ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ & ΚΡΟΥΣΗ Διακρίνουμε τρία στάδια στη λύση της άσκησης: Πριν τη κρούση: Συνήθως εφαρμόζουμε την Α.Δ.Μ.Ε ή το Θ.Μ.Κ.Ε ή τις εξισώσεις κίνησης της Α’ Λυκείου με σκοπό να βρούμε τις ταχύτητες των σωμάτων λίγο πριν την επαφή τους . Κατά τη κρούση: Εφαρμόζουμε την Α.Δ.Ο ανάμεσα στις καταστάσεις λίγο πριν και λίγο μετά τη κρούση με σκοπό να βρούμε τις τελικές ταχύτητες των σωμάτων μετά την κρούση. Μετά τη κρούση: Όμοια εφαρμόζουμε την Α.Δ.Μ.Ε ή Θ.Μ.Κ.Ε ή τις εξισώσεις κίνησης με σκοπό να βρούμε ένα νέο πλάτος ή μια νέα ταχύτητα ή ένα νέο ύψος. Οι κρούσεις που θα συναντήσουμε μπορεί να είναι : Ελαστικές ή Ανελαστικές ή μια ειδική περίπτωση ανελαστικών τις πλαστικές [τα σώματα μετά τη κρούση συμπεριφέρονται σαν ένα συσσωμάτωμα και έχουν αποκτήσει την ίδια (κοινή) ταχύτητα] . r r Σύμφωνα με την Α.Δ.Ο ισχύει: Pολ ( πριν ) = Pολ ( µετα ) r r r r P1 + P2 +⋅⋅⋅ = P1' + P '2 +⋅⋅⋅ r r r r m1 ⋅ u1 + m2 ⋅ u2 +⋅⋅⋅ = m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v2 +⋅⋅⋅ Για τη περίπτωση της πλαστικής κρούσης δύο σωμάτων έχουμε:
r r m1 ⋅ u1 + m2 ⋅ 0 = ( m1 + m2 ) ⋅ uk m1 ⋅ u1 = ( m1 + m2 ) ⋅ uk uk =
m1 ⋅ u1 ( m1 + m2 )
Κατά τη κρούση πρέπει να ελέγχουμε εάν αλλάζει η θέση ισορροπίας και το πλάτος της ταλάντωσης. Η θέση ισορροπίας αλλάζει εάν μετά τη κρούση έχουμε αλλαγή του βάρους του σώματος που κρέμεται σε κατακόρυφο ελατήριο. Το πλάτος της ταλάντωσης αλλάζει εάν το σύστημα μετά τη κρούση μεταβάλλει την ενέργειά του. Στο διπλανό σχήμα έχουμε μεταβολή του πλάτους της ταλάντωσης όχι όμως και αλλαγή της θέσης ισορροπίας γιατί το ελατήριο είναι οριζόντιο. Σύμφωνα με την Α.Δ.Μ.Ε μετά τη κρούση θα έχουμε:
1 1 1 ×( m1 + m2 ) ×u K2 + ×D ×x 2 = ×D ×x0 '2 ⇒ x0' = A' = ... 2 2 2 Στο διπλανό σχήμα αλλάζει η θέση ισορροπίας και για να βρούμε το πλάτος ταλάντωσης μετά τη κρούση χρειάζεται ο προσδιορισμός της . Αυτό γίνεται εάν εφαρμόσουμε τη συνθήκη ισορροπίας για το συσσωμάτωμα .
ΣF = 0 ⇒ k ×∆l1 = (m1 + m2 ) ×g όπου: Δl1+x2=Δl0+x1
Η παλιά θέση ισορροπίας (πριν τη κρούση) είναι τώρα τυχαία θέση (μετά τη κρούση). Σύμφωνα με την Α.Δ.Ε θα έχουμε:
1 1 1 ⋅ ( m1 + m2 ) ⋅ u K2 + ⋅ D ⋅ x22 = ⋅ D ⋅ A2 ⇒ A = ... 2 2 2 Προσοχή!!! Η περίοδος της ταλάντωσης
T = 2 ⋅π ⋅
m D
αλλάζει μόνο στην πλαστική κρούση αφού η μάζα αυξάνεται και γίνεται :
T = 2 ⋅π ⋅
m1 + m2 D
Ανάλυση Θέματος
1 2 3 4
Λύση Ταλάντωση και Κρούση
Πριν
Κατά
Μετά
1ο και 2ο σχήμα
2ο και 3ο σχήμα
3ο και 4ο σχήμα
Διαβάστε καλά την εκφώνηση της άσκησης πριν δείτε τη λύση της
Ανάλυση Θέματος
Λύση Πριν την κρούση: (Αφού κοπεί το νήμα, τα δύο πρώτα σχήματα)
Η γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης του Σ1
ω=
Κ = m1
N m = 10 rad sec 1Kgr
100
Ανάλυση Θέματος ω=
Κ = m1
N m = 10 rad sec 1Kgr
100
Λύση Πριν την κρούση: (Αφού κοπεί το νήμα, τα δύο πρώτα σχήματα)
Η ταχύτητα του Σ1 στη θέση ισορροπίας είναι η μέγιστη της ταλάντωσης
u1 = ω ×Α = 10 rad
sec
×0, 2m = 2 m
sec
Ανάλυση Θέματος ω=
Κ = m1
N m =10 rad sec 1Kgr
100
u1 = ω ×Α = 10 rad
sec
×0, 2m = 2 m
Λύση Πριν την κρούση: (Αφού κοπεί το νήμα, τα δύο πρώτα σχήματα)
Εφαρμόζοντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας της ταλάντωσης για το Σ1( τα δύο πρώτα σχήματα)
Εταλ .αρχικα = Εταλ .τελικα Καρχ . + Uαρχ . = Κτελ . + Uτελ . 1 1 0 + ×Κ ×Α2 = ×m1 ×u12 + 0 2 2 Κ u1 = ×Α = 2 m sec m1
sec
Ανάλυση Θέματος ω=
Κ = m1
N m =10 rad sec 1Kgr
100
u1 = ω ×Α = 10 rad
Λύση Κατά την κρούση: (Δεύτερο και τρίτο σχήμα)
Μετωπική ελαστική κρούση Ισχύει η διατήρησης της ορμής και της κινητικής ενέργειας
r r Ρπριν = Ρ µετα Κ 1 + Κ 2 = Κ 1' + Κ '2
u1' =
m1 − m2 ×u1 = −1 m sec m1 + m2
2 ×m1 u = ×u1 = 1 m sec m1 + m2 ' 2
sec
×0, 2m = 2 m
sec
Ανάλυση Θέματος
ω=
Κ = m1
N m = 10 rad sec 1Kgr
100
u1 = ω ×Α = 10 rad
sec
×0, 2m = 2 m
sec
u1' =
m1 −m2 × u1 =−1 m sec m1 +m2
u2' =
2 ×m1 × u1 =1 m sec m1 +m2
Λύση Μετά την κρούση: (Τρίτο και τέταρτο σχήμα)
Το Σ1 εκτελεί α.α.τ με νέο πλάτος, αφού έχασε ενέργεια, και την ίδια συχνότητα ω. Η u1’ είναι και πάλι η μέγιστη ταχύτητα της νέας ταλάντωσης. Εταλ.αρχικα = Εταλ .τελικα
u1 ' = ω ×Α ' Α'= Α'=
u1 ' ω 1m
sec = 0,1m 10 rad sec
Καρχ . + U αρχ . = Κτελ . + Uτελ .
ή
1 1 0 + ×Κ ×Α'2 = ×m1 ×u1 '2 + 0 2 2 m Α '2 = 1 ×u1 '2 Κ m1 Α' = ×u1 ' = 0,1 m Κ
Ανάλυση Θέματος ω=
Κ = m1
N m = 10 rad sec 1Kgr
100
u1 = ω ×Α = 10 rad
×0, 2m = 2 m
sec m − m 2 u1' = 1 × u1 =−1 m sec m1 +m2
u2' =
sec
2 ×m1 × u1 =1 m sec m1 +m2
Λύση Μετά την κρούση: (Τρίτο και τέταρτο σχήμα)
Η εξίσωση της απομάκρυνσης του Σ1 με το χρόνο είναι:
x1 = A '×ηµ (ω ×t + ϕo ) x1 = 0,1 ×ηµ (10 ×t + ϕo )
Ανάλυση Θέματος ω=
Κ = m1
N m = 10 rad sec 1Kgr
100
u1 = ω ×Α = 10 rad
×0, 2m = 2 m
sec m − m 2 u1' = 1 × u1 =−1 m sec m1 +m2
u2' =
2 ×m1 × u1 =1 m sec m1 +m2
Λύση Μετά την κρούση: (Τρίτο και τέταρτο σχήμα)
Η αρχική φάση θα βρεθεί από τις αρχικές συνθήκες:
t = 0 → x1 = 0, u1 < 0
x1 = A '×ηµ (ω ×t + ϕ0 ) 0 = 0,1 ×ηµϕo
ηµϕo = 0 k =0 ϕ0 = 2 ×k ×π + 0 → ϕ0 = 0rad
u = ω ×A ×συν ( ω ×t + ϕ0 ) > 0
η k =0 ϕ0 = 2 ×k ×π + π → ϕ0 = π rad
u = ω ×A ×συν ( ω ×t + ϕ0 ) < 0
sec
Ανάλυση Θέματος ω=
Κ = m1
N m = 10 rad sec 1Kgr
100
u1 = ω ×Α = 10 rad
sec
×0, 2m = 2 m
sec
u1' =
m1 −m2 × u1 =−1 m sec m1 +m2
u2' =
2 ×m1 × u1 =1 m sec m1 +m2
Λύση Μετά την κρούση: (Τρίτο και τέταρτο σχήμα)
Άρα η εξίσωση της απομάκρυνσης του Σ1 θα είναι:
x1 = 0,1×ηµ (10 ×t + π )
Ανάλυση Θέματος ω=
Κ = m1
N m = 10 rad sec 1Kgr
100
u1 = ω ×Α = 10 rad
×0, 2m = 2 m
sec m − m 2 u1' = 1 × u1 =−1 m sec m1 +m2
u2' =
sec
2 ×m1 × u1 =1 m sec m1 +m2
x1 = 0,1×ηµ (10 ×t + π )
Λύση Μετά την κρούση: (Τέταρτο σχήμα)
Το Σ1 ακινητοποιείται για δεύτερη φορά μετά από χρόνο: Σ1
1η
Σ1
Σ2
2η
3 3 2 ×π 3 ×π t = ×T = × = sec 4 4 ω 20
Ανάλυση Θέματος ω=
Κ = m1
N m = 10 rad sec 1Kgr
100
u1 = ω ×Α = 10 rad
sec
×0, 2m = 2 m
sec
u1' =
m1 −m2 × u1 =−1 m sec m1 +m2
u2' =
2 ×m1 × u1 =1 m sec m1 +m2
x1 = 0,1×ηµ (10 ×t + π )
Λύση Μετά την κρούση: (Τέταρτο σχήμα)
Την ίδια χρονική διάρκεια, το Σ2 εκτελεί ευθ. ομαλή κίνηση και διανύει απόσταση : Χ2
Α΄
3 ×π x2 = u ×t = m 20 ' 2
Ανάλυση Θέματος ω=
Κ = m1
N m = 10 rad sec 1Kgr
100
u1 = ω ×Α = 10 rad
×0, 2m = 2 m
sec m − m 2 u1' = 1 × u1 =−1 m sec m1 +m2
u2' =
sec
2 ×m1 × u1 =1 m sec m1 +m2
x1 = 0,1×ηµ (10 ×t + π ) ∆x =
3× π −2 m =0, 371m 20
Λύση Μετά την κρούση: (Τέταρτο σχήμα)
Τότε η απόσταση μεταξύ των Σ1 και Σ2 είναι: Χ2
Δx Α΄ 3 ×π ∆x = x2 − A ' = m − 0,1m 20 3 ×π − 2 ∆x = m = 0,371m 20