គណិតវិទ្យា សង្ខេបមេរៀនសម្រាប់ត្រៀមប្រឡងថ្នាក់ទី១២ by សាត វ៉ាន់ណៃ

្រពះ ជ ជតិ

ច្រកកមពជ ុ

សន ្រពះម

ក ្រត

្រកសួងអប់រ ំ យុវជន និងកី

េមេរៀនសេងខប

មុខវិជជ៖ គណិតវិទយ

ស្រមប់េ្រតៀម្របឡងសញ ញ ប្រតមធយមសិក ទុតិយភូមិ និងបំេពញវិជជេលើកទី២ សម័យ្របឡង ១៣ តុ

២០១៤

បញ្ជីអត្ថបទ លីមីត្នៃអៃុគមៃ៍.................................................................. 3 I. មមម ៀៃសមខេប ................................................................. 3 1.ប្បមាណវិធីមលើលីមីត្ ....................................................... 3 2. លីមីត្នៃអៃុគមៃ៍ជួបប្បទះញឹកញាប់ ................................... 4 3. លីមីត្នៃអៃុគមៃ៍ប្ត្ីមោណមាប្ត្ ........................................ 4

4. លីមីត្នៃអៃុគមៃ៍អ៊ិចសបូណខ់ស្សែល .................................. 4 5. លីមីត្នៃអៃុគមៃ៍មោោ ីត្មៃស្ែ ....................................... 4 មេ ីមវ ៃិខ ប្ែីមីទីវនៃអៃុគមៃ៍ ..............................................15 I.មមម ៀៃសមខេប................................................................15 1.មេ ីមវនៃអៃុគមៃ៍ .......................................................15 2.ប្ែីមីទីវនៃអៃុគមៃ៍ .....................................................19 II. លំហាត្់គំ ូ ...................................................................21 1

ចំៃួៃកុំផ្លិច .........................................................................29 I. មមម ៀៃសមខេប ...............................................................29 II.លំហាត្់គំ ូ ....................................................................30 មោៃិក ..............................................................................39 I.មមម ៀៃសមខេប................................................................39 1.ប៉ា រ៉ាបូល.....................................................................39 2.មអលីប ......................................................................40 3.អ៊ីស្ែបូល....................................................................41 II.លំហាត្់គំ ូ ....................................................................42

លីមីត្នៃអៃុគមៃ៍ I

. មមម ៀៃសមខេប

1.ប្បមាណវិធីមលើលីមីត្ បបើ lim f  x 

L0





បបើ lim g  x  x a

M 0







ប

ោះ lim  f  x   g  x  

L M







ប

ោះ lim  f  x  .g  x  

L.M









ប

ោះ lim

f  x g  x

L M

x a



កំណត់សគា ំ ល់ : រាងមិនកំណត់គឺ :



;

 0

;

0 0

;

 

លីមីត្នៃអៃុគមៃ៍ជួបប្បទះញឹកញាប់

លីមីតត្តង់

lim x n   ; lim x 

x 

1 0 xn

x   ; lim

x 

លីមីតត្តង់ ជាចំនួនគត់រ ឺឡាទីបវ ិជជមាន និងគូ

lim x 0 x0

1   xn

ជាចំនួនគត់រ ឺឡាទីបវ ិជជមាន និងបសស lim

1   xn

ជាចំនួនគត់រ ឺឡាទីបវ ិជជមាន និងបសស lim

1   xn

x 0 x0

x 0 x 0

លីមីត្នៃអៃុគមៃ៍ប្ត្ីមោណមាប្ត្ lim x 0

sin x 1 x

; lim x 0

លីមីត្នៃអៃុគមៃ៍អ៊ិចសបូណខ់ស្សែល lim e x   x 

បបើ n  0 ប

1  cos x 0 x

lim e x  0

;

x 

ោះ lim

x 

ex   x  x

;

lim

ex xn    0 lim និ ង x  e x xn

លីមីត្នៃអៃុគមៃ៍មោោ ីត្មៃស្ែ lnx  0 ; lim xlnx  0 x  x x 0

lim lnx   ; lim  lnx   ; lim x 

បបើ n  0

x 0

ប

ោះ lim

x 

lnx 0 ; xn

lim  x n lnx  0 x 0

II. លំហាត្់គំ ូ 1.

f  x 

2 x2  x  3 x2 1

lim f  x 

; គណ

x 

ចបមលើយ

a. ចំប

1 3   x 2  2   2  2  1  32 2x  x  3 x x  x x ោះត្គប់ x  0 ; f  x      2 1 1  x 1  1 2 x 2 1  2  x  x  2

b. បគបាន lim

x 

 

1 0 ; x

ដូបចនោះ lim  2  x 

lim

x 

1 3   2 x x2 

1 0 x2  

និង lim 1  x 

1   1 x2 

វ ិបាក lim f  x   2 x 

f  x 

1 x

1  x 

lim f  x  ; lim f  x  ;

គណ

x 

x 

lim f  x  x 1

ចបមលើយ

1  x  1   1 x 1 x x  ក. lim f  x   lim  lim  lim 2 2 x  x  x  1  2 x  x x   2 1  1  x  x 2 1   2  x x  

 1   lim    0 x   x

ខ.

1  x  1   1 x 1 x x  lim f  x   lim  lim  lim 2 x  x  x  1  2 x  x 2 x   2 1  1  x  x 2 1   2   x x 

 1   lim    0 x   x 5

គ.

lim f  x   lim x 1

x 1

1 x

1  x 

lim 1  x   0

lim 1  x   2 និង

x 1

បោយ 1  x   0

ចំប

ដូបចនោះ

3.គណ

ោះ

x0

lim f  x    x 1

លីមីតខាងបត្ោម :

ក. lim x 1

x 1 x 1

;

x2 2 x3  8

ខ. lim x 2

1 x  1 x sin x

គ. lim

;

x 0

ចបមលើយ ក. lim

x 1  lim x  1 x 1

ខ. lim

x2 2 x3  8

x 1

x 2



 x  1  lim x 1  lim  x  1  x  1  x  1  x  1 x 1

x 1



បយើងដឹងថា a 3  b3   a  b  a 2  ab  b2



ដូបចនោះ x 3  8   x  2  x 2  2 x  4 តាង f  x  

x 2









x2 2 x22 x2 2  x3  8  x  2  x 2  2 x  4 x  2  2



x 24



 x  2  x 2  2 x  4 



 x  2  x



lim



x

x2

 2 x  4



x22

 2 x  4

x2 2 1  lim 3 x 2 x 8  x 2  2 x  4



x22







x22



1 48



1 1  x 1 2

គ. lim x 0

1 x  1 x sinx

តាង

f  x 

1 x  1 x  sin x

 sin x 



x  sin x



1 x  1 x sin x

2x 1 x  1 x

1 x  1 x







sin x x   ;  lim  lim  1 x 0 sin x  x 0 x 



x 2  1  

1 4.គណ

lim

x 

បយើងបឃើញ



lim

x 

4 x2 1  x2 1

4 x 2  1  

 ; lim

x 



ជារាងមិនកំណត់   

x   បយើងឧបមា x  1 1  1  4 x2 1  x2  4  2   x 4  2 x  x  បោយ x  1 ; x  x និង ដូចគានដដរ ដូបចនោះ



  x 2   lim f  x   lim  x 0 x 0  sin x 1 x  1 x    x 2  lim  lim x 0 sin x x 0 1 x  1 x



1 x  1 x







4 x2 1  x 4 

1 x2

1  1 1  x 2  1  x 2 1  2   x 1  2  x 1  2 x x  x 

f  x   4 x2 1  x2 1  x 4   1 1  x  4  2  1  2 x x 

  

1 1  x 1 2 2 x x

lim x   x 

និង

 1 1  lim  4  2  1  2   2  1  1 x  x x  

វ ិបាក lim f  x    x 

5.កំណត់លម ី ីតត្តង់ 1 ននអនុគមន៍ f

f  x 

បោយ

3x 1 x2 1

កំណត់បលើ

\ 1; 1

ក. lim  3 x  1  4 ; lim

x

ខ.សិកាសញ្ញា នន x 2  1

បោយបត្បើតារាងខាងបត្ោម

x 1

គ.

x 1

lim  x 2  1  0 x 1

 1  0

lim  x 2  1  0

និង

x 1

x 1

x 1

វ ិបាក lim f  x   

lim f  x   

និង

x 1

x 1 x 1

x 1

6. លំហាត់គំរូ ក. គណ

sin 5 x x 0 5 x

lim

បយើងតាង X  5x

sin X 1 X 0 X

បគបាន lim ដូបចនោះ lim x 0

ខ. គណ

sin 5 x 1 5x

π π   2sin  x   2sin  x   4 4   lim  lim π π π π   x x 4 4   x x  4 4  

តាង X  x 

π ; 4

x

π 4

ប

ោះ X  0

π  2sin  x   sin X 4  ដូបចនោះ lim  2 lim  2 1  2 π X 0  X π  x 4   x 4  គ. គណ

2sin 5 x  lim 5  x  5 x 0

lim x 0

2sin 5 x



 lim



5  x 5

2sin 5 x



5  x 5





5  x 5



x

x 0

 lim(10  x0

sin 5 x )  lim x 0 5x



5  x 5



 10  2 5  20 5 ឃ.

គណ

lim π x 3

3 cosx  sinx π x 3  3  1 3 cosx  sinx  2  cosx  sinx  2  2 

បយើងបាន

π π    2  sin cosx  cos sinx  3 3   π π    2sin   x   2sin  x   3 3  

 π  sin  x     3 cosx  sinx 3  lim  lim  2 π π π  π  x x  x 3 3 x   3  3   តាង X  x  ដូបចនោះ lim x

π 3

π π ;x 3 3

ំបោយ

3 cosx  sinx  sinX  lim  2 X 0 π X   x  3 

X 0

sinX   2   2lim X 0 X 

7. លំហាត់គំរូ

cos 2 x  1 x 0 2x

ក.គណ

lim

បយើងតាង X  2 x

 1  cosX  1  cosX cosX  1  lim   lim 0 X 0 X 0 X 0 X X X

lim

π  cos  x    1 2  lim π π  x 2   x 2 

ខ.គណ

បយើងតាង X  x 

π 2

; បបើ x 

π 2

ំបោយ X  0

π  cos  x    1 cosX  1 1  cosX 2  ដូបចនោះ lim  lim  lim 0 π X  0 X  0 X X π  x 2   x 2  គ. គណ

lim x 0

 cosx  1 cosx  1 cos 2 x  1  lim x  cosx  1 x 0 x  cosx  1 ឬ cosx  1 ឬ x  π  2kπ , k

cosx  1  0 បយើងបាន lim x 0

 cosx  1   lim 1  cosx  0 cos 2 x  1  lim x 0 x  cosx  1 x 0 x x

8.លំហាត់គំរូ គណ a.

លីមីតខាងបត្ោម :

lim

x 

x

 lnx 

b. lim

x 

 lnx  c. lim   x 0  x 

d. lim

x

x 

 lnx 

 lnx  x2

ចបមលើយ a. តាង f  x   x 2  lnx

lim x 2   និង lim x   x 

x 

lim f  x   

ដូបចនោះ

x 

b. តាង f  x   x 2  lnx

lim x 2   x 

និង

lim

x 

 lnx   

វាមានរាងមិនកំណត់   

 lnx  f  x   x 2  lnx  x 2 1  2  x   lim

x 

x

 lnx   lnx   lim x 2 . lim 1  2  x  x  x   lnx   m  0  lix  2  x  

  1

  c. តាង f  x  

lnx x

កំណត់បលើ 0, 

1 1  lim f  x   lim f  x   lim  lnx    lim lnx  lim x 0 x 0 x 0  x 0 x x  x 0

    d. តាង f  x  

(lnx )3 x2

lim (lnx)3   x 

វាមានរាងមិនកំណត់ បដើបមបើគណ និង

កំណត់បលើ 0,  និង

lim x 2   x 

 

លីមីតបនោះបយើងតាង

lim X   x 

x  X 2 ដូបចនោះ X = x 3

3  lnX  3 3  (lnX ) 2  3   lnX        f  x   2 X3 2  X   32  X    3 2 3

 2   lnX  lim f  x   lim     x  X  3    X 

lnX 0 X  X ដូបចនោះ lim f  x   0

ដត

lim

x 

9.លំហាត់គំរូ a. c.

lim

x 

e

 x  1

e x  e x x 0 x

lim

ex x  x 2 e x 1 lim x  x lim

ចបមលើយ a. តាង f  x   e x  x  1

lim e x   x 

;

lim

x 

  x  1  

វាមានរាងមិនកំណត់

x 1   f  x   e x  x  1  e x 1  x  x  e   e x 1   lim f  x   lim e x 1  x  x  x  x  e   e x 1    lim e x  lim 1  x  x  x  x  e   e x 1 lim x  0 ; lim x  0 x  e x  e x 1   lim 1  x  x   1 ; lim e x   x  x  e   e ដូបចនោះ

lim f  x    x 

lim

x 

ex x2

តាង f  x   ដត

ex 1  ex  2 2 x x

lim e x  0 x 

ដូបចនោះ

និង

lim

x 

1 0 x2

lim f  x   0 x 

e x  e x x e x  e x 1 lim f  x   lim  lim(e x  e  x )  lim x 0 x 0 x  0 x  0 x x 1 lim(e x  e  x )  2 និង lim   x  0 x 0 x

c. តាង f  x  

x 0

បយើងបាន lim f  x    x 0 x 0

lim(e x  e  x )  2 និង lim x 0 x 0

x 0

1   x

បយើងបាន lim f  x    x 0 x 0

e x 1 e x 1   d. តាង f  x   x x x x e  1 lim f  x   lim  lim    x  x  x x   x

ex   x  x

ដត lim

បយើងបាន

 1 0  x

និង lim   x

lim f  x    x 

មេ ីមវ ៃិខ ប្ែីមីទីវនៃអៃុគមៃ៍ I

.មមម ៀៃសមខេប 1.មេ

ីមវនៃអៃុគមៃ៍

a.រូបមនតបលើបដរ ីបវ ដដនកំណត់ននអនុគមន៍

√

និង

√

លកខខ័ណឌ

អនុគមន៍

អនុគមន៍មានបដរ ីបវ កំណត់បលើចប ល ោះ

អនុគមន៍

និង

មានបដរ ីបវ

បៅបលើចប ល ោះ និង

អនុគមន៍

និង

ចំនួនបថរ

មានបដរ ីបវ

បៅបលើចប ល ោះ និង

អនុគមន៍បណ្ដ ា ក់:

បលើ

មានបដរ ីបវបលើ ,

មានបដរ ីបវបលើ

បលើ

-បបើ

ជាចំនួនគត់

មានបដរ ីបវបលើ

-បបើ

ជាចំនួនគត់

មានបដរ ីបវ និង

√

បលើ

√

b.បដរ ីបវ ននអនុគមន៍ត្តីបោណមាត្ត

ដដនកំណត់

(

)

(

C.បដរ ីបវ ននអនុគមន៍អុិចសបូណង់ដសែល និង បោោរ ីតបនដព

ដដនកំណត់

)

2.ប្ែីមីទីវនៃអៃុគមៃ៍ a.ត្ពីមីទីវននអនុគមន៍ជួបត្បទោះញឹកញាប់

អនុគមន៍

ត្ពីមីទីវ

√

| |

b.ត្បមាណវ ីធីបលើត្ពីមីទីវ

អនុគមន៍

ត្ពីមីទីវ

√

. លំហាត្់គំ ូ 1.គណ

បដរ ីបវននអនុគមន៍ខាងបត្ោម :

ក. គ.

ខ. ឃ.

√

ចបមលើយ ក.

បយើងបាន

ខ.

បយើងតាង

ឬ

ឬ គ.

√ √

បយើងតាង

ឬ √

បយើងបាន

√ ឃ.

√

បយើងបត្បើរប ូ មនត

√ √

√

(

)

√

(

)

√

(√

)

√

(

)

(

√

)(√

)

(

√

2. គណ

√

)(

√

)

√

បដរ ីបវននអនុគមន៍ខាងបត្ោម :

ក.

ខ.

គ.

ឃ.

ចបមលើយ ក.

មានរាង

បោយ បគបាន (

ខ.

មានរាង

)

)បោយ

(

តាមបដរ ីបវននអនុគមន៍បណ្ដ ត ក់បយើងបាន [ ( គ.

(

)

[

(

)]

) (

)]

កនងសំ ណួរ ខ បយើងបាន ុ (

)

ឃ. បយើងបត្បើរប ូ មនត

3.គណ

និង

បដរ ីបវននអនុគមន៍ខាងបត្ោម

ក.

ខ.

គ.

ឃ.

ចបមលើយ ក.

បយើងបាន ប

ខ.

ោះ

ដូបចនោះ គ.

បយើងបាន

ឃ.

បយើងបត្បើរប ូ មនត ( ) (

4.គណ

)

បដរ ីបវបនតប ទ ប់ននអនុគមន៍

ចបមលើយ បយើងបឃើញ

(

)

(

)

បោយ

និង

(

ចំប 5. គណ

)

ោះ

បដរ ីបវននអនុគមន៍

ចបមលើយ បយើងតាង បយើងបាន

6. គណ

(

)

បដរ ីបវននអនុគមន៍ខាងបត្ោម ក.

ខ.

គ.

ឃ.

ង.

ច.

ចបមលើយ ក. ខ. គ. ដូបចនោះ

ឃ. ដូបចនោះ ង.

ដូបចនោះ ច.

បយើងតាង

7. បបើ

និង

កំណត់ត្ពីមីទីវននអនុគមន៍

ដដល វាយកតនមល 4 ចំប

ោះ

។

ត្ពីមីទីវទូបៅ បយើងបាន ដូបចនោះត្ពីមីទីវត្តូកំណត់គឺ 8. រកត្ពីមីទីវននអនុគមន៍ខាងបត្ោម : ក.

ខ.

គ.

√

ចបមលើយ ក.

ត្ពីមីទីវនន ត្ពីមីទីវនន បយើងបានត្ពីមីទីវនន

ខ. 25

គឺ គឺ

(

ដូបចនោះ

)

ឬ គ.

បយើងតាង

√

ដូបចនោះ

√

9. រកត្ពីមីទីវននអនុគមន៍ខាងបត្ោម : ក.

ខ.

គ.

ឃ.

ចបមលើយ តាង

ក.

និង

ដូបចនោះ ត្ពីមីទីវ នន ចំប

ោះ

គឺ |

ខ.

បគោចបាន

បយើងតាង

និង

ដូបចនោះ ត្ពីមីទីវនន ដតចំប

គឺ

ោះត្គប់

ដូបចនោះ គ.

តាង ដូបចនោះ ត្ពីមីទីវនន

និង

ដូបចនោះ ដូបចនោះ ឃ.

តាង

និង បយើងបាន

10. គណ

ត្ពីមីទីននអនុគមន៍ខាងបត្ោម

ក.

ខ.

គ. ចបមលើយ ក.

តាង

និង ដូបចនោះ ត្ពីមីទីវនន

ខ.

តាង បយើងបាន

គ.

និង ដូបចនោះ ត្ពីមីទីវនន

តាង

និង

បយើងបាន ដូបចនោះ ត្ពីមីទីវនន

គឺ

ចំៃួៃកុំផ្លិច I

. មមម ៀៃសមខេប -ចំនួនកុំផិច ល

បៅថាទត្មង់ពីជគណិតននចំនួនកំផិច ល ។

បៅថាដផនកពិត ប

យ ើ

ចំនួនពិត និង

បៅថាដផនកនិមិតត ដដល

និង

ជា

។

-បបើ

និង

ប

ោះបគបាន

និ ង

-ចំនួនកំផិច ល ឆ្លលស់ននចំនួនកុំផិច ល

តាងបោយ ̅

-ចំនួនកំផិច ល ផទយននចំ នួនកុំផិច ល ុ

តាងបោយ

-បបើបគមានចំនួនកុំផិច ល | | -បបើ -បបើ

| |

ោះមូឌុលនន

តាងបោយ

√

ជាចំនួនកុំផិច ល ប និ ង

ប

ោះ | |

ជាចំនួនកុំផិច ល ប | |

| |

| ̅|

ោះបគបាន | |

ិ រ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ជារូបភាពននចំនួនកុំផិច -វុចទ័ ល បៅថាោគុយមង់ននចំនួនកុំផិច ល

| | តាង

| | |

ជាមុំតូចបំផុតនន ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

។ បដើមបីគណ 29

| | | |

មុំ

បយើងត្តូវបោោះ

ស្រាយត្បព័នស ធ មីោរ : √

{

√

បៅថាទត្មង់ត្តីបោណមាត្តននចំនួនកុំផិច ល -បបើ

និង

ប

;

ោះបគបាន

ជាចំនួនគត់រឡាទី ុឺ ប

(ត្ទីសប ី ត ទដឺម័រ)(Moivre) -បបើ ប

ជាចំនួនកុំផិច ល មិនសូនែ ប ោះ

មាន

ឬសទី

យ ើ

ជាចំនួនគត់វ ិជជមាន

គឺ

.លំហាត្់គំ ូ 1.គណ

និង

ក.

ខ.

គ.

√

ចបមលើយ ក.

√

ខ.

√

√ √ )

(√ (√

√ )(

√ ) √ )

( (

គ.

(√

( (

√ )

√

(√ )(

√ )

( √ )(

√ )

( √ )(

√

√ ) √

√

(

√ )

(

√ )

(

√ )

(

√ )

√ )(

√ ) √ )

√

√ )( (

√

(

√

(√ )

)

√

√ (√

√ )

√ )— √

√ (√

(

( (

√

√ )

√ )( √ )(

(√ ) (√ )

(√ )

√ ) √ ) √

√

2.សរបសរចំនួនកុំផិច ល ខាងបត្ោមជាទត្មង់ពីជគណិត ក.

√ √

ខ.

√ √

គ.

ឃ.

ចបមលើយ ក.

√ √

(√ (√

√ )(√ √ )(√

√ ) √ )

√ )

ខ.

គ. បយើងបត្បើឯកលកខណោះភាព

បយើងបាន ឃ.

3.សរបសរចំនួនកុំផិច ល ខាងបត្ោមជាទត្មងត្តីបោណមាត្ត ក.

ខ.

√

គ.

ឃ.

√

ចបមលើយ ក.

√

បយើងោចទាញបាន

√

ដូបចនោះ

)

បយើងបាន

( មានមូឌុល

និង

និង ោគុយមង់

របបៀបមយងបទៀតតាមរូមនត √(√ )

√ បយើងបាន

√

ដូបចនោះ

(

) 32

ឬ

ខ. √

√ √ √

{

√ √

ដូបចនោះ គ.

√ (

)

√ √

(√ )

{

√

ដូបចនោះ ឃ.

(

)

(

)

√

√(

{

)

√

( )

√

ដូបចនោះ 4. បគមានចំនួនកុំផិច ល បគបោយ

និង

ក. សរបសររាងពីជគណិត

ជាអនុគមន៍នន

និង

ខ. រកទំ

ក់ទំនងរវាង

និង

បដើមបីបោយ

ពិត

គ. រកទំ

ក់ទំនងរវាង

និង

បដើមបីបោយ

និមិតត

ចបមលើយ ក. សរបសររាងពីជគណិត

ខ.

ជាអនុគមន៍នន

ពិត លុោះត្តាដត ដផនកនិមិតបត សមើ

និង ( ដូបចនោះ ទំ

និង

ឬ

)

ក់ទំនងរវាង

និង

និង ( គ.

បដើមបីបោយ

និង

ដូបចនោះ ទំ

និង

ឬ

)

ក់ទំនងរវាង

និង

បដើមបីបោយ

និង ( 5. ក. បោោះស្រាយបៅកនង ុ បយើងតាងបោយ និង តាងបោយ

ពិត គឺ

)

និមិតត លុោះត្តាដត ដផនកពិតបសមើ

និង (

និង

សមីោរ

និមិតត គឺ

និង

)

√

ឬសរបស់សមីោរដដលដផនកនិមិតវត ិជជមាន ឬសមួយបទៀត។

ខ. a.កំណត់មូឌុល និង ោគុយមង់ននចំនួនកុំផិច ល

និង

b.កំណត់មូឌុល និង ោគុយមង់ននចំនួនកុំផិច ល ( )

ចបមលើយ ក. បោោះស្រាយបៅកនង ុ

សមីោរ

√

( √ )

(√ )

√

ខ.a.កំណត់មូឌុល និង ោគុយមង់ √

; | |

√

( √ )

និង √

√

និង {

√

បយើងបានទត្មង់ត្តីបោណមាត្តនន √

| |

√

)

( √

√

និង {

√

បយើងបានទត្មង់ត្តីបោណមាត្តនន

(

b. កំណត់មូឌុល និង ោគុយមង់នន ( )

( ( ) ( )

(

)

(

)

មានមូឌុល |( ) |

និង ោគុយមង់បសមើ

)

6. កំណត់

និង

ជាអនុគមន៍នន

និង

។

ចបមលើយ បយើងបត្បើត្ទីសប ី ត ទដឺម័រ : បយើងបាន មយងបទៀត

បត្

ោះ (

)

(

)

បយើងបាន

(

7. ក.គណ

ចំប

ោះតនមលននចំនួនគត់រ ឺឡាទីប

ខ.ទាញយកតនមល ចបមលើយ ក. ចំប

ោះ

ចំប

ោះ

ចំប

ោះ

ចំប

ោះ

)

។

ចំប

ោះ

បយើងបឃើងមានខួបបសមើ 4 សត្មាបសវត ី ននសវយ ័ គុណរបស់ ដូបចនោះ បបើ

ចំប

ជាចំនួនគត់រ ឺឡាទីបវ ិជជមានប

ោះ

បបើ

ចំប

ោះ

ជាចំនួនគត់រ ឺឡាទីបវ ិជជមានប

ោះ

បបើ

ចំប

ោះ

ជាចំនួនគត់រ ឺឡាទីបវ ិជជមានប

ោះ

បបើ

ចំប

ោះ

ជាចំនួនគត់រ ឺឡាទីបវ ិជជមានប

ោះ

ខ.ទាញយកពីលទធផលខាងបលើគណ តាមវ ិធីដចកអឺឃដ ីល

បោយ

បយើងបាន

ដូបចនោះ

ដដល

វ ិបាក 8.បោោះស្រាយបៅកនងសំ ណុំចំនួនកុំផិច ល ុ (

)(

សមីោរ

)

បោយគិតដល់ (

)(

) (

√ )(

√ )

បយើងបានឬសរបស់សមីោរ √ 9.បគកំណត់បៅកនងសំ ណុំចំនួនកុំផិច ល ុ

ក.កំណត់ចំនួនពិត

√

សមីោរ

បដើមបីបោយ

(បត្បើឯកលកខណោះភាព

) 37

(

)

បោយត្បដូចបយើងបាន {

ឬ {

(

)

ខ.បោោះស្រាយសមីោរ (

) ឬ ឬ ឬ

(√ )

ឬ

√ ឬ

ឬ

√

√ ឬ

√

ចបមលើយរបស់សមីោរគឺ : √

√

គ.សរបសរជាទត្មង់ត្តីបោណមាត្ត ឬសរបស់សមីោរ

√

(

√

)

√

(

√

)

(

)

មោៃិក I

.មមម ៀៃសមខេប

1.ប៉ា រ៉ាបូល ក.សមីោរសតង់ោននបារាបូលដដលមានកំពូលជាគល់អ័កសកូអរបោបន កំពូល

កំណុំ

ប ទ ត់ត្បាប់ទិស

សមីោរសតង់ោ

ពណ៌ កសោប់សស ុី  អ័កសឆលោះជាអ័ ុ

 p  0 បារាបូលដបរភាពផតបៅរក

 0, 0 

 p, 0 

x  p

y 2  4 px

ទិស x  0

 p  0 បារាបូលដបរភាពផតបៅរក ទិស x  0 កសអរបោបន  អ័កសឆលោះជាអ័ ុ

 p  0 បារាបូលដបរភាពផតបៅរក

 0, 0 

 0, p 

y  p

x 2  4 py

ទិស y  0

 p  0 បារាបូលដបរភាពផតបៅរក ទិស y  0

ខ.សមីោរសតងោននបារាបូលដដលមានកំពូលខុសពីគល់អ័កសកូអរបោបន

កំពូល

កំណុំ

ប ទ ត់

សមីោរសតង់ោ

ពណ៌

ត្បាប់ទិស

 h, k   h  p, k  x  h  p

 y k

កសបដក  អ័កសឆលោះជាអ័ ុ

 4 p  x  h   p  0 បារាបូលដបរភាពផតបៅរក ទិស x  0

 p  0 បារាបូលដបរភាពផតបៅរក ទិស x  0

 h, k   h, k  p  y  k  p

 x  h

កសឈរ  អ័កសឆលោះជាអ័ ុ

 4 p  y  k   p  0 បារាបូលដបរភាពផតបៅរក ទិស y  0

 p  0 បារាបូលដបរភាពផតបៅរក ទិស x  0

2.មអលីប ក.សមីោរសតង់ោននបអលីបដដលមានផចិតជាគល់អ័កសកូអរបោបន ផចិត

 0, 0 

អ័កសធំ បៅបលើអ័កស

កំណុំ

 c, 0 

កំពូល

  a, 0 

ោប់សស ុី

 0, 0 

បៅបលើអ័កសអរបោបន

 0, c 

 0, a 

សមីោរសតងោ

x2 y 2  1 a 2 b2 a  b  0 ដដល

c 2  a 2  b2 x2 y 2  1 b2 a 2 a  b  0 ដដល c 2  a 2  b2

ខ.សមីោរសតង់ោននបអលីបដដលមានកំពូលខុសពីគល់អ័កសកូអរបោបន ផចិត

អ័កសធំ

កំណុំ

កំពូល

សមីោរសតងោ

 x  h  h, k 

ជាអ័កសបដក

 h  c, k 

y k 

1

a2 b2 a  b  0 ដដល

 h  a, k 

c 2  a 2  b2

 x  h  h, k 

ជាអ័កសឈរ

 h, k  c 

y k 

b2 a2 a  b  0 ដដល

 h, k  a 

1

c 2  a 2  b2

3.អ៊ីពែបូល ក.សមីោរសតង់ោននអុីដពបូលដដលមានផចិតជាគល់អ័កសកូអរបោបន

ផចិត

អ័កសទទឹង

កំណុំ

កំពួល

សមីោរ

ោសុម ី តូត

សតង់ោ

 0, 0 

បៅបលើអ័កស

 c, 0  និង

 a, 0  និង

ោប់សស ុី

  c, 0 

  a, 0 

បៅបលើអ័កស

 0, c  និង

 0, a  និង

អរបោបន

 0, c 

 0, a 

x2 y 2  1 a 2 b2

c 2  a 2  b2

y 2 x2  1 a 2 b2

c 2  a 2  b2

b x និង a b y x a

y

a x និង b a y x b

y

ខ.សមីោរសតង់ោននអុីដពបូលដដលមានផចិតខុសពីគល់អ័កសកូអរបោបន ផចិត

អ័កស ទទឹង ស្រសប

 h, k 

នឹងអ័កស ោប់សុី ស ស្រសប

 h, k 

នឹងអ័កស អរបោ

កំណុំ

កំពួល

សមីោរសតង់ោ

 h  c, k 

 h  a, k 

និង

 h  c, k 

 h  a, k 

y k 

1

yk

b  x  h a

និង

c 2  a 2  b2

b  x  h a a y  k   x  h b yk

 h, k  c 

 h, k  a 

និង

 h, k  c 

 h, k  a 

y k a2

 x  h  b2

c 2  a 2  b2

1

និង

yk

បន

II.លំហាត្់គំ

 x  h

ោសុម ី តូត

a  x  h b

ូ

1.រកសមីោរសតងោរនន បារាបូល ដដលមាន កំណុំត្តង់ចំណុច F  0, 1 និងប ទ ត់ត្បាប់ ទិស y  1 ។ ចបមលើយ កំណុំ F សថិតបៅបលើ អ័កសអរបោ បនប

ោះអ័កស

ឆលោះជាអ័ កសអរបោបន។ បោយកំពូលសថត ិ បៅបលើអ័កសឆលោះនិ ត លរវាងកំណុំនិង ុ ុ ងជាចំណុច កណ្ដ ចំនុចត្បសពវរវាង ប ទ ត់ត្បាប់ទិសនិងអ័កសឆលោះដដលចំ ណុចបនោះមានកូអរបោបន  0,1 ។ ុ

បយើងបានកំពូលជាគល់ អ័កសកូអរបោបន ដូបចនោះបារាបូល មានសមីោរ x 2  4 py , 2 F  0, p   F  0, 1  p  1 បយើងបាន x  4 y បារាបូលោត់តាមចំណុច

 2, 1 ;  2, 1

។

2.បារាបូលមួយមានកំពូលបៅត្តង់ចំណុច O  0, 0  និងកំណុំ F សថត ិ បៅបលើអ័កសោប់សស ុី ។ ក.រកសមីោរសតង់ោននបារាបូលបបើវាោត់តាមចំណុច A 8,8  ។ ខ.រកតនមលនន x1 បបើចំណុច B  x1 , 4  សថត ិ បៅបលើបារាបូល។ ចបមលើយ ក.បារាបូលមានកំពូល O  0, 0  និងកំណុំសថត ិ បៅបលើអ័កស ោប់សស ុី ប

ោះ អ័កសោប់សស ុី

ជាអ័កសឆលោះននបា រាបូល។ ុ សមីោរននបារាបូលមាន រាង y 2  4 px , A 8,8  បៅ បលើបារាបូលបយើងបាន

82  4  p  8  p  2 ដូបចនោះ សមីោរសតងោរននបារាបូលគឺ

y 2  8 x , F :  p, 0    2, 0  ខ.រកតនមលនន x1

B  x1 , 4  បៅបលើបារាបូលដដលមានសមីោរ y 2  8x1   4   8x1 ឬ x1  2 2

3.រកសមីោរសតង់ោននបារាបូលដដលមានកំពូល  2,1 និង កំណុំត្តង់ចំណុច  4,1 ចបមលើយ អ័កសឆលោះននបា រាបូល ុ ជាអ័កសបដក (កំពូលនិង កំណុំមានអ័របោបនដូចគាន) បយើងបត្បើសមីោរ :

 y k

 4 p  x  h

កំពូល V :  h, k    2,1  h  2, k  1 កំណុំ F :  h  p, k    4,1  h  p  4 ឬp2 សមីោរសតង់ោរននបារាបូលបនោះគឺ

 y  1

 8  x  2

សមីោរប ទ ត់ត្បាប់ទិស x  h  p  0 4.រកកូអ័របោបនកំពូល កំណុំ និង សមីោរប ទ ត់ត្បាប់ទិសននបារាបូលដដលមានសមីោរ

 x  1

 4  y  3 ។

ចបមលើយ សមីោរបនោះមានរាង :

 x  h

 4 p  y  k  ដដលមានកំណុំមានកូ អរបោបន  h, k  p 

កំពូល  h, k  និងប ទ ត់ ត្បាប់ទិសមានសមីោរ y  k  p បោយបត្បៀបបធៀប

 x  1

 4  y  3 និងសមីោរខាង បលើបយើងបាន h  1, k  3, p  1

កូអរបោបនកំពូល

 h, k   1,3 កូអរបោបនកំណុំ

 h, k  p   1, 4 សមីោរប ទ ត់ត្បាប់ទិស

y  k  p  3 1  2

5. រកសមីោរសតង់ោននបអលីបដដលមានកំណុំមួយជាចំណុច 1, 0  និង ចំណុចកំពូលពីរបៅត្តង់ចំណុចពីរបៅត្តង់ចំណុច  2, 0  និង  2, 0  រួចសង់បអលីបប ចបមលើយ បោយកំពូលជា ចំណុច  2, 0  និង  2, 0  ប

ោះផចិតននបអលីបគឺ

គល់អ័កស O  0, 0  ប

យ ើ

អ័កសធំជាអ័កសោប់សស ុី ។

 a, 0    2, 0   a  2  c, 0   1, 0   c  1

ោះ។

c 2  a 2  b2 ឬ b2  a 2  c 2  4  1  3 បអលីបមានសមីោរ :

x2 y 2 x2 y 2   1  1 ឬ a 2 b2 4 3 6.បគបោយសមីោរ 36 x 2  4 y 2  36 ក. បង្ហាញថាសមីោរបនោះជាសមីោរបអលីប។ រកត្បដវងអ័កសធំ,អ័កសតូច,កូអរបោបនននកំពូល ទាំងពីរ និង កូអរបោបនននកំណុំទាំងពីរននបអលីប។ ខ. សង់បអលីបប

ោះ។

ចបមលើយ ក. បយើងដចកអងគទាង ំ ពីរននសមីោរបោយ 36 បយើងបាន

36 x 2 4 y 2 x2 y 2 x2 y 2   1 ឬ 2  2  1 វាមានរាង 2  2  1 , a  b  0 b a 36 36 1 3

ជាសមីោរបអលីប ដដលមានផចិតជាគល់ អ័កសកូអរបោបន និងមានអ័កសធំបៅបលើអ័កស អរបោ បន។ តាមសមីោរបនោះ បយើងទាញបាន a  3 និង b  1 អ័កសធំត្បដវង 2a  2  3  6 ខ.សង់បអលីបសមីោរ 36 x 2  4 y 2  36

និង អ័កស តូចត្បដវង 2b  2 1  2 កំពូល ទាំងពីរមាន កូអរបោបន

 0,3 និង  0, 3

បយើងបាន

c2  a 2  b2  32  12  8 c2 2,

កំណុំទាំងពីរ



មានកូអរបោបន 0, 2 2



និង 0, 2 2



 46

7. រកសមីោរននបអលីបដដលមានកំពូលទាំងពីរជាចំណុច  3, 2  និង  5, 2  និង មាន អ័កសតូចត្បដវង 4 ឯកតា។ ចបមលើយ កំពូលទាំងពីរសថត ិ បៅ បលើបង ល ់បដកប

ោះបអលីប

មានសមីោរសតង់ោ

 x  h a2

y k 

1

បោយផចិតននបអលីបជា ចំណុចកណ្ដ ត លននអងកត់ ភាជប់កំពូលទាំងពីរប

ោះបគបានកូអរបោបនននផចិតបអលីប :

 5   3 22 ,k  h   ឬ  h  1, k  2  2 2  

5   3   2  2

ត្បដវងអ័កសធំ

2a 

ត្បដវងអ័កសតូច

2b  4  b  2

ដូបចនោះ សមីោរសតង់ោននបអលីបគឺ

 x  1 42

 82  8

 y  2  22

8. បគមានសមីោរ x 2  4 y 2  16 ក. បង្ហាញថាសមីោរបនោះជាសមីោរអុីដពបូល។ កំណត់កូអរបោបនកំពូល និង កូអរបោបនកំណុំ។ ខ. រកោសុម ី តូត។ គ.សង់អុីដពបូល។ 47

1 ឬ

 x  1 16

 y  2  4

1

ចបមលើយ ក.បគមាន x 2  4 y 2  16 បយើងដចកអងគទាង ំ ពីរបោយ16 បយើងបាន បយើងបាន

x2 4 y 2 x2 y 2  1 ឬ 2  2 1 16 16 4 2 a  4, b  2

កូអរបោបនកំពូលទាំងពីរគឺ  4, 0  និង  4, 0 

c2  a2  b2  16  4  20 បយើងបាន c  20  2 5 កូអរបោបនននកំណុំទាំងពីរគឺ

2

 

5, 0 និង 2 5,0



ខ.សមីោរោសុីមតូត

y

b b x និង y   x a a

ដូបចនោះ y 

1 1 x និង y   x 2 2

គ.សង់អុីដពបូល បដើមបីសង់អុីដពបូលបគ បៅកំពូល និង គូសចតុ បោណដកងដដលមាន បបណ្ដ ត យ 8 ឯកតា និងទទឹងត្បដវង 4 ឯកតាប

យ ើ ផចិតបៅគល់អ័កសកូអរបោបន។ រួចបយើងគូសោសុម ី តូតបោយ

ប ល យអងកត់ត្ទូងននចតុបោណដកងបនោះ។ រួចបយើងគូសអុីដពបូល

9.បគបោយសមីោរ

16 y 2  4 x2  36

ក.បង្ហាញថាសមីោរបនោះជាសមីោរអុីដពបូល។ កំណត់កូអរបោបនននកំពូល និង កំណុំរបស់អុីដពបូល។ ខ.រកសមីោរោសុម ី តូតននអុីដពបូល។ គ.សង់អុីដពបូលប

ោះ។

ចបមលើយ ក.បយើងដចកអងគទាង ំ ពីរននសមីោរ 16 y 2  4 x 2  36 បោយ 36

y2 x2 16 y 2 4 x 2 4 y 2 x2  2 1  1 ឬ  1 ឬ បយើងបាន 2 36 36 9 9 3 3   2 ដូបចនោះវាមានរាង

y 2 x2   1 ដដលជាសមីោរអុីដពបូលមានអ័កសទទឹងបៅបលើអ័កស a 2 b2

អរបោបន បយើងបាន a 

3 , b  3 កូអរបោបនកំពូលទាំងពីរគឺ 2

9 45 9 3 c  a  b     32   9   5 4 4 4 2 2

c

3 5 កូអរបោបនននកំណុំគឺ 2

ខ.សមីោរោសុីមតូត

 3  5  និង  0,  2 

3   5  0,  2  

3 a 1 1 y x 2 x x ឬ y x 2 b 3 2 3 a 1 1 y x 2 x x ឬ y x b 3 2 2

 3  0,  និង  2

3   0,   2 

គ.បដើមបីសង់អុីដពបូល បយើងបៅកំពូលប

យ ើ

គូសចតុបោណដកង ដដលមានបបណ្ដ ត យ

6 ឯកតា និង ទទឹង 3 ឯកតាប

យ ើ មាន

ផចិតបៅគល់អ័កសកូអរ បោបន។គូសអងកត់ត្ទូង និង ប ល យអងកត់ត្ទូងទាំងពីរបយើងបានោសុម ី តូតទាំងពីររបស់អុីដពបូលប

ោះ។

គណិតវិទ្យា សង្ខេបមេរៀន​សម្រាប់​ត្រៀម​ប្រឡង​ថ្នាក់ទី​១២

គណិតវិទ្យា សង្ខេបមេរៀនសម្រាប់ត្រៀមប្រឡងថ្នាក់ទី១២