UNIDAD 2.-ESTATICA ESTATICA CONTENIDO
:
• CONCEPTO DE PRESIÓN.PRESIÓN EN UN PUNTO • PRINCIPIO DE PASCAL • ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA ESTATICA • VARIACIÓN DE LA PRESIÓN CON LA POSICIÓN • FUERZA HIDROSTATICA SOBRE OBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS :PLANAS Y CURVAS.
CONCEPTO DE PRESIÓN La estatica de fluidos estudia el comportamiento de un fluido ,cuando no hay desplazamientos relativos entre sus partículas , con lo que no existen esfuerzos tangenciales y el campo de esfuerzos es exclusivamente normal.
Para la definición de presión vamos a considerar un volumen de control de un fluido cualquiera y escogeremos un elemento diferencial de área dA :
dA =Elemento diferencial de area dA =Vector normal dF=Magnitud de la fuerza aplicada dFt =Componente tangencial de dF dFn =Componente normal de dF Se define la presión en un punto de una superficie de fluido, como p=
lim dA
dF /dA 0
Es importante tener en cuenta que la presión es un escalar ,mientras que la fuerza relacionada con ella, es un vector.
PRINCIPIO DE PASCAL Este principio, debido al matematico Blaise Pascal , establece que la presión es independiente de la dirección.Esto se llama la ISOTROPIA de la presión. Para demostrar el principio de Pascal,consideraremos una sección triangular de fluido de espesor elemental y estableceremos la ecuación de equilibrio estatico, a través del Diagrama de Cuerpo Libre(DCL), que mostraremos a continuación:
Escribierndo las ecuaciones , de equilibrio estatico , en el ejeX y en el eje Z: ∑Fx=0
∑Fz=0 ∑Fx=0 :
Py (dx dz) – Ps(dsdx)senα =0
siendo dz/ds=sen α ; dz= ds sen α
→Py = Ps ∑Fz=0
Pz(dydx)-Ps(ds dx) cosα- (ρg dxdydz)/2=0
siendo cos α = dy/ds=cos α
Despreciando ρg dx dy dz por infinitésimo superior, Pz =Ps → Py =Ps=Pz.
ECUACION FUNDAMENTAL DE LA ESTATICA
Para deducir la ecuación basuica de la estatica, vasmos a considerar un volumen de un cilindro de fluido,que será nuestro volumen de control:
De acuerdo al diagrama de cuerpo libre (D.C.L), se puede escribir:
(a) Fuerza en la cara P debido a la presión p : PdA (b) “ “ “ “ Q “ “ “ p+dp : (p+dp )A (c) El peso del fluido : mg =(ρdAdl)g = (ρDV)g Como esl fluido está en condiciones estaticas (reposo), podemos escribir : ∑ Fx =0 (en cualquier dirección que se escoja) pdA-(p+dp)da-mgcosα = 0 pdA-(p+dp)dA-(ρdAdl)gcosα=0 dz/dl=cosα ; dz=dl cosα -dpdA-ρdAgdz=0 -dp-ρgdz=0 -dp/dz=ρg
dp/dz=-ρg=-γ Ecuación General de la Estatica
El signo (-) indica que la presión disminuye en la dirección que Z aumenta , es decir , hacia arriba.
Se pueden establecer tres condiciones para el equilibrio estatico de cualquier fluido: (a) La presión debe ser la misma sobre cualquier plano horizontal (b) La densidad debe ser la misma sobre cualquier plano horizontal (c) Pp/dz=γg Para determinar la presión en cualquier punto en un fluido en equilibrio,consideremos el siguiente sistema: Sistema liquido (ρ constante) , superficie libre sometida a presión atmosférica .
Tenemos que : Pa = presión en el punto “a”, que está a presión atmosférica. PQ=Presión en un punto “Q” de la masa de fluido.Es la presión que se quiere determinar. Podemos escribir dp= -ρ g dz Integrando ambos miembros de la relación
∫dp =-ρg∫dz
Integrando entre los limites de .: (p de pa a pQ ) . Quedará PQ = pa + ρgh
,
y (z
de z=h a z = -h)
Ecuación algebraica , usada para los cálculos prácticos en los problemas ordinarios relacionados con cálculos de presión. Tener en cuenta que “h” es la distancia PERPENDUCULAR entre los dos puntos “Q” y “a”.
APLICACIÓN DEL PRINCIPIO DE PASCAL El “gato” hidráulico (Hydraulic jack).Supongamos que aplicamos un peso de 1 lbf , a través de un pistón de 1 pulg2 de área, como se muestra en la fugura:
La presión ejercida sobre el fluido será : p1 =F1/A1 = 1 lbf /1 pulg2 = 1 psia La fuerza transmitida al segundo pistón de área 10 pulg2 será: F2 =p1A2 = (1 lbf/pulg2 )(10 pulg2 ) = 10 lbf
Note que p1=p2
El trabajo generado por el primer pistón debe ser igual al transmitido por el segundo pistón , es decir , si el primer pistón se mueve 10 pulg, se puede calcular la distancia que se moverá el segundo pistón : F1 X1 = F2 X2 ;
X2= (1 lbf . 10 pulg ) / 10 lbf = 1 pulg
Lo que significa que en el “gato” hidraulico , una pequeña fuerza y un largo desplazamiento ha sido “intercambiado” por una fuerza mayor pero con un desplazamiento menor.
MEDIDA DE PRESIÓN
Los dispositivos para medir la presión se llaman Manómetros.Existen dos tipos :diferenciales y de reloj o Bourdon. En realidad la lectura o medida que ellos proporcionan, es la diferencia de presión entre la presión absoluta del punto y la presión atmosférica del lugar.En términos matematicos es:
Pg = p abs –p atm
siendo : pg = Presión manométrica P abs=Presión absoluta P atm =Presión atmosférica.
Graficamente :
Los manómetros mas conocidos son los diferenciales y los tipo reloj o de Bourdon. Manómetro diferencial :
El valor de la presión que “lee” este mamómetro diferencial es el que corresponde a la presión “p” que existe en el recipiente cerrado.Para calcularlo utilizamos la ecuación fundamental de la estatica: (p = pB= pA ) PA – po = γ fluido rojo .h (esta es la presión manométrica del recipiente ).
Veamos otro ejemplo de un manómetro diferencial ,pero un poco mas complicado.
D.R. del aceite=0,80 Se va a determinar pA – pB .
D.R. del Hg =13,6
γ agua 62,4 lbf/pie3
Para resolver este problemas , escribiremos la ecuación fundamental de la estatica . para cada par de puntos , empezando por cualquier extremo del manometro.Podemos empezar por “A” o lo podemos hacer por “A”.En este caso,empezaremos por “A” : P A- p C= - γ Agua ( h A – h C )= - 62,4 lbf/pie3 ( 10 pulg x 1 pie/12 pulg )=- 52 lbf/pie2 P C – p D = γ Hg (h C – h D )=13.6 x 62,4 lbf/pie3 (3 pulg x 1pie /12 pulg) = 212,16 lbf/pie2 PD- pE = - γAciete ( hD –hE )= - 0,80 x 62,4 lbf/pie3(4pulg x 1 pie /12 pulg) =- 16,64 lbf/pie2 PE – pF = γHg ( hG- hF 9) = 13.6 x 62,4 lbf /pie 3 (5 pulg x ipie /12 pulg) = 353,6 lbf/pie2 PF –pB = γAgua (hF – hB ) = 62,4 x (8 pulg x 1 pie/12 pulg) = 41,6 lbf/pie2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………… Sumando algebraicamente, todas las relaciones anteriores , queda : PA- pB =(-52+212,16-16,64+353,6+41,6)Lbf/pie2 = 538,72 lbf/pie2 = 3,74 lbf/pulg2
UNIDADES DE PRESIÓN Veremos algunas medida de presión que son frecuentemente utilizadas. Las unidades naturales, en los dos sistemas mas utilizados, son : El Pascal ( Pa ) = Newton / m2
y el psi =lbf/ pie2 .
Cuando el psi se refiere a presión manométrica se escribe psig y en caso de que sea presión absoluta se escribe psia. Existen otras unidades derivadas o secundarias como son: Baria = Dina/cm2
1 pulg. de Hg = 3,386 KPa
Bar= 1 x 105 Pa= 1 x 10 2 KPa
1 pulg. de H2O = 0,250 KPa
1 psia = 6,89 x 103 Pa El Kgf /cm2 = 14,23 psia = 98,04 x 103 Pa 1 Atmosfera (Atm) = 1,033 Kgf/cm2 =101,38 KPa
1 pie de H2O = 2,99 KPa.
FUERZAS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS:PLANAS Y CURVAS
SUPERFICIES PLANAS.Se escoge un elemento fiferencial de superficie dA , de longitud dy y sometido a una fuerza dF , debido a la presión que ejerce el fluido sobre la superficie dA.
y
S
p0 =presión en la superficie libre
φ
h
hp
y
dF hc
Lc c p
dy
Lp x
El fluido donde etá sumergido la superficie plana, tiene una densidad constante ρ. φ es el angulo que forma la superficie libre del fluido con el eje de simetría de la figura plana. P0 es la presión que existe en la superficie libre del fluido.
La superficie posee un Centroide ,donde se supone que es el punto en el cual está el centro de masa de la superficie , si ésta es uniforme. El Centro de presión es el punto donde va a estar aplicada la fuerza resultante ,que actua sobre la superficie plana.
En superficies planas geométricas ,siempre que la densidad tenga el mismo valor en todos los puntos ,se habla de Centroide .El Centroide siempre estará ubicado en el centro de simetría de la superficie o figura plana .En los cuerpos físicos reales ,en cambio, se habla de centro de masa .Si la densidad es la misma ,en todos los puntos, la posición del Centroide y del Centro de masa coincidirán.
Haremos una relación de las profundidades y de las distancias , presentes en este grafico: Profundidades
Distancias
h = desde la superficie libre al elemento diferencial de superficie. hc =del centroide a la superficie libre.
y = del elemento diferencial de superficie al eje x. Lc = del centroide al eje x.
hp =del centro de presión a la superficie libre.
Lp = del centro de presión al eje x.
Deduciremos la relación para calcular la magnitud de la fuerza resultante FR , que actua sobre la superficie plana: Calculo de la presión en un punto a una profundida h : p-po = ρ g h
, pero h/y = sen φ
p – p0 = ρ g ( y sen φ )
, de donde
h= y sen φ
, sustituyendo
, p = p0 + ρ g y sen φ
La fuerza sobre el elemento diferencial dA , será: dF = p dA Intengrando en ambos miembros de esta relación
∫ dF = ∫s pdA
FR = ∫S p dA = ∫S (p0 + ρ g y sen φ)dA = ∫S po dA + ∫S ρg y sen φ dA Los valores constantes que intervienen en esta integración son : p0 ,ρ ,g , sen φ ;
Por lo tanto ∫S dA = A
FR = p0 ∫S dA + ρ g senφ ∫S y dA ;
∫S y dA = A Lc
FR = p0 A + ρ g senφ (A Lc)
hc /Lc = sen φ
, hc = Lc sen φ
Reemplazando FR = p0 + ρ g hc A
Si po corresponde a la presión atmosférica , en ese caso ; la relación a usar es: FR = ρ g h c A Se debe determinar hp : Para esto es necesario aplicar Momento de las fuerzas involucradas y el Teorema de los ejes paralelos , operación que es algo laboriosa.Para nuestro interés es ssuficiente con expresar la relación final obtenida , que es: hp = hc + (Ic sen2 φ) / ( hc A )
donde Ic es el Momento de Inercia respecto al efe centroidal de la superficie plana.
EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE FUERZA RESULTANTE SOBRE SUPERFICIES PLANAS.
1.-Una sección de pared vertical se va a construir con mezcla de concreto ( D. R. = 2,5 ) vertido entre los moldes. La pred tendrá 3 m de alura , 0,25 m de espesor y 5 m de ancho.Calcule la fuerza ejercida por la mezcla sobre cada molde .Determine la línea de aplicación de la fuerza,
Resolución .
Y = H/2 = 3/2=1,50 mts Φ =90º
, en este caso hc =y
γ concreto = DR x γagua = 2,5 x 9,81 x 103 N/m3 = 24,53 x 103 N/m3
FR = 24,53 x 103 N/m3 x 1,50 m x 15 m2 = 551 ,81 x 103 N Esta fuerza estará aplicanda a una profundidad hp , medida desde la superficie libre. hp = hc + (Ic sen2φ)/(hc A) Ic = (BH3 )/12 = 0,50
Ic se busca en la tabla F del texto de R. Mott.
, hp = 2 mts.
2.-La puerta que se muestra mide 5 pies de ancho y 10 pies de altura.Determine la fuerza resultante sobre esta puerta. 5 pies Aire , p= 5 psig
Aceite DR=0,80
10 pies
5 pies
agua
Puerta 10' x 5'
Resolución : Como la puerta ,de 10pies de alto por 5 pies de ancho , tiene una parte sometida a la presión de aceite y la otra sometida a la presión de agua ; se tienen que calcular esas dos fuerzas por separado.
(a) Fuerza sometida a la columna de aceite. Se determina hc , para ello se calcula y = H/2 = 5/2 = 2,50 pies h c = 10 pies + 2,50 pies = 12,50 pies La magnitud de FR es : FR =(p0+ hc γ axcete ) A =(( 5 lbf /pulg2 x (12 pulg)2 /1 pie2) +(0,80 x62,4 lbf/pies3 x12,50 pies ))25 pies2 = 33600 lbf Esta fuerza está ubicada a una profundidad
hp = hc + (Ic sen2 φ) / (hc x A ) =
(b) Fuerza sometida a la columna de agua. Se debe calcular el valor de la presión ejercida en la parte superior de la columna de agua : P –p agua = - γ aceite x h aceite Pagua = p + γ aceite x h aceite =( 5 lbf/pulg2 x(12 pulg/1 pie)2 + (0,80 x62,4 lbf/pies3 x 10 pies )= 1219,20lbf/pie2 hc= 5 pies/2 =2,50 pies Luego , la fuerza resultante,en este caso ,es:
FR = (p agua +hc γ agua )A FR = ((1219,20 lbf/pie2 ) + 2,50 pies x62,4 lbf/pies3 )) x25 pies2 = 34380 lbf Esta fuerza está ubicada a una profundidad hp = 2,50 pies + (Ic sen2φ)/(hcA) hp = 2,50 pies + (0,17 pies)=2,67 pies ( desde la parte superior de la capa de agua) y hp =5 pies +10 pies + 2,67 pies= 17,67 pies (desde la parte superior de la capa de aire) Valor de la fuerza resultante total: (FR)TOTAL= 33600 lbf +34380 lbf =67980 lbf
SUPERFICIES CURVAS.La determinación de la fuerza hidrostática sobre una superficie curva sumergida es un poco mas complicada que el calculo de la fuerza sobre una superficie plana.La fuerza hidrostática sobre un elemento infinitesimal de una superficie curva , actua normal a la superficie.Sin embargo , la fuerza de presión diferencial sobre cada elemento de la superficie actua en una dirección diferente debido a la curvatura de la superficie.El proceso de integración es , por lo tanto , mas complejo. En este curso seguiremos un procedimiento mas sencillo desde el punto de vista de los cálculos,pero que requiere de dos étapas : Una para calcular la componente horizontal y otra para calcular la componente vertical.
(1)Componente Horizontal.-
En esta grafica , se tiene : M’ N’ =Proyección vertical de la superficie curva(sobre un plano vertical). F= Componente horizontal sobre la superficie curva. FX =Fuerza horizontal sobre la proyección. Considerando el fluido encerrado por la superficie curva , las líneas de proyección y el plano vertical ; se cumple que -FX = F
, además actúan en el centro de presión de la proyección vertical M’ N’.
Ademas , se cumplen las propiedades siguientes:
(a) La componente horizontal sobre la cualquier superficie curva es igual a la fuerza sobre la proyección vertical de esa superficie. (b) La línea de acción de la fuerza horizontal sobre l superficie es la misma que la de la fuerza sobre la proyección vertical.
(2)Componente Vertical.La componente vertical puede determinarse considerando el volumen de fluido encerrado por la superficie curva y la proyección vertical extendida a la superficie libre.
Si p=0 ( presión en la superficie libre) , existen solamente dos fuerzas verticales actuando sobre el el espacio considerado (ABCDK): (1)Su propio peso y (2)La reacción Fy a la fuerza vertical ejercida sobre la superficie curva. Si el fluido está en equilibrio → W = Fy El peso W actua en G (Centro de gravedad) en el espacio ABCDEK y la línea de acción de Fy debe pasar por G.
Se puede resumir y establecer que: La fuerza vertical que actúa sobre cualquier superficie curva es igual al peso W del fluido , que existe entre la superficie curva y la superficie libre del fluido y actúa a través del centro de gravedad de ese volumen de fluido.
IMPORTANTE.En algunos casos, es la parte inferior de la superficie curva que estรก sometida a presiรณn hidrostรกtica y no la parte superior.Debe tomarse en cuenta , entonces , el peso de un volumen imaginario de fluido que se extiende desde la superficie superior hasta la superficie libre.
Caso 1:
Caso 2 :
EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE FUERZA RESULTANTE SOBRE SUPERFICIES CURVAS. Veremos cuatro situaciones que involucran el cรกlculo de la fuerza resultante sobre una superficie curva:
Resolucion situación 1: (a) Componente horizontal F H
hc = 0,70 m +0,50m = 1,20 m A=1,30 x 1,00=1,30 m2 FH= 9,81 x103 x1,20 m x 1,30 m2 = 15,30 x103 N. (b) Componente vertical FV
Vol . ADCB = Vol. ADCO – Vol. ABO= 2,21 m3 – 1,02 m3 = 1,19 m3 PV = FV = 1,19 m3 x 9,81 x 103 N/m3 = 11,67 x 10 3 N
Entoces la fuerza resultante ,sobre la superficie curva es : FR = 15,30 x 103 i + 11,67 x 103 j
Se recomienda resolver los problemas correspondientes a las situaciones 2 ,3 y 4 , a fin de adquirir la destreza para analizar este tipo de problemas.