ﻧﻬﺎﻳﺎت اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎت -Aﺗﺬآﻴﺮ اﻧﺸﻄﺔ ﺗﺬآﻴﺮﻳﺔ ﻧﺸﺎط :1ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ
∈ ∀n
) ( unو ) ( vn
u0 = 1 ; u1 = 3 un + 2 = 2un +1 − un
اﻟﻤﻌﺮﻓﺘﻴﻦ ﺑـ
∈ ∀n
vn = un +1 − un
un = u p + ( n − p ) r
-1ﺑﻴﻦ أن ) ( vn -2اﺳﺘﻨﺘﺞ أن ) ( unﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺣﺴﺎﺑﻴﺔ و ﺣﺪد ﻋﻨﺎﺻﺮهﺎ اﻟﻤﻤﻴﺰة
ﻓﺎن un = uq + ( n − q ) r
i =n
-3أﺣﺴﺐ S n' = ∑ uiﺑﺪﻻﻟﺔ . n
ﺧﺎﺻﻴﺔ ﻟﺘﻜﻦ
i =1
ﻧﺸﺎط : 2ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ( un )n≥1اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ
-3أدرس رﺗﺎﺑﺔ
( u n )n ≥ nﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺣﺴﺎﺑﻴﺔ
) ( n − p ) ( u p + un−1 ﻟﻠﻤﺠﻤﻮع Snو
( un )n≥1ﻣﺼﻐﻮرة
و اﺳﺘﻨﺘﺞ أن
ﺑﺎﻟﻌﺪد 2 -4ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ( un )n≥1اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ vn = un − 3
)
i =n
)ﻋﺪد ﺣﺪود (S Sn = n اﻟﺤ ﺪ اﻷﺧ ﻴﺮ +اﻟﺤ ﺪ اﻷول ل (Sn 2
ﺣﻘﻴﻘﻲ qﺑﺤﻴﺚ un +1 = qun
i =1
-2ﺻﻴﻐﺔ اﻟﺤﺪ اﻟﻌﺎم -ﻣﺠﻤﻮع ﺣﺪود ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ هﻨﺪﺳﻴﺔ ﺧﺎﺻﻴﺔ ( u n )n ≥ nﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ هﻨﺪﺳﻴﺔ أﺳﺎﺳﻬﺎ qﻓﺎن اذا آﺎن
0
∀n ≥ n0
( u n )n ≥ nﻣﺼﻐﻮرة اذا وﻓﻘﻂ اذا وﺟﺪ
ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ mﺑﺤﻴﺚ un ≥ m
0
n − n0
∀n ≥ n0
( u n )n ≥ nﻣﻜﺒﻮرة و ﻣﺼﻐﻮرة
ﺧﺎﺻﻴﺔ ﻟﺘﻜﻦ
0
0 0 0 0
( u n )n ≥ nﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ⇔ un +1 ≥ un ( u n )n ≥ nﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ ⇔ un
( u n )n ≥ nﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ⇔ un+1 ≤ un ( u n )n ≥ nﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺛﺎﺑﺘﺔ ⇔ un +1 = un
0
∀n ≥ p ≥ n0
( u n )n ≥ nﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ هﻨﺪﺳﻴﺔ أﺳﺎﺳﻬﺎ qﻳﺨﺎﻟﻒ 1
1 − q n− p Sn = u p 1 − q n − pهﻮ ﻋﺪد ﺣﺪود اﻟﻤﺠﻤﻮع Snو
∀n ≥ n0
∀n ≥ n0
( u n )n ≥ nﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻗﻄﻌﺎ ⇔ un +1 ≺ un
-
اذا آﺎن
( un )n≥n0
ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ هﻨﺪﺳﻴﺔ
اذا آﺎن Sn = u p + u p +1 ................ + un −1ﻓﺎن
∀n ≥ n0 un +1
∀n ≥ n0
أﺳﺎﺳﻬﺎ qﻓﺎن un = u p q n − p
-2اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﺮﺗﻴﺒﺔ ﻟﺘﻜﻦ ( u n )n ≥ nﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ 0
un = un0 q
ﻣﻼﺣﻈﺔ
* ﺗﻜﻮن اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ( u n ) n ≥ nﻣﺤﺪودة اذا وﻓﻘﻂ اذا آﺎﻧﺖ 0 0
∀n ≥ n0
اﻟﻌﺪد qﻳﺴﻤﻰ أﺳﺎس اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ .
-1اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ :اﻟﻤﻜﺒﻮرة –اﻟﻤﺼﻐﻮرة –اﻟﻤﺤﺪودة * ﺗﻜﻮن اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ( u n )n ≥ nﻣﻜﺒﻮرة اذا وﻓﻘﻂ اذا وﺟﺪ * ﺗﻜﻮن اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ
un −1هﻮ اﻟﺤﺪ اﻷﺧﻴﺮﻟﻠﻤﺠﻤﻮع Sn
0
ب -أﺣﺴﺐ Sn = ∑ uiﺑﺪﻻﻟﺔ n
0
= Sn
-IIاﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ -1ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺗﻜﻮن ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ( u n )n ≥ nهﻨﺪﺳﻴﺔ اذا آﺎن ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪد
أ -ﺑﻴﻦ أن ( vn )n≥1ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ هﻨﺪﺳﻴﺔ و أﺣﺴﺐ vnﺑﺪﻻﻟﺔ . n
ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ Mﺑﺤﻴﺚ un ≤ M
ﻓﺎن
2 n − pهﻮ ﻋﺪد ﺣﺪود اﻟﻤﺠﻤﻮع Snو u pهﻮ اﻟﺤﺪ اﻷول
u3
( un )n≥1
0
∀n ≥ q ≥ p
اذا آﺎن Sn = u p + u p +1 ................ + un −1
u1 = 2 1 u n + 1 = 3 u n + 2 -2ﺑﻴﻦ أن ( un )n≥1ﻣﻜﺒﻮرة ﺑﺎﻟﻌﺪد 3
∀n ≥ p
ﻣﻼﺣﻈﺔ -اذا آﺎن ( un )n≥ pﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺣﺴﺎﺑﻴﺔ أﺳﺎﺳﻬﺎ r
ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺛﺎﺑﺘﺔ .
-1أﺣﺴﺐ ; u2
-2ﺻﻴﻐﺔ اﻟﺤﺪ اﻟﻌﺎم -ﻣﺠﻤﻮع ﺣﺪود ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺣﺴﺎﺑﻴﺔ ﺧﺎﺻﻴﺔ اذا آﺎن ( un )n≥ pﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺣﺴﺎﺑﻴﺔ أﺳﺎﺳﻬﺎ rﻓﺎن
∀n ≥ n0
ﻟﻠﻤﺠﻤﻮع Sn
∀n ≥ n0
ﻣﻼﺣﻈﺔ إذا آﺎن
u pهﻮ اﻟﺤﺪ اﻷول
) ( unﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ هﻨﺪﺳﻴﺔ أﺳﺎﺳﻬﺎ qﻳﺨﺎﻟﻒ
1ﻓﺎن Snﻣﺠﻤﻮع nﺣﺪا أوﻻ ﻣﻨﻬﺎ هﻮ
-Iاﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﺤﺴﺎﺑﻴﺔ -1ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺗﻜﻮن ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ( u n )n ≥ nﺣﺴﺎﺑﻴﺔ اذا آﺎن ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪد
1 − qn Sn = u0 + u1 ....... + un −1 = u0 1 − q ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ إذا آﺎﻧﺖ ( u n )n ≥ nﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ هﻨﺪﺳﻴﺔ أﺳﺎﺳﻬﺎ
0
ﺣﻘﻴﻘﻲ rﺑﺤﻴﺚ ∀n ≥ n0 un +1 = un + r اﻟﻌﺪد rﻳﺴﻤﻰ أﺳﺎس اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ .
0
1ﻓﺎن ) Sn = u p + u p +1 .......... + un −1 = u p ( n − p
1
– Bﻧﻬﺎﻳﺎت اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎت -Iﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻧﻌﺮف ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ آﻤﺎ ﻋﺮﻓﻨﺎ ﻧﻬﺎﻳﺔ داﻟﺔ ﻋﻨﺪ ∞+ ﻧﻜﺘﺐ lim unﺑﺎﺧﺘﺼﺎر lim un ∞n→+
ﻧﺸﺎط
ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ
و ( vn )n≥1ﺣﻴﺚ un = n 2
) ( un
∈ ∀n
1 +3 n
= vn
*
∈ ∀n
ﻧﺤﺪد lim unو lim vn
ﻧﻌﻠﻢ أن ∞lim x 2 = +
∞x→+
1 ﻧﻌﻠﻢ أن + 3 = 3 x→+∞ x
إذن ∞lim un = +
lim
إذن lim vn = 3
-1ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﻨﺘﻬﻴﺔ ﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻧﻘﻮل ان ﻧﻬﺎﻳﺔ ( u n )n ≥ nﺗﺆول إﻟﻰ lإذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن آﻞ ﻣﺠﺎل ﻣﻔﺘﻮح ﻣﺮآﺰﻩ lﻳﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ ﺟﻤﻴﻊ ﺣﺪود 0
اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ( u n )n ≥ nاﺑﺘﺪاء ﻣﻦ رﺗﺒﺔ .ﻧﻜﺘﺐ lim un = l 0
-2ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻻ ﻣﻨﺘﻬﻴﺔ ﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ∞+ إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن آﻞ ﻣﺠﺎل ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ [∞ ] A; +ﻳﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰﺟﻤﻴﻊ *ﻧﻘﻮل ان ﻧﻬﺎﻳﺔ ( u n )n ≥ nﺗﺆول إﻟﻰ 0
ﺣﺪود اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ( u n )n ≥ nاﺑﺘﺪاء ﻣﻦ رﺗﺒﺔ .ﻧﻜﺘﺐ ∞lim un = + 0
*ﻧﻘﻮل ان ﻧﻬﺎﻳﺔ ( u n )n ≥ nﺗﺆول إﻟﻰ ∞ −إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن آﻞ ﻣﺠﺎل ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ [ ]−∞; Aﻳﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰﺟﻤﻴﻊ 0
ﺣﺪود اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ( u n )n ≥ nاﺑﺘﺪاء ﻣﻦ رﺗﺒﺔ .ﻧﻜﺘﺐ ∞lim un = − 0
ﻣﻼﺣﻈﺔ
∞lim un = −∞ ⇔ lim− un = +
-3ﻧﻬﺎﻳﺎت ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﺮﺟﻌﻴﺔ ﺧﺎﺻﻴﺔ ﻟﻴﻜﻦ pﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻃﺒﻴﻌﻲ p ≥ 1و kﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ k lim =0 ∞lim n p = + ∞lim n = + n 4ﺧﺎﺻﻴﺔ ﻟﺘﻜﻦ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ( u n )n ≥ nو lﻋﺪدا ﺣﻘﻴﻘﻴﺎ
=0
1 np
lim
0
lim ( un − l ) = 0 ⇔ lim un = l lim un − l = 0 ⇔ lim un = l
-5ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ – ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﺘﺒﺎﻋﺪة ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻧﻘﻮل إن ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ إذا و ﻓﻘﻂ آﺎﻧﺖ ﻧﻬﺎﻳﺘﻬﺎ ﻣﻨﺘﻬﻴﺔ. ﻧﻘﻮل إن ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﺘﺒﺎﻋﺪة إذا وﻓﻘﻂ آﺎﻧﺖ ﻏﻴﺮ ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ. أﻣﺜﻠﺔ − 3 n )wn = ( −1 و و vn = n3 ﻧﻌﺘﺒﺮ un = 2 + 4 n ) ( unﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ ﻻن lim un = 4 ) ( vnﻣﺘﺒﺎﻋﺪة ﻻن ∞lim vn = +
) ( wnﻣﺘﺒﺎﻋﺪة ﻷن ) ( wnﻻ ﺗﻘﺒﻞ ﻧﻬﺎﻳﺔ -IIﻣﺼﺎدق اﻟﺘﻘﺎرب ﻣﺼﺪاق 1ﻟﺘﻜﻦ ( u n )n ≥ nﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺪدﻳﺔ و 0
lﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ﺣﻴﺚ اذا آﺎن lim vn = 0
' )n ≥ n0
un − l ≤ vn
ﻓﺎن
( u n )n ≥ n0
( v nﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ ﻷﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ
∀n ≥ N
∈ . ∃N
ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ و lim un = l
2
ﻣﺼﺪاق2
( u n )n ≥ n0
ﻟﺘﻜﻦ
و
ﻻزﻣﺔ ﻟﺘﻜﻦ
( u n )n ≥ n0
و
'
0
∀n ≥ N
ﻓﺎن ∞lim v = +
اذا آﺎن ∞lim un = + اذا آﺎن ∞lim vn = −
' )n ≥ n0
( v nﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ ﻋﺪدﻳﺘﻴﻦ ﺣﻴﺚ un ≤ vn
∈ ∃N
n
ﻓﺎن ∞lim un = −
( v n )n ≥ nو
"0
( w n )n ≥ nﺛﻼث ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺎت ﺣﻴﺚ
∀n ≥ N
vn ≤ un ≤ wn
∈ ∃N
اذا آﺎن lim vn = lim wn = lﻓﺎن lim un = l
أﻣﺜﻠﺔ
ﻧﻌﺘﺒﺮ
( un )n≥1
ﺣﺪد lim unﻓﻲ اﻟﺤﺎﻻت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ:
sin n ج- بu n = − n 2 + n - n n 2 ≤ n 2 + n − 3و ﺣﻴﺚ ∞ lim n 2 = +وﻣﻨﻪ ∞lim un = +
أu n = n 2 + n − 3 -
= un
أ -ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻟﻜﻞ n ≥ 3
n2 n n n−n ≤ − 1 − ≤ 0وﻣﻨﻪ 1 − n ≤ −و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ 2 2 2 2
ب -ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻟﻜﻞ n ≥ 2
n2 وﺣﻴﺚ ∞= − 2
lim −ﻓﺎن ∞lim un = −
sin n 1 1 ≤ و ﺣﻴﺚ = 0 ج -ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻟﻜﻞ n ≥ 1 n n n 1 1 1 un = 1 + + + ...... + ﺗﻤﺮﻳﻦ :ﻧﻌﺘﺒﺮ ( un )n≥1ﺣﻴﺚ 2 3 n ﺑﻴﻦ ﺑﺎﻟﺘﺮﺟﻊ أن un ≥ nو اﺳﺘﻨﺘﺞ lim un
lim un = 0
limﻓﺎن
-IIIﻧﻬﺎﻳﺔ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ qn q 1 اﻟﺤﺎﻟﺔ:1 ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻣﻮﺟﺐ ﻗﻄﻌﺎ aﺣﻴﺚ q = 1 + aﻧﻌﻠﻢ أن
(1 + a )n ≥ 1 + na
وﻣﻨﻪ q n ≥ 1 + na
وﺣﻴﺚ ∞ lim1 + na = +ﻓﺎن ∞lim q n = + q = 1ﻟﺪﻳﻨﺎ lim q n = 1 اﻟﺤﺎﻟﺔ2 اﻟﺤﺎﻟﺔ−1 ≺ q ≺ 1 3
1 q
q ≺ 1وﻣﻨﻪ 1 إذن lim q n = 0
n
1 و ﻣﻨﻪ ∞= lim = + q
) ( qn
اﻟﺤﺎﻟﺔq ≤ −1 4
1 n
q
n
limو ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ lim q = 0
ﻟﻴﺴﺖ ﻟﻬﺎ ﻧﻬﺎﻳﺔ
ﺧﺎﺻﻴﺔ
اذا آﺎن 1
n
q
اذا آﺎن q = 1 ﻣﻼﺣﻈﺔ
ﻓﺎن ∞lim q = +
اذا آﺎن −1 ≺ q ≺ 1
ﻓﺎن lim q n = 1
اذا آﺎن q ≤ −1
* -اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ( qn * -ﻟﻴﻜﻦ إذا آﺎن 0
*
ﻓﺎن lim q = 0
) ( qn
ﻟﻴﺴﺖ ﻟﻬﺎ ﻧﻬﺎﻳﺔ
ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ اذا آﺎن −1 ≺ q ≤ 1
∈r r
r
rﻓﺎن ∞lim n = +
إذا آﺎن r ≺ 0ﻓﺎن lim n = 0
∞+
n
أﻣﺜﻠﺔ
ﻓﺎن
n
1− 2 lim ﺣﺪد 1+ 2
و
∞+
2n + 3n 2n − 3n
lim
3
ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ
un 2 + u n un 2 + 1
(2أدرس رﺗﺎﺑﺔ
ب – اﺳﺘﻨﺘﺞ :
3 ; = u0 2
= ( ∀n ∈ ) : un+1
(1ﺑﻴﻦ أن 1
(3
) ( unاﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ب: ∈n
n +1
1 أ – ﺑﻴﻦ أن )( un − 1 2
2
ﺗﻤﺮﻳﻦ :ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ( un
( ∀n ∈ ) : un ) ( unو اﺳﺘﻨﺘﺞ أن ) ( unﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ ≤ 0 ≺ un +1 − 1
1 ( ∀n ∈ ) : 0 ≺ un − 1 ≤ ﺛﻢ أﺣﺴﺐ lim un
un +1 1 ﺑﻴﻦ أن ≺ 2 un
∈ ∀n
≤0
u0 = 10 ﺣﻴﺚ 5un = un +1 n +1
∀n ≥ 10
ﺛﻢ ﺣﺪد lim un
-IVﺧﺎﺻﻴﺎت ﺧﺎﺻﻴﺔ آﻞ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ و ﻣﻮﺟﺒﺔ ﺗﻜﻮن ﻧﻬﺎﻳﺘﻬﺎ ﻣﻮﺟﺒﺔ
ﺧﺎﺻﻴﺔ إذا آﺎن ) ( unو ) ( vnﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎرﺑﺘﻴﻦ ﻧﻬﺎﻳﺘﻬﺎ lو ' lﺑﺤﻴﺚ un ≤ vnﻟﻜﻞ n ≥ Nﻓﺎن ' l ≤ l ﻣﺒﺮهﻨﺔ آﻞ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ و ﻣﻜﺒﻮرة هﻲ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ آﻞ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ و ﻣﺼﻐﻮرة هﻲ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ ﻣﻼﺣﻈﺔ آﻞ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ و ﺳﺎﻟﺒﺔ هﻲ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ آﻞ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ و ﻣﻮﺟﺒﺔ هﻲ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ 1 1 1 ﺗﻤﺮﻳﻦ :ﻧﻌﺘﺒﺮ ( un )n≥1ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺑـ un = 1 + + + ..... + 2 4 9 n
-1ﺑﻴﻦ أن ( un )n≥1ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ 1 1 -2ﺑﻴﻦ أن − k −1 k
≺
1 2
k
}− {1
*
∈ ∀k
ﺛﻢ ﺑﻴﻦ أن un ≺ 2
*
∈ ∀n
-3اﺳﺘﻨﺘﺞ أن ( un )n≥1ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ. -Vاﻟﻌﻤﻠﻴﺎت ﻋﻠﻰ ﻧﻬﺎﻳﺎت اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎت اﻟﻤﺘﻘﺎرﺑﺔ -1ﻣﺒﺮهﻨﺔ ) ( unو ) ( vnﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎرﺑﺘﻴﻦ و αﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ lim ( un + vn ) = lim un + lim vn un lim un إذا آﺎن lim vn ≠ 0ﻓﺎن = vn lim vn
lim ( un vn ) = lim un × lim vn
lim (α un ) = α lim un
lim
اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت ﻋﻠﻰ اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت u lim n vn
lim un
lim vn
) lim ( un + vn
) lim ( un × vn
l
'l
' l +l
' l ×l
l
l ≠0
∞+
∞+
∞ ﻣﻊ وﺿﻊ إﺷﺎرة l
0
l
l ≠0
∞−
∞−
∞ ﻣﻊ وﺿﻊ ﻋﻜﺲ إﺷﺎرة l
0
lﺣﻴﺚ l ≠ 0
0+
l
0
∞ ﻣﻊ وﺿﻊ إﺷﺎرة l
lﺣﻴﺚ l ≠ 0
0−
l
0
∞ ﻣﻊ وﺿﻊ ﻋﻜﺲ إﺷﺎرة l
0
0
0
0
ﺷﻜﻞ ﻏﻴﺮ ﻣﺤﺪد
0
∞+
∞+
ﺷﻜﻞ ﻏﻴﺮ ﻣﺤﺪد
0
0
∞−
∞−
ﺷﻜﻞ ﻏﻴﺮ ﻣﺤﺪد
0
∞+ ∞− ∞+ ∞+
∞+ ∞− ∞− lﺣﻴﺚ l ≠ 0
∞+ ∞− ﺷﻜﻞ ﻏﻴﺮ ﻣﺤﺪد
∞+ ∞+ ∞−
ﺷﻜﻞ ﻏﻴﺮ ﻣﺤﺪد ﺷﻜﻞ ﻏﻴﺮ ﻣﺤﺪد ﺷﻜﻞ ﻏﻴﺮ ﻣﺤﺪد
∞+
∞ ﻣﻊ وﺿﻊ إﺷﺎرة l
∞ ﻣﻊ وﺿﻊ إﺷﺎرة l
∞−
lﺣﻴﺚ l ≠ 0
∞−
∞ ﻣﻊ وﺿﻊ ﻋﻜﺲ إﺷﺎرة l
∞ ﻣﻊ وﺿﻊ ﻋﻜﺲ إﺷﺎرة l
4
l 'l
)(l ' ≠ 0
ﺗﻤﺮﻳﻦ
)
ﺣﺪد n + 1 − n
(
n
lim
∞n→+
،
2n 2 − 3n + 2 n2 − 1
lim
∞n→+
،
n3 + n − 1
-VIﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺎت ﻣﻦ ﻧﻮع ) f ( un
-1ﺧﺎﺻﻴﺔ إذا آﺎﻧﺖ
n 2 2n − 4
4
lim
n→+∞ 3
( un )n≥ nﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ ﻧﻬﺎﻳﺘﻬﺎ lو fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ lﻓﺎن اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ
0
( vn )n≥ nاﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑــ ) vn = f ( unﺑﺤﻴﺚ n ≥ n0ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ و ﻧﻬﺎﻳﺘﻬﺎ ) f ( l
0
-2ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﻦ ﻧﻮع ) un +1 = f ( un
ﻧﺸﺎط u0 = 2 ﻧﻌﺘﺒﺮ ) ( unﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﺣﻴﺚ 2un + 3 un +1 = u n 7 ∈ ∀n -1ﺑﻴﻦ أن ≤ 2 ≤ un 2 4 vn = 1 − -2ﻟﺘﻜﻦ ) ( vnﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﺣﻴﺚ un + 1
أ -ﺑﻴﻦ أن ) ( vnﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ هﻨﺪﺳﻴﺔ
ب -ب -ﺣﺪد lim vnاﺳﺘﻨﺘﺞ lim un -3ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ
2x + 3 ﺣﻴﺚ x
* +
= )f ( x
7 أ -ﺗﺄآﺪ أن fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ 2; 2 7 7 ب -ﺑﻴﻦ أن f 2; ⊂ 2; 2 2 ت -ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ f ( x ) = x ﻣﺎذا ﺗﻼﺣﻆ؟ ﻣﺎذا ﺗﺴﺘﻨﺘﺞ؟ ﺧﺎﺻﻴﺔ ﻟﺘﻜﻦ ( un )n≥ nﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ 0
ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ
) un +1 = f ( unﺑﺤﻴﺚ ﻳﻮﺟﺪ ﻣﺠﺎل Iﺿﻤﻦ D fو اﻟﺤﺪ اﻷول
( un )n≥ nﻳﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ Iو fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ Iو . f ( I ) ⊂ I
0
اذا آﺎﻧﺖ ) ( unﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ ﻓﺎن ﻧﻬﺎﻳﺘﻬﺎ lهﻲ ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ f ( x ) = x
ﺗﻤﺮﻳﻦ
3 u0 = 2 un +1 = un + 2
ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ) ( unاﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ
-1ﺑﻴﻦ أن 0 ≺ un ≺ 2
∈ . ∀n
-2ﺑﻴﻦ أن ) ( unﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ و اﺳﺘﻨﺘﺞ أن ) ( unﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ .
-3اﺳﺘﻨﺘﺞ lim un ﺗﻤﺮﻳﻦ 1 ﻧﻌﺘﺒﺮ ) ( unﻣﺘﺎﻟﻴﺔ ﺣﻴﺚ ) = un (1 − un 2 ﺑﻴﻦ أن ) ( unﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ و ﺣﺪد ﻧﻬﺎﻳﺘﻬﺎ
un+1
1 و = u0 2
5