Розділ 1. Подільність натуральних чисел § 1. Ділення і дільники числа 8. 1) 40 : 8 = 5 , тому число 8 — дільник 40. 2) 60 : 8 = 7 (залишок 4), тому число 8 — не дільник числа 60. 9. Число 20 має 6 дільників: 1, 2, 4, 5, 10, 20.
МАТЕМАТИКА
Рішення всіх завдань до підручника Г. П. Бевз, В. Г. Бевз «Математика»
10. Так. 11. 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. 12. Число 6.
net
13. Всі числа, які діляться на 14, діляться й на 2, і на 7. 14. 3 : 8 = 24 ; 24 є найменшим натуральним число, що ділиться на 3 і на 8.
ov.
15. Ділиться. При p = 8 ; p : 2 = 8 : 2 = 4 , p = 8 ; p : 4 = 8 : 4 = 2 ; При p = 16 ; 16 : 2 = 8 ; 16 : 4 = 4 .
all
16. Число 12 має 6 дільників: 1, 2, 3, 4, 6, 12, а число 13 має 2 дільники: 1 і 13. Отже у 12 більше дільників.
12 b
17. Число 17 є простим, тому що має тільки два дільники 1 і 17, а число 26 не є простим, тому що в нього 4 дільники: 1, 3, 9, 27. 18. Учень пропустив слово «тільки». 19. Число 14 має 4 дільники: 1, 2, 7, 14, значить є складовим, а число 41 має тільки два дільники — 1 і 41, значить є простим. 20. Число 49 є складовим, тому що в нього 3 дільники: 1, 7, 49, а число 29 — просте, тому що в нього тільки два дільники 1 і 29. 21. в). 22. 1 + 3 + 9 = 13 . 23. 6: 1 + 2 + 3 + 6 = 12 7: 1 + 7 = 8 . Значить сума всіх дільників числа 6 більша, ніж сума всіх дільників числа 7. 24. Дільник простого числа a: 1 і a, значить сума дільників числа a : ( a + 1) . 25. 1 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅10 = 100 .
9
МАТЕМАТИКА
26. a: 1 і a, значить a ⋅1 = a . 27. а) 45 + 12 = 57 37 + 16 = 53 82 − 41 = 41 65 − 17 = 48 ;
б) 5, 3 + 7 = 12, 3 0, 2 + 3, 5 = 3, 3 4 − 3, 8 = 0, 2 6, 7 − 5 = 1, 7 ;
в) 12 ⋅ 5 = 60 1, 3 ⋅ 3 = 3, 9 4, 6 : 2 = 2, 3 3 : 0, 3 = 10 .
б) 59, 7 + 12, 9 = 72, 6 13, 8 − 6, 54 = 7, 29 3, 05 − 2, 007 = 1, 043 ;
28. а) 385 + 429 = 814 805 − 718 = 87 4328 − 3009 = 1319 ; в) 2, 4 ⋅ 3, 5 = 8, 4 72, 5 ⋅ 0, 26 = 18, 86 0, 03 : 0, 15 = 3 : 15 = 0, 2 ;
г) 2, 5 ⋅ 3, 7 ⋅ 4 = (2, 5 ⋅ 4) ⋅ 3, 7 = 10 ⋅ 3, 7 = 37 7, 8 ⋅ 0, 004 ⋅ 25 = (0, 04 ⋅ 25) ⋅ 7, 8 = 1 ⋅ 7, 8 = 7, 8 0, 8 ⋅ 4, 9 ⋅ 0, 25 = (0, 8 ⋅ 0, 25) ⋅ 4, 9 = 0, 2 ⋅ 4, 9 = 0, 98 .
б) 5, 76 2, 4 48 2, 4
в) 32, 5 0, 5 30 65
84 84 0
0, 72 1, 8 72 0, 4
25 25 0
5929 110 550 53, 9
net
7, 84 14 70 0, 56
12 b
96 96 0
896 896 0
ov.
69 69 0
3, 136 112 224 0, 028
all
29. а) 529 23 46 23
0
429 330 990 990 0
33, 64 2, 9 11, 6 29 46 29 174 174 0 73, 96 8, 6 6 8 8 8, 6 516 516 0
30. а) 7 + 125 : 5 = 7 + 25 = 32 ; б) 8 − 23 : 5 = 8 − 4, 6 = 3, 4 ; в) 13 : 2 + 15 : 25 = 6, 5 + 0, 6 = 7, 1 . 31. а) 4, 8 + 3 : 4 = 4, 8 + 7, 5 = 12, 5 ; б) 7, 5 − 1 : 25 = 7, 5 − 0, 04 = 7.46 ; в) 6, 5 − 6 : 5 = 6, 5 − 1, 2 = 5, 3 .
10
32. а)
2 3 5 + = ; 7 7 7
б)
5 1 4 − = ; 9 9 9
в) 2
4 3 1 − =2 . 5 5 5
33. а) 2, 5 ⋅ 8 + (17 − 0, 1) : 26 = 20 + 16, 9 : 26 = 20 + 0, 65 = 20, 65 ; 169 26 156 0, 65
МАТЕМАТИКА
130 130 0 б) 183 ⋅ 0, 5 − ( 6, 2 + 1, 9 ) : 5, 4 = 91, 5 − 8, 1 : 5, 4 = 91, 5 − 1, 5 = 90 81 54 × 183 0, 5 54 1, 5 91, 5 270 270 0 34. а) 1, 2 > 1, 125 ;
б) 3, 786 < 3, 8 ;
в)
2 3 < ; 7 7
г)
12 15 < . 13 13
net
35. а) 5, 83 − 1, 9 = 3, 93 ; б) 0, 75 : 4 = 0, 1875 ; в) 2, 5 ⋅ 0, 32 = 0, 8 .
ov.
36. а) Нехай х — більше число, тоді друге — х – 6. x + x – 6 = 30, 2x = 30 + 6, x = 18 — одне з чисел, х – 6 = 18 – 6 = 12 — друге з чисел;
12 b
all
б) Нехай х — менше число, тоді друге — 4х. x + 4x = 12,5, 5x = 12,5, x = 12,5 : 5, x = 2,5 — одне з чисел, 4х = 10 — друге з чисел; в) Нехай х — менше число, тоді друге — 3х. 3x – x = 3,4, 2x = 3,4, x = 3,4 : 2, x = 1,7 — одне з чисел, 3х = 5,1 — друге з чисел;
г) Нехай х — більше число, тоді друге — 45 · 2 – х. x – (45 · 2 – х) = 4,5 · 2, 2x – 90 = 9, 2x = 99, x = 49,5 — одне з чисел, 45 · 2 – х = 90 – 49,5 — друге з чисел. 37. а) 350 ⋅ 0, 024 = 8, 4 ; б) 38, 4 : 0, 2 = 192 ; в) 8, 5 + 8, 5 ⋅ 0, 12 = 9, 52 . 38. а) 3x + 17 = 50 , 3x = 50 − 17 = 33 , x = 33 : 3 = 11 ;
б) 1, 5x − 5 = 7, 6 , 1, 5x = 7, 6 + 5 = 12, 6 , x = 12, 6 : 1, 5 = 8, 4 .
11
39. I ящ. — x 53 кг II ящ. — x + 5 x + x + 5 = 53 , 2x = 53 − 5 = 48 , x = 48 : 2 = 24 (кг) — в I ящику; 24 + 5 = 29 (кг) — в II ящику.
МАТЕМАТИКА
}
40. I ч. — x 43 м II ч. — 3x 3x + x = 43 , 4x = 43 , x = 43 : 4 = 10, 75 , 10, 75 ⋅ 3 = 32, 25 (м) — довжина II частини.
}
41. v1 = 68 км/год,
v2 = 72 км/год,
t = 1 ч 30 хв;
S = ( v1 + v2 ) t ; S = ( 68 + 72 ) ⋅1, 5 = 140 ⋅1, 5 = 210 (км). 42.
Прилеглі кути 180° − 60° = 120° , протилежний кут 60° .
120°
net
60°
60°
43.
ov.
120° A
K
B
all
AK = AB − KB , AK = 1, 7 − 0, 45 = 1, 25 (м). 44. P = ( 6 + 4, 5 ) ⋅ 2 = 21 (м), S = 6 ⋅ 4, 5 = 27 м2 .
12 b
( )
( ) ( )
45. S1 = 12 ⋅12 = 144 м2 , S2 = 4 ⋅ 4 = 16 м2 , S1 : S2 = 144 : 16 = 9 (раз).
(
)
46. V = 3 ⋅ 4, 5 ⋅ 6, 7 = 90, 45 см3 . 47. (1 + 3 + 5 ) + ( 3 + 5 + 6 ) + ( 2 + 3 + 6 ) = 34 .
§ 2. Ознаки подільності на 10, 5 і 2 52. Діляться: 270; 9900; 600 080. Не діляться: 35; 3005. 53. 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90. 54. 100, 110, 120, 130, 140. 55. 990, 980, 970, 960, 950.
12 56. 10 + 20 + 30 + 40 + 50 + 60 + 70 + 80 + 90 = 450 .
57. Діляться: 5; 95; 130; 10 000. Не діляться: 54; 108; 5551. 58. 5; 10; 15; 20; 25.
МАТЕМАТИКА
59. 100; 105; 110; 115; 120. 60. 18. 61. Діляться: 10; 180. 62. Не діляться: 9; 45; 333; 47. 9 + 333 = 342 . 63. 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18. 64. 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21. 65. 70; 72; 74; 76; 78. 66. 2 + 4 + 6 + 8 = 20 .
68. 3270; ділиться на 10.
ov.
69. 8 + 6 = 14 ; 2 + 4 = 6 ; 10 + 12 = 22 .
net
67. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 .
70. Непарним: 13 + 21 = 34 ; 17 + 27 = 44 ; 5 + 89 = 94 . 71. а) так;
73. а) 8;
г) так.
б) 3.
12 b
72. 9 876 543 201.
в) так;
all
б) так;
74. Непарним. 75. Парним.
76. Так, вірно. 77. Перше число кінчається на 0, значить воно парне й відповідно до ознак подільності ділиться на 2, 5, 10. Друге число кінчається на 7, значить воно непарне й не може ділитися на 2, 5, 10. Третє число кінчається на 6, значить воно парне й може ділитися на 2, але не ділиться на 5 і 10. 78. а) Якщо a і b парні, то a = 2n і b = 2m , де n, m — деякі натуральні числа. Тоді a + b = 2n + 2m = 2 ( n + m ) , а це число парне. б) Якщо a парне, а b непарне, то a = 2n , b = 2m + 1 , де n, m — деякі натуральні числа. Тоді a + b = 2n + 2m + 1 = 2 ( n + m ) + 1 , а це число непарне. в) Якщо a, b, c непарні числа, то a = 2n + 1 ; b = 2m + 1 ; c = 2 p + 1 , де n, m і p — деякі натуральні числа. Тоді a + b + c = 2n + 1 + 2m + 1 + 2 p + 1 = 2 ( n + m + p + 1) + 1 , а це число непарне. 13
МАТЕМАТИКА
79. а)
+ 37028 8672 45700
б) − 65006 ; 20379 44627
;
в)
× 383 ; 607 2681 000 2298 232481
г)
−
3003 39 . 273 77
−
273 273 0
80. 894 + 892 = 1786 ; 89, 4 − 892 = 2 ; 1786 − 2 = 1784 (рази). 81. а) 320 ⋅ 0, 2 = 64 ; б) 20 ⋅ 0, 2 = 4 ;
в) 6, 4 ⋅ 0, 2 = 1, 28 ; г) 0, 5 ⋅ 0, 2 = 0, 1 .
82. а) 2x + 7 = 131 , 2x = 131 − 7 = 124 , x = 124 : 2 = 62 ;
б) 3x − 17 = 100 , 3x = 100 + 17 = 117 , x = 117 : 3 = 39 . б) 3, 5 ⋅ 4 = 14 (дм);
83. а) 8 ⋅ 4 = 32 (см);
в) 4 ⋅ a = 4a (км).
net
84. 235 − 235 ⋅ 0, 6 = 94 (стор.) або 235 ⋅ (1 − 0, 6 ) = 235 ⋅ 0, 4 = 94 (стор.).
ov.
§ 3. Ознаки подільності на 3 і 9 92. Діляться: 504; 735; 1002; 2037.
all
93. Діляться: 405; 738; 7704. 94. 117.
96. 225.
12 b
95. 612.
97. Вірно. 98. 102. 99. 999.
100. 9; 18; 27; 36; 45. 101. а) 5; 10; 15; 20; 25;
б) 10; 20; 30; 40; 50.
102. 3 + 6 + 9 = 18 . 103. 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 = 63 . 104. 2 ( 247 + 2 = 249 ) . 105. Усі кратні 3 і не кратні 9.
14
106. Сума цифр 2, 3 і 4 дорівнює 9, значить будь-яке число, що складається з цих цифр, буде ділитися на 9.
108. Якщо a і b діляться на 10, то a = 10n , b = 10m , де n, m — деякі натуральні числа. Тоді a + b = 10n + 10m = 10 ( n + m ) , це число ділиться на 10, значить a + b теж ділиться на 10. 109. Якщо a і b діляться на 5, то a = 5n , b = 5m , де n, m — деякі натуральні числа. Тоді a + b = 5n + 5m = 5 ( n + m ) , це число ділиться на 5, значить a + b теж ділиться на 5. 110. Якщо a ділиться на 10, а b не ділиться на 10, то a = 10n , b = m , де n, m — деякі натуральні числа. Тоді a + b = 10n + m , це число на 10 не ділиться, значить a + b теж не ділиться на 10.
МАТЕМАТИКА
107. Сума цифр 1, 2, 3 і 4 дорівнює 10, тобто на 3 не ділиться. Значить будьяке число, складене комбінацією даних цифр, на 3 ділитися не буде.
111. Вірно.
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5n
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Вірно.
net
112.
all
ov.
113. Суму трьох однакових цифр n, можна записати як добуток 3⋅n , це число кратне трьом, значить кожне число, записане трьома однаковими цифрами ділиться на 3. 114. Не може. 115. а) 996;
в) 990.
12 b
б) 990;
116. а) 282 = 784 ; в) 2, 52 = 6, 25 ;
б) 342 = 1156 ; г) 0, 212 = 0, 0441 .
117. а) 113 = 1331 ; в) 1, 13 = 1, 331 ;
б) 123 = 1728 ; г) 0, 123 = 0, 001728 .
118. а) 8, 45 − ( 459 : 9 − 49 ) = 8, 45 − (51 − 49 ) = 8, 45 − 2 = 6, 45 ; б) 43 − 32 : 22 + 8 = 64 − 32 : ( 8 + 8 ) = 64 − 32 : 16 = 64 − 2 = 62 .
(
)
119. а) 60 : 0, 3 = 200 ; б) 3 : 0, 3 = 10 ; в) 0, 15 : 0, 3 = 0, 5 . 120. − 97 7 7 13 27 21 6
15
МАТЕМАТИКА
121. 3, 5 ⋅ 2, 8 = 9, 8 , 3, 5 + 2, 8 = 6, 3 , 9, 8 − 6, 3 = 3, 5 . 122.
У рожевому платті Марійка, у білому Віра.
Блакитне плаття Олеся Зелене плаття не Віра
Біле плаття Рожеве плаття Марійка
§ 4. Розкладання чисел на прості множники
100 = 10 ⋅10 = 5 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 2 = 52 ⋅ 22 ; 500 = 50 ⋅10 ⋅10 = 5 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 2 = 53 ⋅ 22 ; 2500 = 5 ⋅ 5 ⋅10 ⋅10 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 2 = 54 ⋅ 22 ; 3780 = 10 ⋅ 9 ⋅ 42 = 5 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 3 ⋅ 2 = 33 ⋅ 22 ⋅ 5 ⋅ 7 .
ov.
132. а) б) в) г)
в) 50 = 5 ⋅10 = 5 ⋅ 5 ⋅ 2 ; г) 105 = 21 ⋅ 5 = 7 ⋅ 3 ⋅ 5 .
net
131. а) 12 = 3 ⋅ 4 = 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ; б) 36 = 9 ⋅ 4 = 3 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ;
all
133. Так. 1100 = 11 ⋅10 ⋅10 = 11 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 2 = 11 ⋅ 52 ⋅ 22 .
12 b
134. 87 = 3 · 29; 3 — найменший простий дільник. 135. 484 = 2 · 242 = 2 · 2 · 121; 121 — наібільший простий дільник. 136. а) 1; 2; 4; 8;
б) 1; 3; 9; 27; 81;
в) 162, 1, 2, 3, 6, 9, 27, 54, 81.
137. У 7 разів. 138. Перше менше другого на 30. 3 ⋅ 5 ⋅13 − 3 ⋅ 5 ⋅11 = 3 ⋅ 5 ⋅ (11 + 2) − 3 ⋅ 5 ⋅11 = 3 ⋅ 5 ⋅11 + 3 ⋅ 5 ⋅ 2 − 3 ⋅ 5 ⋅11 = 3 ⋅ 5 ⋅ 2 = 30 . 139. 100 = 52 ⋅ 22 ,
250 = 53 ⋅ 2 ,
300 = 3 ⋅ 5 ⋅ 2 , 2
140.
3
6
2 · 2 · 2 ·
16
2
80
50
24 4
270 = 33 ⋅ 5 ⋅ 2 .
500 = 5 ⋅ 2 ,
2
4
25 3
2
5
5
20 10
2 · 2 · 2 · 2 · 5
141. 27 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 . 142. 15 = 3 ⋅ 5 ; 35 = 5 ⋅ 7 . 143. а) 10; 14; 35;
144. Три (1, саме число, його квадрат). 145. Чотири (1, число, квадрат, куб). 146. (1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28) : 28 = 56 : 28 = 2 ; (1 + 2 + 41 + 82) : 82 = 126 : 82 ≠ 2 . 147. (1 + 2 + 3 + 6) : 6 = 12 : 6 = 2 .
МАТЕМАТИКА
б) 6; 9; 10; 18; 30; 45.
148. (1 + 2 + 248 + 4 + 124 + 8 + 62 + 16 + 31 + 496) : 496 = 992 : 496 = 2 . 149. а) 2 ⋅ 9 ⋅ 5 = 90 ; в) 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅11 = 770 ;
б) 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 75 ; г) 3 ⋅ 3 ⋅ 7 = 63 .
net
150. 2; 180. 151. 23 ⋅ 32 = 8 ⋅ 9 = 72 ; 1 + 2 + 36 + 8 + 9 + 4 + 18 + 6 + 12 + 3 + 24 + 72 = 195 .
153. 123 – 33 = 90.
ov.
152. 106; 107.
154. 2, 52 + 1, 52 = 6, 25 + 2, 25 = 8, 5 ,
12 b
16 − 8, 5 = 7, 5 .
all
( 2, 5 + 1, 5)2 = 42 = 16 ,
155. Нехай х — більше число, тоді друге — х – 32. x + x – 32 = 94, 2x = 94 + 32, 2x = 126, x = 63 — одне з чисел, х – 32 = 63 – 32 = 31 — друге з чисел. 156. Нехай х — більше число, тоді друге — 3х. x + 3x = 64, 4x = 64, x = 16 — одне з чисел, 3х = 3 · 16 = 48 — друге з чисел. 157. S = 9 ⋅ 4 = 36 x = 36 = 6 . 158. 40 000 : 500 = 80 (м). 159. 1. Покласти по 3 монети на кожну шальку. Фальшива буде одна з 3-х, які будуть легше 2. 2. Із цих 3-х зважити будь-які 2. Якщо ваги урівноважаться, фальшива — що залишилася. Якщо ні, фальшива легша. 17
§ 5. Найбільший спільний дільник
166. а) 30 2 15 3 5 5 1
б) 1, 2, 7, 14; НСД ( 30 , 70 ) = 2 ⋅ 5 = 10 ;
70 2 35 5 7 7 1
б) 42 2 21 3 7 7 1
48 24 8 4 2 1
в) 120 60 30 10 5 1
160 80 40 20 10 5 1
НСД
2 3 2 2 2
( 42 ,
48 ) = 2 ⋅ 5 = 10 ;
НСД (120 , 160 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 40 .
2 2 2 2 2 5
net
2 2 3 2 5
в) 1; 11.
ov.
МАТЕМАТИКА
165. а) 10; 5; 2; 1;
400 200 100 50 25 5 1
2 2 2 2 5 5
12 b
125 5 25 5 5 5 1
all
167. а) НСД (125 , 400 ) = 5 ⋅ 5 = 25 ;
( 96 ,
б) НСД 96 48 24 12 6
2 2 2 2 2
120 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 24 ; 3 3 1
в) НСД ( 396 , 284 ) = 2 ⋅ 2 = 4 ;
18
396 198 99 33 11 1
2 2 3 3 11
284 2 142 2 71 71 1
120 60 30 15 5
2 2 2 3 5
1
г) НСД ( 259 , 280 ) = 7 ; 280 140 70 35 5 1
2 2 2 7 5
МАТЕМАТИКА
259 7 37 37 1
ґ) НСД (576 , 324 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 36 ; 576 288 144 72 36 18 9 3 1
2 2 2 2 2 2 3 3
324 162 81 27 9 3 1
2 2 3 3 3 3
221 13 17 17 1
ov.
133 7 19 19 1
net
д) НСД (133 , 221) = 1 .
168. а) НСД ( 26 , 39 , 52 ) = 13 ; 39 3 13 13 1
12 b
б) НСД ( 27 , 54 , 72 ) = 3 ⋅ 3 = 9 ; 27 3 9 3 3 3 1
52 2 26 2 13 13 1
all
26 2 13 13 1
54 27 9 3 1
2 3 3 3
72 36 18 9 3 1
2 2 2 3 3
в) НСД (16 , 32 , 48 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16 . 16 8 4 2 1
32 16 8 4 2 1
2 2 2 2
169. а) НСД 42 2 21 3 7 7 1
( 42 ,
2 2 2 2 2
48 24 12 6 3 1
2 2 2 2 3
70 , 97 ) = 1 ; 70 2 35 5 7 7 1
97 97 1
19
МАТЕМАТИКА
б) НСД ( 24 , 30 , 42 , 48 ) = 2 ⋅ 3 = 6 ; 24 2 42 2 30 2 12 2 21 3 15 3 6 2 7 7 5 5 3 3 1 1 1 в) НСД (100 , 101 , 102 , 103 ) = 1 . 100 50 25 5 1
2 2 5 5
48 24 12 6 3 1
101 101 1
170. а) НСД ( a , b ) = 2 ⋅ 2 = 4 ; в) НСД ( b , c ) = 2 ⋅ 2 = 4 ;
б) НСД ( a , c ) = 2 ⋅ 2 = 4 ; г) НСД ( a , b , c ) = 2 ⋅ 2 = 4 .
171. а) НСД ( x , y ) = 22 ⋅ 52 = 100 ; в) НСД ( y , z ) = 2 ⋅ 3 ⋅ 52 = 150 ;
б) НСД ( x , z ) = 2 ⋅ 52 = 50 ; г) НСД ( x , y , z ) = 2 ⋅ 3 ⋅ 52 = 150 э
45 5 9 3 3 3 1
ov.
23 23 1
net
172. НСД ( 23 , 45 ) = 1 , значить вони взаємно прості;
12 b
all
НСД ( 23 , 46 ) = 23 , значить вони взаємно прості. 23 23 46 2 1 23 23 1 173. а) НСД (16 , 9 ) = 1 — взаємно прості; 16 2 8 2 4 2 1
2 2 1
9 3 3 3 1
б) НСД (18 , 81) = 3 ⋅ 3 = 9 — не взаємно прості; 18 2 81 3 9 3 27 3 3 3 9 3 1 3 3 1 в) НСД (11 , 121) = 11 — не взаємно прості. 11 11 121 11 1 11 11 1
20
2 2 2 2 3
174. НСД 1002 501 167 1
(1002 , 2 3 167
2001) = 3 — 2001 667 29 1
ні; 3 23 29
НСД (1001 , 1010 ) = 1 — так. 1010 2 505 5 101 101 1
МАТЕМАТИКА
1001 7 143 11 13 13 1
175. Не можуть, якщо n ≠ 1 . 176. Не можуть. 177. a = 2 ⋅ 3 = 6 ; b = 2 ⋅ 5 = 10 ; c = 3 ⋅ 5 = 15 .
(a ,
178. НСД
b , c ) = 1 . Тому що a = 2 ; b = 2 ⋅ 3 = 6 ; c = 3 .
179. НСД ( 9 , 10 ) = 1 , значить це взаємно прості числа, а отже яким би не було число a НСД ( 9 , 10 , a ) = 1 , це означає, що 9, 10 і a — взаємно прості числа. 10 2 5 5 1
net
9 3 3 3 1
ov.
180. НСД (15 , 22 ) = 1 , значить це взаємно прості числа, а отже яким би не були числа a і b НСД (15 , 22 , a , b ) = 1 це означає, що 15, 22, a і b — взаємно прості числа.
486 243 81 27 9 3 1
2 2 3 3 13
2 3 3 3 3 3
648 324 162 81 27 9 3 1
12 b
468 234 117 39 13 1
all
181. Шість: 468, 486, 648, 684, 846, 864; НСД ( 468 , 486 , 648 , 684 , 846 , 864 ) = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 18 . 2 2 2 3 3 3 3
684 342 171 57 19 1
2 2 3 3 19
846 423 141 47 1
2 3 3 47
864 432 216 108 54 27 9 3 1
2 2 2 2 2 3 3 3
182. Не можуть. 183. 30 2 15 3 5 5 1
В 2, 3, 5, 15 рядів.
6, 10 184. 210 105 35 7 1
2 3 5 7
2 × 105 , 3 × 70 , 5 × 42 , 6 × 35 , 7 × 30 , 10 × 21 — 6 способів.
21
185. НСД ( 35 , 21) = 7 — довжина найбільшого квадрата.
МАТЕМАТИКА
35 5 7 7 1
21 3 7 7 1
Sкв = 7 ⋅ 7 = 49 ; Sзаг = 35 ⋅ 21 = 735 ; a = Sзаг : Sкв = 735 : 49 = 15 (квадратів). 186. а) 400 ⋅ 0, 3 = 120 ;
б) 30 ⋅ 0, 3 = 9 ; г) 0, 5 ⋅ 0, 3 = 0, 15 .
в) 0,3; 187. а) 1 : 0, 25 = 4 ;
б) 160 : 0, 25 = 640 ;
в) 0, 7 : 0, 25 = 2, 8 ;
г) 15, 2 : 0, 25 = 60, 8 .
188. а) 4x − 15 = 45 , 4x = 45 + 15 = 60 , x = 60 : 4 = 15 ;
б) 0, 5x + 3 = 8, 7 , 0, 5x = 8, 7 − 3 = 5, 7 , x = 5, 7 : 0, 5 = 11, 4 ;
в) 9, 7 − 0, 2x = 1 , 0, 2x = 9, 7 − 1 = 8, 7 , x = 8, 7 : 0, 2 = 43, 5 .
} 65 кг
all
191. I ящ. — ( x + 9 ) кг II ящ. — x кг
ov.
190. S = v ⋅ t = 60 ⋅ 2, 5 = 150 (км); v = 60 км/год = 1 км/хв ; t = S : v = 0, 5 : 1 = 0, 5 (хв).
net
189. а) x = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 ; б) x = 35 , 36 , 37 , 38 , 39 ; в) x = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 .
192. а)
12 b
x + x + 9 = 65 , 2x = 65 − 9 = 56 , x = 56 : 2 = 28 (кг) — в II ящику; 28 + 9 = 37 (кг) — в I ящику.
б) 1
3
1
4
3 5 2 2
Рішення а) простіше, ніж потрібно в умові завдання.
§ 6. Найменше спільне кратне 200. а) 14, 21, 28, 35, 42; б) 18, 27, 36, 45, 54; в) 30, 45, 60, 75, 90.
22
201. а) НСК (50 , 70 ) = 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 7 = 350 50 = 2 ⋅ 5 ⋅ 5 , 70 = 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ;
5
4
б) НСК (120 , 180 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 360 120 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 , 180 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ;
202. а) НСК ( 90 , 145 ) = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 29 = 2610 90 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 , 145 = 5 ⋅ 29 ; б) НСК ( 60 , 420 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 420 60 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 , 420 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ; в) НСК ( 52 , 102 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅13 ⋅17 = 2652 52 = 2 ⋅ 2 ⋅13 , 102 = 2 ⋅ 3 ⋅17 ; г) НСК ( 66 , 385 ) = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅11 = 2310 66 = 2 ⋅ 3 ⋅11 , 385 = 5 ⋅ 7 ⋅11 .
МАТЕМАТИКА
в) НСК ( 370 , 740 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 37 = 740 370 = 2 ⋅ 5 ⋅ 37 , 740 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 37 .
203. НСК ( 80 , 100 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5 = 400 80 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ; 100 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ;
net
НСК (7 , 100 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 7 = 700 700 − 400 = 300 .
all
ov.
204. НСК ( 30 , 36 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 180 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ; 36 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 НСД ( 30 , 36 ) = 2 ⋅ 3 = 6 36 2 180 − 6 = 174 30 2 18 2 15 3 9 3 5 5 1 3 3 1
12 b
205. НСК (72 , 88 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅11 = 792 72 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ; 88 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅11 НСД (72 , 88 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 72 2 792 : 8 = 99 (разів) 88 2 36 2 44 2 18 2 22 2 9 3 11 11 3 3 1 1 206. а) НСК ( 2 , 3 , 16 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 48 16 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ; б) НСК ( 2 , 5 , 17 ) = 2 ⋅ 5 ⋅17 = 170 . 207. а) НСК ( a , b ) = 23 ⋅ 32 ⋅ 52 = 1800 ; б) НСК ( a , c ) = 23 ⋅ 32 ⋅ 52 = 1800 ; в) НСК ( a , b , c ) = 23 ⋅ 32 ⋅ 52 = 1800 . 208. При a = b , тому що НСК ( a , a ) = a ; НСД ( a , a ) = a ; НСД ( a , b ) ⋅ НCК ( a , b ) = ab ; a ⋅ a = a ⋅ a ; a2 = a2 .
23
209. а) НСК (124 , 684 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅19 ⋅ 31 = 21 204 ; 124 = 2 ⋅ 2 ⋅ 31 ; 684 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅19 ;
МАТЕМАТИКА
б) НСК ( 936 , 748 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅11 ⋅13 ⋅17 = 175 032 936 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅13 ; 748 = 2 ⋅ 2 ⋅11 ⋅17 ; в) НСК ( 320 , 360 , 720 ) = 26 ⋅ 32 ⋅ 5 = 2880 320 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ; 360 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ;
720 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ;
г) НСК (132 , 198 , 275 ) = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅11 = 9900 132 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅11 ; 198 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅11 ;
275 = 5 ⋅ 5 ⋅11 .
2
2
2
210. а) НСК ( 936 , 1404 ) < НCК ( 936 , 748 ) ; НСК ( 936 , 1404 ) = 23 ⋅ 33 ⋅13 = 2808 ; 936 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅13 ; 1404 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅13 ; НСК ( 936 , 748 ) = 23 ⋅ 32 ⋅11 ⋅13 ⋅17 = 175 032 ; 748 = 2 ⋅ 2 ⋅11 ⋅17 ; 936 = 23 ⋅ 32 ⋅13 ;
ov.
211. 130 = 2 ⋅ 5 ⋅13 .
net
б) НСК (124 , 648 ) = 20 088 > НCК ( 648 , 972 ) = 1944 ; НСК (124 , 648 ) = 23 ⋅ 34 ⋅ 31 = 20 088 ; 124 = 2 ⋅ 2 ⋅ 31 ; 648 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 23 ⋅ 34 ; 3 5 НСК ( 648 , 972 ) = 2 ⋅ 3 = 1944 ; 972 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 22 ⋅ 35 ; 648 = 23 ⋅ 34 .
212. 120 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 23 ⋅ 3 ⋅ 5 .
12 b
all
213. НСК ( 2 , 3 , 5 ) = 30 (дм) — за умови рівної кількості шматків кожної довжини ( 3 ⋅ 2 дм, 3 ⋅ 3 дм і 3 ⋅ 5 дм), але якщо взяти ще 3 ⋅ 3 дм, то довжина дроту буде 3,90 м. 214. НСК = 6, для (1, 6), (2, 6), (3, 6), (2, 3), (6, 6) — 5 пар. 215. НСК = 30 для (1, 30), (2, 30), (3, 30), (5, 30), (6, 30), (10, 30), (15, 30), (30, 30), (2, 15), (3, 10), (5, 6), (6, 10), (6, 15), (10, 15) — 14 пар. 216. а) НСК (36, 48) · НСД (36, 48) = 36 · 48 = 1728; НСК ( 36 , 48 ) = 24 ⋅ 32 = 144 ; 36 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ; 48 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ; НСД ( 36 , 48 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12 ; 144 ⋅12 = 1728 ; б) НСК (14, 24) · НСД (14, 24) = 14 · 24 = 336; НСК (14 , 24 ) = 23 ⋅ 3 ⋅ 7 = 168 ; 1 = 2 ⋅7 ; 24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ; НСД (14 , 24 ) = 2 168 ⋅ 2 = 336 . 217. НСК (2, 3, 5) = 30 (підручників). 218. а) Так, тому що НСК (3, 5) = 15;
24
б) Ні, тому що НСК (6, 8) = 24.
219. НСК (6, 15) = 30; 30 : 6 = 5 (обертів). 220. а) 4, 25 − 3, 7 ( 2, 6 − 1, 1) = 4, 25 − 3, 7 ⋅1, 5 = 4, 25 − 5, 55 = − 1, 3 ;
(
)
2⎞ 2 1 1 1 2 ⎛2 ⎞ ⎛ в) 4 − ⎜ + 2⎟ + ⎜ 2 − ⎟ = 4 − 2 + 1 = 1 + 1 = 2 ; ⎝3 ⎠ ⎝ 3 3 3 3⎠ 3 3 г) 2
3 3 3 3 1 1 + 2 + 2 + 2 = 5 + 5 = 11 . 2 2 4 4 4 4
221. P = 4a + a + 3a + a + a + 2a = 12a , S = 3a ⋅ a + 2a ⋅ a = 3a2 + 2a2 = 5a2 . 3 , тому що знаменник 10 > 8 . 8
222. 0, 3 < 223.
МАТЕМАТИКА
б) 3, 22 − 0, 12 + 2, 32 = 10, 24 − ( 0, 01 + 5, 29 ) = 10, 24 − 5, 3 = 4, 94 ;
7 3 10 2 1 + = =1 =1 ; 4 3 8 8 8 7 3 4 2 − = = ; 8 8 8 4
1
1 2 3 − = . 4 4 4
net
224. α = 90° , β = x , γ = 2x 90 + x + 2x = 180 , x = 90 : 3 = 30 , β = 30° ; γ = 60° .
ov.
3x = 180 − 90 = 90 ,
12 b
all
225. α = 60° ; β = x + 20 ; γ = x 60 + x + 20 + x = 180 , 2x = 100 , x = 100 : 2 = 50 , β = 70° ; γ = 50° .
Самостійна робота № 1 Варіант 1
1.
11, 13, 17, 19.
2.
420 210 105 35 7 1
3.
НСД (42, 56) = 2 · 7 = 14
2 2 3 5 7
42 2 21 3 7 7 1
56 28 14 7 1
2 2 2 НСК 7
( 42 ,
56 ) = 23 ⋅ 3 ⋅ 7 = 168 .
25
МАТЕМАТИКА
4.
НСД (52, 78) = 2 · 13 = 26; x = 26 . 52 2 26 2 13 13 1
78 39 13 1
5.
13 ⋅ 7 = 91 .
6.
30 2 15 3 5 5 1
2 3 13 1
1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 10 + 15 + 30 = 72 .
Варіант 2 1.
23, 29.
2.
280 140 70 35 7 1
net
НСД (28, 42) = 14; НСК ( 28 , 42 ) = 22 ⋅ 3 ⋅ 7 = 84 28 2 42 2 14 2 21 3 7 7 7 7 1 1
all
ov.
3.
2 2 2 5 7
НСД (52, 39) = 13; x = 13 52 2 39 3 26 2 13 13 13 13 1 1
5.
13 ⋅ 8 = 104 .
6.
70 2 35 5 7 7 1
12 b
4.
1 + 2 + 5 + 7 + 10 + 14 + 35 + 70 = 144 .
Варіант 3
26
1.
31, 37.
2.
540 270 135 45 15 5 1
2 2 3 3 3 5
НСД (88, 121, 484) = 11 121 11 88 2 11 11 44 2 22 2 1 11 11 1 НСК
4.
( 88 ,
488 242 121 11 1
2 2 11 11
МАТЕМАТИКА
3.
121 , 484 ) = 23 ⋅112 = 968 .
НСК ( 9 , 21) = 33 ⋅ 72 = 63 9 = 3 ⋅ 3 ; 21 = 3 ⋅ 7 ; x1 = 63 ⋅ 2 = 126 ; x2 = 63 ⋅ 3 = 189 .
5.
17 ⋅ 6 = 102 .
6.
60 30 15 5 1
1.
42, 44, 45, 46, 48, 49.
2.
2200 1100 550 275 55 11 1
3.
НСД (42, 56, 70) = 2 · 7 = 14 70 42 2 56 2 35 21 3 28 2 7 7 7 14 2 7 7 1 1 1 НСК ( 42 , 56 , 70 ) = 23 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 840 ;
2 2 3 5
1 + 2 + 3 + 6 + 5 + 4 + 12 + 20 + 15 + 30 + 60 = 164
4.
ov. all
12 b
2 2 2 5 5 11
net
Варіант 4
НСК
2 5 7
840 − 14 = 826 .
( 8 , 14 ) = 23 ⋅7 = 56 ;
x2 = 56 ⋅ 3 = 168 ; x1 = 56 ⋅ 2 = 112 ; 8 = 2⋅2⋅2 ; 14 = 2 ⋅ 7 . 5.
42 2 21 3 7 7 1
1003 17 59 59 1
6.
50 2 25 5 5 5 1
1 + 2 + 5 + 10 + 25 + 50 = 93 .
(1003 і 42)
27
Завдання в тестовій формі
Типові задачі 1.
а) б) в) г)
2.
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 15 .
3.
а) 210 105 35 7 1
47; 44, 46, 48, 50; 50; 45, 48.
2 3 5 7
б) 1260 630 315 105 35 7 1
2 2 3 3 5 7
а) НСД (72 , 88 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 ; 72 36 18 9 3 1
2 2 2 3 3
88 44 22 11 1
2 2 2 11
net
43, 42, 45, 42,
ov.
4.
41, 40, 40, 39,
all
МАТЕМАТИКА
1. в). 2. в). 3) б). 4. а). 5. б). 6. б). 7. в). 8. б). 9. г). 10. в) (у підручнику помилка: це найменше загальне кратне).
5.
12 b
б) НСК (72 , 88 ) = 23 ⋅ 32 ⋅11 = 792 . НСК (175 , 280 ) = 23 ⋅ 52 ⋅ 7 = 1400 НСД (175 , 280 ) = 5 ⋅ 7 = 35 175 5 35 5 7 7 1
280 140 70 35 7 1
2 2 2 5 7
НСК (175, 280) – НСД (175, 280) = 1400 – 35 = 1365. 6.
а) НСК б) НСД
28
(a , (a ,
b , c ) = 25 ⋅ 35 ⋅ 54 = 4 900 000 ; b , c ) = 22 ⋅ 33 ⋅ 52 = 2700 .
7.
102, 120, 210, 100, 110, 112, 122, 222, 200, 212, 202.
8.
а) 3 ⋅ 40 = 120 ; б) 5 ⋅ 9 ⋅ 2 = 90 .
НСД ( 320 , 280 , 200 ) = 23 ⋅ 5 = 40 (подарунків) 320 160 80 40 20 10 5 1
10.
280 140 70 35 7 1
2 2 2 2 2 2 5
200 100 50 25 5 1
2 2 2 5 7
2 2 2 5 5
МАТЕМАТИКА
9.
НСК = 10 для (1, 10), (2, 10), (5, 10), (2, 5), (10, 10).
Розділ 2. Звичайні дроби § 7. Звичайні дроби з однаковими знаменниками 2 4 1 2 + 4 +1 7 1 + + = = =2 ; 3 3 3 3 3 3
235. а)
2 4 3 2+4−3 3 + − = = ; 5 5 5 5 5
236. а)
5 2 4 5−2+4 7 − + = = ; 9 9 9 9 9
237. а)
8 4 2 1 5 − + − = ; 13 13 13 13 13
б)
5 3 6 5+3−6 2 1 + − = = = . 8 8 8 8 8 4
7 1 5 7 − 1 + 5 11 − + = = . 12 12 12 12 12
б)
6 5 4 5 2 + − − = . 11 11 11 11 11
ov. б)
all
8 > 0, 3 ; 10
в) 0, 07 < 240. а) 0, 5 +
7 ; 10
б)
2 > 0, 15 ; 10
г) 1, 2 =
3 = 0, 5 + 0, 3 = 0, 8 ; 10
в) 2, 77 +
б)
12 . 10
7 + 0, 12 = 0, 07 + 0, 12 = 0, 19 ; 100
23 = 2, 77 + 0, 23 = 3 . 100
241. а) 0, 8 −
7 = 0, 1 ; 10
б)
242. а) 1, 3 +
3 = 1, 6 ; 10
б) 2, 7 −
243.
7 2 1 7 + 2 + 1 10 + + = = . 12 12 12 12 12
3 23 8 13 ; 0, 23 = ; 0, 08 = ; 0, 13 = . 10 100 100 100
12 b
238. 0, 3 =
239. а)
б)
net
234. а)
2 3 4 5 6 ; ; ; ; . 2 3 4 5 6
43 − 0, 27 = 0, 16 ; 100
в) 3, 89 −
7 =2; 10
в) 2, 3 −
19 = 3, 7 . 100
23 = 2, 07 . 100
29
2 2 2 2 3 3 3 3 5 5 5 5 6 6 6 6 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; . 2 3 5 6 2 3 5 6 2 3 5 6 2 3 5 6
МАТЕМАТИКА
Правильні:
2 2 2 3 3 5 ; ; ; ; ; . 3 5 6 5 6 6
Неправильні:
245. 2
2 2 2 3 3 5 2 2 2 3 3 5 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 5 ; 3 5 6 5 6 6 3 5 6 6 5 6 3
5 246. а)
2 3 3 5 5 5 6 6 6 6 ; ; ; ; ; ; ; ; ; . 2 2 3 2 3 5 2 3 5 6
2 2 3 3 5 2 2 2 3 3 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6 . 5 6 5 6 6 3 5 6 5 6 6 3 <1 ; 8
г) 1 <
б)
15 ; 12
247. I м. — x II м. — 2x
9 >1 ; 8
ґ) 1 =
17 ; 17
в)
1 <1 ; 12
д)
8 >3 . 2
} 87,6 кг
net
244.
2x + x = 87, 6 , 3x = 87, 6 ,
} 12,3
all
248. I ч. — x + 4, 1 II ч. — x
ov.
x = 87, 6 : 3 = 29, 2 (кг) — більше в II мішку.
x + x + 4, 1 = 12, 3 ,
12 b
2x = 12, 3 − 4, 1 , 2x = 8, 2 ,
x = 8, 2 : 2 = 4, 1 — I ч.
4, 1 + 4, 1 = 8, 2 — II ч.
8, 2 : 4, 1 = 2 (рази) I ч. довша за II ч. 249. а) 35 ⋅ 0, 2 = 7 (км); в) 50 ⋅ 0, 2 = 10 (л); 250. а) 40 ⋅ 0, 3 = 12 (м);
б) 42 ⋅ 0, 2 = 8, 4 (кг); г) 2 ⋅ 0, 2 = 0, 4 (га). б) 600 ⋅ 0, 3 = 180 (г);
в) 10 ⋅ 0, 3 = 3 (год). 251. а) 60 : 20 = 3 (рази);
б) 85 ⋅ 0, 6 = 51 , 85 ⋅ 0, 3 = 25, 5 , 51 − 25, 5 = 25, 5 .
252. b = a + 0, 5a = 48 + 0, 5 ⋅ 48 = 48 + 24 = 72 , P = ( 48 + 72 ) ⋅ 2 = 120 ⋅ 2 = 240 (см),
30
S = 48 ⋅ 72 = 3456 (см2).
2
1
3
Розрізати по горизонталі на дві рівні по висоті частини, потім нижню частину розрізати на дві рівні частини по вертикалі й скласти з боків верхньої частини.
2 3
§ 8. Основна властивість дробу 259.
3 7 19 19 37 43 = 0, 3 ; = 0, 7 ; = 1, 9 ; = 0, 19 ; = 0, 37 ; = 4, 3 ; 10 10 10 100 100 10
МАТЕМАТИКА
253.
139 3 = 1, 39 ; = 0, 003 . 100 1000 7 9 23 15 12 225 ; 0, 9 = ; 0, 23 = ; 0, 015 = ; 1, 2 = ; 2, 25 = ; 10 10 100 1000 10 100 307 . 100
3, 07 =
8 17 1 24 43 54 = 8:9 ; = 17 : 19 ; = 1 : 32 ; = 24 : 97 ; = 43 : 8 ; = 54 : 45 ; 9 19 32 97 8 45
ov.
261.
net
260. 0, 7 =
all
23 102 103 = 23 : 1 ; = 102 : 103 ; = 103 : 102 . 1 103 102
7 8 13 14 35 ; 8 : 9 = ; 13 : 17 = ; 14 : 27 = ; 35 : 100 = ; 10 9 17 27 100 27 27 : 200 = . 200
12 b
262. 7 : 10 =
263.
4 6 16 26 ; ; ; . 2 3 8 13
264.
6 9 33 45 ; ; ; . 2 3 11 15
265. а)
13 >2 ; 5
б)
13 <3 ; 5
в) 4 <
17 ; 4
2 2 2 1 =4 − =4 ; 3 3 5 3
г) 5 <
21 . 4
266. а) 2 −
1 2 1 1 =1 − =1 ; 2 2 2 2
б) 5 −
в) 8 −
8 9 8 1 =7 − =7 ; 9 9 9 9
г)
17 12 1 1 −3 = 4 −3 =1 ; 4 4 4 4
д)
36 1 1 −2 =7 −2 =5 ; 5 5 5
ґ) 12 −
17 60 17 43 3 = − = =8 ; 5 5 5 5 5
є) 34 −
3 4 3 1 = 33 − = 33 ; 4 4 4 4
ж) 15 −
7 10 7 3 = 14 − = 14 = 14, 3 . 10 10 10 10
31
267. За умови, що знаменник дорівнює 1.
МАТЕМАТИКА
268. 25 см =
25 30 75 = 0, 25 ( м ) ; 30 см = = 0, 3 ( м ) ; 75 см = = 0, 75 ( м ) . 100 100 100
269. 6 год =
6 1 = 24 4
( доби ) ;
12 год =
12 1 = 24 2
( доби ) ;
8 год =
8 1 = 24 3
( доби ) ;
18 год =
18 3 = 24 4
( доби ) .
270. 6 хв =
6 1 = = 0, 1 год ; 60 10
12 хв =
0
12 1 = год ; 60 5 1 3
2 3
2 6
4 6
8 хв =
8 2 = год ; 60 15
18 хв =
18 3 = = 0, 3 год . 60 10
1
2
2
1 5
net
271.
1 10
ov.
2
1 5 3 6 8 20 = ; = ; = . 2 10 5 10 4 10
273.
1 2 1 3 1 2 2 4 = ; = ; = ; 2 =2 . 3 6 2 6 3 6 3 6
г)
275. а) б)
12 b
all
272.
274. а)
32
40 18 6 = 40 ; = 18 ; =6 . 1 1 1
x 2 = 3 6
б)
5 x = 7 14
6x = 2 ⋅ 3
7x = 14 ⋅ 5
6 x = =1 ; 6
x=
x +1 3 = 2 6 2⋅3 x +1 = 6 6 x = −1 = 0 ; 6
ґ)
в)
12 1 = x 2 12 ⋅ 2 x= = 24 ; 1
70 = 10 ; 7
x−2 4 = 12 3 12 ⋅ 4 x−2 = 3 x = 16 + 2 = 18 ;
д)
x + 2 15 = 6 18 15 ⋅ 6 x+2= 18 x =5−2 = 3 .
2 8 ⋅ 40 = 16 ( ц ) ; ⋅ 40 = 8 ( ц ) < 5 20 2 4 ⋅ 90 = 60 ( хв ) = ⋅ 90 = 60 ( хв ) . 3 6
276. AB = AK + KP + PB = c ; AK = KP = PB =
1 2 c ; AP = KB = c . 3 3
3 x
278. а) 3, 4 + 2, 5 ⋅ ( 5, 7 − 3, 3 ) = 3, 4 + 2, 5 ⋅ 2, 4 = 3, 4 + 6 = 9, 4 ;
б) 14, 8 − ( 3, 8 − 2, 9 ) : 0, 3 = 14, 8 − 0, 9 : 0, 3 = 14, 8 − 3 = 11, 8 ;
в) 0, 5 + 0, 52 + 0, 53 = 0, 5 (1 + 0, 5 + 0, 25 ) = 0, 5 ⋅1, 75 = 0, 875 ; г) 1, 2 + 1, 22 − 1, 23 = 1, 2 (1 + 1, 2 − 1, 44 ) = 1, 2 − 0, 76 = 0, 44 . б) 3, 2 ⋅ ( x + 0, 5 ) = 6, 4 , x + 0, 5 = 6, 4 : 3, 2 , x + 0, 5 = 2 , x = 2 − 0, 5 , x = 1, 5 ;
279. а) 2, 5x + 3, 2 = 13, 2 , 2, 5x = 13, 2 − 3, 2 , 2, 5x = 10 , x = 10 : 2, 5 , x=4 ;
г) ( 2 − 3x ) ⋅ 0, 5 = 0 , 2 − 3x = 0 , 3x = 2 , 2 x= . 3
ov.
net
в) 5, 4 + 3x = 9, 9 , 3x = 9, 9 − 5, 4 , 3x = 4, 5 , x = 4, 5 : 3 , x = 1, 5 ;
МАТЕМАТИКА
277. S = AB ⋅ BC ; 1 1 1 1 SKBPO = AB ⋅ BC = AB ⋅ BC = S ; 2 2 4 4 1 3 SAKOPCD = S − S = S . 4 4
2 2− 8 2 2 6 3 3 9 3 7 − 7
3024 = 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9
12 b
282. 3024 1512 756 378 189 63 21 7 1
all
281. Непарним може бути тільки добуток двох непарних натуральних чисел. Виходить, сума цих чисел буде парною.
283. ( 36, 5 ⋅ 0, 5 ) − ( 30, 5 ⋅ 0, 5 ) = 18, 25 − 15, 25 = 3 км; ( 36, 5 ⋅ 2) − ( 30, 5 ⋅ 2) = 73 − 61 = 22 км.
§ 9. Скорочення дробів 3
54 3 288. = 72 4 4 54 27 9 3 1
2 3 3 3
72 36 18 9 3 1
2 2 2 3 3
СД (54, 72) = 2, 3, 6, 9, 18. НСД (54, 72) = 18.
33
289. НСД (42, 140) = 2 • 7 = 14
МАТЕМАТИКА
3
42 2 21 3 7 7 1
140 70 35 7 1
6
290.
42 3 = 140 10 10
2 2 5 7
1
1
4
2
15
12 6 13 1 4 1 40 4 40 2 75 15 = ; = ; = ; = ; = ; = ; 14 7 7 39 3 3 40 10 10 30 3 3 60 3 3 70 14 14 1
67
3
22
11 1 402 67 333 3 198 22 = ; = ; = ; = . 204 34 33 3 3 444 4 4 909 101 101 1
291.
3
4
3
7
5
12 1 24 3 72 4 81 3 98 7 120 5 = ; = ; = ; = ; = ; = ; 72 6 6 40 5 5 90 5 5 54 2 2 42 3 3 144 6 6 3
5
7
15
5
45
15
12
6
3
27
9
3
30 15 5 24 12 6 3 54 27 9 3 = = ; = = = ; = = = ; 42 21 21 7 7 56 28 28 14 14 7 7 90 45 45 15 15 5 5 5
ov.
292.
net
138 3 315 5 224 7 = ; = ; = . 184 4 4 378 6 6 288 9 9
27
7
42
21
7
90 45 15 5 81 27 7 84 42 21 7 = = = ; = = ; = = = ; 72 36 36 12 12 4 4 54 18 18 6 6 120 60 60 30 30 10 10 100
50
25
5
9
3
81
27
7
81
all
200 100 50 25 5 162 81 27 7 = = = = ; = = = ; 240 120 120 60 60 30 30 6 6 270 135 135 45 45 15 15 27
12 b
243 81 27 9 3 = = = = . 810 270 270 90 90 30 30 10 10 2
293.
5
10
2
5
3
93 93 115 5 690 3 = ; = . = ; 115 115 4 92 4 920 4 4 294. 2 ⋅ 2 ⋅11 = 44 . 295. а)
34
5
47
10 2 25 5 30 10 66 2 65 94 47 = ; = ; = ; = ; =5 ; = ; 15 3 3 35 7 7 66 22 22 99 3 3 13 1 144 72 72
16 42 132 150 44 ; ; ; ; ; 28 56 32 364 66
б)
18 108 411 54 6 ; ; ; ; ; 27 810 222 303 36
в)
40 15 400 375 20 ; ; ; ; ; 115 25 800 245 100
г)
45 126 108 432 540 ; ; ; ; . 99 315 72 801 495
2
1
3
1
4 2 5 1 6 3 25 1 = ; 0, 5 = = ; 0, 6 = = ; 0, 25 = = ; 10 5 5 10 2 2 10 5 5 100 4 4 3
9
2
0, 75 =
75 3 45 9 8 2 = ; 0, 45 = = ; 0, 08 = = ; 100 4 4 100 20 20 100 25 25
0, 05 =
5 1 125 = ; 0, 125 = . 100 20 20 100 8
1
1
1
1
1
297. а)
2⋅ 3 ⋅ 5 2 = ; 3 1 ⋅ 5 1 ⋅7 7
б)
298. а)
20 40 = , x 6
б)
3
30 x = , 100 10
1
x=
x 1 = , 45 9 5
6 x = , 50 25
в)
1
25 ⋅ 6 50 2 x=3 ;
3
x=
г)
16
17 160 16 > = . 10 100 10 10
1
301. а)
б)
2 3 4 + = ; 10 5 5 5
г)
300 40 301 + = = 3, 01 . 100 400 100 100
2
3 4 1 2 3 + = + = =1 ; 93 63 3 3 3 1
302. а)
1
2 2 3 = = =1 ; 3 63 3 1
в)
3
300 ⋅ 5 , 100 x = 15 . x=
,
3 27 3 = = ; 5 45 5 5
12 b
4 10 5 < = ; 6 12 6 6
5 x = , 100 300
3
б)
5
в)
113 ⋅ 5 , 65 5
x =1 ;
all
1
1 3 1 = = ; 2 62 2
65 5 = , 13 x x=
ov.
б)
x=
300. а)
30 ⋅ 10 , 100 10
x=3 ;
45 , 91 x =5 ;
в)
3
26 ⋅ 45 =6 . 3 1 ⋅ 5 1 ⋅ 13 1
3
6 ⋅ 20 , 40 2
x=3 ; 299. а)
2
в)
net
x=
1
2 ⋅ 7 ⋅19 = 1, 9 ; 7 1 ⋅ 20 10
МАТЕМАТИКА
296. 0, 4 =
1
1
3 2 3 1 2 1 − = − = = ; 8 16 8 8 8 8 4 4 1
б)
3 2 3 1 2 − = − = =1 ; 2 42 2 2 2
в)
5 3 1 1 − = ⋅ =0 ; 10 2 6 2 2 2
г)
2 3 2 1 1 − = − = = 0, 1 . 10 30 10 10 10 10
1
1
1
35
12 ⋅ 5 − 12 ⋅ 2 12 (5 − 2 ) 3 = ; = 48 4 48 4 1
303. а)
1
МАТЕМАТИКА
б)
20 − 1 19 1 = = 0, 1 . = 19 ⋅ 8 + 19 ⋅ 2 19 1 ( 8 + 2 ) 10
304. а) a = b = б) a =
305. a = b =
2 1 1 1 м ; P= ⋅1 = м; 2 8 82
1 1 1 1 1 2 1 3 м ; b = м ; P = 2⋅ + 2 ⋅ = + = =1 м . 3 6 3 63 3 3 3
1 5 1 5 1 5 1 6 м ; c= м; P= 2 ⋅ + = + = =2 м . 6 3 63 3 3 3 3 1
306. а)
1
77 1 = ; 1001 13 13
б)
91 1 = ; 1001 11 11
г)
169 13 = . 1001 77 77
13
143 1 = ; 1001 7 7
307. а) 2x + 15
ov.
2 ⋅ 0, 7 + 15 = 1, 4 + 15 = 16, 4
net
1
в)
2 ⋅1, 8 + 15 = 3, 6 + 15 = 18, 6 б) 3y − 4, 5
all
2 ⋅ 35, 8 + 15 = 71, 6 + 15 = 86, 6 ; 3 ⋅ 3, 2 − 4, 5 = 9, 6 − 4, 5 = 5, 1
12 b
3 ⋅ 4, 7 − 4, 5 = 14, 1 − 4, 5 = 9, 6 3 ⋅1, 5 − 4, 5 = 0 . 308. 20 квадратів.
309. P = ( 21 + 7 ) ⋅ 2 = 28 ⋅ 2 = 56 см a = 56 : 4 = 14 см . 310. У підручнику помилка в одиницях виміру: або обидві сторони в см, або в дм, інакше сторона квадрата 1960 . S = 28 ⋅ 7 = 196 (дм2 або см2); a = S = 196 = 14 (дм або см).
311. 0,5 год = 30 хв;
1 1 год = 60 = 15 хв 4 4
30 − 15 = 15 хв 1 1 год = ⋅ 60 = 12 хв 5 5
36
30 − 12 = 18 хв.
312. I — x + 300 II — x III — x + 300 + 200
}
1400
x = 600 : 3 = 200 т — во II; x + 300 = 200 + 300 = 500 т — в I; x + 500 = 200 + 500 = 700 т — в III.
§ 10. Зведення дробів до спільного знаменника 1 2 3 7 = = = . 6 12 18 42
317. а)
б)
3 12 1 5 = , = ; 5 20 4 20
7 14 1 = , ; 4 8 8
г)
2 20 8 = , . 3 30 30
net
в)
1 3 2 4 = , = ; 2 6 3 6
3 6 5 2 6 5 3 12 5 = , ; = , ; = , ; 4 8 8 3 9 9 2 8 8
ov.
316. а)
4 16 7 21 1 5 3 6 2 4 5 15 = , = ; = , = ; = , = ; 9 36 12 36 4 20 10 20 9 18 6 18
в)
7 14 9 3 6 4 8 40 14 42 = , ; = , ; = , = ; 13 26 26 23 46 46 15 75 25 75
г)
3 15 3 21 2 8 7 35 5 35 3 9 = , = ; = , = ; = , = . 7 35 5 35 15 60 12 60 6 42 14 42
all
б)
12 b
315.
МАТЕМАТИКА
x + x + 300 + x + 300 + 200 = 1400 , 3x = 1400 − 800 = 600 ,
1 4 1 2 1 = , = , ; 2 8 4 8 8
б)
1 6 2 8 3 27 = , = , = ; 6 36 9 36 4 36
в)
5 25 4 16 3 18 = , = , = ; 12 60 15 60 10 60
г)
1 5 3 6 7 = , = , ; 2 10 5 10 10
ґ)
3 9 1 2 5 25 = , = , = ; 10 30 15 30 6 30
д)
1 7 2 12 3 27 = , = , = . 18 126 21 126 14 126
2 8 3 9 = < = ; 3 12 4 12
б)
5 25 4 24 = > = ; 6 30 5 30
1 19 12 36 = < = ; 3 57 19 57
г)
81 162 161 = > . 85 170 170
3 9 2 10 = < = ; 5 15 3 15
б)
7 63 8 64 = < = ; 8 72 9 72
12 48 16 48 = = = ; 15 60 20 60
г)
13 39 39 = = . 14 42 42
318. а)
319. а) в)
320. а) в)
37
321. а)
МАТЕМАТИКА
в)
322. а)
2 14 3 15 = < = ; 5 35 7 35
б)
5 40 5 35 = > = ; 7 56 8 56
9 99 10 100 = < = ; 10 110 11 110
г)
24 216 27 216 = = = . 56 504 63 504
1 2 1 3 2 4 < , = < = ; 2 3 2 6 3 6
б)
4 3 4 16 3 15 > , = > = ; 5 4 5 25 4 25
в)
8 9 8 88 9 81 > , = > = ; 9 11 9 99 11 99
г)
12 12 > , тому що знаменник 35 < 37 , а чисельники рівні. 35 37
323. а)
3 75 74 = > 0, 74 = ; 4 100 100 3
1 5 15 3 6 = < 0, 15 = = = ; 8 40 100 20 20 40
в)
1 10 3 9 ; = > 0, 3 = = 3 30 10 30
ov.
25 1 1 = > , тому що чисельники рівні, а знаменник 4 < 5 . 100 4 5
all
г) 0, 25 =
net
б)
7 1 6 1 5 1 4 1 = 1− ; =1− ; =1− ; = 1− ; 8 8 7 7 6 6 5 5 тобто чим менше число, що віднімається від 1 1 1 2 3 4 5 > > … > , то ; ; ; ; Тому що 3 4 8 3 4 5 6
12 b
324. а)
3 1 2 1 = 1− ; =1− — 4 4 3 3 1, тим більше результат. 6 7 ; . 7 8
6 1 7 1 8 1 9 1 10 1 11 1 11 10 =1 ; =1 ; =1 ; =1 ; =1 ; =1 − ; ; 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 10 9 9 8 7 6 ; ; ; — при рівних чисельниках, більше число, в якого 8 7 6 5 менший знаменник. б)
325. а)
326.
9 350 ⋅ 9 3150 = = ; 6 2100 2100 1
38
1 4 4 8 3 24 = ; б) = ; в) = . 2 8 5 10 5 40
2 5 700 ⋅ 5 3500 = = = ; 3 3 2100 2100
1, 59 =
159 21 ⋅159 3339 = = ; 100 2100 2100
10 300 ⋅10 3000 = = ; 7 2100 2100 1
3 7 525 ⋅ 7 3675 = = = ; 4 4 2100 2100
1, 6 =
160 21 ⋅160 3360 = = . 100 2100 2100
НСК ( 6 , 7 , 3 , 4 , 100 ) = 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 50 = 2100
1
327.
3 2 9 10 ; 1 ; 1,6; 1,59; ; . 4 3 6 7
3 18 36 6 1 6 = = . =1 = ; 1 15 15 30 5 5 5
328. Щоб привести дроби до спільного знаменника, треба знайти НСК (a, b), де a, b — знаменники дробів. Для простих чисел НСК ( a , b ) = a ⋅ b , тому що їх НСД ( a , b ) = 1 .
МАТЕМАТИКА
6 = 2 ⋅ 3 ; 4 = 2 ⋅ 2 ; 100 = 2 ⋅ 50 ; 7; 3
2 3 і НСК (13 , 11) = 13 ⋅11 = 149 . 13 11 2 22 3 39 1 4 1 19 4 68 = ; = ; і ; = ; = 13 143 11 149 17 19 17 323 19 323
Наприклад:
НСК (17 , 19 ) = 17 ⋅19 = 323 .
ov.
6 = 2 ⋅ 3 ; 10 = 2 ⋅ 5 ; 15 = 3 ⋅ 5 .
net
329. Вірно, тому що НСД і НСК можна знайти і для трьох чисел. 1 5 1 3 1 2 = ; = ; = . НСК ( 6 , 10 , 15 ) = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 30 . 6 30 10 30 15 30
330. Знаменник — це дільник числа, тому чим менше число, на яке ділиться число, тим більший результат ділення.
all
30 30 30 30 = 10 ; = 15 ; =6; =5 . 3 2 5 6 5 35 7 28 = > = . 8 56 14 56
332.
2 14 3 9 = > = . 8 56 14 56
12 b
331.
x , 3 x = 2⋅3 ,
333. а) 2 =
x , 5 x = 3⋅5 ,
б) 3 =
x=6 ; x , 6 x = 12 ⋅ 6 ,
в) 12 =
x = 15 ; x , 13 x = 13 ⋅13 ,
г) 13 =
x = 72 ;
x = 169 . б) 46, 8 ⋅ 0, 6 = 28, 08 ;
334. а) 0, 6 ⋅1000 = 600 ; в) 0, 6 ⋅ 0, 3 = 0, 18 ; 335. а)
15 = 50 ; 0, 3
г) 0, 6 ⋅ 0 = 0 . б)
3 = 10 ; 0, 3
в)
0, 6 =2. 0, 3
39
336. 0, 3 ⋅150 = 45 0, 4 ⋅120 = 48
МАТЕМАТИКА
48 − 45 = 3 337. b = 0, 2 ⋅ 0, 4 + 0, 4 = 0, 48 , a = 0, 4 м, c = 0, 3 ⋅ 0, 4 + 0, 4 = 0, 52 , P = 0, 4 + 0, 48 + 0, 52 = 1, 4 м. 338. 25 + x = 100 , x = 100 − 25 = 75 , 75 : 25 = 3 (рази). 339. Травень — 3 дні; липень — 30 днів; липень — 31 день. 3 + 30 + 31 = 64 75 − 64 = 11 серпня. 340. 2x + 26 = 84 , 2x = 84 − 26 ,
net
2x = 58 , x = 58 : 2 = 29 .
V = 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = 24 см3.
ov.
341. S = 3 ⋅ 4 ⋅ 2 + 3 ⋅ 2 ⋅ 2 + 4 ⋅ 2 ⋅ 2 = 24 + 12 + 16 = 52 см2;
б)
1\5 1\2 5 + 2 7 + = = ; 2 5 10 10
в)
1\5 1\3 5 + 3 8 + = = ; 3 5 15 15
г)
1 1 6 + 5 11 + = = ; 5 6 30 30
ґ)
1 1 3 + 7 10 + = = ; 7 3 21 21
д)
1\12 1\13 2 + 13 15 + = = . 13 2 26 26
346. а)
1\3 1 3 − 1 2 1 − = = = ; 2 6 6 6 3
б)
3\2 1\5 6 − 5 1 − = = ; 5 2 10 10
в)
4\3 1\7 12 − 7 5 − = = ; 7 3 21 21
г)
5\3 1\8 15 − 8 7 − = = ; 8 3 24 24
ґ)
6\3 2\7 18 − 14 4 − = = ; 7 3 21 21
д)
10\2 1\11 20 − 11 9 − = = . 11 2 22 22
5\5 3\3 25 + 9 34 + = = ; 6 10 30 30
б)
5\2 3 10 − 3 7 1 − = = = ; 7 14 14 14 2
3\3 1\2 9 + 2 11 + = = ; 8 12 24 24
г)
5\5 1\3 25 − 3 22 − = = ; 19 15 45 45
347. а) в)
12 b
1\3 1\2 3 + 2 5 + = = ; 2 3 6 6
345. а)
40
all
§ 11. Додавання і віднімання дробів
д)
5\2 4\2 15 − 8 7 − = = . 6 9 18 18
13\3 11\11 169 − 121 48 − = = ; 11 13 143 143
б)
1\5 7\2 5 + 14 19 + = = ; 6 15 30 30
в)
23\3 2\2 69 − 4 65 − = = ; 6 9 18 18
г)
1\5 4\4 5 + 16 21 7 + = = = ; 12 15 60 60 20
ґ)
1\3 2\2 3 + 4 7 + = = ; 10 15 30 30
д)
8\8 7\7 64 − 49 15 − = = . 7 8 56 56
349. а) 3 б) 2 в)
4\2 1\3 8+3 11 + = 3+ =3 ; 9 6 18 18 2\3 5 6−5 1 − = 2+ =2 ; 3 9 9 9
3\2 3 3+6 9 1 +1 = 1+ =1 = 2 ; 8 8 8 4 8
net
348. а)
5 3\2 13 − 6 7 − = = ; 8 4 8 8
ґ) 2
1 5 7\2 5 14 − 5 9 3 1 − = − = = = =1 ; 3 6 3 6 6 6 2 2
б) 3
12 b
all
6 1 6\8 9\5 48 − 45 3 −1 = − = = . 5 8 5 8 40 40
350. а) 5
в)
1 9 36\2 9 72 − 9 63\9 9 1 − = − = = = =4 ; 7 14 7 14 14 14\2 2 2 1\3 5 3+5 8 + = 3+ =3 ; 6 18 18 18
13 1 13\3 4\5 39 − 20 19 4 −1 = − = = =1 ; 5 3 5 3 15 15 15
г) 12
ґ) 4
д)
ov.
г) 1
д)
МАТЕМАТИКА
5\2 1\7 10 − 7 3 − = = ; 14 4 28 28
ґ)
5 3 5\7 3\2 35 + 6 41 −8 = 12 − 8 + − = 4+ =4 ; 8 28 8 28 56 56
2 3 2\4 3\3 8−9 1 11 −3 =1+ − =1+ =1− = ; 3 4 3 4 12 12 12
34 1 34\4 45\3 136 − 135 1 − 11 = − = = 3 4 3 4 12 12 або 11
1 1 1\4 1\3 4 − 3 1 − 11 = − = = . 3 4 3 4 12 12
41
МАТЕМАТИКА
351. а) 0, 5 −
1 5\3 1\10 15 − 10 5 1 = − = = = ; 3 10 3 30 30 6
б) 0, 3 +
5 3\3 5\5 9 + 25 34 4 = + = = =1 ; 6 10 6 30 30 30
в) 1, 7 +
7 17\9 7\10 153 + 70 223 43 = + = = =2 ; 9 10 9 90 90 90
г) 1, 8 − 1
1 18\2 5\5 36 − 25 11 = − = = ; 4 10 4 20 20
ґ) 0, 25 + 3 д)
3 1 3 3 25 = +3 = +3 = 4 ; 4 4 4 4 100 4
2 2\10 23\3 20 + 69 89 29 + 2, 3 = + = = =2 . 3 3 10 30 30 30
1 3 4 1 3 4\4 1\8 3\5 −2 = 6 +1 − 2 = 6 +1− 2 + + − = 8 5 8 10 5 10 5 8 16 + 8 − 15 9 =5+ =5 ; 40 40 2 5 7\3 2\10 5\5 21 − 20 + 25 26 − + == 11 + = 11 . б) 4, 7 − 2 + 9 = 4 − 2 + 9 + 3 6 10 3 6 30 30
353. а)
ov.
net
352. а) 6, 4 + 1
1\3 1\2 1 3 + 2 + 1 6 + + = = =1 ; 2 3 6 6 6
3\3 2\5 1 9 + 10 + 1 20 5 1 + + = = =1 =1 ; 3 5 3 15 15 15 15
в)
1\4 3\2 5 4 + 6 + 5 15 7 + + = = =1 . 2 4 8 8 8 8
12 b
354. а)
all
б)
3\6 1\3 5\2 18 − 3 + 10 25 1 − + = = =1 ; 4 8 12 24 24 24
б)
2\10 1\5 2\2 20 + 5 − 4 21 7 + − = = = ; 3 6 15 30 30 10
в)
1\15 1\6 2\2 15 − 6 − 4 5 1 − − = = = . 2 5 15 30 30 6
355. а) 3
6+4+3 13 1 1\10 1\4 1\3 + +2 =5+ =5 =6 ; 2 3 4 12 12 12
б) 5
2\6 1\3 1\2 12 − 3 + 2 11 −1 + = 4+ =4 ; 3 6 9 18 18
в) 4
1\3 1\4 5\6 9 − 4 − 30 25 11 −1 − = 3+ = 3− =2 ; 4 9 6 36 36 36
г) 12 − 1
42
3\2 6+2 + 0, 2 = 11 − = 11 − 0, 8 = 10, 2 ; 5 10
ґ) 2, 5 −
356. а)
1 7 32 6\2 32 − 12 20 + 3, 2 − = − = = =2 . 5 5 10 5 10 10
МАТЕМАТИКА
д)
5 1 25\3 5\5 4\10 75 − 25 + 40 90 +1 = − + = = =3; 6 3 10 6 3 30 30
1\30 1\20 1\15 1\12 30 + 20 + 15 + 12 77 17 + + + = = =1 ; 2 3 4 5 60 60 60
б)
1\8 3\6 1\4 3\3 8 + 18 − 4 − 9 13 + − − = = ; 3 4 6 8 24 24
в)
4 \9 4 \3 1\15 4\5 36 − 12 + 15 − 20 19 − +1 − =1+ =1 ; 45 5 15 3 9 45
г) 3
1\12 2\8 1\6 3\3 12 + 16 − 6 + 9 31 7 + − + = 3+ =3 =4 . 2 3 4 8 24 24 24
357.
3 5
Сума
13 10
11 15
1
1
4
19 20
12 b
Зменшуване
1,2
1
1
1
6 17
net
Доданок
1 15
1 2
ov.
7 10
4 5
33 34
30 33 2
3 11
3
6 33
2,7
2
11 34
4 7
29 120
3
2 25
3,2
7 25
0
4 5
16 5
all
Доданок
Від’ємник
2
1 4
13 14
5 24
1
Різниця
2,7
9 14
1 30
1
13 3\2 13 − 6 7 − = = 10 5 10 10 1
4 \3 1 12 − 1 11 − = 1+ =1 5 15 15 15
2, 7 − 1
5 2 1\5 7 =2 −1 =1 2 10 10 10
2
11 6 \2 11 − 12 1 33 −1 = 1+ = 1− = 34 17 34 34 34
3
6 3\3 6−9 3 30 −2 = 1+ = 1− = 33 11 33 33 33
4
19 19 7\2 19 − 14 5 1 − 2, 7 = 4 − 2 + − = 2+ =2 =2 20 20 10 20 20 4
43
1
4 \2 9 8−9 1 13 − = 1+ = 1− = 7 14 14 14 14
МАТЕМАТИКА
5\5 1\4 25 + 4 29 + = = 24 30 120 120 1
7 4 \5 7 + 20 27 2 . +1 = 2+ = 2+ =3 25 25 5 25 25
3, 2 −
358. 3
16 32\16 16 = − =0. 5 10\5 5
1\2 3 2+3 1 +2 =5+ =6 (кг). 2 4 4 4
⎛ 1\4 3\5 ⎞ 1\4 ⎛ 4 − 15 ⎞ 4 359. ⎜ 3 − +3 = +3 = 3+ ⎟ 4 ⎠ 5 ⎜⎝ 20 ⎟⎠ 20 ⎝ 5 6
361. 7 − 2
ov.
3\3 5\2 2\4 9 + 10 + 8 27 3 1 + + = = =2 =2 (кг) 4 4 6 3 12 12 12 10 9 1 9 8 1 − = ; I > III − = . I < II 12 12 12 12 12 12 5 8 5 3 = 6 −2 = 4 (м). 8 8 8 8
all
360.
net
11 ⎞ 4 8 4 12 ⎛ = ⎜3− +3 =2 +3 =5 = 5, 6 (кг). ⎝ 20 20 ⎟⎠ 20 20 20 10
363.
5\5 ⎛ 5\5 3\3 ⎞ 25 ⎛ 25 9 ⎞ +⎜ +1 = + +1 = 3 ⎝ 3 5 ⎟⎠ 15 ⎜⎝ 15 15 ⎟⎠
12 b
5 ⎛ 5 1\2 ⎞ 5 ⎛ 5 + 2 ⎞ 5 + 7 12 3 + + = = = . = + 16 ⎜⎝ 16 8 ⎠⎟ 16 ⎜⎝ 16 ⎟⎠ 16 16 4 4
=1
1 ⎛ 34 ⎞ 10 4 14 + 1+ =1 +3 =4 . 10 ⎜⎝ 15 ⎟⎠ 15 15 15
364. 30 − 7
1 4 1\5 4 \2 5−8 3 − 8 = 22 −8 = 22 − 8 + = 14 − = 13, 7 . 2 5 2 5 10 10
365. а) 0, 7 + б)
2\3 2\5 6 − 10 7\3 4\2 21 − 8 13 − = 0, 7 + = − = = ; 5 3 15 10 15 30 30
2 1 2\10 32\3 1 20 + 96 1 24\3 1\10 + 3, 2 − 2 = + −2 = −2 = 3 −2 = 3 9 3 10 9 30 9 30 9 9
= 3−2+
44
3
362.
72 + 10 81 =1 = 1, 9 ; 90 90 10
1 7 7\4 3\20 7\5 28 + 60 − 35 53 13 − = + − = = =1 ; 2 8 10 2 8 40 40 40
г) 3, 45 − 1
366. а) 4
1 3 45 1\50 3\20 45 + 60 − 50 +3 = 3−2+3+ − + = 4+ = 4, 55 . 2 5 100 2 5 100
7 ⎛ 18 4 ⎞ 7 18 4 4 11 +⎜ − + − =5− =4 ; ⎟ =4 25 ⎝ 25 15 ⎠ 25 25 15 15 15 10
б)
в) 4
8 ⎛ 7\4 1\3 ⎞ 8 ⎛ 28 − 3 ⎞ 8\32 25\13 = + ⎜1 − =4 +1 =4 + ⎜1+ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ 96 39 39 ⎝ 24 32 ⎠ 39 96
=5
256 + 325 581 =5 ; 1248 1248
1 ⎛7 ⎛ 7 1\2 ⎞ 7 25 ⎞ − 0, 25 + 2, 125 = ⎜ − + 2, 125 = ⎟ + 2, 125 = ⎜ − 8 8 ⎝ 8 4 ⎠⎟ 100 ⎝ 4 ⎠
367. а) 4
7−2 54 + 2, 125 = + 2, 125 = 0, 625 + 2, 125 = 2, 75 . 8 8
net
=
6 ⎛ 11 6 ⎞ ⎛ 6 6 ⎞ 11 11 1 −⎜3 + − = 4−3 = ; ⎟ =⎜4 ⎟ −3 12 12 17 ⎝ 12 17 ⎠ ⎝ 17 17 ⎠ 12
ov.
г)
1
7 ⎛ 43 7 ⎞ 7 43 7 50 7 10 7 3 1 +⎜ − ⎟= + − = − = − = = ; 45 ⎝ 45 9 ⎠ 45 45 9 9 9 93 3 45 9 9
МАТЕМАТИКА
в) 0, 7 + 1
1
19 ⎛ 35 7 ⎞ ⎛ 19 7 ⎞ 35 12 35 − + = 8 − − =8 − = 24 ⎜⎝ 36 24 ⎟⎠ ⎜⎝ 24 24 ⎟⎠ 36 24 2 36 1\18 35 18 35 54 35 19 − =8 − =7 − =7 ; 2 36 36 36 36 36 36
12 b
=8
all
б) 8
1
5 1\2 5 5 ⎞ 14 ⎛ 23 14 ⎞ 5 9 ⎛ 23 в) ⎜ +1 ⎟ − =⎜ − +1 = +1 = ⎟ +1 = ⎝ 27 6 3 6 6 ⎠ 27 ⎝ 27 27 ⎠ 6 27 3 = г) 3
2 5 7 1 +1 = 1 = 2 ; 6 6 6 6
1\10 ⎛ 3\5 2\4 ⎞ 10 ⎛ 15 8 ⎞ 10 7 3 − 3 −2 =2 . =3 − 3 −2 =3 −1 2 ⎜⎝ 4 5 ⎟⎠ 20 ⎜⎝ 20 20 ⎟⎠ 20 20 20 4
⎛ 6 3\7 ⎞ 4 \2 6 + 21 28 368. а) 3, 6 − ⎜ + = 3, 6 − = 3, 6 − = 3, 6 − = ⎟ 5 5 ⎠ 35 ⎝ 35 35 5 =
36 8 28 − = = 2, 8 ; 10 10 10
1 ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1\2 2⎞ 2⎞ ⎛ 2 + 2, 08 − 1 ⎟ = ⎜ 2 − 1 ⎟ + 2, 08 = ⎜ 2 − 1 ⎟ + 2, 08 = ⎝ 6 3 ⎜⎝ 6⎠ ⎝ 3 6⎠ 6⎠ = 1 + 2, 08 = 3, 08 ;
б) 2
7 7 7 ⎛7 ⎞ в) 3, 7 + ⎜ + 0, 3⎟ = ( 3, 7 + 0, 3 ) + = 4 + = 4 ; ⎝8 ⎠ 8 8 8
45
7⎞ 7 7 7 ⎛ г) ⎜ 8, 5 + ⎟ − 25 = ( 8, 5 − 2, 5 ) + = 6 + = 6 . ⎝ 9⎠ 9 9 9 6 4 +x= , 25 5
б) x −
4 4 = , 15 5
x=
4 \5 6 − , 5 25
x=
4 \3 4 + , 5 15
x=
20 − 6 14 = ; 25 25
x=
12 + 4 16 1 = =1 ; 15 15 15
7 2 = , 15 3
в) x +
г) x +
2 8 = , 3 9
x=
2\5 7 − , 3 15
x=
8 2\3 − , 9 3
x=
10 − 7 3 1 = = ; 15 15 5
x=
8−6 2 = . 9 9
x =1
3\15 8\4 − , 4 15
x = 1+ x =1
13 ; 60
б) 1
1 3 =3 , 2 4
12 b
в) x − 7
45 − 32 , 60
x=3
1 13 −x = , 8 16
net
8 3 =1 , 15 4
x =1
3 1\2 +7 , 4 2
x=
18 − 13 5 = ; 16 16
г) 2, 8 − x =
3 , 4
x = 2, 8 −
3 , 4
x = 10 +
3+2 , 4
x=
28\2 3\5 − , 10 4
x = 10 +
5 1 = 11 ; 4 4
x=
56 − 15 41 = , 20 20
x=2
371. 1) 10 2) 10
372. 1) 1
46
1\2 13 9\2 13 − = − , 8 16 8 16
ov.
370. а) x +
all
МАТЕМАТИКА
369. а)
1 . 20
7 1\4 7−4 3 1 −4 =6+ =6 =6 (кг); 12 3 12 12 4 7 5\2 3 7 + 10 + 3 20 8 2 +2 +6 = 18 + = 18 = 19 = 19 (кг). 12 6 12 12 12 12 3
2 2 4 1 +1 = 2 = 3 (год); 3 3 3 3
2) 1
2 1 + 3 = 5 (год). 3 3
374. 8
2) 1 −
11 4 = . 15 15
1\15 1\10 2\6 15 + 10 − 6 19 +2 −3 =7+ =7 (т). 30 2 3 5 30
375. 1) 6 2) 5
1\2 3 2−3 1 3 −3 = 3+ = 3− = 2 ; 4 2 4 4 4 2\4 3\3 8−9 1 11 −2 = 3+ = 3− =2 . 12 3 4 12 12
МАТЕМАТИКА
1\5 2\3 5 + 6 11 + = = ; 3 5 15 15
373. 1)
3 = 18 4 3 x = 18 + 2 4 3 x = 20 (кг) — в I ящику; 4 3 1 18 − 2 = 15 (кг) — в II ящику. 4 4
1 15 − 10 5 1 = = = 3 30 30 6
12 b
5 1 4 2 − = = . 6 6 6 3
ov.
0, 5 −
1 5\3 1\10 15 + 10 25 5 = + = = = 3 10 3 30 30 6
all
377. 0, 5 +
net
376. x − 2
3⎞ 6 1 1 ⎛ 1 1⎞ ⎛ 3 (м). 378. P = ⎜ + ⎟ + ⎜ 1 + 1 ⎟ = 1 + 2 = 1 + 3 = 4 ⎝ 2 2⎠ ⎝ 5 5⎠ 5 5 5 \4 3\5 24 + 15 39 19 ⎛ 3 3⎞ 3 6 379. P = ⎜ + ⎟ + = + = = =1 (дм). ⎝ 5 5⎠ 4 5 4 20 20 20
380. a =
8 ⎛ 1 1 ⎞ 8 2\3 8 − 6 2 − + = − = = (дм). 9 ⎜⎝ 3 3 ⎟⎠ 9 3 9 9
381. P = AB + BC + CD + DE + EF + FK + PK + AP PK + EF + CD = AB AP + FK = BC + DE P = AB + BC + DE + AB + BC + DE 1⎞ ⎛ 4 4⎞ ⎛ 5 5⎞ 2 8 10 ⎛ 1 P = ⎜ 3 + 3 ⎟ + ⎜1 +1 ⎟ + ⎜ + ⎟ = 6 + 2 + = ⎝ 2 5 6 2⎠ ⎝ 5 5⎠ ⎝ 6 6⎠ 2 =7+3
3\6 4 \5 18 + 20 38 8 4 +1 = 11 + = 11 + = 12 = 12 . 5 6 30 30 30 15
47
382. P = AB + BC + CD + DE + EK + KM + MP + PA DE + KM + PA = BC AB = CD − x
МАТЕМАТИКА
EK = MP + x P = ( CD − x ) + BC + CD + BC + ( MP + x ) + MP =
= ( CD + CD ) − x + ( BC + BC ) + ( MP + MP ) + x = 3⎞ ⎛ 5 5⎞ ⎛ 3 3⎞ 6 10 6 ⎛ 3 = ⎜1 +1 ⎟ + ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ = 2 + + = ⎝ 4 4⎠ ⎝ 6 6⎠ ⎝ 5 5⎠ 4 6 5 =3
2 4 1 1\5 2\10 1\6 15 + 10 + 6 31 1 +1 +1 = 3 +1 +1 =5+ = 5+ =6 . 3 5 30 4 6 5 2 30 30
a a b a+b +1 = + = . b b b b
384.
a a+b a b a → = + = +1 . b b b b b a a — правильна, виходить a < b , приведемо до спільного знаменника b b a ( b + 1) b ( a + 1) a +1 a\b+1 a + 1\b ab + a ab + b і , і ; і ; і ; b ( b + 1) b ( b + 1) b +1 b b +1 b ( b + 1) b ( b + 1) чисельник ab + a < ab + b , ab + a ab + b a a +1 тому що a < b , значить і весь дріб ; тобто < < . b ( b + 1) b ( b + 1) b b +1 1 3 2 4 3 15 4 16 = < = ; = < = . 2 6 3 6 4 20 5 20
12 b
Наприклад,
all
ov.
385.
net
383.
386. а) 57 7 ; 56 8 1
б) 82 26 ; 78 3
в) 40 37 . 37 1
4
3
387. 1323 (на 3,9); 83 325 (на 3); 88 008 (на 3). 388. а) 2704 1352 676 338 169 13 1
2 2 2 2 13 13
б) 7007 1001 143 13 1
7 7 11 13
389. а) 18: 1, 2, 3, 4, 9, 18; б) 144: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144;
48
в) 882: 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 49, 63, 98, 126, 147, 294, 441, 882.
390. а) НСД ( 60 , 90 ) = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 30 2 2 3 5
90 45 15 5 1
НСК ( 60 , 90 ) = 22 ⋅ 32 ⋅ 5 = 180
2 3 3 5
б) НСД (12 , 28 , 36 ) = 2 ⋅ 2 = 4 12 2 6 2 3 3 1
391.
36 18 9 3 1
28 2 14 2 7 7 1
2 2 3 3
НСК (12 , 28 , 36 ) = 22 ⋅ 32 ⋅ 7 = 252
МАТЕМАТИКА
60 30 15 5 1
8 = 32 л. 0, 25 32 − 8 = 24 л.
net
392. 4, 5 − 3, 2 = 1, 3 — I ст.; 4, 5 − 3, 1 = 1, 4 — II ст.;
ov.
4, 5 − (1, 3 + 1, 4 ) = 4, 5 − 2, 7 = 1, 8 — III ст. 393. 90 − 57 = 33 — найменший кут;
394. V = a3 = 43 = 64
all
180 − 90 − 33 = 57 — II кут.
12 b
64 − ( 32 + 12 ) = 20 .
Самостійна робота № 2 Варіант 1
1.
2.
а)
3\3 7 9 + 7 16 1 + = = =1 ; 5 15 15 15 15
б) 2
1\3 5\2 3 − 10 7 5 − = 2+ = 2− =1 ; 4 6 12 12 12
в) 3
7 ⎛ 5⎞ 7 \3 1\4 21 − 4 17 − 4−2 ⎟ = 3 −1 = 3 −1+ =2 . 8 ⎜⎝ 6⎠ 8 6 24 24
0, 6 +
5 6\13 5\10 78 + 50 128 = + = = 13 10 13 130 130
0, 6 −
5 78 − 50 28 = = 13 130 130
128 − 28 100 10 = = . 130 130 13
49
5 1 + x =1 ; 6 8
3. а)
9 8 −x = 8 9
в) x −
4 7 = 15 20
1 5 − 8 6
x=
9\9 8\8 − 8 9
x=
7 \3 4 \4 + 20 15
x=
9\3 5\4 − 8 6
x=
81 − 64 72
x=
21 + 16 60
x=
27 − 20 7 = ; 24 24
x=
17 ; 72
x=
37 . 60
x =1
4.
⎛ 14\2 1\5 ⎞ 1⎞ 28 − 5 23 28 51 11 ⎛ + = =2 . ⎜⎝ 1, 4 − 4 ⎟⎠ + 1, 4 = ⎜ 10 − 4 ⎟ + 1, 4 = 20 + 1, 4 = 20 20 20 20 ⎝ ⎠
5.
3
1\4 3\5 4 + 15 19 + = 3+ =3 5 4 20 20 19 ⎞ 3 3 63 ⎛ 4 P = ⎜3 +3 ⋅2 = 7 +7 = 14 = 14, 3 . ⎟ ⎝ 20 20 20 ⎠ 20 20 10
net
МАТЕМАТИКА
б)
а)
3\3 1\2 9 − 2 7 − = = ; 8 12 24 24
3\3 1 9 +1 10 2 +1 = 4+ =4 =4 ; 3 5 15 15 15
в) 2
5\2 1\3 10 − 3 7 5 ⎛ 5⎞ −⎜3−2 ⎟ = 2 − = 2+ =2 . 9 ⎝ 6⎠ 9 6 18 18
all
б) 3
12 b
1.
ov.
Варіант 2
1
2.
2 2 2 2\5 1\3 10 + 3 13 + 0, 2 = + = + = = 3 3 5 10 3 5 15 15 2 10 − 3 7 − 0, 2 = = 3 15 15 13 7 6 − = . 15 15 15
3.
1 3 =1 8 4 3\2 1 x =1 − 4 8
а) x +
x = 1+
6 −1 5 =1 ; 8 8
б)
8 7 −x = 7 8 8 \8 7 \7 x= − 7 8 x=
64 − 49 15 = ; 56 56
5 4 = 12 3 4 \4 5 x= + 3 12
в) x −
x=
16 + 5 12
x=
1 21 9 =1 =1 . 4 12 12 4
1
50
3 2 2 ⎛ 2 75 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎟ +1 = ⎜⎝ 1 5 − 0, 75⎟⎠ + 1 5 = ⎜ 1 5 − 5 100 4 ⎠ ⎝ ⎛ 12\4 3\5 ⎞ 12 48 − 15 12\4 33 + 48 81 1 =⎜ − = + = = =4 (т.). ⎟+ ⎝ 5 4 ⎠ 5 20 5 20 20 20 1
5.
⎛ 1\5 4\4 ⎞ 41 41 82 2 ⎛ 25 + 16 ⎞ P = ⎜1 + = 4, 1 . ⋅2 = + = =4 ⋅2 = ⎜ ⎝ 20 ⎟⎠ 5 ⎟⎠ 20 20 20 ⎝ 4 20 10
1.
33 9\2 33 − 18 15 а) − = = ; 34 17 34 34
Варіант 3
МАТЕМАТИКА
4.
24
7\5 16\3 11 35 + 48 − 11 72 24 + − = = = ; 15 25 75 75 75 25 25
в)
9 ⎛ 11 1\8 ⎞ 9\2 ⎛ 11 − 8 ⎞ 18 − 3 15 − − . = = = − 16 ⎜⎝ 32 4 ⎟⎠ 16 ⎜⎝ 32 ⎟⎠ 32 32
1\2 25 2 23 = − = = 2, 3 5 10 10 10
2, 5 − 1
а)
1 23\9 19\5 207 − 95 112 22 11 = − = = =1 =1 . 18 10 18 90 90 90 45
2 2 + x =1 ; 5 15
б) x −
2 3 = 3 2
2⎞ 1 ⎛ в) ⎜ x − ⎟ − 0, 3 = 2 ⎝ 5⎠ 4
12 b
3.
ov.
2, 5 −
net
8 \2 1 2\6 16 + 1 + 12 19 1 + + = = =1 9 18 3 18 18 18
all
2.
б)
2 2\3 − 15 5 2−6 4 x =1+ =1− 15 15 11 x= ; 15 x =1
4.
5.
1) 2, 3 +
3\3 2\2 + 2 3 9+4 x= 6 13 1 x= =2 ; 6 6 x=
1\5 3\2 2\4 + + 4 10 5 5+6+8 x = 2+ 20 19 x=2 . 20 x=2
1 3\3 1\5 9+5 14 =2 + = 2+ =2 ; 6 10 6 30 30
2) 2
14 2\10 14 − 20 6 14 − = 2+ = 2− = ; 30 3 30 30 30
3) 2
3\3 14 14 9 + 14 + 14 37 7 +2 +1 =5+ =5+ =6 . 10 30 30 30 30 30
1) 3
7 7 1\2 7−2 6 − 1, 25 = 2 + − = 2+ =2 ; 8 8 4 8 8
7⎞ ⎛ 6 6⎞ 6 4 2 1 ⎛ 7 2) P = ⎜ 3 + 3 ⎟ + ⎜ 2 + 2 ⎟ = 7 + 5 = 13 = 13 . ⎝ 8 8⎠ ⎝ 8 8⎠ 8 8 8 4
51
Варіант 4
МАТЕМАТИКА
1.
11\5 7\2 55 − 14 41 а) − = = ; 12 30 60 60 б)
9\5 19 3\13 45 − 19 + 39 65 − + = = =1 ; 13 65 5 65 65
в)
11 ⎛ 17\2 19 ⎞ 11 34 − 19 11 15 − − = − = − = 12 ⎜⎝ 30 60 ⎟⎠ 12 60 12 604
1
=
2.
1, 3 −
11 1\3 11 − 3 8 2 − = = = . 12 4 12 12 3
1 13 = 3 10
\3
−
1\10 39 − 10 29 = = 3 30 30
1\5 2\6 1\10 5 + 12 + 10 27 + + = = 6 5 3 30 30
3 1 =2 14 7
x=2
1\2 3 − 7 14
2−3 1 = 2− 14 14
12 b
x = 2+
б)
x =1
4.
1) 3, 5 − 2) 3
13 ; 14
5\3 1\2 − 8 12
x =1
x=
15 − 2 24
x=
5\10 5\3 1\5 + + 3 10 6
x=
13 ; 24
x=
50 + 15 + 5 30
x=
70 7 1 = =2 . 30 3 3
x=
2 1 + 0, 5 + 3 6
5 2\6 5 + 12 17 +1 =4+ =4 ; 30 5 30 30 5 17 5\3 22 15 + 22 37 7 +4 =3 +7 = 10 + = 10 + = 11 . 30 30 10 30 30 30 30
1⎞ ⎛ 1 1⎞ 2 2 ⎛ 1 P1 = ⎜ 2 + 2 ⎟ + ⎜ 3 + 3 ⎟ = 5 + 6 = 11 = 11, 4 ; ⎝ 2 2⎠ ⎝ 5 5⎠ 5 5 P2 = ( 3, 5 + 3, 5 ) + ( 2, 1 + 2, 1) = 7 + 4, 2 = 11, 2
52
1⎞ 2 ⎛ в) ⎜ x − ⎟ − 0, 5 = 1 ⎝ 6⎠ 3
1 5\3 1\10 15 − 10 5 =3 − = 3+ =3 ; 3 10 3 30 30
3) 3, 5 + 3
5.
5 1 −x = 8 12
ov.
а) x +
all
3.
net
29 27 2 1 − = = . 30 30 30 15
11, 4 − 11, 2 = 0, 2 .
в).
2.
г).
3.
в).
4.
в).
5.
в).
6.
б).
7.
б).
8.
в).
9.
г).
МАТЕМАТИКА
Завдання в тестовій формі 1.
Типові задачі 2 7 2+7 9 + = = ; 11 11 11 11
б)
6 3 6−3 3 − = = . 13 13 13 13
2.
а)
15 1 = ; 45 3 3
3.
а)
2 5 < ; 7 7
4.
а) 0, 4 =
5.
а)
3\3 5 9 + 5 14 7 + = = = ; 8 24 24 24 12
б)
8\2 5\3 16 − 15 1 − = = ; 9 6 18 18
в)
11\5 7 \4 55 + 28 83 23 +1 = 1+ = 1+ =2 . 12 15 60 60 60
а)
3 1 −x = ; 8 12
6.
ov.
1
net
а)
1.
3
в)
91 7 = . 130 10 10
3 6 3 = > ; 4 8 8
в)
3\5 15 2\7 14 = > = . 7 35 5 35
12 b
б)
4 2 = ; 10 5
3\3 1\2 − 8 12 9−2 7 x= = ; 24 24 x=
7
12 3 = ; 20 5 5
all
б)
б) 2, 5 =
25 5 = . 10 2
5⎞ 1 ⎛ б) ⎜ x − ⎟ − 0, 3 = 2 ⎝ 7⎠ 5 1\2 5 + 0, 3 + 5 7 5 x = 2, 2 + 0, 3 + 7 5\7 5\10 35 + 50 15 3 x=2 + = 2+ =3 =3 . 70 14 10 7 70 x=2
53
МАТЕМАТИКА
1\2 3 2−3 1 3 − =6+ = 6 − = 5 (кг). 2 4 4 4 4
7.
6
8.
1)
5\7 1\9 35 − 9 26 − = = — II день; 9 7 63 63
2)
35 26 61 + = — не встигла. 63 63 63
§ 12. Множення дробів 1
399. а)
2
1
2 10 2 1 ⋅ = = ; 5 1 12 6 6 3
5 3 1 ⋅ = ; 9 3 10 2 6
ґ)
8 3 2 ⋅ = ; 93 41 3
д)
5 30 1 ⋅ = . 6 2 10 2 4
2
1
б)
3 4 3 ⋅ = ; 10 82 5
в)
7 2 1 ⋅ = ; 84 71 4 2
400. а)
1
1
2
18 5 2 ⋅ = ; 25 5 9 1 5
г)
3
4
7
б)
12 21 12 4 ⋅ = = ; 35 5 9 3 15 5 5
в)
25 27 3 1 ⋅ = = ; 36 4 50 2 6 2
д)
г) 2
1 10 11 10 ⋅ = ⋅ =2; 5 11 5 11
ґ) 2
1 6 7 6 ⋅ = ⋅ =2 ; 3 7 31 7
д) 3
1 9 10 9 ⋅ = ⋅ =3 . 3 10 3 1 10 1
401. а) 1
3
ґ)
all
1
1 1 3 1 1 ⋅ = ⋅ = ; 2 3 2 3 2
9 21 63 ⋅ = ; 58 14 2 29 3
1
45 13 3 ⋅ = . 52 4 15 1 4 2
1
2
б) 1
1 3 4 3 1 ⋅ = ⋅ = ; 3 8 3 82 2
в) 1
1 2 5 2 1 ⋅ = ⋅ = ; 4 5 42 5 2
402. а) 1
1 1 3 4 ⋅1 = ⋅ =2; 2 3 21 3
г) 12
б) 2
1 1 7 3 7 1 ⋅1 = ⋅ = = 3 ; 3 2 3 2 2 2
ґ) 3
1 2 7 16 ⋅2 = ⋅ =8 ; 2 7 2 7
в) 3
1 1 10 8 80 17 ⋅1 = ⋅ = =3 ; 3 7 3 7 21 21
д) 1
4 1 9 10 ⋅1 = ⋅ =2 . 5 9 51 9
1
1
3
403. а)
3
5
2
54
3
14 45 6 ⋅ = ; 15 1 49 7 7
12 b
4
1
net
1
1
ov.
1
1
г)
3
1 1 25 6 ⋅1 = ⋅ = 15 ; 2 5 2 5 8
2
7 7 27 7 3\2 7 + 6 13 + ⋅ = + = = = 1, 3 ; 10 9 35 5 10 5 10 10
2
5 5 16 5 2\2 5 + 4 9 9 + ⋅ = + = = = ; 14 14 14 14 8 35 7 14 7
в)
2 5 9 2\2 1 4 + 1 5 + ⋅ = + = = ; 3 27 3 10 2 3 6 6 6
г)
3 14 2 2\7 2\5 14 − 10 4 ⋅ − = − = = . 5 7 35 35 7 15 5 7
404. а)
5 6 13 5 1\2 5 − 2 3 1 − ⋅ = − = = = ; 6 13 18 3 6 3 6 6 3
МАТЕМАТИКА
1
б)
2
3
б)
3 8 51 3\2 3 6 − 3 3 − ⋅ = − = = ; 4 17 64 8 4 8 8 8
в)
5 8 7 5 1\2 5 − 2 3 1 − ⋅ = − = = = ; 12 21 3 16 2 12 6 12 12 4
г)
5 6 4 3 3 3 ⋅ − ⋅ = − =0. 8 4 35 7 7 16 4 28 28
1
8
ov.
7 1 7 8 ⋅1 = 2 − ⋅ = 2 − 1 = 1 ; 8 7 8 7
в) 1 + 2
406. а) 5 − 4
2 1 7 ⋅ 6 = 1 + ⋅ 6 = 1 + 14 = 15 . 3 3
all
б) 2 −
11 1 3 5 3\1 11 ⋅1 = 1 + ⋅ =1+ =2 ; 10 10 5 6 5 62
1 3 13 3 ⋅ =5− ⋅ = 5 −1 = 4 ; 3 13 3 13
12 b
405. а) 1 +
net
3
б) 2 −
7 1 7 8 ⋅1 = 2 − ⋅ = 2 − 1 = 1 ; 8 7 8 7
в) 1 −
3 1 9 5 9 11 ⋅1 = 1 − ⋅ =1− = . 4 4 22 6 22 2 6 2
3
1
3
1
⎛ 13\2 1\5 ⎞ 4 5 ⎞ 25 21 50 3 1 ⎛ 26 −2 = =1 ; 407. а) ⎜ 2 ⋅3 = 2 ⎜ − ⋅ = ⋅ ⎝ 100 100 ⎟⎠ 7 20 ⎟⎠ 7 2 2 ⎝ 50 100 2 7 1 3
3
⎛ 3\2 ⎞ 15 ⎛ 6 + 7 ⎞ 15 33 15 9 1 б) ⎜ 2 + 0, 7 ⎟ ⋅ ⋅ = ⋅ = =2 . = ⎜2+ 10 ⎟⎠ 22 10 2 22 2 4 4 ⎝ 5 ⎠ 22 ⎝ \10 325 5\3 ⎞ 1 ⎛ 340 − 15 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 34 =⎜ − = 408. а) ⎜ 11 − 0, 5⎟ ⋅ ⋅ ⋅ = ⎝ 3 ⎠ 13 ⎝ 3 30 10 ⎟⎠ 13 ⎜⎝ 30 ⎟⎠ 13
=
25 5 = ; 30 6
25
⋅
1 = 13 1
55
МАТЕМАТИКА
⎛ 56\2 11\5 ⎞ 3⎞ 3⎞ ⎛ ⎛ 6 б) ⎜ 20, 6 − 8 ⎟ ⋅ 8 = 8 ⋅ 4 ⎜ 5 − 2 ⎟ = 32 ⎜ − = ⎝ ⎝ 10 4⎠ 4⎠ 4 ⎠⎟ ⎝ 10 8 57 57 ⋅ 8 456 1 ⎛ 112 − 55 ⎞ = 32 ⋅ = = = 91 . = 32 ⎜ ⎝ 20 ⎟⎠ 5 5 5 20 5
5
409. а)
2
8 15 5 3 3 10 3 6 ⋅ = <1 ⋅ = ⋅ = (див. № 385); 7 5 7 9 3 16 2 6 5 7 3
б)
9 9 6 27 6 5 30 ⋅ 0, 6 = ⋅ = < ⋅ = 14 14 10 5 70 11 7 77 27\11 297 30\10 300 = < = . 70 770 77 770 1 ⎛ 1⎞ = ; ⎝⎜ 3 ⎠⎟ 9
2
4 ⎛ 2⎞ ; ⎜⎝ ⎟⎠ = 5 25
9 ⎛ 3⎞ ; ⎜⎝ ⎟⎠ = 4 16 2
2
1 ⎛ 1⎞ = ; ⎝⎜ 4 ⎠⎟ 16
2
9 ⎛ 3⎞ ; ⎜⎝ ⎟⎠ = 7 49
2
2
49 ⎛ 7 ⎞ ; ⎜⎝ ⎟ = 10 ⎠ 100
2
2
16 7 ⎛ 1⎞ ⎛ 4⎞ =1 . ⎜⎝ 1 ⎟⎠ = ⎜⎝ ⎟⎠ = 3 3 9 9
3
3
8 ⎛ 2⎞ ; ⎜⎝ ⎟⎠ = 3 27
all
1 ⎛ 1⎞ ; ⎜⎝ ⎟⎠ = 3 27
3
3
3
1 ⎛ 1⎞ = ; ⎝⎜ 4 ⎠⎟ 64
12 b
27 ⎛ 3⎞ = ; ⎝⎜ 2 ⎠⎟ 8
3
27 ⎛ 1⎞ ⎛ 3⎞ ; ⎜⎝ 1 ⎟⎠ = ⎜⎝ ⎟⎠ = 2 2 8
3
27 ⎛ 3⎞ = ; ⎝⎜ 4 ⎟⎠ 64 3
64 ⎛ 1⎞ ⎛ 4⎞ . ⎜⎝ 1 ⎟⎠ = ⎜⎝ ⎟⎠ = 3 3 27
2
4 ⎛ 2⎞ б) ⎜ ⎟ = ; ⎝7⎠ 49
2
2
36 ⎛ 1⎞ ⎛ 6⎞ г) ⎜ 1 ⎟ = ⎜ ⎟ = . ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠ 25
3
8 ⎛ 2⎞ б) ⎜ ⎟ = ; ⎝ 5⎠ 125
3
125 ⎛ 1⎞ ⎛ 5⎞ г) ⎜ 1 ⎟ = ⎜ ⎟ = . ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ 64
9 ⎛ 3⎞ 412. а) ⎜ ⎟ = ; ⎝ 5⎠ 25
2
25 ⎛ 5⎞ в) ⎜ ⎟ = ; ⎝ 8⎠ 64
2
3
1 ⎛ 1⎞ ; 413. а) ⎜ ⎟ = ⎝ 5⎠ 125
3
64 ⎛ 4⎞ в) ⎜ ⎟ = ; ⎝ 3⎠ 27 7
56
2
ov.
3
1 ⎛ 1⎞ 411. ⎜ ⎟ = ; ⎝ 2⎠ 8
414.
4 ⎛ 2⎞ = ; ⎝⎜ 3 ⎠⎟ 9
2
9 1 ⎛ 1⎞ ⎛ 3⎞ ⎜⎝ 1 ⎟⎠ = ⎜⎝ ⎟⎠ = = 2 ; 2 2 4 4
3
2
net
2
1 ⎛ 1⎞ 410. ⎜ ⎟ = ; ⎝ 2⎠ 4
3\2 8 6 + 8 14 7 3 8 3 + = = = > ⋅ = . 4 8 8 4 4 8 4 84
3
416.
2 1 1 16 ⋅ 5 2 = ⋅ = 5 8 5 5 ⋅ 81
3
1\8 1\5 8−5 3 − = 3+ =3 5 8 40 40
3
3 2\8 3 − 16 13 27 − = 3+ = 3− =2 . 40 5 40 40 40
МАТЕМАТИКА
415. 3
4 2 ⋅ 12 = 8 (дм). 31
417. P = 2 418. S =
2 2 2 ⋅ 6 = 12 + ⋅ 6 = 12 + 4 = 16 (см). 3 3
7 7 49 ⋅ = (см2). 9 9 81 1
5 3 5 ⋅ = (м2); 8 62 4
net
419. а) S =
1 3 7 11 77 5 ⋅2 = ⋅ = =9 (дм2); 2 4 2 4 8 8
в) S = 1
1 8 7 8 ⋅ 0, 7 = ⋅ = = 0, 8 (м2). 7 7 10 10 1
2
all
ov.
б) S = 3
420. а)
3 7 8 1 ⋅ ⋅ = ; 4 12 21 3 6
в)
3 6 8 4 ⋅ ⋅ = . 4 11 9 1 11
2
2 5 6 1 ⋅ ⋅ = ; 3 1 8 2 25 5 10
12 b
2
2
б)
421. а) 1
4 1 3 15 55 3 ⋅18 ⋅ = ⋅ ⋅ = 15 ; 11 3 5 11 1 3 5
б) 2
3 7 11 25 7 11 7 ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ; 11 20 25 11 20 25 20 2
в)
4 1 26 4 19 26 76 ⋅1 ⋅ = ⋅ ⋅ = ; 13 18 15 13 18 9 15 135
г) 3
1 4 2 7 64 2 64 4 ⋅12 ⋅ = ⋅ ⋅ = = 12 . 2 5 7 2 5 7 5 5 32
7 ⎞ 10 67 10 ⎛ 3 4 ⎞ 10 ⎛ 7 4 422. а) ⎜ 1 ⋅ + 25, 7 ⎟ ⋅ = : + 25 ⋅ = ⋅ =3 ; ⎝ 4 7 ⎠ 89 ⎜⎝ 4 7 10 ⎟⎠ 89 10 89 8 ⎛ 15 3 4 ⎞ 16 ⎛ 3 4 ⎞ б) ⎜ 3 ⋅ − 1, 4 ⎟ ⋅ 25 = ⎜ ⋅ − 1, 4 ⎟ ⋅ 25 = ⋅ 25 = 40 . ⎝ 4 5 ⎠ 10 2 5 ⎝ 4 ⎠
57
1
423. а)
2
МАТЕМАТИКА
1
б)
1
3
1\5
8 15 2 3 15 2\4 3 8 + 5 13 3 14 ⋅ + 0, 3 ⋅ ⋅ = + ⋅ = + = = ; 9 16 2 5 10 2 18 6 5 20 20 12 4 7 15 5 2
3
1
2
3
1
8 14 9 11 26 15 6 2 1\11 2\5 = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = − = − 11 5 21 3 15 16 2 13 1 121 11 18 6 30 5 11 =
424. а) 4
11 − 10 1 = . 55 55 1 3 2⎛ 5 6 15 ⎞ 14 ⎛ 3 ⎞ 14 25 25 1 ⋅ ⋅⎜1− = ⋅ = =4 ; ⎜1− ⋅ ⎟= 6 3⎝ 28 ⎟⎠ 3 28 2 6 6 25 5 28 ⎠ 3 ⎝ 1
б) 2, 5 −
1
21 − 8 39 5 13 39 5\19 39 95 − 39 ⋅ =2 − ⋅ = − = = 26 17 + 2 2 38 38 10 2 26 2 19 28
=
56 28 9 = =1 . 19 38 19 19 2
2
2
2
net
49 ⎛ 1⎞ ⎛ 7⎞ (м2); 425. S1 = a2 = ⎜ 3 ⎟ = ⎜ ⎟ = ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 4
ov.
25 ⎛ 1⎞ ⎛ 5⎞ S2 = b2 = ⎜ 2 ⎟ = ⎜ ⎟ = (м2); ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 4 6
49 − 25 24 = = 6 (м2). 4 41
all
S1 − S2 =
3
12 b
1 ⎛ 1⎞ (м3); 426. а) V = ⎜ ⎟ = ⎝ 2⎠ 8 3
3
3
3
64 10 ⎛ 1⎞ ⎛ 4⎞ б) V = ⎜ 1 ⎟ = ⎜ ⎟ = =2 (м3); ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 27 27 512 26 ⎛ 2⎞ ⎛ 8⎞ = 18 (м3). в) V = ⎜ 2 ⎟ = ⎜ ⎟ = ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 27 27
427. а) V =
1 2 3 1 ⋅ ⋅ = (м3); 2 3 5 5 4
б) V = 1
3 1 1 8 5 10 40 1 ⋅2 ⋅3 = ⋅ ⋅ = = 13 (м3). 5 2 3 3 3 5 2 3 3
1 ⎛ 1⎞ 428. V1 = a3 = ⎜ ⎟ = (м3); ⎝ 2⎠ 8 3
1 ⎛ 1⎞ V2 = b3 = ⎜ ⎟ = (м3); ⎝ 3⎠ 27
58
V1 − V2 =
1\27 1\8 27 − 8 19 (м3). − = = 8 27 216 216
3
429. Sл = 2
1 2 9 2 3 ⋅ = ⋅ = (м2); 4 3 42 3 2 2
3Sкв = 3 ⋅
МАТЕМАТИКА
1 ⎛ 1⎞ Sкв = ⎜ ⎟ = (м2); ⎝ 3⎠ 9 1 1 = (м2); 93 3
Sл − 3Sкв =
3\3 1\2 9 − 2 7 1 − = = =1 (м2). 2 3 6 6 6 2
430. Sл = 1
1 4 3 4 6 ⋅ = ⋅ = (м2); 2 5 2 5 5 2
1 ⎛ 1⎞ Sкв = ⎜ ⎟ = (м2); ⎝ 5⎠ 25 4 (м2); 25 6 \5 4 30 − 4 26 1 Sл − 4Sкв = − = = =1 (м2). 5 25 25 25 25
net
4Sкв =
3
all
2
3
3
2 ⎛ 3⎞ ⎛ 1⎞ 2 9 1 8 3\5 1\4 15 − 4 11 = ; ⋅ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⋅ 0, 8 = ⋅ − ⋅ = − = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 40 40 3 4 2 8 10 3 16 8 8 10
12 b
432. а)
ov.
8 112 4 ⎛ 2⎞ = =4 (м3). 431. Vф = 14 ⋅ Vк = 14 ⋅ ⎜ ⎟ = 14 ⋅ ⎝ 3⎠ 27 27 27
3
2
4
5
3 ⎛ 5⎞ 8 27 3 25 4\12 5\5 48 − 25 23 ⎛ 2⎞ ⋅ − ⋅ = − = = . б) ⎜ ⎟ ⋅ 2, 7 − ⋅ ⎜ ⎟ = ⎝ 3⎠ 12 60 60 5 ⎝ 6⎠ 5 27 10 5 5 36 12
2
25
2
2
2⎞ 1 ⎛ 16 4 ⎞ 75 1 ⎛ 12 ⎞ 25 ⎛ 433. а) ⎜ 1, 6 − ⎟ − 0, 75 ⋅ = ⎜ = − − ⋅ = ⎟ − ⎝ 5⎠ 3 ⎝ 10 10 ⎟⎠ 100 3 ⎜⎝ 10 ⎠ 100 =
144 − 25 119 = = 1, 19 ; 100 100 2
2
3 3 ⎞ ⎛ 3\5 3\2 ⎞ ⎛ 3 7⎞ ⎛3 ⎞ ⎛ б) ⎜ − 0, 3⎟ − ⎜ 1 − ⋅1 ⎟ = ⎜ − − 1− ⋅ ⎟ = ⎝4 ⎠ ⎝ 7 4⎠ ⎝ 4 10 ⎟⎠ ⎜⎝ 7 4⎠ 2
2
2
7
2
81 1\25 81 − 25 56 7 ⎛ 15 − 6 ⎞ ⎛ 1 ⎞ − = − = = = . =⎜ ⎝ 20 ⎠⎟ ⎜⎝ 4 ⎠⎟ 400 16 400 400 50 50
3
434. а)
2
1
1 1 ⎛ 2⎞ ⎛ 3⎞ 1 1 8 9 1 1 − ⋅⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ = − ⋅ ⋅ == − = 0 ; 3 2 ⎝ 3⎠ ⎝ 2⎠ 3 2 27 3 4 3 3
59
б) 1
МАТЕМАТИКА
=
2 ⎛ 2⎞ − 0, 3 ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ 5⎠ 9
2
25
3
11 − 10 1 = . 9 9 3
435. а)
б)
5
2
11 3 4 125 11 4 25 ⎛ 5⎞ ⋅⎜ ⎟ = − ⋅ ⋅ = − ⋅ = ⎝ 3⎠ 9 10 25 1 27 9 9 10 2 9
1
2 2 9 3 ⋅ 0, 9x = ⋅ x= x ; 3 5 3 10 5
в)
4 4 25 1 ⋅ 0, 25n = ⋅ n= n ; 5 5 100 5
5 2 5 7 ⋅1 a = ⋅ a = a ; 7 5 7 5
г) 1
3
1 4 75 ⋅ 0, 75x = ⋅ x=x. 3 3 100 4
4
5 2 2 25 ⋅ 2, 5x = ⋅ x=x=2 ; 7 5 5 10
б) 2 − 3, 5 ⋅
437. а) 4
2 5 6 2 2 ⋅ 0, 6x2 = ⋅ x = x2 = ( 0, 2 ) = 0, 04 . 3 3 10 3 7 + x = 8⋅2 4 8
3 1 = 18 ; 4 4
12 b
x = 23 − 4
в) 0, 125 ⋅
б)
all
19 23 +x= 8 ⋅ 4 8
net
в) 1
3 5 2 35 2 a = 2− ⋅ a = 2 − a = 2 −1 = ; 8 8 7 10 7
7 ⎛ 5 3⎞ + x = 5⋅⎜ − ⎟ ; ⎝ 6 5⎠ 8
ov.
436. а)
1 1 = −x 4 2
7 5 3 + x = 5⋅ − 5⋅ 5 8 6
7 25 +x= −3 8 6 1 7 1 7 x = 4 −3− =1 − 6 8 6 8 x=
г) x − 0, 12 ⋅
1
125 1 1 ⋅ = −x 1000 8 4 2 x=
1\16 1 16 − 1 − = 2 32 32
x=
15 ; 32
438. а) 3; 14; 1; 136; б) 2,8; 14,0; 1,0; 135,6; в) 2,79; 14,01; 0,99; 135,61.
60 439. 12 ⋅ 50 000 = 6 000 000 (км).
7\4 7\3 28 − 21 7 − = = ; 6 8 24 24 2 = 42 ⋅ 0, 5 5 1
x−
1
8 12 2 5 ⋅ = 16 ⋅ 100 50 5 10 2
x = 8+
12 12 =8 . 250 250
440. 14, 15, 16. 441. 50, 51, 53, 54. б) 8 − 0, 8x = 3
12, 5x = 7, 2 − 4, 7 = 2, 5
0, 8x = 8 − 3 = 5
x = 2, 5 : 12, 5 = 0, 2 ;
x = 5 : 0, 8 = 6, 25 .
443. 1) 11 − (7, 8 + 2, 2 ) = 1 (г) — 1 лимон; 2) ( 2, 2 − 1) : 2 = 0, 6 (г) — 1 груша; 3)
7, 8 − ( 0, 6 ⋅ 3 + 1) 7, 8 − 2, 8 5 = = = 0, 5 (г) — 1 яблуко. 10 10 10
МАТЕМАТИКА
442. а) 12, 5x + 4, 7 = 7, 2
§ 13. Ділення дробів 2
6 9 6 26 4 1 : = ⋅ = =1 ; 13 26 13 9 3 3 3 7 21 7 22 1 : = ⋅ = ; 44 22 44 2 21 3 6
в)
15 25 15 64 12 2 : = ⋅ = =2 ; 16 64 5 5 16 25 5
г)
76 38 76 99 18 4 : = ⋅ = =2 . 77 99 77 7 38 1 7 7
4
2
9
451. а) 56 :
12 b
all
3
ov.
б)
net
2
450. а)
14 9 4 = 56 ⋅ = 126 ; 9 4
б) 87 :
29 30 = 873 ⋅ = 90 ; 30 29 1
в) 56 :
8 11 7 = 56 ⋅ = 88 ; 11 7
г) 39 :
3 35 13 = 39 ⋅ = 105 . 35 13
6
3
5
5
1
7
2
5
452. а)
12 2 12 39 : = ⋅ = 18 ; 13 39 13 2
б)
15 3 15 40 : = ⋅ = 25 ; 8 40 81 31
в)
24 8 24 35 21 1 : = ⋅ = =4 ; 25 35 25 5 8 5 5
г)
16 24 16 35 10 1 : = ⋅ = =1 . 21 35 21 3 24 3 9 9
61
3
5 37 1 1 : 37 = ⋅ = ; 8 8 37 8
2
в) 5
5 60 1 2 : 30 = ⋅ = ; 11 11 30 11
г) 3
1 49 1 1 : 49 = ⋅ = . 16 16 49 16
6 5 6 13 1 :1 = ⋅ = ; 65 13 65 5 18 3 15
в) 2
1 1 5 4 :1 = ⋅ =2; 2 4 2 5
7 1 7 3 1 :2 = ⋅ = ; 9 3 93 7 3
г) 9
4 2 49 3 21 :4 = ⋅ = = 2, 1 . 5 3 5 14 2 10
453. а) 4
3
МАТЕМАТИКА
б) 1
5 18 1 3 :6 = ⋅ = ; 13 13 6 13 1
454. а) б)
1
2
7
2
3
2
3
455. а)
3 1 16 8 3 16 51 : − = ⋅ =6− =5 ; 4 4 17 51 4 17 1 8 1
б)
24 12 4 24 15 6 4 2 : − = ⋅ = − = . 25 15 5 25 5 12 5 5 5
net
1
1 2 5 18 2 18 ⎛ 3 1⎞ 456. а) ⎜ 2 − ⎟ : 2 = 2 : = ⋅ = = 0, 9 ; ⎝ 8 8⎠ 2 8 2 84 5 20
x=
3 8 : 98 19
x=
3 19 57 ⋅ = ; 98 8 784
458. а) 4
8 2 x= 27 81
all
8 3 x= 19 98
б)
12 b
457. а)
ov.
1 16 16 9 9 ⎛ 3 2⎞ 7 б) ⎜ 3 − ⎟ : 1 = 3 : = ⋅ = = 1, 8 . ⎝ 5 5⎠ 9 5 9 5 16 5
1 9 x= 2 16
б)
x=
2 8 : 81 27
x=
2 27 1 ⋅ = . 81 3 8 4 12
2 1 x=3 9 3
x=
9 9 : 16 2
x=
10 2 : 3 9
x=
9 2 1 ⋅ = ; 16 8 9 8
x=
10 9 ⋅ = 15 . 3 2 16
459. а) x :
2 7 = 7 10
x=
7 2 1 ⋅ = ; 10 7 5
5
б)
3
4 16 :x = 11 33 x=
4 16 : 11 33
x=
4 33 3 ⋅ = . 11 16 4 4
3
62
2 4 =1 3 11
б) 8
5
1 49 :x = 6 54 9
15 11 ⋅ 11 3 x = 5;
1 49 49 54 : = ⋅ 6 54 6 1 49 x=9.
x=
x=8
461. 1
2
2 3
7 8
2 11
в
2 3
4 5
4 9
7 16
4
41 45
2
1 22
10
а:в
1:
1
1 2
2
1 2
2 3 1 = 1⋅ = 1 3 2 2
1
2:
3
1 2
9
4 5 5 1 = 2⋅ = =2 5 2 42 2 2
7 7 7 16 : = ⋅ =2 8 16 8 7
2 2 1 1 :4 = ⋅ = 11 11 4 2 22
9
net
2 4 2 9 3 1 : = ⋅ = =1 3 9 3 42 2 2
2
5
ov.
1 41 82 45 : = ⋅ = 10 . 9 45 9 41
a — правильний дріб, де a і n — натуральні числа. a+n a a+n n⎞ n ⎛ a n⎞ ⎛ b: = b⋅ = b⋅⎜ + ⎟ = b ⎜1+ ⎟ = b + b , ⎝ a a⎠ ⎝ a a+n a a⎠ отже, число збільшиться.
12 b
all
462.
1 9
а
МАТЕМАТИКА
460. а) x :3
3 4 8 2 = 2⋅ = = 2 4 3 3 3 1 2 1 3 3 1\2 2 : = ⋅ = > = 2 3 2 2 4 2 4
2:
463. а)
3 1 3 6 1 : = ⋅2 = = 1 5 2 5 5 5 3 1 3 ⋅ = 5 2 10 1
1 3 > ; 5 10
в) 19 :
2
б)
6 3 6 2 4 : = ⋅ = 7 2 7 3 7 3
6 3 9 ⋅ = 7 2 7 4 9 < ; 7 7
38 45 45 1 = 19 ⋅ = = 22 45 2 2 38 2
2 24 31 62 2 = 16 ⋅ = = 20 31 3 3 24 3 2 1 20 < 22 ; 3 2
16 :
63
2
г) 2
3 13 13 13 10 : 1, 3 = : = ⋅ =2 5 5 10 5 13 1 4
МАТЕМАТИКА
3, 2 : 1 2
1
3 32 8 32 5 4 = : = ⋅ = =2 5 10 5 10 2 8 1 2
3 3 : 1, 3 = 3, 2 : 1 . 5 5 6
464.
4
12 12 1 6 :2 = ⋅ = (м); 13 13 8 13
12 12 1 4 :3 = ⋅ = (м); 13 13 3 13
3
12 12 1 3 :4 = ⋅ = (м); 13 13 4 13
12 12 1 12 :5 = ⋅ = (м). 13 13 5 65
2
12 12 1 2 :6 = ⋅ = (м); 13 13 6 13
1
5 17 1 17 :4 = ⋅ = (год); 12 12 4 48
1
5 17 1 17 :6 = ⋅ = (год); 12 12 6 72
5 17 1 17 :3 = ⋅ = (год); 12 12 3 36
1
5 17 1 17 :5 = ⋅ = (год). 12 12 5 60
all
1 29 1 29 5 :3 = ⋅ = =4 (м). 2 2 3 6 6
12 b
466. 14
1
net
5 17 1 17 :2 = ⋅ = (год); 12 12 2 24
ov.
465. 1
4
467. 0, 8 : 6 =
8 1 4 2 ⋅ = = (кг). 10 6 3 30 15 3
468.
6 6 1 3 :4 = ⋅ = (м). 11 11 4 2 22
469. а) 3 − б) 1
7 7 1 7 9 :2 = 3 − ⋅ = 3 − =2 ; 8 8 2 16 16
1 3 1 1 3 5\7 6\4 35 − 24 11 − : = 1 − ⋅2 = − = = . 4 7 2 4 7 4 7 28 28
470. а)
5 1 5 1 1 1 1 1 2 1 :5 + :2 = ⋅ + ⋅ = + = = ; 12 6 12 5 6 2 12 12 12 6
б)
8 3 8 1 3 1 4 3 1 :4− :2 = ⋅ − ⋅ = − = . 13 13 13 4 2 13 2 26 26 26
4
64
2 4 17 7 48 9 : +1 : = ⋅ 3 9 18 9 3 4
5
+ 2
85 9 12 5 17 1 ⋅ = + = =8 ; 2 2 2 2 18 2 7
5
б) 4
472. а) в)
473.
25
2 14 8 4 14 15 50 7 25 1 : −2 : = ⋅ − ⋅ = =4 . 3 15 21 7 6 6 3 14 21 3 4 2
2\4 1\3 18 + 3 11 12 1 + = = → =1 ; 3 4 12 12 11 11
б)
2 1 18 − 3 5 12 2 − = = → =2 ; 3 4 12 12 5 5
2 1 1 ⋅ = →6 ; 3 42 6
г)
2 1 2 8 3 : = ⋅4 = → . 3 4 3 3 8
МАТЕМАТИКА
3
471. а) 2
5\2 3\3 10 + 9 19 + = = 12 8 24 24 5 3 10 − 9 1 − = = 12 8 24 24
1 7 1 ⋅ = 7 8 8
7
all
1\8 7\7 8 + 49 57 + = = 7 8 56 56
ov.
474.
net
19 1 19 24 : = ⋅ = 19 . 24 24 24 1
12 b
1 57 1 56 7 : = ⋅ = . 8 56 8 57 57
475. а) 2x − 0, 4 = 2 ⋅
5\10 4\3 50 − 12 38 8 4 5 − 0, 4 = − = = =1 =1 ; 3 10 30 30 30 15 63
2
б)
4 1 4 3 1 6\3 1\5 18 + 5 23 8 a+ = ⋅ + = + = = =1 ; 3 3 5 2 3 5 5 15 15 15 2
1\10 3\9 100 + 27 127 37 ⎛ 1⎞ в) x2 + 0, 3 = ⎜ ⎟ + 0, 3 = + = = =1 ; ⎝ 3⎠ 9 10 90 309 90 2
2 8 2\3 8 − 6 2 ⎛ 2⎞ г) 2c2 − c = 2 ⋅ ⎜ ⎟ − = − = = . ⎝ 3⎠ 3 9 3 9 9 9
1 5 1 7 5 1 45 2 7\3 1 21 − 1 − : 5 + 4, 5 : = − ⋅ + ⋅ = − +9= +9= 6 18 2 6 18 5 10 5 7 6 18 6 2 1 20 + 9 = 12 = 12 . = 6 6 3 \2 б) 1 : 1, 2 + 5 ⋅ ⎛ 3, 7 − 1 4 ⎞ = 1 ⋅ 10 + 5 ⋅ ⎛ 37 − 9 ⎞ = 10 + 5 ⋅ 37 − 18 = ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎝ 5⎠ 12 3 ⎝ 10 5 ⎟⎠ 12 3 10 2 \2 10 19 10 + 38 48 = + = = =4 ; 12 6 12 12
476. а) 1
65
3\2 1 1⎞ 9 2 ⎛ 75 9 1 ⎞ 16 2 ⎛ в) ⎜ 1, 75 − 1 + ⎟ : + = ⎜1+ − + ⎟⋅ + = ⎝ 8 2 ⎠ 16 3 ⎝ 100 4 8 2 ⎠ 9 3
МАТЕМАТИКА
2
6 − 9 + 4 ⎞ 16 2 1 16 2 9 16 2 2 ⎛ ⋅ + =1 ⋅ + = ⋅ + =2 ; = ⎜1+ ⎝ ⎠⎟ 9 3 8 8 9 3 8 3 3 9 8 ⎞ ⎛ 14\2 25 ⎞ ⎛ 135\3 8\20 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ г) ⎜ 2 + 2, 5⎟ : ⎜ 1, 35 − = + = : − ⎝ 5 ⎠ ⎝ 15 ⎟⎠ 15 ⎟⎠ ⎜⎝ 5 10 ⎟⎠ ⎜⎝ 100 30 6
=
477. а)
28 + 25 405 − 160 53 300 318 24 : = ⋅ = =6 . 10 300 49 49 10 245 49
1 3 x = 1 − 0, 5 4 4
б) x :
1 7\5 5\2 x= − 4 4 10
x: 3
3 7 = 14 9 7 3 1 x= ⋅ = ; 9 3 14 2 6
net
x:
1⎞ 2 ⎛1 г) ⎜ x − 1 ⎟ : = 9 ⎝4 4⎠ 3 3 2 1 5 x− = 9 ⋅ 4 4 3
3 3 1 : x = 3 : 0, 5 − 6 2 7 4 3 15 5 1 :x = : −6 7 4 10 2
all
в)
3
5
12 b
3 15 10 13 :x = ⋅ − 7 2 42 5 3 15 − 13 :x = =1 7 2 3 x= ; 7
1 5 x =6+ 4 4 1 29 x= 4 4 29 1 29 : = x= ⋅ 4 = 29 . 4 4 4
5
2
478. а)
3 1 7 = ⋅ 14 3 3
ov.
1 35 − 10 15 3 x= = = 4 20 20 4 4 3 1 3 x= : = ⋅ 4 =3 ; 4 4 4
3 1 1 = ⋅2 14 3 3
3 ⎛ 3⎞ 3 9 16 3 25 16 5\10 16\3 50 + 48 + = ⋅ + = + = : ⎜ ⎟ + 1, 6 = : = 5 ⎝ 5⎠ 5 25 10 5 9 3 10 3 10 30 98 8 4 ; = =3 =3 30 30 15 2
2
2 4 6 6 8\2 6\3 16 + 18 34 4 ⎛ 2⎞ 5 б) ⎜ ⎟ : + 0, 6 = ⋅ + = + = = =1 =1 ; ⎝ 3⎠ 6 15 30 30 30 9 3 5 10 15 10 3
в) 0, 5 :
3
66
г)
2
8 9 3\3 2\2 9 − 4 5 1 ⎛ 2⎞ 4 5 − : = ⋅3 − ⋅ = − = = ; 2 3 6 6 3 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 9 10 2 27 3 4
1 ⎛ 2⎞ 1 1 8 1 25 1 125 : ⎜ ⎟ − : 0, 25 = : − : = ⋅ 5 ⎝ 5⎠ 4 5 125 4 100 4 5 8
25
−
1 1 1 ⋅ 4 = 3 −1 1=2 . 8 8 4
479. P = 4 ⋅ a 1 1 = 4a − 1 5 5 1 4a − a = 1 5 6 3a = 5
МАТЕМАТИКА
a = P −1
2
a=
6 6 1 2 :3 = ⋅ = (м). 5 5 3 5
480. P = 6 ⋅ a = 4
1 2 3
a=4
1 9 1 3 :6 = ⋅ = (м). 2 2 62 4
481. S = a ⋅ b =
2 8 ⋅b = 3 15
ov.
8 2 8 3 4 : = ⋅ = (дм). 15 3 15 5 2 5
net
4
b=
1⎞ 2 2 ⎛ 482. P = 2a + 2 ⎜ a + ⎟ = 2a + 2a + = 4a + = 10 ⎝ 3⎠ 3 3 2 1 28 =9 = 3 3 3 7
28 28 1 7 1 :4 = ⋅ = =2 (м) 3 3 3 4 3
b=2
483. V =
12 b
a=
all
4a = 10 −
1 1 2 + =2 (м). 3 3 3 7 4 ⋅ ⋅a =1 82 5
7 a =1 10 a = 1: 484. а)
7 10 3 =1 =1 . 10 7 7
1 32
1
1 128
1 64
1 16
1 4
1 2
1 256
1 8
1 1 1 1 ⋅ ⋅ = 32 16 8 4096 1 1 1 1 1 : : = ⋅ 32 ⋅ 2 = 64 4096 32 2 4096 64 1 1 1 1 1 : : = ⋅ 16 = 256 4096 2 8 4096 256 1 1 1 1 1 : : = ⋅ 1024 = 4 4096 64 16 4096 4
67
МАТЕМАТИКА
1 1 1 1 1 : : = ⋅ 32 = 128 4096 4 8 4096 128 1 1 1 1 : : = ⋅ 4096 = 1 ; 4096 32 128 4096 б)
1 8
1
1 2
4
1
1 4
1 8
1
1 2
1 1 1 ⋅1 ⋅ = 8 2 16 4 1 1 1 1 : : = ⋅ 64 = 4 16 8 8 16
1 1 1 1 1 : : = ⋅4 = . 4 16 2 2 16 4
У підручнику помилка (табл. 31 (б)): при даному розміщенні чисел, добуток центральної вертикалі й горизонталі дорівнює 1. 1 1 + 23 = 47 − 24 = 23 (год). 2 2
В 23 години вже ніч. 486. S = V ⋅ t = 65 ⋅ 3, 4 = 221 (км);
ov.
t = S : V = 195 : 65 = 3 (год).
net
485. 23
487. V = S : t = 175 : 2, 5 = 70 (км/год);
all
t = S : V = 315 : 70 = 4, 5 (год). 488. c = a − 4 = b + 4 = P − 36 a + b = 36
12 b
a = c+4 b = c−4
( c + 4 ) + ( c − 4 ) = 36 c + 4 + c − 4 = 36 2c = 36 c = 36 : 2 = 18 (м);
a = 18 + 4 = 22 (м); b = 18 − 4 = 14 (м). 489. α = β + 10 = γ − 40 β = α −10 γ = α + 40 α + ( α − 10 ) + ( α + 40 ) = 180 α + α − 10 + α + 40 = 180 3α + 30 = 180 3α = 180 − 30 = 150
68
α = 150 : 3 = 50
β = 50 − 10 = 40 ; γ = 50 + 40 = 90 . 490. a = S : b = 2700 : 45 = 60 (см);
МАТЕМАТИКА
60 − 45 = 15 (см). 491. x — Максим 3 роки тому y — сестра 3 роки тому x = 7y x + 2 = 3 ( y + 2 ) — торік 7y + 2 = 3y + 6 7y − 3y = 6 − 2 4y = 4 y = 1 (рік) — сестра 3 роки тому; 7y = 7 (років) — Максим 3 роки тому; 7 + 3 = 10 (років).
net
492. 1) 18 + 10 − 3 = 25 (уч.) — усього тренується;
ov.
2) 30 − 25 = 5 (уч.).
§ 14. Задачі на множення і ділення дробів 50 3 ⋅ 350 = 150 (кг); 7
all
497. а)
3 3 ⋅ 15 = 9 (м); 5
в)
2 5 ⋅ 24 = 10 (год). 12
12 b
б)
498.
40 2 ⋅ 120 = 80 (д). 3
499.
10 3 ⋅ 130 = 30 (гр.). 13
500.
500 2 ⋅ 2500 = 1000 (підручн.). 5
501.
2 2 ⋅ 18 = 4 (еск.). 9
502.
20 2 ⋅ 140 = 40 (троянд). 7
503.
20 5 ⋅ 240 = 100 (см). 12
504. 30 −
6 1 ⋅ 30 = 30 − 6 = 24 (грн.). 5
69
МАТЕМАТИКА
50 3⎞ 1 ⎛ 505. ⎜ 1 − ⎟ ⋅ 200 = ⋅ 200 = 50 (дет.). ⎝ 4⎠ 4 20 2⎞ 3 ⎛ 506. ⎜ 1 − ⎟ ⋅100 = ⋅ 100 = 60 (м). ⎝ 5⎠ 5
507.
24 1 ⋅ 72 = 24 (км); 3 6 6 1 1 ⋅ 72 = = 1 (км); 5 5 60 5 18 1 15 ⋅ 72 = ⋅ 72 = 18 (км). 4 60 4
508. 2
509.
12 5 ⋅ 72 = 60 (км); 6 6 18 1 15 ⋅ 72 = ⋅ 72 = 18 (км); 41 60 4
9 1 7 ⋅ 27 = ⋅ 27 = 63 (га). 3 3
412 3 ⋅ 2060 = 1236 (м). 5 16
net
3 32 3 48 = ⋅ = = 4, 8 (грн.); 2 10 2 10 3, 2 + 4, 8 = 8 (грн.).
ov.
510. 3, 2 ⋅
511. I — x — обсяг робіт I бригади
all
II — 2x — обсяг робіт II бригади, тому що
6 тиж. =2 3 тиж.
x + 2x = 1 — повний обсяг робіт
12 b
3x = 1 1 x= 3 1 2 2⋅ = 3 3
— частина від загального обсягу робіт, виконані I і II бригадою відповідно;
1 2 ⋅ 6 = ⋅ 3 = 2 (тижня). 3 3 512. Учень — x — обсяг роботи 70 хв 7 7 = x , тому що Майстер — 30 хв 3 3 7 x + x = 1 — повний обсяг робіт; 3 10 x =1 3 10 3 x = 1: = 1⋅ 3 10 3 7 3 7 x= , ⋅ = — частини від загального обсягу робіт, виконаних 10 3 10 10 учнем і майстром відповідно; 7 7 3 ⋅ 70 = ⋅ 30 = 21 (хв). 10 10 70
18 3 ⋅ 90 = 54° . 5
514. 1)
20 5 ⋅ 180 = 100° ; 9
3) 100 − 50 = 50° або 515.
7 2 ⋅ 35 = 14 (кг). 5
516.
3 3 ⋅5 = (кг). 5 25 5
2)
20 5 ⋅ 90 = 50° ; 9
10 5 5 ⋅ (180 − 90 ) = ⋅ 90 = 50° . 9 9
МАТЕМАТИКА
513.
270 1 ⋅ 1080 = 270 (грн.); 4 4 1080 2) = 4 (рази). 270
517. 1)
net
2)
200 2 ⋅ 3000 = 400 (грн.); 15 80 4 ⋅ 400 = 320 (грн.); 5
ov.
518. 1)
3) 3000 + 400 + 320 = 3720 (грн.). 40 1 ⋅ 120 = 40 ; 3
all
60 1 ⋅ 120 = 60 ; 2 60 40 1 1 ⋅ 120 − ⋅ 120 = 60 − 40 = 20 . 3) 60 − 40 = 20 або 3 2
2)
12 b
519. 1)
520.
3 2 3 2\4 3 8−3 5 1 − = − = = = . 5 3 20 5 20 20 20 4 4
521.
3 2 3 2 2\2 1 4 − 1 ⋅ − ⋅ = − = = 0, 3 . 5 3 20 10 3 5 6 10
522. 1)
7 6 7−6 1 1 1 1 ⋅ 14 − ⋅ 12 = = (км) — через год; 2 2 4 42 42
2) 1
7 1 3 3 7 7 ⋅14 − 1 ⋅12 = (14 − 12 ) = ⋅ 2 = =3 . 2 2 4 4 4 42
29 1 1 ( 60 + 56 ) = ⋅ 116 = 29 (км); 4 4 1 2) 85 − 29 = 56 (км) — через год; 4
523. 1) S = t ⋅ ( V1 + V2 ) =
3 3 ⋅ 116 (60 + 56) = 85 − 8 8 3 через год. 8
3) 85 −
29
= 85 −
87 1 1 = 85 − 43 = 41 (км) — 2 2 2
71
10 360 ⋅ 36 = ; 11 11 10 140 SB = ⋅14 = ; 11 11
МАТЕМАТИКА
524. SM =
25 −
360 − 140 220 = 25 − 11 11
20
= 25 − 20 = 5 (км). 5
2⎞ 1 15 49 15 49 ⎛ = ⋅ = = 24, 5 (км). 525. S = ( VK − VT ) ⋅ t = ⎜ 18 − 1 ⎟ ⋅1, 5 = 16 ⋅ ⎝ 3⎠ 3 10 2 3 10 2 1⎞ 3 1 3 53 ⋅ 3 159 ⎛ = = 15, 9 (км); 526. S2 = ( VK + VT ) ⋅ t = ⎜ 24 + 2 ⎟ ⋅ = 26 ⋅ = ⎝ 2⎠ 5 2 5 10 10 1⎞ 1 1\5 1\5 ⎛ S2 = ( VK − VT ) ⋅ t = ⎜ 24 − 2 ⎟ ⋅1 = 21 ⋅1 = 21, 5 ⋅1, 5 = 32, 25 ; ⎝ 2⎠ 2 2 2 S = S1 + S2 = 15, 9 + 32, 25 = 48, 15 (км). 2 x = 0, 35 ⋅ 60 3 2 3 63 x = 21 : = 21 ⋅ = = 31, 5 ; 3 2 2
б)
3 x = 0, 12 ⋅ 0, 5 5 3 x = 0, 06 5 6 3 18 x= ⋅ = = 0, 036 . 100 5 500
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ частини від загального обсягу робіт I, II і III сіва⎬ ⎪ лок відповідно ⎪ ⎪ ⎭
12 b
all
52 x = 2x 26 52 4 II c. − x= x 39 3 III c. − x
528. I c. −
ov.
net
527. а)
2x +
4 x + x =1 3
13 x =1 3 3 x= — III с. 13
4 4 3 4 x= ⋅ = — II с. 3 3 13 13
2x = 2 ⋅
3 6 = — I с. 13 13
2 3 4 3 4 6 ⋅ 26 = ⋅ 39 = ⋅ 52 = 12 (ГОД). 13 13 13 5
529.
20 5 = — частина від загального обсягу робіт, виконана I бригадою. 36 3 9 5 4 = — частина від загального обсягу робіт, виконана II бригадою. 9 9 4 5 ⋅ x = ⋅ 36 = 20 9 9 5 9 4 x = 20 : = 20 ⋅ = 45 (днів). 9 4
1−
72
530. a = x; b = 2x − ? P = ( x + 2x ) ⋅ 2 = 1 3 2 3 x = :6 = 2 1 b = 2− = 4
1 2
531.
3 1 1 ⋅ = (м) 2 62 4 1 (м). 2
15 13 5 13 30 00 1 30 00 1 ⋅6 − ⋅ 2 = 30 ⋅ − 30 ⋅ = 15 ⋅13 − 5 ⋅13 = 13 (15 − 5 ) = 130 . 6 2 2 100 6 100
МАТЕМАТИКА
6x =
2
532. 6 −
124 6 2 6 62 ⋅ 20 = 6 − ⋅ =6− = 6 − 1, 24 = 4, 76 (грн.). 100 100 3 100 3 2
10 2 10 17 34 ⋅3 = ⋅ = = 0, 34 (кг). 100 5 100 5 100
net
533.
5 1 ⋅ = 5, 01 (дм). 100 5 2 2 S2 − S1 = ( 5, 01) − ( 5 ) = 25, 1001 − 25 = 0, 1001 дм2 = 10, 01 см2 .
534. 5 +
)
ov.
(
(
)
175
350 1 350 7 ⋅ 3 = 350 + ⋅ = 350 + 1,75 ⋅7 = 350 + 12, 25 = 362, 25 (грн.); 100 2 100 2
all
535. а) 350 +
70
1820 350 1 350 26 ⋅ 5 = 350 − ⋅ = 350 − = 350 − 18, 20 = 331,8 80 (грн.). 100 100 5 100 5
12 b
б) 350 −
9 7 4 = 36 ⋅ = 63 (см); 7 4 S = 36 ⋅ 63 = 2268 см2 = 22, 68 дм2 .
536. b = 36 :
(
537. a = 49 :
)
(
)
7 5 7 = 49 ⋅ = 35 (см); 5 7
P = ( 49 + 35 ) ⋅ 2 = 168 (см). 1 = 24 ⋅ 5 = 120 (га) — усе поле; 5 120 − 24 = 96 га.
538. 24 :
10 = 1450 (кг) — уся карт. 6 1450 − 870 = 580 (кг).
539. 870 : 0, 6 = 870
145
⋅
3
2⎞ 7 21 9 27 ⎛ 540. 2, 1 : ⎜ 1 − ⎟ = 2, 1 : = ⋅ = = 2, 7 (гр). ⎝ 9⎠ 9 10 7 10
73
541. y — відстань від А до В х — пройдена відстань 2 y 5 y = x + x + 52 , замінимо х
МАТЕМАТИКА
x=
2 2 y + y + 52 5 5 2 2 y − y − y = 52 5 5 1 y = 52 5 1 y = 52 : = 52 ⋅ 5 5 y = 260 (км). y=
542. х — обсяг роботи, виконаної II кухарем
all
ov.
net
3 60 3 x — обсяг роботи, виконаної I кухарем, тому що = 2 40 2 3 x + x = 1 — весь обсяг роботи; 2 5 x =1 2 5 2 x = 1: = — частина II кухаря від загального обсягу робіт; 2 5 8 12 2 3 ⋅ 40 = ⋅ 60 = 24 (хв). 5 5
12 b
543. х — частина об’єму, заповненого II трубою 3 год 3 x — частина об’єму, заповненого I трубою, тому що 2 год 2 3 x + x = 1 — весь об’єм; 2 5 x =1 2 5 2 x = 1: = 2 5 2 3 6 1 ⋅ 3 = ⋅ 2 = год = 1 ( год ) = 1 год 12 хв . 5 5 5 5
544. 110 га — 100%− 12% = 88% 10
110 : 0, 88 = 110 ⋅
100 1000 = = 125 (га). 8 88 8
545. 100 − 36 = 64% 15
74
1 : 0, 64 = 1 ⋅
9 100 =1 (кг). 16 64 16
546. 100 − 88 = 12% 50
100 = 250 (кг). 12 2 50
547. 162 : 0, 12 = 162
27
⋅
100 = 1350 (грн.). 12 2
548. 100 − 40 = 60% — легкові; 10 = 70 → (100 − 30 = 70%) (маш.) 6 10 70 : 0, 7 = 70 ⋅ = 100 (маш.). 7 7
42 : 0, 6 = 42 ⋅
МАТЕМАТИКА
5
30 : 0, 12 = 30 ⋅
549. 100 − ( 40 + 35 ) = 25%→ 90 (га); 4
100 = 360 (га). 25
550. 100 − 15 = 85%→ 850 грн.; 10
100 = 1000 (грн.). 85
ov.
850 : 0, 85 = 850 ⋅
net
90 : 0, 25 = 90 ⋅
551. 1) 180 + 180 ⋅ 0, 2 = 180 + 36 = 216 (грн.);
all
2) 216 − 216 ⋅ 0, 1 = 216 − 21, 6 = 194, 40 (грн.). 552. 6 га → 100 − 30 = 70% \4
100 = 8 (га) — в II день; 75 3 8 + 2 = 10 → 50%
12 b
6; 0, 75 = 6 ⋅
10 ⋅ 2 = 20 (га).
553. х — I і III комбайнери; 0, 4x — II комбайнер; 0, 4x + 28 — III комбайнер; x = 0, 4x + 0, 4x + 28 x − 0, 4x − 0, 4x = 28 0, 2x = 28 x = 28 : 0, 2 = 140 (га) → 100 − 30 = 70% 140 : 0, 7 = 140
554. а) 0, 3 = в)
20
⋅
10 = 200 (га). 7
3\3 9 1\10 10 = < = ; 10 30 3 30
2\4 8 3\3 9 = < = . 3 12 4 12
б) 0, 35 =
35 3\20 60 < = ; 100 5 100
75
555. а)
3\3 2\5 9 + 10 19 4 + = = =1 ; 5 3 15 15 15 41
1 1\100 35\3 100 + 105 205 41 ; + 0, 35 = + = = = 60 3 3 100 300 60 300 \4 \3 2 1 8−3 5 − = = . в) 3 4 2 12
МАТЕМАТИКА
б)
556. а) 2x + 1, 8 = 7, 8
б) 35, 7 − 4x = 0, 1
2, 4x = 7, 8 − 1, 8
4x = 35, 7 − 0, 1 = 35, 6
2, 4x = 6
x = 35, 6 : 4 = 35, 6 ⋅ 5
x = 6 : 2, 4 = 6 ⋅
557.
1 ; 2
1\5 = 0, 5 ; 2
x=
3\25 = 0, 75 ; 4
356 10
89
4 \2 = 0, 8 ; 5
7 \5 = 0, 35 . 20
net
x=2
10 5 = 24 4 2
1 4 1 89 ⋅ = = 8, 9 . 4 10
558. ( 3, 89 + 2, 98 ) − ( 3, 89 − 2, 98 ) = 3, 89 + 2, 98 − 3, 89 + 2, 98 = 5, 96 .
(
)
ov.
559. ( 0, 2 + 0, 3 ) − 0, 22 + 0, 32 = 0, 5 − ( 0, 04 + 0, 09 ) = 0, 5 − 0, 13 = 0, 37 .
(
)
560. (1, 5 + 0, 6 ) − 1, 52 + 0, 62 = 2, 12 − ( 2, 25 + 0, 36 ) = 4, 41 − 2, 61 = 1, 8 .
all
2
(
)
561. S1 = 1, 52 = 2, 25 см2 ;
(
S2 = 15 = 225 см
2
);
12 b
2
S2 2, 25 = = 100 (разів). S1 2, 25
§ 15. Перетворення звичайних дробів у десяткові
5 1 = ; 10 2 12 6 1 1, 2 = = =1 ; 10 5 5
565. 0, 5 =
3, 08 = 3
566.
76
8 2 =3 ; 100 25
13 ; 100 75\3 3 2, 75 = 2 =2 ; 100\4 4 0, 13 =
11, 11 = 11
39 ; 100 3 12, 3 = 12 ; 10 0, 39 =
11 . 100
3 = 0, 3 ; 10
17 = 1, 7 ; 10
9 = 0, 09 ; 100
103 = 1, 03 ; 100
5 = 0, 005 ; 1000
7 \5 = 0, 35 ; 20
3 = 0, 06 ; 30
17\2 = 0, 34 . 50
1\5 = 0, 5 ; 2
2\2 = 0, 4 ; 5
3 = 0, 6 ; 5
3\5 = 1, 5 ; 2
7 \5 = 3, 5 ; 2
2 1\5 = = 0, 5 ; 4 2
15 = 0, 6 ; 25
18 3\5 = = 1, 5 ; 2 12 2
3
10\7 = 0, 4 ; 25
4 1 = = 0, 5 . 82 2
2
1 = 2, 2 ; 5
3
2\2 = 3, 4 ; 5
1
3\25 = 1, 75 ; 4
4
1\4 = 4, 04 ; 25
1
3 = 1, 0 ( 54 ) ; 55
5
1\125 = 5, 125 ; 8
7
3\125 = 7, 375 . 8 2
6 2\2 = = 0, 4 ; 5 15 5
9 1 = = 0, 5 ; 18 2 2
9 3\5 = = 1, 5 ; 2 62
5
\3
в)
2
1\25 + 0, 75 = 0, 25 + 0, 75 = 1 ; 4
2
1 3 = 2 = 2, 5 . 2 62
3\2 + 0, 4 = 0, 6 + 0, 4 = 1 ; 5
1 + 0, 8 = 0, 2 + 0, 8 = 1 . 5
1\5 − 0, 5 = 3, 5 − 0, 5 = 3 ; 2 1\2 = 5, 3 − 2, 2 = 3, 1 . в) 5, 3 − 2 5
571. а) 3
572. а)
б)
6
18 6 \2 = = 1, 2 ; 5 15 5
14 2\2 = = 0, 4 ; 5 35 5
12 b
45 5\25 = = 1, 25 ; 4 36 4
570. а)
3
9 3\25 = = 0, 75 ; 4 12 2
ov.
3 1\5 = = 0, 5 ; 2 62
all
569.
net
1 = 1, 5 ; 2
568. 1
МАТЕМАТИКА
567.
7 \5 + 1, 05 = 0, 35 + 1, 05 = 1, 4 ; 20
573. a = 2
б) 4
2\2 − 0, 2 = 4, 4 − 0, 2 = 4, 2 ; 3
б) 2, 4 −
3\4 = 2, 4 − 0, 12 = 2, 28 . 25
1\25 − 1, 5 = 2, 25 − 1, 5 = 0, 75 (м); 4
P = ( a + b ) ⋅ 2 = ( 0, 75 + 2, 25 ) ⋅ 2 = 6 (м).
77
3\2 ⎛ км ⎞ = 27, 5 + 2, 6 = 30, 1 ⎜ ; ⎝ год ⎟⎠ 5 км ⎛ ⎞ V1 = VК − VТ = 27, 5 − 2, 6 = 24, 9 ⎜ . ⎝ год ⎟⎠
⎛ 3\2 ⎞ : 2 = ( 3, 4 + 0, 6 ) : 2 = 4 : 2 = 2 ; 575. а) ⎜ 3, 4 + 5 ⎟⎠ ⎝ ⎛ 9\2 ⎞ б) ⎜ 0, 02 + : 2 = ( 0, 02 + 0, 18 ) : 2 = 0, 2 : 2 = 0, 1 . 50 ⎟⎠ ⎝
576. а) 3 в)
577. а)
б) 12
1\625 = 12, 0625 ; 16
126\8 = 1, 008 ; 125
г)
17\3125 = 0, 53125 . 32
4 = 0, 2 ( 6 ) ; 15
б)
11 = 0, 91 ( 6 ) ; 12
25 = 1, 041 ( 6 ) ; 24
г) 1
1 = 1, 0 ( 5 ) . 18
ov.
в)
7 \4 = 3, 28 ; 25
net
МАТЕМАТИКА
574. V1 = VК + VТ = 27, 5 + 2
all
⎛ 3\25 ⎞ 578. а) ⎜ 1 + 2, 25⎟ : 2 = (1, 75 + 2, 25 ) : 2 = 4 : 2 = 2 ; ⎝ 4 ⎠
12 b
⎛ 1\125 ⎞ 3\25 б) ⎜ 2 +3 + 5, 125⎟ : 2 = ( 2, 125 + 3, 75 + 5, 125 ) : 2 = 11 : 2 = 5, 5 . 8 4 ⎝ ⎠ ⎛ 1\25 ⎞ : 2 = ( 4, 25 + 2, 25 ) : 2 = 6, 5 : 2 = 3, 25 ; 579. а) ⎜ 4, 25 + 2 4 ⎟⎠ ⎝ ⎛ 2\2 ⎞ 3\5 б) ⎜ 3 +2 + 1, 15⎟ : 3 = ( 3, 4 + 2, 15 + 1, 15 ) : 3 = 6, 7 : 3 = 2, 2333... . 20 ⎝ 5 ⎠ ⎛ 7\125 ⎞ 580. ⎜ 3 + 2, 25⎟ = ( 3, 875 + 2, 25 ) = 6, 125 8 ⎝ ⎠ ⎛ 7\125 ⎞ ⎜⎝ 3 8 − 2, 25⎟⎠ : 2 = ( 3, 875 − 2, 25 ) : 2 = 1, 625 : 2 = 0, 8125 6, 125 − 0, 8125 = 5, 3125 . 581. I ч − x II ч − x + 0, 5
78
x + x + 0, 5 = 3
5 6
1 5\5 5\3 25 − 15 10 − = 3+ = 3+ =3 3 6 10 30 30 3 10 10 1 10 x= :2 = ⋅ = 3 3 2 6 x + 0, 5 =
1 10\5 5\3 50 + 15 65 5 + = = =2 =2 . 6 6 10 30 30 30 6 17
2 51 2 17 2 = ⋅ = ( км ) = 3 5 ( км ) ; 3 5 3 5 10 3 2 3\5 2\4 15 − 8 7 \5 S2 = S − S1 = 9 − 3 = 9 − 3 + − =6+ =6 = 6, 35 (км); 20 4 5 4 5 20 7 2 127 3 381 V2 = S2 : t = 6 : = ⋅ = = 9, 525 (км/год). 20 3 20 2 40
582. S1 = V1 ⋅ t = 5, 1 ⋅
4 ; 9 7 21 7 в) 0, (21) = = ; 99 33 33
МАТЕМАТИКА
2x = 3
8 ; 9 1 1 3 г) 8, 0(3) = 8 =8 . 30 90 30
583. а) 0, ( 4 ) =
net
б) 3, (8) = 3
ov.
584. ( 3, 7 − 1, 5 ) : 4, 4 = 2, 2 : 4, 4 = 0, 5 < 16 − 1, 32 16 − 1, 32 = 16 − 1, 69 = 14, 31 .
б) 43 − 2, 4x = 13
all
585. а) 2, 5x = 4, 8
x = 4, 8 : 2, 5 48\4 x= = 1, 92 ; 25
12 b
2, 4x = 43 − 13
в) x : 2, 5 = 1, 4
x = 30 : 2, 4 5
x = 30 ⋅
10 50 = = 12, 5 ; 4 24 4
x = 1, 4 ⋅ 2, 5 7
x=
5
14 25 35 ⋅ = 10 2 10 5 10
x = 3, 5 . 586. 4 +
1 1 = 4 = 4, 25 4 4
0, 25 + 1 : 0, 25 = 0, 25 +
4
100 = 4, 25 . 25
587. a = b = x ; c = x + 3 P = 2x + ( x + 3 ) = 63 3x = 63 − 3 = 60 ; x = 60 : 3 = 20 (см); с = 20 + 3 = 23 (см).
79
588. a = b = x + 5 ; c = x P = ( x + 5 ) ⋅ 2 + x = 40 2x + 10 + x = 40
МАТЕМАТИКА
3x = 40 − 10 = 30 x = 30 : 3 = 10 (cм) a = b = 10 + 5 = 15 (см). 589. α = β + γ → α − γ = β α = γ + 30 → α − γ = 30o β = 30o
( 30 + γ ) + 30 + γ = 180 2γ + 60 = 180 2γ = 180 − 60 = 120 γ = 120 : 2 = 60o α = 30 + 60 = 90o .
net
590. 1500 − 0, 1 ⋅1500 = 1500 − 150 = 1350 (грн.).
ov.
591. 12 годин.
§ 16. Наближені значення і дії з ними
595. а)
9 = 0, 818 . 11
3 = 0, 38 ; 8
all
9 = 0, 82 ; 11
б)
5 = 0, 45 ; 11
12 b
594.
596. а) 3, 5 +
в) 1
5 = 1, 56 ; 9
г) 8
1 = 8, 08 . 12
2 = 3, 5 + 0, 67 = 4, 17 ; 3
12 − 0, 235 = 0, 8 − 0, 235 = 0, 57 ; 15 4 в) 3, 7 + = 3, 7 + 0, 44 = 4, 14 . 9 б)
597. а) 6, 7569 +
5 = 6, 757 + 0, 833 = 7, 59 ; 6
1 − 0, 3747 = 2, 333 − 0, 375 = 1, 958 ; 3 3 в) 3, 1807 − 1 = 3, 181 − 1, 176 = 2, 005 . 17 б) 2
598. а) 32, 5 + 9, 437 = 41, 9 ;
б) 0, 234 + 1, 72 = 1, 95 .
599. 34, 256 − 21, 8 = 12, 5 . 600. а) 2, 31 + 1, 407 = 3, 72
80
б) 5, 321 + 0, 04 = 5, 36
2, 31 ⋅1, 407 = 3, 25
5, 321 ⋅ 0, 04 = 0, 21
2, 31 : 1, 407 = 1, 64 ;
5, 321 : 0, 04 = 133, 03 ;
в) 127, 5 + 0, 012 = 127, 5 127, 5 ⋅ 0, 012 = 1, 5 601. а) P = ( 3, 41 + 2, 85 ) ⋅ 2 = 6, 26 ⋅ 2 = 12, 52 (м); S = 3, 41 ⋅ 2, 85 = 9, 72 (м2); б) P = ( 5, 8 + 4, 25 ) ⋅ 2 = 10, 05 ⋅ 2 = 20, 1 (дм) S = 5, 8 ⋅ 4, 25 = 24, 7 (дм2). 602. P = ( 2, 85 + 4, 35 ) ⋅ 2 = 7, 2 ⋅ 2 = 14, 4 (см); S = 2, 85 ⋅ 4, 35 = 12, 4 (см2). 603. а) 6x = 19
МАТЕМАТИКА
127, 5 : 0, 012 = 10 625 .
б) 11y = 5
19 x= = 3, 17 ; 6
y=
в) 12c = 7 7 c= = 0, 58 ; 12
5 = 0, 45 ; 11
г) 0, 6x = 1, 3
net
x = 1, 3 : 0, 6 = 2, 17 .
604. Розмір підручника: a ⋅ b = 14, 6 см ⋅ 22, 1 см, h = 2 см
ov.
S = 14, 6 ⋅ 22, 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 22, 1 = 645, 32 + 44, 2 = 689, 5 (см2). 605. а) 8, 3 ⋅ 2, 83 − 4 = 23, 489 − 4 = 19, 489 ;
all
б) 0, 28 ⋅1, 04 + 0, 3 = 0, 2912 + 0, 3 = 0, 5912 ;
12 b
в) 15, 7 ⋅ 3, 24 − 2, 1 = 50, 868 − 2, 1 = 48, 768 . 606. а) від 1 до 17 включно;
б) від 4 до 12 включно. 607. а) 0, 35 ⋅ 34 = 119 (км);
б) 0, 35 ⋅ 86 = 30, 1 (кг);
в) 0, 35 ⋅ 320 = 112 (га); г) 0, 35 ⋅ 83, 4 = 29, 19 (грн.).
608. а) x + 2 x = 90 3x = 90
б) x + 0, 5x = 90 1, 5x = 90
x = 90 : 3 = 30o − α
x = 90 : 1, 5 = 60o − α
2x = 30 ⋅ 2 = 60 − β ;
0, 5x = 0, 5 ⋅ 60 = 30o − β .
o
609. Якщо одна сторона поля a = x , то друга — b = 2x . P = ( x + 2x ) ⋅ 2 = 0, 6 6x = 0, 6 x = 0, 6 : 6 x = 0, 1 (км) 2x = 0, 1 ⋅ 2 = 0, 2 (км)
(
)
S = 0, 1 ⋅ 0, 2 = 0, 02 км2 = 2 ( га ) .
81
Самостійна робота № 3 Варіант 1 2
МАТЕМАТИКА
1.
а)
3
2 6 8 1 ⋅ = =1 ; 7 7 3 7
б) 1
4 3 32\3 1\5 96 − 5 91 1 ⋅ = − = = =3 . 10 6 30 30 30 93 82
в) 3, 2 −
2 x = 46 3
2. a)
2 7 7 15 : = ⋅ =3 ; 5 15 5 7
x = 46 :
б) 1 − 23 3 2 = 46 ⋅ 3 2
x = 0, 5 5
x 5 = 1 − 0, 5 = 0, 5 = 5 10 5 25 x= ⋅5 = = 2, 5 . 10 10
x = 69 ;
3.
150 2 ⋅ 450 = 300 ; 3
4.
3 3 10 6 3 : 0, 8 = ⋅ = = . 5 8 8 4 5
0, 15 ⋅ 480 = 72 ;
300 − 72 = 228 .
a−x −2
2 5
x = 4x − 4 ⋅ 2, 4 4x − x = 9, 6
all
⎛ 2\2 ⎞ x = 4⎜x −2 5 ⎟⎠ ⎝
ov.
P−x
5.
net
2
12 b
x = 9, 6 : 3 = 3, 2 (м);
a = 3, 2 − 2, 4 = 0, 8 (м);
S = 0, 8 ⋅ 0, 8 = 0, 64 (м2).
Варіант 2 2
1.
а)
3 8 2 ⋅ = ; 4 93 3
в) 2, 4 −
2. а)
82
1 7 7 9 : = ⋅ =3; 3 9 3 7
3 2 24 3 5 24 3\5 24 − 15 : = − ⋅ = − = = 0, 9 ; 5 5 10 5 2 10 2 10
3 x = 18 4 6 4 3 x = 18 : = 18 ⋅ 4 3 x = 24 ;
3.
3
б) 2
0, 45 ⋅120 = 54
б) 1, 3 −
x =1 5
x = 1, 3 − 1 = 0, 3 5 3 15 x= ⋅5 = = 1, 5 . 10 10 30 1 ⋅ 210 = 30 7
54 − 30 = 24 .
2
4.
1 1 100 4 2 : 0, 75 = ⋅ = . 2 3 2 75 3
5.
P−x 1 4
МАТЕМАТИКА
a−x −2
1⎞ ⎛ x = 4⎜x −2 ⎟ ⎝ 4⎠ x = 4x − 4 ⋅
9 4
3x = 9 9 = 3 (м) 3 1 3 a = 3−2 = (м) 4 4 x=
3 4 9 ⋅ = (м2). 4 3 16
net
S=
Варіант 3 а) 1, 2 ⋅
3
5 12 5 3 = ⋅ = ; 8 10 2 8 2 4
2
3 21 4 6 1 = ⋅ = =1 ; 4 10 5 7 5 5
ov.
3
1.
б) 2, 1 : 1
3
3 1 x+ =2 8 3
12 b
2. а)
all
1 2 7 1 2 15 1\7 6\2 7 + 12 19 5 + : = + ⋅ = + = = =1 . 2 5 15 2 5 7 2 7 14 14 14
в)
3 1 x = 2 −1 8 3 2 3 x =1 : 3 8 5 8 40 x= ⋅ = 3 3 9 4 x=4 ; 9 3.
13 39 3 ⋅ 260 = = 1, 95 20 400 20
б)
1 (x − 2) = 0, 5 3
x−2 =
x = 1, 5 + 2 x = 3, 5 .
1, 2 ⋅ 2, 4 = 2, 88
4.
1 1 1 1 10 1 1 :3 ⋅ = : ⋅ = ⋅ 30 = 15 . 2 3 100 2 3 100 10 2
5.
a=2 S=
5 1 5 : = ⋅ 3 = 1, 5 10 3 10
2, 88 − 1, 95 = 0, 93 .
5 2 17 3 17 : = ⋅ = (м); 6 3 62 2 4
17 17 289 1 ⋅ = = 12 (м2). 6 4 24 24
83
Варіант 4 2
1.
2
6 20 14 а) 2 ⋅1, 4 = ⋅ =4; 7 7 10
МАТЕМАТИКА
5
б) 5
1 11 10 5 : 2, 2 = ⋅ = = 2, 5 ; 2 2 22 2 2 2
в)
5 3 13 5 3 14 5\3 2\3 15 − 8 7 − :1 = − ⋅ = − = = . 12 7 14 12 7 27 9 12 9 36 36 1 ; 8 \125 1 1, 25x = 3 8
2. а) 1, 25x − 3 =
б)
3 (x + 2) = 2, 4 4 24 3 x+2= : 10 4 8
24 4 ⋅ = 3, 2 10 3 x = 3, 2 − 2 = 1, 2 .
x+2=
x = 3, 125 : 1, 25 x = 2, 5 ;
net
2
3 1 3 10 ⋅3 = =2 5 3 5 3
3.
0, 035 ⋅ 32 = 1, 12
4.
6 2 1 6 8 6 300 12 \3 :2 ⋅ = : = ⋅ =9 . 25 3 100 25 300 25 1 84
5.
b=3
2
all
1 5 10 4 8 : = ⋅ = (м); 3 4 3 5 3
10 8 80 8 ⋅ = =8 (м2). 3 3 9 9
12 b
S=
ov.
3
2 − 1, 12 = 0, 88 .
Завдання в тестовій формі
1.
г)
4. в)
7. б)
2.
б)
5. а)
8. в)
3.
г)
6. в)
9. в)
Типові задачі 1.
а)
3 5 15 ⋅ = ; 4 7 28
б)
3 7 3 9 27 : = ⋅ = ; 4 9 4 7 28
2.
а)
1\25 = 0, 25 ; 4
б)
21\2 42 = = 4, 2 . 5 10
3.
84
30 3 ⋅ 120 = 90 . 4
3 4 3 3 1 x = :3 = ⋅ 4 4 3 1 x= ; 4
а) 3x =
б)
3 x = 15 5 5 5 3 x = 15 : = 15 ⋅ 5 3 x = 25 .
МАТЕМАТИКА
4.
25 5 2 = 50 ⋅ = 125 (грн). 5 2
5.
50 :
6.
а) 4
7.
а) 12
8.
v2 = v1 : 70% = 9
2
1 3 17 8 2 :6 = = ; 4 8 4 51 3 3 8 3 27 б) 3 ⋅ 64 = ⋅ 64 = 216 . 8 8 4
2 2 7 8 2 2 116 9 :3 − 3 = ⋅ −3 = 4−3 = ; 9 9 9 9 9 9 9 29 3 7 ⎛ 7\5 6\2 ⎞ 30 35 − 12 30 23 30 3 1 ⎛ 3 ⎞ б) ⎜ 1 − 0, 6 ⎟ ⋅1 =⎜ − ⋅ = =1 . ⋅ = ⋅ = = ⎟ ⎝ 4 ⎠ 23 ⎝ 4 10 ⎠ 23 20 23 2 2 20 2 23 4
ov.
net
1 28 10 40 : 0, 7 = ⋅ = ; 3 3 3 7 17 S 3 17 ⎛ 40 28 ⎞ 34 t= = 3, 4 : ⎜ − = ⋅ = (ч). ⎝ 3 v2 − v1 3 ⎟⎠ 10 12 6 2 20
all
Розділ 3. Відношення і пропорції § 17. Відношення
614. а) 3 : 5 ;
12 b
б) 12 : 7 ;
2 ; 7 6 7 6 10 6 : = ⋅ = ; в) 10 10 10 7 7
615. а)
616. а)
204 60
17 5
2002 в) 77 1
=
=
1 2 : . 3 5
13 ; 9 3 7 7 г) 1 : = 1 ⋅ = . 7 3 3
б)
б)
260 5 = ; 104 2 2
26 = 26 . 1
617. а) 0, 5 : 0, 4 = 1, 25 ;
618. а)
г)
5
17 ; 5
26
в) 0, 5 : 2, 5 ;
б) 0, 7 : 3, 5 = 0, 2 ;
1 1 1 5 : = ⋅5 = ; 2 5 2 2
б)
в) 4, 5 : 0, 15 = 30 .
5 5 1 5 : = ⋅3 = ; 2 6 3 62
5
в) 2
1 13 10 5 : 1, 3 = ⋅ = . 6 3 6 3 13
85
3 ; 4 7 1 = . в) 7 г : 140 г = 140 20 20
МАТЕМАТИКА
619. а) 3 км : 4 км =
б) 15 кг : 45 кг =
26
34 1 = ; 102 3 3
620. а) 34 : 102 =
б) 130 : 225 =
130 26 = ; 225 45 45
г) 101 : 505 =
101 1 = . 505 5 5
14
в) 224 : 48 =
224 14 = ; 3 48 3
621. а) 0, 2 : 0, 9 = 2 : 9 ; в) 3, 2 :
б)
1\5 32 5 = : = 32 : 5 ; 2 10 10
622. а) 0, 05 : 0, 25 = 5 : 25 ;
г) 2
1 3\3 1\10 9 10 = : = : = 9 : 10 ; 3 10 3 30 30
1 3 4 = : = 3:4 . 3 3 3
623. а) 1, 2 : 24 =
12 24\10 : = 12 : 240 = 1 : 20 ; 10 1
7\7 8\8 49 64 : = : = 49 : 64 ; 8 7 56 56
в)
2\2 4 2 : 0, 2 = : = 4 : 2 = 2 :1 ; 5 10 10
12 b
б)
г) 3
2 2 17\3 17\5 51 85 :5 = : = : = 51 : 85 = 3 : 5 . 5 3 5 3 15 15
624. а) 4 : 5 = б)
4 5 < 5:6 = ; 5 6
1 1 3 1 1 1 4 1 : = =1 > : = =1 . 2 3 2 2 3 4 3 3
625. а) 3 м : 2 м =
3 1 = 1 = 1, 5 ; 2 2
б) 1 м : 44 дм = 10 дм : 4 дм = 10:4 =
86
3\3 4 9 4 : = : = 9:4 ; 5 15 15 15
net
б)
1 5 7\2 5 14 5 : = : = : = 14 : 5 . 3 6 3 6 6 6
all
г) 1 : 1
1\3 2\2 3 4 : = : = 3:4 ; 2 3 6 6
ov.
в) 0, 3 :
15 1 = ; 45 3 3
10 = 2, 5 ; 4
в) 700 г : 3,5 кг = 700 г : 3500 г = 700:3500 =
700 1 = = 0, 2 ; 3500 5
г) 10 м2 : 5 м = 2 м; ґ) 3 см2 : 0,6 см2 = 5 см;
626. AB = AC + CB = 2 + 3 = 5 а) AC : AB = 2 : 5 =
2 = 0, 4 ; 5
627. a + b = 120 a а) = 2 ; a = 2b b
б) CB : AB = 3 : 5 =
б)
a = 0, 5 ; a = 0, 5b b
2b + b = 120
0, 5b + b = 120
3b = 120
1, 5b = 120
b = 120 : 3 = 40
b = 120 : 1, 5 = 80
a = 2 ⋅ 40 = 80 ;
a = 0, 5 ⋅ 80 = 40 ; a 40 = = 0, 5 ; b 80
г)
4 a 4 =3 ; a=3 b 5 b 5 4 3 b + b = 120 5 4 4 b = 120 5 5 5 4 b = 120 : 4 = 120 = 25 5 24 5 4 19 25 = 95 a = 3 ⋅ 25 = 5 5
12 b
all
ov.
2 a 2 = ; a= b 3 b 3 2 b + b = 120 3 2 1 b = 120 3 24 3 2 b = 120 : 1 = 120 = 72 3 51 24 2 a = ⋅ 72 = 48 3
net
a 80 = =2; b 40 в)
3 = 0, 6 . 5
МАТЕМАТИКА
д) 5 км : 0,5 год = 10 км/год.
2
a 48 2 = = ; b 72 3 3
19
a 95 19 4 = = =3 . b 5 5 25 5
628. 12 + 18 = 30 (учнів) 2
а)
12 2 = ; 30 5 5
б)
18 3 = ; 30 5
2
в)
12 2 = . 18 3 3
629. 1 : 4 000 000 = 11 : 44 000 000 = 440 км. 630. 6 см : 300 км = 6 см : 30 000 000 см = 1 см : 5 000 000 см = 1 : 5 000 000. 631. a = 2, 8 см; b = 4, 8 см 1 : 2000 = 2,8 : 5600 = 2,8 см : 56 м 1 : 2000 = 4,8 : 9600 = 4,8 см : 96 м S = 56 ⋅ 96 = 5376 (м2).
87
МАТЕМАТИКА
632. 1 : 500 000 5 0
5
10
15
20 км
633. 1 см : 80 км = 1 см : 8 000 000 см = 1 : 8 000 000. 634. 0, 02 ⋅ 2400 = 48 ; 0, 05 ⋅ 2400 = 120 ; 0, 1 ⋅ 2400 = 240 ; 0, 4 ⋅ 2400 = 960 ; 1, 2 ⋅ 2400 = 2880 . 635. а) 3, 27 ⋅12, 5 − 3, 27 ⋅ 2, 5 − 32, 7 = = 3, 27(12, 5 − 2, 5) − 32, 7 = 3, 27 ⋅10 − 32, 7 = = 32, 7 − 32, 7 = 0 ; б) (56, 2 ⋅ 35, 4 + 43, 8 ⋅ 35, 4) : 354 =
net
= 35, 4 ⋅ (56, 2 + 43, 8) : 354 = 35, 4 ⋅100 : 354 = = 3540 : 354 = 10 .
1 5 1\2 3x = 12, 7 − = 12, 7 − 0, 2 5
б) 12, 7 − 3x =
ov.
2 1 x + 4, 5 = 6 3 2 2 1\5 x=6 − 4, 5 = 6, 5 − 4, 5 = 2 3 2 2 3 x = 2: = 2 ⋅ = 3 3 2
12 b
x=3 ;
all
636. а)
3x = 12, 5 5
x = 12, 5 : 3 = x=
5 . 12
125 1 125 ⋅ = 100 3 300 12
637. S = Vм ⋅ tм = 40 ⋅ 3 = 120 (км); tab =
S = 120 ⋅ 60 = 2 (год). Vab
§ 18. Імовірність випадкової події 644. а)
2 1 = ; 4 2
645. а)
6 2 = ; 27 9
г) 0;
646.
88
2 1 = . 28 14
б)
12 4 = ; 27 9 1 ; ґ) 27
б)
1 . 4 в)
8 ; 27
д) 0.
10 1 = . 250 25
648. а) 1;
649. а)
б)
2 1 = ; 28 14
650. P ( A ) =
б)
3 ; 28
в)
в)
1 ; 28
2 . 5
г) 0.
1 2 = → 6 − 2 = 4 (синіх граней). 3 6
651. 20 − 6 = 14 → P ( A ) = 652.
1 ; 5
МАТЕМАТИКА
647.
14 . 20
1 1 1\3 1\2 3 − 2 1 1 1 − = = . + + x = 1 ; x = 1− − = 2 3 2 3 6 6 2 3 1 . 12
net
653. 2 ⋅ 3 ⋅ 2 = 12 → P ( A ) =
2007 3 669 3 223 223 1
ov.
655. 2006 2 1003 17 59 59 1
2008 1004 504 251 1
2 2 2 251
all
НСД (2006, 2007, 2008) = 1.
НСД (2006, 2007, 2008) = 2006 · 2007 · 2008
12 b
656. Від 10 до 99 → 90
10 + 11 +…+ 98 + 99 = 4905 .
657. 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 24 подальше множення на 5, 10, 15, 20 і т. д. додає до закінчення числа нулі, тому останніх 20 цифр — нулі. 658. 12 ⋅ 30 ⋅ 7 = 2520 НСК ( 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ) = 23 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 = 2520 . Вірно. 659. Андрій з Вінниці; Борис із Гайсина; Віктор з Донецька.
§ 19. Пропорції 663. а) 3 : 5 і 6 : 20 6 ⋅ 5 ≠ 20 ⋅ 3 664.
б) 7 : 6 і 3, 5 : 3 3, 5 ⋅ 6 = 3 ⋅ 7 = 21 .
45 3 = : 45 ⋅ 7 = 3 ⋅105 = 315 . Крайні члени: 45 і 7. 105 7
89
665. 2 : 3 = 4 : 5 → 2 ⋅ 5 ≠ 3 ⋅ 4 . 666. а) 7 : 3 = 21 : 9 ; 7 ⋅ 9 = 21 ⋅ 3 = 63 ; б) 12 : 4 = 15 : 5 ; 12 ⋅ 5 = 15 ⋅ 4 = 60 ;
МАТЕМАТИКА
в) 1 : 6 = 2 : 3 ; 1 ⋅ 3 ≠ 6 ⋅ 2 ; 8 12 = ; 8 ⋅ 9 = 6 ⋅12 = 72 ; 6 9 4 6 = ; 4 ⋅ 9 = 6 ⋅ 6 = 36 ; ґ) 6 9
г)
д)
7 13 = ; 7 ⋅ 7 ≠ 3 ⋅13 . 3 7
7 x 7 8 9 x 9 8 = ; = ; = ; = . 8 9 x 9 8 7 x 7
668.
7 28 8 6 5 20 = ; = ; = . 3 12 4 3 6 24
669.
9 6 2 6 9 6 2 3 9 3 = ; = ; = ; = ; 6:6 = 3: ; 2: = 9:9 . 3 3 3 9 3 2 6 9 6 2
671. а)
2 4 = ; 3 6
672. а)
x 20 = 7 35 x=
в)
в)
90
5 x = 8 3 x=
4 6 = . 6 9
б)
3 5 = x 15 x=
г)
2 ⋅18 =4; 9
x 1 = 5 8 5 x= ; 8
15 7 =1 ; 8 8
7 21 = . 4 12
б)
7 ⋅ 20 =4 ; 35
9 18 = 2 x x=
673. а)
б)
all
3 6 = ; 5 10
12 b
670. а)
ov.
net
667.
2 x = 3 12 x=
б)
г)
3 ⋅15 =9; 5
12 ⋅ 2 =8. 3
3 2 = x 7 21 x= = 10, 5 ; 2 7 5 = 3 x x=
15 1 =2 . 7 7
б)
x = 21 ; x 2 = ; 6 3
676.
x 15 = ; 18 9
в)
678. а)
18 ⋅15 = 30 . 9
б)
3 6 = 4 5x
г)
6 ⋅ 4 24 8 3 = = =1 ; 3 ⋅ 5 15 5 5
4x =8 3 24 x= =6 ; 4
5 1 = 3x 6 5⋅6 x= = 10 ; 3 1 2x = 2 3 x=
б)
x −1 5 = 2 6 10 5 x −1 = = 6 3 2 2 x = 1 +1 = 2 ; 3 3
12 b
в)
x=
x 5
x = 8 ⋅ 5 = 40 .
6⋅2 =4. 3
2x 7 = 3 5 3 ⋅ 7 21 x= = = 2, 1 ; 5 ⋅ 2 10
x=
г) 8 =
3 . 4
1 =5 2x 1 x= = 0, 1 ; 10
ov.
677. а)
x=
4 x 4 x= ; 9
в) 9 =
net
675.
15 =3 x 15 x= =5 ; 3
МАТЕМАТИКА
x =7 3
all
674. а)
г)
1 = 0, 1 x+3
x + 3 = 10 x = 10 − 3 = 7 .
679. 32 : 27 = 64 : 54 32 27 64 54 : = : 3 3 4 4 32 3 64 4 ⋅ = ⋅ 3 27 4 54 32 64 = — залишиться вірною. 27 54
680. 4 : 6 = 10 : 15 4 ⋅ 7 10 ⋅ 7 = 6 15 4 ⋅ 7 ⋅15 = 6 ⋅10 ⋅ 7 — залишиться вірною.
91
681. P1 = 5x ⋅ 4 = 20x ;
P2 = 6x ⋅ 4 = 24x
S1 = ( 5x ) = 25x ;
МАТЕМАТИКА
2
2
x 5 AB 5 = , тому що = , 60 3 BC 3 x=
683.
2
S1 25 52 = = . S2 36 62
P1 20 5 = = ; P2 24 6 682.
S2 = ( 6x ) = 36x2
60 ⋅ 5 = 100 (км). 3
3⋅3 = 4, 5 . 2 AB KL Тому що BC = AD , LP = KT → = ; AD KT AB AD AB ⋅ KT = AD ⋅ KT ; = ; AB ⋅ KT = AD ⋅ KL , KL KT AB KL 3 x = ; = BC LP 2 3
x=
am cm = b d
б)
amd = cmb
a c = bm dm
adm = cbm
m ( ad ) = m ( cb ) ;
ov.
684. а)
net
значить пропорція вірна.
m ( ad ) = m ( c ⋅ b ) .
25 85 = ; 85 x
x=
85 ⋅ 85 = 289 (м). 25
12 b
685.
all
Вірно для обох пропорцій.
686. P = ( 2, 5 + 3, 6 ) ⋅ 2, 5 = 12, 2 ⋅ 5 = 61 (см).
S = ( 2, 5 ⋅ 3, 6 − 0, 8 ⋅ 0, 8 ) ⋅ 5 = ( 9 − 0, 64 ) ⋅ 5 = 8, 36 ⋅ 5 = 41, 8 (см2).
687. а) б)
2 8 2 + 3 8 + 12 5 20 = ; = ; = ; 5 ⋅12 = 3 ⋅ 20 = 60 ; 3 12 3 12 3 12 6 3 6 6 + 16 6 22 = ; = ; = ; 3 ⋅ 22 = 6 ⋅11 = 66 . 16 8 3 3+8 3 11
Доведення: a+b c+d a b c d a c a c a c = ; + = + ; +1 = +1 ; +1−1= ; = ; b d b b d d b d b d b d a a+b = ; a (c + d) = c (a + b) б) c c+d
а)
ac + ad = ac + cb ad = ac + cb − ac
92
ad = cb →
a c = b d
a−b c−d = b d a b c d a c − = − ; −1 = −1 b b d d b d a c a c −1+1 = ; = . b d b d
689. а) 45, 3 ⋅ 99 + 453 : 10 = 45, 3 ⋅ 99 + 45, 3 = 45, 3 ( 99 + 1) = 45, 3 ⋅100 = 4530 ; б) 2002 : ( 3, 7 − 3 ) − 110 ⋅1, 3 = 2002 : 0, 7 − 110 ⋅1, 3 =
10 10 ⎛ ⎞ − 110 ⋅1, 3 = 110 ⎜ 18, 2 ⋅ − 1, 3⎟ = ⎝ ⎠ 7 7 ⎛ 182 26 10 ⎞ = 110 ⎜ ⋅ − 1, 3⎟ = 110 ( 26 − 1, 3 ) = 110 ⋅ 24, 7 = 2717 . 7 ⎝ 10 ⎠ = 2002 ⋅
690. 5 +
МАТЕМАТИКА
688.
1 1 1 10 = 5 = 5, 2 = 0, 2 + = 0, 2 + = 5, 2 . 5 5 0, 2 2
net
691. 35, 2 ⋅1, 4 + 64, 8 ⋅1, 4 = 1, 4 ( 35, 2 + 64, 8 ) = 1, 4 ⋅100 = 140 . 692. a = b = 3c = 3 ⋅ 2, 5 = 7, 5 (см);
ov.
P = 2 ⋅ 7, 5 + 2, 5 = 17, 5 (см).
P − 2a 15 − 2 ⋅ 3, 5 = = 4 (см); S = a ⋅ b = 3, 5 ⋅ 4 = 14 (см2). 2 2
694. x −
3 3 5\5 3\8 ⎛ 25 − 24 ⎞ x = 2250 ; x − x = 2250 ; x− x = 2250 ; ⎜ ⎝ 40 ⎟⎠ 8 5 8 5
12 b
all
693. b =
1 1 = 2250 ⋅ 40 ; x = 90 000 (грн). x = 2250 ; x = 2250 : 40 40
§ 20. Відсоткове відношення 698. а)
7 \5 35 = = 35 % ; 20 100 5
б)
2 8 2 15 5\25 125 : = ⋅ = = = 125 % ; 3 15 3 8 4 4 100
в)
2 5 2 26 4\20 80 : = ⋅ = = = 80 % ; 13 26 15 5 5 100
2
г) 1
1 1 3 5 5 :1 = ⋅ = = 125 % . 2 5 2 62 4
699. а)
3\20 см 60 = = 60 % ; 5 см 100
б)
2 см 2 = = 20 %; 1 дм 10
в)
35 г 35 = = 3, 5 % ; 1 кг 1000
г)
15 хв 15 1\25 25 = = = = 25 % ; 1 год 4 100 60 4
93
МАТЕМАТИКА
700.
ґ)
0, 1 м 1 = = 10 % ; 1м 10
д)
0, 5 г 0, 5 = = 0, 05 % ; 1 кг 1000
є)
9с 9 1 0, 25 = = = = 0, 25 % ; 1 ч 3600 400 100
ж)
9ц 9 = = 90 % . 1 т 10
46 92 = = 92 % . 50 100
701. 590 г — 100 % 240 г — x 590 100 = ; 240 x
x=
240 ⋅100 2400 40 = = 40 %. 590 59 59
702. SABCD = 5 ⋅ 5 = 25 (см2); SATRK = 3, 5 ⋅ 5 = 10, 5 (см2); STBMP = 2 ⋅ 3, 5 = 7 (см2). 25 см2 — 100 % 7 см2 = x
25 100 = 10, 5 x
25 100 = 7 x
10, 5 ⋅100 105 = = 42 % 25 25
x=
2000 = 80 %. 250
12 b
250 100 = ; 20 x
7 ⋅100 700 = = 28 %. 25 25
all
703. 250 г — 100 % 20 г — x
x=
ov.
x=
net
25 см2 — 100 % 10,5 см2 = x
704. 4 кг — 100 % 1 кг — x 4=
100 ; x
x=
100 = 25 % . 4
705. 11, 34 − 10, 80 = 0, 54 (грн) 10,80 грн — 100 % 0,54 грн — x 10, 80 100 = ; 0, 54 x 706.
94
x=
Кількість балів Кількість учнів Відношення (%)
54 = 5 %. 10, 8
1—3
4—6
7—9
10—12
Усього
2
7
12
4
25
8
28
48
16
100
2 ⋅100 200 = =8 %; 25 25
x2 =
7 ⋅100 700 = = 28 %; 25 25
x3 =
12 ⋅100 1200 = = 48 %; 25 25
x4 =
4 ⋅100 = 16 % . 25
707. x — 100 % 98, 4 грн − (100 − 18 ) = 82 % x 100 = ; 98, 4 82
x=
98, 4 ⋅100 9840 = = 120 (грн). 82 82
МАТЕМАТИКА
x1 =
708. 1800 грн — 100 % x — 12 % 1800 100 = ; x 12
x=
1800 ⋅12 = 216 (грн); 100
216 ⋅ 2 = 432 (грн).
all
ov.
net
709. а) 20 — 100 % б) 25 — 100 % 25 — x 20 — x 20 100 25 100 = = 25 x 20 x 2500 2000 x= = 125 % x= = 80 % 20 25 125 − 100 = 25 % ; 100 − 80 = 20 % . У першому завданні за 100 % приймається число 20, а в другому — 25.
12 b
710. а) a = 100 %→ 2a = 200 % ; 200 − 100 = 100 % ; б) 1, 6a = 160 % ; 160 = 100 = 60 % ; в) 10a = 1000 % ; 1000 − 100 = 900 %. 711. а) a = 100 %→
a 100 = = 50 % ; 100 − 50 = 50 % ; 2 2
б)
a 100 = = 62, 5 % ; 100 − 62, 5 = 37, 5 % ; 1, 6 1, 6
в)
a 100 = = 10 % ; 100 − 10 = 90 % . 10 10
712. a = 0, 4b b = a : 0, 4 =
10\25 250 a= = 250 % . 4 100
713. 1) 250 + 0, 6 ⋅ 250 = 250 + 150 = 400 (м); 2) 1000 − ( 250 + 400 ) = 350 (м); 3) 1000 м — 100 % 350 м — x; 35 000 1000 100 = 35 % . = ; x= 1000 350 x
95
714. S1 = a1 ⋅ b1 a2 = a1 + 0, 1a1 = 1, 1a1 ; b2 = b1 + 0, 2b1 = 1, 2b1
МАТЕМАТИКА
S2 = 1, 1a1 ⋅1, 2b1 = 1, 32a1b1 a1 ⋅ b1 — 100 % 1, 32a1 ⋅ b1 — x 1, 32 a1b1 ⋅100 a1b1 100 = ; x= = 132 % x 1, 32a1b1 a1b1 132 − 100 = 32 %→ S2 = 0, 32S1 + S1 = 1, 32S1 а) S1 = 2 ⋅ 5 = 10 (см2) S2 = 1, 32 ⋅10 = 13, 2 (см2); б) S1 = 12 ⋅ 25 = 300 (м2) S2 = 300 ⋅1, 32 = 396 (м2); в) S1 = x ⋅ y (м2) S2 = 1, 32xy (м2).
ov.
716. x + 0, 2x = 1, 2x
net
715. Ні, тому що x − 0, 1x = 0, 9x ; 0, 9x − 0, 1 ⋅ 0, 9x = ( 0, 9 − 0, 09 ) x = 0, 81x , а x − 0, 2x = 0, 8x .
1, 2x − 0, 1 ⋅1, 2x = 1, 2x − 0, 12x = 1, 08x
all
1, 08 − 1 = 0, 08 = 8 % . 717. x − 0, 25x = 0, 75x
0, 75x + y ⋅ 0, 75x = x
y=
12 b
y ⋅ 0, 75x = x − 0, 75x
x − 0, 75x x (1 − 0, 75 ) 0, 25 1 1 = = = = 33 % . 0, 75x 0, 75 3 3 0, 75 x
718. 1300 — 100 % 715 — x 1300 100 = 715 x 71 500 x= = 55% 1300 55 − 30 = 25 %. 719. 6000 — 100 % x — 8%
96
6000 100 = x 8 8 ⋅ 6000 x= = 480 (грн) 100
1300 — 100 % 390 — x 1300 100 = 390 x 39 000 x= = 30 % . 1300
6000 + 480 = 6480 (грн) — через 1 рік. 6480 — 100 % x — 8%
МАТЕМАТИКА
6480 ⋅ 8 6480 100 = 518, 40 (грн); = ; x= 100 x 8 6480 + 518, 40 = 6998, 40 (грн). 720. 100 − 85 = 15 % — не знає української; 100 − 75 = 25 % — не знає російської; 100 − (15 + 25 ) = 100 − 40 = 60 %. 721. x — на II складі 2,5x — на I складі x + 2, 5x = 1400 3, 5 = 1400
net
x = 1400 : 3, 5 = 400 (т).
12 b
all
ov.
722. x — на II току 2 x — на I току 3 2 x + x = 564 3 5 x = 564 3 5 3\2 x = 564 : = 564 ⋅ = 338, 4 (грн). 3 5
⎛ 3\2 ⎞ : 3 = (16, 3 + 8, 6 ) : 3 = = 24, 9 : 3 = 8, 3 ; 723. а) ⎜ 3, 7 + 12, 6 + 8 5 ⎟⎠ ⎝ 6
4 4 18 1 6 ⎛ ⎞ б) ⎜ 0, 12 + + 1, 88 ⎟ : 3 = 2 : 3 = ⋅ = . ⎝ ⎠ 7 7 7 3 7
(a + x + y) =
724.
(a + x + y) :
725.
a+b = a−2 = a+b−3 . 2
3
(a + x + y) ⋅
3
(a + x + y)
=3 .
a −2− a +3 = b
a +1 = a−2 2 a + 1 = 2a − 4
b =1
2a − a = 1 + 4
a−2 = a+b−3
a =5
97
§ 21. Пропорційні величини
МАТЕМАТИКА
732.
Об’єм, л
1
2
3
4
5
6
7
Маса, кг
0,8
1,6
2,4
3,2
4,00
4,8
5,6
1 2 = ; x = 0, 8 ⋅ 2 ( 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ) . 0, 8 x
733.
0, 3 0, 5 1 = 0, 6 (т); = ; x= 0, 5 0, 3 x 0, 3 ⋅ 2 0, 5 2 = 1, 2 (т); = ; x= 0, 5 0, 3 x 0, 3 ⋅ 3 0, 5 3 = 1, 8 (т); = ; x= 0, 5 0, 3 x
net
0, 3 ⋅100 0, 5 100 = 60 (т). = ; x= 0, 5 0, 3 x
112 м3 — x 2 1600 = ; 112 x
112 ⋅1600 = 89 600 (кг). 2
all
x=
ov.
734. 2 м3 — 1600 кг
735. 10 кг — 9 кг борошна
12 b
x кг — 900 кг
10 9 900 ⋅10 = 1000 ( кг ) = 1 ( т ) . = ; x= x 900 9 736. 0,34 — 4,2 км 24 — x 4, 2 ⋅ 2 0, 3 4, 2 = 28 (км). = ; x= 0, 3 2 x 737. 100 кг — 5,8 кг 750 кг — x 750 ⋅ 5, 8 100 5, 8 = 43, 5 (кг). = ; x= 100 750 x
738. 8 м — 96 грн 15 м — x
98
15 ⋅ 96 8 96 = 180 (грн). = ; x= 8 15 x
739. 12 кост. — 28,8 м x — 146,4 м x=
12 ⋅146, 4 = 61 (кост.). 28, 8
МАТЕМАТИКА
12 28, 8 = x 146, 4
740. 1 : 200 000 = 15 : x x = 15 ⋅ 200 000 = 3 000 000 ( см ) = 30 ( км ) . 741. 3 м3 — 2,7 т 20 м3 — x 20 ⋅ 2, 7 54 3 2, 7 = = 18 (т). = ; x= 3 3 20 x 742. а) 0,25 дм3 — 2,2 кг
б) 0,25 дм3 — 2,2 кг
2 м3 = 200 дм3 — x
x — 4,4 кг
200 ⋅ 2, 2 = 1760 (кг); 0, 25
x=
4, 4 ⋅ 0, 25 = 0, 5 дм3. 2, 2
ov.
x=
0, 25 2, 2 = x 4, 4
net
0, 25 2, 2 = 200 x
743. 20 кг — 0,5 кг x — 45 кг
12 b
744. 24 хв — 144 м3
all
20 ⋅ 45 900 20 0, 5 = = 1800 (кг) = 1,8 (т). = ; x= 0, 5 0, 5 x 45
x — 4260 м3
4260 ⋅ 24 24 144 = 710 хв = 11 год 50 хв . = ; x= 144 x 4260 745. S = 3, 15 ⋅ 4, 2 = 13, 23 (м2) 7,5 м2 — 0,75 кг 13,23 м2 — x 13, 23 ⋅ 0, 75 7, 5 0, 75 = 13, 23 ⋅ 0, 1 = 1, 323 (кг). = ; x= 7, 5 13, 23 x 746. 7 к. — 21,7 м
7 к. — 21,7 м
17 к. — x
x — 16 м
7 21, 7 = 17 x 21, 7 ⋅17 x= = 52, 7 (м) 7
7 21, 7 = x 16 16 ⋅ 7 112 x= = = 5 кост. 21, 7 21, 7 ост. 0,5 м
99
747. 3 год — 16 км x — 30 км
748. 30 кг — 5,4 кг 100 кг — x 30 5, 4 = 100 x
x=
5, 4 ⋅100 540 = = 18 (кг). 30 30
749. 60 кг — 9 кг 100 кг — x 60 9 = 100 x 900 x= = 15 (кг) — нікелю. 60 Мідь — 100 − (15 + 20 ) = 65 (кг).
60 кг — 12 кг 100 кг — x 60 12 = 100 x 12 ⋅100 1200 x= = = 20 (кг) — цинку. 60 60
750. а) 5, 2x − 3, 8 = 17
б) 3, 9 − 1, 2x = 0, 3
5, 2x = 17 + 3, 8 = 20, 8
1, 2x = 3, 9 − 0, 3 = 3, 6 x = 3, 6 : 1, 2 = 3 .
ov.
x = 20, 8 : 5, 2 = 4 ;
net
МАТЕМАТИКА
3 ⋅ 30 45 5 3 16 = =5 год. = ; x= 16 8 8 x 30
751. а) 1, 2, 3, 4;
б) 3, 4, 5, 6, 7, 8;
all
в) 1, 2, 3, 4, …, 66, 67. 752. α = 180 − 150 = 30°
12 b
β = 180 − 75 = 105°
γ = 180 − (150 + 30 ) = 45° .
753. a = P − 35 ; b = P − 45 ; c = P − 50 ; P = ( P − 35 ) + ( P − 45 ) + ( P − 50 ) = P − 35 + P − 45 + P − 50 = 3P − 130 3 p − p = 130 2 p − 130 P = 130 : 2 = 65 (см). 754. 1) 360 : 20 = 18 с — один оберт; 10
2)
60 10 1 = =3 (об/хв). 3 3 18 3
755. vКолi =
100
s s = = 2s ; t 0, 5
vВiтi = s :
40 2 3 = s : = s = 1, 5s ; 60 3 2
5 ⎞ ⎛ vК ⋅ t = vВ ⋅ ⎜ t + ⎟ ⎝ 60 ⎠
2st = 1, 5st + 1, 5 ⋅ 2st − 1, 5st =
МАТЕМАТИКА
1 ⎞ ⎛ 2s ⋅ t = 1, 5s ⎜ t + ⎟ ⎝ 12 ⎠ 1 s 12
3 1 1 ⋅ s= s 2 12 4 8
1 1 st = s 2 8 1 1 1 1 t= s : s = ⋅2 = (год). 4 8 2 84 756. Зліва направо: Альма, Том, Джек, Барбі, Райд.
764. x =
12 12\2 24 = = = 2, 4 2+3 5 10
18 18 = =2 4+5 9
4x = 8 ; 5x = 10 .
3000 3000 = = 600 2+3 5
12 b
766. x =
all
765. x =
ov.
2x = 2, 4 ⋅ 2 = 4, 8 , 3x = 3 ⋅ 2, 4 = 7, 2 .
net
§ 22. Задачі на пропорційне ділення
2x = 2 ⋅ 600 = 1200 ; 3x = 3 ⋅ 600 = 1800 . 767. x =
1001 1001 = = 143 1+ 2 + 4 7
2x = 2 ⋅143 = 286 4x = 4 ⋅143 = 572 . 768. x =
224 224 = = 14 3 + 5 + 8 16
224 x y = = = 14 ⋅ 2 = 28 8 5 3 x = 28 ⋅ 5 = 140 y = 28 · 3 = 84. 769. x =
9600 9600 = = 400 2 + 3 + 8 + 11 24
2x = 800 ; 3x = 1200 ; 8x = 3200 ; 11x = 4400 .
101
770. x =
280 280 = = 10 . 1 + 2 + 25 28
МАТЕМАТИКА
10 кг гіпсу, 20 кг піску, 250 кг — білої глини. 771. x =
36 36 = =4 2+3+4 9
a = 2x = 8 (см); 772. x =
b = 3x = 12 (см); c = 4x = 16 (см).
105 105 = = 7, 5 ; 2 + 3 + 4 + 5 14
a = 2x = 2 ⋅ 7, 5 = 15 (см); b = 3x = 3 ⋅ 7, 5 = 22, 5 (см); c = 4x = 4 ⋅ 7, 5 = 30 (см); d = 5x = 5 ⋅ 7, 5 = 37, 5 (см). 773. x =
4, 2 4, 2 = = 0, 6 . 2+2+3 7
Вапно — 3 ⋅ 0, 6 = 1, 8 (кг); борошно — 2 ⋅ 0, 6 = 1, 2 (кг); лак — 1,2 (кг). 200 200 1 1\2 1\2 1 2 2 ; → ; = = 40 ; ; ; ; x= 1+ 2 + 2 5 10 5 5 10 10 10
net
774. а)
б)
ov.
2x = 2 ⋅ 40 = 80 ; 200 = 40 + 80 + 80 ;
200 200 1\6 3\3 5\2 6 9 10 ; ; → ; = = 8 ; 6x = 48 ; ; ; x= 6 + 9 + 10 25 2 4 6 12 12 12
2 5 4 5 : = : 3 6 6 6 x=
12 b
775.
all
9x = 72 ; 10x = 80 ; 200 = 48 + 72 + 80 .
600 600 200 = = 4+5 9 3
a = 4x = 4 ⋅
200 800 2 = = 266 3 3 3
b = 5x = 5 ⋅
200 1000 1 = = 333 . 3 3 3
У підручнику помилка або у відповіді, або в умові. 776. a = x ; b = c = 3x ; d = 5x 5x − x = 12 4x = 12 x = 12 : 4 = 3 ( см ) = a b = c = 3 ⋅ 3 = 9 (см); d = 5 ⋅ 3 = 15 (см). 777. x =
102
180 180 = = 20 1+ 3 + 5 9
α = x = 20° ; β = 3x = 60° ; γ = 5x = 100° .
α =γ 3 α α + 2α + = 180 3 1⎞ ⎛ α ⎜ 1 + 2 + ⎟ = 180 ⎝ 3⎠ α = 180 : 3
МАТЕМАТИКА
778. 2α = β ;
18 1 3 = 180 ⋅ = 54° 3 10
β = 2 ⋅ 54 = 108° ; γ =
54 = 18° . 3
779. 3 : 5 і 2 : 3 відносяться як 6 : 10 і 10 : 15 x = a = 6x = 4, 8 ; b = 10x = 8 ; c = 15x = 12 .
24, 8 24, 8 = = 0, 8 ; 6 + 10 + 15 31
780. 10 к ⋅ 30 д — 9 ц = 900 кг 24 к ⋅ 36 д — x 3
13x = 52 ⋅ 3 = 156 x = 156 : 13 = 12
net
2x + 4x + 7x = 52 3 13x = 52 3
ov.
781.
24 ⋅ 36 ⋅ 900 = 2592 ( кг ) = 25, 92 ( ц ) . 10 ⋅ 30
all
x=
782.
12 b
a = 2x = 2 ⋅12 = 24 ; b = 4x = 4 ⋅12 = 48 ; c = 7x = 7 ⋅12 = 84 . 1 15 = 25 000 x
x = 15 ⋅ 25 000 = 375 000 (см) 1 y = 10 000 375 000 y=
375 000 = 37, 5 (см). 10 000
783. 2, 3094 ≈ 2, 309 ≈ 2, 31 ≈ 2, 3 8, 7088 ≈ 8, 709 ≈ 8, 71 ≈ 8, 7 . 784. 0, 0912 + 1, 07 ≈ 1, 98 1, 07 − 0, 912 ≈ 0, 16 1, 07 ⋅ 0, 912 ≈ 0, 98 1, 07 : 0, 912 ≈ 1, 17 або 0, 912 : 1, 07 ≈ 0, 85
103
МАТЕМАТИКА
785. Н. дев’ять відсотків Р. дев’яти відсотків Д. дев’яти відсотків З. дев’ять відсотків О. дев’ятьма відсотками М. про дев’ять відсотків 786. 3, 5 + 2, 5 = 6 ; 6 = 6 = 600 %; 1
3, 5 − 2, 5 = 1 ; 600 − 100 = 500 % .
787. a = 26 см = 2, 6 дм ; b = 3 дм ; c = 0, 4 м = 4 дм ; Sn = 2ab + 2ac + 2bc = 2 ( 2, 6 ⋅ 3 + 2, 6 ⋅ 4 + 3 ⋅ 4 ) = 2 (18, 2 + 12 ) = = 2 ⋅ 30, 2 = 60, 4 (дм2) ; V = 2, 6 ⋅ 3 ⋅ 4 = 31, 2 (дм3).
all
ov.
net
788. Учора: були присутні — 8x були відсутні — x Сьогодні: були присутні — 8x − 2 були відсутні — 0, 2 ⋅ ( 8x − 2 ) 8x + x = ( 8x − 2 ) + 0, 2 ( 8x − 2 ) 9x = ( 8x − 2 ) ⋅ (1 + 0, 2 ) = 1, 2 ⋅ 8x − 1, 2 ⋅ 2 9, 6x − 9x = 2, 4 0, 6x = 2, 4 x = 2, 4 : 0, 6 = 4 4 + 8 ⋅ 4 = 36 (учнів).
796.
12 b
§ 23. Коло і круг
r=
A
O
м
3с
B
797. а) d = 2r = 2 ⋅ 2, 5 = 5 м ; б) d = 2 ⋅ 3, 4 = 6, 8 см . 798. а) r =
1 d = 7 : 2 = 3, 5 м; 2
б) r = 0, 35 : 2 = 0, 175 дм.
799. O
104
α = β = γ = 120° .
800. γ
МАТЕМАТИКА
α
β
801. а) l = 2πr = πd = 3, 14 ⋅10 = 31, 4 (см); б) l = 3, 14 ⋅ 4 = 12, 56 (м); в) l = 3, 14 ⋅ 0, 5 = 1, 57 (дм); г) l = 3, 14c (км). 802. а) l = 2πr = 2 ⋅ 3, 14 ⋅15 = 6, 28 ⋅15 = 94, 2 (мм); б) l = 6, 28 ⋅12 = 75, 36 (м); в) l = 6, 28 ⋅ 2, 5 = 15, 7 (дм); 3 г) l = 6, 28 ⋅ = 4, 71 (км). 4
б) d =
62, 8 = 20 (дм); 3, 14
в) d =
0, 314 = 0, 1 (км). 3, 14
l 3, 14 10 = = = 5 (м) ; 2π 2 ⋅ 3, 14 2
all
804. а) l = 2πr → r =
net
l 3, 14 = = 100 ( см ) = 1 ( м ) ; π 3, 14
ov.
803. а) l = 2πr = πd → d =
0, 942 0, 3 = = 0, 15 ( м ) ; 2 ⋅ 3, 14 2
в) r =
0, 628 0, 628 = = 0, 1 ( км ) . 2 ⋅ 3, 14 6, 28
12 b
б) r =
( ) ( ) ( ) S = 3, 14 ⋅ ( 0, 5a ) = 0, 785a ( дм ) = 78, 5a ( см ) .
805. а) S = πr 2 = 3, 14 ⋅ 202 = 1256 см2 = 12, 56 дм2 ; б) S = 3, 14 ⋅ 0, 42 = 0, 5024 м2 = 50, 24 дм2 ; в)
2
2
2
2
2
2
2
⎛ d⎞ ⎛ 8⎞ 806. а) S = πr 2 = π ⎜ ⎟ = 3, 14 ⎜ ⎟ = 3, 14 ⋅16 = 50, 24 дм2 ; ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠
(
2
)
⎛ 15 ⎞ б) S = 3, 14 ⎜ = 3, 14 ⋅ 7, 52 = 3, 14 ⋅ 56, 25 = 176, 625 см2 ; ⎝ 2 ⎟⎠
(
)
2
⎛ 0, 2 ⎞ = 3, 14 ⋅ 0, 01 = 0, 0314 м2 ; в) S = 3, 14 ⎜ ⎝ 2 ⎟⎠ 2
⎛ 0, 02 ⎞ = 0, 000314 км2 = 3, 14 м2 . г) S = 3, 14 ⎜ ⎝ 2 ⎟⎠
(
)
( )
105
МАТЕМАТИКА
314 = 100 = 10 ( см ) . 3, 14
807. S = πr 2 → r =
S = π
808. S = πr 2 → r =
S 78, 5 = = 25 = 5 ( см ) . π 3, 14
d = 2r = 2 ⋅ 5 = 10 (м). 809. l = 2πr → r =
l 6, 28 = = 1 (см) 2π 6, 28
S = πr 2 = 3, 14 (см2). S πr 2 3, 14 ⋅ 22 = = = 3, 14 см2. 4 4 4
810.
net
r = 2 см
ov.
811. 2l = 4πr = 4 ⋅ 3, 14 ⋅1, 5 = 18, 84 см.
812. l = 2 ⋅ 2, 5 + 2πr = 5 + 2 ⋅ 3, 14 ⋅ 0, 4 = 5 + 2, 512 ≈ 7, 5 м.
all
813. 15l = 15 ⋅ 2πr ⋅15πr = 15 ⋅ 3, 14 ⋅ 26 = 1224, 6 см ≈ 12, 25 м .
12 b
814. 20l = 20 ⋅ 2πr = 20 ⋅ πd = 20 ⋅ 3, 14 ⋅ 5 = 314 см = 3,14 м . 815. l = πd = 3, 14 ⋅ 0, 8 = 2, 512 (м). n =
1000 ≈ 398 (об.). 2, 512
816. 40l = 2πr ⋅ 40 = 80 ⋅ 3, 14 ⋅ 30 = 7536 ( м ) = 7, 536 ( км ) . S1 π ⋅ ( 2r ) 4 = . = S2 πr 2 1 2
817.
2
2
⎛d ⎞ ⎛d ⎞ 818. а) d1 = 2 см; d2 = 0, 7 см. S = S1 − S2 = πr12 − πr22 = π ⎜ 1 ⎟ ⋅ π ⎜ 2 ⎟ = ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ = 3, 14 (1 − 0, 1225 ) = 2, 755 см2 ;
(
)
б) a = 1, 8 см; d = 0, 7 см; S = S1 − S2 = a2 − πr 2 = 1, 82 − 3, 14 ⋅ ( 0, 35 ) = 2
= 3, 24 − 0, 38 ≈ 2, 86 см2 . 819. S = S1 − 2S2 ;
S1 = 2OC ⋅ OO1 + π ⋅ ( OC ) = OC ( 2 ⋅ OO1 + π ⋅ OC ) = 2
(
)
= 2 ⋅ ( 2 ⋅ 6 + 3, 14 ⋅ 2 ) = 36, 56 см2 .
106
S2 = π ( OB ) = 3, 14 ⋅1 = 3, 4 (см2); 2
S = 36, 56 − 2 ⋅ 3, 14 = 30, 28 (см2).
d (см)
l (см)
d:l
а) Склянка
Найменування
7
22
∼ 0, 32
б) Блюдце
14
44
∼ 0, 32
8
25
∼ 0, 32
20
63
∼ 0, 32
в) Банка г) Тарілка 821. I — x II — x III — x − 2
3x = 60 ;
x + x + x − 2 = 58 ;
x = 60 : 3 = 20 (кг).
МАТЕМАТИКА
820.
822. I буд. — 12 га II буд. — 0, 1 ⋅12 + 12 III буд. — ( 0, 1 ⋅12 + 12 − 2 )
12 + (12 + 0, 1 ⋅12 ) + ( 0, 1 ⋅12 + 12 − 2 ) = 12 + 12 + 1, 2 + 1, 2 + 10 = 36, 4 (га).
3, 2x = 17, 5 − 2, 5 = 15
1, 3 = 1, 32
75
11 ; 16
1 2 1 1 1 ⋅ = II — 3 2 6 1 ⎛ 1 1⎞ + III — 2 ⎜⎝ 2 6 ⎟⎠
1, 32 = 1, 3 . 1, 3
12 b
824. I —
x=
ov.
x=4
10 150 75 = = 32 16 32 16
all
x = 15 : 3, 2 = 15
net
б) 1, 32 − 1, 3x = 0
823. а) 3, 2x + 2, 5 = 17, 5
2
1 1 1 ⎛ 1\3 1 ⎞ 1\3 1 1 4 3 +1+ 2 6 + + + = + + ⋅ = = = 1 — встигла. 2 6 2 ⎜⎝ 2 6 ⎟⎠ 2 6 2 6 6 6 825. НСД(2, 3, 4) = 12 → найменша кількість 25 (тому що найближче до 12 15 й 20 діляться на 3 й 4 відповідно). 1 1 x+ 2 2
826. I — II — x=
1⎛1 1⎞ 1 3 x + ⎟ + ; залишок — 2 ⎜⎝ 2 2⎠ 2 4
1\2 1 1 1 1 3 x+ + x+ + + ; 2 2 4 4 2 4
x = 2:
x−
3 x=2 ; 4
1 3 1 = 2 ⋅ 4 = 8 ; 8 − = 7 → 7 яєць. 4 4 4
1 x=2 4
107
§ 24. Діаграми 10 16, 3 = ; 1 x
x=
16, 3 = 1, 63 см; 10
10 16, 4 = ; 1 x
x=
16, 4 = 1, 64 см; 10
10 26, 8 = ; 1 x
x=
26, 8 = 2, 68 см. 10
26,8
Токіо
16,4
16,3
Сан-Пауло
Нью-Йорк
net
МАТЕМАТИКА
830. 10 млн = 1,0 см
ov.
831. 100 км2 = 2 см 360 км2
Озеро Сасик
210 км2
all
Дністровський лиман
170 км2
12 b
Молочний лиман
млн чол.
Тилигульський лиман
160 км2
Озеро Ялпуг
149 км2
360 ⋅ 2 360 100 = 7, 2 см = ; x= 100 x 2 210 ⋅ 2 210 100 = 4, 2 см = ; x= 100 x 2 170 ⋅ 2 170 100 = 3, 4 см = ; x= 100 x 2 160 ⋅ 2 160 100 = 3, 2 см = ; x= 100 x 2 149 ⋅ 2 149 100 = 2, 98 см = ; x= 100 x 2 832. а) 25; б) немає; в) 10; г) 25, 28, 30; ґ) 1, 4, 6, 10, 15; д) 55 % і 69 % відповідно; є) 30 %, 20 % і 40 % відповідно.
108
0, 3 ⋅ 2720 = 816 ( уч.) ;
0, 2 ⋅ 2720 = 544 ( уч.) ;
0, 4 ⋅ 2720 = 1088 ( уч.) .
835. 1 чол. = 2 мм
1 2 1 2
1 6 = ; x = 12 мм 2 x 12 = ; x = 24 мм x 4 = ; x = 8 мм x
МАТЕМАТИКА
а)
32 − ( 6 + 12 + 4 ) = 10 чол. 1 10 = ; x = 20 мм 2 x 12
10 6
9—10
6—8
4
11—12
3—5
12 ⋅100 32 12 = 37, 5 % = ; x= 32 100 x
ov.
б)
net
У підручнику помилка в розбивці оцінок (не можна розбивати «10—12» й «9—11», потрібно «11—12» й «9—10»).
100 ⋅10 32 10 = 31, 25 % = ; x= 32 100 x
all
100 ⋅ 6 32 6 = 18, 75 % = ; x= 32 100 x
12 b
100 ⋅ 4 32 4 = 12, 5 % . = ; x= 32 100 x
Для побудови діаграми знайдемо кути секторів 12 ⋅ 360 32 12 = 135° = ; x= 32 360 x
360 ⋅10 32 10 = 112, 5° = ; x= 32 360 x 360 ⋅ 6 32 6 = 67, 5° = ; x= 32 360 x 360 ⋅ 4 32 4 = 45° . = ; x= 32 360 x 4 оцінки «3—5»
оцінки «11—12»
12
6 10
оцінки «9—10»
оцінки «6—8»
109
5
x
836. x — I число x – 5 — II число
6
}
52
x + x –5 + x + 6 = 52 3x + 1 = 52 3x = 51 x = 17 — I число 17 – 5 = 12 — II число 17 + 6 = 23 — III число 837. Знайдемо кути секторів: 100 25 = ; 360 x
x=
360 ⋅ 25 = 90° 100
100 15 = ; 360 x
x=
360 ⋅15 = 54° 100
100 45 = ; 360 x
x=
360 ⋅ 45 = 162° 100
вечеря другий сніданок
45 %
15 %
25 %
all
перший сніданок
обід
ov.
15 %
net
МАТЕМАТИКА
x + 6 — III число
12 b
838. Знайдемо кути секторів 100 23, 3 = ; 360 x
x=
23, 3 ⋅ 360 ≈ 84° 100
100 21, 8 = ; 360 x
x=
21, 8 ⋅ 360 ≈ 78° 100
100 11, 5 = ; 360 x
x=
11, 5 ⋅ 360 ≈ 41° 100
100 37, 1 = ; 360 x
x=
37, 1 ⋅ 360 ≈ 134° 100
100 6, 3 = ; 360 x
x=
6, 3 ⋅ 360 ≈ 23° 100 6,3 %
11,5 %
Картопля й овочі
Технічні культури 21,8 % Інші зернові
110
37,1 %
Кормові культури
23,3 % Озима пшениця
839. 100 млн — 0,5 см 701 ⋅ 0, 5 100 701 = 3, 5 см = ; x= 100 0, 5 x
МАТЕМАТИКА
386 ⋅ 0, 5 100 386 = 1, 93 см = ; x= 100 0, 5 x 265 ⋅ 0, 5 100 265 = 1, 33 см = ; x= 100 0, 5 x 245 ⋅ 0, 5 100 245 = 1, 22 см = ; x= 100 0, 5 x 237 ⋅ 0, 5 100 237 = 1, 19 см = ; x= 100 0, 5 x 147 ⋅ 0, 5 100 147 = 0, 74 см = ; x= 100 0, 5 x 119 ⋅ 0, 5 100 119 = 0, 6 см = ; x= 100 0, 5 x
ov.
701
all
386
245
12 b
265
1
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Китайською Англійською Російською Іспанською Гінді Арабською Німецькою Французькою
net
103 ⋅ 0, 5 100 103 = 0, 51 см = ; x= 100 0, 5 x
2
3
4
237 147
119
103
6
7
8
млн 5
840. 100 км = 1 см Сімферополь
798 км
Луганск
672 км
Ужгород
630 км
Донецьк
602 км
Львів
504 км
Івано-Франківськ 490 км Херсон
476 км
Запоріжжя
455 км
111
434 км
Миколаїв
420 км
Харків
403 км
Дніпропетровск
400 км
Луцьк
378 км
Тернопіль
371 км
Рівне
315 км
Суми
310 км
Полтава
301 км
Хмельницький
280 км
Кіровоград
252 км
Вінниця
210 км
Черкаси
161 км
Житомир
131 км
841. а)
123 км
12 b
Чернігів
net
Чернівці
ov.
450 км
all
МАТЕМАТИКА
Одеса
тварини
собаки коти бульдоги
842. 1. 2. 3. 4.
112
Сон Школа Домашні завдання Інші справи
8 6 4 6
год год год год
24 8 = ; 360 x
x=
360 ⋅ 8 = 120° 24
24 6 = ; 360 x
x=
360 ⋅ 6 = 90° 24
24 4 = ; 360 x
x=
360 ⋅ 4 = 60° 24
б)
трикутники рівно прямобедрені кутні рівносторонні
Домашні завдання
Сон
4 год 8 год
843. 3
Школа
6 год
1 7 ; 3,39; 3,4; = 3, 5 . 9 2
844. 3, 5 м = 350 см
МАТЕМАТИКА
6 год
Інші справи
2
25 ⋅ 100 50 1 350 25 = =7 %. = ; x= 7 7 100 x 350 7 845. S = ( v1 + v2 ) t = v1t + v2t ; v2 =
s − v1t 400 − 52 ⋅ 4 192 = = = 48 км/год. t 4 4
net
846. a = S = 81 = 9 (см); P = 4a = 4 ⋅ 9 = 36 (см).
ov.
847. За умови, що позавчора — 30 грудня, 31 грудня в учня день народження, сьогодні — 1 січня.
all
Самостійна робота № 4 Варіант 1
12 b
2 5 14 15 : = : = 14 : 15 ; 3 7 21 21 3 14 15 : = 14 : 15 ; б) 0, 7 : = 4 20 20 1 15 23 : = 15 : 23 . в) 1 : 2, 3 = 2 20 10
1.
а)
2.
а)
63 = 1, 26 → 1, 126 − 1 = 0, 26 = 26 %; 50
б)
80 = 0, 4 → 1 − 0, 4 = 0, 6 = 60 % . 200
3. а)
x 17 = 12 30 x=
4.
12 ⋅17 = 6, 8 ; 30
б)
5 = 1, 3 x x=
25 м — 12 кг 40 — x 40 ⋅12 480 25 12 = = 19, 2 (кг). = ; x= 25 25 40 x
5 10 50 11 = 5⋅ = =3 . 1, 3 13 13 13
113
5.
P = 3x + 5x + 6x = 28 14x = 28 28 =2 14
a = 3x = 3 ⋅ 2 = 6 (см); b = 5x = 5 ⋅ 2 = 10 (см); c = 6x = 6 ⋅ 2 = 12 (см).
Варіант 2
3 12 15 = : = 12 : 15 ; 4 20 20
б) 0, 6 : в) 2
3.
а)
53 = 1, 325 → 1, 325 − 1 = 0, 325 = 32, 5 % ; 40
б)
75 = 0, 6 → 1 − 0, 6 = 0, 4 = 40 %. 125
а)
12 ⋅16 12 15 = 12, 8 ; = ; x= 15 x 16
б) 2, 5 = 4.
net
2.
1 7\10 35\3 70 105 : 3, 5 = : = : = 70 : 105 . 3 3 10 30 30
ov.
1.
3 2 21 10 а) : = : = 21 : 10 ; 5 7 35 35
5 5 ; x= =2. x 2, 5
5 м3 — 12 т
12 b
24 м3 — x
all
МАТЕМАТИКА
x=
24 ⋅12 5 12 = 57, 6 (т). = ; x= 5 24 x 5.
P = 2x + 3x + 3x + 4x = 75 12x = 75 x=
75 = 6, 25 12
a = 2x = 2 ⋅ 6, 25 = 12, 5 (см); b = c = 3x = 3 ⋅ 6, 25 = 18, 75 (см); d = 4x = 4 ⋅ 6, 25 = 25 (см).
Варіант 3 1.
5\7 3\4 35 12 : = : = 35 : 12 ; а) 8 14 56 56 б) 1, 2 :
114
в) 2
3 12\2 3\5 24 15 = : = : = 24 : 15 ; 4 10 4 20 20
1 2 5\3 11\2 15 22 :3 = : = : = 15 : 22 . 2 3 2 3 6 6
2, 3 23 10 23 7 = ⋅ = =1 1, 6 10 16 16 16
а)
7 7 7 =1= ; ⋅100 = 43, 75 %; 18 16 16
1
1 — x 2 2 — 100 3
б)
1 3 300 ⋅100 ⋅ = = 75 %; 2 2 4
100 − 75 = 25 %.
12 x = 7 3, 5
3. а)
x=
4.
x=
б)
12 ⋅ 3, 5 =6 ; 7
6 1 =1 x 7 3
x= 6 ⋅
МАТЕМАТИКА
2.
7 21 1 = =5 . 4 4 84
8 см3 — 84 г
P = 3x + 4x + 5x + 7x = 3, 8 19x = 3, 8 3, 8 = 0, 2 19
12 b
x=
all
5.
ov.
8 84 = 50 x 84 ⋅ 50 x= = 525 (г). 8
net
0,5 дм3 = 50 см3 — x
a = 3 ⋅ 0, 2 = 0, 6 (см); b = 4 ⋅ 0, 2 = 0, 8 (см); c = 5 ⋅ 0, 2 = 1 (см); d = 7 ⋅ 0, 2 = 1, 4 (см).
Варіант 4 1.
4 7 32 35 а) : = : = 32 : 35 ; 5 8 40 40 б)
2 2 25 20 75 : 2, 5 = : = : = 20 : 75 ; 3 3 10 30 30
в) 3
2.
1 2 7\3 8\2 21 16 :2 = : = : = 21 : 16 . 2 3 2 3 6 6
7 1 8 7 1 6 + = ; − = 5 5 5 5 5 5 а)
8 6 8 5 8 4 1 : = ⋅ = = =1 5 5 5 6 6 3 3
1
1 1 1 1 −1 = ; ⋅100 = 33 % ; 3 3 3 3
115
7 1 7 : = ⋅5 = 7 5 5 5
б)
8 1 800 30 6 ⋅100 ⋅ = = 22 % = 22 % ; 5 7 35 35 7 6 1 100 − 22 = 77 % . 7 7
МАТЕМАТИКА
8 — x 5
x=
7 — 100
3. а)
1, 2 7 = x 5 x=
б)
1, 2 ⋅ 5 6 = ; 7 7
1, 2 1 =2 x 2 1, 2 5 = x 2 x=
4.
1, 2 ⋅ 2 = 0, 48 . 5
4 м3 — 6 т 4 6 = x 16, 5
5.
16, 5 ⋅ 4 66 = = 11 (м3). 6 6
ov.
x=
2x + 85 = 7x
all
5x = 85 x = 85 : 5 = 17
net
x — 16,5 т
a = 2 ⋅17 = 34 (см); b = 3x = 3 ⋅17 = 51 (см);
12 b
c = 5 ⋅17 = 85 (см); d = 7x = 7 ⋅17 = 119 (см).
Завдання в тестовій формі
1.
а).
6. г).
2.
б).
7. в).
3.
б).
8. б).
4.
в).
9. б).
5.
а).
10. в).
Типові задачі 1. 2.
116
3 5 = 6 10 а) x : 3 = 8 : 5 3⋅8 x= = 4, 8 ; 5
б) 1, 2x : x = 0, 3 : 2, 5 x=
1, 2 ⋅ 2, 5 = 10 ; 0, 3
МАТЕМАТИКА
в) 3, 2 : 0, 6 = 40x : 5 2
x=
3, 2 ⋅ 5 16 2 = = . 0, 6 ⋅ 40 24 3 3
3.
s = πr 2 = 3, 14 ⋅ 52 = 3, 14 ⋅ 25 = 78, 5 (см2).
4.
P ( A) =
5.
l = 2πr = πd → d =
6.
7 7 = . 8 + 7 15 l 62, 8 = = 20 (см). π 3, 14
5 год — 4 га 7 год — x
1) 1, 2 + 3, 8 = 5 (кг); 2) 5 кг — 100 % 1,2 кг — x x=
12 b
8.
1, 2 ⋅100 = 24 % . 5
all
5 100 = ; 1, 2 x
ov.
7.
net
7⋅4 5 4 = 5, 6 (га). = ; x= 5 7 x
2 уч. — 0,5 см
36 − ( 4 + 3 + 10 + 9 + 5 ) = 36 − 31 = 5 (уч.) — «5» балів. 10
9
5
5
4 3
9 балів
8 балів
7 балів
5 балів
12 балів
10 балів
18 9 = . 80 40
9.
P ( A) =
10.
1) x − 0, 1x = 0, 9x ; 2) 0, 9x − 0, 2 ⋅ 0, 9x = 0, 9x − 0, 18x = 0, 72x ; 3) 1 − 0, 72 = 0, 28 = 28 % .
117
Розділ 4. Раціональні числа § 25. Додатні та від’ємні числа
МАТЕМАТИКА
854. 3; 0. 1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8
855. − 3 °C ; − 10 °C
net
856. а) t = − 17 °C ; б) h = − 100 м; в) t = − 5 °C .
мінус три сьомих мінус трьох сьомих мінус трьом сьомим мінус три сьомих мінус трьома сьомими (про) мінус трьох сьомих
all
мінус двісті мінус двохсот мінус двомстам мінус двісті мінус двомастами (про) мінус двохстах
12 b
858. Н. Р. Д. З. О. М.
ov.
857. 300 − 250 − 200 + 700 − 400 = 1000 − 850 = 150 .
859. а) a − b = 40 − 23 = 17 надійшло; б) b − a = 45 − 37 = 8 вибуло; в) a − b = 53 − 53 = 0 .
860. Якщо число в таблиці від’ємне, значить довжина планки менша заданої на зазначене число; якщо число зі знаком «+», то планка довша, ніж було потрібно. Найбільша погрішність — 3 у Величко. Адамчук — 248 мм; Білий — 251 мм; Бойко — 252 мм; Величко — 247 мм; Гришко — 249 мм. 862.
S =
3
1 1 S = ⋅ 3 ⋅ 4 = 6 (см2). 2 2
4 863. Sn = 12 га = 120 000 (м2); S4 = 60 ⋅ 50 = 3000 (м2);
118
S2 = Sn − S1 = 12 000 − 3000 = 117 000 м2 = 11,7 ( га ) .
864. 3, 7c − 2 = 5, 8 3, 7c = 7, 8 78 37 78 10 78 4 : = ⋅ = =2 . 10 10 10 37 37 37
866. Ні, тому що всі числа таблиці непарні й 5 — непарна. 867. Так, наприклад, a = 3 ; b = 5 ; c = 7 . S = a ⋅ b = 3 ⋅ 5 = 15 , всі числа непарні. У підручнику помилка у відповідях, на це питання відповіли «ні», що не правильно. A
868. а) 2x + 3x = 90
C
5x = 90
36°
x = 90 : 5 = 18
54°
∠ AOC = 2 ⋅18 = 36° ; ∠ COB = 3 ⋅18 = 54°
O
net 22,5°
4x = 90
67,5°
90 = 22, 5° 4
P
12 b
all
∠ MPT = 3x = 67, 5°
x + 3x = 360 − 90 = 270
T
K
M
4x = 270
∠ KPM = x =
M
ov.
x + 3x = 90
2 випадок
B
K
б) 1 випадок
∠ KPM = x =
МАТЕМАТИКА
c=
67,5°
270 = 67, 5° 4
P T
202,5°
∠ KPM = 3x = 3 ⋅ 67, 5 = 202, 5°
§ 26. Координатна пряма 878.
E –6
–5
D –4
–3
C –2
–1
A 0
1
2
B 3
4
5
6
A ( 2 ) ; B ( 5 ) ; C ( − 1) ; D ( − 3 ) ; E ( − 5 ) 879.
D –6
–5
–4
C –3
–2
A –1
0
1
2
3
B 4
5
6
119
880. а) AB = 3 од. вiдр. = 3 ⋅1 = 3 ( см ) ;
б) KP = 4 од. вiдр. = 4 ⋅1 = 4 ( см ) ;
МАТЕМАТИКА
в) MN = 2 од. вiдр. = 2 ⋅1 = 2 ( см ) . 881. а) KT = 6 од. вiдр. = 6 ⋅ 0, 5 = 3 ( см ) ;
б) MC = 9 од. вiдр. = 9 ⋅ 0, 5 = 4, 5 ( см ) ;
в) PQ = 3 од. вiдр. = 3 ⋅ 0, 5 = 1, 5 ( см ) . 882. AB = 8 од. відр.;
1 8 1 AB = = 4 од. відр. C = AB = B − 4 = 7 − 4 = 3 → C ( 3 ). 2 2 2
883. O ( 0 ) ← M ( 2 )
C ( − 2) ← P ( − 3)
884. AM = 2 од. відр. 1 2 AM = = 1 од. відр. 2 2 B = A + 1 = 2 + 1 = 3 → B ( 3) ;
net
а) AB =
б) BM = 2 AM = 2 ⋅ 2 = 4 од. відр.
ov.
B = M − 4 = 4 − 4 = 0 → B (0) ;
в) AB = 2 AM = 2 ⋅ 2 = 4 од. відр.
all
B = A + 4 = 2 + 4 = 6 → B (6) . 885. KM = 3 од. відр.
12 b
а) PM = 2KM = 2 ⋅ 3 = 6 од. відр. P = M − 6 = 0 − 6 = − 6 → P ( − 6) ; б) PM =
1 3 KM = = 1, 5 од. відр. 2 2
P = M − 1, 5 = 0 − 1, 5 = − 1, 5 → P ( − 1, 5 ) ; в) MP = KM = 3 од. відр. P = M + 3 = 0 + 3 = 3 → P ( 3) . A
886. –6
–5
–4
–3
–2
B
O
–1
0
AB = 2 од. відр. AO = 3 од. відр. AC = 7 од. відр.— найбільший BO = 1 од. відр.— найменший BC = 5 од. відр.
120
OC = 4 од. відр.
C 1
2
3
4
5
6
887. MH = 6 ⋅ 4 = 2 од. відр. = 5 см а) 1 од. відр. = 5 см : 2 = 2,5 см; б) OM = 4 од. відр. · 2,5 см = 10 см;
МАТЕМАТИКА
OH = 6 од. відр. · 2,5 см = 15 см; в) HK = 3 од. відр. · 2,5 см = 7,5 см; г) PK = (9+4) од. відр. · 2,5 см = 13 · 2,5 = 32,5 см.
888. AB =
1 2 + = 1 (см); 3 3
AC = 2
2 2 − = 2 (см); 3 3
CB = 2
2 1 + = 3 (см). 3 3
4 ⎛ 3 1⎞ 889. а) AB = ⎜ + ⎟ ⋅ 2 = ⋅ 2 = 4 (см); ⎝ 2 2⎠ 2
890.
P –5
–4
–3
–2
B
O
D
K
–1
0
1
2
C 3
4
5
6
all
–6
A
ov.
net
3⎞ ⎛ 2 б) KP = ⎜ 3 + 2 ⎟ ⋅ 2 = 6 ⋅ 2 = 12 (см). ⎝ 5 5⎠
891. B ( − 1) — середина KP;
12 b
D (1) — середина AC;
точки B й D симетричні відносно O.
892.
A
–5
–4
–3
–2
–1
0
B 1
C
2
3
4
5
6
7
C = B + AB = 2 + 5 = 7 → C (7 ) AC = 3 + 7 = 10
→
AC 10 2 = = BC 5 1
BC = 7 ⋅ 2 = 5 893.
A
P′
C
–6
–5
–4
B′ –3
–2
O –1
0
B 1
2
3
K
P
A′
4
5
6
B ( 2 ) − B′ ( − 2 ) K (4) − C ( − 4)
P (5 ) − P′ ( − 5 )
A ( − 6) − A ′ (6)
121
894.
20
10
30
МАТЕМАТИКА
0
40
–10 °С
895. 3, 6 +
температура
3 36\2 35 72 + 15 87 7 = + = = =4 4 10 4 20 20 20
3 72 − 15 57 = = 4 20 20 87 57 30 − = = 1, 5 ; 20 20 20
а) 3, 6 −
9
3 36 3 27 = ⋅ = 4 10 4 10
б) 3, 6 ⋅
net
87 27\2 87 − 54 33 13 − = = =1 . 20 10 20 20 20
ov.
896. a = 4 см; b = 5 см;
b
all
∠ α = 60° .
60°
12 b
a
897. Існує, тому що 2, 5 + 3, 7 > 4, 7 . 898. x2 + 16 = 16
( x + 16 )
2
( x = 0)
( x + 0)
= 256
§ 27. Цілі і дробні числа 899. v = 50, 5 км/год = t=
50 500 ≈ 14 м/с 3600
125 = 8, 91 ( c ) ≈ 9 ( c ) . 14
904. 0,08; –19; 37; 435; –1015; 5,1;
1 2 2 7 ; ; 3 ; −2 . 3 5 15 9
905. 1, 2, 3 і –1, –2, –3.
122 906. –2, –3, –7, –9, –13 і 2, 3, 7, 9, 13.
б)
908. а) так;
б) ні;
в) так;
909. 24 і –24;
2
2,25 і − 2
1 ; 4
–6
–5
–4
г) ні.
1 1 і −2 ; 4 4
−
2 2 і ; 5 5
–0,1 і 0,1.
A
910.
6 1 =1 . 5 5
МАТЕМАТИКА
5 ; 6
907. а) −
–3
O –2
–1
B
0
1
2
3
4
5
6
4
5
6
O ( 0 ) при будь-яких a й b, що відповідають умові. 911.
C –6
–5
–4
–3
–2
O –1
B
0
2
3
net
⎛ 6⎞ ⎛ 24 ⎞ ; а) A ( 3 ) = A ⎜ ⎟ = A ⎜ ⎝ 2⎠ ⎝ 8 ⎟⎠
1
A
C –6
–5
B –4
K, F
N
all
912.
ov.
⎛ 15 ⎞ ⎛ 12 ⎞ ⎛ 3⎞ б) B ⎜ = B (1, 5 ) ; C ⎜ − =C⎜− ⎟ . ⎝ 10 ⎟⎠ ⎝ 8 ⎟⎠ ⎝ 2⎠
–3
–2
–1
12 b
а) A ( 3 ) — B ( − 3 ) ;
0
1
2
A
D
3
4
5
6
б) C ( − 5 ) — O ( 5 ) ;
в) K ( − 1) — N (1) ; → N (1) — F ( − 1) → F ( − 1) = K ( − 1) .
913. а) так;
914. а) − a = − 3 ; 915. 3; –17; 916. 3
б) так;
в) так;
г) так.
б) − a = 5 ;
в) − a = 1, 7 ;
г) − a = − 297 .
8 5 ; –1001; . 4 5
2 . 3
917. а) ціле;
б) натуральне;
г) ціле; 918. 8 точок: 919. Від
( − 1)
в) ціле;
д) дробове.
( − 3) ; ( − 2) ,… ( 0 ) ,… до − ∞ ;
B ( − 2) ; C ( − 3) …
(4).
від (1001) до ∞ , Н, D (1001) ; E (1002 ) .
123
920. а) x = − 5, 1 ;
б) x = 293 ;
в) x = 45 ;
1 г) x = − 5 ; 3
21 ґ) x = ; 39
д) x = − 53
1 . 7
МАТЕМАТИКА
2
3⎞ 3 8 ⎛ + 17, 64 = 921. а) ⎜ 6, 5 + ⎟ ⋅ 0, 8 + 4, 22 = 6, 5 ⋅ 0, 8 + ⋅ ⎝ 4⎠ 4 10 = 5, 2 + 0, 6 + 17, 64 = 23, 44 ;
(
)
б) 0, 32 − 0, 33 − 0, 3 ⋅ 0, 33 = 0, 32 1 − 0, 3 − 0, 32 = 0, 09 ⋅ 0, 61 = 0, 0549 .
922.
1 ⋅ 22, 8 = 7, 6 ; 3
923. а) x = в) x =
12 ⋅100 = 5 %; 240
б) x =
11, 4 − 7, 6 = 3, 8 .
35 ⋅100 = 87, 5 % ; 40
3000 ⋅100 = 1200 % . 250
0, 5 1 = 100 ; б) = 200 . 0, 005 0, 005
net
924. а)
1 ⋅ 22, 8 = 11, 4 ; 2
ov.
925. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 — всі натуральні, прості: 2, 3, 5, 7.
927.
3
12 b
all
926. P = ( 9x + 10x ) ⋅ 2 = 380 38x = 380 x = 380 : 38 = 10 a = 9x = 9 ⋅10 = 90 (см); b = 10x = 10 ⋅10 = 100 (см); S = a ⋅ b = 90 ⋅100 = 9000 (см2) = 90 (дм2).
2
5
2
7
1
5
1
4
§ 28. Модуль числа 932. а) ні;
б) так.
933. а) ні;
б) ні;
934.
124
−5 + 2 =7 ;
935. а)
−5 − 2 =3 ;
−2 + −7 = 9 ;
б)
в) так. − 5 ⋅ 2 = 10 ; − 4 ⋅ − 15 = 60 ;
− 5 : 2 = 2, 5 . в)
− 18 : − 9 = 2 .
б) –0,12;
в) –305.
937. Так.
а) 0,25;
б) 0,5.
938.
x = 203 .
939.
PK –2
–1 3 − 4
⎛ 2⎞ K⎜− ⎟ ⎝ 3⎠
−
О 0
2 3
1
2
МАТЕМАТИКА
936. а) –7;
940. Усі вірні. 941. При x < 0 .
x =6
x =8
б)
x1 = − 6
x1 = − 8
x2 = 6 ;
x2 = 8 ;
x =0
в)
x=0 .
ov.
943. а)
net
942. Ні.
944. а) 3 ⋅ − 1, 5 + 4 = 8, 5 ;
all
б) 2, 5 ⋅ − 12 − 5 = 25 ;
в) 24 : − 16 + 3, 5 = 5 ;
− 8 ⋅ − 4 − − 56 : 7 = 32 − 8 = 24 .
12 b
г)
б) 13 − 14 ⋅
945. а) 8 + 5 ⋅ 0, 7 = 11, 5
8 + 5 ⋅ − 0, 7 = 11, 5 ;
2 =9 7
13 − 14 ⋅ −
2 =9 . 7
946. а) 3 ⋅ a − b − 2a + 2 b = 3 ⋅ 27, 3 − − 44, 4 − 2 ⋅ 27, 3 + 2 − 44, 4 = = 81, 9 − 44, 4 − 54, 6 + 88, 8 = 71, 7 ; б) 5m + 2 n − 2 m − 3 m = 5 ⋅ (− 17,17) + 2 − 7,1 − 2 − 17,17 − 3 ⋅ − 17,17 = = 88, 5 + 14, 2 − 34, 34 − 51, 51 = 14, 2 ; в) x + 7 − x − y + xy = 5, 2 + 7 − 5, 2 − 2,5 + 5, 2 ⋅ 2,5 = 12, 2 − 2,7 + 13 = 22,5 .
947. –6
–5
A
B
C
D
E
F
K
L
M
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
x = A(–4), –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4.
5
6
125
948. –6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
МАТЕМАТИКА
949. x = 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 — натуральні; x = − 11 , –10, –9, –8, –7, –6, –5, –4, –3, –2, –1 — цілі від’ємні; цілі = натуральні + цілі від’ємні + 0. 950. –6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
951. а) при x 0 ;
б) ні при яких;
952. б);
в).
953. а)
x −6 = 4
б)
x = 4 + 6 = 10
2
x +2=3
3
4
в) 3 x − 7 = 5
x2 = 10 ;
x2 = 1 ;
3 x = 5 + 7 = 12 12 =4 3 x1 = − 4 x =
x2 = 4 .
ov.
net
x1 = − 1
6
в) при x < 0 .
x = 3−2 =1
x1 = − 10
5
954. а) 3, 22 − 1, 33 = 10, 24 − 2, 197 = 8, 043 ; б) 1, 23 − 0, 83 = 1, 728 − 0, 512 = 1, 216 .
( x − 5) ( x − 7 ) = 0
б) 3x ( x − 4 ) = 0
all
955. а)
x1 = 0 ; x2 = 4 .
12 b
x 1 = 5 ; x2 = 7 ; 956. x + x + 2 = 12, 4 2x + 2 = 12, 4
2x = 12, 4 − 2 = 10, 4
x = 10, 4 : 2 = 5, 2 (кг). 957. 10x + 14 (15 − x ) = 190 10x + 210 − 14x = 190 4x = 20 20 x= = 5 (шт.) — одного виду; 4 15 − 5 = 10 (шт.) — іншого виду. 958. а) 5 ⋅ 5 : 5 = 5 ; 959.
126
б) (5 − 5 ) ⋅ 5 = 0 ;
в) 5 − 5 : 5 = 4 .
§ 29. Порівняння раціональних чисел 964. а) − 9 < 0 ; 0 > − 17 ; − 8 < − 7 ;
965. а) 0, 3 <
1 ; 3
б) −
4 16 5 15 =− <− =− ; 3 12 4 12
в) − 0, 2 = −
1 . 5
9 2 5 2 4 9 < ; = ; >4 ; − <4 ; 2 3 6 7 14 2 1 6 3 4 10 8 < . б) − 4 < 3 ; − = − 2 ; − > − ; − 2 3 4 3 3 4
966. а)
967. − 0, 7 = −
21 3 18 2 20 2 3 ; − =− ; − =− ; − 0, 7 < − < − . 30 5 30 3 30 3 5
968. а) 0, 4 > 0 ;
б) − 5, 7 < 0 ;
г) 5x > 0 .
net
1 1 ; –3,3; –2; –1,99; 0; 0,2; . 3 2
970. 3,2; π ; 2
1 1 ; 1; –1; − π ; –3,2; − 3 . 2 2
–3
2
all
971.
в) n < 0 ;
ov.
969. − 3
МАТЕМАТИКА
б) − 0, 5 < 0, 5 ; 2, 3 > − 23 ; − 2, 3 > − 3 .
–1
12 b
–7
972. а) –6; –5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; б) –5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; в) –3; –4; –5; –6; –7; –8. 973. а) –5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; б) –23; –22; –21; –20; в) –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3. 974. –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3. 975.
A
B
C
D
E
F
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
976.
977. а) a > 0 ;
б) 0 > x ;
в) a > x ;
ґ) b > x ;
д) b > y ;
є)
x >y ;
г) a > y ; ж) − a < b .
127
978.
a > c > b
a<b<c
МАТЕМАТИКА
979. а) − 181 < − 180 ;
б) − 16, 4 > − 26, 4 ;
в) − 3041 > − 3141 ; 980. а) 8;
г) − 35, 02 > − 35, 12 . б) 64;
в) 0.
49
981.
3 3 98 147 ⋅ 9, 8 = ⋅ = = 7, 35 (ц) 4 20 4 2 10 9, 8 − 7, 35 = 2, 45 (ц).
982. 8 + x — 100 % x — 10 %
ov.
net
8 + x 100 = x 10 10 ( 8 + x ) 80 + 10x 8 10x x= = = + 100 100 10 100 x 8 x− = 10 10
all
9 8 x= 10 10 8 9 8 10 8 x= : = ⋅ = (кг). 10 10 10 9 9
12 b
983. b = a + 3, 5 ; c = a + 2, 8 P = a + a + 3, 5 + a + 2, 8 = 27 3a = 27 − 6, 3 = 20, 7 a = 20, 7 : 3 = 6, 9 (см); b = 6, 9 + 3, 5 = 10, 4 (см); c = 6, 9 + 2, 8 = 9, 7 (см). 984. x = 2 +
1 x; 2
1 1 x=2 ; x = 2; 2 2 1 x = 2 : = 2 ⋅ 2 = 4 (грн). 2 x−
1 2 II частина шляху — 3x = 2x (сон) + x (останок)
985. I частина шляху —
128
1 + 3x = 1 2 1 1 3x = 1 − = 2 2
1 1 1 1 :3 = ⋅ = 2 2 3 6
2x =
1 2 1 ⋅2 = = . 6 6 3
6 x = 3x 2 6 Вовк — 3 ч = x = 2x 3 Собака — 6 ч = x
}
986. Лев — 2 ч =
частини від загального об’єму лева, вовка й собаки відповідно
МАТЕМАТИКА
x=
3x + 2x + x = 1 — загальний об’єм 6x = 1 x=
1 2 1 = 3 ⋅ = 6 ⋅ = 1 (ч). 2 6 6
net
2
1 2 3 1 — собака; 2x = — вовк; 3x = = — лев. 6 6 6 2
ov.
Самостійна робота № 5 Варіант 1
2.
12 ; –83; 4
б) −
A –7
3 3 ; −2 ; 6 4
–6
в)
all
а)
M
12 b
1.
–5
–4
–3
–2
–1
0
12 . 4 B
1
2
3
4
5
AB = − 6 + 3 = 9 (од. відр.) 1 9 AB = = 4, 5 (од. відр.) 2 2
M = − 6 − 4, 5 = 1, 5 → M ( − 1, 5 ) 3.
3, 8 − 0, 4 = 3, 4 3, 8 + 0, 4 = 4, 2 .
4.
а)
x =5
x1 = − 5 ; x2 = 5 б) 2 x = 6 x = 6:2 = 3 x1 = − 3 ; x2 = 3 . 5.
–2, –1, 0, 1, 2.
129
Варіант 2
МАТЕМАТИКА
1.
8 а) –74; − ; 34; 4
2.
3 ; 7
б) –0,2;
K –7
–6
в) 34. O
–5
–4
–3
–2
–1
0
P 1
2
3
4
5
4
5
KP = − 5 + 5 = 10 (од. відр.) 1 KP = 10 : 2 = 5 (од. відр.) 2 C = P − 5 = 5 − 5 = 0 → C (0) − 12 + 1, 2 = 13, 2
3.
− 12 ⋅ 1, 2 = 14, 4 . x =3
а)
б) 3 x = 6 6 x = =2 3 x1 = − 2 ; x2 = 2 .
x1 = − 3 ; x2 = 3 ;
–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4.
ov.
5.
net
4.
Варіант 3
4 ; 2 4 в) 32 ; 2
3 2 6 ; ; − ; –4,4; 7 3 30 4 3 6 г) 32 ; 2 ; . 2 7 30
1. а) 32
all
12 b
2.
б) 2
A
–7
–6
–5
–4
–3
B
–2
–1
K 0
1
2
AB = − 5 − − 1 = 4 (од. відр.) K = B ( − 1) + 4 = 3 → K ( 3 ) − 6, 4 + 4, 6 = 11
3.
6, 4 − 4, 6 = 1, 8 11 − 1, 8 = 9, 2 4.
а)
x =8 x1 = − 8 ; x2 = 8 ;
130 5.
б) 5 x − 1 = 3 5 x =4 4 x = 5 4 4 x1 = ; x2 = − . 5 5
–6; –5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6.
3
Варіант 4
2.
12 15 ; б) − ; 4 3 K
–7
–6
–5
в) –8,5;
1 1 ; 7 ; 2 13
M –4
–3
1 1 15 ; ; 7 . 2 13 3
г)
P
–2
–1
0
1
2
3
4
5
KP = − 5 + 1 = 6 (од. відр.) 1 6 KP = = 3 (од. відр.) 2 2 M = K ( − 5) + 3 = − 2 → M ( − 2)
МАТЕМАТИКА
1.
15 а) ; 3
MO = 2 (од. відр.) 5, 7 + − 7, 5 = 13, 2
3.
7, 5 − 5, 7 = 1, 8 13, 2 − 1, 8 = 11, 4 . x =4
а)
б) 4 x + 3 = 5
net
4.
x1 = − 4 ; x2 = 4 ;
4 x =2
2 1 = 4 2 1 1 x1 = − ; x2 = . 2 2
–5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5.
all
5.
ov.
x =
1.
б).
6.
а).
12 b
Завдання в тестовій формі
2. б).
3. г).
4. а).
5. г).
7. а).
8. в).
9. г).
10. в).
Типові задачі 1.
2.
13 — додатні; 12 1 –4; –0,5; − ; –327 — від’ємні. 3 11; 0,7;
B –3
C –2
A
–1
0
1
2
D 3
3 . 5
3.
а) –35;
б)
4.
а) 3, 9 > − 9, 3 ;
б) − 2, 75 < − 2, 57 .
5.
а) 27 − 1, 5 ⋅ − 10 = 12 ;
б) 27 − 1, 5 ⋅ − 0, 4 = 26, 4 .
131
6.
AB = 2, 8 + 0, 2 = 3 (од. відр.) 3 ⋅ 0, 5 = 1, 5 (см).
МАТЕМАТИКА
7.
а)
x = 3, 1
б)
x = − 1, 3 — немає рішень;
x1 = 3, 1 ; x2 = − 3, 1 ; в)
x + 4 = 1, 2 : 0, 3 x =0 x=0
8.
–5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3. A
9. –4
–3
–2
B
–1
0
1
2
3
C 4
5
6
AB = − 1 + 3 = 4 (од. відр.) C = B ( 3 ) + 4 = 7 → C (7 ) AC = 2 AB = 2 ⋅ 4 = 8 од. відр.
10.
ov.
AC 8 2 = = . CB 4 1
net
CB = AB = 4 од. відр.
5 x − 1 − 27 = 3
12 b
all
5 x − 1 = 30 30 x −1 = =6 5 x1 − 1 = 6 ; x2 − 1 = − 6 ; x1 = 7 ;
x2 = − 5 .
§ 30. Додавання раціональних чисел 994. а) 17 + ( − 8 ) = 9 ; − 9 + 57 = 48 ; − 6 + 300 = 294 ; б) − 23 + 56 = 33 ; − 48 + 8 = − 40 ; 710 + 28 = 738 ; в) 85 + ( − 94 ) = − 9 ; − 19 + 76 = 67 ; − 94 + 0 = − 94 . 955. а) − 0, 3 + 0, 2 = − 0, 1 ; в) − 1, 8 + ( − 2, 9 ) = − 4, 7 ; 996. а) − 1, 3 + 2, 7 = 1, 4 ; в) 0, 7 + ( − 4, 9 ) = − 4, 2 ; 997. а) − 0, 28 + ( − 1, 4 ) = − 1, 68 ;
132
в) 0, 09 + ( − 0, 17 ) = − 0, 08 ;
б) 2, 4 + ( − 1, 6 ) = 0, 8 ; г) 9, 6 + ( − 3, 5 ) = 6, 1 .
б) 4, 8 + ( − 3, 9 ) = 0, 9 ;
г) − 5 + ( − 2, 3 ) = − 7, 3 . б) 45, 7 + ( − 8, 5 ) = 37, 2 ;
г) − 0, 8 + ( + 2, 4 ) = 1, 6 .
7
8
998. а) 3, 9 + ( − 8, 53 ) = − 4, 63 ;
б) − 12 + ( − 7, 46 ) = − 19, 46 ;
999. − 2 +
г) 2, 9 + ( − 9, 2 ) = − 6, 3 .
1 1 = −1 . 2 2
1000. а) 4, 2 + ( − 1, 6 ) = 2, 6 ; в)
б) − 2, 6 + ( − 1, 6 ) = − 4, 2 ;
1 1 16 10 − 48 38 8 4 + ( − 1, 6 ) = − = = =1 =1 . 30 15 3 3 10 30 30 \10
\3
1001. а) 30 + ( − 27 ) = 3 > 0 ;
б) − 27 + 23 = − 4 < 0 ;
МАТЕМАТИКА
в) − 0, 245 + ( − 10 ) = − 10, 245 ;
в) − 9 + ( − 17 ) = − 26 < 1 .
1002. − 9, 3 + 4, 8 = − 4, 5 < − 4, 8 + 3, 9 = − 0, 9 . 2 ⎛ 3⎞ 1 + − =− ; 5 ⎝⎜ 5 ⎠⎟ 5 4 5 1 + = ; 9 9 9
ґ) −
2 1 +1 = ; 3 3
г)
д) − 5 +
1 ⎛ 3⎞ 2 + − =− ; 7 ⎝⎜ 7 ⎠⎟ 7
б) −
ґ) −
1005. а) −
4 7 3 + = ; 7 7 7
1\2 ⎛ 1 ⎞ 3 + − =− ; 2 ⎜⎝ 4 ⎟⎠ 4
д) −
2\2 ⎛ 5 ⎞ 9 3 1 + − = − =1 =1 . 3 ⎜⎝ 6 ⎟⎠ 6 6 2
1\2 1\3 2 3 1 + =− + = ; 3 2 6 6 6
5 ⎛ 2\2 ⎞ 5 4 1 + − = − = ; 6 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 6 6 6
в) − г)
3 1 = −4 . 4 4
1 ⎛ 2⎞ г) 12 + ⎜ − ⎟ = 11 ; ⎝ 3⎠ 3
12 b
3 ⎛ 3⎞ в) − 2 + ⎜ − ⎟ = − 2 ; ⎝ 8⎠ 8
б)
3 ⎛ 5⎞ 2 + − =− ; 7 ⎜⎝ 7 ⎟⎠ 7
all
1004. а)
5 ⎛ 2⎞ + − = −1 ; 7 ⎝⎜ 7 ⎠⎟
net
в) −
б) −
ov.
1003. а)
7 \5 ⎛ 7 \4 ⎞ 35 28 63 23 + − ; =− − =− = −1 8 ⎜⎝ 10 ⎟⎠ 40 40 40 40
3 ⎛ 3⎞ + − =0 ; 4 ⎜⎝ 4 ⎟⎠ 3
ґ) − д)
4\4 5\5 16 25 9 3 + =− + = = ; 15 12 60 60 60 20 20
5\5 ⎛ 37 ⎞ 25 − 21 4 + − = = . 7 ⎜⎝ 5 ⎟⎠ 35 35
133
1006. а) − 2
2\7 ⎛ 3\5 ⎞ 14 − 15 1 34 + − = 3+ = 3− =2 ; 5 ⎜⎝ 7 ⎟⎠ 35 35 35
в) − 4 г) 1
3 ⎛ 1⎞ 3 2 1 + − 5 ⎟ = − 4 − 5 = − 10 ; 4 4 4 ⎜⎝ 2⎠ 4
1\3 ⎛ 1\2 ⎞ 3 2 1 + ⎜1− = 1 −1 = ; 2 ⎝ 3 ⎟⎠ 6 6 6
ґ) − 3
1 1 1 3 4 2 + = −3 + = −2 = −2 ; 6 2 6 6 6 3
д) − 4
2\2 1\3 1 +1 = −3 . 3 2 6
б)
3\5 15 + 10 25 5 1 + − 0, 5\2 = = = =1 ; 4 4 20 20 4
(
)
3\2 + 1, 2 = 1, 8 ; 5
в) −
3\2 + ( − 1, 8 ) = − 2, 4 ; 5
net
1007. а)
ov.
МАТЕМАТИКА
б) 3
1 2 2 + = −1 ; 3 3 3
2\2 + 0, 5 = − 5, 4 + 0, 5 = − 4, 9 ; 5
12 b
ґ) − 5
all
⎛ 9 ⎞ г) 0, 7 + ⎜ − = − 0, 2 ; ⎝ 10 ⎟⎠
д) 5
1008. а)
2\10 20 15 5 1 + − 0, 5\3 = 5 − =5 =5 . 3 30 30 30 6
(
)
1\10 10 9 29 + − 2, 3\3 = − = −1 ; 3 30 30 30
б) −
(
)
2\10 20 9 29 + − 0, 3\3 = − − =− ; 3 30 30 30
(
)
⎛ 1\125 ⎞ 2050 − 125 1925 в) 2, 05\10 + ⎜ − = = = 1, 925 ; 8 ⎠⎟ 1000 1000 ⎝ ⎛ 4 \2 ⎞ г) 1, 5 + ⎜ − = 1, 5 − 0, 8 = 0, 7 ; ⎝ 5 ⎟⎠
134
ґ) −
2\7 ⎛ 5\3 ⎞ 8 ⎛ 14 + 15 ⎞ + − ; = −1 = −⎜ ⎝ 21 ⎟⎠ 3 ⎜⎝ 7 ⎠⎟ 21
д) −
1 + 0, ( 3 ) = − 0, ( 3 ) + 0, ( 3 ) = 0 . 3
1009. а) − 1, 2\3 + 3
5 5\10 1\3 53 + 0, 05 = 1 + =1 ; 6 6 20 60
в) − 2 г) −
МАТЕМАТИКА
б) 1
5\5 6 25 19 = −1 +3 =2 ; 6 30 30 30
3\5 15 8 3 + − 1, 4\2 = − 2 −1 = −4 ; 4 20 20 20
(
)
7 \3 ⎛ 1\10 + ⎜ −1 10 ⎝ 3
⎞ 1 ⎛ 21 + 40 ⎞ ⎟⎠ = − ⎜⎝ 30 ⎟⎠ = − 2 30 ;
⎛ 3\2 ⎞ ґ) − 3, 35 + ⎜ − = − ( 3, 35 + 0, 6 ) = − 3, 95 ; ⎝ 5 ⎟⎠ ⎛ 3\5 ⎞ 32 15 17 д) 3, 8\4 + ⎜ − . =3 − =3 40 40 40 ⎝ 8 ⎟⎠
3
–2,5
–5,7
–1,9
3,8
8,12
0,09
b
–7
–12,5
–3,4
2,31
–9,42
–3,49
–12
a+b
–4
–15
–9,1
0,41
–5,62
4,63
− 2, 5 + ( −12, 5 ) = − 15 −5, 7 + ( −3, 4 ) = −9, 1
all
−1, 9 + 2, 31 = 0, 41
net
a
ov.
1010.
3, 8 + ( −9, 42 ) = −5, 62
12 b
8, 12 + ( −3, 49 ) = 4, 63
0, 09 + ( −12 ) = −11, 91 .
1011. а) −11, 5 + ( −5, 5 ) + 1 = −16 ; б) −0, 3 + 0, 3 + 1 = 1 . 1012. а) x − 5 = −1
б) 3x − 16 = −10
x = −1 + 5 = 4 ;
1013.
a + b a+b
3x = −10 + 16 = 6 6 x= =2. 3
— сума модулів; — модуль суми;
− 3, 27 + 2, 5 = 0, 77 = 0, 77 − 3, 27 + 2, 5 = 5, 77 . 1014.
a+b = a + b
— a, b — з однаковими знаками або «0»
a + b < a + b − a > 0 , b < 0 або a < 0 , b > 0 .
135
1015. а) 1 + x = 2
МАТЕМАТИКА
б)
в)
1 + x1 = 2
1 + x2 = −2
x1 = 2 − 1 = 1
x2 = −2 − 1 = −3 ;
−2+ x =5 −2 + x1 = 5
−2 + x2 = −5
x1 = 5 + 2 = 7
x2 = −5 + 2 = −3 ;
x−3 =5 x1 − 3 = 5
x2 − 3 = −5
x1 = 5 + 3 = 8
x2 = −5 + 3 = −2 .
1016. а) 350 − (120 ⋅ 0, 5 ) = 290 (км);
б) 350 − (120 ⋅ 2 ) = 110 (км). (У підручнику зазначена загальна швидкість двох автомобілів).
1017. 30 + 45 = 75 км/год.
net
1018. l = 2πr = 2 ⋅ 3, 14 ⋅ 2, 5 = 15, 7 (дм);
S = 2πr 2 = 3, 14 ⋅ ( 2, 5 ) = 19, 625 (дм2). 2
(
)
ov.
1019. S = S1 − S2 = π 3, 72 − 1, 32 = 3, 14 ⋅ (13, 69 − 1, 69 ) = = 3, 14 ⋅12 = 37, 68 (дм2). 3, 2 32 9 = =1 2, 3 23 23
all
1020.
12 b
900 3 ⎛ 9 ⎞ 1 − 1 ⋅100 = = 39 %. ⎝⎜ 23 ⎠⎟ 23 23 1021. а) x2 = 64
б)
x = 64 = 8 ;
( x − 2)2 = 25 x − 2 = 25 = 5 x =5+2 =7 .
1022. l = 2πr = πd d = d1 + d2 + d3 l1 = πd1 ; l2 = πd2 ; l3 = πd3 l = π ( d1 + d2 + d3 ) = πd1 + πd2 + πd3 = l1 + l2 + l3 — вірно.
§ 31. Віднімання раціональних чисел 1024. а) 13 + ( − 28 ) = 15 ;
б) 59 + 17 = 76 ;
в) − 42 − 97 = − 42 + ( − 97 ) = − 139 ;
1025. а) 6 − 95 = −89 ;
136
г) −8 − 84 = −92 ;
г) −89 + 53 = −36 .
б) 24 − 96 = −72 ;
в) −9 − 57 = −66 ;
ґ) −6 − 17 = −23 ;
д) −1 − 297 = −298 .
1026. а) 7 − ( −53 ) = 60 ;
б) 9 − ( −28 ) = 37 ;
в) 1 − ( −77 ) = 78 ;
г) 3 − ( −152 ) = 155 .
1027. а) −8 − ( −9 ) = 1 ;
б) −7 − ( −3 ) = −4 ;
г) −4 − ( −69 ) = 65 .
1028. а) 0, 7 − 1, 2 = −0, 5 ;
б) 2, 9 − 4, 7 = −1, 8 ;
в) 10, 6 − 38, 5 = −27, 9 ;
г) 4, 8 − 0, 48 = 4, 32 .
1029. а) 12, 6 − 83, 9 = −71, 3 ;
б) 0, 6 − 1, 3 = −0, 7 ;
в) 1, 3 − 2, 007 = −0, 707 ;
г) 0, 53 − 5, 4 = −4, 87 .
1030. а) −0, 6 − 3, 9 = −4, 5 ;
б) −2, 4 − 3, 46 = −5, 86 ; г) −3, 7 − ( −3, 6 ) = −0, 1 .
в) 0, 5 − 3, 67 = −3, 17 ; 1031. а) 2, 7 − ( −4, 9 ) = 7, 6 ;
б) −0, 8 − ( −1, 6 ) = 0, 8 ;
г) −0, 08 − ( −0, 8 ) = 0, 72 .
2 1 1 − = ; 3 3 3 4 ⎛ 3⎞ 7 2 − − = =1 . в) 5 ⎜⎝ 5 ⎟⎠ 5 5
б) −
net
в) −27 − ( −3, 067 ) = −23, 933 ;
3 1 2 1 − 3 = −2 = −2 ; 2 4 4 4 3 1 в) −4 − 5 = −10 . 4 4
6 3 2 − 2 = −3 ; 7 7 7
all
б) −
12 b
1034. а)
1 2 − = −1 ; 3 3
ov.
1032. а)
1033. а)
МАТЕМАТИКА
в) −5 − ( −5 ) = 0 ;
1 1 1\10 5\3 10 15 5 − 3, 5 = −3 = −3 = −3 = −3 ; 6 3 3 10 30 30 30 6
б) −
7
7 2 2\10 8 \3 20 24 14 − 1, 8 = − −1 =− −1 = −2 = −2 ; 15 3 3 10 30 30 30 15
в) 3, 4\3 − 4
1\10 36 10 64 32 =3 −4 =− =− . 9 90 90 90 45
1035. а) 7, 53 − ( −3, 45 ) = 10, 98 ; б) −26, 8 − 47, 9 = −74, 7 ; в) −0, 235 − ( −2, 35 ) = 2, 115 ;
г) 12, 24 − ( −123, 4 ) = 135, 74 . 1036.
a
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
b
5,73
–3,24
8,96
–4,9
8,6
–3,28
–6,7
9,07
a−b
–8,73
1,24
–9,96
4,9
–7,6
5,28
9,7
–5,07
137
2 − ( −3, 28 ) = −5, 28
МАТЕМАТИКА
−3 − 5, 73 = −8, 73 −2 − ( −3, 24 ) = 1, 24
3 − ( −6, 7 ) = +9, 7
−1 − 8, 96 = −9, 96
4 − 9, 07 = −5, 07 . б) 7 − ( −10 ) = 17 ;
1037. а) m − n = −5 − 3 = −8 ; в) 0, 3 − ( −0, 7 ) = 1 ;
г) −3, 8 − ( −8, 3 ) = 4, 5 .
1038. −16 − 10 = −26 ; −7 − 10 = −17 ; 0 − 10 = −10 ; 3 − 10 = −7 ; 9 − 10 = −1 ; 12 − 10 = 2 . 1039. −0, 05 − 2, 5 = −2, 55 ; −0, 37 − 2, 5 = −2, 87 ; 1, 54 − 2, 5 = 0, 96 ; 8, 48 − 2, 5 = 5, 98 . 1040. 3, 8 − 7, 5 = − 3, 7 7, 5 − 3, 8 = 3, 7 — вірно. 1041. m = −2, 7
net
5, 2 − m = 5, 2 − ( −2, 7 ) = 7, 9 . 1042. 4 − ( −3 ) = 7° .
ov.
1043. −2 + ( −7 ) = −9 .
1044. а) ( 3, 7 + 9, 1) − ( 4, 8 − 2, 5 ) + 4, 9 = 12, 8 − 2, 3 + 4, 9 = 15, 4 ;
( −12 + 3, 2) − ( −2, 8 − 5, 6 ) = −8, 8 − ( −8, 4 ) = −0, 4 .
all
б)
1045. а) (10, 5 − 13, 6 ) + ( 4, 1 − ( −2, 7 ) ) = −3, 1 + 6, 8 = 3, 7 ;
1046.
( −4, 3 − 5, 8 ) + ( −3, 9 + 7, 7 ) = −10,1 + 3, 8 = −6, 3 .
12 b
б)
A
–6
–5
–4
–3
–2
B –1
0
1
2
AB = B ( 4 ) − A ( −3 ) = 4 − ( −3 ) = 7 од. відр. а) AB = − 3 − 4 = 7 од. відр. — вірно; б) AB = 4 − ( −3 ) = 7 од. відр. — вірно. 1047. а) KP = p − k = 8 ( −5 ) = 13 од. відр.; б) KP = 32 ( −6 ) = 26 од. відр.; в) KP = − 7 − 40 = 47 од. відр.; г) KP = − 35, 8 ⋅ 27, 9 = 63, 7 од. відр. 1048. а) a + b + c = −3, 1 + 5, 7 + ( −4, 8 ) = −2, 2 ;
138
б)
a + b + c = − 3, 1 + 5, 7 + ( −4, 8 ) = − 2, 2 = 2, 2 ;
в)
a + b + c = − 3, 1 + 5, 7 + − 4, 8 = 13, 6 .
3
4
5
6
1049. Вірно. 4 − 6 = 6 − 4 = 2 a, b > 0 ; − 4 − ( −6 ) = − 6 − ( −4 ) = 2 a, b < 0
1050.
МАТЕМАТИКА
4 − ( −6 ) = − 6 − 4 = 10 a > 0 ; b < 0 . a − b = a + b , якщо a 0 , b 0 або b 0 , a 0 . 7 − ( −2 ) = 7 + − 2 = 9
a = 7 ; b = −2 a = −7 ; b = 2
−7 − 2 = −7 + 2 = 9
a = 0 ; b = −2
0 − ( −2 ) = 0 + − 2 = 2 .
1051. а) −2 + x = 5
б) x − 7 = −3
x =5+2 =7 ;
в) 5 − x = 9
x = −3 + 7 = 4 ;
x =5−9 = −4 .
1052. а) A ( 20 ) ; B ( 0 ) ; C ( −12 ) ; K ( −28 ) ; P ( 28 ) ; б) AB = 20 од. відр.; AC = 20 + 12 = 32 од. відр.; AK = 20 + 28 = 48 од. відр.; AP = 28 − 20 = 8 од. відр.;
net
BC = 12 од. відр.; BK = 28 од. відр.; BP = 28 од. відр.; CK = 28 − 12 = 16 од. відр.; CP = 12 + 28 = 40 од. відр.;
ov.
KP = 28 + 28 = 56 од. відр. 1053. 24 − ( −23 ) = 48° .
all
1054. 12, 9 − a − x
а) 12, 9 − ( −8, 7 ) − 6, 7 = 14, 9 ;
12 b
б) 12, 9 − ( −0, 73 ) − ( −6, 4 ) = 20, 03 .
1055.
a
8,13
3,27
0,52
–4,31
–16,35
28,6
b
9,09
–5,83
–4,8
–8,07
362,6
906,83
1− a − b
–16,22
3,56
5,28
13,38
–345,25 –934,43
1 − 8, 13 − 9, 09 = −16, 22 1 − 3, 27 − ( −5, 83 ) = 3, 56 1 − 0, 52 − ( −4, 8 ) = 5, 28
1 − ( −4, 31) − ( −8, 07 ) = 13, 38
1 − ( −16, 35 ) − 362, 6 = −345, 25
1 − 28, 6 − 906, 83 = −934, 43 . б) −3 , –2, –1.
1056. а) 7, 8, 9 10; 1057. а)
3+ x =5 3 + x1 = 5
3 + x2 = −5
x1 = 5 − 3 = 2
x2 = −5 − 3 = −8 ;
139
x−8 =2
МАТЕМАТИКА
б)
x1 − 8 = 2
x2 − 8 = −2
x1 = 2 + 8 = 10
x2 = −2 + 8 = 6 ;
в) 6 + 4 − x = 9 4−x = 9−6 = 3
1058.
4 − x1 = 3
4 − x2 = −3
x1 = 4 − 3 = 1
x2 = 4 + 3 = 7 .
− 753 + 2007 − 1 = 2759 (років).
1059.
A –3
B –2
–1
1
2
3
AB = − 2, 5 + 3, 5 − 1 = 5 років.
б)
–5
–2
7
12
0
–12
–7
2
5
–1
2
11
16
4
–8
–3
6
9
ov.
а)
all
1061.
net
1060. 2400 − 384 + 1 = 2017 .
1062. а) 0, 075 ⋅ 3000 = 225 ;
12 b
б) 0, 075 ⋅12 = 0, 9 ;
в) 0, 075 ⋅ 0, 75 = 0, 05625 . 1063. а) 27 : 0, 075 = 360 ; 1064. а)
б)
34, 8 = 464 ; 0, 075
1 = 0, 00005 = 0, 005 % ; 20 000
в)
0, 4 = 0, 4 = 40 % . 1 8 40 = 1 − 0, 2 = 0, 8 = 80 % ; − 1 = 5 − 1 = 4 = 400 % . 40 8
1066. S1 = 4 см2 ; S2 = 16 см2 1−
140
7, 5 = 100 . 0, 075
3, 8 = 0, 01 = 1 % ; 380
б)
1065. 1 −
в)
4 = 1 − 0, 25 = 0, 75 = 75 % 16
16 − 1 = 4 − 1 = 3 = 300 %. 4
4
1067. Відстань — x x \2 x \3 5x 1 + = = x 15 10 30 6
vср = 2x :
1 6 x = 2 ⋅ = 12 км/год. 6 x
§ 32. Множення раціональних чисел 1072. а) 16 ⋅ 5 = 80 ;
б) 3, 2 ⋅ 6 = 19, 2 ; ⎛ 2⎞ 2 г) ⎜ − ⎟ ⋅ 6 = −4 . ⎝ 3⎠
в) −9 ⋅ 7 = −63 ; 1073. а) −4 ⋅ 8 = −32 ;
МАТЕМАТИКА
t=
б) −0, 3 ⋅ 6 = −1, 8 ;
в) 5 ⋅ 7 = 35 ;
2 20 2 ⋅10 = − = −2 . 9 9 9
г) −
1074. −25 ⋅ 40 = −1000 .
1076. а) −a ⋅ 7 = −7a ;
1078. а) в)
all
( −1, 4 ) ⋅ ( −5) = 7 ; 23, 7 ⋅ ( −40 ) = −948 ;
г) 2, 25 ⋅ ( −0, 04 ) = −0, 09 .
( −3, 5) ⋅ ( −42) = 147 ; ( −367 ) ⋅ ( −89) = 32 663 ;
г)
12 b
в)
)
б) −2x ⋅ 6 = −12x ;
1 6 в) − c ⋅ 6 = − c = −2c . 3 3 1077. а)
(
г) 23 − 9 ⋅100 = −1 ⋅100 = −100 .
ov.
в) ( 2 − 5 ) ⋅100 = −300 ;
1 ⋅100 = −50 ; 2
net
б) −
1075. а) −7 ⋅100 = −700 ;
1079. а) 23, 8 ⋅ (−1, 03) = −24, 514 ; в) 70, 2 ⋅ ( −9, 5 ) = −666, 9 ; 2 ⎛ 2⎞ ⎛ 6 ⎞ 4 1080. а) ⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ − ⎟= ; ⎝ 3⎠ ⎝ 7 ⎠ 7
б) 3, 74 ⋅ ( −0, 5 ) = −1, 87 ;
б)
б) г)
( −64 ) ⋅ ( −2, 25) = 144 ; ( −3, 8 ) ⋅ ( −2, 5) = 9, 5 . ( −135) ⋅ ( −8, 6 ) = 1161 ; ( −0, 07 ) ⋅ ( −25, 8 ) = 1, 806 .
⎛ 3⎞ ⎛ 5 ⎞ 1 б) ⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ − = ; ⎝ 5 ⎠ ⎝ 9 3 ⎟⎠ 3
3
⎛ 4 ⎞ 21 3 1 в) ⎜ − ⎟ ⋅ =− =− . 6 2 ⎝ 7 ⎠ 24 6 5 ⎛ 2⎞ 1081. а) 15 ⋅ ⎜ − ⎟ = −10 ; ⎝ 3⎠
(
)
5 ⎛ 2⎞ в) ⎜ − ⎟ ⋅ − 25 = 10 ; ⎝ 5⎠
б) г)
( ) 6 ⋅ ( − 26 ) = −12 ; 13 2 5 ⋅ − 18 = −10 ; 9 2
141
⎛ 84 ⎞ 4 ⋅⎜ − ⎟ =− ; 9 ⎝ 9 ⎠
МАТЕМАТИКА
5 ⎛ 8⎞ д) 0, 5 ⋅ ⎜ − ⎟ = ⎝ 9 ⎠ 10 е)
1082. а)
5 4 4 ⎛ 25 ⎞ 20 ⋅ ( −2, 5 ) = ⋅ ⎜ − = −2 . ⎟ =− 5 10 5 ⎝ 10 ⎠
( −4 ) ⋅ x = 0 x=0 ;
1083.
в) −
x=0 ;
( −5) m
а) −5 ⋅ 3, 8 = −19 ; б) −5 ⋅ ( −4, 4 ) = 22 ; в) −5 ⋅ ( −0, 72 ) = 3, 6 . 1084.
1086. а) б) в)
1087. а)
–1
0
1
2
( −4, 6 ) ⋅ x
9,2
4,6
0
–4,6
–9,2
( −3, 2 − 4, 3) ⋅ ( −3, 2) = −7, 5 ⋅ ( −3, 2) = 24 ; ( −3, 2 − 4, 3) ⋅ 4, 3 = −7, 5 ⋅ 4, 3 = 32, 25 ; ( −3, 2 − 4, 3) ⋅ ( −3, 2 + 4, 3) = −7, 5 ⋅1,1 = 8, 25 . ( −2, 5) ⋅ ⎛⎜⎝ −
5
4⎞ 25 ⎛ 4 ⎞ 20 =− ⋅ − = =2 ; 5 ⎟⎠ 10 ⎜⎝ 5 ⎟⎠ 10 9
⎛ 5⎞ 6 ⎜⎝ − 6 ⎟⎠ = − 2 = −3 ;
9
⎛ 5 ⎞ 9 1 ⎜⎝ − 8 ⎟⎠ = − 4 = −2 4 ; 2
⎛ 5 ⎞ 36 б) 3, 6 ⋅ ⎜ − ⎟ = ⎝ 6 ⎠ 10 2
⎛ 5 ⎞ 36 в) 3, 6 ⋅ ⎜ − ⎟ = ⎝ 8 ⎠ 10 2 г)
( −2, 7 ) ⋅
3
2
5 27 5 3 1 =− ⋅ = − = −1 = −1, 5 ; 9 2 2 10 2 9
1 ⋅ ( −0, 6 ) = 1, 5 ⋅ ( −0, 6 ) = −0, 9 ; 2 3 8 д) −5 ⋅1 = − 5 ⋅ = −8 . 5 5 ґ) 1
1088. а)
3
( −3) ⋅ ⎛⎜⎝ −2
б) 1
⎛ 7⎞ 1⎞ = − 3 ⋅⎜ − ⎟ = 7 ; 3 ⎟⎠ ⎝ 3⎠
1 ⎛ 2⎞ 3 ⋅⎜ − ⎟ = 2 ⎝ 3⎠ 2
⎛ 2⎞ ⋅ ⎜ − ⎟ = −1 ; ⎝ 3⎠
4
–13,8 –18,4
net
( −8, 5 + 4, 2) ⋅ ( −8, 5) = −4, 3 ⋅ ( −8, 5) = 36, 55 ; ( −8, 5 + 4, 2) ⋅ 4, 2 = −4, 3 ⋅ 4, 2 = −18, 06 ; ( −8, 5 + 4, 2) ⋅ ( −8, 5 − 4, 2) = −4, 3 ⋅ ( −12, 7 ) = 54, 61 .
ov.
в)
–2
all
б)
x
12 b
1085. а)
142
1 x=0 7 x=0 .
б) −2, 3x = 0
5 –23
г) 2
3 2 ⎛ 9⎞ 8 ⎛ 9 ⎞ ⋅⎜ − ⎟ = ⋅⎜ − ⎟ = −3 ; 3 ⎝ 8⎠ 3 ⎝ 8 ⎠ 2
⎛ 5 ⎞ 12 ґ) 1, 2 ⋅ ⎜ − ⎟ = ⎝ 6 ⎠ 10 2 д) −3
⎛ 5⎞ 2 ⎜⎝ − 6 ⎟⎠ = − 2 = −1 ;
1 7 ⎛ 2 ⎞ 7 ⋅ ( −0, 2 ) = − ⋅ ⎜ − = = 0, 7 . 2 2 ⎝ 10 ⎟⎠ 10
МАТЕМАТИКА
2⎞ ⎛ 3⎞ 5 ⎛ 3⎞ ⎛ в) ⎜ −1 ⎟ ⋅ ⎜ − ⎟ = − ⋅ ⎜ − ⎟ = 1 ; ⎝ 3⎠ ⎝ 5⎠ 3 ⎝ 5⎠
2 2⎞ ⎛ 1⎞ 5 ⎛ 6 ⎞ ⎛ 1089. а) ⎜ −1 ⎟ . ⎜ −1 ⎟ = − ⋅ ⎜ − ⎟ =2 ; ⎝ 3⎠ ⎝ 5⎠ 3 ⎝ 5 ⎠
в) −9 ⋅ 5
3 17 2 =−9 ⋅ = −51 ; 3 3
net
3 2 1⎞ ⎛ 1⎞ 9 ⎛ 16 ⎞ ⎛ б) ⎜ 1 − ⎟ ⋅ ⎜ −5 ⎟ = − ⋅⎜ − ⎟ =6 ; ⎝ 8⎠ ⎝ 3⎠ 8 ⎝ 3 ⎠
ov.
1⎞ ⎛ 1⎞ 7 ⎛ 7 ⎞ 49 1 ⎛ г) ⎜ −3 ⎟ ⋅ ⎜ −2 ⎟ = − ⋅ ⎜ − ⎟ = =8 ; ⎝ 3⎠ 2 ⎝ 3⎠ 6 6 2⎠ ⎝
1090.
11 5 12 ⎛ 77 ⎞ 132 ⋅ ( −7, 7 ) = ⋅⎜ − = −13, 2 . ⎟ =− 7 10 ⎠ 10 7 ⎝
12 b
д) 1
all
5 3 1⎞ ⎛ 1⎞ 10 ⎛ 9 ⎞ 15 ⎛ ґ) ⎜ −3 ⎟ ⋅ ⎜ −2 ⎟ = − ⋅⎜ − = 7, 5 ; ⎟= ⎝ 3⎠ ⎝ 4⎠ 3 ⎝ 42 ⎠ 2
a –3,4 –0,7 2,9 5,8 14 27 84 108 b –7,5 26,4 –94 –67 –73 –0,9 –3,8 –10,8 a ⋅ b 25,5 –18,48 –272,6 –388,6 –1022 –24,3 –319,2 –1166,4
1091. а) −2, 3 − (5, 8 ⋅ ( −2, 3 ) ) = −2, 3 − ( −13, 34 ) = 11, 04 ; б) 5, 8 − (5, 8 ⋅ ( −2, 3 ) ) = 5, 8 − ( −13, 34 ) = 19, 14 ;
в) (5, 8 + ( − 2, 3 ) ) − (5, 8 − ( −2, 3 ) ) = 3, 5 − ( −13, 34 ) = 16, 84 . 1092. а) б) в) 1093.
( −2, 7 ⋅ ( −5) ) − ( −2, 7 ) = 13, 5 + 2, 7 = 7, 29 ; ( −2, 7 ⋅ (5) ) − ( −5) = 13, 5 + 5 = 18, 5 ; (2, 7 ⋅ ( −5) ) − ( −2, 7 + ( −5) ) = 13, 5 − ( −7, 7 ) = 21, 2 .
a ⋅ b = a ⋅ b — вірно завжди.
1094. а) б)
( x + 3) ⋅ 5 = ( −3,1 + 3) ⋅ 5 = −0, 5 ; ( c − 1) ⋅ 6 = ( 0, 75 − 1) ⋅ 6 = −0, 25 ⋅ 6 = −1, 5 .
143
1095. а) −0, 6 ⋅ 7 + 3, 6 ⋅ 0, 4 = −4, 2 + 1, 44 = −2, 76 ; б) ( 3, 7 − 4, 8 ) ⋅ 3, 5 = −1, 1 ⋅ 3, 5 = −3, 85 ;
МАТЕМАТИКА
в) 1 − 3, 5 ⋅ ( 2 − 2, 4 ) = 1 − ( −1, 4 ) = 2, 4 ; г) д) е)
( −0, 5)2 − 0, 4 ⋅ 2, 8 = 0, 25 − 1,12 = −0, 87 ; 1, 32 − ( −3 ) ⋅1, 8 = 1, 69 − ( −5, 4 ) = 7, 09 ; 2 2 −3 − (1, 5 − 2, 7 ) = −3 − ( −1, 2 ) = −3 − 1, 44 = −4, 44 .
1096. а) −
2 1 2 4 5 ⋅ 0, 4 + 2 ⋅ ( −5 ) = − ⋅ + ⋅ ( −5 ) = 3 2 3 10 3 3
=−
42 ⎛ 2515 ⎞ 8 + 375 383 23 + − ; =− =− = −12 15 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 30 30 30 2
2 ⎛ 1 ⎞ 1 2 ⎛ 4 ⎞ 1\9 ⎛ 8\4 ⎞ 9 − 32 23 ⎛ 1 ⎞ + − = =− ; б) ⎜ 1 − 2⎟ + ⋅ ⎜ −1 ⎟ = + ⋅ ⎜ − ⎟ = ⎝ 2 ⎠ 3 ⎝ 3⎠ 4 3 ⎝ 3⎠ 4 ⎜⎝ 9 ⎠⎟ 36 36 2
net
2⎞ 1 2 ⎛ в) ⎜ −2 ⎟ − 3 + 2, 2 = ( −2, 4 ) − 3, 2 + 2, 2 = 5, 76 − 1 = 4, 76 ; ⎝ 5⎠ 5 2
1097. а) 3 ( x + 1) = 0 x = −1 ; в)
( −7 ) . (5 − x ) = 0
б)
5−x = 0
all
x +1 = 0
ov.
⎛ 3\3 2\7 ⎞ ⎛ 2\7 3\5 ⎞ 9 − 14 14 + 15 89 5 29 г) ⎜ − =− . ⋅ + = ⋅ =− ⋅ 147 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 5 7 ⎟⎠ 21 35 21 35 7 ⎝ 7
x =5 ;
x−3 = 0
12 b
x=3 .
1098. а) x = −5
б) x = −5
−8 ⋅ ( −5 ) = 70 ;
12 ⋅ ( −5 ) = −60 ;
в) x = −60
0, 5 ⋅ ( −60 ) = 30 .
1099. а) 0 − 2, 3x = 0
б)
x=0 ;
( −2, 5) x = 10 x = 1− : ( −2, 5 ) x = −4 ;
в)
x ⋅ ( −4, 8 ) = 0 x=0 ;
г)
x − 3 ⋅ ( −5 ) = 0 x−3 = 0 x=3 ;
ґ) ( 2 − x ) ⋅ 4 = 8 8 − 4x = 8 −4x = 0
144
x=0 .
( −3) x = 0 − 3x — при будь-яких x; 0 − 0, 4x = ( −0, 4 ) ⋅ x — при будь-яких
1101. а) a < 0 ;
б) a > 0 ;
1102. а) так;
б) так.
x. в) a > 7 .
1103. c > a . 1104. а) 21 ⋅125 ⋅ 8 − 3 = 1000 ⋅ 63 = 63 000 ; 3
б)
МАТЕМАТИКА
1100.
3
2 3 3 2 1 15 21 2 ⋅9 9 ⋅ ⋅ 3 ⋅ 2, 1 = ⋅ ⋅ ⋅ = = . 4 4 10 15 5 7 5 7 40 20 20
1105. 2x + 5 + 4x = 6x + 5 . 1106. а) 5, 2x − 7 = 6
б) 4 + 5x = 10 5x = 6
net
5, 2x = 13 13 x= = 2, 5 ; 5, 2
S2 = 145 : 2 = 72, 5 (км).
6 = 1, 2 . 5
ov.
1107. S1 = 60 + 85 = 145 (км);
x=
all
1 ⎛ 23 5 ⎞ ⎛ 5 ⎞ 1108. ⎜ 3 + 2, 4 − 1, 9⎟ : 3 = ⎜ + ⎟ :3 = ⎝ 6 ⎠ 10 2 ⎠ ⎝ 6
12 b
4 ⎛ 23 3 ⎞ 1 26 1 26 13 =⎜ + ⋅ = ⋅ = = =1 ⎝ 6 6 ⎟⎠ 3 6 3 18 9 9 26 ⎛ 5 ⎞ ⎜⎝ 3 6 + 2, 4 − 1, 9⎟⎠ : 2 = 6
13
⋅
1 13 = 6 2
13\3 26 39 ⋅ 26 13 − = = . 6 18 18 18 1109. Квадрат простого числа. 1110. Ні, тобто залишилася непарна кількість клітинок.
§ 33. Ділення раціональних чисел 1112. а) 105 : ( −21) = −5 ;
в) 924 : ( −22 ) = −42 ;
1113. а) −432 : 18 = −24 ; в) −969 : ( −17 ) = 57 ;
б) −114 : 19 = −6 ; г) −111 : 37 = −3 . б) −504 : 21 = −24 ; г) −141 : 47 = −3 .
145
1114. а) 72, 5 : ( −29 ) = −2, 5 ;
б) 70, 2 : ( −26 ) = −2, 7 ;
в) −5, 98 : ( −23 ) = 0, 26 ;
г) −5, 4 : 3, 6 = −1, 5 .
МАТЕМАТИКА
1115. а) −337 : ( −2, 9 ) = 130 ;
б) −83, 7 : 2, 7 = −31 ;
в) −55, 5 : ( −3, 7 ) = 15 ;
г) −19, 6 : ( −1, 4 ) = 14 .
1116. а) −3 : 0, 25 = −12 ;
б) −6 : 0, 15 = −40 ;
в) −7 : ( −0, 25 ) = 28 ;
г) −169 : ( −1, 3 ) = 130 .
1117. а) 0, 2 : ( −5 ) = −0, 04 ;
б) −0, 6 : ( −0, 75 ) = 0, 8 ;
в) −1 : ( −2, 5 ) = 0, 4 ;
г) 324 : ( −0, 18 ) = −1800 .
3 3 1 1 : ( −3 ) = ⋅ = ; 7 7 3 7 4 4 1 1 =− . : ( −4 ) = − ⋅ в) 5 5 4 5
б) −
1118. а) −
2 1 1 1 : = − ⋅ 4 = −2 ; 2 4 2 4
1120. а)
б) −
( −2) :
ov.
3 ⎛ 9 ⎞ 3 20 4 1 : − = ⋅ = =1 . 5 ⎜⎝ 20 ⎟⎠ 5 9 3 3 3 1 = −2 ⋅ 2 = −4 ; 2
all
в) −
2
6 ⎛ 3⎞ 6 7 : − = ⋅ =2; 7 ⎜⎝ 7 ⎟⎠ 7 3
net
1119. а) −
7 7 1 1 : ( −7 ) = ⋅ = ; 9 9 7 9
б) 3
5
1 10 ⎛ 1 ⎞ 5 2 : ( −2 ) = ⋅ − = − = −1 ; 3 3 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 3 3
2
1⎞ 5 4 1 ⎛ : −1 ⎟ = ⋅ =2 . 2 ⎜⎝ 4⎠ 2 5
12 b
в) −2
1121.
x
–3
–2
–1
2
3
0,6
1,5
6:x
–2
–3
–6
3
2
10
4
x : ( −5 )
0,6
0,4
0,2
–0,4
–0,6
–0,12
–0,3
1122. а) г)
3, 5 = 1, 25 ; 2, 8
б)
−5 = −25 ; 0, 2
2, 4 = −0, 16 ; −15
д)
0, 36 = 0, 08 . 4, 5
1123. а) 335 : ( −67 ) + 13 = −5 + 13 = 8 ;
б) 189 : ( −63 ) − 28 = −3 − 28 = −31 ;
в) 25 − 2, 5 : ( −0, 5 ) = 25 − ( −5 ) = 30 ;
146
г) 32, 4 + 6 : ( −0, 15 ) = 32, 4 − 40 = −7, 6 .
в)
−3 = −2 ; 1, 5
1124. а) 22, 8 : ( −5, 7 ) − 23 = −4 − 23 = −27 ; в) 2, 2 : ( −0, 5 ) +
1 1 44\2 1\5 −88 + 5 83 3 = −4, 4 + = − + = =− = −4 ; 4 4 10 4 20 20 20 9
г) −6, 3 : =−
7 1 63 9 8 81\7 8\10 +1 = − ⋅ + =− + = 9 7 10 7 7 10 7
567 80 487 67 + =− = −6 . 70 70 70 70
1125. а) 17 − 36, 6 : ( −6, 1) = 17 + 6 = 23 ;
МАТЕМАТИКА
б) −30, 5 : ( −6, 1) − 2, 8 = 5 − 2, 8 = 2, 2 ;
б) 11 − 4, 84 : ( −0, 11) = 11 + 44 = 55 ;
в) 5, 4 − 5, 4 : ( −36 ) = 5, 4 + 0, 15 = 5, 55 ;
г) −2, 5 + 2, 5 : ( −1) = −5 .
б) x : ( −5 ) = −12 : 100
1126. а) 7 : x = −7 : 13 7 ⋅13 = −13 ; x= −7
в) −25 : 8 = x : ( −n )
г) 26 : 5 = 39 : ( −x )
−25 ( −n ) 25 1 = n=3 n ; 8 8 8
3
− 39 ⋅ 5 15 =− = −7, 5 . 2 26 2
ov.
x=
−5 ⋅ ( −12 ) = 0, 6 ; 100
net
x=
x=
100\10 35\3 1000 − 105 895 179 5 − = = = = 29 ; 10 30 30 6 6 36 3
12 b
= 12 ⋅
all
1127. а) −12 : x − 3, 5 = −12 : ( −0, 36 ) − 3, 5 =
б) 2, 8 + a : ( a + 2 ) = 2, 8 + 1128. а) −3x = 9 9 x= = −3 ; −3 в) 4x + 20 = 8
−2, 5 −2, 5 = 2, 8 + = 2, 8 + 5 = 7, 8 . −2, 5 + 2 −0, 5 б) 5x = −35 −35 x= = −7 ; 5 г) 0, 5x + 13 = 8
4x = 8 − 20 = −12 −12 x= = −3 ; 4 ґ) 19 − 8x = 23 8x = 19 − 23 = −4 x=
−4 1 =− ; 8 2
0, 5x = 8 − 13 = −5 −5 x= = −10 ; 0, 5 д)
1 1 x +1 = 2 5 1 1 4 x = −1 = − 2 5 5 4 1 4 x = − : = − ⋅2 5 2 5 8 3 x = − = −1 . 5 5
147
1129. а) 78 : ( −26 ) + 115 : ( −23 ) = −3 − 5 = −8 ;
МАТЕМАТИКА
б) −87 : 2, 9 − 102 : ( −1, 7 ) = −30 + 60 = 30 .
1130. а) 3, 8 − 51 : ( 21 − 4 ) = 3, 8 − 3 = 0, 8 ;
б) 8, 7 − ( 99 − 31) : ( −17 ) = 8, 7 + 4 = 12, 7 .
1131. а) −2, 7 ⋅ 3, 8 − 9, 5 : ( −19 ) = −10, 26 + 0, 5 = −9, 76 ; б) −5, 7 : 19 + 2, 5 ⋅ 3, 4 = −0, 3 + 8, 5 = 8, 2 .
1132. а) б)
( −1, 2)2 − 111 : ( −37 ) = 1, 44 + 3 = 4, 44 ; 2 12, 4 : ( −31) − ( −1, 1) = −0, 4 − 1, 21 = −1, 61 .
1133. а) −18 : ( −6 ) − 0, 5 = −0, 5 − 0, 5 = −1 ; 2
б) −4, 7 − ( −2, 1) : ( −7 ) = −4, 7 − 4, 41 : ( −7 ) = = −4, 7 + 0, 63 = −4, 07 .
net
2
3
2 4 2 ⎛ 4 ⎞ 2 9 2 : − :⎜ − − ⎟ =− ⋅ 3 9 5 ⎝ 15 ⎠ 3 42 5
⎛ 15 3 ⎞ 3 3 ⋅⎜ − ⎟ = − + =0; 2 2 ⎝ 42 ⎠
ov.
1134. а) −
5
1135.
a
all –2
–2,5
0,2
b
0,5
–0,1
a:b
–4
25
b:a
–0,25
0,04
1136. а) 2 ( 3 − x ) = 24
в)
148
(
)
\2 1 2 ⎛ 1 ⎞ 3 10 2 5 1 : 0, 6 − : ⎜ − =− ⋅ − ⋅ − 14 = − + 4 = 1 = 1, 5 . 2 7 ⎝ 14 ⎠⎟ 2 2 2 62 7
12 b
б) −1
0,3
1,6
3,6
–0,04
–6
–0,8
–0,45
–5
–0,05
–2
–8
–0,2
–20
–0,5
–0,125
б) 4 ( x + 7 ) = 22
3 − x = 24 : 2 = 12
x + 7 = 22 : 4 = 5, 5
x = 3 − 12 = −9 ;
x = 5, 5 − 7 = −1, 5 ;
2 3 x + 14 = 5 5 2 3 2 x = − 14 = −13 5 5 5 2 2 67 5 x = −13 : = − ⋅ 5 5 5 2 67 x=− = 33, 5 ; 2
1 ( x − 6 ) = 11 3 1 − ( x − 6 ) = 11 − 2 = 9 3 ⎛ 1⎞ x − 6 = 9 : ⎜ − ⎟ = 9 ⋅ ( −3 ) = −27 ⎝ 3⎠
г) 2 −
x = −27 + 6 = −21 .
1 ⎛ 2⎞ б) x : ⎜ − ⎟ = ( −3 ) : ⎝ 3⎠ 2 1 2 x = − ⋅ −3 : 2 3
2 4 : 5 9 ⎛ 4 ⎞ 2 x =⎜−3 ⋅ : 9 3 ⎟⎠ 5 ⎝ 2 4 5 10 x=− ⋅ =− 3 2 3 1 x = −3 ; 3
1137. а) −3 : x =
x = 2⋅2 = 4 .
1138. −3, 5 : 0, 07 = −50 ; 6, 3 : ( −0, 9 ) = −7 3
75 5 5 1 ⎛ 3⎞ −0, 75 : ⎜ − ⎟ = ⋅ = =1 ; ⎝ 5 ⎠ 100 4 3 4 4
МАТЕМАТИКА
( )
4
2 2 100 8 3 : 0, 25 = − ⋅ = − = −1 ; 5 5 25 5 5
1
3 ⎛ 2⎞ 7 ⎛ 7 ⎞ 49 : −2 ⎟ = ⋅ ⎜ − . ⎟ =− 4 ⎜⎝ 7 ⎠ 4 ⎝ 16 ⎠ 64
1139.
( −0, 2)2 : ( −0, 4 )2 =
1140.
( −1)3 : ( −0, 5)3 =
0, 04 = 0, 25 . 0, 16
ov.
−1 =8 . −0, 125
net
−
2, 4 1 + = 4+4 = 8 ; 0, 6 0, 25 1 −4 + = 2, 5 − 8 = −5, 5 ; б) 0, 4 0, 5 3 3 + = 3, 75 − 7, 5 = −3, 75 ; в) 0, 8 −0, 4
1142.
12 b
all
1141. а)
г)
5, 6 + ( −0, 6 ) = 1, 6 − 0, 6 = 1 ; 3, 5
ґ)
5 ⋅ 0, 3 − 3, 2 1, 5 − 3, 2 −1, 7 = = = −1 ; 1 : 0, 5 − 0, 3 2 − 0, 3 1, 7
д)
( −0, 3)2 − ⎛⎝⎜
2
−1 ⎞ = 0, 09 − 0, 04 = 0, 05 . 5 ⎠⎟
( a ⋅ c ) : a = a ⋅ ( c : a ) — завжди вірно ( 2 ⋅ 4 ) : 2 = 2 ⋅ ( 4 : 2) = 4 ( −2 ⋅ 4 ) : ( −2) = ( −2) ⋅ ( 4 : ( −2) ) = 4 (2 ⋅ ( −4 ) ) : 2 = 2 ⋅ (( −4 ) : 2 ) = −4 . a ac = , при c = ±1 ca a a a a : (c ⋅ a) = (a : c) ⋅ a → = , при будь-яких c ≠ 0 . c ⋅ a ca
1143. a : ( c ⋅ a ) = a ⋅ ( c : a ) →
149
1144.
a : b = a : b — вірно завжди; a : b = a : b при a, b > 0 , або a, b < 0 .
МАТЕМАТИКА
1145. a : a , 1146. Ні,
a : a рівні 1 або –1.
a a − =0 . a a
1147. а) Булочка;
б) плющ;
в) флюс;
г) хвилина.
S = 2, 12 = 4, 41 (дм2).
1148. a = P : 4 = 8, 4 : 4 = 2, 1 (дм);
1149. S = πr 2 = 3, 14 ⋅ ( 0, 8 : 2 ) = 3, 14 ⋅ 0, 16 ≈ 0, 5 (м2). 2
1150. l = 2πr = 2 ⋅ 3, 14 ⋅ 4 = 25, 12 (м); S = πr 2 = 3, 14 ⋅ 42 = 50, 24 (м2).
(
)
(
)
1152. b = 0, 25a ; a − b = 37 a − 0, 25a = 37 0, 75 = 37
1 x + 3 = 0, 5x + 3 2
all
1153. I в. —
3 4 148 1 = 37 ⋅ = − a = 49 . 4 3 3 3
ov.
a = 37 : 0, 75 = 37 :
net
1151. S = π r 2 − r12 = 3, 14 ⋅ 82 − 42 = 3, 14 ⋅ 48 = 150, 72 (см2).
12 b
⎛1 ⎞ II в. — ⎜ x − 3⎟ : 2 + 3 = 0, 25x + 1, 5 ⎝2 ⎠ ⎛⎛ 1 ⎞ ⎞ III в. — ⎜ ⎜ x − 3⎟ : 2 − 3⎟ : 2 + 3 = 0, 125x + 0, 75 ⎠ ⎝⎝ 2 ⎠ Останок — 4 цукерки.
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
x
x = ( 0, 5x + 3 ) + ( 0, 25x + 1, 5 ) + ( 0, 125x + 0, 75 ) + 4 x = 0, 875x + 9, 25 x − 0, 875x = 9, 25 0, 125x = 9, 25 9, 25 x= = 74 (цукерки). 0, 125
§ 34. Властивості додавання і множення 1158. а) 7, 8 + ( −2, 5 ) = −2, 5 + 7, 8 = 5, 3 ;
б) −2, 9 + 4, 8 = 4, 8 + ( −2, 9 ) = 1, 9 .
1159. а) 21 + ( −35 ) + 38 + ( −62 ) = 59 − 35 − 62 = −38 ;
150
б) 59 + ( −49 ) + 38 + 79 + ( −86 ) = 176 − 49 − 86 = 41 .
1160. а) 38 + ( −27 ) + ( −33 ) + 42 = 80 − 110 = −30 ;
1161. а) б)
( −19) + 47 + ( −29) + 53 = 100 − 29 − 19 = 52 .
( −5, 7 ) + 3, 9 + ( −1, 2) + 4,1 = 8 − 5, 7 − 1, 2 = 1,1 ; 13, 8 − 17, 1 + ( −1, 7 ) + ( −3, 3 ) = 13, 8 − 22, 1 = −8, 3 .
1162. −9 + ( −8 ) + ( −7 ) + ( −6 ) + ( −5 ) + ( −4 ) + ( −3 ) + ( −2 ) + ( −1) + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = = −45 + 21 = −24 . 1163. а) так;
1164.
в) так;
г) так.
3
–4
–5
43
–56
–83
–97
b
–2
38
–76
–73
138
297
388
c
–9
–43
96
–89
–95
–49
–138
a+b+c
–8
–9
15
–119
–13
165
153
net
a
( −5) ⋅ ( −2) ⋅ ( −0, 5) = ( −2) ⋅ ( −0, 5) ⋅ ( −5) = ( −0, 5) ⋅ ( −5) ⋅ ( −2) = −5 ( −5 ⋅ ( −2) ) ⋅ ( −0, 5) = −5 ⋅ ( −2 ⋅ ( −0, 5) ) = −5 (( −5) + ( −2) ) ⋅ ( −0, 5) = ( −5) ⋅ ( −0, 5) + ( −2) ⋅ ( −0, 5) = −7 ⋅ ( −0, 5) = 2, 5 + 1 = 3, 5 .
ov.
1165.
б) немає;
МАТЕМАТИКА
б)
( −7 ) ⋅ ( −8 ) ⋅ 0, 5 = 28 ;
1167. а)
( −2, 5) ⋅ ( −12) ⋅ ( −10 ) = −300 ;
б) −23 ⋅ 0, 75 ⋅ ( −4 ) = 69 .
1168. а)
( −3) ⋅ 20 ⋅ ( −8 ) ⋅ 0, 5 = 240 ;
б) 12 ⋅ ( −5 ) ⋅ ( −2 ) ⋅ ( −0, 5 ) = −60 .
12 b
1169. а) −
1170. а)
б) 2, 5 ⋅ ( −6 ) ⋅ 40 = −600 .
all
1166. а)
(
)
2 1 ⋅ − 32 ⋅ 8 = 16 ; 16
( −12) ⋅ 5 + 20 ⋅ 4 = 20 ;
1171. а) 13 − ( −4 ) ⋅ 25 ⋅ 0, 1 = 23 ;
б)
⎛ 1⎞ 1 ⋅ − 6 ⋅ ⎜ − ⎟ ⋅ ( −0, 1) = −0, 1 . ⎝ 3⎠ 2
( )
б) 25 ⋅ ( −2 ) − 75 ⋅ ( −1) = 25 . б) −3 ⋅ ( −5 ) ⋅ 8 − 85, 3 = 34, 7 .
⎛ 1⎞ 2 1 − 6 ⋅ − 6 ⋅ 4 ⋅ ⎜ − ⎟ = −23 ; 3 3 ⎝ 6⎠ ⎛ 1 ⎞ 1 6 5 б) 6 + 35 ⋅ − 2 ⋅ ⎜ − = , + 17, 5 = 24 . 2 ⎝ 4 2 ⎟⎠
1172. а)
( ) ( )
( −4 )2 = 16 ; ( −6 )2 = 36 ; ( −7 )2 = 49 ; ( −11)2 = 121 ; ( −3)2 = 9 ; ( −4 )3 = −64 ; ( −5)3 = −125 ;
1173. а)
151
б)
( −0,1)2 = 0, 01 ; ( −0, 2)2 = 0, 04 ; ( −0, 6 )2 = 0, 36 , ( −0,1)3 = −0, 001 ; ( −0, 2)3 = −0, 008 ;
МАТЕМАТИКА
2
2
2
3
1 9 4 1 ⎛ 1⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 1⎞ в) ⎜ − ⎟ = ; − = ; − = ; − =− ; ⎝ 5⎠ 25 ⎜⎝ 7 ⎟⎠ 49 ⎜⎝ 9 ⎟⎠ 81 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 27 2
3
2
2
1⎞ ⎛ 3⎞ 27 3 ⎛ 2⎞ ⎛ 8⎞ 64 1 ⎛ ⎜⎝ −1 2 ⎟⎠ = ⎜⎝ − 2 ⎟⎠ = − 8 = −3 8 ; ⎜⎝ −2 3 ⎟⎠ = ⎜⎝ − 3 ⎟⎠ = 9 = 7 9 . 1174. а) ( −3 ) + 7 = 16 ; б) ( −5 ) − 22 = 25 − 4 = 21 ; в) ( −4 ) + ( −2 + 6 ) = −4 + 16 = 12 . 2
1175. а) б) в)
2
2
( −7 )2 + 32 = 49 + 9 = 58 ; ( 0, 6 )2 + ( −0, 4 )2 = 0, 36 + 0,16 = 0, 52 ; 2 1, 22 + ( −2, 1) = 1, 44 + 4, 41 = 5, 85 .
1176. а) ( 5 + 12 ) = 172 − 289 ; 2
б)
в) (12, 7 + ( −11, 7 ) ) = 1 .
( −3, 4 + 3, 2)2 = ( −0, 2)2 = 0, 04 ;
( −4 )3 + ( −3)3 = −64 − 27 = −91 3 ( −4 + ( −3) ) = ( −7 )3 = −343 ;
б) 53 + ( −2 ) = 125 − 8 = 117 3
ov.
1177. а)
net
2
(5 + ( −2) )
3
= 27 ;
all
в) −3, 13 + 33 = −29, 791 + 27 = −2, 791
(( −3,1) + 3 ) = ( −0,1)
3
= −0, 001 .
12 b
3
1178. а) −3, 6 + ( −2, 7 ) + 8, 9 + ( −7, 5 ) + 44 = 39, 1 ; б)
( −8, 76 ) + 3, 21 + ( −8, 42) + ( −7, 56 ) + 9, 82 = −11, 71 .
1179. а) 67 + ( −87, 5 ) + 56, 8 + ( −46, 9 ) + ( −28, 7 ) = −39, 3 ; б) −0, 74 + 0, 72 + 1, 21 + ( −0, 95 ) + ( −1, 7 ) = −1, 46 .
1180. а) б)
1 ⎛ 2⎞ 4 ⎛ 2⎞ 2 ⎛ 1⎞ 2 + − + + − + 3 + ⎜ −2 ⎟ = 1 ; 3 ⎝⎜ 3 ⎠⎟ 3 ⎜⎝ 3 ⎠⎟ 3 ⎝ 3⎠ 3 1 3 ⎛ 3⎞ ⎛ 5⎞ 1 ⎛ 3⎞ + + − + − + + − = −1 + 1 − 1 = −1 . 2 4 ⎜⎝ 8 ⎟⎠ ⎜⎝ 8 ⎟⎠ 4 ⎜⎝ 2 ⎟⎠
1 ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ 3 ⎛ 1⎞ 1181. а) 0, 5 + ⎜ − ⎟ + + ⎜ − ⎟ + 3 + ⎜ −1 ⎟ = 0, 5 + 2 = 2, 5 ; ⎝ 5⎠ 5 ⎝ 5⎠ 2 ⎝ 2⎠ б) −
152
5 2 ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ + 0, 2 + + ⎜ − ⎟ + 0, 8 + ⎜ − ⎟ = −1 + 1 = 0 . ⎝ 3⎠ 6 3 ⎝ 6⎠
( −3, 8 + 5, 2) + (37 + ( −84 ) ) = 1, 4 − 47 = −45, 6 .
1183.
(5, 2 + ( −3, 7 ) + ( −5, 4 ) ) + (( −3, 7 ) + ( −5, 2) ) = −3, 9 − 8, 9 = −12, 8 .
1184.
32 + ( −8 ) + ( −17 ) + ( −12 ) = − 5 = 5 32 + − 8 + − 17 + − 12 = 69 = 69 .
Місяць
Доход
Витрата
Сальдо
Січень
3152
2675
477
Лютий
4533
6473
–1940
Березень
2453
2316
137
Квітень
2085
2347
–262
Травень
5642
5804
–162
Усього
17 865
net
1185.
–1750
ov.
19 615
МАТЕМАТИКА
1182.
1186. а) x + y + z + ( −2 ) = −2, 3 + 3, 8 + ( −0, 5 ) + ( −2 ) = −1 ;
1187.
all
б) 0, 207 + 0, 875 + ( −1, 67 ) + ( −2 ) = −2, 588 .
( −3 + ( −5) ) = ( −8 ) 3
3
= −512
12 b
( −3) + ( −5) = −27 + ( −125) = −152 −152 − ( −512 ) = 360 менше. 3
3
1188. 0, 13 + ( −0, 2 ) = 0, 001 − 0, 008 = −0, 007 3
0, 12 + ( −0, 2 ) = 0, 01 + 0, 04 = 0, 05 2
0, 05 − ( −0, 007 ) = 0, 057 менше.
1189. а) 8, 6 ⋅ 9, 7 − 3, 4 ⋅ 7, 1 − 6, 8 ⋅ 3, 6 = 83, 42 − 24, 14 − 24, 48 = 34, 8 ; б) −3, 9 ⋅ 4, 2 + 2, 5 ⋅ 7, 9 − 8, 3 ⋅ 4, 1 = −16, 38 + 19, 75 − 34, 03 = −30, 66 ; в) −2, 5 ⋅ ( −3, 2 ) + ( −8 ) ⋅ ( −0, 25 ) − 3, 7 ⋅ ( −2, 5 ) = 8 + 2 + 9, 25 = 19, 25 .
1190. а) − б) −
1 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⋅ − ⋅ − ⋅ ( −1) ⋅ ( −2 ) ⋅ ( −4 ) ⋅ ( −8 ) = −1 ; 8 ⎜⎝ 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 1 1 ⎛ 1⎞ 1 ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ( −1) ⋅ 2 ⋅ ( −3 ) ⋅ 4 ⋅ ( −5 ) = −1 ; 5 4 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 2
153
⎛ 1 1\2 1\3 ⎞ ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 1 ⎞ в) ⎜ − − ⋅ − − ⋅ − − = 2 ⎠⎟ ⎜⎝ 3 2 6 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 6 3 ⎟⎠ ⎝6 3
МАТЕМАТИКА
2
4 ⎛ 2 ⎞ 2 ⎛ 1− 2 − 3 ⎞ ⎛ 2 − 3 −1 ⎞ ⎛ 3 −1− 2 ⎞ ⋅ − = . =⎜ ⎟⎠ = − ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ ⎝ 6 6 6 6 3 ⎜⎝ 6 3 ⎟⎠ 9 1191.
( −12) ⋅ ( −11) ⋅…⋅ 0 ⋅1⋅ 2 ⋅…⋅ (12) = 0 .
1192. a ( −b ) = ( −a ) ⋅ b ;
б) −3 ⋅ ( − ( −5 ) ) = − ( −3 ) ⋅ ( −5 ) = −15 ;
⎛ ⎛ 1⎞⎞ ⎛ 1⎞ в) −0, 3 ⋅ ⎜ − ⎜ − ⎟ ⎟ = − ( −0, 3 ) ⋅ ⎜ − ⎟ = −0, 1 . ⎝ 3⎠ ⎝ ⎝ 3⎠⎠ 1193. а) при будь-яких значеннях: a ⋅ b ⋅ c ( −1) ;
net
б) при будь-яких значеннях: розподільний закон множення ( a + b ) ⋅ c = ac + bc → Нехай cd = m → ( a + b ) ⋅ cd = ( a + b ) ⋅ m = am + bm = acd + bcd ;
ov.
в) при будь-яких значеннях: Нехай a + b = m ; d + e = n → ( a + b + d + e ) ⋅ c = ( m + n ) ⋅ c = mc + nc = ( a + b ) ⋅ c + ( d + e ) ⋅ c = ac + bc + dc + ec , відповідно до розподільного закону;
all
г) при будь-яких значеннях: ( a − b − d + e ) ⋅ c = ( a + ( −b ) + ( −d ) + e ) ⋅ c . Нехай a + ( −b ) = m , ( −d ) + e = n → ( m + n ) ⋅ c = mc + nc = ( a + ( −b ) ) ⋅ c + (( −d ) + e ) ⋅ c =
12 b
= ac + ( −b ) c + ( −d ) ⋅ c + ec = ac − bc − dc + ec — розподільний закон;
д) при будь-яких значеннях: 1 a b d (a + b − d) : c = (a + b − d)⋅ = + − = a : c + b : c − d : c . c c c c 1194. а) 3x2 − 1 = 3 ⋅ ( −5 ) − 1 = 74 ; 2
б) ( 2x ) + 3 = ( 2 ⋅ ( −0, 6 ) ) + 3 = 1, 44 + 3 = 4, 44 ; 2
2
в)
(
1195.
0 1 –2
154
)
3 2 3 2 2 3 x + 10 = ( −3 ) + 10 = − 27 + 10 = −6 + 10 = 4 . 9 9 9
–3 2
–3 –1
2
0 + 1 − 2 = −2 − 1 + 2 = 0 − 3 + 2 = −1
–1
0 –2
1
−3 + 2 − 1 = −1 − 2 + 1 = −3 + 0 + 1 = −2
x=
в)
3, 8 ⋅ 94 4, 7
б) 4, 08 : 5, 1 = 0, 7 : x
20
= 76 ;
x=
14, 4 x = 1, 2 4, 8 x=
3, 1 0, 124 = 0, 5 m
г)
14, 4 ⋅ 4, 8 1, 2
5, 1 ⋅ 0, 7 3, 57 = = 0, 875 ; 4, 08 4, 08
\4
= 57, 6 ;
m=
0, 5 ⋅ 0, 124 0, 062 = = 0, 02 . 3, 1 3, 1
3⎞ 1 ⎛ 1197. 1) ⎜ 1 − ⎟ ⋅ 3600 = ⋅ 3600 = 900 (кн.) — остача; ⎝ 4⎠ 4
МАТЕМАТИКА
1196. а) 3, 8 : x = 4, 7 : 94
2) 0, 03 ⋅ 900 = 27 (довідників).
1 ⎫ ч = x ⎪⎪ частини від загального обсягу робіт 2 ⎬ 1 3 ⎪ I та II насоса відповідно ⎛ 1 1⎞ II н. − ч = ⎜ : ⎟x= x ⎝ 2 3⎠ 3 2 ⎪⎭ 3 x = 1 — загальний обсяг робіт; 2
all
5 x =1 2 2 x= — I насос; 5
ov.
x+
net
1198. I н. −
12 b
3 3 2 3 x= ⋅ = — II насос; 2 2 5 5
1 2 1 3 1 ⋅ = ⋅ = (год) = 12 (хвилин). 2 5 3 5 5
1199. 7 − 3, 5 дм 4−a ;
5−b ;
6−c ;
7 3, 5 = ; 4 a
7 3, 5 = ; 5 b
7 3, 5 = 6 c
a=
4 ⋅ 3, 5 = 2 дм; 7
b=
5 ⋅ 3, 5 = 2, 5 дм; 7
c=
6 ⋅ 3, 5 = 3 дм. 7
1200. Rз = 6378 км (по екватору); l1 = 2πRз = 2 ⋅ 3, 14 ⋅ 6378 = 40 053, 84 (км); l2 = 2π ( Rз + 2 ) = 2 ⋅ 3, 14 ⋅ 6380 = 40 066, 4 (км); l2 − l1 = 40 066, 4 − 40 053, 84 = 12, 56 (км).
155
Самостійна робота № 6 Варіант 1 1. а) −2, 75 − 3, 8 = −6, 55 ;
б) 2, 4 ⋅ ( −3, 5 ) = −8, 4 ;
МАТЕМАТИКА
10
в) −7 : 2, 1 = −
70 10 1 =− = −3 . 3 3 21 3
2. а) x − 8 = −14
б) −6x = 15 15 x=− = −2, 5 ; 6
x = −14 + 8 = −6 ; в) 0, 2x + 7 = 5 0, 2x = 5 − 7 = −2 x = −2 : 0, 2 = −10 . 3. а)
( −0, 2)2 + ( 0, 3)2 = 0, 04 + 0, 09 = 0,13 ( −0, 2 + 0, 3)3 = 0,13 = 0, 001 0, 13 − 0, 001 = 0, 129 .
net
4. а) 5, 4 − 8, 2 + 2, 6 − ( −3, 7 ) + ( −4, 9 ) = −1, 4 ;
ov.
б) −5, 3 ⋅ 0, 2 + 0, 2 ⋅ 7 − 1, 7 ( −0, 2 ) + 3, 8 : 2 = −1, 06 + 1, 4 + 0, 34 + 1, 9 = 2, 58 .
Варіант 2
1. а) −4, 6 − 7, 85 = −12, 45 ;
all
в) 3, 8 : ( −76 ) = −0, 05 .
б) 3, 8 ⋅ ( −2, 5 ) = −9, 5 ;
12 b
2. а) x − 12 = −37
x = −37 + 12 = −25 ;
б) 8x = −4 4 1 x = − = − = −0, 5 ; 8 2
в) 0, 3x + 10 = 7
0, 3x = 7 − 10 = −3
x = −3 : 0, 3 = −10 . 3.
( −2)2 + 1, 72 = 4 + 2, 89 = 6, 89 ( −2 + 1, 7 )3 = ( −0, 3)3 = −0, 027 6, 89 − ( −2, 027 ) = 6, 89 + 0, 027 = 6, 917 .
4. а) −2, 6 + 3, 9 − 7, 4 +2, 6 − ( −2, 8 ) + ( −3, 5 ) = −4, 2 ; б) −0, 8 ⋅1, 4 + 1, 4 ⋅ ( −0, 5 ) − 1, 3 ( −1, 4 ) − 5, 6 : ( −8 ) = = −1, 12 − 0, 7 + 1, 82 + 0, 7 = 0, 7 .
Варіант 3 1. а) −1, 53 + 0, 75 = −0, 78 ;
156
в) 6 : ( −0, 3 ) = −20 .
б) 3, 6 ⋅ ( −6, 25 ) = −22, 5 ;
2. а) 13 + x = −48 x = −48 − 13 = −61 ;
б) −0, 6x = 30 x = 30 : ( −0, 6 ) = −50 ;
0, 4x = −5 + 7 = 2 x = 2 : 0, 4 = 5 . 3.
( −0, 2)3 + ( 0, 3)3 = −0, 008 + 0, 027 = 0, 019 ( −0, 2 + 0, 3)3 = 0, 001 0, 019 − 0, 001 = 0, 018 .
4. а) 3, 27 − 8, 06 + ( −2, 73 ) − ( −8, 4 ) − 4, 62 = −3, 74 ;
МАТЕМАТИКА
в) 0, 4x − 7 = −5
б) −3, 2 ⋅ 0, 5 − 0, 5 ⋅ 7 − 0, 2 ⋅ ( −0, 5 ) + 3, 8 : ( −1, 9 ) = −1, 6 − 3, 5 + 0, 1 − 2 = −7 ;
Варіант 4 1. а) −0, 75 + 1, 26 = 0, 51 ;
б) −2, 75 ⋅1, 4 = −3, 85 ;
net
в) −6, 5 : ( −13 ) = 0, 5 . 2. а) 24 − x = −13
б) −6, 7x = −33, 5
x = −33, 5 : ( −6, 7 )
x = 24 + 13 = 37 ;
all
0, 6x = 5 − 17 = −12
ov.
x =5 ;
в) 0, 6x + 17 = 5 x = −12 : 0, 6 = −20 .
( −3, 7 )2 + 42 = 13, 69 + 16 = 29, 69 ( −3, 7 + 4 )3 = 0, 33 = 0, 027
12 b
3.
29, 69 − 0, 027 = 29, 663 .
4. а) −5, 24 − 3, 57 + ( −6, 92 ) − 8, 5 − ( −4, 24 ) = −19, 99 ; б) −4, 8 ⋅ 2, 7 + 2, 7 ⋅ ( −5 ) + 2, 72 + 2, 7 : ( −5, 4 ) = = 2, 7 ( −4, 8 − 5 + 2, 7 ) −
2, 7 = 2, 7 ( −7, 1) − 0, 5 = −19, 17 − 0, 5 = −19, 67 . 5, 4
Завдання в тестовій формі 1. г)
6. в)
2. в)
7. б)
3. б)
8. б)
4. в)
9. в)
5. в)
10. г)
157
Типові задачі 1. а) 1, 15 − 7, 26 = −6, 11 ;
МАТЕМАТИКА
в) 19, 5 : ( −13 ) = −1, 5 . 2. а) 34 + x = −13 x = −13 − 34 x = 47 ; 3.
б) −2, 25 ⋅ ( −1, 4 ) = 3, 15 ;
б) 0, 7x = −3, 5 x = −3, 5 : 0, 7 x = −5 .
( −1, 2)2 = 1, 44 ( −1, 2)3 = −1, 728 .
4. а) −59 + 37 + ( −42 ) − ( −41) = −23 ; б) −2 ⋅ ( −7 ) ⋅ ( −5 ) = −70 . 2
1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ 5. a2 + 6a + 9 = ⎜ −3 ⎟ + 6 ⎜ −3 ⎟ + 9 = ⎝ ⎝ 3⎠ 3⎠ 2
net
2 10 100 1 1 ⎛ 10 ⎞ =⎜ −6 ⋅ +9= − 20 + 9 = 11 − 11 = . ⎝ 3 ⎠⎟ 9 9 9 3
7. x : ( −3, 2 ) = −4, 8 :
4 5
4 5 = 15, 36 ⋅ = 19, 2 . 5 4
all
x = ( −3, 2 ⋅ ( −4, 8 ) ) :
ov.
6. AM = M ( −5, 7 ) − A ( −7, 5 ) = −5, 7 − ( −7, 5 ) = −5, 7 + 7, 5 = 1, 8.
1 1 2 ⋅ 2 + 5 : ( −1, 25 ) − 1 : ( −3 ) = 3 7 3 \5 4 7 15 17 ⎛ 100 ⎞ 1 68 1\5 =− ⋅ + ⋅⎜ − + = ⎟ + = −5 − 3 ⎝ 125 5 ⎠ 3 15 3 3 7
12 b
8. A = −2
= −5 −
68 + 5 73 13 13 = −5 − = −5 − 4 = −9 ; 15 15 15 15
B = 3, 25 − 11 : ( −4 ) = 3, 25 + 2, 75 = 6 ; A − B = −9 9.
13 13 − 6 = −15 . 15 15
5y − 1, 3 = 2, 7 5y1 = 2, 7 + 1, 3 = 4 4 y1 = = 0, 8 ; 5 5y2 = −2, 7 + 1, 3 = −1, 4 y2 = −1, 4 : 5 = −0, 28 .
10. a + b < a + b , якщо b < 0 й a > 0 або a < 0 і b > 0 Н., a = 3, b = −2 ;
158
3 + ( −2 ) = 1 < 3 + −2 = 5 .
§ 35. Перетворення простих виразів б) 5a − 3a = 2a ;
−x + 6x = 5x ;
6 p − 12 p = −6 p ;
8x − 2x + 2 = 6x + 2 ;
5 − 7c + 2c = 5 − 5c ;
0, 5x + 0, 3x = 0, 8x ;
−2y + 0, 5y = −1, 5y ;
МАТЕМАТИКА
1203. а) 2x + 3x = 5x ;
в) 17c − 2c = 15c ; −4a − 10a = −14a ; 4n + 3 − 3n = n + 3 ; 0 − 3c + 5c = 2c . 1204 а) −6 ;
в) −1 ;
б) 5,2;
1205. а) 2x ⋅ 3y = 6xy ; г) −5x ⋅ ( − y ) = 5xy ;
б) −x ⋅ 8y = −8xy ;
в) 2x ⋅ ( −0, 5y ) = −xy ; д) 3, 3x ⋅ ( −10x ) = −33x2 .
б) 0, 5 ( 2 + c ) = 1 + 0, 5c ;
г) −5 ( x − y ) = 5y − 5x ;
net
в) 4 ( 2a + 3b ) = 8a + 12b ;
д) −3 ( a − 2b ) = 6b − 3a . б) c − ( x − 3 ) = c − x + 3 ;
ov.
ґ) −2 ( 2 + c ) = −4 − 2c ;
в) 23 − ( x − a ) = 23 − x + a ;
г) x − ( 2 + y ) = x − 2 − y ;
д) 0, 5 + ( x − y ) = 0, 5 + x − y .
all
ґ) x + ( 3 − a ) = x + 3 − a ;
ґ) −71 .
ґ) y ⋅ 7y2 = 7y3 ;
1206. а) 2 ( x − y ) = 2x − 2y ;
1207. а) 9 + ( a − x ) = 9 + a − x ;
г) 1;
1208. а) − ( x + 2 ) − y = −x − 2 − y ;
12 b
в) 1 − ( a + c + x ) = 1 − a − c − x ;
ґ) x − ( 5c − 2 ) = x − 5c + 2 ;
б) − ( 5c − 2 ) + 1 = −5c + 2 + 1 = −5c + 3 ; г) 5 − ( x + 2 ) = 5 − x − 2 = 3 − x ;
д)
( a + 1) − ( x + y ) = a + 1 − x − y .
1209. а) 81 − ( 35 + 19 ) = 81 − 35 − 19 = 27 ;
б) − ( 43 + 12 ) + 43 = −43 − 12 + 43 = −12 ;
в) 4, 5 − (7, 2 − 10, 8 ) = 4, 5 − 7, 2 + 10, 8 = 8, 1 ; г) 3, 4 + ( 2, 7 − 3, 4 ) = 3, 4 + 2, 7 − 3, 4 = 2, 7 .
1210. а) 4, 3 + ( 2 − 3, 5 ) = 4, 3 + 2 − 3, 5 = 2, 8 ;
б) 5, 2 − ( −6 + 9, 4 ) = 5, 2 + 6 − 9, 4 = 1, 8 ;
в) 0 − ( 9, 45 − 4, 4 ) = −9, 45 + 4, 4 = −5, 05 ; г) 11 − (7, 3 − 9 ) = 11 − 7, 3 + 9 = 12, 7 .
1 3 1 3 5\4 ⎛3 ⎞ 1211. а) −4 − ⎜ − 2 + 1⎟ = −4 − + 2 − 1 = −5 − + = ⎝8 ⎠ 2 8 2 8 2 = −5 −
3 + 20 17 1 7 = −5 + = −5 + 2 = −2 ; 8 8 8 8
159
2 1 2 1 ⎛ 2 1 ⎞ б) − ⎜ 5 − − 2⎟ = −5 + + 2 = −3 + = ⎝ 3 2 ⎠ 3 2 3 2 11\2 1\3 22 3 19 1 + =− + =− = −3 ; 3 2 6 6 6 6
1 5 1⎞ 1 5 1 ⎛ в) 3 − ⎜ −2 + 1 − ⎟ = 3 + 2 − 1 + = ⎝ 3 6 2⎠ 3 6 2 =5+
1\2 11 1\3 2 11 3 − + =5+ − + = 5 −1 = 4 ; 3 6 2 6 6 6
1 1⎞ 6 1 1 1 6 ⎛ 1 г) ⎜ 3 − 2 + ⎟ − = 3 − 2 + − = ⎝ 5 7 3⎠ 7 5 7 3 7 =
16\3 1\5 48 5 53 8 8 −3+ = −3+ = −3 = 3 −3 = . 15 5 3 15 15 15 15
1212. а) 2x + 5 − 3x = 5 − x ; в) 5 − 7x + 11 = 16 − 7x ; 1213. а) 3 + ( a − 5 ) = 3 + a − 5 = a − 2 ; б) 7 − ( 2 − c ) = 7 − 2 + c = 5 + c ;
б) 3a − 2b + 7a = 10a − 2b ; г) −5b − b + a = a − 6b .
net
МАТЕМАТИКА
=−
ov.
в) x − ( 2 − x ) = x − 2 + x = 2x + 2 ;
г) −5 − ( y − 4, 3 ) = −5 − y + 4, 3 = −0, 7 − y .
all
1214. а) − ( a − c ) + ( 3 − c ) = −a + c + 3 − c = 3 − a ; б) −2 − ( x − a − 2 ) = −2 − x + a + 2 = a − x ;
г)
12 b
в) ( 5 + x ) − ( x − 5 ) = 5 + x − x + 5 = 10 ;
( x + y + z ) − ( x − y ) = x + y + z − x + y = 2y + z .
1215. 3, 7 − ( c − 2, 3 ) = 3, 7 − c + 2, 3 = 6 − c a) 6 − ( −19 ) = 25 ;
б) 6 − 0, 9 = 5, 1 ;
в) 6 − 1, 9 = 4, 1 ;
г) 6 − 9, 9 = −3, 9 .
1216. а) 0, 2x ⋅ ( −3y ) = ( −0, 6 ) xy → −0, 6 ; б) −5x ⋅ 0, 8x = ( −4 ) x2 → −4 ;
в) −2x ⋅ ( −0, 5y ) = xy → 1 ;
г) 5x3 ⋅ ( −0, 1y ) = −0, 5x3 y → −0, 5 ; ґ) −2y ⋅ 7y2 = −14y3 → −14 ;
(
)
д) −3x ⋅ −10x2 = 30x2 → 30 . 1217. а) A = −4, 2 − (3,7 − x ) − 2x = −4, 2 − 3,7 + x − 2x = −7, 9 − x = −7, 9 − ( −2) = −5, 9 ; б) A = − ( 3, 5 − x ) − 1, 4x = −3, 5 + x − 1, 4x =
160
= −3, 5 − 0, 4x = −3, 5 − 0, 4 ( −2 ) = −3, 5 + 0, 8 = −2, 7 ;
2 1 ⎛ 2 1 ⎞ в) A = − ⎜ 5 − + x ⎟ + x = −5 + − x + x = ⎝ 3 2 ⎠ 3 2 17\2 1\3 34 3 31 1 + =− + =− = −5 ; 3 2 6 6 6 6
г) A = 3x − ( 4, 5 − 2x ) = 3x − 4, 5 + 2x = 5x − 4, 5 = 5 ( −2 ) − 4, 5 = −14, 5 . б) 3a + 3b − a − 3b = 2a ;
1218. а) 2x + 3y − 5y + 5x = 7x − 2y ; в) −m + 7m + n − 5n = 6m − 4n ;
г) 4 + 5x + 4x − 9 = 9x − 5 .
1219. а) 2 ( x − 3, 8 ) − 2x = 2x − 7, 6 − 2x = −7, 6 ;
МАТЕМАТИКА
=−
б) −4a + 2 ( −0, 5 + 2a ) = − 4a − 1 + 4a = −1 ;
в) −3 ( 5 − c ) + 3c − 5 = −15 + 3c + 3c − 5 = 6c − 20 ; г) 6 − a − x − ( 3 − a − x ) = 6 − a − x − 3 + a + x = 3 . 1220. а) −14 + x + ( −42 ) + 15 + 2x = 3x − 41 ;
net
б) 1, 2 − c + ( −c − 2, 8 + 2c ) = 1, 2 − c − c − 2, 8 + 2c = −1, 6 ;
ov.
в) −m − ( −2m − 3, 7 ) − 3m = −m + 2m + 3, 7 − 3m = −2m + 3, 7 . 1221. а) 2x − 8x + 3x + x2 = x2 − 3x ;
б) 5a + 7a3 − 14a = 7a3 − 9a ; г) −6n + 2n − n + 5n2 = 5n2 − 5n .
all
в) −2x + 7 − x + 3 = 4x + 3 ;
1222. а) 3x − 2 ( x − 3 ) = 3x − 2x + 6 = x + 6 ;
б) 5a − 6 ( a + 0, 5 ) = 5a − 6a − 3 = −a − 3 ;
12 b
в) 12 + 3 ( a − 4 ) = 12 + 3a − 12 = 3a ;
г) 26 − 13 ( 2 − 3c ) = 26 − 26 + 39c = 39c . 1223. а) a − ( b − a + b ) = 2 ( a − b ) ;
б) x − ( y − x ) + y = 2x .
1224. а) 5 ( 3c − 2 ) + 2 ( 4 − 7c ) = 15c − 10 + 8 − 14c = c − 2 = 12, 3 − 2 = 10, 3 ; б) 3 ( 2y − 8 ) − 4 ( 3y − 5 ) + 5y = 6y − 24 − 12y + 20 + 5y = = − y − 4 = − ( −17, 71) − 4 = 13, 71 .
1225. а) 3, 52 − 3, 5 ⋅ 2, 5 = 3, 5 ( 3, 5 − 2, 5 ) = 3, 5 ; б) 6, 7 ⋅ 5, 7 − 5, 72 = 5, 7 ( 6, 7 − 5, 7 ) = 5, 7 . 1226. 4x + 5x = 180 9x = 180 x = 180 : 9 = 20 α = 4x = 4 ⋅ 20 = 80° β = 5x = 5 ⋅ 20 = 100° .
161
1227. AB = a + b + c = 2x + 3x + 5x
МАТЕМАТИКА
а) 2x + 3x + 5x = 120
б) 2x + 3x + 5x = 10
10x = 120
10x = 10
x = 120 : 10 = 2
x =1
a = 2 ⋅12 = 24 (см);
a = 2 (см);
b = 3 ⋅12 = 36 (см);
b = 3 (см);
c = 5 ⋅12 = 60 (см).
c = 5 (см).
1228. ∠A = ∠B = ∠C = 80° ∠D = 360 − 3 ⋅ 80 = 360 − 240 = 120° . 1229. 1230.
(10 + 83 + 75) − 100 = 168 − 100 = 68 –21
·2
–42
+ 39
(чол.).
–3
+ 18
net
−3 − 39 = −42 −42 : 2 = −21
56
:7
8
·9
9 x 7
12 b
x + 16 =
72
all
+ 16
ov.
−3 − ( −21) = 18
9 x − x = 16 7 2 x = 16 7 8 7 x = 16 ⋅ = 56 8 56 + 16 = 72 .
§ 36. Стандартний вигляд числа 1234. а) 1 000 000 = 106 ;
б) 120 000 000 = 12 ⋅107 ;
в) 71 000 000 = 71 ⋅106 = 7, 1 ⋅107 ; 1235. а) 0, 00005 = 5 ⋅10−5 ; в) 0,0000017 = 1, 7 ⋅10−6 ; 1236. а) 0, 0032 = 3, 2 ⋅10−3 ;
162
в) 100 000 000 = 10 ; 8
г) 12 300 000 = 12, 3 ⋅106 . б) 0, 0067 = 6, 7 ⋅10−3 ; г) 0, 001 = 10−3 . б) 3 200 000 = 3, 2 ⋅106 ; г) 0, 00001 = 10−5 .
б) 1, 5 ⋅103 = 1500 ;
в) 9 ⋅10 = 90 000 000 ;
г) 1, 5 ⋅10−3 = 0,0015 ;
д) 2, 9 ⋅10−4 = 0,00029 ;
е) 7 ⋅10−5 = 0,00007 .
7
1238. а) 696 000 000 = 6, 96 ⋅108 (м); б) 300 000 000 = 3 ⋅108 (м/с); в) 0, 00000006 = 6 ⋅10−8 (см).
( )( ) (5 ⋅10 ) ⋅ (2 ⋅10 ) = 10
1239. а) 2 ⋅103 ⋅ 3 ⋅106 = 6 ⋅109 ; в) 1240. а) в)
7
2
10
9
6
3
;
7
2
5
.
net
(4, 2 ⋅10 ) ⋅ (2, 4 ⋅10 ) = 10, 08 ⋅10 (4, 2 ⋅10 ) : (2, 4 ⋅10 ) = 1, 75 ; (2,1⋅10 ) ⋅ (4, 2 ⋅10 ) = 8, 82 ⋅10 (2,1⋅10 ) : (4, 2 ⋅10 ) = 0, 5 ; (5, 8 ⋅10 ) ⋅ (5, 8 ⋅10 ) = 33, 64 ⋅10 (5, 8 ⋅10 ) : (5, 8 ⋅10 ) = 10 ; (6, 8 ⋅10 ) ⋅ (8, 5 ⋅10 ) = 578 (6, 8 ⋅10 ) : (8, 5 ⋅10 ) = 8 ⋅10 .
г)
12
all
−3
6
6
−3
−3
в)
б) 3 ⋅105 − 2 ⋅105 = 105 ;
12 b
б)
)
ov.
в) 5 ⋅102 − 2 ⋅102 = 3 ⋅102 .
6
)(
2
1242. а) 4 ⋅103 − 3 ⋅103 = 103 ;
6
(
б) 3 ⋅104 + 2 ⋅104 = 5 ⋅104 ;
в) 5 ⋅10 + 2 ⋅10 = 7 ⋅10 .
1243. а)
)
б) 3 ⋅105 : 2 ⋅104 = 15 ;
1241. а) 2 ⋅103 + 3 ⋅103 = 5 ⋅103 ; 2
)(
.
(8 ⋅10 ) : (5 ⋅10 ) = 1, 6 ⋅10 (5 ⋅10 ) : (2 ⋅10 ) = 2, 5 ⋅10 2
(
б) 3 ⋅105 ⋅ 2 ⋅104 = 6 ⋅109 ;
МАТЕМАТИКА
1237. а) 4, 8 ⋅105 = 480 000 ;
−6
−3
7
6
7
6
5
−4
−4
5
13
8
1244. а) 3, 3 ⋅102 + 1, 5 ⋅102 = 4, 8 ⋅102 3, 3 ⋅102 − 1, 5 ⋅102 = 1, 8 ⋅102
(3, 3 ⋅10 ) ⋅ (1, 5 ⋅10 ) = 4, 95 ⋅10 (3, 3 ⋅10 ) : (1, 5 ⋅10 ) = 22 ; 2
2
2
2
4
б) 1, 1 ⋅104 + 2, 2 ⋅104 = 3, 3 ⋅104 1, 1 ⋅104 − 2, 2 ⋅104 = −1, 1 ⋅104
(1,1⋅10 ) ⋅ (2, 2 ⋅10 ) = 2, 42 ⋅10 (1,1⋅10 ) : (2, 2 ⋅10 ) = 0, 5 ; 4
4
4
4
8
163
в) 1, 7 ⋅107 + 2 ⋅107 = 3, 7 ⋅107
МАТЕМАТИКА
1, 7 ⋅107 − 2 ⋅107 = −0, 3 ⋅107
(1, 7 ⋅10 ) ⋅ (2 ⋅10 ) = 3, 4 ⋅10 (1, 7 ⋅10 ) : (2 ⋅10 ) = 0, 85 ; 7
7
14
7
7
г) 3, 9 ⋅105 + 1, 3 ⋅105 = 5, 2 ⋅105 3, 9 ⋅105 − 1, 3 ⋅105 = 2, 6 ⋅105
(3, 9 ⋅10 ) ⋅ (1, 3 ⋅10 ) = 5, 07 ⋅10 (3, 9 ⋅10 ) : (1, 3 ⋅10 ) = 3 . (
5
5
5
5
)(
10
)
1245. а) 3 ⋅105 ⋅ 1, 5 ⋅102 = 2 ⋅103 2
(
)(
б) 1, 1 ⋅10 : 2 ⋅10 5
1, 1 ⋅10 > 2 ⋅10 5
4
в 2000 разів або на 3 порядки; 4
) = 5, 5
в 5,5 разів;
(4, 2 ⋅10 ) : (3 ⋅10 ) = 1, 4 ⋅10 4
в)
5
−1
net
3 ⋅10 > 1, 5 ⋅10 5
4, 2 ⋅104 < 3 ⋅105 на порядок або в 0,14 раза;
(
)(
)
ov.
г) 1, 7 ⋅107 : 2 ⋅105 = 0, 85 ⋅102
1, 7 ⋅107 > 2 ⋅105 в 850 разів або на 2 порядки.
(
)(
)
all
1246. а) 3, 9 ⋅10−3 : 1, 3 ⋅10−3 = 3
3, 9 ⋅10−3 > 1, 3 ⋅10−3 в 3 рази;
(
)(
)
12 b
б) 1, 56 ⋅104 : 2, 6 ⋅10−4 = 0, 6 ⋅108
1, 56 ⋅104 > 2, 6 ⋅10−4 в 60 000 000 разів або на 8 порядків;
(
)(
)
в) 3 ⋅10−4 : 2 ⋅10−3 = 1, 5 ⋅10−1 3 ⋅10−4 > 2 ⋅10−3 в 0,15 раза або на порядок;
(
)(
)
г) 1, 4 ⋅105 : 7 ⋅104 = 2 1, 4 ⋅105 > 7 ⋅104 в 2 рази. 1247. a = x ⋅105 а) 1000a = x ⋅108 ;
б) 0, 0001a = x ⋅10 ;
в) a ⋅104 = x ⋅109 ;
г) a ⋅10−4 = 10x .
1248. 54 27 9 3 1
164
2 3 3 3
72 36 18 9 3 1
2 2 2 3 3
НСД (54, 72) = 2 · 3 · 3 = 18.
1249. 3, 7 м − 2, 4 см ⋅ 3 = 370 см − 7, 2 см = 362, 8 см = 3, 628 м . 1250. −3, 5 : x = 7 : ( −4 )
( −3, 5) ⋅ ( −4 ) = 14 = 2 . 7
МАТЕМАТИКА
x=
7
1251. 3x + 4x + 5x = 24 12x = 24 x = 24 : 12 = 2 a = 3x = 3 ⋅ 2 = 6 дм; b = 4x = 4 ⋅ 2 = 8 дм; c = 5x = 5 ⋅ 2 = 10 дм. 1252. Жінки — x Чоловіки — 3x x + 3x = 260
⎫ ⎬ 260 рoб. = 100 % ; ⎭
260 = 65 (роб.) 4 65 x = 260 100
net
4x = 260
65 ⋅100 = 25 %. 260
Або простіше:
12 b
x + 3x = 100 %
all
x=
ov.
x=
4x − 100 % x−y 4x 100 = x y y=
100 ⋅ x = 25 %. 4x
§ 37. Розв’язування рівнянь 1256. а) 2x + 10 = 7 + 5x
б) 0, 3 − x = 2, 8 − 1, 5x
3x = 10 − 7 = 3
1, 5x − x = 2, 8 − 0, 3
x =1 ;
0, 5x = 2, 5 x = 2, 5 : 0, 5 = 5 .
1257. а) 3x = 24 − x
9y = 3, 7 + y
−7z = −3 + 1, 5z
3x + x = 24
9y − y = 3, 7
−7z − 1, 5z = −3
4x = 24 ;
8y = 3, 7 ;
−8, 5z = −3 .
165
МАТЕМАТИКА
б) −5x = 17 + 2x −5x − 2x = 17 −7x = 17 ; 1258. а) 8x + 12 = x + 9 8x − x = 9 − 12 7x = −3 ; б) 6x + 18 = 5 − x 6x + x = 5 − 18 7x = −13 ; 1259. а) 2x + 5 = x + 5 2x − x = 0 x=0
−18y = 3y + 12 −18y − 3y = 12 −21y = 12 ;
14 + z = 6z z − 6z + 14 = 0 −15z + 14 = 0 .
15c − 7 = c − 6 15c − c = 7 − 6 14c = 1 ;
62 − 13x = 18x −13x − 18x = −62 −31x = −62 ;
19 − 5n = 7 + 3n −5n − 3n = 7 − 19 −8n = −12 ;
51x + 41 = 45 − 51x 51x + 51x = 45 − 41 102x = 4 .
2x = x 2x − x = 0 x=0 ; 2m = 6m 3m − 6m = 0 −3m = 0 m=0 .
net
б) 3m − 7 = 6m − 7 3m − 6m = 0 −3m = 0 m=0
12 b
all
1261. а) 3x + 7 = x + 5 3x − x = 5 − 7 = 2 2x = −2 x = −1 ;
ov.
1260. x + a − 2b = a + b можна опустити, тому що x + a − 2b − a = b . б) 2x − 9 = 3x + 8 3x − 2x = −9 − 8 x = −17 .
1262. а) 5 − 4x = x + 20 −4x − x = 20 − 5 −5x = 15 15 x=− = −3 ; 5
б) 9 − x = 35 − 2x 2x − x = 35 − 9 x = 26 .
1263. а) 0, 3 − 2x = 0, 5 + 3
б) 2, 4 = 3x − 4, 2
−2x = 3, 5 − 0, 3 = 3, 2 3, 2 x=− = −1, 6 ; 2
3x = 2, 4 + 4, 2 3x = 6, 6 x=
1264. а) 5 − 1, 2x = x − 5 −1, 2x − x = −10
166
2, 2x = 10 22 100 x = 10 : = 10 22 12 6 x=4 =4 ; 22 11
6, 6 = 2, 2 . 3
б) 4, 7 − 3x = 3x + 4, 7 не має рішень.
1 3 x − 13 = x + 7 2 4 3 1\2 x− x = −13 − 7 4 2 1 x = −20 4 1 x = −20 : = −80 ; 4
2 1 c − 1, 5 = c + 3, 5 3 6 2 1 c − c = 3, 5 + 1, 5 = 5 | × 6 3 6
б)
4c − c = 30 3c = 30 c=
3 1 z + = 1 − 0, 5z 5 2 3 1 z + 0, 5z = 1 − = 0, 5 5 2 0, 6z + 0, 5z = 0, 5 11z = 0, 5 5 11 5 10 5 : = ⋅ = ; 10 10 10 11 11
б) 8 ( x − 5 ) = 3x − 40 8x − 40 = 3x − 40 8x − 3x = 0 5x = 0
12 b
all
1267. а) 3 ( n + 3 ) = 5 − 2n 3n + 9 = 5 − 2n 3n + 2n = 5 − 9 5n = −4 4 n = − = −0, 8 ; 5
3 y − 0, 2 = 1, 3 + y 4 3 y − y = −0, 2 − 1, 3 = −1, 5 4 1 y = −1, 5 4 1 y = −1, 5 : = −1, 5 ⋅ 4 = −6 . 4
ov.
z=
б)
net
1266. а)
30 = 10 . 3
МАТЕМАТИКА
1265. а)
1268. а) x : 5 = 12 : ( −10 )
x=0 .
б) 6 : x = ( −5 ) : 2, 5
12 ⋅ 5 60 x= =− −10 10
x=
x = −6 ;
x = −3 ;
в) 3, 5 : ( −0, 7 ) = x : 1, 8 5
x=
3, 5 ⋅1, 8 = −9 ; − 0, 7
6 ⋅ 2, 5 15 =− −5 5
г) −3 : ( −1, 5 ) = −32 : x −3, 2 ⋅1, 5 4, 8 = ; −3 3 x = 1, 6 . x=
1269. Син — x Батько — 3x 3x − x = 28 2x = 28 28 = 14 (років) — синові; 2 3 ⋅14 = 42 (роки) — батькові. x=
167
1270. Автомобіль — 4x Причіп — x 4x − x = 12 (ц)
МАТЕМАТИКА
3x = 12 x=
12 = 4 (ц) — причіп. 3
1271. Автомобіль — 4x Причіп — x 4x + x = 40 (ц) 5x = 40 x=
40 = 8 (ц) — причіп; 5
1272. a − x ⎫ ⎬ P = 18, 8 (м) b − x + 4⎭ 2x + 8 + 2x = 18, 8 4x = 18, 8 − 8 = 10, 8
10, 8 = 2, 7 (м) — сторона a; 4
all
x=
ov.
( x + 4 ) ⋅ 2 + 2x = 18, 8
net
4x = 4 ⋅ 8 = 32 (ц) — автомобіль.
12 b
b = 2, 7 + 4 = 6, 7 (м).
1273. a = b = x + 3 ⎫ ⎬ 54 (cм) c=x ⎭ x + 2 ( x + 3 ) = 54 x + 2x + 6 = 54 3x = 54 − 6 = 48
x = 48 : 3 = 16 ( см ) = c a = b = 16 + 3 = 19 (cм).
1274. a) a = x ⎫ ⎬ 350 (м) b = 6x ⎭
168
б) a = x + 6 ⎫ ⎬ 350 (м) b=x ⎭
6x + x = 350
x + x + 6 = 350
7x = 350
2x = 350 − 6 = 344
350 x= = 50 ( м ) = a 7
x=
b = 6 ⋅ 50 = 300 (м);
a = 172 + 6 = 178 (м).
344 = 172 ( м ) = b 2
1275. a ⎫ ⎪ b = a :3 ⎬ 305 (м) c = a + 60 ⎪⎭ 1 a + a + 60 = 305 3
МАТЕМАТИКА
a+
1 a = 305 − 60 = 245 3 35 3 1 a = 245 : 2 = 245 ⋅ 3 7 a = 35 ⋅ 3 = 105 (м); a 105 b= = = 35 (м); 3 3 c = a + 60 = 105 + 60 = 165 (м).
2
б) 0, 4 − 0, 5 ( c + 3 ) = 1 − 0, 2 ( c − 3 ) 0, 4 − 0, 5c − 1, 5 = 1 − 0, 2c + 0, 6 −0, 5c + 0, 2c = 1, 6 + 1, 5 − 0, 4 −0, 3c = 2, 7 2, 7 c= = −9 . −0, 3
all
ov.
1277. a) 3x + 0, 4 = 0, 8 ( 0, 5 − 2x ) 3x + 0, 4 = 0, 4 − 1, 6x 3x + 1, 6x = 0 x=0 ;
б) x − 0, 4 ( x − 1, 4 ) = 3, 1 ( 3x − 1) x − 0, 4x + 5, 6 = 9, 3x − 3, 1 9, 3x − x + 0, 4x = 5, 6 + 3, 1 8, 7x = 8, 7 x =1 .
net
1276. a) 2 − 3 ( x + 1) = 3 − 2 ( x + 5 ) 2 − 3x − 3 = 3 − 2x − 10 2 + 10 − 6 = 3x − 2x ; x = 12 – 6 x = 6;
12 b
1278. a) −30 + 2x + 1 = −5 (7 − x ) −30 + 2x + 1 = −35 + 5x 5x − 2x = 35 − 30 + 1 3x = 6 6 x= =2; 3
б) −3 ( n + 1) + 2 = 3 − 2 ( n + 5 ) −3n − 3 + 2 = 3 − 2n − 10 −2n + 3n = 10 − 6 + 2 n=6 ;
в) −5 ( y − 3 ) = 7 − 2 ( 3 − y ) −5y + 15 = 7 − 6 + 2y −5y + 2y = 15 − 7 + 6 7y = 14 14 y= =2 . 7 1279. a)
1 ⎛ 1⎞ − x − ⎟ = 4x 3 ⎝⎜ 2⎠ 1 1\3 −x+ = 4x 3 2 2+3 5 5x = = 6 6 5 5 1 1 x = :5 = ⋅ = ; 6 6 5 6
б)
2 1 = − (3 − x ) 5 2 2 1 = −3+ x 5 2 2\2 1\5 x = 3+ − 5 2 x = 2, 9 .
169
МАТЕМАТИКА
1280. a)
1 ( 2 − 3x ) = 0, 4 − 0,1x + 3 5 0, 4 − 0, 6x = 0, 4 − 0, 1x + 3
б)
−0, 6x + 0, 1x = 3
1 1 ( 2x + 4 ) = 3 ⎛⎜⎝ x + 1⎞⎟⎠ 2 3 x+2= x+3 не має рішення.
0, 5x = −3 3 x=− = −6 ; 0, 5 1281. a)
1⎞ ⎛ б) x − 3 = 2 ⎜ x − 1 ⎟ + x ⎝ 2⎠
3 1 1 x + − 2x = ( 3x − 5 ) 5 3 5 3 1 3 x + − 2x = x − 1 5 3 5 1 1 2x = 1 + = 1 3 3
x − 3 = 2x − 3 + x 2x = 0
2
4 4 1 :2 = ⋅ 3 3 2
x=
2 ; 3
x=0 .
net
x=
ov.
1282. Ручка — x + 0, 45 Олівець — x 7x = 2 ( x + 0, 45 )
all
7x = 2x + 0, 9
12 b
5x = 0, 9 0, 9 x= = 0, 18 (грн) — олівець; 5 x + 0, 45 = 0, 18 + 0, 45 = 0, 63 (грн) — ручка. 1283. Цукерки — x + 2, 6 Печиво — x 4 ( x + 2, 6 ) = 6x 4x + 10, 4 = 6x 2x = 10, 4 (грн) — 2 кг печива; x = 5, 2 (грн) — 1 кг печива; x + 2, 6 = 5, 2 + 2, 6 = 7, 8 (грн) — цукерки 1 кг. 1284.
170
5x − 7
–2
–1
0
1
2
3
4
5
x
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
2,2
2,4
5x − 7 = −2
5x − 7 = −1
5x − 7 = 0
5x = −2 + 7 = 5
5x = −1 + 7 = 6 6 x = = 1, 2 5
5x = 7 7 x = = 1, 4 5
x =1
5x − 7 = 2 5x = 2 + 7 = 9 9 x = = 1, 8 5
5x − 7 = 4 5x = 4 + 7 = 11 11 x= = 2, 2 5
5x − 7 = 5 5x = 5 + 7 = 12 12 x= = 2, 4 5
5x − 7 = 3 5x = 3 + 7 = 10 10 x= =2 5
1285. Нехай x — одне число, тоді друге — 90 – x 1 1 1 1 1 1 1 x = ⋅ 90 − ⋅ x ; x + ⋅ x = 30 ; x = (90 − x) ; 2 3 3 2 3 2 3 5 30 ⋅ 6 ⎛ 1 1⎞ x = 30 ; x = = 36 — перше число ⎜⎝ + ⎟⎠ ⋅ x = 30 ; 6 5 2 3 — друге число. 90 − 36 = 54
МАТЕМАТИКА
5x − 7 = 1 5x = 1 + 7 = 8 8 x = = 1, 6 5
net
1286. Нехай x — одне число, тоді друге — 45 – x. 0, 4 x = 0, 6 ⋅ (45 − x) ; 0, 4x = 0, 6 ⋅ 45 − 0, 6 ⋅ x ; 0, 4x + 0, 6x = 27 x = 27 — перше число 45 − 27 = 18 — друге число.
all
ov.
1287. Нехай x — одне число, тоді друге — 21 – x. 0, 3x = 0, 4 ⋅ (21 − x) ; 0, 3x = 0, 4 ⋅ 21 − 0, 4 ⋅ x ; 0, 3x + 0, 4x = 8, 4 ; 0, 7x = 8, 4 ; x = 8, 4 : 0, 7 x = 12 — перше число 21 − 12 = 9 — друге число.
12 b
1288. Нехай x — більше число, тоді менше — x – 2,5. 1 1 1 1 1 1 1 1 x − x = − ⋅ 2, 5 ; x = (x − 2, 5) ; x = ⋅ x − ⋅ 2, 5 ; 3 2 2 3 2 3 2 2 1 ⎛ 1 1⎞ x = 1, 25 ; x ⎜ − ⎟ = 1, 25 ; ⎝ 2 3⎠ 6 x = 7, 5 — більше число 7,5 – 2,5 = 5 — менше число. 1289. Нехай x — більше число, тоді менше — x – 0,8. Складемо пропорцію x : (x − 0, 8) = 5 : 3 . 3x = 5x − 5 ⋅ 0, 8 ; 5x − 3x = 4 ; 2x = 4 ; x = 2 — більше число 2 – 0,8 = 1,2 — менше число.
1290.
x + 1 10 − x = 18 15 15 ( x + 1) = 18 (10 − x ) ; 15x + 15 = 180 − 18x ; 15x + 18x = 180 − 15 ; x=
165 =5 . 33
33x = 165 ;
171
МАТЕМАТИКА
1291. Нехай x — менше число, тоді більше — 3x. 4x = 3 ; 2x = 3 ( x + 3x ) : 2 = 3 ; 2 3 x = = 1, 5 — менше число 2 3 ⋅1, 5 = 4, 5 — більше число. 1292. Нехай x — більше число, тоді менше — x – 0,6. x + x − 0, 6 = 1 ;
2x = 1 + 0, 6 = 1, 6
1, 6 x= = 0, 8 — більше число 2 0, 8 − 0, 6 = 0, 2 — менше число. 1293. Нехай Миколі x років, тоді Тетянці — 3x. 3x + x = 20
net
4x = 20 20 x= = 5 (років) — Миколі; 4 3x = 3 ⋅ 5 = 15 (років) — Тетянці.
ov.
1294. а) У двох вантажних складах було перевезено 157 тонн вугілля. У першому перевезли на 103 тонни менше, ніж у другому. Скільки вугілля перевезли в другому складі?
all
Розв’язання: Ic − x ⎫ ⎬ 157 т II c − x + 103 ⎭
12 b
x + x + 103 = 157
2x = 157 − 103 = 54 54 x= = 27 (тонн) — I склад; 2 x + 103 = 27 + 103 = 130 (тонн) — II склад. б) На пошиття костюмів пішло 124 м тканини. З них на жилети витратили на 7 м менше тканини, ніж на штани, і на 15 м менше, ніж на піджаки. Скільки тканини пішло на пошиття штанів і піджаків? Розв’язання: Жилети − x ⎫ ⎪ Штани − x + 7 ⎬ 124 м Пiджаки − x + 15 ⎪⎭ x + x + 7 + x + 15 = 124 3x = 124 − 22 = 102 102 x= = 34 (м) — жилети; 3 x + 7 = 34 + 7 = 41 (м) — штани;
172
x + 15 = 34 + 15 = 49 (м) — піджаки.
(4 − ( −5) ) − (4 + ( −5) ) = ( 4 + 5) − ( 4 − 5) = 9 + 1 = 10 .
1296. а) 15 + ( −7 ) = 8 ;
б) −8 + 19 = 11 ;
15 − ( −7 ) = 22 22 − 8 = 14 сума менша;
−8 − 19 = −27 −11 − ( −27 ) = 38 сума більша.
1297. а) 5, 25 + ( −3, 5 ) = 1, 75 ;
б) −8, 4 − ( −3, 5 ) = −4, 9 ;
в) −5, 9 − 4, 2 = −10, 1 . 1298. а) x = 3
б) 2x = 8
в) x − 3 = 2
8 =4 2 8 x2 = − = −4 ; 2
x1 = 3
x1 =
x2 = −3 ;
МАТЕМАТИКА
1294.
x1 = 2 + 3 = 5 x2 = −2 + 3 = 1 .
1299. а) −2; −1; 0; 1; 2 = x ;
net
б) 2x < 4 x <2
ov.
x = −1; 0; 1 ; в) x − 3 < 1 x=3 ;
12 b
all
г) x + 2 < 5 → x + 2 < 5 або x + 2 > −5 x<3 x > −7 −7 < x < 3 x = −6; − 5; − 4; − 3; − 2; − 1; 0; 1; 2 . 1300. a + b + c + d = 1000
2x + 3x + 5x + 10x = 1000 20x = 1000
1000 = 50 20 a = 2x = 2 ⋅ 50 = 100 ; x=
c = 5x = 5 ⋅ 50 = 250 ; b = 3x = 3 ⋅ 50 = 150 ; d = 10x = 10 ⋅ 50 = 500 . 1301. a + b = 1000 ;
b = 1000 − a
0, 3a − 0, 2b = 200 0, 3a − 0, 2 (1000 − a ) = 200 ; 0, 5a = 200 + 200 = 400 ;
0, 3a − 200 + 0, 2a = 200 ;
400 a= = 800 0, 5
b = 1000 − 800 = 200 . 1302. Найстарша Надя, наймолодша Алеся.
173
МАТЕМАТИКА
§ 38. Перпендикулярні та паралельні прямі 1307. a ⊥ d ;
b ⊥ c.
1308. a)
С
A
б)
A
B B
С
D
D
B
в) A
С б) AB || CD;
в) AB ⊥ AD;
г) BC || AD;
ґ) DC ⊥ CD;
д) AD ⊥ DC.
net
1310. a) AB ⊥ BC;
a b
A
a
Через точку P можна провести тільки одну пряму b || a. a || BC.
all
1312.
P
ov.
1311.
B
12 b
С
1313. ∠COB = 180° − 100° = 80° ∠BOD = 100°
∠AOD = ∠COB = 80° . 1315.
BM ⊥ AC
B N
AK ⊥ BC
K
CN ⊥ AB A
M
С
1317. K
B
Через т. K можна провести тільки одну пряму, паралельну АВ, і одну пряму, перпендикулярну AB. a || AB;
a b
174
A
в ⊥ AB.
1318. ∠BOK = ∠AOB + ∠AOK=90°+30° = 120° ∠BOP = 360° − ( ∠BOK + ∠KOP ) =
= 360° − (120° + 90° ) = 360° − 210° = 150°.
МАТЕМАТИКА
1319. ∠α + ∠β = 180° a) ∠α = x ; ∠β = 3x x + 3x = 180° 4x = 180° x=
180° = 45° − ∠α ; 4
∠β = 3x = 3 ⋅ 45 = 135° ; б) ∠α = x ; ∠β = x + 20° x + x + 20 = 180° 2x = 180° − 20 = 160° 160° = 80° − ∠α 2 ∠β = x + 20 = 8 + 20 = 100° ;
x+
1 x 5
1 x = 180° 5
ov.
в) ∠α = x ; ∠β =
net
x=
1 x = 180° 5 180° x= = 150° − ∠α 1, 2 1 1 ∠β = x = 150° = 30° . 5 5
12 b
all
1
B
1320.
A
O
ABCD — квадрат, тому AD = AB = BC = CD = 3 см.
C
3 см
D 1322. а)
( −35) ⋅ 203 + 37 ⋅ 2003 + 3003 : 77 = = −7105 + 74 111 + 39 = 74 150 − 7105 = 67 045 ;
б) 43, 8 ⋅ ( −3, 5 ) − 3, 24 ( −2, 5 ) + 12, 08 = −153, 3 + 8, 1 + 12, 8 = −132, 4 ; 8
15 32 1 3 2 3 ⎛ 2 ⎞ + 30, 5 = − ⋅ − + 30, 5 = ⋅2 + ⋅ 4 15 4 8 ⎜⎝ 9 3 ⎟⎠ 4 15 12 1 5 1 1\5 1 6 −1 5 = 22, 5 − = 22 + − = 22 + − = 22 + = 22 . 12 10 12 2 12 12 12
в) −3
175
1323. а) x = −3; − 2; − 1; 0; 1; 2 ; б) x = −4; − 3; − 2; − 1; 0; 1; 2 .
МАТЕМАТИКА
1324. а)
B
б)
B
A
5с м
м 5с
3
см
60°
45°
С
4 см
A
60°
60° 5 см
1325. 7 дм = x
1326. a = 21 a 3 21 = ; = b 4 b 21 ⋅ 4 b= = 28 3 b 5 28 = ; = c 6 c 28 ⋅ 6 c= = 33, 6 . 5
net
1 м = 10 дм = 100 % 700 x= = 70 % 10 100 − 70 = 30 % .
12 b
all
5 6
ov.
3 4
1327. 2n = ( 2a + 1) + ( 2b + 1) + 2c = 2a + 2 + 2b + 2c = 2 ( a + b + c + 1) або 2n = 2a + 2b + 2c = 2 ( a + b + c ) , тому
2 ( a ⋅ b ⋅ c ) або 2 ( a ⋅ b ⋅ c ⋅1) — парне.
§ 39. Координатна площина 1329.
1 од. відр. = 1 см
ó
A(2;4) 4
D(–1;3)
3
E(3;4)
2 1 F(1;0) –4 –3 –2
B(–3;–2)
176
0
1 2 3 4 –2 C(0;–2) –3 –4 –5
õ
С
1330. M(0; 2); K(–3; 0); P(–2; –2); T(1,5; –2). 1331.
Вірно.
ó
МАТЕМАТИКА
A(2;5)
5 4
B(2;3)
3 2 1 0
C(2;0) 1 2 3 4
õ
K(2;–1)
–2 –3
1332.
P(2;–3)
Вірно.
ó
A(–3;2)
3 B(0;2) 2 1
–4 –3 –2
0
–1
C(4;2)
õ
1 2 3 4
1333.
ov.
–2
net
–2
Через т. Т проходить, через т. М — ні.
all
ó
5 4
T(–3;1)
–4 –3
M(–2;0)
12 b
K(–3;4)
3
2
1
1 2 õ
0
–2
–2 –3
P(–3;–3)
1334.
Через т. K не проходить.
ó 4 3 2
K(1;2) A(4;3)
1 –4 –3 –2
0 –2 –3 –4
1 2 3 4
õ
177
1335. D(–2; –3). 1336. D(–5; 0)
МАТЕМАТИКА
AD = BC = D(5; 0) − A (1; 0) = 5 − 1 = 4 (cм); AB = CD = B(1; 3) − A (1; 0) = 3 − 0 = 3 (cм); P = ( 4 + 3 ) ⋅ 2 = 7 ⋅ 2 = 14 (cм); S = 3 ⋅ 4 = 12 (cм2). 1337. а)
AO = 3 см; OB = 6 (cм)
ó 5 4
M A
3
SΔABO =
T
1 1 S = 3 ⋅ 6 = 9 (см2); 2 ACBO 2
C
2 1
K
P
B
–1 O 1 2 3 4 5 6 7
õ
net
б) KP = P ( 4; 1) − K (1; 1) = 3 (см); PT = T ( 4; 4 ) − P ( 4; 1) = 3 (см);
1 1 S = 3 ⋅ 3 = 4, 5 (см2). 2 KMTP 2
ov.
SΔKTP =
SABCD = SΔABO + SΔBOC + SΔCOD + SΔAOD ;
B
SΔABO + SΔCOD = SAKBO = AO ⋅ OB =
M
12 b
K
ó
all
в) У підручнику помилка: координати т. D не D(0; 4), а D(0; –4)
A
4 3 2 O 1
–4 –3 –2 –1 0
= 3 ⋅ 4 = 12 (см2); SΔBOC + SΔAOD = SOBMC = OC ⋅ OB = = 3 ⋅ 4 = 12 (см2);
C
1 2 3 4
SABCD = SAKBO + SOBMC = 12 + 12 = 24 (см2).
õ
–2
M
K
D –4
–5
г)
SABCD = SΔ ABO + SOBCD ;
ó 4 3 2 O 1
B A
–4 –3 –2 –1 0
178
D
SABCD = SOBCE = OB ⋅ BC = = 3 ⋅ 4 = 12 (см2).
E
1 2 3 4 –2
ΔABO = ΔDCE →
C
õ
AB = A ( 0; 5 ) − B ( 0; 1) = 4 (см);
ó
4 = M ( 0; 3 ) ; 2 KP = P ( 3; 2 ) − K ( −3; 2 ) = 6 (см);
BM = MA : B ( 0; 1) +
A 5 4
M 3 T
K
B
P
2 1
–4 –3 –2 –1 0
KT = TP K ( −3; 2 ) +
1 2 3 4 5 6
õ
6 = T ( 0; 2 ) . 2
–2
1339.
МАТЕМАТИКА
1338.
Симетричні AK = KB . ó 4
A
3
K õ
B
1340. ó
ov.
–4
3 4
net
–1 0 –1 2 –2 –3
all
2 1
12 b
4
3
C
M
–4 –3 –2 –1 0
1 2 3 4 5 6
CM + MK = 4 од. зв. M (1; 2 ) + 4 = K ( 5; 2 ) .
K(5;2)
2 1
K(5; 2) CM + MK = CK
õ
–2
1341.
K(–2; 3); Р(2; –3). ó 4
K
–4 –3 –2 –1 0
C
3 2 1 1 2 3 –2 –3
õ
P
179
1342.
B(4; –7) симетрична А(–4; 7) відносно О(0; 0)
ó
МАТЕМАТИКА
AM = M (1; 3 ) − A ( −4; 7 ) = = ( 5; − 4 ) ;
7 6 5
A(–4;7)
4
O –5 –4 –3 –2 –1 0
K = M (1; 3 ) + AM (5; −4 ) = = ( 6; −1) ;
M(1;3)
3 2 1
K(6; –1) симетрична А(–4; 7) відносно М(1; 3). 6 õ
1 2 3 4 5 –2 –3 –4 –5 –6 –7
K(6;–1)
B(4;–7)
net
1343. AB = B ( 5; 3 ) − A ( −2; 3 ) = 7 од. відр.
1344. KP = K ( −3; X3 ) − P ( −5; − 3 ) = 2 од. відр.
ov.
KM = MP = 2 : 2 = 1 од. відр.
P ( −5; − 3 ) + 1 од. відр. = M ( −4; − 3 ) .
all
1345. Вірно. Кожна крапка цієї прямої має ординату, рівну абсцисі. 1346.
ó
12 b
4
3 2 1
–4 –3 –2 –10
1 2 3 4
õ
–2 –3 –4
1347. а)
б)
ó
ó
4 3 2 1
180
4
1 2 3 4
3 2 1
õ
–4 –3 –2 –10
–4 –3 –2 –10
–2 –3 –4
–2 –3 –4
1 2 3 4
õ
в)
ó 4
õ
0 –1 –2 –3 –4
МАТЕМАТИКА
–4 –3 –2 –1
3 2 11 2 3 4
1348. А(0; 5). ó
1349.
КМ⊥x; NM⊥y 1
O
K
K(4; 0); N(0; –3).
1 2 3 4 –2
N –3
5
6 õ
M(4;–3)
OA = OE = AB + CD = BC + DE
4 3 2 1
K
C
D
P = OA ⋅ 4 = 5 ⋅ 4 = 20 (cм);
SOABCDE = SOAKE − SCBKD (cм2); SOAKE = OA ⋅ OE = 5 ⋅ 5 = 25 (cм2); SCBKD = BC ⋅ CD = 2 ⋅ 2 = 4 (cм2);
E
SOABCDE = 24 − 4 = 21 (cм2).
all
O –1 0
B
ov.
6 A 5
net
ó
1350.
1 2 3 4 5
6 õ
12 b
1351. А(–4; 0); В(0; –2); С(2; 0).
1352. Київ ∼ 50°15′ пн.ш. 30°50′ сх.д. Львів ∼ 49°40′ пн.ш. 24° сх.д. Харків ∼ 50° пн.ш. 36°15′ сх.д. 1353.
ó
S
L
A
M(–4; –3); N(–5; 0); 6 5
S(–4; 3), L(–3; 4). B
4 3 2 1
N –5 –4 –3 –2 –1 0
M T
C
D 1 2 3 4 5
–2 –3 –4 –5 P –6
6 õ
E K
181
ó
1354. а)
б)
ó
МАТЕМАТИКА
4
1
3 2 1 –4 –3 –2 –10
–4 –3 –2 –10
1 2 3 4
õ
–2 –3 –4
в)
г)
ó
ó
4
3 2
3 2 1 1 2 3 4
all
ov.
1355. b1; b3; c4; d7; e4; e8; f1; f3; f6; h5. 1357. I − x ⎫ ⎪ II − x − 2 ⎬ 40 кг III − x + 3 ⎪⎭ x + x − 2 + x + 3 = 40 3x = 40 − 1 = 39
12 b
39 = 13 (кг) — I ящик; 3 x − 2 = 13 − 2 = 11 (кг) — II ящик; x=
x + 3 = 13 + 3 = 16 (кг) — III ящик. ⎫ a ⎪⎪ b − ⎬ 43 см 2 ⎪ c − a + 3 ⎪⎭
1358. a
a+
1 a + a + 3 = 43 2
1 a = 40 2 8 2 5 a = 40 : = 40 ⋅ = 16 (см); 2 5 a 16 b= = = 8 (см); 2 2 c = a + 3 = 16 + 3 = 19 (см).
2
182
1 2 õ
–2 –1
õ
net
–2 –10
–2 –3
õ
1359. a = 0, 5 ⋅ ( 0, 4 ⋅ c ) = 0, 2c ⎫ ⎪ b = 0, 4 ⋅ c ⎬ 100 ⎪ c ⎭
МАТЕМАТИКА
0, 2c + 0, 4c + c = 100
1, 6c = 100 c=
100 = 62, 5 1, 6
b = 0, 4 ⋅ c = 0, 4 ⋅ 62, 5 = 25 a = 0, 5 ⋅ b = 0, 5 ⋅ 25 = 12, 5 . ⎫ ⎪ b − a + 2 ⎬ 2a c − a + 3 ⎪⎭ a + a + 2 + a + 3 = 2a 3a − 2a = −5 a = −5 b = a + 2 = −5 + 2 = −3 ; c = a + 3 = −5 + 3 = −2 .
net
1360. a
a : b = 10 → a = 10b 10b − b = 10
12 b
all
9b = 10 10 1 b= =1 . 9 9 100 1 a = 10b = = 11 . 9 9
ov.
1361. a − b = 10
1362. ікс = 234; фікс = 1234 234 + 1234 = 1468 .
§ 40. Графіки 1364. 6 5 4 3 2 1 0 –1 –2 –3 –4
1
2 3 4 5
6 7 8 9 10
183
1365. а) 100 км; 250 км; s 50 ⎛ км ⎞ = = 50 ⎜ ; ⎝ год ⎟⎠ t 1
МАТЕМАТИКА
б) V = в)
Час руху (год)
0,5
1
1,5
Відстань (км)
25
50
75
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
100 125 150 175 200 225 250
1366. 50 40
net
30
10
1,0
1,5
2,0
12 b
1367.
0,5
2,5
3,0
all
0
ov.
20
Час (год)
1
2
3
4
5
Відстань (км)
50
100
150
200
250
250 200 150 100 50 0
184
1
2
3
4
5
6
1368. 18 16
МАТЕМАТИКА
14 12 10 8 6 4 2 0
20
40
60
80
а) 4,5 м; 7 м; 17 м;
100
б) 27 років;
1369.
в) на 6 м.
0
net
а (см) S
20
0
1
2
3
4
1
4
9
16
ov.
15
(см2)
all
10 5
4
3
2
1
12 b
0
5
1370. Графік відповідає руху велосипедиста. Він проїхав 70 км. 1371.
S = 105 (км). 120 100 75 50 25 0
1
2
3
4
5
6
185
МАТЕМАТИКА
1372. У путі — 10 ч; пройшли — 30 км; відпочивали — один раз 1 год; другий раз — 2 год; у перші 5 годин туристи йшли зі швидкістю 1 5 км/год, останні 3 години — зі швидкістю 3 км/год. 3 1373.
Вартість (грн.)
1
2
3
4
6
12
Кількість (шт.)
12
6
4
3
2
1
12 11 10 9 8 7
net
6 5 4 3
ov.
2 1 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
all
0
12 b
1374. а) S = πr 2 = 3, 14 ⋅ 22 = 12, 56 (м2); б) 0,785 (дм2);
в) 3, 14 ⋅ a2 (мм2).
1375. a − 3x ⎫ ⎪ a+b+c b − 4x ⎬ = 63 3 c − 8x ⎪⎭ 3x + 4x + 8x = 63 3 15x = 63 ⋅ 3 x=
63 ⋅ 3 63 = = 12, 6 5 15 5
a = 3x = 3 ⋅12, 6 = 37, 8 ; 1376. а) x2 + 3 = 28 x2 = 28 − 3 = 25 x =5 ;
186
b = 4x = 4 ⋅12, 6 = 50, 4 ; б) x + 4 = 16 x1 + 4 = 16 x1 = 16 − 4 x1 = 12
c = 8x = 8 ⋅12, 6 = 100, 8 .
x2 + 4 = −16 x2 = −16 − 4 x2 = −20 .
Самостійна робота № 7 1. а) 26x − 15x = 11x ; б) 0, 2x + 7 ( 0, 5x − 3 ) = 0, 2x + 3, 5x − 21 = 3, 7x − 21 . б) 3x − 2 = 1 − 5 (1, 2 − x )
2. а) 5 − x = −13 x = 5 + 13 = 18 ;
3x − 2 = 1 − 6 + 5x 2x = 6 − 2 − 1 = 3 3 x = = 1, 5 . 2
3. I ск. − x ⎫ ⎬ 2880 (т) II ск. − x + 400 ⎭
МАТЕМАТИКА
Варіант 1
x + x + 400 = 2880 2x = 2880 − 400 = 2480 x=
2480 = 1240 (т) — на I складі; 2
net
x + 400 = 1240 + 400 = 1640 (т) — на II складі. 4. AB = B ( −4; −3 ) − A ( −4; −2 ) = 3 − ( −2 ) = 3 + 2 = 5 од. відр.
ov.
BC = C ( 3; 3 ) − B ( −4; 3 ) = 3 − ( −4 ) = 3 + 4 = 7 од. відр. ó
B
–4 –3 –2 –1
2 1
A
P = ( AB + BC ) ⋅ 2 = ( 5 + 7 ) ⋅ 2 = 24 (см);
C
S = AB ⋅ BC = 5 ⋅ 7 = 35 (см2).
1 2
3 4
õ
12 b
0 –1
1 од. відр. = 1 см
all
4 3
–2 –3 –4
D
5. 240 200 160 120 80 40 0
1
2
3
4
5
6
7
8
187
Варіант 2 1. а) 35x − 9x = 26x ;
МАТЕМАТИКА
б) 0, 5x + 2 ( 0, 3x − 1) = 0, 5x + 0, 6x − 2 = 1, 1x − 2 . б) 2x − 3, 8 = 3 − 4 ( 3 − x )
2. а) 7 − x = −19 x = 7 − 19 = −12 ;
2x − 3, 8 = 3 − 12 + 4x 2x = 12 − 3 − 3, 8 = 5, 2 x=
3.
5, 2 = 2, 6 . 2
a − x ⎫ ⎬ 12 (м) b − x+3 ⎭ x + x + 3 = 12
ó 3 2
–4 –3 –2 –1
1
1 2 3
4
0 –1
õ
TM = T ( 4; 2 ) − M ( 4; −4 ) = −2 − ( −4 ) = = 2 + 4 = 6 од. відр. P = ( PT + TM ) ⋅ 2 = (7 + 6 ) ⋅ 2 = 26 (см);
12 b
–2 –3
K
PT = T ( 4; 2 ) − P ( −3; 2 ) = 4 − ( −3 ) = = 4 + 3 = 7 од. відр.
T
all
P
1 од. відр. = 1 см
ov.
4.
net
2x = 12 − 3 = 9 9 x = = 4, 5 (м) — а 2 b = a + 3 = 4, 5 + 3 = 7, 5 (м).
–4
S = TM ⋅ PT = 6 ⋅ 7 = 42 (см2).
M
5. 80 75 60 45 30 15 0
1 2 3 4 5 6
Варіант 3 1.
188
а) −3, 5x + 4, 2x = 0, 7x ; б) 2, 3x − 3, 2 (1 − 5x ) = 2, 3x − 3, 2 + 16x = 18, 3x − 3, 2 .
б) 7x − 2, 8 = 1 − 3 ( 4 − x )
а) 39 − 2x = 17 2x = 39 − 17 = 22 x=
7x − 2, 8 = 1 − 12 + 3x
22 = 11 ; 2
4x = 1 − 12 + 2, 8 = −8, 2 x=−
3.
8, 2 = −2, 05 . 4
Пшениця − x + 65 ⎫ ⎬ 129 (га) Ячмiнь − x ⎭ x + x + 65 = 129 2x = 129 − 65 = 64 x=
64 = 32 (га) — ячменю. 2
4.
1 од. відр. = 1 см
ó
net
BC = C ( 3; −1) − B ( 3; 5 ) = −1 − 5 =
= 6 од. відр.
1 2
3 4
õ
P = ( AB + BC ) ⋅ 2 = ( 5 + 6 ) ⋅ 2 = 22 (см);
S = AB ⋅ BC = 5 ⋅ 6 = 30 (см2).
C
12 b
0 –1 –2 –3 –4
= 3 + 2 = 5 од. відр.
ov.
4 3 2 1
B
all
–4 –3 –2 –1
K
AB = B ( 3; 5 ) − A ( −2; 5 ) = 3 − ( −2 ) =
6 5
A
5.
МАТЕМАТИКА
2.
36 30 24 18 12 6 0
1 2 3 4 5 6
Варіант 4 1.
а) −5, 7x − 1, 5x = −7, 2x ; б) 4, 7a − 2, 7 (1 − 2a ) = 4, 7a − 2, 7 + 5, 4a = 10, 1a − 2, 7 .
189
2.
б) 9x − 0, 7 = 2 − 4 (1 + x )
а) 10 − 0, 5x = 16
МАТЕМАТИКА
0, 5x = 10 − 16 = −6 6 x=− = −12 ; 0, 5
9x − 0, 7 = 2 − 4 − 4x 13x = 2 − 4 + 0, 7 = −1, 3 1, 3 x=− = −0, 1 . 13
3. Вiдеомагнiтофон − x ⎫ ⎬ 2050 (грн) Телевiзор − x +520 ⎭ x + x + 520 = 2050 2x = 2050 − 520 = 1530 x=
1530 = 765 (грн) — відеомагнітофон; 2
x + 520 = 765 + 520 = 1285 (грн) — телевізор. 4.
1 од. відр. = 1 см
ó 3 2 1
0 –1 –2 –3
KP = K ( 3; 2 ) − P ( 3; −4 ) =
õ
= 2 − ( −4 ) = 6 од. відр.
P = 4 MK = 4 ⋅ 2 = 24 (см);
S = MK 2 = 6 ⋅ 6 = 36 (см2).
P
12 b
5.
–4
3 4
all
T
1 2
= 3 − ( −3 ) = 6 од. відр.
net
–4 –3 –2 –1
MK = K ( 3; 2 ) − M ( −3; 2 ) =
K
ov.
M
.
240
180 120 60 0
1 2 3 4 5
Завдання в тестовій формі
190
1.
б)
2. в)
3. в)
4. г)
5.
в)
6. б)
7. г)
8. б)
9.
г)
10. б)
Типові задачі 1.
а) 3a ( −2c ) = −6ac ;
б) 2x + 7x − 5x = 4x ;
а) 13 + 7x = 2x − 12 5x = −25 25 x=− = −5 ; 5
б) 2 ( x − 3 ) + 5 = x 2x − 6 + 5 = x
2.
3.
x = 6−5 =1 .
A
3 см
B
С
3 см
D
4.
МАТЕМАТИКА
в) −5 (1 − n ) = 5n − 5 ;
K(0; 2); М(4; 0).
ó 5
A
3 2
–4 –3 –2 –1
1
K
net
4
1 2 3 4 5 6 7
0 –1
õ
B
ov.
M
–2
3 ⎞ ⎛ 4 ⋅1, 3 − 2 ⎜ 1, 25 + 2 ⋅1 + 2, 5 = 5, 2 − 2, 5 − 4 ⋅1, 3 + 2, 5 = 0 ⎝ 10 ⎟⎠
6.
2, 5 ( 3a − 4 ) − 5 ( 2 + 3, 1a ) + ( a − 7 ) ⋅ 3 =
12 b
all
5.
= 7, 5a − 10 − 10 − 15, 5a + 3a − 21 = −5a − 41 = = −5 ⋅100, 2 − 41 = −501 − 41 = −542 . 7.
а) ( 2 − x ) : 1, 8 = 3, 8 : ( −0, 6 ) 1, 8 ⋅ 3, 8 = −0, 6 ( 2 − x )
8.
б) −0, 4 ( 3x − 0, 5 ) − 0, 7 = 1, 3 ( 2x − 15 ) −1, 2x + 0, 2 − 0, 7 = 2, 6x − 19, 5
6, 84 = −1, 2 + 0, 6x
2, 6x + 1, 2x = 19, 5 + 0, 2 − 0, 7
0, 6x = 8, 04 8, 04 x= = 13, 4 ; 0, 6
3, 8x = 19 19 x= =5 . 3, 8
Яблука — x + 2 Картопля — x
(4 ( x + 2) + 3x ) − (2 ( x + 2) + 6x ) = 2, 5 4x + 8 + 3x − ( 2x + 4 + 6x ) = 2, 5
7x + 8 − 2x − 4 − 6x = 2, 5 x = 4 − 2, 5 = 1, 5 (грн.) — картопля; x + 2 = 1, 5 + 2 = 3, 5 (грн.) — яблука.
191
а (см)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
Р (см)
0
2
4
6
8
10
12
МАТЕМАТИКА
9.
13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1,0
1,5
0, 5α = 0, 4β → α = 0, 8β ; α + β = 900 ;
2,5
3,0
0, 8β + β = 900 ; 1, 8β = 900 ;
0
12 b
all
90 = 500 ; 1, 8 α = 900 − 500 = 400 .
β=
2,0
ov.
10.
0,5
net
0
Додатковий матеріал
Вправи для повторення за рік
1377. 17; 19; 23; 29; 31. 1378. 22; 24; 25; 26; 27; 28; 30. 1379. 9; 18; 27; 36. 1380. 1278. 1381. а) 240 = 24 ⋅ 3 ⋅ 5 ;
192
1382. а) НСД (18; 32) = 25 ⋅ 32 = 288 32 2 18 2 16 2 9 3 8 2 3 3 4 2 1 2 2 1
б) 350 = 2 ⋅ 52 ⋅ 7 .
НСД (18; 32) = 2
в) 60 30 15 5 1 1384. 140 70 35 7 1
2 2 3 5
2 2 5 7
НСД (42; 105) = 3 ⋅ 7 = 21
105 3 35 5 7 7 1 80 40 20 10 5
2 2 2 2 5
НСК (42; 105) = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 210
140 70 35 7 1
175 5 35 5 7 7 1
НСД (60, 80, 140) = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 20 НСД (42, 80, 140) = 24 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 1680
2 2 5 7
210 105 35 7 1
МАТЕМАТИКА
б) 42 2 21 3 7 7 1
2 3 5 7
net
а) НСД (140; 175) = 5 ⋅ 7 = 35 НСД (140; 210) = 2 ⋅ 5 ⋅ 7 = 70 НСД (140; 175; 210) = 5 ⋅ 7 = 35 ;
ov.
б) НСК (140; 175) = 22 ⋅ 52 ⋅ 7 = 700 НСК (175; 210) = 2 ⋅ 3 ⋅ 52 ⋅ 7 = 1050 НСК (140; 175; 210) = 22 ⋅ 3 ⋅ 52 ⋅ 7 = 2100 ; в) «210» = 2 + 3 + 5 + 7 = 17 ;
all
г) «175» = 5 + 5 + 7 = 17 .
1385. 123; 132; 213; 231; 312; 321
12 b
Парних — 2; непарних — 4; кратні 3 — усі; кратні 6 — 2; кратні 9 — немає. 1386. 3 + 7 + 9 + 11 + 13 + 17 + 19 = 79 .
1387. 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37. 1388. 14; 28; 42; 56; 70. 1389. Не може, тому що в сумі виходить парне число. n + ( n + 1) + ( n + 2 ) + ( n + 3 ) = 4n + 6 — парне. 1390. 0,9; 2
2 . 3
8 4 = ; 10 5 225 9 1 = =2 ; в) 2, 25 = 100 4 4
1391. а) 0, 8 =
1392. а) 0, 72 ⋅ 300 = 216 ; в) 0, 72 ⋅ 0, 2 = 0, 144 ;
2 12 6 1 = = =1 ; 10 10 5 5 1 г) 0, ( 3 ) = . 3 б) 1
б) 0, 72 ⋅ 72 = 51, 84 ; г) 0, 72 ⋅ 0, 72 = 0, 5184 .
193
1393. а)
МАТЕМАТИКА
в)
1394. а) в)
1395. а)
20 4 ⋅ 140 = 80 ; 7
б)
4 40 5 ⋅10 = =5 ; 7 7 7
4 4 ⋅1 = ; 7 7
г)
4 4 16 ⋅ = . 7 7 49
102 = 170 ; 0, 6
б)
39 = 65 ; 0, 6
0, 6 =1 ; 0, 6
г)
1 10 4 2 = =1 =1 . 3 0, 6 6 6
2 ⎛ 3 1 ⎞ 3 2 4 + − : 4 : 1 = + ( 0, 3 − 0, 125 ) = 3 ⎜⎝ 10 2 ⎟⎠ 4 3 7 25
=
1 1⎞ 3 13 1 ⎛ 13 13 ⎞ 13 ⎛ 1 : 13 + ⎜ 3 + 2 ⎟ : 2 = ⋅ +⎜ + = ⎟: ⎝ 4 6 6⎠ 5 6 13 ⎝ 4 6 ⎠ 5
net
б) 2
2 4 2 4 175 2\10 1\3 20 + 3 23 + ⋅ 0, 175 = + ⋅ = + = = ; 3 7 3 7 1000 3 10 30 30
1 13 5 13 5 1 5 5 1 1 + ⋅ + ⋅ = + + = 1 + 1 = 2 = 2, 25 ; 6 4 13 6 13 6 4 6 4 4
ov.
=
2
1 2\113 74\3 5 4 5 226 + 222 + 4 452 113 + ⋅ + = = = =1 =1 ; 3 3 339 339 5 113 15 3 113 339 3
12 b
=
2 4 4 ⎞ 3 8 1 ⎛ 74 4 ⎞ 113 ⎛ : 4 + ⎜ 14 + : 22 = ⋅ + + : = ⎝ 3 5 15 ⎟⎠ 5 3 4 ⎜⎝ 5 15 ⎟⎠ 5
all
1396. а) 2
7⎞ 3 1 4 22 4 55 21 ⎛ 1 − ⋅ − = б) 23 + ⎜ 7 − 6 ⎟ : − 5 = 23 + ⋅ ⎝ 3 8⎠ 4 4 3 3 3 82 4 = 23 +
88 55 21\2 88 55 + 42 − − = 23 + − = 9 8 4 9 8
= 23 +
88 97 7\8 1\9 − = 23 + 9 − 12 + − = 9 8 9 8
= 20 +
56 − 9 47 47 = 20 + = 20 . 72 72 72
13 ⎞ 3 1 4 ⎛ 53 85 ⎞ 1 ⎛ 5 −3 :1 + 3 = 32 + ⎜ − +3 = 1397. а) 32 + ⎜ 4 ⎝ 12 24 ⎠⎟ 4 18 7 ⎝ 12 24 ⎠⎟ 18 = 32 + = 35
194
1 53\2 85 1 4 53 4 85 ⋅ − ⋅ +3 = 32 + − +3 = 18 21 42 18 7 12 3 7 24 6
1 106 − 85 1 21 1 1\9 10 5 + = 35 + = = 35 + = 35 = 35 ; 18 42 18 42 2 18 2 18 9
б) 0, (1) + 0, ( 6 ) : 1, ( 3 ) = 0, (1) + 0, 5 = 0, 6 .
2
1 6 ⎛ 2 7 ⎞ 1 6 23 36 + ⋅ 7 : =4 + ⋅ ⋅ = 2 7 ⎜⎝ 3 36 ⎟⎠ 2 7 3 7
=4
1 1656 1 39 1\49 39\2 + = 4 + 33 = 37 + + = 2 49 2 49 2 49
= 37 +
49 + 78 127 29 29 = 37 + = 37 + 1 = 38 ; 98 98 98 98 4
б)
5
14 ⎛ 29 4 ⎞ 11 14 84 15 11 ⋅⎜1 : = ⋅ ⋅ ⋅ = ⎟⋅ 63 ⎝ 55 15 ⎠ 20 63 3 55 4 20 =
14 ⋅ 20 ⋅11 14 7 = = = 0, 7 . 55 5 ⋅ 4 ⋅ 20 20 10
МАТЕМАТИКА
1398. а) 4
5
1399. а) 6
1 2 3 9 25 3 3 31 :1 + : = ⋅ + ⋅ = 4 3 4 31 4 5 4 93 19
=
42 ⎛ 3 3 ⎞ 42 17 5 1 17 ⋅⎜1 : ⎟ :2 = ⋅ ⋅ ⋅ = . 95 ⎝ 14 5 ⎠ 95 19 14 3 2 38
net
б)
15\3 31 45 + 31 76 19 1 + = = = =6 ; 4 12 12 3 3 12 3
3
5\5 9\7 25 − 63 38 3 32 − =5+ =5− = 5 −1 =3 ; 35 7 5 35 35 35
all
=5+
5
85 6 ⎛ 5 ⎞ 85 91 ⋅5 : ⎜ : 8⎟ = ⋅ 91 17 ⎝ 7 ⎠ 91 17
12 b
б)
3
5 2 ⎛ 1 1⎞ 5 2 21 6 − ⋅ 5 :1 =5 − ⋅ ⋅ = 7 5 ⎜⎝ 4 6 ⎟⎠ 7 3 4 7
ov.
1400. а) 5
56 ⎛ 5 1⎞ :⎜ ⋅ ⎟ = 5 ⋅ = 56 . ⎝ 7 8⎠ 5
3 15 ⎛ 27 5 ⎞ ⎛ 3 4 ⎞ 4 ⎞ ⎛ 1401. а) ⎜ 15 : : 3 ⋅ = 15 ⋅ : ⋅ = 45 ⋅ 2 = 90 ; ⎝ 15 ⎟⎠ ⎜⎝ 8 27 ⎟⎠ 5 ⎝⎜ 8 2 27 ⎟⎠
1 8 1 49 49 1 ⎛ 8 ⎞ б) 15 ⋅ ⎜ : 16 ⎟ ⋅ 24 = 15 ⋅ ⋅ = =4 . ⎝ 15 ⎠ 2 2 45 3 16 2 2 12 1402. Мова — x Історія — x − 0, 5 Математика — x :1
1 3 = x 3 4
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭
2,5 год
3 3 3 x = 2, 5 ; x + x − 0, 5 + x = 2, 5 ; 2 x = 2, 5 + 0, 5 = 3 ; 4 4 4 3 4 12 1 x = 3 : 2 = 3⋅ = =1 (год) — мова; 4 11 11 11 1 1 12\2 1\11 24 − 11 13 x − 0, 5 = 1 − = − = = (год) — історія; 11 2 11 2 22 22 x + ( x − 0, 5 ) +
3
3 3 12 9 x= ⋅ = (год) — математика. 4 11 4 11
195
⎫ ⎪ частини від загального обсягу ⎬ робіт I та II бригад відповідно ⎪⎭ x + 1, 5x = 1 — загальний обсяг робіт
МАТЕМАТИКА
1403. I бр. — 10,5 дн. — x 10,5 x = 1, 5x II бр. — 7 дн. — 7 2, 5x = 1 1 x= = 0, 4 2, 5 1, 5x = 0, 6 10, 5 ⋅ 0, 4 = 7 ⋅ 0, 6 = 4, 2 (дня). 1404. Наповнюється — за 4 год Виливається — за 4,5 год
Візьмемо за 1 весь об’єм резервуара, тоді за 1 год наповнюється
1 його 4
1 9 2 об’єму. = 1: = 2 2 9 — на стільки наповнюється резервуар за 1 год,
об’єму, а виливається 1 : 4, 5 = 1 : 4
1 = 36 (годин) 36
1405. Равнина — x :2
⎫ 1 3 = x ⎪ ⎪ 3 7 ⎬ ⎪ ⎪ ⎭
36,75 (км)
all
Підйом — x
ov.
1:
\4
net
1 2 9−8 1 − = = 4 9 36 36 якщо відкрити обидві труби, отже весь резервуар заповниться за \9
Спуск — x + 2, 75
12 b
3 x + x + x + 2, 75 = 36, 75 7 3 2 x = 36, 75 − 2, 75 = 34 7 2 3 7 x = 34 : 2 = 34 ⋅ = 14 (км) — підйом; 7 17 x + 2, 75 = 14 + 2, 75 = 16, 75 (км) — спуск. 1406. 0, 8 : 43, 5 = 34, 80 (грн.). 1407. Борошно — 0,7х Хліб — х 0, 7x = 10 x=
10 100 2 = = 14 (т) — хліба; 0, 7 7 7
0, 7 ⋅100 = 70 (кг) — борошна. 1408. З села в місто виїхали одночасно два велосипедисти. Перший рухався зі швидкістю 15 км/год, другий — зі швидкістю 10 км/год. Перший велосипедист приїхав у місто на годину раніше другого. Знайдіть відстань між містом і селом. 196
МАТЕМАТИКА
x \3 x \2 = =1 10 15 3x − 2x =1 30 3x − 2x = 30 x = 30 (км). 1409. I колесо − x + 0, 4 II колесо − x 490 ( x + 0, 4 ) = 560x 490x + 196 = 560x 560x − 490x = 196 70x = 196 x = 2, 8 (м) — II колесо; x + 0, 4 = 2, 8 + 0, 4 = 3, 2 (м) — I колесо. б) 0, 4 : 1, 20 = 1 : 3 ;
net
1410. а) 20 : 60 = 1 : 2 ; в) 1 : 0, 125 = 8 : 1 ;
1, 5 2 1, 5 3 4 2 4 3 = ; = ; = ; = . 3 4 2 4 3 1, 5 2 1, 5
12 b
1412. а) x : 3 = 7 : 6
all
1411.
4 1 : 2 = 18 : 25 . 5 2
2 3 : = 10 : 9 ; 3 5
ov.
ґ) 1
г)
x=
3 ⋅ 7 21 3 1 = = 3 = 3 = 3, 5 ; 6 6 6 2
б) 1, 2 : 5 = x : 15 x=
1, 2 ⋅15 18 3 = =3 ; 5 5 5
в) 11 : 1001 = 0, 3 : x 9
x=
1413. 1)
1001 1 ⋅ 0, 3 = 27, 3 . 11
5\5 2\6 25 + 12 37 + = = 6 5 30 30 5 2 25 − 12 13 − = = 6 5 30 30 37 13 37 30 : = ⋅ = 37 : 13 ; 30 30 30 13
197
2 1 2\3 7\5 6 + 35 41 +2 = + = = 5 3 5 3 15 15 2 1 2 7 14 ⋅2 = ⋅ = 5 3 5 3 15 41 14 41 15 : = ⋅ = 41 : 14 ; 15 15 15 14
МАТЕМАТИКА
2)
3\2 − 0, 5 = 0, 6 − 0, 5 = 0, 1 5 3 5 ⋅ = 0, 3 5 10
3)
0, 1 = 1: 3 ; 0, 3 ⎛ 5 1\2 ⎞ 3 1 1 ⎛ 5−2 ⎞ 1 :2 = ⎜ 4) ⎜ − ⋅ = ⋅ = ⎝ 6 ⎟⎠ 2 6 2 2 4 ⎝ 6 3 ⎟⎠
3
ov.
1 7 1 6 : = ⋅ = 3 : 14 . 4 6 42 7 20 %⋅ 350 = 0, 2 ⋅ 350 = 70 ; 0, 12 ⋅ 0, 75 = 0, 09 ; 0, 15 ⋅124 = 18, 60 (грн.); 0, 025 ⋅10 = 0, 25 (л);
12 b
9) 0, 005 ⋅ 84 = 0, 42 (га);
3)
1416. 1)
198
0, 2 ⋅ 56 000 = 16 800 ; 1, 25 ⋅1, 4 = 1, 75 ; 0, 48 ⋅ 3, 5 = 1, 68 (м); 0, 042 ⋅ 50 = 2, 1 (см3); 3 10) %⋅7,5 = 0, 0075 ⋅7,5 = 0, 05625 (км2). 4
2) 4) 6) 8)
all
1414. 1) 3) 5) 7)
1415. 1)
net
5 1 5+2 7 + = = 6 3 6 6
344 = 1720 ; 0, 2
2)
4800 = 3840 ; 1, 25
640 = 25 600 ; 0, 025
4)
6, 5 = 1300 ; 0, 005
20 = 0, 2 = 20 % ; 100
2)
15 1 100 1 = = %= % ; 4500 300 300 3
3)
6 10 10 5 500 2 1 = 6⋅ = = = % = 83 % = 83 % ; 7, 2 12 12 6 6 6 3
4)
10 = 1, 25 = 125 % ; 8
5)
3 = 0, 05 = 5 % ; 60
6)
100 = 0, 125 = 12, 5 % ; 800
7)
35 = 0, 5 = 50 % ; 70
8)
40 = 0, 8 = 80 % ; 50
9)
7, 2 = 0, 1 = 10 % ; 72
10)
30 = 0, 03 = 3 % . 1000
1417. 2,5 год — 160 км 4 год — х 160 ⋅ 4 = 256 (км). 2, 5
МАТЕМАТИКА
x=
1418. a = 4x ; b = 6x ; c = 7x ; d = 8x 4x + 6x + 7x + 8x = 2, 25 25x = 2, 25 2, 25 x= = 0, 09 (дм) 25 a = 4x = 4 ⋅ 0, 09 = 0, 36 (дм) = 3, 6 (cм) b = 6x = 6 ⋅ 0, 09 = 0, 54 (дм) = 5, 4 (cм) c = 7x = 7 ⋅ 0, 09 = 0, 63 (дм) = 6, 3 (cм)
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬x ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
4 8 x− x = 5, 25 ; 9 27
5\3 8 x− x = 5, 25 ; 9 27
7 x = 5, 25 ; 27
12 b
15 − 8 x = 5, 25 ; 27
x−
all
8 ⎞ ⎛4 x−⎜ x+ x = 5, 25 ; ⎝9 27 ⎟⎠
ov.
4 x 9 8 2 год − x 27 3 год − 5, 25 км
1419. 1 год − −
net
d = 8x = 8 ⋅ 0, 09 = 0, 72 (дм) = 7, 2 (cм) .
x = 5, 25 :
7 5, 25 ⋅ 27 = = 20, 25 (км). 27 7
1420. I ящ. − 30, 4 II ящ. − x + 1, 2 III ящ. − x
⎫ ⎪ ⎬ 86 (кг) ⎪ ⎭
30, 4 + x + 1, 2 + x = 86 2x = 86 − 31, 6 = 54, 4 x=
54, 4 = 27, 2 (кг) — в III ящику. 2
1421. a − 3x ⎫ ⎪ b − 5x ⎬ P c − 7x ⎪⎭ 7x − 3x = 16 4x = 16 16 x= =4 4
199
a = 3x = 3 ⋅ 4 = 12 (см); b = 5x = 5 ⋅ 4 = 20 (см);
МАТЕМАТИКА
c = 7x = 7 ⋅ 4 = 28 (см); P = a + b + c = 12 + 20 + 28 = 60 (см). 3 x 2 II н. − 3 ч = x
1422. I н. − 2 ч =
⎫ ⎪ частини від загального обсягу робіт I та II насосів ⎬ відповідно ⎪⎭
1, 5x + x = 1 — загальний обсяг 2, 5x = 1 1 x= = 0, 4 25 3 ⋅ 0, 4 = 2 ⋅ 0, 6 = 1, 2 (год) — разом.
net
1423. 1 трактор − 12 год ⎫ ⎬ 8 год 2 трактор − x ⎭
ov.
8 2 = — частина від загального обсягу робіт 1-го трактора; 12 3 2 1 1− = — частина від загального обсягу робіт 2-го трактора 3 3 8 1 = x 3
250 = 50 км в 1 см 5 800 = 16 (см). 50
12 b
1424.
all
x = 8 ⋅ 3 = 24 (год) — 2-й трактор.
1425. a = 5 ⋅ b ; a − b = 4, 8 5b − b = 4, 8 4b = 4, 8 4, 8 b= = 1, 2 4 1426. m : n = 1 : 5 = 3 : 15 n : k = 3 : 4 = 15 : 20 m = 3x ; n = 15x ; k = 20x 3x + 15x + 20x = 760 38x = 760 760 x= = 20 38
200
m = 3 ⋅ 20 = 60 ; n = 15 ⋅ 20 = 300 ; k = 20 ⋅ 20 = 400 .
1427. a = 3x b = 5x
1428.
3 ; 4
2x =
3 ; 4
x=
a = 3⋅
3 9 1 = = 1 = 1, 125 8 8 8
b = 5⋅
3 15 7 = = 1 = 1, 875 . 8 8 8
1 2 a= b; 2 3
a=
3 3 1 3 :2 = ⋅ = ; 4 4 2 8
МАТЕМАТИКА
5x − 3x =
4 b; 3
1429. 1) P ( A ) =
net
4 7 b + b = 14 ; b = 14 ; 3 3 2 3 7 b = 14 : = 14 ⋅ = 6 ; 3 7 2 4 a= ⋅6 =8 . 3 1 ; 5
2) P ( A ) =
4) P ( A ) = 0 .
ov.
3) P ( A ) = 0, 1 ;
4 1 = ; 24 6 8 1 = ; в) P ( A ) = 24 3
all
б) P ( A ) =
12 b
1430. а) P ( A ) =
3 = 0, 3 ; 10
12 1 = ; 24 2
г) P ( A ) = 0 .
1431. m = 40 + 0, 25 ⋅ 40 = 50 1−
40 40 = 1− = 1 − 0, 8 = 0, 2 = 20 % . m 50
1432. 0, 2a = 0, 3b ; a = 1, 5b a + b = 2 ; 1, 5b + b = 2 ; a = 1, 5 ⋅ 0, 8 = 1, 2 ;
2, 5b = 2 2 b= = 0, 8 . 2, 5
1 1433. а) Сума чисел дорівнює 28. Знайдіть ці числа, якщо першого 4 1 дорівнює другого. 3 б) Різниця двох чисел дорівнює 6,4. Знайдіть ці числа, якщо одне з них в 3 рази більше іншого. в) Сума двох чисел дорівнює 1,7. Знайдіть ці числа, якщо їхня різниця дорівнює 0,9. 201
1434. 160 ч — 960 грн. x ч — 1080 грн.
МАТЕМАТИКА
160 960 = x 1080 x=
160 ⋅ 1080 = 180 . 6 960
1435. 2x + 2x + 3x + 5x = 180 12x = 180 180 x= = 15 12 I банк = II банк = 2x = 2 ⋅15 = 30 (млн грн.); III банк = 3x = 3 ⋅15 = 45 (млн грн.); IV банк = 5x = 5 ⋅15 = 75 (млн грн.). ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ 8 млрд грн. IV − ( 8 − 7 ) :2 = 0,5 5 млрд грн. ⎪⎪ ⎪⎭ V − 0, 5 млрд грн.
ov.
360°⋅ 2 8 360° = 90° — II, III = ; x= 8 2 x
12 b
8 − 360° ⎫ ⎬→ 2−x ⎭
360°⋅ 3 8 360° = 135° — I = ; x= 8 3 x
all
8 − 360° ⎫ ⎬→ 3−x ⎭
net
1436. I − 3 млрд грн. II − 2 млрд грн. III − 2 млрд грн.
360° − (135 + 90°⋅ 2 ) 45 = = 22, 5° — IV, V 2 2 0,5 млрд грн. 0,5 млрд грн. IV V I III 3 млрд 2 млрд грн. грн. II 2 млрд грн.
1437. 26 млн чол. х
202
—
100 %
—
4,5 %
26 100 = x 4, 5 26 ⋅ 4, 5 x= = 1, 17 (млн чол.). 100
1438. 260 грн. — х —
2000 грн. 5000 грн.
МАТЕМАТИКА
260 2000 = x 5000 260 ⋅ 5000 x= = 650 (грн.). 2000 1438. a = x ⎫ ⎬P =2м b = x + 0, 2 ⎭
P = ( a + b ) ⋅ 2 = ( x + x + 0, 2 ) ⋅ 2 = 2
2x + 0, 2 = 1 2x = 1 − 0, 2 = 0, 8 0, 8 x= = 0, 4 (м) — a = 4 (дм); 2 b = 0, 4 + 0, 2 = 0, 6 ( м ) = 6 ( дм ) ; S = 6 ⋅ 4 = 24 (дм2).
net
1440. a = 2x ⎫ 26 = 13 ( дм ) ⎬ b = 3x ⎭ 2 a + b = 2x + 3x = 13
all
ov.
5x = 13 13 x= = 2, 6 5 a = 2 ⋅ 26 = 5, 2 (дм);
b = 3 ⋅ 2, 6 = 7, 8 (дм);
3 см
1441. B
A
12 b
S = a ⋅ b = 5, 2 ⋅ 7, 8 = 40, 56 (дм2). D
5с
SABC =
м
4 см
PABC = AB + BC + AC = 3 + 4 + 5 = 12 см SABDC 3 ⋅ 4 = = 6 (см2). 2 2
C S = a ⋅ b = 4 ⋅ 2 = 8 (см2).
2 см
1442.
4 см SABC = AC ⋅ BK = 5 ⋅ 4 = 20 (см2).
B
1443.
A
K
C
203
1445. S = 2S1 + 2S2 + 2S3 = 2(S1 + S2 + S3 ) = = 2 ( a ⋅ b + a ⋅ h + b ⋅ h ) = 2 ( 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2, 5 + 2 ⋅ 2, 5 ) = 28 (м2); V = a ⋅ b ⋅ h = 2 ⋅ 2 ⋅ 2, 5 = 10 (м3). 1446.
а || b
a 3 cм
Окружність із r = 3 cм — не поміститься, з r = 1 cм — поміститься.
r = 1 cм
b
r = 3 cм
МАТЕМАТИКА
1444. Sпов = 6 ⋅ a2 = 6 ⋅ 32 = 6 ⋅ 9 = 54 (дм2); V = a3 = 33 = 27 (дм3).
C
AB 6 = = 3 см 2 2 Sокр = πr 2
r=
net
1447. B
SABCD = AB2 = ( 2r ) = 8 2
6 cм
r = 3 cм
SABCD
D
B
12 b
1448.
πr 2 π = 2r 4
all
A
=
ov.
Sокр
r = 3 cм
A
Sокр = πr 2
SABCD = 2r 2 Sокр C
SABCD
=
πr 2 π = 2r 2 2
O
D 1449. 1) −2, 7 + 2, 4 = 5, 1 ; 3) −3, 5 : 7 − 3, 2 = −2, 7 ;
2) −2, 4 + −2, 3 = −0, 1 ; 4) 4, 8 − 3, 2 : 0, 8 = 4, 8 − 4 = 0, 8 ;
1 1 5) − : − 1, 22 = 1 − 1, 14 = −0, 44 ; 2 2 2
6) 2, 5 : 0, 5 − 200 = 10 − 200 = −190 ; 1 4 1 1 5 5 3 : − 1, 25 + = ⋅ − 1 = − 1 = − ; 2 5 4 2 4 8 8 1 7 2 7 5 2 8) −2 : − − = ⋅ − = 1 . 3 5 3 3 7 3
7) −
204
1450. 1) 3, 7 − 1, 2 : 0, 4 = 3, 7 − 3 = 0, 7 ; 2) 2, 8 + 8, 1 : 2, 7 = 2, 8 + 3 = 5, 8 ;
6) 12, 1 : 0, 11 + 1 : ( −0, 2 ) = 110 + ( −5 ) = 105 ;
7) 0, 23 + 0, 32 = 0, 008 + 0, 09 = 0, 098 ;
( −0, 4 )2 − 1, 22 = 0,16 − 1, 44 = −1, 28 ; 9) ( 3 − 1, 4 ) : 0, 22 = 1, 6 : 0, 04 = 40 ; 2 10) ( 2 − 3, 5 ) : 0, 9 = 2, 25 : 0, 9 = 2, 5 . 8)
МАТЕМАТИКА
3) (7 − 8, 5 ) : 0, 5 = −3 ;
4) −4, 9 : ( 2, 3 − 1, 6 ) = −4, 9 : 0, 7 = −7 ; 5) 3 : 0, 2 + 8 ⋅ 2, 5 = 15 + 20 = 35 ;
⎛ 1 1 ⎞ 5 3−2 6 1 3) ⎜ − ⎟ : = ⋅ = ; ⎝ 2 3⎠ 6 5 5 6 3⎞ 7 ⎛ 4) ⎜ 0, 6 − ⎟ : 12 = 0 ; ⎝ 5⎠ 8
2 ⎛ 1⎞ 11 5 5 2 : 0−2 ⎟ = − ⋅ = − = −1 . 3 ⎜⎝ 5⎠ 3 11 3 3
all
6) 3
ov.
1 1 ⎛ 1 ⎞ 5) ⎜ − + 1⎟ : ( 2 − 1, 5 ) = : = 1 ; ⎝ 2 ⎠ 2 2
net
3⎞ 1 2 5 2 1 ⎛ 1451. 1) ⎜ 2 − ⎟ ⋅ 0, 2 = 1 ⋅ = ⋅ = ; ⎝ 4⎠ 4 10 4 2 10 2 4 2⎞ 2 1 3 1 ⎛ 2) ⎜ 1 − ⎟ : = ⋅ = ; ⎝ 3⎠ 3 3 2 2
2
1 ⎛ 3⎞ 2 ⎛ 2⎞ 2 4 2 7 + − − + − = −1 − + = −1 + = − ; 4 ⎜⎝ 4 ⎟⎠ 9 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 9 9 9 9
12 b
1452. 1) −
2
⎛ 1\4 1 ⎞ 13 1 ⎛ 1⎞ 3 3 − ⋅ 4 = −3 − 13 = −16 ; 2) ⎜ ⋅ ( −2 ) − 3 : ⎜ − ⎟ = − ⋅ 8 − 4 ⎝ 2⎠ ⎝ 2 8 ⎟⎠ 4 8 3) 6 − ( −0, 2 ) : 0, 4 + 0, 8 − 2, 4 : 6 = 6 + 0, 5 + 0, 8 − 0, 4 = 6, 9 ; 4) −2
3 3 2 2 2 − 6 : ( −1, 5 ) + ( 3, 2 − 0, 2 ⋅ 6 ) = −2 + 4 + 4 = 1 + 4 = 5 . 5 5 5 5
1453. 1) 2 ( a − 3 ) + 6 = 2a − 6 + 6 = 2a ;
2) −3 ( x − 5 ) + 6x = −3x + 15 + 6x = 3x + 15 ; 3) x − 3 ( 2 − x ) + 7 = x − 6 + 3x + 7 = 4x + 1 ;
4) − ( a − 5 ) + 2a − 4 = −a + 5 + 2a − 4 = a + 1 ; 5) ( 2c − 1) − ( 3c − 2 ) = 2c − 1 − 3c + 2 = 1 − c ;
6) − (1 − 2a ) + 3 (1 − a ) = −1 + 2a + 3 − 3a = 2 − a ;
7) x2 − x ( 8 + x ) = x2 − 8x − x2 = −8x ;
8) x2 − 2x + x ( 2 − x ) = x2 − 2x + 2x − x2 = 0 ;
9) −0, 5 ( 3 − 2x ) − x = −1, 5 − x − x = −1, 5 ; 2
1⎞ 1 1 1 ⎛ 10) 2a − a ⎜ 1 − ⎟ − 0, 25a = 2a − a − a = 2a − a = 1, 5a . ⎝ 2⎠ 4 4 2
205
1454. 1) 6 : ( −1, 5 ) − 4, 6 + 5 ( 2a − 3 ) = −4 − 4, 6 + 10a − 15 = 10a − 23, 6 ; 2)
( −1, 6c + 0, 4 ) − ( 0, 5 − 0, 8 ) c = −1, 6c + 0, 4 − 0, 5c + 0, 8c = −1, 3c + 0, 4 ;
МАТЕМАТИКА
3) ( 2x − 3y + 4 ) − ( 3x − 2y + 4 ) = 2x − 3y + 4 − 3x + 2y − 4 = −x − y ;
4) 1 − (1, 5x − 2 ) − 4 ( 0, 5x − 1, 1) = 1 − 1, 5x + 2 − 2x + 4, 4 = −3, 5x + 7, 4 . 2
1⎞ ⎛ 1455. 1) ⎜ 2 − ⎟ − 3a2 − a (1 − 3a ) − 1, 52 = ⎝ 2⎠ 2 2 1 = 3a − a + 3a − 2, 25 = − a − 2 ; 4 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1⎛2 1⎞ 2 2) − x+ y− = ; x− y+ − ⎜ x−y+ ⎟ = x− y+ 2 6 3 2 6 3 3 2 6 2⎝3 3⎠ 3 2
1⎞ 4 1 3 4 1 1 ⎛ ⎛ 1 1⎞ 3) ⎜ 1 − ⎟ ⋅ a − ⎜ − ⎟ + −a = ⋅ a− + −a =0 ⎝ ⎝ 2 4⎠ 4⎠ 3 16 4 3 16 16
1456. 1) 2x − 3 = 2 ⋅ 3, 5 − 3 = 7 − 3 = 4 ;
net
1 ⎞ ⎛3 5 1 ⎞ ⎛ 3 5 4) ⎜ − + x+ y − + x+ y = ⎝ 7 17 27 ⎠⎟ ⎝⎜ 7 17 27 ⎠⎟ 3 5 1 3 5 1 6 =− + x+ y− − x− y=− . 7 17 27 7 17 27 7
ov.
2) 15 − 7x = 15 − 7 ⋅ 4, 2 = 15 − 29, 4 = −14, 4 ;
3) 8, 5a + 0, 7 = 8, 5 ( −0, 4 ) + 0, 7 = −3, 4 + 0, 7 = −2, 7 ;
4) x − 5y + 2 = 3 − 5 ( −4 ) + 2 = 3 + 20 + 2 = 25 ;
12 b
all
5) 2ax − x = x ( 2a − 1) = 0, 5 ( 2 ⋅ 3 − 1) = 0, 5 ⋅ 5 = 2, 5 ; 1 2 1 6) x + xy − 1 = ⋅ 6 − 1 = 1 ; 3 3 3 2 4 ⎛ 2⎞ 7) a ( a − x ) + ax = a2 − ax + ax = a2 = ⎜ − ⎟ = . ⎝ 3⎠ 9
1457. 1) x + 27 = 39
x = 39 − 27 = 12 ; 2 =x 3 1 x = −4 ; 3
x = 2, 7 − 1, 5 = 1, 2 ; 1\5 =x 2 18 5 13 x= − = = 1, 3 ; 10 10 10
3) −5 +
4) 1, 8 −
5) 2x + 3 = 45
6) 3x + 4 = 1
2x = 45 − 3 = 42 42 x= = 21 ; 2 7) 5 + 4x = 65
206
2) 1, 5 + x = 2, 7
4x = 65 − 5 = 60 60 x= = 15 ; 4
3x = 1 − 4 = −3 3 x = − = −1 ; 3 8) 0, 2x + 1 = 3 0, 2x = 3 − 1 = 2 2 x= = 10 ; 0, 2
( x + 2) + 3 = 43
11)
10) 0, 5 + ( x + 1) = 3
x + 2 = 43 − 3
x = 3 − 1 − 0, 5
x = 40 − 2 = 38 ;
x = 1, 5 ; 2 = −1 3 2 2 5 5x = −1 − = −1 = − 3 3 3 5 5 1 1 x = − :5 = − ⋅ = − ; 3 3 5 3
1 3 +x= 2 4 3 1 1 x= − = ; 4 2 4
12) 5x +
13) 3 − x = 2, 5
МАТЕМАТИКА
9)
14) 1, 2 − x = −0, 8
x = 3 − 2, 5 = 0, 5 ;
x = 1, 2 + 0, 8 = 2 ; 16) 1 : 4 = 3 : ( x + 2 )
15) 2 : x = 7 : 10 7x = 2 ⋅10 20 6 x= =2 ; 7 7
x + 2 = 12 x = 12 − 2 = 10 ; 18) 7 − 2x = 3 ( x − 1)
net
17) 3x + 5 = x − 1 3x − x = −1 − 5 = −6 2x = −6 6 x = − = −3 ; 2
7 − 2x = 3x − 3
3x + 2x = 7 + 3
all
ov.
5x = 10 10 x= =2; 5
19) −1, 5x = 4 − 3 ( x − 5 )
20) − ( 3x − 1) +
1 = 1, 5x 2
1 = 1, 5x 2 1, 5x + 3x = 1, 5
−1, 5x = 4 − 3x − 15
12 b
−3x + 1 +
3x − 1, 5x = 19
1, 5x = 19 19 15 10 x= = 19 : = 19 ⋅ ; 1, 5 10 15 2 2 190 10 x= = 12 = 12 ; 3 15 15 3
4, 5x = 1, 5 1, 5 1 x= = . 4, 5 3
1458. а) –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; x1 + x2 + ... + x8 + x9 =9 9 x1 + x2 + ... + x8 + x9 = 81
б)
5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13. 1459. 12. 1460. Так, тому що сума всіх цифр дорівнює 9. 1461.
8
7
–5
8
7
–5
8
7
–5
8
7
–5
8
207
1462. 4104.
МАТЕМАТИКА
1463. а) 1111 = 11 ⋅101
б) 1265 = 5 ⋅11 ⋅ 23
в) 1001 = 7 ⋅11 ⋅13
г) 1166 = 2 ⋅ 53 ⋅11
д) 2001 = 3 ⋅ 23 ⋅ 87
е) 840 420 210 105 35 7 1
2 2 2 3 5 7
1464. 95. 1465. Син − 2x ⎫ ⎬ 2x + 20 Дочка − 3x ⎭ 2x + x = 2x + 20
net
x = 20 (років) — дочці; 2x = 2 ⋅ 20 = 40 (років) — синові;
ov.
2x + 20 = 40 + 20 = 60 (років) — батькові.
2x + x = 6
all
1466. I р. − 2x ⎫ ⎬ 6 грн. II р. − x ⎭
12 b
3x = 6 6 x = = 2 (грн.) — II рибалка; 2 2x = 2 ⋅ 2 = 4 (грн.) — I рибалка. 1467. Качки — x Зайці — 10 – x
2x + 4 ⋅ (10 − x) = 28 2x + 40 − 4x = 28 2x = 12 x = 6 — качок; 10 − 6 = 4 — зайця. 1468. Сокіл — 2x Чайка — 1,5x Стриж — x
75
2x − 1, 5x = 75
208
0, 5x = 75 75 x= = 150 (км/год) — стриж; 0, 5 2x = 2 ⋅150 = 300 (км/год) — сокіл.
1469. S = 1 км 1 год 6 S 1 V = = 1 : = 6 (км/год). t 6
1470. V ⋅ t1 = ( V + 0, 6 ) ⋅ t2 = S t1 = 35 хв =
35 7 = (год); 60 12
t2 =
30 6 = (год) 60 12
1472. Хлопчик — x Дівчинка — y x + 2 = 2 ⋅ (x − 2) 2x − x = 2 + 4
ov.
S 150 = = 10 (м/с). t 15
all
1471. V =
net
7 6 V= ( V + 0, 6 ) 12 12 7 6 6 6 V= V+ ⋅ 12 12 12 10 7 6 36 V− V= 12 12 12 ⋅10 1 36 V= 12 12 ⋅10 36 36 12 = V= = 3, 6 (км/год) 10 12 ⋅10 3 36 7 21 S = Vt1 = ⋅ = = 2, 1 (км). 12 12 10
МАТЕМАТИКА
t = 10 хв =
y + 3 = 3 ⋅ (y − 3)
3y − x = 3 + 9
2y = 12 12 y= = 6 (років) — дівчинці. 2 x = y — хлопчик і дівчинка одного віку.
12 b
x = 6 (років) — хлопчику
1473. Нехай вага каністри — x, тоді вага води — 23 – x, а вага половини води — 12,5 – x. 2 ⋅ (12, 5 − x) = 23 − x 25 − 2x = 23 − x 25 − 23 = 2x − x x = 2 (кг) — вага каністри. ⎫ ⎪ ⎬ 200 кг ⎪ Діти — 3z ⎭ Оскільки вага, яку несуть чоловіки і жінки при будь-якій їх кількості завжди буде кратною 5, то вага, яку несуть діти, теж повинна бути кратною 5, отже кількість дітей повинна бути кратною 5, тобто 5, 10 або 15.
1474. Чоловіки — 20x Жінки — 5y
209
Розв’яжемо задачу методом підстановки: 1) z = 5;
МАТЕМАТИКА
⎧ x + y + 5 = 20 ⎨ ⎩20x + 5y + 3 ⋅ 5 = 200 ⎪⎧ x = 15 − y ⎨ ⎩⎪20 (15 − y ) + 5y = 200 − 15 = 185 300 − 20y + 5y = 185 15y = 300 − 185 = 115 y=
115 = 7, ( 6 ) — не підходить. 15
2) z = 10; ⎧ x + y + 10 = 20 ⎨ ⎩20x + 5y + 3 ⋅10 = 200
net
⎪⎧ x = 10 − y ⎨ ⎪⎩20 (10 − y ) + 5y + 30 = 200 200 − 20y + 5y = 170 15y = 200 − 170 = 30
1475. I ч − abo II ч − ab
1476.
⎫ ⎬ 924 ⎭
a40 ab0 + a 4 → a = 8 → abo = 840; ab = 84 . ab → b= 4 924 924
12 b
+
1
5
6
9 2 1477.
210
ov.
30 = 2 — підходить, отже серед туристів було 10 дітей. 15
all
y=
7 4
8
3
1479.
⎪⎫ ⎬ x +1 ⎭⎪
( 85 + 45) − 100 = 160 − 100 = 30% .
1480. Розділити монети на 3 частини, по 3 шт. у кожній. Перше зважування: на кожну шальку покласти по одній частині, якщо ваги врівноважилися, значить фальшива монета в частині, що залишилася. Якщо ні — фальшива монета в більш легкій частині. Друге зважування: зі знайденої частини взяти будь-які 2 монети й покласти на різні шальки: більш легка монета — фальшива, якщо монети важать однаково, значить монета, що залишилася,— фальшива.
МАТЕМАТИКА
⎧ Гриби − 1% = 1 кг; 2% = 1 кг 1478. 100 кг ⎨ ⎩ Вода − 99% = 99 кг; 98% = x 98 2 1 = 49 (кг) = ; x= 2 98 x x + 1 = 49 + 1 = 50 (кг).
1481. Так, тому що Віра ≥ Борис, Ганна > Андрій.
net
1482. Кoрoп − x Сазан − x + 8 4x = 3x + 24 x = 24 (кг) — короп;
ov.
4x = 3 ( x + 8 )
all
x + 8 = 24 + 8 = 32 (кг) — сазан. 1483. Стільці — a; b; c
12 b
Гості — 1; 2; 3
a1b2c3; a1b3c2; a2b1c3; a2b3c1; a3b1c2; a3b2c1 — 6 способів. 1484. 123, 132, 213, 231, 312, 321 — 6 способів;
1⋅ 2 ⋅ 3 = 6 .
1485. Аналогічно попереднім задачам — 24 способи; 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 6 . 1486. Кожна по 4 листи: 4 ⋅ 5 = 20 (листів). 1487. 10 відрізків. 1488. 6 намистин — 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 = 360 ; 7 намистин — 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 = 2520 . 1489. а) 5 ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 120 ; б) 6 ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 = 720 ; в) 7! : 6! = 7; г)
( 8 !− 7 ! ) : 7 ! =
8! 7! − = 8 −1 = 7 . 7! 7!
1490. Кожна команда по 32 матчі = 16 ⋅ 2 → (17 ⋅ 32 ) : 2 = 272 .
211
МАТЕМАТИКА
1491. а)
б) а
б
а
б
в)
г) г в г в
1493. Квадратом;
і т. д.
all
ov.
,
net
1492. 4 яблука.
12 b
1494. За годинниковою стрілкою. 1495. 98 + 7 − 6 + 5 − 4 − 3 + 2 + 1 = 100 9 + 8 + 76 + 5 − 4 − 3 + 2 + 1 = 100 Існують й інші варіанти. 1496. 13 квадратів S1 = 1 см2 ;
6 квадратів S2 = 4 см2 ; 1 квадрат S3 = 9 см2 ; Усього: 13 + 6 + 1 = 20 (квадратів); S = 13S1 + 6S2 + S3 = 13 + 6 ⋅ 4 + 9 = 13 + 24 + 9 = 46 (см2). 1497. 31 грудня. 1498. Присмажити 2 рибини з одного боку, потім одну рибину забрати, на її місце покласти третю рибину, а другу перевернути на інший бік. Наприкінці третю перевернути на іншу сторону. Другу забрати, на її місце покласти першу рибу іншим боком. πr 2 = 2π см2 2 l = 2πr = 2 ⋅ 2 ⋅ π = 4π ( см ) .
1499. Sф =
212
(
)
1500. 150 : (9 – 7) = 150 : 2 = 75 (разів).
(
B а
S = AB2 = 5 ⋅ 5 = 25 см2
)
б
A
C а
б
МАТЕМАТИКА
1502.
D
б) 182 = 324 ; в) 222 = 484 .
5 − 3 = 2 ( хв )
all
2 хв = 4 год 0, 5 хв / год
ov.
1504. 2 − 0, 5 = 1 год 30 хв − 3 хв
net
1503. а) 172 = 289 ;
12 b
1 год 30 хв + 4 год = 5 год 30 хв. 1505. Мило — x x=
3 3 x+ 4 4
x−
3 3 x= 4 4
1 3 x= 4 4 3 1 3 x= : = ⋅ 4 = 3 (кг). 4 4 4 5 ⎫ x 8 ⎪⎪ 5 x ⎬ x Корова — 16
1506. Кінь —
⎪
Вівця — 5 крб. ⎪⎭ x−
5\2 5 x− x =5 8 16
213
МАТЕМАТИКА
16 − 10 − 5 x =5 16 1 x =5 16 x = 5:
1 = 5 ⋅16 = 80 (крб.). 16
1507. Чоловіки — x ⎫ ⎬ 23 y⎭ Жінки — ⎧ x + y = 23 ⎨ ⎩ 0, 05x + 0, 04y = 1 ⎧⎪ x = 23 − y ⎨ ⎩⎪ 0, 05 ( 23 − y ) + 0, 04y = 1 1, 15 − 0, 05y + 0, 04y = 1
y=
net
0, 01y = 1, 15 − 1 = 0, 15 0, 15 = 15 (чол.) — жінки; 0, 01
ov.
x = 23 − y = 23 − 15 = 8 (чол.) — чоловіки.
12 b
x+ 1
1 x = 24 5
all
— x ⎫ ⎪ 1 ⎬ 24 Закінчення — x ⎪ 5 ⎭
1508. Початок
1 x = 24 5
6 x = 24 5 4 5 6 x = 24 : = 24 ⋅ = 20 (годин). 5 6 Зараз 20.00.
1509. Олена — 24 роки Марія — x
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
x (років) 24 : 2 = 12
24 x = x 12 x2 − 24 ⋅12 = 288
214
x = 288 = 16, 97 ≈ 17 (років) — Марії зараз.
x + x + 3x = 35 5x = 35 x = 7 (рибин). Син Петра — Микола спіймав 7 рибин. 1511. НСК (3, 4, 5) = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 60 . Зустрінуться через 60 днів у середу.
МАТЕМАТИКА
1510. Микола — x ⎫ ⎪ Василь — x ⎬ 35 (рибин) Петро — 3x ⎪⎭
1512. 3, 4, 5 (У відповідях підручника помилка). 1513.
Четвер.
1514. Стрибок собаки — x (відстань); 5 (кількість) Стрибок зайця — y (відстань); 6 (кількість)
net
5x = 6y 40x = 48y — відстань між собакою та зайцем;
ov.
5x − 5y = y — відстань, на яку собака наближається до зайця за 5 стрибків.
1515. Максим — z Олег — 3 Євгеній — y Тарас — x
all
48y = 48 ⋅ 5 ( x − y ) = 240 ( x − y ) — собака наздогнав зайця за 240 стрибків.
12 b
3+ x = y+ z z > y z + x < 3 + y z − x = 3 − y → x = 0; y = 1; z = 2 .
Євгеній — 1 карась; Максим — 2 карася; Тарас — нічого. 1516. 1. 2. 3. 4. 1517.
Налити олію в 4-літрову банку. З 4-літрової банки налити в 3-літрову. З 3-літрової вилити назад у 6-літрову. У 3-літрову налити літр, що залишився, з 4-літрової.
105263157894736842.
215