اﻟﺤﺴﺎب اﻟﻤﺘﺠﻬﻲ
-(Iﺗﺴﺎوي ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ – ﺟﻤﻊ اﻟﻤﺘﺠﻬﺎت -1أﻧﺸﻄﺔ -1ﻟﻴﻜﻦ Aو Bو Cو Dأرﺑﻊ ﻧﻘﻂ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى
أﻧﺸﺊ Mو Nﺣﻴﺚ BM = ACو AN = AC + AD -2ﻟﻴﻜﻦ ABCDﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع ﻣﺮآﺰﻩ O أﻧﺸﺊ Mﺣﻴﺚ OM = AB + ADو أﻧﺸﺊ Iﺣﻴﺚ DI = OD − BC أﺛﺒﺖ أن CM = AO اﺧﺘﺼﺮ BE + DF + EF + AB + ED + FA -3ﻟﻴﻜﻦ Aو Bو Cو Dو Eﻧﻘﻄﺎ ﻗﺎرن MNو BD
-2ﺗﺴﺎوي ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ب -ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺗﻜﻮن ﻣﺘﺠﻬﺘﺎن ﻣﺘﺴﺎوﻳﺘﺎن اذا آﺎن ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻻﺗﺠﺎﻩ و ﻧﻔﺲ اﻟﻤﻨﺤﻰ و ﻧﻔﺲ اﻟﻤﻨﻈﻢ
u
om i.c
ﻧﻜﺘﺐ u = AB = CD = EF
ad
ج -اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ اﻟﻤﻨﻌﺪﻣﺔ
ow .m w
* -اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ اﻟﻤﻨﻌﺪﻣﺔ : 0 د – ﺧﺎﺻﻴﺎت ﺧﺎﺻﻴﺔ1 Aو Bو Cو Dأرﺑﻊ ﻧﻘﻂ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى
ah
0 = MMﻟﻜﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﻧﻘﻄﺔ Mﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى
w
w
AB = CDإذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن ﻟﻠﻘﻄﻌﺘﻴﻦ ] [ ADو ] [ BCﻧﻔﺲ اﻟﻤﻨﺘﺼﻒ
I
ﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻘﻄﻌﺘﻴﻦ ] [ ADو ] [ BC
ﺧﺎﺻﻴﺔ2 إذا آﺎﻧﺖ Aو Bو Cو Dأرﺑﻊ ﻧﻘﻂ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻓﺎن : AB = CDإذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن ABDCﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع ﻧﺘﻴﺠﺔ ﻟﺘﻜﻦ Aو Bو Cو Dأرﺑﻊ ﻧﻘﻂ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى
AB = CDإذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن AC = BD AB = CDإذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن DB = CA
)ﺗﺒﺪﻳﻞ اﻟﻮﺳﻄﻴﻦ( )ﺗﺒﺪﻳﻞ اﻟﻄﺮﻓﻴﻦ(
www.mowahadi.com
-3ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ –ﻋﻼﻗﺔ ﺷﺎل أ u -و vﻣﺘﺠﻬﺘﺎن ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى
ﻟﺘﻜﻦ Aﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ،ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ وﺣﻴﺪة Bﺣﻴﺚ . AB = u ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ وﺣﻴﺪة Cﺣﻴﺚ . BC = v
اﻟﻨﻘﻄﺘﺎن Aو Cﺗﺤﺪدان ﻣﺘﺠﻬﺔ وﺣﻴﺪة w = AC u
v
w=u +v اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ wهﻲ ﻣﺠﻤﻮع اﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ uو vﻧﻜﺘﺐ w = u + v
ب -ﻋﻼﻗﺔ ﺷﺎل ﻣﻬﻤﺎ آﺎﻧﺖ اﻟﻨﻘﻂ Aو Bو Cﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى
AC = AB + BC
AC = AB + BC ب -ﻧﺘﻴﺠﺔ ﻟﺘﻜﻦ Oو Mو Nو Rأرﺑﻊ ﻧﻘﻂ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى
ad
اذا آﺎﻧﺖ u = OMو v = ONﻓﺎن
i.c
om
OM + ON = ORإذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن OMRNﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع ﻣﻼﺣﻈﺔ
w
w
.m
ow
ah
u + v = ORﺣﻴﺚ OMRNﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع
w
ج -ﺧﺎﺻﻴﺎت
* -ﻟﻜﻞ ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ uو u + v = v + u v * -ﻟﻜﻞ ﺛﻼث ﻣﺘﺠﻬﺎت uو vو ( u + v ) + w = u + ( v + w) w * -ﻟﻜﻞ ﻣﺘﺠﻬﺔ u
u +0=0+u =u
-4ﻣﻘﺎﺑﻞ ﻣﺘﺠﻬﺔ -ﻓﺮق ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ أ -ﻣﻘﺎﺑﻞ ﻣﺘﺠﻬﺔ
ﺗﺬآﻴﺮ ﻟﺘﻜﻦ u = ABاﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ABﺗﺴﻤﻰ ﻣﻨﻈﻢ اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ uﻧﻜﺘﺐ u = AB ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻟﺘﻜﻦ uﻣﺘﺠﻬﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ ﻣﻘﺎﺑﻞ اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ uهﻲ اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ اﻟﺘﻲ ﻟﻬﺎ ﻧﻔﺲ اﻻﺗﺠﺎﻩ و ﻧﻔﺲ اﻟﻤﻨﻈﻢ و ﻣﻨﺤﺎهﺎ ﻣﻀﺎد ﻟﻤﻨﺤﻰ اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ uﻧﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ −u * -ﻟﻜﻞ ﻣﺘﺠﻬﺔ : u
u + ( −u ) = ( −u ) + u = 0
* ﻟﻜﻞ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ Aو Bﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻟﺪﻳﻨﺎ AB + BA = AA = 0 اﻟﻤﺘﺠﻬﺘﺎن ABو BAﻣﺘﻘﺎﺑﻠﺘﺎن ﻧﻜﺘﺐ AB = − BA
www.mowahadi.com
ب -ﻓﺮق ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﺗﻌﺮﻳﻒ
ﻟﻜﻞ ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ uو v
) u − v = u + ( −v u u - v
-v
v
ﺧﺎﺻﻴﺔ
u
ﻟﻜﻞ ﺛﻼث ﻧﻘﻂ Aو Bو BC = AC − AB C -5ﻣﻨﺘﺼﻒ ﻗﻄﻌﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ
Iﻣﻨﺘﺼﻒ ] [ ABإذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن AI = IB
ﺧﺎﺻﻴﺔ
Iﻣﻨﺘﺼﻒ ] [ ABإذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن IA + IB = 0 ﺗﻤﺮﻳﻦ
i.c
] [ EF
ad
-1أﻧﺸﺊ اﻟﺸﻜﻞ -2أﺛﺒﺖ أن Bﻣﻨﺘﺼﻒ
om
ﻟﻴﻜﻦ ABCﻣﺜﻠﺜﺎ و Eو Fﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﺣﻴﺚ AE = CB
و AF = AB + AC
w
.m
ow
ah
(IIﺿﺮب ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻓﻲ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ أﻧﺸﻄﺔ ﻧﺸﺎط 1 ﻟﻴﻜﻦ ABCﻣﺜﻠﺜﺎ ﺣﻴﺚ AB = 6و Mﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ] [ ABﺣﻴﺚ AM = 2
w
w
اﻟﻤﻮازي ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( BCو اﻟﻤﺎر ﻣﻦ Mﻳﻘﻄﻊ ] [ ACﻓﻲ N -1ﻋﺒﺮ ﻋﻦ MNﺑﺪﻻﻟﺔ BC -2ﻋﺒﺮ ﻋﻦ MNﺑﺪﻻﻟﺔ BC
ﻧﺸﺎط 2
ﻟﻴﻜﻦ ABCﻣﺜﻠﺜﺎ ﻧﻀﻊ u = ABو v = AC أﻧﺸﺊ 3uو −2vو 3u − 2v
- 1ﺗﻌﺮﻳﻒ uﻣﺘﺠﻬﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ و kﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪم ﺟﺪاء اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ uﻓﻲ اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ kهﻲ اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ kuﺣﻴﺚ : * uو kuﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻻﺗﺠﺎﻩ * ku = k × u
ﻣﻨﺤﻰ uإذا آﺎن 0
* ﻣﻨﺤﻰ kuهﻮ
k
ﻋﻜﺲ ﻣﻨﺤﻰ uإذا آﺎن k ≺ 0
C
B
B u
ku
u
A
A ku
0
k≺0
k
www.mowahadi.com
C
- 2ﻧﺘﺎﺋﺞ )ﻧﻘﺒﻠﻬﺎ(
ﻣﻬﻤﺎ ﺗﻜﻦ اﻟﻤﺘﺠﻬﺘﺎن uو vو ﻣﻬﻤﺎ ﻳﻜﻦ اﻟﻌﺪدان اﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺎن α α (u + v ) = α u + α v (α + β ) u = α u + β v 1⋅ u = u ) (αβ ) u = α ( β u
و βﻓﺎن
α u = 0إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن α = 0أو u = 0 ﺗﻤﺎرﻳﻦ
3 -1ﺑﺴﻂ ) ( u + 2v ) − ( u − v 2 -2ﺣﺪد xﺣﻴﺚ 2 x ⋅ u − u = 0ﻋﻠﻤﺎ أن u ≠ 0
A = 5 ( 2u − v ) −
(IIاﻻﺳﺘﻘﺎﻣﻴﺔ -1اﺳﺘﻘﺎﻣﻴﺔ ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ أ -ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺗﻜﻮن ﻣﺘﺠﻬﺘﺎن uو vﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ اذا و ﻓﻘﻂ آﺎﻧﺖ اﺣﺪاهﻤﺎ ﺟﺪاء اﻷﺧﺮى ﻓﻲ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ B
C
u v
A
D
ﻣﻼﺣﻈﺔ
ad
i.c
om
0ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﻣﻊ أﻳﺔ ﻣﺘﺠﻬﺔ ب -ﺧﺎﺻﻴﺔ و ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻟﺘﻜﻦ Aو Bو Cﻧﻘﻄﺎ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺣﻴﺚ A ≠ B
.m
ow
ah
اﻟﻤﺘﺠﻬﺘﺎن ABو ACﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﺎن إذا وﻓﻘﻂ إذا وﺟﺪ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ α AC = α AB اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ αﻳﺴﻤﻰ أﻓﺼﻮل Cﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻢ ) ( A; B
ﺣﻴﺚ
AE = −3 AB CF = 2 ⋅ CD
−3أﻓﺼﻮل
2
أﻓﺼﻮل
w
w
w
ﻣﺜﺎل
Eﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻢ ) ( A; B Fﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻢ ) ( C; D
ﺗﻤﺮﻳﻦ
ﻟﺘﻜﻦ Aو Bو Cو Mأرﺑﻊ ﻧﻘﻂ و uو vﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﺣﻴﺚ u = MA + 2MB − 3MC و v = 2 BA − 6 BC -1ﺑﻴﻦ أن u = 2 AB − 3 AC -2ﺑﻴﻦ أن uو vﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﺎن ج -ﺧﺎﺻﻴﺔ
Iﻣﻨﺘﺼﻒ ] [ ABﺗﻜﺎﻓﺊ ) AB = 2 AIو ﺗﻜﺎﻓﺊ أﻳﻀﺎ ( AB = 2 IB -2اﺳﺘﻘﺎﻣﻴﺔ ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻟﺘﻜﻦ Aو Bو Cﻧﻘﻄﺎ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺣﻴﺚ A ≠ B ﺗﻜﻮن اﻟﻨﻘﻂ Aو Bو Cﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ إذا وﻓﻘﻂ إذا وﺟﺪ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ
AC = α AB
www.mowahadi.com
α
ﺣﻴﺚ
ﺗﻤﺮﻳﻦ
1 ﻟﻴﻜﻦ ABCDﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع و Pو Qﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﺣﻴﺚ AB 2
= BPو AQ = 3 AD
-1اﻧﺸﺊ اﻟﺸﻜﻞ
-2ﻋﺒﺮ ﻋﻦ CPو CQﺑﺪﻻﻟﺔ ABو AD -3اﺳﺘﻨﺘﺞ أن اﻟﻨﻘﻂ Pو Qو Cﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ -3ﺗﻮازي ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﺧﺎﺻﻴﺔ ﻟﺘﻜﻦ Aو Bو Cو Dﻧﻘﻄﺎ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺣﻴﺚ A ≠ Bو C ≠ D ) ( AB ) // ( CDإذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن ABو CDﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ
ﺗﻤﺮﻳﻦ
1 ﻟﻴﻜﻦ ABCﻣﺜﻠﺜﺎ و Iو Jﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﺣﻴﺚ AI = AB 3 -1ﻋﺒﺮ ﻋﻦ ICو BJﺑﺪﻻﻟﺔ ABو AC -2اﺳﺘﻨﺘﺞ أن ) ( IC ) // ( BJ
om i.c ad ah ow .m w w w www.mowahadi.com
و AJ = 3 AC