Merzlyak geometry 9 rus by max max

À. Ã. Ìåðçëÿê Â. Á. Ïîëîíñêèé Ì. Ñ. ßêèð

ǐǒǛǙǒǟǝǕǬ Ó÷åáíèê äëÿ 9 êëàññà îáùåîáðàçîâàòåëüíûõ ó÷åáíûõ çàâåäåíèé Ðåêîìåíäîâàíî Ìèíèñòåðñòâîì îáðàçîâàíèÿ è íàóêè Óêðàèíû

Õàðüêîâ ½Ãèìíàçèÿ 2009

ÓÄÊ 373:512 ÁÁÊ 22.151ÿ721 Ì52

Èçäàíî çà ñ÷åò ãîñóäàðñòâåííûõ ñðåäñòâ Ïðîäàæà çàïðåùåíà Ðåêîìåíäîâàíî Ìèíèñòåðñòâîì îáðàçîâàíèÿ è íàóêè Óêðàèíû (Ïðèêàç îò 02.02.2009 ã. ¹ 56) Îòâåòñòâåííûå çà ïîäãîòîâêó ê èçäàíèþ: Ãëàâíûé ñïåöèàëèñò Ìèíèñòåðñòâà îáðàçîâàíèÿ è íàóêè Óêðàèíû Í. Ñ. Ïðîêîïåíêî Ìåòîäèñò âûñøåé êàòåãîðèè Èíñòèòóòà èííîâàöèîííûõ òåõíîëîãèé è ñîäåðæàíèÿ îáðàçîâàíèÿ Î. À. Ëèòâèíåíêî Ýêñïåðòû, êîòîðûå ïðîâåëè ýêñïåðòèçó è ðåêîìåíäîâàëè ó÷åáíèê ê èçäàíèþ: Î. Â. Ãîðåëîâà, ó÷èòåëü-ìåòîäèñò îáùåîáðàçîâàòåëüíîé øêîëû ¹ 10 ã. Èçìàèëà Îäåññêîé îáëàñòè Å. Ì. Ïåòå÷óê, ìåòîäèñò Çàêàðïàòñêîãî èíñòèòóòà ïîñëåäèïëîìíîãî ïåäàãîãè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ Å. Í. Ñèíþêîâà, ïðåïîäàâàòåëü êàôåäðû ãåîìåòðèè Þæíîóêðàèíñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ïåäàãîãè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà èì. Ê. Ä. Óøèíñêîãî ã. Îäåññû, êàíäèäàò ôèçèêîìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, äîöåíò Â. Â. Øàðêî, çàâåäóþùèé îòäåëîì òîïîëîãèè Èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, äîêòîð ôèçèêîìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð Ò. Í. Õìàðà, âåäóùèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê ëàáîðàòîðèè ìàòåìàòè÷åñêîãî è ôèçè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ Èíñòèòóòà ïåäàãîãèêè ÀÏÍ Óêðàèíû, êàíäèäàò ïåäàãîãè÷åñêèõ íàóê

ISBN 978-966-474-020-0

¦ª ª¦¨¦

Äîðîãèå äåâÿòèêëàññíèêè! Â ýòîì ó÷åáíîì ãîäó âû ïðîäîëæèòå èçó÷åíèå ãåîìåòðèè. Íàäååìñÿ, ÷òî âû óñïåëè ïîëþáèòü ýòó âàæíóþ è êðàñèâóþ íàóêó, à çíà÷èò, ñ èíòåðåñîì áóäåòå îâëàäåâàòü íîâûìè çíàíèÿìè, è ýòîìó áóäåò ñïîñîáñòâîâàòü ó÷åáíèê, êîòîðûé âû äåðæèòå â ðóêàõ. Îçíàêîìüòåñü, ïîæàëóéñòà, ñ åãî ñòðóêòóðîé. Ó÷åáíèê ðàçäåëåí íà øåñòü ïàðàãðàôîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ ñîñòîèò èç ïóíêòîâ. Â ïóíêòàõ èçëîæåí òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë. Îñîáîå âíèìàíèå îáðàùàéòå íà òåêñò, âûäåëåííûé æèðíûì øðèôòîì. Òàêæå îáðàùàéòå âíèìàíèå íà ñëîâà, íàïå÷àòàííûå êóðñèâîì. Êàê ïðàâèëî, èçëîæåíèå òåîðåòè÷åñêîãî ìàòåðèàëà çàâåðøàåòñÿ ïðèìåðàìè ðåøåíèÿ çàäà÷. Ýòè çàïèñè ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îäèí èç âîçìîæíûõ îáðàçöîâ îôîðìëåíèÿ ðåøåíèÿ. Ê êàæäîìó ïóíêòó ïîäîáðàíû çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ, ê êîòîðûì ìû ñîâåòóåì ïðèñòóïàòü òîëüêî ïîñëå óñâîåíèÿ òåîðåòè÷åñêîãî ìàòåðèàëà. Ñðåäè çàäàíèé åñòü êàê ïðîñòûå è ñðåäíèå ïî ñëîæíîñòè óïðàæíåíèÿ, òàê è òðóäíûå çàäà÷è (îñîáåííî òå, êîòîðûå îáîçíà÷åíû «çâåçäî÷êîé» (*)). Ñâîè çíàíèÿ ìîæíî ïðîâåðèòü, ðåøàÿ çàäà÷è â òåñòîâîé ôîðìå èç ðóáðèêè «Ïðîâåðü ñåáÿ». Åñëè ïîñëå âûïîëíåíèÿ äîìàøíèõ çàäàíèé îñòàåòñÿ ñâîáîäíîå âðåìÿ è âû õîòèòå çíàòü áîëüøå, òî ðåêîìåíäóåì îáðàòèòüñÿ ê ðóáðèêå «Êîãäà ñäåëàíû óðîêè». Ìàòåðèàë, èçëîæåííûé òàì, íåïðîñò. Íî òåì èíòåðåñíåå èñïûòàòü ñâîè ñèëû! Äåðçàéòå! Æåëàåì óñïåõà!

Óâàæàåìûå êîëëåãè! Ìû íàäååìñÿ, ÷òî ýòîò ó÷åáíèê ñòàíåò íàäåæíûì ïîìîùíèêîì â âàøåì íåëåãêîì è áëàãîðîäíîì òðóäå, è áóäåì èñêðåííå ðàäû, åñëè îí âàì ïîíðàâèòñÿ. Â êíèãå ñîáðàí îáøèðíûé è ðàçíîîáðàçíûé äèäàêòè÷åñêèé ìàòåðèàë. Îäíàêî çà îäèí ó÷åáíûé ãîä âñå çàäà÷è ðåøèòü íåâîçìîæíî, äà â ýòîì è íåò íåîáõîäèìîñòè. Âìåñòå ñ òåì íàìíîãî óäîáíåå ðàáîòàòü, êîãäà åñòü çíà÷èòåëüíûé çàïàñ çàäà÷. Ýòî äàåò âîçìîæíîñòü ðåàëèçîâàòü ïðèíöèïû óðîâíåâîé äèôôåðåíöèàöèè è èíäèâèäóàëüíîãî ïîäõîäà â îáó÷åíèè. Êðàñíûì öâåòîì îòìå÷åíû íîìåðà çàäà÷, êîòîðûå ðåêîìåíäóþòñÿ äëÿ äîìàøíåé ðàáîòû, ñèíèì öâåòîì — íîìåðà çàäà÷, êîòîðûå ñ ó÷åòîì èíäèâèäóàëüíûõ îñîáåííîñòåé ó÷àùèõñÿ êëàññà íà óñìîòðåíèå ó÷èòåëÿ ìîæíî ðåøàòü óñòíî. Ìàòåðèàë ðóáðèêè «Êîãäà ñäåëàíû óðîêè» ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ðàáîòû ìàòåìàòè÷åñêîãî êðóæêà è ôàêóëüòàòèâíûõ çàíÿòèé. Æåëàåì òâîð÷åñêîãî âäîõíîâåíèÿ è òåðïåíèÿ.

n° •

••

«©£¦ ¥³ ¦ ¦ ¥ ¯ ¥ · çàäàíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå íà÷àëüíîìó è ñðåäíåìó óðîâíÿì ó÷åáíûõ äîñòèæåíèé; çàäàíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå äîñòàòî÷íîìó óðîâíþ ó÷åáíûõ äîñòèæåíèé; çàäàíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå âûñîêîìó óðîâíþ ó÷åáíûõ äîñòèæåíèé; çàäà÷è äëÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ êðóæêîâ è ôàêóëüòàòèâîâ; çàäà÷è, â êîòîðûõ ïîëó÷åí ðåçóëüòàò, êîòîðûé ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðè ðåøåíèè äðóãèõ çàäà÷; äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû, ñîîòâåòñòâóþùåå äîñòàòî÷íîìó óðîâíþ ó÷åáíûõ äîñòèæåíèé; äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû, ñîîòâåòñòâóþùåå âûñîêîìó óðîâíþ ó÷åáíûõ äîñòèæåíèé;

äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû, íå îáÿçàòåëüíîå äëÿ èçó÷åíèÿ; îêîí÷àíèå äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû.

ÖËÇÅ È¹É¹¼É¹Í¾ »Ô ÌÀÆ¹¾Ë¾ ÐËÇ ÈÉ¾½ÊË¹»ÄØ×Ë ÊÇºÇÂ ÊÁÆÌÊ ÃÇÊÁÆÌÊ Á Ë¹Æ¼¾ÆÊ Ì¼Ä¹ α ¼½¾ m α m Ô Æ¹ÌÐÁË¾ÊÕ ÈÇ ½»ÌÅ ÊËÇÉÇÆ¹Å ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃ¹ Á Ì¼ÄÌ Å¾¿½Ì ÆÁÅÁ Æ¹ÎÇ½ÁËÕ ËÉ¾ËÕ× ÊËÇÉÇÆÌ ¹ Ë¹Ã¿¾ ÈÇ ÊËÇÉÇÆ¾ Á ½»ÌÅ ÈÉÁÄ¾ ¿¹ÒÁÅ Ã Æ¾Â Ì¼Ä¹Å Æ¹ÎÇ½ÁËÕ ½»¾ ½ÉÌ¼Á¾ ÊËÇÉÇÆÔ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃ¹ ÃÄ¹ÊÊ¾ »Ô Æ¹ÌÐÁÄÁÊÕ É¾Ñ¹ËÕ ÈÉØÅÇÌ¼ÇÄÕÆÔ¾ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃÁ ¡ÀÌÐÁ» Å¹Ë¾ÉÁ¹Ä ÖËÇ¼Ç È¹É¹¼É¹Í¹ »Ô ÊÅÇ¿¾Ë¾ É¾Ñ¹ËÕ Ä×ºÔ¾ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃÁ Ô ÌÀÆ¹¾Ë¾ Ç ÆÇ»ÔÎ ÍÇÉÅÌÄ¹Î Ê ÈÇÅÇÒÕ× ÃÇËÇÉÔÎ ÅÇ¿ÆÇ Æ¹ ÎÇ½ÁËÕ ÈÄÇÒ¹½Õ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃ¹

©ÀÅËÉ ÂÆÉÀÅËÉ À Ê¸Å»½ÅÉ Ë»Ã¸ ÆÊ ¼Æ ¨¾É¾½ ÁÀÌÐ¾ÆÁ¾Å ÖËÇ¼Ç ÈÌÆÃË¹ É¾ÃÇÅ¾Æ½Ì¾Å ÈÇ»ËÇÉÁËÕ ÊÇ½¾É¿¹ÆÁ¾ ÈÌÆÃË¹ Æ¹ Ê

Ïîíÿòèÿ «ñèíóñ», «êîñèíóñ» è «òàíãåíñ» îñòðîãî óãëà âàì çíàêîìû èç êóðñà ãåîìåòðèè 8 êëàññà. Ðàñøèðèì ýòè ïîíÿòèÿ äëÿ ëþáîãî óãëà α, ãäå 0° m α m 180°. Â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè ðàññìîòðèì ïîëóîêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò, ðàäèóñ êîòîðîé ðàâåí 1 (ðèñ. 1). Òàêóþ ïîëóîêðóæíîñòü íàçûâàþò åäèíè÷íîé. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî óãëó α (0° m α m 180°) ñîîòâåòñòâóåò òî÷êà M åäèíè÷íîé ïîëóîêðóæíîñòè, åñëè ∠ MOA = α, ãäå òî÷êè O è A èìåþò ñîîòâåòñòâåííî êîîðäèíàòû (0; 0) è (1; 0) (ðèñ. 1). Íàïðèìåð, íà ðèñóíêå 1 óãëó, ðàâíîìó 90°, ñîîòâåòñòâóåò òî÷êà C; óãëó, ðàâíîìó 180°, — òî÷êà B; óãëó, ðàâíîìó 0°, — òî÷êà A. Ðèñ. 1

©¾Ñ¾ÆÁ¾ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃÇ»

Ïóñòü α — îñòðûé óãîë. Åìó ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðàÿ òî÷êà M (x; y) äóãè AC (ðèñ. 2). Èç ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà OMN èìååì: DPT A

0/ 0.

TJO A

./ 0.

Ïîñêîëüêó OM = 1, ON = x, MN = y, òî cos α = x, sin α = y. Èòàê, êîñèíóñ è ñèíóñ îñòðîãî óãëà α — ýòî ñîîòâåòñòâåííî àáñöèññà è îðäèíàòà òî÷êè M åäèíè÷íîé ïîëóîêðóæíîñòè, ñîîòâåòñòâóþùåé óãëó α. Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ïîäñêàçûâàåò, êàê îïðåäåëèòü ñèíóñ è êîñèíóñ ëþáîãî óãëà α, ãäå 0° m α m 180°. Î ï ð å ä å ë å í è å. Ê î ñ è í ó ñ î ì è ñ è í ó ñ î ì óãëà α (0° m α m 180°) íàçûâàþò ñîîòâåòñòâåííî àáñöèññó x è îðäèíàòó y òî÷êè M åäèíè÷íîé ïîëóîêðóæíîñòè, ñîîòâåòñòâóþùåé óãëó α (ðèñ. 3). Ïîëüçóÿñü òàêèì îïðåäåëåíèåì, ìîæíî, íàïðèìåð, çàïèñàòü: sin 0° = 0, cos 0° = 1, sin 90° = 1, cos 90° = 0, sin 180° = 0, cos 180° = –1.

Ðèñ. 2

Ðèñ. 3

Åñëè M (x; y) — ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà åäèíè÷íîé ïîëóîêðóæíîñòè, òî –1 m x m 1 è 0 m y m 1. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîãî óãëà α, ãäå 0° m α m 180°, èìååì: 0 m sin α m 1, –1 m cos α m 1. Åñëè α — òóïîé óãîë, òî àáñöèññà òî÷êè åäèíè÷íîé ïîëóîêðóæíîñòè, ñîîòâåòñòâóþùåé ýòîìó óãëó, îòðèöàòåëüíà. Ñëåäîâàòåëüíî, êîñèíóñ òóïîãî óãëà ÿâëÿåòñÿ îòðèöàòåëü

ªÁÆÌÊ ÃÇÊÁÆÌÊ Á Ë¹Æ¼¾ÆÊ Ì¼Ä¹ ÇË ½Ç

íûì ÷èñëîì. Ïîíÿòíî, ÷òî ñïðàâåäëèâî è òàêîå óòâåðæäåíèå: åñëè cos α < 0, òî α — òóïîé èëè ðàçâåðíóòûé óãîë. Èç êóðñà ãåîìåòðèè 8 êëàññà âû çíàåòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî îñòðîãî óãëà α sin (90° – α) = cos α, ños (90° – α) = sin α Ýòè ôîðìóëû îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâûìè è äëÿ α = 0°, è äëÿ α = 90° (óáåäèòåñü â ýòîì ñàìîñòîÿòåëüíî). Ïóñòü óãëàì α è 180° – α, ãäå α ≠ 0°, α ≠ 90° è α ≠ 180°, ñîîòâåòñòâóþò òî÷êè M (x1; y1) è N (x2; y2) åäèíè÷íîé ïîëóîêðóæíîñòè (ðèñ. 4).

Ðèñ. 4

Ïðÿìîóãîëüíûå òðåóãîëüíèêè OMM1 è ONN1 ðàâíû ïî ãèïîòåíóçå è îñòðîìó óãëó (ON = OM = 1, ∠ MOM1 = ∠ NON1 = = α). Îòñþäà y2 = y1 è x2 = –x1. Ñëåäîâàòåëüíî, sin (180° – α) = sin α, cos (180° – α) = – cos α Óáåäèòåñü ñàìîñòîÿòåëüíî, ÷òî ýòè ðàâåíñòâà îñòàþòñÿ âåðíûìè äëÿ α = 0°, α = 90°, α = 180°. Åñëè α — îñòðûé óãîë, òî, êàê âû çíàåòå èç êóðñà ãåîìåòðèè 8 êëàññà, ñïðàâåäëèâî òîæäåñòâî sin2 α + cos2 α = 1, êîòîðîå îñòàåòñÿ âåðíûì äëÿ α = 0°, α = 90°, α = 180° (óáåäèòåñü â ýòîì ñàìîñòîÿòåëüíî).

©¾Ñ¾ÆÁ¾ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃÇ»

Ïóñòü α — òóïîé óãîë. Òîãäà óãîë 180° – α ÿâëÿåòñÿ îñòðûì. Èìååì: sin2 α + cos2 α = (sin (180° – α))2 + (–cos (180° – α))2 = = sin2 (180° – α) + cos2 (180° – α) = 1. Ñëåäîâàòåëüíî, ðàâåíñòâî sin2 α + cos2 α = 1 âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âñåõ 0° m α m 180°. Î ï ð å ä å ë å í è å. Ò à í ã å í ñ î ì óãëà α, ãäå 0° m α m 180° è α ≠ 90°, íàçûâàþò îòíîøåíèå tg

sin , cos

òî åñòü

sin cos

Ïîñêîëüêó cos 90° = 0, òî tg α íå îïðåäåëåí äëÿ α = 90°. Î÷åâèäíî, ÷òî êàæäîìó óãëó α (0° m α m 180°) ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷êà åäèíè÷íîé ïîëóîêðóæíîñòè. Çíà÷èò, êàæäîìó óãëó α ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííîå ÷èñëî, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ çíà÷åíèåì ñèíóñà (êîñèíóñà, òàíãåíñà äëÿ α ≠ 90°). Ïîýòîìó çàâèñèìîñòü çíà÷åíèÿ ñèíóñà (êîñèíóñà, òàíãåíñà) îò âåëè÷èíû óãëà ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèîíàëüíîé. Ôóíêöèè f (α) = sin α, g (α) = cos α, h (α) = tg α, ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì ôóíêöèîíàëüíûì çàâèñèìîñòÿì, íàçûâàþò òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè óãëà α. Ç à ä à ÷ à. Äîêàæèòå, ÷òî tg (180° – α) = –tg α. Ðåøåíèå UH n A

TJO n A

DPT n A

TJO A DPT A

UH A

Ï ð è ì å ð. Íàéäèòå sin 120°, cos 120°, tg 120°. Ð å ø å í è å. Èìååì: DPT n DPT n n DPT n

TJO n TJO n n TJO n

UH n UH n n UH n £¹ÃÌ× ÈÇÄÌÇÃÉÌ¿ÆÇÊËÕ Æ¹ÀÔ»¹×Ë ¾½ÁÆÁÐÆÇÂ ¨ÇØÊÆÁË¾ » Ã¹ÃÇÅ ÊÄÌÐ¹¾ ¼Ç»ÇÉØË ÐËÇ Ì¼ÄÌ α ÊÇÇË»¾ËÊË»Ì¾Ë ËÇÐÃ¹ M ¾½ÁÆÁÐÆÇÂ ÈÇÄÌÇÃÉÌ¿ÆÇÊËÁ

ªÁÆÌÊ ÃÇÊÁÆÌÊ Á Ë¹Æ¼¾ÆÊ Ì¼Ä¹ ÇË ½Ç

°ËÇ Æ¹ÀÔ»¹×Ë ÊÁÆÌÊÇÅ Ì¼Ä¹ α ¼½¾ ° m α m ° °ËÇ Æ¹ÀÔ»¹×Ë ÃÇÊÁÆÌÊÇÅ Ì¼Ä¹ α ¼½¾ ° m α m ° °¾ÅÌ É¹»¾Æ sin ° ños ° sin ° cos ° sin ° cos ° Ã¹ÃÁÎ ÈÉ¾½¾Ä¹Î Æ¹ÎÇ½ØËÊØ ÀÆ¹Ð¾ÆÁØ sin α ¾ÊÄÁ m α m Ã¹ÃÁÎ ÈÉ¾½¾Ä¹Î Æ¹ÎÇ½ØËÊØ ÀÆ¹Ð¾ÆÁØ cos α ¾ÊÄÁ m α m £¹ÃÁÅ ÐÁÊÄÇÅ ÈÇÄÇ¿ÁË¾ÄÕÆÔÅ ÁÄÁ ÇËÉÁÏ¹Ë¾ÄÕÆÔÅ Ø»ÄØ¾ËÊØ ÊÁÆÌÊ ÇÊËÉÇ¼Ç Ì¼Ä¹ ÊÁÆÌÊ ËÌÈÇ¼Ç Ì¼Ä¹ ÃÇÊÁÆÌÊ ÇÊËÉÇ¼Ç Ì¼Ä¹ ÃÇÊÁÆÌÊ ËÌÈÇ¼Ç Ì¼Ä¹ £¹ÃÁÅ Ì¼ÄÇÅ Ø»ÄØ¾ËÊØ Ì¼ÇÄ α ¾ÊÄÁ cos α °¾ÅÌ É¹»¾Æ sin ° s α cos ° s α

£¹Ã Ê»ØÀ¹ÆÔ Å¾¿½Ì ÊÇºÇÂ ÊÁÆÌÊ Á ÃÇÊÁÆÌÊ Ç½ÆÇ¼Ç Á ËÇ¼Ç ¿¾ Ì¼Ä¹ °ËÇ Æ¹ÀÔ»¹×Ë Ë¹Æ¼¾ÆÊÇÅ Ì¼Ä¹ α ¼½¾ m α m Á α ≠ ¨ÇÐ¾ÅÌ tg α Æ¾ ÇÈÉ¾½¾Ä¾Æ ½ÄØ α £¹ÃÇ¾ ÇºÒ¾¾ Æ¹À»¹ÆÁ¾ ÁÅ¾×Ë ÍÌÆÃÏÁÁ f α = sin α g α = cos α Á h α = tg α

§¨ ¢ª ¯ ©¢¦ ¥ 1.° Íà÷åðòèòå åäèíè÷íóþ ïîëóîêðóæíîñòü, âçÿâ çà åäèíè÷íûé îòðåçîê ïÿòü êëåòî÷åê òåòðàäè. Ïîñòðîéòå óãîë, âåðøèíîé êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ íà÷àëî êîîðäèíàò, à îäíîé èç ñòîðîí — ïîëîæèòåëüíàÿ ïîëóîñü x: 1) êîñèíóñ êîòîðîãî ðàâåí 2) 3) 4) 5) 6)

êîñèíóñ êîòîðîãî ðàâåí –0,4; ñèíóñ êîòîðîãî ðàâåí 0,6; ñèíóñ êîòîðîãî ðàâåí 1; êîñèíóñ êîòîðîãî ðàâåí 0; êîñèíóñ êîòîðîãî ðàâåí –1.

«§¨ ¥ ¥ · 2.° ×åìó ðàâåí:

1) sin (180° – α), åñëè TJO A 2) cos (180° – α), åñëè cos α = 0,7;

©¾Ñ¾ÆÁ¾ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃÇ»

3) cos (180° – α), åñëè DPT A 4) tg (180° – α), åñëè tg α = –5?

3.° Óãëû α è β ñìåæíûå, DPT A 1) Íàéäèòå cos β. 2) Êàêîé èç óãëîâ α è β ÿâëÿåòñÿ îñòðûì, à êàêîé — òóïûì? ° 4. Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ: 1) 2 sin 90° + 3 cos 0°; 4) 6 tg 180° + 5 sin 180°; 2) 3 sin 0° – 5 cos 180°; 5) cos2 165° + sin2 165°; TJO n TJO n

6) 3) tg 23°•tg 0°•tg 106°; DPT n DPT n 5.° Âû÷èñëèòå: 1) 4 cos 90° + 2 cos 180°; 2) cos 0° – cos 180° + sin 90°. 6.° ×åìó ðàâåí ñèíóñ óãëà, åñëè åãî êîñèíóñ ðàâåí: 1) 1; 2) 0? 7.° ×åìó ðàâåí êîñèíóñ óãëà, åñëè åãî ñèíóñ ðàâåí: 1) 1; 2) 0? 8.° Íàéäèòå sin 135°, cos 135°, tg 135°. 9.° Íàéäèòå sin 150°, cos 150°, tg 150°. 10.° Ñóùåñòâóåò ëè óãîë α, äëÿ êîòîðîãî:

1) TJO A

3) DPT A

2) sin α = 0,3;

4) cos α = –0,99;

5) cos α = 1,001; 6) TJO A

•

11. Íàéäèòå: 1) cos α, åñëè TJO A 2) cos α, åñëè TJO A 3) cos α, åñëè TJO A

è 0° m α m 90°; è 90° m α m 180°;

4) sin α, åñëè cos α = –0,8. • 12. Íàéäèòå: 1) cos α, åñëè TJO A 2) sin α, åñëè DPT A

ªÁÆÌÊ ÃÇÊÁÆÌÊ Á Ë¹Æ¼¾ÆÊ Ì¼Ä¹ ÇË ½Ç •

13. 1) 2) 3) 4)

Âåðíî ëè óòâåðæäåíèå (îòâåò îáîñíóéòå): êîñèíóñ îñòðîãî óãëà áîëüøå êîñèíóñà òóïîãî óãëà; ñóùåñòâóåò óãîë, ñèíóñ è êîñèíóñ êîòîðîãî ðàâíû; ñóùåñòâóåò óãîë, ñèíóñ è êîñèíóñ êîòîðîãî ðàâíû íóëþ; êîñèíóñ óãëà òðåóãîëüíèêà ìîæåò áûòü ðàâíûì îòðèöàòåëüíîìó ÷èñëó; 5) ñèíóñ óãëà òðåóãîëüíèêà ìîæåò áûòü ðàâíûì îòðèöàòåëüíîìó ÷èñëó; 6) êîñèíóñ óãëà òðåóãîëüíèêà ìîæåò áûòü ðàâíûì íóëþ; 7) ñèíóñ óãëà òðåóãîëüíèêà ìîæåò áûòü ðàâíûì íóëþ; 8) êîñèíóñ óãëà òðåóãîëüíèêà ìîæåò áûòü ðàâíûì –1; 9) ñèíóñ óãëà òðåóãîëüíèêà ìîæåò áûòü ðàâíûì 1; 10) ñèíóñ óãëà, îòëè÷íîãî îò ïðÿìîãî, ìåíüøå ñèíóñà ïðÿìîãî óãëà; 11) êîñèíóñ ðàçâåðíóòîãî óãëà ìåíüøå êîñèíóñà óãëà, îòëè÷íîãî îò ðàçâåðíóòîãî; 12) ñèíóñû ñìåæíûõ óãëîâ ðàâíû; 13) êîñèíóñû íåðàâíûõ ñìåæíûõ óãëîâ ÿâëÿþòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûìè ÷èñëàìè; 14) åñëè êîñèíóñû äâóõ óãëîâ ðàâíû, òî ðàâíû è ñàìè óãëû; 15) åñëè ñèíóñû äâóõ óãëîâ ðàâíû, òî ðàâíû è ñàìè óãëû; 16) òàíãåíñ îñòðîãî óãëà áîëüøå òàíãåíñà òóïîãî óãëà? • 14. Ñðàâíèòå ñ íóëåì çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ: 1) sin 110° cos 140°; 3) sin 128° cos2 130° tg 92°; 2) sin 80° cos 100° cos 148°; 4) sin 70° cos 90° tg 104°. • 15. Â òðåóãîëüíèêå ABC èçâåñòíî, ÷òî ∠ B = 60°, òî÷êà O — öåíòð âïèñàííîé îêðóæíîñòè. ×åìó ðàâåí êîñèíóñ óãëà AOC? • 16. Òî÷êà O — öåíòð îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â òðåóãîëüíèê ABC, DPT #0$ •

Íàéäèòå óãîë A òðåóãîëüíèêà.

17. Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ: 1) 2 sin 120° + 4 cos 150° – 2 tg 135°; 2) cos 120° – 8 sin2 150° + 3 cos 90° cos 162°; 3) cos 180° (sin 135° tg 60° – cos 135°)2.

©¾Ñ¾ÆÁ¾ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃÇ» •

18. ×åìó ðàâíî çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ: 1) 2 sin 150° – 4 cos 120°; 2) sin 90° (tg 150° cos 135° – tg 120° cos 135°)2? • 19. Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ, íå ïîëüçóÿñü òàáëèöàìè è êàëüêóëÿòîðîì: 1)

TJO n TJO n

DPT n DPT n

UH n UH n

DPT n DPT n

UH n UH n

•

20. Âû÷èñëèòå: 1)

TJO n TJO n •

21. Íàéäèòå ñóììó êâàäðàòîâ ñèíóñîâ âñåõ óãëîâ ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà. • 22. Íàéäèòå ñóììó êâàäðàòîâ êîñèíóñîâ âñåõ óãëîâ ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà. «§¨ ¥ ¥ · £· §¦ ª¦¨ ¥ · 23. Âûñîòà ïàðàëëåëîãðàììà, ïðîâåäåííàÿ èç âåðøèíû òóïîãî óãëà, ðàâíà 5 ñì è äåëèò ñòîðîíó ïàðàëëåëîãðàììà ïîïîëàì. Îñòðûé óãîë ïàðàëëåëîãðàììà ðàâåí 30°. Íàéäèòå äèàãîíàëü ïàðàëëåëîãðàììà, ïðîâåäåííóþ èç âåðøèíû òóïîãî óãëà, è óãëû, êîòîðûå îíà îáðàçóåò ñî ñòîðîíàìè ïàðàëëåëîãðàììà. 24. Ïðÿìàÿ CE ïàðàëëåëüíà áîêîâîé ñòîðîíå AB òðàïåöèè ABCD è äåëèò îñíîâàíèå AD íà îòðåçêè AE è DE òàêèå, ÷òî AE = 7 ñì, DE = 10 ñì. Íàéäèòå ñðåäíþþ ëèíèþ òðàïåöèè. ¦ª¦ ¤©· ¢ «¯ ¥ ¶ ¥¦ ¦¡ ª ¤³ 25. Äâå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû 8 ñì è 11 ñì. Ìîæåò ëè óãîë, ïðîòèâîëåæàùèé ñòîðîíå äëèíîé 8 ñì, áûòü: 1) òóïûì; 2) ïðÿìûì? Îòâåò îáîñíóéòå. 26. Â òðåóãîëüíèêå ABC ïðîâåäåíà âûñîòà BD, ∠ A = 60°, ∠ C = 45°, AB = 10 ñì. Íàéäèòå ñòîðîíó BC. 27. Íàéäèòå âûñîòó BD òðåóãîëüíèêà ABC è ïðîåêöèþ ñòîðîíû AB íà ïðÿìóþ AC, åñëè ∠ BAC = 150°, AB = 12 ñì.

«¾ÇÉ¾Å¹ ÃÇÊÁÆÌÊÇ»

ª½ÆÈ½Ä¸ ÂÆÉÀÅËÉÆº Èç ïåðâîãî ïðèçíàêà ðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêîâ ñëåäóåò, ÷òî äâå ñòîðîíû è óãîë ìåæäó íèìè îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþò òðåóãîëüíèê. À çíà÷èò, ïî óêàçàííûì ýëåìåíòàì ìîæíî, íàïðèìåð, íàéòè òðåòüþ ñòîðîíó òðåóãîëüíèêà. Êàê ýòî ñäåëàòü, ïîêàçûâàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Ò å î ð å ì à 2.1 (ò å î ð å ì à ê î ñ è í ó ñ î â). Êâàäðàò ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâåí ñóììå êâàäðàòîâ äâóõ äðóãèõ ñòîðîí ìèíóñ óäâîåííîå ïðîèçâåäåíèå ýòèõ ñòîðîí è êîñèíóñà óãëà ìåæäó íèìè. B Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì òðåóãîëüíèê ABC. Äîêàæåì, íàïðèìåð, ÷òî BC2 = AB2 + AC2 – 2AB•AC•cos A. Âîçìîæíû òðè ñëó÷àÿ: 1) óãîë A — îñòðûé; C A D 2) óãîë A — òóïîé; Ðèñ. 5 3) óãîë A — ïðÿìîé. • Ðàññìîòðèì ïåðâûé ñëó÷àé. Åñëè ∠ A < 90°, òî òîãäà õîòÿ áû îäèí èç óãëîâ B è C ÿâëÿåòñÿ îñòðûì. Ïóñòü, íàïðèìåð, ∠ C < 90°. Ïðîâåäåì âûñîòó BD (ðèñ. 5). Èç œ ABD ïîëó÷àåì: BD = AB•sin A, AD = AB•cos A. Èç œ BDC ïîëó÷àåì: BC2 = BD2 + CD2 = = BD2 + (AC – AD)2 = AB2•sin2 A + (AC – AB•cos A)2 = = AB2•sin2 A + AC2 – 2AC•AB•cos A + AB2•cos2 A = = AB2•(sin2 A + cos2 A) + AC2 – 2AC•AB•cos A = = AB2 + AC2 – 2AB•AC•cos A. Åñëè ∠ C l 90°, òî ∠ B < 90°. Òîãäà íàäî ïðîâåñòè âûñîòó òðåóãîëüíèêà ABC èç âåðøèíû C. Äàëüíåéøåå äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî ðàññìîòðåííîìó. • Äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà óãîë A — òóïîé, ïðîâåäåì âûñîòó BD òðåóãîëüíèêà ABC (ðèñ. 6). Èç œ ABD ïîëó÷àåì: BD = AB × × sin ∠ BAD = AB•sin (180° – ∠ BAC) = = AB•sin ∠ BAC, AD = AB•cos ∠ BAD = = AB•cos (180° – ∠ BAC) = Ðèñ. 6 = –AB•cos ∠ BAC.

©¾Ñ¾ÆÁ¾ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃÇ»

Èç œ BDC ïîëó÷àåì: BC2 = BD2 + CD2 = BD2 + (AC + AD)2 = = AB2•sin2 ∠ BAC + (AC – AÂ•cos ∠ BAC)2 = = AB2 + AC2 – 2AB•AC•cos ∠ BAC. B • Åñëè óãîë A — ïðÿìîé (ðèñ. 7), òî cos A = 0. Äîêàçûâàåìîå ðàâåíñòâî ïðèíèìàåò âèä BC2 = AB2 + AC2 C è âûðàæàåò òåîðåìó Ïèôàãîðà äëÿ òðåA óãîëüíèêà ABC (∠ A = 90°). Ðèñ. 7 Òà ÷àñòü äîêàçàòåëüñòâà, â êîòîðîé ðàññìîòðåí ñëó÷àé, êîãäà ∠ A — ïðÿìîé, ïîêàçûâàåò, ÷òî òåîðåìà Ïèôàãîðà ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì òåîðåìû êîñèíóñîâ. Ïîýòîìó òåîðåìà êîñèíóñîâ ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì òåîðåìû Ïèôàãîðà. Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ îáîçíà÷åíèåì äëÿ ñòîðîí è óãëîâ òðåóãîëüíèêà ABC (ñì. ôîðçàö), òî, íàïðèìåð, äëÿ ñòîðîíû a ìîæíî çàïèñàòü: a2 = b2 + c2 – 2bc cos α. Ñ ïîìîùüþ òåîðåìû êîñèíóñîâ, çíàÿ òðè ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, ìîæíî îïðåäåëèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè îí îñòðîóãîëüíûì, òóïîóãîëüíûì èëè ïðÿìîóãîëüíûì. Ò å î ð å ì à 2.2 (ñ ë å ä ñ ò â è å è ç ò å î ð å ì û ê î ñ è í óñ î â). Ïóñòü a, b è c — ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ABC, ïðè÷åì a — åãî íàèáîëüøàÿ ñòîðîíà. Åñëè a2 < b2 + c2, òî òðåóãîëüíèê îñòðîóãîëüíûé. Åñëè a2 > b2 + c2, òî òðåóãîëüíèê òóïîóãîëüíûé. Åñëè a2 = b2 + c2, òî òðåóãîëüíèê ïðÿìîóãîëüíûé. Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì: a2 = b2 + c2 – 2bc cos α. Îòñþäà 2bc cos α = b2 + c2 – a2. Ïóñòü a2 < b2 + c2. Òîãäà b2 + c2 – a2 > 0. Ñëåäîâàòåëüíî, 2bc cos α > 0, òî åñòü cos α > 0. Ïîýòîìó óãîë α — îñòðûé. Ïîñêîëüêó a — íàèáîëüøàÿ ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà, òî ïðîòèâ íåå ëåæèò íàèáîëüøèé óãîë, êîòîðûé, êàê ìû äîêàçàëè, ÿâëÿåòñÿ îñòðûì. Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå òðåóãîëüíèê ÿâëÿåòñÿ îñòðîóãîëüíûì. Ïóñòü a2 > b2 + c2. Òîãäà b2 + c2 – a2 < 0, à çíà÷èò, 2bc cos α < 0, òî åñòü cos α < 0. Ñëåäîâàòåëüíî, óãîë α — òóïîé.

«¾ÇÉ¾Å¹ ÃÇÊÁÆÌÊÇ»

Ïóñòü a2 = b2 + c2. Òîãäà 2bc cos α = 0, òî åñòü cos α = 0. Îòñþäà α = 90°. Ç à ä à ÷ à. Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà êâàäðàòîâ äèàãîíàëåé ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíà ñóììå êâàäðàòîâ âñåõ åãî ñòîðîí. Ð å ø å í è å. Íà ðèñóíêå 8 èçîáðàæåí ïàðàëëåëîãðàìì ABCD. b Ïóñòü AB = CD = a, BC = AD = b, B C ∠ BAD = α, òîãäà ∠ ADC = 180° – α. a a Èç œ ABD ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ 2 2 2 (1) BD = a + b – 2ab cos α. D A b Èç œ ACD ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ 2 2 2 Ðèñ. 8 AC = a + b – 2ab cos (180° – α) èëè 2 2 2 AC = a + b + 2ab cos α. (2) Ñëîæèâ ðàâåíñòâà (1) è (2), ïîëó÷èì BD2 + AC2 = 2a2 + 2b2. Ï ð è ì å ð 1. Â òðåóãîëüíèêå ABC ñòîðîíà AB íà 4 ñì áîëüøå ñòîðîíû BC, ∠ B = 120°, AC = 14 ñì. Íàéäèòå ñòîðîíû AB è BC. Ð å ø å í è å. Ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ AC2 = AB2 + BC2 – 2AB•BC cos B. Ïóñòü BC = x ñì, x > 0, òîãäà AB = (x + 4) ñì. Èìååì: 142 = (x + 4)2 + x 2 – 2x (x + 4) cos 120°;

Y Y Y Y Y æ

196 = 2x2 + 8x + 16 + x (x + 4); 3x2 + 12x – 180 = 0; x2 + 4x – 60 = 0; x1 = 6; x2 = –10. Êîðåíü x2 = –10 íå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ x > 0. Ñëåäîâàòåëüíî, BC = 6 ñì, AB = 10 ñì. Î ò â å ò: 10 ñì, 6 ñì. Ï ð è ì å ð 2 . Íà ñòîðîíå AC òðåóãîëüíèêà ABC îòìåòèëè òî÷êó D òàê, ÷òî CD : AD = 1 : 2. Íàéäèòå îòðåçîê BD, åñëè AB = 14 ñì, BC = 13 ñì, AC = 15 ñì.

©¾Ñ¾ÆÁ¾ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃÇ»

A B

D M

D C

Ðèñ. 9

Ðèñ. 10

Ð å ø å í è å. Ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ èç œ ABC (ðèñ. 9): AB2 = AC2 + BC2 – 2AC•BC cos C, îòñþäà

DPT $

"$ #$ "# "$ æ#$

æ æ

Ïîñêîëüêó CD : AD = 1 : 2, òî $% "$ ñì. Òîãäà èç œ BCD: #% #$ $% #$æ$%æDPT $ æ æ æ

Ñëåäîâàòåëüíî, #% (ñì). Î ò â å ò: ñì. Ï ð è ì å ð 3. Äâå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû 23 ñì è 30 ñì, à ìåäèàíà, ïðîâåäåííàÿ ê áîëüøåé èç èçâåñòíûõ ñòîðîí, — 10 ñì. Íàéäèòå òðåòüþ ñòîðîíó òðåóãîëüíèêà. Ð å ø å í è å. Ïóñòü â òðåóãîëüíèêå ABC (ðèñ. 10) AC = 23 ñì, BC = 30 ñì, îòðåçîê AM — ìåäèàíà, AM = 10 ñì. Íà ïðîäîëæåíèè îòðåçêà AM çà òî÷êó M îòëîæèì îòðåçîê MD, ðàâíûé ìåäèàíå AM. Òîãäà AD = 20 ñì. Â ÷åòûðåõóãîëüíèêå ABDC äèàãîíàëè AD è BC òî÷êîé M ïåðåñå÷åíèÿ äåëÿòñÿ ïîïîëàì (BM = MC ïî óñëîâèþ, AM = MD ïî ïîñòðîåíèþ). Ñëåäîâàòåëüíî, ÷åòûðåõóãîëüíèê ABDC — ïàðàëëåëîãðàìì. Ïî ñâîéñòâó äèàãîíàëåé ïàðàëëåëîãðàììà èìååì: AD2 + BC2 = 2 (AB2 + AC2). Òîãäà 202 + 302 = 2 (AB2 + 232);

«¾ÇÉ¾Å¹ ÃÇÊÁÆÌÊÇ»

400 + 900 = 2 (AB2 + 529); AB2 = 121; AB = 11 ñì. Î ò â å ò: 11 ñì.

ªÍÇÉÅÌÄÁÉÌÂË¾ Ë¾ÇÉ¾ÅÌ ÃÇÊÁÆÌÊÇ» §ÊËÉÇÌ¼ÇÄÕÆÔÅ ÈÉØÅÇÌ¼ÇÄÕÆÔÅ ÁÄÁ ËÌÈÇÌ¼ÇÄÕÆÔÅ Ø»ÄØ¾ËÊØ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃ ÊÇ ÊËÇÉÇÆ¹ÅÁ a b Á c ¼½¾ a t ¾¼Ç Æ¹ÁºÇÄÕÑ¹Ø ÊËÇ ÉÇÆ¹ ¾ÊÄÁ a b c a b c a b c £¹Ã Ê»ØÀ¹ÆÔ Å¾¿½Ì ÊÇºÇÂ ½Á¹¼ÇÆ¹ÄÁ Á ÊËÇÉÇÆÔ È¹É¹ÄÄ¾ÄÇ¼É¹ÅÅ¹

«§¨ ¥ ¥ · 28.° Íàéäèòå íåèçâåñòíóþ ñòîðîíó òðåóãîëüíèêà ABC, åñëè: 1) AB = 5 ñì, BC = 8 ñì, ∠B = 60°; 2) AB = 3 ñì, "$ ñì, ∠A = 135°. 29.° Íàéäèòå íåèçâåñòíóþ ñòîðîíó òðåóãîëüíèêà DEF, åñëè: 1) DE = 4 ñì, %' ñì, ∠D = 30°; 2) DF = 3 ñì, EF = 5 ñì, ∠ F = 120°. 30.° Ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû 12 ñì, 20 ñì è 28 ñì. Íàéäèòå íàèáîëüøèé óãîë òðåóãîëüíèêà. 31.° Ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû ñì, 5 ñì è 7 ñì. Íàéäèòå ñðåäíèé ïî âåëè÷èíå óãîë òðåóãîëüíèêà. 32.° Óñòàíîâèòå, îñòðîóãîëüíûì, ïðÿìîóãîëüíûì èëè òóïîóãîëüíûì ÿâëÿåòñÿ òðåóãîëüíèê, ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû: 1) 5 ñì, 7 ñì è 9 ñì; 3) 10 ñì, 15 ñì è 18 ñì. 2) 5 ñì, 12 ñì è 13 ñì; 33.° Ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû 7 ñì, 8 ñì è 12 ñì. Âåðíî ëè óòâåðæäåíèå, ÷òî äàííûé òðåóãîëüíèê — îñòðîóãîëüíûé? 34.° Äîêàæèòå, ÷òî òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè 8 ñì, 15 ñì è 17 ñì ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíûì.

©¾Ñ¾ÆÁ¾ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃÇ»

35.° Ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíû ñì è 5 ñì, à îäèí èç óãëîâ ðàâåí 45°. Íàéäèòå äèàãîíàëè ïàðàëëåëîãðàììà. 36.° Â òðàïåöèè ABCD (BC C AD) èçâåñòíî, ÷òî BC = 3 ñì, AD = 10 ñì, CD = 4 ñì, ∠ D = 60°. Íàéäèòå äèàãîíàëè òðàïåöèè. 37.° Íà ñòîðîíå AB ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà ABC îòìå÷åíà òî÷êà D òàê, ÷òî AD : DB = 2 : 1. Íàéäèòå îòðåçîê ÑD, åñëè AB = 6 ñì. 38.° Íà ãèïîòåíóçå AB ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ABC îòìå÷åíà òî÷êà M òàê, ÷òî AM : BM = 1 : 3. Íàéäèòå îòðåçîê CM, åñëè AC = BC = 4 ñì. • 39. Äâå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû 3 ñì è 4 ñì, à ñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè ðàâåí

Íàéäèòå òðåòüþ ñòîðîíó òðå-

óãîëüíèêà. Ñêîëüêî ðåøåíèé èìååò çàäà÷à? • 40. Â òðåóãîëüíèêå ABC èçâåñòíî, ÷òî ∠ C = 90°, AC = = 20 ñì, BC = 15 ñì. Íà ñòîðîíå AB îòìåòèëè òî÷êó M òàê, ÷òî BM = 4 ñì. Íàéäèòå äëèíó îòðåçêà CM. • 41. Íà ïðîäîëæåíèè ãèïîòåíóçû AB ïðÿìîóãîëüíîãî ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ABC çà òî÷êó B îòìåòèëè òî÷êó D òàê, ÷òî BD = BC. Íàéäèòå îòðåçîê CD, åñëè êàòåò òðåóãîëüíèêà ABC ðàâåí a. • 42. Â òðåóãîëüíèêå ABC èçâåñòíî, ÷òî ∠ C = 90°, AB = = 13 ñì, AC = 12 ñì. Íà ïðîäîëæåíèè ãèïîòåíóçû AB çà òî÷êó B îòìåòèëè òî÷êó D òàê, ÷òî BD = 26 ñì. Íàéäèòå äëèíó îòðåçêà CD. • 43. Öåíòð îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê, íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèÿõ a è b îò êîíöîâ ãèïîòåíóçû. Íàéäèòå ãèïîòåíóçó òðåóãîëüíèêà. • 44. Òî÷êà O — öåíòð îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â òðåóãîëüíèê ABC, BC = a, AC = b, ∠ AOB = 120°. Íàéäèòå ñòîðîíó AB. • 45. Äâå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, óãîë ìåæäó êîòîðûìè ðàâåí 60°, îòíîñÿòñÿ êàê 5 : 8, à òðåòüÿ ñòîðîíà ðàâíà 21 ñì. Íàéäèòå íåèçâåñòíûå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà.

«¾ÇÉ¾Å¹ ÃÇÊÁÆÌÊÇ» •

46. Äâå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà îòíîñÿòñÿ êàê 1 : è îáðàçóþò óãîë, ðàâíûé 30°. Òðåòüÿ ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà ðàâíà ñì. Íàéäèòå íåèçâåñòíûå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà. • 47. Ñóììà äâóõ ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, îáðàçóþùèõ óãîë 120°, ðàâíà 8 ñì, à äëèíà òðåòüåé ñòîðîíû ñîñòàâëÿåò 7 ñì. Íàéäèòå íåèçâåñòíûå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà. • 48. Äâå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, óãîë ìåæäó êîòîðûìè ðàâåí 120°, îòíîñÿòñÿ êàê 5 : 3. Íàéäèòå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, åñëè åãî ïåðèìåòð ðàâåí 30 ñì. • 49. Äâå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû 16 ñì è 14 ñì, à óãîë, ïðîòèâîëåæàùèé ìåíüøåé èç èçâåñòíûõ ñòîðîí, ðàâåí 60°. Íàéäèòå íåèçâåñòíóþ ñòîðîíó òðåóãîëüíèêà. • 50. Äâå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû 15 ñì è 35 ñì, à óãîë, ïðîòèâîëåæàùèé áîëüøåé èç èçâåñòíûõ ñòîðîí, ðàâåí 120°. Íàéäèòå ïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà. • 51. Íà ñòîðîíå BC òðåóãîëüíèêà ABC îòìåòèëè òî÷êó D òàê, ÷òî CD = 14 ñì. Íàéäèòå îòðåçîê AD, åñëè AB = 37 ñì, BC = 44 ñì è AC = 15 ñì. • 52. Íà ñòîðîíå AB òðåóãîëüíèêà ABC îòìåòèëè òî÷êó K, à íà ïðîäîëæåíèè ñòîðîíû BC çà òî÷êó C — òî÷êó M. Íàéäèòå îòðåçîê MK, åñëè AB = 15 ñì, BC = 7 ñì, AC = 13 ñì, AK = 8 ñì, MC = 3 ñì. • 53. Îäíà èç ñòîðîí òðåóãîëüíèêà â 2 ðàçà áîëüøå äðóãîé, à óãîë ìåæäó ýòèìè ñòîðîíàìè ñîñòàâëÿåò 60°. Äîêàæèòå, ÷òî äàííûé òðåóãîëüíèê ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíûì. • 54. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè êâàäðàò ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâåí íåïîëíîìó êâàäðàòó ñóììû äâóõ äðóãèõ ñòîðîí, òî ïðîòèâîëåæàùèé ýòîé ñòîðîíå óãîë ðàâåí 120°. • 55. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè êâàäðàò ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâåí íåïîëíîìó êâàäðàòó ðàçíîñòè äâóõ äðóãèõ ñòîðîí, òî ïðîòèâîëåæàùèé ýòîé ñòîðîíå óãîë ðàâåí 60°. • 56. Äâå ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíû 7 ñì è 11 ñì, à îäíà èç äèàãîíàëåé — 12 ñì. Íàéäèòå âòîðóþ äèàãîíàëü ïàðàëëåëîãðàììà. • 57. Äèàãîíàëè ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíû 13 ñì è 11 ñì, à îäíà èç ñòîðîí — 9 ñì. Íàéäèòå ïåðèìåòð ïàðàëëåëîãðàììà.

©¾Ñ¾ÆÁ¾ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃÇ» •

58. Äèàãîíàëè ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíû 8 ñì è 14 ñì, à îäíà èç ñòîðîí íà 2 ñì áîëüøå äðóãîé. Íàéäèòå ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà. • 59. Ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíû 11 ñì è 23 ñì, à åãî äèàãîíàëè îòíîñÿòñÿ êàê 2 : 3. Íàéäèòå äèàãîíàëè ïàðàëëåëîãðàììà. •• 60. Â òðàïåöèè ABCD (AD C BC) èçâåñòíî, ÷òî AB = 5 ñì,

BC = 9 ñì, AD = 16 ñì, DPT " Íàéäèòå ñòîðîíó CD òðà ïåöèè. •• 61. Â òðàïåöèè ABCD (AD C BC) èçâåñòíî, ÷òî "# ñì, BC = 6 ñì, ÑD = 4 ñì, AD = 11 ñì. Íàéäèòå êîñèíóñ óãëà D òðàïåöèè. •• 62. Íàéäèòå äèàãîíàëü AC ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD, åñëè îêîëî íåãî ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü, è AB = 3 ñì, BC = 4 ñì, CD = 5 ñì, AD = 6 ñì. •• 63. Ìîæíî ëè îïèñàòü îêðóæíîñòü îêîëî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD, åñëè AB = 4 ñì, AD = 3 ñì, BD = 6 ñì è ∠ C = 30°? •• 64. Äîêàæèòå, ÷òî ïðîòèâ áîëüøåãî óãëà ïàðàëëåëîãðàììà ëåæèò áóëüøàÿ äèàãîíàëü. Ñôîðìóëèðóéòå è äîêàæèòå îáðàòíîå óòâåðæäåíèå. •• 65. Ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû 12 ñì, 15 ñì è 18 ñì. Íàéäèòå áèññåêòðèñó òðåóãîëüíèêà, ïðîâåäåííóþ èç âåðøèíû åãî íàèáîëüøåãî óãëà. •• 66. Îñíîâàíèå ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíî 5 ñì, à áîêîâàÿ ñòîðîíà — 20 ñì. Íàéäèòå áèññåêòðèñó òðåóãîëüíèêà, ïðîâåäåííóþ èç âåðøèíû óãëà ïðè åãî îñíîâàíèè. •• 67. Ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû 16 ñì, 18 ñì è 26 ñì. Íàéäèòå ìåäèàíó òðåóãîëüíèêà, ïðîâåäåííóþ ê åãî áîëüøåé ñòîðîíå. •• 68. Îñíîâàíèå ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíî ñì, à ìåäèàíà, ïðîâåäåííàÿ ê áîêîâîé ñòîðîíå, — 5 ñì. Íàéäèòå áîêîâóþ ñòîðîíó òðåóãîëüíèêà. •• 69. Äâå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû 12 ñì è 14 ñì, à ìåäèàíà, ïðîâåäåííàÿ ê òðåòüåé ñòîðîíå, — 7 ñì. Íàéäèòå íåèçâåñòíóþ ñòîðîíó òðåóãîëüíèêà. •• 70. Â òðåóãîëüíèêå ABC èçâåñòíî, ÷òî AB = BC, ∠ ABC = = 120°. Íà ïðîäîëæåíèè îòðåçêà AB çà òî÷êó B îòìåòèëè

«¾ÇÉ¾Å¹ ÃÇÊÁÆÌÊÇ»

òî÷êó D òàê, ÷òî BD = 2AB. Äîêàæèòå, ÷òî òðåóãîëüíèê ACD ðàâíîáåäðåííûé. ••

71. Äîêàæèòå, ÷òî ND

B C D ãäå a, b è c —

ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, mc — ìåäèàíà òðåóãîëüíèêà, ïðîâåäåííàÿ ê ñòîðîíå c. «§¨ ¥ ¥ · £· §¦ ª¦¨ ¥ · 72. Â îêðóæíîñòè ïðîâåäåíû äèàìåòð AC è õîðäà AB, ðàâíàÿ ðàäèóñó îêðóæíîñòè. Íàéäèòå óãëû òðåóãîëüíèêà ABC. 73. Îäèí èç óãëîâ, îáðàçîâàâøèõñÿ ïðè ïåðåñå÷åíèè áèññåêòðèñû óãëà ïàðàëëåëîãðàììà ñ åãî ñòîðîíîé, ðàâåí îäíîìó èç óãëîâ ïàðàëëåëîãðàììà. Íàéäèòå óãëû ïàðàëëåëîãðàììà. 74. Â òðåóãîëüíèê ABC âïèñàí ïàðàëëåëîãðàìì ADEF òàê, ÷òî óãîë A ó íèõ îáùèé, à òî÷êè D, E è F ïðèíàäëåæàò ñîîòâåòñòâåííî ñòîðîíàì AB, BC è AC òðåóãîëüíèêà. Íàéäèòå ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà ADEF, åñëè AB = 8 ñì, AC = 12 ñì, AD : AF = 2 : 3. ¦ª¦ ¤©· ¢ «¯ ¥ ¶ ¥¦ ¦¡ ª ¤³ 75. Íàéäèòå óãîë ADC (ðèñ. 11), åñëè ∠ ABC = 140°. 76. Íàéäèòå óãîë ABC (ðèñ. 12), åñëè ∠ ADC = 43°. D

B C

D A

B Ðèñ. 11

C Ðèñ. 12

Ðèñ. 13

77. Îòðåçîê AB — äèàìåòð îêðóæíîñòè, ðàäèóñ êîòîðîé ðàâåí R, ∠ ABC = α (ðèñ. 13). Íàéäèòå õîðäó AC. Îáíîâèòå â ïàìÿòè ñîäåðæàíèå ïóíêòà 8 íà ñ. 247.

©¾Ñ¾ÆÁ¾ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃÇ»

ª½ÆÈ½Ä¸ ÉÀÅËÉÆº Èç âòîðîãî ïðèçíàêà ðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêîâ ñëåäóåò, ÷òî ñòîðîíà è äâà ïðèëåæàùèõ ê íåé óãëà îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþò òðåóãîëüíèê. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî óêàçàííûì ýëåìåíòàì ìîæíî íàéòè äâå äðóãèå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà. Êàê ýòî ñäåëàòü, ïîäñêàçûâàåò òàêàÿ òåîðåìà. Ò å î ð å ì à 3. 1 ( ò å î ð å ì à ñ è í ó ñ î â). Ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ïðîïîðöèîíàëüíû ñèíóñàì ïðîòèâîëåæàùèõ óãëîâ. Ë å ì ì à. Õîðäà îêðóæíîñòè ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ äèàìåòðà íà ñèíóñ ëþáîãî âïèñàííîãî óãëà, îïèðàþùåãîñÿ íà ýòó õîðäó. Íà ðèÄîêàçàòåëüñòâî. ñóíêå 14 îòðåçîê MN — õîðäà P îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â òî÷êå O. Ïðîâåäåì äèàìåòð MP. Òîãäà O ∠ MNP = 90° êàê âïèñàííûé, îïèðàþùèéñÿ íà äèàìåòð. Ïóñòü âåëè÷èíà âïèñàííîãî óãëà MPN N M ðàâíà α. Òîãäà èç ïðÿìîóãîëüíîãî 180° – òðåóãîëüíèêà MPN ïîëó÷àåì (1) MN = MP sin α. Ðèñ. 14 Âñå âïèñàííûå óãëû, îïèðàþùèåñÿ íà õîðäó MN, ðàâíû α èëè 180° – α. Ñëåäîâàòåëüíî, èõ ñèíóñû ðàâíû. Ïîýòîìó ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî (1) ñïðàâåäëèâî äëÿ âñåõ âïèñàííûõ óãëîâ, îïèðàþùèõñÿ íà õîðäó MN. Òåïåðü ìû ìîæåì äîêàçàòü òåîðåìó ñèíóñîâ. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü â òðåóãîëüíèêå ABC èçâåñòíî, ÷òî AB = c, BC = a, CA = b. Äîêàæåì, ÷òî B TJO "

C TJO #

D TJO $

Ïóñòü ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ABC ðàâåí R. Òîãäà ïî ëåììå a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C. Îòñþäà

«¾ÇÉ¾Å¹ ÊÁÆÌÊÇ» B TJO "

C TJO #

D TJO $

Ñ ë å ä ñ ò â è å. Ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå 3

B TJO A

ãäå a — ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà, α — ïðîòèâîëåæàùèé åé óãîë. Ï ð è ì å ð 1. Â òðåóãîëüíèêå ABC èçâåñòíî, ÷òî ÀC = ñì, BC = 1 ñì, ∠ B = 45°. Íàéäèòå óãîë A. Ð å ø å í è å. Ïî òåîðåìå ñèíóñîâ #$ TJO "

"$ TJO #

Òîãäà èìååì: TJO "

#$ TJO # "$

æTJO n

Ïîñêîëüêó BC < AC, òî ∠ A < ∠ B. Ñëåäîâàòåëüíî, ∠ A —

îñòðûé. Îòñþäà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî TJO " ïîëó÷àåì ∠ A = 30°. Î ò â å ò: 30°. Ï ð è ì å ð 2. Â òðåóãîëüíèêå ABC èçâåñòíî, ÷òî ÀC = ñì, BC = 1 ñì, ∠ A = 30°. Íàéäèòå óãîë B. Ð å ø å í è å. Èìååì: #$ TJO "

TJO #

"$ TJO #

"$ TJO " #$

Òàê êàê BC < AC, òî ∠ A < ∠ B. Òîãäà óãîë B ìîæåò áûòü êàê îñòðûì, A B m D òàê è òóïûì. Îòñþäà ∠ B = 45° èëè Ðèñ. 15 ∠ B = 180° – 45° = 135°. Î ò â å ò: 45° èëè 135°. Ï ð è ì å ð 3. Íà ñòîðîíå AB òðåóãîëüíèêà ABC (ðèñ. 15) îòìåòèëè òî÷êó D òàê, ÷òî ∠ BDC = γ, AD = m. Íàéäèòå BD, åñëè ∠ A = α, ∠ B = β.

©¾Ñ¾ÆÁ¾ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃÇ»

Ð å ø å í è å. ∠ BDC — âíåøíèé óãîë òðåóãîëüíèêà ADC. Òîãäà ∠ ACD + ∠ A = ∠ BDC, îòñþäà ∠ ACD = γ – α. Èç œ ADC ïî òåîðåìå ñèíóñîâ: $% TJO $"%

Ñëåäîâàòåëüíî, $% Èç œ BCD:

$% TJO #$% TJO $#%

Î ò â å ò:

"% TJO "$%

"% TJO $"% TJO "$%

#% TJO #$%

N TJO A TJO G A

$% TJO $#%

N TJO A TJO n B G

TJO B TJO G A

N TJO A TJO B G

TJO B TJO G A

N TJO A TJO B G

TJO B TJO G A

Ï ð è ì å ð 4. Îòðåçîê BD — áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà ABC, ∠ B = D = 30°, ∠ C = 105°. Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåA B óãîëüíèêà ABC, åñëè ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèÐèñ. 16 êà BDC, ðàâåí ñì. Ð å ø å í è å. Ïóñòü R1 — ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà BDC (ðèñ. 16), 3 ñì. C

$#% "#$ n Èç œ BDC: ∠ BDC = 180° – (∠ CBD + ∠ C) = 180° – (15° + 105°) = 60°. Òîãäà

#$ TJO #%$

3 îòñþäà

#$ 3 TJO #%$ æ TJO n (ñì). Èç œ ABC: ∠ A = 180° – (∠ ABC + ∠ C) = 180° – (30° + 105°) = 45°. Ïóñòü R — èñêîìûé ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà ABC. #$ (ñì). Òîãäà #$ 3 îòñþäà 3 TJO "

TJO "

Î ò â å ò: 24 ñì.

TJO n

«¾ÇÉ¾Å¹ ÊÁÆÌÊÇ»

£¹Ã Æ¹ÂËÁ ÎÇÉ½Ì ÇÃÉÌ¿ÆÇÊËÁ ¾ÊÄÁ ÁÀ»¾ÊËÆÔ ½Á¹Å¾ËÉ ÇÃÉÌ¿ ÆÇÊËÁ Á »ÈÁÊ¹ÆÆÔÂ Ì¼ÇÄ ÇÈÁÉ¹×ÒÁÂÊØ Æ¹ ÖËÌ ÎÇÉ½Ì ªÍÇÉÅÌÄÁÉÌÂË¾ Ë¾ÇÉ¾ÅÌ ÊÁÆÌÊÇ» £¹Ã Æ¹ÂËÁ É¹½ÁÌÊ ÇÃÉÌ¿ÆÇÊËÁ ÇÈÁÊ¹ÆÆÇÂ ÇÃÇÄÇ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃ¹ ÊÇ ÊËÇÉÇÆÇÂ a Á ÈÉÇËÁ»ÇÄ¾¿¹ÒÁÅ ÖËÇÂ ÊËÇÉÇÆ¾ Ì¼ÄÇÅ α

«§¨ ¥ ¥ · 78.° Íàéäèòå ñòîðîíó BC òðåóãîëüíèêà ABC, èçîáðàæåííîãî íà ðèñóíêå 17 (äëèíû îòðåçêîâ äàíû â ñàíòèìåòðàõ). 79.° Íàéäèòå óãîë A òðåóãîëüíèêà ABC, èçîáðàæåííîãî íà ðèñóíêå 18 (äëèíû îòðåçêîâ äàíû â ñàíòèìåòðàõ). B

B 45°

6 2 60° A

4 2

45°

Ðèñ. 17

Ðèñ. 18

80.° Íàéäèòå ñòîðîíó AB òðåóãîëüíèêà ABC, åñëè ÀC = ñì, ∠ B = 120°, ∠ C = 45°. 81.° Â òðåóãîëüíèêå ABC èçâåñòíî, ÷òî AB = 12 ñì, BC = = 10 ñì, sinA = 0,2. Íàéäèòå ñèíóñ óãëà C òðåóãîëüíèêà. 82.° Â òðåóãîëüíèêå DEF èçâåñòíî, ÷òî DE = 16 ñì, ∠ F = = 50°, ∠ D = 38°. Íàéäèòå íåèçâåñòíûå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà. 83.° Â òðåóãîëüíèêå MKP èçâåñòíî, ÷òî KP = 8 ñì, ∠ K = = 106°, ∠ P = 32°. Íàéäèòå íåèçâåñòíûå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà. 84.° Äëÿ íàõîæäåíèÿ ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êè A äî êîëîêîëüíè B, ðàñïîëîæåííîé íà äðóãîì áåðåãó ðå÷êè (ðèñ. 19), ñ ïîìîùüþ âåõ, ðóëåòêè è ïðèÐèñ. 19

©¾Ñ¾ÆÁ¾ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃÇ»

áîðà äëÿ èçìåðåíèÿ óãëîâ (òåîäîëèòà) îòìåòèëè íà ìåñòíîñòè òî÷êó C òàêóþ, ÷òî ∠ BAC = 42°, ∠ ACB = 64°, AC = 20 ì. Êàê íàéòè ðàññòîÿíèå îò A äî B? Íàéäèòå ýòî ðàññòîÿíèå. 85.° Â òðåóãîëüíèêå ABC èçâåñòíî, ÷òî BÑ = a, ∠ A = α, ∠ C = γ. Íàéäèòå AB è AC. 86.° Äèàãîíàëü ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíà d è îáðàçóåò ñ åãî ñòîðîíàìè óãëû α è β. Íàéäèòå ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà. 87.° Íàéäèòå óãîë A òðåóãîëüíèêà ABC, åñëè: 1) AC = 2 ñì, BC = 1 ñì, ∠B = 135°; 2) "$ ñì, #$ ñì, ∠B = 45°. Ñêîëüêî ðåøåíèé â êàæäîì ñëó÷àå èìååò çàäà÷à? Îòâåò îáîñíóéòå. 88.° Ñóùåñòâóåò ëè òðåóãîëüíèê ABC òàêîé, ÷òî sin A = = 0,4, AC = 18 ñì, BC = 6 ñì? Îòâåò îáîñíóéòå. 89.° Â òðåóãîëüíèêå DEF èçâåñòíî, ÷òî DE = 8 ñì, sin F = = 0,16. Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà DEF. 90.° Ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà MKP, ðàâåí 5 ñì, sin M = 0,7. Íàéäèòå ñòîðîíó KP. • 91. Íà ïðîäîëæåíèè ñòîðîíû AB òðåóãîëüíèêà ABC çà òî÷êó B îòìåòèëè òî÷êó D. Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà ACD, åñëè ∠ ABC = 60°, ∠ ADC = 45°, à ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà ABC, ðàâåí 4 ñì. • 92. Ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà ABC, ðàâåí 6 ñì. Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà AOC, ãäå O — òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ òðåóãîëüíèêà ABC, åñëè ∠ ABC = 60°. • 93. Ïî ðèñóíêó 20 íàéäèòå AD, åñëè CD = a. • 94. Ïî ðèñóíêó 21 íàéäèòå AC, åñëè BD = m. A

Ðèñ. 20

Ðèñ. 21

«¾ÇÉ¾Å¹ ÊÁÆÌÊÇ» •

95. Íà ñòîðîíå AB òðåóãîëüíèêà ABC îòìåòèëè òî÷êó M òàê, ÷òî ∠ AMC = ϕ. Íàéäèòå îòðåçîê CM, åñëè AB = c, ∠ A = α, ∠ ACB = γ. • 96. Â òðåóãîëüíèêå ABC èçâåñòíî, ÷òî ∠ A = α, ∠ B = β. Íà ñòîðîíå BC îòìåòèëè òî÷êó D òàê, ÷òî ∠ ADB = ϕ, AD = = m. Íàéäèòå ñòîðîíó BC. • 97. Äîêàæèòå, ÷òî áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà äåëèò åãî ñòîðîíó íà îòðåçêè, äëèíû êîòîðûõ îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíû ñèíóñàì ïðèëåæàùèõ ê ýòîé ñòîðîíå óãëîâ. • 98. Äâå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû 6 ñì è 12 ñì, à âûñîòà, ïðîâåäåííàÿ ê òðåòüåé ñòîðîíå, — 4 ñì. Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî äàííîãî òðåóãîëüíèêà. • 99. Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ñ îñíîâàíèåì 16 ñì è áîêîâîé ñòîðîíîé 10 ñì. • 100. Ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà ðàâíà 24 ñì, à ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè — ñì. ×åìó ðàâåí óãîë òðåóãîëüíèêà, ïðîòèâîëåæàùèé äàííîé ñòîðîíå? • 101. Òðàññà äëÿ âåëîñèïåäèñòîâ èìååò ôîðìó òðåóãîëüíèêà, äâà óãëà êîòîðîãî ðàâíû 50° è 100°. Ìåíüøóþ ñòîðîíó ýòîãî òðåóãîëüíèêà îäèí èç âåëîñèïåäèñòîâ ïðîåçæàåò çà 1 ÷. Çà êàêîå âðåìÿ îí ïðîåäåò âñþ òðàññó? Îòâåò ïðåäñòàâüòå â ÷àñàõ ñ òî÷íîñòüþ äî äåñÿòûõ. •• 102. Â òðåóãîëüíèêå ABC èçâåñòíî, ÷òî AC = b, ∠ A = α, ∠ C = γ. Íàéäèòå áèññåêòðèñó BD òðåóãîëüíèêà. •• 103. Îñíîâàíèå ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíî a, ïðîòèâîëåæàùèé åìó óãîë ðàâåí α. Íàéäèòå áèññåêòðèñó òðåóãîëüíèêà, ïðîâåäåííóþ èç âåðøèíû óãëà ïðè îñíîâàíèè. •• 104. Äîêàæèòå, ïîëüçóÿñü òåîðåìîé ñèíóñîâ, ÷òî áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà äåëèò åãî ñòîðîíó íà îòðåçêè, äëèíû êîòîðûõ ïðîïîðöèîíàëüíû ïðèëåæàùèì ñòîðîíàì1. •• 105. Îñíîâàíèÿ ðàâíîáîêîé òðàïåöèè ðàâíû 9 ñì è 21 ñì, à âûñîòà — 8 ñì. Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðàïåöèè. 1 Íàïîìíèì, ÷òî ýòîò ôàêò ñ èñïîëüçîâàíèåì òåîðåìû î ïðîïîðöèîíàëüíûõ îòðåçêàõ áûë äîêàçàí â ó÷åáíèêå: À. Ã. Ìåðçëÿê, Â. Á. Ïîëîíñêèé, Ì. Ñ. ßêèð. «Ãåîìåòðèÿ. 8 êëàññ». — Õ.: Ãèìíàçèÿ, 2008.

©¾Ñ¾ÆÁ¾ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃÇ» ••

106. Îòðåçîê CD — áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà ABC, â êîòîðîì ∠ A = α, ∠ B = β. ×åðåç òî÷êó D ïðîâåäåíà ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ ñòîðîíå BC è ïåðåñåêàþùàÿ ñòîðîíó AC â òî÷êå E, ïðè÷åì AE = a. Íàéäèòå CE. •• 107. Ìåäèàíà AM òðåóãîëüíèêà ABC ðàâíà m è îáðàçóåò ñî ñòîðîíàìè AB è AC óãëû α è β ñîîòâåòñòâåííî. Íàéäèòå ñòîðîíû AB è AC. •• 108. Ìåäèàíà CD òðåóãîëüíèêà ABC îáðàçóåò ñî ñòîðîíàìè AC è BC óãëû α è β ñîîòâåòñòâåííî, BC = a. Íàéäèòå ìåäèàíó CD. •• 109. Âûñîòû îñòðîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ABC ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå H. Äîêàæèòå, ÷òî ðàäèóñû îêðóæíîñòåé, îïèñàííûõ îêîëî òðåóãîëüíèêîâ AHB, BHC, AHC è ABC, ðàâíû. •• 110. Äîðîãè, ñîåäèíÿþùèå ñåëà A, B è C (ðèñ. 22), îáðàçóþò òðåóãîëüíèê, ïðè÷åì äîðîãà èç ñåëà A â ñåëî C çààñôàëüòèðîâàíà, à äîðîãè èç ñåëà A â ñåëî B è èç ñåëà B â ñåëî C — ãðóíòîâûå. Äîðîãè, âåäóùèå èç ñåëà A â ñåëà B è C, îáðàçóþò óãîë â 15°, à äîðîãè, âåäóùèå èç ñåëà B â ñåëà A è C, — óãîë â 5°. Ñêîðîñòü äâèæåíèÿ àâòîìîáèëÿ ïî àñôàëüòèðîâàííîé äîðîãå â 2 ðàçà áîëüøå ñêîðîñòè åãî äâèæåíèÿ ïî ãðóíòîâîé. Êàêîé ïóòü âûáðàòü âîäèòåëþ àâòîìîáèëÿ, ÷òîáû êàê ìîæíî ñêîðåå äîáðàòüñÿ èç ñåëà A â ñåëî B?

C Ðèñ. 22 ••

111. Äîðîãè èç ñåë A è B ñõîäÿòñÿ ó ðàçâèëêè C (ðèñ. 23). Äîðîãà èç ñåëà A äî ðàçâèëêè îáðàçóåò ñ äîðîãîé â ñåëî B óãîë â 30°, à äîðîãà èç ñåëà B ñ äîðîãîé â ñåëî A — óãîë â 70°. Îäíîâðåìåííî èç ñåëà A â íàïðàâëåíèè ðàçâèë

«¾ÇÉ¾Å¹ ÊÁÆÌÊÇ»

êè âûåõàë àâòîìîáèëü ñî ñêîðîñòüþ 90 êì/÷, à èç ñåëà B — àâòîáóñ ñî ñêîðîñòüþ 60 êì/÷. Êòî èç íèõ ïåðâûì äîåäåò äî ðàçâèëêè? A

C Ðèñ. 23

«§¨ ¥ ¥ · £· §¦ ª¦¨ ¥ · 112. Áèññåêòðèñû óãëîâ B è C ïðÿìîóãîëüíèêà ABCD ïåðåñåêàþò ñòîðîíó AD â òî÷êàõ M è K ñîîòâåòñòâåííî. Äîêàæèòå, ÷òî BM = CK. 113. Íà ðèñóíêå 24 DE C AC, FK C AB. B Óêàæèòå, êàêèå òðåóãîëüíèêè íà ýòîì ðèñóíêå ïîäîáíû. F 114. Íà ñòîðîíå AB êâàäðàòà ABCD M D E îòìåòèëè òî÷êó K, à íà ñòîðîíå CD — òî÷êó M òàê, ÷òî AK : KB = 1 : 2, A C K DM : MC = 3 : 1. Íàéäèòå ñòîðîíó êâàÐèñ. 24 äðàòà, åñëè MK = 13 ñì. ¦ª¦ ¤©· ¢ «¯ ¥ ¶ ¥¦ ¦¡ ª ¤³ 115. Ðåøèòå ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê: 1) ïî äâóì êàòåòàì a = 7 ñì è b = 35 ñì; 2) ïî ãèïîòåíóçå c = 17 ñì è êàòåòó a = 8 ñì; 3) ïî ãèïîòåíóçå c = 4 ñì è îñòðîìó óãëó α = 50°; 4) ïî êàòåòó a = 8 ñì è ïðîòèâîëåæàùåìó óãëó α = 42°. Îáíîâèòå â ïàìÿòè ñîäåðæàíèå ïóíêòà 15 íà ñ. 249–250.

©¾Ñ¾ÆÁ¾ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃÇ»

¨½Ð½ÅÀ½ ÊÈ½Ë»ÆÃÔÅÀÂÆº Ðåøèòü òðåóãîëüíèê — ýòî çíà÷èò íàéòè íåèçâåñòíûå åãî ñòîðîíû è óãëû ïî èçâåñòíûì ñòîðîíàì è óãëàì. Â 8 êëàññå âû íàó÷èëèñü ðåøàòü ïðÿìîóãîëüíûå òðåóãîëüíèêè. Òåîðåìû êîñèíóñîâ è ñèíóñîâ ïîçâîëÿþò ðåøèòü ëþáîé òðåóãîëüíèê. Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòå òðåóãîëüíèê (ðèñ. 25) ïî ñòîðîíå a = 12 ñì è äâóì b a óãëàì β = 36°, γ = 119°. Ð å ø å í è å. Èìååì: α = 180° – (β + γ) = 180° – 155° = 25°. c Ïî òåîðåìå ñèíóñîâ: Ðèñ. 25

B TJO G TJO A

C TJO B B TJO B TJO A

TJO n TJO n

D TJO G

B TJO A

TJO n TJO n

B TJO A

y (ñì);

y (ñì).

Î ò â å ò: b ≈ 16,7 ñì, c ≈ 24,8 ñì; α = 25°. Çàìåòèì, ÷òî çíà÷åíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé áûëè íàéäåíû ïî òàáëèöå, ðàñïîëîæåííîé íà ñ. 268 ó÷åáíèêà. Èõ òàêæå ìîæíî áûëî íàéòè ñ ïîìîùüþ ìèêðîêàëüêóëÿòîðà. Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòå òðåóãîëüíèê (ðèñ. 25) ïî äâóì ñòîðîíàì a = 14 ñì, b = 8 ñì è óãëó γ = 38° ìåæäó íèìè. Ð å ø å í è å. Ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ: c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ = 196 + 64 – 2•14•8 cos 38° ≈ ≈ 260 – 224•0,788 = 83,488; c ≈ 9,1 ñì. Äàëåå èìååì: a2 = b2 + c2 – 2bc cos α;

DPT A

C D B CD

Íàéäåì óãîë α1 òàêîé, ÷òî cos α1 = 0,338.

©¾Ñ¾ÆÁ¾ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃÇ»

×èñëî 0,338 îòñóòñòâóåò â òàáëèöå çíà÷åíèé êîñèíóñîâ, áëèæàéøèì ê íåìó ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî 0,342. Òîãäà ïîëó÷àåì α1 ≈ 70°. Îòñþäà α = 180° – α1 ≈ 110°. β = 180° – (α + γ) ≈ 180° – 148° = 32°. Î ò â å ò: c ≈ 9,1 ñì, α ≈ 110°, β ≈ 32°. Ï ð è ì å ð 3. Ðåøèòå òðåóãîëüíèê (ðèñ. 25) ïî òðåì ñòîðîíàì a = 7 ñì, b = 2 ñì, c = 8 ñì. Ð å ø å í è å. Èìååì: a2 = b2 + c2 – 2bc cos α, îòñþäà

DPT A B TJO A

C D B CD

C TJO B

æ æ

TJO B

C TJO A B

y Òîãäà α ≈ 54°. TJO n

Ïîñêîëüêó b ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøåé ñòîðîíîé äàííîãî òðåóãîëüíèêà, òî óãîë β — îñòðûé, β ≈ 13°. Òîãäà γ = 180° – (α + β) ≈ 180° – 67° = 113°. Î ò â å ò: α ≈ 54°, β ≈ 13°, γ ≈ 113°. Ï ð è ì å ð 4. Ðåøèòå òðåóãîëüíèê (ðèñ. 25) ïî äâóì ñòîðîíàì è óãëó, ïðîòèâîëåæàùåìó îäíîé èç ñòîðîí: 1) a = = 17 ñì, b = 6 ñì, α = 156°; 2) b = 7 ñì, c = 8 ñì, β = 65°; 3) a = 6 ñì, b = 5 ñì, β = 50°. Ð å ø å í è å. 1)

B TJO A

TJO B

C TJO B

C TJO A B

TJO n

D TJO G

TJO n

Òàê êàê óãîë α äàííîãî òðåóãîëüíèêà òóïîé, òî óãîë β — îñòðûé, β ≈ 8°. Òîãäà γ = 180° – (α + β) ≈ 16°. B TJO A

B TJO G TJO A

B TJO n TJO n

y (ñì).

Î ò â å ò: β ≈ 8°, γ ≈ 16°, c ≈ 11,5 ñì. 2)

C TJO B

D TJO G

TJO G

D TJO B C

TJO n

÷òî íåâîçìîæíî. Î ò â å ò: çàäà÷à íå èìååò ðåøåíèÿ.

©¾Ñ¾ÆÁ¾ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃÇ»

B TJO A

C TJO B

TJO A

B TJO B C

TJO n

Âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ: α ≈ 67° èëè α ≈ 180° – 67° = 113°. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà α ≈ 67°: γ = 180° – (α + β) ≈ 180° – 117° = 63°; C TJO B

D TJO G

C TJO G TJO B

TJO n TJO n

y (ñì).

Ïðè α ≈ 113° ïîëó÷àåì: γ = 180° – (α + β) ≈ 180° – 163° = 17°; D

C TJO G TJO B

TJO n TJO n

y (ñì).

Î ò â å ò: α ≈ 67°, γ ≈ 63°, c ≈ 5,8 ñì èëè α ≈ 113°, γ ≈ 17°, c ≈ 1,9 ñì.

°ËÇ ÇÀÆ¹Ð¹¾Ë É¾ÑÁËÕ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃ

«§¨ ¥ ¥ · 116.° Ðåøèòå òðåóãîëüíèê ïî ñòîðîíå è äâóì óãëàì1: 1) a = 10 ñì, β = 20°, γ = 85°; 2) b = 16 ñì, α = 40°, β = 110°. 117.° Ðåøèòå òðåóãîëüíèê ïî ñòîðîíå è äâóì óãëàì: 1) b = 9 ñì, α = 35°, γ = 70°; 2) c = 14 ñì, β = 132°, γ = 24°. 118.° Ðåøèòå òðåóãîëüíèê ïî äâóì ñòîðîíàì è óãëó ìåæäó íèìè: 1) b = 18 ñì, c = 22 ñì, α = 76°; 2) a = 20 ñì, b = 15 ñì, γ = 104°. 119.° Ðåøèòå òðåóãîëüíèê ïî äâóì ñòîðîíàì è óãëó ìåæäó íèìè: 1) a = 8 ñì, c = 6 ñì, β = 15°; 2) b = 7 ñì, c = 5 ñì, α = 145°. Â çàäà÷àõ ¹¹ 116–124 ïðèíÿòû îáîçíà÷åíèÿ: a, b è c — ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, α, β è γ — óãëû, ïðîòèâîëåæàùèå ñîîòâåòñòâåííî ñòîðîíàì a, b è c. 1

©¾Ñ¾ÆÁ¾ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃÇ»

120.° Ðåøèòå òðåóãîëüíèê ïî òðåì ñòîðîíàì: 1) a = 4 ñì, b = 5 ñì, c = 7 ñì; 2) a = 26 ñì, b = 19 ñì, c = 42 ñì. 121.° Ðåøèòå òðåóãîëüíèê ïî òðåì ñòîðîíàì: 1) a = 5 ñì, b = 6 ñì, c = 8 ñì; 2) a = 21 ñì, b = 17 ñì, c = 32 ñì. 122.° Ðåøèòå òðåóãîëüíèê, â êîòîðîì: 1) a = 10 ñì, b = 3 ñì, β = 10°, óãîë α — îñòðûé; 2) a = 10 ñì, b = 3 ñì, β = 10°, óãîë α — òóïîé. • 123. Ðåøèòå òðåóãîëüíèê ïî äâóì ñòîðîíàì è óãëó, ïðîòèâîëåæàùåìó îäíîé èç äàííûõ ñòîðîí: 1) a = 7 ñì, b = 11 ñì, β = 46°; 2) b = 15 ñì, c = 17 ñì, β = 32°; 3) a = 7 ñì, c = 3 ñì, γ = 27°. • 124. Ðåøèòå òðåóãîëüíèê ïî äâóì ñòîðîíàì è óãëó, ïðîòèâîëåæàùåìó îäíîé èç äàííûõ ñòîðîí: 1) a = 23 ñì, c = 30 ñì, γ = 102°; 2) a = 18 ñì, b = 25 ñì, α = 36°. • 125. Â òðåóãîëüíèêå ABC èçâåñòíî, ÷òî AB = BC = 20 ñì, ∠ A = 70°. Íàéäèòå: 1) ñòîðîíó AC; 2) ìåäèàíó CM; 3) áèññåêòðèñó AD; 4) ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ABC. • 126. Äèàãîíàëü AC ðàâíîáîêîé òðàïåöèè ABCD (BC C C AD) ðàâíà 8 ñì, ∠ CAD = 38°, ∠ BAD = 72°. Íàéäèòå: 1) ñòîðîíû òðàïåöèè; 2) ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ABC. •• 127. Îñíîâàíèÿ òðàïåöèè ðàâíû 12 ñì è 16 ñì, à áîêîâûå ñòîðîíû — 7 ñì è 9 ñì. Íàéäèòå óãëû òðàïåöèè. «§¨ ¥ ¥ · £· §¦ ª¦¨ ¥ · 128. Áèññåêòðèñà óãëà B ïàðàëëåëîãðàììà ABCD ïåðåñåêàåò åãî ñòîðîíó AD â òî÷êå M, à ïðîäîëæåíèå ñòîðîíû CD çà òî÷êó D — â òî÷êå K. Íàéäèòå äëèíó îòðåçêà DK, åñëè AM = 8 ñì, à ïåðèìåòð ïàðàëëåëîãðàììà ðàâåí 50 ñì.

©¾Ñ¾ÆÁ¾ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃÇ»

129. Ïåðèìåòð îäíîãî èç äâóõ ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêîâ íà 18 ñì ìåíüøå ïåðèìåòðà äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, à íàèáîëüøèå ñòîðîíû ýòèõ òðåóãîëüíèêîâ ðàâíû 5 ñì è 8 ñì. Íàéäèòå ïåðèìåòðû äàííûõ òðåóãîëüíèêîâ.

¦ª¦ ¤©· ¢ «¯ ¥ ¶ ¥¦ ¦¡ ª ¤³ 130. Òî÷êà M — ñåðåäèíà ñòîðîíû CD ïðÿìîóãîëüíèêà ABCD (ðèñ. 26), AB = = 6 ñì, AD = 5 ñì. ×åìó ðàâíà ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ACM? 131. Íà ñòîðîíå AC òðåóãîëüíèêà ABC îòìåòèëè òî÷êó D òàê, ÷òî ∠ ADB = α. Äîêàæèòå, ÷òî ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ABC 4

A Ðèñ. 26

"$æ#% TJO A

Îáíîâèòå â ïàìÿòè ñîäåðæàíèå ïóíêòà 17 íà ñ. 250.

¢¦ © £ ¥³ «¨¦¢ Òðèãîíîìåòðèÿ — íàóêà îá èçìåðåíèè òðåóãîëüíèêîâ Âû çíàåòå, ÷òî äðåâíèå ïóòåøåñòâåííèêè îðèåíòèðîâàëèñü ïî çâåçäàì è ïëàíåòàì. Îíè ìîãëè äîñòàòî÷íî òî÷íî îïðåäåëèòü ïîëîæåíèå êîðàáëÿ â îêåàíå èëè êàðàâàíà â ïóñòûíå ïî ðàñïîëîæåíèþ ñâåòèë íà íåáîñêëîíå. Ïðè ýòîì îäíèì èç îðèåíòèðîâ ñëóæèëà âûñîòà íàä ãîðèçîíòîì, íà êîòîðóþ ïîäíèìàëîñü òî èëè èíîå íåáåñíîå ñâåòèëî â äàííîé ìåñòíîñòè â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè. Ïîíÿòíî, ÷òî íåïîñðåäñòâåííî èçìåðèòü ýòó âûñîòó íåâîçìîæíî. Ïîýòîìó ó÷åíûå ñòàëè ðàçðàáàòûâàòü ìåòîäû êîñâåííûõ èçìåðåíèé. Çäåñü ñóùåñòâåííóþ ðîëü èãðàëî ðåøåíèå òðåóãîëüíèêà, äâå âåðøèíû êîòîðîãî ëåæàëè íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè, à òðåòüÿ ÿâëÿëàñü çâåçäîé èëè ïëàíåòîé (ðèñ. 27) — çíàêîìàÿ âàì çàäà÷à ¹ 94.

£Ç¼½¹ Ê½¾Ä¹ÆÔ ÌÉÇÃÁ

Äëÿ ðåøåíèÿ ïîäîáíûõ çàäà÷ äðåâíèì àñòðîíîìàì íåîáõîäèìî áûëî íàó÷èòüñÿ íàõîäèòü âçàèìîñâÿçè ìåæäó h ýëåìåíòàìè òðåóãîëüíèêà. Òàê âîçíèêëà òðèãîíîìåò ðèÿ — íàóêà, èçó÷àþùàÿ çà- A B âèñèìîñòü ìåæäó ñòîðîíàìè Ðèñ. 27 è óãëàìè òðåóãîëüíèêà. Òåðìèí «òðèãîíîìåòðèÿ» (îò ãðå÷åñêèõ ñëîâ «òðèãîíîì» — òðåóãîëüíèê è «ìåòðåî» — èçìåðÿòü) îçíà÷àåò «èçìåðåíèå òðåóãîëüíèêîâ». Íà ðèñóíêå 28 èçîáðàæåí öåíòðàëüíûé óãîë AOB, ðàâíûé 2α. Èç ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà OMB èìååì: MB = OB sin α. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè â åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè èçìåðèòü ïîëîâèíû äëèí õîðä, íà êîòîðûå îïèðàþòñÿ öåíòðàëüíûå óãëû ñ âåëè÷èíàìè 2°, 4°, 6°, ..., 180°, òî òåì ñàìûì ìû âû÷èñëèì çíà÷åíèÿ ñèíóñîâ óãëîâ 1°, 2°, 3°, ..., 90° ñîîòâåòñòâåííî. Èçìåðÿÿ äëèíû ïîëóõîðä, äðåâíåãðå÷åñêèé àñòðîíîì Ãèïïàðõ (²² â. äî í. ý.) ñîñòàâèë ïåðâûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå òàáëèöû. Ïîíÿòèÿ «ñèíóñ» è «êîñèíóñ» ïîÿâëÿþòñÿ â òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ òðàêòàòàõ èíäèéñêèõ ó÷åíûõ â ²V–V ââ. Â Õ â. àðàáñêèå ó÷åíûå îïåðèðîâàëè ïîíÿòèåì «òàíãåíñ», êîòîðîå âîçíèêëî èç ïîòðåáíîñòåé ãíîìîíèêè — ó÷åíèÿ î ñîëíå÷íûõ ÷àñàõ (ðèñ. 29).

O A

Ðèñ. 28

Ðèñ. 29

©¾Ñ¾ÆÁ¾ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃÇ»

Ëåîíàðä Ýéëåð (1707–1783)

Âûäàþùèéñÿ ìàòåìàòèê, ôèçèê, ìåõàíèê, àñòðîíîì

Â Åâðîïå ïåðâûé òðàêòàò ïî òðèãîíîìåòðèè «Ïÿòü êíèã î òðåóãîëüíèêàõ âñåõ âèäîâ», àâòîðîì êîòîðîãî áûë íåìåöêèé ó÷åíûé Ðåãèîìîíòàí (1436–1476), áûë îïóáëèêîâàí â 1533 ã. Ýòîò æå ó÷åíûé îòêðûë è òåîðåìó òàíãåíñîâ: B C B C

A B C D C D A B UH UH

B G B G UH UH

D B D B

G A G A UH UH

ãäå a, b è c — ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, α, β è γ — óãëû òðåóãîëüíèêà, ïðîòèâîëåæàùèå ñîîòâåòñòâåííî ñòîðîíàì a, b è c. Ñîâðåìåííûé âèä òðèãîíîìåòðèÿ ïðèîáðåëà â ðàáîòàõ âûäàþùåãîñÿ ìàòåìàòèêà Ëåîíàðäà Ýéëåðà (1707–1783).

¬ÆÈÄËÃÓ ¼Ã× Å¸ÍÆ¾¼½ÅÀ× ÇÃÆÑ¸¼À ÊÈ½Ë»ÆÃÔÅÀÂ¸ Èç êóðñà ãåîìåòðèè 8 êëàññà âû çíàåòå, ÷òî ïëîùàäü S òðåóãîëüíèêà ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëàì

4 BIB CIC DID ãäå a, b è c — ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, ha, hb, hc — âûñîòû, ïðîâåäåííûå ê ýòèì ñòîðîíàì ñîîòâåòñòâåííî.

ÇÉÅÌÄÔ ½ÄØ Æ¹ÎÇ¿½¾ÆÁØ ÈÄÇÒ¹½Á ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃ¹

Òåïåðü ó íàñ ïîÿâèëàñü âîçìîæíîñòü ïîëó÷èòü åùå íåñêîëüêî ôîðìóë äëÿ íàõîæäåíèÿ ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà. Ò å î ð å ì à 5.1. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ åãî ñòîðîí è ñèíóñà óãëà ìåæäó íèìè. Äîêàæåì, ÷òî ïëîùàäü S òðåÄîêàçàòåëüñòâî. óãîëüíèêà ABC ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå

4 BC TJO G ãäå a è b — ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, γ — óãîë ìåæäó íèìè. Âîçìîæíû òðè ñëó÷àÿ: 1) óãîë γ — îñòðûé (ðèñ. 30); 2) óãîë γ — òóïîé (ðèñ. 31); 3) óãîë γ — ïðÿìîé. Íà ðèñóíêàõ 30 è 31 ïðîâåäåì âûñîòó BD òðåóãîëüíèêà

ABC. Òîãäà 4 #%æ "$ #%æC B

B a

Ðèñ. 30

a 180° –

Ðèñ. 31

Èç œ BDC â ïåðâîì ñëó÷àå BD = a sin γ, à âî âòîðîì BD = = a sin (180° – γ) = a sin γ. Îòñþäà äëÿ äâóõ ïåðâûõ ñëó÷àåâ

èìååì 4 BC TJO G Åñëè óãîë C — ïðÿìîé, òî sin γ = 1. Äëÿ ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ABC ñ êàòåòàìè a è b èìååì:

4 BC BC TJO n BC TJO G

©¾Ñ¾ÆÁ¾ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃÇ»

Ò å î ð å ì à 5.2 (ô î ð ì ó ë à Ã å ð î í à 1). Ïëîùàäü S òðåóãîëüíèêà ABC ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå S

p ( p a )( p b)( p c)

ãäå a, b, c — ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, p — åãî ïîëóïåðèìåòð. Èìååì:

Äîêàçàòåëüñòâî.

4 BC TJO G

Îòñþäà 4 B C TJO G Ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ. Îòñþäà DPT G

B C D BC

Òàê êàê sin2 γ = 1 – cos2 γ = (1 – cos γ) (1 + cos γ), òî èìååì:

4 B C DPT G DPT G

B C

B C æ

B C D BC

BC B C D BC

B C

B C D BC

BC B C D BC

B C

D B C D B C B C D B C D æ æ æ

B C D B B C D C B C D D B C D æ æ æ

Q B Q C Q D Q æ æ æ

Îòñþäà 4

Q Q B Q C Q D

Ã å ð î í À ë å ê ñ à í ä ð è é ñ ê è é — äðåâíåãðå÷åñêèé ó÷åíûé, æèâøèé â ² â. í. ý. 1

ÇÉÅÌÄÔ ½ÄØ Æ¹ÎÇ¿½¾ÆÁØ ÈÄÇÒ¹½Á ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃ¹

Ò å î ð å ì à 5.3. Ïëîùàäü S òðåóãîëüíèêà ABC ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå 4

BCD 3

ãäå a, b, c — ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, R — ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ABC. Äîêàçàòåëüñòâî.

Èìååì: 4 CD TJO A

Èç ëåììû ïóíêòà 3 ñëåäóåò, ÷òî TJO A

4 CD TJO A CDæ

B 3

BCD 3

B 3

Òîãäà

Çàìåòèì, ÷òî äîêàçàííàÿ òåîðåìà ïîçâîëÿåò íàõîäèòü ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ïî ôîðìóëå 3

BCD 4

Ò å î ð å ì à 5.4. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ åãî ïîëóïåðèìåòðà íà ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè. B

Íà ðèÄîêàçàòåëüñòâî. ñóíêå 32 èçîáðàæåí òðåóãîëüíèê ABC, â êîòîðûé âïèñàíà îêðóæíîñòü ðàäèóñà r. Äîêàæåì, ÷òî S = pr,

N M O A

Ðèñ. 32 ãäå S — ïëîùàäü äàííîãî òðåóãîëüíèêà, p — åãî ïîëóïåðèìåòð. Ïóñòü òî÷êà O — öåíòð âïèñàííîé îêðóæíîñòè, êîòîðàÿ êàñàåòñÿ ñòîðîí òðåóãîëüíèêà ABC â òî÷êàõ M, N è P. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ABC ðàâíà ñóììå ïëîùàäåé òðåóãîëüíèêîâ AOB, BOC, COA. Ýòî óäîáíî çàïèñàòü â òàêîé ôîðìå: S = SAOB + SBOC + SCOA. Ïðîâåäåì ðàäèóñû â òî÷êè êàñàíèÿ. Ïîëó÷àåì: OM ⊥ AB, ON ⊥ BC, OP ⊥ CA. Îòñþäà:

©¾Ñ¾ÆÁ¾ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃÇ»

4 "0# 0.æ "# S æ "# 01æ "$

S æ "$

4#0$ 0/æ#$ S æ#$ 4$0" Ñëåäîâàòåëüíî,

4 S æ "# S æ#$ S æ "$ S æ

"# #$ "$

Âûøåñêàçàííîå îáîáùàåò òàêàÿ òåîðåìà. Ò å î ð å ì à 5.5. Ïëîùàäü îïèñàííîãî ìíîãîóãîëüíèêà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ åãî ïîëóïåðèìåòðà íà ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè.

Ðèñ. 33

Äîêàæèòå ýòó òåîðåìó ñàìîñòîÿòåëüíî (ðèñ. 33). Çàìåòèì, ÷òî òåîðåìà 5.5 ïîçâîëÿåò íàõîäèòü ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè ìíîãîóãîëüíèêà ïî ôîðìóëå S

4 Q

Ç à ä à ÷ à 1. Äîêàæèòå, ÷òî ïëîùàäü S ïàðàëëåëîãðàììà ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå S = ab sin α, ãäå a è b — ñîñåäíèå ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà, α — óãîë ìåæäó B íèìè. a Ð å ø å í è å. Ðàññìîòðèì ïàðàëëåëîãðàìì ABCD, â êîòîðîì AB = a, AD = b, ∠ BAD = α (ðèñ. 34). Ïðî- A âåäåì äèàãîíàëü BD. Ïîñêîëüêó œ ABD = œ CBD, òî çàïèøåì:

b Ðèñ. 34

4 "#$% 4 "#% æ BC TJO A BC TJO A

ÇÉÅÌÄÔ ½ÄØ Æ¹ÎÇ¿½¾ÆÁØ ÈÄÇÒ¹½Á ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃ¹

Ç à ä à ÷ à 2. Äîêàæèòå, ÷òî ïëîB ùàäü âûïóêëîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ åãî äèàãîíà O ëåé è ñèíóñà óãëà ìåæäó íèìè. Ð å ø å í è å. Ïóñòü óãîë ìåæäó äèàãî- A íàëÿìè AC è BD ÷åòûðåõóãîëüíèêà Ðèñ. 35 ABCD ðàâåí ϕ. Íà ðèñóíêå 35 ∠ AOB = = ϕ. Òîãäà ∠ BOC = ∠ AOD = 180° – ϕ è ∠ COD = ϕ. Èìååì: SABCD = SAOB + SBOC + SCOD + SDOA =

0#æ0"æTJO J 0#æ0$æTJO n J 0$æ0%æTJO J 0%æ0"æ TJO n J

0# 0" 0$ æTJO J 0% 0$ 0" æTJO J

0#æ "$æ TJO J 0%æ "$æ TJO J

"$ 0# 0% æ TJO J

"$æ#%æTJO J

Ï ð è ì å ð. Ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû 17 ñì, 65 ñì è 80 ñì. Íàéäèòå íàèìåíüøóþ âûñîòó òðåóãîëüíèêà, ðàäèóñû åãî âïèñàííîé è îïèñàííîé îêðóæíîñòåé. Ð å ø å í è å. Ïóñòü a = 17 ñì, b = 65 ñì, c = 80 ñì. Ïîëóïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà Q (ñì), åãî ïëîùàäü 4

Q Q B Q C Q D æ æ æ æ (ñì2).

Íàèìåíüøåé âûñîòîé òðåóãîëüíèêà ÿâëÿåòñÿ âûñîòà h, ïðîâåäåííàÿ ê åãî íàèáîëüøåé ñòîðîíå c.

Òàê êàê 4 DI òî I 4 D

(ñì).

Ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè S

4 Q

(ñì).

©¾Ñ¾ÆÁ¾ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃÇ»

Ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè 3

BCD 4

æ æ æ

Î ò â å ò: 7,2 ñì,

ñì,

æ æ æ

(ñì).

ñì.

£¹Ã ÅÇ¿ÆÇ Æ¹ÂËÁ ÈÄÇÒ¹½Õ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃ¹ ¾ÊÄÁ ÁÀ»¾ÊËÆÔ ½»¾ ¾¼Ç ÊËÇÉÇÆÔ Á Ì¼ÇÄ Å¾¿½Ì ÆÁÅÁ ¹ÈÁÑÁË¾ ÍÇÉÅÌÄÌ ¾ÉÇÆ¹ ½ÄØ »ÔÐÁÊÄ¾ÆÁØ ÈÄÇÒ¹½Á ËÉ¾Ì¼ÇÄÕ ÆÁÃ¹ £¹Ã ÅÇ¿ÆÇ Æ¹ÂËÁ ÈÄÇÒ¹½Õ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃ¹ ¾ÊÄÁ ÁÀ»¾ÊËÆÔ ËÉÁ ¾¼Ç ÊËÇÉÇÆÔ Á É¹½ÁÌÊ ÇÈÁÊ¹ÆÆÇÂ ÇÃÉÌ¿ÆÇÊËÁ £¹Ã ÅÇ¿ÆÇ Æ¹ÂËÁ ÈÄÇÒ¹½Õ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃ¹ ¾ÊÄÁ ÁÀ»¾ÊËÆÔ ËÉÁ ¾¼Ç ÊËÇÉÇÆÔ Á É¹½ÁÌÊ »ÈÁÊ¹ÆÆÇÂ ÇÃÉÌ¿ÆÇÊËÁ £¹Ã ÅÇ¿ÆÇ Æ¹ÂËÁ É¹½ÁÌÊ ÇÈÁÊ¹ÆÆÇÂ ÇÃÉÌ¿ÆÇÊËÁ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃ¹ ¾ÊÄÁ ÁÀ»¾ÊËÆÔ ÈÄÇÒ¹½Õ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃ¹ Á ¾¼Ç ÊËÇÉÇÆÔ £¹Ã ÅÇ¿ÆÇ Æ¹ÂËÁ É¹½ÁÌÊ »ÈÁÊ¹ÆÆÇÂ ÇÃÉÌ¿ÆÇÊËÁ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃ¹ ¾ÊÄÁ ÁÀ»¾ÊËÆÔ ÈÄÇÒ¹½Õ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃ¹ Á ¾¼Ç ÊËÇÉÇÆÔ °¾ÅÌ É¹»Æ¹ ÈÄÇÒ¹½Õ ÇÈÁÊ¹ÆÆÇ¼Ç ÅÆÇ¼ÇÌ¼ÇÄÕÆÁÃ¹

«§¨ ¥ ¥ · 132.° Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ABC, åñëè: 1) AB = 12 ñì, AC = 9 ñì, ∠ A = 30°; 2) AC = 3 ñì, #$ ñì, ∠ C = 135°. 133.° Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà DEF, åñëè: 1) DE = 7 ñì, DF = 8 ñì, ∠ D = 60°; 2) DE = 10 ñì, EF = 6 ñì, ∠ E = 150°. 134.° Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà MKN ðàâíà 75 ñì2. Íàéäèòå ñòîðîíó MK, åñëè KN = 15 ñì, ∠ K = 30°. 135.° Íàéäèòå óãîë ìåæäó äàííûìè ñòîðîíàìè òðåóãîëüíèêà ABC, åñëè: 1) AB = 12 ñì, BC = 10 ñì, ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà ñì2; 2) AB = 14 ñì, AC = 8 ñì, ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà 56 ñì2.

ÇÉÅÌÄÔ ½ÄØ Æ¹ÎÇ¿½¾ÆÁØ ÈÄÇÒ¹½Á ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃ¹

136.° Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ABC ðàâíà 18 ñì2, AC = 8 ñì, BC = 9 ñì. Íàéäèòå óãîë C. 137.° Íàéäèòå ïëîùàäü ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ñ áîêîâîé ñòîðîíîé 16 ñì è óãëîì 15° ïðè îñíîâàíèè. 138.° Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè: 1) 13 ñì, 14 ñì, 15 ñì; 2) 2 ñì, 3 ñì, 4 ñì. 139.° Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè: 1) 9 ñì, 10 ñì, 17 ñì; 2) 4 ñì, 5 ñì, 7 ñì. 140.° Íàéäèòå íàèìåíüøóþ âûñîòó òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè 13 ñì, 20 ñì è 21 ñì. 141.° Íàéäèòå íàèáîëüøóþ âûñîòó òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè 11 ñì, 25 ñì è 30 ñì. 142.° Ïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà ðàâåí 32 ñì, à ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè — 1,5 ñì. Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà. 143.° Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà 84 ñì2, à åãî ïåðèìåòð — 72 ñì. Íàéäèòå ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà. 144.° Íàéäèòå ðàäèóñû âïèñàííîé è îïèñàííîé îêðóæíîñòåé òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè: 1) 5 ñì, 5 ñì è 6 ñì; 2) 25 ñì, 29 ñì è 36 ñì. 145.° Íàéäèòå ðàäèóñû âïèñàííîé è îïèñàííîé îêðóæíîñòåé òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè 6 ñì, 25 ñì è 29 ñì. 146.° Íàéäèòå ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà ïî åãî ñòîðîíàì a è b è óãëó α ìåæäó íèìè, åñëè: 1) B ñì, b = 9 ñì, α = 45°; 2) a = 10 ñì, b = 18 ñì, α = 150°. 147.° ×åìó ðàâíà ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû 7 ñì è 12 ñì, à îäèí èç óãëîâ — 120°? 148.° Íàéäèòå ïëîùàäü ðîìáà ñî ñòîðîíîé ñì è óãëîì 60°. 149.° Äèàãîíàëè âûïóêëîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ðàâíû 8 ñì è 12 ñì, à óãîë ìåæäó íèìè — 30°. Íàéäèòå ïëîùàäü ÷åòûðåõóãîëüíèêà. 150.° Íàéäèòå ïëîùàäü âûïóêëîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà, äèàãîíàëè êîòîðîãî ðàâíû ñì è 4 ñì, à óãîë ìåæäó íèìè — 60°.

©¾Ñ¾ÆÁ¾ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃÇ»

151.° Íàéäèòå áîêîâóþ ñòîðîíó ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà, ïëîùàäü êîòîðîãî ðàâíà 36 ñì2, à óãîë ïðè âåðøèíå — 30°. • 152. Êàêîé òðåóãîëüíèê ñ äâóìÿ äàííûìè ñòîðîíàìè èìååò íàèáîëüøóþ ïëîùàäü? • 153. Ìîæåò ëè ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè 4 ñì è 6 ñì áûòü ðàâíîé: 1) 6 ñì2; 2) 14 ñì2; 3) 12 ñì2? • 154. Äâå ñîñåäíèå ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû äâóì ñîñåäíèì ñòîðîíàì ïðÿìîóãîëüíèêà. ×åìó ðàâåí îñòðûé óãîë ïàðàëëåëîãðàììà, åñëè åãî ïëîùàäü â äâà ðàçà ìåíüøå ïëîùàäè ïðÿìîóãîëüíèêà? • 155. Íàéäèòå îòíîøåíèå ïëîùàäåé S1 è S2 òðåóãîëüíèêîâ, èçîáðàæåííûõ íà ðèñóíêå 36 (äëèíû îòðåçêîâ äàíû â ñàíòèìåòðàõ). 3 S1

4 à)

á) Ðèñ. 36

•

S1 1 S2

â)

156. Îòðåçîê AD — áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà ABC, ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ABD ðàâíà 12 ñì2, à òðåóãîëüíèêà ACD — 20 ñì2. Íàéäèòå îòíîøåíèå ñòîðîíû AB ê ñòîðîíå AC. • 157. Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà, ñòîðîíà êîòîðîãî ðàâíà a, à ïðèëåæàùèå ê íåé óãëû ðàâíû β è γ. • 158. Ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà, ðàâåí R, à äâà óãëà ðàâíû α è β. Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà. • 159. Â òðåóãîëüíèêå ABC èçâåñòíî, ÷òî AC = b, ∠ A = α, ∠ B = β. Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà. • 160. Â òðåóãîëüíèêå ABC óãîë A ðàâåí α, à âûñîòû BD è CE ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî h1 è h2. Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ABC. • 161. Îòðåçîê BM — âûñîòà òðåóãîëüíèêà ABC, BM = h, ∠ A = α, ∠ ABC = β. Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ABC. • 162. Â òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè 17 ñì, 25 ñì è 28 ñì âïèñàíà îêðóæíîñòü, öåíòð êîòîðîé ñîåäèíåí ñ âåðøèíàìè

ÇÉÅÌÄÔ ½ÄØ Æ¹ÎÇ¿½¾ÆÁØ ÈÄÇÒ¹½Á ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃ¹

òðåóãîëüíèêà. Íàéäèòå ïëîùàäè îáðàçîâàâøèõñÿ ïðè ýòîì òðåóãîëüíèêîâ. •• 163. Îòðåçîê AD — áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà ABC, AB = 6 ñì, AC = 8 ñì, ∠ BAC = 120°. Íàéäèòå áèññåêòðèñó AD. •• 164. Íàéäèòå ïëîùàäü òðàïåöèè, îñíîâàíèÿ êîòîðîé ðàâíû 10 ñì è 50 ñì, à áîêîâûå ñòîðîíû — 13 ñì è 37 ñì. •• 165. Îñíîâàíèÿ òðàïåöèè ðàâíû 4 ñì è 5 ñì, à äèàãîíàëè — 7 ñì è 8 ñì. Íàéäèòå ïëîùàäü òðàïåöèè. •• 166. Îòðåçêè BM è CK — âûñîòû îñòðîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ABC, ∠ A = 45°. Íàéäèòå îòíîøåíèå ïëîùàäåé òðåóãîëüíèêîâ AMK è ABC. •• 167. Ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû 39 ñì, 41 ñì è 50 ñì. Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè, öåíòð êîòîðîé ïðèíàäëåæèò áîëüøåé ñòîðîíå òðåóãîëüíèêà è êîòîðàÿ êàñàåòñÿ äâóõ äðóãèõ ñòîðîí. •• 168. Âåðøèíû òðåóãîëüíèêà ñîåäèíåíû ñ öåíòðîì âïèñàííîé â íåãî îêðóæíîñòè. Ïðîâåäåííûå îòðåçêè ðàçáèâàþò äàííûé òðåóãîëüíèê íà òðåóãîëüíèêè, ïëîùàäè êîòîðûõ ðàâíû 26 ñì2, 28 ñì2 è 30 ñì2. Íàéäèòå ñòîðîíû äàííîãî òðåóãîëüíèêà. •• 169. Äîêàæèòå, ÷òî ãäå h1, h2 è h3 — âû-

ñîòû òðåóãîëüíèêà, r — ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè. «§¨ ¥ ¥ · £· §¦ ª¦¨ ¥ · 170. Ïåðïåíäèêóëÿð, îïóùåííûé èç âåðøèíû ïðÿìîóãîëüíèêà íà åãî äèàãîíàëü, äåëèò åãî óãîë â îòíîøåíèè 4 : 5. Îïðåäåëèòå óãîë ìåæäó ýòèì ïåðïåíäèêóëÿðîì è äðóãîé äèàãîíàëüþ. 171. Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ MK òðàïåöèè ABCD (BC C AD) ðàâíà 56 ñì. ×åðåç ñåðåäèíó M ñòîðîíû AB ïðîâåäåíà ïðÿìàÿ, êîòîðàÿ ïàðàëëåëüíà ñòîðîíå CD è ïåðåñåêàåò îñíîâàíèå AD â òî÷êå E òàê, ÷òî AE : ED = 5 : 8. Íàéäèòå îñíîâàíèÿ òðàïåöèè. 172. Îòðåçîê CD — áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà ABC. ×åðåç òî÷êó D ïðîâåäåíà ïðÿìàÿ, êîòîðàÿ ïàðàëëåëüíà ïðÿìîé AC è ïåðåñåêàåò ñòîðîíó BC â òî÷êå E. Íàéäèòå DE, åñëè AC = 16 ñì, BC = 24 ñì.

©¾Ñ¾ÆÁ¾ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃÇ»

¦ª¦ ¤©· ¢ «¯ ¥ ¶ ¥¦ ¦¡ ª ¤³ 173. Íàéäèòå ñóììó óãëîâ âûïóêëîãî ñåìèóãîëüíèêà. 174. Ñóùåñòâóåò ëè âûïóêëûé ìíîãîóãîëüíèê, ñóììà óãëîâ êîòîðîãî ðàâíà: 1) 1080°; 2) 1200°? 175. Ñóùåñòâóåò ëè ìíîãîóãîëüíèê, êàæäûé óãîë êîòîðîãî ðàâåí: 1) 72°; 2) 171°? 176. Âåðíî ëè óòâåðæäåíèå (îòâåò îáîñíóéòå): 1) åñëè âñå ñòîðîíû ìíîãîóãîëüíèêà, âïèñàííîãî â îêðóæíîñòü, ðàâíû, òî è âñå åãî óãëû òàêæå ðàâíû; 2) åñëè âñå óãëû ìíîãîóãîëüíèêà, âïèñàííîãî â îêðóæíîñòü, ðàâíû, òî è âñå åãî ñòîðîíû òàêæå ðàâíû; 3) åñëè âñå ñòîðîíû ìíîãîóãîëüíèêà, îïèñàííîãî îêîëî îêðóæíîñòè, ðàâíû, òî è âñå åãî óãëû òàêæå ðàâíû; 4) åñëè âñå óãëû ìíîãîóãîëüíèêà, îïèñàííîãî îêîëî îêðóæíîñòè, ðàâíû, òî è âñå åãî ñòîðîíû òàêæå ðàâíû? ¢¦ © £ ¥³ «¨¦¢ Âíåâïèñàííàÿ îêðóæíîñòü òðåóãîëüíèêà Ïðîâåäåì áèññåêòðèñû äâóõ âíåøíèõ óãëîâ ñ âåðøèíàìè A è C B òðåóãîëüíèêà ABC (ðèñ. 37). Ïóñòü O — òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ áèññåêòðèñ. Ýòà òî÷êà ðàâíîóäàëåíà îò ïðÿìûõ AB, BC è AC. K A C Ïðîâåäåì òðè ïåðïåíäèêóëÿðà: M OM ⊥ AB, OK ⊥ AC, ON ⊥ BC. N Î÷åâèäíî, ÷òî OM = OK = ON. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò îêðóæO íîñòü ñ öåíòðîì â òî÷êå O, êîòîðàÿ êàñàåòñÿ ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà è ïðîäîëæåíèé äâóõ äðóãèõ åãî ñòîðîí. Òàêóþ îêðóæíîñòü íàçûâàþò âíåâïèñàííîé (ðèñ. 37). Ðèñ. 37

£Ç¼½¹ Ê½¾Ä¹ÆÔ ÌÉÇÃÁ

Òàê êàê OM = ON, òî òî÷êà O ïðèíàäëåæèò áèññåêòðèñå óãëà ABC. Î÷åâèäíî, ÷òî ëþáîé òðåóãîëüíèê èìååò òðè âíåâïèñàííûå îêðóæíîñòè. Íà ðèñóíêå 38 èõ öåíòðû îáîçíà÷åíû OA, OB, OC. Ðàäèóñû ýòèõ îêðóæíîñòåé îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâåííî ra, rb, rc. Ïî ñâîéñòâó êàñàòåëüíûõ, ïðîâåäåííûõ ê îêðóæíîñòè ÷åðåç îäíó òî÷êó, èìååì: CK = CN, AK = AM (ðèñ. 37). Òîãäà AC = CN + AM. Ñëåäîâàòåëüíî, ïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà ABC ðàâåí ñóììå BM + BN. Îäíàêî BM = BN. Òîãäà BM = BN = p, ãäå p — ïîëóïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà ABC. Èìååì: 4 "#$ 40"# 40$# 40"$

0.æ "# 0/æ#$ 0,æ "$

SC D B C SC æ

B C D C

SC æ

Q C

SC Q C

B OC

OA C

Ðèñ. 38

Îòñþäà SC

4 Q C

ãäå S — ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ABC.

Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî SB

4 Q B

4 Q D

©¾Ñ¾ÆÁ¾ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃÇ»

«§¨ ¥ ¥ · 1. Äîêàæèòå, ÷òî

ãäå r — ðàäèóñ âïèñàííîé

îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ABC. 2. Äîêàæèòå, ÷òî ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà S = rc•r, ãäå rc — ðàäèóñ âíåâïèñàííîé îêðóæíîñòè, êàñàþùåéñÿ ãèïîòåíóçû òðåóãîëüíèêà, r — ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè äàííîãî òðåóãîëüíèêà. 3. Â ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíîé a âïèñàíà îêðóæíîñòü. Ê îêðóæíîñòè ïðîâåäåíà êàñàòåëüíàÿ òàê, ÷òî åå îòðåçîê âíóòðè òðåóãîëüíèêà ðàâåí b. Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà, êîòîðûé ýòà êàñàòåëüíàÿ îòñåêàåò îò ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà. 4. Â ÷åòûðåõóãîëüíèêå ABCD äèàãîíàëü BD ïåðïåíäèêóëÿðíà ñòîðîíå AD, ∠ ADC = 135°, ∠ BAD = ∠ BCD = 60°. Äîêàæèòå, ÷òî äèàãîíàëü AC ÿâëÿåòñÿ áèññåêòðèñîé óãëà BAD. Óêàçàíèå. Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êà C — öåíòð âíåâïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ABD. 5. Â òðåóãîëüíèêå ABC óãîë B ðàâåí 120°. Îòðåçêè AN, CF è BK — áèññåêòðèñû òðåóãîëüíèêà ABC. Äîêàæèòå, ÷òî óãîë NKF ðàâåí 90°. Óêàçàíèå. Íà ïðîäîëæåíèè ñòîðîíû AB çà òî÷êó B îòìåòèì òî÷êó M. Òîãäà ∠ MBC = ∠ KBC = 60°, òî åñòü BC — áèññåêòðèñà âíåøíåãî óãëà MBK òðåóãîëüíèêà ABK. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî òî÷êà N — öåíòð âíåâïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ABK. Àíàëîãè÷íî ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî òî÷êà F — öåíòð âíåâïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà BCK. 6. Ñòîðîíà êâàäðàòà ABCD ðàâíà 1 ñì. Íà ñòîðîíàõ AB è BC îòìåòèëè òî÷êè M è N ñîîòâåòñòâåííî òàê, ÷òî ïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà MBN ðàâåí 2 ñì. Íàéäèòå âåëè÷èíó óãëà MDN. Óêàçàíèå. Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êà D — öåíòð âíåâïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà MBN.

¹½¹ÆÁ¾ » Ë¾ÊËÇ»ÇÂ ÍÇÉÅ¾ ¨ÉÇ»¾ÉÕ Ê¾ºØ

¥ ª ©ª¦ ¦¡ ¬¦¨¤ §¨¦ ¨´ © · 1. Êàêîå èç ðàâåíñòâ âåðíî? À) cos (180° – α) = sin α; Â) sin (180° – α) = cos α; Á) cos (180° – α) = cos α; Ã) sin (180° – α) = sin α. 2. Êàêîå èç íåðàâåíñòâ âåðíî? À) sin 100° cos 110° > 0; Â) sin 100° cos 110° < 0; Á) sin 100° cos 10° < 0; Ã) sin 100° cos 90° > 0. 3. Íàéäèòå òðåòüþ ñòîðîíó òðåóãîëüíèêà, åñëè äâå åãî ñòîðîíû ðàâíû 3 ñì è 8 ñì, à óãîë ìåæäó íèìè ðàâåí 120°. Á) 7 ñì; Â) 9 ñì; Ã) ñì. À) ñì; 4. Êàêîé âèä óãëà, ëåæàùåãî ïðîòèâ áîëüøåé ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè 4 ñì, 7 ñì è 9 ñì? À) îñòðûé; Â) ïðÿìîé; Á) òóïîé; Ã) íåâîçìîæíî óñòàíîâèòü. 5. Óãîë ìåæäó äâóìÿ ñòîðîíàìè òðåóãîëüíèêà, îäíà èç êîòîðûõ íà 10 ñì áîëüøå äðóãîé, ðàâåí 60°, à òðåòüÿ ñòîðîíà ðàâíà 14 ñì. Êàêîâà äëèíà íàèáîëüøåé ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà? À) 16 ñì; Á) 14 ñì; Â) 18 ñì; Ã) 15 ñì. 6. Äèàãîíàëè ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíû 17 ñì è 19 ñì, à åãî ñòîðîíû îòíîñÿòñÿ êàê 2 : 3. ×åìó ðàâåí ïåðèìåòð ïàðàëëåëîãðàììà? À) 25 ñì; Á) 30 ñì; Â) 40 ñì; Ã) 50 ñì. 7. Â òðåóãîëüíèêå ABC èçâåñòíî, ÷òî AB = 8 ñì, ∠ C = = 30°, ∠ A = 45°. Íàéäèòå ñòîðîíó BC. Á) ñì; Â) ñì; Ã) ñì. À) ñì; 8. Íàéäèòå îòíîøåíèå AC : BC ñòîðîí òðåóãîëüíèêà ABC, åñëè ∠ A = 120°, ∠ B = 30°. À)

Á)

Â)

Ã)

9. Â òðåóãîëüíèêå ABC "# ñì, ∠ C = 135°. Íàéäèòå äèàìåòð îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà. À) 4 ñì; Á) 8 ñì; Â) 16 ñì; Ã) 2 ñì.

©¾Ñ¾ÆÁ¾ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃÇ»

10. Êàêîå íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ìîæåò ïðèíèìàòü ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè 8 ñì è 12 ñì? À) 96 ñì2; Â) 24 ñì2; Ã) íåâîçìîæíî óñòàíîâèòü. Á) 48 ñì2; 11. Íàéäèòå ñóììó äëèí ðàäèóñîâ âïèñàííîé è îïèñàííîé îêðóæíîñòåé òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè 25 ñì, 33 ñì è 52 ñì. À) 36 ñì; Á) 30 ñì; Â) 32,5 ñì; Ã) 38,5 ñì. 12. Äâå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû 11 ñì è 23 ñì, à ìåäèàíà, ïðîâåäåííàÿ ê òðåòüåé ñòîðîíå, — 10 ñì. Íàéäèòå íåèçâåñòíóþ ñòîðîíó òðåóãîëüíèêà. À) 15 ñì; Á) 30 ñì; Â) 25 ñì; Ã) 20 ñì.

ª¦

Â ÝÒÎÌ ÏÀÐÀÃÐÀÔÅ: áûëè ââåäåíû òàêèå ïîíÿòèÿ: åäèíè÷íàÿ ïîëóîêðóæíîñòü; ñèíóñ, êîñèíóñ, òàíãåíñ óãëà îò 0° äî 180°; âû óçíàëè, ÷òî çíà÷èò ðåøèòü òðåóãîëüíèê; âû íàó÷èëèñü ðåøàòü òðåóãîëüíèêè; âû èçó÷èëè: íåêîòîðûå ñâîéñòâà òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé; òåîðåìó êîñèíóñîâ; òåîðåìó ñèíóñîâ; ôîðìóëû äëÿ íàõîæäåíèÿ ðàäèóñà îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà; ôîðìóëû äëÿ íàõîæäåíèÿ ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà; ôîðìóëó äëÿ íàõîæäåíèÿ ðàäèóñà âïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà.

¨© ¡¤µ¦´ ¥¦§ §¬ §¤µ¦¡£¡

ÖËÇÅ È¹É¹¼É¹Í¾ »Ô ÌÀÆ¹¾Ë¾ Ã¹ÃÁ¾ ÅÆÇ¼ÇÌ¼ÇÄÕÆÁÃÁ Æ¹ÀÔ»¹×Ë ÈÉ¹»ÁÄÕÆÔÅÁ ¡ÀÌÐÁË¾ Ê»ÇÂÊË»¹ ÈÉ¹»ÁÄÕÆÔÎ ÅÆÇ¼ÇÌ¼ÇÄÕÆÁÃÇ» ¦¹ÌÐÁË¾ÊÕ Ê ÈÇÅÇÒÕ× ÏÁÉÃÌÄØ Á ÄÁÆ¾ÂÃÁ ÊËÉÇÁËÕ Æ¾ÃÇËÇÉÔ¾ ÁÎ »Á½Ô ¦¹ÌÐÁË¾ÊÕ Æ¹ÎÇ½ÁËÕ É¹½ÁÌÊÔ »ÈÁÊ¹ÆÆÇÂ Á ÇÈÁÊ¹ÆÆÇÂ ÇÃÉÌ¿ ÆÇÊË¾Â ÈÉ¹»ÁÄÕÆÇ¼Ç ÅÆÇ¼ÇÌ¼ÇÄÕÆÁÃ¹ ½ÄÁÆÌ ½Ì¼Á ÇÃÉÌ¿ÆÇÊËÁ ÈÄÇÒ¹½Õ Ð¹ÊË¾Â ÃÉÌ¼¹

§È¸ºÀÃÔÅÓ½ ÄÅÆ»ÆË»ÆÃÔÅÀÂÀ À ÀÍ ÉºÆÁÉÊº¸ Î ï ð å ä å ë å í è å. Ìíîãîóãîëüíèê íàçûâàþò ï ð à â è ë üí û ì, åñëè ó íåãî âñå ñòîðîíû ðàâíû è âñå óãëû ðàâíû. Ñ íåêîòîðûìè ïðàâèëüíûìè ìíîãîóãîëüíèêàìè âû óæå çíàêîìû: ðàâíîñòîðîííèé òðå óãîëüíèê — ýòî ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê, êâàäðàò — ýòî ïðàâèëüíûé Ðèñ. 39 ÷åòûðåõóãîëüíèê. Íà ðèñóíêå 39 èçîáðàæåíû ïðàâèëüíûå ïÿòèóãîëüíèê è âîñüìèóãîëüíèê. Îçíàêîìèìñÿ ñ íåêîòîðûìè ñâîéñòâàìè, êîòîðûìè îáëàäàþò âñå ïðàâèëüíûå n-óãîëüíèêè. Ò å î ð å ì à 6.1. Ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì ìíîãîóãîëüíèêîì. Ñ äîêàçàòåëüñòâîì ýòîé òåîðåìû âû ìîæåòå îçíàêîìèòüñÿ íà ñ. 61. Êàæäûé óãîë ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà ðàâåí

n O

Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó ñóììà óãëîâ âûïóêëîãî n-óãîëüíèêà ðàâíà 180°(n – 2) è âñå îíè ðàâíû, òî êàæäûé èç íèõ ðàâåí

n O

¨É¹»ÁÄÕÆÔ¾ ÅÆÇ¼ÇÌ¼ÇÄÕÆÁÃÁ

Â ïðàâèëüíîì òðåóãîëüíèêå ñóùåñòâóåò òî÷êà, ðàâíîóäàëåííàÿ îò âñåõ åãî âåðøèí è îò âñåõ åãî ñòîðîí. Ýòî òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà. Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé êâàäðàòà òàêæå îáëàäàåò àíàëîãè÷íûì ñâîéñòâîì. Òî, ÷òî â ëþáîì ïðàâèëüíîì ìíîãîóãîëüíèêå ñóùåñòâóåò òî÷êà, ðàâíîóäàëåííàÿ îò âñåõ åãî âåðøèí è îò âñåõ åãî ñòîðîí, ïîäòâåðæäàåò òàêàÿ òåîðåìà. Ò å î ð å ì à 6.2. Ëþáîé ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî âïèñàííûì è îïèñàííûì, ïðè÷åì öåíòðû îïèñàííîé è âïèñàííîé îêðóæíîñòåé ñîâïàäàþò. A4

Íà ðèÄîêàçàòåëüñòâî. ñóíêå 40 èçîáðàæåí ïðàâèëüíûé n-óãîëüíèê A1A2A3...An. Ïðîâåäåì A3 áèññåêòðèñû óãëîâ A1 è A2. Ïóñòü O — òî÷êà èõ ïåðåñå÷åíèÿ. ÑîåäèO 3 íèì òî÷êè O è A3. Òàê êàê â òðåA2 2 An–1 óãîëüíèêàõ OA A è OA A ∠ 2 = 1 2 2 3 1 = ∠ 3, A1A2 = A2A3 è OA2 — îáùàÿ ñòîðîíà, òî ýòè òðåóãîëüíèêè ðàâA1 An íû ïî ïåðâîìó ïðèçíàêó ðàâåíñòâà Ðèñ. 40 òðåóãîëüíèêîâ. Êðîìå òîãî, óãëû 1 è 2 ðàâíû êàê ïîëîâèíû ðàâíûõ óãëîâ. Îòñþäà òðåóãîëüíèê OA1A2 — ðàâíîáåäðåííûé, ñëåäîâàòåëüíî, ðàâíîáåäðåííûì ÿâëÿåòñÿ òðåóãîëüíèê OA2A3. Ïîýòîìó OA1 = OA2 = OA3. Ñîåäèíÿÿ òî÷êó O ñ âåðøèíàìè A4, A5, ..., An – 1, An, àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî OA3 = OA4 = ... = OAn – 1 = OAn. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ìíîãîóãîëüíèêà A1A2A3...An ñóùåñòâóåò òî÷êà, ðàâíîóäàëåííàÿ îò âñåõ åãî âåðøèí. Ýòî òî÷êà O — öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè. Òàê êàê ðàâíîáåäðåííûå òðåóãîëüíèêè OA1A2, OA2A3, OA3A4, ..., OAn – 1An, OAnA1 ðàâíû, òî ðàâíû è èõ âûñîòû, ïðîâåäåííûå èç âåðøèíû O. Îòñþäà äåëàåì âûâîä: òî÷êà O ðàâíîóäàëåíà îò âñåõ ñòîðîí ìíîãîóãîëüíèêà. Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êà O — öåíòð âïèñàííîé îêðóæíîñòè. Òî÷êó, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì îïèñàííîé è âïèñàííîé îêðóæíîñòåé ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà, íàçûâàþò öåíòðîì ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà.

¨É¹»ÁÄÕÆÔ¾ ÅÆÇ¼ÇÌ¼ÇÄÕÆÁÃÁ Á ÁÎ Ê»ÇÂÊË»¹

Íà ðèñóíêå 41 èçîáðàæåí ôðàãìåíò ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà ñ öåíòðîì O è ñòîðîíîé AB, äëèíó êîòîðîé îáîçíà÷èì an. Óãîë AOB íàçûâàþò öåíòðàëüíûì óãëîì ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà. Ïîíÿòíî, ÷òî "0#

n O

B Ðèñ. 41

Â ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíè-

êå AOB ïðîâåäåì âûñîòó OM. Òîãäà "0. #0. ". .# 0#

n O

Èç œ OMB

.# n TJO O

BO n TJO O

è 0.

.# n UH O

n O

Îòðåçêè OB è OM — ðàäèóñû îïèñàííîé è âïèñàííîé îêðóæíîñòåé ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà. Åñëè èõ äëèíû îáîçíà÷èòü Rn è rn ñîîòâåòñòâåííî, òî ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ôîðìóë: BO

TJO

n O

BO UH

n O

Ïîäñòàâèâ â ýòè ôîðìóëû âìåñòî n ÷èñëà 3, 4, 6, ïîëó÷èì ôîðìóëû äëÿ íàõîæäåíèÿ ðàäèóñîâ îïèñàííîé è âïèñàííîé îêðóæíîñòåé äëÿ ïðàâèëüíûõ òðåóãîëüíèêà, ÷åòûðåõóãîëüíèêà è øåñòèóãîëüíèêà ñî ñòîðîíîé a: Êîëè÷åñòâî ñòîðîí ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà Ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè

Ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè

n=3

n=4 3

n=6 R6 = a S

¨É¹»ÁÄÕÆÔ¾ ÅÆÇ¼ÇÌ¼ÇÄÕÆÁÃÁ

Èç ñêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òî ñòîðîíà ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà ðàâíà ðàäèóñó åãî îïèñàííîé îêðóæíîñòè. Îòñþäà ïîëó÷àåì ïðîñòîé àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà: îò ïðîèçâîëüíîé òî÷êè M îêðóæíîñòè íàäî ïîñëåäîâàòåëüíî îòêëàäûâàòü õîðäû, ðàâíûå ðàäèóñó (ðèñ. 42). Òàêèì îáðàçîì ïîëó÷àåì âåðøèíû ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà. Ñîåäèíèâ ÷åðåç îäíó âåðøèíû ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà, ïîëó÷èì ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê (ðèñ. 43). Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðàâèëüíîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà äîñòàòî÷íî â îêðóæíîñòè ïðîâåñòè äâà ïåðïåíäèêóëÿðíûõ äèàìåòðà AC è BD (ðèñ. 44). Òîãäà ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD — êâàäðàò (äîêàæèòå ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî). A

C Ðèñ. 42

Ðèñ. 43

Ðèñ. 44

Åñëè óæå ïîñòðîåí ïðàâèëüíûé n-óãîëüíèê, òî ëåãêî ïîñòðîèòü ïðàâèëüíûé 2n-óãîëüíèê. Äëÿ ýòîãî íàäî íàéòè ñåðåäèíû âñåõ ñòîðîí n-óãîëüíèêà è ïðîâåñòè ðàäèóñû îïèñàííîé îêðóæíîñòè ÷åðåç ïîëó÷åííûå òî÷êè. Òîãäà êîíöû ðàäèóñîâ è âåðøèíû äàííîãî n-óãîëüíèêà áóäóò âåðøèíàìè ïðàâèëüíîãî 2n-óãîëüíèêà. Íà ðèñóíêàõ 45 è 46 ïîêàçàíî ïîñòðîåíèå ïðàâèëüíûõ 8-óãîëüíèêà è 12-óãîëüíèêà.

Ðèñ. 45

Ðèñ. 46

¨É¹»ÁÄÕÆÔ¾ ÅÆÇ¼ÇÌ¼ÇÄÕÆÁÃÁ Á ÁÎ Ê»ÇÂÊË»¹

Ï ð è ì å ð 1. Ñóùåñòâóåò ëè ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê, óãîë êîòîðîãî ðàâåí: 1) 177°; 2) 155°? Â ñëó÷àå óòâåðäèòåëüíîãî îòâåòà óêàæèòå âèä ìíîãîóãîëüíèêà. Ðåøåíèå 1) Ïóñòü n — êîëè÷åñòâî ñòîðîí èñêîìîãî ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà. Ñ îäíîé ñòîðîíû, ñóììà åãî óãëîâ ðàâíà 180° (n – 2). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ýòà ñóììà ðàâíà 177°n. Ñëåäîâàòåëüíî, 180° (n – 2) = 177°n; 180°n – 360° = 177°n; n = 120. Î ò â å ò: ñóùåñòâóåò, ýòî — ñòîäâàäöàòèóãîëüíèê. 2) Èìååì: 180° (n – 2) = 155°n; 25°n = 360°; n = 14,4, ÷òî íåâîçìîæíî, òàê êàê n äîëæíî áûòü íàòóðàëüíûì ÷èñëîì. Î ò â å ò: íå ñóùåñòâóåò. Ï ð è ì å ð 2. Â îêðóæíîñòü âïèñàí ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíîé 18 ñì. Íàéäèòå ñòîðîíó ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà, îïèñàííîãî îêîëî ýòîé îêðóæíîñòè. b a Ð å ø å í è å. Ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå 3

ãäå a — ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 47). Ñëåäîâàòåëüíî, 3

(ñì).

Ðèñ. 47

Ïî óñëîâèþ ðàäèóñ îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â ïðàâèëüíûé øåñòèóãîëüíèê, ðàâåí ðàäèóñó îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, òî åñòü S 3 ñì. Òàê êàê S

ãäå b — ñòîðîíà ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëü-

íèêà, òî C

Î ò â å ò: 12 ñì.

(ñì).

£¹ÃÇÂ ÅÆÇ¼ÇÌ¼ÇÄÕÆÁÃ Æ¹ÀÔ»¹×Ë ÈÉ¹»ÁÄÕÆÔÅ £¹ÃÇ¾ ½ÉÌ¼Ç¾ Æ¹À»¹ÆÁ¾ ÁÅ¾¾Ë ÈÉ¹»ÁÄÕÆÔÂ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃ

¨É¹»ÁÄÕÆÔ¾ ÅÆÇ¼ÇÌ¼ÇÄÕÆÁÃÁ

£¹ÃÇ¾ ½ÉÌ¼Ç¾ Æ¹À»¹ÆÁ¾ ÁÅ¾¾Ë ÈÉ¹»ÁÄÕÆÔÂ Ð¾ËÔÉ¾ÎÌ¼ÇÄÕÆÁÃ §ÃÇÄÇ Ã¹ÃÇ¼Ç ÈÉ¹»ÁÄÕÆÇ¼Ç ÅÆÇ¼ÇÌ¼ÇÄÕÆÁÃ¹ ÅÇ¿ÆÇ ÇÈÁÊ¹ËÕ ÇÃÉÌ¿ÆÇÊËÕ Ã¹ÃÇÂ ÈÉ¹»ÁÄÕÆÔÂ ÅÆÇ¼ÇÌ¼ÇÄÕÆÁÃ ÅÇ¿ÆÇ »ÈÁÊ¹ËÕ ÇÃÉÌ¿ÆÇÊËÕ £¹Ã É¹ÊÈÇÄÇ¿¾ÆÔ ½ÉÌ¼ ÇËÆÇÊÁË¾ÄÕÆÇ ½ÉÌ¼¹ Ï¾ÆËÉÔ »ÈÁÊ¹ÆÆÇÂ Á ÇÈÁÊ¹ÆÆÇÂ ÇÃÉÌ¿ÆÇÊË¾Â ÈÉ¹»ÁÄÕÆÇ¼Ç ÅÆÇ¼ÇÌ¼ÇÄÕÆÁÃ¹ °ËÇ Æ¹ÀÔ»¹×Ë Ï¾ÆËÉÇÅ ÈÉ¹»ÁÄÕÆÇ¼Ç ÅÆÇ¼ÇÌ¼ÇÄÕÆÁÃ¹ ¹ÈÁÑÁË¾ ÍÇÉÅÌÄÔ É¹½ÁÌÊÇ» »ÈÁÊ¹ÆÆÇÂ Á ÇÈÁÊ¹ÆÆÇÂ ÇÃÉÌ¿ ÆÇÊË¾Â ÈÉ¹»ÁÄÕÆÇ¼Ç O Ì¼ÇÄÕÆÁÃ¹ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃ¹ Ð¾ËÔÉ¾Î Ì¼ÇÄÕÆÁÃ¹ Ñ¾ÊËÁÌ¼ÇÄÕÆÁÃ¹ §ÈÁÑÁË¾ ÈÇÊËÉÇ¾ÆÁ¾ ÈÉ¹»ÁÄÕÆÇ¼Ç Ñ¾ÊËÁÌ¼ÇÄÕÆÁÃ¹ §ÈÁÑÁË¾ ÈÇÊËÉÇ¾ÆÁ¾ ÈÉ¹»ÁÄÕÆÇ¼Ç Ð¾ËÔÉ¾ÎÌ¼ÇÄÕÆÁÃ¹ £¹Ã ÁÅ¾Ø ÈÇÊËÉÇ¾ÆÆÔÂ ÈÉ¹»ÁÄÕÆÔÂ O Ì¼ÇÄÕÆÁÃ ÅÇ¿ÆÇ ÈÇ ÊËÉÇÁËÕ ÈÉ¹»ÁÄÕÆÔÂ O Ì¼ÇÄÕÆÁÃ

§¨ ¢ª ¯ ©¢ ¥ · 177.° Íà÷åðòèòå îêðóæíîñòü, ðàäèóñ êîòîðîé ðàâåí 3 ñì. Ïîñòðîéòå âïèñàííûé â ýòó îêðóæíîñòü: 1) ïðàâèëüíûé øåñòèóãîëüíèê; 2) ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê; 3) ïðàâèëüíûé äâåíàäöàòèóãîëüíèê. 178.° Íà÷åðòèòå îêðóæíîñòü, ðàäèóñ êîòîðîé ðàâåí 2,5 ñì. Ïîñòðîéòå âïèñàííûé â ýòó îêðóæíîñòü: 1) ïðàâèëüíûé ÷åòûðåõóãîëüíèê; 2) ïðàâèëüíûé âîñüìèóãîëüíèê. «§¨ ¥ ¥ · 179.° Íàéäèòå óãëû ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà, åñëè: 1) n = 6; 2) n = 9; 3) n = 15. 180.° Íàéäèòå óãëû ïðàâèëüíîãî: 1) âîñüìèóãîëüíèêà; 2) äåñÿòèóãîëüíèêà; 3) äâàäöàòè÷åòûðåõóãîëüíèêà. 181.° Ñêîëüêî ñòîðîí èìååò ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê, óãîë êîòîðîãî ðàâåí: 1) 60°; 2) 160°; 3) 171°? 182.° Ñêîëüêî ñòîðîí èìååò ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê, óãîë êîòîðîãî ðàâåí: 1) 90°; 2) 108°; 3) 175°? 183.° Ñóùåñòâóåò ëè ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê, óãîë êîòîðîãî ðàâåí: 1) 140°; 2) 150°?

¨É¹»ÁÄÕÆÔ¾ ÅÆÇ¼ÇÌ¼ÇÄÕÆÁÃÁ Á ÁÎ Ê»ÇÂÊË»¹

184.° Ñêîëüêî ñòîðîí èìååò ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê, åñëè óãîë, ñìåæíûé ñ óãëîì ìíîãîóãîëüíèêà, ñîñòàâëÿåò

óãëà ìíîãîóãîëüíèêà? 185.° Îïðåäåëèòå êîëè÷åñòâî ñòîðîí ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà, åñëè åãî óãîë íà 168° áîëüøå ñìåæíîãî ñ íèì óãëà. 186.° Ñêîëüêî ñòîðîí èìååò ïðàâèëüíûé âïèñàííûé ìíîãîóãîëüíèê, åñëè ãðàäóñíàÿ ìåðà äóãè îïèñàííîé îêðóæíîñòè, êîòîðóþ ñòÿãèâàåò ñòîðîíà ìíîãîóãîëüíèêà, ðàâíà: 1) 90°; 2) 45°; 3) 24°? 187.° Íàéäèòå êîëè÷åñòâî ñòîðîí ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà, öåíòðàëüíûé óãîë êîòîðîãî ðàâåí: 1) 120°; 2) 60°; 3) 72°. 188.° Ïóñòü a3 — ñòîðîíà ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, R è r — ñîîòâåòñòâåííî ðàäèóñû îïèñàííîé è âïèñàííîé åãî îêðóæíîñòåé. Çàïîëíèòå òàáëèöó (ðàçìåðû äàíû â ñàíòèìåòðàõ): a3

2 189.° Ïóñòü a4 — ñòîðîíà êâàäðàòà, R è r — ñîîòâåòñòâåííî ðàäèóñû îïèñàííîé è âïèñàííîé åãî îêðóæíîñòåé. Çàïîëíèòå òàáëèöó (ðàçìåðû äàíû â ñàíòèìåòðàõ): a4

8 4

¨É¹»ÁÄÕÆÔ¾ ÅÆÇ¼ÇÌ¼ÇÄÕÆÁÃÁ

190.° Âûñîòà ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà 15 ñì. ×åìó ðàâåí ðàäèóñ: 1) îïèñàííîé îêðóæíîñòè; 2) âïèñàííîé îêðóæíîñòè? 191.° Äèàãîíàëü êâàäðàòà ðàâíà ñì. ×åìó ðàâåí ðàäèóñ: 1) îïèñàííîé îêðóæíîñòè; 2) âïèñàííîé îêðóæíîñòè? 192.° Ðàäèóñ îêðóæíîñòè ðàâåí 12 ñì. Íàéäèòå ñòîðîíó âïèñàííîãî â ýòó îêðóæíîñòü ïðàâèëüíîãî: 1) øåñòèóãîëüíèêà; 2) äâåíàäöàòèóãîëüíèêà. 193.° Ðàäèóñ îêðóæíîñòè ðàâåí ñì. Íàéäèòå ñòîðîíó îïèñàííîãî îêîëî ýòîé îêðóæíîñòè ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà. 194.° Äîêàæèòå, ÷òî ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, â äâà ðàçà áîëüøå ðàäèóñà îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â ýòîò òðåóãîëüíèê. 195.° Ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, íà 4 ñì áîëüøå ðàäèóñà âïèñàííîé îêðóæíîñòè. Íàéäèòå ðàäèóñû âïèñàííîé è îïèñàííîé îêðóæíîñòåé è ñòîðîíó òðåóãîëüíèêà. 196.° Ñòîðîíà ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà ðàâíà a, ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè ðàâåí R. Íàéäèòå ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè. 197.° Ðàäèóñû âïèñàííîé è îïèñàííîé îêðóæíîñòåé ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî r è R. Íàéäèòå ñòîðîíó ìíîãîóãîëüíèêà. 198.° Ñòîðîíà ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà ðàâíà a, ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè ðàâåí r. Íàéäèòå ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè. 199.° Îêîëî îêðóæíîñòè îïèñàí ïðàâèëüíûé øåñòèóãîëüíèê ñî ñòîðîíîé ñì. Íàéäèòå ñòîðîíó êâàäðàòà, âïèñàííîãî â ýòó îêðóæíîñòü. 200.° Â îêðóæíîñòü âïèñàí êâàäðàò ñî ñòîðîíîé ñì. Íàéäèòå ñòîðîíó ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, îïèñàííîãî îêîëî ýòîé îêðóæíîñòè. 201.° Äèàìåòð êðóãà ðàâåí 16 ñì. Ìîæíî ëè èç íåãî âûðåçàòü êâàäðàò ñî ñòîðîíîé 12 ñì? 202.° Êàêèì äîëæåí áûòü íàèìåíüøèé äèàìåòð êðóãëîãî áðåâíà, ÷òîáû èç íåãî ìîæíî áûëî èçãîòîâèòü áðóñ, ïîïåðå÷

¨É¹»ÁÄÕÆÔ¾ ÅÆÇ¼ÇÌ¼ÇÄÕÆÁÃÁ Á ÁÎ Ê»ÇÂÊË»¹

íûì ñå÷åíèåì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíîé 15 ñì? 203.° Êàêèì äîëæåí áûòü íàèìåíüøèé äèàìåòð êðóãëîãî áðåâíà, ÷òîáû èç íåãî ìîæíî áûëî èçãîòîâèòü áðóñ, ïîïåðå÷íûì ñå÷åíèåì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ êâàäðàò ñî ñòîðîíîé 14 ñì? • 204. Ñêîëüêî ñòîðîí èìååò ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê, óãîë êîòîðîãî íà 36° áîëüøå åãî öåíòðàëüíîãî óãëà? • 205. Óãîë ìåæäó ðàäèóñàìè âïèñàííîé îêðóæíîñòè ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà, ïðîâåäåííûìè â òî÷êè êàñàíèÿ ýòîé îêðóæíîñòè ñ ñîñåäíèìè ñòîðîíàìè ìíîãîóãîëüíèêà, ðàâåí 20°. Íàéäèòå êîëè÷åñòâî ñòîðîí ìíîãîóãîëüíèêà. • 206. Äîêàæèòå, ÷òî âñå äèàãîíàëè ïðàâèëüíîãî ïÿòèóãîëüíèêà ðàâíû. • 207. Äîêàæèòå, ÷òî êàæäàÿ äèàãîíàëü ïðàâèëüíîãî ïÿòèóãîëüíèêà ïàðàëëåëüíà îäíîé èç åãî ñòîðîí. • 208. Îáùàÿ õîðäà äâóõ ïåðåñåêàþùèõñÿ îêðóæíîñòåé ÿâëÿåòñÿ ñòîðîíîé ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, âïèñàííîãî â îäíó îêðóæíîñòü, è ñòîðîíîé êâàäðàòà, âïèñàííîãî â äðóãóþ îêðóæíîñòü. Äëèíà ýòîé õîðäû ðàâíà a. Íàéäèòå ðàññòîÿíèå ìåæäó öåíòðàìè îêðóæíîñòåé, åñëè îíè ëåæàò: 1) ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò õîðäû; 2) ïî îäíó ñòîðîíó îò õîðäû. • 209. Îáùàÿ õîðäà äâóõ ïåðåñåêàþùèõñÿ îêðóæíîñòåé ÿâëÿåòñÿ ñòîðîíîé ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, âïèñàííîãî â îäíó îêðóæíîñòü, è ñòîðîíîé ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà, âïèñàííîãî â äðóãóþ îêðóæíîñòü. Äëèíà ýòîé õîðäû ðàâíà a. Íàéäèòå ðàññòîÿíèå ìåæäó öåíòðàìè îêðóæíîñòåé, åñëè îíè ëåæàò: 1) ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò õîðäû; 2) ïî îäíó ñòîðîíó îò õîðäû. • 210. Â îêðóæíîñòü âïèñàí è îêîëî íåå îïèñàí ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê. Íàéäèòå îòíîøåíèå ñòîðîí ýòèõ òðåóãîëüíèêîâ. • 211. Â îêðóæíîñòü âïèñàí è îêîëî íåå îïèñàí ïðàâèëüíûé øåñòèóãîëüíèê. Íàéäèòå îòíîøåíèå ñòîðîí ýòèõ øåñòèóãîëüíèêîâ. • 212. Äîêàæèòå, ÷òî ñòîðîíà ïðàâèëüíîãî âîñüìèóãîëüíèêà ðàâíà 3 ãäå R — ðàäèóñ åãî îïèñàííîé îêðóæíîñòè.

¨É¹»ÁÄÕÆÔ¾ ÅÆÇ¼ÇÌ¼ÇÄÕÆÁÃÁ •

213. Äîêàæèòå, ÷òî ñòîðîíà ïðàâèëüíîãî äâåíàäöàòèóãîëüíèêà ðàâíà 3 ãäå R — ðàäèóñ åãî îïèñàííîé îêðóæíîñòè. • 214. Êàêîé ðàçìåð ïðîåìà äîëæåí áûòü ó êëþ÷à äëÿ øåñòèãðàííîé ãàéêè, îñíîâàíèÿ êîòîðîé èìåþò ôîðìó ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà (ðèñ. 48), åñëè øèðèíà ãðàíè ãàéêè ðàâíà 25 ìì, à çàçîð ìåæäó ãðàíÿìè ãàéêè è êëþ÷à — 0,5 ìì? 25

0,5

Ðèñ. 48 •

215. Íàéäèòå ïëîùàäü ïðàâèëüíîãî âîñüìèóãîëüíèêà, åñëè ðàäèóñ îïèñàííîé îêîëî íåãî îêðóæíîñòè ðàâåí R. • 216. Íàéäèòå äèàãîíàëè è ïëîùàäü ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà, ñòîðîíà êîòîðîãî ðàâíà a. •• 217. Óãëû êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé 6 ñì ñðåçàëè òàê, ÷òî ïîëó÷èëè ïðàâèëüíûé âîñüìèóãîëüíèê. Íàéäèòå ñòîðîíó ïîëó÷åííîãî âîñüìèóãîëüíèêà. •• 218. Óãëû ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíîé 24 ñì ñðåçàëè òàê, ÷òî ïîëó÷èëè ïðàâèëüíûé øåñòèóãîëüíèê. Íàéäèòå ñòîðîíó ïîëó÷åííîãî øåñòèóãîëüíèêà. •• 219. Íàéäèòå äèàãîíàëè ïðàâèëüíîãî âîñüìèóãîëüíèêà, ñòîðîíà êîòîðîãî ðàâíà a. •• 220. Â ïðàâèëüíîì äâåíàäöàòèóãîëüíèêå, äëèíà ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíà a, ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíèëè ñåðåäèíû øåñòè ñòîðîí, âçÿòûõ ÷åðåç îäíó. Íàéäèòå ñòîðîíó îáðàçîâàâøåãîñÿ ïðè ýòîì ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà. •• 221. Â ïðàâèëüíîì âîñüìèóãîëüíèêå, äëèíà ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíà a, ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíèëè ñåðåäèíû ÷åòûðåõ ñòîðîí, âçÿòûõ ÷åðåç îäíó. Íàéäèòå ñòîðîíó îáðàçîâàâøåãîñÿ ïðè ýòîì êâàäðàòà.

£Ç¼½¹ Ê½¾Ä¹ÆÔ ÌÉÇÃÁ

222.* Ôîðìó êàêèõ ðàâíûõ ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ ìîãóò èìåòü äîùå÷êè ïàðêåòà, ÷òîáû èìè ìîæíî áûëî âûñòëàòü ïîë? 223.* Íàðèñîâàí ïðàâèëüíûé øåñòèóãîëüíèê, äëèíà ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíà 1. Ïîëüçóÿñü òîëüêî ëèíåéêîé, ïîñòðîéòå îòðåçîê äëèíîé «§¨ ¥ ¥ · £· §¦ ª¦¨ ¥ · 224. Îêðóæíîñòü ðàçäåëåíà íà 5 ðàâíûõ äóã: ∪ AB = ∪ BC = = ∪ CD = ∪ DE = ∪ AE. Íàéäèòå: 1) ∠ BAC; 2) ∠ BAD; 3) ∠ BAE; 4) ∠ CAD; 5) ∠ DAE. 225. Íà îäíîé ñòîðîíå óãëà ñ âåðøèíîé â òî÷êå A îòìåòèëè òî÷êè B è C (òî÷êà B ëåæèò ìåæäó òî÷êàìè A è C), à íà äðóãîé — òî÷êè D è E (òî÷êà D ëåæèò ìåæäó òî÷êàìè A è E), ïðè÷åì AB = 28 ñì, BC = 8 ñì, AD = 24 ñì, AE = = 42 ñì, BE = 21 ñì. Íàéäèòå CD. 226. Îñíîâàíèå ðàâíîáåäðåííîãî òóïîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíî 24 ñì, à ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî íåãî, — 13 ñì. Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà. 227. ×åðåç òî÷êó A ê îêðóæíîñòè ïðîâåäåíû äâå êàñàòåëüíûå. Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè A äî òî÷êè êàñàíèÿ ðàâíî 12 ñì, à ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè êàñàíèÿ — 14,4 ñì. Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè. ¢¦ © £ ¥³ «¨¦¢ Î ïîñòðîåíèè ïðàâèëüíûõ n-óãîëüíèêîâ Äîêàæåì, ÷òî ëþáîé ïðàâèëüíûé n-óãîëüíèê ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì ìíîãîóãîëüíèêîì. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî â ëþáîì ìíîãîóãîëüíèêå åñòü õîòÿ áû îäèí óãîë, ìåíüøèé 180°. Òîãäà èç òîãî, ÷òî â ïðàâèëüíîì n-óãîëüíèêå âñå óãëû ðàâíû, áóäåò ñëåäîâàòü, ÷òî êàæäûé èç íèõ ìåíüøå 180°, òî åñòü ìíîãîóãîëüíèê áóäåò âûïóêëûì. b Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé ìíîãîóãîëüíèê è ïðÿA ìóþ a, íå èìåþùóþ ñ íèì îáùèõ òî÷åê (ñì. ðèñóíîê). Èç êàæäîé âåðøèíû ìíîãîóãîëüíèêà a îïóñòèì ïåðïåíäèêóëÿð íà ïðÿìóþ a.

¨É¹»ÁÄÕÆÔ¾ ÅÆÇ¼ÇÌ¼ÇÄÕÆÁÃÁ

Ñðàâíèâ äëèíû ýòèõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ, ìû ñìîæåì âûáðàòü âåðøèíó ìíîãîóãîëüíèêà, íàèìåíåå óäàëåííóþ îò ïðÿìîé a (åñëè òàêèõ âåðøèí íåñêîëüêî, òî âûáåðåì ëþáóþ èç íèõ). Ïóñòü ýòèì ñâîéñòâîì îáëàäàåò âåðøèíà À. ×åðåç òî÷êó A ïðîâåäåì ïðÿìóþ b, ïàðàëëåëüíóþ ïðÿìîé a. Òîãäà óãîë A ìíîãîóãîëüíèêà ëåæèò â îäíîé ïîëóïëîñêîñòè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé b. Ñëåäîâàòåëüíî, ∠ A < 180°. Âû óìååòå ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè ñòðîèòü ïðàâèëüíûé 4-óãîëüíèê, à çíà÷èò, è 8-óãîëüíèê, 16-óãîëüíèê, 32-óãîëüíèê, òî åñòü ëþáîé 2n-óãîëüíèê (n — íàòóðàëüíîå, n > 1). Óìåíèå ñòðîèòü ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê äàåò âîçìîæíîñòü ïîñòðîèòü ñëåäóþùóþ öåïî÷êó èç ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ: 6-óãîëüíèê, 12-óãîëüíèê, 24-óãîëüíèê è ò. ä., òî åñòü ëþáîé 3•2n-óãîëüíèê (n — íàòóðàëüíîå). Çàäà÷ó ïîñòðîåíèÿ ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè èçó÷àëè åùå äðåâíåãðå÷åñêèå ãåîìåòðû. Â ÷àñòíîñòè, ïîìèìî óêàçàííûõ âûøå ìíîãîóãîëüíèêîâ, îíè óìåëè ñòðîèòü ïðàâèëüíûå 5-óãîëüíèê è 15-óãîëüíèê — çàäà÷à äîâîëüíî íåïðîñòàÿ. Äðåâíèå ó÷åíûå, óìåâøèå ñòðîèòü ëþáîé èç ïðàâèëüíûõ n-óãîëüíèêîâ, ãäå n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, ïûòàëèñü ðåøèòü ýòó çàäà÷ó è äëÿ n = 7, 9. Èì ýòî íå óäàëîñü. Âîîáùå, áîëåå äâóõ òûñÿ÷ ëåò íèêòî íå ìîã ïðîäâèíóòüñÿ â ðåøåíèè ýòîé ïðîáëåìû. Ëèøü â 1796 ã. âåëèêèé íåìåöêèé ìàòåìàòèê Êàðë Ôðèäðèõ Ãàóññ (1777–1855) ñìîã äîêàçàòü, ÷òî öèðêóëåì è ëèíåéêîé ïîñòðîèòü ïðàâèëüíûå 7-óãîëüíèê è 9-óãîëüíèê íåëüçÿ. Â 1801 ã. Ãàóññ ïîêàçàë, ÷òî öèðêóëåì è ëèíåéêîé ìîæíî ïîñòðîèòü ïðàâèëüíûé n-óãîëüíèê òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà n = 2k, ãäå k ∈ , k > 1, èëè n = 2k•p1p2•...•ps, ãäå k — öåëîå íåîòðèöàòåëüN íîå ÷èñëî, p1, p2, ..., ps — ðàçíûå ïðîñòûå ÷èñëà âèäà êîòîðûå íàçûâàþò ïðîñòûìè ÷èñëàìè Ôåðìà1. Ñåé÷àñ èçâåñòíû ëèøü ïÿòü ïðîñòûõ ÷èñåë Ôåðìà: 3, 5, 17, 257, 65537. Ãàóññó óäàëîñü ïîñòðîèòü ïðàâèëüíûé 17-óãîëüíèê. Îí ïðèäàâàë ýòîìó îòêðûòèþ ñòîëü áîëüøîå çíà÷åíèå, ÷òî çàâåùàë óâåêîâå÷èòü 17-óãîëüíèê íà ñâîåì íàäãðîáèè. Íà ìîãèëüíîé ïëèòå Ãàóññà ýòîãî ðèñóíêà íåò, íî ñàì ïàìÿòíèê ñòîèò íà ñåìíàäöàòèóãîëüíîì ïîñòàìåíòå. Ï ü å ð Ô å ð ì à (1601–1665) — ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê, îäèí èç îñíîâàòåëåé òåîðèè ÷èñåë. 1

ÄÁÆ¹ ÇÃÉÌ¿ÆÇÊËÁ ¨ÄÇÒ¹½Õ ÃÉÌ¼¹

ÃÀÅ¸ ÆÂÈË¾ÅÆÉÊÀ §ÃÆÑ¸¼Ô ÂÈË»¸ Íà ðèñóíêå 49 èçîáðàæåíû ïðàâèëüíûå 4-óãîëüíèê, 8-óãîëüíèê è 16-óãîëüíèê, âïèñàííûå â îêðóæíîñòü.

a n an

Ðèñ. 49

Ðèñ. 50

Ìû âèäèì, ÷òî ïðè óâåëè÷åíèè êîëè÷åñòâà ñòîðîí ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà åãî ïåðèìåòð Pn âñå ìåíüøå è ìåíüøå îòëè÷àåòñÿ îò äëèíû C îïèñàííîé îêðóæíîñòè. Òàê, äëÿ íàøåãî ïðèìåðà ìîæíî çàïèñàòü: C – P4 > C – P8 > C – P16 è ò. ä. Ïðè íåîãðàíè÷åííîì óâåëè÷åíèè êîëè÷åñòâà ñòîðîí ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà åãî ïåðèìåòð áóäåò êàê óãîäíî ìàëî îòëè÷àòüñÿ îò äëèíû îêðóæíîñòè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðàçíîñòü C – Pn ìîæíî ñäåëàòü ìåíüøåé, ÷åì, íàïðèìåð, 10–6, 10–9, è âîîáùå ìåíüøåé ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà. Ðàññìîòðèì äâà ïðàâèëüíûõ n-óãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè an è BO` è ðàäèóñàìè îïèñàííûõ îêðóæíîñòåé R è R′ ñîîòâåòñòâåííî (ðèñ. 50). Òîãäà èõ ïåðèìåòðû Pn è 1O` âû÷èñëÿþò ïî ôîðìóëàì: 1O OæBO Oæ 3 TJO Îòñþäà

n O

1O` OæBO` Oæ 3 ` TJO 1O 1O`

3 3 `

n O

(*)

Ýòî ðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî ïðè ëþáîì çíà÷åíèè n (n — íàòóðàëüíîå, n l 3). Ïðè íåîãðàíè÷åííîì óâåëè÷åíèè çíà

¨É¹»ÁÄÕÆÔ¾ ÅÆÇ¼ÇÌ¼ÇÄÕÆÁÃÁ

÷åíèÿ n ïåðèìåòðû Pn è 1O` ñîîòâåòñòâåííî áóäóò ñêîëü óãîäíî ìàëî îòëè÷àòüñÿ îò äëèí C è C′ îïèñàííûõ îêðóæíîñòåé. Òîãäà ïðè íåîãðàíè÷åííîì óâåëè÷åíèè n îòíîøåíèå 1O 1O`

áóäåò ñêîëü óãîäíî ìàëî îòëè÷àòüñÿ îò îòíîøåíèÿ $ $`

Ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà (*) ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî ÷èñëî

3 3 `

ñêîëü óãîäíî ìàëî îòëè÷àåòñÿ îò ÷èñëà $ À ýòî çíà÷èò, ÷òî

$ $`

3 3 `

èëè

$ 3

$` 3 `

Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ âñåõ îêðóæíîñòåé îòíîøåíèå äëèíû îêðóæíîñòè ê äèàìåòðó åñòü îäíî è òî æå ÷èñëî. Âû çíàåòå, ÷òî ýòî ÷èñëî ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü ãðå÷åñêîé áóêâîé π (÷èòàþò: «ïè»). Èç ðàâåíñòâà $ P ïîëó÷àåì ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ 3

äëèíû îêðóæíîñòè: C = 2πR ×èñëî π èððàöèîíàëüíîå, à çíà÷èò, îíî ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå êîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè ëèøü ïðèáëèæåííî. Îáû÷íî ïðè ðåøåíèè çàäà÷ â êà÷åñòâå ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ π ïðèíèìàþò ÷èñëî 3,14. Âåëèêèé äðåâíåãðå÷åñêèé ó÷åíûé Àðõèìåä (²²² â. äî í. ý.), âûðàçèâ ÷åðåç äèàìåòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè ïåðèìåòð ïðàâèëüíîãî 96-óãîëüíèêà, óñòàíîâèë, ÷òî

P Îò-

ñþäà è ñëåäóåò, ÷òî π ≈ 3,14. Ñ ïîìîùüþ ñîâðåìåííûõ êîìïüþòåðîâ è ñïåöèàëüíûõ ïðîãðàìì ìîæíî âû÷èñëèòü ÷èñëî π ñ îãðîìíîé òî÷íîñòüþ. Ïðèâåäåì çàïèñü ÷èñëà π ñ 47 öèôðàìè ïîñëå çàïÿòîé: π = 3,14159265358979323846264338327950288419716939937... . Â 1992 ã. ÷èñëî π âû÷èñëèëè ñ òî÷íîñòüþ äî 1 011 196 691 öèôðû ïîñëå çàïÿòîé. Ýòîò ôàêò áûë çàíåñåí â Êíèãó ðåêîðäîâ Ãèííåññà. Ñàìî ÷èñëî â êíèãå íå ïðèâåäåíî, òàê êàê äëÿ ýòîãî ïîíàäîáèëîñü áû áîëåå òûñÿ÷è ñòðàíèö.

ÄÁÆ¹ ÇÃÉÌ¿ÆÇÊËÁ ¨ÄÇÒ¹½Õ ÃÉÌ¼¹

Íàéäåì ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ äëèíû äóãè îêðóæíîñòè ñ ãðàäóñíîé ìåðîé n°. Ïîñêîëüêó ãðàäóñíàÿ ìåðà âñåé îêðóæíîñòè ðàâíà 360°, òî äëèíà äóãè â 1° ðàâíà Òîãäà äëèíà l äóãè â n° âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå M

P3O

Âûâåäåì ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäè êðóãà. Îïÿòü-òàêè, îáðàòèìñÿ ê ðèñóíêó 49. Ìû âèäèì, ÷òî ïðè óâåëè÷åíèè êîëè÷åñòâà ñòîðîí ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà åãî ïëîùàäü Sn âñå ìåíüøå è ìåíüøå îòëè÷àåòñÿ îò ïëîùàäè S êðóãà. Ïðè íåîãðàíè÷åííîì óâåëè÷åíèè êîëè÷åñòâà ñòîðîí åãî ïëîùàäü ñòðåìèòñÿ ê O ïëîùàäè êðóãà. 180° n Íà ðèñóíêå 51 èçîáðàæåí ôðàãìåíò ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà ñ öåíòðîì â òî÷êå O, ñî ñòîðîíîé AB = a n è ðàäèóñîì îïèñàííîé îêðóæíîñòè, ðàâíûì A R. Îïóñòèì ïåðïåíäèêóëÿð OM B íà ñòîðîíó AB. Èìååì: Ðèñ. 51 4 "0#

"#æ0. BO æ3 DPT

n O

Ïîñêîëüêó ðàäèóñû, ïðîâåäåííûå â âåðøèíû ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà, ðàçáèâàþò åãî íà n ðàâíûõ òðåóãîëüíèêîâ, òî ïëîùàäü n-óãîëüíèêà Sn â n ðàç áîëüøå ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà AOB. Òîãäà

4O Oæ4 "0# OæBO æ3 DPT Îòñþäà

4O 1O æ3 DPT

n O

(**)

ãäå Pn — ïåðèìåòð äàííîãî ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà. Ïðè íåîãðàíè÷åííîì óâåëè÷åíèè çíà÷åíèÿ n âåëè÷èíà n O

áóäåò ñêîëü óãîäíî ìàëî îòëè÷àòüñÿ îò 0°, à ñëåäîâà

¨É¹»ÁÄÕÆÔ¾ ÅÆÇ¼ÇÌ¼ÇÄÕÆÁÃÁ

òåëüíî, DPT

n O

áóäåò ñòðåìèòüñÿ ê 1. Ïåðèìåòð Pn áóäåò

ñòðåìèòüñÿ ê äëèíå C îêðóæíîñòè, à ïëîùàäü Sn — ê ïëîùàäè S êðóãà. Îòñþäà ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà (**) ìîæíî çà

ïèñàòü 4 $ æ3 Èç ýòîãî ðàâåíñòâà ïîëó÷àåì ôîðìóëó äëÿ íàõîæäåíèÿ ïëîùàäè êðóãà: S = πR2 Íà ðèñóíêå 52 ðàäèóñû OA è OB äåëÿò êðóã íà äâå ÷àñòè, çàêðàøåííûå ðàçíûìè öâåòàìè. Êàæäóþ èç ýòèõ ÷àñòåé âìåñòå ñ ðàäèóñàìè OA è OB íàçûâàþò êðóãîâûì ñåêòîðîì èëè ïðîñòî ñåêòîðîì. Ïîíÿòíî, ÷òî êðóã ðàäèóñà R ìîæíî ðàçäåëèòü íà 360 ðàâíûõ ñåêòîðîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ áóäåò ñîäåðæàòü äóãó â 1°. Ïëîùàäü òàêîãî ñåêòîðà ðàâíà

Òîãäà ïëîùàäü S

ñåêòîðà, ñîäåðæàùåãî äóãó îêðóæíîñòè â n°, âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå:

P3 O

Íà ðèñóíêå 53 õîðäà AB äåëèò êðóã íà äâå ÷àñòè, çàêðàøåííûå ðàçíûìè öâåòàìè. Êàæäóþ èç ýòèõ ÷àñòåé âìåñòå ñ õîðäîé AB íàçûâàþò êðóãîâûì ñåãìåíòîì èëè ïðîñòî ñåãìåíòîì. Õîðäó AB ïðè ýòîì íàçûâàþò îñíîâàíèåì ñåãìåíòà. ×òîáû íàéòè ïëîùàäü ñåãìåíòà, çàêðàøåííîãî ñèíèì öâåòîì (ðèñ. 54), íàäî èç ïëîùàäè ñåêòîðà, ñîäåðæàùåãî õîðäó AB, âû÷åñòü ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà AOB (òî÷êà O — B

A O

Ðèñ. 52

B O

Ðèñ. 53

B O Ðèñ. 54

ÄÁÆ¹ ÇÃÉÌ¿ÆÇÊËÁ ¨ÄÇÒ¹½Õ ÃÉÌ¼¹

öåíòð êðóãà). ×òîáû íàéòè ïëîùàäü ñåãìåíòà, çàêðàøåííîãî æåëòûì öâåòîì, íàäî ê ïëîùàäè ñåêòîðà, íå ñîäåðæàùåãî õîðäó AB, ïðèáàâèòü ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà AOB. Åñëè õîðäà AB ÿâëÿåòñÿ äèàìåòðîì êðóãà, òî îíà äåëèò êðóã íà äâà ñåãìåíòà, êîòîðûå íàçûâàþò ïîëóêðóãàìè. P3

ãäå Ïëîùàäü S ïîëóêðóãà âû÷èñëÿþò ïî ôîðìóëå 4 R — ðàäèóñ êðóãà. Ï ð è ì å ð 1. Äëèíà äóãè îêðóæíîñòè, ðàäèóñ êîòîðîé 25 ñì, ðàâíà π ñì. Íàéäèòå ãðàäóñíóþ ìåðó äóãè. Ð å ø å í è å. Èç ôîðìóëû M

P3O

ïîëó÷àåì O

M P3

Ñëå-

P ³ n äîâàòåëüíî, èñêîìàÿ ãðàäóñíàÿ ìåðà On ¤ ¦ Pæ µ Î ò â å ò: 7,2°. Ï ð è ì å ð 2 . Â îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì O, ðàäèóñ êîòîðîé ðàâåí 8 ñì, âïèñàí ïðàâèëüíûé âîñüC D ìèóãîëüíèê ABCDEFMK (ðèñ. 55). Íàéäèòå ïëîùàäè ñåêòîðà è ñåãìåíòà, ñîäåðæàùèõ äóãó AB. E B Ð å ø å í è å. ∠ AOB — öåíòðàëüO íûé óãîë ïðàâèëüíîãî âîñüìèóãîëü-

íèêà, "0#

Òîãäà ïëîùàäü ñåêòîðà, êîòîðóþ òðåáóåòñÿ íàéòè, 4Ê¾ÃË

Pæ æ

M Ðèñ. 55

P (ñì2), ïëîùàäü ñåãìåíòà

4Ê¾¼Å 4Ê¾ÃË 4$ "0# P 0" TJO "0# P (ñì2). Î ò â å ò: 8π ñì2, P ñì2.

£¹ÃÇ¾ ÇËÆÇÑ¾ÆÁ¾ ÇºÇÀÆ¹Ð¹×Ë ºÌÃ»ÇÂ π ¦¹ÀÇ»ÁË¾ ÈÉÁºÄÁ¿¾ÆÆÇ¾ ÀÆ¹Ð¾ÆÁ¾ ÐÁÊÄ¹ π Ê ËÇÐÆÇÊËÕ× ½Ç ÊÇËÔÎ ¨Ç Ã¹ÃÇÂ ÍÇÉÅÌÄ¾ »ÔÐÁÊÄØ×Ë ½ÄÁÆÌ ÇÃÉÌ¿ÆÇÊËÁ

¨É¹»ÁÄÕÆÔ¾ ÅÆÇ¼ÇÌ¼ÇÄÕÆÁÃÁ

¨Ç Ã¹ÃÇÂ ÍÇÉÅÌÄ¾ »ÔÐÁÊÄØ×Ë ½ÄÁÆÌ ½Ì¼Á ÇÃÉÌ¿ÆÇÊËÁ ¨Ç Ã¹ÃÇÂ ÍÇÉÅÌÄ¾ »ÔÐÁÊÄØ×Ë ÈÄÇÒ¹½Õ ÃÉÌ¼¹ ¨ÇØÊÆÁË¾ Ã¹ÃÌ× ¼¾ÇÅ¾ËÉÁÐ¾ÊÃÌ× ÍÁ¼ÌÉÌ Æ¹ÀÔ»¹×Ë ÃÉÌ¼Ç»ÔÅ Ê¾ÃËÇÉÇÅ ¨Ç Ã¹ÃÇÂ ÍÇÉÅÌÄ¾ »ÔÐÁÊÄØ×Ë ÈÄÇÒ¹½Õ ÃÉÌ¼Ç»Ç¼Ç Ê¾ÃËÇÉ¹ ¨ÇØÊÆÁË¾ Ã¹ÃÌ× ¼¾ÇÅ¾ËÉÁÐ¾ÊÃÌ× ÍÁ¼ÌÉÌ Æ¹ÀÔ»¹×Ë ÃÉÌ¼Ç»ÔÅ Ê¾¼Å¾ÆËÇÅ ¨ÇØÊÆÁË¾ Ã¹Ã ÅÇ¿ÆÇ Æ¹ÂËÁ ÈÄÇÒ¹½Õ ÃÉÌ¼Ç»Ç¼Ç Ê¾¼Å¾ÆË¹

«§¨ ¥ ¥ · 228.° Íàéäèòå äëèíó îêðóæíîñòè, äèàìåòð êîòîðîé ðàâåí: 1) 1,2 ñì; 2) 3,5 ñì. 229.° Íàéäèòå äëèíó îêðóæíîñòè, ðàäèóñ êîòîðîé ðàâåí: 1) 6 ñì; 2) 1,4 ì. 230.° Íàéäèòå ïëîùàäü êðóãà, ðàäèóñ êîòîðîãî ðàâåí: 1) 4 ñì; 2) 14 äì. 231.° Íàéäèòå ïëîùàäü êðóãà, äèàìåòð êîòîðîãî ðàâåí: 1) 20 ñì; 2) 3,2 äì. 232.° Íàéäèòå ïëîùàäü êðóãà, äëèíà îêðóæíîñòè êîòîðîãî ðàâíà l. 233.° Âû÷èñëèòå ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ äåðåâà, êîòîðîå â îáõâàòå ñîñòàâëÿåò 125,6 ñì. 234.° Êàê èçìåíèòñÿ äëèíà îêðóæíîñòè, åñëè åå ðàäèóñ: 1) óâåëè÷èòü â 2 ðàçà; 2) óìåíüøèòü â 3 ðàçà? 235.° Ðàäèóñ îêðóæíîñòè óâåëè÷èëè íà 1 ñì. Íà ñêîëüêî óâåëè÷èëàñü ïðè ýòîì äëèíà îêðóæíîñòè? 236.° Ñàìûé áîëüøîé îïòè÷åñêèé òåëåñêîï (ðåôëåêòîð) â Óêðàèíå íàõîäèòñÿ â Êðûìñêîé àñòðîíîìè÷åñêîé îáñåðâàòîðèè. Äèàìåòð åãî çåðêàëà ðàâåí 2,6 ì. Ñàìûé áîëüøîé â ìèðå îïòè÷åñêèé òåëåñêîï íàõîäèòñÿ â îáñåðâàòîðèè Êàëèôîðíèéñêîãî óíèâåðñèòåòà íà Ãàâàéÿõ (ÑØÀ). Äèàìåòð åãî çåðêàëà ñîñòàâëÿåò 10 ì. Âî ñêîëüêî ðàç äëèíà îáîäà àìåðèêàíñêîãî òåëåñêîïà áîëüøå äëèíû îáîäà óêðàèíñêîãî? Îòâåò îêðóãëèòå äî äåñÿòûõ. 237.° Âû÷èñëèòå äëèíó êðàñíîé ëèíèè, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 56.

ÄÁÆ¹ ÇÃÉÌ¿ÆÇÊËÁ ¨ÄÇÒ¹½Õ ÃÉÌ¼¹

a à)

á) Ðèñ. 56

238.° Êàê èçìåíèòñÿ ïëîùàäü êðóãà, åñëè åãî ðàäèóñ: 1) óâåëè÷èòü â 4 ðàçà; 2) óìåíüøèòü â 5 ðàç? 239.° Âû÷èñëèòå ïëîùàäü çàøòðèõîâàííîé ôèãóðû, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 57.

a à)

á)

â)

Ðèñ. 57

240.° Âû÷èñëèòå ïëîùàäü çàøòðèõîâàííîé ôèãóðû (ðèñ. 58), åñëè äëèíà ñòîðîíû êëåòî÷êè ðàâíà a. 241.° Áëèí÷èê, äèàìåòð êîòîðîãî ðàâåí 30 ñì, ñòîèò ñòîëüêî æå, ñêîëüêî äâà áëèí÷èêà, äèàìåòð êîòîðûõ 20 ñì. Åñëè òîëùèíà âñåõ áëèí÷èêîâ îäèíàêîâà, òî â êàêîì ñëó÷àå ïîêóïàòåëü ñúåñò áîëüøå: êîãäà êóïèò îäèí áîëüøîé áëèí÷èê èëè äâà ìåíüøèõ? 242.° Íàéäèòå äëèíó îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíîé a. 243.° Íàéäèòå äëèíó îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â êâàäðàò ñî ñòîðîíîé a.

¨É¹»ÁÄÕÆÔ¾ ÅÆÇ¼ÇÌ¼ÇÄÕÆÁÃÁ

à)

á) Ðèñ. 58

244.° Íàéäèòå ïëîùàäü êðóãà, îïèñàííîãî îêîëî êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé a. 245.° Íàéäèòå ïëîùàäü êðóãà, âïèñàííîãî â ïðàâèëüíûé øåñòèóãîëüíèê ñî ñòîðîíîé a. 246.° Íàéäèòå ïëîùàäü êðóãà, âïèñàííîãî â ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíîé a. 247.° Íàéäèòå ïëîùàäü êðóãà, îïèñàííîãî îêîëî ïðÿìîóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè a è b. 248.° Íàéäèòå ïëîùàäü êðóãà, îïèñàííîãî îêîëî ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ñ áîêîâîé ñòîðîíîé b è óãëîì α ïðè îñíîâàíèè. 249.° Íàéäèòå äëèíó îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ïðÿìîóãîëüíèêà ñî ñòîðîíîé a è óãëîì α ìåæäó äàííîé ñòîðîíîé è äèàãîíàëüþ ïðÿìîóãîëüíèêà. 250.° Ðàäèóñ îêðóæíîñòè ðàâåí 8 ñì. Íàéäèòå äëèíó äóãè îêðóæíîñòè, ãðàäóñíàÿ ìåðà êîòîðîé ðàâíà: 1) 4°; 2) 18°; 3) 160°; 4) 320°. 251.° Äëèíà äóãè îêðóæíîñòè ðàâíà 12π ñì, à åå ãðàäóñíàÿ ìåðà — 27°. Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè. 252.° Äëèíà äóãè îêðóæíîñòè ðàäèóñîì 24 ñì ðàâíà 3π ñì. Íàéäèòå ãðàäóñíóþ ìåðó äóãè. 253.° Âû÷èñëèòå äëèíó äóãè ýêâàòîðà Çåìëè, ãðàäóñíàÿ ìåðà êîòîðîé ðàâíà 1°, åñëè ðàäèóñ ýêâàòîðà ïðèáëèæåííî ðàâåí 6400 êì.

ÄÁÆ¹ ÇÃÉÌ¿ÆÇÊËÁ ¨ÄÇÒ¹½Õ ÃÉÌ¼¹

254.° Ðàäèóñ êðóãà ðàâåí 6 ñì. Íàéäèòå ïëîùàäü ñåêòîðà, åñëè ãðàäóñíàÿ ìåðà åãî äóãè ðàâíà: 1) 15°; 2) 144°; 3) 280°. 255.° Ïëîùàäü ñåêòîðà ñîñòàâëÿåò ïëîùàäè êðóãà.

Íàéäèòå ãðàäóñíóþ ìåðó åãî äóãè. 256.° Ïëîùàäü ñåêòîðà ðàâíà 6π äì2. Íàéäèòå ãðàäóñíóþ ìåðó äóãè ýòîãî ñåêòîðà, åñëè ðàäèóñ êðóãà ðàâåí 12 äì. 257.° Ïëîùàäü ñåêòîðà ðàâíà

ñì2, à ãðàäóñíàÿ ìåðà

äóãè ýòîãî ñåêòîðà ñîñòàâëÿåò 75°. Íàéäèòå ðàäèóñ êðóãà, ÷àñòüþ êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ äàííûé ñåêòîð. 258.° Ìîæåò ëè ñåêòîð êðóãà áûòü åãî ñåãìåíòîì? 259.° Íàéäèòå ïëîùàäü êðóãîâîãî ñåãìåíòà, åñëè ðàäèóñ êðóãà ðàâåí 5 ñì, à ãðàäóñíàÿ ìåðà äóãè ñåãìåíòà ðàâíà: 1) 45°; 2) 150°; 3) 330°. 260.° Íàéäèòå ïëîùàäü êðóãîâîãî ñåãìåíòà, åñëè ðàäèóñ êðóãà ðàâåí 2 ñì, à ãðàäóñíàÿ ìåðà äóãè ñåãìåíòà ðàâíà: 1) 60°; 2) 300°. • 261. Êîëåñà àâòîìîáèëÿ èìåþò äèàìåòð 65 ñì. Îí äâèæåòñÿ ñ òàêîé ñêîðîñòüþ, ÷òî êîëåñà äåëàþò åæåñåêóíäíî 6 îáîðîòîâ. Íàéäèòå ñêîðîñòü àâòîìîáèëÿ â êèëîìåòðàõ â ÷àñ. Îòâåò îêðóãëèòå äî äåñÿòûõ. • 262. Íàéäèòå äëèíó äóãè, êîòîðóþ îïèñûâàåò ÷àñîâàÿ ñòðåëêà äëèíîé 6 ñì çà 1 ÷. • 263. Íàéäèòå äëèíó äóãè, êîòîðóþ îïèñûâàåò ìèíóòíàÿ ñòðåëêà äëèíîé 24 ñì çà 40 ìèí. • 264. Ðàäèóñ îêðóæíîñòè óâåëè÷èëè íà a. Äîêàæèòå, ÷òî äëèíà îêðóæíîñòè óâåëè÷èòñÿ íà âåëè÷èíó, íå çàâèñÿùóþ îò ðàäèóñà äàííîé îêðóæíîñòè. • 265. Ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà ðàâíà 6 ñì, à ïðèëåæàùèå ê íåé óãëû ðàâíû 50° è 100°. Íàéäèòå äëèíû äóã, íà êîòîðûå äåëÿò îïèñàííóþ îêðóæíîñòü òðåóãîëüíèêà åãî âåðøèíû. • 266. Ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà ðàâíà ñì, à ïðèëåæàùèå ê íåé óãëû ðàâíû 35° è 25°. Íàéäèòå äëèíû äóã, íà êîòîðûå äåëÿò îïèñàííóþ îêðóæíîñòü òðåóãîëüíèêà åãî âåðøèíû. • 267. Íà êàòåòå AC ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ABC (∠ C = 90°) êàê íà äèàìåòðå ïîñòðîåíà îêðóæíîñòü. Íàéäè

¨É¹»ÁÄÕÆÔ¾ ÅÆÇ¼ÇÌ¼ÇÄÕÆÁÃÁ

òå äëèíó äóãè ýòîé îêðóæíîñòè, ïðèíàäëåæàùåé òðåóãîëüíèêó, åñëè ∠ A = 24°, AC = 20 ñì. • 268. Óãîë ïðè îñíîâàíèè ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ðàâåí 70°. Íà âûñîòå òðåóãîëüíèêà, ïðîâåäåííîé ê îñíîâàíèþ è ðàâíîé 27 ñì, êàê íà äèàìåòðå ïîñòðîåíà îêðóæíîñòü. Íàéäèòå äëèíó äóãè îêðóæíîñòè, ïðèíàäëåæàùåé òðåóãîëüíèêó. • 269. Îòðåçîê AB ðàçáèëè íà n îòðåçêîâ. Íà êàæäîì èç íèõ êàê íà äèàìåòðå ïîñòðîèëè ïîëóîêðóæíîñòü. Ýòî äåéñòâèå ïîâòîðèëè, ðàçáèâ äàííûé îòðåçîê íà m îòðåçêîâ. Íàéäèòå îòíîøåíèå ñóìì äëèí ïîëóîêðóæíîñòåé, ïîëó÷åííûõ â ïåðâîì è âòîðîì ñëó÷àÿõ. • 270. Äîêàæèòå, ÷òî ïëîùàäü ïîëóêðóãà, ïîñòðîåííîãî íà ãèïîòåíóçå ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà êàê íà äèàìåòðå (ðèñ. 59), ðàâíà ñóììå ïëîùàäåé ïîëóêðóãîâ, ïîñòðîåííûõ íà åãî êàòåòàõ êàê íà äèàìåòðàõ. • 271. Äâå òðóáû, äèàìåòðû êîòîðûõ ðàâíû 30 ñì è 40 ñì, íàäî çàìåíèòü îäíîé òðóáîé ñ òàêîé æå ïðîïóñêíîé ñïîñîáíîñòüþ. Êàêèì äîëæåí áûòü äèàìåòð ýòîé òðóáû? • 272. Íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ óâåëè÷èòñÿ ïëîùàäü êðóãà, åñëè åãî ðàäèóñ óâåëè÷èòü íà 10 %? • 273. Â êðóã âïèñàí êâàäðàò ñî ñòîðîíîé a. Íàéäèòå ïëîùàäü ìåíüøåãî èç ñåãìåíòîâ, îñíîâàÐèñ. 59 íèåì êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ñòîðîíà êâàäðàòà. • 274. Èç ëèñòà æåñòè, èìåþùåãî ôîðìó êðóãà, âûðåçàëè ïðàâèëüíûé øåñòèóãîëüíèê íàèáîëüøåé ïëîùàäè. Ñêîëüêî ïðîöåíòîâ æåñòè ïîøëî â îòõîäû? • 275. Â êðóã âïèñàí ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíîé a. Íàéäèòå ïëîùàäü ìåíüøåãî èç ñåãìåíòîâ, îñíîâàíèåì êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà. • 276. Â êðóãîâîé ñåêòîð, ðàäèóñ êîòîðîãî ðàâåí R, à öåíòðàëüíûé óãîë ñîñòàâëÿåò 60°, âïèñàí êðóã. Íàéäèòå ïëîùàäü ýòîãî êðóãà.

ÄÁÆ¹ ÇÃÉÌ¿ÆÇÊËÁ ¨ÄÇÒ¹½Õ ÃÉÌ¼¹ ••

277. Íàéäèòå ïëîùàäü ðîçåòêè (çàøòðèõîâàííîé ôèãóðû), èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 60, åñëè ñòîðîíà êâàäðàòà ABCD ðàâíà a. C

Ñ M

K P

A Ðèñ. 60

A Ðèñ. 61

Ðèñ. 62

••

278. Ïðè ïîñòðîåíèè ÷åòûðåõ äóã ñ öåíòðàìè â âåðøèíàõ êâàäðàòà ABCD è ðàäèóñàìè, ðàâíûìè ñòîðîíå a êâàäðàòà, îáðàçîâàëàñü ôèãóðà, îãðàíè÷åííàÿ êðàñíîé ëèíèåé (ðèñ. 61). Íàéäèòå äëèíó ýòîé ëèíèè. •• 279. (Çàäà÷à Ãèïïîêðàòà1). Îêîëî ïðÿìîóãîëüíèêà îïèñàëè îêðóæíîñòü è íà êàæäîé åãî ñòîðîíå êàê íà äèàìåòðå ïîñòðîèëè ïîëóîêðóæíîñòü (ðèñ. 62). Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà ïëîùàäåé çàêðàøåííûõ ôèãóð (ëóíî÷åê Ãèïïîêðàòà) ðàâíà ïëîùàäè ïðÿìîóãîëüíèêà. •• 280. Äâà êâàäðàòà ñî ñòîðîíàìè 1 ñì èìåþò îáùèé öåíòð (ðèñ. 63). Äîêàæèòå, ÷òî ïëîùàäü èõ îáùåé ÷àñòè áîëüøå, ÷åì P

Ðèñ. 63

«§¨ ¥ ¥ · £· §¦ ª¦¨ ¥ · 281. Íàéäèòå ñòîðîíó ðîìáà, åñëè åãî âûñîòà ðàâíà 6 ñì, à óãîë ìåæäó ñòîðîíîé ðîìáà è îäíîé èç äèàãîíàëåé ðàâåí 15°. 282. Áèññåêòðèñà óãëà A ïðÿìîóãîëüíèêà ABCD äåëèò åãî ñòîðîíó BC íà îòðåçêè BM è MC äëèíîé 10 ñì è 14 ñì 1

Ã è ï ï î ê ð à ò Õ è î ñ ñ ê è é — äðåâíåãðå÷åñêèé ãåîìåòð (V â. äî í. ý.).

¨É¹»ÁÄÕÆÔ¾ ÅÆÇ¼ÇÌ¼ÇÄÕÆÁÃÁ

ñîîòâåòñòâåííî. Íà îòðåçêè êàêîé äëèíû ýòà áèññåêòðèñà äåëèò äèàãîíàëü ïðÿìîóãîëüíèêà? 283. Ñóììà óãëîâ ïðè áîëüøåì îñíîâàíèè òðàïåöèè ðàâíà 90°. Äîêàæèòå, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó ñåðåäèíàìè îñíîâàíèé òðàïåöèè ðàâíî ïîëóðàçíîñòè îñíîâàíèé. ¦ª¦ ¤©· ¢ «¯ ¥ ¶ ¥¦ ¦¡ ª ¤³ 284. ×åìó ðàâíî ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè A è B êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé, åñëè: 3) A (–2) è B (–6); 1) A (3) è B (7); 2) A (–2) è B (4); 4) A (a) è B (b)? 285. Íà÷åðòèòå íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè îòðåçîê AB, íàéäèòå ïî ðèñóíêó êîîðäèíàòû ñåðåäèíû îòðåçêà è ñðàâíèòå èõ ñî ñðåäíèì àðèôìåòè÷åñêèì ñîîòâåòñòâóþùèõ êîîðäèíàò òî÷åê A è B, åñëè: 3) A (3; –5), B (–1; 3). 1) A (–1; –6), B (5; –6); 2) A (3; 1), B (3; 5); 286. Ïîñòðîéòå íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè òðåóãîëüíèê ABC è íàéäèòå åãî ñòîðîíû, åñëè A (5; –1), B (–3; 5), C (–3; –1). 287. Â êàêîé êîîðäèíàòíîé ÷åòâåðòè íàõîäèòñÿ òî÷êà: 1) A (3; –4); 2) B (–3; 1); 3) C (–4; –5); 4) D (1; 9)? 288. Â êàêîé êîîðäèíàòíîé ÷åòâåðòè íàõîäèòñÿ òî÷êà M, åñëè: 1) åå àáñöèññà ïîëîæèòåëüíà, à îðäèíàòà îòðèöàòåëüíà; 2) ïðîèçâåäåíèå åå àáñöèññû è îðäèíàòû — îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî; 3) åå àáñöèññà è îðäèíàòà îòðèöàòåëüíû? 289. ×òî ìîæíî ñêàçàòü î êîîðäèíàòàõ òî÷êè A, åñëè: 1) òî÷êà A ëåæèò íà îñè àáñöèññ; 2) òî÷êà A ëåæèò íà áèññåêòðèñå ÷åòâåðòîãî êîîðäèíàòíîãî óãëà; 3) òî÷êà A ëåæèò íà îñè îðäèíàò; 4) òî÷êà A ëåæèò íà áèññåêòðèñå òðåòüåãî êîîðäèíàòíîãî óãëà; 5) òî÷êà A ëåæèò íà áèññåêòðèñå ïåðâîãî êîîðäèíàòíîãî óãëà?

ÄÁÆ¹ ÇÃÉÌ¿ÆÇÊËÁ ¨ÄÇÒ¹½Õ ÃÉÌ¼¹

290. Óêàæèòå êîîðäèíàòû âåðøèí ïðÿìîóãîëüíèêà ABCD (ðèñ. 64). y C (7; 4)

y B (–4; 3) A (–2; 1)

D 0

x à)

y A (–1; 1)

x A

D (–1; –5) á)

C (2; –2)

D â)

Ðèñ. 64

¨É¹»ÁÄÕÆÔ¾ ÅÆÇ¼ÇÌ¼ÇÄÕÆÁÃÁ

¥ ª ©ª¦ ¦¡ ¬¦¨¤ §¨¦ ¨´ © · 1. Íàéäèòå êîëè÷åñòâî ñòîðîí ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà, åñëè åãî óãîë ðàâåí 170°. À) 30; Â) 36; Á) 32; Ã) òàêîãî ìíîãîóãîëüíèêà íå ñóùåñòâóåò. 2. ×åìó ðàâåí öåíòðàëüíûé óãîë ïðàâèëüíîãî äåñÿòèóãîëüíèêà? Á) 36°; Â) 144°; Ã) 10°. À) 18°; 3. Êàêîé íàèáîëüøèé öåíòðàëüíûé óãîë ìîæåò èìåòü ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê? Â) 150°; À) 90°; Á) 120°; Ã) óêàçàòü íåâîçìîæíî. 4. Íàéäèòå äëèíó äóãè îêðóæíîñòè, ãðàäóñíàÿ ìåðà êîòîðîé ðàâíà 207°, åñëè ðàäèóñ îêðóæíîñòè — 4 ñì. Á) 4,6 ñì; Â) 23π ñì; Ã) 23 ñì. À) 4,6π ñì; 5. Êàêóþ ÷àñòü ïëîùàäè êðóãà ñîñòàâëÿåò ïëîùàäü ñåêòîðà, öåíòðàëüíûé óãîë êîòîðîãî ðàâåí 140°? À)

Á)

Â)

Ã)

6. Â îêðóæíîñòü âïèñàí ïðàâèëüíûé øåñòèóãîëüíèê, ñòîðîíà êîòîðîãî ðàâíà a. Íàéäèòå ñòîðîíó òðåóãîëüíèêà, îïèñàííîãî îêîëî ýòîé îêðóæíîñòè. À) B

Á) B

Â) B

Ã) B

7. ×åìó ðàâåí ðàäèóñ îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â ïðàâèëüíûé øåñòèóãîëüíèê, ìåíüøàÿ äèàãîíàëü êîòîðîãî ðàâíà 12 ñì? À) 6 ñì; Á) ñì; Â) ñì; Ã) 12 ñì. 8. Âïèñàííûé â îêðóæíîñòü óãîë, ðàâíûé 40°, îïèðàåòñÿ íà äóãó äëèíîé 8 ñì. Êàêîâà äëèíà äàííîé îêðóæíîñòè? À) 36 ñì; Á) 72π ñì; Â) 72 ñì; Ã) 36π ñì. 9. Êàêîé äîëæíà áûòü äëèíà õîðäû îêðóæíîñòè, ðàäèóñ êîòîðîé ðàâåí R, ÷òîáû äëèíû äóã, íà êîòîðûå êîíöû ýòîé õîðäû äåëÿò îêðóæíîñòü, îòíîñèëèñü êàê 2 : 1? À) R;

Á) 2R;

Â)

Ã) 3

¹½¹ÆÁ¾ » Ë¾ÊËÇ»ÇÂ ÍÇÉÅ¾ ¨ÉÇ»¾ÉÕ Ê¾ºØ

10. Íà ðèñóíêå èçîáðàæåí âïèñàííûé â îêðóæíîñòü òðåóãîëüíèê ABC, ∠ A = 30°, BC = a. ×åìó ðàâíà ïëîùàäü ñåãìåíòà, îñíîâàíèå êîòîðîãî ñòÿãèâàåò äóãó BAC? À) Á)

Â)

Ã)

B a 30°

11. Â òðåóãîëüíèêå ABC èçâåñòíî, ÷òî ∠ A = 20°, ∠ C = = 30°, AC = 14 ñì. Îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â òî÷êå A êàñàåòñÿ ïðÿìîé BC. Íàéäèòå äëèíó äóãè ýòîé îêðóæíîñòè, ïðèíàäëåæàùåé òðåóãîëüíèêó ABC. À)

ñì;

Á)

ñì;

Â)

ñì;

Ã)

ñì.

12. Ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà, ðàâåí 6 3 ñì, à ðàäèóñ âïèñàííîé â íåãî îêðóæíîñòè — 9 ñì. Ñêîëüêî ñòîðîí èìååò ìíîãîóãîëüíèê? À) 6; Á) 12; Â) 9; Ã) 18.

¨É¹»ÁÄÕÆÔ¾ ÅÆÇ¼ÇÌ¼ÇÄÕÆÁÃÁ

ª¦

Â ÝÒÎÌ ÏÀÐÀÃÐÀÔÅ: áûëè ââåäåíû òàêèå ïîíÿòèÿ: ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê; öåíòð ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà; öåíòðàëüíûé óãîë ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà; êðóãîâîé ñåêòîð; êðóãîâîé ñåãìåíò; îñíîâàíèå ñåãìåíòà; âû èçó÷èëè: ñâîéñòâà ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà; ôîðìóëû äëÿ íàõîæäåíèÿ ðàäèóñîâ îïèñàííîé è âïèñàííîé îêðóæíîñòåé ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà; ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ äëèíû îêðóæíîñòè è äëèíû äóãè îêðóæíîñòè; ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäè êðóãà è ïëîùàäè ñåêòîðà; âû îçíàêîìèëèñü ñî ñïîñîáîì íàõîæäåíèÿ ïëîùàäè ñåãìåíòà.

£ ©«§ ´ £§§© ¡¦ «´ ¦ ¨¤§ª£§ª«¡

ÖËÇÅ È¹É¹¼É¹Í¾ »Ô É¹ÊÑÁÉÁË¾ Ê»ÇÁ ÀÆ¹ÆÁØ Ç ÃÇÇÉ½ÁÆ¹ËÆÇÂ ÈÄÇÊÃÇÊËÁ Ô Æ¹ÌÐÁË¾ÊÕ Æ¹ÎÇ½ÁËÕ ½ÄÁÆÌ ÇËÉ¾ÀÃ¹ Á ÃÇÇÉ½ÁÆ¹ËÔ ¾¼Ç Ê¾É¾½ÁÆÔ ÀÆ¹Ø ÃÇÇÉ½ÁÆ¹ËÔ ¾¼Ç ÃÇÆÏÇ» ªÍÇÉÅÁÉÌ¾Ë¾ ÈÉ¾½ÊË¹»Ä¾ÆÁ¾ Çº ÌÉ¹»Æ¾ÆÁÁ ÍÁ¼ÌÉÔ »Ô»¾½¾Ë¾ ÌÉ¹»Æ¾ÆÁØ ÈÉØÅÇÂ Á ÇÃÉÌ¿ÆÇÊËÁ §ÀÆ¹ÃÇÅÁË¾ÊÕ Ê Å¾ËÇ½ÇÅ ÃÇÇÉ½ÁÆ¹Ë ÈÇÀ»ÇÄØ×ÒÁÅ É¾Ñ¹ËÕ ¼¾ÇÅ¾ËÉÁÐ¾ÊÃÁ¾ À¹½¹ÐÁ ÊÉ¾½ÊË»¹ÅÁ ¹Ä¼¾ºÉÔ

¨¸ÉÉÊÆ×ÅÀ½ Ä½¾¼Ë ¼ºËÄ× ÊÆÏÂ¸ÄÀ É ¿¸¼¸ÅÅÓÄÀ ÂÆÆÈ¼ÀÅ¸Ê¸ÄÀ ¢ÆÆÈ¼ÀÅ¸ÊÓ É½È½¼ÀÅÓ ÆÊÈ½¿Â¸

Îñü îðäèíàò

Â 6 êëàññå âû îçíàêîìèëèñü ñ êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòüþ, òî åñòü ñ ïëîñêîñòüþ, íà êîòîðîé èçîáðàæåíû äâå ïåðïåíäèêóëÿðíûå êîîðäèíàòíûå ïðÿìûå (îñü àáñöèññ è îñü îðäèíàò) ñ îáùèì íà÷àëîì îòñ÷åòà (ðèñ. 65). Âû óìååòå îòìå÷àòü íà íåé òî÷êè ïî èõ êîîðäèíàòàì è íàîáîðîò, íàõîäèòü êîîðäèíàòû òî÷êè, îòìå÷åííîé íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè. Äîãîâîðèìñÿ êîîðäèíàòíóþ ïëîñêîñòü ñ îñüþ x (îñüþ àáñöèññ) è îñüþ y (îñüþ îðäèíàò) íàçûâàòü ïëîñêîñòüþ xy. Êîîðäèíàòû òî÷êè íà ïëîñêîñòè xy íàçûâàþò äåêàðòîÎñü àáñöèññ âûìè êîîðäèíàòàìè â ÷åñòü ôðàíöóçñêîãî ìàòåìàòèêà Ðåíå Äåêàðòà (ñì. ðàññêàç íà ñ. 105–106). Âû çíàåòå, êàê íàõîäèòü ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ òî÷Ðèñ. 65 êàìè, çàäàííûìè ñâîèìè êî

¾Ã¹ÉËÇ»Ô ÃÇÇÉ½ÁÆ¹ËÔ Æ¹ ÈÄÇÊÃÇÊËÁ

îðäèíàòàìè íà êîîðäèíàòíîé A B ïðÿìîé: äëÿ òî÷åê A (x1) è B (x2) x x2 x1 (ðèñ. 66) èìååì: Ðèñ. 66 AB = | x2 – x1 |. Íàó÷èìñÿ íàõîäèòü ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè A (x1; y1) è B (x2; y2), çàäàííûìè íà ïëîñêîñòè xy. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà îòðåçîê AB íå ïåðïåíäèêóëÿðåí íè îäíîé èç êîîðäèíàòíûõ îñåé (ðèñ. 67). ×åðåç òî÷êè A è B ïðîâåäåì ïðÿìûå, ïåðïåíäèêóëÿðíûå êîîðäèíàòíûì îñÿì. Ïîëó÷èì ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê ACB. Î÷åâèäíî, ÷òî BC = | x2 – x1 |, AC = | y2 – y1 |. Îòñþäà AB2 = BC2 + AC2 = | x2 – x1 |2 + y + | y2 – y1 |2 = (x2 – x1) 2 + (y2 – y1)2. Òîãäà ôîðìóëó ðàññòîÿíèÿ ìåæA (x1; y1) y1 äó òî÷êàìè A (x1; y1) è B (x2; y2) ìîæíî çàïèñàòü òàê: y2

B (x2; y2)

"# Y Y Z Z

Äîêàæèòå ñàìîñòîÿòåëüíî, ÷òî ýòà ôîðìóëà îñòàåòñÿ âåðíîé è äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà îòðåçîê AB Ðèñ. 67 ïåðïåíäèêóëÿðåí îäíîé èç îñåé êîîðäèíàò. Ïóñòü A (x1; y1) è B (x2; y2) — òî÷êè ïëîñêîñòè xy. Íàó÷èìñÿ íàõîäèòü êîîðäèíàòû (x0; y0) òî÷êè M — ñåðåäèíû îòðåçêà AB. y Îïÿòü-òàêè ðàññìîòðèì ñëóA (x1; y1) ÷àé, êîãäà îòðåçîê AB íå ïåðïåíäèêóëÿðåí íè îäíîé èç êîîðM äèíàòíûõ îñåé (ðèñ. 68). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî x 2 > x 1 (ñëó÷àé, B (x2; y2) êîãäà x2 < x1, ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî). ×åðåç òî÷êè A, M A1 M1 B1 è B ïðîâåäåì ïðÿìûå, ïåðïåíx0 x2 x1 x 0 äèêóëÿðíûå îñè àáñöèññ, êîòîðûå ïåðåñåêóò ýòó îñü ñîîòâåòÐèñ. 68 0

©¹ÊÊËÇØÆÁ¾ Å¾¿½Ì ½»ÌÅØ ËÇÐÃ¹ÅÁ Ê À¹½¹ÆÆÔÅÁ ÃÇÇÉ½ÁÆ¹Ë¹ÅÁ

ñòâåííî â òî÷êàõ A1, M1 è B1. Ïî òåîðåìå Ôàëåñà A1M1 = = M1B1, òî åñòü | x0 – x1 | = | x2 – x0 |. Òàê êàê x2 > x0 > x1, òî ìîæåì çàïèñàòü: x0 – x1 = x2 – x0. Îòñþäà Y

Y Y

Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî Z

Z Z

Ôîðìóëû äëÿ íàõîæäåíèÿ êîîðäèíàò ñåðåäèíû îòðåçêà îñòàþòñÿ âåðíûìè è äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà îòðåçîê AB ïåðïåíäèêóëÿðåí îäíîé èç îñåé êîîðäèíàò (äîêàæèòå ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî). Ï ð è ì å ð 1. Äîêàæèòå, ÷òî òðåóãîëüíèê ñ âåðøèíàìè â òî÷êàõ A (–1; 7), B (1; 3) è C (5; 5) ÿâëÿåòñÿ ðàâíîáåäðåííûì ïðÿìîóãîëüíûì. Ð å ø å í è å. Íàéäåì äëèíû ñòîðîí äàííîãî òðåóãîëüíèêà: "# #$ "$ Ñëåäîâàòåëüíî, AB = BC, òî åñòü œ ABC — ðàâíîáåäðåííûé. Òàê êàê AB2 + BC2 = 20 + 20 = 40 = AC2, òî œ ABC — ïðÿìîóãîëüíûé. Ï ð è ì å ð 2. Òî÷êà M (2; –5) — ñåðåäèíà îòðåçêà AB, A(–1; 3). Íàéäèòå êîîðäèíàòû òî÷êè B. Ð å ø å í è å. Îáîçíà÷èì (xB; yB) — êîîðäèíàòû òî÷êè B, (xA; yA) — êîîðäèíàòû òî÷êè A, (xM; yM) — êîîðäèíàòû òî÷êè M. Ïîñêîëüêó

Y " Y#

xB = 5. Àíàëîãè÷íî

Y. òî èìååì

Z " Z#

Î ò â å ò: B (5; –13).

Y #

–1 + xB = 4;

yB = –13.

¾Ã¹ÉËÇ»Ô ÃÇÇÉ½ÁÆ¹ËÔ Æ¹ ÈÄÇÊÃÇÊËÁ

Ï ð è ì å ð 3. Äîêàæèòå, ÷òî ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD ñ âåðøèíàìè â òî÷êàõ A (2; –1), B (1; 3), C (–3; 2) è D (–2; –2) ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíèêîì. Ð å ø å í è å. Ïóñòü òî÷êà M — ñåðåäèíà äèàãîíàëè AC. Òîãäà Y.

Y " Y$

Z " Z$

Ñëåäîâàòåëüíî, M (–0,5; 0,5). Ïóñòü òî÷êà K — ñåðåäèíà äèàãîíàëè BD. Òîãäà Y,

Y# Y%

Z# Z%

K (–0,5; 0,5). Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êè M è K ñîâïàäàþò. Òî åñòü äèàãîíàëè ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD èìåþò îáùóþ ñåðåäèíó. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ABCD — ïàðàëëåëîãðàìì. Äàëåå, "$ #% Ñëåäîâàòåëüíî, äèàãîíàëè ïàðàëëåëîãðàììà ABCD ðàâíû. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ýòîò ïàðàëëåëîãðàìì ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíèêîì.

£¹Ã Æ¹ÂËÁ É¹ÊÊËÇØÆÁ¾ Å¾¿½Ì ½»ÌÅØ ËÇÐÃ¹ÅÁ ¾ÊÄÁ ÁÀ»¾ÊËÆÔ ÁÎ ÃÇÇÉ½ÁÆ¹ËÔ £¹Ã Æ¹ÂËÁ ÃÇÇÉ½ÁÆ¹ËÔ Ê¾É¾½ÁÆÔ ÇËÉ¾ÀÃ¹ ¾ÊÄÁ ÁÀ»¾ÊËÆÔ ÃÇÇÉ½ÁÆ¹ËÔ ¾¼Ç ÃÇÆÏÇ»

«§¨ ¥ ¥ · 291.° Íàéäèòå ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè A è B, åñëè: 1) A (10; 14), B (5; 2); 2) A (–1; 2), B (4; –3). 292.° Íàéäèòå ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè C è D, åñëè: 2) C (6; 3), D (7; –1). 1) C (–2; –4), D (4; –12); 293.° Âåðøèíàìè òðåóãîëüíèêà ÿâëÿþòñÿ òî÷êè A(–1; 3), B(5; 9), C(6; 2). Äîêàæèòå, ÷òî ΔABC — ðàâíîáåäðåííûé.

©¹ÊÊËÇØÆÁ¾ Å¾¿½Ì ½»ÌÅØ ËÇÐÃ¹ÅÁ Ê À¹½¹ÆÆÔÅÁ ÃÇÇÉ½ÁÆ¹Ë¹ÅÁ

294.° Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êà M (0; –1) ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà ABC, åñëè A (6; – 9), B (– 6; 7), C (8; 5). 295.° Äîêàæèòå, ÷òî óãëû B è C òðåóãîëüíèêà ABC ðàâíû, åñëè A (5; –7), B (–3; 8), C (–10; –15). 296.° Íàéäèòå êîîðäèíàòû ñåðåäèíû îòðåçêà BC, åñëè: 2) B (–2; –1), C (–1; 7). 1) B (5; 4), C (3; 2); 297.° Òî÷êà C — ñåðåäèíà îòðåçêà AB. Íàéäèòå êîîðäèíàòû òî÷êè B, åñëè: 2) A (–1; 1), C (0,5; –1). 1) A (3; –4), C (2; 1); 298.° Òî÷êà K — ñåðåäèíà îòðåçêà AD. Çàïîëíèòå òàáëèöó: Òî÷êà

Êîîðäèíàòû òî÷êè

(–3; 1)

(–1; –3)

(–8; 2) (–9; 2) (–4; 6)

(1; 2)

299.° Íàéäèòå äëèíó ìåäèàíû BM òðåóãîëüíèêà, âåðøèíàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ òî÷êè A (3; –2), B (2; 3) è C (7; 4). 300.° Äàíû òî÷êè A (–2; 4) è B (2; –8). Íàéäèòå ðàññòîÿíèå îò íà÷àëà êîîðäèíàò äî ñåðåäèíû îòðåçêà AB. • 301. Äîêàæèòå, ÷òî òðåóãîëüíèê ñ âåðøèíàìè â òî÷êàõ A (2; 7), B (–1; 4), C (1; 2) ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíûì. • 302. Òî÷êè A (–1; 2) è B (7; 4) ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìè ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà. Ìîæåò ëè òðåòüÿ âåðøèíà òðåóãîëüíèêà èìåòü êîîðäèíàòû: 1) (7; 2); 2) (2; –3)? • 303. Ëåæàò ëè íà îäíîé ïðÿìîé òî÷êè: 1) A (–2; –7), B(–1; –4) è C (5; 14); 2) D (–1; 3), E (2; 13) è F (5; 21)? Â ñëó÷àå óòâåðäèòåëüíîãî îòâåòà óêàæèòå, êàêàÿ èç òî÷åê ëåæèò ìåæäó äâóìÿ äðóãèìè. • 304. Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êè M (–4; 5), N (–10; 7) è K (8; 1) ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé, è óêàæèòå, êàêàÿ èç íèõ ëåæèò ìåæäó äâóìÿ äðóãèìè. • 305. Ïðè êàêîì çíà÷åíèè x ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè C (3; 2) è D (x; –1) ðàâíî 5?

¾Ã¹ÉËÇ»Ô ÃÇÇÉ½ÁÆ¹ËÔ Æ¹ ÈÄÇÊÃÇÊËÁ •

306. Íà îñè àáñöèññ íàéäèòå òî÷êó, ðàâíîóäàëåííóþ îò òî÷åê A (–1; –1) è B (2; 4). • 307. Íàéäèòå êîîðäèíàòû òî÷êè, ïðèíàäëåæàùåé îñè îðäèíàò è ðàâíîóäàëåííîé îò òî÷åê D (–2; –3) è E (4; 1). • 308. Íàéäèòå êîîðäèíàòû òî÷êè, êîòîðàÿ äåëèò îòðåçîê AB â îòíîøåíèè 1 : 3, ñ÷èòàÿ îò òî÷êè A, åñëè A (5; –3) è B (–3; 7). • 309. ×åòûðåõóãîëüíèê ABCD — ïàðàëëåëîãðàìì, A (–5; 1), B (–4; 4), C (–1; 5). Íàéäèòå êîîðäèíàòû âåðøèíû D. • 310. ×åòûðåõóãîëüíèê ABCD — ïàðàëëåëîãðàìì, A (–2; –2), C (4; 1), D (–1; 1). Íàéäèòå êîîðäèíàòû âåðøèíû B. • 311. Äîêàæèòå, ÷òî ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD ñ âåðøèíàìè â òî÷êàõ A (–2; 8), B (3; –3), C (6; 2) è D (1; 13) ÿâëÿåòñÿ ïàðàëëåëîãðàììîì. • 312. Äîêàæèòå, ÷òî ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD ñ âåðøèíàìè â òî÷êàõ A (–3; –2), B (–1; 2), C (1; –2) è D (–1; –6) ÿâëÿåòñÿ ðîìáîì. • 313. Äîêàæèòå, ÷òî ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD ñ âåðøèíàìè â òî÷êàõ A (–2; 6), B (–8; –2), C (0; –8) è D (6; 0) ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì. • 314. Òî÷êè D (1; 4) è E (2; 2) — ñåðåäèíû ñòîðîí AC è BC òðåóãîëüíèêà ABC ñîîòâåòñòâåííî. Íàéäèòå êîîðäèíàòû âåðøèí A è C, åñëè B (–3; –1). • 315. Íàéäèòå äëèíó îòðåçêà, êîíöû êîòîðîãî ïðèíàäëåæàò îñÿì êîîðäèíàò, à ñåðåäèíîé ÿâëÿåòñÿ òî÷êà M (–3; 8). •• 316. Íàéäèòå êîîðäèíàòû âåðøèíû C ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà ABC, åñëè A (2; –3) è B (–2; 3). •• 317. Íàéäèòå êîîðäèíàòû âåðøèíû E ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà DEF, åñëè D (–6; 0) è F (2; 0). •• 318. Â òðåóãîëüíèêå ABC èçâåñòíî, ÷òî AB = BC, A (5; 9), C (1; –3), ìîäóëè êîîðäèíàò òî÷êè B ðàâíû. Íàéäèòå êîîðäèíàòû òî÷êè B. •• 319. Íàéäèòå êîîðäèíàòû âñåõ òî÷åê C îñè àáñöèññ òàêèõ, ÷òî œ ABC — ðàâíîáåäðåííûé, åñëè A (1; 1), B (2; 3). •• 320. Íàéäèòå êîîðäèíàòû âñåõ òî÷åê B îñè îðäèíàò òàêèõ, ÷òî œ ABC — ïðÿìîóãîëüíûé, åñëè A (1; 3), C (3; 7).

¬É¹»Æ¾ÆÁ¾ ÍÁ¼ÌÉÔ ¬É¹»Æ¾ÆÁ¾ ÇÃÉÌ¿ÆÇÊËÁ

«§¨ ¥ ¥ · £· §¦ ª¦¨ ¥ · 321. Â òðåóãîëüíèêå ABC èçâåñòíî, ÷òî ∠ C = 90°, AB = = 9 ñì, BC = 3 ñì. Íà ãèïîòåíóçå AB îòìåòèëè òî÷êó M òàê, ÷òî AM : MB = 1 : 2. Íàéäèòå CM. 322. Íàéäèòå óãëû ðîìáà, åñëè óãîë ìåæäó âûñîòîé è äèàãîíàëüþ ðîìáà, ïðîâåäåííûìè èç îäíîé âåðøèíû, ðàâåí 28°. 323. Äèàãîíàëü BD ïàðàëëåëîãðàììà ABCD ðàâíà 24 ñì, òî÷êà E — ñåðåäèíà ñòîðîíû BC. Íàéäèòå îòðåçêè, íà êîòîðûå ïðÿìàÿ AE äåëèò äèàãîíàëü BD. ¦ª¦ ¤©· ¢ «¯ ¥ ¶ ¥¦ ¦¡ ª ¤³ 324. Òî÷êà A (1; – 6) — öåíòð îêðóæíîñòè, òî÷êà B (10; 6) ïðèíàäëåæèò ýòîé îêðóæíîñòè. ×åìó ðàâåí ðàäèóñ îêðóæíîñòè? 325. Îòðåçîê CD — äèàìåòð îêðóæíîñòè. Íàéäèòå êîîðäèíàòû öåíòðà îêðóæíîñòè è åå ðàäèóñ, åñëè C (6; –4), D (–2; 10). 326. Êàêàÿ ôèãóðà ÿâëÿåòñÿ ãðàôèêîì óðàâíåíèÿ: 3) x = –2; 5) xy = 1; 1) y = 1; 4) (x + 2)2 + (y – 3)2 = 0; 6) Z Y 2) y = 3x – 4;

«È¸ºÅ½ÅÀ½ ÌÀ»ËÈÓ «È¸ºÅ½ÅÀ½ ÆÂÈË¾ÅÆÉÊÀ Êîîðäèíàòû (x; y) êàæäîé òî÷êè ïàðàáîëû, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 69, ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ y = x2. È íàîáîðîò, êàæäîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè y = x2 ÿâëÿåòñÿ êîîðäèíàòàìè òî÷êè, ëåæàùåé íà ýòîé ïàðàáîëå. Â ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî óðàâíåíèå ïàðàáîëû, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 69, èìååò âèä y = x2.

0 Ðèñ. 69

¾Ã¹ÉËÇ»Ô ÃÇÇÉ½ÁÆ¹ËÔ Æ¹ ÈÄÇÊÃÇÊËÁ

Âîîáùå, ó ð à â í å í è å ì ô è ã ó ð û F, çàäàííîé íà ïëîñêîñòè xy, íàçûâàþò óðàâíåíèå ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè x è y, èìåþùåå äâà ñâîéñòâà: 1) åñëè òî÷êà ïðèíàäëåæèò ôèãóðå F, òî åå êîîðäèíàòû ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì äàííîãî óðàâíåíèÿ; 2) ëþáîå ðåøåíèå (x; y) äàííîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ êîîðäèíàòàìè òî÷êè, ïðèíàäëåæàùåé ôèãóðå F. Íàïðèìåð, óðàâíåíèå ïðÿìîé, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 70, èìååò âèä y = 2x – 1, à óðàâíåíèå ãèïåðáîëû, èçî Y

áðàæåííîé íà ðèñóíêå 71, — Z Òàêæå ïðèíÿòî ãîâî

ðèòü, ÷òî, íàïðèìåð, óðàâíåíèÿ y = 2x – 1 è Z çàäàþò Y ïðÿìóþ è ãèïåðáîëó ñîîòâåòñòâåííî. y

Ðèñ. 70

Ðèñ. 71

Åñëè äàííîå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì ôèãóðû F, òî ýòó ôèãóðó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê (ÃÌÒ), êîîðäèíàòû êîòîðûõ óäîâëåòâîðÿþò äàííîìó óðàâíåíèþ. Ïîëüçóÿñü ýòèìè ñîîáðàæåíèÿìè, âûâåäåì óðàâíåíèå îêðóæíîñòè ðàäèóñà R ñ öåíòðîì â òî÷êå A (a; b). Ïóñòü M (x; y) — ïðîèçâîëüíàÿ y òî÷êà äàííîé îêðóæíîñòè (ðèñ. 72). Òîãäà AM = R èëè M (x; y)

A (a; b) 0

x Ðèñ. 72

Y B Z C 3 Îòñþäà (*) (x – a)2 + (y – b)2 = R2. Ìû ïîêàçàëè, ÷òî êîîðäèíàòû (x; y) ïðîèçâîëüíîé òî÷êè M îêðóæíîñòè ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (*). Òåïåðü ïîêàæåì, ÷òî ëþáîå ðå

¬É¹»Æ¾ÆÁ¾ ÍÁ¼ÌÉÔ ¬É¹»Æ¾ÆÁ¾ ÇÃÉÌ¿ÆÇÊËÁ

øåíèå óðàâíåíèÿ (x – a)2 + (y – b)2 = R2, ãäå R > 0, ÿâëÿåòñÿ êîîðäèíàòàìè òî÷êè, ïðèíàäëåæàùåé äàííîé îêðóæíîñòè. Ïóñòü ïàðà (x1; y1) — ïðîèçâîëüíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (*). Èìååì: (x1 – a)2 + (y1 – b)2 = R2. Îòñþäà Y B Z C 3 Ýòà ðàâåíñòâî ïîêàçûâàåò, ÷òî òî÷êà N (x1; y1) óäàëåíà îò öåíòðà îêðóæíîñòè A (a; b) íà ðàññòîÿíèå, ðàâíîå ðàäèóñó îêðóæíîñòè, à ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êà N (x1; y1) ïðèíàäëåæèò äàííîé îêðóæíîñòè. Èòàê, ìû äîêàçàëè òàêóþ òåîðåìó. Ò å î ð å ì à 9 . 1. Óðàâíåíèå (x – a)2 + (y – b)2 = R2, ãäå R > 0, ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â òî÷êå A(a; b) è ðàäèóñîì R. Åñëè öåíòðîì îêðóæíîñòè ÿâëÿåòñÿ íà÷àëî êîîðäèíàò, òî a = b = 0. Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 73, èìååò âèä: x2 + y2 = R2. Ï ð è ì å ð 1. Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå îêðóæíîñòè, äèàìåòðîì êîòîðîé ÿâëÿåòy ñÿ îòðåçîê AB, åñëè A (–5; 9), B (7; –3). R Ð å ø å í è å. Òàê êàê öåíòð îêðóæíîñòè ÿâëÿåòñÿ ñåðåäèíîé äèàìåòðà, R òî ìîæåì íàéòè êîîðäèíàòû (a; b) 0 x öåíòðà C îêðóæíîñòè: B

Ñëåäîâàòåëüíî, C (1; 3). Ðèñ. 73 Ðàäèóñ îêðóæíîñòè R = AC. Òîãäà R2 = (1 + 5)2 + (3 – 9)2 = 72. Ñëåäîâàòåëüíî, èñêîìîå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ òàêèì: (x – 1)2 + (y – 3)2 = 72. Ï ð è ì å ð 2. Äîêàæèòå, ÷òî óðàâíåíèå x2 + y2 + 6x – – 14y + 50 = 0 çàäàåò îêðóæíîñòü. Íàéäèòå êîîðäèíàòû öåíòðà è ðàäèóñ ýòîé îêðóæíîñòè.

¾Ã¹ÉËÇ»Ô ÃÇÇÉ½ÁÆ¹ËÔ Æ¹ ÈÄÇÊÃÇÊËÁ

Ð å ø å í è å. Ïðåäñòàâèì äàííîå óðàâíåíèå â âèäå (x – a)2 + + (y – b)2 = R2: x2 + 6x + 9 + y2 – 14y + 49 + 50 – 58 = 0; (x + 3)2 + (y – 7)2 = 8. Ñëåäîâàòåëüíî, äàííîå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â òî÷êå (–3; 7) è ðàäèóñîì Ï ð è ì å ð 3. Äîêàæèòå, ÷òî òðåóãîëüíèê ñ âåðøèíàìè â òî÷êàõ A (–2; –3), B (1; 3) è C (5; 1) ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíûì, è ñîñòàâüòå óðàâíåíèå îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà ABC. Ð å ø å í è å. Íàéäåì êâàäðàòû ñòîðîí äàííîãî òðåóãîëüíèêà: AB2 = (1 + 2)2 + (3 + 3)2 = 45; AC2 = (5 + 2)2 + (1 + 3)2 = 65; BC2 = (5 – 1)2 + (1 – 3)2 = 20. Òàê êàê AB2 + BC2 = AC2, òî äàííûé òðåóãîëüíèê ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíûì ñ ïðÿìûì óãëîì ïðè âåðøèíå B. Öåíòðîì îïèñàííîé îêðóæíîñòè ÿâëÿåòñÿ ñåðåäèíà ãèïîòåíóçû

AC — òî÷êà (1,5; –1), ðàäèóñ îêðóæíîñòè 3 "$ Ñëåäîâàòåëüíî, èñêîìîå óðàâíåíèå èìååò âèä:

Y Z

°ËÇ Æ¹ÀÔ»¹×Ë ÌÉ¹»Æ¾ÆÁ¾Å ÍÁ¼ÌÉÔ À¹½¹ÆÆÇÂ Æ¹ ÈÄÇÊÃÇÊËÁ xy £¹ÃÇÂ »Á½ ÁÅ¾¾Ë ÌÉ¹»Æ¾ÆÁ¾ ÇÃÉÌ¿ÆÇÊËÁ Ê Ï¾ÆËÉÇÅ » ËÇÐÃ¾ a b Á É¹½ÁÌÊÇÅ R £¹ÃÇÂ »Á½ ÁÅ¾¾Ë ÌÉ¹»Æ¾ÆÁ¾ ÇÃÉÌ¿ÆÇÊËÁ Ê Ï¾ÆËÉÇÅ » Æ¹Ð¹Ä¾ ÃÇ ÇÉ½ÁÆ¹Ë Á É¹½ÁÌÊÇÅ R

«§¨ ¥ ¥ · 327.° Îïðåäåëèòå ïî óðàâíåíèþ îêðóæíîñòè êîîðäèíàòû åå öåíòðà è ðàäèóñ: 3) x2 + y2 = 7; 1) (x – 8)2 + (y – 3)2 = 25; 4) x2 + (y + 1)2 = 3. 2) (x + 5)2 + y2 = 9;

¬É¹»Æ¾ÆÁ¾ ÍÁ¼ÌÉÔ ¬É¹»Æ¾ÆÁ¾ ÇÃÉÌ¿ÆÇÊËÁ

328.° Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå îêðóæíîñòè, åñëè èçâåñòíû êîîðäèíàòû åå öåíòðà A è ðàäèóñ R: 3) A (7; –6), 3 1) A (3; 4), R = 4; 2) A (–2; 0), R = 1; 4) A (0; 5), 3 329.° Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå îêðóæíîñòè, åñëè èçâåñòíû êîîðäèíàòû åå öåíòðà B è ðàäèóñ R: 2) B (–8; –8), 3 1) B (–1; 9), R = 9; 330.° Îïðåäåëèòå êîîðäèíàòû öåíòðà è ðàäèóñ îêðóæíîñòè, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 74, è çàïèøèòå óðàâíåíèå ýòîé îêðóæíîñòè. y

y 2

3 x

0 à)

x á)

y y

–1 0

–3

x 0

â)

ã) Ðèñ. 74

331.° Ðàäèóñ îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â òî÷êå A ðàâåí 4 (ðèñ. 75). Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå ýòîé îêðóæíîñòè. 332.° Ïîñòðîéòå íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè îêðóæíîñòü, óðàâíåíèå êîòîðîé èìååò âèä: 2) (x + 1)2 + (y – 2)2 = 25. 1) x2 + y2 = 4; 333.° Ïîñòðîéòå íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè îêðóæíîñòü ïî åå óðàâíåíèþ (x – 4)2 + y2 = 9.

¾Ã¹ÉËÇ»Ô ÃÇÇÉ½ÁÆ¹ËÔ Æ¹ ÈÄÇÊÃÇÊËÁ

y 0 0

x A

à)

á) Ðèñ. 75

334.° Îêðóæíîñòü çàäàíà óðàâíåíèåì (x + 6)2 + (y – 1)2 = = 10. Âûÿñíèòå, êàêèå èç òî÷åê A (–3; 0), B (–5; –2), C (1; 0), D (–4; 3), E (–7; –3), F (–9; 0) ëåæàò: 1) íà îêðóæíîñòè; 2) âíóòðè îêðóæíîñòè; 3) âíå îêðóæíîñòè. 335.° Ïðèíàäëåæèò ëè îêðóæíîñòè (x – 2)2 + (y + 2)2 = = 100 òî÷êà: 1) A (8; –8); 2) B (6; –9); 3) C (–3; 7); 4) D (–4; 6)? 336.° Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â òî÷êå M (–3; 1), ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó K (–1; 5). 337.° Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå îêðóæíîñòè, äèàìåòðîì êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ îòðåçîê AB, åñëè A (2; –7), B (–2; 3). • 338. Äîêàæèòå, ÷òî îòðåçîê AB ÿâëÿåòñÿ äèàìåòðîì îêðóæíîñòè (x – 5)2 + (y + 4)2 = 17, åñëè A (1; –5), B (9; –3). • 339. Äîêàæèòå, ÷òî îòðåçîê CD ÿâëÿåòñÿ õîðäîé îêðóæíîñòè x2 + (y – 9)2 = 169, åñëè C (5; –3), D (–12; 4). • 340. Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå îêðóæíîñòè, öåíòðîì êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ òî÷êà P (–6; 7) è êîòîðàÿ êàñàåòñÿ îñè îðäèíàò. • 341. Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå îêðóæíîñòè, öåíòð êîòîðîé íàõîäèòñÿ íà ïðÿìîé y = –5 è êîòîðàÿ êàñàåòñÿ îñè àáñöèññ â òî÷êå S (2; 0). • 342. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò îêðóæíîñòåé, ðàäèóñû êîòîðûõ ðàâíû öåíòðû ïðèíàäëåæàò îñè îðäèíàò è êîòîðûå ïðîõîäÿò ÷åðåç òî÷êó (3; 5)? Çàïèøèòå óðàâíåíèå êàæäîé òàêîé îêðóæíîñòè. • 343. Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå îêðóæíîñòè, öåíòð êîòîðîé ïðèíàäëåæèò îñè àáñöèññ è êîòîðàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè A (–4; 1) è B (8; 5).

¬É¹»Æ¾ÆÁ¾ ÍÁ¼ÌÉÔ ¬É¹»Æ¾ÆÁ¾ ÇÃÉÌ¿ÆÇÊËÁ •

344. Äîêàæèòå, ÷òî îêðóæíîñòü (x + 6)2 + (y – 3)2 = 36: 1) êàñàåòñÿ îñè îðäèíàò; 2) ïåðåñåêàåò îñü àáñöèññ; 3) íå èìååò îáùèõ òî÷åê ñ ïðÿìîé y = 10. •• 345. Óñòàíîâèòå, ÿâëÿåòñÿ ëè äàííîå óðàâíåíèå óðàâíåíèåì îêðóæíîñòè. Â ñëó÷àå óòâåðäèòåëüíîãî îòâåòà óêàæèòå êîîðäèíàòû öåíòðà è ðàäèóñ R ýòîé îêðóæíîñòè: 1) x2 + 2x + y2 – 10y – 23 = 0; 2) x2 – 12x + y2 + 4y + 40 = 0; 3) x2 + y2 + 6y + 8x + 34 = 0; 4) x2 + y2 – 4x – 14y + 51 = 0. •• 346. Äîêàæèòå, ÷òî äàííîå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì îêðóæíîñòè, è óêàæèòå êîîðäèíàòû öåíòðà è ðàäèóñ R ýòîé îêðóæíîñòè: 1) x2 + y2 + 16y + 60 = 0; 2) x2 + y2 – 8x + 4y + 15 = 0. •• 347. Äîêàæèòå, ÷òî òðåóãîëüíèê ñ âåðøèíàìè â òî÷êàõ A (–1; –2), B (–1; 2), C (5; 2) ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíûì, è ñîñòàâüòå óðàâíåíèå îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ýòîãî òðåóãîëüíèêà. •• 348. Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå îêðóæíîñòè, ðàäèóñ êîòîðîé ðàâåí 5 è êîòîðàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè C (–1; 5) è D (6; 4). •• 349. Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå îêðóæíîñòè, ðàäèóñ êîòîðîé ðàâåí è êîòîðàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè M (–2; 1) è K (–4; –1). •• 350. Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå îêðóæíîñòè, êîòîðàÿ êàñàåòñÿ êîîðäèíàòíûõ îñåé è ïðÿìîé y = –4. •• 351. Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå îêðóæíîñòè, êàñàþùåéñÿ êîîðäèíàòíûõ îñåé è ïðÿìîé x = 2. 352.* Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå îêðóæíîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè: 1) A (–3; 7), B (–8; 2), C (–6; –2); 2) M (–1; 10), N (12; –3), K (4; 9). «§¨ ¥ ¥ · £· §¦ ª¦¨ ¥ · 353. Áèññåêòðèñà óãëà B ïàðàëëåëîãðàììà ABCD ïåðåñåêàåò åãî ñòîðîíó AD â òî÷êå E, AB = BE = 12 ñì, ED = = 18 ñì. Íàéäèòå ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà.

¾Ã¹ÉËÇ»Ô ÃÇÇÉ½ÁÆ¹ËÔ Æ¹ ÈÄÇÊÃÇÊËÁ

354. Ïåðïåíäèêóëÿð, îïóùåííûé èç âåðøèíû ïðÿìîóãîëüíèêà íà åãî äèàãîíàëü, äåëèò ýòó äèàãîíàëü íà îòðåçêè äëèíîé 9 ñì è 16 ñì. Íàéäèòå ïåðèìåòð ïðÿìîóãîëüíèêà. 355. Â ðàâíîáîêóþ òðàïåöèþ âïèñàíà îêðóæíîñòü ðàäèóñà 12 ñì. Îäíà èç áîêîâûõ ñòîðîí òî÷êîé êàñàíèÿ äåëèòñÿ íà äâà îòðåçêà, îäèí èç êîòîðûõ ðàâåí 16 ñì. Íàéäèòå ïëîùàäü òðàïåöèè.

«È¸ºÅ½ÅÀ½ ÇÈ×ÄÆÁ Â ïðåäûäóùåì ïóíêòå, ðàññìàòðèâàÿ îêðóæíîñòü êàê ÃÌÒ, ðàâíîóäàëåííûõ îò äàííîé òî÷êè, ìû âûâåëè åå óðàâíåíèå. Äëÿ òîãî, y ÷òîáû âûâåñòè óðàâíåíèå ïðÿìîé, A (x1; y1) a ðàññìîòðèì åå êàê ÃÌÒ, ðàâíîóäàM (x; y) ëåííûõ îò äâóõ òî÷åê. Ïóñòü a — äàííàÿ ïðÿìàÿ. Âûáåðåì äâå òî÷êè A (x1; y1) è x 0 B (x2; y2) òàê, ÷òîáû ïðÿìàÿ a áûëà ñåðåäèííûì ïåðïåíäèêóëÿB (x2; y2) ðîì îòðåçêà AB (ðèñ. 76). Ðèñ. 76 Ïóñòü M (x; y) — ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ïðÿìîé a. Òîãäà MA = MB, òî åñòü (*) Y Y Z Z Y Y Z Z Ìû ïîêàçàëè, ÷òî êîîðäèíàòû (x; y) ïðîèçâîëüíîé òî÷êè M ïðÿìîé a ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (*). Òåïåðü ïîêàæåì, ÷òî ëþáîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (*) ÿâëÿåòñÿ êîîðäèíàòàìè òî÷êè, ïðèíàäëåæàùåé äàííîé ïðÿìîé a. Ïóñòü (x0; y0) — ïðîèçâîëüíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (*). Èìååì: Y Y Z Z Y Y Z Z Ýòî ðàâåíñòâî îçíà÷àåò, ÷òî òî÷êà N(x0; y0) ðàâíîóäàëåíà îò òî÷åê A (x1; y1) è B (x2; y2), ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êà N ïðèíàäëåæèò ñåðåäèííîìó ïåðïåíäèêóëÿðó îòðåçêà AB, òî åñòü ïðÿìîé a. Èòàê, ìû äîêàçàëè, ÷òî óðàâíåíèå (*) è åñòü óðàâíåíèå äàííîé ïðÿìîé a. Îäíàêî èç êóðñà àëãåáðû 7 êëàññà âû çíàåòå, ÷òî óðàâíåíèå ïðÿìîé âûãëÿäèò ãîðàçäî ïðîùå, à èìåííî: ax + by = c,

¬É¹»Æ¾ÆÁ¾ ÈÉØÅÇÂ

ãäå a, b, c — íåêîòîðûå ÷èñëà, ïðè÷åì a è b íå ðàâíû íóëþ îäíîâðåìåííî. Ïîêàæåì, ÷òî óðàâíåíèå (*) ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ê òàêîìó âèäó. Èìååì: (x – x1)2 + (y – y1)2 = (x – x2)2 + (y – y2)2. Âîçâåäÿ âñå äâó÷ëåíû â êâàäðàò è ïðèâåäÿ ïîäîáíûå ñëàãàåìûå, ïîëó÷èì: Y Y Y Z Z Z Y Z Y Z Îáîçíà÷èâ 2 (x2 – x1) = a, 2 (y2 – y1) = b, Y Z Y Z D ïîëó÷èì óðàâíåíèå ax + by = c. Ïîñêîëüêó òî÷êè A (x1; y1) è B (x2; y2) ðàçëè÷íû, òî õîòÿ áû îäíà èç ðàçíîñòåé x2 – x1 è y2 – y1 íå ðàâíà íóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî, ÷èñëà a è b íå ðàâíû íóëþ îäíîâðåìåííî. Èòàê, ìû äîêàçàëè òàêóþ òåîðåìó. Ò å î ð å ì à 10.1. Óðàâíåíèå ïðÿìîé èìååò âèä ax + by = c, ãäå a, b è c — íåêîòîðûå ÷èñëà, ïðè÷åì a è b íå ðàâíû íóëþ îäíîâðåìåííî. Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ

Ç à ì å ÷ à í è å. Âåðíî è ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè òàêîå óòâåðæäåíèå: ëþáîå Óðàâíåíèÿ óðàâíåíèå âèäà ax + by = c, ïðÿìûõ ãäå a, b è c — íåêîòîðûå ÷èñëà, ïðè÷åì a è b íå ðàâÐèñ. 77 íû íóëþ îäíîâðåìåííî, ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì ïðÿìîé. Åñëè a = b = c = 0, òî ãðàôèêîì óðàâíåíèÿ ax + by = c ÿâëÿåòñÿ âñÿ ïëîñêîñòü xy. Åñëè a = b = 0 è c ≠ 0, òî óðàâíåíèå íå èìååò ðåøåíèé. Èç êóðñà àëãåáðû 7 êëàññà âû çíàåòå, ÷òî óðàâíåíèå âèäà ax + by = c íàçûâàþò ëèíåéíûì óðàâíåíèåì ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè. Ñõåìà, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñóíêå 77, èëëþñòðèðóåò âûøåñêàçàííîå. Òàêæå íà óðîêàõ àëãåáðû â 7 êëàññå ìû ïðèíÿëè áåç äîêàçàòåëüñòâà òîò ôàêò, ÷òî ãðàôèêîì ëèíåéíîé ôóíêöèè y = kx + p ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ. Ñåé÷àñ ìû ýòî ìîæåì äîêàçàòü.

¾Ã¹ÉËÇ»Ô ÃÇÇÉ½ÁÆ¹ËÔ Æ¹ ÈÄÇÊÃÇÊËÁ

Äåéñòâèòåëüíî, ïåðåïèøåì óðàâíåíèå y = kx + p òàê: –kx + y = p. Ìû ïîëó÷èëè óðàâíåíèå âèäà ax + by = c äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà a = –k, b = 1, c = p. À ëþáóþ ëè ïðÿìóþ íà ïëîñêîñòè ìîæíî çàäàòü óðàâíåíèåì âèäà y = kx + p? Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ îòðèöàòåëüíûé. Äåëî â òîì, ÷òî ïðÿìàÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ îñè àáñöèññ, íå ìîæåò ÿâëÿòüñÿ ãðàôèêîì ôóíêöèè, à ñëåäîâàòåëüíî, íå ìîæåò èìåòü óðàâíåíèå âèäà y = kx + p. Âìåñòå ñ òåì, åñëè â óðàâíåíèè ïðÿìîé ax + by = c ïîD

ëîæèòü b = 0, òî åãî ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê: Y Ìû ïîB ëó÷èëè ÷àñòíûé âèä óðàâíåíèÿ ïðÿìîé, âñå òî÷êè êîòîðîé èìåþò îäèíàêîâûå àáñöèññû. Ñëåäîâàòåëüíî, ýòà ïðÿìàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà îñè àáñöèññ. Åå íàçûâàþò âåðòèêàëüíîé. Òàêæå îòìåòèì, ÷òî åñëè b ≠ 0, òî óðàâíåíèå ïðÿìîé B C

D C

ax + by = c ìîæíî çàïèñàòü òàê: Z Y Îáîçíà÷èâ B C

D B

Q ïîëó÷èì óðàâíåíèå y = kx + p.

Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè b = 0 è a ≠ 0, òî óðàâíåíèå ïðÿìîé ax + by = c çàäàåò âåðòèêàëüíóþ ïðÿìóþ; åñëè b ≠ 0, òî ýòî óðàâíåíèå çàäàåò íåâåðòèêàëüíóþ ïðÿìóþ. Óðàâíåíèå íåâåðòèêàëüíîé ïðÿìîé óäîáíî çàïèñûâàòü â âèäå y = kx + p. Äàííàÿ òàáëèöà ïîäûòîæèâàåò ìàòåðèàë, ðàññìîòðåííûé â ýòîì ïóíêòå. Óðàâíåíèå

Çíà÷åíèÿ a, b, c

Ãðàôèê

ax + by = c

b ≠ 0, a è c — ëþáûå

íåâåðòèêàëüíàÿ ïðÿìàÿ

ax + by = c

b = 0, a ≠ 0, c — ëþáîå

âåðòèêàëüíàÿ ïðÿìàÿ

ax + by = c

a=b=c=0

âñÿ êîîðäèíàòíàÿ ïëîñêîñòü

ax + by = c

a = b = 0, c ≠ 0

—

¬É¹»Æ¾ÆÁ¾ ÈÉØÅÇÂ

Ï ð è ì å ð 1. Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè: 1) A (–3; 5) è B (–3; –6); 2) C (6; 1) è D (–18; –7). Ðåøåíèå 1) Òàê êàê äàííûå òî÷êè èìåþò ðàâíûå àáñöèññû, òî ïðÿìàÿ AB ÿâëÿåòñÿ âåðòèêàëüíîé è åå óðàâíåíèå èìååò âèä x = –3. Î ò â å ò: x = –3. 2) Òàê êàê äàííûå òî÷êè èìåþò ðàçíûå àáñöèññû, òî ïðÿìàÿ CD íå ÿâëÿåòñÿ âåðòèêàëüíîé, è ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ óðàâíåíèåì ïðÿìîé â âèäå y = kx + p. Ïîäñòàâèâ êîîðäèíàòû òî÷åê C è D â óðàâíåíèå y = = kx + p, ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé: ª L Q « ¬ L Q

Ðåøèâ ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé, íàõîäèì, ÷òî L p = –1.

Î ò â å ò: Z Y Ï ð è ì å ð 2. Íàéäèòå ïåðèìåòð è ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà, îãðàíè÷åííîãî ïðÿìîé 5x + 12y = –60 è îñÿìè êîîðäèíàò. Ð å ø å í è å. Íàéäåì òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ äàííîé ïðÿìîé ñ îñÿìè êîîðäèíàò. Ñ îñüþ àáñöèññ: 5x = –60, x = –12. Ñ îñüþ îðäèíàò: 12y = –60, y = –5. Ñëåäîâàòåëüíî, äàííàÿ ïðÿìàÿ è îñè êîîðäèíàò îãðàíè÷èâàþò ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê AOB (ðèñ. 78) òàêîé, y ÷òî A (–12; 0), B (0; –5), O (0; 0). Òîãäà OA = 12, OB = 5, "# "0 #0 Èñêîìûé ïåðèìåòð P = OA + OB + AB =

–12

= 30, ïëîùàäü 4 0" æ0# Î ò â å ò: P = 30, S = 30.

–5 Ðèñ. 78

¾Ã¹ÉËÇ»Ô ÃÇÇÉ½ÁÆ¹ËÔ Æ¹ ÈÄÇÊÃÇÊËÁ

£¹ÃÇÂ »Á½ ÁÅ¾¾Ë ÌÉ¹»Æ¾ÆÁ¾ ÈÉØÅÇÂ Æ¹ ÈÄÇÊÃÇÊËÁ xy £¹Ã ÈÉÁÆØËÇ Æ¹ÀÔ»¹ËÕ ÈÉØÅÌ× »Ê¾ ËÇÐÃÁ ÃÇËÇÉÇÂ ÁÅ¾×Ë Ç½ÁÆ¹ ÃÇ»Ô¾ ¹ºÊÏÁÊÊÔ £¹Ã É¹ÊÈÇÄÇ¿¾Æ¹ ÖË¹ ÈÉØÅ¹Ø ÇËÆÇÊÁË¾ÄÕÆÇ ÇÊÁ ¹ºÊÏÁÊÊ Ã¹ÃÇÅ »Á½¾ Ì½ÇºÆÇ À¹ÈÁÊÔ»¹ËÕ ÌÉ¹»Æ¾ÆÁ¾ Æ¾»¾ÉËÁÃ¹ÄÕÆÇÂ ÈÉØÅÇÂ ¤×ºÇ¾ ÄÁ ÄÁÆ¾ÂÆÇ¾ ÌÉ¹»Æ¾ÆÁ¾ Ê ½»ÌÅØ È¾É¾Å¾ÆÆÔÅÁ Ø»ÄØ¾ËÊØ ÌÉ¹»Æ¾ÆÁ¾Å ÈÉØÅÇÂ ¤×ºÌ× ÄÁ ÈÉØÅÌ× Æ¹ ÈÄÇÊÃÇÊËÁ ÅÇ¿ÆÇ À¹½¹ËÕ ÌÉ¹»Æ¾ÆÁ¾Å »Á½¹ y = kx + p ¨ÉÁ Ã¹ÃÇÅ ÌÊÄÇ»ÁÁ ÌÉ¹»Æ¾ÆÁ¾ ÈÉØÅÇÂ ax + by = c Ø»ÄØ¾ËÊØ ÌÉ¹»Æ¾ÆÁ¾Å »¾ÉËÁÃ¹ÄÕÆÇÂ ÈÉØÅÇÂ Æ¾»¾ÉËÁÃ¹ÄÕÆÇÂ ÈÉØÅÇÂ

«§¨ ¥ ¥ · 356.° Êàêèå èç äàííûõ óðàâíåíèé ÿâëÿþòñÿ óðàâíåíèÿìè ïðÿìîé: 4) 2x = 5; 7) 0x + 0y = 0; 1) 2x – 3y = 5; 5) –3y = 5; 8) 0x + 0y = 5? 2) 2x – 3y = 0; 2 6) 2x + 0y = 0; 3) 2x – 3y = 5; 357.° Íàéäèòå êîîðäèíàòû òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé 4x – 5y = 20 ñ îñÿìè êîîðäèíàò. Ïðèíàäëåæèò ëè ýòîé ïðÿìîé òî÷êà: 1) A (10; 4); 2) B (6; 1); 3) C (–1,5; 5,2); 4) D (–1; 5)? 358.° Íàéäèòå êîîðäèíàòû òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé 3x + 4y = 12 ñ îñÿìè êîîðäèíàò. Êàêàÿ èç òî÷åê M (–2; 4) è K (8; –3) ïðèíàäëåæèò ýòîé ïðÿìîé? 359.° Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó A (6; –3) è ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè x. Êàêèå êîîðäèíàòû èìååò òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ýòîé ïðÿìîé ñ îñüþ x? 360.° Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó B (5; –8) è ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè y. Êàêèå êîîðäèíàòû èìååò òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ýòîé ïðÿìîé ñ îñüþ y? 361.° Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó C (–4; 9) ïàðàëëåëüíî: 1) îñè àáñöèññ; 2) îñè îðäèíàò.

¬É¹»Æ¾ÆÁ¾ ÈÉØÅÇÂ

362.° Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè: 3) E (–4; –1) è F (9; –1); 1) A (1; –3) è B (–2; –9); 2) C (3; 5) è D (3; –10); 4) M (3; –3) è K (– 6; 12). 363.° Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè: 2) C (6; –1) è D (24; 2). 1) A (2; –5) è B (–3; 10); 364.° Íàéäèòå êîîðäèíàòû òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ: 1) y = 3x – 7 è y = 5x + 9; 2) 2x – 7y = –16 è 6x + 11y = 16. 365.° Íàéäèòå êîîðäèíàòû òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ: 1) y = –4x + 1 è y = 2x – 11; 2) 3x + 2y = 10 è x – 8y = 12. • 366. Òî÷êè A (–6; –1), B (1; 2) è C (–5; –8) — âåðøèíû òðåóãîëüíèêà ABC. Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå ïðÿìîé, ñîäåðæàùåé ìåäèàíó AK òðåóãîëüíèêà. • 367. Òî÷êè A (–3; –4), B (–2; 2), C (1; 3) è D (3; –2) — âåðøèíû òðàïåöèè ABCD (BC C AD). Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå ïðÿìîé, ñîäåðæàùåé ñðåäíþþ ëèíèþ òðàïåöèè. • 368. Àáñöèññû ñåðåäèí áîêîâûõ ñòîðîí òðàïåöèè ðàâíû. Âåðíî ëè óòâåðæäåíèå, ÷òî îñíîâàíèÿ òðàïåöèè ïåðïåíäèêóëÿðíû îñè àáñöèññ? • 369. Íàéäèòå ïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà, îãðàíè÷åííîãî îñÿìè êîîðäèíàò è ïðÿìîé 4x – 3y = 12. • 370. Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà, îãðàíè÷åííîãî îñÿìè êîîðäèíàò è ïðÿìîé 7y – 2x = 28. • 371. Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà, îãðàíè÷åííîãî

ïðÿìûìè 3x + 2y = 6 è Z Y è îñüþ îðäèíàò. •

372. Äîêàæèòå, ÷òî îêðóæíîñòü (x – 5)2 + (y – 5)2 = 9 è ïðÿìàÿ x + y = 7 ïåðåñåêàþòñÿ, è íàéäèòå êîîðäèíàòû èõ òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ. • 373. Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìàÿ x + y = 5 ÿâëÿåòñÿ êàñàòåëüíîé ê îêðóæíîñòè (x – 3)2 + (y + 2)2 = 8, è íàéäèòå êîîðäèíàòû òî÷êè êàñàíèÿ. • 374. Äîêàæèòå, ÷òî îêðóæíîñòü (x – 4)2 + (y – 2)2 = 1 è ïðÿìàÿ 3x + y = 3 íå èìåþò îáùèõ òî÷åê.

¾Ã¹ÉËÇ»Ô ÃÇÇÉ½ÁÆ¹ËÔ Æ¹ ÈÄÇÊÃÇÊËÁ ••

375. Íàéäèòå ðàññòîÿíèå îò íà÷àëà êîîðäèíàò äî ïðÿìîé 5x – 2y = 10. •• 376. Íàéäèòå ðàññòîÿíèå îò íà÷àëà êîîðäèíàò äî ïðÿìîé x + y = –8. •• 377. Íàéäèòå äëèíó õîðäû îêðóæíîñòè (x + 1)2 + (y – – 2)2 = 25, ëåæàùåé íà ïðÿìîé y = 3x. •• 378. Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå ãåîìåòðè÷åñêîãî ìåñòà öåíòðîâ îêðóæíîñòåé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç òî÷êè A (1; –7) è B (–3; 5). •• 379. Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå ãåîìåòðè÷åñêîãî ìåñòà öåíòðîâ îêðóæíîñòåé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç òî÷êè C (2; 3) è D (–5; –2). •• 380. Íàéäèòå êîîðäèíàòû òî÷êè, ðàâíîóäàëåííîé îò îñåé êîîðäèíàò è îò òî÷êè A (3; 6). •• 381. Íàéäèòå êîîðäèíàòû òî÷êè, ðàâíîóäàëåííîé îò îñåé êîîðäèíàò è îò òî÷êè B (–4; 2). 382.* Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå îêðóæíîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè A (2; 0) è B (4; 0), öåíòð êîòîðîé ïðèíàäëåæèò ïðÿìîé 2x + 3y = 18. 383.* Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå ãåîìåòðè÷åñêîãî ìåñòà öåíòðîâ îêðóæíîñòåé, ðàäèóñ êîòîðûõ ðàâåí 5 è êîòîðûå îòñåêàþò íà îñè àáñöèññ õîðäó äëèíîé 6.

«§¨ ¥ ¥ · £· §¦ ª¦¨ ¥ · 384. Äèàãîíàëè ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíû ñì è 8 ñì, à óãîë ìåæäó íèìè ñîñòàâëÿåò 45°. Íàéäèòå ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà. 385. Îäíà èç ñòîðîí òðåóãîëüíèêà íà 15 ñì áîëüøå äðóãîé, à âûñîòà, ïðîâåäåííàÿ ê òðåòüåé ñòîðîíå, äåëèò åå íà îòðåçêè äëèíîé 32 ñì è 7 ñì. Íàéäèòå ïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà. 386. Öåíòð îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ðàâíîáîêîé òðàïåöèè, ëåæèò íà åå áîëüøåì îñíîâàíèè. Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè, åñëè äèàãîíàëü òðàïåöèè ðàâíà 20 ñì, à âûñîòà — 12 ñì.

¬¼ÄÇ»ÇÂ ÃÇÖÍÍÁÏÁ¾ÆË ÈÉØÅÇÂ

«»ÃÆºÆÁ ÂÆÕÌÌÀÎÀ½ÅÊ ÇÈ×ÄÆÁ Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå y = kx. Îíî çàäàåò íåâåðòèêàëüíóþ ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò. Ïîêàæåì, ÷òî ïðÿìûå y = kx y b è y = kx + b, ãäå b ≠ 0, ïàðàëëåëüx+ k íû. Òî÷êè O (0; 0) è C (1; k) ïðèy= íàäëåæàò ïðÿìîé y = kx, à òî÷êè B kx A (0; b) è B (1; k + b) ïðèíàäëåæàò A y= ïðÿìîé y = kx + b (ðèñ. 79). Ëåãêî C óáåäèòüñÿ (ñäåëàéòå ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî), ÷òî ñåðåäèíû äèàãîíàx 1 O ëåé AC è OB ÷åòûðåõóãîëüíèêà OABC ñîâïàäàþò. Ñëåäîâàòåëüíî, Ðèñ. 79 OABC — ïàðàëëåëîãðàìì. Îòñþäà AB C OC. Òåïåðü ìû ìîæåì ñäåëàòü òàêîé âûâîä: åñëè k1 = k2 è b1 ≠ b2, òî ïðÿìûå y = k1x + b1 è y = k2x + + b2 ïàðàëëåëüíû (1). Ïóñòü ïðÿìàÿ y = kx ïåðåñåêàåò åäèíè÷íóþ ïîëóîêðóæíîñòü â òî÷êå M (x0; y0) (ðèñ. 80). Óãîë AOM íàçûâàþò óãëîì ìåæäó äàííîé ïðÿìîé è ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè àáñöèññ. Åñëè ïðÿìàÿ y = kx ñîâïàäàåò ñ îñüþ àáñöèññ, òî óãîë ìåæäó ýòîé ïðÿìîé è ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè àáñöèññ ñ÷èòàþò ðàâíûì 0°. Åñëè ïðÿìàÿ y = kx îáðàçóåò ñ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè àáñöèññ óãîë α, òî åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü, ÷òî è ïðÿìàÿ y = kx + b, ïàðàëy ëåëüíàÿ ïðÿìîé y = kx, òàêæå îáðàçóåò óãîë α ñ ïîëîæèòåëü1 íûì íàïðàâëåíèåì îñè àáM (x0; y0) ñöèññ. Ðàññìîòðèì ïðÿìóþ MO, 1 –1 óðàâíåíèå êîòîðîé èìååò âèä B A x 0 y = kx (ðèñ. 80). Åñëè ∠ MOA = Ðèñ. 80

= α, òî UH A

TJO A DPT A

Z Y

Òàê

¾Ã¹ÉËÇ»Ô ÃÇÇÉ½ÁÆ¹ËÔ Æ¹ ÈÄÇÊÃÇÊËÁ

êàê òî÷êà M(x0; y0) ïðèíàäëåæèò ïðÿìîé y = kx, òî Îòñþäà k = tg α.

Z Y

Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ïðÿìîé y = kx + b ïîëó÷àåì, ÷òî k = tg α, ãäå α — óãîë, êîòîðûé îáðàçóåò ýòà ïðÿìàÿ ñ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè àáñöèññ. Ïîýòîìó êîýôôèöèåíò k íàçûâàþò óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì ýòîé ïðÿìîé. Èç ñêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òî åñëè íåâåðòèêàëüíûå ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû, òî îíè îáðàçóþò ðàâíûå óãëû ñ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè àáñöèññ. Òîãäà òàíãåíñû ýòèõ óãëîâ ðàâíû, ñëåäîâàòåëüíî, ðàâíû è èõ óãëîâûå êîýôôèöèåíòû. Òàêèì îáðàçîì, åñëè ïðÿìûå y = k1x + b1 è y = k2x + b2 ïàðàëëåëüíû, òî k1 = k2 (2). Âûâîäû (1) è (2) îáúåäèíèì â îäíó òåîðåìó. Ò å î ð å ì à 11.1. Ïðÿìûå y = k1x + b1 è y = k2x + b2 ïàðàëëåëüíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà k1 = k2 è b1 ≠ b2. Ï ð è ì å ð. Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå ïðÿìîé, êîòîðàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó A (–4; 3) è ïàðàëëåëüíà ïðÿìîé y = 0,5x – 4. Ð å ø å í è å. Ïóñòü óðàâíåíèå èñêîìîé ïðÿìîé y = kx + p. Òàê êàê ýòà ïðÿìàÿ è ïðÿìàÿ y = 0,5x – 4 ïàðàëëåëüíû, òî èõ óãëîâûå êîýôôèöèåíòû ðàâíû, òî åñòü k = 0,5. Ñëåäîâàòåëüíî, èìååì y = 0,5x + p. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî äàííàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó A (–4; 3), ïîëó÷àåì: 0,5•(–4) + p = 3, îòñþäà p = 5. Èñêîìîå óðàâíåíèå èìååò âèä: y = 0,5x + 5.

¨ÇØÊÆÁË¾ ÐËÇ Æ¹ÀÔ»¹×Ë Ì¼ÄÇÅ Å¾¿½Ì ÈÉØÅÇÂ Á ÈÇÄÇ¿ÁË¾ÄÕÆÔÅ Æ¹ÈÉ¹»Ä¾ÆÁ¾Å ÇÊÁ ¹ºÊÏÁÊÊ °¾ÅÌ ÊÐÁË¹×Ë É¹»ÆÔÅ Ì¼ÇÄ Å¾¿½Ì ÈÉØÅÇÂ È¹É¹ÄÄ¾ÄÕÆÇÂ ÇÊÁ ¹ºÊÏÁÊÊ ÁÄÁ ÊÇ»È¹½¹×Ò¾Â Ê Æ¾Â Á ÈÇÄÇ¿ÁË¾ÄÕÆÔÅ Æ¹ÈÉ¹»Ä¾ ÆÁ¾Å ÇÊÁ ¹ºÊÏÁÊÊ

¬¼ÄÇ»ÇÂ ÃÇÖÍÍÁÏÁ¾ÆË ÈÉØÅÇÂ

°ËÇ Æ¹ÀÔ»¹×Ë Ì¼ÄÇ»ÔÅ ÃÇÖÍÍÁÏÁ¾ÆËÇÅ ÈÉØÅÇÂ £¹Ã Ê»ØÀ¹ÆÔ Ì¼ÄÇ»ÇÂ ÃÇÖÍÍÁÏÁ¾ÆË ÈÉØÅÇÂ Á Ì¼ÇÄ Å¾¿½Ì ÈÉØÅÇÂ Á ÈÇÄÇ¿ÁË¾ÄÕÆÔÅ Æ¹ÈÉ¹»Ä¾ÆÁ¾Å ÇÊÁ ¹ºÊÏÁÊÊ £¹ÃÇ¾ Æ¾ÇºÎÇ½ÁÅÇ¾ Á ½ÇÊË¹ËÇÐÆÇ¾ ÌÊÄÇ»Á¾ È¹É¹ÄÄ¾ÄÕÆÇÊËÁ ½»ÌÎ Æ¾»¾ÉËÁÃ¹ÄÕÆÔÎ ÈÉØÅÔÎ Æ¹ ÃÇÇÉ½ÁÆ¹ËÆÇÂ ÈÄÇÊÃÇÊËÁ

«§¨ ¥ ¥ · 387.° ×åìó ðàâåí óãëîâîé êîýôôèöèåíò ïðÿìîé: 3) y = x + 10; 5) y = 4; 1) y = 2x – 7; 4) y = 5 – x; 6) 3x – 2y = 4? 2) y = –3x; 388.° Êàêèå èç ïðÿìûõ y = 6x – 5, y = 0,6x + 1, Z Y

y = 2 – 6x è y = 600 + 0,6x ïàðàëëåëüíû? 389.° Êàêîå ÷èñëî íàäî ïîäñòàâèòü âìåñòî çâåçäî÷êè, ÷òîáû áûëè ïàðàëëåëüíûìè ïðÿìûå: 1) y = 8x – 14 è y = *x + 2; 2) y = *x – 1 è y = 3 – 4x? 390.° Êàêîâî óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò è ïàðàëëåëüíîé ïðÿìîé: 1) y = 14x – 11; 2) y = –1,15x + 2? • 391. Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó A (–3; 7), óãëîâîé êîýôôèöèåíò êîòîðîé ðàâåí: 1) 4; 2) –3; 3) 0. • 392. Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó B (2; –5), óãëîâîé êîýôôèöèåíò êîòîðîé ðàâåí –0,5. • 393. Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó M (–1; 9) è ïàðàëëåëüíîé ïðÿìîé: 1) y = –7x + 3; 2) 3x – 4y = –8. • 394. Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç

òî÷êó , è ïàðàëëåëüíîé ïðÿìîé: 1) y = 9x – 16; 2) 6x + 2y = 7. • 395. Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå ïðÿìîé, êîòîðàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó A (2; 6) è îáðàçóåò ñ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè àáñöèññ óãîë: 1) 60°; 2) 120°.

¾Ã¹ÉËÇ»Ô ÃÇÇÉ½ÁÆ¹ËÔ Æ¹ ÈÄÇÊÃÇÊËÁ •

396. Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå ïðÿìîé, êîòîðàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó B (3; –2) è îáðàçóåò ñ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè àáñöèññ óãîë: 1) 45°; 2) 135°. • 397. Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå ïðÿìîé, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 81. y

3 30° 0

30° 0

à)

2 3

á) Ðèñ. 81

•

398. Îïðåäåëèòå, ïàðàëëåëüíû ëè ïðÿìûå: 1) 2x – 5y = 9 è 5y – 2x = 1; 2) 8x + 12y = 15 è 4x + 6y = 9; 3) 7x – 2y = 12 è 7x – 3y = 12; 4) 3x + 2y = 3 è 6x + 4y = 6. • 399. Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìûå 7x – 6y = 3 è 6y – 7x = 6 ïàðàëëåëüíû. •• 400. Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå ïðÿìîé, êîòîðàÿ ïàðàëëåëüíà ïðÿìîé y = 4x + 2 è ïåðåñåêàåò ïðÿìóþ y = –8x + 9 â òî÷êå, ïðèíàäëåæàùåé îñè îðäèíàò. •• 401. Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå ïðÿìîé, êîòîðàÿ ïàðàëëåëüíà ïðÿìîé y = 3x + 4 è ïåðåñåêàåò ïðÿìóþ y = –4x + 16 â òî÷êå, ïðèíàäëåæàùåé îñè àáñöèññ. 402.* Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå ïðÿìîé, êîòîðàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà ïðÿìîé y = –x + 3 è ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó A (1; 5).

£Ç¼½¹ Ê½¾Ä¹ÆÔ ÌÉÇÃÁ

«§¨ ¥ ¥ · £· §¦ ª¦¨ ¥ · 403. Â âûïóêëîì ÷åòûðåõóãîëüíèêå ABCD áèññåêòðèñû óãëîâ A è B ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå O (ðèñ. 82). Äîêàæèòå, ÷òî óãîë AOB ðàâåí ïîëóñóììå óãëîâ C è D. B 404. Âûñîòà ðîìáà, ïðîâåäåííàÿ èç âåðøèíû åãî òóïîãî óãëà, äåëèò ñòîðîíó ðîìáà íà îòðåçêè 7 ñì è 18 ñì, ñ÷èòàÿ îò âåðøèíû îñòðîãî óãëà. Íàéäèòå A O äèàãîíàëè ðîìáà. C 405. Ìåäèàíû ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû 15 ñì, 15 ñì è 18 ñì. D Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà. Ðèñ. 82

¢¦ © £ ¥³ «¨¦¢ Ìåòîä êîîðäèíàò Ìû ÷àñòî ãîâîðèì: ïðÿìàÿ y = 2x – 1, ïàðàáîëà y = x2, îêðóæíîñòü x2 + y2 = 1, òåì ñàìûì îòîæäåñòâëÿÿ ôèãóðó ñ åå óðàâíåíèåì. Òàêîé ïîäõîä ïîçâîëÿåò ñâîäèòü çàäà÷ó î ïîèñêå ñâîéñòâ ôèãóðû ê çàäà÷å îá èññëåäîâàíèè åå óðàâíåíèÿ. Â ýòîì è ñîñòîèò ñóòü ìåòîäà êîîðäèíàò. Ïðîèëëþñòðèðóåì ñêàçàííîå íà òàêîì ïðèìåðå. Èç íàãëÿäíûõ ñîîáðàæåíèé î÷åâèäíî, ÷òî ïðÿìàÿ è îêðóæíîñòü èìåþò íå áîëåå äâóõ îáùèõ òî÷åê. Îäíàêî ýòî óòâåðæäåíèå íå ÿâëÿåòñÿ àêñèîìîé è åãî íàäî äîêàçûâàòü. Ýòà çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê èññëåäîâàíèþ êîëè÷åñòâà ðåøåíèé ñèñòåìû óðàâíåíèé ªBY CZ D « ¬ Y N Z O 3 ãäå ÷èñëà a è b îäíîâðåìåííî íå ðàâíû íóëþ è R > 0. Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó ìåòîäîì ïîäñòàíîâêè, ìû ïîëó÷èì êâàäðàòíîå óðàâíåíèå, êîòîðîå ìîæåò èìåòü äâà ðåøåíèÿ, îäíî ðåøåíèå èëè âîîáùå íå èìåòü ðåøåíèé. Ñëåäîâà

¾Ã¹ÉËÇ»Ô ÃÇÇÉ½ÁÆ¹ËÔ Æ¹ ÈÄÇÊÃÇÊËÁ

òåëüíî, äëÿ äàííîé ñèñòåìû ñóùåñòâóåò òðè âîçìîæíûõ ñëó÷àÿ: 1) ñèñòåìà èìååò äâà ðåøåíèÿ — ïðÿìàÿ è îêðóæíîñòü ïåðåñåêàþòñÿ; 2) ñèñòåìà èìååò îäíî ðåøåíèå — ïðÿìàÿ êàñàåòñÿ îêðóæíîñòè; 3) ñèñòåìà íå èìååò ðåøåíèé — ïðÿìàÿ è îêðóæíîñòü íå èìåþò îáùèõ òî÷åê. Ñ êàæäûì èç ýòèõ ñëó÷àåâ âû âñòðå÷àëèñü, ðåøàÿ çàäà÷è 372–374 ñîîòâåòñòâåííî. Ìåòîä êîîðäèíàò îñîáåííî ýôôåêòèâåí â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà òðåáóåòñÿ íàéòè ôèãóðó, âñå òî÷êè êîòîðîé îáëàäàþò íåêîòîðûì ñâîéñòâîì, òî åñòü íàéòè ÃÌÒ. Çàôèêñèðóåì íà ïëîñêîñòè äâå òî÷êè A è B. Âû õîðîøî çíàåòå, êàêîé ôèãóðîé ÿâëÿåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê M òàêèõ, ÷òî

." .#

Ýòî ñåðåäèííûé ïåðïåíäèêóëÿð

îòðåçêà AB. Èíòåðåñíî âûÿñíèòü, êàêóþ ôèãóðó îáðàçóþò âñå òî÷êè M, äëÿ êîòîðûõ

." .#

L ãäå k ≠ 1. Ðåøèì ýòó

çàäà÷ó äëÿ L Ïëîñêîñòü, íà êîòîðîé çàôèêñèðîâàíû òî÷êè A è B, «ïðåâðàòèì» â êîîðäèíàòíóþ. Ñäåëàåì ýòî òàê: â êà÷åñòâå íà÷àëà îòñ÷åòà âûáåðåì òî÷êó A, â êà÷åñòâå åäèíè÷íîãî îòðåçêà — îòðåçîê AB, îñü àáñöèññ ïðîâåäåì òàê, ÷òîáû òî÷êà B èìåëà êîîðäèíàòû (1; 0) (ðèñ. 83). Ïóñòü M(x; y) — ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà èñêîìîé ôèãóðû F. Òîãäà 2MA = MB, y èëè 4MA2 = MB2. Îòñþäà: 4 (x2 + y2) = (x – 1)2 + y2; M (x; y) 3x2 + 2x + 3y2 = 1; A 0

B 1

Y Y Z

Z Y

Ðèñ. 83

(*)

£Ç¼½¹ Ê½¾Ä¹ÆÔ ÌÉÇÃÁ

Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè òî÷êà M (x; y) ïðèíàäëåæèò ôèãóðå F, òî åå êîîðäèíàòû ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (*). Ïóñòü (x1; y1) — íåêîòîðîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (*). Òîãäà ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî Y Z Y Z À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî òî÷êà N(x1; y1) òàêîâà, ÷òî 4NA2 = = NB2 èëè 2NA = NB. Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êà N ïðèíàäëåæèò ôèãóðå F. Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèåì ôèãóðû F ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèå (*), òî åñòü ôèãóðà F — ýòî îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì

â òî÷êå 0 è ðàäèóñîì Ìû ðåøèëè çàäà÷ó äëÿ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ, êîãäà L Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî èñêîìîé ôèãóðîé äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî k ≠ 1 áóäåò îêðóæíîñòü. Ýòó îêðóæíîñòü íàçûâàþò îêðóæíîñòüþ Àïîëëîíèÿ1. Êàê ñòðîèëè ìîñò ìåæäó ãåîìåòðèåé è àëãåáðîé Èäåÿ êîîðäèíàò çàðîäèëàñü î÷åíü äàâíî. Âåäü åùå â ñòàðèíó ëþäè èçó÷àëè Çåìëþ, íàáëþäàëè çâåçäû, à ïî ðåçóëüòàòàì ñâîèõ èññëåäîâàíèé ñîñòàâëÿëè êàðòû, ñõåìû. Âî ²² â. äî í. ý. äðåâíåãðå÷åñêèé ó÷åíûé Ãèïïàðõ âïåðâûå èñïîëüçîâàë èäåþ êîîðäèíàò äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìåñòà ðàñïîëîæåíèÿ îáúåêòîâ íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè. Òîëüêî â Õ²V â. ôðàíöóçñêèé ó÷åíûé Íèêîëÿ Îðåì (îêîëî 1323–1392) âïåðâûå ïðèìåíèë â ìàòåìàòèêå èäåþ Ãèïïàðõà: îí ðàçáèë ïëîñêîñòü íà êëåòî÷êè (êàê ðàçáèòà ñòðàíèöà âàøåé òåòðàäè) è ñòàë çàäàâàòü ïîëîæåíèå òî÷åê øèðîòîé è äîëãîòîé. Îäíàêî îãðîìíûå âîçìîæíîñòè ïðèìåíåíèÿ ýòîé èäåè áûëè ðàñêðûòû ëèøü â ÕV²² â. â ðàáîòàõ âûäàþùèõñÿ ôðàíöóçñêèõ ìàòåìàòèêîâ Ïüåðà Ôåðìà (1601–1665) è Ðåíå Äåêàðòà (1596–1650). Â ñâîèõ òðóäàõ ýòè ó÷åíûå ïîêàçàëè, êàê, áëàãîäàðÿ ñèñòåìå êîîðäèíàò, ìîæíî ïåðåõîäèòü îò 1 À ï î ë ë î í è é Ï å ð ã ñ ê è é (²²² â. äî í. ý.) — äðåâíåãðå÷åñêèé ìàòåìàòèê è àñòðîíîì.

¾Ã¹ÉËÇ»Ô ÃÇÇÉ½ÁÆ¹ËÔ Æ¹ ÈÄÇÊÃÇÊËÁ

Ïüåð Ôåðìà

Ðåíå Äåêàðò

òî÷åê ê ÷èñëàì, îò ëèíèé ê óðàâíåíèÿì, îò ãåîìåòðèè ê àëãåáðå. Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî Ï. Ôåðìà îïóáëèêîâàë ñâîþ ðàáîòó íà ãîä ðàíüøå Ð. Äåêàðòà, ñèñòåìó êîîðäèíàò, êîòîðîé ìû ñåãîäíÿ ïîëüçóåìñÿ, íàçûâàþò äåêàðòîâîé. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî Ð. Äåêàðò â ñâîåé ðàáîòå «Ðàññóæäåíèå î ìåòîäå» èçîáðåë íîâóþ óäîáíóþ áóêâåííóþ ñèìâîëèêó, êîòîðîé ñ íåçíà÷èòåëüíûìè èçìåíåíèÿìè ìû ïîëüçóåìñÿ è ñåãîäíÿ. Âñëåä çà Äåêàðòîì ìû îáîçíà÷àåì ïåðåìåííûå ïîñëåäíèìè áóêâàìè ëàòèíñêîãî àëôàâèòà x, y, z, à êîýôôèöèåíòû — ïåðâûìè: a, b, c, ... . Ïðèâû÷íûå íàì îáîçíà÷åíèÿ ñòåïåíåé x2, y3, z5 è ò. ä. òàêæå ââåë Ð. Äåêàðò.

¹½¹ÆÁ¾ » Ë¾ÊËÇ»ÇÂ ÍÇÉÅ¾ ¨ÉÇ»¾ÉÕ Ê¾ºØ

¥ ª ©ª¦ ¦¡ ¬¦¨¤ §¨¦ ¨´ © · 1. Êàêèå êîîðäèíàòû ñåðåäèíû îòðåçêà AB, åñëè A (– 6; 7), B (4; –9)? À) (–5; 8); Á) (–1; –1); Â) (–5; –1); Ã) (–1; 8). 2. ×åìó ðàâíî ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè C (8; –11) è D (2; –3)? Ã) À) 100; Á) 10; Â) 3. Êàêèå êîîðäèíàòû èìååò öåíòð îêðóæíîñòè (x – 5)2 + + (y + 9)2 = 16? À) (5; –9); Á) (–5; 9); Â) (5; 9); Ã) (–5; –9). 4. Öåíòðîì êîòîðîé èç äàííûõ îêðóæíîñòåé ÿâëÿåòñÿ íà÷àëî êîîðäèíàò? Â) x2 + y2 = 1; À) x2 + (y – 1)2 = 1; 2 2 Á) (x – 1) + y = 1; Ã) (x – 1)2 + (y – 1)2 = 1. 5. Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè, äèàìåòðîì êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ îòðåçîê MK, åñëè M (14; 12) è K (–10; 2). À) 26; Á) 13; Â) 25; Ã) 5. 6. Êàêîâû êîîðäèíàòû òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé 5x – 3y = 15 ñ îñüþ àáñöèññ? À) (0; –5); Á) (–5; 0); Â) (0; 3); Ã) (3; 0). 7. ×åòûðåõóãîëüíèê ABCD — ïàðàëëåëîãðàìì, B (–2; 3), C (10; 9), D (7; 0). Íàéäèòå êîîðäèíàòû âåðøèíû A. À) (1; 6); Á) (19; –3); Â) (–5; –6); Ã) (6; 5). 8. Íàéäèòå êîîðäèíàòû òî÷êè îñè îðäèíàò, ðàâíîóäàëåííîé îò òî÷åê A (–3; 4) è B (1; 8). À) (–5; 0); Á) (0; –5); Â) (5; 0); Ã) (0; 5). 9. Íàéäèòå àáñöèññó òî÷êè ïðÿìîé AB, ãäå A (–7; 4), B (9; 12), îðäèíàòà êîòîðîé ðàâíà 2. À) 8,5; Á) –11; Â) 4; Ã) –2. 10. Íàéäèòå ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ x – y = 4 è x + 3y = 12 è òî÷êîé M (1; 7). À) 5;

Á) 50;

Â)

Ã)

¾Ã¹ÉËÇ»Ô ÃÇÇÉ½ÁÆ¹ËÔ Æ¹ ÈÄÇÊÃÇÊËÁ

11. Êàêîâî óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó P (–1; 6) ïàðàëëåëüíî ïðÿìîé y = 2x – 5? À) y = 6 – 5x; Â) y = 5x – 6; Á) y = 2x + 8; Ã) y = 2x – 8. 12. ×åìó ðàâåí ðàäèóñ îêðóæíîñòè x2 + y2 + 14y – 12x + + 78 = 0? Á) 7; Â) 14; Ã) À)

ª¦

Â ÝÒÎÌ ÏÀÐÀÃÐÀÔÅ: áûëè ââåäåíû òàêèå ïîíÿòèÿ: êîîðäèíàòíàÿ ïëîñêîñòü; äåêàðòîâû êîîðäèíàòû; óðàâíåíèå ôèãóðû; óãîë ìåæäó ïðÿìîé è ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè àáñöèññ; óãëîâîé êîýôôèöèåíò ïðÿìîé; âû èçó÷èëè: ôîðìóëû íàõîæäåíèÿ äëèíû îòðåçêà è êîîðäèíàò åãî ñåðåäèíû; óðàâíåíèå îêðóæíîñòè; óðàâíåíèå ïðÿìîé; íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ïàðàëëåëüíîñòè äâóõ ïðÿìûõ; âû îçíàêîìèëèñü ñ ìåòîäîì êîîðäèíàò.

£«§©´

¡ÀÌÐ¹Ø Å¹Ë¾ÉÁ¹Ä ÖËÇ¼Ç È¹É¹¼É¹Í¹ »Ô ÌÀÆ¹¾Ë¾ ÐËÇ »¾ÃËÇÉÔ ÊÌÒ¾ÊË»Ì×Ë Æ¾ ËÇÄÕÃÇ » ÍÁÀÁÃ¾ ¹ Á » ¼¾ÇÅ¾ËÉÁÁ Ô Æ¹ÌÐÁË¾ÊÕ ÊÃÄ¹½Ô»¹ËÕ Á »ÔÐÁË¹ËÕ »¾ÃËÇÉÔ ÌÅÆÇ¿¹ËÕ »¾ÃËÇÉ Æ¹ ÐÁÊÄÇ Æ¹ÎÇ½ÁËÕ Ì¼ÇÄ Å¾¿½Ì ½»ÌÅØ »¾ÃËÇÉ¹ÅÁ ÈÉÁÅ¾ÆØËÕ Ê»ÇÂÊË»¹ »¾ÃËÇÉÇ» ½ÄØ É¾Ñ¾ÆÁØ À¹½¹Ð

§ÆÅ×ÊÀ½ º½ÂÊÆÈ¸ Âû çíàåòå ìíîãî âåëè÷èí, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ ñâîèìè ÷èñëîâûìè çíà÷åíèÿìè: ìàññà, ïëîùàäü, äëèíà, îáúåì, âðåìÿ, òåìïåðàòóðà è ò. ä. Òàêèå âåëè÷èíû íàçûâàþò ñêàëÿðíûìè âåëè÷èíàìè, èëè ïðîñòî ñêàëÿðàìè. Èç êóðñà ôèçèêè âàì çíàêîìû âåëè÷èíû, äëÿ çàäàíèÿ êîòîðûõ íåäîñòàòî÷íî çíàòü òîëüêî èõ ÷èñëîâîå çíà÷åíèå. Íàïðèìåð, åñëè íà ïðóæèíó äåéñòâóåò ñèëà 5Í, òî èç ýòîé èíôîðìàöèè íå ÿñíî, áóäåò ëè ïðóæèíà ñæèìàòüñÿ èëè ðàñòÿãèâàòüñÿ (ðèñ. 84). Íàäî åùå çíàòü, â êàêîì íàïðàâëåíèè äåéñòâóåò ñèëà.

Ðèñ. 84

Âåëè÷èíû, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ íå òîëüêî ÷èñëîâûì çíà÷åíèåì, íî è íàïðàâëåíèåì, íàçûâàþò âåêòîðíûìè âåëè÷èíàìè, èëè ïðîñòî âåêòîðàìè. Ñèëà, ïåðåìåùåíèå, ñêîðîñòü, óñêîðåíèå, âåñ — ïðèìåðû âåêòîðíûõ âåëè÷èí.

¾ÃËÇÉÔ

Åñòü âåêòîðû è â ãåîìåòðèè. Ýòî íàïðàâëåííûå îòðåçêè. Ðàññìîòðèì îòðåçîê AB. Åñëè ìû äîãîâîðèìñÿ òî÷êó A ñ÷èòàòü íà÷àëîì îòðåçêà, à òî÷êó B — åãî êîíöîì, òî òàêîé îòðåçîê áóäåò õàðàêòåðèçîâàòüñÿ íå òîëüêî äëèíîé, íî è íàïðàâëåíèåì îò òî÷êè A ê òî÷êå B. Åñëè óêàçàíî, êàêàÿ òî÷êà ÿâëÿåòñÿ íà÷àëîì îòðåçêà, à êàêàÿ òî÷êà — åãî êîíöîì, òî òàêîé îòðåçîê íàçûâàþò íàïðàâëåííûì îòðåçêîì, èëè âåêòîðîì. Âåêòîð ñ íà÷àëîì â òî÷êå A è êîíöîì â òî÷êå B îáîçíàHHHE ÷àþò òàê: "# (÷èòàþò: «âåêòîð AB»). Íà ðèñóíêàõ âåêòîð èçîáðàæàþò îòðåçêîì ñî ñòðåëêîé, óêàçûâàþùåé åãî êîíåö. Íà ðèñóíêå 85 èçîáðàæåíû âåêHHHE HHHE HHHHHE òîðû "# $% ./ Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ âåêòîðîâ òàêæå èñïîëüçóþò ñòðî÷íûå áóêâû ëàòèíñêîãî àëôàâèòà ñî ñòðåëêîé ñâåðõó. Íà ðèñóíHE E E êå 86 èçîáðàæåíû âåêòîðû B C D C D

B M

Ðèñ. 85

Ðèñ. 86

Äîãîâîðèëèñü âåêòîð, ó êîòîðîãî íà÷àëî è êîíåö — îäíà è òà æå òî÷êà, íàçûâàòü íóëåâûì âåêòîðîì, èëè íóëüE âåêòîðîì, è îáîçíà÷àòü Åñëè íà÷àëî è êîíåö íóëåâîãî HHHE âåêòîðà — ýòî òî÷êà A, òî åãî ìîæíî îáîçíà÷èòü è òàê: "" Íà ðèñóíêå íóëåâîé âåêòîð èçîáðàæàþò îäíîé òî÷êîé. HHHE Ìîäóëåì âåêòîðà "# íàçûâàþò äëèíó îòðåçêà AB. ÌîHHHE HHHE äóëü âåêòîðà "# îáîçíà÷àþò òàê: "# à ìîäóëü âåêòîðà HE HE B — òàê: B E Ìîäóëü íóëåâîãî âåêòîðà ñ÷èòàþò ðàâíûì íóëþ: Î ï ð å ä å ë å í è å. Íåíóëåâûå âåêòîðû íàçûâàþò ê î ë ë èí å à ð í û ì è, åñëè îíè ëåæàò íà ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ èëè íà îäíîé ïðÿìîé. Íóëåâîé âåêòîð ñ÷èòàþò êîëëèíåàðíûì ëþáîìó âåêòîðó.

¨ÇÆØËÁ¾ »¾ÃËÇÉ¹

HE E Íà ðèñóíêå 87 èçîáðàæåíû êîëëèíåàðíûå âåêòîðû B C HHHHHE ./ HE E Òîò ôàêò, ÷òî âåêòîðû B è C êîëëèíåàðíû, îáîçíà÷àþò HE E òàê: B % C HE E Íà ðèñóíêå 88 íåíóëåâûå êîëëèíåàðíûå âåêòîðû B è C îäèíàêîâî íàïðàâëåíû. Òàêèå âåêòîðû íàçûâàþò ñîíàïðàâHE E ëåííûìè è îáîçíà÷àþò B kk C HE E E E HE E Ïîíÿòíî, ÷òî åñëè B kk C è C kk D òî B kk D (ðèñ. 89). b N

M Ðèñ. 87

Ðèñ. 88

Ðèñ. 89

HE E Íà ðèñóíêå 90 íåíóëåâûå êîëëèíåàðíûå âåêòîðû B è C ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåíû. Ýòîò ôàêò îáîçíà÷àþò òàê: HE E B km C Î ï ð å ä å ë å í è å. Íåíóëåâûå âåêòîðû íàçûâàþò ð à âí û ì è, åñëè èõ ìîäóëè ðàâíû è îíè ñîíàïðàâëåíû. Ëþáûå äâà íóëåâûõ âåêòîðà ðàâíû. HE E Íà ðèñóíêå 91 èçîáðàæåíû ðàâíûå âåêòîðû B è C Ýòî HE E îáîçíà÷àþò òàê: B C HE E HE E Ðàâåíñòâî íåíóëåâûõ âåêòîðîâ B è C îçíà÷àåò, ÷òî B kk C HE E è B C HE E HE E E E Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè B C è C D òî B D HE Íà ðèñóíêå 92 èçîáðàæåí âåêòîð B ñ íà÷àëîì â òî÷êå A. HE Ãîâîðÿò, ÷òî âåêòîð B îòëîæåí îò òî÷êè A. a

Ðèñ. 90

Ðèñ. 91

a Ðèñ. 92

Ïîêàæåì, êàê îò ïðîèçâîëüíîé òî÷êè M îòëîæèòü âåêHE òîð, ðàâíûé äàííîìó âåêòîðó B

¾ÃËÇÉÔ

HE H

Åñëè âåêòîð B íóëåâîé, òî èñêîìûì âåêòîðîì áóäåò HHHHHE âåêòîð .. HE E Òåïåðü ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà B w Ïóñòü òî÷êà M HE ëåæèò íà ïðÿìîé, ñîäåðæàùåé âåêòîð B (ðèñ. 93). Íà ýòîé HE ïðÿìîé ñóùåñòâóþò äâå òî÷êè E è F òàêèå, ÷òî .& .' B HHHHE HE Íà ýòîì ðèñóíêå âåêòîð .' áóäåò ðàâåí âåêòîðó B Åãî è ñëåäóåò âûáðàòü. Åñëè òî÷êà M íå ïðèíàäëåæèò ïðÿìîé, ñîäåðæàùåé HE âåêòîð B òî ÷åðåç òî÷êó M ïðîâåäåì ïðÿìóþ, åé ïàðàëëåëüíóþ (ðèñ. 94). Äàëüíåéøåå ïîñòðîåíèå àíàëîãè÷íî óæå ðàññìîòðåííîìó. E

a E

a Ðèñ. 93

Ðèñ. 94

ßñíî, ÷òî îò äàííîé òî÷êè ìîæíî îòëîæèòü òîëüêî îäèí âåêòîð, ðàâíûé äàííîìó. Ï ð è ì å ð. Äàí ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD. Èçâåñòíî, ÷òî HHHE HHHE HHHE HHHHE "# %$ è "$ #% Îïðåäåëèòå âèä ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD. HHHE HHHE Ð å ø å í è å. Èç óñëîâèÿ "# %$ ñëåäóåò, ÷òî AB || DC è AB = DC. Ñëåäîâàòåëüíî, ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD — ïàðàëëåëîãðàìì. HHHE HHHHE Ðàâåíñòâî "$ #% îçíà÷àåò, ÷òî äèàãîíàëè ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD ðàâíû. À ïàðàëëåëîãðàìì ñ ðàâíûìè äèàãîíàëÿìè — ïðÿìîóãîëüíèê.

¨ÉÁ»¾½ÁË¾ ÈÉÁÅ¾ÉÔ ÊÃ¹ÄØÉÆÔÎ »¾ÄÁÐÁÆ £¹ÃÁ¾ »¾ÄÁÐÁÆÔ Æ¹ÀÔ»¹×Ë »¾ÃËÇÉÆÔÅÁ °ËÇ » ¼¾ÇÅ¾ËÉÁÁ Æ¹ÀÔ»¹×Ë »¾ÃËÇÉ¹ÅÁ £¹ÃÁ¾ ÁÀ »¾ÄÁÐÁÆ Ø»ÄØ×ËÊØ »¾ÃËÇÉÆÔÅÁ »É¾ÅØ »¾Ê ÌÊÃÇÉ¾ÆÁ¾ ÁÅÈÌÄÕÊ Å¹ÊÊ¹ È¾É¾Å¾Ò¾ÆÁ¾ ÈÌËÕ ÈÄÇÒ¹½Õ ½¹»Ä¾ÆÁ¾

¨ÇÆØËÁ¾ »¾ÃËÇÉ¹

°¾Å Î¹É¹ÃË¾ÉÁÀÌ¾ËÊØ Æ¹ÈÉ¹»Ä¾ÆÆÔÂ ÇËÉ¾ÀÇÃ £¹ÃÇÂ ÇËÉ¾ÀÇÃ Æ¹ÀÔ»¹×Ë Æ¹ÈÉ¹»Ä¾ÆÆÔÅ ÇËÉ¾ÀÃÇÅ ÁÄÁ »¾Ã ËÇÉÇÅ £¹Ã ÇºÇÀÆ¹Ð¹×Ë »¾ÃËÇÉ Ê Æ¹Ð¹ÄÇÅ » ËÇÐÃ¾ A Á ÃÇÆÏÇÅ » ËÇÐÃ¾ B £¹ÃÇÂ »¾ÃËÇÉ Æ¹ÀÔ»¹×Ë ÆÌÄ¾»ÔÅHHHE °ËÇ Æ¹ÀÔ»¹×Ë ÅÇ½ÌÄ¾Å »¾ÃËÇÉ¹ "# °¾ÅÌ É¹»¾Æ ÅÇ½ÌÄÕ ÆÌÄ¾»Ç¼Ç »¾ÃËÇÉ¹ £¹ÃÁ¾ »¾ÃËÇÉÔ Æ¹ÀÔ»¹×Ë ÃÇÄÄÁÆ¾¹ÉÆÔÅÁ £¹Ã ÇºÇÀÆ¹Ð¹×Ë ÊÇÆ¹ÈÉ¹»Ä¾ÆÆÔ¾ »¾ÃËÇÉÔ ÈÉÇËÁ»ÇÈÇÄÇ¿ÆÇ Æ¹ÈÉ¹»Ä¾ÆÆÔ¾ »¾ÃËÇÉÔ £¹ÃÁ¾ »¾ÃËÇÉÔ Æ¹ÀÔ»¹×Ë É¹»ÆÔÅÁ

§¨ ¢ª ¯ ©¢ ¥ · 406.° Îòìåòüòå òðè òî÷êè A, B è C, íå ëåæàùèå íà îäíîé HHHE HHHE HHHE ïðÿìîé. Íà÷åðòèòå âåêòîðû "# #" è $# 407.° Ïðîâåäèòå ïðÿìóþ a è îòìåòüòå íà íåé òî÷êó A. Íà÷åðòèòå äâà ñîíàïðàâëåííûõ âåêòîðà, ïðèíàäëåæàùèõ ïðÿìîé a, êîíöû êîòîðûõ ñîâïàäàþò ñ òî÷êîé A. 408.° Íà÷åðòèòå òðåóãîëüíèê ABC. Íà÷åðòèòå âåêòîð, HHHE ñîíàïðàâëåííûé ñ âåêòîðîì $" íà÷àëî êîòîðîãî íàõîäèòñÿ â òî÷êå B. HE 409.° Äàíû âåêòîð B è òî÷êà A (ðèñ. 95). Îòëîæèòå îò HE òî÷êè A âåêòîð, ðàâíûé âåêòîðó B E 410.° Äàíû âåêòîð C è òî÷êà B (ðèñ. 96). Îòëîæèòå îò E òî÷êè B âåêòîð, ðàâíûé âåêòîðó C A B b

Ðèñ. 95

Ðèñ. 96

HHHE 411.° Îòìåòüòå òî÷êè A è B. Íà÷åðòèòå âåêòîð #$ ðàâHHHE íûé âåêòîðó "#

¾ÃËÇÉÔ

HE 412.° Íà÷åðòèòå âåêòîð B è îòìåòüòå òî÷êè M è N. ÎòHE ëîæèòå îò ýòèõ òî÷åê âåêòîðû, ðàâíûå âåêòîðó B 413.• Íà÷åðòèòå òðåóãîëüíèê ABC è îòìåòüòå òî÷êó M — ñåðåäèíóHñòîðîíû BC. Îò òî÷êè M îòëîæèòå âåêòîð, ðàâíûé HHHE HHHE âåêòîðó ". à îò òî÷êè B — âåêòîð, ðàâíûé âåêòîðó "$ Äîêàæèòå, ÷òî êîíöû ïîñòðîåííûõ âåêòîðîâ ñîâïàäàþò. 414.• Íà÷åðòèòå òðåóãîëüíèê ABC. Îò òî÷åê BHHH èE C îòëîHHHE æèòå âåêòîðû, ñîîòâåòñòâåííî ðàâíûå âåêòîðàì "$ è "# Äîêàæèòå, ÷òî êîíöû ïîñòðîåííûõ âåêòîðîâ ñîâïàäàþò. «§¨ ¥ ¥ · 415.° Óêàæèòå ðàâíûå âåêòîðû, íà÷àëà è êîíöû êîòîðûõ íàõîäÿòñÿ â âåðøèíàõ êâàäðàòà ABCD. 416.° Â ðîìáå ABCD äèàãîíàëè ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå O. Óêàæèòå ðàâíûå âåêòîðû, íà÷àëà è êîíöû êîòîðûõ íàõîäÿòñÿ â òî÷êàõ A, B, C, D, O. 417.° Êàêèå èç âåêòîðîâ, èçîáðàæåííûõ íà ðèñóíêå 97: 1) ðàâíû; 2) ñîíàïðàâëåíû; 3) ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåíû; 4) êîëëèíåàðíû? g

a b c

d f p

e Ðèñ. 97

418.° Òî÷êè M è N — ñîîòâåòñòâåííî ñåðåäèíû ñòîðîí AB è CD ïàðàëëåëîãðàììà ABCD. Óêàæèòå âåêòîðû, íà÷àëà è êîíöû êîòîðûõ íàõîäÿòñÿ â òî÷êàõ A, B, C, D, M,HHHN: E HHHH E $% 1) ðàâíûå âåêòîðó ". 2) êîëëèíåàðíûå âåêòîðó HHHE /$ 4) ñîíà3) ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííûå ñ âåêòîðîì HHHE ïðàâëåííûå ñ âåêòîðîì #$

¨ÇÆØËÁ¾ »¾ÃËÇÉ¹

419.° Ïóñòü O — òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé ïàðàëëåëîãðàììà ABCD. Óêàæèòå âåêòîðû, íà÷àëà è êîíöû êîòîðûõ íàõîäÿòñÿ â òî÷êàõ A, B, C, D, O: 1) ðàâíûå; 2) ñîíàïðàâëåííûå; 3) ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííûå. 420.° Òî÷êè M, N, P — ñîîòâåòñòâåííî ñåðåäèíû ñòîðîí AB, BC, CA òðåóãîëüíèêà ABC. Óêàæèòå âåêòîðû, íà÷àëà è êîíöû êîòîðûõ íàõîäÿòñÿ â òî÷êàõ A, B, C, M, N, P: HHHHHE HHHE 1) ðàâíûå âåêòîðó ./ 2) êîëëèíåàðíûå âåêòîðó "# HHHHE 3) ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííûå ñ âåêòîðîì .1 4) ñîíàHHHE ïðàâëåííûå ñ âåêòîðîì $" 421.° Âåðíî ëè óòâåðæäåíèå: HE H HE HE H HE 1) åñëè N O òî N O HE H HE HE H HE 2) åñëè N O òî N % O HE H HE HE H HE 3) åñëè N w O òî N w O 422.° Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD — HHHE HHHE ïàðàëëåëîãðàìì, òî "# %$ 423.° Îïðåäåëèòå HHHE HHHE âèä ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD, åñëè HHHE HHHE "# kk %$ è #$ % %" 424.° Îïðåäåëèòå âèä ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD, åñëè âåêHHHE HHHHE HHHE HHHHE òîðû #$ è "% êîëëèíåàðíû è #$ w "% HE E 425.° Íàéäèòå ìîäóëè âåêòîðîâ B è C (ðèñ. 98), åñëè ñòîðîíà êëåòî÷êè ðàâíà 0,5 ñì. 426.° Â ïðÿìîóãîëüíèêå ABCD èçâåñòíî, ÷òî AB = 6 ñì, BC = 8 ñì, O — òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé. Íàéäèòå HHHE HHHE HHHE ìîäóëè âåêòîðîâ $" #0 0$ 427.° Â ïðÿìîóãîëüíèêå ABCD äèàãîíàëè ïåðåñåêàþòñÿ HHHHE HHHE â òî÷êå O, "# ñì, "0 ñì. Íàéäèòå ìîäóëè âåêHHHHE HHHHE òîðîâ #% è "% HHHE HHHE 428.° Èçâåñòíî, ÷òî "# %$ Âåðíî ëè, a ÷òî òî÷êè A, B, C è D ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìè ïàðàëëåëîãðàììà? HHHE HHHE b 429.° Èçâåñòíî, ÷òî "# %$ Êàêèå åùå ðàâíûå âåêòîðû çàäàþò òî÷êè A, B, C Ðèñ. 98 è D?

¾ÃËÇÉÔ

HHHE HHHE 430.° Äàí ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD. Èçâåñòíî, ÷òî "# %$ HHHE HHHE è "# #$ Îïðåäåëèòå âèä ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD. 431.° Äàí ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD. Èçâåñòíî, ÷òî âåêòîðû HHHE HHHE HHHE HHHHE "# è $% êîëëèíåàðíû è "$ #% Îïðåäåëèòå âèä ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD. HHHE HHHE 432.° ×òî ñëåäóåò èç ðàâåíñòâà "# #" • 433. Â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ABC òî÷êà M — ñåðåäèíà ãèïîòåíóçû AB è ∠ B = 30°. Íàéäèòå ìîäóëè HHHE HHHHE âåêòîðîâ "# è .$ åñëè AC = 2 ñì. • 434. Â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ABC (∠ C = 90°) HHHE ìåäèàíà CM ðàâíà 6 ñì. Íàéäèòå ìîäóëè âåêòîðîâ "# HHHE è "$ åñëè ∠ A = 30°. E E • Âåê435. Èçâåñòíî, ÷òî âåêòîðû C è D íåêîëëèíåàðíû. E E HE òîð B êîëëèíåàðåí êàæäîìó èç âåêòîðîâ C è D Äîêàæèòå, HE ÷òî âåêòîð B ÿâëÿåòñÿ íóëåâûì. HHHE HHHE • 436. Èçâåñòíî, ÷òî âåêòîðû "# è "$ êîëëèíåàðíû. Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êè A, B è C ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Âåðíî ëè îáðàòíîå óòâåðæäåíèå: åñëè òî÷êè A, B è C ëåæàò HHHE HHHE íà îäíîé ïðÿìîé, òî âåêòîðû "# è "$ êîëëèíåàðíû? • 437. Äëÿ ÷åòûðåõ òî÷åê A, B, C è D èçâåñòíî, ÷òî HHHE HHHE "# $% Äîêàæèòå, ÷òî ñåðåäèíû îòðåçêîâ AD è BC ñîâïàäàþò. Äîêàæèòå îáðàòíîå óòâåðæäåíèå: åñëè ñåðåäèíû HHHE HHHE îòðåçêîâ AD è BC ñîâïàäàþò, òî "# $% HHHHE HHHHE • 438. Èçâåñòíî, ÷òî .0 0/ Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êà O — ñåðåäèíà îòðåçêà MN. Äîêàæèòå îáðàòíîå óòâåðæäåíèå: HHHHE HHHHE åñëè òî÷êà O — ñåðåäèíà îòðåçêà MN, òî .0 0/ «§¨ ¥ ¥ · £· §¦ ª¦¨ ¥ · 439. Îäèí èç óãëîâ ïàðàëëåëîãðàììà ðàâåí ïîëóñóì ìå òðåõ îñòàëüíûõ åãî óãëîâ. Íàéäèòå óãëû ïàðàëëåëîãðàììà. 440. Ïåðèìåòð îäíîãî èç äâóõ ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêîâ íà 8 ñì áîëüøå ïåðèìåòðà äðóãîãî òðåóãîëüíèêà. Íàéäèòå

£ÇÇÉ½ÁÆ¹ËÔ »¾ÃËÇÉ¹

ïåðèìåòðû äàííûõ òðåóãîëüíèêîâ, åñëè êîýôôèöèåíò ïîäîáèÿ ðàâåí

441. Íà ñòîðîíàõ BC è AD ðîìáà ABCD îòìåòèëè ñîîòâåòñòâåííî òî÷êè M è K òàêèå, ÷òî BM : MC = KD : AK = = 1 : 2. Íàéäèòå MK, åñëè AB = a, ∠ ABC = 60°.

¢ÆÆÈ¼ÀÅ¸ÊÓ º½ÂÊÆÈ¸ HE Ðàññìîòðèì íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè âåêòîð B Îò HHHE íà÷àëà êîîðäèíàò îòëîæèì ðàâíûé åìó âåêòîð 0" (ðèñ. 99). HE Êîîðäèíàòàìè âåêòîðà B áóäåì íàçûâàòü êîîðäèíàòû òî÷HE HE êè A. Çàïèñü B Y Z îçíà÷àåò, ÷òî âåêòîð B èìååò êîîðäèíàòû (x; y). ×èñëà x è y íàçûâàþò ñîîòâåòñòâåííî ïåðâîé è âòîðîé HE êîîðäèíàòàìè âåêòîðà B Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ðàâíûå âåêòîðû èìåþò ðàâíûå ñîîòâåòñòâóþùèå êîîðäèíàòû. Íàïðèìåð, êàæäûé HE E E èç ðàâíûõ âåêòîðîâ B C è D (ðèñ. 100) èìååò êîîðäèíàòû (2; 1). y A

y y

b 1

B 1

x c

Ðèñ. 99

Ðèñ. 100

Ñïðàâåäëèâî è îáðàòíîå óòâåðæäåíèå: åñëè ñîîòâåòñòâóþùèå êîîðäèíàòû âåêòîðîâ ðàâíû, òî ðàâíû è ñàìè âåêòîðû. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè îòëîæèòü òàêèå âåêòîðû îò íà÷àëà êîîðäèíàò, òî èõ êîíöû ñîâïàäóò. Î÷åâèäíî, ÷òî íóëåâîé âåêòîð èìååò êîîðäèíàòû (0; 0).

¾ÃËÇÉÔ

Ò å î ð å ì à 13.1. Åñëè òî÷êè A (x1; y1) è B (x2; y2) ñîîòHE âåòñòâåííî ÿâëÿþòñÿ íà÷àëîì è êîíöîì âåêòîðà B òî ÷èñëà x2 – x1 è y2 – y1 ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî ïåðâîé HE è âòîðîé êîîðäèíàòàì âåêòîðà B HE E Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè B òî òåîðåìà î÷åâèäíà. HE E Ïóñòü òåïåðü B w Îòëîæèì îò íà÷àëà êîîðäèíàò âåêòîð HHHHE HHHE 0. ðàâíûé âåêòîðó "# Åñëè îáîçíà÷èòü êîîðäèíàòû òî÷êè M ÷åðåç (a1; a2), òî òðåáóåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî a1 = = x2 – x1, a2 = y2 – y1. HHHE HHHHE Ïîñêîëüêó "# 0. òî, âîñïîëüçîâàâøèñü ðåçóëüòàòîì çàäà÷è 437, ìîæåì ñäåëàòü âûâîä, ÷òî ñåðåäèíû îòðåçêîâ OB è AM ñîâïàäàþò. Êîîðäèíàòû ñåðåäèí îòðåçêîâ OB è AM ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû Òîãäà

Y B

Y Z

Z B

Y B Z B

(Ýòè ðàâåíñòâà âûïîëíÿ-

þòñÿ è òîãäà, êîãäà òî÷êà O ñîâïàäàåò ñ òî÷êîé B èëè òî÷êà A ñîâïàäàåò ñ òî÷êîé M). Îòñþäà a1 = x2 – x1, a2 = y2 – y1. Èç ôîðìóëû ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè ñëåäóåò, HE ÷òî åñëè âåêòîð B èìååò êîîðäèíàòû (a1; a2), òî HE B B B Ï ð è ì å ð. Äàíû êîîðäèíàòû òðåõ âåðøèí ïàðàëëåëîãðàììà ABCD: A (3; –2), B (–4; 1), C (–2; –3). Íàéäèòå êîîðäèíàòû âåðøèíû D. Ð å ø å í è å. Òàê êàê ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD — ïàðàëëåHHHE HHHE ëîãðàìì, òî "# %$ Ñëåäîâàòåëüíî, êîîðäèíàòû ýòèõ âåêòîðîâ ðàâíû. Ïóñòü êîîðäèíàòû òî÷êè D ðàâíû (x; y). Äëÿ íàõîæäåíèÿ HHHE HHHE êîîðäèíàò âåêòîðîâ "# è %$ âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé 13.1. Èìååì: HHHE HHHE HHHE "#

"# %$ Y Z

£ÇÇÉ½ÁÆ¹ËÔ »¾ÃËÇÉ¹

ª Y ªY « « ¬ Z ¬Z Î ò â å ò: D (5; –6).

Îòñþäà:

¨ÇØÊÆÁË¾ ÐËÇ Æ¹ÀÔ»¹×Ë ÃÇÇÉ½ÁÆ¹Ë¹ÅÁ ½¹ÆÆÇ¼Ç »¾ÃËÇÉ¹ °ËÇ ÅÇ¿ÆÇ ÊÃ¹À¹ËÕ Ç ÃÇÇÉ½ÁÆ¹Ë¹Î É¹»ÆÔÎ »¾ÃËÇÉÇ» °ËÇ ÅÇ¿ÆÇ ÊÃ¹À¹ËÕ Ç »¾ÃËÇÉ¹Î ÊÇÇË»¾ËÊË»Ì×ÒÁ¾ ÃÇÇÉ½ÁÆ¹ËÔ ÃÇËÇÉÔÎ É¹»ÆÔ £¹Ã Æ¹ÂËÁ ÃÇÇÉ½ÁÆ¹ËÔ »¾ÃËÇÉ¹ ¾ÊÄÁ ÁÀ»¾ÊËÆÔ ÃÇÇÉ½ÁÆ¹ËÔ ¾¼Ç Æ¹Ð¹Ä¹ Á ÃÇÆÏ¹ £¹Ã Æ¹ÂËÁ ÅÇ½ÌÄÕ »¾ÃËÇÉ¹ ¾ÊÄÁ ÁÀ»¾ÊËÆÔ ¾¼Ç ÃÇÇÉ½ÁÆ¹ËÔ

§¨ ¢ª ¯ ©¢ ¥ · 442.° Ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè ïîñòðîéòå òî÷êó, êîîðäèíàòû êîòîðîé ðàâíû êîîðäèíàòàì äàííîãî HE âåêòîðà B (ðèñ. 101). 443.° Îòëîæèòå îò íà÷àëà êîîðHE E äèíàò âåêòîðû B C E D 444.° Îòëîæèòå îò òî÷êè M (–1; 2) HE E E âåêòîðû B C D «§¨ ¥ ¥ · 445.° Íàéäèòå êîîðäèíàòû âåêòîðîâ, èçîáðàæåííûõ íà ðèñóíêå 102. 446.° Íàéäèòå êîîðäèíàòû HHHE âåêòîðà "# åñëè: 1) A (2; 3), B (–1; 4); 2) A (3; 0), B (0; –3); 3) A (0; 0), B (–2; –8); 4) A (m; n), B (p, k).

y a

O Ðèñ. 101

b 1 d

x c

Ðèñ. 102

¾ÃËÇÉÔ

HE 447.° Äàíû òî÷êà A (1; 3) è âåêòîð B Íàéäèòå êîHHHE HE îðäèíàòû òî÷êè B òàêîé, ÷òî #" B 448.° Äàíû òî÷êè A (3; –7), B (4; –5), C (5; 8). Íàéäèòå HHHE HHHE êîîðäèíàòû òî÷êè D òàêîé, ÷òî "# $% HE H 449.° Îò òî÷êè A (4; –3) îòëîæåí âåêòîð N Íàéäèòå êîîðäèíàòû êîíöà âåêòîðà. 450.° Äàíû òî÷êè A (3; –4), B (–2; 7), C (–4; 16), D (1; 5). HHHE HHHE Äîêàæèòå, ÷òî $# %" 451.° Äîêàæèòå, ÷òî ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD ñ âåðøèíàìè â òî÷êàõ A (1; –5), B (2; 3), C (–3; 1), D (–4; –7) ÿâëÿåòñÿ ïàðàëëåëîãðàììîì. HE E E 452.° Ñðåäè âåêòîðîâ B C D HE E E E F G íàéäèòå òå, êîòîðûå èìåþò ðàâíûå ìîäóëè. 453.° Äàíû òî÷êè A (1; –4), B (–2; 5), C (1 + a; –4 + b), HHHE HHHHE D (–2 + a; 5 + b). Äîêàæèòå, ÷òî "$ #% HE 454.° Ìîäóëü âåêòîðà B Y ðàâåí 10. Íàéäèòå x. E 455.° Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ y ìîäóëü âåêòîðà C Z

ðàâåí 13? •

456. Îòðåçîê BM — ìåäèàíà òðåóãîëüíèêà ñ âåðøèíàìè A (3; –5), B (2; –3), C (–1; 7). Íàéäèòå êîîðäèíàòû è ìîäóëü HHHHE âåêòîðà #. •

457. Òî÷êà F äåëèò ñòîðîíó BC ïðÿìîóãîëüíèêà ABCD â îòíîøåíèè 1 : 2, ñ÷èòàÿ îò âåðøèíû B (ðèñ. 103). ÍàéHHHE HHHE äèòå êîîðäèíàòû âåêòîðîâ "' è '% •

458. Òî÷êà E — ñåðåäèíà ñòîðîíû AC ïðÿìîóãîëüíèHHHE HHHE êà OACD. Íàéäèòå êîîðäèíàòû âåêòîðîâ %& è &0 (ðèñ. 104). HE • 459. Ìîäóëü âåêòîðà B ðàâåí 10. Åãî ïåðâàÿ êîîðäèíàòà HE íà 2 áîëüøå âòîðîé. Íàéäèòå êîîðäèíàòû âåêòîðà B

£ÇÇÉ½ÁÆ¹ËÔ »¾ÃËÇÉ¹

y 0

–4

3 C

y D x

F B

D 8 x

Ðèñ. 103

Ðèñ. 104

E • 460. Ìîäóëü âåêòîðà D ðàâåí 2, à åãî êîîðäèíàòû ðàâíû. E Íàéäèòå êîîðäèíàòû âåêòîðà D •• 461. Òî÷êè A (2; 5) è B (7; 5) — âåðøèíû ïðÿìîóãîëüHHHHE íèêà ABCD. Ìîäóëü âåêòîðà #% ðàâåí 13. Íàéäèòå êîîðäèíàòû òî÷åê C è D. •• 462. Òî÷êè A (1; 2) è D (1; –6) — âåðøèíû ïðÿìîóãîëüHHHE íèêà ABCD. Ìîäóëü âåêòîðà "$ ðàâåí 17. Íàéäèòå êîîðäèíàòû âåðøèí B è C. «§¨ ¥ ¥ · £· §¦ ª¦¨ ¥ · 463. Äâà ðàâíûõ ðàâíîáåäðåííûõ òðåóãîëüíèêà ADB è CBD (AB = BD = CD) èìåþò îáùóþ áîêîâóþ ñòîðîíó (ðèñ. 105). Îïðåäåëèòå âèä ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD. 464. Ïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà ðàâåí 48 ñì, à åãî áèññåêòðèñà äåëèò ïðîòèâîëåæàùóþ ñòîðîíó íà îòðåçêè äëèíîé 5 ñì è 15 ñì. Íàéäèòå ñòîðîíû òðåóãîëüB C íèêà. 465. Áîêîâàÿ ñòîðîíà ðàâíîáîêîé òðàïåöèè, îïèñàííîé îêîëî îêðóæíîñòè, ðàâíà D a, à îäèí èç óãëîâ — 60°. Íàéäèòå ïëîùàäü A òðàïåöèè. Ðèñ. 105

¾ÃËÇÉÔ

©ÃÆ¾½ÅÀ½ À ºÓÏÀÊ¸ÅÀ½ º½ÂÊÆÈÆº Åñëè òåëî ïåðåìåñòèëîñü èç òî÷êè A â òî÷êó B, à çàòåì èç òî÷êè B â òî÷êó C, òî ñóììàðíîå ïåðåìåùåíèå èç òî÷êè A HHHE â òî÷êó C åñòåñòâåííî ïðåäñòàâèòü â âèäå âåêòîðà "$ HHHE HHHE ñ÷èòàÿ ýòîò âåêòîð ñóììîé âåêòîðîâ "# è #$ òî åñòü HHHE HHHE HHHE "# #$ "$ (ðèñ. 106). Ýòîò ïðèìåð ïîäñêàçûâàåò, êàê B ââåñòè ïîíÿòèå «ñóììà âåêòîðîâ», òî åñòü êàê ñëîæèòü äâà äàííûõ HE E âåêòîðà B è C A Îòëîæèì îò ïðîèçâîëüíîé HHHE òî÷êè A âåêòîð "# ðàâíûé âåêC HE òîðó B Äàëåå îò òî÷êè B îòÐèñ. 106 HHHE ëîæèì âåêòîð #$ ðàâíûé âåêHE E E HHHE òîðó C Âåêòîð "$ íàçûâàþò ñóììîé âåêòîðîâ B è C HE E HHHE (ðèñ. 107) è çàïèñûâàþò B C "$ Îïèñàííûé àëãîðèòì ñëîæåíèÿ b äâóõ âåêòîðîâ íàçûâàþò ïðàâèëîì òðåóãîëüíèêà. A a Ýòî íàçâàíèå ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî HE E åñëè âåêòîðû B è C íå êîëëèíåàðíû, C òî òî÷êè A, B è C ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìè òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 107). B Ïî ïðàâèëó òðåóãîëüíèêà ìîæíî Ðèñ. 107 ñêëàäûâàòü è êîëëèíåàðíûå âåêòîðû. HHHE Íà ðèñóíêå 108 âåêòîð "$ ðàâåí ñóììå êîëëèíåàðíûõ HE E âåêòîðîâ B è C

a C

b B

à)

á) Ðèñ. 108

ªÄÇ¿¾ÆÁ¾ Á »ÔÐÁË¹ÆÁ¾ »¾ÃËÇÉÇ»

Èòàê, äëÿHHHH ëþáûõ E HHHE òðåõ HHHE òî÷åê A, B è C âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî "# #$ "$ êîòîðîå âûðàæàåò ïðàâèëî òðåóãîëüíèêà äëÿ ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ. E E Ò å î ð å ì à 14.1. Åñëè êîîðäèíàòû âåêòîðîâ a è C ñîîòâåòñòâåííî HE E ðàâíû (a1; a2) è (b1; b2), òî êîîðäèíàòû âåêòîðà B C ðàâíû (a1 + b1; a2 + b2). Ïóñòü òî÷êè A (x1; y1), B (x2; y2), Äîêàçàòåëüñòâî. HE HHHE E HHHE HE C (x3; y3) òàêîâû, ÷òî B "# è C #$ Òîãäà B Y Y Z Z E HE E HHHE C Y Y Z Z B C "$ Y Y Z Z HHHE HHHE "$ Y Y Y Y Z Z Z Z "$ B C B C Ç à ì å ÷ à í è å. Îïèñûâàÿ ïðàâèëî òðåóãîëüíèêà äëÿ íàHE E HE õîæäåíèÿ ñóììû âåêòîðîâ B è C ìû îòëîæèëè âåêòîð B îò ïðîèçâîëüíîé òî÷êè. Åñëè òî÷êó A çàìåíèòü òî÷êîé A1, HHHE HE E òî âìåñòî âåêòîðà "$ ðàâíîãî ñóììå âåêòîðîâ B è C ïîHHHHHE ëó÷èì íåêîòîðûé âåêòîð " $ Èç òåîðåìû 14.1 ñëåäóåò, HHHHHE HHHE ÷òî êîîðäèíàòû âåêòîðîâ "$ è " $ ðàâíû (a1 + b1; a2 + HHHE HHHHHE + b2), ñëåäîâàòåëüíî, "$ " $ Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóììà HE E âåêòîðîâ B è C íå çàâèñèò îò òîãî, îò êàêîé òî÷êè îòêëàHE äûâàåòñÿ âåêòîð B Ñâîéñòâà ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ àíàëîãè÷íû ñâîéñòâàì ñëîæåíèÿ ÷èñåë. HE E E Äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ B C è D âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà:HE HE HE 1) B HE E B E HE 2) B C C B (ïåðåìåñòèòåëüíîå ñâîéñòâî); HE E E HE E E 3) B C D B C D (ñî÷åòàòåëüíîå ñâîéñòâî). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòèõ ñâîéñòâ äîñòàòî÷íî ñðàâíèòü ñîîòâåòñòâóþùèå êîîðäèíàòû âåêòîðîâ, çàïèñàííûõ â ïðàâîé è ëåâîé ÷àñòÿõ ðàâåíñòâ. Ñäåëàéòå ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî. Ñóììó òðåõ è áîëåå âåêòîðîâ íàõîäÿò òàê: ñíà÷àëà ñêëàäûâàþò ïåðâûé è âòîðîé âåêòîðû, çàòåì ñêëàäûâàþò HE E E ïîëó÷åííûé âåêòîð ñ òðåòüèì è ò. ä. Íàïðèìåð, B C D HE E E B C D

¾ÃËÇÉÔ

Èç ïåðåìåñòèòåëüíîãî è ñî÷åòàòåëüíîãî ñâîéñòâ ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ ñëåäóåò, ÷òî ïðè ñëîæåíèè íåñêîëüêèõ âåêòîðîâ ìîæíî ìåíÿòü ìåñòàìè ñëàãàåìûå è ðàññòàâëÿòü ñêîáêè ëþáûì ñïîñîáîì. Â ôèçèêå ÷àñòî ïðèõîäèòñÿ ñêëàäûF1 âàòü âåêòîðû, îòëîæåííûå îò îäíîé F1 + F2 òî÷êè. Òàê, åñëè ê òåëó ïðèëîæåíû ñèëû HE H HE H ' è ' (ðèñ. 109), òî ðàâíîäåéñòâóþùàÿ HE H HE H F2 ýòèõ ñèë ðàâíà ñóììå ' ' Ðèñ. 109 Äëÿ íàõîæäåíèÿ ñóììû äâóõ íåêîëëèíåàðíûõ âåêòîðîâ, îòëîæåííûõ îò îäíîé òî÷êè, óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ ïðàâèëîì ïàðàëëåëîãðàììà äëÿ ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ. HHHE Ïóñòü íàäî íàéòè ñóììó íåêîëëèíåàðíûõ âåêòîðîâ "# HHHHE HHHE HHHHE è "% (ðèñ. 110). Îòëîæèì âåêòîð #$ ðàâíûé âåêòîðó "% HHHE HHHE HHHE HHHE HHHHE Òîãäà ïî ïðàâèëó òðåóãîëüíèêà "$ "# #$ "# "% HHHE HHHHE Ïîñêîëüêó âåêòîðû #$ è "% ðàâíû, òî ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD — ïàðàëëåëîãðàìì ñ äèàãîíàëüþ AC. Ïðèâåäåííûå ñîîáðàæåíèÿ ïîçâîëÿþò ñôîðìóëèðîâàòü ïðàâèëî ïàðàëëåëîãðàììà äëÿ ñëîæåíèÿ íåêîëëèíåàðíûõ HE E âåêòîðîâ B è C HHHE Îòëîæèì îò ïðîèçâîëüíîé òî÷êè A âåêòîð "# ðàâíûé HE HHHHE E âåêòîðó B è âåêòîð "% ðàâíûé âåêòîðó C Ïîñòðîèì ïàðàëëåëîãðàìì ABCD (ðèñ. 111). Òîãäà èñêîìàÿ ñóììà HHHE HE E B C ðàâíà âåêòîðó "$ HE E Ðàçíîñòüþ âåêòîðîâ B è C íàçûâàþò òàÎïðåäåëåíèå. E E HE êîé âåêòîð D ñóììà êîòîðîãî ñ âåêòîðîì C ðàâíà âåêòîðó B b

a B

a A

C b a +

D Ðèñ. 110

A Ðèñ. 111

O Ðèñ. 112

ªÄÇ¿¾ÆÁ¾ Á »ÔÐÁË¹ÆÁ¾ »¾ÃËÇÉÇ»

E HE E Ïèøóò: D B C Ïîêàæåì, êàê âåêòîð, ðàâíûé ðàçíîñòè äàíHE ïîñòðîèòü E íûõ âåêòîðîâ B è C HHHE HHHE Îò ïðîèçâîëüíîé òî÷êè O îòëîæèì âåêòîðû 0" è 0# HE E ñîîòâåòñòâåííî ðàâíûå âåêòîðàì B è C (ðèñ. 112). Òîãäà HHHE HE E âåêòîð #" áóäåò ðàçíîñòüþ B C Äåéñòâèòåëüíî, HHHE HHHE HHHE 0# #" 0" Ñëåäîâàòåëüíî, ïî îïðåäåëåíèþ ðàçíîñòè HHHE HHHE HHHE HE E HHHE äâóõ âåêòîðîâ 0" 0# #" òî åñòü B C #" HHHE HHHE Íà ðèñóíêå 112 âåêòîðû 0" è 0# íåêîëëèíåàðíû. Îäíàêî îïèñàííûé àëãîðèòì ïðèìåíèì è äëÿ íàõîæäåíèÿ ðàçíîñòè êîëëèíåàðíûõ âåêòîðîâ. Íà ðèñóíêå 113 âåêòîð HHHE HE E #" ðàâåí ðàçíîñòè êîëëèíåàðíûõ âåêòîðîâ B è C b

a B

a A

O à)

Ðèñ. 113

A á)

Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ òî÷åê O, A è B âûïîëHHHEëþáûõ HHHE Hòðåõ HHE íÿåòñÿ ðàâåíñòâî 0" 0# #" êîòîðîå âûðàæàåò ïðàâèëî íàõîæäåíèÿ ðàçíîñòè äâóõ âåêòîðîâ, îòëîæåííûõ îò îäíîé òî÷êè. HE E Ò å î ð å ì à 14.2. Åñëè êîîðäèíàòû âåêòîðîâ B è C ñîîòâåòñòâåííî HE E ðàâíû (a1; a2) è (b1; b2), òî êîîðäèíàòû âåêòîðà B C ðàâíû (a1 – b1; a2 – b2). Äîêàæèòå ýòó òåîðåìó ñàìîñòîÿòåëüíî. HE Èç ýòîé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ B è E E HE E E C ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé âåêòîð D òàêîé, ÷òî B C D Î ï ð å ä å ë å í è å. Äâà íåíóëåâûõ âåêòîðà íàçûâàþò ï ð î ò è â î ï î ë î æ í û ì è , åñëè èõ ìîäóëè ðàâíû è âåêòîðû ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåíû. HE E Åñëè âåêòîðû B è C ïðîòèâîïîëîæíû, òî ãîâîðÿò, ÷òî HE E E âåêòîð B ïðîòèâîïîëîæíûé âåêòîðó C à âåêòîð C — ïðîHE òèâîïîëîæíûé âåêòîðó B

¾ÃËÇÉÔ

Âåêòîðîì, ïðîòèâîïîëîæíûì íóëåâîìó âåêòîðó, ñ÷èòàþò íóëåâîé âåêòîð. HE HE Âåêòîð, ïðîòèâîïîëîæíûé âåêòîðó B îáîçíà÷àþò òàê: B HHHE Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî âåêòîðó "# ïðîòèâîïîëîæHHHE íûì ÿâëÿåòñÿ âåêòîð #" HÒîãäà HHHE Häëÿ HHE ëþáûõ òî÷åê A è B âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî "# #" Èç ïðàâèëà òðåóãîëüíèêà ñëåäóåò, ÷òî HE HE E B B HE À èç ýòîãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî åñëè âåêòîð B èìååò êîHE îðäèíàòû (a1; a2), òî âåêòîð B èìååò êîîðäèíàòû (–a1; –a2). HE E Ò å î ð å ì à 14.3. Äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ B è C âûïîëíÿHE E HE E åòñÿ ðàâåíñòâî B C B C Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî ñðàâíèòü ñîîòâåòñòâóþùèå êîîðäèíàòû âåêòîðîâ, çàïèñàííûõ â ïðàâîé è ëåâîé ÷àñòÿõ ðàâåíñòâà. Ñäåëàéòå ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî. Òåîðåìà 14.3 ïîçâîëÿåò ñâåñòè âû÷èòàíèå âåêòîðîâ ê ñëîHE E æåíèþ: ÷òîáû èç âåêòîðà B âû÷åñòü âåêòîð C íàäî HE E ê âåêòîðó B ïðèáàâèòü âåêòîð C (ðèñ. 114). Ï ð è ì å ð. Äèàãîíàëè ïàðàëëåëîãðàììà ABCD ïåðåñåêàHHHE HHHHE þòñÿ â òî÷êå O (ðèñ. 115). Âûðàçèòå âåêòîðû "# "% HHHE HHHE HE HHHE E è $# ÷åðåç âåêòîðû $0 B è #0 C B

–b

–

a A

Ðèñ. 114

D Ðèñ. 115

Ð å ø å í è å. Òàê êàê òî÷êà O — ñåðåäèíà îòðåçêîâ BD HHHE HHHE HE HHHE HHHE E è AC, òî 0" $0 B è 0% #0 C

ªÄÇ¿¾ÆÁ¾ Á »ÔÐÁË¹ÆÁ¾ »¾ÃËÇÉÇ»

HHHE HHHE HHHE HHHE HHHE HE E Èìååì: "# "0 0# 0" #0 B C HHHHE HHHE HHHE E HE EB HE E HHHE "% HHHHE 0% HHHE 0" HHHE CHHH $# "% %" 0" 0% B C

§ÈÁÑÁË¾ ÈÉ¹»ÁÄÇ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃ¹ ½ÄØ Æ¹ÎÇ¿½¾ÆÁØ ÊÌÅÅÔ »¾ÃËÇÉÇ» £¹ÃÇ¾ É¹»¾ÆÊË»Ç »ÔÉ¹¿¹¾Ë ÈÉ¹»ÁÄÇ ËÉ¾Ì¼ÇÄÕÆÁÃ¹ ½ÄØ Æ¹ÎÇ¿½¾ ÆÁØ ÊÌÅÅÔ »¾ÃËÇÉÇ» °¾ÅÌ É¹»ÆÔ ÃÇÇÉ½ÁÆ¹ËÔ »¾ÃËÇÉ¹ É¹»ÆÇ¼Ç ÊÌÅÅ¾ ½»ÌÎ ½¹ÆÆÔÎ »¾ÃËÇÉÇ» ¹ÈÁÑÁË¾ É¹»¾ÆÊË»¹ »ÔÉ¹¿¹×ÒÁ¾ Ê»ÇÂÊË»¹ ÊÄÇ¿¾ÆÁØ »¾ÃËÇÉÇ» §ÈÁÑÁË¾ ÈÉ¹»ÁÄÇ È¹É¹ÄÄ¾ÄÇ¼É¹ÅÅ¹ ½ÄØ Æ¹ÎÇ¿½¾ÆÁØ ÊÌÅÅÔ ½»ÌÎ »¾ÃËÇÉÇ» £¹ÃÇÂ »¾ÃËÇÉ Æ¹ÀÔ»¹×Ë É¹ÀÆÇÊËÕ× ½»ÌÎ »¾ÃËÇÉÇ» £¹ÃÇ¾ É¹»¾ÆÊË»Ç »ÔÉ¹¿¹¾Ë ÈÉ¹»ÁÄÇ Æ¹ÎÇ¿½¾ÆÁØ É¹ÀÆÇÊËÁ ½»ÌÎ »¾ÃËÇÉÇ» ÇËÄÇ¿¾ÆÆÔÎ ÇË Ç½ÆÇÂ ËÇÐÃÁ °¾ÅÌ É¹»ÆÔ ÃÇÇÉ½ÁÆ¹ËÔ »¾ÃËÇÉ¹ É¹»ÆÇ¼Ç É¹ÀÆÇÊËÁ ½»ÌÎ ½¹ÆÆÔÎ »¾ÃËÇÉÇ» £¹ÃÁ¾ »¾ÃËÇÉÔ Æ¹ÀÔ»¹×Ë ÈÉÇËÁ»ÇÈÇÄÇ¿ÆÔÅÁ E £¹Ã ÇºÇÀÆ¹Ð¹×Ë »¾ÃËÇÉ ÈÉÇËÁ»ÇÈÇÄÇ¿ÆÔÂ »¾ÃËÇÉÌ B £¹Ã ÅÇ¿ÆÇ Ê»¾ÊËÁ »ÔÐÁË¹ÆÁ¾ »¾ÃËÇÉÇ» Ã ÊÄÇ¿¾ÆÁ× »¾ÃËÇÉÇ»

§¨ ¢ª ¯ ©¢ ¥ · 466.° Ñ ïîìîùüþ ïðàâèëà òðåóãîëüíèêà ïîñòðîéòå ñóììó HE E âåêòîðîâ B è C èçîáðàæåííûõ íà ðèñóíêå 116. a

b à)

á)

â)

ã)

a b

ä)

b å) Ðèñ. 116

a æ)

¾ÃËÇÉÔ

467.° Ñ ïîìîùüþ ïðàâèëà ïàðàëëåëîãðàììà ïîñòðîéòå HE E ñóììó âåêòîðîâ B è C èçîáðàæåííûõ íà ðèñóíêå 116, à) – ã). HE E 468.° Äëÿ âåêòîðîâ B è C èçîáðàæåííûõ íà ðèñóíêå 116, HE E ïîñòðîéòå âåêòîð B C 469.° Íà÷åðòèòå òðåóãîëüíèê ABC. Îòëîæèòå îò òî÷êè A HHHE HHHE HHHE âåêòîð, ïðîòèâîïîëîæíûé âåêòîðó: 1) "# 2) $" 3) #$ 470.° Íà÷åðòèòå ïàðàëëåëîãðàìì ABCD. Ïîñòðîéòå âåêHHHE HHHE HHHE HHHE HHHE HHHE HHHE HHHHE HHHE HHHE òîðû #$ #" #$ %$ #$ $" #$ "% "$ %# 471.° Íà÷åðòèòå òðåóãîëüíèê MNP. Ïîñòðîéòå âåêòîðû HHHHE HHHHE HHHHHE HHHHE HHHHHE HHHHE .1 1/ ./ 1/ ./ .1 472.° Íà÷åðòèòå ïàðàëëåëîãðàìì ABCD. Ïîñòðîéòå âåêHHHE HHHE HHHE HHHE HHHE HHHHE HHHE HHHE òîðû #" #$ #" %" #" "% "$ %# 473.° Íà÷åðòèòå òðåóãîëüíèê ABC. Ïîñòðîéòå âåêòîðû HHHE HHHE HHHE HHHE HHHE HHHE "$ $# $" $# #$ $" 474.° Îòìåòüòå ÷åòûðå òî÷êè M, N, P, Q. Ïîñòðîéòå âåêHHHHHE HHHHE HHHE òîð ./ /1 12 HE E E 475.° Äëÿ âåêòîðîâ B C è D èçîáðàæåííûõ íà ðèñóíêå HE E E HE E E HE E E 117, ïîñòðîéòå âåêòîð: 1) B C D 2) B C D 3) B C D

b a

c c

a à)

b c á)

â)

Ðèñ. 117 •

476. Îòëîæèòå îò îäíîé òî÷êè òðè òîðûõ ðàâíû, òàê, ÷òîáû ñóììà äâóõ òðåòüåìó âåêòîðó. • 477. Îòëîæèòå îò îäíîé òî÷êè òðè òîðûõ ðàâíû, òàê, ÷òîáû èõ ñóììà âåêòîðó.

âåêòîðà, ìîäóëè êîèç íèõ áûëà ðàâíîé âåêòîðà, ìîäóëè êîáûëà ðàâíîé íóëü-

ªÄÇ¿¾ÆÁ¾ Á »ÔÐÁË¹ÆÁ¾ »¾ÃËÇÉÇ» •

478. Äëÿ òî÷åê A, B, C, D, HE èçîáðàæåííûõ íà ðèñóíêå B Y ÷òî118,HHH ïîñòðîéòå òàêîé âåêòîð E HHHE HHHE HE E áû "# $# $% Y C • 479. Íà÷åðòèòå òðåóãîëüíèê ABC. A Ïîñòðîéòå X, ÷òîáû: HHHHE òàêóþ HHHHE HHHòî÷êó E #9 9$ 1) H"9 HHHE HHHE HHHHE D 2) #9 9$ 9" Ðèñ. 118

«§¨ ¥ ¥ · HHHE 480.° Äàí òðåóãîëüíèê ABC. Âûðàçèòå âåêòîð #$ ÷åðåç âåêòîðû: HHHE HHHE HHHE HHHE 2) "# è "$ 1) $" è "# HHHE 481.° Äàí ïàðàëëåëîãðàìì ABCD. Âûðàçèòå âåêòîðû "# HHHE HHHE HHHE HE HHHE E #$ %" ÷åðåç âåêòîðû $" B $% D HHHE 482.° Äàí ïàðàëëåëîãðàìì ABCD. Âûðàçèòå âåêòîðû "$ HHHHE HHHE HHHE HE HHHE E #% #$ ÷åðåç âåêòîðû #" B %" C HHHE 483.° Äàí ïàðàëëåëîãðàìì ABCD. Âûðàçèòå âåêòîðû #$ H HH E H E HHHE HHHE HHHHE E %$ %" ÷åðåç âåêòîðû "# B #% C 484.° Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ òî÷åê A, B, C, D âûïîëíÿåòñÿ HHHðàâåíñòâî: E HHHE HHHHE HHHE 1) H"# HHE H#$ HHE H"% HHE H%$ HHE 2) $" HHHE $# HHHE H%" HHHE %# HHHE 3) "$ $# "% %# 485.° Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ òî÷åê A, B, C, D âûïîëíÿåòñÿ HHHðàâåíñòâî: E HHHE HHHHE HHHE 1) H#" HHE H"$ HHHE #% HHHE H%$ HHE "# "% $# $% 2) HHHE HHHHE HHHE HHHE 3) #" #% "$ %$ 486.° Òî÷êè M è N — ñåðåäèíû ñîîòâåòñòâåííî ñòîðîí HHHHE HHHE BA è BC òðåóãîëüíèêà ABC. Âûðàçèòå âåêòîðû ". /$ HHHHHE HHHHE HHHHE HE H HHHHE HE ./ /# ÷åðåç âåêòîðû #. N è #/ O

¾ÃËÇÉÔ

487.° Â ïàðàëëåëîãðàììå ABCD äèàãîíàëè ïåðåñåêàþòñÿ HHHE HHHE HHHE HHHE E â òî÷êå O. Äîêàæèòå, ÷òî 0" 0# 0$ 0% 488.° Äàíû ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD è íåêîòîðàÿ òî÷êà O. HHHE HHHE HHHHE HHHE Èçâåñòíî, ÷òî "0 0# %0 0$ Äîêàæèòå, ÷òî ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD — ïàðàëëåëîãðàìì. 489.° Äàíû ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD è íåêîòîðàÿ òî÷êà O. HHHE HHHE HHHE HHHE Èçâåñòíî, ÷òî 0" 0% 0# 0$ Äîêàæèòå, ÷òî ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD — ïàðàëëåëîãðàìì. HE E 490.° Äàíû âåêòîðû B H E E è C Íàéäèòå: HE E 1) êîîðäèíàòû âåêòîðîâ B C B C HE E HE E 2) B C B C 491.° Äàíû òî÷êè A (1; –3), B (4; 5), C (–2; –1), D (3; 0). Íàéäèòå: HHHE HHHE HHHE HHHE 1) êîîðäèíàòû âåêòîðîâ "# $% è "# $% HHHE HHHE HHHE HHHE 2) "# $% "# $% HE E 492.° Ñóììà âåêòîðîâ B è C Y ðàâíà âåêòîðó E D Z Íàéäèòå x è y. HE E 493.° Ñóììà âåêòîðîâ B Y è C Z ðàâíà âåêòîðó E D Íàéäèòå x è y. HHHHHE 494.° Äàí âåêòîð ./ Íàéäèòå êîîðäèíàòû âåêHHHHHE òîðà /. 495.° Ñòîðîíà ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà ABC ðàâíà HHHE HHHE 3 ñì. Íàéäèòå "# #$ 496.° Êàòåò ðàâíîáåäðåííîãî ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüHHHE HHHE íèêà ABC (∠ C = 90°) ðàâåí 4 ñì. Íàéäèòå "$ $# HHHHE HHHE 497.° Äàíû òî÷êè N (3; –5) è F (4; 1). Íàéäèòå 0/ 0' HHHE HHHHE è '0 0/ ãäå O — ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà. • 498. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ n òî÷åê A1, A2, ..., An âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî HHHHHE HHHHHHE HHHHHHE HHHHHHHHE HHHHHHE " " " " " " "O "O " "O •

499. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ òî÷åê A, B, C, D, E âûHHHE HHHE HHHE HHHE HHHE E ïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî "# #$ $% %& &"

ªÄÇ¿¾ÆÁ¾ Á »ÔÐÁË¹ÆÁ¾ »¾ÃËÇÉÇ»

HHHE • B 500. Âûðàçèòå âåêòîð "# ÷åðåç âåê- A HE E E HE òîðû B C D E (ðèñ. 119). a d • 501. Â ïàðàëëåëîãðàììå ABCD òî÷êè b M, N, K — ñåðåäèíû ñîîòâåòñòâåííî ñòîc HHHE ðîí AB, BC è CD. Âûðàçèòå âåêòîðû #" Ðèñ. 119 HHHHHE HE H HHHHE HE HHHHE è "% ÷åðåç âåêòîðû ./ N ,/ O • 502. Â ïàðàëëåëîãðàììå ABCD äèàãîíàëè ïåðåñåêàþòñÿ HHHE HHHHE â òî÷êå O. Âûðàçèòå âåêòîðû #" è "% ÷åðåç âåêòîðû HHHHE HE HHHE E %0 B 0$ C • ABCD. Äîêàæèòå, ÷òî HHHH503. E HHHE Äàí HHHHE ÷åòûðåõóãîëüíèê HHHHE HHHE .$ $# #% ." â %" ãäå M — ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà. • 504. ×åòûðåõóãîëüíèê HHHHE HHHHE HHHE ABCD HHHE H— HHE ïàðàëëåëîãðàìì. Äîêàæèòå, ÷òî #. .% %$ $% "$ ãäå M — ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà. • 505. ×åòûðåõóãîëüíèê ABCD — ïàðàëëåëîãðàìì. Äîêàæèòå, HHHHE ÷òî: HHHE HHHE HHHE HHHE HHHE HHHE HHHE E 1) "% #" %# %$ "# 2) "# $" %" • 506. Â òðåóãîëüíèêå ABC ïðîâåäåíà ìåäèàíà BM. Äîêàæèòå, HHHHE÷òî: HHHE HHHHE E HHHHE HHHE HHHHE HHHE E 2) ." "$ .# #" 1) .# #$ ." HE • 507. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ íåêîëëèíåàðíûõ âåêòîðîâ B E HE E HE E è C âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî B C B C HE • 508. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ íåêîëëèíåàðíûõ âåêòîðîâ B HE E HE E E è C âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî B C B C HE E •• 509. Äëÿ íåíóëåâûõ âåêòîðîâ B è C âûïîëíÿåòñÿ ðàHE E HE E HE E âåíñòâî B C B C Äîêàæèòå, ÷òî B kk C HE E •• 510. Äëÿ íåíóëåâûõ âåêòîðîâ B è C âûïîëíÿåòñÿ ðàHE E HE E HE E âåíñòâî B C B C Äîêàæèòå, ÷òî B km C •• 511. Ìîæåò ëè áûòü íóëåâûì âåêòîðîì ñóììà òðåõ âåêòîðîâ, ìîäóëè êîòîðûõ ðàâíû: 1) 5; 2; 3; 2) 4; 6; 3; 3) 8; 9; 18? •• 512. Äèàãîíàëè ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD ïåðåñåêàþòñÿ HHHE HHHE HHHE HHHE E â òî÷êå O. Èçâåñòíî, ÷òî 0" 0# 0$ 0% Äîêàæèòå, ÷òî ABCD — ïàðàëëåëîãðàìì.

¾ÃËÇÉÔ

HHHHHE HHHE HHHE •• 513. Âåêòîðû ./ 12 è &' ïîïàðíî íåêîëëèíåàðíû, HHHHHE HHHE HHHE E ïðè÷åì ./ 12 &' Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò òðåóãîëüíèê, ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû îòðåçêàì MN, PQ è EF. •• 514. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ïàðàëëåëîãðàììà ABCD è ïðîèçâîëüíîé òî÷êè X âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî HHHHE HHHE HHHHE HHHHE 9" 9$ 9# 9% •• 515. Äàíû äâå òî÷êè A è B. Íàéäèòå ãåîìåòðè÷åñêîå HHHE HHHHE HHHE ìåñòî òî÷åê X òàêèõ, ÷òî "# #9 "# •• 516. Äàíû äâå òî÷êè A è B. Íàéäèòå ãåîìåòðè÷åñêîå HHHE HHHHE HHHHE ìåñòî òî÷åê X òàêèõ, ÷òî "# #9 #9 517.* Ìåäèàíû òðåóãîëüíèêà ABC ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷HHHHE HHHHE HHHHE E êå M. Äîêàæèòå, ÷òî ." .# .$ 518.* Íà ñòîðîíàõ òðåóãîëüíèêà ABC âî âíåøíþþ ñòîðîíó ïîñòðîåíû ïàðàëëåëîãðàììû AA1B1B, BB2C1C, CC2A2A. Ïðÿìûå A1A2, B1B2, C1C2 ïîïàðíî íåïàðàëëåëüíû. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò òðåóãîëüíèê, ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû îòðåçêàì A1A2, B1B2 è C1C2. «§¨ ¥ ¥ · £· §¦ ª¦¨ ¥ · 519. Â òðåóãîëüíèê ABC âïèñàí ïàðàëëåëîãðàìì CDMK òàê, ÷òî óãîë C ó íèõ îáùèé, à òî÷êè D, M è K ïðèíàäëåæàò ñîîòâåòñòâåííî ñòîðîíàì AC, AB è BC òðåóãîëüíèêà. Íàéäèòå ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà CDMK, åñëè åãî ïåðèìåòð ðàâåí 20 ñì, AC = 12 ñì, BC = 9 ñì. 520. Òðè îêðóæíîñòè, ðàäèóñû êîòîðûõ ðàâíû 1 ñì, 2 ñì è 3 ñì, ïîïàðíî êàñàþòñÿ âíåøíå äðóã äðóãà. Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòðû äàííûõ îêðóæíîñòåé. 521. Äîêàæèòå, ÷òî ïëîùàäü ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà, âïèñàííîãî â îêðóæíîñòü, ñîñòàâëÿåò ïëîùàäè

ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà, îïèñàííîãî îêîëî ýòîé îêðóæíîñòè.

¬ÅÆÇ¿¾ÆÁ¾ »¾ÃËÇÉ¹ Æ¹ ÐÁÊÄÇ

«ÄÅÆ¾½ÅÀ½ º½ÂÊÆÈ¸ Å¸ ÏÀÉÃÆ HE Ïóñòü äàí íåíóëåâîé âåêòîð B Íà ðèñóí- a B HHHE êå 120 èçîáðàæåíû âåêòîð "# ðàâíûé âåêA HE HE HHHE C òîðó B B è âåêòîð $% ðàâíûé âåêòîðó HE HE HE D B B B Î÷åâèäíî, ÷òî HHHE HE HHHE HE Ðèñ. 120 "# B è "# kk B HHHE HE HHHE HE $% B è $% km B HE HHHE Âåêòîð "# åñòåñòâåííî îáîçíà÷èòü B è ñ÷èòàòü, ÷òî îí HE ïîëó÷åí â ðåçóëüòàòå óìíîæåíèÿ âåêòîðà B íà ÷èñëî 2. HHHE Àíàëîãè÷íî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî âåêòîð $% ïîëó÷åí â ðåHE çóëüòàòå óìíîæåíèÿ âåêòîðà B íà ÷èñëî –3, è ïðèíÿòü HHHE HE îáîçíà÷åíèå $% B Ýòîò ïðèìåð ïîäñêàçûâàåò, êàê ââåñòè ïîíÿòèå «óìíîæåíèå âåêòîðà íà ÷èñëî». HE Î ï ð å ä å ë å í è å. Ïðîèçâåäåíèåì íåíóëåâîãî âåêòîðà B E è ÷èñëà k, îòëè÷íîãî îò íóëÿ, íàçûâàþò òàêîé âåêòîð C ÷òî: E HE 1) C L B E HE E HE 2) åñëè k > 0, òî C kk B åñëè k < 0, òî C km B E HE Ïèøóò: C LB HE E HE E Åñëè B èëè k = 0, òî ñ÷èòàþò, ÷òî LB HE HE HE Íà ðèñóíêå 121 èçîáðàæåíû âåêòîðû B B B HE B Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî HE HE æB B a HE HE –2 a æB B 2a Òàêæå èç îïðåäåëåíèÿ ÷òî 3 E HE HEñëåäóåò, E åñëè C LB òî âåêòîðû B è C êîëëè3a íåàðíû. HE E Ðèñ. 121 À åñëè âåêòîðû B è C êîëëèíåàðíû, HE HE òî ìîæíî ëè ïðåäñòàâèòü âåêòîð C â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ LB Îòâåò äàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.

¾ÃËÇÉÔ

HE E Ò å î ð å ì à 15.1. Åñëè âåêòîðû B è êîëëèíåàðíû C HE HE E HE è B w òî ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî k, ÷òî C LB E E Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè C òî ïðè k = 0 ïîëó÷àåì, E HE ÷òî C LB E E HE E HE E Åñëè C w òî èëè B kk C èëè B km C E E HE HE E C 1) Ïóñòü B kk C Ðàññìîòðèì âåêòîð D LB ãäå L E B E HE E E Ïîñêîëüêó k > 0, òî D kk B ñëåäîâàòåëüíî, D kk C Êðîìå E HE E E E òîãî, D L B C Òàêèì îáðàçîì, âåêòîðû C è D ñîíàE E HE ïðàâëåíû è ìîäóëè èõ ðàâíû. Îòñþäà C D LB E HE E E HE C 2) Ïóñòü B km C Ðàññìîòðèì âåêòîð D LB ãäå L E B

Äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ çàâåðøèòå äîêàçàòåëüñòâî ñàìîñòîÿòåëüíî. HE Ò å î ð å ì à 15.2. Åñëè âåêòîð B èìååò êîîðäèíàòû HE (a1; a2), òî âåêòîð LB èìååò êîîðäèíàòû (ka1; ka2). HE E Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè B èëè k = 0, òî óòâåðæäåíèå òåîðåìû î÷åâèäíî. HE E E Ïóñòü B w è k ≠ 0. Ðàññìîòðèì âåêòîð C LB LB ÏîE HE êàæåì, ÷òî C LB E HE Èìååì: C LB LB L B B L B HHHE HHHE Îòëîæèì îò íà÷àëà êîîðäèíàò HE E âåêòîðû 0" è 0# ðàâíûå ñîîòâåòñòâåííî âåêòîðàì B è C Òàê êàê ïðÿìàÿ OA ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò, òî åå óðàâíåíèå èìååò âèä ax + by = 0. Ýòîé ïðÿìîé ïðèíàäëåæèò òî÷êà A (a1; a2). Òîãäà a•a1 + b•a2 = 0. Îòñþäà a (ka1) + b (ka2) = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êà B (ka1; ka2) òàêæå ïðèíàäëåæèò HHHE HHHE ïðÿìîé OA, ïîýòîìó âåêòîðû 0" è 0# êîëëèíåàðíû, òî HE E åñòü B % C Ïðè k > 0 ÷èñëà a1 è ka1 èìåþò îäèíàêîâûå çíàêè (èëè îáà ðàâíû íóëþ). Òàêèì æå ñâîéñòâîì îáëàäàþò ÷èñëà a2 è ka2. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè k > 0 òî÷êè A è B ëåæàò â îäíîé

¬ÅÆÇ¿¾ÆÁ¾ »¾ÃËÇÉ¹ Æ¹ ÐÁÊÄÇ

÷åòâåðòè (èëè íà îäíîì êîîðäèíàòíîì ëó÷å), ïîýòîìó âåêHHHE HHHE HE E òîðû 0" è 0# ñîíàïðàâëåíû (ðèñ. 122), òî åñòü B kk C HHHE HHHE Ïðè k < 0 âåêòîðû 0" è 0# áóäóò ïðîòèâîïîëîæíî íàHE E ïðàâëåííûìè, òî åñòü B km C y E HE B Èòàê, ìû ïîëó÷èëè, ÷òî C LB HE Ñ ë å ä ñ ò â è å 1. Âåêòîðû B B B è A E C LB LB êîëëèíåàðíû. x O HE Ñ ë å ä ñ òE â è å 2. Åñëè âåêòîðû B B HEB HEè C C C êîëëèíåàðíû, ïðè÷åì B w òî ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñÐèñ. 122 ëî k, ÷òî b1 = ka1 è b2 = ka2. Ñ ïîìîùüþ òåîðåìû 15.2 ìîæíî äîêàçàòü òàêèå ñâîéñòâà óìíîæåíèÿ âåêòîðà íà ÷èñëî. HE E Äëÿ ëþáûõ ÷èñåë k, m è ëþáûõ âåêòîðîâ B C ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà: HE HE LN B L NB (ñî÷åòàòåëüíîå ñâîéñòâî); HE HE HE L N B LB NB (ïåðâîå ðàñïðåäåëèòåëüíîå ñâîéñòâî); HE E HE E L B C LB LC (âòîðîå ðàñïðåäåëèòåëüíîå ñâîéñòâî).

Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòèõ ñâîéñòâ äîñòàòî÷íî ñðàâíèòü ñîîòâåòñòâóþùèå êîîðäèíàòû âåêòîðîâ, çàïèñàííûõ â ïðàâûõ è ëåâûõ ÷àñòÿõ ðàâåíñòâ. Ñäåëàéòå ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî. Ýòè ñâîéñòâà ïîçâîëÿþò ïðåîáðàçîâûâàòü âûðàæåíèÿ, ñîäåðæàùèå ñóììû âåêòîðîâ, ðàçíîñòè âåêòîðîâ è ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ íà ÷èñëî àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ìû ýòî äåëàåì â àëãåáðå. Íàïðèìåð, HE E HE E HE E HE E HE E B C B C B C B C B C HHHE HHHE Ç à ä à ÷ à 1. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè 0" L0# òî òî÷êè O, A è B ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. HHHE HHHE Ð å ø å í è å. Èç óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî âåêòîðû 0" è 0# êîëëèíåàðíû. Êðîìå òîãî, ýòè âåêòîðû îòëîæåíû îò îäíîé òî÷êè O. Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êè O, A è B ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé.

¾ÃËÇÉÔ

Ç à ä à ÷ à 2. Ïóñòü òî÷êà M — ñåðåäèíà îòðåçêà AB è X — ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà (ðèñ. 123). Äîêàæèòå, ÷òî HHHHHE HHHHE HHHHE 9. 9" 9# A

Ð å ø å í è å. Ïðèìåíÿÿ ïðàâèëî òðåóãîëüíèêà, Hçàïèøåì: HHHHE HHHHE HHHHE 9. 9" ". B HHHHHE HHHHE HHHHE X 9. 9# #. Ðèñ. 123 Ñëîæèì ðàâåíñòâà: HHHHHE ýòè HHHHEäâàHHHH E HHHHE HHHHE 9. 9" 9# ". #. HHHHE HHHHE Òàê êàê âåêòîðû ". è #. ïðîòèâîïîëîæíû, òî HHHHE HHHHE E HHHHHE HHHHE HHHHE ". #. Èìååì: 9. 9" 9# HHHHHE HHHHE HHHHE Îòñþäà 9. 9" 9# M

Ï ð è ì å ð 1. Äîêàæèòå, ÷òî ñåðåäèíû îñíîâàíèé òðàïåöèè è òî÷êà C B ïåðåñå÷åíèÿ ïðîäîëæåíèé åå áîêîM âûõ ñòîðîí ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Ð å ø å í è å. Ïóñòü òî÷êè M è N — ñåðåäèíû îñíîâàíèé BC è AD òðàïå- A N öèè ABCD, O — òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ Ðèñ. 124 ïðÿìûõ AB è CD (ðèñ. 124). Ïðèìåíÿÿ êëþ÷åâóþ çàäà÷ó 2, çàïèøåì: HHHHE HHHE HHHE HHHHE HHHE HHHE 0. 0# 0$ 0/ 0" 0%

HHHE HHHE HHHE HHHE Òàê êàê âåêòîðû â ïàðàõ 0# 0" è 0$ 0% êîëëèíåàðíû, HHHE HHHE HHHE HHHE òî 0# L0" è 0$ L 0% ãäå k è k1 — íåêîòîðûå ÷èñëà. Òàê êàê œ BOC " œ AOD, òî 0# 0$ Ñëåäîâàòåëüíî, 0" 0% k = k1. Èìååì: HHHHE HHHE HHHE HHHE HHHE HHHHE HHHE HHHE 0. 0# 0$ L0" L0% Læ 0" 0% Læ0/

Èç êëþ÷åâîé çàäà÷è 1 ñëåäóåò, ÷òî òî÷êè O, M, N ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé.

¬ÅÆÇ¿¾ÆÁ¾ »¾ÃËÇÉ¹ Æ¹ ÐÁÊÄÇ

Ï ð è ì å ð 2. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè — HHHHE M HHHH E òî÷êà HHHHE ïåðåñå÷åíèÿ E ." .# .$ ìåäèàí òðåóãîëüíèêà ABC, òî Ð å ø å í è å1. Ïóñòü îòðåçêè AA1, B BB1, CC1 — ìåäèàíû òðåóãîëüíèêà ABC (ðèñ. 125). Èìååì: HHHHE HHHE HHHE A1 C1 "" "# "$

HHHHE HHHE HHHE ## #" #$

M A

HHHHE HHHE HHHE $$ $# $" Ðèñ. 125 Îòñþäà HHHHHE HHHHE HHHHE HHHE HHHE HHHE HHHE HHHE HHHE E "" ## $$ "# #" #$ $# "$ $"

Èç ñâîéñòâà ìåäèàí òðåóãîëüíèêà ñëåäóåò, ÷òî HHHHE HHHHE ". "" Òîãäà ." ""

HHHHE HHHHE HHHHE HHHHE Àíàëîãè÷íî .# ## .$ $$ Îòñþäà HHHHE HHHHE HHHHE E HHHHE HHHHE HHHHE HHHHE HHHHE HHHHE ." .# .$ "" ## $$ "" ## $$

°ËÇ Æ¹ÀÔ»¹×Ë ÈÉÇÁÀ»¾½¾ÆÁ¾Å Æ¾ÆÌÄ¾»Ç¼Ç »¾ÃËÇÉ¹ B Æ¹ ÐÁÊÄÇ k ≠ 0

HE E HE E E HE °ËÇ ÅÇ¿ÆÇ ÊÃ¹À¹ËÕ Ç Æ¾ÆÌÄ¾»ÔÎ »¾ÃËÇÉ¹Î B Á C ¾ÊÄÁ C LB

°¾ÅÌ É¹»ÆÇ ÈÉÇÁÀ»¾½¾ÆÁ¾ LB ¾ÊÄÁ k = 0 ÁÄÁ B ¼½¾ k t Æ¾ÃÇËÇÉÇ¾ ÐÁÊÄÇ

¡À»¾ÊËÆÇ ÐËÇ »¾ÃËÇÉÔ B Á C ÃÇÄÄÁÆ¾¹ÉÆÔ ÈÉÁÐ¾Å B w £¹Ã

ÅÇ¿ÆÇ »ÔÉ¹ÀÁËÕ »¾ÃËÇÉ C Ð¾É¾À »¾ÃËÇÉ B HE ¾ÃËÇÉ B ÁÅ¾¾Ë ÃÇÇÉ½ÁÆ¹ËÔ a1; a2 °¾ÅÌ É¹»ÆÔ ÃÇÇÉ½ÁÆ¹ËÔ E »¾ÃËÇÉ¹ LB Â óêàçàíèè ê çàäà÷å 517 ïðèâåäåí äðóãîé ñïîñîá ðåøåíèÿ ýòîãî ïðèìåðà. 1

¾ÃËÇÉÔ

°ËÇ ÅÇ¿ÆÇ ÊÃ¹À¹ËÕ Ç »¾ÃËÇÉ¹Î ÃÇÇÉ½ÁÆ¹ËÔ ÃÇËÇÉÔÎ É¹»ÆÔ a1; a2 Á ka1; ka2

£¹Ã Ê»ØÀ¹ÆÔ Å¾¿½Ì ÊÇºÇÂ ÊÇÇË»¾ËÊË»Ì×ÒÁ¾ ÃÇÇÉ½ÁÆ¹ËÔ ÃÇÄ E E ÄÁÆ¾¹ÉÆÔÎ »¾ÃËÇÉÇ» B B B Á C C C

¹ÈÁÑÁË¾ ÊÇÐ¾Ë¹Ë¾ÄÕÆÇ¾ Á É¹ÊÈÉ¾½¾ÄÁË¾ÄÕÆÔ¾ Ê»ÇÂÊË»¹ ÌÅÆÇ ¿¾ÆÁØ »¾ÃËÇÉ¹ Æ¹ ÐÁÊÄÇ

§¨ ¢ª ¯ ©¢ ¥ · HE E E 522.° Äàíû âåêòîðû B C è D (ðèñ. 126). Ïîñòðîéòå âåêE HE E HE òîð: 1) C 2) D 3) B 4) B HE E E ° 523. Äàíû âåêòîðû B C è D (ðèñ. 126). Ïîñòðîéòå âåêE HE E òîð: 1) B 2) C 3) D HE E 524.° Äàíû âåêòîðû B è C (ðèñ. 127). Ïîñòðîéòå âåêòîð: HE E HE E HE E HE E 1) B C 2) B C 3) B C 4) B C

Ðèñ. 126

Ðèñ. 127

HE E 525.° Ïîñòðîéòå äâà íåêîëëèíåàðíûõ âåêòîðà Y è Z Îòìåòüòå êàêóþ-ëèáî òî÷êó O. Îò òî÷êè O îòëîæèòå âåêòîðû: HE E HE E E HE E HE 1) Y Z 2) Y Z 3) Y Z 4) Y Z •

526. Îòìåòüòå íà ïëîñêîñòè òðè òî÷êè A, B è C òàêèå, ÷òî: HHHE HHHE HHHE HHHE HHHE HHHE HHHE HHHE 1) "# "$ 2) "# "$ 3) #$ "# 4) "$ #$

¬ÅÆÇ¿¾ÆÁ¾ »¾ÃËÇÉ¹ Æ¹ ÐÁÊÄÇ •

527. Íà÷åðòèòå òðåóãîëüíèê ABC. Îòìåòüòå òî÷êó M — ñåðåäèíó ñòîðîíû AC. HHHE 1) Îò òî÷êè M îòëîæèòå âåêòîð, ðàâíûé âåêòîðó $# 2) Îò òî÷êè B îòëîæèòå âåêòîð, ðàâíûé âåêòîðó HHHE HHHE #" #$

•

528. Íà÷åðòèòå òðàïåöèþ ABCD (BC C AD). Îòìåòüòå òî÷êó M — ñåðåäèíó ñòîðîíû AB. Îò òî÷êè M îòëîæèòå HHHE HHHHE âåêòîð, ðàâíûé âåêòîðó #$ "%

•

529. Íà÷åðòèòå òðåóãîëüíèê ABC. Ïîñòðîéòå âåêòîð, HHHE ðàâíûé âåêòîðó "$ òàê, ÷òîáû åãî íà÷àëî ïðèíàäëåæàëî

ñòîðîíå AB, à êîíåö — ñòîðîíå BC.

«§¨ ¥ ¥ · HE H H HE H HE 530.° Íàéäèòå ìîäóëè âåêòîðîâ N è N åñëè N HE HE 531.° Êàêîé èç âåêòîðîâ, B èëè B ñîíàïðàâëåí ñ âåê HE HE E òîðîì B åñëè B w HE E 532.° ßâëÿþòñÿ ëè íåíóëåâûå âåêòîðû B è C ñîíàïðàâëåííûìè èëè ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííûìè, åñëè: E E HE HE E HE B E 1) C B 2) B C 3) C B Íàéäèòå îòíîøåíèå E

HE 533.° Âûðàçèòå âåêòîð Q èç ðàâåíñòâà: E HE HHHE HE HE E HE E 1) R Q 2) "$ Q 3) Q R 4) Q R

534.° Â ïàðàëëåëîãðàììå ABCD äèàãîíàëè ïåðåñåêàþòñÿ HHHE HHHE â òî÷êå O. Âûðàçèòå: 1) âåêòîð "0 ÷åðåç âåêòîð "$ HHHHE HHHE HHHE 2) âåêòîð #% ÷åðåç âåêòîð #0 3) âåêòîð $0 ÷åðåç âåêòîð HHHE "$

¾ÃËÇÉÔ

535.° Â ïàðàëëåëîãðàììå ABCD äèàãîíàëè ïåðåñåêàþòñÿ HHHE HE HHHHE E HHHE â òî÷êå O, "# B "% C Âûðàçèòå âåêòîð "0 ÷åðåç âåêHE E òîðû B è C 536.° Â ïàðàëëåëîãðàììå ABCD íà äèàãîíàëè AC îòìåòèHHHHE ëè òî÷êó M òàê, ÷òî AM : MC = 1 : 3. Âûðàçèòå âåêòîð .$ HE E HE HHHE E HHHHE ÷åðåç âåêòîðû B è C ãäå B "# C "% 537.° Â ïàðàëëåëîãðàììå ABCD òî÷êà M — ñåðåäèíà HHHE HE HHHHE E HHHHE HHHHE ñòîðîíû BC, "# B "% C Âûðàçèòå âåêòîðû ". è .% HE E ÷åðåç âåêòîðû B è C 538.° Â òðåóãîëüíèêå ABC òî÷êè M è N — ñåðåäèíû ñòîHHHHHE ðîí AB è BC ñîîòâåòñòâåííî. Âûðàçèòå: 1) âåêòîð ./ ÷åðåç HHHE HHHE HHHHHE âåêòîð $" 2) âåêòîð "$ ÷åðåç âåêòîð ./ 539.° Íà îòðåçêå AB äëèíîé 18 ñì îòìåòèëè òî÷êó C òàê, HHHE HHHE ÷òî BC = 6 ñì. Âûðàçèòå: 1) âåêòîð "# ÷åðåç âåêòîð "$ HHHE HHHE HHHE 2) âåêòîð #$ ÷åðåç âåêòîð "# 3) âåêòîð "$ ÷åðåç âåêòîð HHHE #$ HE 540.° Äàí âåêòîð B Íàéäèòå êîîðäèíàòû è ìîäóëè HE HE HE âåêòîðîâ B B B E 541.° Äàí âåêòîð C Íàéäèòå êîîðäèíàòû è ìîäóE E E ëè âåêòîðîâ C C C HE E 542.° Äàí âåêòîð B Êàêèå èç âåêòîðîâ C HE E E E D E F G êîëëèíåàðíû HE âåêòîðó B HE E 543.° Äàíû âåêòîðû B è C Íàéäèòå êîîðHE E HE E HE E äèíàòû âåêòîðà: 1) B C 2) B C 3) B C

HE H HE 544.° Äàíû âåêòîðû N è O Íàéäèòå êîîðHE H HE HE H HE H HE HE äèíàòû âåêòîðà: 1) N O 2) N O 3) N O

¬ÅÆÇ¿¾ÆÁ¾ »¾ÃËÇÉ¹ Æ¹ ÐÁÊÄÇ •

545. Íà ñòîðîíàõ AB è AC òðåóãîëüíèêà ABC îòìåòèëè ñîîòâåòñòâåííî òî÷êè M è N òàê, ÷òî AM : MB = AN : NC = HHHHHE HHHE = 1 : 2. Âûðàçèòå âåêòîð ./ ÷åðåç âåêòîð $# • 546. Òî÷êè O, A è B ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Äîêàæèòå, HHHE HHHE ÷òî ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî k, ÷òî 0" Læ0# • 547. Íà ñòîðîíàõ AB è BC ïàðàëëåëîãðàììà ABCD îòìåòèëè ñîîòâåòñòâåííî òî÷êè M è N òàê, ÷òî AM : MB = HHHHHE = 1 : 2, BN : NC = 2 : 1. Âûðàçèòå âåêòîð /. ÷åðåç âåêHHHHE HE HHHHE HE òîðû "# B è "% C • 548. Íà ñòîðîíàõ BC è CD ïàðàëëåëîãðàììà ABCD îòìåòèëè ñîîòâåòñòâåííî òî÷êè E è F òàê, ÷òî BE : EC = 3 : 1, HHHE HHHE HE CF : FD = 1 : 3. Âûðàçèòå âåêòîð &' ÷åðåç âåêòîðû "# B HHHHE E è "% C HHHE HHHE • 549. Äîêàæèòå, ÷òî âåêòîðû "# è $% êîëëèíåàðíû, åñëè A (1; 1), B (3; –2), C (–1; 3), D (5; –6). HE E E HE • 550. Ñðåäè âåêòîðîâ B C D E

óêàæèòå ïàðû êîëëèíåàðíûõ âåêòîðîâ. HE H HE E • 551. Äàíû âåêòîðû N O L Óêàæè-

òå ïàðû ñîíàïðàâëåííûõ è ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííûõ âåêòîðîâ. HE • 552. Íàéäèòå çíà÷åíèÿ x, ïðè êîòîðûõ âåêòîðû B Y

E Y è C êîëëèíåàðíû. HE E • 553. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ y âåêòîðû B è C Z

êîëëèíåàðíû? E • 554. Äàí âåêòîð C Íàéäèòå êîîðäèíàòû âåêòîðà, E êîëëèíåàðíîãî âåêòîðó C ìîäóëü êîòîðîãî â äâà ðàçà áîëüE øå ìîäóëÿ âåêòîðà C Ñêîëüêî ðåøåíèé èìååò çàäà÷à? HE H • 555. Íàéäèòå êîîðäèíàòû âåêòîðà N ïðîòèâîïîëîæíî HE HE H íàïðàâëåííîãî âåêòîðó O åñëè N HE • 556. Íàéäèòå êîîðäèíàòû âåêòîðà B ñîíàïðàâëåííîãî ñ E HE âåêòîðîì C åñëè B

¾ÃËÇÉÔ •

557. Äîêàæèòå, ÷òî ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD ñ âåðøèíàìè A (–1; 2), B (3; 5), C (14; 6), D (2; –3) ÿâëÿåòñÿ òðàïåöèåé. • 558. Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êè A (–1; 3), B (4; –7), D (–2; 5) ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. HE E E • 559. Äàíû âåêòîðû B C D Íàéäèòå E HE E òàêèå ÷èñëà x è y, ÷òî D YB ZC ••

560. Â ïàðàëëåëîãðàììå ABCD äèàãîíàëè ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå O. Íà ñòîðîíå BC îòìåòèëè òî÷êó K òàê, ÷òî HHHHE HHHE HE BK : KC = 2 : 3. Âûðàçèòå âåêòîð 0, ÷åðåç âåêòîðû "# B HHHHE E è "% C •• 561. Äèàãîíàëè ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå O òàê, ÷òî AO : OC = 1 : 2, BO : OD = 4 : 3. ÂûðàHHHE HHHE HHHE HHHE HHHE HE çèòå âåêòîðû "# #$ $% è %" ÷åðåç âåêòîðû 0" B HHHE E è 0# C •• 562. Íà ñòîðîíàõ AB è BC òðåóãîëüíèêà ABC îòìåòèëè ñîîòâåòñòâåííî òî÷êè K è F òàê, ÷òî AK : KB = 1 : 2 HHHE HHHE HHHE HHHHE è BF : FC = 2 : 3. Âûðàçèòå âåêòîðû "$ "' ,$ ,' HHHHE HE H HHHE HE ÷åðåç âåêòîðû #, N $' O •• 563. Íà ñòîðîíàõ AC è BC òðåóãîëüíèêà ABC îòìåòèëè ñîîòâåòñòâåííî òî÷êè M è N òàê, ÷òî AM : MC = 1 : 3 HHHE HHHHE HHHHE HHHHHE è BN : NC = 4 : 3. Âûðàçèòå âåêòîðû #" "/ #. /. H HHH E H E HHHHE E ÷åðåç âåêòîðû #/ L ". Q ••

564. Ìåäèàíû òðåóãîëüíèêà ABC ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷HHHHE HHHE HHHE êå M. Âûðàçèòå âåêòîð #. ÷åðåç âåêòîðû #" è #$ •• 565. Ñ ïîìîùüþ âåêòîðîâ äîêàæèòå òåîðåìó î ñðåäíåé ëèíèè òðåóãîëüíèêà. •• 566. Ïóñòü òî÷êè M1 è M2 — ñåðåäèíû îòðåçêîâ A1B1 è A2B2 ñîîòâåòñòâåííî. Äîêàæèòå, ÷òî HHHHHHHE HHHHHE HHHHHE . . " " # # ••

567. Èñïîëüçóÿ çàäà÷ó 566, äîêàæèòå òåîðåìó î ñðåäíåé ëèíèè òðàïåöèè.

¬ÅÆÇ¿¾ÆÁ¾ »¾ÃËÇÉ¹ Æ¹ ÐÁÊÄÇ ••

568. Ïóñòü òî÷êè M è N — ñîîòâåòñòâåííî ñåðåäèíû äèàãîíàëåé AC è BD ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD. Èñïîëüçóÿ HHHHHE HHHE HHHE çàäà÷ó 566, äîêàæèòå, ÷òî ./ "# %$ •• 569. Ïóñòü òî÷êè M è N — ñîîòâåòñòâåííî ñåðåäèíû äèàãîíàëåé AC è BD òðàïåöèè ABCD (BC C AD). Èñïîëüçóÿ çàäà÷ó 566, äîêàæèòå, ÷òî MN C AD. •• 570. Íà ñòîðîíå AC òðåóãîëüíèêà ABC îòìåòèëè òî÷êó M òàê, ÷òî AM : MC = 2 : 3. Äîêàæèòå, ÷òî HHHHE HHHE HHHE #. #" #$

••

571. Íà ñòîðîíå BC òðåóãîëüíèêà ABC îòìåòèëè òî÷êó D HHHHE HHHE HHHE òàê, ÷òî BD : DC = 1 : 2. Äîêàæèòå, ÷òî "% "# "$

572.* Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò òðåóãîëüíèê, ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû ìåäèàíàì äàííîãî òðåóãîëüíèêà. 573.* Ïóñòü òî÷êè M1 è M2 — ñåðåäèíû îòðåçêîâ A1B1 è A2B2 ñîîòâåòñòâåííî. Äîêàæèòå, ÷òî ñåðåäèíû îòðåçêîâ A1A2, M1M2, B1B2 ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. 574.* Íà ñòîðîíå AD è íà äèàãîíàëè AC ïàðàëëåëîãðàììà ABCD îòìåòèëè ñîîòâåòñòâåííî òî÷êè M è N òàê, ÷òî ".

"% è "/ "$ Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êè M, N è B

ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé.

«§¨ ¥ ¥ · £· §¦ ª¦¨ ¥ · 575. Ìåíüøåå îñíîâàíèå è áîêîâàÿ ñòîðîíà ðàâíîáîêîé òðàïåöèè ðàâíû 12 ñì. ×åìó ðàâíà ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðàïåöèè, åñëè îäèí èç åå óãëîâ ðàâåí 60°? 576. Äèàãîíàëè ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíû 6 ñì è 16 ñì, à îäíà èç ñòîðîí — 7 ñì. Íàéäèòå óãîë ìåæäó äèàãîíàëÿìè ïàðàëëåëîãðàììà è åãî ïëîùàäü. 577. Íàéäèòå äëèíó õîðäû îêðóæíîñòè ðàäèóñà R, êîíöû êîòîðîé ðàçáèâàþò ýòó îêðóæíîñòü íà äâå äóãè, äëèíû êîòîðûõ îòíîñÿòñÿ êàê 2 : 1.

¾ÃËÇÉÔ

¢¦ © £ ¥³ «¨¦¢ Ïðèìåíåíèå âåêòîðîâ Ïðèìåíÿÿ âåêòîðû ê ðåøåíèþ çàäà÷, ÷àñòî èñïîëüçóþò òàêóþ ëåììó. Ë å ì ì à. Ïóñòü M — òàêàÿ òî÷êà îòðåçêà AB, ÷òî AM MB

m n

(ðèñ. 128). Òîãäà äëÿ ëþáîé òî÷êè X âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî: HHHHE n HHHE m HHHE XM XA XB m n m n HHHHHE HHHHE HHHHE Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì: 9. 9" ". HHHHE N N HHHE Ïîñêîëüêó ". "# òî ". "# N O N O HHHHHE HHHHE N HHHE Çàïèøåì 9. 9" "# N O HHHE HHHHE HHHHE Ïîñêîëüêó "# 9# 9" òî èìååì: HHHHHE HHHHE N HHHHE HHHHE HHHHHE HHHHE N HHHHE N HHHHE 9. 9" 9# 9" 9. 9" 9" 9#

N O

HHHHHE 9.

N O

O HHHHE N HHHHE 9" 9#

N O

Çàìåòèì, ÷òî ýòà ëåììà ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì êëþ÷åâîé çàäà÷è 2 ïóíêòà 15. Ï ð è ì å ð 1. Ïóñòü M — òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí òðåóãîëüíèêà ABC è X — ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà (ðèñ. 129). ÄîHHHHHE HHHHE HHHHE HHHE êàæèòå, ÷òî 9. 9" 9# 9$

B A M M X

B Ðèñ. 128

K Ðèñ. 129

£Ç¼½¹ Ê½¾Ä¹ÆÔ ÌÉÇÃÁ

Ð å ø å í è å. Ïóñòü K — ñåðåäèíà îòðåçêà AC. Èìååì: BM : MK = 2 : 1. Òîãäà, èñïîëüçóÿ ëåììó, ìîæíî çàïèñàòü HHHHHE HHHHE HHHHE HHHHE HHHHE HHHE 9. 9# 9, 9# æ 9" 9$ HHHHE HHHHE HHHE 9" 9# 9$

Äîêàæåì îäíî âåêòîðíîå ðàâåíñòâî, ñâÿçûâàþùåå äâå çàìå÷àòåëüíûå1 òî÷êè òðåóãîëüíèêà. Ò å î ð å ì à. Åñëè òî÷êà H — îðòîöåíòð òðåóãîëüíèêà ABC, à òî÷êà O — öåíòð åãî îïèñàííîé îêðóæíîñòè, òî HHHHE HHHE HHHE HHHE (*) OH OA OB OC Äîêàçàòåëüñòâî. Îïóñòèì èç òî÷êè O ïåðïåíäèB êóëÿð OK íà ñòîðîíó AC òðåóãîëüíèêà ABC (ðèñ. 130). Â êóðñå ãåîìåòðèè 8 êëàññà áûëî äîêàçàíî, ÷òî BH = H O = 2OK (ñ. 114). Íà ëó÷å OK îòìåòèì òî÷êó P òàêóþ, ÷òî OK = KP. A C K Òîãäà BH = OP. Òàê êàê BH C OP, òî ÷åòûðåõóãîëüíèê P HBOP — ïàðàëëåëîãðàìì. Ðèñ. 130 Ïî ïðàâèëó HHHHE HHHEïàðàëëåëîHHHE ãðàììà 0) 0# 01 Ïîñêîëüêó òî÷êà K ÿâëÿåòñÿ ñåðåäèíîé îòðåçêà AC, òî â ÷åòûðåõóãîëüíèêå AOCP äèàãîíàëè òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ äåëÿòñÿ ïîïîëàì. Ñëåäîâàòåëüíî, ýòîò ÷åòûðåõóãîëüíèê — HHHE HHHE HHHE 01 ïàðàëëåëîãðàìì. Îòñþäà HHHHE HHHE HHHE HHHE H0" HHE H0$ HHE Èìååì: 0) 0# 01 0# 0" 0$ HHHHHE HHHHE HHHHE HHHE Îáðàòèìñÿ ê âåêòîðíîìó ðàâåíñòâó 9. 9" 9# 9$

ãäå M — òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí òðåóãîëüíèêà ABC. Òàê 1 Î çàìå÷àòåëüíûõ òî÷êàõ òðåóãîëüíèêà ñì. â ó÷åáíèêå «Ãåîìåòðèÿ. 8 êëàññ», ñ. 113–115.

¾ÃËÇÉÔ

êàê X — ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà, òî ðàâåíñòâî îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì, åñëè â êà÷åñòâå òî÷êè X âûáðàòü òî÷êó O — öåíòð îïèñàííîé HHHHE îêðóæíîñòè HHHE HHHE HHHE òðåóãîëüíèêà ABC. Èìååì: 0. 0" 0# 0$ HHHHE HHHHE Ó÷èòûâàÿ ðàâåíñòâî (*), ïîëó÷àåì: 0. 0) Ýòî ðàâåíñòâî îçíà÷àåò, ÷òî òî÷êè O, M è H ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé, êîòîðóþ íàçûâàþò ïðÿìîé Ýéëåðà. Íàïîìíèì, ÷òî ýòî çàìå÷àòåëüíîå ñâîéñòâî áûëî äîêàçàíî â ó÷åáíèêå 8 êëàññà (ñ. 115), íî äðóãèì ñïîñîáîì.

©Â¸Ã×ÈÅÆ½ ÇÈÆÀ¿º½¼½ÅÀ½ º½ÂÊÆÈÆº HE E Ïóñòü B è C — äâà íåíóëåâûõ è íåñîíàïðàâëåííûõ âåêòîðà (ðèñ. 131). Îò ïðîèçâîëüíîé òî÷êè O îòëîæèì âåêòîðû HHHE HHHE HE E 0" è 0# ñîîòâåòñòâåííî ðàâíûå âåêòîðàì B è C Âåëè÷èíó HE E óãëà AOB áóäåì íàçûâàòü óãëîì ìåæäó âåêòîðàìè B è C HE E HE E Óãîë ìåæäó âåêòîðàìè B è C îáîçíà÷àþò òàê: B C HE E Íàïðèìåð, íà ðèñóíêå 131 B C n à íà ðèñóíêå 132 HE H HE N O n b

a B 120° O

Ðèñ. 131

Ðèñ. 132

HE E Åñëè âåêòîðû B è C ñîíàïðàâëåíû, òî ñ÷èòàþò, ÷òî HE E HE E B C n Åñëè õîòÿ áû îäèí èç âåêòîðîâ B èëè C íóëåHE E âîé, òî òàêæå ñ÷èòàþò, ÷òî B C n HE E Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ B è C èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî: HE E n m B C m n HE E Âåêòîðû B è C íàçûâàþò ïåðïåíäèêóëÿðíûìè, åñëè óãîë HE E ìåæäó íèìè ðàâåí 90°. Ïèøóò: B > C

ªÃ¹ÄØÉÆÇ¾ ÈÉÇÁÀ»¾½¾ÆÁ¾ »¾ÃËÇÉÇ»

Âû óìååòå ñêëàäûâàòü è âû÷èòàòü âåêòîðû, óìíîæàòü âåêòîð íà ÷èñëî. Òàêæå èç êóðñà ôèçèêè âû çíàåòå, ÷òî åñëè ïîä äåéñòâèåì ïîñòîÿííîé HE F F ñèëû ' òåëî ïåðåìåñòèëîñü èç òî÷êè A â òî÷êó B (ðèñ. 133), òî ñîâåðøåííàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ðàHE HHHE B A áîòà ðàâíà ' "# DPT J ãäå HE HHHE Ðèñ. 133 J ' "# Ýòîò ôàêò ïîäñêàçûâàåò, ÷òî öåëåñîîáðàçíî ââåñòè åùå îäíî äåéñòâèå íàä âåêòîðàìè. Î ï ð å ä å ë å í è å. Ñ ê à ë ÿ ð í û ì ï ð î è ç â å ä å í è å ì ä â ó õ â å ê ò î ð î â íàçûâàþò ïðîèçâåäåíèå èõ ìîäóëåé è êîñèíóñà óãëà ìåæäó íèìè. HE E Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ B è C îáîçíà÷àþò òàê: HE E BæC HE E HE E HE E Èìååì: BæC B C DPT B C HE E Åñëè õîòÿ áû HE Eîäèí èç âåêòîðîâ B èëè C íóëåâîé, òî î÷åâèäíî, ÷òî BæC HE E HE HE HE HE HE HE E Ïóñòü B C Òîãäà BæC BHEæBHE B B DPT n B Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå BæB íàçûâàþò ñêàëÿðíûì êâàHE HE äðàòîì âåêòîðà B è îáîçíà÷àþò B HE HE Ñëåäîâàòåëüíî, ìû ïîëó÷èëè, ÷òî B B òî åñòü ñêàëÿðíûé êâàäðàò âåêòîðà ðàâåí êâàäðàòó åãî ìîäóëÿ. Ò å î ð å ì à 16.1. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ íåíóëåâûõ âåêòîðîâ ðàâíî íóëþ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ýòè âåêòîðû ïåðïåíäèêóëÿðíû. HE E HE E Ïóñòü B > C Òîãäà B C n Äîêàçàòåëüñòâî. HE E HE E è BæC B C DPT n HE E HE E HE E Ïóñòü òåïåðü BæC Òîãäà B C DPT B C ÏîñêîëüHE E HE E HE E êó B w è C w òî DPT B C Îòñþäà B C n HE E òî åñòü B > C

¾ÃËÇÉÔ

HE Ò å î ð å ìEà 16.2. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ B B B è C C C ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå: HE E B æ C B C B C Äîêàçàòåëüñòâî. y

b O Ðèñ. 134

Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà HE E âåêòîðû B è C íåêîëëèíåàðíû. Îòëîæèì îò íà÷àëà êîîðäèíàò HHHE HHHE âåêòîðû 0" è 0# ñîîòâåòñòâåííî HE E ðàâíûå âåêòîðàì B è C (ðèñ. 134). HE E Ïîëó÷àåì, ÷òî B C "0# Ïðèìåíèì òåîðåìó êîñèíóñîâ ê òðåóãîëüíèêó AOB: x 2 AB = OA2 + OB2 – – 2OA ⋅ OB ⋅ cos ∠ AOB. Îòñþäà

0" æ0#æDPT "0# 0" 0# "# HE E HE E Ïîñêîëüêó B 0" è C 0# òî 0" æ0#æDPT "0# BæC HHHE HHHE HHHE E HE Êðîìå òîãî, "# 0# 0" C B HHHE Îòñþäà "# C B C B HE E HE E HHHE Èìååì: BæC B C "# Âîñïîëüçîâàâøèñü ôîð ìóëîé íàõîæäåíèÿ ìîäóëÿ âåêòîðà ïî åãî êîîðäèíàòàì, çàïèøåì: HE E BæC B B C C C B C B

Óïðîùàÿ âûðàæåíèå, çàïèñàííîå â ïðàâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì: HE E BæC B C B C HE E HE E E E Ïóñòü âåêòîðû B è C êîëëèíåàðíû. Åñëè B èëè C òî äîêàçûâàåìàÿ ôîðìóëà âåðíà. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà HE E E E E HE B w è C w Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî k, ÷òî C LB òî åñòü b1 = ka1, b2 = ka2.

ªÃ¹ÄØÉÆÇ¾ ÈÉÇÁÀ»¾½¾ÆÁ¾ »¾ÃËÇÉÇ»

HE E Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà k > 0. Òîãäà B C n HE E HE HE HE HE HE BæC Bæ LB B LB DPT n L B L B B B æLB B æLB B C B C Ñëó÷àé, êîãäà k < 0, ðàññìîòðèòå ñàìîñòîÿòåëüíî. Ñ ë å ä ñ ò â è å. Êîñèíóñ óãëà ìåæäó íåíóëåâûìè âåêòîE HE ðàìè B B B è C C C ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå HE E DPT B C

B C B C B

(*)

C C

Äîêàçàòåëüñòâî. Èç îïðåäåëåíèÿ ñêàëÿðíîãî E E ïðîèçHE E HE E BæC âåäåíèÿ âåêòîðîâ B è C ñëåäóåò, ÷òî DPT B C E E ÂîñB C

ïîëüçîâàâøèñü òåîðåìîé 16.2 è ôîðìóëîé íàõîæäåíèÿ ìîäóëÿ âåêòîðà ïî åãî êîîðäèíàòàì, ïîëó÷àåì ôîðìóëó (*). Ñ ïîìîùüþ òåîðåìû 16.2 ëåãêî äîêàçàòü ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ. HE E E Äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ B C D è ëþáîãî ÷èñëà k ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà: HE E E HE BæC CæB HE E HE E LB æC L BæC HE E E HE E E E B C æD BæD CæD Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòèõ ñâîéñòâ äîñòàòî÷íî âûðàçèòü ÷åðåç êîîðäèíàòû âåêòîðîâ ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ, çàïèñàííûå â ïðàâûõ è ëåâûõ ÷àñòÿõ ðàâåíñòâ. Ñäåëàéòå ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî. Ýòè ñâîéñòâà âìåñòå ñî ñâîéñòâàìè ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ è óìíîæåíèÿ âåêòîðà íà ÷èñëî ïîçâîëÿþò ïðåîáðàçîâàòü âûðàæåíèÿ, ñîäåðæàùèå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ, ïî ïðèâû÷íûì ïðàâèëàì, êîòîðûå âû çíàåòå èç êóðñà àëãåáðû. Íàïðèìåð, HE

B C B C æ B C B C æB B C æC HE E HE HE E E HE HE E E B CæB BæC C B BæC C

¾ÃËÇÉÔ

Ï ð è ì å ð 1. Ñ ïîìîùüþ âåêòîðîâ äîêàæèòå, ÷òî äèàãîíàëè ðîìáà ïåðïåíäèêóëÿðíû. Ð å ø å í è å. Íà ðèñóíêå HHHE HE 135 HHHHE èçîáðàæåí E B ðîìá ABCD. Ïóñòü "# B "% C Î÷åâèäHE E a íî, ÷òî B C Ïî ïðàâèëó ïàðàëëåëîãðàìHHHE HE E HHHHE HE E C ìà èìååì: "$ B C è #% B C Îòñþäà A HHHE HHHHE HE E HE E E HE E HE "$ æ #% B C æ B C C B C B b Ñëåäîâàòåëüíî, AC ⊥ BD. E HE D Ï ð è ì å ð 2. Èçâåñòíî, ÷òî B C Ðèñ. 135 HE E HE E B C n Íàéäèòå B C Ð å ø å í è å. Ïîñêîëüêó ñêàëÿðíûé êâàäðàò âåêòîðà ðàâåí êâàäðàòó åãî ìîäóëÿ, òî ìîæíî çàïèñàòü: HE E HE E HE E HE E B C B C Îòñþäà B C B C HE HE E E HE HE E HE E E B BæC C B B C DPT B C C Ï ð è ì å ð 3. Â òðåóãîëüíèêå ABC AB = 4 ñì, #$ ñì, ∠ ABC = 30°. Íàéäèòå äëèíó ìåäèàíû BM. Ð å ø å í è å. Ïðèìåíÿÿ êëþ÷åâóþ çàäà÷ó 2 ï. 15, çàïèøåì HHHHE HHHE HHHE #. #" #$ (ðèñ. 136). Îòñþäà HHHHE HHHE HHHE HHHE HHHE HHHE HHHE B #. #" #$ #" #" æ #$ #$ HHHE HHHE HHHE HHHE #" #" #$ æDPT "#$ #$

¤ ¦

³ µ

Ñëåäîâàòåëüíî, BM2 = 49; BM = 7 ñì.

A M Ðèñ. 136

ªÃ¹ÄØÉÆÇ¾ ÈÉÇÁÀ»¾½¾ÆÁ¾ »¾ÃËÇÉÇ»

§ÈÁÑÁË¾ Ã¹Ã ÅÇ¿ÆÇ ÈÇÊËÉÇÁËÕ Ì¼ÇÄ Å¾¿½Ì ½»ÌÅØ Æ¾ÆÌÄ¾»ÔÅÁ Á Æ¾ÊÇÆ¹ÈÉ¹»Ä¾ÆÆÔÅÁ »¾ÃËÇÉ¹ÅÁ °¾ÅÌ É¹»¾Æ Ì¼ÇÄ Å¾¿½Ì ½»ÌÅØ ÊÇÆ¹ÈÉ¹»Ä¾ÆÆÔÅÁ »¾ÃËÇÉ¹ÅÁ E E °¾ÅÌ É¹»¾Æ Ì¼ÇÄ Å¾¿½Ì »¾ÃËÇÉ¹ÅÁ B Á C ¾ÊÄÁ ÎÇËØ ºÔ Ç½ÁÆ ÁÀ ÆÁÎ ÆÌÄ¾»ÇÂ E E £¹Ã ÇºÇÀÆ¹Ð¹×Ë Ì¼ÇÄ Å¾¿½Ì »¾ÃËÇÉ¹ÅÁ B Á C E E Ã¹ÃÁÎ ÈÉ¾½¾Ä¹Î Æ¹ÎÇ½ÁËÊØ Ì¼ÇÄ Å¾¿½Ì Ä×ºÔÅÁ »¾ÃËÇÉ¹ÅÁ B Á C £¹ÃÁ¾ »¾ÃËÇÉÔ Æ¹ÀÔ»¹×Ë È¾ÉÈ¾Æ½ÁÃÌÄØÉÆÔÅÁ °ËÇ Æ¹ÀÔ»¹×Ë ÊÃ¹ÄØÉÆÔÅ ÈÉÇÁÀ»¾½¾ÆÁ¾Å ½»ÌÎ »¾ÃËÇÉÇ» °ËÇ Æ¹ÀÔ»¹×Ë ÊÃ¹ÄØÉÆÔÅ Ã»¹½É¹ËÇÅ »¾ÃËÇÉ¹ °¾ÅÌ É¹»¾Æ ÊÃ¹ÄØÉÆÔÂ Ã»¹½É¹Ë »¾ÃËÇÉ¹ ªÍÇÉÅÌÄÁÉÌÂË¾ ÌÊÄÇ»Á¾ È¾ÉÈ¾Æ½ÁÃÌÄØÉÆÇÊËÁ ½»ÌÎ Æ¾ÆÌÄ¾»ÔÎ »¾ÃËÇÉÇ» E E E E E E °ËÇ ÊÄ¾½Ì¾Ë ÁÀ É¹»¾ÆÊË»¹ BæC ¾ÊÄÁ B w Á C w £¹Ã Æ¹ÂËÁ ÊÃ¹ÄØÉÆÇ¾ ÈÉÇÁÀ»¾½¾ÆÁ¾ »¾ÃËÇÉÇ» ¾ÊÄÁ ÁÀ»¾ÊËÆÔ ÁÎ ÃÇÇÉ½ÁÆ¹ËÔ ¹ÈÁÑÁË¾ Ê»ÇÂÊË»¹ ÊÃ¹ÄØÉÆÇ¼Ç ÈÉÇÁÀ»¾½¾ÆÁØ »¾ÃËÇÉÇ»

§¨ ¢ª ¯ ©¢ ¥ · 578.° Ïîñòðîéòå óãîë, âåëè÷èíà êîòîðîãî ðàâíà óãëó HE E ìåæäó âåêòîðàìè B è C (ðèñ. 137). 579.° Ïîñòðîéòå óãîë, âåëè÷èíà êîòîðîãî ðàâíà óãëó HE H HE ìåæäó âåêòîðàìè N è O (ðèñ. 138). HE 580.° Íà ðèñóíêå 139 èçîáðàæåí âåêòîð B (äëèíà ñòîðîE íû êëåòî÷êè ðàâíà 0,5 ñì). Îòëîæèòå îò òî÷êè A âåêòîð C E HE E òàêîé, ÷òî C ñì è B C n Ñêîëüêî ðåøåíèé èìååò çàäà÷à? a

n b

Ðèñ. 137

Ðèñ. 138

Ðèñ. 139

¾ÃËÇÉÔ

«§¨ ¥ ¥ · 581.° Íà ðèñóíêå 140 èçîáðàæåí ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê ABC, ìåäèàíû êîòîðîãî AM è BK ïåðåñåêàþòñÿ HHHE HHHE â òî÷HHHE êå HF. Íàéäèòå óãîë ìåæäó âåêòîðàìè: 1) #" è #$ 2) #"E HHE HHHE HHHHE HHHE HHHHE HHHE HHHHE HHHH è H"$ HHHE 3) H#$ HHE è H". HHE 4) "# è ". 5) "# è #, 6) ". è #, 7) $' è "# 582.° Íà ðèñóíêå 141 èçîáðàæåí êâàäðàò ABCD, äèàãîíàëè êîòîðîãî ïåðåñåêàþòñÿ HHHE HHHE â òî÷êå HHHE O. HHHEÍàéäèòå HHHE óãîë HHHE "# è %" 2) "# è "$ 3) "# è $" ìåæäó âåêòîðàìè: 1) HHHE HHHE HHHE HHHE 4) %# è $# 5) #0 è $% B

C O

M F A

Ðèñ. 140

583.° åñëè: HE 1) B HE 2) B HE 3) B HE 4) B HE 5) B

D Ðèñ. 141

HE E Íàéäèòå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ B è C E C E C E C E C

HE E B C n HE E B C n HE E B C n HE E B C n HE E E C B C n

HE H HE 584.° Íàéäèòå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ N è O åñëè: HE H HE HE H HE 1) N O N O n HE H HE HE H HE 2) N O N O n

ªÃ¹ÄØÉÆÇ¾ ÈÉÇÁÀ»¾½¾ÆÁ¾ »¾ÃËÇÉÇ»

HE E 585.° Íàéäèòå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ B è C åñëè: HE E HE E 3) B C 1) B C HE E 2) B C HE HE H 586.° Íàéäèòå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ N è O åñëè: HE H HE HE H HE 1) N O 2) N O

587.° Íà ðèñóíêå 142 èçîáðàæåí ðîìá ABCD, â êîòîðîì AB = 6 ñì, ∠ ABC Íàéäèòå ñêàëÿðíîå HHHE = H120°. HHHE HHHE ïðîèçâåäåíèå HHHE HHHE HHHE HHHE âåêòîðîâ: 1) "# è "% 2) "# è $# 3) "# è %$ 4) #$ HHHE HHHHE HHHE HHHE HHHE HHHHE HHHHE è %" 5) #% è "$ 6) %# è %$ 7) #% è "% 588.° Â òðåóãîëüíèêå ABC èçâåñòíî, B C ÷òî ∠ C = 90°, ∠ A = 30°, CB = 2 ñì. Íàéäèòå HHHEñêàëÿðíîå HHHE Hïðîèçâåäåíèå HHE Hâåêòîðîâ: HHE HHHE HHHE 1) "$ è #$ 2) "$ è "# 3) $# è #" D êîñèíóñ óãëà ìåæäó A 589.° Íàéäèòå HE E Ðèñ. 142 âåêòîðàìè B è C 590.° Êàêîé çíàê èìååò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ, åñëè óãîë ìåæäó íèìè: 1) îñòðûé; 2) òóïîé? 591.° Èçâåñòíî, ÷òî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ ÿâëÿåòñÿ: 1) ïîëîæèòåëüíûì ÷èñëîì; 2) îòðèöàòåëüíûì ÷èñëîì. Îïðåäåëèòå âèä óãëà ìåæäó âåêòîðàìè. • 592. Â ðàâíîñòîðîííåì òðåóãîëüíèêå ABC, ñòîðîíà êîòîðîãî ðàâíà 1, ìåäèàíû AA1 è BB1 ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå M. Âû÷èñëèòå: HHHHE HHHHE HHHHE HHHHHE 2) #. æ ." 1) "" æ ## • 593. Ïóñòü òî÷êà O — öåíòð ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà ABCDEF, ðàâíà 1. Âû÷èñëèòå: HHHE HHHE ñòîðîíà HHHHEêîòîðîãî HHHE HHHE HHHE HHHHE HHHHE 2) "% æ$% 3) "0 æ &% 4) "$ æ$% 1) #" æ$% HE E • 594. Ïðè êàêîì çíà÷åíèè x âåêòîðû B Y è C

ïåðïåíäèêóëÿðíû? • ÷òî x ≠ 0 è y ≠ 0. Äîêàæèòå, ÷òî âåêòîðû HE 595. Èçâåñòíî, E B Y Z è C Z Y ïåðïåíäèêóëÿðíû.

¾ÃËÇÉÔ

HE E • 596. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ x âåêòîðû B Y è C Y

ïåðïåíäèêóëÿðíû? • 597. Ïðè êàêîì çíà÷åíèè y ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå HE E âåêòîðîâ B Z è C ðàâíî 14? • 598. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ x óãîë ìåæäó âåêòîðàìè HE E B è C Y 1) îñòðûé; 2) òóïîé? E • 599. Íàéäèòå êîîðäèíàòû âåêòîðà C êîëëèíåàðíîãî HE HE E âåêòîðó B åñëè BæC HE E • 600. Èçâåñòíî, ÷òî âåêòîðû B è C íåêîëëèíåàðíû è HE E HE E HE E B C w Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ x âåêòîðû B YC è B YC ïåðïåíäèêóëÿðíû? HE E HE E • 601. Âåêòîðû B C è B C ïåðïåíäèêóëÿðíû. Äîêàæèòå, HE E ÷òî B C HE E HE E • 602. Èçâåñòíî, ÷òî B C B C n ÍàéHE E E äèòå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå B C æC HE E HE E • 603. Íàéäèòå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå B C æ B C HE E HE E åñëè B C B C n HE E HE E • 604. Èçâåñòíî, ÷òî B C B C n ÍàéHE E äèòå B C HE H HE HE H HE • 605. Èçâåñòíî, ÷òî N O N O n ÍàéäèHE H HE òå N O • 606. Äîêàæèòå, ÷òî ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD ñ âåðøèíàìè A (3; –2), B (4; 0), C (2; 1), D (1; –1) ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíèêîì. • 607. Äîêàæèòå, ÷òî ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD ñ âåðøèíàìè A (–1; 4), B (–2; 5), C (–1; 6), D (0; 5) ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì. • 608. Íàéäèòå êîñèíóñû óãëîâ òðåóãîëüíèêà ñ âåðøèíàìè A (1; 6), B (–2; 3), C (2; –1). • 609. Íàéäèòå óãëû òðåóãîëüíèêà ñ âåðøèíàìè A (0; 6), # $ HE E • 610. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ äâóõ âåêòîðîâ B è C âûHE E HE E HE E ïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî B C m BæC m B C

ªÃ¹ÄØÉÆÇ¾ ÈÉÇÁÀ»¾½¾ÆÁ¾ »¾ÃËÇÉÇ» •

611. Îïðåäåëèòå âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõ íåíóëåâûõ HE E âåêòîðîâ B è C åñëè: HE E HE E HE E HE E 1) BæC B C 2) BæC B C HE H HE •• 612. Íàéäèòå óãîë ìåæäó âåêòîðàìè N è O åñëè HE H HE HE H HE HE H HE N O æ N O N O HE E •• 613. Íàéäèòå óãîë ìåæäó âåêòîðàìè B è C åñëè HE E HE E HE E B C æ B C B C ••

614. Â òðåóãîëüíèêå ABC èçâåñòíî, ÷òî ∠ C = 90°, AC = 1, #$ Äîêàæèòå, ÷òî ìåäèàíû AK è CM ïåðïåíäèêóëÿðíû. •• 615. Â ÷åòûðåõóãîëüíèêå ABCD äèàãîíàëè AC è BD ïåðïåíäèêóëÿðíû è ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå O. Èçâåñòíî, ÷òî OB = OC = 1, OA = 2, OD = 3. Íàéäèòå óãîë ìåæäó ïðÿìûìè AB è DC. •• 616. Â òðåóãîëüíèêå ABC ïðîâåäåíà ìåäèàíà BD. Èçâå

"# Íàéäèòå ∠ABD. ñòíî, ÷òî ∠ DBC = 90°, #% 617.* Íà ñòîðîíàõ AB è BC òðåóãîëüíèêà ABC âî âíåøíþþ ñòîðîíó ïîñòðîåíû êâàäðàòû ABMN è BCKF. Äîêàæèòå, ÷òî ìåäèàíà BD òðåóãîëüíèêà ABC ïåðïåíäèêóëÿðíà ïðÿìîé MF. «§¨ ¥ ¥ · £· §¦ ª¦¨ ¥ · 618. Òî÷êà M — ñåðåäèíà äèàãîíàëè AC âûïóêëîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD (ðèñ. 143). Äîêàæèòå, ÷òî ÷åòûðåõóãîëüíèêè ABMD è CBMD ðàâíîâåëèêè. B 619. Ïåðïåíäèêóëÿð, ïðîâåäåííûé èç òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé ðîìM áà, äåëèò åãî ñòîðîíó íà îòðåçêè, îäèí A C èç êîòîðûõ íà 7 ñì áîëüøå äðóãîãî. Íàéäèòå ïåðèìåòð ðîìáà, åñëè åãî âûD ñîòà ðàâíà 24 ñì. Ðèñ. 143 620. Íà âûñîòå ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíîé ñì êàê íà äèàìåòðå ïîñòðîåíà îêðóæíîñòü. Íàéäèòå äëèíó äóãè ýòîé îêðóæíîñòè, ðàñïîëîæåííîé âíå òðåóãîëüíèêà.

¾ÃËÇÉÔ

¥ ª ©ª¦ ¦¡ ¬¦¨¤ §¨¦ ¨´ © · 1. Êàêàÿ èç äàííûõ âåëè÷èí ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíîé? À) ìàññà; Á) îáúåì; Â) ñêîðîñòü; Ã) âðåìÿ. 2. ×åìó ðàâåí ìîäóëü âåêòîðà, íà÷àëî è êîíåö êîòîðîãî ñîâïàäàþò? Á) –1; Â) 5; Ã) 0. À) 1; 3. Äàí ïàðàëëåëîãðàìì ABCD. Êàêîå èç ðàâåíñòâ ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíûì? HHHE HHHE HHHE HHHE HHHE HHHE HHHE HHHHE Á) "# $% Â) #$ %" Ã) "$ #% À) "# %$ HHHHE HHHHE 4. Èçâåñòíî, ÷òî ". .# Êàêîå èç äàííûõ óòâåðæäåíèé âåðíî? À) òî÷êà B — ñåðåäèíà îòðåçêà AM; Á) òî÷êà A — ñåðåäèíà îòðåçêà MB; Â) òî÷êà M — ñåðåäèíà îòðåçêà AB; Ã) òî÷êà M — âåðøèíà ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà AMB. 5. Äàíû òî÷êè A (–3; 4), B (1; –8). Òî÷êà M — ñåðåäèíà HHHHE îòðåçêà AB. Íàéäèòå êîîðäèíàòû âåêòîðà ". À) (2; –6); Á) (–2; 6); Â) (–2; –6); Ã) (6; –2). HE E 6. Ïðè êàêîì çíà÷åíèè x âåêòîðû B Y è C êîëëèíåàðíû? À) –1;

Á) 1;

Â) 0;

Ã)

7. Êàêîå èç ðàâåíñòâ âåðíî? HHHE HHH E äàííûõ HHHE HHHE HHHE HHHE #$ $" "# Â) À) H"# HHE HHHE HHHHE HHHE HHHE "$ HHHE H#$ HHE HHHE Á) "# #$ "% %$ Ã) "# #$ $% %" HE B Êàêîé èç âåêòîðîâ ðàâåí âåêòî8. Äàí HE âåêòîð ðó B HE HE H À) N Â) Q HE E Á) O Ã) R

¹½¹ÆÁ¾ » Ë¾ÊËÇ»ÇÂ ÍÇÉÅ¾ ¨ÉÇ»¾ÉÕ Ê¾ºØ

9. Òî÷êà M — ñåðåäèíà ñòîðîíû BC òðåóãîëüíèêà ABC. Êàêîå èç äàííûõ ðàâåíñòâ âåðíî? HHHHE HHHE HHHE HHHHE HHHE HHHE À) ". "# "$ Â) ". "# "$ HHHHE HHHE HHHE HHHHE HHHE HHHE Á) ". "# "$ Ã) ". "# "$ HE 10. Íàéäèòå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ B

E è C À) 12; Á) –12; Â) 0; HE Ã) 6. E 11. Ïðè êàêîì çíà÷åíèè x âåêòîðû B Y è C

ïåðïåíäèêóëÿðíû? À) –6; Á) 3; Â) 12; Ã) 6. HE B

12. Íàéäèòå êîñèíóñ óãëà ìåæäó âåêòîðàìè E è C À)

Á)

Â)

Ã)

¾ÃËÇÉÔ

ª¦

Â ÝÒÎÌ ÏÀÐÀÃÐÀÔÅ: áûëè ââåäåíû òàêèå ïîíÿòèÿ: íàïðàâëåííûå îòðåçêè; âåêòîð; íóëåâîé âåêòîð; ìîäóëü âåêòîðà; êîëëèíåàðíûå âåêòîðû; ðàâíûå âåêòîðû; êîîðäèíàòû âåêòîðà; ñóììà è ðàçíîñòü âåêòîðîâ; óìíîæåíèå âåêòîðà íà ÷èñëî; óãîë ìåæäó äâóìÿ âåêòîðàìè; ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ; âû èçó÷èëè: ïðàâèëà òðåóãîëüíèêà è ïàðàëëåëîãðàììà äëÿ ñëîæåíèÿ äâóõ âåêòîðîâ; ïðàâèëî âû÷èòàíèÿ äâóõ âåêòîðîâ; óñëîâèÿ êîëëèíåàðíîñòè äâóõ âåêòîðîâ; ñâîéñòâà ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ è óìíîæåíèÿ âåêòîðà íà ÷èñëî; óñëîâèå ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè äâóõ âåêòîðîâ; âû íàó÷èëèñü ïðèìåíÿòü âåêòîðû äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷.

¾ÇÅ¾ËÉÁØ ÃÄ¹ÊÊ

óãëà ìåæäó íèìè ðàâåí Íàéäèòå òðåòüþ ñòîðîíó òðåóãîëü íèêà. 883. Â ïàðàëëåëîãðàììå ABCD AB = 2 ñì, AD = 4 ñì, ∠ BAD = = 60°. Íàéäèòå êîñèíóñ óãëà ìåæäó ïðÿìûìè AC è BD. 884. Óñòàíîâèòå, îñòðîóãîëüíûì, ïðÿìîóãîëüíûì èëè òóïîóãîëüíûì ÿâëÿåòñÿ òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè: 1) 4 ñì, 4 ñì, 5 ñì; 2) 5 ñì, 6 ñì, 9 ñì; 3) 5 ñì, 12 ñì, 13 ñì. 885. Îäíà èç ñòîðîí òðåóãîëüíèêà ðàâíà 21 ñì, à äâå äðóãèå ñòîðîíû îòíîñÿòñÿ êàê 3 : 8. Íàéäèòå íåèçâåñòíûå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, åñëè óãîë ìåæäó íèìè ðàâåí 60°. 886. Îäíà èç ñòîðîí òðåóãîëüíèêà ðàâíà 3 ñì, à âòîðàÿ ñòîðîíà — ñì, ïðè÷åì óãîë, ïðîòèâîëåæàùèé âòîðîé ñòîðîíå, ðàâåí 60°. Íàéäèòå íåèçâåñòíóþ ñòîðîíó òðåóãîëüíèêà. 887. Îäíà èç ñòîðîí ïàðàëëåëîãðàììà íà 4 ñì áîëüøå äðóãîé, à åãî äèàãîíàëè ðàâíû 12 ñì è 14 ñì. Íàéäèòå ïåðèìåòð ïàðàëëåëîãðàììà. 888. Â ïàðàëëåëîãðàììå ABCD èçâåñòíî, ÷òî AD = a, BD = = d, BD ⊥ AD. Íàéäèòå äèàãîíàëü AC. 889. Â òðàïåöèè ABCD èçâåñòíî, ÷òî BC C AD, AD = 8 ñì, $% ñì. Îêðóæíîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êè A, B è C, ïåðåñåêàåò ïðÿìóþ AD â òî÷êå K, ∠ AKB = 60°. Íàéäèòå BK. 890. Îñíîâàíèÿ òðàïåöèè ðàâíû 3 ñì è 7 ñì, à áîêîâûå ñòîðîíû — 6 ñì è 5 ñì. Íàéäèòå êîñèíóñû óãëîâ òðàïåöèè. 891. Îêðóæíîñòü, âïèñàííàÿ â òðåóãîëüíèê ABC, êàñàåòñÿ ñòîðîíû AB â òî÷êå D, BD = 1 ñì, AD = 5 ñì, ∠ ABC = 120°. Íàéäèòå CD. 892. Ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû 11 ñì, 12 ñì è 13 ñì. Íàéäèòå ìåäèàíó òðåóãîëüíèêà, ïðîâåäåííóþ ê åãî áîëüøåé ñòîðîíå. 893. Íàéäèòå áèññåêòðèñó òðåóãîëüíèêà, êîòîðàÿ äåëèò åãî ñòîðîíó íà îòðåçêè äëèíîé 3 ñì è 4 ñì è îáðàçóåò ñ ýòîé ñòîðîíîé óãîë, ðàâíûé 60°.

¬ÈÉ¹¿Æ¾ÆÁØ ½ÄØ ÈÇ»ËÇÉ¾ÆÁØ ÃÌÉÊ¹ ¼¾ÇÅ¾ËÉÁÁ ÃÄ¹ÊÊ¹

894. Îòðåçîê BD — áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà ABC, BD = a, ∠ A = 45°, ∠ C = 75°. Íàéäèòå AD. 895. Íàéäèòå îòíîøåíèå ñòîðîí ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà, îäèí èç óãëîâ â êîòîðîãî ðàâåí 120°. 896. Â òðåóãîëüíèêå ABC èçâåñòíî, ÷òî "$ ñì, ∠ ABC = = 60°. Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð âïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ABC è òî÷êè A è C. 897. Äâå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû 5 ñì è 8 ñì, à óãîë ìåæäó íèìè — 60°. Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî äàííîãî òðåóãîëüíèêà. 898. Íàéäèòå áèññåêòðèñó òðåóãîëüíèêà ABC, ïðîâåäåííóþ èç âåðøèíû A, åñëè ∠ BAC = α, AC = b, AB = c. 899. Áèññåêòðèñà óãëà BAD ïàðàëëåëîãðàììà ABCD ïåðåñåêàåò ñòîðîíó BC â òî÷êå M. Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ABM, åñëè AB = 4 ñì, ∠ BAD = 60°. 900. Íàéäèòå íàèáîëüøóþ âûñîòó, ðàäèóñû âïèñàííîé è îïèñàííîé îêðóæíîñòåé òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè 4 ñì, 13 ñì è 15 ñì. 901. Ðàäèóñû äâóõ îêðóæíîñòåé ðàâíû 17 ñì è 39 ñì, à ðàññòîÿíèå ìåæäó èõ öåíòðàìè — 44 ñì. Íàéäèòå äëèíó îáùåé õîðäû äàííûõ îêðóæíîñòåé. 902. Âû÷èñëèòå ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, îäíà èç ñòîðîí êîòîðîãî ðàâíà 15 ñì, à äèàãîíàëè — 11 ñì è 25 ñì. 903. Îñíîâàíèÿ òðàïåöèè ðàâíû 16 ñì è 44 ñì, à áîêîâûå ñòîðîíû — 17 ñì è 25 ñì. Íàéäèòå ïëîùàäü òðàïåöèè. 904. Îñíîâàíèÿ òðàïåöèè ðàâíû 5 ñì è 12 ñì, à äèàãîíàëè — 9 ñì è 10 ñì. Íàéäèòå ïëîùàäü òðàïåöèè. §È¸ºÀÃÔÅÓ½ ÄÅÆ»ÆË»ÆÃÔÅÀÂÀ 905. Íàéäèòå ïëîùàäü ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà, åñëè ðàäèóñ âïèñàííîé â íåãî îêðóæíîñòè ðàâåí 6 ñì, à n ðàâíî: 1) 3; 2) 4; 3) 6. 906. Â îêðóæíîñòü âïèñàí êâàäðàò ñî ñòîðîíîé 4 ñì. Íàéäèòå ïëîùàäü ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, âïèñàííîãî â ýòó æå îêðóæíîñòü. 907. Íàéäèòå îòíîøåíèå ïëîùàäåé ïðàâèëüíûõ òðåóãîëüíèêà è øåñòèóãîëüíèêà, âïèñàííûõ â îäíó è òó æå îêðóæíîñòü.

¾ÇÅ¾ËÉÁØ ÃÄ¹ÊÊ

908. Ñåðåäèíû ñòîðîí ïðàâèëüíîãî äâåíàäöàòèóãîëüíèêà ñîåäèíåíû ÷åðåç îäíó òàê, ÷òî ïîëó÷åííîé ôèãóðîé ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíûé øåñòèóãîëüíèê. Íàéäèòå ñòîðîíó äàííîãî äâåíàäöàòèóãîëüíèêà, åñëè ñòîðîíà ïîëó÷åííîãî øåñòèóãîëüíèêà ðàâíà a. 909. Äëèíà äóãè îêðóæíîñòè ðàâíà 6π ñì, à åå ãðàäóñíàÿ ìåðà — 24°. Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè. 910. Íà êàòåòå AC ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ABC (∠ C = = 90°) êàê íà äèàìåòðå ïîñòðîåíà îêðóæíîñòü. Íàéäèòå äëèíó äóãè ýòîé îêðóæíîñòè, êîòîðàÿ ñîäåðæèòñÿ âíå òðåóãîëüíèêà è îòñåêàåòñÿ ãèïîòåíóçîé AB, åñëè ∠ A = 42°, AC = 8 ñì. 911. Ñòîðîíà êâàäðàòà ðàâíà ñì. Íàéäèòå äëèíó äóãè îïèñàííîé îêðóæíîñòè äàííîãî êâàäðàòà, êîíöàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ äâå åãî ñîñåäíèå âåðøèíû. 912. Ðàññòîÿíèå ìåæäó öåíòðàìè äâóõ êðóãîâ ðàäèóñà R ðàâíî R. Íàéäèòå ïëîùàäü ôèãóðû, ÿâëÿþùåéñÿ îáùåé ÷àñòüþ ýòèõ êðóãîâ, è äëèíó ëèíèè, îãðàíè÷èâàþùåé ýòó ôèãóðó. 913. Ïëîùàäü êðóãîâîãî ñåêòîðà ðàâíà 2,4π ñì2. Íàéäèòå ãðàäóñíóþ ìåðó äóãè ýòîãî ñåêòîðà, åñëè ðàäèóñ êðóãà ðàâåí 4 ñì. 914. Äèàìåòð êîëåñà âàãîíà ìåòðîïîëèòåíà ðàâåí 78 ñì. Çà 2,5 ìèí êîëåñî äåëàåò 1000 îáîðîòîâ. Íàéäèòå ñêîðîñòü ïîåçäà ìåòðî â êèëîìåòðàõ â ÷àñ. Îòâåò îêðóãëèòå äî äåñÿòûõ. 915. Íàéäèòå äëèíó îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â ñåãìåíò, äëèíà äóãè êîòîðîãî ðàâíà m, à ãðàäóñíàÿ ìåðà ðàâíà 120°. 916. Ê îêðóæíîñòè, ðàäèóñ êîòîðîé ðàâåí R, ïðîâåäåíû äâå êàñàòåëüíûå, óãîë ìåæäó êîòîðûìè ðàâåí 60°. Íàéäèòå ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé êàñàòåëüíûìè è ìåíüøåé èç äóã, êîíöàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ òî÷êè êàñàíèÿ. ½Â¸ÈÊÆºÓ ÂÆÆÈ¼ÀÅ¸ÊÓ Å¸ ÇÃÆÉÂÆÉÊÀ 917. Âåðøèíàìè òðåóãîëüíèêà ÿâëÿþòñÿ òî÷êè A (–4; 1), B (–2; 4) è C (0; 1). Äîêàæèòå, ÷òî òðåóãîëüíèê ABC — ðàâíîáåäðåííûé, è íàéäèòå åãî ïëîùàäü. 918. Íàéäèòå êîîðäèíàòû òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ñåðåäèííîãî ïåðïåíäèêóëÿðà îòðåçêà AB ñ îñüþ àáñöèññ, åñëè A (5; –3), B (4; 6). 919. Íàéäèòå êîîðäèíàòû òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ñåðåäèííîãî ïåðïåíäèêóëÿðà îòðåçêà CD ñ îñüþ îðäèíàò, åñëè C (2; 1), D (4; –3).

¬ÈÉ¹¿Æ¾ÆÁØ ½ÄØ ÈÇ»ËÇÉ¾ÆÁØ ÃÌÉÊ¹ ¼¾ÇÅ¾ËÉÁÁ ÃÄ¹ÊÊ¹

920. Äîêàæèòå, ÷òî ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD ñ âåðøèíàìè â òî÷êàõ A (–12; 6), B (0; 11), C (5; –1), D (–7; –6) ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì. 921. Òî÷êà M (5; –2) ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç êîíöîâ äèàìåòðà îêðóæíîñòè, òî÷êà N (2; 0) — öåíòð îêðóæíîñòè. Íàéäèòå êîîðäèíàòû âòîðîãî êîíöà äèàìåòðà. 922. Óñòàíîâèòå, ëåæàò ëè òî÷êè A (–4; –3), B (26; 7), C (2; –1) íà îäíîé ïðÿìîé. Â ñëó÷àå óòâåðäèòåëüíîãî îòâåòà óêàæèòå, êàêàÿ èç òî÷åê ëåæèò ìåæäó äâóìÿ äðóãèìè. 923. Äîêàæèòå, ÷òî òðåóãîëüíèê, âåðøèíàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ òî÷êè A (5; 1), B (9; –2), C (7; 2), — ïðÿìîóãîëüíûé, è ñîñòàâüòå óðàâíåíèå îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî íåãî. 924. Óñòàíîâèòå, ÿâëÿåòñÿ ëè îòðåçîê CD äèàìåòðîì îêðóæíîñòè (x + 2)2 + (y – 3)2 = 52, åñëè C (–8; 7), D (4; –1). 925. Îêðóæíîñòü, öåíòð êîòîðîé ïðèíàäëåæèò îñè îðäèíàò, ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè A(1; 2) è B(3; 6). Ïðèíàäëåæèò ëè ýòîé îêðóæíîñòè òî÷êà C (–3; 4)? 926. Îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â òî÷êå M(–5; 3) êàñàåòñÿ îñè îðäèíàò. Íàéäèòå êîîðäèíàòû òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ îêðóæíîñòè ñ îñüþ àáñöèññ. 927. Íàéäèòå äëèíó ëèíèè, çàäàííîé óðàâíåíèåì x2 + y2 – – 2x + 4y – 20 = 0. 928. Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó P (–3; 5), óãëîâîé êîýôôèöèåíò êîòîðîé ðàâåí 6. 929. Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå ïðÿìîé, êîòîðàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó S (–1; 4) è îáðàçóåò óãîë 135° ñ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè àáñöèññ. 930. Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó A (–3; 1) ïàðàëëåëüíî ïðÿìîé 5x + 3y = 6. 931. Íàéäèòå óðàâíåíèå ãåîìåòðè÷åñêîãî ìåñòà öåíòðîâ îêðóæíîñòåé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç òî÷êè A (–3; –2) è B (2; 5). ½ÂÊÆÈÓ Å¸ ÇÃÆÉÂÆÉÊÀ 932. Äâå âåðøèíû ïðÿìîóãîëüíèêà ABCD — òî÷êè A (3; 2) HHHHE è B (3; –4). Ìîäóëü âåêòîðà #% ðàâåí 10. Íàéäèòå êîîðäèíàòû òî÷åê C è D.

¾ÇÅ¾ËÉÁØ ÃÄ¹ÊÊ

933. Äèàãîíàëè ïàðàëëåëîãðàììà ABCD â òî÷HHHE ïåðåñåêàþòñÿ HHHHE êå HHHEO (ðèñ. HE H299). HHE EÂûðàçèòå âåêòîðû $% è "% ÷åðåç âåêòîðû $0 B è 0# C C B 934. ×åòûðåõóãîëüíèê ABCD — ïàðàëëåëîãðàìì. HHHE HHHE HHHÍàéäèòå: E 1) H#" $% $# HHE HHHE HHHHE HHHE O 2) H"# %" #% $% HHHE HHHE HHHE A 3) "% #" "$ D 935. Íàéäèòå ìîäóëü âåêòîðà Ðèñ. 299 HE HE E E HE O B C ãäå B C 936. Òî÷êè E è F — ñåðåäèíû ñòîðîí AB è BC ïàðàëëåëîHHHE ãðàììà ABCD ñîîòâåòñòâåííî (ðèñ. 300). Âûðàçèòå âåêòîð &' HHHE HE HHHE HE ÷åðåç âåêòîðû #$ B è $% C 937. Íà ñòîðîíàõ BC è CD ïàðàëëåëîãðàììà ABCD îòìå÷å

íû òî÷êè M è K ñîîòâåòñòâåííî, ïðè÷åì #. #$ $, $% (ðèñ. 301). Âûðàçèòå: HHHHE HHHHE HHHE HE HHHHE E 1) âåêòîðû H". ", "# BH è "% HHE è HHHH E ÷åðåç âåêòîðû HHHH E HE HHHHE CHE 2) âåêòîðû "# è "% ÷åðåç âåêòîðû ". N è ", O B

D Ðèñ. 300

D Ðèñ. 301

938. Íà ñòîðîíàõ AB è BC òðåóãîëüíèêà ABC îòìå÷åíû òàêèå òî÷êè D è E ñîîòâåòñòâåííî, ÷òî AD : DC = 1 : 2, BE : EC = = 2 : 1. Âûðàçèòå: HHHE HHHE HHHE HHHE HHHE 1) âåêòîðû #$ "# "$ "& è $% ÷åðåç âåêòîðû HHHE HE HHHHE E #& B è "% C HHHE HHHE HHHE HHHE HE "# #$ è "$ ÷åðåç âåêòîðû "& B H2) HHE âåêòîðû E è $% C

¬ÈÉ¹¿Æ¾ÆÁØ ½ÄØ ÈÇ»ËÇÉ¾ÆÁØ ÃÌÉÊ¹ ¼¾ÇÅ¾ËÉÁÁ ÃÄ¹ÊÊ¹

HHHHHE HHHE 939. Êîëëèíåàðíû ëè âåêòîðû ./ è ,1 åñëè M (4; –1), N (–6; 5), K (7; –2), P (2; 1)? HE 940. Íàéäèòå çíà÷åíèå k, ïðè êîòîðîì âåêòîðû B L

E è C êîëëèíåàðíû. HE E 941. Äàíû âåêòîðû B è C Y Ïðè êàêîì çíà÷åHE E íèè x âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî BæC 942. Íàéäèòå êîñèíóñû óãëîâ òðåóãîëüíèêà ABC, åñëè A (–3; –4), B (2; –3), C (3; 5). Óñòàíîâèòå âèä òðåóãîëüíèêà. HE E 943. Äàíû âåêòîðû B H E E è CE Íàéäèòå çíà÷åíèå m, ïðè êîòîðîì âåêòîðû B N C è C ïåðïåíäèêóëÿðíû. HE HE H HE 944. Íàéäèòå êîñèíóñ óãëà ìåæäó âåêòîðàìè B N O HE H HE E HE H HE HE H HE è C N O åñëè N O è N > O E HE 945. Äàíû âåêòîðû B è C Íàéäèòå: HE E HE E 1) B C 2) B C 946. Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå ïðÿìîé, êîòîðàÿ êàñàåòñÿ îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì M (0; –4) â òî÷êå A (5; –3). ½ÆÄ½ÊÈÀÏ½ÉÂÀ½ ÇÈ½Æ¹È¸¿Æº¸ÅÀ× 947. Ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå îáðàçîì òî÷êè A (3; –2) ÿâëÿåòñÿ òî÷êà B (5; –3). Êàêàÿ òî÷êà ÿâëÿåòñÿ îáðàçîì òî÷êè C (–3; 4) ïðè ýòîì ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå? 948. Ïîñòðîéòå îáðàçû òî÷åê A (1; –3), HE B (0; –5) è C (2; 1) ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå íà âåêòîð B Çàïèøèòå êîîðäèíàòû ïîñòðîåííûõ òî÷åê. 949. Äàíû òî÷êè C (7; –4) è D (–1; 8). Ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå îáðàçîì ñåðåäèíû îòðåçêà CD ÿâëÿåòñÿ òî÷êà B P (–1; –3). Íàéäèòå êîîðäèíàòû òî÷åê, ÿâëÿþùèõñÿ îáðàçàìè òî÷åê C è D. 950. Íà ðèñóíêå 302 CB = CD, ∠ ACB = = ∠ ACD. Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êè B è D C ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé AC. 951. Íàéäèòå êîîðäèíàòû òî÷åê, ñèìD A ìåòðè÷íûõ òî÷êå K (4; –2) îòíîñèòåëüíî îñåé êîîðäèíàò è íà÷àëà êîîðäèíàò. Ðèñ. 302

¾ÇÅ¾ËÉÁØ ÃÄ¹ÊÊ

952. Íàéäèòå x è y, åñëè òî÷êè A (x; –2) è B (3; y) ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî îñè àáñöèññ. 953. Äàíû ëó÷ OA è òî÷êà B, åìó íå ïðèíàäëåæàùàÿ. Ïîñòðîéòå ëó÷, ñèììåòðè÷íûé äàííîìó îòíîñèòåëüíî òî÷êè B. 954. Ñèììåòðè÷íû ëè òî÷êè M (–3; 10) è N (–1; 6) îòíîñèòåëüíî òî÷êè K (1; 4)? 955. Çàïèøèòå óðàâíåíèå îêðóæíîñòè, ñèììåòðè÷íîé îêðóæíîñòè (x + 4)2 + (y – 5)2 = 11 îòíîñèòåëüíî: 1) íà÷àëà êîîðäèíàò; 2) òî÷êè M(–3; 3). 956. Äàíû òî÷êè K è O. Ïîñòðîéòå òî÷êó K1, ÿâëÿþùóþñÿ îáðàçîì òî÷êè K ïðè ïîâîðîòå âîêðóã òî÷êè O: 1) íà óãîë 130° ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè; 2) íà óãîë 40° ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå. 957. Äàíû îòðåçîê AB è òî÷êà O, åìó íå ïðèíàäëåæàùàÿ. Ïîñòðîéòå îòðåçîê A1B1, ÿâëÿþùèéñÿ îáðàçîì îòðåçêà AB ïðè ïîâîðîòå íà óãîë 50° âîêðóã òî÷êè O ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå. 958. Íà êàêîé óãîë íàäî ïîâåðíóòü ïðÿìîóãîëüíèê âîêðóã åãî öåíòðà ñèììåòðèè, ÷òîáû åãî îáðàçîì áûë ýòîò æå ïðÿìîóãîëüíèê? 959. Ïîñòðîéòå òðåóãîëüíèê, ãîìîòåòè÷íûé äàííîìó òóïîóãîëüíîìó òðåóãîëüíèêó, åñëè öåíòðîì ãîìîòåòèè ÿâëÿåòñÿ öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà, êîýôôèöèåíò ãîìîòåòèè k = –2. 960. Îáðàçîì òî÷êè A (8; –2) ïðè ãîìîòåòèè ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò ÿâëÿåòñÿ òî÷êà B (4; –1). Íàéäèòå êîýôôèöèåíò ãîìîòåòèè. 961. Ñòîðîíû äâóõ ïðàâèëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ ðàâíû 8 ñì è 28 ñì. ×åìó ðàâíî îòíîøåíèå èõ ïëîùàäåé? 962. Ìíîãîóãîëüíèê F1 ïîäîáåí ìíîãîóãîëüíèêó F2 ñ êîýôôèöèåíòîì ïîäîáèÿ k. Áóêâàìè P1, P2, S1, S2 îáîçíà÷èëè ñîîòâåòñòâåííî èõ ïåðèìåòðû è ïëîùàäè. Çàïîëíèòå ïóñòûå êëåòî÷êè â òàáëèöå. P1

100 2

¬ÈÉ¹¿Æ¾ÆÁØ ½ÄØ ÈÇ»ËÇÉ¾ÆÁØ ÃÌÉÊ¹ ¼¾ÇÅ¾ËÉÁÁ ÃÄ¹ÊÊ¹

963. Ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ ñòîðîíå òðåóãîëüíèêà äëèíîé 6 ñì, äåëèò åãî íà äâå ôèãóðû, ïëîùàäè êîòîðûõ îòíîñÿòñÿ êàê 1 : 3. Íàéäèòå îòðåçîê ýòîé ïðÿìîé, ñîäåðæàùèéñÿ ìåæäó ñòîðîíàìè òðåóãîëüíèêà. 964. Íà ñòîðîíå BC êâàäðàòà ABCD îòìåòèëè òî÷êó M òàê, ÷òî BM : MC = 1 : 2. Îòðåçêè AM è BD ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå P. Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà APD, åñëè ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà BPM ðàâíà 27 ñì2. 965. Ïðîäîëæåíèÿ áîêîâûõ ñòîðîí AB è CD òðàïåöèè ABCD ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå M. Íàéäèòå ïëîùàäü òðàïåöèè, åñëè AB : BM = 5 : 3, AD > BC, à ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà AMD ðàâíà 32 ñì2. B 966. Â òðåóãîëüíèêå ABC C A2 2 èçâåñòíî, ÷òî AB = BC = 13 ñì, A 1 C1 AC = 10 ñì. Ê îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â ýòîò òðåóãîëüíèê, ïðîâåäåíà êàñàòåëüíàÿ, ïàðàëB1 C ëåëüíàÿ îñíîâàíèþ AC, êîòîA ðàÿ ïåðåñåêàåò ñòîðîíû AB è BC â òî÷êàõ M è K ñîîòâåòB2 ñòâåííî. Âû÷èñëèòå ïëîùàäü Ðèñ. 303 òðåóãîëüíèêà MBK. 967. Íà ïðîäîëæåíèÿõ ìåäèàí AA1, BB1 è CC1 òðåóãîëüíèêà ABC îòìåòèëè ñîîòâåòñòâåííî òî÷êè A 2, B 2 è C 2 òàê, ÷òî " "

"" # # ## $ $ $$ (ðèñ. 303). Íàéäèòå

ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà A2B2C2, åñëè ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ABC ðàâíà 1. ¥¸Ï¸ÃÔÅÓ½ Éº½¼½ÅÀ× ÇÆ ÉÊ½È½ÆÄ½ÊÈÀÀ 968. Ñêîëüêî ðàçíûõ ïëîñêîñòåé ìîæíî ïðîâåñòè ÷åðåç äâå ïðîèçâîëüíûå òî÷êè? 969. Òî÷êà A íå ïðèíàäëåæèò ïëîñêîñòè α. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò ïðÿìûõ, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç òî÷êó A è ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòè α? 970. Âåðíî ëè óòâåðæäåíèå, ÷òî åñëè äâå ïðÿìûå ëåæàò â ðàçíûõ ïëîñêîñòÿõ, òî îíè ñêðåùèâàþùèåñÿ?

¾ÇÅ¾ËÉÁØ ÃÄ¹ÊÊ

971. Ïðÿìûå a è b ïàðàëëåëüíû. Êàê ðàñïîëîæåíà ïðÿìàÿ b îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè α, åñëè ïðÿìàÿ a ïåðåñåêàåò ïëîñêîñòü α? 972. Ïðÿìûå a è b ïàðàëëåëüíû ïëîñêîñòè α. Ìîæíî ëè óòâåðæäàòü, ÷òî ïðÿìûå a è b ïàðàëëåëüíû? 973. Îñíîâàíèåì ïðÿìîé ïðèçìû ÿâëÿåòñÿ ïàðàëëåëîãðàìì, ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû 3 ñì è ñì, à îñòðûé óãîë — 45°. Íàéäèòå ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè, ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè è îáúåì ïðèçìû, åñëè åå áîêîâîå ðåáðî ðàâíî 6 ñì. 974. Îñíîâàíèåì ïðÿìîé ïðèçìû ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê, ãèïîòåíóçà êîòîðîãî ðàâíà 13 ñì, à îäèí èç êàòåòîâ — 12 ñì. Íàéäèòå ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè è îáúåì ïðèçìû, åñëè åå áîêîâîå ðåáðî ðàâíî 10 ñì. 975. Íàéäèòå îáúåì òðåóãîëüíîé ïèðàìèäû, îñíîâàíèå êîòîðîé — ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíîé 8 ñì, à âûñîòà ïèðàìèäû ðàâíà 5 ñì. 976. Ðàäèóñ îñíîâàíèÿ öèëèíäðà ðàâåí 3 ñì, à åãî îáðàçóþùàÿ — 6 ñì. Íàéäèòå ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè è îáúåì öèëèíäðà. 977. Ïðÿìîóãîëüíèê, ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû 6 ñì è 4 ñì, âðàùàåòñÿ âîêðóã áîëüøåé ñòîðîíû. Íàéäèòå ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè è îáúåì îáðàçîâàâøåãîñÿ öèëèíäðà. 978. Ðàäèóñ îñíîâàíèÿ êîíóñà ðàâåí 8 ñì, à âûñîòà — 15 ñì. Íàéäèòå ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè è îáúåì êîíóñà. 979. Ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê, êàòåòû êîòîðîãî ðàâíû 3 ñì è 4 ñì, âðàùàåòñÿ âîêðóã ìåíüøåãî êàòåòà. Íàéäèòå ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè è îáúåì îáðàçîâàâøåãîñÿ êîíóñà. 980. Ïîëóêðóã, äèàìåòð êîòîðîãî ðàâåí 6 ñì, âðàùàåòñÿ âîêðóã äèàìåòðà. Íàéäèòå ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè è îáúåì îáðàçîâàâøåãîñÿ øàðà. 981. Ðàäèóñ øàðà óâåëè÷èëè â k ðàç. Êàê ïðè ýòîì èçìåíèëèñü ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè è îáúåì øàðà?

© ¥ · ¢«¨© ¦¤ ª¨ ¢£ ©© ¯½ÊÓÈ½ÍË»ÆÃÔÅÀÂ 1. Ïàðàëëåëîãðàìì. Ñâîéñòâà ïàðàëëåëîãðàììà Ïàðàëëåëîãðàììîì íàçûâàþò ÷åòûðåõóãîëüíèê, ó êîòîðîãî êàæäûå äâå ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû ïàðàëëåëüíû. Ó ïàðàëëåëîãðàììà ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû ðàâíû è ïðîòèâîïîëîæíûå óãëû ðàâíû. Äèàãîíàëè ïàðàëëåëîãðàììà òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ äåëÿòñÿ ïîïîëàì. B C P Âûñîòîé ïàðàëëåëîãðàììà Q íàçûâàþò ïåðïåíäèêóëÿð, îïóùåííûé èç ëþáîé òî÷êè ïðÿE ìîé, ñîäåðæàùåé ñòîðîíó ïàM D K A N ðàëëåëîãðàììà, íà ïðÿìóþ, ñîäåðæàùóþ ïðîòèâîïîëîæíóþ F ñòîðîíó. Íà ðèñóíêå 304 êàæäûé èç Ðèñ. 304 îòðåçêîâ AF, QE, BM, PN, CK ÿâëÿåòñÿ âûñîòîé ïàðàëëåëîãðàììà ABCD. 2. Ïðèçíàêè ïàðàëëåëîãðàììà Åñëè â ÷åòûðåõóãîëüíèêå êàæäûå äâå ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû ðàâíû, òî ýòîò ÷åòûðåõóãîëüíèê — ïàðàëëåëîãðàìì. Åñëè â ÷åòûðåõóãîëüíèêå äâå ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû ðàâíû è ïàðàëëåëüíû, òî ýòîò ÷åòûðåõóãîëüíèê — ïàðàëëåëîãðàìì. Åñëè â ÷åòûðåõóãîëüíèêå äèàãîíàëè òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ äåëÿòñÿ ïîïîëàì, òî ýòîò ÷åòûðåõóãîëüíèê — ïàðàëëåëîãðàìì. 3. Ïðÿìîóãîëüíèê Ïðÿìîóãîëüíèêîì íàçûâàþò ïàðàëëåëîãðàìì, ó êîòîðîãî âñå óãëû ïðÿìûå. Äèàãîíàëè ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíû. Åñëè îäèí èç óãëîâ ïàðàëëåëîãðàììà ïðÿìîé, òî ýòîò ïàðàëëåëîãðàìì — ïðÿìîóãîëüíèê.

¾ÇÅ¾ËÉÁØ ÃÄ¹ÊÊ

Åñëè â ïàðàëëåëîãðàììå äèàãîíàëè ðàâíû, òî ýòîò ïàðàëëåëîãðàìì — ïðÿìîóãîëüíèê. 4. Ðîìá Ðîìáîì íàçûâàþò ïàðàëëåëîãðàìì, ó êîòîðîãî âñå ñòîðîíû ðàâíû. Äèàãîíàëè ðîìáà ïåðïåíäèêóëÿðíû è ÿâëÿþòñÿ áèññåêòðèñàìè åãî óãëîâ. Åñëè äèàãîíàëè ïàðàëëåëîãðàììà ïåðïåíäèêóëÿðíû, òî ýòîò ïàðàëëåëîãðàìì — ðîìá. Åñëè äèàãîíàëü ïàðàëëåëîãðàììà ÿâëÿåòñÿ áèññåêòðèñîé åãî óãëà, òî ýòîò ïàðàëëåëîãðàìì — ðîìá. 5. Êâàäðàò Êâàäðàòîì íàçûâàþò ïðÿìîóãîëüíèê, ó êîòîðîãî âñå ñòîðîíû ðàâíû. Òàêæå êâàäðàò — ýòî ðîìá, ó êîòîðîãî âñå óãëû ïðÿìûå. 6. Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðåóãîëüíèêà Ñðåäíåé ëèíèåé òðåóãîëüíèêà íàçûâàþò îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé ñåðåäèíû äâóõ åãî ñòîðîí. Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðåóãîëüíèêà, ñîåäèíÿþùàÿ ñåðåäèíû äâóõ åãî ñòîðîí, ïàðàëëåëüíà òðåòüåé ñòîðîíå è ðàâíà åå ïîëîâèíå.

áîêîâàÿ ñòîðîíà

áîêî ñòîð âàÿ îíà

7. Òðàïåöèÿ Òðàïåöèåé íàçûâàþò ÷åòûðåõóãîëüíèê, ó êîòîðîãî äâå ñòîðîíû ïàðàëëåëüíû, à äâå äðóãèå íå ïàðàëëåëüíû. Ïàðàëëåëüíûå ñòîðîíû òðàïåöèè íàçûâàþò îñíîâàíèÿìè, à íåïàðàëëåëüíûå — áîêîâûìè ñòîðîíàìè (ðèñ. 305). Â òðàïåöèè ABCD (BC C AD) óãëû A è D íàçûâàþò óãëàìè ïðè îñíîâàíèè AD, à óãëû B è C — îñíîâàíèå óãëàìè ïðè îñíîâàíèè BC. Âûñîòîé òðàïåöèè íàçûâàþò ïåðïåíäèêóëÿð, îïóùåííûé èç ëþáîé òî÷êè ïðÿìîé, ñîäåðæàùåé îäíî èç îñíîâàîñíîâàíèå íèé, íà ïðÿìóþ, ñîäåðæàùóþ äðóãîå Ðèñ. 305 îñíîâàíèå.

ª»¾½¾ÆÁØ ÁÀ ÃÌÉÊ¹ ¼¾ÇÅ¾ËÉÁÁ ÃÄ¹ÊÊ¹

Ñðåäíåé ëèíèåé òðàïåöèè íàçûâàþò îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé ñåðåäèíû åå áîêîâûõ ñòîðîí. Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðàïåöèè ïàðàëëåëüíà îñíîâàíèÿì è ðàâíà èõ ïîëóñóììå. 8. Öåíòðàëüíûå è âïèñàííûå óãëû Öåíòðàëüíûì óãëîì îêðóæíîñòè íàçûâàþò óãîë ñ âåðøèíîé â öåíòðå îêðóæíîñòè. Âïèñàííûì óãëîì îêðóæíîñòè íàçûâàþò óãîë, âåðøèíà êîòîðîãî ëåæèò íà îêðóæíîñòè, à ñòîðîíû ïåðåñåêàþò îêðóæíîñòü. Âïèñàííûé óãîë èçìåðÿåòñÿ ïîëîâèíîé ãðàäóñíîé ìåðû äóãè, íà êîòîðóþ îí îïèðàåòñÿ. Âïèñàííûå óãëû, îïèðàþùèåñÿ íà îäíó è òó æå äóãó, ðàâíû. Âïèñàííûé óãîë, îïèðàþùèéñÿ íà äèàìåòð (ïîëóîêðóæíîñòü), — ïðÿìîé. 9. Âïèñàííûå è îïèñàííûå ÷åòûðåõóãîëüíèêè ×åòûðåõóãîëüíèê íàçûâàþò âïèñàííûì, åñëè ñóùåñòâóåò îêðóæíîñòü, êîòîðîé ïðèíàäëåæàò âñå åãî âåðøèíû. Åñëè ÷åòûðåõóãîëüíèê ÿâëÿåòñÿ âïèñàííûì, òî ñóììà åãî ïðîòèâîïîëîæíûõ óãëîâ ðàâíà 180°. Åñëè â ÷åòûðåõóãîëüíèêå ñóììà ïðîòèâîïîëîæíûõ óãëîâ ðàâíà 180°, òî îí ÿâëÿåòñÿ âïèñàííûì. ×åòûðåõóãîëüíèê íàçûâàþò îïèñàííûì, åñëè ñóùåñòâóåò îêðóæíîñòü, êîòîðàÿ êàñàåòñÿ âñåõ åãî ñòîðîí. Åñëè ÷åòûðåõóãîëüíèê ÿâëÿåòñÿ îïèñàííûì, òî ñóììû åãî ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí ðàâíû. Åñëè â âûïóêëîì ÷åòûðåõóãîëüíèêå ñóììû ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí ðàâíû, òî ýòîò ÷åòûðåõóãîëüíèê ÿâëÿåòñÿ îïèñàííûì. §Æ¼Æ¹À½ ÊÈ½Ë»ÆÃÔÅÀÂÆº 10. Òåîðåìà Ôàëåñà. Òåîðåìà î ïðîïîðöèîíàëüíûõ îòðåçêàõ Òåîðåìà Ôàëåñà. Åñëè ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå, ïåðåñåêàþùèå ñòîðîíû óãëà, îòñåêàþò íà îäíîé åãî ñòîðîíå ðàâíûå îòðåçêè, òî îíè îòñåêàþò ðàâíûå îòðåçêè è íà äðóãîé åãî ñòîðîíå.

¾ÇÅ¾ËÉÁØ ÃÄ¹ÊÊ

Îòíîøåíèåì äâóõ îòðåçêîâ íàçûâàþò îòíîøåíèå èõ äëèí, âûðàæåííûõ â îäíèõ è òåõ æå åäèíèöàõ èçìåðåíèÿ. Òåîðåìà î ïðîïîðöèîíàëüíûõ îòðåçêàõ. Åñëè ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå ïåðåñåêàþò ñòîðîíû óãëà, òî îòðåçêè, îáðàçîâàâøèåñÿ íà îäíîé ñòîðîíå óãëà, ïðîïîðöèîíàëüíû ñîîòâåòñòâóþùèì îòðåçêàì, îáðàçîâàâøèìñÿ íà äðóãîé ñòîðîíå óãëà. Ñâîéñòâî ìåäèàí òðåóãîëüíèêà. Âñå òðè ìåäèàíû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå, êîòîðàÿ äåëèò êàæäóþ èç íèõ â îòíîøåíèè 2 : 1, ñ÷èòàÿ îò âåðøèíû òðåóãîëüíèêà. Ñâîéñòâî áèññåêòðèñû òðåóãîëüíèêà. Áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà äåëèò ñòîðîíó, ê êîòîðîé îíà ïðîâåäåíà, íà îòðåçêè, ïðîïîðöèîíàëüíûå ïðèëåæàùèì ê íèì ñòîðîíàì. 11. Ïîäîáèå òðåóãîëüíèêîâ Äâà òðåóãîëüíèêà íàçûâàþò ïîäîáíûìè, åñëè ó íèõ ðàâíû óãëû è ñîîòâåòñòâåííûå ñòîðîíû ïðîïîðöèîíàëüíû. Ëåììà î ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêàõ. Ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ ñòîðîíå òðåóãîëüíèêà è ïåðåñåêàþùàÿ äâå äðóãèå åãî ñòîðîíû, îòñåêàåò îò äàííîãî òðåóãîëüíèêà åìó ïîäîáíûé. Ïåðâûé ïðèçíàê ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ. Åñëè äâà óãëà îäíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû äâóì óãëàì äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ïîäîáíû. Âòîðîé ïðèçíàê ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ. Åñëè äâå ñòîðîíû îäíîãî òðåóãîëüíèêà ïðîïîðöèîíàëüíû äâóì ñòîðîíàì äðóãîãî òðåóãîëüíèêà è óãëû, îáðàçîâàííûå ýòèìè ñòîðîíàìè, ðàâíû, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ïîäîáíû. Òðåòèé ïðèçíàê ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ. Åñëè òðè ñòîðîíû îäíîãî òðåóãîëüíèêà ïðîïîðöèîíàëüíû òðåì ñòîðîíàì äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ïîäîáíû. ¨½Ð½ÅÀ½ ÇÈ×ÄÆË»ÆÃÔÅÓÍ ÊÈ½Ë»ÆÃÔÅÀÂÆº 12. Ìåòðè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå Êâàäðàò âûñîòû ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà, ïðîâåäåííîé ê ãèïîòåíóçå, ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ïðîåêöèé êàòåòîâ íà ãèïîòåíóçó. Êâàäðàò êàòåòà ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ãèïîòåíóçû è ïðîåêöèè ýòîãî êàòåòà íà ãèïîòåíóçó.

ª»¾½¾ÆÁØ ÁÀ ÃÌÉÊ¹ ¼¾ÇÅ¾ËÉÁÁ ÃÄ¹ÊÊ¹

CD2 = AD•DB; AC2 = AB•AD; BC2 = AB•DB.

13. Òåîðåìà Ïèôàãîðà Â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå êâàäðàò ãèïîòåíóçû ðàâåí ñóììå êâàäðàòîâ êàòåòîâ.

D Ðèñ. 306

14. Ñèíóñ, êîñèíóñ è òàíãåíñ îñòðîãî óãëà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà Ñèíóñîì îñòðîãî óãëà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà íàçûâàþò îòíîøåíèå ïðîòèâîëåæàùåãî êàòåòà ê ãèïîòåíóçå. Êîñèíóñîì îñòðîãî óãëà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà íàçûâàþò îòíîøåíèå ïðèëåæàùåãî êàòåòà ê ãèïîòåíóçå. Òàíãåíñîì îñòðîãî óãëà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà íàçûâàþò îòíîøåíèå ïðîòèâîëåæàùåãî êàòåòà ê ïðèëåæàùåìó. Ñèíóñ, êîñèíóñ è òàíãåíñ óãëà çàâèñÿò òîëüêî îò âåëè÷èíû ýòîãî óãëà. UH A

TJO A DPT A

sin2 α + cos2 α = 1 cos (90° – α) = sin α sin (90° – α) = cos α α = 30°

α = 45°

α = 60°

sin α

cos α

tg α

15. Ðåøåíèå ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ Êàòåò ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ãèïîòåíóçû íà ñèíóñ óãëà, ïðîòèâîëåæàùåãî ýòîìó êàòåòó.

¾ÇÅ¾ËÉÁØ ÃÄ¹ÊÊ

Êàòåò ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ãèïîòåíóçû íà êîñèíóñ óãëà, ïðèëåæàùåãî ê ýòîìó êàòåòó. Êàòåò ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ âòîðîãî êàòåòà íà òàíãåíñ óãëà, ïðîòèâîëåæàùåãî ïåðâîìó êàòåòó. Êàòåò ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâåí ÷àñòíîìó îò äåëåíèÿ âòîðîãî êàòåòà íà òàíãåíñ óãëà, ïðèëåæàùåãî ê ïåðâîìó êàòåòó. Ãèïîòåíóçà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà ÷àñòíîìó îò äåëåíèÿ êàòåòà íà ñèíóñ ïðîòèâîëåæàùåãî åìó óãëà. Ãèïîòåíóçà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà ÷àñòíîìó îò äåëåíèÿ êàòåòà íà êîñèíóñ ïðèëåæàùåãî ê íåìó óãëà. Ðåøèòü ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê îçíà÷àåò íàéòè åãî íåèçâåñòíûå ñòîðîíû è óãëû ïî èçâåñòíûì ñòîðîíàì è óãëàì. §ÃÆÑ¸¼Ô ÄÅÆ»ÆË»ÆÃÔÅÀÂ¸ 16. Ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà Ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ åãî ñòîðîíû íà âûñîòó, ñîîòâåòñòâóþùóþ ýòîé ñòîðîíå. 17. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ åãî ñòîðîíû íà ïðîâåäåííóþ ê íåé âûñîòó. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà ïîëóïðîèçâåäåíèþ åãî êàòåòîâ. 18. Ïëîùàäü òðàïåöèè Ïëîùàäü òðàïåöèè ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ïîëóñóììû åå îñíîâàíèé íà âûñîòó. Ïëîùàäü òðàïåöèè ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ åå ñðåäíåé ëèíèè íà âûñîòó.

¦ª ª³ «¢ ¥ ·

11. 3)

èëè

4) 0,6. 12. 1)

èëè

15. 16. 120°. 17. 1) 2) –2,5; 3) 18. 1) 3; 2)

23. 10 ñì, 30°, 120°. 26. ñì. 30. 120°. 31. 45°.

37. ñì.

38.

ñì.

39.

ñì èëè

40. 13 ñì. 41. B 42. ñì. 43.

ñì.

B C BC

44. B C BC 45. 15 ñì, 24 ñì. 46. 2 ñì, ñì. 47. 3 ñì, 5 ñì. 48. 10 ñì, 6 ñì, 14 ñì. 49. 6 ñì èëè 10 ñì. 50. 75 ñì. 51. 13 ñì. 52. ñì. 56. 14 ñì. 57. 34 ñì. 58. 7 ñì, 9 ñì. 59. 20 ñì, 30 ñì. 60. 8 ñì. Óêàçàíèå. Ïðîâåäèòå ÷åðåç âåðøèíó B ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ ñòîðîíå CD, è ðàññìîòðèòå îáðàçîâàâøèéñÿ òðåóãîëüíèê. 61.

62.

ñì.

63. Íåò. 65. 10 ñì. 66. 6 ñì. 67. 11 ñì. 68. 6 ñì. 69. 22 ñì. 74. 4 ñì, 6 ñì. 91. ñì. 92. 6 ñì. 93. 94.

N TJO A TJO B TJO A B

99.

103.

95.

D TJO A TJO A G

TJO G TJO J

96.

N TJO A TJO J TJO B TJO A B

ñì. 100. 60° èëè 120°. 101. 4,5 ÷. 102.

A A TJO n B DPT

105.

B TJO B DPT B G TJO G

98. 9 ñì.

C TJO A TJO G A G TJO A G DPT

ñì. Óêàçàíèå. Èñêîìûé ðàäèóñ

ìîæíî íàéòè êàê ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà, ñòîðîíàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ îäíî èç îñíîâàíèé, áîêîâàÿ ñòîðîíà è äèàãîíàëü òðàïåöèè. 106. Óêàçàíèå. Äîêàæèòå, ÷òî CE = DE. 107.

B TJO A TJO B

N TJO B N TJO A TJO A B TJO A B

¾ÇÅ¾ËÉÁØ ÃÄ¹ÊÊ

Óêàçàíèå. Íà ïðîäîëæåíèè ìåäèàíû AM çà òî÷êó M îòìåòüòå òî÷êó K òàêóþ, ÷òî AÌ = MK, è ïðèìåíèòå òåîðåìó ñèíóñîâ ê òðåóãîëüíèêó ACK. 108.

B TJO A B

TJO A

109. Óêàçà-

íèå. Âûðàçèòå óãëû AHB, BHC è AHC ÷åðåç óãëû òðåóãîëüíèêà ABC. 110. Ñêîðåå äîåõàòü ÷åðåç ñåëî C. Óêàçàíèå. Ïðèìèòå ðàññòîÿíèå ìåæäó êàêèìè-íèáóäü äâóìÿ ñåëàìè çà a è âûðàçèòå ÷åðåç a ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äðóãèìè ñåëàìè. 111. Àâòîáóñ. 114. 12 ñì. 127. 107°, 73°, 132°, 48°. Óêàçàíèå. Ïðîâåäèòå ÷åðåç îäíó èç âåðøèí âåðõíåãî îñíîâàíèÿ ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ áîêîâîé ñòîðîíå òðàïåöèè, è ðàññìîòðèòå îáðàçîâàâøèéñÿ òðåóãîëüíèê. 128. 9 ñì. 129. 30 ñì, 48 ñì. 135. 1) 60° èëè 120°; 2) 90°. 136. 30° èëè 150°. 140. 12 ñì. 141. 24 ñì. 142. 24 ñì2. 143.

ñì; 2) 8 ñì,

157. 160. 163.

ñì.

145. 2 ñì,

ñì. 144. 1) ñì.

ñì,

156. 3 : 5.

B TJO B TJO G C TJO A TJO A B

158. 2R2 sinα sinβ sin(α + β). 159. TJO B G

TJO B I I TJO A

161.

I TJO B TJO A TJO A B

162. 51 ñì2, 75 ñì2, 84 ñì2.

ñì. Óêàçàíèå. Âîñïîëüçóéòåñü òåì, ÷òî SΔABC =

= SΔABD + SΔACD. 164. 360 ñì2. Óêàçàíèå. Ïðîâåäèòå ÷åðåç îäèí èç êîíöîâ âåðõíåãî îñíîâàíèÿ òðàïåöèè ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ áîêîâîé ñòîðîíå òðàïåöèè, è íàéäèòå âûñîòó òðåóãîëüíèêà, êîòîðûé ýòà ïðÿìàÿ îòñåêàåò îò òðàïåöèè. 165. ñì2. Óêàçàíèå. Ïóñòü ABCD — äàííàÿ òðàïåöèÿ, BC || AD. Ïðîâåäèòå ÷åðåç âåðøèíó C ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ ïðÿìîé BD è ïåðåñåêàþùóþ ïðÿìóþ AD â òî÷êå E. Äîêàæèòå, ÷òî òðåóãîëüíèê ACE è äàííàÿ òðàïåöèÿ ðàâíîâåëèêè. 166. 1 : 2. Óêàçàíèå.

4$ "., 4$ "#$

", æ ". TJO " "$ æ "# TJO "

DPT "

167. 19,5 ñì. 168. 13 ñì, 14 ñì, 15 ñì. 170. 10°. 171. 91 ñì,

§Ë»¾ËÔ Á ÌÃ¹À¹ÆÁØ

21 ñì. 172. 9,6 ñì. 196. 198.

210. 1 : 2. 211.

2 1 6 . B 2 a ; 219.

B B

221.

197. 3 S

202. ≈17,4 ñì. 203. ≈19,8 ñì.

205. 18 ñòîðîí. 208. 1) 2)

204. 5 ñòîðîí.

209. 1)

: 2. 214. 4,4 ñì. 215. 3

2 1 7 . ñ ì . 2 1 8 . 8 ñ ì .

220.

222. Òðåóãîëüíèêîâ, èëè êâàäðàòîâ, èëè

øåñòèóãîëüíèêîâ. Óêàçàíèå. Îêîëî îäíîé òî÷êè ìîæíî óëîæèòü ñòîëüêî äîùå÷åê, âî ñêîëüêî ðàç óãîë ïðè âåðøèíå äîùå÷êè, ðàâíûé n

n O

O O

n O

ìåíüøå 360°, òî åñòü

äîëæíî áûòü íàòóðàëüíûì ÷èñëîì. Òàê êàê

òî O

O O O O

äîùå÷åê. Çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ

çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ

O O

äîëæíî áûòü íàòó-

ðàëüíûì ÷èñëîì. 223. Óêàçàíèå. Ïóñòü ABCDEF — ïðàâèëüíûé øåñòèóãîëüíèê (ðèñ. 307), K — òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ CD è EF. Òîãäà AK — èñêîìûé îòðåçîê. 225. 18 ñì. 226. 96 ñì2. 227. 9 ñì. 252. 22,5°. 257. 2)

ñì. 259. 1)

ñì 2; 3)

260. 1)

ñì2; 2)

265.

2π ñì,

ñì 2.

ñì2.

ñì.

ñì,

ñì2;

F Ðèñ. 307

¾ÇÅ¾ËÉÁØ ÃÄ¹ÊÊ

266.

ñì,

ñì. 267.

ñì. 268. 6π ñì.

269. 1 : 1. Óêàçàíèå. Äîêàæèòå, ÷òî â îáîèõ ñëó÷àÿõ Pæ"#

ñóììà äëèí ïîëóîêðóæíîñòåé ðàâíà 273.

B P

277. B

274. ≈17,3 %. 275.

278. P

271. 50 ñì.

276.

Óêàçàíèå. Ðàññìîòðèòå ΔAND è äî-

êàæèòå, ÷òî îí ðàâíîñòîðîííèé. 279. Óêàçàíèå. Ñóììà ïëîùàäåé âñåõ çàêðàøåííûõ è íåçàêðàøåííûõ ñåðïèêîâ ðàâíà ñóììå ïëîùàäåé äâóõ êðóãîâ, äèàìåòðû êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ ñîñåäíèìè ñòîðîíàìè ïðÿìîóãîëüíèêà, à ñóììà ïëîùàäåé íåçàêðàøåííûõ ñåðïèêîâ è ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíà ïëîùàäè êðóãà, äèàìåòð êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ äèàãîíàëüþ ïðÿìîóãîëüíèêà. Ïîêàæèòå, ÷òî ýòè ñóììû ðàâíû. 280. Óêàçàíèå. Îáùàÿ ÷àñòü êâàäðàòîâ ñîäåðæèò êðóã, ðàäèóñ êîòîðîãî ðàâåí

ñì (ðèñ. 308). 282.

ñì,

ñì.

283. Óêàçàíèå. ×åðåç ñåðåäèíó ìåíüøåãî îñíîâàíèÿ ïðîâåäèòå ïðÿìûå, ïàðàëëåëüÐèñ. 308 íûå áîêîâûì ñòîðîíàì òðàïåöèè. 303. 1) Äà, òî÷êà B ëåæèò ìåæäó òî÷êàìè A è C; 2) íåò. 305. x = 7 èëè x = –1. 306. (3; 0). 307. (0; 0,5). 308. (3; –0,5). 309. (–2; 2). 310. (3; –2). 314. A (–5; 3), C (7; 5). 315. 316. èëè 317. èëè 318. (3; 3) èëè (–6; 6). Óêàçàíèå. Ðàññìîòðèòå äâà ñëó÷àÿ: B (a; a) èëè B (a; –a). 319. (5,5; 0), (3; 0), (–1; 0). Óêàçàíèå. Ðàññìîòðèòå òðè ñëó÷àÿ: AC = BC, AC = AB è BC = AB. 320. (0; 6), (0; 4), (0; 3,5), (0; 8,5). Óêàçàíèå. Ðàññìîòðèòå òðè ñëó÷àÿ: AC2 + BC2 = AB2, AB2 + BC2 = AC2, AC2 + AB2 = BC2. 321. ñì. 322. 56°, 124°. 323. 8 ñì è 16 ñì. 342. Äâå îêðóæíîñòè: x2 + (y – 11)2 = 45 è x2 + + (y + 1)2 = 45. 343. (x – 3)2 + y2 = 50. 345. 1) Äà, òî÷êà (–1; 5) — öåíòð îêðóæíîñòè, R = 7; 2) íåò; 3) íåò; 4) äà,

§Ë»¾ËÔ Á ÌÃ¹À¹ÆÁØ

òî÷êà (2; 7) — öåíòð îêðóæíîñòè, 3 346. 1) Òî÷êà (0; –8) — öåíòð îêðóæíîñòè, R = 2; 2) òî÷êà (4; –2) — öåíòð îêðóæíîñòè, 3 347. (x – 2) 2 + y 2 = 13. 348. (x – 2)2 + (y – 1)2 = 25 èëè (x – 3)2 + (y – 8)2 = 25. 349. (x + 5)2 + (y – 2)2 = 10 èëè (x + 1)2 + (y + 2)2 = 10. 350. (x – 2)2 + (y + 2)2 = 4 èëè (x + 2)2 + (y + 2)2 = 4. Óêàçàíèå. Äèàìåòð èñêîìîé îêðóæíîñòè ðàâåí ðàññòîÿíèþ ìåæäó îñüþ àáñöèññ è ïðÿìîé y = –4, à öåíòð îêðóæíîñòè ïðèíàäëåæèò áèññåêòðèñå òðåòüåãî èëè ÷åòâåðòîãî êîîðäèíàòíîãî óãëà. 351. (x – 1)2 + (y – 1)2 = 1 èëè (x – 1)2 + + (y + 1)2 = 1. 352. 1) (x + 3)2 + (y – 2)2 = 25; 2) (x + 1)2 + + (y + 3)2 = 169. 353. ñì2. 354. 70 ñì. 355. 600 ñì2. 362. 1) y = 2x – 5; 2) x = 3; 3) y = –1; 4) 5x + 3y = 6. 363. 1) y = –3x + 1; 2) x – 6y = 12. 364. 1) (–8; –31); 2) (–1; 2). 365. 1) (2; –7); 2) (4; –1). 366. y = –0,5x – 4.

367. Z Y 369. 12. 370. 28. 371. 6. 372. (2; 5), (5; 2). 373. (5; 0). 375.

Óêàçàíèå. Èñêîìîå ðàññòîÿíèå

ðàâíî âûñîòå òðåóãîëüíèêà, îãðàíè÷åííîãî îñÿìè êîîðäèíàò è äàííîé ïðÿìîé. 376. 377. 378. x – 3y = 2. 379. 7x + 5y = –8. 380. (3; 3) èëè (15; 15). 381. (–2; 2) èëè (–10; 10). 382. (x – 3)2 + (y – 4)2 = 17. 383. (y – 4) (y + 4) = 0. 384. ñì, ñì. 385. 104 ñì. 386. 12,5 ñì. 391. 1) y = = 4x + 19; 2) y = –3x – 2; 4) y = 7. 392. y = –0,5x – 4. 393. 1) y = –7x + 2; 2) 3x – 4y = –39. 394. 1) y = 9x + 13; 2) 3x + y = 9. 395. 1) Z Y 2) Z Y 396. 1) y = x – 5; 2) y = –x + 1. á) Z

397. a) Z

398. 1) Äà; 2) äà; 3) íåò; 4) íåò. 400. y =

= 4x + 9. 401. y = 3x – 12. 404. 30 ñì, 40 ñì. 405. 144 ñì2. 431. Ïðÿìîóãîëüíèê èëè ðàâíîáîêàÿ òðàïåöèÿ. 439. 60°, 120°. 440. 4 ñì, 12 ñì. 441.

Óêàçàíèå. Ïðîâåäèòå

÷åðåç âåðøèíó B ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ ïðÿìîé MK.

¾ÇÅ¾ËÉÁØ ÃÄ¹ÊÊ

HHHE HHHE HHHE '% 4 5 8 . %& &0 HE E E HE 459. B èëè B 460. D èëè D 461. C (7; 17), D (2; 17) èëè C (7; –7), D (2; –7). 462. B (16; 2), C (16; –6) èëè B (–14; 2), C (–14; –6). 464. 20 ñì, 7 ñì, 457.

HHHE "'

511. 1) Äà; 2) äà; 3) íåò. 21 ñì. 465. HHHE 512. HHHE Óêàçàíèå. HHHE HHHE Ïîêàæèòå, ÷òî êàæäûé èç âåêòîðîâ 0" 0$ è 0# 0% ðàâåí Óêàçàíèå. Äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, HHHHíóëü-âåêòîðó. E HHHHE HHHHE HHH514. E ÷òî 9" 9# 9% 9$ 515. Îêðóæíîñòü ðàäèóñà AB ñ öåíòðîì â òî÷êå A. 516. Ñåðåäèííûé ïåðïåíäèêóëÿð îòðåçêà AB. 517. Óêàçàíèå. Ïóñòü AA1 — ìåäèàíà òðåóãîëüíèêà ABC. Íà ïðîäîëæåíèè îòðåçêà AA1 çà òî÷êó A1 îòëîæèòå îòðåçîê A 1 D, ðàâíûé MA 1 . 518. Óêàçàíèå. Èìååì: HHHHHE HHHHHE HHHHHE HHHHHE HHHHHE HHHHHE E HHHHHE HHHHHE HHHHHE E " " " # # # # $ $ $ $ " " # # $ $ " HHHHHE HHHHHE HHHHHE E îòñþäà " " # # $ $ 519. 4 ñì, 6 ñì. 520. 2,5 ñì. HE H HE 552. –4; 4. 553. –1,5. 555. N â 556. B â HHHHE HE E HHHHE HHHE HHHE 559. x = 2, y = –3. 560. 0, B C 564. #. #" #$ HHHHHHHE HHHHHHE HHHHHE HHHHHHE 566. Óêàçàíèå. . . . # # # # . Ñ äðóãîé ñòîHHHHHHHE HHHHHHE HHHHHE HHHHHHE ðîíû, . . . " " " " . Ñëîæèòå ýòè ðàâåíñòâà. —E ìåäèàíû 572. Óêàçàíèå. Ïóñòü îòðåçêè AA1, BB1 HèHHHCC E 1HHHH HHHHE E òðåóãîëüíèêà ABC. Âîñïîëüçóéòåñü òåì, ÷òî "" ## $$ 573. Óêàçàíèå. Âîñïîëüçóéòåñü çàäà÷åé 566 è êëþ÷åâîé HHHHE çàäà÷åé 1 ï. 15. 574. Óêàçàíèå. Âûðàçèòå âåêòîðû #. è HHHHE HHHE HHHE #/ ÷åðåç âåêòîðû #" è #$ 575. 18 ñì. 576. 60°; ñì2.

577. 3 593. 1) 2) 1; 3) 4) 0. 596. –3 è 3. 597. –1. E 599. C 600. –1 è 1. 602. 4. 603. –0,5. 604. 605. 608. 0, 609. 30°, 60°, 90°. 612. 0°. 613. 120°.

HHHE HE HHHE E HHHHE HE E 614. Óêàçàíèå. Ïóñòü $" B $# C Òîãäà $. B C

§Ë»¾ËÔ Á ÌÃ¹À¹ÆÁØ

HHHHE HHHHE HHHHE HE E ", B C Íàéäèòå $.æ ", 615. 45°. Óêàçàíèå. Ïóñòü HHHE E HHHE E HHHE E E E 0# C 0$ D Î÷åâèäíî, ÷òî CæD Òîãäà "0 D HHHHE E HHHE E E HHHE E E %0 C Îòñþäà "# D C %$ D C 616. 30°. ÓêàçàHHHHE HHHE HHHE HHHHE HHHHE HHHE HHHHE HHHE íèå. #% #" #$ Îòñþäà #% #%æ#" #%æ#$ HHHHE HHHHE HHHE HHHHE HHHE HHHE #% #% æ #" æDPT "#% 617. Óêàçàíèå. #% #" #$ HHHHE H HHHE HHHE HHHH E HHHHE .' .# #' Î ñ ò à ë î ñ ü ï î ê à ç à ò ü , ÷ ò î #%æ.' 619. 100 ñì. 620. 6π ñì. 633. Ïðè AB C a. 643. 1) Áåñêîíå÷íî ìíîãî; 2) áåñêîíå÷íî ìíîãî. 649. (x + 3)2 + (y – 4)2 = 1. 650. y = x2 – 4x + 1. 651. Óêàçàíèå. Ïóñòü ABCD — èñêîìàÿ òðàïåöèÿ (BC || AD). Ïîñòðîéòå îáðàç HHHE äèàãîíàëè BD ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå íà âåêòîð #$ 653. Óêàçàíèå. Ïîñòðîéòå îáðàç äàííîé ïðÿìîé ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå HHHE HHHE íà âåêòîð "# (èëè #" Ðàññìîòðèòå òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ îáðàçà ñ äàííîé îêðóæíîñòüþ. Çàìåòèì, ÷òî åñëè ïîñòðîåííûé îáðàç è äàííàÿ îêðóæíîñòü íå C èìåþò îáùèõ òî÷åê, òî çàäà÷à íå B èìååò ðåøåíèÿ. 655. Óêàçàíèå. Ïóñòü ABCD — èñêîìûé ÷åòûðåõA1 óãîëüíèê ñ äàííûìè ñòîðîíàìè AB è CD (ðèñ. 309). Ðàññìîòðèì ïàðàë- A D ëåëüíûé ïåðåíîñ ñòîðîíû AB íà Ðèñ. 309 HHHE âåêòîð #$ Òðåóãîëüíèê A1CD ìîæíî ïîñòðîèòü ïî äâóì ñòîðîíàì CD è CA1 = BA è óãëó A1CD, ðàâíîìó ∠ BCD – (180° – ∠ ABC). Òðåóãîëüíèê AA1D ìîæíî ïîñòðîèòü ïî ñòîðîíå A1D è äâóì ïðèëåæàùèì óãëàì AA1D — îáðàç òî÷êè A è ADA1. 656. Óêàçàíèå. Ïóñòü òî÷êà A 1 E HHHHH ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå íà âåêòîð ./ Ñîåäèíèòå òî÷êè A1 è B. 657. 36 ñì. 658. 40. 659. 490 ñì2. 701. a ⊥ l èëè ïðÿìûå a è l ñîâïàäàþò. 704. Óêàçàíèå. Åñëè ÷åòûðåõóãîëüíèê èìååò îñü ñèììåòðèè, òî îáðàçîì ëþáîé åãî âåðøèíû ÿâëÿåòñÿ âåðøèíà ýòîãî æå ÷åòûðåõóãîëüíèêà. Âûáåðèòå íåêîòîðóþ âåðøèíó ïàðàëëåëîãðàììà è ðàññìîòðèòå äâå

¾ÇÅ¾ËÉÁØ ÃÄ¹ÊÊ

âîçìîæíîñòè: åå îáðàçîì ÿâëÿåòñÿ èëè ñîñåäíÿÿ âåðøèíà, èëè ïðîòèâîëåæàùàÿ. 707. Óêàçàíèå. Óãëû M1BA è MBA ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé AB. Ñëåäîâàòåëüíî, ∠ M1BA = ∠ MBA. Àíàëîãè÷íî ∠ M2BÑ = ∠ MBÑ. Îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî ∠ M1BM2 = 180°. 708. 1) A1 (0; –2), B1 (–1; 3); 2) A2 (0; 2), B2 (1; –3). 709. x = 2, y = –1. 710. Óêàçàíèå. Ïóñòü ΔABC èìååò öåíòð ñèììåòðèè. Òîãäà, íàïðèìåð, îáðàçîì âåðøèíû A ÿâëÿåòñÿ âåðøèíà B. Ñëåäîâàòåëüíî, öåíòð ñèììåòðèè — ýòî ñåðåäèíà ñòîðîíû AB. Îäíàêî â ýòîì ñëó÷àå îáðàç âåðøèíû C íå áóäåò ïðèíàäëåæàòü òðåóãîëüíèêó ABC. 712. Óêàçàíèå. Ïðè öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè îáðàçîì ñòîðîíû äàííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ÿâëÿåòñÿ ñòîðîíà ýòîãî æå ÷åòûðåõóãîëüíèêà. Äàëåå âîñïîëüçóéòåñü êëþ÷åâîé çàäà÷åé ï. 18. 713. Óêàçàíèå. Ïðè ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî òî÷êè O îáðàçû òî÷åê A1 è B1 ïðèíàäëåæàò îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì O2. Òàê êàê îáðàçîì ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ñèììåòðèè, ÿâëÿåòñÿ ýòà æå ïðÿìàÿ, òî îáðàçû òî÷åê A 1 è B 1 òàêæå ïðèíàäëåæàò ïðÿìîé A 1B 1. B C C1 Ñëåäîâàòåëüíî, îòðåçîê A2B2 — îáðàç îòðåçêà A 1B 1. 714. 2 ñì èëè 1 ñì. 715. 2 ñì. Óêàçàíèå. Ïðè ðàññìàòðèD âàåìîì ïîâîðîòå òî÷êà B ÿâëÿåòñÿ A îáðàçîì òî÷êè D, òî÷êà C1 — îáðàçîì Ðèñ. 310 òî÷êè C, òî÷êà A — îáðàçîì òî÷êè A (ðèñ. 310). Ñëåäîâàòåëüíî, Δ ABC1 — îáðàç Δ ADC. Îòñþäà ∠ ABC1 = ∠ ADC = 90°. Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êè C1, B, C ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. 716. Óêàçàíèå. Ïóñòü òî÷êà A1 — îáðàç òî÷êè A ïðè ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé a. Òîãäà òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ a è A1B áóäåò l1 èñêîìîé. Çàìåòèì, ÷òî åñëè òî÷êè A è B ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî ïðÿO ìîé a, òî çàäà÷à èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé. 718. Óêàçàíèå. Ïóñòü òî÷êà A1 — îáðàç òî÷êè A ïðè l2 E ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé a. Òîãäà òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ a è Ðèñ. 311 A1B áóäåò èñêîìîé. 719. Óêàçàíèå.

§Ë»¾ËÔ Á ÌÃ¹À¹ÆÁØ

Ðàññìîòðèòå öåíòðàëüíóþ ñèììåòðèþ ñ öåíòðîì â òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé ïàðàëëåëîãðàììà. 720. Óêàçàíèå. Íàéäèòå ñåðåäèíó îòðåçêà AC, à äàëåå âîñïîëüçóéòåñü ïðèìåðîì 3 ï. 18. 721. Óêàçàíèå. Ïóñòü O — äàííàÿ òî÷êà, l1 è l2 — äàííûå ïðÿìûå. Ïîñòðîèì îáðàç ïðÿìîé l1 ïðè ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî òî÷êè O. Ïîëó÷èì ïðÿìóþ M ` (ðèñ. 311), êîòîðàÿ ïåðåñåêàåò ïðÿìóþ l2 â òî÷êå E. Íàéäåì ïðîîáðàç òî÷êè E ïðè ðàññìàòðèâàåìîé ñèììåòðèè. Î÷åâèäíî, ÷òî îí äîëæåí ïðèíàäëåæàòü ïðÿìîé l1. Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êà, ñèììåòðè÷íàÿ òî÷êå E îòíîñèòåëüíî òî÷êè O, òàêæå ïðèíàäëåæèò ïðÿìîé l1. 722. Óêàçàíèå. Âîñïîëüçóéòåñü èäååé ðåøåíèÿ ïðèìåðà 5 ï. 18. l1 N 723. Óêàçàíèå. Ðàññìîòðèì ïîâîðîò l2 ñ öåíòðîì â òî÷êå C ïðîòèâ ÷àñîâîé O ñòðåëêè íà óãîë 60°. Ïðè òàêîì ïîâîðîòå îáðàçàìè òî÷åê E è B áóäóò l3 ñîîòâåòñòâåííî òî÷êè D è A. ÑëåäîM âàòåëüíî, îòðåçîê AD è åãî ñåðåäèíà K áóäóò ñîîòâåòñòâåííî îáðàçàìè îòðåçêà BE è åãî ñåðåäèíû M. Ðèñ. 312 724. Óêàçàíèå. Ïóñòü l1, l2, l3 — äàííûå ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå, O — ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ïðÿìîé l2 (ðèñ. 312). Ïðÿìàÿ M ` — îáðàç ïðÿìîé l1 ïðè ïîâîðîòå âîêðóã òî÷êè O ïðîòèâ ÷àñîâîé B ñòðåëêè íà óãîë 60° — ïåðåñåêàåò l ïðÿìóþ l3 â òî÷êå M. Íàéäåì ïðîîáðàç òî÷êè M ïðè çàäàííîì ïîâîðîòå. Î÷åâèäíî, ÷òî îí ïðèíàäëåæèò ïðÿìîé l1. Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî îòëîC æèòü îò ëó÷à OM óãîë, ðàâíûé 60°. A 725. Óêàçàíèå. Ïóñòü òðåóãîëüíèê A1 A1BC — îáðàç òðåóãîëüíèêà ABC ïðè ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ñåðåäèííîãî Ðèñ. 313 ïåðïåíäèêóëÿðà îòðåçêà BC (ðèñ. 313). Òðåóãîëüíèê ACA1 ìîæíî ïîñòðîèòü ïî èçâåñòíûì ñòîðîíàì AC è A1C (A1C = AB) è óãëó ACA1, ðàâíîìó ðàçíîñòè óãëîâ B è C. 726. Óêàçàíèå. Ïóñòü òî÷êà C1 ñèììåòðè÷íà òî÷êå C îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé AB. Ïîñòðîéòå îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì

¾ÇÅ¾ËÉÁØ ÃÄ¹ÊÊ

â òî÷êå C1, êîòîðàÿ êàñàåòñÿ ïðÿìîé AB. Ïðîâåäèòå ÷åðåç òî÷êó D êàñàòåëüíóþ ê ïîñòðîåííîé îêðóæíîñòè. Ýòà êàñàòåëüíàÿ ïåðåñåêàåò ïðÿìóþ AB â èñêîìîé òî÷êå. 727. Óêàçàíèå. Ïóñòü O — äàííàÿ òî÷êà, l1, l2 è l3 — äàííûå ïðÿìûå. Ïîñòðîéòå îòðåçîê AC, ñåðåäèíîé êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ òî÷êà O, à êîíöû ïðèíàäëåæàò ïðÿìûì l1 è l2. Ýòîò îòðåçîê ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç äèàãîíàëåé ðîìáà. Íàéäèòå òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé l3 ñ ñåðåäèííûì ïåðïåíäèêóëÿðîì îòðåçêà AC. 728. Óêàçàíèå. Ðàññìîòðèì ïîâîðîò ñ öåíòðîì â òî÷êå A ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè íà óãîë 90°. Ïðè ýòîì ïîâîðîòå îáðàçîì îòðåçêà AD áóäåò îòðåçîê AB (ðèñ. 314). Ïóñòü E1 — îáðàç òî÷êè E. Òîãäà òðåóãîëüíèê ABE1 — îáðàç òðåóãîëüíèêà ADE. Îòñþäà Δ ABE1 = Δ ADE. Òîãäà DE = BE1, AE = AE1, ∠ E1AB = ∠ EAD. Èìååì: ∠ E1AF = = ∠ E1AB + ∠ BAF = ∠ EAD + ∠ FAE = ∠ FAD. Íî ∠ FAD = = ∠ E1FA. Ñëåäîâàòåëüíî, Δ AE1F — ðàâíîáåäðåííûé è AE1 = = E1F. 729. Óêàçàíèå. Ðàññìîòðèì ïîâîðîò ñ öåíòðîì â òî÷êå A ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå íà óãîë 60° (ðèñ. 315). Ïðè ýòîì ïîâîðîòå îáðàçîì òðåóãîëüíèêà ABP áóäåò òðåóãîëüíèê ACP1 (òî÷êà P1 — îáðàç òî÷êè P). Îòñþäà ∠ AP1C = ∠ APB = 150°. Òðåóãîëüíèê APP1 — ðàâíîñòîðîííèé. Òîãäà ∠ AP1P = 60°. Ñëåäîâàòåëüíî, ∠ PP1C = 90°. Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî P1C = = PB è PP1 = AP. 732. 756.

ñì. 752. 1) 1,5; 2) 3)

757. 12 ñì. 758. 28,8 ñì2. 760.

761. 1) k = 2,

òî÷êà B èëè k = –2, òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé òðàïåöèè B

F C P A

E A

C P1

Ðèñ. 314

Ðèñ. 315

§Ë»¾ËÔ Á ÌÃ¹À¹ÆÁØ

AMNC. 766. Óêàçàíèå. Ïóñòü äàííàÿ îêðóæíîñòü êàñàåòñÿ ïðÿìîé a â òî÷êå M. Òî÷êà M1 — îáðàç òî÷êè M ïðè ãîìîòåòèè ñ öåíòðîì A. Òàê êàê îáðàçîì ïðÿìîé a ÿâëÿåòñÿ ýòà æå ïðÿìàÿ, òî òî÷êà M1 ïðèíàäëåæèò ïðÿìîé a. Ïîêàæèòå, ÷òî îáðàç äàííîé îêðóæíîñòè è ïðÿìàÿ a èìåþò òîëüêî

îäíó îáùóþ òî÷êó M1. 767. Óêàçàíèå. Ïî îïðåäåëåíèþ HHHHE HHHHE HHHHE ." L.# Íàéäèòå êîîðäèíàòû âåêòîðîâ ." ãîìîòåòèè HHHHE è .# 768. (–3; 2). 769. 1) x = –3, y = 8; 2) x = 12, y = –2. 770. x = 0, y = 8. 771. 28 ñì2. 772. 20 ñì2. 773. 112 ñì2.

775. 1) y = 2x + 2; 2) Z Y Óêàçàíèå. Âûáåðèòå ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó M, ïðèíàäëåæàùóþ äàííîé ïðÿìîé. ÍàéHHHHHE HHHHE HHHHE äèòå êîîðäèíàòû âåêòîðîâ 0. è 0. 0. Òî÷êà M1 — îáðàç òî÷êè M ïðè äàííîé ãîìîòåòèè. Âîñïîëüçóéòåñü òåì, ÷òî óãëîâîé êîýôôèöèåíò èñêîìîé ïðÿìîé ðàâåí 2. 776. 1) (x + 1)2 + (y – 2)2 = 1; 2) (x – 4)2 + (y + 8)2 = 16. 777. Óêàçàíèå. Ïðÿìàÿ A2B2 ÿâëÿåòñÿ îáðàçîì ïðÿìîé A1B1 ïðè ãîìîòåòèè ñ öåíòðîì â òî÷êå êàñàíèÿ è êîýôôèöèåíòîì, ðàâíûì îòíîøåíèþ áîëüøåãî ðàäèóñà ê ìåíüøåìó. 779. Îêðóæíîñòü, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ îáðàçîì äàííîé îêðóæíîñòè ïðè ãîìîòåòèè ñ öåíòðîì A è êîýôôèöèåíòîì, ðàâíûì

çà èñêëþ÷åíèåì òî÷êè A. 781. Óêàçàíèå. Òðåóãîëüíèê

ñ âåðøèíàìè â ïîëó÷åííûõ òî÷êàõ ÿâëÿåòñÿ îáðàçîì òðåóãîëüíèêà ñ âåðøèíàìè â ñåðåäèíàõ ñòîðîí äàííîãî òðåóãîëüíèêà ïðè ãîìîòåòèè ñ öåíòðîì M è êîýôôèöèåíòîì, ðàâíûì 2. 782. Óêàçàíèå. Ïîñòðîéòå ïðîèçâîëüíûé òðåóãîëüíèê, äâà óãëà êîòîðîãî ðàâíû äâóì äàííûì óãëàì. Îïèøèòå îêîëî íåãî îêðóæíîñòü. Èñêîìûé òðåóãîëüíèê ÿâëÿåòñÿ îáðàçîì ïîñòðîåííîãî òðåóãîëüíèêà ïðè ãîìîòåòèè ñ öåíòðîì â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå è êîýôôèöèåíòîì, ðàâíûì îòíîøåíèþ äàííîãî ðàäèóñà ê ðàäèóñó ïîñòðîåííîé îêðóæíîñòè. 784. Óêàçàíèå. Ñì. ðåøåíèå ïðèìåðà 1 ï. 19. 785. Óêàçàíèå. Ðàññìîòðèòå ãîìîòåòèþ ñ öåíòðîì â ñåðåäè

íå îòðåçêà AB è êîýôôèöèåíòîì, ðàâíûì 786. Ïðÿìàÿ, ÿâëÿþùàÿñÿ îáðàçîì ïðÿìîé l ïðè ãîìîòåòèè ñ öåíòðîì â

¾ÇÅ¾ËÉÁØ ÃÄ¹ÊÊ

ñåðåäèíå îòðåçêà AB è êîýôôèöè-

A M1

åíòîì, ðàâíûì

çà èñêëþ÷åíè-

åì òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ AB è l (åñëè òàêàÿ òî÷êà ñóùåñòâóB åò). 787. Óêàçàíèå. Ïîñòðîéòå C ëþáóþ îêðóæíîñòü, êàñàþùóþñÿ Ðèñ. 316 ñòîðîí óãëà (ðèñ. 316). Ïóñòü M1 — îäíà èç òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé BM ñ ïîñòðîåííîé îêðóæíîñòüþ. Ðàññìîòðèòå ãîìîòåòèþ ñ öåíòðîì â òî÷êå B è êîýôôèöèåíòîì, ðàâíûì #. #.

Çàäà÷à èìååò äâà ðåøåíèÿ. 788. 96 ñì 2, 4,8 ñì.

789. 24. 795. Òî÷êè ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. 804. Ïëîñêîñòè ìîãóò ïåðåñåêàòüñÿ èëè áûòü ïàðàëëåëüíûìè. 808. Ïåðåñåêàþòñÿ èëè ñêðåùèâàþùèåñÿ. 813. ñì. 814. ñì. 815. 15 ñì. 816. 20 ñì. 817. ñì. 818. ñì. 819. 90°. 820. ñì. 821. 13. 838. 680 ñì2, 840 ñì2, 1360 ñì3. 839. 350 ñì 2, 420 ñì 3. 840. 3d 2,

E 845. ñì 2.

E TJO A TJO B DPT B 851. m2 tgβ (sinα + cosα); A A tg β. 852. B DPT UH B B TJO A DPT UH B

846. 36 ñì2. 850. m3 sin α cos α 853.

854. CD; 7 ñì, 10 ñì. 856. y = 0,5x – 0,5. 867. ≈ 1,24 ìì.

868. ≈ 60 000 Í. 869. 200π ñì2; 320π ñì3. 870. 320π ñì2; 1024π ñì 3. 871. ≈ 3770 êã. 872. 4,5 ñì. 873. ≈ 550 êã. 876. ≈ 3 êã. 877. PI

878. 2πR2;

880. 25 ñì

èëè 39 ñì. Óêàçàíèå. Íàéäèòå ñèíóñ óãëà ìåæäó äàííûìè ñòîðîíàìè, à çàòåì — åãî êîñèíóñ. 881. (x – 4)2 + y2 = 25 èëè (x + 2) 2 + y 2 = 25. 882. ñì èëè ñì. 883.

885. 9 ñì, 24 ñì. 886. 1 ñì èëè 2 ñì.

§Ë»¾ËÔ Á ÌÃ¹À¹ÆÁØ

887. 36 ñì. 888. B E 889. 4 ñì. Óêàçàíèå. Òàê êàê òðàïåöèÿ ABCK ÿâëÿåòñÿ âïèñàííîé, òî AB = CK. Òîãäà ∠ KAC = ∠ AKB, AC = BK. 891.

890.

ñì. 892. 9,5 ñì. 893. 12 ñì. 894.

895. 896. 6 ñì. 897.

ñì. 898.

CD TJO A C D TJO

Óêà-

çàíèå. Âîñïîëüçóéòåñü ôîðìóëîé äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà ïî äâóì ñòîðîíàì è óãëó ìåæäó íèìè. 900. 3 ñì, ñì, ñì. 901. 15 ñì.

899. ñì 2 .

902. 132 ñì . 903. 450 ñì . 904. 36 ñì2. 2

906. ñì2.

907. 1 : 2. 908. B 909. 45 ñì. 910. 912.

913. 54°. 915. 3m. 916.

ñì.

918. (–9; 0). 919. (0; –2,5). 923. (x – 7)2 + (y + 0,5)2 = 6,25. 924. Äà. 925. Äà. 926. (–1; 0), (–9; 0). 927. 10π. 928. y =

= 6x + 23. 929. y = –x + 3. 930. Z Y 943.

944.

946. 5x + y – 22 = 0. 963. 3 ñì èëè ñì.

964. 3 ñì2. 965. 27,5 ñì2. 966.

ñì2. 967.

Óêàçàíèå.

Òðåóãîëüíèê A2B2C2 ÿâëÿåòñÿ îáðàçîì òðåóãîëüíèêà ABC

ïðè ãîìîòåòèè ñ êîýôôèöèåíòîì, ðàâíûì è öåíòðîì â òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí òðåóãîëüíèêà ABC.

¾ÇÅ¾ËÉÁØ ÃÄ¹ÊÊ

§¨ ¤ ª¥³¡ «¢ ª £´ Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü êîíóñà 227 — — ïðèçìû 217 — — öèëèíäðà 226 Âåêòîð 109 Âåêòîðà êîîðäèíàòû 117 — ìîäóëü 110 Âåêòîðû êîëëèíåàðíûå 110 — ïåðïåíäèêóëÿðíûå 146 — ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííûå 111 — ïðîòèâîïîëîæíûå 125 — ðàâíûå 111 — ñîíàïðàâëåííûå 111 Âíåâïèñàííàÿ îêðóæíîñòü òðåóãîëüíèêà 46 Ãîìîòåòèÿ

— — — —

îñíîâàíèå 227 îáðàçóþùèå 227 îñü 227 ðàçâåðòêà áîêîâîé ïîâåðõíîñòè 228 Êîñèíóñ 6 Êîýôôèöèåíò ãîìîòåòèè 186 — ïîäîáèÿ 189 Êðóãîâîé ñåãìåíò 66 — ñåêòîð 66 Êóá 217 Ìíîãîãðàííèê 216 Ìíîãîãðàííèêà âåðøèíà — ãðàíü 216 — ïîâåðõíîñòü 216 — ðåáðî 216 Íàïðàâëåííûé îòðåçîê Íóëü-âåêòîð 110

186

Äâèæåíèå 161 Äâèæåíèÿ âçàèìíî îáðàòíûå 161 Äåêàðòîâû êîîðäèíàòû íà ïëîñêîñòè 79 Äëèíà äóãè îêðóæíîñòè 65 — îêðóæíîñòè 64 Åäèíè÷íàÿ ïîëóîêðóæíîñòü 5 Êîíóñ 227 Êîíóñà áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü 227 — âåðøèíà 227 — âûñîòà 227

216

110

Îáðàç ôèãóðû 160 Îáúåì êîíóñà 228 — ïèðàìèäû 219 — ïðÿìîé ïðèçìû 218 — öèëèíäðà 227 — øàðà 229 Îêðóæíîñòü Àïîëëîíèÿ 105 Îñåâàÿ ñèììåòðèÿ 170 Îñíîâàíèå ñåãìåíòà 66 Îñü ñèììåòðèè 170 Ïàðàëëåëåïèïåä ïðÿìîóãîëüíûé 217 Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ 160

¾ÇÅ¾ËÉÁØ ÃÄ¹ÊÊ

Ïåðåìåùåíèå 161 Ïèðàìèäà 218 Ïèðàìèäû áîêîâàÿ ãðàíü 218 — áîêîâîå ðåáðî 218 — âåðøèíà 218 — âûñîòà 219 — îñíîâàíèå 218 — ðåáðî îñíîâàíèÿ 218 Ïëîñêîñòü 209 Ïëîñêîñòè ïàðàëëåëüíûå 210 Ïëîùàäè ïîäîáíûõ ôèãóð 190 Ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè êîíóñà 228 — — — ïðèçìû 218 — — — öèëèíäðà 227 — êðóãà 66 — êðóãîâîãî ñåãìåíòà 66 — — ñåêòîðà 66 — ïîâåðõíîñòè êîíóñà 228 — — ïèðàìèäû 219 — — ïðèçìû 218 — — øàðà 228 — ñôåðû 228 Ïîâåðõíîñòü øàðà 228 Ïîâîðîò 176 Ïîäîáíûå ôèãóðû 189 Ïîëóêðóã 67 Ïðàâèëî ïàðàëëåëîãðàììà 124 — òðåóãîëüíèêà 122 Ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê 51 Ïðåîáðàçîâàíèå ïîäîáèÿ 189 — òîæäåñòâåííîå 161 — ôèãóðû 159 Ïðèçìà 217 — ïðÿìàÿ 217 Ïðèçìû áîêîâàÿ ãðàíü 217 — áîêîâîå ðåáðî 217

— îñíîâàíèå 217 — ðåáðî îñíîâàíèÿ 217 Ïðîîáðàç ôèãóðû 160 Ïðÿìûå ñêðåùèâàþùèåñÿ 212 Ðàâíûå ôèãóðû 161 Ðàäèóñ ñôåðû 228 — øàðà 228 Ðàçíîñòü âåêòîðîâ 124 Ðåøåíèå òðåóãîëüíèêîâ

Ñâîéñòâî êîëëèíåàðíûõ âåêòîðîâ 135 Ñâîéñòâà ãîìîòåòèè 188 — ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà 162 Ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî ïðÿìî 170 — — òî÷êè 172 Ñèíóñ 6 Ñêàëÿð 109 Ñêàëÿðíûé êâàäðàò âåêòîðà 147 Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ 147 Ñòåðåîìåòðèÿ 209 Ñóììà âåêòîðîâ 122 Ñôåðà 228 Òàíãåíñ 8 Òåîðåìà êîñèíóñîâ 13 — ñèíóñîâ 22 Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè 8 Òðèãîíîìåòðèÿ 35 Óãëîâîé êîýôôèöèåíò ïðÿìîé 100 Óãîë ìåæäó âåêòîðàìè 146

¨É¾½Å¾ËÆÔÂ ÌÃ¹À¹Ë¾ÄÕ

Óãîë ìåæäó ïðÿìîé è ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè àáñöèññ 99 — ïîâîðîòà 176 Óìíîæåíèå âåêòîðà íà ÷èñëî 133 Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè 87 — ïðÿìîé 93 — ôèãóðû 86 Óñëîâèå ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè âåêòîðîâ 147 Ôèãóðû ïîäîáíûå 189 Ôîðìóëà Ãåðîíà 38 — äëÿ íàõîæäåíèÿ ïëîùàäè îïèñàííîãî ìíîãîóãîëüíèêà 40 — — — ðàäèóñà âïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà 40 Ôîðìóëû äëÿ íàõîæäåíèÿ ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà 37

— — — ðàäèóñà îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà 23, 39 Öåíòð ãîìîòåòèè 186 — ïîâîðîòà 176 — ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà 52 — ñèììåòðèè 173 — ñôåðû 228 — øàðà 228 Öåíòðàëüíûé óãîë ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà 53 Öèëèíäð 225 Öèëèíäðà áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü 226 — îáðàçóþùèå 226 — îñíîâàíèÿ 226 — îñü 226 — ðàçâåðòêà áîêîâîé ïîâåðõíîñòè 226 Øàð

228

§¨ £¦ ¥ Òàáëèöà çíà÷åíèé òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé ¾ÄÁÐÁÆ¹ Ì¼Ä¹ » ¼É¹½ÌÊ¹Î

ªÁÆÌÊ

£ÇÊÁÆÌÊ

«¹Æ¼¾ÆÊ

¾ÄÁÐÁÆ¹ Ì¼Ä¹ » ¼É¹½ÌÊ¹Î

ªÁÆÌÊ

£ÇÊÁÆÌÊ

«¹Æ¼¾ÆÊ

©¦ ¨ ¥

Îò àâòîðîâ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Óñëîâíûå îáîçíà÷åíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 ¨½Ð½ÅÀ½ ÊÈ½Ë»ÆÃÔÅÀÂÆº . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1. Ñèíóñ, êîñèíóñ è òàíãåíñ óãëà îò 0° äî 180° . . . . 5 2. Òåîðåìà êîñèíóñîâ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3. Òåîðåìà ñèíóñîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4. Ðåøåíèå òðåóãîëüíèêîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 • Òðèãîíîìåòðèÿ — íàóêà îá èçìåðåíèè òðåóãîëüíèêîâ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5. Ôîðìóëû äëÿ íàõîæäåíèÿ ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 • Âíåâïèñàííàÿ îêðóæíîñòü òðåóãîëüíèêà . . . . 46 Çàäàíèå â òåñòîâîé ôîðìå «Ïðîâåðü ñåáÿ» ¹ 1 . . . . . . 49 §È¸ºÀÃÔÅÓ½ ÄÅÆ»ÆË»ÆÃÔÅÀÂÀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè è èõ ñâîéñòâà . . • Î ïîñòðîåíèè ïðàâèëüíûõ n-óãîëüíèêîâ . . . . . 7. Äëèíà îêðóæíîñòè. Ïëîùàäü êðóãà . . . . . . . . . . Çàäàíèå â òåñòîâîé ôîðìå «Ïðîâåðü ñåáÿ» ¹ 2 . . . . . .

51 51 61 63 76

½Â¸ÈÊÆºÓ ÂÆÆÈ¼ÀÅ¸ÊÓ Å¸ ÇÃÆÉÂÆÉÊÀ . . . . . . . . . . . . 79 8. Ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè ñ çàäàííûìè êîîðäèíàòàìè. Êîîðäèíàòû ñåðåäèíû îòðåçêà . . . . . . . . . . . . . . . 79 9. Óðàâíåíèå ôèãóðû. Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè . . . 85 10. Óðàâíåíèå ïðÿìîé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 11. Óãëîâîé êîýôôèöèåíò ïðÿìîé . . . . . . . . . . . . . . . 99 • Ìåòîä êîîðäèíàò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 • Êàê ñòðîèëè ìîñò ìåæäó ãåîìåòðèåé è àëãåáðîé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Çàäàíèå â òåñòîâîé ôîðìå «Ïðîâåðü ñåáÿ» ¹ 3 . . . . . 107

ªÇ½¾É¿¹ÆÁ¾

½ÂÊÆÈÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Ïîíÿòèå âåêòîðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. Êîîðäèíàòû âåêòîðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå âåêòîðîâ . . . . . . . . . . . . 15. Óìíîæåíèå âåêòîðà íà ÷èñëî . . . . . . . . . . . . . . . • Ïðèìåíåíèå âåêòîðîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ . . . . . . . . . . . Çàäàíèå â òåñòîâîé ôîðìå «Ïðîâåðü ñåáÿ» ¹ 4 . . . . .

109 109 117 122 133 144 146 156

½ÆÄ½ÊÈÀÏ½ÉÂÀ½ ÇÈ½Æ¹È¸¿Æº¸ÅÀ× . . . . . . . . . . . . . . . 17. Äâèæåíèå (ïåðåìåùåíèå) ôèãóðû. Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. Îñåâàÿ è öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèè. Ïîâîðîò . . . 19. Ãîìîòåòèÿ. Ïîäîáèå ôèãóð . . . . . . . . . . . . . . . . . • Ïðèìåíåíèå ïðåîáðàçîâàíèé ôèãóð ïðè ðåøåíèè çàäà÷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Çàäàíèå â òåñòîâîé ôîðìå «Ïðîâåðü ñåáÿ» ¹ 5 . . . . .

159

¥¸Ï¸ÃÔÅÓ½ Éº½¼½ÅÀ× ÇÆ ÉÊ½È½ÆÄ½ÊÈÀÀ . . . . . . . . . . 20. Ïðÿìûå è ïëîñêîñòè â ïðîñòðàíñòâå . . . . . . . . . 21. Ïðÿìàÿ ïðèçìà. Ïèðàìèäà . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. Öèëèíäð. Êîíóñ. Øàð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Çàäàíèå â òåñòîâîé ôîðìå «Ïðîâåðü ñåáÿ» ¹ 6 . . . . . Óïðàæíåíèÿ äëÿ ïîâòîðåíèÿ êóðñà ãåîìåòðèè 9 êëàññà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ñâåäåíèÿ èç êóðñà ãåîìåòðèè 8 êëàññà. . . . . . . . . . . . . . Îòâåòû è óêàçàíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Îòâåòû ê çàäàíèÿì â òåñòîâîé ôîðìå «Ïðîâåðü ñåáÿ» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ïðèëîæåíèå. Òàáëèöà çíà÷åíèé òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

159 169 186 202 206 209 209 216 225 233 236 245 251 264 265 268

Âèäàíî çà ðàõóíîê äåðæàâíèõ êîøò³â Ïðîäàæ çàáîðîíåíî

Íàâ÷àëüíå âèäàííÿ

ÌÅÐÇËßÊ Àðêàä³é Ãðèãîðîâè÷ ÏÎËÎÍÑÜÊÈÉ Â³òàë³é Áîðèñîâè÷ ßÊ²Ð Ìèõàéëî Ñåìåíîâè÷

ÃÅÎÌÅÒÐ²ß Ï³äðó÷íèê äëÿ 9 êëàñó çàãàëüíîîñâ³òí³õ íàâ÷àëüíèõ çàêëàä³â (Ðîñ³éñüêîþ ìîâîþ)

Ðåäàêòîð Ã. Ô. Âèñîöüêà Õóäîæíèê Ñ. Å. Êóëèíè÷ Êîìï’þòåðíà âåðñòêà Î. Î. Óäàëîâ Êîðåêòîð Ò. ª. Öåíòà

Ï³äïèñàíî äî äðóêó 12.08.2009. Ôîðìàò 60 90/16. Ãàðí³òóðà øê³ëüíà. Ïàï³ð îôñåòíèé. Äðóê îôñåòíèé. Óìîâ. äðóê. àðê. 17,00. Îáë.-âèä. àðê. 14,50. Íàêëàä 61 050 ïðèì. Çàì. ¹ 390. Ñâ³äîöòâî ÄÊ ¹ 644 â³ä 25.10.2001 ð. ÒÎÂ ÒÎ «Ã³ìíàç³ÿ», âóë. Âîñüìîãî Áåðåçíÿ, 31, ì. Õàðê³â 61052 Òåë.: (057) 719-17-26, 719-46-80, ôàêñ: (057) 758-83-93 Â³ääðóêîâàíî ç ãîòîâèõ ä³àïîçèòèâ³â ó äðóêàðí³ ÏÏ «Ìîäåì» Òåë. (057) 758-15-80

Ìåðçëÿê À. Ã., Ïîëîíñêèé Â. Á., ßêèð Ì. Ñ. Ãåîìåòðèÿ: Ó÷åáí. äëÿ 9 êë. îáùåîáðàçîâàòåëüíûõ ó÷åáÌ52 íûõ çàâåäåíèé. — Õ.: Ãèìíàçèÿ, 2009. — 272 ñ.: èë. ISBN 978-966-474-020-0.

ÓÄÊ 373:512 ÁÁÊ 22.151ÿ721