Домашняя работа по алгебре и началам анализа за 11 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа. 10-11 класс» под ред. А.Н. Колмогорова, -М.: «Просвещение», 2000 г.
Оглавление ГЛАВА III. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ ___ 3 § 7. Первообразная ____________________________________ 3 26. Определение первообразной ________________________ 3 27. Основное свойство первообразной ___________________ 5 28. Три правила нахождения первообразных ______________ 8 § 8. Интеграл ________________________________________ 14 29. Площадь криволинейной трапеции __________________ 14 30. Формула Ньютона – Лейбница _____________________ 16 31. Применение интеграла ____________________________ 25
ГЛАВА IV. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ ___________ 31 § 9. Обобщение понятия степени _______________________ 31 32. Корень n-й степени и его свойства __________________ 31 33. Иррациональные уравнения ________________________ 40 34. Степень с рациональным показателем _______________ 46 § 10. Показательная и логарифмическая функции________ 53 35. Показательная функция ___________________________ 53 36. Решение показательных уравнений и неравенств ______ 61 37. Логарифмы и их свойства__________________________ 68 38. Логарифмическая функция_________________________ 74 39. Решение логарифмических уравнений и неравенств ____ 80 40. Понятие об обратной функции______________________ 92 § 11. Производная показательной и логарифмической функции ____________________________________________ 98 41. Производная показательной и логарифмической функции ___________________________________________________ 98 42. Производная логарифмической функции ____________ 104 43. Степенная функция ______________________________ 108 44. Понятие о дифференциальных уравнениях __________ 113
2
www.5balls.ru
ГЛАВА III. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ § 7. Первообразная 26. Определение первообразной 326. а) F(x) = x5 – первообразная для f(x) = 5x4 на R; б) F(x) = x-3 – первообразная для f(x) = -3x-4 на (0;∞); в) F(x) =
1 7 x – первообразная для f(x) = x6 на R; 7
г) F(x) = −
1 -6 x – первообразная для f(x) = x-7 на (0;∞). 6
327. а) F′(x) = -cosx ≠ cosx, F(x) = 3 – sinx на R; б) F′(x) = (5 – x4)′ = -4x3 для любого x∈R, таким образом F(x) = 5 – x4 является первообразной для f(x) = -4x3 на R; в) F`(x) = (cosx – 4)′ = -sinx для любого x∈R, таким образом F(x) = cosx – 4 является первообразной для f(x) = -sinx на R; г) F′(x) = (x-2 + 2)′ = −
2 x3
для любого x∈(0;∞), таким образом
F(x) = x2 + 2 не является первообразной для f(x) =
1 2x 3
на (0;∞).
328. а) F(x) = 3,5x + 10, т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R; б) F(x) = sinx + 3, т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R; в) F(x) = x2 + 2, т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R; г) F(x) = 8, т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R. 329. а) F(x) = cosx + 4, т.к. F`(x) = f(x) для любого x∈R;
3
www.5balls.ru
б) F(x) = 3 –
1 2 x , т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R; 2
в) F(x) = 4(5 – x), т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R; г) F(x) = 1 – sinx, т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R. 330. а) F′(x) = (sin2x)′ = 2sinxcosx = sin2x для любого x∈R, б) F′(x) =
1 1 (cos2x)′ = (-2)sin2x = -sin2x для любого x∈R, 2 2
в) F′(x) = (sin3x)′ = 3cos3x для любого x∈R;
x 2
′
1
г) F′(x) = 3 + tg =
2 cos 2
x 2
для любого x∈(-π;π).
331.
x 2
′
1 2
а) F′(x) = 2x + cos = 2 − sin
x = f ( x ) для любого x∈R. 2
Ответ: да, является.
′
x
б) F′(x) = 4 − x 2 = −
4 − x2
= f ( x ) для любого x∈(-2;2).
Ответ: да, является. ′ 1 2 =− для любого x∈(0;∞). 2 x3 x
в) F′(x) =
Ответ: нет, не является. ′ г) F′(x) = 4(x x ) = 4 x
3 2
′ 1 = 4 ⋅ 3 x 2 = 6 x = f ( x ) для любого x∈(0;∞). 2
Ответ: да, является. 332. а) F(x) =
1 2 x + 2x + 8, т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R; 2
б) F(x) = x + cos x + 2, т.к.
4
www.5balls.ru
2
f(x) = sin
x x − cos = 1 − sin x на R и F′(x) = 1 – sinx для любого x∈R; 2 2
в) F(x) = x – 12, т.к. f(x) = sin2x + cos2x = 1 на R и F′(x) = f(x) для любого x∈R; г) F(x) = x3 + x = 5, т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R. 333. а) F1(x) = x2 + 7 и F2(x) = x2 + 13 – первообразные для f(x) = 2x на R; б) F1(x) = x + cosx + 12 и F2(x) = x + cosx – 1 – первообразные для f(x) = 1 – sinx на R; 1 3
1 3
в) F1(x) = x 3 + 3 и F2(x) = x 3 + 4 – первообразные для f(x) = x2 на R; г) F1(x) = sinx + 2x + 2 и F2(x) = sinx + 2x – 7 – первообразные для f(x) = cosx + 2 на R. 334. а) g(x) = − f′(x) = −
б) f(x) =
2 x3
1 1 – первообразная для f(x) = на (-∞;0) ∪ (0;∞), x x2
= h(x);
x2 – cosx – первообразная для h(x) = x + sinx на R, 2
h′(x) = 1 + cosx = g(x); в) h(x) =
x2 + 2 x – первообразная для g(x) = x + 2 на R, 2
g′(x) = 1 = f(x); г) g(x) = 3x + 2cosx – первообразная для f(x) = 3 – 2sinx на R, f′(x) = -2cosx = h(x). 27. Основное свойство первообразной 335. 1 5
a) f(x) = 2 – x4; F(x) = 2x – x 5 + C б) f(x) = x + cosx; F(x) = в) f(x) = 4x; F(x) = 2x2 + C
1 2 x + sin x + C 2
г) f(x) = -3; F(x) = -3x + C
5
www.5balls.ru
336. а) f(x) = x6; F(x) = 1
в) f(x) = 1 –
x4
1 7 x +C 7
F(x) = x +
б) f(x) = 1 3x 3
+C
1 x
− 2 ; F(x) = −
3
1 2x 2
− 2x + C
1 6
г) f(x) = x5; F(x) = x 6 + C
337. а) f(x) =
1 x
, F(x) = −
2
1 1 + C; F = −2 + C = −12, C = −10; x 2
F(x) = −
1 − 10 ; x
б) f(x) =
π , F( x ) = tgx + C; F = 1 + C = 0, C = −1; 4 cos x 1
2
F(x) = tgx – 1; в) f(x) = x3, F(x) = F( x ) =
x4 1 3 + C; F(−1) = + C = 2, C = 1 ; 4 4 4
3 1 4 x +1 ; 4 4
г) f(x) = sinx, F(x) = -cosx + C; F(-π) = 1 + C, C = -2; F(x) = -cos-2 – первообразная для f(x) = sinx; F(-π) = -1. 338. а) F′(x) = (sinx)′ - (xcosx)′ = cosx – cosx + xsinx = f(x); F(x) = sinx – xcosx + C – общая первообразная;
′
б) F′(x) = x 2 + 1 =
) ( )
(
1
− ′ 1 2 x +1 2 ⋅ x2 = 2
x 2
= f ( x );
x +1
F(x) = x 2 + 1 + C – общая первообразная; в) F′(x) = (cosx)′ + (xsinx)′ = -sinx + sinx + xcosx = xcosx = f(x); F(x) = cosx + xsinx + C – общая первообразная; 1 x
′
г) F′(x) = x ′ − = 1 +
1 x
2
=
1+ x2 x2
= f ( x );
6
www.5balls.ru
F( x ) = x −
1 + C - общая первообразная. x
339. π 2
а) f(x) = 2cosx, F(x) = 2sinx + C; F − = −2 + C = 1, C = 3; F(x) = 2sinx + 3 – искомая первообразная; 1 3
б) f(x) = 1 – x2, F(x) = x – x 3 + C; F(-3) = –3 + 9 + С = 6 + C = 9, C = 3; 1 3
F(x) = x – x 3 + 3 – искомая первообразная; π
π
2π
в) f(x) = sin x + , F( x ) = − cos x + + C; F = − cos π + C = 1 + C = −1, C = −2; 3 3 3 π 3
F(x) = -cos x + − 2 – искомая первообразная;
г) f(x) = F(x) = −
1 x4
, F( x ) = −
1 3x
3
+5
1 3x 3
2 8 1 + C; F = − + C = 3, C = 5 ; 3 3 2
2 – искомая первообразная; 3
340. а) f(x) = 2 – sinx, F1(x) = 2x + cosx и F2(x) = 2x + cosx + C; F2(x) – F1(x) = C = 4; F1(x) = 2x + cosx и F2(x) = 2x + cosx + 4 – две искомые первообразные; б) f(x) = 1 + tg2x =
1 cos 2 x
, F1 ( x ) = tgx + C и F2 ( x ) = tgx; F1(x) – F2(x) = C = 1;
F1(x) = tgx + 1 и F2 = tgx – две искомые первообразные; в) f(x) = sin 2
x x − cos 2 = − cos x , F1 ( x ) = − sin x и F2(x) = -sinx + C; 2 2
F2(x) – F1(x) = C =
1 ; 2
F1(x) = -sinx и F2(x) = -sinx + 0,5 – две искомые первообразные;
7
www.5balls.ru
г) f(x) =
1 x
, F1 ( x ) = 2 x и F2 ( x ) = 2 x + C; F2(x) – F1(x) = C = 2;
F1(x) = 2 x и F2 ( x ) = 2 x + 2 – две искомые первообразные. 341. а) a(t) = -2t, v(t) = -t2 + C1, x(t) = −
t3 + C1t + C 2 ; 3
v(1) = -1 + C1 = 2, C1 = 3; x(t) = −
1 1 t3 + 3t + C 2 , x(1) = − + 3 + C 2 = 4, C 2 = 1 ; 3 3 3
x(t) = −
t3 4 + 3t + ; 3 3
б) a(t) = sint, v(t) = -cost + C1, x(t) = -sint + C1t + C2; ′ π v = C1 = 1; 2 π 2
x(t) = -sint + t + C2, x = −1 + x(t) = -sint + t + 3 -
π π + C 2 = 2, C 2 = 3 − ; 2 2
π ; 2
в) a(t) = 6t, v(t) = 3t2 + C1, x(t) = t3 + C1t + C2; v(0) = C1 = 1; x(t) = t3 + t + C2, x(0) = C2 = 3; x(t) = t3 + t + 3; г) a(t) = cost, v(t) = sint + C1, x(t) = -cost + C1t + C2; v(π) = C1 = 0; x(t) = -cost + C2, x(π) = 1 + C2 = 1, C2 = 0; x(t) = -cost. 28. Три правила нахождения первообразных 342. а) f(x) = 2 – x3 +
1 x3
; поэтому
8
www.5balls.ru
F(x) = 2x –
x4 1 − + C – общий вид первообразных для f(x); 4 2x 2 2
б) f(x) = x – F(x) =
x5
+ cos x;
x2 1 + + sin x + C – общий вид первообразных для f(x); 2 2x 4 1
в) f(x) =
x2
− sin x;
1 + cos x + C – общий вид первообразных для f(x); x
F(x) = −
г) f(x) = 5x2 – 1; 5 3
F(x) = x 3 − x + C – общий вид первообразных для f(x). 343. а) f(x) = (2x – 3)5; 1 1 6 2
F(x) = ⋅ (2x − 3) 6 + C =
1 (2x − 3) 6 + C – общий вид первообразных 12
для f(x); б) f(x) = 3sin2x; 1 2
F(x) = ⋅ (−3) ⋅ cos 2x + C = −1,5 cos 2x + C – общий вид первообразных для f(x); в) f(x) = (4 – 5x)7; 1 1 5 8
F(x) = − ⋅ (4 − 5x ) 8 + C = −
1 (4 − 5x ) 8 + C – общий вид первообразных 40
для f(x); 1 3
x 3
π 4
x
π
г) f(x) = − cos − ; 1
x
π
F(x) = − ⋅ 3 ⋅ sin − + C = − sin − + C – общий вид 3 3 4 3 4
первообразных для f(x). 344.
9
www.5balls.ru
3
а) f(x) =
F(x) = −
(4 − 15x ) 4
;
1 1 ⋅ − 15 (4 − 15x )3
1 +C = + C – общий вид 15 ( 4 15x ) 3 −
первообразных для f(x); б) f(x) =
2 2 π
cos − x 3 π 3
;
F(x) = -2tg − x + C – общий вид первообразных для f(x); в) f(x) =
4 (3x − 1) 2
1
4
;
4
+C = − F(x) = ⋅ − + C – общий вид первообразных 3 (3x − 1) 3(3x − 1)
для f(x); г) f(x) = − F(x)=
1 2x 4
2 x
5
+
1 2
cos (3x − 1)
;
1 + tg(3x − 1) + C – общий вид первообразных для f(x). 3
345. а) f(x) = 4x +
1 x2
2
; F(x) = 2x –
1 + C – общая первообразная; x
F(-1) = 2 + 1 + C = 4, C = 1; F(x) = 2x2 – б) f(x) = x3 + 2; F(x)=
1 + 1 – искомая первообразная; x
x4 + 2 x + C – общая первообразная; 4
F(2) = 4 + 4 + C = 15, C = 7; F(x) =
x4 + 2 x + 7 – искомая первообразная; 4
в) f(x) = 1 – 2x; F(x) = x – x2 + C – общая первообразная; F(3) = 3 – 9 + C = 2, C = 8; F(x) = x – x2 + 8 – искомая первообразная;
10
www.5balls.ru
г) f(x) = F(1) = − F(x) = −
1 x
3
− 10 x 4 + 3; F(x) = −
1 2x 2
− 2 x 5 + 3x + C – общая первообразная;
1 1 – 2 + 3 + C = 5; С = 4 ; 2 2 1
− 2x 5 + 3x + 4,5 – искомая первообразная.
2x 2
346. π 3
а) f(x) = 1 – cos3x + 2sin − x ; π 3
1 3
F(x) = x – sin 3x + 2 cos − x + C – общая первообразная; б) f(x) =
1 sin 2 4 x
1
+
2−x
− 3x 2 ;
1 4
F(x) = − ctg 4x − 2 2 − x − x 3 + C – общая первообразная; в) f(x) =
2 2
cos (3x + 1)
− 3 sin( 4 − x ) + 2 x;
2 3
F(x) = tg (3x + 1) − 3 cos(4 − x ) + x 2 + C – общая первообразная; г) f(x) = F(x) =
1 (3 − 2 x ) 3 1
4(3 − 2 x ) 2
+
+
3 5x − 2
π − 2 cos − x ; 4
6 π 5x − 2 + 2 sin − x + C – общая первообразная. 5 4
347. а) f(x) = 2x + 1; F(x) = x2 + x + C – общая первообразная; F(0) = 0: C = 0; F(x) = x2 + x – искомая первообразная; б) f(x) = 3x2 – 2x; F(x) = x3 – x2 + C – общая первообразная F(1) = 4: 1 – 1 + C = 4, C = 4; F(x) = x3 – x2 + 4 – искомая первообразная; в) f(x) = x + 2; F(x) =
1 2 x + 2x + C – общая первообразная; 2
11
www.5balls.ru
F(1) = 3:
1 1 1 1 + 2 + C = 3, C = ; F(x) = x 2 + 2 x + – искомая первообразная; 2 2 2 2 3 2
1 3
г) f(x) = -x2 + 3x; F(x) = − x 3 + x 2 + C – общая первообразная; 1 3
8 3
F(2) = -1: − + 6 + C = −1, C = −4 ; 3 2
1 3
1 3
F(x) = − x 3 + x 2 − 4 – искомая первообразная. 348. v(t) = t2 + 2t – 1, т.к. v(t) x′(t), то x(t) =
t3 t3 + t 2 − t + C; x(0) = 0: C = 0; x(t) = + t 2 − t – искомая функция. 3 3
349. t 2
v(t) = 2cos ; x(t) = 4sin
t +C ; 2
π t π x = 4 : 4 sin + C = 4, 2 + С = 4, C = 2; x(t) = 4sin + 2 . 6 2 3
350. a(t) = 12t2 + 4; т.к. а(t) = v′(t), то v(t) = 4t3 + 4t + C1; v(1) = 10: 4 + 4 + C1 = 10; С1 = 2; v(t) = 4t3 + 4t + 2; x(t) = t4 + 2t2 + 2t + C2; x(1) = 12: 1 + 2 + 2 + C2 = 12, C2 = 7; x(t) = t4 + 2t2 + 2t + 7 – искомая функция. 351. а) F = ma, т.о. a(t) =
F( t ) 6 − 9 t 3 = = 2 − 3t; v(t) = 2t – t 2 + C1; m 3 2
v(1) = 2 –
3 +C1 = 4; C1 = 3,5; 2
x(t) = t2 −
t3 + 3,5t + C 2 ; x(1) = -5: 1 – 0,5 + 3,5 + C2 = -5, C = -9; 2
12
www.5balls.ru
x(t) = t2 −
t3 + 3,5t − 9 – искомая функция; 2
б) F = ma, т.о. a(t) =
F( t ) 14 sin t = = 2 sin t; v(t) = -2cost + C1; m 7
V(π) = 2 + C1 = 2,C1 = 0; v(t) = -2cost; x(t) = -2sint + C2; x(π) = C2 = 3; x(t) = -2sint + 3 – искомая функция. в) F= ma, т.о. a(t) =
F( t ) 25 cos t = = 5 cos t; m 5
π 2
v(t) = 5sint + C1; v = 5 + C1 = 2, C1 = −3; π 2
v(t) = 5sint – 3; x(t) = -5cost – 3t + C2; x = − x(t) = -5cost – 3t + 4 + г) F = ma, т.о. a(t)=
3π 3π + C 2 = 4, C 2 = 4 + ; 2 2
3π – искомая функция; 2
F( t ) 8t + 8 = = 2 t + 2; m 4
v(t)= t2 + 2t + C1; v(2) = 4 + 4 + C1 = 9, C1= 1; v(t) = t2 + 2t + 1 = (t + 1)2; x(t) = x(t) =
(t + 1)3 + C 3
2;
x(2) = 9 + C2 = 7, C2 = -2;
(t + 1)3 − 2 – искомая функция. 3
352. а) f(x) = 3x2 – 2x + 4; F(x) = x3 – x2 + 4x + C – общая первообразная F1(-1) = 1: -1 – 1 – 4 + C1 = 1, C1 = 7; F1(x) = x3 – x2 + 4x + 7 – первая первообразная; F2(0) = 3: C2 = 3; F2(x) = x3 – x2 + 4x + 3 – вторая первообразная, F1(x) – F2(x) = 4 – следовательно график F1(x) расположен выше графика F2(x); б) f(x) = 4x – 6x2 + 1; F(x) = 2x2 – 2x3 + x + C – общая первообразная F1(0) = 2: C1 = 2; F1(x) = 2x2 – 2x3 + x + 2 – первая первообразная,
13
www.5balls.ru
F2(1) = 3: 2 – 2 + 1 + C2 = 3, C2 = 2; F2(x) = 2x2 – 2x3 + x + 2 – вторая первообразная т.к. F2(x) – F1(x) = 0 – отсюда следует, что графики F1(x) и F2(x) совпадают; в) f(x) = 4x – x3; F(x) = 2x2 −
x4 + C – общая первообразная; 4
F1(2) = 1: 2⋅4 – 4 + C1 = 1, C1 = -3; F1(x) = 2x2 −
x4 − 3 – первая первообразная; 4
F2(-2) = 3: 2⋅4 – 4 + C2 = 3, C2 = -1; F2(x) = 2x2 −
x4 − 1 – вторая первообразная; 4
F1(x) – F2(x) = -2 – таким образом график F1(x) расположен ниже графика F2(x); г) f(x) = (2x + 1)2; F(x) = F1(-3) = -1: − F1(x) =
(2x + 1)3 + C – общая первообразная; 6
5 125 + C1 = −1, C1 = 19 ; 6 6
(2 x + 1) 3 5 + 19 – первая первообразная; 6 6 5 1 1 27 + C2 = 6 , C2 = 1 ; 6 3 3 6
F2(1) = 6 : F2(x) =
(2 x + 1) 3 5 + 1 – вторая первообразная; 6 6
F1(x) – F2(x) = 18 – отсюда следует, что график F1(x) расположен выше графика F2(x).
§ 8. Интеграл 29. Площадь криволинейной трапеции 353. а) y(x) = x2; y(x) =
x3 33 ; S = y(3) – y(0) = = 9; 3 3
14
www.5balls.ru
б) y = cosx; y =sinx; π 2
π 2
S = y − y(0) = sin − sin 0 = 1; в) y = sinx; y(x) = –cosx; S = y(π) – y(0) = 1 + 1 = 2; г) y(x) = −
1 1 – первообразная для функции y = ; x x2
S = y(2) – y(1) = −
1 1 − (−1) = . 2 2
354. а) y(x) =
x4 3 + x - первообразная для функции y = x + 1; 4
S = y(2) – y(0) =
24 + 2 = 6; 4
б) y(x) = x – 2cosx – первообразная для функции y = 1 + 2sinx; π 2
S = y − y ( 0 ) = в) y(x) = 4x −
π π π − 2 cos + 2 cos 0 = + 2; 2 2 2
x3 – первообразная для функции y = 4 – x2; 3
y = 0 при x = ±2, поэтому S = y(2) – y(-2) = 2 ⋅ 4 ⋅ 2 −
1 2
23 3
= 10 2 ; 3 1 2
г) y(x) = x + sin x – первообразная для функции y = 1 + cos x; π 2
π 2
π 2
1 2
π 2
S = y − y − = 2 + sin = 1 + π. 355. а) y(x) =
( x + 2) 3 – первообразная для функции y = (x + 2)2; 3
y = 0 при x = 2; x = –2 при y = 4, поэтому S = y(0) – y(-2) =
23 8 2 = =2 ; 3 3 3
15
www.5balls.ru
б) y(x) = −
1 1 + x – первообразная для функции y = + 1; x +1 ( x + 1) 2
S = y(2) – y(0) = − в) y(x) = x2 −
2 1 + 2 +1 = 2 ; 3 2 +1
x3 – первообразная для функции y = 2x – x2; функция 3
y = 0 при x = 0, x = 2, поэтому S = y(2) – y(0) = 4 − г) y(x) = −
1 8 =1 ; 3 3
( x − 1) 4 – первообразная для функции y = -(x – 1)3; 4
ограничена на [0;1] → S = y(1) – y(0) =
(−1) 4 1 = . 4 4
356.
y = 3sin x +
3π 3π ; а) y(x) = -3cos x + ; 4 4
3π 3π 3π + 3 cos 0 = 3; = −3 cos − y − 2 4 4
S = y
y = 2cos2x; б) y(x) = sin2; S = y − y − = sin
π π − sin − = 2; 2 2
1 2
1 2
π 4
π 4
y = sin x − ; в) y(x) = -cosx − x ; π π π 5π 5π 5π π − + cos + = 3− ; − y = − cos 6 12 6 12 3 6 6
S = y
y = 1 – cosx; г) y(x) = x – sinx; π 2
π 2
S = y − y − =
π π π π − sin + + sin − = π − 2. 2 2 2 2
30. Формула Ньютона – Лейбница
16
www.5balls.ru
357. 2
x5 2
а) ∫ x 4 dx =
| =
5 −1
−1
3 32 1 33 + = =6 ; 5 5 5 5
π 2
π 2
0
0
б) ∫ cos xdx = sin x | = sin
π − sin 0 = 2
= 1 − 0 = 1; 3
x 4 3 81 1 80 |= − = = 20; 4 1 4 4 4
в) ∫ x 3dx = 1
г)
π 4
π 4
dx
π
∫ cos 2 x = tgx 0| = tg 4 − tg0 =
0
= 1 − 0 = 1.
358. 2
dx
а) ∫
1 ( 2 x + 1) π
2
=−
2 1 1 1 1 |= − = ; 2(2 x + 1) 1 6 10 15
x 2
б) ∫ 3 cos dx = 6 sin 0
10
в)
dx
∫ x2
=−
1
xπ π | = 6 sin − 6 sin 0 = 6 − 0 = 6; 20 2
1 10 1 | = − + 1 = 0,9; x 1 10
π 2
π
4
4
2 1 1 1 π 1 г) ∫ sin 2xdx = − cos 2x | = − cos π − cos = − (−1) = . 2 2 2 2 2 π π
359. π 4
π
π 4
1 1 4 dx 1 π а) ∫ = tgx | = tg = 1; ∫ dx = x | = 1; т.к. 1 = 1, то ∫ = ∫ dx; 2 2 4 0 0 0 cos x 0 0 0 cos x
dx
π 3
π 3
0
0
π 3
б) ∫ sin xdx = − cos x | = − cos + cos 0 = 1 − 1 4 dx
1 4
1 16
16
∫
1 1 = ; 2 2 π
1
3 4 dx 1 1 1 1 1 1 = , то ∫ sin xdx = ∫ =2 x | =2 −2 = 1 − = ; т.к. ; 2 2 4 16 2 2 x 1 1 x 0 16
17
www.5balls.ru
π 2
π 2
0
0
π
в) ∫ cos xdx = sin x | = sin − sin 0 = 1; 2 π 2
33
0
0
т.к. 1 = 1, то ∫ cos xdx = ∫ x 2 dx; 1
1
2
0
0
0
г) ∫ (2x + 1)dx = x 2 + x | = 2; ∫ ( x 3 − 1)dx = 1
2
0
0
∫ (2x + 1)dx = ∫ ( x
3
2 x4 − x | = 4 − 2 = 2; т.к. 2 = 2, то 4 0
− 1)dx.
360. а) SACODE = SACO + SOED = 2SOED т.к. функция y = x4 четная; 1
SACODE = 2 ∫ x 4 dx = 2 ⋅ 0
x5 1 2 |= ; 5 0 5
б) SAFEO = SACDE – SACOED = 2⋅– =
2 = 5
8 3 =1 ; 5 5
4
4
1 3
в) SAOCDЕ = ∫ ( x 2 − 4x + 5)dx = x 3 − 2x 2 + 5x | = 0
0
1 3
г) SAED = SAOCD – SAOCDE = 20 – 9 =
64 28 1 − 32 + 20 = =9 ; 3 3 3
32 2 = 10 . 3 3
18
www.5balls.ru
361. 1
а) SABO = ∫ (1 − x 3 )dx = x − 0
x4 1 1 3 | = 1− = ; 4 0 4 4
б) SABC = SADEC – SBDEC =2 – = ∫ (2 − x 3 )dx − 2 ⋅ 1 =2x −
1 1 +2– =4–2= 4 4
x4 1 | − 2 = 2; 4 −1
−1
x3
−1
в) S ABCD = ∫ (− x 2 − 4x )dx = − − 2x 2 | = 3 −3 −3 1 1 = − 2 + (−9 + 18) = 7 ; 3 3
г) S ABCDE = S ANMDE − S BNMC = −1
=
∫ (− x
2
− 4 x )dx − 2 = 7
−3
1 1 −2=5 ; 3 3
362. 2π
а)
x
x 2π
∫ sin 3 dx = −3 cos 3 −|π = −3 cos
−π
2π 1 π π − cos = 6 cos = 6 ⋅ = 3; 3 3 2 3
19
www.5balls.ru
2
б)
∫
−2
3π
в)
∫
2x + 5
dx
0 cos 6
г)
∫
−2
2
dx
2 x
= 2 x + 5 | = 9 − 1 = 2; −2
= 9tg
9
π x 3π | = 9 tg = 9 3 ; 9 0 3 6
dx x+3
= 2 x + 3 | = 2( 9 − 1) = 4. −2
363. 2π 3
2π
2π
2 3 x x x x 3 а) ∫ sin + cos dx = ∫ 1 + sin dx = x − 2 cos | = 4 4 2 2 0 0 0
2π 2π π 2π = − 2 cos + 2 cos 0 = −1+ 2 = + 1; 3 3 3 3 2
б) ∫ (1 + 2x ) 3 dx = 0
(1 + 2 x ) 4 2 5 4 1 624 − = = 78; |= 8 8 8 8 0
π 12
π
12 π 1 π π 1 1 в) ∫ (1 + cos 2x )dx = x + sin 2x | = + sin = + ; 2 12 2 6 12 4 0 0
4
г) ∫ x + 1
x x
2 4 dx = x + 2 x | = 16 + 2 4 − 1 − 2 = 19 = 9 1 . 2 2 2 2 2 1
364. а) S AED = S BECD − S ABCD = 2
= 1 ⋅ 8 − ∫ x 3dx = 8 − 1
1 3 x4 2 | = 8−3 = 4 ; 4 4 4 1
20
www.5balls.ru
б) S AED = S ABCDE − S ABCD = π 3
π
3 2π 2π = ∫ 2 cos xdx − 1 ⋅ = 2 sin x | − = 3 π 3 π −
−
3
3
2π ; =2 3− 3
в) x2 – 2x + 4 = 3, x2 – 2x + 1 = 0, (x – 1)2 = 0, x = 1; S ABE = S ACDE − S BCDE = 1
= ∫ ( x 2 − 2 x + 4)dx − 2 ⋅ 3 = −1
=
1 2 2 x3 − x 2 + 4x | − 6 = 8 − 6 = 2 ; 3 3 3 −1
г) S ADE = S ABCDE − S ABCD =
=
5π 6
1 5π π ∫ sin xdx − 2 ⋅ 6 − 6 = π 6 5π 6
= − cos x | − π 6
= 3−
π π 5π π = cos − cos − = 6 3 3 6
π . 3
21
www.5balls.ru
365. а) 4x – x2 = 4 – x; x2 – 5x + 4 = 0; x = 4; x= 1; S ADC = S ABCD − S ABC = 4
= ∫ (4x − x 2 )dx − 1
x3 4 9 3⋅3 =2 x 2 − |− = 3 1 2 2
9 9 1 9 64 = 32 − − 2 − − = 9 − = ; 2 2 3 2 3
б)
16 x2
3
= 2x ; x = 8; x = 2;
SOADC = SOAB + S ABCD = = 4−
2 ⋅ 4 4 16dx +∫ = 2 2 2 x
16 4 | = 4 − 4 + 8 = 8; x 2
S ADE = SOEC − SOADC =
4⋅8 − 8 = 8; 2
в) x2 = 2x при x = 0; 2. SOAB = SOAC − SOBAC =
=4−
2⋅4 2 2 − ∫ x dx = 2 0
1 8 4 x3 2 | = 4− = =1 ; 3 3 3 3 0
22
www.5balls.ru
г) 6 + x – x2 = 6 – 2x; x2 – 3x = 0; x = 0; x = 3. 3
S ABC = SOABC − S AOC = ∫ (6 + x − x 2 )dx − 0
3 ⋅ 6 x 2 x 3 3 9 9 − = 6x + − | − 9 = 18 + − 9 − 9 = . 2 2 3 0 2 2
366. а) x2 – 4x + 4 = 4 – x2 2x2 – 4x = 0; x2 – 2x = 0; x = 2; x = 0. 2
S ACBD = S AOBD − S AOBC = ∫ (4 − x 2 )dx − 0
2
2
0
0
− ∫ ( x 2 − 4 x + 4)dx = ∫ (4 x − 2 x 2 )dx = 2 x 2 −
=8−
2x 3 2 |= 3 0
2 16 8 = =2 . 3 3 3
б) x2 – 2x + 2 = 2 + 6x – x2 2x2 – 8x = 0; x2 – 4x = 0; x = 0; x = 4. S ABCE = SOABCD − SOAECD = = ∫ (8x − 2 x 2 )dx = 4 x 2 −
= 4 ⋅ 16 −
2x 3 4 |= 3 0
1 128 64 = = 21 . 3 3 3
23
www.5balls.ru
в) x2 = 2x – x2 x2 – x = 0; x = 0; x = 1. SOAB = SOABD − SOBD = 1
= ∫ (2x − 2x 2 )dx = x 2 − 0
2x 3 1 2 1 | = 1− = . 3 0 3 3
г) x2 = x3 x2(1 – x) = 0; x = 0; x = 1. 1
1
0
0
SOAB = SOAC − SOCAB = ∫ x 2 dx − ∫ x 3dx = 1 x3 x 4 1 1 1 | = − = 1 . = ∫ ( x 2 − x 3 )dx = − 3 4 0 3 4 12 0
367. y = 8x – 2x2; xв =
−8 = 2 ; yв = 16 – 8 = 8. −2
т.А(2;8). y′(x) = 8 – 4x, y′(2) = 0; y = y(2) + y′(2)(x – 2) = 8 – уравнение касательной 2
SODA = SODAC − SOAC = 2 ⋅ 8 − ∫ (8x − 2 x 2 )dx = 0
2x 3 2 2 ⋅8 1 = 16 − 4 x 2 − | = 16 − 16 + =5 . 3 0 3 3
368. f(x) = 8 – 0,5x2; f′(x) = -x, f′(-2) = 2; f(–2) = 6; f(x) = f(-2) + 2(x + 2) = 2x + 10 – уравнение касательной. f(1) = 2⋅1 + 10 = 12;
24
www.5balls.ru
SCDE = S FCDB − S FCEB = 3 ⋅ 6 +
1 6
3⋅ 6 1 0,5x 3 − ∫ (8 − 0,5x 2 )dx = 27 − 8x − 2 3 −2
1 | = −2
8 6
= 27 − 8 − + − 16 + = 28,5 − 24 = 4,5.
369. b
b
a
a
а) ∫ f ( x )dx = F(b) − F(a ) и ∫ g( x )dx = G (b) − G (a ), где F(x) и G(x) – первообразные на [a;b] для f(x) и g(x) соответственно; b
b
∫ (f (x ) + g(x ))dx = (F(x ) + G(x )) a| = F(b) + G (b) − F(a ) − G(a ) =
a
b
b
a
a
= [F(b) − F(a )] + [G (b) − G (a )] = ∫ f ( x )dx + ∫ g ( x )dx; b
б) k ∫ f ( x )dx = k[F(b) − F(a )], где F(x) – первообразная для f(x) на [a;b]; a
b
b
b
a
a
a
∫ kf ( x )dx = [kf ( x )] | = k[F(b) − F(a )] = k ∫ f ( x )dx, где k – const. 31. Применение интеграла
370.
25
www.5balls.ru
1
1
x5
а) V( x ) = π∫ ( x 2 + 1) 2 dx = π∫ ( x 4 + 2x 2 + 1)dx = π 0
5
0
+
1 2x 3 + x | = 0 3
13 1 2 = π + + 1 = 1 π; 15 5 3 4
б) V( x ) = π ∫ ( x ) 2 dx = π ⋅ 1
1
в) V( x ) = π ∫ ( x ) 2 dx = π ⋅ 0
1 1 x2 4 | = π 8 − = 7 π; 2 2 2 1 x2 1 π |= ; 2 0 2
г) y = 1 – x2 = 0; x2 = 1; x = ±1; 1 1 2x 3 x 5 1 V( x ) = π ∫ (1 − x 2 ) 2 dx = π ∫ (1 − 2x 2 + x 4 )dx = π x − + | = 3 5 −1 −1 −1
= 2π ⋅
1 8 16π = = 1 π. 15 15 15
371. 1 3
1 3
а) V = Vконуса – V0, где Vконуса = πr 2 h = π , т.к. r = h = 1. 1
V0 = π ∫ x 4 dx = π ⋅ 0
1 1 2 x5 1 1 | = x; V = π − π = π. 3 5 15 5 0 5
1
1
1
1
0
0
0
0
б) V = π∫ ( x + 3) 2 dx − π∫ (2x ) 2 dx = π∫ ( x 2 + 6x + 9)dx −π∫ 4x 2 dx =
26
www.5balls.ru
1
1
0
0
= π∫ (6x + 9 − 3x 2 )dx = π(3x 2 + 9 x − x 3 ) | = π(3 ⋅ 1 + 9 − 1) = 11π.
2
2
2
2
0
0
0
0
в) V = π∫ ( x + 2) 2 dx − π ∫ dx = π∫ ( x 2 + 4x + 4)dx − πx | = x3 2 2 8 = π + 2 x 2 + 4 x | − 2π = π + 8 + 8 − 2π = 16 π. 3 0 3 3
1
1
0
0
г) V = π∫ ( x ) 2 dx −π∫ x 2 dx = π ⋅
x3 1 π π π x2 1 |= − = . |− π 3 0 2 3 6 2 0
372.
27
www.5balls.ru
а) Пусть |OB| = x, тогда S(x) = πy2 = π(R2 – x2), S(x) – площшадь сечения шара, x ∈ [R – H; R].
R
∫ π(R
V=
2
R
− x 2 )dx = πR 2 x | − π R −H
R −H
= πR 2 H −
[
[
]
x3 R π | = πR 2 H − R 3 − (R − H) 3 = 3 R −H 3
]
π πH 3 3HR 2 − 3RH 2 + H 3 = πRH 2 − . 3 3
б) Пусть |OD| = x, S(x) – площадь сечения конуса,
x ∈ 0;
HR − r . R
S( x ) = πy 2 = π
R2 H2
(H − x ) 2 . При этом x меняется в пределах 0 ≤ x ≤
H(R − r ) . R
Т.о., H ( R −r ) R
∫
V=
0
π
R2 H2
(H − x ) 2 dx =
H ( R −r ) R
∫
πR 2 dx −
H( R −r ) R 2πR 2
0
∫
0
H
⋅ xdx +
H(R − r ) H(R − r ) H(R − r ) R R R2 2 πR 2 2 R πR 2 x 3 + ⋅ x dx = πRH(R − r ) − x | + | = ∫ 2 2 3 H H H 0 0 0
=
πH 2 (R + Rr + r 2 ). 3
373. F x
F = k⋅x, k = ; при F = 2H x = 0,01 м: k = 0,04
∫ 200xdx = 100x
A=
0
2
2 = 200; 0,01
0,04
| = 0,16 Дж.
0
374. F x
k= ;
28
www.5balls.ru
при F = 4H x = 0,08 м: k = 0,08
∫ 50xdx = 25x
A=
2
4 = 50; 0,08
0,08
0
| = 0,16 Дж.
0
375. F=−
b
γq r
(по закону Кулона). Т.к. работа равна A = ∫ F(r )dr, то
2
b
A = ∫− a
a
γq r2
1 1 a−b dr = γq − = γq ; b a ab
а) a < b, q < 0: A = γq
(a − b) γ q = (b − a ) > 0; ab ab
б) b < a, q > 0: A = γq
(a − b ) > 0. ab
376. Выделим на расстоянии x от верхнего основания плотины полоску толщиной ∆x. Тогда сила давления воды на эту полоску равна ∆P = ρgxy∆x. Т.к. ∆ABF подобен ∆NBM, то AF NM
=
FB MB h
или
x a−b h = , y = b + (a – b) 1 − , y−b h−x h
x
bx 2
+ т.е. P = ∫ ρgx b + (a − b )1 − dx = ρg 2 h 0
(a − b ) x 2 x3 h − (a − b ) | = 2 3h 0
h 2 a h 2 a h 2 b ρgh 2 (a + 2b) = = ρg − + . 3 3 6 2
377.
29
www.5balls.ru
Пусть ∆x =
h – толщина слоя воды, находящегося на расстоянии x от n
нижнего основания. Тогда работа, затрачиваемая на подъем этого слоя, равна ∆А = ρg∆V⋅x = ρg⋅πr2∆x⋅x. Полная работа равна n
h
0
0
A = ∑ ρgπr 2 x∆x. Если n → ∞, то A = ∫ ρgπr 2 xdx = ρgπr 2 ⋅
x 2 h ρgπr 2 h 2 | = . 2 0 2
378. Разобьем шар на n слоев толщиной ∆x =
2R каждый. Выделим один из n
таких слоев, находящийся на расстоянии x от т.А. Тогда работа против сил выталкивания при погружении этого слоя на глубину x есть ∆А = ρg∆V⋅x. Пусть |OB| = a, тогда y2 = R2 – a2 = R2 – (x – R)2 и
∆V ≈ πy2∆x = π R 2 − ( x − R ) 2 ∆x = π⋅x(2R – x)∆x, тогда A=
2R
3
4 2R
4
2x R x 2 3 2 4 16R 4 ∫ ρgπx (2R − x )dx = ρgπ 3 − 4 | = ρgπ 3 ⋅ 8R − 4 = 4 ρgπR . 0 0
379. Разобьем стержень на n равных цилиндров, каждый из которых имеет 1 n
высоту ∆x = .
30
www.5balls.ru
∆E =
mv 2 x + ∆x , где m = ρ∆V = ρS∆x – масса цилиндра, v = ϖ ⋅ – средняя 2 2
линейная скорость точек цилиндра. Так как ∆E ≈ ρS∆x ⋅
∆x → 0, то v ≈ ωx. Т.о. x
l ω2 x 2 ω 2 x 2 ρSω 2 x 3 l ρSω 2 l 3 и E = ∫ ρSdx ⋅ |= . = 2 2 2 3 0 6 0
380. Центр масс кругового конуса лежит на его оси (ОА), объем ∆V, находящийся на расстоянии x от вершины конуса, равен ∆V ≈ πy2⋅∆x. ∆ABO ∼ ∆ANE:
x y r r2 2 = , y = ⋅ x; тогда ∆V ≈ π x ∆x. h r h h2 h
h
Координата ценра масс x`=
0 h
∫ ρdV
0
πr 2 3 x dx 2 0 h
ρ∫
∫ ρxdV =
h
ρ∫
πr 2
0 h
2
h
∫x
dx
= 0 h
dx
3
∫x
= 2
dx
0
x4 h | 4 0 x3 h | 3 0
=
3 h. 4
ГЛАВА IV. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ § 9. Обобщение понятия степени 32. Корень n-й степени и его свойства 381. а) 4 16 = 2, 24 = 16 и 2 > 0;
б) 7 − 1 = −1, (-1)7 = -1;
31
www.5balls.ru
в) 10 1024 = 2, 210 = 1024 и 2 > 0;
г) 5 243 = −3, (-3)5 = -243.
382. а) 17 1 = 1, 117 = 1;
в) 3 − 343 = −7, (-7)3 = -343;
б) 6 64 = 2, 26 = 64 и 2 > 0;
г) 19 0 = 0, 019 = 0.
383. а) 3 − 27 = 3 (−3) 3 = −3;
б) 4 81 = 4 3 4 = 3;
в) 5 − 32 = 5 (−2) 5 = −2;
г) 3 64 = 3 4 3 = 4.
384. 4 б) 4 81 = 4 3 = 3 ;
5 а) 5 1 = 5 1 = 1 ;
32
2
2
625
3
2
5
4 г) 4 81 = 4 3 = 3 .
в) 3 − 27 = 3 − 3 = − 3 ; 8
5
256
2
4
4
385. а) x3 + 4 = 0; x = 3 − 4 = −3 4 ;
б) x6 = 5; x = ± 6 5 ;
в) x3 = 4; x = 3 4 ;
г) x4 = 10; x = ± 4 10 .
386. а) x10 – 15 = 0; x10 = 15;
б) x7 + 128 = 0; x7 = -128;
x = ± 10 15 ;
x = 7 − 128 = −2;
в) x6 – 64 = 0; x6 = 64;
г) x5 = 3; x = 5 3 .
x1,2 = ±2; 387. а) 16x4 – 1 = 0; x4 = x1 = ± 4
1 ; 16
б) 0,01x3 + 10 = 0; x3 = -1000; x = 3 − 1000 = −10;
1 1 =± ; 16 2
32
www.5balls.ru
в) 0,02x6 – 1,28 = 0; x6 = 64;
3 4
3 4
г) 12 − x 2 = 0; x2 = 17;
x = ± 6 64 = −2 ;
x = ± 17 . 388.
( )
3 а) 3 x = −0,6; 3 x = (− 0,6)3 ;
б) 4 x = 3;
(4 x )4 = 34 ; x = 81;
x = -0,216;
в) x = 5;
( x )2 = 52 ; x = 25;
г) 7 x = −1;
(7 x )7 = (− 1)7 ; x = -1.
389.
( )5 = (− 2)5 ⋅ (5 2 )5 = −32 ⋅ 2 = −64; 6 6 г) (− 6 2 ) = (− 1)6 (6 2 ) = 2.
( )4 = (− 1)4 ⋅ (4 11 )4 = 11 3 в) (3 7 ) = 3 7 3 = 7;
б) 25 − 2
а) − 4 11
390. а) 4 16 ⋅ 625 = 4 16 ⋅ 4 625 = 2 ⋅ 5 = 10;
б) 5 32 ⋅ 243 = 5 32 ⋅ 5 243 = 2 ⋅ 3 = 6;
в) 3 8 ⋅ 343 = 3 8 ⋅ 3 343 = 2 ⋅ 7 = 14;
г) 4 0,0001 ⋅ 16 = 4 0,0001 ⋅ 4 16 = 0,1 ⋅ 2 = 0,2.
391. а) 5 160 ⋅ 625 = 5 32 ⋅ 5 55 = 2 ⋅ 5 = 10; б) 3 24 ⋅ 9 = 3 8 ⋅ 27 = 3 8 ⋅ 3 27 = 2 ⋅ 3 = 6; в) 4 48 ⋅ 27 = 4 16 ⋅ 81 = 4 16 ⋅ 4 81 = 2 ⋅ 3 = 6; г) 3 75 ⋅ 45 = 3 125 ⋅ 27 = 3 125 ⋅ 3 27 = 5 ⋅ 3 = 15.
392. а) 3 9 ⋅ 6 9 = 3 9 ⋅ 3 3 = 3 27 = 3; б) 7 16 ⋅ 7 − 8 = 7 − 128 = −2; в) 5 27 ⋅ 5 9 = 5 243 = 3; г) 3 − 25 ⋅ 6 25 = 3 − 25 ⋅ 3 5 = 3 − 125 = −5. 393.
33
www.5balls.ru
а)
в)
3 − 625 3 −5 3 243 3 −9
= 3 125 = 5;
=3−
б)
243 3 = − 27 = −3; 9
г)
4 128 48 6 128 62
=4
128 4 = 16 = 2; 8
=6
128 6 = 64 = 2. 2
394. а) 6 =
6 64 4 625 3 − 100 64 1 3 19 : −3 : ⋅ 4 39 = ⋅ = 3 27 100000000 16 27 6 100000000 4 16
2 3 10000
б) 5 1
⋅
5 3 15 15 ⋅ = =− = −0,015; 2 3 − 100 3 − 1000000 1000
59 5 243 1 11 27 9 5 1 3 1 ⋅ 4,5 − =5 ⋅ − = − = − = 1; 5 288 5 32 16 16 2 32 2 2 2
в) 5 −
243 3 17 5 − 243 3 − 125 − 3 (−5) 5 1 ⋅ −4 = ⋅ = ⋅ = =1 ; 5 1024 3 27 1024 27 4 3 4 4 3 8
1 2
г) 4 3 ⋅ 1 +
45 4 80
=4
4 81 27 ⋅ 3 4 5 1 3 1 + = +4 = + = 2; 4 8⋅2 80 16 2 2 16
395. а) 1 < 4 2 < 2, т.к. 14 < 2 < 24; 1,1 < 4 2 < 1,2, т.к. 1,14 < 2 < 1,24; 1,18 < 4 2 < 1,19, т.к. 1,184 < 2 < 1,194;
4 2 = 1,18...;
б) 1 < 3 5 < 2, т.к. 13 < 5 < 23; 1,7 < 3 5 < 1,8, т.к. 1,73 < 5 < 1,83; 3 3 1,70 < 3 5 < 1,71, т.к. 1,7 < 5 < 1,71 ; 3 5 = 1,70...;
в) 2 < 7 < 3, т.к. 22 < 7 < 32; 2,6 < 7 < 2,7, т.к. 2,62 < 7 < 2,72; 2
2
2,64 < 7 < 2,65, т.к. 2,64 < 7 < 2,65 ;
7 = 2,64...;
г) 1 < 3 3 < 2, т.к. 13 < 3 < 23; 1,4 < 3 3 < 1,5, т.к. 1,43 < 3 < 1,53; 3 3 1,44 < 3 3 < 1,45, т.к. 1,44 < 3 < 1,45 ; 3 3 = 1,44....
396. а) 3 10,17 ≈ 2,17;
б) 71 ≈ 8,43;
в) 13,21 ≈ 3,63;
г) 3 11 ≈ 2,22.
34
www.5balls.ru
397. а) 9 13,7 ≈ 1,34;
б) 6 10 ≈ 1,47;
г) 8 13 ≈ 1,38.
в) 4 2,8 ≈ 1,29;
398. а) 5 0,2 > 0, т.к. 0,2 > 0 и 5 0 = 0;
б) 12 0,4 < 12
в) 7 1,8 > 1, т.к. 1,8 > 1 и 7 1 = 1;
24 25 5 5 , т.к. 0,4 = < = ; 60 60 12 12
г) 8 0,2 < 8 0,3 , т.к. 0,2 < 0,3.
399. 2
2
а)
1 1 1 1 1 1 1 1 13 2 = 3 ⋅ 3 2 = 3 ; 6 = 3 ; 3 < 3 , т.о. 3 2 < 6 ; 2 4 2 2 4 2 8 2 2
б) 18
3 300 301 3 18 < 0,43 , т.к. = < = 0,43; 7 700 700 7
в) 5 2 < 5 3 , т.к. 2 < 3; г) 8 0,8 < 1, т.к. 0,8 < 1 и 1 = 8 1. 400. а) 0,3 = 10 0,35 = 10 0,00243 ;
5 0,05 = 10 0,05 2 = 10 0,0025 ;
10 0,0025 > 10 0,00243 ,
0,3 < 5 0,05 ;
б) 3 4 = 15 4 5 = 15 1024 ; в) 3 7 = 6 7 2 = 6 49 ;
т.о.
5 8 = 15 83 = 15 512 ; 15 1024 > 15 512 ,
6 49 > 6 40 ,
т.о.
т.о.
3 4 > 5 8;
3 7 > 6 40 ;
г) 5 = 8 5 4 = 8 625 ; 8 625 > 8 500 , т.о.
5 > 8 500 .
401. а) 3 − 0,4 = −15 0,4 5 = −15 0,01024 ; 5 − 0,3 = −15 0,33 = −15 0,009 ; 15 0,01024 < 15 0,009 ,−15 0,01024 > −15 0,009 ; т.о. 3 − 0,4 > 5 − 0,3 ;
б) 5 − 5 = −5 5 = −15 53 = −15 125 ;
3 − 3 = −3 3 = −15 35 = −15 243 ;
− 15 125 > 15 243 , т.о. 5 − 5 > 3 − 3 ;
35
www.5balls.ru
в) 3 − 2 = −3 2 > −3 4 = 3 − 4 ; г) 3 − 5 = −15 55 = −15 3125 ;
5 − 3 = −15 33 = −15 27 ;
15 3125 > 15 27 , − 15 3125 < −15 27 , 3 − 5 < 5 − 3 .
402. а) 6 64a 8 b11 = 6 (2ab) 6 ⋅ 6 a 2 b 5 = 2ab6 a 2 b 5 ; б) 5 − 128a 7 = −5 (2a ) 5 ⋅ 5 4a 2 = −2a 5 4a 2 ; в) 4 6a12 b 6 = 4 (a 3 b) 4 ⋅ 4 6b 2 = a 3 b4 6b 2 ; г) 3 54a10 = 3 (3a 3 ) 3 ⋅ 3 2a = 3a 3 3 2a . 403. а) − b 4 3 = −4 b 4 ⋅ 4 3 = − 4 3b 4 ; в) a 4 7 = 4 a 4 ⋅ 4 7 = 4 7a 4 ;
б) ab8
5b 3
5b 3 8 8 = a 8 b8 ⋅ 8 = 5ab11 ; a7 a7
г) − ab3 − 4 = 3 − a 3 b 3 ⋅ 3 − 4 = 3 4a 3 b 3 .
404. а) a 2 = a , a = −a справедливо только при а ≤ 0, т.о.
a 2 = −a при а ≤ 0;
б) 3 a 3 = a при любом а; в) 5 a 5 = a , a = a справедливо только при а ≥ 0, т.о. г) 4 a 4 = a , a = a справедливо только при а ≥ 0, т.о.
5 5
a
4 4
a
= a при а ≥ 0; = a при а ≥ 0.
405. а) 3 a 3 = a прилюбом а, а = -а при а = 0, значит 3 a 3 = −a при а = 0; б) 6 a 6 = a , a = −a при а ≤ 0, значит 6 a 6 = −a при а ≤ 0; в) 4 a 4 = a при любом а;
36
www.5balls.ru
г) 7 a 7 = a при любом а. 406. 3
а)
б)
7− 5 a− 2 a+ 2
6 +1
a − ( 2) =
=
2
2
=
3( 7 + 5 ) ; 2
a2 − 2 2 + 2 a2 − 2
5− 2 ( 5 ) 2 − ( 2 )3
=
;
5− 2 ; 3
( 6 + 1) 2 6 + 1 + 2 6 7 + 2 6 . = = 5 5 5
=
6 −1
( 7 ) − ( 5)
2
5+ 2
г)
2
(a − 2 ) 2
=
1
в)
3( 7 + 5 )
=
407. а)
б)
в)
a 32
=
3
a ⋅ 22
a3 2 ; 2
=
3 3
2
x− x 2 x 4
=
x4 4
x ( x − 1)
=
=
2 x
4
4 43 4 4
=
4 64
x 4
x
=
x −1 ; 2 2 2 ; x
г)
5 35 5
=
5
5 54 5 5
=
5 625
3 5
3
.
408. а)
в)
2 34
3 4 12
=
3
2 42 3 3
4
=
4
=
13 16 ; 2 4
3 ⋅ 2 2 ⋅ 33 4 4 4 4
2 ⋅ 3
=
б)
6 5 27 ⋅ 25
=
5
5
6 ⋅ 32 ⋅ 53
1 34 4 ⋅ 27 = 4 108 ; 2 6
5 5 5 5
3 ⋅ 5
г)
10 58
=
=
6 5 9 ⋅ 125 ; 15 5
10 2 2 5 5
2
=
10 5 4 = 55 4 . 2
409. а) 12 253 = 12 5 6 = 5 ; б) 3
1 1 14 3 14 2 = 0,54 8 ; 2 =34 =4 = 8 2 2 2
37
www.5balls.ru
в) 8
16 3 8 212 ⋅ 3 4 28 4 4 2 = = 6; 2 ⋅3 = 3 81 3 38
г) 4
1 1 12 5 1 12 13 12 = 5 ⋅ 2 6 ⋅ 212 = 12 320 . 5 ⋅ 49 = 5 = 12 2 4 4 4 43
410. а) 3 x − 56 x + 6 = 0;
6 x = t;
t ≥ 0;
2
б) x + 2 x = 2;
4 x = t;
t ≥ 0;
2
t – 5t + 6 = 0; t1 = 2, t2 = 3;
t + t – 2 = 0; t1 = -2, t2 = 1;
6 x = 2, x
= 26 = 64;
4 x = −2
x = 36 = 729.
4 x = 1,
6 x = 3,
в) x − 34 x + 2 = 0;
4 x = t;
t ≥ 0;
- не имеет решений;
x = 1.
г) 3 x − 56 x = 6;
6 x = t;
t ≥ 0;
t2 – 3t + 2 = 0; t1 = 1, t2 = 2;
t2 – 5t – 6 = 0; t1 = -1, t2 = 6;
4 x = 1,
6 x = −1 -
не имеет решений;
6 x = 6, x
= 66 = 46656.
x = 1;
4 x = 2, x
= 24 = 16.
411. а)
+
-
+
−43
б)
11 7
x11 ≥ 7; x = 11 7 ;
[
)
Ответ: − 4 3 ; 4 3 . в)
+
)
Ответ: 11 7 ; ∞ . -
− 10 2
+
г)
-
10 2
) (
+ 35
x10 > 2; x1 = − 10 2 , x2 = 10 2 ;
(
+
43
x4 < 3; x1 = − 4 3 , x2 = 4 3 .
(
-
x3 ≤ 5; x = 3 5 ;
)
]
(
Ответ: − ∞;−10 2 ∪ 10 2 ; ∞ .
Ответ: − ∞;−3 5 .
412. а)
-
+ -343
б)
0
+ 6
38
www.5balls.ru
3 x < −7;
x = (-7)3 = -343;
Ответ: (-∞;-343). в)
-
+
6 x ≥ 2;
x = 64;
Ответ:
[64; ∞ ).
г)
-
8 3 x > 2;
0 4 x ≤ 3;
x = 8; Ответ: (8;∞).
+ 81
x = 81; Ответ: [0; 81].
413. а) 6 a 6 = a = −a , где а ≤ 0;
в) 5 а 5 = a;
б) 4 а 4 = a = a , где а ≥ 0; 414. а) 3 a 3 − a 2 = a − a = a + a = 2a , где а ≤ 0; б) 4 a 4 + 27 a 7 = a + 2a = a + 2a = 3a , где а ≥ 0;
в) 5 a 5 − 6 a 6 = a − a = a − a = 0, где а ≥ 0; г) 3 a 3 + 38 a 8 = a + 3 a = a − 3a = −2a , где а ≤ 0. 415. а) 3 10 + 73 ⋅ 3 10 − 73 = 3 10 2 − ( 73 ) 2 = 3 27 = 3; б)
3 ( 4 + 17 ) 2 3
+ 17 =
4 − 17
3 ( 4 + 17 ) 3 3 4 2 − ( 17 ) 2
(
)
+ 17 = − 4 + 17 + 17 = −4;
в) 4 9 − 65 ⋅ 4 9 + 65 = 4 9 2 − ( 65 ) 2 = 4 16 = 2; г) 3 − 5 ⋅ 3 + 5 = 3 2 − ( 5 ) 2 = 4 = 2. 416. а)
1 3 2 −33
=
3 2
3
2 + 3 2 ⋅ 3 + 32 = −3 4 − 3 6 − 3 9 ; 3 2 − 3 3 3 2 2 + 3 2 ⋅ 3 + 3 3 2
(
)
39
www.5balls.ru
3 2 a 2 + a 3 b + b 2 б) = 3 a −3 b a − 3 b a 2 + a 3 b + b 2 2
)
(
3 2 a 2 + a 3 b + b 2 ; = a3 − b
3 3 2 5 2 − 3 5 ⋅ 7 + 7 2 в) = 35 +37 3 5 + 3 7 3 5 2 − 3 5 ⋅ 7 + 3 7 2 2
г)
)
(
3a 3 2
a
3 − 3 ab + b 2
=
) (
(
=
3 25 − 3 35 + 3 49
6
(
;
)
3a 3 a + 3 b 3a 3 a + 3 b . = a+b 3 2 3 3 a − ab + b 2 3 a + 3 b
)
33. Иррациональные уравнения 417. а) x 4 + 19 = 10 ⇔ x4 + 19 = 100 ⇔ x4 = 81 ⇔ x ±3; б) 3 x 2 − 28 = 2 ⇔ x2 – 28 = 8 ⇔ x2 = 36 ⇔ x = ±6; 2 2 в) 61 − x 2 = 5 ⇔ 61 − x2 ≥ 0, ⇔ x 2 ≤ 61, ⇔ x = ±6;
61 − x = 25;
x = 36
г) 3 x − 9 = −3 ⇔ x − 9 = −27 ⇔ x = −18; 418. x + 1 = ( x − 5) 2 , x 2 − 11x + 24 = 0, x = 3, x ≥ 5, а) x + 1 = x − 5 ⇔ x − 5 ≥ 0, ⇔ ⇔ x = 8; ⇔ x = 8 x ≥ 5; x + 1 ≥ 0; x ≥ −1; x 2 − 14 x + 33 = 0, 2 x + 3 = (6 − x ) 2 , x = 3, x ≤ 6, ⇔ ⇔ x = 11; ⇔ x = 3 б) x + 2x + 3 = 6 ⇔ 6 − x ≥ 0, 3 2 x + 3 ≥ 0; x ≤ 6; x≥− ; 2 x 2 − 6 x + 5 = 0, 2 x − 1 = ( x − 2) 2 , x = 1, x ≥ 2; ⇔ ⇔ x = 5; ⇔ x = 5 в) 2x − 1 = x − 2 ⇔ x − 2 ≥ 0; 1 x ≥ 2; 2x − 1 ≥ 0 x≥ 2
40
www.5balls.ru
x 2 − 9 x + 8 = 0, 3x + 1 = ( x − 3) 2 , x = 1, x ≥ 3, ⇔ ⇔ x = 8; ⇔ x = 8 г) 3 + 3x + 1 = x ⇔ x − 3 ≥ 0, 1 3x + 1 ≥ 0; x ≥ 3; x≥− ; 3
419. 2 2 а) 2x + 1 = x 2 − 2x + 4 ⇔ 2x + 1 = x − 2x + 4, ⇔ x − 4x + 3 = 0, ⇔
2x + 1 ≥ 0;
x ≥ −0,5;
x = 1, x = 1, ⇔ x = 3; ⇔ x = 3; x ≥ −0,5; x = −1, x = x 2 − x − 3, x 2 − 2 x − 3 = 0, x = 3; x ≥ 0, ⇔ б) x = x 2 − x − 3 ⇔ ⇔ x=3 1 + 13 ⇔ x ≥ ; 1 + 13 x 2 − x − 3 ≥ 0; x ≥ ; 2 2
x + 2 = 2 x − 3,
в) x + 2 = 2x − 3 ⇔ x + 2 ≥ 0,
2 x − 3 ≥ 0;
x = 5, ⇔ ⇔ x =5 x ≥ 1,5;
x = −1, 9 − x 2 = 9 + x , x ( x + 1) = 0, x = 0; x = −1, 2 2 г) 9 − x = x + 9 ⇔ 9 − x ≥ 0, ⇔ x ≥ −3, ⇔ x ≥ −3, ⇔ x = 0; x + 9 ≥ 0; x ≤ 3; x ≤ 3;
420. x = 2, x = 4;
а) x = 3 x 3 + x 2 − 6x + 8 ⇔ x 3 + x 2 − 6x + 8 = x 3 ⇔ x 2 − 6x + 8 = 0 ⇔ б) x − 2 = 3 x 2 − 9 ⇔ ( x − 2) 3 = x 2 − 8 ⇔ x 3 − 6x 2 + 12 x − 8 = x 2 − 8 ⇔ x = 0, ⇔ x ( x 2 − 7 x + 12) = 0 ⇔ x = 3, x = 4;
x = −10, x = 2;
в) x = 3 x 3 − x 2 − 8x + 20 ⇔ x 3 = x 3 − x 2 − 8x + 20 ⇔ x 2 + 8x − 20 = 0 ⇔
41
www.5balls.ru
3
г) x + 1 = x 3 + 2x 2 + x ⇔ ( x + 1) 3 = x 3 + 2x 2 + 2 ⇔ x 3 + 3x 2 + 3x + 1 = = x 3 + 2 x 2 + x ⇔ x 2 + 2 x + 1 = 0 ⇔ x = −1;
421. 1 3 3 3 x + 23 y = 1, 3 x + 23 y = 1, 3 x + 23 y = 1, y = (1 − x ), ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 2 3 3 3 3 3 3 x = 3; 7 x = 21; 3 x − y = 10; 6 x − 2 y = 20;
а)
3 y = −1, y = −1, ⇔ ⇔ 3 x = 3; x = 27; 124 x − 34 y = 6 2 , 44 x − 4 y = 2 2 , 4 y = 44 x − 2 2 , ⇔ ⇔ ⇔ 4 4 4 4 144 x = 14 2 ; 2 x + 3 y = 8 2 ; 2 x + 3 y = 8 2 ;
б)
4 y = 44 x − 2 2 , y = 64, ⇔ ⇔ 4 x = 2; x = 4; − 84 x − 44 y = −28, 24 x + 4 y = 7, 4 y = 7 − 24 x , ⇔ ⇔ ⇔ 4 4 4 4 − 114 x = −22; − 3 x + 4 y = 6; 4 y − 3 x = 6;
в)
4 y = 7 − 2 ⋅ 2, y = 81, ⇔ ⇔ 4 x = 2; x = 16; x = 5 5 − 3 y , 2 x + 6 y = 10 5 , x + 3 y = 5 5 , ⇔ ⇔ ⇔ 11 y = 11 5 ; − 2 x + 5 y = 5 ; 5 y − 2 x = 5 ;
г)
x = 5 5 − 3 5 , x = 20, ⇔ ⇔ y = 5; y = 5;
422. ( x + 1)( x + 6) = 36, 2 x = −10, x + 7 x − 30 = 0, ⇔ x = 3; ⇔ x = 3 x + 1 ≥ 0, x ≥ −1; x ≥ −1; x + 6 ≥ 0;
а) x + 1 ⋅ x + 6 = 6 ⇔
б)
( x − 1)(2 x − 1) = ( x + 1) 2 , ( x − 1) ⋅ (2 x − 1) = x + 1, = x +1 ⇔ ⇔ x − 1 ≥ 0, ⇔ x − 1 ≥ 0, 2x − 1 2 x − 1 > 0 ; − > 2 x 1 0 ;
x +1
42
www.5balls.ru
2 x 2 − 3x + 1 = x 2 + 2x + 1, x = 0, x 2 − 5x = 0, ⇔ ⇔ ⇔ x = 5; ⇔ x = 5 x ≥ 1, x ≥ 1; x ≥ 1; x > 0,5;
в)
(3x + 2)( x − 2) = ( x + 6) 2 , 3x + 2 ⋅ x − 2 = x + 6, x − 2 > 0; = 3x + 2 ⇔ 3x + 2 ≥ 0, ⇔ ⇔ x−2 3 x 2 0 + ≥ x 2 0 ; − >
x+6
x = −2, 3x 2 − 4 x − 4 = x 2 + 12x + 36, 2x 2 − 16 x − 40 = 0, ⇔ ⇔ ⇔ x = 10; ⇔ x = 10 x > 2; x > 2; x > 2; x ( 2 − x ) = 4 x 2 , 2x − x 2 = 4x 2 , г) x 2 − x = 2x ⇔ x ≥ 0, ⇔ x ≥ 0, ⇔ 2 − x ≥ 0; x ≤ 2 ;
x = 0, 5x (x − 0,4) = 0, x = 0,4; x = 0, ⇔ ⇔ x ≥ 0, ⇔ x ≥ 0, x = 0,4; x ≤ 2; x ≤ 2;
423. а) 5 + 3 x + 3 = 3, 5 + 3 x + 3 = 9, x + 3 = 64, x = 61. Проверка: 5 + 3 61 + 3 = 3. Итого: x = 61. б)
x 2 − 16 + x = 2,
x 2 − 16 + x = 4, x – 16 = (4 – x) , x – 16 = x – 8x + 16, 2
2
2
2
-8x + 32 = 0, x = 4. Проверка:
4 2 − 16 + 4 = 2. Итого: x = 4.
в) 18 − 3 x + 10 = 4, 18 − 3 x + 10 = 16, x + 10 = 8, x = -2. Проверка: 18 − 3 − 2 + 10 = 4. Итого: x = -2. г) x − x 2 − 5 = 1, x − x 2 − 5 = 1, x2 – 5 = (x – 1)2, 2x – 6 = 0, x = 3.
43
www.5balls.ru
Проверка: 3 − 3 2 − 5 = 1. Итого: x = 3. 424. а) x − 3 = 1 + x − 4 , x − 3 = 1 + 2 x − 4 + x − 4,
x − 4 = 0, x = 4.
Проверка: 4 − 3 = 1 + 4 − 4 . Итого: x = 4. б) x + 2 − x − 6 = 2, x + 2 = 4 + 4 x − 6 + x − 6,
x − 6 = 1, x = 7.
Проверка: 7 + 2 − 7 − 6 = 2. Итого: x = 7. в) 2 + 10 − x = 22 − x , 4 + 4 10 − x + 10 − x = 22 − x, 10 − x = 2, x = 6. Проверка: 2 + 10 − 6 = 22 − 6 . Итого: x = 6. г) 1 − 2x − 3 = 16 + x , 1 − 2x − 6 1 − 2x + 9 = 16 + x, − 6 1 − 2x = 6 + 3x. x = 0, x = −12.
1 – 2x = 0,25x2 + x + 1, x(x + 12) = 0,
Проверка: 1 − 2 ⋅ 0 − 3 ≠ 16 + 0 ; При x = -12: 1 + 2 ⋅ 12 − 3 = 16 − 12 . Итого: x = -12. 425. а) x − 3 − 6 = 4 x − 3 ;
4 x − 3 = t;
t2 – t – 6 = 0; t1 = -2, t2 = 3;
б) 3 x + 1 + 26 x + 1 = 3;
6 x + 1 = t;
t2 + 2t – 3 = 0; t1 = -3; t2 = 1;
при t= -2: 4 x − 3 = −2 - нет решений; при t = -3: 6 x + 1 = −3 - нет решений; при t = 3: 4 x − 3 = 3;
при t = 1: 6 x + 1 = 1; x + 1 = 1; x = 0.
x – 3 = 81; x = 84.
Итого: х = 0.
Итого: х = 84. в) 4 x − 5 = 30 − x − 5 ;
4 x − 5 = t;
2
t + t – 30 = 0; t1 = -6, t2 = 5; при t =
-6: 4 x − 5 = −6
при t = 5: 4 x − 5 = 5; x – 5 = 625; x = 630.
- нет решений;
г) 310 x 2 − 3 + 5 x 2 − 3 = 4;
10 2
x − 3 = t;
2
t + 3t – 4 = 0; t1 = -4, t2 = 1; при t = -4: 10 x 2 − 3 = −4 - нет решений; при t = 1: 10 x 2 − 3 = 1; x2 – 3 = 1; x=±2.
44
www.5balls.ru
Итого: х = ±2.
Итого: х = 630. 426.
2 x − y = 5, y = 2 x − 5, y = 2 x − 5, ⇔ ⇔ ⇔ x (2 x − 5) = 3; 2( x ) 2 − 5 x − 3 = 0; x ⋅ y = 3;
а)
⇔
y = 2 x − 5, 1 x =−2, ⇔ x = 3;
y = −6, x = − 1 ; x = 9, 2 ⇔ т.к. y = 1. y = 1, x = 3;
a ≥ 0.
6 + x − 3 3y + 4 = −10, 5 6 + x − 15 3y + 4 = −50, ⇔ ⇔ 4 3y + 4 − 5 6 + x = 6; − 5 6 + x + 4 3y + 4 = 6;
б)
6 + x = −10 + 3 3y + 4 , 6 + x = 2, x = −2, ⇔ ⇔ ⇔ 3 y 4 4 ; + = 3y + 4 = 4; y = 4. x + 3 y = 10 x = 10 − 3 y , x = 10 − 3 y , ⇔ ⇔ ⇔ 2 x ⋅ y = 8; y (10 − 3 y ) = 8; 3( y ) − 10 y + 8 = 0;
в)
x = 6, x = 10 − 3 y , y = 4 ; 4 3 ⇔ ⇔ y = , ⇔ 3 x = 4, y = 2; y = 2;
x = 36, 7 y = 1 ; 9 x = 16, y = 4.
2 x − 2 + 5 y + 1 = 8, 4 x − 2 + 2 5 y + 1 = 16, ⇔ ⇔ 3 x − 2 − 2 5 y + 1 = −2; 3 x − 2 − 2 5 y + 1 = −2;
г)
5 y + 1 = 4, y = 3, ⇔ ⇔ x − 2 = 2; x = 6.
427. x + y = 8, x + y = 8, x + y = 8, ⇔ ⇔ ⇔ ( x − y )( x + y ) = 16 ; x − y = 16; x − y = 2;
а)
45
www.5balls.ru
x = 5, x = 25, ⇔ ⇔ y = 3; y = 9.
3 y = 5 − 3 x , 3 y = 5−3 x, 3 y = 5 − 3 x , 3 x + 3 y = 5, ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 3 3 3 3 3 3 xy = 216; x 5 − x = 6; xy = 6 ; x 2 − 53 x + 6 = 0;
3 y = 5 − 3 x , ⇔ 3 x = 2, ⇔ 3 x = 3;
3 y 3 x 3 y 3 x
)
(
( )
б)
= 3,
y = 27, x = 8; ⇔ y = 8, = 2, x = 27. = 3; = 2;
x − y = 4, x − y = 4, x − y = 4, ⇔ ⇔ ⇔ x − y = 32; x − y x + y = 32; x + y = 8;
)(
(
в)
)
x = 6, x = 36, ⇔ ⇔ y = 2; y = 4. 3 x = 2 + 3 y , 3 x = 2 + 3 y, 3 x = 2 + 3 y , 3 x − 3 y = 2, ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 3 xy = 27; 3 y 2 + 3 y = 3; 3 xy = 33 ; 3 y 2 + 23 y − 3 = 0;
)
(
( )
г)
3 x = −1, 3 x = 2 + 3 y , 3 y = −3; ⇔ 3 y = −3, ⇔ ⇔ 3 x = 3, 3 = y 1 ; 3 y = 1.
x = −1, y = −27; x = 27, y = 1;
34. Степень с рациональным показателем 428. 6
а) 31,2 = 3 5 = 5 36 = 5 729 ;
б) 5
5
в) 41,25 = 4 4 = 4 4 5 = 4 1024 ;
г) 6
−
2 3 = 3 5− 2 = 3 1 ;
−1
25
1 3 − 2 =6 2 =
6−3 =
1 . 216
429.
46
www.5balls.ru
а) 3 a − 2 = a
−
2 3;
1 7 3b = (3b) 7 ;
б)
в) 13 b − 7 = b
−
7 13 ;
5
8
г) 4 5 = 4 8 ;
430.
( )0,4 = 32 = 9;
а) 2430,4 = 35
5
( )4 = 25 = 32;
1
1
− 8 8 8 8 8 −1 3 = = ; = 3 8 3
27 3 г) 125 6
9 3 = 2 5
5
в) 16 4 = 2 4
−
64 4 б) 38
2
2 99
2
9 3 . = = 625 25
431. 1
3
1
1
а) 8 2 : 8 6 ⋅ 9 2 = 8 2 ⋅ 8
−
1 1 3 3 − − 6 ⋅9 2 = 83 ⋅9 2 = 2 ;
27
5
4
5
2
4
2
5
( )3 ⋅ 15 3 = 3 2 2 ⋅ 52 ⋅ 2 3 ⋅ 5− 3 = 2 3 ⋅ 2 3 ⋅ 5 3 ⋅ 5− 3 = 2 2 ⋅ 5−1 = 45 ;
б) 3 100 ⋅ 2
в) 8
2
8
1 7 3 3 : 810,75 = 8 3 : 81 4 = 2 7 ⋅ 3 −3 = 128 = 4 20 ;
27
г) 1 11 25
−0,5
1
2 − 17 3 6 ⋅4 = 5 27
−0,5
27 −
1
5 3 3 5 3 1 ⋅ = ⋅ = . 3 6 5 2
432. 1
1 1
1
1
1
а) (ax ) 3 + (ay) 3 = a 3 x 3 + y 3 ;
1
1 1
1 1
б) a − a 2 = a 2 a 2 − 1;
1
1 1
1
1
в) 3 + 3 2 = 3 2 3 2 + 1; г) (3x ) 2 − (5x ) 2 = x 2 3 2 − 5 2 .
433. 1 1
1
1
1 1
1
1
1
а) x 3 y 3 − x 3 − y 3 + 1 = x 3 y 3 − 1 − y 3 − 1 = y 3 − 1 x 3 − 1;
47
www.5balls.ru
1
1 1
1
б) c 2 + c 4 = c 4 c 4 + 1; 3 1
1
1 2
1
1 1
1
в) 4 − 4 3 = 4 3 − 4 3 = 4 3 4 3 − 1 = 4 3 4 3 − 1 4 3 + 1;
1
1
1 1
1 1
1 1
1
1
1
г) a + b 2 + a 2 + a 2 b 2 = a 2 a 2 + 1 + b 2 a 2 + 1 = a 2 + 1 a 2 + b 2 .
434.
а)
б)
a−b 1 1 a2 −b2
1 1 2 2 − a b =
z −8 2 1 z 3 + 2z 3 + 4
1 1 2 2 + a b
1
1
1 1 =a2 +b2;
a2 −b2 1 2 1 3 z − 2 z 3 + 2z 3 + 4 1 = z 3 − 2; =
1
2
1
z 3 + 2z 3 + 4 1
x2 −4 x2 −4 1 = = ; в) 1 x − 16 1 1 2 2 2 x − 4 x + 4 x + 4
г)
a+b 2 1 1 2 a 3 −a 3b3 + b3
1 2 1 1 2 1 3 3 a 3 −a 3b3 + b 3 a + b = 2
1 1
2
1 1 = a3 + b3.
a 3 −a3b3 + b3
435.
48
www.5balls.ru
а)
1 1 1 1 x−y x2y4 +x4y2 = ⋅ 1 1 3 1 1 2 2 4 2 4 x +x y x +y
1 1 1 y 4 x 2 − y 2 = 1
1 1 1 1 1 1 2 2 ⋅x4y4 x 4 + y4 x y + 1 1 1 1 1 x 2 x 2 + y 2 ⋅x 4 + y 4
1 1 2 2 x y −
=
;
x4
б)
1 1 2 1 a − 1 a 2 + 1 1 2 a −1 a +1 + 2a 2 = : ⋅ 1 1 3 a + a 2 +1 a 2 −1 a + a 2 +1
1 1 2 a − 1 a + a 2 + 1 1 a 2 +1
1
+ 2a 2 =
2
1 1 1 1 = a 2 − 1 + 2a 2 = a − 2a 2 + 1 + 2a 2 = a + 1; 1 1 1 1 a 3 − b3 a2 −b2 +a2 +b2 a 3 − b3 + ⋅ = ⋅ = 1 1 1 1 2 2 1 2 a + ab + b 2 a + ab + b 2 2 2 2 2 a−a b a (a − b ) a+a b
в)
1
1
1
=
г)
=
2a 2 1 a 2 (a − b )
⋅
(
(a − b) a 2 + ab + b 2
x +1 x x +x+ x
2
a + ab + b
:
1 2
x − x
( x − 1)(x + 1) + x ( x − 1) x + x +1
x +1
=
=
) = 2a(a − b) = 2; a (a − b)
2
x ( x + x + 1)
⋅
( x − 1)(x + x + 1) x + x +1
x ( x x − 1) x 2 − x + x x − 1 = = 1 x + x +1
= x − 1.
436. 3
19
а) 7 33 = 3 7 < 3 8 , т.к. 3 < 19 ; а 6 > 1; 7
8
49
www.5balls.ru
б) 0,4 − 2,7 = 5
189
2,7
2
5
15
150
5 70 5 7 5 70 , = > = 2 2 2
50
5 т.к. 189 > 150 ; a > 1 ; 70
2
70
51
в) 3 65 = 6 3 = 6 30 < 61,7 = 6 30 , т.к. 50 < 51 ; a 6 > 1; 30
5
5
35
30
15
1 35 15 г) 1 3 = 1 21 < 7 1 = 1 7 = 1 21 , т.к. > , a < 1 . 2
2
32
2
21
2
2
21
437. 1
3
( )
− − а) 81−0,75 + 1 3 − 1 5 = 3 4
125
32
( ) ( ) 1
−
+ 5 −3 3 − 2 −5
−
3 1 26 5 = − 3 = −2 ;
27
27
4 2 1 1 1 −1 − − 2 3 − (−2) − 2 ⋅ 64 3 − 8 3 + 9 0 = 10 − 3 3 − 2 − 2 ⋅ 2 4 − ( 2 3 ) 3 + 1 =
( ) ( )
−
б) 0,001
= 10 − 2 2 − 2 −4 + 1 = 7 − 2
−0,75
1 16
в) 27 3 +
−0,75
15 1 =6 . 16 16
( ) ( ) 2
1 4
г) (−0,5) − 4 − 6250,25 − 2 3
( )
( )
− 0,75 0,5 − 25 0,5 = 33 3 + 2 − 4 − 52 = 3 2 + 2 3 − 5 = 12;
−1
1 2
( ) ( )
4 0,25 + 19(− 3)− 3 = 21 − 5 4 −
3
− − 8 19 19 − (3 2 ) 2 ⋅ 2 − 2 2 − 19 ⋅ 3 − 3 = 2 4 − 5 − 3 − 3 ⋅ 2 3 − = 11 − − = 11 − 1 = 10. 27 27 27
438. а)
a −1 3 1 a4 +a2
⋅
a +4a a +1
1 ⋅ a 4 +1 =
3
1
( a − 1)( a + 1) ⋅ a 4 + a 2 + 1 = 3 1 a4 +a2
a +1
a −1+1 = a ;
50
www.5balls.ru
1
1
2
2 − − 4 3 4 2 1 2 x − x + 1 − x x x + 2x + x 2 x − x 1 + x ⋅ + + + ⋅ = 1 = б) 4 x 1− x 4 x 1− x x x x x
)
(
=x
в)
=
1 − 1 − x + 2 x +1 2 2
x
1 − 2 2
( x + 1)
1
=
1 1 − x2 ⋅x 2
x +1
;
1 1 1 2 1 1 2 a 3 a 3 − 3b 3 a 3 + 3a 3 b 3 + 9b 3 4 1 a 3 − 27a 3 b b 3 : 1 − 33 − a 2 = 2 1 1 2 2 1 1 2 a a 3 + 3a 3 b 3 + 9b 3 a 3 + 3a 3 b 3 + 9b 3
1 a3 ⋅ 1 1 3 3 a − 3b
г)
1
m+ 2
⋅
1 1 1 1 a 3 a 3 − 3b 3 ⋅ a 3 2 2 2 − 3 a2 = − a 3 = a 3 − a 3 = 0; 1 1 a 3 − 3b 3
−
m 2 + 4 m 1 1 m 2 − m 2 + 2 − m 2 − 4 × ⋅ − + = 2 m m + 2 m 2 − m 2 + 2 m 3 + 2 2 2
(
)(
)
)(
(
)
2 m 2 − 2m + 2 = − 2 m+ 2 ⋅ m −m 2 +2 = − 2 . × 2 2m 2m m + 2 m − m 2 + 2 ⋅ 2m
(
)(
)
439. 5
а)
1
3
2
1
3
−2 17 5 3 2 ax = 2 − 3 ⋅ 2 7 ⋅ a 7 ⋅ x 7 = 2 7 a 7 x 7 ; 8 2
1
3
3
1
19
3
2
15
б) 3 a 2 ⋅ 4 a = a 3 ⋅ a 12 = a 4 ; в) 7 b 3 ⋅ 4 b = b 7 ⋅ b 4 = b 28 ; 3
1 3
1
г) ⋅ 4 273 x = 3−1 ⋅ 3 4 ⋅ x 12 = 3
−
1 1 4 ⋅ x 12 .
440. а) 3 ⋅ 5
−
3 5 = 5 35 ⋅ 5 2 − 3 = 5 243 = 5 30 3 ;
8
8
б) a 4 : b 5 = a 20 ⋅ b
−
8 15 20 = 20 a ; 8
b
51
www.5balls.ru
в) 2b
−
2 3 = 3 8 ⋅ 3 b−2 = 3 8 ; 2
1 2
7
5
5
6
г) b 3 c 7 = b 21 ⋅ c 21 = 21 b 7 c 6 .
b
441. 1
5
1
( )− 6 = 3− 12 , 3 3−1 4 13 = 3− 3 ⋅ 3− 12 = 3− 12 ; ( 3 )− 6 = 3 3−1 4 13 ; 5
а) 3
( )
б) 3600 = 36
( )
100
100 = 729100 , 5 400 = 5 4 = 625100 ;
729100 > 625100 , т.о. 3600 > 5 400 ; −
5
5 5 3 − 1 7 7 14 2 ⋅2 = 2 ; =
5
1 в) 7 = 2 7 , 2
( )
г) 7 30 = 7 3
10
3
2 ⋅ 2 14 ;
2
( )
= 34310 , 4 40 = 4 4
10
= 25610 ; 34310 > 25610 , т.о. 7 30 > 4 40.
442. а) не имеет смысла, т.к. a < 0; б) (− 2)−4 =
1
(− 2)
4
=
1 – выражение имеет смысл; 16
2
в) 5 3 = 53 = 125 – выражение имеет смысл; г) не имеет смысл, т.к. x < 0. 443.
3
а) x + 1 > 0 при x > -1, D y = (x + 1)− x = (− 1; ∞ );
3
3
б) x 5 имеет смысл только при x ≥ 0, D y = x 5 = [0; ∞ );
в) x
−
3 4
имеет смысл при x > 0, D y = x
−
3 4 = 0; ∞ ;
(
)
52
www.5balls.ru
2
г) x – 5 ≥ 0 при x ≥ 5, D y = (x − 5) 3 = [5; ∞ ).
444. 1 а) a 6
( )4 = a = −a при а ≤ 0;
6
= a при а ≥ 0;
б) a 4
( )8 = a = 1a при а = ±1;
в) a 8
1
г)
1
10 3 7 7 1 a 0,7 7 = a 10 = a = −a
( )
при а = 0.
§ 10. Показательная и логарифмическая функции 35. Показательная функция 445. а) y = 4x; D(y) = R, E(y) = (0;∞), y(x) возрастает на R; y(0) = 1, y(1) = 4.
б) y = 0,2x; D(y) = R, E(y) = (0;∞), y(x) убывает на R; y(-1) = 5, y(0) = 1;
в) y = 0,7x; D(y) = R, E(y) = (0;∞), y(x) убывает на R;
53
www.5balls.ru
y(0) = 1, y(1) = 0,7.
г) y = 2,5x; D(y) = R, E(y) = (0;∞), y(x) возрастает на R; y(0) = 1, y(1) = 2,5.
446. а) -2x < 0 при x ∈ R: E(y = -2x) = (-∞;0); 1
x
1
x
б) + 1 > 1 при x ∈ R: E y = + 1 = (1; ∞); 3 3
1
x
x 1
в) − < 0 при x ∈ R: E y = − = (−∞;0); 4 4
x
x
г) 5 – 2 > -2 при x ∈ R: E(y = 5 – 2) = (-2;∞). 447. 4 а) 7
б) 3−
5 2
−
12
в) 2,5 −
2
5
5 7 7 2 = > 1 т.к. > 0 и >1; 4 2 4
1 = 3
12
1 < 3
2,8
1 , т.к. 12 > 2,8 и < 1 ; 3
= 0,4 2 < 1, т.к. 2 > 0 и 0,4 < 1 ;
54
www.5balls.ru
5 1 2 6 < 0,3 3 = 0,3 6 , т.к. 5 > 2
г) 0,3
и 0,3 < 1.
448. 2
( ) 2
а) 2
=
в) 8
2
( 2 )2 = 2;
б) 31− 2
3
: 2 3 2 = 2 3 2 : 2 3 2 = 1;
⋅ 91+ 3 = 31− 2 3 ⋅ 3 2 + 2 3 = 33 = 27;
г) 3
58
54
5 = 3 32 = 3 2 = 9.
449. 2 −1
2 1
⋅ a
а) a
в) a
5
5
= a5;
= a 2 ⋅ a 1− 2 = a ;
г) y
б) x π ⋅ 4 x 2 : x 4π = x π ⋅ x
2
2 − 4π 1 4 = x2;
3 ⋅ y1,3 : y 3 2 = y 2 +1,3 − 2 = y1,3 .
450.
а)
=
a 2 2 − b2 3 2 −b 3 a 2a 2 a 2 −b 3
2
2 − b 3 a 2 + b 3 a 2 +b 3 +a 2 −b 3 +1 = a +1 = = 2 2 3 2 − a b 3 −b a
;
2 3 − 1 a 2 3 + a 3 + a 3 3 a 3 a 3 − 1 a 3 + 1 a 2 3 + a 3 + 1 a = б) = a4 3 − a 3 a 3 a 3 3 − 1 3 + 1 a 3 3 − 1 a = a 3 + 1; = a3 3 −1
55
www.5balls.ru
в)
a 5 −b 7 2 5
5
7
2 7
5 7 2 5 5 7 2 7 a 3 − b 3 a 3 + a 3 b 3 + b 3 = 2 5
a 3 +a 3 b 3 +b 3 5
5
7
2 7
=
a 3 +a 3 b 3 +b 3
7
=a 3 −b 3 ;
г)
(x
π
+y
)
π 2
1 − 4 π xy
π
= x 2π − 2 x π y π + y 2 π =
= x 2π + 2 x π y π + y 2π − 4 x π y π =
(x
π
− yπ
)2 = x
π
− yπ .
451. а) 101,41 ≈ 25,7; 101,42 ≈ 26,3;
б) 101,414 ≈ 25,9; 101,415 ≈ 26,0;
в) 102,23 ≈ 169,8; 102,24 ≈ 173,8;
г) 102,236 ≈ 172,2; 102,237 ≈ 172,6.
452. 1 < 2 < 2 ⇒ 10 < 10 2 < 10 2 ; 1,41 < 2 < 1,42 ⇒ 101,41 < 10 2 < 101,42 ; 101,41 ≈ 25,7 и 101,42 ≈ 26,3; 1,414 < 2 < 1,415 ⇒ 101,414 < 10 2 < 101,415 ; 101,414 ≈ 25,9 и 101,415 ≈ 26,0; 10 2 ≈ 25,9 ; 2 < 5 < 3 ⇒ 10 2 < 10 5 < 10 3 ; 2,23 < 5 < 2,24 ⇒ 10 2,23 < 10 5 < 10 2,24 ; 10 2,23 ≈ 169,8 и 10 2,24 ≈ 173,8; 2,236 < 5 < 2,237 ⇒ 10 2,236 < 10 5 < 10 2,237 ; 10 2,236 ≈ 172,2 и 10 2,237 ≈ 172,6; 10 5 ≈ 172,4 .
453.
56
www.5balls.ru
а) 2 > 1 ⇒ y =
( 2 )x возрастает на R; 0 <
x
1 убывает на R; <1⇒ y = 2 2
1
)x
(
б) 0 < 5 − 2 < 1 ⇒ y = 5 − 2 убывает на R; 1 5 −2
>1⇒ y =
1
( 5 − 2)x
возрастает на R;
x
в)
x
π 3 3 π > 1 ⇒ y = возрастает на R; 0 < < 1 ⇒ y = убывает на R; π 3 3 π
)x
(
г) 0 < 3 − 7 < 1 ⇒ y = 3 − 7 убывает на R; 1
>1⇒ y =
3− 7
1
(3 − 7 )x
возрастает на R.
454. а) 3x +1 − 3 = 3(3x − 1), 3x > 0 при x ∈ R ⇒ 3(3x – 1) > -3 при x ∈ R; E(y = 3x+1 – 3) = (-3;∞); x б) y = 2 x − 2 = 2 − x2, x ≥ 1, y(1) = 0. 2 − 2 , x < 1.
y(x) возрастает на [1;∞) и убывает на (-∞;1]; E(y = |2x – 2|) = [0;∞); 1 2
x −1
в)
1 x 1 1 > 2 при x ∈ R; + 2 = 21 + , > 0 при x ∈ R ⇒ 21 + 2 2 2x
x +1 1 E y = + 2 = (2; ∞); 2
г) y = 4
x
4 x , x ≥ 0, = 1 x y(0) = 1. , x < 0; 4
y(x) возрастает на [0;∞) и убывает на (-∞;0];
57
www.5balls.ru
x E y = 4 = [1; ∞ ).
455. sin x
а) y =
1 ; -1 ≤ sinx ≤ 1, откуда 2
⇒ min y( x ) =
1 , max y( x ) = 2; 2 R
1 2
R
б) y = 5 + 3
cos x
; 0 ≤ cos x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ 3
cos x
sin x
1 ∈ ; 2 ; 2
≤ 3⇒ 6 ≤ 5+3
cos x
≤ 8;
min y( x ) = 6, max y( x ) = 8; R
R
в) y = 4cosx;-1≤cosx≤1 ⇒ 1 3
г) y =
1 1 ≤ 4 cos x ≤ 4 ⇒ min y( x ) = , max y( x ) = 4; 4 4 R R
sin x
− 2;
0 ≤ |sinx| ≤ 1 ⇒
1 1 ≤ 3 3
sin x
≤ 1 ⇒ −1
2 1 ≤ 3 3
sin x
− 2 ≤ −1;
2 min y( x ) = −1 , max y( x ) = −1. 3 R R
456. 1 6
x
1 6
x
а) Т.к. y = убывает и y(x) > 1 при x < 0 ⇒ = 10 при x < 0; б) т.к. y = 0,3x убывает и y(x) < 1 при x > 0 ⇒ 0,3x = 0,1 при x > 0; в) т.к. y = 10x возрастает и y(x) > 1 при x > 0 ⇒ 10x = 4 при x > 0; г) y = 0,7x убывает на R и y(x) > 1 при x < 0 ⇒ 0,7x = 5 при x < 0. 457.
58
www.5balls.ru
а) y = 3x возрастает на R, y = 4 – x убывает на R ⇒ у них не более одной точки пересечения. Очевидно, это точка А(1;3) ⇒ x = 1.
1 2
x
б) y = убывает на R, y = x + 3 возрастает на R, графики этих функций могут иметь не более одной точки пересечения. Из рисунка видно, что это точка В(-1;2), значит x = -1. 1 3
x
в) y = убывает на R, y = x + 1 возрастает на R, графики этих функций могут иметь не более одной точки пересечения. Это точка С(0;1), значит x = 0. г) y = 4x возрастает на R, y = 5 – x убывает на R, графики этих функций могут иметь не более одной точки пересечения. Это точка D(1;4), значит x = 1 единственное решение уравнения 4x = 5 – x. 458. а) y = 31-x убывает на R, y = 2x – 1 возрастает на R, графики этих функций могут иметь не более одной точки пересечения. Это точка А(1;1), значит x = 1.
59
www.5balls.ru
б) y = 4x + 1 возрастает на R, y = 6 – x убывает на R, графики этих функций могут иметь не более одной точки пересечения. Это точка М(1;5), значит x = 1.
в) y = 2x – 2 возрастает на R, y = 1 – x убывает на R, графики этих функций могут иметь не более одной точки пересечения. Это точка B(1;0), значит x = 1.
г) при x ∈ (-∞;0) 3-x > 0, −
3 3 -x > 0 и y = 3 убывает, y = − x x
возрастает; при x ∈ (0;∞) 3-x > 0, − y = 3-x и y = −
3 < 0; следовательно, графики функций x
3 могут иметь не более одной точки пересечения одной x
точки пересечения на (-∞;0). Это точка С(-1;3), значит x = -1.
60
www.5balls.ru
459. а) нет; б) нет; в) нет; г) нет. 36. Решение показательных уравнений и неравенств 460. а) 4x = 64 ⇔ 4x = 43 ⇔ x = 3. 1 3
x
б) = 27 ⇔ 3− x = 33 ⇔ x = −3. в) 3x = 81 ⇔ 3x = 34 ⇔ x = 4. x
1 2
x
г) =
6
1 1 1 ⇔ = ⇔ x = 6. 64 2 2
461. 2 3
x
9 8
x
x
а) ⋅ =
3
б) 8 x − 3 = 3 4 2 − x ; 2 2 13x = 35; x =
3
27 3 3 ⇔ = ⇔ x = 3. 64 4 4 ( x − 3)
2
= 23
(2 − x )
; 9x − 27 = 8 − 4x ;
35 9 =2 . 13 13 x
в) 2 x ⋅ 3 x = 36 ⇔ 6 x = 36 ⇔ 6 2 = 6 2 ⇔ x = 4. 3 7
г)
3 x +1
7 = 3
5x − 3
7 ⇔ 3
−3x −1
7 = 3
5x − 3
⇔ −3x − 1 = 5x − 3 ⇔ x =
1 . 4
462. а) 36-x = 33x-2 ⇔ 6-x=3x – 2 ⇔ x = 2.
61
www.5balls.ru
1 б) 7
2 x 2 + x − 0,5
7 1 = ⇔ 7 7
x
в) 3 x = 9 ⇔ 3 2 = 3 2 ⇔ г) 2 x
2
+ 2 x − 0,5
2 x 2 + x − 0,5
1
12 = ⇔ 2 x 2 + x − 0,5 = 0,5 ⇔ 7
x = −1, x = 0,5
x = 2 ⇔ x = 4. 2
2 x = −3, = 4 2 ⇔ 2 x + 2 x − 0,5 = 2 2,5 ⇔ x 2 + 2 x − 0,5 = 2,5 ⇔ x = 1.
463. а) 7x+2 + 4⋅7x+1 = 539 ⇔ 11⋅7x+1 = 539 ⇔ 7x+1 = 72 ⇔ x = 1. б) 2⋅3x+1 – 3x = 15 ⇔ 6⋅3x – 3x = 15 ⇔ 3x = 3 ⇔ x = 1. в) 4x+1 + 4x = 320 ⇔ 5⋅4x = 320 ⇔ 4x = 43 ⇔ x = 3. г) 3⋅5x+3+ 2⋅5x+1= 77 ⇔ 75⋅5x+1+ 2⋅5x+1= 77 ⇔ 5x+1= 50 ⇔ x = -1. 464. а) 9x – 8⋅3x – 9 = 0 ⇔ 32x – 8⋅3x – 9 = 0 ⇔ t2 – 8t – 9 = 0 t = −1,
3 x = −1 − не подходит, ⇔ ⇔ 3 x = 9 ⇔ x = 2. t = 9; 3 x = 9;
(t = 3x) t > 0 ⇔
б) 100x– 11⋅10x+ 10 = 0 ⇔ 102x– 11⋅10x+ 10 = 0 ⇔ t2– 11t + 10 = 0 10 x = 1, t = 1, x = 0, ⇔ x ⇔ 10 = 10; t = 10; x = 1.
(t = 10x) t > 0 ⇔
в) 36x – 4⋅6x – 12 = 0 ⇔ 62x – 4⋅6x – 12 = 0 ⇔ t2 – 4t – 12 = 0 t = −2, ⇔ t = 6;
(t = 6x) t > 0 ⇔
6 x = −2 − не подходит, ⇔ 6 x = 6 ⇔ x = 1. 6 x = 6;
г) 49x – 8⋅7x + 7 = 0 ⇔ 72x – 8⋅7x + 7 = 0 ⇔ t2 – 8t + 7 = 0 7 x = 1, t = 1, x = 0, ⇔ x ⇔ t = 7 ; 7 = 7 ; x = 1.
(t = 7x) t > 0 ⇔ 465.
2 x+y x+y x + y = 2, x = 2 − y, x = 3, а) 4x + 2 y −=1 16, ⇔ x4+ 2 y −1= 4 ,0 ⇔ ⇔ ⇔
4
= 1;
4
=4 ;
x + 2 y = 1;
y = −1;
y = −1.
62
www.5balls.ru
63x − y = 6 , 63x − y = 6 0,5 , 3x − y = 0,5, y = 3x − 0,5, x = 0, 1 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ y − 2x y − 2x − 0,5 = 2 − = − = y 2 x 0 , 5 ; x 0 ; = 2 2 ; y = −0,5. 2
б)
1 2y − x 32 y − x = 3− 4 , 3 = , 2 y − x = −4, y = −3, x = −2, ⇔ ⇔ ⇔ 81 ⇔ x − y + 2 3 = 33 ; x − y + 2 = 3; x = y + 1; y = −3. 3 x − y + 2 = 27;
в)
1 4 x − y = 25, г) 5 ⇔ 9x − y 7 7 ; =
5 y − 4 x = 5 2 , ⇔ 9x − y 7 = 7 0,5 ;
y − 4 x = 2, ⇔ 9 x − y = 0,5;
x = 0,5, 5x = 2,5, ⇔ y 4 x 2 ; = + y = 4.
466. 1 3
x
а) ≥ 27 ⇔ 3− x ≥ 33 ⇔ − x ≥ 3 ⇔ x ≤ −3. x
( )x ≤ 361 ⇔ 6 2 ≤ 6 − 2 ⇔ x2 ≤ −2 ⇔ x ≤ −4.
б) 6
в) 0,2 x ≤
x
2
1 1 1 ⇔ ≤ ⇔ x ≥ 2. Ответ: 25 5 5
г) (1,5)x < 2,25 ⇔ (1,5)x < 1,52 ⇔ x < 2. Ответ: 467. а) 45-2x ≤ 0,25 ⇔ 45-2x ≤ 4-1 ⇔ 5 – 2x ≤ -1 ⇔ x ≥ 3. б) 0,37+4x > 0,027 ⇔ 0,37+4x > 0,33 ⇔ 7 + 4x < 3 ⇔ x < -1. в) 0,42x+1 > 0,16 ⇔ 0,42x+1 > 0,42 ⇔ 2x + 1 < 2 ⇔ x < 0,5. Ответ: (-∞;0,5). г) 32-x < 27 ⇔ 32-x < 33 ⇔ 2 – x < 3 ⇔ x > -1. 468. а) 3x+1 – 2⋅3x-2 = 75 ⇔ 3⋅3x − 1 5
x −1
б)
1 − 5
x +1
7 2 x ⋅3 = 75 ⇔ 2 ⋅ 3 x = 75 ⇔ 3x = 27 ⇔ x = 3. 9 9 x
x
x
x
1 1 4 1 1 1 = 4,8 ⇔ 5 ⋅ − ⋅ = 4,8 ⋅ 4 = 4,8 ⇔ = 1 ⇔ 5 5 5 5 5 5
⇔ x = 0.
63
www.5balls.ru
1 2
x −3
в) 5 ⋅
1 + 2
x +1
x
x
x
1 1 1 = 162 ⇔ 40 ⋅ + 0,5 ⋅ = 162 ⋅ 40,5 = 162 ⇔ 2 2 2
x
1 ⇔ = 4 ⇔ x = −2. 2
г) 5 ⋅ 9 x + 9 x − 2 = 406 ⇔ 5 ⋅ 9 x +
1 x 1 ⋅ 9 = 406 ⇔ 9 x ⋅ 5 = 406 ⇔ 9 x = 81 ⇔ x = 2. 81 81
469. Т.к. функция ах > 0, то мы имеем право делить уравнение на нее. 2 3
а) 2 x − 2 = 3 x − 2 ⇔ 1 3
б)
x −1
1− x
1 = 4
x −2
= 1 ⇔ x − 2 = 0 ⇔ x = 2.
1 ⇔ 3
8 5
в) 5 x +1 = 8 x +1 ⇔
x −1
= 4 x −1 ⇔ 12 x −1 = 1 ⇔ x = 1.
x +1
= 1 ⇔ x = −1 .
г) 7 x − 2 = 4 2 − x ⇔ (28)x − 2 = 1 ⇔ x − 2 = 0 ⇔ x = 2. 470. а) 3 x + 33 − x = 12 ⇔ 3 x + 27 ⋅ 3 − x = 12 ⇔ t 2 − 12t + 27 = 0 ⇔ t = 3, ⇔ ⇔ t = 9;
3 x = 3, ⇔ x 3 = 9;
x = 1, x = 2.
б) 4 x − 2 + 16 = 10 ⋅ 2 x − 2 ⇔ 2 2 x − 2 − 10 ⋅ 2 x − 2 + 16 = 0 ⇔ t 2 − 10t + 16 = 0 t = 2, ⇔ t = 2 x−2 ⇔ t = 8; 1− x
1 5
в)
x
x−2 x − 2 = 1, = 2, 2 ⇔ ⇔ 2 x − 2 = 8; x − 2 = 3;
1 1 − = 4,96 ⇔ 0,2 ⋅ 5 5
−x
x = 3, x = 11.
x
1 − = 4,96 5
x x 2 t = 1 t > 0 ⇔ t 2 + 4,96 t − 0,2 = 0 ⇔ t = −5 − не подходит , ⇔ 1 = 1 ⇔ x = 2. t = 0,04 5 5 5
(
)
г) 4 x − 0,25 x − 2 = 15 ⇔ 4 x − 16 ⋅ 4 − x = 15t t = 4 x ⇔ t > 0 ⇔
64
www.5balls.ru
t = −1 − не подходит, ⇔ t 2 − 15t − 16 = 0 ⇔ ⇔ 4 x = 4 2 ⇔ x = 2. t = 16;
471. 5 x + y = 125,
y = 3 − x, x + y = 3, ⇔ ⇔ ⇔ 2 2 (2x − 3) − 1 = 0; ( x − y) − 1 = 0;
а)
2 4 (x − y ) −1 = 1;
y = 3 − x, y = 3 − x, ⇔ x = 1, ⇔ ⇔ 2 x − 3 = ±1; x = 2;
x = 1, y = 2; x = 2, y = 1.
y = 5 − x, x + y = 5, y = 5 − x, ⇔ x ⇔ 2x ⇔ x y 5− x x = 80; 4 + 4 = 80; 4 + 4 4 − 80 ⋅ 4 + 1024 = 0;
б)
y = 5 − x, y = 5 − x, x ⇔ 4 = 64, ⇔ x = 3, ⇔ x x = 2; 4 = 16; 3 x + 3 y = 12,
в)
x+y = 216; 6
x = 3, y = 2; x = 2, y = 3.
y = 3 − x , ⇔ x ⇔ 3 + 27 ⋅ 3 − x = 12;
y = 3 − x, y = 3 − x, y = 3 − x , x ⇔ 2x ⇔ 3 = 3, ⇔ x = 1, ⇔ 3 − 12 ⋅ 3 x + 27 = 0; x x = 2; 3 = 9; 4 x + y = 128,
г)
3x − 2 y − 3 = 1; 5
x = 1, y = 2; x = 2, y = 1.
2 2( x + y) = 2 7 , 2 x + 2 y = 7, 2 x + 2 y = 7, x = 2, ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − = = 3 x 2 y 3 ; 5 x 10 ; 3x − 2 y = 3; y = 1,5.
472. 2
1 2
а) 2 x > 1 б) 25
2x
<
2x − 3
( 5)
2 x < −3, ⇔ 2 x > 23 − 2x ⇔ x 2 + 2x − 3 > 0 ⇔ x > 1.
x 2 + 3,75
⇔5
− 4x
x 2 + 3,75 x 2 + 3,75 2 <5 ⇔ −4 x < ⇔
2
65
www.5balls.ru
⇔ x 2 + 8x + 3,75 > 0 . x ∈ (-∞; -7,5) ∪ (-0,5; +∞). x2
в) 3
4x + 3
2 x ≥ −3, 1 2 ⇔ 34x + 3 ≤ 3− x ⇔ x 2 + 4x + 3 ≤ 0 ⇔ ≤ 9 x ≤ −1.
Ответ: [-3;-1]. 10 x
1 4
г)
2 2 −x 2
< 64 3
2
⇔ 4 −10 x > 48 − 3x ⇔ 3x 2 − 10x − 8 > 0 ⇔
2 x<− , 2 ⇔ 3 Ответ: − ∞;− ∪ (4; ∞ ). 3 x > 4.
473. 2 3
x
2 3
x −1
а) +
x
б) 2 2x −1 + 2 2x − 2 + 2 2x − 3 < 448 ⇔ 4 3
в)
x +1
x
2 2 > 2,5 ⇔ 2,5 ⋅ > 2,5 ⇔ > 1 ⇔ x < 0. 3 3
x
7 2x ⋅ 2 < 448 ⇔ 4 x < 64 ⋅ 8 ⇔ 4 x < 4 4,5 ⇔ x < 4,5. 8
x
x
x
3 14 3 9 4 4 4 4 ⇔ > ⇔ > ⇔ > − > 3 16 3 3 16 3 16 3 3
г) 3 x + 2 + 3 x −1 < 28 ⇔
−2
⇔ X > −2.
28 x ⋅ 3 < 28 ⇔ 3 x < 3 ⇔ x < 1. 3
474. а) π x − π 2 x ≥ 0 ⇔ π x (1 − π x ) ≥ 0 , т.к. πх > 0 ⇔ π x ≥ 0, ⇔ π x ≤ 1 ⇔ x ≤ 0. Ответ: (-∞;0]. ⇔ 1 − π x ≥ 0; 1 3
б)
2 x −1
1 − 10 ⋅ 3 − x + 3 < 0 ⇔ 3 ⋅ 3
2x
x
1 − 10 ⋅ + 3 < 0 ⇔ 3
1 x 1 > , x < 1, 3 3 Ответ: (-1;1). ⇔ ⇔ x x > −1. 1 3 < 3;
66
www.5balls.ru
2 x > 4,
в) 4 x − 2 x +1 − 8 > 0 ⇔ 2 2 x − 2 ⋅ 2 x − 8 > 0 ⇔
2 x < −2;
⇔ x > 2.
Ответ: (2;∞). x
1 1 − 5 ⋅ 6− x − 6 ≤ 0 ⇔ 36 6
г)
x
1 1 ⇔ ≤ 6 6
−1
2x
1 x ≥ −1, 6 1 ⇔ − 5⋅ − 6 ≤ 0 ⇔ 6 1 x ≤ 6; 6 x
⇔ x ≥ −1. Ответ: [-1;∞).
475. а) 2x ≤ 3 – x; т.к. y = 2x возрастает, а y = 3 – x убывает, следовательно, у них одна точка пересечения А(1;2), и 2x ≤ 3 – x при x ≤ 1.
1 3
x
1 3
x
б) ≤ 2x + 5; т.к. y = – убывает, а y = 2x + 5 – возрастает, то они 1 3
x
пересекаются только в одной точке В(-1;3), и ≤ 2x + 5 при x ≥ -1.
67
www.5balls.ru
1 4
x
1 4
x
в) ≥ 2x + 1; т.к. y =
– убывает, а y = 2x + 1 – возрастает, то они 1 4
x
пересекаются только в одной точке С(0;1), и ≥ 2x + 1 при x ≤ 0.
г) 3x ≥ 4 – x; т.к. y = 3x – возрастает, а y = 4 – x – убывает, то они пересекаются тоьлько в одной точке D(1;3), 3x ≥ 4 – x при x ≥ 1.
37. Логарифмы и их свойства 476. а) log3 9 = 2;
1 8
б) log2 = -3;
в) log4 16 = 2;
г) log5
1 = -2. 25
477. 1 2
а) log9 3 = ;
б) log7 1 = 0;
1 5
в) log32 2 = ;
1 3
г) log3 = -1.
478. 2 3
а) log27 9 = ;
3 5
б) log32 8 = ;
3 4
в) log81 27 = ;
2 3
г) log125 25 = .
479. а) log3
1 1 = -4, 3-4 = ; 81 81
б) log16 1 = 0, 160 = 1;
68
www.5balls.ru
в) log4 16 = 2, 42 = 16;
г) log5 125 = 3, 53 = 125.
480. а) log5 0,04 = -2, 5-2 = 0,04;
б) log7 343 = 3, 73 = 343;
в) lg 0,01 = -2, 10-2 = 0,01;
г) log3
1 1 = -5, 3-5 = . 243 243
481. а) log
2
8 = 6,
( 2 )6 = 8;
б) log
1 27 = −6, 1 3
−6
= 27;
3
1 в) log 1 9 = −2,
= 9;
3
3
г) log0,5 4 = -2, 0,5-2 = 4.
−2
482. 3 14 14 а) log 2 2 128 = , 2 2 3 = 2 2 3
( )
14
3 = 128;
б) log0,2 0,008 = 3, 0,23 = 0,008; в) log
5
0,2 = −2,
( 5 )−2 = 0,2;
г) log0,2 125 = -3, 0,2-3 = 53 = 125.
483. 1 8
1 2
1 3
а) log5 25 = 2, log 5 1 = −1, log 5 5 = ; б) log8 64 = 2, log8 = −1, log8 2 = ; 5
в) log2 16 = 4, log 2
1 1 1 1 = −2, log 2 2 = ; г) log3 27 = 3, log 3 = −2, log 3 3 = . 4 2 9 2
484.
1 а) log3 x = -1, x = 3-1 = ; 3 2
в) log5 x = 2, x = 5 = 125;
б) log 1 x = −3, x = 1 6
6
−3
= 6 3 = 216;
г) log 7 x = −2, x = 7 −2 = 1 . 49
485.
69
www.5balls.ru
1 ; 64
а) log 4 x = −3, x = 4 −3 =
б) log
1 в) log 1 x = 1, x = 1 = 1 ;
7
7
5
x = 0, x =
( 5 )0 = 1;
г) log 1 x = −3, x = 1
7
−3
= 8.
2
2
486. 2 б) log x 1 = 2, x 2 = 1 , x = 1 ;
а) logx 81 = 4, x4 = 34, x = 3;
16
в) log x 1 = −2, x −2 = 2 −2 , x = 2; 4
4
4
г) logx 27 = 3, x3 = 33, x = 3.
487. 1 2
1
1 2
а) log4 x = 2, x = 42 = 16: log4 16 = 2; log4 x = , x = 4 2 = 2 : log 4 2 = ; log4 x = 1, x = 41 = 4: log4 4 = 1; log4 x = 0, x = 40 = 1: log4 1 = 0; 1 3
1 3
б) log3 x = 3, x = 33 = 27: log3 27 = 3; log3 x = -1, x = 3-1 = : log 3 = −1; 1 log3 x = -3, x = 3-3 = 1 : log 3 = −3; log3 x = 1, x = 31 = 3: log3 3 = 1; 27
27
1 2
1 2
в) log2 x = 3, x = 23 = 8: log2 8 = 3; log2 x = , x = 2 : log 2 2 = ; 1 log2 x = 0, x = 20 = 1: log2 1 = 0; log2 x = -1, x = 2-1 = : log 2 1 = −1; 2
г) log5 x = 1, x = 51 = 5: log5 5 = 1; log5 x = -2, x = 5-2 =
2
1 1 : log 5 = −2; 25 25
log5 x = 0, x = 50 = 1: log5 1 = 0; log5 x = 3, x = 53 = 125: log5 125 = 3. 488. а) 1,7
log1,7 2
= 2;
б) π log π 5,2 = 5,2;
в) 2 log 2 5 = 5;
г) 3,8
log 3,8 11
= 11.
489. а) 51+ log 5 3 = 5 ⋅ 5 log 5 3 = 5 ⋅ 3 = 15;
б) 101− lg 2 =
10 10
lg 2
=
10 = 5; 2
70
www.5balls.ru
1+ log 1 2
1 7
в)
=
7
1 1 ⋅ 7 7
log 1 2 7
=
г) 32 − log 3 18 =
1 2 ⋅2 = ; 7 7
9 3
log 3 18
=
9 1 = . 18 2
490. 2
а) 4 2 log 4 3 = 4 log 4 3 = 32 = 9;
1 в) 2
4 log 1 3 2
1 = 2
log 1 3 4 2
б) 5
− 3 log 5
1 1 log 5 2 2 =5
г) 6 −2 log 6 5 = 6 log 6 5
4
= 3 = 81;
−2
−3
1 = 2 = 5 −2 =
−3
= 8;
1 . 25
491. 2 2 2 5 3 3 а) log 3 a b = log 3 a 5 b 15
=
2 2 2 2 = log 3 a 5 + log 3 b 15 = log 3 a + log 3 b = 5 15
log 3 b 2 ; log 3 a + 3 5
10 a б) log 3 6 b5
(
−0,2
1 = log 3 a − 2 ⋅ b 6
1 1 −2 = log 3 a + log 3 b 6 = −2 log 3 a + log 3 b; 6 1
)
1 5
в) log 3 9a 4 5 b = log 3 9 + log 3 a 4 + log 3 b 5 = 2 + 4 log 3 a + log 3 b; г) log 3
b2 27a 7
= log 3 b 2 − log 3 27 − log 3 a 7 = 2 log 3 b − 3 − 7 log 3 a.
492.
1
3
1
1 2
3 2
1 2
а) lg100 ab 3c = lg100 + lg a 2 + lg b 2 + lg c 2 = 2 + lg a + lg b + lg c = = 2+
1 3 lg(ac) + lg b ; 2 2 1
= lg a 5 − lg 0,1 − lg c 2 − lg b 2 = 5 lg a + 1 − 2 lg c − 1 lg b; 0,1c 2 b 2
б) lg
a5
71
www.5balls.ru
1
в) lg 3 10 a 3 b 4 c
−
1 1 1 1 − 2 = lg 10 3 + lg a 3 + lg b 4 + lg c 2 = 1 + 1 lg a + 4 lg b − 1 lg c;
2
0,01c 3
г) lg
1 a 2 b3
3
2
1
= lg 0,01 + lg c 3 − lg a 2 − lg b 3 = −2 +
3
2
2 1 lg c − lg a − 3 lg b. 3 2
493.
1
1
1 2
а) lg10 3 a 4 b 2 c − 3 = lg10 3 + lg a 4 + lg b 2 + lg c − 3 = 3 + 4 lg a + lg b − 3 lg c;
2
б) lg
b3 10 5 a 6 c 5
2
= lg b 3 − lg 10 5 − lg a 6 − lg c 5 =
2
2 lg b − 5 − 6 lg a − 5 lg c; 3 2
2 3
в) lg10 − 4 a 2 b 5 c 3 = lg 10 − 4 + lg a 2 + lg b 5 + lg c 3 = −4 + 2 lg a + 5 lg b + lg c; 7 4 c г) lg 2 7 3 8 10 a b
2 7 = lg c 4 − lg10 7 − lg a 3 − lg b 8 = 7 lg c − 7 − 2 lg a − 8 lg b. 4 3
494. а) log5 72 = log5 8 + log5 9 = 3 log5 2 + 2log5 3 = 3a + 2b; б) log5 15 = log5 5 + log5 3 = 1 + b; в) log5 12 = log5 22 + log5 3 = 2log5 2 + log5 3 = 2a + b; г) log5 30 = log5 2 + log5 3 + log5 5 = a + b + 1. 495. а) lg8 + lg 125 = lg(8⋅125) = lg 103 = 3; б) log 2 7 − log 2
7 = log 2 2 4 = 4; 16
в) log12 4 + log12 36 = log12 122 = 2; г) lg13 – lg 130 = lg 10-1 = -1.
72
www.5balls.ru
496. а) lg 8 + lg18 = lg144 = 2 lg12 = 2; 2 lg 2 + lg 3
lg 12
б)
lg 12
log 3 16 2 log 3 4 = = 2; log 3 4 log 3 4
в) log 2 11 − log 2 44 = log 2 1 = −2; 4
г) log 0,3 9 − 2 log 0,3 10 = log 0,3 9 = log 0,3 0,32 = 2. 100
497. а) 3 log 6 2 + 0,5 log 6 25 − 2 log 6 3 = log 6 8 + log 6 5 − log 6 9 = log 6 40 ; 9
log 6 x = log6
б)
40 4 ,x = 4 ; 9 9
1 1 2 ⋅ c4 ( 5 a ) 1 lg 5a − 3 lg b + 4 lg c = lg(5a ) 2 − lg b 3 + lg c 4 = lg 2 b3
1 (5a ) 2 ⋅ c 4 lg x = lg b3
;
1 4 2 , x = (5a ) ⋅ c ; 3 b 2
1
2
5 3 в) 5 lg m + 2 lg n − 1 lg p = lg m 5 + lg n 3 − lg p 4 = lg m ⋅ n ; 1
3
2 5 3 m n lg x = lg 1 4 p
г)
4
p4
2 5 3 m n , x = ; 1 p4
1 log4 216 – 2log4 10 + 4log4 3 = log4 6 – log4 100 + log4 81 = 4 6 ⋅ 81 = log 4 4,86; log4 x = log4 4,86, x = 4,86. 100
= log 4 498.
73
www.5balls.ru
2
1 1 log 3 + 2 log 3 + 1 log 3 3 2 2 1 1 а) log 1 3 + log 3 + 2 = = + log 3 + 2 = 1 1 2 2 log 3 log 3 2 2 2 1 log 3 + 1 2 =− log 3 2
2
< 0 , откуда log 1 3 + log 3 2
б) 4 log 5 7 = 5 log 5 4
log 5 7
= 5 log 5 7
в) log 3 7 + log 7 3 − 2 = log 3 7 + =
(log 3 7 − 1)2 log 3 7
log 5 4
1 < −2; 2
= 7 log 5 4 ;
log 3 3 (log 3 7 )2 − 2 log 3 7 + 1 = −2= log 3 7 log 3 7
> 0 , откуда log 3 7 + log 7 3 > 2;
г) 3log 2 5 = 2 log 2 3
log 2 5
= 2 log 2 5
log 2 3
= 5 log 2 3.
38. Логарифмическая функция 499. а) 10 – 5x > 0 ⇔ x < 2; D(y) = (-∞;2); x > −3, D(y) = (-3;3); x < 3;
б) 9 – x2 > 0 ⇔
в) x – 4 > 0 ⇔ x > 4; D(y) = (4;∞); x > 4, D(y) = (-∞;-4)∪(4;∞). x < −4;
г) x2 – 16 > 0 ⇔ 500.
x > −2, D(y) = (-2; 3); x < 3;
а) 6 + x – x2 > 0 ⇔ б)
+
-2,5
+ 1
X
2x + 5 > 0; D(y ) = (-∞;-2,5)∪(1;∞); x −1
74
www.5balls.ru
в)
+
−
+
2 3
2,5
2 + 3x 2 + 3x 2 >0⇔ < 0; D(y ) = − ;2,5 . 5 − 2x 2x − 5 3 x < −1, D(y ) = (-∞;-1)∪(3;∞). x > 3.
г) x2 – 2x – 3 > 0 ⇔ 501.
а) log2 3,8 < log2 4,7, т.к. 3,8 < 4,7 и 2 > 1; б) log 1 0,15 > log 1 0,2, 3
3
т.к. 0,15 < 0,2 и
1 <1; 3
в) log3 5,1 > log3 4,9, т.к. 5,1 > 4,9 и 3 > 1; г) log0,2 1,8 > log0,2 2,1, т.к. 1,8 < 2,1 и 0,2 < 1. 502. а) log б) log
2 1 3
3 > 1 = log
1,9 > log
2 1
2 т.к. 3 > 2 и 2 > 1 ;
2,5, т.к. 1,9 < 2,5 и
3
1 <1 ; 3
в) logπ 2,9 < 1 = logπ π, т.к. 2,9 < π и π > 1; г) log 0,7 2 < log 0,7 0,3, т.к. 2 > 0,3 и 0,7 < 1. 503. а) log2 10 > log2 8 = 3, log5 30 < log5 125 = 3 ⇒ log2 10 > log5 30; 1 2
б) log0,3 2 < log0,3 0,3 = , log 5 3 > log 5 5 =
1 ⇒ log 0,3 2 < log 5 3; 2
в) log3 5 > log3 3 = 1, log7 4 < log7 7 = 1 ⇒ log3 5 > log7 4;
75
www.5balls.ru
г) log3 10 > log3 9 = 2, log8 57 < log8 64 = 2 ⇒ log3 10 > log8 57. 504. а) y = log3 x; D(y) = (0;∞), E(y) = R, y(x) возрастает на (0;∞); y(1) = 0, y(3) = 1, y(9) = 2;
б) y = log 1 x; D(y) = (0;∞), E(y) = R, y(x) убывает на (0;∞); 2
1 y = 1, y(1) = 0, y(2) = -1; 2
в) y = log4 x; D(y) = (0;∞), E(y) = R, y(x) возрастает на (0;∞); y(1) = 0, y(4) = 1, y(16) = 2;
г) y = log 1 x; D(y) = (0;∞), E(y) = R, y(x) убывает на (0;∞); 3
1 y = 1, y(1) = 0, y(3) = -1, y(9) = -2. 3
76
www.5balls.ru
505. а) sinx > 0 при 2πk < x < π + 2πk, k ∈Z; D(y) = (2πk;π + 2πk/k ∈ Z); б) 2x – 1 > 0 ⇔ 2x > 20 ⇔ x > 0; D(y) = (0;∞); в) cos x > 0 при −
π π + 2πn < x < + 2πn , n ∈ Z; 2 2
π π D(y ) = − + 2πn; + 2 πn n∈Z ; 2 2
г) 1 – 3x > 0 ⇔ 3x < 30 ⇔ x < 0; D(y) = (-∞;0). 506. а) log 2 2 sin
π π 2π ; + log 2 cos = log 2 sin 15 15 15
)
(
)
(
(
)
б) log 4 3 7 − 2 3 + log 4 3 49 + 3 21 + 3 9 = log 4 3 7 − 3 3 3 7 2 + 3 7 ⋅ 3 + 3 3 =
= log 4 4 = 1;
в) lg tg4 + lg ctg4 = lg tg4ctg4 = lg 1 = 0;
(
)
(
)
г) log π 5 + 2 6 + log π 5 − 2 6 = log π (25 − 24) = log π 1 = 0; 507. а) y = log3(x – 2);
77
www.5balls.ru
б) y = − log 1 x; 2
в) y = log2 (x + 1);
г) y = log 1 x + 2; 3
508. а) log3 x = 2log9 6 – log9 12 ⇔ log3 x = log9 3 ⇔ log3 x = б) log 1 x = log 0,2 35 − 2 log 0,2 25 7 ⇔ log 1 x = log 0,2 2
2
⇔ log 1 x = log 0,2 0,008 ⇔ log 1 x = 3 ⇔ x = 2
2
1 ⇔ x = 3. 2
35 ⇔ 625 ⋅ 7
1 . 8
1 2
в) log 5 x = log 3 144 + log 3 0,75 ⇔ log 5 x = log 3 (12 ⋅ 0,75) ⇔ log 5 x = 2 ⇔ x = 25. 1 2
г) log π x = 3 log 0,1 4 + 2 log 0,1 1 ⇔ log π x = log 0,1
64 ⋅ 25 1 ⇔ log π x = −2 ⇔ x = . 16 π2
509.
78
www.5balls.ru
В этом номере всегда одна функция возрастает, авторая убывает, вследствии чего они могут пересекаться лишь в одной точке. а) lg x = 1 – x; Графики функций y = lgx и y = 1 – x пересекаются в т.А(1;0), т.о. x = 1.
б) log 1 x = x − 4; Графики функций y = x – 4 и y = log 1 x пересекаются в 3
3
т.В(3,-1), т.о. x = 3.
в) log 1 x = x − 6; 5
Графики функций y = x – 6 и y = log 1 x пересекаются в т.С(5,-1), т.о. x = 5; 5
г) log2 x = 3 – x; Графики функций y = log2 x и y = 3 – x пересекаются в т.D(2;1), т.о. x = 2.
79
www.5balls.ru
510. а) нет; б) нет; в) нет; г) нет. 511. а) f ( x ) = log 1 x убывает на D(f), поэтому max f ( x) = f (1) = 0, min f ( x ) = f (4) = −1; [1;4]
4
[1;4]
б) f(x) = log9 x возрастает на D(f) поэтому 1 min f ( x ) = f = −1, max f ( x ) = f (9) = 1; 1 ;9 9
1 ;9 9
9
в) f(x) = log5 x возрастает на D(f) поэтому 1 min f ( x ) = f = −1, max f ( x ) = f ( x ) = 0; 1 5
1 5 ;1
5 ;1
г) f(x) = log 1 x убывает на D(f) поэтому 2
1 max f ( x ) = f = 1, min f ( x ) = f (4) = −2. 1 2
1 2 ;4
2 ;4
39. Решение логарифмических уравнений и неравенств 512. а) 9x = 0,7 ⇔ log9 9x = log9 0,7 ⇔ x = log9 0,7. б) (0,3)x = 7 ⇔ log0,3 (0,3)x = log0,3 7 ⇔ x = log0,3 7. в) 2x = 10 ⇔ log2 2x = log2 10 ⇔ x = log2 10. г) 10x = π ⇔ lg10x = lgπ ⇔ x = lgπ. 513. а) log5 x = 2 ⇔ x = 52 ⇔ x = 25.
80
www.5balls.ru
б) log0,4 x = -1 ⇔ x = (0,4)-1 ⇔ x = 2,5. 1 2
в) log 9 x = − ⇔ x = 9
−
1 2 ⇔ x = 1.
3
;
г) lgx = 2 ⇔ x = 102 ⇔ x = 100. 514. 1 2
а) log 1 (2x − 4) = −2 ⇔ 2x − 4 = 2
−2
⇔ 2 x − 4 = 4 ⇔ x = 4. x = −3, x = 1.
б) logπ (x2 + 2x + 3) = logπ 6 ⇔ x2 + 2x + 3 = 6 ⇔ x2 + 2x – 3 = 0 ⇔ в) log0,3(5 + 2x) = 1 ⇔ 5 + 2x = 0,3 ⇔ x = -2,35. г) log2(3 – x) = 0 ⇔ 3 – x = 1 ⇔ x = 2. 515. а) (0,2)4-x = 3 ⇔ 4 – x = log0,2 3 ⇔ x = 4 – log0,2 3. 2
б) 5 x = 7 ⇔ x 2 = log 5 7 ⇔ x = ± log 5 7 . 1 3
в) 32 − 3x = 8 ⇔ 2 − 3x = log 3 8 ⇔ x = (2 − log 3 8). 1 2
г) 7 2 x = 4 ⇔ 2x = log 7 4 ⇔ x = log 7 4. 516. а) log3 x > 2 ⇔ log3 x > log3 9 ⇔ x > 9. x < 25, Итого: (0;25). x > 0.
б) log0,5 x > -2 ⇔ log0,5 x > log0,5 25 ⇔
в) log0,7 x < 1 ⇔ log0,7 x < log0,7 0,7 ⇔ x > 0,7. x < 6,25, Итого: (0;6,25). x > 0.
г) log2,5 x < 2 ⇔ log2,5 x < log2,5 6,25 ⇔ 517.
x − 2 < 16, x < 18, ⇔ − > x 2 0 ; x > 2.
а) log4(x – 2) < 2⇔log4(x – 2) < log416⇔
81
www.5balls.ru
Итого: (2;18). б) log 1 (3 − 2x ) > −1 ; log 1 (3 − 2x ) > log 1 3 ⇔ 3 − 2x < 3 ⇔ x > 0. 3
3
3
в) log5(3x + 1) > 2 ⇔ log5(3x + 1) > log5 25 ⇔ 3x + 1 > 25 ⇔ x > 8. г) log 1 (4x + 1) < −2 ⇔ log 1 (4x + 1) < log 1 49 ⇔ 4x + 1 > 49 ⇔ x > 12. 7
7
7
518. а) loga x = 2loga 3 + loga 5 ⇔ loga x = loga 45 ⇔ x = 45 при a > 0 и a ≠ 1. б) lg(x – 9) + lg(2x – 1) = 2 2x 2 − 19 x − 91 = 0, x = −3,5 − не подходит, ( x − 9)(2 x − 1) = 100, ⇔ ⇔ x = 13. ⇔ > x 9 , − > x 9 0 , x = 13; x > 0,5; 2 x − 1 > 0; x > 9.
в) loga x = loga 10 – loga 2 ⇔ loga x = loga 5 ⇔ x = 5 при a > 0 и a ≠ 1. г) log3(x + 1) + log3(x + 3) = 1 x 2 + 4 x + 3 = 3, ( x + 1)(x + 3) = 3, x ( x + 4) = 0; ⇔ ⇔ ⇔ x > −1, x + 1 > 0, x > −1; x > −3; x + 3 > 0; x = −4 − не подходит, ⇔ x = 0. ⇔ x = 0; x > − 1.
519. 1 2
1 2
а) log 2 ( x − 4) + log 2 (2x − 1) = log 2 3 ⇔ ( x − 4)(2 x − 1) = 9, ⇔ x − 4 > 0, ⇔ 2 x − 1 > 0;
2 x 2 − 9 x − 5 = 0, ⇔ x > 4;
x = −0,5 − не подходит , ⇔ x = 5. x = 5; x > 4;
б) lg(3x2 + 12x + 19) – lg(3x + 4) = 1 ⇔
82
www.5balls.ru
3x 2 + 12 x + 19 = 10, 3x + 4 ⇔ 3x 2 + 12 x + 19 > 0, ⇔ 3x + 4 > 0; x = 7, x = −1; ⇔ ⇔ 4 x > − 3 ;
3x 2 + 12 x + 19 = 30 x + 40, ⇔ 4 x > − ; 3
3x 2 − 18x − 21 = 0, ⇔ 4 x > − ; 3
x = 7, x = − 1.
в) lg(x2 + 2x – 7) – lg(x – 1) = 0 ⇔ x 2 + 2 x − 7 = x − 1, ⇔ ⇔ x 2 + 2 x − 7 > 0, x − 1 > 0;
x 2 + x − 6 = 0, x < −1 − 2 2 , ⇔ x > −1 + 2 2 ; x > 1;
x = −3, x = 2; ⇔ x = 2. x > −1 + 2 2 ;
г) log5(x2 + 8) – log5(x + 1) = 3log5 2 x2 + 8 = 8, ⇔ x +1 ⇔ x + 1 > 0;
x = 0, x 2 − 8x = 0, x = 0, ⇔ x = 8; ⇔ x > −1; x = 8. x > −1;
520. 1 log 4 x = −1,5, x= , ⇔ 8 log 4 x = 1; x = 4.
а) log 24 x + log 4 x − 1,5 = 0 ⇔ log 24 x + 0,5 log 4 x − 1,5 = 0 ⇔
б) lg2 x – lg x2 + 1 = 0 ⇔ lg2 x – 2lg x + 1 = 0 ⇔ (lg x – 1)2 = 0 ⇔ lg x = 1 x = 10. 1 log 5 x = −1, x= , ⇔ 5 log 5 x = 2; x = 25.
в) log 52 x − log 5 x = 2 ⇔ log 52 x − log 5 x − 2 = 0 ⇔
1 log 3 x = −1, x= , ⇔ 3 log 3 x = 3; x = 27.
г) log 32 x − 2 log 3 x − 3 = 0 ⇔ 521.
83
www.5balls.ru
x + y = 7, ⇔ lg x + lg y = 1;
а)
y = 7 − x, ⇔ lg x + lg(7 − x ) = lg 10;
x = 2, y = 7 − x, y = 7 − x, y = 7 − x, 2 y = 5; x (7 − x ) = 10, x − 7 x + 10 = 0, ⇔ ⇔ x = 2, ⇔ ⇔ > x 0 , > x 0 , x = 5; x = 5, x < 7; y = 2; 7 − x > 0;
log ( x + y) = 2, б) 4 ⇔ log 3 x + log 3 y = 2 + log 3 7;
log 4 ( x + y) = log 4 16, log 3 ( xy) = log 3 63, ⇔ x > 0, y > 0;
x + y = 16, xy = 63, ⇔ x > 0, y > 0;
y = 16 − x , x = 7, y = 16 − x , y = 16 − x , 2 x = 7, − = x ( 16 x ) 63 , x − 16 x + 63 = 0, y = 9; ⇔ ⇔ x = 9; ⇔ ⇔ > x 0 , x > 0, x = 9, y > 0; y > 0; x > 0, y = 7. y > 0; y = 34 − x , x + y = 34, log xy = log 2 64, в) ⇔ 2 ⇔ + = log x log y 6 ; 2 2 x > 0, y > 0; y = 34 − x , y = 34 − x , 2 x = 2, x − 34 x + 64 = 0, ⇔ ⇔ ⇔ x > 0, x = 32; y > 0; x > 0, y > 0;
log 4 x − log 4 y = 0,
г)
x 2 − 5y 2 + 4 = 0;
y = 34 − x , log 2 ( x )(34 − x ) = log 2 64, ⇔ x > 0, y > 0;
x = 2, y = 32; x = 32, y = 2.
x = y, y = x, ⇔ x 2 − 5y 2 + 4 = 0, ⇔ 4 − 4x 2 = 0, ⇔ x > 0, y > 0; x > 0, y > 0;
y = x, x = 1, x = −1 − не подходит, ⇔ ⇔ x = 1 ; y = 1. x > 0, y > 0;
522.
84
www.5balls.ru
а)
1 6 lg x + 5 + 6 lg x + 6 − (lg x + 1)(lg x + 5) + =1⇔ =0⇔ lg x + 1 lg x + 5 (lg x + 1)(lg x + 5)
lg x = −2, lg 2 x − lg x − 6 = 0, lg x = 3; lg 2 x − lg x − 6 ⇔ ⇔ lg x ≠ −1, ⇔ = 0 ⇔ lg x ≠ −1, (lg x + 1)(lg x + 5) lg x ≠ −5; lg x ≠ −5;
б) log 2
⇔
x = 4
x = 0,01, x = 1000.
15 15 ⇔ ⇔ log 2 x − 2 = x log 2 x − 4 log 2 − 1 8
(log 2 x − 2)(log 2 x − 4) − 15 = 0 ⇔ log 22 x − 6 log 2 x − 7 = 0 ⇔ log 2 x − 4
log 2 x − 4
log 2 x = −1, log 2 x − 6 log x − 7 = 0, x = 0,5, 2 ⇔ 2 ⇔ log 2 x = 7; ⇔ log 2 x ≠ 4; x = 128. log 2 x ≠ 4;
в)
2 lg x 2 lg x − lg(5x − 4) =1⇔ =0⇔ lg(5x − 4 ) lg(5x − 4)
x2 x2 = 1, lg = 0, x 2 − 5x + 4 = 0, 5x − 4 5x − 4 ⇔ ⇔ x > 0,8; ⇔ lg(5x − 4) ≠ 0, ⇔ x > 0,8; x ≠ 1; x > 0, 5x − 4 ≠ 1; 5x − 4 > 0; x = 1 − не подходит, x = 4; ⇔ x > 0,8, ⇔ x = 4. x ≠ 1;
г)
1 5 lg x + 2 + 5 lg x − 30 − (lg x − 6)(lg x + 2) + =1⇔ =0⇔ (lg x − 6)(lg x + 2) lg x − 6 lg x + 2
85
www.5balls.ru
lg x = 2, lg 2 x − 10 lg x + 16 = 0, lg x = 8; lg 2 x − 10 lg x + 16 ⇔ = 0 ⇔ lg x ≠ 6, ⇔ lg x ≠ 6, ⇔ (lg x − 6)(lg x + 2) lg x ≠ −2; lg x ≠ −2;
x = 100, 8 x = 10 .
523. а) log a x = log log a x = log a
a
2 + log 1 3 ⇔ log a x = log a 4 − log a 3 a
4 4 ⇔x= при a > 0, a ≠ 1. 3 3
б) 3 − 6 log 2 x + 7 log x log 4 2 7 4 4 − log 4 x + = 0, 7 = 0, 6 log x 2 − log 4 x + = 0 ⇔ log 4 x ⇔ ⇔ 6 log 4 x 6 x ≠ 1, x > 0; x ≠ 1, x > 0; 1 log 4 x = − , 3 6 log 2 x − 7 log x − 3 = 0, 4 4 ⇔ ⇔ 3 ⇔ log x = ; x ≠ 1, x > 0; 4 2 x ≠ 1, x > 0;
1 x = 3 , 4 x = 8.
в) log 3 x − 2 log 1 x = 6 ⇔ log 3 x − 2 log 3 x = 6 ; log 3 x = 2 ⇔ x = 9. 3
г) log 25 x + log 5 x = log 1 8 ⇔ log 5 x + 2 log 5 x + 2 log 5 8 ; 5
log 5 x = log 5
1 1 ⇔x= . 2 2
524. а) log2(9 – 2x) = 3 – x ⇔ 23-x = 9 – 2x ⇔ 2x + 8⋅2-x – 9 = 0 ⇔ 2 x = 1,
⇔ 22x – 9⋅2x + 8 = 0 ⇔
2 x = 8;
x = 0, ⇔ x = 3.
б) log2(25x+3 – 1) = 2 + log2(5x+3 + 1) ⇔ log2(52x ⋅56 – 1) = log2(4⋅5x+3 + 4) ⇔
86
www.5balls.ru
3125 ⋅ 5 2 x − 100 ⋅ 5 x − 1 = 0, 15625 ⋅ 5 2 x = 500 ⋅ 5 x + 5, ⇔ ⇔ ⇔ 25 x > 25 − 3 ; 15625 ⋅ 5 2 x > 1; 5 x = −0,008 − не подходит , ⇔ 5 x = 0,04; ⇔ x = −2. x > −3; 2 ⋅ 4 x − 2 − 1 = 4 2 x − 4 ,
в) log4(2⋅4x-2 – 1) = 2x – 4⇔
2 ⋅ 4 x − 2 − 1 > 0;
(
1 1 ⋅ 4 2 x − ⋅ 4 x + 1 = 0, 8 ⇔ 256 ⇔ 2 2( x − 2) > 2 −1 ;
)
2 x 4 x = 4 2 , ⇔ 4 − 16 = 0, ⇔ ⇔ x = 2. x > 1,5; 2x − 4 > −1;
г) log2(4x + 4) = log2 2x + log2(2x+1 – 3) ⇔ log2(4x + 4) = log2(2⋅4x – 3⋅2x) ⇔ 2 2 x − 3 ⋅ 2 x − 4 = 0, 4 x + 4 = 2 ⋅ 4 x − 3 ⋅ 2 x , ⇔ ⇔ ⇔ 3 x 2 x +1 − 3 > 0; 2 > ; 2 2 x = −1 − не подходит, x ⇔ 2 = 4; ⇔ 2 x = 4 ⇔ x = 2. x 3 2 > ; 2
525. 2 x − 3 > x + 1,
а) lg(2x – 3) > lg(x + 1) ⇔ 2x − 3 > 0, x + 1 > 0;
x > 4, ⇔ x > 1,5, ⇔ Итого: (4;∞). x > −1;
2x − 4 < x + 1,
б) log0,3(2x – 4) > log0,3(x + 1) ⇔ 2x − 4 > 0, x + 1 > 0;
x < 5, ⇔ x > 2, x > −1;
Итого: (2;5). 3x − 7 > 0, в) lg(3x – 7) ≤ lg(x + 1) ⇔ x + 1 > 0, ⇔ 3x − 7 ≤ x + 1;
1 x > 2 3 , x > −1, ⇔ x ≤ 4;
1 x > 2 , 2 x ≤ 4.
87
www.5balls.ru
Итого: 2 ;4. 1 3
x > 3, 4x − 7 > x + 2, 3 г) log0,5(4x – 7) < log0,5(x + 2) ⇔ 4x − 7 > 0, ⇔ x > 1 , ⇔ x > 3. 4 x + 2 > 0; x > −2;
526. а) log0,5 x > log2(3 – 2x) ⇔ log 2 1 > log 2 (3 − 2 x ) ⇔ x
0 < x < 0,5, 1 − 3x + 2x 2 1 2( x − 0,5)( x − 1) > 0, > 0, x > 3 − 2x, x > 1; x x ⇔ x > 0, ⇔ x > 0, ⇔ x > 0, ⇔ x > 0, ⇔ 3 − 2x > 0; x < 1,5; x < 1,5; x < 1,5;
0 < x < 0,5, ⇔ 1 < x < 1,5.
Итого: (0;0,5)∪(1;1,5).
б) logπ(x + 1) + logπ x < logπ 2 ⇔ x 2 + x − 2 < 0, log π x ( x + 1) < log π 2, x > −2, x < 1, Итого: (0;1). ⇔ x > −1, ⇔ x < 1, ⇔ ⇔ x + 1 > 0, x > 0. x > 0; x > 0; x > 0; x 2 − x − 6 < 0, lg x ( x − 1) < lg 6, в) lg x + lg(x – 1) < lg6 ⇔ x > 0, ⇔ x > 0, ⇔ x − 1 > 0; x > 1; x > −2, x < 3, ⇔ x < 3, ⇔ x > 1. x > 1;
Итого: (1;3).
x 2 − x − 12 < 8,
г) log2(x2 – x – 12) < 3 ⇔ log2(x2 – x – 12) < log2 8 ⇔
x 2 − x − 12 > 0;
⇔
88
www.5balls.ru
x > −4, x 2 − x − 20 < 0, − 4 < x < −3, x < 5; ⇔ x < −3, ⇔ ⇔ x 3 , < − 4 < x < 5. x > 4; x > 4;
Итого: (-4;-3)∪(4;5). 527. а) log 22 x − log 2 x ≤ 6 ⇔ log 22 x − log 2 x − 6 ≤ 0 ⇔ 1 log x ≥ −2, 1 x ≥ , ⇔ 2 ⇔ 4 Итого: ;8. log x ≤ 3 ; 4 2 x ≤ 8.
б) log 21 3
log 1 x > 2, 3 x−4>0⇔ ⇔ log 1 x < −2; 3
1 1 log 1 x > log 1 9 , x < , 9 3 3 ⇔ > x 9 ; log 1 x < log 1 9; > x 0 . 3 3
1 9
Итого: 0; ∪ (9; ∞ ).
x > 10, lg x > 1, ⇔ x < 0,001; lg x < −3; x > 0.
в) lg2 x + 2 lg x > 3 ⇔ lg2 x +2lg x – 3 > 0 ⇔ Итого: (0;0,001)∪(10;∞).
log 3 x ≤ log 3 27, log x ≤ 3, ⇔ г) log 32 x − 9 ≤ 0 ⇔ 3 ⇔ log 3 x ≥ log 3 1 ; log 3 x ≥ −3;
27
x ≤ 27, 1 , x ≥ 27 x > 0.
1 ;27 . 27
Итого: 528.
sin x x 1 а) log 2 sin < −1 ⇔ log 2 sin < log 2 ⇔ 2 2 2 sin
x 1 < , 2 2 x > 0; 2
89
www.5balls.ru
x π 5π ∈ 2πn; + 2πn ∪ + 2πn; π + 2πn ; 2 6 6 π 5π x ∈ 4πn; + 4πn ∪ + 4πn; 2π + 4πn 3 3 3 − log 2 x < 2, log 2 x > log 2 2, x > 2, ⇔ ⇔ 3 − log x > − 2 ; log x log 32 ; < 2 2 x < 32, 2
б) 3 − log 2 x < 2 ⇔ Итого: (2;32).
1 1 cos 2x < , ⇔ 2 ⇔ 2 cos 2x > 0; 2
в) log 1 cos 2x > 1 ⇔ log 1 cos 2x > log 1 2
2
π π π π − 2 + 2πk < 2 x < − 3 + 2πk , − 4 + πk < x < − 6 + πk , ⇔ π + 2πk < 2 x < π + 2πk , k ∈ Z; π + πk < x < π + πk , k ∈ Z. 3 6 2 4 π π π π + πk;− + πk ∪ + πk; + πk , k ∈ Z. 4 6 6 4
Итого: −
x < 10, 1 lg x < 1, − г) 3 lg x − 1 < 2 ⇔ 3 lg x − 1 < 2, ⇔ 1 ⇔ x > 10 3 , 3 lg x − 1 > −2; x > 0. lg x > − 3 ;
1
Итого:
3 10
;10 .
529. 1 1 2 x = 9 9 , x + y = 9 , 1 log 1 ( x + y) = 2, 8 log 1 ( x + y) = log 1 9 , а) 3 ⇔ 3 ⇔ x − y = 9, ⇔ 2 y = −8 , ⇔ 3 9 log ( x − y) = 2; x + y > 0, 3 log 3 ( x − y) = log 3 9; x + y > 0, x − y > 0; x − y > 0;
5 x = 4 9 , y = −4 4 . 9
90
www.5balls.ru
x = 6, lg(x 2 + y 2 ) = lg 100, x 2 + y 2 = 100, lg(x 2 + y 2 ) = 2, y = 8; б) ⇔ log 48 xy = log 48 48, ⇔ xy = 48, ⇔ log 48 x + log 48 y = 1; x > 0, y > 0; x > 0, y > 0; x = 8, y = 6.
log 1 x + log 1 y = 2,
log 1 x = 3, 1 , x = 3 ⇔ ⇔ 27 log x − log y = 4 ; log y = − 1 ; 1 1 1 y = 3; 3 3 3
в)
3
3
lg(x 2 + y 2 ) = lg 130, x 2 + y 2 = 130, lg(x 2 + y 2 ) = 1 + lg 13, x + y x + y = 8x − 8 y, г) ⇔ ⇔ lg = lg 8, ⇔ lg(x + y) = lg(x − y) + lg 8; x − y x + y > 0, x − y > 0; x + y > 0, x − y > 0; 2 49 2 x 2 = 81, x + 81 x = 130, 7 x = −9, y = −7 − не подходит , y = 7 x, y = x, ⇔ ⇔ ⇔ 9 9 x = 9, y = 7. x + y > 0, x + y > 0, x − y > 0; x − y > 0;
Итого: (9;7). 530. 2x + y = 4, y = 4 − 2x, 32x + y = 34 , 2 2 ⇔ ⇔ + = ⇔ ( x y ) 9 x , (4 − x) = 9x, ⇔ (x + y) 2 2 lg(x + y) − lg x = 2 lg 3; lg x > 0; = lg 9; x > 0; x 3y ⋅ 9x = 81,
а)
y = 4 − 2x, y = 4 − 2x, ⇔ ⇔ x 2 − 17 x + 16 = 0, ⇔ x = 1, x = 16; x > 0;
x = 1, y = 2; x = 16, y = −28.
x + y = 5, x + y = 5, 2 2 2 101+ lg( x + y) = 50, lg(x − y ) = lg 20, x − y 2 = 20, б) ⇔ ⇔ ⇔ lg(x + y) + lg(x − y) = 2 − lg 5; x + y > 0, x + y > 0, x − y > 0; x − y > 0;
91
www.5balls.ru
2x = 9, x + y = 5, − = x y 4 , x = 4,5, 2 y = 1, ⇔ ⇔ ⇔ + > + > x y 0 , x y 0 , y = 0,5. x − y > 0; x − y > 0; 3 x ⋅ 2 y = 576, 3 x ⋅ 2 y = 576, 3 x ⋅ 2 y = 576, в) ⇔ ⇔ y − x = 4, ⇔ − = − = log ( y x ) 4 ; log ( y x ) log 4 ; y − x > 0; 2 2 2 6 x = 36, 3 x ⋅ 2 x + 4 = 576, x = 2, ⇔ ⇔ ⇔ y = 4 + x; y = 4 + x; y = 6. 3 x 13x = 117, 2 x − 3y = 0, lg y = lg 2 , lg x − lg y = lg 15 − 1, x = 9, 13y = 78, 3x + 2 y = 39, ⇔ г) lg(3x + 2 y) ⇔ ⇔ 3x + 2 y = 39; ⇔ 10 = 39; y = 6. x > 0, x > 0, x > 0, y > 0; y > 0; y > 0;
40. Понятие об обратной функции 531. а) f(x) = 2x + 1; D(f) = E(f) = R; y = 2x + 1, x =
y −1 x −1 – обратная ; g( x ) = 2 2
для f(x); D(g) = E(g) = R; 1 2
б) f(x) = x - 1; D(f) = E(f) = R; y =
1 x − 1, x = 2y + 2; 2
g(x) = 2x + 2 – обратная для f(x); D(g) = E(g) = R; в) f(x) = -2x + 1; D(f) = E(f) = R; y = -2x + 1, x = g(x) =
1− y ; 2
1− x – обратная для f(x); D(g) = E(g) = R; 2 1 2
1 2
г) f(x) = − x − 1; D(f) = E(f) = R; y = − x − 1, x = -2y – 2; g(x) = -2x – 2 – обратная для f(x); D(g) = E(g) = R. 532. 1 x
1 x
1 y
а) f ( x ) = − ; D(f) = E(f) = (-∞;0)∪(0;∞); y = − , x = − ;
92
www.5balls.ru
g(x) = −
1 – обратная для f(x); D(g) = E(g) = (-∞;0)∪(0;∞); x
б) f(x) = 2x2(x ≥ 0); D(f) = E(f) = [0;∞); y = 2x2, x =
y ; 2
g(x) =
x – обратная для f(x); D(g) = E(g) = [0;∞); 2
в) f ( x ) =
x 2 =1− ; D(f) = (-∞;-2)∪(-2;∞), E(f) = (-∞;1)∪(1;∞); x+2 x+2
y=
2x 2y x ; g(x) = – обратная для f(x); ,x = 1− x 1− y x+2
D(g) = E(f) = (-∞;1)∪(1;∞), E(g) = D(f) = (-∞;-2)∪(-2;∞); г) f(x) = x + 1; D(f) = [-1;∞), E(f) = [0;∞); y = x + 1, x = y2 – 1; g(x) = x2 – 1 – обратная для f(x); D(g) = E(f) = [0;∞), E(g) = D(f) = [-1;∞). 533. а) f(x) = 2x3 + 1; y = 2x3 + 1, x = 3 g(x ) = 3
y −1 ; 2
x −1 – обратная к f(x). 2
б) f(x) = (x + 1)2, x ∈ (-∞;-1]; y = (x + 1)2, x = -1 – y ; g(x) = -1 – x – обратная к f(x).
93
www.5balls.ru
в) f(x) = -2x3 + 1; y = -2x3 + 1, x = 3 g(x) = 3
1− y ; 2
1− x – обратная к f(x). 2
г) f(x) = (x – 1)2, x ∈ [1;∞); y = (x – 1)2, x = 1 + y ; g(x) = 1 + x – обратная к f(x).
534. а) g(-2) = -4, g(1) = 0,5, g(3) = 1,5.
б) g(-2) = 1, g(1) = -1, g(3) = -3.
D(g) = [-2;8], E(g) = [-4;4].
D(g) = [-6;4], E(g) = [-4;3].
в) g(-2) = -2, g(1) = -0,5, g(3) = 1.
г) g(-2) = 4, g(1) = 0, g(3) = -1.
D(g) = [-6;7], E(g) = [-4;5].
D(g) = [-3;7], E(g) = [-3;5].
94
www.5balls.ru
535. а) f(x) = x2 + 1, x ≤ 0; т.к. f(x) убывает на (-∞;0], то на (-∞; 0] существует g(x), обратная к f(x); y = x2 + 1, x = − y − 1; g ( x ) = − x − 1 , D(g) = [1;∞), E(g) = (-∞;0].
б) f(x) = 2x, (-∞;∞); т.к. f(x) возрастает на R, то на R существует g(x), обратная к f(x); y = 2x, x =
1 y; 2
1 2
g(x) = x, D(g) = E(g) = R.
95
www.5balls.ru
в) f(x) = 4 x , x ≥ 0; т.к. f(x) возрастает на [0;∞), то на [0; +∞) существует g(x), обратная к f(x); y = 4 x , x = y 4 ; g(x) = x4, D(g) = [0,∞), E(g) = [0;∞).
г) f(x) = x3 + 1, (-∞;∞); т.к. f(x) возрастает на R, то на R существует g(x), обратная к f(x); y = x3 + 1, x = 3 y − 1; g(x) = 3 x − 1, D(g) = E(g) = R.
536. π π
π π
π π
а) f(x) = sinx, x ∈ − ; ; т.к. f(x) возрастает на − ; , то на − ; 2 2 2 2 2 2 существует g(x), обратная к f(x); π π
y = sin x, x = arcsin y; g(x) = arcsin x, D(g) = [-1;1], E(g) = − ; . 2 2
96
www.5balls.ru
π π 2 2
π π 2 2
б) f(x) = tgx, x ∈ − ; ; т.к. f(x) возрастает на − ; , то на π π 2 2
x ∈ − ; существует g(x), обратная к f(x); π π 2 2
y = tg x, x = arctg y; g(x) = arctg x, D(g) = R, E(g) = − ; .
в) f(x) = cos x; т.к. f(x) убывает при x ∈ [0;π], то на [0;π] существует g(x), обратная к f(x); y = cos x, x = arccos y; g(x) = arccos x, D(g) = [-1;1], E(g) = [0;π].
г) f(x) = ctgx, x ∈ (0;π); т.к. f(x) убывает на (0;π), то на (0;π) существует g(x), обратная к f(x); y = ctg x, x = arcctg y; g(x) = arcctg x, D(g) = R, E(g) = (0;π).
97
www.5balls.ru
§ 11. Производная показательной и логарифмической функции 41. Производная показательной и логарифмической функции 537. а) ln3 ≈ 1,0986, ln5,6 ≈ 1,7228, ln1,7 ≈ 0,5306; б) ln8 ≈ 2,0794, ln17 ≈ 2,8332, ln1,3 ≈ 0,2624; в) ln2 ≈ 0,6931, ln35 ≈ 3,3551, ln1,4 ≈ 0,3365; г) ln7 ≈ 1,9459, ln23 ≈ 3,1355, ln1,5 ≈ 0,4055. 538.
(
)′
б) y`= (2x + 3e − x )′ = 2 − 3e − x ;
а) y`= 4e x + 5 = 4e x ;
1 2
′
г) y`= (5e − x − x 2 )′ = −5e − x − 2x.
1 2
в) y`= 3 − e x = − e x ;
539. а) y`= (e x cos x )′ = e x (cos x − sin x ); б) y`= (3e x + 2 x )′ = 3e x + 2 x ln 2; в) y`= (3 x − 3x 2 )′ = 3 x ln 3 − 6x; г) y`= ( x 2 e x )′ = xe x (2 + x ). 540. а) f`(x) = (e-x)`= -e-x, f(0) = 1, f`(0) = -1; y = 1 – x; б) f`(x) = (3x)` = 3xln3, f(1) = 3, f`(1) = 3ln3; y = 3 + 3ln3(x – 1) = 3ln3⋅x + 3(1 – ln3); в) f`(x) = (ex)` = ex, f(0) = 1, f`(0) = 1; y = 1 + x; 1 2
г) f`(x) = (2-x)` = -2-xln2, f(1) = , f`(1) = − y=
ln 2 ; 2
1 1 1 1 − ln 2( x − 1) = − ln 2 ⋅ x + (1 + ln 2) . 2 2 2 2
541.
98
www.5balls.ru
а) f(x) = 5ex, F(x) = 5ex + C;
x б) f(x) = 2⋅3x, F(x) = 2 ⋅ 3 + C;
ln 3
в) f(x) = 4x, F(x) =
4x + C; ln 4
г) f ( x ) = 1 e x + 1, F( x ) = 1 e x + x + C. 2
2
542. 1 x 1 а) ∫ 0,5 x dx = 0,5 | = 0,5 − 1
ln 0,5 0
0
ln 0,5
=−
ln 0,5
0,5 1 = ; ln 0,5 2 ln 2
1
1 б) ∫ e 2 x dx = 1 e 2x | = 1 e 2 − 1 = 1 ;
2
0
0
2
2
2
1 x 1 в) ∫ 2 x dx = 2 | = 2 − 1 = 7 ;
ln 2 − 2
−2
ln 2
4 ln 2
4 ln 2
2 x 2 г) ∫ 3 x dx = 3 | = 9 − 1 = 9 3 − 1 . ln 3 1 ln 3 3 ln 3 3 ln 3 1 − −
2
2
543. ′
( )′
′
а) y`= e x sin x = e x sin x ⋅ x 2 + e x cos x ⋅ x = 2xe x sin x + 1 e x cos x = 2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2 x 1 x = e x 2x sin + cos 2 2 2
′ x x x ′ 2 1 б) y`= 7 tg3x = 7 2 ln 7 ⋅ x tg3x + 7 2 ⋅ (3x )′ = 2 cos 2 3x x
=
в) y`= e
=
x
x
ln 7 ln 7 2 3 3 ; ⋅ 7 tg3x + ⋅ 7 2 = 7 2 ⋅ tg3x + 2 2 2 cos 2 3x cos 3 x x
′ cos 2x = e x cos 2x ⋅
e x cos 2x 2 x
( x )′ − e
x
sin 2x ⋅ (2x )′ =
cos 2x − 2e x sin 2x = e x − 2e x sin 2x 2 x
99
www.5balls.ru
′
г) y`= 2 − x ctg x = 2 − x ln 2ctg x ⋅ (− x )′ − 2 − x
= −2
−x
3
3
x ln 2ctg − 3
2 −x 3 sin 2
x 3
= −2
′ x ⋅ = x 3 sin 2 3 1
x 1 . ln 2ctg − 3 2 x 3 sin 3
−x
544.
(
)
′ 5 x 6 x x 5 5 x6 = 6 x ⋅ 4 + 5 − x ⋅ 4 ln 4 = 4 ⋅ x (6 − x ln 4) + 30 x ; 2 2 4x + 5 4x + 5 4x + 5
а) y`=
(
(
(
)
)
(
)
)
′ −x 2 −x −x 2 e− x = − e x + 2 − e ⋅ 2x = − e x + 2x + 2 ; 2 2 x2 + 2 x2 + 2 x2 + 2
б) y`=
( ) ( ) ′ x x x x x x 3x = 3 ln 3(2 + 5 ) − 3 (2 ln 2 + 5 ln 5) = в) y`= 2 2x + 5x (2 x + 5x ) =
3 x ⋅ 2 x (ln 3 − ln 2) + 3 x ⋅ 5 x (ln 3 − ln 5)
(2
x
+5
)
x 2
( (
=
3 x (2 x ln 1,5 + 5 x ln 0,6) (2 x + 5 x ) 2
;
) )
1 ′ − 0,3 − x ln 0,3 ⋅ x + 0,5 − 0,3 − x ⋅ 0,3 − x 2 x = г) y`= 2 x + 0,5 x + 0,5
545. а) f(x) = xe5x; D(f) = R; f`(x) = e5x + 5xe5x = 5e5x(x+0,2); f`(x) = 0 при x = -0,2, f`(x) < 0 при x ∈ (-∞;-0,2), f′(x) > 0 при x ∈ (-0,2;∞); f(x) убывает на (-∞;-0,2], f(x) возрастает на [-0,2;∞), min f ( x ) = f (−0,2) = − R
1 ; 5e
б) f(x) = x22-x; D(f) = R; f`(x) = 2x⋅2-x + x2⋅ln2⋅(-x)`=2-x⋅x(2 – xln2); f`(x) = 0 при x = 0;
2 ; ln 2
100
www.5balls.ru
-
+ 0
-
X
2 ln 2
f(x) убывает на (-∞;0] и на 2 ; ∞ , f(x) возрастает на 0; 2 ; ln 2
ln 2
x = 0 – min f(x), f(0) = 0; 2
x=
2 – max f(x), f 2 = 4 2 ln 2 ; ln 2 ln 2 ln 2 2
в) f(x) = xe-x; D(f) = R; f`(x) = e-x – xe-x = e-x(1 – x); f`(x) = 0 при x = 1, f(x) возрастает на (-∞;1], f(x) убывает на [1;∞), 1 e
x = 1 – max f ( x ) = f (1) = ; R
г) f(x) = x4⋅0,5x; D(f) = R; f`(x) = 4x3⋅0,5x + x4⋅0,5xln0,5=0,5x⋅x3(4 – xln2); f1(x) = 0 при x = 0; -
4 ; ln 2
+ 0
-
X
4 ln 2
f(x) убывает на (-∞;0] и на 4 ; ∞ , f(x) возрастает на 0; 4 ; ln 2 ln 2
4
x = 0 – min f(x), f(0) = 0; x =
4 4 256 − max f(x); f 0,5 ln 2 . = ln 2 ln 2 ln 4 2
546. 1 2
а) f(x) = e3-2x, F(x) = − e 3 − 2 x + C; б) f(x) = 2⋅0,9x – 5,6-x, F(x) = в) f(x) = 2-10x, F(x) = − 0,1 ⋅
2 ⋅ 0,9 x 5,6 − x + + C; ln 0,9 ln 5,6
2 −10 x + C; ln 2
101
www.5balls.ru
г) f(x) = e3x + 2,31+x = e3x + 2,3⋅2,3x, 1 3
2,31+ x 1 2,3 x + C = e 3x + + C. ln 2,3 3 ln 2,3
1
1
0
0
F(x)= e 3x + 2,3 547.
а) S = ∫ e x dx = e x | = e − 1; 1
1
0
0
9x 8 2 2 3 x 1 9 3 1 1 − − − + = − = ; |= ln 9 ln 3 0 ln 9 ln 3 ln 9 ln 3 2 ln 3 ln 3 ln 3
б) S = ∫ 9 x dx − ∫ 3 x dx =
2
−1
2x 2 4 1 7 | = − = ; ln 2 −1 ln 2 2 ln 2 2 ln 2
1
1
в) S = ∫ 2 x dx =
1 2
1
0
1 2 1 e 1 e − e − + 1 = e − 1 + . 2 2 2 2
1
x
г) S = ∫ e 2 x dx − ∫ e x dx = e 2 x − e x | = 0
0
548. 1 3 −1
а) SADE = SABCE − SABCD = 2 ⋅ 3 − ∫ dx = 6 + = 6−
3− x 1 1 3 | = 6+ − = ln 3 −1 3 ln 3 ln 3
8 ; 3 ln 3
102
www.5balls.ru
1
б) SADE = SABCE – SABOD – SDOCK = SABCE – 2SDOCK = 2⋅e – 2 ∫ e x dx = 0
1
= 2e − 2e x | = 2e − 2e + 2 = 2; 0
0
1
x
2 −x 0
1
4
в) S ABE = S ACDE − S BCDE = ∫ dx − 2 ⋅ 1 = − | −2= − + −2= 2 ln 2 − 2 ln 2 ln 2 −2 =
3 − 2; ln 2
0
1
x
1
2 −x 0
г) S AED = S ABCD − S ABOE − SOCDE = 3 ⋅ 4 − ∫ dx − ∫ 4 x dx = 12 + | − ln 2 − 2 2 0 −2 −
4x 1 1 4 4 1 3 3 9 | = 12 + − − + = 12 − − = 12 − . ln 4 0 ln 2 ln 2 ln 4 ln 4 ln 2 2 ln 2 ln 2
103
www.5balls.ru
42. Производная логарифмической функции 549. 1 3 ⋅ (2 + 3x )`= ; 2 + 3x 2 + 3x
а) y`= ((ln(2 + 3x ))`=
б) y`= (log 0,3 x + sin x )`= в) y`= (ln(1 + 5x ))`=
1 + cos x; x ln 0,3
1 5 ⋅ (1 + 5x )`= ; 1 + 5x 1 + 5x
г) y`= (lg x − cos x )`=
1 + sin x. x ln 10
550. а) y`= ( x 2 log 2 x )`=
1 1 x (2 ln x + 1); 2 x ln x + x 2 ⋅ = ln 2 x ln 2
1 ′ ⋅ x − ln x ⋅ x ` 1 − ln x ln x = ; = x x x2 x2
б) y`=
1 в) y`= ( x ln x )`= ln x + x ⋅ = ln x + 1; x
1 ′ ln x − x ⋅ x x = ln x − 1 . г) y`= = ln x ln 2 x ln 2 x
551. а) f ( x ) =
3 3 1 , F( x ) = ln 7 x + 1 + C , x ≠ − ; 7x + 1 7 7
б) f ( x ) =
1 2 − , F( x ) = ln x − 2 ln x + 5 + C , x ≠ -5, x ≠ 0; x x+5
в) f ( x ) =
1 , F( x ) = ln x + 2 + C , x ≠ -2; x+2
104
www.5balls.ru
г) f ( x ) =
4 , F( x ) = 4 ln x + C , x ≠ 0. x
552. а) f `(x ) =
1 , f(0) = ln1 = 0, f(0) = 1; y = x; x +1
б) f `(x ) = (lg x + 2)`= y = 2+
1 1 , f(1) = lg1 + 2 = 2, f `(1) = ; x ln 10 ln 10
1 x 1 ; ( x − 1) = +2− ln 10 ln 10 ln 10
2 в) f `( x ) = (2 ln x )`= 2 , f(e) = 2 lne = 2, f `(e) = ; y = 2 + 2 ( x − e) = 2 x ;
г) f `( x ) = (log 2 ( x − 1))`= y=
e
e
x
e
1 1 ; , f (2) = log 2 1 = 0, f 1( 2) = ln 2 ln 2( x − 1)
1 x 2 . ( x − 2) = − ln 2 ln 2 ln 2
553. 7
7
а) ∫ 2dx = 2 ln x | = 2 ln 7 − 2 ln 1 = 2 ln 7; 1
б)
1
x
1
dx
1
1
1
∫ 3 − 2x = − 2 ln 3 − 2x −|1 = 2 ln 5;
−1
e
3
e
3
в) ∫ dx = ln x | = ln e − ln 1 = 1; г) ∫ dx = 1 ln 3x + 1 | = 1 ln 10 − 1 ln 1 = 1 ln 10. x 3 3 3x + 1 3 1 0 3 1 0 554. а)
(
) ( )
1 ′ ⋅ ( x 2 + 1) ⋅ 3 − ln(5 + 3x ) ⋅ 2 x ln(5 + 3x ) 3 x 2 + 1 − 2 x (5 + 3x ) ln (5 + 3x ) 5 3x + = ; = y`= 2 2 2 x +1 x2 +1 x 2 + 1 (5 + 3x )
(
′ ′ x ln 10 x = = б) y`= lg(1 − 2 x ) ln (1 − 2 x )
)
ln 10 ⋅ ln (1 − 2 x ) 2 x
+
2 ln 10 x 1 − 2x
ln 2 (1 − 2 x )
=
105
www.5balls.ru
=
ln 10((1 − 2 x )ln (1 − 2x ) + 4x ) 2 x (1 − 2 x )ln 2 (1 − 2 x )
; 1
2 ⋅5 2 2x ln 5x − x ⋅ x (2 ln 5x − 1) 5x в) y`= x = ; = 2 2
ln 5x
log x 2 3 x +1
г) y`=
ln 5x
ln 5x
1 ′ (x + 1) − ln x 2 x (1 − ln x ) + 1 2 ln x ′ 2 x = = ⋅ . = ⋅ (ln 3)(x + 1) ln 3 ln 3 x (x + 1)2 (x + 1)2
555. а) f(x) = x ln x; D(f) = (0;∞); f `(x ) =
f `( x ) = 0 при x =
x=
1 e2
ln x 2 x
+
x ln x + 2 = , D(f`) = (0;∞); x 2 x
1 1 , f(x) убывает на 0; , f(x) возрастает на ; ∞ , 2 2 e e e 1
2
1 − min f(x) и f 2 e
2 =− ; e
1 ⋅ x − ln x ln x 1 − ln x = б) f ( x ) = ; D(f) = (0;∞); f `( x ) = x , D(f`) = (0;∞); x x2 x2
f`(x) = 0 при x = e, f(x) возрастает на (0;e], f(x) убывает на [e;∞); x = e – точка max f(x) и f ( e) =
ln e 1 = ; e e
в) y = 2x – lnx; D(f) = (0;∞); f `(x ) = 2 −
1 2( x − 0,5) = , D(f`) = (-∞;0)∪(0;∞); x x
f`(x) = 0 при x = 0,5; f(x) убывает на (0;0,5], f(x) возрастает на [0,5;∞), т. x = 0,5 – min f(x) и f(0,5) = 1 + ln2; г) f(x) = xln x; D(f) = (0;∞); f `(x ) = ln x + x ⋅
1 = ln x + 1; D(f`) = (0;∞); x
1 e
f`(x) = 0 при x = ,
106
www.5balls.ru
1
1
1
1
1
f(x) убывает на 0; , f(x) возрастает на ; ∞ , x = – min f(x) и f = − . e e e e e 556. а) f(x) = xln2x; D(f) = (0;∞); f `(x ) = ln 2 x + 2x ln x ⋅ f`(x) = 0 при x = 1 и x =
f(x) возрастает на 0;
x=
1 e
2
1 e2
1 = ln x (ln x + 2); x
;
1 1 и на [1;∞), f(x) убывает на 2 e2 e
;1;
1 4 = , x = 1 – min f(x) и f(1) = 0; 2 2 e e
– max f(x) и f
б) f ( x ) =
′ 2x ln x − 1 2x = 2 ln 10 ⋅ ; D(f) = (0;1)∪(1;∞); f `( x ) = , lg x lg x ln 2 x
D(f′) = (0;1)∪(1;∞); f`(x) = 0 при x = e,; f(x) убывает на (0,1) и на (1;e], f(x) возрастает на [e;∞), x = e – min f(x) и f(e) = 2eln10;
в) f ( x ) =
ln x x
; D(f) = (0;∞); f `( x ) =
1 1 ln x ⋅ x− x 2 x
( x)
2
1 =
2 x
(2 − ln x ) x
=
2 − ln x 2 x3
,
D(f`) = (0;∞);f`(x) = 0 при x = e2; 2 e
f(x) возрастает на (0;e2], f(x) убывает на [e2;∞), x = e2 – min f(x) и f(e2) = ; г) f ( x ) =
1 1 1 x −1 + = + ln x; D(f) = (0;∞); f `( x ) = − , D(f`) = (-∞;0)∪(0;∞); x x2 x x2
f`(x) = 0 при x = 1; f(x) убывает на (0;1], f(x) возрастает на [1;∞), x = 1 – min f(x) и f(1) = 1. 557. 6
6
а) S ABCD = ∫ 2 + dx = (2x + 4 ln x ) | = 12 + 4 ln 6 − 4 − 4 ln 2 = 8 + 4 ln 3.
2
4 x
2
107
www.5balls.ru
−1
−1
2
∫ − x dx = −2 ln x −|4 = −2(ln1 − ln 4) = 4 ln 2.
б) S ABCD =
−4
2
в) S =
1
1
1 4
−3
г) S =
2
1
1
3
∫ 2x dx = 2 ln x 1| = 2 ln 2 − ln 4 = 2 ln 2. 4
1
−3
∫ 3 − x dx = (3x − ln(−x )) −|6 = −9 − ln 3 + 18 + ln 6 = 9 + ln 2.
−6
43. Степенная функция 558. а) f ( x ) = x
б) f ( x ) = x
−
3 2 ; D(f)
3
5
3 −2 ; 2
= (0;∞); f `(x ) = − x
; D(f) = [0;∞); f `( x ) = 3 x 3 −1 ;
108
www.5balls.ru
2
1
в) f ( x ) = x 3 ; D(f) = [0;∞); f `(x ) =
г) f ( x ) = x −
5
2 −3 x ; 3
; D(f) = (0;∞); f `( x ) = − 5 ⋅ x − 5 −1.
559. а) f(x) = x-e; D(f) = (0;∞); f`(x) = -ex-e-1;
x 3
б) f ( x ) =
− lg 5
1 x ; D(f) = (0;∞); f `( x ) = − lg 5 ⋅ 3 3
− lg 5 −1
;
в) f(x) = xπ; D(f) = [0;∞); f`(x) = πxπ-1;
109
www.5balls.ru
г) f(x) = (2x)ln3; D(f) = [0;∞); f`(x) = 2⋅ln3⋅(2x)ln3-1.
560. 1
1
1 9
1
а) 24 3 = (27 − 3) 3 = 3 ⋅ 1 − 3 ≈ 31 −
1 3 ⋅ 26 8 = 2 ≈ 2,89; = 9⋅3 27 9
б) 4 625 ⋅ 3 = 54 3 = 5 ⋅ 4 1,34 + 0,14 ≈ 5 ⋅ 1,3 ⋅ 1 +
0,14 1 ⋅ ≈ 6,5 ⋅ 1,01 ≈ 6,57; 2,85 4
0,25 ≈ 4,2 ⋅ 1,03 ≈ 4,33; 3 ⋅ 1,4 3
0,14 ≈ 2,6 ⋅ 1,01 ≈ 2,63. 2,85 ⋅ 4
в) 3 81 = 33 3 = 33 1,4 3 + 0,25 ≈ 3 ⋅ 1,4 ⋅ 1 + г) 4 48 = 24 3 = 2 ⋅ 4 1,3 4 + 0,14 ≈ 2 ⋅ 1,31 +
561.
1 9
а) 3 30 = 3 27 + 3 = 3 27 ⋅ 3 1 + ≈ 3 ⋅ 1 +
б) 4 90 = 4 81 + 9 = 4 81 ⋅ 4 1 + в) 9,02 = 9 ⋅ 1 +
1 ≈ 3,11; 3⋅9
1 1 ≈ 3 ⋅ 1 + ≈ 3,08; 9 4⋅9
2 1 ≈ 3 ⋅ 1 + ≈ 3,003; 900 900
г) 5 33 = 5 32 + 1 = 5 32 ⋅ 5 1 +
1 1 ≈ 2 ⋅ 1 + ≈ 2,01. 32 5 ⋅ 32
562.
110
www.5balls.ru
2
а) Т.к. f ( x ) = x 5 возрастает на R, то min f ( x ) = f (1) = 1, max f ( x ) = f (32) = 4;
[1;32]
[1;32]
б) т.к. f ( x ) = x
−
4 3
убывает на R, то
1 1 max f ( x ) = f = 16, min f ( x ) = f (27) = ; 8 81 1 1 8 ;27
8 ;27
в) т.к. f(x) = x-4 убывает на R, то 1 max f ( x ) = f = 16, min f ( x ) = f (1) = 1; 1 2
1 2 ;2
2 ;1
3
г) т.к. f ( x ) = x 4 возрастает на R, то 1 1 min f ( x ) = f = , max f ( x ) = f (81) = 27. 16 8 1
1 16 ;81
16 ;81
563. 1 2
а) f ( x ) = − x −
б) f ( x ) = x 2
3
2
, F( x ) = −
, F( x ) =
x − 2 +1
(
)
2 − 2 +1
x 2 3 +1 2 3 +1
+C=
x 1− 2 2(1 − 2 )
+ C;
+ C;
в) f(x) = 3x-1, F(x) = 3ln|x| + C; г) f ( x ) = x e , F( x ) =
x e +1 + C. e +1
564. 5
7
7
7
(
)
4 4 2 а) ∫ x 2 dx = 2 ⋅ x 2 | = 2 2 2 − 1 2 = 2 ⋅ 2 7 − 1 = 36 2 ; 1
7
1
7
7
7
111
www.5balls.ru
8
2 − +1
)
(
x 3 8 б) ∫ = 4⋅ | = 12 3 8 − 3 1 = 12; 2 2 1 − +1 1 x3 3 4dx
e2
e2
e
e
(
)
в) ∫ 2x −1dx = 2 ln x | = 2 ln e 2 − ln e = 2; 1 +1 1 x 4 81 4 г) ∫ 5x dx = 5 ⋅ | = 1 16 + 1 16 81
4
5 45 4 4 3 4 − 2 4
= 4 ⋅ 211 = 844.
565. 1
а) S = ∫ x
2
dx =
0
x 2 +1 1 |= 2 +1 0
1 2 +1 1
1
;
1
3
б) S ABE = S ACDE − S BCDE = ∫ dx − ∫ x 1x 1 2
=−
1 3 +1
32
− ln
5
1 x
2
2
1 2 − 3 −1 2 − 3 −1 − 1 + = + ln 2; 2 3 +1 3 +1
в) S = ∫ x − 0,8 dx = 1
x 3+ 1 dx = ln x − | = 3 +1 1
(
)
32 x −0,8 +1 32 | = 55 x | = 5 5 32 − 1 = 5; − 0,8 + 1 1 1 5
г) S = ∫ dx = ln x | = ln 5 − ln 3. 3
3
566. 2) 2 ≈ 1,4142, 3 3 ≈ 1,4422,
3 ≈ 1,7321, 4 2,5 ≈ 1,2574, 3 2,5 ≈ 1,3572, 4 3 ≈ 1,3161,
2,5 ≈ 1,5811, 4 2 ≈ 1,1892 .
112
www.5balls.ru
0.04 0,04 ≈ 1,4143; ≈ 1,41 + 1,96 2 ⋅ 1,96
3) 2 = 1,4 2 + 0,04 = 1,4 2 ⋅ 1 +
3 3 = 3 1,4 3 + 0,256 = 3 1,4 3 ⋅ 3 1 + 0,256 ≈ 1,41 + 0,256 ≈ 1,4435;
2,744
3 = 1,3 4 + 0,1439 = 1,3 4 ⋅ 1 +
3 ⋅ 2,744
0,1439 0,1439 ≈ 1,7326; ≈ 1,691 + 2,8561 2 ⋅ 2,8561
4 2,5 = 4 1,25 4 + 15 = 4 1,25 4 ⋅ 4 1 +
256
15 15 ≈ 1,2575; ≈ 1,251 + 256 ⋅ 2,4414 4 ⋅ 256 ⋅ 2,4414
3 2,5 = 3 1,33 + 0,303 = 3 1,33 ⋅ 3 1 + 0,303 ≈ 1,31 + 0,303 ≈ 1,3598;
2,197
3 ⋅ 2,197
4 3 = 4 1,3 4 + 0,1439 = 4 1,3 4 ⋅ 4 1 + 0,1439 ≈ 1,31 + 0,1439 ≈ 1,3164;
2,8561
2,5 = 1,6 2 − 0,06 = 1,6 2 ⋅ 1 −
4 ⋅ 2,8561
0,06 0,06 ≈ 1,5813; ≈ 1,61 − 2,56 2 ⋅ 2,56
4 2 = 4 1,2 4 − 0,0736 = 4 1,2 4 ⋅ 4 1 − 0,0736 ≈ 1,21 − 0,0736 ≈ 1,1787.
2,0736
2 ⋅ 2,0736
567. а) нет; б) нет; в) нет; г) да, т.к. x ≥ 0 и min f ( x ) = f (0) = 0 x ≥0
44. Понятие о дифференциальных уравнениях 568. а) y`(t) = -6sin(2t + π), y``(t) = -12cos(2t + π); -12cos(2t + π) = -12⋅cos(2t + π); 1 2
π 3
1 2
π 3
б) y`( t ) = 2 cos t − , y``( t ) = − sin t − ; π 1 π 1 1 − sin t − = − ⋅ 4 sin t − ; 3 4 3 2 2
в) y`(t) = -8sin4t, y``(t) = -32cos4t; -32cos4t + 32⋅cos4t = 0;
113
www.5balls.ru
г) y`( t ) = −
1 1 cos(0,1t + 1), y``( t ) = − sin(0,1t + 1); 30 300
1 1 1 sin(0,1t + 1) + ⋅ sin(0,1t + 1) = 0 . 300 100 3
569. y`(x) = 15e3x, 15e3x = 3⋅5⋅е3x. 570. y`(x) = -14e-2x, -14e-2x = -2⋅7e-2x. 571. y`(x) = -21e-7x, -21e-7x = -7⋅3e-7x. 572. а) очевидно, что y = Asinkx – решение; y`(x) = A⋅kcoskx, y``(x) = -Ak2sinkx; y`` + 25y = 0 ⇒ -Ak2sinkx + 25Asinkx = 0, sinkx(25 – k2) = 0; k = ±5; y(x) = Asin5x, где А – const; б) очевидно, что y = Asinkx – решение; 1 A y``+4 y = 0 ⇒ − k 2 sin kx + 4A sin kx = 0, sin kx (36 − k 2 ) = 0, k = ±6; 9 9
y(x) = Asin6x, А – const; в) очевидно, что y = Asinkx – решение; 4y`` + 16y = 0 ⇒ -4Ak2sinkx + 16Asinkx = 0, sinkx(4 – k2) = 0, k = ±2; y(x) = Asin2x; А – const; г) очевидно, что y = Asinkx – решение; y``= −
1 1 1 1 y ⇒ −Ak 2 sin kx + A sin kx = 0, sin kx − k 2 = 0, k = ± ; 4 4 2 4
y( x ) = A sin
kx ; A – const. 2
573. а) x` = -4sin(2t – 1), x`` = -8cos(2y – 1); -8cos(2t – 1) + 4⋅2cos(2t – 1) = 0 или x`` + 4x = 0;
114
www.5balls.ru
π 7
π 7
б) x`= −0,64 sin 0,1t + , x``= −0,064 cos 0,1t + ;
π π − 0,064 cos 0,1t + + 0,01 ⋅ 6,4 cos 0,1t + = 0 7 7
или x`` + 0,01x = 0;
π 4
π 4
в) x = 4 sin 3t − ; x ′ = 12 cos 3t − ;
π π π x ``= −36 sin 3t − ; − 36 sin 3t − + 9 ⋅ 4 sin 3t − = 0 4 4 4
или x`` + 9x = 0; г) x` = 0,213cos(0,3t – 0,7), x`` = -0,0639sin(0,3t – 0,7); -0,0639sin(0,3t – 0,7) + 0,09⋅0,071sin(0,3t – 0,7) = 0 или x`` + 0,09x = 0. 574. а) Пусть x(t) = x1(t) + x2(t) = A1cos(ω1t + ϕ1) + A2cos(ω2t + ϕ2) – периодическая функция с наименьшим положительным периодом Т. x(t + T) = A1cos(ω1t + ω1T +ϕ1) + A2cos(ω2t + ω2T + ϕ2) = =A1cos(ω1t + ϕ1) + A2cos(ω2t + ϕ2) = x(t). Если это выполнено при любых t и ϕ, то ω1T = 2πk , ω k ⇒ 1 = = r – рациональное число при n и k ∈ Z. ω2 r ω 2 T = 2πn , n и k ∈ Z;
575. Зависимость массы вещества от времени: m(t) = m0e-kt. По условию n = me-kt, ln Т находим из условия: T=
m 1 = kt , k = (ln m − ln n ); период полураспада радия n t
m = me − kT , 2
ln 2 ln 2 r ln 2 или T = . = 1 k ln m − ln n (ln m − ln n ) t
115
www.5balls.ru
576. m1 = m 0 e − kt ⇒ t =
m ln 2 1 m0 T 3 1 , t= ln ; k= ln 0 = ⋅ ln = 9 мин. T k m1 ln 2 m1 ln 2 0,125
577. m1 = m 0 e − kt , t =
1 m m0 T ln 10 = 3,3 ч.; ⋅ ln 0 ; при = 10, Т = 1 ч.: t = ln 2 ln 2 m1 m1 1000
ln 2
− ln 2 − t m1 m 1500 ≈ 0,64. = e T , если t = 100 лет и Т = 1500 лет, то 1 = e m0 m0
578. T′ = –k(T – T1), T1 = 0. Решение этого уравнения T(t) = T0e-kt, где k > 0 – const. Для первого тела T (1) ( t ) = T0(1) e − k 1t , для второго тела T (1) ( t ) = T0(1) e −k 2 t ; через время t1 температура 1 тела была T1(1) , температура 2 тела T1( 2) : (1)
T1
( 2) (1) T (1) 1 T 1 T (1) = T0 e − k1t 1 , k1t1 = ln 0 , k1 = ln 0 : T1(2) = T0(2) e − k 2 t 1 , k 2 = ln 0 ; (1) ( 1 ) t1 T t 1 T ( 2) T1 1 1
момент времени t, когда температуры тел сравняются, находим из условия ( 2)
(1)
−
T (1) ( t ) = T ( 2) ( t ) : T0(1) e ( 2)
(1)
T t ln 0 t 1 T (1) 1
− ( 2)
= T0 e
T t ln 0 t 1 T ( 2) 1
t − (1) t1 T0 , =e ( 2) T0
(1) T ( 2) T ln 0 − ln 0 (1) T ( 2) T1 1
,
( 2)
T ⋅ T1 T t ⋅ ln 0 = ln 0 , (1) ( 2) (1) t1 T ⋅T T 0
1
0
( 2) T ln 0 (1) T0 t = t1 ; T ( 2) T (1) ln 0 1 T0(1) T1( 2)
при t1 = 10 мин, T0(1) = 200°C, T0( 2) = 100°C, T1( 2) = 80°C, T1(1) = 100°C :
116
www.5balls.ru
1 ln 2 2 t = 10 ⋅ = 10 ≈ 14,75 мин. ln 1,6 1 10 ln ⋅ 2 8 ln
579. См. задачу 578. (1)
−
(1)
T (1) ( t ) = T0 e
T t ln 0 t 1 T (1) 1
( 2)
−
и T ( 2) ( t ) = T0( 2) e (1)
∆T = T (1) ( t ) − T ( 2) ( t ) = e
ln T0 −
T t ln 0 t 1 T ( 2) 1
(1)
T t ln 0 t 1 T (1) 1
( 2)
ln T0
−e
; ( 2)
−
T t ln 0 t 1 T ( 2) 1
;
при ∆T = 25°C, T0(1) = T0(2) = 100°C, T1(1) = 80°C, T1( 2) = 64°C; t1 = 10 мин: −
t
25 = 100e 10
ln
2t
t
10 t 100 t t − ln 8 − 100e 10 64 ; 25 = 100 ⋅ 0,8 10 − 100 ⋅ 0,64 10 ;
(0,8)10 − (0,8)10
( )
(
)
2
t t + 0,25 = 0, (0,8)10 − 0,5 = 0; (0,8)10 = 0,5;
t ln 0,5 = log 0,8 0,5; t = 10 log 0,8 0,5 = 10 ≈ 31,08 мин. 10 ln 0,8
580. 5 3
Т.к. v′( t ) = −kv( t ) = − v( t ) , и v(0) = v0, то 5 − t
км v( t ) = v 0 e 3 ; при v 0 = 30 , t = 3 мин: ч 5
− t м v(3) = 500 ⋅ e 3 = 500e − 5 ≈ 3,4 . мин
117
www.5balls.ru