Algebra pochatki analzy geometrya 10 klas akademchniyi rven testoviyi kontrol znan

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА

www.e-ranok.com.ua

Клаc

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА

Оцінка Тема 1 Варіант 1

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ ТЕМА 1. ФУНКЦІЇ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

1 

Самостійна робота № 1. Множини, операції над множинами. Числові множини. Множина дійсних чисел. Числові функції. Способи задання числових функцій. Основні властивості функцій Укажіть множину всіх дільників числа 28.

A

Б

В

Г

{1; 2; 4; 7; 14} {1; 2; 4; 14; 28} {1; 2; 4; 7; 14; 28} {28; 56; 84}

2

Д

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

{4; 7; 14}

Знайдіть переріз множин A і B, якщо A = {−5; 1; 2; 12} , B = {−6; − 5; − 1; 2} . А

Б

{−6; − 5; − 1; 1; 2; 12 }

Клаc

{−5}

В

Г

{−6; 1; − 1; 12}

Д

{−5; 2}

{−1; 0}

Оцінка Варіант 2 Тема 1

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ ТЕМА 1. ФУНКЦІЇ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

1 2

Самостійна робота № 1. Множини, операції над множинами. Числові множини. Множина дійсних чисел. Числові функції. Способи задання числових функцій. Основні властивості функцій Укажіть множину всіх дільників числа 35.

A

Б

В

{1; 3; 5; 7; 35}

{1; 5; 7; 35}

{35; 70; 105}

Г

Д

{5; 7; 35}

{1; 35}

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

Знайдіть об’єднання множин A і B, якщо A = {−7; − 2; 1} , B = {−5; − 2; 1; 2} . А

Б

В

Г

Д

{−7; − 5; 2}

{−2; 1}

{−7; − 5; − 2; 1; 2}

{−7; − 5; − 2; − 2; 1; 1; 2}

{1}

www.e-ranok.com.ua

1

3 

Укажіть спосіб задання функції y = x3 − 2x + 7 . Знайдіть значення цієї функції при x = −2 .

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА

Відповідь: 4 Знайдіть область визначення та множину значень функції y = 

3 − x + ( x − 3) .

2

Відповідь: 3 

Укажіть спосіб задання функції y = x2 − 2x3 − 1 . Знайдіть значення цієї функції при x = −2 .

Відповідь: 4 Знайдіть область визначення та множину значень функції y = 

x − 5 + ( x − 5) .

2

Відповідь:

2

www.e-ranok.com.ua

Тема 1

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА Клаc

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

1 

Самостійна робота № 2. Властивості і графіки основних видів функцій. Побудова графіків функцій за допомогою геометричних перетворень. y Обернена функція Виберіть рівняння, що задає множину точок, яка найточніше відповідає графіку, зображеному на рисунку.

A

Б

y = x2 − 1

2

y=−

x

В

Г

Д

y = −x −1

1

y = 2x + 1

Б

y = x −1

Клаc

y=

В

y = x2 − x

2

x −1

Г

x

А

Б

В

Г

Д

y = 2x2 + 1

y=

x

Д

А

Б

В

Г

Д

2

x +1

y = 1 − 2x

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

2

1

O

Укажіть парну функцію. А

1 

Оцінка Варіант 1 Тема 1

Оцінка Варіант 2 Тема 1

Самостійна робота № 2. Властивості і графіки основних видів функцій. Побудова графіків функцій за допомогою геометричних перетворень. Обернена функція y Виберіть рівняння, що задає множину точок, яка найточніше відповідає графіку, зображеному на рисунку.

A

Б

y = −x +1

y = x +1

В

Г 1

y=

x

y = x2 + 1

y=−

1 2

x

x

O

Д А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

Укажіть непарну функцію. А y = x2 + x

Б y = x +1

В y=

x

3

x −1

Г

Д

y = 3x3 − x

y = x2 − 1

www.e-ranok.com.ua

3

3

Запишіть формулу функції, оберненої до функції y = x − 2 . Укажіть область визначення та множину значень оберненої функції. Побудуйте ескіз її графіка.

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА Відповідь: 4 Побудуйте графік функції y = 

3

1 x −1

−1 .

Запишіть формулу функції, оберненої до функції y = x +1 . Укажіть область визначення та множину значень оберненої функції. Побудуйте ескіз її графіка.

Відповідь: 4 Побудуйте графік функції y = 

4

1 x +1

+1 .

www.e-ranok.com.ua

Клаc

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

Оцінка Тема 1 Варіант 1

Самостійна робота № 3. Рівносильні перетворення рівнянь. Рівняння-наслідки. Застосування властивостей функцій до розв’язування рівнянь. Рівносильні перетворення нерівностей, метод інтервалів. [Рівняння і нерівності, що містять знак модуля]

1

Укажіть рівносильні рівняння.

A

Б x = −1

x2 − 4x = 0 і x−4 =4

2

і

1 x +1

В

Г

Д

x2 − 1 = 0

(x + 1) (x − 2) = 0

x2 = 9

і x +1 = 0

=0

і

x +1

x −2

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

і x=3

=0

Знайдіть число коренів рівняння ( x + 2) ( x + 1) x − 1 = 0 . А Жодного

Клаc

Б Один

В Два

Г Три

Д Більше ніж три

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

Оцінка Варіант 2 Тема 1

Самостійна робота № 3. Рівносильні перетворення рівнянь. Рівняння-наслідки. Застосування властивостей функцій до розв’язування рівнянь. Рівносильні перетворення нерівностей, метод інтервалів. [Рівняння і нерівності, що містять знак модуля]

1

Укажіть рівносильні рівняння.

A x x−4

Б =0

і x ( x − 4) = 0

2

В

x +1 = 2 і x2 + x + 2 = 0

x =2 і

Знайдіть число коренів рівняння А Один

Б Два

Г

x−4 x

=0

2

Д =0

x =1

і x+2= 0

і x2 = 1

x+2

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

x − 2 x − 3 ( x + 1) = 0 .

В Жодного

Г Три

Д Більше ніж три

www.e-ranok.com.ua

5

3 

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА Розв’яжіть нерівність методом інтервалів: а)

1− x x+3

> 0 ;

б) ( x + 1) ( x − 4 )  0 .

2

Відповідь: 4 Розв’яжіть нерівність із модулем: 

а) x − 2 < 3 ;

б) 7 − 3x  9 .

Відповідь:

3

Розв’яжіть нерівність методом інтервалів: а)

7−x 5+x

< 0 ;

б) ( x + 2) ( x − 3)  0 .

2

Відповідь: 4 Розв’яжіть нерівність із модулем:  а) x + 2 > 3 ;

б) 2x − 5  4 .

Відповідь:

6

www.e-ranok.com.ua

Клаc

Оцінка Тема 1 Варіант 1

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

Контрольна робота № 1. Функції, рівняння і нерівності 1 

Укажіть графік парної функції. А Б

Г

y

y

y

В

Д

y

 3

А

Б

2

2

3

3

Д

O

x

O

А

Б

В

Г

Д

x

x

x x −1

. Знайдіть f ( −2) .

В

Г

Д

2

– 2

–1

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА Укажіть неправильне твердження. А

Б

Областю визначення функції

Функція

y=

1 x2 + 1

є множина R

4 

Г

x

Функція задана формулою f ( x ) = −

–

В

O x

2

Б

y

O O

А

В

Г

Множиною 2 значень функції y = ( x − 1) y = x2 + 1 зростає на є проміжок всій числовій x 1; + ∞ ) прямій

Д

Множина цілих розв’язків нерівності < 2 : {−1; 0; 1}

А Б

Функція y = sin x непарна

В Г Д

Установіть відповідність між геометричними перетвореннями графіка функції y = x2 (1–4) і функціями, графіки яких отримані в результаті цих перетворень (А–Д).

1 Графік функції перенесли вздовж осі Oy на 3 одиниці вниз

А y = ( x + 3)

2

А Б

Б y = ( x − 3) + 3

1

В y = 3x

3

2

2 Графік функції перенесли вздовж осі Ox на три одиниці вліво 3 Графік функції розтягли від осі Ox у три рази 4 Графік функції перенесли вздовж осі Ox на три одиниці вправо, а потім уздовж осі Oy на три одиниці вгору

2

Г y = ( x + 3) − 3 2

В

Г

Д

2 4

Д y = x2 − 3

www.e-ranok.com.ua

7

 5

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА x +1

Знайдіть область визначення функції y = 6 − x +

x−4

.

Відповідь:

6

Розв’яжіть рівняння 3x + 5 − x − 4 = 2x + 7 − x − 4 .

Відповідь: 7 Знайдіть корені рівняння 

2x − 3 = x + 1 .

Відповідь: 8 Знайдіть найбільший цілий розв’язок нерівності 

x2 + x − 2

( x + 1)

2

<0.

Відповідь: 9 Розв’яжіть нерівність 

x −1 − x  −1 .

Відповідь: 10 Знайдіть множину розв’язків нерівності ax > a + 2x − 4a + 4 для всіх значень параметра a.  2

Відповідь:

8

www.e-ranok.com.ua

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА Клаc

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

1

Оцінка Тема 1 Варіант 2

Прізвище, ім’я

Контрольна робота № 1. Функції, рівняння і нерівності Укажіть графік непарної функції. А

Б

y

В

y

Г

Д

y

y

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

y

O x

O

2

Функція задана формулою f ( x ) = − А −

3

Б

1

O x x−2

x

x

O

x

. Знайдіть f ( −1) .

В 1

–1

3

3

Г

Д

1

2

Укажіть правильне твердження. А

Б

Областю визначення функції y=

1 x2 − 1

є множина R

4 

x

O

В

Г

Д

Множиною зна- Множина цілих Функція 2 розв’язків чень функції y = − ( x + 1) нерівності y = − x2 − 1 зростає на всій числовій x 2: є проміжок прямій {−2; − 1; 1; 2} ( −∞; − 1

А Б

Функція y = x +1 непарна

В Г Д

1

Установіть відповідність між геометричними перетвореннями графіка функції y = (1–4) x і функціями, графіки яких отримані в результаті цих перетворень (А–Д).

1 Графік функції y =

1 x

перенесли вздовж

А y =

осі Oy на дві одиниці вгору 1

2 Графік функції y = розтягли від осі Ox x у два рази 3 Графік функції y =

1 x

перенесли вздовж

осі Ox на дві одиниці вліво 4 Графік функції y =

1 x

Б y = В y = Г y =

перенесли вздовж

осі Ox на дві одиниці вправо, а потім уздовж осі Oy на дві одиниці вниз

Д y =

2

А Б

x 1

x

Г

Д

1 2

x+2 1

В

3

+2 1

x+2 1 x−2

4

+2 −2

www.e-ranok.com.ua

9

 5

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА x

Знайдіть область визначення функції y = 4 − x +

x−2

.

Відповідь:

6

Розв’яжіть рівняння 4x − 3 + x − 1 = x − 1 + 3x − 4 .

Відповідь: 7 Знайдіть корені рівняння 

3x + 1 = x − 1 .

Відповідь:

 8

Знайдіть найменший цілий розв’язок нерівності

x2 − x − 6

( x − 1)

2

< 0.

Відповідь: 9 Розв’яжіть нерівність 

x + x −2 4.

Відповідь: 10 Знайдіть множину розв’язків нерівності ax  a + x + 1 − 2a для всіх значень параметра a.  2

Відповідь:

10

www.e-ranok.com.ua

Тема 2

Клаc

Оцінка Тема 2 Варіант 1

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

ТЕМА 2. СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ Самостійна робота № 4. Корінь n-го степеня. Арифметичний корінь n-го степеня, його властивості. Перетворення коренів. Дії над коренями 1 

Укажіть неправильну рівність.

A 3

Б

125 = 5

5

−

В

1

=−

32

1

4

2

Г

0,016 = 0,2

4

5

1

Д = 1,5

16

6

64

А =

729

Б

В

Г

Д

Б

В

Г

Д

2 3

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА 2 

Винесіть множник з-під знака кореня А

Б

2

Клаc

24a6 b4 .

В

2

2a b 3 3b

3

8a b 3 b

Г

Д

3

2

8a b

3

2a b 3 3

2a b

Оцінка Варіант 2 Тема 2

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

А

ТЕМА 2. СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ 1 

Самостійна робота № 4. Корінь n-го степеня. Арифметичний корінь n-го степеня, його властивості. Перетворення коренів. Дії над коренями Укажіть неправильну рівність.

A 3

2

0,0008 = 0,2

Б 3

3

3 8

В =

3 2

4

1 81

Г =

Винесіть множник з-під знака кореня А cd2 3 16

Б 16 3

cd2 3 c

1

− 5 −1 = 1

3

3

Д 6

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

1 =1

16c4 d5 .

В

Г

Д

2cd 3 2cd2

2cd2

2cd2 3 2c

www.e-ranok.com.ua

11

 3

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА

Знайдіть значення виразу: а)



4

3



5

1  3 1   5 7    −  +  ; 81   2   2    

б)

4

б)

6

2+ 3 ⋅4 2− 3 .

Відповідь:

 4

 Спростіть вираз  

1 3

a −1

 1 − 3 a2 . ⋅ 2 a +1  1

−

3

Відповідь:

3 

Знайдіть значення виразу: а)



3

4

5



 1  1  8   4  −  5 −   ;  27   3  3     

6 − 5 ⋅6 6 + 5 .

Відповідь:  4 Спростіть вираз   

a −1 3

a −1

−

1+ a 

2

. ⋅ 1+ a  3 a 3

Відповідь:

12

www.e-ranok.com.ua

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА Клаc

Оцінка Тема 2 Варіант 1

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

Самостійна робота № 5. Функція y = n x та її графік. Ірраціональні рівняння

1

На якому рисунку графік функції не відповідає формулі, якою задана функція?

A

Б 2 8x

0

0

–2

y

–1

x

–1 0 x

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

1 0 1

x

y= 6 x

y = 4 −x

y = x −1

А

y 1

0

Б

A (6; 2)

Клаc

В

B (1; − 1)

Г

C ( 0; 1)

D ( −6; 2)

Д

E ( −1; 2)

Оцінка Варіант 2 Тема 2

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

Самостійна робота № 5. Функція y = n x та її графік. Ірраціональні рівняння На якому рисунку графік функції не відповідає формулі, якою задана функція?

A

Б

В

y

y

0

–2

8 x

y = −3 x 2 

4

Д

Укажіть точку, що належить графіку функції y = 3 2 − x . А

1

x

y = 4 ( x + 2)

y= 3x

Г

y

y

y 2

2

В

y

y 1

–1

Г

1 x

0

y = 5 ( x + 1)

5

0 y = x +1

x

–1 0 –1 x y = −4 x

Д

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

y 1 0 1

x

y= 5 x

Укажіть точку, що належить графіку функції y = 3 3 + x . А A ( −1; 2)

Б B ( −11; − 2)

В C ( −4; 1)

Г D (24; 9)

Д E ( −2; 0 )

www.e-ranok.com.ua

13

3 Розв’яжіть рівняння: 

а) x − 3 = 3 − x ;

б)

2− x =1.

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА Відповідь: 4 Знайдіть корені рівняння: 

а)

x − 1 + 2x − 3 = 3x − 4 ;

б) 2 3 x − 6 x − 1 = 0 .

Відповідь: 3 

Розв’яжіть рівняння: а)

5 − x = x − 5 ;

б)

x−6 =2.

Відповідь: 4 Знайдіть корені рівняння: 

а)

x + 2 + 3x + 4 = 4x + 6 ;

б) 3 3 x + 6 x − 4 = 0 .

Відповідь:

14

www.e-ranok.com.ua

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА Клаc

Оцінка Тема 2 Варіант 1

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

Самостійна робота № 6. Ірраціональні рівняння. [Ірраціональні нерівності. Системи ірраціональних рівнянь] 1 

Укажіть найменший цілий розв’язок нерівності A –1

2 

Б 0

5

В –9

2 − 3x < 2 . Г –10

Укажіть область допустимих значень для рівняння

3

Д –11

Б

В

Г

Д

( −∞; 6

6; + ∞ )

3; 6 

( −∞; 3

 −6; − 3

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

Оцінка Варіант 2 Тема 2

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

Б

x−3 + 6−x =3.

А

Клаc

А

Самостійна робота № 6. Ірраціональні рівняння. [Ірраціональні нерівності. Системи ірраціональних рівнянь] 1 

Укажіть найменший цілий розв’язок нерівності A 3

2 

Б 0

В 1

5

2x − 3 > −1 .

Г 2

Д –1

Укажіть область допустимих значень для рівняння А

( −∞;5

Б

( −∞; − 5

В  −2; 5

Г

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

5−x + 3 x+2 =3 .

 −2; + ∞ )

Д 2; 5

www.e-ranok.com.ua

15

3 

Розв’яжіть нерівність: а)

3

x2 − 7x > 2 ;

б)

x2 − 2x  3 .

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА

Відповідь: 

x− 4 Розв’яжіть систему рівнянь    x + 4

y = 8, 4

y = 4.

Відповідь: 3 Розв’яжіть нерівність: 

а) x + 9x  − 2 ; 3

2

б)

x2 + 2x  3 .

Відповідь:

 4

 4 x − 4 y = 6, Розв’яжіть систему рівнянь   x − y = 48.

Відповідь:

16

www.e-ranok.com.ua

Клаc

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА

Оцінка Тема 2 Варіант 1

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

Контрольна робота № 2. Корінь n-го степеня

1

2

3 

4 

Знайдіть область визначення функції y = 4 x + 3 . А

Б

В

Г

Д

( −∞; + ∞ )

( −3; + ∞ )

 −3; + ∞ )

3; + ∞ )

0; 3

Обчисліть:

5

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

− 4 ( −5) .

4

А

Б

В

Г

Д

–7

3

–3

7

5

( a − 1)

2

+

( a + 1)

2

, якщо −1 < a < 1 .

А

Б

В

Г

Д

–2a

–2

2a

2

a

Установіть відповідність між виразами (1–4) і числами (А–Д), одержаними в результаті їх перетворення.

2 3

4

( 3

А 1

2 ⋅4 8 12 − 3

)

2

81 − 3 3 + 1

А Б

Б 2

1

В 4

2

В

Г

Д

3

3

6+2 5 ⋅ 6−2 5

4

( −2)

Спростіть вираз

1

5 

5

А

Г 3

4

Д 6

Винесіть множник з-під знака кореня: а)

3

−27c5 ;

б) 4 16a6 , якщо a < 0 .

Відповідь:

www.e-ranok.com.ua

17

6

Скоротіть дріб

a−8 3

a + 3 a +4 2

.

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА Відповідь: 7 Обчисліть суму 

5 8 − 3

−

1 3− 2

+

1 2 −1

−2 2 .

Відповідь: 8 Побудуйте схематично графік функції y = 2 x − 1 .  3

9 Розв’яжіть рівняння 

3

3x + 2 + 3 x − 2 = 2 .

Відповідь:

 10

Спростіть вираз

x+ x x+y

y 

⋅  

x x − y

−

 . x + y  y

Відповідь:

18

www.e-ranok.com.ua

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА Клаc

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

Оцінка Тема 2 Варіант 2

Контрольна робота № 2. Корінь n-го степеня 1 

2 

3

Знайдіть область визначення функції y = 6 5 − x . А

Б

В

Г

Д

( −∞;5

( −∞;5)

5; + ∞ )

( −∞; − 5

0; 5

Обчисліть:

4

( −3)

2

5

( 3

3

В

Г

Д

–7

1

–1

7

12

Г –2b

Д 1

(b + 1)

2

−

(b − 1)

Б –2

4 ⋅5 8

2

Д

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

, якщо b < −1 . В 2

А 12

3 − 27

)

2

16 − 2 2 − 1 3

7+4 3 ⋅ 7−4 3

4

Г

Установіть відповідність між виразами (1–4) і числами (А–Д), одержаними в результаті їх перетворення.

1

5 

В

3

Б

Спростіть вираз

Б

− 3 ( −4 ) .

А

А 2b

4 

4

А

А Б

В

Г

Д

1

Б 1

2

В 48

3

Г –1

4

Д 2

Винесіть множник з-під знака кореня: а)

3

−8a4 ;

б)

4

81bc4 , якщо c < 0 .

Відповідь:

www.e-ranok.com.ua

19

6

Скоротіть дріб

b+8 3

b − 3 b +4 2

.

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА

Відповідь: 7 Обчисліть суму 

3 6 − 3

−

1 3− 2

+

1 2 +1

− 6 .

Відповідь: 8 Побудуйте схематично графік функції y = 2 x + 1 .  4

9 Розв’яжіть рівняння 

3

2x + 4 + 3 x − 3 = 1 .

Відповідь: 10 Спростіть вираз 

1− a 1+ b

⋅

 a ⋅ 1 +  a +a  1− a

1− b

 .  

Відповідь:

20

www.e-ranok.com.ua

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА Клаc

Оцінка Тема 2 Варіант 1

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

Самостійна робота № 7. Степінь з раціональним показником, його властивості. Перетворення виразів, які містять степінь із раціональним показником

1



4

у вигляді степеня з дробовим показником.

a3

A

Б

3 4

4 3

a

2

1

Подайте дріб

a

1

В −a

3 4

Г

Д

3 − 4

3

a

−

4

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

a

5

Обчисліть: 9 3 : 9 6 . А

Б 1

1

3

Клаc

В

Г

Д

3

–3

0

Оцінка Варіант 2 Тема 2

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

Самостійна робота № 7. Степінь з раціональним показником, його властивості. Перетворення виразів, які містять степінь із раціональним показником 1 

1

Подайте дріб

6

у вигляді степеня з дробовим показником.

a5

A a

 2

−

Б

В 5

5 6

−a 6

1

Г

Д 5

6

5

a5

a6

В

Г

Д

1

0

−

6

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

a

3

Обчисліть: 16 8 : 16 8 . А 2

Б –2

1 2

www.e-ranok.com.ua

21

3 

Спростіть вираз:  3 −1 а)  x 4 ⋅ x 3   

2

2 5

(

: x

0,2

⋅x

0,8

2

1   б)  1 + n 2  − (1 + n ) .  

) ;

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА Відповідь: 4 

1 1 1  y − x m2 + n2 x2  Спростіть: ⋅ 1 − 1 1 1  m−n 2 2 x −y n2 −m2 

1 1  2 2  ⋅ m −n .

1  2y 2 

Відповідь:

3

Спростіть вираз:  5 −1 а)  x 8 ⋅ x 3   

−1

1 7

:x

−

4 3

;

1  1   б)  a 2 + 1   1 − a 2  + a .   

Відповідь: 4 

1 1 1   2x 2 2x 2  9y + 1 − 6y 2  Спростіть:  . + 1 1 2 ⋅  1 − 3y 2 3y 2 + 1   14     2x   

Відповідь:

22

www.e-ranok.com.ua

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА Клаc

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

Оцінка Тема 2 Варіант 1

Самостійна робота № 8 Степенева функція, її властивості та графік

1

Спростіть вираз a

3

6

: a6

A a2

 2

3

.

Б

В

Г

1 2

1

0

a

Знайдіть область визначення функції y = ( 4 − x ) А

Б

( −∞; 4)

Клаc

В

( −∞; 4

4; + ∞ )

−

1 3

Д a2

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

3

. Г

( −∞; + ∞ )

Д

( −∞; − 4)

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

А

Оцінка Варіант 2 Тема 2

Самостійна робота № 8 Степенева функція, її властивості та графік

1

 2

Спростіть вираз b

6

3

: b3

A

Б

–1

−2 6

b

6

. В

Г

Д

0

2 6

1

Г

Д

Знайдіть область визначення функції y = ( x + 2) А

( −∞; + ∞ )

Б

(2; + ∞ )

В

 −2; + ∞ )

b

−

1 2

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

.

( −2; + ∞ )

( −∞; − 2)

www.e-ranok.com.ua

23

 3

1

Розв’яжіть графічно рівняння x 3 =

1 2

x−2.

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА

Відповідь: 4 Побудуйте графік функції y = ( x − 1)  функції.

1 4

+ 1 . Знайдіть множину значень і проміжок зростання цієї

Відповідь:

 3

1

Розв’яжіть графічно рівняння x 3 = −

1 2

x+

3 2

.

Відповідь: 4 Побудуйте графік функції y = ( x + 1)  функції.

1 4

− 1 . Знайдіть множину значень і проміжок зростання цієї

Відповідь:

24

www.e-ranok.com.ua

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА Клаc

Оцінка Тема 2 Варіант 1

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

Контрольна робота № 3. Степенева функція

 1

−

Знайдіть значення виразу 81 А



4 

В 1

0

3

Г

Д

3

1

А

Б

В

Г

Д

 1  1  Знайдіть значення виразу  x 2 + 2   x 2 − 2  при x = 16 .    А 12

3

1

⋅92 .

Б

–1

2

1 4

Б 36

В 4

Г –2

Д 0

А

Б

В

Г

Д

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

5

Спростіть вираз

b8 3 8

b ⋅b

9 8

−

А

Б

b −1

−

b

.

1 8

b

11 8

b

b

5 − 6

Установіть відповідність між виразами (1–4) і виразами, одержаними в результаті їх перетворення (А–Д).  1 1 1 1 1  x 2 − 2y 2   x 2 + 2y 2     1  12  2 2  x + 2y   

2

1 1 1  1   3  x 2 − y 2   x + x 2 y 2 + y    

1 1  1  4 x 2  2x 2 − y 2   

3

3

А Б

А x 2 − y 2

В

Г

Д

1 2

Б x − 4y

3 4

В x + 4y 1

1

1

1

Г x + 4x 2 y 2 + 4y Д 2x − x 2 y 2

www.e-ranok.com.ua

25

5 

Скоротіть дріб

2+b 1

1

2 +b 3

.

3

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА Відповідь: 6



Побудуйте схематично графік функції y = ( x − 2) 3 .

7 

1 5 Знайдіть область визначення функції y =  − 1 . x 

1

3

Відповідь:

 8

1

1

Розв’яжіть рівняння x 3 + x 6 − 12 = 0 .

Відповідь: 1 2

 Обчисліть: ( 3 − 1) (4 + 2 3 ) 9

1 4

.

Відповідь: 10 Спростіть вираз 

1

a2 +1 1 2

a + a +1

:

1 3 2

і знайдіть його значення при a = 2 .

a −1

Відповідь:

26

www.e-ranok.com.ua

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА Клаc

Оцінка Тема 2 Варіант 2

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

Контрольна робота № 3. Степенева функція

 1

 2

3 

Знайдіть значення виразу 32

1 5

1

⋅83 .

А

Б

В

Г

1

–1

0

2

Д

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

1 2

 1  1  Знайдіть значення виразу  x 2 − 3   x 2 + 3  при x = 4 .    А

Б

В

Г

Д

1

7

–5

0

5

В

Г

Д

1

1 2

5

Спростіть вираз

a6 ⋅a

−

7 6

1

.

a6

А

Б –1

a −1

4 

−

a

a

1 − 2

Установіть відповідність між виразами (1–4) і виразами, одержаними в результаті їх перетворення (А–Д).

1 1  1  1  1  2x 2 + y 2   y 2 − 2x 2     1  1  2  2x 2 − y 2   

3 2

2

Б x + y

   3  x + y   x − ( xy ) + y     1 2

1 2

1 1  1  4 y 2  2y 2 + x 2   

1

А 4x − 4 ( xy ) 2 + y

1 2

А Б

В

Г

Д

1 2

3 2

3 4

В 4x − y 1

Г 2y + ( yx ) 2 Д y − 4x

www.e-ranok.com.ua

27

5 

Скоротіть дріб

3−a 1 3

.

1

3 − a3

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА Відповідь:



Побудуйте схематично графік функції y = ( x + 1) 3 .

7 

1  Знайдіть область визначення функці y =  + 1 x 

6

1

3 4

.

Відповідь: 8 Розв’яжіть рівняння x 

1 3

1

+ 4x 6 − 5 = 0 .

Відповідь:

 9

(

Обчисліть: 4 − 2 3

1 4

) ( ⋅

)

3 +1

1 2

.

Відповідь: 10 Спростіть вираз 

a −1 1 2

:

a

a + 2a + 1 a

−

1 2

1 − 2

−1

і знайдіть його значення при a = 10 .

+1

Відповідь:

28

www.e-ranok.com.ua

Тема 3

початки аналізу GDZ.BIZ.UA - ГДЗАлгебра ПОРТАЛі №1 УКРАЇНА

Клаc

Оцінка Тема 3 Варіант 1

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

ТЕМА 3. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

1

Самостійна робота № 9. Радіанне вимірювання кутів. Синус, косинус, тангенс, котангенс кута. Тригонометричні функції числового аргументу Укажіть неправильний результат переведення кута з градусної міри в радіанну.

A 45° =

2

Б π 4

120° =

В 2π 3

220° =

Г 11π 9

450° =

Д 5π 3

600° =

А

Б

В

Г

Д

Б

В

Г

Д

10π 3

Укажіть правильний результат переведення кута з радіанної міри в градусну. А π 12

Клаc

Б

= 12°

2π 9

В

= 45°

7π 9

Г

= 150°

Д 7π

4π = 360°

180

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

А

= 7°

Оцінка Тема 3 Варіант 2

ТЕМА 3. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ Самостійна робота № 9. Радіанне вимірювання кутів. Синус, косинус, тангенс, котангенс кута. Тригонометричні функції числового аргументу 1 

Укажіть правильний результат переведення кута з градусної міри в радіанну.

A 30° =

2

Б π 3

160° =

В 5π 6

240° =

Г 3π 2

480° =

Д 8π 3

А

Б

В

Г

Д

Б

В

Г

Д

500° = 3π

Укажіть неправильний результат переведення кута з радіанної міри в градусну. А π 10

= 18°

Б 4π 9

= 80°

В 7π 18

= 75°

Г 3π = 540°

Д 11π 90

А

= 22°

www.e-ranok.com.ua

29

3 

Визначте знак виразу: а) ctg 250°⋅ sin130° ;

cos

б) sin

5π 4 .

2π 9

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА Відповідь:

4 Знайдіть радіанні міри кутів чотирикутника, якщо вони відносяться як 2 : 4 : 5 : 7 . 

Відповідь: 3 

Визначте знак виразу: а) tg 310°⋅ cos 200° ;

sin

б) ctg

7π 9 .

7π 3

Відповідь:

4 Знайдіть радіанні міри кутів чотирикутника, якщо вони відносяться як 7 : 10 : 11 : 8 . 

Відповідь:

30

www.e-ranok.com.ua

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА Клаc

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

Оцінка Тема 3 Варіант 1

Самостійна робота № 10. Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу. Формули зведення

1

Укажіть неправильну рівність, якщо для кожної з них α набуває всіх допустимих значень.

A

Б

В

cos α − 1 = = sin2 α

tg α ⋅ cos α = = sin α

(1 − sin α )(1 + sin α ) =

2

2

Г

= cos2 α

Д

tg α ⋅ ctg α = 1 ctg α =

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

cos α sin α

π  Спростіть вираз sin2 ( π + α ) + sin2  + α  . 2  А 2 sin α 2

Клаc

Б

В

0

− sin α + cos α 2

2

Г

Д

–1

1

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

Оцінка Тема 3 Варіант 2

Самостійна робота № 10. Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу. Формули зведення

1

Укажіть правильну рівність, якщо для кожної з них α набуває всіх допустимих значень.

A

Б

(1 − cos α )(1 + cos α ) = = − sin α 2

2

1 + tg 2 α =

В 1

tg α ⋅ sin α = cos α = cos α 2

Г

Д

sin α ⋅ cos α = 1

ctg α tg α

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

=1

 3π  Спростіть вираз cos2 ( π − α ) + cos2  +α .  2  А 2 cos α 2

Б

В

0

− cos α + sin α 2

2

Г

Д

–1

1

www.e-ranok.com.ua

31

3 

Знайдіть значення тригонометричних функцій кута α , якщо cosα = −

5 13

, α — кут III чверті.

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА Відповідь: 4 Спростіть вираз: 

а)

( sin α + cos α )

2

−1

tg α − sin α cos α

;

б) 1 +

 

   3π  1 − sin  − α  2 

sin 

π

2

+ α  tg 2 ( π − α )

.

Відповідь: 3 

Знайдіть значення тригонометричних функцій кута α , якщо sinα =

4 5

, кут α — кут II чверті.

Відповідь: 4 Спростіть вираз: 

а)

( sin α − cos α )

2

−1

ctg α − sin α cos α

;

 3π  1 − tg2  −α 2  . б) ⋅ ctg α π  1 − ctg2  + α  2  tg ( π + α )

Відповідь:

32

www.e-ranok.com.ua

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА Клаc

Оцінка Тема 3 Варіант 1

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

Самостійна робота № 11. Періодичність функцій. Властивості та графіки тригонометричних функцій. Гармонічні коливання

1 2

Укажіть найменший додатний період функції y = tg A

Б

4π

3π

3

4

В

Г

π

2π

3x 4

. Д

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

8π 3

π  Укажіть графік функції y = sin  x +  .

4 

А

Б

y

В

y

0

− π

π

π

4

4

x

0

0

x

Г

x

−

4

Д y

y

y

π

−

0

π

4

π

3π

4

4

0

x

x

4

Клаc

Оцінка Тема 3 Варіант 2

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

Самостійна робота № 11. Періодичність функцій. Властивості та графіки тригонометричних функцій. Гармонічні коливання

1 2

Укажіть найменший додатний період функції y = cos A

Б

2π

5π

5

2

2x .

5

В

Г

Д

2π

5π

π

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

π  Укажіть графік функції y = tg  x −  .

4 

А

Б

y

В

y

0 π

4

x

−

π 4

0

π 4

−

4

x

π

Д

y

y 3π

1

Г y

π

5π

0

4 0 4

x

π 4

0 x

π 4

4

x

www.e-ranok.com.ua

33

3 

Укажіть амплітуду, частоту, період і початкову фазу гармонічного коливання, заданого форму­ x π лою y = 2 sin  +  . Опишіть поетапно побудову графіка цієї функції. 2 8

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА Відповідь: 4 Побудуйте графік функції: 

3 

а) y = − cos x − 1 ;

б) y = tg2x .

Укажіть амплітуду, частоту, період і початкову фазу гармонічного коливання, заданого форму­ π  лою y = 3 cos  2x −  . Опишіть поетапно побудову графіка цієї функції.

3  

Відповідь: 4 Побудуйте графік функції: 

34

а) y = − sin x + 1 ;

б) y = ctg

x 2

.

www.e-ranok.com.ua

Клаc

Оцінка Тема 3 Варіант 1

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

Контрольна робота № 4. Означення та властивості тригонометричних функцій

1

2

Знайдіть значення виразу 2 sin 30° − cos 60°⋅ tg 225° . А

Б

3

1

2

2

В

Г

Д

0

1

–1

В

Г

Д

Укажіть неправильну нерівність. Б

В

Г

cos115° < 0 sin 20° − sin 21° < 0 sin3 > 0 sin

3π 8

⋅ cos

Д 3π

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

< 0 tg170° − tg 70° > 0

4

Обчисліть: tg15°⋅ ctg 75° . А 1

4

Б

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА А

3

А

Б

В

–1

0

Г

Д

1 3

3

Установіть відповідність між виразами (1–4) і виразами, одержаними в результаті їхнього спро­ щення (А–Д). π  1 sin ( −α ) + cos  − α  2  

А 1

 3π  2 cos2  + α  + cos2 ( π + α )  2 

Б 2

Г

Д

2 3

2 sin 40° cos 50°

4 2 sin α cos α − ( sin α + cos α )

В

1

В –1 3

А Б

4

Г 0 2

Д −2sinα

www.e-ranok.com.ua

35

5 

Доведіть парність функції y = cos 4x − sin2 x .

6

Укажіть найменший додатний період функції y = cos

4x 7

.

Відповідь: 7 Знайдіть sinα і cosα , якщо tgα = 

2

, π<α<

3

3π 2

.

Відповідь: 8 Доведіть тотожність 

9 Спростіть вираз 

cos α 1 + tg α

+

sin α 1 + ctg α

=

1 cos α + sin α

.

 3π   7π  + α  cos  − α  cos ( α − 4π )  2   2  .  11π  ctg (3π − α ) sin  + α  2 

tg 

Відповідь: 10 Побудуйте графік функції y = −2 sin 

x 2

.

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА

36

www.e-ranok.com.ua

Клаc

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

Оцінка Тема 3 Варіант 2

Контрольна робота № 4. Означення та властивості тригонометричних функцій

1

2

Знайдіть значення виразу −2 cos 60° + sin 30°⋅ ctg135° . А

Б

0

–1

В

Г

3

1

2

2

−

Д

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

В

Г

Д

1

Укажіть неправильну нерівність. А

Б

В

Г

sin305° < 0 sin 95° > sin190° cos2 < 0

Д

ctg 90° − ctg 95° < 0

tg

2π 5

⋅ ctg

3π 5

<0

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА

3

4 

Обчисліть: tg 40°⋅ ctg 50° . А

Б

В

1

–1

0

Г 1 3

А

Д

Б

3

Установіть відповідність між виразами (1–4) і виразами, одержаними в результаті їхнього спро­ щення (А–Д). π  1 cos ( −α ) − sin  + α  2  

А −2cosα

 3π  2 sin  − α  + sin2 ( π + α )  2 

Б –1

2

3

В 1

−2 sin 12° cos78°

4 −2 sin α cos α − ( sin α − cos α )

Г –2 2

А Б

В

Г

Д

1 2 3 4

Д 0

www.e-ranok.com.ua

37

5 

Доведіть непарність функції y = sin 3x − tg 2x .

6

Укажіть найменший додатний період функції y = ctg

Відповідь:

4x 5

.

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА

7 Знайдіть sinα і cosα , якщо ctgα = − 

3 4

,

π 2

<α<π.

Відповідь: 8 Доведіть тотожність 

9 Спростіть вираз 

cos α 1 + sin α

+

1 + sin α cos α

=

2 cos α

.

 7π  − α  2 

tg ( π + α ) cos 

 5π  + ctg  +α .

2  11π    ctg  − α  cos (5π + α ) 2  

Відповідь: 10 Побудуйте графік функції y = −3 cos 2x . 

38

www.e-ranok.com.ua

Клаc

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

Оцінка Тема 3 Варіант 1

Самостійна робота № 12. Тригонометричні формули: формули додавання; формули подвійного кута; [формули пониження степеня]

1

Обчисліть: sin18° sin 42° − cos18° cos 42° .

A −

2

Б

3

1

2

2

Спростіть вираз А

В

Г

1

3

2

2

В

Г

−

1 + tg 73° ⋅ tg 43° tg 73° − tg 43°

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

cos24°

.

Б 1

3

Д

− 3

3

−

Д

1

1

3

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА Клаc

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

1

Самостійна робота № 12. Тригонометричні формули: формули додавання; формули подвійного кута; [формули пониження степеня] Обчисліть: sin 23° cos53° − cos 23° sin 53° .

A sin76°

2 

Оцінка Тема 3 Варіант 2

Спростіть вираз А ctg4°

Б

В

3

−

2

1 − tg 32° ⋅ tg 28° tg 32° + tg 28°

Б 1 3

Г

Д

3

1

2

2

В

Г

−

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

1 2

.

3

−

1 3

Д 1

www.e-ranok.com.ua

39

3 

Обчисліть:

а) sin15° cos15° ;

2 tg

б) 1 − tg

π 8 2

π

;

в) cos2 22,5° − cos2 67,5° ;

π

1 + tg 2

12 . π

г) 1 − tg

8

2

12

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА Відповідь: 4 Доведіть тотожність tg ( 45° + α ) − tg ( 45° − α ) = 2 tg 2α . 

3 

Обчисліть:

а) cos 15° − sin 15° ; 2

2

2 tg

б) 1 + tg

π 12 ; 2 π

в) sin 22,5°⋅ cos 22,5° ;

12

1 − tg 2

г) 2 tg

π

π 8 .

8

Відповідь: 4 Доведіть тотожність sin   

40

π 4

 π  π  − α  − sin  + α  = 2 cos  + α  .

4 2     

www.e-ranok.com.ua

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА Клаc

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

1

2

Самостійна робота № 13. Тригонометричні формули: формули перетворення суми й різниці тригонометричних функцій на добуток; формули перетворення добутку тригонометричних функцій на суму Обчисліть: sin 75° + sin15° .

A

Б

3

1

2

2

Клаc

1

Г

Д

6

6

2

4

Б 2 sin 3α sin α

В − cos2α

Г −2 sin 3α sin α

Д cos6α

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

2

В

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

Перетворіть на добуток вираз cos 2α − cos 4α . А 2 cos 3α cos α

1

Оцінка Тема 3 Варіант 1

Оцінка Тема 3 Варіант 2

Самостійна робота № 13. Тригонометричні формули: формули перетворення суми й різниці тригонометричних функцій на добуток; формули перетворення добутку тригонометричних функцій на суму Обчисліть: sin 75° − sin15° .

A

Б

В

Г

Д

1

2

3

0

6

2

2

2

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

2

Перетворіть на добуток вираз cos 2α + cos 4α . А

Б

В

Г

Д

2 cos 3α cos α

−2 cos 3α cos α

2 cos 6α cos 2α

cos6α

2 sin 3α sin α

www.e-ranok.com.ua

41

3

Спростіть:

cos 5α + cos 6α + cos7α sin 5α + sin 6α + sin 7α

.

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА Відповідь: 4 Спростіть: 

cos 4α cos α + sin 3α sin 2α cos 2α

.

Відповідь:

3

Спростіть:

sin 7α − sin 8α + sin 9α cos7α − cos 8α + cos 9α

.

Відповідь: 4 Спростіть: 

cos 6α cos 3α + sin 8α sin α cos 5α

.

Відповідь:

42

www.e-ranok.com.ua

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА Клаc

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

1

Контрольна робота № 5. Тригонометричні формули: формули додавання та наслідки з них Укажіть неправильну тригонометричну формулу. А cos ( α + β ) = cos α cos β − − sin α sin β

Б cos α cos β = =

В

(cos(α + β) − cos(α − β)) 2

tg 2α =

1

Г

Укажіть значення виразу А

sin α + sin β = 2 sin

3

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

2 tg α 1 − tg 2 α

α+β 2

cos

α −β 2

.

В

1

Г

Д

1

− 3

–1

3

π  Укажіть вираз, тотожно рівний виразу sin  − α  .

4   А

Б

π  cos  − α  4  

4 

tg 17° + tg 43° 1 − tg 17° ⋅ tg 43°

Б

3

А

Д

cos 2α = 2 cos2 α − 1

2

Оцінка Тема 3 Варіант 1

Прізвище, ім’я

1 2

В

( sin α + cos α )

cos α − sin α

Г 1 2

( sin α − cos α )

Д 1 2

( cos α − sin α )

Установіть відповідність між тригонометричними виразами (1–4) і їхніми числовими значен­ нями (А–Д).

1

cos15° ⋅ sin 15° 2

2 sin2 15° − cos2 15°

Б

2

4

1 − tg 2 15° 1 + tg 2 15°

Д

Г

Д

2

8

Г −

В

1

1

3

В 1 3 sin2 25° + cos2 25°

А Б

3

А

3

4

2

1 4

www.e-ranok.com.ua

43

5 

Спростіть вираз cos7α sin 3α − sin 7α cos 3α .

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА Відповідь: 6 

Обчисліть:

sin 77° − sin 13° 2 sin 32°

.

Відповідь: 7 Спростіть вираз 

sin 9α cos7α − cos 9α sin 7α cos 5α cos 3α + sin 5α sin 3α

.

Відповідь:

8 Подайте у вигляді добутку вираз cos α + cos5α + 2 cos 3α . 

Відповідь: 9 Спростіть вираз 

sin 6α − cos 6α tg 3α sin 6α + cos 6α ctg 3α

.

Відповідь: 10 Доведіть рівність cos 

44

π 9

⋅ cos

2π 9

⋅ cos

4π 9

=

1 8

.

www.e-ranok.com.ua

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА Клаc

Оцінка Тема 3 Варіант 2

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

Контрольна робота № 5. Тригонометричні формули: формули додавання та наслідки з них

1

Укажіть неправильну формулу. А tg 2α =

Б 2 tg α

sin α sin β =

1 − tg 2 α

1 2

В

( cos (α + β) − cos (α − β))

Г sin 2α = 2 sin α cos α

2

Укажіть значення виразу А

3

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

2 ctg α

Д

tg 75° − tg 15° 1 + tg 15° tg 75°

.

В

Г

Д

3

1

1

–1

3

π  Укажіть вираз, тотожно рівний виразу cos  + α  .

6   А π  sin  − α  6 

4 

ctg 2α =

А

cos 2α = 1 − 2 sin2 α

Б

− 3

ctg 2 α − 1

Б 1 2

(

В

3 cos α + sin α

)

1 2

Г

(cos α −

− 3 sin α

)

1 2

Д

( 3 sin α − )

− cos α

1 2

(

3 cos α − − sin α

)

Установіть відповідність між тригонометричними виразами (1–4) і їхніми числовими значен­ нями (А–Д).

1 8 sin15° cos15° 2 cos2 48° + sin2 48° 3 sin2 30° − cos2 30° 4

2 tg 15° 1 + tg 2 15°

А 1 Б

А Б

1

Г

Д

1

2

2

В –1 Г −

В

1 2

3 4

Д 2

www.e-ranok.com.ua

45

5 

Спростіть вираз cos12α sin 3α + cos 3α sin12α .

Відповідь:

6

Обчисліть:

cos77° − cos13° 2 sin 32°

.

Відповідь: 7 Спростіть вираз 

cos 8α cos 3α + sin 8α sin 3α sin α cos 4α + sin 4α cos α

.

Відповідь: 8 Подайте у вигляді добутку вираз sin α + sin 5α + 2 sin 3α . 

Відповідь: 9 Спростіть вираз 

sin 4α + cos 4α ctg 2α sin 4α − cos 4α tg 2α

.

Відповідь: 10 Доведіть рівність cos 20° ⋅ cos 40° ⋅ cos 80° = 

46

1 8

.

www.e-ranok.com.ua

Тема 4 Клаc

Оцінка Тема 4 Варіант 1

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

ТЕМА 4. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ Самостійна робота № 14. Обернені тригонометричні функції: означення, властивості, графіки. Найпростіші тригонометричні рівняння sin x = a і cos x = a

1

1  1 Обчисліть: arccos  −  − arcsin .

2  2 A Б π

2

В

0

6

Г

5π

−

6

Д

π

π

2

2

А

Б

В

Г

Д

В

Г

Д

На якому рисунку графік функції не відповідає формулі, якою задана функція? А y

Б y

π 2

В y

π 2

1

–1 0

π − 2

−

y = arcsin x

Клаc

0

x

Г

x

–1

1 0 −

1 2 x

0

А

Б

y

y

p π 2

π 2

Д

π 2

x

π 4 1

– 1 −

π0 4

x

– p

y = arccos (x + 1)

y = arctg x

y = − arccos x

y=−

1 2

Оцінка Тема 4 Варіант 2

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

arcsin x

ТЕМА 4. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ Самостійна робота № 14. Обернені тригонометричні функції: означення, властивості, графіки. Найпростіші тригонометричні рівняння sin x = a і cos x = a

1

1  1 Обчисліть: arcsin  −  − arccos .

2  2

A −

2

π

Б

В

2

6

π

2

Г

π

−

А

Д

π

Б

В

Г

Д

В

Г

Д

0

6

На якому рисунку графік функції не відповідає формулі, якою задана функція? А

Б y p

y p π 2

–1

y=

π 2

В

0 1 x

+ arcsin x

y π 2

0

y = arcctg x

Г 2

0 –p

y = 2arctg x

−

π 2

Б

π 4

1 0

x

А

π 2

y π

p – 1

x

Д y

x

y = − arcsin x

– 1 0

y=

1 2

1

x

arccos x

www.e-ranok.com.ua

47

3

Розв’яжіть рівняння: а) sinx = 0 ;

б) cosx =

1 2

в) sinx = −

;

2 2

г) cosx = −1 .

;

Відповідь: 4 Розв’яжіть рівняння:   

π

а) cos  2x −  = 1 ; 6 

б)

2 sin

x 3

=1.

Відповідь:

3

Розв’яжіть рівняння: а) cosx = 0 ;

б) cosx = −

1 2

;

в) sinx = 1 ;

г) sinx =

3 2

.

Відповідь: 4 Розв’яжіть рівняння:   

x

π

а) 2 cos  − +  = −2 ;  2 4

б) − sin ( −3x ) =

2 2

.

Відповідь:

48

www.e-ranok.com.ua

Клаc

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

1

Самостійна робота № 15 Найпростіші тригонометричні рівняння tg x = a і ctg x = a Укажіть неправильну відповідність між рівнянням і множиною його розв’язків.

A

Б

В

Г

Д

sinx = a , a 1 ;

sinx = 3 ;

cosx = 0 ;

tg x = a ;

cosx = −1 ;

arctg a + πn , n∈Z

π + 2πn , n∈Z

( −1)

2

Оцінка Тема 4 Варіант 1

k

arcsin a + πk , k∈ Z

π

розв’язків немає

+ 2πn ,

2n∈Z

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

Укажіть правильну рівність. А

Б

 1 arccos  −  =  2 =−

Клаc

π

arctg ( −1) =

В

π

arcctg ( −1) = =−

4

3

Г

π

Д

arcctg0 = 0

4

arcsin + arccos

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

1 2 1 2

+ =

π 2

Оцінка Тема 4 Варіант 2

Самостійна робота № 15 Найпростіші тригонометричні рівняння tg x = a і ctg x = a

1

Укажіть неправильну відповідність між рівнянням і множиною його розв’язків.

A cosx = a , a 1 ; ± arccosa + πn , n∈Z

2

Б sinx = −2 ; розв’язків немає

В cosx = − ±

3π 4

2 2

;

+ 2πl ,

l∈Z

Г

Д

ctg x = a ;

tg x = 10 ;

arcctg a + πn , n∈Z

arctg10 + πk , k∈ Z

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

Укажіть правильну рівність. А

Б

В

arcsin ( −a ) = = arcsin a

arccos ( −a ) = = − arccos a

arctg a + + arcctg a =

π 2

arcctg 3 =

π 3

arccos0 = 0

www.e-ranok.com.ua

49

3 

Розв’яжіть рівняння: а) tg x = 1 ;

б) ctg x = − 3 ;

в) tg x =

1 3

;

г) ctg x = 0 .

Відповідь: 4 Розв’яжіть рівняння: 

π  а) tg  2x −  = 3 ; 6  

 x б) ctg  −  = 2 .  2

Відповідь:

3

Розв’яжіть рівняння: а) tg x = −1 ;

б) ctg x = −1 ;

в) tg x = − 3 ;

г) ctg x =

1 3

.

Відповідь: 4 Розв’яжіть рівняння:   

x

π

а) tg  +  = 3 ; 3 4

б) ctg3x = −3 .

Відповідь:

50

www.e-ranok.com.ua

Алгебра і початки аналізу Клаc

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

1

Контрольна робота № 6. Найпростіші тригонометричні рівняння Обчисліть: arctg 0 − arcctg1 . А −

2

3

4 

Б

π

π

4

4

В

Г

Д

0

–1

1

Укажіть множину значень функції y =

1 2

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

Г

Д

arcsin x .

А

Б

В

Г

Д

 π π − 4 ; 4   

 π π − 2 ; 2   

 1 1 − 2 ; 2   

 π π − 4 ; 4   

π   0; 2 

Укажіть рівняння, коренем якого є число

π 2

.

А

Б

В

Г

Д

cosx = −1

tg x = 1

sinx = 0

ctg x = 0

cosx = 1

Установіть відповідність між рівняннями (1–4) і їхніми частинними розв’язками (А–Д).

1 cosx = −

1

2 sinx = −

1

2 2

3 tg x = 3 4 ctg x =

5

Оцінка Тема 4 Варіант 1

А Б

3

А Б

3 π

1

3

2

В − Г

1

2π

π 6

Д −

π

В

3

3

4 π 6

Укажіть рівняння, які не мають розв’язків:

а) cosx = 2 − 2 ;

в) cos3x = − 3 ;

б) tg x = 3 ;

г) arccosx = −

π 2

;

д) sin

x 2

=− 2 ;

е) ctg x = −8 .

Відповідь:

www.e-ranok.com.ua

51

6 

Знайдіть множину розв’язків рівняння: а) cosx = 0 ; б) sinx = 1 ;

в) tg x = −1 ;

г) ctg x = 1 .

Відповідь: 7 Розв’яжіть рівняння: 

а) sin3x = −

1

2

;

б) ctg

x 3

= 3 .

Відповідь: 8 Розв’яжіть рівняння:   

π  б) 3 tg  x +  = 3 .

2 

π

а) 2 cos  x −  = −1 ; 6 

Відповідь: 9 Побудуйте графік оберненої тригонометричної функції y = arcsin ( x + 1) . Укажіть нулі даної  функції, область її визначення і множину значень, а також проміжки зростання та спадання.

Відповідь: 10 Розв’яжіть рівняння 

cos2x =

1 2

.

Відповідь:

52

www.e-ranok.com.ua

Клаc

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

Оцінка Тема 4 Варіант 2

Контрольна робота № 6. Найпростіші тригонометричні рівняння

1

Обчисліть: arcctg 0 − arctg1 . А

Б

0

2

3

4 

Д

π

π

4

4

2

Г

Д

( −2; 2)

0; 2π 

Г

Д

tg x = 3

ctg x = 0

−

1

А

Б

 −π; π 

(0; 2π )

В  π 0; 2   

Укажіть рівняння, коренем якого є число А

Б

cosx = 1

tg x = −1

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

π 4

А

Б

В

Г

Д

Г

Д

.

В sinx =

2 2

Установіть відповідність між рівняннями (1–4) і їхніми частинними розв’язками (А–Д).

1 cosx = −

1

2 sinx =

3

А −

2

Б −

2

В −

1

Г

3

Д

4 ctg x = 3

Г

π

Укажіть множину значень функції y = 2arccos x .

3 tg x = −

5 

В

π

А Б

6 2π

1 2

3 π

3

3

4

π 3 π 6

Укажіть рівняння, які не мають розв’язків: π а) tg x = −25 ; в) sinx = ; б) cosx = −

1 20

;

В

3

г) arcsinx = 2 ;

д) ctg x = π ; е) cosx = 2 + 1 .

Відповідь:

www.e-ranok.com.ua

53

6 

Знайдіть множину розв’язків рівняння: а) sinx = 0 ; б) cosx = 1 ;

в) tg x = 1 ;

г) ctg x = −1 .

Відповідь: 7 Розв’яжіть рівняння: 

а) cos ( −5x ) =

1

2

 x б) tg   = − 3 .  4

;

Відповідь: 8 Розв’яжіть рівняння:   

π  б) ctg  x −  = −1 .  2

π

а) −2 sin  x +  = 3 ; 4 

Відповідь: 9 Побудуйте графік оберненої тригонометричної функції y = arccos ( x − 1) . Укажіть нулі да­  ної функції, область її визначення і множину значень, а також проміжки зростання та спа­ дання.

Відповідь: 10 Розв’яжіть рівняння 

sin3x =

3 2

.

Відповідь:

54

www.e-ranok.com.ua

Клаc

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

1

Самостійна робота № 16. Основні способи розв’язування тригонометричних рівнянь. Метод заміни змінних. Однорідні тригонометричні рівняння Укажіть рівняння, до якого можна звести рівняння cos2 x − 3 sin x − 3 = 0.

A

Б

cos x − −3 cos x − 3 = 0 2

2

Оцінка Тема 4 Варіант 1

sin x + +3 sin x + 2 = 0 2

В

Г

Д

sin x − sin x − −3 sin x − 4 = 0 −3 sin x + 2 = 0 2

2

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

cos x + +3 cos x − 6 = 0 2

Укажіть усі корені рівняння cos2 x − 2 cos x − 3 = 0 . ±

2π 3

А

Б

+ 2πl,

l ∈Z

Клаc

arccos 3 + 2πn, π + 2πl, n, l ∈ Z

В 2πn , n ∈ Z

Г

Д

π + 2πn , n∈Z

2π 3

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

Оцінка Тема 4 Варіант 2

Самостійна робота № 16. Основні способи розв’язування тригонометричних рівнянь. Метод заміни змінних. Однорідні тригонометричні рівняння

1

Укажіть рівняння, до якого можна звести рівняння 3 sin2 x + 7 cos x − 3 = 0.

A

Б

В

3 cos x + 3 sin x + 3 cos x − +7 cos x − 6 = 0 +7 sin x − 3 = 0 −7 cos x − 6 = 0 2

2

2

2

Г

Д

3 cos x − −7 cos x = 0

10 cos2 x = 6

2

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

Укажіть усі корені рівняння cos2 x + 2 cos x − 3 = 0 . А

Б

В

Г

Д

2πn , n ∈ Z

0

π + 2πn , n∈Z

πn , n ∈ Z

± arccos ( −3) + 2πn, n ∈ Z, 2πl, l ∈ Z

www.e-ranok.com.ua

55

3

Розв’яжіть рівняння: а) 4 sin x + 4 cos2 x = 1 ;

б) tg x + ctg x = −2 .

Відповідь: 4 Розв’яжіть однорідне рівняння: 

а) cos2 x + 3 sin x cos x − 4 sin2 x = 0 ;

б) 2 sin2 x − 5 sin x cos x − 8 cos2 x = −2 .

Відповідь:

3

Розв’яжіть рівняння: а) 6 cos2 x − 13 sin x = 12 ;

б) tg x + ctg x = 2 .

Відповідь: 4 Розв’яжіть однорідне рівняння: 

а) sin2 x + 3 sin x cos x + 2 cos2 x = 0 ;

б) −3 cos2 x + 2 sin x cos x + 5 sin2 x = 2 .

Відповідь:

56

www.e-ranok.com.ua

Клаc

Оцінка Тема 4 Варіант 1

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

Самостійна робота № 17. Спосіб розкладання на множники. Метод введення допоміжного аргументу. Використання тригонометричних формул і властивостей тригонометричних функцій

1

2

Укажіть перетворення, яке виконано неправильно.

A

Б

В

sin 3x cos5x − − cos 3x sin 5x = 1; sin 2x = −1

cos2 x −

2 sin 2x × × cos 2x = 1; sin 4x = 1

− sin2 x = 1; cos 2x = 1

Г

А Б В Г Д

Д

1 − tg x 1 + tg x

= 1;

cos 4x cos 3x + + sin 4x sin 3x = 1; cos x = 1

π  tg  + x = 1 4 

Укажіть усі корені рівняння sin 2x ( cos x − 2) = 0 . А

Б

Коренів немає

πn , n ∈ Z

Клаc

В πk 2

Г

, k∈ Z ;

Д πk

0

2

± arccos2 + 2πn , n ∈ Z

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

А

Б

В

Г

Д

, k∈ Z

Оцінка Тема 4 Варіант 2

Самостійна робота № 17. Спосіб розкладання на множники. Метод введення допоміжного аргументу. Використання тригонометричних формул і властивостей тригонометричних функцій

1

Укажіть перетворення, яке виконано неправильно.

A 1 + tg x

=1;

1 − tg x π 

tg  x −  = 1 4 

2

Б

В

Г

sin 5x cos x − − cos5x sin x = 1; sin 4x = 1

2 sin 3x × × cos 3x = 1; sin 6x = 1

А Б В Г Д

Д

2 tg 2x 1 + tg 2 2x

=1;

sin4x = 1

2 cos2 2x − 1 = 0 ; cos4x = 0

Укажіть усі корені рівняння cos 2x ( sin x + 2) = 0 . А Коренів немає

Б π 4

( −1)

k +1

+

πn 2

, n∈Z ;

arcsin 2 + πk , k∈ Z

В π 4

+

Г

πn 2

n∈Z

,

π 2

Д

( −1)

n +1

А

Б

В

Г

Д

arcsin 2 + πn , n∈Z

www.e-ranok.com.ua

57

3

Розв’яжіть рівняння способом розкладання на множники: б) sin 2x + sin 4x − cos x = 0 .

а) tg2 x − 3 tg x = 0 ;

Відповідь: 4 Розв’яжіть рівняння 

3 sin 3x − cos 3x = 1 методом введення допоміжного аргументу.

Відповідь:

3

Розв’яжіть рівняння методом розкладання на множники: а) tg2 x + tg x = 0 ;

б) cos 4x − cos 2x + sin 3x = 0 .

Відповідь: 4 Розв’яжіть рівняння sin 3x + 

3 cos 3x = 1 методом введення допоміжного аргументу.

Відповідь:

58

www.e-ranok.com.ua

Клаc

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

Оцінка Тема 4 Варіант 1

Самостійна робота № 18. Найпростіші тригонометричні нерівності

1

Укажіть число, яке є розв’язком нерівності sinx > A

Б

3π

−

0

2

2

В

1 2

.

Г

Д

π

π

π

3

2

6

Укажіть нерівність, множиною розв’язків якої є проміжок, показаний на рисунку. А

Б 3

cosx 

Клаc

2

cosx 

В 1

sinx 

2

Г 3 2

1 2

0

1

sinx 

−

2

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

π 3

Д

cosx < −

А

π 3

Оцінка Тема 4 Варіант 2

Самостійна робота № 18. Найпростіші тригонометричні нерівності

1

2

Укажіть число, яке є розв’язком нерівності sinx > A

Б

0

π

В −

3 2

.

Г

Д

π

π

π

2

2

4

Укажіть нерівність, множиною розв’язків якої є проміжок, показаний на рисунку. А cosx  −

Б 1 2

sinx  −

В 3 2

sinx 

Г 2 2

cosx 

2 2

cosx <

3 2

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

2π 3

Д

А

4π

0

3

www.e-ranok.com.ua

59

3 

Розв’яжіть найпростішу нерівність: б) cosx  0 .

а) tg x > 1 ;

Відповідь: 4 Розв’яжіть нерівність: 

а) cos

2x 3

<−

2

2

;

б) 2 sin

x 4

cos

x 4

>−

1 2

.

Відповідь:

3

Розв’яжіть найпростішу нерівність: б) sinx  0 .

а) ctg x < 1 ;

Відповідь: 4 Розв’яжіть нерівність: 

а) sin

2x 3

<−

2 2

;

б) cos2

x 4

− sin2

x 4

<−

3 2

.

Відповідь:

60

www.e-ranok.com.ua

Клаc

Оцінка Тема 4 Варіант 1

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

Контрольна робота № 7. Тригонометричні рівняння і нерівності

1

Укажіть усі значення змінної, при яких рівняння 2 tg2 x − 3 tg x + 1 = 0 не має змісту. А

Б π

πk , k∈ Z

2

2

+ 2πn,

2

Д

0

Таких значень немає

А

Б

В

Г

Д

Б 1 sin 2x

=2

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

sin 2x cos 3x = 0

ctg x = 10

cos2x = 2

А

Б

В

Г

Д

Г

Д

Укажіть тригонометричну нерівність, яка має розв’язок. А

Б

В

Г

Д

sinx > 3

cosx < −1

tg x + 3 < 0

cosx > 1

ctg x < 5

2

Установіть відповідність між рівняннями (1–4) і множинами їхніх розв’язків (А–Д).

1

( sin x − 1) ( sin x + 2) = 0

2 cos2 x − 2 cos x = 0

4

А

Б

tg2 x + tg x + 2 = 0

cos2 x − 1 = 0

π 2

+ πn , n ∈ Z

А Б 2

πn , n ∈ Z

3

2πn , n ∈ Z

4

Г

Д

π 2

В

1

Розв’язків немає

В

3

5 

+ πn , n ∈ Z

Г

Укажіть тригонометричне рівняння, яке не має розв’язків.

tg2 x − 16 = 0

4

π

n ∈Z

А

3

В

+ 2πn , n ∈ Z

Знайдіть область допустимих значень для рівняння

sin 2x cos x

=0.

Відповідь:

www.e-ranok.com.ua

61

6

Знайдіть найменший додатний корінь рівняння 2 cos2 x + 5 cos x − 3 = 0 .

Відповідь: 7 Розв’яжіть рівняння cos x = sin 2x cos x способом розкладання на множники. 

Відповідь: 8 Розв’яжіть однорідне рівняння sin x − 5 sin x cos x + 6 cos x = 0 .  2

2

Відповідь: 9 Розв’яжіть рівняння sin x + sin 2x = sin 3x .  2

2

2

Відповідь: 10 Знайдіть усі корені рівняння sin 2x + 2 ctg x = 3 . 

Відповідь:

62

www.e-ranok.com.ua

Клаc

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

Оцінка Тема 4 Варіант 2

Контрольна робота № 7. Тригонометричні рівняння і нерівності

1

Укажіть усі значення змінної, при яких рівняння 3 tg2 x − 2 tg x − 1 = 0 не має змісту. А π 2

2

Б

+ πk , k∈ Z

πk , k∈ Z

Б

sinx = − 2

1 cosx

sin2x <

π 2

+ 2πk, k ∈ Z

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

Г

Д

Таких значень немає

В =

1

tg2 2x + 1 = 0

3

Г

Д

ctg3x = −100

sinx =

π 2

1 2

Б

В

Г

Д

cosx > −1

tg x > 3

ctg x  − 3

sinx  3

Установіть відповідність між рівняннями (1–4) і множинами їхніх розв’язків (А–Д).

1

( cos x + 1) ( cos x − 2) = 0

2 sin2 x + 3 sin x = 0 3 tg2 x − tg x + 1 = 0 4 sin2 x − 1 = 0 5 

π 2

Д

Укажіть тригонометричну нерівність, яка не має розв’язків. А

4 

Г

Укажіть тригонометричне рівняння, яке має розв’язок. А

3

В

А Б

π 2 π 2

А Б

+ πn , n ∈ Z 1

+ 2πn , n ∈ Z

2 3

В Розв’язків немає

Г π + 2πn , n ∈ Z

Д πn , n ∈ Z

Знайдіть область допустимих значень для рівняння

В

4

sin 2x sin x

=0.

Відповідь:

www.e-ranok.com.ua

63

6

Знайдіть найменший додатний корінь рівняння sin2 x − 3 sin x + 2 = 0 .

Відповідь: 7 Розв’яжіть рівняння sin x = cos 3x sin x способом розкладання на множники. 

Відповідь: 8 Розв’яжіть однорідне рівняння 2 cos x − 3 sin x cos x + sin x = 0 .  2

2

Відповідь: 9 Розв’яжіть рівняння 2 (1 − cos 2x ) = 

3 tg x .

Відповідь: 10 Знайдіть усі корені рівняння 3 ( sin x + cos x ) = 2 sin 2x . 

Відповідь:

64

www.e-ranok.com.ua

Клаc

Оцінка Варіант 1

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

ТЕМА. СИСТЕМАТИЗАЦІЯ та УЗАГАЛЬНЕННЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ Контрольна робота № 8. Систематизація та узагальнення навчального матеріалу

 1

( ) ⋅( a ) .

Спростіть вираз a2

3

4 

3

6

А

Б

В

Г

Д

3

2

a

1

0

a

2

1 2

a

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

Обчисліть: −7 3 8 − 5 5 −32 + 4 81 . А

Б

В

Г

Д

1

27

8

–21

–1

Г

Д

Розв’яжіть рівняння 3x − 7 = 2 . А

Б

0

3

В 3;

5

5

3

3

1;

5 3

Установіть відповідність між тригонометричними виразами (1–4) і виразами, одержаними в ре­ зультаті їхнього спрощення (А–Д).

1

2

π  − α 2  π   sin  + α  2 

А

tg 

2

4 cos2

α 2

Д

1 3

В cosα

α

Г

2

− sin2

Г

4

π  + α 2  cos

В

2

2 cos2  α

2

Б 1

1 − cos 2α

3 sin

А Б

sinα

α 2

Д

cosα 2

1 sinα

www.e-ranok.com.ua

65

5 

Розв’яжіть нерівність −2x2 + 6x − 4  0 .

Відповідь:

 6

1 1  1  1 Спростіть вираз  a 2 + 2b 2   2b 2 − a 2  

 . 

Відповідь:

 7

1

Побудуйте схематично графіки функцій y = 3 x і y = x 3 .

8 Розв’яжіть рівняння 

3x + 2 + x − 1 = 4x + 1 .

Відповідь: 9 Спростіть вираз 

α α   3π α  −   ctg + sin  2 4 2   2 . α α   3π α  cos  − π  ctg + cos  −  4 2 2   2

sin  4π +

Відповідь:

10 Розв’яжіть рівняння tg x + ctg x + 3 ( tg x + ctg x ) + 4 = 0 .  2

2

Відповідь:

66

www.e-ranok.com.ua

Клаc

Оцінка Варіант 2

Прізвище, ім’я

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Дата

Контрольна робота № 8. Систематизація та узагальнення навчального матеріалу

 1

Спростіть вираз А b

2

3

−1

5

5

3

−

1 3

.

Б

В

Г

Д

b

1

–1

0

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

Обчисліть: 5 4 16 − 4 3 −8 + 3 −27 . А

Б

В

Г

Д

15

–1

5

25

9

В

Г

Д

Розв’яжіть рівняння 2 − 3x = 2 . А −

4

( b ) ⋅ (b )

Б

4

1;

–2

3

4 3

0

0;

4 3

Установіть відповідність між тригонометричними виразами (1–4) і виразами, одержаними в результаті їхнього спрощення (А–Д).

1

2

π  + α 2   3π  − α ctg  2   cos 

 3π  + α 2  

sin

3

Б

α 2

cos

В

Г

Д

1

sinα

1 + cos 2α sin2 

А Б

А 2

4

2 3 4

В 1

α 2

Г − cosα

2

4 sin2 α − cos2 α

Д − cos2α

www.e-ranok.com.ua

67

5 

Розв’яжіть нерівність − (3 − x ) ( x + 1)  0 .

Відповідь:

 6

1 1  1  1  Спростіть вираз  2a 2 − b 2   b 2 + 2a 2  .   

Відповідь:

 7

1

Побудуйте схематично графіки функцій y = 5 x і y = x 5 .

8 Розв’яжіть рівняння 

4x − 3 + x + 1 = 5x − 2 .

Відповідь: 9 Спростіть вираз 

 

tg  α −

3π  π   3  3π − α  cos  α −  − sin  2  2 2    . π  π  cos  − α  tg  + α  2  2 

Відповідь: 10 Розв’яжіть рівняння sin 2x + 5 ( sin x + cos x ) + 1 = 0 . 

Відповідь:

68

www.e-ranok.com.ua

Тема 1

Клаc

Оцінка Тема 1 Варіант 1

Прізвище, ім’я

Дата

ГЕОМЕТРІЯ ТЕМА 1. СИСТЕМАТИЗАЦІЯ та УЗАГАЛЬНЕННЯ ФАКТІВ І МЕТОДІВ ПЛАНІМЕТРІЇ Самостійна робота № 1. Аксіоми планіметрії. Система опорних фактів курсу планіметрії. Трикутники, чотирикутники

1

2

За рис. 1 визначте синус кута α . a

A

Б

В

Г

Д

13

5

12

5

12

12

12

12

13

13

5

Рис. 1

На рис. 2 коло вписане в чотирикутник ABCD. Знай­ діть BC, якщо AB = 15 ; CD = 6 ; AD = 12 . А 9

Клаc

Б 11

В 12

Г 3

Д 10

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

C D

Рис. 2

Оцінка Тема 1 Варіант 2

А

B A

Прізвище, ім’я

Дата

5

ГЕОМЕТРІЯ ТЕМА 1. СИСТЕМАТИЗАЦІЯ та УЗАГАЛЬНЕННЯ ФАКТІВ І МЕТОДІВ ПЛАНІМЕТРІЇ Самостійна робота № 1. Аксіоми планіметрії. Система опорних фактів курсу планіметрії. Трикутники, чотирикутники

1

2

За рис. 1 визначте косинус кута α .

a

A

Б

В

Г

Д

3

4

5

3

4

4

3

3

5

5

На рис. 2 коло вписане в чотирикутник KLMN. Знай­ діть LM, якщо KN = 7 ; KL = 10 ; MN = 12. А 10

Б 8

В 12

Г 4

Д 15

10 8

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

Рис. 1

L

K N

M

Рис. 2

www.e-ranok.com.ua

69

3 

Радіуси вписаного та описаного кіл прямокутного трикутника дорівнюють 2 см і 5 см відпо­ відно. Знайдіть периметр цього трикутника.

Відповідь: 4 Основи рівнобедреної трапеції дорівнюють 8 см і 16 см (рис. 3). Знайдіть площу цієї трапеції,  якщо ∠ AOD = 120° .

C

B O 120°

D

A

Рис. 3 Відповідь:

3

Знайдіть радіус описаного навколо прямокутного трикутника кола, якщо радіус вписаного в нього кола дорівнює 2 см, а периметр трикутника становить 24 см.

Відповідь: 4 Висота прямокутної трапеції ABCD дорівнює 16 3 см (рис. 3), кут нахилу діагоналі BD до  більшої основи становить 60° . Знайдіть площу цієї трапеції, якщо довжини її основ відносять­ ся як 3 : 8 .

B

A

C

60°

Рис. 3 Відповідь:

70

www.e-ranok.com.ua

D

Клаc

Оцінка Тема 1 Варіант 1

Прізвище, ім’я ГЕОМЕТРІЯ

Дата

Самостійна робота № 2. Многокутники. Коло і круг. Геометричні та аналітичні методи розв’язування планіметричних задач

1

Знайдіть вписаний кут ANC, якщо центральний кут AOC дорівнює 80° (рис. 1).

A 160°

Б 140°

В 120°

Г 80°

Д 90°

А

B A

Б

В

Г

Д

O

N C

Рис. 1

2

Знайдіть число сторін правильного многокутника, якщо його зовнішній кут дорівнює 30° . А 14

Клаc

Б 8

В 6

Г 10

Д 12

ГЕОМЕТРІЯ

Б

В

Г

Д

Оцінка Тема 1 Варіант 2

Прізвище, ім’я

Дата

А

Самостійна робота № 2. Многокутники. Коло і круг. Геометричні та аналітичні методи розв’язування планіметричних задач

1

Знайдіть центральний кут AOC, якщо вписаний кут ANC дорівнює 160° (рис. 1).

A

Б

В

Г

Д

40°

60°

50°

80°

90°

А

B

Б

В

Г

Д

O

A N C

Рис. 1

2

Знайдіть число сторін правильного многокутника, якщо його зовнішній кут дорівнює 40° . А 11

Б 8

В 12

Г 10

Д 9

А

Б

В

Г

www.e-ranok.com.ua

Д

71

3 

Два кола, що мають зовнішній дотик, вписані в кут, який дорівнює 60° (рис. 2). Знайдіть радіус меншого кола, якщо радіус більшого дорівнює 9 см.

N O2 K

O1

P

M

A

Рис. 2

Відповідь:

4 Сторони трикутника дорівнюють 12 см, 16 см і 20 см. Більша й менша сторони є дотичними  до кола, центр якого лежить на третій стороні. Знайдіть радіус цього кола.

Відповідь: 3 

Два кола, що мають зовнішній дотик, вписані в кут, який дорівнює 60° (рис. 2). Знайдіть радіус більшого кола, якщо радіус меншого дорівнює 3 см.

N

O2

K O1 A

M

P

Рис. 2

Відповідь:

4 Сторони трикутника дорівнюють 5 см, 12 см і 13 см. Дві з них є дотичними до кола, центр  якого лежить на більшій стороні. Знайдіть радіус цього кола.

Відповідь:

72

www.e-ranok.com.ua

Клаc

Оцінка Тема 1 Варіант 1

Прізвище, ім’я ГЕОМЕТРІЯ

Дата

Самостійна робота № 3. Застосування координат і векторів до розв’язування планіметричних задач 1 

 Укажіть координати вектора AB , якщо A ( − 3; − 8) , B ( − 5; 4) .

A  ( −2; 12)

2

Б  (2; − 12)

В  ( −2; − 4)

Г  (2; 4)

Д  ( −8; − 4)

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

  Знайдіть довжину вектора −3a , якщо a ( −3; 4) . А 5 3

Клаc

Б

В

Г

Д

3 7

3

–15

15

Оцінка Тема 1 Варіант 2

Прізвище, ім’я ГЕОМЕТРІЯ

Дата

Самостійна робота № 3. Застосування координат і векторів до розв’язування планіметричних задач 1 

 Укажіть координати вектора BA , якщо A (7; − 5) , B ( − 3; − 4) .

A  (10; 1)

2

Б  ( −4; 9)

В  (10; − 1)

Г  ( −10; 1)

Д  (4; − 9)

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

     Знайдіть довжину вектора d = a − b , якщо a ( −1; 2) , b (2; − 2) . А

Б

В

Г

Д

17

5

–5

7

1

www.e-ranok.com.ua

73





3 При яких значеннях x вектори a ( −2; x ) і b ( x; − 8) : 

а) колінеарні; б) перпендикулярні?

Відповідь: 4 Знайдіть кут A трикутника ABC, заданого координатами його вершин:  C ( −5; − 2) .

A ( −5; 1) ; B ( −2; 1) ;

Відповідь: 3 

  При яких значеннях n вектори a (3; n ) і b ( −7; n − 4) : а) колінеарні; б) перпендикулярні?

Відповідь: 4 Знайдіть кут A трикутника ABC, заданого координатами його вершин:  C (6; − 3) .

A (3; − 5) ; B ( −3; 4) ;

Відповідь:

74

www.e-ranok.com.ua

Клаc

ГЕОМЕТРІЯ

Дата

1

2

3

4 

Оцінка Тема 1 Варіант 1

Прізвище, ім’я

Контрольна робота № 1 Систематизація та узагальнення фактів і методів планіметрії Точка A ( −4; 5) належить колу з центром у точці O (2; 5) . Знайдіть радіус цього кола. А

Б

В

Г

Д

12

3

6

2

104

А

Б

В

Г

Д

У трикутнику ABC AB = 4 2 , а ∠ ACB = 45° . Знайдіть радіус кола, описаного навколо цього трикутника. А

Б

В

Г

Д

2 2

2

4

8

4 2

Точка N — середина сторони BC прямокутника ABCD (рис. 1). Знайдіть площу цього прямокутника, якщо площа заштрихованої частини дорівнює 11. А

Б

В

Г

Д

44

22

33

55

66

B

A

N

C

Рис. 1

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

D

Дано трикутник ABC (рис. 2). Установіть відповідність між довжинами відрізків (1–4) і їхніми числовими значеннями (А–Д).

1 BN 2 BC 3 AN 4 AC

B

А 2 2 Б 2 В 2

А Б

4

(

)

3 +1

Г 2 3

Г

Д

1 45°

30° A

В

N

Рис. 2

C

2 3 4

Д 3 3

www.e-ranok.com.ua

75

5 

Сторони двох рівносторонніх трикутників відносяться як 2 : 5 . Знайдіть відношення площ цих трикутників.

Відповідь: 6 Бісектриси гострих кутів рівнобічної трапеції перетинаються на її верхній основі, довжина якої  дорівнює 12 см. Знайдіть площу цієї трапеції, якщо її гострий кут становить 60° .

Відповідь: 7 Перпендикуляр, проведений із точки кола до його діаметра, ділить останній на два відрізки,  один із яких на 4 см більший, ніж другий. Знайдіть довжину перпендикуляра, якщо довжина кола дорівнює 20π см.

Відповідь: 8 Діагональ AC паралелограма ABCD дорівнює 18 см. Відрізок, що сполучає вершину D пара­  лелограма із серединою сторони AB, ділить діагональ AC на відрізки. Знайдіть довжини цих відрізків.

Відповідь:

76

www.e-ranok.com.ua

Клаc

Прізвище, ім’я ГЕОМЕТРІЯ

Дата

Оцінка Тема 1 Варіант 2

Контрольна робота № 1 Систематизація та узагальнення фактів і методів планіметрії

1

2

3

Точка A (3; − 4) належить колу з центром у точці O ( −1; − 1) . Знайдіть радіус цього кола. А

Б

В

Г

Д

4

5

–5

29

13

Б

В

Г

Д

У трикутнику ABC AB = 2 3 , а ∠ ACB = 60° . Знайдіть радіус кола, описаного навколо цього трикутника. А

Б

В

Г

Д

1

3

4 3

3

2

Точка N — середина сторони CD квадрата ABCD (рис. 1). Знайдіть площу цього квадрата, якщо площа заштрихованої частини дорівнює 9. А 18

4 

А

Б 36

В 27

Г 9

Д 13,5

B

C

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

N A

D

Рис. 1

Дано трикутник ABC (рис. 2). Установіть відповідність між довжинами відрізків (1–4) (рис. 2) і їхніми числовими значеннями (А–Д).

B

1 AB 2 BC

А 2 Б

А Б 3

3 AN 4 NC

Г 2 3 Д 3 2

A

N

Рис. 2

Д

2

60°

45°

Г

1

3

В 3

В

C

3 4

www.e-ranok.com.ua

77

5 

Сторони двох квадратів відносяться як 3 : 7 . Знайдіть відношення площ цих квадратів.

Відповідь: 6 Бісектриси тупих кутів рівнобічної трапеції перетинаються на її нижній основі, довжина якої  дорівнює 12 см. Знайдіть площу цієї трапеції, якщо її гострий кут становить 30° .

Відповідь: 7 Перпендикуляр, проведений із точки кола до його діаметра, ділить останній на два відрізки.  Знайдіть довжини цих відрізків, якщо довжина кола дорівнює 10π , а довжина перпендикуля­ ра — 3 см.

Відповідь: 8 Діагональ AC паралелограма ABCD дорівнює 32 см. Точка M лежить на стороні AB, причому  AM : MB = 1 : 3 . Знайдіть відрізки, на які відрізок DM ділить діагональ AC.

Відповідь:

78

www.e-ranok.com.ua

Тема 2

Клаc

Прізвище, ім’я ГЕОМЕТРІЯ

Дата

Оцінка Тема 2 Варіант 1

ТЕМА 2. ВСТУП ДО СТЕРЕОМЕТРІЇ Самостійна робота № 4. Основні поняття стереометрії. Аксіоми стереометрії та наслідки з них

1

Укажіть правильне твердження.

2

Укажіть неправильний вислів.

А Унаслідок руху відрізки переходять у відрізки Б Через три точки, що лежать на одній прямій, можна провести єдину площину В Якщо точка належить площині, то й пряма, яка проходить через цю точку, належить цій площині Через точку, що лежить на прямій, можна провести єдину пряму, перпенди­ Г кулярну до даної Д Діагоналі ромба перетинаються під кутом 120° А Якщо прямі a і b мають одну спільну точку, то вони перетинаються Б Якщо три вершини паралелограма лежать у площині, то й четверта його вер­ шина теж лежить у цій площині В Площини ABS і CDS перетинаються по прямій Г Якщо через пряму й точку A можна провести скільки завгодно площин, то точка A лежить на цій прямій Д Через три різні точки можна провести єдину площину

Клаc Дата

Прізвище, ім’я ГЕОМЕТРІЯ

А Б В Г Д

А Б В Г Д

Оцінка Тема 2 Варіант 2

ТЕМА 2. ВСТУП ДО СТЕРЕОМЕТРІЇ 1 

2

Самостійна робота № 4. Основні поняття стереометрії. Аксіоми стереометрії та наслідки з них Укажіть правильне твердження. А Через точку, що не належить прямій, можна провести безліч прямих, пара­ лельних даній Б Сума вертикальних кутів дорівнює 180° В Через дві точки можна провести єдину площину Г Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, яка проходить через цю точку Д Якщо дві точки належать площині, то пряма, що проходить через ці точки, перетинає цю площину Укажіть неправильний вислів. А Якщо дві сторони трикутника належать площині, то й третя сторона трикут­ ника належить цій площині Б Якщо KM = 2,2 ; MP = 7,9 ; KP = 8 , то точки K, M і P лежать на одній прямій В Радіус вписаного в рівносторонній трикутник кола у два рази менший, ніж радіус описаного навколо цього самого трикутника кола Г Є точки, що належать площині, і точки, що не належать площині Д Пряма і точка, яка їй не належить, визначають єдину площину

А Б В Г Д

А Б В Г Д

www.e-ranok.com.ua

79

3 

На рисунку зображено трикутну піраміду SABC. Укажіть площину, якій належить точка P. Чи можна провести площину через прямі SC і NP? через прямі AB і CN? S

P N B

A C

Відповідь:

4 Знайдіть периметр трикутника ANC (рисунок), якщо всі ребра піраміди дорівнюють b, а SN = NB . 

Відповідь:

3 

На рисунку зображено трикутну піраміду SMNK. Укажіть площини, яким належить точка T. Чи можна провести площину через прямі PK і NM? через прямі KT і SN? S P M

N

Відповідь:

K

T

4 Знайдіть периметр трикутника KPM (рисунок), якщо всі ребра піраміди дорівнюють b, а NP = PS . 

Відповідь:

80

www.e-ranok.com.ua

Клаc

Оцінка Тема 2 Варіант 1

Прізвище, ім’я ГЕОМЕТРІЯ

Дата

Самостійна робота № 5. Просторові геометричні фігури. Найпростіші задачі на побудову перерізів куба, прямокутного паралелепіпеда, піраміди

1

2

Ребро куба дорівнює

2 . Знайдіть площу його повної поверхні.

A

Б

В

Г

Д

8

12 2

10

12

16

Б SA

В NB

Г SP

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

S

Укажіть пряму перетину площин PSB і ASD (рис. 1). А AD

А

Д SN

A P N

B D

C

Рис. 1

Клаc

Оцінка Тема 2 Варіант 2

Прізвище, ім’я ГЕОМЕТРІЯ

Дата

Самостійна робота № 5. Просторові геометричні фігури. Найпростіші задачі на побудову перерізів куба, прямокутного паралелепіпеда, піраміди

1

2

Ребро куба дорівнює

3 . Знайдіть площу його повної поверхні.

A

Б

В

Г

Д

36

12 3

12

54

18

Укажіть пряму перетину площин AMS і CSB (рис. 1). А SK

Б SM

В SC

Г AK

Д BC

А

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

S

A B D

K C

M

Рис. 1

www.e-ranok.com.ua

81

3 

Побудуйте переріз куба площиною, що проходить через три задані точки (рис. 2).

K

M K

N M N

а

б Рис. 2

4 Побудуйте переріз піраміди площиною, що проходить через три задані точки (рис. 3).  S

S

N

N B K

A

C

D

A

M

а

б Рис. 3

3 

K

M

B

C

Побудуйте переріз куба площиною, що проходить через три задані точки (рис. 2).

N N K K

M

M

а

б Рис. 2

4 Побудуйте переріз піраміди площиною, що проходить через три задані точки (рис. 3).  S

S

M

C

K

B

A K N

M

B

C N

A

а

D

б Рис. 3

82

www.e-ranok.com.ua

Клаc

Оцінка Тема 2 Варіант 1

Прізвище, ім’я ГЕОМЕТРІЯ

Дата

Контрольна робота № 2. Вступ до стереометрії

1

Укажіть неправильне твердження. А

Якщо дві діагоналі паралелограма лежать у деякій площині, то і його сторони теж лежать у цій площині

Б

Прямі AB і CD не лежать в одній площині, але точки A, B, C і D можуть лежати в одній площині

А

Б

В

Г

Д

В Через дві точки можна провести безліч площин Г Точка A або належить певній площині, або не належить їй Д Через дві паралельні прямі можна провести єдину площину

2

Двадцять точок лежать в одній площині, дев’ятнадцять із них лежать на одній прямій. Скільки прямих можна провести через ці двадцять точок? А 20

3

В 19

Г 18

Д 22

А

Б

В

Г

Д

Дано прямокутник ABCD і точку M, яка не належить площині цього прямокутника. Укажіть взаємне розміщення площин ABM і MDC. А Мають тільки одну спільну точку

4 

Б 21

Б Мають спільну пряму

В

Г

Д

Збігаються Паралельні

А

Б

В

Г

Д

Даних недостатньо

Дано куб ABCDA1 B1C1 D1 (рис. 1). Установіть відповідність між площинами (1–4) і прямими їхнього перетину (А–Д).

B1

1 2 3 4

ABB1 і ADD1 AA1C1 і ABC AA1C1 і BB1 D1 A1C1 D і AA1 D1

А OO1 Б

AA1

В

A1 D

Г DD1 Д AC

C1

O1

A1

B A

А Б

D1

D

Г

Д

1 C

O

В

2 3 4

Рис. 1

www.e-ranok.com.ua

83

5 

Прямі a і b перетинаються. Проведіть пряму c так, щоб вона: а) перетинала прямі a і b та лежала з ними в одній площині; б) не перетинала ні пряму a, ні пряму b.

6 Прямі AB і CD не лежать в одній площині. Чи визначають площину прямі AC і BD? Відповідь  обґрунтуйте.

Відповідь: 7 Відрізки AB, AC і AD перетинаються площиною α . Виконайте рисунок. 

а) Укажіть точки, які лежать із точкою D в одному півпросторі відносно площини α .

б) Зобразіть пряму перетину площин α і ABC.

Відповідь:

8 Дано піраміду SABC (рис. 2) і точку K, що лежить на її ребрі AC. 

а) Побудуйте переріз піраміди SABC площиною, яка проходить через пряму SB і точку K.

б) Знайдіть площу цього перерізу, якщо всі ребра піраміди дорівнюють 4 3 , а AK = KC .

S

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА Відповідь:

84

B

A K

C

Рис. 2

www.e-ranok.com.ua

Клаc

Оцінка Тема 2 Варіант 2

Прізвище, ім’я ГЕОМЕТРІЯ

Дата

Контрольна робота № 2. Вступ до стереометрії

1

Укажіть неправильне твердження. А Через дві точки проходить скільки завгодно площин

2

Б

Якщо дві різні площини мають 20 спільних точок, то всі ці точки лежать на лінії перетину цих площин

В

Сторони трикутника належать площині α , а отже, і середні лінії цього трикутника належать площині α

Г

Через будь-які дві прямі можна провести єдину площину

Д

Якщо трикутники подібні, то їхні відповідні кути є рівними

Б 18

В 20

Г 17

Д 16

А

В

Г

Д

Б

В

Г

Д

Дано паралелограм ABCD і точку K, що не належить площині цього паралелограма. Укажіть взаємне розміщення площин ABK і KDC. А Б В Г Д Мають Мають тільки Даних Збігаються Паралельні спільну пряму одну спільну точку недостатньо

4 

Б

Дано 20 точок, які не лежать в одній площині. Укажіть найбільше число заданих точок, які можуть лежати на одній прямій. А 19

3

А

А

Б

В

Г

Д

Дано прямокутний паралелепіпед ABCDA1 B1C1 D1 (рис. 1). Установіть відповідність між площи­ нами (1–4) і прямими їхнього перетину (А–Д).

1 BB1 D1 і ABC

А OO1

2 BB1 D1 і AA1C1

Б B1 D1

B1

3

A1 DC і D1C1C

4 B1 D1C і AB1 D1

Г DC Д BD

O1

A1

В BD

C1

Г

Д

2 C

O A

В

1

D1

B

А Б

3 4

D

Рис. 1

www.e-ranok.com.ua

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА

85

5 

Прямі a і b перетинаються. Проведіть пряму c так, щоб вона: а) перетинала прямі a і b, але не лежала з ними в одній площині; б) перетинала пряму a, але не перетинала пряму b.

6 Точки A, B, C і D не лежать в одній площині. Чи лежать в одній площині прямі AC і BD?  Відповідь обґрунтуйте.

Відповідь:

7 Точки A і B належать площині α , а точка C їй не належить. Виконайте рисунок.  а) Укажіть на прямих CA і CB точки M і N відповідно, що лежать із точкою C у різних півпро­

сторах відносно площини α . б) Зобразіть пряму перетину площини α з площиною AMN.

8 Дано піраміду SABC (рис. 2) і точку K, що лежить на її ребрі BC.  а) Побудуйте переріз піраміди SABC площиною, яка проходить через пряму AS і точку K.

б) Знайдіть площу одержаного перерізу, якщо всі ребра піраміди дорівнюють 6 3 , а CK = KB .

S

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА

B

A

K

Відповідь:

86

C

Рис. 2

www.e-ranok.com.ua

Тема 3 Клаc

Оцінка Тема 3 Варіант 1

Прізвище, ім’я ГЕОМЕТРІЯ

Дата

ТЕМА 3. ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН У ПРОСТОРІ Самостійна робота № 6. Взаємне розміщення двох прямих у просторі

1

2

Укажіть таке закінчення речення, щоб вийшов неправильний вислів: «Єдину площину можна провести через…» А

пряму і точку, що не лежить на цій прямій

Б

дві мимобіжні прямі

В

дві паралельні прямі

Г

чотири точки, три з яких лежать на одній прямій

Д

дві прямі, що перетинаються

На рис. 1 зображено куб KLMNK1 L1 M1 N1 . Укажіть паралельні прямі. А

Б

В

Г

Д

K1 M1 і KM

KN1 і L1 M

KK1 і KN1

LK і K1 N1

MM1 і KN

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

N1

M1

L1

А

K1 M

L

N K

Рис. 1

Клаc

Оцінка Тема 3 Варіант 2

Прізвище, ім’я ГЕОМЕТРІЯ

Дата

ТЕМА 3. ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН У ПРОСТОРІ

1

2

Самостійна робота № 6. Взаємне розміщення двох прямих у просторі Укажіть таке закінчення речення, щоб вийшов правильний вислів: «Єдину площину можна провести через…» А

три паралельні прямі

Б

пряму і точку, що лежить на цій прямій

В

10 точок, 9 з яких лежать на одній прямій

Г

прямі, які не мають спільних точок

Д

три точки, що лежать на одній прямій

На рис. 1 зображено куб ABCDA1 B1C1 D1 . Ука­ жіть мимобіжні прямі. А B1 D і AD

Б A1C1 і B1 D1

В BD і B1 D1

Г A1 D1 і BC

B1

A1

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

C1 D1

Д AC і BB1

А

B

C

A

D

Рис. 1

www.e-ranok.com.ua

87

3 

Ромб ABCD і трикутник BSC не лежать в одній площині (рис. 2). Відомо, що SP = PB , SF = FC , PF = 4 см. а) Укажіть взаємне розміщення прямих PF і AB; PF і AD. б) Знайдіть периметр чотирикутника APFD, якщо в нього можна вписати коло.

S F

P B

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ A№1 УКРАЇНА D

C

Рис. 2

Відповідь:

4 Через кінці відрізка AB і точку M, що належить цьому відрізку, проведено паралельні  прямі, які перетинають площину α в точках A , B і M (рис. 3). Знайдіть MM , якщо 1

AM : MB = 6 : 1 , BB1 = 22 см, AA1 = 8 см.

1

1

1

M

B

A A1

a

Рис. 3

Відповідь: 3 

M1 B1

На рис. 2 зображено паралелограм ABCD і трикутник BNC, який не лежить у площині цього паралелограма. Відомо, що NP = PB , NF = FC , BC = 10 см. а) Укажіть взаємне розміщення прямих PF і CD; FP і AD. б) Знайдіть периметр чотирикутника APFD, якщо в нього можна вписати коло.

N F

P

C

B A

D

Рис. 2

Відповідь:

4 Через кінці відрізка AB і точку M, що належить цьому відрізку, проведено паралельні прямі,  які перетинають площину α в точках K, N і M (рис. 3). Знайдіть MM , якщо AM : MB = 2 : 5 , AK = 8 см, BN = 22 см.

1

1

B A

a

Відповідь:

88

K

M

M1

N

Рис. 3

www.e-ranok.com.ua

Клаc

Оцінка Тема 3 Варіант 1

Прізвище, ім’я ГЕОМЕТРІЯ

Дата

Самостійна робота № 7 Взаємне розміщення прямої і площини у просторі. Ознака паралельності прямої та площини

1

На рис. 1 зображено пряму трикутну призму. Укажіть неправильне твердження.

А

Б

В

Г

A1

Д

B1 C1

2 

A

Б

В

Г

Д

AA1  (CC1 B1 )

CB  ( A1 B1C1 )

CC1  ( ABC )

AB ⊂ ( ABB1 )

AC  ( AA1 B) = A

MN — середня лінія трикутника ACD (рис. 2). Укажіть площину, якій паралельна пряма MN. А

(CDB)

Клаc

Б

В

( ADB)

А

Б

D

Д

Д Такої площини немає

( ABC )

ГЕОМЕТРІЯ

A

B N

C

Рис. 2

Оцінка Тема 3 Варіант 2

Прізвище, ім’я

Дата

Г

C

Рис. 1 M

Г

( ADC )

В

B

A

Самостійна робота № 7 Взаємне розміщення прямої і площини у просторі. Ознака паралельності прямої та площини

1

2

На рис. 1 зображено прямокутний паралеле­ піпед ABCDA1 B1C1 D1 . Укажіть правильне твер­ дження.

А

Б

В

Г

Д

C1

B1 A1 D1 B

A

Б

В

Г

Д

AC  ( ABC )

A1 B ⊂ ( ABC )

DC1  ( AA1 B1 )

DD1  ( ABC )

B1 D1  ( DCC1 ) А

MN — середня лінія трикутника CDB (рис. 2). Укажіть площину, якій паралельна пряма MN. А

Б

В

Г

( ADB)

( ABC )

( BCD )

( ADC )

Б

В

Г

A

Рис. 1

Д

Д Такої площини немає

C D

D

A

M

B C

N

Рис. 2

www.e-ranok.com.ua

89

3 

Паралелограми ABCD і BKPC не лежать в одній площині (рис. 3). Доведіть, що пряма PD па­ ралельна площині AKB. P

K

C

B A

D

Рис. 3

4 Площина α паралельна катету BC прямокутного трикутника ACB і проходить через сере­дину  його гіпотенузи — точку N (рис. 4). Знайдіть площу цього трикутника, якщо NC = 10 см, а BC = 12 см.

A

a

N

K

B

Рис. 4

Відповідь: 3 

C

Паралелограми PNMK і NFEM не лежать в одній площині (рис. 3). Доведіть, що пряма FP паралельна площині MEK. F

E

N

M P

K

Рис. 3

4 Площина α паралельна катету BC прямокутного трикутника ACB і проходить через сере­  дину його гіпотенузи — точку N (рис. 4). Знайдіть площу трикутника ACB, якщо NC = 5 см, а AK = 4 см.

A

a

N

K

B

C

Рис. 4 Відповідь:

90

www.e-ranok.com.ua

Клаc

Оцінка Тема 3 Варіант 1

Прізвище, ім’я ГЕОМЕТРІЯ

Дата

Контрольна робота № 3. Паралельність прямих і площин у просторі

 1

2

3

А

Б

В

CD  ( ASB)

Площини SNK і ABC перети­ наються

Прямі SK і BD мимобіжні

А

Б

В

Г

Д K

Г

Д

NK  AB

Прямі SO і ND мимобіжні

N B

C

O

P

D

A

Рис. 1

Пряма a паралельна площині α . Укажіть число прямих, які належать площині α і паралельні прямій a. А

Б

В

Г

Д

Жодної

Одна

Дві

Безліч

Десять

А

Б

В

Г

Д

Укажіть число прямих, які можна провести через чотири точки, що не лежать в одній площині. А Шість

4 

S

На рис. 1 зображено чотирикутну пірамі­ ду SABCD, в основі якої лежить прямокутник. Укажіть неправильне твердження.

Б Чотири

В Три

Г П’ять

А

Д Вісім

Б

В

Г

Д

Установіть відповідність між відрізками (1–4) (рис. 1) і довжинами цих відрізків (А–Д), якщо ABCD — квадрат, NK — середня лінія трикутника DSC, NK = 4 , AS = BS = CS = DS = 6 .

1 AB 2 BD

4 NP

Г

В

Г

Д

1

Б 4

2

В 4 2 3 CO

А Б

А 8 2

5

3 4

Д 8

www.e-ranok.com.ua

91

5 

Трикутник ABF і трапеція ABCD ( AB  CD ) лежать у різних площинах. Доведіть, що пряма CD паралельна площині ABF.

6 Відрізок AB перетинає площину α . Через точки A, B і M — середину відрізка — проведе­  но паралельні прямі, що перетинають площину α в точках A , B і M відповідно. Знай­- діть MM1 , якщо AA1 = 3 см, BB1 = 7 см.

1

1

1

Відповідь: 7 Площина α паралельна стороні AC трикутника ABC і перетинає сторону AB у точці N, при­  чому AN : NB = 2 : 3 (рис. 2). Знайдіть площу трикутника ABC, якщо площа трикутника NBK дорівнює 18 см2.

B

N

K

a A

Відповідь:

C

Рис. 2

8 У тетраедрі DABC, усі ребра якого мають однакові довжини, точки M, N, K, L — середини  ребер AD, BD, BC, AC відповідно. Доведіть, що прямі MK і NL перетинаються й точкою пере­ тину діляться навпіл.

92

www.e-ranok.com.ua

Клаc

Оцінка Тема 3 Варіант 2

Прізвище, ім’я ГЕОМЕТРІЯ

Дата

Контрольна робота № 3. Паралельність прямих і площин у просторі

1

На рис. 1 зображено трикутну піраміду SABC, усі ребра якої мають однакові довжини. Ука­ жіть неправильне твердження. А Прямі NK і CB мимобіжні

Б AB  NK

В NK  ( ABC )

А

Б

В

Г

S

Д N

Г

Д

AC  NK

Пряма SB перетинає площину ABC

K B

A P

C

Рис. 1

2

Точка A не належить площині α . Укажіть число прямих, які можна провести через точку A паралельно площині α . А Жодної

3

Б Одна

Г Десять

Д Безліч

А

Б

В

Г

Д

Укажіть число площин, які можна провести через чотири точки, що не лежать в одній площині. А П’ять

4 

В Дві

Б Чотири

В Три

Г Шість

Д Одна

А

Б

В

Г

Д

Установіть відповідність між відрізками (1–4) (рис. 1) і довжинами цих відрізків (А–Д), якщо AB = BC = AC = 2 3 , а SA = SB = SC = 4 .

1 NK 2 PB 3 NP 4 SP

А 2

А Б

Б

13

В

3

Г 1

В

Г

Д

1 2 3 4

Д 3

www.e-ranok.com.ua

93

5 

Трикутник ABF і ромб ABCD лежать у різних площинах. Доведіть, що пряма CD паралельна площині ABF.

6 Відрізок AB перетинає площину α . Через точки A, B і M — середину відрізка — проведено  паралельні прямі, що перетинають площину α в точках A , B і M відповідно. Знайдіть MM1 , якщо AA1 = 3 см, BB1 = 17 см.

1

1

1

Відповідь: 7 Площина α паралельна стороні AC трикутника ABC і перетинає сторону AB у точці N, при­  чому AN : NB = 4 : 3 (рис. 2). Знайдіть площу трикутника NBK, якщо площа трикутника ABC дорівнює 98 см2.

B

N

K

a A

Відповідь:

C

Рис. 2

8 Доведіть, що діагоналі куба перетинаються в одній точці й діляться точкою перетину навпіл. 

94

www.e-ranok.com.ua

Клаc

Оцінка Тема 3 Варіант 1

Прізвище, ім’я ГЕОМЕТРІЯ

Дата

Самостійна робота № 8. Взаємне розміщення двох площин у просторі. Ознака паралельності площин. Властивості паралельних площин

1

На рис. 1 зображено куб ABCDA1 B1C1 D1 . Ука­ жіть паралельні площини.

A

2

Б

( BDD1 ) і ( DD1C1 )

( AD1C ) і ( BC1 A1 )

В

( ABC ) і ( ABB1 )

А

Б

Г

В

Г

A1

Д

( BDC1 ) і ( BDA1 )

C1

B1

Д

D1 B

( AA1 B) і ( DBC )

C

A

D

Рис. 1

Укажіть правильне твердження. А Б В Г Д

А Через дану точку можна провести безліч площин, паралельних даній площині Б Через дві мимобіжні прямі не можна провести дві паралельні площини В Якщо одна сторона трикутника паралельна площині β , то й дві інші сторони цього трикутника теж паралельні площині β Г Дві площини, паралельні одній і тій самій прямій, паралельні між собою Через дану точку, що не лежить у даній площині, можна провести безліч пря­ Д мих, паралельних цій площині

Клаc

Оцінка Тема 3 Варіант 2

Прізвище, ім’я ГЕОМЕТРІЯ

Дата

Самостійна робота № 8. Взаємне розміщення двох площин у просторі. Ознака паралельності площин. Властивості паралельних площин

 1

A

( AB D ) і ( BC D ) 1

1

1

 2

А

На рис. 1 зображено куб ABCDA1 B1C1 D1 . Ука­ жіть паралельні площини. Б

( A BD ) і (C BD ) 1

1

В

(A B C ) і (BB D ) 1

1

1

1

1

Г

( AB C ) і ( ADC ) 1

Б

В

Г

A1

Д

C

A

1

1

D1 B

( A C C) і ( BB D ) 1

C1

B1

Д

D

1

Рис. 1

Користуючись рис. 2, укажіть правильне твердження. Через точку N можна провести безліч площин, паралельних площині ABC Якщо точки M, N і P — середини ребер AS, SC і SD, Б то площина MNP паралельна площині ABC В Площина SPN паралельна площині ABC

А

Г Якщо ( BSC )  MP , ( ABC )  MP , то ( BSC )  ( ABC ) Через точку S можна провести безліч площин, пара­ Д лельних площині ABC

А Б В Г Д

S N M

P

B A

C

D

Рис. 2

www.e-ranok.com.ua

95

3 

Ромби ABCD і ADEF не лежать в одній площині (рис. 2). Доведіть паралельність площин FBA і ECD. C

B

D

A F

E

Рис. 2

4 Дві паралельні площини α і β перетинаються прямими AA , BB  CC  BB (рис. 3). Знайдіть периметр трикутника ABC, якщо 1

1

1

1

∠ A1 B1C1 = 120° .

і CC1 , причому AA1  BB1 , B1C1 = 7 см, A1 B1 = 8 см, B

b

A1

a

C

A

B1

C1

Рис. 3 Відповідь: 3 

Паралелограми ABCD і BKLC не лежать в одній площині (рис. 3). Доведіть паралельність пло­ щин ABK і DCL. K

L

B

C A

D

Рис. 3

4 Дві паралельні площини α і β перетинаються прямими AA , BB і CC , причому AA  CC ,  BB  CC (рис. 4). Знайдіть сторону BC трикутника ABC, якщо ∠ B A C = 60° , ∠ B C A = 75° , 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

A1C1 = 4 2 см.

a

A1

Відповідь:

96

B

A

B1

C

b C1

Рис. 4

www.e-ranok.com.ua

Тема 3. Клаc

Оцінка Тема 3 Варіант 1

Прізвище, ім’я ГЕОМЕТРІЯ

Дата

Самостійна робота № 9. Паралельне проектування і його властивості. Зображення плоских і просторових фігур у стереометрії 1 

2

Як розташований у просторі відрізок відносно площини проекції, якщо внаслідок паралельного проектування він проектується в точку?

A

Б

Паралель­ но площині проекції

Непаралель­ но площині проекції

Г

Д Відрізок не Паралельно Непаралельно може проек­ прямій про­ прямій про­ туватися ектування ектування в точку

А

Б

В

довжина відрізка

міра кута

площа фігури

Г відношення довжин відрізків, що лежать на одній прямій

Д

Б

В

Г

Д

А

Б

В

Г

Д

розміщення центра вписаного кола

Прізвище, ім’я ГЕОМЕТРІЯ

Дата

Оцінка Тема 3 Варіант 2

Самостійна робота № 9. Паралельне проектування і його властивості. Зображення плоских і просторових фігур у стереометрії Як розташований у просторі трикутник відносно площини проекції, якщо внаслідок паралель­ ного проектування він проектується у відрізок?

A

Г Д Непаралель­ Паралельно Паралель­ Непаралель­ Трикутник не мо­ но прямій прямій про­ но площині но площині же проектуватися проектуван­ ектування проекції проекції у відрізок ня

2

А

Укажіть таке закінчення речення, щоб вийшло правильне твердження: «Унаслідок проектуван­ ня фігур на площину зберігається…»

Клас

1 

В

Б

В

А

Б

В

Г

Д

Укажіть таке закінчення речення, щоб вийшло правильне твердження: «Унаслідок проектуван­ ня фігур на площину зберігається...» А периметр многокут­ ника

Б форма кола

В розміщення центра описано­ го кола

Г перпенди­ кулярність прямих

Д

А

Б

В

Г

Д

паралель­ність прямих

www.e-ranok.com.ua

97

3 

Побудуйте зображення: а) перпендикулярів, проведених із точки перетину діагоналей квадрата до його сторін; б) центра описаного навколо рівностороннього трикутника кола.

4 Трикутник ABC (рисунок) є зображенням довільного трикутника A B C , а відрізки AN і CK —  зображеннями його висот A N і C K відповідно. Побудуйте зображення центра описаного 1

кола трикутника A1 B1C1 .

1

1

1

1

1

1

B A

K

N C

3 

Побудуйте зображення: а) перпендикулярів, проведених із точки перетину діагоналей прямокутника до його сторін; б) висоти рівнобедреної трапеції.

4 Еліпс (рисунок) є зображенням деякого кола. Побудуйте зображення центра цього кола. 

98

www.e-ranok.com.ua

Клаc

ГЕОМЕТРІЯ

Дата

1

Укажіть фігуру, яка в загальному випадку є зображенням рівностороннього трикутника.

4 

Б Рівнобедре­ ний трикут­ ник

В

Г

Тупокутний трикутник

Довільний трикутник

Через точку O проведено прямі AA1 і BB1 , що перетинають паралельні площини α і β у точках A, A1 , B і B1 (рис. 1). Укажіть вза­ ємне розміщення прямих AB і A1 B1 . А Паралель­ ні

3

Контрольна робота № 4. Паралельність площин. Зображення просторових фігур на площині А Рівносторон­ ній трикут­ ник

2

Оцінка Тема 3 Варіант 1

Прізвище, ім’я

Б В Г Перетина­ Мимобіжні Збігаються ються

А

Б

Д Прямокут­ ний трикут­ ник

В

Г

Д

А

b

Б

В

Г

Д

B1

A1 O

Д Можуть бути будь-якими з А–Г

a

A

B

Рис. 1

Діагональ і сторона трапеції паралельні площині α . Укажіть, якщо це можливо, взаємне роз­ міщення площини α і площини трапеції. А

Б

В

Збігаються

Мимобіжні

Паралельні

Установіть відповідність між відрізками (1–4) (рис. 2) і їхніми довжинами (А–Д), якщо AB = 3 3 ; AC = 6 ; AA1 = 5 ; ∠ BAC = 30° ; AB  A1 B1 ; AC  A1C1 ; AA1  BB1 ; AA1  CC1 .

1

A1C1

2 CC1 3 B1C1 4 BC1

Г Перетина­ ються

Д Визначити неможливо

B

В 6

34

В

В

Г

Д

Г

Д

1 2

B1

3 C1

A1

Б

А Б C

A

А 5 Б

А

4

Рис. 2

Г 1 Д 3

www.e-ranok.com.ua

99

5 

Доведіть, що протилежні грані паралелепіпеда паралельні.

6 Побудуйте зображення центра мас (точки перетину медіан) прямокутного трикутника. 

7 Через точку K проведено прямі A A і B B , що перетинають паралельні площини α і β  у точках A , A , B і B (рис. 3). Знайдіть KB , якщо A A = 4 , KB = 15 , а KA = B B .

1

1

2

1

2

2

1

2

1

1

2

2

1

1

2

K A1

B1

B2

A2

Відповідь:

a

b

Рис. 3

8 У правильній чотирикутній піраміді SABCD точка O — точка перетину діагоналей осно­  ви ABCD.

а) Побудуйте переріз піраміди площиною, що проходить через точку O паралельно пло­ щині ASD. б) Знайдіть периметр одержаного перерізу, якщо всі ребра піраміди дорівнюють a.

Відповідь:

100

www.e-ranok.com.ua

Клаc

ГЕОМЕТРІЯ

Дата

1

2

Оцінка Тема 3 Варіант 2

Прізвище, ім’я

Контрольна робота № 4. Паралельність площин. Зображення просторових фігур на площині Укажіть фігуру, яка в загальному випадку є зображенням рівнобічної трапеції. А

Б

В

Г

Ромб

Паралело­ грам

Прямокутна трапеція

Рівнобічна трапеція

Через точку K проведено прямі A1 B1 і A2 B2 , що перетинають паралельні площини α і β у точках A1 , A2 , B1 і B2 (рис. 1). Укажіть взаємне розміщення прямих A1 A2 і B1 B2 . А Збіга­ ються

Б Перети­ наються

В Паралель­ ні

Г Мимобіжні

А

Д

А

Б

Б

В

Г

Д

Довільна трапеція

В

Г

Д

K

Д Можуть бути будь-якими з А–Г

a

A2

A1

b

B2

B1

Рис. 1

3

4

Дві непаралельні сторони трапеції паралельні площині α . Укажіть, якщо це можливо, взаємне розміщення площини α і площини трапеції. А

Б

В

Паралельні

Збігаються

Мимобіжні

Установіть відповідність між геометричними величинами (1–4) (рис. 2) і їхніми числовими значеннями (А–Д), якщо AA1  BB1  CC1 ; α  β ; AA1 = 12 ; PBCC1 B1 = 36 ; AB = 4 3 ; ∠ ABC = 30°.

1 Довжина відрізка B1C1 2 P A1 B1C1

А 2 3 Б 6 3 В 6

3 S A1 B1C1

Г 18

4 Довжина відрізка A1C1

Д 6 3 +6

Г Перетина­ ються

Д Визначити неможливо

a

B C

A

А

Б

А Б

В

В

Г

Д

Г

Д

1 2

A1

B1

b C1

3 4

Рис. 2

www.e-ranok.com.ua

101

5 

Доведіть, що основи паралелепіпеда паралельні.

6 Побудуйте зображення висоти ромба, гострий кут якого дорівнює 60° . 

7 Через точку K проведено прямі A A і B B , що перетинають паралельні площини α  і β у точках A , A , B і B (рис. 3). Знайдіть KB , якщо A B = 18 см, B B = 13,5 см, 1

а KB1 = B2 A2 .

1

2

1

2

2

1

2

2

1

1

1

a

2

B1

A1 K

b

A2

B2

Рис. 3 Відповідь: 8 У правильній трикутній піраміді SABC точка O — точка перетину медіан основи ABC.  а) Побудуйте переріз піраміди площиною, що проходить через точку O паралельно площині ASC.

б) Знайдіть периметр одержаного перерізу, якщо всі ребра піраміди дорівнюють a.

Відповідь:

102

www.e-ranok.com.ua

Тема 4 Клаc

Оцінка Тема 4 Варіант 1

Прізвище, ім’я ГЕОМЕТРІЯ

Дата

ТЕМА 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН у ПРОСТОРІ Самостійна робота № 10. Перпендикулярність прямих у просторі. Перпендикулярність прямої та площини. Ознака перпендикулярності прямої та площини

 1

2

B1

Дано куб ABCDA1 B1C1 D1 (рисунок). Укажіть неправильне твердження.

A

Б

В

AD ⊥ CD

AD ⊥ (CC1 D1 )

А

Б

В

Г

Г

Д

O1

A1

Д

AC ⊥ ( BB1C1 ) OO1 ⊥ ( A1 B1C1 )

C1 D1

B

OO1  CC1

C O

A

D

Пряма a перпендикулярна до площини α , а площина α паралельна прямій b. Укажіть, якщо це можливо, взаємне розміщення прямих a і b. А

Б

В

Г

Д

Збігаються

Паралельні

Перпендику­ лярні

Мимобіжні

Однозначно визначити неможливо

Клас

ГЕОМЕТРІЯ

Б

В

Г

Д

Оцінка Тема 4 Варіант 2

Прізвище, ім’я

Дата

А

ТЕМА 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН у ПРОСТОРІ Самостійна робота № 10. Перпендикулярність прямих у просторі. Перпендикулярність прямої та площини. Ознака перпендикулярності прямої та площини

1

Дано прямокутний паралелепіпед ABCDA1 B1C1 D1 (рисунок). Укажіть правильне твердження.

A

Б

AC ⊥ BD

A1C1  BD

А

Б

В

Г

Д

B1 A1

D1

В Г Прямі CD і A1 B1 AA1 ⊥ ( B1C1 D1 ) є мимобіжними

Д

B

OO1  CD

C O

A

2 

C1

O1

D

Пряма a паралельна площині α , а пряма b перпендикулярна до площини α . Укажіть, якщо це можливо, взаємне розміщення прямих a і b. А

Б

В

Г

Д

Мимобіжні

Паралельні

Збігаються

Перпендику­ лярні

Однозначно визначити неможливо

А

Б

В

Г

www.e-ranok.com.ua

Д

103

3 

Відрізок BM перпендикулярний до площини прямокутника ABCD. Знайдіть MA, якщо MB = BC = 8 см, а BD = 10 см.

Відповідь: 4 Точка M не належить площині паралелограма ABCD. Точка O — точка перетину діагона­  лей цього паралелограма. Доведіть, що пряма MO перпендикулярна до площини ABC, якщо MA = MC ; MB = MD .

3 

Відрізок BM перпендикулярний до площини прямокутника ABCD. Знайдіть MD, якщо AB = 3 см, BC = 7 см, а MB = 3 см.

Відповідь: 4 Точка M не належить площині ромба ABCD. Точка O — точка перетину діагоналей цього ромба.  Доведіть, що пряма MO перпендикулярна до площини ABC, якщо MA = MC ; MB = MD .

104

www.e-ranok.com.ua

Клаc

Оцінка Тема 4 Варіант 1

Прізвище, ім’я ГЕОМЕТРІЯ

Дата

Самостійна робота № 11. Перпендикуляр і похила. Теорема про три перпендикуляри

1

А

Знайдіть довжину похилої AB, якщо AN — пер­ пендикуляр до площини α , AN = 6 (рис. 1).

Б

В

Г

A

Б

В

Г

Д

6 2

3

3 3

12

4 3

A

Д

N

60°

B

a

Рис. 1

 2

Клас

А

Б

В

Г

Б

В

Г

Д

DA

DN

DC

DM

DB

A N C

B M

Рис. 2

Оцінка Тема 4 Варіант 2

Прізвище, ім’я ГЕОМЕТРІЯ

Д

a

А

Дата

1

D

Укажіть перпендикуляр, проведений із точ­ ки D до прямої AC (рис. 2), якщо DB — пер­ пендикуляр до площини прямокутного трикут­ ника ABC.

Самостійна робота № 11. Перпендикуляр і похила. Теорема про три перпендикуляри Знайдіть довжину похилої MN, якщо довжи­ на її проекції на площину α дорівнює 2 3 (рис. 1).

А

Б

В

Г

A

Б

В

Г

Д

4 3

2

3

4

6

N

Д

P

30°

a M

Рис. 1 S

2

Укажіть перпендикуляр, проведений із точ­ ки S до прямої AC (рис. 2), якщо SB — пер­ пендикуляр до площини рівнобедреного три­ кутника ABC, а AN = NC . А SC

Б SN

В SK

Г SA

А

Б

В

Г

Д B A

Д SB

K

N

C

Рис. 2

www.e-ranok.com.ua

105

3 

Пряма MA перпендикулярна до площини ромба ABCD (рис. 3). Доведіть, що MO ⊥ BD .

M

B

A O C

D

Рис. 3 4 Відстань від точки до площини дорівнює 4 см. Із цієї точки до площини проведено дві похилі,  проекції яких дорівнюють 3 см і 8 см. Кут між похилими становить 90° . Знайдіть відстань між основами цих похилих.

Відповідь: 3 

Пряма MB перпендикулярна до площини чотирикутника ABCD, діагоналі якого перпендику­ лярні (рис. 3). Доведіть, що MO ⊥ AC .

M

C

B

A

O D

Рис. 3 4 Відстань від точки до площини дорівнює 4 см. Із цієї точки до площини проведено дві похилі,  довжини яких дорівнюють 5 см і 4 5 см. Кут між проекціями похилих становить 90° . Знай­ діть відстань між основами похилих.

Відповідь:

106

www.e-ranok.com.ua

Клаc

Оцінка Тема 4 Варіант 1

Прізвище, ім’я ГЕОМЕТРІЯ

Дата

Самостійна робота № 12. Перпендикулярність площин. Ознака перпендикулярності площин. Залежність між паралельністю та перпендикулярністю прямих і площин

1

Площини α і β перетинаються по прямій a; α ⊥ γ ; β ⊥ γ (рисунок). Визначте, якщо це мож­ ливо, взаємне розміщення прямої a та площи­ ни γ .

A

Б

a⊂γ

2

aγ

Б

В

Г

Д

В

Г

Д

a⊥γ

Пряма a перетинається з площиною γ під гострим кутом

Визначити неможливо

b

g

А

Б

В

Г

Д

Жодної

Одну

Дві

Три

Безліч

ГЕОМЕТРІЯ

А

Б

В

Г

Д

Оцінка Тема 4 Варіант 2

Прізвище, ім’я

Дата

Самостійна робота № 12. Перпендикулярність площин. Ознака перпендикулярності площин. Залежність між паралельністю та перпендикулярністю прямих і площин Прямокутник ABCD перпендикулярний до пло­ щини α (рисунок). Визначте, якщо це можли­ во, взаємне розміщення площини CKED і пло­ щини α .

А

Б

В

Г

Д

A Б В Г Д Збіга­ Пара­ Перпенди­ Перетинаються, утворюючи Визначити ються лельні кулярні кут, який не дорівнює 90° неможливо

2

a

a

Скільки площин можна провести через дану пряму перпендикулярно до даної площини, якщо пряма не перпендикулярна до площини?

Клас

1

А

C B

K

D

A

a E

Дано три різні площини α , β і γ . Відомо, що α ⊥ β , а β ⊥ γ . Визначте, якщо це можливо, взаємне розміщення площин α і γ . А Збігаються

Б Перпендику­ лярні

В Перетина­ ються

Г Паралельні

Д Визначити неможливо

А

Б

В

Г

www.e-ranok.com.ua

Д

107

3 

Два рівносторонні трикутники ABC і ABD лежать у перпендикулярних площинах. Знайдіть довжину відрізка CD, якщо сторона трикутника дорівнює 6 .

Відповідь: 4 Точки A і B, що лежать у перпендикулярних площинах, сполучені відрізком. Перпендикуляри,  проведені з цих точок до лінії перетину площин, дорівнюють a і b, а відстань між основами цих перпендикулярів дорівнює c. Знайдіть довжину відрізка AB.

Відповідь: 3 

Два рівнобедрені прямокутні трикутники ABC і ABD лежать у перпендикулярних площинах і мають спільну гіпотенузу AB. Знайдіть CD, якщо AB = 8 .

Відповідь:

4 Точки A і B, що лежать у перпендикулярних площинах, сполучені відрізком довжиною d. Пер­  пендикуляри, проведені з цих точок до лінії перетину площин, дорівнюють a і b. Знайдіть від­ стань між основами цих перпендикулярів.

Відповідь:

108

www.e-ranok.com.ua

Клаc

Оцінка Тема 4 Варіант 1

Прізвище, ім’я ГЕОМЕТРІЯ

Дата

Контрольна робота № 5 Перпендикулярність прямої та площини у просторі

1

Довжини проекцій похилих на площину α А пов’язані співвідношенням AD < AC < AE < BA AD < AC < AE < BA (рис. 1). Укажіть правильне співвід­ ношення між довжинами похилих. А

Б

Б

В

Г

A

В

MC < MD < ME < MB ME < MB < MC < MD MB < ME < MC < MD

2

M

Д

Г

Д

MD < ME < MC < MB

MD < MC < ME < MB

B

Рис. 1

Укажіть правильне твердження. Через точку, яка не належить площині, можна провести одну пло­ щину, перпендикулярну до даної площини Якщо площина перпендикулярна до даної площини, то вона пер­ Б пендикулярна до будь-якої прямої цієї площини Якщо площина і пряма, яка їй не належить, перпендикулярні до В однієї й тієї самої площини, то вони паралельні між собою Г Рівні похилі мають рівні проекції Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих площини, то вона Д перпендикулярна й до площини, у якій лежать ці прямі

Похила MB, проведена до площини α , утво­ рює з перпендикуляром до цієї площини кут 30° (рис. 2). Знайдіть проекцію похилої, якщо довжина перпендикуляра дорівнює a. А a 3

4 

a

D

C

А

А

3

E

Б a 3

В

Г

А

Б

В

Г

Б

В

Г

Д

M

Д 30°

Д

a

a 3

2a

2

2

3

A a

B

Рис. 2

Відрізок BM перпендикулярний до площини прямокутника ABCD. Доведіть, що пряма CD пер­ пендикулярна до площини MBC.

www.e-ranok.com.ua

109

5 

Установіть відповідність між відрізками (1–4) і їхніми позначеннями (А–Д) (рис. 3).

M

M

M

M B

B

C

C

A

O A

D

K

A

B

B

O

A

C

N

N C

a

б

в

г

Рис. 3 1 Перпендикуляр, проведений із точки M до прямої BD, якщо ABCD — ромб (рис. 3, а) 2 Перпендикуляр, проведений із точки M до катета BC прямокутного трикутника ABC (рис. 3, б) 3 Перпендикуляр, проведений із точки M до прямої AC, якщо трикутник ABC рівнобедрений (рис. 3, в) 4 Перпендикуляр, проведений із точки M до прямої BC, якщо трикутник ABC рівносторонній (рис. 3, г)

А MB Б MA

А Б

В

Г

Д

1 2 3

В MK

4

Г MN Д MO

6 AB — пряма перетину двох взаємно перпендикулярних площин α і β . CD — відрізок, проведе­  ний у площині α паралельно прямій AB на відстані 28 від неї. Точка E лежить у площині β на відстані 35 від прямої AB. Побудуйте перпендикуляр із точки E до прямої CD. Знайдіть довжину цього перпендикуляра.

Відповідь:

7 Із точки M до площини проведено перпендикуляр MO завдовжки 4 см і дві похилі, проекції  яких дорівнюють 3 см і 4 см. Кут між похилими становить 45° . Знайдіть відстань між осно­ вами цих похилих.

Відповідь: 8 Із центра O вписаного в прямокутний трикутник ABC кола до площини цього трикутника про­  ведено перпендикуляр OM завдовжки 8 см. Знайдіть довжину перпендикуляра, проведеного з точки M до меншого катета трикутника ABC, якщо його катети дорівнюють 3 см і 4 см.

Відповідь:

110

www.e-ranok.com.ua

Клаc

ГЕОМЕТРІЯ

Дата

1

 2

Довжини похилих, проведених до площи­ ни α, пов’язані співвідношенням SA > SB > SC (рис. 1). Укажіть правильне співвідношення між довжинами проекцій цих похилих на пло­ щину α .

В Г Д

Б

В

Г

Д S

А

Б

В

AO > BO > CO

CO > BO > AO

AO > CO > BO

Г

Д

BO > AO > CO

BO > CO > AO

O

C

A

a

B

Рис. 1

Через точку, що належить площині, можна провести одну площи­ ну, перпендикулярну до даної площини Якщо площина перпендикулярна до якоїсь іншої площини, то будь-які прямі цих площин перпендикулярні Рівні похилі, проведені з однієї точки до даної площини, мають рівні проекції Якщо пряма перпендикулярна до двох паралельних прямих пло­ щини, то ці пряма і площина перпендикулярні Якщо дві площини перпендикулярні, то будь-яка пряма однієї з площин перпендикулярна до другої площини

Кут між похилою та її проекцією на площи­ ну α дорівнює 60° (рис. 2). Знайдіть довжину перпендикуляра, проведеного до цієї площини, якщо довжина проекції дорівнює a. А 2a

4 

А

Укажіть правильне твердження.

Б



Контрольна робота № 5 Перпендикулярність прямої та площини у просторі

А

3

Оцінка Тема 4 Варіант 2

Прізвище, ім’я

Б a 2

В a

Г

А

Б

В

Г

В

Г

Д

Д

60° a

a 3

Б

M

Д

a 3

А

B

a

A

Рис. 2

Відрізок MK перпендикулярний до площини квадрата NKPL. Доведіть, що пряма LP перпен­ дикулярна до площини MKP.

www.e-ranok.com.ua

111

5 

Установіть відповідність між відрізками (1–4) і їхніми позначеннями (А–Д) (рис. 3).

M

C

D

а

A

C

B

L

O

N

60° A

B

C

B

B

M

M

M

D

D

б

N

A

D

L

г

в

Рис. 3 1 Перпендикуляр, проведений із точки M до прямої CD, якщо ABCD — прямокутник (рис. 3, а)

А ML

2 Перпендикуляр, проведений із точки M до прямої CD, якщо ABCD — ромб із кутом 60° (рис. 3, б)

Б MC

3 Перпендикуляр, проведений із точки M до гіпотену­ зи LN прямокутного рівнобедреного трикутника LBN (рис. 3, в)

В MA

4 Перпендикуляр, проведений із точки M до сторони ром­ ба ABCD (рис. 3, г)

А Б

В

Г

Д

1 2 3 4

Г MD Д MN

6 AB — пряма перетину двох взаємно перпендикулярних площин α і β . CD — відрізок, прове­  дений у площині α паралельно прямій AB на відстані 36 см від неї. Точка M лежить у пло­ щині β на відстані 48 см від прямої AB. Побудуйте перпендикуляр із точки M до прямої CD. Знайдіть довжину цього перпендикуляра.

Відповідь:

7 Із точки M до площини α проведено перпендикуляр MA та похилі MN і MK. Кут між проек­  ціями цих похилих дорівнює 60° . Знайдіть NK, якщо MA = 4 см, MN = 5 см, MK = 4 5 см.

Відповідь: 8 Із центра O вписаного в рівнобедрений трикутник ABC кола до площини цього трикутника  проведено перпендикуляр OM завдовжки

17 3

см. Знайдіть довжину перпендикуляра,

проведеного з точки M до основи трикутника ABC, якщо його бічна сторона й основа дорівнюють 10 см і 16 см відповідно.

Відповідь:

112

www.e-ranok.com.ua

Клаc

Оцінка Тема 4 Варіант 1

Прізвище, ім’я ГЕОМЕТРІЯ

Дата

Самостійна робота № 13 Кути у просторі: між прямими, між прямою і площиною

1

Точка M не належить площині α . Укажіть число прямих, що про­ ходять через точку M і утворюють із площиною α кут 60° .

A Жодної

2

Б Одна

В Дві

Г Три

На рисунку зображено куб ABCDA1 B1C1 D1 . Знайдіть кут A1 BC1 .

Д Безліч

А

Б

В

Г

А

Б

Б

В

Г

Д

90°

45°

60°

30°

120°

Г

B1

Д

C1

C

B A

Клас

ГЕОМЕТРІЯ

D

Оцінка Тема 4 Варіант 2

Прізвище, ім’я

Дата

Д

D1

A1

А

В

Самостійна робота № 13 Кути у просторі: між прямими, між прямою і площиною

1

Точка M належить площині α . Укажіть число прямих, що проходять через точку M і утворюють із площиною α кут 30° .

A Жодної

2

Б Одна

На рисунку зображено куб Знайдіть кут B1 AD1 .

В Дві

Г Три

ABCDA1 B1C1 D1 .

Д Безліч

А

Б

В

Г

А

Б

Б

В

Г

Д

60°

45°

90°

30°

120°

Г

B1

Д A1

А

В

C1 D1 C

B A

Д

D

www.e-ranok.com.ua

113

3 

Із точки O — точки перетину медіан рівностороннього трикутника ABC — проведено перпенди­ куляр OM до площини цього трикутника. Знайдіть кут нахилу прямої MA до площини ABC, якщо OM = 3 , AB = 3 3 .

Відповідь: 4 Один із катетів прямокутного рівнобедреного трикутника належить площині α , а другий утво­  рює з цією площиною кут 30° . Знайдіть кут нахилу гіпотенузи до площини α .

Відповідь: 3 

Із точки O — точки перетину медіан рівностороннього трикутника ABC — проведено перпенди­ куляр OM до площини цього трикутника. Знайдіть кут нахилу прямої MA до площини ABC, якщо OM = AB = 6 .

Відповідь: 4 Гіпотенуза рівнобедреного прямокутного трикутника належить площині α . Медіана цього три­  кутника, проведена з вершини прямого кута, утворює з цією площиною кут 45° . Який кут утворює з площиною α катет цього трикутника?

Відповідь:

114

www.e-ranok.com.ua

Клаc

Оцінка Тема 4 Варіант 1

Прізвище, ім’я ГЕОМЕТРІЯ

Дата

Самостійна робота № 14. Кути між площинами. Відстані у просторі: від точки до прямої, від точки до площини, від прямої до паралельної їй площини, між паралельними площинами, між мимобіжними прямими

1

B1

Ребро куба дорівнює a (рис. 1). Якою є від­ стань між прямими A1C1 і DD1 ?

A

Б

В

a

a 2

a

3

2

2

А

Б

В

Г

Г

Д

a

a 2

Д

C1

A1

D1 B

C

A

D

Рис. 1 S

2

Укажіть кут між площинами ASB і ACB (рис. 2), якщо SC ⊥ ( ACB) .

Клас

А

Б

В

Г

Д C

А

Б

В

Г

Д

∠ ASB

∠ ACB

∠SBC

∠SDC

∠SAC

ГЕОМЕТРІЯ

D

B

Рис. 2

Оцінка Тема 4 Варіант 2

Прізвище, ім’я

Дата

A

Самостійна робота № 14. Кути між площинами. Відстані у просторі: від точки до прямої, від точки до площини, від прямої до паралельної їй площини, між паралельними площинами, між мимобіжними прямими 1 

B1

А

Ребро куба дорівнює b (рис. 1). Якою є від­ стань між прямими AA1 і BD? A b 3

Б b

В

Б

В

Г

b 2 2

Г

Д

A1

Д

D1 B

b

b 2

C1

C A

2

D

Рис. 1 M

2

Укажіть кут між площинами PMK і PNK (рис. 2), якщо MN ⊥ ( PNK ) .

А

Б

В

Г

А

Б

В

Г

Д

∠ MFN

∠ MPN

∠ MKN

∠ PNK

∠ PMK

Д

N P

F

Рис. 2

www.e-ranok.com.ua

K

115

3 

З вершини прямого кута B прямокутного трикутника ABC до його площини проведено перпен­ дикуляр BK завдовжки 8 см. Знайдіть відстань від точки K до прямої AC, якщо AC = 6 2 см, ∠ BAC = 45° .

Відповідь:

4 Відстані від точки M, яка не належить площині трикутника, до його вершин однакові й дорів­  нюють 13 см. Знайдіть відстань від точки M до площини трикутника, якщо одна з його сторін дорівнює 5 см, а протилежний їй кут — 30° .

Відповідь: 3 

З вершини прямого кута C трикутника ABC до його площини проведено перпендикуляр CM завдовжки 3 2 см. Знайдіть відстань від точки M до прямої AB, якщо AC = BC = 6 см.

Відповідь: 4 Відстані від точки M, яка не належить площині трикутника, до його вершин однакові й дорів­  нюють 13 см. Знайдіть відстань від точки M до площини трикутника, якщо одна з його сторін дорівнює 12 см, а протилежний їй кут — 30° .

Відповідь:

116

www.e-ranok.com.ua

Клаc

Оцінка Тема 4 Варіант 1

Прізвище, ім’я ГЕОМЕТРІЯ

Дата

Самостійна робота № 15. Ортогональне проектування. [Площа ортогональної проекції многокутника.] Практичне застосування властивостей паралельності та перпендикулярності прямих і площин

1

На рис. 1 зображено правильну чотирикутну піраміду SABCD. Укажіть ортогональну про­ екцію ребра SC на площину DAB. A BD

2

Б BO

В AC

А

А

Б

В

Г

Ромб

Трапеція

Трикутник

Прямокутник

В

Г AO

Г

B

Д CO

А

Б

В

C O

A

Г

D

Д C P

Д Довільний чотирикутник

ГЕОМЕТРІЯ

a

D

K

B

A

Рис. 2

Оцінка Тема 4 Варіант 2

Прізвище, ім’я

Дата

S

Д

Рис. 1

Діагональ BD ромба ABCD належить пло­ щині α , а вершини A і C не належать їй (рис. 2). Укажіть фігуру, якою є ортогональна проекція ромба ABCD на площину α .

Клас

Б

Самостійна робота № 15. Ортогональне проектування. [Площа ортогональної проекції многокутника.] Практичне застосування властивостей паралельності та перпендикулярності прямих і площин

1

2

На рис. 1 зображено правильну трикутну піра­ міду SABC. Укажіть ортогональну проекцію ребра SB на площину ABC.

А

Б

В

Г

A

Б

В

Г

Д

BC

BO

BN

SO

AB

Діагональ AC квадрата ABCD належить пло­ щині α , а вершини B і D не належать їй (рис. 2). Укажіть фігуру, якою є ортогональна проекція квадрата ABCD на площину α . А

Б

В

Довільний чотирикутник

Трапеція

Прямокутник

S

Д

B

A

O

N

K

C

А

Б

В

Г

Рис. 1

Д

B P

Г

Д

Квадрат Ромб

a

A

C

K D

Рис. 2

www.e-ranok.com.ua

117

3 

а) Площа многокутника дорівнює 100. Кут між площиною многокутника і площиною його про­ екції дорівнює 60° . Знайдіть площу проекції многокутника. б) Площа многокутника дорівнює 64, а площа його проекції — 32. Знайдіть кут між площиною многокутника і площиною його проекції.

Відповідь: 4 У приміщенні, яке має форму прямокутного паралелепіпеда (рис. 3), побудували прямокутне  перекриття PNKF паралельно підлозі на висоті 3 м від неї, встановивши опорні балки F F 1

і P1 P перпендикулярно до підлоги. Відомо, що AD = 6 м; DC = 8 м; CC1 = 5 м; F1 D = a м. Знайдіть: а) об’єм частини приміщення PNKFP1 BCF1 ; б) кут між площинами PAD і P1 AD .

B1 P A1

P1

A

F1

D1 D

Рис. 3

Відповідь: 3 

C1 K F C

N B

а) Кут між площиною многокутника і площиною його проекції становить 45° . Площа проекції дорівнює 10 2 . Знайдіть площу проектованого многокутника. б) Площа многокутника дорівнює 48. Кут між площиною многокутника і площиною його проекції дорівнює 60° . Знайдіть площу проекції многокутника.

Відповідь: 4 У приміщенні, яке має форму прямокутного паралелепіпеда (рис. 3), побудували прямокутне  перекриття A B P K паралельно стелі на висоті 3 м від неї, встановивши опорні балки K K 1

1 1

1

1

і P1 P перпендикулярно до підлоги. Відомо, що AD = 10 м; DC = 8 м; CC1 = 6 м; AK = b м. Знайдіть: а) об’єм частини приміщення ABPKA1 B1 P1 K1 ; б) кут між площинами K1 P1C і KDC.

A2 A1 A

Відповідь:

118

B1

B2

B

P1

C1 D1 C

P

K1 D

K

Рис. 3

www.e-ranok.com.ua

Клас

Оцінка Тема 4 Варіант 1

Прізвище, ім’я ГЕОМЕТРІЯ

Дата

Контрольна робота № 6. Кути і відстані у просторі

1

На рис. 1 пряма MO перпендикулярна до пло­ щини ABC. Назвіть кут між площинами MOB і MOD, якщо OD ⊥ BC .

А

Б

В

Г

А

Б

В

Г

Д

∠ MOC

∠ DOB

∠ DMB

∠ MDO

∠ MOB

M

Д

A

O

C D

B

Рис. 1

2

3

На рис. 1 укажіть ортогональну проекцію трикутника CMB на пло­ щину ABC, якщо MO ⊥ ( ABC ) . А

Б

В

Г

Д

 ABC

CDO

COB

CAO

 ABO

Точка O є центром описаного навколо прямо­ кутного трикутника ABC кола (рис. 2). Ука­ жіть відстань від точки M до прямої BC, якщо MO ⊥ ( ABC ) . А MO

4 

Б MK

В MC

А

Б

В

Г

А

Д MP

В

Г

Д

M

Д B

Г MB

Б

P

O

A K

C

Рис. 2

Установіть відповідність між кутами (1–4) (рис. 2) та їхніми числови­ ми значеннями (А–Д), якщо MO ⊥ ( ABC ) , BO = AO .

1 Кут між прямою MK і пло­ щиною ABC, якщо BC = 2 3 , MO = 3 2 Кут нахилу ребра MC до пло­ щини основи піраміди MABC, якщо MO = AO 3 Кут нахилу прямої MP до пло­ щини основи піраміди MABC, якщо AC = 12 , MO = 3 4 Кут нахилу ребра MA до пло­ щини основи піраміди MABC, якщо CO = 3 , MO = 3

А arctg

1 2

А Б

В

Г

Д

1 2

Б 60°

3 4

В 30°

Г arctg2

Д 45°

www.e-ranok.com.ua

119

5 

Усередині двогранного кута, який дорівнює 60° , дано точку, рівновіддалену від його обох гра­ ней на 4 см. Знайдіть відстань від даної точки до ребра двогранного кута.

Відповідь: 6 Знайдіть площу ортогональної проекції ромба ABCD на площину α , якщо сторона AD ромба  належить площині α , діагоналі ромба дорівнюють 10 см і 24 см, а кут між площиною ромба і площиною α — 60° .

Відповідь: 7 Дано прямокутний трикутник, катети якого дорівнюють 7 см і 24 см. З вершини прямого кута  цього трикутника до площини β , яка проходить через його гіпотенузу, проведено перпенди­ куляр. Знайдіть довжину цього перпендикуляра, якщо відстань від його основи до гіпотенузи дорівнює

84 25

см.

Відповідь: 8 Із центра O вписаного в трикутник ABC кола до площини цього трикутника проведено перпен­  дикуляр OS завдовжки 3 см. Знайдіть площу трикутника ASB, якщо AB = 14 см; AC = 15 см; BC = 13 см.

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА Відповідь:

120

www.e-ranok.com.ua

Клаc

ГЕОМЕТРІЯ

Дата

1

Оцінка Тема 4 Варіант 2

Прізвище, ім’я

Контрольна робота № 6. Кути і відстані у просторі На рис. 1 пряма SO перпендикулярна до пло­ щини ABC. Назвіть кут між площинами SOC і SOB.

А

Б

В

Г

А

Б

В

Г

Д

∠CAB

∠CSB

∠SOC

∠SOB

∠COB

S

Д

A

B

O C

Рис. 1

2

3

На рис. 1 укажіть ортогональну проекцію трикутника CSB на площи­ ну ABC, якщо OS ⊥ ( ABC ) . А

Б

В

Г

Д

 AOC

COB

 AOB

CSB

 ABC

Із точки O — середини гіпотенузи прямокут­ ного трикутника ABC — проведено перпенди­ куляр OS до площини ABC (рис. 2). Укажіть відстань від точки S до прямої AC. А SN

Б CK

В SC

А

Б

В

Г

А

Б

В

Г

Д

S

Д

O

Г SA

Д SO

A

B K

N C

Рис. 2 4 

Установіть відповідність між кутами (1–4) (рис. 2) та їхніми числовими значеннями (А–Д), якщо SO ⊥ ( ABC ) , AO = BO .

1 Кут нахилу ребра SA до пло­ щини основи піраміди SABC, якщо радіус описаного нав­ коло трикутника ABC кола до­рівнює 4, а SO = 8 2 Кут нахилу прямої SN до площини ABC, якщо BC = 6, SO = 3

А arctg

А Б

1 2

В

Г

Д

1 2

Б 60°

3 4

В arctg2

3 Кут нахилу прямої SK до пло­ щини ABC, якщо SK = 2KO

Г 30°

4 Кут нахилу ребра SC до пло­ щини ABC, якщо SO = OA

Д 45°

www.e-ranok.com.ua

121

5

Усередині двогранного кута, який дорівнює 60° , дано точку, віддалену від його ребра на 10 см і рівновіддалену від граней двогранного кута. Знайдіть відстань від даної точки до граней дво­ гранного кута.

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА Відповідь: 6 Знайдіть площу ортогональної проекції ромба ABCD на площину α , якщо сторона AD ромба  належить площині α , сторона ромба дорівнює 2 3 см, кут ромба — 60° , а кут між площи­ ною ромба і площиною α — 30° .

Відповідь: 7 Дано трикутник ABC зі сторонами AB = 9 , BC = 6 и AC = 5 . Через сторону AC проведено пло­  щину β , що утворює із площиною цього трикутника кут 45° . Знайдіть відстань від точки B до площини β .

Відповідь: 8 Із центра O вписаного в трикутник ABC кола до площини цього трикутника проведено перпенди­  куляр OS завдовжки 2 5 см. Знайдіть площу трикутника ASC, якщо AB = 14 см, AC = 15 см, BC = 13 см.

Відповідь:

122

www.e-ranok.com.ua

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА Клас

Оцінка Варіант 1

Прізвище, ім’я ГЕОМЕТРІЯ

Дата

ТЕМА. СИСТЕМАТИЗАЦІЯ та УЗАГАЛЬНЕННЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ Контрольна робота № 7. Систематизація та узагальнення навчального матеріалу

1

2

Укажіть неправильне твердження. А Через дві паралельні прямі можна провести площину В одній із двох паралельних площин проведено пряму. Ця пря­ Б ма паралельна другій площині В

Площа ортогональної проекції многокутника може бути більшою, ніж площа самого многокутника

Г

Якщо пряма не паралельна площині, то в цій площині немає жодної прямої, паралельної даній

Д

Радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, дорівнює половині гіпотенузи

На рис. 1 зображено прямокутний паралеле­ піпед. Знайдіть відстань між прямими NK і MP.

А

Б

В

Г

А

Б

В

Д

Г

Д

K N

А

Б

В

Г

Д

6

6 2

3

6 3

12

6

P M

Рис. 1

3

4 

Знайдіть площу рівностороннього трикутника, сторона якого дорівнює 4. А

Б

В

Г

Д

8 3

8

2 3

16

4 3

Установіть відповідність між довжинами від­ різків (1–4) (рис. 2) та їхніми числовими зна­ ченнями (А–Д), якщо SN ⊥ α .

1 SN, якщо AS = 6 , β = 45°

В

В

Г

Д

Г

Д

1 2

А 7 Б 3 2

Б

А Б

S

b

2 NB, якщо SN = 3 , γ = 60°

А

a

N g

A

B

3 4

Рис. 2 3 AB, якщо NB = 8 , AS = 10 , SN = 8 , ∠ ANB = 90°

В 6 2 Г 10

4 AB, якщо AS = 5 , SB = 8 , ∠ ASB = 60°

Д 1

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА www.e-ranok.com.ua

123

5 

До площини квадрата ABCD проведено перпендикуляр OS (рис. 3). Доведіть, що площини SAC і SBD взаємно перпендикулярні.

S

B

C O

A

D

Рис. 3 6 Площини α і β утворюють прямий двогранний кут із ребром NK (рис. 4). Відстані від кінців  відрізка AB до прямої NK однакові. Знайдіть відношення кутів, під якими даний відрізок на­ хилений до граней двогранного кута. a

A N K

b B

Рис. 4

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА

Відповідь:

7 Із центра O вписаного в прямокутний трикутник ABC кола проведено перпендикуляр OS до  площини ABC (рис. 5). Знайдіть відстань від точки S до катета AB, якщо AC = 4 , ∠ A = α , а довжина перпендикуляра OS дорівнює радіусу вписаного кола.

S C

A

O

a N

Відповідь:

B

Рис. 5

8 У правильній трикутній піраміді SABC з висотою SO бічні ребра дорівнюють l, а ребра осно­  ви — a.

а) Побудуйте переріз піраміди площиною, яка проходить через точку O паралельно ребрам AC і SB. б) Знайдіть периметр одержаного перерізу.

Відповідь:

124

www.e-ranok.com.ua

Клаc

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА

Оцінка Варіант 2

Прізвище, ім’я

ГЕОМЕТРІЯ

Дата

Контрольна робота № 7. Систематизація та узагальнення навчального матеріалу

1

Укажіть неправильне твердження. А Б В Г Д

2

Якщо дві площини перетинаються, то вони перетинаються по прямій Дві прямі паралельні площині. На площині не завжди знайдеться пряма, що одночасно паралельна даним прямим Дві прямі, перпендикулярні до однієї й тієї самої площини, паралельні між собою У просторі прямі, перпендикулярні до однієї й тієї самої прямої, паралельні між собою В одній із двох паралельних площин дано пряму, тоді в другій площині існують прямі, які є мимобіжними з даною прямою

На рис. 1 зображено куб. Знайдіть відстань між прямими NK і MP.

А

Б

В

Г

А

Б

В

Г

Д

Д

P N

А

Б

В

Г

Д

8 2

8

16

4

8 3

K M 8

3

4 

Рис. 1 Знайдіть площу ромба, кут якого дорівнює 60° , а сторона — 2. А

Б

В

Г

Д

8

4

4 3

3

2 3

Установіть відповідність між довжинами від­ різків (1–4) (рис. 2) та їхніми числовими зна­ ченнями (А–Д), якщо SN ⊥ γ .

1 AS, якщо SN = 3 , α = 60°

S

g

Б 3 3

3 AB, якщо AS = SB = 2 2 , ∠ ASB = 90°

В 2 2

В

Г

Д

1

А 2 3

2 SN, якщо SB = 4 , β = 45°

А Б

A

a

2

Nb B

Рис. 2

3 4

Г 4 3 4 AB, якщо AS = 5 , SN = 3 , NB = 8, ∠ ANB = 60°

Д 4

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА www.e-ranok.com.ua

125

5 

До площини ромба ABCD проведено перпендикуляр OS (рис. 3). Доведіть, що площини SBD і SAC взаємно перпендикулярні.

S B

C O

A

D

Рис. 3

6 Площини α і β утворюють прямий двогранний кут із ребром NK (рис. 4). Відстань від пря­  мої NK до точки A відрізка AB у два рази більша, ніж до точки B. Знайдіть відношення кута γ до кута ϕ .

a

A g N

K j

B

b

Рис. 4

Відповідь:

7 Із центра O вписаного в прямокутний трикутник ABC кола проведено перпендикуляр OS до  площини ABC (рис. 5). Знайдіть відстань від точки S до катета BC, якщо AC = 6 , ∠ C = β , а довжина перпендикуляра OS дорівнює радіусу вписаного кола.

S C

A O B

K

Рис. 5

Відповідь:

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА

8 У правильній трикутній піраміді SABC з висотою OS бічні ребра дорівнюють b, а ребра осно­  ви — a.

а) Побудуйте переріз піраміди площиною, яка проходить через точку O паралельно ребрам AB і SC. б) Знайдіть периметр одержаного перерізу.

Відповідь:

126

www.e-ranok.com.ua

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА ЗМІСТ

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ Тема 1. Функції, рівняння і нерівності . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Самостійна робота № 1. Множини, операції над множинами. Числові множини. Множина дійсних чисел. Числові функції. Способи задання числових функцій. Основні властивості функцій . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Самостійна робота № 2. Властивості і графіки основних видів функцій. Побудова графіків функцій за допомогою геометричних перетворень. Обернена функція . . . . . . . . . . . . . . . 3 Самостійна робота № 3. Рівносильні перетворення рівнянь. Рівняння-наслідки. Застосування властивостей функцій до розв’язування рівнянь. Рівносильні перетворення нерівностей, метод інтервалів. [Рівняння і нерівності, що містять знак модуля] . . . . . . . . . . . . . . 5 Контрольна робота № 1. Функції, рівняння і нерівності . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Тема 2. Степенева функція . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Самостійна робота № 4. Корінь n-го степеня. Арифметичний корінь n-го степеня, його властивості. Перетворення коренів. Дії над коренями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Самостійна робота № 5. Функція y = n x та її графік. Ірраціональні рівняння . . . . . . . . . . . . . 13 Самостійна робота № 6. Ірраціональні рівняння. [Ірраціональні нерівності. Системи ірраціональних рівнянь] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Контрольна робота № 2. Корінь n-го степеня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Самостійна робота № 7. Степінь з раціональним показником, його властивості. Перетворення виразів, які містять степінь із раціональним показником . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Самостійна робота № 8. Степенева функція, її властивості та графік . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Контрольна робота № 3. Степенева функція . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Тема 3. Тригонометричні функції . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Самостійна робота № 9. Радіанне вимірювання кутів. Синус, косинус, тангенс, котангенс кута. Тригонометричні функції числового аргументу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Самостійна робота № 10. Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу. Формули зведення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Самостійна робота № 11. Періодичність функцій. Властивості та графіки тригонометричних функцій. Гармонічні коливання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Контрольна робота № 4. Означення та властивості тригонометричних функцій . . . . . . . . . . . . . 35 Самостійна робота № 12. Тригонометричні формули: формули додавання; формули подвійного кута; [формули пониження степеня] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Самостійна робота № 13. Тригонометричні формули: формули перетворення суми й різниці тригонометричних функцій на добуток; формули перетворення добутку тригонометричних функцій на суму . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Контрольна робота № 5. Тригонометричні формули: формули додавання та наслідки з них . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Тема 4. Тригонометричні рівняння і нерівності . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Самостійна робота № 14. Обернені тригонометричні функції: означення, властивості, графіки. Найпростіші тригонометричні рівняння sin x = a і cos x = a . . . . . . . . . . . . . 47 Самостійна робота № 15. Найпростіші тригонометричні рівняння tg x = a і ctg x = a . . . . . . . . . . 49 Контрольна робота № 6. Найпростіші тригонометричні рівняння . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Самостійна робота № 16. Основні способи розв’язування тригонометричних рівнянь. Метод заміни змінних. Однорідні тригонометричні рівняння . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Самостійна робота № 17. Спосіб розкладання на множники. Метод введення допоміжного аргументу. Використання тригонометричних формул і властивостей тригонометричних функцій . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Самостійна робота № 18. Найпростіші тригонометричні нерівності . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Контрольна робота № 7. Тригонометричні рівняння і нерівності . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Тема. Систематизація та узагальнення навчального матеріалу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Контрольна робота № 8. Систематизація та узагальнення навчального матеріалу . . . . . . . . . . . 65

www.e-ranok.com.ua

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА

127

Геометрія Тема 1. Систематизація та узагальнення фактів і методів планіметрії . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Самостійна робота № 1. Аксіоми планіметрії. Система опорних фактів курсу планіметрії. Трикутники, чотирикутники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Самостійна робота № 2. Многокутники. Коло і круг. Геометричні та аналітичні методи розв’язування планіметричних задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Самостійна робота № 3. Застосування координат і векторів до розв’язування планіметричних задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Контрольна робота № 1. Систематизація та узагальнення фактів і методів планіметрії . . . . . . 75 Тема 2. Вступ до стереометрії . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Самостійна робота № 4. Основні поняття стереометрії. Аксіоми стереометрії та наслідки з них . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Самостійна робота № 5. Просторові геометричні фігури. Найпростіші задачі на побудову перерізів куба, прямокутного паралелепіпеда, піраміди . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Контрольна робота № 2. Вступ до стереометрії . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Тема 3. Паралельність прямих і площин у просторі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Самостійна робота № 6. Взаємне розміщення двох прямих у просторі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Самостійна робота № 7. Взаємне розміщення прямої і площини у просторі. Ознака паралельності прямої та площини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Контрольна робота № 3. Паралельність прямих і площин у просторі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Самостійна робота № 8. Взаємне розміщення двох площин у просторі. Ознака паралельності площин. Властивості паралельних площин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Самостійна робота № 9. Паралельне проектування і його властивості. Зображення плоских і просторових фігур у стереометрії . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Контрольна робота № 4. Паралельність площин. Зображення просторових фігур на площині . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Тема 3. Перпендикулярність прямих і площин у просторі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Самостійна робота № 10. Перпендикулярність прямих у просторі. Перпендикулярність прямої та площини. Ознака перпендикулярності прямої та площини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Самостійна робота № 11. Перпендикуляр і похила. Теорема про три перпендикуляри . . . . . . . 105 Самостійна робота № 12. Перпендикулярність площин. Ознака перпендикулярності площин. Залежність між паралельністю та перпендикулярністю прямих і площин . . . . . . . . . 107 Контрольна робота № 5. Перпендикулярність прямої та площини у просторі . . . . . . . . . . . . . . 109 Самостійна робота № 13. Кути у просторі: між прямими, між прямою і площиною . . . . . . . . 113 Самостійна робота № 14. Кути між площинами. Відстані у просторі: від точки до прямої, від точки до площини, від прямої до паралельної їй площини, між паралельними площинами, між мимобіжними прямими . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Самостійна робота № 15. Ортогональне проектування. [Площа ортогональної проекції многокутника.] Практичне застосування властивостей паралельності та перпендикулярності прямих і площин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Контрольна робота № 6. Кути і відстані у просторі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Тема. Систематизація та узагальнення навчального матеріалу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Контрольна робота № 7. Систематизація та узагальнення навчального матеріалу . . . . . . . . . . 123

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА

128

www.e-ranok.com.ua

УДК 371.388:512 ББК 22.15я721

Г17

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА

Рекомендовано для учнів 10 класу, відповідає чинній програмі з математики для загальноосвітніх навчальних закладів, затвердженій МІНІСТЕРСТВОМ ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ Рецензенти: І. С. Маркова, гол. редактор науково-методичного журналу «Математика в школах України», вчитель-методист; Ю. О. Захарійченко, канд. фіз.-мат. наук, доцент кафедри математики НаУКМА Збірник самостійних і контрольних робіт з алгебри та початків аналізу і геометрії для 10 класу складений відповідно до чинної програми з математики для загальноосвітніх навчальних закладів і призначений для поточного й тематичного контролю знань учнів. Усі роботи, що ввійшли до збірника, містять тестові завдання у двох варіантах. Завдання в рамках кожної роботи диференційовані за 4 рівнями навчальних досягнень учнів (початковий, середній, достатній і високий). На виконання самостійної роботи відводиться 10–15 хв, контрольної роботи — 45 хв. Оцінювання самостійних робіт. Самостійні роботи містять 4 завдання. Завдання 1 і 2 (початковий рівень) являють собою тестові завдання з вибором однієї правильної відповіді й оцінюються в 2 бали кожне. Учень одержує 2 бали, якщо він позначив правильну відповідь і навів коротке розв’язання завдання, 1 бал — якщо тільки позначив правильну відповідь. Завдання 3 (середній рівень) оцінюється 3 балами. Завдання 4 (достатній рівень) вважається виконаним правильно, якщо учень правильно розв’язав задачу, пояснивши кожен етап її розв’язування. При цьому вчитель може оцінити окремі етапи розв’язування, які учень виконав правильно. Таким чином, за завдання 4 учень може одержати від 0 до 5 балів. Максимальна кількість балів, передбачена за самостійну роботу,— 12. Оцінювання контрольних робіт з алгебри та початків аналізу. Контрольні роботи містять 10 завдань. Завдання 1–3 (початковий рівень) є тестовими завданнями з вибором однієї правильної відповіді. Виконання кожного з цих завдань оцінюється в 0,5 бала. Завдання 4 (середній рівень) передбачає встановлення відповідності (логічних пар). За кожну правильно позначену пару учень одержує 0,5 бала, тобто максимальна кількість балів за це завдання — 2. Завдання 5–10 є завданнями відкритої форми й оцінюються так: завдання 5 і 6 (середній рівень) — 0,5 і 1 бал відповідно; завдання 7 і 8 (достатній рівень) — 1,5 бала кожне; завдання 9 і 10 (високий рівень) — 2 бали кожне. Максимальна кількість балів, передбачена за контрольну роботу,— 12. Оцінювання контрольних робіт із геометрії. Контрольні роботи містять 8 завдань. Завдання 1–3 (початковий рівень), як і в контрольних роботах з алгебри й початків аналізу, є тестовими завданнями з вибором однієї правильної відповіді. Виконання кожного з цих завдань оцінюється 1 балом. Завдання 4 (середній рівень) передбачає встановлення відповідності (логічних пар). За кожну правильно позначену пару учень одержує 0,5 бала, тобто максимальна кількість балів за це завдання — 2. Завдання 5–8 є завданнями відкритої форми й оцінюються так: завдання 5 (середній рівень) — 1 бал; завдання 6 і 7 (достатній рівень) і завдання 8 (високий рівень) — 2 бали кожне. Винятком є контрольна робота № 5. У ній завдання 4 передбачає коротку відповідь, а завдання 5 — установлення відповідності. Максимальна кількість балів, передбачена за контрольну роботу,— 12. Окремим учням учитель може запропонувати виконати контрольну роботу не в повному обсязі — тоді вчитель на свій розсуд визначає розподіл балів за завданнями й добирає їх так, щоб максимальна кількість балів, яку одержить учень у разі виконання всієї пропонованої роботи, дорівнювала 12. У посібнику передбачено місце для виконання завдань, де учні наводять тільки основні моменти розв’язу­ вання. Якщо будуть потрібні розрахунки або побудови, учні можуть скористатися чернеткою (на розсуд учителя ці записи можуть бути враховані в оцінюванні).

Гальперіна А. Р. Г17 Алгебра і початки аналізу. Геометрія. 10 клас. Академічний рівень: Тестовий контроль знань / А. Р. Гальперіна.— Х.: Видавництво «Ранок», 2011.— 128 с.

ISBN

Посібник являє собою збірник самостійних і контрольних робіт з алгебри та початків аналізу і гео­ метрії для 10 класу (академічний рівень). Видання призначене для учнів 10 класу загальноосвітніх навчальних закладів і вчителів математики. УДК 371.388:512 ББК 22.15я721

ISBN

2 стр.обл.

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА © А. Р. Гальперіна, 2011

© ТОВ Видавництво «Ранок», 2011

www.e-ranok.com.ua

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА Посібник виходить за підтримки журналу «Математика в школах України» Відповіді до завдань можна знайти в осінніх номерах журналу

Навчальне видання ГАЛЬПЕРІНА Альбіна Романівна Алгебра і початки анализу. Геометрія. 10 клас. Академічний рівень Тестовий контроль знань Редактор О. В. Костіна. Технічний редактор О. В. Сміян Т15072У. Підписано до друку 25.09.2011. Формат 84×108/16. Папір офсетний. Гарнітура Шкільна. Друк офсетний. Ум. друк. арк. 13,44. ТОВ Видавництво «Ранок». Свідоцтво ДК № 3322 від 26.11.2008.

61071 Харків, вул. Кібальчича, 27, к. 135. Адреса редакції: 61145 Харків, вул. Космічна, 21а. Тел. (057) 719-48-65, тел./факс (057) 719-58-67. Для листів: 61045 Харків, а/с 3355. E-mail: office@ranok.com.ua З питань реалізації звертатися за тел.: у Харкові – (057) 712-91-44, 712-90-87; Києві – (044) 599-14-53, 377-73-23; Білій Церкві – (04563) 6-90-92; Вінниці – (0432) 55-61-10,27-70-08; Дніпропетровську – (056) 785-01-74; Донецьку – (062) 261-73-17; Житомирі – (0412) 41-27-95, 44-81-82; Івано-Франківську – (0342) 72-41-54; Кривому Розі – (056) 401-27-11; Луганську – (0642) 53-34-51; Львові – (032) 244-14-36 ; Миколаєві – (0512) 37-85-87; Одесі – (048)737-46-54; Сімферополі – (0652) 54-21-38 ; Тернополі – (0352) 51-28-27 ; Хмельницькому – (0382)70-63-16 ; Черкасах – (0472) 51-22-51, 36-72-14; Чернігові – (0462) 62-27-43 E-mail: commerce@ranok.com.ua. «Книга поштою»: 61045 Харків, а/с 3355. Тел. (057) 717-74-55, (067) 546-53-73.

E-mail: pochta@ranok.com.ua www.ranok.com.ua

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА 3 стр.обл.

www.e-ranok.com.ua

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА

GDZ.BIZ.UA - ГДЗ ПОРТАЛ №1 УКРАЇНА

www.e-ranok.com.ua