Geometría Matemáticas II
Geometría (del griego geō, 'tierra'; metrein, 'medir') Rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio; se encarga, además, de problemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos.
La primera sistematizaciĂłn de este conjunto de conocimientos se cristaliza en los cĂŠlebres ELEMENTOS de Euclides (300 a. C.)
Campos de la Geometría Diferencial
Euclidiana
Analítica Geometría
Fractal
No euclídea
La geometría… …se sustenta en el Método Deductivo, encadenando conocimientos que se suponen verdaderos para obtener nuevos conocimientos.
En su lenguaje se manejan definiciones como:
Axioma
Oye chico, ¡¡¡dicen que soy un dictadol!!! ¿quién puede cleel eso?
Proposición que siendo, evidente, no requiere demostración.
Razonamientos si… entonces… AFIRMACIÓN DE HIPÓTESIS
(modus ponens)
Negaciรณn de conclusiรณn
(modus tollens)
Cadena de razonamiento “Regla de la cadena�
Postulado Proposición Proposición que que no no es es tan tan evidente evidente como como un un axioma axioma pero pero que que también también se se admite admite sin sin demostración. demostración.
Postulado intuitivo de mediciรณn
Demostración Fin y término del procedimiento deductivo. La demostración es el método propio de las ciencias matemáticas.
Teorema
Toda Toda proposiciรณn proposiciรณn que que puede puede ser ser demostrada. demostrada. En En su su enunciado enunciado se se distinguen distinguen dos dos partes: partes:
HIPร TESIS: Lo que se supone
TESIS: LO que se quiere demostrar
Corolario Proposición que es consecuencia inmediata de un teorema, cuya demostración requiere poco o ningún razonamiento nuevo.
ELEMENTOS NOTABLES
Punto Lo que tiene posición pero no dimensión.
Línea Es la unión de infinitos puntos; tiene una sola dimensión: Longitud. Si los puntos siguen una misma dirección la línea es recta
Si los puntos cambian de dirección la línea es curva
Posiciรณn de Dos Rectas en el Plano
Paralelas Aquellas Aquellas que que nunca nunca se se cruzan cruzan por por tener tener el el mismo mismo รกngulo รกngulo de de inclinaciรณn. inclinaciรณn.
Perpendiculares Cuando Cuando entre entre ellas ellas forman forman ángulos ángulos de de 90° 90°
Oblicuas Dos Dos rectas rectas son son oblicuas oblicuas cuando cuando la la una una se se inclina inclina aa un un lado lado mรกs mรกs que que aa otro otro de de la la otra. otra.
El รกngulo
Es la abertura comprendida entre dos rectas que se cortan en un punto.
Los ĂĄngulos se suelen denominar positivos cuando se miden en sentido contrario al reloj. El tamaĂąo de un ĂĄngulo no depende de la longitud de sus lados.
Clases de รกngulos
agudo
recto
obtuso
cรณncavo
convexo
llano
perĂgono
Pares de Ă ngulos Complementarios
Suplementarios
Adyacentes o consecutivos
opuestos por el vértice
Ð1 = Ð2
Sistemas de Unidades de medición de ángulos Sistema Sexagesimal unidad = grado fracciones minutos y segundos
Sistema cíclico unidad = radián fracciones decimales
En las siguientes grรกficas hallar los valores de X y Y
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
El triรกngulo
Clasificación Según Según sus sus lados: lados:
Según sus ángulos:
Escaleno Escaleno Isósceles Isósceles Equilátero Equilátero
Rectángulo Obtusángulo Acutángulo
Rectas y Puntos Notables Rectas: Medianas Mediatrices Bisectrices Alturas
Puntos: Baricentro Circuncentro Incentro Ortocentro
Medianas y Baricentro • Segmento trazado desde vértice hasta el punto medio del lado opuesto. • Centro de gravedad del triángulo, donde se cortan las medianas
Mediatriz y Circuncentro • Perpendicular trazada en el punto medio de cada lado • Punto de intersección de las tres mediatrices; este punto es el centro del círculo circunscrito al triángulo
Bisectriz e Incentro • Recta que bisecta un ángulo interior; es decir que divide al ángulo en dos iguales. • Punto donde se interceptan las bisectrices, o sea el centro de un círculo inscrito en el triángulo.
Altura y Ortocentro • Perpendicular trazada desde un vértice, al lado opuesto o a su prolongación. • Punto donde se cortan las tres alturas del triángulo
Recta de Euler • Es la línea que forman el baricentro, el circuncentro, y el ortocentro de un triángulo, dicha línea invariablemente es recta.
Triรกngulos Congruentes
Razรณn o Relaciรณn Es Es el el cociente cociente de de dos dos cantidades cantidades que que divide divide la la medida medida de de una una por por la la otra, otra, expresada expresada en en las las mismas mismas unidades. unidades.
Congruencia Dos figuras son congruentes cuando pueden hacerse coincidir en todas sus partes.
VA @VB
Triángulos congruentes Son los que tienen igual forma y tamaño. Si dos triángulos son congruentes, sus lados y ángulos correspondientes son iguales. 4 5 4
3
Razones y Proporciones En En una una raz贸n raz贸n el el numerador numerador es es el el antecedente antecedente yy el el denominador denominador es es el el consecuente. consecuente. 2 antecedente = 3 consecuente La La igualdad igualdad de de dos dos razones razones es es una una proporci贸n; proporci贸n; se se escriben: escriben: a c = ;se escribe a : b :: c : d b d
Propiedades destacadas de las proporciones 1) En toda proporciรณn el producto de los medios es igual al producto de los extremos
Si a : b :: c : d, entonces ad = bc
2) Una proporción se puede transformar en otra, invirtiendo los términos de cada razón.
Si 2 : x :: 8 : 5, entonces x : 2 :: 5 : 8 3) En toda proporción un extremo cualquiera es igual al producto de los medios entre el extremo conocido
bc bc En a : b :: c : d ; a = , o d = d a
4) En toda proporción un medio es igual al producto de los extremos entre el medio conocido.
xw xw En x : y :: z : w; y = , oz= z y 5) La media proporcional, aplicando el principio 4, será igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos.
En 3:x :: x : 27; x = 81; x = 81 = 9 2
Ejemplos: calcular el valor de x a) b) c) d) e) f) g) h)
x:4::6:8 3:x::2:5 x:2x-3::3:5 ½:3::4:x 2/7:x::x:8/9 4:x::x:64 x:5::2x:(x+3) x-2:9::2:3
En triángulos… • Si una recta es paralela a uno de los lados de un triángulo, entonces los otros lados quedan divididos en segmentos proporcionales. • Dos lados cortados por tres o más paralelas quedan divididos en segmentos proporcionales. • La bisectriz de un ángulo interior divide el lado opuesto en dos segmentos proporcionales a los lados adyacentes a ese ángulo