2
直線 方程式
跨越數學大陸的橋梁 如果把數學想成一個世界，各種數學知識是一座座大陸，某一座大陸上 充滿了 x、y 這些未知數，是名為「代數」的大陸。另一座大陸上面有很多線 段、圖形，你猜得出那是「幾何」大陸。上一章學到的坐標系屬於哪一塊大 陸呢？ 答案是 Yes and No。它既不屬於，也同時屬於兩個大陸。 坐標系是連結「幾何」大陸與「代數」大陸的跨海大橋。走上這座跨海 大橋，你能用代數替幾何取名字嗎？ 《取自數感實驗室／賴以威》
86
87
第 2 章 直線方程式
2– 1 斜 率
▲ 圖1
雲端教室
▲ 圖2
▲ 圖3
這裡的「坡度」是指斜坡的傾斜程度，上圖甲、乙、丙三種坡度，你比較喜 歡哪一種？ 甲的斜坡較為平坦比較輕鬆攀爬，但丙斜坡的坡度最為陡峭比較不容易攀 爬，具挑戰性。要如何比較坡度的大小呢？我們將在直角坐標中，引進直線與直 線的斜率來描述以上的情況。
2-1.1 直線的斜率 一般來說，我們以水平方向每前進一個單位的距離時，鉛直方向上升或下降 多少個單位的距離表示坡度的大小。 若將直線 L 想成是一個斜坡，若直線 L 不是鉛直線， Y x1 ）， 且過相異兩點 A ` x1 , y1 j 、 B ` x2 , y2 j （其中 x2 = 我們用比值
斜
2-1
率
y2 - y1 ⋯⋯鉛直位移（ Ty ） x2 - x1 ⋯⋯水平位移（ Tx ）
m=
88
來表示直線 L 的傾斜程度（如圖 4）。 ▲ 圖4
88 消失的正方形
直線的斜率 檔案位置： 1 教學光碟→多媒體資源 2 享備課→技高數學→教學資源
雲端教室
2-1 其中，就同一直線而言，比值 m 不會因為選取的點不同或列式時的順序不
2
同而有所差異（如圖 5、圖 6）。
▲ 圖5
▲ 圖6
1 點不同：由相似三角形對應邊成比例的性質得 m =
2 順序不同： m =
y2 - y1 x2 - x1
=
y2 - y1 x2 - x1
=
y4 - y3 x4 - x3
y1 - y2 x1 - x2
只要直線 L 給定，比值 m 就隨之確定，我們將這個比值 m 稱為直線 L 的斜率。
直線的斜率 設 A ` x1 , y1 j 、 B ` x2 , y2 j 為直線 L 上相異兩點， Y x2 ）， (1) 若直線 L 不是鉛直線（ x1 = 則 L 的斜率 m =
y2 - y1 x2 - x1
。
(2) 若直線 L 為鉛直線（ x1 = x2 ）， 則 L 的斜率不存在。
y2 - y1 x2 - x1
分母為 0，
2-1
斜
當 x1 = x2 使 m =
故不定義鉛直線的斜率
率
89 89
2
[ 配合講義例 1、例 2、例 3、例 4]
× 4
例
1
如 圖 所 示 A _2 , 3 i 、 B _1 , 2 i 、 C _- 2 , 3 i 、 D _- 1 , - 1 i 、 P _- 1 , 2 i ，試求下列直線的斜率。
1 直線 AP 2 直線 BP 3 直線 CP 4 直線 DP。
設 m AB 表示直線 AB 的斜率 1 m AP =
2-3 1 = -1 - 2 3
（左下右上的直線） 2 m BP =
2-2 = 0 （水平線） -1 - 1
3 mCP =
2-3 =- 1 - 1 - ^- 2h
（左上右下的直線） 4 m DP =
1.
2 - ^- 1h
- 1 - ^- 1h
=
3 斜率不存在（鉛直線） 0
如 圖 所 示 A _- 1 , 4 i 、 B _2 , - 1 i 、 C _- 2 , 2 i 、 D _- 3 , - 1 i 、 P _2 , 2 i ，
試求下列直線的斜率。
1 直線 AP 2 直線 BP 答：1 -
2 3 3 2 3 0 4 3 0 5
3 直線 CP 4 直線 DP。 2-4 2 =1 m AP = 3 2 - ^- 1h
斜
2-1
率
2 m BP =
90 90 檔案位置：
1 題庫光碟→素養題庫資料夾 2 線上題測→素養題庫
2 - ^- 1h 3 = 斜率不存在 0 2-2
3 mCP = 4 m DP =
2-2 =0 2 - ^- 2h 2 - ^- 1h
2 - ^- 3 h
=
3 5
2-1 由例題與隨堂練習，我們整理直線斜率的正負及大小變化，如圖 7 所示：
2
1 直線由左下向右上傾斜時，其斜率 為正。（如圖 8） 2 直線由左上向右下傾斜時，其斜率 為負。（如圖 9） 3 水 平 線 的 斜 率 為 0， 鉛 直 線 的 斜 率 不存在。 4 直線的傾斜程度愈大，其斜率的絕 對值也愈大。
▲ 圖7
▲ 圖8
▲ 圖9
另外，直線的斜率是由直線上任相異兩點所決定，可知：
性質 若 A、B、C 三點共線，則 m AB = m BC = m AC 。
（其中 m AB 表示直線 AB 的斜率）
斜
2-1
以上結果反過來說也是成立的。
率
▲ 圖10
91 91
2
[ 配合講義例 6]
× 2
例
2
若 A _- 2 , 0 i 、 B _- 1 , 1 i 、 C _ k , 4 i 三點在同一直線上，試求 k 之值。
因為 A、B、C 三點共線 所以直線 AB 的斜率 = 直線 BC 的斜率 即
1-0 4-1 = - 1 - ^- 2h k - ^- 1h
整理得
1 3 = 1 k+1
交叉相乘得 k + 1 = 3 所以 k = 2
2.
若 A _- 3 , k i 、 B _- 1 , 0 i 、 C _3 , - 2 i 三點無法連結成一個三角形，試 求 k 之值。 答：k = 1 因為 A、B、C 三點無法連結成一個三角形 即 A、B、C 三點共線 所以直線 AB 的斜率 = 直線 BC 的斜率 即
-2 - 0 0-k = - 1 - ^- 3 h 3 - ^- 1h
整理得
-k -2 = ，交叉相乘得 - 4k = - 4 2 4
所以 k = 1 斜
2-1
率
92 92
[ 例題 2 ]
（ C ）1. 設點 _ a , 2 i 落在 _1 , 3 i 與 _2 , 5 i 兩點的連線上，則 a = ？ A - 1 B - 0.5 C 0.5 D 1。 【100B】
（ C ）2. 若坐標平面上三點 A _- 2 , 6 i ， B _10 , 2 i ， C _a , a + 4 i 在同一直線上，則 a = ？ A - 2 B - 1 C 1 D 2。
【100A】
數學
界 跨出
連結經濟學——供需曲線圖
我們來認識兩個經濟學中的常識，需求曲線與供給曲線。 1 需求：指的是需求量（Q）與價格（P）之間的關係。 從消費者的角度來看，當物品價格下跌時，需求量增加；當物品價 格上漲時，需求量減少，如圖 11 所示這樣的需求曲線的斜率是負 的。 1 A 點→ B 點 點向右下方移動 【價格下跌，需求量增加】 2 B 點→ A 點 點向左上方移動 【價格上漲，需求量減少】 ▲ 圖11
例如： 站在「消費者」立場思考，若某樣東西有促銷，就會多買甚至囤貨。 2-1
降價 499 之亂與衛生紙漲價風聲導致搶購，這兩個案例正可說明需求
率
斜
相反的，若是漲價就會少買，甚至不買。以 2018 年兩大事件――電信
曲線的狀況。
93 檔案位置： 1 題庫光碟→素養題庫資料夾 2 線上題測→素養題庫
2 供給：指的是供給量（Q）與價格（P）之間的關係。 從生產者角度來看，當物品價格上漲，供給量增加；當物品價格下 跌，供給量減少，如圖 12 所示這樣的供給曲線的斜率是正的。 1 A 點→ B 點 點向右上方移動 【價格上漲，供給量增加】 2 B 點→ A 點 點向左下方移動 【價格下跌，供給量減少】 ▲ 圖12
例如： 站在「供應商」立場思考，若產品價格上漲，多製造生產就可獲利更 多。曾經高麗菜價格居高不下，所以很多農民就會搶種，提高收益。
斜
2-1
率
94 ▲ 圖13 高麗菜營養豐富，含大量維生素C、纖維素、碳水化合物和各種礦物質
2-1
2-1.2 兩平行線的性質
2
兩平行線的斜率會相等嗎？ 答：見下方內文說明
由直線斜率的定義知：斜率可用來表示直線的傾斜程度。當有兩相異且非鉛 直的線互相平行時，則此兩直線的傾斜程度與方向是相同的，也就是說，它們的 斜率應該是相等的。反之，互相平行的兩直線，其斜率也必相等。 說明如下： 如圖 14 所示，設直線 L1 與 L2 的斜率分別為 m1 、 m2 ，若 L1 ' L2 ，當橫坐標增加 1 單位時，縱坐標的變化應相等，即 m1 = m2 。又當 m1 = m2 時，由直線 x = 1 與 L1 、 L2 所夾的同位角相等，可得 L1 ' L2 。 實際例子作圖如下圖 15： y = 2x - 3 與 y = 2x + 1 。
▲ 圖14
▲ 圖15
以上我們只討論斜率為正的情形，事實上，當斜率為負或 0 時，此性質依然
斜
2-1
成立。
率
95 95 兩平行直線 檔案位置： 1 教學光碟→多媒體資源 2 享備課→技高數學→教學資源
2
兩平行線的性質 設 L1 、 L2 為平面上兩相異且非鉛直線，其斜率分別為 m1 、 m2 ，則
L1 ' L2 + m1 = m2
說明：符號「 + 」表示式子左右兩邊可互相推演得到結論。
例
3
[ 配合講義例 7]
設 A _2 , 0 i 、 B _- 3 , 5 i 、 C _- 1 , - 1 i 、 D _4 , x i ， 若 AB 與 CD 平行，試求 x 之值。
AB 的斜率為 m AB =
5-0 =- 1 -3 - 2
CD 的斜率為 mCD =
x - ^- 1h
4 - ^- 1h
=
x+1 5
又 AB ' CD ，則 m AB = mCD 即 -1 =
x+1 整理得 - 5 = x + 1 5
故 x =- 6
3.
設 A _1 , - 5 i 、 B _4 , 1 i 、 C _- 1 , x i 、 D _- 4 , - 3 i ，若 AB 與 CD 平行， 試求 x 之值。
斜
2-1
率
答：x = 3 AB 的斜率為 m AB =
96 96
-3 - x -3 - x 1 - ^- 5h = = 2 ， CD 的斜率為 mCD = -3 - 4 - ^- 1h 4-1
又 AB ' CD ，則 m AB = mCD ，即 2 =
-3 - x ，整理得 - 6 = - 3 - x，故 x = 3 -3
2-1
2-1.3 兩垂直線的性質
2
如何利用斜率來判斷兩直線是否垂直呢？ 答：見下方內文說明
因為兩平行線斜率相等，即直線平移後斜率不 會改變，所以可將平面上兩相異且斜率皆不為 0 的 直線 L1 與 L2 平移，使其交點落在直角坐標原點上， 如 圖 16 所 示。 接 著 分別在 L1 、 L2 上任取一點，為 A ` x1 , y1 j、 B ` x2 , y2 j，則兩直線斜率分別為 m1 = m2 =
y2 x2
y1 x1
、 ▲ 圖16
，推論如下：
L1 = L2 +3 OAB 為直角三角形 2
2
2
+ AB = AO + BO （畢氏定理） 2 2 2 2 + ` x2 - x1 j + ` y2 - y1 j = a x1 + y1 k + a x2 + y2 k 2
2
+ x1 x2 + y1 y2 = 0 + y1 y2 =- x1 x2 +
y1 y2 x1 x2 y1 x1
pf
y2 x2
p =- 1
2-1
斜
+f
=- 1
率
+ m1 # m2 =- 1 實際例子作圖如右（圖 17）： y = x + 1 與 y =- x + 1
▲ 圖17
97 97
兩垂直直線 檔案位置： 1 教學光碟→多媒體資源 2 享備課→技高數學→教學資源
2
兩垂直線的性質 設 L1 、 L2 為平面上兩相異直線，其斜率分別為 m1 、 m2 ， Y 0 、 m2 = Y 0 ，則 且 m1 =
L1 = L2 + m1 # m2 =- 1
例
[ 配合講義例 8]
4
設 A _- 2 , a i 、 B _3 , 4 i 、 C _- 2 , 8 i 、 D _4 , - 2 i ， 若 AB 與 CD 垂直，試求 a 之值。
AB 的斜率為 m AB = CD 的斜率為 mCD =
4-a 4-a = 5 3 - ^- 2h -2 - 8
4 - ^- 2h
=
-5 3
又 AB = CD ，則 m AB # mCD =- 1 即
4 - a -5 # =- 1 整理得 - 20 + 5a =- 15 移項得 5a = 5 5 3
故a = 1
4.
設 A _- 3 , 4 i 、 B _ a , 1 i 、 C _- 4 , - 2 i 、 D _2 , 8 i ，若 AB 與 CD 垂直， 試求 a 之值。 答：a = 2
斜
2-1
率
AB 的斜率為 m AB =
8 - ^- 2h 5 -3 1-4 = = ， CD 的斜率為 mCD = 2 - ^- 4h 3 a - ^- 3 h a + 3
又 AB = CD ，則 m AB # mCD =- 1
98
即
98
-3 5 # =- 1 ，整理得 - 15 = - 3a - 9，移項得 3a = 6，故 a = 2 a+3 3
[ 例題 4 ]
（ B ）1. 已知平面上三點 A _2 , 1 i ， B _1 , 3 i 及 C _4 , k i ，若線段 AB 及 AC 垂直，則 k = A 1 B 2 C 3 D 4。
【99B】
例
5
2-1
[ 配合講義例 9]
已知直線 L1 的斜率為
2
3 ，試問： 2
1 若直線 L2 平行 L1 ，試求 L2 的斜率。 2 若直線 L3 垂直 L1 ，試求 L3 的斜率。
設直線 L1 、 L2 、 L 的斜率分別為 m1 、 m2 、 m3 ， 3
則 m1 =
3 2
1 因為直線 L2 平行 L1 ，則 m1 = m2 所以 m2 =
3 2
2 因為直線 L3 垂直 L1 ，則 m1 # m3 =- 1 即
5.
兩平行直線其斜率相等
兩垂直線其斜率相乘等於 - 1
3 2 # m3 =- 1 ，所以 m3 =2 3
已知直線 L1 的斜率為 -
1 ，試問： 2
1 答：1 - 2 2 L L L 若直線 平行 ，試求 的斜率。 1 2 2 1 2 設直線 L1 、 L2 、 L3 的斜率分別為 m1 、 m2 、 m3 ，則 m1 =1 因為直線 L2 平行 L1 ，則 m1 = m2 ，所以 m2 =-
1 2
1 2
2 若直線 L3 垂直 L1 ，試求 L3 的斜率。 2 因為直線 L3 垂直 L1 ，則 m1 # m3 =- 1 ，即 -
1 # m3 =- 1 ，所以 m3 = 2 2
斜
2-1
率
99 99
2-1 習題 對應例題
1
雲端教室
基礎題
1
設 A _- 2 , 2 i 、 B _3 , - 2 i 、 C _5 , 2 i 、 D _3 , 4 i ，
試求下列直線的斜率並在坐標平面上畫出圖 形。 1 直線 AB 2 直線 BC 3 直線 AC 4 直線 BD。 答：1 1
2
4 2 2 3 0 4 不存在 5
1 請將 m = 0 、m 不存在、 m 2 0 、 m 1 0 ，填入下列各圖形的斜率 1
2
3
4
m 不存在 m20 m10 m=0
2 設 m1 、 m2 分別為直線 L1 、 L2 的斜率，試比較圖 1、圖 2 中 m1 與 m2 的大小。 1
2
斜
2-1
率
m1 2 m2 m1 1 m2
100
1
1
3
試求過下列各組 A、B 兩點的直線斜率：
4
1 2 不存在 2 若直線通過點 _2 , a i 與 _1 - a , 5 i ，且其斜率為 2，試求 a 之值。
1 A _5 , - 2 i 、 B _- 7 , 4 i 2 A _3 , 1 i 、 B _3 , 5 i 。
答：1 -
答：a = - 7
對應例題
2 2
5 6
若 A _- 1 , - 1 i 、 B _2 , k i 、 C _8 , 5 i 三點共線，試求 k 之值。
答：k = 1
在 坐 標 平 面 上， 設 k 為 實 數， 若 P _2 , 3 i 、 Q _4 , - 5 i 、 R _ k , - 3 i 三 點 無 法
連結成一個三角形，試求 k 之值。 3 4
7
答： k =
7 2
1 設 A _- 3 , 4 i 、 B _ a , 1 i 、 C _- 4 , - 2 i 、 D _2 , 8 i ，若 AB 與 CD 平行，試求 a 之值。 2 設 A _1 , - 5 i 、 B _4 , 1 i 、 C _- 1 , x i 、 D _- 4 , - 3 i ， 若 AB 與 CD 垂 直， 試 求 x 之值。 答：1 a =-
5
8
24 9 2 x =5 2
2 ，試問： 3 1 若直線 L2 平行 L1 ，試求 L2 的斜率。
已知直線 L1 的斜率為 -
2 若直線 L3 垂直 L1 ，試求 L3 的斜率。 答：1 -
進階題 4
4
9
10
2 3 2 3 2
設 直 線 L1 通 過 A _3 , k + 1 i 、 B _- k , 5 i 兩 點， 直 線 L2 通 過 C _4 , - 3 i 、 D _- 2 , 1 i 兩點，若直線 L1 垂直 L2 ，試求 k 之值。
答：k = - 17
已知坐標平面上三點 A _2 , 1 i 、 B _1 , 3 i 及 C _4 , 2 i ，試問 3 ABC 是否為直角 率
答：是
2-1
斜
三角形？
101