ﻧﻬﺎﻳﺎت اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎت -Aﺗﺬآﻴﺮ اﻧﺸﻄﺔ ﺗﺬآﻴﺮﻳﺔ ﻧﺸﺎط :1ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ
∈ ∀n
) ( unو ) ( vn
u0 = 1 ; u1 = 3 un + 2 = 2un +1 − un
اﻟﻤﻌﺮﻓﺘﻴﻦ ﺑـ
∈ ∀n
vn = un +1 − un
un = u p + ( n − p ) r
-1ﺑﻴﻦ أن ) ( vn -2اﺳﺘﻨﺘﺞ أن ) ( unﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺣﺴﺎﺑﻴﺔ و ﺣﺪد ﻋﻨﺎﺻﺮهﺎ اﻟﻤﻤﻴﺰة
ﻓﺎن un = uq + ( n − q ) r
i =n
-3أﺣﺴﺐ S n' = ∑ uiﺑﺪﻻﻟﺔ . n
ﺧﺎﺻﻴﺔ ﻟﺘﻜﻦ
i =1
ﻧﺸﺎط : 2ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ( un )n≥1اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ
-3أدرس رﺗﺎﺑﺔ
( u n )n ≥ nﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺣﺴﺎﺑﻴﺔ
) ( n − p ) ( u p + un−1 ﻟﻠﻤﺠﻤﻮع Snو
( un )n≥1ﻣﺼﻐﻮرة
و اﺳﺘﻨﺘﺞ أن
ﺑﺎﻟﻌﺪد 2 -4ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ( un )n≥1اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ vn = un − 3
)
i =n
)ﻋﺪد ﺣﺪود (S Sn = n اﻟﺤ ﺪ اﻷﺧ ﻴﺮ +اﻟﺤ ﺪ اﻷول ل (Sn 2
ﺣﻘﻴﻘﻲ qﺑﺤﻴﺚ un +1 = qun
i =1
-2ﺻﻴﻐﺔ اﻟﺤﺪ اﻟﻌﺎم -ﻣﺠﻤﻮع ﺣﺪود ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ هﻨﺪﺳﻴﺔ ﺧﺎﺻﻴﺔ ( u n )n ≥ nﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ هﻨﺪﺳﻴﺔ أﺳﺎﺳﻬﺎ qﻓﺎن اذا آﺎن
0
∀n ≥ n0
( u n )n ≥ nﻣﺼﻐﻮرة اذا وﻓﻘﻂ اذا وﺟﺪ
ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ mﺑﺤﻴﺚ un ≥ m
0
n − n0
∀n ≥ n0
( u n )n ≥ nﻣﻜﺒﻮرة و ﻣﺼﻐﻮرة
ﺧﺎﺻﻴﺔ ﻟﺘﻜﻦ
0
0 0 0 0
( u n )n ≥ nﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ⇔ un +1 ≥ un ( u n )n ≥ nﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ ⇔ un
( u n )n ≥ nﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ⇔ un+1 ≤ un ( u n )n ≥ nﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺛﺎﺑﺘﺔ ⇔ un +1 = un
0
∀n ≥ p ≥ n0
( u n )n ≥ nﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ هﻨﺪﺳﻴﺔ أﺳﺎﺳﻬﺎ qﻳﺨﺎﻟﻒ 1
1 − q n− p Sn = u p 1 − q n − pهﻮ ﻋﺪد ﺣﺪود اﻟﻤﺠﻤﻮع Snو
∀n ≥ n0
∀n ≥ n0
( u n )n ≥ nﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻗﻄﻌﺎ ⇔ un +1 ≺ un
-
اذا آﺎن
( un )n≥n0
ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ هﻨﺪﺳﻴﺔ
اذا آﺎن Sn = u p + u p +1 ................ + un −1ﻓﺎن
∀n ≥ n0 un +1
∀n ≥ n0
أﺳﺎﺳﻬﺎ qﻓﺎن un = u p q n − p
-2اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﺮﺗﻴﺒﺔ ﻟﺘﻜﻦ ( u n )n ≥ nﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ 0
un = un0 q
ﻣﻼﺣﻈﺔ
* ﺗﻜﻮن اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ( u n ) n ≥ nﻣﺤﺪودة اذا وﻓﻘﻂ اذا آﺎﻧﺖ 0 0
∀n ≥ n0
اﻟﻌﺪد qﻳﺴﻤﻰ أﺳﺎس اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ .
-1اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ :اﻟﻤﻜﺒﻮرة –اﻟﻤﺼﻐﻮرة –اﻟﻤﺤﺪودة * ﺗﻜﻮن اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ( u n )n ≥ nﻣﻜﺒﻮرة اذا وﻓﻘﻂ اذا وﺟﺪ * ﺗﻜﻮن اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ
un −1هﻮ اﻟﺤﺪ اﻷﺧﻴﺮﻟﻠﻤﺠﻤﻮع Sn
0
ب -أﺣﺴﺐ Sn = ∑ uiﺑﺪﻻﻟﺔ n
0
= Sn
-IIاﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ -1ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺗﻜﻮن ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ( u n )n ≥ nهﻨﺪﺳﻴﺔ اذا آﺎن ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪد
أ -ﺑﻴﻦ أن ( vn )n≥1ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ هﻨﺪﺳﻴﺔ و أﺣﺴﺐ vnﺑﺪﻻﻟﺔ . n
ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ Mﺑﺤﻴﺚ un ≤ M
ﻓﺎن
2 n − pهﻮ ﻋﺪد ﺣﺪود اﻟﻤﺠﻤﻮع Snو u pهﻮ اﻟﺤﺪ اﻷول
u3
( un )n≥1
0
∀n ≥ q ≥ p
اذا آﺎن Sn = u p + u p +1 ................ + un −1
u1 = 2 1 u n + 1 = 3 u n + 2 -2ﺑﻴﻦ أن ( un )n≥1ﻣﻜﺒﻮرة ﺑﺎﻟﻌﺪد 3
∀n ≥ p
ﻣﻼﺣﻈﺔ -اذا آﺎن ( un )n≥ pﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺣﺴﺎﺑﻴﺔ أﺳﺎﺳﻬﺎ r
ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺛﺎﺑﺘﺔ .
-1أﺣﺴﺐ ; u2
-2ﺻﻴﻐﺔ اﻟﺤﺪ اﻟﻌﺎم -ﻣﺠﻤﻮع ﺣﺪود ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺣﺴﺎﺑﻴﺔ ﺧﺎﺻﻴﺔ اذا آﺎن ( un )n≥ pﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺣﺴﺎﺑﻴﺔ أﺳﺎﺳﻬﺎ rﻓﺎن
∀n ≥ n0
ﻟﻠﻤﺠﻤﻮع Sn
∀n ≥ n0
ﻣﻼﺣﻈﺔ إذا آﺎن
u pهﻮ اﻟﺤﺪ اﻷول
) ( unﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ هﻨﺪﺳﻴﺔ أﺳﺎﺳﻬﺎ qﻳﺨﺎﻟﻒ
1ﻓﺎن Snﻣﺠﻤﻮع nﺣﺪا أوﻻ ﻣﻨﻬﺎ هﻮ
-Iاﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﺤﺴﺎﺑﻴﺔ -1ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺗﻜﻮن ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ( u n )n ≥ nﺣﺴﺎﺑﻴﺔ اذا آﺎن ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪد
1 − qn Sn = u0 + u1 ....... + un −1 = u0 1 − q ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ إذا آﺎﻧﺖ ( u n )n ≥ nﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ هﻨﺪﺳﻴﺔ أﺳﺎﺳﻬﺎ
0
ﺣﻘﻴﻘﻲ rﺑﺤﻴﺚ ∀n ≥ n0 un +1 = un + r اﻟﻌﺪد rﻳﺴﻤﻰ أﺳﺎس اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ .
0
1ﻓﺎن ) Sn = u p + u p +1 .......... + un −1 = u p ( n − p
1