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INDICE
1. Medidas de Cantidades Físicas 2. Medidas Estadísticas 3. Análisis Grafico I 4. Análisis Grafico II 5. Equilibrio Biomecánico 6. Movimientos Corporales
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EXPERIMENTO 1 MEDIDAS DE CANTIDADES FISICAS 1. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.
OBJETIVOS Describir las características de las mediciones directas. Describir las características de las mediciones indirectas Conocer la incertidumbre asociada a una medida y su influencia que tiene sobre ésta. Expresar correctamente las medidas experimentales obtenidas en una medición directa o indirecta. Familiarizarse con el manejo de instrumentos de medida. MATERIALES Y EQUIPOS
Regla métrica Vernier Balanza 3.
Cronómetro Termómetro Muestras
ALGUNOS INSTRUMENTOS DE MEDICION Masa Balanza Báscula
Longitud Regla métrica Vernier
Tiempo Cronómetro
3
Temperatura Termómetro
Presión Manómetro
4. FUNDAMENTO 4.1 Medición La ciencia física trabaja solo con cantidades que pueden ser medidas, esto significa que estas cantidades se definen en forma operacional, esto significa que la definición de una cantidad física involucra como medir y con que instrumento medir. Una medición, es el proceso por el cual se asigna un número y su correspondiente unidad a una cantidad física, con el propósito de compararla con otra cantidad física de la misma cualidad, tomada como referencia (patrón). Sólo podemos comparar cantidades homogéneas o cantidades que tengan la misma cualidad o atributo. En un proceso de medición intervienen: (a) el objeto o fenómeno físico. (b) el instrumento de medida, y (c) el experimentador. El valor numérico de una cantidad física se determina a través de una medición directa, indirecta o de una gráfica. Una medición es directa cuando el valor de la cantidad es establecida mediante la lectura en la escala del instrumento utilizado, en un solo proceso. Una medición es indirecta, cuando el valor numérico de la cantidad física es deducida mediante operaciones matemáticas con las cantidades medidas en forma directa. Ejemplos: El área de una superficie; el volumen de un objeto; la densidad de un objeto; la presión ejercida por los fluidos, etc. La determinación del valor de una cantidad física a partir de una gráfica, construida a partir de medidas directas o indirectas, es también una medición indirecta. Las mediciones en la ciencia, tiene gran importancia, basta recordar las palabras de William Thomson (Lord Kelvin) “Suelo repetir con frecuencia que sólo cuando es posible medir y expresar en forma numérica la materia de que se habla, se sabe algo acerca de ella; nuestro saber será deficiente e insatisfactorio mientras no seamos capaces de traducirlo en números. En otro caso, y sea cual fuere el tema de que se trate, quizá nos hallemos en el umbral del conocimiento, pero nuestros conceptos apenas habrá alcanzado el nivel de ciencia”. 4.2 INCERTIDUMBRES EN UNA MEDICION
El conocimiento de la incertidumbre de los resultados de la medición es de fundamental importancia para los laboratorios, sus usuarios y todas las instituciones que utilizan dichos resultados con fines comparativos. La incertidumbre de medición es una medida muy importante de la calidad de un resultado o de un método de medición. Definición de Incertidumbre Según el "Vocabulario de Términos Básicos y Generales de Metrología", la incertidumbre de medición es el parámetro asociado con el resultado de la medición, que caracteriza la dispersión de los valores que razonablemente podría ser atribuido al mensurando. Este parámetro podría ser una desviación estándar u otra parte de un intervalo que indica un cierto intervalo de confianza o de distribución más probable de los valores repetitivos de una medición.
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Factores que contribuyen a la incertidumbre de medición Entre las posibles fuentes que deben ser consideradas como contribuyentes de la incertidumbre total de una medición (aunque no todas son relevantes en todos los casos) están: a) Definición incompleta del mensurando. b) Preparación, transporte, almacenamiento y manipulación del objeto a medir. c) Muestreos no representativos (la muestra medida puede no representar el mensurando definido). d) Conocimiento inadecuado de los efectos de las condiciones ambientales sobre las mediciones, o mediciones imperfectas de dichas condiciones ambientales. e) Deficiencias de la apreciación del operador en la lectura de instrumentos analógicos. f) Resolución del instrumento o equipo de medición. g) Incertidumbre de la calibración de los patrones de medición y materiales de referencia. h) Valores inexactos de constantes y otros parámetros obtenidos de fuentes externas y en los algoritmos y software utilizados. i) Aproximaciones y suposiciones incorporadas en los métodos y procedimientos de medición. j) Variaciones en observaciones repetidas del mensurando bajo condiciones aparentemente iguales e incertidumbre que aparece de la corrección de los resultados de la medición por los efectos sistemáticos.
En todo proceso de medición, utilizamos instrumentos y un método de medición, y como tal habrá limitaciones del instrumento, del método y del observador o experimentador; asimismo, durante el proceso de medición pueden introducirse otras limitaciones, debido a las condiciones ambientales o a la propia naturaleza aleatoria de la cantidad física que se está midiendo. El valor que se obtiene en toda medida experimental es sólo aproximado, la medida posee un grado de imprecisión o incertidumbre. En el trabajo experimental no solo interesa determinar el valor numérico de la medida, sino también será necesario obtener una estimación de su incertidumbre. La incertidumbre proporciona un margen de confiabilidad, cuanto menor sea será más confiable. El resultado experimental siempre debe ser expresado como un intervalo dentro de cuyos límites podemos garantizar que se encuentra el valor más aproximado de la cantidad física que se ha medido, el cual se expresa como: X ± ΔX Gráficamente el intervalo se representa como ( X - ΔX
) X + ΔX
X
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donde, X, es el valor de la cantidad física medida y ΔX es la incertidumbre absoluta. 4.3 TIPOS DE INCERTIDUMBRES a) Incertidumbre absoluta Cuando medimos la longitud de un objeto con una regla cuya escala mínima está en milímetros, el resultado de nuestra lectura puede ser 61 mm, con ello queremos indicar que el extremo del objeto se encuentra más cerca de la marca 61 que de cualquier otra, pero no podemos decir que su longitud es exactamente 61 mm, sino que dicha longitud está comprendida dentro de un intervalo mínimo. Para la lectura dada, el resultado debe expresarse como: L ± ∆L = 61,0 ± 0,5 mm Donde 61,0 es el valor medido, 0,5 es llamada “incertidumbre” de la medida y representa el intervalo en el que la lectura de 61,0 es incierta, es llamada también “incertidumbre absoluta” de la medida. Es usual expresar la incertidumbre con una sola cifra significativa. La incertidumbre de un instrumento de medida está dada por la escala más pequeña, y la incertidumbre en la medición con dicho instrumento puede considerarse como la mitad de la mínima escala. El significado de L ± ∆L es equivalente a decir, que el valor de L está comprendido en el intervalo (L - ∆L, L+ ∆L). b) Incertidumbre relativa Se define la incertidumbre relativa como
Incertidumbre absoluta ∆L = Valor medido L
Esta cantidad multiplicada por 100 representa la incertidumbre porcentual
∆L x 100 L
Para el ejemplo dado, resulta Incertidumbre relativa = ± (0,5 / 61,0) = ± 0,008 La incertidumbre porcentual es
∆L x 100 = ± 0,8% L
La incertidumbre relativa es llamada también precisión de la medición. c) Incertidumbres sistemáticas Se originan debido a una mala calibración del instrumento de medida o a las imperfecciones del método de medición. Por ejemplo: Al utilizar una regla dilatada, un reloj que adelanta o atrasa, al hacer un lectura directa en la escala del instrumento pero observando con una inclinación y no en forma perpendicular (incertidumbre de paralaje). Estas incertidumbres introducidas por el instrumento o método imperfectos de medición siempre afectarán a los resultados en el mismo sentido. Las incertidumbres sistemáticas pueden ser evitables o corregidos, pero no son visibles de inmediato, por lo que es necesario estar atentos y considerar a todo instrumento de medición con desconfianza y verificar su calibración siempre que esto sea posible. En estos casos proporcionarán valores sobreestimados o subestimados de la medida. La exactitud de la medida
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se reduce. d) Incertidumbres accidentales. Se debe a la naturaleza de la cantidad a medir. Por ejemplo, mediciones sucesivas del número de fotones que emite una fuente radiactiva darán resultados similares pero diferentes. Esta incertidumbre no se debe al instrumento ni al observador. También ocurre cuando el observador se equivoca al hacer las lecturas de manera aleatoria. Igual sucede si durante la medida se presentan fluctuaciones de posibles variables ( por ejemplo, cambios de temperatura, presión, humedad, etc.) que no pueden ser tomados en cuenta en el experimento debido a que no pueden ser controlados, las medidas tendrán un carácter aleatorio. Estas mediciones pueden ser tratados estadísticamente. 4.4 PRECISIÓN Y EXACTITUD La precisión de un instrumento o método de medición está relacionada con la fineza de la escala del instrumento o con la sensibilidad del método, un instrumento de alta precisión dará resultados poco dispersos, en cambio uno de poca precisión dará resultados muy dispersos. La exactitud de un instrumento o método de medición está relacionada con la calibración del instrumento o método, el instrumento tendrá poca exactitud cuando los resultados de las mediciones caen lejos del valor aceptado, y será muy exacto si los resultados caen alrededor de valor aceptado. 4.5 CIFRAS SIGNIFICATIVAS Toda cantidad medida tiene una determinada precisión debida a la incertidumbre en el proceso de medición, esta precisión está indicada por el número de dígitos con que se presenta una medida. Todo dígito ( excepto el cero cuado se utiliza para situar el punto decimal) cuyo valor se conoce con seguridad o a lo más es el primer dígito estimado, es denominada cifra significativa. Ejemplo, L= (76,4 ± 0,5) mm, tiene tres cifras significativas, incluyendo el dígito 4 afectada de incertidumbre Ejemplo, L= (1948,617 ± 1) mm, dado que si la incertidumbre es del orden de 1 mm, no podemos garantizar fracciones de ella, entonces el resultado correcto debe ser expresado en la forma (1949±1) mm. Cuando operamos con cantidades que tienen diferentes precisiones, debemos aplicar ciertas reglas para determinar las cifras significativas del resultado. Como ilustración, consideremos la siguiente operación: z=0,0156 x 13,45 x 4,2 x π2 /324 La calculadora arroja el siguiente resultado z=0,02684422735 Antes de dar este valor como resultado, observemos que el primer factor del numerador tiene tres cifras significativas, el segundo cuatro, el tercero dos, el cuarto π2=(3,1415926...)2 es ilimitado, y el denominador tiene tres cifras significativas. En el resultado, la tercera cifra ya resulta incierta dado que el tercer factor tiene solo dos cifras significativas, en consecuencia, el resultado debe redondearse a solo dos cifras significativas. z=2,7x10-2
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Como regla se establece: El número de cifras significativas del resultado de productos y divisiones, no debe ser mayor que la del factor con menos cifras significativas. Consideremos ahora la suma y resta de las siguientes cantidades 1,87( ) + 0,345 2,215
24,1( )( ) – 20,0376 4,0624
Podemos observar que en el primer sumando el dígito 7 es algo incierto y el dígito siguiente es totalmente desconocido, en consecuencia el dígito 5 en la suma no tiene sentido y el resultado deberá expresarse como: 2,22 En el caso de la resta, el dígito 1 es algo incierto y los dos siguientes son totalmente desconocidos, por lo tanto, en el resultado los dígitos 6, 2 y 4 no tienen sentido y el resultado deberá expresarse como: 4,1 Como regla se establece: El resultado de la suma o resta contiene tantos decimales como el número menos preciso. Los resultados siempre deben darse con las cifras significativas correctas, no tiene ningún sentido considerar las cifras inciertas, a lo más uno, el resultado tiene que ser consistente con los datos originales. La notación científica (número expresada en potencias de 10) permite indicar sin ambigüedad las cifras significativas. Por ejemplo, el número 2,3x10-3 tiene dos cifras significativas; el número 2,30x10-3 tiene tres cifras significativas; 36500 se escribe como 3,65x104, tiene tres cifras significativas y si se expresa como 3,650x102, tiene cuatro cifras significativas . 4.6 PROPAGACION DE INCERTIDUMBRES Cuando se realizan mediciones indirectas a partir de cantidades medidas en forma directa, la incertidumbre en el resultado depende de las incertidumbres parciales de cada cantidad. Consideremos los siguientes casos: a) Z= X ± Y Supongamos que deseamos determinar el valor de z, donde
z=x–y En el cálculo de la incertidumbre debemos considerar el caso más desfavorable, así, el valor máximo de z es
zmáx = ( x + Δx ) – ( y – Δy ) = ( x – y ) + ( Δx + Δy )
El valor mínimo de z es
zmíx = ( x - Δx ) – ( y + Δy ) = ( x – y ) - ( Δx + Δy ) En consecuencia, la incertidumbre en el valor de z , es igual a la mitad del intervalo, Δz =( zmáx - zmíx )/2, esto es
Δz = Δx + Δy
Obtenemos el mismo resultado para el caso de la suma
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zmáx = ( x + Δx ) + ( y + Δy ) = ( x + y ) + ( Δx + Δy ) zmáx = ( x - Δx ) + ( y – Δy ) = ( x + y ) - ( Δx + Δy ) La incertidumbre en el valor de z , es igual a la mitad del intervalo
Δz = Δx + Δy Regla. Cuando se suman o se restan cantidades, la incertidumbre absoluta en el resultado será la suma de las incertidumbres individuales.
b) z= xm yn /tr Con x ± Δx, y ± Δy, t ± Δt Consideremos el caso más pesimista, todas las incertidumbres influyen en el mismo sentido, esto será así cuando los valores de x, y tienen valores máximos y t sea mínimo. La incertidumbre mayor en z será
(z+ Δz)= (x+ Δx)m (y+ Δy)n (t- Δt)-r
el cual podemos escribir como
z(1 +
∆x m ∆y n ∆t ∆z ) (1 + ) (1 − )- r ) = x m y n t - r (1 + y t x z
(1 +
∆z ∆x m ∆y n ∆t ) (1 − )- r ) = (1 + ) (1 + t z x y
Ahora consideramos que las incertidumbres relativas de cada una de las mediciones son pequeñas, entonces podemos expandir los términos en paréntesis del segundo miembro y considerar solo los términos de primer orden de la expansión, con el cual obtenemos:
(1 +
∆z ∆x ∆y ∆t ) = (1 + m )(1 + n )(1 + r ) t y x z
Efectuando los productos y considerando solo los términos de primer orden, finalmente obtenemos:
∆z ∆x ∆y ∆t =m +n +r y t z x
Regla: Para hallar la incertidumbre relativa de productos y/o de cocientes se suman las incertidumbres relativas de cada uno de los términos. 5
PROCEDIMIENTO
5.1 MEDICIONES DIRECTAS a) Medidas de tiempo (10 min ) Con un cronómetro (reloj, celular, etc.) mida el tiempo que tarda en completar diez oscilaciones de un evento que indique el profesor, cada estudiante debe hacer solo una lectura con los instrumentos y completar la tabla.
Instrumento t(s), n =10 oscilaciones
Cronómetro
Reloj
9
Celular
±
t(s), 1 oscilación (t ± Δt) s
±
±
b) Medidas de longitud Medir con una regla métrica y un vernier: la longitud (L), el espesor máximo (e) y el diámetro interno (di) de un hueso. Complete la tabla.
(L ± ΔL) cm
Instrumento
(e ± Δe) cm
(di ± Δdi) cm
Regla Vernier
c) Medidas de masa Con una balanza mida las masas de diferentes objetos ( hueso, lapicero, cuaderno, moneda, etc.). Complete la tabla
Objetos Resultado
(m ± Δm) g
±
±
±
±
±
d) Medida del volumen de un objeto irregular Utilice una probeta graduada para medir el volumen de objetos irregulares ( hueso, anillo, cadenas, piedra, pulseras, etc). Complete la tabla
Objetos Resultado
(V ± ΔV) cm3
±
±
±
±
±
5.2 MEDICIONES INDIRECTAS a) Determinar el valor del número π Sugerencia: Mida con un vernier el diámetro de un objeto cilíndrico y la longitud de su circunferencia. Complete la tabla.
Objeto cilíndrico Medida Incertidumbre relativa Resultado π ± Δπ
Diámetro ( d ± Δd) cm ∆π
π
Circunferencia (c ± Δc) cm ±
± = ±
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b) Determine la densidad superficial de una hoja de papel Sugerencia: Con un vernier mida el largo y ancho de una hoja de papel ( use un grupo de papel); con una balanza mida la masa de la hoja de papel. Complete la tabla.
( a ± Δa)
( b ± Δb)
( m ± Δm)
Medida ± Incertidumbre relativa Resultado ( σ ± Δσ) g/cm2
∆σ
σ
±
±
=
(
) g/cm2
±
c) Determine la densidad volumétrica de un hueso Con las medidas obtenidas en las mediciones directas, determine la densidad volumétrica de un hueso.
( m ± Δm)
( V ± ΔV)
Medida ± ∆ρ
Incertidumbre relativa
ρ Resultado ( ρ ± Δρ) g/cm2
(
± = ±
6. CALCULOS Medición indirecta de la constante π a) Cálculo del valor de π
π =
c = d
=
b) Cálculo de la incertidumbre relativa
∆π
π
=
∆c ∆d + =( c d
)+(
)=
Medición indirecta de la densidad superficial de una hoja de papel a) Cálculo de la densidad
σ =
m m = = A ab (
)(
)
=
b) Cálculo de la incertidumbre relativa
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) g/cm2
∆σ
σ
=
∆m ∆a ∆b + + =( b m a
)+(
)+(
)=
7. CONCLUSIONES Y SUGERENCIAS
7. CUESTIONARIO 1. ¿Qué longitudes mínimas deberá medirse con un vernier cuya reglilla móvil tiene diez divisiones y con una regla calibrada en milímetros, para que la incertidumbre relativa porcentual sea en cada caso igual al 1%?. Con el vernier:
Lv =
Con la regla métrica:
Lr =
2. ¿Cuál es la incertidumbre absoluta en la lectura del volumen del líquido en una probeta cuya escala mínima está en décimos de cm3?. ΔV = cm3 3. Con la probeta anterior se mide un volumen de 5 cm3, determine la incertidumbre relativa. ¿Qué recomendaría para mejorar su medición de volumen?.
∆V = V Recomendación: ........................................................................................................................................ 7. CONCLUSIONES Y SUGERENCIAS ........................................................................................................................................ 7. BIBLIOGRAFIA 7.1 NIST (National Institute of Standards and Technology), 1994, “Guide for Evaluating and Expressing the Uncertainty of NIST Measurement Results”, NIST Technical Note 1297. Washington, DC 204002.
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EXPERIMENTO 2 MEDICIONES ESTADISTICAS 1. OBJETIVOS 1.1 Entender el concepto de incertidumbre y su clasificación. 1.2 Conocer la incertidumbre asociada a una medida experimental. 1.3 Expresar correctamente las medidas experimentales, indicando la precisión y exactitud de la medida. 1.4 Aplicar procedimientos estadísticos para encontrar la incertidumbre de magnitudes medidas en forma indirecta. 2. MATERIALES Y EQUIPOS Una regla métrica calibrada en milímetros de 50 cm de longitud. 3. FUNDAMENTO 3.1 TEORIA DE INCERTIDUMBRE La incertidumbre representa el grado de dispersión de las medidas experimentales tomadas de una magnitud dada. Está relacionada únicamente a valores medidos. Todo proceso de medición está sujeto a incertidumbres, la manera de mejorar nuestro resultado o de minimizar la incertidumbre es realizando muchas mediciones. 3.1.1 TIPOS DE INCERTIDUMBRE El resultado de una medida debe ir acompañado por su incertidumbre. La incertidumbre consiste de muchas componentes. De acuerdo con el sistema Internacional, tiene dos categorías de acuerdo al método usado para calcular sus valores: A. Las que son evaluadas por métodos estadísticos. B. Las que son evaluadas por otros métodos La otra clasificación, que es más usada, es: a. Componente de incertidumbres aleatorias. b. Componentes de incertidumbres sistemáticas. Una componente de incertidumbre que se origina de un efecto sistemático puede ser evaluada por el método A en algunos casos y en otros por el método B, igualmente para las componentes de incertidumbre por efectos aleatorios. La aproximación CIPM está representando a las componentes de la incertidumbre, para una medida resultante, por una desviación estándar estimada. Una componente de incertidumbre en la categoría A es representada por una desviación estándar estimada (llamada incertidumbre estándar, μi). La evaluación de la incertidumbre por un análisis estadístico de una serie de observaciones es llamada evaluación del tipo A. Una componente de incertidumbre en la categoría B es representada por μj, el cual debe ser considerado como una aproximación de la desviación estándar correspondiente. Para tal componente la incertidumbre estándar es μj. 3.1.2 EVALUACION DE LA INCERTIDUMBRE ESTANDAR TIPO A, μA Esta evaluación está basada en cualquier tipo de métodos estadísticos válidos para el tratamiento de datos. Los ejemplos hallan la desviación estándar del promedio de una serie de observaciones
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independientes; usando el método de mínimos cuadrados 3.1.2. EVALUACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE ESTÁNDAR TIPO A, µA Esta evaluación está basada en cualquier tipo de métodos estadísticos válidos para el tratamiento de datos. Los ejemplos hallan la desviación estándar del promedio de una serie de observaciones independientes; usando el método de mínimos cuadrados.
μ(x) = s(x i ) 1
n 2 1 µ (x i ) = (x i, k - x i ) 2 ∑ n(n - 1) k =1
3.1.3. EVALUACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE ESTÁNDAR TIPO B, µB Este tipo de evaluación es usualmente basado en una decisión científica usando toda la información pertinente disponible, la cual debe incluir: •
Datos previamente medidos.
•
Experiencia con, o de conocimiento general de, el comportamiento y propiedades de materiales relevantes e instrumentos.
•
Especificaciones de manufacturas.
•
Datos provistos en calibración y otros reportes.
•
Incertidumbres asignadas a datos de referencia tomados de los handbooks.
3.1.4. INCERTIDUMBRE TOTAL O COMBINADA, µ o µC La incertidumbre total en una medida es la consecuencia de la contribución de los dos tipos A y B según:
µ = (µ A2 + µ A2 )2 1
Consideremos que se realizan N mediciones de una misma cantidad con resultados x1, x2, x3,...xN. El mejor valor estimado para la cantidad x es el promedio o media aritmética, x, dado por
1 n x i = x i = ∑ x i, k n k =1
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El resultado o valor medido ( Vmed = X = xi ) finalmente es expresado como:
X
µ
±
3.1.5. INCERTIDUMBRE RELATIVA O PRECISION Se define como el grado de aproximación entre si o dispersión de valores medidos de una misma magnitud bajo las mismas condiciones expresadas en términos porcentuales, y se calcula según:
µ
Ρ(%) =
X
.100
Ejemplo: Se realizan cinco mediciones del tiempo con un cronómetro cuya incertidumbre de lectura es 0,01 s, con el siguiente resultado. Tiempo (s) Medida
t1 3,15
t2 3,20
t3 3,14
t4 3,16
T5 3,12
La media aritmética es t = 3,154 s La incertidumbre estándar tipo A es: 5
µA =
µA =
∑ (3,154 - 3,15)
2
+ (3,154 − 3,20) 2 + (3,154 − 3,14) 2 + (3,154 − 3,16) 2 + (3,154 − 3,12) 2
i =1
(5 - 1)5
0,00352 = 0,0133 s 20
La incertidumbre estándar tipo B es:
µ B = 0,01 s
La incertidumbre total será: µ = (0.0133 2 + 0.012 )1 / 2 El resultado de la medición será:
= 0.0166 s
X ± µ = 3.154 ± 0.017 s
Entonces la incertidumbre relativa en la medida será:
P
=
0.017 .100 = 0.54 % 3.154
3.1.6. PROPAGACION DE INCERTIDUMBRES, µc El método empleado para el cálculo de la incertidumbre en una medición indirecta donde las incertidumbres de las mediciones directas se propagan Se obtiene de la combinación de las incertidumbres estándares individuales u, ya sea que provengan del tipo A o B, usando la ley de propagación de la incertidumbre, o método “RSS”, Raiz Cuadrada de la Suma de Cuadrados:
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N ∂f = ∑ i =1 ∂xi
µ
2 2 µ ( xi )
1/ 2
Veamos algunos casos de propagación de incertidumbres. Suma y diferencia de dos variables Sea z=x±y Si la incertidumbre en x es µ(x) , la incertidumbre en y es µ(y), entonces la incertidumbre en z está dado por
µ ( Z ) = [µ 2 ( x) + µ 2 ( y )]
1/ 2
Esto muestra que en el caso de una suma o diferencia, la incertidumbre en el resultado será la suma de las incertidumbres individuales, representa la incertidumbre mas probable en el resultado.
Productos y cocientes Sea
z = xm yn t -r
µ ( z ) 2 µ ( x) µ (t ) 2 µ ( y) + r 2 = m + n z y t x 2
2
1 2 2
Las incertidumbres relativas multiplicadas por sus respectivos exponentes se suman en el caso de productos o cocientes, esta cantidad representa la incertidumbre más probable. 3.2. ERROR Se define como la diferencia entre el valor referencia o valor aceptado y el valor medido.
ε = Vref − Vmed 3.2.1. EXACTITUD Se define como el error porcentual en la medida y esta dada por:
E=
ε Vref
.100 =
Vref − Vmed Vref
.100
4. PROCEDIMIENTO 4.1 Tiempo de reacción personal Un alumno sostiene verticalmente una regla a cierta altura, otro alumno (cuyo tiempo de reacción se desea determinar) sitúa sus dedos abiertos en la parte inferior de la regla, en una posición fija. Se suelta la regla sin previo aviso, el alumno observa la caída de la regla y cierra los dedos sobre ella. Anota la distancia que ha caído la regla, desde la posición inicial (parte inferior de la regla)
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hasta la posición final (posición en la que la regla ha sido sujetada). El tiempo de reacción se obtiene a partir de la ecuación de caída libre de la regla:
d=
1 2 gt 2
d es la distancia recorrida; g = 9,78 m/s2 es la aceleración de la gravedad; y t es el tiempo que dura la caída. El tiempo de reacción, en segundos, cuando d se expresa en centímetros es
t = 0,045 d a) Elijan a uno de sus compañeros y realice lo indicado anteriormente para cinco situaciones idénticas (mismo alumno) y complete la tabla, Dato
1
2
3
4
5
d(cm) Valor medio
<t> =
Resultado
(<t> ± µ )
Incertidumbre combinada
s
=
(
±
µ= ) s, P (%) =
s
b) Tome datos para cada miembro (mínimo cuatro alumnos) y complete las tablas
Alumno 1:…………………………………….. Dato 1 2 d(cm) Valor medio
<t> =
Resultado
(<t> ± µ )
3 Incertidumbre combinada
s
=
(
±
Alumno 2:……………………………………. Dato 1 2 d(cm) Valor medio
<t> =
Resultado
(<t> ± µ )
3 Incertidumbre combinada
s
=
(
±
Alumno 3:…………………………………….. Dato 1 2 d(cm) Valor medio
<t> =
Resultado
(<t> ± µ )
3 Incertidumbre combinada
s
=
(
±
17
4 µ= ) s, P (%) =
5
s
4 µ= ) s, P (%) =
5
s
4 µ= ) s, P (%) =
5
s
Alumno 4:…………………………………… Dato 1 2 d(cm) Valor medio
<t> =
Resultado
(<t> ± µ )
3 Incertidumbre combinada
s
=
(
±
4 µ= ) s, P (%) =
5
s
4.2 Tiempo de reacción del grupo de trabajo Elijan a cinco alumnos y realice el experimento para cada alumno en situaciones idénticas y complete la tabla: Dato
Alumno 1
Alumno 2
Alumno 3
Alumno 4
Alumno 5
d(cm) Valor medio
<t> =
Resultado
(<t> ± µ )
Incertidumbre combinada
s
=
(
±
µ= ) s, P (%) =
s
El tiempo de reacción del grupo de trabajo será considerado como el valor de referencia para el tiempo para la reacción de una persona frente a un estimulo. 5. CUESTIONARIO 5.1. Determine la precisión en la medida del tiempo de reacción para cada alumno. 5.2. Considere como valor de referencia para el tiempo de reacción de una persona el valor dado en la tabla del procedimiento 4.2. y determine los errores en la medida del tiempo de reacción para cada alumno. 5.3. Determine la exactitud en cada caso (para cada alumno). 5.4. Indicar las fuentes que contribuyen a elevar el grado de incertidumbre y de aumentar los errores observados en el experimento.
6. CONCLUSIONES Y SUGERENCIAS
7. BIBLIOGRAFIA 7.1 NIST (National Institute of Standards and Technology), 1994, “Guide for Evaluating and Expressing the Uncertainty of NIST Measurement Results”, NIST Technical Note 1297. Washington, DC 204002.
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EXPERIMENTO 3 ANALISIS GRAFICO I 1. OBJETIVOS 1.1 Conocer las bases para una buena representación gráfica. 1.2 Utilización adecuada del papel milimétrico 1.3 Descubrir el comportamiento de un sistema físico a partir de la evaluación de los datos obtenidos en un experimento. 1.4 Hacer uso de las técnicas del análisis gráfico, incluyendo las técnicas de linealización y ajuste por el método de cuadrados mínimos para un comportamiento lineal de los datos. 1.5 Obtener nuevos datos por interpolación y extrapolación. 2. MATERIALES: Papel milimétrico 3. FUNDAMENTO Cuando estudiamos un sistema físico cualquiera, buscamos obtener cambios o respuestas del sistema ante perturbaciones que podemos aplicar en forma controlada. El análisis de los resultados experimentales nos permitirá establecer la relación entre las variables, para ello, será muy útil obtener una buena representación gráfica de los datos obtenidos. 3.1 TABLA DE DATOS Para encontrar la relación entre dos cantidades físicas, debemos realizar mediciones experimentales siguiendo procedimientos y/o protocolos establecidos. El conjunto de datos se organiza en forma de tablero a dos columnas o filas, conocida como tabla de datos. Estos datos contienen toda la información del sistema físico y no deben ser modificadas a pesar que los resultados no concuerden con nuestras suposiciones iniciales. 3.2 GRAFICAS Luego de las mediciones realizadas, iniciamos la evaluación de los datos. La tabla de datos contiene toda la información necesaria para establecer el tipo de relación funcional (ley) entre las cantidades físicas involucradas en las mediciones. Con sólo observar la tabla de datos será muy difícil determinar la tendencia entre ellas, por ello es necesario graficar los datos para visualizar con mayor facilidad la relación existente entre ellas. Así mismo, una gráfica nos permitirá describir en forma sencilla las variaciones o cambios de una cantidad con respecto a la otra, y por otro lado, obtenida la grafica podemos obtener nuevos datos más allá del intervalo experimental observado (extrapolación) o nuevos datos dentro del intervalo observado pero no medido (interpolación). Elección de variables Para construir una gráfica trazamos en el plano dos rectas perpendiculares entre sí, una horizontal y otra vertical, y denotamos con O su punto de intersección. La recta horizontal es denominada eje de las abscisas y la recta vertical eje de las ordenadas. Antes de construir una gráfica revisemos los siguientes conceptos:
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(a)
Variables
Son las cantidades físicas que intervienen en el experimento y cuyo comportamiento se desea conocer. Las variables pueden ser: dependientes e independientes. Variable Independiente Es la variable que podemos controlar, es decir, podemos variar en un proceso experimental, por lo que puede tomar cualquier valor arbitrariamente seleccionado por el experimentador. Se llama también variable de entrada. Variable Dependiente Es aquella variable cuyo valor depende del valor que toma la variable independiente, es la respuesta del sistema físico a un cambio en la variable independiente. Se llama también como variable de salida. Ejemplo: Al estudiar el movimiento, deseamos construir la gráfica de la posición en función del tiempo, en este caso, se considera al tiempo como variable independiente. (b)
Constantes Son las variables que toma un valor fijo durante el proceso experimental.
(c)
Función Una cantidad y es función de otra cantidad x , si su valor es determinado por el valor de la variable x . Esta función se expresa en la forma: y = f(x)
3.3 REGLAS PARA TRAZAR GRAFICAS Regla 1. Decidir cual variable es independiente y cual es dependiente. Los valores que toma la variable independiente se deben representar en el eje horizontal y los de la variable dependiente en el eje vertical. Junto a cada eje debe aparecer en forma clara el nombre de la variable representada sobre él, con sus unidades correspondientes. El origen de los ejes no tiene que coincidir necesariamente con el (0,0). Regla 2. Escoger las escalas de tal forma que se puedan representar todos los datos y la gráfica ocupe la mayor parte de la página. Como escala debemos escoger un número fácilmente divisible, por ejemplo, no es conveniente una escala representada por los números 3,5 o 7; la lectura del gráfico se ve dificultada si tomamos 3 cuadrados para representar 4 unidades. No es necesario utilizar la misma escala en ambos ejes. Regla 3. Localice cada dato en el papel y señale con el lápiz (use símbolos), una vez que está seguro de no haber cometido error en la localización, remarque con tinta cada punto. Si tiene otro juego de datos para las mismas variables utilice otro símbolo o color. Regla 4. Con un lápiz muy agudo trace la línea que mejor se ajuste a los puntos de los datos. No trate de forzar a la curva para que pase por todos los puntos, algunos de ellos debido a las incertidumbres experimentales quedarán fuera de la línea. Regla 5. Titule la gráfica, un título adecuado debe resumir de lo que trata la gráfica.
20
3.4 FUNCIONES LINEALES Y POTENCIALES a) Funciones lineales Una función es lineal cuando queda representada en la forma:
y = b + mx:
y2 * *
∆y
* y1
* ∆x
* b
* * x1
x2
X
Figura 3.1 Representación gráfica de una función lineal Donde m es la pendiente de la recta, la cual se determina como:
m=
y2 − y1 ∆y = x2 − x1 ∆x
La función lineal que se observa en el gráfico representa al conjunto de datos (puntos marcados con “∗”), algunos de éstos caen en la recta y otros se distribuyen a ambos lados de la misma. b) Funciones Potenciales Cuando la gráfica en el papel milimétrico de y = f(x), no resulta lineal podemos sospechar de una relación potencial, es decir, que las variables están afectadas de algún exponente diferente de la unidad. Esta función potencial viene representada por la siguiente ecuación:
y = k .x n Donde k y n son constantes que deberán ser determinadas, el exponente n puede ser un número entro o fraccionario. Una forma de determinar el valor del exponente es por el método de linealización de la función, esto es, construimos gráficas de y en función de xn, entonces la gráfica que resulte una línea recta indicará que la función es del tipo potencial y se habrá determinado el valor del exponente, y si no logramos obtener una línea recta, debemos graficar en otro tipo de papel. La Figura 3.2 muestra la gráfica de y como función de x, la Figura 3.3 muestra la gráfica de y en función de xn, para un valor de n que linealiza la función potencial. y
y * * * * * * *
xn
x Figura 2.2 Función potencial
Figura 2.3 Función potencial linealizada
21
3.4 AJUSTE A UNA RECTA: MÉTODO DE LOS CUADRADOS MÍNIMOS La ecuación general de una relación entre las variables, es y=mx +b La pendiente, m, y el corte con el eje Y , b, son magnitudes determinados después del ajuste. El método de los mínimos cuadrados se basa en que la desviación total de los datos experimentales con relación a los puntos ajustados debe ser mínimo. di = (yi– ŷi)2 donde ŷi = m xi + b es el valor estimado mediante la recta ajustada para yi, entonces la desviación total de los puntos experimentales frente a los teóricos será
s = ∑ (yi - yˆi
)2 = ∑ (yi − (mxi + b))2
i
i
para que esta desviación sea mínima y dado que es función de m y b debemos imponer la condición
∂ ∂ = 0, =0 ∂m ∂b
aplicando estas condiciones, obtenemos:
∑x y i
= m∑ x i2 + b∑ x i
i
i
∑y
= m∑ x i + bN
i
i
i
donde N es el número total de medidas realizadas. Resolviendo las dos ecuaciones lineales obtenemos los valores de m y b. En el caso que la recta pasa por el origen, en las ecuaciones hacemos b=0 y obtenemos directamente la pendiente, m, de la recta.
m=
N ∑ x i yi - ∑ x i ∑ yi i
i
i
N∑ x - ∑ x i i i
2
2 i
∑x ∑y - ∑x y ∑x 2 i
b=
i
i
i
i
i
i
N∑ x - ∑ x i i i 2 i
22
i
2
i
4. PROCEDIMIENTO 4.1 En condiciones de reposo cuente el número de pulsos arteriales de los integrantes del grupo, y complete la siguiente tabla. Tabla 4.1 10
Pulsos arteriales en condiciones de reposo 20 30 40 50 60 70
80
90
100
Tiempo t(s) Nombre
4.2 La Tabla 4.2 muestra la rapidez de propagación de un pulso eléctrico a lo largo de una fibra nerviosa en función de su diámetro (d).
Tabla 4.2 v (m/s) d (µm)
Rapidez de propagación de un pulso eléctrico en una fibra nerviosa 15,8 18,8 25,1 30,2 37,6 45,7 50,1 63,1 70,8 2,0 3,2 5,0 7,9 11,2 15,8 20,0 28,2 39,8
79,4 50,1
5. PROCESAMIENTO DE DATOS Y CUESTIONARIO 5.1 Construya la gráfica correspondiente a la Tabla 4.1 en papel milimétrico, número de pulsos en función del tiempo. Describa esta gráfica: Para t = 75 s, el número de pulsos arteriales es: ........................ Para t = 120 s, el número de pulsos arteriales es: ........................ 5.2 Construya la gráfica correspondiente a la Tabla 4.2 en papel milimétrico, la rapidez del pulso eléctrico en función del diámetro de la fibra nerviosa. Describa esta gráfica: ............................................................................................................................................................ i) Para d = 6,0 µm, la rapidez del impulso eléctrico es: ........................ ii) Para d = 54 µm, rapidez del impulso eléctrico es: ......................... De los resultados anteriores, Cuál de ellas es el más confiable? …………………………………
5.3 Ajustar por cuadrados mínimos la ecuación y=mx+b a los siguientes datos: Σ Xi
1
3
4
6
8
11
12
15
Yi
1
7
12
17
25
34
36
45
23
Xi yi X i2
Resultados:
m=
b=
Ecuación: 6. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 6.1 Experimentación: Una Introducción a la Teoría de Mediciones y al Diseño de Experimentos. D.C. Baird. Editorial Prentice Hall. 6.2 Como construir las Gráficas. G.E. Shilov. Editorial Mir. 6.3 Prácticas de Laboratorio. Rosa Benito, Juan Carlos Losada, Javier Ablanque y Angel Santiago Sanz. Editorial. Ariel Practicum
24
EXPERIMENTO 4 ANALISIS GRAFICO II 1.
OBJETIVOS
1.1 Conocer las bases para una buena representación gráfica. 1.2 Utilización adecuada del papel milimétrico, logarítmico y semilogarítmico. 1.3 Descubrir el comportamiento de un sistema físico a partir de la evaluación de los datos obtenidos en un experimento. 1.4 Hacer uso de las técnicas del análisis gráfico, incluyendo las técnicas de linealización y ajuste por el método de cuadrados mínimos para un comportamiento lineal de los datos. 1.5 Obtener nuevos datos por interpolación y extrapolación. 2.
3.
MATERIALES: Papel gráfico: milimétrico, logarítmico y semilogarítmico FUNDAMENTO
3.1 Funciones potenciales Cuando la gráfica de los datos en papel milimétrico no resulta lineal, podemos sospechar que la relación entre las variables es del tipo potencial de la forma
y=k x n
donde n es el exponente, que puede ser positivo, negativo, entero o fraccionario. Una manera de verificar si la relación es del tipo potencial es graficar en papel logarítmico con escalas logarítmicas en ambos ejes, los datos se representan directamente en este tipo de papel, no hay necesidad de tomar los logaritmos, el papel lo hace por nosotros. En la Figura 3.1 y 3.2 se muestran los gráficos en papel milimétrico y logarítmico de una función potencial creciente. y
y
b a
x
x
Figura 3.1
Figura 3.2
Gráfico de una función potencial en papel milimétrico
Gráfico de la función potencial en papel logarítmico
En ambos gráficos se han representado directamente los valores de (x, y), sin embargo los resultados son diferentes. Esto se debe a que en la Figura 3.2, al haber representado los datos en papel logarítmico, el gráfico realmente corresponde a los logaritmos de los datos, el papel ha tomado el logaritmo por nosotros. Podemos verificar rápidamente este resultado tomando logaritmos a ambos miembros de la ecuación potencial.
25
log(y) = log(k) + n log(x) renombrando las variables obtenemos una ecuación lineal
Y=K+nX
De esta manera, si la gráfica de los datos en papel logarítmico resulta una recta, queda confirmada que la relación entre las variables será del tipo potencial. La pendiente de la recta proporcionará el exponente n de la función potencial.
3.2 Funciones exponenciales Las funciones exponenciales son de la forma representada en la Figura 3.3 y la ecuación que la representa tiene la forma: − µ.x
y = ke
Donde k y µ son constantes que deberán ser determinados: y * * * * * * * * * x Figura 3.3 Función Exponencial Las constantes k y µ se pueden determinar linealizando la función exponencial, para ello es necesario expresarlo en su forma lineal tomando logaritmos
log( y ) = log(k ) − (µ . log e ).x renombrando las variables, tenemos:
Y = K − M .X La cual representa la ecuación de la recta de pendiente M. Graficando la ecuación linealizada en un papel milimetrado podemos determinar las constantes k y µ de la función exponencial.
26
Por otro lado, se puede graficar directamente los datos en el papel semilogarítmico, con los valores de y en la escala logarítmica y los valores de x en la escala lineal; si el resultado es una línea recta, entonces se confirma que la relación entre las variables es del tipo de una función exponencial. Nuevamente, en este caso, el papel tomó el logaritmo por nosotros. En la Figura 3. 4. se representa la gráfica de una función potencial decreciente.
y
K
* *
* *
* *
*
* * * * x
Figura 3.4. Función potencial linealizada en un papel logarítmico
4.
PROCEDIMIENTO
4.1 La Tabla 4.1 muestra la rapidez de propagación de un pulso eléctrico a lo largo de una fibra nerviosa en función de su diámetro (d).
Tabla 4.1 v (m/s) d (µm)
Rapidez de propagación de un pulso eléctrico en una fibra nerviosa 15,8 18,8 25,1 30,2 37,6 45,7 50,1 63,1 70,8 2,0 3,2 5,0 7,9 11,2 15,8 20,0 28,2 39,8
79,4 50,1
4.2 La Tabla 4.2 muestra la tasa de recuento de una sustancia radiactiva en el tiempo.
Tabla 4.2 t(días) Cuentas minuto
0 455
Tasa de semidesintegración de una sustancia radiactiva 1 2 3 4 5 6 7 8 402 356 315 278 246 218 193 171
27
9 151
10 133
5.
PROCESAMIENTO DE DATOS Y CUESTIONARIO
5.1 Construya la gráfica correspondiente a la Tabla 4.1en papel milimétrico. Describa esta gráfica: 5.2 Construya la gráfica correspondiente a la Tabla 4.1 en papel logarítmico y determine la ecuación empírica:
5.3 Construya la gráfica correspondiente a la gráfica:
Tabla 4.2 en papel milimétrico. Describa esta
5.4 Construya la gráfica correspondiente a la Tabla 4.2 en papel semilogarítmico y determine la ecuación empírica: 5.7 Ajustar por cuadrados mínimos la ecuación y= mebx a los siguientes datos: Σ x
1
2
3
4
5
y
10
12
14
17
23
xy x2
Resultados:
m=
b=
Ecuación: 6.
CONCLUSIONES Y SUGERENCIAS
7.
BIBLIOGRAFIA
7.1 Experimentación: Una Introducción a la Teoría de Mediciones y al Diseño de Experimentos. D.C. Baird. Editorial Prentice Hall. 7.2 Como construir las Gráficas. G.E. Shilov. Editorial Mir. 7.3 Prácticas de laboratorio de física. Rosa Benito, Juan Carlos Losada, Javier Albanque y Angel Santiago Sanz. Editorial Ariel Practicum
28
EXPERIMENTO 5 EQUILIBRIO BIOMECANICO 1. OBJETIVOS 1.1. 1.2.
Estudiar las condiciones de equilibrio aplicadas a un sistema biomecánico. Determinar fuerzas en músculos, huesos y articulaciones en reposo.
2. EQUIPOS Y MATERIALES 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
Dos soportes universales Juego de pesas Una regla graduada Dos poleas Una balanza mecánica. Hilo
3. FUNDAMENTO TEORICO El cuerpo humano es una máquina muy organizada y de elevada complejidad, sin embargo, el movimiento del cuerpo humano así como el de los objetos se rigen por las leyes convencionales de la física. El estudio detallado de estas leyes y su aplicación a los seres vivientes (particularmente al humano) se conoce como biomecánica. La mecánica trata del equilibrio y del movimiento de los cuerpos materiales sometidos a fuerzas cualesquiera. La Estática, estudia las fuerzas y los momentos que actúan sobre los cuerpos en condiciones de equilibrio. Las fuerzas y los movimientos son elementos cotidianos y cercanos al estudiante, el aprendizaje de las leyes y modelos que los relacionan resultan más fácilmente compresibles que otros paradigmas científicos. Esto hace de la Mecánica una asignatura de gran valor formativo, al ser una herramienta privilegiada para relacionar leyes abstractas con hechos y resultados concretos. En los seres vivos las fuerzas se ejercen mediante los músculos sobre los huesos y articulaciones en condiciones de movimiento o de reposo; estas fuerzas del músculo donde las energía química de las moléculas del ATP se transforman en energía mecánica, produce contracción y movimiento bajo el estimulo del impulso nervioso. En general un músculo está fijado mediante tendones a dos huesos distintos. Los dos huesos se encuentran unidos en una articulación, como en los codos, rodilla, o tobillo. Una fuerza es toda acción que puede variar la velocidad y/o forma de un objeto, si se ejercen variar fuerzas su efecto (movimiento de traslación, rotación o de reposo) depende de la posición donde están aplicadas. Cuando una fuerza sobre un objeto no está equilibrada produce una aceleración en la dirección de dicha fuerza, para evitar esta aceleración podemos aplicar otra fuerza de igual magnitud pero dirigida en dirección contraria y aplicada en a misma posición de la
29
fuerza anterior, en este caso decimos que se ha equilibrado la fuerza. Pero si la segunda fuerza se aplica en una posición distinta, observaremos que a pesar que la fuerza resultante sea nuevamente igual cero, el objeto aún puede girar alrededor de algún eje sin tener un movimiento de traslación. En la Figura 6.1 se muestra en forma esquemática la acción de una fuerza F, aplicada en el punto A. El producto de la fuerza por el brazo de momento se llama momento o torque de la fuerza, debido al cual un cuerpo puede adquirir un movimiento de rotación alrededor de algún eje. Eje de giro
O A F
d
Figura 6.1 Momento o torque de una fuerza con relación a un punto O, la fuerza está aplicada en el punto A de de una puerta, la distancia de O a A es d; su efecto es hacer girar alrededor del eje que pasa por las bisagras de la puerta.
El momento de fuerza se define como τ=Fd Donde, Τ (N.m) es el torque o momento de fuerza; d (m) es el brazo de momento, y F (N): es la magnitud de la fuerza aplicada. El momento puede hacer girar un objeto en sentido horario o antihorario, en la Figura 6.2 se muestra un disquete al cual se aplica dos fuerzas paralelas mediante hilos, el disquete rota en sentido antihorario hasta que las fuerzas queden alineadas. B F A
B F
D
C
A
C
F
F D
(a) τ ≠ 0
(b)
τ=0
Figura 6.2. (a) El disquete rota en sentido antihorario, la fuerza total es cero pero el momento total de las fuerzas es diferente de cero.. (b) El disquete deja de rotar cuando las fuerzas quedan alineadas, la fuerza total es cero y el momento de fuerza es también cero. 4. CONDICIONES DE EQUILIBRIO
30
Las fuerzas no son concurrentes cuando no están aplicadas en un mismo punto del objeto y sus líneas de acción no se interceptan en un mismo punto, como ejemplo tenemos el caso de fuerzas paralelas aplicadas en diferentes puntos de un objeto; en estos casos, para que pueda hallarse en equilibrio será necesario garantizar que el objeto no tenga un movimiento de traslación ni de rotación. Las condiciones de equilibrio son entonces dos, uno para las fuerzas y otro para los momentos, estas dos condiciones se expresan en la forma: i)
Para las fuerzas
∑Fi = F1 + F2 + F3 + . . . = 0
La fuerza resultante o total es igual a cero, esta condición garantiza que el objeto no tenga un movimiento de traslación. ii)
Para los momentos ∑τi = τ1 + τ2 + τ3 + . . . = 0
El momento o torque total es igual a cero, esta condición garantiza que el objeto no tenga un movimiento de rotación. Las fuerzas musculares que realiza un individuo al caminar, saltar o sostener algún objeto, pueden ser evaluados aplicando las leyes de la estática. Estas fuerzas son ejercidas por contracción muscular (músculos flexores y extensores) que se aplican en la unión de los tendones con los huesos; donde la línea de acción de la fuerzas pasa por las terminaciones de las fibras musculares.
5. PROCEDIMIENTO En el experimento consideraremos situaciones donde la fuerza muscular es aproximadamente perpendicular a los huesos. 5.1 SISTEMA 1 Fuerzas que se ejercen sobre los huesos de la mano y antebrazo cuando la mano sostiene una carga 5.1.1 Arme el modelo que se muestra en la Figura 6.4.
31
Figura 6.4 Modelo biomecánico del antebrazo y mano sosteniendo una carga (sistema 1)
Figura 6.5 Esquema de equilibrio Biomecanico
Fa : fuerza que ejerce el músculo bíceps (valor experimental) Fac : fuerza que ejerce el músculo bíceps (valor calculado) Fam : peso del antebrazo y mano, mam es la masa del antebrazo y mano ma : lectura en la balanza de la masa, en equilibrio (valor experimental) Fc : peso de la carga que sostiene la mano, mc es la masa de la carga.
32
5.1.2 Calibre la balanza. Para diferentes cargas mc anote la lectura en la balanza cuando el sistema alcanza el equilibrio, el mismo que se logra cuando la regla se halla en posición horizontal. Complete la Tabla 6.1
TABLA 6.1 Datos experimentales cuando la mano sostiene diferentes cargas en equilibrio Carga 1
mc (kg)
ma (kg)
mam (kg)
a (m)
b (m)
c (m)
2 3
5.1.3 Para cada carga construya el diagrama de fuerza, determine para el modelo la fuerza que ejerce el músculo bíceps, éste será el valor calculado, Fac, y compare con el valor experimental, Fa. Complete la Tabla 6.2
TABLA 6.2 Fuerzas paralelas sobre la mano y antebrazo Cargas
Fa (N) (experiment al)
Fac (N) (calculado)
Fc (N)
Fam (N)
Error %
1 2 3
5.2 SISTEMA 2 Fuerzas que se ejercen sobre los huesos del pie en condiciones de reposo al sostener el peso del cuerpo humano. En las Figuras 6.5 y 6.6 se muestran aproximadamente las fuerzas que se ejercen sobre los huesos del pie para el talón levantado y ligeramente levantado, en el último caso podemos asumir que dichas fuerzas son aproximadamente paralelas y el peso del cuerpo puede considerarse distribuida por igual sobre ambos pies.
33
Figura 6.5 Fuerzas sobre el pie para talón levantado
Figura 6.6 Fuerzas sobre el pie para talón ligeramente levantado.
5.2.1 Arme el modelo que se muestra en la Figura 6.7, siga las instrucciones del Profesor. 5.2.2 Para tres valores diferentes de mW/2, varíe mT y mTA hasta alcanzar el equilibrio, el mismo que se logra cuando la regla se halla en posición horizontal. Anótelos y complete la Tabla 6.3 (mTA puede ser sustituida por lectura en una balanza).
Figura 6.7 Imagen del sistema 2
FTA
FT
W/2
34
Figura 6.7 Esquema de fuerzas sobre el pie y el modelo de fuerzas paralelas TABLA 6.3 Datos experimentales sobre fuerzas que actúan sobre el pie en equilibrio mTA (kg)
mT (kg)
mW/2 (kg)
a (m)
b (m)
1 2 3
mTA mT W/2 FW/2
:Es la masa del bloque que proporciona la fuerza FTA que ejerce en el tendón de Aquiles (Valor experimental) :Es la masa del bloque que proporciona la fuerza FT que ejerce la tibia sobre el talus :Es la mitad del peso de la persona cuya masa es mW/2 (peso que soporta un pie) :Fuerza que ejerce el piso sobre el pie como reacción a la fuerza que ejerce el pie sobre el piso debido al peso de la persona, es igual a la mitad del peso total.
5.2.3 Para cada peso FW/2 construya el diagrama de fuerza y para el modelo calcule la fuerza que ejerce el tendón de Aquiles sobre el calcaneus, éste será el valor calculado, FTAC, y compare con el valor experimental, FTA. Complete la Tabla 6.4 TABLA 6.4 Fuerzas paralelas sobre el pie con el talón ligeramente levantado FW/2 (N) FTA (N) FTAC (N) Error (experimental) (calculado) % 1 2 3
6. RESULTADOS Y DISCUSIÓN 6.1 Verifique si en el modelo de la Figura 6.4 están representadas todas las fuerzas que actúan sobre los huesos de la mano y antebrazo, identifique los que faltaran y determine su magnitud. ……………………………………………………………………………………………… 6.2 Explique las diferencias entre el valor experimental y valor calculado para la fuerza simulada que ejerce el músculo bíceps. …………………………………………………………………………………………….. 6.3 Verifique si en el modelo de la figura 6.7 están representadas todas las fuerzas que actúan sobre los huesos del pie, identifique los que faltaran. y determine su magnitud.
35
…………………………………………………………………………………………….. 6.4 Explique las diferencias entre el valor experimental y valor calculado para la fuerza simulada que ejerce el tendón de Aquiles. ……………………………………………………………………………………………… 6.5 Considerando los datos de la Figura 6.3, determine la fuerza que se ejerce en la articulación del codo, ¿cómo se aplica esta fuerza?. …………………………………………………………………………………………….. 6..6 Considerando los datos de la Figura 6.7, determine la fuerza que se ejerce en la articulación de la pierna y pie, ¿cómo se aplica esta fuerza? Considere el valor de su peso. ……………………………………………………………………………………………. 7. CONCLUSIONES Y SUGERENCIAS.
8. BIBLIOGRAFIA 8.1 J.A Tuszynski, Biomedical Aplications of introductory physics John Wiley & sons , 2001 8.2 Jou-llebot Perez . Física para las ciencias de la vida. Madrid: McGraw-Hill, Col. Schaum,; 1986. 8.3 ROSE-GAMBLE Human walking. Baltimore: Williams & Wilkins; 1991. 8.4 Giancoli, D.C.: Física. Principios y aplicaciones. 2 vol. Reverté, 1985. 8.5 John R. Cameron, Physics of the Body (2nd edition), Medical Physics Pub Corp 1999
36
EXPERIMENTO 6 MOVIMIENTOS CORPORALES 1. OBJETIVOS 1.1. 1.2.
Utilizar las ecuaciones del movimiento de caída libre, para determinar el tiempo de reacción que experimenta una persona ante un estímulo externo. Aplicar los conceptos básicos de la cinemática y del movimiento pendular, para encontrar experimentalmente en una primera aproximación el movimiento de las extremidades inferiores de una persona.
. 2. MATERIALES Y EQUIPOS -
Una regla de 50 cm o 100 cm de plástico o madera de escala milimetrada. Un cronometro de 1/100 de precisión. Una cinta métrica con escala centimetrica.
3. FUNDAMENTO TEORICO 3.1 ASPECTOS FISIOLÓGICOS La función principal del sistema nervioso es de procesar toda la información que recibe de forma que se produzcan las respuestas motoras adecuadas., esto es, que el sistema nervioso controla las actividades corporales como: contracciones musculares, cambios viscerales, etc. Recibe millones de datos de información procedentes de los órganos sensoriales y los entrega a diferentes órganos para determinar una respuesta corporal. La mayor parte de las actividades del sistema nervioso se inician por una experiencia sensorial procedente de receptores sensoriales sean estos receptores visuales, auditivos, táctiles de la superficie de un cuerpo u otros cuerpos. Esta experiencia sensorial puede dar lugar a una inmediata reacción o puede almacenarse en el cerebro durante minutos, semanas o años. 3.2 ASPECTOS FISICOS TIEMPO DE REACCION ANTE UN ESTIMULO EXTERNO Sabemos que los impulsos nerviosos tardan, en persona normal, aproximadamente 1/5 de segundo para ir del ojo al cerebro y de este a los dedos. Para determinar el tiempo de reacción ante un estimulo externo, tomamos en cuenta para el presente experimento las expresiones de caída libre. La Figura 1 muestra la caída de un cuerpo desde una posición A. La distancia que recorre hasta llegar a la posición B esta dada por la ecuación
d = V A t + 12 gt 2
(1)
Cuando el cuerpo es soltado desde el reposo ( VA = 0), la ecuación toma la forma: (2) d = 12 gt 2 luego al despejar t, se obtiene:
37
t=
2d g
(3)
Tiempo t compatible con el tiempo de reacción de una persona ante un estimulo externo, tiempo que tardan los impulsos nerviosos para ir del ojo al cerebro y de esta a los dedos.
Figura 1. Esquema experimental de determinación del tiempo de reacción.
EFECTOS DE LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD SOBRE LOS MOVIMIENTOS CORPORALES Debido a la aceleración de la gravedad, el movimiento de las extremidades se asemeja en una primera aproximación, al movimiento de un péndulo, aunque el movimiento real es mas complejo.
Figura 2. Longitud de un paso La ecuación que rige el movimiento pendular esta dado por:
T = 2π
L g
(4)
Siendo T el periodo del péndulo, L la longitud de la cuerda y g la aceleración de la gravedad.
38
Para calcular la rapidez de una persona en una marcha normal, podemos considerar que sus extremidades realizan un movimiento pendular, por lo que, el tiempo en dar un paso será proporcional al periodo
t=
T 2
(5)
d = 2 x = 2 Lsen(α / 2)
(6)
En consecuencia la rapidez media de paseo de la persona será:
Vm =
d T 2
(7)
Luego, reemplazando valores:
Vm = 20 L ⋅ sen(α 2 )
(8)
estando Vm [cm/s] y L [cm] El movimiento general del cuerpo humano durante la locomoción es de traslación , sin embargo, para obtener este resultado final, los segmentos corporales efectúan movimientos de rotación alrededor de ejes que pasan por las articulaciones. Hay que advertir que el movimiento de marcha es mas complicado en su mecanismo por la complejidad de palancas, coordinación de la masa, fuerzas de pie sobre el muslo, eficiencia de impulso, discontinuidad en la alineación, etc. Por lo que nuestra tratamiento es una primera aproximación. 4. PROCEDIMIENTO 4.1. Tiempo de reacción frente a un estimulo 1. Un estudiante sostiene una regla en forma vertical como se muestra en la Figura 1. Otro estudiante con el pulgar e índice separados, situado en la región inferior de la regla, tratara de “cogerla” en cuanto vea que es soltada. 2. Anote en la Tabla 1, la distancia que ha recorrido la regla entre los dedos del alumno hasta que es detenida. 3. Repita estos pasos con otros alumnos del grupo y complete la Tabla 1.
caso 1 2 3 4 5 6 7 8 9
alumno
Tabla 1 distancia d (cm)
39
tiempo t (s)
Su valor experimental, esto es, t = t ± s, viene a ser: t = ........ ± ...... s 4.2. Movimiento de rotación 1. Para cada alumno del grupo, mida la longitud de su extremidad inferior (L), desde el trocánter mayor hasta el talón y completar la tabla 2. 2. Mida la distancia de un paso (d), para esto el alumno deberá caminar 10 pasos normales en línea recta, luego a esta distancia dividirla por 10. Anote su resultado en la Tabla 2.
Alumno
L (cm)
d (cm)
Tabla 2 x (cm) sen(α/2)
Vm ± ∆V (cm/s)
3. Otro modo de calcular la rapidez de paseo es relacionando la distancia d y el tiempo t para un paso, Complete la Tabla 3. Tabla 3. Alumnos d (cm) t (cm) Vm (cm/s) 4. Compare los resultados de la rapidez lineal de las dos tablas anteriores. ¿cuál es su conclusión? Tabla 4. Alumnos Er
5. PROCESAMIENTO DE DATOS Y CUESTIONARIO 1. Con los datos de la tabla 1, construya la grafica d1/2 en función del tiempo 2. Analice los resultados de sus graficas anteriores 3. ¿Cuáles son las razones de que la velocidad media de un paso de la Tabla 2 difiera de los datos de la Tabla 3? 4. Calcule todos los elementos usando la tabla 2 y Tabla3. 5. CONCLUSIONES Y SUGERENCIAS 6. BIBLIOGRAFÍA 1. David Jou. Física para las ciencias de la vida. Ed. Schaum, p. 67, 68. Colombia 1970. 2. Resnick R. Holliday F. Fisica. Ed. Alhambra, p. 80, 81. México 1985. 3. Biomechanics and human locomotion: http://www.tid.es/documentos/boletin/numero17_2.pdf
40