Revista Ciencias Basicas UJAT v7n2 dic-2008

Revista de Ciencias Básicas UJAT Volumen 7 Número 2 Diciembre 2008

Contenido Grandes Matemáticos: Leonardo Bonaccio (Fibonacci) Rodolfo Conde del Águila

Simulación Numérica de Nitruración Postdescarga Jorge López López

Modelo Depredador-Presa José Manuel López Cruz y Gamaliel Blé González

La métrica de Levenshtein Abdiel Emilio Cáceres González

Cunduacán Tabasco México

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REVISTA DE CIENCIAS BASICAS UJAT es editada por la División Académica de Ciencias Básicas de la Universidad Juárez Autónoma de Tabasco Editores

Dr. Abdiel E. Cáceres González (abdiel.caceres@dacb.ujat.mx) Dr. José Leonardo Sáenz Cetina (leonardo.saenz@basicas.ujat.mx) Comité editorial Física Química M.C. Esteban Andrés Zárate Dr. Isaías Magaña Mena M.C. Ma. Teresa Gamboa Rodríguez Matemáticas Computación M.C. Robert Jeffrey Flowers L.S.C.A. Diana G. Chuc Durán Descripción La Revista de Ciencias Básicas UJAT es una publicación semestral, dedicada a la difusión de las ciencias básicas. Se dirige a profesores y estudiantes universitarios, y en general a todos los interesados en las ciencias. Su propósito es ofrecer un espacio que permita informar sobre las investigaciones en el área correspondiente y difundir temas generales de las ciencias básicas.

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ISSN: [En trámite] Página WEB: http://www.dacb.ujat.mx/revistas_enlinea.html

Correo electrónico: revistacb@dacb.ujat.mx Revista de Ciencias Básicas UJAT, volúmen 7 número 1, junio 2008.

Se terminó de imprimir en junio de 2008 en los talleres de Gráficos Cánovas.

El tiraje consta de 300 ejemplares.

Revista de Ciencias Básicas UJAT Volumen 7 Número 2 Diciembre 2008

Cunduacán Tabasco México

Contenido

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Grandes Matemáticos: Leonardo Bonaccio (Fibonacci) Rodolfo Conde del Águila

Simulación Numérica de Nitruración Postdescarga Jorge López López

Modelo Depredador-Presa José Manuel López Cruz y Gamaliel Blé González

La métrica de Levenshtein Abdiel Emilio Cáceres González

Grandes Matem´ aticos: Leonardo Bonaccio (Fibonacci)

∗

† ´ Rodolfo Conde del Aguila

Universidad Ju´ arez Aut´ onoma de Tabasco, DACB

En este trabajo hacemos una descripci´ on somera de la vida del m´ as grande matem´ atico de la Edad Media: Leonardo Bonaccio (Fibonacci). La importancia de su trabajo en la traducci´ on de los textos ´ arabes al lat´ın abri´ o el camino al desarrollo en Europa de las Matem´ aticas.

In this paper, we make a brief review about the life of the greatest mathematician in the Middle Age: Lenardo Bonaccio (Fibonacci). We will see how his translations of the arabic text to latin language were a fundamental part for the development of mathematics in Europe.

Palabras clave: Leonardo Bonaccio, Fibonacci, Biograf´ıa.

Keywords: Leonardo Bonaccio, Fibonacci, Biography.

Galileo Galilei, uno de los grandes hombres de Ciencia que ha dado la humanidad dec´ıa: El gran libro de la naturaleza siempre esta abierto ante nuestro ojos y la verdadera filosof´ a esta escrita en ´el, pero no la podemos leer a menos que hayamos aprendido primero el lenguaje y los caracteres con los cuales esta escrito. El gran libro esta escrito en lenguaje matem´ atica y los caracteres son tri´ angulos, c´ırculos y otras figuras geom´etricas.

La matem´ atica es el alfabeto con que Dios escribi´ o al Universo.

Como podemos apreciar en el contenido de lo expresado por Galileo, la matem´atica como quehacer del ser humano ha sido actividad primordial desde la aparici´on del hombre en la faz de la tierra y ha estado revestida de misticismo religioso. Las grandes culturas antig¨ uas como la Egipcia desarrollaron algunos conocimientos matem´aticos que aplicaron en problemas pr´ acticos, sin embargo fueron los griegos quienes primeramente empezaron a estudiarla de manera abstracta, ya que recordemos que para los pitag´ oricos la matem´ atica era una religi´on y que sus resultados eran guardados celosamente entre ellos.

En la antig¨ uedad hubieron muchos matem´aticos notables, los logros y teoremas encontrados por ellos nos llenan todav´ıa de asombro y los nombres de Pit´agoras, Euclides, Tales de Mileto, Heron de Alejandr´ıa, Hipatia, Arqu´ımedes, Eudoxio y otros mas, son conocidos por toda persona dedicada al estudio de la matem´atica. Sin ∗ Recibido

el 26 de septiembre de 2008 y aceptado el 17 de noviembre de 2008 postal: Carr. Cunduac´ an-Jalpa Km 1, Cunduac´ an Tabasco, M´ exico. A.P. 24 C.P. 86690. Tel.(+52)914 336-0928. Correo electr´ onico: rodolfo.conde@basicas.ujat.mx † Direcci´ on

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´ Rodolfo Conde del Aguila

embargo, durante el periodo conocido como la Edad Media, la matem´atica no tuvo un desarrollo considerable, ya que pocos son los matem´aticos que podemos citar en dicha ´epoca. La ciencia matem´ atica se desarroll´o con mucha lentitud y en consecuencia como mencion´ abamos con anterioridad fueron muy escasos los matem´aticos.

Uno de los grandes matem´ aticos que durante la Edad Media realiz´o un trabajo relevante en la matem´ atica fue Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci. Su ´ aportaci´ on a la matem´ atica fue fundamentalmente la traducci´on de los textos Arabes de matem´ aticas al Lat´ın y su obra conocida como LIBER ABACCI, escrita en el a˜ no 1202, resume todo el conocimiento aritm´etico y algebraico de esa ´epoca. Durante varios siglos tuvo gran influencia en el desarrollo de la matem´atica en Europa y gracias a ´el se conoci´ o el sistema de enumeraci´on Indo Ar´abiga.

A finales del siglo XII la ciudad de Pisa es una gran potencia comercial, con ´ Delegaciones en el Norte de Africa.

Una de estas delegaciones se encontraba en la ciudad Argelina de Bug´ıa y de la cual era responsable Guillermo Bonaccio, padre ´ de Leonardo. En consecuencia Leonardo es educado por maestros Arabes y de ellos aprende el c´ alculo posicional Hind´ u, teniendo su primer contacto con lo que acabar´ıa ´ convirti´endose, gracias a ´el, en uno de los magn´ıficos regalos del mundo Arabe a la cultura Occidental y que es el Sistema de Numeraci´on Posicional.

Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci (contracci´on de las palabras Filo Bonaccio que significa hijo de Bonaccio) aprovech´o sus viajes comerciales por todo el Mediterr´ aneo, Egipto, Sicilia, Grecia, para entablar contacto y discutir con los matem´ aticos mas notables de esos tiempos y para descubrir y estudiar la geometr´ıa de Euclides que tomo como modelo de estilo y de rigor.

En el a˜ no de 1202 escribe su obra mas relevante que titula Liber Abacci, en el aparece por vez primera en Occidente, las nueve cifras Hind´ ues y el s´ımbolo del Cero, es decir el sistema de numeraci´ on posicional de base diez. Fibonacci proporciona en su obra reglas precisas para realizar operaciones con estas cifras tanto para n´ umeros enteros como para fracciones, brindando a sus colegas comerciantes un potente sistema de c´ alculo cuyas ventajas ´el ya hab´ıa experimentado.

Su obra Liber Abacci fue fundamentalmente un amplio tratado del sistema de numeraci´ on indoar´ abigo, en el que presenta los signos hind´ ues y el cero. Con el tiempo su libro lleg´ o a ser la obra de m´ axima influencia entre todas las que contribuyeron a introducir en Occidente el sistema de numeraci´on indoar´abiga . Consideramos importante se˜ nalar que no deja de ser ir´onico que Leonardo de Pisa, cuyas aportaciones a la matem´ atica fueron de tanta relevancia, sea hoy conocido a causa de un matem´atico franc´es, del siglo XIX, de nombre Eduardo Lucas, quien encaden´o el nombre de Fibonacci a una sucesi´ on num´erica que forma parte de un problema trivial del Liber Abacci.

La sucesi´ on de Fibonacci: (cada t´ermino a partir del tercero es igual a la suma de los dos anteriores) ha tenido intrigados a los matem´aticos durante siglos, en parte a causa de su tendencia a presentarse en los lugares mas inopinados, pero sobre todo porque cualquier aficionado a las matem´aticas (Teor´ıa de N´ umeros), puede aspirar a investigarla y descubrir curiosos teoremas de los que parece haber una variedad inagotable. El inter´es por esta sucesi´on o por las sucesiones llamadas del tipo Fibonacci ha sido avivado por desarrollos crecientes en programaci´on de ordenadores ya que al parecer tiene aplicaci´ on en clasificaci´on de datos, recuperaci´on de informaciones, gen´sicas UJAT, 7(2)Diciembre 2008 p 3–7 Revista de Ciencias Ba

Grandes Matem´ aticos: Leonardo Bonaccio (Fibonacci)

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eraci´ on de n´ umeros aleatorios e inclusos en m´etodos r´apidos de c´alculo aproximado de valores m´ aximos o m´ınimos de funciones complicadas. Sin embargo la propiedad m´as notable de la sucesi´ on de Fibonacci sea que la raz´on entre cada par de n´ umeros consecutivos se acerca al valor de la raz´on ´aurea.

Existe demasiada literatura en relaci´on a la sucesi´on de Fibonacci y la raz´on ´aurea.

En el Reino Vegetal la sucesi´ on de Fibonacci tambi´en hace su aparici´on en el n´ umero de espirales de las semillas de ciertas variedades de girasol. En fin podemos seguir mencionando un gran n´ umero de afinidades que tiene la sucesi´on de Fibonacci con la Naturaleza.

El Liber Abacci, la gran obra de matem´aticas de la Edad Media se divide en quince cap´ıtulos que son: Cap´ıtulo I: Lectura y escritura de los n´ umeros en el sistema indoar´ abigo.

Cap´ıtulo II: Multiplicaci´ on de N´ umeros Enteros.

Cap´ıtulo III: Suma de N´ umeros Enteros.

Cap´ıtulo IV: Resta de N´ umeros Enteros.

Cap´ıtulo V: Divisi´ on de N´ umeros Enteros.

Cap´ıtulo VI: Multiplicaci´ on de N´ umeros Enteros por Fracciones.

Cap´ıtulo VII: Fracciones.

Cap´ıtulo VIII: Precio de las mercanc´ıas m´ as comunes.

Cap´ıtulo IX: Comercio.

Cap´ıtulo X: Relaciones de parentesco.

Cap´ıtulo XI: Conversi´ on de monedas.

Cap´ıtulo XII: Problemas y soluciones.

Cap´ıtulo XIII: La regla de la falsa posesi´ on.

Cap´ıtulo XIV: Ra´ıces cuadradas y ra´ıces c´ ubicas. ´ Cap´ıtulo XV: Proporciones, Geometr´ıa y Algebra.

Algunos problemas propuestos en el Liber Abacci son los siguientes: Siete mujeres mayores van viajando a Roma y cada una de ellas lleva siete mulas.

Cada mula lleva siete sacos y en cada saco hay siete piezas de pan. En cada pieza de pan hay siete cuchillos y cada cuchillo tiene siete dientes. Cu´ antos dientes de cuchillo viajan a Roma?

Un hombre entr´ o a una huerta que ten´ıa siete puertas y tom´ o un cierto n´ umero de manzanas. Al abandonar la huerta le di´ o al primer guardia la mitad de las manzanas que llevaba m´ as una. Al segundo guardia la mitad de las manzanas que le quedaban m´ as una. Hizo lo mismo con los guardias de cada una de las cinco puertas que le faltaban. Cuando se fue de la huerta le quedaba una manzana. Cu´ antas manzanas hab´ıa tomado en un principio?

Un Rey mand´ o treinta hombres a su huerta a plantar ´ arboles. Si pudieron plantar 1,000 ´ arboles en nueve d´ıas, en cuantos d´ıas podr´ an treinta y seis hombres plantar 4,400 ´ arboles?

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´ Rodolfo Conde del Aguila

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El problema que aparece en el Liber Abacci y que da origen a la sucesi´on de Fibonacci podemos escribirlo de la manera siguiente: En una granja hay, al principio del a˜ no, (1 de Enero), una pareja de conejos, macho y hembra. Supongamos que la pareja de conejos empiezan a procrear a los dos meses de vida,(1 de Marzo), engendrando un u ´nico par, macho y hembra, y as´ı sucesivamente cada mes. Si en cada una de las nuevas parejas acontece lo mismo, es decir empiezan tambi´en a procrear a los dos meses de vida, engendrando tambi´en un u ´nico par macho y hembra. ¿Cu´ antos pares de conejos tendremos al cabo de un a˜ no?

La soluci´ on queda de la manera siguiente: Supongamos que a partir del 1 de Enero tenemos la pareja original, la cual llamaremos P1 , obviamente durante los meses de Enero y Febrero tenemos u ´nicamente a la pareja, ya que una condici´ on del problema es que comienzan a procrear despu´es de dos meses de vida y en consecuencia en el mes de Marzo tendremos dos parejas, una que es P1 y la otra es una nueva pareja que engendra P1 y que llamaremos P2 .

De acuerdo a las condiciones ideales del problema la pareja P1 da origen a una nueva pareja durante los meses de Marzo, Abril, Mayo, Junio, Julio, Agosto, Septiembre, Octubre, Noviembre y Diciembre. La pareja P2 empezara a procrear a partir del primero de Mayo y tambi´en procrear´ a pareja nueva en los meses de Mayo, Junio, Julio, Agosto, Septiembre, Octubre, Noviembre y Diciembre. En conclusi´ on podemos elaborar el siguiente esquema: Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio .. .

Pareja P1 P1 P1 ,P2 P1 , P2 , P3 P1 , P2 , P3 , P4 , P5 P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 , P7 , P8 .. .

N´ umero de Pareja 1 1 2 3 5 8 .. .

Como podemos observar cada t´ermino de la sucesi´ on de pareja a partir del tercero es igual a la suma de los dos anteriores, es decir, en consecuencia durante el mes de Julio tendremos 13 parejas, en Agosto 21 parejas, en Septiembre 34 parejas, en Octubre 55 parejas, en Noviembre 89 parejas y en Diciembre 144 parejas.

No olvidemos que el problema esta planteado en condiciones ideales, ya que suponemos que la pareja original nace el primero de Enero y que comienza a procrear a partir del primero de Marzo, y que las nuevas parejas siguen la misma secuencia de la pareja original. Tambi´en suponemos que no se muere ninguna de las parejas.

El trabajo realizado por el gran matem´atico italiano Leonardo Bonaccio ha sido de gran trascendencia, es imposible concebir el desarrollo moderno de la matem´atica sin las contribuciones de Fionacci, en cierta medida fu´e el eslab´on que uni´o la matem´atica hind´ u y ´ arabe con los pueblos de Europa antig¨ ua. Es inadmisible pensar en el ´sicas UJAT, 7(2)Diciembre 2008 p 3–7 Revista de Ciencias Ba

Grandes Matem´ aticos: Leonardo Bonaccio (Fibonacci)

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avance de las matem´ aticas en Europa sin la traducci´on de los Textos ´arabes que hizo Leonardo al Latin. Por ello Leonardo Bonaccio ha sido calificado como el m´as grande matem´ atico de la edad media.

Referencias [1] Richard Mankirwics, Historia de las Matem´ aticas, Ediciones Payd´ os Ib´erica, S.A. [2] Hofmann, Historia de la Matem´ atica, Limusa.

[3] Newmann, Sigma (El Mundo de la Matem´ aticas), Grijalvo.

[4] N. N. Vorobyov, Los n´ umeros de Fibonacci, Limusa.

[5] Dickson L. E., History of the Theory of Numbers. Vol. I, II, Carnegie Institute .

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Simulaci´ on Num´ erica de Nitruraci´ on Postdescarga ∗ Jorge L´ opez L´ opez

†

En este trabajo se hace una simulaci´ on del fen´ omeno de nitruraci´ on postdescarga que involucra la formaci´ on de capas y el consecuente movimiento de interfaces, dando lugar a fen´ omenos de tipo Stefan. Se utiliza para la discretizaci´ on del modelo, diferencias finitas en mallas m´ oviles.

The matter of this work is the computational simulation of post-discharge nitriding.

This phenomena involves layer formation and interfaces movemement of Stefan type.

To discretice the model we use finite diferences with moving mesh.

Palabras clave: Nitruracion, Diferencias Finitas, Interfaces, Problemas tipo Stefan, Cuasiestabilizacion.

Keywords: Nitriding, Finite diference, Interfaces, Stefan Problems, Cuasi-stabilization.

1. Introducci´ on

El tratamiento termoqu´ımico de nitruraci´on produce importantes mejoras en las propiedades mec´ anicas, tribol´ ogicas y qu´ımicas del acero, mejor´andose por ejemplo la resistencia a la fatiga, la corrosi´on y el desgaste.

Los procesos de nitruraci´ on involucran varios aspectos delicados como la evoluci´on de la concentraci´ on de nitr´ ogeno en la superficie y la evoluci´on de la concentraci´on de nitr´ ogeno en el interior del metal. En algunos estudios, sobre todo en simulaciones num´ericas, se considera que la concentraci´on de nitr´ogeno en la superfice es constante desde el inicio del proceso, lo cual no se da en general.

Un fin inmediato del estudio de los fen´omenos de nitruraci´on es la automatizaci´on y control de ´estos. Para tal fin son necesarios modelos matem´aticos del fen´omeno. E igual de necesario es contar con la soluci´on, exacta o aproximada de estos modelos.

En este sentido, este trabajo est´ a basado en [1] donde se propone un modelo para la nitruraci´ on postdescarga y un m´etodo para calcular los coeficientes de difusi´on del proceso. El m´etodo consiste en minimizar un funcional que depende de mediciones tomadas en la etapa final de cuasiestabilizaci´on y de suponer una soluci´on anal´ıtica de comportamiento parab´ olico en esta u ´ltima etapa. El comportamiento que se plantea no se satisface en el inicio y las primeras etapas del evento, as´ı que es importante analizar al menos num´ericamente si la soluci´on del modelo con los coeficientes encontrados en [1], refleja las propiedades cualitativas y cuantitativas del evento desde las primeras etapas. Este es el fin del presente articulo: resolver num´ericamente el modelo planteado en [1] usando los coeficientes de difusi´on encontrados en ese mismo ∗ Recibido

el 8 de septiembre de 2008 y aceptado el 18 de noviembre de 2008 postal: Carr. Cunduac´ an-Jalpa Km 1, Cunduac´ an Tabasco, M´ exico. A.P. 24 C.P. 86690. Tel.(+52)914 336-0928. Correo electr´ onico: jorge.lopez@dacb.ujat.mx † Direcci´ on

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Simulaci´ on Num´ erica de Nitruraci´ on Postdescarga

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Figura 1. Esquema de nitruraci´ on.

trabajo.

2. El modelo

Se consideran condiciones de tal manera que el proceso sea unidimensional; es decir una muestra de metal se pone en contacto con nitr´ogeno y se desea estudiar como var´ıa la concentraci´ on de nitr´ ogeno en el interior del metal en funci´on de la profundidad.

Ver la figura 1.

Para los detalles t´ecnicos de los experimentos ver la secci´on 2 de [1]. A partir de una concentraci´ on inicial que normalmente es cero, la concentraci´on de nitr´ogeno a lo largo de la barra comienza a variar, incluso en la superficie, hasta un tiempo t0 en el que la concentraci´ on en la superficie alcanza un valor estable Cs. A partir de aqu´ı comenzar´ an a formarse capas de nitr´ogeno. Las siguientes etapas estar´an caracterizadas por la formaci´ on de estas capas, hasta llegar a una etapa de cuasiestabilizaci´on del fen´ omeno. Se formar´ an dos capas y una zona de difusi´on en lo mas profundo.

El modelo que se propone considera 4 etapas. La primera est´a modelada por:

∂C ∂2C = D 2 , 0 < x < +∞, t > 0 ∂t ∂x C(x, 0) = C0 , 0 < x < +∞

λ ∂C (0, t) = (C − Ceq )

, t>0 ∂x D x=o

lim C(x, t) = C0 , t > 0 siendo λ el coeficiente de reacci´on cin´etica, D el coeficiente de difusi´on, Ceq es la concentraci´ on en equilibrio de nitr´ogeno en la atm´osfera remota y C(x, t) representa la concentraci´ on de nitr´ ogeno para el tiempo t y la profundidad x. La soluci´on para este modelo en t0 se da en [1], denot´andose por f (x) y representa la concentraci´on ´sicas UJAT, 7(2)Diciembre 2008 p 8–24 Revista de Ciencias Ba

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Jorge L´ opez L´ opez

Figura 2. Concentraci´ on contra la profundidad.

al momento de iniciar la formaci´on de las capas. A partir de la concentraci´on f (x) al tiempo t0 dos capas de nitr´ ogeno y una zona de difusi´on comenzar´an a formarse y lentamente se desplazar´ an al interior del metal. En cada capa y zona de difusi´on, el coeficiente de difusi´ on toma un valor constante Di , i = 1, 2, 3. Entre capas adyacentes y zona de difusi´ on hay un salto en la concentraci´on. En cada una de las primeras dos i capas un valor constante m´ınimo Cmin , i = 1, 2 es alcanzado. Para cada t > t0 se define ξi (t), i = 1, 2 como la profundidad de la capa correspondiente. Dado que los coeficientes de difusi´ on son constantes, se sigue que la concentraci´on en cada capa es una funci´ on decreciente de la profundidad y entonces ξi (t) es la profundidad en la cual i la concentraci´ on alcanza el m´ınimo valor Cmin (ver figura 2). Como una consencuencia i+1 i del proceso hay un valor experimental de la concentraci´on Cmax < Cmin y un tiempo i+1 t = ti tales que f (ξi (ti )) = Cmax , i = 1, 2. En esta situaci´on se dice que las capas est´an completamente formadas en el tiempo ti (ver figura 3). Se asume tambi´en que i t1 < t2 . Para t ∈ [t0 , t1 ] la concentraci´on tiene un salto de tama˜ no Cmin − f (ξi (t)), i = 1, 2. M´ as a´ un, para t > ti el tama˜ no del salto en la concentraci´on en ξi (ti ) es i i+1 constante e igual a Cmin − Cmax , i = 1, 2. Denotamos xi = ξi (ti ), i = 1, 2.

Para modelar desde el inicio de la formaci´on de capas e interfaces se consideran 3 per´ıodos: t ∈ [t0 , t1 ), t ∈ [t1 , t2 ), t ∈ [t2 , +∞), y se denota la concentraci´on de nitr´ ogeno en la i-´esima capa o zona de difusi´on para el tiempo t y la profundidad 0 i x, por Ci (x, t). Se define valor de la profundidad donde f (x0i ) = Cmin , i como el x i+1 0 i = 1, 2, Fi (t) = max Cmax , f (ξi (t)) , i = 1, 2 y x0 ≡ 0, ξ0 (t) ≡ 0. Entonces el

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Simulaci´ on Num´ erica de Nitruraci´ on Postdescarga

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Figura 3. Formaci´ on de capas.

modelo para estos per´ıodos tiene la forma ∂C ∂2C = D 2 , t > t0 , ξi−1 (t) < x < ξi (t), i = 1, 2 ∂t ∂x t > t0 , ξ2 (t) < x, i = 3.

Ci (x, t0 ) = f (x), x0i−1 < x0i , i = 1, 2, x02 < x, i = 3. i Ci (ξi−0 (t), t) = Cmin , , t > t0 , i = 1, 2, C1 (0, t) = Cs , , t > t0 , i+1 Ci+1 (ξi+0 (t), t) = Cmax , , t > ti , i = 1, 2,

dξ ∂C i i i (Cmin − Fi (t)) = −Di (x, t)

+ dt ∂x x=ξi−0

∂Ci+1 Di+1 (x, t)

, cuando i vale 1, 2, ∂x

(1)

(2)

x=ξi+0

lim C3 (x, t) = C0 , t > t0 ,

x→+∞

ξi (t0 ) = x0i , i = 1, 2.

Este modelo describe los tres diferentes estados del proceso, caracterizados por los hechos siguientes: Cuando t ∈ [t0 , t1 ), se tiene Fi (t) = f (ξi (t)), i = 1, 2. Para t ∈ [t1 , t2 ) se tiene 2 i+1 F1 (t) = Cmax , F2 (t) = f (ξ2 (t)), y finalmente, para t ≥ t2 se tiene Fi (t) = Cmax , i = 1, 2. Para ser consistentes con la notaci´on usada se define ξ3 (t), t > t0 como la profundidad a la cual 3 C3 (ξ3 (t), t) = 0.1Cmax .

(3) En la tercera etapa mencionada las dos capas est´an completamente formadas como ´sicas UJAT, 7(2)Diciembre 2008 p 8–24 Revista de Ciencias Ba

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Jorge L´ opez L´ opez

Figura 4. Formaci´ on de todas las capas.

se muestra en la figura 4. A partir de este momento, el modelo corresponde al crecimiento de capas y movimiento de interfaces, previo a la ”estabilizaci´on” del crecimiento de capas, donde capas e interfaces siguen exactamente el comportamiento de un fen´ omeno de fronteras m´ oviles del tipo Stefan. Esto est´a ilustrado en la figura 5.

Como se puntualiza en [1], para tiempos muy grandes el crecimiento de capas llega a ser insignificante, lo cual es justificado por ensayos experimentales y tambi´en 1 anal´ıticamente dado que las interfaces se mueven con velocidad proporcional a √ 2 . t As´ı que el proceso alcanza un estado cuasi estable, donde la variaci´on peque˜ na.

∂C ∂t

es muy

3. Simulaci´ on Num´ erica del fen´ omeno

Como se ha descrito, el fen´ omeno de nitruraci´on contempla 4 etapas. La primera va desde el tiempo t = 0 hasta el tiempo t0 en el que la concentraci´on en la superficie alcanza el valor Cs. En esta etapa el fen´omeno es uno de difusi´on est´andard, que se puede simular muy bien utilizando m´etodos num´ericos cl´asicos como el m´etodo θ. La segunda etapa, y a partir de la cual el fen´omeno se vuelve m´as interesante, va desde el tiempo t0 , es decir, desde la formaci´on del perfil umbral f (x) = C(x, t0 ) hasta el tiempo t1 en el que 2 C2 (ξ1 (t1 ), t1 ) = C(ξ1 (t1 ), t0 ) = Cmax .

La tercera etapa va desde t1 hasta el tiempo t2 en el que 3 C3 (ξ2 (t2 ), t2 ) = C(ξ2 (t2 ), t0 ) = Cmax . ´sicas UJAT, 7(2)Diciembre 2008 p 8–24 Revista de Ciencias Ba

Simulaci´ on Num´ erica de Nitruraci´ on Postdescarga

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Figura 5. Cuasi-stabilizaci´ on de la concentraci´ on de nitr´ ogeno.

De acuerdo a estas relaciones, la segunda etapa termina cuando se forma la primera capa, mientras que la tercera etapa termina cuando se forma la segunda capa. Y para ser consistentes, la cuarta etapa termina cuando se cumple (3). Finalmente la quinta etapa est´ a asociada con la cuasiestabilizaci´on del fen´omeno; va desde t3 hasta +â&#x2C6;&#x17E;.

Para resolver num´ericamente el modelo correspondiente a las etapas 2, 3, y 4 se tiene en cuenta que las ecuaciones que gobiernan el movimiento de las interfaces y el cambio en las concentraciones en cada capa son las mismas, siendo caracterizada cada capa y cada etapa por: el coeficiente de difusi´on y la concentraci´on en el extremo izquierdo de cada capa, C1 (0, t) = Cs , t > t0 , Ci+1 (Ξi+0 (t), t) = C(Ξi (t), t0 ), tiâ&#x2C6;&#x2019;1 < t < ti , i = 1, 2,

(4)

i+1 Ci+1 (Ξi+0 (t), t) = Cmax , t > ti , i = 1, 2;

la concentraci´ on en el extremo derecho de cada capa,: i Ci (Ξiâ&#x2C6;&#x2019;0 (t), t) = Cmin , t > t0 , i = 1, 2, lim C3 (x, t) = C0 , t > t0 ;

(5)

xâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

y los valores para el movimiento de las interfaces, Fi (t) = C(Ξi (t), t0 ) , i = 1, 2, t â&#x2C6;&#x2C6; [t0 , t1 ),

2 F1 (t) = Cmax , t â&#x2C6;&#x2C6; [t1 , t2 ), F2 (t) = C(Ξ2 (t), t0 ) ´sicas UJAT, 7(2)Diciembre 2008 p 8â&#x20AC;&#x201C;24 Revista de Ciencias Ba

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Jorge L´ opez L´ opez

i+1 Fi (t) = Cmax , i = 1, 2, t ≥ t2 ).

Estas caracterizaciones se tomaron en cuenta en la implementaci´on del algoritmo num´erico que se utiliz´ o para resolver el modelo. Este algoritmo es una adaptaci´on de los m´etodos en diferencias finitas con malla m´ovil para problemas de frontera m´ovil [4], los cuales se aplican en cada capa y en la zona de difusi´on. Para este fin el dominio se subdivide en tres subdominios (0, ξ1 (t)), (ξ1 (t), ξ2 (t)) y (ξ2 (t), lim2 ). El valor de lim2 debe ser tal que refleje limx→+∞ C3 (x, t) = C0 , t > t0 , . Un valor razonable para lim2 es 55µ. Se denota con K el tama˜ no de paso en el tiempo y con h1 , h2 , h3 el tama˜ no de paso espacial en la capa i = 1, 2, 3, correspondiendo la capa 3 a la zona de difusi´ on. N es el n´ umero de nodos en todo el dominio. Con esto, se hace Ci (nij , t0 ) = Ci (ξi (t0 ) + jhi , t0 ); as´ı que dada la concentraci´on Ci (nij , t) en cada tiempo t se aproxima el nuevo valor de ξi en el tiempo t + K para luego mover la malla en cada capa, pudiendo mantenerse constante o variable el n´ umero de nodos en cada capa y en el dominio completo; se interpola la concentraci´on Ci (nij , t) al nuevo 1/2 dominio y a la nueva malla para obtener Ci (nij , t + K) y finalmente se aproxima el efecto difusivo en cada capa, resolviendo num´ericamente la ecuaci´on de difusi´on (1) para obtener Ci (nij , t + K). El algoritmo programado para simular el fen´omeno hasta T segundos se muestra en el Ap´endice.

3.1 C´ alculo de las interfaces.

La actualizaci´ on de las interfaces ξi (t) se hace resolviendo con Euler expl´ıcito la ecuaci´ on (2), de la que se puede observar que aunque la posici´on inicial x0i de ´estas est´a bien definida, ese no es el caso para las velocidades iniciales de las interfaces, ya que en t0 se obtiene la indeterminaci´ on 0/0. As´ı que se debe experimentar para determinar esta velocidad inicial. De hecho esta ser´ıa informaci´on adicional proporcionada por las simulaciones num´ericas.

1/2

3.2 Interpolaci´ on y extensi´ on de Ci (nij , t) a la nueva malla para obtener Ci

(nij , t + K).

Como las interfaces se mueven hacia la derecha, en cada paso de tiempo existir´an intervalos (ξi (t), ξi (t + K)), i = 1, 2, que siendo de las capas 2 y 3 pasar´an a ser de las capas 1 y 2 respectivamente, por lo que es necesario que en esos intervalos definamos i de manera adecuada C1 y C2 . Lo m´as f´acil es definir Ci = Cmin , i = 1, 2. Se hace entonces una interpolacion lineal de la concentraci´on a los nuevos nodos, verificando que el valor en un nodo sea menor o igual que el valor en el nodo anterior. Si este no fuera el caso se obliga a tomar un valor igual al del nodo anterior, puesto que la concentraci´ on es una funci´ on decreciente de la profundidad.

3.3 Aproximaci´ on del movimiento difusivo en cada capa.

1/2

Tomando Ci (nij , t+K) como condici´on inicial se aplica el m´etodo θ para aproximar Ci (nij , t + K). Como Ci es la concentraci´on en cada una de las capas y en la zona de difusi´ on, deben resolverse tres problemas de difusi´on en cada tiempo, uno para cada capa y otro para la zona de difusi´on. Los problemas de difusi´on son similares puesto que los gobierna la misma ecuaci´on, s´olo cambiando el coeficiente de difusi´on y las condiciones de frontera (4) a (5). Entonces en cada caso se debe resolver un sistema ´sicas UJAT, 7(2)Diciembre 2008 p 8–24 Revista de Ciencias Ba

Simulaci´ on Num´ erica de Nitruraci´ on Postdescarga

15

de la forma Ac = b donde c denota el vector, de dimensi´on s, de concentraciones aproximada en los nodos de cada capa y zona de difusi´on, incluyendo los extremos.

La matriz A est´ a definida por



1  −R1 θ        

0 1 + 2R1 θ −R1 θ

 −R1 θ 1 + 2R1 θ ·

−R1 θ · ·

· · −R1 θ

· 1 + 2R1 θ 0

        −R1 θ  1

y el vector b es          

αi Ri (1 − θ)Ci1 + (1 − 2Ri + 2Ri θ)Ci2 + Ri (1 − θ)Ci3 Ri (1 − θ)Ci2 + (1 − 2Ri + 2Ri θ)Ci3 + Ri (1 − θ)Ci4 · · Ri (1 − θ)Ci(s−2) + (1 − 2Ri + 2Ri θ)Ci(s−1) + Ri (1 − θ)Cis i Cmin

donde Ri = Di K/h2i , α1 = Cs , α2 =

α3 =

         

C(ξ1 (t), t0 ), t0 < t < t1 , y 2 Cmax , t > t1 ,

C(ξ2 (t), t0 ), t0 < t < t2 , .

3 Cmax , t > t2 ,

4. Resultados Num´ ericos.

Ejemplo 1. Se hizo una simulaci´on del fen´omeno con los siguientes par´ametros:

D1 = 3.02204e − 13, D2 = 1.27401e − 14, D3 = D = 1.83122e − 11, que son uno de los juegos de coeficientes de difusi´on calculados en [1], lim2 = 0.000055 = 55 micras; este valor se hace mover de acuerdo a la relaci´on

(100)

d lim2 ∂C3 = −D3 (x, t)

dt ∂x x=ε3 ´sicas UJAT, 7(2)Diciembre 2008 p 8–24 Revista de Ciencias Ba

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Jorge L´ opez L´ opez

Figura 6. Concentraci´ on de Nitr´ ogeno al tiempo t0 ejemplo 1.

N = 100; θ = 1.0; K = 1.0s; T = 10000 seg; λ = 58, 400D; Ceq = 32.05; C0 = 0.0; 3 2 3 1 2 = 0.365; Cmin = 0.00. = 9.625; Cmin = 6.5; Cmax Cmin = 19.0; Cmax Se tom´ o un valor constante de 7e − 8 para los 10 primeros incrementos en la primera interface y un valor constante de 2e − 8 para los 10 primeros incrementos en la segunda interface. Esto con el fin de evitar la indeterminaci´on 0/0 y la fluctuaci´on en tales incrementos. Esto result´o de las experimentaciones y estar´ıa indicando el valor para la velocidad inicial del movieento de las interfaces. Valores diferentes a los mencionados y menos incrementos constantes dan lugar a fluctuaciones que sin embargo, despu´es de un cierto tiempo se suavizan.

En la figura 6 se muestran en gris la simulaci´on de la concentraci´on hasta el tiempo t0 , y en negro la concentraci´ on exacta en t0 = 20 s.

En la figura 7 se muestra en verde las concentraci´ones simuladas a los 12000 s.

Como se puede observar, ya han pasado mas de 120 min y no se ha formado la primera capa. En este tiempo, las referencias mencionan que ya se debe estar en la etapa de cuasiestabilizaci´ on. En rojo aparece como referencia la concentraci´on a los 20 s.

En la figura 8 se muestra a travez del tiempo, el comportamiento de los incrementos de las 2 interfaces, en gris lo correspondiente a la primera y en negro la segunda.

De acuerdo a [1], la primera interfaces debe estabilizarse en una profundidad de 7 micras, mientras que la segunda lo debe hacer en 17 micras. La mayor profundidad de difusi´ on debe estabilizarse en 67 micras. De acuerdo a la figura 7, estos requerimientos son imposibles de satisfacer pues la primera apenas estar´ıa formada a una profundidad de 17 micras aproximadamente, y la segunda estar´ıa formada a una profundidad de 65 micras. ´sicas UJAT, 7(2)Diciembre 2008 p 8–24 Revista de Ciencias Ba

Simulaci´ on Num´ erica de Nitruraci´ on Postdescarga

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Figura 7. Concentraci´ on de Nitr´ ogeno a los 12000 s ejemplo1.

Figura 8. Comportamiento del incremento de las interfaces ejemplo 1.

´sicas UJAT, 7(2)Diciembre 2008 p 8–24 Revista de Ciencias Ba

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Jorge L´ opez L´ opez

Figura 9. Concentraci´ on de Nitr´ ogeno al formarse la capa1 ejemplo2.

Ejemplo 2. En esta otra simulaci´on del fen´omeno se tom´o:

D1 = 1.0259e − 13, D2 = 2.186e − 13, D3 = D = 1.83122e − 11, que son otro de los juegos de coeficientes de difusi´on calculados en [1] y dejando los dem´ as id´enticos al ejemplo 1. En la figura 9 se muestra la formaci´on de la primera capa pero a un tiempo muy grande.

Ejemplo 3. Para esta simulaci´on del fen´omeno se consider´o:

D1 = 1.26e − 14, D2 = 1.02e − 15, D3 = D = 6.68e − 12, lim2 = 0.000055 = 55 micras; N = 100; θ = 1.0; K = 1.0s; T = 234 min; λ 1 2 2 = 58, 400D; Ceq = 55.25; C0 = 0.0; Cmin = 23.59; Cmax = 19.923; Cmin = 19.479; 3 3 Cmax = 14.365; Cmin = 0.00. Estos fueron sugeridos por uno de los autores de [1].

Resultado de experimentaciones se tom´o un valor constante de 1e − 8 para los 10 primeros incrementos en las interfaces. Indicando el valor para la velocidad inicial del moviento de las interfaces. Valores diferentes a 1e−8 y menos incrementos constantes dan lugar a fluctuaciones que despu´es de un cierto tiempo se suavizan. ´sicas UJAT, 7(2)Diciembre 2008 p 8–24 Revista de Ciencias Ba

Simulaci´ on Num´ erica de Nitruraci´ on Postdescarga

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Figura 10. Concentraci´ on de Nitr´ ogeno al tiempo t0 ejemplo 3.

En la figura 10 se muestra en gris la simulaci´on de la concentraci´on hasta el tiempo t0 , y en negro la concentraci´ on exacta en t0 = 20 s.

En la figura 11 se muestran en gris la concentraci´on simulada a los 820 s, antes de que se forme la primera capa. En negro aparece como referencia la concentraci´on a los 20 s.

En la figura 12 se muestra, en color claro, la concentraci´on a los 5020 s, cuando ya se ha formado la primera capa.

En la figura 13 se muestra, en color oscuro, la concentraci´on a los 5520 s, cuando ya se ha formado la segunda capa.

En la figura 14 se muestra la concentraci´on en la etapa de cuasiestabilizaci´on, en tanto que en la figura 15 se muestra el comportamiento de los incrementos de las 2 interfaces a travez del tiempo: en color claro lo correspondiente a la primera y en negro a la segunda. Cabe mencionar aqu´ı que alrededor del tiempo 6500 s se presenta un ligero incremento en las velocidades de la interface 2.

5. Conclusiones.

Los juegos de par´ ametros usados son los sugeridos en las referencias. Y aunque en las dos primeras simulaciones los resultados num´ericos son muy distantes de lo esperado de acuerdo a las referencias, en el ejemplo 3 los resultados num´ericos estar´ıan de acuerdo al reporte de que las dos interfaces se cuasiestabilizar´ıan en 5 y 7 micras aproximadamente. sugiriendo tambi´en una velocidad inicial para el movimiento de las interfaces. ´sicas UJAT, 7(2)Diciembre 2008 p 8–24 Revista de Ciencias Ba

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Jorge L´ opez L´ opez

Figura 11. Concentraci´ on de Nitr´ ogeno a los 820 s ejemplo 3.

Figura 12. Concentraci´ on de Nitr´ ogeno a los 5020 s ejemplo 3.

´sicas UJAT, 7(2)Diciembre 2008 p 8–24 Revista de Ciencias Ba

Simulaci´ on Num´ erica de Nitruraci´ on Postdescarga

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Figura 13. Formaci´ on de la segunda capa ejemplo 3.

Figura 14. Concentraci´ on de Nitr´ ogeno en cuasiestabilizaci´ on ejemplo 3.

´sicas UJAT, 7(2)Diciembre 2008 p 8–24 Revista de Ciencias Ba

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Jorge L´ opez L´ opez

Figura 15. Comportamiento del incremento de las interfaces

La profundidad de la zona de difusi´on tambi´en estar´ıa de acuerdo con algunos reportes, sobre todo [1].

De acuerdo a los par´ ametros de difusi´on usados y a la forma en que se mueven las interfaces, el comportamiento num´erico de cada Ci es aceptablemente adecuado, as´ı que los resultados num´ericos pueden sugerir una revisi´on de los coeficientes usados o de alguno de los par´ ametros experimentales usados.

Las propiedades de precisi´ on, estabilidad y convergencia del m´etodo num´erico est´an asociadas con las propiedades de estabilidad y convergencia del m´etodo θ que se us´o en la soluci´ on de los problemas parab´olicos y en el m´etodo de Euler que se us´o para mover las interfaces, pero faltar´ıa trabajo te´orico para ver como se comportan combinados.

De acuerdo a los experimentos, alrededor de los 120 min ya deber´ıan estar formadas las dos capas y estar en la etapa de cuasiestabilizaci´on, lo cual no sucede en las simulaciones 1 y 2. Esto puede estar asociado con la velocidad inicial de las interfaces y la velocidad con que hacemos mover el dominio, datos que no est´an reportados en la literatura, pero tambi´en con los par´ametros experimentales y la precisi´on y estabilidad de los m´etodos num´ericos usados.

Ap´ endice

A. Algoritmo 1:

Para aproximar la concentraci´ on de Nitr´ogeno Postdescarga: Inicio: ´sicas UJAT, 7(2)Diciembre 2008 p 8–24 Revista de Ciencias Ba

Simulaci´ on Num´ erica de Nitruraci´ on Postdescarga

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i i 1 Leer Cmin , Cmax , i = 1, 2, 3, K, D1, D2, D3, t0 , T, N i 2 Aproximar ξi (t0 ) de la ecuaci´ on C(ξi (t0 ), t0 ) = Cmin .

3 Discretizar la primera capa en LM 1 = round(N / 6) nodos,.

Discretizar la segunda capa en LM 2 = 2 ∗ LM 1 − 1 nodos.

Discretizar la zona de difusi´ on en LM 3 = N − 3 ∗ LM 1 + 1.

4 Hacer C1 (t) = C(t0 ) en cada nodo de la primera capa; Hacer C2 (t) = C(t0 ) en cada nodo de la segunda capa; Hacer C3 (t) = C(t0 ) en cada nodo de la tercera capa; 5 Para cada etapa desde 2 hasta 4 hacer t = t0 .

Asignar valores a los par´ ametros que caracterizan la fase y que dependen solamente de la etapa : par´ ametro\etapa ucompara = ref er =

2 C2 (ξ1 (t)) 2 Cmax

3 C3 (ξ2 (t)) 3 Cmax

4 −t −8000

Mientras ucompara > ref er hacer Aumentar lim2 si se desea.

Asignar valores a los par´ ametros que caracterizan la etapa pero que dependen de las interfaces: par´ ametro\etapa F1 (t) = F2 (t) =

2 C(ξ1 (t), t0 ) C(ξ2 (t), t0 )

3 2 Cmax C(ξ2 (t), t0 )

4 2 Cmax 3 Cmax

0

Se calcula la velocidad de las interfaces ξi (t) excepto para t = t0 .

Se calcula la nueva ξi (t + K).

Se actualiza la malla a los nuevos subdominios.

1/2

Se interpola Ci (t) a la nueva malla para obtener Ci

(t+K).

Se aplica el m´ etodo teta en diferencias finitas para aproximar el movimiento difusivo en cada capa, teniendo 1/2

como condici´ on inicial Ci

(t + K), obteni´ endo las nuevas

Ci (t + K).

Se grafica C(t + K) (las Ci (t + K) simult´ aneamente). ´sicas UJAT, 7(2)Diciembre 2008 p 8–24 Revista de Ciencias Ba

24

Jorge L´ opez L´ opez

Se hace Ci (t) = Ci (t + K) en cada nodo.

Se hace t = t + K. termina el mientras termina etapa fin de algoritmo.

Referencias [1] J. Bernal-Ponce, A. Fraguela-Collar, J. A. G´ omez, J. Oseguera-Pe˜ na, F. Castillo Aranguren. (2005) Identification of diffusion coefficients during post-discharge nitriding, Proceedings of the 5th International conference on Inverse Problems in Engineering: Theory and Practice, Cambridge, UK, Vol. 1, B05.

[2] J. Crank, The Mathematics of Diffusion, 2nd ed. Oxford Science Publications, 1993.

[3] J. Crank, Free and Moving Boundary Problems, Clarendon Press Oxford. 1984.

[4] E. Javierre-P´erez, Numerical methods for solving Stefan problems, Report 03-16, Department of Applied Mathematical Analysis, delft University of Technology, 2003.

´sicas UJAT, 7(2)Diciembre 2008 p 8–24 Revista de Ciencias Ba

Modelo Depredador-Presa Jos´ e Manuel L´ opez Cruz

*

**

Universidad Ju´ arez Aut´ onoma de Tabasco, DACB

Gamaliel Bl´ e Gonz´ alez

***

Universidad Ju´ arez Aut´ onoma de Tabasco, DACB

En este art´ıculo se presenta un an´ alisis detallado de un modelo matem´ atico b´ asico, depredador-presa, para la interacci´ on entre dos poblaciones .

In this paper a basic mathematical model for the interaction among two populations of the depredator-prey type is analyzed.

Palabras clave: Lotka-Volterra, atractor global.

Keywords: Lotka-Volterra, global attractor.

1. Introducci´ on

Una de las caracter´ısticas m´ as notables de la vida en nuestro planeta es la gran diversidad de aspectos y h´ abitos que tienen los organismos que la componen. Sin embargo, es bastante m´ as dif´ıcil observar que esta manifestaci´on de diversidad no se da de una forma arbitraria, sino todo lo contrario [2]. Los organismos viven en comunidades, formando intricadas relaciones de interacci´on, donde cada especie depende directa o indirectamente de la presencia de las otras. Una de las tareas de la Ecolog´ıa es el desarrollo de una teor´ıa de la organizaci´on de las comunidades que permita entender las causas de la diversidad y los mecanismos de interacci´on. En este art´ıculo se considera la interacci´ on de dos especies cuyos tama˜ nos de poblaci´on al tiempo t son x(t) y y(t). Adem´ as, suponemos que el cambio en el tama˜ no de la poblaci´on se puede escribir como: dx = F (x, y) dt dy = G(x, y). dt

(1)

Existen diferentes clases de interacci´on biol´ogicas que pueden ser representadas matem´ aticamente con este sistema de ecuaciones. Ya que F (x, y) y G(x, y) determinan la velocidad de crecimiento de cada una de las poblaciones; se tiene el caso cuando una de estas especies se alimenta de la otra, entonces el sistema de sobrevivencia est´a dado por: * Recibido

el 10 de septiembre de 2008 y aceptado el 3 de noviembre de 2008 postal: Carr. Cunduac´ an-Jalpa Km 1, Cunduac´ an Tabasco, M´ exico. A.P. 24 C.P. 86690. Tel.(+52)914 336-0928. Correo electr´ onico: chema cruz@hotmail.com *** Direcci´ on postal: Carr. Cunduac´ an-Jalpa Km 1, Cunduac´ an Tabasco, M´ exico. A.P. 24 C.P. 86690. Tel.(+52)914 336-0928. Correo electr´ onico: gble@ujat.mx ** Direcci´ on

´sicas UJAT, volumen 7 n´ Revista de Ciencias Ba umero 2 (Diciembre 2008) p 25–34

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Jos´ e Manuel L´ opez Cruz y Gamaliel Bl´ e Gonz´ alez

Fy (x, y) < 0 Gx (x, y) > 0.

(2)

Esto es, el cambio de la poblaci´on de la presa con respecto al depredador disminuye ´ y el cambio de la poblaci´ on del depredador con respecto a la presa aumenta. Estas, son unas de las condiciones que debe cumplir un sistema de ecuaciones depredadorpresa. En este trabajo analizaremos dos sistemas que cumple con la ecuaci´on (2). El primero ser´ a el modelo de Lotka-Volterra y posteriormente haremos una modificaci´on de ´este que considera la competencia entre los individuos de la poblaci´on.

2. An´ alisis del sistema de tipo Lotka-Volterra

Este modelo se basa en las siguientes hip´otesis.

1. La poblaci´ on crece proporcionalmente a su tama˜ no, es decir, tiene espacio y alimento suficiente. Si esto sucede y x(t) representa la poblaci´ on presa (en ausencia del depredador), entonces el crecimiento de la poblaci´ on est´ a dado por dx = ax, a > 0, dt x(t) = x0 eat .

(3)

El n´ umero de presas en ausencia del depredador crece exponencialmente.

2. El depredador y(t) s´ olo se alimenta de la presa x(t). As´ı, si no hay presas, su tama˜ no decae con una velocidad proporcional a su poblaci´ on esto es dy = −dy, d > 0, dt y(t) = y0 e−dt .

(4)

El n´ umero de depredadores en ausencia de la presa, decrece exponencialmente hasta extinguirse.

3. El n´ umero de encuentros entre el depredador y la presa es proporcional al producto de sus poblaciones. Adem´ as, cada uno de los encuentros favorece al n´ umero de depredadores y disminuye el n´ umero de las presas.

Por lo tanto, la presencia de la presa beneficia el crecimiento del depredador como cxy,

c > 0.

Mientras que la interacci´ on entre ellas, disminuye el crecimiento de la presa por −bxy,

b > 0.

Bajo las hip´ otesis anteriores tenemos que un modelo de interacci´on entre x(t) y y(t) est´ a dado por el siguiente sistema:

´sicas UJAT, 7(2)Diciembre 2008 p 25–34 Revista de Ciencias Ba

Modelo Depredador-Presa

27

dx = ax − bxy dt dy = cxy − dy, dt

(5)

con x > 0, y > 0 y los par´ ametros a, b, c, d, son n´ umeros reales positivos.

Este sistema lo podemos ver de la siguiente forma, dx = x(a − by) = xL(y) dt dy = y(cx − d) = yM (x), dt d a y tiene como puntos de equilibrio a P00 = (0, 0) y Pxy = ( , ). c b Si calculamos el Jacobiano del sistema tenemos:

a − by −bx J(x, y)= . cy cx − d Al evaluar la matriz jacobiana en los puntos de equilibrio se obtiene que   −bd

0 a 0 c .

J(P00 ) = y J(Pxy ) =  ca 0 −d 0 b Como los valores propios de J(P00 ) son reales y diferentes de cero, del teorema de Hartman-Grobman concluimos que el punto P00 es un punto silla, [1]. Por otro lado, los valores propios de J(Pxy ) son √ λ = ±i ad.

En este caso la parte real de los valores propios es cero y no podemos aplicar el teorema de Hartman-Grobman. As´ı que la aproximaci´on lineal no da informaci´on sobre la din´ amica local en el punto Pxy . Por esto es necesario recurrir a otra herramienta que permita determinar el comportamiento local en Pxy .

3. Funci´ on de Liapunov del sistema

Sea E ⊂ Rn abierto, f ∈ C 1 (E) y x˙ = f (x)

x(0) = x0 ,

(6)

Una soluci´ on de la ecuaci´ on (6), es una funci´on φt (x0 ) : I ⊂ R → Rn definida en una vecindad de cero, tal que φ0 (x0 ) = x0 y d (φt (x0 )) = f (φt (x0 )). dt ´sicas UJAT, 7(2)Diciembre 2008 p 25–34 Revista de Ciencias Ba

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Jos´ e Manuel L´ opez Cruz y Gamaliel Bl´ e Gonz´ alez

Si V ∈ C 1 (E), definimos la derivada de V a lo largo de la soluciones φt (x) como, d V (φt (x))|t=0 = V˙ (x) = DV (x) · f (x). dt Definici´ on

. Sea x0 un punto de equilibrio de (6) y V ∈ C 1 (E) tal que:

i) V (x0 ) = 0. ii) V (x) > 0 si x 6= x0 .

Cuando V˙ (x) ≤ 0 para todo x ∈ E ´o V˙ (x) > 0 para todo x ∈ E \ {x0 }, decimos que V es una funci´ on de Liapunov para (6) en E. Con la finalidad de construir una funci´on de Liapunov para el sistema (5), proponemos una funci´ on H como una suma de dos funciones H(x, y) = F (x) + G(y).

(7)

Vamos a calcular como deben ser G y F de tal manera que H satisfaga las condiciones sobre la derivada para ser una funci´on de Liapunov.

Si calculamos la derivada de H a lo largo de la soluci´on del sistema (5), se obtiene dF dx dG dy dF dG d H(x(t), y(t)) = + =x (a − by) + y (cx − d). dt dx dt dx dt dx dy Para que las soluciones de (5) vivan en las curvas de nivel de H se debe cumplir d H(x(t), y(t)) = 0. dt Al separar las variables x y y se tiene dG dF y dx = dy . cx − d by − a x

Como x y y son variables independientes, la ecuaci´on (8) se tiene, si y s´olo si y dG x dF dy dx = = cte. cx − d by − a Ya que esta constante puede ser uno, tenemos que dF d =c− . dx x ´sicas UJAT, 7(2)Diciembre 2008 p 25–34 Revista de Ciencias Ba

(8)

Modelo Depredador-Presa

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Por lo tanto, F (x) = cx − d ln x.

De igual manera, dG a =b− . dy y Por lo tanto, G(y) = by − a ln y.

As´ı, H es de la forma H(x, y) = cx − d ln x + by − a ln y, y est´a definida para x > 0 y y > 0.

A partir de H buscamos proponer una funci´on de Liapunov, por lo que es necesario determinar los puntos cr´ıticos de H. Como,

(

d a ∂H ∂H , ) = (c − , b − ), ∂x ∂y x y

tenemos que el punto cr´ıtico de H es Pxy .

Para mostrar que Pxy es un m´ınimo, es suficiente checar que la matriz hessiana de H en Pxy es definida positiva, [3]. Por definici´on, ∂2f  ∂x2 Hess(H) =   ∂2f ∂x∂y 

As´ı

Como

  ∂2f d  x2 ∂x∂y   = ∂2f   0 ∂y 2

c2  Hess(H(Pxy )) =  d 0 

 0  a . y2

 0  . b2  a

c2 > 0 y |Hess(H(Pxy ))| > 0, tenemos en que H tiene un m´ınimo en Pxy . d

Si m = H(Pxy ) = cx − d ln x + by − a ln y, entonces la funci´ on V (x, y) = H(x, y) − m, es una funci´ on de Liapunov en el primer cuadrante para el sistema (5). Por lo tanto, el punto de equilibrio Pxy es estable, [1]. Adem´as las soluciones viven en la curvas de nivel de V y en consecuencia en las curvas de nivel de H, ya que V es s´olo una traslaci´ on de H. ´sicas UJAT, 7(2)Diciembre 2008 p 25–34 Revista de Ciencias Ba

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Jos´ e Manuel L´ opez Cruz y Gamaliel Bl´ e Gonz´ alez

Por otro lado, el sistema (5) no tiene ciclos l´ımites, ya que no es constante en un abierto de R2 , [4]. ´ 4. Orbitas cerradas en el primer cuadrante

En esta secci´ on mostraremos que las soluciones de (5) cerca de Pxy son peri´odicas.

4.1. Cada trayectoria en el primer cuadrante del sistema Lotka-Volterra, es una ´ orbita cerrada salvo el punto Pxy y los ejes coordenados.

Teorema

1. Supongamos que no tenemos ´ orbitas cerradas en el primer cuadrante.

Consideremos un punto w = (x, y) ∈ R2 , x > 0, y > 0 tal que w 6= Pxy . Existe una sucesi´ on doblemente infinita ..., t−2 , t−1 , t0 , t1 , t2 , ... tal que φtn (w) est´a sobre la recta d x = . De tal manera que cuando n tiende a infinito tn tiende a infinito y cuando n c tiende a menos infinito tn tiende a menos infinito.

Demostraci´ on

Supongamos que w no pertenece a una ´orbita cerrada. Entonces los puntos φtn (w), d forman una sucesi´ on mon´ otona a lo largo de la recta x = . c Si w no est´ a en una ´ orbita cerrada entonces los puntos φtn (w) forman una sucesi´on d mon´ otona a lo largo de la recta x = . c Como el sistema (5) no tiene ciclos l´ımites, φtn (w) converge a Pxy cuando n tiende a infinito ´ o φtn (w) converge a Pxy cuando n tiende a menos infinito.

Ya que H es constante sobre la trayectoria de w, concluimos que H(Pxy ) = H(w).

Pero esto contradice la hip´ otesis de que H tiene un m´ınimo en Pxy .

Por lo tanto, las soluciones de (5) en el primer cuadrante son trayectorias cerradas.

As´ı, dada cualquier condici´ on inicial (x(0), y(0)), con x(0) 6= 0 y y(0) 6= 0 y diferente de Pxy , tenemos que las poblaciones de presas y depredadores oscilan ciclicamente en el paso del tiempo (ve´ ase la figura 1).

5. Modelo de Volterra

Si el modelo de Lotka-Volterra lo modificamos considerando que la poblaci´on x compite por espacio o alimento, entonces introducimos un nuevo t´ermino a la primera ecuaci´ on del sistema (5), quedando dx = x(a − by) − λx2 . dt De igual manera, si lo suponemos para la poblaci´on y, obtenemos el siguiente sistema ´sicas UJAT, 7(2)Diciembre 2008 p 25–34 Revista de Ciencias Ba

Modelo Depredador-Presa

31

Figura 1. ´ orbitas cerradas

dx = x(a − by) − λx2 dt dy = y(cx − d) − µy 2 , dt

(9)

donde a, b, c, d, µ, λ, son n´ umeros reales positivos. Aqu´ı, λ y µ representan la proporci´ on de sobrepoblaci´ on de presas y depredadores respectivamente.

Vista de otra manera se tiene: dx = x(a − by − λx) = xL(x, y) dt dy = y(cx − d − µy) = yM (x, y). dt

(10)

Para este nuevo sistema los puntos de equilibrio son: P00 = (0, 0) a Px0 = ( , 0) λ d P0y = (0, − ) µ ´sicas UJAT, 7(2)Diciembre 2008 p 25–34 Revista de Ciencias Ba

32

Jos´ e Manuel L´ opez Cruz y Gamaliel Bl´ e Gonz´ alez

Pxy = (x, y) = (

db + µa ca − λd , ). cb + λµ cb + λµ

Como el punto P0y no est´ a en el primer cuadrante, lo vamos a descartar en el an´alisis.

La matriz Jacobiana de este sistema es:

J(x, y) =

a − by − 2λx −bx cy cx − d − 2µy

.

Para determinar la din´ amica local en los puntos de equilibrio observemos que

a 0 0 −d

J(P00 ) =

.

Como los valores propios de J(P00 ) son a y −d, por el teorema de HartmanGrobman tenemos que el punto de equilibrio P00 es un punto silla.

Ya que  J(Px0 ) = 

−a

los valores propios de J(Px0 ) son −a y

0

 ab −  ac λ −d λ

ac − d. λ

ac a d − d < 0, esto es, < , entonces el punto de equilibrio Px0 es un pozo y el λ λ c punto de equilibrio no trivial Pxy no est´a en el primer cuadrante, (observe la figura 2).

Si

ac d a Si − d > 0, esto es > , entonces el punto de equilibrio Pxo es un punto λ c λ silla y el punto de equilibrio Pxy est´a en el primer cuadrante, por lo que es necesario analizar su comportamiento local.

Como

J(Pxy ) =

−λx −bx cy −µy

tenemos que T r(J(Pxy )) = −λx − µy < 0 y Det(J(Pxy )) = λµxy + bcxy < 0. Esto implica que Pxy es un pozo, [1].

Para determinar el comportamiento global del sistema recurriremos al siguiente teorema para sistemas en el plano, cuya demostraci´on puede ser consultada en [1].

´sicas UJAT, 7(2)Diciembre 2008 p 25–34 Revista de Ciencias Ba

Modelo Depredador-Presa

33

Figura 2. Atractor en Px0

Teorema

5.1. (Teorema de Dulac). Sea D ⊂ Rn , una regi´ on simplemente conexa β,

∂ ∂ (β(x, y)F (x, y)) + (β(x, y)G(x, y)) es estrictamente positiva ∂x ∂y o estrictamente negativa en D, entonces el sistema x0 = F (x, y), y 0 = G(x, y) no tiene ´orbitas peri´ odicas en D. F , G ∈ C 1 (D). Si

Teorema

5.2. El sistema (10) no tiene ´ orbitas peri´odicas en el primer cuadrante.

Demostraci´ on

2. Notemos que el primer cuadrante es una regi´ on simplemente co-

nexa. Adem´ as, si tomamos β(x, y) =

1 tenemos que xy

∂ ∂ Lx (x, y) My (x, y) λ µ (βx0 ) + (βy 0 ) = + = − − < 0. ∂x ∂y y x y x Como esta ecuaci´ on es estrictamente negativa y β ∈ C 1 en el primer cuadrante D, concluimos por el teorema de Dulac que el sistema (10) no tiene ´orbitas peri´odicas en el primer cuadrante.

En resumen tenemos el siguiente resultado.

Teorema

5.3. El punto de equilibrio Pxy del sistema (10) es globalmente estable.

3. Del teorema 5.2 y del teorema de Poincar´ e Bendixon, [1], concluimos que todas las ´ orbitas con condici´on inicial en D tienden asint´oticamente al punto de equilibrio Pxy .

Demostraci´ on

´sicas UJAT, 7(2)Diciembre 2008 p 25–34 Revista de Ciencias Ba

34

Jos´ e Manuel L´ opez Cruz y Gamaliel Bl´ e Gonz´ alez

Figura 3. Atractor global en Pxy

6. Conclusiones

En el modelo de Lotka-Volterra todas las soluciones en el primer cuadrante son d a curvas cerradas alrededor del punto de equilibrio ( , ). Esto implica que dos poc b blaciones que cumplan las hip´ otesis que establece el modelo (5) sus tama˜ nos oscilan peri´ odicamente.

Mientras que el sistema (10) predice que si dos poblaciones cumplen con la hip´otesis del modelo, terminan coexistiendo con valores cerca del punto de equilibrio Pxy .

En ambos casos las poblaciones no se extinguen.

Referencias [1] L. Perko, Diferential equations and dynamical systems, Springer-Verlag, 1991.

[2] F. Brauer y C. Castillo-Chavez, Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology, Springer-Verlag, 2000.

[3] A. J. Tromba y J. E. Marsden, C´ alculo vectorial, Pearson Educaci´ on, 1998.

[4] M. W. Hirsch y S. Smale, Differential equations, dinamical systems and linear algebra, academic Press 1974. ´sicas UJAT, 7(2)Diciembre 2008 p 25–34 Revista de Ciencias Ba

La m´ etrica de Levenshtein Abdiel E. C´ aceres Gonz´ alez

∗

†

Universidad Ju´ arez Aut´ onoma de Tabasco, DACB

La distancia de Levenshtein, tambi´en conocida como distancia de edici´ on, es una medida frecuentemente utilizada en bioinform´ atica. A pesar de que fu´e creada a mediados del siglo XX, y de que se han hecho implementaciones en muchos lenguajes de programaci´ on, es dif´ıcil encontrar referencias de una demostraci´ on de que esta las secuencias creadas con un alfabeto finito de s´ımbolos son un espacio m´etrico con la distancia de Levenshtein. Determinar formalmente este espacio m´etrico, es u ´til para futuras formalizaciones en la teor´ıa de bioinform´ atica.

Levenshtein’s distance, also known as edit distance, it’s a frequently used measure on bioinformatics. Although it was created in the mid-twentieth century, and that there have been many implementations in many programming languages, there is no demonstration that shown that sequences formed with some finite alphabet of symbols forms a metric space with Levenshtein’s distance. Determine formally this metric space, it is useful for future formalization of different works related with bioinformatics theory.

Palabras clave: Distancia de edici´ on, Bioinform´ atica, Espacios m´etricos.

Keywords: Edit distance, Bioinformatics, Metric spaces.

1. Introducci´ on

La distancia Levenshtein, conocida tambi´en como distancia de edici´on, fu´e creada e implementada por Vladimir Levenshtein a mediados del sigle XX [1], con el prop´osito de medir la diferencia entre dos secuencias de s´ımbolos. Recientemente, en el campo de la bioinform´ atica, se ha utilizado esta distancia para determinar la diferencia entre secuencias gen´ omicas y prote´ omicas [3].

Desde su creaci´ on a la fecha, se han hecho muchas implementaciones computacionales de esta distancia, en diferentes lenguajes de programaci´on, como una implementaci´ on en Perl [4]; en Java, C++ y VB [5], donde incluso, se ofrece una lista de implementaciones en muchos otros lenguajes de programaci´on, hechas por otros autores.

A pesar de que esta distancia ha sido estudiada, comparada, implementada y utilizada en muchas oportunidades, es muy dif´ıcil encontrar referencias que demuestren que la distancia de Levenshtein es una medida formal de distancia, de acuerdo a los par´ ametros establecidos en topolog´ıa. Contar con referencias tales, es importante para crear redes de semejanza, o tambi´en conocidas como Latices, que determinen las relaciones entre diversas secuencias, considerando un criterio adecuado para manipular la clase de informaci´ on que proporcionan las secuencias de s´ımbolos. ∗ Recibido

el 9 de septiembre de 2008 y aceptado el 24 de noviembre de 2008 postal: Carr. Cunduac´ an-Jalpa Km 1, Cunduac´ an Tabasco, M´ exico. A.P. 24 C.P. 86690. Tel.(+52)914 336-0928. Correo electr´ onico: abdielc@acm.org † Direcci´ on

´sicas UJAT, volumen 7 n´ Revista de Ciencias Ba umero 2 (Diciembre 2008) p 35–43

36

Abdiel E. C´ aceres Gonz´ alez

En este art´ıculo se da una demostraci´on formal para determinar que la distancia de Levenshtein, denotada por D, determina un espacio m´etrico para el conjunto de secuencias de s´ımbolos creadas con un alfabeto predeterminado. Consideraremos el alfabeto C de las cadenas, que se forman de un conjunto finito de s´ımbolos, colocados uno despu´es del otro, sin intercalar alg´ un s´ımbolo que no pertenezca al alfabeto.

La distancia de Levenshtein D : C ∗ × C ∗ → [0, N0 ) como se propone en (3), es una funci´ on que considera el conjunto C como generador de todas las secuencias o subsecuencias1 , el conjunto C ∗ es el conjunto de secuencias finitas generadas con s´ımbos de C; y la imagen de la funci´on asocia un valor entero no negativo a cada par de secuencias.

2. Similitud entre secuencias

El concepto de similitud tiene su fundamento en la cantidad de operaciones de edici´on que se requieren para transformar una secuencia en otra. Las operaciones de edici´on que se consideran son insertar un s´ımbolo, y borrar un s´ımbolo2 . La interpretaci´on de similitud debe entenderse de acuerdo a las siguientes definiciones: 1. Sean x =< x1 , x2 , . . . , xn > y y =< y1 , y2 , . . . , ym > dos secuencias finitas de s´ımbolos en alg´ un alfabeto finito C. y es una subsecuencia de x, denotado por y ⊂ x, si existe un conjunto de ´ındices {i1 , i2 , . . . , im } en x, con cada 1 ≤ ik ≤ n, y 1 ≤ k ≤ m, tales que i1 < i2 < · · · < im y que y =< xi1 , xi2 , . . . , xim >.

Definici´ on

2. Una subsecuencia y es una subsecuencia com´ un para las secuencias xa y xb , denotado por y ⊂ (xa , xb ), si y ⊂ xa y y ⊂ xb .

Definici´ on

Definici´ on

3. La similitud entre dos secuencias x, y ∈ C ∗ , denotada por S(x, y) est´ a

dada por: S(x, y) = max{|z| : z ⊂ (x, y)}; con z ∈ C ∗ ,

(1)

donde |z| indica la longitud de la secuencia z, es decir, la cantidad de s´ımbolos que contiene.

N´ otese que S(x, y) = 0 cuando x no tienen s´ımbolos comunes con y, esto es, no existe alguna subsecuencia com´ un para x y y, de modo que la longitud de la secuencia vac´ıa es 0; en el otro extremo, S(x, y) = min{|x|, |y|} cuando o bien x est´a contenida completamente en y, ´ o y est´ a contenida completamente en x. De modo que 0 ≤ S(x, y) ≤ min{|x|, |y|}.

(2)

El problema de determinar la similitud de dos secuencias, se convierte entonces, en encontrar el tama˜ no de la subsecuencia com´ un m´as larga entre las secuencias x y y.

1 En el caso del genoma se considera el alfabeto de nucle´ otidos T,C,G,A; de modo similar, el proteoma tiene un alfabeto determinado de 20 s´ımbolos.

2 Originalmente se consideraba la sustituci´ on como una operaci´ on, sin embargo esta no es considerada porque puede crearse a partir de una inserci´ on y un borrado

´sicas UJAT, 7(2)Diciembre 2008 p 35–43 Revista de Ciencias Ba

El espacio e´ etrico de la distancia de Levinshtein

37

El procedimiento para encontrar la subsecuencia com´ un m´as larga, se describe con el siguiente algoritmo, que llena una matriz de orden n × m con n´ umeros enteros que indican la similitud de cada subsecuencia. En este algoritmo se considera que |x| = n y |y| = m.

Algoritmo que encuentra la similitud de dos secuencias[2]: S(x, y) : C ∗ × C ∗ → N0 1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12:

for i = 0 to n do Si,0 = 0 end for for j = 0 to m do S0,j = 0 end for for i = 0 to m do for j = 0to n do max{Si−1,j , Si,j−1 } Si,j = Si−1,j−1 + 1 end for end for return z = Sn,m .

si si

xi = 6 yj xi = yj

3. Distancia de Levenshtein

La distancia de Levenshtein entre dos secuencias x, y ∈ C ∗ , con n = |x|, m = |y|, est´a definida como: D(x, y) = n + m − 2S(x, y),

(3)

donde S(x, y) es la similitud entre las secuencias x y y. Los l´ımites de esta distancia se logran, por un lado cuando la similitud entre las secuencias comparadas es nula, y en el otro extremo, cuando la similitud entre las secuencias comparadas es m´axima.

Cuando la simlitud es nula (secuencias sin s´ımbolos comunes), la distancia es n + m.

Cuando la similitud es m´ axima (se comparan secuencias iguales), la distancia es 0.

0 ≤ D(x, y) ≤ n + m

(4)

La idea general de esta distancia es que dos secuencias distan entre s´ı tanto como s´ımbolos se deban borrar y s´ımbolos se deban agregar, para hacer iguales ambas secuencias. De modo que el l´ımite m´aximo de esta distancia se debe leer como: se deben borrar todos los n s´ımbolos de x y agregar todos los m s´ımbolos de y.

Tanto las funciones de distancia como la de similitud se encuentran definidas en [2], donde se hace un estudio de la complejidad algor´ıtmica de este procedimiento, aunque las l´ıneas 7 - 11 del algoritmo sugieren que la complejidad es O(n2 ) para encontrar la similitud, y Θ(1) para encontrar la distancia3 .

3 Recordemos que O(f (n)) dice que existe una funci´ on f (n) que acota superiormente el tiempo de ejecuci´ on del algoritmo, y Θ(1) dice que el tiempo de ejecuci´ on del algoritmo (para encontrar la distancia en este caso) es constante. Para un estudio m´ as profundo sobre funciones asint´ oticas para acotar comportamientos algor´ıtmicos, consulte la referencia [2].

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Abdiel E. C´ aceres Gonz´ alez

4. El espacio m´ etrico de las secuencias

Sea C ∗ el conjunto de todas las secuencias v´alidas de longitud finita4 ; y sea tambi´en D como la definida en (3).

Teorema

1.

El par (C ∗ , D) es un espacio m´etrico.

Prueba. Para probar que la distancia D sea una m´etrica sobre C ∗ , se debe cumplir: 1. D(x, y) ≥ 0

∀x, y ∈ C ∗ .

2. D(x, y) = 0, si y s´ olo si x = y ∀x, y ∈ C ∗ .

3. D(x, y) = D(y, x)

∀x, y ∈ C ∗ . ∀x, y, z ∈ C ∗ .

4. D(x, y) + D(x, z) ≥ D(y, z)

Es bueno recordar que el conjunto de puntos propuesto est´a determinado por C ∗ = {x|x = (xi )0≤i<∞ , xi ∈ C}, es el conjunto de secuencias finitas en C, por ejemplo C = {T, C, G, A}, para el caso del genoma.

4.1 D(x, y) ≥ 0

∀x, y ∈ C

Si x =< x1 , . . . , xn > y y =< y1 , . . . , ym >, la distancia propuesta es |x| + |y| − 2S(x, y), como 0 ≤ S(x, y) ≤ min{|x|, |y|}, si S(x, y) = |x|, entonces |y| > |x| y D(x, y)

= = ≥

|x| + |y| − 2|x|, |y| − |x|, 0.

= = ≥

|x| + |y| − 2|y|, |x| − |y|, 0.

= = =

|x| + |x| − 2|x|, |y| + |y| − 2|y|, 0.

si S(x, y) = |y|, entonces |x| > |y| y D(x, y)

si S(x, y) = |y| = |x|, entonces D(x, y)

4.2 D(x, y) = 0 si y s´ olo si x = y

1. Si D(x, y) = 0 entonces x = y.

Como D(x, y) = 0, entonces |x| + |y| = 2S(x, y) 4 Bien

pueden ser genomas, proteomas, o partes de ellos.

´sicas UJAT, 7(2)Diciembre 2008 p 35–43 Revista de Ciencias Ba

El espacio e´ etrico de la distancia de Levinshtein

39

Si x = λ (la palabra nula), entonces |x| = 0, de modo que |y| = 2S(λ, y) debe conservarse. Esto hace que |y| = 0, puesto que la S(λ, y) es cuando mucho la cardinalidad de la secuencia de menor longitud, y esta es λ, con |λ| = 0. Si |y| = 0, entonces tambi´en y = λ y as´ı x = y.

Por otro lado, si ninguna de las secuencias es nula, aun debe conservarse la igualdad |x| + |y| = 2S(x, y).

Supongamos ahora que x ⊂ (x, y), esto es, x es la subsecuencia com´ un m´ as grande de las secuencias x y y. Entonces, |x| + |y| = 2|x|, y para que esto ocurra, |x| = |y|.

Como x ⊂ y, todos los s´ımbolos de x ocurren en y en las mismas posiciones, esto significa entonces que x = y.

2. Si x = y entonces D(x, y) = 0. Observese que, |x| = |y|. Como ambas secuencias son iguales, S(x, y) = n |x| + |y| − 2S(x, y) D(x, y)

4.3 D(x, y) = D(y, x)

= =

n + n − 2n, 0.

∀x, y ∈ C ∗

T´omese δ ⊂ (x, y) : |δ| = S(x, y), con δ =< δ1 , . . . , δn >. Como δ es una subsecuencia de x, existe un conjunto {i1 , . . . in } de ´ındices en x, con cada 1 ≤ ik ≤ |x| y 1 ≤ k ≤ n, tales que i1 < · · · < in y que δ =< xi1 , . . . , xin >.

Pero debido a que δ tambi´en es una subsecuencia de y, se puede dar un conjunto {j1 , . . . , jn } de ´ındices en y, con cada 1 ≤ jk ≤ |y| y 1 ≤ k ≤ n, tales que j1 < · · · < jn y que δ =< yj1 , . . . , yjn >. As´ı que n = |δ| = S(x, y) = S(y, x).

(5)

De tal modo que D(x, y)

= = = =

|x| + |y| − 2S(x, y), |x| + |y| − 2S(y, x), |y| + |x| − 2S(y, x), D(y, x).

4.4 D(x, y) + D(y, z) ≥ D(x, z)

|x| + |y| − 2S(x, y) + |y| + |z| − 2S(y, z) ≥ |x| + |z| − 2S(x, z) 2|y| − 2S(y, x) − 2S(y, z) ≥ −2S(x, z) |y| − S(y, x) − S(y, z) + S(x, z) ≥ 0

(6)

Se probar´ a (6). Sean: α =< α1 , α2 , . . . , α|α| >: α ⊂ (x, y) y |α| = S(x, y). β =< β1 , β2 , . . . , β|β| >: β ⊂ (y, z) y |β| = S(y, z).

Como α ⊂ (x, y), entonces α se puede expresar con s´ımbolos de x y de y: α =< xp1 , . . . , xp|α| >=< yq1 , . . . , yq|α| >,

(7)

´sicas UJAT, 7(2)Diciembre 2008 p 35–43 Revista de Ciencias Ba

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Abdiel E. C´ aceres Gonz´ alez

para alg´ un conjunto de ´ındices {p1 , . . . , p|α| } en x y alg´ un conjunto de ´ındices {q1 , . . . , q|α| } en y.

Del mismo modo β =< yr1 , . . . , yr|β| >=< zs1 , . . . , zs|β| >

(8)

para alg´ un conjunto de ´ındices {r1 , . . . , r|β| } en y y tambi´en alg´ un conjunto de ´ındices {s1 , . . . , s|β| } en z.

Se observa que |α| ≤ |y| y del mismo modo |β| ≤ |y|. Como ambas subsecuencias α y β tienen s´ımbolos de la secuencia y, entonces existe una subsecuencia δ ⊂ y donde δ =< δ1 , . . . , δ|δ| >: |δ| = S(α, β). Por (7) y (8), es posible escribir δ con s´ımbolos de x y de z. δ =< xm1 , . . . , xm|δ| >=< zn1 , . . . , zn|δ| >, (9) con |δ| ≤ min{|α|, |β|}. De modo que δ ⊂ (x, y), porque α ⊂ x y β ⊂ y; tambi´en es δ ⊂ (y, z), aunque no necesariamente la de mayor longitud, de modo que |δ| ≤ S(x, z).

Entonces |α| representa la cantidad de s´ımbolos que comparten las secuencias x y y, |β| es la cantidad de s´ımbolos que comparten las secuencias y y z, y |δ| es la cantidad de s´ımbolos que pertenecen a y solamente.

As´ı, |α| + |β| − |δ| es la cantidad de s´ımbolos de y que son compartidos con las secuencias x y z, significa que |y| ≥ |α| + |β| − |δ|, en consecuencia |y| − |α| − |β| + |δ| ≥ 0.

Como |δ| ≤ S(x, z), |α| = S(x, y) y |β| = S(y, z), se verifica (6): |y| − S(x, y) − S(y, z) + S(x, z) ≥ 0.

5. Algoritmo k-means para agrupar secuencias gen´ omicas

La distancia de Levenshtein es u ´til en muchas aplicaciones, entre ellas, en el campo de la bioinform´ atica. En este apartado se describe un algoritmo que utiliza la distancia Levenshtein para agrupar individuos que son caracterizados por su secuencia de ADN, mediante el cl´ asico m´etodo de agrupamiento conocido como k-means.

El agrupamiento mediante el m´etodo k-means, fu´e desarrollado J. MacQueen (1967) [6] y posteriormente por J. A. Hartigan y M. A. Wong [7] al rededor de 1975.

De manera simple, el algoritmo k-means sirve para clasificar objetos basados en sus atributos en k grupos. k es un n´ umero entero positivo. La agrupaci´on se realiza al minimizar la suma de los cuadrados de las distancias entre los datos y su centroide correspondiente, con el prop´ osito de clasificar los datos.

En la figura 1 se muestra una secuencia de actividades que se desarrollan para llevar a cabo el algoritmo k-means.

´sicas UJAT, 7(2)Diciembre 2008 p 35–43 Revista de Ciencias Ba

El espacio e´ etrico de la distancia de Levinshtein

41

Figura 1. Diagrama de flujo que muestra el desarrollo del algoritmo k-means.

1. En primer lugar se determina k, el n´ umero de centroides, que a la postre conformar´ an k grupos con los n indiv´ıduos.

2. Se seleccionan los k individuos que servir´ an como centroides. En este ejemplo se han coleccionado individuos que tienen un c´ odigo gen´etico de 60 cromosomas5 . La longitud de 60 para los cromosomas, se eligi´ o arbitrariamente.

3. Cada individuo debe reconocer cu´ al es el centroide m´ as cercano, para realizar esto se determina D(x, c), para todos los individuos x y los centroides c, y eligiendo como centroide m´ as cercano, aquel que hace cnearest (x) = min{D(x, ci ) : 1 ≤ i ≤ k} 4. Cada centroide forma de este modo una partici´ on del conjunto de individuos. Todos los elementos de cada parte tienen en com´ un que son m´ as cercanos al centroide elegido que a cualquier otro.

5. Si los centroides elegidos fueron elegidos de tal modo que se requiere agrupar a otros individuos en torno a ellos, este algoritmo puede terminar. Sin embargo, en la versi´ on original del algoritmo, se desea agrupar individuos sin un conocimiento a priori de quienes deben ser los centroides. De modo que se toma la decisi´ on de seleccionar un nuevo centroide. Para cada grupo, se elige como nuevo centroide aquel individuo que haya mostrado una diferencia menor entre la distancia a su centroide y el promedio muestral de las distancias. Esto hace que el nuevo centroide sea el que est´e m´ as cercano al centro de masa del c´ umulo. Si no hubo cambios en la elecci´ on del nuevo centroide, el algoritmo termina; de otro modo, se vuelve al paso 2 para una nueva iteraci´ on.

5 Te´ oricamente es posible con cualquier n´ umero de cromosomas, sin embargo a medida que el tama˜ no del genoma crezca, los recursos computacionales aumentan r´ apidamente.

´sicas UJAT, 7(2)Diciembre 2008 p 35–43 Revista de Ciencias Ba

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Abdiel E. C´ aceres Gonz´ alez

Figura 2. Agrupaci´ on de individuos considerando el parecido de su c´ odigo gen´etico. Se han

establecido 10 centroides con 210 individuos.

Debido a que se utiliza la distancia Levenshtein, es irrelevante la posici´on de los individuos en el plano euclideano (figura 2: izquierda), de modo que se ha elegido distribuir los centroides en la periferia de un c´ırculo, de modo que sean f´acilmente distinguibles a la vista.

Los individuos son agrupados considerando la distancia Levenshtein (figura 2: derecha), y los grupos son visualmente representados utilizando el plano euclideano.

6. Discusi´ on final

La m´etrica de Levenshtein es una herramienta que permite adquirir conocimiento acerca de las secuencias de s´ımbolos comparadas. Comparar secuencias extremadamente largas como las secuencias gen´omicas, requiere tratamientos especiales a los algoritmos utilizados. Esto ocurre por el crecimiento cuadr´atico del tiempo de ejecuci´ on asint´ otico del algoritmo para obtener la distancia de Levenshtein.

El problema que representan las secuencias sumamente grandes, implica un problema de espacio (al guardarlas en la memoria de una computadora, o al escribirlas en un papel), de modo que se puede dise˜ nar modificaciones a esta m´etrica, con el fin de para determinar la distancias parciales de una subsecuencia con otra, ambas de longitud manejable.

Alternativamente, es una oportunidad para utilizar clusters de computadoras para que, con los recursos compartidos, sea posible manipular secuencias enormes.

7. Agradecimientos

Est art´ıculo ha sido apoyado financieramente por el PROgrama de Mejoramiento del Profesorado (PROMEP), bajo el proyecto n´ umero PROMEP-20080798.

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El espacio e´ etrico de la distancia de Levinshtein

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Referencias [1] V. I., Levenshtein. Binary codes capable of correcting deletions, insertions, and reversals.

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[2] T. H. Cormen, C. E. Leiserson, y R. L. Rivest. Introduction to Algorithms. MIT Press, Boston, MA., 1990.

[3] Neil C. Jones y Pavel A. Pevzner. An Introduction to Bioinformathics Algorithms. The MIT Press, 2004.

[4] Yona, S. Edit Distance and string matching algorithms.

En conferencia dada en enero de 2004.

Datos disponibles en http://mila.cs.technion.ac.il/∼yona/talks/edit distance/slides/index.html.

Visitado en Octubre de 2008.

[5] Gilleland, M. Levenshtein Distance, in Three Flavors. Recurso de internet. URL en http://www.merriampark.com/ld.htm. Visitado en Octubre de 2008.

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La Revista de Ciencias Básicas UJAT volúmen 7 número 2, diciembre de 2008, se imprimió en Impresiones en Gráficos Cánovas S.A. de C. V. Juan Álvarez 505 Centro. C.P. 86000.

Villahermosa, Tabasco, MÉXICO Terminó la edición de esta obra el 26 de noviembre de 2008 con un tiraje de 300 ejemplares

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