108教科書介紹－龍騰技高數學之五力展現

一本鉅作的誕生 經典 是理念與實務的激盪 這本書 有著滿滿的理念 以學習者為中心所建構的素養教學是新課程的終極目標，在這樣

強調跨科、跨領域並且結合生活的內容下，龍騰想的是如何在教、 學、課綱三者間取得平衡點。我們進行教材間的整合，建立完善的教 學生態圈，使老師教之有本、學生習之有物。用明確的理念，設計最 好的教材。

作者介紹影片

讓我們來實現 數學．素養

整合知識、技能與態度，是課綱精 神，也是我們試圖在教材裡建立與 傳達的概念 1080207-1

數B教科書主編／廖志偉

數C教科書主編／柯著元

教科書素養設計／賴

擅長佈題與差異化教學

小工具教學，熟善引導式教學

擅長生活素養寫作

中壢家商

龍騰《突破數學Ｂ複習講義》作者

台中高工

編寫講義多年，善用補充說明

師範大學

數感實驗室創辦人

人

作

教學生態圈

賴以威

技高數學 目次 作者介紹 & 新課程教材訴求

1

素養教學

4

教學生態圈

數 B 教科書 / 素養文章 數 B 教科書 / 雲端教室

2 6 8

數 B 教科書 / 特色單元

10

數 C 教科書 / 素養文章

14

數 B 教科書 / 數學跨出界 數 C 教科書 / 觀念銜接 數 C 教科書 / 特色單元 數 C 教科書 / 素養入題 配套資源 / 教師用書

配套資源 / SUPER 教學講義 配套資源 / 課後評量 配套資源 / 銜接教材

配套資源 / 多媒體資源 用書服務 / 多元選修

用書服務 / 刊物 & 社群 數位大躍進

12 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36

1

教學生態圈滿足您的需求 差異化教學，針對學習兩端的學生，編寫合適的學習內容

樣態 教科書

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龍騰教科書-簡單、易懂、好算 閱讀機能美-簡潔、舒適、素養

• 知識點標註 • 數學超連結 SUPER講義 • 節末標註對應例題 • 章末標註對應小節

2

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• 設計進階題型 • 難題標註練習 • 素養導向題型

習作簿

• 佈題順序對應課本 • 教用本標註對應課本題

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學習卷

• 佈題順序同課本 • 70%題型出自課本題 • 標註對應的課本題 • 貼心設計—20分鐘卷

• 難題★標註 • 佈題順序由易入難 • 貼心設計—40分鐘卷

小試身手卷

• 對應課本小節 • 10題基礎題-即時測驗 • 基本觀念練習

適性 教學

教學生態圈

教科書與各品項緊密扣結，讓老師運用於不同教學方式及學生 程度，進而活化再創造的最佳「教」「學」方案。

符合課綱精神，提供最豐富的素養教學資源 教科書：獨家邀請賴以威教授 教科書 • 素養單元

教科書 • 資源標註

數學FUN手玩 • 108再升級 • 探討數學應用

素養題：符合考試趨勢 Super講義 • 素養導向題型

素養 補救

題庫光碟 / 線上題測 • 素養題庫

資訊教學：提供完整的數位資源 Super Book電子書 • 教科書電子書APP • 素養題型連結

教學光碟享備課 • 教學GGB • 教學P P T

因應學生學習狀況，解決老師重補救的教學煩惱 銜接教材：複習國中內容 國高銜接教材 • 國高單元對應複習 貼近課本：配套橫向連結 題庫光碟 / 線上題測 • 仿課本例題

小試身手卷 • 定位：易 • 10題基礎題

影音資源 • 動態影音解題

多元學習：提供不同的教學工具 數學FUN好玩 • 引起動機 • 數學練習

教學 / 享備課 • GGB教學 • 各式教學PPT • 各種多媒體

Super Book電子書 • 教科書電子書APP • 對應例題練習

3

可實踐的素養教學

試利用實數的次序關係，比較下列實數的大小：

例

a= 2+ 6 ，b= 3 + 5

執行平方運算：

2 a = ` 2 + 6 j = 2 + 2 12 + 6 = 8 + 2 12 2

2 b = ` 3 + 5 j = 3 + 2 15 + 5 = 8 + 2 15 2

觀察兩數根號內 2 + 6 = 3 + 5 ， 所以想到先平方

因為 15 2 12 ，所以 8 + 2 15 2 8 + 2 12 2

2

亦即 b 2 a ，又 a、b 皆為正數，故得 b 2 a

思辨力 get

創造力 g

函數及其圖形

6. 試比較下列實數的大小： a = 1+ 6 ，b = 2 + 5

環保署制定節能減碳行動方案中，指出每天製造 1 公斤垃圾約增 素養 單元，透過問題與引導的方式，提升 教科書 例 加二氧化碳排放量 2.1 公斤。假設垃圾增加量與二氧化碳增加量 學生思考辨別的能力。 為線性關係。已知一棵樹每天約可吸收 0.03 公斤的二氧化碳，若

章 前 WHAT'S UP 章末 THAT'S IT 連 結 到 實際 生 用，讓 學 生 看 學 的 活 用，創 學、感受數學。

民眾每天增加垃圾量 x 公斤產生之二氧化碳排放量需要 y 棵樹來 減碳，試列出 x 與 y 之關係式。

2 2 先想想： 兩個實數 a、b，一個基本而重要的不等關係是 a + b $ 2ab ，

?

依題意，每天製造 x 公斤垃圾則增加 2.1x 公斤的二氧化碳排放量 你能闡述其理由嗎？ 函數及其圖形 而 y 棵樹可吸收 0.03y 公斤的二氧化碳

2.1 2 2 2 因此滿足 =其 2.1x，得 x= ^a - bh y $= 0 ， 展 對於 兩 實 數0.03y a、b， 開70 後x 為 a - 2ab + b $ 0 ， 移 項 得 0.03 2 2 a = b 時等號成立。 a + b $ 2ab ，並且當 環保署制定節能減碳行動方案中，指出每天製造 1 公斤垃圾約增 加二氧化碳排放量 2.1b公斤。假設垃圾增加量與二氧化碳增加量 a20， 2 0 ，則 _ a i + ` b j $ 2 a # b ， 遵循上述的不等關係，若 3. 溫度標準有兩種，分別是攝氏溫度及華氏溫度，已知兩者符合關係式

例

2

2

為線性關係。已知一棵樹每天約可吸收 0.03 公斤的二氧化碳，若

哪一種坐標好用

a+b x = 0 a時=yb=時等號成立。 32，當 x =y 棵樹來 100 時 y =2 axab+，歸納得不等式： b （攝氏：x，華氏：y），且當 民眾每天增加垃圾量 x 公斤產生之二氧化碳排放量需要 即a+b $ $ ab ，且當 2 y = 212，試列出溫度換算的關係式。 減碳，試列出 x 與 y 之關係式。 a+b 對於兩正實數 a、b 而言， 稱為 a 和 b 的算術平均數， ab 稱為 a 和 b 2 依題意，每天製造 x 公斤垃圾則增加 2.1x 公斤的二氧化碳排放量

What3Words 的創意說穿了就像班級座位。發考卷時我們看名字，

再發去那人的位子。What3Words 將全世界變成一間教室，裡頭有

57 兆個取了名字的座位。但只有電腦才能記得住 57 兆個名字和位

置，我們光是換新座位，就得花好一陣子才能搞清楚每個人坐哪裡 了！所以這是適合電腦看的地圖坐標。

依據例 3， 想想每製造 1 公斤垃圾約需種植多少棵樹來減碳？ 動動腦： 的幾何平均數，因此任意兩正數的算術平均數恆大於或等於其幾何平均數，這個 而 y 棵樹可吸收 0.03y 公斤的二氧化碳

?

對此數據你有何衝擊？2.1 性質稱為算幾不等式。 因此滿足 0.03y = 2.1x，得 y =

10 例

0.03

人類還是習慣比較簡單，不用背那麼多名字的座位。就是我們這章

所學的，用「數字」替座位取名字。以最左下角開始為 _0 , 0 i ，每

往右一行第一個數字加 1，往前一排，第 2 個數字加 1。數字雖然

唸起來不如「志傑」那麼親切，但數字大小、增減、正負號的規律，

x = 70x

能提供我們更多資訊。

不管是 Whats3Words 或直角坐標系，其實都是在定位，在替位置取

名字。未來我們將看到，數學不只能替位置取名字，還能替圖案取

2x + 3 ， x $ 0 3. 溫度標準有兩種，分別是攝氏溫度及華氏溫度，已知兩者符合關係式 ，試求 f ^2h + f ^- 2h 之值。 設函數 f ^ x h = * 3

名字。

， x10

y = ax + b （攝氏：x，華氏：y），且當 x = 0 時 y = 32，當 x = 100 時

y = 212，試列出溫度換算的關係式。

依分段定義函數中自變數 x 範圍分別代入相對應函數 當 x = 2 時對應 f ^ x h = 2x + 3 ，代入得 f ^2h = 2 # 2 + 3 = 7

?

動動腦： 依據例 3，想想每製造 1 公斤垃圾約需種植多少棵樹來減碳？

當 x =- 2 時對應 f ^ x h = 3 ，代入得 f ^- 2h = 3

- 2h = 7 + 3 = 10 故 f ^2h + f ^get 解決力

對此數據你有何衝擊？

2x + 3 ， x $ 0 1 f， ^ x hx=$*0 ，試求 f ^2h + f ^- 2h 之值。 設函數

例設函數 f ^ xh = ) ^00h + f ^8 h + f ^- 9h 之值。 4. ， xf 1 3 ，試求 素養題庫 每章提供 - 1 ， x，讓學生理解學數學的目的，知道這些工 10 具在什麼樣的領域會使用，讓數學成為解決問題的能力。 依分段定義函數中自變數 x 範圍分別代入相對應函數 當 x = 2 時對應 f ^ x h = 2x + 3 ，代入得 f ^2h = 2 # 2 + 3 = 7

39

眼角膜弧度小適合戴弧度小的隱形眼鏡，否則隱形眼鏡容易滑動（俗稱滑片），眼角膜 當 x =- 2 時對應 f ^ x h = 3 ，代入得 f ^- 2h = 3 弧度大適合戴弧度大的隱形眼鏡，否則眼球會感覺被隱形眼鏡緊抓著，容易造成眼球缺 故 f ^2h + f ^- 2h = 7 + 3 = 10 氧及疲勞而感覺不舒服，基本上眼角膜弧度加上0.2都是適合的。 小宏到大賣場選購隱形眼鏡，推銷員正在促銷弧度8.1~8.3的鏡片2盒只要199，但小宏想 起去醫院做健康檢查時，醫生說：「你的眼球直徑為2.2cm，眼角膜的弧長9.24cm。」請 1 ，x $ 0 ，試求 f ^0 h + f ^8 h + f ^- 9h 之值。 4. 設函數 f ^ x h = ) -1 ， x 1 0 想想以下四種鏡片中，小宏應選購哪個型號的隱形眼鏡才能既舒適又划算？ (A)弧度8.1 ，2盒199元 (B)弧度8.3，2盒199元 (C)弧度8.5，2盒259元 (D)弧度8.9，1盒149元。

39

4

《取自數感實驗室／賴以威》

溝通力 get

get

適時將性質、定律、公式清楚整理，以

P!? 、

最簡單、最易懂的方式呈現，讓 數學 、 符號 、 圖形 、 表格 成為一種不可或缺 的溝通工具。

一元二次不等式

T! ，

活運 見數 造數 。

，

有

位

裡

章

每

然

，

取

取

》

教學生態圈

培養學生具備思辨力、解決力、溝通力、合作力、創造力。

2 綜合上述，對於二次函數 y = ax + bx + c （a、b、c 為實數且 a 2 0 ），我

坐標系與 函數圖形

們有以下的歸納整理： 判別式 數學式

2

2

b - 4ac 1 0

b - 4ac = 0

相異實根

相等實根

（a 1 b）

（a = b）

x1a或x2b

Y a 的所有實數 x=

所有實數

x#a或x$b

所有實數

所有實數

a1x1b

無實數解

無實數解

a#x#b

x=a

無實數解

2 ax + bx + c = 0

之兩根

2

b - 4ac 2 0

沒有實根

2 y = ax + bx + c

之圖形

2 ax + bx + c 2 0

賣坐標賺大錢

英 國 有 一 間 新 創 公 司 叫 做 What3Words

很受歡迎，他們賣的不是什麼高科技或

2 ax + bx + c $ 0

時尚產品，而是地圖。這張地圖也不是 用了什麼全新投影法（你或許聽過，因

為地球是圓的，現行地圖將球面投影到

表格化呈現

平面時會變形，所以歐洲看起來比實際 的大，非洲看起來較小），只是單純把

2 ax + bx + c 1 0

全世界分割成 57 兆個 3 公尺 ×3 公尺的 方格，再替每個方格取名字。不管世界

的哪個角落，只要說出所在的方格名字，

2 ax + bx + c # 0

郵差就能使命必達，將包裹交到你手上。 你覺得這個主意了不起嗎？如果是投資 人，你願意投資這間公司嗎？

觀察二次函數圖形與 x 軸的相對位置，若整個函數圖形均在 x 軸上方，此時

《取自數感實驗室／賴以威》

每一點的函數值皆為正數，我們稱此二次函數的函數值恆正，同理，當整個函數 圖形均在 x 軸下方，稱此二次函數的函數值恆負。

1

Y 0 ）恆正與恆負的條件 觀念整理 二次函數 ax 2 + bx + c （a、b、c 為實數且 a = 2

2

1 若二次不等式 ax + bx + c 2 0 恆成立（恆正），則 a 2 0 且 b - 4ac 1 0 2

2 2 若二次不等式 ax + bx + c 1 0 恆成立（恆負），則 a 1 0 且 b - 4ac 1 0

合作力 get

55

每冊設計 數學 fun 手玩 教具，讓全班同學分工合作，利用所學的 技巧快速求出數值，獲得相關資源，進而完成任務，順利闖關。

函數接力賽操作說明 設計者：王必欣 老師 函數值計算、合成函數、一次函數與二次函數的圖形

x+

三、使用教具

5

函數接力賽卡牌 （正反面皆可遊玩） 卡牌（正面）

f 1 ( x)=-2x+5

卡牌（反面）

7

x

利用所學發 揮創意、創 新的能力

-2

2 圖形配對玩法 -1-3 函數圖形講述完畢

張數

)= 1 2 x+ 3

x )=

1 接力賽玩法 -1-3 函數概念講述完畢

卡牌（反面）

f3 (

f 3 ( x)= 1 x+3 2

f 1(

二、操作時機

f 2 ( x )=( x -10) 2 +1

一、對應觀念

卡牌（正面）

f 4 ( x)= 1 x 4

7

張數

7

f 5 ( x)= -2( x-7) 2

5

7

教科書章首

GO!

What's up! 看見生活

獨家邀請 賴以威教授 設計數學素養單元 結合生活中的例子，導入本章的學習內容

詳情見 P140

6

B

教科書

GO!

數學

中的數學 章末單元：That's IT! 章末素養文章，透過實例思考本章的學習應用

詳情見

P204

冰飲大戰 大數據的時代，人們能用數據預測未來。正確地說，用 數學預測未來。 比方說便利商店只要氣溫升高幾度，就會多準備一些冷 飲及冰品。若是明天下雨，鮮食庫存就得調整。現在把 大數據交給電腦分析，以做出更精細、正確的決策，很 多時候，電腦是根據這些數據整理出一條多項式。 最簡單的例子，臺灣某間便利商店曾經發現，當氣溫達 到 24 度， 每 增 加 1 度， 冰 飲 相 關 業 績 成 長 15%。 若 以 24 度 為 業 績 基 準 點 100%， 25 = ^24 + 1h 度 的 業 績 是

115%、 26 = ^24 + 2h 度是 130%…。依此類推，當溫度 t

大於等於 24 度時，可得： 1 + 0.15 # ^t - 24h = 0.15t - 2.6 不過，可能另一家便利商店發現，以 30 度為業績基準點， 31 度 時 成 長 為 110%，32 度 變 成 140%，33 度 太 熱 了， 一口氣成長到 190%，這就要用次方描述成另一條多項式： 1 + 0.1 # ^t - 30h

2

倘若再考慮下雨及鄰近區域的便利商店數等…，每多考 慮一項就多一個變數。最後，你就得到一個有很多變數 的多項式，可幫你預測一間便利商店的冰飲能賣多好。 《取自數感實驗室／賴以威》

204

7

有系統的編寫脈絡 一元二次不等式 教科書特色

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雲端教室提供多元的學習方式 影音解題﹐預習、複習、自主學習，都沒問題

1 – 4 一元二次不等式

與函數圖形

一元二次不等式 第 1 章 坐標系與函數圖形

1 – 4 一元二次不等式

影音解題

雲端教室 雲端教室

2-1 斜 率

雲端教室

其中，就同一直線而言，比值 歐洲某城堡入場券每張 350 元，但團體票 50 張以上有八折優惠；100 張以

2-1

m 不會因為選取的點不同或列式時的順序不

上有七折優惠。今有一旅遊團人數不超過 100 人，請問人數至少是幾人時，購

同而有所差異（如圖 5、圖 6）。

買 100 張團體票反而比較便宜？ 上面這種變量問題在日常生活中是很常見到的，是不等式的問題。

堡入場券每張 350 元，但團體票 50 張以上有八折優惠；100 張以

。今有一旅遊團人數不超過 100 人，請問人數至少是幾人時，購

票反而比較便宜？ ▲ 圖1 德國著名景點新天鵝堡

變量問題在日常生活中是很常見到的，是不等式的問題。

▲ 圖5

▲ 圖6

詳情見 P58

1-4.1 一元二次不等式的基本概念與十字交乘法 1. 一元二次不等式的基本概念

1 點不同：由相似三角形對應邊成比例的性質得 m =

2 2 若將方程式 x - 4x + 3 = 0 改寫成不等於零的情況，例如：x - 4x + 3 2 0（或

GO!

$ 、 1 、 # ）這樣的式子就是「一元二次不等式」，而解多項不等式的意思就是

y2 - y1

要找出滿足該不等式的所有實數解。

x2 - x1

讓老師好教也讓學生好學 2 順序不同： m =

=

y2 - y1 x2 - x1

=

y4 - y3

GGB 影音教學 x4 - x3

y1 - y2 x1 - x2

Y 0 ，形如 ax 2 + bx + c 2 0 （或 $ 、 1 、 # ）的式子， 設 a、b、c 為實數且 a =

只要直線 L 給定，比值 m 就隨之確定，我們將這個比值 m 稱為直線 L 的斜率。

公式定理套色， 一元二次不等式的解與前一節的二次函數圖形有很大的關係，後面我們將以 直線的斜率 快速找到學習重點 二次函數圖形來輔助介紹一元二次不等式的解。 均稱為一元二次不等式。

58

設 A ` x1 , y1 j 、 B ` x2 , y2 j 為直線 L 上相異兩點， Y x2 ）， (1) 若直線 L 不是鉛直線（ x1 = 則 L 的斜率 m =

▲ 圖1 德國著名景點新天鵝堡

學習提醒，讓同學能夠 快速掌握學習要點 !

2

8

x2 - x1

。

(2) 若直線 L 為鉛直線（ x1 = x2 ）， 則 L 的斜率不存在。

一元二次不等式的基本概念與十字交乘法

不等式的基本概念

y2 - y1

當 x1 = x2 使 m =

y2 - y1 x2 - x1

分母為 0，

故不定義鉛直線的斜率

詳情見 P89

89 2

式 x - 4x + 3 = 0 改寫成不等於零的情況，例如：x - 4x + 3 2 0（或

數學 教科書

B

題型一致 強化基礎題型

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例題 & 隨堂練習對應性高，課後練習也沒煩惱 GO!

第 2 章 直線方程式

例

1

如 圖 所 示 A _2 , 3 i 、 B _1 , 2 i 、 C _- 2 , 3 i 、 D _- 1 , - 1 i 、 P _- 1 , 2 i ，試求下列直線的斜率。

解題索引 解題技巧引導說明 提醒同學此題的基本觀念、解 題關鍵

1 直線 AP 2 直線 BP 3 直線 CP 4 直線 DP。

設 m AB 表示直線 AB 的斜率 1 m AP =

2-3 1 = -1 - 2 3

2-1 斜 率

（左下右上的直線） 2 m BP

2-2 = = 0 （水平線） -1 - 1

3 mCP =

例

2-3 =- 1 - 1 - ^- 2h

5

已知直線 L1 的斜率為

3 ，試問： 2

1 若直線 L2 平行 L1 ，試求 L2 的斜率。

（左上右下的直線） 4 m DP

2-1

2 若直線 L3 垂直 L1 ，試求 L3 的斜率。

2 - ^- 1h

3 = 斜率不存在（鉛直線） = - 1 - ^- 1h 0

設直線 L1 、 L2 、 L 的斜率分別為 m1 、 m2 、 m3 ， 3

1.

如 圖 所 示 A _- 1 , 4 i 、 B _2 , - 1 i 、

則 m1 =

試求下列直線的斜率。

1 因為直線 L2 平行 L1 ，則 m1 = m2

C _- 2 , 2 i 、 D _- 3 , - 1 i 、 P _2 , 2 i ，

3 2 兩平行直線其斜率相等

3 所以 m2 = 2

1 直線 AP 2 直線 BP

2 因為直線 L3 垂直 L1 ，則 m1 # m3 =- 1

兩垂直線其斜率相乘等於 - 1

3 2 即 # m3 =- 1 ，所以 m3 =2 3

3 直線 CP 4 直線 DP。

詳情見 P99 5.

90

詳情見 P90

1 已知直線 L1 的斜率為 - ，試問： 2 1 若直線 L2 平行 L1 ，試求 L2 的斜率。

2 若直線 L3 垂直 L1 ，試求 L3 的斜率。

99

9

特色單元

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啟發學生思考學習 雲端教室

想一想，引導學生思考 1-1 數線與絕對值

教學微翻轉，可做為課堂的互動單元

詳情見

1-1

1-1.3 絕對值不等式 含有不等號 2 、 1 、 $ 、 # 的式子，稱為不等式。解不等式就是要找出滿足

P5

用簡單的小問題，引起 學生的學習興趣 !

不等式的所有未知數，即若將某個數代入不等式中的未知數，能使不等式成立， 那這個數就是不等式的一個解。

現在我們來探討底下兩個問題： 1. 數線上，若點 ^ x h 與原點距離小於 5，則 x 的範圍為何？ （即若 x 1 5 ，試求 x 的範圍）

2. 數線上，若點 ^ x h 與原點距離大於 5，則 x 的範圍為何？ （即若 x 2 5 ，試求 x 的範圍）

▲ 圖8

1-2 平面坐標系與線型函數

1. 與原點距離小於 5 的點 (x)，其 x 落在 - 5 跟 5 之間，

P15

即 x 1 5 ，得 - 5 1 x 1 5 。 有了坐標平面後，要如何將平面上點的位置明確標示出來呢？

▲ 圖9

設 P 是坐標平面上任一點，如圖 4 所示，自 P 點分別向 x 軸、y 軸做垂直線段， 垂足分別為 A、B 兩點，若 A、B 兩點在 x、y 軸上所對應的數分別為 a 與 b，則 - 5 的左邊， 2. 與原點距離大於 5 的點 (x)，其 x 落在 5 的右邊或 P 點的坐標就以有序數對 _ a , b i 表示，記為 P _ a , b i ，其中 a 為 P 點的 x 坐標（或 即 x 2 5 ，得 x 2 5 或 x 1- 5 。 橫坐標），b 為 P 點的 y 坐標（或縱坐標）。因此坐標平面上，每一個點 P 都有 一個有序數對 _ a , b i 與之對應。 ▲ 圖10

5

10

1-2

詳情見

雲端教室 觀察圖形可知：

▲ 圖4

反之，在平面上任給一個有序數對 _ a , b i ，也一定有一個點 P 來表示這個數

數學

創新單元 動動手

B

教科書

GO!

1-2

手腦並用，釐清學生的學習盲點 第 2 章 直線方程式

有了坐標平面後，要如何將平面上點的位置明確標示出來呢？

詳情見

2

1-2 平面坐標系與線型函數

設 P 是坐標平面上任一點，如圖 4 所示，自 P 點分別向 x 軸、y 軸做垂直線段，

P104

垂足分別為 A、B 兩點，若 A、B 兩點在 x、y 軸上所對應的數分別為 a 與 b，則

請試著畫出一條通過 AB 上的直

P 點的坐標就以有序數對 _ a , b i 表示，記為 P _ a , b i ，其中 a 為 P 點的 x 坐標（或

線，而此直線上的任意一點到 A、

橫坐標），b 為 P 點的 y 坐標（或縱坐標）。因此坐標平面上，每一個點 P 都有

 中線  垂直平分線  角平分線

B 兩點的距離相等，並勾選  這

一個有序數對 _ a , b i 與之對應。

條直線的名稱。

▲ 圖4

第 1 章 坐標系與函數圖形

例

GO!

2

函數的概念 1-2.5 兩鄉鎮市民希望在鐵路沿線上設立一車站，此車站位於與 如圖，已知平面上兩鄉鎮的位置為 A _- 1 , 1 i 、 B _3 , 3 i ，今

數學檔案 學數學 × 學歷史

▲ 圖4 兩鄉鎮距離相同的直線道路上，試求此車站所在的直線道 什麼是函數？你還記得嗎？

多元的數學知識，學習更有趣 函數的概念，來自於兩個變數之間的對應關 路方程式。

反之，在平面上任給一個有序數對 _ a , b i ，也一定有一個點 P 來表示這個數 係，在日常生活中很多問題都可以化成函數的形 對。此種點與數對的對應關係就可得到一個平面直角坐標系，簡稱直角坐標系或 式來表示。 由題意可知： 平面坐標系，而此坐標系所在的平面稱為坐標平面。 萊布尼茲（Leibniz, Gottfried

數學家小故事，除了學習計算， Wilhelm, 1646-1716）， 車站1.C 函數的概念 位於 的垂直平分線上 ABy 軸將整個平面分成四個部分，每一部分稱為象 在直角坐標平面上，x 軸與 也學習歷史！ 德國數學家。函數的概念

-1 + 3 1 + 3 限（不含 x 軸與 y 軸），依逆時針方向，依序稱為第一象限、第二象限、第三象 是他最早提出的。 讓我們透過以下例子再次認識函數的概念。 e o = _1 , 2 i , AB 的中點為 2 2 限、第四象限。 假設 95 無鉛汽油每公升 25 元，下表為加油 x 公

3-1 1 詳情見 P28 = 與 y 之間的關係。 的斜率 m = y 元時，x AB 升，需付總額 2 ^ h 3 1 Descartes, 1596-1650），法國人，是偉大 笛卡兒（Rene 加油量 x（公升） 1 2 若 L 是 AB 3的垂直平分線，則 4 … 的哲學家、生物學家、物理學家，稱得上是近代哲學之 又兩互相垂直直線，其斜率相乘等於 -1 L = AB 且 L 通過 AB 的中點 父，留下名言「我思故我在」。他也是創建直角坐標系 需付總額 y（元） 25 50 75 100 … 的數學家，據說這是來自觀察一隻蒼蠅爬過窗戶所產生 所以 AB 從上表可知，當加油的公升數（x）改變時，需付的總額（y）亦隨之改變。 之垂直平分線的斜率為 -2 的，為了表揚其貢獻，直角坐標系也稱為笛卡兒坐標系。

詳情見 P15

由點斜式，得所求方程式為 y - 2 =- 2 ^ x - 1h 此外，對於每一個 x 值，必有一個且只有一個 y 值與之對應，我們說「y 是 x 的

函數」，且 x。 整理得 ，移項得 2yx=+25 y - 2 =-x2與 x +y 2的關係式為 y4=0

2. 函數定義

故車站所在的道路直線方程式為 2x + y - 4 = 0

15

11

素養單元

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數學跨出界

符合課綱精神素養入題 用簡單的專業科目題型，連結數學，素養學習

數學

界 連結經濟學——供需曲線圖

跨出

我們來認識兩個經濟學中的常識，需求曲線與供給曲線。 1 需求：指的是需求量（Q）與價格（P）之間的關係。 從消費者的角度來看，當物品價格下跌時，需求量增加；當物品價 格上漲時，需求量減少，如圖 11 所示這樣的需求曲線的斜率是負 的。 1 A 點→ B 點 點向右下方移動 【價格下跌，需求量增加】 2 B 點→ A 點 點向左上方移動 【價格上漲，需求量減少】 ▲ 圖11

例如： 站在「消費者」立場思考，若某樣東西有促銷，就會多買甚至囤貨。 相反的，若是漲價就會少買，甚至不買。以 2018 年兩大事件――電信 降價 499 之亂與衛生紙漲價風聲導致搶購，這兩個案例正可說明需求 曲線的狀況。

93 詳情見 P93

12

數學 教科書

B

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結合時事議題 數學應用 時事生活中，培養學生運用數學素養能力

詳情見 P108

13

What's up! 龍騰專屬的 詳情見 P1

教科書章首

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從數學懂生活 生活學數學 引用生活中的例子，連結與本章有關的數學內容

三角函數 在服飾店裡都比較好看？

不知道你有沒有和我一樣的經驗：回 家試穿剛買的新衣服，覺得好像沒有 在服飾店裡試穿時好看。是因為路上

順便吃了鹽酥雞，立刻變胖的關係 嗎？這樣我的消化也太好了吧！

英國記者普拉特（A. Platell）也有這 樣的感受，他富有實驗精神地帶著同 一套（我猜應該不是新的）洋裝到各

大品牌試衣間試穿，結果發現「燈光 柔和」可能是一個原因，「狹長或長

橢圓的鏡子給人較瘦的錯覺」也可能 是一個原因。

但其實還有一個數學上的原因。你知 道是什麼嗎？

《取自數感實驗室／賴以威》

70

14

詳情見 P70

C

教科書

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數學

素養文章 章末單元：That's IT! 章末素養設計，呼應章首的素養文章，讓同學可以 找到在生活中的數學應用

傾斜的鏡子讓你腿變長

如果普拉特的「數感」更敏銳，她會發現跟三角函數有關係。仔細 看，許多服飾店的試衣鏡不是垂直擺放，而是底部微微往外傾的斜 放。

當鏡子傾斜 10 度，鏡子投影出來的就是後仰 20 度的你。腳跟離你

最近，頭頂離你最遠。距離愈近的物體看起來愈大，愈遠看起來愈 小，這是三角測量的基本道理。比方說 10 公尺跟 100 公尺的建築

物明明高度比是 1：10。但如果兩者分別位在 10 公尺和 100 公尺遠，

看起來就一模一樣高。因為腳離我們最近，往上半身一路到頭，距 離逐漸變遠，結果就會讓腿跟上半身的比例比真實的自己要更高， 愈接近模特兒身材。傾斜的鏡子大概就有這樣的影響。

至於傾斜幾度，身材的比例會變好多少，這就要看看各位這章學得 如何啦！

《取自數感實驗室／賴以威》

71 詳情見 P159

159

15

教科書特色

觀念銜接 讓學習更容易

1

詳情見

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龍騰用心 讓您愛上改變 ! 坐標系與函數圖形

實數與絕對值

節首提醒同學本節必備 的先備知識，引導學習

P2 雲端教室

絕 對 值： 一 個 數 x 與 原 點 的 距 離， 稱 為 x 的 絕 對 值。 當 x $ 0 時， x = x ； 當 x 1 0 時， x =- x 。

不等式的性質：

1 若 a 2 b ，則 a + c 2 b + c 。

2 若 a 2 b ，且 )

c 2 0 ，則 ac 2 bc c 1 0 ，則 ac 1 bc

。

觀念銜接

根式： x = a 2 0 ，則 x = ! a 。 2

1 若 a $ 0 ， b $ 0 時，則 a # b = ab 。 2 若 a $ 0 ， b 2 0 時，則

雲端教室 全書提供影音解題

b

=

a 。 b

在人類文明的發展史中，數字的概念比文字更早孕育而生，回想我們小時候 認識阿拉伯數字都是從數手指頭開始，這是每個人童年共有的記憶，接下來將帶 2

三角函數

領大家共同探索數系的奧秘！

甲、認識有理數

課本例題、類題、習題、自我 評量，題題影音解題

有向角及其度量

雲端教室

角：一個角是由端點相同的兩射線所張開的度量。 根據記載，古埃及人早在公元前 17 世紀就已經知道使用分數了。究竟該如

弧：圓上一弦將圓周分成兩部分，每一部分都稱為弧。 何建立數系呢？我們將一一介紹。

觀念銜接

圓心角：以圓心為頂點，兩半徑為邊所形成的夾角。

1. 自然數：自然數就是正整數，從 1 開始，1、2、3、4、…一直數下去（每個 扇形：任兩半徑與其夾弧所圍成的區域。

數的後繼都還有數），自然數除了常被用來計數之外，也可用來做排序與編

自我評量

號，如：比賽第 3 名，座號 25 號等。

2

眾所周知，角是由端點相同的兩射線所張開的度量，例如：由相異兩線段 OA 及 OB 與共同頂點 O 所形成的度量，以 +AOB 表之。在應用上認知到這種定

有向角及其度量

1

義只能單純描述角度大小，為了往後解決實際複雜的生活需求，我們有必要將

雲端教室

「角」作更廣泛的定義。

下列敘述何者有誤？ A r = 180c B 1c =

r C1 弳 2 60c 180

甲、有向角、標準位置角、同界角

D 1230c 的終邊在第二象限。

2

一、有向角

下 列 何 組 可 為 同 界 角 的 度 數？ A 400c 與 1320c B 440c 與 - 2000c C - 70c 與 1120c D 230c 與 - 1210c 。

3

在平面上， OA 是一條固定線段， OB 可 自 由 旋 轉， 當 OB 由 OA 開 始 繞 著 O 點 轉 動

已知半徑為 5 公分的扇形區域之面積為 5 平方公分，則此扇形之

某 一 角 度 後， 則 +AOB 稱 為 有 向 角， 如 圖 1

周長為 A 10 B 11 C 12 D 14 公分。

所示。

4

為 A 3r B 3 C

5

邊至終邊的夾角就是欲觀察的旋轉量，其中

3 3r 。 D 2 2

三角函數的定義與性質 3 ABC 中， 若 +C = 90c 且 tan A =

i1 是逆時針方向旋轉為正向角， i 2 是順時針 方向旋轉為負向角。

3 ， 則 下 列 敘 述 何 者 有 誤？ 4

72

3 3 4 A sin A = B cos B = C cot A = D AC = 4 。 5 5 3

6

詳情見

^sec 60c + csc 45ch^sec 45c - csc 30ch = A - 2 B - 1 C 1 D 2。

7

設 i 為銳角，若 tan i =

8 ，則 8 sin i + 15 cos i = A 16 B 17 15

C 25 D 20。

16

▲ 圖1

我們把 OA 稱為始邊， OB 稱為終邊，始

一扇形之弧長為 6 公分，面積為 6 平方公分，則此扇形之圓心角

155

P155

角度符號 i （theta）是希臘 字母，常用來當角度變數。

詳情見

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a

P7

數學

!

教科書

1

C

坐標系與函數圖形

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題型一致 即時練習也OK! 例題 & 類題對應性高，課後練習也沒煩惱 一般而言，化簡時我們會將根式的分母化成有理數，這個過程稱為分母有理

2

化，以下面例子來說明：

試化簡下列根式：1

例

1

2

2 = 5

2

=

=

3+ 2 =

1 3+ 2

10 5

=

5# 5

5

1

2# 5

2 2 5

利用

` 3j -` 2j

2

b

（a $ 0，b 2 0） 2

` 3 + 2 j` 3 - 2 j 2

a

利用 ^a + b h^a - b h = a - b 將分母有理化

3- 2

3- 2

a = b

=

2

直角坐標系

3- 2 1

= 3- 2

因為 3 ABC 是直角三角形，利用畢氏定理得知： 5. 試化簡下列根式： 1

72

AB = AC + BC = ` x2 - x1 j + ` y2 - y1 j 2

1

3 2 7

2 +1

2

所以 AB = ` x2 - x1 j + ` y2 - y1 j 2

公式

2

2

2

2

兩點間距離

已知坐標平面上兩點 A ` x1 , y1 j 、 B ` x2 , y2 j ，則 A、B 兩點間距離為 詳情見 P8 有理數與無理數是兩個定義不同的族群，將這兩大族群整合後的數系叫實 AB = ` x2 - x1 j + ` y2 - y1 j

數，亦即實數包含了有理數與無理數。

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8

數字設計佳 學習不失焦

2

例

精心設計數據， ▲ 圖1 好算、好懂、好理解

2

坐標平面上兩點 A _- 3 , - 7 i 、 B _9 , - 2 i ，試求 A、B 之間的距離。 A、B 之間的距離為 AB = 79 - ^- 3hA + 7- 2 - ^- 7hA 2

2

AB = ` x2 - x1 j + ` y2 - y1 j 2

2

2 2 = 12 + 5 = 13

3. 已知坐標平面上兩點 P _1 , 3 i 、 Q _- 7 , 9 i ，試求 P、Q 之間的距離。

詳情見 P25

17

課堂互動引導學習

3. 試將下列循環小數化成最簡分數： 1 0.45 2 0.45

特色單元

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動動腦 觀念理解與澄清 使用問題引導的方式 提升學生思辨能力

性質

詳情見

事實上，每個循環小數都能化成分數，所以循環小數也是有理數。

有理數

P5

有理數包含了整數、有限小數與循環小數

動動腦： 針對有理數的概念，數學上是否找得到無法化成分數的數？

?

既然有理數均可化成分數，所以有理數必然符合分數的特性，說明如下： 1. 有理數的表示方法並不唯一。如： 2. 有理數是可以比較大小的。如：

1 2 3 = = = g 等。 3 6 9

1 1 2 。 2 5

坐標系與函數圖形

3. 任意兩個有理數做加、減、乘、除（除數不為 0）運算的結果仍為有理數。

1

圍。

代入二次函數恆正條件 此時 b 2 - 4ac = ^- 4h - 4 ^2kh 1 0 2

2 ax + bx + c 恆正：

a 2 0 且 b 2 - 4ac 1 0

化簡得 16 - 8k 1 0 ，故 k 2 2

2 7. 對任意實數 x，二次函數 3x - kx + 3 之值恆為正數，試求 k 的範圍。

?

動動腦： 你 能理解二次函數恆正與恆負的條件中為何需滿足 2

b - 4ac 1 0 嗎？

丙、分式不等式

詳情見

5 2 對任意實數 x，二次函數 x - 4x + 2k 之值恆為正數，試求 k 的範

例

18

10

P56

故當矩形的長與寬相等，即 a = b = 5 時有最短周長 20

1 sin 90c 2 cos 270c 3 tan 180c

8. 試比較所有對角線長度為 10 的矩形中，何者面積最大？試求最大面積。 2 在 150c 角的終邊上取一 點 Pl

令 Pl 在 x 軸的垂足為 Ql ，則 +P l OQl = 30c 若設 OP l = r = 2 ，則 OQl = 3 ， P l Ql = 1

1 sin 90c = 1

得 Pl 點坐標為 `- 3 , 1 j

2 cos 270c = 0

C

教科書

3 tan 180c =

數學

試求下列象限角的三角函數值：

例

我們還可以推論出三個變數的算幾不等式：

sin 180c 0 =0 = cos 180c - 1

a+b+c 3 y 1 若 a、b、c 為正實數，則 $ abc ，且當 a = b = c 時等號成立。 遂得 sin 150 c= = 3 r 2

GO5.!試求 sec 0c + cot 90c + csc 270c 之值。

創新單元 先想想

3 因 390c = 30c + 360c # 1 ，得知 30c 與 390c 為同界角

丁、認識數線

透 過「 先 想 想 」， 銜 接 前兩者的終邊相同，則我們可取與 30c 角終邊上相同的點 P 1 坐標系與函數圖形 1 一、數線 後段的學習重點 故可得 sin 390c = sin 30c = 同界角三角函數值 相等 2

?

丙、任意角的三角函數值

先想想： 銜 接國中所學數線概念，試著回憶國中如何建構數線？它需 試解下列絕對值不等式，並在數線上標示其解： 要哪些要素？

例 三角函數的定 6. 試利用任意角 + 5 60 2 c2 、 cos 120c 與 cos 420c 1 # 3 2 xcos 1 x - 義，分別求出

數學的思路過程大致上是由淺易而深入的，接下來我們將帶領同學從熟悉的 我們取一條水平直線，制定一個基準點當原點，並規範原點右方為正向，左 之值。

1 因為 x - 1 # 3 x - 1 # 3 表示 x 與 1 的距離小於或等於 3 銳角三角函數值出發，進而跨入求任意角三角函數值的領域。先看以下例題。 方為負向，以適當長度為單位長，就建構出了數線，如下圖所示： 所以 - 3 # x - 1 # 3 試 利 用 任 意 角 三 角 函 數 的 定 義， 分 別 求 出 sin 30c 、 sin 150c 與 sin 390c 之值。

例

整理可得 - 2 # x # 4 直角坐標系 ▲ 圖2

1 在 30c 角的終邊上取一點 P

12

若設 OP = r = 2 ，則 OQ = 3 ， PQ = 1 例 3 ABC 的重心坐標。

整理可得 x 2- 3 或 x 1- 7

得 P 點坐標為 ` 3 , 1 j

則x=

04

y=

8 + 5 + ^- 7h =2 3

^- 6h + 8 + 10 3

先想想： 在例題 6 中，我們發現 sin 150c 及 sin 390c 的值皆等於 sin 30c ，

?

重心坐標為三頂點坐標相加除以 3

從任意角三角函 數的定義來看， 其中隱含了什麼 道理？這是 12. 試解下列絕對值不等式，並在數線上標示其解：

=4

偶然還是必然現 象？

1 x + 3 1 7 2 3x - 2 $ 1

故重心坐標為 _2 , 4 i

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數學檔案 c c 從歷史理解數學

化為銳角三角 函數的方法與 技巧。而因為 任意角均可透 過同界角關係 化成介於

坐標，試求第三個頂點 C 點的坐標。

數學檔案

0 ∼ 360 之間的角度，所 以下面我們只針 對 0c ∼ 360c 之間的角度做討 論，過程 畢達哥拉斯是希臘著名的數學家及天文學家，他在數學上有許多貢獻，如：

中用到的基本轉 換全都建構在三 證明了「三角形內角和等於兩個直角」及發現「畢氏定理」。畢達哥拉斯 角形的全等性質 上。

特色單元，讓學生覺得數學 也可以很有趣

105

畢氏學派比起同時代開設課程的其他學者要進步許多，他們已 經開始提倡男女平等了，倡導不論種族與性別，任何人都有 與生俱來不容剝奪的人權，並吸納婦女加入學派，因此畢 氏學派也出現一些女性學者，這是其他學派所沒有的，同 時也是畢達哥拉斯影響後世關鍵的因素之一。他樹立了後世 學習尊重他人、尊重兩性、尊重自己的最佳人權教育典範。

18

笛卡兒是 17 世紀法國數學家和哲學家，人稱近代哲學之父，是 最早反對經院派亞里斯多德主義者之一。所著的《方法論》是 現代思想的首要著作，其中對基於權威和感官所推論的知識提 出質疑，繼而在《沉思錄》中揭示知識的本質是思維，這一 點清楚表達在他的名言「我思，故我在」。

P18

詳情見

數學檔案

是畢氏學派的創始人，他尊崇「萬物皆數」，認為宇宙間各種關係都可 以用整數或整數比來表達，這也是畢氏學派的核心思想。

P105 詳情見

除了利用任意角 三角函數的基本 定義，我們亦可 推論出將任意角 三角函數轉

7. 已知 3 ABC 之兩頂點 A _- 2 , 5 i 、 B _- 4 , - 1 i ，且 G _- 2 , 4 i 為 3 ABC 重心

詳情見

y 1 設重心坐標為 G_ x , yi 遂得 sin 30 c= = r 2

詳情見 P12 x + 5 2 2 表示 x 與 - 5 的距離大於 2

2 因為 x + 5 2 2 令 P 在 x 軸的垂足為 Q，則 +POQ = 30c 已 知 3 ABC 之 三 頂 點 為 A _8 , - 6 i 、 B _5 , 8 i 、 C _- 7 所以 , 10 i ， x +試5 求 2 2 或 x + 5 1- 2

P31

笛卡兒是直角坐標系的創始者，西方古典數學基本上是幾 何式，在研究代數問題時經常使用幾何方法，但是笛卡兒 坐標的提出，反而將繁複的幾何問題化約成代數問題，日 後也才有可能用分析的方法去研究函數。

31

19

素養入題

1

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例題設計貼近「統測趨勢

素養 × 生活 × 數學

坐標系與函數圖形

習題

函數及其圖形

結合知識命題，培養學生探究數學的能力

世界知名的西班牙建築大師高第擅長運用拋物線的弧面結構來展 現 藝 術 特 色， 假 設 高 第 早 期 某 件 作 品 的 曲 線 符 合 二 次 函 數

例

y =- 2x + 4x + 9 ，請幫忙找出其最高點。 2

雲端教室

利用配方法

9 2 將領導係數 - 2y 提出，再抓一 = x + 32 ， 已知攝氏溫度 i+ 9 y =- 2x + 4x x+與華氏溫度 9 =- 2 _ x 2 - 2yx之換算關係滿足一次函數 5

1

次項係數一半的平方進行配方

=- 2 ` x - 2x + 1 - 1 j + 9 當攝氏溫度控制在 25 度時人體感覺清爽舒適，試求此時華氏溫度為多 2 ^ h + 11 =頂點坐標為 _1 , 11 i 2 1 x 少？ 2

詳情見 P44

2

2

故其最高點為 _1 , 11 i

2

已知一次函數 f ^ x h =2 ax + 3 通過 _1 , 5 i 及 _2 , b i 兩點，試求 a、b 之值。 7. 試求二次函數 y = x + 4x - 6 的最小值。

3

人的「肱骨」是手臂從「肘部到肩部」的骨頭，人類學家用肱骨的長度 來估計男性或女性的身高，其線性關係如下： 男性身高 M(x) = 2.89x + 70.64（公分） 女性身高 F(x) = 2.75x + 71.48（公分） 其中 x 代表肱骨的長度。若考古學家發現一根長 30 公分的肱骨，試推估： 1 若是男性，他的身高為何？

?

2 若是女性，她的身高為何？ 動動腦： 與 國中相比，現在你對函數有什麼新的認識？

詳情見 P45

4

20

設函數 f ^ x h = x - 1 ，試求 f ^- 2h 。

數學

勢」 GO!

教科書

C

以生活現象為例 啟發學習 社會中的實例，看見數學與生活的連結 !

詳情見 P34

全球性的議題，讓學生 覺得數學是有用的 !

詳情見 P35

21

[ 動動腦 ] 1 90c + i 終邊與 i 終邊垂直 1. 角度為 180c ! i （ r ! i ）或 360c ! i （ 2r ! i ）時： 270c - i 終邊與180c - i 終邊垂直 函數正餘不變，符號看象限。 270c + i 終邊與180c + i 終邊垂直 們歸納其規則如下：

2. 角度為 90c ! i （

「資源豐富」備課好幫手

r 3r ! i ）或 270c ! i （ ! i ）時： 2 函數正餘互變，符號看象限 2 2

教師用書

函數正餘互變，符號看象限。

同樣是第二象限角，我們可用 180c - i 或 90c + i 轉換式來求值，若題目無特 8

GO!

若 sin i + cos i =

5 ，試求 sin i cos i 之值。 4

殊要求，通常用 180c - i 進行轉化比較方便，省了變換函數的麻煩。同理，若是

適時教學提醒

進階題

第三象限角可多用 180c + i 少用 270c - i ；若是第四象限角可多用 360c - i 少用 270c + i ，運用之巧妙存乎一心。

9

[ 配合講義例 10]

已知 i 為銳角，試化簡

例

sin ^180c - ih sin ^180c + ih

原式 =

+

tan ^- ih

tan ^360c - ih

- tan i sin i cos i + + - sin i - tan i - cos i

+

sin ^90c + ih

cos ^180c - ih

10 。

已知 i 為銳角且 cos i =

1 1 1 + ，試求 之值。 1 + sin i 1 - sin i 3

已知 i 為銳角，若 sin i + cos i =

2

，試求 tan i + cot i 之值。

3

（提示：利用商數關係）

任意角轉化時可一律將 i 視為銳角來處理

任意角的三角函數

2-3

= ^- 1h + 1 + ^- 1h =- 1 sin ^- ih cos ^180c - ih tan ^180c - ih + + 。 sin ^360c - ih sin ^270c + ih tan ^180c + ih - sin i - cos i - tan i + + = 1 + 1 + ^- 1h = 1 答：1 原式 = - sin i - cos i tan i

13. 已知 i 為銳角，試化簡

115

教學觀測站： 2 依據公式定理延伸說 兩垂直線的性質 明或教學提醒，老師 這種題目學生容易卡住。每個算式應個別講解清楚，並強調公式中的 i 角對於任意角轉換都成立，只是為了 設 L 、 L 為平面上兩相異直線，其斜率分別為 m 、 m ， 簡化、方便起見，故都視為銳角。 可以視現場教學的狀 Y 0、m = Y 0 ，則 且m = 況，適時補充 L = L + m # m =1 第 2 章 直線方程式

1

2

1

1

1

講義題標註： 例題旁邊標註對應的講義 題號，隨時可索引練習， 強化學習

例

2

2

2

1

2

[ 配合講義例 8]

4

設 A _- 2 , a i 、 B _3 , 4 i 、 C _- 2 , 8 i 、 D _4 , - 2 i ， 若 AB 與 CD 垂直，試求 a 之值。

4-a

AB 的斜率為 m AB =

3 - ^- 2h

CD 的斜率為 mCD =

4 - ^- 2h

-2 - 8

=

4-a 5

=

-5 3

又 AB = CD ，則 m AB # mCD =- 1 即

4 - a -5 # =- 1 整理得 - 20 + 5a =- 15 移項得 5a = 5 5 3

故a = 1

4.

設 A _- 3 , 4 i 、 B _ a , 1 i 、 C _- 4 , - 2 i 、 D _2 , 8 i ，若 AB 與 CD 垂直， 試求 a 之值。 答：a = 2

2-1

斜

AB 的斜率為 m AB =

率

統測補給站： 挑選簡易的統測題型並對 應課本例題，課堂彈性運 用，讓學生面對統測更有 信心

1-4

a - ^- 3 h

=

8 - ^- 2h 5 -3 = ， CD 的斜率為 mCD = a+3 2 - ^- 4h 3

又 AB = CD ，則 m AB # mCD =- 1

98

即

98

-3 5 # =- 1 ，整理得 - 15 = - 3a - 9，移項得 3a = 6，故 a = 2 a+3 3

[ 例題 4 ]

（ B ）1. 已知平面上三點 A _2 , 1 i ， B _1 , 3 i 及 C _4 , k i ，若線段 AB 及 AC 垂直，則 k = A 1 B 2 C 3

22

D 4。

【99B】

全等三角形的條件： 1 SSS 全等

5 RHS 全等

完整的資源標註與補充

教 ( 師用書

GO!

雲端教室

觀念銜接

2 SAS 全等 3 ASA 全等

4 AAS 全等

配套資源

任意角的三角函數

前一節所討論的銳角三角函數，其角度只限於 0c 到 90c 之間，一旦碰到鈍角

或更大的角度將無法處理，因此對於任意角之三角函數必須再思覓一個更周延的 定義，以拓展狹隘的銳角三角理論。

甲、任意角三角函數的定義

任意角的三角函數

點，以 x 軸正向為始邊），並在角 i 的終邊上任取異於原點 的點 P _ x , y i ，如圖 1 所示。

依此寫成 Q _cos ^180 - ih , sin ^180 - ihi = _- cos i , sin i i

根據銳角三角函數定義，令 OP = r = x 2 + y 2 ，則

遂推出 sin ^180

▲ 圖1

y y x sin i = ， cos i = ， tan i = r r x

2-3

這個觀點的思維是將邊長比建立在 P 點的 x、y 坐標上，打破了銳角的框限， 下面我們將引用這種方法來定義任意角的三角函數值。

例

5

已知直線 L1 的斜率為

任意角的三角函數 檔案位置：

tan ^180c - ih = [ 配合講義例 6]

2-1 斜 率

99

[ 配合講義例 9]

3 ，試問： 2

1

2

3

2

1

1

2

2

2 因為直線 L3 垂直 L1 ，則 m1 # m3 =- 1 即

1 sin 120c 2 cos 120c 3 tan 120c

2

參考 180c - i 的三角函數值轉換式 3 2 1 2

第二象限角之 sin 函數為正值， cos 函數為負值， tan 函數為負值

1 答：1 2 - 2 3 1 cot 120c 2 sec 135c 3 csc 150c 3 2 1 1 cot 120c = cot ^180c - 60c h =- cot 60c =3 2 sec 135c = sec ^180c - 45c h =- sec 45c =- 2 3 csc 150c = csc ^180c - 30c h = csc 30c = 2

2. 若 180c 1 a 1 270c ，則存在銳角 i 使得 a = 180c + i 。

轉換式二

180c + i 的三角函數值轉換（ i 為銳角）

sin ^180c + ih =- sin i ， cos ^180c + ih =- cos i ， tan ^180c + ih = tan i

利用倒數關係，得

cot ^180c + ih = cot i ， sec ^180c + ih =- sec i ， csc ^180c + ih =- csc i

兩垂直線其斜率相乘等於 - 1

3 2 # m3 =- 1 ，所以 m3 =2 3

2-3

任意角的三角函數

1

2

試求下列各三角函數值：

7. 試求下列各三角函數值：

設直線 L 、 L 、 L 的斜率分別為 m 、 m 、 m ， 素養補充包： 3 則m = 配合各章的教學需求，編寫素養 2 題，強化素養題型的練習，貼近 1 因為直線 L 平行 L ，則 m = m 兩平行直線其斜率相等 統測命題趨勢 3 所以 m = 3

sin i =- tan i - cos i

3 tan 120c = tan ^180c - 60ch =- tan 60c =- 3

2 若直線 L3 垂直 L1 ，試求 L3 的斜率。

2

=

2 cos 120c = cos ^180c - 60ch =- cos 60c =-

2 享備課→技高數學→教學資源

1

2-1

例

sin ^180c - ih

cos ^180c - ih

1 sin 120c = sin ^180c - 60ch = sin 60c =

1 若直線 L2 平行 L1 ，試求 L2 的斜率。

1 教學光碟→多媒體資源

h = sin i

cos ^180 - ih =- cos i

107

檔案位置： 1 題庫光碟→素養題資料夾 2 線上題測→素養題庫

5.

已知直線 L1 的斜率為 -

1 ，試問： 2

1 1 若直線 L2 平行 L1 ，試求 L2 的斜率。 答：1 2 2 2 設直線 L1 、 L2 、 L3 的斜率分別為 m1 、 m2 、 m3 ，則 m1 =1 因為直線 L2 平行 L1 ，則 m1 = m2 ，所以 m2 =-

1 2

1 2

題題解析： 隨堂練習、習題、自我評量，題題 詳解，讓老師備課超輕鬆

2 若直線 L3 垂直 L1 ，試求 L3 的斜率。 2 因為直線 L3 垂直 L1 ，則 m1 # m3 =- 1 ，即 -

1 # m3 =- 1 ，所以 m3 = 2 2

斜

2-1

率

23

)

講教學 GGB： 針對課本公式定理、圖形變化，設 2 c c 計對應的教學 GGB 與 GGB 教學影 c-i 音，輔助課堂教學 c

之前探討的銳角三角函數是定義在直角三角形的邊長

比， 現 在 我 們 嘗 試 將 銳 角 i 放在標準位置上（以原點為頂

任意角的三角函數

說 師 狀

任意角的三角函數

完美搭配課本編寫

SUPER 教學講義

例題標註對應課本題

GO!

80

三角函數

6

老師講解

利用銳角求任意角三角函數值

學生練習

配合課本例 7、例 8、例 9，延伸老師講解 12

試求下列各式之值：

試求 cot150 sin 210 csc330 之值。

(1) sin120  cos 240  tan 300 (2) sec135  cot 225  cos315 。

〔答  3〕

〔 答 (1)

3 3 1 2

(2) 1 

cot150  cot  180  30    cot 30   3

2 〕 2

sin 210  sin  180  30    sin 30  

  sin  180  60    sin 60 (1) sin120

3 2

1 2 tan 300  tan  360  60    tan 60   3

cos 240  cos  180  60    cos 60  

原式

∴

1 2

csc330  csc  360  30    csc30  2 ∴

 1 原式   3        2   3  2





3  1 3 3 1       3 2  2 2



知識點標註 例 題 標 註 知 識 點， 讓學生知道題目重 點與解題關鍵



標註對應課本例題 方便學生作業練習查 找索引

(2) sec135  sec  180  45    sec45   2

cot 225   cot  180  45    cot 45 1 2 2

cos315   cos  360  45    cos 45 原式  2  1 

∴

7

2 2 1  2 2

老師講解

利用銳角求任意角三角函數值

學生練習

試求下列各三角函數之值：

試求下列各三角函數之值：

(1) sin870

(1) tan 945

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(2) cos1125 。

數學超連結

1 2 〔 答 (1) (2) 〕 2 2 (1) sin870

〔 答 (1)1

(2) cot 660 。 (2) 

3 〕 3

(1) tan945 特色單元 - 數學超連結：針對公式定理  tan  180 5  45  補充提醒，延伸學習  tan 45 sin 30

 sin  180 5  30 



1 2 (2) cos1125

 cos  360 3 若平面上  45  A、B



61

1 (2) cot 660



45  cos

2-1 斜率

1 2(1)

2 2

 cot  180 4  60 

  cot 60  、 C 三點共線

mAB  mBC  mAC 。

1 3     當一直線斜率不存在（即此直線垂直 x 軸） ，另一直線斜率為 0 （即此直線平行 x 軸） ，則兩 3 3

直線亦互相垂直。

(2) 平面上 A ， B ， C 三點共線



A ， B ， C 三點無法構成一個三角形。

24

6

老師講解

三點共線

學生練習

配套資源

2-5 ⑮ ★16. △ ABC 中， D 在 BC 上， AB  7 、 AC  13 、 BD  7 、 CD  8 ，試求 AD 

適性教學-進階題型

⑯ ★17. 圓內接四邊形 ABCD 中， AB  5、 BC  3、CD  2，且 ABC  60 ，則 AD 

3

。

教 ( 學講義

GO!

7

。

節末設計進階題，依據班級程度 ⑰ 可進行差異化的教學 ★18. 梯形 ABCD 中， AD // BC ，且 AB  5 、 BC  10 、 CD  7 、 AD  4 ，則此梯形的面積 14 6

為

。 任意角的三角函數

5 6 7 2sin A  sin B 19. △ ABC 中，若   ，則  A sin B sin C sin sin C 利用銳角的三角函數值求任意角的三角函數值 12 老師講解 17

11

21

 29 

22

83

)

2-3

4 。 7 學生練習 15

cos  cot  sec  之值。    sec   tan  之值。   ABD ★20. 試求 圓內接四邊形 ABCD 中， CBD 試求 30sin、 6 3 4  6   345 、4CD  6 ，則 AD  2 〔答  〕 2

7 〔答  〕 2

★21. △ ABC 中，若 sin A ： sin B ： sin C  3 29 ： 5 ： 7 29 ，則 △ ABC1 為何種三角形？  cos

17 1  1 3  cos  3       cos    6 6  6 2 

sin       sin    sin  5    6 6   6  

6 2

。

C

(A)銳角三角形 (B)直角三角形 (C)鈍角三角形。

1 1   sin    6 2

11 1  1 1  cot  cot  4      cot     3 3 3  3 

22 1  1  21 1  5 1  sec 7      sec   sinsecB  2   sec中     sec   若 2 c b   △ ABC ， ★22. sec a   2 sin A  2sin C   5， 3則 △ ABC 之 外 接 圓 面 積  3 3   4 4 4  4  15 1  1   tan 3  1   tan  4      tan   1  ∴ 4 原式   4 4 4     2     3     2  。  7  1 25 ∴ 原式       2     1   2  

 2

2

2

23. A 、 B 、C 三村，任兩村皆有道路連接， AB  70 公里、 BC  90 公里、 AC  80 公里， 利用補角關係求值 學生練習 13 老師講解 如圖，

GO!

(1) 若想在和三條路等距離的地方設休息站供用路人上廁所，休息站 素養導向題型 10 5 公里 試求 cos1  cos 2  cos3    cos179

試求 tan1  tan 3  tan 5    tan175

 cos180 之值。

 tan177  tan179 之值。

距離道路為

◎Hint： cos 180      cos  ◎Hint： tan 180      tan  特色架構 - 素養導向題型，設計貼近素養的題目，讓學生在一、二年級就能 A B (2) 若想在和 、 、 C 三村等距離的地方設救災中心，則救災中心 〔 答 1 〕 〔答 0 〕 慢慢適應素養題型，因應考試趨勢 原式 原式



和 A 村距離為

21 5

 cos1  cos179    cos 2  cos178      cos89  cos91 

[素養導向]

公里。

  tan1  tan179    tan 3  tan177      tan 87  tan 93    tan 89  tan 91 

A、B 兩個營地，偵察兵在 24.突擊隊要突擊 點偵測，得 ACB 45 、   tan1C  tan1     tan 3  tan 3     cos90  cos180   BCD cos1  cos1  。 2  cos 2   cos   tanD 87點偵測得  tan 87    tan   tan 8960 2 公里到  30 偵察兵向東移動 89 CDA  、    cos89  cos89   0    1  ADB  60 ，如圖，則：

 1

(1) A 、 B 兩個營地相距

0

6

公里

(2) 若營地士兵使用的迫擊砲最大射程為1815 公尺，則突擊隊先 突襲 A 營地時， B 營地士兵可否直接用迫擊砲支援？

否

。

[素養導向]

25

課後評量 GO!

學習卷創新設計 一卷兩用

課後評量 彈性測驗 創新設計 - 一卷兩用，同一份卷依據時間、班級程度需求，規劃兩種評量方式， 滿足不同的教與學

一、 C A B B D C 二、 1.

7 GO!

考試有信心 超過 70% 的題目標註對應的課 本題，讓學生考試有信心，試 後訂正有方向

2-2

直線方程式(1)

一、選擇題（24%，每題 4 分）



2. 5x  2 y

6. 3x  2 y

2. x  y 

★進階題

2 0 （ C ）1. 過點  3, 1 ，且斜率為 的直線方程式為 (A) 3x  2 y  3  3 0 (C) 2 x  3 y  3  0 (D) 2 x  3 y  3  0。 (B) 3x  2 y  3  【課本例題 1】

（

2 ，且直線又過點  3, 1 3 由點斜式： y  y1 m  x  x1 

斜率 m 

得直線方程式為 y   1  2  x  3 3 即 2x  3y  3  0



y  1



2  x   3   3

（

3y  3  2x  6

（ A ）2. 通過 P  3, 2  與 Q  5, 3 兩點之直線方程式為

0 (A) 5x  2 y  19 

0 (C) 2 x  5 y  19  0 (D) 2 x  5 y  19  0。 (B) 5x  2 y  19  mPQ 

3  2 5   53 2

代入點斜式得： y  2 

26



3x  y  3  3  0

1 ab 5.

2 0 三、 1. x  2 y  11 

 ∴

【課本例題 3】

5  x  3 2

2 y  4 5 x  15 5 x  2 y  19  0

二

1 （ B ）3. 已知直線 L 通過 A  2020,5 、B  2020, 20  兩點，則此直線方程式為何？

(A) y  5

配套資源

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課 ( 後評量

小試身手卷 對應課本小節，每回設計 5 題選擇與 5 題 填充的基礎題，提供老師即時測驗使用

)

y  25  0

3. x  5

y 6  0

7. 5

2 0

4. 8

0 3. 2x  3 y  30 

（ D ）5. 斜率為 3 ，且交 y 軸於  0, 6  之直線方程式為

y 3x  6 (C) 

交 y 軸於  0,6 



(A) y

y 3x  6 。 (D) 

1 x3 6

1 x6 3 【課本例題 7】

(B) y

y 截距為 6 ，斜率為 3

由斜截式知：  y 3x  6

（ C ）6. x 截距為  2 ， y 截距為 4 的直線方程式為 (C)

x y (A)   1 4 2

x y (B)   1 4 2

基本觀念檢測

x y x y  ! 1 (D)   1 。 GO 2 4 2 4

【課本例題 8】

a  2 ， b  4 由截距式知：所求直線方程式為 x y   1 2 4

10 題基礎題，針對需要強化基礎觀念的學生設計， 透過簡易題型的測驗，掌握學生的學習概況

二、填充題（49%，每格 7 分）

1. 試求過點 1, 3  ，且斜率為  3 的直線方程式為





3x  y  3  3  0 。

【課本例題 1】

27

銜接教材介紹

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國高銜接教材 數學階梯

符合高一課程 銜接學習 冊章標註：貼心設計每 一個單元標註一年級數 B、 數 C 對 應 的 冊 章， 讓學生清楚的掌握學習 脈絡

目 次 章

節

第1章 數 1-1 絕對值與相反數 ……………………

1-2 整數的四則運算 ……………………

1-3 指數 …………………………………

對應數 B 章名 01

第一冊 第 1 章

第一冊 第 1 章

04

坐標系與函數圖形

坐標系與函數圖形

09

第 2 章 分數的四則運算 2-1 分數的加減法 ………………………

2-2 分數的乘除法 ………………………

10 11

第 3 章 一元一次方程式與不等式 3-1 一元一次方程式 ………………………

16

3-2 一元一次不等式 ………………………

19

第 4 章 二元一次方程式 4-1 二元一次方程式及其解 ………………

21

4-2 二元一次聯立方程式及其圖形 ………

25

第 5 章 乘法公式與因式分解 5-1 乘法公式 ………………………………

30

5-2 因式分解 ………………………………

35

第 6 章 根式的四則運算 6-1 平方根與立方根 ………………………

41

6-2 根式的運算 ……………………………

43

第 7 章 一元二次方程式

1

7-1 一元二次方程式 ………………………

對應數 C 章名

頁數

51

第一冊 第 2 章

第二冊 第 2 章

直線方程式

直線與圓

第一冊 第 1 章

第一冊 第 1 章

坐標系與函數圖形

坐標系與函數圖形

第一冊 第 2 章

第二冊 第 2 章

直線方程式

直線與圓

第一冊 第 3 章

第二冊 第 1 章

式的運算

式的運算

第一冊 第 3 章

第二冊 第 1 章

式的運算

式的運算

第一冊 第 1 章

第二冊 第 1 章

坐標系與函數圖形

式的運算

第 8 章 函數

數

8-1 函數的定義與判別 ……………………

58

第一冊 第 1 章

第一冊 第 1 章

8-2 線型函數 ………………………………

61

坐標系與函數圖形

坐標系與函數圖形

8-3 二次函數 ………………………………

64 第二冊 第 4 章

第二冊 第 3 章

數列與級數

數列與級數

第 9 章 等差數列與級數 9-1 等差數列 ………………………………

72

9-2 等差級數 ………………………………

75

1-1 絕對值與相反數 絕對值的定義與性質

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1. 數線上，代表數 a 的點與原點的距離，稱為 a 的絕對值，以符號 a 表示，且 a  0 。

對應重點設計說例，讓 銜接複習變簡單，快速 的學會先備知識

例 P 點與原點的距離為 2 ，即 2  2

Q 點與原點的距離為 3 ，即 3  3

 a 當 a0  2. 若 a 為任意實數，則 a   0 當 a  0 a 當 a  0  例

5  5 ， 0  0 ， 8   8 8

3. 任意二數相減的絕對值為大數減去小數的差，即 若 a  b ，則 a  b  a  b ；若 a  b ，則 a  b    a  b   b a。 例

28

21  4  21  4  17 ， 8  13  13  8  5

1 1 試分別寫出  ， 3.9 ， 5 的絕對值。 3

重點搭配說例

7 試分別寫出 5.4 ， ， 9 的絕對值。 2

配套資源

佈題用心

銜 ( 接教材介紹

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題型設計符合基礎學習，透過觀念題型的練習， 有效強化基本概念，讓銜接教學快速有效 2｜第 1 章 數

)

2 求下列各式的值：

求下列各式的值：

(1) 3  4

(1) 10  27

(2) 15  9.3

(2) 32  15.6

(3) 11.7  34.2

(3) 14.9  45.3

4 《解》 (1)

34  43  1 (1)哪些數的絕對值為 3 ？ (2) 15  9.3 15  9.3 5.7 (2)哪些整數的絕對值小於 3 ？ (3) 11.7  34.2  34.2  11.7  22.5 《解》 (1) 3 或 3

(2) 2 ， 1 ， 0 ，1 ， 2

《解》

[

第1章

(1)17

(2)16.4

數｜3

(3) 30.4 ]

(1)哪些數的絕對值為 6 10 ？ 17 (1) 10  27  27  (2)哪些整數的絕對值小於 6 ？ (2) 32  15.6 32  15.6  16.4 《解》 [ (1) 6 或 6 (2) 5，4 ，3， 2 ， (3) 14.9  45.3  45.3  14.9  30.4 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ] (1) 6 或 6 (2) 5 ， 4 ， 3 ， 2 ， 1 ， 0 ，1 ，

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相反數的定義

求下列各式的值： 1.求下列各式的值： 數線上，位於原點兩側，且與原點距離相等的兩點所代表的數互為相反數。 (1) 例 (1) 30  33  7  11  12  9 58  44和  64  10  7 互為相反數

2.(2) 任意數都有相反數，而 0 的相反數為 0 。 (2) 22  8  9  3  3  7 11  4  5  1  4  9 3.《解》 若 a(1) 、 b5兩數互為相反數，則 a  b 且 a  b《解》  0 。[  8  4  6  10  7 例

03 ，則  2 9 和 9 互為相反數 9  392

(2) 11  4  5  1  4  9  765 6

(1) 4

(2) 6 ]

(1) 30  33  7  11  12  9  3 43 4 (2) 22  8  9  3  3  7  14  12  4  6

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素養題庫 每章提供素養題庫教材， 讓學生理解學數學的目 的，知道這些工具在什麼 樣的領域會使用，讓數學 與生活做連結

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數學教案：陽明高中 王聖淵老師 國文教案：竹東高中 陳婉欣老師 文章選自《超展開數學約會》&《超展開數學教室》~賴以威教授著

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桌遊×環保×數學：海食王 「海洋教育，聽起來和數學彷彿兩個平行領域耶！」、「上完數學課， 桌遊X環保X數學：海食王 對於課程能落實並激發關懷社會的情懷，別傻了！」 「海洋教育，聽起來和數學彷彿兩個平行領域耶！」、「上完數學課，對於課程能落 拋開不存在的束縛，數學課也可以這樣上。 實並激發關懷社會的情懷，別傻了！」 拋開不存在的束縛，數學課也可以這樣上。 陽明高中 王聖淵老師 搭配桌遊《海食王》~ 神譜文創

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7堂課 教學計劃表

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遊戲×數學：實境解謎 利用 holiyo 模組的高複製性，可以很容易修改成專屬教案，可設計多 遊戲X數學：實境解謎 款主題，組合完整學期的教學計畫。 利用holiyo模組的高複製性，可以很容易修改成專屬教案，可設計多款主題， 組合完整學期的校學計畫。

教案：家齊高中 黃光文老師 搭配模組軟體《holiyo》

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2小時 教學計劃表

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人生×數學：我不數窮忙族 希望學生可以透過模擬尋找工作、買屋、試算房貸、認識簡易稅務至鍵 人生X數學：我不數窮忙族 入家庭年度消費表，盤整一個家庭薪資與生活必需的財務平衡。 希望學生可以透過模擬尋找工作、買屋、試算房貸、認識簡易稅務至鍵入家庭年度消 費表，盤整一個家庭薪資與生活必需的平衡。

教案：前鎮高中 方婉茜老師 搭配履歷表、購屋網站、房貸試算、國稅局網站、試算表

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