Math bac cours 2

‫اﺗﺼﺎل داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ‬ ‫ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﳌﻨﺘﻈﺮﺓ‬ ‫* ﺑﺪﺍﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻭ ﺭﺗﻴﺒﺔ؛‬ ‫ـ ﲢﺪﻳﺪ ﺻﻮﺭﺓ ﻗﻄﻌﺔ ﺃﻭ ﳎﺎﻝ ‪ * :‬ﺑﺪﺍﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ؛‬ ‫ـ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﻣﱪﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻮﺳﻴﻄﻴﺔ ﰲ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺑﻌﺾ ﺍﳌﻌﺎﺩﻻﺕ ﻭ ﺍﳌﺘﺮﺍﺟﺤﺎﺕ ﺃﻭ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﺘﻌﺎﺑﲑ‪........‬‬ ‫ـ ﺍﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﺍﻟﺘﻔﺮﻉ ﺍﻟﺜﻨﺎﺋﻲ ﰲ ﲢﺪﻳﺪ ﻗﻴﻢ ﻣﻘﺮﺑﺔ ﳊﻠﻮﻝ ‪ f ( x ) = λ‬ﺃﻭ ﻟﺘﺄﻃﲑﻫﺬﻩ ﺍﳊﻠﻮﻝ؛‬

‫ـ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﻣﱪﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻮﺳﻴﻄﻴﺔ ﰲ ﺣﺎﻟﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻭ ﺭﺗﻴﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﳎﺎﻝ ‪،‬ﻻﺛﺒﺎﺕ ﻭﺣﺪﺍﻧﻴﺔ ﺣﻞ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ‪f ( x ) = λ‬‬

‫‪ -I‬اﻻﺗﺼﺎل ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ – اﻻﺗﺼﺎل ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل‬ ‫‪ -1‬اﻻﺗﺼﺎل ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫‪ /a‬ﻧﺸﺎط‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ C f‬ﻣﻨﺤﻨﻰ داﻟﺔ ﻋﺪﻳﺔ ‪ f‬آﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬

‫) (‬

‫‪-1‬‬

‫ﻣﻦ ﺧﻼ اﻟﺸﻜﻞ آﻴﻒ ﺗﺮى اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) (‬

‫‪ C f‬ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ذات اﻻﻓﺼﻮل ‪ -1‬ﺛﻢ ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ذات ‪3‬‬

‫‪ -2‬أ‪ /‬أﺣﺴﺐ )‪ f ( 3‬و ) ‪ lim f ( x‬ﻣﺎذا ﺗﻼﺣﻆ‬ ‫‪x →3‬‬

‫ب‪ /‬أﺣﺴﺐ )‪ f ( −1‬و أدرس ﻧﻬﺎﻳﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺪ ‪ -1‬ﻣﺎذا ﺗﺴﺘﻨﺘﺞ‬ ‫اﻟﺠﻮاب‪:‬‬ ‫‪ /1‬ﻣﻦ ﺧﻼل ﺷﻜﻞ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬

‫) (‬

‫‪ C f‬ﻳﺘﻀﺢ ان اﻟﻤﻨﺤﻰ ﻣﺘﻘﻄﻊ ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ذات اﻻﻓﺼﻮل ‪-1‬‬

‫و ﻣﺘﺼﻞ ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ذات ‪3‬‬ ‫‪ /2‬أ‪ -‬ﻣﻦ ﺧﻼل ﺷﻜﻞ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫ﻧﻼﺣﻆ أن‬ ‫ب‪-‬‬

‫) ‪(C f‬‬

‫)‪lim f ( x ) = f ( 3‬‬

‫‪x →3‬‬

‫ﻣﻦ ﺧﻼل ﺷﻜﻞ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪( C f‬‬ ‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫ﻟﺪﻳﻦ ‪f ( 3) = 2‬‬

‫و ‪lim f ( x ) = 2‬‬

‫‪x →3‬‬

‫ﻟﺬا ﻧﻘﻮل إن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪3‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪f ( −1) = 3‬‬

‫‪1‬‬

‫و ‪lim f ( x ) = 3‬‬

‫‪x →−1+‬‬

‫و ‪lim f ( x ) = 1‬‬

‫‪http://arabmaths.ift.fr‬‬

‫‪x →−1−‬‬

‫ﻧﻼﺣﻆ أن‪ lim f ( x ) ≠ lim f ( x ) -* :‬ﻧﻘﻮل إن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻏﻴﺮ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻨﺪ ‪-1‬‬ ‫‪x→−1+‬‬

‫‪x→−1−‬‬

‫*‪ lim f ( x ) = f ( −1) -‬ﻧﻘﻮل إن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻦ ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪-1‬‬ ‫‪x→−1+‬‬

‫*‪ lim f ( x ) ≠ f ( −1) -‬ﻧﻘﻮل إن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻏﻴﺮ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪-1‬‬ ‫‪x→−1−‬‬

‫‪ /b‬ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻻﺗﺼﺎل‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻣﻔﺘﻮح ‪ ، I‬و ‪ x0‬ﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ ‪I‬‬ ‫ﺗﻜﻮن ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ x0‬إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن‬

‫) ‪lim f ( x ) = f ( x0‬‬

‫‪x→ x0‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻻﺗﺼﺎل ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ اﻻﺗﺼﺎل ﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻣﻦ ﻧﻮع [ ‪ [ x0 ; x0 + α‬ﺣﻴﺚ ‪0‬‬ ‫ﺗﻜﻮن ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ x0‬إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن‬

‫) ‪lim f ( x ) = f ( x0‬‬

‫‪x→ x0+‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻣﻦ ﻧﻮع ] ‪ ] x0 − α ; x0‬ﺣﻴﺚ ‪0‬‬

‫ﺗﻜﻮن ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ x0‬إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن‬

‫‪α‬‬

‫‪α‬‬

‫) ‪lim f ( x ) = f ( x0‬‬

‫‪x→ x0−‬‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻣﻔﺘﻮح ‪ ، I‬و ‪ x0‬ﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ ‪I‬‬ ‫ﺗﻜﻮن ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ x0‬إذا وﻓﻘﻂ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ و ﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪x0‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ -1‬أدرس اﺗﺼﺎل ‪ f‬ﻓﻲ ‪ x0‬ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻻت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪/a‬‬

‫‪/c‬‬

‫‪sin 3 x‬‬ ‫‪‬‬ ‫= )‪ f ( x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x0 = 0 ; ‬‬ ‫‪ f (0) = 3‬‬ ‫‪‬‬

‫‪x≠0‬‬

‫‪x‬‬

‫‪0‬‬

‫‪x≤0‬‬

‫‪/b‬‬

‫‪ f ( x ) = 2 x + 1 x 2‬‬ ‫‪x0 = 2 ; ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ f ( x ) = x − 1 x ≤ 2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ f ( x ) = x sin x‬‬ ‫‪x0 = 0 ; ‬‬ ‫‪ f ( x ) = x2 − x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪x ≤ −1‬‬

‫‪ -2‬ﺣﺪد ‪ a‬ﻟﻜﻲ ﺗﻜﻮن ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ ‪−1‬‬

‫‪ f ( x ) = x3 + ax‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ f ( x ) = − x + 1‬‬

‫‪ -2‬اﻻﺗﺼﺎل ﻓﻲ ﻣﺠﺎل‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪﻳﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ﻣﻔﺘﻮح ‪I‬‬ ‫ﺗﻜﻮن ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ‪ I‬إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎﻧﺖ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ آﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ‪I‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪﻳﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل‬

‫ﺗﻜﻮن ‪f‬‬

‫ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ]‪[ a; b‬‬

‫]‪[ a; b‬‬

‫إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎﻧﺖ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ آﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ [‪ ]a; b‬وﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻳﻤﻴﻦ ‪a‬‬

‫و ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎر ‪b‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻤﺜﻞ ﻧﻌﺮف اﻻﺗﺼﺎل ﻋﻠﻰ ] ‪ ]a; b‬و ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬

‫[‪[ a; b‬‬

‫و ] ‪ ]−∞;a‬و ﻋﻠﻰ‬

‫[∞‪[ a; +‬‬

‫اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﻤﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ] ‪ [ a; b‬هﻮ ﺧﻂ ﻣﺘﺼﻞ ﻃﺮﻓﺎﻩ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ اﻟﻠﺘﻴﻦ إﺣﺪاﺛﻴﺘﻴﻬﻤﺎ‬

‫) ) ‪ ( a; f ( a‬و ) ) ‪( b; f ( b‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ -3‬اﺗﺼﺎل دوال اﻋﺘﻴﺎدﻳﺔ‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫اﻟﺪوال اﻟﺤﺪودﻳﺔ و اﻟﺪوال اﻟﺠﺪرﻳﺔ و اﻟﺪوال ‪x‬‬ ‫آﻞ ﻣﺠﺎل ﺿﻤﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻔﻬﺎ‬

‫‪ x‬و ‪sin x‬‬

‫‪ x‬و ‪cos x‬‬

‫‪ x‬و ‪tan x‬‬

‫‪ -4‬داﻟﺔ اﻟﺠﺰء اﻟﺼﺤﻴﺢ‬

‫ﻟﻜﻞ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻧﺴﺒﻲ وﺣﻴﺪ ‪ n‬ﺣﻴﺚ ‪n ≤ x ≺ n + 1‬‬ ‫اﻟﻌﺪد اﻟﺼﺤﻴﺢ اﻟﻨﺴﺒﻲ ‪ n‬ﻳﺴﻤﻰ اﻟﺠﺰء اﻟﺼﺤﻴﺢ ﻟﻠﻌﺪد ‪x‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺑﺠﺰﺋﻪ اﻟﺼﺤﻴﺢ‬ ‫داﻟﺔ اﻟﺠﺰء اﻟﺼﺤﻴﺢ هﻲ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﺮﺑﻂ آﻞ ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ‬ ‫ﻧﺮﻣﺰ ﻟﺼﻮرة ‪ x‬ﺑﻬﺬﻩ اﻟﺪاﻟﺔ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ) ‪ E ( x‬أو ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ] ‪[ x‬‬

‫‪n ≤ x ≺ n +1‬‬

‫أﻣﺜﻠﺔ‬ ‫‪E ( 3, 7 ) = 3‬‬

‫‪( 2) =1‬‬

‫‪E‬‬

‫∈ ‪E ( x ) = n ⇔ ∃!n‬‬

‫ﻷن ‪3 ≤ 3, 7 ≺ 4‬‬ ‫ﻷن ‪1 ≤ 2 ≺ 2‬‬

‫اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﻤﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺠﺰء اﻟﺼﺤﻴﺢ‬ ‫∈‪n‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ‬

‫‪E ( −2,1) = −3‬‬ ‫‪E ( −4 ) = −4‬‬ ‫‪E ( x) = n‬‬

‫ﻷن ‪−3 ≤ −2,1 ≺ −2‬‬ ‫ﻷن ‪−4 ≤ −4 ≺ 5‬‬

‫[‪∀x ∈ [ n; n + 1‬‬

‫إذا آﺎن [‪ x ∈ [ 0;1‬ﻓﺎن ‪E ( x ) = 0‬‬

‫إذا آﺎن [‪ x ∈ [ −1;0‬ﻓﺎن ‪E ( x ) = −1‬‬

‫إذا آﺎن [‪ x ∈ [1; 2‬ﻓﺎن ‪E ( x ) = 1‬‬

‫إذا آﺎن [‪ x ∈ [ −2; −1‬ﻓﺎن ‪E ( x ) = −2‬‬

‫‪.....................................................................‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ x‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ‬

‫ﻧﺘﺎﺋﺞ‬ ‫*‪-‬‬ ‫*‪-‬‬

‫‪E ( n) = n‬‬

‫∈ ‪∀n‬‬

‫‪E ( x) ≤ x ≺ E ( x) + 1‬‬

‫∈ ‪∀x‬‬

‫*‪E ( x + n ) = E ( x ) + n -‬‬

‫∈ ‪∀n‬‬

‫∈ ‪∀x‬‬

‫∈‪n‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ‬ ‫*‪ -‬داﻟﺔ اﻟﺠﺰء اﻟﺼﺤﻴﺢ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ ﻓﻲ ‪ n‬و ﻏﻴﺮ ﻣﺘﺼﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر ﻓﻲ ‪n‬‬ ‫*‪ -‬داﻟﺔ اﻟﺠﺰء اﻟﺼﺤﻴﺢ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ [‪[ n; n + 1‬‬ ‫*‪ -‬داﻟﺔ اﻟﺠﺰء اﻟﺼﺤﻴﺢ ﻏﻴﺮ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ ‪n‬‬ ‫‪ -5‬ﻗﺼﻮر داﻟﺔ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫إذا آﺎﻧﺖ ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ I‬و ‪ g‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ J‬ﺿﻤﻦ ‪I‬‬

‫ﺑﺤﻴﺚ ) ‪g ( x ) = f ( x‬‬

‫‪ ∀x ∈ J‬ﻓﺎﻧﻨﺎ ﻧﻘﻮل ان اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g‬ﻗﺼﻮر اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪J‬‬

‫ﻧﺘﻴﺠﺔ‬ ‫إذا آﺎﻧﺖ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ I‬و ‪ g‬ﻗﺼﻮر اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪ J‬ﻓﺎن ‪ g‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﻤﺠﺎل ‪J‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ [∞‪ [ −1; +‬ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬

‫‪ f ( x) = x‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3x 2‬‬ ‫‪; −1 ≤ x ≤ 1‬‬ ‫= )‪ f ( x‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫‪‬‬

‫ﺑﻴﻦ أن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل‬

‫[∞‪[ −1; +‬‬

‫‪-----------------------------------------------------------------‬‬‫*‪ -‬اﻟﺪاﻟﺔ ‪x‬‬ ‫‪ x‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﺣﻴﺰ ﺗﻌﺮﻳﻔﻬﺎ [∞‪ [0; +‬و [∞‪]1; +∞[ ⊂ [0; +‬‬ ‫وﻣﻨﻪ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ‬

‫‪3x 2‬‬ ‫*‪ -‬اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫‪x+2‬‬

‫[∞‪]1; +‬‬

‫‪ x‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ آﻞ ﻣﺠﺎل ﺿﻤﻦ }‪− {−2‬‬

‫وﻣﻨﻪ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ‬

‫ﻷﻧﻬﺎ داﻟﺔ ﺣﺪودﻳﺔ و }‪− {−2‬‬

‫[‪[ −1;1‬‬

‫*‪ -‬ﻟﻨﺪرس اﺗﺼﺎل ‪ f‬ﻓﻲ ‪1‬‬ ‫‪3x 2‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ f (1) = 1‬و ‪ lim f ( x ) = lim x = 1‬و ‪= 1‬‬ ‫‪x→1− x + 2‬‬ ‫‪x→1+‬‬ ‫‪x→1+‬‬ ‫إذن ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ ‪1‬‬ ‫)‪lim f ( x ) = lim f ( x ) = f (1‬‬

‫‪lim f ( x ) = lim‬‬

‫‪x→1−‬‬

‫إذن ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ‬

‫‪x →1−‬‬

‫‪x →1+‬‬

‫[∞‪[ −1; +‬‬

‫‪ -II‬اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت ﻋﻠﻰ اﻟﺪوال اﻟﻤﺘﺼﻠﺔ‬ ‫‪ -1‬ﺧﺎﺻﻴﺔ)ﺗﻘﺒﻞ(‬ ‫إذا آﺎﻧﺘﺎ ‪ f‬و ‪ g‬داﻟﺘﻴﻦ ﻣﺘﺼﻠﺘﻴﻦ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ I‬و ‪ α‬ﻋﺪدا ﺣﻘﻴﻘﻴﺎ ﻓﺎن‪:‬‬ ‫*‪ f + g -‬و ‪ α f‬و ‪ f × g‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬

‫‪f‬‬ ‫‪1‬‬ ‫و‬ ‫*‪ -‬و إذا آﺎﻧﺖ ‪ g‬ﻻ ﺗﻨﻌﺪم ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻓﺎن اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ‬ ‫‪g‬‬ ‫‪g‬‬

‫ﻣﺘﺼﻠﺘﺎن ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪I‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫ﺣﺪد ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬و أدرس اﺗﺼﺎﻟﻬﺎ ﻋﻠﻰ ‪ D f‬ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻻت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬

‫أ‪f ( x ) = x 2 + sin ( x ) -‬‬

‫‪x‬‬ ‫د‪-‬‬ ‫‪x +1‬‬

‫‪f ( x) = x +‬‬

‫‪4‬‬

‫ج‪-‬‬

‫‪3x + 1‬‬ ‫‪x‬‬

‫= )‪f ( x‬‬

‫⊂ [‪]−1;1‬‬

‫‪ -2‬اﺗﺼﺎل ﻣﺮآﺐ داﻟﺘﻴﻦ‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ I‬و ‪ g‬داﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ J‬ﺣﻴﺚ ‪f ( I ) ⊂ J‬‬ ‫إذا آﺎﻧﺖ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ‪ I‬و ‪ g‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ‪ J‬ﻓﺎن ‪ g f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ ‪f ( x) = cos(3 x − 2 x) :‬‬ ‫‪ (1‬ﺣﺪد ‪. D f‬‬ ‫‪ (2‬اآﺘﺐ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﺮآﺐ داﻟﺘﻴﻦ‪ .‬ﺛﻢ أدرس اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪. D f‬‬

‫ﻧﺘﻴﺠﺔ‪ f :‬ﻣﻮﺟﺒﺔ وﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪I‬‬ ‫[∞‪ f ( I ) ⊂ [ 0; +‬و ‪x‬‬ ‫‪ x‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ [∞‪[0; +‬‬

‫اذن ‪f‬‬

‫ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪I‬‬

‫= ‪f‬‬

‫ﻻن ‪f‬‬

‫ﻓﺎن داﻟﺔ‬

‫اذا آﺎﻧﺖ ‪ f‬ﻣﻮﺟﺒﺔ وﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪I‬‬

‫‪f‬‬

‫‪ -III‬ﺻﻮرة ﻣﺠﺎل ﺑﺪاﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ‬ ‫‪ -1‬ﺻﻮرة ﻗﻄﻌﺔ – ﺻﻮرة ﻣﺠﺎل‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ‪f ( x) = x 2 :‬‬ ‫ﻧﺸﺎط‬

‫)‬

‫) (‬ ‫‪ -1‬اﻧﺸﺊ ) ‪. ( C f‬‬

‫ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪I‬‬

‫(‬

‫و ‪ C f‬ﻣﻨﺤﻨﺎهﺎ ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ و ﻣﻤﻨﻈﻢ ‪. o, i, j‬‬

‫‪ -2‬ﺣﺪد ﻣﺒﻴﺎﻧﻴﺎ ﺻﻮر آﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎﻻت ‪:‬‬

‫]‪[0; 2‬‬

‫;‬

‫]‪[ −1; 2‬‬

‫]‪]−1; 2‬‬

‫;‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫*‪ -‬ﺻﻮرة ﻗﻄﻌﺔ ﺑﺪاﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ هﻲ ﻗﻄﻌﺔ‪.‬‬ ‫*‪ -‬ﺻﻮرة ﻣﺠﺎل ﺑﺪاﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ هﻲ ﻣﺠﺎل‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬ ‫* إذا آﺎﻧﺖ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ] ‪ [a;b‬ﻓﺎﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ‪ α‬و ‪ β‬ﻣﻦ ] ‪[a;b‬‬

‫ﺣﻴﺚ ) ) ‪m = f ( β ) = inf ( f ( x‬‬ ‫] ‪x∈[ a;b‬‬ ‫و‬

‫) ) ‪(α ) = sup ( f ( x‬‬ ‫] ‪x∈[ a;b‬‬

‫)اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﺪﻧﻴﺎ(‬

‫‪) M = f‬اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﻘﺼﻮى(‬

‫] ‪( [a ; b ] ) = [ m ; M‬‬

‫و ) ‪ f ( I‬ﻟﻴﺲ ﻣﺠﺎﻻ‬

‫* إذا آﺎن ‪ I‬ﻣﺠﺎﻻ ﻣﻦ‬

‫ﻓﺎن ‪ f‬ﻏﻴﺮ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫* ﻓﻲ اﻟﺨﺎﺻﻴﺔ اﻟﺸﺮط ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﺷﺮط آﺎف‬ ‫و ﻟﻜﻦ ﻏﻴﺮ ﻻزﻣﺎ أي ﻳﻤﻜﻦ أن ﺗﻜﻮن ﺻﻮرة‬ ‫ﻣﺠﺎل ﺑﺪاﻟﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﺘﺼﻠﺔ هﻲ ﻣﺠﺎل‬ ‫ﻣﺜﺎل ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ f‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ]‪[ −2.3‬‬ ‫ﺑـ‪:‬‬

‫]‪([ −2;3]) = [ −1; 2‬‬

‫‪f‬‬

‫[‪x ∈ [ −2;0‬‬ ‫]‪x ∈ [ 0;3‬‬

‫ﻣﻊ ذﻟﻚ ‪f‬‬

‫‪ f ( x ) = x + 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ f ( x ) = x − 1‬‬

‫ﻏﻴﺮ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ]‪[ −2;3‬‬

‫ﻷﻧﻬﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ‪0‬‬

‫‪5‬‬

‫‪f‬‬

‫;‬

‫[‪[0; +∞[ ; ]−1;0‬‬

‫و‬

‫[‪]−∞;0‬‬

‫ ﻣﺒﺮهﻨﺔ اﻟﻘﻴﻢ اﻟﻮﺳﻴﻄﻴﺔ‬-2

[ a; b] ‫ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ‬f f ( b ) ‫ و‬f ( a ) ‫ ﻣﺤﺼﻮر ﺑﻴﻦ‬k k ∈ f ([ a; b ]) ‫وﻣﻨﻪ‬ b ‫ و‬a ‫ ﻣﺤﺼﻮر ﺑﻴﻦ‬c ‫ﻳﻮﺟﺪ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﻋﺪد‬ . f ( c ) = k ‫ﺣﻴﺚ‬

‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ اﻟﻘﻴﻢ اﻟﻮﺳﻴﻄﻴﺔ‬ ‫ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﻠﻰ‬f ( b ) ‫ و‬f ( a ) ‫ ﻣﺤﺼﻮر ﺑﻴﻦ‬k ‫ ﻓﺎن ﻟﻜﻞ‬I ‫ ﻋﻨﺼﺮﻳﻦ ﻣﻦ‬b ‫ و‬a ‫ و‬I ‫ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ‬f ‫إذا آﺎﻧﺖ‬ . f ( c ) = k ‫ ﺣﻴﺚ‬b ‫ و‬a ‫ ﻣﺤﺼﻮر ﺑﻴﻦ‬c ‫اﻷﻗﻞ ﻋﺪد‬ ‫ﻧﺘﻴﺠﺔ‬ ‫ ﺗﻘﺒﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﺣﻼ ﻓﻲ‬f ( x ) = 0 ‫ ﻓﺎن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬f ( a ) ⋅ f ( b ) ≺ 0 ‫ [ وآﺎن‬a; b ] ‫ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ‬f ‫إذا آﺎﻧﺖ‬ . ]a; b[

‫ ﻣﺘﺼﻠﺔ و ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻗﻄﻌﺎ‬f ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬

π   2 ; π  ‫ ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ ﻓﻲ‬2sin x = x ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ ﺣﺎﻟﺔ داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ و رﺗﻴﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ‬-3 ‫ ﻣﺘﺼﻠﺔ و ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ‬f ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬

f ( I ) ‫اﻟﻤﺠﺎل‬

I ‫اﻟﻤﺠﺎل‬

f ( I ) ‫اﻟﻤﺠﺎل‬

I ‫اﻟﻤﺠﺎل‬

 f ( b ) ; f ( a ) 

[ a; b ]

 f ( a ) ; f ( b ) 

[ a; b ]

  f ( x ) ; f ( a )  xlim − →b 

[ a; b[

  f ( x )  f ( a ) ; xlim − →b 

[ a; b[

  f ( x )  f ( b ) ; xlim + →a 

] a; b ]

  f ( x ) ; f ( b )  xlim + →a 

] a; b ]

  f ( x ) ; lim f ( x )   xlim − + →b x →a 

]a; b[

  f ( x ) ; lim f ( x )   xlim + − →a x→b 

]a; b[

 lim f ( x ) ; f ( a )   x→+∞ 

[ a; +∞[

 f ( a ) ; lim f ( x )    x →+∞

[ a; +∞[

  f ( x ) ; lim f ( x )   xlim + →+∞ x →a 

]a; +∞[

  f ( x ) ; lim f ( x )   xlim + x→+∞ →a 

]a; +∞[

 f ( a ) ; lim f ( x )   x→−∞ 

]−∞; a ]

 lim f ( x ) ; f ( a )   x→−∞ 

]−∞; a ]

  f ( x ) ; lim f ( x )   xlim − x→−∞ →a 

]−∞; a[

  f ( x ) ; lim f ( x )   xlim − →−∞ x →a 

]−∞; a[

6

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ]‪ ]−∞;5‬ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮاﺗﻬﺎ آﻤﺎ ﻳﻠﻲ‬

‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ /1‬ﺣﺪد‬

‫‪1‬‬

‫∞‪-‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪4‬‬

‫)]‪ f ([1;5‬و )]‪ f ([0;5‬و )]‪([ −2;1‬‬

‫‪-5‬‬ ‫‪ f‬و )]‪f ( ]−∞;0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪f‬‬

‫‪ /2‬ﺣﺪد اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﻘﺼﻮى ﺛﻢ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﺪﻧﻴﺎ ﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ]‪ ]−∞;5‬ﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫)]‪( ]−∞;5‬‬

‫‪f‬‬

‫‪2x + 1‬‬ ‫= )‪f ( x‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺑـ‬ ‫‪4x − 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ /2‬ﺣﺪد ﺻﻮرة اﻟﻤﺠﺎل ‪  −∞; ‬ﺑﺎﻟﺪاﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ /1‬ﺣﺪد ‪D f‬‬

‫ﻧﺘﻴﺠﺔ‬ ‫إذا آﺎﻧﺖ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ورﺗﻴﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ] ‪ [ a; b‬ﻓﺎن ﻟﻜﻞ ‪ k‬ﻣﺤﺼﻮر ﺑﻴﻦ ) ‪ f ( a‬و ) ‪ f ( b‬ﻳﻮﺟﺪ ﻋﻠﻰ ﻋﺪد وﺣﻴﺪ‬ ‫‪ c‬ﻣﺤﺼﻮر ﺑﻴﻦ ‪ a‬و ‪ b‬ﺣﻴﺚ ‪. f ( c ) = k‬‬ ‫ﻧﺘﻴﺠﺔ‬ ‫إذا آﺎﻧﺖ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ورﺗﻴﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ] ‪ [ a; b‬وآﺎن ‪ f ( a ) ⋅ f ( b ) ≺ 0‬ﻓﺎن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ f ( x ) = 0‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ‬ ‫وﺣﻴﺪا ‪ α‬ﻓﻲ [‪. ]a; b‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ x + 1 = − x‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ وﺣﻴﺪا ‪ α‬ﻓﻲ ‪ −1; − 2 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ﻃﺮﻳﻘﺔ اﻟﺘﻔﺮع اﻟﺜﻨﺎﺋﻲ (‬ ‫ﺣﺪد ﺗﺄﻃﻴﺮا ﻟﻠﻌﺪد ‪ α‬ﺳﻌﺘﻪ‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ -IV‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ورﺗﻴﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل‬ ‫‪ -1‬ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫إذا آﺎﻧﺖ داﻟﺔ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ورﺗﻴﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ I‬ﻓﺎن ﻟﻜﻞ ‪ y‬ﻣﻦ ) ‪ f ( I‬اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ f ( x ) = y‬ﺗﻘﺒﻞ‬ ‫ﺣﻼ و ﺣﻴﺪا ﻓﻲ ‪ ) I‬ﻧﻌﺒﺮ ﻋﻦ هﺬا ﺑﻘﻮﻟﻨﺎ ‪ f‬ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ ‪ I‬ﻧﺤﻮ اﻟﻤﺠﺎل ) ‪( f ( I‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ورﺗﻴﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ I‬و ‪ J‬ﻣﺠﺎل ﺣﻴﺚ ‪. f ( I ) = J‬‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﺮﺑﻂ آﻞ ﻋﻨﺼﺮ ‪ y‬ﻣﻦ ‪ J‬ﺑﺎﻟﻌﻨﺼﺮ اﻟﻮﺣﻴﺪ ‪ x‬ﻣﻦ ‪ I‬ﺑﺤﻴﺚ ‪ f ( x ) = y‬ﺗﺴﻤﻰ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﻴﺔ‬

‫ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ‪f −1‬‬ ‫ﻧﺘﺎﺋﺞ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ورﺗﻴﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ I‬و‬ ‫) ‪f −1 ( x ) = y ⇔ x = f ( y‬‬ ‫‪f ( x) = x‬‬

‫‪f −1‬‬

‫‪ f −1‬داﻟﺘﻬﺎ اﻟﻌﻜﺴﻴﺔ‬

‫‪∀x ∈ f ( I ) ∀x ∈ I‬‬

‫‪f −1 ( x ) = x ; ∀x ∈ I‬‬

‫‪ -2‬ﺧﺎﺻﻴﺎت اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﻴﺔ‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫إذا آﺎﻧﺖ داﻟﺔ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ورﺗﻴﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ I‬و‬ ‫*‪ f −1 -‬ن ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ) ‪f ( I‬‬

‫‪f‬‬

‫) ‪∀x ∈ f ( I‬‬

‫‪ f −1‬داﻟﺘﻬﺎ اﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﻓﺎن‪:‬‬

‫*‪ f −1 -‬رﺗﻴﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ) ‪ f ( I‬و ﻟﻬﺎ ﻧﻔﺲ رﺗﺎﺑﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪I‬‬ ‫*‪-‬‬

‫‪f −1‬‬

‫‪ C‬ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f −1‬هﻮ ﻣﻤﺎﺛﻞ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ‪ C f‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪ y = x‬ﻓﻲ‬

‫ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ و ﻣﻤﻨﻈﻢ‪.‬‬

‫‪7‬‬

‫اﺻﻄﻼح‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪ y = x‬ﻳﺴﻤﻰ اﻟﻤﻨﺼﻒ اﻻول ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪:‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ −∞; 2 ‬‬ ‫ﺑـ ‪f ( x ) = 1 − 2 x‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f (x ) = 2‬‬ ‫ﺑـ‬ ‫‪x +1‬‬ ‫ﺑﻴﻦ أن اﻟﻘﺼﻮر ‪ g‬ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ]‪ [ −1;1‬ﺗﻘﺒﻞ‬

‫‪ /1‬ﺑﻴﻦ أن ‪ f‬ﺗﻘﺒﻞ داﻟﺔ ﻋﻜﺴﻴﺔ ‪ f −1‬ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻣﺠﺎل ‪ J‬ﻳﺠﻴﺐ ﺗﺤﺪﻳﺪﻩ‬ ‫‪ /2‬ﺣﺪد ‪f −1‬‬ ‫‪ /3‬ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ أﻧﺸﺊ ‪ C −1‬ﺛﻢ‬

‫داﻟﺔ ﻋﻜﺴﻴﺔ ‪ g −1‬ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ J‬ﻳﺠﻴﺐ ﺗﺤﺪﻳﺪﻩ‬ ‫ﺛﻢ ﺣﺪد ‪g −1‬‬

‫‪f‬‬

‫اﻧﺸﺊ ‪ C f‬ﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﻌﻠﻢ‬ ‫‪ -3‬داﻟﺔ اﻟﺠﺪر ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ ‪n‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ * ∈ ‪n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﺑﻴﻦ أن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ x → x n‬ﺗﻘﺒﻞ داﻟﺔ ﻋﻜﺴﻴﺔ ﻣﻦ ‪ +‬إﻟﻰ‬ ‫أ‪ -‬ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ * ∈ ‪n‬‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ [∞‪ [ 0; +‬ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪ x → x n‬ﺗﺴﻤﻰ داﻟﺔ اﻟﺠﺪر ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ ‪n‬‬ ‫ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑـ ‪ . n‬ﻧﺮﻣﺰ‬ ‫ﻧﺮﻣﺰ ﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺪد ‪ x‬ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ‪x‬‬

‫‪x = y ⇔ x = yn‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ و اﺻﻄﻼح‬ ‫‪-‬‬

‫‪+‬‬

‫‪x =x‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫و ﻳﻘﺮأ اﻟﺠﺪر ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ ‪ n‬ﻟﻠﻌﺪد ‪. x‬‬ ‫‪+2‬‬

‫∈ ) ‪∀ ( x; y‬‬

‫∈‪x‬‬ ‫‪1‬‬

‫;‬

‫‪x = x‬‬

‫‪2‬‬

‫‪8‬‬

‫‪-‬‬

‫‪x‬‬

‫‪3‬‬

‫ﻳﺴﻤﻰ اﻟﺠﺪر اﻟﻤﻜﻌﺐ ﻟﻠﻌﺪد ‪x‬‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫∈‪n‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ‬ ‫‪n‬‬ ‫*‪ -‬اﻟﺪاﻟﺔ ‪ x → x‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫*‬

‫[∞‪ [ 0; +‬و ∞‪x = +‬‬

‫‪n‬‬

‫‪lim‬‬

‫∞‪x→+‬‬

‫*‪ -‬ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ x → n x‬ﻣﻤﺎﺛﻞ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ x → x n‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻨﺼﻒ‬ ‫اﻷول ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ‬ ‫ﺣﺎﻟﺔ‪n = 4 :‬‬

‫ﻧﺘﺎﺋﺞ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ‬

‫*‬

‫∈‪n‬‬

‫)‪(n x‬‬

‫‪+2‬‬

‫∈ ) ‪∀ ( x; y‬‬

‫‪y ⇔x= y‬‬

‫‪n‬‬

‫=‪x‬‬

‫‪n‬‬

‫‪+2‬‬

‫∈ ) ‪∀ ( x; y‬‬

‫‪y ⇔ x≺ y‬‬

‫‪n‬‬

‫≺‪x‬‬

‫‪n‬‬

‫‪+2‬‬

‫∈ ) ‪∀ ( x; y‬‬

‫‪=x‬‬

‫‪n‬‬

‫ب‪ -‬ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪x n = a‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫ﺣﻞ ﻓﻲ‬

‫∈‪x‬‬

‫‪x 4 = 5 ; x 7 = −8 ; x 5 = 243‬‬

‫اﻟﻤﻌﺎدﻻت‬

‫*‬

‫∈‪ n‬و‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫ج‪ -‬اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت ﻋﻠﻰ اﻟﺠﺬور‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪; ( n; p ) ∈ *2‬‬ ‫∈‪a‬‬

‫)‪(b ≠ 0‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪=n‬‬

‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪x n = a‬‬

‫ﺣﻞ وﻧﺎﻗﺶ ﻓﻲ‬

‫∈ ) ‪( a; b‬‬

‫‪+2‬‬

‫‪a‬‬

‫‪n‬‬

‫‪b‬‬

‫‪n‬‬

‫‪ap‬‬

‫;‬

‫‪np‬‬

‫=‪a‬‬

‫‪n‬‬

‫‪a × n b = n ab‬‬

‫اﻟﺒﺮهﺎن‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪n p‬‬

‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪ =a ⇔a =a‬‬ ‫‪‬‬

‫)‪( a‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪‬‬ ‫‪⇔‬‬ ‫‪‬‬

‫‪pn‬‬

‫‪p‬‬

‫) ‪a‬‬

‫‪ -1‬ﺑﺮهﻦ أن ‪a m a = nm a n+ m‬‬

‫‪n‬‬

‫‪np‬‬

‫(=‬ ‫‪*2‬‬

‫‪9‬‬

‫‪pn‬‬

‫‪n‬‬

‫‪= ap‬‬

‫;‬ ‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪p‬‬

‫‪a‬‬

‫;‬

‫)‪⇔ ( a‬‬

‫‪p‬‬

‫∈ ) ‪∀ ( n; m‬‬

‫‪np‬‬

‫‪a‬‬

‫) (‬ ‫‪a‬‬

‫= ‪a‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n p‬‬

‫‪np‬‬

‫=‪a‬‬

‫‪+‬‬

‫∈ ‪∀a‬‬

‫‪n‬‬

‫‪1024 5 32‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ -2‬ﺑﺴﻂ‬ ‫‪64 3 256 18‬‬ ‫د‪ -‬اﺗﺼﺎل وﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﺮآﺒﺔ داﻟﺔ و داﻟﺔ اﻟﺠﺪر اﻟﻨﻮﻧﻲ‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺎت‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ I‬و ‪ x 0‬ﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ ‪I‬‬ ‫‪4‬‬

‫ إذا آﺎﻧﺖ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻓﺎن ‪f‬‬

‫‪ -3‬ﻗﺎرن ‪3‬‬

‫‪7‬‬

‫; ‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬

‫‪n‬‬

‫ إذا آﺎﻧﺖ ‪ lim f ( x ) = l‬ﻓﺎن ‪f ( x ) = n l‬‬

‫‪n‬‬

‫‪x→ x0‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪x→ x0‬‬

‫ إذا آﺎﻧﺖ ∞‪ lim f ( x ) = +‬ﻓﺎن ∞‪f ( x ) = +‬‬

‫‪n‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪x → x0‬‬

‫‪x→ x0‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬ ‫اﻟﺨﺎﺻﻴﺘﺎن ﺗﻈﻼن ﺻﺎﻟﺤﺘﻴﻦ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﺆول ‪ x‬اﻟﻰ ‪ x0‬ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ أو اﻟﻰ ‪ x0‬ﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر أو اﻟﻰ ∞‪ +‬أو إﻟﻰ ∞‪−‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪3‬‬ ‫∈‪x‬‬ ‫‪ -1‬ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ ( E‬اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪2 x − 1 = x‬‬ ‫أ‪ /‬ﺗﺄآﺪ أن ‪ 1‬ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬

‫)‪(E‬‬

‫ب‪ /‬ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬

‫)‪(E‬‬

‫‪ -2‬ﺑﻴﻦ أن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ x → 5 x 2 − 2 x − 3‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ آﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ﺣﻴﺰ ﺗﻌﺮﻳﻔﻬﺎ ‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪x3 + x + 1‬‬

‫‪6‬‬

‫‪x +1 −1‬‬ ‫‪ -3‬ﺣﺪد ‪, lim 5 x3 + 8 ; lim 8 x3 − x + 3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫→‬ ‫‪x →2‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪ -4‬اﻟﻘﻮة اﻟﺠﺪرﻳﺔ ﻟﻌﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻣﻮﺟﺐ )اﻣﺘﺪاد ﻟﻠﻘﻮة اﻟﺼﺤﻴﺤﺔ اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ(‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪r ∈ * ; a ∈ +‬‬ ‫‪q p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪r‬‬ ‫= ‪ ( p; q ) ∈ * × * ; r‬و ﻳﺴﻤﻰ اﻟﻘﻮة اﻟﺠﺬرﻳﺔ ﻟﻠﻌﺪد ‪ a‬ذات‬ ‫ﺣﻴﺚ‬ ‫اﻟﻌﺪد ‪ a‬هﻮ اﻟﻌﺪد ‪a‬‬ ‫‪q‬‬ ‫اﻷس ‪. r‬‬

‫‪p‬‬ ‫‪q‬‬

‫‪=a‬‬

‫‪a‬‬

‫‪q‬‬

‫*‪+‬‬

‫‪a0 = 1‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬ ‫ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ‬

‫‪p‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪xn‬‬

‫‪lim‬‬

‫;‬

‫‪lim‬‬

‫=‪x‬‬

‫‪n‬‬

‫∈‪a‬‬

‫[∞‪[0; +‬‬

‫ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺎت‬

‫∈ )' ‪( r; r‬‬

‫ﻟﻴﻜﻦ‬

‫‪2‬‬

‫' ‪= a rr‬‬

‫'‪r‬‬

‫) ‪( ar‬‬

‫' ‪= a r −r‬‬

‫‪n‬‬ ‫اﻟﺒﺮهﺎن ﻧﻀﻊ‬ ‫‪m‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫='‪; r‬‬ ‫‪3‬‬

‫اﺣﺴﺐ ‪:‬‬

‫‪p‬‬ ‫‪q‬‬

‫'‪r‬‬

‫‪a‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫∈ ) ‪( a; b‬‬

‫) ‪; a r b r = ( ab‬‬ ‫‪r‬‬

‫;‬

‫‪pm+nq‬‬ ‫‪qm‬‬

‫=‪A‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪10‬‬

‫' ‪a r a r ' = a r +r‬‬

‫‪ar‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪= ‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪=a‬‬

‫‪5 5‬‬ ‫‪23 32‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪ 2 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 2 3  5 3−3‬‬

‫) (‬

‫‪ar‬‬

‫= ‪ r‬وﻣﻨﻪ ' ‪= ar+r‬‬

‫‪ 1 ‬‬ ‫‪ 4 ‬‬ ‫‪ 2² ‬‬

‫;‬ ‫‪r‬‬

‫;‬

‫‪*2‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪qm pm+nq‬‬

‫‪a‬‬

‫;‬

‫=‬

‫‪= a−r‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪a‬‬

‫‪qm pm mq nq‬‬

‫‪a‬‬

‫‪a‬‬

‫‪q‬‬

‫= ‪ar ar ' = a p m an‬‬

‫ﻃﺮﻳﻘﺔ اﻟﺘﻔﺮع اﻟﻨﻬﺎﺋﻲ ‪DICHOTOMIE‬‬ ‫ﻧﺘﻴﺠﺔ ﻟﻤﺒﺮهﻨﺔ اﻟﻘﻴﻢ اﻟﻮﺳﻴﻄﻴﺔ‬ ‫إذا آﺎﻧﺖ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ورﺗﻴﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ] ‪ [ a; b‬وآﺎن ‪ f ( a ) ⋅ f ( b ) ≺ 0‬ﻓﺎن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ f ( x ) = 0‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ‬ ‫وﺣﻴﺪا ‪ α‬ﻓﻲ [‪. ]a; b‬‬ ‫ﺗﺤﺪﻳﺪ ﺗﺎﻃﻴﺮا ﻟﻠﻌﺪد ‪ α‬ﺳﻌﺘﻪ ‪l‬‬ ‫ﻧﺤﺴﺐ ‪b − a‬‬ ‫هﻞ ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ b − a ≤ l‬؟‬

‫ﻧﻌﻢ‬

‫ﻻ‬

‫‪a+b‬‬ ‫ﻧﺤﺴﺐ ) ‪ f ( c‬ﺣﻴﺚ ‪= c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫هﻞ ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ f ( a ) × f ( c ) ≺ 0‬؟‬

‫ﻧﻌﻢ‬

‫ﻻ‬

‫‪a≺α ≺ c‬‬ ‫هﻞ ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ c − a ≤ l‬؟‬

‫‪c≺α ≺b‬‬ ‫هﻞ ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ b − c ≤ l‬؟‬

‫ﻻ‬

‫ﻻ‬

‫ﻧﻌﻢ‬

‫ﻧﻌﻢ‬

‫ﻧﻌﻴﺪ اﻟﻤﺮاﺣﻞ اﻟﻤﺘﺎﺑﻌﺔ ﺑﺘﻌﻮﻳﺾ‬ ‫اﻟﻤﺠﺎل [‪ ]a; b‬ﺑﺎﻟﻤﺠﺎل [‪ ]c; b‬أو [‪]a; c‬‬

‫‪11‬‬

‫ﺗﺤﺪﻳﺪ اﻟﺘﺄﻃﻴﺮ اﻟﻤﻄﻠﻮب‬