Math bac cours 11

‫اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻜﺎﻟﻮرﻳﺎ ﻋﻠﻮم ﺗﺠﺮﻳﺒﻴﺔ‬

‫ﺣﺴﺎب اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت‬ ‫‪Calcul des Probabilités‬‬

‫‪ .I‬ﺗﻘﺪﻳﻢ وﻣﺼﻄﻠﺤﺎت ‪:‬‬ ‫‪ .1‬اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪:‬‬

‫اﻷﺳﺘﺎذ ‪:‬‬

‫اﻟﺤﻴﺎن‬

‫‪Expérience aléatoire :‬‬

‫ﻧﺴﻤﻲ آﻞ ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻻ ﻳﻤﻜﻦ اﻟﺘﻨﺒﺆ ﺑﻨﺘﺎﺋﺠﻬﺎ ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ‪.‬‬

‫‪ 9‬ﻣﺜﺎل ‪ : 1‬ﻧﺮﻣﻲ ﻗﻄﻌﻴﺔ ﻧﻘﺪﻳﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻐﺸﻮﺷﺔ ﻓﻲ اﻟﻬﻮاء ‪.‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻧﺘﻴﺠﺘﺎن ﻣﻤﻜﻨﺘﺎن ‪ :‬اﻟﻮﺟﻪ ) ‪ ( face : F‬و اﻟﻈﻬﺮ ) ‪. ( pile : P‬‬ ‫ﻧﻘﻮل إن ‪ P‬إﻣﻜﺎﻧﻴﺔ ‪ .‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ F‬إﻣﻜﺎﻧﻴﺔ ‪.‬‬ ‫) ‪(éventualité‬‬ ‫اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ } ‪ Ω = {F , P‬ﺗﺴﻤﻰ آﻮن اﻹﻣﻜﺎﻧﻴﺎت‪.‬‬ ‫) ‪(Univers des éventualités‬‬ ‫آﻞ ﺟﺰء ﻣﻦ ‪ Ω‬ﻣﻜﻮن ﻣﻦ ﻋﻨﺼﺮ واﺣﺪ ﻳﺴﻤﻰ ﺣﺪﺛﺎ اﺑﺘﺪاﺋﻴﺎ ) ‪(évènement élémentaire‬‬ ‫} ‪ A = {P‬ﺣﺪث اﺑﺘﺪاﺋﻲ ‪.‬‬ ‫∅ هﻮ اﻟﺤﺪث اﻟﻤﺴﺘﺤﻴﻞ ‪.‬‬ ‫) ‪(évènement impossible‬‬ ‫‪ Ω‬هﻮ اﻟﺤﺪث اﻷآﻴﺪ ‪.‬‬ ‫) ‪(évènement certain‬‬ ‫‪ 9‬ﻣﺜﺎل ‪ : 2‬ﻧﺮﻣﻲ ﻗﻄﻌﺘﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﻐﺸﻮﺷﺘﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻬﻮاء ‪.‬‬ ‫آﻮن اﻹﻣﻜﺎﻧﻴﺎت هﻮ ‪ . Ω = {PP , PF , FP , FF } :‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪. Card ( Ω ) = 4 :‬‬ ‫اﻷﺣﺪاث اﻻﺑﺘﺪاﺋﻴﺔ هﻲ ‪:‬‬

‫} ‪{PP‬‬

‫و } ‪ {PF‬و } ‪ {FP‬و } ‪. {FF‬‬

‫‪ 9‬ﻣﺜﺎل ‪ : 3‬ﻧﺮﻣﻲ ﻧﺮدا ﻣﻜﻌﺒﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﻐﺸﻮش ﻓﻲ اﻟﻬﻮاء وﺟﻮهﻪ ﻣﺮﻗﻤﺔ ﻣﻦ ‪ 1‬إﻟﻰ‪6‬‬ ‫آﻮن اﻻﻣﻜﺎﻧﻴﺎت هﻮ ‪. Ω = {1, 2,3, 4,5, 6} :‬‬ ‫اﻷﺣﺪاث اﻻﺑﺘﺪاﺋﻴﺔ هﻲ ‪ {1} :‬و }‪ {2‬و }‪ {3‬و }‪ {4‬و }‪ {5‬و }‪ . {6‬وﻟﺪﻳﻨﺎ ‪. Card ( Ω ) = 6 :‬‬ ‫‪ 9‬ﻣﺜﺎل ‪ : 4‬ﻧﺮﻣﻲ ﻧﺮدﻳﻦ ﻣﻜﻌﺒﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﻐﺸﻮﺷﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻬﻮاء وﺟﻮﻩ آﻞ واﺣﺪ ﻣﻨﻬﻤﺎ ﻣﺮﻗﻤﺔ‬ ‫ﻧﺮد ﻣﻜﻌﺐ = ‪Dés Cubique‬‬ ‫ﻣﻦ ‪ 1‬إﻟﻰ ‪. 6‬‬ ‫ﻧﻀﻊ ‪ . Ω1 = {1, 2,3, 4,5, 6} :‬إذن آﻮن اﻻﻣﻜﺎﻧﻴﺎت هﻮ ‪:‬‬ ‫}‪y ∈ Ω1‬‬

‫و‬

‫‪ . Ω = Ω12 = {( x , y ) / x ∈ Ω1‬وﻟﺪﻳﻨﺎ ‪. Card ( Ω ) = 36 :‬‬

‫ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺮﻗﻤﻴﻦ اﻟﻤﺤﺼﻞ ﻋﻠﻴﻬﻤﺎ هﻮ ‪7‬‬ ‫ﺣﺪد اﻟﺤﺪث اﻟﺘﺎﻟﻲ ‪A :‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪. A = {(1, 6 ) ; ( 2,5 ) ; ( 3, 4 ) ; ( 4,3) ; ( 5, 2 ) ; ( 6,1)} :‬وﻟﺪﻳﻨﺎ‪. Card ( A ) = 6 :‬و ‪Card ( Ω ) = 36 = 6‬‬ ‫‪2‬‬

‫؛ وﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺮﻗﻤﻴﻦ اﻟﻤﺤﺼﻞ ﻋﻠﻴﻬﻤﺎ ﻳﺨﺎﻟﻒ ‪7‬‬ ‫اﻟﺤﺪث اﻟﻤﺘﻤﻢ ﻟﻠﺤﺪث ‪ A‬هﻮ ‪:‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ‪ A‬أو ‪ C ΩA‬أو ‪ . Ω − A‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪( évènement complémentaire ). A = {ω ∈ Ω / ω ∉ A } :‬‬

‫‪ .2‬ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪:‬‬ ‫أ‪.‬‬

‫ﻧﻘﻮل إن ‪ A‬و‬

‫‪ B‬ﺣﺪﺛﺎن ﻣﻀﺎدان إذا آﻠﻦ اﻟﻮاﺣﺪ ﻣﻨﻬﻤﺎ ﻣﺘﻤﻢ ﻟﻶﺧﺮ ؛ ) ‪( B = A‬‬ ‫) ‪contraires‬‬

‫‪-1-‬‬

‫‪(évènements‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ :‬ﻟﻜﻞ ﺣﺪث ‪ A‬؛ ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ A :‬و ‪ A‬ﺣﺪﺛﺎن ﻣﻀﺎدان ‪.‬‬ ‫ب‪.‬‬ ‫∅= ‪. A ∩B‬‬ ‫ﻧﻘﻮل إن ﺣﺪﺛﻴﻦ ‪ A‬و ‪ B‬ﻏﻴﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﺎن إذا آﺎن ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬ ‫) ‪( A et B sont incompatibles‬‬ ‫ﻧﻘﻮل أﻳﻀﺎ ‪ A :‬و ‪ B‬ﺣﺪﺛﺎن ﻣﻨﻔﺼﻼن‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ :‬ﻟﻜﻞ ﺣﺪث ‪ A‬؛ ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ A :‬و ‪ A‬ﺣﺪﺛﺎن ﻏﻴﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﺎن ‪. A ∩ A = ∅ .‬‬ ‫ت‪.‬‬ ‫آﻞ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻜﻮﻧﺔ ﻣﻦ ﻧﺘﻴﺠﺔ أو أآﺜﺮ ﻣﻦ ﺑﻴﻦ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ‬ ‫ﺗﺴﻤﻰ ﺣﺪﺛﺎ ﻓﻲ هﺬﻩ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ‪.‬‬

‫‪ .II‬اﻟﻔﻀﺎءات اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ اﻟﻤﻨﺘﻬﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ .1‬ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪:‬‬

‫‪Espaces Probabilisés Finis :‬‬ ‫ﻧﺴﻤﻲ اﺣﺘﻤﺎﻻ ﻋﻠﻰ ‪ Ω‬آﻞ‬ ‫؛ ﺑﺤﻴﺚ ‪:‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ Ω‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻨﺘﻬﻴﺔ ﻏﻴﺮ ﻓﺎرﻏﺔ ‪.‬‬ ‫‪0,1‬‬ ‫ﺗﻄﺒﻴﻖ ‪ p‬ﻣﻦ ) ‪ P ( Ω‬ﻧﺤﻮ اﻟﻤﺠﺎل ] [‬

‫‪. p (Ω) = 1‬‬

‫‪.i‬‬

‫) ‪p (A ∪ B ) = p (A ) + p (B‬‬

‫‪.ii‬‬

‫ﻟﻜﻞ ﺣﺪﺛﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﻴﻦ ‪ A‬و ‪ B‬ﻣﻦ ) ‪. P ( Ω‬‬

‫اﻟﻤﺜﻠﻮث ) ‪ ( Ω, p ( Ω ) , p‬ﻳﺴﻤﻰ ﻓﻀﺎء اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺎ ﻣﻨﺘﻬﻴﺎ ‪.‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ ‪ .i :‬اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث اﻷآﻴﺪ هﻮ ‪. 1‬‬ ‫‪ .ii‬اﺣﺘﻤﺎل اﺗﺤﺎد ﺣﺪﺛﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﻴﻦ هﻮ ﻣﺠﻤﻮع اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﻬﻤﺎ ‪.‬‬

‫‪ .2‬ﺧﺎﺻﻴﺎت ‪:‬‬

‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( Ω, p ( Ω ) , p‬ﻓﻀﺎء اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺎ ﻣﻨﺘﻬﻴﺎ ‪.‬‬

‫]‪[ 0,1‬‬ ‫) ‪p (A‬‬

‫→ )‪: P (Ω‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪. p (∅ ) = 0‬‬

‫‪.i‬‬

‫) ‪p (A ) ≤ p (B‬‬

‫‪.ii‬‬

‫ﺑﺮهﺎن ‪:‬‬

‫‪p‬‬

‫‪ .‬ﻟﻜﻞ ‪ A‬و ‪ B‬ﻣﻦ ) ‪ p ( Ω‬؛ ﻟﺪﻳﻨﺎ‪:‬‬

‫⇒‬

‫‪A ⊂B‬‬

‫) (‬

‫‪.iii‬‬

‫) ‪. p A = 1− p (A‬‬

‫‪.iv‬‬

‫) ‪p (A ∪ B ) = p (A ) + p (B ) − p (A ∩ B‬‬

‫‪ .i‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ∅ = ∅ ∩ ∅ ؛ إذن ‪. p ( ∅ ) = p ( ∅ ∪ ∅ ) = p ( ∅ ) + p ( ∅ ) :‬إذن ‪. p ( ∅ ) = 0 :‬‬ ‫‪ .ii‬ﺑﻤﺎ أن ‪ A ⊂ B‬؛ ﻓﺈن ‪ B = A ∪ ( B − A ) :‬و ∅ = ) ‪A ∩ ( B − A‬‬

‫إذن ‪ p ( B ) = p ( A ) + p ( B − A ) :‬وﻣﻨﻪ ﻓﺈن ‪ p ( B ) − p ( A ) = p ( B − A ) ≥ 0 :‬؛‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن ‪. p ( A ) ≤ p ( B ) :‬‬

‫‪ .iii‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ A ∩ A = ∅ :‬و ‪ . A ∪ A = Ω‬إذن ‪( ) :‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ﻓﺈن ‪. p ( A ) = 1 − p ( A ) :‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪ 1 = p (Ω) = p A ∪ A = p ( A ) + p A‬؛‬

‫‪-2-‬‬

‫‪ .iv‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪A ∪ B = A ∪ ( B − A ) :‬‬

‫∅ = ) ‪. A ∩ (B − A‬‬

‫و‬

‫إذن ‪. p ( A ∪ B ) = p ( A ) + p ( B − A ) :‬‬

‫) ‪B = (A ∩ B ) ∪(B − A‬‬

‫وﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬

‫و ∅= )‪( A ∩B) ∩( B −A‬‬

‫إذن ‪p ( B ) = p ( A ∩ B ) + p ( B − A ) ⇒ p ( B − A ) = p ( B ) − p ( A ∩ B ) :‬‬

‫) ‪. p (A ∪ B ) = p (A ) + p (B ) − p (A ∩ B‬‬

‫وﻋﻠﻴﻪ ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪Hypothèse d’Equiprobabilités :‬‬

‫‪ .III‬ﻓﺮﺿﻴﺔ ﺗﺴﺎوي اﻻﺣﺘﻤﺎل ‪:‬‬

‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( Ω, P ( Ω ) , p‬ﻓﻀﺎء اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺎ ﻣﻨﺘﻬﻴﺎ ‪ .‬ﻧﻀﻊ ‪ Ω = {ω1 , ω2 ,..., ωn } :‬ﺣﻴﺚ ‪:‬‬

‫‪ .1‬ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪:‬‬

‫‪Card ( Ω ) = n‬؛ )‬

‫*‬

‫∈ ‪. (n‬‬

‫ﻧﻘﻮل إن آﻮن اﻹﻣﻜﺎﻧﻴﺎت ‪ Ω‬ﻣﺰود ﺑﺎﺣﺘﻤﺎل ﻣﻨﺘﻈﻢ ؛ إذا آﺎﻧﺖ‬ ‫آﻞ اﻷﺣﺪاث اﻻﺑﺘﺪاﺋﻴﺔ ﻣﺘﺴﺎوﻳﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل‪.‬‬ ‫) }‪. k = p ({ω1‬‬

‫‪ .2‬ﻣﻼﺣﻈﺔ ‪ :‬ﻧﻀﻊ ‪:‬‬

‫ﺣﺴﺐ ﻓﺮﺿﻴﺔ ﺗﺴﺎوي اﻻﺣﺘﻤﺎل ؛ ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪p ({ω1} ) = p ({ω2 } ) = p ({ω3 } ) = p ({ω4 } ) = p ({ω5 } ) = p ({ω6 } ) = k‬‬

‫} ‪. Ω = {ω1} + {ω2 } + {ω3 } + {ω4 } + {ω5 } + {ω6‬‬

‫وﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬

‫إذن ‪1 = p ( Ω ) = p ({ω1} ) + p ({ω2 } ) + p ({ω3} ) + p ({ω4 } ) + p ({ω5 } ) + p ({ω6 } ) :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫) ‪n Card ( Ω‬‬

‫وﻣﻨﻪ ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫) ‪n Card ( Ω‬‬

‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ ‪:‬‬

‫= ) }‪1 = n × p ({ω1} ) ⇒ p ({ω1‬‬ ‫= ) } ‪∀k ∈ {1, 2,..., n } : p ({ωk‬‬

‫‪ 9‬ﻣﺠﻤﻮع اﺣﺘﻤﺎﻻت اﻷﺣﺪاث اﻻﺑﺘﺪاﺋﻴﺔ هﻮ ‪. 1‬‬ ‫‪ 9‬اﺣﺘﻤﺎل ﺣﺪث هﻮ ﻋﺪد ﻣﺤﺼﻮر ﺑﻴﻦ ‪ 0‬و ‪. 1‬‬ ‫‪ 9‬إذا آﺎن ﺗﻄﺒﻴﻖ ]‪ p : P ( Ω ) → [ 0,1‬ﻳﺤﻘﻖ اﻟﺸﺮﻃﻴﻦ اﻟﺘﺎﻟﻴﻴﻦ ‪:‬‬

‫•‬

‫اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث اﻟﻤﺴﺘﺤﻴﻞ هﻮ ‪. 0‬‬

‫‪. p (∅) = 0‬‬

‫• ﻣﺠﻤﻮع ﺻﻮر اﻷﺣﺪاث اﻻﺑﺘﺪاﺋﻴﺔ ﺑﺎﻟﺘﻄﺒﻴﻖ ‪ p‬هﻮ ‪. 1‬‬ ‫ﻓﺈن ‪ p‬اﺣﺘﻤﺎل ﻋﻠﻰ ‪. Ω‬‬ ‫‪ 9‬اﺣﺘﻤﺎل ﺣﺪث ‪ A‬هﻮ ﻣﺠﻤﻮع اﺣﺘﻤﺎﻻت اﻷﺣﺪاث اﻻﺑﺘﺪاﺋﻴﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﻮﺟﺪ‬ ‫ﺿﻤﻦ ‪. A‬‬

‫‪ .3‬ﻣﺒﺮهﻨﺔ هﺎﻣﺔ‪:‬‬

‫ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ ﺗﺴﺎوي اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻓﻲ ﻓﻀﺎء اﺣﺘﻤﺎﻟﻲ ﻣﻨﺘﻪ ) ‪ ( Ω, P ( Ω ) , p‬؛‬ ‫اﺣﺘﻤﺎل ﺣﺪث ‪ A‬هﻮ ‪:‬‬

‫) ‪Card ( A‬‬ ‫) ‪Card ( Ω‬‬

‫= )‪P (A‬‬

‫ﺑﺮهﺎن ‪ :‬ﻟﻴﻜﻦ ‪ A‬ﺣﺪﺛﺎ ‪ . A ⊂ Ω‬ﻧﻀﻊ ‪ A = {a1 , a2 ,..., ak } :‬؛ ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬

‫) ‪Card ( A‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫) ‪Card ( Ω ) Card ( Ω ) Card ( Ω‬‬ ‫‪-3-‬‬

‫× ‪. p ( A ) = p ({a1} ) + p ({a2 } ) + ... + p ({ak } ) = k‬‬

‫‪ .4‬ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﻲ ‪ :‬ﻓﻲ ﺻﻨﺪوق ؛ ﺗﻮﺟﺪ آﺮﺗﺎن ﻟﻮﻧﻬﻤﺎ أﺣﻤﺮ ؛ وﺛﻼث آﺮات ﻟﻮﻧﻬﺎ أﺧﻀﺮ ؛ وأرﺑﻊ‬ ‫آﺮات ﻟﻮﻧﻬﺎ أﺑﻴﺾ ؛ وآﺮﺗﺎن ﻟﻮﻧﻬﻤﺎ أﺻﻔﺮ ‪.‬‬ ‫ﻧﻘﻮم ﺑﺴﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻓﻲ ﺁن واﺣﺪ وﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﻦ هﺬا اﻟﺼﻨﺪوق‪.‬‬ ‫‪ .1‬أ‪ -‬ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل ﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻟﻮﻧﻬﻤﺎ أﺣﻤﺮ‪.‬‬ ‫ب‪ -‬ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل ﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻟﻮﻧﻬﻤﺎ أﺑﻴﺾ‪.‬‬ ‫ﺟـ‪ -‬ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل ﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻟﻮﻧﻬﻤﺎ أﺻﻔﺮ‪.‬‬ ‫د‪ -‬ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل ﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻟﻮﻧﻬﻤﺎ أﺧﻀﺮ‪.‬‬ ‫‪ .2‬ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل ﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻣﻦ ﻧﻔﺲ اﻟﻠﻮن ‪.‬‬ ‫‪ .3‬ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل ﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﻲ اﻟﻠﻮن ‪.‬‬ ‫‪ .4‬ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل ﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻟﻮﻧﻬﻤﺎ ﻟﻴﺲ أﺑﻴﺾ وﻻ أﺻﻔﺮ ‪.‬‬ ‫‪ .5‬ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل أن ﺗﻜﻮن إﺣﺪاهﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﺧﻀﺮاء ‪.‬‬ ‫اﻟﺠﻮاب ‪ :‬ﺗﺜﺒﻴﺖ اﻟﺼﻨﻒ ‪ :‬اﻟﺴﺤﺐ اﻵﻧﻲ ﻟﻜﺮﺗﻴﻦ ﻳﺪل ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺄﻟﻴﻔﺎت ﻟﻜﺮﺗﻴﻦ ﻣﻦ ﺑﻴﻦ ‪. 11‬‬ ‫‪ .1‬أ‪ -‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪث ‪ : A‬ﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻟﻮﻧﻬﻤﺎ أﺣﻤﺮ ‪ .‬اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ A‬هﻮ ‪:‬‬ ‫‪Card ( A ) C 22‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ) ‪p (A‬‬ ‫= ‪= 2‬‬ ‫‪Card ( Ω ) C 11 55‬‬ ‫ب‪ -‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪث ‪: B‬‬

‫‪ .‬اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ B‬هﻮ ‪:‬‬

‫ﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻟﻮﻧﻬﻤﺎ أﺑﻴﺾ‬ ‫‪Card ( B ) C 42‬‬ ‫‪6‬‬ ‫= ) ‪p (B‬‬ ‫= ‪= 2‬‬ ‫‪Card ( Ω ) C 11 55‬‬

‫ﺟـ‪ -‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪث ‪:C‬‬

‫‪ .‬اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ C‬هﻮ ‪:‬‬

‫د ‪ -‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪث ‪: D‬‬

‫‪ .‬اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ D‬هﻮ ‪:‬‬

‫ﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻟﻮﻧﻬﻤﺎ أﺻﻔﺮ‬ ‫‪Card (C ) C 22‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ) ‪p (C‬‬ ‫= ‪= 2‬‬ ‫‪Card ( Ω ) C 11 55‬‬

‫ﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻟﻮﻧﻬﻤﺎ أﺧﻀﺮ‬ ‫‪Card ( D ) C 32‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ) ‪p (D‬‬ ‫= ‪= 2‬‬ ‫‪Card ( Ω ) C 11 55‬‬

‫‪ .‬اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ M‬هﻮ ‪:‬‬ ‫‪ .2‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪث ‪ : M‬ﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻣﻦ ﻧﻔﺲ اﻟﻠﻮن‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪C + C 4 + C 22 + C 32 1 + 6 + 1 + 3 1‬‬ ‫‪. p (M ) = 2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪C 112‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻻ ﺣﻆ أن ‪ M = A ∪ B ∪ C ∪ D :‬و ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬و ‪ D‬ﻏﻴﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﺔ ﻣﺜﻨﻰ ﻣﺜﻨﻰ ‪ .‬إذن ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6 1‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫‪p ( M ) = p ( A ) + p ( B ) + p (C ) + p ( D ) = + + +‬‬ ‫=‬ ‫‪55 55 55 55 5‬‬ ‫‪ .‬ﺑﻤﻼﺣﻈﺔ أن اﻟﺤﺪث ‪ N‬هﻮ اﻟﺤﺪث‬ ‫‪ .3‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪث ‪ : N‬ﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﻲ اﻟﻠﻮن‬ ‫‪1 4‬‬ ‫اﻟﻤﻀﺎد ﻟﻠﺤﺪث ‪ M‬ﻓﺈن اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ N‬هﻮ ‪:‬‬ ‫= ‪p (N ) = p M = 1− p (M ) = 1−‬‬ ‫‪5 5‬‬ ‫‪ .4‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪث ‪ : F‬ﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﻟﻮﻧﻬﻤﺎ ﻟﻴﺲ أﺑﻴﺾ وﻻ أﺻﻔﺮ ‪.‬اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ F‬هﻮ ‪:‬‬ ‫‪C 2 10 2‬‬ ‫= ‪. p ( F ) = 52‬‬ ‫=‬ ‫‪C 11 55 5‬‬ ‫‪ .5‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪث ‪ :G‬ﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ إﺣﺪاهﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﺧﻀﺮاء ‪.‬اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ G‬هﻮ ‪:‬‬ ‫‪C 1 × C 81 + C 32 3 × 8 + 3 27‬‬ ‫‪ V V‬أو ‪V V‬‬ ‫‪. p (G ) = 3‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪C 112‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪55‬‬

‫) (‬

‫)‬

‫‪ .IV‬اﻻﺣﺘﻤﺎل اﻟﺸﺮﻃﻲ ‪:‬‬

‫(‬

‫‪La Probabilté Conditionnelle :‬‬

‫‪ .1‬ﻣﺜﺎل ‪ : 1‬ﻳﺤﺘﻮي ﺻﻨﺪوق ﻋﻠﻰ ﺛﻼث آﺮات ﺣﻤﺮاء وآﺮﺗﻴﻦ ﺑﻴﻀﺎوﻳﻦ ‪ .‬ﻧﺴﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ اﻟﻮاﺣﺪة ﺗﻠﻮ‬ ‫اﻷﺧﺮى دون إرﺟﺎع اﻟﻜﺮة اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺔ إﻟﻰ اﻟﺼﻨﺪوق ‪.‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪﺛﻴﻦ ‪ : A :‬اﻟﻜﺮة اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺔ اﻷوﻟﻰ ﺣﻤﺮاء‬ ‫‪ : B‬اﻟﻜﺮة اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻴﻀﺎء‬ ‫) ‪p (A ∩ B‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ .1‬أﺣﺴﺐ ﻣﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬ ‫) ‪p (A‬‬

‫‪-4-‬‬

‫‪ .2‬ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ B‬؛ ﻋﻠﻤﺎ أن اﻟﺤﺪث ‪ A‬ﻣﺤﻘﻖ ‪ ) .‬ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ) ‪( p A ( B‬‬ ‫‪ .3‬ﻣﺎذا ﺗﺴﺘﻨﺘﺞ ؟‬

‫اﻟﺤﻞ ‪:‬‬

‫‪ .1‬اﻟﺴﺤﺐ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻊ ﺑﺪون إﺣﻼل ﻳﺪل ﻋﻠﻰ‬ ‫‪Card ( A ) A × A‬‬ ‫‪3× 4 3‬‬ ‫اﻟﺘﺮﺗﻴﺒﺎت ‪ .‬إذن ‪:‬‬ ‫= ) ‪. p (A‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪Card ( Ω‬‬ ‫‪A5‬‬ ‫‪5× 4 5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫أي ‪ :‬اﻟﻜﺮة اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺔ اﻷوﻟﻰ ﺣﻤﺮاء ؛ واﻟﻜﺮة اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﻜﺮات اﻟﻤﺘﺒﻘﻴﺔ‪.‬‬ ‫وﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ : A ∩ B :‬اﻟﻜﺮة اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺔ اﻷوﻟﻰ ﺣﻤﺮاء واﻟﻜﺮة اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻴﻀﺎء‬ ‫‪Card ( A ∩ B ) A 31 × A 21 3 × 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫إذن ‪:‬‬ ‫= ) ‪. p (A ∩ B‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪Card ( Ω‬‬ ‫‪A5‬‬ ‫‪5 × 4 10‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪p ( A ∩ B ) 10 1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) ‪p (A‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪A 21 2 1‬‬ ‫= = ‪. pA ( B ) = 1‬‬ ‫‪ .2‬اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ B‬؛ ﻋﻠﻤﺎ أن اﻟﺤﺪث ‪ A‬ﻣﺤﻘﻖ ؛ هﻮ ‪:‬‬ ‫‪A4 4 2‬‬ ‫اﻟﺤﺪث ‪ A‬ﻣﺤﻘﻖ ﻳﻌﻨﻲ أن اﻟﺼﻨﺪوق ﻳﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ آﺮﺗﻴﻦ ﺣﻤﺮاوﻳﻦ وﻋﻠﻰ آﺮﺗﻴﻦ‬ ‫ﺑﻴﻀﺎوﻳﻦ ‪ .‬اﻻﺣﺘﻤﺎل اﻟﻤﻄﻠﻮب هﻮ اﺣﺘﻤﺎل‬ ‫اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ آﺮة ﺑﻴﻀﺎء ﻣﻦ اﻟﺼﻨﺪوق ‪. U‬‬ ‫‪ .3‬ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﻣﻤﺎ ﺳﺒﻖ ؛ أن ‪:‬‬

‫) ‪p (A ∩ B‬‬ ‫) ‪p (A‬‬

‫= ) ‪. pA ( B‬‬

‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( Ω, p‬ﻓﻀﺎء اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺎ ﻣﻨﺘﻬﻴﺎ ؛ وﻟﻴﻜﻦ ‪ A‬ﺣﺪﺛﺎ ﻣﻦ ) ‪ P ( Ω‬ﺣﻴﺚ ‪. p ( A ) ≠ 0‬‬

‫‪ .2‬ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪:‬‬

‫اﺣﺘﻤﺎل ﺣﺪث ‪ B‬؛ ﻋﻠﻤﺎ أن اﻟﺤﺪث ‪ A‬ﻣﺤﻘﻖ هﻮ ‪:‬‬ ‫) ‪ p A ( B‬أو ) ‪ p ( B / A‬؛ وﻧﻜﺘﺐ ‪:‬‬

‫‪ .3‬ﻣﻼﺣﻈﺎت ‪:‬‬

‫) ‪p (A ∩ B‬‬ ‫) ‪p (A‬‬

‫) ‪p (A ∩ B‬‬ ‫) ‪p (A‬‬

‫وﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ‬

‫= ) ‪pA ( B‬‬

‫‪ 9‬ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ ﻓﺮﺿﻴﺔ ﺗﺴﺎوي اﻻﺣﺘﻤﺎل ؛ ﻳﻜﻮن ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬ ‫) ‪Card ( A ∩ B‬‬ ‫اﺣﺘﻤﺎل ﺣﺪث ‪ B‬؛ﻋﻠﻤﺎ أن اﻟﺤﺪث ‪ A‬ﻣﺤﻘﻖ هﻮ‪:‬‬ ‫) ‪Card ( A‬‬

‫‪ .4‬ﻣﺜﺎل ‪: 2‬‬

‫= ) ‪pA ( B‬‬

‫‪ 9‬اﻻﺣﺘﻤﺎل اﻟﺸﺮﻃﻲ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﺤﺪث ‪ A‬؛ هﻮ اﻟﺘﻄﺒﻴﻖ ‪:‬‬ ‫]‪p A : P ( Ω ) → [ 0,1‬‬ ‫‪B‬‬ ‫) ‪pA ( B‬‬ ‫ﺗﻀﻢ إﺣﺪى اﻟﺜﺎﻧﻮﻳﺎت ‪ 250‬ﺗﻠﻤﻴﺬا ؛ ﻣﻮزﻋﻴﻦ إﻟﻰ داﺧﻠﻴﻴﻦ و ﺧﺎرﺟﻴﻴﻦ آﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬

‫اﺧﺘﺮﻧﺎ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎ ﺗﻠﻤﻴﺬا ﻣﻦ ﺑﻴﻦ ‪ 250‬ﺗﻠﻤﻴﺬ ‪ .‬ﻟﺠﻤﻴﻊ اﻟﺘﻼﻣﻴﺬ ﻧﻔﺲ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻜﻲ ﻳﺘﻢ‬ ‫اﺧﺘﻴﺎرهﻢ ‪.‬‬

‫‪-5-‬‬

‫‪ .1‬أﺣﺴﺐ اﺣﺘﻤﺎﻻت اﻷﺣﺪاث اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ : G‬اﺧﺘﻴﺎر ﺗﻠﻤﻴﺬ ذآﺮ‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ : F‬اﺧﺘﻴﺎر ﺗﻠﻤﻴﺬة أﻧﺜﻰ‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ : E‬اﺧﺘﻴﺎر ﺗﻠﻤﻴﺬ ﺧﺎرﺟﻲ‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ : I‬اﺧﺘﻴﺎر ﺗﻠﻤﻴﺬ داﺧﻠﻲ‬ ‫‪ .2‬إذا آﺎن اﻟﺘﻠﻤﻴﺬ اﻟﻤﺨﺘﺎر ذآﺮا ؛ ﻓﻤﺎ هﻮ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻜﻲ ﻳﻜﻮن ﺧﺎرﺟﻴﺎ ؟‬ ‫‪.‬‬

‫اﻟﺠﻮاب ‪:‬‬ ‫‪200 4‬‬ ‫=‬ ‫‪250 5‬‬

‫‪ .1‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬

‫=‬

‫) ‪Card (G‬‬ ‫) ‪Card ( Ω‬‬

‫‪Card ( F ) 50‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪Card ( Ω ) 250 5‬‬ ‫‪110 11‬‬ ‫=‬ ‫‪250 25‬‬

‫=‬

‫‪140 14‬‬ ‫=‬ ‫‪250 25‬‬

‫=‬

‫) ‪Card ( E‬‬ ‫) ‪Card ( Ω‬‬ ‫) ‪Card ( I‬‬

‫) ‪Card ( Ω‬‬

‫= ) ‪. p (G‬‬ ‫= ) ‪. p (F‬‬ ‫= ) ‪. p (E‬‬

‫= ) ‪. p (I‬‬

‫‪80‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .2‬إذا آﺎن اﻟﺘﻠﻤﻴﺬ اﻟﻤﺨﺘﺎر ذآﺮا ؛ ﻓﺈن اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻜﻲ ﻳﻜﻮن ﺧﺎرﺟﻴﺎ هﻮ‪:‬‬ ‫=‬ ‫‪200 5‬‬

‫‪ .5‬ﺻﻴﻐﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت اﻟﻤﺮآﺒﺔ ‪:‬‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ ‪:‬‬

‫ﺑﺮهﺎن ‪:‬‬

‫= ) ‪. pG ( E‬‬

‫‪Formule des Probabilités Composées :‬‬

‫إذا آﺎن ‪ A‬و ‪ B‬ﺣﺪﺛﺎن اﺣﺘﻤﺎﻻهﻤﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﻴﻦ ؛ ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫) ‪p ( A ∩ B ) = p ( A ) × pA ( B ) = p ( B ) × pB ( A‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬ ‫وﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬

‫اﺳﺘﻨﺘﺎج ‪:‬‬

‫) ‪p (A ∩ B‬‬ ‫) ‪⇒ p ( A ∩ B ) = p ( A ) × pA ( B‬‬ ‫) ‪p (A‬‬

‫) ‪p (A ∩ B‬‬ ‫) ‪⇒ p ( A ∩ B ) = p ( B ) × pB ( A‬‬ ‫) ‪p (B‬‬

‫= ) ‪. pA ( B‬‬ ‫= ) ‪. pB ( A‬‬

‫إذا آﺎن ‪ A‬و ‪ B‬ﺣﺪﺛﺎن اﺣﺘﻤﺎﻻهﻤﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﻴﻦ ؛ ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫) ‪p ( A ) pB ( A‬‬ ‫=‬ ‫) ‪p ( B ) pA ( B‬‬

‫‪Les Probabilités Totales :‬‬

‫‪ .V‬اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت اﻟﻜﻠﻴﺔ ‪:‬‬

‫‪Partition d’un ensemble :‬‬

‫‪ .1‬ﺗﺠﺰﻳﺊ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ‪:‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ :‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻔﻀﺎء }‪ . Ω = {1, 2,3, 4,5, 6‬وﻧﻌﺘﺒﺮ اﻷﺣﺪاث اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪ A1 = {2, 4, 6} :‬و }‪ A 2 = {1‬و }‪. A 3 = {5, 6‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬ ‫∅ = ‪ A1 ∩ A 2‬و ∅ = ‪ A1 ∩ A 3‬و ∅ = ‪ A 2 ∩ A 3‬و ‪. Ω = A1 ∪ A 2 ∪ A 3‬‬ ‫اﻷﺣﺪاث ‪ A1‬و ‪ A 2‬و ‪ A 3‬ﻏﻴﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﺔ ﻣﺜﻨﻰ ﻣﺜﻨﻰ واﺗﺤﺎدهﺎ ‪. Ω‬‬ ‫ﻧﻘﻮل إن اﻷﺣﺪاث ‪ A1‬و ‪ A 2‬و ‪ A 3‬ﺗﻜﻮن ﺗﺠﺰﻳﺌﺎ ﻟﻠﻔﻀﺎء ‪. Ω‬‬

‫‪ .2‬ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪:‬‬

‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( Ω, p‬ﻓﻀﺎء اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺎ ﻣﻨﺘﻬﻴﺎ وﻟﻴﻜﻦ‬

‫*‬

‫∈‪. n‬‬

‫ﻧﻘﻮل إن اﻷﺣﺪاث ‪ A1‬و ‪ A 2‬و ‪ . . .‬و ‪ A n‬ﺗﻜﻮن ﺗﺠﺰﻳﺌﺎ ﻟﻠﻔﻀﺎء ‪ Ω‬؛ إذا آﺎﻧﺖ ﻏﻴﺮ‬ ‫ﻣﻨﺴﺠﻤﺔ ﻣﺜﻨﻰ ﻣﺜﻨﻰ واﺗﺤﺎدهﺎ ‪ . Ω‬أي ‪:‬‬ ‫∅ = ‪ A i ∩ A j‬ﻟﻜﻞ ‪ 1 ≤ i ≤ n‬و ‪ 1 ≤ j ≤ n‬ﺣﻴﺚ ‪. i ≠ j‬‬ ‫أ‪-‬‬ ‫ب‪-‬‬

‫‪Ω = A1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n‬‬

‫‪-6-‬‬

‫‪ .3‬ﻣﺒﺮهﻨﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت اﻟﻜﻠﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( Ω, p‬ﻓﻀﺎء اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺎ ﻣﻨﺘﻬﻴﺎ وﻟﻴﻜﻦ‬

‫*‬

‫∈‪. n‬‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ A1‬و ‪ A 2‬و ‪ ...‬و ‪ A n‬ﺗﺠﺰﻳﺌﺎ ﻟﻠﻔﻀﺎء ‪ Ω‬؛ و ‪ B‬ﺣﺪﺛﺎ ﻣﻦ ‪. Ω‬اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ B‬هﻮ ‪:‬‬ ‫) ‪p ( B ) = p ( A1 ) × p A1 ( B ) + p ( A 2 ) × p A2 ( B ) + ... + p ( A n ) × p A n ( B‬‬

‫ﺑﺮهﺎن ‪ :‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ A1 :‬و ‪ A 2‬و ‪ ...‬و ‪ A n‬ﺗﺠﺰﻳﺌﺎ ﻟﻠﻔﻀﺎء ‪ . Ω‬ﺑﻤﺎ أن ‪ B ⊂ Ω‬؛ ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪B = B ∩Ω‬‬ ‫) ‪B = B ∩ ( A1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n‬‬ ‫) ‪B = ( B ∩ A1 ) ∪ ( B ∩ A 2 ) ∪ ... ∪ ( B ∩ A n‬‬

‫ﺑﻤﺎ أن اﻷﺣﺪاث ‪ A1‬و ‪ A 2‬و ‪ ...‬و ‪ A n‬ﻏﻴﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﺔ ﻣﺜﻨﻰ ﻣﺜﻨﻰ ﻓﺈن اﻷﺣﺪاث ‪ B ∩ A1‬و ‪ B ∩ A 2‬و ‪ ...‬و‬

‫) ‪p ( B ) = p ( B ∩ A1 ) + p ( B ∩ A 2 ) + ... + p ( B ∩ A n‬‬

‫‪ B ∩ A n‬ﻏﻴﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﺔ ﻣﺜﻨﻰ ﻣﺜﻨﻰ ‪.‬إذن ‪:‬‬

‫) ‪p ( B ) = p ( A1 ) × p A1 ( B ) + p ( A 2 ) × p A2 ( B ) + ... + p ( A n ) × p An ( B‬‬

‫‪ .4‬ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﻲ ‪ :‬ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻧﺮدا ﻣﻜﻌﺒﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﻐﺸﻮش ﻓﻲ اﻟﻬﻮاء ﺗﺤﻤﻞ وﺟﻮهﻪ اﻟﺴﺘﺔ اﻷرﻗﺎم اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪-‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-‬‬

‫‪1‬‬

‫وﻧﻌﺘﺒﺮ ﺻﻨﺪوﻗﻴﻦ ‪:‬‬ ‫‪ : U1‬ﻳﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ ﺛﻼث آﺮات ﺣﻤﺮاء وآﺮﺗﻴﻦ ﺑﻴﻀﺎوﻳﻦ ‪.‬‬ ‫‪ : U2‬ﻳﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ أرﺑﻊ آﺮات ﺣﻤﺮاء وﺛﻼث آﺮات ﺑﻴﻀﺎء ‪.‬‬

‫‪-‬‬

‫‪2‬‬

‫‪-‬‬

‫‪2‬‬

‫ﻧﺮﻣﻲ اﻟﻨﺮد ﻣﺮة واﺣﺪة ﻓﻲ اﻟﻬﻮاء ‪:‬‬ ‫‪ 9‬إذا ﻇﻬﺮ اﻟﺮﻗﻢ ‪ 1‬؛ ﻧﺴﺤﺐ آﺮة ﻣﻦ ‪. U1‬‬

‫‪ 9‬إذا ﻇﻬﺮ اﻟﺮﻗﻢ ‪ 2‬؛ ﻧﺴﺤﺐ آﺮة ﻣﻦ ‪. U2‬‬ ‫‪ .1‬ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ آﺮة ﺑﻴﻀﺎء‪.‬‬ ‫‪ .2‬ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ آﺮة ﺣﻤﺮاء ‪.‬‬ ‫‪ .3‬ﻋﻠﻤﺎ أن اﻟﻜﺮة اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺔ ﺑﻴﻀﺎء ؛ ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل أن ﺗﻜﻮن ﻣﻦ اﻟﺼﻨﺪوق ‪. U1‬‬ ‫اﻟﺠﻮاب ‪:‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪﺛﻴﻦ اﻟﺘﺎﻟﻴﻴﻦ ‪ : A1 :‬ﻇﻬﻮر اﻟﺮﻗﻢ ‪ 1‬ﻋﻨﺪ رﻣﻲ اﻟﻨﺮد ‪ .‬أي‪ :‬اﺧﺘﻴﺎر اﻟﺼﻨﺪوق ‪. U1‬‬ ‫‪ : A 2‬ﻇﻬﻮر اﻟﺮﻗﻢ ‪ 2‬ﻋﻨﺪ رﻣﻲ اﻟﻨﺮد ‪ .‬أي‪ :‬اﺧﺘﻴﺎر اﻟﺼﻨﺪوق ‪. U2‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ A1‬و ‪ A 2‬ﺣﺪﺛﺎن ﻏﻴﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﺎن واﺗﺤﺎدهﻤﺎ ‪ Ω‬؛ إذن ﻓﻬﻲ ﺗﻜﻮن ﺗﺠﺰﻳﺌﺎ ﻟﻠﻔﻀﺎء ‪. Ω‬‬ ‫‪ .‬ﺣﺴﺐ ﺻﻴﻐﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت اﻟﻜﻠﻴﺔ ؛ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث‬ ‫‪ .1‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪث ‪ : B :‬ﺳﺤﺐ آﺮة ﺑﻴﻀﺎء‬ ‫‪2 2 2 3‬‬ ‫‪43‬‬ ‫= × ‪. p ( B ) = p ( A1 ) × p A1 ( B ) + p ( A 2 ) × p A2 ( B ) = × +‬‬ ‫‪≈ 0, 41‬‬ ‫‪ B‬هﻮ ‪:‬‬ ‫‪3 5 6 7 105‬‬ ‫‪ .‬ﺣﺴﺐ ﺻﻴﻐﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت اﻟﻜﻠﻴﺔ ؛ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث‬ ‫‪ .2‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪث ‪ : R :‬ﺳﺤﺐ آﺮة ﺣﻤﺮاء‬ ‫‪2 3 2 4‬‬ ‫‪62‬‬ ‫= × ‪. p ( R ) = p ( A1 ) × p A1 ( R ) + p ( A 2 ) × p A 2 ( R ) = × +‬‬ ‫‪≈ 0,59‬‬ ‫‪ R‬هﻮ ‪:‬‬ ‫‪3 5 6 7 105‬‬ ‫‪ .3‬ﻋﻠﻤﺎ أن اﻟﻜﺮة اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺔ ﺑﻴﻀﺎء ؛ اﺣﺘﻤﺎل أن ﺗﻜﻮن ﻣﻦ اﻟﺼﻨﺪوق ‪ U1‬هﻮ ) ‪. p B ( A1‬‬ ‫ﺣﺴﺐ ﺻﻴﻐﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت اﻟﻤﺮآﺒﺔ ؛ ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ p ( B ) × p B ( A1 ) = p ( A1 ) × p A1 ( B ) :‬؛ إذن ‪:‬‬

‫‪2 2‬‬ ‫×‬ ‫‪4 105 28‬‬ ‫× =‪=3 5‬‬ ‫=‬ ‫‪≈ 0, 65‬‬ ‫‪43‬‬ ‫‪15 43‬‬ ‫‪43‬‬ ‫) ‪p (B‬‬ ‫‪105‬‬ ‫ﻧﻠﺨﺺ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻓﻲ ﺷﺠﺮة اﻹﻣﻜﺎﻧﻴﺎت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬

‫) ‪p ( A1 ) × p A1 ( B‬‬

‫‪-7-‬‬

‫= ) ‪p B ( A1‬‬

‫‪L’indépendance :‬‬

‫‪ .VI‬اﻻﺳﺘﻘﻼﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ .1‬ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪:‬‬

‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( Ω, p‬ﻓﻀﺎء اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺎ ‪ .‬ﻧﻘﻮل إن ﺣﺪﺛﺎن ‪ A‬و ‪ B‬ﻣﺴﺘﻘﻼن ؛ إذا آﺎن ‪:‬‬

‫) ‪p (A ∩ B ) = p (A )× p (B‬‬ ‫إذا آﺎن ‪ p ( A ) ≠ 0‬؛ ﻓﺈن ‪ A :‬و ‪ B‬ﻣﺴﺘﻘﻼن ⇔ ) ‪. p A ( B ) = p ( B‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ ‪:‬‬

‫‪ .2‬ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﻲ ‪ :‬ﻧﺮﻣﻲ ﻧﺮدا ﻣﻜﻌﺒﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﻐﺸﻮش ﻓﻲ اﻟﻬﻮاء ﺗﺤﻤﻞ وﺟﻮهﻪ اﻟﺴﺘﺔ اﻷرﻗﺎم‬ ‫ﻣﻦ ‪ 1‬إﻟﻰ ‪ 6‬ﻣﺮﺗﻴﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ ‪ .‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻷﺣﺪاث اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ : A‬اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﻌﺪد ‪ 2‬ﻓﻲ اﻟﺮﻣﻴﺔ اﻷوﻟﻰ ‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ : B‬اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻋﺪدﻳﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﻬﻤﺎ ‪7‬‬ ‫‪ :C‬اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻋﺪدﻳﻦ زوﺟﻴﻴﻦ ‪.‬‬ ‫‪ .1‬أﺣﺴﺐ اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪ p ( A ) :‬و ) ‪ ( B‬و ) ‪ p ( A ∩ B‬؛ ﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ أن ‪:‬‬ ‫‪ A‬و ‪ B‬ﺣﺪﺛﺎن ﻣﺴﺘﻘﻼن ‪.‬‬ ‫‪ .2‬هﻞ اﻟﺤﺪﺛﺎن ‪ A‬و ‪ C‬ﻣﺴﺘﻘﻼن ؟‬ ‫اﻟﺠﻮاب ‪:‬‬ ‫‪ .1‬اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ C‬هﻮ ‪:‬‬

‫‪1 ×6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪36 6‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫=‬

‫) ‪Card ( A‬‬

‫) ‪Card ( Ω‬‬

‫= ) ‪. p (A‬‬

‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ B = {(1, 6 ) ; ( 2,5 ) ; ( 3, 4 ) ; ( 4,3) ; ( 5, 2 ) ; ( 6,1)} :‬؛إذن اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ C‬هﻮ ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪11 × 11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ A ∩ B = {( 2,5 )} :‬؛ إذن ‪:‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪36‬‬

‫=‬

‫=‬

‫) ‪Card ( B‬‬ ‫) ‪Card ( Ω‬‬

‫) ‪Card ( A ∩ B‬‬ ‫) ‪Card ( Ω‬‬

‫= ) ‪. p (B‬‬

‫= ) ‪. p (A ∩ B‬‬

‫‪ .2‬ﺑﻤﺎ أن‪ p ( A ∩ B ) = p ( A ) × p ( B ) :‬؛ ﻓﺈن ‪ A‬و ‪ B‬ﺣﺪﺛﺎن ﻣﺴﺘﻘﻼن‪.‬‬ ‫) ‪Card (C‬‬

‫‪32‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ) ‪. p (C‬‬ ‫‪ .3‬اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ C‬هﻮ ‪:‬‬ ‫= ‪= 2‬‬ ‫=‬ ‫‪36 4‬‬ ‫‪Card ( Ω ) 6‬‬

‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ A ∩ C = {( 2, 2 )} :‬؛ إذن اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ A ∩ C‬هﻮ ‪:‬‬

‫‪Card ( A ∩ C ) 11 × 11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪= 2‬‬ ‫) ‪Card ( Ω‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪36‬‬

‫= ) ‪. p (A ∩C‬‬

‫‪1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= × = ) ‪ p ( A ) × p (C‬؛‬ ‫= ) ‪ p ( A ∩C‬و‬ ‫ﺑﻤﺎ أن ‪:‬‬ ‫‪6 4 24‬‬ ‫‪36‬‬ ‫ﻓﺈن ‪ . p ( A ∩ C ) ≠ p ( A ) × p (C ) :‬إذن ‪ A‬و ‪ C‬ﺣﺪﺛﺎن ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻼن ‪.‬‬ ‫‪-8-‬‬

‫‪L’indépendance des épreuves aléatoires :‬‬

‫‪ .3‬اﺳﺘﻘﻼﻟﻴﺔ اﻻﺧﺘﺒﺎرات اﻟﻌﺸﻮاﺋﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺗﻤﻬﻴﺪ ‪:‬‬ ‫أ‪.‬‬ ‫‪ (i 9‬رﻣﻲ ﻗﻄﻌﺔ ﻧﻘﻮد ‪ n‬ﻣﺮة ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ ) .‬ﻳﻤﻜﻦ اﻋﺘﺒﺎر آﻞ رﻣﻴﺔ اﺧﺘﺒﺎرا ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎ (‬ ‫‪ (ii 9‬ﺳﺤﺐ ‪ n‬آﺮة ﻣﻦ ﺑﻴﻦ ‪ m‬آﺮة ﺑﺎﻟﺘﺘﺎﺑﻊ وﺑﺪون إﺣﻼل ) ‪. ( n ≤ m‬‬

‫ب‪.‬‬

‫) آﻞ ﺳﺤﺒﺔ ﻳﻤﻜﻦ اﻋﺘﺒﺎرهﺎ اﺧﺘﺒﺎرا ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎ (‬ ‫‪ (iii 9‬ﺳﺤﺐ ‪ n‬آﺮة ﻣﻦ ﺑﻴﻦ ‪ m‬آﺮة ﺑﺎﻟﺘﺘﺎﺑﻊ وﺑﺈﺣﻼل ‪.‬‬ ‫‪ (iv 9‬رﻣﻲ ﻧﺮد ﻣﻜﻌﺐ ‪ n‬ﻣﺮة ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪.‬‬ ‫• ﺑﻌﺾ اﻟﺘﺠﺎرب اﻟﻌﺸﻮاﺋﻴﺔ ﺗﺘﻜﻮن ﻣﻦ اﺧﺘﺒﺎر واﺣﺪ أو ﻋﺪة اﺧﺘﺒﺎرات ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ‪.‬‬ ‫وﻧﻼﺣﻆ أن ﻓﻲ ﺑﻌﺾ اﻟﺘﺠﺎرب ؛ ﻻ ﺗﺆﺛﺮ ﻧﺘﺎﺋﺞ اﺧﺘﺒﺎر ﻋﻠﻰ اﻻﺧﺘﺒﺎر اﻟﻤﻮاﻟﻲ ﻟﻪ ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ :‬ﺗﺠﺎرب ) ‪ (i‬و ) ‪ (iii‬و ) ‪. (iv‬‬ ‫• ﻓﻲ ﺣﻴﻦ ؛ ﺗﺆﺛﺮ ﻧﺘﺎﺋﺞ اﺧﺘﺒﺎر ﻋﻠﻰ اﻻﺧﺘﺒﺎر اﻟﻤﻮاﻟﻲ ﻓﻲ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ) ‪. (ii‬‬ ‫)ﻻ ﻧﻌﻴﺪ اﻟﻜﺮة اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺔ ؛ ﻓﻴﺘﻐﻴﺮ ﻋﺪد اﻹﻣﻜﺎﻧﻴﺎت ‪( ...‬‬ ‫• إذا آﺎﻧﺖ ﻧﺘﺎﺋﺞ اﺧﺘﺒﺎر ﻣﺎ ؛ ﻻ ﺗﺆﺛﺮ ﻋﻠﻰ ﻧﺘﺎﺋﺞ اﻻﺧﺘﺒﺎر اﻟﻤﻮاﻟﻲ ؛ ﻧﻘﻮل إن اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ‬ ‫ﺗﺘﻜﻮن ﻣﻦ اﺧﺘﺒﺎرات ﻋﺸﻮاﺋﻴﺔ ﻣﺴﺘﻘﻠﺔ ‪.‬‬ ‫‪Les épreuves répétées :‬‬ ‫اﻻﺧﺘﺒﺎرات اﻟﻤﺘﻜﺮرة ‪:‬‬ ‫‪ 9‬أﻣﺜﻠﺔ ‪:‬‬ ‫• ﻧﺮﻣﻲ ﻧﺮدا ﻣﻜﻌﺒﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﻐﺸﻮش ﻓﻲ اﻟﻬﻮاء ﺧﻤﺲ ﻣﺮات ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‪.‬‬ ‫• ﻧﺮﻣﻲ ﻗﻄﻌﺔ ﻧﻘﺪﻳﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻐﺸﻮﺷﺔ ﻓﻲ اﻟﻬﻮاء ﺛﻼث ﻣﺮات ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‪.‬‬ ‫• ﻧﺴﺤﺐ أرﺑﻊ آﺮات ﻣﻦ آﻴﺲ ﻳﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ ‪ n‬آﺮة ﺑﺎﻟﺘﺘﺎﺑﻊ وﺑﺈﺣﻼل ‪.‬‬ ‫‪ 9‬ﻣﺜﺎل ‪ :‬ﻧﺮﻣﻲ ﻧﺮدا ﻣﻜﻌﺒﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﻐﺸﻮش ﻓﻲ اﻟﻬﻮاء ﺧﻤﺲ ﻣﺮات ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ .‬أﺣﺴﺐ اﺣﺘﻤﺎل‬ ‫اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻋﺪد ﻗﺎﺑﻞ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 3‬أرﺑﻊ ﻣﺮات ﺑﺎﻟﻀﺒﻂ ‪.‬‬ ‫اﻟﺠﻮاب ‪ :‬ﺗﺘﻜﻮن هﺬﻩ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻣﻦ ﺗﻜﺮار اﻻﺧﺘﺒﺎر ‪ :‬رﻣﻲ ﻧﺮد ﻓﻲ اﻟﻬﻮاء ﺧﻤﺲ ﻣﺮات‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ﻃﺮﻳﻘﺔ ‪ :1‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪث‪ : S :‬اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻋﺪد ﻗﺎﺑﻞ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪3‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫= = ) ‪. p (S‬‬ ‫و‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ S = {3, 6} :‬؛‬ ‫‪6 3‬‬ ‫ﻓﻲ آﻞ رﻣﻴﺔ ؛ إﻣﺎ أن ﻳﺘﺤﻘﻖ اﻟﺤﺪث ‪ S‬وإﻣﺎ أن ﻻ ﻳﺘﺤﻘﻖ‪.‬‬

‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ C 54 :‬إﻣﻜﺎﻧﻴﺔ ﻻﺧﺘﻴﺎر اﻷﻣﻜﻨﺔ اﻟﺘﻲ ﺳﻴﺘﺤﻘﻖ ﻓﻴﻬﺎ اﻟﺤﺪث ‪. S‬‬

‫‪1‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ :‬اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ S‬هﻮ‬ ‫‪3‬‬

‫= ) ‪ p ( S‬؛ واﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ E = S‬هﻮ ‪:‬‬

‫) (‬

‫‪1 2‬‬ ‫= ‪. p ( E ) = p S = 1 − p (S ) = 1 −‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫) (‬

‫⎞‪⎛1⎞ ⎛ 2‬‬ ‫اﺣﺘﻤﺎل اﻹﻣﻜﺎﻧﻴﺔ ‪ SESSS‬هﻮ ‪ . ( p ( S ) ) × p S = ⎜ ⎟ × ⎜ ⎟ :‬وﻣﻨﻪ ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫⎠‪⎝3⎠ ⎝ 3‬‬ ‫اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ رﻗﻢ ﻗﺎﺑﻞ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 3‬أرﺑﻊ ﻣﺮات ﺑﺎﻟﻀﺒﻂ هﻮ ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫⎞‪⎛2‬‬ ‫⎞‪4 ⎛1‬‬ ‫= ⎟ ⎜× ⎟ ⎜× ‪C5‬‬ ‫‪≈ 0, 41‬‬ ‫‪243‬‬ ‫⎠‪⎝3⎠ ⎝ 3‬‬ ‫ﻃﺮﻳﻘﺔ ‪ : 2‬هﺬﻩ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﺗﺪل ﻋﻠﻰ اﻟﺴﺤﺐ اﻟﻤﺘﺘﺎﺑﻊ ﺑﺈﺣﻼل ﻟﺨﻤﺴﺔ أرﻗﺎم ﻣﻦ ﺑﻴﻦ‬ ‫اﻷرﻗﺎم اﻟﺴﺘﺔ اﻟﻤﻜﻮﻧﺔ ﻟﻠﻨﺮد ؛ وهﺬا ﻳﺪل ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﻴﺒﺎت ﻟﺨﻤﺴﺔ ﻋﻨﺎﺻﺮ‪.‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪث ‪ : A‬اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ رﻗﻢ ﻗﺎﺑﻞ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 3‬أرﺑﻊ ﻣﺮات ﺑﺎﻟﻀﺒﻂ‬ ‫اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ A‬هﻮ ‪:‬‬ ‫‪-9-‬‬

‫‪4‬‬

‫‪Card ( A ) C 54 × 24 × 41‬‬ ‫⎞‪⎛2⎞ ⎛4‬‬ ‫⎞‪⎛1⎞ ⎛ 2‬‬ ‫=‬ ‫⎟ ⎜ × ⎟ ⎜ × ‪= C 54 × ⎜ ⎟ × ⎜ ⎟ = C 54‬‬ ‫= ) ‪p (A‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫) ‪Card ( Ω‬‬ ‫⎠‪⎝6⎠ ⎝6‬‬ ‫⎠‪⎝3⎠ ⎝ 3‬‬

‫‪1‬‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺔ ‪:‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( Ω, p‬ﻓﻀﺎء اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺎ ﻣﻨﺘﻬﻴﺎ ؛ وﻟﻴﻜﻦ‬

‫*‬

‫∈ ‪ n‬؛ وﻟﻴﻜﻦ ‪ S‬ﺣﺪﺛﺎ اﺣﺘﻤﺎﻟﻪ ‪ p‬ﻓﻲ‬

‫اﺧﺘﺒﺎر ﻋﺸﻮاﺋﻲ ‪.‬‬ ‫إذا أﻋﻴﺪ هﺬا اﻻﺧﺘﺒﺎر ‪ n‬ﻣﺮة ؛ ﻓﺈن اﺣﺘﻤﺎل وﻗﻮع اﻟﺤﺪث ‪ S‬؛ ‪ k‬ﻣﺮة ﺑﺎﻟﻀﺒﻂ ) ﺣﻴﺚ ‪:‬‬ ‫‪n −k‬‬

‫‪ ( 0 ≤ k ≤ n‬؛ هﻮ ‪:‬‬

‫) ‪C nk × p k × (1 − p‬‬

‫ﺟـ‪ .‬ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﻲ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .1‬اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻜﻲ ﻳﺼﻴﺐ رام اﻟﻬﺪف هﻮ‬ ‫‪ .‬ﻗﺎم هﺬا اﻟﺮاﻣﻲ ﺑﻌﺸﺮ ﻣﺤﺎوﻻت ‪ .‬ﻣﺎ هﻮ‬ ‫‪3‬‬ ‫اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻜﻲ ﻳﺼﻴﺐ اﻟﻬﺪف ﺳﺖ ﻣﺮات ﺑﺎﻟﻀﺒﻂ ‪.‬‬ ‫‪ .2‬ﻳﺤﺘﻮي آﻴﺲ ﻋﻠﻰ ﺳﺖ ﺑﻴﺪﻗﺎت ﺗﺤﻤﻞ اﻟﺮﻗﻢ ‪ 0‬وﻋﻠﻰ أرﺑﻊ ﺑﻴﺪﻗﺎت ﺗﺤﻤﻞ اﻟﺮﻗﻢ ‪ 1‬و‬ ‫ﺑﻴﺪﻗﺔ واﺣﺪة ﺗﺤﻤﻞ اﻟﺮﻗﻢ ‪ . 2‬ﻧﺴﺤﺐ ﺑﺎﻟﺘﺘﺎﺑﻊ وﺑﺈﺣﻼل ﺳﺖ ﺑﻴﺪﻗﺎت ﻣﻦ اﻟﻜﻴﺲ ‪.‬‬ ‫ﻣﺎهﻮ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﺑﺎﻟﻀﺒﻂ ﻋﻠﻰ ﺧﻤﺲ ﺑﻴﺪﻗﺎت ﺗﺤﻤﻞ اﻟﺮﻗﻢ ‪. 1‬‬

‫‪ .VII‬ﺗﻤﺎرﻳﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﻴﺔ ‪:‬‬

‫‪ .1‬ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﻲ رﻗﻢ ‪: 1‬‬ ‫ﻳﺤﺘﻮي ﺻﻨﺪوق ‪ B1‬ﻋﻠﻰ ﺛﻼث آﺮات ﺑﻴﻀﺎء وآﺮﺗﻴﻦ ﺳﻮداوﻳﻦ وﻳﺤﺘﻮي ﺻﻨﺪوق ‪ B2‬ﻋﻠﻰ ﺧﻤﺲ آﺮات‬ ‫ﺑﻴﻀﺎء وآﺮة ﺳﻮداء ‪ .‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ﺳﺤﺐ آﺮة واﺣﺪة ﻣﻦ ‪ B1‬وآﺮة ﻣﻦ ‪B2‬‬ ‫‪ .1‬أﺣﺴﺐ اﺣﺘﻤﺎل آﻞ ﻣﻦ اﻟﺤﺪﺛﻴﻦ اﻟﺘﺎﻟﻴﻴﻦ ‪:‬‬ ‫اﻟﻜﺮﺗﺎن اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺘﺎن ﺑﻴﻀﺎوان‬ ‫‪:E‬‬ ‫اﻟﻜﺮﺗﺎن اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺘﺎن ﺳﻮداوان‬ ‫‪:F‬‬ ‫اﻟﻜﺮﺗﺎن اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺘﺎن ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻟﻠﻮن‬ ‫‪ . 2‬ﻟﻴﻜﻦ ‪ S‬اﻟﺤﺪث ‪:‬‬ ‫‪17‬‬ ‫= ) ‪. p (S‬‬ ‫أ‪ -‬ﺗﺤﻘﻖ أن ‪:‬‬ ‫‪30‬‬ ‫ب‪ -‬ﻧﻌﻴﺪ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﺧﻤﺲ ﻣﺮات ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﻊ إﻋﺎدة آﻞ آﺮة إﻟﻰ اﻟﺼﻨﺪوق اﻟﺬي‬ ‫ﺳﺤﺒﺖ ﻣﻨﻪ ﻗﺒﻞ اﻟﻘﻴﺎم ﺑﺎﻟﺴﺤﺒﺔ اﻟﻤﻮاﻟﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺪث ‪ S‬ﺛﻼث ﻣﺮات ﺑﺎﻟﻀﺒﻂ ؟‬ ‫‪ .2‬ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﻲ رﻗﻢ ‪: 2‬‬ ‫ﻳﺤﺘﻮي ﺻﻨﺪوق ﻋﻠﻰ أرﺑﻊ آﺮات ﺣﻤﺮاء وﺛﻼث آﺮات ﺧﻀﺮاء ) ﻻ ﻳﻤﻜﻦ اﻟﺘﻤﻴﻴﺰ ﺑﻴﻦ ﺟﻤﻴﻊ اﻟﻜﺮات‬ ‫ﺑﺎﻟﻠﻤﺲ ( ‪ .‬ﻧﺴﺤﺐ آﺮة ﻣﻦ اﻟﺼﻨﺪوق ‪:‬‬ ‫† إذا آﺎﻧﺖ ﺣﻤﺮاء ؛ ﻧﺴﺤﺐ ﺗﺂﻧﻴﺎ آﺮﺗﻴﻦ ﻣﻦ ﺑﻴﻦ اﻟﻜﺮات اﻟﻤﺘﺒﻘﻴﺔ ‪.‬‬ ‫† إذا آﺎﻧﺖ ﺧﻀﺮاء ؛ ﻧﺴﺤﺐ ﺑﺎﻟﺘﺘﺎﺑﻊ وﺑﺪون إﺣﻼل آﺮﺗﻴﻦ ﻣﻦ ﺑﻴﻦ اﻟﻜﺮات اﻟﻤﺘﺒﻘﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪ .1‬أ‪ -‬ﺣﺪد ﻋﺪد اﻹﻣﻜﺎﻧﻴﺎت ‪.‬‬ ‫ب‪ -‬أﺣﺴﺐ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺛﻼث آﺮات ﻣﻦ ﻧﻔﺲ اﻟﻠﻮن ‪.‬‬ ‫‪ .2‬إذا ﻋﻠﻤﺖ أﻧﻪ ﺣﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ آﺮﺗﻴﻦ ﺧﻀﺮاوﻳﻦ ﺑﺎﻟﻀﺒﻂ؛ أﺣﺴﺐ اﺣﺘﻤﺎل أن ﺗﻜﻮن اﻟﻜﺮة اﻷوﻟﻰ‬ ‫اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺔ ﺧﻀﺮاء ‪.‬‬ ‫‪ .3‬ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﻲ رﻗﻢ ‪: 3‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻣﺠﺘﻤﻌﺎ ﻣﻜﻮﻧﺎ ﻣﻦ ‪ 60%‬ﻣﻦ اﻟﺮﺟﺎل و ‪ 40%‬ﻣﻦ اﻟﻨﺴﺎء ‪.‬ﻧﻌﻠﻢ أن ‪ 20%‬ﻣﻦ اﻟﺮﺟﺎل و ‪ 10%‬ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻨﺴﺎء ﻳﺘﻜﻠﻤﻮن اﻟﻠﻐﺔ اﻟﻔﺮﻧﺴﻴﺔ‪ .‬اﺧﺘﺮﻧﺎ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎ ﺷﺨﺼﺎ ﻣﻦ هﺬا اﻟﻤﺠﺘﻤﻊ ‪.‬‬ ‫‪ .1‬ﻣﺎ هﻮ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻟﻜﻲ ﻳﻜﻮن هﺬا اﻟﺸﺨﺺ ‪:‬‬ ‫أ ‪ .‬رﺟﻼ وﻳﺘﻜﻠﻢ اﻟﻔﺮﻧﺴﻴﺔ ؟‬ ‫ب‪ .‬رﺟﻼ وﻻ ﻳﺘﻜﻠﻢ اﻟﻔﺮﻧﺴﻴﺔ ؟‬ ‫ﺟـ ‪ .‬اﻣﺮأة وﺗﺘﻜﻠﻢ اﻟﻔﺮﻧﺴﻴﺔ ؟‬ ‫د ‪ .‬اﻣﺮأة وﻻ ﺗﺘﻜﻠﻢ اﻟﻔﺮﻧﺴﻴﺔ ؟‬ ‫‪ .2‬ﻋﻠﻤﺎ أن اﻟﺸﺨﺺ اﻟﻤﺨﺘﺎر ﻳﺘﻜﻠﻢ اﻟﻔﺮﻧﺴﻴﺔ ؛ ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل أن ﻳﻜﻮن رﺟﻼ ‪.‬‬ ‫‪ .3‬ﻋﻠﻤﺎ أن اﻟﺸﺨﺺ اﻟﻤﺨﺘﺎر ﻻ ﻳﺘﻜﻠﻢ اﻟﻔﺮﻧﺴﻴﺔ؛ ﻣﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل أن ﻳﻜﻮن اﻣﺮأة ‪.‬‬

‫‪- 10 -‬‬