Zbirka zadataka nova

Page 1

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje iz matematike

1

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu učenika osnovnih škola za takmičenje iz matematike

Iz Pedagoškog zavoda TK Zbirka zadataka iz matematike za pripremu učenika osnovnih škola za takmičenje Godina 2016. Izdavač: Pedagoški zavod Tuzlanskog kantona Bosne srebrene br. 119. 75 000 Tuzla www.pztz.ba Za izdavača: Mr.sc. Nikola Čiča, direktor Zavoda Urednici: Dr.sc. Hariz Agić, Savjetnik za obrazovanje u PZTK i Edis Ćatibušić, profesor matematike Objavljeno na: www.pztz.ba U izradi zbirke učestvovali su nastavnici: Sanela Buljubašić, Prva osnovna škola Srebrenik, Olgica Bešić, OŠ „Bukinje“, Suada Mehić, OŠ „Gnojnica“, Admira Ahmetović, OŠ „Slavinovići“, Emira Ljubunčić, OŠ „Safvet-beg Bašagić“, Jasmina Šarić i Sokoljak Saida, OŠ „Simin Han“, Amira Korić, OŠ „Mramor“, Munira Jahić, OŠ „Novi Grad“, Haida Ahmetović, OŠ „Šerići“, Aida Džananović, OŠ „Orahovica“, Mara Kešina, OŠ „Solina“, Fata Husejnović, OŠ „Čelić“, Kurtalić Alma, OŠ „Kreka“, Amra Mešić i Enesa Devedžić, Druga osnovna škola Gračanica, Hajrija Salkanović, Behida Malkić, Nermina Isović i Šemsa Begić , OŠ „Tušanj“, Jasmina Hodžić i Edin Mrkanović , OŠ „Brijesnica“, Amela Salkić, Suada Bećirović, Fahrudin Bešić , OŠ „Puračić“, Amra Bektić, Samir Džananović i Elvir Mujić, OŠ „Hasan Kikić“ Gračanica, Elvira Muratović, Enesa Smajlbegović i Bilal Softić, OŠ „Klokotnica“, Amra Ćidić i Nedžad Udvinčić, OŠ „Zelinja Donja“, Ajiša Nakičević i Senad Avdić, OŠ „Teočak“, Almir Ljubunčić, OŠ „Rapatnica“, Mirnes Poljaković, OŠ „Sapna“, Nihad Zaketović, OŠ „Džakule“, Mirsad Mehmedić, OŠ „Centar“, Hasan Smajić, OŠ „Malešići“, Damir Krdžić i Salim Kovač, OŠ „Sladna“, Edin Gostevčić, OŠ „Podrinje“ Mihatovići, Asim Imamović, OŠ „Kalesija“, Asim Krnjić, OŠ „Gnojnica“, Emir Hozić, Druga osnovna škola Srebrenik, Ferid Nukić i Omer Brkić, OŠ „Poljice“, Mujo Ramić, Muhamed Šmigalović i Nermin Avdić, Druga snovna škola Živinice, Nermina Džanić, Mirza Udvinčić, Selmir Karić i Rasim Dugić, OŠ „Ivan Goran Kovačić“ Gradačac, Edis Ćatibušić, OŠ „Čelić“. Tuzla, januara 2016. god

2

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu učenika osnovnih škola za takmičenje iz matematike

Uvodne riječi Poštovani učenici i učenice, uvažene kolege/ce nastavnici i nastavnice, pred nama je Zbirka zadataka iz matematike za pripremu učenika osnovnih škola za takmičenje. Ideja oko izdavanja ove zbirke se provlači kroz aktivnosti Pedagoškog zavoda TK i Udruženja matematičara TK, partnera Pedagoškog zavoda TK u organizaciji i izvođenju takmičenja učenika osnovnih i srednjih škola iz matematike. Poznato je da postojeće zbirke zadataka i udžbenici ne odgovaraju, u potpunosti, potrebama učenika za kvalitetnije pripremanje za takmičenje, naročito na nižim nivoima. Sa druge strane, na tržištu postoje publikacije i zbirke, uglavnom, već viđenih zadataka na zvaničnim takmičenjima, kako na našem Kantonu, tako i u zemljama u okruženju, koji ne obezbjeđuju fond zadataka sa postepenim uvođenjem matematičkih vještina, od prostog ka složenom. Zato je zaključeno, da nedostaje materijal za pripremu takmičenja, kako rekosmo, na nižim nivoima, npr. školskim, općinskim, a djelimično i kantonalnim, koji bi trebao sadržavati zadatke umjerene složenosti, čije rješavanje bi efikasnije premostilo jaz između redovne i dodatne nastave matematike i jednog ozbiljnijeg pristupa pripremanja za takmičenje. Ideja je potekla u Udruženju matematičara TK, jer se iz iskustva znalo da su učenici bili nezadovoljni sa konceptom zadavanja takmičarskih zadataka, koji su ponekad većinu njih znali iznenaditi svojom složenošću. Preovladalo je mišljenje da u ovom procesu trebaju učestvovati svi nastavnici matematike, jer oni rade direktno sa svojim učenicima na pripremi za takmičenje. Svaki od njih je poslao zadatke, koji su primjereni njihovim učenicima, sa rješenjima i uputama za rješavanje zadataka. U nekim školama, kao npr. Druga osnovna škola Srebrenik, na prijedlozima zadataka, su radili i učenici, već poznati takmičari. Koristimo priliku da im se zahvalimo na njihovom trudu. Zadaci su svrstani po razredima i oblastima sa rješenjima ili kratkim uputama. U prilog ove zbirke smo postavili i sve formule i matematičke simbole iz gradiva matematike za osnovne škole, da se učenicima nađu na dohvat ruke u eventualnoj, praktičnoj primjeni. Koristimo priliku da se zahvalimo svim nastavnicima i učenicima, koji su učestvovali u izradi prijedloga zadataka, koji sadrže mnoštvo matematičkih ideja. Nadamo se da će ovaj materijal dobro doći učenicima i nastavnicima u kvalitetnijoj pripremi za takmičenje učenika osnovnih škola iz matematike. Molimo sve korisnike ove zbirke da svojim sugestijama i ispravkama eventualnih grešaka, poboljšaju kvalitet ove Zbirke zadataka.

3

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu učenika osnovnih škola za takmičenje

Sadržaj Uvodne riječi ........................................................................................................................................... 3 Sadržaj ..................................................................................................................................................... 4 Zadaci za šesti razred .............................................................................................................................. 5 Skupovi................................................................................................................................................ 6 Uglovi ................................................................................................................................................ 12 Skup prirodnih brojeva ...................................................................................................................... 22 Djeljivost u skupu prirodnih brojeva ................................................................................................. 38 Razlomci............................................................................................................................................ 45 Zadaci za sedmi razred .......................................................................................................................... 52 Cijeli brojevi ...................................................................................................................................... 53 Racionalni brojevi ............................................................................................................................. 62 Trougao ............................................................................................................................................. 74 Zadaci za osmi razred ............................................................................................................................ 84 Kvadriranje i korjenovanje ................................................................................................................ 85 Procentni račun .................................................................................................................................. 97 Cijeli racionalni izrazi ..................................................................................................................... 107 Pitagorina teorema........................................................................................................................... 117 Trougao, četverougao i mnogougao ................................................................................................ 130 Proporcionalnost.............................................................................................................................. 135 Koordinatni sistem .......................................................................................................................... 144 Zadaci za deveti razred ........................................................................................................................ 145 Algebarski izrazi ............................................................................................................................. 146 Linearna funkcija............................................................................................................................. 148 Jednadžbe ........................................................................................................................................ 159 Sistemi linearnih jednačina ............................................................................................................. 174 Nejednakosti i nejednadžbe ............................................................................................................. 182 Prosti i složeni brojevi. Djeljivost ................................................................................................... 185 Trougao i četverougao. Mnogougao ............................................................................................... 188 Racionalni izrazi .............................................................................................................................. 193 Analitička geometrija. Mnogougao ................................................................................................. 197 Simboli. Formule ................................................................................................................................. 199

4

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

Zadaci za ĹĄesti razred

Skupovi Uglovi Skup prirodnih brojeva Djeljivost u skupu prirodnih brojeva Razlomci

Svaki djelilac proizvoljnog broja đ?‘›, razliÄ?it od samog broja đ?‘›, nazivamo pravi djelilac broja đ?‘›. Pravi djelioci broja 6 su brojevi 1, 2 i 3. Njihov zbir je 1 + 2 + 3 = 6. Dakle, broj 6 je jednak zbiru svojih pravih djelilaca. To svojstvo ima i broj 28, Ä?iji su pravi djelioci brojevi 1, 2, 4, 7 i 14, pa je 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Brojevi sa ovakvom osobinom nazivamo savrĹĄenim brojevima. Slijedeći savrĹĄeni brojevi su 496 i 8128. SavrĹĄeni broj 8128 bio je poznat Nikomahu1. FibonaÄ?i2 je za odreÄ‘ivanje savrĹĄenih brojeva koristio izraz 1 đ?‘? đ?‘? â‹… 2 (2 − 1) 2 gdje je đ?‘? prost broj. Za đ?‘? ∈ {2, 3, 5, 7}, a koristeći prethodnu formulu dobijamo slijedeće savrĹĄene brojeve: 6, 28, 469, 8128. Peti savrĹĄeni broj 33550336 pronaĹĄao je Regiomontanus3. Ĺ esti savrĹĄeni broj je 8589056, sedmi savrĹĄeni broj je 137438691328, osmi savrĹĄeni broj je 2305843008139952128, ... Do kraja 2013. godine poznato je 48 savrĹĄenih brojeva i svi su parni. Posljednji i najveći savrĹĄeni broj pronaÄ‘en je 2013. godine i zapisuje se pomoću 34850340 cifara.

Nikomah (starogrÄ?ki: Î?ΚκĎŒΟιχος á˝ Î“ÎľĎ ÎąĎƒένοĎ‚; 60. – 120. g. n. e.) bio je starogrÄ?ki matematiÄ?ar i filozof. U svojoj uticajnoj knjizi „Uvod u aritmetiku“ po prvi put u povijesti grÄ?ke matematike aritmetiku je postavio nezavisnom od geometrije. 2 Leonardo od Pise, poznat kao Leonardo Bonacci ili Leonardo Fibonacci je talijanski matematiÄ?ar koji je Ĺživio u periodu oko 1170. – 1250. godine. Bio je jedan od najtalentiranijih matematiÄ?ara srednjeg vijeka. Najpoznatiji je po tome ĹĄto je raĹĄirio upotrebu arapskih cifara u Evropi, te po nizu Fibonaccijevih brojeva. 3 Johannes MĂźller Regiomontanus je njemaÄ?ki matematiÄ?ar, astronom, astrolog i prevoditelj. Ĺ˝ivio je u periodu 1436. – 1476. godine. NajvaĹžnija su mu djela: “O bilo kojim trokutima“, „Tabele kretanja planeta“, „Oblik neba“. 1

5

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje iz matematike

Skupovi 1. Od 1100 uÄ?enika, 470 se bavi skijanjem, 250 plivanjem, a 542 uÄ?enika se ne bavi ovim sportovima. Koliko uÄ?enika se bavi sa oba sporta? RjeĹĄenje: Broj uÄ?enika koji se bavi sportom je 1100 − 542 = 558. A broj uÄ?enika koji se bavi sa oba sporta je (250 + 470) − 558 = 720 − 558 = 162

2. Skup đ??´ ima 22 elementa, skup đ??ľ 17. Ako skup đ??´ âˆŞ đ??ľ ima 25 elemenata, koliko elemenata ima skup đ??´ ∖ đ??ľ i skup đ??´ ∊ đ??ľ? RjeĹĄenje: Skup đ??´ ∊ đ??ľ = (đ??´ + đ??ľ) − (đ??´ âˆŞ đ??ľ) = 22 + 17 − 25 = 14 elemenata. Skup đ??´ ∖ đ??ľ = đ??´ − (đ??´ ∊ đ??ľ) = 22 − 14 = 8 elemenata.

3. Koliko je bilo ukupno uÄ?esnika na jednom savjetovanju ako svaki od njih govori bar jedan od tri strana jezika i to: 2 uÄ?esnika govore francuski, engleski i njemaÄ?ki, 9 uÄ?esnika govori samo francuski i engleski, 13 uÄ?esnika govori francuski i njemaÄ?ki, 12 uÄ?esnika govori njemaÄ?ki i engleski, 29 uÄ?esnika govori engleski, 6 uÄ?esnika govori samo francuski, 7 uÄ?esnika govori samo njemaÄ?ki. RjeĹĄenje: Zadatak rjeĹĄavamo pomoću Venovog dijagrama: Ukupno 53 uÄ?esnika.

6

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje iz matematike

4. Neka je đ?‘€ skup slova koja Ä?ine rijeÄ? matematika, a đ?‘‡ skup slova koja Ä?ine rijeÄ? takmiÄ?enje. Koliko se dvoÄ?lanih skupova moĹže naÄ?initi od elemenata skupa đ?‘€ ∊ đ?‘‡? RjeĹĄenje: Odredimo elemente skupa đ?‘€ = {đ?‘š, đ?‘Ž, đ?‘Ą, đ?‘’, đ?‘–, đ?‘˜} i elemente skupa đ?‘‡ = {đ?‘Ą, đ?‘Ž, đ?‘˜, đ?‘š, đ?‘–, Ä?, đ?‘’, đ?‘›đ?‘—}. Elementi skupa đ?‘€ ∊ đ?‘‡ = {đ?‘š, đ?‘Ž, đ?‘Ą, đ?‘’, đ?‘–, đ?‘˜}. Svi dvoÄ?lani skupovi koji se mogu naÄ?initi od elemenata skupa đ?‘€ ∊ đ?‘‡ su: {đ?‘š, đ?‘Ž}, {đ?‘š, đ?‘Ą}, {đ?‘š, đ?‘’}, {đ?‘š, đ?‘–}, {đ?‘š, đ?‘˜}, {đ?‘Ž, đ?‘Ą}, {đ?‘Ž, đ?‘’}, {đ?‘Ž, đ?‘–}, {đ?‘Ž, đ?‘˜}, {đ?‘Ą, đ?‘’}, {đ?‘Ą, đ?‘–}, {đ?‘Ą, đ?‘˜}, {đ?‘’, đ?‘–}, {đ?‘’, đ?‘˜}. Ukupno 14 dvoÄ?lanih skupova.

5. Od uÄ?enika jednog razreda svaki od njih voli bar jedno od ova tri voća: banana, groŞđe, kruĹĄke. Njih 21 voli banane, 11 banane i groŞđe, 16 groŞđe, 2 sve tri vrste voća, a 14 kruĹĄke. Koliko uÄ?enika ima u razredu i koliko od njih voli taÄ?no dvije vrste voća? RjeĹĄenje: Prema tekstu zadatka imamo Venov dijagram:

Razred ima 38 uÄ?enika, a njih taÄ?no 9 voli dvije vrste voća.

6. OsjenÄ?i dio dijagrama koji odgovara skupovnim operacijama (đ??´ ∖ đ??ľ) âˆŞ (đ??ľ ∊ đ??ś).

RjeĹĄenje:

7

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje iz matematike

7. Svi uÄ?enici jednog odjeljenja Prve OĹ Srebrenik uÄ?estvuju u radu bar jedne od sekcija: odbojkaĹĄke, matematiÄ?ke ili historijske. U sve tri sekcije uÄ?lanjena su tri uÄ?enika, u samo po dvije sekcije ukljuÄ?ena su po Ä?etri uÄ?enika, a u samo jednu sekciju uÄ?lanjeno je po pet uÄ?enika. Koliko uÄ?enika ima u odjeljenju? Koliko uÄ?enika je u odbojkaĹĄkoj, koliko u matematiÄ?koj, a koliko u historijskoj sekciji? RjeĹĄenje: đ?‘‚ = {đ?‘Ľ|đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘˘ đ?‘˘Ä?đ?‘’đ?‘›đ?‘–đ?‘?đ?‘– đ?‘œđ?‘‘đ?‘?đ?‘œđ?‘—đ?‘˜đ?‘ŽĹĄđ?‘˜đ?‘’ đ?‘ đ?‘’đ?‘˜đ?‘?đ?‘–đ?‘—đ?‘’} đ?‘€ = {đ?‘Ľ|đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘˘ đ?‘˘Ä?đ?‘’đ?‘›đ?‘–đ?‘?đ?‘– đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ąđ?‘’đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ąđ?‘–Ä?đ?‘˜đ?‘’ đ?‘ đ?‘’đ?‘˜đ?‘?đ?‘–đ?‘—đ?‘’} đ??ť = {đ?‘Ľ|đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘˘ đ?‘˘Ä?đ?‘’đ?‘›đ?‘–đ?‘?đ?‘– â„Žđ?‘–đ?‘ đ?‘Ąđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘—đ?‘ đ?‘˜đ?‘’ đ?‘ đ?‘’đ?‘˜đ?‘?đ?‘–đ?‘—đ?‘’} đ?‘›(đ?‘‚ ∊ đ?‘€ ∊ đ??ť) = 3 đ?‘›(đ?‘‚ ∊ đ?‘€) = 4 đ?‘›(đ?‘‚ ∊ đ??ť) = 4 đ?‘›(đ?‘€ ∊ đ??ť) = 4 đ?‘›(đ?‘‚ ∖ (đ?‘€ âˆŞ đ??ť)) = 5 đ?‘›(đ?‘€ ∖ (đ?‘‚ âˆŞ đ??ť)) = 5 đ?‘›(đ??ť ∖ (đ?‘€ âˆŞ đ?‘‚)) = 5 đ?‘›(đ?‘‚ âˆŞ đ?‘€ âˆŞ đ??ť) =? đ?‘›(đ?‘€) =? đ?‘›(đ?‘‚) =? đ?‘›(đ??ť) =? đ?‘›(đ??ť) = 5 + 4 + 4 + 3 = 16 đ?‘›(đ?‘€) = 5 + 4 + 4 + 3 = 16 đ?‘›(đ?‘‚) = 5 + 4 + 4 + 3 = 16 đ?‘›(đ?‘‚đ?‘ˆđ?‘€đ?‘ˆđ??ť) = 3 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 5 = 30 U razredu je ukupno 30 uÄ?enika, a u svaku od sekcija ukljuÄ?eno je po 16 uÄ?enika.

8. Dati su skupovi: A = {đ?‘Ľ ∈ â„•|250 ≤ đ?‘Ľ < 300 i đ?‘Ľ djeljiv sa 6} i đ??ľ = {đ?‘Ś ∈ â„•|250 ≤ đ?‘Ś ≤ 300 i đ?‘Ś djeljiv sa 9}. Odredi najveću moguću razliku dva broja iz skupa đ??´ ∊ đ??ľ. RjeĹĄenje: đ??´ = {252, 258, 264, 270, 276, 282, 288, 292}, đ??ľ = {252, 261, 270, 279, 288, 297} đ??´ ∊ đ??ľ = {252, 270, 288}. Najveća moguća razlika se dobije oduzimanjem od najvećeg najmanji element skupa đ??´ ∊ đ??ľ, a to je 288 − 252 = 36.

8

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje iz matematike

9. U ĹĄkoli ima 60 nastavnika. Od tog broja njih 39 pije kafu, 28 pije Ä?aj, 16 pije i Ä?aj i kafu. Ima li nastavnika koji ne pije ni Ä?aj ni kafu ? RjeĹĄenje:

đ?‘ −skup svih nastavnika đ??ž −skup nastavnika koji piju kafu ÄŒ −skup nastavnika koji piju Ä?aj Nastavnici koji piju samo kafu: 39 − 16 = 23 Nastavnici koji piju samo Ä?aj: 28 − 16 = 12 Nastavnici koji ne piju ni Ä?aj ni kafu: 60 − (23 + 16 + 12) = 60 − 51 = 9 Dakle, 9 nastavnika ne pije ni Ä?aj ni kafu. 10. U nekoj grupi uÄ?enika njih 20 vole sport, 9 muziku, a 6 muziku i sport. Odredi koliko ima uÄ?enika u toj grupi, koliko onih koji vole samo sport , a koliko onih koji vole samo muziku? (Koristi Venov dijagram! ) RjeĹĄenje:

Ukupan broj uÄ?enika je 23. Samo sport voli 14 uÄ?enika, a samo muziku 3 uÄ?enika.

11. Odredi skup đ?‘‹ tako da vaĹži: a) {1, 2} ∊ đ?‘‹ = {1, 2, 3}; b) {1, 2} âˆŞ đ?‘‹ = {1, 2, 3}; c) {1, 2, 3} ∊ đ?‘‹ = {1, 2}. RjeĹĄenje: a) Takav skup ne postoji. b) Postoje Ä?etiri rjeĹĄenja: đ?‘‹ = {3}, đ?‘‹ = {1, 3}, đ?‘‹ = {1, 2, 3}. c) đ?‘‹ je bilo koji skup koji sadrĹži 1 i 2 i ne sadrĹži 3.

9

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje iz matematike

12. Od 1050 uÄ?enika 870 se bavi skijanjem, 480 nogometom, a 65 uÄ?enika ne bavi se ovim sportovima. Koliko se uÄ?enika bavi skijanjem i nogometom? RjeĹĄenje: Broj uÄ?enika koji se bavi bar jednim od ova dva sporta je 1050 – 65 = 985. Skup đ?‘† (skijanje) ima 870 uÄ?enika. Skup đ?‘ (nogomet) ima 480 uÄ?enika.

OznaÄ?imo sa đ?‘‹ broj uÄ?enika koji se bave sa oba sporta đ?‘‹ = (870 + 480) – 985 đ?‘‹ = 365 13. Dati su skupovi đ??´ = {1,2,3} i đ??ľ = {3,4,5}. Odredi skup đ?‘‹ ako je đ??´ âˆŞ đ?‘‹ = đ??´ i đ??ľ ∊ đ?‘‹ = đ??´\(đ??´\đ??ľ). Koliko rjeĹĄenja ima zadatak? RjeĹĄenje: Zadatak ima tri rjeĹĄenja: đ?‘‹ = {3}, đ?‘‹ = {2,3}, đ?‘‹ = {1,2,3}.

14. U jednoj ĹĄkoli ima 450 uÄ?enika. Sportom se ne bavi samo njih 20. Ostali igraju koĹĄarku, odbojku ili fudbal. KoĹĄarku i odbojku igra 215 uÄ?enika, fudbal i odbojku igra 323 uÄ?enika. Koliko uÄ?enika se bavi svakim od ovih sportova? RjeĹĄenje: Fudbal: 215, Odbojka 108, KoĹĄarka 107

15. Koliko ima prirodnih brojeva manjih od 1000, koji nisu djeljivi ni sa 4 ni sa 6? RjeĹĄenje: NapiĹĄimo elemente skupova: đ??´ = {1, 2, 3, ‌ , 998, 999}, skup koji sadrĹži brojeve manje od 1000 đ??ľ = {4, 8, 12, ‌ , 992, 996}, skup koji sadrĹži brojevedjeljive sa 4 đ??ś = {6, 12, 18, ‌ , 990, 996}, skup koji sadrĹži brojeve djeljive sa 6 đ??ľ ∊ đ??ś = {12, 24, 36, ‌ , 984, 996}, skup koji sadrĹži brojeve djeljive sa 4 i sa 6 Kako je svaki Ä?etvrti broj djeljiv sa 4, svaki ĹĄesti djeljiv sa 6 i svaki dvanaesti broj djeljiv sa 12 imamo: 999: 4 = 249 (3), ostatak dijeljenja ZnaÄ?i: đ?‘›(đ??´) = 999 999: 6 = 166 (3), ostatak dijeljenja đ?‘›(đ??ľ) = 249

10

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

999: 12 = 83 (3), ostatak dijeljenja

đ?‘›(đ??ś) = 166 đ?‘›(đ??ľ ∊ đ??ś) = 83

249 − 83 = 166 166 − 83 = 83 TraĹženi brojevi koji nisu djeljivi ni sa 4 ni sa 6 sadrĹži skup đ??´\(đ??ľđ?‘ˆđ??ś) i ima ih 999 − (166 + 83 + 83) = 999 − 332 = 667.

16. U jednoj ĹĄkoli 320 uÄ?enika ide na informatiÄ?ku sekciju, a 124 na matematiÄ?ku. 256 uÄ?enika ne ide ni na jednu od navedenih sekcija. Ako je u toj ĹĄkoli 600 uÄ?enika, koliko uÄ?enika ide samo na matematiÄ?ku i samo na informatiÄ?ku sekciju? RjeĹĄenje: 600 − 256 = 344 } â&#x;š 444 – 344 = 100 320 + 124 = 444 324 − 100 = 224 124 − 100 = 24 Na informatiÄ?ku sekciju ide 224, a na matematiÄ?ku sekciju 24 uÄ?enika.

11

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje iz matematike

Uglovi 1. Zadane su prave đ??´đ?‘†, đ??ľđ?‘† i đ??ˇđ?‘† (kao na slici). TaÄ?ka đ??ś nalazi se na pravcu đ??´đ?‘†. Ako je âˆ˘đ??´đ?‘†đ??ľ = 136°, âˆ˘đ??ľđ?‘†đ??ˇ = 105° kolika je veliÄ?ina ugla âˆ˘đ??śđ?‘†đ??ˇ?

RjeĹĄenje: Na pravoj đ??ľđ?‘† odrediti taÄ?ku đ??¸, a na pravoj đ??ˇđ?‘† taÄ?ku đ??š, pa je âˆ˘đ??ˇđ?‘†đ??¸ = 180° − 105° = 75°, âˆ˘đ??šđ?‘†đ??ľ = âˆ˘đ??ˇđ?‘†đ??¸ = 75°, âˆ˘đ??šđ?‘†đ??´ = 136° − 75° = 61° = âˆ˘đ??śđ?‘†đ??ˇ

2. Zbir komplementnog i suplementnog ugla đ?›ź iznosi 150°. Koliko iznosi ugao đ?›ź? RjeĹĄenje: Prema tekstu zadatka imamo jednaÄ?inu: (90° − đ?›ź) + (180° − đ?›ź) = 150° â&#x;š đ?›ź = 60° .

3. Koliki je ugao đ?›ź ako je zbir njegovog komplementnog i suplementnog ugla 10đ?›ź? RjeĹĄenje: Prema tekstu zadatka formirajmo jednaÄ?inu, Ä?ije je rjeĹĄenje (90° − đ?›ź) + (180° − đ?›ź) = 10đ?›ź â&#x;š đ?›ź = 22° 30′

4. Razlika dva suplementna ugla đ?›ź i đ?›˝ jednaka je uglu đ?›˝. IzraÄ?unati uglove đ?›ź i đ?›˝. RjeĹĄenje: đ?›ź + đ?›˝ = 180°, đ?›źâ€“ đ?›˝ = đ?›˝ â&#x;š đ?›ź = 2đ?›˝ pa je đ?›˝ + 2đ?›˝ = 180° iz Ä?ega slijedi đ?›˝ = 60° i đ?›ź = 120°

12

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje iz matematike

5. Z b i r u g l a k o j i j e k o m p l e m e n t a n u g l u đ?›ź i ugla koji je suplementan uglu đ?›ź tri puta je veći od ugla đ?›ź. Odredi ugao đ?›ź. RjeĹĄenje: Îą + β = 90°, Îą + Îł = 180°, đ?›˝ + đ?›ž = 2đ?›ź, 90° − Îą + 180° − Îą = 2Îą, 5Îą = 270°, Îą = 54° 6. Uglovi đ?›ź i đ?›˝ su komplementni. Uglovi koji su suplementni sa đ?›ź i đ?›˝ razlikuju se za 13° 30’ . Odredi uglove đ?›ź i đ?›˝. RjeĹĄenje: Îą + β = 90° , Îą + Îł = 180°, β + δ = 180°, γ– δ = 13° 30′ , Îł = δ + 13° 30′ Îą + δ = 166° 30′, Îą = 166° 30′ − đ?›ż đ?›˝ = 180° − đ?›ż 166° 30′ − đ?›ż + 180° − đ?›ż = 90° 2đ?›ż = 256° 30′ δ = 128° 15′ Îą = 38° 15′ β = 51° 45′ 7. Uglovi đ?›ź i đ?›˝ su suplementni a uglovi đ?›˝ i đ?›ž komplementni. Odrediti uglove đ?›ź, đ?›˝ i đ?›ž ako je ugao đ?›ź pet puta veći od ugla đ?›ž. RjeĹĄenje: Îą + β = 180°, β + Îł = 90°, đ?›ź = 5đ?›ž. Iz datih jednakosti dobijemo β = 90° − đ?›ž, dakle 5Îł + 90°â€“ Îł = 180° â&#x;š đ?›ž = 22° 30′ Îą = 112° 30′ β = 67° 30′ 8. Od dva ugla Ä?iji je zbir 114° jedan je komplementan a drugi suplementan uglu đ?›ź. IzraÄ?unati ugao đ?›ź. RjeĹĄenje: Ugao koji je komplementan đ?›ź ď Ą je 90° − đ?›ź, a ugao koji je suplementan đ?›ź oznaÄ?avamo sa 180° − đ?›ź. Zbir ta dva ugla je 114°. Imamo jednaÄ?inu Ä?ije je rjeĹĄenje 90° − đ?›ź + 180° − đ?›ź = 114° â&#x;š đ?›ź = 78°

13

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje iz matematike

9. Dvije prave se sijeku i obrazuju Ä?etiri ugla. Odrediti te uglove ako je jedan od njih 11 puta manji od zbira ostala tri ugla. RjeĹĄenje:

Uglovi đ?›ź i đ?›ž su unakrsni i meÄ‘usobno su jednaki, a takoÄ‘er uglovi đ?›˝ i đ?›żsu unakrsni i meÄ‘usobno jednaki. Neka je ugao đ?›ź najmanji. Prema tekstu zadatka moĹžemo formirati jednaÄ?inu: 11đ?›ź = đ?›˝ + đ?›ž + đ?›ż, tj. 11đ?›ź = 2đ?›˝ + đ?›ź. Znamo joĹĄ da je đ?›ź + đ?›˝ = 180° â&#x;š đ?›˝ = 180° − đ?›ź. UvrĹĄtavanjem poslednje jednakosti u jednaÄ?inu 11đ?›ź = 2đ?›˝ + đ?›ź imamo: 11đ?›ź = 2 â‹… (180° − đ?›ź) + đ?›ź â&#x;š đ?›ź = 30°, đ?›˝ = 150°, đ?›ž = 30°, đ?›ż = 150°

10. Razlika dva komplementna ugla je 1° 5′. Kolike su veliÄ?ine tih uglova? RjeĹĄenje: Prema tekstu zadatka moĹžemo formirati jednaÄ?ine:

đ?›ź + đ?›˝ = 90° }. Iz druge jednadĹžbe đ?›ź − đ?›˝ = 1° 5′

dobijamo da je đ?›ź = đ?›˝ + 1° 5′, odakle uvrĹĄtavanjem ove jednakosti u prvu jednadĹžbu dobijamo: đ?›˝ + 1° 5′ + đ?›˝ = 90° â&#x;š đ?›˝ = 44° 27′ 30′′. Onda ugao đ?›ź iznosi đ?›ź = 45° 32′ 30′′.

11. Koliki je ugao đ?›ź ako je njegov suplementni ugao za 30° veći od njegovog dvostrukog komplementnog ugla? RjeĹĄenje: Prema tekstu zadatka moĹžemo formirati jednadĹžbu: 180° − đ?›ź = 2 â‹… (90° − đ?›ź) + 30° â&#x;š đ?›ź = 30° 12. Ugao đ?›ź jednak je polovini svog suplementa. Odredi njegov komplement. RjeĹĄenje: đ?›ź=đ?›˝âˆś 2 đ?›ź = đ?›˝: 2 â&#x;š đ?›˝ = 2 â‹… đ?›ź đ?›ź + đ?›ż = 90° đ?›ź + đ?›˝ = 180° đ?›ź + đ?›˝ = 180° đ?›ż = 90° − 60° đ?›ź + đ?›ż = 90° đ?›ź + 2đ?›ź = 180° đ?›ż = 30° đ?›ż =? 3đ?›ź = 180° đ?›ź = 60°

14

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

13. Ako se suplement ugla đ?›ź poveća za 18° dobije se isto kada se ugao Îą poveća za vrijednosti. Odredi komplement ugla đ?›ź. RjeĹĄenje:

1 5

svoje

1

(180° − đ?›ź) + 18° = đ?›ź + 1 đ?›ź ⇒ đ?›ź = 90° pa je komplement ugla đ?›ź = 40° 54′ 33′′ 5 14. Razlika dva suplementna ugla je 1° 2′. a) Koliki su ti uglovi? b) Koliki će biti ugao od 1° 2′ ako se posmatra kroz lupu koja daje petostruko povećanje? RjeĹĄenje: a) đ?›ź + đ?›˝ = 1800 đ?›ź − đ?›˝ = 1° 2′ 1° 2′ + đ?›˝ + đ?›˝ = 1800 đ?›˝ = 89° 29′

đ?›ź = 1° 2′ + 89° 29′ đ?›ź = 90° 31′

15. Ako su uglovi đ?›ź i đ?›˝ komplementni, đ?›ź i đ?›ž suplementni i đ?›˝ je ĹĄest puta manji od đ?›ž. IzraÄ?unati đ?›ź + đ?›˝ + đ?›ž. RjeĹĄenje: đ?›ź + đ?›˝ = 90°

đ?›ź + 6đ?›˝ = 180°

đ?›ź + đ?›˝ = 90°

� = 6�

đ?›ź + đ?›ž = 180°

đ?›ź + đ?›˝ + 5đ?›˝ = 180°

đ?›ź + 18° = 90°

đ?›ž = 6 ∙ 18°

� = 6�

90° + 5đ?›˝ = 180°

đ?›ź = 90° − 18°

đ?›ž = 108°

5đ?›˝ = 180° − 90°

đ?›ź = 72°

5đ?›˝ = 90° đ?›˝ = 18° Dakle, đ?›ź + đ?›˝ + đ?›ž = 72° + 18° + 108° = 198°

16. Koliki je ugao đ?›ź ako je zbir njegovog komplementnog i suplementnog ugla 7đ?›ź? RjeĹĄenje: Komplement ugla Îą je 90° − đ?›ź a njegov suplement je 180° − đ?›ź. Prema uslovima zadatka je 7đ?›ź = 90° − đ?›ź + 180° − đ?›ź â&#x;š đ?›ź = 30°

15

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje iz matematike

17. Jedan ugao je za 73° 30′ veći od njemu uporednog ugla. Koliki su ti uglovi? RjeĹĄenje: Dva ugla đ?›ź i đ?›˝ su uporedni ako je njihov zbir jednak 180°. đ?›ź + đ?›˝ = 180°, đ?›˝ = 180° − đ?›ź Iz uslova zadatka vrijedi da je đ?›ź = đ?›˝ + 73° 30′ â&#x;š đ?›ź = 180° − đ?›ź + 73° 30′ â&#x;š đ?›ź = 126° 45′ â&#x;š đ?›˝ = 53° 15′

18. Razlika ugla đ?›ź i njemu uporednog ugla đ?›˝ je 48°. IzraÄ?unati ugao komplementan uglu đ?›˝. RjeĹĄenje: Ako je đ?›ź = 180° − đ?›˝ , to je 180° − 2đ?›˝ = 48° . Slijedi da je đ?›˝ = 66°, pa je njemu komplementan ugao od 24°.

19. IzraÄ?unati mjere uglova na slici

RjeĹĄenje: Kako je (3đ?‘Ľ + 1°) + (đ?‘Ľ + 7°) = 180°, to je 4đ?‘Ľ = 172°, odnosno đ?‘Ľ = 43°. Slijedi da su na slici uglovi od 130° i 50°.

20. Uglovi � i � su komplementni. Odredi uglove � i �, ako je njihova razlika jednaka trećini većeg ugla . Rjeťenje: 2

Neka je đ?›ź > đ?›˝. Kako je đ?›ź + đ?›˝ = 90° i đ?›˝ = 3 đ?›ź , to je đ?›ź = 54° i đ?›˝ = 36°.

16

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje iz matematike

21. Razlika mjera dva komplementna ugla je 2007′. Odredi mjere tih uglova . RjeĹĄenje: Neka je mjera manjeg ugla đ?›ź. Kako je 2007′ = 33° 27′, slijedi da je mjera većeg ugla đ?›ź + 33° 27′. Koristeći uslov komplementnosti dobivamo da je 2đ?›ź + 33° 27′ = 90°, pa je 2đ?›ź = 56° 33′. Slijedi da je mjera manjeg ugla 28° 16′ 30′′, a mjera većeg ugla 61° 43′ 30′′.

22. Dvije prave se sijeku i obrazuju Ä?etiri ugla. Zbir dva oĹĄtra ugla veći je za 20° od jednog tupog ugla. Koliki su ti uglovi? RjeĹĄenje:

đ?›ź + đ?›˝ = 180° đ?›ź + đ?›ź = đ?›˝ + 20° â&#x;š đ?›˝ = 2đ?›ź − 20° - iz gornje dvije jednakosti imamo: đ?›ź + 2đ?›ź − 20° = 180° â&#x;š đ?›ź = 66° 40′ đ?›ź = 66° 40′ } â&#x;š đ?›˝ = 2 â‹… 66° 40′ − 20° đ?›˝ = 2đ?›ź − 20° đ?›˝ = 113° 20′

23. Uglovi đ?›ź i đ?›˝ su suplementni. Da su oba manja za po 24°, tada bi jedan ugao bio Ä?etiri puta veći od drugog ugla. Koliko iznose uglovi đ?›ź i đ?›˝? RjeĹĄenje: Neka je đ?›ź > đ?›˝ đ?›ź + đ?›˝ = 180° đ?›ź − 24° = 4 ∙ (đ?›˝ − 24°) đ?›ź = 4đ?›˝ − 72° đ?›ź + đ?›˝ = 180° 4đ?›˝ − 72° + đ?›˝ = 180° 5đ?›˝ = 252° đ?›˝ = 252°: 5 = 50° 24′ đ?›ź = 180° − 50° 24′ đ?›ź = 129° 36′

24. Uglovi đ?›ź i đ?›˝ su suplementni, a uglovi đ?›˝ i đ?›ž komplementni. Odredi uglove đ?›ź, đ?›˝ i đ?›ž ako je ugao đ?›ź pet puta veći od ugla đ?›ž. RjeĹĄenje: đ?›ź + đ?›˝ = 180°, đ?›˝ + đ?›ž = 90°, đ?›ź = 5đ?›ž Iz jednakosti đ?›˝ + đ?›ž = 90° dobijemo da je đ?›˝ = 90° − đ?›ž, dakle 5đ?›ž + 90° − đ?›ž = 180° â&#x;š đ?›ž = 22° 30′ ∧ đ?›ź = 112° 30′ ∧ đ?›˝ = 67° 30′

17

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

25. Zbir Ä?etiri ugla đ?›ź, đ?›˝, đ?›ž, đ?›ż je puni ugao. Ako se oni razlikuju redom po 10° odrediti njihovu vrijednost. RjeĹĄenje: đ?›ź + đ?›ź + 10 + đ?›ź + 20 + đ?›ź + 30 = 360° â&#x;š 4đ?›ź = 300° â&#x;š đ?›ź = 75° tj. prvi ugao, drugi 85°, treći 95° i Ä?etvrti ugao 105°.

26. Uglovi đ?›ź i đ?›˝ su suplementni, a uglovi đ?›˝ i đ?›ž su komplementni. IzraÄ?unaj uglove đ?›ź, đ?›˝ i đ?›ž ako je zbir uglova đ?›ź i đ?›ž jednak 124°. RjeĹĄenje: đ?›ź = 107°, đ?›˝ = 73°, đ?›ž = 17°

27. Uglovi đ?›ź i đ?›˝ su suplementni. Pet ĹĄestina ugla đ?›ź i trećina ugla đ?›˝ su komplementni. Odredi uglove đ?›ź i đ?›˝. RjeĹĄenje: đ?›ź = 60°, đ?›˝ = 120°

28. Dat je ugao đ?›ź = 160° i podijeljen je na Ä?etiri dijela tako da je prvi dva puta veći od drugog, drugi Ä?etiri puta veći od Ä?etvrtog, a treći tri puta veći od Ä?etvrtog. IzraÄ?unati koliko iznosi svaki od tih dijelova. RjeĹĄenje: 80°, 40°, 30°, 10°

29. Ugao đ?›ź je za 1997′ manji od svog suplementnog ugla. Za koliko je ugao đ?›ź manji od svog suplementnog ugla? RjeĹĄenje: 123° 17′

30. Mjera ugla đ?›ź + đ?›˝ je za 38° 41′ 24′′ veća od mjere ugla đ?›źâ€“ đ?›˝. Odredi mjeru ugla đ?›˝. RjeĹĄenje: đ?›˝ = 19° 20′ 42′′

18

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

31. Zbir ugla đ?›ź i njemu uporednih uglova je 325°. Odredi ugao đ?›ź i njemu uporedan ugao. RjeĹĄenje: đ?›˝ = 145°

32. Dvije prave se sijeku i obrazuju dva para unakrsnih uglova. Zbir dva oĹĄtra ugla manji je od jednog tupog ugla za 18°. Odredi te uglove. RjeĹĄenje: đ?›ź = 54°, đ?›˝ = 126°

33. Dvije prave se sijeku i obrazuju Ä?etiri ugla. Zbir dva oĹĄtra ugla je veći za 20° od jednog tupog. Koliki su ti uglovi? RjeĹĄenje: đ?›ź = 66° 40′ , đ?›˝ = 113° 20′

34. Dvije prave se sijeku u taÄ?ki đ??´ i obrazuju Ä?etiri ugla. Zbir unakrsnih oĹĄtrih uglova jednak je polovini jednog od unakrsnih tupih uglova. Odredi mjerne brojeve svakog od tih uglova. RjeĹĄenje: đ?›ź = 36°, đ?›˝ = 144°

35. Ako se saberu polovina, Ä?etvrtina i osmina ugla đ?›ź onda se dobije ugao suplementaran uglu đ?›ź. Koliki je ugao koji je komplementaran sa uglom suplementarnim uglu đ?›ź? RjeĹĄenje: đ?›˝1 = 4°

36. Dvije prave se sijeku zbir tri od nastala cetiri ugla je 213° 20′. Koliki je svaki od nastalih uglova? RjeĹĄenje: đ?›ź = 360° − 213° 20′ đ?›ź = 146° 40′ 2đ?›ź + 2đ?›˝ = 360° 2đ?›˝ = 360° − 293° 20′ 2đ?›˝ = 66° 40′ đ?›˝ = 33° 20′ 19

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

37. Razlika ugla ď Ą i njemu uporednog ugla đ?›˝ je 76°. IzraÄ?unaj ugao ď § koji je komplementan uglu đ?›˝. RjeĹĄenje:

Uglovi: ď Ą i đ?›˝ - uporedni uglovi đ?›˝ i ď § - komplementni uglovi ď Ą + đ?›˝ = 180° ď Ą − đ?›˝ = 76° + đ?›˝ â&#x;š ď Ą = 76° + đ?›˝

đ?›˝ + ď § = 90° 52° + ď § = 90° ď § = 90° − 52° ď § = 38° TraĹženi ugao je ď § = 38°.

Pa imamo: 76° + đ?›˝ + đ?›˝ = 180° 76° + 2đ?›˝ = 180° â&#x;š đ?›˝ = 52°

38. Dvije prave se sijeku i obrazuju Ä?etiri ugla (kuta). Odredi te uglove ako je jedan od njih 9

puta manji od zbira ostala tri. RjeĹĄenje: I naÄ?in

đ?›˝ + đ?›ž + đ?›ż = 9ď Ą đ?›ź + đ?›˝ = 180° đ?›ź + (đ?›˝ + đ?›ž + đ?›ż) = 360° 36° + đ?›ź = 180° đ?›ź + 9đ?›ź = 360° đ?›˝ = 180° − 36° 10đ?›ź = 360° đ?›˝ = 144° đ?›ź = 360°: 10 đ?›ź = 36° Kako je đ?›ž = đ?›ź to i đ?›ž = 36°. Kako je đ?›ż = đ?›˝ to je đ?›ż = 144°.

TraĹženi uglovi su: 36°, 144°, 36° i 144°. II naÄ?in Iz uslova zadatka proizilazi da sva Ä?etiri ugla iznose 10 jednakih dijelova punog ugla tako da imamo 360°: 10 = 36°. ZnaÄ?i ugao koji je devet puta manji od zbira ostala tri ugla iznosi 36°. Prema crteĹžu neka je to ugao đ?›ź = 36°. Kako je đ?›ź = đ?›ž (unakrsni uglovi), to je, đ?›ž = 36°. 360° − 2 ¡ 36° = 360° − 72° = 288° Zbir druga dva unakrsna ugla iznosi 288°: 2 = 144°. ZnaÄ?i đ?›˝ = đ?›ż = 144°. TraĹženi uglovi su: 36°, 144°, 36° i 144°.

20

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

39. Dva ugla su suplementna . Jedan je 3 puta veći od drugog. Odredi te uglove i napiĹĄi vrstu dobivenih uglova. RjeĹĄenje: đ?›ź + đ?›˝ = 180° 4đ?›ź = 180° đ?›ź = 45° đ?›˝ = 135°, uglovi su oĹĄtri i tupi respektivno.

40. Koliki je ugao đ?›ź ako je zbir njegovog komplementnog i suplementnog ugla 4đ?›ź? RjeĹĄenje: Komplement: 90° − đ?›ź Suplement: 180° − đ?›ź (90° − đ?›ź) + (180° − đ?›ź) = 4đ?›ź â&#x;š đ?›ź = 45°

21

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

Skup prirodnih brojeva 1. Ako od zbira najvećeg Ä?etverocifrenog broja sa razliÄ?itim ciframa i najmanjeg petocifrenog broja sa razliÄ?itim ciframa oduzmeĹĄ neki broj dobićeĹĄ 20000. Koji je to broj? RjeĹĄenje: Najveći Ä?etverocifreni broj sa razliÄ?itim ciframa je 9876, a najmanji petocifreni broj sa razliÄ?itim ciframa je 10234 pa imamo jednadĹžbu 9876 + 10234 – đ?‘Ľ = 20000 20110 − đ?‘Ľ = 20000 đ?‘Ľ = 20110 − 20000 đ?‘Ľ = 110

2. IzraÄ?unaj (1700 + 1701 + â‹Ż + 1799 + 1800): 175 = RjeĹĄenje: 1700 + 1800 = 3500, 1701 + 1799 = 3500, ‌. 1700 + 1701 + â‹Ż + 1799 + 1800 = 3500 ∙ 101: 2 = 353500 âˆś 2 = 176750 (1700 + 1701 + â‹Ż + 1799 + 1800) âˆś 175 = 176750 âˆś 175 = 1010 3. Koliko ima Ä?etverocifrenih brojeva kojima je proizvod cifara 4? IspiĹĄi ih. RjeĹĄenje: Cifre biramo iz skupova {4,1} i {2, 1} pa imamo: 4111, 1411,1141, 1114, 2211, 2121, 2112, 1122, 1212, 1221, tj. ukupno 10 brojeva.

4. Za numeraciju stranica jedne knjige upotrijebljeno je 300 cifara. Koliko stranica ima ta knjiga? RjeĹĄenje: Za numerisanje prvih 9 stranica upotrijebljeno je 9 cifara, a za sledećih 90 upotrebljeno je 90 â‹… 2 = 180 cifara. Ostatak cifara 300 − 180 − 9 = 121 upotrijebljeno je za numerisanje trocifrenih stranica kojih ima 111: 3 = 37. Sada, knjiga ima 9 + 90 + 37 = 136 stranica.

22

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

5. U 5 kutija nalazi se 100 jabuka. U prvoj i drugoj kutiji ima 52 jabuke, u drugoj i trećoj 43 jabuke, u trećoj i Ä?etvrtoj 34 i u Ä?etvrtoj i petoj 30 jabuka. Koliko jabuka ima u svakoj od tih kutija? RjeĹĄenje: OznaÄ?imo redom kutije sa đ??ź, đ??źđ??ź, đ??źđ??źđ??ź, đ??źđ?‘‰ i đ?‘‰. Tada imamo po tekstu zadatka podatke: đ??ź + đ??źđ??ź + đ??źđ??źđ??ź + đ??źđ?‘‰ + đ?‘‰ = 100 đ??ź + đ??źđ??ź = 52 đ??źđ??ź + đ??źđ??źđ??ź = 43 đ??źđ??źđ??ź + đ??źđ?‘‰ = 34 đ??źđ?‘‰ + đ?‘‰ = 30 Zamjenom druge i Ä?etvrte jednadĹžbe u prvu dobijamo: 53 + 34 + đ?‘‰ = 100 â&#x;š đ?‘‰ = 14. Ĺ to znaÄ?i da u petoj kutiji ima 14 jabuka, u Ä?etvrtoj će biti onda 16, u trećoj 18, u drugoj 25 i u prvoj 27.

6. KoliÄ?nik dva boja đ?‘Ľ i đ?‘Ś je 10, a ostatak 40. Naći te brojeve ako je njihov zbir 1679. RjeĹĄenje: 10đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 1679 }. Zamjenom druge jednadĹžbe u prvu dobijamo: đ?‘Ľ = 10đ?‘Ś + 40 10đ?‘Ś + 40 + đ?‘Ś = 1679 odakle je rjeĹĄenje za jedan od datih brojeva đ?‘Ś = 149 Tada je đ?‘Ľ = 1530. TraĹženi brojevi su 1530 i 149. Imamo da je

7. Postoji li broj Ä?iji je proizvod cifara 462? RjeĹĄenje: Rastavimo dati broj na faktore 462 = 2 â‹… 3 â‹… 7 â‹… 11. Kako je jeadn faktor 11 to je broj, nije cifra pa zakljuÄ?ujemo da takav broj ne postoji.

8. Odrediti cifre đ?‘Ž i đ?‘? u broju Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… 87đ?‘Ž9đ?‘? tako da on bude djeljiv sa 18. RjeĹĄenje: Da bi broj bio djeljiv sa 18 treba biti djeljiv i sa 2 i sa 9. Ako je djeljiv sa 2 onda mu zadnja cifra mora biti 0, 2, 4, 6, 8. Imamo sada sluÄ?ajeve brojeva: Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… 87đ?‘Ž90, Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… 87đ?‘Ž92, Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… 87đ?‘Ž94, Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… 87đ?‘Ž96, Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… 87đ?‘Ž98. Da bi dati brojevi bili djeljivi sa 9, zbir cifara im mora biti djeljiv sa 9, pa imamo da su traĹžena rjeĹĄenja: 87390, 87192, 87894, 87496, 87298.

23

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

9. Dokazati da je zbir prirodnih brojeva od 1 do 1000 djeljiv sa 7. RjeĹĄenje: IzraÄ?unajmo zbir prvih 1000 brojeva: 1 + 2 + 3 + â‹Ż + 998 + 999 + 1000 = 1001 â‹… 500 = 500500 pa kada sada dobijeni zbir podijelimo sa 7 dobićemo: 500500: 7 = 71500. ZakljuÄ?ujemo da je zbir prvih 1000 uzastopnih prirodnih brojeva djeljiv sa 7.

10. Zbir tri broja, od kojih je svaki slijedeći tri puta veći od prethodnog, iznosi 481. Koji su to brojevi? RjeĹĄenje: Ako je đ?‘Ľ najmanji od tih brojeva, srednji po veliÄ?ini je 3đ?‘Ľ, a najveći 3 â‹… 3đ?‘Ľ = 9đ?‘Ľ. Uslove zadatka opisuje jednadĹžba đ?‘Ľ + 3đ?‘Ľ + 9đ?‘Ľ = 481 â&#x;š đ?‘Ľ = 37. Pa su traĹženi brojevi 37, 111 i 333. 11. Ivana je za roÄ‘endan od svojih prijatelja dobila 24 ruĹže. RuĹže su bile bijele, Ĺžute i crvene boje. Bijelih je bilo dva puta manje od Ĺžutih, a crvenih koliko bijelih i Ĺžutih zajedno. Koliko je bilo bijelih, koliko Ĺžutih, a koliko crvenih ruĹža? RjeĹĄenje: Bijele ruĹže đ?‘Ľ, Ĺžute ruĹže 2đ?‘Ľ, crvene ruĹže đ?‘Ľ + 2đ?‘Ľ Imamo jednadĹžbu đ?‘Ľ + 2đ?‘Ľ + đ?‘Ľ + 2đ?‘Ľ = 24, rjeĹĄavanjem jednadĹžbe dobijemo 6đ?‘Ľ = 24, đ?‘Ľ = 4. Prema tome, bijelih je ruĹža bilo 4, Ĺžutih 2 â‹… 4 = 8, a crvenih 4 + 8 = 12. Dakle, bijelih je 4, Ĺžutih dva puta viĹĄe, dakle 8 i crvenih koliko bijelih i Ĺžutih zajedno, znaÄ?i 12. 12. Sok u flaĹĄi koĹĄta 40 đ??žđ?‘€. Sok je 7 puta skuplji od flaĹĄe. Koliko koĹĄta flaĹĄa, a koliko sok? RjeĹĄenje: FlaĹĄa đ?‘Ľ, sok 7đ?‘Ľ Imamo jednadĹžbu đ?‘Ľ + 7đ?‘Ľ = 40 â&#x;š đ?‘Ľ = 5 Prema tome, flaĹĄa koĹĄta 5đ??žđ?‘€, a sok 7 â‹… 5 = 35đ??žđ?‘€ 13. Zbir tri uzastopna parna prirodna broja je 216. Koji su to brojevi? RjeĹĄenje: Ako je đ?‘› najmanji traĹženi broj, sljedeća dva parna broja su đ?‘› + 2, đ?‘› + 4. Njihov zbroj je 216, pa dobijemo jednadĹžbu đ?‘› + (đ?‘› + 2) + (đ?‘› + 4) = 216. Njeno rjeĹĄenje je đ?‘› = 70, ĹĄto znaÄ?i da su traĹženi brojevi 70, 72 i 74.

24

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

14. Razlika dva broja je 327, a koliÄ?nik 4. Koji su to brojevi? RjeĹĄenje: Ako je koliÄ?nik dva broja 4, znaÄ?i da je jedan broj 4 puta veći od drugoga, pa ih moĹžemo oznaÄ?iti sa đ?‘› i 4đ?‘›. Iz Ä?injenice da je njihova razlika 327 dobijemo jednaÄ?inu 4đ?‘› − đ?‘› = 327. Njeno rjeĹĄenje je đ?‘› = 109, pa su traĹženi brojevi 109 i 436.

15. U jednom kokoĹĄinjcu ima 3 puta viĹĄe kokoĹĄki nego pijetlova, a pijetlova je za 16 manje nego kokoĹĄki. Koliko ima kokoĹĄki, a koliko pijetlova u tom kokoĹĄinjcu? RjeĹĄenje: Ako sa đ?‘› oznaÄ?imo broj pijetlova, onda je 3đ?‘› broj kokoĹĄki i vrijedi 3đ?‘› − đ?‘› = 16 , otkud dobijemo đ?‘› = 8. Dakle, ima 8 pijetlova i 24 kokoĹĄke. 16. Brat je 4 puta stariji od sestre, a sestra je 9 godina mlaÄ‘a od brata. Koliko godina ima sestra, a koliko brat? RjeĹĄenje: Ako sestra ima đ?‘›, brat ima 4đ?‘› godina i vrijedi 4đ?‘› − đ?‘› = 9, otkud slijedi đ?‘› = 3. Sestra ima 3, a brat 12 godina. 17. Zbir tri broja je 147. Prvi od njih veći je 15 puta od drugoga, a treći je za 28 veći od drugoga. Odredi te brojeve. RjeĹĄenje: đ?‘Ľ drugi broj, 15đ?‘Ľ prvi broj i đ?‘Ľ + 28 treći broj 15đ?‘Ľ 17đ?‘Ľ 17đ?‘Ľ đ?‘Ľ =

+ � + � + 28 = 147 = 147 – 28 = 119 7 je drugi broj, prvi broj je 15� = 105 i treći broj je � + 28 = 35.

18. Ana je rekla Mariji: „Zamislila sam neki broj. Ako tom broju dodam 13 i dobijeni rezultat podijelim sa razlikom broja 60 i proizvoda broja 8 i zamiĹĄljenog broja, dobit ću broj 5.“ MoĹžeĹĄ li pomoći Mariji da odgonetne koji je broj Ana zamislila ? RjeĹĄenje: Ako sa đ?‘› oznaÄ?imo zamiĹĄljeni broj, dobijemo jednadĹžbu (đ?‘› + 13): (60 − 8 ∙ đ?‘›) = 5, otkud slijedi đ?‘› + 13 = 5 ∙ (60 − 8đ?‘›). RjeĹĄenje te jednadĹžbe je đ?‘› = 7. Ana je zamislila broj 7.

25

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

19. Kutija sa 20 jednakih kuglica ima masu 400đ?‘”. Ako u kutiju dodamo joĹĄ 5 kuglica ukupna masa će biti 470đ?‘”. Kolika je masa kutije? RjeĹĄenje: MoĹžemo zakljuÄ?iti da 5 kuglica teĹži 70đ?‘”. Onda jedna kuglica teĹži 70: 5 = 14đ?‘”. Sada, 20 kuglica ima teĹžinu 20 â‹… 14 = 280đ?‘”. Dakle, kutija sama teĹži: 400 − 280 = 120đ?‘”.

20. U ZOO vrtu smjeĹĄteni su zeÄ?evi, ptice i zmije. Djeca su prebrojala 24 glave, 14 krila i 62 noge. Koliko ima kojih Ĺživotinja? RjeĹĄenje: Prema broju glava zakljuÄ?ujemo da ima 24 Ĺživotinje. Kako krila ima 14 zakljuÄ?ujemo da je ptica 7. Sada zeÄ?eva i zmija ima 17. Broj nogu kod ptica je takoÄ‘er 14, pa 62 − 14 = 48 je broj nogu kod zeÄ?eva. Kako zec ima 4 noge, to je njihov broj 12. Ostane joĹĄ da zakljuÄ?imo da zmija ima 17 − 12 = 5. Dakle, zmija ima 5, zeÄ?eva 12 i ptica 7. 21. IzraÄ?unati zbir prvih 2016 prirodnih brojeva. RjeĹĄenje: Zbir moĹžemo pisati : 1 + 2 + 3 + 4 + â‹Ż + 2013 + 2014 + 2015 + 2016 = = (1 + 2016) + (2 + 2015) + â‹Ż + (1013 + 1014) = 1013 â‹… 2017 = 2043221 22. Zbir pet uzastopnih prirodnih brojeva je 1375. IzraÄ?unati te brojeve. RjeĹĄenje: Prirodni brojevi imaju osobinu da je svaki sljedeći od svog prethodnika za 1 veći. Ako uzmemo da je prvi broj u nizu đ?‘Ľ, onda su sljedeći đ?‘Ľ + 1, đ?‘Ľ + 2, đ?‘Ľ + 3 i đ?‘Ľ + 4. Formirajmo jednadĹžbu. Imamo: đ?‘Ľ + đ?‘Ľ + 1 + đ?‘Ľ + 2 + đ?‘Ľ + 3 + đ?‘Ľ + 4 = 1375 â&#x;š đ?‘Ľ = 273 TraĹženi brojevi su 273, 274, 275, 276 i 277. 23. Razlika dva broja je 83. Ako veći broj uvećamo 4 puta, a manji ostane nepromijenjen nova razlika je 674. Koji su to brojevi? RjeĹĄenje: Ako manji broj oznaÄ?imo sa đ?‘Ľ, onda je veći broj đ?‘Ľ + 83. Pa sada formirajmo jednadĹžbu po tekstu zadatka: 4 â‹… (đ?‘Ľ + 83) − đ?‘Ľ = 674 â&#x;š đ?‘Ľ = 114, a veći broj je 114 + 83 = 197. TraĹženi brojevi su 197 i 114.

26

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

24. Amir je proÄ?itao knjigu za 4 dana. Drugi dan je proÄ?itao 14 stranica viĹĄe nego prvi dan. Treći dan je proÄ?itao koliko prvi i drugi dan zajedno, a Ä?etvrti da je proÄ?itao koliko polovinu broja proÄ?itanih stranica drugog i trećeg dana. Koliko stranica je imala knjiga ako znamo da je Amir prvi dan proÄ?itao 32 stranicu? RjeĹĄenje: Amir je prvi dan proÄ?itao 32 stranicu, drugi dan 46 stranica, treći dan 78 stranica i Ä?etvrti dan proÄ?itao je 62 stranice. Knjiga ima ukupno 218 stranica. 25. Svijeća visine 18đ?‘?đ?‘š jednoliko gori i cijela izgori za tri sata. Za koliko će minuta od trenutka kada je zapaljena, svijeća biti visine 13đ?‘?đ?‘š? RjeĹĄenje: Prema uslovima zadatka cijela svijeća izgoriti će za 180 minuta? Jedan centimetar svijeće izgoriti će za 180: 18 = 10 minuta. Kako svijeća treba da izgori za 18 − 13 = 5 đ?‘?đ?‘š, od njene poÄ?etne duĹžine, zakljuÄ?ujemo da će svijeća biti visoka 13đ?‘?đ?‘š nakon 5 â‹… 10 = 50 minuta. 26. IzraÄ?unati: {345 − [(720: 6) â‹… 2 − 4 + 2]: 2 + 44}: 3 − 25: 5 = RjeĹĄenje: {345 − [(720: 6) â‹… 2 − 4 + 2]: 2 + 44}: 3 − 25: 5 = 85 27. Zbir dva broja je 96 a kada veÄ?i broj podijelimo manjim dobićemo koliÄ?nik 9 i ostatak 6. O kojim brojevima je rijeÄ?? RjeĹĄenje: Ako su traĹženi brojevi đ?‘Ľ i đ?‘Ś, onda po definiciji dijeljenja imamo đ?‘Ľ: đ?‘Ś = đ?‘ž(đ?‘&#x;) odakle djeljenjik đ?‘Ľ moĹžemo pisati kao đ?‘Ľ = đ?‘ž â‹… đ?‘Ś + đ?‘&#x;. Na osnovu teksta naĹĄeg zadatka imamo jednadĹžbe: đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 96 i đ?‘Ľ = 9đ?‘Ś + 6 odakle dobijamo 9đ?‘Ś + 6 + đ?‘Ś = 96 â&#x;š đ?‘Ś = 9. Tada je drugi broj 87. TraĹženi brojevi su 87 i 9. 28. Da li je moguće da je za numeraciju stranica jedne knjige upotrebljeno 2016 cifara? Ako je moguće, koliko stranica će imati ta knjiga? RjeĹĄenje: Za prvih 9 stranica upotrebljeno je 9 cifara, za slijedeÄ?ih 90 stranica upotrebljeno je 90 â‹… 2 = 180 cifara. Ostatak cifara 2016 − 189 = 1827 upotrebljeno je obiljeĹžavanje trocifrenih stranica kojih ima 1827: 3 = 609. Knjiga ima 9 + 90 + 609 = 708 stranica.

27

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

29. UÄ?enik je zamislio jedan broj. Kada ga je pomnoĹžio sa 8 i tom proizvodu dodao 8 dobio je broj koji je za 11 veći od 701. Koji broj je uÄ?enik zamislio? RjeĹĄenje: Jedan od naÄ?ina rjeĹĄavanja zadatka jeste da se po tekstu zadatka formira jednadĹžba. Pretpostavimo da je đ?‘Ľ traĹženi broj. 8 â‹… đ?‘Ľ + 8 = 712 â&#x;š đ?‘Ľ = 88. TraĹženi broj je 88.

30. Voćke su zasaÄ‘ene tako da je u svakom redu 15 voćki. Kada bi u voćnjaku bilo 6 redova manje, a u svakom redu 5 voćki viĹĄe, onda bi u cijelom voćnjaku bilo ukupno 10 voćki viĹĄe. Koliko je redova voćki zasaÄ‘eno i koliko voćki ima u voćnjaku? RjeĹĄenje: Neka je u voćnjaku bilo đ?‘Ľ redova zasaÄ‘eno. Tada je u voćnjaku bilo 15đ?‘Ľ voćaka. S druge strane, ako je 6 redova manje a u redovima pet voćaka manje, onda ukupno voćaka će biti (đ?‘Ľ − 6) â‹… 20 − 10. Sada imamo jednadĹžbu 15đ?‘Ľ = (đ?‘Ľ − 6) â‹… 20 − 10 â&#x;š đ?‘Ľ = 26 U voćnjaku je zasaÄ‘eno ukupno 26 redova, a ukupno voćki ima 390. 31. Zbir tri broja je 689. Odredi te brojeve ako se zna da je zbir prvog i drugog broja 452, a drugog i trećeg 605. RjeĹĄenje: OznaÄ?imo te brojeve sa đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?. Tada vrijedi đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘? = 689, đ?‘Ž + đ?‘? = 452 i đ?‘? + đ?‘? = 605. Zamjenom prve jednakosti u drugu dobijamo 452 + đ?‘? = 689 â&#x;š đ?‘? = 237. Zamjenom prve jednakosti u treću dobijamo: đ?‘Ž + 605 = 689 â&#x;š đ?‘Ž = 84 Sada u drugu jednakost uvrstimo đ?‘Ž i zraÄ?unamo đ?‘? 84 + đ?‘? = 452 â&#x;š đ?‘? = 368

32. Ako se trocifrenom broju đ?‘š doda broj 13, zbir je djeljiv sa 13. Ako se od broja đ?‘š oduzme broj 17, razlika je djeljiva sa 17. Ako se broj đ?‘š podijeli sa 2, koliÄ?nik je djeljiv sa 2. Odredi broj đ?‘š. RjeĹĄenje: Kako je zbir đ?‘š + 13 djeljiv sa 13, a sabirak 13 djeljiv sa 13, onda je i broj đ?‘š djeljiv sa 13. S obzirom da je razlika đ?‘š − 17 djeljiva sa 17, a umanjitelj 17 djeljiv sa 17, onda je i đ?‘š djeljiv sa 17. Budući da kada se đ?‘š podijeli sa 2 dobijamo koliÄ?nik djeljiv sa 2, onda je i đ?‘š djeljivo sa 4. Dakle m mora biti djeljivo sa 13, 17 i 4. đ?‘† ( 13, 17, 4 ) = 884. TraĹženi broj đ?‘š je 884.

28

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

33. Proizvod tri prirodna broja je 13600. IzraÄ?unaj proizvod prvog i drugog broja ako je proizvod prvog i trećeg broja 544, a proizvod drugog i trećeg 425. RjeĹĄenje: Ako podijelimo proizvod sva tri broja s proizvodom prvog i trećeg broja, dobit ćemo drugi broj. Drugi broj je 13600 âˆś 544 = 25. Ako podijelimo proizvod sva tri broja s proizvodom drugog i trećeg broja, dobit ćemo prvi broj. Prvi broj je 13600 âˆś 425 = 32. TraĹženi proizvod prvog i drugog broja je 32 ∙ 25 = 800.

34. Dvije cigle koĹĄtaju 4đ??žđ?‘€ i pola cigle. Kolika je cijena jedne cigle? RjeĹĄenje: Neka je npr. Darko Emiru prodao dvije cigle za 3đ??žđ?‘€ i pola cigle. Ovo pak znaÄ?i da je Darko prodao samo ciglu i po za 3đ??žđ?‘€ pa jedna cigla koĹĄta 2đ??žđ?‘€. Zadatak se mogao rijeĹĄiti i đ?‘Ľ postavljanjem jednaÄ?ine 2đ?‘Ľ = 3 + 2. 35. IzraÄ?unaj (1 + 2 + 3 + â‹Ż + 52 + 53 + 54): 3: (3 â‹… 3: 3 â‹… 3) = RjeĹĄenje: (1 + 2 + 3 + â‹Ż + 52 + 53 + 54): 3: (3 â‹… 3: 3 â‹… 3) = = 1485: 3: (9: 3 â‹… 3) = 495: (3 â‹… 3) = 495: 9 = 55 36. Merlina je zamislila neki broj i dodala mu 25. Kada je taj broj pomnoĹžila sa 25 dobila je 2025. Koji broj je zamislila Merlina? RjeĹĄenje: OznaÄ?imo sa đ?‘Ľ broj koji je zamislila Merlina. Prema uslovima zadatka dobija se jednadĹžba (đ?‘Ľ + 25) â‹… 25 = 2025 â&#x;š đ?‘Ľ = 56. Dakle, Merlina je zamislila broj 56.

37. Proizvod 1 ¡ 2 ¡ 3 ¡ 4 ¡ 5 ¡ 6 ¡ 7 ¡ 8 ¡ 9 podijeliti brojem 4536. RjeĹĄenje: Kako je 4536 = 2 â‹… 2 â‹… 2 â‹… 3 â‹… 3 â‹… 3 â‹… 3 â‹… 7, to je (1 ¡ 2 ¡ 3 ¡ 4 ¡ 5 ¡ 6 ¡ 7 ¡ 8 ¡ 9) âˆś (2 â‹… 2 â‹… 2 â‹… 3 â‹… 3 â‹… 3 â‹… 3 â‹… 7) = 80.

29

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

38. Iznos od 6000đ??žđ?‘€ treba podijeliti na tri osobe tako da prva dobije dva puta viĹĄe od druge, a treća 180đ??žđ?‘€ viĹĄe nego prva i druga zajedno. Koliko novca je dobila svaka osoba? RjeĹĄenje: đ?‘Ľ − prva osoba đ?‘Ś = 2đ?‘Ľ − druga osoba đ?‘§ = đ?‘Ľ + 2đ?‘Ľ + 180 − treća osoba đ?‘Ľ + 2đ?‘Ľ + đ?‘Ľ + 2đ?‘Ľ + 180 = 6000 6đ?‘Ľ = 5820 / : 6 đ?‘Ľ = 970 đ?‘Ś = 2 â‹… 970 = 1940 đ?‘§ = 970 + 1940 + 180 = 3090

39. IzraÄ?unaj zbir svih prirodnih brojeva većih od 52, a manjih od 68. RjeĹĄenje: Trebamo izraÄ?unati koliko je 53 + 54 + 55 + â‹Ż + 66 + 67. To ćemo izraÄ?unati tako da prvo izraÄ?unamo 1 + 2 + 3 + â‹Ż 67, a zatim od toga oduzmemo zbir 1 + 2 + 3 + â‹Ż + 52. Kako je 1 + 2 + 3 + â‹Ż + 67 = 2 278, 1 + 2 + 3 + â‹Ż + 52 = 1 378 i 2278 – 1378 = 900, traĹženi broj je 900. 40. Odredi dvocifreni broj koji se poveća 26 puta ako mu sa lijeve strane dopiĹĄemo cifru 9. RjeĹĄenje: Neka je đ?‘Žđ?‘? = đ?‘Ľ traĹženi dvocifreni broj. Vrijedi jednakost 9đ?‘Žđ?‘? = 900 + đ?‘Žđ?‘? , odnosno 26đ?‘Ľ = 900 + đ?‘Ľ, a odavde je đ?‘Ľ = 36 i to je traĹženi broj.

41. Koliko ukupno strana ima knjiga, ako prve tri strane nisu numerisane, a ostale su numerisane poÄ?evĹĄi od broja 1, i ako je za numeraciju knjige upotrijebljeno 375 cifara? RjeĹĄenje: Prve tri strane nisu numerisane, a za numerisanje slijedećih 9 strana upotrijebljeno je 9 cifara. Za numerisanje slijedećih 90 strana upotrebljeno je 2 ∙ 90 = 180 cifara. Naredne strane su numerisane trocifrenim brojevima, a kako je upotijebljeno 375 − (180 + 9) = 186 cifara, onda će takvih strana biti 186: 3 = 62. Dakle, knjiga ima ukupno 3 + 9 + 90 + 62 = 164 strane.

30

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje iz matematike

42. Odredi zbir: 5 + 10 + 15 + 20 + â‹Ż + 2000 + 2005. RjeĹĄenje: 5 + 10 + 15 + 20 + â‹Ż + 2000 + 2005 = = 5 â‹… ( 1 + 2 + 3 + 4 + â‹Ż + 400) + 2005 = = 5 â‹… 401 â‹… 200 + 2005 = 403005

43. IzraÄ?unaj razliku zbira svih parnih i zbira svih nepranih prirodnih brojeva manjih od 2007. RjeĹĄenje: (2 + 4 + +6 + â‹Ż + 2004 + 2006) − (1 + 3 + 5 + â‹Ż + 2003 + 2005) = = (2 − 1) + (4 − 3) + (6 − 5) + â‹Ż + (2004 − 2003) + (2006 − 2005) = = 1 + 1 + 1 + â‹Ż + 1 + 1 = 1003

44. Selma je za roÄ‘endan od svojih prijatelja dobila 24 ruĹže. RuĹže su bile bijele, Ĺžute i crvene boje. Bijelih je bilo dva puta manje od Ĺžutih, a crvenih koliko bijelih i Ĺžutih zajedno. Koliko je bilo bijelih, koliko Ĺžutih a koliko crvenih ruĹža? RjeĹĄenje: OznaÄ?imo sa đ?‘Ľ broj bijelih ruĹža, onda na osnovu teksta zadatka imamo da je Ĺžutih 2đ?‘Ľ a crvenih đ?‘Ľ + 2đ?‘Ľ = 3đ?‘Ľ. Kako ih je ukupno bilo 24 postavimo jednadĹžbu: đ?‘Ľ + 2đ?‘Ľ + 3đ?‘Ľ = 24 â&#x;š đ?‘Ľ = 4

45. Odrediti trocifreni broj, ako za cifre tog broja vrijedi: Cifra desetica je 5; Zbir cifara je 15; Zamjenom cifara stotice i jedinice, novi broj je za 39 veći od dvostrukog starog broja. RjeĹĄenje: Cifra desetica u broju je 5 pa je zbir cifara stotica i jedinica 10. Sa đ?‘Ľ oznaÄ?imo cifru stotica, onda je 10 − đ?‘Ľ cifra jedinica. Sada trocifreni broj moĹžemo zapisati kao: Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘Ľ510 − đ?‘Ľ = 100 â‹… đ?‘Ľ + 10 â‹… 5 + 1 â‹… (10 − đ?‘Ľ) = 100đ?‘Ľ + 50 + 10 − đ?‘Ľ = 99đ?‘Ľ + 60 Novi broj nastaje zamjenom cifara stotica i jedinica, tj. Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… 10 − đ?‘Ľ5đ?‘Ľ = 100 â‹… (10 − đ?‘Ľ) + 10 â‹… 5 + 1 â‹… đ?‘Ľ i vrijedi slijedeća jednakost: 100 â‹… (10 − đ?‘Ľ) + 10 â‹… 5 + 1 â‹… đ?‘Ľ = 2(99đ?‘Ľ + 60) + 39 1000 − 100đ?‘Ľ + 50 + đ?‘Ľ = 198đ?‘Ľ + 120 + 39 297đ?‘Ľ = 891 đ?‘Ľ=3 Cifra stotica je 3 onda je cifra jedinica 10 – 3 = 7, dakle traĹženi broj je 357.

31

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje iz matematike

46. Odredi najmanji i najveći petocifreni neparni prirodni broj kojem su 3 cifre neparne, a 2 parne. Rjeťenje: Prirodni broj je neparan ako mu je cifra jedinica 1, 3, 5, 7 ili 9. Da bi broj bio najmanji mogući cifre mu trebaju biti 1 i 0, a da bi bio najveći mogući cifre mu trebaju biti 9 i 8. Najmanji peterocifreni neparni prirodni broj kojemu su 3 cifre neparne, a 2 parne je broj 10011. Najveći peterocifreni neparni prirodni broj kojemu su 3 cifre neparne, a 2 parne je broj 99889.

47. Koliki je zbir svih dvocifrenih prirodnih brojeva ? RjeĹĄenje: 99 − 10 + 1 = 90 sabiraka (10 + 99) + (11 + 98) + â‹Ż + (54 + 55) = 109 ∙ 45 = 4905

48. Od 262 uÄ?enika jedne ĹĄkole 125 trenira odbojku, 67 karate, a 116 uÄ?enika ne trenira niti jedan od ovih sportova. Koliko uÄ?enika trenira i odbojku i karate? Koliko uÄ?enika trenira samo karate? RjeĹĄenje: 262 − 116 = 146 (125 + 67) − 146 = 46 uÄ?enika trenira i odbojku i karate, a 67 − 46 = 21 samo karate.

49. Otac ima pet sinova, pri Ä?emu su svi sinovi razliÄ?ite starosti. Otac ima odredenu koliÄ?inu novca koju Ĺželi podijeliti petorici svojih sinova. NajmlaÄ‘em će dati najmanje novca, a svakom slijedećem starijem po 5đ??žđ?‘€ viĹĄe. Najstariji sin će dobiti 3 puta viĹĄe đ??žđ?‘€ nego najmlaÄ‘i. Koliko će novaca dobiti sin koji je treći po starosti? RjeĹĄenje: Treći po starosti dobiće 20đ??žđ?‘€.

50. Zbir Ä?etri broja je 100. Zbir prvog, trećeg i Ä?etvrtog je 65, a zbir prvog, drugog i trećeg je 78. Odredi te brojeve ako je prvi za 10 manji od drugog. RjeĹĄenje: 25, 35, 22, 18

32

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje iz matematike

51. Zbir tri broja je 5280. Prvi broj je za 340 veći od drugog, a tri puta manji od zbira drugog i trećeg. Koliki je svaki broj? RjeĹĄenje: 320, 980, 2980 52. U pet kutija se nalazi ukupno 200 kuglica. U prvoj i drugoj ima 104 kuglice, a u drugoj i trećoj 86 kuglica, u trećoj i Ä?etvrtoj 68 kuglica, a u Ä?etvrtoj i petoj ima 60 kuglica. Koliko kuglica ima u svakoj kutiji? RjeĹĄenje: 54, 50, 36, 32, 28

53. Jedan uÄ?enik je kupio 4 knjige. Za prve tri knjige je platio 1600 đ??žđ?‘€, za prvu, drugu i Ä?etvrtu je platio 2100 đ??žđ?‘€. Za prvu, treću i Ä?etvrtu je dao 2400 đ??žđ?‘€, a za drugu, treću i Ä?etvrtu 2600 đ??žđ?‘€. Koliko koĹĄta svaka od knjiga? RjeĹĄenje: 300, 500, 800, 1300

54. Zbir Ä?etiri broja je 208. Ako se prvom broju doda 3 ili se drugom oduzme 3 ili se treći pomnoĹži sa 3 ili se Ä?etvrti podijeli sa 3, uvijek se dobije isti rezultat. Odredi ova 4 broja? RjeĹĄenje: 36, 42, 13, 117

55. U jednoj korpi ima dva puta viťe jabuka nego u drugoj. Ako se iz svake korpe uzme po 20 jabuka onda će u prvoj korpi ostati 3 puta viťe nego u drugoj. Koliko je bilo jabuka u svakoj korpi? Rjeťenje: � = 80 i � = 40

56. Od tri broja đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? sabiranjem po dva dobili smo 332, 408, 466. Odrediti te brojeve. RjeĹĄenje: 137, 195, 271

33

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje iz matematike

57. U bazenima đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘‘ i đ?‘’ nalazi se ukupno 130 riba. U bazenu đ?‘Ž i đ?‘? ima ukupno 50 riba, u bazenu đ?‘? i đ?‘? ma 56, u bazenu đ?‘? i đ?‘‘ ima 53 a u đ?‘‘ i đ?‘’ ima 48 riba. Koliko riba ima u svakom bazenu? RjeĹĄenje: 26, 24, 32, 21, 27

58. UÄ?enik je kupio 4 knjige. Prve tri koĹĄtaju 36 đ??žđ?‘€, sve knjige bez druge koĹĄtaju 40 đ??žđ?‘€, bez treće 38 đ??žđ?‘€, a sve bez prve koĹĄtaju 42 đ??žđ?‘€. Koliko koĹĄta svaka knjiga ponaosob? RjeĹĄenje: đ??ź + đ??źđ??ź + đ??źđ??źđ??ź = 36 đ??ź + đ??źđ??źđ??ź + đ??źđ?‘‰ = 40 đ??ź + đ??źđ??ź + đ??źđ?‘‰ = 38 đ??źđ??ź + đ??źđ??źđ??ź + đ??źđ?‘‰ = 42 Saberemo sve Ä?etiri jednakosti pa imamo: 3đ??ź + 3đ??źđ??ź + 3đ??źđ??źđ??ź + 3đ??źđ?‘‰ = 36 + 40 + 38 + 42 3(đ??ź + đ??źđ??ź + đ??źđ??źđ??ź + đ??źđ?‘‰) = 156 đ??ź + đ??źđ??ź + đ??źđ??źđ??ź + đ??źđ?‘‰ = 156: 3 đ??ź + đ??źđ??ź + đ??źđ??źđ??ź + đ??źđ?‘‰ = 52 â&#x;š đ??źđ?‘‰ = 52 − 36 â&#x;š đ??źđ?‘‰ = 16 â?&#x; =36

Nastavljajući isti postupak imamo: đ??ź = 10 đ??žđ?‘€ đ??źđ??ź = 12 đ??žđ?‘€ đ??źđ??źđ??ź = 14 đ??žđ?‘€ đ??źđ?‘‰ = 16 đ??žđ?‘€

59. Zbir 100 uzastopnih prirodnih brojeva je 6050. Koji su to brojrvi? RjeĹĄenje: Neka su traĹženi uzastopni prirodni brojevi: đ?‘Ľ, đ?‘Ľ + 1, đ?‘Ľ + 2, . . . , đ?‘Ľ + 99 đ?‘Ľ + đ?‘Ľ + 1 + đ?‘Ľ + 2+. . . +đ?‘Ľ + 99 = 6050 100đ?‘Ľ + (1 + 2 + 3+. . . +99) = 6050 1 + 2 + 3 + â‹Ż + 99 = 1 + 99 + 2 + 98 + 3 + 97 + â‹Ż + 49 + 51 + 50 = 49 ∙ 100 + 50 = = 4900 + 50 = 4950 100đ?‘Ľ + 4950 = 6050 100đ?‘Ľ = 6050 − 4950 100đ?‘Ľ = 1100 đ?‘Ľ = 1100: 100 đ?‘Ľ = 11 TraĹženi uzastopni brojevi su: 11, 12, 13, ‌, 109, 110.

34

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje iz matematike

60. Proizvod dva dvocifrena broja zapisan je samo pomoću Ä?etvorki. Odrediti te brojeve! RjeĹĄenje: Proizvod dva dvocifrena broja moĹže biti samo trocifren ili Ä?etverocifren broj. Po uslovu zadatka moĹže biti ili 444 ili 4444. Rastavljanjem brojeva na faktore imamo 444 = 2 â‹… 2 â‹… 3 â‹… 37 = 12 â‹… 37 pa je jedino rjeĹĄenje 12 i 37. 4444 = 4 â‹… 11 â‹… 101 gdje je 101 prost broj pa zakljuÄ?ujemo da je 4444 nemoguće zapisati kao proizvod dvocifrenih brojeva pa je moguće samo prvo rjeĹĄenje.

61. Zbir tri broja je 240. Zbir prvog i drugog broja je 110, a zbir prvog i trećeg broja je 180. Odredi te brojeve. RjeĹĄenje: I naÄ?in Neka su to brojevi: đ?‘Ž, đ?‘? i đ?‘? (đ?‘Ž + đ?‘?) + đ?‘? = 240 Prema uslovima zadatka: 110 + đ?‘? = 240 đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘? = 240 đ?‘? = 240– 110 đ?‘Ž + đ?‘? = 110 đ?‘? = 130 đ?‘Ž + đ?‘? = 180 TraĹženi brojevi su 50, 60 i 130

(đ?‘Ž + đ?‘?) + đ?‘? = 240 180 + đ?‘? = 240 đ?‘? = 240 − 180 đ?‘? = 60

đ?‘Ž + (đ?‘? + đ?‘?) = 240 đ?‘Ž + (130 + 60) = 240 đ?‘Ž + 190 = 240 đ?‘Ž = 240– 190 đ?‘Ž = 50

II naÄ?in 240 − 110 = 130 240 − 180 = 60 240 − (130 + 60) = 240 − 190 = 50

62. U dvije posude je bilo ukupno 40 đ?‘™ vode. Ako iz prve posude prespemo u drugu posudu 5 đ?‘™ tada će u drugoj posudi biti tri puta viĹĄe vode. Koliko je bilo u svakoj posudi vode? RjeĹĄenje: I naÄ?in Iz uslova zadatka proizilazi da je nakon presipanja u posudama ukupno 4 jednaka dijela 40đ?‘™ âˆś 4 = 10đ?‘™ jedan dio. U prvoj posudi 10đ?‘™. U drugoj posudi 10đ?‘™ ¡ 3 = 30đ?‘™. Prije presipanja u posudama je bilo: 10đ?‘™ + 5đ?‘™ = 15đ?‘™ u prvoj posudi vode 30đ?‘™â€“ 5đ?‘™ = 25đ?‘™ u drugoj posudi vode

35

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje iz matematike

II naÄ?in Prije presipanja: đ?‘Ľđ?‘™ u prvoj posudi đ?‘Śđ?‘™ u drugoj posudi đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 40 ďƒž đ?‘Ś = 40 – đ?‘Ľ

Poslije presipanja: (đ?‘Ľ − 5)đ?‘™ u prvoj posudi (đ?‘Ś + 5)đ?‘™ u drugoj posudi Prema uslovu zadatka je: 3 ¡ (đ?‘Ľ − 5) = đ?‘Ś + 5 3 ¡ (đ?‘Ľ − 5) = 40 − đ?‘Ľ + 5 â&#x;š đ?‘Ľ = 15 đ?‘Ś = 40 − đ?‘Ľ â&#x;š đ?‘Ś = 25

U posudama je bilo 15 đ?‘™ i 25 đ?‘™.

63. Amir, Mario i Alen su skupljali sliÄ?ice. Amir i Mario su skupili 206 sliÄ?ica, Alen i Mario 165, a Amir i Alen 183. Koliko je svaki od njih skupio sliÄ?ica ako su ukupno imali 277 sliÄ?ica? RjeĹĄenje: =206

đ?‘Ž + đ?‘? = 206 đ?‘? + đ?‘? = 165 đ?‘Ž + đ?‘? = 183

â?ž đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘? = 277 â&#x;š đ?‘? = 71 đ?‘? = 165 − 71 = 94 đ?‘Ž = 183 − 71 đ?‘Ž = 112

Amir je imao 112, Mario 94, a Alen 71 sliÄ?icu.

64. Za numerisanje knjige „DerviĹĄ i smrt“ – MeĹĄa Selimović upotrijebljeno je 1290 cifara. Koliko stranica ima ta knjiga? RjeĹĄenje: (1290 – 189): 3 = 367 367 + 90 + 9 = 466 Knjga ima 466 stranica

65. U jednoj ulici kuće su numerisane tako da su sa jedne strane kuće sa parnim, a sa druge strane kuće sa neparnim brojevima. Sa neparne strane brojevi idu od 1 do 169, a sa parne od 2 do 114. Koliko je cifara (znakova) upotrebljeno za numerisanje svih kuća u toj ulici? RjeĹĄenje: Sa neparne strane je upotrebljeno: 5 ¡ 1 + 45 ¡ 2 + 35 ¡ 3 = 5 + 90 + 105 = 200 cifara. Sa parne strane je upotrebljeno: 4 ¡ 1 + 45 ¡ 2 + 8 ¡ 3 = 4 + 90 + 24 = 118 cifara. Ukupno je za numerisanje kuća u ulici upotrebljeno: 200 + 118 = 318 cifara.

36

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje iz matematike

66. Zbir nekih 20 uzastopnih prirodnih brojeva je 2590. Koji su to brojevi? Rjeťenje: To su brojevi: �, � + 1, � + 2, ‌, � + 19, � + 20 � + � + 1 + � + 2 + ⋯ + � + 19 = 2590 20� + (9 ⋅ 20 + 10) = 2590 20� + 180 + 10 = 2590 20� + 190 = 2590 20� = 2400 � = 120

37

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje iz matematike

Djeljivost u skupu prirodnih brojeva 1. Odredi najmanji prirodni broj zapisan pomoću cifara 0 i 4 djeljiv s 15. RjeĹĄenje: Prirodni broj je djeljiv s 15 ako je djeljiv i s 3 i s 5. Da bi bio djeljiv s 5, zadnja cifra mu mora biti 0. Da bi bio djeljiv s 3, zbir cifara mu mora biti djeljiv s 3. Najmanji zbroj Ä?etvorki djeljiv s 3 je 4 + 4 + 4. TraĹženi broj je broj 4440. 2. Zadana su tri broja: prvi broj pri dijeljenju sa 9 ima ostatak 6, drugi broj pri dijeljenju sa 9 ima ostatak 4, a treći broj pri dijeljenju sa 9 ima ostatak 5. Koliki ostatak pri dijeljenju sa 9 ima njihov zbroj? RjeĹĄenje: Ti brojevi su oblika 9đ?‘Ž + 6, 9đ?‘? + 4 i 9đ?‘? + 5. Njihov zbir je (9đ?‘Ž + 6) + (9đ?‘? + 4) + (9đ?‘? + 5) = 9đ?‘Ž + 6 + 9đ?‘? + 4 + 9đ?‘? + 5 = 9đ?‘Ž + 9đ?‘? + 9đ?‘? + 15. PoÄ?etni dio 9đ?‘Ž + 9đ?‘? + 9đ?‘? je djeljiv s 9, no ostatak pri dijeljenju sa 9 ne moĹže biti 15 ( jer ostatak ne moĹže biti veći od djelitelja ), pa kad joĹĄ i 15 rastavimo, dobijemo da je zbir zadanih brojeva jednak 9đ?‘Ž + 9đ?‘? + 9đ?‘? + 9 + 6, otkud zakljuÄ?ujemo da je ostatak pri dijeljenju sa 9 jednak 6.

3. Odredi najmanji Ä?etverocifreni broj djeljiv sa brojem 15. RjeĹĄenje: Najmanji Ä?etverocifreni brojevi imaju prvu cifru 1. Zbog djeljivosti s 5 zadnja cifra mu mora biti 0 ili 5, a zbog djeljivosti s 3 zbir cifara mu mora biti djeljiv sa 3. Ako je zadnja cifra 0, taj broj izgleda ovako 1 _ _ 0 , a srednje cifre biramo tako da zbir svih cifara bude djeljiv s 3 i da broj bude ĹĄto manji, pa dobijemo broj 1020. Ako je zadnja cifra 5, onda taj broj izgleda ovako 1 _ _ 5, pa srednje cifre mogu biti nule, tj. radi se o broju 1005. Manji od navedenih brojeva je 1005, pa je to traĹženi broj.

4. Odredi sve prirodne brojeve oblika Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… 9đ?‘Ž6đ?‘?9 djeljive s 3 kojima su cifre desetice i tisućice prosti brojevi. RjeĹĄenje: Broj je djeljiv s 3 ako je zbir njegovih cifara djeljiv s 3 pa je zbir 9 + đ?‘Ž + 6 + đ?‘? + 9 = 24 + đ?‘Ž + đ?‘? djeljiv s 3. Kako su đ?‘Ž i đ?‘? prosti brojevi, onda su đ?‘Ž, đ?‘? ∈ {2, 3, 5, 7}. Za đ?‘Ž = 2 imamo da je 26 + đ?‘? djeljiv s 3 pa je đ?‘? = 7 Za đ?‘Ž = 3 imamo da je 27 + đ?‘? djeljiv s 3 pa je đ?‘? = 3 Za đ?‘Ž = 5 imamo da je 29 + đ?‘? djeljiv s 3 pa je đ?‘? = 7 Za đ?‘Ž = 7 imamo da je 31 + đ?‘? djeljiv s 3 pa je đ?‘? ∈ {2, 5}. TraĹženi brojevi su 92679, 93639, 95679, 97629, 97659.

38

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… koji je djeljiv sa 90. 5. Odredi najmanji sedmocifren broj 3219đ?‘Žđ?‘?đ?‘? RjeĹĄenje: Da bi broj bio djeljiv sa 90 treba biti djeljiv sa 9 i 10. Ako je broj djeljiv sa 10 onda on zavrĹĄava sa 0. Na osnovu toga zakljuÄ?ujemo da je naĹĄ broj oblika Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… 3219đ?‘Žđ?‘?0. Kako je broj djeljiv sa 9 to je i zbir cifara naĹĄeg broja djeljiv sa 9. Zbir cifara naĹĄeg broja je 15 + đ?‘Ž + đ?‘?. Da bi ovaj zbir bi djeljiv sa 9, mora biti đ?‘Ž + đ?‘? = 3 ili đ?‘Ž + đ?‘? = 12, tj. cifre đ?‘Ž i đ?‘? su rjeĹĄenja ureÄ‘enih parova brojeva: (đ?‘Ž, đ?‘?) = {(0, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 0), (3, 9), (4, 8), (5, 7), (6, 6), (7, 5), (8, 4), (9, 3)}. ZakljuÄ?ujemo da je traĹženi najmanji takav broj koji je djeljiv sa 90, broj 3 219 030. Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… koji su djeljivi sa 36. 6. Naći sve ĹĄestocifrene brojeve oblika đ?‘Ľ2016đ?‘Ś RjeĹĄenje: Broj treba biti djeljiv sa 4 i sa 9. Ako bi dati broj bio djeljiv sa 4 onda su traĹženi brojevi oblika: Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘Ľ20164, Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘Ľ20168. Sada trebamo joĹĄ provjeriti da dati brojevi budu djeljivi sa 9, tj. da im zbir cifara bude djeljiv sa 9. Za prvi broj imamo sluÄ?aj 520164, a za drugi 120168. Dakle, traĹženi brojevi su: 520164 i 120168. 7. Odrediti sve trocifrene brojeve koji su djeljivi sa 4 i Ä?iji je proizvod cifara 24. RjeĹĄenje: Kako je proizvod cifara tih brojeva 24 ti brojevi su saÄ?injeni od faktora tog broja. Rastavimo 24 na faktore. Imamo: 24 = 1 â‹… 2 â‹… 2 â‹… 2 â‹… 3. Dati brojevi moraju biti trocifreni i djeljivi sa 4. TraĹženi brojevi su: 164, 416. 8. U parku su posaÄ‘eni ruĹžini grmovi. Ima ih viĹĄe od 350, a manje od 400. Koliki je taÄ?an broj grmova ako znamo da su saÄ‘eni u redovima, a u svakome je 51 grm? RjeĹĄenje: Ako je u svakom redu 51 grm, onda je broj grmova djeljiv s 51. Brojevi djeljivi s 51 su: 51, 102, 153, 204, 255, 306, 357, 408 itd. Od svih njih, izmeÄ‘u 350 i 400 se nalazi 357. Dakle, bilo je taÄ?no 357 grmova.

9. Odredi sve osmocifrene prirodne brojeve oblika Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘Žđ?‘Žđ?‘Žđ?‘Žđ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘? djeljive s 15. Postupak obrazloĹži. RjeĹĄenje: Ako je broj djeljiv s 15, onda je djeljiv i s 5 i s 3. Zbog djeljivosti s 5 cifra đ?‘? zadanog broja moĹže biti 5 ili 0. Zbog djeljivosti s 3 zbir cifara zadanog broja mora biti djeljiv s 3 1. sluÄ?aj: đ?‘? = 0 Zadani osmocifreni broj je oblika Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘Žđ?‘Žđ?‘Žđ?‘Ž0000. Zbir njegovih cifara je 4 â‹… đ?‘Ž pa vrijedi da je đ?‘Ž ∈ {3, 6, 9}.

39

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

TraĹženi brojevi su 33330000, 66660000 i 99990000. 2. sluÄ?aj đ?‘? = 5 Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…. Zbir njegovih cifara je 4 â‹… đ?‘Ž + 20 pa Zadani osmocifreni broj je oblika đ?‘Žđ?‘Žđ?‘Žđ?‘Ž5555 vrijedi da je đ?‘Ž ∈ {1, 4, 7}. TraĹženi brojevi su 11115555, 44445555 i 77775555.

10. Zadana su dva broja: prvi broj pri dijeljenju sa 7 ima ostatak 3, dok drugi broj pri dijeljenju sa 7 ima ostatak 4. Koliki ostatak pri dijeljenju sa 7 ima njihov zbir? RjeĹĄenje: PoĹĄto prvi broj pri dijeljenju sa 7 ima ostatak 3, on je oblika 7đ?‘Ž + 3. Drugi broj pri dijeljenju sa 7 ima ostatak 4, pa je on oblika 7đ?‘? + 4. Pogledajmo njihov zbir: (7đ?‘Ž + 3) + (7đ?‘? + 4) = 7đ?‘Ž + 3 + 7đ?‘? + 4 = 7đ?‘Ž + 7đ?‘? + 7. Taj je izraz djeljiv sa 7 jer su svi sabirci djeljivi sa 7. Dakle, njihov zbir pri dijeljenju sa 7 ima ostatak 0.

11. Odredi cifru đ?‘‹ u broju 512đ?‘‹4 tako da taj broj bude djeljiv sa 36. RjeĹĄenje: Broj je djeljiv sa 36 ako je istovremeno djeljiv sa 4 i sa 9. Broj je djeljiv sa 4 ako mu je dvocifreni zavrĹĄetak djeljiv sa 4, đ?‘‹ ∈ {0 , 2 , 4 , 6 , 8}, tj to su brojevi : 51204 , 51224 , 51264 , 51284. Broj je djeljiv sa 9 ako mu je zbir cifara djeljiv sa 9. đ?‘‹ = 6, tj. to je broj 51264. Vidimo da je broj koji se ponavlja 51264 (djeljiv sa 4 i sa 9), pa je đ?‘‹ = 6 rjeĹĄenje naĹĄeg zadatka.

12. Orediti razliku najvećeg i najmanjeg peterocifrenog broja djeljivih sa 127. RjeĹĄenje: Kako je 10 000: 127 = 78(4) i 99 999: 127 = 787(50), najmanji broj je 127 ∙ 79 = 10 003. Najveći traĹženi broj 999999 − 50 = 999949. 13. Od Ä?etiri proizvoljno odabrana prirodna broja uvijek će se naći dva koja pri dijeljenju sa 3 daju isti ostatak. Dokazati! RjeĹĄenje: Ostaci pri dijeljenju sa 3 mogu biti 0, 1 i 2 (najviĹĄe 3 razliÄ?ita ostatka). Kako imamo 4 broja a najviĹĄe 3 razliÄ?ita ostatka, bar 2 od 4 broja imaju iste ostatke pri dijeljenju sa 3.

40

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje iz matematike

14. Zbir dva dvocifrena broja koji se zapisuju istim ciframa a u obrnutom redosljedu je djeljiv sa 55. Odredi te brojeve. RjeĹĄenje: Ě…Ě…Ě… đ?‘Žđ?‘? + Ě…Ě…Ě… đ?‘?đ?‘Ž = (10đ?‘Ž + đ?‘?) + (10đ?‘? + đ?‘Ž) = 11(đ?‘Ž + đ?‘?). Zbir takva dva broja je uvijek djeljiv sa 11 pa je potrebno joĹĄ samo da zbir cifara đ?‘Ž + đ?‘? bude djeljiv sa 5. To su brojevi 14 i 41 ili 23 i 32. 15. Razliku najvećeg i najmanjeg petocifrenog broja s razliÄ?itim ciframa koji su djeljivi brojem 15 zaokruĹži na najbliĹžu deseticu. RjeĹĄenje: Vrijedi 15 = 3 ∙ 5. Iz djeljivosti s 5 slijedi da su cifre jedinica traĹženih petocifrenih brojeva 0 ili 5, a iz djeljivosti s 3 da je zbir njihovih cifara djeljiv sa 3. Najmanji takav broj je 10245, a najveći 98760. Njihova razlika je 88515, a zaokruĹžena vrijednost je 88520. 16. DokaĹži da je zbir tri uzastopna prirodna broja djeljiv sa brojem 3. RjeĹĄenje: Neka su tri uzastopna prirodna broja đ?‘›, đ?‘› + 1, đ?‘› + 2. Ako saberemo ove brojeve đ?‘› + đ?‘› + 1 + đ?‘› + 2 = 3đ?‘› + 3 = 3(đ?‘› + 1). Proizvod je djeljiv sa nekim brojem ako je bar jedan faktor djeljiv tim brojem, pa zakljuÄ?ujemo da je proizvod 3(đ?‘› + 1) djeljiv sa brojem 3.

17. Naći najmanji i najveći trocifren prirodan broj koji pri dijeljenju sa 16 ima koliÄ?nik isti kao i ostatak . RjeĹĄenje: TraĹženi broj je 16đ?‘ž + đ?‘ž = 17đ?‘ž, pa se najmanji traĹženi broj dobiva za đ?‘ž = 6, tj. 17 ¡ 6 = 102. Najveći traĹženi broj se dobiva za đ?‘ž = 15, jer je 15 najveći ostatak pri dijeljenju sa 16, znaÄ?i 17 ¡ 15 = 255.

18. Odrediti najmanji prirodan broj djeljiv sa 36 koji je zapisan samo ciframa 4 i 7. RjeĹĄenje: Broj koji je djeljiv sa 36 mora da bude djeljiv sa 4 i sa 9. Ako je djeljiv sa 4, a zapisuje se samo ciframa 7 i 4, on mora da se zavrĹĄava sa 44. Zbir cifara toga broja treba da bude djeljiv sa 9, pa kako su sluÄ?ajevi 8 + 1 i 8 + 10, tj. 8 + 4 + 4 + 4 + 7, pa je traĹženi broj 444744 .

41

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje iz matematike

19. Odrediti cifre đ?‘Ž i đ?‘? tako da je

Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… 199đ?‘Ž1đ?‘? 12

prirodan broj .

RjeĹĄenje: Da bi traĹženi koliÄ?nik bio prirodan broj , mora dati broj Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… 199đ?‘Ž1đ?‘? biti djeljiv sa 12, a to znaÄ?i Ě…Ě…Ě… mora biti djeljiv sa 4, to je đ?‘? = 2 ili đ?‘? = 6. Ako je sa 3 i 4. Kako dvocifreni zavrĹĄetak 1đ?‘? đ?‘? = 2 onda je zbir cifara datog broja jednak 22 + đ?‘Ž, pa zbog djeljivosti sa 3, a moĹže biti 2, 5 ili 8. Ako je đ?‘? = 6, onda je zbir cifara 26 + đ?‘Ž, pa u tom sluÄ?aju đ?‘Ž moĹže biti 1, 4 ili 7. Svi traĹženi brojevi su 199116, 199212, 199416, 199512, 199716, 199812.

20. Odrediti najveći Ä?etverocifreni broj koji pri dijeljenju sa 3, 4, 5, 6 i 7 daje ostatak 2. RjeĹĄenje: Kako je đ?‘†(3,4,5,6,7) = 3 ¡ 2 ¡ 2 ¡ 5 ¡ 7 = 420, traĹženi broj je 420đ?‘˜ + 2, pri Ä?emu je 420đ?‘˜ + 2 ≤ 9999. Dakle najveći takav broj je 9662 .

21. Odrediti sve vrijednosti cifara đ?‘Ž i đ?‘? tako da razlomak

đ?‘Ž2012đ?‘? 36

bude prirodan broj!

RjeĹĄenje. – da bi razlomak bio prirodan broj, brojnik treba biti djeljiv sa nazivnikom, pa u naĹĄem sluÄ?aju nazivnik treba da je djeljiv sa 4 i 9 istovremeno zato ĹĄto je 4 â‹… 9 = 36 – da bi đ?‘Ž2012đ?‘? bio djeljiv sa 4 njegov dvocifreni zavrĹĄetak mora biti djeljiv sa 4 pa cifra jedinica đ?‘? moĹže imati jednu od vrijednosti đ?‘? ∈ {0, 4, 8} − da bi đ?‘Ž2012đ?‘? bio djeljiv sa 9 zbir njegovih cifara treba da bude djeljiv sa 9 1° ako je đ?’ƒ = đ?&#x;Ž â&#x;š 2 + 0 + 1 + 2 + 0 = 5 â&#x;š đ?’‚ = đ?&#x;’ 2° ako je đ?’ƒ = đ?&#x;’ â&#x;š 2 + 0 + 1 + 2 + 4 = 9 â&#x;š đ?’‚ = đ?&#x;— 3° ako je đ?’ƒ = đ?&#x;– â&#x;š 2 + 0 + 1 + 2 + 8 = 13 â&#x;š đ?’‚ = đ?&#x;“ 22. DokaĹži da zbir 6 uzastopnih prirodnih brojeva nikad nije djeljiv sa 2! RjeĹĄenje: đ?‘› + (đ?‘› + 1) + (đ?‘› + 2) + (đ?‘› + 3) + (đ?‘› + 4) + đ?‘› + 5 = 6đ?‘› + 15 = 3(2đ?‘› + 5) Ĺ to nije djeljivo sa 2 jer su oba faktora neparni brojevi.

23. Zadana su dva broja: prvi broj pri dijeljenju sa 12 ima ostatak 5, dok drugi broj pri dijeljenju sa 12 ima ostatak 3. Koliki ostatak pri dijeljenju sa 12 ima njihov zbir ? RjeĹĄenje: Ti brojevi su oblika 12đ?‘Ž + 5 i 12đ?‘? + 3, pa je njihov zbir (12đ?‘Ž + 5 + 12đ?‘? + 3) = 12đ?‘Ž + 12đ?‘? + 8

42

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

poÄ?etni dio 12đ?‘Ž + 12đ?‘? je djeljiv sa 12, pa je ostatak zbira pri dijeljenju sa 12 jednak 8. 24. Odrediti sve trocifrene prirodne brojeve koji su djeljivi sa 4 i Ä?iji je proizvod cifara jednak 24. Odgovor obrazloĹžiti? RjeĹĄenje: Proizvod 24 je moguć u kombinacijama: 1 â‹… 3 â‹… 8; 1 â‹… 4 â‹… 6; 2 â‹… 2 â‹… 6; 2 â‹… 3 â‹… 4 .TraĹženi brojevi su 164, 416, 324 i 432 jer su samo njihovi dvocifreni zavrĹĄeci djeljivi sa 4, tj. ti brojevi su djeljivi sa 4.

25. Koji brojevi manji od 100 pri dijeljenju sa 4 i pri dijeljenju sa 20 daju ostatak 1? RjeĹĄenje: đ?‘†(4, 26) = 52 đ?‘› = 52 ∙ đ?‘˜ + 1 < 100 â&#x;š đ?‘˜ = 0 ∨ đ?‘˜ = 1 â&#x;š đ?‘› = 1 ∨ đ?‘› = 53 Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… odredi đ?‘‹ tako da broj bude djeljiv sa 12. 26. U broju 35đ?‘‹4 RjeĹĄenje: Zbog djeljivosti sa 3 đ?‘‹ moĹže biti 0,3,6,9, kako je broj djeljiv i sa 4 od ove Ä?etiri cifre ostaje da đ?‘‹ moĹže biti 0 ili 6. 27. U Ä?etvorocifrenom broju Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… 32đ?‘Ľ2 odredi vrijednost cifre đ?‘Ľ tako da dobiveni broj bude djeljiv sa 12. RjeĹĄenje: Broj je djeljiv sa 12 ako je djeljiv sa 3 i 4. Da bi broj Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… 32đ?‘Ľ2 bio djeljiv sa 3, zbir cifara mu mora biti djeljiv sa 3. Cifra đ?‘Ľ moĹže biti 2, 5 ili 8. Zbog djeljivosti sa 4, zadnje dvije cifre moraju biti djeljive sa 4. Od tri sluÄ?aja (22, 52, 82) je konaÄ?no rjeĹĄenje 52 odnosno đ?‘Ľ = 5.

Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… tako da budu djeljivi sa 36. 28. Odredi Ä?etverocifrene brojeve oblika đ?‘Ľ11đ?‘Ś RjeĹĄenje: Ě…Ě…Ě…Ě… djeljivo Broj će bitidjeljiv sa 36 ako je djeljiv sa 4 i sa 9. Da bi broj bio djeljiv sa 4 treba da bude 1đ?‘Ś sa 4. ZnaÄ?i da đ?‘Ś ∈ {2, 6}. Za đ?‘Ś = 2 imamo zbir cifara đ?‘Ľ + 1 + 1 + 2 = đ?‘Ľ + 4 da bude djeljiv sa 9, znaÄ?i đ?‘Ľ = 5 jer je 5 + 4 = 9. Za đ?‘Ś = 6 imamo zbir cifara đ?‘Ľ + 1 + 1 + 6 = đ?‘Ľ + 8 da bude djeljiv sa 9, znaÄ?i đ?‘Ľ = 1 jer je 1 + 8 = 9. TraĹženi brojevi su 5112 i 1116.

43

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

29. Proizvod pet uzastopnih prirodnih brojeva je broj Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… 95 ∗ 4 ∗. Odrediti nepoznate cifre. RjeĹĄenje: Od pet uzastopnih prirodnih brojeva bar jedan mora biti djeljiv sa 2, bar jedan sa 3 i bar jedan sa 5, pa proizvod tih pet brojeva mora biti djeljiv i sa 10 i sa 3 .Zbog toga, cifra jedinica mora biti 0, a ako cifru stotina obiljeĹžimo sa đ?‘Ž, zbir 9 + 5 + đ?‘Ž + 4 + 0 mora biti djeljiv sa 3. Slijedi da je đ?‘Ž ∈ {0, 3, 6, 9}. Provjerom za svako đ?‘Ž iz ovog skupa slijedi da je jedino za đ?‘Ž = 0 dobiveni broj proizvod 5 uzastopnih brojeva i to 95040 = 8 â‹… 9 â‹… 10 â‹… 11 â‹… 12.

30. Ako se brojevi 8746 i 1652 podijele jednim istim brojem dobiju se redom ostaci 16 i 14. Odredi broj kojim je vrĹĄeno dijeljenje . RjeĹĄenje: Uvrstimo redom ostatke te ih oduzmimo od mjernih brojeva 8746– 16 i 1652– 14, pa dobijemo 8730 i 1638. Ovi brojevi djeljivi su sa 2, 9 i 18. MeÄ‘utim, ostaci dijeljenja su 16 i 14, a koliÄ?nik mora biti veći od ostatka, pa je traĹženi zajedniÄ?ki djelilac 18.

31. Odredi najmanji Ä?etverocifreni broj djeljiv sa brojem 72 koji ima sve cifre razliÄ?ite. RjeĹĄenje: 1008

32. NapiĹĄi: a) najveći, b) najmanji petocifreni broj Ä?ija je cifra jedinica 7, a koji je djeljiv brojem 9. RjeĹĄenje: a) 99927 b) 10017

33. NapiĹĄi najmanji i najveći Ä?etverocifreni broj djeljiv sa 15.

RjeĹĄenje: 9990, 1005

44

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje iz matematike

Razlomci 1. Aida sa 77 koraka jednake duĹžine preÄ‘e 67đ?‘š, a Alen sa 88 koraka jednake duĹžine preÄ‘e 78đ?‘š. ÄŒiji korak je duĹži i za koliko? RjeĹĄenje: Aidin korak: 67 67 ∙ 8 536 đ?‘š= đ?‘š= đ?‘š 77 77 ∙ 8 616 Alenov korak: 78 78 ∙ 7 546 đ?‘š= đ?‘š= đ?‘š 88 88 ∙ 7 616 Alenov korak je duĹži za: 546 536 10 5 đ?‘šâˆ’ đ?‘š= đ?‘š= đ?‘š 616 616 616 308

2. NaÄ‘i prosti broj đ?‘? tako da vaĹži

4

3

6

< đ?‘? < 17 21

RjeĹĄenje: 4 3 6 < < 21 đ?‘? 17 12 12 12 < < 63 4đ?‘? 34 34 < 4đ?‘? < 63 â&#x;š đ?‘? ∈ {11, 13}

7

3. Brojnik i nazivnik se razlikuju za 72. Skraćivanjem se dobije 15 koji je to razlomak? RjeĹĄenje: đ?‘Ž 7â‹…đ?‘› đ?‘? − 72 7â‹…đ?‘› = , đ?‘Ž = đ?‘? − 72, = , 7đ?‘› = đ?‘? − 72 đ?‘? 15 â‹… đ?‘› đ?‘? 15 â‹… đ?‘› đ?‘? = 15đ?‘› 7đ?‘› = 15đ?‘› − 72 â&#x;š đ?‘› = 9, đ?‘? = 135, đ?‘Ž = 63

577

5777

4. Bez dijeljenja i bez dovoÄ‘enja na zajedniÄ?ki imenilac uporediti razlomke 777 i 7777. RjeĹĄenje:

Posmatrajmo: 577 777 − 577 200 ⋅ 10 2000 1− = = = 777 777 777 ⋅ 10 7770

45

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

5777 7777 − 5777 2000 = = 7777 7777 7777 Kako je 2000 2000 577 5777 > â&#x;š < 7770 7777 777 7777 1−

đ?‘Ľ

2

4

5. Odredi sve parove prirodnih brojeva đ?‘Ľ i đ?‘Ś za koje vrijedi 5 − đ?‘Ś = 5. RjeĹĄenje: Provjerom za đ?‘Ľ ∈ {1, 2, ‌ , 8} dobivaju se dva rjeĹĄenja: đ?‘Ľ = 6, đ?‘Ś = 5 i đ?‘Ľ = 9, đ?‘Ś = 2.

11

55

6. Šta je veće: a) 36 ili 279; 676

2027

b) 667 ili 2002 RjeĹĄenje: 11

55

11

2028

2027

55

a) ProĹĄirivanjem prvog razlomka sa 5 , dobivamo 36 = 280 â&#x;š 56 < 279. 676

2028

2028

b) ProĹĄirivanjem sa 3 imamo 667 = 2001 â&#x;š 2001 > 2002 > 2002.

7. Uporediti razlomke:

19 1919 191919

,

,

.

98 9898 989898

RjeĹĄenje: 1919

Drugi i treći razlomak mogu da se skrate : 9898 =

19â‹…101 98â‹…101

19

191919

19â‹…10101

19

= 98 i 989898 = 98â‹…10101 = 98 pa

zakljuÄ?ujemo da su svi razlomci jednaki.

8

1

2

8. Odredi sve proste brojeve đ?‘? za koje vaĹži 63 < đ?‘? < 5. RjeĹĄenje: 5

Ako posmatramo reciproÄ?ne vrijednosti, treba da bude 2 < đ?‘? < đ?‘? ∈ {3, 5, 7}.

9. Šta je veće

3∗5∗ 36

ili

5∗3∗ 45

63 8

odnosno 3 ≤ đ?‘? ≤ 7 pa je

ako umjesto zvjezdica mogu da stoje bilo koje cifre .

Rjeťenje: Najveća moguća vrijednost razlomka Najmanja moguća vrijednost razlomka

3∗5∗ 36 5∗3∗ 45

je je

3959 36 5030 45

46

< >

3600+360 36 4500+450 45

= 110 = 110

} â&#x;š

3∗5∗ 36

< 110 <

5∗3∗ 45

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

3

đ?‘›

8

12

10. Odrediti sve prirodne brojeve đ?‘› tako da vaĹži nejednakost <

<

11

.

18

RjeĹĄenje: đ?‘ đ?‘?đ?‘†(8, 12, 18) = 72 3 8

đ?‘›

11

27

< 12 < 18 â&#x;š 72 <

6đ?‘› 72

44

< 72 â&#x;š 27 < 6đ?‘› < 44 â&#x;š đ?‘› ∈ {5, 6, 7}

11. Odrediti đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? ako je 1 +

1 đ?‘Ž+

43

1 đ?‘?+

1 đ?‘?

= 50.

Rjeťenje: 43 13 1 1 1 1 =1+ = 1+ =1+ =1+ =1+ 30 4 1 1 50 30 2 + 13 2 + 13 2+ 1 13 3 + 4 4 – dakle, dobili smo 1 +

1 đ?’‚+

1

1 đ?’ƒ+ đ?’„

=1+

1 đ?&#x;?+

odakle zakljuÄ?ujemo da je đ?‘Ž = 2, đ?‘? = 3, đ?‘? = 4

1

1 đ?&#x;‘+ đ?&#x;’

12. Naći sve razlomke sa jednocifrenim imeniocem od kojih je svaki veći od Rjeťenje: 7

7 9

a manji od

8

Razlomke 9 i 9 redom proťirimo brojevima 2, 3, ‌ , 8 i dobivamo razlomke: 

par



par

14 16

,

18 18 21 24

,

27 27

 par rjeťenje)

28 32



par

35 40



par



par



par

,

36 36

,

45 45 42 48

,

54 54 49 56

,

63 63

15

5

22

23

, između je razlomak 18 = 6 , između su razlomci 27 i 27 30

36

4

, zadovoljava razlomak 45 = 5 45

5

, jedan par se moŞe kratiti: 54 = 6 ( pronađeno rjeťenje) 54

6

, jedan par zadovoljava: 63 = 7

56 64

60

5

63

7

, , dva se mogu kratiti: 72 = 6 i 72 = 8 72 72

TraĹženi razlomci:

30

5

, od parova između, moŞe se jedino par 36 skratiti, 36 = 6 (pronađeno

5 6

7

4

6

,8,5,7.

47

8 9

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

3

5

8

12

13. UÄ?enik je proÄ?itao knjigu za tri dana. Prvog dana je proÄ?itao knjige, drugog dana 1

knjige, a trećeg dana 6 knjige i joť 10 stranica. Koliko je stranica imala knjiga? Rjeťenje: 1

5

1

9

10

4

23

UÄ?enik je za tri dana proÄ?itao: 3 + 12 + 6 = 24 + 24 + 24 = 24 dijela knjige, bez posljednjih 1

stranica. Proizilazi da je upravo 24 knjige tih 10 stranica. Dakle, knjiga ima 240 stranica.

3

14. Odredite razlomku 5 jednak razlomak u kome je zbir brojnika i nazivnika 56. RjeĹĄenje: 3

21

3đ?‘Ľ + 5đ?‘Ľ = 56 â&#x;š đ?‘Ľ = 7 5 = 35

15. 15% nekog broja daje broj 1800. Koji je to broj? RjeĹĄenje: 15 ∙ đ?‘Ľ = 1800 â&#x;š đ?‘Ľ = 12000 100 Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… djeljive sa 45. 16. Odredi sve Ä?etvorocifrene brojeve oblika đ?‘Žđ?‘?đ?‘?đ?‘Ž RjeĹĄenje: đ?‘Ž moĹže biti samo 5, zbog toga đ?‘? moĹže biti samo 4, pa je jedino rjeĹĄenje 5445

17. Sam lav moĹže pojesti ovcu za 2 sata, vuk za 3 sata, a pas za 6 sati. Za koje vrijeme bi oni zajedno pojeli ovcu? RjeĹĄenje: 1 1 1 đ?‘Ľ+ đ?‘Ľ+ đ?‘Ľ=1 â&#x;šđ?‘Ľ=1 2 3 6

18. Kojim brojem moramo pomnoziti zbir brojeva 3

RjeĹĄenje: 7 7 7 7 đ?‘Ľ( + ) = − 2 3 2 3 35 7 7 35 7 6 1 đ?‘Ľâ‹… = â&#x;š đ?‘Ľ= : â&#x;šđ?‘Ľ= â‹… â&#x;šđ?‘Ľ= 6 6 6 6 6 35 5

48

1 2

1

i 2 3 da bismo dobili raziku tih brojeva.

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

1

19. Na ĹĄkolskom takmiÄ?enju iz matematike uÄ?estvovala je uÄ?enika jednog odjeljenja od 3

kojih na općinsko takmiÄ?enje nije se plasiralo 8 uÄ?enika, tako da je na općinskom takmiÄ?enju 1

uÄ?estvovala 9 uÄ?enika tog odjeljenja. Koliko uÄ?enika ima u tom odjeljenju? RjeĹĄenje: I naÄ?in 1

3

PoĹĄto je 3 isto ĹĄto i 9 uÄ?enika jednog odjeljenja uÄ?estvovalo na ĹĄkolskom takmiÄ?enju. Kako je 1

3

1

2

na općinskom takmiÄ?enju uÄ?estvovala 9 uÄ?enika, znaÄ?i 9 − 9 = 9 uÄ?enika istog odjeljenja nije plasirano tj. 8 uÄ?enika. 2

1

Ako 9 uÄ?enika jednog odjeljenja je 8 uÄ?enika, znaÄ?i da je 9 uÄ?enika toga odjeljenja 4 uÄ?enika. U odjeljenju je 4 ¡ 9 = 36 uÄ?enika. II naÄ?in Ako je đ?‘Ľ –broj uÄ?enika odjeljenja. 1 1 đ?‘Ľâˆ’ đ?‘Ľ=8 â&#x;šđ?‘Ľ=3 3 9 U odjeljenju je 36 uÄ?enika.

599

5999

20. Bez dijeljenja i bez dovoÄ‘enja na zajedniÄ?ki imenilac razlomaka 799 i 7999 utvrditi koji je od datih razlomaka veći. RjeĹĄenje: 1−

599 200 2000 = = 799 799 7990

1−

5999 2000 = 7999 7999 599

5999

Dopuna do jedinice prvog razlomka je veća, pa je 799 < 7999.

2

5

3

21. Neko potroĹĄi najprije 3 novca koji je imao, zatim 9 ostatka, potom joĹĄ 8 novog ostatka. Poslije toga mu je ostalo joĹĄ 200đ??žđ?‘€. Koliko je novca imao na poÄ?etku? RjeĹĄenje: 3

2

2

5

2

2

1 − 5 = 5, dakle ostatak je 5. Zatim potroĹĄi 9 â‹… 5 = 9 cijele sume, pa je novi ostatak1 − 3

2

8

3

3

8

1

(5 + 9) = 45 od cijele sume. Od toga potroĹĄi 8 ili 8 â‹… 45 = 15 cijele sume. Ukupno je potroĹĄio

49

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

37 45

+

1 15

8

1

9

9

= , tj. ostala je cijele sume, ĹĄto iznosi 200đ??žđ?‘€. Dakle, ukupna suma je iznosila

1800đ??žđ?‘€.

22. Tri domaćice kupe izvjestan broj jaja manji od 100. Prva domaćica uzme trećinu svih jaja, druga domaćica uzme trećinu ostatka, a zatim treća domaćica uzme trećinu preostalih jaja. Jaja koja su preostala poslij toga domaćice su međusobno podijelile na jednake dijelove. Koliko je bilo jaja? Koliko je uzela svaka domaćica? Rjeťenje: 1

1

2

2

1

2

4

1

4

4

Prva domaćica je uzela 3, druga 3 ⋅ 3 = 9 (ostatak jaja: 1 − (3 + 9) = 9), treća 3 ⋅ 9 = 27. 8

8

Ostalo je 27 ĹĄto je djeljivo sa 3, pa je svaka dobila po 81 ostatka, ĹĄto znaÄ?i da je bilo ukupno 81 jaje, pa je prva domaćica uzela 35, druga 26 i treća 20 jaja.

n+8

23. Odredi đ?‘› ∈ đ?‘ ako je n−2 prirodan broj. RjeĹĄenje: n + 8 n − 2 + 10 n − 2 10 10 = = + =1+ n−2 n−2 n−2 n−2 n−2 10 je prirpdan broj ako mu nazivnik đ?‘› − 2 ∈ {1, 2, 5, 10}. Sada je: n−2 đ?‘› − 2 = 1 pa je đ?‘› = 3 đ?‘› − 2 = 2 pa je đ?‘› = 4 đ?‘› − 2 = 5 pa je đ?‘› = 7 đ?‘› − 2 = 10 pa je đ?‘› = 12 Dakle, đ?‘› moĹže biti: 3, 4, 7 i 2

24. Odredi đ?‘› ∈ đ?‘ ako je

3n+5 n−3

prirodan broj.

RjeĹĄenje: đ?‘›1 = 4, đ?‘›2 = 5, đ?‘›3 = 10 i đ?‘›4 = 17 1

25. RijeĹĄi jednadĹžbu 5 (2 + đ?‘Ľ) + 30(4 + đ?‘Ľ) = 98(8 − đ?‘Ľ) −

3(5đ?‘Ľâˆ’1)

RjeĹĄenje: 1 3(5đ?‘Ľ − 1) (2 + đ?‘Ľ) + 30(4 + đ?‘Ľ) = 98(8 − đ?‘Ľ) − â&#x;š đ?‘Ľ= 3 5 14

50

14

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

1

đ?‘›

3

6

26. Odredi sve vrijednosti prirodnog broja đ?‘› tako da je taÄ?na nejednakost ≤ RjeĹĄenje: 1 đ?‘› 3 4 2đ?‘› 9 ≤ < â&#x;š ≤ < â&#x;š 4 ≤ 2đ?‘› < 9 â&#x;š đ?‘› ∈ {2, 3, 4} 3 6 4 12 12 12

51

3

< . 4

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

Zadaci za sedmi razred

Cijeli brojevi Racionalni brojevi Trougao

Diofant4 u skladu sa tadaĹĄnjim razvjem matematike je pod pojmom broj podrazumijevao samo cijele pozitivne brojeve. Za njega je jednadĹžba 4đ?‘Ľ + 20 = 0 bila besmislena jer je rjeĹĄenje negativan broj. On pozitivne brojeve naziva brojevi za sabiranje (sabirajući brojevi), a negativne brojevi za oduzimanje (oduzimajući brojevi) i navodi pravila za njihovo mnoĹženje: Broj za oduzimanje pomnoĹžen sa brojem sa oduzimanjem daje broj za sabiranje. Broj za oduzimanje pomnoĹžen sa brojem za sabiranje daje broj za oduzimanje. Brahmagupta5 pozitivne brojeve predstavlja kao imetak, a negativne brojeve kao dug te navodi pravila za sabiranje: Zbir dva imetka je imetak, dva duga je dug, imetka i duga njihova razlika, a ako su jednaki nula. Zbir nule i duga je dug, imetka i nule imetak, a dvije nule je nula. Bhaskara6 negativan broj oznaÄ?ava tako da iznad njega stavlja taÄ?ku. On je dao pravila za mnoĹženje i dijeljenje negativnih brojeva: Proizvod dva imetka ili dva duga je imetak, proizvod imetka i duga je dug, a isto tako je i u dijeljenju.

Diofant (starogrÄ?ki ΔΚĎŒĎ†ιντος á˝ áźˆÎťÎľÎžÎąÎ˝Î´Ď ÎľĎ?Ď‚) je bio starogrÄ?ki matematiÄ?ar, Ĺživio je oko 250. godine nove ere. Njegov rad je saÄ?uvan u ĹĄest saÄ?uvanih (sedam dijelova je izgubljeno) poglavlja djela „Aritmetika“ koji je bila najstarije sistematsko djelo o algebri. Dao je veliki doprinos u napretku algebre upotrebom simbola za veliÄ?ine i matematiÄ?ke operacije i odnose koje su se prije Diofanta opisivale rijeÄ?ima. 5 Brahmagupta je bio indijski matematiÄ?ar i astronom koji je Ĺživio u periodu od 589. do 668. godine. Sabiranje, oduzimanje, dijeljenje i druge fundamentalne operacije sa arapskim brojevima prvi puta se pojavljuju u njegovom djelu „Bramasputa Sidanta“.“Bramaguptasidanta“ je najstariji poznati tekst koji nulu tretira kao broj po sebi. U ovom djelu se navode i pravila za aritmetiku sa negativnim brojevima i nulom, koja su vrlo blizu danaĹĄnjih shvatanja. 6 Bhaskara bio je indijski matematiÄ?ar i astronom koji je Ĺživio u periodu od 1114. do 1185. godine. Njegovo djelo „Bijaganita“(„Algebra“) koje je saÄ?injeno od 12 dijelova je jedno od najznaÄ?ajnijih djela u kojem se prvi puta spominje da kvadratni korijen ima dva znaka, kao i mnoga pravila vezana za skup cijelih brojeva. 4

52

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

Cijeli brojevi 1. Cifra jedinica nekog broja je 0. Ako je izbriĹĄemo tada se taj broj smanji za 37215. Koji je to broj? RjeĹĄenje: Ako se u nekom broju izbriĹĄe zadnja cifra nula onda se on smanji deset puta. Naka je traĹženi đ?‘Ľ broj đ?‘ĽAko u njemu izbriĹĄemo posljednju cifru dobijamo broj 10. Sada imamo jednaÄ?inu po đ?‘Ľ

tekstu zadatka: 10 + 37215 = đ?‘Ľ â&#x;š đ?‘Ľ = 41350. TraĹženi broj je 41350.

2. IzraÄ?unati zbir i proizvod 20 uzastopnih cijelih brojeva ako je meÄ‘u njima 8 pozitivnih. RjeĹĄenje: Radi se o slijedećim brojevima: 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, −1, −2, −3, −4, −5, −6, −7, −8, −9, −10, −11. Odmah je oÄ?ito da je njihov proizvod jednak broju 0, jer jedan faktor je nula. Zbir ovih nabrojanih brojeva iznosi:−9 − 10 − 11 = −30, jer je zbir suprotnih brojeva 0.

3. Dokazati da je

10đ?‘› +8 18

prirodan broj.

RjeĹĄenje: đ?‘›

Treba pokazati da je dati broj djeljiv sa 18, tj da je djeljiv i sa 2 i sa 9. Broj 10 = â?ž 10000. . .0 đ?‘›

đ?‘›âˆ’1

pa je broj 10 = 10 + 8 = â?ž 10000. . .0 8 odakle zakljuÄ?ujemo da mu je posljednja cifra 8 pa je taj broj djeljiv sa 2. Zbir cifara naĹĄeg broja je takoÄ‘er djeljiv sa 9 odakle zakljuÄ?ujemo da i đ?‘›

đ?‘›

dat broj djeljiv sa 9. Samim tim djeljiv je i sa 18, pa je broj

10đ?‘› +8 18

prirodan.

4. U skupu cijelih brojeva rijeĹĄi jednadĹžbu đ?‘Ľđ?‘Ś − 3đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 5. RjeĹĄenje: U jednadĹžbi đ?‘Ľđ?‘Śâ€“ 3đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 5 izrazimo jednu nepoznanicu pomoću druge, tj. đ?‘Ś =

5−3đ?‘Ľ đ?‘Ľ+1

.

Dalje je lako uoÄ?iti da će đ?‘Ś biti cijeli broj samo ako je đ?‘Ľ + 1 djelitelj broja 2. Dakle, đ?‘Ľ + 1 moĹže biti 1, −1, 2, −2. To znaÄ?i da đ?‘Ľ moĹže biti 0, −2, 1, −3. Slijedi da su rjeĹĄenja (0, 5), (−2, 1), (1, 4), (−3, 2).

5. Brat je 4 puta stariji od sestre, a sestra je 9 godina mlaÄ‘a od brata. Koliko godina ima sestra, a koliko brat? RjeĹĄenje: Ako sestra ima đ?‘›, brat ima 4đ?‘› godina i vrijedi 4đ?‘› − đ?‘› = 9, otkud slijedi đ?‘› = 3. Sestra ima 3, a brat 12 godina. 53

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

6. Odredi sve cijele brojeve đ?‘Ľ za koje je

2đ?‘Ľ+35

također cijeli broj.

đ?‘Ľ

RjeĹĄenje: 2đ?‘Ľ + 35 2đ?‘Ľ 35 35 = + = 2+ â&#x;š đ?‘Ľ ∈ {−35, −7, −5, −1, 1, 5, 7, 35} đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľ

7. Dat je skup đ??´ = {đ?‘Ľ ∈ ℤ| 2 ≤ |đ?‘Ľ| ≤ 5 }. Odrediti maksimalnu razliku dva broja iz skupa đ??´. RjeĹĄenje: 2 ≤ |đ?‘Ľ| ≤ 5 â&#x;ş (−5 ≤ đ?‘Ľ ≤ −2 ∨ 2 ≤ đ?‘Ľ ≤ 5)đ?‘Ľ ∈ {−5, −4, −3, −2, 2, 3, 4, 5} Dakle, đ??´ = {−5, −4, −3, −2, 2, 3, 4, 5}. Maksimalna razlika se dobije oduzimanjem od najvećeg najmanji element skupa đ??´, tj. 5 − (−5) = 10. 8. Ĺ kolskoj biblioteci svaki od 10 uÄ?enika je poklonio po nekoliko knjiga ĹĄto ukupno iznosi 101 knjiga. NajviĹĄe 10 knjiga je poklonila Lejla. Dokazati da su bar tri uÄ?enika poklonila isti broj knjiga. RjeĹĄenje: Preostalih 9 uÄ?enika su poklonili ukupno 46 knjiga. Ako bi svih 9 poklonili razliÄ?it broj 9∙10 knjiga onda bi taj zbir iznosio 1 + 2 + 3 + â‹Ż + 9 = 2 = 45 knjiga. Kako su oni poklonili 46, bar 2 uÄ?enika su poklonila isti broj knjiga. 9. Ali je uĹĄao u Ä?etiri trgovine. U svakoj trgovini je troĹĄio polovinu sume i na izlazu ubacivao po 1đ??žđ?‘€ za Narodnu kuhinju. Kada je izaĹĄao iz Ä?etvrte trgovine ostao je bez ijednog đ??žđ?‘€. Sa koliko đ??žđ?‘€ je uĹĄao u prvu trgovinu? RjeĹĄenje: U Ä?etvrtu trgovinu je uĹĄao sa 2đ??žđ?‘€(1đ??žđ?‘€ potroĹĄio i 1đ??žđ?‘€ dao za Narodnu kuhinju). U treću trgovinu je uĹĄao sa 6đ??žđ?‘€ (3đ??žđ?‘€ potroĹĄio i 1đ??žđ?‘€ dao za Narodnu kuhinju) U drugu trgovinu je uĹĄao sa 14đ??žđ?‘€ i u prvu je uĹĄao sa 30đ??žđ?‘€.

10. Za koji prost broj đ?‘? je vrijednost razlomka

2đ?‘?−24 13−đ?‘?

cjelobrojana? Kolika je ta cjelobrojna

vrijednost razlomka? RjeĹĄenje: 2đ?‘? − 24 2đ?‘? − 24 −2 ∙ (−đ?‘? + 13) + 2 2 = = = −2 + 13 − đ?‘? −đ?‘? + 13 −đ?‘? + 13 −đ?‘? + 13 Da bi dati razlomak bio cjelobrojan mora biti (−đ?‘? + 13) ∈ {−2, −1,1,2}, odnosno −đ?‘? ∈ {−15, −14, −12, −11}, odnosno đ?‘? ∈ {11, 12, 14, 15}. Kako je đ?‘? prost broj, 2đ?‘? − 24 2 ∙ 11 − 24 −2 đ?‘? = 11 ⇒ = = = −1 ∈ đ?‘? −đ?‘? + 13 −11 + 13 2

54

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

11. Odredi sve cijele brojeve đ?‘? za koje je

5đ?‘?−7 đ?‘?−2

također cijeli broj.

RjeĹĄenje: 5đ?‘? − 7 5(đ?‘? − 2) + 3 3 = =5+ đ?‘?−2 đ?‘?−2 đ?‘?−2 đ?‘? − 2 mora biti djeljitelj broja 3, pa đ?‘? ∈ {−1, 1, 3, 5}

12. Odredi zbir cjelobrojnih rjeĹĄenja nejednaÄ?ine |đ?‘Ľ − 1| < 6. RjeĹĄenje: Data nejednaÄ?ina je ekvivalentna sa −6 < đ?‘Ľâ€“ 1 < 6, odnosno sa −5 < đ?‘Ľ < 7. Prema tome, cjelobrojna rjeĹĄenja nejednaÄ?ine su −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 i 6, a njihov zbir je 11 .

13. IzraÄ?unaj vrijednost izraza 2000đ?‘Ľ – 2001đ?‘Ľ + 2002đ?‘Ľ – 2003đ?‘Ľ + 2004đ?‘Ľ – 2005đ?‘Ľ + 2006đ?‘Ľ – 2007đ?‘Ľ ako je đ?‘Ľ negativno rjeĹĄenje jednaÄ?ine |đ?‘Ľ| = 2008. RjeĹĄenje: đ?‘Ľ = −2008, pa je vrijednost izraza 8032.

14. Odredi sve parove cijelih brojeva đ?‘Ľ i đ?‘Ś za koje vrijedi đ?‘Ľ 2 â‹… |đ?‘Ś| = 2009. RjeĹĄenje: Rastavljanja broja 2009 su 2009 = 49 â‹… 41 = 7 ¡ 287 = 1 â‹… 2009 . Kako nijedan od brojeva 7 i 287 nije kvadrat nekog cijelog broja, dobijamo da je đ?‘Ľ 2 = 49 i |đ?‘Ś| = 41 ili đ?‘Ľ 2 = 1 i |đ?‘Ś| = 2009. Dakle, sva rjeĹĄenja su: (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ∈ {(7, 41), (7, −41), (−7, 41), (−7, −41), (1, 2009), (1, −2009), (−1, 2009), (−1, −2009)}.

15. Majka i kćerka su roÄ‘ene u istom vijeku. Koliko godina je majka starija od kćerke ako je danas proizvod njihovih godina 2010 ? RjeĹĄenje: Kako je 2010 = 2 ¡ 3 ¡ 5 â‹… 67 i kako su majka i kćerka roÄ‘ene u istom vijeku, to je jedino moguće da majka ima 67 godina, a kćerka 2 ¡ 3 ¡ 5 = 30 godina.

55

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

16. Dati su skupovi đ??´ = {−5 , −4 , −2 , 1 , 3} i đ??ľ = {− 3, − 1, 0 , 2}. Odredi elemente skupa đ??ś = {đ?‘?|đ?‘? = |đ?‘Ž + đ?‘?|, đ?‘Ž ∈ đ??´, đ?‘? ∈ đ??ľ}. RjeĹĄenje: Uzimajući redom vrijednosti za đ?‘Ž i đ?‘? iz skupova đ??´ i đ??ľ, i raÄ?unajući vrijednost izraza |đ?‘Ž + đ?‘?|, dobivamo elemente skupa đ??ś = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

17. Odredi cijele brojeve đ?‘Ž, đ?‘? i prost broj đ?‘? takve da je |đ?‘Ž â‹… đ?‘?| â‹… đ?‘? = 4022. RjeĹĄenje: Ako je đ?‘? = 2, tada je moguće naći 8 rjeĹĄenja, Ä?etiri za đ?‘Ž ∈ {−2011, 2011} i đ?‘? ∈ {−1, 1} i Ä?etiri za đ?‘Ž ∈ {−1, 1} i đ?‘? ∈ {−2011, 2011}. Ako je đ?‘? = 2011 , tada je moguće naći joĹĄ 8 rjeĹĄenja, Ä?etiri za đ?‘Ž ∈ {−1, 1} i đ?‘? ∈ {−2, 2} i Ä?etiri za đ?‘Ž ∈ {−2, 2} i đ?‘? ∈ (−1, 1).

18. Odrediti đ?‘› ∈ ℤ ako je

5đ?‘›+26 đ?‘›+1

cijeli broj.

RjeĹĄenje: 5đ?‘› + 26 5đ?‘› + 5 + 21 5(đ?‘› + 1) + 21 5(đ?‘› + 1) 21 21 = = = + = 5+ đ?‘›+1 đ?‘›+1 đ?‘›+1 đ?‘›+1 đ?‘›+1 đ?‘›+1 21 Da bi razlomak đ?‘›+1 bio cijeli broj njegov brojnik mora biti djeljiv sa nazivnikom, a da bi to vrijedilo parametar đ?‘› mora da ima slijedeće vrijednosti đ?‘› ∈ {−8, −4, 0, 2, 6}

7

19. Neka je đ??´ = {đ?‘Ľ ∈ ℤ| 2đ?‘Ľ+1 ∈ ℤ} i đ??ľ = {đ?‘Ś ∈ ℤ||3đ?‘Ś + 1| ≤ 10}. Odrediti: a) elemente skupova đ??´ i đ??ľ; b) maksimalnu vrijednost broja đ?‘¤ = đ?‘Ľ + đ?‘Ś, pri Ä?emu je đ?‘Ľ ∈ đ??´ i đ?‘Ś ∈ đ??ľ. RjeĹĄenje: a) 7

Da bi razlomak 2đ?‘Ľ+1 bio cijeli broj njegov brojnik mora biti djeljiv sa nazivnikom, a da bi to vrijedilo parametar đ?‘Ľ mora da ima slijedeće vrijednosti đ?‘Ľ ∈ {−4, 0, 3} jer je npr. 7 7 = = −1 ∈ ℤ 2 â‹… (−4) + 1 −7 đ??´ = {−4, 0, 3} – da bi nejednakost |3đ?‘Ś + 1| ≤ 10 bila taÄ?na parametar đ?‘Ś mora da ima slijedeće vrijednosti đ?‘Ś ∈ {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3} jer je npr. |3 â‹… (−3) + 1| = |−9 + 1| = |−8| = 8 ≤ 10 đ??ľ = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}

56

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

b) Da bi broj đ?‘¤ imao maksimalnu vrijednost to parametri đ?‘Ľ i đ?‘Ś moraju imati maksimalne vrijednosti iz skupova kojima pripadaju tj. đ?‘Ľ = 3, đ?‘Ś = 3, pa je đ?‘¤đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ = 3 + 3 = 6 20. Rep ribe ima 4đ?‘˜đ?‘”. Glava onoliko koliko rep i pola trupa, a trup onoliko koliko i rep zajedno. Koliko kilograma ima cijela riba? RjeĹĄenje: đ??şđ?‘™đ?‘Žđ?‘Łđ?‘Ž = đ?‘?đ?‘œđ?‘™đ?‘Ž đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘˘đ?‘?đ?‘Ž + 4đ?‘˜đ?‘” đ?‘‡đ?‘&#x;đ?‘˘đ?‘? = đ?‘”đ?‘™đ?‘Žđ?‘Łđ?‘Ž + 4 đ?‘˜đ?‘” đ?‘‡đ?‘&#x;đ?‘˘đ?‘? = đ?‘?đ?‘œđ?‘™đ?‘Ž đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘˘đ?‘?đ?‘Ž + 4đ?‘˜ + 4đ?‘˜đ?‘” đ?‘‡đ?‘&#x;đ?‘˘đ?‘? = đ?‘?đ?‘œđ?‘™đ?‘Ž đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘˘đ?‘?đ?‘Ž + 8đ?‘˜đ?‘” 1 đ?‘‡ = đ?‘Ą + 8/∙ 2 2 2đ?‘Ą = đ?‘Ą + 16 đ?‘‡ = 16 đ?‘˜đ?‘” đ??şđ?‘™đ?‘Žđ?‘Łđ?‘Ž = đ?‘?đ?‘œđ?‘™đ?‘Ž đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘˘đ?‘?đ?‘Ž + 4đ?‘˜đ?‘” = 8 + 4 = 12 đ?‘˜đ?‘” đ??śđ?‘–đ?‘—đ?‘’đ?‘™đ?‘Ž đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘?đ?‘Ž = đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘˘đ?‘? + đ?‘”đ?‘™đ?‘Žđ?‘Łđ?‘Ž + đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘? = 16 + 12 + 4 = 32 đ?‘˜đ?‘” Cijela riba ima 32 đ?‘˜đ?‘”.

21. Za koje sve prirodne brojeve đ?‘Ž razlomak

đ?‘Ž+89 đ?‘Žâˆ’2

je prirodan broj?

RjeĹĄenje: đ?‘Ž + 89 đ?‘Ž − 2 + 2 + 89 đ?‘Ž − 2 91 91 = = + =1+ đ?‘Žâˆ’2 đ?‘Žâˆ’2 đ?‘Žâˆ’2 đ?‘Žâˆ’2 đ?‘Žâˆ’2 Kako je 91 = 7 ∙ 13 imamo Ä?etiri mogućnosti 1) đ?‘Ž − 2 = 1 pa je đ?‘Ž = 3 2) đ?‘Ž − 2 = 7 pa je đ?‘Ž = 9 3) đ?‘Ž − 2 = 13 pa je đ?‘Ž = 15 4) đ?‘Ž − 2 = 91 pa je đ?‘Ž = 93.

22. Na jednoj ekskurziji 60 uÄ?enika sedmog razreda smjeĹĄteno je u nekom hotelu tako da su djevojÄ?ice smjeĹĄtene u trokrevetne, a djeÄ?aci u Ä?etverokrevetne sobe. Koliko je bilo djevojÄ?ica, a koliko djeÄ?aka ako je upotrebljena jedna Ä?etverokrevetna soba viĹĄe nego trokrevetnih i sve su sobe bile pune? RjeĹĄenje: Sa đ?‘› oznaÄ?imo broj trokrevetnih soba, a đ?‘› + 1 broj Ä?etverokrevetnih soba. U đ?‘› trokrevetnih soba bilo je 3 ∙ đ?‘› djevojÄ?ica, a u đ?‘› + 1 Ä?etverokrevetnih soba 4 ∙ (đ?‘› + 1) djeÄ?aka. Ukupno ih je bilo: 3đ?‘› + 4(đ?‘› + 1) = 60, otkud dobivamo đ?‘› = 8. Dakle, bile su 24 djevojÄ?ice i 36 djeÄ?aka. 57

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

23. ÄŒetiri uÄ?enika sedmog razreda: Ivan, Jasmin, Mirza i Marko skupljali su stare boce. Ivan i Jasmin skupili su jednaki broj boca. Mirza je skupio dva puta viĹĄe od Ivana, a Marko je skupio 3 puta viĹĄe od Mirze. Koliko je boca skupio svaki uÄ?enik ako su sva Ä?etvorica skupila ukupno 150 boca? RjeĹĄenje: Ako je Ivan skupio đ?‘› boca, Jasmin ih je takoÄ‘er skupio đ?‘›, Mirza 2đ?‘›, a Marko 6đ?‘›. Ukupno su ih skupili: đ?‘› + đ?‘› + 2đ?‘› + 6đ?‘› = 150, pa je đ?‘› = 15. Dakle, Ivan je skupio 15, Jasmin takoÄ‘er 15, Mirza 30, a Marko 90 boca.

24. Za koje vrijednosti promjenljive je izraz −7(−2 − 3đ?‘Ľ) veći od koliÄ?nika brojeva −49 i 7? RjeĹĄenje: −7(−2 − 3đ?‘Ľ) > −49: 7 −7(−2 − 3đ?‘Ľ) > −7 −2 − 3đ?‘Ľ < (−7): (−7) −2 − 3đ?‘Ľ < 1 −3đ?‘Ľ < 1 + 2 −3đ?‘Ľ < 3 đ?‘Ľ > 3: (−3) đ?‘Ľ > −1

đ?‘Ľ ∈ (−1, +∞)

25. Popuni prazna polja magiÄ?nog kvadrata tako da zbirovi u svim vrstama, kolonama i dijagonalama budu jednaki. −11

−9 −3

RjeĹĄenje: −11

đ?&#x;?đ?&#x;?

−9

−đ?&#x;?

−3

−đ?&#x;“

đ?&#x;‘

−đ?&#x;?đ?&#x;•

đ?&#x;“

58

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

26. IzraÄ?unaj razliku zbira svih neparnih i zbira svih parnih prirodnih brojeva manjih od 2007. RjeĹĄenje: (1 + 3 + 5 + â‹Ż + 2003 + 2005) − (2 + 4 + +6 + â‹Ż + 2004 + 2006) = = (1 − 2) + (3 − 4) + (5 − 6) + â‹Ż + (2003 − 2004) + (2005 − 2006) = = −1 − 1 − 1 − â‹Ż − 1 − 1 = −1003

27. Odredi sve cijele brojeve đ?‘› koji zadovoljavaju dvostruku nejednakost RjeĹĄenje:

4 5

<

1−đ?‘› 15

< 1.

12 1 − đ?‘› 15 < < â&#x;š 12 < 1 = đ?‘› < 15 â&#x;š 11 < −đ?‘› < 14 â&#x;š −14 < đ?‘› < −11 15 15 15 â&#x;š đ?‘› ∈ {−13, −12}

28. Zbir pet uzastopnih prirodnih brojeva je 1375. NaÄ‘i te brojeve. RjeĹĄenje: đ?‘› − 2 + đ?‘› − 1 + đ?‘› + đ?‘› + 1 + đ?‘› + 2 = 1375 â&#x;š 5đ?‘› = 1375 â&#x;š đ?‘› = 275 TraĹženi brojevi su 273, 274, 275, 276 i 277.

29. Zbir dva broja je 47. Ako prvi broj pomnoĹžimo sa drugim dobije se koliÄ?nik 2 i ostatak 5. Naći te brojeve. RjeĹĄenje: đ?‘Ž + đ?‘? = 47 đ?‘Ž: đ?‘? = 2(−5) đ?‘Ž = 2đ?‘? + 5 47 − đ?‘? = 2đ?‘? + 5 47 − 5 = 3đ?‘? 3đ?‘? = 42 đ?‘? = 14 đ?‘Ž = 47 − 14 đ?‘Ž = 33

59

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

30. Ako neki broj oduzimaĹĄ od proizvoda brojeva −3 i −12 dobijeĹĄ koliÄ?nik brojeva −54 i 6. Koji je to broj? RjeĹĄenje: −3 â‹… (−12) − đ?‘Ľ =

−54 â&#x;š đ?‘Ľ = 45 6

31. Odredi sve cjelobrojene vrijednosti đ?‘Ľ za koje je vrijednost razlomka RjeĹĄenje:

2đ?‘Ľ+7 đ?‘Ľâˆ’4

cio broj

đ?‘Ľ ∈ {−11, −1, 1, 3, 5, 7, 9, 19}

32. Odredi sve cijele vrijednosti broja đ?‘Ľ za koje je izraz đ??´ = odgovarajuće cijele vrijednosti izraza. RjeĹĄenje:

3đ?‘Ľâˆ’7 đ?‘Ľ+4

cio broj. Odredi

đ?‘Ľ ∈ {−23, −5, −3, 15}, đ??´ ∈ {−16, 2, 4, 22}

33. Za koje prirodne brojeve � će izraz Rjeťenje:

3đ?‘›+5 đ?‘›âˆ’3

biti prirodan broj?

đ?‘› ∈ {4,5, 10,17}

34. Odredi cjelobrojnu vrijednost razlomka đ??ś =

2đ?‘?−14 đ?‘?−4

, đ?‘? je cio broj, tj. đ?‘? ∈ ℤ

RjeĹĄenje: đ??´ ∈ {−4, −3, −1, 0, 1, 4, 5, 8}

35. Odredi sve cijele brojeve đ?‘? za koje je RjeĹĄenje:

5đ?‘?−7 đ?‘?−2

takođe cio broj.

đ?‘? ∈ {−1,1,3,5}

60

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

36. Odredi đ?‘Ž ∈ ℤ ako je

a+9 a+6

cijeli broj.

RjeĹĄenje: đ?‘Ž ∈ {−9, −7, −5, −3, }

37. Odredi đ?‘Ž ∈ ℤ ako je

3a+29 a+2

cijeli broj.

RjeĹĄenje: đ?‘Ž ∈ {−25, −3, −1, 21}

61

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

Racionalni brojevi 1. Zamislio sam broj od njeg oduzeo 1.05, razliku sam pomnoĹžio sa 0.8, proizvodu sam dodao 2.84 i dobijenu sumu podijelio sam brojem 0.01 i tako sam dobio 700. Koji broj sam zamislio? RjeĹĄenje: Jedan od naÄ?ina da se ovaj zadata rijeĹĄi je taj da se krene raÄ?unati s kraja izvrĹĄavajući suprotne raÄ?unske radnje od navedenih. Imamo: 700 â‹… 0.01 = 7 7 − 2.84 = 4.16 4.16: 0.8 = 5.2 5.2 + 1.05 = 6.25 TraĹženi broj je 6.25. Zadatak se mogao rijeĹĄiti i postavljanjem linearne jednaÄ?ine po tekstu zadatka.

2. Razlika dva racionalna broja je −13.86. Ako se umanjeniku pomjeri decimalan zarez za jedno mjesto ulijevo dobije se umanjilac. O kojim brojevima je rijeÄ?? RjeĹĄenje: Naka je umanjenik 10đ?‘Ľ, onda je umanjilac đ?‘Ľ. Njihova razlika je 9đ?‘Ľ tj. broj −13.86, odavde dobijamo da je đ?‘Ľ = −13.86: 9 â&#x;š đ?‘Ľ = −1.54. Dakle, umanjilac je −1.54 a umanjenik −15.4.

7

7

3

3

3

3. Razlika 9 jednog i 9 drugog broja je 7. Koliko iznosi razlika 4 drugog i 4 prvog broja? RjeĹĄenje: Neka su đ?‘Ľ i đ?‘Ś traĹženi brojevi. Tada je: 7 7 7 3 đ?‘Ľ − đ?‘Ś = (đ?‘Ľ − đ?‘Ś) = 9 9 9 7 tj. 27 đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś = 49 Slijedi da je: 3 3 3 3 27 81 đ?‘Ś − đ?‘Ľ = − (đ?‘Ľ − đ?‘Ś) = − ∙ =− 4 4 4 4 49 196

62

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

1

0.8

2

0.1

4. IzraÄ?unati 3.5 − {3 + (− ) â‹… 0.2: [−1 −

1

⋅ (− )]} =. 10

RjeĹĄenje: 1 0.8 1 3.5 − {3 + (− ) â‹… 0.2: [−1 − â‹… (− )]} = 0 2 0.1 10

2

3

2.5−7:3.5

5. RijeĹĄiti jednaÄ?inu 2 3 : [đ?‘Ľ − 5 â‹… (

8â‹…0.125

2

− 1.5) ] = 3.

RjeĹĄenje: 2 3 2.5 − 7: 3.5 2 2 2 : [đ?‘Ľ − â‹… ( − 1.5) ] = â&#x;ş đ?‘Ľ = 3 3 5 8 â‹… 0.125 3 5 3

1

1

6. IzraÄ?unati 1 8 − [125 â‹… 0.01 − 4 (1 2 − 0.75)] =. RjeĹĄenje: 3 1 1 5 1 − [125 â‹… 0.01 − (1 − 0.75)] = 8 4 2 6

1

1

7. RijeĹĄiti nejednaÄ?inu (2 đ?‘Ľ + 0.2) â‹… 1 4 < RjeĹĄenje: 5 1 1 1 − 0.2 â‹… 4 1 ( đ?‘Ľ + 0.2) â‹… 1 < â&#x;şđ?‘Ľ< 2 4 2 5

5 4

1−0.2⋅ 2

.

1

đ?‘Ľ ∈ (−∞, 5) 8. Biciklista je putovao 4 dana. Prvog dana je preĹĄao 5

4 13

ukupnog puta. Drugi dan

4 15

ostatka

puta. Treći dan preĹĄao je 11 ostatka puta nakon drugog dana. Posljednji dan preĹĄao je preostali dio puta od 54đ?‘˜đ?‘š. Koliki je put preĹĄao za ta 4 dana? RjeĹĄenje: 4

12

Neka je duŞina puta�. Prvi dan biciklista je preťao 13 �puta, drugi dan 65 � puta, a treći dan 4

12

32

5

32

3

+ 65 = 65 , 11 â‹… 65 đ?‘Ľ = 13 đ?‘Ľ puta. 13 4

12

3

Sad imamo jednaÄ?inu 13 đ?‘Ľ + 65 đ?‘Ľ + 13 đ?‘Ľ + 54 = đ?‘Ľ â&#x;š đ?‘Ľ = 195 Za 4 dana preĹĄao je put od 195đ?‘˜đ?‘š.

63

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

9. Damir je za svoj posao trebao da dobije 138 đ??žđ?‘€ i loptu. MeÄ‘utim, Damir je uradio samo trećinu posla i za to dobio 10 đ??žđ?‘€ i loptu. Koliko koĹĄta lopta? RjeĹĄenje: 2

1

MoĹžemo na osnovu teksta zakljuÄ?iti da 3 posla koĹĄta 128đ??žđ?‘€, odnosno 3posla koĹĄta 64đ??žđ?‘€. MeÄ‘utim, Damir je za trećinu posla dobio 10 KM i loptu, pa imamo da lopta koĹĄta 64 − 10 = 54 đ??žđ?‘€.

10. Poredaj po veliÄ?ini brojeve đ?‘Ž, đ?‘? i đ?‘? od najmanjeg do najvećeg ako je 1

1

4

đ?‘Ž = (1 8 − 0.9) : (2 − 5) đ?‘? =

1 3

3 1 8 6 3 2− 5

− −( + )

3

5 5

1

đ?‘? = 8 + 1 9 (7 − 1 4).

RjeĹĄenje: 18

15

11

Dobijamo đ?‘Ž < đ?‘? < đ?‘? jer je đ?‘Ž = − 24, đ?‘? = − 24, đ?‘? = − 24.

11. Na svakih 7 djeÄ?aka u jednoj ĹĄkoli dolazi 8 djevojÄ?ica, a na svakih 9 djeÄ?aka dolazi jedan uÄ?itelj. Ako je u ĹĄkoli ukupno 675 uÄ?enika, koliko je uÄ?itelja ? RjeĹĄenje: U ĹĄkoli ima 675 âˆś (7 + 8) = 45 grupa sa 7 djeÄ?aka i 8 djevojÄ?ica. DjeÄ?aka ima 45 â‹… 7 = 315, a uÄ?itelja 315 âˆś 9 = 35.

1

12. IzraÄ?unati vrijednost izraza RjeĹĄenje: 1 2 3 2 (1 3 − 4.2) â‹… 2.25 + 4

3 1 3 2 7 (4 − 2 ) − (5 4 2 4 3 : 3 9)

1

2

32(13−4.2)⋅2.25+4 3 1 3 2 7 (4 −24)−(53:39) 4 2

= −18

1

5

13. RijeĹĄi nejednaÄ?inu 6 − 1 2 â‹… (đ?‘Ľ − 6) <

3 4

1 −2 0,3−

.

3 5

RjeĹĄenje: đ?‘Ľâˆˆ(

7 , +∞) 18

64

=

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

14. Odredi sve racionalne brojeve koji zadovoljavaju nejednaÄ?inu

3đ?‘Ľâˆ’2 đ?‘Ľ+1

< 0.

RjeĹĄenje: Svodi se na dva sluÄ?aja: 1. sluÄ?aj đ?‘Ľ + 1 > 0 â&#x;š đ?‘Ľ > −1

2. SluÄ?aj đ?‘Ľ + 1 > 0 â&#x;š đ?‘Ľ > −1

3đ?‘Ľâˆ’2

3đ?‘Ľâˆ’2

đ?‘Ľ+1

< 0 /â‹… (đ?‘Ľ + 1)

3đ?‘Ľ − 2 < 0

đ?‘Ľ+1

< 0 /â‹… (đ?‘Ľ + 1)

3đ?‘Ľ − 2 > 0

2

2

đ?‘Ľ<3

2

đ?‘Ľ > 3 ĹĄto je nemoguće jer je đ?‘Ľ < −1

RjeĹĄenje −1 < đ?‘Ľ < 3 1

15. Razlomak 13 napisati u decimalnom obliku. Koja se cifra nalazi na hiljaditom decimalnom mjestu? RjeĹĄenje: 1 = 1: 13 = 0. 0̇76923̇076923 ‌ 13 1000 âˆś 6 = 166 (4) 166 puta se ponavlja grupa cifara 076923, poĹĄto je ostatak dijeljenja 1000 sa 6 broj 4, na hiljaditom mjestu je Ä?etvrta cifra perioda ponavljanja, a to je cifra 9.

16. Ako saberemo dva broja dobićemo treći. Ako saberemo drugi i treći dobićemo Ä?etvrti broj itd.. IzraÄ?unati zbir prvih ĹĄest tako dobivenih brojeva ako se zna da je peti broj 7.25. RjeĹĄenje: prvi broj đ?‘Ž drugi boj đ?‘? treći broj đ?‘Ž + đ?‘? Ä?etvrti broj đ?‘? + đ?‘Ž + đ?‘? = đ?‘Ž + 2đ?‘? peti broj đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘Ž + 2đ?‘? = 2đ?‘Ž + 3đ?‘? = 7.25 ĹĄesti broj đ?‘Ž + 2đ?‘? + 7.25 đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘Ž + 2đ?‘? + 7.25 + đ?‘Ž + 2đ?‘? + 7.25 = 4đ?‘Ž + 6đ?‘? + 14.5 = = 2(2đ?‘Ž + 3đ?‘?) + 14.5 = 2 â‹… 7.25 + 14.5 = 14.5 + 14.5 = 29

65

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

17. Dva radnika postavljaju parkete. Kada bi radio sam, prvi radnik bi posao zavrťio za 4 dana. Zajedno bi posao zavrťili za 3 dana. Međutim, nakon ťto su dva dana radili zajedno, prvi se radnik razbolio pa je drugi posao zavrťio sam. Koliko dana je trajalo postavljanje parketa? Rjeťenje: 1

Prvi radnik za 1 dan napravi 4 posla.

1

Prvi i drugi radnik zajedno za 1 dan naprave

posla.

3 1

1

1

Dakle, drugi radnik za jedan dan napravi 3 − 4 = 12 posla. 2

Nakon dva dana oba radnika napravila su zajedno 3 posla. 1

1

1

Preostalu 3 posla drugi radnik će napraviti za 3 : 12 = 4 dana. Postavljanje parketa je trajalo 6 dana. 18. Ako se prirodan broj đ?‘› podijeli s 12, dobije se ostatak 11, a ako se đ?‘› podijeli s 18, onda je ostatak 5. Koliki se ostatak dobije ako se đ?‘› podijeli s 36? RjeĹĄenje: Vrijedi đ?‘› = 12 ∙ đ?‘Ž + 11, đ?‘Ž ∈ â„•, pe je 3đ?‘› = 36 ∙ đ?‘Ž + 33. Isto tako je đ?‘› = 18 ∙ đ?‘? + 5 pa je 2đ?‘› = 36 ∙ đ?‘? + 10. Dalje je 3đ?‘› − 2đ?‘› = (36 ∙ đ?‘Ž + 33) − (36 ∙ đ?‘? + 10) i đ?‘› = 36 ∙ đ?‘Ž + 33 − 36 ∙ đ?‘? − 10, odnosno đ?‘› = 36(đ?‘Ž − đ?‘?) + 23 ĹĄto znaÄ?i da je traĹženi ostatak 23.

2

3

1

19. RijeĹĄi jednaÄ?inu 0.4 (3 đ?‘Ľ − 1) + 5 = −2 4 : 0.9. RjeĹĄenje: 2 3 1 1 0.4 ( đ?‘Ľ − 1) + = −2 : 0.9 â&#x;ş đ?‘Ľ = −10 3 5 4 8

1

20. Izletnik je najprije 3 2 sata pjeĹĄaÄ?io, a zatim 2.5 sata vozio bicikl i za sve to vrijeme preĹĄao 37.7đ?‘˜đ?‘š. Brzina kojom je vozio bicikl za 5

đ?‘˜đ?‘š â„Ž

veća je od brzine pjeĹĄaÄ?enja. Kolike su jedna i

druga brzina? RjeĹĄenje: đ?‘Ľ je brzina pjeĹĄaÄ?enja, đ?‘Ľ + 5 je brzina voĹžnje bicikla. 1 (3 ∙ đ?‘Ľ) + [2.5 ∙ (đ?‘Ľ + 5)] = 37.7 â&#x;ş đ?‘Ľ = 4.2 2 đ?‘˜đ?‘š đ?‘˜đ?‘š Brzina pjeĹĄaÄ?enja je 4.2 â„Ž , a brzina voĹžnje bicikla je 9.2 â„Ž .

66

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

21. Odrediti neskrativ razlomak koji se neće promijeniti ako brojniku dodamo 5, a nazivniku 7. Rjeťenje: �

đ?‘Ž+5

đ?‘Ž

5

Iz đ?‘? = đ?‘?+7 slijedi da je 7đ?‘Ž = 5đ?‘?, odnosno đ?‘? = 7.

1

22. NapiĹĄi skup cijelih brojeva đ?‘Ľ koji su rjeĹĄenja nejednaÄ?ine 3 <

1−đ?‘Ľ 5

11

< 12.

RjeĹĄenje: 5

55

2

43

43

8

Iz nejednakosti 3 < 1 − đ?‘Ľ < 12 slijedi 3 < −đ?‘Ľ < 12 â&#x;š − 12 < đ?‘Ľ < 12 â&#x;š đ?‘Ľ ∈ {−1, −2, −3}.

đ?‘Ž

23. Ako je đ?‘? = −3, izraÄ?unaj −

2 đ?‘Ž đ?‘?

+

đ?‘? đ?‘Ž

−2

.

Rjeťenje: Sređivanjem dobijamo

−2 −3

+

−

1 3

−2

5

= . 6

1

7 2

5

4

24. Izaberi Ä?etiri broja iz skupa {− 3 , − 8 , 5 , − 14 , − 7} tako da njihov proizvod bude: a) najveći; b) najmanji. IzraÄ?unaj te proizvode . RjeĹĄenje: a) Proizvod je najveći kada je pozitivan, pa treba izabrati Ä?etiri negativna broja. Njihov 5

proizvod je 84. 4

7 2

5

b) Najmanji proizvod dobivamo kada izaberemo brojeve − 7 , − 8 , 5 , − 14 pa je tada proizvod 1

− 14.

1

3

25. Marko i Ahmed su sadili drveće. Pri tome 3 sadnica su bile treťnje, 8 orah, a ostalo jabuke. Koliko najviťe jabuka su oni zasadili ako su sadili manje od 360 sadnica? Rjeťenje: 8 24

9

ukupnog broja sadnica su treĹĄnje, 24 ukupnog broja sadnica su orasi, pa slijedi da jabuka 7

ima 24 od ukupnog broja sadnica. Najveći broj koji je manji od 360 i djeljiv je sa 24 je 336. Kako je 336 âˆś 24 = 14, slijedi da je broj sadnica jabuka 14 â‹… 7 = 98. 67

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

1

2

3

4

9

2

3

4

5

10

26. IzraÄ?unaj vrijednost izraza (1 − ) â‹… (2 − ) â‹… (3 − ) â‹… (4 − ) â‹… ‌ â‹… (9 −

2

) : 14 = 5

RjeĹĄenje: 1 2 3 4 9 2 1 4 9 16 81 72 (1 − ) â‹… (2 − ) â‹… (3 − ) â‹… (4 − ) â‹… ‌ â‹… (9 − ) : 14 = â‹… â‹… â‹… ⋅‌⋅ : 2 3 4 5 10 5 2 3 4 5 10 5 Poslije skraćivanja nazivnika sa odgovarajućim brojnicima (2 sa 4, 3 sa 9, 4 sa 16, itd.), 1

2

3

4

9

5

dobijamo 1 â‹… 1 â‹… 1 â‹… 1 â‹… ‌ â‹… 10 â‹… 72. Skraćivanjem preostalih brojeva u nazivniku sa istim brojevima u brojniku ostaće nam proizvod 3 ¡ 4 ¡ 5 ¡ 6 ¡ 7 = 2520.

27. Neka je đ??´ = 1 +

1 1+

1

, đ??ľ = −5 +

1 1+ 3

1 2+

7

2

1 3+ 2

. Dokazati da je đ??ś = 11 đ??´ + 18đ??ľ cijeli broj.

RjeĹĄenje: đ??´ = 1+

1

1

=1+

1

=1+

1 4 11 =1+ = 7 7 7 4

1 3 1+ 4 1+4 1 1+3 3 1 1 1 1 7 83 đ??ľ = −5 + = −5 + = −5 + = −5 + = −5 + =− 2 2 4 18 18 18 2+ 2+ 7 2+7 1 7 3+2 2 đ??ś=

1+

1

= 1+

7 7 11 83 đ??´ + 18đ??ľ = â‹… + 18 â‹… (− ) = 1 − 83 = −82 ∈ ℤ 11 11 7 18

28. IzraÄ?unaj: 1 3 1 − (1 − 2 4 6) 1 3 1 2 + (4 − 8) ∙ 2 RjeĹĄenje: 1 3 1 2 − 4 (1 − 6) = − 1 1 3 1 14 + ( 2 4 − 8) ∙ 2

68

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

29. IzraÄ?unati: 2 10 5 8 8 5 ∙ (2 3 ∙ 3,9 − 1,3) 5 ∙ ( 3 + 6 ∙ ) : 1 9 15 : = 2 1 1 2 3 ( − 4 ∙ ) ∙ 13 4 7 − (5 7 − 3) 5 5 RjeĹĄenje: UvaĹžavanjem redoslijeda raÄ?unskih operacija slijedi 2 10 5 8 8 5 ∙ (2 3 ∙ 3,9 − 1,3) 5 ∙ ( 3 + 6 ∙ ) : 1 9 6 15 : =1 2 1 1 2 3 7 ( − 4 ∙ ) ∙ 13 4 7 − (5 7 − 3) 5 5

3

30. Putnik je preĹĄao 8 puta izmeÄ‘u dva mjesta. Kad preÄ‘e joĹĄ 5đ?‘˜đ?‘š biće taÄ?no na sredini puta. Koliko km su udaljena ta dva mjesta? RjeĹĄenje 1

3

1

Do sredine puta putniku je preostalo joĹĄ 2 puta – 8 puta = 8 puta, a to iznosi 5đ?‘˜đ?‘š. Cijeli put je 8 ∙ 5đ?‘˜đ?‘š = 40đ?‘˜đ?‘š ili rjeĹĄenje jednaÄ?ine

1

31. Dokazati jednakost

1∙2

1

1

3

1

đ?‘Ľ + 5 = 2 đ?‘Ľ. 8

1

2015

+ 2∙3 + 3∙4 + ‌+ 2015∙2016 = 2016

RjeĹĄenje Kako je :

1

1

2−1

1

1

1∙2 3−2

−2= 1

2 1

−

1∙2

=

3 1

2∙3 1

=

1 1∙2 1

= 2∙3 to je

1

+ 2∙3 + 3∙4 + â‹Ż + 2015∙2016 = 1

1

1

1

1

1

1

1

1

2015

= 1 − 2 + 2 − 3 + 3 − 4 + 4 + â‹Ż − 2015 + 2015 − 2016 = 2016 7

32. Koliko puta je broj đ?‘Ž veći od broja đ?‘? ako je đ?‘Ž = 4 : 0.5 + 2

3

10 9

1

4

â‹… (3 4 + 5) i

đ?‘? = 5 : (1.1 − 4 − 0.5: 2)? RjeĹĄenje: IzraÄ?unajmo prvo brojeve đ?‘Ž i đ?‘?. 7 10 1 4 7 1 10 65 + 16 7 10 81 7 9 16 đ?‘Ž = : 0.5 + â‹… (3 + ) = : + â‹…( )= + â‹… = + = =8 4 9 4 5 4 2 9 20 2 9 20 2 2 2 2 3 2 11 3 1 1 2 22 − 15 − 5 2 1 2 đ?‘? = : (1.1 − − 0.5: 2) = : ( − − â‹… ) = : ( )= : = â‹… 10 = 4 5 4 5 10 4 2 2 5 20 5 10 5 KonaÄ?no, zakljuÄ?ujemo da je broj đ?‘Ž dva puta veći od broja đ?‘? jer je đ?‘Ž = 8 = 2 â‹… 4 = 2 â‹… đ?‘?

69

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

33. Amir, Damir i Samir dijele 450đ??žđ?‘€ tako ĹĄto će Amir dobiti dva puta viĹĄe nego ĹĄto će

dobiti Damir, a Samir dva puta manje nego Amir i Damir zajedno. Koliko će svaki od njih dobiti? RjeĹĄenje: OznaÄ?imo Damirovu sumu sa đ?‘Ľ. Tada Amir dobija 2đ?‘Ľ, a Samir 2đ?‘Ľ + đ?‘Ľ +

3đ?‘Ľ = 450 2

2đ?‘Ľ+đ?‘Ľ 2

. Imamo:

đ?‘Ľ = 100 Dakle, Damir dobija 100, Amir 200 i Samir 150 đ??žđ?‘€.

34. Tri druga dijele neku sumu novca tako će prvi dobiti jednu trećinu te sume, drugi će dobiti 200đ??žđ?‘€ viĹĄe nego ĹĄto će dobiti prvi, a treći će dobiti preostalih 100đ??žđ?‘€. Koliko će svaki od njih dobiti? RjeĹĄenje: đ?‘Ľ đ?‘Ľ + + 200 + 100 = đ?‘Ľ 3 3 đ?‘Ľ = 900

1

35. Prvi je dan obitelj zeÄ?eva pojela uroda kupusa na nekoj njivi. Drugi su dan pojeli 6

1

1

1 5

preostalog kupusa, treći dan 4 ostatka, Ä?etvrti su dan pojeli 3 ostatka, a peti je dan pojedena ostatka kupusa. Koliki dio uroda kupusa na toj njivi nije pojeden? RjeĹĄenje: pojedeno 1 6 1 5 1 â‹… = 5 6 6 1 4 1 â‹… = 4 6 6

preostalo 5 6 5 1 4 2 − = = 6 6 6 3 4 1 3 1 − = = 6 6 6 2

4. dan

1 1 1 â‹… = 3 2 6

1 1 2 1 − = = 2 6 6 3

5. dan

1 1 1 â‹… = 2 3 6

1 1 1 − = 3 6 6

1. Dan 2. dan 3. dan

1

Nakon pet dana na njivi je ostalo 6 ukupnog uroda kupusa.

70

1 2

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

36. Jedan radnik zavrťi neki posao za 12 dana, drugi za 15, a treći za 20 dana. Koliko dana treba da rade zajedno da bi se posao zavrťio u cjelosti? Rjeťenje: 1 1 1 5 + 4 + 3 12 1 + + = = = 12 15 20 60 60 5 1

Ako svi rade zajedno za jedan dan urade 5 posla. 1

5

Cijeli posao urade za đ?‘Ľ: 5 = đ?‘Ľ â‹… 1 = 5 dana.

37. U dvije gajbe se nalaze 100 jabuka. Ako uzmemo polovinu iz prve gajbe i 1

2 3

iz druge

gajbe ukupno smo uzeli 60 jabuka.Koliko iznosi 3 druge gajbe ? RjeĹĄenje: đ?‘Ž + đ?‘? = 100 â&#x;š đ?‘Ž = 100 − đ?‘? 1 2 đ?‘Ž + đ?‘? = 60 /â‹… 6 2 3 3đ?‘Ž + 4đ?‘? = 360 3(100 − đ?‘?) + 4đ?‘? = 360 300 − 3đ?‘? + 4đ?‘? = 360 đ?‘? = 60 ∧ đ?‘Ž = 40

38. Merisa, Azra, Meliha i Adna zajedniÄ?ki su kupile vrijedan poklon svojoj prijateljici Renati. Merisa je dala polovinu ukupno utroĹĄenog novca za poklon. Meliha je dala trećinu sume koju su dale ostale tri, a Azra je dala Ä?etvrtinu sume koju su dale ostale tri. Adna je dala 10đ??žđ?‘€. Koja je cijena kupljenog poklona? RjeĹĄenje: 1

1

OznaÄ?imo sa đ?‘Ľ cijenu poklona. Merisa je dala 2 đ?‘Ľ novca. Meliha je dala 4 đ?‘Ľ novca. Naime, ako sa đ?‘˘ oznaÄ?imo koliÄ?inu novca kojeg su uplatile ostale tri zajedno, imaćemo 1 4 3 1 1 3 1 đ?‘˘+đ?‘˘ =đ?‘Ľ â&#x;š đ?‘˘ =đ?‘Ľ â&#x;šđ?‘˘ = đ?‘Ľ â&#x;š đ?‘˘ = â‹… đ?‘Ľ = đ?‘Ľ 3 3 4 3 3 4 4 1 Analogno zakljuÄ?ujemo da je Azra dala 5 đ?‘Ľ novca, jer u njenom sluÄ?aju imamo 1 5 4 1 1 4 1 đ?‘˘+đ?‘˘ =đ?‘Ľ â&#x;š đ?‘˘ =đ?‘Ľ â&#x;šđ?‘˘ = đ?‘Ľ â&#x;š đ?‘˘ = â‹… đ?‘Ľ = đ?‘Ľ 4 4 5 4 4 5 5

KonaÄ?no, imamo 1 1 1 đ?‘Ľ + đ?‘Ľ + đ?‘Ľ + 10 = đ?‘Ľ â&#x;ş đ?‘Ľ = 200 â&#x;š Cijena kupljenog poklona je 200đ??žđ?‘€. 2 4 5

71

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

1

6

3

7

39. UÄ?enik je proÄ?itao knjigu za 3 dana. Prvog dana je proÄ?itao knjige, drugog dana od ostatka. Koliko stranica ima ta knjiga ako je trećeg dana proÄ?itao 80 stranica? RjeĹĄenje: 1 4 đ?‘Ľ + đ?‘Ľ + 80 = đ?‘Ľ â&#x;š đ?‘Ľ = 840 3 7

40. U akvarijumu je 70 ribica. Ksifa je duplo viĹĄe od neonki, a kubika je za 10 manje od ksifa. Koliko je ksifa, kubika i neonki u akvarijumu? RjeĹĄenje: đ?‘Ľ + 2đ?‘Ľ + 2đ?‘Ľ − 10 = 70 â&#x;š đ?‘Ľ = 16 U akvarijumu ima 16 neonki, 32 ksife i 22 kubike.

41. Zbir brojnika i nazivnika nekog razlomka je 4140. Nakon skraćivanja dobijamo razlomak 7

. Odrediti razlomak prije skraćivanja?

13

RjeĹĄenje:

7đ?‘Ľ 7 â‹… 207 1449 â&#x;š 7đ?‘Ľ + 13đ?‘Ľ = 4140 â&#x;š đ?‘Ľ = 207 â&#x;š = − razlomak prije skraćivanja 13đ?‘Ľ 13 â‹… 207 2691

1

1

42. Za 4 dana prodato je Ĺžito iz magazina. Prvog dana prodata je 3 Ĺžita, drugog dana 4 ostatka, a trećeg dana 5 puta viĹĄe nego Ä?etvrtog dana. ÄŒetvrti dan prodato je 90 tona manje nego prvog dana. Koliko je bilo kilograma Ĺžita? RjeĹĄenje: đ?‘Ľ − ukupna koliÄ?ina Ĺžita 1 đ?‘Ľ − prodato prvi dan 3 1 2 1 1 â‹… = â&#x;š đ?‘Ľ − prodato drugi dan â&#x;š đ?‘Ľ + đ?‘Ľ + 5 (đ?‘Ľ − 90) + đ?‘Ľ − 90 = đ?‘Ľ â&#x;š đ?‘Ľ = 360 4 3 6 6 3 6 3 3 đ?‘Ľ 5 ( − 90) − prodato treći dan 3 đ?‘Ľ − 90 − prodato Ä?etvrti dan } 3

72

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

43. Kada se u pozitivnom decimalnom broju decimalni zarez pomjeri za jedno mjesto ulijevo dobije se broj koji je za 123.48 manji od prvobitnog broja. Koji je to broj? RjeĹĄenje: đ?‘Ľ − traĹženi decimalni broj đ?‘Ľ: 10 = đ?‘Ľ − 123.48 â&#x;š đ?‘Ľ = 10 â‹… (đ?‘Ľ − 123.48) â&#x;š đ?‘Ľ = 10đ?‘Ľ − 1234.8 â&#x;š đ?‘Ľ = 137.2

73

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

Trougao 1 Vanjski uglovi trougla odnose se kao 9: 16: 20. Koliko iznose veliÄ?ine unutraĹĄnjih uglova trougla? RjeĹĄenje: Znamo da je zbir vanjskih uglova trougla 360°. TakoÄ‘er imamo i proporciju đ?›ź1 : đ?›˝1 : đ?›ž1 = 9: 16: 20. Datu proporciju moĹžemo rastaviti đ?›ź1 : đ?›˝1 = 9: 16 i đ?›˝1 : đ?›ž1 = 16: 20. Iz 9

20

zadnje dvije proporcije dobijamo �1 = 16 �1 i �1 = 16 �1. Sada uvrstimo date uglove u formulu za zbir spoljaťnjih uglova i dobit ćemo 9 16

đ?›˝1 + đ?›˝1 +

20

đ?›˝ 16 1

= 360° â&#x;š đ?›˝1 = 128° pa je đ?›ź1 = 72°, đ?›ž1 = 160°.

Sada iz jednakosti đ?›ź + đ?›ź1 = 180°, đ?›˝ + đ?›˝1 = 180°, đ?›ž + đ?›ž1 = 180° zakljuÄ?ujemo da su unutraĹĄnji uglovi trougla đ?›ź = 108°, đ?›˝ = 52°, đ?›ž = 20°.

2. Ako je zbir dva vanjska ugla nekog trougla 270°, taj je trougao pravougli. DokaĹži tvrdnju. RjeĹĄenje: Ako unutraĹĄnje uglove oznaÄ?imo sa đ?›ź, đ?›˝, đ?›ž, tada su vanjski uglovi 180° − đ?›ź, 180° − đ?›˝, 180° − đ?›ž. Kako je zbir dva vanjskih ugla 270°, slijedi da je 180° − đ?›ź + 180° − đ?›˝ = 270°, a kad taj izraz sredimo dobivamo da je đ?›ź + đ?›˝ = 90°, otud zbog zbira uglova u trouglu slijedi da je đ?›ž = 90°, ĹĄto znaÄ?i da je đ?›ž pravi ugao, pa je trougao pravougli.

3. Najveći i najmanji ugao jednakokrakog trougla se razlikuju za 12°. Odredi uglove tog trougla. RjeĹĄenje: Ako je najveći ugao pri vrhu jednakokrakog trougla, onda su uglovi na osnovici po (180° − 12°): 3 = 56°. Ako su uglovi na osnovici veći od ugla pri vrhu onda taj ugao ima (180° − 24°): 3 = 52°, a uglovi na osnovici po (180° − 52°): 2 = 64°

4. Odredi uglove trougla ako se zna da se oni odnose kao 1 âˆś 3 âˆś 5. RjeĹĄenje: Prema uvjetu iz zadatka, imamo da je: đ?›ź âˆś đ?›˝ âˆś đ?›ž = 1 âˆś 3 âˆś 5 , pa je đ?›ź âˆś đ?›˝ = 1 âˆś 3, đ?›ź âˆś đ?›ž = 1 âˆś 5, odakle dobijamo 3 ∙ đ?›ź = 1 ∙ đ?›˝ â&#x;š đ?›˝ = 3đ?›ź, 5 ∙ đ?›ź = 1 ∙ đ?›ž â&#x;š đ?›ž = 5đ?›ź Iz definicije đ?›ź + đ?›˝ + đ?›ž = 180° , imamo nakon uvrĹĄtavanja đ?›ź + 3đ?›ź + 5đ?›ź = 180°, odakle dobijamo đ?›ź = 20°, đ?›˝ = 60°, đ?›ž = 100°.

74

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

5. Odrediti momenat kada se kazaljke prvi puta poklope nakon 10 sati. RjeĹĄenje: 12 11 10 0 9

Dok se kazaljka pomjeri za jedan minutni podiok ona opiĹĄe ugao od 360° : 60 = 6° . Minutna kazaljka je 12 puta brĹža od satne kazaljke. Za 1 minutu ugao izmeÄ‘u kazaljki se 1 11 poveća (smanji) za (1 − 12) ∙ 6° = 12 ∙ 6° = 5,5° . Kada je taÄ?no 10 sati, ugao preko kojega minutna kazaljka juri da stigne satnu kazaljku iznosi 50 ∙ 6° = 300 ° . Do poklapanja je 6 6 potrebno 300: 5,5 = 3000: 55 = 600: 11 = 54 11 đ?‘šđ?‘–đ?‘› = 54đ?‘šđ?‘–đ?‘› i 11 ∙ 60đ?‘ đ?‘’đ?‘˜ = 54đ?‘šđ?‘–đ?‘› i 8

32 11 đ?‘ đ?‘’đ?‘˜ ≈ 33 đ?‘ đ?‘’đ?‘˜. Odgovor. TaÄ?no je 10 sati 54 minute i 33 đ?‘ đ?‘’đ?‘˜đ?‘˘đ?‘›đ?‘‘đ?‘’ 6. Ako se spoljaĹĄnji ugao kod vrha đ??´ poveća za 45°, a spoljĹĄnji ugao kod vrha đ??ľ smanji za 35°, tada se unutraĹĄnji ugao kod vrha đ??ś trougla Δđ??´đ??ľđ??ś poveća za svoju petinu. IzraÄ?unati unutraĹĄnji ugao kod vrha đ??ś. RjeĹĄenje: đ?›ź1 , đ?›˝1 , đ?›ž1 – spoljaĹĄnji uglovi trougla đ?›ž − unutraĹĄnji ugao kod vrha đ??ś đ?›ź1 + đ?›˝1 = (đ?›˝ + đ?›ž) + (đ?›ź + đ?›ž) = (đ?›ź + đ?›˝ + đ?›ž) + đ?›ž = 180° + đ?›ž, znaÄ?i đ?›ź1 + đ?›˝1 = 180° + đ?›ž. Prema uslovu zadatka imamo: đ?›ź1 + 45° + đ?›˝1 – 35° = 180° + đ?›ž + Îł đ?›ź1 + đ?›˝1 + 10° = 180° + đ?›ž + 5

Îł 5

đ?›ź1 +đ?›˝1 =180°+đ?›ž

â?ž â&#x;š

180° + đ?›ž + 10° = 180° + đ?›ž +

đ?›ž â&#x;š đ?›ž = 50° 5

7. TaÄ?ka đ??ˇ stranice đ??´đ??ľ pripada simetrali ugla âˆĄđ??ś trougla ∆đ??´đ??ľđ??ś, pri Ä?emu je âˆĄđ??´đ??ˇđ??ś = 80° i đ?›ź > đ?›˝. IzraÄ?unati razliku đ?›źâ€“ đ?›˝.

75

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

RjeĹĄenje:

�

Ugao âˆĄđ??´đ??ˇđ??ś je spoljaĹĄnji ugao trougla Δđ??ˇđ??ľđ??ś , pa je 80° = đ?›˝ − 2. SliÄ?no je âˆĄđ??ľđ??ˇđ??ś = 100° = đ?›ž

đ?›ź + 2. Iz ove dvije jednakosti slijedi da je đ?›ź − đ?›˝ = 20°.

3

8. Odrediti unutraťnje uglove trougla ako je poznato da jedan ugao iznosi 5 drugog , a tri puta je veći od trećeg . Rjeťenje: 3

1

9

Ako su 5 đ?‘Ľ, đ?‘Ľ i 5 đ?‘Ľ mjere uglova datog trougla onda iz uslova 5 đ?‘Ľ = 180° â&#x;š đ?‘Ľ = 100°. Prema tome, uglovi trougla su 60°, 100° i 20° .

9. Ugao izmeÄ‘u simetrala dva spoljaĹĄnja ugla trougla je 50° . Odrediti mjeru trećeg unutraĹĄnjeg ugla tog trougla. RjeĹĄenje: Ako su đ?›ź i đ?›˝ mjere uglova đ??´ i đ??ľ trougla Δđ??´đ??ľđ??ś, onda simetrale spoljaĹĄnjih uglova đ??´ i đ??ľ grade ugao veliÄ?ine

�+� 2

. Prema uslovu zadatka đ?›ź + đ?›˝ = 100° â&#x;š đ?›ź = 80°.

10. U oĹĄtrouglom jednakokrakom trouglu osnovica je duĹža od kraka. Simetrala ugla uz osnovicu i visine iz vrha tog ugla na suprotni krak zatvaraju ugao od 16°. Odrediti veliÄ?ine unutraĹĄnjih uglova tog trougla.

76

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

RjeĹĄenje: đ?›˝ ∆đ??ľđ??śđ??ˇ: âˆĄđ??ˇ + đ?›˝ + (16° + ) = 180° 2 đ?›˝

90° + đ?›˝ + 16° + 2 = 180° 3đ?›˝ 2

= 74° /â‹… 2

3đ?›˝ = 148° / : 3 đ?›˝ = 49° 20′ ∆đ??´đ??ľđ??ś: đ?›ź + 2đ?›˝ = 180° đ?›ź + 2 â‹… 49° 20′ = 180° đ?›ź = 180° − 98° 40′ đ?›ź = 81° 20′

11. Simetrale dva unutraĹĄnja ugla se sijeku pod uglom od 135°. Dokazati da je trougao pravougli. RjeĹĄenje: ∆đ??´đ??ľđ??ˇ:

đ?›ź đ?›˝ + + 135° = 180° 2 2 đ?›ź+đ?›˝ 2

= 45° /â‹… 2

đ?›ź + đ?›˝ = 90° ∆đ??´đ??ľđ??ś:

đ?›ź â?&#x;+ đ?›˝ + đ?›ž = 180° =90°

90° + đ?›ž = 180° đ?›ž = 90° â&#x;š trougao je pravougli

5

12. Zbir dva ugla u trouglu iznosi 6 pravog ugla. Ako je jedan za 20° veći od drugog, odredi sve uglove tog trougla i reci kakav je trougao.

77

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

RjeĹĄenje: 5

đ?›ź + đ?›˝ = 6 ∙ 90° đ?›ź + đ?›˝ = 75°

đ?›ż = đ?›ź + 20° đ?›ż = 75° − đ?›ź đ?›ź + 20° = 75° − đ?›ź 2đ?›ź = 55° đ?›ź = 27° 30′

đ?›˝ = 75° − đ?›ź đ?›˝ = 47° 30′ đ?›ź + đ?›˝ + đ?›ż = 180° đ?›ż = 180° − 75° đ?›ż = 105° Trougao je tupougli. 13. Visine đ??śđ??ˇ i đ??´đ??¸ oĹĄtrouglog trougla Δđ??´đ??ľđ??ś sijeku se u taÄ?ki đ??ť. Ako je đ??´đ??ľ = đ??śđ??ť izraÄ?unati âˆ˘đ??´đ??śđ??ľ. RjeĹĄenje:

Kako je âˆ˘đ??¸đ??´đ??ľ = âˆ˘đ??ľđ??śđ??ˇ (uglovi sa normalnim kracima) i Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ľ = đ??śđ??ť to su pravougli trouglovi Δđ??´đ??ľđ??¸ i Δđ??ťđ??śđ??¸ podudarni. ZakljuÄ?ujemo da je : đ??´đ??¸ = đ??¸đ??ś, a odatle i âˆ˘đ??¸đ??´đ??ś = âˆ˘đ??´đ??śđ??¸ = 45°.

14. DuĹžine stranica nekog jednakokrakog trougla izraĹžene su prirodnim brojem u centimetrima. Koliko je razliÄ?itih jednakokrakih trouglova moguće konstruisati ako je obim tog trougla 22đ?‘?đ?‘š?

78

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

RjeĹĄenje:

Zbir duĹžina dvaju stranica trougla mora biti veći od duĹžine treće stranice. Obim datog trougla je đ?‘Ž + 2đ?‘? = 22. Zbir dva parna broja je paran broj, kao i zbir dva neparna broja. Kako je 2đ?‘? parno a i zbir 22 je paran onda zakljuÄ?ujemo da i đ?‘Ž mora biti paran broj. Zbog nejednakosti trougla je 2đ?‘? > đ?‘Ž. Kako je đ?‘Ž parno onda uzimamo redom parne vrijednosti za đ?‘Ž i raÄ?unamo đ?‘?. Npr., ako je đ?‘Ž = 2đ?‘?đ?‘š imamo: đ?‘Ž + 2đ?‘? = 22 2đ?‘? = 22 − 2 20 đ?‘?= 2 đ?‘? = 10 Provjerimo da li je zadovoljena nejednakost trougla, 2đ?‘? > đ?‘Ž. Jeste jer je 20 > 2. Dakle, jedan jednakokraki trougao sa obimom 22đ?‘?đ?‘š je sa stranicama: đ?‘Ž = 2đ?‘?đ?‘š, đ?‘? = 10đ?‘?đ?‘š. Na sliÄ?an naÄ?in dobijemo i ostale parove stranica. đ?‘Ž đ?‘?

2 đ?‘?đ?‘š 10 đ?‘?đ?‘š

4 đ?‘?đ?‘š 9 đ?‘?đ?‘š

6 đ?‘?đ?‘š 8 đ?‘?đ?‘š

8 đ?‘?đ?‘š 7 đ?‘?đ?‘š

10 đ?‘?đ?‘š 6 đ?‘?đ?‘š

Za đ?‘Ž = 12đ?‘?đ?‘š imamo sljedeći sluÄ?aj: đ?‘Ž + 2đ?‘? = 22 2đ?‘? = 22 − 12 10 đ?‘?= 2 đ?‘?=5 Ali, ovdje nije zadovoljena nejednakost trougla, 2đ?‘? > đ?‘Ž, (10 > 12) stoga ova i sve ostale vrijednosti za đ?‘Ž nisu moguće. Dakle, postoji pet razliÄ?itih jednakokrakih trouglova koji zadovoljavaju uslove zadatka.

79

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

15. Vanjski ugao na osnovici jednakokrakog trougla pet puta je veći od ugla kojega grade kraci. Koliki su uglovi tog trougla? Rjeťenje:

Kako je vanjski ugao jednak zbiru dva unutraĹĄnja, njemu nesusjedna ugla, imamo: 5đ?‘Ľ = đ?‘Ľ + 180° − 5đ?‘Ľ đ?‘Ľ = 20° Dobijamo da su unutraĹĄnji uglovi: 20°, 80°, 80°.

16. SpoljaĹĄnji ugao uz osnovicu jednakokrakog trougla je 140°. IzraÄ?unati ugao izmeÄ‘u osnovice trougla i visine konstruisane na krak trougla. RjeĹĄenje:

đ?›˝ + đ?›ź + 90° = 180° đ?›˝ = 90° − 40° đ?›˝ = 50° đ?›ź = 40° 17. U pravouglom trouglu sa uglovima đ?›ź, đ?›˝ i đ?›ž = 90° đ?›ź je pet puta veca od ugla đ?›˝. Koliki su uglovi ? RjeĹĄenje: đ?›ź + đ?›˝ + đ?›ž = 90° đ?›ź + đ?›˝ + 90° = 180° đ?›ź + đ?›˝ = 90° đ?›ź = 5đ?›˝ 5đ?›˝ + đ?›˝ = 90° â&#x;š 6đ?›˝ = 90° đ?›˝ = 15° ∧ đ?›ź = 75°

80

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

18. TaÄ?ke đ??¸ i đ??š su redom srediĹĄta stranica đ??ľđ??ś i đ??śđ??ˇ pravougaonika đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ. Kolika je povrĹĄina trougla Δđ??´đ??¸đ??š ako je povrĹĄina pravougaonika 44 đ?‘?đ?‘š2? RjeĹĄenje: Neka su đ?‘Ž i đ?‘? duĹžine stranica pravougaonika

1 đ?‘Ž đ?‘Žđ?‘? â‹…đ?‘?â‹… = 2 2 4 1 đ?‘? đ?‘Žđ?‘? đ?‘ƒÎ”đ??´đ??ľđ??¸ = â‹… đ?‘Ž â‹… = 2 2 4 1 đ?‘? đ?‘Ž đ?‘Žđ?‘? đ?‘ƒÎ”ECđ??š = â‹… â‹… = 2 2 2 8 đ?‘ƒÎ”đ??´đ??ˇđ??š =

đ?‘Žđ?‘? đ?‘Žđ?‘? đ?‘Žđ?‘? đ?‘ƒÎ”đ??´đ??ˇđ??š = đ?‘ƒâ–Ąđ??´đ??ľđ??śđ??ˇ − (đ?‘ƒÎ”đ??´đ??ˇđ??š + đ?‘ƒÎ”đ??´đ??ľđ??¸ + đ?‘ƒÎ”ECđ??š ) = đ?‘Žđ?‘? − ( + + )= 4 4 8 3 3 = đ?‘Žđ?‘? = â‹… 44 = 16.5 8 8 19. Na hipotenuzi AB pravouglog trougla đ??´đ??ľđ??ś date su taÄ?ke đ?‘€ i đ?‘ tako da je Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ?‘€ = Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ś i Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ľđ?‘ = đ??ľđ??ś . IzraÄ?unati ugao âˆ˘đ?‘€đ??śđ?‘ . RjeĹĄenje:

Ě…Ě…Ě…Ě… slijedi da su trouglovi đ??´đ??śđ?‘€ i đ??ľđ??śđ?‘ jednakokraki, tj. Zbog Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ?‘€ = Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ś i Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ľđ?‘ = đ??ľđ??ś 1

�

1

đ?›˝

âˆ˘đ??´đ?‘€đ??ś = âˆ˘đ??´đ??śđ?‘€ = 2 (180° − đ?›ź) = 90° − 2 te sliÄ?no âˆ˘đ??ľđ??śđ?‘ = âˆ˘đ??ľđ?‘ đ??ś = 2 (180° − đ?›˝) = 90° − 2 .

81

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

Dakle, âˆ˘đ?‘€đ??śđ?‘ = 180° − (âˆ˘đ?‘€đ?‘ đ??ś + âˆ˘đ?‘ đ?‘€đ??ś) = 180° − (90° − =

1 1 (đ?›ź + đ?›˝) = â‹… 90° = 45° 2 2

đ?›ź đ?›˝ đ?›ź đ?›˝ + 90° − ) = + = 2 2 2 2

20. DuĹžine dviju stranica trougla, izraĹžene u centrimetrima, su rjeĹĄenja jednaÄ?ina đ?‘Ž + 0.03 = 5.2 i

2.1 đ?‘?

= 1.2. Kolika moŞe biti duŞina treće stranice ako je ona prirodni broj?

RjeĹĄenje: đ?‘Ž = 5.17, đ?‘? = 1.75 đ?‘Ž − đ?‘? < đ?‘? < đ?‘Ž + đ?‘? â&#x;š 3.42 < đ?‘? < 6.92 DuĹžina treće stranice đ?‘? moĹže biti 4đ?‘?đ?‘š, 5đ?‘?đ?‘š i 6đ?‘?đ?‘š.

3

21. Jedan oĹĄtri ugao pravouglog trougla je 5 drugog. Odredi te uglove. RjeĹĄenje: 3 đ?›ź + đ?›ź = 90° â&#x;š đ?›ź = 56° 15′ ∧ đ?›˝ = 33° 45′ 5

22. Simetrale jednakokrakog trougla sijeku se pod uglom 117°. Odredi unutraĹĄnje i vanjske uglove tog trougla. RjeĹĄenje: 2đ?›ź1 = 180° − 117° â&#x;š đ?›ź1 = 31° 30′ đ?›ź = 63° ∧ đ?›˝ = 54° đ?›ź ′ = 117° ∧ đ?›˝ ′ = 126

23. Na stranici đ??´đ??ľ trougla đ??´đ??ľđ??ś data je taÄ?ka đ??ˇ tako da su obimi trouglova Δđ??´đ??ľđ??ś, Δđ??´đ??ˇđ??ś i Δđ??ľđ??śđ??ˇ redom 50đ?‘?đ?‘š, 45đ?‘?đ?‘š i 35đ?‘?đ?‘š. Odrediti duĹžinu duĹži đ??śđ??ˇ.

82

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

RjeĹĄenje:

đ?‘š+đ?‘› =đ?‘? đ??śđ??ˇ = đ?‘Ľ Δđ??´đ??ľđ??ś: đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘? = 50 Δđ??´đ??ˇđ??ś: đ?‘š + đ?‘Ľ + đ?‘? = 45} â&#x;š đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘? + đ?‘š + đ?‘Ľ + đ?‘? + đ?‘› + đ?‘Ľ + đ?‘Ž = 130 Δđ??ľđ??śđ??ˇ: đ?‘› + đ?‘Ľ + đ?‘Ž = 35 =50

(đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘?) + 2đ?‘Ľ = 130 â&#x;š 2đ?‘Ľ = 30 â&#x;š đ?‘Ľ = 15 2đ?‘Ž + 2đ?‘? + 2đ?‘? + 2đ?‘Ľ = 130 â&#x;š 2 â?ž

24. Vanjski ugao na osnovici jednakokrakog trougla odnosi se prema vanjskom uglu pri vrhu kao 29: 32. Odrediti unutraĹĄnje uglove tog trougla. RjeĹĄenje:

29: 32 = đ?›ź1 : đ?›ž1 32 80 đ?›ž1 = đ?›ź } â&#x;š đ?›ź = 360° â&#x;š đ?›ź1 = 116° ∧ đ?›ž1 = 128° 29 1 29 1 đ?›ź1 + đ?›ź1 + đ?›ž1 = 360° đ?›ź + đ?›ź1 = 180° â&#x;š đ?›ź = 64° đ?›ž + đ?›ž1 = 180° â&#x;š đ?›ž = 52° 83

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu učenika osnovnih škola za takmičenje

Zadaci za osmi razred

Kvadriranje i korjenovanje Procentni račun Cijeli racionalni izrazi Pitagorina teorema Trougao, četverougao i mnogougao Proporcionalnost Koordinatni sistem

Kod pravouglog trougla je kvadrat na strani spram pravog ugla (na hipotenuzi) jednak kvadratima na stranama koje obrazuju prav ugao (na katetama). Ako je kod trougla kvadrat na jednoj strani jednak kvadratima na ostalim dvjema stranama, onda je ugao koji obrazuju ove dvije strane prav. (47. i 48. stav prve knjige „Elementi“7) Iako se pripisuje Pitagori, ova teorema je bila poznata Egipćanima, Vaviloncima, Kinezima i Indijcima. Ako se prilikom gradnje hramova ili piramida trebao konstruisati pravi ugao, onda je to činjeno pomoću „egipatskog trougla“8 čije su stranice dužine 3, 4 i 5. Stari narodi su znali konstruisati pravougli trougao sa stranicama dužina 6, 8 i 10; 9, 12 i 15; 12, 16 i 20, odnosno 15, 36 i 39. Na ovaj način uvedena je veza između figure i broja, tj. između geometrije i algebre. Smatra se da prvi dokaz Pitagorine teoreme potiče od Pitagore. Prema legendi on je u znak zahvalnosti što je dokazao teoremu bogovima prinio stotinu volova.

Najznačajnije djelo koje je napisao starogrčki matematičar Euklid (330. – 275. g. p. n. e.). „Elementi“ su djelo napisano u 13 knjiga zahvaljujući kome je geometrija 300 godine prije nove ere dostigla zavidan nivo. Poslije „Biblije“ ovo djelo je ljudskoj povijesti najviše proučavano, najčešće prevođeno i printano. Doživjelo je 1700 izdanja. U ovom djelu dokazane su 464 teoreme na način koji je i danas besprijekoran. 8 Trojke prirodnih brojeva koje zadovoljavaju Pitagorinu jednakost nazivaju se Pitagorini brojevi. Trougao čije su dužine stranica Pitagorini brojevi nazivamo Egipastki trougao. Takvo ime je dobio jer su ga stari Egipćani koristili u građevinskim poslovima za određivanje pravog ugla što je bilo veoma važno u umjetnosti gradnje u doba Starog Egipta. Stručnjaci za ovakav dio građevinskog posla nazivani su „nosači užeta“ i bili su veoma cijenjeni i dobro plaćeni radnici. Za postavljanje temelja nove građevine koristili su konopce sa 13 čvorova. 7

84

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

Kvadriranje i korjenovanje 1. IzraÄ?unati razliku izraza 12 + 22 + 32 + â‹Ż + 20152 + 20162 i 1 â‹… 3 + 2 â‹… 4 + 3 â‹… 5 + â‹Ż + 2015 â‹… 2017. RjeĹĄenje: Izraz 1 â‹… 3 + 2 â‹… 4 + 3 â‹… 5 + â‹Ż + 2015 â‹… 2017 moĹžemo rastaviti kao: 1 â‹… 3 + 2 â‹… 4 + 3 â‹… 5 + â‹Ż + 2015 â‹… 2017 = = (2 − 1)(2 + 1) + (3 − 1)(3 + 1) + â‹Ż + (2016 − 1)(2016 + 1) = = 22 − 1 + 32 − 1 + 42 − 1 + â‹Ż + 20162 − 1 pa je razlika 12 + 22 + 32 + â‹Ż + 20152 + 20162 − (1 â‹… 3 + 2 â‹… 4 + 3 â‹… 5 + â‹Ż + 2015 â‹… 2017) = = 12 + 22 + 32 + â‹Ż + 20152 + 20162 − (22 − 1 + 32 − 1 + 42 − 1 + â‹Ż + 20162 − 1) = = 12 + 22 + 32 + â‹Ż + 20152 + 20162 − 22 + 1 − 32 + 1 − 42 + 1 − â‹Ż − 20162 + 1 = =â?&#x; 1 + 1 + 1 + â‹Ż + 1 = 2016 2016 sabiraka

2. Ako je √5đ?‘Ľ − √5đ?‘Ś = √2 izraÄ?unaj vrijednost izraza

√2đ?‘Ľ 2

−

đ?‘Ś

.

√2

RjeĹĄenje: √5đ?‘Ľ − √5đ?‘Ś = √2 â&#x;š √5(đ?‘Ľ − đ?‘Ś) = √5 â‹… √4 â&#x;š đ?‘Ľ − đ?‘Ś = 2 đ?‘Ś 2đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś 2(đ?‘Ľ − đ?‘Ś) 2 â‹… 2 2 √2 2√2 √2đ?‘Ľ − = = = = â‹… = = √2 2 2 2√2 2√2 2√2 √2 √2 √2

3. IzraÄ?unati

đ?‘Ž2 +đ?‘?2 đ?‘Žđ?‘?

ako je

đ?‘Ž+đ?‘? đ?‘?

= 2 − √2.

RjeĹĄenje: đ?‘Ž+đ?‘? đ?‘Ž đ?‘? đ?‘Ž = 2 − √2 â&#x;š + = 2 − √2 â&#x;š = 1 − √2 đ?‘? đ?‘? đ?‘? đ?‘? đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 đ?‘? 1 1 + √2 đ?‘? â&#x;š = 1 − √2 − 1 − √2 = −2√2 = â‹… â&#x;š = −1 − √2 đ?‘Žđ?‘? đ?‘Ž 1 − √2 1 + √2 đ?‘Ž đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 đ?‘Ž2 đ?‘? 2 đ?‘Ž đ?‘? = + = + } đ?‘Žđ?‘? đ?‘Žđ?‘? đ?‘Žđ?‘? đ?‘? đ?‘Ž đ?‘? 1 1 + √2 đ?‘? = â‹… â&#x;š = −1 − √2 đ?‘Ž 1 − √2 1 + √2 đ?‘Ž

85

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

4. IzraÄ?unati (7 â‹…

√42 √7

+

6√18 √3

− 2√30 ⋅ √5) ⋅

2−√6 √54−9

=

RjeĹĄenje: (7 â‹…

√42

6√18

− 2√30 ⋅ √5) ⋅

2 − √6

√3

5. Ako je đ?‘Ľ 2 + RjeĹĄenje:

1 đ?‘Ľ2

=

82 9

= (7√6 + 6√6 − 10√150) ⋅

2 − √6

= 3√6 − 9 √54 − 9 2 − √6 2 − √6 6√6 − 18 6(√6 − 3) = (13√6 − 10√25 ⋅ 6) ⋅ = 3√6 ⋅ = = =2 3(√6 − 3) 3(√6 − 3) 3(√6 − 3) 3(√6 − 3) √7

+

1

koliko je đ?‘Ľ + ? đ?‘Ľ

Ako lijevoj i desnoj strani jednakosti đ?‘Ľ 2 +

1 đ?‘Ľ2

=

82 9

dodamo 2 dobićemo

1 100 1 2 100 1 100 1 10 đ?‘Ľ +2+ 2 = â&#x;š (đ?‘Ľ + ) = â&#x;š đ?‘Ľ + = Âąâˆš â&#x;šđ?‘Ľ+ =Âą đ?‘Ľ 9 đ?‘Ľ 9 đ?‘Ľ 9 đ?‘Ľ 3 2

2

6. IzraÄ?unati vrijednost izraza √(√5 − 5) − (√5 − 5) =. RjeĹĄenje: 2

√(√5 − 5) − (√5 − 5) = |√5 − 5| − (√5 − 5) = 5 − √5 − √5 + 5 = 10 − 2√5

7. IzraÄ?unaj (pojednostavi): (√6 + √15)(√10 − √6)√4 − √15. RjeĹĄenje: (4 + √15)(√10 − √6)√4 − √15 = √4 + √15(√10 − √6)√4 + √15 √4 − √15 = 2

= √4 + √15(√10 − √6)√42 − (√15) = √4 + √15(√10 − √6) = 2

= √(4 + √15)(√10 − √6) = √(4 + √15)(16 − 4√15) = √4(4 + √15)(4 − √15) = 2

= 2 ∙ √(42 − (√15) ) = 2√16 − 15 = 2

86

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

8 8. Dokazati nejednakost : √1 + √2 + √5 > 5. RjeĹĄenje:

√1 + √2 + √5 > 8 â&#x;ş 1 + √2 + √5 > 64 â&#x;ş 25√2 + √5 > 39 â&#x;ş 625(2 + √5) > 1521 5 25 â&#x;ş 625√5 > 271 â&#x;ş 1953125 > 73441 Drugi naÄ?in: √1 + √2 + √5 > √1 + √2 + √4 = √1 + √2 + 2 = √1 + 2 = √3 > 8 5

√3 >

8 64 â&#x;ş3> â&#x;ş 75 > 64 5 25

9. Odredi najmanji cijeli broj takav da je kvadratni korijen iz proizvoda tog broja i broja 1988 prirodan broj. RjeĹĄenje: √1988 ∙ đ?‘› ∈ â„• 1988 = 2 ∙ 2 ∙ 7 ∙ 71 đ?‘› = 7 ∙ 71 = 497

√2 ∙ 2 ∙ 7 ∙ 71 ∙ 7 ∙ 71 = 2 ⋅ 7 ⋅ 71 = 994 ∈ ℕ

10. IzraÄ?unaj đ?‘Ľ + đ?‘Ś + đ?‘§ ako su đ?‘Ľ, đ?‘Ś i đ?‘§ rjeĹĄenja jednaÄ?ina √3(đ?‘Ľ − 2016) = 3, √3đ?‘Ś − 2016 = 3, √3(đ?‘§ − 2016) = 3. RjeĹĄenje: √3(đ?‘Ľ − 2016) = 3 â&#x;š đ?‘Ľ = 2019 √3đ?‘Ś − 2016 = 3 â&#x;š đ?‘Ś = 675 √3(đ?‘§ − 2016) = 3 â&#x;š đ?‘§ = 2016 + √3 đ?‘Ľ + đ?‘Ś + đ?‘§ = 2019 + 675 + 2016 + √3 = 4710 + √3

11. RijeĹĄiti jednaÄ?inu 2√đ?‘Ľ + 5 = đ?‘Ľ + 2 u skupu â„?. RjeĹĄenje: Prvo primijetiti da je lijeva strana 2√đ?‘Ľ + 5 ≼ 0 ⇒ đ?‘Ľ + 2 ≼ 0 â&#x;š đ?‘Ľ ≼ −2 Kvadriranjem jednaÄ?ine dobijamo jednaÄ?inu đ?‘Ľ 2 = 16 â&#x;š đ?‘Ľ = Âą4. Zbog prethodnog uslova zakljuÄ?ujemo da je đ?‘Ľ = 4 jedino rjeĹĄenje jednaÄ?ine.

87

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

12. IzraÄ?unati vrijednost izraza √(2 − đ?‘Ž)2 + (đ?‘Ž + 2)2 + 23 u sluÄ?aju kada je (đ?‘Ž − 1)2 − (đ?‘Ž − 2)2 = 7. RjeĹĄenje: (đ?‘Ž − 1)2 − (đ?‘Ž − 2)2 = 7 â&#x;š đ?‘Ž = 5 √(2 − đ?‘Ž)2 + (đ?‘Ž + 2)2 + 23=√(2 − 5)2 + (5 + 2)2 + 23 = √9 + 49 + 23 = 9

13. Šta je veće

√11+√7 6

ili

1

?

√12−√6

RjeĹĄenje: Kako je

1 √12−√6

=

√12+√6 6

â&#x;š

√11+√7 6

>

1

2

, jer je (√11 + √7) > (√12 − √6)

2

√12−√6

odnosno √77 > √72.

14. U skupu racionalnih brojeva rijeĹĄi sljedeće jednaÄ?ine đ?‘Ľ 2 − 2. 3̇ = 1. 6̇ i 0. 6̇đ?‘Ś 2 = 1.5. RjeĹĄenje: 1 3 đ?‘Ľ 2 − 2. 3̇ = 1. 6̇ â&#x;š đ?‘Ľ = Âą2 2 1 â&#x;š 1. 6̇ = 1.666666 ‌ = 1 0. 6̇đ?‘Ś 2 = 1.5 â&#x;š đ?‘Ś = Âą1 3 2 2 ̇ 0. 6 = 0.666666 ‌ = } 3 2. 3̇ = 2.333333 ‌ = 2

15. Dokazati da je broj 49 + 610 + 320 kvadrat nekog prirodnog broja! RjeĹĄenje: 49 + 610 + 320 = (22 )9 + (2 â‹… 3)10 + (310 )2 = (29 )2 + 210 â‹… 310 + (310 )2 = = (29 )2 + 2 â‹… 29 â‹… 310 + (310 )2 = (29 + 310 )2 2 ∈ â„• â&#x;š 29 ∈ â„• } â&#x;š 29 + 310 ∈ â„• â&#x;š Dakle, izraz 49 + 610 + 320 je kvadrat nekog 3 ∈ â„• â&#x;š 310 ∈ â„• prirodnog broja.

16. Ĺ ta je veće √10 + √13 ili √11 + √12 ? RjeĹĄenje: Ako je đ?‘Ľ = √10 + √13, đ?‘Ś = √11 + √12. Tada je : đ?‘ĽÂ˛ = 10 + 13 + 2√10 ∙ 13 đ?‘ŚÂ˛ = 11 + 12 + 2 √11 ∙ 12 đ?‘ĽÂ˛ = 23 + 2√130 đ?‘ŚÂ˛ = 23 + 2 √132 Kako je đ?‘ŚÂ˛ > đ?‘ĽÂ˛ to je đ?‘Ś > đ?‘Ľ tj. √11 + √12 > √10 + √13 88

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

9

1 2

1

17. Odredi brojnu vrijednost izraza 0.4 â‹… √1 16 + 0.2 â‹… 2 2 − 15 â‹… √(− 5) = RjeĹĄenje 4 25 2 5 1 2 5 1 1 1 1 ⋅√ + â‹… − 15 â‹… |− | = â‹… + − 15 â‹… = + − 3 = 1 − 3 = −2 10 16 10 2 5 5 4 2 5 2 2

18. Ako su đ?‘š đ?‘– đ?‘› zadani prirodni brojevi, onda za đ?‘Ž = đ?‘š ∙ đ?‘› , đ?‘? = relacija đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 = đ?‘? 2 . Dokazati! RjeĹĄenje:

đ?‘š2 −đ?‘›2 2

iđ?‘?=

đ?‘š2 +đ?‘›2 2

vrijedi

đ?‘Ž 2 = đ?‘š 2 â‹… đ?‘›2 đ?‘š4 − 2đ?‘š2 â‹… đ?‘›2 + đ?‘›4 đ?‘š4 − 2đ?‘š2 â‹… đ?‘›2 + đ?‘›4 đ?‘š4 + 2đ?‘š2 â‹… đ?‘›2 + đ?‘›4 2 2 2 đ?‘? = đ?‘š â‹…đ?‘› + = 4 4 4 â&#x;š 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 đ?‘š + 2đ?‘š â‹… đ?‘› + đ?‘› đ?‘š + 2đ?‘š â‹… đ?‘› + đ?‘› đ?‘š + 2đ?‘š â‹… đ?‘› + đ?‘›4 đ?‘?2 = = 4 4 4 2 2 2 } đ?‘Ž +đ?‘? =đ?‘? đ??´

19. Neka je đ??´ = (đ?‘Ľ + 3đ?‘Ś)2 − (đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś)2 , đ??ľ = đ?‘Ľ 2 − (đ?‘Ľ − đ?‘Ś)2 . Izraz đ??ľ svedi na ĹĄto 1

1

jednostavniji oblik pa izraÄ?unaj njegov vrijednost za đ?‘Ľ = 4 , đ?‘Ś = 3. RjeĹĄenje: đ??´ = 25. đ??ľ 1+đ?‘Ž2 +đ?‘Ž

1

20. IzraÄ?unaj vrijednost izraza đ?‘Ž2 −đ?‘Žâˆ’1 ako je đ?‘Ž = −1 ∙ √0, 04 − 2 − √1 − √0,49 ∙ √0,3 RjeĹĄenje: 1 + đ?‘Ž2 + đ?‘Ž =1 đ?‘Ž2 − đ?‘Ž − 1

21. RijeĹĄi nejednaÄ?inu (1 −

đ?‘Ľâˆ’1 2

) − (1 −

2

đ?‘Ľâˆ’2 2 ) 2

5

<4

RjeĹĄenje: 1−

2(đ?‘Ľâˆ’1) 2

+

(đ?‘Ľâˆ’1)2 4

− (1 −

2(đ?‘Ľâˆ’2) 2

+

(đ?‘Ľâˆ’2)2 4

)<

5 4

đ?‘Ľ ∈ (−∞, 6) 89

â&#x;šđ?‘Ľ>6

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

1

22. IzraÄ?unaj vrijednost izraza 8đ?‘Ľ 3 − 4đ?‘Ľ 2 za đ?‘Ľ = √2 + 4 RjeĹĄenje: 8đ?‘Ľ 3 − 4đ?‘Ľ 2 = 18

23. Dokazati nejednakost √2đ?‘šđ?‘› − đ?‘›2 + √đ?‘š2 − đ?‘›2 ≼ đ?‘š, đ?‘š ≼ đ?‘› ≼ 0. Kada vrijedi znak jednakosti? RjeĹĄenje: Jednakost se postiĹže za đ?‘š = đ?‘›

24. Dat je izraz 3đ?‘Ž2 − 3đ?‘? 2 − 6đ?‘?đ?‘? − 3đ?‘? 2 . a) Uprosti izraz ako je đ?‘? + đ?‘? = đ?‘Ž. 1

b) IzraÄ?unati numeriÄ?ku vrijednost datog izraza za đ?‘? + đ?‘? = đ?‘Ž = 33 3. RjeĹĄenje: a) 0 b) To će biti specijalno rjeĹĄenje za datu vrijednost đ?‘Ž.

25. Uporedi po veliÄ?ini brojeve: đ??´ = 5 + 2√5 i đ??ľ = √45 + 20√5 . RjeĹĄenje: đ??´=đ??ľ

1

26. Neka je đ?‘Ľ pozitivan realan broj za kojeg vrijedi đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ 2 = 1

a) đ?‘Ľ − đ?‘Ľ; 1

b) đ?‘Ľ + đ?‘Ľ. RjeĹĄenje: 1

3

a) đ?‘Ľ − đ?‘Ľ = Âą 2,

1

b) Dobijaju se Ä?etiri moguća rjeĹĄenja: đ?‘Ľ Âą 2 i đ?‘Ľ = Âą 2

90

17 4

. IzraÄ?unaj:

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

27. IzraÄ?uaj:

1 √1+√2

+

1 √2+√3

+

1 √3+√4

+ â‹Ż+

1 √99+√100

.

RjeĹĄenje: 1 √1 + √2

+

1 √2 + √3

+

1 √3 + √4

+ â‹Ż+

1 √99 + √100

=9

2

28. IzraÄ?unaj: (2006 − √1 + 2008√1 + 2007 ∙ 2005) . RjeĹĄenje: 2

(2006 − √1 + 2008√1 + 2007 ∙ 2005) = 1

29. Ako je √2 ∙ đ?‘Ľ − √2 ∙ đ?‘Ś = √18 izraÄ?unaj vrijednost izraza

√3∙đ?‘Ľ 3

−

3 √3

.

RjeĹĄenje: 3 √3 ∙ đ?‘Ľ − = √3 3 √3

2

30. IzraÄ?unaj vrijednost izraza √(√5 − 5) − (√5 − 5). RjeĹĄenje: 2

√(√5 − 5) − (√5 − 5) = 0

1

31. Koliko je 1000 od [

15702 +10702 −2140∙1570 10∙√2752 −2252

2

] ?

RjeĹĄenje: 2

15702 + 10702 − 2140 ∙ 1570 [ ] = 25 10 ∙ √2752 − 2252

32. Odredi najmanji prirodni broj đ?‘Ž tako da je broj √1350 ∙ đ?‘Ž prirodan. RjeĹĄenje: đ?‘Ž=6 91

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

33. Ĺ ta je veće 5 + 2√7 ili 3√3 + 2√6 ? RjeĹĄenje: 5 + 2√7 > 3√3 + 2√6

34. DokaĹži da je broj √7 + 4√3 + √7 − 4√3 prirodan. RjeĹĄenje: Kvadriranjem izraza dobije se broj 4, ĹĄto je trebalo dokazati.

35. Dokazati da je broj √11 + 6√2 + √11 − 6√2 cio broj. RjeĹĄenje: Kvadriranjem izraza dobijamo rezultat 29.

36. Šta je veće

5+2√6 2

ili

1 √7−√6

? Bez raÄ?unanja korijena!

RjeĹĄenje: 5 + 2√6 1 < 2 √7 − √6

37. RijeĹĄiti jednadĹžbu đ?‘Ľ+

1 √2 ∙ (√2 + 1)

+

1 √2 ∙ 3 ∙ (√3 + √2)

+

1 √3 ∙ 4 ∙ (√4 + √3)

+ â‹Ż+

1 √49 ∙ 50 ∙ (√50 + √49)

RjeĹĄenje: đ?‘Ľ=0

5

2

2

3

38. RijeĹĄi nejednadĹžbu (2 đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ + 5) − (2 đ?‘Ľ 2 − 5đ?‘Ľ − 4) ≼ 0 RjeĹĄenje: 1

Prvi sluÄ?aj: đ?‘Ľ ∈ [2 , +∞), drugi sluÄ?aj: đ?‘Ľ ∈ [−3, +∞).

92

= 1+

1 √50

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

39. Ako su đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? i đ?‘‘ realni brojevi i ako je (đ?‘Žđ?‘? + đ?‘?đ?‘‘)2 = (đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 ) ∙ (đ?‘? 2 + đ?‘‘ 2 ), onda je đ?‘Žđ?‘‘ = đ?‘?đ?‘?. Dokazati! RjeĹĄenje: IzvrĹĄavanjem raÄ?unskih operacija dobijamo da je đ?‘Žđ?‘‘ = đ?‘?đ?‘?, ĹĄto je trebalo dokazati.

40. RijeĹĄi jednadĹžbu

đ?‘Ľ(đ?‘Ľ 2 −1)(đ?‘Ľ 2 −4) đ?‘Ľ+|đ?‘Ľ|

= 0.

RjeĹĄenje: Zadatak ima tri sluÄ?aja. Prvi sluÄ?aj: đ?‘Ľ = 0, drugi sluÄ?aj: đ?‘Ľ = 1, treći sluÄ?aj: đ?‘Ľ = 2.

41. IzraÄ?unati razliku izraza: 12 + 22 + 32 + â‹Ż + 20052 i 1 ∙ 3 + 2 ∙ 4 + 3 ∙ 5 + â‹Ż + 2004 ∙ 2006 RjeĹĄenje: 12 + 22 + 32 + â‹Ż + 20052 − (1 ∙ 3 + 2 ∙ 4 + 3 ∙ 5 + â‹Ż + 2004 ∙ 2006) = 2005

42. Da li je algebarska vrijednost izraza √(√5 − 3)2 + √9 − 4√5 racionalan ili iracionalan broj? RjeĹĄenje: Algebarska vrijednost datog izraza je iracionalna.

1

43. IzraÄ?unaj đ?‘Ľ(đ?‘Ľ 2 − 2) + 4 − 2 ∙ (đ?‘Ľ + 2)2 . RjeĹĄenje: đ?‘Ľ(đ?‘Ľ 2 − 2) + 4 −

1 1 ∙ (đ?‘Ľ + 2)2 = (đ?‘Ľ − 2)(đ?‘Ľ + 2) (đ?‘Ľ − ) 2 2

44. Odredi ureÄ‘ene trojke (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) realnih brojeva za koje vrijedi đ?‘Ľ + đ?‘Ś = √28 i đ?‘Ľđ?‘Ś − 2đ?‘§ 2 = 7. RjeĹĄenje: (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = (√7, √7, 0)

93

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

45. IzraÄ?unaj

1 √7+√5

+

1 √5−√3

−

√1.5−√3.5 √2

RjeĹĄenje: 1 √7 + √5

+

1 √5 − √3

46. IzraÄ?unaj √

−

√1.5 − √3.5 √2

= √7

145,52 −96,52 193,52 −31,52

RjeĹĄenje: 145,52 − 96,52 77 √ = 193,52 − 31,52 135

47. Da li je broj

√2 √2+1

− 1 + √2 racionalan ili iracionalan broj?

RjeĹĄenje: √2 √2 + 1

− 1 + √2 = 1

48. Odredi sve parove cijelih brojeva đ?‘Ľ i đ?‘Ś koji zadovoljavaju jednadĹžbu đ?‘Ľđ?‘Ś + 3đ?‘Ś = đ?‘Ľ 2 + 6đ?‘Ľ + 12 RjeĹĄenje: (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ∈ {(−4, −4), (−2, 4), (−6, −4), (0, 4)}

49. Dokazati da razlika proizvoljnog prirodnog broja i broja koji se zapisuje istim ciframa, ali u obrnutom redoslijedu ne moĹže biti potpuni kvadrat! RjeĹĄenje: Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘Žđ?‘?đ?‘? = 100đ?‘Ž + 10đ?‘? + đ?‘? − traĹženi trocifreni broj Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘?đ?‘?đ?‘Ž = 100đ?‘? + 10đ?‘? + đ?‘Ž −trocifreni broj zapisan u obrnutom redoslijedu Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘Žđ?‘?đ?‘? − Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘Žđ?‘?đ?‘? = 100đ?‘Ž + 10đ?‘? + đ?‘? − (100đ?‘? + 10đ?‘? + đ?‘Ž) = 100đ?‘Ž + 10đ?‘? + đ?‘? − 100đ?‘? − 10đ?‘? − đ?‘Ž = = 99đ?‘Ž − 99đ?‘? = 99 â‹… (đ?‘Ž − đ?‘?) Da bi izraz 99 â‹… (đ?‘Ž − đ?‘?) bio potpun kvadrat đ?‘Ž − đ?‘? mora biti ili 99 ili 11 ĹĄto nije moguće jer su đ?‘Ž i đ?‘? cifre trocifrenih brojeva.

94

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

50. RijeĹĄi nejednadĹžbu √đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Ľ + 1 < 2016. RjeĹĄenje: √(đ?‘Ľ − 1)2 < 2016 â&#x;ş −2016 < đ?‘Ľ − 1 < 2016 â&#x;ş −2015 < đ?‘Ľ < 2017 ZakljuÄ?ujemo da đ?‘Ľ ∈ (−2015, 2017).

51. Dokazati da je đ??´ = (4 + √15)(√10 − √6) (√4 − √15) racionalan broj. RjeĹĄenje: 2

√10 − √6 = √2(√5 − √3) = √2√(√5 − √3) = √2 â‹… √8 − 2√15 = 2√4 − √15 đ??´ = (4 + √15) â‹… 2√4 − √15 â‹… √4 − √15 = 2 ∈ â„š

52. Uporediti brojeve √7 − √7 i 2. RjeĹĄenje: I naÄ?in Kako je √7 < 3 to je i 7 − √7 > 7 − 3 = 4, pa zakljuÄ?ujemo da je √7 − √7 > 2. II naÄ?in Pretpostavimo da je 2 > √7 − √7. Kako je 7 − √7 > 0, jer je 7 > √7 to je dozvoljeno kvadrirati dati korijen, pa ćemo imati: 2 > √7 − √7 /2 4 > 7 − √7 â&#x;š −3 > −√7 /2 9 < 7 ĹĄto nije taÄ?no. Do pogreĹĄnog zakljuÄ?ka nas je dovela pretpostavka da je 2 > √7 − √7 pa nije taÄ?na i zakljuÄ?ujemo da je 2 < √7 − √7.

45

53. NaÄ‘i sve cijele brojeve đ?‘› za koje je 45−đ?‘› kvadrat nekog prirodnog broja. RjeĹĄenje: Potpuni kvadrati koji su faktori broja 45 su 1 i 9. Kako je 45 = 5 â‹… 9 = 1 â‹… 45 to 45 − đ?‘› mora biti jednako ili 5 ili 45, pa zakljuÄ?ujemo da je đ?‘› = 40 ili đ?‘› = 0.

95

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

54. Ako je � prirodan broj veći od 1 i � 2 +

1 đ?‘Ľ2

=

82

1

1

9

đ?‘Ľ

đ?‘Ľ

, koliko je đ?‘Ľ + , đ?‘Ľ − i đ?‘Ľ?

RjeĹĄenje: 1 2 1 82 100 1 10 (đ?‘Ľ + ) = đ?‘Ľ 2 + 2 + 2 = 2 + = â&#x;šđ?‘Ľ+ = đ?‘Ľ đ?‘Ľ 9 9 đ?‘Ľ 3 2 1 1 82 64 1 8 (đ?‘Ľ − ) = đ?‘Ľ 2 − 2 + 2 = −2 + = â&#x;šđ?‘Ľâˆ’ = đ?‘Ľ đ?‘Ľ 9 9 đ?‘Ľ 3 Sabiranjem poslednje dvije jednakosti dobijamo: 1 1 10 8 đ?‘Ľ+ +đ?‘Ľâˆ’ = + â&#x;š 2đ?‘Ľ = 6 â&#x;š đ?‘Ľ = 3 đ?‘Ľ đ?‘Ľ 3 3

96

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

Procentni raÄ?un

1

√3402 −1602 +√6502 −2502

1. IzraÄ?unaj 22,5% od 3 od [(10002 +1000∙1940+9702 )∙(10002 −1000∙1998+9992 )]

30

RjeĹĄenje: 3 40

2. Cijena knjige smanjila se za 21%. Za koliko treba porasti nova cijena da bi bila jednaka prvobitnoj? RjeĹĄenje: Neka je cijena knjige đ?‘Ľ. Tada je njena cijena poslije sniĹženja od 21%, 0.79đ?‘Ľ. Neka je đ?‘? procentualno uvećanje nove dobijene cijene koja treba biti jednaka prvobitnoj. Sada imamo jednaÄ?inu: 0.21 0.79đ?‘Ľ + đ?‘? â‹… 0.79đ?‘Ľ = đ?‘Ľ â&#x;š 0.79đ?‘? = 1 − 0.79 â&#x;š đ?‘? = â&#x;š đ?‘? = 26.6 0.79 Dakle, novu cijenu treba povećati za 26.6% da bi bila jednaka prvobitnoj.

3. U jednoj ĹĄkoli je proĹĄle ĹĄkolske godine bilo ukupno 1200 djeÄ?aka i djevojÄ?ica. Ove ĹĄkolske godine se broj djeÄ?aka smanjio za 10%, a broj djevojÄ?ica se povećao za 20% u odnosu na prethodnu godinu, tako da se ove godine broj uÄ?enika povećao za 75. Koliko djeÄ?aka, a koliko djevojÄ?ica pohaÄ‘a ove godine tu ĹĄkolu? RjeĹĄenje: Neka je đ?‘Ľ broj djeÄ?aka u proĹĄloj ĹĄkolskoj godini, a broj djevojÄ?ica 1200 − đ?‘Ľ. Iz uslova zadatka slijedi da je ove ĹĄkolske godine 0.9đ?‘Ľ djeÄ?aka i 1.2(1200 – đ?‘Ľ) djevojÄ?ica. Zato vrijedi 0.9đ?‘Ľ + 1.2(1200– đ?‘Ľ) = 1200 + 75 â&#x;š đ?‘Ľ = 550. Prema tome, ove ĹĄkolske godine ima 0.9 ∙ 550 = 495 djeÄ?aka i 1.2 â‹… (1200– 550) = 780 djevojÄ?ica.

4. Faruk i Dado brodovima voze turiste na viĹĄednevna putovanja . Faruk je cijenu putovanja po osobi naplaćivao za 80 đ??žđ?‘€ viĹĄe od Dade. Kada su to uoÄ?ili, Faruk je smanjio cijenu putovanja za 10%, a Dado povećao za 15%. Nakon promjene cijena, putovanje Dadinim brodom je za 8 đ??žđ?‘€ po osobi skuplje od putovanja Farukovim brodom. Kolike su nove cijene putovanja?

97

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

RjeĹĄenje: Neka je đ?‘Ľ stara cijena putovanja kod Dade izraĹžena u đ??žđ?‘€. Tada je đ?‘Ľ + 80 stara cijena putovanja kod Faruka. Nakon promjene, nova cijena kod Farukaje 0.9(đ?‘Ľ + 80), a kod Dade 1.15đ?‘Ľ. Kako je, prema uvjetu zadatka, razlika u novim cijenama 8 đ??žđ?‘€, vrijedi 1.15đ?‘Ľ − 8 = 0.9(đ?‘Ľ + 80) â&#x;š đ?‘Ľ = 320. Dakle, nova cijena kod Dade je 1.15 ¡ 320 = 368 đ??žđ?‘€, a kod Faruka 0.9 ¡ 400 = 360 đ??žđ?‘€.

5. Otac i majka imaju ukupno 80 godina. Njihova djeca imaju 13, 10 i 6 godina. Za nekoliko godina zbir godina djece biti će 59% zbira godina oca i majke. Koliko će godina tada imati otac, a koliko majka ako je majka 4 godine mlaÄ‘a od oca? RjeĹĄenje: MoĹžemo zakljuÄ?iti da otac ima 42 godine, a majka 38. Za nekoliko godina, pretpostavimo za đ?‘Ľ godina, zbir godina djece je 59% zbira godina oca i majke. To zapisujemo 59

13 + đ?‘Ľ + 10 + đ?‘Ľ + 6 + đ?‘Ľ = 100 (80 + 2đ?‘Ľ) â&#x;š đ?‘Ľ = 10. Otac će imati 52, a majka 48 godina.

6. ProĹĄle godine broj uÄ?enika u nekoj ĹĄkoli iznosio je 850. Ove godine broj djeÄ?aka smanjio se za 4%, a broj djevojÄ?ica se povećao za 3% nakon Ä?ega broj uÄ?enika iznosi 844. Koliki je broj djevojÄ?ica ove godine u ĹĄkoli? RjeĹĄenje: Neka je broj djeÄ?aka đ?‘Ľ onda je broj djevojÄ?ica (850 − đ?‘Ľ). Prema uslovima zadatka moĹžemo formirati jednaÄ?inu 0.96đ?‘Ľ + 1.03(850 − đ?‘Ľ) = 844 â&#x;š đ?‘Ľ = 450. DjeÄ?aka je 450, a djevojÄ?ica je 400.

5

1

7. Brat i sestra htijeli su kupiti druĹĄtvenu igru. Bratu je nedostajalo 19 ukupne cijene, a sestri 4 ukupne cijene. No, zajedno su imali 185 đ??žđ?‘€ viĹĄe od ukupne cijene igre. Zajedno su kupili igru tako ĹĄto je brat dao 45% ukupne cijene igre, a sestra ostatak. Koliko je novca ostalo bratu a koliko sestri? RjeĹĄenje: 14

3

Neka igra koĹĄta đ?‘Ľ đ??žđ?‘€. Tada brat ima 19 đ?‘Ľđ??žđ?‘€, a sestra 4 đ?‘Ľđ??žđ?‘€. Zajedno imaju:

14 3 đ?‘Ľ + đ?‘Ľ = đ?‘Ľ + 185 â&#x;š đ?‘Ľ = 380 19 4 14 DruĹĄtvena igra je koĹĄtala 380đ??žđ?‘€. Brat je imao 19 â‹… 380 = 280đ??žđ?‘€, a sestra 3 4

45

â‹… 380 = 285đ??žđ?‘€. Brat je za igru dao 100 â‹… 380 = 171đ??žđ?‘€, a sestra 209đ??žđ?‘€. Bratu je ostalo

109đ??žđ?‘€, sestri 76đ??žđ?‘€. 98

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

8. Ako se brojnik nekog razomka poveća za 5%, a nazivnik poveća za 20%, hoće li se vrijednost razlomka povećati ili smanjiti i za koliko posto? Rjeťenje: �

Nakon povećanja brojnika i nazivnika razlomak đ?‘? postaje

1,05đ?‘Ž 1,20đ?‘?

105đ?‘Ž

7

đ?‘Ž

= 120đ?‘? = 8 â‹… đ?‘?.

1

Razlomak se umanjio za 8 ili za 12,5 %.

9. Komťinica Fata uzgaja kokoťke. Prije 4 godine imala je 32 kokoťke. Prve dvije godine se taj broj kokoťki uvećavao za 25 % u odnosu na prethodnu godinu, a sljedeće dvije godine se broj kokoťki smanjivao za 20 % u odnosu na prethodnu godinu. Koliko kokoťki komťinica Fata ima sada ? Rjeťenje: Ako je prije 4 godine imala 32 kokoťke, onda je prije tri godine imala 125% od 32 tj. 40 kokoťki. Prije dvije godine je imala 125 % od 40 kokoťki tj. 50 kokoťki 1.25 � 40 = 50. Prije godinu je imala 80% od 50 kokoťki tj. 40 kokoťki. Sada ima 80% od 40 kokoťki 0.8 � 40 = 32 tj. 32 kokoťke.

10. Za koliko procenata treba promijeniti cijenu ulaznice za nogometnu utakmicu ako se Ĺželi povećati broj gledalaca za 50%, a ukupni prihod za 25%? RjeĹĄenje: Ako je đ?‘Ľ broj gledalaca, a đ?‘Ś cijena karte, onda je prihod đ?‘Ľ â‹… đ?‘Ś đ??žđ?‘€. Izrazimo nove veliÄ?ine 50 (promjene) pomoću đ?‘Ľ i đ?‘Ś. Ako se broj gledalaca poveća za 50%, bit će 100 đ?‘Ľ gledalaca. Ako 125

se oÄ?ekuje 25% veći prihod, prihod će biti 100 đ?‘Ľ â‹… đ?‘Ś. Pitanje je kako se pri tom treba 150

125

promijeniti cijena karte. Sa đ?‘? oznaÄ?imo tu promjenu. ZnaÄ?i, mora biti 100 đ?‘Ľ â‹… đ?‘?đ?‘Ś = 100 đ?‘Ľ â‹… đ?‘Ś. 150

125

5

5

Na lijevoj i desnoj strani pokrate se đ?‘Ľ i đ?‘Ś, pa ostaje 100 â‹… đ?‘? = 100 â&#x;š đ?‘? = 6. Dakle, 6 đ?‘Ś treba 1

biti nova cijena karte. To znaÄ?i da se cijena mora smanjiti za 6 ≈ 17%. 11. Adam treba da proda dva artikla za 120đ??žđ?‘€. Ako bi prvi artikl sniĹžio za 25%, a drugi 1 povećao za 25%, izgubio bi 8 zarade. Odredi cijene artikala. RjeĹĄenje: đ?‘Ľ − cijena prvog artikla 120 − đ?‘Ľ − cijena drugog artikla 7

0.75x + 1. 25(120 − x) = 8 ∙ 120 ⇒ x = 90 Cijene artikala su 90đ??žđ?‘€ i 30đ??žđ?‘€.

99

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

12. U jednoj ĹĄkoli ima manje od 400 uÄ?enika. Ĺ est odjeljenja imaju jednak broj uÄ?enika i njihov ukupni broj veći je od 150. U ostalim odjeljenjima ima 15% viĹĄe uÄ?enika nego u ovih 6 odjeljenja. Koliko uÄ?enika ima u ĹĄkoli? RjeĹĄenje: Neka je u svakom od 6 odjeljenja s jednakim brojem uÄ?enika (đ?‘Ľ uÄ?enika). Tada je u njima ukupno 6đ?‘Ľ uÄ?enika. PoĹĄto je 6đ?‘Ľ > 150, onda je đ?‘Ľ > 25. U ostalim odjeljenjima je 15% viĹĄe uÄ?enika, ĹĄto znaÄ?i 1.15 ∙ 6đ?‘Ľ = 6.9đ?‘Ľ uÄ?enika. Ukupno ih ima 6đ?‘Ľ + 6.9đ?‘Ľ = 12.9đ?‘Ľ i taj broj je 4000 4000 manji od 400. Dakle, 12.9 đ?‘Ľ < 400 tj. đ?‘Ľ < 129 . To znaÄ?i da je 25 < đ?‘Ľ < 129 . Da bi 12.9đ?‘Ľ bio prirodni broj, mora đ?‘Ľ biti viĹĄekratnik broja 10. Dakle, đ?‘Ľ = 30 tj. u ĹĄkoli ima 387 uÄ?enika. 13. SvjeĹže groŞđe sadrĹži 70% vode, a suho 18% vode. Koliko kilograma svjeĹžeg groŞđa treba da bi se dobilo 24 kilograma suhog groŞđa? RjeĹĄenje: U 24đ?‘˜đ?‘” svjeĹžeg groŞđa ima 82% suhe materije pa je 24 â‹… 0,82 = 19.68đ?‘˜đ?‘”. To Ä?ini 30% od ukupne koliÄ?ine svjeĹžeg groŞđa. RjeĹĄavanjem jednaÄ?ine 0.3 â‹… đ?‘Ľ = 19.68 â&#x;š đ?‘Ľ = 65.6đ?‘˜đ?‘”. Potrebno je 65.6 đ?‘˜đ?‘” svjeĹžeg groŞđa da bi se dobilo 24đ?‘˜đ?‘” suhog groŞđa.

14. IzraÄ?unaj

25 7

% od

7 :0.125+3.5 24 2 −0.25 3

RjeĹĄenje: 25 1 25 1 7 %= =7= 7 100 4 28 1 1 â&#x;š 7â‹… = = 0.25 7 28 4 24 : 0.125 + 3.5 = 7 2 } 3 − 0.25 15. Zbir dvaju brojeva iznosi 120. Koji su to brojevi ako 40% jednog iznosi koliko i 60% drugog ? RjeĹĄenje: đ?‘Ž + đ?‘? = 120, 0.4đ?‘Ž = 0.6đ?‘? imamo da je đ?‘Ž = 1.5đ?‘? 1.5đ?‘? + đ?‘? = 120 2.5đ?‘? = 120 â&#x;š đ?‘? = 48 ∧ đ?‘Ž = 72

100

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

16. U dva kamiona se nalazi 35 tona uglja. Ako se iz prvog uzme 12.5% uglja i doda u drugi tada će u oba kamiona biti jednake koliÄ?ine uglja. Koliko je uglja u svakom kamionu prije pretovaranja ? RjeĹĄenje Ako je u prvom kamionu đ?‘Ľ tona uglja tada u drugom kamionu ima 35 – đ?‘Ľ tona uglja. Poslije pretovaranja u prvom kamionu biće đ?‘Ľ − 12.5% đ?‘Ľ tona, a u drugom 35 – đ?‘Ľ + 12.5% đ?‘Ľ tona uglja. Prema uslovu zadatka imamo jednaÄ?inu đ?‘Ľ –

12.5

12.5

đ?‘Ľ = 35 – đ?‘Ľ + 100 đ?‘Ľ â&#x;š đ?‘Ľ = 20. U 100

prvom kamionu ima 20 tona uglja, a u drugom 15 tona uglja. 17. Za koliko procenata treba da pojeftini roba koja je nedavno poskupila za 25%, da bi se ponovo prodavala po prvobitnoj cijeni ? RjeĹĄenje Ako sa đ?‘Ľ oznaÄ?imo prvobitnu cijenu robe, a sa đ?‘? broj procenata sniĹženja, tada je nova roba đ?‘?

jednaka 1.25đ?‘Ľ a sniĹženje bi bilo jednako 100 â‹… 1.25đ?‘Ľ. Prema uslovu zadatka sniĹženjem za đ?‘? procenata ponovo dobijamo prvobitnu cijenu, odnosno vaĹži đ?‘? 1.25đ?‘Ľ – â‹… 1.25đ?‘Ľ = đ?‘Ľ â&#x;š đ?‘? = 20 100 Prema tome, da bi se roba ponovo prodavala po staroj (prvobitnoj) cijeni treba da pojeftini za 20%.

18. Cijena neke knjige je dvaput povećana. Prvi puta za 10%, a drugi puta za 20%. Na kraju je njena cijena bila veća za 198đ??žđ?‘€. Kolika je prvobitna cijena knjige? RjeĹĄenje: đ?‘Ľ+

1 1 1 9900 đ?‘Ľ + (đ?‘Ľ + đ?‘Ľ) ∙ = đ?‘Ľ + 198 â&#x;š đ?‘Ľ = = 618.75 10 10 5 16

ZnaÄ?i prvobitna cijena knjige je 618 đ??žđ?‘€ i 75đ??žđ?‘?đ?‘“.

19. Ako se cijena neke robe poveća za 20 %, onda će nova cijena iznositi 540đ??žđ?‘€. Kolika je poÄ?etna cijena te robe? RjeĹĄenje: 20 đ?‘Ľ = 540 100 đ?‘Ľ = 450đ??žđ?‘€ đ?‘Ľ+

101

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

20. Cijena jednog proizvoda donosila je tvornici gubitak od 20%. Nakon toga cijena je povećana najprije za 10%, a odmah zatim i dalje 35%. Koliki je sada dobitak u postotcima? Rjeťenje: Stvarna vrijednost proizvoda je � 1

4

Cijena : đ?‘Ľ − 5 đ?‘Ľ = 5 đ?‘Ľ 4

1

4

4

2

22

Nova cijena I : 5 đ?‘Ľ + 10 â‹… 5 đ?‘Ľ = 5 đ?‘Ľ + 25 đ?‘Ľ = 25 đ?‘Ľ Nova cijena II:

22

35

22

22

77

297

250

47

đ?‘Ľ + 100 â‹… 25 đ?‘Ľ = 25 đ?‘Ľ + 250 đ?‘Ľ = 250 đ?‘Ľ = 250 đ?‘Ľ + 250 đ?‘Ľ = 25 47

đ?‘Ľ

= đ?‘Ľ + 10 =đ?‘Ľ+ 25

188 10

18.8

đ?‘Ľ = đ?‘Ľ + 100 đ?‘Ľ 100

Dobitak u postotcima iznosi 18.8. Dakle, 18.8%. 21. Cijena neke robe umanjena je za 4%. Za koliko treba povećati novu cijenu da bi se dobila prvobitna cijena. Rjeťenje: 24

Neka je đ?‘Ľ prvobitna cijena. Kad se smanji za 4% dobije se nova cijena 25 đ?‘Ľ. Sa đ?‘Ś oznaÄ?imo traĹženi procenat. Imamo jednaÄ?inu : 24 đ?‘Ś 24 25 đ?‘Ľ+ ∙ đ?‘Ľ=đ?‘Ľ â&#x;šđ?‘Ś= ≈ 4.2% 25 100 25 6

22. Na takmiÄ?enju je 14 uÄ?enika rijeĹĄilo sve zadatke, 32% uÄ?enika je rijeĹĄilo neke zadatke, a 12% uÄ?enika nije rijeĹĄilo niti jedan zadatak? Koliko je uÄ?enika uÄ?estvovalo na takmiÄ?enju? RjeĹĄenje: 14 + 0.32đ?‘Ľ + 0.12đ?‘Ľ = đ?‘Ľ â&#x;š đ?‘Ľ = 25 uÄ?enika

23. Kolko se suĹĄenog lipovog cvijeta dobije od 60đ?‘˜đ?‘” svjeĹžeg ako pri suĹĄenju izgubi 74% svoje mase? RjeĹĄenje: 600 â‹… 0.26 = 15.6

102

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

24. U kutiji đ??´ ima dva puta viĹĄe klikera nego u kutiji đ??ľ. Ako bi se 12% klikera iz đ??´ i 20% klikera iz đ??ľ premjestilo u kutiju đ??ś, onda bi u njoj bilo 488 klikera ĹĄto je za 22% viĹĄe nego ĹĄto sada ima. Koliko klikera ima u kutiji đ??´? RjeĹĄenje: đ??´ = 400 klikera

25. Radnici đ??´, đ??ľ i đ??ś su zajedno zaradili 52400đ??žđ?‘€. Zarada radnika đ??´ je 125% od zarade radnika đ??ľ, odnosno 90% od zarade radnika đ??ś. Kolika je razlika izmeÄ‘u zarada radnika đ??ľ i đ??ś? RjeĹĄenje: đ??ś − đ??ľ = 5600

26. Imamo 30 litara 40% rastvora alkohola i veću kolicinu 75% rastvora alkohola. Koliko najviťe litara 60% rastvora alkohola mozŞemo dobiti mijeťanjem raspoloŞivih rastvora? Rjeťenje: � = 70

27. Poznato je da svjeĹže groŞđe sadrzi 82% vlage, a suho 19%. Jedna kompanija je u procesu suĹĄenja groŞđa ukljuÄ?ila 180 tona svjeĹžeg groŞđa koje je plaćala kooperantima po cijeni 1.20 đ??žđ?‘€ po kilogramu. Ukupni troĹĄkovi suĹĄenja te koliÄ?ine groŞđa iznosili su 210 000 đ??žđ?‘€. a) Koliko je tona suhog groŞđa dobijeno u tom procesu suĹĄenja? b) Ne raÄ?unajući nikakvu posebnu zaradu, po kojoj minimalnoj cijeni bi trebao prodavati suho groŞđe, a da se pri tome ne ode u gubitak? RjeĹĄenje: a) đ?‘Ľ = 40 tona b) prodaja po 10.65 đ??žđ?‘€

28. Jedna osnovna ĹĄkola ima dva odjeljenja sedmog razreda. Od ukupnog broja uÄ?enika sedmih razreda 52% su djeÄ?aci, pri Ä?emu djeÄ?aka u VII1 ima 55% a u VII2 45%. Koliki je procenat od ukupnog broja uÄ?enika sedmih razreda koji Ä?ine ucenici VII1 odjeljenja? RjeĹĄenje: 70% svih uÄ?enika

103

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

29. Ukupna masa posude napunjene vodom (posuda zajedno sa vodom) iznosi 2000 đ?‘”đ?‘&#x;. Odbijemo li 20% vode, ukupna masa će se smanjiti na 88% prvobitne mase. Odrediti masu prazne posude i masu vode. RjeĹĄenje: masa posude = 800đ?‘”đ?‘&#x;, masa vode = 1200 đ?‘”đ?‘&#x;

30. Za pokrivanje poda keramiÄ?kim ploÄ?icama potrebne su 144 kvadratne ploÄ?ice jedne vrste. Taj pod je pokriven kvadratnim ploÄ?icama druge vrste Ä?ija je ivica za 20% veća od ivice ploÄ?ice prve vrste. Koliko je ploÄ?ica manje upotrebljeno? RjeĹĄenje: Upotrebljeno je 44 ploÄ?ice manje.

31. U posudi imamo rastvor od 24% soli u vodi. Svakog dana iz posude ispari pola litra vode. Poslije tri dana rastvor je sadrĹžavao 48% soli. Koliko je rastvora bilo u posudi prije isparavanja? RjeĹĄenje: đ?‘Ľ = 3 litra

32. U dvije kutije su pomijeĹĄane dvije sorte jabuka, Jonatan i Zlatni deliĹĄes. U prvoj kutiji je 12 đ?‘˜đ?‘” jabuka, od kojih 20% su sorte Jonatan. U drugoj kutiji je 28 đ?‘˜đ?‘” jabuka, a 80% je sorte Zlatni deliĹĄes. Sve jabuke iz manje kutije preruÄ?imo u veću kutiju. Koliko procenata sorte Jonatan ima u velikoj kutiji? RjeĹĄenje: 21.5 %

33. U jednokraki trapez đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ sa osnovicama đ??´đ??ľ i đ??śđ??ˇ moĹžemo upisati kvadrat đ??¸đ??šđ??śđ??ˇ tako da tjemena đ??¸ i đ??š leĹže na duĹžoj osnovici đ??´đ??ľ. PovrĹĄina kvadrata je 1.44đ?‘š2 i predstavlja 80% povrsĹĄine trapeza. IzraÄ?unaj osnovicu đ??´đ??ľ. RjeĹĄenje: đ??´đ??ľ = 1.8đ?‘š

104

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

34. Cijena nekog proizvoda iznosila je 3750đ??žđ?‘€. Tom proizvodu cijena je sniĹžena 8%. Kolika je cijena tog proizvoda nakon sniĹženja ? RjeĹĄenje: 3450đ??žđ?‘€

35. Ako se brojnik nekog razlomka poveća za 5%, a nazivnik poveća za 20%, hoće li se vrijednost razlomka povećati ili smanjiti i za koliki procenat? Rjeťenje: Razlomak se smanjio 12.5%.

36. Prodavac je cijenu jedne koťulje prvo smanjio za 20%, a zatim je povećao za 10%. Da li ponovo tu cijenu treba da korigira naviťe ili naniŞe i za koliko procenata da bi imao cijenu 10% niŞu od prvobitne? Rjeťenje: Korekcija nove cijene naviťe treba da bude za pribliŞno 2.27%.

37. U skladiĹĄtu trgovine bilo je 5600đ?‘˜đ?‘” braĹĄna. Prvog dana prodano je 10% te koliÄ?ine, a 1

4

drugog dana 3 ostatka. Preostalo braĹĄno razdijeljeno je na 2 prodavca u omjeru 0,2: 25 . Koliko je đ?‘˜đ?‘” braĹĄna dobila svaka prodavnica? RjeĹĄenje: đ?‘Ľ = 1866.7đ?‘˜đ?‘”, đ?‘Ś = 1493.3đ?‘˜đ?‘”

4

38. U tri vreće ima ukupno 64.2đ?‘˜đ?‘” sećera. Ako u prvoj vreći ima 5 od koliÄ?ine ĹĄećera druge vreće, a u trećoj vreći 42.5% od koliÄ?ine iz prve vreće. Kolika je masa ĹĄećera u prvoj vreći? RjeĹĄenje: 24đ?‘˜đ?‘”

39. Iznos od 18200đ??žđ?‘€ treba podijeliti na tri osobe tako da svaka sledeća osoba dobije 20% viĹĄe od prethodne. Koliko će novaca dobiti svako od njih? RjeĹĄenje: Osobe će redom dobiti 5000đ??žđ?‘€, 6000đ??žđ?‘€ i 7200đ??žđ?‘€.

105

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

40. Autobus krene iz poÄ?etne stanice sa odreÄ‘enim brojem putnika. Na prvoj stanici izaÄ‘e 2

20% putnika, a uÄ‘e 24 putnika. Na idućoj stanici izaÄ‘e 3 putnika a niko ne uÄ‘e. Na poslednjoj se stanici iskrca preostalih 16 putnika. Koliko je putnika uĹĄlo u autobus na poÄ?etnoj stanici? RjeĹĄenje: U autobusu je bilo 30 putnika.

41. Jedan ugao trapeza iznosi 72.36°, a drugi uz istu osnovicu veći je za 10%. IzraÄ?unati uglove tog trapeza. RjeĹĄenje: đ?›ź = 72.36° đ?›˝ = đ?›ź + 10%đ?›ź 10 đ?›˝ = 72.36° + â‹… 72.36° 100 đ?›˝ = 72.36° + 7.24° đ?›˝ = 79.6° đ?›ź + đ?›ż = 180° đ?›ż = 180° − đ?›ź đ?›ż = 180° − 72.36° đ?›ż = 107.64° đ?›ž = 180° − đ?›˝ = 180° − 79.6° đ?›ž = 100.4°

42. Pantalone ENERGI koĹĄtale su 240đ??žđ?‘€. Pojeftinile su 20%, pa poskupile 5%. Koliko koĹĄta poslije poskupljenja? RjeĹĄenje: 240 ∙ 0.8 = 192 â&#x;š 192 ∙ 1.05 = 201.60đ??žđ?‘€

106

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

Cijeli racionalni izrazi 1. IzraÄ?unaj

√3√2+4 √3√2−4

−

√3√2−4 √3√2+4

=

RjeĹĄenje: √3√2 + 4 √3√2 − 4

−

√3√2 − 4 √3√2 + 4

= 4√2

2. Zadano je 2015 brojeva koji imaju osobinu da ako se svaki od njih zamijeni zbirom ostalih, dobije se ponovo istih 2015 brojeva. Dokazati da je proizvod svih zadanih brojeva jednak 0. RjeĹĄenje: Sa đ?‘† oznaÄ?imo zbir zadanih 2015 brojeva. Tada se broj đ?‘Ž zamjenjuje brojem đ?‘? = đ?‘† − đ?‘Ž. Saberemo li svih tih 2015 jednakosti, dobijamo đ?‘?1 + đ?‘?2 + â‹Ż + đ?‘?2015 = 2015đ?‘† − (đ?‘Ž1 + đ?‘Ž2 + â‹Ż + đ?‘Ž2015 ). Kako je đ?‘?1 + đ?‘?2 + â‹Ż + đ?‘?2015 = đ?‘Ž1 + đ?‘Ž2 + â‹Ż + đ?‘Ž2015 = đ?‘†, to je đ?‘† = 2015đ?‘† − đ?‘† â&#x;š đ?‘† = 0. ZakljuÄ?ujemo da za svaki broj đ?‘Ž postoji, meÄ‘u zadanim brojevima, broj đ?‘? = −đ?‘Ž. Na taj naÄ?in bi smo sve zadane brojeve razbili na parove (đ?‘Ž, −đ?‘Ž), ali zbog neparnosti broja danih brojeva (2015) slijedi da medu zadanim brojevima postoji broj a takav da je đ?‘Ž = −đ?‘Ž, tj. đ?‘Ž = 0, pa je proizvod zadanih brojeva jednak 0.

3. IzraÄ?unati

5⋅415 ⋅99 −4⋅320 ⋅89 5⋅29 ⋅619 −7⋅229 ⋅276

=.

RjeĹĄenje: 5 â‹… 415 â‹… 99 − 4 â‹… 320 â‹… 89 5 â‹… 230 â‹… 318 − 4 â‹… 320 â‹… 227 227 â‹… 318 (40 − 36) 1 4 = = = â‹… =2 5 â‹… 29 â‹… 619 − 7 â‹… 229 â‹… 276 5 â‹… 29 â‹… (2 â‹… 3)19 − 7 â‹… 229 â‹… 318 228 â‹… 318 (15 − 14) 2 1

4. Koja je vrijednost cifre na mjestu jedinica broja 1 + 92016 ? RjeĹĄenje: Potencije broja 9 su 91 = 9, 92 = 81, 93 = 729, 94 = 6561, ‌ Lako je uoÄ?iti da potencije s neparnim eksponentom imaju cifru jedinica 9, a potencije s parnim eksponentom imaju cifru jedinica 1. Broj 92016 ima parni eksponent pa mu je cifra jedinica 1. Dakle, broj 1 + 92016 ima cifru jedinica 2.

107

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

5. Odredi skup svih cijelih brojeva đ?‘Ž za koje je

đ?‘Ž2 đ?‘Ž+3

cijeli broj.

RjeĹĄenje: đ?‘Ž2

Iz jednakosti đ?‘Ž+3 = 9

đ?‘Ž+3

đ?‘Ž2 −9 đ?‘Ž+3

đ?‘Ž2

9

9

+ đ?‘Ž+3 â&#x;š đ?‘Ž+3 ∈ ℤ â&#x;ş đ?‘Ž+3 ∈ ℤ

∈ ℤ â&#x;ş đ?‘Ž + 3 ∈ {−9, −3, −1, 1, 3, 9} â&#x;š đ?‘Ž ∈ {−12, −6, −4, −2, 0, 6}.

6. RijeĹĄi jednadĹžbu đ?‘Ľ 4 + 3đ?‘Ľ 4 + 5đ?‘Ľ 4 + â‹Ż + 15đ?‘Ľ 4 + 17đ?‘Ľ 4 + 19đ?‘Ľ 4 − 400 = 0 RjeĹĄenje: Polazna jednadĹžba je ekvivalentna jednadĹžbi: đ?‘Ľ 4 + 3đ?‘Ľ 4 + 5đ?‘Ľ 4 + â‹Ż + 15đ?‘Ľ 4 + 17đ?‘Ľ 4 + 19đ?‘Ľ 4 = 400 Ako bi sabrali prvi i poslednji sabirak dobili bi đ?‘Ľ 4 + 19đ?‘Ľ 4 = 20đ?‘Ľ 4 , sabiranjem drugog i predzadnjeg sabirka dobili bi 3đ?‘Ľ 4 + 17đ?‘Ľ 4 = 20đ?‘Ľ 4 , itd., Ovakvih zbirova imamo ukupno pet pa je jednadĹžba ekvivalentna sledećoj jednadĹžbi 4

5 â‹… 20đ?‘Ľ 4 = 400 â&#x;š đ?‘Ľ 4 = 4 â&#x;š đ?‘Ľ 4 = Âą √4 â&#x;š đ?‘Ľ = Âąâˆš2

7. Dokazati da je 165 + 215 djeljivo sa 33! RjeĹĄenje: 165 + 215 = (24 )5 + 215 = 220 + 215 = 215 â‹… 25 + 215 = 215 â‹… (32 + 1) = 33 â‹… 215 â&#x;š Dakle, izraz 165 + 215 je djeljiv sa 33.

8. Odrediti vrijednost razlomka RjeĹĄenje:

413 −412 −6∙410 219 +217 +215

=

413 − 412 − 6 ∙ 410 410 (43 − 42 − 6) 410 (64 − 16 − 16) 410 ¡ 42 (22 )10 ¡ 42 = = 15 = 15 = 15 = 219 + 217 + 215 215 (24 + 22 + 1) 2 (16 + 4 + 1) 2 ¡ 21 2 ∙ 21 220 42 = 15 = = 25 ∙ 2 = 26 = 64 2 21

9. IzraÄ?unaj vrijednost izraza

đ?‘Ž2 +đ?‘?2 đ?‘Žđ?‘?

ako je

đ?‘Ž+đ?‘? đ?‘?

= 3.

RjeĹĄenje: Kako je

đ?‘Ž+đ?‘? đ?‘?

đ?‘Ž

đ?‘?

đ?‘Ž

đ?‘?

đ?‘?

đ?‘?

đ?‘Ž

đ?‘?

1

đ?‘Ž

2

= 3 to i + = + 1, to je đ?‘? = 2. Slijedi da je = .

đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 đ?‘Ž2 đ?‘? 2 đ?‘Ž đ?‘? 1 1 = + = + = 2+ = 2 đ?‘Žđ?‘? đ?‘Žđ?‘? đ?‘Žđ?‘? đ?‘? đ?‘Ž 2 2 108

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

10. IzraÄ?unaj vrijednost izraza

|đ?‘Ľâˆ’đ?‘Śâˆ’|đ?‘Ľ|| |đ?‘Ľ|∙|đ?‘Ś|−(0,3)0

za đ?‘Ľ = −0,333 ‌ i đ?‘Ś = 2−3 .

RjeĹĄenje: −

3 23

11. Odredi realan broj đ?‘Ž (1 < đ?‘Ž < 10) i prirodan broj đ?‘˜ tako da vaĹži jednakost 17 ∙ 1033 + 26 ∙ 1032 − 74 ∙ 1031 = đ?‘Ž ∙ 10đ?‘˜ . RjeĹĄenje: đ?‘Ž = 1886 đ?‘˜ = 34

1

1

1

1

1

12. IzraÄ?unaj (1 − 4) ∙ (1 − 9) ∙ (1 − 16) ∙ (1 − 25) ∙ ‌ ∙ (1 − 20152 ) =. RjeĹĄenje: 1 1 1 1 1 1008 (1 − ) ∙ (1 − ) ∙ (1 − ) ∙ (1 − ) ∙ ‌ ∙ (1 − )= 2 4 9 16 25 2015 2015

13. DokaĹži da vrijednost izraza

(85 )4đ?‘› (323đ?‘› )4

ne zavisi od đ?‘›.

RjeĹĄenje: (85 )4đ?‘› =1 (323đ?‘› )4

5−8+2∙7

14. IzraÄ?unati √(−4)2 + (22 )2 ∙

3

=

{√13+√139+√(−5)2 }

RjeĹĄenje: √(−4)2 + (22 )2 ∙

5−8+2∙7 3

= 2004

{√13 + √139 + √(−5)2 }

109

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

15. Ako su đ?‘Ľ i đ?‘Ś prirodni brojevi i 1 + đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ś 2 − 2đ?‘Ľ = 0, izraÄ?unaj (đ?‘Ś − đ?‘Ľ)2013 RjeĹĄenje: (đ?‘Ś − đ?‘Ľ)2013 = −1

16. DokaŞi koji je broj veći 544 ili 2112 . Rjeťenje: 2112 > 514

17. Poredaj po veliÄ?ini brojeve: đ?‘Ž = 245 , đ?‘? = 336 , đ?‘? = 427 , đ?‘‘ = 518 RjeĹĄenje: đ?‘?>đ?‘?>đ?‘Ž>đ?‘‘

1

18. IzraÄ?unaj

1− 2 đ?‘Ľ

6 5 1+ + 2 đ?‘Ľ đ?‘Ľ

−

đ?‘Ľ+5 đ?‘Ľâˆ’1

=

RjeĹĄenje: 1−

1 đ?‘Ľ2

6 5 1+đ?‘Ľ+ 2 đ?‘Ľ

−

đ?‘Ľ+5 =1 đ?‘Ľâˆ’1

1

1

1

1

1

19. Naći x ako je (25â‹…26 + 26â‹…27 + 27â‹…28 + 28â‹…29 + 29â‹…30) â‹… 150 + 10.8: [0.54 â‹… (đ?‘Ľ − 1)] = 11. RjeĹĄenje: đ?‘Ľ=3

20. Odredi vrijednost izraza

1 1+đ?‘Ľ+đ?‘Ľđ?‘Ś

+

1 1+�+��

+

vrijedi ��� = 1. Rjeťenje: 1 1 1 + + =1 1 + � + �� 1 + � + �� 1 + � + ��

110

1 1+�+��

ako za realne brojeve �, � i �

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje đ?‘Ž

đ?‘?

1

1

đ?‘?

đ?‘Ž

đ?‘Ž

đ?‘?

21. Ako je − đ?‘Ž = + đ?‘? i đ?‘Ž + đ?‘? ≠0, đ?‘Ž ≠0, đ?‘? ≠0, koliko je − ? RjeĹĄenje: 1 1 − = −1 đ?‘Ž đ?‘?

22. Ako je

đ?‘Ž đ?‘?

đ?‘Ž

11

+ đ?‘? = 10 i

đ?‘? đ?‘?

5

đ?‘Ž

đ?‘Ž

= 2, odredi razlomke đ?‘? i đ?‘? .

RjeĹĄenje: đ?‘Ž 11 đ?‘Ž 11 = , = đ?‘? 14 đ?‘? 35

1

1

23. Ako je đ?‘Ľ = 2 , đ?‘Ś = − 2, izraÄ?unaj (đ?‘Ľ − đ?‘Ś)3 − (đ?‘Ľ − đ?‘Ś 3 ) + (−đ?‘Ľ ∙ đ?‘Ś 3 ) − (−đ?‘Ľ ∙ đ?‘Ś)3. RjeĹĄenje: (đ?‘Ľ − đ?‘Ś)3 − (đ?‘Ľ − đ?‘Ś 3 ) + (−đ?‘Ľ ∙ đ?‘Ś 3 ) − (−đ?‘Ľ ∙ đ?‘Ś)3 =

1

24. Koliko ima cijelih brojeva đ?‘Ľ za koje vaĹži 4 <

27 64

2−đ?‘Ľ 7

11

< 12 ?

RjeĹĄenje: Pet cijelih brojeva zadovoljavaju uslove zadatka.

25. Neka je đ?‘Ž = 22005 − 22004 + 22003 , đ?‘? = 22004 − 22005 + 22006 , đ?‘? = 3√3 ∙ 22003 . Dokazati da je zbir kvadrata neka dva broja đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? jednak kvadratu trećeg. RjeĹĄenje: Nakon ĹĄto uprostimo brojeve đ?‘Ž i đ?‘?, 22003 oznaÄ?imo sa đ??´, zatim dobijamo da nam je đ?‘? 2 = 27đ??´2 .

26. Uprosti izraz (

đ?‘Ľâˆ’1

đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ľâˆ’2

−

đ?‘Ľ+2 đ?‘Ľ 2 −4

4

) : 4−đ?‘Ľ 2 =

RjeĹĄenje: đ?‘Ľâˆ’1 đ?‘Ľ+2 4 ( 2 − 2 ): =1 đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − 2 đ?‘Ľ − 4 4 − đ?‘Ľ2

111

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

27. Dokazati da je 25đ?‘› − 25đ?‘›+3 + 25đ?‘›+3 + 7 ∙ 25đ?‘› = 25(đ?‘›+1). RjeĹĄenje: Na lijevoj strani moĹžemo izvući zajedniÄ?ki, te nakon sreÄ‘ivanja zagrade potvrÄ‘ujemo jednakost.

28. Skrati razlomak

20đ?‘Ž3 đ?‘?−10đ?‘Žđ?‘?2 +5đ?‘Žđ?‘? 24đ?‘Ž3 đ?‘Ľâˆ’12đ?‘Žđ?‘?đ?‘Ľ+6đ?‘Žđ?‘Ľ

.

RjeĹĄenje: 20đ?‘Ž3 đ?‘? − 10đ?‘Žđ?‘? 2 + 5đ?‘Žđ?‘? 5đ?‘? = 24đ?‘Ž3 đ?‘Ľ − 12đ?‘Žđ?‘?đ?‘Ľ + 6đ?‘Žđ?‘Ľ 6đ?‘Ľ

29. Neka su đ?‘Ľ i đ?‘Ś razliÄ?iti realni brojevi takvi da je 2đ?‘Ľđ?‘Ś + 1 ≠0 i neka su: đ?‘Ž=

6đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 2 +đ?‘Ľđ?‘Śâˆ’1 2đ?‘Ľđ?‘Ś+1

,đ?‘? =

đ?‘Ľ(đ?‘Ľ 2 −1)−đ?‘Ś(đ?‘Ś 2 −1) đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś

. Odredi koji je broj veći, đ?‘Ž ili đ?‘? .

RjeĹĄenje: đ?‘Ž>đ?‘?

30. Rastavi na faktore: (đ?‘Ľ − 1)(đ?‘Ľ − 2)(đ?‘Ľ − 3) + (đ?‘Ľ − 1)(đ?‘Ľ − 2) + 1 − đ?‘Ľ RjeĹĄenje: (đ?‘Ľ − 1)(đ?‘Ľ − 2)(đ?‘Ľ − 3) + (đ?‘Ľ − 1)(đ?‘Ľ − 2) + 1 − đ?‘Ľ = (đ?‘Ľ − 1)2 (đ?‘Ľ − 3)

31. Dokazati da vrijednost izraza 27đ?‘Ž3 − (3đ?‘Ž − 2)(9đ?‘Ž2 + 6đ?‘Ž + 4) ne zavisi od promjenjive đ?‘Ž. RjeĹĄenje: 27đ?‘Ž3 − (3đ?‘Ž − 2)(9đ?‘Ž2 + 6đ?‘Ž + 4) = 8

đ?‘Ž

đ?‘?

32. Ako je đ?‘? = đ?‘‘ , đ?‘? ≠0, đ?‘‘ ≠0, koliko je:

(đ?‘Ž+đ?‘?)(đ?‘?+đ?‘‘) đ?‘Ž+đ?‘?+đ?‘?+đ?‘‘

đ?‘Žđ?‘?

đ?‘?đ?‘‘

− đ?‘Ž+đ?‘? − đ?‘?+đ?‘‘ ?

RjeĹĄenje: Prvi i drugi razlomak moĹžemo proĹĄiriti sa d, da bi kasnije dobili rezultat 0.

112

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje đ?‘Ž

đ?‘?

1

1

đ?‘Ž

đ?‘Ž

1

đ?‘?

đ?‘Ž

đ?‘?

đ?‘Ž

đ?‘?

đ?‘?

2014

33. Ako je [( − ) : ((đ?‘Ž + đ?‘?)( − )) − ] : ( + 1) =

đ?‘Ž

, koliko je ? đ?‘?

RjeĹĄenje: đ?‘Ž 2013 = đ?‘? 2015

1

34. Odredi realan broj a tako da đ?‘Ľ = 2 bude rjeĹĄenje jednadĹžbe (

đ?‘Ľ+1 1−đ?‘Ľ 4đ?‘Ľ 2 1 1−đ?‘Ž 1 − − 2 )∙( 3 − 2 − 1) = 2 1−đ?‘Ľ đ?‘Ľ+1 đ?‘Ľ −1 đ?‘Ž +đ?‘Ž đ?‘Ž 2

RjeĹĄenje: đ?‘Ž=−

1 9

35. RijeĹĄi algebarski izraz (

đ?‘Ľâˆ’1

đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ľâˆ’2

−

đ?‘Ľ+2

4

) : đ?‘Ľ 2−4 =.

đ?‘Ľ 2 −4

RjeĹĄenje: đ?‘Ľâˆ’1 đ?‘Ľ+2 4 ( 2 − 2 ): 2 = −1 đ?‘Ľ +đ?‘Ľâˆ’2 đ?‘Ľ −4 đ?‘Ľ −4

36. RijeĹĄi jednadĹžbu

1+3+5+â‹Ż+2007+2009 2+4+6+â‹Ż+2006+2008

1

1

đ?‘Ľ

2008

= +

RjeĹĄenje: đ?‘Ľ=

2008 2009

37. Rastavi na proste faktore izraz đ?‘Ľ 5 − 5đ?‘Ľ 3 + 4đ?‘Ľ. RjeĹĄenje: đ?‘Ľ(đ?‘Ľ 2 − 4)(đ?‘Ľ 2 − 1)

113

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

38. Koji je razlomak veći:

22222221 22222223

ili

33333331 33333334

?

RjeĹĄenje: 22222221 33333331 > 22222223 33333334

39. Odredi najmanji prirodan broj pomnoĹžen sa 2646 daje kub nekog prirodnog broja. RjeĹĄenje: 2646 = 2 ¡ 33 ¡ 72 slijedi da najmanji prirodan broj 22 â‹… 7 = 28 jer je 2646 − 28 = 2 ¡ 33 ¡ 72 ¡ 22 ¡ 7 = (2 â‹… 3 â‹… 7)3 = 423 40. Dokazati da je zbir 2đ?‘› + 2đ?‘›+1 + 2đ?‘›+2 , đ?‘› ∈ â„• djeljiv sa 14. RjeĹĄenje: Kako je 2đ?‘› + 2đ?‘›+1 + 2đ?‘›+2 = 2đ?‘› + 2đ?‘› â‹… 2 + 2đ?‘› â‹… 22 = 2đ?‘› (1 + 2 + 3 + 4) = 14 â‹… 2đ?‘›âˆ’1 to je broj 14 je djelilac od 2đ?‘› + 2đ?‘›+1 + 2đ?‘›+2 .

41. a) Skrati razlomak đ?‘… =

đ?‘›2 +2đ?‘›âˆ’8 đ?‘›2 −4

.

b) Odredi sve cijele brojeve đ?‘› tako da vrijednost razlomka đ?‘… bude cio broj. RjeĹĄenje: a) đ?‘…=

đ?‘›2 + 2đ?‘› − 8 (đ?‘› + 4)(đ?‘› − 2) đ?‘› + 4 = = , đ?‘› ≠¹2 (đ?‘› − 2)(đ?‘› + 2) đ?‘› + 2 đ?‘›2 − 4

b) đ?‘›+4 đ?‘›+2+2 2 = =1+ đ?‘›+2 đ?‘›+2 đ?‘›+2 Razlomak đ?‘… je cio broj ako je đ?‘› + 2 ∈ {−3, −1,0}. Ako đ?‘› ∈ {−3, −1, 0} tada đ?‘… ∈ {−1, 3, 2 }.

114

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

42. Ako je đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 6 i đ?‘Ľ ∙ đ?‘Ś = 8 pokazati da je đ?‘Ľ 4 + đ?‘Ś 4 = 272. RjeĹĄenje: đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 6 /2 (đ?‘Ľ + đ?‘Ś)2 = 36 â&#x;š đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľđ?‘Ś + đ?‘Ś 2 = 36 â&#x;š đ?‘Ľ 2 + 2 ∙ 8 + đ?‘Ś 2 = 36 đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 = 36 − 16 â&#x;š đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 = 20 /2 (đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 )2 = 400 â&#x;š đ?‘Ľ 4 + 2đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 2 + đ?‘Ś 4 = 400 đ?‘Ľ ∙ đ?‘Ś = 8 /2 â&#x;š đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 = 64 đ?‘Ľ 4 + 2 ∙ 64 + đ?‘Ś 4 = 400 â&#x;š đ?‘Ľ 4 + 128 + đ?‘Ś 4 = 400 đ?‘Ľ 4 + đ?‘Ś 4 = 400 − 128 đ?‘Ľ 4 + đ?‘Ś 4 = 272

1

1

43. Ako je đ?‘Ľ realan broj i ako je đ?‘Ľ + đ?‘Ľ = 3 izraÄ?unaj koliko je : đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ 2

i

RjeĹĄenje

1

Ako je đ?‘Ľ + đ?‘Ľ = 3 onda je

1 2 1 1 (đ?‘Ľ + ) = đ?‘Ľ 2 + 2 ∙ đ?‘Ľ ∙ + 2 = 9 đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľ 1 1 đ?‘Ľ2 + 2 + 2 = 9 â&#x;š đ?‘Ľ2 + 2 = 9 − 2 đ?‘Ľ đ?‘Ľ 1 đ?‘Ľ2 + 2 = 7 đ?‘Ľ 1 đ?‘Ľ 2 + 2 = 7 /2 đ?‘Ľ 1 1 đ?‘Ľ 4 + 2 ∙ đ?‘Ľ 2 ∙ 2 + 2 = 49 đ?‘Ľ đ?‘Ľ 1 1 đ?‘Ľ 4 + 2 + 4 = 49 â&#x;š đ?‘Ľ 4 + 4 = 49 − 2 đ?‘Ľ đ?‘Ľ 1 đ?‘Ľ 4 + 4 = 47 đ?‘Ľ

44. IzraÄ?unati đ?‘Ž =

3√501+√3√668−3√2004 √2004

.

RjeĹĄenje: đ?‘Ž=

3√501 + √3√668 − 3√2004

= √2004 3√501 √3 ⋅ 668 3√2004 3√501 3 1 √2004 + − = + −3 = +1−3=− 2 2 √2004 √2004 √2004 √4 ⋅ 501 √2004

115

1

đ?‘Ľ 4 + đ?‘Ľ4

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

45. Ako je đ?‘Žđ?‘?đ?‘? = 1, dokazati da je 1 1 1 1 2 1 2 1 2 (đ?‘Ž + ) (đ?‘? + ) (đ?‘? + ) = (đ?‘Ž − ) + (đ?‘? − ) + (đ?‘? − ) − 4. đ?‘Ž đ?‘? đ?‘? đ?‘Ž đ?‘? đ?‘? RjeĹĄenje: 1 1 1 đ?‘Žđ?‘? đ?‘?đ?‘? đ?‘?đ?‘Ž đ?‘Ž đ?‘? đ?‘? 1 (đ?‘Ž + ) (đ?‘? + ) (đ?‘? + ) = đ?‘Žđ?‘?đ?‘? + + + + + + + = đ?‘Ž đ?‘? đ?‘? đ?‘? đ?‘Ž đ?‘? đ?‘?đ?‘? đ?‘?đ?‘Ž đ?‘Žđ?‘? đ?‘Žđ?‘?đ?‘? 1 1 1 = 2 + 2 + 2 + 2 + đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 + đ?‘? 2 = đ?‘Ž đ?‘? đ?‘? 1 1 1 = (đ?‘Ž2 + 2 + 2 ) (đ?‘? 2 + 2 + 2 ) + (đ?‘? 2 + 2 + 2 ) − 4 = đ?‘Ž đ?‘? đ?‘? 1 2 1 2 1 2 = (đ?‘Ž − ) + (đ?‘? − ) + (đ?‘? − ) − 4 đ?‘Ž đ?‘? đ?‘?

1

1

1

53

46. Postoje li uzastopni prirodni brojevi đ?‘Ž, đ?‘? i đ?‘? takvi da je đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘? = 60? RjeĹĄenje: 1

1

1

13

65 1

1

1

47

Kako je 2 + 3 + 4 = 12 = 60, 3 + 4 + 5 = 60 i kako je

1 1 1 65 1 1 1 53 1 1 1 47 1 1 1 + + = > + + = > + + = > + + 2 3 4 60 đ?‘Ž đ?‘? đ?‘? 60 3 4 5 60 đ?‘š đ?‘› đ?‘˜ za đ?‘š, đ?‘›, đ?‘˜ > 3 to traĹženi brojevi ne postoje.

47. Dokazati da vrijednost izraza (82đ?‘›+1 â‹… 16đ?‘› ): 45đ?‘›+1 ne zavisi od prirodnog broja đ?‘›. RjeĹĄenje: (82đ?‘›+1 â‹… 16đ?‘› ): 45đ?‘›+1 = [(23 )2đ?‘›+1 â‹… (24 )đ?‘› ]: (22 )5đ?‘›+1 = 26đ?‘›+3 â‹… 24đ?‘› : 210đ?‘›+2 = 21 = 2

48. Šta je veće

5+2√5 2

ili

1

?

√6−√5

RjeĹĄenje: 5 + 2√5 5 2√5 = + = 2.5 + √5 5 + 2√5 1 2 2 2 â&#x;š > 2 1 1 √6 + √5 √6 − √5 = â‹… = √6 + √5 ≈ 2.45 + √5 √6 − √5 √6 − √5 √6 + √5 }

116

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

Pitagorina teorema 1. U pravouglom trouglu je đ?‘Ąđ?‘Ž = 2√13đ?‘?đ?‘š i đ?‘Ąđ?‘? = √73đ?‘?đ?‘š. IzraÄ?unati duĹžinu hipotenuze. RjeĹĄenje:

đ?‘Ž 2

đ?‘? 2

2

2

Primjenom Pitagorine teoreme na trouglove dobijamo đ?‘Ąđ?‘Ž 2 = đ?‘? 2 + ( ) ∧ đ?‘Ąđ?‘? 2 = đ?‘Ž2 + ( ) . Sabiranjem ove dvije jednakosti dobijamo đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 2 2 (2√13) + (√73) = đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 + â&#x;š 500 = 4đ?‘? 2 + đ?‘? 2 â&#x;š đ?‘? = √100 â&#x;š đ?‘? = 10đ?‘?đ?‘š 4 2. IzraÄ?unaj povrĹĄinu kvadrata đ??śđ??ˇđ??¸đ??š upisanog u pravougli trougao đ??´đ??ľđ??ś Ä?ije katete imaju duĹžinu |đ??´đ??ś| = 9đ?‘?đ?‘š i |đ??ľđ??ś| = 9đ?‘?đ?‘š. RjeĹĄenje:

Iz zadanih uslova i uz oznake kao na slici povrĹĄina pravouglog trougla đ??´đ??ľđ??ś je 117

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

1 1 đ?‘ƒÎ”đ??´đ??ľđ??ś = |đ??´đ??ś| â‹… |đ??ľđ??ś| = â‹… 9 â‹… 6 = 27đ?‘?đ?‘š2 2 2 Kako dijagonala đ??śđ??¸ kvadrata dijeli trougao đ??´đ??ľđ??ś na dva trougla (Δđ??śđ??´đ??¸ i Δđ??ľđ??śđ??¸), to je 1 1 1 1 đ?‘ƒÎ”đ??´đ??ľđ??ś = đ?‘ƒÎ”đ??´đ??¸đ??ś + đ?‘ƒÎ”đ??ľđ??śđ??¸ = |đ??´đ??ś| â‹… đ?‘Ľ + |đ??ľđ??ś| â‹… đ?‘Ľ â&#x;š 27 = â‹… 9 â‹… đ?‘Ľ + â‹… 6 â‹… đ?‘Ľ â&#x;š đ?‘Ľ = 3.6đ?‘?đ?‘š 2 2 2 2 2 PovrĹĄina kvadrata đ??śđ??ˇđ??¸đ??š je đ?‘ƒ = đ?‘Ľ â‹… đ?‘Ľ = 12.96đ?‘?đ?‘š .

3. Stranice pravouglog trougla su prirodni brojevi. Ako je hipotenuza 34, odredi katete. RjeĹĄenje: I naÄ?in: đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 = 342 (đ?‘Ž, đ?‘? < 34) đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 = 1156 Kvadrati prva 33 prirodna broja su: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089 â&#x;š 162 + 302 = 1156 Dakle, katete su duĹžina 16đ?‘?đ?‘š i 30đ?‘?đ?‘š. II naÄ?in Cjelobrojne stranice pravouglog trougla moĹžemo predstaviti : đ?‘? = đ?‘š2 + đ?‘›2 , đ?‘Ž = đ?‘š2 − đ?‘›2 i đ?‘? = 2đ?‘šđ?‘› (đ?‘š, đ?‘› ∈ đ?‘ đ?‘– đ?‘š > đ?‘›). JednaÄ?ina đ?‘? = đ?‘š2 + đ?‘›2 = 34 zadovoljena je za đ?‘š = 5 i đ?‘› = 3, pa su katete: đ?‘Ž = đ?‘š2 − đ?‘›2 = 52 − 32 = 16 đ?‘? = 2đ?‘šđ?‘› = 2 ∙ 5 ∙ 3 = 30. 4. Jedan oĹĄtri ugao pravouglog trougla je 15° . Odredi povrĹĄinu i katete trougla Ä?ija je duĹžina hipotenuze 2đ?‘?đ?‘š. RjeĹĄenje:

Duplirajmo pravougli trougao đ??´đ??ľđ??ś do jednakokrakog trougla đ??´đ??ľđ??ˇ.Spustimo visinu đ??ľđ??¸. Pravougli trougao đ??´đ??ľđ??¸ je specijalan pa je đ??ľđ??¸ = 1 i đ??´đ??¸ = √3. Primjenimo Pitagorinu teoremu na pravougli trougao đ??ľđ??ˇđ??¸. 2

(2đ?‘Ž)2 = 12 + (2 − √3) â&#x;š đ?‘Ž = √2 − √3 đ?‘? = √22 − (2 − √3) â&#x;š đ?‘? = √2 + √3

â&#x;šđ?‘ƒ=

}

118

đ?‘Žđ?‘? 1 = 2 2

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

5. Odredi krak đ?‘? jednaokrakog trougla osnovice đ?‘Ž = 9√2 i teĹžiĹĄnice kraka đ?‘Ąđ?‘? = 15. RjeĹĄenje:

Dopunimo trougao do paralelograma produĹžavanjem đ?‘Ąđ?‘? za jednu njenu duĹžinu. Zbir kvadrata dijagonala paralelograma jednak je zbiru kvadrata njegovih stranica. (2đ?‘Ąđ?‘? )2 + đ?‘? 2 = 2(đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 ) ⇒ đ?‘? = 24 â„Ž

2

â„Ž

2

6. Neka su â„Žđ?‘Ž , â„Žđ?‘? i â„Žđ?‘? visine datog trougla đ??´đ??ľđ??ś. Ako je (â„Ž đ?‘? ) + (â„Ž đ?‘? ) = 1 , onda je trougao đ?‘Ž

đ?‘?

pravougli. Dokazati. RjeĹĄenje: đ?‘Ž â‹… â„Žđ?‘Ž 2đ?‘ƒ â&#x;š â„Žđ?‘Ž = 2 đ?‘Ž đ?‘? â‹… â„Žđ?‘? 2đ?‘ƒ đ?‘ƒ= â&#x;š â„Žđ?‘? = 2 đ?‘? đ?‘? â‹… â„Žđ?‘? 2đ?‘ƒ đ?‘ƒ= â&#x;š â„Žđ?‘? = 2 đ?‘Ž UvrĹĄtavanjem u datu jednakost imamo: 2đ?‘ƒ 2 2đ?‘ƒ 2 ( đ?‘? ) +( đ?‘? ) =1 2đ?‘ƒ 2đ?‘ƒ đ?‘Ž đ?‘? đ?‘ƒ=

đ?‘Ž 2

đ?‘? 2

( đ?‘? ) + (đ?‘? ) = 1 â&#x;š đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 = đ?‘? 2 â&#x;š trougao je pravougli.

7. DuĹžine stranica pravouglog trougla su đ?‘Ž, đ?‘Ž − đ?‘? i đ?‘Ž + đ?‘? gdje su đ?‘Ž i đ?‘? pozitivni realni brojevi i đ?‘Ž > đ?‘?. Dokazati da je odnos duĹžina kateta tog trougla jednak 4 âˆś 3. RjeĹĄenje: Na osnovu Pitagorine teoreme i odnosa stranica vrijedi: (đ?‘Ž + đ?‘?)2 = đ?‘Ž2 + (đ?‘Ž − đ?‘?)2 đ?‘Ž2 + 2đ?‘Žđ?‘? + đ?‘? 2 = đ?‘Ž2 + đ?‘Ž2 − 2đ?‘Žđ?‘? + đ?‘? 2 SreÄ‘ivanjem dobijamo 4đ?‘Žđ?‘? = đ?‘Ž2 a odavde je đ?‘Ž = 4đ?‘?. Dakle, duĹža kateta je 4đ?‘?, a kraća je đ?‘Ž − đ?‘? = 4đ?‘? − đ?‘? = 3đ?‘? pa je njihov odnos 4đ?‘? âˆś 3đ?‘? = 4 âˆś 3.

119

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

8. IzraÄ?unaj povrĹĄinu pravouglog trougla Ä?iji je obim 36đ?‘?đ?‘š, ako za stranice tog trougla vaĹži đ?‘Ž+đ?‘? đ?‘?

7

= 5.

RjeĹĄenje: Obim pravouglog trougla đ?‘‚ = đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘? = 36đ?‘?đ?‘š. Kako je lijevoj i desnoj strani dobivamo jednakost dobivamo

36 đ?‘?

=

12 5

đ?‘Ž+đ?‘?+đ?‘? đ?‘?

=

12 5

đ?‘Ž+đ?‘? đ?‘?

7

= 5, to dodavanjem broja 1

. Zamjenom đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘? = 36 u prethodnu

â&#x;š đ?‘? = 15. Sada iz

đ?‘Ž+đ?‘? đ?‘? 2

7

= 5 zakljuÄ?ujemo da je đ?‘Ž + đ?‘? = 21, a

kvadriranjem ovog izraza dobijamo đ?‘Ž2 + 2đ?‘Žđ?‘? + đ?‘? = 441. Na osnovu Pitagorine teoreme je đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 = 220, pa zamjenom u prethodnu jednakost dobivamo đ?‘Žđ?‘? = 108 . Kako je đ?‘ƒ =

đ?‘Žđ?‘? 2

â&#x;š đ?‘ƒ = 54đ?‘?đ?‘š2 .

9. U pravougaoniku Ä?ije se stranice razlikuju za 1đ?‘?đ?‘š puovuÄ?ena je simetrala jednog njegovog ugla. OdjeÄ?ak te simetrale, dio koji pripada pravougaoniku, ima duĹžinu 10√2đ?‘?đ?‘š. U kojoj razmjeri ta simetrala dijeli povrĹĄinu pravougaonika? RjeĹĄenje:

Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??¸ = 10√2đ?‘?đ?‘š, Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ľ = Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ˇ + 1 Δđ??´đ??¸đ??ˇ: âˆ˘đ??ˇ +

đ?›ź + âˆ˘đ??¸ = 180° 2

â&#x;š âˆ˘đ??¸ = 45° Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ˇ =đ??´đ??¸

âˆ˘đ??¸ =

â?ž2 Δđ??´đ??ˇđ??¸: Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??¸ 2 = Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ˇ2 + Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??¸ 2 Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??¸ 2 = Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ˇ 2 + Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ˇ Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě…2 đ??´đ??¸ 2 = 2đ??´đ??ˇ

2

â&#x;š Δđ??´đ??¸đ??ˇ je jednakokrako

– pravougli trougao Ě…Ě…Ě…Ě… = đ??´đ??¸ Ě…Ě…Ě…Ě… = 10√2đ?‘?đ?‘š â&#x;š đ??´đ??ˇ

2

Ě…Ě…Ě…Ě…2 (10√2) = 2đ??´đ??ˇ Ě…Ě…Ě…Ě…2 = 200 2đ??´đ??ˇ Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ˇ2 = 100 Ě…Ě…Ě…Ě… = √100 đ??´đ??ˇ Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ˇ = 10đ?‘?đ?‘š } â&#x;š Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ľ = 11đ?‘?đ?‘š Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ľ = Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ˇ + 1

�

Ě…Ě…Ě…Ě… â‹… đ??´đ??ˇ Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘ƒâ–­đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ = đ??´đ??ľ đ?‘ƒâ–­đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ = 110đ?‘?đ?‘š2 đ?‘ƒÎ”đ??´đ??ˇđ??¸ =

Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ˇ â‹… Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ˇđ??¸ 2

đ?‘ƒÎ”đ??´đ??ˇđ??¸ = 50đ?‘?đ?‘š2 đ?‘ƒâ–Ąđ??´đ??ľđ??śđ??¸ = đ?‘ƒâ–­đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ − đ?‘ƒÎ”đ??´đ??ˇđ??¸ đ?‘ƒâ–Ąđ??´đ??ľđ??śđ??¸ = 60đ?‘?đ?‘š2

120

Dakle, razmjera povrĹĄina dijelova pravougaonika je: đ?‘ƒâ–Ąđ??´đ??ľđ??śđ??¸ : đ?‘ƒÎ”đ??´đ??ˇđ??¸ = 60: 50 = 6: 5

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

10. IzraÄ?unaj obim i povrĹĄinu pravouglog trougla ako je đ?‘? = 12đ?‘?đ?‘š, đ?‘Ž: đ?‘? = 3: 5. RjeĹĄenje: đ?‘Ž: đ?‘? = 3: 5 5đ?‘Ž = 3đ?‘? / : 3 5đ?‘Ž đ?‘?= 3 5 ∙ 9 9 ∙ 5 45 đ?‘?= = = â&#x;š đ?‘? = 15 đ?‘?đ?‘š 3 3 3 đ?‘? 2 = đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 5∙đ?‘Ž 2 ( ) = đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 3 25đ?‘Ž2 = đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 /¡ 9 9 25đ?‘Ž2 = 9đ?‘Ž2 + 9đ?‘? 2 25đ?‘Ž2 − 9đ?‘Ž2 = 9đ?‘? 2 16đ?‘Ž2 = 9đ?‘? 2 /: 16 9 ∙ 144 đ?‘Ž2 = = 81 16 đ?‘Ž = √81 đ?‘Ž = 9đ?‘?đ?‘š đ?‘‚ = đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘? = 9 + 12 + 15 đ?‘‚ = 36 đ?‘?đ?‘š đ?‘ƒ=

đ?‘Ž ∙ đ?‘? 9 ∙ 12 = = 54đ?‘?đ?‘š2 2 2

11. Na suprotnim obalama rijeke rastu dvije palme visine 30đ?‘š i 20đ?‘š. Udaljenost izmeÄ‘u palmi je 50đ?‘š. Na vrhu svake palme sjedi po jedna ptica. Ptice ugledaju ribu u rijeci i istovremeno polete prema njoj, istom brzinom i istovremeno dolaze do nje. Na kojoj udaljenosti se od podnoĹžja palmi pojavila riba? RjeĹĄenje: Prvo da nacrtamo jednu sliÄ?icu:

121

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

Iz teksta zadatka zakljuÄ?ujemo da ako su ptice poletjele istovremeno i u isto vrijeme dolaze do ribe, a lete istom brzinom to mora da prelaze ista rastojanja, znaÄ?i da je đ?‘?1 = đ?‘?2 Dakle, trebamo naći rastojanja đ?‘Ž1 iđ?‘Ž1 , dakle moĹžemo pisati: đ?‘Ž1 + đ?‘Ž2 = 50 đ?‘Ž12 + đ?‘?12 = đ?‘Ž12 + đ?‘?12 Nakon ĹĄto iz prve jednaÄ?ine izrazimo đ?‘Ž1 = 50 − đ?‘Ž2 i uvrstimo u drugu dobijemo jednaÄ?inu sa jednom nepoznatom: (50 − đ?‘Ž2 )2 + đ?‘?12 = đ?‘Ž22 + đ?‘?22 â&#x;š 100đ?‘Ž2 = 2000 â&#x;š đ?‘Ž2 = 20 â&#x;š 301 Udaljenost od podnoĹžja palmi je 20đ?‘š odnosno 30đ?‘š.

12. Naći povrĹĄinu jednakokrakog trougla Ä?iji je obim 32đ?‘?đ?‘š, a visina na osnovicu i osnovica su u omjeru 2: 3. RjeĹĄenje: Kako je â„Ž: đ?‘Ž = 2: 3 , to imamo da je â„Ž = 2đ?‘Ľ i đ?‘Ž = 3đ?‘Ľ. Primjenom Pitagorine teoreme dobijamo: đ?‘Ž 2 đ?‘? 2 = â„Ž2 + ( ) 2 5 UvrĹĄtavanjem da je â„Ž = 2đ?‘Ľ i đ?‘Ž = 3đ?‘Ľ imamo nakon sreÄ‘ivanja đ?‘? = 2 đ?‘Ľ Kako je đ?‘‚ = đ?‘Ž + 2đ?‘?, i đ?‘‚ = 32 imamo: 5 3đ?‘Ľ + 2 ∙ đ?‘Ľ = 32 2 đ?‘Ľ=4 Vraćanjem u odgovarajuće jednakosti dobijamo â„Ž = 8 i đ?‘Ž = 12 đ?‘Žâˆ™â„Ž đ?‘ƒ= 2 đ?‘ƒ = 48

13. Jedna osnovica trapeza je 8đ?‘?đ?‘š , a sve ostale njegove stranice duge su po 4đ?‘?đ?‘š. KonstruiĹĄi trapez i izraÄ?unaj povrĹĄinu. RjeĹĄenje:

đ?‘Ž = 8đ?‘?đ?‘š đ?‘? = 4đ?‘?đ?‘š đ?‘? = 4đ?‘?đ?‘š đ?‘‘ = 4đ?‘?đ?‘š đ?‘Žâˆ’đ?‘? 2 ) â&#x;š â„Ž = 3.5đ?‘?đ?‘š 2

â„Ž2 = đ?‘? 2 − ( đ?‘ƒ=

đ?‘Ž+đ?‘? â‹… â„Ž â&#x;š đ?‘ƒ = 21đ?‘?đ?‘š2 2

122

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

14. Osnovica jednakokrakog trougla je 16đ?‘?đ?‘š, a obim 50đ?‘?đ?‘š. Kolika je povrĹĄina kvadrata konstruisanim nad njegovom visinom? RjeĹĄenje: đ?‘Ž = 16đ?‘?đ?‘š đ?‘‚ = 50đ?‘?đ?‘š đ?‘‚ = đ?‘Ž + 2đ?‘? 2đ?‘? = đ?‘‚ − 4 2đ?‘? = 34đ?‘?đ?‘š đ?‘? = 17đ?‘?đ?‘š

đ?‘Ž

â„Ž 2 = đ?‘? 2 − ( 2 )2

â„Ž2 = 172 − 82 â„Ž2 = 289 − 64 â„Ž2 = 225 â„Ž = 15đ?‘?đ?‘š

đ?‘ƒ = â„Ž2 đ?‘ƒ = 225đ?‘?đ?‘š2

15. Dvije kugle stoje na razdaljini 15đ?‘š jedna je visoka 35đ?‘š, druga 43đ?‘š.Koliko je rastojanje njihovih vrhova? RjeĹĄenje: đ?‘Ľ 2 = (15đ?‘š)2 +(8đ?‘š)2 đ?‘Ľ 2 = 225đ?‘š2 +65đ?‘š2 đ?‘Ľ 2 = 289đ?‘š2 đ?‘Ľ = 17đ?‘š

16. Kvadrat i pravougaonik Ä?ije su dimenzije đ?‘Ž = 9đ?‘?đ?‘š i đ?‘? = 4đ?‘?đ?‘š imaju jednake povrĹĄine. IzraÄ?unati razliku njihovih dijagonala. RjeĹĄenje: − pravougaonik: đ?‘Ž = 9đ?‘?đ?‘š; đ?‘? = 4đ?‘?đ?‘š â&#x;š đ?‘ƒ = 36đ?‘?đ?‘š2 đ?‘‘ 2 = đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 đ?‘‘2 =82 +162 đ?‘‘2 = 972 đ?‘‘ = 9.8đ?‘?đ?‘š − kvadrat: đ?‘ƒ = 36đ?‘?đ?‘š2 đ?‘ƒ = đ?‘Ž2 đ?‘Ž2 = 36 â&#x;š đ?‘Ž = 6đ?‘?đ?‘š đ?‘‘ = đ?‘Žâˆš2 đ?‘‘ = 6√2 đ?‘‘ = 8.46đ?‘?đ?‘š đ?‘‘đ?‘? − đ?‘‘đ?‘˜ = 9.8 − 8.46 = 1.34đ?‘?đ?‘š

123

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

17. Kolika je hipotenuza pravouglog trougla ako je njegov obim 84 đ?‘š, a povrĹĄina 210đ?‘?đ?‘š2 ? RjeĹĄenje: đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘? = 84 đ?‘Ž + đ?‘? = 84 − đ?‘? /2 2

2

2

đ?‘Ž2 +đ?‘?2 =đ?‘? 2

â?ž đ?‘Ž + 2đ?‘Žđ?‘? + đ?‘? = 7056 − 168đ?‘? + đ?‘? â&#x;š 2ab = 7056 − 168c Iz povrĹĄine pravouglog trougla dobijemo đ?‘Žđ?‘? = 420 pa je 840 = 7056 − 168đ?‘? â&#x;š đ?‘? = 37.

Ě…Ě…Ě…Ě… i đ??ľđ??ś Ě…Ě…Ě…Ě… su redom 30đ?‘?đ?‘š i 40đ?‘?đ?‘š. Ako je đ??ˇ 18. U pravouglom trouglu ∆đ??´đ??ľđ??ś duĹžine kateta đ??´đ??ś srediĹĄte hipotenuze, a đ??¸ podnoĹžje hipotenuzine visine, izraÄ?unati duĹžinu duĹži Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ˇđ??¸ . RjeĹĄenje:

Primjenom Pitagorine teoreme na pravougli trougao ∆đ??´đ??ľđ??ś, dobija se duĹžina hipotenuze Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ľ . Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… 2 = √302 + 402 = 50đ?‘?đ?‘š. đ??´đ??ľ = âˆšĚ…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ś 2 + đ??ľđ??ś đ??ˇ je srediĹĄte hipotenuze, pa je Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ˇ = Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ˇđ??ľ = 25đ?‘?đ?‘š. Kombinovanjem dviju formula za raÄ?unanje povrĹĄine pravouglog trougla dobija se duĹžina visine Ě…Ě…Ě…Ě… đ??śđ??¸ . Ě…Ě…Ě…Ě… ∙ đ??ľđ??ś Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ś đ?‘ƒ= 2 Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ľ ∙ Ě…Ě…Ě…Ě… đ??śđ??¸ đ?‘ƒ= 2 Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ś ∙ đ??ľđ??ś Ě…Ě…Ě…Ě… đ??śđ??¸ = = 24đ?‘?đ?‘š Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ľ Primjenom PT na pravougli trougao ∆đ??´đ??śđ??¸, dobija se duĹžina duĹži Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??¸. Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??¸ = âˆšĚ…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ś 2 − Ě…Ě…Ě…Ě… đ??śđ??¸ 2 = √302 − 242 = 18đ?‘?đ?‘š. TraĹžena duĹžina duĹži iznosi: Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ˇđ??¸ = Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ˇ − Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??¸ = 7đ?‘?đ?‘š

124

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

19. IzraÄ?unaj obim i povrĹĄinu trougla đ??´đ??ľđ??ś (vidi sliku) ako je đ??śđ??´ = 10đ?‘?đ?‘š.

RjeĹĄenje: đ?‘‚ = 10(1 + √3)đ?‘?đ?‘š, đ?‘ƒ =

50√3 3

đ?‘?đ?‘š2

20. IzraÄ?unaj obim i povrĹĄinu Ä?etverougla sa slike

RjeĹĄenje: đ?‘‚ = 10(4 + √2)đ?‘?đ?‘š, đ?‘ƒ = 150đ?‘?đ?‘š2 21. Dat je pravougaonik đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ kojem je duĹžina stranice đ??´đ??ľ = 20đ?‘?đ?‘š. DuĹžina okomice iz vrha đ??ľ na dijagonalu đ??´đ??ś je 12đ?‘?đ?‘š. Odredi obim i povrĹĄinu pravougaonika. RjeĹĄenje: đ?‘‚ = 70đ?‘?đ?‘š, đ?‘ƒ = 300đ?‘?đ?‘š2

22. Dat je pravougli trougao ∆đ??´đ??ľđ??ś takav da je âˆĄđ??´đ??śđ??ľ = 90°, đ??śđ??´ = √5đ?‘?đ?‘š i đ??śđ??ľ = 2√5đ?‘?đ?‘š. Neka je đ??ˇ ∈ đ??´đ??ľ i đ??śđ??ˇ = √5đ?‘?đ?‘š. Odrediti obim i povrĹĄinu trougla đ??ľđ??śđ??ˇ. RjeĹĄenje:

125

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

Ako uoÄ?imo đ??¸ na đ??´đ??ľ tako da je đ??śđ??¸ ⊼ đ??´đ??ľ, tada je đ??´đ??¸ = đ??¸đ??ˇ jer je Δđ??śđ??ˇđ??´ jednakokraki. Sada je đ??´đ??ľ = 5đ?‘?đ?‘š, đ??śđ??¸ = 2đ?‘?đ?‘š i đ??´đ??¸ = đ??¸đ??ˇ = 1đ?‘?đ?‘š.Prema tome, đ?‘‚Δđ??ľđ??śđ??ˇ = 3(1 + √5), a đ?‘ƒÎ”BCD = 5 − 2 = 3.

23. U kruĹžnici đ?‘˜, na slici, tetive đ??´đ??ľ i đ??śđ??ˇ su meÄ‘usobno normalne. IzraÄ?unaj njihove duĹžine ako je đ??´đ??ś = 10đ?‘?đ?‘š, đ??ˇđ??ľ = 8đ?‘?đ?‘š i đ?‘†đ??ś = 6đ?‘?đ?‘š.

RjeĹĄenje: đ??´đ??ľ = 12.8đ?‘?đ?‘š, đ??śđ??ˇ = 12.4đ?‘?đ?‘š

24. Dva stuba su visine 20đ?‘š i 30đ?‘š. Vrh svakog stuba povezan je s dnom drugog sa nategnutim uĹžetom. Na kojoj visini od tla se ta dva uĹžeta ukrĹĄtaju ako je udaljenost stubova 40đ?‘š? RjeĹĄenje: Ta dva uĹžeta se ukrĹĄtaju na visini 12đ?‘š od tla.

25. U pravouglom trouglu đ??´đ??ľđ??ś duĹžine kateta đ??´đ??ś i đ??ľđ??ś su redom 30đ?‘?đ?‘š i 40đ?‘?đ?‘š. Ako je taÄ?ka đ?‘ƒ srediĹĄte hipotenuze, a đ?‘ podnoĹžje visine na hipotenuzu, odredi duĹžinu đ?‘ƒđ?‘ . RjeĹĄenje: đ?‘ƒđ?‘ = 7đ?‘?đ?‘š

26. U jednakokrakom trapezu srednja linija đ?‘ , a dijagonala je dva puta duĹža od srednje linije đ?‘ . Kolika je povrĹĄina tog trapeza ? RjeĹĄenje: đ?‘ƒ = đ?‘ 2 √3đ?‘?đ?‘š2

126

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

27. TaÄ?ke đ?‘ƒđ?‘„đ?‘…đ?‘† su redom srediĹĄta stranica đ??´đ??ľ, đ??ľđ??ś, đ??śđ??ˇ, đ??ˇđ??´ romba đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ. Stranice paralelograma đ?‘ƒđ?‘„đ?‘…đ?‘† se odnose kao 3: 4, a povrĹĄina đ?‘ƒđ?‘„đ?‘…đ?‘† iznosi 30đ?‘?đ?‘š2. IzraÄ?unaj povrĹĄinu romba. RjeĹĄenje: đ?‘ƒ = 72đ?‘?đ?‘š2

28. Zbir duĹžina dijagonala romba je 84đ?‘?đ?‘š. ProduĹžimo li jednu dijagonalu za 4đ?‘?đ?‘š, a drugu skratimo za 4đ?‘?đ?‘š, povrĹĄina romba će se povećati za 16đ?‘?đ?‘š2. IzraÄ?unaj duĹžinu stranice i duĹžinu dijagonale romba. RjeĹĄenje: đ?‘Ž = 30đ?‘?đ?‘š, đ?‘‘1 = 36đ?‘?đ?‘š, đ?‘‘2 = 48đ?‘?đ?‘š

29. U oĹĄtrouglom trouglu đ??´đ??ľđ??ś visina iz vrha đ??ś dijeli suprotnu stranicu na dva dijela: đ??´đ??ľ i đ??ˇđ??ľ kojima su duĹžine đ??´đ??ˇ = 4đ?‘?đ?‘š, đ??ˇđ??ľ = 1đ?‘?đ?‘š. Ugao kod vrha đ??´ je 60°, odredi duĹžinu stranica trougla đ??´đ??ľđ??ś i duĹžinu visine tog trougla. RjeĹĄenje: đ??´đ??ś = 8đ?‘?đ?‘š, đ??ľđ??ś = 7đ?‘?đ?‘š, â„Ž = 4√3đ?‘?đ?‘š

30. Majstor je razrezao ĹĄipku duĹžine 30 đ?‘?đ?‘š na 4 dijela kako bi od tih dijelova napravio pravougli trougao. Majstor je razrezao ĹĄipku na dva dijela od kojih je jedan kraći za 6 đ?‘?đ?‘š i njega uzeo za jednu katetu. Odredi duĹžine dijelova. RjeĹĄenje: đ?‘Ž = 12đ?‘?đ?‘š, đ?‘? = 5đ?‘?đ?‘š, đ?‘? = 13đ?‘?đ?‘š

31. Vrt ima oblik pravougaonika sa tjemenima đ??´, đ??ľ, đ??ś i đ??ˇ. U vrtu raste jablan koji je od tjemena đ??´ udaljen 7đ?‘š, od tjemena đ??ľ udaljen je 2đ?‘š i od đ??ś udaljen je 6đ?‘š. Koliko je udaljen od tjemena đ??ˇ? RjeĹĄenje:

đ??˝ − jablan đ?‘Ľ − udaljenost jablana od tjemena đ??ˇ

127

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

đ?‘Ľ 2 = đ?‘Ž2 + đ?‘‘ 2 2 2 2 2 2 2 đ?‘Ž 2 = 72 − đ?‘? 2 } â&#x;š đ?‘Ľ = 7 − đ?‘? + 6 − (2 − đ?‘? ) 2 2 2 đ?‘‘ = 6 − đ?‘? } â&#x;š đ?‘‘2 = 62 − (22 − đ?‘? 2 ) đ?‘Ľ = 9đ?‘š 2 2 2 đ?‘? =2 −đ?‘?

32. U pravouglom trouglu teĹžiĹĄne linije su vezane relacijom đ?‘Ąđ?‘Ž2 + đ?‘Ąđ?‘?2 = 5đ?‘Ąđ?‘?2 . Dokazati. RjeĹĄenje: đ?‘Ž

2

2 đ?‘?

2

Δđ??´đ??śđ??š: đ?‘Ą2đ?‘Ž = đ?‘?2 + ( )

Δđ??ľđ??śđ??¸: đ?‘Ą2đ?‘? = đ?‘Ž2 + ( ) 2

đ?‘Ž đ?‘? 2 đ?‘Ąđ?‘Ž2 + đ?‘Ąđ?‘?2 = đ?‘? 2 + ( ) + đ?‘Ž2 + ( ) 2 2 5 (đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 ) đ?‘Ąđ?‘Ž2 + đ?‘Ąđ?‘?2 = â?&#x; 4 2 )2 2

đ?‘? =(2đ?‘Ąđ?‘?

5 đ?‘Ąđ?‘Ž2 + đ?‘Ąđ?‘?2 = â‹… 4đ?‘Ąđ?‘?2 4 đ?‘Ąđ?‘Ž2 + đ?‘Ąđ?‘?2 = 5đ?‘Ąđ?‘?2

33. Dokazati da je zbir kvadrata dijagonala proizvoljnog paralelograma jednak zbiru kvadrata njegovih stranica. RjeĹĄenje:

đ?‘‘12 = â„Ž2 + (đ?‘Ž − đ?‘Ľ)2 } â&#x;š đ?‘‘12 = đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 − 2đ?‘Žđ?‘Ľ Δđ??ˇđ??´đ?‘€: â„Ž2 = đ?‘? 2 − đ?‘Ľ 2 } â&#x;š đ?‘‘12 + đ?‘‘22 = 2đ?‘Ž2 + 2đ?‘? 2 2 2 2 đ?‘‘2 = â„Ž + (đ?‘Ž + đ?‘Ľ) } â&#x;š đ?‘‘22 = đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 + 2đ?‘Žđ?‘Ľ 2 2 2 Δđ??ľđ??śđ?‘ : â„Ž = đ?‘? − đ?‘Ľ

128

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

34. Dat je ugao đ?›ź = 60° trougla đ??´đ??ľđ??ś. DuĹžina visine đ??śđ??ˇ na stranicu đ??ś je đ??śđ??ˇ = √3đ?‘?đ?‘š i đ??ˇđ??ľ = 6√2đ?‘?đ?‘š. IzraÄ?unaj duĹžine stranica trougla đ??´đ??ľđ??ś. RjeĹĄenje:

đ?›ź = 60° trougao Δđ??´đ?‘€đ??ś je âˆ˘đ??´đ??śđ??ˇ = 180° − 90° − 60° = 30° } â&#x;š âˆ˘đ?‘€đ??śđ??´ = 60° } â&#x;š â&#x;š jednakostraniÄ?ni âˆ˘đ?‘€đ??śđ??ˇ = 180° − 90° − 60° = 30° âˆ˘đ??´đ?‘€đ??ś = 60° đ?‘?√3 â&#x;š â„Žđ?‘? = â&#x;š đ?‘? = 2đ?‘?đ?‘š 2 đ??´đ??ˇ2 = đ?‘? 2 − â„Žđ?‘?2 â&#x;š đ??´đ??ˇ = 1đ?‘?đ?‘š } â&#x;š đ?‘? ≈ 9.46đ?‘?đ?‘š đ?‘? = đ??´đ??ˇ + đ??ˇđ??ľ đ??ˇđ??ľ = 6√2đ?‘?đ?‘š ≈ 8.46đ?‘?đ?‘š đ?‘Ž2 = â„Žđ?‘?2 + đ??ˇđ??ľ2 â&#x;š đ?‘Ž ≈ 8.65đ?‘?đ?‘š

129

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

Trougao, Ä?etverougao i mnogougao 1. U trapezu đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ krak đ??ľđ??ś duĹži je od drugog kraka za 3.8đ?‘?đ?‘š, a od veće osnovice je manji za 4.4đ?‘?đ?‘š. Dijagonala trapeza đ??´đ??ś simetrala je ugla âˆĄđ??ˇđ??´đ??ľ. IzraÄ?unaj stranicu đ??´đ??ľ ako je obim trapeza 56đ?‘?đ?‘š. RjeĹĄenje:

đ??´đ??ś je simetral ugla âˆĄđ??ˇđ??´đ??ľ pa je ∆đ??´đ??śđ??ˇ jednakokraki i vrijedi đ??´đ??ˇ = đ??ˇđ??ś = đ?‘Ľ. Dalje, iz uslova zadatka moĹže se zakljuÄ?iti da je đ??ľđ??ś = đ?‘Ľ + 3.8 , a đ??´đ??ľ = đ?‘Ľ = 3.8 + 4.4 = đ?‘Ľ + 8.2. RjeĹĄavanjem jednaÄ?ine đ?‘Ľ + 8.2 + đ?‘Ľ + 3.8 + đ?‘Ľ + đ?‘Ľ = 56 dobije se đ?‘Ľ = 11, odnosno đ??´đ??ľ = 17.2.

2. IzraÄ?unaj srednju liniju jednakokrakog trapeza ako je duĹžina njegove dijagonale 25đ?‘?đ?‘š, a visina 15đ?‘?đ?‘š. RjeĹĄenje: đ?‘š = 20đ?‘?đ?‘š

3. Uzastopni uglovi nekog Ä?etverougla su đ?›ź, đ?›ź + 20°, đ?›ź + 30°, i đ?›ź + 50°. Koliki su uglovi tog Ä?etverougla? Da li je taj Ä?etverougao trapez? RjeĹĄnje: đ?›ź + đ?›ź + 20° + đ?›ź + 30° + đ?›ź + 50° = 360° â&#x;š đ?›ź = 65° Uglovi ovog Ä?etverougla su 65°, 85°, 95° i 115°. ÄŒetverougao je trapez ako je đ?›ź + đ?›ż = 180°, a u naĹĄem sluÄ?aju je đ?›ź = 65° i đ?›ż = 115° pa ćemo imati đ?›ź + đ?›ż = 65° + 115° = 180° pa zakljuÄ?ujemo da je Ä?etverougao trapez.

4. IzraÄ?unati obim romba koji ima povrĹĄinu 12đ?‘?đ?‘š i Ä?iji se uglovi odnose kao 1: 2 . RjeĹĄenje: Kako su susjedni uglovi romba suplementni, to je đ?›ź + 2đ?›ź = 180° â&#x;š đ?›ź = 60°. 130

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

đ?‘Ž

đ?‘Ž

Ako je â„Ž visina romba â„Ž = 2 â‹… √3 i đ?‘ƒ = √12đ?‘?đ?‘š2 i đ?‘ƒ = đ?‘Ž ∙ â„Ž â&#x;š √12 = đ?‘Ž â‹… 2 â‹… √3. RjeĹĄenjem jednaÄ?ine dobijamo đ?‘Ž = 2 đ?‘?đ?‘š. Obim romba je đ?‘‚ = 8đ?‘?đ?‘š.

5. Ako se broj stranica konveksnog mnogougla poveća za 13, broj dijagonala se poveća za 234. IzraÄ?unati broj dijagonala datog mnogougla. RjeĹĄenje: Ako je đ?‘› broj stranica, a đ??ˇđ?‘› broj dijagonala datog mnogougla, iz uslova: đ??ˇ(đ?‘› + 13) = đ??ˇđ?‘› + 234 odnosno

(n+13)(n+13−3) 2

mnogougao ima: đ??ˇ(13) =

=

n(n−3)

2 13(13−3) 2

+ 234dobijamo da je đ?‘› = 13. Prema tome dati

= 65 dijagonala.

6. U rombu stranice đ?‘Ž = 6√3 i ugla đ?›ź = 60° upisan je pravougaonik tako da mu manja dijagonala bude dijagonala pravougaonika. Naći povrĹĄinu pravougaonika. RjeĹĄenje: đ?‘Ž = â„Ž − visina jednakostranicnog trougla 1 đ?‘? = đ?‘Ž â&#x;š đ?‘ƒ = 27√3 2

131

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

7. Jedan ugao Ä?etverougla je 50° drugi ugao je jednak polovni trećeg, dok je Ä?etvrti ugao jednak zbiru prva dva ugla. Odredi uglove Ä?etverougla. RjeĹĄenje: đ?›ź = 50° đ?›ž đ?›ż = 2 â&#x;š 2đ?›ż = đ?›ž đ?›˝ =đ?›ź+đ?›ż đ?›ź + đ?›˝ + đ?›ž + đ?›ż = 360° 50° + đ?›ż + 2đ?›ż + 50° + đ?›ż = 360° 4đ?›ż = 260° đ?›ż = 65° đ?›ž = 2đ?›ż đ?›ž = 130° đ?›˝ =đ?›ź+đ?›ż đ?›˝ = 115°

8. Prava dijeli kvadrat tako da u tjemenu kvadrata obrazuje sa stranicom ugao od 60°. IzraÄ?unati povrĹĄinu većeg dijela kvadrata ako je đ?‘Ž = 3đ?‘?đ?‘š. RjeĹĄenje:

đ?‘Ž

đ?‘ƒ2 = đ?‘Ž â‹… 2

đ?‘ƒ2 = 4.5đ?‘?đ?‘š

đ?‘ƒ1 = 2

đ?‘ƒ = đ?‘ƒ1 + đ?‘ƒ2 đ?‘ƒ = 6.75đ?‘?đ?‘š2

đ?‘Ž 2

đ?‘Žâ‹…

2 đ?‘Ž2

đ?‘ƒ1 = 4 đ?‘ƒ1 =

9

4

đ?‘ƒ1 = 2.25đ?‘?đ?‘š2

132

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

9. Odrediti povrĹĄinu Ä?etverougla đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ za kojeg znamo sljedeće: dva suporotna ugla su pravi; dvije stranice koje zatvaraju jedan od njih su jednake duĹžine; zbir duĹžina druge dvije stranice iznosi 10đ?‘?đ?‘š. RjeĹĄenje: đ?‘ƒ = 25đ?‘?đ?‘š2

10. Dijagonala jednokrakog trapeza duĹžine 10đ?‘?đ?‘š odreÄ‘uje sa duĹžom osnovicom ugao od 45°. IzraÄ?unati povrĹĄinu trapeza. RjeĹĄenje:

Neka je đ??śđ??¸ âˆĽ đ??ľđ??ˇ. Tada je đ??´đ??¸ = đ?‘Ž + đ?‘?, a Δđ??´đ??¸đ??ś je jednakokraki pravougli trougao. Kako je đ?‘Ž + đ?‘? = 10√2, a visina â„Ž = đ?‘ƒ=

đ?‘Ž+đ?‘? 2

đ?‘Ž+đ?‘? 2

= 5√2 slijedi da je

â‹… â„Ž = 50đ?‘?đ?‘š2 . 1

Trapez i trougao imaju jednake povrĹĄine pa je povrĹĄina trapeza đ?‘ƒ = 2 đ??´đ??ś â‹… đ??śđ??¸ = 50đ?‘?đ?‘š2.

11. Na osnovici jednakokrakog trougla đ??´đ??ľđ??ś odrediti taÄ?ku đ?‘€ tako da razlika njenih udaljenosti od krakova tog trougla bude jednaka polovini duĹžine kraka đ??´đ??ľ. RjeĹĄenje: Neka je đ?›Ľđ??´đ??ľđ??ś jednakokraki trougao sa osnovicom đ??ľđ??ś, a prava đ?‘? je paralelna sa pravom đ??´đ??ś i 1

od nje udaljena 2 đ??´đ??ľ. Prava đ?‘? odsjeca od đ?›Ľđ??´đ??ľđ??ś jednakokraki trougao đ??´1 đ??ľ1 đ??ś1, a podnoĹžje đ?‘€ visina tog trougla iz vrha đ??´1 je traĹžena taÄ?ka.

133

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

12. Ako su đ?‘Ž i đ?‘? katete, a đ?‘? hipotenuza pravouglog trougla onda je polupreÄ?nik kruga upisanog u taj trougao dat sljedećom relacijom đ?‘&#x; =

đ?‘Ž+đ?‘?−đ?‘? 2

. Dokazati

RjeĹĄenje:

Kako je đ?‘? = (đ?‘Ž − đ?‘&#x;) + (đ?‘? − đ?‘&#x;) slijedi đ?‘? = đ?‘Ž + đ?‘? − 2đ?‘&#x; ili 2đ?‘&#x; = đ?‘Ž + đ?‘? − đ?‘? â&#x;š đ?‘&#x; = vaĹži i relacija 2(đ?‘… + đ?‘&#x;) = đ?‘Ž + đ?‘?.

134

đ?‘Ž+đ?‘?−2 2

,a

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

Proporcionalnost 1. Enes i Almir podijelili su 420 đ??žđ?‘€ u omjeru 13: 8. Koliko novca treba Enes dati Almiru da bi se omjer promijenio na 11: 10. RjeĹĄenje: Najprije izraÄ?unati koliko novca ima Enes, a koliko Almir. RjeĹĄavanjem jednaÄ?ine 13đ?‘Ľ + 8đ?‘Ľ = 420 â&#x;š đ?‘Ľ = 20 pa dobijemo da Enes ima 260 đ??žđ?‘€, a Almir 160 đ??žđ?‘€. Da bi se promijenio omjer novca treba da Enes da Almiru đ?‘Ś novca, pa je (260 – đ?‘Ś): (160 + đ?‘Ś) = 11: 10. RjeĹĄavanjem proporcije dobije se đ?‘Ś = 40.

2. Marko i Josip imali su jednak broj klikera. U prvom krugu igre Marko je osvojio 6 2

Josipovih klikera a u drugom krugu Josip je osvojio 3 svih klikera koje je u tom trenutku imao Marko. Nakon drugog kruga Josip je imao taÄ?no 4 puta viĹĄe klikera od Marka. Koliko je klikera imao svaki na poÄ?etku, a koliko na kraju igre? RjeĹĄenje: Na poÄ?etku su imali po 30 klikera, a na kraju igre Marko je imao 12 klikera, a Josip 48. 3

2

11

3. RijeĹĄi jednaÄ?inu: (2 4 − 3 3) : đ?‘Ľ = ( 4 −

11

3

) : 2. 3

RjeĹĄenje: đ?‘Ľ=

3 2

4. Stranice trougla odnose se kao đ?‘Ž âˆś đ?‘? âˆś đ?‘? = 2 âˆś 3 âˆś 4. Kolike su stranice tog trougla ako je obim rjeĹĄenje jednaÄ?ine 2đ?‘Ľ – 6 = 120? RjeĹĄenje:

đ?‘Žâˆś đ?‘?âˆś đ?‘? = 2âˆś 3âˆś 4 2 đ?‘Žâˆś đ?‘? = 2âˆś 3 â&#x;šđ?‘Ž= đ?‘? 3 4 đ?‘?âˆś đ?‘? = 3âˆś 4 â&#x;šđ?‘?= đ?‘? 3 2đ?‘Ľâ€“ 6 = 120 â&#x;š đ?‘Ľ = 63 − obim trokuta iz uvjeta zadatka đ?‘‚ = đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘? 63 = đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘?

135

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

2 4 63 = đ?‘? + đ?‘? + đ?‘? â&#x;š đ?‘? = 21 3 3 2 đ?‘Ž = â‹… 21 = 14 3 4 đ?‘? = â‹… 21 = 28 3 5. Uglovi trougla odnose se kao 2: 3: 7 a duĹžina najveće stranice je 1. Odredi obim trougla pribliĹžno na dvije decimale. RjeĹĄenje: đ?›ź: đ?›˝: đ?›ž = 2: 3: 7 180° : (2 + 3 + 7) = 15° đ?›ź = 2 ∙ 15° = 30° ; đ?›˝ = 3 ∙ 15° = 45° i đ?›ž = 7 ∙ 15° = 105° Spustimo visinu na najveću stranicu đ?‘? = 1. Pravougli trouglovi đ??ľđ??śđ??ˇ i đ??´đ??śđ??ˇ su specijalni.

Iz Δđ??ľđ??śđ??ˇ â&#x;š đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ 2 = đ??ľđ??ś 2 â&#x;š đ??ľđ??ś = đ?‘Ľâˆš2. Iz jednaÄ?ine 1 − đ?‘Ľ = √3đ?‘Ľ ⇒ đ?‘Ľ = đ??ľđ??ś = √2đ?‘Ľ = √2

√3−1 2

=

√6−√2 2

√3−1 2

≈ 0,37

≈ 0,52

đ??´đ??ś = 2đ?‘Ľ = √3 − 1 ≈ 0,73 đ?‘‚ ≈ 2,25

6. Jednakokraki trapez ima krak jednak osnovici i srednju liniju dugu 8đ?‘?đ?‘š. Odredi duĹžinu njihovih stranica tako da obim trapeza bude 26đ?‘?đ?‘š. RjeĹĄenje: đ?‘Ž=đ?‘? đ?‘Ž+đ?‘? = 8 â&#x;š đ?‘Ž + đ?‘? = 16 2 đ?‘‚ = đ?‘Ž + 2đ?‘? + đ?‘? 26 = đ?‘Ž + đ?‘? + 2đ?‘? 26 = 16 + 2đ?‘? 2đ?‘? = 10 đ?‘?=5 đ?‘Ž=đ?‘?=5 } â&#x;š đ?‘? = 11 đ?‘Ž + đ?‘? = 16 136

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

7. OdreÄ‘eni posao 15 radnika moĹže obaviti posao za 6 dana. Nakon 2 dana rada 3 radnika napuste posao. Za koliko će se produĹžiti taj posao? RjeĹĄenje: 15 radnika bi nakon dva dana posao trebali zavrĹĄiti za Ä?etiri dana. 15 radnika 12 radnika

4 dana đ?‘Ľ dana

12 âˆś 15 = 4 âˆś đ?‘Ľ â&#x;š đ?‘Ľ = 5 12 radnika će posao raditi pet dana, dakle jedan dan duĹže. 8. Netko je primio radnika na posao na godinu dana i za to mu unaprijed platio 12 rubalja i kaput. Nakon sedam mjeseci radnik je odluÄ?io otići, ali zadrĹžati kaput. To je i uÄ?inio i otiĹĄao kući s 5 rubalja i kaputom. Kolika je cijena kaputa ? RjeĹĄenje: Budući da je za jednu godinu radnik trebao dobiti 12 rubalja, to je za mjeseci zaradio 7 7

rubalja i 12 ⋅ �, gdje je � cijena kaputa. Budući da je od zarađenih 7 rubalja ostalo 5, to je 5

neisplaćeni dio cijene kaputa 2 rublje. Dakle, 12 ⋅ � = 2, odakle je � =

24 5

odnosno đ?‘Ľ = 4.8

rubalja. Ili rjeĹĄenje jednaÄ?ine:

7

(đ?‘Ľ + 12 ) = đ?‘Ľ + 5 â&#x;š đ?‘Ľ = 12

24 5

= 4.8

9. Udaljenost izmeÄ‘u dva mjesta putnik je planirao prijeći u Ä?etiri dana, tako da se duĹžine dnevno prijeÄ‘nih etapa odnose kao 6 âˆś 4 âˆś 3 âˆś 7. Neposredno prije puta promjenio je plan odluÄ?ivĹĄi posljednju etapu smanjiti za 9.75đ?‘˜đ?‘š. Zbog te se promjene duĹžine etapa odnose kao 6 âˆś 4 âˆś 3 âˆś 2. Koliko je dug put? RjeĹĄenje: OznaÄ?imo sa s duĹžinu puta . Putnik je trebao preći za : 6

6

I dan 20 puta s ( 20 s) II dana III dan IV dana

4

20 3

s s

20 7

s

20

Izmjenom plana: I dan

6 15

II dana III dana IV dana

s 4

15 3

s

15 2 15

s s 137

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

2 7 đ?‘ + 9.75 = đ?‘ 15 20 đ?‘ = 45 đ?‘˜đ?‘š Put je dug 45 km I plan : 13.5 đ?‘˜đ?‘š + 9 đ?‘˜đ?‘š + 6.75 đ?‘˜đ?‘š + 15.75 đ?‘˜đ?‘š II plan : 18 đ?‘˜đ?‘š + 12 đ?‘˜đ?‘š + 9 đ?‘˜đ?‘š + 6 đ?‘˜đ?‘š

10. Jedna brigada traktorista mogla bi zavrĹĄiti oranje za 15 dana, a druga brigada bi to uradila za 10 dana. Za koliko bi dana taj posao uradile obje brigade zajedno? RjeĹĄenje: 1

1

Jedna brigada bi za jedan dan uradila 15 posla a druga za jedan dan 10 posla. Ako rade obje zajedno onda će posao zavrĹĄiti za đ?‘Ľ dana. Imamo đ?‘Ľ đ?‘Ľ + =1 â&#x;šđ?‘Ľ=6 15 10 Obje brigade zajedno bi posao zavrĹĄile za 6 dana.

11. 12 radnika urade neki posao za 8 dana radeći po 10 sati dnevno. Za koliko dana će taj isti posao uraditi 16 radnika radeći dnevno po 6 sati? RjeĹĄenje: Na posao je utroĹĄeno ukupno 12 ∙ 8 ∙ 10 sati rada a to je 960 sati. 16 radnika radeći po 6 sati dnevno odrade 96 radnih sati za jedan dan. Stoga zakljuÄ?ujemo da je timu od 16 radnika uz radno vrijeme od 6 sati potrebno 10 dana za dati posao.

12. 12 radnika treba obaviti neki posao. Oni ga mogu zavrĹĄiti za 42 dana. Nakon tri dana otiĹĄla su 4 radnika. Nakon sljedećih 6 dana doÄ‘e 7 novih radnika. A zatim nakon sljedećih 5 dana doĹĄlo je novih 8 radnika, koji su zajedno s radnicima koje su zatekli zavrĹĄili posao.Za koliko je dana cijeli posao zavrĹĄen? RjeĹĄenje: Broj dnevnica koje se moraju dogoditi je 42 â‹… 12 = 504. Prva tri dana odraÄ‘eno je 3 â‹… 12 = 36 dnevnica pa ih je ostalo joĹĄ da se odradi 504 − 36 = 468. Nakon tri dana radi 8 radnika i u tom sastavu rade 6 dana 8 â‹… 6 = 48. JoĹĄ je preostalo 468 − 48 = 420 dnevnica da se odradi. Sad dolazi 7 radnika pa ih ima 15. Rade 5 dana, 15 â‹… 5 = 75 420 − 75 = 345 Dolazi novih 8 radnika i zavrĹĄavaju posao skupa sa 15 starih radnika. 15 + 8 = 23 a 345: 23 = 15; 15 + 5 + 6 + 3 = 29 â&#x;š Posao je zavrĹĄen za 29 dana. 138

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

13. Odredi nepoznate veliÄ?ine iz uslova: đ?‘Ľ + đ?‘Ś + đ?‘§ + đ?‘Ą = 110 i đ?‘Ľ: đ?‘Ś: đ?‘§: đ?‘Ą = 1: 2: 5: 3 RjeĹĄenje: Iz druge jednaÄ?ine smjenom biće đ?‘Ľ = đ?‘˜ đ?‘Ś = 2đ?‘˜ đ?‘§ = 5đ?‘˜ đ?‘Ą = 3đ?‘˜, to uvrstimo u prvu jednaÄ?inui dobijemo đ?‘˜ = 10, vraćanjem smjene biće đ?‘Ľ = 10, đ?‘Ś = 20, đ?‘§ = 50, đ?‘Ą = 30.

2

1

14. Prodavnica proda 5 komada platna jednom kupcu, a drugom kupcu 3 ostatka. Za prodato platno primi 120đ??žđ?‘€.Koliko bi primila da je predala cijeli komad platna? RjeĹĄenje: 2 5

1

2

2

1

đ?‘Ľ + 3 (đ?‘Ľ − 5 đ?‘Ľ) = 5 đ?‘Ľ + 3 đ?‘Ľ 3 5

đ?‘Ľ

5

5

2

1

= 5đ?‘Ľ + 3â‹…

3đ?‘Ľ 5

2

1

3

= 5đ?‘Ľ + 5đ?‘Ľ = 5đ?‘Ľ

120đ??žđ?‘€

đ?‘Ľ 3

5đ?‘Ľâˆ’2đ?‘Ľ

đ?‘Ž đ?‘Ľ âˆś đ?‘Ľ = 120 âˆś đ?‘Ž â&#x;š đ?‘Ž = 200đ??žđ?‘€

15. DuĹžine kateta pravouglog trougla jesu 5đ?‘?đ?‘š i 12đ?‘?đ?‘š. IzraÄ?unati obim i povrĹĄinu sliÄ?nog trougla ako je koeficjent sliÄ?nosti 15. RjeĹĄenje: đ?‘Žâ‹…đ?‘?

đ?‘Ž = 15đ?‘?đ?‘š

đ?‘‚ =đ?‘Ž+đ?‘?+đ?‘?

đ?‘ƒ=

đ?‘? = 12đ?‘?đ?‘š

đ?‘‚ = 5 + 12 + 13

đ?‘ƒ=

đ?‘? 2 = đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 đ?‘? 2 = 25 + 144 đ?‘? 2 = 169 đ?‘? = 13đ?‘?đ?‘š

đ?‘‚ = 30đ?‘?đ?‘š

đ?‘ƒ = 30đ?‘?đ?‘š2

đ?‘Ž1

= 1.5

đ?‘?1 = 1.5 â‹… đ?‘?

đ?‘?1 = 1.5 â‹… đ?‘?

đ?‘Ž1 = 1.5 â‹… đ?‘Ž đ?‘Ž1 = 7.5đ?‘?đ?‘š

đ?‘?1 = 12 â‹… 1.5 đ?‘?1 = 18đ?‘?đ?‘š

đ?‘?1 = 1.5 â‹… 13 đ?‘?1 = 19.5đ?‘?đ?‘š

đ?‘Ž

đ?‘Ž1 â‹…đ?‘?1

đ?‘‚1 = đ?‘Ž1 + đ?‘?1 + đ?‘?1

đ?‘ƒ1 =

đ?‘‚1 = 7.5 + 18 + 19.5

đ?‘ƒ1 =

đ?‘‚1 = 45đ?‘?đ?‘š

đ?‘ƒ1 = 67.15đ?‘?đ?‘š2

đ?‘ƒ1 + 2đ?‘ƒ2 = 80 4 â‹… 4 + 2(4 â‹… (đ?‘Ž − 4)) = 80 â&#x;š đ?‘Ž = 12đ?‘?đ?‘š

139

2 7.5â‹…18 2

2 5â‹…12 2

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

16. ÄŒetiri dana, Ä?etiri maÄ?ke ulove Ä?etiri miĹĄa. Za koliko će dana 50 maÄ?aka uloviti 100 miĹĄeva? RjeĹĄenje: 4đ?‘š 150đ?‘š

4đ?‘‘ đ?‘Ľ

100đ?‘š 100đ?‘š

4: 50 = đ?‘Ľ: 100 â&#x;š đ?‘Ľ = 8

17. Broj 182 razdijeli na dva dijela koji se odnose 2: 5. Koji su to brojevi i za koliko je jedan veći od drugog? RjeĹĄenje: đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 182 â&#x;š 2đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś = 364 đ?‘Ľ: đ?‘Ś = 2: 5 5đ?‘Ľ = 2đ?‘Ś 2đ?‘Ľ + 5đ?‘Ľ = 364 } â&#x;š 2đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś = 364 đ?‘Ľ = 52 5 â‹… 52 = 2đ?‘Ś â&#x;š đ?‘Ś = 130 đ?‘Ś − đ?‘Ľ = 130 − 52 = 78

18. Drugovi Samir, Jamin i Zlatan igrali su sportsku prognozu i upatili su; Samir 60, Jasmin 80 i Zlatan 120đ??žđ?‘€. Kako će podijeliti zajedniÄ?ki dobitak od 13065đ??žđ?‘€? RjeĹĄenje: đ?‘† – 60 đ??žđ?‘€ 80 4 â‹…đ?‘†= đ?‘† 60 3 đ?‘? – 120 đ??žđ?‘€ = 2đ?‘† đ??˝ – 80 đ??žđ?‘€ =

đ?‘† + đ??˝ + đ?‘? = 13065 đ?‘† + 3 đ?‘† + 2đ?‘† = 13065

4

đ??˝ =3â‹…đ?‘†

4

đ?‘? = 2â‹…đ?‘†

3� + 4� + 6� = 39195

đ??˝ = 3 â‹… 3015

4

đ?‘? = 2 â‹… 3015

13� = 39195 � = 3015

đ??˝ = 4020

đ?‘? = 6030

140

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

19. Dvanaest hljebova podijeljeno je na 12 osoba. Svaki muĹĄkarac dobio je po 2 hljeba, Ĺžena 1

1

po 2 hljeba, a dijete po 4 hljeba. Koliko je bilo muĹĄkaraca, koliko Ĺžena, a koliko djece? RjeĹĄenje: MuĹĄkaraca ima 5, 6 djece i 1 Ĺžena. 20. Ako za brojeve đ?‘Ž, đ?‘? i đ?‘? vrijedi đ?‘Ž: đ?‘? = 4: 3, đ?‘?: đ?‘? = 2: 5 odrediti vrijednost izraza (3đ?‘Ž − 2đ?‘?): (đ?‘? + 2đ?‘?). RjeĹĄenje: (3đ?‘Ž − 2đ?‘?): (đ?‘? + 2đ?‘?) = 1: 3

21. Razlika, zbir i proizvod dva broja odnose se kao 1: 4: 15. Koji su to brojevi ? RjeĹĄenje: Ti brojevi su 10 i 6.

22. Svaki od ťest kamiona jedne građevinske kompanije je vozio 8 sati i svi zajedno su za to vrijeme potroťili 720 litara nafte. Koliko će nafte potroťiti devet kamionate kompanije ako svaki od njih vozi po 6 sati? (Podrazumijeva se da je potroťnja goriva ravnomjerna po kamionima i po satima voŞnje.) Rjeťenje: Devet kamiona, vozeći po ťest sati, ukupno će potroťiti 810� nafte.

23. Petorica radnika obavili su neki posao i ukupno zaradili 2100đ??žđ?‘€. Novac su podijelili 2

tako da su prva dvojica dobili 5 dijela ostale trojice. Prvi i drugi radnik su svoj dio podijelili u omjeru 3: 2, a treći, Ä?etvrti i peti radnik svoj dio u omjeru 3: 5: 4. Koliko je dobio svaki radnik? RjeĹĄenje: Radnici su redom dobili 3600đ??žđ?‘€, 2400đ??žđ?‘€, 3750đ??žđ?‘€, 6250đ??žđ?‘€ i 5000đ??žđ?‘€.

24. Alma, Buco i Ceca treba da podijele 2000đ??žđ?‘€ tako da se dijelovi koje dobiju Alma i Buco odnose kao 2: 3, a dijelovi koje dobiju Buco i Ceca kao 9: 5. Odredi koliko će svako od njih dobiti. RjeĹĄenje: đ??´ = 400đ??žđ?‘€, đ??ľ = 600đ??žđ?‘€, đ??ś = 1000đ??žđ?‘€ 141

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

25. Putnici đ??´ i đ??ľ poÄ‘u jedan drugom u susret i sretnu se posle 4 sata. Da su obojica prelazili 3

na sat po pola kilometra viĹĄe sreli bi se poslije 3 5 Ä?asova. A ako bi jednovremeno krenuli 1

istim pravcen, đ??´ iza đ??ľ, tek poslije 6 Ä?asova bi se odstojanje izmeÄ‘u njih smanjilo za 6. a) Kolika je brzina svakog putnika? b) Kolika je bila razdaljina izmeÄ‘u njih u poÄ?etku ? RjeĹĄenje: PjeĹĄak đ??´ prelazio je 5

đ?‘˜đ?‘š â„Ž

, a pjeĹĄak đ??ľ je prelazio 4

đ?‘˜đ?‘š â„Ž

.

Rastojanje u poÄ?etku izmeÄ‘u njih bilo je 36đ?‘˜đ?‘š.

26. Na pijaci jedan prodavac ima lubenice, dinje i klipove mladog kukuruza i prodaje ih na komad. Ukupan broj lubenica, dinja i klipova mladog kukuruza je 239. Jedan je kupac kupio 2 3

3

5

1

svih lubenica, 5 svih dinja i 7 svih klipova mladog kukuruza. Drugi kupac je kupio 13 svih 1

1

lubenica, 4 svih dinja i 5 svih klipova mladog kukuruza. Koliko je ukupno komada svega kupio drugi kupac i koliko je prodavac imao na poÄ?etku lubenica, dinja i klipova mladog kukuruza? RjeĹĄenje: ProdavaÄ? je na poÄ?etku imao 39 lubenica, 60 dinja i 140 klipova mladog kukuruza. Drugi kupac je kupio ukupno 46 komada i to 3 lubenice, 15 dinja i 28 klipova mladog kukuruza.

27. Dva radnika mogu da zavrĹĄe posao za 24 dana. Poslije zajedniÄ?kog rada od 10 dana jedan radnik napuĹĄta posao, pa drugi radnik radi sam i zavrĹĄi taj posao za 25 dana. Za koliko bi dana taj posao zavrĹĄio svako od njih ako bi radio sam? RjeĹĄenje: 10

5

7

Poslije 10 dana radnici su uradili 24 = 12 posla. 12 ostatka posla drugi radnik je zavrĹĄio za 35 7

1

dana tj. svakog dana je zavrĹĄavao 12 : 35 = 60 posla. Drugi radnik bi cio posao zavrĹĄio za 60 dana. Za 24 dana drugi radnik uradi 3 5

1

24 60

2

3

5

5

= posla, a prvi posla. Prvi radnik za 1 dan uradi

: 24 = 40 odnosno cio posao bi uradio za 40 dana.

142

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

28. Zlatar ima dvije razliÄ?ite legure zlata i srebra. U jednoj su srebro i zlato u razmjeri 2: 3, a u

drugoj su u razmjeri 5: 3. Koliko kg svake legure treba uzeti da bismo dobili 9đ?‘˜đ?‘” nove legure u kojoj ima jednako zlata i srebra. RjeĹĄenje: masa prve legure đ?‘Ľ masa druge legure 9 − đ?‘Ľ 2

srebra u prvoj leguri ima 5 đ?‘Ľ srebra u drugoj leguri 2đ?‘Ľ 5

+

5(9−đ?‘Ľ) 8

=

9 2

5(9−đ?‘Ľ) 8

â&#x;ş đ?‘Ľ = 5 â&#x;š prva legura= 5đ?‘˜đ?‘”; druga legura= 4đ?‘˜đ?‘”

143

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

Koordinatni sistem 1. Zadat je trougao Δđ??´đ??ľđ??ś taÄ?kama đ??´(0, 0), đ??ľ(−3, 4), đ??ś(1, 7). Dokazati da je trougao pravougli. IzraÄ?unati obim i povrĹĄinu tog trougla na jednu decimalu. RjeĹĄenje: đ??´đ??ś = √(đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ1 )2 + (đ?‘Ś2 − đ?‘Ś1 )2 =

đ??´đ??ľ = √(đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ1 )2 + (đ?‘Ś2 − đ?‘Ś1 )2 =

= √(1 − 0)2 + (7 − 0)2 =

= √(−3 − 0)2 + (4 − 0)2 = √9 + 16 = √25 = 5 đ??ľđ??ś = √(đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ1 )2 + (đ?‘Ś2 − đ?‘Ś1 )2 =

= √1 + 49 = √50 =

= √(1 + 3)2 + (7 − 4)2 = √16 + 9 = √25 = 5

= √25 â‹… 2 = 5√2 đ??´đ??ś 2 = đ??´đ??ľ 2 + đ??ľđ??ś 2 2

(5√2) = 52 + 52 50 = 25 + 25 50 = 50 â&#x;š trougao je pravougli

đ?‘‚ = đ??´đ??ľ + đ??ľđ??ś + đ??´đ??ś â&#x;š đ?‘‚ = 21

đ?‘ƒ=

144

đ??´đ??ľâ‹…đ??ľđ??ś đ?&#x;?

â&#x;šđ?‘ƒ=

25 2

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu učenika osnovnih škola za takmičenje

Zadaci za deveti razred

Algebarski izrazi Linearna funkcija Jednadžbe Sistem linearnih jednadžbi Nejednakosti i nejednadžbe Prosti i složeni brojevi. Djeljivost Trougao i četverougao. Mnogougao Racionalni izrazi Analitička geometrija

U rukopisima Egipćana i Vavilonaca nalazimo primjere rješavanja jednadžbi. Egipćani su imali poseban znak (hijeroglif) i ime za nepoznatu veličinu i zvali su je hau, što znači hrpa, gomila. Kod indijaca nepoznata se nazivala ša što znači stvar. U nekim rukopisima nepoznate veličine su označavane pomoću boja. U Rajndovom9papirusu se nalazi zadatak koji je iskazan riječima te se tako i rješava: Gomila, računata dva puta zajedno, sa još jednom gomilom, dostiže devet. Koje je ime te gomile?(2x+x=9) Zadaci na Rajndovom papirusu se odnose na praktične probleme iz oblasti građevinarstva, ekonomije i slično. Neki radnik mora za transport hljeba iz pekare koristiti korpe, veće u koje može stati pet hljebova i manje sa četiri hljeba. Koliki će se rad izvršiti u oba slučaja? Nije jasno kako su Egipćani i Vavilonci došli do rješenja navedenih i sličnih problema. Najvjeroatnije da se zadatak, koji je bio iz svakodnevnog života, rješavao mnogo puta sve dok se ne bi dobilo rješenje koje je odgovaralo realnosti. Redoslijed računskih operacija koji dovodi do tačnog rezultata postaje radno pravilo. Ovi postupci niu bili racionalni, ali u ono vrijeme su bili jedini način da se dođe do potrebnog rješenja. Iako rješaanje jednadžbi nije bilo racionalno, saznanja Egipćana o jednadžbama predstavljaju osnovu za dalju izgradnju algebarske metode rješavanja jednadžbi. Ahmesov papirus je staroegipatski papirus koga je 1858. Godine u oblasti Tebe pronašao Aleksandar Henri Rajnd, škotski krijumčar egipatskih relikvija, zbog čega se često spominje kao Rajndov papirus. Papirus je pisan oko 1650 g. p. n. e., ali je u uvodu papirusa Ahmes zapisao da prepisuje sa jednog još starijeg papirusa koji datira oko 1850 g. p. n. e. ne spominjujući ime prethodnog autora. Sa jedne strane papirusa opisano je dijeljenje broja 2 sa neparnim brojevima od 3 do 101, tj. prikazano je kako se razlomci sa brojem 2 mogu razložiti na jedinične razlomke. Sa druge strane papirusa je prikazano 87 problema i zadataka. Ovaj papirus se smatran najznačajnijim i najvrijednijim matematičkim dokumentom Egipatske civilizacije. 9

145

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu učenika osnovnih škola za takmičenje

Algebarski izrazi 1. Izračunati vrijednost algebarskog izraza [

(𝑎+𝑏)3 3𝑎𝑏

− (𝑎 + 𝑏)] : [1 +

(𝑎−𝑏)2 𝑎𝑏

] =.

Rješenje: (𝑎 + 𝑏)3 (𝑎 − 𝑏)2 [ − (𝑎 + 𝑏)] : [1 + ]= 3𝑎𝑏 𝑎𝑏 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3 − 3𝑎2 𝑏 − 3𝑎𝑏 2 𝑎𝑏 + 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 =[ ]:[ ]= 3𝑎𝑏 𝑎𝑏 𝑎3 + 𝑏 3 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 𝑎 + 𝑏 = : = : = 3𝑎𝑏 𝑎𝑏 3𝑎𝑏 𝑎𝑏 3

𝑥−2𝑦

𝑥+3𝑦

2. Ako je 2𝑥+𝑦 = 3, koliko je 3𝑥−𝑦? Rješenje: 𝑥 − 2𝑦 = 3(2𝑥 + 𝑦) ⇒ 𝑥 − 2𝑦 = 6𝑥 + 3𝑦 ⇒ −5𝑥 = 5𝑦 ⇒ 𝑥 = −𝑦 𝑥 + 3𝑦 −𝑦 + 3𝑦 2𝑦 1 = = =− 3𝑥 − 𝑦 −3𝑦 − 𝑦 −4𝑦 2

3. Ako je

𝑏 𝑎

2 𝑐

3

𝑎+𝑏+𝑐

3 𝑏

4

𝑎−𝑏−𝑐

= , = , koliko je

?

Rješenje: Iz 𝑎: 𝑏 ∶ 𝑐 = 6 ∶ 4 ∶ 3, slijedi 𝑎 = 6𝑘, 𝑏 = 4𝑘 i 𝑐 = 3𝑘 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 6𝑘 + 4𝑘 + 3𝑘 13 = = = −13 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 6𝑘 − 4𝑘 − 3𝑘 −1

4. Ako je

𝑥 𝑦

𝑦

1

1

𝑥

𝑥

𝑦

+ 𝑥 = + 𝑦, 𝑥 ≠ 𝑦, koliko je + ?

Rješenje: Zadanu jednakost pišemo u obliku (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) 𝑥 𝑦 𝑥2 − 𝑦2 𝑥+𝑦 1 1 − = 𝑦−𝑥 ⇒ =𝑦−𝑥 ⇒ =𝑦−𝑥 ⇒ = −1 ⇒ + = −1 𝑦 𝑥 𝑥𝑦 𝑥𝑦 𝑥𝑦 𝑥 𝑦

146

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

5. Za koje vrijednosti promjenljivih đ?‘Ľ i đ?‘Ś razlomak đ?‘… =

3đ?‘Ľ 2 +3đ?‘Ś 2 −12đ?‘Ľ+17 đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś 2 −4đ?‘Ľ+5

ima najveću

vrijednost i koliko ona iznosi? RjeĹĄenje: 3đ?‘Ľ 2 + 3đ?‘Ś 2 − 12đ?‘Ľ + 17 3đ?‘Ľ 2 − 12đ?‘Ľ + 12 + 3đ?‘Ś 2 + 3 + 2 đ?‘…= = = đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 − 4đ?‘Ľ + 5 đ?‘Ľ 2 − 4đ?‘Ľ + 4 + đ?‘Ś 2 + 1 3[(đ?‘Ľ − 2)2 + đ?‘Ś 2 + 1] 2 = + = 2 2 2 (đ?‘Ľ − 2) + đ?‘Ś + 1 (đ?‘Ľ − 2) + đ?‘Ś 2 + 1 2 =3+ 2 (đ?‘Ľ − 2) + đ?‘Ś 2 + 1 Vrijednost razlomka je tim veća ako je nazivnik ĹĄto manji, pa đ?‘Ľ − 2 = 0 â&#x;š đ?‘Ľ = 2 i đ?‘Ś = 0. 2

Najveća vrijednost razlomka iznosi đ?‘… = 3 + 0+0+1 â&#x;š đ?‘… = 5

147

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

Linearna funkcija 1. Data je funkcija đ?‘Ś = (2đ?‘š + 1)đ?‘Ľ + 6. Odrediti vrijednost parametra đ?‘š tako da njen grafik sadrĹži taÄ?ku đ??´(4, 3). Za takvu vrijednost parametra đ?‘š izraÄ?unati udaljenost koordinatnog poÄ?etka od grafika funkcije. RjeĹĄenje: 7

Kako grafik prolazi taÄ?kom đ??´ imamo 3 = (2đ?‘š + 1) â‹… 4 + 6 â&#x;š đ?‘š = − 8. Za takvu vrijednost 3

parametra đ?‘š, funkcija ima oblik đ?‘Ś = − 4 đ?‘Ľ + 6. Nula funkcije je đ?‘Ľ = 8, pa grafik sijeÄ?e đ?‘Ľ − osu i đ?‘Ś − osu redom u taÄ?kama đ??ľ(8, 0) i đ??ś(0, 6). OdsjeÄ?ci na đ?‘Ľ i đ?‘Ś osi su đ?‘Ž = 6 i đ?‘? = 8. PovrĹĄina trougla kojeg grafik gradi sa koordinatnim osama iznosi đ?‘ƒ =

đ?‘Žđ?‘? 2

â&#x;š đ?‘ƒ = 24. DuĹžina

hipotenuze đ?‘? (duĹži đ??ľđ??ś) iznosi đ?‘? = 10. Ako najkraće rastojanje grafika funkcije od đ?‘?đ?‘Ľ koordinatnog poÄ?etka oznaÄ?imo sa đ?‘Ľ, imamo đ?‘ƒ = 2 â&#x;š đ?‘Ľ = 4.8.

2. U linearnoj funkciji đ?‘Ś = (3đ?‘š + 2)đ?‘Ľ + 2đ?‘˜ – đ?‘š naÄ‘i đ?‘š i đ?‘˜ tako da grafik bude paralelan sa pravom 2đ?‘Ľ – đ?‘Ś – 8 = 0 i da povrĹĄina trougla, koji grafik gradi sa koordinatnim osama, bude Ä?etiri puta manji od povrĹĄine trougla kojeg gradi prava 2đ?‘Ľ – đ?‘Ś – 8 = 0 sa koordinatnim osama. RjeĹĄenje:

Iz paralelnosti slijedi 3đ?‘š + 2 = 2 â&#x;š đ?‘š = 0, a funkcija dobija oblik đ?‘Ś = 2đ?‘Ľ + 2đ?‘˜. Prava 2đ?‘Ľâ€“ đ?‘Śâ€“ 8 = 0 presjeca koordinatne ose u taÄ?kama −4 i 8 i povrĹĄina trougla kojeg ona gradi je 16. Slijedi da naĹĄa prava gradi na osi đ?‘‚đ?‘Ľ odsjeÄ?ak duĹžine 2,a na osi đ?‘‚đ?‘Ś odsjeÄ?ak duĹžine 4. Postoje dva rjrĹĄenja đ?‘Ś = 2đ?‘Ľ + 4 i đ?‘Ś = 2đ?‘Ľ – 4. PovrĹĄina trougla je 4.

148

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

3. Date su linearne funkcije đ?‘“(đ?‘Ľ) = (2đ?‘š − 0.5)đ?‘Ľ − 3 i đ?‘”(đ?‘Ľ) = (7đ?‘š + 2)đ?‘Ľ − 4. Odrediti vrijednost realnog broja đ?‘š tako da: a) grafici funkcija budu paralelni b) đ?‘“(đ?‘Ľ) bude opadajuća, a đ?‘”(đ?‘Ľ) rastuća funkcija. RjeĹĄenje: a) Da bi prave bile paralelne mora biti 2đ?‘š − 0.5 = 7đ?‘š + 2 â&#x;š đ?‘š = −0.5 2

1

b) Iz uslova 2đ?‘š − 0.5 < 0 i 7đ?‘š + 2 > 0 dobija se da je − 7 < đ?‘š < 4. 4. Odrediti vrijednost funkcije đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘Ľ 2016 + 2016đ?‘Ś ako vrijedi đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 + 2đ?‘Ľ − 6đ?‘Ś + 10 = 0. RjeĹĄenje: Iz đ?‘Ľ2 + đ?‘Ś2 + 2đ?‘Ľ − 6đ?‘Ś + 10 = 0 â&#x;š (đ?‘Ľ2 + 2đ?‘Ľ + 1) + (đ?‘Ś2 − 6đ?‘Ś + 9) = 0 â&#x;š â&#x;š (đ?‘Ľ + 1)2 + (đ?‘Ś − 3)2 = 0 â&#x;š đ?‘Ľ = 1 ∧ đ?‘Ś = 3 Sada imamo da je đ?‘“(−1, 3) = (−1)2016 + 2016 â‹… 3 = 6049.

1

5. Data je funkcija đ?‘Ś = (đ?‘š + 4) đ?‘Ľ + (1 − 2đ?‘š). Odrediti vrijednost parametra đ?‘š tako da grafik funkcije prolazi taÄ?kom đ??´(−4, 6), a zatim izraÄ?unati povrĹĄinu trougla koju grafik funkcije gradi sa koordinatnim osama. RjeĹĄenje: Ako taÄ?ka đ??´ pripada grafiku funkcije onda koordinate imaju vrijednost đ?‘Ľ = −4 i đ?‘Ś = 6. UvrĹĄtavanjem koordinata u funkciju dobijamo vrijednost parametra đ?‘š, tj. 1 6 = (đ?‘š + ) â‹… (−4) + (1 − 2đ?‘š) â&#x;š đ?‘š = −1 4 3 Sada naĹĄa funkcija ima oblik đ?‘Ś = − 4 đ?‘Ľ + 3.

Funkcija sijeÄ?e đ?‘Ľ − osu u apscisi đ?‘Ľ = 4, a đ?‘Ś − osu u ordinati đ?‘Ś = 3, pa je trougao koji grafik gradi sa koordinatnim osama pravougli sa duĹžinama kateta 3 i 4 i povrĹĄina je đ?‘ƒ =

149

3â‹…4 2

â&#x;šđ?‘ƒ=6

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

6. Za koju vrijednost parametra đ?‘š se pravci 2đ?‘Ľâ€“ đ?‘Ś + 3 = 0, đ?‘Ľ + đ?‘Ś + 3 = 0 i đ?‘šđ?‘Ľ + đ?‘Śâ€“ 13 = 0 sijeku u jednoj taÄ?ki? RjeĹĄenje: Trebamo odrediti presjek đ?‘† prvia dva pravca, to je đ?‘†(−2, 1). Ta taÄ?ka mora pripadati i trećem pravcu, pa dobivamo đ?‘š = −7. 7. Odrediti povrĹĄinu lika omeÄ‘enog pravama 4đ?‘Ľ − 3đ?‘Ś − 8 = 0 i đ?‘Ś = 4 te pozitivnim dijelom koordinatnog sistema. RjeĹĄenje:

đ?‘ƒđ?‘‚đ??´đ??ľđ??ś =

đ?‘‚đ??´ + đ??ľđ??ś 2+5 ∙ đ?‘‚đ??ś = ∙ 4 = 14 2 2

8. Zadana je prava jednaÄ?inom 4đ?‘Ľ + 3đ?‘Ś − 6 = 0. Kolika je udaljenost koordinatnog poÄ?etka od prave? RjeĹĄenje: 4

NapiĹĄemo jednaÄ?inu prave u eksplicitnom obliku đ?‘Ś = − 3 đ?‘Ľ + 2 i nacrtamo grafik odgovarajuće linearne funkcije

150

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

3

Nula ove funkcije je đ?‘Ľ0 = 2. Duzine stranica pravouglog trougla kojeg grafik ove funkcije 3

5

gradi sa koordinatnim osama su: đ?‘Ž = 2 , đ?‘? = 2 i đ?‘? = 2. PovrĹĄina pravouglog trougla je

3 đ?‘Žâ‹…đ?‘? 2â‹…2 3 đ?‘ƒ= = = 2 2 2 Ako sa đ?‘Ľ oznaÄ?imo rastojanje koordinatnog poÄ?etka od date prave, imamo da povrĹĄinu trougla moĹžemo izraÄ?unati i kao đ?‘?â‹…đ?‘Ľ đ?‘ƒ= ⇒ đ?‘?â‹…đ?‘Ľ =2â‹…đ?‘ƒ 2 3 2â‹…đ?‘ƒ 2â‹…2 6 đ?‘Ľ= = = 5 đ?‘? 5 2

9. Data je funkcija đ?‘Ś = (2đ?‘š + 1)đ?‘Ľ + 6. a) Odrediti vrijednost broja đ?‘š tako da njen grafik sadrĹži taÄ?ku đ?‘€(4, 3). b) Za tu vrijednost broja đ?‘š odrediti udaljenost koordinatnog poÄ?etka od tog grafika RjeĹĄenje: 7

a) đ?‘Ś = (2đ?‘š + 1)đ?‘Ľ + 6 â&#x;š 3 = (2đ?‘š + 1) â‹… 4 + 6 â&#x;š đ?‘š = − 8 3

b) JednaÄ?ina prave je đ?‘Ś = − 4 đ?‘Ľ + 6.

151

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

DuĹžine stranica pravouglog trougla kojeg grafik ove funkcije gradi sa koordinatnim osama su: đ?‘Ž = 8, đ?‘? = 6 i đ?‘? = 10. PovrĹĄina pravouglog trougla je đ?‘Žâ‹…đ?‘? 8â‹…6 đ?‘ƒ= = = 24 2 2 Ako sa đ?‘Ľ oznaÄ?imo rastojanje koordinatnog poÄ?etka od date prave, imamo da povrĹĄinu trougla moĹžemo izraÄ?unati i kao đ?‘?â‹…đ?‘Ľ đ?‘ƒ= ⇒ đ?‘?â‹…đ?‘Ľ =2â‹…đ?‘ƒ 2 2 â‹… đ?‘ƒ 2 â‹… 24 24 đ?‘Ľ= = = đ?‘? 10 5

10. Odredi sve parove realnih brojeva đ?‘˜ i đ?‘›, takve da grafik funkcije đ?‘Ś = đ?‘˜đ?‘Ľ + đ?‘› sadrĹži taÄ?ku đ?‘€(4, 6) i sa grafikom funkcije đ?‘Ś = đ?‘Ľ + 2 i đ?‘Ľ osom gradi trougao povrĹĄine 36. RjeĹĄenje:

TaÄ?ka đ?‘€(4, 6) pripada i grafiku funkcije đ?‘Ś = đ?‘Ľ + 2 i grafiku funkcije đ?‘Ś = đ?‘˜đ?‘Ľ + đ?‘›, pa je ona tjeme trougla koji grade ti grafici i đ?‘Ľ osa. Onda je duĹžina visine trougla iz tjemena đ?‘€ jednaka 6. Kako je povrĹĄina trougla jednaka 36, slijedi da je duĹžina odgovarajuće stranice 12. Jedan kraj te stranice je u taÄ?ki (−2, 0), pa će drugi biti ili u đ??´(10, 0) ili đ??ľ(−14, 0). Grafik funkcije đ?‘Ś = đ?‘˜đ?‘Ľ + đ?‘› sadrĹži ili taÄ?ke đ?‘€ i đ??´ ili đ?‘€ i đ??ľ. U prvom sluÄ?aju iz sistema 6 =4đ?‘˜ + đ?‘› } 0 = 10đ?‘˜ + đ?‘› dobijamo đ?‘˜ = −1 i đ?‘› = 10. U drugom sluÄ?aju iz sistema 6 = 4đ?‘˜ + đ?‘› } 0 = −14đ?‘˜ + đ?‘› 1 14 dobijamo đ?‘˜ = 3 i đ?‘› = 3 .

152

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje đ?‘Ľ

1

đ?‘Ľ+1

2

2

4

11. Date su funkcije đ?‘“(đ?‘Ľ) = − i đ?‘”(đ?‘Ľ) =

. Za koju vrijednost promjenljive đ?‘Ľ je

đ?‘“(đ?‘”(đ?‘Ľ)) + 2đ?‘”(đ?‘“(đ?‘Ľ)) = 0 RjeĹĄenje: đ?‘Ľ+1 1 đ?‘Ľ+1 1 đ?‘Ľâˆ’3 đ?‘“(đ?‘”(đ?‘Ľ)) = 4 − = − = đ?‘Ľâˆ’3 đ?‘Ľ+1 1 2 2 8 2 8 â&#x;š +2â‹… =0 â&#x;šđ?‘Ľ= đ?‘Ľ 1 đ?‘Ľ+1 8 8 3 − + 1 đ?‘Ľ+1 2 2 2 đ?‘”(đ?‘“(đ?‘Ľ)) = = = } 4 4 8

12. U funkciji đ?‘“(đ?‘Ľ) = (đ?‘Ž − 2)đ?‘Ľ − đ?‘Ž + 5 odrediti: a) parametar đ?‘Ž tako da grafik funkcije odsjeca na pozitivnom smjeru đ?‘Ś −ose duĹžinu od 4đ?‘?đ?‘š; b) duĹžinu odsjeÄ?ka na đ?‘Ľ −osi; c) povrĹĄinu odsjeÄ?ka dobijene prave i osa koordinatnog sistema. RjeĹĄenje: a)

đ?‘›=4 } â&#x;š −đ?‘Ž + 5 = 4 â&#x;š đ?‘Ž = 5 − 4 â&#x;š đ?‘Ž = 1 đ?‘› = −đ?‘Ž + 5 đ?‘›

b) − đ?‘˜ = −

−đ?‘Ž+5 đ?‘Žâˆ’2

đ?‘Ž=1

= � −

−1+5 1−2

4

= − −1 = 4

c) đ?‘“(đ?‘Ľ) = −đ?‘Ľ + 4 − odsjeÄ?ak koji prava gradi sa koordinatnim osama je jednakokraki - pravougli trougao sa duĹžinom katete 4, pa je njegova povrĹĄina đ?‘ƒ=

153

4â‹…4 â&#x;šđ?‘ƒ=8 2

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje 4

1

3

3

13. Date su funkcije đ?‘“(đ?‘Ľ) = −3đ?‘Ľ + 1; đ?‘”(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ + 2 i â„Ž(đ?‘Ľ) = −2đ?‘Ľ + 7. RijeĹĄiti jednaÄ?inu đ?‘” (â„Ž(đ?‘“(đ?‘Ľ))) = −ℎ(đ?‘”(đ?‘Ľ)). RjeĹĄenje: 4 1 â‹… (6đ?‘Ľ + 5) + 2 = 8đ?‘Ľ + 9 3 3 4 1 8 14 8 7 −ℎ(đ?‘”(đ?‘Ľ)) = − [−2 ( đ?‘Ľ + 2 ) + 7] = − (− đ?‘Ľ − + 7) = đ?‘Ľ − 3 3 3 3 3 3 8 7 1 đ?‘” (â„Ž(đ?‘“(đ?‘Ľ))) = −ℎ(đ?‘”(đ?‘Ľ)) ⇔ 8đ?‘Ľ + 9 = đ?‘Ľ − ⇔ đ?‘Ľ = −2 3 3 8 đ?‘” (â„Ž(đ?‘“(đ?‘Ľ))) = đ?‘”[−2 â‹… (−3đ?‘Ľ + 1) + 7] = đ?‘”(6đ?‘Ľ + 5) =

14. Odrediti parametar đ?‘š funkcije đ?‘Ś =

4đ?‘š+3 7

đ?‘Ľ + 2, tako da grafik ove funkcije bude paralelan 2

6

1

sa grafikom funkcije đ?‘™ = đ?‘”(đ?‘“(đ?‘Ľ)), ako je đ?‘“ (5 đ?‘Ľ + 3) = 10 đ?‘Ľ + 3 2 i đ?‘”(2đ?‘Ľ − 1) = −4đ?‘Ľ + 1. RjeĹĄenje: Odredimo prvo oblik funkcije đ?‘™ = đ?‘”(đ?‘“(đ?‘Ľ)). Da bi smo odredili oblik funkcije đ?‘™ treba da odredimo oblik funkcija đ?‘“(đ?‘Ľ) i đ?‘”(đ?‘Ľ). 2 6 1 2 5 6 6 5 6 7 đ?‘“ ( đ?‘Ľ + 3) = đ?‘Ľ + 3 ⇔ đ?‘“ ( â‹… ( đ?‘Ľ − ) + 3) = â‹…( đ?‘Ľâˆ’ )+ ⇔ 5 10 2 5 2 5 10 2 5 2 3 18 7 3 139 ⇔ đ?‘“(đ?‘Ľ − 3 + 3) = đ?‘Ľ − + ⇔ đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ + 2 25 2 2 50 1 1 1 1 đ?‘”(2đ?‘Ľ − 1) = −4đ?‘Ľ + 1 ⇔ đ?‘” (2 â‹… ( đ?‘Ľ + ) − 1) = −4 â‹… ( đ?‘Ľ − ) + 1 ⇔ 2 2 2 2 ⇔ đ?‘”(đ?‘Ľ + 1 − 1) = −2đ?‘Ľ + 2 + 1 ⇔ đ?‘”(đ?‘Ľ) = −2đ?‘Ľ + 3 3 139 139 11 đ?‘™ = −2 â‹… ( đ?‘Ľ + ) + 3 â&#x;š đ?‘™ = −3đ?‘Ľ − + 3 â&#x;š đ?‘™ = −3đ?‘Ľ + 2 50 50 50 Da bi grafici funkcija bili paralelni mora vrijediti đ?‘˜1 = đ?‘˜2 pa ćemo imati: 4đ?‘š + 3 4đ?‘š + 3 đ?‘˜1 = = −3 ⇔ đ?‘š = −6 7 } â&#x;š 7 đ?‘˜2 = −3

154

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

15. Za koje se vrijednosti parametra đ?‘š prave đ?‘Ľ + (4đ?‘š − 1)đ?‘Ś + 2đ?‘š + 2 = 0 i (2đ?‘š − 1)đ?‘Ľ + (2đ?‘š + 1)đ?‘Ś + đ?‘š − 3 = 0 sijeku na đ?‘‚đ?‘Ś osi? RjeĹĄenje: Iz obje jednaÄ?ine izrazimo đ?‘Ś za đ?‘Ľ = 0 2đ?‘š + 2 đ?‘Ś=− 4đ?‘š − 1} â&#x;š − 2đ?‘š + 2 = − đ?‘š − 3 â&#x;š đ?‘š = 1 đ?‘šâˆ’3 4đ?‘š − 1 2đ?‘š + 1 19 đ?‘Ś=− 2đ?‘š + 1

16. Zadana je prava jednaÄ?inom 4đ?‘Ľ + 3đ?‘Ś − 6 = 0. Kolika je udaljenost koordinantnog poÄ?etka od te prave? RjeĹĄenje: 3

Prava sijeÄ?e koordinantne ose u taÄ?kama đ??´(0, 2) i đ??ľ (2 , 0). TraĹžena udaljenost đ?‘Ľ je visina iz vrha đ?‘‚ pravouglog trougla đ??´đ??ľđ?‘‚.

3 2

Primjenom Pitagorine teoreme je đ??´đ??ľÂ˛ = đ?‘‚đ??´2 + đ?‘‚đ??ľ 2 â&#x;š đ??´đ??ľÂ˛ = 22 + (2) â&#x;š đ??´đ??ľ = 2.5 IzjednaÄ?avanjem povrĹĄina dobijamo 1 1 1 3 1 6 â‹… OA â‹… OB = đ??´đ??ľ â‹… đ?‘Ľ â&#x;š â‹… 2 â‹… = â‹… 2.5 â‹… đ?‘Ľ â&#x;š đ?‘Ľ = 2 2 2 2 2 5 17. Nacrtati grafik funkcije đ?‘Ś = |đ?‘Ľ + 1| − đ?‘Ľ. RjeĹĄenje: đ?‘Ś={

đ?‘Ľ+1−đ?‘Ľ =1 , za đ?‘Ľ + 1 ≼ 0 , tj. đ?‘Ľ ≼ −1 −đ?‘Ľ − 1 − đ?‘Ľ = −2đ?‘Ľ − 1, za đ?‘Ľ + 1 < 0 , tj. đ?‘Ľ < −1

155

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

Treba nacrtati funkcije đ?‘Ś = 1 , za đ?‘Ľ ≼ 1 i đ?‘Ś = −2đ?‘Ľ − 1, za đ?‘Ľ < −1

3

18. Odredi obim i povrĹĄinu trougla kojeg grafik funkcije đ?‘Ś = 4 đ?‘Ľ + 3 gradi sa koordinatnim osama. RjeĹĄenje:

đ?‘Ž = 4, đ?‘? = 3 â&#x;š đ?‘? 2 = đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 â&#x;š đ?‘? = 5 đ?‘‚ = 12 4â‹…3 đ?‘ƒ= â&#x;šđ?‘ƒ=6 2

19. IzraÄ?unaj povrĹĄinu kvadrata Ä?ije dvije stranice leĹže na pravcima đ?‘Ľ + đ?‘Ś − 5 = 0 i đ?‘Ľ + đ?‘Ś + 5 = 0. RjeĹĄenje: đ?‘ƒ = 50đ?‘?đ?‘š2

156

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

20. Odrediti vrijednost parametra đ?‘? tako da funkcija đ?‘Ś =

đ?‘?−2 3−đ?‘?

đ?‘Ľ + đ?‘? bude rastuća!

RjeĹĄenje: Da bi funkcija bila rastuća mora biti koeficijent pravca veći od nule, u naĹĄem sliÄ?aju treba biti

đ?‘?−2 3−đ?‘?

>0

Trebamo posmatrati dva sluÄ?aja: I sluÄ?aj: đ?‘? − 2 > 0 i 3 − đ?‘? >0 đ?‘?>2 i đ?‘?<3 Kada izvrĹĄimo presjek rjeĹĄenja ove dvije nejednaÄ?ine dobijemo da je rjeĹĄenje đ?‘? ∈ (2, 3) II sluÄ?aj : đ?‘? − 2 < 0 i 3−đ?‘? <0 đ?‘?<2 i đ?‘?>3 U ovom sluÄ?aju rjeĹĄenja nejednaÄ?ina se ne sijeku pa nemaju zajedniÄ?kih rjeĹĄenja ĹĄto moĹžemo zapisati i na naÄ?in đ?‘? ∈ {∅}. Dakle, rjeĹĄenje je đ?‘? ∈ (2, 3).

21. Data je funkcija đ?‘Ś = (4đ?‘˜ − 3)đ?‘Ľ − đ?‘˜. NaÄ‘i vrijednost parametra đ?‘˜ tako da grafik funkcije prolazi taÄ?kom đ??´(3,2). Nacrtaj grafik te funkcije i odredi nulu. RjeĹĄenje: đ?‘Ś = (4đ?‘˜ − 3)đ?‘Ľ − đ?‘˜ 2 = (4đ?‘˜ − 3) ∙ 3 − đ?‘˜ â&#x;š đ?‘˜ = 1 đ?‘Ś = (4 ∙ 1 − 3)đ?‘Ľ − 1 â&#x;š đ?‘Ś = đ?‘Ľ − 1 đ?‘›

Nula funkcije: − đ?‘˜ = −

−1 1

đ?‘›

â&#x;š −đ?‘˜ = 1

157

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje đ?‘Ľ

đ?‘Ľâˆ’1

2

4

22. Date su funkcije đ?‘“(đ?‘Ľ) = − 3 i đ?‘”(đ?‘Ľ) =

. RijeĹĄi jednaÄ?inu đ?‘”[đ?‘“(đ?‘Ľ)] = đ?‘“[đ?‘“(đ?‘Ľ)].

RjeĹĄenje: đ?‘Ľ (2 − 3) − 1

đ?‘Ľâˆ’6 đ?‘Ľâˆ’8 −1 đ?‘Ľâˆ’8 2 đ?‘”[đ?‘“(đ?‘Ľ)] = = = 2 = đ?‘Ľâˆ’8 đ?‘Ľâˆ’6 4 4 4 8 â&#x;š = − 3 â&#x;š đ?‘Ľ = 28 đ?‘Ľ đ?‘Ľâˆ’6 8 4 − 3 đ?‘Ľâˆ’6 đ?‘“[đ?‘“(đ?‘Ľ)] = 2 −3= 2 −3 = −3 } 2 2 4

2

1

2

23. Date su funkcije đ?‘“(đ?‘Ľ) = 3đ?‘Ľ − 1, đ?‘”(đ?‘Ľ) = − 3 đ?‘Ľ + 1 3 i â„Ž(đ?‘Ľ) = − 3 đ?‘Ľ − 1. Odredi udaljenost izmeÄ‘u grafika funkcije đ?‘Ś = đ?‘”(đ?‘“(đ?‘Ľ)) i funkcije đ?œ™ = đ?‘“(â„Ž(đ?‘Ľ)). RjeĹĄenje: đ?‘Ś = −2đ?‘Ľ + 2; đ?œ™ = −2đ?‘Ľ − 4 đ?‘‘ − udaljenost izmeÄ‘u zadatih pravaca

đ?‘‘ =đ?‘š+đ?‘› Δđ??´đ??ľđ?‘‚: đ??´đ??ľ 2 = đ?‘‚đ??ľ 2 + đ?‘‚đ??´2 â&#x;š đ??´đ??ľ = √5

Δđ??śđ??ˇđ?‘‚: đ??śđ??ˇ2 = đ?‘‚đ??ś 2 + đ?‘‚đ??ˇ2 â&#x;š đ??śđ??ˇ = 2√5

đ?‘ƒ=

đ?‘‚đ??ľ â‹… đ?‘‚đ??´ â&#x;šđ?‘ƒ=1 2

đ?‘ƒ=

đ?‘‚đ??ś â‹… đ?‘‚đ??ˇ â&#x;šđ?‘ƒ=4 2

đ?‘ƒ=

đ??´đ??ľ â‹… đ?‘š 2√5 â&#x;šđ?‘š= 2 5

đ?‘ƒ=

đ??śđ??ˇ â‹… đ?‘› 4√5 â&#x;šđ?‘›= 2 5

đ?‘‘ =đ?‘š+đ?‘› â&#x;šđ?‘‘ =

2√5 4√5 6√5 + â&#x;šđ?‘‘= ≈ 2.68 5 5 5

158

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

JednadŞbe 1. Tri radnika radeći zajedno urade jedan posao za 2 dana. Prvi i drugi radnik zajedno urade isti posao za tri dana, a drugi i treći radnik zajedno za 4 dana. Za koje vrijeme bi svaki od njih sam uradio taj posao? Rjeťenje: Neka je prvi radnik uradio posao za � dana, drugi za � dana a treći za � dana. Za jedan dan 1

1

1

1

1

1

1

sami urade prvi � posla, drugi � posla, a treći �. Zajedno urade za jedan dan � + � + � = 2. Na 1

1

1

1

1

1

osnovu teksta zadatka imamo joĹĄ đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 3 i đ?‘Ś + đ?‘§ = 4. 1 1 1 1 + + = đ?‘Ľ đ?‘Ś đ?‘§ 2 â&#x;šđ?‘§=6 1 1 1 + = đ?‘Ľ đ?‘Ś 3 } 1 1 1 1 + + = đ?‘Ľ đ?‘Ś đ?‘§ 2 â&#x;šđ?‘Ľ=4 1 1 1 + = đ?‘Ś đ?‘§ 4 } 1

1

Na kraju dobijamo da je i đ?‘Ś = 12 â&#x;š đ?‘Ś = 12. Dakle, prvi radnik bi sam uradio posao za 4 dana, drugi za 12 dana a treći radnik za 6 dana. 2. Cifra jedinica trocifrenog broja je 3. Preselimo li je na mjesto stotica (a ostale dvije cifre samo pomaknemo udesno), tada će se stari broj prema novome odnositi kao 3: 4. Koji su to brojevi? RjeĹĄenje: OznaÄ?imo li s đ?‘Ľ dvocifreni dio broja na mjestu stotica i desetica, naĹĄ je broj 10đ?‘Ľ + 3. Pomicanjem cifre 3 na mjesto stotica dolazimo do broja 300 + đ?‘Ľ. JednaÄ?ina glasi (10đ?‘Ľ + 3): ( 300 + đ?‘Ľ) = 3: 4 â&#x;š đ?‘Ľ = 24. Dakle, traĹženi brojevi su 243 i 342. 3. Dvocifreni broj ima cifru desetica 3 puta veću od cifre jedinica. Oduzmemo li od njega broj 18, dobit ćemo broj zamijenjenih cifara. Koji je to broj? RjeĹĄenje: đ?‘Ž = 3đ?‘? 30đ?‘? + đ?‘? − 18 = 10đ?‘? + 3đ?‘? 18đ?‘? = 18 đ?‘? = 1, đ?‘Ž = 3 TraĹženi broj je 31.

159

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

4. Dodamo li proizvodu dva priroda brojeva njihov zbir dobit ćemo 14. Koji su to brojevi? RjeĹĄenje: TraĹžene brojeve oznaÄ?imo sa đ?‘Ľ, đ?‘Ś. Iz teksta zadatka zakljuÄ?ujemo da mora vrijediti 14−đ?‘Ľ đ?‘Ľđ?‘Ś + đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 14 â&#x;š đ?‘Ś = đ?‘Ľ+1 . Za đ?‘Ľ uzmemo bilo koji prirodan broj, a pripadni đ?‘Ś izraÄ?unamo iz dobivenog izraza. MeÄ‘utim, jasno je da za đ?‘Ľ nećemo uzimati redom baĹĄ sve moguće prirodne brojeve ( jer njih ima beskonaÄ?no mnogo ), pa prouÄ?imo malo taj izraz da vidimo u kojim granicama ćemo izabrati đ?‘Ľ. Iz brojnika 14 − đ?‘Ľ zakljuÄ?ujemo da đ?‘Ľ ne moĹže biti veći od 14 jer tada brojnik postaje negativan, nazivnik pozitivan, ĹĄto znaÄ?i da bi đ?‘Ś bio negativan, a to ne moĹže biti jer đ?‘Ś mora biti prirodan broj. Dakle, đ?‘Ľ mora biti manji od 14. Redom navedi sve brojeve od 1 do 14, izraÄ?unaj pripadne đ?‘Ś i ispiĹĄi samo ona rjeĹĄenja u kojima su oba broja prirodna. RjeĹĄenje su brojevi 2 i 4. 1

1

1

1

2

5. RijeĹĄi jednadĹžbu 2 {2đ?‘Ľ − [4 đ?‘Ľ − 18 (16 − 2 (đ?‘Ľ + 4))]} − 2 (đ?‘Ľ − 2) = 4đ?‘Ľ − 3 (đ?‘Ľ + 2). RjeĹĄenje: 1 1 1 1 2 2 {2đ?‘Ľ − [ đ?‘Ľ − (16 − (đ?‘Ľ + 4))]} − (đ?‘Ľ − 2) = 4đ?‘Ľ − (đ?‘Ľ + 2) â&#x;ş đ?‘Ľ = 10 4 18 2 2 3

6. Odrediti vrijednost izraza đ??´ =

4đ?‘Ž2 −4đ?‘Ž+1 2đ?‘Žâˆ’1

ako je đ?‘Ž rjeĹĄenje jednadĹžbe

1 1 23 2đ?‘Ž − [3 − đ?‘Ž ( + 2đ?‘Ž)] + = đ?‘Ž2 . 2 4 4 RjeĹĄenje: 1

1

RjeĹĄavanjem jednadĹžbe 2đ?‘Ž − 2 [3 − đ?‘Ž (4 + 2đ?‘Ž)] + izraza đ??´ =

4đ?‘Ž2 −4đ?‘Ž+1 2đ?‘Žâˆ’1

23 4

= đ?‘Ž2 â&#x;š đ?‘Ž = −2, pa je vrijednost

= −5.

7. Otac je svojim sinovima ostavio u nasljedstvo 160000đ??žđ?‘€, sa Ĺželjom da taj iznos podijele na jednake dijelove. No, jedan od sinova je odustao od svog dijela pa se ostalim sinovima nasljedstvo povećalo za 8000đ??žđ?‘€. Koliko je otac imao sinova? RjeĹĄenje: Neka je đ?‘› broj sinova i neka je svaki od njih trebao dobiti po đ?‘Ľđ??žđ?‘€. Tada vrijedi jednadĹžba đ?‘› ∙ đ?‘Ľ = 160000 Kako je jedan sin odustao, nasljedstvo se dijeli izmeÄ‘u (đ?‘› − 1) sinova, a svaki od njih dobija (đ?‘Ľ + 8000) đ??žđ?‘€. Zato vrijedi jednadĹžba (đ?‘›â€“ 1) ∙ (đ?‘Ľ + 8000) = 160000. Dalje je (đ?‘›â€“ 1) ∙ (đ?‘Ľ + 8000) = đ?‘› ∙ đ?‘Ľ â&#x;š đ?‘Ľ = 8000đ?‘› − 8000. (đ?‘›â€“ 1) ∙ (đ?‘Ľ + 8000) = 160000} â&#x;š đ?‘›2 − đ?‘› − 20 = 0 â&#x;ş (đ?‘› − 5)(đ?‘› + 4) = 20 đ?‘Ľ = 8000đ?‘› − 8000 đ?‘›1 = 5 ∨ đ?‘›2 = −4 160

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

Kako negativno rjeĹĄenje nema smisla zakljuÄ?ujemo da je otac imao petoricu sinova.

8. Jedan nastavnik matematike je doveo na opĹĄtinsko takmiÄ?enje Ä?etiri svoja uÄ?enika. Na pitanje koliko ima ukupno uÄ?enika kojima predaje matematiku, on je odgovorio: „Na ĹĄkolskom takmiÄ?enju je uÄ?estvovala jedna trećina onih kojima predajem, a na ovo takmiÄ?enje sam doveo jednu petnaestinu od mojih uÄ?enika koji su uÄ?estvovali na ĹĄkolskom takmiÄ?enju“. Odredi broj uÄ?enika kojima predaje ovaj nastavnik. RjeĹĄenje: 1 1 ∙ đ?‘Ľ = 4 â&#x;š đ?‘Ľ = 180 15 3 9. U jednadĹžbi (đ?‘Ž − 3)đ?‘Ľ + (đ?‘Ž + 1)(3 − đ?‘Ľ) = đ?‘Ž + đ?‘Ľ − 7 odrediti đ?‘Ž ako se zna da je data jednaÄ?ina ekvivalentna jednadĹžbi đ?‘Ľâˆ’5 đ?‘Ľâˆ’2 − =đ?‘Ľâˆ’3 3 2 RjeĹĄenje: RjeĹĄavanjem druge jednadĹžbe dobijamo da je đ?‘Ľ = 2 i uvrĹĄtavanjem u prvu jednadĹžbu dobijamo da je đ?‘Ž = 0.

10. Grupa djeÄ?aka i djevojÄ?ica sakupila je 170đ??žđ?‘€ za roÄ‘endanski poklon svom drugu. DjevojÄ?ice su davale po 20đ??žđ?‘€, a djeÄ?aci po 30đ??žđ?‘€. Koliko je bilo djeÄ?aka, a koliko djevojÄ?ica ako je grupa imala neparan broj Ä?lanova? RjeĹĄenje: OznaÄ?imo sa đ?‘Ľ broj djeÄ?aka a sa đ?‘Ś broj djevojÄ?iva u ovoj grupi. Tada je prema uslovima zadatka 20đ?‘Ľ + 30đ?‘Ś = 170 ili 2đ?‘Ľ + 3đ?‘Ś = 17. Brojevi đ?‘Ľ i đ?‘Ś su prirodni pa vrijedi đ?‘Ľ ≤ 7 i đ?‘Ś ≤ 5. Kako je 2đ?‘Ľ paran to 3đ?‘Ś mora biti neparan, odnosno đ?‘Ś neparan pa je đ?‘Ś ∈ {1,3,5}. Grupa je imala neparan broj Ä?lanova ĹĄto znaÄ?i da je imala 4 djevojÄ?ice i 3 djeÄ?aka.

161

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

11. Odredi sve parove cijelih brojeva (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) koji zadovoljavaju jednadĹžbu đ?‘Ľđ?‘Ś + 3đ?‘Ś = đ?‘Ľ 2 + 6đ?‘Ľ + 12. RjeĹĄenje: Zadana jednaÄ?ina moĹže se pojednostavniti i zapisati u obliku (đ?‘Ľ + 3)2 + 3 3 2 đ?‘Ś ∙ (đ?‘Ľ + 3) = (đ?‘Ľ + 3) + 3 â&#x;š đ?‘Ś = â&#x;šđ?‘Ś =đ?‘Ľ+3+ đ?‘Ľ+3 đ?‘Ľ+3 3 Razlomak đ?‘Ľ+3 ∈ ℤ â&#x;š đ?‘Ľ + 3 ∈ {−6, −4, −2, 0}. Za ovako odreÄ‘ene vrijednosti promjenljive đ?‘Ľ, promjenljiva đ?‘Ś će pripadati slijedećem skupu {−4, 4}, pa su rjeĹĄenja jednaÄ?ine ureÄ‘eni parovi (−4, −4), (−2, 4), (0, 4) i (−6, −4). 12. U jednadĹžbi 3 â‹… (đ?‘Ľ − 4đ?‘˜) − 2đ?‘˜ = 3 â‹… (2đ?‘Ľ − 3) + 1 broj đ?‘˜ je realan parametar. Odrediti sve vrijednosti tog parametra za koje je rjeĹĄenje jednadĹžbe veće od −2. RjeĹĄenje: RjeĹĄenje date jednadĹžbe je đ?‘Ľ = Prema tome, đ?‘˜ ∈ (−∞, 1).

8−14đ?‘˜ 3

. To rjeĹĄenje je veće od −2 ako je

8−14đ?‘˜ 3

> −2 â&#x;š đ?‘˜ < 1.

13. Odredi rjeĹĄenje jednadĹžbe |đ?‘Ľ − |đ?‘Ľ − |đ?‘Ľ||| = 2008. RjeĹĄenje: Za đ?‘Ľ ≼ 0, dobijamo |đ?‘Ľ − |đ?‘Ľ − |đ?‘Ľ||| = |đ?‘Ľ − |đ?‘Ľ − đ?‘Ľ|| = |đ?‘Ľ| = 2008 pa je đ?‘Ľ = 2008 jedno rjeĹĄenje. Za đ?‘Ľ < 0, dobijamo|đ?‘Ľ − |đ?‘Ľ − |đ?‘Ľ||| = |đ?‘Ľ − |đ?‘Ľ + đ?‘Ľ|| = |đ?‘Ľ + 2đ?‘Ľ| = −3đ?‘Ľ, pa je đ?‘Ľ = −

2008

jedno rjeĹĄenje jednadĹžbe.

14. RijeĹĄi jednadĹžbu |đ?‘Ľ + |2đ?‘Ľ + |4đ?‘Ľ||| = 2009. RjeĹĄenje: Za đ?‘Ľ ≼ 0 imamo |đ?‘Ľ + |2đ?‘Ľ + |4đ?‘Ľ||| = |đ?‘Ľ + 6đ?‘Ľ| = 7đ?‘Ľ = 2009, odakle je đ?‘Ľ = 287. Za đ?‘Ľ < 0 imamo |đ?‘Ľ + |2đ?‘Ľ + |4đ?‘Ľ||| = |đ?‘Ľ − 2đ?‘Ľ| = −đ?‘Ľ = 2009, odakle je đ?‘Ľ = −2009.

162

3

joĹĄ

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

15. Tri vjeverice ukupno su sakupile 58 ljeĹĄnjaka. Kada prva pojede polovinu, druga trećinu, a treća Ä?etvrtinu svojih ljeĹĄnjaka ostaje im isti broj ljeĹĄnjaka. Koliko je svaka od njih sakpuila ljeĹĄnjaka? RjeĹĄenje: đ?‘Ľ

prva vjeverica: 2 − ostalo ljeĹĄnjaka druga vjeverica: treća vjeverica: đ?‘Ľ 2

=

2đ?‘Ľ 3

=

3đ?‘Ľ 4

2đ?‘Ľ

3 3đ?‘Ľ 4

− ostalo ljeĹĄnjaka

− ostalo ljeĹĄnjaka

/ â‹… 12 đ?‘˜

đ?‘˜

6đ?‘Ľ = 8đ?‘Ś = 9đ?‘§ = đ?‘˜ â&#x;š đ?‘Ľ = 6 ; đ?‘Ś = 8 ; đ?‘§ = đ?‘˜

6

đ?‘˜

đ?‘˜

đ?‘˜ 9

+ 8 + 9 = 58 / â‹… 72

12đ?‘˜ + 9đ?‘˜ + 8đ?‘˜ = 58 â‹… 72 29đ?‘˜ = 58 â‹… 72 đ?‘˜=

58â‹…72 29

â&#x;š đ?‘˜ = 144

Dakle, prva vjeverica je sakupila 24, druga vjeverica 18, a treća vjeverica je sakupila 16 ljeťnjaka

16. RijeĹĄiti jednadĹžbu (3đ?‘Ľ − 5)2 − (2đ?‘Ľ + 3)2 − (đ?‘Ľ − 2)(5đ?‘Ľ + 2) = 122. RjeĹĄenje: (3đ?‘Ľ − 5)2 − (2đ?‘Ľ + 3)2 − (đ?‘Ľ − 2)(5đ?‘Ľ + 2) = 122 9đ?‘Ľ 2 − 30đ?‘Ľ + 25 − 4đ?‘Ľ 2 − 12đ?‘Ľ − 9 − 5đ?‘Ľ 2 + 8đ?‘Ľ + 4 = 122 −34đ?‘Ľ = 102 đ?‘Ľ = −3

17. RijeĹĄiti jednadĹžbu

1+3+5+7+â‹Ż+2009+2011 2+4+6+8+â‹Ż+2010+2012

=

đ?‘Ľ 2014

.

RjeĹĄenje: Zbir prvih đ?‘› parnih brojeva: 2 + 4 + 6 + 8 + â‹Ż + (2đ?‘› − 2) + 2đ?‘› = 2(1 + 2 + 3 + 4 + â‹Ż + (đ?‘› − 1) + đ?‘›) = đ?‘› â‹… (đ?‘› + 1) = 2((đ?‘› + 1) + (đ?‘› + 1) + (đ?‘› + 1) + â‹Ż ) = 2 â‹… = đ?’?(đ?’? + đ?&#x;?) 2 Zbir prvih đ?‘› neparnih brojeva: 3 + 5 + 7 + 9 + â‹Ż + (2đ?‘› − 3) + (2đ?‘› − 1) = = (2 â‹… 1 − 1) + (2 â‹… 2 − 1) + (2 â‹… 3 − 1) + â‹Ż + (2đ?‘› − 1) = = (2 â‹… 1 + 2 â‹… 2 + 2 â‹… 3 + â‹Ż + 2 â‹… đ?‘›) − 1 − 1 − 1 − â‹Ż − 1 = đ?‘› â‹… (đ?‘› + 1) = 2 â‹… (1 + 2 + 3 + â‹Ż + đ?‘›) − (1 + 1 + 1 + â‹Ż + 1) = 2 â‹… − đ?‘› = đ?’?đ?&#x;? 2 163

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

Kako imamo 2012 sabiraka to će vrijediti � =

2012 2

= 1006

1 + 3 + 5 + 7 + â‹Ż + 2009 + 2011 đ?‘Ľ đ?‘›2 đ?‘Ľ = â&#x;š = 2 + 4 + 6 + 8 + â‹Ż + 2010 + 2012 2014 đ?‘›(đ?‘› + 1) 2014 2 1006 đ?‘Ľ 1006 đ?‘Ľ = ⇔ = ⇔ đ?‘Ľ = 2012 1006(1006 + 1) 2014 1007 2014

18. U jednom razredu sprovedena je anketa u kojoj je uÄ?estvovalo 20040 uÄ?enika koji uÄ?e ili engleski ili njemaÄ?ki jezik (taÄ?no jedan od njih). Od uÄ?enika koji uÄ?e engleski jezik, iz nepoznatih razloga, 20% je izjavilo da uÄ?i njemaÄ?ki, i sliÄ?no, 20% uÄ?enika koji uÄ?e njemaÄ?ki u anketi je izjavilo da uÄ?e engleski. Po ovoj anketi 40% uÄ?enika u ovom gradu je izjavilo da uÄ?i njemaÄ?ki jezik. Koliko uÄ?enika u ovom gradu uÄ?i engleski? RjeĹĄenje: Sa đ?‘Ľ oznaÄ?imo broj uÄ?enika koji uÄ?e engleski, pa je tada 20040 − đ?‘Ľ broj uÄ?enika koji uÄ?e njemaÄ?ki 20

20% uÄ?enika koji uÄ?e njemaÄ?ki od onih koji uÄ?e i engleski oznaÄ?it ćemo sa 100 đ?‘Ľ pa ćemo imati jednadĹžbu: 20 100

80

40

(20040 − đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ+â?&#x; â‹… 20040 100 100 ostatak od ostalih uÄ?enika koji uÄ?e njemaÄ?ki jezik

Nakon rjeťavanja gornje jednadŞbe dobit ćemo � = 13360

19. Od svih uÄ?enika jedne ĹĄkole 174 nisu iĹĄli na izlet, a ostali su otputovali u 18 jednakih autobusa, pri Ä?emu je u svaki uĹĄlo 5 uÄ?enika viĹĄe nego ĹĄto je u autobusu bilo sjediĹĄta. Da je u svaki autobus uĹĄlo onoliko uÄ?enika koliko je u njemu sjediĹĄta, bilo bi potrebno joĹĄ tri autobusa ali bi u jednom od njih ostalo 6 praznih sjediĹĄta. Koliko u ovoj ĹĄkoli ima uÄ?enika? RjeĹĄenje: đ?‘Ľ – broj sjediĹĄta u autobusu 18 (đ?‘Ľ + 5) = 21đ?‘Ľ − 6 18đ?‘Ľ + 90 = 21đ?‘Ľ – 6 −3đ?‘Ľ = −6 – 90 / : (− 3) đ?‘Ľ = 32 32 + 5 = 37 18 ¡ 37 = 666 – broj uÄ?enika koji je iĹĄao na izlet 666 + 174 = 840 − ukupan broj uÄ?enika.

164

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje 5

20. RijeĹĄi jednadĹžbu 10101 â‹… (

111111

−

2 3â‹…7â‹…11â‹…13â‹…37

+

5 2002â‹…đ?‘Ľ

)=

7 22

.

RjeĹĄenje: Rastavimo brojeve 10101, 111111, 2002 i 22 na proste faktore. 10101 = 3 ∙ 7 ∙ 13 ∙ 37, 111111 = 111000 + 111 = 111 ∙ (1000 + 1) = 111 ∙ 1001 = 3 ∙ 37 ∙ 11 ∙ 7 ∙ 13, 2002 = 2 ∙ 1001 = 2 ∙ 11 ∙ 7 ∙ 13, 22 = 2 ∙ 11. Sada naĹĄu jednadĹžbu moĹžemo napisati ovako: 5 2 5 7 3 ∙ 7 ∙ 13 ∙ 37 â‹… ( − + )= 3 â‹… 7 â‹… 11 â‹… 13 â‹… 37 3 â‹… 7 â‹… 11 â‹… 13 â‹… 37 2 â‹… 7 â‹… 11 â‹… 13 â‹… đ?‘Ľ 2 â‹… 11 3 5 7 3 ∙ 7 ∙ 13 ∙ 37 â‹… ( + )= 3 â‹… 7 â‹… 11 â‹… 13 â‹… 37 2 â‹… 7 â‹… 11 â‹… 13 â‹… đ?‘Ľ 2 â‹… 11 3 3 â‹… 5 â‹… 37 7 + = â&#x;š 6đ?‘Ľ + 555 = 7đ?‘Ľ â&#x;š −đ?‘Ľ = −555 â&#x;š đ?‘Ľ = 555 11 2 â‹… 11 â‹… đ?‘Ľ 2 â‹… 11

198

21. Odrediti par prirodnih brojeva Ä?iji je zbir 30, a zbir njihovog koliÄ?nika i broja 223 je 2005

jednak 2007. RjeĹĄenje: OznaÄ?imo jedan od tih brojeva sa đ?‘Ž i neka je 30 − đ?‘Ž 198 2005 + = â&#x;š đ?‘Ž = 27 đ?‘Ž 223 207 TraĹženi brojevi su 3 i 27.

30−đ?‘Ž đ?‘Ž

+

198 223

=

2005 207

.

22. RijeĹĄiti i diskutovati rjeĹĄenje jednadĹžbe 1 – đ?‘Ľ – 5đ?‘Ž + 5đ?‘Žđ?‘Ľ = 0 gdje je đ?’‚ realan parametar. RjeĹĄenje: 1 – đ?‘Ľ – 5đ?‘Ž + 5đ?‘Žđ?‘Ľ = 0 5đ?‘Žđ?‘Ľ – đ?‘Ľ = 5đ?‘Ž – 1 (5đ?‘Ž – 1)đ?‘Ľ = 5đ?‘Ž – 1 1 5a  1 , jednadĹžba ima jedno rjeĹĄenje đ?‘Ľ = =1 5 5a  1 1 2. sluÄ?aj: Za 5đ?‘Ž – 1 = 0, đ?‘Ž = , imamo 0đ?‘Ľ = 0, bezbroj rjeĹĄenja. 5

1. sluÄ?aj: Za 5đ?‘Ž – 1 ≠0, đ?‘Ž â‰

165

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

23. Ako pravougaoniku smanjimo jednu stranicu za 4đ?‘?đ?‘š dobit ćemo kvadrat, Ä?ija je povrĹĄina za 28đ?‘?đ?‘š² manja od pravougaonikove. Kolika je povrĹĄina dobijenog kvadrata? RjeĹĄenje: đ?‘? ¡ 4 = 28 đ?‘? = 28: 4 đ?‘? = 7 đ?‘?đ?‘š

đ?‘ƒ = đ?‘?² đ?‘ƒ = 7² đ?‘ƒ = 49 đ?‘?đ?‘š²

24. SvjeĹža trava sadrĹži 80% vode, a sijeno svega 20%. Koliko treba svjeĹže trave da bi se dobila 1 tona sijena ? RjeĹĄenje: Tona sijena sadrĹži 200đ?‘˜đ?‘” vode i 800đ?‘˜đ?‘” suhe materije. Tih 800đ?‘˜đ?‘” su samo 20% u svjeĹžoj travi. Dakle potrebno je 5 â‹… 800 = 4000đ?‘˜đ?‘” = 4đ?‘Ą svjeĹže trave. 25. Dva radnika mogu da zavrĹĄe neki posao za 24 dana. Poslije zajedniÄ?kog rada od 10 dana, jedan radnik se razbolio, pa je drugi sam nastavio i dovrĹĄio taj posao za sledećih 35 dana. Za koliko bi dana zavrĹĄio taj posao svaki od njih ako bi radio sve sam ? RjeĹĄenje: Radeći sve sam prvi radnik uradio bi za đ?‘Ľ dana, a drugi za đ?‘Ś dana. 1 đ?‘Ľ 1 đ?‘Ś 1 đ?‘Ľ

prvi radnik za jedan dan uradi drugi radnik za jedan dan uradi 1

1

+ đ?‘Ś = 24 oba radnika za jedan dan urade

10 dana prvi radnik radio na cijelom poslu 10 + 35 = 45 dana drugi radnik radio na cijelom poslu Na osnovu ovoga imamo: 1

đ?‘Ľ 10 đ?‘Ľ

1

1

+ đ?‘Ś = 24 jednadĹžbu mnoĹžimo sa 24đ?‘Ľđ?‘Ś +

45 đ?‘Ś

= 1 jednadĹžbu mnoĹžimo sa đ?‘Ľđ?‘Ś

Dobili smo: 10đ?‘Ś + 45đ?‘Ľ = đ?‘Ľđ?‘Ś 24đ?‘Ś + 24đ?‘Ľ = đ?‘Ľđ?‘Ś Desne strane jednake, te su i lijeve jednake: 10đ?‘Ś + 45đ?‘Ľ = 24đ?‘Ś + 24đ?‘Ľ, slijedi 21đ?‘Ľ = 14đ?‘Ś, đ?‘Ľ = Uvrstimo đ?‘Ľ =

2 3

2 3

â‹…đ?‘Ś

â‹…đ?‘Ś u

10 đ?‘Ľ

+

45 đ?‘Ś

= 1 i dobijemo đ?‘Ś = 60, a đ?‘Ľ = 40

166

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

26. Amra ima 10đ??žđ?‘€ manje od Azre, a 30đ??žđ?‘€ manje od Adne. Ako bi Azra i Adna poklonile

Amri po 100đ??žđ?‘€ , onda bi Azra imala 3 puta manje novca nego ĹĄto ima Adna. Koliko novca ima Azra? RjeĹĄenje: Amra đ?‘Ľ đ?‘Ľ + 200

Azra đ?‘Ľ + 10 đ?‘Ľ + 10 − 100

Adna đ?‘Ľ + 30 đ?‘Ľ + 30 − 100

1 đ?‘Ľ − 90 = (đ?‘Ľ − 70) 3 RjeĹĄavanjem date jednadĹžbe dobijamo: đ?‘Ľ = 100 odnosno da Azra ima 110đ??žđ?‘€.

27. Bomboni se dijele jednako na 20 djece. Kada bi bio jedan bombon viĹĄe i jedno dijete viĹĄe, svaki bi dobio bombon manje. Koliko bombona je dijeljeno? RjeĹĄenje: Neka je đ?‘Ľ broj bombona koje se dijele. Imamo: đ?‘Ľ+1 đ?‘Ľ = −1 20 + 1 20 20đ?‘Ľ + 20 = 21đ?‘Ľ − 420 đ?‘Ľ = 440

28. Otac, majka, sin i kćerka imaju zajedno 111 godina, majka i sin imaju 1 godinu viĹĄe od oca i kćerke, otac je Ä?etiri puta stariji od kćerke, a prije godinu dana majka je bila Ä?etiri puta starija od kćerke. Odredi starost svakog Ä?lana obitelji. RjeĹĄenje: Neka su đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘‘ redom godine oca, majke, sina i kćerke. Na osnovu gornjih uvjeta dobivamo sljedeći sistem jednadĹžbi: đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘? + đ?‘‘ = 111 đ?‘?+đ?‘?−1=đ?‘Ž+đ?‘‘ đ?‘Ž = 4đ?‘‘ đ?‘? − 1 = 4(đ?‘‘ − 1) Lagano se odredi da je đ?‘Ž + đ?‘‘ = 55, odnosno 4đ?‘‘ + đ?‘‘ = 55 ili đ?‘‘ = 11, đ?‘Ž = 44. Direktnim uvrĹĄtavanjem u Ä?etvrtu jednadĹžbu dobivamo đ?‘? = 41 pa je đ?‘? = 15. Otac ima 44 godine, majka 41, sin 15 a kćerka 11 godina.

167

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

29. DokaĹži da je rjeĹĄenje jednadĹžbe đ?‘Ľ 2 + √3 = √4 + 2√3 racionalno. RjeĹĄenje: đ?‘Ľ = Âą1

30. RijeĹĄiti jednadĹžbu đ?‘Ľâˆ’3 8 +đ?‘Ľâˆ’3+đ?‘Ľâˆ’1 9 10

đ?‘Ľ+3 11 + đ?‘Ľ + 3 + đ?‘Ľ + 7 12 = 14

RjeĹĄenje: đ?‘Ľâˆ’3 đ?‘Ľ+3 8 +đ?‘Ľâˆ’3+đ?‘Ľâˆ’1 11 + đ?‘Ľ + 3 + đ?‘Ľ + 7 9đ?‘Ľ − 11 112đ?‘Ľ + 80 9 12 = â&#x;ş = â&#x;ş đ?‘Ľ = 19 10 14 80 154 31. Nakon poskupljenja od 20% i pojeftinjenja od 10%, cijena neke knjige iznosi 162đ??žđ?‘€. Kolika je bila cjena knjige prije poskupljenja? RjeĹĄenje: Neka je cjena prije poskupljena đ?‘Ľ. Prema uslovu zadatka imamo: 2 1 2 đ?‘Ľ+ đ?‘Ľâˆ’ (đ?‘Ľ + đ?‘Ľ) = 162 â&#x;ş đ?‘Ľ = 150 10 10 10 Cijena knjige prije poskupljenja je bila 150đ??žđ?‘€.

32. Koliko uÄ?enika ima u odjeljenju ako je bilo 5 odliÄ?nih, trećina vrlodobrih, 40% dobrih , 10% dovoljnih, a nedovoljnih nije bilo? RjeĹĄenje: 5+

1 40 10 đ?‘Ľ+ đ?‘Ľ+ đ?‘Ľ = đ?‘Ľ â&#x;ş đ?‘Ľ = 30 3 100 100

33. Razlika kvadrata dva uzastopna neparna broja je 48. Koji su to brojevi? RjeĹĄenje: đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ś 2 =48 đ?‘Ľ = 2đ?‘Ž − 1 đ?‘Ś = 2đ?‘Ž − 3 (2đ?‘Ž − 1)2 − (2đ?‘Ž − 3)2 = 48 8đ?‘Ž = 56 â&#x;š đ?‘Ž = 7 ∧ đ?‘Ľ = 2 â‹… 7 − 1 â&#x;š đ?‘Ľ = 13

168

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

34. Ivice kvadra su 4đ?‘?đ?‘š, 6đ?‘?đ?‘š i 9đ?‘?đ?‘š. IzraÄ?unaj povrĹĄinu kocke Ä?ija je zapremina jednaka zapremini vadra. RjeĹĄenje: đ?‘Ž đ?‘? đ?‘? đ?‘‰

= = = =

4đ?‘?đ?‘š 6đ?‘?đ?‘š 9đ?‘?đ?‘š đ?‘Ž â‹… đ?‘? â‹… đ?‘? = 216đ?‘?đ?‘š3 3

đ?‘‰đ?‘˜đ?‘Łđ?‘Žđ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘Ž = đ?‘‰đ?‘˜đ?‘œđ?‘?đ?‘˜đ?‘’ â&#x;š đ?‘‰đ?‘˜đ?‘œđ?‘?đ?‘˜đ?‘’ = 216đ?‘?đ?‘š3 â&#x;š đ?‘Ž3 = 216 â&#x;š đ?‘Ž = √216 â&#x;š đ?‘Ž = 6 đ?‘ƒ = 6đ?‘Ž2 â&#x;š đ?‘ƒ = 216đ?‘?đ?‘š2

35. MaÄ?ka i po za jedan dan i po, ulovi miĹĄa i po. Koliko miĹĄeva ulovi 9 maÄ?aka za 9 dana? RjeĹĄenje: 1.5đ?‘€ 1.5đ?‘‘ 9đ?‘€ 9đ?‘‘ 45đ?‘€ 1.5đ?‘‘ 9đ?‘€ 1.5đ?‘‘ 1.5 âˆś 9 = 1.5 âˆś đ?‘‹ đ?‘‹ = 9 9đ?‘€ 9đ?‘€

1.5đ?‘‘ 9đ?‘‘

1.5đ?‘š đ?‘‹ 1.5đ?‘š đ?‘‹

đ?‘€ − maÄ?ke đ?‘š − miĹĄevi

9đ?‘š đ?‘‹

1.5 âˆś 9 = 9 âˆś đ?‘‹ 1.5đ?‘‹ = 81 đ?‘‹ = 54 miĹĄa

36. Koja dva broja imaju jednak proizvod, koliÄ?nik i razliku? RjeĹĄenje: đ?‘Ž

đ?‘Žđ?‘? = đ?‘? = đ?‘Ž − đ?‘? đ?‘Ž

đ?‘Žđ?‘? = đ?‘?

đ?‘Žđ?‘? 2 = đ?‘Ž â&#x;š đ?‘? 2 = 1 â&#x;š đ?‘? = Âą1 Za đ?‘? = 1 â&#x;š đ?‘Ž â‹… 1 = đ?‘Ž − 1 â&#x;š đ?‘Ž = đ?‘Ž − 1 â&#x;š 0 = 1 ĹĄto nije taÄ?no pa za đ?‘? = 1 ne postoji broj đ?‘Ž za koji vrijedi da im je proizvod, koliÄ?nik i razlika jednak 1

Za đ?‘? = −1 â&#x;š −đ?‘Ž = đ?‘Ž + 1 â&#x;š −2đ?‘Ž = 1 â&#x;š đ?‘Ž = − 2

169

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

37. Brojilac razlomka Odredi broj đ?‘Ľ. RjeĹĄenje:

23 42

7

treba uvećati, a imenilac smanjiti za isti broj � tako da se dobije . 6

đ?‘Ľ = 12

11

38. Koji broj treba oduzeti od brojnika i dodati nazivniku razlomka 43 da bi se dobio 1

racionalan broj − 2? Provjeri. RjeĹĄenje: đ?‘Ľ = 65 39. Obim pravougaonika iznosi 26đ?‘?đ?‘š, a jedna stranica je za 5đ?‘?đ?‘š duĹža od druge. Koliki je obim kvadrata koji ima povrĹĄinu jednaku datog pravougaonika? RjeĹĄenje: đ?‘‚ = 26đ?‘?đ?‘š 2đ?‘Ž + 2đ?‘? = 26đ?‘?đ?‘š đ?‘Ž = đ?‘? + 5đ?‘?đ?‘š 2(đ?‘? + 5đ?‘?đ?‘š) + 2đ?‘? = 26đ?‘?đ?‘š 2đ?‘? + 10đ?‘?đ?‘š + 2đ?‘? = 26đ?‘?đ?‘š 4đ?‘? = 16 đ?‘? = 4đ?‘?đ?‘š đ?‘Ž = đ?‘? + 5đ?‘?đ?‘š đ?‘Ž = 9đ?‘?đ?‘š đ?‘‚ =4â‹…đ?‘Ž đ?‘‚ = 24đ?‘?đ?‘š

đ?‘ƒđ?‘? = đ?‘Ž â‹… đ?‘? đ?‘ƒđ?‘? = 36đ?‘?đ?‘š2 đ?‘ƒđ?‘? = đ?‘ƒđ?‘˜ đ?‘ƒđ?‘˜ = 36đ?‘?đ?‘š2 đ?‘Ž2 = 36 đ?‘Ž = 6đ?‘?đ?‘š

40. Ako se stranica kvadrata smanji za 4đ?‘?đ?‘š i njegova povrĹĄina se smanji za 80đ?‘?đ?‘š2. Odredi duĹžinu stranice kvadrata. RjeĹĄenje: 2 đ?‘Ž − stranica kvadrata â&#x;š đ?‘ƒ = đ?‘Ž2 (đ?‘Ž − 4)2 } â&#x;š đ?‘Ž − 80 = 2 đ?‘Ž − 4 − stranica novog kvadrata â&#x;š đ?‘ƒ = (đ?‘Ž − 4) đ?‘Ž = 12

170

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

41. Ako na jednom broju obriťemo cifru jedinica dobiti ćemo broj koji je za 2010 manji od polaznog. Koji je polazni broj? Rjeťenje: Polazni broj je 2233.

42. Razlika kvadrata dva susjedna prirodna broja jednaka je zbiru tih brojeva. Koji su to brojevi ako im je zbir 53? RjeĹĄenje: đ?‘Ľ 2 − (53 − đ?‘Ľ)2 = 53 â&#x;ş đ?‘Ľ = 27 TraĹženi brojevi su: 27 i 53 − 27 = 26. Dakle, dva susjedna prirodna broja su 26 i 27.

43.15. aprila 2006. jedna osoba puni toliko godina koliki je zbir cifara godine njenog roÄ‘enja. Koje godine je roÄ‘ena ta osoba ? RjeĹĄenje: Neka je godina roÄ‘enja te osobe Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘Žđ?‘?đ?‘?đ?‘‘ . Po uslovu zadatka je Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘Žđ?‘?đ?‘?đ?‘‘ + đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘? + đ?‘‘ = 2006, tj. 1001đ?‘Ž + 101đ?‘? + 11đ?‘? + 2đ?‘‘ = 2006. Mora biti đ?‘Ž = 1 ili đ?‘? = 2. Ako je đ?‘Ž = 1, onda je 101đ?‘? + 11đ?‘? + 2đ?‘‘ = 1005. Odavde je đ?‘? = 9, pa je 11đ?‘? + 2đ?‘‘ = 96. Provjerom se dobiva đ?‘? = 8, đ?‘‘ = 4. Dakle jedno rjeĹĄenje je 1984. Ako je đ?‘Ž = 2, onda je 101đ?‘? + 11đ?‘? + 2đ?‘‘ = 4. Slijedi da je đ?‘? = 0, đ?‘? = 0 i đ?‘‘ = 2. Drugo rjeĹĄenje je 2002.

44. Mersiha je krug polupreÄ?nika 2đ?‘‘đ?‘š podijelila na 3 kruĹžna isjeÄ?ka. Svaki isjeÄ?ak je obojila sa drugom bojom. Ustanovila je da je 25% kruga obojila u zeleno, 40% u Ĺžuto a ostatak plavom bojom. a) Koliko dm2 kruga je plave boje? b) Koliki je srediĹĄnji ugao koji pripada Ĺžutom dijelu kruga? c) IzraÄ?unaj duzinu kruznog luka zelenog dijela kruga. RjeĹĄenje: a) đ?‘&#x; = 2đ?‘‘đ?‘š đ?‘ƒ = r 2 đ?œ‹ = 12.56đ?‘‘đ?‘š2 Plava = 100% − 25% − 40% Plava = 35% 35

Plava = 100 â‹… 12.56 Plava = 4.396đ?‘‘đ?‘š2

171

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

b) Îą=? 360° 100% đ?›ź 40% đ?›ź: 360° = 40%: 100% 100đ?›ź = 14400° đ?›ź = 144°

c) 2đ?‘&#x;đ?œ‹ đ?‘™

100% 25%

đ?‘™: 2đ?‘&#x;đ?œ‹ = 25%: 100% 100đ?‘™ = 2 â‹… 2đ?‘‘đ?‘š â‹… 3.14 â‹… 25 đ?‘™ = 3.14 đ?‘‘đ?‘š

45. Srednja vrijednost dvanaest brojeva je 4.7. Dodavanjem dva nova broja srednja vrijednost se mijenja i jednaka je 5.6. Koja je srednja vrijednost dva nova broja? RjeĹĄenje: Iz uvjeta zadatka moguće je zapisati jednakost đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Ľ12 = 56.4. Nakon dodavanja dva nova broja jednakost glasi đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Ľ12 + đ?‘Ľ13 + đ?‘Ľ14 = 78.4. Oduzimanjem prve jednakosti od druge dobivamo đ?‘Ľ13 + đ?‘Ľ14 = 22. Srednja vrijednost dva broja Ä?iji je zbir 22 jest đ?‘‹(đ?‘Ľ13 + đ?‘Ľ14 ) = 11.

9

46. Razlomak 91 predstaviti kao razliku dvaju pravih razlomaka Ä?iji su nazivnici 7 i 13! RjeĹĄenje: đ?‘Ľ

đ?‘Ś

9

đ?‘Ś

đ?‘Ľ

9

Treba odrediti brojeve đ?‘Ľ i đ?‘Ś takvi da su đ?‘Ľ < 7 i đ?‘Ś < 13, to jest 7 − 19 = 91 ili 13 − 7 = 91 I sluÄ?aj U prvom sluÄ?aju biće: đ?‘Ľ đ?‘Ś 9 13đ?‘Ľ − 7đ?‘Ś 9 7đ?‘Ś + 9 − = â&#x;ş = â&#x;š 13đ?‘Ľ − 7đ?‘Ś = 9 â&#x;š đ?‘Ľ = 7 19 91 91 91 3 Od svih prirodnih brojeva đ?‘Ś < 13 jedino đ?‘Ś = 8 daje cijelu vrijednost za đ?‘Ľ, a to je đ?‘Ľ = 5, pa je 5 7

8

9

− 13 = 91.

172

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

II sluÄ?aj U drugom sluÄ?aju biće: 7đ?‘Ś − 13đ?‘Ľ 9 7đ?‘Ś − 9 = â&#x;š 7đ?‘Ś − 13đ?‘Ľ = 9 â&#x;š đ?‘Ľ = 91 91 13 Od svih prirodnih brojeva đ?‘Ś < 13 jedino đ?‘Ś = 5 daje cijelu vrijednost za đ?‘Ľ, a to je đ?‘Ľ = 2, pa je 5

2

9

− 7 = 91. 13

47. Hipotenuza pravouglog trougla je 13đ?‘?đ?‘š , a razlika njegovih kateta je 7đ?‘?đ?‘š. Odredi povrĹĄinu trougla! RjeĹĄenje: đ?‘? = 13 đ?‘?đ?‘š đ?‘Ž − đ?‘? = 7 đ?‘?đ?‘š â&#x;š đ?‘Ž = 7 + đ?‘? đ?‘ƒ =? Pitagorina teorema: đ?‘? 2 = đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 132 = (7 + đ?‘?)2 + đ?‘? 2 169 = 49 + 14đ?‘? + đ?‘? 2 + đ?‘? 2 169 = 49 + 14đ?‘? + 2đ?‘? 2 â&#x;ş đ?‘? 2 + 7đ?‘? − 60 = 0 â&#x;ş (đ?‘? − 5)(đ?‘? + 12) = 0 â&#x;š đ?‘?1 = 5 ∨ đ?‘?2 = −12

Obzirom da se radi o duĹžini stranice trougla negativno rjeĹĄenje nema smisla, pa je đ?‘? = 5đ?‘?đ?‘š. đ?‘Ž = 7 + 5 = 12 đ?‘?đ?‘š Dakle, katete pravouglog trougla su đ?‘Ž = 12 i đ?‘? = 5. PovrĹĄina pravouglog trougla je đ?‘Žâˆ™đ?‘? đ?‘ƒ= â&#x;š đ?‘ƒ = 30đ?‘?đ?‘š2 2

48. Zbir dva broja je 135. Ako 35% jednog broja iznosi koliko i 28% drugog broja odrediti te brojeve. RjeĹĄenje: đ?‘Ľ − traĹženi broj 135 − đ?‘Ľ −drugi traĹženi broj 0.35đ?‘Ľ = 0.28(135 − đ?‘Ľ) â&#x;ş 5đ?‘Ľ = 4(135 − đ?‘Ľ) â&#x;ş đ?‘Ľ = 60 Dakle, traĹženi brojevi su 60 i 75. 49. RijeĹĄiti jednadĹžbu đ?‘Ľ 6 − 4đ?‘Ľ 5 + 4đ?‘Ľ 4 − 81đ?‘Ľ 2 + 324đ?‘Ľ − 324 = 0 u skupu realnih brojeva. RjeĹĄenje: đ?‘Ľ 6 − 4đ?‘Ľ 5 + 4đ?‘Ľ 4 − 81đ?‘Ľ 2 + 324đ?‘Ľ − 324 = 0 â&#x;ş đ?‘Ľ 4 (đ?‘Ľ 2 − 4đ?‘Ľ + 4) − 81(đ?‘Ľ 2 − 4đ?‘Ľ + 4) = 0 â&#x;ş (đ?‘Ľ 2 − 4đ?‘Ľ + 4)(đ?‘Ľ 4 − 81) = 0 â&#x;ş (đ?‘Ľ − 2)2 (đ?‘Ľ 2 − 9)(đ?‘Ľ 2 + 9) = 0 â&#x;ş (đ?‘Ľ − 2)2 (đ?‘Ľ 2 + 9)(đ?‘Ľ − 3)(đ?‘Ľ + 3) = 0 â&#x;ş đ?‘Ľ = 2 ∨ đ?‘Ľ = 3 ∨ đ?‘Ľ = −3 173

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

Sistemi linearnih jednaÄ?ina 1. Dva broja odnose se kao 19: 8. Kada podijelimo zbir ta dva broja sa njihovom razlikom dobijemo koliÄ?nik 2 i ostatak 20. Koji su to brojevi? RjeĹĄenje: Neka su traĹženi brojevi đ?‘Ž i đ?‘?. Po tekstu zadatka imamo sistem jednaÄ?ina: đ?‘Ž: đ?‘? = 19: 8 } â&#x;š đ?‘Ž = 76, đ?‘? = 32 đ?‘Ž + đ?‘? = 2(đ?‘Ž − đ?‘?) + 20 TraĹženi brojevi su 76 i 32.

2. Zbir cifara dvocifrenog broja je 9. Podijelimo li taj broj sa brojem koji ima cifre napisane u obrnutom redoslijedu dobit ćemo koliÄ?nik 1 ostatak 9. Koji je traĹženi broj? RjeĹĄenje: Neka je traĹženi broj oblika 10đ?‘Ž + đ?‘? gdje je đ?‘Ž cifra desetica, a đ?‘? cifra jedinica. Na osnovu teksta zadatka moĹžemo formirati sistem jednaÄ?ina đ?‘Ž+đ?‘? =9 } â&#x;š đ?‘Ž = 5, đ?‘? = 4 10đ?‘Ž + đ?‘? = 10đ?‘? + đ?‘Ž + 9 TraĹženi broj je 54.

3. RijeĹĄiti jednaÄ?inu đ?‘Ľ 2 − 1 = đ?‘Ś 2 + 104 u skupu prirodnih brojeva. RjeĹĄenje: Datu jednaÄ?inu moĹžemo pisati u obliku đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ś 2 = 105 â&#x;š (đ?‘Ľ − đ?‘Ś)(đ?‘Ľ + đ?‘Ś) = 105. Kako broj moĹžemo rastaviti kao 105 = 3 â‹… 5 â‹… 7 imamo sledeće sluÄ?ajeve: 1° (đ?‘Ľ − đ?‘Ś)(đ?‘Ľ + đ?‘Ś) = 1 â‹… 105 â&#x;š đ?‘Ľ = 53 ∧ đ?‘Ś = 52 2° (đ?‘Ľ − đ?‘Ś)(đ?‘Ľ + đ?‘Ś) = 3 â‹… 35 â&#x;š đ?‘Ľ = 19 ∧ đ?‘Ś = 16 3° (đ?‘Ľ − đ?‘Ś)(đ?‘Ľ + đ?‘Ś) = 5 â‹… 21 â&#x;š đ?‘Ľ = 13 ∧ đ?‘Ś = 8 4° (đ?‘Ľ − đ?‘Ś)(đ?‘Ľ + đ?‘Ś) = 7 â‹… 15 â&#x;š đ?‘Ľ = 11 ∧ đ?‘Ś = 4

đ?‘

4. Obim pravougaonika je 2đ?‘ , a razlika njegovih stranica 2. Izrazi duĹžinu stranica i povrĹĄinu tog pravougaonika pomoću parametra đ?‘ . RjeĹĄenje: 2đ?‘Ž + 2đ?‘? = đ?‘ đ?‘Ž+đ?‘? =đ?‘ đ?‘ 3đ?‘ 3đ?‘ 2 đ?‘ } â&#x;š đ?‘? = , đ?‘Ž = ; đ?‘ƒ = đ?‘Žâˆ’đ?‘? = 4 4 16 2

174

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

5. RijeĹĄi sistem đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś =3 63 } đ?‘Ľ2 − đ?‘Ś2 = đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś RjeĹĄenje: 63

Druga jednadĹžba daje (đ?‘Ľ − đ?‘Ś)(đ?‘Ľ + đ?‘Ś) = đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś, pa imamo sistem jednadĹžbi đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś=3

63 } â&#x;š đ?‘Ľ − đ?‘Ś = 3} â&#x;š đ?‘Ľ = 5 ∧ đ?‘Ś = 2 đ?‘Ľ+đ?‘Ś =7 (đ?‘Ľ − đ?‘Ś)(đ?‘Ľ + đ?‘Ś) = đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś

6. Ako se jedan broj podijeli sa drugim dobiće se koliÄ?nik 2 i ostatak 11. Ako se njihova suma podijeli njihovom razlikom dobije se koliÄ?nik 2 i ostatak 20. Koji su to brojevi? RjeĹĄenje: Neka su traĹženi brojevi đ?‘Ľ i đ?‘Ś. Prema tekstu zadatka moĹžemo formirati sistem jednaÄ?ina: đ?‘Ľ = 2đ?‘Ś + 11 } â&#x;š đ?‘Ľ = 73 ∧ đ?‘Ś = 31 đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 2(đ?‘Ľ − đ?‘Ś) + 20 TraĹženi brojevi su 73 i 31.

7. Ako se podijeli jedan dvocifreni broj zbirom svojih cifara dobije se koliÄ?nik 5 i ostatak 1. Ako se tom broju doda 9 dobije se broj napisan obrnutim redoslijedom. Koji je to broj? RjeĹĄenje: Neka je traĹženi dvocifreni broj oblika 10đ?‘Ľ + đ?‘Ś, gdje je đ?‘Ľ cifra desetica, a đ?‘Ś cifra jedinica. Sada po tekstu zadatka moĹžemo formirati sistem jednadĹžbi 10đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 5(đ?‘Ľ + đ?‘Ś) + 1 } â&#x;šđ?‘Ľ = 5∧đ?‘Ś = 6 10đ?‘Ľ + đ?‘Ś + 9 = 10đ?‘Ś + đ?‘Ľ TraĹženi broj je 56.

8. 8 radnika i 7 radnica za 12 dana naprave 53 kompleta nekog namjeĹĄtaja, a 9 radnika i 6 radnica za 18 dana naprave 81 komplet namjeĹĄtaja. Koliko će kompleta namjeĹĄtaja za 20 dana napraviti 12 radnika i 13 radnica? RjeĹĄenje: Ako za 1 dan jedan radnik napravi đ?‘Ľ kompleta, a radnica đ?‘Ś kompleta namjeĹĄtaja, moĹžemo formirati sistem jednadĹžbi 1 1 (8đ?‘Ľ + 7đ?‘Ś) â‹… 12 = 53 } â&#x;šđ?‘Ľ = ∧đ?‘Ś = (9đ?‘Ľ + 6đ?‘Ś) â‹… 18 = 81 3 4

175

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje 1

1

3

4

Za 20 dana 12 radnika i 13 radnica napraviti 20 â‹… (12 â‹… + 13 â‹… ) = 145 kompleta namjeĹĄtaja.

9. IzraÄ?unati parametar đ?‘˜ u sistemu jednaÄ?ina

(đ?‘˜ + 1)đ?‘Ľ − đ?‘Ś = 1 } tako da zbir rjeĹĄenja bude 5. đ?‘˜đ?‘Ľ + 4đ?‘Ś = 10

RjeĹĄenje: Najprije izrazimo rjeĹĄenja po đ?‘Ľ a onda po đ?‘Ś iz jednaÄ?ina: 1+đ?‘Ś đ?‘Ľ= đ?‘˜ + 1 } â&#x;š 1 + đ?‘Ś = 10 − 4đ?‘Ś â&#x;š đ?‘Ś = 9đ?‘˜ + 10 10 − 4đ?‘Ś đ?‘˜+1 đ?‘˜ 5đ?‘˜ + 4 đ?‘Ľ= đ?‘˜ Sada izrazimo đ?‘Ś iz prve i druge jednadĹžbe i dobijamo rjeĹĄenje za đ?‘Ľ: đ?‘Ś = đ?‘˜đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − 1 10 − đ?‘˜đ?‘Ľ 14 10 − đ?‘˜đ?‘Ľ } â&#x;š đ?‘˜đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − 1 = â&#x;šđ?‘Ľ= 4 5đ?‘Ľ + 4 đ?‘Ś= 4 Znamo da je zbir rjeĹĄenja 5, pa imamo jednadĹžbu 14 9đ?‘˜ + 10 1 + =5 â&#x;šđ?‘˜= 5đ?‘˜ + 4 5đ?‘˜ + 4 4

10. Dva radnika mogu da zavrĹĄe neki posao za 24 dana. Poslije zajedniÄ?kog rada od 10 dana, jedan radnik se razbolio pa je drugi nastavio sam i dovrĹĄio taj posao za slijedećih 35 dana. Za koliko dana bi taj posao zavrĹĄio svaki od njih ako bi radio sve sam? RjeĹĄenje: Neka je đ?‘Ľ broj dana za koji bi prvi radnik zavrĹĄio posao sam, a đ?‘Ś broj dana za koji bi drugi 1

1

radnik uradio posao sam. Za jedan dan prvi radnik bi uradio đ?‘Ľ posla, a drugi đ?‘Ś, a zajedno bi 1

1

1

uradili đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 24. Na cijelom poslu prvi radnik je radio 10 dana, a drugi 45 dana i uradili su cijeli posao, tj.

10 đ?‘Ľ

+

45 đ?‘Ś

= 1. Imamo sistem jednadĹžbi 1 1 1 + = đ?‘Ľ đ?‘Ś 24 â&#x;š đ?‘Ľ = 40 ∧ đ?‘Ś = 60 10 45 + =1 đ?‘Ľ đ?‘Ś }

176

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

11. Dvocifreni broj dva puta je veći od zbira svojih cifara. Ako tom broju cifre zamijene mjesta dobija se broj koji je za 54 veci od trostrukog zbira njegovih cifara. Koji je to broj? RjeĹĄenje: đ?‘Ľ â‹… 10đ?‘Ś = 2(đ?‘Ľ + đ?‘Ś) } â&#x;šđ?‘Ľ =1∧đ?‘Ś =8 đ?‘Ś â‹… 10 + đ?‘Ľ = 3(đ?‘Ľ + đ?‘Ś) + 54 To je broj 18.

12. Obim paralelograma je 30đ?‘?đ?‘š. Zbir povrĹĄina kvadrata konstruisanih nad dvjema susjednim stranicama je 113đ?‘?đ?‘š2 . Kolike su duĹžine tih stranica? RjeĹĄenje: OznaÄ?imo sa đ?‘Ž duĹžinu veće, a s đ?‘? duĹžinu kraće stranice. Tada vrijedi 2đ?‘Ž + 2đ?‘? = 30 â&#x;š đ?‘Ž + đ?‘? = 15 i đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 = 113. đ?‘Ž + đ?‘? = 15 } â&#x;š (đ?‘Ž = 8đ?‘?đ?‘š ∧ đ?‘? = 7đ?‘?đ?‘š) ∨ (đ?‘Ž = 7đ?‘?đ?‘š ∧ đ?‘? = 8đ?‘?đ?‘š) đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 = 113 Kako smo oznaÄ?ili sa đ?‘Ž duĹžu stranicu paralelograma, drugi sluÄ?aj otpada. Dakle, đ?‘Ž = 8đ?‘?đ?‘š i đ?‘? = 7đ?‘?đ?‘š.

13. Jedna dijagonala romba duĹža je od druge za 5 đ?‘?đ?‘š. Ako se duĹža dijagonala umanji za 2 đ?‘?đ?‘š, a kraća uveća za 3 đ?‘?đ?‘š, povrĹĄina romba će se povećati za 13đ?‘?đ?‘š2. Odredi dijagonale romba ! RjeĹĄenje:

đ?‘‘1 – kraća dijagonala romba đ?‘‘2 – duĹža dijagonala romba đ?‘‘2 = đ?‘‘1 + 5 jedna dijagonala je duĹža od druge za 5đ?‘?đ?‘š Ako se duĹža dijagonala umanji za 2đ?‘?đ?‘š, imamo đ?‘‘2 = (đ?‘‘1 + 5) − 2 Ako se kraća dijagonala uveća za 3đ?‘?đ?‘š, imamo đ?‘‘1 + 3 177

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

PovrĹĄina romba je đ?‘ƒ =

đ?‘‘1 ∙ đ?‘‘2 2

, a u naĹĄem sluÄ?aju imamo da je

đ?‘‘1 ∙ (đ?‘‘1 + 5) 2 } â&#x;š đ?‘‘1 = 17đ?‘?đ?‘š ∧ đ?‘‘2 = 22đ?‘?đ?‘š (đ?‘‘1 + 3) ∙ [(đ?‘‘1 + 5) − 2] đ?‘ƒ + 13 = 2 đ?‘ƒ=

14. RijeĹĄi sistem jednadĹžbi 1 3 = − 1 8 đ?‘Ľâˆ’đ?‘Śâˆ’ 3 â&#x;šđ?‘Ľ =5∧đ?‘Ś =2 1 7 = 1 6 1− đ?‘Ľ+đ?‘Ś } 15. Na granama stoje dva jata ptica. Ako bi dvije ptice iz prvog jata preĹĄle u drugo jato jata bi brojno se izjednaÄ?ila. Ako bi pak dvije ptice iz drugog jata preĹĄle u prvo jato prvo jato bi postalo tri puta brojnije od drugog jata. Po koliko ptica broje jata? RjeĹĄenje: đ?‘Ľ − broj ptica u prvom jatu đ?‘Ś −broj ptica u drugom jatu đ?‘Ľâˆ’2=đ?‘Ś+2 } â&#x;š đ?‘Ľ = 10 ∧ đ?‘Ś = 6 đ?‘Ľ + 2 = 3(đ?‘Ś − 2) 16. RijeĹĄiti sistem jednadĹžbi 0.8 55 542 − 522 đ?‘Ľâˆ’ 2đ?‘Śâˆ’ =0 2 25 53 5 đ?‘Ľ − 3đ?‘Ś + 1 đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś 4.3 − 7đ?‘Ś 4.3 − 7đ?‘Ś − − =1− 2 3 5 5 RjeĹĄenje: 0.8 55 542 − 522 đ?‘Ľâˆ’ 2đ?‘Śâˆ’ =0 2 25 53 2 â&#x;šđ?‘Ľ = 1∧đ?‘Ś = − 5 5 đ?‘Ľ − 3đ?‘Ś + 1 đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś 4.3 − 7đ?‘Ś 4.3 − 7đ?‘Ś − − =1− } 2 3 5 5

178

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

17. Ako je 9đ?‘Ľ 2 + 4đ?‘Ś 2 − 12đ?‘Ľđ?‘Ś − 16đ?‘Ž2 = 12 i 3đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś + 4đ?‘Ž = 4, koliko je 3đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś? RjeĹĄenje: 9đ?‘Ľ 2 + 4đ?‘Ś 2 − 12đ?‘Ľđ?‘Ś − 16đ?‘Ž2 = 12 (3đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś)2 − (4đ?‘Ž)2 = 12 (3đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś − 4đ?‘Ž)(3đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś + 4đ?‘Ž) = 12 A kako je 3đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś + 4đ?‘Ž = 4 slijedi 4(3đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś − 4đ?‘Ž) = 12 3đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś − 4đ?‘Ž = 3 Sada imamo sistem jednadĹžbi 7 3đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś − 4đ?‘Ž = 3 } â&#x;š 3đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś = 3đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś + 4đ?‘Ž = 4 2

18. Lete dva jata ptica. Jedno jato kaĹže: „Ako nam date jednu pticu, bit će nas onoliko koliko i vas.“ Drugo jato kaĹže: „Ako vi nama date jednu pticu, nas će bit dva puta viĹĄe nego vas.“ Koliko je ptica bilo u jednom, a koliko u drugom jatu? RjeĹĄenje: đ?‘Ľ − broj ptica prvog jata đ?‘Ś − broj ptica drugog jata đ?‘Ľ+1=đ?‘Śâˆ’1 } â&#x;šđ?‘Ľ =5∧đ?‘Ś =7 đ?‘Ś + 1 = 2(đ?‘Ľ − 1)

19. DuĹžine stranica pravouglog trougla prirodni su brojevi. Odredi obim onog pravouglog trougla koji ima najmanju duĹžinu hipotenuze, ako je duĹžina katete 21. RjeĹĄenje: Neka su đ?‘Ž i đ?‘? duĹžine kateta i đ?‘? duĹžina hipotenuze i neka je đ?‘Ž = 21. Tada vrijedi đ?‘? 2 − đ?‘? 2 = 212 odnosno (đ?‘? − đ?‘?)(đ?‘? + đ?‘?) = 3 â‹… 3 â‹… 7 â‹… 7 pri Ä?emu je đ?‘? − đ?‘? < đ?‘? + đ?‘? RijeĹĄimo sada sljedeće sisteme jednadĹžbi: đ?‘?−đ?‘? =1 đ?‘? + đ?‘? = 441 đ?‘? = 221

đ?‘?−đ?‘? =3 đ?‘? + đ?‘? = 147 đ?‘? = 75

đ?‘?−đ?‘? =7 đ?‘? + đ?‘? = 63 đ?‘? = 35

đ?‘?−đ?‘? =9 đ?‘? + đ?‘? = 49 đ?‘? = 29

Prema tome, najmanja duĹžina hipotenuze je 29, a obim trougla 70.

179

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

20. Poznato je da je 30% nekog broja đ??´ za 10 veće od 20% broja đ??ľ, a 30% broja đ??ľ je za 35 veće od 20% broja đ??´. IzraÄ?unati brojeve đ??´ i đ??ľ. RjeĹĄenje: 30%đ??´ = 20%đ??ľ + 10 30%đ??ľ = 20%đ??´ + 350 30 20 đ??´= đ??ľ + 10 100 100 } â&#x;š đ??´ = 200 ∧ đ??ľ = 250 30 20 đ??ľâˆ’ đ??´ + 35 100 100

21. Zbir cifara trocifrenog broja je 17 gdje je cifra desetica 9. Ako cifre stotica i jedinica zamijene mjesta, novi broj je za 100 veći od dvostrukog prvog broja. Koji je prvi broj? Rjeťenje: Taj broj je 296.

22. Na ispitu iz matematike radi se 40 zadataka. TaÄ?an odgovor vrijedi 15 bodova, a netaÄ?an minus 4 boda. Amir je rijeĹĄio sve zadatke, no naĹžalost neke pogreĹĄno. Koliko je pogreĹĄnih odgovora dao ako je ukupno imao 353 boda? RjeĹĄenje: Amir je dao 13 pogreĹĄnih odgovora, a 27 taÄ?nih.

23. Rijeťi sistem jednadŞbi 1 1 + = 2007 � � 1 1 + = 2008 � � 1 1 + = 2009 � � Rjeťenje: Ako saberemo lijeve i desne strane jednadŞbi sistema i podijelimo sa 2 dobit ćemo: 1 1 1 + + = 3012 � � � Oduzimajući redom jednadŞbe sistema od poslednje jednadŞbe dobijamo 1 1 1 = 1005, = 1004, = 1003 � � � 180

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

tj. rjeĹĄenja sistema đ?‘Ľ =

1

,đ?‘Ś=

1004

1

,�=

1003

1

.

1005

24. Zbir duĹžina kateta datog pravouglog trougla je 22đ?‘?đ?‘š. Ako se jedna kateta smanji za 4đ?‘?đ?‘š, a druga poveća za 2đ?‘?đ?‘š dobija se pravougli trougao Ä?ija je povrĹĄina jednaka povrĹĄini datog trougla. Odrediti duĹžine kateta datog trougla. RjeĹĄenje: đ?‘Ž + đ?‘? = 22 â&#x;š đ?‘Ž = 22 − đ?‘? (18 − đ?‘?)(đ?‘? + 2) = (22 − đ?‘?) â‹… đ?‘? } â&#x;š (đ?‘Ž − 4)(đ?‘? + 2) = đ?‘Žđ?‘? −6đ?‘? = −36 â&#x;š đ?‘? = 6 ∧ đ?‘Ž = 16

25. Zbir cifara dvocirenog broja je 12. Ako cire zamijene mjesta dobije se broj za 15 veći od dvostrukog traĹženog broja. Koji je to broj? RjeĹĄenje: đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 12 đ?‘Śđ?‘Ľ = 10đ?‘Ś + đ?‘Ľ = 2(10đ?‘Ľ + đ?‘Ś) + 15 đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 12 10đ?‘Ś + đ?‘Ľ = 20đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś + 15 đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 12 / â‹… 19 −19đ?‘Ľ + 8đ?‘Ś = 15 19đ?‘Ľ + 19đ?‘Ś = 228 −19đ?‘Ľ + 8đ?‘Ś = 15 27đ?‘Ś = 243 đ?‘Ś=9 đ?‘Ľ = 12 − đ?‘Ś đ?‘Ľ=3

181

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

Nejednakosti i nejednadĹžbe 1. Koliko ima prirodnih brojeva za koje vrijedi nejednakost 2014 < √đ?‘Ľ < 2015. RjeĹĄenje: 2014 < √đ?‘Ľ < 2015 /2 4056196 < đ?‘Ľ < 4060225 To su brojevi: 4056197, 4056198, ‌ , 4060224. Brojeva ukupno ih ima 4060225 − 4056197 = 4028.

2. RijeĹĄi nejednadĹžbu u skupu cijelih brojeva |

2đ?‘Ľâˆ’3 4

| < 1.

RjeĹĄenje: 2đ?‘Ľ − 3 <1 4 −4 < 2đ?‘Ľ – 3 < 4, 1 7 − <đ?‘Ľ< 2 2 Cijeli brojevi koji odgovaraju rjeĹĄenju su đ?‘Ľ = 0, 1, 2, 3. −1 <

3. RijeĹĄi nejednaÄ?inu u skupu realnih brojeva

đ?‘Ľâˆ’1 đ?‘Ľ+1

> 1.

RjeĹĄenje:

đ?‘Ľâˆ’1 2 >1 â&#x;š − > 0 â&#x;š đ?‘Ľ + 1 < 0 â&#x;š đ?‘Ľ < −1 đ?‘Ľ+1 đ?‘Ľ+1

đ?‘Ľ ∈ (−∞, −1)

182

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

4. Dokazati da za pozitivne brojeve đ?‘Ž, đ?‘? i đ?‘? vrijedi nejednakost đ?‘Žđ?‘?(đ?‘Ž + đ?‘?) + đ?‘Žđ?‘?(đ?‘Ž + đ?‘?) + đ?‘?đ?‘?(đ?‘? + đ?‘?) ≼ 6đ?‘Žđ?‘?đ?‘? . RjeĹĄenje: đ?‘Žđ?‘?(đ?‘Ž + đ?‘?) + đ?‘Žđ?‘?(đ?‘Ž + đ?‘?) + đ?‘?đ?‘?(đ?‘? + đ?‘?) = đ?‘Ž2 đ?‘? + đ?‘Žđ?‘? 2 + đ?‘Ž2 đ?‘? + đ?‘Žđ?‘? 2 + đ?‘? 2 đ?‘? + đ?‘?đ?‘? 2 = = (đ?‘Ž2 đ?‘? + đ?‘?đ?‘? 2 ) + (đ?‘Žđ?‘? 2 + đ?‘Žđ?‘? 2 ) + (đ?‘Ž2 đ?‘? + đ?‘? 2 đ?‘?) = = đ?‘?(đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 ) + đ?‘Ž(đ?‘? 2 + đ?‘? 2 ) + đ?‘?(đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 ) ≼ đ?‘? ∙ 2đ?‘Žđ?‘? + đ?‘Ž ∙ 2đ?‘Žđ?‘? + đ?‘? ∙ 2đ?‘Žđ?‘? = 6đ?‘Žđ?‘?đ?‘?

5. Na fudbalskom turniru za pobjedu se dobiva 2 boda, za remi 1 bod, a za poraz 0 bodova. Zna se da je svaka ekipa igrala sa svakom jedanput i da je pobjedniÄ?ka ekipa na kraju osvojila 7 bodova, drugoplasirana 5 bodova, a trećeplasirana ekipa 3 boda. Koliko bodova je imala ekipa koja je bila poslednja na turniru ? RjeĹĄenje: Neka je ukupan broj ekipa đ?‘› tada je ukupan broj bodova koje su osvojile ekipe đ?‘›(đ?‘› − 1). Kako je đ?‘›(đ?‘› − 1) ≼ 7 + 5 + 3 â&#x;š đ?‘› ≼ 5. Ekipa koje su se plasirale iza trećeg mjesta ima đ?‘› − 3, i svaka od njih je osvojila manje od 5 bodova, pa je đ?‘›(đ?‘› − 1) ≤ 15 + 5(đ?‘› − 3) â&#x;š đ?‘› < 6. Iz svega ovog slijedi da je đ?‘› = 5. Ukupan broj bodova je 20, pa su Ä?etvrto i petoplasirana ekipa osvojile 3, odnosno 2 boda.

6. Koliko ima cijelih brojeva đ?‘Ľ za koje vrijedi

1 4

<

RjeĹĄenje: 7 77 < 2−đ?‘Ľ < 4 12 7 77 − >đ?‘Ľâˆ’2>− 4 12 1 53 >đ?‘Ľ>− 4 12 5 1 −4 <đ?‘Ľ< 12 4 đ?‘Ľ ∈ {−4, −3, −2, −1,0}

183

2−đ?‘Ľ 7

<

11

.

12

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

7. Za koje vrijednosti promjenljive đ?‘? izraza

3 4 đ?‘? 1− 2

2đ?‘?−

ima vrijednost manju od 17?

RjeĹĄenje:

3 2đ?‘? − 4 10đ?‘? − 7 7 10đ?‘? − 7 < 0 ∧ 2 − đ?‘? > 0 < 17 â&#x;ş < 0 â&#x;ş } â&#x;š đ?‘? ∈ (−∞, ) âˆŞ (2, +∞) đ?‘? 10đ?‘? − 7 > 0 ∧ 2 − đ?‘? < 0 2−đ?‘? 10 1−2

184

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

Prosti i sloĹženi brojevi. Djeljivost 1. DokaĹži da je broj 201612 + 210 sloĹžen. RjeĹĄenje: 201612 + 210 = (20166 + 25 )2 − 2 â‹… 25 â‹… 20166 = (20166 + 25 )2 − 26 â‹… 20166 = = (20166 + 25 )2 − (23 â‹… 20163 )2 = = (20166 + 25 − 23 â‹… 20163 )(20166 + 25 + 23 â‹… 20163 ) Dakle, kako su oba faktora veća od 1, dati broj je sloĹžen. 2. Dokazati da je izraz: đ?‘›5 − 5đ?‘›3 + 4đ?‘› (đ?‘› ∈ đ?‘ ) djeljiv sa 120. RjeĹĄenje: đ?‘›5 − 5đ?‘›3 + 4đ?‘› = đ?‘›(đ?‘›4 − 5đ?‘›2 + 4) = đ?‘›(đ?‘›2 − 1)(đ?‘›2 − 4) = = đ?‘›(đ?‘› − 1)(đ?‘› + 1)(đ?‘› − 2)(đ?‘› + 2) = (đ?‘› − 2)(đ?‘› − 1)đ?‘›(đ?‘› + 1)(đ?‘› + 2) Posljednji proizvod predstavlja proizvod pet uzastopnih cijelih brojeva od kojih je uvijek jedan djeljiv sa dva,jedan sa tri, jedan sa Ä?etiri i jedan sa pet pa je ovaj proizvod djeljiv sa 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120.

3. Odredi sve vrijednosti prirodnog broja za koje je razlomak

3đ?‘›+29 đ?‘›+2

cijeli broj.

RjeĹĄenje: 3đ?‘› + 29 ∈đ?‘? đ?‘›+2 đ?‘› + đ?‘› + đ?‘› + 2 + 2 + 2 + 23 (đ?‘› + 2) + (đ?‘› + 2) + (đ?‘› + 2) + 23 23 = = 3+ đ?‘›+2 đ?‘›+2 đ?‘›+2 23 3∈đ?‘? â&#x;š ∈ đ?‘? â&#x;š (đ?‘› + 2) treba da bude djeljivo sa 23 â&#x;š đ?‘›+2 â&#x;š đ?‘› + 2 ∈ {−25, −3, −1, 21}

4. Dokazati da je za ma koji prirodni broj đ?‘› izraz

đ?‘›2 2

−

2đ?‘› 3

+

đ?‘›3 6

cijeli broj.

RjeĹĄenje: đ?‘›2 2đ?‘› đ?‘›3 3đ?‘›2 − 4đ?‘› + đ?‘›3 đ?‘› â‹… (đ?‘›2 + 3đ?‘› − 4) − + = = 2 3 6 6 6 đ?‘›2 + 3đ?‘› − 4 = đ?‘›2 + 4đ?‘› − đ?‘› − 4 = đ?‘›(đ?‘› + 4) − 1(đ?‘› + 4) = (đ?‘› + 4)(đ?‘› − 1) đ?‘› â‹… (đ?‘›2 + 3đ?‘› − 4) đ?‘› â‹… (đ?‘› − 1)(đ?‘› + 4) đ?‘› â‹… (đ?‘› − 1)(đ?‘› + 1 + 3) â&#x;š = = = 6 6 6 đ?‘› â‹… (đ?‘› − 1)(đ?‘› + 1) + 3đ?‘›(đ?‘› − 1) đ?‘› â‹… (đ?‘› − 1)(đ?‘› + 1) đ?‘›(đ?‘› − 1) = = + 6 6 2 185

} â&#x;š

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

đ?‘› â‹… (đ?‘› − 1)(đ?‘› + 1) − proizvod tri uzastopna prirodna broja pa je ovaj proizvod djeljiv sa 6, pa vrijedi

đ?‘›â‹…(đ?‘›âˆ’1)(đ?‘›+1) 6

∈ℤ

đ?‘›(đ?‘› − 1) − proizvod dva uzastopna prirodna broja pa je ovaj proizvod djeljiv sa 2, pa vrijedi đ?‘›(đ?‘›âˆ’1) 2

∈ℤ

na osnovu prethodnih relacija zakljuÄ?ujemo da đ?‘›2 2

−

2đ?‘› 3

+

đ?‘›3 6

đ?‘›â‹…(đ?‘›âˆ’1)(đ?‘›+1) 6

+

đ?‘›(đ?‘›âˆ’1) 2

∈ ℤ, odnosno

∈ℤ

1

5. Naći sve proste brojeve đ?‘? za koje je 1+√2 +

1 √2+√3

+

1 √3+√4

+ â‹Ż+

1 √đ?‘?+√đ?‘?+1

prirodan broj.

RjeĹĄenje: Racionalisat ćemo svaki od razlomaka pa ćemo dobiti: 1 1 + √2

= √2 − 1;

1 √2 + √3

= √3 − √2;

1 √3 + √4

= √4 − √3; ‌ ;

1 √đ?‘? + √đ?‘? + 1

= √đ?‘? + 1 − √đ?‘?

ĹĄto nakon uvrĹĄtavanja umjesto polaznih ralomaka daje: √2 − 1 + √3 − √2 + √4 − √3 + â‹Ż + √đ?‘? + 1 − √đ?‘? = −1 + √đ?‘? + 1 = √đ?‘? + 1 − 1 Sada imamo √đ?‘? + 1 − 1 = đ?‘›, đ?‘› ∈ â„•, a odavde nakon prebacivanja jedinice na desnu stranu i kvadriranja dobijamo: đ?‘? + 1 = (đ?‘› + 1)2 â&#x;š đ?‘? + 1 = đ?‘›2 + 2đ?‘› + 1 â&#x;š đ?‘? = đ?‘›2 + 2đ?‘› = đ?‘› â‹… (đ?‘› + 2) Vidimo da će đ?‘? biti prost jedino ako je đ?‘› = 1 pa će biti da je đ?‘? = 3

6. KoliÄ?nici Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… 3đ?‘Ž5đ?‘? : 36 i Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… 4đ?‘?7đ?‘‘ : 45 su prirodni brojevi. Koji je koliÄ?nik veći? RjeĹĄenje: Odredimo ove koliÄ?nike. Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… â&#x;š 4|3đ?‘Ž5đ?‘? Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… ∧ 9|3đ?‘Ž5đ?‘? Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…. Iz uslova 36|3đ?‘Ž5đ?‘? Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… â&#x;š đ?‘? = 2 ∨ đ?‘? = 6. Iz uslova 4|3đ?‘Ž5đ?‘? Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… â&#x;š 9|(3 + đ?‘Ž + 5 + đ?‘?) â&#x;š 9|(8 + đ?‘Ž + đ?‘?) â&#x;š đ?‘Ž + đ?‘? = 1 ∨ đ?‘Ž + đ?‘? = 10. Iz uslova 9|3đ?‘Ž5đ?‘? Za đ?‘? = 2 â&#x;š đ?‘Ž = 8, odnosno Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… 3đ?‘Ž5đ?‘? = 3852, pa je 3852: 36 = 107. Za đ?‘? = 6 â&#x;š đ?‘Ž = 4, odnosno Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… 3đ?‘Ž5đ?‘? = 3456, pa je 3456: 36 = 96. Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… â&#x;š 5|4đ?‘?7đ?‘‘ Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… ∧ 9|4đ?‘?7đ?‘‘ Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…. Iz uslova 45|4đ?‘?7đ?‘‘ Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… â&#x;š đ?‘‘ = 0 ∨ đ?‘‘ = 5. Iz uslova 5|4đ?‘?7đ?‘‘ Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… â&#x;š 9|(4 + đ?‘? + 7 + đ?‘‘) â&#x;š 9|(11 + đ?‘? + đ?‘‘) â&#x;š đ?‘? + đ?‘‘ = 7 ∨ đ?‘? + đ?‘‘ = 16. Iz uslova 9|4đ?‘?7đ?‘‘ Za đ?‘‘ = 0 â&#x;š đ?‘? = 7, odnosno Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… 4đ?‘?7đ?‘‘ = 4770, pa je 4770: 45 = 106. Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… = 4275, pa je 4275: 45 = 95. Za đ?‘‘ = 5 â&#x;š đ?‘? = 2, odnosno 4đ?‘?7đ?‘‘ Dakle, ako je (đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘‘) ∈ {(8, 2, 7, 0), (8, 2, 5, 2), (4, 6, 5, 2)} â&#x;š Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… 3đ?‘Ž5đ?‘?: 36 > Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… 4đ?‘?7đ?‘‘ : 45. Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… Ako je (đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘‘) ∈ {(4, 6, 7, 0)} â&#x;š 3đ?‘Ž5đ?‘? : 36 > 4đ?‘?7đ?‘‘ : 45.

186

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

7. Koje dvije cifre nedostaju u zapisu broja Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… 1376đ?‘Ľ7530912263450463159795815809024đ?‘Ś0000000 koji je jednak umnoĹĄku prvih 37 prirodnih brojeva? Odgovor obrazloĹži. RjeĹĄenje: U proizvodu prvih 37 prirodnih brojeva figurira 8 faktora 5 (5, 10, 15, 20 i 30 po jedan, a u broju 25 dva) i joĹĄ viĹĄe faktora 2, pa proizvod zavrĹĄava sa 8 nula, ĹĄto znaÄ?i đ?‘Ś = 0. PoĹĄto ovaj proizvod sadrĹži i faktor 9, to zbir svih njegovih cifara mora biti djeljiv sa 9, tj. 9|(150 + đ?‘Ľ) â&#x;š đ?‘Ľ = 3.

8. Odredi sve proste brojeve đ?‘?, đ?‘ž i đ?‘&#x; takve da je đ?‘? ∙ (264đ?‘ž + 4đ?‘&#x;) = 2008. RjeĹĄenje: NapiĹĄimo broj 2008 u obliku proizvoda prostih faktora: 2008 = 2 â‹… 2 â‹… 2 â‹… 2 â‹… 251. PoĹĄto je 264đ?‘ž + đ?‘&#x; > 8, ∀đ?‘ž, đ?‘&#x; ∈ â„• â&#x;š đ?‘? = 2, odnosno 264đ?‘ž + 4đ?‘&#x; = 1004. 1004: 264 < 4 â&#x;š đ?‘ž < 4, pa đ?‘ž moĹže biti 2 ili 3. Ako je đ?‘ž = 2 imamo đ?‘&#x; = (1004 − 264 â‹… đ?‘ž): 4 = (1004 − 264 â‹… 2): 4 = 486: 4. MeÄ‘utim, rezultat dijeljenja 486: 4 nije prirodan broj. Ako je q = 3, imamo đ?‘&#x; = (1004 − 264 â‹… đ?‘ž): 4 = (1004 − 264 â‹… 3): 4 = 212: 4 = 53. 53 je prost broj, kao i brojevi 2 i 3, pa je rjeĹĄenje zadatka (đ?‘?, đ?‘ž, đ?‘&#x;) = (2, 3, 53).

187

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

Trougao i Ä?etverougao. Mnogougao 1. Dokazati da je zbir polupreÄ?nika upisane i opisane kruĹžnice pravouglog trougla jednak aritmetiÄ?koj sredini kateta. RjeĹĄenje:

Neka je đ?‘‚ centar upisane kruĹžnice i neka je đ?‘&#x; njen polupreÄ?nik. Znamo da je polupreÄ?nik đ?‘? opisane ktuĹžnice đ?‘… = 2. ÄŒetverougao đ?‘‚đ??ˇđ??śđ??¸ je kvadrat pa je đ??ľđ??ˇ = đ?‘Ž − đ?‘&#x; i đ??´đ??¸ = đ?‘? − đ?‘&#x;. Iz podudarnosti trouglova đ?‘‚đ??ˇđ??ľ i đ?‘‚đ??šđ??ľ slijedi da je đ??ľđ??š = đ?‘Ž − đ?‘&#x;, a iz podudarnosti trouglova đ?‘‚đ??¸đ??´ i đ?‘‚đ??šđ??´ slijedi da je đ??šđ??´ = đ?‘? − đ?‘&#x;. Sada imamo đ?‘Ž+đ?‘? đ?‘? = (đ?‘Ž − đ?‘&#x;) + (đ?‘? − đ?‘&#x;) ∧ đ?‘? = 2đ?‘… â&#x;š đ?‘&#x; + đ?‘… = 2 2. U jednakostraniÄ?ni trougao stranice 3cm razmjeĹĄteno je 12 taÄ?aka. Dokazati da se u svakom sluÄ?aju mogu naći dvije taÄ?ke Ä?ija je udaljenost manja ili jednaka od 1đ?‘?đ?‘š. RjeĹĄenje:

Podijelimo dati jednakostraniÄ?ni trougao na 9 podudarnih jednakostraniÄ?nih trouglova, podjelom stranica datog trougla na po tri jednaka dijela, a zatim povlaÄ?enjem paralela sa stranicama. Kako je 9 trouglova, a 12 taÄ?aka, u bar jednom trouglu stranice 1đ?‘?đ?‘š naći će se bar dvije taÄ?ke Ä?ija će udaljenost biti manja ili jednaka 1đ?‘?đ?‘š. 188

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

3. Obim paralelograma je 30đ?‘?đ?‘š. Zbir povrĹĄina kvadrata konstruisanih nad dvjema susjednim stranicama je 113đ?‘?đ?‘š2 . Kolike su duĹžine tih stranica? RjeĹĄenje: 2đ?‘Ž + 2đ?‘? = 30, đ?‘Ž + đ?‘? = 15 đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 = 113 (đ?‘Ž + đ?‘?)2 = 225 đ?‘Ž2 + 2đ?‘Žđ?‘? + đ?‘? 2 = 225 2đ?‘Žđ?‘? = 112 đ?‘Žđ?‘? = 56 pa zakljuÄ?ujemo đ?‘Ž = 8đ?‘?đ?‘š, đ?‘? = 7đ?‘?đ?‘š.

4. IzraÄ?unaj povrsinu kruĹžnog prstena kojeg cine opisana kruĹžnica i upisana kruĹžnica u kvadrat stranie đ?‘Ž = 6đ?‘?đ?‘š. RjeĹĄenje:

2

đ?‘‘ 2 đ?‘Ž 2 đ?‘Žâˆš2 đ?‘Ž 2 đ?‘ƒ = ( ) đ?œ‹ − ( ) đ?œ‹ â&#x;š đ?‘ƒ = [( ) −( ) ]đ?œ‹ 2 2 2 2 đ?‘ƒ = 9đ?œ‹đ?‘?đ?‘š2

5. Uglovi deltoida koji obrazuju dijagonale sa nejednakim stranicama su 50° i 70°. Koliki su uglovi deltoida? RjeĹĄenje: đ?›ź + 50° + 50° = 180° đ?›ź = 180° − 100° đ?›ź = 80° đ?›ż + 70 + 70 = 180° đ?›ż = 180° − 14đ?‘‚° đ?›ż = 40° đ?›ź = 80 đ?›ż = 40 đ?›ž = 120

189

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

6. Naći sve pravougaonike Ä?ije su dimenzije (duĹžina i ĹĄirina) prirodni brojevi, a kojima su obimi brojno jednaki njihovim povrĹĄinama. RjeĹĄenje: 2đ?‘Ž

đ?‘Ž, đ?‘? ∈ â„•, đ?‘Žđ?‘? = 2đ?‘Ž + 2đ?‘? â&#x;š đ?‘Žđ?‘? − 2đ?‘? = 2đ?‘Ž â&#x;š đ?‘? = đ?‘Žâˆ’2

2đ?‘Ž − 4 + 4 2(đ?‘Ž − 2) 4 4 = + =2+ đ?‘Žâˆ’2 đ?‘Žâˆ’2 đ?‘Žâˆ’2 đ?‘Žâˆ’2 Da bi dimenzija đ?‘? pravougaonika bila prirodni broj treba da vrijedi 4: (đ?‘Ž − 2) ∈ â„•, pa zakljuÄ?ujemo da đ?‘Ž ∈ {3, 4}. Za đ?‘Ž = 3 â&#x;š đ?‘? = 6. Za đ?‘Ž = 4 â&#x;š đ?‘? = 4, tj. u ovom sluÄ?aju imamo kvadrat sa osobinom da mu je mjerni broj obima i povrĹĄine jednak. Dakle, postoji samo pravougaonik sa dimenzijama 6 i 3 te kvadrat sa dimenzijama 4. đ?‘?=

7. Neka su đ?‘Ž i đ?‘? stranice, a đ?‘‘1 i đ?‘‘2 dijagonale paralelograma. Dokazati da je: đ?‘‘12 + đ?‘‘22 = 2(đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 ). RjeĹĄenje:

Neka su visine đ??śđ??¸ = đ??ˇđ??š = â„Ž, a odsjeÄ?ci đ??´đ??š = đ??ľđ??¸ = đ?‘Ľ. Trouglovi ∆đ??´đ??šđ??ˇ i ∆đ??ľđ??¸đ??ś su pravougli i vrijedi: đ?‘? 2 = đ?‘Ľ 2 + â„Ž2 . Posmatrajmo sada trougao ∆đ??´đ??¸đ??ś i on je pravougli pa vrijedi đ?‘‘12 = (đ?‘Ž + đ?‘Ľ)2 + â„Ž2 tj. đ?‘‘12 = đ?‘Ž2 + 2đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘Ľ 2 + â„Ž2 . Posmatrajmo trougao ∆đ??šđ??ľđ??ˇ i on je pravougli pa vrijedi đ?‘‘22 = (đ?‘Ž − đ?‘Ľ)2 + â„Ž2 tj. đ?‘‘22 = đ?‘Ž2 − 2đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘Ľ 2 + â„Ž2 . Zamjenom prethodne dvije jednakosti u poslednju jednakost dobijamo: đ?‘‘12 = đ?‘Ž2 + 2đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘? 2 đ?‘‘22 = đ?‘Ž2 − 2đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘? 2 Sabiranjem ove dvije jednakosti dobijemo đ?‘‘12 + đ?‘‘22 = 2(đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 )

190

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

8. Na suprotnim obalama rijeke rastu dva drveta. Visina jednog drveta je 20�, a drugog 30� i udaljenost između njih je 50�. Na vrhu svakog drveta sjedi po jedna ptica. Odjednom na povrťini rijeke pojavi se riba. Obje ptice polete prema ribi u isto vrijeme, istom brzinom i istovremeno dolete do ribe. Na toj udaljenosti od niŞeg drveta se pojavila riba? Rjeťenje:

đ??´đ??ś = đ??´â€˛đ??śâ€˛ pa je 202 + đ?‘Ľ 2 = (50 − đ?‘Ľ)2 + 302 â&#x;ş đ?‘Ľ = 30 Na udaljenosti od 30đ?‘š se pojavila riba od podnoĹžja niĹžeg drveta.

9. Naći obim mnogougla sa slike ako je đ??´đ??¸ = 13đ?‘?đ?‘š, đ??ľđ??ś = 7đ?‘?đ?‘š, đ??¸đ??ˇ = 8đ?‘?đ?‘š i đ??śđ??ˇ = 6đ?‘?đ?‘š i ako je âˆ˘đ??¸đ??´đ??ľ = âˆ˘đ??´đ??ľđ??ś = âˆ˘đ??śđ??ˇđ??¸ = 90°.

RjeĹĄenje: Kako je đ??¸đ??ś = 10đ?‘?đ?‘š i ako na đ??´đ??¸ odaberemo taÄ?ku đ??š tako da je đ??´đ??š = đ??ľđ??ś = 10đ?‘?đ?‘š, tada je đ??´đ??ľđ??śđ??š pravougaonik, a đ??śđ??¸đ??š pravougli trougao.

191

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

Dalje imamo đ??´đ??ľ = đ??śđ??š = √102 − 62 = 8đ?‘?đ?‘š. Dakle, đ?‘‚đ??´đ??ľđ??śđ??ˇđ??¸ = 8 + 7 + 6 + 8 + 13 = 42đ?‘?đ?‘š.

10. Ako sa đ?‘‘đ?‘› oznaÄ?imo broj dijagonala iz jednog tjemena koveksnog mnogougla, a sa đ??ˇđ?‘› ukupan broj dijagonala tog mnogougla, odredi mnogougao za koji vrijedi 9đ?‘‘đ?‘›2 − đ?‘‘đ?‘›2 = 0. RjeĹĄenje: 2 đ?‘‘đ?‘› = đ?‘› − 3 đ?‘›(đ?‘› − 3) đ?‘›2 2 đ?‘›(đ?‘› − 3)} â&#x;š 9(đ?‘› − 3) − ( ) = 0 â&#x;ş (đ?‘› − 3)2 â‹… (9 − ) = 0 2 4 đ??ˇđ?‘› = 2 đ?‘›2 2 â&#x;ş (đ?‘› − 3) = 0 ∨ (9 − ) = 0 â&#x;ş đ?‘›1 = ∨ đ?‘›2 = 6 4 2 2 Dakle, jednakost 9đ?‘‘đ?‘› − đ?‘‘đ?‘› = 0 vrijedi za trougao i ĹĄestougao.

11. Ako je broj dijagonala mnogougla 5 puta veći od broja njegovih stranica, koliko stranica ima taj mnogougao? RjeĹĄenje: đ?‘› − broj stranica mnogougla đ?‘›(đ?‘› − 3) đ?‘›(đ?‘› − 3) } â&#x;š = 5đ?‘› â&#x;ş đ?‘› = 13 2 − broj dijagonala mnogougla 2

192

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

Racionalni izrazi 1. IzraÄ?unati: 220 − √(1 + 211 + 220 )(1 − 211 + 220 ) RjeĹĄenje: UoÄ?imo da je: 1 + 211 + 220 = 1 + 2 â‹… 210 + 220 = (1 + 210 )2 1 − 211 + 220 = 1 − 2 â‹… 210 + 220 = (1 − 210 )2 Sada je: 220 − √(1 + 211 + 220 )(1 − 211 + 220 ) = = 220 − |1 + 210 | â‹… |1 − 210 | = = 220 − (1 + 210 )(210 − 1) = 220 − (220 − 1) = 1

2. Tarik je napisao sve trocifrene brojeve i za svaki od njih odredio proizvod njegovih cifara. Nakon toga odredio je i zbir svih tih proizvoda. Koji je broj dobio? RjeĹĄenje: Proizvod cifara trocifrenog broja kojem je cifra desetica ili cifra jedinica jednaka nuli iznosi 0. Takvi brojevi neće uticati na ukupan zbir svih proizvoda. Promatrajući brojeve prve stotice lako se vidi: - zbir proizvoda cifara brojeva 111, 112, 113, ‌ , 118, 119 je 1 + 2 + 3 + â‹Ż + 8 + 9 = 45 - zbir proizvoda cifara brojeva 121, 122, 123, ‌ , 128, 129 je 2 ¡ (1 + 2 + 3 + â‹Ż + 8 + 9) = 2 ¡ 45 - analogno, slijede zbirovi proizvoda 3 â‹… 45, 4 â‹… 45, ‌ , 8 â‹… 45 i 9 â‹… 45. Ukupan zbir proizvoda prve stotice iznosi 45 + 2 ∙ 45 + 45 â‹… 3 + â‹Ż + 8 â‹… 45 + 9 â‹… 45 = 45 â‹… (1 + 2 + 3 + â‹Ż + 8 + 9) = 45 â‹… 45 = 452 Za brojeve druge stotice taj je zbroj umnoĹžaka dvostruko veći (zbog znamenke stotice 2) i iznosi: 2 ∙ 452 Analogno, za ostale su trocifrene brojeve zbirovi proizvoda cifara jednaki su: 3 ∙ 452 , 4 ∙ 452 , ..., 9 ∙ 452 KonaÄ?ni zbir svih proizvoda iznosi 452 ∙ (1 + 2 + 3 + â‹Ż + 8 + 9) = 452 â‹… 45 = 453 . đ?‘Ž2

3. IzraÄ?unaj vrijednost izraza đ?‘Žđ?‘?+đ?‘?2 ako omjer brojeva đ?‘Ž i đ?‘? iznosi 2: 5. RjeĹĄenje: đ?‘Ž: đ?‘? = 2: 5 â&#x;š đ?‘Ž =

2đ?‘? 5

4đ?‘? 2 đ?‘Ž 4 = = 252 = 2 2đ?‘? 7đ?‘? đ?‘Žđ?‘? + đ?‘? 35 ∙ đ?‘? + đ?‘?2 5 5 2

(

2đ?‘? 2 ) 5

193

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu učenika osnovnih škola za takmičenje

4. Ako je 𝑥 = √12 + 2√35 − √12 − 2√35 odrediti koliko je (𝑥 − 2√5 − 1) Rješenje:

2016

?

Prvo ćemo transformisati vrijednost 𝑥, pa ćemo dobiti: 𝒙 = √12 + 2√35 − √12 − 2√35 = √12 + 2√7 ⋅ 5 − √12 − 2√7 ⋅ 5 = = √12 + 2√5 ⋅ √7 − √12 − 2√5 ⋅ √7 = = √7 + 5 + 2√5 ⋅ √7 − √7 + 5 − 2√5 ⋅ √7 = = √7 + 2√5 ⋅ √7 + 5 − √7 − 2√5 ⋅ √7 + 5 = 2

2

= √(√7 + √5) − √(√7 − √5) = √7 + √5 − √7 + √5 = 𝟐√𝟓 (𝑥 − 2√5 − 1)

2016

= (2√5 − 2√5 − 1)

2016

= (−1)2016 = 1

5. Izračunati vrijednost izraza √19 − 4√11 − 4√7 − √7. Rješenje:

√19 − 4√11 − 4√7 − √7 = √19 − 4√4 + 7 − 4√7 − √7 = 2

2

= √19 − 4√22 − 2 ⋅ 2√7 + (√7) − √7 = √19 − 4√(2 − √7) − √7 = = √19 − 4(2 − √7) − √7 = √19 − 8 + 4√7 − √7 = √11 + 4√7 − √7 = 2

= √4 + 7 + 4√7 − √7 = √4 + 4√7 + 7 − √7 = √22 + 2 ⋅ 2 ⋅ √7 + (√7) − √7 = 2

= √(2 + √7) − √7 = 2 + √7 − √7 = 2

𝑎

1

1

1

6. Ako je 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑏𝑐 (2004 − 1) gdje su 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ+ izračunati 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 . Rješenje: 𝑎

- 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑏𝑐 (2004 − 1) 𝑎𝑏𝑐

𝑎𝑏𝑐

𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 = 2004 − 𝑏𝑐 ⟹ 𝒂𝒃 + 𝒂𝒄 + 𝒃𝒄 = 2004 1

1

1

- s druge strane imamo: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 =

𝒃𝒄+𝒂𝒄+𝒂𝒃 𝑎𝑏𝑐

194

𝑎𝑏𝑐 1 1 1 2004 1 ⟹ + + = = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎𝑏𝑐 2004

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

7. Ako je đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 6 i đ?‘Ľ ¡ đ?‘Ś = 8 pokazati da je đ?‘Ľ 4 + đ?‘Ś 4 = 272 RjeĹĄenje: (đ?‘Ľ + đ?‘Ś)2 = 36 đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľđ?‘Ś + đ?‘Ś 2 = 3 Iz uslova zadatka đ?‘Ľ ¡ đ?‘Ś = 8 ovdje je 2đ?‘Ľđ?‘Ś = 16. đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 = 36 − 16 đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 = 20 / â‹… 2 (đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 )2 = 202 đ?‘Ľ 4 + 2đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 2 + đ?‘Ś 2 = 400 đ?‘Ľ 4 + đ?‘Ś 4 = 400 − 2 ¡ 64 đ?‘Ľ 4 + đ?‘Ś 4 = 400 − 128 đ?‘Ľ 4 + đ?‘Ś 4 = 272

8. Reduciraj izraz đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś 4đ?‘§ 4đ?‘§ − đ?‘Ľ − đ?‘Ś 1 1 4đ?‘§ − đ?‘Ľ − đ?‘Ś RjeĹĄenje: đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś 4đ?‘§ 4đ?‘§ − đ?‘Ľ − đ?‘Ś = đ?‘Ľ − đ?‘Ś + 4đ?‘§ 1 1 4đ?‘§ − đ?‘Ľ − đ?‘Ś 9. Naći sve trocifrene brojeve koji su jednaki trećem stepenu zbira svojih cifara. RjeĹĄenje: Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… rjeĹĄenje zadatka, tj. đ?‘Žđ?‘?đ?‘? Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… = (đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘?)3 . Imamo: 43 < 100 i 999 < 103 , pa Neka je broj đ?‘Žđ?‘?đ?‘? vrijedi 4 < (đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘?) < 10. Za đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘? = 5 â&#x;š (đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘?)3 = 53 = 125, 1 + 2 + 5 ≠5. Za đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘? = 6 â&#x;š (đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘?)3 = 63 = 216, 2 + 1 + 6 ≠6. Za đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘? = 7 â&#x;š (đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘?)3 = 73 = 343, 3 + 4 + 3 ≠7. Za đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘? = 8 â&#x;š (đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘?)3 = 83 = 512, 5 + 1 + 2 = 8. Za đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘? = 9 â&#x;š (đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘?)3 = 93 = 729, 7 + 2 + 9 ≠9. Jedini takav broj je broj 512.

195

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

10. Pokazati da izraz RjeĹĄenje:

(3đ?‘›+1)2 −(1−đ?‘›)2 2

+ 1 predstavlja neparan broj za svako đ?‘› ∈ â„•.

(3đ?‘› + 1)2 − (1 − đ?‘›)2 9đ?‘›2 + 6đ?‘› + 1 − (1 − 2đ?‘› + đ?‘›2 ) 8đ?‘›2 + 8đ?‘› +1= +1= +1= 2 2 2 = 4đ?‘›2 + 4đ?‘› + 1 = (2đ?‘› + 1)2 A ovo je kvadrat neparnog broja. 11. Dokazati nejednakost: đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 + đ?‘? 2 ≼ 1; (đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? ∈ đ?‘… , đ?‘Žđ?‘? + đ?‘Žđ?‘? + đ?‘?đ?‘? = 1). RjeĹĄenje: đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 + đ?‘? 2 ≼ 1 â&#x;ş đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 + đ?‘? 2 ≼ đ?‘Žđ?‘? + đ?‘Žđ?‘? + đ?‘?đ?‘? /∙ 2 â&#x;ş â&#x;ş đ?‘Ž2 − 2đ?‘Žđ?‘? + đ?‘? 2 + đ?‘Ž2 − 2đ?‘Žđ?‘?+đ?‘? 2 + đ?‘? 2 − 2đ?‘?đ?‘? +đ?‘? 2 ≼ 0 â&#x;ş â&#x;ş (đ?‘Ž − đ?‘?)2 + (đ?‘Ž − đ?‘?)2 + (đ?‘? − đ?‘?)2 ≼ 0. Kako kvadrat svakog realnog broja ne moĹže biti negativan, to je dobijena nejednakost istinita za sve đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? ∈ đ?‘…. Vrijedi jednakost ako i samo ako je đ?‘Ž = đ?‘? = đ?‘?.

12. Za koje vrijednosti promjenljvih x i y izraz: A = 2x 2 + 2xy + y 2 − 2x + 2y + 2, (x, y ∈ R ) ima najmanju (minimalnu) vrijednost? RjeĹĄenje: Dati izraz moĹžemo rastaviti na sledeći naÄ?in: đ??´ = 2đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Śđ?‘Ľ + đ?‘Ś 2 − 2đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś + 2 = = (đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľđ?‘Ś + đ?‘Ś 2 − 2đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś + 1) + (đ?‘Ľ 2 − 4đ?‘Ľ + 4) − 3 = = (đ?‘Ľ + đ?‘Ś + 1)2 + (đ?‘Ľ − 2)2 − 3. Zbog (đ?‘Ľ + đ?‘Ś + 1)2 ≼ 0 i (đ?‘Ľ − 2)2 ≼ 0, (đ?‘Ľ, đ?‘Ś ∈ đ?‘… ) moĹžemo zakljuÄ?iti da je najmanja vrijednost izraza đ??´ za đ?‘Ľ + đ?‘Ś + 1 = 0 i đ?‘Ľ − 2 = 0, tj. kada sredimo dobijemo đ?‘Ľ = 2 i đ?‘Ś = −3. Dakle, najmanja vrijednost datog izraza je: đ??´ = −3; za đ?‘Ľ = 2 i đ?‘Ś = −3.

13. Dokazati da je broj 20072005 − 2007 djeljiv sa 90. RjeĹĄenje: 20072005 − 2007 = 2007 â‹… (20072004 − 1) = 9 â‹… 223 â‹… (20072004 − 1) Poslednja jednakost je sigurno djeljiva sa 9. Da bi izraz bio djeljiv sa 90 on mora biti djeljiv i sa 9 i sa 10. Broj 20074 se zavrĹĄava sa cifrom 1, pa se i broj 20072004 zavrĹĄava sa cifrom 1, pa će biti da se izraz 20072004 − 1 zavrĹĄava sa cifrom 0 pa će izraz 20072004 − 1 biti djeljiv sa 10. Budući da je 20072005 − 2007 djeljiv i sa 9 i sa 10 to je on djeljiv i sa 90.

196

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

AnalitiÄ?ka geometrija. Mnogougao 1. Zadane su taÄ?ke đ??´(1, 1), đ??ľ(4, 3) i đ??ś(−1, 5). NapiĹĄi jednaÄ?inu pravaca na kojima leĹže stranice trougla đ??´đ??ľđ??ś. RjeĹĄenje: Stranica đ??´đ??ľ leĹži na pravoj koja prolazi kroz taÄ?ke đ??´ i đ??ľ, stranica đ??ľđ??ś leĹži na pravoj koja prolazi kroz taÄ?ke đ??ľ i đ??ś i stranica đ??´đ??ś leĹži na pravoj koja prolazi kroz taÄ?ke đ??´ i đ??ś. Na osnovu navedenog i opĹĄteg oblika linearne funkcije đ?‘Ś = đ?‘˜đ?‘Ľ + đ?‘›, dobijemo sisteme: 1= đ?‘˜+đ?‘› 3 = 4đ?‘˜ + đ?‘› 1 = đ?‘˜ + đ?‘› 3 = 4đ?‘˜ + đ?‘› 5= −đ?‘˜+đ?‘› 5 = −đ?‘˜ + đ?‘› 2

1

3

3

RjeĹĄavanjem sistema dobijemo jednaÄ?ine traĹženih pravaca: đ?‘Ś = đ?‘Ľ + , đ?‘Ś = −2đ?‘Ľ + 3 i 2

đ?‘Ś = −5đ?‘Ľ +

23

. 5

2. U pravouglom koordinatnom sistemu zadan je pravougaonik sa svojim vrhovima A(0,0), đ??ľ(6, 0), đ??ś(6, 4) i đ??ˇ(0, 4). NapiĹĄi jednaÄ?ine pravaca na kojima leĹže dijagonale pravougaonika. RjeĹĄenje: Dijagonala đ??´đ??ś leĹži na pravoj koja prolazi kroz taÄ?ke đ??´ i đ??ś, dok dijagonala đ??ľđ??ˇ leĹži na pravoj koja prolazi taÄ?kama đ??ľ i đ??ˇ. Na osnovu navedenog i opĹĄteg oblika linearne funkcije đ?‘Ś = đ?‘˜đ?‘Ľ + đ?‘›, dobijemo sisteme: 0 = đ?‘› 0 = 6đ?‘˜ + đ?‘› 4 = 6đ?‘˜ + đ?‘› 4 = đ?‘› 2

2

RjeĹĄavanjem sistema dobijemo jednaÄ?ine traĹženih pravaca đ?‘Ś = 3 đ?‘Ľ i đ?‘Ś = − 3 đ?‘Ľ + 4.

3. Zadane su taÄ?ke đ??´(2, 2), đ??ľ(5, 0), đ??ś(7, 3) i đ??ˇ(4, 5). Da li je Ä?etverougao đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ paralelogram? A pravougaonik? RjeĹĄenje: PronaÄ‘imo jednadĹžbe pravaca na kojima leĹže stranice Ä?etverougla. To su : 2 10 đ??´đ??ľ: đ?‘Ś = − đ?‘Ľ + 3 3 Iz koeficijenata smjera zakljuÄ?ujemo da su naspramne stranice 3 15 đ??ľđ??ś: đ?‘Ś = đ?‘Ľ − paralelne ĹĄto znaÄ?i da je ovaj Ä?etverougao paralelogram. TakoÄ‘er 2 2 â&#x;š 2 23 iz koeficijenata pravca zakljuÄ?ujemo da su susjedne stranice đ??śđ??ˇ: đ?‘Ś = − đ?‘Ľ + normalne, ĹĄto znaÄ?i da je Ä?etverougao đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ pravougaonik. 3 9 3 đ??´đ??ˇ: đ?‘Ś = đ?‘Ľ − 1 } 2

197

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

4. PovrĹĄina trougla je 8, a dva njegova vrha su u taÄ?kama đ??´(1, −2), đ??ľ(2, 3). Odrediti koordinate trećeg vrha đ??ś ako on leĹži na pravcu 2đ?‘Ľ + đ?‘Ś − 2 = 0. RjeĹĄenje: Neka su đ?‘Ľ i đ?‘Ś koordinate vrha đ??ś. Koordinate tada zadovoljavaju jednadĹžbu đ?‘Ś = −2đ?‘Ľ + 2. Iz uvjeta za povrĹĄinu trougla dobijamo: 1 đ?‘ƒ = |1 ∙ (3 − đ?‘Ś) + 2 ∙ (đ?‘Ś + 2) + đ?‘Ľ ∙ (−2 − 3)| â&#x;š 2đ?‘ƒ = |7 + đ?‘Ś − 5đ?‘Ľ| 2 UvrĹĄtavajući đ?‘Ś = −2đ?‘Ľ + 2 i đ?‘ƒ = 8 imamo 16 = |9 − 7đ?‘Ľ|. Razlikujemo dvije mogućnosti: 9 − 7đ?‘Ľ = 16 â&#x;š đ?‘Ľ1 = −1, 25 9 − 7đ?‘Ľ = −16 â&#x;š đ?‘Ľ2 = . 7 −36 Uzimajući u obzir đ?‘Ś = −2đ?‘Ľ + 2 dobijamo odgovarajuće ordinate đ?‘Ś1 = 4 , đ?‘Ś2 = 7 . 25 −36

Koordinate trećeg vrha đ??ś su (−1, 4) ili ( 7 ,

7

).

Primjenjujući formulu za raÄ?unanje udaljenosti dvije taÄ?ke u pravouglom koordinatnom |đ??´đ??ľ|∙đ?‘Ł sistemu imamo |đ??´đ??ľ| = √26 i kako je đ?‘ƒ = 8 to iz formule đ?‘ƒâˆ†đ??´đ??ľđ??ś = 2 đ?‘? dobijamo da je 8

đ?‘Łđ?‘? = 13 √26 . Visina đ?‘Łđ?‘? je udaljenost vrha đ??ś(đ?‘Ľđ?‘? , đ?‘Śđ?‘? ) od pravca đ??´đ??ľ kojem je jednaÄ?ina 5đ?‘Ľ − đ?‘Ś − 7 = 0. Dakle: |5đ?‘Ľđ?‘? − đ?‘Śđ?‘? − 7| 8 đ?‘Łđ?‘? = = √26 â&#x;š |5đ?‘Ľđ?‘? − đ?‘Śđ?‘? − 7| = 16 . 13 √26 Smjenom đ?‘Śđ?‘? = −2đ?‘Ľđ?‘? + 2 dobijamo jednadĹžbu |7đ?‘Ľđ?‘? − 9| = 16 . 25 −36

Dva su rjeĹĄenja đ??ś1 (−1, 4) i đ??ś2 ( 7 ,

7

).

198

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

Simboli. Formule đ??´ ∊ đ??ľ − presjek dva skupa đ??´ âˆŞ đ??ľ − unija dva skupa đ??´ ∖ đ??ľ − razlika dva skupa đ?‘›(đ??´) − broj elemenata/Ä?lanova datog skupa đ?›ź, đ?›˝, đ?›ž, ‌ , âˆ˘đ??´đ??ľđ??ś, ‌ − oznaka za uglove đ?›ź + đ?›˝ = 90° − komplementni uglovi đ?›ź + đ?›˝ = 180° − suplementni uglovi đ?‘ đ?‘˘đ?‘ đ?‘—đ?‘’đ?‘‘đ?‘›đ?‘– đ?‘– đ?‘ đ?‘˘đ?‘?đ?‘™đ?‘’đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘›đ?‘– đ?‘˘đ?‘”đ?‘™đ?‘œđ?‘Łđ?‘– − uporedni uglovi đ?‘Ž − jednocifren broj 10 â‹… đ?‘? + đ?‘Ž = Ě…Ě…Ě… đ?‘Žđ?‘? − dvocifren broj Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… − trocifren broj 100 â‹… đ?‘? + 10 â‹… đ?‘? + đ?‘Ž = đ?‘Žđ?‘?đ?‘? đ?‘Ľ + đ?‘Ś − zbir dva broja đ?‘Ľ − đ?‘Ś − razlika dva broja đ?‘Ľ â‹… đ?‘Ś − proizvod dva broja đ?‘Ľ − koliÄ?nik dva broja đ?‘Ś đ?‘› − 1, đ?‘›, đ?‘› + 1 − tri uzastopna prirodna broja 2đ?‘› − 2, 2đ?‘›, 2đ?‘› + 2 − tri uzastopna parna prirodna broja 2đ?‘› − 3, 2đ?‘› − 1, 2đ?‘› + 1 − tri uzastopna neparna prirodna broja đ?‘Ľ = đ?‘Ž â‹… đ?‘Ś + đ?‘&#x; − broj zapisan uz pomoć zbira proizvoda koliÄ?nika (đ?‘Ž), djelioca (đ?‘Ś) i ostatka (đ?‘&#x;) đ?‘Ľâ‹…đ?‘Ž − proĹĄirivanje razlomka đ?‘Śâ‹…đ?‘Ž đ?‘Ľ: đ?‘Ž − skraćivanje razlomka đ?‘Ś: đ?‘Ž đ?‘Ľ đ?‘§ đ?‘ĽÂąđ?‘§ Âą = − sabiranje/oduzimanje razlomaka istih nazivnika đ?‘Ś đ?‘Ś đ?‘Ś đ?‘Ž đ?‘? đ?‘Žâ‹…đ?‘›Âąđ?‘?â‹…đ?‘› Âą = − sabiranje/oduzimanje razlomaka razliÄ?itih nazivnika đ?‘Ľ đ?‘Ś đ?‘ đ?‘?đ?‘†(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) đ?‘Ľ đ?‘Ž đ?‘Ľđ?‘Ž â‹… = − mnoĹženje razlomaka đ?‘Ś đ?‘? đ?‘Śđ?‘? đ?‘Ľ đ?‘Ž đ?‘Ľ: đ?‘Ž : = − dijeljenje razlomaka đ?‘Ś đ?‘? đ?‘Ś: đ?‘? đ?‘Ľ đ?‘Ś → − reciproÄ?na vrijednost zadatog razlomka đ?‘Ś đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ž đ?‘Ľ đ?‘? : = â‹… − dijeljnje razlomaka ako se brojnici/nazivnici ne mogu podijeliti đ?‘Ś đ?‘? đ?‘Ś đ?‘Ž đ?‘Ž, đ?‘Ž ≼ 0 |đ?‘Ž| = { − apsolutna vrijednost cijelog broja −đ?‘Ž, đ?‘Ž < 0 0. đ?‘ŽĚ‡ = 0. đ?‘Žđ?‘Žđ?‘Žđ?‘Ž ‌ − periodiÄ?ni decimalni broj đ?›ź + đ?›˝ + đ?›ž = 180° − zbir uglova u trouglu 199

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

đ?›ź + đ?›˝ + đ?›ž = 360° − zbir spoljaĹĄnjih uglova trougla đ?›ź + đ?›ź1 = đ?›˝ + đ?›˝1 = đ?›ž + đ?›ž1 = 180° − odnos unutraĹĄnjeg i njemu susjednog spoljaĹĄnjeg ugla trougla đ?›ź + đ?›˝ = 90° ∧ đ?›ž = 90° − uglovi pravouglog trougla đ?›ź = đ?›˝ = đ?›ž = 60° − uglovi jednakostraniÄ?nog trougla 2đ?›ź + đ?›˝ = 180° − zbir uglova jednakokrakog trougla đ?‘Ž − đ?‘? < đ?‘? < đ?‘Ž + đ?‘? − odnos stranica trougla đ?“ˆđ?‘Ž , đ?“ˆđ?‘? , đ?“ˆđ?‘? − simetrale stranica trougla đ?“ˆđ?›ź , đ?“ˆđ?›˝ , đ?“ˆđ?›ž − simetrale unutraĹĄnjih uglova trougla đ?‘Ąđ?‘Ž , đ?‘Ąđ?‘? , đ?‘Ąđ?‘? − teĹžiĹĄnice trougla â„Žđ?‘Ž , â„Žđ?‘? , â„Žđ?‘? − visine trougla đ?‘Ž0 = 1, đ?‘Ž1 = đ?‘Ž đ?‘Ž2 = đ?‘Ž â‹… đ?‘Ž − kvadriranje broja đ?‘Ž3 = đ?‘Ž â‹… đ?‘Ž â‹… đ?‘Ž − kubiranje broja đ?‘Žđ?‘› = â?&#x; đ?‘Ž â‹… đ?‘Ž â‹… ‌ â‹… đ?‘Ž − stepenovanje broja n−faktora 2đ?‘› 2đ?‘› (−đ?‘Ž)

= đ?‘Ž − stepenovanje negativnog broja parnim eksponentom = −đ?‘Ž2đ?‘›âˆ’1 − stepenovanje negativnog broja neparnim eksponentom đ?‘Žđ?‘š â‹… đ?‘Žđ?‘› = đ?‘Žđ?‘š+đ?‘› − mnoĹženje brojeva istih baza đ?‘Žđ?‘š : đ?‘Žđ?‘› = đ?‘Žđ?‘šâˆ’đ?‘› − dijeljenje brojeva istih baza (đ?‘Žđ?‘š )đ?‘› = đ?‘Žđ?‘šâ‹…đ?‘› − stepenovanje stepena đ?‘Žđ?‘š đ?‘Ž đ?‘š = ( ) − stepenovanje razlomka đ?‘?đ?‘š đ?‘? 1 đ?‘Ž −đ?‘› = đ?‘› đ?‘Ž } − stepenovanje negativnim eksponentom −đ?‘› đ?‘Ž đ?‘? đ?‘› ( ) =( ) đ?‘? đ?‘Ž √đ?‘Ž â‹… √đ?‘? = √đ?‘Ž â‹… đ?‘?, đ?‘Ž, đ?‘? ≼ 0 − mnoĹženje korijena istog stepena √đ?‘Ž: √đ?‘? = √đ?‘Ž: đ?‘?, đ?‘Ž ≼ 0, đ?‘? > 0 − dijeljenje korijena istog stepena đ?‘Ž √đ?‘Ž √ = , đ?‘Ž ≼ 0, đ?‘? > 0 − korjenovanje razlomka đ?‘? √đ?‘? (−đ?‘Ž)2đ?‘›âˆ’1

√đ?‘Ž √đ?‘? √đ?‘Ž √đ?‘? + √đ?‘? √đ?‘Ž √đ?‘? − √đ?‘?

= =

√đ?‘Ž

â‹…

=

√đ?‘Ž √đ?‘? √đ?‘Ž â‹… đ?‘? √đ?‘Ž â‹… đ?‘? â‹… = , đ?‘Ž ≼ 0, đ?‘? > 0 2 = đ?‘? √đ?‘? √đ?‘? (√đ?‘?)

√đ?‘? − √đ?‘?

√đ?‘? + √đ?‘? √đ?‘? − √đ?‘? √đ?‘Ž

â‹…

√đ?‘? + √đ?‘?

√đ?‘? − √đ?‘? √đ?‘? + √đ?‘?

= =

√đ?‘Ž â‹… đ?‘? − √đ?‘Ž â‹… đ?‘? 2

(√đ?‘?) − (đ?‘?)2 √đ?‘Ž â‹… đ?‘? + √đ?‘Ž â‹… đ?‘?

=

√đ?‘Ž â‹… đ?‘? − √đ?‘Ž â‹… đ?‘? , đ?‘Ž ≼ 0, đ?‘? > 0, đ?‘? > 0, đ?‘? ≠đ?‘? đ?‘?−đ?‘?

√đ?‘Ž â‹… đ?‘? + √đ?‘Ž â‹… đ?‘? , đ?‘Ž ≼ 0, đ?‘? > 0, đ?‘? > 0, đ?‘? ≠đ?‘? đ?‘? − đ?‘? 2 (đ?‘?) (√đ?‘?) − } racionalisanje nazivnika 2

=

1 = 0.01 − postotak 100 đ?‘Ś = đ?‘? â‹… đ?‘Ľ − procentni iznos, đ?‘? − procenat, đ?‘Ľ − glavna vrijednost/veliÄ?ina 1% =

200

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

đ?‘Ś = đ?‘Ľ Âą đ?‘? â‹… đ?‘Ľ − procentualno poskupljenje/povećanje ili pojeftinjenje/smanjenje đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ś 2 = (đ?‘Ľ − đ?‘Ś)(đ?‘Ľ + đ?‘Ś) − razlika kvadrata (đ?‘Ľ Âą đ?‘Ś)2 = đ?‘Ľ 2 Âą 2đ?‘Ľđ?‘Ś + đ?‘Ś 2 − kvadrat zbira/razlike (đ?‘Ľ Âą đ?‘Ś)3 = đ?‘Ľ 3 Âą 3đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś + 3đ?‘Ľđ?‘Ś 2 Âą đ?‘Ś 3 − kub zbira/razlike đ?‘Ľ 3 Âą đ?‘Ś 3 = (đ?‘Ľ Âą đ?‘Ś)(đ?‘Ľ 2 ∓ đ?‘Ľđ?‘Ś + đ?‘Ś 2 ) − zbir/razlika kubova đ?‘Žđ?‘Ľ Âą đ?‘Žđ?‘Ś = đ?‘Ž(đ?‘Ľ Âą đ?‘Ś) − izluÄ?ivanje zajedniÄ?kog faktora ispred zagrade đ?‘? 2 = đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 − Pitagorina teorema đ?‘Ž: đ?‘? = đ?‘?: đ?‘‘ â&#x;š đ?‘Žđ?‘‘ = đ?‘?đ?‘? − rjeĹĄavanje proporcije đ?‘‘(đ??´đ??ľ) = √(đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ1 )2 + (đ?‘Ś2 − đ?‘Ś1 )2 − udaljenost dvije taÄ?ke u ravni 1

đ?‘ƒ = 2 |đ?‘Ľ1 (đ?‘Ś2 − đ?‘Ś3 ) + đ?‘Ľ2 (đ?‘Ś3 − đ?‘Ś1 ) + đ?‘Ľ3 (đ?‘Ś1 − đ?‘Ś2 )| − povrĹĄina trougla u koordinatnom sistemu đ?‘? , đ?‘Ž ≠0 − linearna jednadĹžba ima jedinstveno rjeĹĄenje đ?‘Ž đ?‘Žđ?‘Ľ = đ?‘? â&#x;ş { 0 â‹… đ?‘Ľ = đ?‘?, đ?‘Ž = 0 ∧ đ?‘? ≠0 − linearna jednadĹžba je protivrjeÄ?na 0 â‹… đ?‘Ľ = 0, đ?‘Ž = đ?‘? = 0 − linearna jednadĹžba je neodreÄ‘ena đ?‘Ž − stranica kvadrata đ?‘Ž, đ?‘? − stranice pravougaonika đ?‘‘ − dijagonala kvarata i pravougaonika đ?‘‚ = 4đ?‘Ž, đ?‘ƒ = đ?‘Ž2 − obim i povrĹĄina kvadrata đ?‘‘ = đ?‘Žâˆš2 − dijagonala kvadrata đ?‘‚ = 2(đ?‘Ž + đ?‘?) = 2đ?‘Ž + 2đ?‘?, đ?‘ƒ = đ?‘Žđ?‘? − obim i povrĹĄina pravougaonika đ?‘Ľ=

đ?‘‘ = √đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 − dijagonala pravougaonika đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? − stranice raznostraniÄ?nog trougla đ?‘‚ = đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘?, đ?‘ƒ =

đ?‘Žâ„Žđ?‘Ž 2

=

đ?‘?â„Žđ?‘? 2

=

đ?‘?â„Žđ?‘? 2

− obim i povrĹĄina trougla

đ?‘Ž − osnovica jednakokrakog trougla đ?‘? − krak jednakokrakog trougla â„Ž − visina jednakokrakog trougla đ?‘‚ = đ?‘Ž + 2đ?‘?, đ?‘ƒ = đ?‘Ž 2

đ?‘Žâ„Ž 2

− obim i povrĹĄina jednakokrakog trougla

đ?‘? 2 = â„Ž2 + (2) − krak jednakokrakog trougla đ?‘Ž − stranica jednakostraniÄ?nog trougla â„Ž − visina jednakostraniÄ?nog trougla đ?‘‚ = 3đ?‘Ž, đ?‘ƒ =

đ?‘Ž2 √3 4

− obim i povrĹĄina jednakostraniÄ?nog trougla

đ?‘Ž, đ?‘? − katete pravouglog trougla đ?‘? − hipotenuza pravouglog trougla đ?‘‚ = đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘?, đ?‘ƒ =

đ?‘Žđ?‘? 2

− obim i povrĹĄina pravouglog trougla

đ?‘ − poluobim trougla đ?‘ =

đ?‘Ž+đ?‘?+đ?‘? 2

− poluobim trougla

đ?‘ƒ = √đ?‘ (đ?‘ − đ?‘Ž)(đ?‘ − đ?‘?)(đ?‘ − đ?‘?) − povrĹĄina trogula đ?‘&#x; − polupreÄ?nik opisanog kruga đ?‘… − preÄ?nik kruga 201

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

đ?œŒ − polupreÄ?nik opisanog kruga đ?‘ƒ = đ?‘ đ?‘&#x; − povrĹĄina trougla đ?‘ƒ=

đ?‘Žđ?‘?đ?‘? 4đ?œŒ

− povrĹĄina trougla

đ?‘Ž − osnovica romba â„Ž − visina romba đ?‘‘1 , đ?‘‘2 − dijagonale romba đ?‘‚ = 4đ?‘Ž, đ?‘ƒ = đ?‘‘

2

đ?‘‘1 â‹…đ?‘‘2 2

= 2

đ?‘‘

đ?‘Žâ„Ž 2

− obim i povrĹĄina romba

đ?‘Ž2 = ( 21 ) + ( 22 ) − osnovica romba đ?‘Ž, đ?‘? − osnovice trapeza đ?‘?, đ?‘‘ − kraci trapeza đ?‘‚ = đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘? + đ?‘‘, đ?‘‚ = đ?‘Ž + 2đ?‘? + đ?‘? − obim trapeza i jednakokrakog trapeza đ?‘ƒ=

đ?‘Ž+đ?‘? 2

â‹… â„Ž − povrĹĄina trapeza

đ?‘‚ = 2đ?‘&#x;đ?œ‹, đ?‘ƒ = đ?‘&#x; 2 đ?œ‹ − obim i povrĹĄina kruga đ?›ź − centralni ugao kruga đ?›ź

đ?‘ƒđ?‘– = 360° â‹… đ?‘&#x; 2 đ?œ‹ − povrĹĄina kruĹžnog isjeÄ?ka

đ?‘ƒ = đ?œ‹(đ?‘&#x;12 − đ?‘&#x;22 ) − povrĹĄina kruĹžnog prstena đ??ľ − baza prizme, piramide, valjka, kupe đ?‘€ − omotaÄ? prizme, piramide, valjka, kupe đ??ť − visina prizme, piramide, valjka, kupe đ?‘ƒ − povrĹĄina prizme, piramide, valjka, kupe đ?‘‰ − zapremina prizme, piramide, valjka, kupe đ?‘ƒ = 2đ??ľ + đ?‘€, đ?‘‰ = đ??ľđ??ť − povrĹĄina i zapremina prizme i valjka 1

đ?‘ƒ = đ??ľ + đ?‘€, đ?‘‰ = 3 đ??ľđ??ť − zapremina prizme, piramide, valjka, kupe đ?‘Ž − osnovica, osnovna ivica prizme, piramide â„Ž − visina boÄ?ne strane piramide đ?‘ − boÄ?na ivica kupe đ??ˇ − dijagonala prizme đ?‘‘ − dijagonala boÄ?ne strane prizme, dijagonala osnove prizme i piramide đ?‘ƒ = 2đ?‘Ž2 + 4đ?‘Žđ??ť, đ?‘‰ = đ?‘Ž2 đ??ť − povrĹĄina i zapremina pravilne Ä?etverostrane prizme đ?‘ƒ = 6đ?‘Ž2 , đ?‘‰ = đ?‘Ž3 − povrĹĄina i zapremina kocke đ?‘‚đ?‘ƒ = 2đ?‘‘ + 2đ??ť, đ?‘ƒđ?‘ƒ = đ?‘‘đ??ť − obim i povrĹĄina dijagonalnog presjeka pravilne Ä?etverostrane prizme 2 2 2 đ?‘‘ = đ?‘Ž + đ??ť − dijagonala boÄ?ne strane pravilne Ä?etverostrane prizme đ?‘‚đ?‘ƒ = 2đ?‘Ž + 2đ?‘‘, đ?‘ƒđ?‘ƒ = đ?‘Ž2 √2 − obim i povrĹĄina dijagonalnog presjeka kocke đ??ˇ = đ?‘Žâˆš3 − dijagonala kocke đ?‘ƒ = 2(đ?‘Žđ?‘? + đ?‘Žđ?‘? + đ?‘?đ?‘?), đ?‘‰ = đ?‘Žđ?‘?đ?‘? − povĹĄrina i zapremina kvadra đ?‘‚đ?‘ƒ = 2đ?‘? + 2đ?‘‘, đ?‘ƒđ?‘ƒ = đ?‘?đ?‘‘ − obim i povrĹĄina dijagonalnog presjeka kvadra đ??ˇ = √đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 + đ?‘? 2 − dijagonala kvadra đ?‘‘2 = đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 , đ?‘‘ 2 = đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 , đ?‘‘2 = đ?‘? 2 + đ?‘? 2 − dijagonala boÄ?nih strana kvadra

202

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uÄ?enika osnovnih ĹĄkola za takmiÄ?enje

đ?‘ƒ=

đ?‘Ž2 √3 2

+ 3đ?‘Žđ??ť, đ?‘‰ =

đ?‘Ž2 √3 4

đ?‘ƒ = 3đ?‘Ž2 √3 + 6đ?‘Žđ??ť, đ?‘‰ =

đ??ť − povrĹĄina i zapremina pravilne trostrane prizme

3đ?‘Ž2 √3 4

đ??ť − povĹĄrina i zapremina pravilne ĹĄestostrane prizme

đ?‘‚đ?‘ƒ = 4đ?‘Ž + 2đ??ť, đ?‘ƒđ?‘ƒ = 2đ?‘Žđ??ť − obim i povrĹĄina dijagonalnog presjeka ĹĄestostrane prizme đ?‘‘2 = đ?‘Ž2 + đ??ť 2 − dijagonala boÄ?ne strane pravilne ĹĄestostrane prizme 1

đ?‘ƒ = đ?‘Ž2 + 2đ?‘Žâ„Ž, đ?‘‰ = 3 đ?‘Ž2 â‹… đ??ť − povĹĄrina i zapremina pravilne Ä?etverostrane piramide đ?‘Ž 2

â„Ž2 = đ??ť 2 + (2) − visina boÄ?ne strane pravilne Ä?etverostrane piramide đ?‘Ž 2

đ?‘ 2 = â„Ž2 + (2) − boÄ?na ivica pravilne Ä?etverostrane piramide đ?‘‘ 2

đ?‘ 2 = đ??ť 2 + (2 ) − boÄ?na ivica pravilne Ä?etverostrane piramide đ?‘‚đ?‘ƒ = đ?‘‘ + 2đ?‘ , đ?‘ƒđ?‘ƒ =

đ?‘‘đ??ť 2

− obim i povrĹĄina dijagonalnog presjeka pravilne Ä?etverostrane piramide

đ?‘ƒ= đ?‘ƒ=

đ?‘Ž2

3đ?‘Žâ„Ž √3 √3 + 2 , đ?‘‰ = 12 đ?‘Ž2 đ??ť − povrĹĄina i zapremina pravilne trostrane piramide 4 3đ?‘Ž2 √3 √3 2 + 3đ?‘Žâ„Ž, đ?‘‰ = đ?‘Ž đ??ť − povrĹĄina i zapremina pravilne ĹĄestostrne piramide 2 2 2 2

đ?‘ 2 = đ??ť + đ?‘Ž − boÄ?na ivica pravilne ĹĄestostrane piramide â„Ž2 = đ??ť 2 +

3đ?‘Ž2 4

− visina boÄ?ne strane pravilne ĹĄestostrane piramide

đ?‘‚đ?‘ƒ = 2đ?‘Ž + 2đ?‘ , đ?‘ƒđ?‘ƒ = đ?‘Žđ??ť − obim i povrĹĄina dijagonalnog presjeka pravilne ĹĄestostrane piramide 2 đ?‘ƒ = 2đ?‘&#x;đ?œ‹(đ?‘&#x; + đ??ť), đ?‘‰ = đ?‘&#x; đ?œ‹đ??ť − povrĹĄina i zapremina valjka 2đ?‘&#x; = đ??ť − odnos polupreÄ?nika i visine jednakostranog valjka đ?‘‚đ?‘ƒ = 4đ?‘&#x; + 2đ??ť, đ?‘ƒđ?‘ƒ = 2đ?‘&#x; â‹… đ??ť − obim i povrĹĄina popreÄ?nog presjeka valjka đ?‘‘đ?‘ƒ2 = đ??ť 2 + 4đ?‘&#x; 2 − dijagonala osnog presjeka valjka đ?‘ƒ = 6đ?‘&#x; 2 đ?œ‹, đ?‘‰ = 2đ?‘&#x; 3 đ?œ‹ − povrĹĄina i zapremina jednakostranog valjka đ?‘‚đ?‘ƒ = 8đ?‘&#x;, đ?‘ƒđ?‘ƒ = 4đ?‘&#x; 2 − obim i povrĹĄina popreÄ?nog presjeka jednakostranog valjka đ?‘‘đ?‘ƒ2 = 8đ?‘&#x; 2 − dijagonala osnog presjeka jednakostranog valjka 1

đ?‘ƒ = đ?‘&#x;đ?œ‹(đ?‘&#x; + đ?‘ ), đ?‘‰ = 3 đ?‘&#x; 2 đ?œ‹đ??ť − povĹĄrina i zapremina kupe

đ?‘ 2 = đ?‘&#x; 2 + â„Ž2 − boÄ?na ivica kupe đ?‘‚đ?‘ƒ = 2đ?‘&#x; + 2đ?‘ , đ?‘ƒđ?‘ƒ = đ?‘&#x;đ??ť − obim i povrĹĄina popreÄ?nog presjeka kupe đ??ť = đ?‘&#x;√3 − odnos visine i polupreÄ?nika jednakostrane kupe đ?‘ = 2đ?‘&#x; − odnos polupreÄ?nika i boÄ?ne ivice jednakostrane kupe đ?‘ƒ = 3đ?‘&#x; 2 đ?œ‹, đ?‘‰ =

√3 3 đ?‘&#x; đ?œ‹ 3 2

− povrĹĄina i zapremina jednakostrane kupe

đ?‘‚đ?‘ƒ = 6đ?‘&#x;, đ?‘ƒđ?‘ƒ = đ?‘&#x; √3 − obim i povrĹĄina popreÄ?nog presjeka jednakostrane kupe 4

đ?‘ƒ = 4đ?‘&#x; 2 đ?œ‹, đ?‘‰ = 3 đ?‘&#x; 3 đ?œ‹ − povrĹĄina i zapremina kugle đ?‘Ľ − polupreÄ?nik malog kruga kugle đ?‘‘ − udaljenost centra kugle od centra malog kruga kugle đ?‘&#x; 2 = đ?‘Ľ 2 + đ?‘‘ 2 − polupreÄ?nik kugla đ?‘‚đ?‘Ľ = 2đ?‘Ľđ?œ‹, đ?‘ƒđ?‘Ľ = đ?‘Ľ 2 đ?œ‹ − obim i povrĹĄina malog kruga kugle

203

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.