Œ ⇒∴ đ?‘…đ??źđ?‘Œ = + đ?‘ƒ 6 4 2 2 3 4 Los resultados se muestran en la figura 2-15b.

(3.5�)(2�/�) 2

(5.5�)(4�/�) 4�/�

2�/�

đ??ś

đ?‘Ľ5

đ??ˇ

đ?‘Ľ2

1 3

đ??¸

(3.5đ?‘š)

1 2

đ?‘ƒ

(b)

đ??ľ

đ??ş

đ?‘Ľ4

đ??š 0.25đ?‘š

(5.5đ?‘š) 2đ?‘š

8�

đ??ť

3đ?‘š đ?‘Ľ1

đ?‘Ľ3 đ??´

2đ?‘š

đ?‘…đ??´đ?‘Œ =

47 6

đ??ź

1.5đ?‘š

−

3 4

đ?‘…đ??źđ?‘‹ = đ?‘ƒ − 8

2.5đ?‘š

đ?‘…đ??źđ?‘Œ

đ?‘ƒ

3đ?‘š 3 = + đ?‘ƒ 3 4 53

Momentos internos đ?‘´ Empleando el mĂŠtodo de secciones, se calculan las funciones de momento y alternamente se calculan las derivadas parciales, con base en las figuras 2-15c, 2-15d, 2-15e, 2-15f, 2-15g, 2-15h, 2-15i y 2-15j. Se ocupa una coordenada đ?‘Ľ para cada elemento. Entonces, las coordenadas đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , đ?‘Ľ3 , đ?‘Ľ4 y đ?‘Ľ5 con orĂ­genes establecidos en los puntos đ??´, đ??ś, đ??ź, đ??ş y đ??ˇ son vĂĄlidas dentro de las regiones đ??´ − đ??ˇ, đ??ś − đ??ˇ, đ??ź − đ??š, đ??ş − đ??š y đ??ˇ − đ??š, respectivamente. Observe como por la discontinuidad de carga, las dos columnas y la viga intermedia tendrĂĄn dos ecuaciones de momento, mientras que las vigas en voladizo sĂłlo tendrĂĄn una ecuaciĂłn de momento. 295

CAPÍTULO 2

ANÁLISIS DE MARCOS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS

Miembro 𝐴 − 𝐷. 0 ≤ 𝑥1 ≤ 3𝑚

+ ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 ⇒ 𝑀1 = 0

(c)

𝜕𝑀1 =0 𝜕𝑃

3𝑚 ≤ 𝑥1 ≤ 5𝑚

+ ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 ⇒ 𝑃(𝑥1 − 3) + 𝑀2 = 0 𝑀2 = −𝑃𝑥1 + 3𝑃 (d)

𝜕𝑀2 = 3 − 𝑥1 𝜕𝑃

296

CAPÍTULO 2

ANÁLISIS DE MARCOS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS

Miembro 𝐶 − 𝐷. 0 ≤ 𝑥2 ≤ 2𝑚 4 𝑥2 (7 𝑥2 ) 𝑥2 + ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 ⇒ ( ) ( ) + 𝑀3 = 0 2 3

(e)

𝑀3 = −

2 3 𝑥 21 2

𝜕𝑀3 =0 𝜕𝑃

Miembro 𝐼 − 𝐹.

0 ≤ 𝑥3 ≤ 3𝑚 + ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 ⇒ −(𝑃 − 8)(𝑥3 ) + 𝑀4 = 0 𝑀4 = 𝑃𝑥3 − 8𝑥3

(f)

𝜕𝑀4 = 𝑥3 𝜕𝑃

3𝑚 ≤ 𝑥3 ≤ 5𝑚 (g)

+ ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 ⇒ −(𝑃 − 8)(𝑥3 ) − 8(𝑥3 − 3) + 𝑀5 = 0 𝑀5 = −24 + 𝑃𝑥3 𝜕𝑀5 = 𝑥3 𝜕𝑃

297

CAPÍTULO 2

ANÁLISIS DE MARCOS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS

Miembro 𝐺 − 𝐸. 0 ≤ 𝑥4 ≤ 3𝑚 𝑥4 + ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 ⇒ −4(𝑥4 ) ( ) − 𝑀6 = 0 2 𝑀6 = −2𝑥4 2 𝜕𝑀6 =0 𝜕𝑃 Miembro 𝐷 − 𝐹. 0 ≤ 𝑥5 ≤ 1.5𝑚

(i)

8 (2) ( ) 1 47 3 7 ) ( (2) + 𝑥 ) + ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 ⇒ − ( − 𝑃) (𝑥5 ) + 𝑃(2) + ( 5 6 4 2 3

298

(h)

CAPÍTULO 2

ANÁLISIS DE MARCOS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS

4 (𝑥5 ) ( 𝑥5 ) 1 8 1 7 +(𝑥5 ) ( ) ( 𝑥5 ) + ( ) ( (𝑥5 )) + 𝑀7 = 0 7 2 2 3 𝑀7 = −

2 3 4 2 3 281 16 𝑥5 − 𝑥5 − 𝑃𝑥5 + 𝑥5 − 2𝑃 − 21 7 4 42 21

𝜕𝑀7 3 = − 𝑥5 − 2 𝜕𝑃 4

1.5𝑚 ≤ 𝑥5 ≤ 4𝑚

(j)

+ ∑ 𝑀𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0 ⇒ − (

47 3 3.5(2) 1 − 𝑃) (𝑥5 ) + 𝑃(2) + ( ) ( (3.5) + (𝑥5 − 1.5)) 6 4 2 3

𝑥5 − 1.5 +(𝑥5 − 1.5)(4) ( ) + 𝑀8 = 0 2 3 31 10 𝑀8 = −2𝑥5 2 − 𝑃𝑥5 + 𝑥5 − 2𝑃 − 4 3 3

299

𝜕𝑀8 3 = − 𝑥5 − 2 𝜕𝑃 4

CAPĂ?TULO 2

ANĂ LISIS DE MARCOS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADOS

Teorema del Castigliano Si sustituimos đ?‘ƒ = 0 en cada una de las ecuaciones de momento flector, entonces đ?‘€1 = 0

0 ≤ �1 ≤ 3�

đ?‘€2 = −(0)đ?‘Ľ1 + 3(0) = 0 đ?‘€3 = −

2 3 đ?‘Ľ 21 2

3 ≤ �1 ≤ 5� 0 ≤ �2 ≤ 2�

đ?‘€4 = (0)đ?‘Ľ3 − 8đ?‘Ľ3 = −8đ?‘Ľ3 đ?‘€5 = −24 + (0)đ?‘Ľ3 = −24 đ?‘€6 = −2đ?‘Ľ4 2 đ?‘€7 = −

0 ≤ �3 ≤ 3� 3� ≤ �3 ≤ 5�

0 ≤ �4 ≤ 3�

2 3 4 2 3 281 16 2 4 281 16 đ?‘Ľ5 − đ?‘Ľ5 − (0)đ?‘Ľ5 + đ?‘Ľ5 − 2(0) − = − đ?‘Ľ5 3 − đ?‘Ľ5 2 + đ?‘Ľ5 − 0 ≤ đ?‘Ľ5 ≤ 1.5đ?‘š 21 7 4 42 21 21 7 42 21 3 31 10 31 10 đ?‘€8 = −2đ?‘Ľ5 2 − (0)đ?‘Ľ5 + đ?‘Ľ5 − 2(0) − = −2đ?‘Ľ5 2 + đ?‘Ľ5 − 1.5đ?‘š ≤ đ?‘Ľ5 ≤ 4đ?‘š 4 3 3 3 3

El desplazamiento horizontal del punto đ??ľ en el marco puede evaluarse con la siguiente ecuaciĂłn: đ??ż2 đ?œ•đ?‘€ đ?‘‘đ?‘Ľ ∆= âˆŤ đ?‘€ ( ) đ?œ•đ?‘ƒ đ??¸đ??ź đ??ż1

1 3 1 5 1 2 2 (0)(0) (0)(3 ) ∆đ??ťđ??ľ = âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ľ1 + âˆŤ − đ?‘Ľ1 đ?‘‘đ?‘Ľ1 + âˆŤ (− đ?‘Ľ2 3 ) (0) đ?‘‘đ?‘Ľ2 đ??¸đ??ź 0 đ??¸đ??ź 3 đ??¸đ??ź 0 21 +

1 3 1 5 1 3 âˆŤ (−8đ?‘Ľ3 )(đ?‘Ľ3 ) đ?‘‘đ?‘Ľ3 + âˆŤ (−24)(đ?‘Ľ3 ) đ?‘‘đ?‘Ľ3 + âˆŤ (−2đ?‘Ľ4 2 )(0) đ?‘‘đ?‘Ľ4 đ??¸đ??ź 0 đ??¸đ??ź 3 đ??¸đ??ź 0 1 1.5 2 4 281 16 3 âˆŤ (− đ?‘Ľ5 3 − đ?‘Ľ5 2 + đ?‘Ľ5 − ) (− đ?‘Ľ5 − 2) đ?‘‘đ?‘Ľ5 đ??¸đ??ź 0 21 7 42 21 4 1 4 31 10 3 369.501 + âˆŤ (−2đ?‘Ľ5 2 + đ?‘Ľ5 − ) (− đ?‘Ľ5 − 2) đ?‘‘đ?‘Ľ5 = − đ??¸đ??ź 1.5 3 3 4 đ??¸đ??ź

Por lo tanto, el sentido correcto del desplazamiento calculado es ∆đ??ťđ??ľ =

369.501 â†? đ??¸đ??ź

300

CAPĂ?TULO 3 ANĂ LISIS DE ARMADURAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS 3.1 REACCIONES EN LOS SOPORTES Y DETERMINACIĂ“N DE LAS FUERZAS AXIALES POR EL MÉTODO DE LOS NODOS Ejercicio 3.1 Calcule las reacciones en los soportes y use el mĂŠtodo de los nodos para determinar las fuerzas internas de la armadura que se observa en la figura 3-1a. Indique si los elementos estĂĄn en tensiĂłn o compresiĂłn. 6đ?‘˜

(a)

12đ?‘˜

12đ?‘˜

12đ?‘˜

6đ?‘˜

đ??˝

đ??ź

đ??ť

đ??ş

đ??š

đ??´

đ??ľ

đ??ś

đ??ˇ

đ??¸

16´

16´

4đ?‘˜

4đ?‘˜

16´

16´

4đ?‘˜

16´

Figura 3-1 SOLUCIĂ“N VerificaciĂłn del grado de indeterminaciĂłn La armadura de este ejemplo es isostĂĄtica externamente debido a que se tienen đ?‘&#x; = 3 reacciones de apoyo (una horizontal y una vertical en el soporte articulado đ??´, y una vertical en el soporte simple đ??¸), tres equilibrios de equilibrio (∑ đ??šđ?‘‹ = 0, ∑ đ??šđ?‘Œ = 0, ∑ đ?‘€ = 0) y ninguna ecuaciĂłn de condiciĂłn, es decir,đ?‘? = 0. Por otra parte, hay đ?‘? = 17 barras y đ?‘— = 10 nodos (etiquetados desde đ??´ hasta đ??˝). Si đ?‘? + đ?‘&#x; = 17 + 3 = 20 y 2đ?‘— = 2(10) = 20, entonces đ?‘? + đ?‘&#x; = 2đ?‘—. Por lo tanto, la armadura es isostĂĄtica internamente. CĂĄlculo de las reacciones en los apoyos Las reacciones en los soportes se determinan de la misma forma que en las vigas y los marcos. Se realiza un diagrama de cargas en el que aparezcan las fuerzas externas que se aplican a la armadura y las fuerzas reactivas cuyos sentidos deben 301

CAPĂ?TULO 3

ANĂ LISIS DE ARMADURAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

suponerse arbitrariamente por ser incĂłgnitas. Se orientan los ejes đ?‘‹ y đ?‘Œ a lo largo de las lĂ­neas que ofrecen la reducciĂłn de fuerzas mĂĄs simple en sus componentes đ?‘‹ y đ?‘Œ. Se plantean las ecuaciones de equilibrio y en su caso, las ecuaciones de condiciĂłn, y se resuelven; se invierte el sentido de cada fuerza que se propuso en el diagrama cuya magnitud resulte negativa en la soluciĂłn de las ecuaciones de equilibrio. En la figura 3-1b se representa el diagrama de cargas de la estructura. đ?‘Œ 6đ?‘˜ đ?‘‹

đ??˝

(b)

12đ?‘˜

12đ?‘˜

12đ?‘˜

6đ?‘˜

đ??ź

đ??ť

đ??ş

đ??š

đ??ľ

đ??ś

đ??ˇ

đ??¸

16´

đ?‘…đ??´đ?‘‹ đ?‘…đ??´đ?‘Œ

đ??´

16´

4đ?‘˜

4đ?‘˜

16´

16´

4đ?‘˜

16´

Al aplicar las ecuaciones de equilibrio en una secuencia y al emplear los resultados calculados previamente, se obtiene + ∑ đ?‘€đ??´ = 0 12(16) + 4(16) + 12(32) + 4(32) + 12(48) + 4(48) + 6(64) − đ?‘…đ??¸đ?‘Œ (64) = 0 đ?‘…đ??¸đ?‘Œ = −

1920 ⇒ ∴ đ?‘…đ??¸đ?‘Œ = 30đ?‘˜ −64

+↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ −6 − 12 − 4 − 12 − 4 − 12 − 4 − 6 + 30 + đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 30đ?‘˜ +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 0 Como era de esperarse, al ser todas las cargas verticales, la reacciĂłn horizontal es nula. Los resultados obtenidos se visualizan en la figura 3-1c; obsĂŠrvese que sĂłlo es necesario determinar las fuerzas en la mitad de los elementos debido a la simetrĂ­a en la estructura tanto con respecto a la carga como a la geometrĂ­a. 302

đ?‘…đ??¸đ?‘Œ

CAPĂ?TULO 3

6đ?‘˜

ANĂ LISIS DE ARMADURAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

đ??ź

đ??˝

12đ?‘˜

12đ?‘˜

12đ?‘˜

đ??ť

6đ?‘˜

đ??ş

đ??š

đ??ˇ

đ??¸

đ?œƒ đ?œƒ

(c)

16´

đ?œƒ

đ?œƒ đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 0

đ??´

đ??ľ

16´ đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 30đ?‘˜

đ?œƒ đ??ś

4đ?‘˜

4đ?‘˜

16´

16´

4đ?‘˜

16´

đ??¸đ?‘—đ?‘’ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;Ă­đ?‘Ž

đ?‘…đ??¸đ?‘Œ = 30đ?‘˜

MĂŠtodo de los nodos Nodo đ??˝. Para calcular las fuerzas internas, se empieza con el nodo (junta) đ??˝, ya que en ĂŠl sĂłlo hay dos fuerzas desconocidas, que es el nĂşmero mĂĄximo de fuerzas desconocidas que puede haber en un nodo a analizar, asĂ­ que tambiĂŠn se pudo haber iniciado con el nodo đ??š. Se representa el diagrama de cuerpo libre del nodo, figura 3-1d; el sentido de las incĂłgnitas đ??˝đ??´ y đ??˝đ??ź se propone arbitrariamente. Los ejes đ?‘‹ − đ?‘Œ han sido orientados de manera horizontal y vertical para mayor facilidad. Se plantearon entonces, para este nodo, las dos ecuaciones de equilibrio que corresponden a fuerzas concurrentes en un plano, y a partir de estas ecuaciones se determinaron ambas fuerzas desconocidas. Una respuesta positiva indica que el sentido propuesto es correcto, mientras que una respuesta negativa indica que el sentido que se supuso debe ser invertido. AsĂ­ mismo, recuerde que un elemento en

+→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒∴ đ??˝đ??ź = 0 +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ −6 + đ??˝đ??´ = 0 ⇒∴ đ??˝đ??´ = 6đ?‘˜ (đ??śđ?‘œđ?‘šđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ?‘–Ăłđ?‘›)

(d) 303

CAPĂ?TULO 3

ANĂ LISIS DE ARMADURAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

compresiĂłn “empujaâ€? a la junta y un elemento en tensiĂłn “jalaâ€? a la junta. Una vez calculada una fuerza de barra desconocida, deben usarse su magnitud y sentido correctos (tensiĂłn o compresiĂłn) en los diagramas de cargas de los nodos subsecuentes. Lo explicado corresponde al algoritmo que debe seguirse para analizar un nodo. Nodo đ??´, figura 3-1e. A continuaciĂłn se analiza este nodo, ya que al haber calculado anteriormente la fuerza del elemento đ??˝ − đ??´, sĂłlo quedaban dos incĂłgnitas, las fuerzas đ??´đ??ľ y đ??´đ??ź.

(f) (e)

Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ź = √162 + 162 = 16√2đ?‘š sin đ?œƒ =

Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě… đ??ľđ??ź 16 1 đ??´đ??ľ 16 1 = = ; cos đ?œƒ = = = Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ź 16√2 √2 đ??´đ??ź 16√2 √2

Con base en la figura 3-1f, se han determinado sin đ?œƒ y cos đ?œƒ debido a que las componentes rectangulares horizontal y vertical de la fuerza đ??´đ??ź involucran esos tĂŠrminos, en forma respectiva. Como el carĂĄcter (tensiĂłn o compresiĂłn) debe ser el mismo en los dos nodos que definen el elemento, se observa que la fuerza interna de la barra đ??´ − đ??˝ empuja a la junta đ??´ tal y como lo hace con đ??˝. El anĂĄlisis se hace tambiĂŠn con las dos ecuaciones de equilibrio correspondientes a fuerzas concurrentes en un plano. +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Œ − đ??´đ??˝ − đ??´đ??źđ?‘Œ = 0 ⇒ 30 − 6 − đ??´đ??ź(cos đ?œƒ) = 0 1 24 24 − đ??´đ??ź ( ) = 0 ⇒ đ??´đ??ź = − ⇒∴ đ??´đ??ź = 33.9411đ?‘˜ (đ??śđ?‘œđ?‘šđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ?‘–Ăłđ?‘›) 1 √2 − √2 +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ??´đ??ľ − đ??´đ??źđ?‘‹ = 0 ⇒ đ??´đ??ľ − đ??´đ??ź(sin đ?œƒ) = 0

304

CAPÍTULO 3

ANÁLISIS DE ARMADURAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

1 𝐴𝐵 = (33.9411) ( ) ⇒∴ 𝐴𝐵 = 24𝑘 (𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛) √2 De forma análoga, se efectúa el análisis de cada uno de los nodos restantes. Nodo 𝐵, figura 3-1g. +→ ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒ −𝐵𝐴 + 𝐵𝐶 = 0 ⇒ 𝐵𝐶 = 𝐵𝐴 ∴ 𝐵𝐶 = 24𝑘 (𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛) +↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒ 𝐵𝐼 − 4 = 0 ∴ 𝐵𝐼 = 4𝑘 (𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛) (g)

Nodo 𝐼, figura 3-1h.

(h)

+↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒ −12 − 𝐼𝐵 + 𝐴𝐼𝑌 − 𝐼𝐶𝑌 = 0 ⇒ 𝐼𝐶(sin 𝜃) = −12 − 4 + 𝐼𝐴(cos 𝜃) 𝐼𝐶 (

1

1 8 ) = −16 + (33.9411) ( ) ⇒ 𝐼𝐶 = ⇒∴ 𝐼𝐶 = 11.3137𝑘 (𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛) 1 √2 √2 √2

+→ ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒ 𝐼𝐴𝑋 + 𝐼𝐶𝑋 − 𝐼𝐻 − 𝐼𝐽 = 0 ⇒ 𝐼𝐴(sin 𝜃) + 𝐼𝐶(cos 𝜃) − 𝐼𝐻 − 0 = 0 𝐼𝐻 = (33.9411) (

1

1 ) + (11.3137) ( ) ⇒∴ 𝐼𝐻 = 32𝑘 (𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛) √2 √2 305

CAPÍTULO 3

ANÁLISIS DE ARMADURAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

Nodo 𝐻, figura 3-1i.

+→ ∑ 𝐹𝑋 = 0 𝐻𝐼 − 𝐻𝐺 = 0 ⇒ 𝐻𝐼 = 𝐻𝐺 ∴ 𝐻𝐺 = 32𝑘 (𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛) +↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 𝐻𝐶 − 12 = 0 ⇒∴ 𝐻𝐶 = 12𝑘 (𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛)

(i)

Por lo tanto, 𝐹𝐺 = 𝐽𝐼 = 0 𝐸𝐹 = 𝐽𝐴 = 6𝑘 (𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛)

𝐸𝐺 = 𝐴𝐼 = 33.9411𝑘 (𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛)

𝐸𝐷 = 𝐴𝐵 = 24𝑘 (𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛) 𝐷𝐺 = 𝐵𝐼 = 4𝑘 (𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛)

𝐶𝐷 = 𝐵𝐶 = 24𝑘 (𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛) 𝐶𝐺 = 𝐼𝐶 = 11.3137𝑘 (𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛)

Los resultados obtenidos se visualizan en la figura 3-1j. 6𝑘

0

𝐽

12𝑘

12𝑘

12𝑘

32𝑘

𝐼

32𝑘

𝐻

6𝑘

0

𝐺

𝐹

𝜃

𝑅𝐴𝑋 = 0

𝜃

24𝑘

24𝑘

𝜃

𝐵

𝐴

16´

𝜃

24𝑘

𝐶 4𝑘

4𝑘

16´

𝑅𝐴𝑌 = 30𝑘

6𝑘

4𝑘

4𝑘

16´

6𝑘

(j)

12𝑘

𝜃

24𝑘 𝐷

16´

4𝑘

𝐸

16´ 𝑅𝐸𝑌 = 30𝑘

306

CAPĂ?TULO 3

ANĂ LISIS DE ARMADURAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Ejercicio 3.2 Calcule las reacciones en los apoyos y determine la fuerza en cada elemento de la armadura que se muestra en la figura 3-2a. Indique si los elementos estĂĄn en tensiĂłn o compresiĂłn. đ??ľ

đ??ˇ

(a)

6đ?‘š

Figura 3-2 đ??š

đ??ş đ??ś

đ??¸

15đ?‘˜

15đ?‘˜

đ??´

4đ?‘š

4đ?‘š

15đ?‘˜ 4đ?‘š

SOLUCIĂ“N VerificaciĂłn del grado de indeterminaciĂłn Observe que đ?‘? = 11, đ?‘&#x; = 3, đ?‘— = 7 y đ?‘? = 0. Debido a que đ?‘&#x; − đ?‘? = 3 se cumple, la armadura se describe como determinada externamente desde el punto de vista estĂĄtico. AdemĂĄs, đ?‘? + đ?‘&#x; = 11 + 3 = 14 y 2đ?‘— = 2(7) = 14 conducen a đ?‘? + đ?‘&#x; = 2đ?‘—, asĂ­ que la armadura es estĂĄticamente determinada externamente. CĂĄlculo de las reacciones en los apoyos đ?‘Œ đ?‘…đ??ľđ?‘‹

đ??ľ đ?‘…đ??ľđ?‘Œ

(b)

đ??ˇ

6đ?‘š đ??š

đ??ş

đ?‘…đ??´đ?‘‹

đ??´

đ??ś

đ??¸

15đ?‘˜

15đ?‘˜ 4đ?‘š

4đ?‘š

307

15đ?‘˜ 4đ?‘š

đ?‘‹

CAPĂ?TULO 3

ANĂ LISIS DE ARMADURAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Al aplicar las ecuaciones de equilibrio en el diagrama de cargas, figura 3-2b, resulta +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ −15 − 15 − 15 + đ?‘…đ??ľđ?‘Œ = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??ľđ?‘Œ = 45đ?‘˜ + ∑ đ?‘€đ??´ = 0 ⇒ 15(4) + 15(8) + 15(12) − đ?‘…đ??ľđ?‘‹ (6) = 0 ⇒ đ?‘…đ??ľđ?‘‹ = −

360 ⇒∴ đ?‘…đ??ľđ?‘‹ = 60đ?‘˜ −6

+→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘‹ − 60 = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 60đ?‘˜ Los resultados obtenidos se visualizan esquemĂĄticamente en la figura 3-2c. đ?‘…đ??ľđ?‘Œ = 45đ?‘˜ đ?‘…đ??ľđ?‘‹ = 60đ?‘˜

đ??ľ đ?œƒ1 đ??ˇ

(c)

6đ?‘š

đ??š đ?œƒ2

đ?œƒ2 đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 60đ?‘˜

đ?œƒ3

đ??ś

đ??¸

15đ?‘˜

15đ?‘˜

đ??´

4đ?‘š

4đ?‘š

đ?œƒ1

đ??ş

15đ?‘˜ 4đ?‘š

MĂŠtodo de los nodos Para calcular las fuerzas en los elementos, no hubo otra opciĂłn mĂĄs que iniciar con el nodo đ??ş por ser el Ăşnico en poseer dos incĂłgnitas, las fuerzas đ??şđ??¸ y đ??şđ??š. A continuaciĂłn se analizĂł el nodo đ??š, debido a que al haber calculado anteriormente la fuerza en el elemento đ??š − đ??¸, sĂłlo quedaban dos incĂłgnitas en este nodo. DespuĂŠs se pasĂł al nodo đ??¸, se siguiĂł con los nodos đ??ś y đ??´, y se concluyĂł con la junta đ??ľ, ya que conforme se obtenĂ­an resultados, se iban utilizando en los diagramas de cuerpo libre de las juntas subsecuentes. Un cambio en la orientaciĂłn de los ejes đ?‘‹ y đ?‘Œ en el nodo đ??š, lo cual puede ser observado en el correspondiente diagrama, evitĂł una soluciĂłn simultĂĄnea de ecuaciones. Las fuerzas internas de la armadura son 308

CAPÍTULO 3

ANÁLISIS DE ARMADURAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

Nodo 𝐺, figura 3-2e. Con base en la figura 3-2d, se tiene ̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅ 𝐴𝐵 ̅​̅​̅​̅ 𝐹𝐸 6 𝐹𝐸 = ⇒ = ̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅ 4 𝐴𝐺 𝐸𝐺 12 (d)

̅​̅​̅​̅ = 𝐹𝐸

6(4) = 2𝑚 12

tan 𝜃1 = 𝜃1 = tan−1

̅​̅​̅​̅ 𝐹𝐸 2 = ̅​̅​̅​̅ 𝐸𝐺 4

2 = 26.5651° 4

+↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒ 𝐺𝐹𝑌 − 15 = 0 ⇒ 𝐺𝐹(sin 𝜃1 ) − 15 = 0 𝐺𝐹(sin 26.5651°) = 15 ⇒ 𝐺𝐹 =

15 sin 26.5651°

∴ 𝐺𝐹 = 33.5410𝑘 (𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛) +→ ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒ 𝐺𝐸 − 𝐺𝐹𝑋 = 0 ⇒ 𝐺𝐸 − 𝐺𝐹(cos 𝜃1 ) = 0 𝐺𝐸 = (33.5410)(cos 26.5651°) ⇒∴ 𝐺𝐸 = 30𝑘 (𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛)

(e)

Nodo 𝐹, figura 3-2f. + ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒ −𝐹𝐸𝑌 = 0 𝐹𝐸(sin 𝜃3 ) = 0 ⇒ 𝐹𝐸 =

0 ⇒∴ 𝐹𝐸 = 0 cos 𝜃3

+ ∑ 𝐹𝑋 = 0 −𝐹𝐷 + 𝐹𝐺 + 𝐹𝐸𝑋 = 0 ⇒ 𝐹𝐷 = 𝐹𝐺 + 𝐹𝐸(cos 𝜃3 ) 𝐹𝐷 = 33.5410 + 0(cos 𝜃3 ) ∴ 𝐹𝐷 = 33.5410𝑘 (𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛)

(f)

309

CAPÍTULO 3

ANÁLISIS DE ARMADURAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

Nodo 𝐸, figura 3-2h. A partir de la figura 3-2g, se obtiene

̅​̅​̅​̅ 𝐷𝐶 ̅​̅​̅​̅ ̅​̅​̅​̅ 𝐴𝐵 6 𝐷𝐶 = ⇒ = ̅​̅​̅​̅ 8 𝐴𝐺 ̅​̅​̅​̅ 𝐶𝐺 12 ̅​̅​̅​̅ 𝐷𝐶 =

6(8) = 4𝑚 12

tan 𝜃2 =

̅​̅​̅​̅ 4 𝐹𝐸 = ̅​̅​̅​̅ 𝐸𝐺 4

𝜃2 = tan−1

4 = 45° 4

(g)

+↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒ −15 + 𝐸𝐹 + 𝐸𝐷𝑌 = 0 ⇒ 𝐸𝐷(cos 𝜃2 ) = 15 + 0 𝐸𝐷(cos 45°) = 15 ⇒ 𝐸𝐷 =

15 ⇒∴ 𝐸𝐷 = 21.2132𝑘 (𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛) cos 45°

+→ ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒ −𝐸𝐷𝑋 + 𝐸𝐶 − 𝐸𝐺 = 0 ⇒ 𝐸𝐶 = 𝐸𝐷(sin 𝜃2 ) + 𝐸𝐺 𝐸𝐶 = (21.2132)(sin 45°) + 30 ⇒∴ 𝐸𝐶 = 45𝑘 (𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛) (h)

Nodo 𝐶, figura 3-2i. +↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 𝐶𝐷 − 15 = 0 ⇒∴ 𝐶𝐷 = 15𝑘 (𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛) +→ ∑ 𝐹𝑋 = 0 𝐶𝐴 − 𝐶𝐸 = 0 ⇒ 𝐶𝐴 = 𝐶𝐸 ⇒∴ 𝐶𝐴 = 45𝑘 (𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛) (i) 310

CAPÍTULO 3

ANÁLISIS DE ARMADURAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

Nodo 𝐴, figura 3-2j. +→ ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒ 𝑅𝐴𝑋 − 𝐴𝐶 − 𝐴𝐷𝑋 = 0 ⇒ 𝐴𝐷(cos 𝜃2 ) = 60 − 45 𝐴𝐷 =

15 ⇒∴ 𝐴𝐷 = 21.2132𝑘 (𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛) cos 45°

+↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒ 𝐴𝐵 − 𝐴𝐷𝑌 = 0 ⇒ 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷(sin 𝜃2 ) 𝐴𝐵 = 21.2132(sin 45°) ⇒∴ 𝐴𝐵 = 15𝑘 (𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛) (j)

Nodo 𝐵, figura 3-2k. +→ ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒ 𝑅𝐵𝑋 + 𝐵𝐷𝑋 = 0 ⇒ 𝐵𝐷(cos 𝜃1 ) = 60 𝐵𝐷 =

60 ⇒∴ 𝐵𝐷 = 67.0821𝑘 (𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛) cos 26.5651°

+↑ ∑ 𝐹𝑌 = 𝑅𝐵𝑌 − 𝐵𝐴 − 𝐵𝐷𝑌 = 45 − 15 − 𝐵𝐷(sin 𝜃1 ) = 45 − 15 − 67.0821(sin 26.5651°) = 0

𝑜𝑘 (k)

En la figura 3-2l se muestran los resultados obtenidos.

𝑅𝐵𝑌 = 45𝑘 𝑅𝐵𝑋 = 60𝑘

𝐵

𝐷

15𝑘

6𝑚

15𝑘

𝐹 0

45𝑘 𝑅𝐴𝑋 = 60𝑘

𝐴

45𝑘

𝐸

15𝑘

15𝑘 4𝑚

4𝑚

(l) 311

30𝑘

𝐶

𝐺

15𝑘 4𝑚

CAPĂ?TULO 3

ANĂ LISIS DE ARMADURAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Ejercicio 3.3 Calcule las reacciones de los apoyos de la armadura al actuar la carga indicada. AdemĂĄs, determine la fuerza en cada elemento. Suponga que đ??¸ es constante. Las reacciones en los soportes se muestran directamente en la figura 3-3a, pero despuĂŠs se proporciona a detalle su cĂĄlculo. En la tabla 3-1 se indican la longitud y el ĂĄrea de cada elemento.

(a) Figura 3-3

Tabla 3-1

No de barra 1 2 3 4 5 6 7 8 9

longitud (pies) 15 7.5 7.5 16.7705 16.7705 21.2132 21.2132 16.7705 16.7705

Ă rea (pies2) 0.05556 0.02778 0.02778 0.08333 0.08333 0.06944 0.06944 0.08333 0.08333

SOLUCIĂ“N VerificaciĂłn del grado de indeterminaciĂłn Las ecuaciones de equilibrio son đ?‘› = 3(∑ đ??šđ?‘‹; ∑ đ??šđ?‘Œ ; ∑ đ?‘€) y en este caso no hay ecuaciones de condiciĂłn, es decir, đ?‘? = 0 . En el apoyo articulado đ??´ hay dos incĂłgnitas de reacciĂłn, una horizontal y una vertical, y en el rodillo đ??ľ sĂłlo hay una vertical, por lo que đ?‘&#x; = 3(đ?‘…đ??´đ?‘‹ ; đ?‘…đ??´đ?‘Œ ; đ?‘…đ??šđ?‘Œ ). Ello indica que la armadura es estĂĄticamente determinada externamente. 312

CAPĂ?TULO 3

ANĂ LISIS DE ARMADURAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Por otra parte, el nĂşmero de nodos es đ?‘— = 6(đ??´; đ??ľ; đ??ś; đ??ˇ; đ??¸; đ??š) y la cantidad de barras es đ?‘? = 9, asĂ­ que đ?‘&#x; + đ?‘? = 12 y 2đ?‘— = 12. Como đ?‘&#x; + đ?‘? = 2đ?‘— ya que 12 = 12, la armadura es estĂĄticamente determinada internamente. CĂĄlculo de las reacciones en los apoyos Al aplicar las ecuaciones de la estĂĄtica se tiene + ∑ đ?‘€đ??´ = 0 ⇒ đ?‘…đ??šđ?‘Œ (45) − 15(15) − 5(15) = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??šđ?‘Œ = 6.6667đ?‘˜ +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ đ?‘…đ??´đ?‘Œ − 15đ?‘˜ + 6.6667đ?‘˜ = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 8.3333đ?‘˜ +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ 5 − đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 5đ?‘˜ Por trigonometrĂ­a se deducen los siguientes ĂĄngulos 15 đ?›ž = đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›âˆ’1 ( ) = 45° 15

7.5 đ?œƒ = đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›âˆ’1 ( ) = 26.5650° 15

MĂŠtodo de los nodos Nodo đ??´, figura 3-3b. El anĂĄlisis puede comenzarse en este nodo, debido a que, como se observa en el diagrama de cargas, sĂłlo se tienen dos incĂłgnitas que corresponden a las fuerzas en las barras đ??´đ??ľ y đ??´đ??ś.

đ??´đ??śđ?‘‹ đ??´đ??ľđ?‘‹

đ?›ž đ?œƒ

đ??´đ??śđ?‘‹

�

đ??´

đ??´đ??ľđ?‘Œ

đ?œƒ

đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 5đ?‘˜

(b) đ?‘…đ??´đ?‘Œ

25 = đ?‘˜ 3

+â&#x;ś ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ đ??´đ??śđ?‘‹ − đ??´đ??ľđ?‘‹ − 5 = 0 ⇒ đ??´đ??ś(đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œƒ) − đ??´đ??ľ(đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?›ž) = 5 − − − (1) 313

CAPÍTULO 3

ANÁLISIS DE ARMADURAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

+↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒ 𝐴𝐶𝑌 − 𝐴𝐵𝑌 +

25 25 = 0 ⇒ 𝐴𝐶(𝑠𝑖𝑛𝜃) − 𝐴𝐵(𝑠𝑖𝑛𝛾) = − − − − (2) 3 3

Resolvemos el sistema simultáneo de ecuaciones (1) y (2). Despejando 𝐴𝐶 de la ecuación (1) se obtiene 𝐴𝐶 =

5 + 𝐴𝐵(𝑐𝑜𝑠𝛾) − − − − − (3) 𝑐𝑜𝑠𝜃

Al sustituir la ecuación (3) en la ecuación (2) resulta (

5 + 𝐴𝐵(𝑐𝑜𝑠𝛾) 25 25 ⇒ 5(𝑡𝑎𝑛𝜃) + 𝐴𝐵(𝑐𝑜𝑠𝛾)(𝑡𝑎𝑛𝜃) − 𝐴𝐵(𝑠𝑖𝑛𝛾) = − ) (𝑠𝑖𝑛𝜃) − 𝐴𝐵(𝑠𝑖𝑛𝛾) = − 𝑐𝑜𝑠𝜃 3 3

𝐴𝐵 =

25 − ( 3 + 5(𝑡𝑎𝑛𝜃)) (𝑐𝑜𝑠𝛾)(𝑡𝑎𝑛𝜃) − (𝑠𝑖𝑛𝛾)

=

25 − ( 3 + 5(𝑡𝑎𝑛26.5650°)) (𝑐𝑜𝑠45°)(𝑡𝑎𝑛26.5650°) − (𝑠𝑖𝑛45°)

∴ 𝐴𝐵 = 30.64129385𝑘 (𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛) Reemplazando el valor obtenido de 𝐴𝐵 en la ecuación (3) da 𝐴𝐶 =

5 + 𝐴𝐵(𝑐𝑜𝑠𝛾) 5 + (30.64129385)(𝑐𝑜𝑠45°) = ⇒∴ 𝐴𝐶 = 29.8142397𝑘 (𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛) 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠26.5650°

Nodo 𝐹, figura 3-3c. +⟶ ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒ −𝐹𝐸𝑋 + 𝐹𝐷𝑋 = 0

𝐹𝐸𝑌

𝐹𝐸(𝑐𝑜𝑠𝜃) = 𝐹𝐷(𝑐𝑜𝑠𝛾) − − − (1´) 20 +↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒ 𝐹𝐸𝑌 − 𝐹𝐷𝑌 + =0 3 20 𝐹𝐸(𝑠𝑖𝑛𝜃) − 𝐹𝐷(𝑠𝑖𝑛𝛾) = − − − − (2´) 3 Se resuelve el sistema de ecuaciones (1´) y (2´).

𝛾

𝐹𝐷𝑋

𝜃

𝐹𝐸𝑋

𝜃

𝛾

𝐹

𝐹𝐷𝑌

∴ 𝐹𝐸 = 14.90711985𝑘 (𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛) ∴ 𝐹𝐷 = 18.85618033𝑘 (𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛)

𝑅𝐹𝑌 =

(c)

314

20 𝑘 3

CAPĂ?TULO 3

ANĂ LISIS DE ARMADURAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Nodo đ??ś, figura 3-3d.

đ??śđ??ľ

đ??ś

(d) Se hace un cambio en la orientaciĂłn de los ejes đ?‘‹ y đ?‘Œ para evitar la soluciĂłn simultĂĄnea de ecuaciones. Como la componente đ??śđ??ľđ?‘Œ es la Ăşnica fuerza en la direcciĂłn đ?‘Œ, evidentemente tenemos + ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒∴ đ??śđ??ľ = 0 Por otra parte, + ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ −đ??śđ??´ + đ??śđ??ˇ − đ??śđ??ľđ?‘‹ = 0 ⇒∴ đ??śđ??ˇ = 29.8142397đ?‘˜ (đ?‘‡đ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘–Ăłđ?‘›) Nodo đ??¸, figura 3-3e.

đ??¸đ??ˇ

đ??¸

(e)

De forma anĂĄloga al nodo đ??ś se tiene 315

CAPÍTULO 3

ANÁLISIS DE ARMADURAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

+ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒ −𝐸𝐷𝑌 = 0 ⇒∴ 𝐸𝐷 = 0 + ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒ −𝐸𝐵 + 𝐸𝐹 + 𝐸𝐷𝑋 = 0 ⇒∴ 𝐸𝐵 = 14.90711985𝑘

(𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛)

Nodo 𝐵, figura 3-3f. 15𝑘

𝐵

5𝑘

𝐵𝐴𝑌

𝐵𝐷 𝜃

(f)

𝜃

𝐵𝐸𝑌

𝐵𝐶

𝛾

𝐵𝐴𝑋

𝐵𝐸𝑌

+⟶ ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒ 𝐵𝐴𝑋 + 5 + 𝐵𝐸𝑋 − 𝐵𝐷 = 0 𝐵𝐴(𝑐𝑜𝑠𝛾) + 5 + 𝐵𝐸(𝑐𝑜𝑠𝜃) − 𝐵𝐷 = 0 ⇒∴ 𝐵𝐷 = 40𝑘 (𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛) Los resultados obtenidos se muestran en la figura 3-3g. 15𝑘 B

15𝑘

40.000k

0

0

15´

D

C

E

A

F 𝑅𝐴𝑋 = 5𝑘 𝑅𝐴𝑌 =

25 𝑘 3

15´

15´ (g) 316

15´

𝑅𝐹𝑌 =

20 𝑘 3

CAPĂ?TULO 3

ANĂ LISIS DE ARMADURAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

3.2 MÉTODO DEL PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL Ejercicio 3.4 Determine el desplazamiento horizontal en la junta đ??ľ de la armadura que se muestra en la figura 3-4a. Considere que đ??´đ??¸ es constante.

(a) Figura 3-4

SOLUCIĂ“N Fuerzas reales đ?‘ľ Se determinan las reacciones en los soportes y despuĂŠs las fuerzas en las barras causadas por las cargas reales que actĂşan en la armadura preferentemente con el mĂŠtodo de los nodos. Las distancias đ?‘‘1 y đ?‘‘2 que corresponden a las longitudes de las barras đ??ś − đ??ľ y đ??´ − đ??ľ, respectivamente, y la altura â„Ž se deducen a partir de la figura 3-4b.

(b)

cos 30° =

â„Ž = đ?‘‘1 (sin 30°) = 1.299đ?‘š

đ?‘‘1 ⇒ đ?‘‘1 = (3đ?‘š)(cos 30°) = 2.598đ?‘š 3đ?‘š

đ?‘‘2 = √(3đ?‘š)2 − (2.598đ?‘š)2 = 1.50013đ?‘š

El diagrama de cargas, en el que los sentidos de las reacciones (incĂłgnitas) se suponen arbitrariamente se proporciona en la figura 3-4c.

(c)

317

CAPĂ?TULO 3

ANĂ LISIS DE ARMADURAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Aplicando las ecuaciones de equilibrio se obtiene + ∑ đ?‘€đ??´ = 0 ⇒ 5(1.299) − đ?‘…đ??śđ?‘Œ (3) = 0 ⇒ đ?‘…đ??śđ?‘Œ =

6.495 ⇒∴ đ?‘…đ??śđ?‘Œ = 2.165đ?‘˜đ?‘ 3

+↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ −đ?‘…đ??´đ?‘Œ + 2.165 = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 2.165đ?‘˜đ?‘ +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ −đ?‘…đ??´đ?‘‹ + 5 = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘‹ = 5đ?‘˜đ?‘ El cĂĄlculo de las fuerzas reales en los elementos se presenta en seguida. Junta đ??´, figura 3-4d. +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ −đ?‘…đ??´đ?‘Œ + đ??´đ??ľđ?‘Œ = 0 đ??´đ??ľ =

2.165 ⇒∴ đ??´đ??ľ = 2.5đ?‘˜đ?‘ (đ?‘‡đ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘–Ăłđ?‘›) sin 60°

(d)

+→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ −5 + đ??´đ??ľđ?‘‹ + đ??´đ??ś = 0 đ??´đ??ś = 5 − (2.5)(cos 60°) ⇒∴ đ??´đ??ś = 3.75đ?‘˜đ?‘ (đ?‘‡đ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘–Ăłđ?‘›) Junta đ??ś, figura 3-4e. +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ 2.615 − đ??śđ??ľđ?‘Œ = 0 đ??śđ??ľ = (e)

2.165 ⇒∴ đ??śđ??ľ = 4.33đ?‘˜đ?‘ (đ??śđ?‘œđ?‘šđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ?‘–Ăłđ?‘›) sin 30° +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = − 3.75 + đ??śđ??ľđ?‘‹

= −3.75 + (4.33)(cos 30°) = 0 Los resultados obtenidos se muestran en la figura 3-4f.

(f)

318

đ?‘œđ?‘˜

CAPĂ?TULO 3

ANĂ LISIS DE ARMADURAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Fuerzas virtuales đ?’? Se coloca una carga virtual unitaria en la armadura sobre el nodo donde debe calcularse el desplazamiento. Dicha carga debe tener la misma direcciĂłn que el desplazamiento requerido y su sentido se supone arbitrariamente. Por tal motivo, a la armadura, en la que se desea conocer el desplazamiento horizontal en la junta đ??ľ, se le aplica una fuerza virtual de 1 en đ??ľ con direcciĂłn horizontal y un sentido hacia la derecha, y las cargas reales son eliminadas, figura 3-4g. Se calculan las reacciones en los soportes đ??´ y đ??ś y despuĂŠs se determina la fuerza interna en cada elemento por el mĂŠtodo de los nodos. En este problema, obsĂŠrvese que las reacciones y las fuerzas virtuales đ?‘› pueden calcularse fĂĄcilmente si dividimos los resultados obtenidos en la estructura real entre cinco ya que la Ăşnica diferencia radica en que para la estructura virtual la fuerza horizontal aplicada en đ??ľ es de 1 y no de 5đ??žđ?‘ .

(g)

EcuaciĂłn del trabajo virtual Dado que đ??´đ??¸ es constante, puede aplicarse hasta el final de la sumatoria y por ahora atender la parte de đ?‘ đ?‘›đ??ż. Las fuerzas de tensiĂłn deben considerarse positivas y las de compresiĂłn negativas en ambas estructuras; al disponer los datos en forma tabular, tabla 3-2, se tiene Barra A-B A-C C-B

đ??ż(đ?‘š) 1.50013 3 2.598

đ?‘ (đ?‘˜đ?‘ ) 2.5 3.75 -4.33

đ?‘› 0.5 0.75 -0.866 ∑=

Entonces, đ?‘ đ?‘›đ??ż 20.0546 1 ∙ ∆đ??ťđ??ľ = ∑ = đ??´đ??¸ đ??´đ??¸

đ?‘ đ?‘›đ??ż 1.87516 8.4375 9.74193 20.0546

Tabla 3-2

Como la sumatoria resultante es positiva, el desplazamiento calculado tiene el mismo sentido que la carga virtual unitaria. ∴ ∆đ??ťđ??ľ =

20.0546 đ?‘˜đ?‘ → đ?‘’đ?‘› đ?‘š, đ?‘ đ?‘– đ??´(đ?‘š2 ) đ?‘Ś đ??¸ ( 2 ) đ??´đ??¸ đ?‘š

319

CAPĂ?TULO 3

ANĂ LISIS DE ARMADURAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Ejercicio 3.5 Calcule el desplazamiento que experimenta el nudo đ?‘– de la armadura que se muestra en la figura 3-5a al actuar sobre ella el sistema de cargas indicado. El ĂĄrea de la secciĂłn transversal de cada elemento es constante y su valor se indica en el cuadrado adyacente; se expresa en pulgadas cuadradas. El mĂłdulo de elasticidad del material de los miembros de la estructura es 30000đ?‘˜/đ?‘?đ?‘˘đ?‘™đ?‘”2 . 12

đ?‘?

8

8

đ?‘–

â„Ž

(a) Figura 3-5 đ?‘“ 9

12đ?‘˜

18đ?‘˜

10

đ?‘Ž

3 8

8

đ?‘— 9

15

3

3

đ?‘?

đ?‘’

10

10

15 15´

15´

12

đ?‘‘

10

đ?œƒ

đ?‘” 20´

20´

20´

20´

SOLUCIĂ“N Fuerzas reales đ?‘ľ Las reacciones en los soportes son resultado de +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒∴ đ?‘…đ?‘Žđ?‘‹ = 0 + ∑ đ?‘€đ?‘Ž = 0 ⇒ 12(20) + 18(40) − đ?‘…đ?‘”đ?‘Œ (80) = 0 ⇒ đ?‘…đ?‘”đ?‘Œ =

960 = 12 ⇒∴ đ?‘…đ?‘”đ?‘Œ = 12đ?‘˜ 80

↑ + ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ 12 − 18 + 12 − đ?‘…đ?‘Žđ?‘Œ = 0 ⇒∴ đ?‘…đ?‘Žđ?‘Œ = 18đ?‘˜ La longitud de cada barra inclinada es đ??żđ?‘Žâˆ’đ?‘— = đ??żđ?‘Žâˆ’đ?‘— = đ??żđ?‘?−đ?‘? = đ??żđ?‘—−đ?‘‘ = đ??żâ„Žâˆ’đ?‘‘ = đ??żđ?‘“−đ?‘’ = đ??żđ?‘”−ℎ √(20´)2 + (15´)2 = 25´ Por otra parte, sin đ?œƒ =

15 3 = 25 5

cos đ?œƒ = 320

20 4 = 25 5

CAPÍTULO 3

ANÁLISIS DE ARMADURAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

El cálculo las fuerzas en las barras causadas por las cargas reales que actúan sobre la armadura se presenta en seguida. Nodo 𝑎, figura 3-5b. +→ ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒ −𝑅𝑎𝑋 + 𝑎𝑗𝑋 = 0 ⇒ −𝑅𝑎𝑋 + 𝑎𝑗𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0 𝑎𝑗 =

𝑅𝑎𝑋 0 = ⇒∴ 𝑎𝑗 = 0 𝑐𝑜𝑠𝜃 4⁄ 5

+↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒ −𝑎𝑏 + 𝑅𝑎𝑌 + 𝑎𝑗𝑌 = 0 ⇒ −𝑎𝑏 + 𝑅𝑎𝑌 + 𝑎𝑗𝑠𝑖𝑛𝜃 = 0 3 −𝑎𝑏 + 18 + 0 ( ) = 0 ⇒∴ 𝑎𝑏 = 18𝑘(𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛) 5

(b) Nodo 𝑏 figura 3-5c.

+↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒ 𝑏𝑎 − 𝑏𝑐𝑌 = 0 ⇒ 𝑏𝑎 − 𝑏𝑐𝑠𝑖𝑛𝜃 = 0 𝑏𝑐 =

𝑏𝑎 18 = ⇒∴ 𝑏𝑐 = 30𝑘(𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛) 𝑠𝑖𝑛𝜃 3⁄ 5

+→ ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒ 𝑏𝑗 − 𝑏𝑐𝑋 = 0 ⇒ 𝑏𝑗 − 𝑏𝑐𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0 4 𝑏𝑗 = 𝑏𝑐𝑐𝑜𝑠𝜃 = 30 ( ) ⇒∴ 𝑏𝑗 = 24𝑘(𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛) 5

(c) Nodo 𝑐, figura 3-5d. +→ ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒ 𝑐𝑏𝑋 − 𝑐𝑑 = 0 ⇒ 𝑐𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑐𝑑 = 0 4 𝑐𝑑 = 𝑐𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃 = 30 ( ) ⇒∴ 𝑐𝑑 = 24𝑘(𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛) 5 +↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒ 𝑐𝑏𝑌 − 𝑐𝑗 = 0 ⇒ 𝑐𝑏𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑐𝑗 = 0 3 𝑐𝑗 = 𝑐𝑏𝑠𝑖𝑛𝜃 = 30 ( ) ⇒∴ 𝑐𝑗 = 18𝑘(𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛) 5

(d)

321

CAPÍTULO 3

ANÁLISIS DE ARMADURAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

Nodo 𝑗, figura 3-5e. +↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒ 𝑗𝑐 − 12 − 𝑗𝑑𝑌 𝑗𝑐 − 12 − 𝑗𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃 = 0 𝑗𝑑 =

𝑗𝑐 − 12 18 − 12 = ⇒∴ 𝑗𝑑 = 10𝑘(𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛) 3⁄ 𝑠𝑖𝑛𝜃 5 +→ ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒ −𝑗𝑏 + 𝑗𝑖 − 𝑗𝑑𝑋 = 0 −𝑗𝑏 + 𝑗𝑖 − 𝑗𝑑𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0

4 𝑗𝑖 = 𝑗𝑏 + 𝑗𝑑𝑐𝑜𝑠𝜃 = 24 + 10 ( ) ⇒∴ 𝑗𝑖 = 32𝑘(𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛) 5

(e)

Nodo 𝑖, figura 3-5f.

+↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒ 𝑖𝑑 − 18 = 0 ∴ 𝑖𝑑 = 18𝑘(𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛) +→ ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒ −𝑖𝑗 + 𝑖ℎ = 0 𝑖ℎ = 𝑖𝑗 ⇒∴ 𝑖ℎ = 32𝑘(𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛)

(f) Nodo 𝑔, figura 3-5g.

+→ ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒ −𝑔ℎ𝑋 = 0 ⇒ −𝑔ℎ𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0 𝑔ℎ = 0/𝑐𝑜𝑠𝜃 =

0 ⇒∴ 𝑔ℎ = 0 4 5

+↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒ 𝑅𝑔𝑌 − 𝑔𝑓 + 𝑔ℎ𝑌 = 0 ⇒ 𝑅𝑔𝑌 − 𝑔𝑓 + 𝑔ℎ𝑠𝑖𝑛𝜃 = 0 3 𝑔𝑓 = 𝑅𝑔𝑌 + 𝑔ℎ𝑠𝑖𝑛𝜃 = 12 + 0 ( ) ⇒∴ 𝑔𝑓 = 12𝑘(𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛) 5

(g) 322

CAPÍTULO 3

ANÁLISIS DE ARMADURAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

Nodo 𝑓, figura 3-5h. +↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒ −𝑓𝑒𝑌 + 𝑓𝑔 = 0

𝑓𝑒𝑋

𝜃

−𝑓𝑒𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑓𝑔 = 0

𝑓𝑒 𝑓𝑒𝑌

𝑓𝑒 = 𝑓𝑔/𝑠𝑖𝑛𝜃 =

𝜃

𝑓

𝑓ℎ

12 ⇒∴ 𝑓𝑒 = 20𝑘(𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛) 3 5

+→ ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒ −𝑓ℎ + 𝑓𝑒𝑋 = 0

𝑓𝑔 = 12𝑘

−𝑓ℎ + 𝑓𝑒𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0

(h)

4 𝑓ℎ = 𝑓𝑒𝑐𝑜𝑠𝜃 = 20 ( ) ⇒∴ 𝑓ℎ = 16𝑘(𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛) 5

Nodo 𝑒, figura 3-5i. +→ ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒ 𝑒𝑑 − 𝑒𝑓𝑋 = 0

𝑒

𝑒𝑑

𝜃

𝑒𝑓𝑌

𝑒ℎ

𝑒𝑑 = 𝑒𝑓𝑋 4 𝑒𝑑 = 𝑒𝑓𝑐𝑜𝑠𝜃 = 20 ( ) ⇒∴ 𝑒𝑑 = 16𝑘(𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛) 5

𝜃

+↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒ −𝑒ℎ + 𝑒𝑓𝑌 = 0

𝑒𝑓𝑋 𝑒ℎ = 𝑒𝑓𝑌

(i)

3 𝑒ℎ = 𝑒𝑓𝑠𝑖𝑛𝜃 = 20 ( ) ⇒∴ 𝑒ℎ = 12𝑘(𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛) 5

Nodo ℎ, figura 3-5j. +→ ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒ −32 + 16 + ℎ𝑑𝑋 = 0

ℎ𝑑𝑋

−16 + ℎ𝑑𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0

ℎ𝑒 = 12𝑘

𝜃

ℎ𝑑 = 16/𝑐𝑜𝑠𝜃 =

ℎ𝑑 ℎ𝑑𝑌

𝜃 ℎ𝑖 = 32𝑘

ℎ

𝜃 ℎ𝑓 = 16𝑘

16 ⇒∴ ℎ𝑑 = 20𝑘(𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛) 4 5

+↑ ∑ 𝐹𝑌 = ℎ𝑒 − ℎ𝑑𝑌 3 = ℎ𝑒 − ℎ𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃 = 12 − 20 ( ) = 0 𝑜𝑘 5

ℎ𝑔 (j) 323

CAPĂ?TULO 3

ANĂ LISIS DE ARMADURAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Los resultados obtenidos se muestran en la figura 3-5k. đ?‘?

đ?‘‘

24đ?‘˜

16đ?‘˜

đ?‘’

đ?‘Ž

đ?œƒ 32đ?‘˜

18đ?‘˜

đ?œƒ

12đ?‘˜ 32đ?‘˜

đ?‘—

đ?‘–

12đ?‘˜

18đ?‘˜

(k)

đ?œƒ

16đ?‘˜

â„Ž

đ?œƒ

đ?‘“

đ?œƒ 12đ?‘˜

đ?œƒ 24đ?‘˜

đ?‘?

18đ?‘˜

15´

15´

đ?œƒ 18đ?‘˜

đ?œƒ

đ?œƒ

đ?œƒ

đ?‘”

đ?‘…đ?‘Žđ?‘‹ = 0 20´

20´

20´

20´ đ?‘…đ?‘”đ?‘Œ = 12đ?‘˜

đ?‘…đ?‘Žđ?‘Œ = 18đ?‘˜

Fuerzas virtuales đ?’?đ?’— y đ?’?đ?’‰ Como se desconoce la direcciĂłn del desplazamiento del nudo đ?‘–, no es posible aplicar una carga virtual unitaria en su direcciĂłn y calcularlo directamente. Sin embargo, el desplazamiento del nudo đ?‘– se determina si, por ejemplo, se conocen sus componentes vertical y horizontal. Dado que debe determinarse el desplazamiento vertical en la junta đ?‘–, se aplica una fuerza virtual de 1 en đ?‘– con direcciĂłn vertical hacia abajo, figura 3-5l.

(l)

324

CAPÍTULO 3

ANÁLISIS DE ARMADURAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

Se calculan las reacciones en los soportes 𝑎 y 𝑔 y después se determina la fuerza 𝑛𝑣 en cada elemento por el método de los nodos. La aplicación de las ecuaciones de equilibrio conlleva a +→ ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒∴ 𝑅𝑎𝑋 = 0 + ∑ 𝑀𝑎 = 0 ⇒ 1(40) − 𝑅𝑔𝑌 (80) = 0 ⇒ 𝑅𝑔𝑌 =

40 1 = ⇒ ∴ 𝑅𝑔𝑌 = 0.5 80 2

+↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒ 𝑅𝑎𝑌 − 1 + 0.5 = 0 ⇒∴ 𝑅𝑎𝑌 = 0.5 Se proporciona el cálculo de las fuerzas que se producen en las barras al aplicar una carga virtual vertical unitaria en el nudo 𝑖. Nodo 𝑎, figura 3-5m. +→ ∑ 𝐹𝑋 = 0

𝑎𝑗𝑌

𝑎𝑗

𝑎𝑏

−𝑅𝑎𝑋 + 𝑎𝑗𝑋 = 0 ⇒ −𝑅𝑎𝑋 + 𝑎𝑗𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0

𝜃 𝑎

𝑎𝑗 =

𝑎𝑗𝑋

𝜃 𝑅𝑎𝑋 = 0

𝑅𝑎𝑋 0 = ⇒∴ 𝑎𝑗 = 0 𝑐𝑜𝑠𝜃 4⁄ 5 +→ ∑ 𝐹𝑌 = 0

−𝑎𝑏 + 𝑅𝑎𝑌 + 𝑎𝑗𝑌 = 0 ⇒ −𝑎𝑏 + 𝑅𝑎𝑌 + 𝑎𝑗𝑠𝑖𝑛𝜃 = 0 𝑅𝑎𝑌 = 0.5

3 −𝑎𝑏 + 0.5 + 0 ( ) = 0 ⇒∴ 𝑎𝑏 = 0.5(𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛) 5

(m) Nodo 𝑏, figura 3-5n.

+↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0

𝑏𝑐𝑋

𝜃

𝑏𝑎 − 𝑏𝑐𝑌 = 0 ⇒ 𝑏𝑎 − 𝑏𝑐𝑠𝑖𝑛𝜃 = 0

𝑏𝑐 𝑏

𝜃

𝑏𝑐𝑌

𝑏𝑐 =

𝑏𝑎 0.5 5 = = ⁄6 ⇒∴ 𝑏𝑐 = 0.8333(𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛) 𝑠𝑖𝑛𝜃 3⁄ 5 +→ ∑ 𝐹𝑋 = 0

𝑏𝑗 𝑏𝑎 = 1/2

𝑏𝑗 − 𝑏𝑐𝑋 = 0 ⇒ 𝑏𝑗 − 𝑏𝑐𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0 5 4 2 𝑏𝑗 = 𝑏𝑐𝑐𝑜𝑠𝜃 = ( ) ( ) = ⇒∴ 𝑏𝑗 = 0.6667(𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛) 6 5 3

(n) 325

CAPÍTULO 3

ANÁLISIS DE ARMADURAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

Nodo 𝑐, figura 3-5ñ. +→ ∑ 𝐹𝑋 = 0

𝑐𝑑

𝑐

𝑐𝑏𝑋 − 𝑐𝑑 = 0 ⇒ 𝑐𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑐𝑑 = 0

𝜃

𝑐𝑑 = 𝑐𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑐𝑏𝑌

5 4 2 ( ) = ⇒∴ 𝑐𝑑 = 0.6667(𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛) 6 5 3 +↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0

𝑐𝑗

𝜃

𝑐𝑏𝑌 − 𝑐𝑗 = 0 ⇒ 𝑐𝑏𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑐𝑗 = 0

𝑐𝑏𝑋 (ñ)

5 3 1 𝑐𝑗 = 𝑐𝑏𝑠𝑖𝑛𝜃 = ( ) ( ) = ⇒∴ 𝑐𝑗 = 0.5(𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛) 6 5 2

Nodo 𝑗, figura 3-5o. +↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0

𝑗𝑑𝑋

𝑗𝑐 = 1⁄2

𝜃

𝑗𝑑

𝑗𝑑𝑌

𝜃 𝑗𝑏 = 2⁄3

𝑗

𝜃

𝑗𝑐 − 𝑗𝑑𝑌 = 0 ⇒ 𝑗𝑐 − 𝑗𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃 = 0 1⁄ 𝑗𝑐 𝑗𝑑 = = 2 = 5⁄6 ⇒∴ 𝑗𝑑 = 0.8333(𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛) 𝑠𝑖𝑛𝜃 3⁄ 5 +→ ∑ 𝐹𝑋 = 0

𝑗𝑖 −𝑗𝑏 + 𝑗𝑖 − 𝑗𝑑𝑋 = 0 ⇒ 𝑗𝑖 = 𝑗𝑏 + 𝑗𝑑𝑐𝑜𝑠𝜃 5 4 4 𝑗𝑖 = 2⁄3 + ( ) ( ) = ⇒∴ 𝑗𝑖 = 1.3333(𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛) 6 5 3

𝑗𝑎 (o) Nodo 𝑖, figura 3-5p.

+↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 𝑖𝑑 − 1 = 0

𝑖𝑑

∴ 𝑖𝑑 = 1(𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛) +→ ∑ 𝐹𝑋 = 0

𝑖𝑗 = 4/3

𝑖

𝑖ℎ

−𝑖𝑗 + 𝑖ℎ = 0

1 (p)

𝑖ℎ = 𝑖𝑗 = 4/3 ∴⇒ 𝑖ℎ = 1.3333(𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛)

Por la simetría en la armadura en cuanto a cargas y geometría, se tiene 𝑎𝑏 = 𝑔𝑓 = 0.5(𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛)

𝑏𝑗 = 𝑓ℎ = 0.6667(𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛)

326

𝑗𝑑 = ℎ𝑑 = 0.8333(𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛)

CAP�TULO 3 �� = �ℎ = 0

ANĂ LISIS DE ARMADURAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

đ?‘?đ?‘? = đ?‘“đ?‘’ = 0.8333(đ??śđ?‘œđ?‘šđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ?‘–Ăłđ?‘›)

đ?‘?đ?‘‘ = đ?‘’đ?‘‘ = 0.6667(đ??śđ?‘œđ?‘šđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ?‘–Ăłđ?‘›)

đ?‘?đ?‘— = đ?‘’â„Ž = 0.5(đ?‘‡đ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘–Ăłđ?‘›)

Los resultados obtenidos se visualizan en la figura 3-5q. 0.6667

đ?‘?

0.6667

đ?‘‘

đ?‘’

đ?‘—

(q)

1.3333

đ?‘–

0.6667

đ?‘“ 0.5

â„Ž

0.5

15´

đ?œƒ 1.3333

đ?œƒ 0.6667 đ?œƒ

đ?‘?

0.5

15´

1

0.5

đ?œƒ

1

đ?œƒ

đ?‘Ž

đ?‘”

đ?‘…đ?‘Žđ?‘‹ = 0 20´

20´

20´

20´ đ?‘…đ?‘”đ?‘Œ = 0.5

đ?‘…đ?‘Žđ?‘Œ = 0.5

Ahora, se aplica una carga horizontal que vaya hacia la derecha de 1 sobre la armadura en la junta đ?‘– y se calculan las fuerzas en los elementos, figura 3-5r. 12

đ?‘? 10

15 15´

15

3

8

8

8

đ?‘—

đ?‘–

(r)

3 8

â„Ž

1

đ?‘“ 9

9 10

10

đ?‘Ž

đ?‘’

10

3

đ?‘? 15´

12

đ?‘‘

đ?œƒ

đ?‘” 20´

20´

20´

327

20´

CAPÍTULO 3

ANÁLISIS DE ARMADURAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

Las reacciones en los soportes son +→ ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒ −𝑅𝑎𝑋 + 1 = 0 ⇒∴ 𝑅𝑎𝑋 = 1 + ∑ 𝑀𝑎 = 0 ⇒ 1(15) − 𝑅𝑔𝑌 (80) = 0 ⇒ 𝑅𝑔𝑌 = +↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒ −𝑅𝑎𝑌 +

15 3 = ⇒∴ 𝑅𝑔𝑌 = 0.1875 80 16

3 = 0 ⇒ 𝑅𝑎𝑌 = 3/16 ⇒ 𝑅𝑎𝑌 = 0.1875 16

Las fuerzas que se producen en las barras al aplicar una carga virtual vertical unitaria en el nudo 𝑖 son Nodo 𝑎, figura 3-5s. +→ ∑ 𝐹𝑋 = 0

𝑎𝑗𝑌

−𝑅𝑎𝑋 + 𝑎𝑗𝑋 = 0 ⇒ −𝑅𝑎𝑋 + 𝑎𝑗𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0

𝑎𝑗

𝑎𝑏

𝑎𝑗 =

𝜃 𝑎

𝑎𝑗𝑋

𝜃

𝑅𝑎𝑋 1 5 = = ⇒∴ 𝑎𝑗 = 1.25(𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛) 𝑐𝑜𝑠𝜃 4⁄ 4 5 +↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0

𝑅𝑎𝑋 = 1

−𝑅𝑎𝑌 − 𝑎𝑏 + 𝑎𝑗𝑌 = 0 ⇒ 𝑎𝑏 = 𝑎𝑗𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑅𝑎𝑌 5 3 3 9 𝑎𝑏 = ( ) ( ) − = ⇒∴ 𝑎𝑏 = 0.5625(𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛) 4 5 16 16

𝑅𝑎𝑌 = 0.1875

(s) Nodo 𝑏, figura 3-5t.

+↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0

𝑏𝑐𝑋

𝜃

𝑏𝑎 − 𝑏𝑐𝑌 = 0 ⇒ 𝑏𝑎 − 𝑏𝑐𝑠𝑖𝑛𝜃 = 0

𝑏𝑐 𝑏

𝜃

𝑏𝑐𝑌

𝑏𝑐 =

9⁄ 𝑏𝑎 = 16 = 15⁄16 ⇒∴ 𝑏𝑐 = 0.9375(𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛) 3⁄ 𝑠𝑖𝑛𝜃 5

𝑏𝑗 𝑏𝑎 = 9/16

+→ ∑ 𝐹𝑋 = 0 𝑏𝑗 − 𝑏𝑐𝑋 = 0 ⇒ 𝑏𝑗 − 𝑏𝑐𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0 15 4 3 𝑏𝑗 = 𝑏𝑐𝑐𝑜𝑠𝜃 = ( ) ( ) = ⇒∴ 𝑏𝑗 = 0.75(𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛) 16 5 4

(t) 328

CAPÍTULO 3

ANÁLISIS DE ARMADURAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

Nodo 𝑐, figura 3-5u. +→ ∑ 𝐹𝑋 = 0

𝑐𝑑

𝑐

𝑐𝑏𝑋 − 𝑐𝑑 = 0 ⇒ 𝑐𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑐𝑑 = 0

𝜃

𝑐𝑑 = 𝑐𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑐𝑏𝑌

15 4 3 ( ) = ⇒∴ 𝑐𝑑 = 0.75(𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛) 16 5 4 +↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0

𝑐𝑗

𝜃

𝑐𝑏𝑌 − 𝑐𝑗 = 0 ⇒ 𝑐𝑏𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑐𝑗 = 0

𝑐𝑏𝑋

𝑐𝑗 = 𝑐𝑏𝑠𝑖𝑛𝜃 =

(u)

15 3 9 ( )= ⇒∴ 𝑐𝑗 = 0.5625(𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛) 16 5 16

Nodo 𝑗, figura 3-5v. +↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0

𝑗𝑑𝑌

𝑗𝑑

𝑗𝑐 = 9/16 𝜃 𝜃

𝑗𝑏 = 3/4 𝜃 𝑗𝑎𝑋

𝑗𝑑𝑋

𝑗

−𝑗𝑎𝑌 + 𝑗𝑐 + 𝑗𝑑𝑌 = 0 ⇒ −𝑗𝑎 sin 𝜃 + 𝑗𝑐 + 𝑗𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃 = 0 5 3 9 𝑗𝑎𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑗𝑐 4 (5) − 16 5 𝑗𝑑 = = = ⇒∴ 𝑗𝑑 = 0.3125(𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛) 3⁄ 𝑠𝑖𝑛𝜃 16 5

+→ ∑ 𝐹𝑋 = 0

𝑗𝑖 −𝑗𝑎𝑋 − 𝑗𝑏 + 𝑗𝑖 + 𝑗𝑑𝑋 = 0 ⇒ −𝑗𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑗𝑏 + 𝑗𝑖 + 𝑗𝑑𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0

𝜃

5 4 3 5 4 𝑗𝑖 = 𝑗𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑗𝑏 − 𝑗𝑑𝑐𝑜𝑠𝜃 = ( ) ( ) + − ( ) ( ) 4 5 4 16 5

𝑗𝑎𝑌

𝑗𝑖 =

(v)

3 ⇒∴ 𝑗𝑖 = 1.5(𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛) 2

Nodo 𝑖, figura 3-5w. +↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ∴ 𝑖𝑑 = 0

𝑖𝑑

+→ ∑ 𝐹𝑋 = 0 −𝑖𝑗 + 1 + 𝑖ℎ = 0

𝑖𝑗 = 3/2

𝑖

1

𝑖ℎ 𝑖ℎ = 𝑖𝑗 − 1 =

(w)

329

3 1 − 1 = ⇒∴ 𝑖ℎ = 0.5(𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛) 2 2

CAPÍTULO 3

ANÁLISIS DE ARMADURAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

Nodo 𝑔, figura 3-5x. +→ ∑ 𝐹𝑋 = 0

𝑔ℎ𝑌 𝑔ℎ

−𝑔ℎ𝑋 = 0 ⇒ −𝑔ℎ𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0

𝑔𝑓

𝜃

𝑔ℎ = 0/𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑔ℎ𝑋

𝜃

𝑔

0 ⇒∴ 𝑔ℎ = 0 4 5

+↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 𝑅𝑔𝑌 − 𝑔𝑓 + 𝑔ℎ𝑌 = 0 ⇒ 𝑅𝑔𝑌 − 𝑔𝑓 + 𝑔ℎ𝑠𝑖𝑛𝜃 = 0

𝑅𝑔𝑌 = 0.1875

𝑔𝑓 = 𝑅𝑔𝑌 + 𝑔ℎ𝑠𝑖𝑛𝜃 =

(x)

3 3 3 +0( ) = 16 5 16

∴ 𝑔𝑓 = 0.1875(𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛)

Nodo 𝑓, figura 3-5y. +↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0

𝑓𝑒𝑋

𝜃

−𝑓𝑒𝑌 + 𝑓𝑔 = 0 ⇒ −𝑓𝑒𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑓𝑔 = 0

𝑓𝑒 𝑓𝑒𝑌 𝜃 𝑓ℎ

𝑓

3 𝑓𝑒 5 16 𝑓𝑔 = = = ⇒∴ 𝑓𝑔 = 0.3125(𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛) 3 𝑠𝑖𝑛𝜃 16 5 +→ ∑ 𝐹𝑋 = 0

𝑓𝑔 = 3/16

−𝑓ℎ + 𝑓𝑒𝑋 = 0 ⇒ −𝑓ℎ + 𝑓𝑒𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0

(y)

𝑓ℎ = 𝑓𝑒𝑐𝑜𝑠𝜃 = (

5 4 1 ) ( ) = ⇒∴ 𝑓ℎ = 0.25(𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛) 16 5 4

Nodo 𝑒, figura 3-5z. +→ ∑ 𝐹𝑋 = 0 𝑒𝑑 − 𝑒𝑓𝑋 = 0 ⇒ 𝑒𝑑 = 𝑒𝑓𝑋 𝑒𝑑 = 𝑒𝑓𝑐𝑜𝑠𝜃 = (

5 4 1 ) ( ) = ⇒∴ 𝑒𝑑 = 0.25(𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛) 16 5 4

+↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0

(z)

−𝑒ℎ + 𝑒𝑓𝑌 = 0 ⇒ 𝑒ℎ = 𝑒𝑓𝑌 5 3 3 𝑒ℎ = 𝑒𝑓𝑠𝑖𝑛𝜃 = ( ) ( ) = ⇒∴ 𝑒ℎ = 0.1875(𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛) 16 5 16

330

CAPĂ?TULO 3

ANĂ LISIS DE ARMADURAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Nodo â„Ž, figura 3-5a´. +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0

â„Žđ?‘‘đ?‘‹

â„Žđ?‘’ − â„Žđ?‘‘đ?‘Œ = 0 ⇒ â„Žđ?‘’ − â„Žđ?‘‘đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œƒ = 0 3â „ â„Žđ?‘’ 5 â„Žđ?‘‘ = = 16 = ⇒∴ â„Žđ?‘‘ = 0.3125 (đ??śđ?‘œđ?‘šđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ?‘–Ăłđ?‘›) 3â „ đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œƒ 16 5 +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = −ℎđ?‘– + â„Žđ?‘“ + â„Žđ?‘‘đ?‘‹

â„Žđ?‘’ = 3/16

đ?œƒ â„Žđ?‘‘ â„Žđ?‘‘đ?‘Œ

đ?œƒ â„Žđ?‘– = 1/2

đ?œƒ â„Žđ?‘“ = 1/4

â„Ž

= −ℎđ?‘– + â„Žđ?‘“ + â„Žđ?‘‘đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œƒ 1 1 5 4 = − + + ( ) ( ) = 0 đ?‘œđ?‘˜ 2 4 16 5

â„Žđ?‘” (a´)

Los resultados obtenidos se visualizan a en la figura 3-5b´. đ??¸đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘˘đ?‘?đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘›â„Ž.

0.75

đ?‘?

0.25

đ?‘‘

đ?‘’

đ?œƒ 0.75

đ?‘?

đ?‘Ž

đ?‘—

0.5

đ?œƒ

0.25

â„Ž

1

đ?œƒ

đ?‘“

đ?œƒ 0.1875

đ?‘–

(b´)

0.5625

15´

đ?œƒ 1.5 đ?œƒ

đ?œƒ

0.1875

15´

0

0.5625

đ?œƒ

đ?œƒ

đ?œƒ

đ?‘…đ?‘Žđ?‘‹ = 1 20´

20´

20´

20´ đ?‘…đ?‘”đ?‘Œ = 0.1875

đ?‘…đ?‘Žđ?‘Œ = 0.1875

EcuaciĂłn del trabajo virtual En la tabla 3-3 se consignan todos los datos requeridos para el cĂĄlculo de las componentes horizontal y vertical del desplazamiento del nudo đ?‘–. Observe que debe manejarse una congruencia de unidades. AquĂ­ las fuerzas de tensiĂłn son indicadas con nĂşmeros positivos y fuerzas de compresiĂłn con nĂşmeros negativos.

331

đ?‘”

CAPĂ?TULO 3

ANĂ LISIS DE ARMADURAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS vertical

Barra

N (k)

L (pulg)

a-b b-c c-d d-e e-f f-g a-j g-h b-j j-i i-h h-f j-c j-d i-d h-d h-e

-18 -30 -24 -16 -20 -12 0 0 24 32 32 16 18 -10 18 -20 12

180 300 240 240 300 180 300 300 240 240 240 240 180 300 180 300 180

A(pulg^2) E(k/pulg^2) 9 15 12 12 15 9 10 10 8 8 8 8 3 10 3 10 3

30000 30000 30000 30000 30000 30000 30000 30000 30000 30000 30000 30000 30000 30000 30000 30000 30000

nv -0.5000 -0.8333 -0.6667 -0.6667 -0.8333 -0.5000 0.0000 0.0000 0.6667 1.3333 1.3333 0.6667 0.5000 -0.8333 1.0000 -0.8333 0.5000

horizontal nh

0.0060 0.0167 0.0107 0.0071 0.0111 0.0040 0.0000 0.0000 0.0160 0.0427 0.0427 0.0107 0.0180 0.0083 0.0360 0.0167 0.0120

-0.5625 -0.9375 -0.7500 -0.2500 -0.3125 -0.1875 1.2500 0.0000 0.7500 1.5000 0.5000 0.2500 0.5625 0.3125 0.0000 -0.3125 0.1875

0.2586

0.0068 0.0188 0.0120 0.0027 0.0042 0.0015 0.0000 0.0000 0.0180 0.0480 0.0160 0.0040 0.0203 -0.0031 0.0000 0.0063 0.0045 0.1597

Tabla 3-3

La componente vertical del desplazamiento del nudo i es 1 ∙ đ?›żđ?‘‰đ?‘– = ∑

đ?‘ đ?‘›đ?‘Łđ??ż = 0.2586đ?‘?đ?‘˘đ?‘™đ?‘” đ??´đ??¸

Como el resultado obtenido es positivo, tal desplazamiento tiene la misma direcciĂłn que la propuesta para la carga virtual vertical unitaria, es decir, đ?›żđ?‘‰đ?‘– = 0.2586đ?‘?đ?‘˘đ?‘™đ?‘” ↓. La componente horizontal del desplazamiento del nudo i es 1 ∙ ∆đ??ťđ?‘– = ∑

đ?‘ đ?‘›â„Žđ??ż = 0.1597đ?‘?đ?‘˘đ?‘™đ?‘” đ??´đ??¸

La magnitud positiva indica que el desplazamiento es de la misma direcciĂłn que la supuesta para la carga virtual horizontal unitaria. Por lo tanto ∆đ??ťđ?‘– = 0.1597đ?‘?đ?‘˘đ?‘™đ?‘” →. Finalmente, la deflexiĂłn del nudo i es ∆đ?‘– = √(đ?›żđ?‘‰đ?‘– )2 + (∆đ??ťđ?‘– )2 = √(0.2586đ?‘?đ?‘˘đ?‘™đ?‘”)2 + (0.1597đ?‘?đ?‘˘đ?‘™đ?‘”)2 = 0.304đ?‘?đ?‘˘đ?‘™đ?‘”

332

CAPĂ?TULO 3

ANĂ LISIS DE ARMADURAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

3.3 TEOREMA DE CASTIGLIANO Ejercicio 3.6 Determine el desplazamiento horizontal del nodo đ??¸ de la armadura que se muestra en la figura 3-6a. Considere para todas las barras una secciĂłn transversal cuadrada de 10đ?‘?đ?‘š por lado y un MĂłdulo de Elasticidad de đ?‘‡

đ??¸ = 2.1 ∗ 107 đ?‘š2 que corresponde al del acero. đ??š

đ??¸

5�

(a) Figura 3-6

4đ?‘š

đ??´

đ??ľ

3đ?‘š

đ??ś

3đ?‘š

đ??ˇ

3đ?‘š

4�

SOLUCIĂ“N Fuerza externa đ?‘ˇ Se aplica una carga đ?‘ƒ, cuya magnitud es variable, sobre la armadura en el punto y en la direcciĂłn donde se requiere calcular el desplazamiento; en este caso, una carga horizontal đ?‘ƒ es colocada en el nodo đ??¸, con un sentido que se ha propuesto de manera arbitraria hacia la derecha (puede ser hacia la izquierda), debido a que en đ??¸ debe determinarse el desplazamiento horizontal, y aunque momentĂĄneamente reemplaza a la fuerza de 5đ?‘‡ por encontrarse ubicada en el mismo punto, despuĂŠs serĂĄ igual a un valor fijo de 5đ?‘‡. Fuerzas internas đ?‘ľ Una vez calculadas las reacciones en los soportes se hallan las fuerzas đ?‘ en las barras utilizando el mĂŠtodo de los nodos. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio resulta

333

CAPĂ?TULO 3

ANĂ LISIS DE ARMADURAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

+→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 − đ?‘…đ??ľđ?‘‹ + đ?‘ƒ = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??ľđ?‘‹ = đ?‘ƒ + ∑ đ?‘€đ??ľ = 0 ⇒ đ?‘ƒ(4) + 4(6) − đ?‘…đ??śđ?‘Œ (3) = 0 ⇒ đ?‘…đ??śđ?‘Œ =

4đ?‘ƒ + 24 4 ⇒∴ đ?‘…đ??śđ?‘Œ = ( đ?‘ƒ + 8) 3 3

4 4 ↑ + ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ −4 + đ?‘ƒ + 8 − đ?‘…đ??ľđ?‘Œ = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??ľđ?‘Œ = ( đ?‘ƒ + 4) 3 3 Los resultados obtenidos se muestran en la figura 3-6b.

đ?œƒ2

đ?œƒ2

(b)

đ?‘ƒ

đ??¸

đ??š

4đ?‘š

đ?œƒ1

đ?‘…đ??ľđ?‘‹ = đ?‘ƒ

đ??´

đ?œƒ1

đ??ľ

đ??ś

đ??ˇ

3đ?‘š

3đ?‘š

3đ?‘š đ?‘…đ??ľđ?‘Œ =

4 3

đ?‘ƒ+4

đ?‘…đ??śđ?‘Œ =

4 3

4�

đ?‘ƒ+8

La longitud de cada elemento inclinado es đ??żđ??ˇâˆ’đ??¸ = đ??żđ??śâˆ’đ??š = đ??żđ??´âˆ’đ??š = √(3đ?‘š)2 + (4đ?‘š)2 = 5đ?‘š Se deducen los siguientes cosenos directores, ya que mĂĄs adelante serĂĄn requeridos. đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œƒ1 =

4 5

đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œƒ1 =

3 5

đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œƒ2 =

3 5

đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œƒ2 =

4 5

A continuaciĂłn, se efectĂşa el anĂĄlisis de cada nodo de la armadura

334

CAPÍTULO 3

ANÁLISIS DE ARMADURAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

Nodo 𝐴, figura 3-6c. Por inspección, 𝐴𝐹

𝐴𝐹 = 0

(c) 𝐴

𝜃1

𝐴𝐵 = 0

𝐴𝐵

Nodo 𝐵, figura 3-6d. ↑ + ∑ 𝐹𝑌 = 0 𝐵𝐹

𝐵𝐹 − 𝑅𝐵𝑌 = 0

(d)

4 4 𝐵𝐹 − ( 𝑃 + 4) = 0 ⇒∴ 𝐵𝐹 = 𝑃 + 4 (𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛) 3 3 𝑅𝐵𝑋 = 𝑃

+→ ∑ 𝐹𝑋 = 0

𝐵

𝐵𝐴

𝐵𝐶

𝑅𝐵𝑌 =

4 3

𝐵𝐶 − 𝑅𝐵𝑋 = 0 𝑃+4

𝐵𝐶 = 𝑅𝐵𝑋 ⇒∴ 𝐵𝐶 = 𝑃 (𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛)

Nodo 𝐷, figura 3-6e. ↑ + ∑ 𝐹𝑌 = 0 𝐷𝐸𝑌

𝐷𝐸

(e)

𝐷𝐸𝑋

𝐷𝐸𝑌 − 4 = 0 ⟹ 𝐷𝐸 sin 𝜃1 − 4 = 0 𝐷𝐸 =

𝜃1 𝜃1

𝐷

4 4 = ⇒∴ 𝐷𝐸 = 5 (𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛) sin 𝜃1 4⁄ 5 +→ ∑ 𝐹𝑋 = 0

𝐷𝐶 4𝑇

−𝐷𝐸𝑋 + 𝐷𝐶 = 0 ⟹ −𝐷𝐸 cos 𝜃1 + 𝐷𝐶 = 0 3 𝐷𝐶 = 𝐷𝐸 cos 𝜃1 = 5 ( ) ⇒∴ 𝐷𝐶 = 3 (𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛) 5

335

CAPĂ?TULO 3

ANĂ LISIS DE ARMADURAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Nodo đ??¸, figura 3-6f. +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 đ??¸

đ?‘ƒ

−đ??¸đ??š + đ?‘ƒ + đ??¸đ??ˇđ?‘‹ = 0 ⇒ −đ??¸đ??š + đ?‘ƒ + đ??¸đ??ˇ sin đ?œƒ2 = 0

đ??¸đ??š đ?œƒ2

đ??¸đ??ˇđ?‘‹

đ??¸đ??ś

3 −đ??¸đ??š + đ?‘ƒ + 5 ( ) = 0 ⇒∴ đ??¸đ??š = 3 + đ?‘ƒ (đ?‘‡đ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘–Ăłđ?‘›) 5

đ?œƒ2

↑ + ∑ đ??šđ?‘Œ = 0

đ??¸đ??ˇ = 5 đ??¸đ??ˇđ?‘Œ

−đ??¸đ??ˇđ?‘‹ + đ??¸đ??ś = 0 â&#x;š −đ??¸đ??ˇ cos đ?œƒ2 + đ??¸đ??ś = 0

(f)

4 đ??¸đ??ś = đ??¸đ??ˇ cos đ?œƒ2 = 5 ( ) ⇒∴ đ??¸đ??ś = 4 (đ??śđ?‘œđ?‘šđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ?‘–Ăłđ?‘›) 5

Nodo đ??š, figura 3-6g. +→ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 đ??šđ??¸ = 3 + đ?‘ƒ

đ??šđ??ľ =

đ??šđ??´

4 đ?‘ƒ+4 3

đ??š

đ?œƒ2

đ??šđ??ś

đ??šđ??śđ?‘Œ đ?œƒ2

đ??šđ??¸ − đ??šđ??śđ?‘‹ = 0 â&#x;š đ??šđ??¸ − đ??šđ??ś sin đ?œƒ2 = 0 đ??šđ??ś =

đ??šđ??¸ 3+đ?‘ƒ 5 = ⇒∴ đ??šđ??ś = 5 + đ?‘ƒ (đ??śđ?‘œđ?‘šđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ?‘–Ăłđ?‘›) 3 sin đ?œƒ2 3 5 ↑ + ∑ đ??šđ?‘Œ = 0

đ??šđ??śđ?‘‹

−đ??šđ??ľ + đ??šđ??śđ?‘Œ = 0 â&#x;š −đ??šđ??ľ + đ??šđ??ś cos đ?œƒ2 = 0 (g)

4 5 4 − ( đ?‘ƒ + 4) + (5 + đ?‘ƒ) ( ) = 0 đ?‘œđ?‘˜ 3 3 5

Los resultados obtenidos se visualizan en la figura 3-6h; cada barra se ha etiquetado con un nĂşmero encerrado en un cuadrado adyacente a ella, de forma arbitraria. Debajo, en la tabla 3-4 se enuncian por conveniencia los resultados junto con las derivadas parciales đ?œ•đ?‘ /đ?œ•đ?‘ƒ; en ella, las fuerzas de tensiĂłn son positivas, mientras que las de compresiĂłn son negativas. De igual forma, se debe hacer đ?‘ƒ = 5đ?‘‡, su valor real. AdemĂĄs, se sabe que đ??´đ??¸ = [(0.1đ?‘š)(0.1đ?‘š)] (2.1 ∗ 107

336

� ) = 210000� �2

CAPĂ?TULO 3

ANĂ LISIS DE ARMADURAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

(h)

Tabla 3-4

Teorema de Castigliano Al aplicar la ecuaciĂłn para determinar el desplazamiento, se tiene đ?œ•đ?‘ đ??ż ∆đ??ťđ??¸ = ∑ đ?‘ ( ) = 9.857 ∗ 10−4 đ?‘š đ?œ•đ?‘ƒ đ??´đ??¸ Como la sumatoria resultante es positiva, el desplazamiento calculado tiene el mismo sentido que el propuesto para la carga đ?‘ƒ. ∴ ∆đ??ťđ??¸ = 9.857 ∗ 10−4 đ?‘š → 337

CAPĂ?TULO 3

ANĂ LISIS DE ARMADURAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Ejercicio 3.7 Calcule el desplazamiento vertical de la junta đ??ľ de la armadura de tres elementos que se muestra en la figura 3-7a; suponga que đ??¸ e đ??ź son constantes.

đ??ľ

20đ?‘˜đ?‘

3đ?‘š đ??´

đ??ś

4đ?‘š

(a) Figura 3-7

SOLUCIĂ“N Fuerza externa đ?‘ˇ Ya que se desea conocer el desplazamiento vertical en la junta đ??ľ, se incorpora una carga vertical đ?‘ƒ sobre la armadura justo ahĂ­; el sentido de tal fuerza de magnitud variable es supuesto hacia abajo, aunque bien puede ir hacia arriba.

Fuerzas internas đ?‘ľ Se obtienen las reacciones en los apoyos đ??´ y đ??ľ por medio de las ecuaciones de equilibrio y luego se calculan las fuerzas đ?‘ en las barras empleando el mĂŠtodo de los nodos. + ∑ đ?‘€đ??´ = 0 ⇒ đ?‘ƒ(4) + 20(3) − đ?‘…đ??śđ?‘Œ (4) = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??śđ?‘Œ = đ?‘ƒ + 15đ?‘˜đ?‘ +↑ ∑ đ??šđ?‘Œ = 0 ⇒ −đ?‘…đ??´đ?‘Œ − đ?‘ƒ + (đ?‘ƒ + 15) = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 15đ?‘˜đ?‘ +↑ ∑ đ??šđ?‘‹ = 0 ⇒ −đ?‘…đ??śđ?‘‹ + 20 = 0 ⇒∴ đ?‘…đ??śđ?‘‹ = 20đ?‘˜đ?‘

338

CAPÍTULO 3

ANÁLISIS DE ARMADURAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

Se muestran los resultados en la figura 3-7b. 𝑃 𝐵

20𝑘𝑁

3𝑚 𝐴

𝑅𝐴𝑌 = 15𝑘𝑁

𝜃

𝐶

4𝑚

𝑅𝐶𝑌 = 𝑃 + 15𝑘𝑁

𝑅𝐶𝑋 = 20𝑘𝑁

(b)

Nodo 𝐶, figura 3-7c. +↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒ −𝐶𝐵 + 𝑅𝐶𝑌 = 0 𝐶𝐵

−𝐶𝐵 + (𝑃 + 15) = 0 ⇒∴ 𝐶𝐵 = 𝑃 + 15𝑘𝑁 (𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛) 𝐶𝐴

𝐶

𝑅𝐶𝑋 = 20𝑘𝑁

+↑ ∑ 𝐹𝑋 = 0 ⇒ 𝐶𝐴 − 𝑅𝐶𝑋 = 0 ⇒ 𝐶𝐴 − 20 = 0 ∴ 𝐶𝐴 = 20𝑘𝑁 (𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛)

𝑅𝐶𝑌 = 𝑃 + 15𝑘𝑁

(c)

Nodo 𝐴, figura 3-7d. +↑ ∑ 𝐹𝑌 = 0 ⇒ 𝐴𝐵𝑌 − 𝑅𝐴𝑌 = 0 ⇒ 𝐴𝐵 sin 𝜃 − 15 = 0 𝐴𝐵 =

𝐴𝐵𝑌

15 15 = ⇒∴ 𝐴𝐵 = 25𝑘𝑁 (𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛) sin 𝜃 3/5

𝜃 𝐴

+↑ ∑ 𝐹𝑋 = − 𝐴𝐶 + 𝐴𝐵𝑋 = −20 + 𝐴𝐵 cos 𝜃 4 = −20 + 25 ( ) = 0 𝑜𝑘 5

𝐴𝐵𝑋

𝜃

𝐴𝐶 = 20𝑘𝑁

𝑅𝐴𝑌 = 15𝑘𝑁

(d) 339

CAPĂ?TULO 3

ANĂ LISIS DE ARMADURAS ESTĂ TICAMENTE DETERMINADAS

Se observan los resultados en la figura 3-7e. đ?‘ƒ

3đ?‘š đ??´

20đ?‘˜đ?‘

đ?‘ƒ + 15đ?‘˜đ?‘

đ??ľ

20đ?‘˜đ?‘

đ?‘…đ??śđ?‘‹ = 20đ?‘˜đ?‘

đ??ś

đ?‘…đ??´đ?‘Œ = 15đ?‘˜đ?‘

4đ?‘š

đ?‘…đ??śđ?‘Œ = đ?‘ƒ + 15đ?‘˜đ?‘

(e)

Los datos requeridos se disponen tabularmente, tabla 3-5. Se establece đ?‘ƒ = 0,debido a que en realidad no hay una carga real vertical aplicada en đ??ľ sobre la armadura.

Tabla 3-5

Teorema de Castigliano Al reemplazar los valores necesarios en la expresiĂłn Ăştil para evaluar el desplazamiento, se obtiene đ?œ•đ?‘ đ??ż 45 đ?›żđ?‘‰đ??ľ = ∑ đ?‘ ( ) = đ?œ•đ?‘ƒ đ??´đ??¸ đ??´đ??¸ Dado que se obtuvo una magnitud positiva en el desplazamiento calculado, este tiene el mismo sentido que el supuesto para đ?‘ƒ. Por lo tanto, đ?›żđ?‘‰đ??ľ =

45 ↓ đ??´đ??¸

340

CAP�TULO 4 RESOLUCIÓN DE ARCOS ISOSTà TICOS 4.1 ARCOS PARABÓLICOS Ejercicio 4.1 El arco de tres articulaciones que se muestra en la figura 4-1a tiene una forma parabólica. El arco soporta una carga uniforme distribuida de 3�/� y tiene las dimensiones indicadas, lo cual hace que sea simÊtrico. Demuestre que toda la estructura estå sometida únicamente a compresión axial. 3�/�

đ??ľ

(a)

Figura 4-1 20đ?‘š

đ??´

đ??ś

8đ?‘š

8đ?‘š

SOLUCIĂ“N CĂĄlculo de las reacciones en los soportes Como todo arco triarticulado, el de este ejemplo es isostĂĄtico. Para calcular las reacciones en los soportes, el arco se desmonta y luego se realiza un diagrama de cuerpo libre de cada segmento, figura 4-1b. La articulaciĂłn se ubica en la clave, es decir, en el punto đ??ľ. Entonces, se aĂ­slan los segmentos đ??´ − đ??ľ y đ??ľ − đ??ś. ObsĂŠrvese que se tienen seis incĂłgnitas de reacciĂłn (el sentido de cada una se supone arbitrariamente), pero como se pueden aplicar las tres ecuaciones de la estĂĄtica a cada segmento, hay seis ecuaciones de equilibrio disponibles. En los diagramas se indican las resultantes de las cargas distribuidas y su punto de aplicaciĂłn de cada una.

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CAPĂ?TULO 4

RESOLUCIĂ“N DE ARCOS ISOSTĂ TICOS

Para determinar las reacciones đ??ľđ?‘‹ y đ??ľđ?‘Œ en la articulaciĂłn, tomamos momentos alrededor de đ??´ en el segmento đ??´ − đ??ľ y alrededor de đ??ś en el segmento đ??ľ − đ??ś. Las dos ecuaciones resultantes se resuelven simultĂĄneamente. Segmento đ??´ − đ??ľ del arco: + ∑ đ?‘€đ??´ = 0 ⇒ −đ?‘…đ??ľđ?‘‹ (20) − đ?‘…đ??ľđ?‘Œ (8) + 24(4) = 0 ⇒ −20đ?‘…đ??ľđ?‘‹ − 8đ?‘…đ??ľđ?‘Œ = −96 − − − (1)

Segmento đ??ľ − đ??ś del arco: + ∑ đ?‘€đ??ś = 0 ⇒ đ?‘…đ??ľđ?‘‹ (20) − đ?‘…đ??ľđ?‘Œ (8) − 24(4) = 0 ⇒ 20đ?‘…đ??ľđ?‘‹ − 8đ?‘…đ??ľđ?‘Œ = 96 − − − (2) đ??´2 = (3đ?‘‡/đ?‘š)(8đ?‘š) = 24đ?‘‡

đ??´1 = (3đ?‘‡/đ?‘š)(8đ?‘š) = 24đ?‘‡ 3đ?‘‡/đ?‘š

3�/�

đ?‘…đ??ľđ?‘‹

đ?‘…đ??ľđ?‘‹

đ??ľ

đ??ľ đ?‘…đ??ľđ?‘Œ

(b)

đ?‘…đ??ľđ?‘Œ

đ?‘†đ?‘’đ?‘”đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ đ??´ − đ??ľ