Analyse numérique 2

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Analyse num´erique 2

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ANALYSE NUMERIQUE 2 Examens et correction

Nous tenons a` remercier, toutes celles et ceux qui voudrons nous faire parvenir leurs critiques, remarques ainsi que leurs suggestions afin d’am´eliorer le contenu de ce document.

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al abdali Abdelhamid

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CONTROLE D’ANALYSE NUMERIQUE Pr .GHABBAR 14 Mai 2015 1. La famille des polynˆomes   L0 (x) L1 (x)  Ln (x)

de Laguerre est d´efinie par la formule de r´ecurrence : = 1 = −x + 1 = (2n − x − 1) Ln−1 (x) − (n − 1)2 Ln−2 (x)

est une famille orthogonale sur l’intervalle [0. + ∞ [ relativement `a la fonction poids w(x) = e−x Z +∞ f (x)e−x dx (a) Montrer que que la famille {L0 , L1 , ..., Ln } peut ˆetre utilis´es pour approcher 0

,lorsque cette int´egrale existe.(La r´eponse doit ˆetre justifi´e) (b) Quels est le degr´e de pr´ecision de la quadrature donn´ee `a la question pr´ec´edente.(La r´eponse doit ˆetre justifi´e) (c) D´eterminer les racines et les coefficients correspondante lorsque n = 2. (d) Dans le cas o` u n = 3 respectivement par :   x1 x2  x3

les racines et leurs coefficients correspondants sont donn´es = 0.4157746 = 2.2942804 = 6.2899451

  a1 = 0.7110930 a2 = 0.2785177 ,  a3 = 0.0103893

Utiliser les questions pr´ec´edentes pour calculer la valeur exacte (pr´ecision de la machine) des int´egrales : Z +∞ t2 e−t dt.

1.

Z−2+∞ 2. t4 e−t dt.

1

2. Appliquer l’extrapolation de Richardson pour d´eterminer N3 (h), approximation de f 0 (x0 ),pour la fonction f (x) = 2x sin x .O` u x0 = 1.05 et h = 0.4 3. (M´ethode de Heun) Une des m´ethodes pour am´eliorer la pente dans la m´ethode d’Euler est de d´eterminer deux d´eriv´ees l’une au point initial de l’intervalle [ti , ti+1 ] , et celle `a l’autre extr´emit´e et consid´erer la moyenne des deux.

Rappelons que la m´ethode d’Euler consid`ere la pente wi0 = f (ti , wi ) ce qui donne une premi`ere extrapolation lin´eaire 0 wi+1 = wi + hf (ti , wi )

L’approximation corrig´ee de y(ti+1 ) est alors donn´ee par : wi+1 = wi + h al abdali Abdelhamid

0 f (ti , wi ) + f (ti+1 , wi+1 ) 2

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´ (a) Ecrire l’algorithme de Heun pour r´esoudre le probl`eme de Cauchy : 0 y (t) = 4e0.8t − 0.5y t ∈ [0, 4] y(0) = 2 (b) Calculer w1 , par les m´ethodes de Heun et d’Euler lorsque le pas h = 1 (c) Comparer les deux m´ethodes sachant que y(t1 ) = y(1) = 6.1946314.

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CONTROLE D’ANALYSE NUMERIQUE Correction ex n −x (n) , on trouve x e 1. La famille des polynˆomes de Laguerre est d´efinie par : Ln (x) = n! les premi`eres polynˆomes de Laguerre :  L0 (x) = 1      L1 (x) = −x + 1 L2 (x) = 12 (x2 − 4x + 2)   L3 (x) = 61 (−x3 + 9x2 − 18x + 6)    1 L4 (x) = 24 (x4 − 16x3 + 72x2 − 96x + 24) (a) Il faut v´erifier qu’on peut interpoler la fonction `a int´egrer en 2n points distincts xi pour i ∈ {0, 1, .., 2n − 1} r´eels et uniques et ils sont les racines des polynˆomes orthogonaux de Laguerre : i. Par hypoth`ese, la famille des polynˆomes de Laguerre est famille orthogonale ii. Th´eor`eme 13 =⇒ La famille des polynˆomes de Laguerre est orthogonale sur [0, +∞ [ relativement `a la fonction positive w(x) = e−x .De plus on a deg(Lk ) = k Preuve pare r´eccurence : pour k = 0 on a deg(L0 ) = 0 ,donc le r´esultat est vrai .Supposons que deg(Lk ) = k et montrons que deg(Lk+1 ) = k + 1 : ∂ â—Ś (Lk+1 ) = ∂ â—Ś ((2k + 1 − x)Lk − k 2 Lk−1 )

≤ max ∂ â—Ś ((2k + 1 − x)Lk ), ∂ â—Ś (−k 2 Lk−1 ) ≤ max (k + 1, k − 1) ≤ k + 1 =⇒ Ln (x) admet exactement n z´eros distincts dans [0, +∞ [ .Utilisons le polynˆome d’interpolation de Lagrange pour approximer la fonction f : f (x) =

n X

Z f (xk )lk (x) + (x) =⇒

+∞ −x

f (x)e dx = 0

k=0

Z Avec ak =

+∞ −x

ak f (xk ) + E(x)

k=0

Z

lk (x)e dx et E(x) = 0

n X

+∞

(x)e−x dx

0

Et puisque le choix des xk , choisissons donc les racine du polynˆome de Laguerre de degr´e n. (b) Th´eor`eme 14 page 12 : le degr´e de pr´ecision de cette m´ethode est 2n − 1. (c) D´eterminons les racines et les coefficient correspondants lorsque n = 2 :   L0 (x) = 1 L1 (x) = −x + 1  L2 (x) = 21 (x2 − 4x + 2) √ Donc les xi sont les racines du polynˆome L2 (x) = 21 (x2 − 4x + 2) . Soit x1 = 2 − 2 √ et x2 = 2+ 2 .Pour d´eterminer les ai , ´ecrivons que la formule d’int´egration est exacte

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pour tout polynˆome de degr´e 1 (n = 1).En particulier choisissons les polynˆomes de la base canonique de R1 [x] :  Z +∞  ( √ 

e−x dx = a1 + a2  2− 2 a + a = 1 a = 1 2 1 4√ Z0 +∞ =⇒ =⇒ 2+ 2 a1 x 1 + a2 x 2 = 1  a −x 2 =  4 xe dx = a1 x1 + a2 x2  0

+∞

Z (d) Faisons le changement variable x = t+2 =⇒ I1 =

=⇒ I1 = e

0

+∞

Z

2 −x

(x − 2) e dx = e | {z }

0

2

=f (x)

Z

3 X

ak f (xk )

k=1

+∞ 4 −t

1

Z

(x + 1) e dx = e | {z }

=⇒ I2 = e

0

=f (x)

+∞

(x + 1)2 e−x−1 dx

0

+∞ 2 −x

Z

t e dt =

Faisons le changement variable x = t−1 =⇒ I2 = −1

(x − 2)2 e−x+2 dx

t e dt = −2

2

+∞

Z

2 −t

−1

3 X

ak f (xk )

k=1

2. L’extrapolation de Richardson est donn´e par l’algorithme r´ecursive suivant :f (x) = 2x sin x : ( (x0 ) N1 (h) = f (x0 +h)−f h Nk+1 (h) =

4k Nk ( h )−Nk (h) 2 4k −1

k≥1

Attention : x en radian .

3. (a) L’algorithme de Heun : ´ i. Etant donn´e un pas de temps h, une condition initiale (t0 , w0 ) = (t0 , w(t0 )) et un nombre maximal d’it´erationN . ii. pour i allant de 0 a` N faire : wi0 ←− 4e0.8ti − 0.5wi ; wi0 ←− wi + hwi0 ; 0 wi ←− wi + 0.5h(wi0 + 4e0.8ti+1 − 0.5wi+1 ); ti ←− ti + h; ´ Ecrire ti et wi ; iii. Arrˆet . (b) h = 1 et t0 = 0 , w1 = w(t1 = t0 + h) = w(1) Une seule it´eration : w00 ←− 4e0.8t0 − 0.5w0 = 3 ; w10 ←− w0 + hw00 = 2 + 3 × 1 = 5 ; w1 ←− w0 + 0.5h(w00 + 4e0.8t1 − 0.5w10 ) = 7.7010857 ; =⇒ L’algorithme de Heun est plus pr´ecis que La m´ethode d’Euler .

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CONTROLE D’ANALYSE NUMERIQUE Pr .GHABBAR 11 Juin 2009 1. (Algorithme de Neville) Soit f une fonction dont les valeurs sont connues en n + 1 points deux a` deux distincts x0 , x1 , ..., xn . m1 , m2 , ....mk k entiers distincts 0 ≤ mk ≤ n .On note Pm1 ,m2 ,....,mk le polynˆome d’interpolation de Lagrange au points xm1 , xm2 , ..., xmk (a) Montrer que le polynˆome P d´efini par : P (x) =

(x − xj ) P0,1,....,j−1,j+1,...,k (x) − (x − xi ) P0,1,....,i−1,i+1,...,k (x) xi − xj

est le polynˆome d’interpolation de Lagrange aux points x0 , x1 , ..., xk . (b) On pose Qi,j = Pi−j,i−j+1,....,i−1,i pour i ≥ j .Utiliser la formule pr´ec´edente pour calculer Qi,j en fonction de Qi,j−1 et Qi−1,j−1 . (c) En d´eduire l’algorithme permettant de calculer la valeur du polynˆome d’interpolation de Lagrange P (x) en un un point donn´e x.

2

(d) Donner une approximation de f (1.25) pour la fonction f (x) = ex −1 en utilisant l’algorithme de Neville et les points x0 = 1, x1 = 1.1, x2 = 1.2, x3 = 1.3 (e) Donner une estimation de l’erreur utilisant la formule du cours .Comparer l’erreur effectivement calcul´ee `a l’erreur th´eorique .

2. Utiliser la m´ethode de Gauss-Legendre pour n = 3 pour estimer : Z 3 2dx I= 2 −3 1 + 2x 3. Calculer en utilisant la formule de Gauss ad´equate permettant de calculer la valeur exacte de l’int´egrale Z 1 5 x + 2x4 √ J= dx 1 − x2 −1 Justifier votre choix

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CONTROLE D’ANALYSE NUMERIQUE Correction 1. L’algorithme de Neville : (a) Pour montrer que P (x) est le polynˆome d’interpolation de Lagrange, il suffit de montrer que : P (xk ) = f (xk ) ∀k ∈ {0, 1, ...., n} Soit k ∈ / {i, j} .On a : P (xk ) = =

(xk − xj ) P0,1,....,j−1,j+1,...,k (xk ) − (xk − xi ) P0,1,....,i−1,i+1,...,k (xk ) xi − xj

(xk − xj ) f (xk ) − (xk − xi ) f (xk ) (xk − xj ) − (xk − xi ) = f (xk ) xi − xj x i − xj =⇒ P (xk ) = f (xk )

∀k ∈ / {i, j}

Si k = i . On aura : P (xi ) =

(xi − xj ) P0,1,....,j−1,j+1,...,k (xi ) − (xi − xi ) P0,1,....,i−1,i+1,...,k (xi ) xi − xj =

(xi − xj ) f (xi ) = f (xi ) =⇒ P (xi ) = f (xi ) xi − xj

Si k = j . On aura : P (xj ) =

(xj − xj ) P0,1,....,j−1,j+1,...,k (xj ) − (xj − xi ) P0,1,....,i−1,i+1,...,k (xj ) xi − x j =

− (xj − xi ) f (xj ) = f (xj ) =⇒ P (xj ) = f (xj ) xi − xj

Conclusion :P (xk ) = f (xk )

∀k ∈ {0, 1, ...., n}

(b) On pose Qi,j = Pi−j,i−j+1,....,i−1,i pour i ≥ j .On a donc : Qi,j =

(x − xi−j ) Qi,j−1 − (x − xi ) Qi−1,j−1 xi − xi−j

(c) Un algorithme permettant de calculer le polynˆome d’interpolation de Lagrange : Entr´ ees: Les (xi , f (xi )) et un point z Pour i allant de 0 a` n − 1 faire : Qi,0 ←− f (xi ); Pour i allant de 1 a` n − 1 faire : Pour j allant de 1 a` i faire : (z − xi−j ) Qi,j−1 − (z − xi ) Qi−1,j−1 Qi,j ←− ; xi − xi−j ´ Ecrire(Q i,j ); Fin pour al abdali Abdelhamid

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Fin pour (d) Calcul (e) L’erreur est la mˆeme que celle en cas de Lagrange.L’algorithme de Neville est une fa¸con de programmer le polynˆome d’interpolation de Lagrange .Car la formule n’est pas directement programmable.L’erreur s’´ecrit: n

3

f (n+1) (ξ) Y f (4) (ξ) Y E(x) = (x − xi ) = (1.25 − xi ) (n + 1)! i=0 4! i=0 2. Utilisons la m´ethode de Gauss-Legendre pour n = 3 .Faisons le changement de variable t = x3 : Z 3 Z 1 2dx 6dt I= = 2 2 −3 1 + 2x −1 1 + 18t q q Pour n = 3 les racines sont − 35 , 0, − 35 .Donc Z

1

I= −1

6dt = 1 + 18t2

Z

1

f (t)dt = −1

3 X

ai f (xi ) +

i=1

´ Pour trouver les ai .Ecrivons que cette formule est exacte pour {1, t, t2 } :  Z 1   dt = a1 + a2 + a3      −1  = 2  a1 + a2 + a3  Z 1  a1 = a x + a x + a x = 0 a2 = =⇒ tdt = a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 =⇒ 1 1 2 2 3 3    2 2 3 2 −1  Z 1 a1 x 1 + a2 x 2 + a3 x 2 = 3 a3 =    2  3 2 2  t dt = a1 x1 + a2 x2 + a3 x2

5 9 8 9 5 9

−1

3. On a :

Z 1 Z 1 x5 + 2x4 1 √ J= dx = f (x) √ dx = f (x)w(x)dx 1 − x2 1 − x2 −1 −1 −1 Donc on utilise la m´ethode d’int´egration de Gauss-Tchebychev :

Z 1 n πX 2k − 1 f (x)w(x)dx = f cos π n k=1 2n −1 Z

1

Choisissons n = 3 , f (x) = x5 + 2x4 

 z1 = cos 2k − 1 z2 = cos zk = cos π =⇒  2n z3 = cos

√3 π = 2 6 3π =0 √ 6 5π = − 23 6

 √ 3    f (z1 ) = f 2 f (z2 ) = f (0) et √    f (z3 ) = f − 3 2

3 πX 3π =⇒ f (x)w(x)dx = f (zk ) = 3 k=1 16 −1

Z

al abdali Abdelhamid

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CONTROLE D’ANALYSE NUMERIQUE Pr .GHABBAR 14 Juin 2012 1. On consid`ere le probl`eme de Cauchy: 0 y (t) = 2t y(t) + t2 et y(1) = 0

1≤t≤2

dont la solution exacte est :y(t) = t2 (et − e) (a) Montrer que le probl`eme est math´ematiquement bien pos´e. ´ (b) Ecrire l’algorithme d’Euler correspondant et calculer les approximations wi de y(ti ) pour h = 0.1 et comparer avec les valeurs de solution exacte (pr´esenter sous forme de tableau , v´erifier vos r´esultats avec les questions suivantes en d´ependant). (c) Utiliser les r´esultats pr´ec´edents et l’interpolation lin´eaire de Lagrange pour donner une approximation de y(1.55) (On utilisera dans cette question et la suivante les points d’interpolation qui encadrent la valeur de la question c`ad x0 = 1.5 et x1 = 1.6. (d) Utiliser les r´eponses pr´ec´edentes et l’interpolation polynomiale de Hermite pour calculer y(1.55).

2. A l’instar des polynˆomes de Tchebychev ou de Legendre,On construit un syst`eme de polynˆomes Z de Hermite Hn de degr´e n , orthogonaux pour le produit scalaire +∞

2

f (t)g(t)e−t dt .Ils sont d´efinis par la formule de r´ecurrence :

hf, gi = −∞

 = 1  H0 (x) H1 (x) = 2x  Hn+1 (x) = 2xHn (x) − 2nHn−1 (x) Z +∞ 2 f (t)e−t dt On se propose d’utiliser cette famille pour calculer −∞

(a) D´eterminer les racines et les coefficientsZ correspondants √ a` l’int´egration de Gauss+∞ π 2 Hermite lorsque n = 2 .On rappelle que e−t dt = 2 0 (b) Z Utiliser les r´esultats pr´ec´edents pour calculer une approximation de +∞ 2 t3 − 60t2 + 1 e−t dt. Expliquer pourquoi le r´esultat est exact dans ce cas. −∞

3. Soit a` calculer : Z

1.5

I= 0

dx x+1

(a) Utiliser Romberg pour donner l’estimation R33 de I . (b) Utiliser l’int´egration de Gauss avec n = 3 pour calculer I. (c) Comparer les deux r´esultats avec la solution exacte.

al abdali Abdelhamid

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CONTROLE D’ANALYSE NUMERIQUE Correction 1. (a) Pour montrer que le probl`eme suivant dont la solution exacte est :y(t) = t2 (et − e) est math´ematiquement bien pos´e ,il suffit de montrer que c’est un probl`eme de Cauchy: 0 1≤t≤2 y (t) = 2t y(t) + t2 et y(1) = 0 C’est-`a-dire il faut v´erifier les deux conditions suivantes: − La fonction f est k−Lipschitzienne en y. − La fonction f est continue.Avec f (t, y) =

2y t

+ t2 et .

On a f est bien d´efini sur [1, 2] est continue sur cet intervalle.Il reste `a montrer que f est k−Lipschitzienne en y .On a :

2y

2 (y − z)

2

2z 2 t 2 t

=

·|2 (y − z)| ≤ 2 |(y − z)| |f (t, y) − f (t, z)| = + t e − −t e =

t

t t t Car 1 ≤ t ≤ 2 =⇒

1 2

≤

1 t

≤ 1.Donc f est 2−Lipschitzienne en y

(b) Application directe du cours. (c) On utilise l’interpolation lin´eaire de Lagrange : y(x) = y(1.50)+

y(1.60) − y(1.50) (x − 1.50) =⇒ y(1.55) = y(1.50)+0.5 [y(1.60) − y(1.50)] 1.60 − 1.50

(d) Interpolation polynomiale de Hermite Z +∞ 2 2. (a) On pose hf, gi = f (t)g(t)e−t dt . −∞

Lorsque n = 2; soient x1 et x2 les racines de H2 (x) : (

x1 = − √12 x2 = + √12

2

H2 (x) = 2xH1 (x) − 2H0 (x) = 2 2x − 1 =⇒

´ Pour trouver les ai .Ecrivons que la formule

+∞

Z

−t2

f (t)e

dt =

−∞

n X

ai f (xi ) + est

i=0

exacte pour {1, t} :  Z +∞ 2  ( 

√ e−t dt = a1 + a2  π a + a = a1 = 1 2 Z−∞ =⇒ =⇒ +∞ a1 x 1 + a2 x 2 = 0 2  a2 =   te−t dt = a1 x1 + a2 x2

√

π √2 π 2

−∞

Z

+∞

(b) Soit a` calculer :

2 x3 − 60x2 + 1 e−x dx :

−∞

Z

+∞ 3

2

x − 60x + 1 e −∞

al abdali Abdelhamid

−x2

Z

+∞

dx =

−x2

g (x) e −∞

10

dx =

2 X

√ ai g(xi ) = −29 π

i=1

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Le r´esultat dans ce cas est exacte car le degr´e de pr´ecision de cette m´ethode est 2n − 1 = 2 × 2 − 1 = 3.Donc elle est exacte pour tout polynˆome de degr´e inf´erieure ou ´egal a` 3.

3. Soit a` calculer : Z

1.5

I= 0

dx x+1

(a) Utilisons Romberg pour donner l’estimation R33 de I .Pour cela utilisons l’algorithme suivant : Entr´ ees : a, b, f (a), f (b), h = b−a et n 2n b−a (f (a) + f (b)); R(0, 0) ←− 2 n−1 2X 1 R(n, 0) ←− R(n − 1, 0) + h f (a + (2k − 1) h); 2 k=1 Pour i allant de 1 a` n faire : Pour j allant de 1 a` i faire : 4j R(i, j − 1) − R(i − 1, j − 1) R(i, j) ←− ; 4j − 1 Fin pour; Fin pour; En pratique , les R(i, j) se calculent manuellement en calculant ligne par ligne : R(0, 0)

R(1, 0)

R(1, 1)

R(2, 0)

R(2, 1)

R(2, 2)

R(3, 0)

R(3, 1)

R(3, 2)

R(3, 3) (b) L’int´egration de Gauss avec n = 3 :La m´ethode de Gauss la plus ad´equate est celle de Gauss-Legendre car la fonction poids ici w(x) = 1 ,puis on effectue le changement de variable t = 4x−3 ⇐⇒ x = 34 (1 + t).

3 1.5

Z I= 0

dx = x+1

Z

1

−1

3dt 3t + 7

(c) Romberg est plus pr´ecise que celle de Gauss.

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CONTROLE D’ANALYSE NUMERIQUE Pr .GHABBAR 5 Juin 2013 1. On consid`ere le probl`eme aux limites:  2 ∂ u(x, y) ∂ 2 u(x, y)   + = x  ∂ 2x ∂ 2y u(x, 0) = x2    u(0, y) = y 2

0≺x≺1 ,

0≺y≺2

u(x, 2) = (x − 2)2 0 ≤ x ≤ 1 u(1, y) = (y − 1)2 0 ≤ y ≤ 2

On effectuera un quadrillage r´egulier du domaine [0, 1] × [0, 2] en d´ecoupant les cot´es en sous intervalles r´eguliers de longueur h = ∆x = ∆y selon les deux directions. ´ (a) Ecrire les ´equations discr`etes en utilisant les formules des diff´erences divis´ees centr´ees 1 , o` u n est un entier strictement positif . pour h = n+1 (b) Donner la formulation matricielle des ´equations discr`etes dans le cas o` u h = 0.5 .

2. On consid`ere le probl`eme de Cauchy : 0 y (t) = sin t + e−t y(0) = 0

0≤t≤1

(a) Donner la solution exacte de ce probl`eme, ´ (b) Ecrire l’algorithme de Runge Kutta 4 ,classique , correspondant et calculer les approximation wi de y(ti ) lorsque h = 0.5 .

Z 1

3. Soit a` ´evaluer sin t + e−t dt 0

(a) Utiliser l’int´egration de Gauss-Legendre d’ordre 2 pour donner une approximation I de l’int´egrale , (b) Comparer avec la solution exacte 4. Sachant que y(1) = 1.091818253 ´ (a) Ecrire le polynˆome H3 (t) d’interpolation de Hermite de la fonction y(t) aux points t0 = 0 et t1 = 1 en ´evitant tout calcul inutile. (b) Donner une majoration de l’erreur |y(0.5) − H3 (0.5)| en ´evitant tout calcul inutile.

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CONTROLE D’ANALYSE NUMERIQUE Correction 1. (a) On prendra ∆x et ∆y les pas de discr´etisation des intervalles [0, 1] et [0, 2] : − Les deux intervalles [0, 1] et [0, 2] ont le mˆ eme pas de discr´ etisation :

1 2 1 N = n+1 = ∆x = ∆y ⇐⇒ h = = =⇒ h= M = 2n + 2 n+1 N M − Discr´ etisation de l’intervalle [0, 1] : On a : ∆x = h =

b−a 1−0 = =⇒ xi = a + ih =⇒ xi = ih pour 0 ≤ i ≤ N N N

− Discr´ etisation de l’intervalle [0, 2] : On a : ∆y = h =

2−0 d−c = =⇒ yj = c + jh =⇒ yj = jh pour 0 ≤ j ≤ M M M

− Discr´ etisation de la condition aux limites u(x, 0) = x2 : Posons u(xi , yj ) = uij : u(xi , 0) = x2i =⇒ ui0 = (ih)2 pour j = 0 et 0 ≤ i ≤ N − Discr´ etisation de la condition aux limites u(0, y) = y 2 : u(0, yj ) = yj2 =⇒ u0j = (jh)2 pour i = 0 et 0 ≤ j ≤ M − Discr´ etisation de la condition aux limites u(x, 2) = (x − 2)2 : u(xi , 2) = (xi − 2)2 =⇒ uiM = (ih − 2)2 pour j = M et 0 ≤ i ≤ N − Discr´ etisation de la condition aux limites u(1, y) = (y − 1)2 : u(1, yj ) = (yj − 1)2 =⇒ uN j = (jh − 1)2 pour i = N et 0 ≤ j ≤ M − Discr´ etisation de l’´ equation de Laplace ∆u = x :

∆u =

ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j ui,j+1 − 2ui,j + ui,j−1 ∂ 2 u(x, y) ∂ 2 u(x, y) + = + = ∂ 2x ∂ 2y (∆x)2 (∆y)2

ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j ui,j+1 − 2ui,j + ui,j−1 ui+1,j + ui−1,j − 4ui,j + ui,j+1 + ui,j−1 + = 2 2 h h h2 =⇒ ui+1,j + ui−1,j − 4ui,j + ui,j+1 + ui,j−1 = ih3 , 1 ≤ i ≤ N − 1 et 1 ≤ j ≤ M − 1

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Analyse num´erique 2

(b) Dans le cas particulier o` u h = 0.5 . On trouve N = 2 et M = 4 : ui+1,j + ui−1,j − 4ui,j + ui,j+1 + ui,j−1 = ih3 , 1 ≤ i ≤ 1 et 1 ≤ j ≤ 3 =⇒ u2,j + u0,j − 4u1,j   j = 1 =⇒ j = 2 =⇒ =⇒  j = 3 =⇒

+ u1,j+1 + u1,j−1 = h3

pour 1 ≤ j ≤ 3

u2,1 + u0,1 − 4u1,1 + u1,2 + u1,0 = h3 u2,2 + u0,2 − 4u1,2 + u1,3 + u1,1 = h3 u2,3 + u0,3 − 4u1,3 + u1,4 + u1,2 = h3

Le tableau suivant regroupe les diff´erentes valeurs de ui,j , les valeurs inconnues de ui,j sont encadr´ees : i 0 0 0 0 0

j ui,j 0 u0,0 = 0 1 u0,1 = h2 2 u0,2 = 4h2 3 u0,3 = 9h2 4 u0,4 = 16h2

i 1 1 1 1 1

j ui,j 0 u1,0 = h2 1 u1,1 2 u1,2 3 u1,3 4 u1,4 = 0

i 2 2 2 2 2

j ui,j 0 u2,0 = 4h2 1 u2,1 = h2 2 u2,2 = 0 3 u2,3 = h2 4 u2,4 = 4h2

Soit :  2  = h3 − 3h2  h + h2 − 4u1,1 + u1,2 + h2 = h3  −4u1,1 + u1,2 2 3 0 + 4h − 4u1,2 + u1,3 + u1,1 = h =⇒ u1,1 − 4u1,2 + u1,3 = h3 − 4h2  2  h + 9h2 − 4u1,3 + 0 + u1,2 = h3 u1,2 − 4u1,3 + = h3 − 10h2 Soit sous la forme matricielle :          −4 1 0 u1,1 5 u1,1 61  1 −4 1   u1,2  = − 1  7  =⇒  u1,2  = 1  104  8 224 0 1 −4 u1,3 19 u1,3 159 6 5

ui,4 = (ih − 1)2

j

4

u0,j = (jh)2 3 u1,3

u2,j = (jh − 2)2

2

u1,2

1

u1,1 i

−3

−2

−1

0

1

2

3

ui,0 = (ih)2

4

5

6

7

8

9

10

−1

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