www.osvita.ua
Зовнішнє незалежне оцінювання 2012 року із математики (Основна сесія № 1) «¾ÊË
»¹ ÃÇĹ À ϾÆËɹÅÁ » ËÇÐùΠ¦ ¦ Ź×ËÕ »ÆÌËÉ ÑÆ Â ½ÇËÁà ½Á» ÉÁÊÌÆÇà §ºÐÁÊÄ ËÕ » ½Ê˹ÆÕ ¦¦ ØÃÒÇ É¹½ ÌÊÁ Ã Ä ½ÇÉ »Æ××ËÕ ÉÄ ÉÄ
ÉÄ
ÉÄ
ÉÄ
ÉÄ
ÉÄ
ƹ½ ËÕ ÇºÄ¹ÊËÕ »ÁÀƹоÆÆØ ÍÌÆÃÏ Z s s Y
s∞ ∞
s∞ ∞
s∞ s ∞
s∞ s s ∞
s
¦¹ ½ ¹¼É¹Å » ½ÇºÉ¹¿¾ÆÇ Ã ÄÕà ÊËÕ » ½» ½Ì»¹Ð » ¥ÌÀ¾× ǽÁ ÈÉÇËؼÇŠǽÆÇ¼Ç ÉǺÇÐÇ¼Ç ËÁ¿ÆØ À » »ËÇÉù ½Ç ƾ½ Ä ¬ ØÃÁ ½¾ÆÕ ËÁ¿ÆØ Ã ÄÕà ÊËÕ » ½» ½Ì»¹Ð » ºÌĹ »½» Ð º ÄÕÑÇ× Æ ¿ Ì ÈÇȾɾ½Æ  ½¾ÆÕ £ ÄÕà ÊËÕ » ½» ½Ì»¹Ð »
0 0
» »ËÇÉÇà ʾɾ½¹
о˻¾É ÈoØËÆÁÏØ Ê̺Ç˹
ƾ½ ÄØ
Æ ËÁ¿ÆØ
ʾɾ½¹
о˻¾É
ÈoØËÆÁÏØ
Ê̺Ç˹
ƾ½ ÄØ
1
www.osvita.ua
¸Ã¹ À ƹ»¾½¾ÆÁÎ ËÇÐÇà ƹľ¿ÁËÕ ÇÊ ¦[ ÈÉØÅÇÃÌËÆÇ ÊÁÊ˾ÅÁ ÃÇÇɽÁÆ¹Ë Ì ÈÉÇÊËÇÉ
¤ s
/ s
, s
- s
' s
Z
¦¹ ÉÁÊÌÆÃÌ ÀǺɹ¿¾ÆÇ ¼É¹Í à ÍÌÆÃÏ Z f Y »ÁÀƹоÆÇ Æ¹ ÈÉÇÅ ¿ÃÌ <s > ƹ½ ËÕ ÅÆÇ¿Á ÆÌ »Ê Î ÀƹоÆÕ Í ½ÄØ ØÃÁÎ f Y s
Z f Y
s
Y
< >
<s >
<s >
<s s >
<s >
»¹ ͹Π»Ï ÉÇÀÉǺÁÄÁ Å¹Ã¾Ë É¾ÃĹÅÆÇ¼Ç Ç¼ÇÄÇѾÆÆØ ¹ ÉǺÇËÌ »ÇÆÁ ÇËÉÁŹÄÁ »ÈÅ ÉÇÀÈǽ ÄÁ»ÑÁ ¼ÉÇÑ Ë¹ÃÁÅ ÐÁÆÇŠȾÉÑÁ ÇËÉÁŹ» о˻¾ÉËÌ Ð¹ÊËÁÆÌ À¹ÉǺľÆÁÎ ¼ÉÇѾ ¹ ½É̼Á s ɾÑËÌ ªÃ ÄÕÃÁ ¼ÉÁ»¾ÆÕ ÇËÉÁŹ» À¹ Ï× ÉǺÇËÌ ½É̼Á ͹Π»¾ÏÕ
»ÈÅ
»ÈÅ
»ÈÅ
»ÈÅ
»ÈÅ
¨ÉØŹ É È¾É¾ËÁƹ ȹɹľÄÕÆ ÈÉØÅ ¸ C ½Á» ÉÁÊÌÆÇà ¸Ã À ƹ»¾½¾ÆÁÎ Ë»¾É½¿¾ÆÕ Èɹ»ÁÄÕÆÁÅÁ ½ÄØ ÃÌË » ∠ ∠ s ÊÌÅ ¿Æ ∠ ∠ ∠ ∠ Ç
É
B
C
ÄÁѾ
ÄÁѾ
ÄÁѾ
ÄÁѾ
˹
2
www.osvita.ua
¹ÈÁÑ ËÕ ÐÁÊĹ » ÈÇÉؽÃÌ ÀÉÇÊ˹ÆÆØ
¨ÉÁ ØÃÇÅÌ ÀƹоÆÆ Í »¾ÃËÇÉÁ Y s ȾÉȾƽÁÃÌÄØÉÆ
s
s
¦¹ ØÃÇÅÌ À ƹ»¾½¾ÆÁÎ ÉÁÊÌÆà » ÀǺɹ¿¾ÆÇ ¾Êà À ¼É¹Í ù ÍÌÆÃÏ Z s Y s
Z
Z
Y
Z
Y
Z
Z
Y
Y
Y
¬ À¹Ä à ÆÇ˾¹ËÉÌ Éؽ » ¬ ȾÉÑÇÅÌ ÉØ½Ì ÀƹÎǽØËÕÊØ Å ÊÏÕ ¹ » ÃÇ¿ÆÇÅÌ Æ¹ÊËÌÈÆÇÅÌ ÉØ½Ì Æ¹ Å ÊÏØ º ÄÕѾ Æ ¿ Ì ÈÇȾɾ½ÆÕÇÅÌ ªÃ ÄÕÃÁ »ÊÕÇ¼Ç Å ÊÏÕ Ì ÏÕÇÅÌ À¹Ä
3
www.osvita.ua
¨ÉØÅÇÃÌËÆÁà À ÊËÇÉÇƹÅÁ ÉÄ ÉÄ Çº¾É˹ ËÕÊØ Æ¹»ÃÇÄÇ Å¾ÆÑÇ ÊËÇÉÇÆÁ ½Á» ÉÁÊÌÆÇà ƹ½ ËÕ ÈÄÇÒÌ ÈÇ»ÆÇ ÈÇ»¾ÉÎÆ ÇËÉÁŹÆÇ¼Ç Ë Ä¹ Ǻ¾É˹ÆÆØ
π ÉÄ
π ÉÄ
π ÉÄ
π ÉÄ
π ÉÄ
¸ÃÇÅÌ ÈÉÇÅ ¿ÃÌ Æ¹Ä¾¿ÁËÕ ÀƹоÆÆØ »ÁɹÀÌ TJO P
s s s
s s s
t t
s t
t
Å ÊË » ½Ê˹ÆÕ Å ¿ ØÃÁÅÁ ÈÇ ÑÇʾ Ê˹ÆÇ»ÁËÕ ÂÄ Ç½ÆÇйÊÆÇ Æ¹ÀÌÊËÉ Ð Ç½ÁÆ Ç½ÆÇÅÌ »Á ιÄÁ ¹»ËǺÌÊ Å¹ÉÑÉÌËƾ ˹ÃÊ À Ê˹ÄÁÅÁ Ñ»Á½ÃÇÊËØÅÁ ÂÄ »Æ¼ ÂÄ »Æ¼ » ½ÈÇ» ½ÆÇ »ËǺÌÊ Å¹ÉÑÉÌËƾ ˹ÃÊ ÉÌι×ËÕÊØ º¾À ÀÌÈÁÆÇà Ҿ ƾ ÀÌÊËÉ ÄÁÊØ ¹ ØÃÇ× ÍÇÉÅÌÄÇ× Åǿƹ ǺÐÁÊÄÁËÁ » ½Ê˹ÆÕ 4 Ì ÂÄ Å ¿ ¹»ËǺÌÊÇŠŹÉÑÉÌËÆÁŠ˹ÃÊ ÈÇ ÑÇʾ оɾÀ U ¼Ç½ÁÆ È ÊÄØ ÈÇйËÃÌ ÉÌÎÌ А
Б
В
4 s U
4 U
4 U s
Г
Д
4 U s 4 s U
ÁÊÇ˹ Èɹ»ÁÄÕÆÇ ÐÇËÁÉÁÃÌËÆÇ È É¹Å ½Á ½ÇÉ »Æ× ÉÄ ¹ ¹ÈÇ;Ź s ÉÄ ÁÀƹÐ˾ ÃÇÊÁÆÌÊ ÃÌ˹ Å ¿ ÈÄÇÒÁÆÇ× º ÐÆÇ ¼É¹Æ È É¹Å ½Á ÈÄÇÒÁÆÇ× ÇÊÆÇ»Á
s
s
s
s
s
4
www.osvita.ua
¦¹ ÉÁÊÌÆÃÌ ÀǺɹ¿¾ÆÇ È¹É¹Ä¾ÄǼɹŠ"#$% ÈÄÇÒ¹ ØÃÇ¼Ç ½ÇÉ »Æ× ÉÄ «ÇÐù ¤ ƹľ¿ÁËÕ ÊËÇÉÇÆ © ÁÀƹÐ˾ ÈÄÇÒÌ Í ¼ÌÉÁ ÒÇ ÊÃĹ½¹ ËÕÊØ À ½»ÇÎ À¹Í¹ÉºÇ»¹ÆÁÎ " ËÉÁÃÌËÆÁà » ÉÄ
ÉÄ
π
Y
π
#
.
$
%
ÉÄ
ÉÄ
ÉÄ
©ÇÀ»oØ¿ ËÕ Æ¾É »Æ ÊËÕ s s
s ∞
∞
s∞
s∞ s
s∞ s
¬ ÈÉØÅÇÃÌËÆÁÃÌ "#$% © "$ °¾É¾À ËÇÐÃÁ ¤ , ÒÇ Æ¹Ä¾¿¹ËÕ ÊËÇÉÇƹŠ© » ½ÈÇ» ½ÆÇ ÈÉÇ»¾½¾ÆÇ ÈÉØÅÌ È¹É¹Ä¾ÄÕÆÌ © ƹ½ ËÕ ½Ç»¿ÁÆÌ º ÄÕÑÇ ÊËÇÉÇÆÁ ËÉÁÃÌËÆÁù ¤ , ØÃÒÇ ,
¬Ã¹¿ ËÕ ÅÆÇ¿ÁÆÌ »Ê Î ÀƹоÆÕ ¸ ÈÉÁ ØÃÁÎ »ÁÃÇÆÌ ËÕÊØ É »Æ ÊËÕ │B s B │ B s B
< ∞
\ ^ < ∞
s∞ s > \ ^
< >
s∞ s > < ∞
5
www.osvita.ua
ÌÆÃÏ Ø f Y Ź » ËÇÐÏ Y ÈÇÎ ½ÆÌ f ′ Y s ÁÀƹÐ˾ ÀƹоÆÆØ ÈÇÎ ½ÆÇ ÍÌÆÃÏ H Y f Y Y s » ËÇÐÏ Y
s
s
s
Ç ÃÇ¿ÆÇ¼Ç »ÁɹÀÌ s ÈÉÁ B ½Çº¾É ËÕ ËÇËÇ¿ÆÇ ÂÇÅÌ É »ÆÁ s
B B
B
B B
Bs
Bs
B
B
Bs
B
£Ç¿Æ  ËÇÐÏ s ÈÇÊ˹»Ë¾ Ì » ½ÈÇ» ½Æ ÊËÕ ÍÌÆÃÏ × s ¼É¹Í ÃÌ ØÃÇ Æ¹Ä¾¿ÁËÕ ÏØ ËÇÐù ¬ËÅÂÎ × ªÆϸ
0
Z Y
. s
Z DUHY
/ s
Z UHY
,
Z Y s
Z Y
6
www.osvita.ua
©ÇÀ»oØ¿ ËÕ É »ÆØÆÆØ s ¬Ê˹ÆÇ» ËÕ » ½ÈÇ» ½Æ ÊËÕ Å ¿ ÃÇ¿ÆÁÅ É »ÆØÆÆØŠ˹ à ÄÕà ÊË× ÂÇ¼Ç ÃÇÉ¾Æ » s ƹ » ½É ÀÃÌ <s > ¨ ºÅ×ÅÅ×
¢ ÃÔ ÉÊÔ ÂÆȽŠº Ÿ º ¼È ¿ÂË <s >
DPT Y s TJO Y
¿Ç½ÆǼÇ
MPH Y s
ǽÁÆ
Y s Y Y
Y Y
½»¹
ËÉÁ
ÐÇËÁÉÁ
¦¹ ÉÁÊÌÆÃÌ ÀǺɹ¿¾ÆÇ Ã̺ "#$%" # $ % Ç ÃÇ¿ÆÇ¼Ç ÈÇйËÃÌ É¾Ð¾ÆÆØ s ½Çº¾É ËÕ ÂÇ¼Ç À¹Ã ÆоÆÆØ s ˹à ÒǺ ÌË»ÇÉÁÄÇÊØ Èɹ»ÁÄÕƾ Ë»¾É½¿¾ÆÆØ
§ÆϸÊÆ ȽϽÅÅ×
¨ÉØŹ © ¨ÉØŹ $% ¨ÉØŹ © ¨ÉØŹ " #
¸Â ÅϽÅÅ× È½Ï½ÅÅ×
$
# "
% #
"
$ %
ȹɹľÄÕƹ ÈÄÇÒÁÆ "" # # ȾÉȾƽÁÃÌÄØÉƹ ÈÄÇÒÁÆ "" # # ƹľ¿ÁËÕ ÈÄÇÒÁÆ "" # # Ź À ÈÄÇÒÁÆÇ× "" # # ÄÁѾ ½» ÊÈ ÄÕÆ ËÇÐÃÁ ÌË»ÇÉ× À ÈÄÇÒÁÆÇ× "" # # ÃÌË P
7
www.osvita.ua
¹ËÕÃÁ ɹÀÇÅ À ½»ÇŹ ½ ËÕÅÁ ¥¹É ÂÃÇ× ÉÇÃÁ ˹ Ǽ½¹ÆÇÅ ÉÇà » s ÀºÁɹ×ËÕÊØ ÈÉÇ»¾ÊËÁ »ÁÎ ½ÆÁ ½¾ÆÕ Ì È¹ÉÃÌ ¹ËɹÃÏ ÇÆ » ¹ËÕÃÁ ½ÇÀ»ÇÄØ×ËÕ ÃÇ¿Æ Â ½ÁËÁÆ » ½» ½¹ËÁ ƾ º ÄÕѾ ËÉÕÇÎ ¹ËɹÃÏ ÇÆ » ÃÇ¿ÆÁ ¹ËɹÃÏ ÇÆ s ÄÁѾ ÈÇ Ç½ÆÇÅÌ É¹ÀÌ ½ÇÅÇ ÒÇ Æ¹ ¹ËɹÃÏ ÇÆÁ ľÃËÉÁÐÆ Å¹ÑÁÆÃÁ ¾Ê¾Ä ¼ ÉÃÁ ½ÇÈÌÊù×ËÕ ÄÁѾ ½ ˾ Ê˹ÉѾ ÉÇà » ¦¹ ¨¹ÉÇ»ÇÀÁà Ǽ½¹Æ ƾ È ½¾ ÄØ » ½» ½Ì»¹ÆÆØ ºÌ½Õ ØÃÇ¼Ç ¹ËɹÃÏ ÇÆÌ Æ¾ÇºÎ ½ÆÇ ÃÌÈÁËÁ ûÁËÇà ½ÄØ ÃÇ¿ÆÇ ½ÁËÁÆÁ ªÃÇÉÁÊ˹»ÑÁÊÕ Ë¹ºÄÁÏ¾× »ÁÀƹÐ˾ ĸÂÉÀĸÃÔÅË ÊÌÅÌ ÃÇÑË » Ì »ÈÅ ÒÇ »ÁËɹËØËÕ º¹ËÕÃÁ ƹ ÈÉÁ½º¹ÆÆØ Ã»ÁËà » ½ÄØ ½ ˾ ¦¹À»¹ ¹ËɹÃÏ ÇÆÌ ¾Ê¾Ä ¼ ÉÃÁ ¨¹ÉÇ»ÇÀÁà ľÃËÉÁÐÆ Å¹ÑÁÆÃÁ £¹ÉÌʾÄÕ ¹ËÌË ÁËØй ÉÁº¹Äù ¤¾º¾½
¹ÉË ÊËÕ Ã»ÁËù ½ÄØ ½ÁËÁÆÁ ¼ÉÆ
N ªÃ ÄÕÃÁ ÊÆÌ É ÀÆÁÎ ½ÉǺ » t O ØÃÒÇ N ƹºÌ»¹ ÀƹоÆÕ ¹ºÇ ¹ O ƹºÌ»¹ ÀƹоÆÕ ¹ºÇ
Z s Y
©ÇÀ»oØ¿ ËÕ ÊÁÊ˾ÅÌ É »ÆØÆÕ ¹ÈÁÑ ËÕ Ì » ½ÈÇ» ½Õ ¼Æ¹ËÊÆ Y Y Z t Z s
ØÃÒÇ È¹É¹ Y Z ÉÇÀ»oØÀÃÇÅ Ï ÊÁÊ˾ÅÁ É »ÆØÆÕ
§ºÐÁÊÄ ËÕ ÀƹоÆÆØ »ÁɹÀÌ MPHB s MPHB ØÃÒÇ MPH B s
¬ ËÉÁÃÌËÆÁÃÌ © ÇÊÆÇ»¹ »ÁÊÇËÁ , ľ¿ÁËÕ Æ¹ ÈÉǽǻ¿¾ÆÆ ÊËÇÉÇÆÁ © ½Á» ÉÁÊÌÆÇà , , ©¹½ ÌÊ ÇÈÁʹÆÇ¼Ç Æ¹»ÃÇÄÇ ËÉÁÃÌËÆÁù © ÃÇĹ ½ÇÉ »Æ× ÁÀƹÐ˾ ½Ç»¿ÁÆÌ ©
"
,
#
$
8
www.osvita.ua
Z
§ºÐÁÊÄ ËÕ s π
∫
s Y EY »ÁÃÇÉÁÊËÇ»Ì×ÐÁ É »ÆØÆÆØ
s
ÃÇĹ Y Z ÀǺɹ¿¾ÆÇ¼Ç Æ¹ ÉÁÊÌÆÃÌ s
Y
s
§ÊÆÇ»Ç× ÈÉØÅÇ ÈÉÁÀÅÁ ©% © % É »ÆǺ Ðƹ ËÉ¹È¾Ï Ø ©% §ÊÆÇ»¹ "% ËÉ¹È¾Ï ½ÇÉ »Æ× »ÁÊÇË ËÉ¹È¾Ï » Ñ ÊËÕ É¹À » º ÄÕѹ À¹ ÇÊÆÇ»Ì © °¾É¾À º Ðƾ ɾºÉÇ ©© ÈÉÁÀÅÁ ÈÉÇ»¾½¾ÆÇ ÈÄÇÒÁÆÌ È¹É¹Ä¾ÄÕÆÇ É¾ºÉÌ Æ¹Â½ ËÕ ÈÄÇÒÌ ÌË»ÇɾÆÇ¼Ç È¾É¾É ÀÌ Ì ÉÄ ØÃÒÇ Çºo Å ÈÉÁÀÅÁ ½ÇÉ »Æ× ÉÄ ¹ »ÁÊÇ˹ s ÉÄ
¨ÉÁ ØÃÇÅÌ Å¸ÁĽÅÐÆÄË Î ÃÆÄË ÀƹоÆÆ È¹É¹Å¾Ëɹ ¸ É »ÆØÆÆØ Y Y Y s Y s Y B Y Ź ÄÁѾ ½»¹ É ÀÆ ÃÇɾÆ
9