800215 8b6e209b2ca302ebc8c5e00728cf3cf4 by Robot Max

Домашняя работа по алгебре за 10 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» Алимов Ш.А. и др., -М.: «Просвещение», 2001 г.

Содержание Глава I. Действительные числа ……………………………….……. 4 Глава II. Степенная функция……………………………………….. 37 Глава III. Показательная функция…………………………..…….. 65 Глава IV. Логарифмическая функция…………………………….. 85 Глава V. Тригонометрические формулы……………………..….. 123 Глава VI. Тригонометрические уравнения………………….…… 157 Глава VII. Тригонометрические функции………………….……. 193

www.5balls.ru

Глава I. Действительные числа 1. 1) Воспользуемся алгоритмом деления уголком: − 2,0 3 Остатки повторяются, поэтому в частном повторяется одна и та же цифра: 6. Следовательно, 18 0,66 2 − 20... = 0,666... = 0, (6) . 3

2) Воспользуемся алгоритмом деления уголком: − 8,0 3 Остатки повторяются, поэтому в частном 77 0,66 повторяется одна и та же группа цифр: 72. − 30

Следовательно,

8 = 0,7272... = 0, (72) . 11

… − 30...

3) 3 = 2 ⋅ 3 = 6 = 0,6

2 ⋅ 5 10 3 25 ⋅ 3 75 − =− =− − 0,75 4 25 ⋅ 4 100 2 56 + 2 58 −8 = − =− 7 7 7 5

4) 5)

− −58

7 – 8,2857142

−56 − − 20

Остатки повторяются, поэтому в частном повторяется одна и та же группа цифр: 285714. Сле-

−14

… −6 …

6) − 13,0 99 − 310

99 0,131

297

… 31...

довательно, − 8

2 = –8,2857142…=–8,( 285714). 7

Остатки повторяются, поэтому в частном повторяется одна и та же группа цифр: 13. 13 = 0,1313... = 0, (13) . Следовательно, 99

2. 1) 2 + 1 = 2 ⋅ 9 + 1 ⋅ 11 = 18 + 11 = 29 . 11 9 9 ⋅ 11 99 99 − 29,0

198 − 920

0,292

891 … 92...

Остатки повторяются, поэтому в частном повторяется одна и та же группа цифр: 29. 29 Следовательно, = 0,2929... = 0, (29) . 99

www.5balls.ru

8 2 8 ⋅ 3 + 2 ⋅ 13 24 + 26 50 . + = = = 13 3 3 ⋅ 13 39 39

39 1,282051

− 50

39 − 110

цифр:

… 11 3)

Остатки повторяются, поэтому в частном повторяется одна и та же группа 282051.

Следовательно,

50 = 39

= 1,2820512... = 1, (282051) .

1 1 125 1 ⋅ 100 + 3 ⋅ 125 100 + 375 475 19 + 1,25 = + = = = = . 3 3 100 3 ⋅ 100 300 300 12

12 1,583

−19

12 70 − 60

Остатки повторяются, поэтому в частном повторяется одна и та же цифра: 3. Следовательно,

…

19 = 1,5833... = 1,58(3) . 12

4...

4) 1 + 0,33 = 1 + 33 = 1 ⋅ 50 + 33 ⋅ 3 = 50 + 99 = 149 . 6

− 149,0

1200 − 2900

100

300 0,4966

3 ⋅ 2 ⋅ 50

300

Остатки повторяются, поэтому в частном повторяется одна и та же цифра: 6. Следовательно,

2700

300

…

149 = 0,4966... = 0,49(6) 300

200...

5) 3 ⋅ 1,05 = 3 ⋅ 105 = 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 3 = 9 = 9 ⋅ 25 = 225 = 0,225 . 2 ⋅ 7 100 2 ⋅ 7 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 4 40 40 ⋅ 25 1000 14 7 7 ⋅ 17 119 6) ⋅1,7 = . = 9 9 ⋅ 10 90 − 119

90 290 − 270

90 1,32

Остатки повторяются, поэтому в частном повторяется одна и та же цифра: 2. Следовательно,

119 = 1,322... = 1,3(2) . 90

… 20... 3. 1) 0,(6). Пусть x = 0, (6) = 0,66... (1) Период этой дроби состоит из одной цифры. Поэтому, умножая обе части этого равенства на 10, находим 10x = 6,66... (2) Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем 9x = 6 .

www.5balls.ru

Отсюда x = 6 = 2 . 9

2) 1,(55). Пусть x = 1, (55) =1,5555… (1) Период этой дроби состоит из двух цифр, поэтому, умножая обе части этого равенства на 10 2 = 100, находим 100x = 155,55... (2) Вычитая из равенства (2) равенство (1), получим 99x = 154 . Отсюда x = 154 = 14 = 1 5 . 99

3) 0,1(2) Пусть x = 0,1(2) =0,1222…. Так как в записи этого числа до периода содержится только один десятичный знак, то, умножая на 10, получаем 10x = 1, (2) (1) Период этой дроби состоит из одной цифры. Поэтому, умножая обе части последнего равенства на 10, находим (2) 100x = 12, (2) Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем 90x = 11 . Отсюда x = 11 . 90

4) – 0,(8) Пусть x = −0, (8) =–0,888… (1) Период этой дроби состоит из одной цифры. Поэтому, умножая обе части этого равенства на 10, получаем (2) 10x = −8, (8) Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем 9x = −8 . Отсюда x = − 8 . 9

5) – 3,(27) Пусть x = −3, (27) =–3,2727… (1) Период этой дроби состоит из двух цифр. Поэтому, умножая обе части этого равенства на 10 2 = 100 , получаем 100x = −327, (27) (2) Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем 99x = −324 . Отсюда x=−

324 36 3 =− = −3 . 99 11 11

6) – 2,3(82) Пусть x = −2,3(82) =–2,38282… Так как в записи этого числа до периода содержится только один десятичный знак, то, умножая на 10, получаем 10x = −23, (82) (1) Период этой дроби состоит из двух цифр.

www.5balls.ru

Поэтому, умножая обе части этого равенства на 10 2 = 100 , получаем 1000x = −2382, (82) (2) Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем 990x = −2359 . Отсюда x = − 2359 = −2 379 . 990

990

4. 1) (20,88 : 18 + 45 : 0,36) : (19,59 + 11,95) =  2088 + 45 ⋅100  :  100 ⋅ 18



 1959 1195   2088 + 4500 ⋅ 50   3154  227088 100 4. : + ⋅ = = = : 100   50 ⋅ 2 ⋅ 12   100  100 ⋅ 18 3154  100

9⋅5 7 11 1 19 3 = + + = =4 . 4 ⋅8 2 ⋅5⋅ 2 ⋅9 4 4 4 4 4 4 3  2  79 ⋅ 4 24  215 2    1)  3 + 0,24  2,15 +  5,1625 − 2  =  + + (5,1625 − 2,1875) ⋅ = ⋅ 16  5  4 ⋅ 25 100  100 5  25  

2) 7 ⋅ 9 + 8 ⋅ 11 + 9 ⋅ 5 = 7 ⋅ 9 + 8 ⋅ 11 + 36

5. =

10 18

4⋅9

316 + 24 215 2975 2 35 ⋅ 215 595 ⋅ 5 ⋅ 2 7310 + 1190 8500 ⋅ + ⋅ = + = = = 8,5 . 1000 ⋅ 5 1000 1000 100 100 1000 5 10 ⋅ 100 2) 0,364 : 7 + 5 : 0,125 + 2 1 ⋅ 0,8 = 364 ⋅ 25 + 5 ⋅ 8 =

25 16 2 1000 7 16 10 7 ⋅ 52 ⋅ 25 5 ⋅ 8 ⋅ 125 5 ⋅ 2 ⋅ 4 13 25 20 58 = + + = + + = = 5,8 . 40 ⋅ 25 ⋅ 7 2 ⋅ 8 ⋅ 125 2 ⋅ 2 ⋅ 5 10 10 10 10

6. 1) 16, 9 — рациональное число. 2) 7, 25(4) — бесконечная периодическая десятичная дробь — рациональное число. 3) 1,21221222… (после каждой единицы стоит n двоек) — бесконечная непериодическая десятичная дробь — аррациональное число. 4) 99,1357911…(после запятой записаны подряд все нечетные числа) — бесконечная непериодическая десятичная дробь — иррациональное число. 7. С помощью микрокалькулятора находим 31 = 5,5677643... ≈ ≈ 5,57 . Значит пара чисел 5, 4 и 5, 5 образует десятичное приближения числа 31 с недостатком, а пара чисел 5, 5 и 5, 6 — с избытком. 8. 1) x = 5 − 7 ;

7 ≈ 2,6457513... , значит,

7 < 5 . Следовательно,

5 − 7 > 0 , значит, в данном случае является верным равенство |x|=x.

2) x = 4 − 3 5 . Нужно выяснить какое из чисел больше 4 или 3 5 , для этого возведем их в квадрат: 4 2 = 16 ; (3 5 ) 2 = 45 . Очевидно, что 45 > 16, следовательно, 3 5 > 4, а, значит, 4 − 3 5 < 0 , и верным в данном случае является равенство x = − x . 3) x = 5 − 10 . Возведем в квадрат числа 5 и

10 , получаем: 5 2 = 25 ;

( 10 ) = 10 , так как 25 > 10 , то и 5 > 10 , поэтому 5 − 10 > 0 , а, значит, в 2

данном случае верным является равенство x = x .

www.5balls.ru

9. 1) ( 8 − 3)(3 + 2 2 ) = ( 4 ⋅ 2 − 3)(2 2 − 3)(2 2 + 3) = (2 2 − 3) × × (2 2 + 3) = (2 2 ) 2 − 3 2 = 8 − 9 = −1 — рациональное число. 2) ( 27 − 2)(2 − 3 3 ) = −(2 − 3 3 )(2 − 3 3 ) = −(2 − 3 3 ) 2 = = −( 4 + 27 − 12 3 ) = 12 3 − 31 — иррациональное число. 3) ( 50 + 4 2 ) 2 = ( 52 ⋅ 2 + 4 2 ) 2 = (5 2 + 4 2 ) 2 = 9 2 ⋅ 2 = 18 — рациональное число. 4) (5 3 + 27 ) : 3 = (5 3 + 32 ⋅ 3 ) : 3 = (5 3 + 3 3 ) : 3 = 8 3 : 3 = 8 — рациональное число. 5) ( 3 − 1) 2 + ( 3 + 1)2 = 3 + 1 − 2 3 + 3 + 1 + 2 3 = 8 — рациональное число. 6) ( 5 − 1)2 − (2 5 + 1) 2 = 5 + 1 − 2 5 − 20 − 1 − 4 5 = −15 − 6 5 — иррациональное число. 10. 1)

63 ⋅ 28 = 7 ⋅ 3 2 ⋅ 2 2 ⋅ 7 = 3 ⋅ 2 ⋅ 7 = 42 ;

20 ⋅ 5 = 2 2 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2 5 ⋅ 5 = 10 ;

50 : 8 = 5 2 ⋅ 2 : 2 2 ⋅ 2 = 5 : 2 = 2,5 ; 2 12 : 27 = 3 ⋅ 2 2 : 3 2 ⋅ 3 = 2 : 3 = . 3

11. 1) Сравнить

3,9 + 8 и 1,1 + 17 .

( 3,9 + 8 ) = 3,9 + 8 + 2 31,2 = 11,9 + 2 31,2 ; 2

( 1,1 + 17 ) 2 = 11 + 17 + 2 18,7 = 28 + 2 18,7 . Вычислим знак разности ( 28 + 2 18,7 ) − (28 + 2 31,2 ) , если он положительный, то 1,1 + 17 > 3,9 + 8 , если отрицательный, то 1,1 + 17 < 3,9 + 8 . Допустим, что он положительный, т.е. 28 + 2 18,7 > 11,9 + 2 31,2 , проверим

это:

28 − 11,9 + 2 18,7 > 2 31,2 ;

16,1 + 2 18,7 > 2 31,2 ;

259,21 + 74,8 + 64,4 18,7 > 124,8; 209,21 + 64,4 18,7 > 0 — верное неравенство, значит наше предположение было верным и 1,1 + 17 > 3,9 + 8 . 2) Сравнить Допустим, что

11 − 2,1 и 10 − 3,1 . 11 − 2,1 > 10 − 3,1 ;

11 + 2,1 − 2 23,1 > 10 + 3,1 − 2 31 ;

− 2 23,1 > −2 31 ;

2 23,1 < 2 31 ; 23,1 < 31 — верное неравенство, значит, наше предположение было верным и

11 − 2,1 > 10 − 3,1 .

www.5balls.ru

12. 1) = (

( 7 − 2 10 + 2 ) ⋅ 2 5 = (2 35 − 10 10 + 2 10) =

7+3 7−3 − + 2) ⋅ 2 5 = ( 5 − 2 5) = 10 . 2 2 16 + 2 16 − 2 − + 7) ⋅ 3 2 2

( 16 − 6 7 + 7) ⋅ 3 = (

( 8 + 2 15 − 8 − 2 15 ) ⋅ 2 + 7 =

(

= 2

= 3⋅3 = 3 .

8 + 64 − 60 8 − 64 − 60 8 + 64 − 60 8 − 64 − 60 + − + )⋅2+7 = 2 2 2 2 8− 4 8−2 ⋅2+7 = 2 ⋅2+7 = 2 2

4 3 +7 =

7 +1 7 −1 + = 2+ 3 . 2 2

13. 1) b n = −52n , получим: b1 = −52 , b 2 = −5 4 , b3 = −56 . 4 6 Итак, q = b 2 = 5 = 25 = b 3 = 5 = 25 , значит, данная последователь2 4

ность является геометрической прогрессией. 2) b n = 23n , получим b1 = 23 , b 2 = 26 , b 3 = 2 9 . 6 9 Итак, q = b2 = 2 = 8 = b3 = 2 , значит, данная последовательность яв3 6

ляется геометрической прогрессией. 14. 1) b 4 = 88, q = 2; b 4 = b1 ⋅ q3 ; 88 = b1 ⋅ 8; b1 = 11. S5 =

b1 (1 − q 5 ) 11(1 − 32) = = 31 ⋅11 = 341 . 1− q 1− 2

2) b1 = 11, b 4 = 88; b 4 = b1 ⋅ q 3 ; 88 = 11 ⋅ q 3 ; q 3 = 8; q = 2. S5 =

11(1 − 2 5 ) = 31 ⋅11 = 341 . 1− 2

1 1 1 1 b , , … Итак, b3 = , b 2 = ; q = 3 = 1 : 1 , q < 1 , зна5 25 25 5 b 2 25 5 чит, данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей. 1 1 1 1 1 2) , , , … Итак, b 3 = , b2 = ; 27 3 9 27 9 15. 1) 1,

b3 1 1 1 , q < 1 , значит, данная геометрическая прогрессия = : = b 2 27 9 3

является бесконечно убывающей. 3) – 27, – 9, – 3… Итак, b 3 = −3, b 2 = −9 ; q = b 3 = 3 = 1 , q < 1 , значит, b2

данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

www.5balls.ru

4) – 64, – 32, – 16… Итак, b 3 = −16, b 2 = −32 ; q = b3 = 16 = 1 , q < 1 , b2

значит, данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей. 16. 1) b1 = 40 , b 2 = −20 ; q =

b 2 −20 1 = = − , так как q < 1 , то данная b1 40 2

геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей. 2)

b 7 = 12 ,

b11 =

3 ; 4

b11 = b1 ⋅ q10 ;

b7 = b1 ⋅ q 6 ,

значит,

1 b11 b1 ⋅ q 10 3 1 = = q 4 = : 12 = , откуда получаем, что q = < 1, значит, дан2 b7 4 16 b1 ⋅ q 6

ная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей. 3) b 7 = −30, b 6 = 15 ; q = b7 = −30 = −2 , q = 2 < 1 , значит, данная геоb6

метрическая прогрессия не является бесконечно убывающей. 1 b5 = b1 ⋅ q 4 ; b10 = b1 ⋅ q9 , значит, 4) b5 = 9 , ; b10 = − 27 1 1 b 10 b ⋅q9 1 5 = 1 = q5 = − : 9, откуда q = − 5 , то есть q = − , q =< 1, зна4 3 b5 27 3 b1 ⋅ q чит, данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей. 17. 1) lim 1 . Если n неограниченно возрастает, то 1 как угодно близn n n →∞ 4

4 1 1 ко приближается к нулю, т.е. → 0 при n → ∞ или lim n = 0 . n →∞ 4 4n

2) lim (0,2)n . Если n неограниченно возрастает, то (0,2) n как угодно n →∞

близко приближается к нулю, т.е. (0,2) n → 0 при n → ∞ или lim (0,2)n = 0 . n →∞

3) lim (1 + n →∞

1 7n

) . Если n неограниченно возрастает, то

близко приближается к нулю, т.е.

1 7n

как угодно

1 → 0 при n → ∞ или lim n = 0 . Поn →∞ 7

этому, lim (1 + 1 ) = 1 . n n →∞

n n   4) lim   3  − 2  . Если n неограниченно возрастает, то  3  как угодно  5 n →∞   5    n

близко приближается к нулю, т.е.  3  → 0 при n → ∞ или lim  3  = 0 . 5





Поэтому, lim   3  − 2  = − 2 .  n→∞   5  



www.5balls.ru

n →∞  5 

1 1 1 1 2 1 . 8 18. 1) q = − , b1 = S = b1 = = ⋅ = 2 8 1− q 1− − 1 8 3 12 2

( )

1 1 1 1 1 1 2) q = , b5 = ; b5 = b5 ⋅ q 4 ; = b1 ⋅ ; = b1 ⋅ , значит, 3 81 81 34 81 81 b1 = 1 ; S = b1 = 1 = 1 = 1,5 . 1 2 1− q

1−

9 9 27 3) q = − 1 , b1 = 9 ; S = b1 = =4= = 6,75 . 3 1− q 1− − 1 4 3

( ) 3

4) q = − 1 , b 4 = 1 ; b4 = b1 ⋅ q3 ; 1 = b1  − 1  , откуда получаем b1 = −1 , 2

значит, S =

−1

( )

1− −

1 2

8 −1 3 2

 2

2 =− . 3

19. 1) 6, 1, 1 … b1 = 6, b 2 = 1 ; q = b 2 = 1 ; S = b1 = 6 = 6 = 36 = 7,2 . 1 5 6

1− q

1−

2) −25 , −5 , −1 ,… b1 = −25, b 2 = −5 ; q = b 2 = 1 ; b1

b −25 −25 −125 S= 1 = = 4 = = −31,25 . 1− q 1− 1 4 5

20. 1) 0,(5). Составим следующую последовательность приближенных значений данной бесконечной дроби: a 1 = 0,5 =

5 , a 2 = 0,55 = 5 + 5 , … 10 10 10 2

a 3 = 0,555 =

5 5 5 + + ,... 10 102 103

Запись приближений показывает, что данную периодическую дробь можно представить в виде суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии: 5 5 5 + + +… a= 10 10 2 10 3

Получаем a = S =

5 10 1 1− 10

5 . 9

2) 0,(8). Составим следующую последовательность: 8 8 8 ,… , a 2 = 0,88 = + a 1 = 0,8 = 10 10 2 10 Запись приближений показывает, что данную периодическую дробь можно представить в виде суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии: 8 8 8 a = + 2 + 3 +… 10 10 10

Получаем a = S =

8 10 1 1− 10

8 . 9

www.5balls.ru

3) 0,(32). Составим следующую последовательность: 32 32 32 ,… + a 1 = 0,32 = , a 2 = 0,3232 = 100 100 1002 Запись приближений показывает, что данную периодическую дробь можно представить в виде суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии: a=

32 32 32 + + + ... 100 100 2 100 3

Получаем a = S =

32 100 1 1− 100

32 . 99

4) 0,2(5). Составим следующую последовательность: a 1 = 0,05 =

5 5 5 , ,… + a 2 = 0,055 = 100 1003 100

Запись приближений показывает, что данную периодическую дробь можно представить в виде суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии и числа 0,2: Получаем a = 0,2 + S = 1 + 5

5 100 1 1− 10

1 5 18 + 5 23 . + = = 5 90 90 90

21. 1) b n = 3 ⋅ (−2)n ; b1 = −6 ; b 2 = 12 ; b 3 = −24 ; q=

b b2 −24 12 , так как q = 2 > 1 , то данная последова= = −2 = 3 = b1 − 6 b2 12

тельность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. 2) b n = −5 ⋅ 4n ; b1 = −20 ; b 2 = −80 ; b 3 = −320 ; q=

b −320 b 2 80 , так как q = 4 > 1 , то данная последова= =4= 3 = b2 − 80 b1 20

тельность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. n −1 8 8 3) b n = 8 ⋅  − 1  ; b1 = 8 ; b 2 = − ; b3 = − ; 3 9 3   8

b2 − 3 1 b = =− = 3 = b1 8 3 b2

8 9 8 − 3

−

, так как q =

1 < 1 , значит, данная последо3

вательность является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. n −1 3 3 4) b n = 3 ⋅  − 1  ; b1 = 3 ; b 2 = − ; b3 = ; 2 4  2 3

1 b2 − 2 1 b = = − = 3 = 43 , q = < 1 , значит, данная последователь2 b1 8 2 b2 − 2

ность является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. 1 22. 1) q = ; b5 = 2 ; b5 = b1 ⋅ q 4 ; 2 = b1 ⋅ 1 , 2 16 16 16

www.5balls.ru

откуда получаем: b1 = 2 , S = b1 =

1− q

1−

1 2

=2 2 .

9 3 9 3 3 ; b 4 = ; b 4 = b1 ⋅ q 3 ; = b1 ⋅ , 8 2 8 8

2) q =

откуда получаем: b1 = 3 , S = b1 = 1− q

23. 1) S = 30 , q =

= 2 3(2 + 3) .

3 2

1−

1 . Итак, S = b1 , значит, b1 = S ⋅ (1 − q ) = 30(1 − 1 ) = 24. 5 5 1− q

2) S = 30 , b1 = 20 . Итак, S = b1 , значит, 1 − q = b1 , 1− q

а q = 1 − b1 = 1 − 2 = 1 . S 3 3 n 24. 1) lim 3 − 2 = lim ( 3 − 1) . n n n →∞

n →∞

Если n неограниченно возрастает, то 3

ется к нулю, т.е.

как угодно близко приближа3

→ 0 при n → ∞ или lim

n →∞ 2n

= 0.

Поэтому lim ( 3 − 1) = −1 . n n →∞

2) lim

n →∞

n+2

= lim

9 ⋅ 3n + 2 3n

n →∞

= lim (9 + n →∞

2 3n

Если n неограниченно возрастает, то ется к нулю, т.е.

3 2n

как угодно близко приближа2

→ 0 при n → ∞ или lim

n →∞ 3n

=0.

Поэтому lim (9 + 2 ) = 9 . n n →∞

3) lim

n →∞

(5n + 1) 2 5

= lim

52n + 1 + 2 ⋅ 5n

n →∞

= lim (1 + n →∞

Если n неограниченно возрастает, то

1 5

1 52 n

2 5n

как угодно близко при-

2 1 → 0 и n → 0 при n → ∞ или 5 5 2n 1 2 2 lim = 0 . Поэтому lim (1 + 2n + n ) = 1 . n →∞ 5n n →∞ 5 5

ближается к нулю, т.е.

lim

n → ∞ 52 n

=0 и

25. Стороны поставленных друг на друга кубов составляют бесконечную убывающую геометрическую прогрессию

www.5balls.ru

a , a , a , a , … значит, высота получившейся фигуры равна сумме 2

бесконечно убывающей геометрической прогрессией с q = S=

a 2

1 = ; 2

b1 a = = 2a . 1− q 1− 1 2

26. Расстояние от точки касания первой окружности со второй есть сумма бесконечно убывающей прогрессии диаметров окружностей с радиусами R2 R3… Rn…, то есть 2(R2+R2+…+R2+…), а, значит, расстояние от центра первой окружности до вершины угла равно R1+2(R2+R2+…+R2+…). Расстояние от вершины угла до центра первой окружности равно 1 R1 : sin 30o = R1 : = 2R1 . 2 Расстояние от вершины угла до центра второй окружности равно 2R1– –R2–R1=R1–R2 Из подобия треугольника следует R1 = R2

2R1 , откуда 2R 2 − R R = 1 1 2 R1 − R 2

= 2R1R 2 , R 2 = R1 , аналогично, R 3 = R 2 = R1 , таким образом R n = R1 . n −1 3

27. 1) 1 = 1 = 1;

0= 0

1 = 13 = 1;

16 = 4 1

(17) 2

0 = 0 3 = 0;

= 4;

1 . 17 3

125 = 5 3 = 5;

3 3 1 1 1 3 3 3 3 = 3 3 = ; 0,027 = (0,3) = 0,3; 0,064 = (0,4) = 0,4. 27 3 3

3) 4

= 0;

1 = 289

0,81 = (0,9) 2 = 0,9; 2)

0 = 0 4 = 0;

16 4  2  =   81 3

28. 1) 3)

1   2

30. 1)

1 = 14 = 1;

2 ; 3

16 = 2 4 = 2;

256 4  4  =   625 5

36 3 = 6 (6 2 ) 3 = 6 6 = 6 ; 2)

 1     25 

29. 1) 3)

 1   52

  

1   5

4 4 0,0016 = 4 (0,2) 4 = 0,2. ; 5

64 2 = 12 ( 2 6 ) 2 =

1; 5

10 6 = 3 (10 2 ) 3 = 10 2 = 100 ; 12

 1 3  =     2     4

− 8 = 3 (−2) 3 = −2 ;

4) 2)

3 12

1    3

= 3 (3 4 ) 3 = 3 4 = 81 ;

 1 4  =     3     4

− 1 = 15 (−1)15 = −1 ;

www.5balls.ru

=2;

225 4 = 8 (15 2 ) 4 = 15 8 = 15 . 2)

1 1 =  = ; 2 8  

12 12

1 . 1 =  = 3 81  

1 1  1 = 3 −  = − ; 27 3  3

−

− 34 3 = − 34 3 = −34 ;

− 1024 = 5 (−4) 5 = −4 ;

− 8 7 = − 8 7 = −8 .

31. 1) x 4 = 256; x = ± 4 256 ; x = ± 4 4 ; x = 4 или x = −4. 2) x 5 = −

5 1 1 1 ; x = 5 − ; x = − 5  1  ; x = − . 32 32 2 2  

3) 5x 5 = −160; x = 5 − 32 = − 2 5 = −2. 6

4) 2 x 6 = 128; x 6 = 64; x = 6 64 = 26 = 2, отсюда, x = 2 или x = – 2. 32. 1)

− 125 +

16 16 6 2 1 3 64 = − 5 3 + 2 = −5 + = −5 + = −4,75 ; 8 8 8 4 5

32 − 0,53 − 216 = 2 5 + 0,5 6 3 = 2 + 3 = 5 ; 1 14 4 4 4 3) − 4 81 + 4 625 = − 3 + 5 = −1 + 5 = 4 ; 3 3 1 14 4 3 4) 3 − 1000 − 4 256 = − 10 3 − 4 = −10 − 1 = −11 ; 4 4

1 + 3 − 0 ,001 − 4 0 ,0016 = 243

1   3

+ 3 ( − 0 ,1) 3 − 4 ( 0 , 2 ) 4 =

1 1 3 10 − 9 1 . − 0 ,1 − 0 , 2 = − = = 3 3 10 30 30

33. 1)

343 ⋅ 0,125 = 3 (7) 3 ⋅ (0,5) 3 = 3 (7 ⋅ 0,5) 3 = 7 ⋅ 0,5 = 3,5 ; 3

512 ⋅ 216 = 83 ⋅ 6 3 = 3 (8 ⋅ 6) 3 = 8 ⋅ 6 = 48 ;

32 ⋅100000 = 2 5 ⋅10 5 = 5 (2 ⋅10) 5 = 2 ⋅10 = 20 .

34. 1)

53 ⋅ 7 3 = 3 (5 ⋅ 7) 3 = 5 ⋅ 7 = 35 ; 2) 4 114 ⋅ 34 = 4 (11 ⋅ 3) 4 = 11 ⋅ 3 = 33 ; 7

1 1 1 (0,2)5 ⋅ 85 = 5 (0,2 ⋅ 8)5 = 0,2 ⋅ 8 = 1,6 ; 4) 7   ⋅ 217 = 7 ( ⋅ 21)7 = ⋅ 21 = 7 . 3 3  3

35. 1)

2 ⋅ 3 500 = 3 2 ⋅ 500 = 3 1000 = 10 3 = 10 ;

0,2 ⋅ 3 0,04 = 3 0,2 ⋅ 0,04 = 3 0,008 = 3 (0,2) 3 = 0,2 ;

324 ⋅ 4 4 = 4 324 ⋅ 4 = 4 81 ⋅ 2 4 = 4 3 4 ⋅ 2 4 = 3 ⋅ 2 = 6 ;

2 ⋅ 5 16 = 5 2 ⋅16 = 5 25 = 2 .

36. 1)

310 ⋅ 215 = 32 ⋅ 2 3 = 9 ⋅ 8 = 72 ;

www.5balls.ru

2 3 ⋅ 56 = 3 (2 ⋅ 5 2 ) 6 = 2 ⋅ 5 2 = 2 ⋅ 25 = 50 ; 4

6 2   1 2  1 1 1 312   = 4  33    = 33 ⋅   = 27 ⋅ = 3 ;  3  3 9 3   

1 4 30   2

1 1 = 4 3 ⋅   = 64 ⋅ = 16 . 4 2

37. 1)

  1 2  = 10  4 3     3   

64 x 3 z 6 = 4 3 x 3 z 6 = 3 (4 xz 2 ) 3 = 4 xz 2 ;

a 8 b 12 = 4 (a 2 b 3 ) 4 = a 2 b 3 ;

32 x 10 y 20 = 5 2 5 x 2⋅5 y 4⋅5 = 5 ( 2 x 2 y 4 ) 5 = 2 x 2 y 4 ;

a 12 b 18 = a 2⋅6 b 3⋅6 = 6 (a 2 b 3 ) 6 = a 2 b 3 . 6

38. 1)

2ab 2 ⋅ 4a 2 b = 2 ⋅ 4a 3 b 3 = 3 (2 ⋅ a ⋅ b) 3 = 2ab ;

2a 2 b 3 ⋅ 27a 2 b = 3 4 a 4 b 4 = 4 (3ab) 4 = 3ab ;

ab 4 a 3 c 4 ab a 3 c 4 4 ⋅ = ⋅ = a =a; c b c b

16a b

39. 1)

⋅3

1 16a 1 8 2 2 =3 ⋅ =3 =3  = . 2ab b b b 2 2ab b3 3

64 3 4 3 3  4  4 = =   = ; 2) 125 5 5 53

16 4 2 4 4  2  = =   81 3 34

2; 3

3 = 1,5 . 2

3 3 27 3 3 3 3  3  3 = = =   = = 1,5 . 8 8 2 2 23

19 5 32 ⋅ 7 + 19 5 224 + 19 5 243 5 35 5  3  = = = = =   32 32 32 32 25 2

40. 1)

324 : 4 4 = 4 324 : 4 = 4 34 = 3 ;

2) 3 128 : 3 2000 = 3 128 : 2000 = 3 0,064 = 3 (0,4) 3 = 0,4 ; 3)

3 3

16 2

16 3 16 3 3 = = 8 = 23 = 2 ; 2 2

5) ( 25 –

45 ): 5 =

5( 5 − 9) 5

6) (3 625 − 3 5 ) : 3 5 = 41. 1)

256 5

256 5 5 = 32 = 2 5 = 2 ; 8

= 5 − 9 = 5 −3;

5 (3 125 − 1) = 3 125 − 1 = 5 – 1 = 4. 3 5 5

a 6 b 7 : ab 2 = 5 (a 6 b 7 ) : (ab 2 ) = a 5 b 5 = ab ;

www.5balls.ru

3 81x 4 y : 3 3xy = 3 (81x 4 y) : 3xy = 27 ⋅ x 3 = 3x ;

3x y2 2b a3

9x 2 a 8b 3

y 2 9x 2 2b

a 3 8b 3

16b 4 a4

3) (10 32)2 =

322 = 10 (25 ) 2 =

 2b  =4   a 

2b . a

2) ( 6 9)−3 = 6 9−3 = 6 1 = 6 1 = 1 ; 3 6

42. 1) ( 6 73 )2 = 6 73⋅2 = 6 76 = 7 ; 10

 3x  3x ; = 3   = y  y 

27 x 3

10 10

= 2;

4) ( 8 16)−4 = 8 16−4 = 8 1 = 8 1 = 8 1 = 1 . 4 2⋅ 4 8 16

729 = 729 = 36 = 3 ; 6

1024 = 10 1024 =

43. 1) 3)

9 ⋅ 37 = 3 ⋅ 37 = 37 ⋅ 37 = 39 = 3 ;

25 ⋅ 5 5 =

2 9

10 10

=2;

5 2 ⋅ 55 = 6 5 ⋅ 55 = 5 ⋅ 55 = 56 = 5 .

44. 1) ( 3 x )6 = 3 x 6 = 3 (x 2 )3 = x 2 ; 2) ( 3 y 2 )3 = 3 (y2 )3 = y2 ; 3) ( a ⋅ 3 b )6 = a 6 ⋅ 3 b6 = a 2⋅3 ⋅ 3 b3⋅2 = a 8 ⋅ b9 ; 4) ( 3 a 2 ⋅ 4 b3 )12 = 3 (a 2 )12 ⋅ 4 (b3 )12 = (a 2 )4 ⋅ (b3 )3 = a8 ⋅ b9 ; 5) (

3 2

a b )6 = ( a 2 b)6 = 6 (a 2 b)6 = a 2 b ;

6) ( 3 4 27a 3 )4 = 12 (3a)3⋅4 = 12 (3a)12 = 3a . 45. 1) 6 2x − 3 , это выражение имеет смысл при 2х–3≥0; 2x ≥ 3; x ≥ 3 ; x ≥1,5 . 2

x + 3 , это выражение имеет смысл при x + 3 ≥ 0; 2 x ≥ 3; x ≥ −3 .

2 2x 2 − x − 1 , это выражение имеет смысл при 2 x − x − 1 ≥ 0. Решим 1 + 3 1− 3 2 уравнение 2x 2 − x − 1 = 0. D = 1 + 8 = 9 = 3 ; x1 = = 1 или x 2 = = −0,5 . 4 4

Так как ветви параболы 2 x 2 − x − 1 = 0 направлены вверх и точки пересечения этой параболы с осью абсцисс: (1; 0) и (–0,5; 0), то 2 x 2 − x − 1 ≥ 0 при x ≤ −0,5 и x ≥ 1 . 4)

2 − 3x 2 − 3x ; Это выражение имеет смысл при совокупности ≥ 0; 2x − 4 2x − 4

2 − 3x ≥ 0, что эквивалентно системе неравенств: x−2 2 − 3x ≤ 0  2 − 3x ≥ 0 или   x − 2 > 0 x − 2 < 0

2 ≤ 3x 2 ≥ 3x или   x > 2 x < 2

 x ≤ 2  x ≥ 2 3 или  3   x < 2  x > 2

www.5balls.ru

Первая система не имеет действительных решений, значит 2 ≤ x < 2. 3

46. 1) 9 + 17 ⋅ 9 ⋅ 17 = (9 + 17) (9 − 17) = 81 − 17 = 64 = 8 ; 2) ( 3 + 5 − 3 − 5 )2 = 3 + 5 − 2 3 + 5 ⋅ 3 − 5 + 3 − 5 = = 6 − 2 (3 + 5 )(3 − 5 ) = 6 − 2 9 − 5 = 6 − 2 22 = 6 − 4 = 2 ;

3) ( 5 + 21 + 5 − 21)2 = 5 + 21 + 2 5 + 21 ⋅ 5 − 21 + 5 − 21 = 10 + +2 (5 + 21)(5 − 21) = 10 + 2 25 − 21 = 10 + 2 4 = 10 + 2 2 2 = 10 + 4 = 14 .

2) 3)

3 4

4 4

5 6

+ 272 −

49 ⋅ 112 3 73 ⋅ 2 ⋅ 8 3 73 ⋅ 23 3  14  14 = = = 2,8 ; =   = 250 250 5 53  5

250

54 ⋅ 120

49 ⋅ 3 112

47. 1)

54 ⋅120 4 4 = 54 ⋅ 24 = 3 4 ⋅ 2 4 = 4 (3 ⋅ 2) 4 = 6 ; 5 3

64 = 4

4) 3 3 3 + 4 18 ⋅ 4 4 1 − 8

4 4 32 6 6 6 6 4 + 3 − 2 = 16 + 3 − 2 = 2 + 1 = 2 + 1 = 3 ; 2

256 = 3

24 + 3 4 8 + 1 4 4 3 33 4 9 + 18 ⋅ 4 − 4 = 3 + 9⋅2⋅ − 4 = 8 2 2 2

= 1,5 + 34 − 4 = 3 − 2,5 = 0,5 ;

5) 3 11 − 57 ⋅ 3 11 + 57 = 3 (11 − 57)(11 + 57) = 3 121 − 57 = 3 64 = 3 4 3 = 4 ; 6) 4 17 − 33 ⋅ 4 17 + 33 = 4 (17 − 33)(17 + 33) = 4 289 − 33 = 4 256 = 4 4 4 = 4 . 48. 1) 3 2ab ⋅ 3 4a 2b ⋅ 3 27b = 3 2ab ⋅ 4a 2b ⋅ 27b = 3 23 ⋅ 33a3b3 = 3 (2 ⋅ 3ab)3 = 6ab ; 2)

abc ⋅ a 3 b 2 c ⋅ b 5 c 2 = abc ⋅ a 3 b 2 c ⋅ b 5 c 2 = a 4 b 8 c 4 = 3 3 18

49. 1)

3 4 3

(ab 2c) 4 = ab 2c .

a ) = a18 + ( a 4 )3 = 9 (a 2 )9 + a12 = a 2 + 6 (a 2 )6 =

= a 2 + a 2 = 2a 2 ; 2) ( 3)

6 6 8 x 2 )3 + 2( 4 x )8 = ( x 2 )3 + 2( 8 x )8 = x 6 + 2 x 8 = x + 2x = 3x;

x 6 y12 − ( 5 xy 2 )5 = 6 (xy 2 )6 − 5 (xy 2 )5 = xy 2 − xy 2 = 0 ;

4) (( 5 a 5 a )5 − 5 a ) : 10 a 2 = ( 5 (a 5 a )5 − 5 a ) : 5 a = (a 5 a − 5 a ) : : 5 a = ( 5 a (a − 1)) : 5 a = a − 1 .

3⋅39

50. 1) 2) 4

7 ⋅ 343 12

6 3 3 2

3 ⋅ 3 6

12 4 4 3

7 ⋅ 7 12

33 3 2 6 2 3 2 3 3 2 3 3 3 2 ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 3⋅ 3 = 3 = 3 ; 3

= 12

7 4 4 3 12 3 4 3 4 4 3 = ⋅ 7 = 7 ⋅ 7 = 7⋅ 7 7

4 4

= 7⋅7 = 7 = 7 ;

www.5balls.ru

3) ( 3 9 + 3 6 + 3 4)( 3 3 − 3 2) = 3 32 ⋅ 3 3 − 3 32 ⋅ 3 2 + 3 6 ⋅ 3 3 − 3 6 ⋅ 3 2 + 3

+ 22 ⋅ 3 3 − 22 ⋅ 3 2 = 33 − 32 ⋅ 2 + 32 ⋅ 2 − 22 ⋅ 3 + 22 ⋅ 3 − 23 = 3 − 2 = 1 .

www.5balls.ru

51. 1) 3 ( x − 2)3 = x –2; а) при x ≥ 2 ;

( x − 2) 3 = x − 2 ;

(3 − x )6 = 3 − x ;

б) при x > 3 ; 3 − x = ( x − 3)3 .

а) при x≤3; |3–x|3=(3–x)3; 3)

б) при x < 2 ;

( x + 6)4 + ( x − 3) 2 = x + 6 + x − 3 .

Если –1<x<2, то |x+6|=x+6; а |x–3|=3–x, значит, |x+6|+|x–3|=x+6+3–x=9. 4)

(2x + 1)6 + 4 (4 + x )2 = 2x + 1 − 4 + x .

Если −3 < x < −1 , то 2x + 1 = −(2 x + 1) = −2x − 1 ; а 4 + x = 4 + x , значит, 2 x + 1 − 4 + x = 2 x − 1 − 4 − x = −3 x − 5 .

52. 1)

3 3 63 < 3 64 = 43 = 4 , значит, − 63 > −4 ;

3 > 1 = 12 = 1 .

30 > 3 27 = 33 = 3 ;

Складываем эти неравенства и получаем: 3

30 + 3 − 3 63 > 3 + 1 − 4 ;

30 + 3 > 3 63 . 2)

7 < 3 8 = 23 = 2 , значит, − 3 7 > −2 ;

15 < 16 = 42 = 4 , значит, − 15 > −4 ; 10 > 9 = 32 = 3 ; Складывая эти неравенства, получим:

28 > 3 27 = 33 = 3 .

10 + 3 28 − 3 7 − 15 > 3 + 3 − 2 − 4 = 0 ;

10 + 3 28 > 3 7 + 15 .

53. 1) ( 4 + 2 3 − 4 − 2 3 )2 = 4 + 3 + 4 − 2 3 − 2 (4 + 2 3)(4 − 2 3) = = 8 − 2 16 − 4 ⋅ 3 = 8 − 2 4 = 8 − 2 22 = 8 − 4 = 4 = (2)2 ; 2) (3 9 + 80 − 3 9 − 80 )2 = 9 + 80 + 9 − 80 + 33 (9 + 80)(9 + 80)(9 − 80) + +33 (9 + 80)(9 + 80)(9 − 80) = 18 + 33 (9 − 80) (81 − 80 ) =

= 18 + 33 9 + 80 + 33 9 − 80 = x 3 ; x=

x3 − 6; ( x − 3)( x 2 + 3x + 6) = 0 ; 3

9 + 80 + 9 − 80 =

x3 − 6; 3

x 2 + 3x + 6 ≠ 0 , значит, x − 3 = 0;

x = 3 = 3 9 + 80 + 3 9 − 80 . 54. 1)

a− b 4

a −4 b

−

a − 4 ab 4

a +4 b

( 4 a + 4 b )( a − b ) − ( 4 a − 4 b )( a − 4 ab ) ( 4 a − 4 b)( 4 a + 4 b )

www.5balls.ru

= =

b ( a 2 − b2 ) = a− b

a−b 3

a− b

−

a+b 3

a+ b

(a − b ) ( 3 a + 3 b) − (a + b ) ( 3 a − 3 b) =

( 3 a − 3 b)( 3 a + 3 b)

a 3 a + a 3 b − b3 a − b3 b − a 3 a + a 3 b − b3 a + b3 b 3

3 2

a − b2

2 3 ab( a 2 − b 2 ) 3 2

a − b2

= 2 3 ab ;

a+ b

a + b − 3 ab( 3 a + 3 b) 3

x3 = x 3 :

−

x −1 = x 5 ;

−

5 6

a = a3 ;

4 3

a = a6 ;

= a −5 ;

4) b

5) (2x) = 2x ;

−

1 3

−

2 − 3

= 3 (3b)−2 .

1 3

2) 27 = 3 27 = 33 = 3 ;

3) 8 = 82 = 3 (23 ) 2 = 43 = 4 ; 3

4) 814 = 4 (81)3 = 4 (34 )3 = 27 4 = 27 ;

6) 9−1,5 = 9 4

−

3 2

−

3 4

= 16−3 = 4 (24 )−3 = 2−3 =

= 9−3 = (32 ) −3 = 3−3 =

4 11 + 5

58. 1) 2 5 ⋅ 2 5 = 2 5 2

2 5 + 7

2) 5 7 ⋅ 5 7 = 5 7

3) 9 3 : 9 6 = 9 3 ⋅ 9

b −3 = b 7 .

= b −1 ;

6) (3b)

57. 1) 64 2 = 64 = 82 = 8 ;

5) 16−0,75 = 16

b = b4 ;

2) y 5 = 5 y 2 ;

1 2

2 3

56. 1) x 4 = 4 x ; 3) a

a + b − a 2 b − ab 2

3 4

−

1 6

2 +5 7

4+11 5

1 = 0,125 ; 8

1 . 27

= 2 5 = 23 = 8 ;

= 5 7 = 51 = 5 ; 4 −1 6

a + b − a 2 b − ab 2

a 3 + ab 2 − 2 a 2 b + ba 2 + b3 − 2 ab 2

55. 1)

( a + 3 b)( a 2 + b 2 − 2 3 ab) 3

a + b − a 2 b − ab 2 3

a 2 − b2 3

2a 3 b − 2b 3 a

b( a − b) 4 = b; a− b

3) ( a + b − 3 ab ) : ( 3 a − 3 b)2 = 3 3 =

a− b

2) =

a 3 − ab 2 + ba 2 − b 3 − a 3 − a 2 b + ba 2 + ab 2

= 9 6 = 32 = 3 ;

www.5balls.ru

= 1.

4) 4 3 : 4 6 = 4 3 ⋅ 4 1

5) (8 2 )−4 = 8

4 − 12

−

5 6

2−5 6

=4 −

=8 3 =

8 2 5

2 5

3 6

1 1 1 = = = 0,5 ; 2 2 4 2

1 3

−

2 5

3 3

4 5

6 5

1 = 0,5 . 2

4 6 + 5

59. 1) 9 ⋅ 27 = (3 )2 ⋅ (3 )3 = 3 ⋅ 3 = 3 5 2 3

2 3

4 3

2) 7 ⋅ 49 = 7 ⋅ (7 )2 = 7 ⋅ 7 = 7 3 4

3 4

3 − 4

2 4 + 3 3

= 32 = 9 ;

= 7 2 = 49 ;

6 4

−

6 6 − 4

3) 144 : 9 = (32 ⋅ 42 ) ⋅ (9 )2 = 4 ⋅ 3 ⋅ 3 4 = (22 ) 2 ⋅ 3 4 3

4) 150 2 : 6 2 = 25 2 ⋅ 2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 6 0

−

3 2

−

= (52 ) 2 ⋅ 2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 2 2 ⋅ 3

3 2

= 23 ⋅ 30 = 8 ⋅ 1 = 8 ; 3 3 −

3 3 − 2

= 53 ⋅ 2 2 2 ⋅ 3 2

= 125 ⋅ 2 ⋅ 3 = 5 ⋅ 1 ⋅ 1 = 125 .

1 60. 1)    16 

−0,75

−

4 4 3 3 1 3 +   = (16) 4 + (8) 3 = (24 ) 4 + (23 ) 3 = 2 3 + 2 4 = 8 + 16 = 24 ; 8 3 2

−

2 3

2) (0,04 )−1,5 − (0,125 ) 3 =   −   = ( 25 )2 − (8 )3 = (52 ) 2 − (23 ) 3 =  25  8 −

= 53 − 22 = 125 − 4 = 121 ; 9

−

6 4 + 5

3) 8 7 : 8 7 − 35 ⋅ 3 5 = 8 7 ⋅ 8 7 − 35

9 2 − 7

= 87

2 2 3 − ⋅5 1 4) (5 5 )−5 + ((0, 2) 4 ) −4 = 5 5 +   5

61. 1)

b:6 b =

b 4

a⋅ a⋅

62. 1) a 1 2

1 3

= 12

6 36

(b 2 ) 2

1 3

1 2

b3 6 2 3 = b = b; b

a4 ⋅

a =a a =a

1 3

1 2

1 1 + 3 2

b : b6 = b3b 4

−

1 6

a3 ⋅

1 6

1 1 − 6

= b3

4) a 3 : 3 a = a 3 : a 3 = a 3 ⋅ a 5) x1,7 ⋅ x 2,8 : x5 = x

17−28 10

при b = 27 ;

b = 3 27 = 3 3 = 3 .

b3 ⋅ b 4 6 6 = b = b = 1,3 . b

−

1 3

a5 =

2+3 6

2) b ⋅ b ⋅ b = b ⋅ b ⋅ b = b 3)

= 52 + 53 = 25 + 125 = 150 .

a = 0,009 = (0,3) 2 = 0,3 .

6 3

b b2

6 6 a ⋅6 a = a2 ⋅6 a = a3 = a ;

при a = 0,09 ; 2)

3 − ⋅4 4

− 3 5 = 8 7 − 32 = 8 − 9 = 1 ;

12 12

= а = 2,7.

3+ 2+1 6

= b 6 = b1 ;

= b6 ;

=a 5

a4 ⋅a3 ⋅a5 =

=a ;

1 1 1 + + 2 3 6

2−1 6

5 6

4−1 3 45

= a 3 = a1 ;

: x 2 = x 10 ⋅ x

−

5 2

= x2 ⋅ x

−

5 2

9 5 − 2

= x2

= x 2 = x2 ;

www.5balls.ru

1 2,3+ −3,8 3

1 2

1 1 + 2 2

6) y−3,8 : y−2,3 ⋅ 3 y = y−3,8 ⋅ y2,3 ⋅ y 3 = y 1 2

1 2

2 2

63. 1) x + x = x + x1 = x + x = x + x 1 3

1 3

1 1 3 3

1 3

−1,5

= y3 1 2

1 2

1 3 − 2

= y3

1 2

2−9 6

1 2

=y 1 2

−

7 6

1 2

1 −1 6

1 2

= x + x ⋅ x = x + x ⋅ x = x (1 + x ) ;

1 3

2) (ab) + (ac) = a ⋅ b + a c = a (b + c 3 ) ; 1

3) y 4 − y 3 = y12 − y12 = y12 1

5 + 12

− y12 = y12 ⋅ y12 − y12 = y12 (y12 − 1) = y 3 (y12 − 1) ;

4) 12xy 2 − 3x 2 y = 3(4x 2 y 2 − x 2 y 2 ) = 3x 2 y 2 (4x 2 − y 2 ) . 1

64. 1) a 2 − b 2 = a 4 ⋅ b 4 = (a 4 ) 2 − (b 4 ) 2 = (a 4 + b 4 )(a 4 − b 4 ) ; 2

2) y 3 − 1 = (y 3 )2 − 12 = (y 3 + 1)(y 3 − 1) ; 1

3) a 3 − b 3 = a 6 − b 6 = (a 6 ) 2 − (b 6 ) 2 = (a 6 + b 6 )(a 6 − b 6 ) ; 2

4) x − y = x1 − y1 = x 2 − y 2 = (x 2 ) 2 − (y 2 )2 = (x 2 + y 2 )(x 2 − y 2 ) ; 1

5) 4a 2 − b 2 = 22 a 4 − b 4 = (2a 4 )2 − (b 4 )2 = (2a 4 + b 4 )(2a 4 − b 4 ) ; 1

6) 0,01m 6 − n 6 = (0,1) 2 m 12 − n 12 = (0,1) 2 (m 12 ) 2 − (n 12 ) 2 = 1

= (0,1m 12 ) 2 − (n 12 ) 2 = (0,1m 12 + n 12 )(0,1m 12 − n 12 ) . 3

65. 1) a − x = a 3 − a 3 = (a 3 )3 − (х 3 )3 = (a 3 − x 3 )(0,1m 12 + n 12 ) ; 3

2) x 2 − y 2 = (x 2 )3 − (у 2 )3 = (x 2 − у 2 )(x 2 + y 2 + y 2 ) = (x 2 + y 2 )(x + х 2 y 2 + у) ; 1 2

3 6

1 2

3 6

1 1

3) a − b = a − b = (a6 )3 − (b6 )3 = (a6 − b6 )(a 6 + a6b6 + b6 ) = (a6 − b6 )(a3 + a6 b6 + b3 ; 3

4) 27a + c 2 = 33 a 3 + c 6 = (3a 3 )3 + (c 6 )3 = (3a 3 + c 6 )((3a 3 ) 2 − 3a 3 c 6 + c 6 ) = 1

1 1

= (3a 3 + c 6 )(9a 3 − 3a 3 c 6 + c 3 ) . a− b

66. 1)

1 4

a −b

1 2

1 4

a 4 − b4 a −b

1 2

1 4

a 4 − b4 a −b

1 2

1 4

(a 4 + b 4 )(a 4 − b 4 ) a −b

1 2

= a 4 + b4 ;

m +n m +n m + n2 1 ; = = = 1 1 1 1 2 m + 2 mn + n ( m + n ) 2 (m 2 + n 2 ) m2 + n2 1

2 2 1 2 2 2 3) c − 2c + 1 = (c − 1) = (c 1 − 1) = c 2 − 1 .

c −1

67.

c 1 2

3 2

c +b

1 2

c −1

−

cb 1 2

1 2

b −c

1 2

c2 −1

2c2 − 4cb = c−b

c2 1 2

c +b

1 2

cb 2 1 2

c −b

www.5balls.ru

1 2

2c 2 − 4cb 1 2

(c + b 2 )(c 2 − b 2 )

c 2 (c 2 − b 2 ) + cb 2 (c 2 + b2 ) + 2c2 − 4cb 1

c2 − c 2 b 2 + c 2 b 2 + cb + 2c2 − 4cb 1 2

1 2

⋅ 2−

= 32

3) (5 3 )

3⋅ 3

4) ((0,5)

)

= (0,5)

69. 1) 22 −3

⋅8

2) 32

2) 31+ 2 = 31+ 2

2 −2 2

2)(1+

)

70. 1) 21−2 3

⋅ 31−

71. 1)

= 32

⋅ 3−2

= 32

2 −2 2

= 30 = 1 ;

= 53 = 125 ;

= (0,5)

)

: (3

⋅ (2

1 1 . = (0,5) 4 =   = 16 2 5

) = 31+ 2

2 2

= 2 2 −3 2

: 32

⋅ 23

= 22 −3

5 3

= 31+ 2

⋅ 3−2

5 +3 5

= 22 = 4 ;

= 21− 2

= 32−3

⋅ 3−2 −

2 )(1− 2 )

= 51− 2 = 5−1 =

⋅ (2

⋅ (3 3 )3 = 32−3

= (32 )1+

= 21− 2

)

⋅ 31−

⋅ 33

3 −2− 3

⋅ 22 3

= 21− 2

= 32−3

= 32 + 2

2 +2 2

2 =3 =9;

3 +3 3 3

= 21 = 2 ;

⋅ 3−1− 2

=3 =3;

⋅ 21−

= 5(1+

⋅4

⋅ 27

2 + 2 3 −1− 2 3

4) 43+

= 20 = 1 ;

2⋅ 8

1 ; 5 0 1 1 1 − 625 624 2) . − ( 5)0 = 51−5 − 52 = 5−4 − 50 = 4 − 1 = −1 = =− 5 625 625 625

4) 5(1−

3) 91+

: 32

= 22 −3

= 31 = 3 ;

2 1− 2

5− 5

= 31+ 2

3) (51+

2) 32−3

1 1 +

3c2 − 3cb 3c(c − b ) = 3c . = c−b c−b

1 2

(c + b )(c − b )

68. 1) 2

(c 2 + b 2 )(c 2 − b 2 )

(c 2 + b2 )(c 2 − b 2 ) 3

2 1 +

c 2 ⋅ c 2 − c 2 b 2 + c 2 2 b 2 + cb 2 2 + 2c2 − 4cb

⋅ 2−4−

102 + 102 +

⋅ 51+

= (22 )3+

102 + 102 +

⋅ 21− 7

⋅ 5(2 +

2 − 4− 2

7 ) −1

= 26 + 2

102 +

(2 ⋅ 5) 2 +

2 − 3− 2 2

3 = 2 = 8.

1 5−1

= (5−1 ) −1 =

⋅ 5 −1

36 61+ 5 36 =18; ⋅ = 2 (6)1+ 5 2

= 5(−1)⋅( −1) = 51 = 5 ;

63+ 22 +

3) (251+ =5

⋅ 31+ 2

2 3 −2 3

−4

−2

− 52

2 + 2 2 −1− 2 2

4) (22

−5

62 ⋅ 61+ 2 ⋅ 21+

) ⋅ 5−1− 2

2 2 −1− 2 2

3 −1

) ⋅ 2−2

2 3 −2

⋅2

⋅ 31+

= (52 )1+

36 61+ 5 ⋅ 2 (2 ⋅ 3)1+

⋅ 5−1− 2 2 − 52 1 4 = 51 − 5−1 = 5 − = 4 ; 5 5 2

= 22

−2 3

⋅ 2−2

= 2 −2

− (22 )

2 3 − 2−2 3

3 −1

⋅ 2−2

= 1− 2

−2

⋅ 5−1− 2

= 1−

1 22

= 1−

1 3 = . 4 4

www.5balls.ru

72. 1) 3 3

2)  1 

= 3−

3

3) 4−

1 5)   2

1, 4

, так как

1 ;   3

< 4−

71 > 69 ;

= 3−

− 3

< 3−

; 3

1 = 2 −1, 4 ;   2

= 2−

, так как − 3 < − 2 ;

4) 2

> 21,7 , так как

; 2−1,4 > 2−

, так как − 1,4 > − 2 ;

, так как − 3 < − 2 ; 2

3 > 1,7 ;

3,14 1 −π 6)   = 9 −π ;  1  < 9 −3,14 , так как −3,14 > −π . = 9 −3,14 ; 9 9 9

73. 1) 2 − 2 =

1 2

2 7 3)   =   7 2

1 <1; 4

−5

2) (0,013) −1 =  13   1000 

 π 7)    4

5−2

1 8)    3

8−3

74. 1) a 3) (b 75. 1)

= 2−

1 > 0; 2

< 1 = 2 0 , так как − 3 < 0 ;

2− 5

 4 =   π

2− 5

 4 ; 1 < 4 ; 5 > 4 = 2; значит, 2 − 5 < 0, а   π  π

= 33− 8 ; 3 = 9 > 8 , значит, 3 − 8 > 0, то есть 33− ⋅ a1− 3

)

2 1000 = 76 > 1 ; 13 13

< 1 = 2 0 , так как − 5 < 0 ; 3

6)  1  2

= (3,5) −5 < 1 = (3,5) 0 , так как −5 < 0 ;

4) 271,5 = (33 ) 2 = 32 > 1 = 30 , так как 4 − 5) 2

−1

:b = b

2 +1− 2

= a1 = a ;

3⋅ 3

−2

1 3

⋅b

= b ⋅b

−2

1 3

2 = 2 < 3 3 = 3 , так как 3>2; 2)

1 76. 1)    16 

−0,75

3 −1

2) a 3− 2 4

⋅a

3 +1

 4 <1=   ;  π

> 1 = 30 .

3 −1+ 3 +1

= a2

=b =b. 1

5 = 5 4 < 4 7 = 7 4 , так как 7>5.

3  35  5 3  224 + 19  5 4 4 3 −  = (2 ) + 30 −  5  = 2 + 30 − = 8 + 30 − 1,5 = 36,5 ; 2  32  2  

−

1 3

2) (0,001) − 2

−2

2 3

⋅ 64 − 8

1 −1 3

−

2 4 1  1 3 −2 6 3 3 −3 3 3 =  − 2 ⋅ (2 ) − (2 ) = (10 ) –  1000 

www.5balls.ru

;

3 1  19  5 + 8100000,25 −  7  = (16) 4 + (304 ) 4 −  32 

− 2− 2 ⋅ 24 − 2− 4 = 10 − 24− 2 − 2 3

3) 27 − (−2) 1  33  =3 − + 3 4  2 

−

−4

4) (−0,5) 8 +1 –    4 

−1

2+1 2

−2

 3 + 3   8

1 3

= 10 − 2 2 − 0,0625 = 9,9375 − 4 = 5,9375 ;

−1 3

−

 24 + 3  3 = (3 ) − + = 2  8    (−2) 2 3

1 2 9 ⋅ 12 − 3 + 2 ⋅ 4 108 − 3 + 8 113 5 + = = = =9 ; 12 12 12 4 3 12

=9−

− 625

1 24

 1 −2   4

0,25

1 −1 2

 1  =   −2 

−4

− (54 ) 4 −

432 − 135 − 8 289 19 . = = 10 27 27 27

= −

−

2⋅6

77. 1) (a 4 ) 4 ⋅ (b 3 ) −6 = a −3 ⋅ b 3 = a −3 ⋅ b 4 = 1

;

  a 6  4 12  a 6  3 1 2)   −3   =  −3  = (a 6 ⋅ b3 ) 3 = a 2 ⋅ b . b    b       4

a 3 (a

78. 1)

1 4

−

1 3

+ a3)

3 4

−

1 4

a (a + a ) 1

−

1 4

a ⋅ a (a

4 1 − 3

2 1 +

a 3 ⋅ a 3 (1 + a 3 3 ) 1 −

3 1 + 4 4

+ 1)

1 −

(1 + a ) =

a3 a

1 1 − 4 4

(a + 1)

a a

a =a; 1

1 1 −

4 1 +

5 5 b5 ( b4 − b−1) b5 (b5 − b 5 ) b5 ⋅ b 5 (b5 5 −1) −b ± b2 − 4ac b5 5 ( b −1) b0 1 2) 2 = 2 1 2 = 2 2 12 = 22 = 0 = =1 ; − − + − 2a 1 3 b3 (3 b − b−2 ) b3 (b3 − b 3 ) b3 ⋅ b 3 (b3 3 −1) b3 3 ( b −1) b 5

−

3 2

a − b

−2

1 3

a 3 b −1 − a

b+b 6

a +b

2 3

−

1 3

2 3

1 2

1 3

(

a 3 b −1 a 2 − b

5 1 +

a −b

a +6b

2 3

a −b

a b +b a

1 2

2 6

3 6

a b + b6a 6

a 6 + b6

2 3

);

a 6 b 6 (a 6 + b 6 )

a 6 + b6

a 6 b 6 (a 6 + b6 ) 1 6

−

a 3 (a 3 3 ⋅ b −1 − 1)

1 6

= a 6b 6 = a 3b3 .

1 −

79. 1) (23 ⋅ 3 3 − 33 ⋅ 2 3 ) ⋅ 3 6 = 3 3 ⋅ 2 3 (23 − 33 )3 6 = 6 3 ⋅ 6 3 (22 − 32 ) = = 6 = 4 − 9 = −5 ; 1

1 3 + 4

−

2) (5 4 : 2 4 − 2 4 : 5 4 ) 4 1000 = (5 4 ⋅ 2 4 − 2 4 ⋅ 5 4 ) ⋅ 10 4 = −

−

= 2 4 ⋅ 5 4 (5 4

1 3 +

−

− 2 4 4 ) ⋅ 10 4 = 10 4 ⋅ 10 4 (5 − 2) = 10

3 3 − + 4 4

⋅ 3 = 100 ⋅ 3 = 1 ⋅ 3 = 3 .

www.5balls.ru

80. 1) a 9 6 a 3 a = a 9 ⋅ 1

−

1 2 + 9

a = a 9 ⋅ a 6⋅3 = a 9 5

34 5

2) b12 3 b 4 b = b12 ⋅ 3

63 4

b = b12 ⋅ b 3−4 = b12

−

= a3 ;

5 12

= b2 ; 1

−

3) ( ab−2 + (ab) 6 ) ab 4 = (a 3 b 3 + a 6 b 6 )a 6 b 6 = (a 6 b 6 + a 6 b 6 )a 6 b 6 = −

−

1 1 −

= a 6 b 6 (a 6 + b 6 )a 6 b 6 = a 6 6 b 6 6 (a 2 + b 2 ) = a 0b0 (a 2 + b 2 ) = a 2 + b 2 ; 2

4) ( 3 a + 3 b)(a 3 + b 3 − 3 ab) = (a 2 + b 2 )(a 3 + b 3 ) × 1

×((a 3 )2 − a 3 b 3 + (b 3 )2 ) = (a 3 )3 + (b 3 )3 = a + b . 1 1 1 1 81. 1) (1 − 2 b + b ) : (a 2 − b 2 )2 = 1 (a − 2 ab + b) : (a 2 − b 2 )2 =

1 1 = ( a − b )2 : ( a − b )2 = ; a a 1

1 1 1 1 1 1 2 2 − − a 3b + ) = (a 3 + b 3 ) : (a 3 − b 3 ⋅ (2a 3 b 3 + a 3 + b 3 ) = b a

2) (a 3 − b 3 ) : (2 + 3 1

= (a 3 + b 3 ) ⋅ a 3 ⋅ b 3 : : (a 3 + b 3 )2 = a 3 ⋅ b 3 : (a 3 + b 3 ) ; 1

a4 − a4 1 4

−

5 4

a −a

−

1 2

− b2

1 2

b +b

1 − 2

1 4

4 4

a 4 (1 − a 4 )

−

b 2 (1 − b 2 )

−

1 − 2

a (1 − a )

2 2

b (b + 1)

1 − a2 − 1− a

b − 1 (1 − a )(1 + a ) (1 − b)(1 + b) = − = 1+ a −1+ b = a + b ; 1+ b 1+ a 1+ b −

−

a − a 2b a2 − a 3b a 2 − a 2b a 3 − a 3b a 2 (a 2 − b) 4) − = − 1 = 1 1 − 1 1 1 1 1 1 − − − 1 − a − 1b 6 a + a 3 b 1 − a 2 b 2 a 6 + a 3 b 2 a − 2 (a 2 − b 2 ) −

a 3 (a 3 − b)

−

a−b

a 2 + b2

−

(a 2 − b 2 )(a 2 + b 2 ) 1

a 2 + b2

−

a 2 − b2

( mn ) 7

2+ 3

7 +1

⋅y

( xy )

a 2 + b2

−b

= x

(mn ) (mn ) 7

2+ 3

⋅y

( xy)

⋅y

= =

(mn )

(mn ) (mn ) ( xy) ( xy)

⋅y 7

1 (mn )2

;

= y;

+ b 3 ) = ((a 2 )2 − (b 3 )2 ) = a 2 2 − b2 3 ; 4) (2a −0,5 − 1 b− 3 )( 1 b− 3 + 2a −0,5 ) = (2a −0,5 )2 − (1 b− 3 )2 = 4a −1 − 1 b−2 9 3 3 3

3) (a

(a 2 − b 2 )(a 2 + b 2 )

−a 2 + b 2 = 2b 2 = 2 b .

3 82. 1) m n

2) x

a 2 − b2

a 3 (a 6 − b 2 )

a−b

−

)(a

www.5balls.ru

83. 1) (a1+ 2 )1−

= a (1+

1− 5

2) (m 1+ 5 ) −3 ⋅ m

3 5 2

2)(1− 2) 3 5 −3 3 5 + 2 5

= m 1+

3) (a 3

2 + 3 3 3 4 −3 6 + 3 9

4) (a 3

9 + 3 3 +1 1− 3 3

= a (1−3

)

6 5 −6+3 5 +3⋅5 2(1+ 5 )

= m 2 = m 4,5 ;

8 −3 12 +3 18 +3 12 −3 18 +3 27

= a3

)

= a1− 2 = a −1 ;

1 2 1 3 )( 3 3 +13 ⋅ 3 +1)

23 +3 33

= a3

= a 2+3 = a5 ;

1 3

= a1

− (33 )3

= a −2 .

84. 1) 52 x = 54 ; 2 x = 4; x = 2 ; 2)  1 

2

−1

1 1 =   ; 2 x = −1; x = − ; 2 2  

3) 9 x = 3 2 x

4) 16 = 2 85. 1) 7 x 2) 25x

( 2) 4) ( 3 )

2 8π

; 32 x = 32 ; 2

= 7 ; 7x

= 5 5 ; 52x 1

8π 3

; 2x = 2 2 ; x = 2 ;

; 4 x = 8π; x = 2π . 1

1 1 ; x= ; 2 2 3 1 1 3 3 ; = 5 2 ; 2x 2 = ; x = 2 4 2 = 72 ; x 3 =

1 1

x 3 = ; x = 3; 2 2 3 3x 3 = ; x =1. = 32 ; 2 2

= 2 2; 22 = 2 2 ; 2 2 = 22 ; 1

= 3 3 ; 32

⋅3x

1 1

= 3 2; 3 2

86. 1) 3 10 = 15 10 5 = 15 100000 > 5 20 = 15 (20) 3 = 15 8000 ; 2)

12 3

5 = 12 125 < 3 7 =

7 4 = 12 2401 ;

3) 17 = 6 17 3 = 6 4913 > 3 28 = 6 28 2 = 6 784 ; 4) 4 13 = 20 13 5 = 20 371293 > 5 23 = 20 23 4 = 20 279841 . 3

a 2 (b 2 − a 2 ) − ab 2 (b 2 + a 2 ) 2a 2 a2 ab 2 2a 2 + = − − = b−a a −b a+ b b − a a−b

87. 1) 3 1 +

1 1 +

a 2 b 2 − a 2 2 − a 2 b 2 − ab 2 2 + 2a 2 a 2 b 2 − a 2 − a 2 b 2 − ab + 2a 2 a2 − ab a(a − b) = = = = −a ; b−a b−a b − a −(a − b) 2 2) 3xy − y −

x−y

y y x− y

−

y x

x+ y

3xy − y 2 − x−y

−

y xy + y + yx − y xy 3xy − y 2 − y 2 − xy 2xy − 2y 2 2(x − y)y = = 2y ; = = x−y x−y x−y x−y

1 3

a +3b

−

3 2

a +3b 2

a 3 + 3 ab + b 3

a 3 − 3 ab + b 3 − a 3 − b 3 − 2a 3 b3 −33 ab ; = = a+b a+b

www.5balls.ru

4) 3 2

a − b2

a −3b

−

a −b 2

a 3 + 3 ab + b 3

( 3 a − 3 b)( 3 a + 3 b) 3

−

a −3b

(а 3 − b 3 )(a 3 + 3 ab + b 3 ) 2

a 3 + 3 ab + b 3

= 3 a + 3 b − 3 a + 3 b = 23 b .

88. 1)

a−b 3

−

a −3b

1 3

a 3 − b3 1

1 3

−2ba 3 ; = 2 2 a 3 − b3 1

(a + b ) (a 3 + b 3 ) − (a − b ) (a 3 − b 3 ) = a+b

a 3 + a 3b3 + b 3

1 3

+ ab 3 − a 3 b − b 3 + ab 3 − ba 3 + b

a−b

−

a 3 − a 3b3 + b 3 1 3

a 3 + b3

a+b

a−b

1 3

= a + b − a + b = 2b ; 2

3 3 3) a + b −

a−b 1

a 3 + b3

a 3 − a 3b3 + b3

x+y 2

x 3 + x 3 y3 + y 3 1

x−y

1 3

x −y

3 2

a −b

3 2

a −b

3 2

www.5balls.ru

(a 2 + b 2 )(a + a 2 b 2 + b) 3

(a + b)(a 2 + b 2 )(a 2 − b 2 ) 1

2(a 2 + b 2 )(a 2 + b 2 ) 3 2

a2 + b2 − 2ab(a + b)(a + b − 2a 2 b2 )

2(a 2 + b 2 − a 2 b 2 − a 2 b 2 )

a 2 − b2 =

x+y

a 2 − b2 3

( x + y ) (x 3 + y 3 ) +

a 2 + b 2 − 2ab + a 2 + b 2 + ab + ab − 2a 2 b 2 − 2a 2 b 2 3

a 2 − b2

(a − b)2

a 2 − b2

a2 + b2 − 2ab

x 3 + y3 + x 3 − y3 − x 3 − y3 = x 3 − y3 ;

(a + b ) (a 2 − b 2 )(a 2 − b 2 ) = = 1

(a 2 + b 2 )(a + a 2 b 2 + b)

x 3 − x 3 y3 + y 3

a 2 − b2

x 3 − y3

−

( x − y ) (x 3 − y 3 ) − (x 3 − y 3 )(x 3 + y 3 ) = + 2)

x−y

x 3 − x 3y3 + y3

(a − b)2

a 3 − b3 + a 3 + b3 2a 3 a 3 − b3 a 3 + b3 . = = = + a+b a+b a+b a+b

1 2

a 3 + b 3 a 3 + b 3 + a 3 b 3 a 3 + b 3 − a 3 − b 3 − a 3 b 3 −a 3 b 3 ; = = − = a−b a−b a−b a−b

3 3 4) a − b + a+b

89. 1)

= 2(a 2 + b 2 );

1 1 2 1  23   23  3x + 5x 3 1   13 1  3x + 5x 3 x 3 − x 3 + 1  3)  :  4x + 4 + 1  =  : + 1 +  x + 1     x + 1 x + 1  5 +1  3  x x    

 1   1 2 1  :  1   2x 3  + 4 ⋅ x 3 + 1  =       x3  2

4x 3 + 4x 3 + 1 = ⋅ x +1

x3 1

1 2 1  23   2 1 3 3 3  3x + 5x + x − x + 1  :  1  2x 3 + 1  =      1  x +1   3   x 1

x3 . = x +1

(2x 3 + 1) 2 90. Искомая сумма вычисляется по формуле сложных процентов: S=a(+

+= p )t , где а — первоначальная сумма вклада, р — число процентов начисляе100

мых за год, t — число лет: S=5000(1+ 2 )3 =5000(1,02)3=5306,04=5306 р. 4 коп. 100

91. Искомая сумма вычисляется по формуле сложных процентов: S = a(1 +

7 p t . ) a = 2000p; p = 3; t = 2 12 100

S = 200(1 +

31 3 2127 ) = 2000 ⋅ (1,03)12 = 2000 ⋅ 1,07935 = 2158,7 =185 р. 70 коп. 100

92. 1) (0,645: 0,3 −1107) ⋅ (4:6,25 −1:5 + 1 ⋅1,96) =  0,645 ⋅10 − 287  ⋅  4 ⋅100 − 1 + 196  = 180 7 3 180 625 5 7 ⋅100

   387 − 287 100 112 28 ;  2,15 ⋅ 180 − 287  ⋅1,12 = ⋅ = =  × (0,64 − 0,2 + 0,28) = 180 180 100 45 180   2) ( 1 − 0,375) : 0,125 +  5 − 7  : (0,358 − 0,108 ) = (0,5 − 0,375 ) : 2  6 12  3 4 10 − 7 : 0,125 + : 0,25 = 0,125 : 0,125 + ⋅ = 1 + 1 = 2 . 12 12 1



93. 1) 1,3(1) = x; 100x = 131, (1); 10x = 13, (1) ; 100 x − 10 x = 131, (1) − 13, (1) = 118 ;

90x = 118; x = 118 = 59 = 1 14 ; 90

2) 2,3( 2) = x ; 10x = 23, (2); 100 x = 232 , ( 2 ) ; 100x − 10 x = 232, (2) − 23, (2) = 209 ; 3) 0, ( 248 ) = x ; 1000 ⋅ x = 24,8(248) ;

209 29 ; =2 90 90 248 999 ⋅ x = 248; x = ; 999 90x = 209; x =

4) 0,(34) = x; 100 ⋅ x = 34,(34) ;

100 ⋅ x − x = 34,(34) − 0,(34) = 34 ;

99 ⋅ x = 34; x =

34 . 99

94. 1) 48o = 1; 10 − 2 = 1 = 1 = 0,01 ; 10 2 100

www.5balls.ru

2   3

−1

3  3 = 1,5; (0,3) −3 =   2  10 

 12  ( −1,2) − 2 =  −   10 

−2

27 = 33 = 3;

 5 = −   6 4

−3

−2

1 1000  10  = 111 ; =  = 9 9  3

81 = 4 3 4 = 3;

8 2 = 6 (2 3 ) 2 = 2 6 = 2;

27 2 = 3 (33 ) 2 = 3 (32 ) 3 = 3 2 = 9 ; 1

−2

 9 = −   4

−2

16 ; 4 =  = 81 9

32 = 2 5 = 2; 8

 1 2   4

25 ; 36

16 2 = 8 (2 4 ) 2 = 28 = 2;

3) 8 3 = (23 ) 3 = 2; 27 3 = (33 ) 3 = 32 = 9; 10000 4 = (104 ) 4 = 10; 2

32 5 = (25 ) 5 = 22 = 4; 32 5 = (25 ) −

3 5

= 2 −3 =

1 = ; 8 2 3

−

3 3 2 3 3 9  27  3  3    3    3    =  3  =     =   = .  64   4    4    4  16

4 15

5 3 ⋅ 7 3 = 3 (5 ⋅ 7 )3 = 5 ⋅ 7 = 35 ; 4 324 ⋅ 4 4 = 4 324 ⋅ 4 = 6 4 = 6 ; 4

95. 1)

5 4 2 4 125 5 4  5  = ⋅ =   : 8 5 8 2 2

5 = 2,5 ; 2 1

2) 56 o : 8 −2 = 1 ⋅ 8 2 = 1 ⋅ 64 = 64 ; −1

54 ⋅ 5

−

1 4

1 1 −

= 5 4 4 ⋅ 5−2 =

(0,3) 0,3 ⋅ (0,3) −1 (0,3)1,3

96. 1) 3 −  2  4

3

1 ; 25

−

4 3

4 7−3

= 73 1

(0,3) 2

1 3

( ) ⋅ 161 ⋅16 = 2 ;

⋅ 7 −2 = 71− 2 = 7 −1 =

100 1 = 11 . 9 9

3 3 3⋅3⋅ 2 3 − = =− ; 4 2 4 4 −

2) (

73 ⋅ 7

= (0,3) 0,3−1−1,3 = (0,3) − 2 =

−1

1 1 8 3 ⋅   :16−1 = 23 2

1 1 1 2 2 2   : 9 = 15 : (3 ) = 15 : 3 = 5 ;  15 

16 4 ⋅ 25 2 = (24 ) 4 ⋅ (52 ) 2 = 2 ⋅ 5 = 10 ;

1 1 1 1 − − − − 1 13 ⋅ 125−1 ) 3 =  3  ⋅ ((53 ) −1 ) 3 = (3−3 ) 3 ⋅ (5−3 ) 3 = 3⋅5 = 15; 27 3  2

( )

3) 27 3 + 9−1 = 33

2 3

1 1 1 1 = 32 + = 9 + = 9 ; 9 9 9 9 −2

1 1 1 4) (0,01)−2 :100− 2 =  1  ⋅ 100− 2 = (100 )2 ⋅ (102 ) 2 = 10000 ⋅10 = 100000 ; 100





www.5balls.ru

1 ; 7

−

− −1 2  2 2 5)  64   8  =   8   ⋅ 5 = 9 ⋅ 5 = 45 ;    81   5    9   8 8 8 64 2

 3 3 6)  2 10   3  =  64  ⋅ 9 =   3   27   4   27  16   4  −

97. 1) 2)

−

3 9 81 .  ⋅ = 16 256  3

3 3 1 3 3 3 9 3 3 ⋅ 9 3 27 3  3  3 ⋅ 2 = ⋅ = = =   = = 1,5 ; 2 4 2 4 2⋅4 8 2 2

3 4 4 4 3 4 27 4 3 ⋅ 27 4  3  ⋅ 6 = ⋅ = =   4 4 4 4 4⋅4 2

3 = 1,5 ; 2 4

3) 4 15 5 : 4 2 = 4 125 : 4 2 = 4 125 : 2 = 4 125 ⋅ 5 = 4  5  = 5 = 2,5 ; 8

8⋅2

2

3 3 4) 3 11 1 : 3 3 1 = 3 45 : 3 10 = 3 45 : 10 = 3 45 ⋅ 3 = 3 9 ⋅ 3 = 3  3  = = 1,5 ;

5) ( 6) (

4 ⋅ 10

6 3 2

6 6

2

27 ) = ( 6 27) = ( 3 ) = 3 = 3 ; 3

16 )2 = ( 6 16)3 = ( 42 )3 = 46 = 4 . −3

1 98. 1) 13,75 = 1; 2 −1 = 1 = 0,5;   =23=8, т.к. 8>1>0,5, то 2 2 2) 980=1,  3 

−1

7

−3

 1  >13,75>2–1;   2

1 1 1 3 7 1 5 = 2 , 32 5 = (2 ) 5 =2, т.к. 2 >2>1, то   7 3 7 7

−1

> 32 5 >980.

1 6

6 1 6  6 6 99. 1) (0,88) >   , т.к. 0,88 < 1, < 1 и 0,88 > , а > 0; 11 6 11  11  5 2)    12 

−

1 4

−

3) ( 4,09)3  11  4)    12 

− 5

 3  < 4   25 

 1 = 1   11 

a 2 a −0,5 a

2 3

3) (a 2,5 ) 2 5 a

3 2

= ( 4,12)3

 12  >   13 

− 5

, т.к. 4,09 < 4,12, а

 1  = 1   12 

, т.к. 1

2 > 0;

1 1 >1 , а 11 12

5 >0.

1 1

100. 1)

5 1 5 < 1, 0,41 < 1 и > 0,41, а − < 0; 12 4 12

< (0, 41) 4 , т.к.

1 1 1 − 2 2

⋅a

−

2 3

1−

2 3

1 3

= a ; 2)

a −3a 3 a

1 = a5 ⋅a 5

1 5+ =a 5

1 5 =a 5;

1 3

7 2

=a 3

−3+

7 3

⋅a 2

−

1 3

2 1 − − 3 3

2 3 + 7

a (a 14 )2 = a 7 ⋅ a 7 = a 7

= a −1 ; 5

= a7

www.5balls.ru

101. 1) x −2 = x −2

⋅ x 2 +1+ 2

= a 3+

3 −1− 3

102. 1)

= x 3+ 2

2 3 +1

 a 3   2)   b 3 −1   

2 +1

 1  ⋅  −2 2 −1  x 

a −1−

⋅

⋅ b(1−

2 −2 2

)

2 +1

= x −2

× (x (

3 −1)

3 +1

⋅ a −1−

⋅ b2 =

⋅ (x − ( −

2 −1)

2 +1)

)

2 +1

= x3 ;

= (a

−2

3 )(1+ 3 )

1 1  −   2 3

= x −2

3 +1

)

⋅ (b −(

)

⋅ b2 = a 2b1−3+ 2 = a 2 .

 3−2  =7   6 

1 =7  6

1 1 >7 −  3 4

 4−3 =7   12 

1 1  1  ; > = 7   , т.к. 6 12  12  2)

1  1 5 6  25 − 24   1  1 − 1  = 5  −  = 5   =5  > 5  4 4 5  20   20  3

1 1 1  1   1 7 8  49 − 48  . > > 5 1 − 1  = 5  −  = 5   = 5   , т.к. 20 42 6 6 6 6 42 42         1

103. 1) 62x = 6 5 ; 2 x =

1 ; x = 1 = 1 = 0,1 ; 5 5 ⋅ 2 10 3) 73x = 710 ; 3x = 10; x = 10 = 3 1 ;

2) 3 x = 27; 3 x = 3 3 ; x = 3 ; 4) 2

2 x +1

5) 2

2+ x

104. 1)

= 32; 2 = 4; 4

2 x +1

2+ x

y − 16y

1 2

a 5 − b5 2 5

a −b 105. 1)

2 5

y 2 (y 2 − 16) 1

a5 − b

ab − b 1 2

1 2

a b −1

2 5

b (ab − 1) 1 2

a b −1

1 2

2 5

= a 5 + b5 . 1

b (a 2 b 2 − 1)(a 2 b 2 + 1) 1 2

y 2 (y 2 − 4) = ; 5

(а 5 + b 5 ) − (а 5 + b 5 ) a −b

1 2

5(y 4 + 4) 2

y 2 (y 2 − 4)(y 2 + 4)

5(y 4 + 4)

(а 5 ) 2 − (b 5 ) 2

3 2

1 2

= 40 ; 2 + x = 0; x = −2 .

= 2 ; 2 x + 1 = 5; 2 x = 4; x = 2 ;

5y 4 + 20

1 2

= b 2 (a 2 b 2 − 1) ;

a b −1

1 2

b + a 2b2 − b a 2b2 b b b b2 . 2) = + = + = a−b a−b a − b a 1 + b 1 (a 1 − b 1 )(a 1 + b 1 ) a 1 + b 1 2 2 2 2 2 2 2 2 106. 1) b 2 = −81; S 2 = 162; S2 = b1 + b 2 = b1 − 81 = 162 ;

www.5balls.ru

b1 = 243; b 2 = b1 ⋅ q; q = b 2 = − 81 = − 1 ; q = 1 < 1 ; b1

243

2) b 2 = 33, S 2 = 67; S2 = 67 = b1 + b 2 = b1 + 33 ; b1 = 34; q = b 2 = 33 ; b1

q =

33 <1; 34

3) b1 + b 2 = 130 ; 120  b1 + b1 ⋅ q = 130  b1 = 1−q 2 ;  , значит, q ≠ 1 ; b1 − b3 = 120 ;  b1 − b1 ⋅ q 2 = 120  120 + q 120 = 130 2 2 1−q 1−q

120 + 120q = 130 − 130q 2 ; 13q 2 + 12q − 1 = 0 ; − 12 + 144 + 5 2 1 или q=–1, чего быть не может, значит, q = 1 < 1 ; = 13 26 13 b 2 + b 4 = 68 ; 2b 2 = 68 + 60 = 128; b 2 = 64 ; 4)  b 2 − b 4 = 60 q=

b 2 − (− b 4 ) = 68 − 60 = 8 ; 2b 4 = 8; b 4 = 4 ; b 2 = b1 − q = 64 ; 3 b 4 = b1 − q 3 = 4, значит, b 4 = b1q = 4 ; q 2 = 12 , значит, q = 1 < 1 .

b1q

107. 1) 1,10( 209) = x; 110, (209) = 100 ⋅ x; 100000 ⋅ x = 110209, (209); 100000 ⋅ x − 100 ⋅ x = 110209, (209) − 110, (209) ; 110099 = 99900 x; x = 110099 = 1 10199 ; 99900

99900

2) 0,108(32) = x; 108, (32) = 100 ⋅ x; 108,32(32) = 100000 ⋅ x; 100000 ⋅ x − 1000 ⋅ x = 10832, (32) − 108, (32) ; 10724 = 99000 ⋅ x; x = 10724 = 2681 . 99000

24750 108. b n > 0; b1 + b 2 + b3 = 39; 1 + 1 + 1 = 13 ; q < 1 ; b1 b 2 b3 27 b1 + b1q + b1q 2 = 39 b1 (1 + q + q 2 ) = 39 39   ; ; (1 + 1 + 1 ) ⋅ 27 = ; 1 1 13  2 1 13 2 13 2 q + + = q 1 + q + q2 q + q + 1 = b ⋅ q  b b ⋅q 1 2 27  27 b1 ⋅ q 1  1

(1 + q + q 2 ) 2 =

169 ⋅ q 2 ; 1 + q + q 2 = 13 ⋅ q или 1 + q + q 2 = − 13 ⋅ q ; 3 3 3

3q 2 − 10q + 3 = 0 ; или 3q 2 − 16q + 3 = 0 q1 =

10 + 8 ; q1 = 3 > 1, или q 3 = 10 − 8 = 1 ; q 4 = −16 + 220 < 0; 6 6 6 3

q2 =

1 −16 − 220 < 0; значит, q = ; 3 6

www.5balls.ru

b1 =

39 1 + q + q2

39 1 3

1+ +

1 9

39 ⋅ 9 = 27 ; 9 + 3 +1

www.5balls.ru

b1 27 27 ⋅ 3 = = = 40,5 . 1− q 1− 1 2 3

43 + 432 − 1800 43 − 432 − 1800 + + 2 2

43 + 30 2 + 43 − 30 2 =

109.

43 + 432 − 1800 43 − 432 − 1800 43 − 1849 − 1800 43 + 49 − =2 =2 = 2 2 2 2

+ =2

43 + 7 50 =2 = 2 25 = 10 . 2 2

110. a = (4 − 3 2)2 + 8 34 − 24 2 − 5 = 16 − 24 2 + 18 +  34 + 1156 − 1152  34 + 1156 − 1152 + 8 − 2 2  

   − 5 = 34 − 

− 24 2 + 8 ⋅ (3 2 − 4) − 5 = 34 − 24 2 + 24 2 − 32 − 5 = = 2 − 5 ; 2 − 5 < 0 , так как 2 < 5 , значит, a < 0 . 2

111. 1) a = b=

5− 3

5 3+ 2 2

;

5− 3

2) a = 2 + 3 ; значит, a < b ;

2 < 1,4143;

4) a = 13 − 12 ; 13 < 3,604; a < 0,14 < 0,147 < b .

2 2− 3

5 + 10

2( 2 + 3 )

5 (5 − 10 ) (5 − 10 )(5 + 10 )

17 < 4,124; b < 1,124 < 1,127 < a ,

12 > 3,464;

( 2 − 3 )( 2 + 3 )

5 5 ( 5 )2 ⋅ 2 5 5 − 5 2 = = 15 15

4⋅ 2

5) =

3 4

5 −4 2

11 < 3,317;

2( 2 + 3 ) = −2( 2 + 3 ) ; 2−3

5 (5 − 10 ) = 25 − 10

5 (5 − 10 ) = 15

5− 2 ; 3

3 3 3 3 3) 3 = 3 ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 ; 4) 3 3 3

> 0,8;

3 < 1,7321; a < 3,1464 < 3,1622 < 10 = b,

3) a = 5 − 5 ; 15 < 3,873; a > 1,127; значит, b < a ;

3+ 2 2

< 3,4; значит, b < 3,4 < 4,7 < a , значит, b < a;

8− 5

112. 1)

> 3,9;

(2) 3

3( 4 5 + 4 2 ) ( 4 5 − 4 2 )( 4 5 + 4 2 )

3( 4 5 + 4 2 ) 5− 2

2 4

24 3 4

27 ⋅ 4 27

3( 4 5 + 4 2 )( 5 + 2 ) 3( 4 5 + 4 2 )( 5 + 2 ) = ( 4 5 + 4 2 )( 5 + 2 ) ; = 5−2 3

www.5balls.ru

24 3 4

24 3 ; 3

6) 7) =

11 3+ 2

(1 + 2 − 3 ) (1 + 2 + 3 )(1 + 2 − 3 )

11( 3 9 − 3 6 + 3 4) 11( 3 9 − 3 6 + 3 4) ; = 3+ 2 5

(1 + 2 − 3 ) (1 + 2 2 + 2 − 3)

2 +2− 6 ; 4

1 3

( 3 + 2)(( 3) − 3 ⋅ 2 + ( 2) )

2 2

1+ 2 + 3

1+ 2 − 3

11((3 3)2 − 3 3 ⋅ 3 2 + (3 2)2 )

4 +3 6 +3 9

(3 3 − 3 2 ) (3 3 − 3 2 )((3 2 ) 2 + 3 2 ⋅ 3 3 + (3 3 ) 2 )

3 −3 2 3 = 3 −3 2 . 3− 2

113. 1) (3 7 − 3 4 )(3 49 + 3 28 + 3 16 ) = (3 7 − 3 4 ) × × ((3 7 ) 2 + 3 7 ⋅ 3 4 + (3 4 ) 2 ) = (3 7 ) 3 − (3 4 ) 3 = 7 − 4 = 3 ; 2) (3 4 − 3 10 + 3 25 )(3 2 + 3 5 ) = ((3 2 )2 − 3 2 ⋅ 3 5 + (3 5 )) × × (3 2 + 3 5 ) = (3 2 ) 3 + (3 2 ) 5 = 2 + 5 = 7 . 114. 1)

x− y 4

x −4 y

−

x + 4 xy 4

x +4 y

( 4 x + 4 y )(4 x − 4 y ) 4

x −4 y

−

x (4 x + 4 y ) 4

x +4 y

= 4 x +4 y −4 x = 4 y ;

x−y 3

−3

x −3 y

x+y x +3 y

(3 x − 3 y)( x2 + 3 xy + 3 y2 ) (3 x + 3 y)( x2 − 3 xy + 3 y2 ) − = 3 3 x −3 y x +3 y

3 3 = x 2 + 3 xy + 3 y 2 − x 2 + 3 xy − 3 y 2 = 23 xy ;

x −3 y 4

+3 y =

(4 x − 3 y )(4 x + 3 y ) 4

x +3 y

4 4 +3 y = x −3 y +3 y = x ;

3 3 4) x x − y y − 1 = ( x ) − ( y ) − 1 = ( x − y )(x + xy + y) −

x y −y x

−1 =

x + xy + y xy

xy ( x − y )

−1 =

x + y + xy − xy xy

4  43 a b + ab 3 1 ⋅ 1 1 115. 1)  1 1  3 3 a 3b3  a +b 1

xy ( x − y )

x+y . xy

1 1   3 3  =  ab(a + b ) ⋅ 1 1 1 1 1   3 3 a 3b3   a +b 1

 3 3  = a b = a 2b2 ;  b 

a 3 − b 3 ab 3 − a 3 b (a 3 − b 3 ) ⋅ 3 ab (( 3 a ) 2 − ( 3 b ) 2 ) 2) 3 ⋅ 3 = = 3 ab a +3b ab ⋅ ( 3 a + 3 b ) =

( 3 a − 3 b )( 3 a − 3 b )( 3 a + 3 b ) 3

a+3b

= ( 3 a − 3 b )2 ;

www.5balls.ru

a 3 − b3 a 3 + 3 ab + b3 (a 3 − b3 )(a 3 + b3 ) a 3 + 3 ab + b 3 3) 1 1 ⋅ = × 1 =1 ; 1 1 1 2 2 a −b a 3 + b3 a 3 + b3 (a 3 − b 3 )(a 3 + 3 ab + b 3 ) 4

a 3 − b3

4) 3

a −3b

⋅

a 3 − a 2b 2 + b 3 a +3b

(a 3 − b 3 )(a 3 + b 3 )((a 3 ) 2 − a 2 b 2 + (b 3 ) 2 ) 2

a 3 − b3 2

= (a 3 + b 3 )((a 3 ) 2 − a 2b 2 + (b 3 ) 2 ) = a 2 + b 2 . 2



2 2 −2 −2  −1 −1 −2   2 116. 1)  4a − 9a + 4a − 4 + 3a  =  (2a − 3a )(2a + 3a ) + 4a − 4 + 3a  = −1 −1 −1 −1   

 2a − 3a

−1

a −a

 (2a − 3a )(a − a )a − 4 + 3a =  a − a −1  2



 

2a − 3a

−2  2

−2

a −a

 2a − −2 + 3 − 3a + a − 4 + 3a  =   a − a −1   2



−2  2

 =  

 3a(a − a −1   3a 2 − 3  2 = =   = (3a ) = 9a 2 ;   a − a −1   a − a −1     



2)  

 (a + b)

= (a + b ) 2 −

−2

 a−b  + 3   a + b3 

−1

 a 3 + b3 1 −1 )⋅ =  ⋅ ( ab ) = ((a + b) 2 −  a−b ab 

a 3 − ab 2 + ba 2 − b − a 3 + b 3 ab(a − b ) = =1. ab(a − b ) (a − b )⋅ ab 5

 (4 a + 4 b)2 + (4 a − 4 b)2  3 10  a + 24 ab + b − 24 ab + b  6 21 117. 1)   ⋅ a a =   ⋅ a =   a + ab a( a + b)     5

21 5

21 15

 2  a 6 == 32 ⋅ a 6 − 2 = 32 ⋅ a 6 − 6 = 32a ; =  ⋅  a

  a − a −1 3 2)  + a −1   ( 3 a −1 + 3 a + 1)( 3 a −1 − 3 a + 1)   

−3

  a − a −1 3 = + a −1  = 2  3 −1  2  ( a + 1) − a 3 

−3

2 1 1 − −   1 a − a −1 + a −1 + 2a 3 + a 3 − a 3 3 −1   = + a = (a 3 ) −3 = a −1 ; 2 2   − 3 a 3 + 2 a −1 − a 3 + 1  





3 3 3   2 2 3 3)  a − b − ab a + b  ⋅ 1 =  ( a − b)(a + ab + b) − ab( a + b)  ⋅ 1 1   3 3

 a + b   1 1 ⋅ = (a + ab + b − ab ) ⋅ =1. a+b a+b  a− b 

118.

a 3 − b3

a− b

7 + 5 2 + 3 7 − 5 2 = 3 2 2 + 6 + 3 2 +1 =

= 3 1 − 2 2 − 3 2 + 6 = 3 ( 2 + 1)3 + 3 (1 − 2)3 = 2 + 1 + 1 − 2 = 2

www.5balls.ru

a− b

 

Глава II. Степенная функция 119. 1) y = x 6 ; область определения — R; множество значений — неотрицательные числа, т.е. y≥0.

Y X

2) y = x 5 ; область определения — множество R; множество значений — множество R.

X Y

1 2

3) y = x ; область определения — неотрицательные числа x ≥ 0 ; множество значений — неотрицательные числа у ≥ 0.

4) y = x −2 ; область определения — множество R,

кроме x = 0 ; множество значений — положительные числа y >0.

5) y = x −2 ; область определения — множество R, кроме x = 0 ; множество значений — множество R, кроме y = 0 . 1

6) y = x 3 ; область определения — неотрицательные числа x ≥ 0 ; множество значений — неотрицательные числа y≥0.

Y X

120. 1) p = 7 — возрастающая при x > 0 ; 3 3 2) p = ; π > 3,14; < 1 — возрастающая при x > 0 ; π π 3) p = 1 − 3 ; 3 > 1; 1 − 3 < 0 — убывает при x > 0 ; 1 1 4) p = ; > 0 — возрастает при x > 0 ; π π 5) p = 3 − π; 3 − π < 0 — убывает при x > 0 ; 6) p = 0, (3); — возрастает при x > 0 . 2

121. 1) График функции y = x 5 проходит через точку (0; 0) расположен выше оси ОХ, функция возрастающая.

х у

1 1

32 4

www.5balls.ru

2) y = x 2 — график этой функции проходит через точку (0; 0) расположен выше оси ОХ, функция возрастающая.

х у

1 1

4 32

3) y = x −5 = x 5 — график этой функции проходит через точку (1; 1) расположен выше оси ОХ, функция убывающая.

х у

0,5 4 32 1/32

4) y = x 3 — график этой функции проходит через точку (0; 0) расположен выше оси ОХ, функция возрастающая.

х у

1 1

122. 1) 4,12,7 сравнить с 1, 1 = (4,1) 0 ; 4,12,7 > (4,1) 0 ; 2) (0,2) 0,3 < 1 = (0,2) 0 , так как 0,2 < 1 ; 3) (0,7) 9,1 < 1 = (0,7) 0 , так как 0,7 < 1 , а 9,1 > 0 ; 0,2

39,1 = 3 2 = 30,1 > 1 = 30 , так как 0,1 > 0 . 2

123. 1) y = x

; x

= x1 , при x = 0 или x = 1 , так как

2 > 1 , то на

промежутке (0, 1), x 2 < x , а при x > 1 , x 2 > x ; 2) y = x π ; x π = x 1 , при x = 0 или x = 1 , так как π > 1 , то на промежутке (0, 1), x π < x , а при x > 1 , x π > x . 1

1 > 1 , то на проπ

124. 1) y = x π ; x π = x1 , при x = 0 или x = 1 , так как 1

межутке (0, 1), x π > x , а при x > 1 , x π < x ; o

2) y = x sin 45 ; x sin 45 = x1 , при x = 0 или x = 1 , так как sin 45 o < 1 , то o

на промежутке (0, 1), x sin 45 > 0 , а при x > 1 , x sin 45 < x . 125. 1) 3,17, 2 < 4,3 7, 2 , т.к. 3,1 < 4,3 ; 2)  10 

2,3

 11 

 12  <   11 

3) (0,3) 0,3 < (0,2) 0,3 , т.к. 0,3 < 0,2 ; 4) 2,5−3,1 <  1   2,5 

5)  7  9

−2

 8  9 =  >   10  7

−2

9 8  8  ; =   , т.к. > 7 10  10 

www.5balls.ru

2,3

0 ,3

, т.к.  10  <  12  ;  11   11 

, т.к. 2,5−3,1 = 1 ; 2,6

 14  4  15  4 6)   <   , т.к. 14 < 15 ; 15 16  15   16  2

7) (4 3) 5 > (3 4) 5 , т.к. 4 3 > 3 4 = 6 ;

( )

8) 23 6

− 0, 2

 1 =  23 6 

   

0, 2

 1 >  3 6 2

   

0, 2

( )

= 63 2

− 0, 2

, т.к.

2 6

126. 1) y = x 3 — область определения — множество R; множество значений — множество R;

6 2 Y 1

У= x 3

y = x 3 — область определения — x ≥ 0 ; множество значений — y ≥ 0 ; 2) y = x 4 — область определения — множество R; множество значений — y ≥ 0 ;

Y 1

У= x 4

1 4

y = x — область определения — x ≥ 0 ; множество значений — y ≥ 0 ;

3) y = x 2 — область определения — множество R; множество значений — y ≥ 0 ; y = x −2 — область определения — множество R, кроме x = 0 ; множество значений — y ≥ 0 ;

4) y = x 5 — область определения — множество R; множество значений — множество R; y = x −5 — область определения — множество R, кроме x = 0 ; множество значений — множество R, кроме y = 0 .

127. 1) y = x1− π , т.к. π > 1 , то 1 − π < 0 ; x1− π = x1 , если x = 1 , т.к. 1 − π < 1 , то на промежутке (0; 1), x1− π > x , а при x > 1 x1− π < x ; 2) y = x 1− x1− x1−

, т.к.

2 > 1 , то 1 − 2 < 0 ;

= x1 , если x = 1 , т.к. 1 − 2 < 1 , то на промежутке (0; 1),

> x , а при x > 1 , x1−

<x.

π +1

область определения — x ≥ 0 ; 128. 1) y = x множество значений — y ≥ 1 ;

Y X

www.5balls.ru

−1

2) y = x π область определения — x ≥ 0 ; множество значений — y ≥ −1 ;

3) y = ( x − 2) π область определения — x ≥ 2 ; множество значений — y ≥ 0 ;

4) y = ( x + 1) − 2 область определения — x > −1 ; множество значений — y > 0 ;

5) y = ( x − 2)−2 область определения — множество R, кроме x = 2 ; множество значений — y > 0 ; 2 область определения — x > 0 ; x 2 множество значений — y > 0 . 6) y =

X Y

129. 1) y = x 3 область определения — множество R;

множество значений — y ≥ 0 ; 2) y = x

область определения — множество R;

множество значений — y ≥ 0 ; 3

3) y = x + 1 область определения — множество R;

множество значений — y ≥ 1 ;

4) y = x 5 − 2 область определения — множество R;

множество значений — y ≥ −2 ; 1

5) y = x + 2 5 область определения — множество R;

Y X

множество значений — y ≥ −2 ; 6) y = 2x

−3

область определения — множество R,

кроме x = 0 ; множество значений — y > 0 . 3

X 3

130. 1) y = 5 x и y = x 5 ; область определения функции y = x 5 — х ≥ 0;

www.5balls.ru

x = x 5 ; x 5 = x 5 ; x = x 3 — при x = 0 , x = 1 , или x = −1 , но x = −1 — не входит в область определения, значит, точки пересечения графиков (0; 0) и (1; 1). 5

2) y = 7 x и y = x 7 ; область определения функции x ≥ 0 ; 5

x = x 7 ; x = x 5 — при x = 0 , x = 1 , или x = −1 , но x = −1 — не входит в область определения, значит, точки пересечения графиков (0; 0) и (1; 1). 131. 1) y = 3x − 1 — обратима, т.к. каждое свое значение функция принимает один раз. 7

2) y = x 2 + 7 — не обратима, т.к., например, значение 8 она принимает при x = 1 или x = −1 . 1 — обратима, т.к. каждое свое значение функция принимает 3) y = x один раз. 4) y = x — обратима, т.к. каждое свое значение функция принимает один раз. 5) y = x 4 — не обратима, т.к., например, значение 1 она принимает при x = 1 или x = −1 . 6) y = x 4 , x < 0 — обратима, т.к. каждое свое значение функция принимает один раз. 132. 1) y = 2x −1 ; x = 1 (y +1) , значит, функция x = 1 (x + 1) — обратная к 2

данной. 2) y = −5x + 4 ; x = 1 (4 − y) , значит, функция x = 1 (4 − x) — обратная к данной. 5 5 1 2 3) y = x − ; x = 3y + 2 , значит, функция y = 3x + 2 — обратная к данной. 3 3 3x −1 4) y = ; x = 1 (2y +1) , значит, функция y = 1 (2x +1) — обратная к данной. 3 3 2

5) y = x 3 + 1 ; x = 3 y − 1 , значит, функция y = 3 x − 1 — обратная к данной. 6) y = x 3 − 3 ; x = 3 y + 3 , значит, функция y = 3 x + 3 — обратная к данной. 133. 1) y = −2 x + 1 — область определения — множество R; множество значений — множество R; область определения обратной функции — множество R; множество значений обратной функции — множество R; 2) y = 1 x − 7 — область определения — множество R; 4

множество значений — множество R; область определения обратной функции — множество R; множество значений обратной функции — множество R;

www.5balls.ru

3) y = x 3 − 1 — область определения — множество R; множество значений — множество R; область определения обратной функции — множество R; множество значений обратной функции — множество R; 4) y = ( x − 1) 3 — область определения — множество R; множество значений — множество R; область определения обратной функции — множество R; множество значений обратной функции — множество R; 5) y = 2 — область определения — множество R, кроме x = 0 ; x

множество значений — множество R, кроме y = 0 ; область определения обратной функции — множество R, кроме x = 0; множество значений обратной функции — множество R, кроме y = 0; 6) y =

3 — область определения — множество R, кроме x = 4 ; x−4

множество значений — множество R, кроме y = 0 ; область определения обратной функции — множество R, кроме x > 0; множество значений обратной функции — множество R, кроме y = 4. 134. Т.к. график обратной функции симметричен графику данной функции относительно прямой у=х. а) точка симметричная точке (1, 1) относительно Y прямой y = x — точка (1,1). Точка симметричная точке (0, 2) относительно X прямой у=х — точка (2, 0). б) точка симметричная точке (0, 1) относительно Y прямой y = x — точка (1,0). X Точка симметричная точке (1, 2) относительно прямой y = x — точка (2, 1). в) точка симметричная точке ( — 2, 4) относительно прямой y = x — точка (4, — 2). Точка симметричная точке (0, 1) относительно прямой y = x — точка (1, 0). г) точка симметричная точке ( — 1, 1) относительно прямой y = x — точка (1, — 1). Точка симметричная точке ( − прямой y = x — точка (4,

−

1 2

, 4) относительно

X Y X

135. 1) y = − x 3 ; x = 3 − y = −3 y , значит, функция x = −3 y — обратная к функции y = − x 3 , и данные функции взаимно обратимы. 2) y = − x 5 ; x = 5 − y = −5 y , значит, функция x = −5 y — обратная к функции y = − x 5 , и данные функции не являются взаимно обратимыми.

www.5balls.ru

3) y = x −3 =

1 x

; x=

1 3

, значит, функция x =

1 3

— обратная к

функции y = x −3 , и данные функции взаимно обратимы. 5

4) y = x 3 ; y = x 5 = y x 2 , значит, функция y = x x 2 — обратная 5

к функции y = x 3 , и данные функции взаимно обратимы. 1 y≤0 ; x = y 2 , значит, функция y = x 2 является об136. 1) y = − x ;  2 x ≥ 0 ратной к данной при x ≤ 0 . 3

2) y = − x 5 ; x = 3 − y 5 = −3 y 5 , значит, функция x = −3 y 5 является обратной к данной. 3

y≥0 3) y = x 2 ;  ; x = 3 y 2 , значит, функция x = 3 y 2 является обратx ≥ 0

ной к данной при x ≥ 0 . 1

4) y = − x 3 ; x = ( − y) 3 = − y 3 , значит, функция y = − x 3 является обратной к данной. 137. 1) y = 3x – 1 — область определения — множество R; множество значений — множество R; 1 1 x = ( y + 1) , значит, функция y = ( x + 1) — об3 3 ратная к данной — область определения — множество R, множество значений — множество R. 2x −1 2) y = — область определения — множество R; 3 множество значений — множество R; 1 1 x = (3y + 1) , значит, функция y = (3x + 1) — об2 2 ратная к данной — область определения — множество R, множество значений — множество R. 3) y = x 2 − 1 , при x ≥ 0 — область определения — множество R; множество значений — y ≥ −1 ; x = y + 1 , значит, функция y = x + 1 — обрат-

X Y

ная к данной — область определения — x ≥ −1 , множество значений — y ≥ 0 .

www.5balls.ru

4) y = ( x − 1) 2 , при x ≥ 1 — область определения — x ≥ −1 ; множество значений — y ≥ 0 ;

x = y + 1 , значит, функция y = x + 1 — обратная к данной — область определения — x ≥ 0 , множество значений — y ≥ 1 . 5) y = x 3 − 2 — область определения — множество R; множество значений — множество R;

3 y = x+2

x = 3 y + 2 , значит, функция y = 3 x + 2 — обратная к данной — область определения — множество R, множество значений — множество R. 6) y = ( x − 1) 3 — область определения — множество R; множество значений — множество R;

x = 3 y + 1 , значит, функция y = 3 x + 1 — обратная к данной — область определения — множество R, множество значений — множество R. 7) y = x − 1 — область определения — x ≥ 1 ; множество значений — y ≥ 0 ;

3 y= x −2

y = ( x − 1)

x = 3 y +1

x = y 2 + 1 , значит, функция y = x 2 + 1 — обратная к данной — область определения — x ≥ 0 , множество значений — y ≥ 1 . 8) y = x + 1 — область определения — x ≥ 0 ; множество значений — y ≥ 1 ;

x = ( y − 1) 2 , значит, функция y = ( x − 1) 2 — обратная к данной — область определения — x ≥ 1 , множество значений — y ≥ 0 . 138. 1) ( x + 7) ⋅ 3 = 2 x + 14; 3x + 21 = 2x + 14; x + 7 = 0; x = −7. 2) x 2 +

1 x2 − 4

= 4+

1 x2 − 4

2 ; x − 4 = 0 , но решения этого уравнения обра-

щают знаменатели дробей исходного уравнения в 0, значит решений нет. 3) x − 2 = 1 − 2x , умножая обе части данного уравнения на x 2 − 1 мы 2 2 x −1

x −1

можем прибрести новые корни, значит, необходимо выполнить проверку. x − 2 = 1 − 2 x; 3x = 3; x = 1 , но при x = 1 знаменатель дробей в исходном уравнении обращается в 0, значит корней нет.

www.5balls.ru

5x − 15 2 − = 0; ( x − 3)( x + 2) x + 2

5x − 15 2 = ; ( x − 3)( x + 2) x + 2

5x − 15 − 2 x + 6 = 0;

3x = 9; x = 3, но при x = 3 знаменатель дробей в исходном уравнении превращается в 0, значит корней нет. 139. 1) 3x − 7 = 5x + 5 равносильно уравнению 2x + 12 = 0 , т.к. каждое из них имеет единственный корень x = −6 . 1 2) (2x − 1); 2x − 1 = 5; 2x = 6; x = 3 ; 5 3x − 1 = 1; 3x − 1 = 8; 8

3x = 9; x = 3 , значит, данные уравнения равно-

сильны. 3) x 2 − 3x + 2 = 0; D = 9 − 8 = 1; x = 3 + 1 = 2 или x = 1 .

2 −3 + 1 x + 3x + 2 = 0; D = 9 − 8 = 1; x = = −1 или x = −2 , значит, данные 2 2

уравнения не равносильны. 4) (x − 5)2 = 3(x − 5); x 2 − 10x + 25 = 3x − 15; x 2 − 13x + 40 = 0; D = 169 − 160 = 9; x = 13 + 3 = 8 или x = 5 . 2

x − 5 = 3; x = 8 , значит, данные уравнения не равносильны. 5) x 2 − 1 = 0; x 2 = 1; x = 1 или x = −1 ; 2 x −1 = 0 — не имеет действительных корней, значит, данные уравнения не равносильны. 6) x − 2 = −3 — не имеет действительных корней, 3x = (−1)3 — не имеет действительных корней, значит, данные уравнения равносильны. 140. 1) 2 x − 1 ≥ 2; 2 x ≥ 3; x ≥ 1,5 . 2( x − 1) ≥ 1; x − 1 ≥ 0,5; x ≥ 1,5 , значит, данные неравенства равно-

сильны. 2) ( x − 1)( x + 2) < 0 . Решая это неравенство методом интервалов получаем: + – + −2 < x < 1 –2 1 x 2 + x < 2; x 2 + x − 2 < 0; x 2 + x − 2 = 0; решим уравнение D = 1 + 8 = 9; x =

−1 + 3 = 1 или x = −2 . Ветви этой параболы направ2

лены вверх, значит, x 2 + x − 2 < 0 при −2 < x < 1 , значит, данные неравенства равносильны. 45

www.5balls.ru

3) ( x − 2)( x + 1) < 3x + 3 ; x 2 + x − 2x − 2 − 3x − 3 < 0 ; x 2 − 4x − 5 < 0 ; решим уравнение x 2 − 4x − 5 = 0 , x =

4+6 = 5 или x = −1 , ветви этой 2

параболы направлены вверх, значит, x 2 − 4x − 5 < 0 при −1 < x < 5 . x − 2 < 3 ; x < 5 , значит, данные неравенства не равносильны. 4) x ( x + 3) ≥ 2x ; x 2 + 3x − 2x ≥ 0 ; x ( x + 1) ≥ 0 ; x ≥ 0 и x ≤ −1 ; x 2 ( x + 3) ≥ 2 x 2 ; x 2 ( x + 3 − 2) ≥ 0 x 2 ( x + 1) ≥ 0 , т.к. x 2 ≥ 0 , то x + 1 ≥ 0 ; x ≥ −1 , значит, данные неравенства не равносильны. 141. 1) x − 3 = 0; x = 3 ; x 2 − 5x + 6 = 0 , корни этого уравнения x = 3 и x = 2 . Значит, второе уравнение является следствием первого. 2  2 ( x − 2)(x − 1) = 0 2) x − 3x + 2 = 0; x − 3x + 2 = 0;  . Значит, это уравнение

x −1

x − 1 ≠ 0

x − 1 ≠ 0

имеет единственный корень х = 2, а уравнение х2 – 3х + 2 = 0 имеет два корня x = 1 и x = 2 , значит второе уравнение является следствием первого. 142. 1)

x ( x − 1) + 2x ( x + 1) 4x x 2x 4x ; + = = 2 ; 2 x + 1 x −1 x2 −1 x −1 x −1

x 2 − x + 2x 2 + 2x − 4x

3x 2 − 3x

3x 3x ( x − 1) = 0; x = 0 ; = 0; = 0; x +1 ( x − 1)( x + 1) x −1 x2 −1 2) x − 1 − 2 = 1 ; x − 1 − 1 − 2 = 0; x − 2 − 2 = 0; 1 − 2 = 0; x − 2 = 0; x x−2 x x−2 x−2 x x−2 x x 2

= 0;

x = 2; 3) ( x − 3)( x − 5) = 3( x − 5); ( x − 3)( x − 5) − 3( x − 5) = 0; ( x − 3 − 3)( x − 5) = 0; ( x − 6)( x − 5) = 0; x = 6 или x = 5 ; 4) ( x − 2)( x 2 + 1) = 2( x 2 + 1); ( x − 2)( x 2 + 1) − 2( x 2 + 1) = 0; ( x − 2 − 2)( x 2 + 1) = 0; ( x − 4)( x 2 + 1) = 0; x = 4 , т.к. x 2 + 1 = 0 не имеет действительных корней. 143. 1)

x+3 2+x

−3x 2 + x − 3 2+x

< 0;

< 3;

x + 3 − 3(2 + x 2 ) 2+x

3x 2 − x + 3 2 + x2

< 0;

x + 3 − 6 − 3x 2 2 + x2

< 0;

> 0; т.к. 2 + x 2 > 0 , найдем где 3x 2 − x + 3 > 0

решим 3x 2 − x + 3 = 0; D = 1 − 36 = 35 < 0 , т.к. ветви этой параболы направлены вверх, то она не пересекает ось абсцисс, и 3x 2 − x + 3 > 0 при x ∈ R . x−2 x −2−5+ x 2x − 7 2) > 1; > 0; > 0; 5−x 5−x 5−x

www.5balls.ru

 2x − 7 > 0  5 − x > 0

или

 2x − 7 < 0  5 − x < 0

 x > 3,5  x < 5

или

 x < 3,5 Эта система не имеет решений.  x > 5

Значит 3,5 < x < 5 . 144. 1) 2x − 1 = 3; 2x − 1 = 3 или 2x − 1 = −3 ;

x = 2 или x = −1 ;

2x − 1 = 3; x = 2 , значит, эти уравнения не равносильны. 2) 3x − 2 − 4 − x − 3x − 5 = 2x − 2; 6x − 4 − 12 + 3x − 3x + 5 − 12x + 12 = 0; 3

1 − 6x 1 10 1 1 = 0; x = ; 2x + 3 = ; 2x = ; x = . 6 6 3 3 6 Значит данные уравнения равносильны. 3 145. 1) 2 x − 1 = 4 − 1,5x; 3,5x = 5; x = 1 ; 7 3 3,5x − 5 = 0; 3,5x = 5; x = 1 , значит, данные уравнения равносильны. 7 2) x ( x − 1) = 2 x + 5; x 2 − x − 2 x − 5 = 0; x 2 − 3x − 5 = 0 . Поскольку в ходе этих преобразований мы данное уравнение не умножали и не делили на переменную, то мы не потеряли и не приобрели корней, значит, данные уравнения равносильны. 3) 23x +1 = 2−3 ; 3x + 1 = −3 , значит, данные уравнения равносильны. x + 2 = 3;

( x + 2) 2 = (3)2 ;

x + 2 = 9;

x = 7 , делаем проверку

7 + 2 = 9 = 3 , значит, данные уравнения равносильны. 146. 1) x = 5 ; x = 5 или x = − 5 ; x 2 = 5; x 2 = 25; x = 5 или − 5 , все корни различны, значит,

ни одно из данных уравнений не является следствием другого. ( x − 2)( x + 2) = ( x − 3)( x + 3) ; x + 2 ≠ 0 

2) x − 2 = x − 3 ; x + 3 ≠ 0 x+2

x+3

x 2 − 4 = x 2 − 9  . x + 3 ≠ 0 x + 2 ≠ 0 

Эта система не имеет действительных решений. ( x − 2)( x + 2) = ( x − 3)( x + 3) , это уравнение не имеет действительных решений, значит, каждое из данных уравнений является следствием другого. 147.

1 2 5x 3x 2 3x − 1 − 2(3x + 1) − 5x 3x 2 − = 0; ; − − = 2 3x + 1 3x − 1 9x 2 − 1 1 − 9x 2 9x − 1 1 − 9x 2

− 2 x − 1 − 6x − 2 + 3x 2 2

9x − 1

= 0;

3x 2 − 8x − 3 9x 2 − 1

=0;

www.5balls.ru

3x 2 − 8x − 3 = 0 ; x = 3 или x = − 1 , но при x = − 1 знаменатель исходной 3

дроби обращается в 0, значит x = 3 . 148. 1)

3 4x − 1 x 2 + 5 3( x + 1) − (4x − 1)(x − 1) − ( x 2 + 5) + 5( x 2 − 1) − = − 5; = 0; 2 x −1 x + 4 x2 −1 x −1

3x + 3 − 4x 2 + 4 x + x − 1 − x 2 − 5 + 5x 2 − 5 x2 −1

8x − 8

= 0;

x2 −1

= 0; 8x = 8;

x = 1 , но при

x = 1 знаменатель обращается в 0, значит, действительных корней нет. 2 2 2) x + 2 − x ( x − 4) = x − 2 − 4(3 + x ) ; ( x + 2) − x ( x − 4) − ( x − 2) − 4(3 + x ) = 0; 2 2 2

x−2

x+2

x −4

4−x

x + 4x + 4 − x + 4 x − x + 4x − 4 − 12 − 4x 2

x −4

= 0;

− x + 8x − 12 2

x −4

= 0;

x 2 − 8x + 12 x2 −4

=0;

x 2 − 8x + 12 = 0; x = 6 или x = 2 , но при x = 2 знаменатель обращается в 0, значит x = 6 . 149. 1) x 3 − 3x 2 + 2x − 6 > 2 x 3 − x 2 + 4x − 2 ; x 3 − 3x 2 + 2 x − 6 − 2x 3 + x 2 − 4 x + 2 > 0 ; x 3 + 2x 2 + 2x + 4 < 0 ;

− x 3 − 2x 2 − 2x − 4 > 0 ;

x 2 ( x + 2) + 2( x + 2) < 0 ;

( x 2 + 2)( x + 2) < 0 .

Т.к. x 2 + 2 > 0 для любого действительного х, значит, x + 2 < 0 x < −2 . 2) x 3 − 3x 2 − 4 x + 12 > −3x 3 + x 2 + 12x − 4 ; x 3 − 3x 2 − 4 x + 12 + 3x 3 − x 2 − 12x + 4 > 0 ; 4 x 3 − 4 x 2 − 16 x + 16 > 0 ; 2 x 3 − 2 x 2 − 8x + 8 > 0 ;

x 3 − x 2 − 4 x + 4 > 0 ; x 2 (x − 1) − 4(x − 1) > 0 ;

( x 2 − 4)( x − 1) > 0 ;

– –2

( x − 2)( x + 2)( x − 1) > 0 .

–

Решая это неравенство методом интервалов получаем: −2 < x < 1 и x > 2 . 150. 1) ( x − 3) x

−x −2

x  = 1; ( x − 3)

−x −2

x − 3 ≠ 0

x 2 − x − 2 = 0 = ( x − 3)0 ;  ; x ≠ 3 x − 3 = 1 

x1 = 2

или x 2 = −1 или x 3 = 4 . 2) ( x 2 − x − 1) x x 2 − 1 = 0  2 x − x − 1 = 1 ;  2 x − x −1 ≠ 0 

−1

x  2 = 1; ( x − x − 1)

x 2 − x − 1 ≠ 0

( x − 1)( x + 1) = 0  ( x − 2)( x + 1) = 1 .  2 x − x − 1 ≠ 0

−1

= ( x 2 − x − 1)0 ;

Итак, x1 = 1; x 2 = −1 или x 3 = 2 .

www.5balls.ru

3) ( x + 3) x

−4

= ( x + 3)−3x ;

x + 3 = 1  ; x + 3 = 0  2 x 4 3 x − = − 

4) ( x + 3) x

−3

x − 3 = 2 x  x + 3 = 0 ; x + 3 = 1  2

 x1 = −2  .  x 2 = −3  2  x + 3x − 4 = 0

Итак, x 1 = −4, x 2 = −3, x 3 = −2, x 4 = 1.

= (x + 3)2 x ; x 2 − 2x − 3 = 0  . Итак, x1 = −3 , x 2 = −2 , x 3 = −1 , x 4 = 3 .  x1 = −3  x = −2  2

x = 2; ( x )2 = 22 ; x = 4 ; 2)

151. 1)

x = 7; ( x )2 = 7 2 ; x = 49 ;

x = 2; ( 3 x )3 = 23 ; x = 8 ;

x = −3; ( 3 x )3 = −33 ; x = −27 ; 1 5) 3 1 − 3x = 0; ( 3 1 − 3x )3 = 03 ; 1 − 3x = 0; x = ; 3

x = 1; ( 4 x )4 = 14 ; x = 1 ;

2 − x = 0; ( 4 2 − x )4 = 04 ; 2 − x = 0; x = 2 .

x + 1 = 3; ( x + 1) 2 = 32 ; x + 1 = 9; x = 8 ;

152. 1) 2)

x − 2 = 5; ( x − 2)2 = 52 ; x − 2 = 25; x = 27 ;

4 + x = 2 x − 1; ( 4 + x ) 2 = ( 2x − 1) 2 ; 4 + x = 2 x − 1; x = 5 .

153. 1)

2x + 3 = 1; ( 3 2x + 3)3 = 13 ; 2 x + 3 = 1; x = −1 ;

2) 3 1 − x = 2; ( 3 1 − x )3 = 23 ; 1 − x = 8; x = −7 ; 3)

3x 2 − 3 = 3 8x ; ( 3x 2 − 3)3 = ( 3 8 x )3 ; 3x 2 − 3 = 8x;

3x 2 − 3 − 8x = 0; x 1 = 3; x 2 = − 1 . 3

154. 1) x + 1 = 1 − x ;

( x + 1)

= ( 1 − x )2 ; x 2 + 2x + 1 = 1 − x ;

x 2 + 3x = 0; x ( x + 3) = 0; x1 = 0 , x 2 = −3 ; Проверка показывает, что x 2 = −3 — посторонний корень, значит, х=0. 2) x = 1 + x + 11;

( x − 1)2 = (

x + 11)2 ; x 2 − 2 x + 1 = x + 11 ;

x 2 − 3x − 10 = 0; x1 = 5, x 2 = −2 ; Проверка показывает, что x 2 = −3 — посторонний корень, значит, х=5. 3)

x + 3 = 5 − x ; ( x + 3)2 = ( 5 − x )2 ; x + 3 = 5 − x; 2 x = 2; x = 1 ;

4) x2 − x − 3 = 3; ( x2 − x − 3)2 = 32; x2 − x − 3 = 9; x 2 − x − 12 = 0; x1 = 4; x2 = −3 ; 155. 1)

x − x = −12;

x = x − 12; ( x ) 2 = ( x − 12 ) ; x = x 2 − 24x + 144;

www.5balls.ru

x 2 − 25x + 144 = 0; x1 = 16, x 2 = 9 . Проверка показывает, что x 2 = 9 — посторонний корень, значит, х=16. 2) x + x = 2( x − 1);

x = 2 x − 2 − x;

x = x − 2; ( x )2 = ( x − 2 ) ;

x 2 − 5x + 4 = 0; x1 = 4 , x 2 = 1 . Проверка показывает, что x 2 = 1 — посторонний корень, значит, x = 4 . 3)

x − 1 = x − 3; x − 1 = x 2 − 6x + 9; x 2 − 7 x + 10 = 0; x1 = 5 , x 2 = 2 ;

Проверка показывает, что x 2 = 2 — посторонний корень, значит, х=5. 4)

6 + x − x 2 = (1 − x ); ( 6 + x − x 2 ) 2 = (1 − x) 2 ;

6 + x − x 2 = x 2 − 2 x + 1; 2 x 2 − 3x − 5 = 0; x 1 = 2,5 , x 2 = −1 . Проверка показывает, что x 1 = 2,5 — посторонний корень, значит, x = −1 . 156. 1)

2 x − 34 = 1 + x ; ( 2x − 34)2 = (1 + x )2 ; 2 x − 34 = 1 + 2 x + x;

( )

x − 35 = 2 x ; (x − 35)2 = 2 x ; x 2 − 70 x + 1225 = 4x ; x 2 − 74 x + 1225 = 0; x = 49 , x 2 = 25 . Проверка показывает, что х2 = 25 — посторонний корень, значит, х = 49. 2)

( 5x + 14 − x )2 = 82 ;

5x + 14 − x = 8;

70 x − 5x 2 = 25 − 2 x;

5x + 2 5x (14 − x ) + 14 − x = 64; 2

( 70x − 5x 2 ) 2 = ( 25 − 2x ) ; 70x − 5x 2 = 625 − 100 x + 4x 2 ; 9x 2 − 170 x + 625 = 0; x1 = 5 , x 2 = 3 8 .

9 8 Проверка показывает, что x 2 = 3 — посторонний корень, значит, х = 5. 9

15 + x + 3 + x = 6; ( 15 + x + 3 + x )2 = 62 ;

15 + x + 2 (15 + x )(3 + x ) + 3 + x = 36; ( 45 + 18x + x 2 )2 = (9 − x)2 ; 45 + 18x + x 2 = 81 − 18x + x 2 ; x = 1 . 4)

3 − 2x − 1 − x = 1;

( 3 − 2x −

1− x

) =1 ; 2

3 − 2 x − 2 (3 − 2x )(1 − x ) + 1 − x = 1; (2 3 − 5x + 2x 2 ) 2 = (3x − 3) ; 12 − 20 x + 8x 2 = 9 x 2 − 18x + 9; x 2 + 2 x − 3 = 0 ; x 1 = 1 , x 2 = −3 . 157. 1)

x 2 + 1 + x 3 + x 2 = 0;

x 2 + 1 = − x3 + x 2 ;

( x 2 + 1) 2 = (− x 3 + x 2 ) 2 ; x 2 + 1 = x 3 + x 2 ; x 3 = 1; x = 1 . Проверка показывает, что x = 1 — посторонний корень, значит, данное уравнение не имеет действительных корней.

www.5balls.ru

1 + x 4 = 1 + x 2 ; ( 1 + x 4 )3 = ( 1 + x 2 )3 ; 1 + x 4 = 1 + x 2 ;

x 2 (x 2 − 1) = 0; x1 = −1 , x 2 = 0 , x 3 = 1 .

5 − x − 5 + x = 2; ( 5 − x − 5 + x )2 = 22 ;

158. 1)

5 − x − 2 25 − x 2 + 5 + x = 4; (3)2 = ( 25 − x 2 ) 2 ; 9 = 25 − x 2 ; x 2 = 16; x1 = 4 , x 2 = −4 . Проверка показывает, что х1 = 4 — посторонний корень, значит, х = –4. 12 + x − 1 − x = 1; ( 12 + x − 1 − x )2 = 12 ;

12 + x − 2 12 − 11x − x 2 + 1 − x = 1; 6 = 12 − 11x − x 2 ; x 2 + 11x + 24 = 0; x1 = −3 , x 2 = −8 . Проверка показывает, что х = –8 — посторонний корень, значит, х = –3. x − 2 + x + 6 = 0; ( x − 2)2 = (− x + 6)2 ; x − 2 = x + 6; −2 ≠ 6 — неверное равенство, значит, данное уравнение не имеет корней. 3)

x + 7 + x − 2 = 9; ( x + 7 + x − 2)2 = 92 ;

x + 7 + 2 x 2 + 5x − 14 + x − 2 = 81; ( x 2 + 5x − 14)2 = (38 − x ) ; x 2 + 5x − 14 = 1444 − 76x + x 2 ; 81x = 1458; x = 18 . 1 − 2x − 13 + x = x + 4; ( 1 − 2x − 13 + x )2 = ( x + 4)2 ;

159. 1)

1 − 2x − 2 13 − 25x − 2x 2 + 13 + x = x + 4; ( 13 − 25x − 2x 2 )2 = (5 − x ) ; 13 − 25x − 2x 2 = 25 − 10x + x 2 ; 3x 2 + 15x + 12 = 0; x 2 + 5x + 4 = 0; x1 = −1 , x 2 = −4 . Проверка показывает, что х = – 1 — посторонний корень, значит, х = – 4. 7x + 1 − 6 − x = 15 + 2x; ( 7x + 1 − 6 − x ) 2 = ( 15 + 2x ) 2 ;

7x + 1 − 2 41x − 7x 2 + 6 + 6 − x = 15 + 2x ; (2x − 4)2 = ( 41x − 7x 2 + 6)2 ; 4x 2 − 16x + 16 = 41x − 7x 2 + 6 ; 11x 2 − 57x + 10 = 0; x1 = 5 , x 2 = 2 . 11

2 — посторонний корень, значит, х = 5. Проверка показывает, что x 2 = 11 160. 1)

x − 2 = 2; ( 3 x − 2)3 = 23 ; x − 2 = 8; x = 10 .

2x + 7 = 3 3(x + 7); ( 3 2x + 7 )3 = ( 3 3(x + 7))3 ; 2х + 7 = 3х – 3; х = 10.

25x 2 − 144 = x; ( 25x 2 − 144)4 = x 4 ; 25x 2 − 144 = x 4 ;

x 4 − 25x 2 + 144 = 0; x12 = 16 , x 22 = 9; х1 = 4, х2 = – 4, х3= 3, x 4 = −3 .

www.5balls.ru

Проверка показывает, что х2 = – 4, х4 = –3 — посторонние корни, значит, х = 4или х = 3. 4) x 2 = 19x 2 − 34; (x 2 )2 = ( 19x 2 − 34)2 ; x 4 = 19 x 2 − 34; x 4 − 19x 2 + 34 = 0; x12, 2 = 2 , x 32, 4 = 17 ; x 1 = 2 , x 2 = − 2 , x 3 = − 17 , x 4 = 17 .

www.5balls.ru

161. 1)

x 3 − 2 = x − 2; ( 3 x 3 − 2)3 = (x − 2)3 ; x 3 − 2 = x 3 − 8 − 6x 2 + 12 x;

x 2 − 2x + 1 = 0; x = 1

2) 3 x 3 − 5x 2 + 16 − 5 = x − 2; ( 3 x 3 − 5x 2 + 16 − 5)3 = ( x − 2 )3 ; х1 = – 1, х2 = – 3. 162. 1) Построим на одном рисунке графики Y X x 3 − 5x 2 + 16 − 5 = x 3 − 8 − 6x 2 + 12x; x 2 + 4x + 3 = 0;

функций y = x − 6 и y = − x 2 .

Графики пересекаются в одной точке x ≈ 2,1 . y=

x −6

y = – x2

2) Построим на одном рисунке графики функций

y= (x – 1)2

y = x и y = (x − 1) . Графики пересекаются в двух точках x1 ≈ 0,5 и x 2 ≈ 2,1 . 3)

x + 1 = x 2 − 7 . Построим на одном рисунке

графики функций y = x + 1 и y = x 2 − 7 . Графики пересекаются в одной точке x = 3 , точность

проверяется

равенством

3 +1 = 2 =

= 3 −7 = 9−7. 4) x 3 − 1 = x − 1 . Построим на одном рисунке

графики функций y = x − 1 и y = x − 1 . Графики пересекаются в одной точке x = 1 , точность проверяется равенством

13 − 1 = 1 − 1 = 0 =

= 1− 1 . 163. 1)

x −1 X

4 x + 2 3x 2 + 4 = x + 2; ( 4x + 2 3x 2 + 4 ) 2 = ( x + 2 ) ;

4x + 2 3x 2 + 4 = x 2 + 4x + 4; (2 3x 2 + 4)2 = (x 2 + 4)2 ; 2 2 12x 2 + 16 = x 4 + 8x 2 + 16; x (x − 4) = 0; x1 = 0 , x 2 = 2 , x 3 = −2 .

2) 3 − x = 9 − 36 x 2 − 5x 4 ; (3 − x )2 = ( 9 − 36x 2 − 5x 4 ) 2 ; 9 − 6x + x 2 = 9 − 36x 2 − 5x 4 ; ( 36x 2 − 5x 4 ) 2 = (6x − x 2 ) 2 ;

www.5balls.ru

3 4 3 36x 2 − 5x 4 = 36x 2 − 12x 3 + x 4 ; 12x − 6x = 0; x (2 − x) = 0;

х1=0, х2=2.

3) x + 3x + 12 − x + 3x = 2; ( x + 3x + 12) = (2 + x + 3x )2 ; 2

x 2 + 3x + 12 = 4 + 4 x 2 + 3x + x 2 + 3x; (2)2 = ( x 2 + 3x )2 ;

х2 + 3х – 4 = 0;

х1 = 1, х2 = – 4. 4) x 2 + 5x + 10 − x 2 + 5x + 3 = 1; ( x 2 + 5x + 10)2 = (1 + x 2 + 5x + 3)2 ; x 2 + 5x + 10 = 1 + 2 x 2 + 5x + 3 + x 2 + 5x + 3;

(3)2 = (

2 9 = x 2 + 5x + 3; x + 5x − 6 = 0; x1 = 1 , x 2 = −6 2

x 2 + 5x + 3)2 ;

x + 1 ⋅ x − 2 = a; ( x − 2 − 2) = a ; x − 2 − (2 + a 2 ) = 0;

164. 1)

D = 1 + 8 + 4a 2 = 9 + 4a 2 ; x1 =

2 1 + 9 + 4a 2 , x 2 = 1 − 9 + 4a при a < 0 дейст2 2

2 вительных корней нет, при a ≥ 0 проверка показывает, что x 2 = 1 − 9 + 4a —

2 посторонний корень, значит, x = 1 + 9 + 4a . 2

x ⋅ x + 2 = a − 1 ; ( x 2 + 2)2 = (a − 1)2 ;

x 2 + 2x − a 2 + 2a − 1 = 0 ; D = 4 + 4a 2 − 8a + 4 = 4a 2 − 8a + 8; x1 =

−2 + 2 a 2 − 2a + 2 2 = a 2 − 2a + 2 − 1 , x 2 = −1 − a − 2a + 2 , 2

при a < 1 действительных корней нет, при a ≥ 1 проверка показывает, что x 2 = −1 − a 2 − 2a + 2 — посторонний корень, значит, x = a 2 − 2a + 2 − 1 . 3 − x ≤ 2 1 ≤ x 165. 1)  , ;   2x + 1 ≤ 4

 x ≤ 1,5

значит, 1 ≤ x ≤ 1,5 .

 2 2) x − 1 ≥ 0 ; решение первого неравенства x ≥ 1 и x ≤ −1 , значит, х>2. x > 2

2  2  3) 9 − x ≤ 0 ; x ≥ 9 ; решение первого неравенства x ≥ 3 и x ≤ −3 ,

 x + 5 < 0

x < −5

значит, x < −5 . 166. 1)

x > 2; ( x )2 > (2)2 ; x > 4 ;

( x ) 2 < (2) 2  x < 9 ;  ; 0≤x<9; x < 3;   x ≥ 0 x ≥ 0

2) 3)

x ≥ 1; ( 3 x )3 ≥ 13 ; x ≥ 1 ;

2x < 3; ( 3 2x )3 < (3)3 ; 2x < 27; x < 13,5 ;

www.5balls.ru

1 ( 3x )2 > (1)2 3x > 1 ;  ; x> ; 3x > 1;  ≥ 3x 0 3 3x ≥ 0   ( 2x )2 ≤ (2)2 2x ≤ 4  x ≤ 2 6) 2x ≤ 2;  ;  ;  ; 0≤x≤2. 2x ≥ 0 x ≥ 0 x ≥ 0 ( x − 2)2 > (3)2  x − 2 > 9  x − 2 > 11 ; x > 11 ; ;  ;  167. 1) x − 2 > 3;   x − 2 ≥ 0 x ≥ 2 x ≥ 2 5)

2) 3) 4) 5)

( x − 2)2 < (1)2  x − 2 < 1  x < 3 ; 2 ≤ x < 3; ;  ;  x − 2 < 1;   x − 2 ≥ 0 x ≥ 2 x ≥ 2 ( 3 − x )2 < 52 3 − x < 25  x > −22 ; −22 < x ≤ 3 ; ;  ;  3 − x < 5;  3 − x ≥ 0 x ≤ 3 x ≤ 3 ( 4 − x )2 > 32 4 − x > 9  x < −5 ; − 22 < x ≤ 3 ; ;  ;  4 − x > 3;  4 − x ≥ 0 x ≤ 4 x ≤ 4 ( 2x − 3)2 > 42 2x − 3 > 16  x > 9,5 ; x > 9, 5 ; ;  ;  2x − 3 > 4;  2x − 3 ≥ 0  x ≥ 1,5 2x ≥ 3 2 2 4 5 2 2 ( x + 1) > ( )  x + 1 > 9  x ≥ − 9 3 ;  ;  ; x ≥−5 ; x +1 > ;  3 x + 1 ≥ 0 9  x ≥ − 1  x ≥ − 1    3x − 5 < 25  x < 10  ( 3x − 5)2 < 52  2 ;  3x − 5 < 5;  ;  2 2 ; 1 ≤ x < 10 ; ≥ x 1 3 3x − 5 ≥ 0    x ≥ 1 3 3 1 2  4x + 5 ≤ 1  x ≤ 1,1875 2 1  4 ; 4x + 5 ≤ ; ( 4x + 5) ≤ ( 2 ) ;  ;  1 2 4x + 5 ≥ 0  x ≥ −1, 25 x ≥ 1   4

− 1, 25 ≤ x < − 1,1875 .

168. 1)

( x 2 − 1) 2 > 12 x 2 − 1 > 1;  ;  x 2 − 1 ≥ 0

равносильно x 2 > 2 , значит, x < − ( 1 − x 2 ) 2 < 12 2) 1 − x 2 < 1;  ; 1 − x 2 ≥ 0

 x 2 − 1 > 12 ;  2  x ≥ 1

 x 2 > 2  2  x ≥ 1

2 и x> 2. 1 − x 2 < 12 ;  2  x ≤ 1

 x 2 > 0  x 2 ≠ 0 ;  ;  2 2  x ≤ 1  x ≤ 1

решение второго неравенства −1 ≤ x ≤ 1 , значит, −1 ≤ x < 0 и 0 < x ≤ 1 . 3)

2 2 2 2    2< 25 − x 2 > 4; ( 25 − x ) > 4 ;  25 − x > 16 ;  x 9 ; 2 25 − x ≥ 0

2  25 − x ≥ 0

равносильно x 2 < 9 , значит, −3 < x < 3 .

www.5balls.ru

2  x ≤ 25

2 2 2 2    2< 25 − x 2 < 4; ( 25 − x ) < 4 ; 25 − x < 16 ;  x 9 ; 2  x ≤ 25

2  x ≤ 25

2 25 − x ≥ 0

значит, −5 ≤ x < −3 и 3 < x ≤ 5 . 169. 1)

2 2x 2 + 3x − 2 > 0 , равносильно 2х +3х–2>0, значит, x<–2 и x >

2 + x − x 2 > −1 , равносильно 2 + x − x 2 ≥ 0 , значит, −1 ≤ x ≤ 2 .

2 2 2 2   6 x − x 2 < 5; ( 6x − x ) < ( 5) ; 6x − x < 5 ;

6x − x 2 ≥ 0

1 . 2

x (6 − x ) ≥ 0

решения первого неравенства x < 1 и x > 5 ; решения второго неравенства 0 ≤ x ≤ x , значит, 0 ≤ x < 1 и 5 < x ≤ 6 . 4)

( x 2 − x ) 2 > ( 2)2 x 2 − x > 2 x 2 − x > 2;  ;  ; 2 x ( x − 1) ≥ 0  x − x ≥ 0

решения первого неравенства x < −1 и x > 2 ; решения второго неравенства x ≤ 0 и x ≥ 1 , значит, x < −1 и x > 2 . 5)

x 2 + 2x > −3 − x 2 ; найдем х, при которых x 2 + 2 x ≥ 0 , это x ≤ −2 и

x ≥ 0 . При этих х существует левая часть неравенства, а правая часть отрицательна для любого действительного х, значит, x ≤ −2 и x ≥ 0 . 6)

4x − x 2 > −2 − 3x 2 ; найдем х, при которых

4 x − x 2 ≥ 0 , это

0 ≤ x ≤ 4 . При этих х существует левая часть неравенства, а правая часть отрицательна для любого действительного х, значит, 0 ≤ x ≤ 4 . 170. 1)

( x + 2) 2 > ( 4 − x ) 2

x + 2 > 4 − x ;  x + 2 ≥ 0 4 − x ≥ 0 

3 + 2 x ≥ x + 1;

( 3 + 2x ) 2 ≥ ( x + 1) 2  ; 3 + 2x ≥ 0 x + 1 ≥ 0 

 x ≥ −2  x ≥ 1,5; x ≥ −1 ;  x ≥ −1 

( 2x − 5) 2 < ( 5x + 4) 2  ; 2x − 5 ≥ 0 5x + 4 ≥ 0 

2 x − 5 < 5x + 4 ;

3x − 2 > x − 2; при x ≥

меньше 0 при x < 2 , значит

x > 1  ; x ≥ −2; 1 < x ≤ 4 ; x ≤ 4 

 x > −3   x ≥ 2,5 ; x ≥ 2,5 ;  x ≥ −0,8 

2 существует левая часть, правая часть 3

2 ≤ x < 2 входит в ответ; 3

www.5balls.ru

3x − 2 > x 2 − 4 x + 4 x 2 − 7 x + 6 < 0 ;  ,  x ≥ 2 x ≥ 2 2 значит, 2 ≤ x < 6 , объединяем ответ и имеем ≤ x < 6 ; 3 ( 3x − 2)2 > (x − 2) 2 ;   x ≥ 2

5) 5x + 11 > x + 3; при x ≥ −2,2 существует левая часть неравенства, при x ≥ −2,2 правая часть больше 0, значит, ( 5x + 11) 2 > (x + 3) 2 ;   x ≥ −2, 2

5x + 11 > x 2 + 6x + 9 ;  x ≥ −2,2

x 2 + x − 2 < 0 ,  x ≥ −2,2

значит, −2 ≤ x < 1 ; 6)

( 3 − x ) 2 > ( 3x − 5) 2

3 − x > 3x − 5 ; 3 − x ≥ 0

3x − 5 ≥ 0 

171. 1)

 x > 2  ; x ≤ 3 ; 2 < x ≤ 3 .  5  x ≥ 3

x + 1 − x < x − 1 , при x ≥ 1 существуют обе часть этого не-

( x + 1 − x )2 < ( x − 1)2 ; равенства, и обе не отрицательны, значит,   x ≥ 1 2 2 2   x + 1 − 2 x 2 + x + x < x − 1;  x + 2 < 2 x 2 + x ; ( x + 2 ) < (2 x + x ) ;     x ≥ 1 x ≥ 1  x ≥ 1

x 2 + 4x + 4 < 4x 2 + 4x ;  x ≥ 1

x+3 <

2 3x 2 > 4 ; x>  3  x ≥ 1

( x + 3) 2 < ( 7 − x + 10 − x ) 2  7 − x + 10 − x ;  x + 3 ≥ 0 ; 7 − x ≥ 0 10 − x ≥ 0 

 2 x + 3 < 7 − x + 2 70 − 17 x + x + 10 − x ; x ≥ −3 x ≤ 7 

при − 3 ≤ x < 4

 2 3x − 4 < 2 70 − 17 x + x , x ≥ −3 x ≤ 7 

2 левая часть неравенства меньше 0, значит, неравенство 3

выполнено, (3x − 4 )2 < (2 70 − 17x + x 2 ) 2   2 ; x ≥ 4 3  x ≤ 7 

9x 2 − 84x + 196 < 280 − 68x + 4x 2   2 ; x ≥ 4 3   x ≤ 7

www.5balls.ru

5x 2 − 16x − 84 < 0  2 2  ; значит, 4 ≤ x < 6 , объединяя ответ, получаем −3 ≤ x < 6 . x ≥ 4 3 3  x ≤ 7 

172. 1) На одном рисунке построим графики

функций y = x и y = x , из рисунка видно, что графики пересекаются в двух точках, и график функции X

y = x лежит ниже графика y = x при 0 ≤ x ≤ 1 . 2) На одном рисунке построим графики функций

y = x и y = x , из рисунка видно, что графики пересекаются в двух точках, и график функции y = x лежит ниже графика y = x при x > 1 .

3) На одном рисунке построим графики функций

y = x и y = x − 2 , из рисунка видно, что графики пересекаются в одной точке, и график функции у = х – 2

лежит ниже графика функции x при 0 ≤ x < 4 . 4) На одном рисунке построим графики функций

y = x и y = x − 2 , из рисунка видно, что графики пересекаются в одной точке, и график функции у = лежит ниже графика функции у = х – 2 при x ≥ 4 . 173. 1)

x ≤ 2x. На одном рисунке построим гра-

фики функций y = x и y = 2x, из рисунка видно, что гра-фики пересекаются в одной точке, график функции y= x лежит ниже графика функции y = 2x при x≥0. 2)

x ≤ 0,5x. На одном рисунке построим графи-

ки функций y = x и x ≤ 0,5x , из рисунка видно, что графики пересекаются в двух точках, и график функции

y= x

Y X

лежит выше графика функции

x ≤ 0,5x; при 0 < x < 4 .

www.5balls.ru

x ≤ 2x − 1. На одном рисунке построим гра-

фики функций y = x и y = 2 x − 1 , из рисунка видно, что графики пересекаются в одной точке, и график функции y = x лежит выше графика функции y = 2 x − 1; при 0 ≤ x ≤ 1 . 4)

X Y

x ≤ x 2 . На одном рисунке построим графики

функций y = x и y ≤ x 2 , из рисунка видно, что графики пересекаются в двух точках, и график функции у = =

x лежит выше графика функции y ≤ x 2 при 0 ≤ x ≤1 .

174. 1) x − 1 < a , при a ≤ 0 неравенство не имеет действительных решений, при a > 0 , ( x − 1) 2 < a 2 ;   x − 1 ≥ 0

x − 1 < a 2 ;  x ≥ 1

x < a 2 + 1 2 ; 1 ≤ x < a +1 .  x ≥ 1

2 2 2  2ax − x 2 ≥ a − x , a ≤ 0 ( 2ax − x ) ≥ (a − x) ;

2ax − x 2 ≥ 0

2ax − x 2 ≥ a 2 − 2ax + x 2 ;  x (2a − x ) ≥ 0

2x 2 − 4ax + a 2 ≤ 0 a ; (2 + 2) ≤ x ≤ 0.  2 x (2a − x ) ≥ 0

175. 1) у=х9, область определения — множество

y = x9

y = 7x4

R; множество значений — множество R; 4

2) y = 7 x , область определения — множество R; множество значений — неотрицательные числа y≥0; 1

3) y = x 2 , область определения — множество x≥0; множество значений — y ≥ 0 ; 1

4) y = x 3 , область определения — множество x≥0; множество значений — y ≥ 0 ; 5) y = x −2 , область определения — множество R, кроме x = 0 ; множество значений — y > 0 ;

X Y X Y X

www.5balls.ru

6) y = x −3 , область определения — множество R, кроме x = 0 ; множество значений — множество R, кроме y = 0 .

176. при x = 0 ; x 2 = x 2 = 0 ; 1

при x = 0,5 ; x 2 = 0, 25 < 0,5 = x 2 ; X

при x = 1 ; x 2 = x 2 = 1 ; при x =

1 3 9 1 ; x 2 = = 2 > 1,5 = x 2 ; 4 4 2

при x = 2 ; x 2 = 4 > 2 = x 2 ;

при x = 3 ; x 2 = 9 > 3 = x 2 ;

при x = 4 ; x 2 = 16 > 2 = x 2 ;

при x = 5 ; x 2 = 25 > 5 = x 2 . 177. 1) Т.к. 0,3 < 1 , а π > 3,1415 >

2 > 0,5 , 3

то 0,3 π < 0,3 3,1415 < 0,3 3 < 0,30,5 . 2) Т.к. π > 1,9 > 2 >

 1  , π > 0 , π π > 1,9 π > 2 π >   .  2 2 1

3) Т.к. 5 > 1, а 1 > −0,7 > −2 > −2,1, то 5 3 > 5−0,7 > 5−2 > 5−2,1 . 3

4) Т.к. − 2 < 0, а π > 2 > 1,3 > 0,5, то π 3

178. 1) построим

−

2 3

< 2

x = x 2 + x − 1 ; на одном рисунке

графики

функций

y=3 x

−

2 3

−

−2

−

y = x 2 + x − 1 из рисунка видно, что графики пересекаются в точках (1, 1) и – 1, – 1), значит, x = 1 и x = −1 — решения данного уравнения. 2) x −2 = 2 − x 2 ; на одном рисунке построим

< 1,3 3 < < 0,5 3 .

X Y

графики функций y = x и y = 2 − x из рисунка видно, что графики пересекаются в точках ( – 1, – 1) и (1, 1), значит, x = −1 и x = 1 — решения данного уравнения.

www.5balls.ru

179. 1) y = 3 1 − x ; область определения — множество R. 3

2) y = (2 − x2)5 ; 2 − x 2 ≥ 0 , значит, область определения — − 2 ≤ x ≤ 2 . 3) y = (3x 2 + 1) −2 ;область определения — множество R. 4) y = x2 − x − 2 ;область определения: x2–x–2≥0, значит, x ≤ −1 и x ≥ 2 . 180. 1) y=0,6x+3; x=2y–6, значит, функция y=2x–6 — обратная к данной, ее область определения — множество R, множество значений — множество R. 2) y = 2 ; x = 2 + 3 , значит, функция y = 2 + 3 — обратная к данной, x −3

ее область определения — множество R, кроме x=0, множество значений — множество R, кроме y=3. 3) y = (x + 2) 2 ; x = 3 y − 2 , значит, функция y = 3 x − 2 — обратная к данной, ее область определения — множество R, множество значений — множество R. 4) y = x 3 − 1 ; x = 3 y +1 , значит, функция y = 3 x + 1 — обратная к данной, ее область определения — множество R, множество значений — множество R. 181. 1) 2) Y

182. 1) 2 x

+ 3x

=22, значит, х2+3х=2, значит, данные уравнения равносильны.

x 2 + 3x = 2 ; x 2 + 3x − 2 = 0; x = − 3 + 17 и x = − 3 − 17 , значит,

данные уравнения равносильны. 3) ( 3 x + 18)3 = ( 3 2 − x )3 ; x + 18 = 2 − x ; x = −8 , значит, данные уравнения равносильны. 183. 1) 3 − x = 2; ( 3 − x ) 2 = 2 2 ; 3 − x = 4; x = −1 . 3x + 1 = 8; 3x + 1 = 8 2 ; 3x + 1 = 64; x = 21 .

3 − 4 x = 2 x; 3 − 4x = 4x 2 ; 4x 2 + 4x − 3 = 0 ; −4 + 8 −4 − 8 x1 = = 0,5 и x 2 = = −1,5 , проверка показывает, что х=–1,5 — 8 8

посторонний корень, значит, x = 0,5 . 4) 5x −1 + 3x2 = 3x; 5x–1+3x2=9x2; 6x2–5x+1=0; x1 = 5 + 1 = 0,5 и x2 = 5 − 1 = 1 . 12

x − 17 = 2; x − 17 = 8; x = 25 ; x1,2 = ±5 .

x 2 + 17 = 3; x 2 + 17 = 81; x 2 = 64 ; x1,2 = ±8 .

www.5balls.ru

184. 1)

X X

xy − 4y = 10 − 3x 185. 1) y = 10− 3x ; x ≠ 4 ; x −4  y ≠ − 3  3xy − y = 3x − 6  2) y = 3x − 6 ;  x ≠ 1 ; 3 3x − 1   y ≠ 1

x = 10+ 4y y +3   ≠ x 4 , т.е. функции взаимообратные.  y ≠ −3  

x = y −6 3y − 3   1 т.е. функции взаимообратные. x ≠ 3 ,  y ≠ 1 

1 − x = 5 −1  y x = ( y − 5) y  −1   3) y = 5(1 − x ) ;  x ≠ 1 ; x ≠ 1 , т.е. функции не взаимообратные. y ≠ 0 y ≠ 0    2 y + yx = 2 − x 4) y = 2 − x ; x ≠ −2 ; 2+ x   y ≠ −1

 x = 2(1− 2y)  y +1  , т.е. функции не взаимообратные.  x ≠ −2  y ≠ −1  

186. 1) y=2+ x+2; y–2= x + 2; x=y2–4y+2, значит, у=х2–4у+2 — функция обратной к данной, ее область определения — x≥2, множество значений — y≥–2. 2) y=2– x + 4; x + 4 =2–y; x=y2–4y, значит, y=x2–4 — функция обратной к данной, ее область определения — x≤2, множество значений — y≥–4. 3) y = 3 − x −1; y +1 = 3 − x ; x=2–y2–2y, значит, y=2–x2–2x — функция обратной к данной, ее область определения — x≥–1, множество значений — y≤3.

www.5balls.ru

4) y = 1 − x +3; y–3= 1 − x ; x=6y–y2–8; значит, y=6x–x2–8 — функция обратной к данной, ее область определения — x≥3, множество значений — y≤1. 187. 1)

x − 4 = x − 3 − 2 x − 1; x − 4 = x − 3 − 2 2 x 2 − 7 x + 3 + 2x = 1;

2 2 2 2x 2 − 7 x + 3 = x; 2x –7x+3=x ; x –7x+3=0; x1 =

7 + 37 и x 2 = 7 − 37 , про2 2

верка показывает, что x2 = 7 − 37 — посторонний корень, значит, x = 7 + 37 . 2

2) 2 x + 3 − 2 x + 7 = x ; 4x + 12 = 2 2x + 7 x + 2x + 7; x + 5 = 2 2x 2 + 7 x ; x 2 + 25 + 10 x = 8x 2 + 28x; 7 x 2 + 18x − 25 = 0; x1 = 1 и x 2 = −3 4 , про-

7 4 верка показывает, что x = −3 — посторонний корень, значит, x = 1 . 7

x − 3 = 2x + 1 − x + 4 ; x − 3 = 2x + 1 + x + 4 − 2 2x 2 + 9x + 4 ;

x + 4 = 2x 2 + 9 x + 4 ; x 2 + 8x + 16 = 2 x 2 + 9 x + 4; x 2 + x − 12 = 0; х1= 3 и х2=–4, проверка показывает, что х2=–4 — посторонний корень, значит, х= 3. 9 − 2x = 2 4 − x − 1 − x ; 9 − 2 x = 16 − 4 x + 1 − x − 4 x 2 − 5x + 4 ;

4 x 2 − 5x + 4 = 8 − 3x; 16 x 2 − 80 x + 64 = 64 − 48 x + 9 x 2 ; 7 x 2 − 32 x = 0; х1=0 и 4 4 x 2 = 4 , проверка показывает, что x2 = 4 — посторонний корень, значит, х=0. 7 7

188. 1)

x + 4 − 34 x + 4 = 0;

x + 4 − 34 x + 4 + 4 = 2 − 4 x + 4 ;

2 − 4 x + 4 = 0 или x1=12 или x2=–3.

(2 − 4 x + 4) 2 = 2 − 4 x + 4;

x+4=16 или x+4=1; x − 3 = 34 x − 3 + 4;

1− 4 x + 4 = 0 ;

x − 3 − 44 x − 3 + 4 = 8 − 44 x − 3 ;

4 (2 − 4 x − 3) 2 − (2 − 4 x − 3) − 6 = 0; пусть 2 − x − 3 = a , значит,

a 2 − a − 6 = 0 , a = 3 или a = −2 , значит, 4

x − 3 = 4 или 6

x − 3 = 4 или

x − 3 = −1 ;

x − 3 = −1 ; х–3=256, х=259. Нет действительных корней.

1 − x − 5 1 − x = −6;

6 6

посторонний корень; 2

1 − x = a; 5a 2 − a − 6 = 0 , a = 1,2 и a = −1 —

1 − x = 1,2; 1 − x = 2,985984; x = −1,985984 .

4) x +3x+ x +3x =2; x +3x =2; a2+a–2=0, а=1 и а=–2 — посторонний корень; 2

x 2 + 3x = 1; х2 + 3х – 1 = 0; 5)

3− x + 3+ x = 2; 3− x − 3+ x

x1,2 =

−3 ± 13 . 2

 3 − x + 3 + x = 2 3 − x − 2 3 + x ;   x ≠ 0

3 3 + x = 3 − x  27 + 9x = 3 − x ; x = −2, 4 . ;    x ≠ 0 x ≠ 0

www.5balls.ru

x + 6 − 4 x + 2 + 11 + x − 6 x + 2 = 1 ;

( x + 2 − 2)2 + ( x + 2 − 3) 2 = 1 ;

x+2 −2 +

x + 2 − 2 ≥ 0 или

x≥2

x+2−2<0

x +2 −3>0 ;

x + 2 − 3 =1;

x>7;

−2 ≤ x < 2

x +2 −3≤ 0 ;

−2 ≤ x ≤ 7 .

Если −2 ≤ x < 2 , тогда,

x + 2 − 2 + 3 − x + 2 = 1;

x + 2 = 2; x = 2.

Если – 2 ≤ x ≤ 7 , тогда,

x + 2 − 2 + x + 2 − 3 = 1;

x + 2 = 3; x = 7 .

189. 1)

x −1 > 0 x > 1 x + 1 < x − 1;  x + 1 > 0 ; x >3. ;   x(x − 3) > 0  2 x + 1 < x − 2x + 1

1 − x > 0 1 − x < x + 1; 

x < 1 ; −3 < x < 0 . ;  2 − > + + 1 x x 2x 1  x(x + 3) < 0 

Но при x≤–3; x+1<0, значит, это множество удовлетворяет неравенство и x<0. x > 2 2 3 ; ; 1<x<6. Но при <x≤1;  2 3 3x − 2 > x − 4x + 4 (x − 1)(x − 6) < 0 x–2<0, значит, это множество тоже удовлетворяет неравенству и 2 <x<6. 3 3x − 2 > 0 3) 3x − 2 < x − 2; 

 2x + 1 ≥ 0 2x + 1 ≤ x + 1;  x + 1 ≥ 0 ;  2 + ≤ + + 2x 1 x 2x 1 

x ≥ − 1 2  1  x ≥ 1 ; x ≥ − 2 .  2  x ≥ 0

2  x 2 − 13x + 40 ≤ 0 (x − 8)(x − 5) ≤ 0 190. 1) x − 13x + 40 ≤ 0;  ; 6< x ≤8. ; 

19x − x 2 − 78

2 (x − 13)(x − 6) > 0 19x − x − 78 > 0 

x + 4 > 0 x 2 + 7x − 4 1  2 < ; x + 7x − 4 ≥ 0 ; x+4 2  2 2 x + 7x − 4 < x + 4

x > 4  ; 2(x + 4)(x − 0,5) ≥ 0  2 2 + − < + + 8x 28x 16 8x 28x 16 

x≥0 x ≥ 0 1  ;  ; 0,5 ≤ x < 1 . Но, если x<–4, левая часть  2 1 7 (x + 4)(x − 1 < 0 ) + − < 7x 20x 32 0   7 неравенства меньше 0 и неравенство выполняется, значит, x<–4и 0,5≤x< 1 1 . 7 3 + x > 0 x > −3 3) 3 + x > x − 3 ;  ;  2 ; 1< x < 6 . 2 3 + x > x − 6x + 9 x − 7x + 6 < 0

3 + x > 7 + x + 10 + x;

3 − x ≥ 0 7 + x ≥ 0  ; 10 + x ≥ 0  3 − x < 7 + x + 10 + x + 2 x 2 + 17x + 70 

www.5balls.ru

x ≤ 3  ; x ≥ 7  2  −14 − 3x < 2 x + 17x + 70 −7 ≤ x ≤ 3  2 ;  x ≤ −4 3  2 5x + 16x − 84 < 0

 −7 ≤ x ≤ 3  ; 14 + 3x ≤ 0  2 2 196 + 84x + 9x < 4x + 68x + 280

−7 ≤ x ≤ 3  2 2 2 ; −6 < x ≤ −4 . Но при −4 < x ≤ 3 –14–3x<0,  x < −4 3 3 3  −6 < x < 2,8

а значит, это множество удовлетворяет данному уравнению, значит, –6<x≤3. 191. 1) x − 2 + x − 6 < a, при a≤0 действительных решений нет, значит, a>0. x − 2 ≥ 0  ; x − 6 ≥ 0  2 2 x − 2 + x − 6 + 2 x − 8x + 12 < a

x ≥ 6  a2  2 − x;  x − 8x + 12 < 4 + 2  x 2 − 8x + 12 ≥ 0 

x ≥ 6  ;  2 a4 + 4a 2 + (8 + a 2 ) x + x 2 x − 8x + 12 < 16 + 4 

x ≥ 6  16 + a 4 + 16a 2 значит,  2 , a x < 4  x 2 − 8x + 12 ≥ 0 

4 2 если a≤2, то действительных решений нет, если a>2, то 6 ≤ x < a + 16a + 16 . 2

4a  x 2 ≤ a 2 x 2 ≤ a 2 a 2 − x 2 ≥ 0   2 2  2) 2 x + a − x > 0;  ; a 2 − x 2 > 4 x 2 ; x ≤ 0 ;  a 2 − x 2 > −2 x − 2x ≥ 0  2 x 2 < a  5 

 − a ≤ x ≤ a a  ; если a = 0 , то нет решений, если a ≠ 0 , то − 5 < x ≤ 0 . x ≤ 0  − a < x < a  5 5

Но неравенство верно и при 0 ≤ x ≤ a , значит, −

www.5balls.ru

a 5

<x≤ a .

Глава III. Показательная функция 2)

192. 1) Y

X 2

2) 3 3 ≈ 2 ;

3 = 3 2 ≈ 1,73 ;

193. 1)

1 − 1 = 3 2 ≈ 0,58 ; 3 194. 1)

4) 3 −1,5 ≈ 0,19 .

4) Y

195. 1) 1,7 3 > 1 = (1,7) 0 , т.к. 1,7 3 > 1 ; 3 > 0 ; 2) 0,3 2 < 1 = (0,3) 0 , т.к. 0,3 3 < 1 ; 2 > 0 ; 3) 3,21,5 < 3,21,6 , т.к. 3,2 > 1 ; 1,6 > 1,5 ; 4) 0,2 −3 < 0,2 −2 , т.к. 0,2 < 1 ; −3 < −2 ; 2

1,4

1 1 1 5)   <   , т.к. < 1 ; 5 5 5

2 > 1,4 ;

6) 3 π < 3 3,14 , т.к. 3 > 1 ; π > 3,14 . 196. 1) (0,1) 2) (3,5) 3) π

0,1

−2,7

  4)  5     5 

< 1 = (0,1) 0 , т.к. 0,1 < 1 ;

2 >0;

> 1 = (3,5) , т.к. 3,5 > 1 ; 0,1 > 0 ;

< 1 = π 0 , т.к. π > 1 ; −2,7 < 0 ; −1,2

 5 5 < 1 ; −1,2 < 0 . > 1 =   , т.к. 5  5 

www.5balls.ru

197. 1) y = 2 x и y = 8 ; 2 x = 8; 2 x = 2 3 ; x = 3 , значит, точка пересечения графиков (3; 8). 1 1 2) y = 3 x и y = ; 3 x = ; 3 x = 3 −1 ; x = −1 , значит, точка пересече3 3 1 ния графиков ( – 1; ). 3 x 1  1 x 1  1 x  1 2 ;   = ;   =   ; x = 2 , значит, точка пе3) y =  1  и y = 16  4  16  4  4 4 ресечения графиков (2;

1 ). 16

−2

4) y =  1  и y = 9 ;  1  = 9;  1  =  1  ; x = −2 , значит, точка пе3

3

ресечения графиков ( – 2; 9). 1 198. 1) 5 x = ; 5 x = 5 −1 ; x = −1 ; 5 2) 7 x = 49; 7 x = 7 2 ; x = 2 ; 1

− x x x 1 1 2 3)  1  = 3 ;  1  = 32 ;  1  =  1  ; x = − ; 2 3 3 3 3         1

− x x x 1 1 3 4)  1  = 3 7 ;  1  = 7 3 ;  1  =  1  ; x = − . 3 7 7 7 7

199. 1) y = (0,3) − x =  3   10 

−x

 1  10  =   = 3  ;  3  3

1 > 1 , значит, данная 3

функция является возрастающей. 2) y =  1  7

−x

= 7 x ; 7 > 1 , значит, данная функция является возрастающей.

3) y = 1,3 − 2 x =  1  1,3 



1  1  =   ; 1,69 < 1 , значит, данная функция явля1 , 69  

ется убывающей. 4) y = (0,7 )−3x =  1   0,7  является возрастающей.

 1   ; =   0,343  0

1 1 200. 1)   > 1 =   , из гра3  3

1 > 1 , значит, данная функция 0,343

фика видно, что

1 2)   < 1 , из графика видно, 2 x

1 1   > 1 , при что   < 1 , при x > 0 . 3 2

x<0.

www.5balls.ru

3) 5 x > 5 , из графика видно, что 5 x > 5 , при x > 1 .

5x <

1 = 5 −1 , 5

из графика

видно, что 5 x < 5 −1 , при x < −1 .

Y У= 5х

201. 1)

2) Y

X x

202. y = 2 x и y =  1  = 2 − x , если точка (хо; уо) принадлежит графику 2

функции y = 2 , то точка (– хо; уо) принадлежит графику функции x

1 y =   , а точки (хо; уо) и (– хо; уо) симметричны относительно оси орди2

нат, значит данные графики симметричны относительно оси ординат. 203. Так как функция 2 x — возрастающая функция, то на отрезке [– 1; 2] наименьшее значение она принимает при x = −1 ; а наибольшее при x = 2 , значит, наименьшее значение y(−1) = 2−1 = 0,5 , а наибольшее y(2) = 22 = 4 .

www.5balls.ru

204. Поскольку функция y = 2 нат, а на отрезке [0; 1] 2

симметрична относительно оси орди-

= 2 , функция 2 x — возрастающая, значит, дан-

ная функция принимает наименьшее значение при x = 0 , y(0) = 20 = 1 , и наибольшее при x = 1 или x = −1 , y(−1) = 21 = 2 . 205. 1) 2) Y

4) Y

206. T = 1; t1 = 1,5, t 2 = 3,5, m0 = 250 ; t1

1,5

 1 T 11 m ( t1 ) = m0   = 250 ⋅   ≈ 88, 42 ; 2 2 t2

3,5

 1T 1 1 m ( t 2 ) = m0   = 250 ⋅   ≈ 22,12 . 2 2 207. Пусть а — прирост деревьев за первый год, b — за второй год, с — за 3-й год, d — за четвертый год, е — за пятый год, тогда a = 4 ⋅ 105 ⋅ 0, 04 , b = (4 ⋅ 105 + a) ⋅ 0,04 ; c = (4 ⋅105 + b) ⋅ 0,04 ; d = (4 ⋅105 + c) ⋅ 0,04 ; e = (4 ⋅ 105 + d) ⋅ 0,04 ,

тогда

через

пять

лет 5

можно

будет

4 ⋅ 10 (a + b + c + d + e) ≈ 4,87 ⋅ 10 м .

208. 1) 4 x −1 = 1; 4 x −1 = 4 0 ; x − 1 = 0; x = 1 ; 2) 0,33x − 2 = 1; 0,3 3x − 2 = 0,3 0 ; 3x − 2 = 0; x = 2 ; 3

3) 22 x = 24 4)  1  3

; 2x = 4 3 ; x = 2 3 ; −2

2 1 =   ; 3x = −2; x = − . 3 3

www.5balls.ru

заготовить

1 1 209. 1) 27 x = ; (33 ) x = 3−1; 3 3x = 3 −1 ; 3x = −1; x = − ; 3 3 1 2) 400 x = ; (20 2 ) x = 20 −1; 2 x = −1; x = −0,5 ; 20 x

3)  1  = 25; 5− x = 52 ; − x = 2; x = −2 ; 5

4)  1  = 1 ;  1  =  1  ; x = 4 .  3

3

2 x

210. 1) 3 ⋅ 9 = 81; (3 ) = 27; 3 2 x = 3 3 ; 2 x = 3; x = 1,5 ; 2) 2 ⋅ 4 x = 64; (22 ) x = 32; 22 x = 25 ; 2 x = 5; x = 2,5 ; x+

3) 3

1 2

1 x + + x −2 2

⋅ 3x − 2 = 1; 3

= 30 ; 2 x − 1,5 = 0; x = 0,75 ;

4) 0,5x + 7 ⋅ 0,51− 2 x = 2; 0,5x + 7 +1− 2 x = 0,5−1; 8 − x = −1; x = 9 ; 2x 5) 0,6 x ⋅ 0,63 = 0,6 ; 0,6 x +3 = 0,62 x −5 ; x + 3 = 2 x − 5; x = 8 ; 5

0,6

6) 63x ⋅ 1 = 6 ⋅  1  ; 63x −1 = 61− 2 x ; 3x − 1 = 1 − 2 x; x = 6

6

2 . 5

211. 1) 32x–1+32x=108; 32x ( 1 + 1) = 108; 32 x ⋅ 4 = 108; 32x=81; 32x=34; 2x=4; x=2; 3

15 = 30; 23x=8; 23x=23; 3x=3; x=1; 2) 2 –2 =30; 23x (4 − 1 ) = 30; 23x ⋅ 4 4 3) 2 x +11 + 2 x −1 + 2 x = 28; 2x (2 + 1 + 1) = 28; 2 x ⋅ 7 = 28; 2x = 8; 2 x = 2 3 ; х = 3; 2 2 1 7 x −1 x x +1 x x 4) 3 − 3 + 3 = 63; 3 ( − 1 + 3) = 63; 3 ⋅ = 63; 3x = 27; 3 x = 3 3 ; х = 3. 3 3 3x+2

3x–2

212. 1) 5 x = 8 x ; x

1 1 2)   =   ; 2  3 3) 3x = 52 x ; x

8

() () 1 2 1 3

= 1;  5  =  5  ; x = 0 ; x

8

3 3  =  ; x = 0; 2 2

= 1;  x

 3   3  = 1;   =   ; x = 0 ; x 25 25  25   

4) 4 x = 3 2 ; 4 x =

( 3) ; x

 4   4   =  x = 0. = 1;    3 ; x ( 3)  3  

213. 1) 9 x − 4 ⋅ 3x + 3 = 0; 3 x = t; t 2 − 4t + 3 = 0 ; t = 1 и t = 3; 3x = 3; x1 = 1 или 3x = 1; 3x = 30 ; x = 0 ;

www.5balls.ru

2) 16 x − 17 ⋅ 4 x + 16 = 0; 4 x = t; t 2 − 17 t + 16 = 0 ; t = 1 и t = 16; 4 x = 1; 4 x = 40 ; x = 0 или 4 x = 16; 4 x = 42 ; x = 2 ; 3) 25x − 6 ⋅ 5x + 5 = 0; 5 x = t; t 2 − 6 t + 5 = 0 ; t = 1 и t = 5; 5x = 5; x = 1 или 5 x = 1; 5 x = 5 0 ; x = 0 ; 4) 64 x − 8x − 56 = 0; 8 x = t; t 2 − t − 56 = 0 ; t = 8 ; 8x = 8; x = 1 или t = −7; 8x = −7 — посторонний корень. 214. 1) 3 x 2) 2 x

+ x −12

− 7 x +10

x −1

= 1; 3 x

= 1; 2 x x −1

+ x −12

− 7 x +10

= 30 ; x 2 + x − 12 = 0 ; x = 3 или x=–4;

= 2 0 ; x 2 − 7 x + 10 = 0 ; x = 5 или x = 2 ;

x ≠ 2 x −1 = 2;  ; x =3; x−2  x − 1 = 2x − 4 − x − 1 = 2x 2 1 2 1  ; x=− . ; x ≠ 0 = 2 x +1 ; − = x x +1  3  x ≠ −1

3) 2 x −2 = 4; 2 x −2 = 22 ; 1

4) 0,5 x = 4 x +1 ; 2 215. 1) 0,3x

−

1 x

− x 2 + x −1

= 1; 0,3x

− x 2 + x −1

= 0,30 ; x 3 − x 2 + x − 1 = 0 ;

x 2 (x − 1) + (x − 1) = 0; (x 2 + 1)(x − 1) = 0; x = 1 ;  1 2)  2   3 1

3) 5,12

− x 2 − 2x +3

 1 = 1;  2   3

− x 2 − 2x +3

( x −3)

= 5,1 5,1; 5,12

( x −3)

= 101−5x ; 102x

4) 100x

−1

−2

 1 =  2  ; x 2 + 2x − 3 = 0 ; x = 1 или х = –3;  3 3 1 3 = 5,12 ; (x − 3) = ; x = 6 ; 2 2

= 101−5x ; 2x 2 − 2 = 1 − 5x;

2x 2 + 5x − 3 = 0, x = 0,5 или x = −3 . 2

;

216. 1) 10x = 3 100; 10x = 10 3 x = 4

;

2) 10x = 5 10000; 10x = 10 5 x = 3) 2252x

2 −24

= 15; 154x

2 −48

2 ; 3

4 ; 5

= 15; 4x 2 − 48 = 1 ; 4х2 = 49; x1,2 = ±3,5 ;

4) 10x = 4 10000; 10x = 10−1; x = −1 ; 5) ( 10) x = 10x 6) 100x

−1

−x

; 10 2 = 10x

= 101−5x ; 102x

−2

−x

;

x = x 2 − x; x1 = 0 и x 2 = 1,5 ; 2

= 101−5x ; 2 x 2 − 2 = 1 − 5x;

2 x 2 + 5x − 3 = 0, x = 0,5 или x = −3 .

www.5balls.ru

−4 х

2 1 217. 1) 2х    2

2) 50,1x ⋅  1 

−0,06

5

3 3 1 3 = 24 ; x2 − x = ; х2–х–3=0; х=1 или x =− . 4 4 4

−4х

= 4 8; 2х ⋅ 2

0,1x 0,06 ⋅5 = 5x ; 0,1x + 0,06 = x 2 ; = 5x ; 5 2

100 − 10 x − 6 = 0; 50x 2 − 5x − 3 = 0; x = 0,3 или x = −0, 2 . 3)  1  2

1− x

 

1 ⋅  2

−1

1 =  2

1 − x − 1 = 2x; 1 − x = 4x 2 + 4x + 1;

;

x(4x + 5) = 0; x1 = 0 и x 2 = −1 4) 0,7

x+12

⋅ 0,7−2 = 0,7 x ;

1 — посторонний корень, значит, x = 0 . 4

x +12 − 2 = x; x+12=x+4 x +4; 8=4 x; 2= x ; x=4.

1 6 x 218. 1) 7 x − 7 x −1 = 6; 7 x (1 − ) = 6; 7 x ⋅ = 6; 7 = 7; x = 1 ; 7 7 2) 32y −1 + 32y − 2 − 32y − 4 = 315; 32y ( 1 + 1 − 1 ) = 315; 32y ⋅ 35 = 315; 9 y = 93 ; у=3;

3 9 81 81 3 28 3x 3 3x 3) 5 + 3 ⋅ 5 = 140; 5 (1 + ) = 140; 5 ⋅ = 140; 5 = 5 ; 3х = 3; х=1; 25 25 4) 2x +1 + 3 ⋅ 2x −1 − 5 ⋅ 2x + 6 = 0; 6 = 2x (5 − 3 − 2); 6 = 2 x ⋅ 1,5; 4 = 2x ; 2x = 22; х=2. 2 3x − 2

x−2

 1 219. 1) 7 x − 2 = 32 − x ; 7x−2 =    3 2) 2 x −3 = 33− x ; 2 x −3 =  1   3

3) 3 4) 4

x +2 4

;

7 x −2

()

1 x −2 3

2 x −3

()

1 x −3 3

4 x+2 43 = 5x + 2 ; ( 3) = 1;   x+2 

x+2

 5 

x −3 2

x −3

;

= 1; (21) x − 2 = (21)0 ; х–2=0; х=2;

x −3 = 60 ; x − 3 = 0; х = 3; = 1; 6

43 = ; x + 2 = 0; x = −2 ;  5   

x −3 0 x −3 2 2 = 32(x −3) ; 2 x −3 = 9 x −3 ; 2 = 1;   =   ; х–3=0; х=3. x −3 9 9

 

x 2 −4x +3

2x 2 + x +3

 

220. 1) (0,5) = (0,5) ; x − 4x + 3 = 2x + x + 3; x 2 − 5x = 0; x(x + 5) = 0; x = 0 или x = −5 ; 2

2) (0,1)3+ 2x = (0,1)2 − x ; 3 + 2х = 2 – х2; х2 + 2х + 1 = 0; (x + 1)2 = 0; х =–1; 3) 3

x −6

=3x;

x 4)  1  =  1 

3

x − 6 =x; x–6=x2; x2–x+6=0 не имеет действительных корней; 2− x

; x=

2 − x; x 2 = 2 − x; x 2 + x − 2 = 0; x = −2 — по-

сторонний корень, значит, x = 1 .

www.5balls.ru

221. 1) 2|x–2|=2|x+4|; x − 2 = x + 4 . Если x ≤ −4 , то 2 − x = − x − 4; 2 = −4 — нет действительных решений. Если −4 < x < 2 , то 2 − x = x + 4; x = −1 . Если x > 2 , то х – 2 = х + 4 — нет действительных решений, значит, х = –1. 2) 1,5|5–x|=1,5|x–1|; 5 − x = x − 1 ; x = 3 . 3) 3 x +1 = 32− x ; x + 1 = 2 − x ; x1 = −1,5 и x 2 = 0,5. 4) 3 x = 3 2 − x −1; x = 2 − x − 1; x = 0,5 . 222. 1) 3x −3 + 3x = 7 x +1 + 5 ⋅ 7 x ; 3 x (27 + 1) = 7 x (7 + 5); 3x ⋅ 7 = 7 x ⋅ 3; 3 3x −1 = 7 x −1;   7

x −1

3 =   ; x =1; 7

2) 3x + 4 + 3 ⋅ 5x +3 = 5x + 4 + 3x +3; 3x + 3 (3 − 1) = 5x + 3 (5 − 3); 3x + 3 ⋅ 2 = 5x + 3 ⋅ 2;  3 

x +3

5

8− x

3) 2

3− x

4− x

3 =   ; x = −3 ; 5

+ 23− x ⋅ 11; 23− x (25 − 11) = 73− x (7 − 1);

23− x ⋅ 7 = 73− x ⋅ 2; 22 − x = 7 2 − x ;  2  7

2−x

2 =  ; x = 2;   7 x +1 x −1 x −1 x −2 x −3 x −3 4) 2 + 2 − 3 =3 −2 + 2 ⋅ 3 ; 2 x (2 + 1 + 1 ) = 2 8

 2 21 14 1 2 1 x −4 = 3x − 4 ;   = 3x ⋅ ; 2 = 3x ( + + ); 2 x ⋅ x 27 9 27 3  3

x −4

 2 =  ; x = 4 .  3

223. 1) 8 ⋅ 4x − 6 ⋅ 2x + 1 = 0; 2 x = t; 8t x − 6t + 1 = 0 ; 1 1 1 1 t = и t = ; 2 x = ; x1 = −1; 2 x = ; x 2 = −2 ; 2 4 4 2 x

2)  1  +  1  − 6 = 0;  1  = t; t 2 + t − 6 = 0 ;  4

 2

1 t = −3 — посторонний корень; t = 2;   = 2; x = −1 ;  2 3) 132 x +1 − 13x −12 = 0; 13 x = t; 13 ⋅ t 2 − t − 12 = 0 ; 12 t=− — посторонний корень, t = 1; 13 x = 13 0 ; x = 0 ; 13 4) 32 x +1 − 10 ⋅ 3x + 3 = 0; 3 x = t; 3t 2 − 10t + 3 = 0 ; 1 1 t = 3 или t = ; 3 x = 3; x1 = 1 ; 3 x = ; 3 x = 3 −1 ; x 2 = −1 ; 3 3 5) 23x + 8 ⋅ 2x − 6 ⋅ 22 x = 0; т.к. 2 x ≠ 0 , то 22 x − 6 ⋅ 2 x + 8 = 0; 2 x = t;

www.5balls.ru

t 2 − 6 t + 8 = 0; t1 = 4 и t 2 = 2; 2 x = 4; x1 = 2; 2 x = 2; x 2 = 1 ; 6) 53x +1 + 34 ⋅ 52 x − 7 ⋅ 5x = 0; т.к. 5 x ≠ 0 , то 5 ⋅ 52 x + 34 ⋅ 5x − 7 = 0; 5 x = t; 5t 2 + 34 t − 7 = 0 ; t = −7 — посторонний корень, t = 1 ; 5 x = 1 ; x = −1 .

5 3,25 b1 6,5 224. q = = 0,5; S = = = 13 ; 6,5 1 − q 1 − 0,5

13 1 1 1 2x −1 + 2x −4 + 2x − 2 = 13; 2x  + +  = 13; 2 x ⋅ = 13; 2 x = 16; 2 x = 24 ; х=4. 16  2 16 4  x+3

9 225. 1) 32x +6 = 2x +3; 32(x+3) = 2x +3; 9x +3 = 2x +3;    2

5 2) 2x–2=42x–4; 5 x − 2 = 4 2(x − 2) ; 5 x − 2 = 16 x − 2 ;    16 

9 =   ; х+3=0; х=–3;  2

x −2

5 =   ; х–2=0; х=2;  16  2 2 1 3) 2 x ⋅ 3x = 36 x ; (2 ⋅ 3) x = 62x ; 2х2 = х; х(2х – 1) = 0; х = 0 или x = ; 2 1 4) 9− x −1 = ; 3−2 x −1 = 3−3 ; −2 x − 1 = −3; x − 1 = 1,5; х–1=2,25; х=3,25; 27 x

2 9 2 226. 1) 4 ⋅ 9 x − 13 ⋅ 6 x + 9 ⋅ 4 x = 0; 4 ⋅   − 13   + 9 = 0;   = t; 4  3 3 x

9 3 3 t 2 = ;   =   ; x 2 = 2 ; 4 2 2

3 4t 2 − 13t + 9 = 0; t1 = 1;   = 1; х1 = 0; 2 x

9 3 2) 16 ⋅ 9x − 25 ⋅ 12x + 9 ⋅ 16x ; 16 ⋅   − 25   + 9 = 0;  16  4 x

9 3 2 3 3 3   = t; 16t –25t+9=0; t1=1;   = 1; х1=0; t 2 = ;   =   ; х2=2 16  4  4 4 4

227. 1) Т.к. функция y1=4x — возрастающая и функция y1=25x — тоже возрастающая, значит, у1+у2=4х+25х — возрастающая функция, и каждое свое значение принимает только один раз, значит х=1 — единственный корень уравнения 4х+25х=29. 2) Т.к. функция y1=7x — возрастающая, и функция y2=18x — возрастающая, то у1+у2=7х+18х — возрастающая функция, и каждое свое значение принимает только один раз, значит х=1 — единственный корень уравнения 7 x + 18x = 25 . x

228. 1) 3 x > 9; 3 x > 3 2 ; x > 2 ; 2)  1  > 1 ;  1  >  1  ; x < 2 ; 2

2

3)  1  < 2; 2−2 x < 21; −2 x < 1; x > − 1 ; 2 4  

www.5balls.ru

4) 4 x < 1 ; 22 x < 2−1; 2 x < −1; x < − 1 ; 2

5) 2

6)  1  3

2 1 3x −1 1 ≥ ; 2 ≥ 2 ; 3x ≥ −1; x ≥ − ; 2 3

x −1

≤

1 1 ;   9 3

x −1

1 ≤   ; x − 1 ≥ 2; x ≥ 3 . 3 1

229. 1) 5x −1 ≤ 5 ; 5 x−1 ≤ 5 2 ; x − 1 ≤ x

2) 3 2 > 9; 3 2 > 32 ;

1 ; x ≤ 1,5 ; 2

x > 2; x > 4 ; 2

3) 3x2–4≥1; 3x2–4≥30; x 2 − 4 ≥ 0; x ≤ −2 и x ≥ 2 ; 4) 52x–18<1; 52x–18<50; x2–9<0; –3<x<3. x

1 230. 1)   = x + 1 , из графика 3 видно, что графики функций

1  1 2)   = x − , из рисунка видно, 2  2 x

1 что графики функций y =   и  1  и y = x + 1 пересекаются  2 y=   3 1 y = x − пересекаются при x = 1 . при x = 0 . 2 x

x 3) 2 x = − x − 7 , из рисунка видно, 4) 3 = 11 − x , из рисунка видно, 4 что графики функций y = 3 x и что графики функций y = 2 x и y = 11 − x пересекаются при x = 2 . 7 y = − x − пересекаются при х = –2. 4 Y

У=2х

www.5balls.ru

231. 1) 2− x 2)  7 

+ 3x

2 x + 3x

9

3)  13 

x 2 −3x

4)  2 2 

6x 2 + x

 3

9 7 ≥ ;   7 9 <

 11 

< 4; 2− x

+ 3x

2 x +3x

121  13  ;   169  11 

1 8 ≤7 ;   9  3

< 22 ; –х2+3х<2; x 2 − 3x + 2 > 0 х<1 и x>2;

−1 1 2 7 ≤ x ≤1; ≥   ; 2 x − 3x + 1 ≤ 0; 2 9

x 2 −3x

6x 2 + x

−2

2  13  <   ; x − 3x + 2 < 0; 1 < x < 2 ; 11  

≤

64 6x 2 + x ≤ 0; − 2 ≤ x ≤ 1 . ; 3 2 9

1 232. 1) 3x + 2 + 3x −1 < 28; 3x (9 + ) < 28; 3x ⋅ 28 < 28; 3 x < 3; x < 1 ; 3 3 2) 2 x −1 + 2 x +3 > 17; 2x ( 1 + 8) > 17; 2 x 17 > 17; 2 x > 2; x > 1 ; 2

3) 2

2 x −1

2x −2

2 x −3

7 ≥ 448; 22 x  1 + 1 + 1  ≥ 448; 22 x ⋅ ≥ 448; 8 2 4 4

22 x ≥ 512; 2 2 x ≥ 2 9 ; 22 x ≥ 9; x ≥ 4,5 ; 4) 53x +1 − 53x −3 ≤ 624; 53x (5 − 1 ) ≤ 624; 53х ⋅ 624 ≤ 624; 5 3x ≤ 125; 125

125

≤ 5 ; 3x ≤ 3; x ≤ 1 .

233. 1) 9x − 3x − 6 > 0; 3 x = t; t 2 − t − 6 > 0; t < −2 — нет действительных решений, t > 3; x > 1 , значит, целые решения данного неравенства на отрезке [– 3; 3] – x1 = 2 , x 2 = 3 . 2) 4 x − 2 x < 12; 2 x = t; t 2 − t − 12 < 0; −3 < t < 4; 2 x < 4; 2 x < 2; x < 2 , значит, целые решения данного неравенства на отрезке [– 3; 3] – x1 = −3 , x 2 = −2; x 3 = −1; x 4 = 0; x 5 = 1 . 3) 52 x +1 + 4 ⋅ 5x − 1 > 12; 5 x = t; 5t 2 + 4 t − 1 > 0; t < −1 — нет действительных решений, t > 1 ; 5 x > 1 ; 5 x > 5 −1 ; x > −1 , значит, целые решения 5

данного неравенства на отрезке [– 3; 3] – x1 = 0; x 2 = 1; x 3 = 2; x 4 = 3 . 4) 3⋅9x+11⋅3x<4; 3х=t; 3t 2 + 11t − 4 < 0; − 4 < t < 1 ; 3 x < 1 ; 3 x > 3 −1 ; x<–1, 3

значит, целые решения данного неравенства на отрезке [– 3; 3] – x1=–2; x2=–3. 234. 1) y = 25 x − 5 x , область определения — 25x − 5x ≥ 0 5 x (5 x − 1) ≥ 0; 5 x ≥ 1; 5 x ≥ 5 0 ; x ≥ 0 . 2) y = 4 x − 1 , область определения — 4 x − 1 ≥ 0 ; 4 x ≥ 1; 4 x ≥ 40 ; x≥0. x

235. Значения функции y =  1  больше значений функции y =  1  +12 ,  4

 2

www.5balls.ru

при  1  >  1  + 12 ;  1  >  1  − 12 > 0 ; t =  1  ; t 2 − t − 12 > 0; t<–3 — 4

не

4

2

имеет

2

действительных

1 1 t=  >  2 2

−2

2

решений,

значит,

t > 4;

1 t=  >4; 2

; x < −2 .

236. 1) Из рисунка видно, что графики функx

1 ций y =   и y = x + 1 пересекаются в точке  3 1 (0; 1), и график функции y =   3

лежит выше

графика функции y = x + 1 при x < 0 . Ответ: х ≤ 0. 2) Из рисунка видно, что графики функций x

1 1 1 y =   и y = x − пересекаются в точке (0; ), 2 2 2   1 и график функции y = x − лежит выше графика 2 x

1 функции y =   при x > 1 . 2 3) Из рисунка видно, что графики функций 1 y = 2 x и y = 9 − x пересекаются в точке (3; 8), и 3 1 график функции y = 9 − x лежит выше функции 3 y = 2 x при x < 3 . Ответ: х ≤ 3. 4) Из рисунка видно, что графики функций 2 1 пересекаются в точке y = 3x и y = − x − 3 3 1 (–1; ), и график функции y = 3 x лежит выше 3 2 1 графика функции y = − x − при x > −1 . 3 3

www.5balls.ru

237. 1) Графики функций x=2x и y = 3 − 2x − x

2) Графики функций y=3–x и 1 y = x пересекаются при x1 ≈ . 3

пересекаются при

x1 ≈ −3; x 2 ≈ 2 . 3

У=22

У=3–х

3) Графики функций y =  1  и 4) Графики функций y =  1  2

3

y=−

x +6

 x > −6

x + 6 > x;  x ≥ 0

> 11x ;

y=x3–1 пересекаются при x ≈ 1 1 .

3 пересекаются при x = −1 . x

238. 1) 11

 x + 6 > x

 x ≥ 0 x ≥ 0 ; ;  ;  2 x − x − 6 < 0  −2 < x < 3  2 

0 ≤ x < 3 , но при −6 < x ≤ 0 данное неравенство выполняется, значит, −6 < x < 3 .

2) 0,3

30 − x

x > 0

0 < x ≤ 30 >0,3x; 30 − x <x; 30 − x ≥ 0 ;  2  2 30 − x < x

0 < x ≤ 30 ; 5<x≤30. ;  x + x − 30 > 0 x > 5

239. 1) (0, 4) x − (2,5) x +1 > 1,5;  2  − 2,5  5  − 1,5 > 0 ; 5 2  

 

2 t =   ; t 2 − 1,5t − 2,5 > 0; t < −1 — не имеет действительных реше5 x

ний, значит, t > 2,5;  2  > 5 ; x < −1 . 2 5 −1 2 2 2) 25 ⋅ 0,042x > 0, 2 x(3− x) ;  1  ⋅ 0, 24x > 0, 23x − x ; 0,04−1 ⋅ 0,24x > 0,23x − x ; 25





www.5balls.ru

0, 24x − 2 > 0, 23x − x ; 4x − 2 < 3x − x 2 ; x 2 + x − 2 < 0; −2 < x < 1. 3)

4x 4x − 3x

< 4;

()

3 x 1− 4

( ) ; 4 ⋅ ( 34 )

 3 1 < 4 − 4 4  < 4;  x 1 ≠ 3  4

()

 3 x 3 <3  < ;  4 4 ; x > 1; x ≠ 0 x ≠ 0   x

3 если 1 −   < 0 , то данное неравенство выполняется, т.е. x < 0. 4 x

1 1 4)   − 32 ⋅   4   8 2x

1 1   <  2 2

3x 2 −3−5

x 2 −1

1 1 < 0;   < 32 ⋅   4   8

x 2 −1

( 1 1 ;   <  2 2 2x

)

3 x 2 −1

⋅ 25 ;

4 ⋅ 25 ; 2x > 3x 2 − 8; 3x 2 − 2x − 8 < 0; − < x < 2 . 3

2 x − y = 1  y = 2x − 1  y = 2x − 1 x = 1 240. 1)  . ;  ;  x + 2 x −1 ; x+y 2  5

= 25 5

x − y = 2 1; x2 +y = 3 9 

2) 

 y = x − 2 ;  x 2 + x −2 3 = 3− 2

y = x−2 y = x − 2 или  ;  x = 0 x = −1

x + y = 1 3)  ; 2 x − y = 8

x + 2 y = 3 4)  − ; 3 x y = 81

3x − 1 = 2

y = 1

 y = x − 2 y = x − 2 ; ;   2 x + x − 2 = −2 x ( x + 1) = 0 y = −3  y = −2 или  .  x = 0 x = −1

 y = 1 − x y = 1 − x  y = −1 . ;  ;   x −1+ x 2 = 23 2x − 1 = 3 x = 2  x = 3 − 2 y ;  3− 2 y − y 3 = 34

4 x ⋅ 2 y = 32 241. 1)  ; 38x +1 = 3 3y

 x = 3 − 2 y ;  3− 2 y − y 3 = 34

1   y = − 3 .  x = 3 2  3

22 x + y = 25 2x + y = 5  y = 5 − 2x ;  ;  ;  8x + 1 = 3y 8x + 3y + 1 = 0 8x − 15 + 16x + 1 = 0

 y = 5 − 2x x = 1 . ;   14x = 14 y = 3 3 3x − 2 y = 81 33x − 2 y = 34 3x − 2 y = 4 y = 3 − 6x 2)  ; ;  ;  ;  3 6 x ⋅ 3 y = 27 36 x + y = 33 6x + y = 3 3x − 6 + 12x − 4 = 0

 y = 3 − 6x ;  15x = 10

x = 2  3 .   y = −1

2 x = 4  x + y = 6 2 ⋅ 2 y = 8 242. 1) 2 2 ;  ;  y x y x y

x = 2 x = 2 . ;  ;  2 − 2 = 2 2 + 2 = 6 4 + 2 = 6 2x = 2 y = 1

www.5balls.ru

3x + 3y = 8 2 ⋅ 3 x = 6 3 x = 3 2)  ;  ; 

3x − 5y = −2 3 x + 5 y = 8 y 5 x  x 243. 1) 5 − 5 = 100 ;  5 x −1 − 5 y −1 = 30 5 x

x = 1  x = 1 . ;  ;  3 + 5 y = 8 5x = 5  y = 1 − 5 y = 100 2 ⋅ 5 x = 250 ;  ; + 5 y = 150 5 x + 5 y = 150

x 3 5 x = 125 x = 3 5 = 5 . ;  ;  y y 125 + 5 = 150 5 = 25 y = 2

2 x − 9 ⋅ 3 y = 7 2x = u ; 8 ; y x y 3 =v 2 ⋅ 3 = 9 

u − 9 v = 7  8 ;  uv = 9 

2) 

u = 7 + 9v 8 — не ;; v=−  2 9 81v + 63 ⋅ v − 8 = 0

имеет действительных решений, значит, u = 7 + 9 v  ; 1  v = 9 

u = 8 ;  y 3 = 3 − 2

2 x = 2 3 x = 3 . ;    y = −2  y = −2

16 y − 16 x = 24 16 y − 16 x = 24  y = 2 − x 3)  ;  ;  16 x + y = 256

x + y = 2

y = 2 − x  2 t + 24t − 256 = 0;  x 16 = t  y = 2 − x ;  x 16 = 8

x ; 16 = t;

t = −32 — посторонний корень, значит, t = 8 ;

3   y = 2 − x y = 2 − x  x = 4 ; ; .   4x  2 = 23 4x = 3 y = 1 1  4

 x + x + y +1 = 5 3x = u 4) 3 2 ;

3x +1 − 2x + y = 1 2 x + y = v u = 1 3x = 1 x = 0 ;  ;  x+y ;  =2 2v = 4 v = 2 2

 5) 5

2−x − 16x − 24 = 0 16

u + 2v = 5 u + 2v = 5 u + 2v = 5 ;  ;  ;  ; 3u − v = 1

6u − 2v = 2 7u = 7

x = 0 x = 0 . ;   y 2 = 2 y = 1

x +1

⋅3 y = 75 ; перемножая уравнения системы, получаем: 3 ⋅5 y −1 = 3 (3 ⋅ 5) x + y = 225 15 x + y = 15 2 x + y = 2  x = 2 − y ;  2− y y ; ;  x y ;   x y x y  5 ⋅ = 5 3 15 ⋅3 = 15 5 ⋅3 = 15 5 ⋅3 = 15  x

x = 2 − y  ;  3 y 25 ⋅ 5 = 15   x ⋅ y= 6) 3 2 4; 3x ⋅2 y = 9

()

 x = 2 − y y = 1  y .  3 3;   5 = 5 x = 1  x y 3 x ⋅2 y = 4 3 ⋅2 = 4 ;  ;  (3 ⋅ 2) x + y = 36 6 x + y = 6 2

()

x + y = 2 ;  x y 3 ⋅ 2 = 4

x = 2 − y ;  2− y y 3 ⋅2 = 4

www.5balls.ru

x = 2 − y x = 2 − y   ;  2 y 4;  2 y 9 ⋅ 3 = 4  3 = 9   52 x +1 > 625 244. 1)  ; 2 116 x −10 x = 11

()

y = 2 .  x = 0 52 x +1 > 54 ;  2 6x − 10x = 9x − 15

2 x + 1 > 4 ; x = 1,5 —  2 6 x − 19 x + 15 = 0

посторонний корень, т.к. он не удовлетворяет первенству, значит, x = 1 2 . 3

 10x 2 −47 = 0,3−10x−7 2) 0,3 ; 2 3,7x < 3,74

10x 2 − 47x = −10x − 7 ;  2 x < 4

10 x − 37 x + 7 = 0 ; x=3,5 —  − 2 < x < 2 2

посторонний корень, т.к. он не удовлетворяет неравенству, значит, x = 0,2 . (5 ) = 5 5 = 5 xy = 21   245. 1) 5x ⋅ 5y = 510 ; 5x + y = 510 ; x + y = 10; x y

x = 10 − y  2 10 y − y − 21 = 0; x > y 

x > y  x x > y y  3 > 3  x = 10 − y x = 3 x = 7  2 y − 10 y − 21 = 0;  y = 7 — не удовлетворяет неравенству, значит,  y = 3 .   x > y 

(0,2 y ) x = 0,008  2) (0,4) y = (0,4) 3,5− x ;  x 2 ⋅ 0,5 y < 1 

0,2 xy = 0,2 3   y = 3,5 − x ;  x 2 < 2 y

xy = 3   y = 3,5 − x; x < y 

3,5x − x 2 = 3   y = 3,5 − x ; x < y 

x 2 − 3,5x + 3 = 0 y = 1,5  — не удовлетворяет неравенству, значит, ;   y = 3,5 − x x = 2 x < y 

246. 1) 4−

< 4−

1,4

, т.к. 4 > 1; − 3 < − 2 ; 2) 2 π

< 21,7 , т.к. 2>1; 3 < 1,7 ;

1 1 1 1 1 3)   <   , т.к. < 1; 1,4 < 2 ; 4)   <   2  2  2 9 9 247. 1) 2 − 3

< 1 = 2 0 , т.к. 2 > 1; − 5 < 0 ; 0

1 1 1 2)   < 1 =   , т.к. < 1; 2  2  2 π 3)   4

5 −2

1 4)    3

8 −3

3 >0;

π π < 1 =   , т.к. < 1; 4 4  

5 −2 > 0;

1 1 > 1 =   , т.к. < 1; 3 3

8 −3< 0 .

www.5balls.ru

x = 1,5 .  y = 2

3,14

, т.к.

1 < 1; π < 3,14 . 9

248. 1) y=0,78x; 0,78<1; значит, y=0,78x — убывающая; 2) y=1,69x; 1,69<1; значит, y=1,69 — возрастающая; x

3) y =  1  = 2x ; 2 > 1 значит, y =  1  — возрастающая; 2

2

4) y = 4 x =  1  ; 1 < 1 значит, y = 4 x — убывающая. 4

4

249. 1) y = 5

— возрастающая функция, значит, при x ∈ [−1;2] ее зна-

чения находятся в промежутке [ y(−1); y(2)] , т.е. в промежутке  1 ;25 . 5

2) y = 5 − x

1 =  5



— возрастающая функция, значит, при x ∈ [−1;2] ее

значения находятся в промежутке [ y(2); y(−1)] , т.е. в промежутке  1 ;5 . 25 

2 250. 1) 1,55x −7 =   3

 1 2) 0,752x −3 = 1   3

3) 5x

−5 x − 6

1 4)   7

5− x

= 1; 5x

x 2 − 2x − 2

x +1

5x − 7

3 ;   2

3 ;   4

−5 x − 6

2x − 3

3 =  2

3 =  4

− x −1

x −5



; 5x − 7 = − x − 1; x = 1 ;

; 2 x − 3 = x − 5; x = −2 ;

= 50 ; x 2 − 5x − 6 = 0; x 1 = −1 ; x 2 = 6 ;

1 2 2 = ; x − 2 x − 2 = 1; x − 2 x − 3 = 0; x 1 = −1 ; x 2 = 3 . 7

9 1 251. 1) 2 x − 2 x −3 = 18; 2 x (1 + ) = 18; 2 x ⋅ = 18; 2 x = 16; x = 4 ; 8 8 2) 3x + 4 ⋅ 3x +1 = 13; 3x (1 + 12) = 13; 3 x ⋅13 = 13; 3 x = 1; x = 0 ; 3) 2 ⋅ 3x +1 − 6 ⋅ 3x −1 − 3x = 9; 3 x (6 − 2 − 1) = 9; 3x ⋅ 3 = 9; 3 x = 3; x = 1 ; 3 2 4) 5x +1 + 3 ⋅ 5x −1 − 6 ⋅ 5x + 10 = 0; 5x (5 + − 6) = −10; 5x ⋅ = 10; 5 5 5x=25; 5x=52; x = 2 . 252. 1) 52x–5x–600=0; 5x=t; t2–t–600=0; t=–24 — посторонний корень; t=25; 5x=52; x=2. 2) 9x–3x–6=0; 3x=t; t2–t–6=0; t=–2 — посторонний корень; t=3; 3x=3; x=1. 1 3) 3x–9x–1–810=0; t=3x; t + t 2 − 810 = 0; t2+9t–7290=0; t=–90 — посто9 ронний корень; t=81; 3x=34; x=4. 4) 4x+2x+1–80=0; t=2x; t2+2t–80=0; t=–10 — посторонний корень; t=8; 2x=23; x=3. 253. 1) 3x–2>9; 3x–2>32; x–2>2; x>4;

www.5balls.ru

2) 2 2 x < 1 ; 2 2 x < 5−2 ; 2 x < −2; x < −1 ; 25

3) 0,7

x 2 +2x

1 4)  

3

< 0,73 ; x 2 + 2 x > 3; x 2 + 2x − 3 > 0; x < −3 и x > 1 ; 1 1 ;   81  3 

1 2 >   ; x < 4; −2 < x < 2 .  3

254. 1) 2− x = 3x + 10 , из ри-

−x

1 2)   =2x+5, из рисунка видно, что  3

сунка видно, что графики функций y = 2 − x и y = 3x + 10 пересекаются при x = −2 .

−x

1 графики функций y =    3 1 пересекаются при x ≈ −2 . 3

и y=2x+5

255. y=2x; y=(1)=2; y=(2)=4; y=(3)=8;… действительно, при каждом натуральном х, большем предыдущего, значение функции y=2x увеличивается в 2 раза, значит, данная функция при натуральных значениях х является геометрической прогрессией. 256. Искомая сумма вычисляется по формуле сложных процентов t

P  , где t — число лет, в течение которых предприятие наращи S = a 1 +   100 

вало свою прибыль, т.е. t = n − 1 , а S = a 1 + P  

n −1

100 

257. Y

2) 258. 1) 0,6x ⋅  25   9 

x 2 −12

3) 3

 27   3   3  =  ;   ⋅   125   5   5 

24 − 2 x 2

www.5balls.ru

 3 =  ; 5

3   5

x + 24 = 2x 2

2) 2

4+ x −5

2 2 3 =   ; x + 24 − 2 x = 9; 2 x − x − 15 = 0; х1=–2,5; х2=3. 5 x +1

;

2 2 x − 5 = x + 1; x − x + 1 = x + 1; x − 3 x = 0; 4 16 2 16 2

x  x  − 3  = 0; x = 0 — посторонний корень, значит, x = 24. 8 

259. 1) 2 ⋅ 33x −1 + 27

x− 2

3x = 9x −1 + 2 ⋅ 32x −1; 2 ⋅ 33x + 1 = 1 32 x + 2 ⋅ 32 x ;

3 9 2 1   1 2  2 x 33x 32 x ; 3x = 2 x; x = 0. = 3  +  =  + 3 ; 3 9 9 3

3x 

x +2

2) 2 x

x +1

= 12 + 2

x −1

; 2

1   4 − 2 −  = 12; 2 2 

⋅

3 = 12; 2 2

= 8;

= 23 ; x = 9 .

3) 22 ⋅ 9x −1 − 1 ⋅ 3x +3 + 1 ⋅ 3x +2 = 4 ; 22 ⋅ 9x+3x(3–9)–4=0; 3x=t; 22t2–54t–36=0;

9 3 3 6 — посторонний корень, значит, t = 3; 3 x = 3; x = 1 . t=− 11 4) 5 ⋅ 4x −1 −16x + 0,25⋅ 22x +2 + 7 = 0; 5 ⋅ 4x − 16x + 4x + 7 = 0; 4x=t t 2 − ( 5 + 1)t − 7 = 0; 4 4 x 4 t 2 − 9 t − 28 = 0; t = −1,75 — посторонний корень, значит, t=4 4 = 4; x=1. x

260. 1) 2x+4+2x+2=5x+1+3⋅5x; 2x(16+4)=5x(5+3); 2 x = 8 ;  2  = 2 ; x=1; 20

5

2) 52x–7x–52x⋅17–7x⋅17=0; 52x(1–17)=7x(1–17);  2  = 1;  2  =  2  ; x=0; 5

2 2 3) 2 x −1 − 3x ⋅ 4 ;   3 3

5

2 2 =   ; x = 3; x1,2 = ± 3 ; 3

4) 3 ⋅ 4 x + 1 ⋅ 9x + 2 = 6 ⋅ 4 x +1 − 1 9 x +1; 4 x (3 − 24) = 9 x ( − 9 − 27) ; 3

63  4  3 3 ;   = ;   42  9  2 2 x −3

−2 x

1 3 −2 x = 1; x=− ; 2 2

x −3

261. 1) 8, 4 x 2 +1 < 1; 8, 4 x 2 +1 < 8, 40 ; x − 3 < 0; 2 x +1

2) x<3 2 ⋅ 5 х

3) 4 + 2

x +1

1− x

−3

3− x 2

< 10 (10

) ; 10

<106–2x–3; x2<3–2x; x2+2x–3<0; –3<x<1;

x x 3x −x < 8x ; 4 − 2 ⋅ 2 + 8 < 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ;

22x–2⋅2x+8–2⋅22x<0; 22x+2⋅2x–8>0; t=2x; t2+2t–8>0; t<–4 — нет действительных корней, t>2; 2x>2; x>1;

www.5balls.ru

≤

3 +5

1 x +1

3 ⋅ 3x − 1 ≤ 3x + 5 ;  ; − 1 3x +1 −1 > 0

2 ⋅ 3x ≤ 6 ;  x +1 3 −1 > 30

3x ≤ 3 x ≤ 0 ; –1<x≤1. ;   x +1 > 0 x > −1

2x − y = 27 x − y = 7  ; ; ; x − 2y +1 1 3  1 x − 2y +1 1  1 x − 2 y + 1 = 3 = =   2 8 2 2   2

262. 1) 

x−y

= 128

()

x = 7 + y x = 7 + y ; ;;   7 + y − 2 y = 2  y = 5 x  x y 2) 2 ⋅ 5 = 10; u = 2 ; y x 5 − 2 = 3 v − u = 3

()

x = 12 .  y = 5

v = 3 + u ;  3u + u 2 − 10 = 0

u = 2 2 x = 2 x = 1 u = −5 — посторонний корень;  . ;  ; 

263. 1)

y = 1

v = 5 5y = 5

264. 1)

0, 2x +0,5 1 = 5 ⋅ 0,04x ;   5 5

x +0,5+0,5

−1

1 1 =   ⋅   ; х+1=2х–1; x = 2 ; 5 5 x

x x 3 3 2 3 2 2) 4 ⋅ 3x − 9 ⋅ 2x = 5 ⋅ 3 2 ⋅ 2 2 ; 4   − 5   − 9 = 0 ;   = t; 4t2–5t–9=0; 2 2     2 x

t=–1 — посторонний корень; t = 2⋅4x–3⋅10x–5⋅25x=0;

9  3  2 9  3  2  3 2 x ; = 2; x = 4 ; = ;   =  ; 2 4  2  4 2 2 x

2  4  2  − 3  − 5 = 0; 5  25 

2 2  5

2 − 3  − 5 = 0; 5 −1

2 5 2 2 2 t =   ; 2t –3t–5=0 t=–1 — посторонний корень; t = ;   =   ; x=–1; 2 5 5 5

4) 4 ⋅ 9 x + 12 x − 3 ⋅16 x = 0; 4 ⋅  9  +  3  − 3 = 0 ;  16 

4

2 3 3 3 3   = t; 4t +t–3=0; t=–1 — посторонний корень, t = ;   = ; x=1. 4 4 4 4

265. 1) 3|x-2|<9; 3|x–2|<32; |x–2|<2; 0<x<4. 2) 4|x+1|>16; 4|x+1|>42; |x+1|>2; x<–3 и x>1. 3) 2|x–2|>4|x+1|; 2|x-2|>22|x+1|; |x-2|>2|x+1|. Если x ≥ 2 , то x – 2 > 2x + 2, x < – 4, следовательно, нет решений. Если – 1 < x < 2, то 2 – x > 2x + 2, 3x < 0, x < 0, следовательно, – 1 <x< 0. Если x≤–1, то 2–x>–2x–2, x>–4, следовательно, –4<x ≤ –1. Ответ: (–4; 0). 4) 5|x+4|<25|x|; 5|x+4|<52|x|; |x+4|<2|x|; x<–1 1 и x > 4. 3

www.5balls.ru

Глава IV. Логарифмическая функция 266. log = 1; log3 y = 2log3 9 = 2; log3 81 = 4 ⋅ log3 3 = 4; log 3  1  = −1; 3

3

1 1 1 3  1  1 = −1,5; log 3 94 3 = 2 . log 3   = −2; log 3   = −5; log 3 3 = ; log3 3 4 3 3 9  243  267. 1) log 2 16 = log 2 2 4 = 4 ⋅ log 2 2 = 4 ;

3) log 2 2 = 1 ;

2) log 2 64 = log 2 2 = 6 ⋅ log 2 2 = 6 ;

4) log 2 1 = 0 .

268. 1) log 2 1 = log 2 2 −1 = −1⋅ log 2 2 = −1 ; 2) log 2 1 = log 2 2 −3 = −3 ⋅ log 2 2 = −3 ; 2 8 1 1 1 3) log2 2 = log2 22 = ⋅ log2 2 = ; 2 2

1 − 1 1 1 4) log3 4 = log3 3 4 = − ⋅ log3 3 = − . 4 4 3

269. 1) log 3 27 = log 3 3 3 = 3 ⋅ log 3 3 = 3 ;

3) log 3 3 = 1 ;

2) log 3 81 = log 3 3 = 4 ⋅ log 3 3 = 4 ; 4) log 3 1 = 0 . 1 1 1 1 = log3 3−2 = −2 ⋅ log3 3 = −2 ; 3) log3 3 4 = log3 34 = − ⋅ log3 3 = ; 9 4 4 1 − 1 1 1 1 2) log3 = log3 3 −1 = −1⋅ log3 3 = −1 ; 4) log3 4 = log3 3 4 = − ⋅ log3 3 = − . 4 4 3 3

270. 1) log3

1 1 1 = log 1   = 5 ⋅ log 1 = 5 ; 2 32 2  2 2 2

271. 1) log 1

−2

1 1 2) log 1 4 = log 1   = −2 ⋅ log 1 = −2 ; 2 2  2 2 2 3) log 0,5 0,125 = log 0,5 (0,5)3 = 3 ⋅ log 0,5 0,5 = 3 ;

4) log 0,5 1 = log 0,5 (0,5)1 = 1 ⋅ log 0,5 0,5 = 1 ; 2

5) log 0,5 1 = log 0,5 (0,5)0 = 0 ⋅ log 0,5 0,5 = 0 ⋅1 = 1 ; 6) log 1 2

1 2 = log 1   22

−

1 3

1 1 1 = − ⋅ log 1 = − . 3 3 2 2

272. 1) log 5 625 = log 5 5 4 = 4 ⋅ log 5 5 = 4 ; 2) log 6 216 = log 6 6 3 = 3 ⋅ log 6 6 = 3 ; 3) log 4 1 = log 4 4 −2 = −2 ⋅ log 4 4 = −2 ; 4) log 5 1 = log 5 5 −3 = −3 ⋅ log 5 5 = −3 . 16

125

−3

1 1 273. 1) log 1 125 = log 1   = −3 ⋅ log 1 = −3 ; 5 5 5 5 5  −3

1 1 2) log 1 27 = log 1   = −3 ⋅ log 1 = −3 ; 3 3  3 3 3

www.5balls.ru

3) log 1 4

1 1 1 = log 1   = 3 ⋅ log 1 = 3 ; 64 4  4 4 4 −2

1 1 4) log 1 36 = log 1   = −2 ⋅ log 1 = −2 ; 6 6 6 6 6  274. 1) 3log3 18 = 18 ;

2) 5log5 16 = 16 ;

3) 10log10 2 = 2 ;

1 4)   4

5 log3 2

275. 1) 3

(

) =2

log3 2 5

= 3

1 2)    2

= 32 ;

log 0,3 6 2

3) 0,32log0,3 6 = (0,3

log 1 6

) = 62 = 36 ;

4) 7 2

=6. 6 log 1 2

log 7 9

  1 log 1 2  =    2  = 26 = 64 ;  2     1

= (7 log7 9 )2 = 9 2 = 3 .

276. 1) 8log 2 5 = 23log 2 5 = (2log 2 5 )3 = 53 = 125 ; 2) 9log 3 12 = 32log 3 12 = (3log 3 12 ) 2 = 122 = 144 ; 3) 16log 4 7 = 42log 4 7 = (4log 4 7 ) 2 = 7 2 = 49 ; 4) 0,125

log 0,5 1

3log0,5 1

= 0,5

= (0,5

log 0,5 1 3

) = 13 = 1 .

277. 1) log6 x = 3 ⋅ 1; log 6 x = 3 log 6 6; log 6 x = log 6 6 3 ; x = 6 3 = 216 ; 2) log 5 x = 4 ⋅1; log 5 x = 4 log 5 5; log 5 x = log 5 5 4 ; x = 5 4 = 625 ; 3) log 2 (5 − x ) = 3 ⋅ 1; log 2 (5 − x ) = 3 log 2 2; log 2 (5 − x ) = log 2 2 3 ; 5 − x = 2 3 ; 5 − x = 8; x = −3 ; 4) log3 ( x + 2) = 3 ⋅ 1; log 3 ( x + 2) = 3 log 3 3; log 3 ( x + 2) = log 3 3 3 ; x + 2 = 3 3 ; x + 2 = 27; x = 25 ; 1 5) log 1 (0,5 + x) = −1 ⋅ 1; log 1 (0,5 + x) = −1 ⋅ log 1 ; 6 6 6 6 −1

1 log 1 (0,5 + x) = log 1   ; 0,5 + x = 6; x = 5,5 . 6 6 6 278. 1) log 1 (4 − x) существует при 4 − x > 0; x < 4 ; 2

2) log0, 2 (7 − x ) существует при 7 − x > 0; x < 7 ;

1 1 1 > 0; 1 > 2x; x < ; существует при 1 − 2x 1 − 2x 2 5 5 1 > 0; 2 x − 1 > 0; x < ; 4) log 8 существует при 2x − 1 2x − 1 2

3) log6

www.5balls.ru

5) log 1 (− x 2 ) существует при − x 2 > 0 — не имеет действительных ре4

шений, значит log 1 (− x 2 ) — не существует; 4

6) log0,7 (−2x ) существует при − 2x 3 > 0; x < 0 . 1

279. 1) log 2 4 2 = log 2 2 4 = 1

2) log 3

1 1 ⋅ log 2 2 = ; 4 4

= log 3 3 −1,5 = −1,5 ⋅ log 3 3 = −1,5 ;

3 3

3) log 0,5

1  1 2 5 = log 0,5   = ⋅ log 0,5 0,5 = 2,5 ; 2 32  2

1 −2+ 7 2 2 = log 7 7 3 = −1 ⋅ log 7 7 = −1 . 49 3 3

4) log 7

280. 1) 92log3 5 = 34log3 5 = (3log3 5 )4 = 54 = 625 ; 1

 1 2 2)   9

1 3)   4

log 4 3

= 3−1⋅log3 4 = (3log3 4 )−1 = 4−1 =

−5log 2 3

−4 log 1 5

4) 27

= 2( −2)⋅( −5) log 2 3 = (2log 2 3 )10 = 310 = 59049 ;

1 =  3

5) 103−log10 5 =

( −3)( −4) log 1 5

103 10log10 5

1+ 2 log 1 3

1 6)   7

1 ; 4

 1 log 1 5  3  = 3   

= 512 ;

1000 = 200 ; 5 2

log 3 1  1  1  1 2 = ⋅    7  = ⋅ 32 = 1 .  7  7  7 7  

281. 1) log 2 (log3 81) = log2 (log3 34 ) = log2 (4(log3 3)) = log2 22 = 2 ⋅ log2 2 = 2 ; 2) log 3 (log 2 8) = log 3 (log 2 2 3 ) = log 3 (3 ⋅ log 2 2) = log 3 3 = 1 ; 3) 2 log 27 (log10 1000) = 2 log 27 (log10 10 3 ) = 2 log 27 (3 log10 10) = 1 2 2 = 2log 27 3 = 2log 27 27 3 = log 27 27 = ; 3 3 1 1 1 3 4) log 9 (log 2 8) = log 9 (log 2 2 ) = log 9 (3 log 2 2) = 3 3 3 1 1 1 1 1 1 = log9 3 = log9 9 2 = ⋅ log9 9 = ; 3 3 3 2 6

www.5balls.ru

−1

1 5) 3log 2 (log 4 16) + log 1 2 = 3log 2 (log 4 42 ) + log 1   = 2 22 1 = 3log 2 (2log 4 4) − log 1 = 3log 2 2 − 1 = 3 − 1 = 2 . 2 2 282. 1) log x 27 = 3; log x 27 = 3 log x x; logx27=logxx3; x3=27; x3=33; x=3; 1 1 1 1 1 = ; x=7; = −1; log x = −1 ⋅ log x x; log x = log x x −1 ; 7 7 7 7 x 1 3) log x 5 = −4; log x 5 = −4 log x x; log x 5 = log x x −4 ; 5 = ; x4 2) log x

 1 8 x = ; x =  . 5 5 1

283. 1) log 6 (49 − x 2 ) — существует при 49 − x 2 > 0; −7 < x < 7 ; 2) log7 ( x 2 + x − 6) — существует при x 2 + x − 6 > 0; x < −3 и x > 2 ; 3) log 1 (x 2 + 2x + 7) — существует при х2 + 2х + 7 > 0, т.е. при любом x . 5

284. 1) log 3 (1 − x 3 ) — существует при 1 − x 3 > 0; x 3 < 1; x < 1 ; 2) log 2 ( x 3 + 8) — существует при x 3 + 8 > 0; x 3 > −8; x > −2 ; 3) log 1 (x 3 + x 2 − 6x) — существует при x 3 + x 2 − 6x > 0; 4

x ( x + x − 6) > 0; −3 < x < 0 и x > 2 ; 4) log 1 (x 3 + x 2 − 2x) — существует при x 3 + x 2 − 2 x > 0; 3

x ( x 2 + x − 2) > 0; −2 < x < 0 и x > 1 . 285. 1) 2 x = 5; x = log 2 5 ; 2) 1,2 x = 4; x = log1, 2 4 ; 1 (log 4 5 − 3) ; 2 1 = 2; 1 − 2x = log7 2; x = (1 − log 7 2) . 2

3) 42 x +3 = 5; 2 x + 3 = log 4 5; x = 4) 71− 2 x

286. 1) 7 2 x + 7 x − 12 = 0; 7 x = t; t 2 + t − 12 = 0; t = −4 — посторонний корень, t = 3; 7 x = 3; x = log 7 3 ; 2) 9x – 3x – 12 = 0; 32x – 3x – 12 = 0; 3x = t; t2 – t – 12 = 0; t = – 3 — посторонний корень, t = 4; 3x = 4; x = log34.; 1 3) 8 x +1 − 82 x −1 = 30; 8 x = t; t 2 − 8t + 30 = 0; t 2 − 64 t + 240 = 0; t = 4 ; 8

www.5balls.ru

t1 = 3; 8x = 4; 2 3x = 2 2 ; 3x = 2; x1 = x

2 ; 3

t 2 = 60; 8 x = 60; x 2 = log8 60 ;

−1

4)  1  − 5 1  + 6 = 0;  1  = t; t 2 − 5t + 6 = 0; t1=3  1  = 3;  1  =  1  ; 9

3

 3

x1 = −1 ; t 2 = 2; x 2 = log 1 2 . 3

287. 1) (3 + 2 )(3 + 3 ⋅ 2 ) = 8 ⋅ 6x ; 32 x + 3 ⋅ 6x + 6x + 3 ⋅ 22 x − 8 ⋅ 6 x = 0; 32 x − 4 ⋅ 6x + 3 ⋅ 22 x = 0;  3  2

2 3 3 −   + 3 = 0;   = t; t − 4t + 3 = 0; t1 = 3; 2 2 x

3 3   = 3; x1 = log 3 3; t 2 = 1;   = 1; x = log 3 1; x 2 = 0 2 2 2 2

2) (3 ⋅ 5x + 2,5 ⋅ 3x )(2 ⋅ 3x − 2 ⋅ 5x ) = 8 ⋅ 15x ; 6 ⋅ 15x − 6 ⋅ 52 x + 5 ⋅ 32 x − 5 ⋅ 15x − 8 ⋅ 15x = 0; 5 ⋅ 32 x − 7 ⋅ 15x − 6 ⋅ 52 x = 0; 3 5⋅  5

2 3  3 − 7  − 6 = 0; t =   ; 5t − 7 t − 6 = 0; t = −0,6 — посторон5 5 x

ний корень, t = 2;  3  = 2; log 3 2 = x . 5

x > 0 288. 1) log x (2x − 1) существует при  x ≠ 1 ; 2x − 1 > 0 

 x > 0 1  x ≠ 1 ; 2 < x < 1 и x > 1 ;  1 x > 2 

x − 1 > 0

x > 1

x + 1 > 0 

 x > −1 

2) log x −1 (x + 1) существует при  x − 1 ≠ 1 ;  x ≠ 2 ; 1 < x < 2 и x > 2 . 289. 9x + 9a(1 − a)3x − 2 − a 3 = 0; 9x + 9a(1 − a)3x − a 3 = 0; t = 3x ; t 2 + a(1 − a)t − a 3 = 0; t1,2 =

a2 − a ± a2 + a 2

При a>0, a=–1, то x=log3a2; если a<0, a ≠ −1, то x1=log3a2, x2=log3(–a). 290. 1) log10 5 + log10 2 = log10 5 ⋅ 2 = log10 10 = 1 ; 2) log10 8 + log10 125 = log10 8 ⋅125 = log10 10 3 = 3 ⋅ log10 10 = 3 ; 3) log12 2 + log12 72 = log12 2 ⋅ 72 = log12 12 2 = 2 ⋅ log12 12 = 2 ; 4) log 3 6 + log 3

3 3 = log 3 6 ⋅ = log 3 32 = 2 log 3 3 = 2 . 2 2

291. 1) log 2 15 − log 2

15 15 = log 2 15 ⋅ = log 2 2 4 = 4 ⋅ log 2 2 = 4 ; 16 16

www.5balls.ru

2) log 5 75 − log 5 3 = log 5

75 = log 5 5 2 = 2 ⋅ log 5 5 = 2 ; 3 −3

54 1 1 = log 1   = −3 ⋅ log 1 = −3 ; 2 3 3 3 3 3  3 3 1 1 − log 8 32 = log 8 = log 8 8 −3 = −3 ⋅ log 8 8 = −3 . 4) log 8 16 16 ⋅ 32 2 2 2 292. 1) log13 5 169 = log13 135 = log13 13 = ; 5 5 2 2 2 2) log11 3 121 = log11113 = log1111 = ; 3 3

3) log 1 54 − log 1 2 = log 1

−

5 1 1 1 4 3) log 1 243 = log 1   = − log 1 = −1 ; 4 33 4 3 3  3 7 − 1 7 1 = log 2 2 6 = − log 2 2 = −1 . 4) log 2 6 6 6 128 3 12 ⋅ 20 4 1 = log8 8 4 = log8 8 = 1 ; 293. 1) log8 12 − log8 15 + log8 20 = log8 15 3 3 3 15 ⋅ 18 3 1 2) log9 15 + log9 18 − log9 10 = log9 = log9 9 2 = log9 9 = 1 ; 10 2 2 1 3 1 3 3 3) log 7 36 − log 7 14 − 3log 7 21 = log 7 36 2 − log 7 14 − log7 21 = 2 6 = log 7 6 − log 7 14 − log 7 21 = log 7 = −2 ⋅ log 7 = −2 ; 14 ⋅ 21 1 1 4) 2log 1 6 − log 1 400 + 3log 1 3 45 = log 1 62 − log 1 400 2 + 2 3 3 3 3 3 4

( )

+ log 1 3

( 3 45 )

294. 1)

−4

1 36 ⋅ 45 1 = log 1   = −4log1 = −4 . 3 20 3 3 3   3

= log 1 36 − log 1 20 + log 1 45 = log 1 3

log 3 8 log 3 2 3 ⋅ log 3 2 3 = = = ; log 3 16 log 3 2 4 4 ⋅ log 3 2 4

log 5 27 log 5 33 3 log5 3 3 1 = = = =1 ; 2 log 5 9 2 log 5 3 2 2 log 5 3

log5 36 − log5 12 log5 12 log5 3 1 = = = ; log 5 9 log5 32 2log 5 3 2

log 7 8 log 7 23 3 ⋅ log 7 2 −3 ⋅ log 7 2 = = = = −3 . log15 − log 7 30 log 15 log 7 2−1 1 ⋅ log 7 2 7

www.5balls.ru

295. 1) loga x = loga (a 3b2 c) = loga a 3 + loga b2 + loga c = = 3 log a a + 2 log a b +

2) loga x = loga

1 1 log a c = 3 + 2 ⋅ 3 + (−2) = 8 ; 2 2

a43 b c3

= loga a 4 + loga 3 6 + loga c−3 =

1 1 = 4 log a a + log a 6 − 3 ⋅ log a c = 4 + ⋅ 3 − 3 ⋅ (−2) = 11 . 3 3 24 1 log 2 log 2 24 − log 2 72 72 2 296. 1) = = = 3 1 18 log 3 18 − log 3 72 log 3 18 − log 3 72 log 3 3 3 72 3 3 log 2 2 2 2 log 2 2 9 1 = = = =1 3 3 8 8 log3 3 log3 3 4 4 14 1 log 7 log 7 14 − log 7 56 3 56 log 7 14 − log 7 3 56 3

log 2 24 − log 2 72

1 2

log 6 30 − log 6 150 2

log 7 7 3 log 6 6

1 2

⋅ log 7 7

1 ⋅ log 6 6 2

log 6 30 − log 6 150

log 6

30 150

4 1 =1 3 3 1

log 2 22 + log 2 (2 − 5) 2 3) log 2 4 + log 2 10 = = 2 log 2 20 + 3log 2 2

log 2 2 + 3

1 1 2log 2 2 + (log 2 2 − log 2 5 ) (5 + log 2 5) 1 2 = =2 =

2log 2 2 + log 2 5 + 3

5 + log 2 5

;

1 1 3log 7 2 − log 7 26 0 2 2 = = 0. = 1 1 5 log 3 52 4log5 2 + log5 27 4log5 2 + log5 3 3 3 297. 1) log3 x = 4log3 a + 7 log3 b = log3 a4 + log3 b7 = log3 a4 ⋅ b7

3log 7 2 − log 7 64

х=а4b7; 2) log5 x = 2 log5 a − 3 log5 b = log5 a 2 − log5 b3 = log5

= log3 (a 4 ⋅ b7 );

; x= 3

;

2 1 2 1 3) log 1 x = log 1 a − log 1 b; log 1 x = log 1 a 3 − log 1 b 5 ; 3 5 2 2 2 2 2 2 2

log 1 x = log 1 ( 2

a3 1

);

www.5balls.ru

4 4 1 1 4 1 1 4 4) log 2 x = log 2 a + log 2 b = log 2 a 4 + log 2 b 7 = log 2 a 4 â&#x2039;&#x2026; b 7 ; x = a 4 â&#x2039;&#x2026; b 7 . 4 7 3 3 3 3 3 3

www.5balls.ru

(

)

= 52 +

298. 1) 36log 6 5 + 101−log10 2 − 8log 2 3 = 6log 6 5 +

10log10 2

(

− 2log 2 3

)= 3

10 3 − 3 = 25 + 5 − 27 = 3 ; 2 1 1 − log 9 2

2) (814

×(7log7 2 )2 = (9

+ 25log125 8 ) ⋅ 49log7 2 = (9 2

3 log 4 9

− log9

+ (125log125 8 ) 3 ) ×

2 3 + 8 3 ) ⋅ 22 = ( + 4) ⋅ 4 = 3 + 16 = 19 ; 4 1

3) 161+ log4 5 + 4 2

log 3 2

+ 3log5 5 = 16 ⋅ (4log4 5 ) 2 + 2log2 3 ⋅ (8log8 5 ) 2 =

= 16 ⋅ 52 + 3 ⋅ 52 = 19 ⋅ 25 = 475 ; 1

4) 72 ⋅ (49 2

log7 9 − log7 6

− log

  log7 9   1 ) = 72 ⋅   7 +   (7log7 6 )2   log 5    

  4  5 

2

 = 72 ⋅  9 + 1  =     36 16  

1 72  9 = 72 ⋅  +  = 18 + = 22,5 . 16  36 16  1

1 299. a loga pb = (a ploga pb ) p = b p = (a loga b ) p = a p loga b , значит, logap b = loga b ; p 1 1 1 1) log 36 2 − log 1 3 = log 62 2 − log 6−1 3 = log 6 2 2 − log 6 −1 3 = 2 2 2 6 =

1 1 1 1 1 log 6 2 − log 6 3 = log 6 (2 ⋅ 3) = log 6 6 = ; 2 2 2 2 2

30 = log5 5 = 1 . 6 300. 1) log 3 50 = log 1 (50 ) = 2 log 3 50 = 2(log 3 5 + log 3 10 ) = 2) 2log2530+ log0,2 6 = 2log52 (30) + log5−1 (6) = log5 30+ log5 6 = log5 32

= 2(log3 3 + log3 5 + log3 10 − 1) = 2(log3 15 + log3 10 − 1) = 2(a + b − 1) ;

1 1 1 (log 2 54 + log 2 2) = 2log 2 5 + = 2a + . 2 2 2 2) lg 7 ≈ 0,845 ; 2 4) lg ≈ −0,176 . 3 2) ln 2 ≈ 0,693 ; 6 4) ln ≈ −0,154 . 7 lg 8 2) log5 8 = ≈ 1,65 ; ≈ 1,29 ; lg 5

2) log 4 1250 = log 22 (54 ⋅ 2) = 301. 1) lg 23 ≈ 1,362 ; 3) lg 0,37 ≈ −0,432 ; 302. 1) ln 81 ≈ 4,394 ; 3) ln 0,17 ≈ 1,772 ; 303. 1) log7 25 =

lg 25 lg 7

3) log9 0,75 = lg 0,75 ≈ −0,13 ; lg 9

4) log0,75 1,13 = lg1,13 ≈ −0,42 .

www.5balls.ru

lg 0,75

2) log8 15 = ln 15 ≈ 1,3 ;

304. 1) log7 5 = ln 5 ≈ −0,83 ; ln 7 ln 9 3) log0,7 9 = ≈ −6,16 ; ln 0,7 305. 1) log5 3 = log7 3 ; log7 5

ln 8 4) log1,1 0,23 = ln 0,23 ≈ −15,42 . ln1,1 log 6 7 2) lg 6 = ; log 7 10

3) log2 7 = log7 7 =

1 ; log7 2

4) log5 1 =

5) lg7 1 = log7 7 =

1 ; log7 10

6) log3 7 = log7 7 =

log7 2

log7 10

lg 625

306. 1) 5 lg 25 = 5

lg( 25)2 lg 25

log7

1 3

log 7 5

log7 3

; 1 . log7 3

2 lg 25

= 5 lg 25 = 52 = 25 ;

2) log 1 (log3 4 ⋅ log 2 3) = log 1 (log3 22 ⋅ log 2 3) = − 4

1 1 log 2 2 = − . 2 2

307. 1) log5 x = 2 log5 3 + 4 log 25 2; log5 x = log5 32 + 4 log52 2; log5 x = log5 32 + log52 22 = log5 9 ⋅ 4; log5 x = log5 36; x = 36 ; 2) log 2 x − 2log 1 x = 9; log 2 x + log 2 x 2 = 9 log 2 2; log 2 x 3 = log 2 2 9 ; 2

x =2 ; x =2 =8; 3) log3 x = 9 log 27 8 − 3 log3 4; log3 x = 9 log33 8 − log3 43 ;  83  log3 x = 3 log3 8 − log3 64; log3 x = log3  ; x = 8 ;  64    1 2 2 4) log9 x + log x = 3; log3 x + 2 log3 x = 3 ⋅ log3 3; 3 2

log3 x + log3 x 2 = log3 33 ; log 3 x 3 = log 3 3 3 ; x 3 = 3 3 ; x = 3 ; 1 3

5) log2 x + log8 x = 8; log 2 x + log 2 x = 8 log 2 2; 1

log 2 x + log 2 x 3 = log 2 28 ; log 2 x 3 = log 2 28 ; x 3 = 28 ; x = 64 ; 6) log 4 x − log16 x = 1 ; log 4 x − 1 log 4 x = 1 log 4 4; 4

1 2

log 4 x − log 4 x = log 4 2 ; log 4 x = log 4 2 2 ; x 2 = 2 2 ; x = 2 . 1 1 1 1 308. log49 28 = log72 28 = log7 (22 ⋅ 7) = (log7 22 + log7 7) = log7 2 + = m + . 2 2 2 2 lg3 lg10 lg 3 + 1 m +1 + = = 309. log15 30 = log15 3 + log15 10 = . lg15 lg15 lg 3 + lg 5 m + n

www.5balls.ru

310. log 24 72 =

log 6 72 log 6 62 + log 6 2 2 + log 6 2 2+m . = = = log 6 24 log 6 6 + log 6 22 1 + 2log 6 22 1 + 2m

311. log36 9 = log36

2 36 = log36 36 − log36 4 = 1 − log36 8 3 = 4

2 2 = 1 − log36 8 = 1 − m . 3 3 312.

log3 216 log3 24 log3 63 log3 24 − = − = 3log 3 6 ⋅ 3log3 2 − log3 3 log3 3 log8 3 log 72 3 log3 8

log3 72

− log 3 24 ⋅ log 3 72 = 9(log 3 3 + log 3 2) log 3 2 − (log 3 3 + 3 log 3 2) × × (2 log 3 3 + 3 log 3 2) = 9(log 3 2 + (log 3 2) 2 ) − (2 + 3 log 3 2 + + 6 log 3 2 + 9(log 3 2) 2 ) = −2 ;

log 2 192 log 2 24 log 2 192 log 2 24 − = − = log 2 (3 ⋅ 26 ) ⋅ log 2 (3 ⋅ 22 ) − log 2 2 log 2 2 log12 2 log96 2 log12 2

log12 96

− log 2 (3 ⋅ 23 ) ⋅ log 2 (3 ⋅ 25 ) = (log 2 3 + 6log 2 2) ⋅ (log 2 3 + 2log 2 2) − (log 2 3 + +3log 2 2) × (log2 3 + 5 log 2 2) = (log2 3) 2 + 2 log 2 2 + 6 log 2 3 + 12 − (log 2 3) 2 − −5 log 2 3 − 3 log 2 3 − 15 = −3 . 313. 1) log 22 x − 9 log8 x = 4; log 22 x − 3 log 2 x − 4 = 0; log 2 x = t; 1 1 t 2 − 3t − 4 = 0; t1=–1; log 2 x = −1; log 2 x = log 2 ; x1 = ; t2=4; 2 2 log 2 x = 4; log 2 x = log 2 2 4 ; x 2 = 16 ; 2 2) 16 log16 x + 3 log 4 x − 1 = 0; 4 log 24 x + 3 log 4 x − 1 = 0; log 4 x = t;

1 1 1 4 t 2 + 3t − 1 = 0; t1 = −1; log 4 x = −1; log 4 x = log 4 ; x1 = ; t 2 = ; 4 4 4 1

log 4 x = log 4 4 4 ; x 2 = 2 ; 3) log32 x + 5 log9 x − 1,5 = 0; log32 x + 2,5 log3 x − 1,5 = 0; log3 x = t; t 2 + 2,5t − 1,5 = 0; t1 = −1,3; log3 x = −3; log3 x = log3 3−3 ; x1 = 3−3 =

1 1 1 ; t2 = 12 ; log3 x = ; log3 x = log3 3 2 ; x 2 = 3 ; 27 2

4) log32 x − 15 log 27 x + 6 = 0; log32 x − 5 log3 x + 6 = 0; log3 x = t; t 2 − 5t + 6 = 0; t1 = 2; log3 x = 2; log3 x = log3 32 ; x1 = 9; t 2 = 3;

www.5balls.ru

log3 x = 3; log 3 x = log 3 3 3 ; x 2 = 27 . 314. 1)

log5 2 log4 3 + = log6 2 + log6 3 = log6 (2 ⋅ 3) = 1 ; log5 6 log4 6

2) (log 7 2 +

log5 5 log 7 7 1 ) lg 7 = (log 7 2 + ) = log5 7 log 5 7 log 7 10

= (log7 2 + log7 5)⋅ 3)

1 log7 (2 ⋅ 5) = = 1; log7 10 log7 10

log2 3 2 ⋅ log2 3 2 ⋅ log 2 3 = = = 2. log 4 9 log 2 32 log 2 3 2

315. 8-ми процентное увеличение жителей города, начальное количество которых а, через n лет становится равным a (1,08) n , число жителей удвоится через 2a = a (1,08) n ; 2 = (1,08) n ; n = log1,08 2 ≈ 9 лет. 316. Пусть первоначальная масса воздуха а, тогда через n качаний 1

поршневого насоса в нем останется a (1 − 0,012)n =

a 1016

; n = log 0,988

1 1016

1016

первоначальной массы:

= −16 log 0,988 10 ≈ 3052 .

317. 1) n = 7; e ≈ 2,7182539 ; 2) n = 8; e ≈ 2,7182788 ; 3) n = 9; e ≈ 2,7182815 ; 4) n = 10; e ≈ 2,7182819 . 6 5 1 6 5 < 1; 9<17; 318. 1) log3 > log3 ; 3 > 1; > ; 2) log 1 9 > log 1 17; 5 6 3 5 6 3 3 1 3) log 1 l > log 1 π; 4) log 2 5 > log 2 3 ; 2 > 1; 5 > 3 . < 1; l > π ; 2 2 2 2 2 2 2 319. 1) log3 4,5 > 0 = log3 1, т.к. 3 > 1; 4,5 > 1 ; 2) log3 0,45 < 0 = log3 1, т.к. 3 > 1; 0,45 < 1 ; 3) log5 25,3 > 0 = log5 1, т.к. 5 > 1; 25,3 > 1 ; 4) log0,5 9,6 < 0 = log0,5 1, т.к. 0,5 < 1; 9,6 > 1 . 320. 1) log3 x = −0,3; log3 x = log3 3−0,3; x = 3−0,3 < 1 = 30 , т.к. 3 > 1; –0,3 < 0; 1,7

1,7

1 1 1 2) log 1 x = 1,7; log 1 x = log 1   ; x =   < 1 =   ; т.к. 1 < 1; 1,7>0; 3 3 3 3  3  3  3 3) log 2 x = 1,3; log 2 x = log 2 21,3; x = 21,3 > 1 = 20 ; т.к. 2 > 1; 1,3 > 0 . 321. 1) y = log0,075 x — убывающая, т.к. 0 < 0,075 < 1 ; 2) y = log

3 2

x — убывающая, т.к. 0 < 3 < 1 ; 2

www.5balls.ru

3) y = lg x = log10 x — возрастающая, т.к. 10 > 1 ; 4) y = ln x = log e x — возрастающая, т.к. e > 1 . 322. 1) 2) у

323. log 2 3 ≈ 16;

log 2 0,3 ≈ −1,7; log 2 5 ≈ 2,3; log 2 0,7 ≈ −0,5 . 324. 1)

325. 1) log5 x > log5 3; x > 3, т.к. 5 > 1 ;

1 1 1 2) log 1 x > log 1 ; x ≥ , т.к. < 1 ; 8 8 5 5 5 3) lg x > lg 4; x < 4, т.к. 10 > 1 ; 4) ln x > ln 0,5; x > 0,5, т.к. e > 1 . 326. 1) log3 x < 2; log3 x < log3 32 ; x < 9, т.к. 3 > 1 ; 2) log 0,4 x > 2; log 0,4 x > log 0,4 (0, 4)2 ; x < 0,16, т.к. 0,4 < 1 ; 16

1 1 1 3) log 1 x ≥ 16; log 1 x ≥ log 1   ; x ≤   , т.к. < 1 ; 2 2 2 22 2 4) log 0,4 x ≤ 2; log 0,4 x ≤ log 0,4 0, 42 ; x ≥ 0,16, т.к. 0,4 < 1 .

www.5balls.ru

327. 1) log3 (5x − 1) = 2; log3 (5x − 1) = log3 32 ; 5x − 1 = 9; x = 2 ; 2) log5 (3x + 1) = 2; log5 (3x + 1) = log5 52 ; 3x + 1 = 2 ; x = 8 ; 3) log 4 (2x − 3) = 1; log 4 (2x − 3) = log 4 4; 2x − 3 = 4; x = 3,5 ; 4) log 7 (x + 3) = 2; log 7 (x + 3) = log 7 7 2 ; x + 3 = 49; x = 46 ;

5) lg(3x − 1) = 0; lg(3x − 1) = lg1; 3x − 1 = 1; x =

2 ; 3

6) lg(2 − 5x) = 1; lg(2 − 5x) = lg10; 2 − 5x = 10; x = −1,6 . 328. 1) y = log 4 ( x − 1) — область определения x − 1 > 0; x > 1 ; 2) y = log0,3 (1 + x ) — область определения 1 + x > 0; x > −1 ; 3) y = log3 ( x 2 + 2 x ) — область определения x2 + 2x>0; x < −2 и x > 0 ; 4) y = log

(4 − x 2 ) — область определения 4 − x 2 > 0; −2 < x < 2 .

329. y = log 2 ( x 2 − 1) — область определения x 2 − 1 > 0; x < − 1; x > 1 , т.к. x > 1 — входит в область определения и 2 > 1, то данная функция возрастает на промежутке x > 1 . 3 1 1 1 330. 1) + lg 3 = lg 3 2 + lg3 = lg 3 2 < lg19 − lg 2 = lg 9,5 , т.к. 10>1; 3 2 < 9,5 ; 2 2) lg 5 + lg 7 = lg

< lg

5 + 7 т.к. 10 > 1, , 2

5 5+ 7 ; < 2 7

3) 3(lg 7 − lg 5) = lg(1,4) 3 > lg 9 − 2 lg 8 = lg 9 = lg 2,25, т.к. 10 > 1; 3

(1,4) = 2,744 > 2,25 ; 4) lg lg lg 50 < lg3 50. 331. 1) y = log 8 ( x 2 − 3x − 4) — область определения x 2 − 3x − 4 > 0; x < –1 и x > 4; 2) y = log

(− x 2 + 5x + 6) — область определения x 2 − 5x − 6 < 0;

–1<x<6; 3) y = log 0,7 x > 3; 4) y = log 1 3

x2 −9 x2 − 9 — область определения > 0; –5 < x < –3 и x +5 x+5

x−4 2

x +4

— область определения

x−4 x2 + 4

> 0; x > 4 ;

5) y = log π (2 x − 2) — область определения 2 x − 2 > 0; 2 x > 2; x > 1 ; 6) y = log 3 (3 x −1 − 9) — область определения 3 x −1 > 9; x − 1 > 2 ; x > 3 .

www.5balls.ru

332. 1) y = log 3 ( x − 1) — область определения

x − 1 > 0; x > 1 ; множество значений — множество R.

y = log 1 (x + 1)

—

область

определения

x + 1 > 0; x > −1 ; множество значений — множество R. 3) y = 1 + log 3 x — область определения x > 0 ; множество значений — множество R.

4) y − log 1 x − 1 — область определения x > 0 ;

множество значений — множество R.

y = 1 + log3 (x − 1)

—

область

определения

x − 1 > 0; x > 0 ; множество значений — множество R. 2) Из рисунка видно, что графи333. 1) log 2 x = − x + 1; из рисунка ки функций y = log 1 x и y = 2 x − 5 видно, что графики функций 2 y = log 2 x и y = − x + 1 пересекаются пересекаются при x = 2 . в точке (1; 0), т.е. при x = 1 . у

3) Из рисунка видно, что графи-

4) Из рисунка видно, что графи-

ки функций y = lg x и y = x не ки функций y = lg x и y = 2 − x пепересекаются. ресекаются при x ≈ 2 .

www.5balls.ru

334. 1) y = log 3 x область определения — x > 0, множество значений y ≥ 0 ; данная функция убывает при 0 < x ≤ 1, возрастает при x > 1 .

2) y = log 3 x область определения — множество

R, кроме x = 0 ; множество значений — множество R, данная функция убывает при x < 0, возрастает при x>0. 3) y = log 2 3 − x

область определения — мно-

жество R, кроме x = 3 ; множество значений — множество R, данная функция убывает при x < 3, возрастает при x > 3 . 4) y = 1 − log 2 x область определения — x > 0 ,

кроме x = 3 ; множество значений — y ≥ 0 , данная функция убывает при 0 < x ≤ 2, возрастает при x > 2 .

335. 1) y = log 2 3 − x − log 2 x 3 − 8 — область определения 3− x > 0  , т.е. x ≠ 3; и x 3 − 8 ≠ 0; x ≠ 3 и x ≠ 2 ;  3 x − 8 > 0 

x ∈ (−∞;2) ∪ (2;3) ∪ (3; ∞). 2) y = log 0,3 x + 1 + log 0,4 (1 − 8x 3 ) — область определения x + 1 > 0 ;  1 − 8x 3 > 0

 x > −1   3 1;  x < 8

 x > −1 1   1 ; −1 < x < . 2 x <  2

336. 1) x2–5x+6=0; x1=3; x2=2; x–3=0; x=3, значит x2–5x+6=0 является следствием x–3=0;

www.5balls.ru

2) x = 5; x1, 2 = ±5 ;

x 2 = 5; x1, 2 = ±5 , значит, каждое из двух уравне-

ний является следствием другого. 2  2 3) x − 3x + 2 = 0 x − 3x + 2 = 0; x = 2 ; x2–3x+2=0; x1=1 и x2=2, значит,

x −1

x − 1 ≠ 0

2 x2–3x+2=0 — следствие уравнения x − 3x + 2 = 0 .

x −1

4) log8+log8(x–2)=1; log8(x2–2x)=log88; x2–2x–8=0; х1=–2 — посторонний корень, x2=4; log8(x–2)=1; log8x2–2x=log88; x2–2x–8=0; x1=–2; x2=4, значит, уравнение log8(x2–2x)=1; является следствием уравнения log8+log8(x–2)=1. 337. 1) log2(x–5)+log2(x+2)=3; log2(x–5)(x+2)=log223; x2–3x–10=8; x2 – 3x – 18 = 0; x = – 3 — посторонний корень, значит, x = 6. 2) log3 (x − 2) + log3 (x + 6) = 2; log3 (x − 2)(x + 6) = log3 32 ; x 2 + 4 x − 12 = 9; x 2 + 4 x − 21 = 0; x = −7 — посторонний корень, x = 3 . 3) lg(x + 3) + lg(x − 3) = 0; lg(x + 3)(x − 3) = lg1; x2–3=1; x2=4; x=–2 — посторонний корень, x=2. 4) lg(x–1)+lg(x+1)=0; lg(x–1)(x+1)=lg1; x2–1=1; x2=2; x = − 2 — посторонний корень, значит, x = 2 . 338. 1) lg(x − 1) − lg(2x − 11) = lg 2; lg x − 1 = lg 2; 2 x − 11

x–1=4x–22; 3x=21; x=7;

x −1 = 2; 2 x − 11

2) lg(3x–1)–lg(x+5)=lg5; lg 3x − 1 = lg 5; 3x − 1 = 5; 3x-1=5x+25; 2x=–26; x +5

x +5

x=–13 — посторонний корень, значит, данное уравнение не имеет действительных решений. 3 3) log3 (x 3 − x) − log3 x = log3 3; log 3 x − x = log 3 3; x 2 − 1 = 3; x 2 = 4;

x=–2 — посторонний корень; x=2. 339. 1) 1 lg(x2 + x − 5) = lg5x + lg 1 ; lg x 2 + x − 5 = lg 5x ; 2

x2+x–6=0; x=–3 — посторонний корень; x=2.

2) 1 lg(x 2 − 4x − 1) = lg8x − lg 4x; lg x 2 − 4 x − 1 = lg 8x ; 4x

x2 + x − 5 = 1; x 2 − 4 x − 1 = 2;

x2–4x–5=0; x=–1 — посторонний корень; x=5. 340. 1) log3(5x+3)=log3(7x+5); 5x+3=7x+5; x=–1 — посторонний корень, значит, данное уравнение не имеет действительных решений. 2) log 1 (3x − 1) = log 1 (6x + 8); 3x − 1 = 6 x + 8; x = −3 — посторонний ко2

рень, значит, данное уравнение не имеет действительных решений. log х = 0 341. 1) log 7 (x-1) log 7 x = log 7 x ;  7

log x = log 7 1 ;  7

log 7 (х − 1) = 1 log 7 (x − 1) = log 7 7

100

www.5balls.ru

;

x + 1 — посторонний корень; x − 1 = 7 ; x = 8 log 1 (3x − 2) = 0 ; 2) log 1 x log1 (3x − 2) = log1 (3x − 2);  3 3

log 13 x = 1

log 1 (3x − 2) = log 1 1 3  3 :  1 log 1 x = log 1 3 3  3

3x − 2 = 1; x1 = 1; x 2 =

1 − посторонний корень 3

;

log (3x + 1) = 0 3) log 2 (3x + 1)log3 x = 2log 2 (3x + 1) ;  2 ; 2 log 3 x = log3 3 log 2 (3x + 1) = log 2 1 ; 3x + 1 = 1; x = 0 − посторонний корень, значит, х = 9  ; log3 x = log3 9

4) log

(x − 2)log5 x = 2log3 (x − 2) ; 2log3 (x − 2)log5 x = 2log3 (x − 2) ;

log 3 (x − 2) = 0 ;  log 5 x = 1

log 3 (x − 2) = log 3 1 ; x1 = 3 ; x 2 = 5 .  log 5 x = log 5 5

x lgx − lg y = 2 lg = lg102 342. 1)  ; y ; x = 100y

x = 100y ;  ; x 10y 900 100y − = = 900 + 10y = + x 900 10y   x = 900 + 10y  log x + log3 y = 2 log3 xy = log 3 32  xy = 9 2)  3 ;  ;  ; 2 2 2  x y − 2y + 9 = 0  x y − 2y + 9 = 0  x y − 2y + 9 = 0 x = 9  y ;  81 − 2y + 9 = 0  y

 y = 10 .  x = 1000

x = 9 y=9  y ; y = −4,5 − посторонний корень, значит,  .  x = 1 2y2 − 9y − 81 = 0 

343. 1) log5x2=0; log5x2=log51; x2=1; x1,2= ± 1; 2) log4x2=3; log4x2=log443; x2=64; x1,2= ± 8; 3) log3x3=0; log3x3=log31; x3=1; x=1; 4) log4x3=6; log4x3=log4x346; x3=4096; x=16; 5) lgx4+lg4x=2+lgx3; lg(4⋅x5)=lg102+lgx3; lg(4x5)=lg(100x3); 4x5=100x3; x3(x2–25)=0; x=0 — посторонний корень; х=–5 — посторонний корень, значит, х=5. 6) lgx+lgx2=lg9x; lgx3=lg9x; x3=9x; x(x2–9)=0; x1=0 и x2=–3 — посторонние корени, значит х=3. 344. log 4 (x + 2)(x + 3) + log 4 x − 2 = 2 ; log 4 (x 2 − 4) = log 4 42 ; x 2 − 4 = 16 ; x+3

1) х 2 = 20; x1,2 = ± 20 = ±2 5 ; 2) log 2 x − 1 +log2(x–1)(x+4)=2; log2(x–1)2=log222; (x–1)2=4; х=–1 — поx+4

сторонний корень, значит х = 3; x 3) log3 x2 − log3 = 3 ; log3 x(x + 6) = log3 33 ; x 2 + 6x − 27 = 0 ; х1=–9; х2=3; x +6

101

www.5balls.ru

4) log2 x + 4 +log2x2; log2((x+4)x)=log225; х=(х+4)=32; х2+4х–32=0; х1=4; х2=–8. x

345. 1) 23logx⋅5lgx=1600; (23⋅5)lgx=1600; 40lgx=402; lgx=2; lgx=lg102; x=102; x=100; 2

2) 2log3 x ⋅ 5log3 x = 400 ; 2 2 log3 x ⋅ 5 log3 x = 400 ; (4 ⋅ 5) log3 x = 20 2 ; 20 log3 x = 20 2 ; log 3 x = log 3 3 2 ; x = 3 2 ; x = 9 ; 3)

1 2 + = 1 ; 2 − lg x + 8 + 2 lg x = (4 + lg x )(2 − lg x ) ; 4 + lg x 2 − lg x

10 + lg x = 8 − 2 lg x − lg 2 x ; lg 2 x + 3 lg x + 2 = 0 ; lg x = t ; t 2 + 3t + 2 = 0 ; 1 1 t1=–1; lgx=–1; lg x = lg 10 −1 ; x1 = ; t2=–2; lgx=–2; lg x = lg 10 −2 ; x 2 = ; 100 10 1 2 + = 1 ; 1 + lg x + 10 − 2 lg x = (5 − lg x )(1 + lg x ) ; 4) 5 − lg x 1 + lg x 11–lgx=5+4lgx–lg2x; lg2x–5lgx+6=0; t=lgx; t2–5t+6=0; t1=3; lgx=lg103; x1=1000; t2=2; lgx=lg102; x=102; x2=100. 346. 1) 23x+1=2–3 и 3x+1=–3 — равносильны, т.к. корни первого уравнения являются корнями второго, и наоборот. 2) log3(x–1)=2 и x–1=9 — равносильны, т.к. корни первого уравнения являются корнями второго, и наоборот. lg x − lg y = 7 2 lg x = 12 ;  347. 1)  lg x + lg y = 5

lg x + lg y = 5 



log 2 2 + log 2 1 = log 2 24 y y 

 xy = 2

x = 2  y ;  1  =8  y y

lg y = lg10

 y = 10

x = 2

x= log x + log  y 2 =4;  2)  2 2 y  1



x = 10  ; lg x = lg 10 ;  . 1 −1 6 + lg y = 5

lg x = 6 ; 

 ; 

log 2 2 = log 2 16 y y 

;

x = 2 x = 2 x = 8  y ;  y ;   1.    y = 1  y = 1  y = 4  2  4

348. 1) log 2 x − 2 log x 2 = −1 ; log 2 x − 2 log 2 2 = −1 ; log 2 x

log22x+log2x–2=0; log2x=t; t2+t–2=0; t=1; log2x=t; log2x=log22; x1=2; t2=–2; log 2 x = log 2 2 −2 ; x 2 =

1 ; 4

2 2) log2 x + logx 2 = 2,5 ; log 2 x + log 2 − 2,5 = 0 ; log22 x − 2,5 ⋅ log2 x + 1 = 0 ;

log 2 x

t = log2 x ; t 2 − 2,5⋅ t +1 = 0 ; t1=2; log2 x = log2 22 ; x1=4; t2 = 1 ; log2 x = log2 22 ; x2 = 2 2

3 3) log3 x + 2 logx = 3 ; log 3 x + 2 log 3 − 3 = 0 ; log 2 3 x − 3 log 3 x + 2 = 0 ; log 3 x

102

www.5balls.ru

t=log3x; t2–3t+2=0; t1=1; log3x=log33; x1=3; t2=2; log3x=log332; x 2 = 9 3

4) log 3 x − 6 log x 3 = 1 ; log 3 x − 6 log 3 − 1 = 0 ; log 2 3 x − log 3 x − 6 = 0 ; log 3 x

t = log3 x ; t − t − 6 = 0 ; t=3; log3 x = log3 33 ; x=27; t=–2; log 3 x = log 3 3 −2 ; x = 1 . 2

349. 1) log x 2 9 + log 2

1 4 = 2 ; log x 9 + 2log x 4 = 2log x x ; 2

logx3+logx4 =logxx ; logx48=logxx2; x2=48; x=–4 3 — постоянный корень, значит, x = 4 3 ; 1 log x 16 − 2 log x 7 = 2 log x x ; 2 4 4 2 — посторонlogx 4 − logx 7 2 = logx x 2 ; log x = log x x 2 ; = x2 ; x = − 49 49 7 ний корень, значит, x = 2 . 7

2) log x 2 16 − log

7=2;

x x x x 350. 1) lg(6⋅5x–25⋅20x)–lg25=x; lg 6 ⋅ 5 − 25 ⋅ 20 = lg10x ; 6 ⋅ 5 − 25 ⋅ 20 = 10 x ;

25⋅10x+25⋅20x–6⋅5x=0; 25⋅4x+25⋅2x–6=0; 2x=t; 25t2+25t–6=0; t=–1,2 — посторонний корень; t=0,2; 2x=0,2; x=log20,2; 2) lg(2x+x+4)=–xlg5; lg(2x+x+4)=lg10x–lg5x; lg(2x+x+4)=lg2x; 2x+x+4=2x; x+4=0; x=–4. 351. 1) lg2(x+1)=lg(x+1)lg(x–1)+2lg2(x+1); 2

 lg (x + 1)   lg (x + 1)  2 lg (x + 1) lg(x + 1)   −   − 2 = 0 ; = t ; t –t–2=0; t=–1; = −1 ; lg(x − 1) lg (x − 1)  lg (x − 1)   lg (x − 1)  1 ; (x+1)= 1 ; x2–1=1; x2=2; x=– 2 — постоянный коlg(x + 1) = lg x −1 (x − 1)

рень; x1 = 2 ; t 2 = 2 ; lg(x + 1) = 2 ; lg(x − 1)

lg(x+1)=lg(x–1)2; x+1=x2–2x+1; x(x–3)=0; x=0 — посторонный корень; x2=3. 2) 2log5(4–x)⋅log2x(4–x)=3log5(4–x)–log52x; 2log5 ( 4 − x ) ⋅

log5 (4 − x) = 3log 5 ( 4 − x ) − log 5 2x ; log5 2x 2

 log 5 (4 − x)  log5 ( 4 − x ) log 5 (4 − x ) 2 = t ; 2 t − 3t + 1 = 0 ; t1=1; +1 = 0 ; 2  −3 log 5 2x log5 2x  log5 2x 

1 log 5 (4 − x ) = 1 ; log 5 (4 − x ) = log 5 2 x ; 4 − x = 2 x ; 4 = 3x ; x1 = 1 ; 3 log 5 2x 1 log 5 (4 − x ) 1 ; = ; log 5 (4 − x ) = log 5 2 x ; 4 − x = 2 x ; 2 log 5 2 x 2 x2–8x+16=2x; x2–10x+16=0; x=8 — посторонний корень; x2=2. t2 =

103

www.5balls.ru

352. 1)

log x 25 + 3 =

1 ; log 5 x

log x 25 + 3 =

log 5 5 ; log 5 x

log x 25 + 3 = log x 5 ;

log2x5–2logx5–3=0; logx5=t; t2–2t–3=0; t1=–1; 1 1 1 1 log x 5 = log x ; x1 = ; t 2 = 3 ; log x = log x x 3 ; x = 3 5 , но x = — x 5 5 5 посторонний корень, значит, x 2 = 3 5 2)

2log 2 2 x + 3log 2 x − 5 = log 2 2x ;

2 log 2 2 x + 3 log 2 x − 5 = 1 + log 2 x ;

2 log 2 2 x + 3 log 2 x − 5 = 1 + 2 log 2 x + log 2 2 x ; log 2 2 x + log 2 x − 6 = 0 ; log2x=t; t2+t–6=0; t1 = −3 ; log2x=–3 — посторонний корень; t2=2; log2x=log222; x=4. 353. 5 log 5 x + log a x − 4 log 25 x = a ; 5 log 5 x + log 5 x − 2 log 5 x = a ; log 5 a a log a 5

− 3log a+1 a ⋅ log5 x 1 ⋅ log5 5 ; x = 5 5 ; a > 0 ; a ≠ 1 ; a ≠ 5 3 . log5 x ⋅ (3 + ) = a ; log5 x = 3 log5 a + 1 log5 a

354. 1) y = lg(3x − 2) — область определения 3x − 2 > 0 ; x > 2 ;

3 2 2) y = log 2 (7 − 5x ) — область определения 7 − 5x > 0 ; x < 1 ; 5

3) y = log 1 (x 2 − 2) — область определения x2 – 2 > 0; x < − 2 и x > 2

4) y=log7(4–x ) — область определения 4–x >0; –2<x<2. 355. 1) log3(x+2)<3; log3(x+2)<log333; т.к. 3>1, то x2+2<27; x2<25; –5<x<25, значит, –2<x<5; 2) log8(4–2x)≥2; log8(4–2x)≥log882; т.к. 8>1, то 4–2x≥64; 2x≤–60; x≤–30; 1 3) log 3 (x + 1) < −2 ; log 3 (x + 1) < log 3 3 −2 ; т. к. 3 > 1 , то x + 1 < ; 9 8 8 x < − , значит, − 1 < x < − ; 9 9 −2 1 4) log 1 ( x − 1) ≥ −2 ; log 1 ( x − 1) ≥ log 1  1  , т. к. < 1 , то x–1≤9; x≤10, 3 3 3 3  3 значит, 1<x≤10; −1

 1 5) log1 ( 4 − 3x ) ≥ −1 ; log1 ( 4 − 3x) ≥ log1   , т. к. 1 < 1 , то 4 − 3x ≤ 5 ; x ≥ − 1 ; 3 5 5 5  5 5 −2

2 6) log 2 (2–5x)<–2; log 2 (2–5x)< log 2   ; т. к. 2 < 1 ; то 2–5x> 9 ; x<–0,05. 3 4 3 3 33 356. 1) lg x > lg 8 + 1 ; lg x > lg 8 + lg10 ; lg x > 80 ; т. к. 10 > 1 , то x > 80 ; 2) lg > 2 − lg 4 ; lg x > lg10 2 − lg 4 ; lg x > lg 100 ; т. к. 10 > 1 , то x > 25 ; 4

104

www.5balls.ru

3) log2(x–4)<1; log2(x–4)<log22; т. к. 2>1, то x–4<2; x<6, значит, 4<x<6; 4) log1 (3x − 5) > log1 ( x +1) , т. к. 1 <1, то 3x–5x+1; x< 3 , значит, 12 < x < 3 ; 5

357. 1) log15(x–3)+log15(x–5)<1; log15 (x − 3)(x − 5) < log15 15 , т.к. 15>1; x2–8x+15<15; x(x–8)<0; 0<x<8, значит, 5<x<8; −2

1 2) log 1 ( x − 2 ) + log 1 (12 − x ) ≥ −2 ; log 1 ( x − 2 )(12 − x ) ≥ log 1   , т.к. 3 3 3 3 3 1 < 1 , то 14x–x2–24≤93; x2–14x+33≥0; x≤3 и x≥11, значит, 2<x≤3, и 11≤x<12. 3 358. 1) y = log5(x2 − 4x + 3) — область определения x2–4x+3>0; x<1, x>3; 2) y = log 6 3x + 2 — область определения 3x + 2 > 0 ; − 2 < x < 1 ; 1− x

1− x

x > 0 3) y = lg x + lg(x + 2) — область определения  x + 2 > 0 ; lg x(x + 2) ≥ 0 

x > 0  ; x≥ x > −2  2 x + 2 x − 1 ≥ 0

2 −1 ; x − 1 > 0

4) y = lg(x − 1) + lg(x + 1) — область определения x + 1 > 0

;

 2 lg(x − 1) ≥ 0

x > 1 ;  2 x − 1 ≥ 1

x > 1 ; x≥ 2.  2 x ≥ 2 359. 1) log 5 3x − 2 > 0 ; log 5 3x − 2 > log 5 1 ; т. к. 5 > 1 , то 3x − 2 > 1 ; x2 +1 x2 +1 x2 +1 2 2 x − 3x + 3 > 0 ; x> ;  3 3x − 2 > 0

2) log 1 2

2 2x 2 + 3 2x 2 + 3 1 < 0 ; log 1 < log 1 1 ; т. к. < 1 , то 2 x + 3 > 1 ; 2 x−7 x−7 x−7 2 2

2 x 2 − x + 10 > 0 ; x >7;  x − 7 > 0

3x − 4 < 2 x + 1 3) lg(3x − 4) < lg(2x + 1) , т. к. 10>1, то 2 x + 1 > 0 ; 3x − 4 > 0 

 x < 5 1  1 ; 1 < x < 5; x > − 2 3  x > 1 1  3

105

www.5balls.ru

2 x + 3 < x + 1 4) log 1 ( 2x + 3) > log 1 ( x + 1) , т. к. 1 < 1 , то 2x + 3 > 0 ; 2 2 2 x + 1 > 0  нет действительных решений 360. 1) log8(x2–4x+3)<1; log8(x2–4x+3)<log88, т. к. 8>1, то x 2 − 4x + 3 < 8 x 2 − 4x − 5 < 0 ;  ; −1 < x < 1 , и 3 < x < 5 ;  2 x − 4x + 3 > 0 x 2 − 4x + 3 > 0 2) log 6 (x 2 − 3x + 2) ≥ 1 ; log 6 (x 2 − 3x + 2) ≥ log 6 6 , т. к. 6>1, то x 2 − 3x + 2 ≥ 6 ;  2 x − 3x + 2 > 0

x < −2  x > −1,5 —  x > −1 

x 2 − 3x − 4 ≥ 0 ; x ≤ −1 , и x ≥ 4 ;  2 x − 3x + 2 > 0

3) log3 (x 2 + 2x) > 1 ; log3 (x 2 + 2x) > log3 3 , т. к. 3 > 1 ,  2 то x + 2x > 3 ; 2

x 2 + 2x > 0

x +2x–3>0; x<–3, и x>1.

(

)

−1

)

2 2 4) log 2 x 2 − 2,5x < −1 ; log 2 x 2 − 2,5x < log 2   , т. к. < 1 , то 3 3 3 33 x2–2,5x>1,5; x2–2,5x–1,5>0; x<–0,5, и x>3. 361. 1) lg(x2–8x+13)>0; lg(x2–8x+13)>lg1, т. к. 10>1, то x2–8x+13>1; x2–8x+12>0; x<2, и x>6; 1 2) log 1 (x 2 − 5x + 7) < 0 ; log 1 (x 2 − 5x + 7) < log 1 1 ; т. к. < 1 , то 5 5 5 5 x2–5x+7>1; x2–5x+6>0; x<2, и x>3; 3) log2(x2+2x)<3; log2(x2+2x)<log223, т. к. 2>1, то 2 x + 2 x < 8  x 2 + 2x − 8 < 0 ;  ; −4 < x < −2 , и 0 < x < 2 ;  2 x + 2 x > 0  x(x + 2) > 0 −3

1 1 4) log 1 (x 2 − 5x − 6) ≥ −3 ; log 1 (x 2 − 5x − 6) ≥ log 1   , т. к. < 1 , то 2 2 2 2 2 x 2 − 5x − 6 ≤ 8 ;  2 x − 5x − 6 > 0

x 2 − 5x − 14 ≤ 0 ; −2 ≤ x < −1 , и 6 < x ≤ 7 .  2  x − 5x − 6 > 0

362. 1) log 1 log 2 x 2 > 0 ; log 1 log 2 x 2 > log 1 1 , т. к. 3

x 2 < 2 ; − 2 < x < −1 ; и 1 < x < 2  2 x > 1

106

www.5balls.ru

1 < 1 , то 3

log 2 x 2 < 1 ;  log 2 x 2 > 0

2) log 3 log 1 (x 2 − 1) < 1 ; log3 log 1 (x 2 − 1) < log33 , т. к. 3 > 1 , то 2

log 1 (x 2 − 1) < 3  2 ; т. к. 1 < 1 , то  2 2 log 1 (x − 1) > 0  2

x 2 − 1 > 0   2 1 x − 1 > 2  x 2 − 1 < 1 

(); 3

− 2<x<−

3 2 2

<x< 2. 2 2 363. log 0,2 x − log5 (x − 2) < log 0,2 3 ; log 0,2 x + log 0,2 (x − 2) < log 0,2 3 , т.к.

x 2 − 2 x > 3 x 2 − 2 x − 3 > 0  ;  ; 1) 0,2<1, то log 0,2 x(x − 2) < log 0,2 3 ; x > 0 x > 2 x − 2 > 0  x >3; 2) lg x − log 0,1 (x − 1) > log 0,1 0,5 ; lg x + log 0,1 (x − 1) > log 0,5 ;

x 2 − x > 2  lg x(x − 1) > lg 2 , т. к. 10 > 1 , то x > 0 ; x − 1 > 0 

x 2 − x − 2 > 0 ; x > 2.  x > 1

364. 1) log02, 2 x − 5 log0, 2 x < −6 ; log0,2 x = a; a2 – 5a + 6 < 0; 2 < a < 3; log0,2 0,04 < log0,2 x < log0,2 0,008; 2 < log0,2 x < 3; x > 0 .  0,04 > x > 0,008 Итак, 0,008 < x < 0,04. 2) log02,1 x + 3 log0,1 x > 4 ; log0,1 x = a; a2 + 3a – 4 > 0; a < –4 или a > 1; log0,1 x < –4 или log0,1 x > 1; или log0,1 x > log0,1 0,1 log0,1 x < log0,1 10000 x > 0 x > 0 ; 0 < x < 0,1. ; x > 10000 или   x < 0,1 x > 10000 Ответ: 0 < x < 0,1 и x > 10000. 1 2 365. 1) + < 1; 5 − log x 1 + lg x lgx = a;

1 + a + 2(5 − a ) − (5 − a )(1 + a ) < 0; (5 − a )(1 + a )

a 2 − 5a + 6 < 0; (5 − a )(1 + a )

107

www.5balls.ru

a 2 − 5a + 6 < 0 ;  (5 − a)(1 + a) > 0

2 < a < 3 ,  −1 < a < 5

т.е. 2 < a < 3 или

a 2 − 5a + 6 > 0 a < 2, a > 3 , т.е. a < – 1, a > 5; ;   (5 − a)(1 + a) < 0 a < −1, a > 5 lgx < – 1, 2 < lgx < 3, lgx > 5 x > 0 .  x < 0,1, 100 < x < 1000, x > 100000

Итак, 0 < x < 0,1, 100 < x < 1000, x > 100000. Ответ: 0 < x < 0,1, 100 < x < 1000, x > 100000. log3 (8 – 4 ⋅ 3 – x) < log3 3x + 1; 2) log3 (2 – 3 – x) < x + 1 – log3 4; 8 − 4 ⋅ 3− x > 0 3− x < 2 ; ;  8 − 4 ⋅ 3− x < 3x ⋅ 3 8 ⋅ 3x − 4 < 3 ⋅ 3x ⋅ 3x log 2 −x 3 < 3 3 ;  x 2 x 3(3 ) − 8 ⋅ 3 + 4 > 0

 x > − log3 2  ;  x 2 x 3 < , 3 >2 3 

 x > − log 2 = log 1 3 3  2 ;  2  x < log3 , x > log3 2 3 

1 2 < x < log 3 , x>log32. 2 3 1 2 Ответ: log 3 < x < log 3 , x>log32. 2 3 3) log x 2 −3 (4x + 7) > 0; log x 2 −3 (4 x + 7) > log x 2 −3 1 ; Итак, log 3

x > − 7 4 4x + 7 > 0    3 4x 7 1 ; x ; + > > −   2  2  x − 3 > 1 x 2 > 4 

−

7 <x<– 4

x > − 7  4  x < − 3 ;  2 −2 < x < 2  − 3 > x , x > 3 

Ответ: − 7 < x < – 4

4x + 7 > 0 4x + 7 < 1 x > 2 или  ;  2 x − 3 < 1 x 2 − 3 > 0 

3 , x > 2.

4) log x −1 ( 6 − 2x) < 0; log x −1 ( 6 − 2x) < log x −1 1 5x −6

 6  x < 2 − > 6 2x 0     6 −1  6 − 2x < 1 ;  x > 2 ;  x −1  >1   −4x + 5 > 0  5x − 6  5x −6 

5x −6

 6 −1 6 <x<  2 2 ;  6 < x < 5  5 4

108

www.5balls.ru

5x −6

6 6 <x< 5 2

или

  6 − 2x > 1  x −1  5x −6 > 0 ;   x −1 < 1  5x −6

 6 −1 x < 2  6   x < 1, x > 5 ;   −4x +5 < 0  5x −6

Ответ: x < 6 − 1 , 6 < x < 2

 6 −1 x < 2  6   x < 1, x > 5 ;  x > 6 , x > 5  5 4

6 −1 . 2

6 . 2

109

www.5balls.ru

366.

3x − 1

≤

7 9x − 2

2 2(a − 2) ≤ 7(a − 1) ;  2 (a − 1)(a − 2) > 0

итак,

; 3х = а;

2 2a − 7a + 3 ≤ 0 ;  2 (a − 1)(a − 2) > 0

1 ≤ a < 1, и 2

2 2(a − 2) ≥ 7(a − 1) ;  2 (a − 1)(a − 2) < 0

2 7 ; ≤ a −1 a2 − 2 1 2 ≤ a ≤ 3 ;  − 2 < a < 1, a > 2

2 < a ≤ 3 или 2 2a − 7a + 3 ≥ 0 ;  2 (a − 1)(a − 2) < 0

1 3х < 1; ≤ 2

1  a ≤ 2 , a ≥ 3 ;  a < − 2, 1 < a < 2

2 < 3x ≤ 3;

– log32 ≤ x < 0;

log3 2 < x ≤ 1.

3x < –

a<− 2

В третьем случае решений нет.

Ответ: – log32 ≤ x < 0, log3 2 < x ≤ 1. 367. 4х ( 161− х − 1 + 2) < 4 |4x – 1|; 4x ⋅ 161− х − 1 < 4 |4x – 1| - 2 ⋅ 4x. Левая часть неравенства всегда неотрицательна, поэтому неравенство возможно только при 1− x 16 − 1 ≥ 0 ;  x x 4 | 4 − 1| −2 ⋅ 4 > 0

161− x ≥ 1 ;  x x 2 | 4 − 1|> 4

x ≤ 1

x 4 < 1

 x < 0

1 − x ≥ 0  x 4 > 2 ;  x 4 ≥ 1

x ≤ 1 1  x > 2 ,   x ≥ 0

т.е.

1 <x≤1 2

 1 или 3 ⋅ 4x < 2;  x < log 4 2 ; т.е. x < 0, итак, х<0 и < x ≤ 1. 2 3  

а) Пусть x < 0, перепишем неравенство, раскрыв модуль 4х 161− х − 1 < 4 (1 – 4x) – 2 ⋅ 4x; 16x (161 – x – 1) < 16 – 48 ⋅ 4x + 36 ⋅ 16x; 37a2 – 48a > 0; x < 0   x 48 ;  4 > 37

б)

4х 161− х − 1 < 4 – 6 ⋅ 4x; 4x = a; 48 a < 0 — решений нет или a > , т.е. 37 решений нет.

1 < x ≤ 1, перепишем неравенство, раскрыв модуль 2

4х 161− х − 1 < 4 (4x – 1) – 2 ⋅ 4x; 4х 16х (161 – х – 1) < 4 ⋅ 16x + 16; 5a2 – 16a > 0;

161− х − 1 < 2 ⋅ 4x – 4; 4x = a; 16 a < 0 — решений нет или a > , т.е. 5

108

www.5balls.ru

1 < x ≤ 1 1 2  < x ≤1 ; 2 ; итак, 1 ≥ х > 2 – log45.   4x > 16  x > 2 − log 4 5 5  Ответ: 2 – log45 < x ≤ 1. 368. 1) log15225 = log15152 = 2; 2) log4256 = log444 = 4;

3) log3 1 = log33 – 5 = – 5;

4) log7 1

243

343

= log77 – 3 = – 3.

−3

−4

1 1 369. 1) log 1 64 = log 1   = −3; 2) log 1 81 = log 1   = −4; 3 3 3 4 44 3

1 1 = log 1   = 3; 3 27 3  3 370. 1) log11 1 = log11 (11)° = 0;

1 1 = log 1   = 6 . 2 64 22 2) log7 7 = log7 71 = 1;

3) log 1

4) log 1

3) log16 64 = log 24 26 = 6 log2 2 = 6 ; 4

371. 1) (0,1) − lg 0,3 = (0,1) 3) 5− log5 3 = 5

log

1 53

4) log27 9 = log33 32 = 2 log3 3 = 2 .

log 0 ,1 0,3

2) 10− lg 4 = 10

= 0,3 ;

1 ; 3

1 4)   6

− log 4 6

1 lg 4

1 =  6

log

1 6

1 ; 4 4

=4.

2 372. 1) 4log1 3 − log1 27 − 2log1 6 = 4log1 3 − 2log1 3 − 2log1 3 − 2log1 2 = 2log2 2 = 2 ; 3 2 2 2 2 2 2 2

2) 2 lg 0,001 + lg 3 1000 − 3 lg 10000 = − 2 lg103 + lg10 − 3 lg100 = = – 2 + 1 –

3 6 – = – 11 = – 2,2. 5 5

373. Вычислить с помощью микрокалькулятора. 2) y = log 1 x 374. 1) у = log4 x; 4

у х х

Функция у = log4x является возрастающей, а y = log 1 x — убывающая. 4

Функция у = log4x принимает положительные значения при x > 1, а y = = log 1 x принимает положительные значения при x < 1. 4

Функция у = log4x принимает отрицательные значения при x < 1, а y = = log 1 x принимает отрицательные значения при x > 1. 4

Обе функции принимают значения, равные нулю, в точке х = 1.

109

www.5balls.ru

375. 1) у = log0,2 x — убывающая, т.к. 0,2 < 1; 2) y = log

x — возрастающая, т.к.

3) у = log 1 x — убывающая, т.к. е

4) у = log

3 2

x — убывающая, т.к.

1 е

5 > 1;

< 1; 3 2

376. 1) log3 x = 5 – x;

< 1. 2) log 1 x = 3x. 3

1) Построим графики функций у1 = log3 x и у2 = 5 – х. Видим, что они пересекаются в точке х1 ≈ 3,8. Это и есть решение уравнения.

2) Построим графики функций у1 = log 1 х и у2 = 3х. Видим, что они 3

пересекаются в точке х1 =

1 . Это и 3

есть решение исходного уравнения. у

377. 1) y = log7 (5 – 2x); 5 – 2x > 0; x < 2,5. Ответ: x < 2,5. 2) y = log2 (x2 – 2x); x2 – 2x > 0; x < 0 и x > 2. Ответ: x < 0, x > 2. 7 − 8х = 4 378. 1) log 1 (7 – 8х) = – 2;  ;х= 3. 2

7 − 8х > 0

х 2 − 2 = х  2 2) lg (x – 2) = lgx; х 2 − 2 > 0 ; x > 0 

Ответ: х = 3 . 8

x = −1, x = 2  x < − 2 , x > 2 ; х = 2. Ответ: х = 2. x > 0 

х 2 − 2x > 0 379. 1) lg (x2 – 2x) = lg30 – 1; lg (x2 – 2x) = lg3;  ;  x 2 − 2 x = 3

Ответ: х1 = 3, х2 = – 1. х1 = 3, х2 = – 1. 2) log3 (2x2 + x) = log3 6 – log3 2; log3 (2x2 + x) = log3 3; 2 х 2 + x = 3 3 Ответ: х1 = 1, х2 = – 1,5. ; х1 = 1, х2 = – .  2 2 2 x + x > 0

3) lg2 x – 3lgx = 4; lgx = a; a2 – 3a – 4 = 0; a = – 1, a = 4; Ответ: x1 = 0,1, x2 = 10000. lgx = – 1, lgx = 4; x1 = 0,1, x2 = 10000.

110

www.5balls.ru

4) log22 x − 5 log2 x + 6 = 0; log2 x = a; a 2 − 5a + 6 = 0; а = 2, а = 3; Ответ: x1 = 4, x2 = 8. log2 x = 2, log2 x = 3; x1 = 4, x2 = 8. 380. 1) log2 (x – 2) + log2 (x – 3) = 1; log 2 ( x − 2)( x − 3) = log 2 2 x 2 − 5x + 6 = 2 x = 1, x = 4 ; ;  ;   x > 3 x > 3 x − 2 > 0, x − 3 > 0 х = 4. Ответ: х = 4. 2) log3 (5 – x) + log3 ( – 1 – x) = 3; log3 ( х − 5)( х + 1) = log3 27 x 2 − 4 x − 32 = 0 x = 8, x = −4 ;  ;   x < −1  x < −1 5 − х > 0, − 1 − х > 0 х = – 4. Ответ: х = – 4. 3) lg (x – 2) + lg x = lg 3; lg ((x – 2) ⋅ x) = lg 3; x = 3, x = −1 x 2 − 2 x − 3 = 0 ; ;   x − 2 > 0, x > 0 x > 2 x = 3. Ответ: х = 3. 4) log 6 (х – 1) + log 6 (х + 4) = log 6 6; log 6 ( х − 1)( х + 4) = log  x − 1 > 0, x + 4 > 0

6 x 2 + 3x − 10 = 0 x = −5, x = 2 ;  ;  x > 1 x > 1 Ответ: х = 2. log 2 ( x − 5) ≤ log 2 4;

х = 2. 381. 1) log 2 ( x − 5) ≤ 2; x − 5 ≤ 4  x ≤ 9 ; 5 < x ≤ 9. ;   x − 5 > 0  x > 5 2) log3 (7 – x) > 1; log3 (7 – x) > log3 3; 7 − x > 3 x < 4 ; x < 4. ;   7 − x > 0 x < 7

Ответ: 5 < x ≤ 9.

Ответ: х < 4.

3) log 1 (2 x + 1) > −2; log 1 (2 x + 1) > log 1 4; 2

x 3 1 3 2x + 1 < 4  < 2 1 3 Ответ: − < x < . ; ; − <x< .   1 2 2 2x 1 0 + > 2 2  x > − 2  4) log 1 (3 − 5x) < −3; log 1 (3 − 5x) < log 1 8; 2

x < −1 3 − 5x > 8  ;   3 ; х < – 1. 3 − 5x > 0  x < 5

Ответ: х < – 1.

111

www.5balls.ru

x > 6  5  5 6 5 x < ; <x< .  4 5 4  x > 1  6 5 Ответ: < x < . 5 4 x ≤ −4  2x + 5 ≤ x + 1    5 2x + 5 > 0 ;  x > − 2 ; x + 1 > 0    x > −1

5 − 4x < x − 1 382. 1) log3 (5 – 4x) < log3 (x – 1); 5 − 4x > 0 ; x − 1 > 0 

2) log0,3 (2x + 5) ≥ log0,3 (x + 1);

решений нет. Ответ: решений нет. x 2 + 2x + 2 < 10 x 2 + 2x − 8 < 0 383. 1) lg (x2 + 2x + 2) < 1;  ;  ; −4< x < 2 x 2 + 2x + 2 > 0 x ∈ R Ответ: −4 < x < 2 . 2  x + 7 x − 5 > 3 ; x2 + 7x – 8 > 0; 2) log3 (x2 + 7x – 5) > 1;  x 2 + 7 x − 5 > 0 x < – 8 и x > 1. Ответ: х < – 8 и x > 1. 4 − 1 8 8 8 384. 1) log 3 3 = log 31 3 3 = − log3 3 = − . Ответ: − . 3 3 3 2 3 3 2) log

1 5

25 5

3) 22− log 2 5 = 4) 3,6

−

9 4

2log 2 5

log3, 6 10+1

5) 2 log5

= log 1 5 =

9 9 = − log5 5 = − . 2 2

Ответ: −

4 . 5

Ответ:

= 3,6 ⋅ 10 = 36 .

9 . 2

4 . 5

Ответ: 36.

1 5 + 3 log 2 8 = 2 ⋅ + 3 ⋅ 3 = 10 . 2

Ответ: 10.

Ответ: 2. 6) log2 log2 log2 216 = log2 log216 = log2 4 = 2. 1 1 1 385. 1) log 1 и log 1 ; log 1 = log2 3 > log2 2 = 1, 2 3 3 2 2 3 1 1 1 log 1 = log3 2 < log3 3 = 1. Значит, log 1 > log 1 . 3 2 2 3 3 2 2 log 2 5+ log 1 9

2) 2

2 log 2 5+ log 1 9

Значит, 2

112

www.5balls.ru

= 22 log 2 25−1 =

25 > 8. 2

386. log30 64=

lg 26 6 lg 2 6(lg10 − lg 5) 6 − 6 lg 5 1,806 = = = ≈ ≈ 1,223 . lg(3 ⋅10) lg 3 + 1 lg 3 + 1 1 + lg 3 1,4771

Ответ: ≈ 1,223 . 387. l og36 15 =

lg 5 + lg 3 lg 5 + lg 3 1,1761 ≈ ≈ 0,756 . = 2 lg 3 + 2 lg 2 2 lg 3 + 2 − 2 lg 5 1,5562

Ответ: ≈ 0,756 . 388. 1) logx 8 < logx 10; т.к. 8 < 10 и logx 8 < logx 10, то функция возрастает, значит, x > 1. 2) log x 3 < log x 1 ; т.к. 3 > 1 и log x 3 < log x 1 , то функция убывает, зна4

чит, 0 < x < 1. 389. 1) Построим графики функ- 2) Построим графики функций у1 = х ций y1=log3 x и y2= 3 . Видим, что = 2 и у2 = log 1 х. Видим, что они пех

они пересекаются в точке х1=3. Зна- ресекаются в точке х1 ≈ 0,4. Значит, х ≈ 0,4 есть решение уравнения. чит х = 3 — решение уравнения. у

y1 = log3 x х

390. 1) 34х = 10; 4х = log3 10; x = 1 log3 10. Ответ: x = 1 log3 10. 4

2) 23х = 3; 3х = log2 3; x = 1 log2 3.

Ответ: x = 1 log2 3.

3х – 2

3) 1,3

= 3; 3х – 2 = log1,3 3; x = 1 (log1,3 3 + 2). 3 Ответ: x = 1 (log1,3 3 + 2). 3

4)  1 

5+ 4 х

 3

= 1,5; 5 + 4х = log 1 1,5; х = 1 ( log 1 1,5 – 5). 3

Ответ: х = 1 ( log 1 1,5 – 5). 5) 16х – 4х + 1 – 14 = 0; 4х = а; а2 – 4а – 14 = 0;

а1 = 4 + 6 2 , а2 = 4 − 6 2 ; 4х = (2 + 3 2 ); х = log4 (2 + 3 2 ) 2

4−6 2 < 0; решений нет. Ответ: х = log4(2 + 3 2 ). 2 6) 25х + 2 ⋅ 5х – 15 = 0; 5х = а; а2 + 2а – 15 = 0; а1 = 3, а2 = – 5; или 4х =

113

www.5balls.ru

5х = 3; х = log5 3 или 5x = – 5 < 0 — решений нет. Ответ: х = log5 3. 1 1 11 11 391. 1) log3 x + log9 x + log27 x = ; log3 x + log3 x + log3 x = ; 12 2 3 12 11 1 11 log3 x = ; log3 x = ; x = 3 . 6 12 2 Ответ: x = 3 . 2) log3 x + log 3 х + log 1 х = 6; log3 x + 2log3 x – log3 x = 6; 3

log3 x = 3; х = 27.

Ответ: х = 27. log3 x = 4 log3 2; 3) log3 x ⋅ log2 x = 4 log3 2; log3 x ⋅ log3 2 log32 x = 4 log32 2 ; log3 x = 2 log3 2 или log3 x = – 2 log3 2; х1 = 4 или х2 =

1 . 4

Ответ: х1 = 4; х2 =

1 . 4

4) log3 x ⋅ log3 x = 9 log5 3; log5 х ⋅ log5 x = 9 log5 3; log5 3

log52 x = 9 log52 3 ; log5 x = 3log5 3 или log5 x = – 3 log5 3; 1 . 27 2 392. 1) log3 (2 – x ) – log3 ( – x) = 0;  x < 0 − x > 0   2 ; − 2 < x < 2 ; 2 − x > 0   2 2 log3 x − 2 = log3 1  x − 2 = x  x х1 = 27 или х2 =

Ответ: х1 = 27; х2 =

1 . 27

x < 0  − 2 < x < 2, x = −1 .   x = 2, x = −1

Ответ: х = – 1. 2) log5 (x2 – 12) – log5 ( – x) = 0;  2  x < − 2 3, х > 2 3  x < − 2 3, x > 2 3  x − 12 > 0    ; x < 0 ;  x < 0, ; − x > 0    2 2  x = − 4, x = 3  log 5 12 − х = log 5 1 12 − x = x x  х = – 4. Ответ: х = – 4. 3) log 2 x − 3 + log 2 3x − 7 = 2 ; x − 3 > 0  ; 3x − 7 > 0  log (x − 3)(3x − 7) = log 4 2  2

x > 3  7 ; x > 3  (x − 3)(3x − 7) = 16

114

www.5balls.ru

x > 3  7  ; x > 3  2 3x − 16x + 5 = 0

x > 3  1;   x = 5, x = 3

х = 5.

Ответ: х = 5.

4) lg (x + 6) – lg 2 x − 3 = lg4; x + 6 > 0  ; 2x − 3 > 0  (х + 6) = 4 2х − 3

x > 3  2 ;   х 2 + 12х + 36 = 32х − 48

x > 3  ; x1 = 14, х2 = 6. 2   x = 14 , х = 6

393. 1) log

x > 3  2 ;   x 2 − 20x + 84 = 0

Ответ: x1 = 14, х2 = 6.

1 x + 4 log 4 x + log8 x = 13; 2 log 2 x + 2 log 2 x + log 2 x = 13 ; 3

log 2 x = 3; х = 8.

Ответ: х = 8.

1 2) log 0,5 (x + 2) − log 2 (x − 3) = log 1 (−4x − 8); 2 2 − log2 ( x + 2) − log2 ( х − 3) = − log2 (−4x − 8) ; x + 2 > 0 x − 3 > 0  ;  −4x − 8 > 0 (x + 2)(x − 3) = −4x − 8

 x > −2 x > 3  ; решений нет.  x < −2   2  x + 3x + 2 = 0

Ответ: решений нет. 1 1 1 394. 1) log 1 5 + log 1 12 + logx 3 = 1; − logx 5 − logx 12 + logx 3 = logx x ; 2 2 2 x x2 3 = log x x; 12 ⋅ 5

log x

x = 1 1  . ;х= 10  10  x ≠ 1, x > 0

Ответ: х = 0,1.

1 1 1 logx 7 − log 1 9 − logx2 28 = 1; log x 7 + 2log x 3 − log x 28 = log x x; 2 2 2 x

log x

9⋅ 7 = log x x; 28

x = 9  2 ; x = 4,5 .   x > 0, x ≠ 1

 2 >0  x −1 395. 1) log 2 = log x;  x > 0 ; 2 2 x −1  2 =x   x −1

Ответ: х = 4,5.

x > 1  x > 1 ; ;  x > 0  x = 2, x = −1  2 x − x − 2 = 0

х = 2.

Ответ: х = 2.

115

www.5balls.ru

 10 > 0  7− x 2) log 1 10 = log 1 x;  x > 0 ; 2 7−x 2  10 =x   7− x

x < 7  ; x > 0  2  x − 7x + 10 = 0

х1 = 2, х2 = 5.

 x +8 > 0  x −1 3) lg x + 8 = lg x;  x > 0 ; x −1  x +8 =x   x −1

 x < −8, x > 1  ; x > 0  2  x − 2x − 8 = 0

 x −4 > 0  x −2 4) lg x − 4 = lg x;  x > 0 ; x−2  x −4 =x   x −2

 x < 2, x > 4  ; x > 0  2 x 3x 4 0  − + =

Ответ: х1 = 2, х2 = 5. x > 1 ;   x = 4, x = −2

х = 4.

решений нет. 396. 1) log 6 ( x − 4) + log x − 4 > 0  x + 1 > 0 log ( x − 4)( x + 1) ≤ log 6 

Ответ: х = 4.  x < 2, x > 4  ; x > 0  решений нет 

Ответ: решений нет.

( x + 1) ≤ 2; 6

x > 4  ; x > −1 ;  2 6 6 x − 3x − 4 ≤ 6

x > 4 ; 4 < x ≤5.  − 2 ≤ x ≤ 5

2) log 3

( x − 5) + log 3

x < 7  ; x > 0  x = 2, x = 5 

x > 4 ;  2 x − 3x − 10 ≤ 0

Ответ: 4 < x ≤ 5 . ( x + 12) ≤ 2;

x − 5 > 0  x + 12 > 0 log  3 2 ( x − 5)( x + 12) ≤ log3

x > 5  x > 5 ; x > −12 ;  ; − 13 ≤ x ≤ 6  2 18 2 x + 7 x − 78 ≤ 0

5< x ≤ 6. 3) log3 (8x 2 + x ) > 2 + log3 x 2 + log3 x; 8x 2 + x > 0  ; x > 0  2 3 log3 (8x + x ) > log3 9 x

1  x < − 8 , x > 0  ; x > 0  2 x (9 x − 8x − 1) < 0 

x < 0  ; 0 < x < 1.  1 − 9 < x < 1  4) log2 x + log2 ( x − 3) > log2 4;  x > 0 ;  2 9 x − 8x − 1 < 0

116

www.5balls.ru

Ответ: 5 < x ≤ 6 .

x > 0 ;  x (9x 2 − 8x − 1) < 0

Ответ: 0<x<1.

x > 0  ; x − 3 > 0 log x ( x − 3) > log 4 2  2

x > 0  x > 3 ;  ; x > 3 x < −1, x > 4  2 x − 3x − 4 > 0

x > 4. 5) log 1 (x − 10) − log 1 (x + 2) ≥ −1; 5

Ответ: x > 4.

  x − 10 > 0  x > 10  x > 10   ;  x > −2 ;  ; x + 2 > 0   x − 10 ≤ 5x + 10  x ≥ −4 x −10 ≥ log 1 5  log 1 5  5 x+2 x > 10. 6) log 1 (x + 10) + log 1 (x + 4) > −2; 7

Ответ: x > 10.

 x + 10 > 0  x + 4 > 0 log ( x + 10)( x + 4) > log 1   7

x > −4 x > −4 ;  2 ;  ; x + 14 x + 33 < 0 − 11 < x < −3 7 

– 4 < x < – 3. Ответ: – 4 < x < – 3. 397. 1) 4 log4 x – 33 logx 4 ≤ 1; 4log x − 33 − 1 ≤ 0  4 log 24 −log 4 x −33 ≤0 4   log 4 x ;  ; обозначим log 4 x = а; log 4 x   x ≠ 1, x > 0    x ≠ 1, x > 0

4a 2 − a − 33 ≤ 0  ; a > 0  x ≠ 1, x > 0  1< x ≤ 4

1− 265 1+ 265  8 ≤a≤ 8  1+ 265  0 < log 4 x ≤ ;  8 ; a > 0  x ≠ 1, x > 0  x ≠ 1, x > 0   

1+ 265 8

или  1− 265 1+ 265 4a 2 − a − 33 ≥ 0 a ≤ 8 , a ≥ 8  1− 265   log x ≤ ; a < 0 ;  4 8 ; a < 0  x ≠ 1, x > 0  x ≠ 1, x > 0  x ≠ 1, x > 0    1− 265

0<x≤4 8 . 2) logх 3 ≤ 4 (1 + log 1 х);

1− 265 8

Ответ: 0 < x ≤ 4

и 1< x ≤ 4

1+ 265 8

117

www.5balls.ru

 1 ≤ 4 − 4log x 3  log x ;  3  x > 0, x ≠ 1 

 4 log 2 x − 4 log x +1 3 3  ≤0 ; log3 x    x > 0, x ≠ 1

т.к. 4 log32 x − 4 log3 x + 1 ≥ 0 при любых х ∈ R, то log3 x < 0 ; 0 < x <1  x > 0, x ≠ 1

4 log32 x − 4 log3 x + 1 = 0;

или

1 Ответ: 0 < x < 1, x = 3 . , x= 3. 2 398. Пусть а1, а2, … — геометрическая прогрессия из положительных чисел; тогда ai + 1 = ai ⋅ q. Рассмотрим последовательность logba1, log ba2, … В этой последовательности logbai + 1 = logb (ai ⋅ q) = logbai + logbq, т.е это арифметическая прогрессия с разностью d = logbq. 399. Пусть a1, a1q, a1q2 — искомая последовательность, тогда a1 + a1q + a1q2 = 62, lga1 + lga1 + lgq + lga1 + 2lgq = 3lga1 + 3lgq = 3 (lga1q) = 3, lga1q = 1, a1q = 10. log3 x =

a1 (1 + q + q2) = 62; a1q = 10; a1 = 10 ; 10 (1 + q + q2) = 62; q

10 + 10 + 10q = 62; 10 + 10q – 52 = 0; 10q2 – 52q + 10 = 0; q q

q1 = 5 или q2 = 1 ; a1 = 2 или a1 = 50. 5

В обоих случаях искомые числа: 2, 10, 50. 400. 1) 2) у

log x 9

401. 1) x lg 9 + 9lg x = 6; x log x 10 + 9lg x = 6; 9 log x 10 + 9lg x = 6 ; 9lg x = 3; lg x = 2) x

2 3 lg3 x − lg x 3

1 ; x = 10 . 2

Ответ: x = 10 .

2 7 = 100 3 10; lg x(3lg3 x − lg x) = ; lg 2 x = a; 3 3

118

www.5balls.ru

9а2 – 2а – 7 = 0; а1 = 1 или а2 = –

7 ; lg2x = 1, lgx = ± 1, x1 = 10 9

или x2 = 1 или lg2x = – 7 — решений нет. 10

Ответ: х1 = 10, х2 = 1 . 10

402. 1) 3 + 2 logx + 13 = 2 log3 (x + 1); log3 x + 1 = a; 2 1    2a = + 3  2a 2 − 3a − 2 = 0 a = 2, a = − a 2; ;  ;    x ≠ 0  x ≠ 0  x + 1 ≠ 1 log (x + 1) = 2, log (x + 1) = 1  3 3 2;   x ≠ 0

x = 8, x = 3 − 1 ; x1 = 8, x 2 = 3 − 1 .  x ≠ 0

Ответ: х1 = 8, x 2 = 3 − 1 . 2) 1 + 2 logx + 2 5 = log5 (x + 2); log5 (x + 2) = a; 2  a = + 1 a 2 − a − 2 = 0 a = −1, a = 2 log5 (x + 2) = −1, log5 (x + 2) = 2 ; a ;  ;  ;    x ≠ −1 x ≠ −1  x + 2 ≠ 1  x ≠ −1 9 9 x1 = 23; x2 = – . Ответ: x1 = 23; x2 = – . 5 5 403. 1) log2 (2x – 5) – log2 (2x – 2) = 2x;  x 2 − 5 > 0  x > log 2 5 x  x  ;  x 2 − 2 > 0 4 ; 2 = a; x 2 5 (2 2) − = − ⋅  x 2x  log 2 2x −5 = log 2 22 − x 2 −2   x > log 2 5  x > log 2 5   x > log 2 5 ;  ;  8 ;  2 a − 5 = 4 − a a − 9a + 8 = 0 a = 1, a = 8 x > log 2 5 x > log 2 5 ;  ; х = 3.  x 2 = 1, 2 x = 8 x = 0, x = 3 2) log1 – x (3 – x) = log 3 – x (1 – x);  3 − x > 0, 3 − x ≠ 1  ; 1 − x > 0, 1 − x ≠ 1  1 log1− x (3 − x) = log1−x (3− x) 

Ответ: х = 3.

 x < 3, x ≠ 2  x < 1, x ≠ 0  ; ;   x < 1, x ≠ 0 log (3 − x) = ±1 3 − x = 1 − x  1− x

 x < 1, x ≠ 0 ;  3 = 1

нет решений. x < 1, x ≠ 0 x < 1, x ≠ 0  ;  1 ;  3− x = (3 − x)(1 − x) = 1 1−x 

x < 1, x ≠ 0 ;  2 x − 4x + 2 = 0

x = 2− 2 .

x < 1, x ≠ 0 ;  x = 2 + 2, x = 2 − 2

Ответ: x = 2 − 2 .

119

www.5balls.ru

3) log2 (2x + 1) ⋅ log2 (2x + 1 + 2) = 2; log2 (2x + 1) ⋅ (1 + log2 (2x + 1)) = 2; log2 (2x + 1) = a; a2 + a – 2 = 0; a = 1, a = – 2; log2 (2x + 1) = 1 или log2 (2x + 1) = – 2; 2x + 1 = 2 или 2x + 1 = 1 ; 2x = 1, x = 0 4

или 2 = – 3 — решений нет. 4 x

Ответ: х = 0.

4) log 3x + 7 (5x + 3) = 2 – log 5x + 3 (3x + 7), log 3x + 7 (5x + 3) = a;  3x + 7 ≠ 1, 3x + 7 > 0  5x + 3 ≠ 1, 5x + 3 > 0 ;  1 a = 2 − a 

x ≠ − 2 , x > − 3  5 5 ;  log 3x + 7 (5x + 3) = 1

 x ≠ −2, x > − 7  3 2 3   2 3 x ≠ − , x > − 5 5 ; x ≠ − 5 , x > − 5 ;   a = 1 a 2 − 2a + 1 = 0 

x ≠ − 2 , x > − 3 x ≠ − 2 , x > − 3   5 5 ;  5 5.  3x + 7 = 5x + 3  x = 2 Ответ: х = 2.

404. 1) log 1 (2x + 2 − 4x ) ≥ −2 ; 2 x = a ; log 1 (4a − a 2 ) ≥ log 1 9 ; 3

 4a − a 2 > 0 0 < a < 4 ;  2 ;  2  4a − a ≤ 9 a − 4a + 9 ≥ 0

0 < 2x < 4; x < 2. 2) log 1 (6

x +1

0 < a < 4 ; 0 < a < 4;  a ∈ R

Ответ: x < 2. x

− 36 ) ≥ −2 ; 6 = a ; log 1 (6a − a 2 ) ≥ log 1 5 ;

6a − a 2 > 0 a 2 − 6a < 0 0 < a < 6 ;  ;  ; 0 < a ≤ 1, 5 ≤ a < 6 .  2 2 6a − a ≤ 5 a − 6a + 5 ≥ 0 a ≤ 1, a ≥ 5 0 < 6 x ≤ 1, 5 ≤ 6x < 6; x ≤ 0 и log6 5 ≤ x < 1 .

Ответ: x ≤ 0, log6 5 ≤ x < 1 . 405. log2 x ⋅ log2 (x – 3) + 1 = log2 (x2 – 3x); log2 x ⋅ log2 (x – 3) = log2 x + log2 (x – 3) – 1; log2 x (log2 (x – 3) – 1) = log2 (x – 3) – 1; (log2 (x – 3) – 1)( log2 x – 1) = 0; log 2 ( x − 3) = 1 x = 5 ;х=5 ;   − > > x 3 0 , x 0 x > 3 

log x = 1 или  2 ; x > 3

Ответ: х = 5. 1 1 3 406. + < − ; log a x = b; log a x − 1 log a x 2 + 1 2 x > 0 x > 0   3 ;  1 1 3 ;  2b +1+ b −1+ (b −1)(2b +1) + < − 2  b −1 2b +1  <0 2 (b −1)(2b +1) 

120

www.5balls.ru

нет решений.

x > 0  2 3 3 ;  3b + b − 2 2 <0   (b −1)(2b +1)

x > 0  ;  2b2 + b −1  (b −1)(2b +1) < 0 

x > 0  ;  1 1  −1 < log a x < − 2 , 2 < log a x < 1

x > 0  ;  1 1 −1 < b < − 2 , 2 < b < 1

x > 0  1 1 ; a < x < a  a > 1

или

x > 0 x > 0 x > 0  1   1 или  a > x > a .  a < x < a или  a > x > a  a > 1 0 < a < 1   0 < a < 1 1 1 и a >x>a, Ответ: при 0 < a < 1: > x > a a 1 1 и a <x<a. а при a > 1: < x < a a

121

www.5balls.ru

Глава V. Тригонометрические формулы ° 407. 1) 40° = 40 ⋅ π = 2π ; °

180

° 4) 2 = 2 ⋅180 =  360  ;

3) 3π = 3 ⋅ 180 = 135° ;

а)

 π 

° 6) 0,36 ≈ 0,36 ⋅ 180 =  64,8  .

5) 3 = 3 ⋅ 180 =  540  ; 409.

2) π = 180 = 20° ;

180

408. 1) π = 180 = 30° ; 6

6) 140° = 140 ⋅ π = 7π . °

180

5) 32° = 32 ⋅ π = 8π ; °

4) 75° = 75 ⋅ π = 5π ; ° 180

° 3) 150° = 150 ⋅ π = 5π ; °

° 2) 120° = 120 ⋅ π = 2π ; °

равностороннем

треугольнике

 π 

все

три

угла

равны

π = ; 3 180° б) в равнобедренном прямоугольном треугольнике один угол равен

60° =

60 ⋅ π

π , а два других равны 45 ° ⋅ π π ; 45 ° = = 2 4 180 180 ° π ° в) в квадрате все углы равны 90 = ; 2

90 ° =

90 ° ⋅ π °

г) в правильном шестиугольнике все углы равны 120° = 120 ⋅ π = 2π .

3 180° l 0,36м = 0,4м. 410. ℓ = 0,36м, α = 0,9рад. R — ? ℓ = αR, R = = 0,9 α 411. ℓ = 0,03м, R = 0,015м, α — ? ℓ = αR, α = l = 0,03м = 2рад. R 0,015м

412. α =

3π рад., R = 0,01м, S — ? 4

R2 0,0003 2 α= πм . 2 8

2 413. R = 0,025м, S = 0,000625м2, α — ? α = 2S = 2 ⋅ 0,000625м = 2рад. 2 2

0,000625м

414. Градусы

0,5

159

108

150

450 π

324 π

Радианы

π 360

π 5

159 π 180

3π 5

5π 6

3π 10

2,5

1,8

415. Угол, °

90 π

720 π

360 π

180 π

Угол, рад.

π 6

π 5

0,5

122

www.5balls.ru

Радиус, см

10 π

Длина дуги, см

π 3

Площадь сектора, см2

π 3

10 π

2 2 ℓ = αR, S = R α , S = l .

2α

416. 1) 4π – (1; 0); 4)

2) –

π   –  2; 2;  2 4 2  

417. π 1) − M 1 ; 4 3π − M3 ; 3) − 4 5 5) − π − M 5 ; 4 418. π 1) ± 2π − M1 ; 4 2π 3) ± 6π − M 3 ; 3

3π – (0; 1); 3) – 6,5π – (0; – 1); 2

π   – 1; 3 ; 2 3 2  

  6) – 45° –  2 ; − 2  .  2 

2 

π − M2 ; 3 4π 4) − − M4 3

2) −

6) − 225o − M5 . π ± 2π − M 2 ; 3 3π 4) − ± 8π − М 4 . 4

2) −

419. 3π 1) + 2πk , k ∈ Ζ − M1 ; 4 3π 2) − + 2πk , k ∈ Ζ − M 2 ; 4 3) − π + 2πk , k ∈ Ζ − M3 ; 4) −

π + 2πk , k ∈ Ζ − M 4 . 4

420. 1) 3π-(-1,0);

2) − 7 π − (0,1) ;

3) − 15π − (0,1) ;

4) 5π − (−1,0 ) ;

5) 540 − (− 1,0 ) ;

6) 810o − (− 1,0) .

421. 1) − 3π + 2πk − (0,1) ; 2

2) 5π + 2πk − (0,1) ; 2

123

www.5balls.ru

3) 7 π + 2πk − (0,−1) ;

4) − 9π + 2πk − (0,−1) .

2) π ± π − (− 422. 1) π ± π − (0,−1) ; 2 4 (0,1), k = ... − 4,−2,0,2,4... 3π 3) − + πk − ; 4) − π + πk − (0,−1), k = ... − 3,−1,1,3... 2

2 2 ,− ); 2 2 (−1,0), k = ... − 4,−2,0,2,4...

(1,0), k = ... − 3,−1,1,3...

423. 1) (1;0) : +2πk , k ∈ Ζ ; π 3) (0;1) : − + 2πk , k ∈ Ζ ; 2 424. 1) 1-I-четв.; 2) 2,75-II-четв.;

2) (−1;0) : −π + 2πk, k ∈ Ζ ; π 4). (0; -1): − + 2πk, k ∈ Z . 2 3) 3,16-III-четв.; 4) 4,95-IV-четв.

425. 1) a=9,8π, x=1,8π , k=4;

2) a = 7 1 π , x = 1 1 π , k=3 ; 3 3 17 5 4) a = π , x = π , k=2. 3 3

3) a = 11 π , x = 3 π , k=2; 2 2 426. 1) π ± 2π − M1 ;

2) − π ± 2π − M 2 ;

2π 3) ± 6π − M 3 ; 3 5) 4,5π-M5;

3π ± 8π − M 4 ; 4 6) 5,5π-M6;

7) –6π-M7;

8) –7π-M8.

4) −

427. 1) − 3π + 2πk ,−(0;1) ;

2) 5π + 2πk ,−(0;1) ;

3) 7 π + 2πk ,−(0;−1) ;

4) − 9π + 2πk ,−(0;−1) .

  428. 1)  2 ;− 2  : − π + 2πk , k ∈ Z ;

  2)  − 2 ;− 2  : − 3π + 2πk , k ∈ Z ;

  3)  − 1 ;− 3  : − 2π + 2πk , k ∈ Z ;

  4)  − 3 ;− 1  : − 5π + 2πk , k ∈ Z .

 2 

2 

 2 

2  3 429. 1) sin α = 1 − M1 ;

 

2) sin α = 0 − M 2иM′2 ; 3) cos α = −1 − M3 ; 4) cos α = 0 − M 4иM′4 ; 5) sin α = −0,6 − M5иM′5 ; 6) sin α = 0,5 − M6иM′6 ; 7) cos α = 1 ,− M 7иM′7 . 3

124

www.5balls.ru

2 

π 3π π  π + sin = 1 + (−1) = 0 ; 2) sin −  + cos = (−1) + 0 = −1 ; 2 2 2 2   4) sin 0 − cos 2 π = 0 − 1 = −1 ; 3) sin π − cos π = 0 − (−1) = 1 ; 5) sin π + sin 1,5 π = 0 − 1 = − 1 ; 6) sin 0 + cos 2 π = 0 + 1 = 1 . 431. 1) β=3π, sinβ=0, cosβ=-1; 2) β=4π, sinβ=0, cosβ=1;

430. 1) sin

4) β = 5π , sinβ=1, cosβ=0;

3) β=3,5π, sinβ=-1, cosβ=0;

5) β=πk, k ∈ Z , sinβ=0, cos β = (− 1)k ; 6) β=(2k+1)π, k ∈ Z , sinβ=0, cosβ=-1. 3π 432. 1) sin 3π − cos = 0−0 = 0; 2 2) cos 0 − cos 3π + cos 3,5π = 1 − ( −1) + 0 = 2 ; 3) sin πk + cos 2πk = (k ∈ Z) = 0 + 1 = 1 ; ( 2k + 1) π − sin ( 4k + 1) π = 0 − 1 = −1 . 4) cos 2 2 433. 1) tgπ + cos π = 0 − 1 = −1 ; 3) tgπ + sin π = 0 + 0 = 0 ; 434. 1) 3 sin

2) tg 0o − tg180o = 0 − 0 = 0 ; 4) cos π − tg 2π = −1 − 0 = −1 .

π π π 1 3 3 + 2 cos − tg = 3 ⋅ + 2 ⋅ − 3= ; 6 6 3 2 2 2

2 π π π π 2 2) 5sin + 3tg − 5cos − 10ctg = 5 ⋅ + 3 − 5⋅ − 10 = −7 ; 2 2 4 4 4 4 1 1 1 π π π 3) (2tg − tg ) : cos = (2 ⋅ ; − 3) : = 6 3 6 2 3 3 π π π 1 3 3 ⋅ cos − tg = ⋅ −1 = . 3 6 4 2 2 2 435. 1) 2sinx = 0; x = πk,k ∈Ζ ;

4) sin

1 π cos x = 0; x = + πk, k ∈ Ζ ; 2 2 3) cos x − 1 = 0; cos x = 1; x = 2 πk, k ∈ Ζ ;

π + 2πk, k ∈ Ζ . 2 436. 1) 0,049 может т.к. 0,049 ≤ 1 ; 2)-0,875-может т.к. 0,875 ≤ 1 ; 4) 1 − sin x = 0; sin x = 1; x =

3) − 2 не может, т.к. − 2 > 1 ;

4) 2 + 2 - не может, т.к. 2 + 2 > 1 .

2 2 π 437. 1) 2sin α + 2 cos α = (α = ) = 2 ⋅ + 2 = 2 +1 ; 4 2 2 1 1 3 5 2) 0,5cos α − 3 sin α = (α = 60o ) = ⋅ − 3 ⋅ =− ; 2 2 2 4

125

www.5balls.ru

π 1 2 3) sin 3α − cos 2α = (α = ) = 1 − = ; 6 3 3

4) cos

2 1 α α π + sin = (α = ) = + = 2 3 2 2 2 π 4

π 4

π 3

2 +1 . 2

2 2 3 3 1 π = ⋅ − ⋅ =− ; 6 2 2 2 2 4 2 2 1 1 11 π π π π 2) 2 tg 2 ctg 2 − sin cos = 2 ⋅ 3 − 3 + ⋅ = ; 3 6 6 3 2 2 4 π π π π 1 1 2 3) (tg − ctg )(ctg + tg ) = (1 − )(1 + )= ; 4 3 4 6 3 3 3

438. 1) sin cos − sin cos

( ) ( )

π π π π  3  3 1 1 3 1 13 4) 2cos2 − sin2 + tg ctg = 2  −   + ⋅ = + = . 6 3 6 3  2   2  3 3 4 3 12 π 439. 1) sin x = −1 : x = − + 2πk , k ∈ Ζ ; 2 2) cos x = −1 : x = π + 2πk, k ∈ Ζ ; π 3) sin 3x = 0;3x = πk , x = k , k ∈ Ζ ; 3 x x π 4) cos = 0; = + πk , x = π + 2πk , k ∈ Ζ ; 2 2 2 x x π 5) sin( + 6π) = 1: + 6π = + 2πk, x = −11π + 4πk, k ∈ Ζ ; 2 2 2 4π 2π 6) cos(5x + 4π ) = 1 : 5x + 4π = 2πk , x = − k, k ∈ Ζ . + 5 5 440. Используя микрокалькулятор, проверить равенство.

441. 1) sin 1,5 ≈ 1 ; 4) cos 45o12′ ≈ 0,7 ; 7) tg12o ≈ 0,21 ; 442. 1) α = π ; I четв.;

2) cos 4,81 ≈ 0,1 ; π 5) sin ≈ 0,59 ; 5 19 π 8) sin ≈ 0,34 . 9

3) sin 38o ≈ 0,62 ; 10 π 6) cos ≈ −0,22 ; 7

2) α = 3π ; II четв.;

3) α = − 3π ; III четв.;

4) α = 7 π ; III четв.; 6

4 5) α = − 7π ; II четв.; 6

7) α=-1,31; IV четв.;

8) α=-2,7; III четв.

443. 1) π − α ; I четв.; 2) α − π ; III четв.; 2 5) α − π ; IV четв.; 4) π + α ; II четв.; 2 2 5π 444. 1) α = ; sin α<0, т.к. α∈III четв.; 4

126

www.5balls.ru

6) α=4,8; IV четв.; 3) 3π − α ; III четв.; 2

6) π − α ; II четв.

2) α = − 33π ; sin α<0, т.к. α∈III четв.; 7 4 3) α = π ; sin α<0, т.к. α∈III четв.; 3

4) α=5,1: sin α<0, т.к. α∈IV четв.; 5) α=-0,1π; sin α<0, т.к. α∈IV четв.; 6) α = −470 o ; sin α<0, т.к. α∈III четв. 445. 1) α = 2π ; cos α < 0, т.к.α ∈ II четв.; 2) α = 7 π ; cos α < 0, т.к.α ∈ III четв.

3 6 2π 3) α = − ; cos α > 0, т.к.α ∈ IV четв.; 4) α = 4,6; cos α < 0, т.к.α ∈ III четв. 5

5) α = −5,3; cos α > 0, т.к.α ∈ I четв.;

6) α = −150o ; cos α < 0, т.к.α ∈ III четв.

446. 1) α = 5π ; tgα < 0, т.к.α ∈ II четв.; 2) α = 12π ; tgα > 0, т.к.α ∈ I четв.; 6 5π 3) α = − ; tgα < 0, т.к.α ∈ II четв.; 4

5) α = −1,3; tgα < 0, т.к.α ∈ IV четв.; 447. 1) π < α <

4) α = 3, 7; tgα > 0, т.к.α ∈ III четв.; 6) α = 283o ; tgα < 0, т.к.α ∈ IV четв.

3π ;sin α < 0,cos α < 0, tgα > 0 ; 2

3π 7π <α< ;cos α > 0,sin α < 0, tgα < 0 ; 2 4 7π 3) < α < 2π;sin α < 0,cos α > 0, tgα < 0 ; 4 4) 2π < α < 2,5π;sin α > 0,cos α > 0, tgα > 0 . 448. 1) α = 1;sin α > 0,cos α > 0, tgα > 0, т.к.α ∈ I четв.; 2) α = 3;sin α > 0,cos α < 0, tgα < 0, т.к.α ∈ II четв.; 3) α = −3, 4;sin α > 0,cos α < 0, tgα < 0, т.к.α ∈ II четв.; 4) α = −1,3;sin α < 0,cos α > 0, tgα < 0, т.к.α ∈ IV четв. π π 2) cos( + α) < 0 ; 3) cos (α − π > 0 ) ; 449. 1) sin( − α) > 0 ; 2 2 3π π 5) tg( − α ) > 0 ; 4) tg(α − ) < 0 ; 6) sin (π − α ) > 0 . 2 2 2)

450. 1) 3π < α <

10 π ;sin α < 0, cos α < 0, tg α > 0, ctg α > 0, т.к.α ∈ III четв.; 8

5π 11π <α< ;sin α > 0, cos α < 0, tgα < 0, ctgα < 0, т.к.α ∈ II четв. 2 4 451. Знаки синуса и косинуса совпадают, если α ∈ I или III четверти, то 3π π и π≤α≤ . есть если 0 ≤ α ≤ 2 2 2)

127

www.5balls.ru

Знаки синуса и косинуса различны, если α ∈ II или IV четверти, то есть если π ≤ α ≤ π и 3π ≤ α ≤ 2π .

2 2π 452. 1) sin sin 3π > 0 , т.к. 2π , и 3π ∈II четв. и sin 2π > 0 и sin 3π > 0 . 3 3 4 3 4 4 2π 2π π π π 2) cos cos < 0 , т.к. ∈I четв. и cos > 0 , а ∈II четв. и cos 2π < 0 . 3 3 6 6 3 6 π 5π 5π π π 5π 3) tg + sin > 0 , т.к. ∈ I четв. и sin > 0 , а ∈ III четв. и tg > 0 . 4 4 4 4 4 4

453. а) sin 0,7 и sin 4; sin 0,7>0, т.к. 0,7∈I четв., а sin 4<0, т.к. 4∈III четв., значит, sin 0,7 > sin 4. б) cos 1,3 и cos 2,3; cos 1,3 >0, т.к. 1,3∈I четв., а cos 2,3 <0, т.к. 2,3∈II четв., значит, cos 1,3 > cos 2,3. 454. 1) sin (5π+x)=1; 5π+x= π +2πk, k∈Z, x= − 9π +2πk, k∈Z. 2 2 5π π +πk, k∈Z. 2) cos (x+3π)=0; x+3π= +πk, x= − 2 2 3) cos ( 5π +x)=-1; 5π + x=π+2πk, x= − 3π +2πk, k∈Z. 2 2 2 π 9π 9π +x)=-1; + x= − +2πk, x=-5π+2πk, k∈Z. 4) sin ( 2 2 2

455. 1) sinα + cosα=-1,4; т.к. sin α ≤ 1 и cos α ≤ 1 , то sinα<0 и cosα<0, значит, α∈III четв.; 2) sinα – cosα=1,4; т.к. sin α ≤ 1 и cos α ≤ 1 , то sinα>0 и cosα<0, значит, α∈II четв. 456. Т.к. sin α ≤ 1 и cos α ≤ 1 , то синус (косинус) может принимать значения 0,03; 2 ; 11 , и не может принимать значения 5 ;− 13 ; 2 . 3

3 13

2 3 2 3 5 и cos α = ; не могут, т.к. sin2 α + cos2 α = + = ≠ 1 , 457. 1) sin α = 3 3 9 9 9 что противоречит основному тригонометрическому тождеству sin2 α + cos2 α = 1 ; 4 3 16 9 2) sin α = − и cos α = − ; могут, т.к. sin 2 α + cos 2 α = + =1; 5 25 25 5 3 23 ; не могут, т.к. и cos α = 5 5 3 23 26 sin 2 α + cos 2 α = + = ≠ 1; 25 25 25 4) sin α = 0,2и cos α = 0,8 ; не могут, т.к.

3) sin α = −

128

www.5balls.ru

sin 2 α + cos 2 α =

1 16 17 + = ≠ 1. 25 25 25

3 π 9 4 = ; 458. 1) sin α, tgα, ctgα , если cos α = − и < α < π;sin α = 1 − 5 2 25 5 sin α 4 1 3 tgα = = − , ctgα = =− ; cos α 3 tgα 4 2 3π 4 2 =− 2) cos α, tgα, ctgα , если sin α = − иπ < α < ;cos α = − 1 − ; 5 2 25 5 tgα =

sin α 2 1 21 . = , ctgα = = cos α α tg 2 21

5 3π 25 12 sin α 12 = − , tg = =− , и < α < 2π;sin α = − 1 − 13 2 169 13 cos α 5 1 5 ctgα = =− ; tgα 12

459. 1) cos α =

16 3 sin α 4 π 3 2) sin α = 0,8и < α < π;cos α = − 1 − = − , tgα = = − , ctgα = − ; 2 25 5 cos α 3 4

3) tgα =

15 3π 1 1 8 иπ < α < ;cos α = ± ,cos α = − =− , 2 225 8 2 17 1 + tg α 1+ 64

15 3 sin α = tgα ⋅ cos α = − , ctgα = − ; 17 4

4) ctgα = −3и

3π 1 1 1 ,sin α = − < α < 2π;sin α = ± =− 2 2 1 9 + 10 1 + ctg α

cos α = sin α ⋅ ctgα =

3 10

, tgα =

1 1 =− ; ctgα 3

16 3 sin α 3 π 1 4 5) cos α = 0,8и0 < α < ;sin α = 1 + = , tg = = , ctgα = = ; 2 25 5 cos α 4 tgα 3

5 3π 25 12 sin α 5 и < α < 2π;cos α = 1 − = − , tgα = =− , 13 2 169 13 cos α 12 1 12 ctgα = =− ; tgα 5

6) sin α = −

7) tgα = −2, 4и

1 5 π < α < π;cos α = − =− 144 2 13 1+ 25

12 1 5 sin α = tgα ⋅ cos α = , ctgα = =− ; 13 tgα 12

129

www.5balls.ru

8) ctgα =

7 3π 1 1 24 и π<α< ; sin α = − ; sinα = ± =− ; 49 2 24 25 1 + ctg2α 1+ 576

1 3 7 ; tgα= =3 . cos α = sin α ⋅ ctgα = − 25 ctgα 7

460. 1) cos α, если sin α = 2) sin α, еслиcos α = − 3) sin α , если cos α = 4) cos α, если sin α = −

1 5

12 13 2 3 ; : cos α = ± 1 − =± 25 5 5 : sin α = ± 1 −

1 2 ; =± 5 5

2 4 5 ; : sin α = ± 1 − = ± 3 9 3 1 3

: cos α = ± 1 −

1 2 . =± 3 3

sin α 1 1 = ; cos α = и tgα = tgα 5 24 — верно, значит, может. 461. 1) sin α =

2) ctgα =

24 ; sin 2 α + cos2 α = 1 5

7 3 cosα 9 ; и cosα = ; sinα = = ctgα 4 7 5 4

cos2 α + sin2 α = 462. sin α =

9 81 144 + = ≠ 1 — значит, не может. 16 112 112

2 10 40 9 sin α 2 10 π ; cosα = 1 − . = , т.к. 0 < α ≤ , tgα = = 11 121 11 2 cos α 9 1

+2 ctgα + tgα 1 1 5 463. 1) = (ctgα = = )= 2 =− . 1 ctgα − tgα tgα 2 3 −2 2 sin α cos α sin α − cos α cos α − cos α tgα − 1 2 − 1 1 2) = = = = . sin α + cos α sin α + cos α tgα + 1 2 + 1 3 cos α cos α

sin α cos α 2 +3 2 sin α + 3 cos α cos α = 2 tgα + 3 = 7 = 7 . = cos α 3) 3 sin α − 5 cos α 3 sin α − 5 cos α 3tgα − 5 1 cos α cos α sin 2 α cos 2 α 2 +2 2 2 cos α cos α = tg α + 2 = 6 = 2 . 4) = sin 2 α cos 2 α sin 2 α − cos 2 α tg 2α − 1 3 − cos 2 α cos 2 α

sin 2 α + 2cos 2 α

130

www.5balls.ru

1 1 1 1 3 (cos α + sin α )2 − (cos2 α + sin 2 α) = − = − ; 2 2 8 2 8 1 9 10 5 2) sin3 α + cos3 α = (sin α + cos α )3 − 3sin α cos α(cos2 α + sin 2 α) = + = = . 8 8 8 4

464. 1) sin α cos α =

465. 1) (1 – cos α)(1 + cos α) = 1 − cos2 α = sin2 α , что и требовалось док-ть. 2) (1 – sin α)(1 + sin α) = 1 − sin 2 α = cos 2 α , что и требовалось док-ть. 3) 4) 5)

sin 2 α 1 − sin 2 α cos 2 α 1 − cos 2 α

1 2

sin 2 α

cos 2 α

cos 2 α sin 2 α

+ sin 2 α =

1 + tg α требовалось доказать. 1

= tg 2α , что и требовалось док-ть. = ctg 2α , что и требовалось док-ть.

cos 2 α 2

sin α + cos 2 α

2 2 + sin 2 α = cos α + sin α = 1 ,

что

sin 2 α

2 2 + cos 2 α = sin α + cos α = 1 , 1 + ctg 2 α sin 2 α + cos 2 α что и требовалось доказать. 466. 1) cos α tg α – 2sin α = sinα – 2sinα = – sinα; 2) cosα – sinα ctgα = cosα – cosα = 0;

+ cos 2 α =

sin 2 α 1 − cos 2 α (1 + cos α )(1 − cos α ) = = = 1 − cos α ; 1 + cos α 1 + cos α 1 + cos α

cos 2 α 1 − sin 2 α (1 − sin α )(1 + sin α ) = = = 1 + sin α . 1 − sin α 1 − sin α 1 − sin α sin 2 α − 1

sin 2 α − 1

1 π = (α = ) = 1 − = 1 − 2 = −1 ; 2 4  2  2    π 2 2 2 2 2 2) cos α + ctg α + sin α = ctg α = (α = ) = ( 3) = 3 ; 6

467. 1)

1 − cos 2 α

1 2

cos α

−1 =

sin 2 α

1 − cos2 α 2

cos α

=1−

sin 2 α

sin2 α

π = tg2α = (α = ) = ( 3)2 = 3 ; 3 cos α 2

4) cos α + tg α ⋅ ctg2α + sin 2 α =1+1=2 при любом α, в частности при α = π . 2

468. 1) (1 – sin2α)(1 + tg2α) = cos2 α ⋅

требовалось док-ть.

cos α + sin α

что и требовалось док-ть. 2) sin2α(1 + ctg2α) = sin 2 α ⋅

cos2 α

cos2 α + sin 2 α sin 2 α

= cos2α + sin2α = 1,

= 1, 1 – cos2α = sin2α,что и

131

www.5balls.ru

469. 1) (1 + tg2α)cos2α – 1 =

sin 2 α + cos2 α cos 2 α

2) 1 – sin2α(1 + ctg2α) = 1 − sin 2 α 3) 1 + tg2α +

1 2

sin α

sin2 α + cos2 α 2

cos α

cos 2 α − 1 = 1 – 1 = 0;

sin 2 α + cos2 α sin 2 α 1 2

sin α

= 1−1 = 0 ;

sin2 α + cos2 α 2

sin α ⋅ cos α

1 2

sin α ⋅ cos2 α

;

2 2 2 4) 1 + tg α = 1 + tg α = 1 + tg α = tg 2α . 2 2

1 + ctg α

1 tg 2α

1+ tg α tg 2 α

470. 1 (1 – cos2α)(1 + cos2α)=1 – cos22α= sin22α, что и требовалось доказать. sin α − 1 1 sin α − 1 sin α − 1 2) , что и требовалось = =− = 1 + sin α cos 2 α 1 − sin 2 α (1 + sin α )(1 − sin α ) доказать. 3) cos4α – sin4α = (cos2α + sin2α)(cos2α –sin2α) = cos2α – sin2α, что и требовалось док-ть 4) (sin2α – cos2α)2 +2cos2αsin2α = sin4α + cos4α – 2sin2αcos2α + + 2cos2αsin2α = sin4α + cos4α, что и требовалось доказать 2 (1 + cos α ) sin α 1 + cos α sin 2 α + 1 + cos 2 α + 2cos α 2 5) + = = = 1 + cos α sin α (1 + cos α ) sin α sin α (1 + cos α )sin α , что и требовалось доказать. 6) казать.

sin 2 α (1 − cos α )(1 + cos α ) = 1 + cos α , что и требовалось до= (1 − cos α )sin α sin α (1 − cos α )sin α

cos 2 α

sin 2 α

= sin 2 α + cos 2 α = 1 1 + tg α 1 + ctg α sin α + cos α sin α + cos 2 α , что и требовалось доказать. 2  1 − cos2 α   =sin2α ⋅ sin α =sin2α tg2α, 8) tg2α–sin2α=sin2α ( 1 − 1) =sin2α  2 2  cos α  cos 2 α cos α   что и требовалось доказать. 1 1 9 1 16 8 471. sin α ⋅ cos α = − (cos α − sin α )2 + (cos2 α + sin 2 α) = − + = = 2 2 50 2 50 25 472. Если cosα–sinα=0,2, то cos3α–sin3α=(cosα–sinα)3+3cosα sinα(cosα– 1 –sinα)=(cosα–sinα)3+3( − 1 (cosα–sinα)2+ (cos2α–sin2α))(cosα–sinα)= 2 2

= 1 + 3 ⋅  − 1 + 1  ⋅ 1 = 1 + 36 = 37 . 125

 50 2

2 5 2

125

473. tg α + ctg α = (tgα + ctgα) – 2 tgα ctgα = ( tgα + ctgα)2 – 2 = 7. 474. 1) 2sin x + sin2x + cos2x = 1; 2sin x = 0, x = πk, k∈Z.

132

www.5balls.ru

2) 2sin2x + 3cos2x – 2 = 0; 2(sin2x + cos2x) – 2 + cos2x = 0; cos2x = 0; x=

π + πk , k∈Z. 2

3) 3cos2x – 2sin x = 3 – 3sin2x; 3(cos2x + sin2x) – 3 = 2sin x; sin x = 0; x = πk, k∈Z. 4) cos2x – sin2x = 2sin x – 1 – 2sin2x; cos2x + sin2x + 1 = 2sin x; sin x = 1, π + 2πk , k∈Z. 2

3 3 7 π π π  π  π  π 475. 1) cos −  sin −  + tg −  = − cos sin − tg = − ⋅ −1 = − ; 6 3 4 2 2 4  6  3  4

( ) = 1 + tg 2) 1 + ctg ( − ) 1 + ctg 1 + tg 2 − 2

π 6 π 6

2π

1 1+ 6 = 3 =1; 2π 1+ 3 3 6

 π  π  π  π 3) 2 sin  −  cos  −  + tg  −  + sin 2  −  =  6  6  3  4 = −2 sin

π π π 3 1 1 − 3 3 +1 π ; ⋅ − 3+ = cos − tg + sin 2   = −2 6 6 3 4 2 2 2 2  

4) cos(−π) + ctg − π  − sin − 3π  + ctg − π  = cosπ − ctg π + sin 3π − ctg − π  =  2



2

 4

= – 1 – 0 – 1 – 1 = – 3; 5)

( ) − cos (− ) = 3 − sin − cos 2cos 2cos ( − )

3 − sin 2 −

π 3

2π

π 4

2π 3

π 4

3 4

3− − 2

2 2

1 4 =

1 3 1 3 π π 6) 2sin  −  + 3 + 7,5tg ( −π) + cos π = −2sin + 3 − 7,5tgπ + cos π = 8 2 6 8 2  6 = −1 + 3 − 0 + 0 = 2 . 476. 1) tg( – α) cosα + sinα = – tgα cosα + sinα = – sinα + sinα = 0; 2) cosα – ctgα( – sinα) = cosα + ctgα sinα = cosα + cosα = 2cosα; cos(−α ) + sin (−α ) cos α − sin α 1 3) ; = = 2 2 cos sin cos sin cos α − α α + α α + sin α ( )( ) cos α − sin α 4) tg( – α)ctg( – α) + cos2( – α) + sin2α = 1 + cos2α + sin2α = 1 + 1 = 2.

477. 1)

( ) + cos (− ) = 2 − sin 2cos 2cos ( − ) + sin ( − ) π 6 π 3

2 − sin 2 −

π 3

π 6

2π

π 1 1 + cos 2 2− + 6 3 = 4 4 =4; π π 1 1− − sin 3 6 2

π π  π  π  3  3sin  −  − 2ctg  −  + 4cos  − π  = 3sin + 2ctg + 3 4  3  4  2  3π 3 1 +4cos =− +2+0= . 2 2 2

133

www.5balls.ru

478. 1) =

sin3 (− α ) + cos3 (− α ) − sin3 α + cos3 α = = 1 − sin(− α )cos(− α ) 1 + sin α cos α

(cos α − sin α )(cos2 α + cos α sin α + sin 2 α ) = cos α − sin α ; 1 + sin α cos α

1 − (sin α + cos(− α ))2 1 − (sin α + cos α ) 2) = = sin α − sin (− α )

(

)

1 − cos2 α + sin 2 α + 2 cos α sin α − 2 sin α cos α = = − cos α . sin α sin α

 sin2 α + cos2 α  cos α = 479. 1) cos αsin(6π−α) ⋅ (1 + ctg2 (−α)) = cos αsin(−α) ⋅  =−   sin α sin2 α   = −ctgα = ctg(−α) , что и требовалось доказать. 2) =

1 − sin 2 ( −α ) sin(α − 2π) 1 − sin 2 α ( − sin(2π − α )) ⋅ = ⋅ = cos(4π − α ) 1 − cos 2 ( −α ) cos(−α ) 1 − cos 2 α

cos2 α sin α cos α ⋅ = = ctgα , что и требовалось доказать. cos α sin 2 α sin α

480. 1) sin( – x) = 1; – sin x = 1; sin x = – 1; x = − π + 2πk , k∈Z. 2

π 2) cos( – 2x) = 0; cos2x = 0; 2 x = + πk ; x = π + π k , k∈Z. 2 4 2 3) cos( – 2x) = 1; cos2x = 1; 2x = 2πk, x = πk, k∈Z.

4) sin( – 2x) = 0; – sin 2x = 0; sin 2x = 0; 2x = πk, x = π k , k∈Z. 2

5) cos2( – x) + sin( – x) = 2 – sin2x; cos2x + sin2x – 2 = sinx; sinx = – 1; x=−

π + 2πk , k∈Z. 2

6) 1 – sin2( – x) + cos(4π – x) = cos(x – 2π); cos2x + cos x = cos x; cosx = 0; x = π + 2πk , k∈Z. 2

(

)

481. 1) cos135o = cos 90o + 45o = cos 90o ⋅ cos 45o − sin 90o ⋅ sin 45o = −

(

)

2 . 2

1 2) cos120o = cos 90o + 30o = cos 90o ⋅ cos 30o − sin 90o ⋅ sin 30o = − . 2

( ) = cos (180 + 60 ) = cos180 ⋅ cos 60 − sin 180 ⋅ sin 60

3) cos150o = cos 90o + 60o = cos 90o ⋅ cos 60o − sin 90o ⋅ sin 60o = − 4) cos 240o

3 . 2 1 =− . 2

482. 1) cos57o30′ cos 27o30′ + sin 57o30′ sin 27o30′ = cos(57o30′ − 27o30′) =

134

www.5balls.ru

= cos30o =

3 ; 2

2) cos19o30′ cos 25o30′ − sin19o30′ sin 25o30′ = cos(19o30′ − 25o30′) = 2 ; 2 7π 11π 7π 11π  7 π 11π  3) cos cos − sin sin = cos  +  = cos 2 π = 1 ; 9 9 9 9 9   9

= cos45o =

4) cos

8π π 8π π  8π π  cos + sin sin = cos  −  = cos π = − 1 . 7 7 7 7 7  7

1 π 1 2 π 483. 1) cos( + α ) , если sin α = ; ,0 < α < ;cos α = 1 − = 2 3 3 3 3 π π π 1 2 3 1 1 1 cos( + α ) = cos cos α − sin sin α = ⋅ − ⋅ = − ; 3 3 3 2 3 2 3 6 2 1 π 1 2 2 π 2) cos(α − ) , если cos α == − и < α < π;sin α = 1 − = ; 4 3 2 9 3

1 2 2 2 2 π π π 2 2 4− 2 . cos(α − ) = cos α cos + sin α sin = − ⋅ + ⋅ =− + = 4 4 4 3 2 3 2 6 3 6 484. 1) cos 3α cos α − sin α sin 3α = cos(3α + α ) = cos 4α ; 2) cos 5β cos 2β + sin 5β sin 2β = cos(5β − 2β ) = cos 3β ; 5π 5π π π 3) cos( + α)cos( − α) − sin( + α)sin( − α) = 7 14 7 14 π 5π π = cos( + + α − α ) = cos = 0 ; 7 14 2 7π 2π 7π 2π 7π 2π 4) cos( + α) cos( + α) + sin( + α)sin( + α) = cos( + α − − α) = 5 5 5 5 5 5 = cos π = − 1 .

485. 1) sin 73o cos17 o + cos 73o sin17 o = sin(73o + 17 o ) = sin 90 o = 1 ; 2) sin 73o cos13o − cos 73o sin13o = sin(73o − 13o ) = sin 60 o = 3) sin

5π π π 5π  5π π  π cos + sin cos = sin  +  = sin   = 1 ; 12 12 12 12  12 12  2

4) sin

7π π π 7π  7π π  π cos − sin cos = sin  −  = sin   = 1 . 12 12 12 12 12 12 2  

3 ; 2

3 3π 9 4 π 486. 1) sin(α + ),cos α = − , π < α < : sin α = − 1 − =− ; 6 5 2 25 5 4 3 3 1 4 3 +3 π π π ; sin(α + ) = sin α cos + cos α sin = − ⋅ − ⋅ =− 6 6 6 5 2 5 2 10

135

www.5balls.ru

2 π 2 7 π 2) sin( − α ),sin α = ; , < α < π : cos α = − 1 − = − 4 3 2 9 3 2 7 2 2 14 − 2 π π π . sin( − α ) = sin cos α − cos sin α = − ⋅ − ⋅ =− 4 4 4 2 3 2 3 6 487. 1) sin(α+β) + sin( – α)cos( – β) = sinαcosβ + cosαsinβ – sinαcosβ = = cosαsinβ. 2) cos( – α)sin( – β) – sin(α – β) = – cosαsinβ – sinαcosβ + sinβcosα = = – sinαcosβ. π π π π 3) cos( − α )sin( − β) − sin (α − β ) = (cos cos α + sin sin α ) × 2 2 2 2 π π ×(sin cos β − cos sin β) − sin (α − β) = sin α cos β − sin α cos β + sin β cos α = sinβcosα . 2 2 π π π 4) sin (α + β) + sin( − α)sin ( −β) = sin (α + β) − (sin cos α − cos sin α) × 2 2 2 × sin β = sin α cos β + sin β cos α − sin β cos α = sin α cos β . 3 3π 8 π 488. Если sin α = − , < α < 2π и sin β = ,0 < β < , то 5 2 17 2

cos α = 1 −

9 4 = ; 25 5

cos β = 1 −

64 15 ; = 289 17

cos(α + β) = cosαcosβ – sinαsinβ = 4 ⋅ 15 + 3 ⋅ 8 = 84 ;

5 17 5 17 85 cos(α – β) = cosαcosβ + sinαsinβ = 4 ⋅ 15 − 3 ⋅ 8 = 36 . 5 17 5 17 85 4 π 489. Если cos α = − , < α < π и sin β = − 12 , π < β < 3π , то 5 2 13 2

sin α = 1 −

16 3 = ; 25 5

144 5 =− ; 169 13

cos β = − 1 −

sin(α – β) = sinαcosβ – sinβcosα = 3 ⋅  − 15  − 4 ⋅ 12 = − 63 . 5  13 

5 13

490. Вычислить tg(α + β), если 4 π 8 3 sin α = , < α < π и cos β = , π < β < 2π ; 17 2 5 2 cos α = − 1 −

16 3 =− ; 25 5

sin β = − 1 − 4

64 15 =− ; 289 17

3 15

⋅ + ⋅ sin α cos β + sin β cos α 77 5 . tg (α + β ) = = 5 17 5 17 = =2 cos α cos β − sin α sin β − 3 ⋅ 8 + 15 ⋅ 4 36 36 5 17

17 5

491. 1) cos(α – β) – cos(α + β) = cosαcosβ + sinαsinβ – cosαcosβ + + sinαsinβ = 2sinαsinβ

136

www.5balls.ru

π π 1 π π 2) cos( + α ) cos( − α ) + sin 2 α = (cos cos α − sin sin α ) × 4 4 2 4 4 1 2 1 1 2 1 1 π π 2 ×(cos cos α + sin sin α) + sin α = cos α − sin α + sin 2 α = cos 2 α ; 4 4 2 2 2 2 2 3) cos 3α + sin α sin 2α = cos(α + 2α ) + sin α sin 2α = cos α cos 2α − − sin α sin 2α + sin α sin 2α = cos α cos 2α ; 4) cos 2α − cos α cos 3α = cos 2α − (cos α cos 3α + sin α sin 3α ) + + sin α sin 3α = cos 2α − cos 2α + sin α sin 3α = sin α sin 3α . sin α cos β

sin β cos α

cos α cos β

cos β cos α

+ sin (α + β ) sin α cos β + sin β cos α cos α cos β cos β cos α tgα + tgβ 492. 1) = = = sin α cos β sin β cos α tgα − tgβ sin (α − β ) sin α cos β − sin β cos α −

, что и треб. док-ть. cos α cos β

+1 cos(α − β ) cos α cos β + sin β sin α ctgαctgβ + 1 sin α sin β , что и 2) = = = cos α cos β cos(α + β ) cos α cos β − sin β sin α − 1 ctgαctgβ − 1 sin α sin β

треб. док-ть 2 π π π 3) cos( + α) = cos cos α − sin sin α = (cos α − sin α ) , что т. д. 4 4 4 2 cos(α + β) cos α cos β − sin α sin β cos β sin α 4) = = − = ctgβ − tgα , что и т. д. cos α sin β cos α sin β sin β cos α 1 1 5) (cos (α + β) − cos (α − β)) = cos α cos β − sin α sin β + cos α cos β + sin α sin β = 2 2 = cos α cos β , ч.т.д. 1 1 6) (cos (α − β) − cos (α + β)) = cos α cos β + sin α sin β − cos α cos β + sin α sin β = 2 2 = sin α sin β , ч.т.д. 493. 1)

3) 4)

tg 29o + tg31o 1 − tg 29o tg31o

(

)

= tg 29o + 31o = tg 60o = 3 ;

7π 3π − tg 16 16 = tg  7 π − 3π  = tg π = 1 ;   7 π 3π 4  16 16  1 + tg tg 16 16

1 + tg10o tg55o o

tg55 tg10

1 − tg13o tg17o tg17o + tg13o

= =

1 o

tg(55 − 10 ) 1 tg(17o + 13o )

= =

1 tg45o 1 tg30o

=1; = 3.

3 494. 1) tg(α + β), если tgα = − , tgβ = 2,4 ; 4

137

www.5balls.ru

4 5

tgα + tgβ − 4 + 5 33 tg (α + β ) = ; = = 20 = 1 − tgαtgβ 1 + 3 ⋅ 12 56 56 4 3 2) tg(α – β), если ctgα = , ctgβ = −1 ; tgα = , tgβ = −1 ; 3 4 3

ctg ( α − β ) =

( ) − cos ( ) = sin ( ) + cos ( ) sin

495.

1 1 + tgαtgβ 1 − 4 4 1 = = = = . tg(α − β) tgα − tgβ 3 + 1 7 7

π +α 6 π +α 6

π +α 3 π +α 3

1 cos α + 2 1 cos α + 2

3 1 sin α − cos α + 2 2 3 1 sin α + cos α − 2 2

3 sin α 2 = 3 sin α 2

3 sin α = 3tgα . cos α 496. 1) sinαcos(2α)+sin(2α)cosα=sin(α+2α)=sin(3α). 2) sin(5β)cos(3β)-sin(3β)cos(5β)=sin(5β-3β)=sin(2β). 497. 1) cos(6x) cos(5x) + sin(6x) sin(5x) = – 1; cos(6x – 5x) = – 1; cos x=– 1; x = π + 2πk, k∈Z. 2) sin(3x) cos(5x) – sin(5x) cos(3x) = – 1; sin(– 2х) = – 1; sin(2x) = 1 : π π 2 x = + 2πk , x = + πk , k∈Z. 2 4 3)

π  2 cos + x  − cos x = 1 ;  4

sin x = 1; sin x = – 1; x = −

 2  2 2 cos x − sin x  − cos x = 1 ;  2  2  

π + 2πk , k∈Z. 2  2 x 2 x x 2 cos − sin  + sin = 1 :  2  2 2 2 2  

x π x 2 sin  −  + cos = 1 ; 4 2 2  

cos

x x = 1 : = 2πk , x = 4πk , k∈Z. 2 2

498. 1) sin 48o = 2 sin 24o cos 24o ; 2) cos164o = cos 2 82o − sin 2 82o ; 3) tg92o =

2tg 46o 1 − tg 2 46o

;

4) sin

4π 2π 2π = 2 sin ; cos 3 3 3

5π 5π 5π . = cos 2 − sin 2 3 6 6 π  π α π α 499. 1) sin  + α  = 2 sin  +  sin  +  ; 2  4 2 4 2 5) cos

138

www.5balls.ru

2) sin  π + β  = 2 sin  π + β  cos  π + β  ;

5) sin α = 2 sin α cos α ;

3) cos π − α  = cos 2  π − α  − sin 2  π − α  ; 2  8 2 8 2

6) cos α = cos 2 α − sin 2 α . 2 2

4

8



2

8

2

4) cos 3π + α  = cos 2  3π + α  − sin 2  3π + α  ;  2



 4

2

 4

2

139

www.5balls.ru

500. 1) 2 sin15o cos15o = sin 30o = 3)

2tg15o 1 − tg 215o

= tg30o =

1 ; 2

2) cos2 15o − sin2 15o = cos30o =

3 ; 2

1 3

4) (cos75o − sin 75o )2 = cos 2 75o + sin 2 75o − 2cos 75o sin 75o = 1 − sin150o =

=1−

1 1 = 2 2 π π π 2 cos = sin = ; 8 8 4 2

501. 1) 2 sin

2tg

π 8

= tg

π 1 − tg 8 2

2) 2 cos 2

2 π π π ; − sin 2 = cos = 8 8 4 2

π =1; 4 2

4) =

2  2π π π π π π 2  −  sin + cos 2 + 2sin cos  = −  cos + sin  = 2  8 8 2  8 8 8 8

2  2  π 2  = −1 . − 1 + sin  = − 1+  2  4 2  2 

502. 1) 2 sin 75o ⋅ cos 75o = sin150o = 3)

6 tg 75o 2

1 − tg 75

= 3tg150o = −

3 3

3 1 ; 2) cos2 75o − sin2 75o = cos(150o ) = − ; 2 2

= 3 ; 4)

tg 2 22o30′ − 1 2 =− = −2 . tg 22o30′ tg 45o

3 π 9 4 = − ; sin 2α = 2sin α cos α = 503. 1) sin α = , < α < π;cos α = − 1 − 5 2 25 5 3  4 24 = 2⋅ ⋅−  = − ; 5  5 25

4 3π 16 3 = − ;sin 2α = 2sin α cos α = 2) cos α = − , π < α < ;sin α = − 1 − 5 2 25 5  3   4  24 . = 2⋅−  ⋅−  =  5   5  25 4 16 17 504. 1) cos α = ;cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2cos 2 α − 1 = 2 ⋅ − 1 = 5 25 25 3 5

2) sin α = − ;cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 1 − 2sin 2 α = 1 − 2 ⋅

9 7 = 25 25

505. Если tgα = 1 : tg2α = 2tgα = 1 = 4 . 2 1 2

1 − tg α

1−

506. 1) 2cos 40o ⋅ cos50o = 2cos 40o cos(90o − 40o ) = 2cos 40o sin 40o = sin80o ;

140

www.5balls.ru

2) 2sin 25o ⋅ sin 65o = 2sin 25o sin(90o − 25o ) = 2sin 25o cos 25o = sin 50o ; 3) sin 2α + (sin α − cos α )2 = sin 2α + sin 2 α + cos 2 α − 2sin α cos α = = sin 2 α + 1 − sin 2 α = 1 ; 4) cos 4α + sin 2 2α = cos 2 2α − sin 2 2α + sin 2 2α = cos 2 2α . 507. 1)

sin 2α 2

(sin α + cos α) − 1

sin 2α 2

sin α + cos α + 2sin α cos α − 1

sin 2α =1; sin 2α

1 + cos 2α 1 + cos α − sin 2 α 2cos 2 α = = = ctg 2α . 1 − cos 2α 1 − cos2 α + sin 2 α 2sin 2 α 508. 1) sin2α = 2sinαcosα = sin2α + 2sinαcosα + cos2α – 1 = (sinα + +cosα)2 – 1, что и треб. док-ть. 2) (sinα – cosα)2 = sin2α + 2sinαcosα + cos2α = 1 – sinα, что и треб. док-ть. 3) cos4α – sin4α = (cos2α – sin2α)(cos2α + sin2α) = cos2α, что и треб. док-ть. 4) 2cos2α–cos2α =2cos2α–cos2α + sin2α=cos2α + sin2α=1, что и треб. док-ть. 1 1 3 2 509. 1) sin α + cos α = ; sin 2α = (sin α + cos α ) − 1 = − 1 = − ; 2 4 4 1 1 8 2 2) sin α − cos α = − ; sin 2α = − (sin α − cos α ) + 1 = − + 1 = . 3 9 9 cos α − sin α )(cos α + sin α ) cos α − sin α cos 2α ( 510. 1) = = = sin α (cos α + sin α ) sin α sin α cos α + sin 2 α

= ctgα − 1 , что и треб. док-ть. 2cos α sin 2α − 2cos α 2cos α (sin α − 1) 2) = −2ctgα , ч.т.д. = = − sin α sin α (1 − sin α ) sin α − sin 2 α 3) tgα (1 + cos 2α ) = tgα(1 + cos2 α − sin 2 α) = 2cos 2 α ⋅

sin α = 2sin α cos α = cos α

= sin 2α , ч.т.д. 4) ⋅

2sin2 α + sin2α 2sin α(cos α + sin α) 1 − cos 2α + sin 2α ⋅ ctgα = ⋅ ⋅ ctgα = 2cos α(cos α + sin α) 1 + cos 2α + sin 2α 2cos2 α + sin2α

cos α = 1 , ч.т.д. sin α (1 − 2cos 2 α)(2sin 2 α − 1)

(− cos 2α)(− cos 2α)

cos2 2α

= ctg 2 2α , ч. т. д. 4sin 2 α cos2 α sin 2 2α sin 2 2α π α π 6) 1 − 2sin 2  −  = cos  − α  = sin α , что и т. д. 4 2 2  sin α + sin 2α sin α (1 + 2 cos α ) sin α (1 + 2cos α ) 7) = = = tgα , ч.т.д. 1 + cos α + cos 2α 2cos 2 α + cos α cos α (1 + 2cos α )

141

www.5balls.ru

2 2 sin(α − ) sin 2 α cos 2 α 4 ; 511. − = cos α(1 + ctgα) sin α(1 + tgα) sin 2α

sin 2 α cos 2 α sin 3 α cos3 α − = − = cos α(1 + ctgα) sin α(1 + tgα) cos α(sin α + cos α) sin α(cos α + sin α ) =

sin 4 α − cos 4 α sin α − cos α = ; sin α(cos α + sin α)cos α sin α cos α π 2 2 − 2 2 ⋅ (sin α ⋅ cos α) sin α − cos α 4 = 2 2 левая и правая =

2 2 sin(α − )

sin 2α 2sin α cos α sin α cos α части совпадают, значит, тождество верно. 512. 1) sin2x – 2cosx = 0; 2cosx(sinx – 1) = 0; cos x = 0 или sin x = 1; π π x = + πk , k∈Z или x = + 2πk , k∈Z (входит в 1-ю серию корней) 2 2 π Ответ: x = + πk , k∈Z. 2 2) cos2x+sin2x=1; cos2x– sin2x+sin2x=1; cos2x=1; cos x=1 или cosx=–1: x=π + 2πk, k∈Z или x = 2πk, k∈Z, обобщая x = 2πk, k∈Z. Ответ: x = 2πk, k∈Z. 3) 4cos x = sin2x; 2cos x(2 – sin x) = 0; cos x = 0 или sin x = 2; π π x = + πk , k∈Z, а во втором случае решения нет. Ответ: x = + πk , k∈Z. 2 2 π 4) sin2x = – cos2x; sin2x = sin2x – cos2x; cos x = 0; x = + πk , k∈Z. 2 π Ответ: x = + πk , k∈Z. 2 π x x 1 5) sin cos + = 0 ; sin x + 1 = 0; sin x = – 1; x = − + 2πk , k∈Z. 2 2 2 2 π Ответ: x = − + 2πk , k∈Z. 2 π x x x x 6) cos 2 = sin 2 ; cos 2 − sin 2 = 0 ; cos x = 0; x = + πk , k∈Z. 2 2 2 2 2 π Ответ: x = + πk , k∈Z. 2

513. 1) sin 2 15o =

1 − cos 30o ; 2 π

π  1 + cos( 2 − 2α) 3) cos 2  − α  = ; 2 4 

2) cos 2

1 1 + cos 2 ; = 4 2 π

π  1 + cos( 2 + 2α) 4) sin 2  + α  = ; 2 4 

142

www.5balls.ru

514. 1) 2 cos 2 2) 1 + 2sin 2 3)

π π π 2 − 1 = 1 + cos − 1 = cos = ; 8 4 4 2

π π π 3  ; = 1 −  1 − cos  = cos = 12 6 6 2 

(

)

3 3 3 3 + 2 sin 2 15o = + 1 − cos 30o = +1− = 1; 2 2 2 2 3 3 3 3 + 2 cos 2 15o = − + 1 + cos 30o = − +1+ =1. 2 2 2 2

4) −

3 1− 1+ 1 − cos α α 2 + cos α α 5 = 1 5 = 2 ; = 515. 1) sin = ; 2) cos = = 2 2 2 2 2 2 5 5

1− α 1 − cos α 5 =1; 3) tg = = 3 2 2 1 + cos α 1+ 5

516. 1) sin 2) cos

1+ α 1 + cos α 5 =2. 4) ctg = = 3 2 1 − cos α 1− 5

1+ 1− 1 − cos α 1 + 1 − sin 2 α α = = = 2 2 2 2

9 25

3 ; 10

α 1 + cos α 1 − 1 − sin 2 α 1 ; = = = 2 2 2 10 4

3) tg

1+ α 1 − cos α 1 + 1 − sin 2 α 5 =3; = = = 4 2 1 + cos α 1− 1 − 1 − sin 2 α 5 4

4) ctg

1− 1 + cos α 1 − 1 − sin 2 α α 5 =1. = = = 4 3 2 2 1 − cos α 1+ 1 + 1 − sin α 5

1− 1 − cos 30o 2 = 517. 1) sin15 = = 2 2 o

2) cos15o =

1 + cos 30o == 2

1 3 ; + 2 4

o 1− 2 = 2− 2 = 3) tg22o30′ = 1− cos45 = o

1+ cos45

4) ctg 22 o30′ =

2+ 2

2 1+ 2

1 + cos 45o 1 − cos 45

1 3 ; − 2 4

2 +1 = 2 −1

2 −1 = 2 +1

(

)

2 −1 = 3 − 2 2 ;

2 +1

)

3+ 2 2 ;

143

www.5balls.ru

518. 1) 1 − cos α =

2sin 2

α 2

α 2 = tg α 1 ; α 22 cos 2

sin

α α 2 2 α α α 2sin cos sin 2 2 = 2 = tg α ; 2) sin α = α 2α 1 + cos α 2 2cos cos 2 2

sin α

2sin cos

2 2sin α (sin α + cos α ) 3) 1 − cos 2α + sin 2α = 2sin α + 2sin α cos α = = tgα ; 2

1 + cos 2α + sin 2α

4) 1 + cos 4α = sin 4α

2cos α (sin α + cos α )

2cos α + 2sin α cos α

2cos 2 2α cos 2α = = ctg2α ; 2cos 2α sin 2α sin 2α

1 + cos2α + sin 2α 2 sin α cosα + 2 cos2 α 2 cosα(sin α + cosα) = = = 2 cosα ; sin α + cosα sin α + cosα sin α + cosα cos α 6) (1 – cos2)ctgα = 2sin2α⋅ = 2 sin α cos α = sin 2α . sin α

519. 1) 2 cos 2  π − α  = 1 + cos  π − α  = 1 + sin α , ч.т.д. 4 2 2  α π   2) 2sin  −  = 1 − cos  − α  = 1 − sin α , ч.т.д. 4 2 2  2π

3 − 4cos2α + cos4α 2cos2 2α − 4cos2α + 2  cos 2α − 1  4 = =  = tg α , ч.т.д. 3 + 4cos2α + cos4α 2cos2 2α + 4cos2α + 2  cos 2α + 1 

1 − sin2α + cos2α 2 cos2 α − 2 cosα sinα 2 cosα(sinα + cosα) = ctgα , ч.т.д. = = 1 + sin2α − cos2α 2 sin2 α + 2sinα cosα 2sinα(sinα + cosα)

1 − cos 2α 2sin 2 α ⋅ cos α ⋅ ctgα = = 1 ,ч.т.д. sin 2α 2sin α cos α sin α sin 2α 2sin α cos α sin α 2) = = = tgα ,ч.т.д. 1 + cos 2α cos α 2cos 2 α

520. 1)

1 − 2sin 2 α (cos α − sin α)(cos α + sin α) = = 1 + sin 2α cos 2 α + 2cos α sin α + sin 2 α

(cos α − sin α )(cos α + sin α ) (cos α + sin α ) 2 2

4) =

cos α

sin α

cos α

cos α − sin α cos α − cos α 1 − tgα , ч.т.д. = = = cos α + sin α cos α + sin α 1 + tgα 2

1 + sin 2α sin α + 2sin α cos α + cos α (sin α + cos α) 2 = = = 2 2 cos 2α (cos α − sin α)(cos α + sin α) cos α − sin α

sin α + cos α 1 + tgα tg45o + tgα π  = = = tg 45o + α = tg  + α  , ч.т.д. cos α − sin α 1 − tgα 1 − tg45o ⋅ tgα 4 

(

144

www.5balls.ru

)

521. Т.к. 0 < α < sin

α α π α π , то 0 < < и, следовательно sin > 0,cos > 0, 2 2 2 2 4

α α < cos , значит, sin α + cosα − sin α − cosα = sin α + cosα − sin α + cosα = 2sin α . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

522.

tg2α tg2α − cos4α cos2α sin2α⋅ cos4α⋅ cos2α = = = cos4α . tg4α − tg2α sin4α cos2α − sin2α cos4α sin2α cos2α

x x x x x  523. 1) 1 − cos x = 2sin ; 2sin 2 − 2sin = 0; 2sin  sin − 1  = 0; 2 2 2 2 2  x x x x π sin = 0 или sin = 1; = πk , x = 2πk, k∈Z или = + 2πk 2 2 2 2 2 x = π + 4πk, k∈Z. Ответ: x = 2πk, x = π + 4πk, k∈Z. x x x x x  2) 1 + cos x = 2 cos ; 2 cos 2 − 2 cos = 0;2 cos  cos − 1 = 0; 2 2 2 2 2  x x x π cos = 0 или cos = 1; = + πk , x = π + 2πk, k∈Z или 2 2 2 2 x = 2πk x = 4πk, k∈Z. Ответ: x = π + 2πk, x = 4πk, k∈Z. 2 x  x 3π   x 3π  2x 3) 1 + cos = 2sin  − − 2sin  −  = 0;  ; 2cos 2 4 2 4   4 2   x 3π   x 3π   x 3π    x 3π   2sin 2  −  − 2sin  −  = 0;2sin  −   sin  −  − 1 = 0; 4 2  4 2   4 2   4 2   π

+α+ −α +α− +α π  π  3 3 = sin  + α  + sin  − α  = 2sin 3 cos 3 3 3 2 2     x 3π  x 3π  или sin  −  = 1; − = πk , x = 6π + 4πk, k∈Z 4 2 4 2  или x − 3π = π + 2πk , x = 8π + 8πk, k∈Z. 4

Ответ: x = 6π + 4πk, x = 8π + 8πk, k∈Z. 4) 1 + cos8x = 2cos4x; 2cos24x – 2cos4x = 0; 2cos4x(cos4x – 1) = 0; π π π cos4x = 0 или cos4x = 1, 4 x = + πk , x = + k , k∈Z или 2 8 4 π π π π Ответ: x = + k , x = k , k∈Z . 4x = 2πk, x = k , k∈Z. 2 8 4 2 x 1 5) 2 sin 2 + sin 2x = 1 ; sin x cos x – cos x = 0; cos x(sin x – 1) = 0; cos x = 0 2 2 π π или sin x = 1, x = + πk , k∈Z или x = + 2πk , k∈Z (вход. в 1 – ю с.к.) 2 2

145

www.5balls.ru

Ответ: x = π + πk , k∈Z .

2 6) 2 cos x − 1 sin 4x = 1 ; cos2x – cos2x sin2x = 0; cos2x(1 – sin2x) = 0; 2 2

cos2x = 0 или sin2x = 1; 2 x = 2x =

π π π + πk , x = + k , k∈Z или 2 4 2

π π + 2πk , x = + πk , k∈Z (входит в первую серию корней) 2 4

Ответ: x = π + π k , k∈Z . 4

524. 1) cos 75o = cos(90o − α); α = 15o ; 2) sin150o = sin(90o + α); α = 60o ; 3) sin150o = sin(180o − α); α = 30o ; 4) cos310o = cos(270o + α ); α = 40o ; 5 π π π 3π 6) tg = tg( − α); α = ; 5) sin π = sin(π + α); α = ; 4 4 5 2 10 7) cos 7 π = cos( 3 π + α ); α = π ; 4

8) ctg 4 π = ctg(2π − α); α = π . 6

525. 1) cos150o = cos(180o − 30o ) = − cos 30o = − 2) sin 135o = sin(90o + 45o ) = cos 45o =

3 ; 2

3) ctg135o = ctg(90o + 45o ) = − tg 45o = −1 ; 4) cos120o = cos(90o + 30o ) = − sin 30o = −

1 ; 2 2 ; 2

5) cos225° = cos(180° + 45°) = – cos45° = – 6) sin210° = sin(180° + 30°) = – sin30° = – 7) ctg240° = ctg(180° + 60°) = ctg60° =

1 3

1 ; 2 ;

2 . 2 7π π π 1 5π π π   526. 1) tg = sin  π +  = − sin = − ; = tg π +  = tg = 1 ; 2) sin 6 6 6 2 4 4 4   8) sin315° = sin(270° + 45°) = – sin45° = –

3) cos

5π π 1 5π π π 1  π  ; = cos 2π −  = cos = ; 4) ctg = ctg 2π  = −ctg = − 3 3 3 3 3 2 3  3 

π π 1  13π   5) sin  −  = sin  − 2π −  = − sin = − ; 6 6 2  6  

146

www.5balls.ru

π π 1  7π   6) cos −  = cos − 2π −  = cos = ; 3 3 2  3   π π   2π  7) tg −  = tg − π +  = tg = 3 ; 3 3  3   π π   7π  8) ctg −  = ctg − 2π +  = ctg = 1 . 4 4  4   ctg

527. 1)

π 2

3π −α 2

cos( π + α )

π 2 3π tg( − α ) 2

sin ( π − α ) + cos( + α ) + ctg ( π − α )

sin

528. 1)

( − α ) − tg (π + α ) + sin (

sin

(

3π +α 2

) ⋅ tg (

π +α 2

( π + α ) + sin cos(

( + α)

3π + α) 2

− cos α

sin α − sin α − ctgα = −1 . ctgα

) = − cos α ⋅ −ctgα = ctgα ;

ctg(2π − α ) sin(π + α ) 2 π

) = tgα − tgα − cos α = 1 ;

− ctgα − sin α

2 2 1  3π  sin α + cos α . ⋅ ctg  − α = ⋅ tgα = sin α cos α  2 

529. 1) cos 750o = cos(720o + 30o ) = cos 30o = 2) sin 1140o = sin(1080o + 60o ) = sin 60o =

3 ; 2

3) tg 405o = tg (360o + 45o ) = tg 45o = 1 ; 4) cos 840o = cos(720o + 120o ) = cos120o = cos(90o + 30o ) = − sin 30o = −

1 ; 2

47 π π 1 π = sin(8π − ) = − sin = − ; 6 6 6 2 25 π π 27 π π 6) tg π = tg (6π + ) = tg = 1 ; 7) ctg π = ctg (7 π − ) = −ctg = −1 ; 4 4 4 4 4 4

5) sin

8) cos

21 π π 2 . π = cos(5π + ) = − cos = − 4 4 4 2

(

) (

)

530. 1) cos 630o − sin 1470o − ctg1125o = cos 720o − 90o − sin 1440o + 30o − 1 3 − ctg 1080o + 45o = cos 90o − sin 30o − ctg 45o = 0 − − 1 = − ; 2 2

(

)

147

www.5balls.ru

(

)

(

)

2) tg1800o − sin 495o + cos 945o = 0 − sin 540o − 45o + cos 900o + 45o = o

= 0 − sin 45 − cos 45 = − 2 ;

(

)

(

)

(

)

3) 3 cos 3660o + sin − 1560o + cos − 450o = 3 cos 3600o + 60o +

(

) ( ) 3 3 3 3 = − sin (90 + 30 )+ 0 = − cos 30 = − ; 2 2 2 2 4) cos 4455 − cos(− 945 )+ tg1035 − ctg (− 1500 ) = cos(4500 − 45 )− − cos(− 900 − 45 )+ tg (1080 − 45 )− ctg (− 1440 − 60 ) = o

+ sin − 1440 − 120 + cos − 360 − 90 = 3 cos 60 − sin 120 + cos 90o = o

= − cos 45o + cos 45o − tg 45o − ctg 60o = −1 − 531. 1) cos

23π 15π π π  11π    − sin − ctg −  = cos 6π −  − sin 4π −  − 4 4 4 4  2   

π π π π  − ctg − 6π +  = cos + sin − ctg = 2 ; 2 4 4 2 

2) sin

π π 25π 10π  17π    − cos − = sin 8π +  − cos − 8π −  −  − tg 3 2 3 3 2     

2π  π π 2π 3 3  ; − tg 4π − = − 3=−  = sin − cos + tg 3  3 2 3 2 2 

3) sin (− 7 π ) − 2 cos

π π 31π 7π   − tg = 0 − 2 cos10π +  − tg 2π −  = 3 4 3 4   

π π + tg = −1 + 1 = 0 ; 3 4 π  49π   21π   4) cos(− 9) + 2 sin  −  − ctg −  = −1 + 2 sin  − 8π −  − 6  6   4  

= −2 cos

π π π  − ctg − 5π −  = −1 − 2 sin + ctg = −1 − 1 + 1 = −1 . 4 6 4  π  π  532. 1) sin  + α  − cos  − α  = 4  4  π π   π  π  π  = sin  −  − α   − cos − α  = cos − α  − cos − α  = 0 ; ч.т.д.  4  4  4  2 4 π  π  2) cos  − α  − sin  + α  = 6  3  π π   π  π  π = cos − α  − sin −  − α   = cos − α  − cos − α  = 0 ; ч.т.д. 6   6  6  2 6

148

www.5balls.ru

) ⋅ ctg ( + α) = − cos α ⋅ −tgα = − cos αtgα = −sin α ; ч.т.д. tg ( π + α ) tg α − ( ) tgα −ctgα

sin

(

3π −α 2

π 2

3π 2

  π π 7π 533. 1) sin  + α  = sin  π +  + α   = −sin  + α  ; 6 6    6   

2) sin  5π + α  = sin  2π −  3π −α   = −sin  3π − α  ; 4  4  4     π π 2π 3) cos α −  = cos −π+  + α  = −cos  + α  ; 3  3  3  

 2π 4π   4π    4) cos  α −  = cos − 2π +  α +   = cos α +  ; ч.т.д. 3  3  3     

534. Пусть α1α2,α3 — углы треугольника, тогда α1 + α 2 + α3 = 180o и sin (α1 + α 2 ) = sin(180o − α3 ) = sin α3 , ч.т.д. π π 535. 1) cos( − x) = 1;sin x = 1; x = + 2 πk, k ∈ Z . 2 2  3π  2) sin  + x  = 1; − cos x = 1;cos x = −1; x = π + 2πk, k ∈ Z .  2  π 3) cos ( x − π ) = 0;cos ( π − x ) = 0; − cos x = 0;cos x = 0; x = + πk, k ∈ Z . 2 π π 4) sin(x − ) = 1; − sin( − x) = 1; − cos x = 1;cos x = −1; x = π + 2πk, k ∈ Z . 2 2 3π 5) sin ( 2x + 3π )sin(3x + ) − sin 3x cos 2x = −1; 2 sin 2x cos 3x − sin 3x cos 2x = 0;sin ( − x ) = 0;sin x = 0; x = πk, k ∈ Z . 3π ) cos ( 2x + 4π ) − sin (5x + π ) sin 2x = 0; 2 π π π cos 5x cos 2 x + sin 5x sin 2 x = 0 : cos 3x = 0 : 3x = + πk , x = + k , k ∈ Z . 2 6 3 536. Пусть β – любой угол. Тогда β = πk + α, где k-какое-то целое число, а 0 ≤ α < π . И по формулам приведения sinβ = sinα, если k-четное и sinβ = =–sinα, если k-нечетное, cosβ = cosα, если k-четное и cosβ=–cosα, если k — π π нечетное, а tgβ = tgα и cgβ = ctgα. Тогда α = ± γ , где 0 ≤ γ ≤ . И по 2 2 формулам приведения : sin α = cos γ, cos α = ± sin γ ,

6) sin(5x −

tgα = ± ctgγ, ctgα = ± tgγ . Далее: sin γ = 2 sin γ cos γ , 2

149

www.5balls.ru

cos γ = cos 2

2tg 1 − tg 2 γ γ 2 ,ctgγ = 2, − sin 2 , tgγ = γ γ 2 2 1 − tg 2 2tg 2

γ π γ т.е. зная значения sin, cos, tg, ctg для угла , где 0 ≤ ≤ , мы можем вы2 2 4 числить значения sin, cos, tg, ctg для угла β. Ч.т.д. π

+α+ −α +α− +α π π 3 3 537. 1) sin  + α  + sin  − α  = 2sin 3 cos 3 = 2 2 3  3  π = 2 sin cos α = 3 cos α ; 3 π

−β+ +β −β− −β π π 4 4 2) cos  − β  − cos  + β  = −2sin 4 = sin 4 2 2 4  4  π = 2 sin sin β = 2 sin β ; 4

π π  π π  3) sin 2  + α  − sin 2  − α  =  sin  + α  − sin  − α   × 4  4   4  4   π π  π  ×  sin  + α  + sin  − α   = 2sin α cos ⋅ 2sin 4 4 4      

π cos α = 2sin α cos α = sin 2α ; 4

π π  π π  4) cos 2  α −  − cos 2  α −  =  cos  α −  − cos  α +   × 4 4  4 4     

  π π  π π  × cos  α −  + cos  α +   = 2sin α sin ⋅ 2cos α cos = 2sin α cos α = sin 2α . 4 4  4 4   

538. 1) cos105o + cos 75o = 2 cos 90o cos15o = 0 ; 2) sin 105o − sin 75o = 2 sin 15o cos 90o = 0 ; 3) cos

π 11π 5π 2π 2 + cos = 2 cos cos = ; 12 12 3 4 2

4) cos

π 11π 5π 2π 6 − cos = −2 sin ; sin = 12 12 3 4 2

5) sin

7π π π π 2 − sin = 2 sin cos = ; 12 12 4 3 2

6) sin105o + sin165o = 2 sin135o cos 30o = −

6 . 2

1 30o + α 30o − α ; 539. 1) 1 + 2sin α = 2( + sin α) = 2(sin30o + sin α) = 4sin cos 2 2 2

150

www.5balls.ru

1 30o − α 30o + α 2) 1 − 2sin α = 2( − sin α) = 2(sin 30o − sin α) = 4sin ; cos 2 2 2 1 60o + α 60o − α 3) 1 + 2cos α = 2( + cos α) = 2(cos60o + cos α) = 4cos ; cos 2 2 2  π +α  π −α π  2  4) 1 + sin α = sin + sin α = 2sin  2 cos   2 . 2 2         sin α + sin 3α 2sin 2α cos(−α) 540. 1) = = tg2α , ч.т.д. cos α + cos3 2cos 2α cos(−α)

sin 2α + sin 4α 2sin 3α cos(−α) cos α = = = ctg α , ч.т.д. cos 2α − cos 4α −2sin 3α sin(−α) sin α

541. 1) =

4cos 2α cos α 2cos 2α 2cos 2α ctg 2α = = = ; 2sin α cos α + 2sin 3α cos α sin α + sin 3α 2sin α cos(−α) cos α 2)

2(cos α + cos3α) 4cos2α cos(−α) 4cos2α cos α = = = 2sin 2α + sin 4α sin 2α + sin 2α + sin 4α sin 2α + 2sin3α cos(−α)

1 + sin α − cos 2α − sin 3α 2

2 sin α + sin α − 1

1 + cos2 α + sin 2 α + sin α − sin 3α 2 sin 2 α + sin α − 1

2sin2 α + 2sin(−α)cos2α 2sin α(sin α − cos2α) 2sin α(2sin2 α + sin α −1) = = = 2sin α . 2sin2 α + sin α −1 2sin2 α + sin α −1 2sin2 α + sin α −1

542. 1) cos 4 α − sin 4 α + sin 2α = cos 2α + sin 2α = π π π  π   = cos 2α + cos  − 2α  = 2cos cos  2α −  = 2 cos 2α −  , ч.т.д. 2 4 4 4      2π 2π   2π  2) cos α + cos  + α  + cos  − α  = cos α + 2 cos cos α = 3  3   3  = cos α − cos α = 0 , ч.т.д. sin 2α + sin 5α − sin 3α = 3) cos α + 1 − 2sin 2 2α 2sin α cos α + 2sin α cos 4α 2sin α(cos α + cos 4α) = = = 2sin α , ч.т.д. cos α + cos 4α cos α + cos 4α 543. 1) cos22o + cos24o + cos26o + cos28o = 2cos1ocos23o + 2cos1ocos27o = = 2cos1o(cos23o + cos27o) = 4cos1ocos2ocos25o; π π 5π π π π π π 1 2) cos + cos + cos = 2 cos cos − cos = 2 cos  cos −  = 12 4 6 6 12 6 6 12 2  π π π π π π 5π 5π = 2 cos  cos − cos  = 4cos sin sin = 2 3 sin sin . 6 24 8 24 8 6 12 3

151

www.5balls.ru

544. tgα + tgβ =

sin α sin β sin α cos β + sin β cos α sin(α + β) + = = , ч.т.д. cos α cos β cos α cos β cos α cos β sin 360o

1) tg267o + tg93o =

=0 cos 267o cos93o 5π 7π sin π 2) tg + tg = =0. 12 12 cos 5π ⋅ cos 7 π 12

545. 1) 1 – cosα + sinα = cos0 – cosα + sinα = α  α α α α α α = −2 sin sin −  + 2 sin cos = 2 sin  sin + cos  ; 2 2 2 2 2 2 2    2) 1 – 2cosα + cos2α = cos0 + cos2α – 2cosα = 2cosαcos( – α) – 2cosα = = 2cosα(cosα – 1); cos α + sin α cos α − cos 2 α − sin α = cos α cos α(1 − cos α ) − sin α(1 − cos α ) (1 − cos α )(cos α − sin α ) = = = (1 − cos α )(1 − tgα ) ; cos α cos α 1  sin α + cos α  4) 1 + sin α + cos α + tgα = sin α + cos α + = (sin α + cos α)1 + . cos α cos α 

3) 1 + sin α − cos α − tgα =

546. 1) cosα, если sin α =

3 π и < α < π ; cos α = − 1 − 1 = − 2 ; 2 3 3 3

5 3π 1 9 2 ; ; tgα = , π<α< −1 = −1 = 2 3 2 5 cos α 5 π 3) sinα, если tgα = 2 2 и 0 < α < ; 2 2) tgα, если cos α = −

sin α = tgα cos α = tgα ⋅

1 2

1 + tg α

=2 2⋅

1 2 2 ; = 9 3

3π ; 2     1  = 2 ⋅− 1  = − 2 . cos α = ctgα ⋅ sin α = ctgα ⋅  −   1 + ctg 2 α  3  3    π  π  547. 1) 2 sin (π − α )cos − α  + 3 sin 2  − α  − 2 = 2  2 

4) cosα, если ctgα = 2 и π < α <

= 2 sin α sin α + 3 cos 2 α − 2 = 2 cos 2 α + 3 cos 2 α = cos 2 α ; π  3π   sin (π + α )cos − α  tg α −  2 2  − sin α(− sin α )(− ctgα ) ctg 2α .    2) = = − sin α ⋅ sin α ⋅ tgα  π   3π + α  tg (π + α ) cos + α  cos  2   2

152

www.5balls.ru

548. 1) sin 47π = sin 8π − π  = − sin π = − 1 ; 2) tg 25π = tg 6π + π  = tg π = 1 ; 6

6



4



3) ctg 27π = ctg 7π − π  = −ctg π = −1 ; 4) cos 21π = cos 5π + π  = − cos π = − 2 . 4

4



4

23π 15π π π π π   549. 1) cos − sin = cos 6π −  − sin  4π −  = cos + sin = 2 ; 4 4 4 4 4 4    

2) sin

25π π π π π 10π 3   ; − tg = sin  8π +  − tg 3π +  = sin − tg = − 4 3 3 3 3 3 2  

3) 3cos3660o + sin(−1560o ) = 3cos(360o ⋅ 10 + 60o ) + sin(−180o ⋅ 9 + 60o ) = = 3 cos 60 o − sin 60 o =

(

)

3− 3 ; 2

(

) (

)

4) cos − 945 o + tg1035 o = cos − 180 o ⋅ 5 − 45 o + tg 360 o ⋅ 3 − 45 o = = − cos 45 o − tg 45 o = −

2 −1 . 2

 1 + cos2 α 1  1 + cos2 α − sin2 α  sin α ⋅ 550. 1)  − sin α tgα =  =  sin α 2   2 cosα sin α    

2cos 2 α sin α ⋅ = cos α ; sin α 2cos α

 1 + sin2 α  cosα  1 + sin 2 α − cos2 α  cos α 2sin2 α  = 2) ctgα ⋅ = 2sin α. − cosα  =  cosα  sin α   sin α cos α cosα    

( + α) − cos( + α) = sin 551. 1) sin ( + α) + cos ( + α) sin sin

π 4 π 4

π π π π cos α + sin α cos − cos cos α + sin sin α 4 4 4 4 = π π π π cos α + sin α cos + cos cos α − sin sin α 4 4 4 4

2 2 2 2 cos α + sin α − cos α + sin α 2 sin α 2 2 2 2 = = = tgα ; 2 2 2 2 2 cos α cos α + sin α + cos α − sin α 2 2 2 2 π π π π π π sin − α − cos − α sin cos α − sin α cos + cos α cos − sin sin α 4 4 4 4 4 4 2) = = π π π π π π α − α − α − α sin cos sin cos cos cos sin sin sin − α + cos − α 4 4 4 4 4 4

( ) ( ) ( ) ( )

2 (cos α − sin α ) 2 sin α

= 1 − ctgα

552. 1) 1 + tgαtgβ = 1 +

sin α sin β cos α cos β + sin α sin β cos(α − β) , ч.т.д. = = cos α cos β cos α cos β cos α cos β

153

www.5balls.ru

2) tgα − tgβ =

sin α sin β sin α cos β − sin β cos α sin(α − β) , ч.т.д. − = = cos α cos β cos α cos β cos α cos β

 π  π   553. 1) 2 sin 6α cos 2  + 3α  − sin 6α = sin 6α 2 cos 2  + 3α  − 1 = 4 4     

5π  5π   π = = sin 6α ⋅ cos + 6α  = − sin 2 6α =  α =  = − sin 2 24  4   2 1 π π  = − sin 2  π +  = − sin 2 = − ; 4 4 2    π π 2) cos3α + 2cos ( π − 3α ) sin 2  − 1,5α  = cos3α 1 − 2sin 2  − 1,5α   = 4  4  

1 5π  1  5π  1  π  = cos3α cos  − 3α  = cos 3α sin 3α = sin 6α =  α =  = sin   = . 2 36  2  5  4 2  

554. 1)

(

3 cos75o − cos15o 1 − 2sin2 15o

) = −2 2sin45o sin30o = −2 cos30o

2⋅ 3 2

2 1 ⋅ 2 2

=−

2 ; 3

π 2 π −1 cos 2 8 4 2 2) . = = = π π π 1+1 4 1 + 8sin 2 cos2 1 + 2sin 2 8 8 4

2cos 2

555. 1)

2 sin 2α − sin 4α 2 sin 2α(1− cos2α) 1− cos2α 2 sin2 α = = = = 2tg 2α , ч.т.д. 2 sin 2α + sin 4α 2 sin 2α(1+ cos2α) 1+ cos2α 2 cos2 α π

(1 − cos( − 2α)) 1 − sin2α 2 cos2α(1− sin 2α) 2 cos2α − sin 4α π 2 2) tg2 ( − α) = , = = = π 4 (1 + cos( + 2α)) 1 + sin2α 2 cos2α(1+ sin 2α) 2 cos2α + sin 4α 2

ч.т.д. 556. 1) sin35o + sin24o = 2sin30ocos5o = cos5o; 2) cos12o – cos48o = – 2sin( – 18o)sin30o = – sin( – 18o) = sin18o.  cos β sin β  1 − cos 4α 557.  + = ⋅  sin α cos α  cos(π − β + α ) =

(cos α cos β + sin α sin β) ⋅

2 sin 2 2α 2 cos(α − β )sin 2 2α = = −4sin 2α . 1 1 − cos(α − β ) sin 2α − sin 2α cos(α − β ) 2 2  7π  7π 7π sin(2α − 3π) + 2 cos + 2α  −sin2α + 2cos cos2α − 2sin sin2α 6   6 6 558. 1) = = π π π  2 cos − 2α + 3 cos(2α − 3π) 2cos cos2α + 2sin sin2α − 3cos2α 6 6 6 

154

www.5balls.ru

− sin 2α − 3 cos 2α + sin 2α

− 3 cos 2α = = − 3ctg 2α , ч.т.д. sin 2α 3 cos 2α + sin 2α − 3 cos 2α  π 2 cos − 2α  − 3 sin(2,5π − 2α) 2cos π cos2α + 2sin π sin 2α − 3cos2α 6   6 6 2) = = π π π  sin 2α + 2cos cos2α − 2sin sin 2α cos(4,5π − 2α) + 2 cos + 2α  6 6 6  3 cos 2α + sin 2α − 3 cos 2α sin 2α + 3 cos 2α − sin 2α

559. 1)

sin 2α 3 cos 2α

tgα 3

, ч.т.д.

1 − cos α + cos 2α 2cos 2 α cos α(2cos α − 1) = = = ctgα , ч.т.д. sin 2α − sin α sin 2α − sin α sin α(2cos α − 1)

sin α + sin

α 2

1 + cos α + cos

α 2

α α α + 1) sin (2cos + 1) α 2 2 2 = = tg , ч.т.д. α α α 2α 2 2cos cos (2cos + 1) + cos 2 2 2 2

sin (2cos

1+ π α π 1 − cos α 5 =2 560. < < и tgα = = 3 4 2 2 1 + cos α 1− 5

1 1 1 1 3 561. sin α cos α = − (sin α − cos α )2 + = − + = ; 2 2 8 2 8 1 11

sin 2 α cos2 α sin3 α − cos3 α (sin α − cos α)(1 + sin α cos α) 2 ⋅ 8 11 − = = = = . 3 cos α sin α sin α cos α sin α cos α 6

8 8 ctg 2α − 1 − 9 4 562. ctg2α = = =− ; 2 2ctgα 3 3 4sin 2α 5cos 2α 20 2 + 4− − 4sin 2α + 5cos 2α sin 2α = 4 + 5ctg2α = 3 = 3 =−4 . = sin 2α 2sin 2α − 3cos 2α 2sin 2α − 3cos 2α 2 − 3ctg2α 2 + 12 6 9 sin 2α sin 2α 3

563. 1) sin2(α + β) = (sinαcosβ + sinβcosα)2 = sin2αcos2β + sin2βcos2α + + 2sinαsinβcosαcosβ = sin2α – sin2αsin2β + sin2βsin2α + 2sinαcosαsinβcosβ = = sin2α + sin2β + 2sinαsinβ(cosαcosβ – sinαsinβ) = sin2α + sin2β+2sinαsinβ × ⋅ × cos(α + β), ч.т.д. 2) sinα + 2sin3α + sin5α = 2sin3αcos2α + 2sin3α = 2sin3α(cos2α + 1) = = 4sin3αcos2α, ч.т.д. sin α + sin3α + sin5α 2sin3α cos2α + sin3α 564. = = cos α + cos3α + cos5α 2cos3α cos2α + cos3α sin3α(2cos2α+1) sin3α = = tg3α , ч.т.д. cos3α(2cos2α+1) cos3α

155

www.5balls.ru

565. =

sin α 3

sin α + 3cos α

(

)

1 sin α tgα  2  tgα 1 + tg 2α 3  cos α  cos α = = = = 3

tg α + 3

2 ⋅ 5 10 = . 8 + 3 11

π  π  566. sin 2 α + cos − α  cos + α  = 3 3     π π π π 2 = sin α + (cos cos α + sin sin α )(cos cos α − sin sin α ) = 3 3 3 3 1 1 1 π π = sin 2 α + cos 2 cos 2 α − sin 2 sin 2 α = sin 2 α + cos 2 α = , ч.т.д. 3 3 4 4 4 1 1 1 567. 1) (5 + 3cos 4α ) = (6 cos 2 2α + 2) = (6(cos 2 α − sin 2 α ) 2 + 2) = 8 8 8 1 1 2 2 2 2 2 = (6(sin α + cos α) − 24sin α cos α + 2) = (8 − 24sin 2 α cos 2 α ) = 8 8 = 1 − 3sin 2 α cos 2 α = (sin 2 α + cos 2 α )(sin 2 α + cos 2 α ) − 3sin 2 α cos 2 α =

= sin 4 α + cos 4 α − sin 2 α cos 2 α = (sin 2 α + cos 2 α )(sin 4 α + cos 4 α ) − − sin 2 α cos 2 α (sin 2 α + cos 2 α ) = sin 6 α + cos 6 α + sin 2 α cos 4 α + + sin 4 α cos 2 α − sin 2 α cos 4 α = sin 6 α + cos 6 α , ч.т.д.

2) sin 8 α + cos8 α = (sin 4 α + cos 4 α ) 2 − 2sin 4 α cos 4 α = = ((sin 2 α + cos 2 α ) 2 − 2sin 2 α cos 2 α ) 2 − 2sin 4 α cos 4 α = (1 − 2sin 2 α cos 2 α ) 2 − 1 −2sin 4 α cos 4 α = 1 − 4sin 2 α cos 2 α + 2sin 4 α cos 4α = 1 − sin 2 α + sin 4 2α = 8 1 1 1 1 2 (1 − cos 4α ) = 1 − + cos 4α + = 1 − (1 − cos 4α ) + 2 32 2 2 1 1 1 1 cos 2 4α = cos 2 4α + 14 cos 4α + 17 , ч.т.д. + − cos 4α + 32 16 32 32

(

156

www.5balls.ru

)

Глава VI. Тригонометрические уравнения 568. 1) arccos 0 = 3) arccos

π ; 2

2 π = ; 2 4

2) arccos1 = 0; 4) arccos

1 π = ; 2 3

 π 5π 3  3 5) arccos − ; = π − arccos = π− =  2  2 6 6     2 2   = π − π = 3π . 6) arccos − = π − arccos  2   2  4 4     π 569. 1) 2 arccos 0 + 3 arccos 1 = 2 ⋅ + 3 ⋅ 0 = π ; 2 π 2) 3 arccos(− 1) − 2 arccos 0 = 3 ⋅ π − 2 ⋅ = 2π ; 2

3) 12 arccos

3 π 2π  1 − arccos −  = 12 ⋅ − 3 ⋅ =0; 2 6 3  2

  2  2  3π 2π 4) 4 arccos − − 6 arccos − = 4⋅ −6⋅ = 3π − 4π = −π .  2   2  4 3    

3 π π 3 1 1 = < = arccos , т.е. arccos < arccos ; 2 6 3 2 2 2 3 3     2) arccos −  < π = arccos(− 1) , т.е. arccos −  < arccos(− 1) ;  4  4 570. 1) arccos

 2  3π 2π  2   =  , т.е. arccos − 2  > arccos − 1  . 3) arccos − > = arccos −  2   2  4  2  3  2      

571. 1) cos x = 2) cos x = −

2 ; 2

3 ; 2

x = ± arccos

2 + 2πk ; 2

 3  x = ± π − arccos + 2πk ;   2  

x=±

π + 2πk , k ∈ Z ; 4

x=±

5π + 2πk , k ∈ Z ; 6

 1  3π  + 2πk ; x = ± π − arccos x=± + 2πk , k ∈ Z .  4 2   3 3 572. 1) cos x = ; x = ± arccos + 2πk, k ∈ Z ; 4 4 2) cosx = – 0,3; x = ±(π – arccos0,3) + 2πk, k ∈ Z 3) cos x = −

3) cos x = −

;

3 ; 2

 3  ; x = ± π − arccos   2  

x=±

5π + 2πk , k ∈ Z . 6

157

www.5balls.ru

π k, k ∈ Z . 2 2) cos2x = – 1; 2x = ±(π – arccos1) + 2πk; 2x = ±π + 2πk; π x = ± + πk, k ∈ Z . 2 x 1 x x 3π 3) 2 cos = −1 ; = ± (− arccos ) + 2πk ; = ± + 2πk ; 4 4 4 4 2 x = ±3π + 8πk, k ∈ Z. 573. 1) cos4x = 1; 4x = ±arccos1 + 2πk; 4x = 2πk; x =

4) 2 cos

x 3 x x π + 2πk ; = ± + 2πk ; = 3 ; = ± arccos 3 2 3 3 6

π + 6πk , k ∈ Z . 2 π π π  5) cos x +  = 0 ; x + = ± arccos 0 + 2πk ; x = − + 2πk , k ∈ Z . 3 3 3   x=±

π π π  6) cos 2x −  = 0 ; 2 x − = ± arccos 0 + 2πk ; 2 x = + 2πk ; 4 4 4   π x = + πk , k ∈ Z . 8 574. 1) cosxcos3x = sin3xsinx; cosxcos3x – sin3xsinx = 0; π π π cos4x = 0; 4 x = + πk ; x = + k, k ∈ Z . 2 8 4 π 2) cos2xcosx + sin2xsinx = 0; x = + πk , k ∈ Z . 2

(

)

575. 1) arccos 6 − 3 — имеет, т.к.

6 −3 <1;

( ) 7 −2 <1; 3) arccos(2 − 10 ) — не имеет, т.к. 2 − 10 > 1 ; 4) arccos(1 − 5 ) — не имеет, т.к. 1 − 5 > 1 ; 2) arccos 7 − 2 — имеет, т.к.

1 1 3π π 5) tg(3arccos ) — имеет, т.к. 3 arccos = = π+ . 2 3 2 2 cos22x – sin22x = 1; 576. 1) cos22x = 1 + sin22x; π cos4x = 1; 4x = 2πk; x = k, k ∈ Z . 2 2) 4cos2x = 3;

cos x = ±

3 ; 2

158

www.5balls.ru

π 5π π + 2πk и x = ± + 2πk , k ∈ Z , т.е. x = ± + πk , k ∈ Z . 6 6 6 1 cos2 x − sin 2 x = ; 3) 2cos2x = 1 + 2sin2x; 2 1 π π 2 x = ± + 2πk ; x = ± + πk , k ∈ Z . cos 2 x = ; 2 3 6 x=±

(

)

2 2 cos 2 x − 1 = 1 ; 4) 2 2 cos 2 x = 1 + 2 ; 1 π π cos 2 x = ; 2 x = ± + 2πk ; x = ± + πk , k ∈ Z ; 4 8 2 5) (1 + cosx)(3 – 2cosx) = 0; 3 cos = – 1 и cos x = ; x = π + 2πk, k ∈ Z; во втором случае решений нет. 2 4 6) (1 – cosx)(4 + 3cos2x) = 0; cosx = 1 и cos x = − ; 3 х = 2πk, k ∈ Z; во втором случае решений нет. 1 1 7) (1 + 2cosx)(1 – 3cosx) = 0; cos x = − и cos x = ; 2 3 2π 1 x=± + 2πk и x = ± arccos + 2πk , k ∈ Z . 3 3 1 2 8) (1 – 2cosx)(2 + 3cosx) = 0 cos x = и cos x = − ; 2 3 2 π x = ± + 2πk и x = ±( π − arccos ) + 2πk, k ∈ Z . 3 3 π 1 2π 577. cos 2 x = − ; 2x = ± + 2πk ; x = ± + πk , k ∈ Z ; 2 3 3  π 5π  среди них отрезку − ;  принадлежат:  2 2 x1 = −

2π 4π 5π 7π π π . , x2 = , x3 = ,x4 = , x5 = , x6 = 3 3 3 3 3 3

π π π + 2πk ; x = ± + k , k ∈ Z , 4 16 2 π π . x1 = − , x 2 = 16 16 1 7 π π 579. 1) arccos(2x − 3) = ; 2x − 3 = ; x= ; 2 x − 3 = cos ; 3 3 2 4 x +1 x + 1 2π 2π 5  1 ; 2) arccos ; x=− . = cos = x +1 = 3⋅−  ; 3 3 3 3 2 2  

2 ; 2 π среди них с x < ; 4 578. cos 4 x =

4x = ±

580. arccos a = α, такое, что cosα = a, и 0 ≤ α ≤ π, по определнию.

159

www.5balls.ru

Тогда cos(arccos a) = cosα = a, ч.т.д. 2) cos(arccos(− 2 )) = − 2 ;

1) cos(arccos0,2) = 0,2;

3) cos(π + arccos 3 ) = − cos(arccos 3 ) = − 3 ;

4 4 4 π 1 1 1 4) sin( + arccos ) = cos(arccos ) = ; 2 3 3 3

5) sin(arccos 4 ) = 1 − cos 2 (arccos 4 ) = 1 − 16 = 3 , т.к. 5 5 25 5 4 arccos ∈ [0; π] и sinα ≥ 0 для всех α ∈ [0; π]; 5

6) tg (arccos 3 ) = 10

arccos

1 cos 2 (arccos

3 ) 10

−1 =

10 1 − 1 = , т.к. 9 3

 π > 0 и tgα > 0, для всех α ∈ 0;  . 10  2 3

160

www.5balls.ru

581. arccos(cosα) = β, 0 ≤ β ≤ π, что cos β = cosα, так что α = β и arccos(cosα) = α, ч.т.д. π π 2) 3arccos(cos2) = 6; 1) 5arccos(cos ) = ; 10 2 8π π π 6π 3) arccos(cos ) = arccos(− cos ) = π − arccos(cos ) = ; 7 7 7 7 4) arccos(cos4) = arccos( – cos(4 – π)) = π – arccos(cos(4 – π)) = 2π – 4. 1 2 2 1 2 2 582. 1) sin(arccos + arccos ) = sin(arccos ) ⋅ cos(arccos )+ 3 3 3 3 1 2 2 1 2 2 1 8 8 1 + cos(arccos ) ⋅ sin(arccos ) = 1− ⋅ + ⋅ 1− = + = 1 . 3 3 9 3 3 9 9 9

4 3 4 3 2) cos(arccos − arccos ) = cos(arccos ) ⋅ cos(arccos ) + 5 5 5 5 4 3 4 3 16 9 4 3 3 4 24 . + sin(arccos ) ⋅ sin(arccos ) = ⋅ + 1 − = ⋅ + ⋅ = 1− 5 5 5 5 25 25 5 5 5 5 25

583. 1) cos(2arccosa) = 2cos2(arccosa) – 1 = 2a2 – 1; 3π 2) cos( + arcsin a) = sin (arcsin a ) = a . 2 584. 2 arccos 1 + a = arccos a ; 2

2arccos

1+ a 1 + cos(arccos a) 1 = 2arccos = 2arccos(cos( arccos a)) = 2 2 2

1 = 2 ⋅ arccos a = arccos a , ч.т.д. 2

585. 1) cosx = 0,35; x = ±arccos0,35 + 2πk, k ∈ Z, с помощью микрокалькулятора находим arccos0,35; 2) cosx = – 0,27; x = ±(π – arccos0,27) + 2πk, k ∈ Z, с помощью микрокалькулятора находим arccos0,27. 586. 1) arcsin0 = 0;

2) arcsin 1 = π ;

3) arcsin 3 = π ;

4) arcsin 1 = π ;

  5) arcsin − 2  = − π ;  2  4  

  6) arcsin − 3  = − π .  2  3  

587. 1) arcsin1 – arcsin(– 1) = 2arcsin1 = π4 2) arcsin 1 + arcsin − 1  = 0 ;   2



2

3) arcsin 1 + arcsin 3 = π + π = π ; 2

  4) arcsin − 3  + arcsin − 1  = − π − π = − π .  

2  3  2 588. 1) arcsin 1 и arcsin  − 1  ; 4  4

160

www.5balls.ru

arcsin

1 1  1 > 0 > − arcsin = arcsin  −  , т.е. 4 4  4

arcsin

1  1 > arcsin  −  ; 4  4

2) arcsin  − 3  и arcsin( – 1);  4

π  3 arcsin  −  > − = arcsin(−1) , т.е. 2  4

589. 1) sin x = 3 ;

 3 arcsin −  > arcsin (− 1) .  4

x = (− 1)k arcsin

3 + πk ; 2

2 + πk ; 2

x = (− 1)k

π + πk , k ∈ Z ; 3

π + πk , k ∈ Z ; 4

2) sin x = 2 ;

x = (− 1)k arcsin

3) sin x = − 1 ;

 1  π  + πk ; x = (− 1)k +1 + πk , k ∈ Z . x = (− 1)k arcsin −  4 2   2 x = (− 1)k arcsin + πk , k ∈ Z ; 7 1 x = (− 1)k +1 arcsin + πk , k ∈ Z ; 4

590. 1) sin x = 2 ; 7

2) sin x = − 1 ; 4 3) sin x = 5 ;

3x =

591. 1) sin3x = 1; 2) sin2x = – 1; 2 x = − 2 sin

4) 2 sin

5 + πk , k ∈ Z . 3

x = (− 1)k arcsin

x = (− 1)k

π + 2πk ; 2

x=−

π 2π k, k ∈ Z ; + 6 3

π + πk , k ∈ Z ; 4

x x 1 3π k +1 = −1 ; = ( −1) arcsin + 3πk , k ∈ Z ; + πk; x = (− 1)k +1 3 4 3 2

x = 3; 2

5) sin( x + 3π ) = 0 ;

4 6) sin(2 x + π ) = 0 ; 2

x 3 2π = (− 1)k arcsin + πk ; x = (− 1)k + πk , k ∈ Z ; 3 2 2 3π = 0 + πk ; 4 π 2 x + = πk ; 2

3π + πk , k ∈ Z ; 4 π π x = − + k, k ∈ Z . 4 2

x=−

592. 1) sin4xcos2x = cos4xsin2x; sin4xcos2x – cos4xsin2x = 0;

sin2x = 0;

2x = πk;

π k, k ∈ Z . 2

2) cos2xsin3x = sin2xcos3x; cos2xsin3x – sin2xcos3x = 0; sinx = 0; x = πk, k ∈ Z. 593. 1) arcsin( 5 − 2) — имеет, т.к. 5 − 2 ≤ 1 ; 2) arcsin( 5 − 3) — имеет, т.к. 3) arcsin(3 –

5 −3 ≤1;

17 ) arcsin(3 − 17) — не имеет, т.к. 3 –

17 < – 1;

161

www.5balls.ru

10 ) — не имеет, т.к. 2 – 10 < – 1; 1 1 π 5) tg(6arcsin ) — имеет, т.к. tg(6arcsin ) = tg(6 ⋅ ) = tgπ = 0 ; 2 2 6

4) arcsin(2 –

6) tg(2srcsin

2 ) — не имеет, т.к. tg(2arcsin 2 ) = tg(2 ⋅ π ) = tg π — не су2 2 4 2

ществует. 594. 1) 1 – 4sinxcosx = 0; 2 x = (− 1)k

π + πk ; 6

1 – 2sin2x = 0; x = (− 1)k

3 + 4 sin x cos x = 0 ;

sin 2 x =

1 ; 2

π π + k, k ∈ Z ; 12 2

3 + 2 sin 2 x = 0 ;

3 π π π 2 x = (− 1)k +1 + πk ; x = (− 1)k +1 + k , k ∈ Z ; 3 6 2 2 x x x 1 x 1 + 6 sin cos = 0 ; 1 + 3 sin = 0 ; sin = − ; 2 3 2 4 4 1 1 x = (− 1)k +1 arcsin + 2πk , k ∈ Z ; = (− 1)k +1 arcsin + πk ; 3 3 x x 2x 1 − 8 sin cos = 0 ; 1 − 4 sin = 0; 3 3 3

sin 2 x = − 3) x 2 4)

sin

2x 1 = (− 1)k arcsin + πk ; 3 4

x = (− 1)k

3 1 3 arcsin + πk , k ∈ Z . 2 4 2

595. 1) 1 + cos5xsin4x = cos4xsin5x; cos4xsin5x – cos5xsin4x = 1;

sinx = 1; x = π + 2πk , k ∈ Z ; 2

2) 1 – sinxcos2x = cos2xsinx; π + 2πk ; x = π + 2π k , k ∈ Z . 2 6 3 3 1 596. 1) (4sinx – 3)(2sinx + 1) = 0; sin x = или sin x = − ; 4 2 3 k k +1 π x = (− 1) arcsin + πk или x = (− 1) + πk , k ∈ Z ; 4 6 1 3 2) (4sin3x – 1)(2sinx + 3) = 0; sin 3x = или sin x = − ; 4 2

sinxcos2x – sin2xcosx = 1; sin3x = 1; 3x =

3x = (− 1)k arcsin

1 + πk , k ∈ Z , а во втором случае решений нет, значит, 4

1 1 π arcsin + k , k ∈ Z . 3 4 3 1 π 597. sin 2 x = ; 2 x = (− 1)k + πk ; 2 6 x = (− 1)k

162

www.5balls.ru

x = (− 1)k

π π + k, k ∈ Z ; 12 2

из них промежутку [0; 2π] принадлежат: x1 = π , x 2 = 5π , x 3 = 13π , x 4 = 17π . 12 x k π  2 = ( −1) 3 + πk, k ∈ Z  x 3 598. sin 2 = 2 ;  x − 4π < π ; log π ( x − 4π ) < 1   x − 4π > 0  

Решением системы является x =

12 12 12  x = ( −1)k 2π + 2πk, k ∈ Z  3  .  x < 5π  x > 4π  

14π . 3

599. Пусть arcsina — α, тогда α ∈ − π ; π  и sinα = a. Следовательно,  2 2

sin(arcsina) = sinα = a, ч.т.д.  1 1 1  1  1) sin(arcsin ) = ; 2) sin  arcsin −   = − ; 7 7 5  5   3 3 3 3) sin(π + arcsin ) = − sin(arcsin ) = − ; 4 4 4 3π 1 1 1 4) cos( − arcsin ) = − sin(arcsin ) = − ; 2 3 3 3 4 4 16 3 5) cos(arcsin ) = 1 − sin 2 (arcsin ) = 1 − = ; 5 5 25 5 1

6) tg(arcsin

) (sin arcsin 1 1 1 10 )= = = . 1 3 3 10 ) cos(arcsin 10 ⋅ 10

600. Пусть arcsin(sinα)=β, тогда sin α =sinβ и − π ≤ β ≤ π и − π ≤ α ≤ π , 2

т.е. α=β. Значит, arcsin(sinα) = α, ч.т.д. π π 1 1 2) 4arcsin(sin ) = 4 ⋅ = 2 ; 1) 7 arcsin(sin ) = 7 ⋅ = π ; 7 7 2 2 π π 6π 3) arcsin(sin ) = arcsin(sin ) = ; 7 7 7 4) arcsin(sin5) = arcsin(sin(5 – 2π) = 5 – 2π. 601. 1) cos(arcsin 3 ) = 1 − sin 2 (arcsin 3 ) = 1 − 9 = 4 ; 5

2) cos arcsin − 4   = 1 − sin 2  arcsin − 4   = 1 − 16 = 3 ;     25 5  5   5    3) cos arcsin − 1   = 1 − sin 2  arcsin − 1   = 1 − 1 = 2 2 ;     

 3 



 3 

163

www.5balls.ru

4) cos(arcsin 1 ) = 1 − sin 2 (arcsin 1 ) = 1 − 1 = 15 . 4

602. 1) sin(arccos 2 ) = 1 − cos2 (arccos 2 ) = 1 − 4 = 5 ; 3 3 9 3 2) sin  arccos − 1   = 1 − cos 2  arccos − 1   = 1 − 1 = 3 .     

 2 



603. 1) sin(arcsin 1 + arccos 2 2 ) = sin(arcsin 1 ) ⋅ cos(arccos 2 2 ) + 3

2 2 1 2 2 1 + sin(arccos ) ⋅ cos(arcsin ) = ⋅ + 3 3 3 3 2 2 1 1 2 2 4 2 2 2 1 ; ⋅ + ⋅ = ) ⋅ 1 − sin 2 (arcsin ) = 3 3 3 3 9 2 3 3 4 3 4 3 2) cos(arcsin + arccos ) = cos(arcsin ) ⋅ cos(arccos ) − sin(arcsin ) ⋅ 5 5 5 5 5

+ 1 − cos 2 (arccos

4 4 3 3 4 ⋅ sin(arccos ) = 1 − sin 2 (arcsin ) − 1 − cos 2 (arccos ) = 5 5 5 5 5  −1 ≤ x − 3 ≤ 1  2 ≤ x ≤ 4 2 604. 1) arcsin( x − 3) = π ;  ;  2 ; 2 6 x π x = 3+ 1 − 3 = sin 2 2 6 2

2) arcsin(3 − 2x) = −

4 4 3 3 7 . ⋅ − ⋅ = 5 5 5 5 25 4 ≤ x ≤ 8 . Ответ: х = 7.  x = 7

π ; 4

−1 ≤ 3 − 2x ≤ 1 −4 ≤ −2x ≤ −2   ;  π ;  2 3 − 2x = sin − 4 2x = 3 + 2 605. Т.к. 0≤а≤1, то arcsin a ∈ 0; π   2

( )

1 ≤ x ≤ 2  .  6+ 2  x = 4

Ответ: x =

6+ 2 . 4

и 2arcsina=[0; π], и arccos(1 − 2a 2 ) ∈ [0; π] ;

cos(2arcsina) = 1 – 2sin2(arcsina) = 1 – 2a2 = cos(arccos(1 – 2a2)), т.е. 2arcsina = arccos(1 – 2a2), ч.т.д. 606. 1) sinx = 0,65 x = ( – 1)karcsin0,65 + πk, k ∈ Z, с помощью микрокалькулятора находим arcsin0,65. 2) sinx = – 0,31 x = ( – 1)k + 1arcsin0,31 + πk, k ∈ Z, с помощью микрокалькулятора находим arcsin0,31.   607. 1) arctg0 = 0; 2) arctg (− 1) = − π ; 3) arctg − 3  = − π ; 4) arctg 3 = π .  

3 

  608. 1) 6arctg 3 − 4 arcsin − 1  = 6 ⋅ π − 4 ⋅  − π  = 2π + π = 3π ;   2



 4

2) 2arctg1 +3 arcsin − 1  = 2 ⋅ π + 3 ⋅  − π  = π − π = 0 ;  2

 6

164

www.5balls.ru

( )

  3) 5arctg − 3 − 3 arccos − 2  = 5 ⋅  − π  − 3 ⋅  3π  = − 5π − 9π = − 47 π .  

2 

 3

 4 

    609. 1) arctg( – 1) и arcsin − 3  ; arctg(− 1) = − π > − π = arcsin − 3  ,  

2 

 

2 

  т.е. arctg(− 1) > arcsin − 3  ;  

2 

1 1 1 π ; arctg 3 = = arccos , т.е. arctg 3 = arccos ; 2 2 2 3 3) arctg( – 3) и arctg2; arctg( – 3) < 0 < arctg2, т.е. arctg( – 3) < arctg2; 4) arctg( – 5) и arctg0; arctg( – 5) < 0 < arctg0, т.е. arctg( – 5) < arctg0. 1 1 π ; x = arctg + πk ; 610. 1) tgx = x = + πk , k ∈ Z ; 6 3 3

2) arctg 3 и arccos

2) tgx = 3 ;

x = arctg 3 + πk ;

3) tgx = − 3 ;

x = arctg(− 3) + πk ;

4) tgx = – 1;

x = atctg(– 1) + πk;

5) tgx = 4; 6) tgx = – 5;

x = arctg4 + πk, k ∈ Z; x = arctg(– 5) + πk;

π + πk , k ∈ Z ; 3 π x = − + πk , k ∈ Z ; 3 π x = − + πk , k ∈ Z ; 4 x=

x = – arctg5 + πk, k ∈ Z. π x = k, k ∈ Z ; 611. 1) tg3x = 0; 3x = πk; 3 x x x π 3π 2) 1 + tg = 0 ; tg = −1 ; = − + πk ; x = − + 3πk , k ∈ Z ; 3 3 3 4 4 x x x π 3) 3 + tg = 0 ; tg = − 3 ; = − + πk ; x = – 2π + 6πk, k ∈ Z. 6 6 6 3 612. 1) (tgx − 1)(tgx + 3) = 0 ; tgx = 1 или tgx = − 3 ;

π π + πk или x = − + πk , k ∈ Z ; 4 3

2) ( 3tgx + 1)(tgx − 3) = 0 ; 1 π π tgx = − или tgx = 3 ; x = − + πk или x = + πk , k ∈ Z ; 6 3 3 3) (tgx – 2)(2cosx – 1) = 0; 1 π x = arctg2 + πk или x = ± + 2πk , k ∈ Z ; tgx = 2 или cos x = ; 2 3 4) (tgx – 4,5)(1 + 2sinx) = 0; 1 π tgx = 4,5 или sin x = − ; x = arctg4,5 + πk или x = (− 1)k +1 + πk , k ∈ Z ; 2 6

165

www.5balls.ru

x − 1) = 0 ; 2 x tgx = – 4 или tg = 1 ; 2

5) (tgx + 4)(tg

x = – arctg4 + πk или x =

x = – arctg4 + πk или

x π = + πk , k ∈ Z , т.е. 2 4

π + 2πk , k ∈ Z ; 2

π Последняя серия корней не подходит, т.к. tg( + 2πk) — не существу2 ет, т.е. x = – arctg4 + πk, k ∈ Z; x x 6) ( tg + 1)( tgx − 1) = 0; tg = −1 или tgx = 1; 6 6 х π π = − + πk или x = + πk, k ∈ Z ; 6 4 4 π −3π x= + 6π или x = + πk, k ∈ Z . Первая серия корней не подходит, 4 2 π 3π т.к. tg (− + 6πk) — не существует, значит, х = + πk, k ∈ Z . 2 4 613. tgx =

3 ; 3

π + πk , k ∈ Z ; 6

Наименьший положительный корень x 1 = π , а наибольший отрицатель6

ный x 2 = − 5π . 6 614. 1) arctg(5x − 1) =

π ; 4

5x − 1 = tg

π ; 4

5х = 2;

2 ; 5

3+ 3  π . 5x = 3 + 3 ; x = 3 − 5x = tg −  ; 5 3   615. Пусть arctga=α, тогда − π < α < π и tgα=a, т.е. tg(arctga)=tgα=a, ч.т.д. 2 2 2) arctg(3 − 5x ) = −

π ; 3

1) tg(arctg2,1) = 2,1;

2) tg(arctg( – 0,3)) = – 0,3;

3) tg(π – arctg7) = – tg(arctg7) = – 7; 4) ctg( π + arctg6) = − tg(arctg6) = −6 . 2

616. Пусть arctg(tgα) = β, тогда − π < α < π ;− π < β < π и tgβ = tgα, зна2

чит, α = β, т.е. arctg(tgα) = α, ч.т.д. 1) 3arctg(tg π ) = 3 ⋅ π = 3π ;

3) arctg tg 7 π  = arctg tg − π   = − π ;  

2) 4arctg(tg0,5) = 4 ⋅ 0,5 = 2;

4) arctg(tg13) = arctg(tg(13 – 4π))=13 – 4π.



8 

166

www.5balls.ru

  8 

617. 1) arctg ctg 5π  = arctg tg − π   = − π ;  

  3  2) arctg(ctg 3π ) = arctg(− tg π ) = − π ; 4 4 4 

6 

3) arctg(2sin 5π) = arctg(2 ⋅ 1 ) = arctg1 = π ; 6

4) arctg(2sin π) = arctg(2 ⋅ 3 ) = arctg 3 = π 3 2 3 618. Т.к. arctga ∈  − π ; π  , то cos (arctga ) =  2 2

1 1 + tg 2 (arctga)

1 1 + a2

ч.т.д. 619. 1) tgx = 9; x = arctg9 + πk, k ∈ Z, с помощью микрокалькулятора находим arctg9; 2) tgx = – 7,8; x = – arctg7,8 + πk, k ∈ Z, с помощью микрокалькулятора находим arctg7,8. 1 1 π 1 620. 1) sin 2 x = ; sin x = или sin x = − ; x = (− 1)k + πk или 4 2 2 6 π k +1 π x = (− 1) + πk , k ∈ Z ; обобщая, получаем x = ± + πk , k ∈ Z ; 6 6 1 1 1 π ; x = ± + 2πk или 2) cos 2 x = ; cos x = или cos x = − 2 4 2 2 3π π π + 2πk , k ∈ Z ; обобщая, получаем x = + k , k ∈ Z ; 4 4 2 1 3) 2sin2x + sinx – 1 = 0; sinx = a; 2a2 + a – 1 = 0; a1 = – 1, a 2 = ; 2 x=±

sinx = – 1 или sin x = 1 ; x = − π + 2πk или x = (− 1)k π + πk , k ∈ Z ; 2

4) 2cos2x + cosx – 6 = 0; cosx = a; 2a2 + a – 6 = 0; a1 = – 4, a 2 =

3 ; 2

3 ; уравнения решений не имеют. 2 2 621. 1) 2cos x – sinx + 1 = 0; 2(1 – sin2x) – sinx + 1 = 0; 3 3 2sin2x + sinx – 3 = 0; sinx = a; 2a2 + a – 3 = 0; a = − , a = 1; sin x = − , 2 2 π sinx = 1 или x = + 2πk , k ∈ Z ; первое уравнение решений не имеет. 2 3(1 – sin2x) – sinx – 1 = 0; 2) 3cos2x – sinx – 1 = 0; 2 3sin2x + sinx – 2 = 0; sinx = a; 3a2 + a – 2 = 0; a1 = – 1, a 2 = ; 3 2 π 2 sinx = – 1 или sin x = ; x = − + 2πk или x = (− 1)k arcsin + πk, k ∈ Z . 3 2 3 4(1 – cos2x) – cosx – 1 = 0; 3) 4sin2x – cosx – 1 = 0; cosx = – 4 или cos x =

167

www.5balls.ru

4cos2x – cosx – 3 = 0;

cosx = a;

4a2 + a – 3 = 0;

a1 = – 1, a 2 =

3 ; 4

3 3 ; x = π + 2πk или x = ± arccos + 2πk , k ∈ Z . 4 4 4) 2sin2x + 3cosx = 0; 2(1 – cos2x) + 3cosx = 0; 2cos2x + 3cosx – 2 = 0; 1 1 cosx = a; 2a2 – 3a – 2 = 0; a1 = − , a2 = 2; cos x = − или cosx = 2; 2 2 2π x=± + 2πk , k ∈ Z ; второе уравнение корней не имеет. 3 622. 1) tg2x = 2 tgx = ±2 x = ±arctg2 + πk, k ∈ Z; π 2) tgx = ctgx tg2x = 1 tgx = ±1 x = ± + πk , k ∈ Z ; 4 tgx = a a2 – 3a – 4 = 0 a1 = – 1, a2 = 4; 3)tg2x – 3tgx – 4 = 0 π tgx = – 1 или tgx = 4; x = − + πk или x = arctg4 + πk, k ∈ Z. 4 4) tg2x – tgx + 1 = 0 tgx = a a2 – a + 1 = 0 D < 0, решений нет. 623. 1) 1 + 7cos2x = 3sin2x; tg2x – 6tgx + 8 = 0; sin2x + 8cos2x – 6sinxcosx = 0 | : cos2x; 2 tgx = a; a – 6a + 8 = 0; a1 = 2, a2 = 4; tgx = 2 или tgx = 4; x = arctg2 + πk или x = arctg4 + πk, k ∈ Z. 2) cos2x + cos2x + sinscosx = 0; tg2x – tgx – 2 = 0; 2cos2x – sin2x + sinxcosx = 0 | : cos2x; 2 1 2 tgx = a; a – a – 2 = 0; a = 2, a = – 1; tgx = – 1 или tgx = 2; cosx = – 1 или cos x =

x=−

π + πk или x = arcrtg2 + πk, k ∈ Z. 4

3) 3 + sin2x = 4sin2x; sin2x – 2sinxcosx – 3cos2x = 0 | : cos2x; tg2x – 2tgx – 3 = 0; 2 a1 = – 1, a2 = 3; tgx = – 1 или tgx = 3; tgx = a; a – 2a – 3 = 0; π x = − + πk или x = arctg3 + πk, k ∈ Z. 4 4) 3cos2x + sin2x + 5sinxcosx = 0; 2tg2x – 5tgx – 3 = 0; 3cos2x – 2sin2x + 5sinxcosx = 0 | : cos2x; 1 1 a1 = − , a2 = 3; tgx = − или tgx = 3; tgx = a; 2a2 – 5a – 3 = 0; 2 2 x = −arctg

1 + πk или x = arctg3 + πk, k ∈ Z. 2

624. 1) 3 cos x + sin x = 0 |:cosx; π x = − + πk , k ∈ Z ; 3 2) cosx = sinx |:cosx;

tgx = 1;

3 + tgx = 0 ;

π + πk , k ∈ Z ; 4

168

www.5balls.ru

tgx = − 3 ;

tgx = 2; x = arctg2 + πk, k ∈ Z; 1 4) 2sinx + cosx = 0 |:cosx; 2tgx + 1 = 0; tgx = − ; 2 1 x = −arctg + πk , k ∈ Z . 2 3) sinx = 2cosx |:cosx;

2 2 2 ; − cos x = 2 2 2

625. 1) sinx – cosx = 1 |: 2 ;

sin x ⋅

π π 2 ; − sin cos x = 4 4 2 π π x − = (− 1)k + πk ; 4 4

π 2 ; sin( x − ) = 4 2 π π x = (− 1)k + + πk , k ∈ Z ; 4 4

2) sinx + cosx = 1 |: 2 ;

sin x ⋅

π π 2 ; + sin cos x = 4 4 2 π π x + = (− 1)k + πk ; 4 4

π 2 ; sin( x + ) = 4 2 π π x = (− 1)k − + πk , k ∈ Z ; 4 4

sin x cos

3 1 sin x + cos x = 1 ; 2 2 π sin( x + ) = 1 ; 6 π x = + 2πk , k ∈ Z ; 3

3 sin x + cos x = 2 |:2;

π π sin x + sin cos x = 1 ; 6 6 π π x + = + 2πk ; 6 2

cos

4) sin 3x + cos 3x = 2 |: 2 ; π π sin 3x + cos 3x sin = 1 ; 4 4 π π 3x + = + 2πk ; 4 2 cos

2 2 2 ; + cos x = 2 2 2

2 2 sin 3x + cos 3x = 1 ; 2 2 π sin(3 x + ) = 1 ; 4 π 2π + x= k, k ∈ Z . 12 3

626. 1) cosx = cos3x;

cos3x – cosx = 0; – 2sin2xsinx = 0; sin2x = 0 или π sinx = 0; 2x = πk или x = πk, k ∈ Z; x = k или x = πk (входит в серию 2 π π корней x = k ), k ∈ Z, т.е. x = k , k ∈ Z ; 2 2 2) sin5x = sinx; sin5x – sinx = 0; 2sin2xcos3x = 0; sin2x = 0 или cos3x = 0; π π π π 2x = πk или 3x = + πk , k ∈ Z ; x = k или x = + k , k ∈ Z ; 2 2 6 3 π 3). sin 2x = cos3x; cos3x − sin 2x = 0; sin( + 3x) − sin 2x = 0 ; 2

169

www.5balls.ru

π x  π 5x   π x   π 5x  sin  +  = 0 или cos + 2 sin  +  cos + =0; =0; 4 2 4 2  4 4 4 2  π π 2π π x π 5x π + = + πk , k ∈ z ; x = − + 2πk или x = k, k ∈ z ; + = πk или + 4 2 4 2 2 2 10 5 4). sin x + cos3x = 0; cos3x + cos( π − x) = 0 ; 2 π π π 2cos( + x) cos( − + 2x) = 0; cos( + x) = 0 или 4 4 4 π π π π π cos(2x − ) = 0; + x = + πk или 2 x − = + πk , 4 4 2 4 2 π 3π π k ∈ z; x = + πk или x = + k, k ∈ z . 4 2 2

627. 1) cos3x – cos5x = sin4x; – 2sin4xsin( – x) = sin4x; sin4x(1–2sinx)=0; 1 π sin4x = 0 или sin x = ; 4x = πk или x = (− 1)k + πk , k ∈ Z ; 6 2 π π x = k или x = (− 1)k + πk , k ∈ Z ; 4 6 2) sin7x – sinx = cos4x; 2sin3xcos4x = cos4x; cos4x(2sin3x – 1) = 0; 1 π π 4 x = + πk или 3x = (− 1)k + πk , k ∈ Z ; cos4x = 0 или sin 3x = ; 2 6 2 π π π π x = + k или x = (− 1)k + k, k ∈ Z ; 18 3 4 2 3) cosx + cos3x = 4cos2x; 2cos2xcos( – x) = 4cos2x; cos2x(4 – 2cosx) = 0; cos2x = 0 или cosx = 2;

2x =

π + πk , k ∈ Z , во втором случае реше2

ний нет, т.е. x = π + π k , k ∈ Z ; 4

4) sin2x – cos2x = cos4x; – cos2x = 2cos22x – 1; 2cos22x + cos2x – 1 = 0; 1 1 cos2x = a; 2a2 + a – 1 = 0; a1 = – 1, a 2 = ; cos2x = – 1 или cos 2 x = ; 2 2 π 2x = π + 2πk или 2x = ± π + 2πk , k ∈ Z ; x = + πk или x = ± π + πk , k ∈ Z . 2 6 3 628. 1) (tgx − 3)(2sin x + 1) = 0 ; 12

tgx = 3 или sin x = − 1 ; 12

π π x = (− 1)k +1 + πk , k ∈ Z ; x = + πk или 3 12 6 k +1 π x = + πk или x = (− 1) 2π + 12πk , k ∈ Z ; 3

2) (1 − 2 cos x )(1 + 3tgx) = 0 ; 4

cos

x 2 или tgx = − 3 ; = 4 2 3

170

www.5balls.ru

x π π = ± + 2πk или x = − + πk , k ∈ Z ; 4 4 6 π х = ±π + 8πk, k ∈ Z или x = − + πk , k ∈ Z ; 6 3) (2sin( x + π ) − 1)(2tgx + 1) = 0 ;

1 π 1 sin(x + ) = или tgx = − ; 2 6 2

1 π π = (− 1)k + πk или x = – arctg + πk, k ∈ Z ; 6 6 2

x = (− 1)k

1 π π − + πk или x = – arctg + πk, k ∈ Z ; 6 6 2 π 2 или tgx = 3; cos(x + ) = − 4 2

4) (1 + 2 cos(x + π ))(tgx − 3) = 0 ; 4

π 3π =± + 2πk или x = arctg3 + πk, k ∈ Z 4 4 π x = + 2πk , x = – π + 2πk или x = arctg3 + πk, k ∈ Z 2

первая серия корней не подходит, т.к. tg( π + 2πk) — не существует, т.е. 2

x = – π + 2πk или x = arctg3 + πk, k ∈ Z 629. 1)

3 sin x cos x = sin 2 x ;

3 − tgx = 0 ; π x = πk или x = + πk , k ∈ Z ; sinx = 0 или tgx = 3 ; 3 2) 2sinxcosx = cosx; cosx(2sinx – 1) = 0; π 1 π x = + πk или x = (− 1)k + πk , k ∈ Z ; cosx = 0 или sinx = ; 6 2 2 2sin2xcos2x + sin22x = 0; 3) sin4x + sin22x = 0; sin2x(2cos2x + sin2x) = 0; sin2x = 0 или 2cos2x + sin2x = 0; sin2x = 0 или 2 + tgx = 0; sin2x = 0 или tg2x = – 2; 2x = πk или 2x = – arctg2 + πk, k ∈ Z; π 1 π x = k или x = − arctg2 + k , k ∈ Z ; 2 2 2 2sinxcosx + 2cos2x = 0; 4) sin2x + 2cos2x = 0; 2cosx(sinx + cosx) = 0; cosx = 0 или sinx + cosx = 0; cosx = 0 или tgx + 1 = 0; cosx = 0 или tgx = – 1; π π x = + πk или x = − + πk , k ∈ Z . 2 4 1 2 2 630. 1) 2 sin x = 1 + sin 4x ; 1 − cos 2 x = 1 + sin 2 x cos 2x ; 3 3 sinx = 0 или

3 cos x − sin x = 0 ;

sin x( 3 cos x − sin x) = 0 ; sinx = 0 или

171

www.5balls.ru

2 3 cos 2 x( sin 2 x + 1) = 0 ; cos2x = 0 или sin 2 x = − ; 2 3 π π π 2 x = + πk , во втором случае решений нет x = + k , k ∈ Z ; 2 4 2 2) 2cos22x – 1 = sin4x; 1 + cos4x – 1 = sin4x |:cos4x; π π π 1 = tg4x; 4 x = + πk ; x= + k, k ∈ Z ; 4 16 4 3 3) 2cos22x + 3cos2x = 2; 2 cos 2 x + (1 + cos 2 x ) = 2 ; 2 cos2x = a; 4cos22x + 3cos2x – 1 = 0; 1 1 cos2x = – 1 или cos 2 x = ; 4a2 + 3a – 1 = 0; a1 = – 1, a 2 = ; 4 4 1 2x = π + 2πk или 2 x = ± arccos + 2πk , k ∈ Z , т.е. 4 π 1 1 x = + πk или x = ± arccos + πk , k ∈ Z ; 2 2 4 4) (sinx + cosx)2 = 1 + cosx; sin2x + cos2x + 2sinxcosx = 1 + cosx; 1 2sinxcosx = cosx; cosx(2sinx – 1) = 0; cosx = 0 или sin x = ; 2 π k π x = + πk или x = (− 1) + πk , k ∈ Z . 2 6 631. 1) 2sin2x – 3(sinx + cosx) + 2 = 0; 2sin2x – 3(sinx + cosx) + 2(sin2x + cos2x) = 0; 2sin2x – 3(sinx + cosx) + 2(sinx + cosx)2 – 2sin2x = 0; (sinx + cosx)(2sinx + 2cosx – 3) = 0; 3 sinx + cosx = 0 или sin x + cos x = ; tgx + 1 = 0 или sin( x + π ) = 3 ; 2 4 2 2 π tgx = – 1, во втором случае решений нет x = − + πk , k ∈ Z . 4 2) sin2x + 3 = 3sinx + 3cosx; sin2x + cos2x + 2sinxcosx + 2 = 3(sinx + cosx); (sinx + cosx)2 + 2 = 3(sinx + cosx); a = 1, a = 2; sinx + cosx = a; a2 – 3a + 2 = 0; cosx + sinx = 1 или cosx + sinx = 2; π 2 или sin( x + π ) = 2 ; sin( x + ) = 4 4 2

во втором случае решений нет, т.е. x = (− 1)

π π = (−1) k + πk , k ∈ Z ; 4 4

π π − + πk , k ∈ Z . 4 4

3) sin2x + 4(sinx + cosx) + 4 = 0; sin2x + cos2x + 2sinxcosx + 4(sinx + cosx) + 3 = 0; (sinx + cosx)2 + 4(sinx + cosx) + 3 = 0;

172

www.5balls.ru

sinx + cosx = a; a2 + 4a + 3 = 0; sinx + cosx = – 1 или sinx + cosx = – 3; π 1 sin( x + ) = − 4 2

a = – 1, a = – 3;

или sin(x + π ) = − 3 ; x + π = (− 1)k +1 π + πk , k ∈ Z , а во 4

втором случае решений нет, т.е. x = (− 1)

k +1

4 4 π π − + πk , k ∈ Z . 4 4

4) sin2x + 5(cosx + sinx + 1) = 0; sin2x + cos2x + sinxcosx + 5(sinx + cosx) + 4 = 0; (sinx + cosx)2 + 5(sinx + cosx) + 4 = 0; sinx + cosx = a; a2 + 5a + 4 = 0; a1 = – 1, a2 = – 4; sinx + cosx = – 1 или sinx + cosx = – 4; π 2 или sin(x + π ) = −2 2 ; x + π = (− 1)k +1 π + πk , k ∈ Z , а во sin(x + ) = − 4 4 4 2 4 π π k 1 + втором случае решений нет, т.е. x = (− 1) − + πk , k ∈ Z . 4 4 632. 1) 1 − cos(π − x ) + sin  π + x  = 0 ; 2 2

1 + cosx + cosx = 0; 2)

cos x = −

1 2

π 2 2 cos(x − ) = (sin x + cos x ) ; 4

x=±

(cosx + sinx)(1 – (sinx + cosx)) = 0;

2π + 2 πk, k ∈ Z ; 3

2 2 cos x + sin x) = (sin x + cos x) 2 ;; 2 2

sinx + cosx = 0 или sinx + cosx = 1;

tgx + 1 = 0 или sin( x + π ) = 1 ; tgx = – 1 или x + π = (− 1)k π + πk, k ∈ Z ; 4 4 4 2 π π π x = − + πk или x = (− 1)k − + πk , k ∈ Z . 4 4 4 633. 1) 8sinxcosxcos2x = 1; 2sin4x = 1;

1 sin 4 x = ; 2

4sin2xcos2x = 1; 4 x = (− 1)k

π + πk ; 6

x = (− 1)k

π π + k, k ∈ Z ; 24 4

(1 – sin4x) + cos2x = 0; 2) 1 + cos2x = sin4x; 2 2 2 cos2x(1 + sin2x) + cos2x = 0; (1 – sin x)(1 + sin x) + cos x = 0; π cos2x(2 + sin2x) = 0; cosx = 0; x = + πk , k ∈ Z . 2 634. 1) 2cos2x + 3sin4x + 4sin22x = 0 |:cos22x; 4tg22x + 6tg2x + 2 = 0; tg2x = a;

2a2 + 3a + 1 = 0;

a1 = – 1, a 2 = −

1 ; 2

π 1 1 ; 2 x = − + πk или 2 x = −arctg + πk , k ∈ Z ; 4 2 2 π π 1 1 π x = − + k или x = − arctg + k , k ∈ Z ; 8 2 2 2 2 2) 1 – sinxcosx + 2cos2x = 0; sin2x – sinxcosx + 3cos2x = 0 |:cos2x; tg2x – tgx + 3 = 0 tgx = a;

tg2x = – 1 или tg 2x = −

173

www.5balls.ru

a2 – a + 3 = 0;

D < 0 — решений нет

3) 2 sin 2 x + 1 cos3 2 x = 1 ; 4 1 2 cos 2x( cos x − 1) = 0 ; 4

1 − cos 2 x +

1 cos3 2 x = 1 ; 4

cos2x = 0 или cos2x = 4;

во втором случае решений нет, т.е.

2x =

π + πk , k ∈ Z , 4

π π + k, k ∈ Z ; 4 2

4) sin22x + cos23x = 1 + 4sinx; sin22x – sin23x = 4sinx; (sin2x – sin3x)(sin3x + sin2x) = 4sinx; − 2 sin

x 5x 5x x x x x x 5x 5x ⋅ 2 sin cos cos = 8 sin cos 2sin cos (4 + 2cos sin ) = 0 ; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

sin(4 + sin5x) = 0 sinx = 0 или sin5x = – 4; x = πk, k ∈ Z, а второе уравнение решений не имеет, т.е. x = πk, k ∈ Z. 635. 1) cosxcos2x = sinxsin2x; cosxcos2x = 2sin2xcosx; 2 cosx(1 – 4sin2x) = 0; cosx(cos2x – 2sin x) = 0; 1 π π cosx = 0 или sin x = ± ; x = + πk или x = ± + πk , k ∈ Z ; 2 6 2 2) sin2xcosx = cos2xsinx; 2cos2xsinx = cos2xsinx; sinx(cos2x – 2cos2x) = 0; 2 x = πk, k ∈ Z; sinx = 0, т.к. cos2x – 2cos x = 1, т.е. 3) sin3x = sin2xcosx; sin2xcosx + cos2xsinx = sin2xcosx; sinxcos2x = 0; sinx = 0 или cos2x = 0; π π π x = πk или 2 x = + πk , k ∈ Z , т.е. x = πk или x = + k , k ∈ Z ; 2 4 2 4) cos5xcosx = cos4x; cos5xcosx = cos5xcosx + sin5xsinx; sin5xsinx = 0; sin5x = 0 или sinx = 0 5x = πk или x = πk, k ∈ Z; π x = πk или x = k , k ∈ Z (первая серия корней входит во вторую), т.е. 5 π x = k, k ∈ Z . 5 636. 1) 4sin2x – 5sinxcosx – 6cos2x = 0 |:cos2x; 3 a1 = − , a2 = 2; 4tg2x – 5tgx – 6 = 0; tgx = a; 4a2 – 5a – 6 = 0; 4 3 3 x = −arctg + πk или x = arctg2 + πk, k ∈ Z; tgx = − или tgx = 2; 4 4 2) 3sin2x – 7sinxcosx + 2cos2x = 0 |:cos2x; 1 3tg2x – 7tgx + 2 = 0; tgx = a; 3a2 – 7a + 2 = 0; a1 = , a2 = 2; 3 1 1 x = arctg + πk или x = arctg2 + πk, k ∈ Z; tgx = или tgx = 2; 3 3 3) 1 – 4sinxcosx + 4cos2x = 0; sin2x – 4sinxcosx + 5cos2x = 0 |:cos2x; tg2x – 4tgx + 5 = 0;

174

www.5balls.ru

tgx = a; a2 – 4a + 5 = 0; D < 0 — решений нет; 4) 1 + sin2x = 2sinxcosx; 2tg2x – 2tgx + 1 = 0; 2sin2x – 2sinxcosx + cos2x = 0 |:cos2x; 2 tgx = a; 2a – 2a + 1 = 0 D < 0 — решений нет. 637. 1) 4sin3x + sin5x – 2sinxcos2x = 0; 4sin3x + sin5x + sinx – sin3x = 0; 3sin3x + 2sin3xcos2x = 0; sin3x(3 + 2cos2x) = 0;

sin3x = 0 или cos 2x = − 3 ; 2

3x = πk, k ∈ Z, во втором случае решений нет, т.е. x = π k , k ∈ Z ; 3

2) 6cos2xsinx + 7sin2x = 0; 6cos2xsinx + 14sinxcosx = 0; 2sinx(3cos2x + 7cosx) = 0; sinx = 0 или 6cos2x + 7cosx – 3 = 0; cosx = a; 3 1 2 a1 = − ,a 2 = ; sinx = 0 или 6a + 7a – 3 = 0; 2 3 3 1 sinx = 0 или cos 2 x = − или cos 2 x = ; 2 3 1 x = πk или 2 x = ± arccos + 2πk , k ∈ Z , а во втором случае решений нет, 3 1 1 т.е. x = πk или x = ± arccos + 2πk , k ∈ Z . 2 3 638. 1) sin2x + sin22x = sin23x; (sinx – sin3x)(sinx + sin3x) + sin2x ⋅ 2sinxcosx = 0; – 2sinxcos2x ⋅ 2sin2xcosx + sin2x ⋅ 2sinx ⋅ cosx = 0; 2sinx ⋅ cosx ⋅ sin2x(1 – 2cos2x) = 0; sin22x(1 – 2cos2x) = 0; π 1 2x = πk или 2 x = ± + 2πk , k ∈ Z ; sin2x = 0 или cos 2x = ; 3 2 π π x = k или x = ± + πk , k ∈ Z ; 2 6 2) sinx(1 – cosx)2 + cosx(1 – sinx)2 = 2; sinx + cosx + sinxcosx(sinx + cosx) – 4sinxcosx = 2; (sin x + cos x) 2 − 1 ⋅ (sin x + cos x) = 2(sin x + cos x) 2 ; 2 t t 2 sinx + cosx = t; (2 + (t 2 − 1) − 4t) = 0 ; (t − 4t + 1) = 0 ; 2 2 (sin x + cos x) +

t1 = 0 или t 2 = 2 + 3 или t 3 = 2 − 3 ; sinx + cosx = 0 или sin x + cos x = 2 + 3 или sin x + cos x = 2 − 3 ; tgx = – 1 или sin(x + π ) = 2 + 3 или sin(x + π ) = 2 − 3 ; 4

x=−

π 2− 3 π + πk или x = − + (− 1)k arcsin + πk , k ∈ Z , ; 4 4 2

175

www.5balls.ru

а во втором случае решений нет. 639. 1) sin x sin 2x sin 3x = 1 sin 4 x ; 4

sinxsin2xsin3x = sinxcosxcos2x;

sinx(cosxcos2x – sin2xsin3x) = 0;

1 1 1 1 1 1 sin x( cos3x + cos x + cos5x − cos x) = 0 ; sin x( cos3x + cos5x) = 0 ; 2 2 2 2 2 2

sinxcosxcos4x = 0;

sinx = 0 или cosx = 0 или cos4x = 0;

x = πk или x = π + πk или 4 x = π + πk , k ∈ Z ; 2 2 π π π x = πk или x = + πk или x = + k , k ∈ Z ; 8 4 2 1 2) sin 4 x + cos 4 x = sin 2 2x ; (cos2x – sin2x)2 + 2sin2xcos2x = 2sin2xcos2x; 2 π 2 cos x = 0; 2 x = + πk , k ∈ Z ; x = π + π k , k ∈ Z . 4 2 2

640. 1) cos2x + cos22x = cos23x + cos24x; (cos2x – cos23x) + (cos22x – cos24x) = 0; (cosx – cos3x)(cosx + cos3x) + (cos2x – cos4x)(cos2x + cos4x) = 0; 2sinxsin2x ⋅ 2cosxcos2x + 2sinxsin3x ⋅ 2cosxcos3x = 0; sin2xsin4x + sin2xsin6x = 0; sin2x(sin4x + sin6x) = 0; 2sin2x ⋅ sin5xcosx = 0; sin2x = 0 или sin5x = 0 или cosx = 0; π π π 2x = πk или 5x = πk или x = + πk , k ∈ Z ; x = k или x = k или 2 2 5 π π π x = + πk (входит в первую серию корней), т.е. x = k или x = k , k ∈ Z ; 2 2 5 2) sin 6 x + cos6 x = 1 ; (sin 2 x + cos 2 x)3 − 3sin 4 x cos 2 x − 3cos 4 x sin 2 x = 1 ;

4 3 2 3 1 ; sin2x = ±1; − sin 2 x = − 1 − 3sin x cos x(sin x + cos x) = 4 4 4 π π π 2 x = + πk , x = + k , k ∈ Z . 2 4 2 cos2x cosx cos 2x 1 2 641. 1) + = 1; = a ; a + = 1 ; а –а+1=0; D<0 — решений нет. cosx cos2x cos x a 2) sin x + 1 = sin 2 x + 1 ; sinx = a; sin x sin 2 x 1 1 a4 – a3 – a + 1 = 0; a3(a – 1) – (a – 1) = 0; a + = a2 + 2 ; a a π (a3 – 1)(a – 1) = 0; a = 1; sinx = 1; x = + 2πk , k ∈ Z . 2 4

176

www.5balls.ru

π  sin x = 1  х = 2 + 2πk, k ∈ Z ; ;   sin 5x = 1 5x = π + 2πn, n ∈ Z  2

 x = π + 2πk, k ∈ Z π  2 ; x = + 2πk , k ∈ Z или  2 2 π π  x = + n, n ∈ Z 10 5 

π π   sin x = −1  x = − 2 + 2πk, k ∈ Z  x = − 2 + 2πk, k ∈ Z ; ; ;    sin 5x = −1 5x = π + 2πn, n ∈ Z  x = − π + 2π n, n ∈ Z  2 10 5  π π x = − + 2πk , k ∈ Z , т.е. x = + πk , k ∈ Z ; 2 2

2) sinxcos4x = – 1; возможно, лишь при sinx = 1, а cosx = – 1 или при sinx = – 1, а cos4x = 1, т.е.  x = π + 2πk,k ∈ Z  x = π + 2 πk, k ∈ Z   2 ; — решений нет, или 2    4x = π + 2 πn, n ∈ Z  x = π + π n,n ∈ Z 4 2   x = − π + 2πk, k ∈ Z π  sin x = −1  x = − + 2πk, k ∈ Z  2 ;  ;  ; x = − π + 2πk , k ∈ Z . 2  = cos 4 x 1 2 π   4x = 2πn, n ∈ Z  x = n, n ∈ Z 2 

sin x = 1 ;  cos 4x = −1

5 cos x − cos 2 x = −2 sin x ;

643. 1)

5 cos x − cos 2 x ≥ 0  : sin x ≤ 0  2 5 cos x − cos 2 x = 4 sin x

5 cos x − cos 2 x ≥ 0  ; sin x ≤ 0  2 2 5 cos x − 2 cos x − 1 − 4 + 4 cos x = 0

5 cos x − cos 2 x ≥ 0  ; решаем последнее уравнение в системе, полагая sin x ≤ 0  2 2 cos x + 5 cos x − 5 = 0

cosx = a; cos x =

2a2 + 5a – 5 = 0;

a1 =

−5 + 65 −5 − 65 , т.е. ,a 2 = 4 4

π  −5 + 65 −5 − 65  x = − 2 + 2πk, k ∈ Z ;  ; , или cos x − 4 4  x = π n, n ∈ Z  2

Подставляем в первое неравенство системы: 5cosx – 2cos2x – 1 ≥ 0 вместо cosx число

65 − 5 ; 4

 65 − 5   − 2 ⋅ 90 − 10 65 − 1 = − 74 + 10 65 ≥ 0 , т.е. корни 5⋅   4 16 4  

177

www.5balls.ru

5 cos x − cos 2 x ≥ 0  ; удовлетворяют первому неравенству системы, sin x ≤ 0  2 2 cos x + 5 cos x − 5 = 0

из второго неравенстве следует, что х ∈ III, IV четверти, значит, x = − arccos

65 − 5 + 2πk , k ∈ Z ; 4

cos x + cos 3x = − 2 cos x ;

2 cos x cos 2 x = − 2 cos x ;

cos x(2cos x − 1) = − cos x ;

a(2a 2 − 1) = −a ;

cosx = a;

 a ≤ 0  2 , т.е. а=0 или a = − 1 ; a(2a − 1) ≥ 0 2  1 a = 0,a = − ,a = 1  2 π 2π + 2πk , k ∈ Z . x = + πk или x = ± 2 3

a ≤ 0 a ≤ 0   2 2 ; ; a(2a − 1) ≥ 0 a(2a − 1) ≥ 0  2 2  2 a(2a − 1) = a a(2a − a − 1) = 0

cosx = 0 или cos x = − 1 ; 2

644. 1) 4|cosx| + 3 = 4sin2x; 4|cosx| + 3 = 4 – 4cos2x; cosx = a;

4cos2x + 4|cosx| – 1 = 0; 4a2 + 4|a| – 1 = 0;

a ≥ 0 −4+4 2  ; ,  −4 − 4 2 −4 + 4 2 a = 8 ,a 2 = a1 = 8 8 a < 0 a < 0  т.е. a = − 1 + 2 или  ,  4−4 2 4+ 4 2 2 2 4a 2 − 4a − 1 = 0 a = ,a = 8 8 

a ≥ 0 ;  2 4a + 4a − 1 = 0

  т.е. a = 1 − 2 т.е. a = ± 1 − 2  ,

2 

2 

  т.е. cos x = ± 1 − 2  , т.е. x = ± arccos 2 − 1 + 2πk или 2 

x = ± ( π − arccos

2) tgx + 1 =

2 −1 ) + 2 πk, k ∈ Z , т.е. 2

1 cos2 2x

a) |tgx| = tg22x; tgx = t;

2 

x = ± arccos

2 −1 + πk , k ∈ Z ; 2

;

tgx =

4tg 2 x 2

(1 − tg x)

;

tgx ≥ 0;

 t 4 − 2t 2 − 4t + 1  t =0;   (1 − t 2 )2  

 (1 − tg 2 x) 2 − 4tgx  tgx  =0;   (1 − tg 2 x)2  

t = 0, а второе уравнение (t4 – 2t2 – 4t + 1 = 0) не имеет положительных корней, т.е. tgx = 0; x = πk, k ∈ Z;

178

www.5balls.ru

 (1 − tg 2 x) 2 + 4tgx  tgx   = 0;   (1 − tg 2 x) 2  

б) tgx < 0;

tgx = 0 не удовлетворяет требованию tgx < 0 т.е. x = πk, k ∈ Z. cos(x + y ) = 0 645. 1)  ; cos(x − y ) = 1

 x + y = π + πk, k ∈ Z  ; 2   x − y = 2πn, n ∈ Z

π π π π + k + πn , k ∈ Z, n ∈ Z ; y = + k − πn , k ∈ Z, n ∈ Z ; 4 2 4 2 sin x − sin y = 1 2 2 2)  ; sin x + cos y = 1 только при sinx = ±1 и cosy = sin 2 x + cos2 y = 1 x=

= ±1, но при sinx = – 1 получим siny = – 2 (из первого уравнения), значит, sin x = 1, а cos y = ±1 и sin y = = 0 (из первого уравнения), т.е. x=

π + 2πk , k ∈ Z , а y = πn, n ∈ Z. 2

646. 4 – 4cos2x + 2(a – 3)cos x + 3a – 4 = 0; cos x = b; 4b2 – 2(a – 3)b – 3a = 0. 4cos2x – 2(a – 3)cos x – 3a = 0; Уравнение имеет действительные корни, если D ≥ 0; D = 4(a – 3)2 + 16 ⋅ 3a = 4(a + 3)2 ≥ 0 при любом а.;

2(a − 3) − 2(a + 3) и b 2 = 2(a − 3) + 2(a + 3) . 8 8 3 Для любых а один из b = − , другой b = a . 2 2 3 Уравнение cos x = − не имеет корней, а уравнение cos x = a — имеет 2 2 b1 =

корни, только если |a| ≤ 2. Т.е. исходное уравнение имеет корни x = ± arccos a + 2πk , k ∈ Z , только 2

если – 2 ≤ а ≤ 2. 647. (1 – a)sin2x – sin x cos x – (2 + a)cos2x = 0 |: cos2x; (1 – a)tg2x – tg x – (2 + a) = 0; tg x = b; (1 – a)b2 – b – (2 + a) = 0. Уравнение не имеет решений, если D < 0; D = 1 + 4(2 + a)(1 – a) < 0; 1 + 8 – 4a – 4a2 < 0; 4a2 + 4a – 9 > 0, ; т.е. − 1 − 1 10 > a или − 1 + 1 10 < a . 2

Значит, исходное уравнение не имеет корней при a<−

10 + 1 или при a > 10 − 1 . 2 2

648. 1) cos x ≥ 2 ; 2

2) cos x < 3 ; 2

−

π π + 2πk ≤ x ≤ + 2πk , k ∈ Z ; 4 4 π 11π + 2πk < x < + 2πk , k ∈ Z ; 6 6

179

www.5balls.ru

5π 5π + 2πk < x < + 2πk , k ∈ Z ; 6 6

3) cos x > − 3 ;

−

4) cos x ≤ − 2 ;

3π 5π + 2πk ≤ x ≤ + 2πk , k ∈ Z . 4 4

2) cos x < – 1 — решений нет; 649. 1) cos x ≤ 3 — x ∈ R; 3) cos x ≥ 1 — выполняется только при cos x = 1, т.е. x = 2πk, k ∈ Z; 4) cos x ≤ – 1 — выполняется только при cos x = – 1, т.е.x=π+2πk, k ∈ Z. π 5π + 2πk < x < + 2πk , k ∈ Z ; 6 6

650. 1) sin x > 1 ; 2

2) sin x ≤ 2 ;

−

π 5π + 2πk ≤ x ≤ + 2πk , k ∈ Z ; 4 4

3) sin x ≤ − 2 ;

−

π 3π + 2πk ≤ x ≤ − + 2πk , k ∈ Z ; 4 4

4) sin x > − 3 ;

−

π 4π + 2πk ≤ + 2πk , k ∈ Z . 3 3

651. 1) sin x ≥ − 2 – x ∈ R;

2) sin x > 1 — нет решений;

3) sin x ≤ – 1 — выполняется только при sin x = – 1; x = − π + 2πk , k ∈ Z ;

2 π 4) sin x ≥ 1 — выполняется только при sin x = 1; x = + 2πk , k ∈ Z . 2

652. 1)

2 cos 2 x ≤ 1 ; cos 2 x ≤ 2 ; π + 2πk ≤ 2 x ≤ 7 π + 2πk ;

4 4 2 π 7π + πk ≤ x ≤ + πk , k ∈ Z ; 8 8 2) 2sin3x > – 1; sin 3x > − 1 ; − π + 2πk < 3x < 7 π + 2πk ; 6 6 2 π 2π 7 π 2π − + + k<x< k, k ∈ Z ; 18 3 18 3

3) sin(x + π ) ≤ 2 ; − 5π + 2πk ≤ x + π ≤ π + 2πk ; − 3π + 2πk ≤ x ≤ 2πk , k ∈ Z ; 4

4) cos(x − π ) ≥ 3 ; − π + 2πk ≤ x − π ≤ π + 2πk ; 2πk ≤ x ≤ π + 2πk , k ∈ Z . 6 6 6 6 2 3 x 1 π π x 653. 1) cos( + 2) ≥ ; − + 2πk ≤ + 2 ≤ + 2πk ; 3 3 3 3 2 π x π ; – π – 6 + 6πk ≤ x ≤ π – 6 + 6πk, k ∈ Z; − − 2 + 2πk ≤ ≤ − 2 + 2πk 3 3 3 2) sin x − 3  < − 2 ; 4

−



−

π 3π x + 2πk < − 3 < − + 2πk ; 4 4 4

π 3π x + 3 + 2πk < < − + 3 + 2πk ; – 3π + 12 + 8πk < x < – π + 12 + 8πk, k∈Z. 4 4 4

180

www.5balls.ru

654. 1) sin2x + 2sin x > 0;sin x(sin x + 2) > 0; sin x + 2 > 0 для всех x ∈ R, т.е. sin x > 0; 2πk < x < π + 2πk, k ∈ Z; 2) cos2x – cos x < 0; cos x(cos x – 1) < 0; cos x – 1 ≤ 0 для всех x ∈ R, cos x > 0

т.е. 

cos x − 1 ≠ 0

; − π + 2πk < x < 2πk , k ∈ Z и 2πn < x < π + 2πn , n ∈ Z . 2

655. 1) 2 arcsin 3 + 3 arcsin − 1  = 2 ⋅ π + 3 ⋅ 2π = 8π ; 2

3  2 π π π 7 2) arcsin ; − 4 arcsin 1 = − 4 ⋅ = − 4 2 4 2

3) arccos − 1  − arcsin 3 = 2π − π = π ;  2

4) arccos(− 1) − arcsin (− 1) = π −  − π  = 3π ;  2 2   5) 2arctg1 + 3arctg − 1  = 2 ⋅ π + 3 − π  = 0 ;   3



 6

6) 4arctg(− 1) + 3arctg 3 = 4 ⋅  − π  + 3 ⋅ π = 0 .  4

656. 1) cos(4 − 2x ) = − 1 ; 2 2π ; + 2 πk 2x = 4 ± 3 2) cos(6 + 3x ) = − 2 ; 2

3x = ±

3π − 6 + 2πk ; 4

4 − 2x = ± x = 2±

2π + 2πk ; 3

π + πk , k ∈ Z ; 3

3π + 2πk ; 4 π 2π x = ± −2+ k, k ∈ Z ; 4 3

6 + 3x = ±

π π 2 ; 2 cos(2x + ) + 1 = 0 ; cos(2x + ) = − 4 2 4 π π 3π + 2πk , k ∈ Z ; 2x + = ± 2 x = + 2πk или 2x = – π + 2πk, k ∈ Z; 4 4 2 π π x = + πk или x = − + πk , k ∈ Z ; 4 2

π π π 3 ; − 3x = ± + 2πk , k ∈ Z ; cos( − 3x) = 3 6 3 3 2 π 2π π π π 2π ; или x= + k, k ∈ Z . 3x = + + 2πk , k ∈ Z x= + k 3 6 2 3 6 3 π 1 657. 1) 2sin(3x − π ) + 1 = 0 ; sin(3x − ) = − ; 4 4 2 π π π π k +1 π + k 1 + πk ; 3x − = (− 1) + + k, k ∈ Z ; x = (− 1) 18 12 3 4 6

4) 2cos( π − 3x) − 3 = 0 ;

181

www.5balls.ru

x π sin  +  = 1 ; 2 3 π x π x = + 4πk , k ∈ Z ; = + 2 πk ; 2 6 3 3 sin (2 x + 1) = − ; 4 3 1 π k +1 1 x = (− 1) arcsin − + k , k ∈ Z ; 2 4 2 2 2 sin (2 x − 1) = ; 5 2 1 π k 1 x = (− 1) arcsin + + k , k ∈ Z . 2 5 2 2

2) 1 − sin  x + π  = 0 ; 2 3 x π π + = + 2πk ; 2 3 2

3) 3 + 4sin(2x + 1) = 0; 2 x + 1 = (− 1)k +1 arcsin

3 + πk ; 4

4) 5sin(2x – 1) – 2 = 0; 2 x − 1 = (− 1)k arcsin

2 + πk 5

658. 1) (1 + 2 cos x)(1 − 4sin x cos x) = 0 ;

(1 + 2 cos x)(1 − 2sin 2x) = 0 ;

2 или sin 2 x = 1 ; x = ± 3π + 2πk или 2 x = (− 1)k π + πk , k ∈ Z ; cos x = − 2 2 4 6 π π 3π k + 2πk или x = (− 1) + k, k ∈ Z ; x=± 4 12 2

2) (1 − 2 cos x)(1 + 2sin 2x cos 2x) = 0 ;

(1 − 2 cos x)(1 + sin 4x) = 0 ;

2 π π или sin4x = – 1; x = ± + 2πk или 4 x = − + 2πk , k ∈ Z ; 2 4 2 π π π или . x = ± + 2πk x = − + k, k ∈ Z 4 8 2 π 659. 1) tg(2x + ) = −1 ; 2 x + π = − π + πk ; x = − π + π k , k ∈ Z ; 4 4 4 4 2 5π π π π 5π π 1 2) tg(3x − ) = ; 3x − = + πk ; 3x = + πk ; x = + k, k ∈ Z ; 4 6 12 36 3 4 3 3) 3 − tg(x − π ) = 0 ; tg(x − π ) = 3 ; x − π = π + πk ; x = 8π + πk , k ∈ Z ; 5 5 5 3 15 π π π π 3π 4) 1 − tg(x + ) = 0 ; tg(x + ) = 1 ; x + = + πk ; x = + πk , k ∈ Z . 28 7 7 7 4 cos x =

660. 1) 2sin2x + sin x = 0;sin x(2sin x + 1) = 0;

x = πk или x = (− 1)k +1 π + πk , k ∈ Z .

sin x = 0 или sin x = − 1 ; 2

2) 3sin2x – 5sin x – 2 = 0; 1 a1 = − , a2 = 2; 3 x = (− 1)k +1 arcsin

sin x = a;

sin x = −

3a2 – 5a – 2 = 0;

1 или sin x = 2; 3

1 + πk , k ∈ Z , а во втором случае решений нет. 3

3) cos2x – 2cos x = 0; cos x(cos x – 2) = 0; cos x = 0 или cos x = 2; π x = + πk , k ∈ Z , а во втором случае решений нет. 2 4) 6cos2x + 7cos x – 3 = 0; cos x = a; 6a2 + 7a – 3 = 0;

182

www.5balls.ru

1 3 3 1 cos x = − или cos x = ; a1 = − ,a 2 = ; 3 2 2 3 1 x = ± arccos + 2πk , k ∈ Z , а в первом случае решений нет. 3

183

www.5balls.ru

661. 1) 6sin2x – cos x + 6 = 0; 6cos2x + cos x – 12 = 0;

6(1 – cos2x) – cos x + 6 = 0;

cos x = a; 6a2 + a – 12 = 0; a1 = − 3 ,a 2 = 4 ; 2

4 3 — в обоих случаях решений нет. cos x = − или cos x = 2 3

2) 8cos2x – 12sin x + 7 = 0; 8(1 – sin2x) – 12sin x + 7 = 0; 8sin2x + 12sin x – 15 = 0; sin x = a; 8a2 + 12a – 15 = 0; a=

− 12 − 4 39 − 12 + 4 39 , т.е. sin x = − 3 − 39 или sin x = ,a = 16 16 4

x = (− 1)k arcsin

39 − 3 ; 4

39 − 3 + πk , k ∈ Z , а в первом случае решений нет. 4

662. 1) tg2x + 3tg x = 0; tg x(tg x + 3) = 0; tg x = 0 или tg x = –3; x = πk или x = –arctg3 + πk, k ∈ Z; 2) 2tg2x – tg x – 3 = 0; tg x = a; 2a2 – a – 3 = 0; 3 3 a1 = –1, a 2 = ; tg x = –1 или tgx = ; 2 2 x=−

π 3 + πk или x = arctg + πk , k ∈ Z ; 4 2

3) tg x – 12ctg x + 1 = 0 | ⋅ tg x; tg2x – 12 + tg x = 0; tg x = a; a2 + a – 12 = 0; a1 = –4, a2 = 3; tg x = –4 или tg x = 3; x = –arctg4 + πk или x = arctg3 + πk, k ∈ Z; 4) tg x + ctg x = 2 |⋅tg x; tg2x – 2tg x + 1 = 0; (tg x – 1)2 = 0; tg x = 1; x=

π + πk , k ∈ Z ; 4

663. 1) 2sin2x = 3cos2x |:cos2x; 2 x = arctg

3 + πk ; 2

2tg2x = 3;

tg 2 x =

3 ; 2

1 3 π arctg + k , k ∈ Z ; 2 2 2

2) 4sin3x + 5cos3x = 0 | : cos3x;

4tg3x + 5 = 0;

tg3x = −

5 ; 4

1 5 π x = − arctg + k , k ∈ Z . 3 4 3 664. 1) 5sin x + cos x = 5; 10 sin x cos x + cos 2 x − sin 2 x = 5 sin 2 x + 5 cos 2 x ; 2 2 2 2 2 2 x x x 2 x 2 x 2 x 2 ; 6 sin 6 tg + 4 cos − 10 sin cos = 0 : cos − 10 tgx + 4 = 0 ; 2 2 2 2 2 2 3x = −arctg

x =a; 2

5 + πk ; 4

6a2 – 10a + 4 = 0;

3a2 – 5a + 2 = 0;

a1 =

2 , a2 = 1; 3

x 2 или tg x = 1 ; x = arctg 2 + πk или x = π + πk , k ∈ Z ; = 2 2 3 2 3 2 4 2 π или ; x = 2arctg + 2πk x = + 2πk , k ∈ Z 3 2 tg

183

www.5balls.ru

4 2 6 sin x + cos x = ; 5 5 5

2) 4sin x + 3cos x = 6 |:5; sin (x + α ) =

6 , где α = arccos 4 решений нет. 5 5

665. 1) sin3x = sin5x; 2sin x cos4x = 0;

sin5x – sin3x = 0; sin x = 0 или cos4x = 0;

x = πk или 4 x = π + πk , k ∈ Z ;

x = πk или x = π + π k , k ∈ Z ;

cos3x(cos3x – cos5x) = 0; 2) cos23x – cos3xcos5x = 0; 2cos4x sin x sin4x = 0; cos3x = 0 или sin x = 0 или sin4x = 0; π + πk или x = πk или 4x = πk, k ∈ Z; 2 π π x = + k или x = πk (входит в третью серию корней) или 6 3 π π π π x = + k или x = k , k ∈ Z ; x = k , k ∈ Z , т.е. 6 3 4 4

3x =

3) cos x = cos3x; cos x – cos3x = 0; 2sin x sin2x = 0; sin x = 0 или sin2x = 0; x = πk или 2x = πk, k ∈ Z; π x = k или x = πk (входит в первую серию корней), т.е. x = π k , k ∈ Z ; 2 2 sin5x(sin x – sin5x) = 0; 4) sin x sin5x – sin25x = 0; –2sin5x sin2x sin3x = 0; sin5x = 0 или sin3x = 0 или sin2x = 0; 5x = πk или 2x = πk или 3x = πk, k ∈ Z,

т.е. x = π k или x = π k или x = π k , k ∈ Z . 5

666. 1) sin(arccos 3 ) = sin  π  = 1 ; 2) tg(arccos 1 ) = tg  π  = 3 ; 2

6

3

3) tg(arccos 2 ) = tg  π  = 1 . 2 4 667. 1) sin ( 4arcsin1) = sin(4 ⋅ π ) = 0 ;

2) sin(3arccos 3 ) = sin(3 ⋅ π ) = 0 ;

6 π 4) sin ( 4arcsin1) = sin(4 ⋅ ) = 0 . 2

3) cos(6ar sin1) = cos(6 ⋅ π ) = −1 ; 2

668. 1) sin2x + 2cos2x = 1; 2sin x cos x + 2cos2x – 2sin2x = sin2x + cos2x; 2 2 3sin x – 2sin x cos x – cos x = 0 | : cos2x; 3tg2x – 2tg x – 1 = 0; 1 1 a1 = − , a2 = 1; tgx = − или tg x = 1; tg x = a; 3a2 – 2a – 1 = 0; 3 3 1 π x = −arctg + πk или x = + πk , k ∈ Z . 3 4

2) cos2x + 3sin2x = 3; cos2x – sin2x + 6sin x cos x = 3sin2x + 3cos2x; 4sin2x – 6sin x cos x + 2cos2x = 0 | : 2cos2x; 2tg2x – 3tgx + 1 = 0; tg x = a;

2a2 – 3a + 1 = 0;

a1 =

1 , a2 = 1; 2

184

www.5balls.ru

tgx =

1 или tg x = 1; 2

x = arctg

1 π + πk или x = + πk , k ∈ Z . 4 2

669. 1) 3sin2x + sin x cos x – 2cos2x = 0 | : cos2x; 3tg2x + tg x = 0; 2 2 tg x = a; 3a2 + a – 2 = 0; a1 = –1, a 2 = ; tg x = –1 или tgx = ; 3 3 x=−

π 2 + πk или x = arctg + πk , k ∈ Z ; 4 3

2) 2sin2x + 3sin x cos x – 2cos2x = 0 |:cos2x; tg x = a;

2tg2x + 3tg x – 2 = 0; 1 1 a1 = –2, a 2 = ; tg x = –2 или tgx = ; 2 2

2a2 + 3a – 2 = 0;

x = –arctg2 + πk или x = arctg 1 + πk , k ∈ Z . 2

670. 1) 1 + 2sin x = sin2x + 2cos x; sin2x + cos2x–2sin x cos x=2(cos x – sin x); (cos x – sin x)(cos x – sin x – 1) = 0; (cos x – sin x)2 = 2(cos x – sin x); tg x = 1 или cos(x + π ) = 2 ;

cos x – sin x = 0 или cos x – sin x – 1 = 0;

π x = + πk , k ∈ Z , а во втором случае решений нет. 4

2) 1 + 3cos x = sin2x + 3sin x; cos2x + sin2x – 2sin x cos x = 3(sin x – cos x); (sin x – cos x)2 = 3(sin x – cos x); (sin x – cos x)(sin x – cos x – 3) = 0; sin x – cos x = 0 или sin x – cos x = 3;

tg x = 1 или sin(x − π ) = 3 ; 4

π x = + πk , k ∈ Z , а во втором случае решений нет. 4 671. 1) sin(x + π ) + cos(x + π ) = 1 + cos 2x ; 6

3 1 1 3 sin x + cos x + cos x − sin x = 2 cos 2 x ; 2 2 2 2

cos x = 2cos2x;

cos x = 0 или cos x = 1 ;

cos x(1 – 2cos x) = 0;

π π x = + πk или x = ± + 2πk , k ∈ Z . 2 3 π π 2) sin(x − ) + cos(x − ) = sin 2x ; 4 4 2 2 2 2 sin x − cos x + cos x + sin x = 2 sin x cos x ; 2 2 2 2

2 sin x = 2 sin x cos x ; sin x = 0 или cos x =

sin x( 2 − 2cos x) = 0 ; x = πk или x = ± π + 2πk , k ∈ Z .

2 ; 2

672. 1) cos3 x sin x − sin 3 x cos x = 1 ; sin x cos x(cos 2 x − sin 2 x) = 1 ; 4

185

www.5balls.ru

π π π 1 1 1 1 sin 2 x cos 2 x = ; sin 4 x = ; sin4x = 1; 4 x = + 2πk ; x = + k , k ∈ Z ; 8 2 2 4 4 4 2 1 1 3 3 2 2) sin x cos x + cos x sin x = ; sin x cos x(sin x + cos 2 x) = ; 4 4 π π 1 1 1 π + k, k ∈ Z . x = (− 1)k sin 2 x = ; sin 2 x = ; 2 x = (− 1)k + πk ; 12 2 6 2 2 4

673. 1) sin2x + sin22x = 1; 4sin2x cos2x = cos2x; cos2x(1 – 4sin2x) = 0; 1 cos x = 0 или sin x = ± ; x = π + πk или x = ± π + πk, k ∈ Z ; 2 2 6 2) sin2x + cos2x = 1; sin2x + cos2x – sin2x = 1; cos x = ±1; x = πk, k ∈ Z; 3) sin4x = 6cos22x – 4; 2cos2x sin2x = 2cos2x – 4sin22x; 2sin22x + sin2x cos2x – cos22x = 0 |:cos22x; 2tg22x + tg2x – 1 = 0; 1 1 tg2x = a 2a2 + a – 1 = 0; a1 = –1, a1 = ; tg2x = –1 или tg 2 x = ; 2 2 1 π + πk или 2 x = arctg + πk , k ∈ Z ; 2 4 π π 1 1 π или x=− + k x = arctg + k , k ∈ Z ; 8 2 2 2 2

2x = −

4) 2cos23x + sin5x = 1;

cos6x + sin5x = 0;

π 1 π 11 π cos 6x + cos( − 5x) = 0 ; 2cos( + x)cos( − + x) = 0 ; 4 2 4 2 2 π 1 π 1 π π 11 или ; cos( + x) = 0 + x = + πk или cos( − + x) = 0 4 2 2 4 2 4 2 π π 11 π 3π 2π + k, k ∈ Z . ( − + x) = + πk, k ∈ Z x = + 2πk или x = 2 22 11 4 2 2 1 1 674. 1) sin 2 x − cos x cos 3x = 1 ; sin 2 x − (cos 2 x + cos 4 x ) − = 0 ; 4 2 4 1 2 2 2sin x − 1 − (cos 2x + 2cos 2x − 1) − + 1 = 0 ; 2 3 3 2 − cos 2 x − cos 2 x − 2 cos 2 x + = 0 ; 2 cos 2 x + 2 cos 2 x − = 0 ; cos2x = a; 2 2 4a2 + 4a – 3 = 0; a1 = − 3 ,a 2 = 1 ; cos 2 x = − 3 или cos 2x = 1 в первом слу2 2 2 2 π π чае решений нет, а во втором 2x = ± + 2πk ; x = ± + πk, k ∈ Z ; 3 6

2) sin3x = 3sin x; sin3x + sin x = 4sin x; 2sin2x cos x – 4sin x = 0; cos2x sin x – 4sin x = 0; 4sin x(cos2x – 1) = 0; –4sin3x = 0; sin x = 0; x = πk, k ∈ Z; 3) 3cos2x – 7sin x = 4; 3 – 6sin2x – 7sin x = 4; sin x = a 6a2 + 7a + 1 = 0; 1 1 a1 = –1, a 2 = − ; sin x = –1 или sin x = − ; x = − π + 2πk или 6 6 2 x = (− 1)k arcsin

1 + πk , k ∈ Z ; 6

186

www.5balls.ru

4) 1 + cos x + cos2x = 0; cos x(1 + 2cos x) = 0; x=

1 + cos x + 2cos2x – 1 = 0; 1 cos x = 0 или cos x = − ; 2

π 2π + πk или x = ± + 2πk , k ∈ Z ; 2 3

2cos x(5sin x + 2cos2x – 8) = 0; 5) 5sin2x + 4cos3x – 8cos x = 0; 2 –2cos x(2sin2x – 5sin x + 6) = 0; 2cos x(5sin x + 2 – 2sin x – 8) = 0; 2 cos x = 0 или 2sin x – 5sin x + 6 = 0; sin x = a cos x = 0 или 2a2 – 5a + 6 = 0; D < 0; cos x = 0, а во втором случае решений нет, т.к. D < 0, т.е. cos x = 0;

π + πk , k ∈ Z . 2

675. 1) sin x + sin2x + sin3x = 0; sin2x(2cos x + 1) = 0; x=

2sin2x cos x + sin2x = 0; 1 sin2x = 0 или cos x = − ; 2

2π π или x=± + 2πk , k ∈ Z ; k 3 2

2) cos x – cos3x = cos2x – cos4x; 2sin x(sin3x – sin2x) = 0; sin x = 0 или sin

–2sin(–x)sin2x = –2sin(–x)sin3x; 4 sin x sin

x 5x =0; cos 2 2

x 5x = 0 или cos = 0 ; x = πk или 2x = 2πk (входит в 2 2

первую серию корней) или 5x = π + πk , k ∈ Z ; x = πk или x = π + 2π k , k ∈ Z . 2

676. 1) sin(arcsin 1 ) = 1 ; 3 3

2) sin  arcsin − 1   = − 1 ;   4  4  

3) sin(π − arcsin 3 ) = sin(arcsin 3 ) = 3 4) sin( π + arcsin 2 ) = − sin(arcsin 2 ) = − 2 . 4

4 4 5 5 677. 1) tg(π + arctg ) = tg(arctg ) = 5 ; 4 4 4 678. 1) sin 2 x = 0 ; sin2x = 0; sin x π ,x ≠ πn, k, n ∈ Z, т.е. x= x= k 2 2) sin 3x = 0 ; sin3x = 0; sin x π x= x = k , x ≠ πn, k, n ∈ Z, т.е. 3 3) cos 2x = 0 ; cos2x = 0; cos x π π π x = + k , x ≠ + πn , k , n ∈ Z , т.е. 4 2 2

3 3 3 π 2) ctg( − arctg2) = tg (arctg2 ) = 2 . 2

sin x ≠ 0; π + πk , k ∈ Z ; 2

sin x ≠ 0; π k , k ∈ Z , k ≠ 3n, n ∈ Z; 3

cos x ≠ 0; x=

π π + k, k ∈ Z ; 4 2

187

www.5balls.ru

4) cos 3x = 0 ;

cos x ≠ 0;

cos3x = 0;

cos x 5π π π π π + πk, k ∈ Z ; x = + k , x ≠ + πn , k , n ∈ Z , т.е. x = + πk или x = 6 3 2 6 6

π 5) sin x = 0 ; sin x = 0; sin5x ≠ 0; x = πk, x ≡ n , k, n ∈ Z — нет решений; 5 sin 5x 6) cos x = 0 ; cos x = 0; cos7x ≠ 0; x = π + πk , x ≠ π + π n , k, n ∈ Z — нет cos 7 x

решений. 679. 1) cos x sin5x = –1; возможно, только если cos x = 1, sin5x = –1 или cos x = –1, sin5x = 1, т.е. x = 2πk , k ∈ Z  — решений нет, или π  2π x = − 10 + 5 n, n ∈ Z 

cos x = 1 ;  sin 5 x = −1 cos x = −1  sin 5 x = 1

x = π + 2πk, k ∈ Z  — решений нет, т.е. решений нет.  π 2π x = − 10 + 5 n, n ∈ Z

2) sin x cos3x = –1 — возможно только при sin x = 1 ;  cos 3x = −1 sin x = −1 ;  cos 3x = 1

π  x = + 2πk , k ∈ Z  2 — решений нет, или  x = − π + 2π n , n ∈ Z  3 3

 x=   x = 

+ 2πk , k ∈ Z

2 2π n , n ∈ Z 3

— решений нет, т.е. решений нет.

680. 1) 2cos3x = 3sin x + cos x; 2(cos3x + cos x) = 3(sin x + cos x); 4cos2x cos x = 3(sin x + cos x); 4(sin x + cos x)(cos x – sin x)cos x = 3(sin x + cos x); (sin x + cos x)(3 – 4cos2x + 4sin x cos x) = 0; (sin x + cos x)(3sin2x + 4sin x cos x – cos2x) = 0; sin x + cos x = 0 или 3tg2x + 4tg x – 1 = 0; tg x = a; a + 1 = 0 или 3a2 + 4a – 1 = 0; a1 = –1 или a 2 = −2 − 7 или a 3 = −2 + 7 ; 3

7 −2 π 2+ 7 + πk , k ∈ Z ; + πk или x = −arctg + πk или x = arctg 3 4 3 2) cos3x – cos2x = sin3x; 4cos2x – 3cos x – cos2x + sin2x = 3sin x – 4sin3x; 4(sin x + cos x)(1 – sin x cos x) = 3(cos x + sin x) + (cos x + sin x)(cos x – sin x); (sin x + cos x)(4 – 4sin x cos x – 3 – (cos x – sin x)) = 0; x=−

(sin x + cos x ) (4 + 4( cos x – sin x = a

(sin x − cos x)2 − 1 ) − 3 − (cos x − sin x)) = 0 ; 2

sin x + cos x = 0 или 2a2 – a – 1 = 0;

188

www.5balls.ru

tg x = –1 или a1 = −

1 или а2 = 1, т.е. 2

tg x = –1 или cos x − sin x = − 1 или cos x − sin x = 1 ;

2 π 1 или sin( x − π ) = 1 ; tg x = –1 или sin( x − ) = 4 4 2 2 2 π π 1 π k π k x = − + πk или x = + (− 1) arcsin + πk , k ∈ Z . + πk или x = − (− 1) 4 4 4 4 2 2

681. 1) sin2x + cos2x = 2tg x + 1; 2sin x cos x + 1 – 2sin2x = 2tg x + 1; 2 sin x (

1 + sin x − cos x ) = 0 ; cos x

2sin x(tg2x + 1 + tg x – 1) = 0;

2 sin x (

1 cos 2 x

+ tgx − 1) = 0 ;

2sin x ⋅ tg x(tg x + 1) = 0;

2 sin 2 x (tgx + 1) = 0 ; sin x = 0 или tg x = –1; x = πk или x = − π + πk, k ∈ Z ; cos x 4

2) sin2x – cos2x = tg x; 2sin x cos2x – cos x(1 – 2sin2x) = sin x; 2 2 2sin x cos x + 2sin x cos x = sin x + cos x; (sin x + cos x)(sin2x – 1) = 0; sin x + cos x = 0 или sin2x = 1; tg x = –1 или sin2x = 1; π π π x = − + πk или x = + πk , k ∈ Z , т.е. x = ± + πk , k ∈ Z . 4 4 4 682. cos 2 x + cos 2 2x + cos 2 3x = 3 ;

2 1 1 cos x + cos 2x + cos 3x = (cos 2 x + sin 2 x) + (cos 2 2x + sin 2 2x) + 2 2 2

1 + (cos 2 3x + sin 2 3x) ; 2 1 1 1 (cos 2 x − sin 2 x) + (cos 2 2x − sin 2 2x) + (cos 2 3x − sin 2 3x) = 0 ; 2 2 2

cos2x + cos4x + cos6x = 0 cos4x(1 + 2cos2x) = 0

2cos4x cos2x + cos4x = 0;

cos4x = 0 или cos 2 x = − 1 ;

2 π π π или x= + k x = ± + πk , k ∈ Z . 8 4 3

2π π + 2πk , k ∈ Z 4 x = + πk или 2 x = ± 3 2

683.

cos x ≤ 0  ; − 4 cos x cos 2 x = 7 sin 2x ; sin 2x ≥ 0  3 7 sin 2x + 4 cos x = 0

Решаем 2–ое уравнение системы: cos x(4sin2x – 14sin x – 4) = 0 cos x = 0 или 4sin2x – 14sin x – 4 = 0; sin x = a; cos x = 0 или 2а2–7а–2=0; cos x = 0 или a1 = 7 − 65 или a 2 = 7 + 65 ; 4

189

www.5balls.ru

cos x=0

или

x = (− 1)n +1 arcsin

sin x =

7 − 65 4

или

sin x =

7 + 65 ; 4

π + πn 2

65 − 7 + πn , n ∈ Z , в третьем случае решений нет; 4

 cos x ≤ 0  , sin x ≤ 0 или cos x = 0   x = π + πn или x = ( −1)n +1 arcsin 65 −7 + πn,n ∈ Z  2 4

т.е. x = π + πk или x = π + arcsin 65 − 7 + 2πk , k ∈ Z . 2

684. |cos x| – cos3x = sin2x; cos x ≥ 0 ;  2 sin x sin 2 x = sin 2x

cos x ≥ 0 ;  sin 2x (2 sin x − 1) = 0

cos x ≥ 0   1; sin 2x = 0 или sin x = 2

cos x ≥ 0 π  ; x = k или x = π + 2πk , k ∈ Z или  π kπ 2 6 = = − + π ∈ x k или x 1 k,k Z ( )  2 6 cos x < 0 cos x < 0 ;  ;  − 2 cos 2 x cos x = 2 sin x cos x 2cos x(sin x + cos 2x) = 0  cos x < 0 cos x < 0 ;  ;  2 2 sin 2 x − sin x − 1 = 0 2cos x(sin x + 1 − 2sin x) = 0  cos x < 0 cos x < 0  ;  ;  π 1 k +1 π sin x = − 2 или sin x = 1  x = ( −1) 6 + πk или x = 2 + 2πk, k ∈ Z т.е. x = 7 π + 2πk , k ∈ Z , обощая, x = π k или x = π + πk , k ∈ Z . 6 6 2 π

 y = + πk, k ∈ Z sin 2 y = 1 4 ;  ;  ; sin 2x = −1 π

 685. 1) sin y cos y = 2 1

sin 2x + sin 2y = 0 

sin x + sin y = 1 2) 

cos x − cos y = 3

x−y =− 3 ; 2

 x = − + πn, n ∈ Z 4 

x+y x−y =1 cos 2 2 −2sin x − y sin x + y = 3 2 2 



2sin ; 

x−y=−

;

2π + 2πk ; 3

x = y−

2π + 2πk , k ∈ Z ; 3

2π 1 3 1 3 ) + sin y = 1 ; − sin y − cos y + sin y = 1 ; sin y − cos y = 1 ; 2 2 2 2 3 5π π π + 2πn , n ∈ Z , а x = + 2πk + 2πn , k ∈ Z, n ∈ Z . sin(y − ) = 1 ; y = 6 6 3 sin(y −

190

www.5balls.ru

или

 sin x 5

 sin x = 5

 sin x 5

=  686. 1)  sin y 3 ;  sin y 3 cos x 1  sin( x + y )  =

= ;  sin y 3

;

x−y x +3y = 1 2sin cos =0  cos y 3  sin 2y  2 2 Решаем 2–ое уравнение: sin x − y = 0 или cos x + 3y = 0 ; 2 2

x – y = 2πk или x + 3y = π + 2πk, k ∈ Z; а) x = y + 2πk, k ∈ Z ; подставляя в 1–ое уравнение системы: sin(y) 5 — противоречие, значит, решений нет; = sin y 3

б) x = –3y + 2πk + π, k ∈ Z; подставляя в 1–ое уравнение: sin( π − 3y) 5 ; = sin y 3 5 = 4 sin 2 y ; 3

3−

y = ± arcsin 

1 3

3 sin y − 4 sin 3 y 5 ; = sin y 3

sin 3y 5 = ; sin y 3 sin 2 y =

1; 3

1 ; 3 1 x = π ± 3 arcsin + πn + 2πk, n, k ∈ Z ; 3 sin y = ±

+ πn, n ∈ Z , а 1

 x = + πk, k ∈ Z  4 ; ; 1 

sin 2x = 1

sin x cos x =  2 ;  2)   1 cos x sin y = −  2

cos x sin y = − 2

± 2 sin y = − 1 2  2

 x = π + πk, k ∈ Z  x = 3π + 2πk, k ∈ Z  x = π + 2πk, k ∈ Z    4 4 4 , т.е. или ;    n +1 π 2  y = ( −1)  y = ( −1)n π + πn, n ∈ Z sin y = ± + πn,n ∈ Z   4 4 2 

687. sin4x + cos4x = a; 1− a =

1 sin 2 2 x ; 2

(sin2x + cos2x)2 – 2sin2x cos2x = a;

sin22x = 2 – 2a.

Уравнение имеет корни при 1 ≤ a ≤ 1 ;

sin 2 x = ± 2 − 2a ;

2 x = ± arcsin 2 − 2a + πk , k ∈ Z ; x = ±

1 π 1 arcsin 2 − 2a + k , k ∈ Z , ≤ a ≤ 1 . 2 2 2

5 5 688. sin10x + cos10x = a; (1 − cos 2x) + (1 + cos 2x) = a ;

32a = 2 + 20cos22x + 10cos42x; 5cos42x + 10cos22x + (1 – 16a) = 0. Обозначим cos22x = b. Исходное уравнение имеет корни, если 0 ≤ b ≤ 1; 5b4 + 10b + (1 – 16a) = 0; D = 100 – 20(1 – 16a); b=

− 10 + D ; b1 = −1 − D , b 2 = −1 + D ; 10 10 10

0 ≤ b1 ≤ 1 или 0 ≤ b2 ≤ 1

10 ≤ D ≤ 20 ;

100 ≤ 100 – 20 + 320a ≤ 400;

191

www.5balls.ru

20 ≤ 320a ≤ 320;

1 ≤ a ≤1. 16

Т.е. исходное уравнение имеет корни при 1 ≤ a ≤ 1 . 16

689. sin 2x − 2a 2(sin x + cos x) + 1 − 6a = 0 ; π π cos(2x − ) − 2a 2 ⋅ 2 cos(x − ) + 1 − 6a 2 = 0 ; 2 4 π π π 2 cos(x − ) = b ; 2cos (x − ) − 4a cos(x − ) − 6a 2 = 0 ; 4 4 4

2a ± 4a

b2 – 2ab – 3a2 = 0;

D = 4a2 + 12a2 = 16a2;

b1 = –a, a b2 = 3a;

π π  cos(x − ) = −a или cos x −  = 3a . 4 4 

b1, 2 =

;

Уравнение имеет решения только при –1 ≤ –а ≤ 1 или –1 ≤ 3а ≤ 1. В общем, уравнение имеет решение при –1 ≤ а ≤ 1.

π = ± arccos(− a ) + 2πk или 4 π x − = ± arccos(3a ) + 2πk , k ∈ Z . 4 1 1 При − 1 ≤ a < и < a ≤ 1 x − π = ± arccos(− a ) + 2πn , n ∈ Z , т.е. 3 4 3 π 1 1 при − ≤ a ≤ x = ± arccos(− a ) + 2πk или 4 3 3 π x = ± arccos(3a ) + 2πk , k ∈ Z , а 4 1 1 при − 1 ≤ a < − и < a ≤ 1 ; x = π ± arccos(− a ) + 2πn , n ∈ Z . 3 4 3

При − 1 ≤ a ≤ 1 3

x−

2 – 2sin2x + sin x – 1 < 0; 690. 1) 2cos2x + sin x – 1 < 0; sin x = a 2a2 – a – 1 > 0; 2sin2x – sin x – 1 > 0;

1 1 или а > 1; sin x < − или sin x > 1; 2 2 5π π − + 2πk < x < − + 2πk , k ∈ Z , а второе неравенство решений не имеет. 6 6

a<−

2 – 2cos2x – 5cos x + 1 > 0; 2) 2sin2x – 5cos x + 1 > 0; 2 2a2 + 5a – 3 < 0; 2cos x + 5cos x – 3 < 0; cos x = a −3 < a <

1 ; 2

− 3 < cos x <

1 ; 2

π 5π + 2πk < x < + 2πk , k ∈ Z . 3 3

192

www.5balls.ru

Глава VII. Тригонометрические функции 691. 1) y = sin2x, x ∈ R;

2) y = cos x , x ∈ R;

3) y = cos 1 , x ≠ 0;

4) y = sin 2 , x ≠ 0;

5) y = sin x , x ≥ 0;

6) y = cos x − 1 , x − 1 ≥ 0 x < –1 и х ≥ 1.

x +1

692. 1) y = 1 + sin x; –1 ≤ sin x ≤ 1; 0 ≤ 1 + sin x ≤ 2, т.е. 0 ≤ у ≤ 2; 2) y = 1 – cos x; –1 ≤ cos x ≤ 1; 0 ≤ 1 – cos x ≤ 2, т.е. 0 ≤ у ≤ 2; 3) y = 2sin x + 3; –2 ≤ 2sin x ≤ 2; 1 ≤ 2sin x ≤ 5, т.е. 1 ≤ у ≤ 5; 4) y = 1 – 4cos2x; –4 ≤ 4cos2x ≤ 4; –3 ≤ 1 – 4cos2x ≤ 5, т.е. –3 ≤ у ≤ 5; 5) y = sin2xcos2x + 2;

1 sin 4x + 2 ; 2 3 1 5 ≤ sin 4 x + 2 ≤ , т.е. 2 2 2 1 y = sin 2 x − 1 ; 4 5 1 3 − ≤ sin 2 x − 1 ≤ − , т.е. 4 4 4 π cos x ≠ 0; x ≠ + πk , k ∈ Z ; 2 y=

1 1 1 ≤ sin 4 x ≤ ; 2 2 2 1 6) y = sin x cos x − 1 ; 2 1 1 1 − ≤ sin 2 x ≤ ; 4 4 4 1 693. 1) y = ; cos x sin x ≠ 0; 2) y = 2 ; sin x x 3) y = tg x ; cos = ≠ 0 ; 3 3 −

cos5x ≠ 0;

4) y = tg5x;

694. 1) y = sin x + 1 ;

5 3 ≤y≤ ; 2 2

−

5 3 ≤y≤− . 4 4

x ≠ πk, k ∈ Z; x π ≠ + πk ; 3 2 5x ≠

π + πk ; 2

sin x + 1 ≥ 0;

x≠

3π + 3πk , k ∈ Z ; 2

π π + k, k ∈ Z . 10 5

sin x ≥ –1, x ∈ R;

2) y = cos x − 1 ; cos x – 1 ≥ 0; cos x ≥ 1 x = 2πk, k ∈ Z; 3) y = lg sin x; sin x > 0; 2πk < x < π + 2πk, k ∈ Z; 4) y = 2 cos x − 1 ; 2cos x – 1 ≥ 0 cos x ≥

1 ; 2

−

1 – 2sin x ≥ 0;

5) y = 1 − 2 sin x ;

7π π + 2πk ≤ x ≤ + 2πk , k ∈ Z ; 6 6 π π cos x > 0; − + 2πk < x < + 2πk , k ∈ Z . 2 2

1 sin x ≤ ; 2

−

6) y = ln cos x 695. 1) y =

π π + 2πk ≤ x ≤ + 2πk , k ∈ Z ; 3 3

1 2 sin 2 x − sin x

;

sin x(2sin x – 1) ≠ 0;

193

www.5balls.ru

sin x ≠ 0 и sin x ≠ 1 ; 2

x ≠ πk и x ≠ (− 1)k π + πk , k ∈ Z ;

6 2 ; ; 2) y = y= cos 2 x cos 2 x − sin 2 x π π π cos2x ≠ 0; 2 x ≠ + πk ; x ≠ + k, k ∈ Z ; 2 4 2 1 1 ; ; 3) y = y= 2 sin x cos 2 x sin x − sin 3x sin x ≠ 0 и cos2x ≠ 0; x ≠ πk и x ≠ π + π k , k ∈ Z ; 4 2 1 1 ; y= ; cos x ≠ 0; 4) y = cos3 x + cos x cos x(1 + cos 2 x) 2

x≠

π + πk , k ∈ Z . 2

696. 1) y = 2sin2x – cos2x; y = 2sin2x – (1 – 2sin2x) = 4sin2x–1, т.е. –1≤у≤3; 2) y = 1 – 8cos2x sin2x; y = 1 – 2sin22x, т.е. –1 ≤ у ≤ 1; 2 3) y = 1 + 8 cos x ;

4) y = 10 – 9sin23x; 5) y = 1 – 2|cos x|; 6) y = sin x + sin(x + π ) ;

1 9 1 + 2 cos 2 x , т.е. ≤ y ≤ ; 4 4 4

1 ≤ y ≤ 10; –1 ≤ y ≤ 1;

3 π  π ; y = 2sin(x + ) cos  −  6  6

π y = 3 sin(x + ) , т.е. − 3 ≤ y ≤ 3 . 6 3 4 697. y = 3cos 2x − 4sin 2x = 5( cos 2x − sin 2x) = 5sin (ϕ − 2x ) , где ϕ = arcsin 3 , 5 5 5

т.е. унаим = –5, а унаиб = 5. 698. y = 26( 1 sin x − 5 cos x) = 26 sin ( x − ϕ ) , где ϕ = arcsin 5 , 26

т.е. − 26 ≤ y ≤ 26 . 699. y = 10cos2x – 6sin x cos x + 2sin2x; y = 4cos2x – 3sin2x + 6;

y = 4(2cos2x – 1) – 3sin2x + 6;

y = 5sin(ϕ – 2x) + 6, где ϕ = arcsin 4 т.е. 1 ≤ у ≤ 11. 5

700. 1) y = cos3x; y(–x) = cos(–3x) = cos3x = y(x) — четная; 2) y = 2sin4x; y(–x) = 2sin(–4x) = –2sin4x = –y(x) — нечетная; 3) y = x tg 2 x ; 2

4) y = x cos x ; 2

x 2 x tg (− x ) = − tg 2 x = − y(x ) — нечетная; 2 2 x  x y(− x ) = − x cos −  = − x cos = − y(x ) — нечетная; 2  2 y(− x ) = −

5) y = x sin x; y(–x) = –x sin(–x) = x sin x = y(x) — четная; y(–x) = 2sin2(–x) = 2sin2x = y(x) — четная. 6) y = 2sin2x; 701. 1) y = sin x + x; y(–x)=–sin x–x =–(sin x + x) = –y(x) — нечетная;

194

www.5balls.ru

2) y = cos(x − π ) − x 2 ; 2

y = sin x – x2;

y(–x) = –sin x – x2 — не является четной или нечетной; 3) y = 3 − cos( π + x)sin ( π − x ) ; y = 3 + sin2x; y(–x) = 3 + sin2x = y(x) — четная;

2 1 4) y = cos 2x sin( 3 π − 2x) + 3 ; 2 2 1 1 ; y = − cos 3x + 3 y(− x ) = − cos 2 2 x + 3 = y(x ) — четная; 2 2 sin x sin x 5) y = + sin x cos x ; y(− x ) = − sin x cos x — не является четной x x

или нечетной; 6) y = x 2 + 1 + cos x ; 2

y(− x ) = x 2 +

1 + cos x = y(x ) — четная. 2

702. 1) y = cos x – 1; y(x + 2π) = cos(x + 2π) – 1 = cos x – 1 = y(x); 2) y = sin x + 1; y(x + 2π) = sin(x + 2π) + 1 = sin x + 1 = y(x); 3) y = 3sin x; y(x + 2π) = 3sin(x + 2π) = 3sin x = y(x); cos(x + 2π) cos x = = y (x ) ; 2 2 π π 5) y = sin(x − π ) ; y ( x + 2π ) = sin(x − + 2π) = sin(x − ) = y ( x ) ; 4 4 4 6) y = cos(x + 2π ) ; y ( x + 2π ) = sin(x + 2π + 2π) = cos(x + 2π ) = y ( x ) . 3 3 3

4) y = cos x ;

y ( x + 2π ) =

703. 1) y = sin2x, T = π; y(x + T) = sin(2(x+π))=sin(2x+2π)=sin2x=y(x); 2) y = cos x , T = 4π; 2

3) y = tg2x, T = π ; 2

x + 4π x x = cos( + 2π) = cos = y ( x ) ; 2 2 2 π y ( x + T ) = tg(2(x + )) = tg ( 2x + π ) = tg2x = y ( x ) ; 2 y ( x + T ) = cos

4x 5 4 5 4x 4x 4) y = sin , T = π ; y ( x + T ) = sin( (x + π)) = sin( + 2π) = sin = y (x ) . 5 2 5 2 5 5

704. 1) y = 1 − cos x ; 1 + cos x

1 − cos x = y(x ) — четная; 1 + cos x

y(− x ) =

sin 2 x = y(x ) — четная; 1 + cos 2x

2 3) y = cos 2 x − x ;

y(− x ) =

cos 2 x − x 2 = − y(x ) — нечетная; − sin x

3 4) y = x + sin 2 x ; cos x

y(− x ) =

− x 3 − sin 2 x = − y(x ) — нечетная; cos x

2) y =

sin 2 x ; 1 + cos 2x

y(− x ) =

cos x

5) y = 3cosx; 6) y = x|sin x|sin3x;

y(–x) = 3cosx = y(x) — четная; y(–x) = –x|sin x| ⋅ (–sin3x) = y(x) — четная.

705. 1) y = cos 2 x . Т.к. наименьший период функции cos t равен 2π, и 5

195

www.5balls.ru

y(x + T) = y(x), то cos( 2 (x + T)) = cos( 2 x + 2π) , т.е. Т = 5π. 5

2) y = sin 3 x . 2

Т.к. наименьший период функции sin t равен 2π, и

y(x + T) = y(x), то sin( 3 (x + T)) = sin( 3 x + 2π),T = 4π . 2

3) y = tg x . 2

Т.к. наименьший период функции tg t равен π, и

y(x + T) = y(x), то tg x + T = tg( x + π) , т.е. Т = 2π. 2

4) y = |sin x|. Т.к. у(х + π) = |sin(x + π)| = |–sin x| = |sin x| = y(x), то Т = π — наименьший период функции y = |sin x|. 706. 1) y = sin x + cos x. Наименьший положительный период функции sin x равен 2π, и наименьший положительный период функции cos x равен 2π, значит, значения функции будут повторены через 2π единиц. 2) y = sin x + tg x. Наименьший положительный период функции sin x равен 2π, а наименьший положительный период функции tg x равен π, то значения функции будут повторены через 2π единиц. 707. 1) f(x) + f(–x) — четная функция. Пусть F1(x) = f(x) + f(–x); F1(–x) = f(–x) + f(x) = F1(x), ч.т.д. 2) f(x) = f(–x) — нечетная функция. Пусть F2(x) = f(x) – f(–x); F2(–x) = f(–x) – f(x) = –F2(x), ч.т.д. Используя эти функции, представить f(x) в виде суммы четной и нечетной функции. Т.к. F1(x) + F2(x) = f(x) + f(–x) – f(x) – f(–x) = 2f(x), то f ( x ) = F1 (х) + F2 (х) . 2

708. 1) значения, равные 0, 1, –1; 0 при π , 3π , 5π ; 2

–1 при π, 3π;

1 при0, 2π;

2) положительные значения при x ∈  0; π , x ∈  3π ; 5π  ; 

 2

2

2 

3) отрицательные значения при x ∈  π ; 3π , x ∈  5π ;3π  .   2 2 2  709. 1) [3π; 4π] — возрастает;

2) [–2π; –π] — убывает;

3) 2π; 5π  — убывает; 2 

4) − π ;0 — возрастает;

5) [1; 3] — убывает;

6) [–2; –1] — возрастает.

710. 1)  π ; 3π  ; 2

2) − π ; π  ;  2 2

2

 2



 π  — убывает,  2 ; π  

 3π  — возрастает; π; 2   

 π  — возрастает,  π  — убывает; − 2 ;0 0; 2     

196

www.5balls.ru

3) 0; 3π  ;

[0; π] — убывает, π; 3π  — возрастает;

4) − π; π  ; 2 

[–π; 0] — возрастает, 0; π  — убывает.



2



 2 π 8π 711. 1) cos и cos . Т.к. функция cos x убывает на [0; π] и π < 8π , 7 9 7 9 π 8π то cos > cos . 7 9 8π 2) cos и cos10π . Т.к. cos x возрастает на [π; 2π] и 8π < 10π , то cos8π < cos10π . 7 7 7 7 7 7 6π  π    3) cos  −  и cos −  . Т.к. cos x вохрастает на [–π; 0] и  7   8

6π π  6π   π < − , то cos  −  < cos  −  . 7 8  7   8 π 8 π 9    4) cos  −  и cos  −  . Т.к. cos x убывает на [–2π; –π] и  7   7  8π 9π  8π   9π  − >− ≠ , то cos  −  < cos  −  . 7 7  7   7 

−

5) cos 1 и cos3. Т.к. cos x убывает на [0; π], а 1 < 3, то cos 1 > cos 3. 6) cos4 и cos5. Т.к. cos x возрастает на [π; 2π] и 4 < 5, то cos4 < cos5. у

712. 1) cos x = 1 .

Построим графики функций y = cos x и y = 1 на отрезке [0; 3π]. Эти графики пересекаются в трех 2

точках, абсциссы которых х1, х2 и х3, являются корнями уравнения cos x =

1 ; x1 = π , x 2 = 5π , x 3 = 7 π . 2 3 3 3

2) cos x = 2 .

Построим графики функций y = cos x и 2 на отрезке [0; 3π]. Эти графики пересекаются в трех точках, абсцис2

сы которых х1, х2 и х3 являются корнями уравнения x1 =

7π 9π . π , x2 = , x3 = 4 4 4

cos x =

2 ; 2

3) cos x = − 2 . 2

Построим графики функций y = cos x

197

www.5balls.ru

и y = − 2 на отрезке [0; 3π]. Эти графики пересекаются в трех точках, абс2

циссы которых х1, х2 и х3 являются решением уравнения cos x = − 2 ; 2

3π 5π 11π . x1 = , x 2 = , x3 = 4 4 4 4) cos x = − 1 . 2

у х

Построим графики функций y = cos x и y = − 1 . Эти графики пересекаются в трех точках, абсциссы которыех 2

х1, х2 и х3 являются корнями уравнения cos x = 1 ; x1 = 2π , x 2 = 4π , x 3 = 8π . 2

713. 1) cos x ≥ 1 . 2 График функции y = cos x лежит не ниже графика функции y = 1 при 2

х ∈ [0; x1], x ∈ [x2; x3]. Значит, решение неравенства 0; π  и  5π ; 7π  .  3  3 3    2) cos x ≥ − 1 . 2

График функции y = cos x лежит не ниже графика функции y = − 1 при

2 4π 8π  2π    x ∈ [0; x1], x ∈ [x2; x3]. Значит, решение неравенства — 0;  и  ;  . 3 3  3

3) cos x < − 2 . 2

График функции y = cos x лежит ниже графика функции y = − 2 при

2 3π 5π  π 11    x ∈ [x1; x2], x ∈ [x2; x3]. Значит, решение неравенства —  ;  и  ;3π  .  4 4   4 

4) cos x < 3 . 2

График функции y = cos x лежит ниже графика функции y = 3 при

2 π 11 π 13 π  и   x ∈ [x1; x2], x ∈ [x3; 3π]. Значит, решение неравенства —  ; ;3π  .   6 6   6  π π π 3π π π  714. 1) cos и sin ; sin = cos  −  = cos . 5 10 5 5 2 5

198

www.5balls.ru

Т.к. cos x убывает на [0; π], и π < 3π , то cos π > cos 3π , т.е. cos π > sin π .

5 10 5 10 5 5 π 5π π π . sin = cos  −  = cos 7 14 2 7 Т.к. cos x убывает на [0; π], и π < 5π , то cos π > cos 5π , т.е. cos π > sin π . 7 14 7 14 7 7 3π π 3π  π 3π 3 π  3) cos и sin ; sin = cos  −  = cos . 8 8 8 8 2 8  3π π 3π π 3π 3π . Т.к. cos x убывает на [0; π], и > , то cos < cos , т.е. cos < sin 8 8 8 8 8 8

2) sin π и cos π ; 7 7

3π π и cos ; 5 5

3π π π π  = sin  +  = cos . 5 10  2 10  Т.к. cos x убывает на [0; π], и π > π , то cos π < cos π , т.е. cos π < sin 3π . 5 10 5 5 5 10 5π π π π π 5π   5) cos и sin ; sin = sin  −  = cos . 14 6 14 7 2 7 π π π Т.к. cos x убывает на [0; π], и > , то cos < cos π , т.е. cos π < sin 5π . 6 7 6 7 6 14 3π π π π 3π π  6) cos и sin ; sin = sin  −  = cos . 8 10 10 5 2 5 π π π Т.к. cos x убывает на [0; π], и < , то cos > cos π , т.е. cos π > sin 3π . 8 5 8 5 8 10 π 3π 1 715. 1) cos 2x = . Обозначим 2x = t, т.к. − ≤ x ≤ , то – π ≤ 2x = t ≤ 3π. 2 2 2 Построим графики функции y = cos t и y = 1 на отрезке [–π; 3π]. Эти 2

4) sin

sin

графики пересекаются в четырех точках, абсциссы которых t1, t2, t3, t4 являются решением уравнения cos x = 1 .

2 π π 5π 7π , т.е. x1 = − π , x 2 = π , x 3 = 5π , x 4 = 7 π . t1 = − , t 2 = , t 3 = , t4 = 3 3 3 3 6 6 6 6 у

2) cos3x = 3 . 2

Обозначим 3x = t, т.к. −

π 3π , то − 3π ≤ 2x ≤ 9π . ≤x≤ 2 2 2 2

Построим графики фукнций y = cos t и y = 1 на отрезке  − 3π ; 9π  . Эти 2  2 2 графики пересекаются в шести точках t1, t2, t3, t4, t5, t6, абсциссы которых являются решением уравнения cos x = 3 ; 2

199

www.5balls.ru

π π 11π 13π 23π 25π , т.е. t1 = − , t 2 = , t 3 = , t4 = , t5 = , t6 = 6 6 6 6 6 6 π π 11π 13π 23π 25π . x1 = − , x 2 = , x 3 = , x4 = , x5 = , x6 = 18 18 18 18 18 18 у

716. 1) cos 2x < 1 . Обозначим 2x = t, тогда –π ≤ t ≤ 3π. 2

График функции y = cos t лежит ниже графика функции y = 1 при 2

t ∈ [–π; t1) ∪ (t2; t3) ∪ (t4; 3π], т.е. t ∈  −π; − π  U  π ; 5π  U  7π ;3π , 3 3 3   3   π π   π 5π   7 π 3π   а x ∈ − ; −  U  ;  U  ;  .  2 6 6 6   6 2  2) cos3x > 3 . Обозначим 3x = t; − 3π ≤ t ≤ 9π . 2

График функции y = cos t лежит выше графика функции y = 3 при

2 π π 11 π 13 π 23 π 25 π , а      t ∈ (t1; t2) ∪ (t3; t4) ∪ (t5; t6), т.е. t ∈  − ;  U  ; ; U  6   6 6  6 6   6  π π   11π 13π   23π 25π  . x ∈ − ;  U  ; ; U   18 18   18 18   18 18 

717. 1) y = 1 + cos x. а) Область определения x ∈ R.; б) Множество значений 0 ≤ у ≤ 2;

у х

в) Функция периодическая с периодом 2π; г) Функция четная; д) принимает наименьшее значение, равное 0, при x = π + 2πk, k ∈ Z; принимает наибольшее значение, равное 2, при x = 2πk, k ∈ Z; функция неотрицательная; е) возрастает при x ∈ [π + 2πk; 2π + 2πk], k ∈ Z; убывает при x ∈ [2πk; π + 2πk], k ∈ Z. 2) y = cos2x. у а) Область определения x ∈ R. x б) множество значений –1 ≤ у ≤ 1. в) периодическая с периодом π. г) четная. д) принимает наименьшее значение, равное –1, при x = π + πk, k ∈ Z ; 2

200

www.5balls.ru

принимает наибольшее значение, равное 1, при x = πk, k ∈ Z принимает по-

ложительные значения при x ∈ ( − π + πk; π + πk), k ∈ Z принимает отрица4

тельные значения при x ∈ ( π + πk; 3π + πk), k ∈ Z ; 4

е) возрастает при x ∈  π + πk; π + πk  ,k ∈ Z ; убывает при x ∈  πk; π + πk  , k ∈ Z . 2 2   

3) y = 3cos x. а) Область определения x ∈ R; б) множество значений –3 ≤ у ≤ 3; в) периодическая с периодом 2π; г) четная; д) принимает наименьшее значение, равное –3, при x = π + 2πk, k ∈ Z

принимает наибольшее значение, равное 3, при x = 2πk, k ∈ Z принимает

положительные значения при x ∈ ( − π + 2πk; π + 2πk), k ∈ Z принимает отри2 2 π 3π цательные значения при x ∈ ( + 2πk; + 2πk), k ∈ Z ; 2 2

е) возрастает при x ∈ [π + 2πk; 2π + 2πk], k ∈ Z убывает при x ∈ [2πk; π + 2πk], k ∈ Z. 718. 1)  π ; π . Т.к. cos x убывает на [0; π], то cos π ≤ cos x ≤ cos π для всех 3

3  π 1   x ∈  ; π  , т.е. −1 ≤ y ≤ . 3 2  

2)  5π ; 7 π  .  4

4 

Т.к. cos x возрастает на [π; 2π], то cos 5π < cos x < cos 7 π 4

для всех x ∈  5π ; 7π  , т.е. −  4

4 

2 2 . < y< 2 2

719. 1) y = |cos x|. Т.к. при cos x ≥ 0; y = cos x, а при cos x < 0; y = –cos x, то отразим части графика функции y=cos x, расположен-

у x

ные ниже оси абсцисс в верхнюю часть плоскости. Полученная кривая и будет графиком функции y = |cos x|. у У1 2) y = 3 – 2cos(x – 1). Построим график функции y = 2cos t, в системе координат 0′ty′. Графиком функции y = 2cos(x – 1) является эта же кривая в системе координат 0ху, где x – 1 = t, а y′ = y (т.е. 0 = 0′ – 1). Затем tx зеркально отобразим полученный гра-

201

www.5balls.ru

Фик относительно оси 0х, получим график функции y = –2cos(x – 1). Подняв его на 3 единицы вверх, получим исходный график y = 3 – 2cos(x – 1). 720. 1) Значение, равное 0, 1, –1; 0 при 0, π, 2π, 3π; 1 при π , 5π ;

–1 при 3π ;

2 2

2) положительные значения: (0; π), (2π; 3π); 3) отрицательные значения: (π; 2π). 721. 1)  3π ; 5π  — возрастает; 2 2  3)  −π; − π  — убывает; 2 

2)  π ; π  — убывает; 2 

  4) − 3π ; − π  — убывает; 2  2

5) [2; 4] — убывает;

6) [6; 7] — возрастает.

722. 1) [0; π]; 0; π  — возрастает,  π ; π — убывает; 2   2 2)  π ;2π ;  π ; 3π  — убывает,  3π ;2π  — возрастает; 2  2  2 2    3) [–π; 0];  −π; − π  — убывает,  − π ;0 — возрастает;  2

2





4) [–2π; –π];  −2π; − 3π  — возрастает,  − 3π ; −π — убывает. 2   2  7π 13π и sin . 723. 1) sin 10 10 Т.к. sin x убывает на  π ; 3π  и 7 π < 13π , то sin 7π > sin 13π . 10 10 10 10 2 2  2) sin

11π 13π . и sin 7 7

Т.к. sin x возрастает на  3π ; 5π  и 13π > 11π , то sin 13π > sin 11π . 2

2

3) sin  − 8π  и sin  − 9π  .  7   8  Т.к. sinx убывает на − 3π ; − π  и − 8π < − 9π , то sin  − 8π  > sin  − 9π  . 7 8 2  7   8   2 3 π 5 π   4) sin7 и sin6. Т.к. sin x возрастает на  ;  и 7 > 6, то sin7 > sin6. 2 2 у

724. 1) sin x = 3 . 2

Построим графики функций y = sin x и y = 3 на отрезке [0; 3π]. Эти графики пересекаются в четырех точках, 2

202

www.5balls.ru

абсциссы которых х1, х2, х3, х4 являются корнями уравнения sin x = 3 ; 2

π 2π 7π 8π . x1 = , x 2 = , x3 = , x4 = 3 3 3 3 у

2) sin x = 2 . 2

Построим графики функций y = sin x

и y = 2 на отрезке [0; 3π]. Эти графики пересекаются в четырех точках, 2

абсциссы которых х1, х2, х3, х4 являются корнями уравнения sin x = 2 ; 2

π 3π 9π 11π . x1 = , x 2 = , x 3 = , x4 = 4 4 4 4

3) sin x = − 2 .

Построим графики функций y = sin x

и y = − 2 на отрезке [0; 3π]. Эти графики пересекаются в двух точках, абсцис2

у сы которых х1 и х2 являются корнями уравнения sin x = − 2 ; x1 = 5π , x 2 = 7 π .

4) sin x = − 3 . 2

Построим графики функций y = sin x

и y = − 3 на отрезке [0; 3π]. Эти графики пересекаются в двух точках, абс2

циссы

которых

х1,

х2

являются

корнями

уравнения

sin x = −

3 ; 2

4π 5π . , x2 = 3 3 725. sin x > 1 . 2

x1 =

График функции y = sin x лежит выше графика функции y = 1 при 2

x ∈ (x1; x2) U (x3; x4), т.е. x ∈  π ; 5π  U  13π ; 17 π  . 6  6 6   6 у

1) sin x ≤ 2 .

График функции y = sin x лежит не

203

www.5balls.ru

выше графика функции y = 2 при x ∈ [0; x1] U [x2; x3] U [x4; 3π], т.е. 2 .  π   3π 9π  11π x ∈ 0;  U  ;  U  ;3π   4  4 4   4 1 2) sin x ≥ − . 2

у х

График функции y = sin x лежит не 1 ниже графика функции y = − при x ∈ [0; x1] U [x2; 3π], т.е. x ∈ 0; 7π  U 11π ;3π . 2  6  6  3) sin x < − 3 . 2

График функции y = sin x лежит ниже графика функции y = − 3 при 2

x ∈ (x1; x2), т.е. x ∈  4π ; 5π  .  3 3  726. 1) sin π и cos π ;

cos

7π ; π  π 7π  = cos −  = sin 9 18  2 18 

Т.к. sin x возрастает на 0; π  и π < 7 π , то sin π < sin 7 π , т.е. sin π < cos π ; 9 18 9 18 9 9  2 2) sin 9π и cos 9π ; 8

cos

9π 11π ;  5π 11π  = cos −  = sin 8 8  8  2

Т.к. sin x убывает на  π ; 3π  и 9π < 11π , то sin 9π > sin11π , т.е. sin 9π > cos 9π ; 2 2 

3) sin π и cos 5π ; 5

cos

5π π π π = cos −  = sin ; 14 7 2 7

Т.к. sin x возрастает на 0; π  и π > π , то sin π > sin π , т.е. sin π > cos 5π ; 

4) sin π и cos 3π ; 10 8

2

3π π π π cos = cos −  = sin ; 10 2 5 5  

Т.к. sin x возрастает на 0; π  и π < π , то sin π < sin π , т.е. sin π < cos 3π . 

2

1 . 2 Построим графики функций у= sin 2x и 1 у= − на данном отрезке. Эти графики пересекаются в шести точках, 2 абсциссы которых являются корнями уравнения sin 2x = − 1 . На отрезке 2 7π 11π [0; π] имеем два решения: х1= ; х2= . 12 12

727. 1) sin 2x = −

204

www.5balls.ru

Период функции у= sin 2х равен π, поэтому так же будет решением х= 7π + πn и х= 11π +πk; 12 12

n, k ∈Z.

Согласно графику имеем следующие решения: 13π 5π π ; ; х= − 17π ; − − − ; 12 12 12 12

7π ; 12

2) sin 3x = 3 .

11π . 12

Постройте графики функций у= sin 3x и у= 3 на данном отрезке. Эти гра2

фики пересекаются в восьми точках. Период функции у= sin 3x равен отрезке [0,

π 2π 2π ] имеем два решения: 3х= и 3х= ; 3 3 3

Согласно графику, учитывая период х= −

11π ; 9 8π 9

−

10π ; 9

−

5π ; 9

−

х=

2π . На 3

π 2π и х= . 9 9

2π , получаем все решения: 3

4π ; 9

π ; 9

2π ; 9

7π ; 9

205

www.5balls.ru

728. 1) sin 2x ≥ −

1 . 2

Построив графики у= sin 2x и у= − 1 , видим, что график функции 2

у=sin 2x лежит выше графика функции у= − 1

на промежутках

17π   3π  − 2 ; − 12  ;  

5π   13π  − 12 ; − 12  ;   Значит, − 3π ≤ x ≤ − 17π , 2 12

7π  11π  π .  − 12 ; 12  ;  12 ; π     7 π , 11π 13π 5π , π − ≤x≤ − ≤x≤− ≤ x ≤π. 12 12 12 12 12 у

2) sin 3x < 3 . 2

Построив графики у=sin 3x и у= 3 , видим, что график функции у=sin 3x 2

лежит ниже графика функции у= 3 на промежутках: 2 5π   4π π   2π 7π   8π  , значит,  3π 11π   10π − 2 ; − 9 ;  − 9 ; − 9 ;  − 9 ; 9 ;  9 ; 9 ;  9 ; π           π 2π 7 π 8π 3π 11π , 10π 5π , 4π , < x ≤ π. − ≤x<− − <x<− − <x< , <x< 2 9 9 9 9 9 9 9 9 729. у=1–sin x; 1) область определения — множество R всех действительных чисел; 2. множество значений — [0; 2]; 3. функция у=1–sin x периодическая, Т=2π; 4. функция у=1–sin x не нечетная и не четная; 5. функция у=1–sin x принимает: значение, равное 0, при х= π +2πn, n∈Z; 2

наименьшее значение, равное 0, при х= π +2πn, n∈Z;

2 3π наибольшее значение, равное 2, при х= +2πn, n∈Z; 2

положительные значения на всей области определения; отрицательных значений не принимает; возрастает на отрезках [ π +2πn; 3π +2πn], n∈Z;

2 2 π π убывает на отрезках [– +2πn; +2πn], n∈Z. 2 2

2) у = 2 + sin x;

205

www.5balls.ru

1. область определения — множество R всех действительных чисел 2. множество значений – [1; 3]; 3. функция у = 2 + sinx периоди-ческая, Т = 2π; 4. функция у = 2 + sinx не нечетная и не четная 5. функция у = 2 + sin x принимает: значение, равное 0, не принимает; наименьшее значение, равное 1, при х= – π +2πn, n∈Z;

2 π наибольшее значение, равное 3, при х= +2πn, n∈Z; 2

положительна на всей области определения; отрицательных значений не принимает; возрастает на отрезке [– π +2πn; π +2πn], n∈Z;

убывает на отрезке [ π +2πn; 3π +2πn], n∈Z. 2 2 3) у=sin 3x; 1. область определения — множество R всех действительных чисел; 2. множество значений — [–1; 1]; 3. функция у=sin 3x периодическая, Т=

2π ; 3 4. функция у=sin 3x нечетная; 5. функция у=sin 3x принимает: значение, равное 0, при х= nπ , n∈Z; 3

наибольшее значение, равное 1, при х= π + 2πn , n∈Z; 6

3 π 2πn наименьшее значение, равное –1, при х= – + , n∈Z; 6 3 положительные значения на отрезках  2πn ; π + 2πn  , n∈Z; 3 3   3

отрицательные значения на отрезках  π + 2πn ; 2π + 2πn  , n∈Z; возрастает на отрезках  − π + 2πn ; 3  6 π 2πn π  убывает на отрезке  + ; + 3 2 6

3 3 3 π 2πn  , n∈Z; + 6 3 

3 

2πn  , n∈Z. 3 

4) у = 2sin x; 1. область определения — множество R всех действительных чисел; 2. множество значений — [–2; 2]; 206

www.5balls.ru

3. функция у = 2sin x периодическая, Т=2π; 4. функция у=2sin x нечетная; 5. функция у=2sin x принимает: значение, равное 0, при х=πn, n∈Z; наибольшее значение, равное 2, при х= π +2πn, n∈Z; 2 наименьшее значение, равное –2, при х= – π +2πn, n∈Z; 2 положительные значения на отрезках [2πn; π+2πn], n∈Z; отрицательные значения на отрезках [–π+2πn, 2πn], n∈Z; возрастает на отрезках [– π +2πn; π +2πn], n∈Z; 2 2 убывает на отрезках [ π +2πn; 3π +2πn], n∈Z. 2 2  730. 1) множество значений [0; 1]; 2) множество значений  − 2 ; 

731. 1)

2 .  2 

732. I=A sin (ωt+ϕ); π 1) A=2; ω=1; ϕ= ; I=2 sin (t + π ) ; 4 4 π π 2) A=1; ω=2; ϕ= ; I= sin (2t + ) . 3 3 733. 1) tg x =0 при х=πn, n∈Z;

2) tg x >0 при х∈[πn;

π +πn], n∈Z; 2

π +πn; πn], n∈Z. 2 734. 1) возрастает; 3) возрастает; 2) возрастает; 4) возрастает. π π π π π π 735. 1) tg x возрастает на [0; ) и 0< < < , следовательно, tg >tg ; 2 5 7 7 5 2 π π 7π 63π 64π 8π 2) tg x возрастает на ( ; π] и < = < = < π следовательно, 2 2 8 8⋅9 8⋅9 9 7π tg > tg 8π ; 9 8 π 3) tg x возрастает на [–π;– ) и 2

3) tg x <0 при х∈[–

207

www.5balls.ru

–π< − 8π = − 64π < − 63π = − 7π < − π 9 8⋅9 8⋅9 8 2

следовательно,

tg  − 7 π  >  8 

tg  − 8π  ; 

9 

4) tg x возрастает на (–

π ; 0] и − π < − π < − π < 0 следовательно, 2 2 5 7

tg  − π  <tg  − π  ;  5  7 π ; π] и π < 4 =2<3<π следовательно, tg 2< tg3; 2 2 2 π π 6) tg x возрастает на [0; ) и 0<1<1,5< следовательно, tg 1< tg 1,5. 2 2 736. 1) tg x = 1; Постройте графики функций у=tg x и у=1 на промежутке (–π; 2π). На этом промежутке мы имеем 3 пересечения. На промежутке  − π ; π  имеем реше 2 2 π ние tg x =1; х= . 4 Из периодичности функции tg x (Т = π) имеем остальные решения: х= = − 3π ; π ; 5π . 4 4 4 2) tg x = 3 .

5) tg x возрастает на (

Аналогично 1) строим графики у=tg x и у= 3 . Имеем три пересечения на заданном промежутке. π Зная, одно решение х= и учитывая периодичность, 3 2 π π 4π . находим решения: х= − ; ; 3 3 3

3) tg x = – 3 . Строим графики у=tg x и у= – 3 . Имеем три пересечения на заданном промежутке. Зная одно π и учитывая периодичность, находим решение х= – 3 решения: х= − π ; 2π ; 5π . 3 3 3

208

www.5balls.ru

4) tg x = –1. Строим графики у=tg x и у= –1. Имеем три пересечения на заданном промежутке. Зная, одно π решение х= – и учитывая периодичность, находим 4 решения: х= − π ; 3π ; 7π . 4 4 4 737. 1) tg x ≥1. Строим графики у=tg x и у=1. Находим решения tg x =1. Они и будут являться точками пересечения. График у=tg x лежит выше у=1 на промежутках π   π π   5π 3π  . Значит, решением нера 3π − 2 ; − 2 ,  4 ; 2 ,  4 ; 2        венства будут эти промежутки: −

3π π ≤x<− , 2 2

π π ≤x< , 4 2

5π 3π . ≤x< 4 2

2) tg x < 3 . 3

Строим графики у=tg x и у= 3 . По алгоритму за3

дачи 736 находим решения уравнения tg x = 3 ; 3

х= − 5π ; π ; 7π . График у=tg x лежит ниже у= 3 на 6 6 6 3 5 7 3 π π π π π π        промежутках − π; − ,  − ; ,  ; ,  ; 2π . Значит, решением 6   2 6 2 6   2   неравенства будут следующие промежутки. 5π 7π 3π π π π , <x< < x ≤ 2π . −π≤ x < − , − < x < , 6 2 6 2 6 2 3) tg x <–1. Решение tg x = –1 приведено в № 736. График у=tg x лежит ниже у= –1 на промежутках π   π 3π   3π 7π  ,  π значит, решением   − ; − ,  ; ,  ; 4 2 4   2 4   2 неравенства будут следующие промежутки: π π π 3π 3π 7π . − <x<− , <x< <x< , 2 4 2 4 2 4 4) tg x ≥ − 3 .

209

www.5balls.ru

Решение tg x = – 3 см. № 736. График у = tg x лежит выше у=– 3 на промежутках: π   π π   2π 3π   5π   , значит, реше-нием неравенства  −π; − 2  ,  − 3 ; 2  ,  3 ; 2  ,  3 ; 2π        

будут следующие промежутки: π −π ≤ x < − , 2

−

π π ≤x< , 3 2

2π 3π ≤x< , 3 2

5π ≤ x ≤ 2π . 3

738. 1) tg x <1. Рассмотрим это неравенство на промежутке − π ; π  . Очевидно, что ре 2 2 шением этого неравенства будет промежуток  − π ; π  . Учитывая периодич

4

π π ность функции tg x, имеем общее решение: х∈ (− + πn; + πn) , n∈Z. 2 4 2) tg x ≥

Рассмотрим это неравенство на промежутке − π ; π  . Очевидно, что  2 2 решением этого неравенства будет промежуток  π ; π  . Учитывая перио3 2 дичность функции tg x, имеем общее решение: х∈  π + πn; π + πn  , n∈Z. 3

3) tg x ≤ −



3 . 3

Рассмотрим это неравенство на промежутке − π ; π  . Очевидно, что ре 2 2 шением этого неравенства будет промежуток  − π ; − π  . Учитывая перио-

6  2 дичность функции tg x, имеем общее решение: х∈  − π + πn; − π + πn  , n∈Z. 6  2 

4) tg x >–1. Рассмотрим это неравенство на промежутке − π ; π  . Очевидно, что ре 2 2 шением этого неравенства будет промежуток  − π ; π  . Учитывая периодич-

 4 2 ность функции tg x, имеем общее решение: х∈  − π + πn; π + πn  , n∈Z. 2  4 

739. 1) tg x =3. Построим графики у=tg x и у=3. Имеем три точки пересечения. Одно решение очевидно: х= arctg 3. Из пе210

www.5balls.ru

риодичности функции получим остальные решения: х= arctg 3 +πn, n=0,1,2.

2) tg x = –2. Рассуждения, аналогичные рассуждениям в п.1, приведут к ответу:х= arctg (–2) +πn, n=1,2,3.

740. 1) tg x > 4. Рассмотрим это неравенство на промежутке  π π  . Решение х∈ (arctg 4, π ). Из периодичности получили: х∈ (arctg − 2 ; 2  2   π 4+πn, +πn), n∈Z. 2 2) tg x < 5. Рассмотрим это неравенство на промежутке − π ; π  .  2 2 π π Решение х∈ (– ; arctg 5]. Общее решение: х∈ (– +πn, arctg 5+πn], n∈Z. 2 2 3) tg x < –4. Рассмотрим это неравенство на промежутке − π ; π  .  2 2 π Решение х∈ (– ; arctg (–4)). 2 π Общее решение: х∈ (– +πn, –arctg 4+πn], n∈Z. 2 4) tg x ≥ –5. Рассмотрим это неравенство на промежутке − π ; π  .  2 2 Решение х∈ [–arctg 5;

π π ). Общее решение: х∈ [ –arctg 5+πn; +πn), n∈Z. 2 2

741. 1) tg x≥3. Построив графики у=tg x и у=3, найдем решения tg x =3 на этом промежутке: х=arctg 3, arctg 3+π, arctg 3+2π. График у=tg x лежит выше у=3 на промежутках

211

www.5balls.ru

arctg 3≤x<

π 5π , arctg 3+π≤x< 3π , arctg 3+2π≤x< . 2 2 2 2) tg x<4. Построив графики у=tg x и у=4, найдем решения tg x =4 на этом промежутке: х=arctg 4, arctg 4+π, arctg 4+2π.. График у=tg x лежит ниже у=4 на промежутках π π <x<arctg 4+π , <x<arctg 4+2π, 0≤x< arctg 4, 2 2 5π <x≤3π. 2

3) tg x≤ –4. Решим уравнение tg x = –4 с учетом, что х∈[0; 3π]: х= –arctg 4+π, –arctg 4+2π, –arctg 4+3π. График у=tg x лежит ниже у= –4 на промежутках π <x≤–arctg 4+π , 3π <x≤–arctg 4+2π, 2 2 5π <x≤–arctg 4+3π. 2 4) tg x> –3. Решим уравнение tg x = –3 с учетом, что х∈[0; 3π]: х= –arctg 3+πn, n=1,2,3. График у=tg x лежит выше у= –3 на промежутках π 5π , 0≤x< , –arctg 3+π <x< 3π , –arctg 3+2π<x< 2 2 2 arctg 3+3π<x≤3π. 742. 1) tg 2х= 3 . Построим графики у=tg 2x и у= 3 . Пересечение состоит из трех точек, значит, три решения. Одно π очевидно — х= . Учитывая периодичность, которая в 6 π данном случае равна T= , получили х= – π , π , 2π . 3 6 3 2 2) tg 3х= –1. Построим графики у=tg 3x и у= –1. Пересечение — пять точек. Одно решение очевидно: х= – π . Учитывая 12 период π , получаем: 3

х= – 5π , π , π , 7π , 11π . 12 12 4 12 12 212

www.5balls.ru

743. 1) tg 2x ≤1.

Решение уравнения tg 2x =1 будет: х= – 3π , π , 5π . График у=tg 2x ле8 8 8 жит ниже у=1 на промежутках  − π ;− 3π ,  − π ; π ,  π ; 5π ,  3π ; π  .  2

8   4 8  4

8  4



2) tg 3x <– 3 . Решением уравнения tg 3x = –

3 будет: х= − 4π , − π , 2π , 5π , 8π . 9

График у=tg 3x лежит ниже у= – 3 на промежутках π 4π π π π 2π π 5π − <x<− , − <x<− , <x< , <x< , 2 9 6 9 6 9 2 9 π 744. 1) у=tg (х+ ). 4 1. Область определения — все действительные числа, исключая π точки +πn, n∈Z; 4 2. множество значений — (–∞; +∞); π 3. функция у= tg (х+ ) периодична T=π; 4

5π 8π . <x< 6 9

4. функция у= tg (х+ π ) не обладает четностью–нечетностью; 4 π 5. функция у= tg (х+ ) принимает: 4 π значение 0 при х= – +πn, n∈Z; 4

π π +πn, +πn), n∈Z; 4 4 π 3π отрицательные значения на промежутках ( +πn, +πn), n∈Z; 4 4 π возрастает на (– 3π +πn, +πn), n∈Z. 4 4

положительные значения на промежутках (–

2) у=tg х . 2

1. Область определения — все действительные числа, исключая точки π+2πn, n∈Z 2. множество значений — (–∞; +∞) 3. функция у= tg х периодична T=2π 2 x 4. функция у= tg нечетна 2

213

www.5balls.ru

5. функция у= tg x принимает: 2

значение 0 при х=2πn, n∈Z; положительные значения при х∈(2πn, π+2πn), n∈Z; отрицательные значения при х∈(–π+2πn, 2πn), n∈Z; возрастает на (–π+2πn, π+2πn) , n∈Z. 745. 1) [–1; 3 ]; 3) (–∞; 0)∪(0; +∞); 746. 1)

2) (–1; +∞); 4) (–∞; –1)∪(1; +∞). 2)

y = tg ⋅ ctqx

y = ctqx

747. 1)

1 ctq

2) Y

748. 1)

2) y = sin ⋅ ctqx

y = tg(3x– π ) 4

y = ctg(3(x + π )) 6

749. 1) tg 2х <1. Построим график функции tg 2х=у и у=1 на промежутке − π ; π  . Видим, две точки  2 2

214

www.5balls.ru

пересечения с абсциссами

π π и – . График у= tg 2х лежит ниже у=1 на 4 4

промежутке  − π ; π  . Значит, в общем случае решение неравенства —  4 4 промежутки (− π + πn; π + πn) , n∈Z. 4

2) tg2 x ≥3. На том же графике построим у=3. Опять на промежутке − π ; π  видим, две точки  2 2 π π пересечения с абсциссами – и и график 3 3 у= tg2 x лежит выше у=3 на промежутках  − π ; − π  и  π ; π  . Общее ре 2 3 3 2  шение  − π + πn; − π + πn  и  π + πn; π + π , n∈Z. 3 2  2  3  3) ctg x≥–1. Построим графики у=ctg x и у= –1. Рассмотрим промежуток [0,π]. Имеем на нем одно пересечение х= 3π и график у= ctg x лежит выше у= –1 на 4

промежутке (0; 3π ]. Общее решение (πn; 3π +πn], 4

n∈Z. 4) ctg x > 3 На том же графике построим у= 3 . На промежутке π [0;π] имеем одно пересечение х= и график функции 6 π у= ctg x лежит выше у= 3 на промежутке (0; ) и 6 π общее решение: (πn, +πn), n∈Z. 6 750. 1) 1 < 2 , 3

1 2 < ; 3 5

5 6 < . 15 15

Функция у=arcsin х возрастающая, значит, arcsin 1 <arcsin 3

2) − 2 > − 3 ; 3 4

−

2 10

8 9 >− . 12 12

Функция у=arcsin х возрастающая, значит, arcsin −

2 >arcsin − 3 . 3 4

215

www.5balls.ru

751. 1) 1 > 1 . 3 5 Т.к. функция у=arccos х убывающая, то arccos 1 <arccos 1 . 5 3 4 1 12 5 2) − < − , т.к. − < − . 5 3 15 12 Т.к. функция у=arccos х убывающая, то arccos  − 4  >arccos  − 1  .  3  5 752. 1) 2 3 <3 2 , т.к. 12<18. Т.к. функция у=arctg х возрастающая, то arctg 2 3 <arctg 3 2 . 2) − 1 < − 1 . 2

    Т.к. функция у=arctg х возрастает, то arctg  − 1  <arctg  − 1  .     5 2    π π  π π π 1 753. 1) arcsin (2–3х)= ; ∈  − ;  , следовательно, 2–3х=sin; = ; 6 6  2 2 6 2 1 1 2–3х= х= . 2 2 π π  π π π 2 2) arcsin (3–2х)= ; ; ∈ − ; , следовательно, 3–2х=sin = 2 4 4  2 2  4

2 ; х= 6 − 2 . 2 4 π π x−2 3) arcsin = – ; – ∈  − π ; π  , следовательно, по определению 4 4 4  2 2

3–2х=

x−2 =sin 4

2;  π −  = − 2  4

x−2 2 ; х= 2 − 2 2 . =− 4 2

π  π π 4) arcsin x + 3 = − π ; – ∈  − ;  , следовательно, по определению 2 3 3  2 2 3; x+3  π = sin  −  = − 2 2  3

754. 1) arccos (2х+3)= 2х+3=cos

π 1 = ; 3 2

2) arccos (3х+1)= 3х+1 =cos

π =0; 2

π ; 2

x +3 3 ; х= − 3 − 3 . =− 2 2

π π ; ∈[0;π], следовательно, по определению 3 3 1 5 2х+3= ; х= − . 2 4 π ∈[0;π], следовательно, по определению 2 3х+1=0; х= − 1 . 3

216

www.5balls.ru

3) arccos x + 1 = 2π ;

3 3 x +1 2π 1 = cos =− ; 3 3 2 2x − 1 =π; 4) arccos 3

π  π π 1− x π ∈ − ; , следовательно, по определению = ; 4 3 3  2 2 

π 1− x = tg = 3 ; 4 3

2) arctg 1 + 2x = π ; 3 4 π 1 + 2x = tg = 1; 3 4

3) arctg (2х+1)= – 2х+1=tg −

π∈[0;π], следовательно, по определению 2x − 1 = –1; х= –1. 3

2x − 1 =cos π= –1; 3

755. 1) arctg

2π ∈[0;π], следовательно, по определению 3 5 x+3 1 = − ; х= − . 2 2 2

1− x = 3 ; х= 1− 4 3 . 4 π  π π ∈  − ;  , следовательно, по определению 4  2 2 1 + 2x = 1; х=1. 3

π ; – π ∈  − π ; π  , следовательно, по определению 3 3  2 2

π =– 3 ; 3

2х+1= – 3 х= − 3 − 1 .

2 π π  π π 4) arctg (2–3х)= – ; – ∈  − ;  , следовательно, по определению 4 4  2 2 2–3х= –1; х=1. 2–3х=tg  − π  = –1;  4

756. 1) –1≤ x − 3 ≤ 1, следовательно, 1≤х≤5. 2

2) –1≤2–3х≤1, следовательно, 1≥x≥ 3) –1≤х2 x –3≤1; 2 4) –1≤ 2x − 5 ≤ 1; 3

1 . 3

1≤ x ≤2; 2

1≤х ≤4

1≤х≤4.  1≤ x ≤ 2  −2 ≤ x ≤ −1 . 

757. Проведем параллельный перенос графика у=arccos х на у так, чтобы совпала точка (0, f(x)=arccos х–

π вниз по оси 2

π ) с точкой (0,0). Теперь он имеет вид 2

π 2

217

www.5balls.ru

Рассмотрим f(–x), учитывая, что arccos х + arccos (–х)=π,получим f(–x) = π π π π =arccos (–х)– =π–arccos х – = –arccos х= –(arccos х– )= –f(x). Следова2 2 2 2 π тельно, это функция нечетна и симметрична относительно точки (0, ). 2 758. 1) у=sin x +cos x. Область определения — множество действительных чисел. 2) у=sin x + tg x. Область определения — множество действительных π чисел, исключая точки +πn, n∈Z. 2 3) у = sin x . Область определения — х∈[2πn; π+2πn], n∈Z. π π 4) y = cos x . Область определения — х∈[– +2πn, +2πn], n∈Z. 2 2 5) y =

2x ; 2sin x ≠1. Область определения — множество действи2sin x − 1

тельных чисел, исключая точки 6) y=

cos x 2sin 2 x − sin x

π 5π +2πn, и +2πn, n∈Z. 6 6

sin x (2sin x –1) ≠0;

;

 sin x ≠ 0 .  2sin x ≠ 0

Область определения — множество действительных чисел, исключая π 5π +2πn, πn, n∈Z. точки +2πn, и 6 6 759. 1) у=1–2sin2 x; sin x ∈[–1;1]; sin2 x∈[0;1]; 2sin2 x∈[0;2]; 1–2sin2 x∈[–1;1]; 2) y=2cos2 x –1; cos2 x∈[0;1]; 2cos2 x∈[0;2]; 2cos2 x –1∈[–1;1]; 3) у=3– 2sin2 x; 2sin2 x∈[0;2]; 3– 2sin2 x∈[1;3]; 4) y=2cos2 x +5; 2cos2 x∈[0;2]; 2cos2 x +5∈[5;7]; 5) y=cos 3x sin x –sin 3x cos x +4; у=sin (х–3х)+4=4–sin 2x; sin 2x∈[–1;1]; 4–sin 2x ∈[3; 5]; 6) y=cos 2x cos x + sin 2x sin x –3; у=cos (2х–x)–3=cos x –3; cos x ∈[–1;1]; cos x –3∈[–4;–2]. 760. 1) y=x2+ cos x; у(–х)=(–х)2+cos(–х)=х2+cos x = у(х) — четная; 2) у=х3–sin x4 у(–х)=(–х)3–sin (–х) = –х3+sin x = –( х3–sin x)= –у(х) — функция нечетная; 3) у=(1–х2)cos x; у(–х)=(1–(–х2))cos (–х)= (1–х2)cos x=у(х) — четная; 4) у=(1+sin x)sin x; у(–х)=(1+sin (–х))⋅sin (–х)=(1–sin x )⋅(–sin x ); Не является четной и нечетной. 761. 1) у=cos 7x. Период функции у=cos 7x T=2π; cos (7х+2π)=cos 7x = cos 7(x+Т1); 7х+2π=7х+7Т1;

2π=7 Т1;

Т1= 2π . 7

218

www.5balls.ru

2) у=sin x . 7

Период функции у=sin t T=2π; sin ( x +2π)= sin x =sin x + Т1 ; 7

2π= Т1 ; T1=14π.

x +2π= x + Т1 ; 7 7 7

762. 1) 2cos x + 3 =0; cos x = – 3 .

Построим графики у=cos x и у= – 3 . Рассмотрим 2

их пересечения на промежутке[0;3π]. Точек пересечения три. Два решения 5π 7π . и 6 6 х= 5π , 7 π , 17 π . 6 6 6

очевидны:

3 –sin x =sin x;

Учитывая

периодичность,

получаем

ответ: у

2sin x = 3 ; sin x = 3 . 2

Рассмотрим пересечение графиков у=sin x и у= 3 на промежутке [0; 3π]. 2

Имеем четыре пересечения. Два очевидны и два — из периодичности: х= π ; 2π ; 7π ; 8π . 3

tg x = 3 .

3) 3tg x = 3 ;

Рассмотрим пересечение графиков у= tg x и у = 3 на 3

промежутке [0; 3π]. Имеем три пересечения. Одно очевидно, остальные — из периодичности: х= π ; 4π ; 7 π . 3

4) cos x +1=0; у

cos x = –1. Рассмотрим пересечение графиков у=cos x и у=–1 на промежутке [0; 3π]. Имеем два пересечения. Одно очевидно, остальные — из периодичности:

х=π, 3π. 763. 1) 1+2cos x ≥0;

cos x ≥– 1 . 2

Найдем решение уравнения cos x = – 1 на промежутке [–2π; –π]: х= – 4π .

3 4π 1 ]. На этом промежутке график у=cos x лежит выше у= – при х∈[–2π; – 3 2 2) 1–2sin x <0; sin x > 1 . 2 2

219

www.5balls.ru

Найдем решение уравнения x= 1 на промежутке [–2π; –π]. х= − 11π ; − 7 π .

2 6 1 π π 11 7   График функции у= sin x выше у= на промежутке х∈  − ; − . 2 6   6

3) 2+tg x >0; tg x >–2. Рассмотрим решение уравнения tg x = –2 на промежутке [–2π; –π]: х= –arctg 2–π. График у=tg х лежит выше у= –2 на этом промежутке при х∈[–2π; – 3π )∪(–arctg 2–π; –π]. 2

tg x ≥ 1 .

4) 1–2tg x ≤0;

Рассмотрим решение уравнения tg x = 1 на промежутке [–2π; –π]:

2 1 х=arctg –2π. График у=tg х лежит выше у= 1 на этом промежутке при 2 2 х∈[arctg 1 –2π; – 3π ). 2 2 764. 1) cos x = х2 — два решения; 2) sin x = х — три решения; 2

y = sinx

765. 1) у=tg (2x + π ). 6

Все действительные числа, исключая 2х+ π = π +πn, n∈Z; 6

2x= π +πn; 3

x= π + πn , n∈Z; 6

 x ≠ π + πn, n ∈ Z  2) y= tg x ; . 2  tg x ≥ 0 Область определения — х∈[πn; π +πn], n∈Z. 2

766. 1) y=cos4 x –sin4 x; cos4 x ∈[0;1]; max (cos4)=1, min (cos4)=0; sin4 x ∈[0;1]; (–sin4 x)∈[–1; 0]; max (–sin4 x)=0, min(–sin4 x)= –1; max y=1+0=1; min y=1+(–1)= –1;

220

www.5balls.ru

2) y=sin (x+ π )sin(x– π )=(sin x ⋅ 2 +cos x ⋅ 2 )⋅(sin x ⋅ 2 – cos x ⋅ 2 ) = 4

= 1 (sin2x– cos2x); 2

max (sin2x)=1, т.к. sin2x∈[0,1]; max (–cos2x)=0, т.к. cos2x∈[–1;0]; max y= 1 (1+0)= 1 ; 2

min(sin2x)=0; min (–cos2x)= –1;

min y= 1 (0+(–1))= – 1 ;

Период функции у=tg x; T=π;

tg   1 x + 1  + π  =tg( 1 x+ 1 )=tg 1 (x+T1+1);  4  4 4 4 4   1 1 1 1 1 x+ +π= x+ T1+ T1=4π. 4 4 4 4 4

769. 1)

y = [x]

y = cosx

y = –|x+1|

770. 1) у=cos2 x –cos x =cos x (cos x –1); либо cos x =0;

х= π +πn, n∈Z; 2

cos x (cos x –1)=0;

либо cos x =1;

х=2πn, n∈Z;

2) y = cos x –cos2x –sin 3x = 2sin 3х sin х –2sin 3х cos 3х = 2

221

www.5balls.ru

либо sin 3x =0; 2 2 2 2 x 3x 2 x= πn, n∈Z; либо sin – cos =0, 3 2 2 x π 3 x   тогда sin –sin  −  =2cos π − 2 x sin 4 x − π =0; 2 4 4 2 2 

3x =πn; 2

=2sin 3х (sin х – – cos 3х )=0;

либо cos x  π − х  =0; 4 2 



x= π –4πn, n∈Z; 2

π х − =2πn, n∈Z; 4 2 либо sin(x– π )=0; 4

х π 2πn; = − 2 4 x– π =πn; x= π +πn, n∈Z. 4 4 Y

771. у=1,5–2sin2 х >0; 2

1,5–2sin2 х >0; 2

sin х < 3 ; − 2 4 х∈(– 2π +2πn; 3 2

3 <sin х < 3 . Соответственно графику имеем решение: 2 2 2 2π +2πn), n∈Z. 3

772. у=tg 2x–1; tg 2x–1<0; tg2x <1; Из графика видно, что у=tg2x лежит ниже у=–1 на промежутках х∈  − π + πn ; π + πn  , n∈Z. 4



773. 1) y = 2sin(

x 2

π 3

2 

2) )–2

y = cosx – cos x

774. 1) у=12sin x –5cos x =13⋅sin (x –ϕ);

ϕ=arccos 12 у∈[–13; 13]; 13

1 2) y=cos x – sin x=1– sin x –sin x=–( sin x+ ⋅2⋅sin x+ 1 ) + 5 ⋅ 5 –(sin x+ 1 )2; 2 2 4 5 4 2

–1≤у≤ 5 . 4

775. 1) sin x ≥cos x;

sin x –cos x≥0;

2 (sin x⋅ 2 –cos x⋅ 2 )≥0;

2 2 π π π π 5π 2 sin (x– )≥0; sin(x– )≥0; 2πn≤ x– ≤π+2πn +2πn≤х≤ +2πn,, n∈Z; 4 4 4 4 4 2) tg x>sinx; sin x –sin x>0; sin x (1 − cos x ) >0; tg x(1–cos x)>0 для tg x; cos x cos x

х 222

www.5balls.ru

–π − π 2

π 2

|cos x|<1;

1 − cos x ≥ 0 

при х=2πn, n∈Z;

при х∈(0; π ) и (–π; – π )

; 1 − cos x = 0 

значит, tg x (1–cos x )>0

2 2 π или в общем при 2πn <x< +2πn и –π+2πn<x<– π +2πn. 2 2

223