اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻜﺎﻟﻮرﻳﺎ ﻋﻠﻮم ﺗﺠﺮﻳﺒﻴﺔ
ﺣﺴﺎب اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت Calcul des Probabilités
.Iﺗﻘﺪﻳﻢ وﻣﺼﻄﻠﺤﺎت : .1اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻴﺔ : ﺗﻌﺮﻳﻒ :
اﻷﺳﺘﺎذ :
اﻟﺤﻴﺎن
Expérience aléatoire :
ﻧﺴﻤﻲ آﻞ ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻻ ﻳﻤﻜﻦ اﻟﺘﻨﺒﺆ ﺑﻨﺘﺎﺋﺠﻬﺎ ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ .
9ﻣﺜﺎل : 1ﻧﺮﻣﻲ ﻗﻄﻌﻴﺔ ﻧﻘﺪﻳﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻐﺸﻮﺷﺔ ﻓﻲ اﻟﻬﻮاء . ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻧﺘﻴﺠﺘﺎن ﻣﻤﻜﻨﺘﺎن :اﻟﻮﺟﻪ ) ( face : Fو اﻟﻈﻬﺮ ) . ( pile : P ﻧﻘﻮل إن Pإﻣﻜﺎﻧﻴﺔ .ﻟﺪﻳﻨﺎ Fإﻣﻜﺎﻧﻴﺔ . ) (éventualité اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ } Ω = {F , Pﺗﺴﻤﻰ آﻮن اﻹﻣﻜﺎﻧﻴﺎت. ) (Univers des éventualités آﻞ ﺟﺰء ﻣﻦ Ωﻣﻜﻮن ﻣﻦ ﻋﻨﺼﺮ واﺣﺪ ﻳﺴﻤﻰ ﺣﺪﺛﺎ اﺑﺘﺪاﺋﻴﺎ ) (évènement élémentaire } A = {Pﺣﺪث اﺑﺘﺪاﺋﻲ . ∅ هﻮ اﻟﺤﺪث اﻟﻤﺴﺘﺤﻴﻞ . ) (évènement impossible Ωهﻮ اﻟﺤﺪث اﻷآﻴﺪ . ) (évènement certain 9ﻣﺜﺎل : 2ﻧﺮﻣﻲ ﻗﻄﻌﺘﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﻐﺸﻮﺷﺘﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻬﻮاء . آﻮن اﻹﻣﻜﺎﻧﻴﺎت هﻮ . Ω = {PP , PF , FP , FF } :ﻟﺪﻳﻨﺎ . Card ( Ω ) = 4 : اﻷﺣﺪاث اﻻﺑﺘﺪاﺋﻴﺔ هﻲ :
} {PP
و } {PFو } {FPو } . {FF
9ﻣﺜﺎل : 3ﻧﺮﻣﻲ ﻧﺮدا ﻣﻜﻌﺒﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﻐﺸﻮش ﻓﻲ اﻟﻬﻮاء وﺟﻮهﻪ ﻣﺮﻗﻤﺔ ﻣﻦ 1إﻟﻰ6 آﻮن اﻻﻣﻜﺎﻧﻴﺎت هﻮ . Ω = {1, 2,3, 4,5, 6} : اﻷﺣﺪاث اﻻﺑﺘﺪاﺋﻴﺔ هﻲ {1} :و } {2و } {3و } {4و } {5و } . {6وﻟﺪﻳﻨﺎ . Card ( Ω ) = 6 : 9ﻣﺜﺎل : 4ﻧﺮﻣﻲ ﻧﺮدﻳﻦ ﻣﻜﻌﺒﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﻐﺸﻮﺷﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻬﻮاء وﺟﻮﻩ آﻞ واﺣﺪ ﻣﻨﻬﻤﺎ ﻣﺮﻗﻤﺔ ﻧﺮد ﻣﻜﻌﺐ = Dés Cubique ﻣﻦ 1إﻟﻰ . 6 ﻧﻀﻊ . Ω1 = {1, 2,3, 4,5, 6} :إذن آﻮن اﻻﻣﻜﺎﻧﻴﺎت هﻮ : }y ∈ Ω1
و
. Ω = Ω12 = {( x , y ) / x ∈ Ω1وﻟﺪﻳﻨﺎ . Card ( Ω ) = 36 :
ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺮﻗﻤﻴﻦ اﻟﻤﺤﺼﻞ ﻋﻠﻴﻬﻤﺎ هﻮ 7 ﺣﺪد اﻟﺤﺪث اﻟﺘﺎﻟﻲ A : ﻟﺪﻳﻨﺎ . A = {(1, 6 ) ; ( 2,5 ) ; ( 3, 4 ) ; ( 4,3) ; ( 5, 2 ) ; ( 6,1)} :وﻟﺪﻳﻨﺎ. Card ( A ) = 6 :و Card ( Ω ) = 36 = 6 2
؛ وﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺮﻗﻤﻴﻦ اﻟﻤﺤﺼﻞ ﻋﻠﻴﻬﻤﺎ ﻳﺨﺎﻟﻒ 7 اﻟﺤﺪث اﻟﻤﺘﻤﻢ ﻟﻠﺤﺪث Aهﻮ : ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ Aأو C ΩAأو . Ω − Aﻟﺪﻳﻨﺎ ( évènement complémentaire ). A = {ω ∈ Ω / ω ∉ A } :
.2ﺗﻌﺮﻳﻒ : أ.
ﻧﻘﻮل إن Aو
Bﺣﺪﺛﺎن ﻣﻀﺎدان إذا آﻠﻦ اﻟﻮاﺣﺪ ﻣﻨﻬﻤﺎ ﻣﺘﻤﻢ ﻟﻶﺧﺮ ؛ ) ( B = A ) contraires
-1-
(évènements
ﻣﺜﺎل :ﻟﻜﻞ ﺣﺪث A؛ ﻟﺪﻳﻨﺎ A :و Aﺣﺪﺛﺎن ﻣﻀﺎدان . ب. ∅= . A ∩B ﻧﻘﻮل إن ﺣﺪﺛﻴﻦ Aو Bﻏﻴﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﺎن إذا آﺎن ﻟﺪﻳﻨﺎ : ) ( A et B sont incompatibles ﻧﻘﻮل أﻳﻀﺎ A :و Bﺣﺪﺛﺎن ﻣﻨﻔﺼﻼن. ﻣﺜﺎل :ﻟﻜﻞ ﺣﺪث A؛ ﻟﺪﻳﻨﺎ A :و Aﺣﺪﺛﺎن ﻏﻴﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﺎن . A ∩ A = ∅ . ت. آﻞ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻜﻮﻧﺔ ﻣﻦ ﻧﺘﻴﺠﺔ أو أآﺜﺮ ﻣﻦ ﺑﻴﻦ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﺗﺴﻤﻰ ﺣﺪﺛﺎ ﻓﻲ هﺬﻩ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ .
.IIاﻟﻔﻀﺎءات اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ اﻟﻤﻨﺘﻬﻴﺔ : .1ﺗﻌﺮﻳﻒ :
Espaces Probabilisés Finis : ﻧﺴﻤﻲ اﺣﺘﻤﺎﻻ ﻋﻠﻰ Ωآﻞ ؛ ﺑﺤﻴﺚ :
ﻟﺘﻜﻦ Ωﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻨﺘﻬﻴﺔ ﻏﻴﺮ ﻓﺎرﻏﺔ . 0,1 ﺗﻄﺒﻴﻖ pﻣﻦ ) P ( Ωﻧﺤﻮ اﻟﻤﺠﺎل ] [
. p (Ω) = 1
.i
) p (A ∪ B ) = p (A ) + p (B
.ii
ﻟﻜﻞ ﺣﺪﺛﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﻴﻦ Aو Bﻣﻦ ) . P ( Ω
اﻟﻤﺜﻠﻮث ) ( Ω, p ( Ω ) , pﻳﺴﻤﻰ ﻓﻀﺎء اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺎ ﻣﻨﺘﻬﻴﺎ .
ﻣﻼﺣﻈﺔ .i :اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث اﻷآﻴﺪ هﻮ . 1 .iiاﺣﺘﻤﺎل اﺗﺤﺎد ﺣﺪﺛﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﻴﻦ هﻮ ﻣﺠﻤﻮع اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﻬﻤﺎ .
.2ﺧﺎﺻﻴﺎت :
ﻟﻴﻜﻦ ) ( Ω, p ( Ω ) , pﻓﻀﺎء اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺎ ﻣﻨﺘﻬﻴﺎ .
][ 0,1 ) p (A
→ ): P (Ω A
. p (∅ ) = 0
.i
) p (A ) ≤ p (B
.ii
ﺑﺮهﺎن :
p
.ﻟﻜﻞ Aو Bﻣﻦ ) p ( Ω؛ ﻟﺪﻳﻨﺎ:
⇒
A ⊂B
) (
.iii
) . p A = 1− p (A
.iv
) p (A ∪ B ) = p (A ) + p (B ) − p (A ∩ B
.iﻟﺪﻳﻨﺎ ∅ = ∅ ∩ ∅ ؛ إذن . p ( ∅ ) = p ( ∅ ∪ ∅ ) = p ( ∅ ) + p ( ∅ ) :إذن . p ( ∅ ) = 0 : .iiﺑﻤﺎ أن A ⊂ B؛ ﻓﺈن B = A ∪ ( B − A ) :و ∅ = ) A ∩ ( B − A
إذن p ( B ) = p ( A ) + p ( B − A ) :وﻣﻨﻪ ﻓﺈن p ( B ) − p ( A ) = p ( B − A ) ≥ 0 :؛ وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن . p ( A ) ≤ p ( B ) :
.iiiﻟﺪﻳﻨﺎ A ∩ A = ∅ :و . A ∪ A = Ωإذن ( ) : وﻣﻨﻪ ﻓﺈن . p ( A ) = 1 − p ( A ) :
)
(
1 = p (Ω) = p A ∪ A = p ( A ) + p A؛
-2-
.ivﻟﺪﻳﻨﺎ A ∪ B = A ∪ ( B − A ) :
∅ = ) . A ∩ (B − A
و
إذن . p ( A ∪ B ) = p ( A ) + p ( B − A ) :
) B = (A ∩ B ) ∪(B − A
وﻟﺪﻳﻨﺎ :
و ∅= )( A ∩B) ∩( B −A
إذن p ( B ) = p ( A ∩ B ) + p ( B − A ) ⇒ p ( B − A ) = p ( B ) − p ( A ∩ B ) :
) . p (A ∪ B ) = p (A ) + p (B ) − p (A ∩ B
وﻋﻠﻴﻪ ﻓﺈن :
Hypothèse d’Equiprobabilités :
.IIIﻓﺮﺿﻴﺔ ﺗﺴﺎوي اﻻﺣﺘﻤﺎل :
ﻟﻴﻜﻦ ) ( Ω, P ( Ω ) , pﻓﻀﺎء اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺎ ﻣﻨﺘﻬﻴﺎ .ﻧﻀﻊ Ω = {ω1 , ω2 ,..., ωn } :ﺣﻴﺚ :
.1ﺗﻌﺮﻳﻒ :
Card ( Ω ) = n؛ )
*
∈ . (n
ﻧﻘﻮل إن آﻮن اﻹﻣﻜﺎﻧﻴﺎت Ωﻣﺰود ﺑﺎﺣﺘﻤﺎل ﻣﻨﺘﻈﻢ ؛ إذا آﺎﻧﺖ آﻞ اﻷﺣﺪاث اﻻﺑﺘﺪاﺋﻴﺔ ﻣﺘﺴﺎوﻳﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل. ) }. k = p ({ω1
.2ﻣﻼﺣﻈﺔ :ﻧﻀﻊ :
ﺣﺴﺐ ﻓﺮﺿﻴﺔ ﺗﺴﺎوي اﻻﺣﺘﻤﺎل ؛ ﻟﺪﻳﻨﺎ :
p ({ω1} ) = p ({ω2 } ) = p ({ω3 } ) = p ({ω4 } ) = p ({ω5 } ) = p ({ω6 } ) = k
} . Ω = {ω1} + {ω2 } + {ω3 } + {ω4 } + {ω5 } + {ω6
وﻟﺪﻳﻨﺎ :
إذن 1 = p ( Ω ) = p ({ω1} ) + p ({ω2 } ) + p ({ω3} ) + p ({ω4 } ) + p ({ω5 } ) + p ({ω6 } ) : 1 1 = ) n Card ( Ω
وﻣﻨﻪ ﻓﺈن :
1 1 = ) n Card ( Ω
وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن : ﻣﻼﺣﻈﺔ :
= ) }1 = n × p ({ω1} ) ⇒ p ({ω1 = ) } ∀k ∈ {1, 2,..., n } : p ({ωk
9ﻣﺠﻤﻮع اﺣﺘﻤﺎﻻت اﻷﺣﺪاث اﻻﺑﺘﺪاﺋﻴﺔ هﻮ . 1 9اﺣﺘﻤﺎل ﺣﺪث هﻮ ﻋﺪد ﻣﺤﺼﻮر ﺑﻴﻦ 0و . 1 9إذا آﺎن ﺗﻄﺒﻴﻖ ] p : P ( Ω ) → [ 0,1ﻳﺤﻘﻖ اﻟﺸﺮﻃﻴﻦ اﻟﺘﺎﻟﻴﻴﻦ :
•
اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث اﻟﻤﺴﺘﺤﻴﻞ هﻮ . 0
. p (∅) = 0
• ﻣﺠﻤﻮع ﺻﻮر اﻷﺣﺪاث اﻻﺑﺘﺪاﺋﻴﺔ ﺑﺎﻟﺘﻄﺒﻴﻖ pهﻮ . 1 ﻓﺈن pاﺣﺘﻤﺎل ﻋﻠﻰ . Ω 9اﺣﺘﻤﺎل ﺣﺪث Aهﻮ ﻣﺠﻤﻮع اﺣﺘﻤﺎﻻت اﻷﺣﺪاث اﻻﺑﺘﺪاﺋﻴﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﻮﺟﺪ ﺿﻤﻦ . A
.3ﻣﺒﺮهﻨﺔ هﺎﻣﺔ:
ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ ﺗﺴﺎوي اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻓﻲ ﻓﻀﺎء اﺣﺘﻤﺎﻟﻲ ﻣﻨﺘﻪ ) ( Ω, P ( Ω ) , p؛ اﺣﺘﻤﺎل ﺣﺪث Aهﻮ :
) Card ( A ) Card ( Ω
= )P (A
ﺑﺮهﺎن :ﻟﻴﻜﻦ Aﺣﺪﺛﺎ . A ⊂ Ωﻧﻀﻊ A = {a1 , a2 ,..., ak } :؛ ﻟﺪﻳﻨﺎ :
) Card ( A 1 k = = ) Card ( Ω ) Card ( Ω ) Card ( Ω -3-
× . p ( A ) = p ({a1} ) + p ({a2 } ) + ... + p ({ak } ) = k
.4ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﻲ :ﻓﻲ ﺻﻨﺪوق ؛ ﺗﻮﺟﺪ آﺮﺗﺎن ﻟﻮﻧﻬﻤﺎ أﺣﻤﺮ ؛ وﺛﻼث آﺮات ﻟﻮﻧﻬﺎ أﺧﻀﺮ ؛ وأرﺑﻊ آﺮات ﻟﻮﻧﻬﺎ أﺑﻴﺾ ؛ وآﺮﺗﺎن ﻟﻮﻧﻬﻤﺎ أﺻﻔﺮ . ﻧﻘﻮم ﺑﺴﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻓﻲ ﺁن واﺣﺪ وﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ هﺬا اﻟﺼﻨﺪوق. .1أ -ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل ﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻟﻮﻧﻬﻤﺎ أﺣﻤﺮ. ب -ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل ﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻟﻮﻧﻬﻤﺎ أﺑﻴﺾ. ﺟـ -ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل ﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻟﻮﻧﻬﻤﺎ أﺻﻔﺮ. د -ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل ﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻟﻮﻧﻬﻤﺎ أﺧﻀﺮ. .2ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل ﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻣﻦ ﻧﻔﺲ اﻟﻠﻮن . .3ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل ﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﻲ اﻟﻠﻮن . .4ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل ﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻟﻮﻧﻬﻤﺎ ﻟﻴﺲ أﺑﻴﺾ وﻻ أﺻﻔﺮ . .5ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل أن ﺗﻜﻮن إﺣﺪاهﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﺧﻀﺮاء . اﻟﺠﻮاب :ﺗﺜﺒﻴﺖ اﻟﺼﻨﻒ :اﻟﺴﺤﺐ اﻵﻧﻲ ﻟﻜﺮﺗﻴﻦ ﻳﺪل ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺄﻟﻴﻔﺎت ﻟﻜﺮﺗﻴﻦ ﻣﻦ ﺑﻴﻦ . 11 .1أ -ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪث : Aﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻟﻮﻧﻬﻤﺎ أﺣﻤﺮ .اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث Aهﻮ : Card ( A ) C 22 1 = ) p (A = = 2 Card ( Ω ) C 11 55 ب -ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪث : B
.اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث Bهﻮ :
ﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻟﻮﻧﻬﻤﺎ أﺑﻴﺾ Card ( B ) C 42 6 = ) p (B = = 2 Card ( Ω ) C 11 55
ﺟـ -ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪث :C
.اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث Cهﻮ :
د -ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪث : D
.اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث Dهﻮ :
ﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻟﻮﻧﻬﻤﺎ أﺻﻔﺮ Card (C ) C 22 1 = ) p (C = = 2 Card ( Ω ) C 11 55
ﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻟﻮﻧﻬﻤﺎ أﺧﻀﺮ Card ( D ) C 32 3 = ) p (D = = 2 Card ( Ω ) C 11 55
.اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث Mهﻮ : .2ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪث : Mﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻣﻦ ﻧﻔﺲ اﻟﻠﻮن 2 2 C + C 4 + C 22 + C 32 1 + 6 + 1 + 3 1 . p (M ) = 2 = = C 112 55 5 ﻻ ﺣﻆ أن M = A ∪ B ∪ C ∪ D :و Aو Bو Cو Dﻏﻴﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﺔ ﻣﺜﻨﻰ ﻣﺜﻨﻰ .إذن : 1 6 1 3 1 p ( M ) = p ( A ) + p ( B ) + p (C ) + p ( D ) = + + + = 55 55 55 55 5 .ﺑﻤﻼﺣﻈﺔ أن اﻟﺤﺪث Nهﻮ اﻟﺤﺪث .3ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪث : Nﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﻲ اﻟﻠﻮن 1 4 اﻟﻤﻀﺎد ﻟﻠﺤﺪث Mﻓﺈن اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث Nهﻮ : = p (N ) = p M = 1− p (M ) = 1− 5 5 .4ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪث : Fﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻟﻮﻧﻬﻤﺎ ﻟﻴﺲ أﺑﻴﺾ وﻻ أﺻﻔﺮ .اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث Fهﻮ : C 2 10 2 = . p ( F ) = 52 = C 11 55 5 .5ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪث :Gﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ إﺣﺪاهﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﺧﻀﺮاء .اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث Gهﻮ : C 1 × C 81 + C 32 3 × 8 + 3 27 V Vأو V V . p (G ) = 3 = = C 112 55 55
) (
)
.IVاﻻﺣﺘﻤﺎل اﻟﺸﺮﻃﻲ :
(
La Probabilté Conditionnelle :
.1ﻣﺜﺎل : 1ﻳﺤﺘﻮي ﺻﻨﺪوق ﻋﻠﻰ ﺛﻼث آﺮات ﺣﻤﺮاء وآﺮﺗﻴﻦ ﺑﻴﻀﺎوﻳﻦ .ﻧﺴﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ اﻟﻮاﺣﺪة ﺗﻠﻮ اﻷﺧﺮى دون إرﺟﺎع اﻟﻜﺮة اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺔ إﻟﻰ اﻟﺼﻨﺪوق . ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪﺛﻴﻦ : A :اﻟﻜﺮة اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺔ اﻷوﻟﻰ ﺣﻤﺮاء : Bاﻟﻜﺮة اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻴﻀﺎء ) p (A ∩ B . .1أﺣﺴﺐ ﻣﺎ ﻳﻠﻲ : ) p (A
-4-
.2ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث B؛ ﻋﻠﻤﺎ أن اﻟﺤﺪث Aﻣﺤﻘﻖ ) .ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ) ( p A ( B .3ﻣﺎذا ﺗﺴﺘﻨﺘﺞ ؟
اﻟﺤﻞ :
.1اﻟﺴﺤﺐ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻊ ﺑﺪون إﺣﻼل ﻳﺪل ﻋﻠﻰ Card ( A ) A × A 3× 4 3 اﻟﺘﺮﺗﻴﺒﺎت .إذن : = ) . p (A = = = 2 ) Card ( Ω A5 5× 4 5 1 4
1 3
أي :اﻟﻜﺮة اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺔ اﻷوﻟﻰ ﺣﻤﺮاء ؛ واﻟﻜﺮة اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﻜﺮات اﻟﻤﺘﺒﻘﻴﺔ. وﻟﺪﻳﻨﺎ : A ∩ B :اﻟﻜﺮة اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺔ اﻷوﻟﻰ ﺣﻤﺮاء واﻟﻜﺮة اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻴﻀﺎء Card ( A ∩ B ) A 31 × A 21 3 × 2 3 إذن : = ) . p (A ∩ B = = = 2 ) Card ( Ω A5 5 × 4 10 وﻣﻨﻪ ﻓﺈن :
3 p ( A ∩ B ) 10 1 = = . 3 ) p (A 2 5
A 21 2 1 = = . pA ( B ) = 1 .2اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث B؛ ﻋﻠﻤﺎ أن اﻟﺤﺪث Aﻣﺤﻘﻖ ؛ هﻮ : A4 4 2 اﻟﺤﺪث Aﻣﺤﻘﻖ ﻳﻌﻨﻲ أن اﻟﺼﻨﺪوق ﻳﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ آﺮﺗﻴﻦ ﺣﻤﺮاوﻳﻦ وﻋﻠﻰ آﺮﺗﻴﻦ ﺑﻴﻀﺎوﻳﻦ .اﻻﺣﺘﻤﺎل اﻟﻤﻄﻠﻮب هﻮ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ آﺮة ﺑﻴﻀﺎء ﻣﻦ اﻟﺼﻨﺪوق . U .3ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﻣﻤﺎ ﺳﺒﻖ ؛ أن :
) p (A ∩ B ) p (A
= ) . pA ( B
ﻟﻴﻜﻦ ) ( Ω, pﻓﻀﺎء اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺎ ﻣﻨﺘﻬﻴﺎ ؛ وﻟﻴﻜﻦ Aﺣﺪﺛﺎ ﻣﻦ ) P ( Ωﺣﻴﺚ . p ( A ) ≠ 0
.2ﺗﻌﺮﻳﻒ :
اﺣﺘﻤﺎل ﺣﺪث B؛ ﻋﻠﻤﺎ أن اﻟﺤﺪث Aﻣﺤﻘﻖ هﻮ : ) p A ( Bأو ) p ( B / A؛ وﻧﻜﺘﺐ :
.3ﻣﻼﺣﻈﺎت :
) p (A ∩ B ) p (A
) p (A ∩ B ) p (A
وﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ
= ) pA ( B
9ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ ﻓﺮﺿﻴﺔ ﺗﺴﺎوي اﻻﺣﺘﻤﺎل ؛ ﻳﻜﻮن ﻟﺪﻳﻨﺎ : ) Card ( A ∩ B اﺣﺘﻤﺎل ﺣﺪث B؛ﻋﻠﻤﺎ أن اﻟﺤﺪث Aﻣﺤﻘﻖ هﻮ: ) Card ( A
.4ﻣﺜﺎل : 2
= ) pA ( B
9اﻻﺣﺘﻤﺎل اﻟﺸﺮﻃﻲ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﺤﺪث A؛ هﻮ اﻟﺘﻄﺒﻴﻖ : ]p A : P ( Ω ) → [ 0,1 B ) pA ( B ﺗﻀﻢ إﺣﺪى اﻟﺜﺎﻧﻮﻳﺎت 250ﺗﻠﻤﻴﺬا ؛ ﻣﻮزﻋﻴﻦ إﻟﻰ داﺧﻠﻴﻴﻦ و ﺧﺎرﺟﻴﻴﻦ آﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
اﺧﺘﺮﻧﺎ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎ ﺗﻠﻤﻴﺬا ﻣﻦ ﺑﻴﻦ 250ﺗﻠﻤﻴﺬ .ﻟﺠﻤﻴﻊ اﻟﺘﻼﻣﻴﺬ ﻧﻔﺲ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻜﻲ ﻳﺘﻢ اﺧﺘﻴﺎرهﻢ .
-5-
.1أﺣﺴﺐ اﺣﺘﻤﺎﻻت اﻷﺣﺪاث اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ : : Gاﺧﺘﻴﺎر ﺗﻠﻤﻴﺬ ذآﺮ . : Fاﺧﺘﻴﺎر ﺗﻠﻤﻴﺬة أﻧﺜﻰ . : Eاﺧﺘﻴﺎر ﺗﻠﻤﻴﺬ ﺧﺎرﺟﻲ . : Iاﺧﺘﻴﺎر ﺗﻠﻤﻴﺬ داﺧﻠﻲ .2إذا آﺎن اﻟﺘﻠﻤﻴﺬ اﻟﻤﺨﺘﺎر ذآﺮا ؛ ﻓﻤﺎ هﻮ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻜﻲ ﻳﻜﻮن ﺧﺎرﺟﻴﺎ ؟ .
اﻟﺠﻮاب : 200 4 = 250 5
.1ﻟﺪﻳﻨﺎ :
=
) Card (G ) Card ( Ω
Card ( F ) 50 1 = = Card ( Ω ) 250 5 110 11 = 250 25
=
140 14 = 250 25
=
) Card ( E ) Card ( Ω ) Card ( I
) Card ( Ω
= ) . p (G = ) . p (F = ) . p (E
= ) . p (I
80 2 .2إذا آﺎن اﻟﺘﻠﻤﻴﺬ اﻟﻤﺨﺘﺎر ذآﺮا ؛ ﻓﺈن اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻜﻲ ﻳﻜﻮن ﺧﺎرﺟﻴﺎ هﻮ: = 200 5
.5ﺻﻴﻐﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت اﻟﻤﺮآﺒﺔ : ﺧﺎﺻﻴﺔ :
ﺑﺮهﺎن :
= ) . pG ( E
Formule des Probabilités Composées :
إذا آﺎن Aو Bﺣﺪﺛﺎن اﺣﺘﻤﺎﻻهﻤﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﻴﻦ ؛ ﻓﺈن : ) p ( A ∩ B ) = p ( A ) × pA ( B ) = p ( B ) × pB ( A ﻟﺪﻳﻨﺎ : وﻟﺪﻳﻨﺎ :
اﺳﺘﻨﺘﺎج :
) p (A ∩ B ) ⇒ p ( A ∩ B ) = p ( A ) × pA ( B ) p (A
) p (A ∩ B ) ⇒ p ( A ∩ B ) = p ( B ) × pB ( A ) p (B
= ) . pA ( B = ) . pB ( A
إذا آﺎن Aو Bﺣﺪﺛﺎن اﺣﺘﻤﺎﻻهﻤﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﻴﻦ ؛ ﻓﺈن : ) p ( A ) pB ( A = ) p ( B ) pA ( B
Les Probabilités Totales :
.Vاﻻﺣﺘﻤﺎﻻت اﻟﻜﻠﻴﺔ :
Partition d’un ensemble :
.1ﺗﺠﺰﻳﺊ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ :
ﻣﺜﺎل :ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻔﻀﺎء } . Ω = {1, 2,3, 4,5, 6وﻧﻌﺘﺒﺮ اﻷﺣﺪاث اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ A1 = {2, 4, 6} :و } A 2 = {1و }. A 3 = {5, 6 ﻟﺪﻳﻨﺎ : ∅ = A1 ∩ A 2و ∅ = A1 ∩ A 3و ∅ = A 2 ∩ A 3و . Ω = A1 ∪ A 2 ∪ A 3 اﻷﺣﺪاث A1و A 2و A 3ﻏﻴﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﺔ ﻣﺜﻨﻰ ﻣﺜﻨﻰ واﺗﺤﺎدهﺎ . Ω ﻧﻘﻮل إن اﻷﺣﺪاث A1و A 2و A 3ﺗﻜﻮن ﺗﺠﺰﻳﺌﺎ ﻟﻠﻔﻀﺎء . Ω
.2ﺗﻌﺮﻳﻒ :
ﻟﻴﻜﻦ ) ( Ω, pﻓﻀﺎء اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺎ ﻣﻨﺘﻬﻴﺎ وﻟﻴﻜﻦ
*
∈. n
ﻧﻘﻮل إن اﻷﺣﺪاث A1و A 2و . . .و A nﺗﻜﻮن ﺗﺠﺰﻳﺌﺎ ﻟﻠﻔﻀﺎء Ω؛ إذا آﺎﻧﺖ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﺔ ﻣﺜﻨﻰ ﻣﺜﻨﻰ واﺗﺤﺎدهﺎ . Ωأي : ∅ = A i ∩ A jﻟﻜﻞ 1 ≤ i ≤ nو 1 ≤ j ≤ nﺣﻴﺚ . i ≠ j أ- ب-
Ω = A1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n
-6-
.3ﻣﺒﺮهﻨﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت اﻟﻜﻠﻴﺔ : ﻟﻴﻜﻦ ) ( Ω, pﻓﻀﺎء اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺎ ﻣﻨﺘﻬﻴﺎ وﻟﻴﻜﻦ
*
∈. n
ﻧﻌﺘﺒﺮ A1و A 2و ...و A nﺗﺠﺰﻳﺌﺎ ﻟﻠﻔﻀﺎء Ω؛ و Bﺣﺪﺛﺎ ﻣﻦ . Ωاﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث Bهﻮ : ) p ( B ) = p ( A1 ) × p A1 ( B ) + p ( A 2 ) × p A2 ( B ) + ... + p ( A n ) × p A n ( B
ﺑﺮهﺎن :ﻟﺪﻳﻨﺎ A1 :و A 2و ...و A nﺗﺠﺰﻳﺌﺎ ﻟﻠﻔﻀﺎء . Ωﺑﻤﺎ أن B ⊂ Ω؛ ﻓﺈن :
B = B ∩Ω ) B = B ∩ ( A1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n ) B = ( B ∩ A1 ) ∪ ( B ∩ A 2 ) ∪ ... ∪ ( B ∩ A n
ﺑﻤﺎ أن اﻷﺣﺪاث A1و A 2و ...و A nﻏﻴﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﺔ ﻣﺜﻨﻰ ﻣﺜﻨﻰ ﻓﺈن اﻷﺣﺪاث B ∩ A1و B ∩ A 2و ...و
) p ( B ) = p ( B ∩ A1 ) + p ( B ∩ A 2 ) + ... + p ( B ∩ A n
B ∩ A nﻏﻴﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﺔ ﻣﺜﻨﻰ ﻣﺜﻨﻰ .إذن :
) p ( B ) = p ( A1 ) × p A1 ( B ) + p ( A 2 ) × p A2 ( B ) + ... + p ( A n ) × p An ( B
.4ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﻲ :ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻧﺮدا ﻣﻜﻌﺒﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﻐﺸﻮش ﻓﻲ اﻟﻬﻮاء ﺗﺤﻤﻞ وﺟﻮهﻪ اﻟﺴﺘﺔ اﻷرﻗﺎم اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ : 1
-
1
-
1
-
1
وﻧﻌﺘﺒﺮ ﺻﻨﺪوﻗﻴﻦ : : U1ﻳﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ ﺛﻼث آﺮات ﺣﻤﺮاء وآﺮﺗﻴﻦ ﺑﻴﻀﺎوﻳﻦ . : U2ﻳﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ أرﺑﻊ آﺮات ﺣﻤﺮاء وﺛﻼث آﺮات ﺑﻴﻀﺎء .
-
2
-
2
ﻧﺮﻣﻲ اﻟﻨﺮد ﻣﺮة واﺣﺪة ﻓﻲ اﻟﻬﻮاء : 9إذا ﻇﻬﺮ اﻟﺮﻗﻢ 1؛ ﻧﺴﺤﺐ آﺮة ﻣﻦ . U1
9إذا ﻇﻬﺮ اﻟﺮﻗﻢ 2؛ ﻧﺴﺤﺐ آﺮة ﻣﻦ . U2 .1ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ آﺮة ﺑﻴﻀﺎء. .2ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ آﺮة ﺣﻤﺮاء . .3ﻋﻠﻤﺎ أن اﻟﻜﺮة اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺔ ﺑﻴﻀﺎء ؛ ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل أن ﺗﻜﻮن ﻣﻦ اﻟﺼﻨﺪوق . U1 اﻟﺠﻮاب : ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪﺛﻴﻦ اﻟﺘﺎﻟﻴﻴﻦ : A1 :ﻇﻬﻮر اﻟﺮﻗﻢ 1ﻋﻨﺪ رﻣﻲ اﻟﻨﺮد .أي :اﺧﺘﻴﺎر اﻟﺼﻨﺪوق . U1 : A 2ﻇﻬﻮر اﻟﺮﻗﻢ 2ﻋﻨﺪ رﻣﻲ اﻟﻨﺮد .أي :اﺧﺘﻴﺎر اﻟﺼﻨﺪوق . U2 ﻟﺪﻳﻨﺎ A1و A 2ﺣﺪﺛﺎن ﻏﻴﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﺎن واﺗﺤﺎدهﻤﺎ Ω؛ إذن ﻓﻬﻲ ﺗﻜﻮن ﺗﺠﺰﻳﺌﺎ ﻟﻠﻔﻀﺎء . Ω .ﺣﺴﺐ ﺻﻴﻐﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت اﻟﻜﻠﻴﺔ ؛ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث .1ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪث : B :ﺳﺤﺐ آﺮة ﺑﻴﻀﺎء 2 2 2 3 43 = × . p ( B ) = p ( A1 ) × p A1 ( B ) + p ( A 2 ) × p A2 ( B ) = × + ≈ 0, 41 Bهﻮ : 3 5 6 7 105 .ﺣﺴﺐ ﺻﻴﻐﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت اﻟﻜﻠﻴﺔ ؛ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث .2ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪث : R :ﺳﺤﺐ آﺮة ﺣﻤﺮاء 2 3 2 4 62 = × . p ( R ) = p ( A1 ) × p A1 ( R ) + p ( A 2 ) × p A 2 ( R ) = × + ≈ 0,59 Rهﻮ : 3 5 6 7 105 .3ﻋﻠﻤﺎ أن اﻟﻜﺮة اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺔ ﺑﻴﻀﺎء ؛ اﺣﺘﻤﺎل أن ﺗﻜﻮن ﻣﻦ اﻟﺼﻨﺪوق U1هﻮ ) . p B ( A1 ﺣﺴﺐ ﺻﻴﻐﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت اﻟﻤﺮآﺒﺔ ؛ ﻟﺪﻳﻨﺎ p ( B ) × p B ( A1 ) = p ( A1 ) × p A1 ( B ) :؛ إذن :
2 2 × 4 105 28 × ==3 5 = ≈ 0, 65 43 15 43 43 ) p (B 105 ﻧﻠﺨﺺ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻓﻲ ﺷﺠﺮة اﻹﻣﻜﺎﻧﻴﺎت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ :
) p ( A1 ) × p A1 ( B
-7-
= ) p B ( A1
L’indépendance :
.VIاﻻﺳﺘﻘﻼﻟﻴﺔ : .1ﺗﻌﺮﻳﻒ :
ﻟﻴﻜﻦ ) ( Ω, pﻓﻀﺎء اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺎ .ﻧﻘﻮل إن ﺣﺪﺛﺎن Aو Bﻣﺴﺘﻘﻼن ؛ إذا آﺎن :
) p (A ∩ B ) = p (A )× p (B إذا آﺎن p ( A ) ≠ 0؛ ﻓﺈن A :و Bﻣﺴﺘﻘﻼن ⇔ ) . p A ( B ) = p ( B
ﻣﻼﺣﻈﺔ :
.2ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﻲ :ﻧﺮﻣﻲ ﻧﺮدا ﻣﻜﻌﺒﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﻐﺸﻮش ﻓﻲ اﻟﻬﻮاء ﺗﺤﻤﻞ وﺟﻮهﻪ اﻟﺴﺘﺔ اﻷرﻗﺎم ﻣﻦ 1إﻟﻰ 6ﻣﺮﺗﻴﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ .ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻷﺣﺪاث اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ : : Aاﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﻌﺪد 2ﻓﻲ اﻟﺮﻣﻴﺔ اﻷوﻟﻰ . . : Bاﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻋﺪدﻳﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﻬﻤﺎ 7 :Cاﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻋﺪدﻳﻦ زوﺟﻴﻴﻦ . .1أﺣﺴﺐ اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ p ( A ) :و ) ( Bو ) p ( A ∩ B؛ ﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ أن : Aو Bﺣﺪﺛﺎن ﻣﺴﺘﻘﻼن . .2هﻞ اﻟﺤﺪﺛﺎن Aو Cﻣﺴﺘﻘﻼن ؟ اﻟﺠﻮاب : .1اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث Cهﻮ :
1 ×6 6 1 = = 2 6 36 6 1
1
=
) Card ( A
) Card ( Ω
= ) . p (A
ﻟﺪﻳﻨﺎ B = {(1, 6 ) ; ( 2,5 ) ; ( 3, 4 ) ; ( 4,3) ; ( 5, 2 ) ; ( 6,1)} :؛إذن اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث Cهﻮ : 6 1 = 2 6 6 11 × 11 1 ﻟﺪﻳﻨﺎ A ∩ B = {( 2,5 )} :؛ إذن : = 2 6 36
=
=
) Card ( B ) Card ( Ω
) Card ( A ∩ B ) Card ( Ω
= ) . p (B
= ) . p (A ∩ B
.2ﺑﻤﺎ أن p ( A ∩ B ) = p ( A ) × p ( B ) :؛ ﻓﺈن Aو Bﺣﺪﺛﺎن ﻣﺴﺘﻘﻼن. ) Card (C
32 9 1 = ) . p (C .3اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث Cهﻮ : = = 2 = 36 4 Card ( Ω ) 6
ﻟﺪﻳﻨﺎ A ∩ C = {( 2, 2 )} :؛ إذن اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث A ∩ Cهﻮ :
Card ( A ∩ C ) 11 × 11 1 = = 2 ) Card ( Ω 6 36
= ) . p (A ∩C
1 1 1 1 = × = ) p ( A ) × p (C؛ = ) p ( A ∩Cو ﺑﻤﺎ أن : 6 4 24 36 ﻓﺈن . p ( A ∩ C ) ≠ p ( A ) × p (C ) :إذن Aو Cﺣﺪﺛﺎن ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻼن . -8-
L’indépendance des épreuves aléatoires :
.3اﺳﺘﻘﻼﻟﻴﺔ اﻻﺧﺘﺒﺎرات اﻟﻌﺸﻮاﺋﻴﺔ: ﺗﻤﻬﻴﺪ : أ. (i 9رﻣﻲ ﻗﻄﻌﺔ ﻧﻘﻮد nﻣﺮة ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) .ﻳﻤﻜﻦ اﻋﺘﺒﺎر آﻞ رﻣﻴﺔ اﺧﺘﺒﺎرا ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎ ( (ii 9ﺳﺤﺐ nآﺮة ﻣﻦ ﺑﻴﻦ mآﺮة ﺑﺎﻟﺘﺘﺎﺑﻊ وﺑﺪون إﺣﻼل ) . ( n ≤ m
ب.
) آﻞ ﺳﺤﺒﺔ ﻳﻤﻜﻦ اﻋﺘﺒﺎرهﺎ اﺧﺘﺒﺎرا ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎ ( (iii 9ﺳﺤﺐ nآﺮة ﻣﻦ ﺑﻴﻦ mآﺮة ﺑﺎﻟﺘﺘﺎﺑﻊ وﺑﺈﺣﻼل . (iv 9رﻣﻲ ﻧﺮد ﻣﻜﻌﺐ nﻣﺮة ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ . • ﺑﻌﺾ اﻟﺘﺠﺎرب اﻟﻌﺸﻮاﺋﻴﺔ ﺗﺘﻜﻮن ﻣﻦ اﺧﺘﺒﺎر واﺣﺪ أو ﻋﺪة اﺧﺘﺒﺎرات ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ . وﻧﻼﺣﻆ أن ﻓﻲ ﺑﻌﺾ اﻟﺘﺠﺎرب ؛ ﻻ ﺗﺆﺛﺮ ﻧﺘﺎﺋﺞ اﺧﺘﺒﺎر ﻋﻠﻰ اﻻﺧﺘﺒﺎر اﻟﻤﻮاﻟﻲ ﻟﻪ . ﻣﺜﺎل :ﺗﺠﺎرب ) (iو ) (iiiو ) . (iv • ﻓﻲ ﺣﻴﻦ ؛ ﺗﺆﺛﺮ ﻧﺘﺎﺋﺞ اﺧﺘﺒﺎر ﻋﻠﻰ اﻻﺧﺘﺒﺎر اﻟﻤﻮاﻟﻲ ﻓﻲ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ) . (ii )ﻻ ﻧﻌﻴﺪ اﻟﻜﺮة اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺔ ؛ ﻓﻴﺘﻐﻴﺮ ﻋﺪد اﻹﻣﻜﺎﻧﻴﺎت ( ... • إذا آﺎﻧﺖ ﻧﺘﺎﺋﺞ اﺧﺘﺒﺎر ﻣﺎ ؛ ﻻ ﺗﺆﺛﺮ ﻋﻠﻰ ﻧﺘﺎﺋﺞ اﻻﺧﺘﺒﺎر اﻟﻤﻮاﻟﻲ ؛ ﻧﻘﻮل إن اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﺗﺘﻜﻮن ﻣﻦ اﺧﺘﺒﺎرات ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﺴﺘﻘﻠﺔ . Les épreuves répétées : اﻻﺧﺘﺒﺎرات اﻟﻤﺘﻜﺮرة : 9أﻣﺜﻠﺔ : • ﻧﺮﻣﻲ ﻧﺮدا ﻣﻜﻌﺒﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﻐﺸﻮش ﻓﻲ اﻟﻬﻮاء ﺧﻤﺲ ﻣﺮات ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ. • ﻧﺮﻣﻲ ﻗﻄﻌﺔ ﻧﻘﺪﻳﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻐﺸﻮﺷﺔ ﻓﻲ اﻟﻬﻮاء ﺛﻼث ﻣﺮات ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ. • ﻧﺴﺤﺐ أرﺑﻊ آﺮات ﻣﻦ آﻴﺲ ﻳﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ nآﺮة ﺑﺎﻟﺘﺘﺎﺑﻊ وﺑﺈﺣﻼل . 9ﻣﺜﺎل :ﻧﺮﻣﻲ ﻧﺮدا ﻣﻜﻌﺒﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﻐﺸﻮش ﻓﻲ اﻟﻬﻮاء ﺧﻤﺲ ﻣﺮات ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ .أﺣﺴﺐ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻋﺪد ﻗﺎﺑﻞ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ 3أرﺑﻊ ﻣﺮات ﺑﺎﻟﻀﺒﻂ . اﻟﺠﻮاب :ﺗﺘﻜﻮن هﺬﻩ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻣﻦ ﺗﻜﺮار اﻻﺧﺘﺒﺎر :رﻣﻲ ﻧﺮد ﻓﻲ اﻟﻬﻮاء ﺧﻤﺲ ﻣﺮات. . ﻃﺮﻳﻘﺔ :1ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪث : S :اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻋﺪد ﻗﺎﺑﻞ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ 3 2 1 = = ) . p (S و ﻟﺪﻳﻨﺎ S = {3, 6} :؛ 6 3 ﻓﻲ آﻞ رﻣﻴﺔ ؛ إﻣﺎ أن ﻳﺘﺤﻘﻖ اﻟﺤﺪث Sوإﻣﺎ أن ﻻ ﻳﺘﺤﻘﻖ.
ﻟﺪﻳﻨﺎ C 54 :إﻣﻜﺎﻧﻴﺔ ﻻﺧﺘﻴﺎر اﻷﻣﻜﻨﺔ اﻟﺘﻲ ﺳﻴﺘﺤﻘﻖ ﻓﻴﻬﺎ اﻟﺤﺪث . S
1 ﻟﺪﻳﻨﺎ :اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث Sهﻮ 3
= ) p ( S؛ واﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث E = Sهﻮ :
) (
1 2 = . p ( E ) = p S = 1 − p (S ) = 1 − 3 3 1
4
) (
⎞⎛1⎞ ⎛ 2 اﺣﺘﻤﺎل اﻹﻣﻜﺎﻧﻴﺔ SESSSهﻮ . ( p ( S ) ) × p S = ⎜ ⎟ × ⎜ ⎟ :وﻣﻨﻪ ﻓﺈن : ⎠⎝3⎠ ⎝ 3 اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ رﻗﻢ ﻗﺎﺑﻞ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ 3أرﺑﻊ ﻣﺮات ﺑﺎﻟﻀﺒﻂ هﻮ : 4 1 10 ⎞⎛2 ⎞4 ⎛1 = ⎟ ⎜× ⎟ ⎜× C5 ≈ 0, 41 243 ⎠⎝3⎠ ⎝ 3 ﻃﺮﻳﻘﺔ : 2هﺬﻩ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﺗﺪل ﻋﻠﻰ اﻟﺴﺤﺐ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻊ ﺑﺈﺣﻼل ﻟﺨﻤﺴﺔ أرﻗﺎم ﻣﻦ ﺑﻴﻦ اﻷرﻗﺎم اﻟﺴﺘﺔ اﻟﻤﻜﻮﻧﺔ ﻟﻠﻨﺮد ؛ وهﺬا ﻳﺪل ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﻴﺒﺎت ﻟﺨﻤﺴﺔ ﻋﻨﺎﺻﺮ. ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪث : Aاﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ رﻗﻢ ﻗﺎﺑﻞ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ 3أرﺑﻊ ﻣﺮات ﺑﺎﻟﻀﺒﻂ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث Aهﻮ : -9-
4
Card ( A ) C 54 × 24 × 41 ⎞⎛2⎞ ⎛4 ⎞⎛1⎞ ⎛ 2 = ⎟ ⎜ × ⎟ ⎜ × = C 54 × ⎜ ⎟ × ⎜ ⎟ = C 54 = ) p (A 6 6 ) Card ( Ω ⎠⎝6⎠ ⎝6 ⎠⎝3⎠ ⎝ 3
1
ﺧﺎﺻﻴﺔ :
4
1
4
ﻟﻴﻜﻦ ) ( Ω, pﻓﻀﺎء اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺎ ﻣﻨﺘﻬﻴﺎ ؛ وﻟﻴﻜﻦ
*
∈ n؛ وﻟﻴﻜﻦ Sﺣﺪﺛﺎ اﺣﺘﻤﺎﻟﻪ pﻓﻲ
اﺧﺘﺒﺎر ﻋﺸﻮاﺋﻲ . إذا أﻋﻴﺪ هﺬا اﻻﺧﺘﺒﺎر nﻣﺮة ؛ ﻓﺈن اﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع اﻟﺤﺪث S؛ kﻣﺮة ﺑﺎﻟﻀﺒﻂ ) ﺣﻴﺚ : n −k
( 0 ≤ k ≤ n؛ هﻮ :
) C nk × p k × (1 − p
ﺟـ .ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﻲ : 2 .1اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻜﻲ ﻳﺼﻴﺐ رام اﻟﻬﺪف هﻮ .ﻗﺎم هﺬا اﻟﺮاﻣﻲ ﺑﻌﺸﺮ ﻣﺤﺎوﻻت .ﻣﺎ هﻮ 3 اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻜﻲ ﻳﺼﻴﺐ اﻟﻬﺪف ﺳﺖ ﻣﺮات ﺑﺎﻟﻀﺒﻂ . .2ﻳﺤﺘﻮي آﻴﺲ ﻋﻠﻰ ﺳﺖ ﺑﻴﺪﻗﺎت ﺗﺤﻤﻞ اﻟﺮﻗﻢ 0وﻋﻠﻰ أرﺑﻊ ﺑﻴﺪﻗﺎت ﺗﺤﻤﻞ اﻟﺮﻗﻢ 1و ﺑﻴﺪﻗﺔ واﺣﺪة ﺗﺤﻤﻞ اﻟﺮﻗﻢ . 2ﻧﺴﺤﺐ ﺑﺎﻟﺘﺘﺎﺑﻊ وﺑﺈﺣﻼل ﺳﺖ ﺑﻴﺪﻗﺎت ﻣﻦ اﻟﻜﻴﺲ . ﻣﺎهﻮ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﺑﺎﻟﻀﺒﻂ ﻋﻠﻰ ﺧﻤﺲ ﺑﻴﺪﻗﺎت ﺗﺤﻤﻞ اﻟﺮﻗﻢ . 1
.VIIﺗﻤﺎرﻳﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﻴﺔ :
.1ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﻲ رﻗﻢ : 1 ﻳﺤﺘﻮي ﺻﻨﺪوق B1ﻋﻠﻰ ﺛﻼث آﺮات ﺑﻴﻀﺎء وآﺮﺗﻴﻦ ﺳﻮداوﻳﻦ وﻳﺤﺘﻮي ﺻﻨﺪوق B2ﻋﻠﻰ ﺧﻤﺲ آﺮات ﺑﻴﻀﺎء وآﺮة ﺳﻮداء .ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ : . ﺳﺤﺐ آﺮة واﺣﺪة ﻣﻦ B1وآﺮة ﻣﻦ B2 .1أﺣﺴﺐ اﺣﺘﻤﺎل آﻞ ﻣﻦ اﻟﺤﺪﺛﻴﻦ اﻟﺘﺎﻟﻴﻴﻦ : اﻟﻜﺮﺗﺎن اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺘﺎن ﺑﻴﻀﺎوان :E اﻟﻜﺮﺗﺎن اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺘﺎن ﺳﻮداوان :F اﻟﻜﺮﺗﺎن اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺘﺎن ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻟﻠﻮن . 2ﻟﻴﻜﻦ Sاﻟﺤﺪث : 17 = ) . p (S أ -ﺗﺤﻘﻖ أن : 30 ب -ﻧﻌﻴﺪ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﺧﻤﺲ ﻣﺮات ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﻊ إﻋﺎدة آﻞ آﺮة إﻟﻰ اﻟﺼﻨﺪوق اﻟﺬي ﺳﺤﺒﺖ ﻣﻨﻪ ﻗﺒﻞ اﻟﻘﻴﺎم ﺑﺎﻟﺴﺤﺒﺔ اﻟﻤﻮاﻟﻴﺔ . ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺪث Sﺛﻼث ﻣﺮات ﺑﺎﻟﻀﺒﻂ ؟ .2ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﻲ رﻗﻢ : 2 ﻳﺤﺘﻮي ﺻﻨﺪوق ﻋﻠﻰ أرﺑﻊ آﺮات ﺣﻤﺮاء وﺛﻼث آﺮات ﺧﻀﺮاء ) ﻻ ﻳﻤﻜﻦ اﻟﺘﻤﻴﻴﺰ ﺑﻴﻦ ﺟﻤﻴﻊ اﻟﻜﺮات ﺑﺎﻟﻠﻤﺲ ( .ﻧﺴﺤﺐ آﺮة ﻣﻦ اﻟﺼﻨﺪوق : † إذا آﺎﻧﺖ ﺣﻤﺮاء ؛ ﻧﺴﺤﺐ ﺗﺂﻧﻴﺎ آﺮﺗﻴﻦ ﻣﻦ ﺑﻴﻦ اﻟﻜﺮات اﻟﻤﺘﺒﻘﻴﺔ . † إذا آﺎﻧﺖ ﺧﻀﺮاء ؛ ﻧﺴﺤﺐ ﺑﺎﻟﺘﺘﺎﺑﻊ وﺑﺪون إﺣﻼل آﺮﺗﻴﻦ ﻣﻦ ﺑﻴﻦ اﻟﻜﺮات اﻟﻤﺘﺒﻘﻴﺔ . .1أ -ﺣﺪد ﻋﺪد اﻹﻣﻜﺎﻧﻴﺎت . ب -أﺣﺴﺐ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺛﻼث آﺮات ﻣﻦ ﻧﻔﺲ اﻟﻠﻮن . .2إذا ﻋﻠﻤﺖ أﻧﻪ ﺣﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ آﺮﺗﻴﻦ ﺧﻀﺮاوﻳﻦ ﺑﺎﻟﻀﺒﻂ؛ أﺣﺴﺐ اﺣﺘﻤﺎل أن ﺗﻜﻮن اﻟﻜﺮة اﻷوﻟﻰ اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺔ ﺧﻀﺮاء . .3ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﻲ رﻗﻢ : 3 ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻣﺠﺘﻤﻌﺎ ﻣﻜﻮﻧﺎ ﻣﻦ 60%ﻣﻦ اﻟﺮﺟﺎل و 40%ﻣﻦ اﻟﻨﺴﺎء .ﻧﻌﻠﻢ أن 20%ﻣﻦ اﻟﺮﺟﺎل و 10%ﻣﻦ اﻟﻨﺴﺎء ﻳﺘﻜﻠﻤﻮن اﻟﻠﻐﺔ اﻟﻔﺮﻧﺴﻴﺔ .اﺧﺘﺮﻧﺎ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎ ﺷﺨﺼﺎ ﻣﻦ هﺬا اﻟﻤﺠﺘﻤﻊ . .1ﻣﺎ هﻮ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻜﻲ ﻳﻜﻮن هﺬا اﻟﺸﺨﺺ : أ .رﺟﻼ وﻳﺘﻜﻠﻢ اﻟﻔﺮﻧﺴﻴﺔ ؟ ب .رﺟﻼ وﻻ ﻳﺘﻜﻠﻢ اﻟﻔﺮﻧﺴﻴﺔ ؟ ﺟـ .اﻣﺮأة وﺗﺘﻜﻠﻢ اﻟﻔﺮﻧﺴﻴﺔ ؟ د .اﻣﺮأة وﻻ ﺗﺘﻜﻠﻢ اﻟﻔﺮﻧﺴﻴﺔ ؟ .2ﻋﻠﻤﺎ أن اﻟﺸﺨﺺ اﻟﻤﺨﺘﺎر ﻳﺘﻜﻠﻢ اﻟﻔﺮﻧﺴﻴﺔ ؛ ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل أن ﻳﻜﻮن رﺟﻼ . .3ﻋﻠﻤﺎ أن اﻟﺸﺨﺺ اﻟﻤﺨﺘﺎر ﻻ ﻳﺘﻜﻠﻢ اﻟﻔﺮﻧﺴﻴﺔ؛ ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل أن ﻳﻜﻮن اﻣﺮأة .
- 10 -