اﺗﺼﺎل داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﺍﻟﻘﺪﺭﺍﺕ ﺍﳌﻨﺘﻈﺮﺓ * ﺑﺪﺍﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻭ ﺭﺗﻴﺒﺔ؛ ـ ﲢﺪﻳﺪ ﺻﻮﺭﺓ ﻗﻄﻌﺔ ﺃﻭ ﳎﺎﻝ * :ﺑﺪﺍﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ؛ ـ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﻣﱪﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻮﺳﻴﻄﻴﺔ ﰲ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺑﻌﺾ ﺍﳌﻌﺎﺩﻻﺕ ﻭ ﺍﳌﺘﺮﺍﺟﺤﺎﺕ ﺃﻭ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﺇﺷﺎﺭﺓ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﺘﻌﺎﺑﲑ........ ـ ﺍﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﺍﻟﺘﻔﺮﻉ ﺍﻟﺜﻨﺎﺋﻲ ﰲ ﲢﺪﻳﺪ ﻗﻴﻢ ﻣﻘﺮﺑﺔ ﳊﻠﻮﻝ f ( x ) = λﺃﻭ ﻟﺘﺄﻃﲑﻫﺬﻩ ﺍﳊﻠﻮﻝ؛
ـ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﻣﱪﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﻮﺳﻴﻄﻴﺔ ﰲ ﺣﺎﻟﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻭ ﺭﺗﻴﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﳎﺎﻝ ،ﻻﺛﺒﺎﺕ ﻭﺣﺪﺍﻧﻴﺔ ﺣﻞ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ f ( x ) = λ
-Iاﻻﺗﺼﺎل ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ – اﻻﺗﺼﺎل ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل -1اﻻﺗﺼﺎل ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ /aﻧﺸﺎط ﻟﻴﻜﻦ C fﻣﻨﺤﻨﻰ داﻟﺔ ﻋﺪﻳﺔ fآﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ:
) (
-1
ﻣﻦ ﺧﻼ اﻟﺸﻜﻞ آﻴﻒ ﺗﺮى اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) (
C fﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ذات اﻻﻓﺼﻮل -1ﺛﻢ ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ذات 3
-2أ /أﺣﺴﺐ ) f ( 3و ) lim f ( xﻣﺎذا ﺗﻼﺣﻆ x →3
ب /أﺣﺴﺐ ) f ( −1و أدرس ﻧﻬﺎﻳﺔ fﻋﻨﺪ -1ﻣﺎذا ﺗﺴﺘﻨﺘﺞ اﻟﺠﻮاب: /1ﻣﻦ ﺧﻼل ﺷﻜﻞ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ
) (
C fﻳﺘﻀﺢ ان اﻟﻤﻨﺤﻰ ﻣﺘﻘﻄﻊ ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ذات اﻻﻓﺼﻮل -1
و ﻣﺘﺼﻞ ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ذات 3 /2أ -ﻣﻦ ﺧﻼل ﺷﻜﻞ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻧﻼﺣﻆ أن ب-
) (C f
)lim f ( x ) = f ( 3
x →3
ﻣﻦ ﺧﻼل ﺷﻜﻞ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ( C f Moustaouli Mohamed
ﻟﺪﻳﻦ f ( 3) = 2
و lim f ( x ) = 2
x →3
ﻟﺬا ﻧﻘﻮل إن اﻟﺪاﻟﺔ fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ 3 ﻟﺪﻳﻨﺎ f ( −1) = 3
1
و lim f ( x ) = 3
x →−1+
و lim f ( x ) = 1
http://arabmaths.ift.fr
x →−1−
ﻧﻼﺣﻆ أن lim f ( x ) ≠ lim f ( x ) -* :ﻧﻘﻮل إن اﻟﺪاﻟﺔ fﻏﻴﺮ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻨﺪ -1 x→−1+
x→−1−
* lim f ( x ) = f ( −1) -ﻧﻘﻮل إن اﻟﺪاﻟﺔ fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻦ ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ -1 x→−1+
* lim f ( x ) ≠ f ( −1) -ﻧﻘﻮل إن اﻟﺪاﻟﺔ fﻏﻴﺮ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ -1 x→−1−
/bﺗﻌﺮﻳﻒ اﻻﺗﺼﺎل ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻣﻔﺘﻮح ، Iو x0ﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ I ﺗﻜﻮن fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ x0إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن
) lim f ( x ) = f ( x0
x→ x0
ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻻﺗﺼﺎل ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ اﻻﺗﺼﺎل ﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻣﻦ ﻧﻮع [ [ x0 ; x0 + αﺣﻴﺚ 0 ﺗﻜﻮن fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ x0إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن
) lim f ( x ) = f ( x0
x→ x0+
ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻣﻦ ﻧﻮع ] ] x0 − α ; x0ﺣﻴﺚ 0
ﺗﻜﻮن fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ x0إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن
α
α
) lim f ( x ) = f ( x0
x→ x0−
ﺧﺎﺻﻴﺔ ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻣﻔﺘﻮح ، Iو x0ﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ I ﺗﻜﻮن fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ x0إذا وﻓﻘﻂ fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ و ﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ x0 ﺗﻤﺮﻳﻦ -1أدرس اﺗﺼﺎل fﻓﻲ x0ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻻت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ : /a
/c
sin 3 x = ) f ( x x x0 = 0 ; f (0) = 3
x≠0
x
0
x≤0
/b
f ( x ) = 2 x + 1 x 2 x0 = 2 ; 2 f ( x ) = x − 1 x ≤ 2
1 f ( x ) = x sin x x0 = 0 ; f ( x ) = x2 − x x −1 x ≤ −1
-2ﺣﺪد aﻟﻜﻲ ﺗﻜﻮن fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ −1
f ( x ) = x3 + ax f ( x ) = − x + 1
-2اﻻﺗﺼﺎل ﻓﻲ ﻣﺠﺎل ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻋﺪﻳﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ﻣﻔﺘﻮح I ﺗﻜﻮن fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ Iإذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎﻧﺖ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ آﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ I ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻋﺪﻳﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل
ﺗﻜﻮن f
ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ][ a; b
][ a; b
إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎﻧﺖ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ آﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ [ ]a; bوﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻳﻤﻴﻦ a
و ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎر b ﺑﺎﻟﻤﺜﻞ ﻧﻌﺮف اﻻﺗﺼﺎل ﻋﻠﻰ ] ]a; bو ﻋﻠﻰ ﻣﻼﺣﻈﺔ
[[ a; b
و ] ]−∞;aو ﻋﻠﻰ
[∞[ a; +
اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﻤﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ] [ a; bهﻮ ﺧﻂ ﻣﺘﺼﻞ ﻃﺮﻓﺎﻩ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ اﻟﻠﺘﻴﻦ إﺣﺪاﺛﻴﺘﻴﻬﻤﺎ
) ) ( a; f ( aو ) ) ( b; f ( b
2
-3اﺗﺼﺎل دوال اﻋﺘﻴﺎدﻳﺔ ﺧﺎﺻﻴﺔ اﻟﺪوال اﻟﺤﺪودﻳﺔ و اﻟﺪوال اﻟﺠﺪرﻳﺔ و اﻟﺪوال x آﻞ ﻣﺠﺎل ﺿﻤﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻔﻬﺎ
xو sin x
xو cos x
xو tan x
-4داﻟﺔ اﻟﺠﺰء اﻟﺼﺤﻴﺢ
ﻟﻜﻞ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ xﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻧﺴﺒﻲ وﺣﻴﺪ nﺣﻴﺚ n ≤ x ≺ n + 1 اﻟﻌﺪد اﻟﺼﺤﻴﺢ اﻟﻨﺴﺒﻲ nﻳﺴﻤﻰ اﻟﺠﺰء اﻟﺼﺤﻴﺢ ﻟﻠﻌﺪد x ﺗﻌﺮﻳﻒ x ﺑﺠﺰﺋﻪ اﻟﺼﺤﻴﺢ داﻟﺔ اﻟﺠﺰء اﻟﺼﺤﻴﺢ هﻲ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﺮﺑﻂ آﻞ ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ ﻧﺮﻣﺰ ﻟﺼﻮرة xﺑﻬﺬﻩ اﻟﺪاﻟﺔ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ) E ( xأو ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ] [ x
n ≤ x ≺ n +1
أﻣﺜﻠﺔ E ( 3, 7 ) = 3
( 2) =1
E
∈ E ( x ) = n ⇔ ∃!n
ﻷن 3 ≤ 3, 7 ≺ 4 ﻷن 1 ≤ 2 ≺ 2
اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﻤﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺠﺰء اﻟﺼﺤﻴﺢ ∈n ﻟﻴﻜﻦ
E ( −2,1) = −3 E ( −4 ) = −4 E ( x) = n
ﻷن −3 ≤ −2,1 ≺ −2 ﻷن −4 ≤ −4 ≺ 5
[∀x ∈ [ n; n + 1
إذا آﺎن [ x ∈ [ 0;1ﻓﺎن E ( x ) = 0
إذا آﺎن [ x ∈ [ −1;0ﻓﺎن E ( x ) = −1
إذا آﺎن [ x ∈ [1; 2ﻓﺎن E ( x ) = 1
إذا آﺎن [ x ∈ [ −2; −1ﻓﺎن E ( x ) = −2
.....................................................................
3
xﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ
ﻧﺘﺎﺋﺞ *- *-
E ( n) = n
∈ ∀n
E ( x) ≤ x ≺ E ( x) + 1
∈ ∀x
*E ( x + n ) = E ( x ) + n -
∈ ∀n
∈ ∀x
∈n ﻟﻴﻜﻦ * -داﻟﺔ اﻟﺠﺰء اﻟﺼﺤﻴﺢ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ ﻓﻲ nو ﻏﻴﺮ ﻣﺘﺼﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر ﻓﻲ n * -داﻟﺔ اﻟﺠﺰء اﻟﺼﺤﻴﺢ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ [[ n; n + 1 * -داﻟﺔ اﻟﺠﺰء اﻟﺼﺤﻴﺢ ﻏﻴﺮ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ n -5ﻗﺼﻮر داﻟﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ إذا آﺎﻧﺖ fداﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Iو gداﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Jﺿﻤﻦ I
ﺑﺤﻴﺚ ) g ( x ) = f ( x
∀x ∈ Jﻓﺎﻧﻨﺎ ﻧﻘﻮل ان اﻟﺪاﻟﺔ gﻗﺼﻮر اﻟﺪاﻟﺔ fﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل J
ﻧﺘﻴﺠﺔ إذا آﺎﻧﺖ fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Iو gﻗﺼﻮر اﻟﺪاﻟﺔ fﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل Jﻓﺎن gﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل J ﺗﻤﺮﻳﻦ
ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ [∞ [ −1; +ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
f ( x) = x x 1 3x 2 ; −1 ≤ x ≤ 1 = ) f ( x x+2
ﺑﻴﻦ أن اﻟﺪاﻟﺔ fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل
[∞[ −1; +
-----------------------------------------------------------------* -اﻟﺪاﻟﺔ x xﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﺣﻴﺰ ﺗﻌﺮﻳﻔﻬﺎ [∞ [0; +و [∞]1; +∞[ ⊂ [0; + وﻣﻨﻪ اﻟﺪاﻟﺔ fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ
3x 2 * -اﻟﺪاﻟﺔ x+2
[∞]1; +
xﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ آﻞ ﻣﺠﺎل ﺿﻤﻦ }− {−2
وﻣﻨﻪ اﻟﺪاﻟﺔ fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ
ﻷﻧﻬﺎ داﻟﺔ ﺣﺪودﻳﺔ و }− {−2
[[ −1;1
* -ﻟﻨﺪرس اﺗﺼﺎل fﻓﻲ 1 3x 2 ﻟﺪﻳﻨﺎ f (1) = 1و lim f ( x ) = lim x = 1و = 1 x→1− x + 2 x→1+ x→1+ إذن fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ 1 )lim f ( x ) = lim f ( x ) = f (1
lim f ( x ) = lim
x→1−
إذن fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ
x →1−
x →1+
[∞[ −1; +
-IIاﻟﻌﻤﻠﻴﺎت ﻋﻠﻰ اﻟﺪوال اﻟﻤﺘﺼﻠﺔ -1ﺧﺎﺻﻴﺔ)ﺗﻘﺒﻞ( إذا آﺎﻧﺘﺎ fو gداﻟﺘﻴﻦ ﻣﺘﺼﻠﺘﻴﻦ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Iو αﻋﺪدا ﺣﻘﻴﻘﻴﺎ ﻓﺎن: * f + g -و α fو f × gﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ I
f 1 و * -و إذا آﺎﻧﺖ gﻻ ﺗﻨﻌﺪم ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل Iﻓﺎن اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ g g
ﻣﺘﺼﻠﺘﺎن ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل I
ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺣﺪد ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ fو أدرس اﺗﺼﺎﻟﻬﺎ ﻋﻠﻰ D fﻓﻲ اﻟﺤﺎﻻت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ
أf ( x ) = x 2 + sin ( x ) -
x د- x +1
f ( x) = x +
4
ج-
3x + 1 x
= )f ( x
⊂ []−1;1
-2اﺗﺼﺎل ﻣﺮآﺐ داﻟﺘﻴﻦ ﺧﺎﺻﻴﺔ ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Iو gداﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Jﺣﻴﺚ f ( I ) ⊂ J إذا آﺎﻧﺖ fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ Iو gداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ Jﻓﺎن g fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ . I ﺗﻤﺮﻳﻦ : 2 ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ fاﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ f ( x) = cos(3 x − 2 x) : (1ﺣﺪد . D f (2اآﺘﺐ fﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﺮآﺐ داﻟﺘﻴﻦ .ﺛﻢ أدرس اﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ fﻋﻠﻰ . D f
ﻧﺘﻴﺠﺔ f :ﻣﻮﺟﺒﺔ وﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل I [∞ f ( I ) ⊂ [ 0; +و x xﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ [∞[0; +
اذن f
ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل I
= f
ﻻن f
ﻓﺎن داﻟﺔ
اذا آﺎﻧﺖ fﻣﻮﺟﺒﺔ وﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل I
f
-IIIﺻﻮرة ﻣﺠﺎل ﺑﺪاﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ -1ﺻﻮرة ﻗﻄﻌﺔ – ﺻﻮرة ﻣﺠﺎل ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ fاﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـf ( x) = x 2 : ﻧﺸﺎط
)
) ( -1اﻧﺸﺊ ) . ( C f
ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل I
(
و C fﻣﻨﺤﻨﺎهﺎ ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ و ﻣﻤﻨﻈﻢ . o, i, j
-2ﺣﺪد ﻣﺒﻴﺎﻧﻴﺎ ﺻﻮر آﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎﻻت :
][0; 2
;
][ −1; 2
]]−1; 2
;
ﺧﺎﺻﻴﺔ * -ﺻﻮرة ﻗﻄﻌﺔ ﺑﺪاﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ هﻲ ﻗﻄﻌﺔ. * -ﺻﻮرة ﻣﺠﺎل ﺑﺪاﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ هﻲ ﻣﺠﺎل ﻣﻼﺣﻈﺔ * إذا آﺎﻧﺖ fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ] [a;bﻓﺎﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ αو βﻣﻦ ] [a;b
ﺣﻴﺚ ) ) m = f ( β ) = inf ( f ( x ] x∈[ a;b و
) ) (α ) = sup ( f ( x ] x∈[ a;b
)اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﺪﻧﻴﺎ(
) M = fاﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﻘﺼﻮى(
] ( [a ; b ] ) = [ m ; M
و ) f ( Iﻟﻴﺲ ﻣﺠﺎﻻ
* إذا آﺎن Iﻣﺠﺎﻻ ﻣﻦ
ﻓﺎن fﻏﻴﺮ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ I ﻣﻦ * ﻓﻲ اﻟﺨﺎﺻﻴﺔ اﻟﺸﺮط fﻣﺘﺼﻠﺔ ﺷﺮط آﺎف و ﻟﻜﻦ ﻏﻴﺮ ﻻزﻣﺎ أي ﻳﻤﻜﻦ أن ﺗﻜﻮن ﺻﻮرة ﻣﺠﺎل ﺑﺪاﻟﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﺘﺼﻠﺔ هﻲ ﻣﺠﺎل ﻣﺜﺎل ﻧﻌﺘﺒﺮ fاﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ][ −2.3 ﺑـ:
]([ −2;3]) = [ −1; 2
f
[x ∈ [ −2;0 ]x ∈ [ 0;3
ﻣﻊ ذﻟﻚ f
f ( x ) = x + 2 f ( x ) = x − 1
ﻏﻴﺮ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ][ −2;3
ﻷﻧﻬﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ0
5
f
;
[[0; +∞[ ; ]−1;0
و
[]−∞;0
ﻣﺒﺮهﻨﺔ اﻟﻘﻴﻢ اﻟﻮﺳﻴﻄﻴﺔ-2
[ a; b] ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰf f ( b ) وf ( a ) ﻣﺤﺼﻮر ﺑﻴﻦk k ∈ f ([ a; b ]) وﻣﻨﻪ b وa ﻣﺤﺼﻮر ﺑﻴﻦc ﻳﻮﺟﺪ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﻋﺪد . f ( c ) = k ﺣﻴﺚ
ﻣﺒﺮهﻨﺔ اﻟﻘﻴﻢ اﻟﻮﺳﻴﻄﻴﺔ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﻠﻰf ( b ) وf ( a ) ﻣﺤﺼﻮر ﺑﻴﻦk ﻓﺎن ﻟﻜﻞI ﻋﻨﺼﺮﻳﻦ ﻣﻦb وa وI ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰf إذا آﺎﻧﺖ . f ( c ) = k ﺣﻴﺚb وa ﻣﺤﺼﻮر ﺑﻴﻦc اﻷﻗﻞ ﻋﺪد ﻧﺘﻴﺠﺔ ﺗﻘﺒﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﺣﻼ ﻓﻲf ( x ) = 0 ﻓﺎن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔf ( a ) ⋅ f ( b ) ≺ 0 [ وآﺎنa; b ] ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰf إذا آﺎﻧﺖ . ]a; b[
ﻣﺘﺼﻠﺔ و ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻗﻄﻌﺎf اﻟﺪاﻟﺔ
π 2 ; π ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ ﻓﻲ2sin x = x ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﺣﺎﻟﺔ داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ و رﺗﻴﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ-3 ﻣﺘﺼﻠﺔ و ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎf اﻟﺪاﻟﺔ
f ( I ) اﻟﻤﺠﺎل
I اﻟﻤﺠﺎل
f ( I ) اﻟﻤﺠﺎل
I اﻟﻤﺠﺎل
f ( b ) ; f ( a )
[ a; b ]
f ( a ) ; f ( b )
[ a; b ]
f ( x ) ; f ( a ) xlim − →b
[ a; b[
f ( x ) f ( a ) ; xlim − →b
[ a; b[
f ( x ) f ( b ) ; xlim + →a
] a; b ]
f ( x ) ; f ( b ) xlim + →a
] a; b ]
f ( x ) ; lim f ( x ) xlim − + →b x →a
]a; b[
f ( x ) ; lim f ( x ) xlim + − →a x→b
]a; b[
lim f ( x ) ; f ( a ) x→+∞
[ a; +∞[
f ( a ) ; lim f ( x ) x →+∞
[ a; +∞[
f ( x ) ; lim f ( x ) xlim + →+∞ x →a
]a; +∞[
f ( x ) ; lim f ( x ) xlim + x→+∞ →a
]a; +∞[
f ( a ) ; lim f ( x ) x→−∞
]−∞; a ]
lim f ( x ) ; f ( a ) x→−∞
]−∞; a ]
f ( x ) ; lim f ( x ) xlim − x→−∞ →a
]−∞; a[
f ( x ) ; lim f ( x ) xlim − →−∞ x →a
]−∞; a[
6
ﺗﻤﺮﻳﻦ fداﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ] ]−∞;5ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮاﺗﻬﺎ آﻤﺎ ﻳﻠﻲ
5 3 /1ﺣﺪد
1
∞-
0 4
)] f ([1;5و )] f ([0;5و )]([ −2;1
-5 fو )]f ( ]−∞;0
-1
x
f
/2ﺣﺪد اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﻘﺼﻮى ﺛﻢ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﺪﻧﻴﺎ ﻟﺪاﻟﺔ fﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ] ]−∞;5ﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ
ﺗﻤﺮﻳﻦ
)]( ]−∞;5
f
2x + 1 = )f ( x ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺑـ 4x − 1 1 /2ﺣﺪد ﺻﻮرة اﻟﻤﺠﺎل −∞; ﺑﺎﻟﺪاﻟﺔ f 4
/1ﺣﺪد D f
ﻧﺘﻴﺠﺔ إذا آﺎﻧﺖ fﻣﺘﺼﻠﺔ ورﺗﻴﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ] [ a; bﻓﺎن ﻟﻜﻞ kﻣﺤﺼﻮر ﺑﻴﻦ ) f ( aو ) f ( bﻳﻮﺟﺪ ﻋﻠﻰ ﻋﺪد وﺣﻴﺪ cﻣﺤﺼﻮر ﺑﻴﻦ aو bﺣﻴﺚ . f ( c ) = k ﻧﺘﻴﺠﺔ إذا آﺎﻧﺖ fﻣﺘﺼﻠﺔ ورﺗﻴﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ] [ a; bوآﺎن f ( a ) ⋅ f ( b ) ≺ 0ﻓﺎن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ f ( x ) = 0ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ وﺣﻴﺪا αﻓﻲ [. ]a; b
1 3 ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ x + 1 = − xﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ وﺣﻴﺪا αﻓﻲ −1; − 2 1 ) ﻃﺮﻳﻘﺔ اﻟﺘﻔﺮع اﻟﺜﻨﺎﺋﻲ ( ﺣﺪد ﺗﺄﻃﻴﺮا ﻟﻠﻌﺪد αﺳﻌﺘﻪ 8 -IVاﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ورﺗﻴﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل -1ﺧﺎﺻﻴﺔ إذا آﺎﻧﺖ داﻟﺔ fﻣﺘﺼﻠﺔ ورﺗﻴﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Iﻓﺎن ﻟﻜﻞ yﻣﻦ ) f ( Iاﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ f ( x ) = yﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ و ﺣﻴﺪا ﻓﻲ ) Iﻧﻌﺒﺮ ﻋﻦ هﺬا ﺑﻘﻮﻟﻨﺎ fﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ Iﻧﺤﻮ اﻟﻤﺠﺎل ) ( f ( I ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ورﺗﻴﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Iو Jﻣﺠﺎل ﺣﻴﺚ . f ( I ) = J اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﺮﺑﻂ آﻞ ﻋﻨﺼﺮ yﻣﻦ Jﺑﺎﻟﻌﻨﺼﺮ اﻟﻮﺣﻴﺪ xﻣﻦ Iﺑﺤﻴﺚ f ( x ) = yﺗﺴﻤﻰ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﻴﺔ
ﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻧﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ f −1 ﻧﺘﺎﺋﺞ ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ورﺗﻴﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Iو ) f −1 ( x ) = y ⇔ x = f ( y f ( x) = x
f −1
f −1داﻟﺘﻬﺎ اﻟﻌﻜﺴﻴﺔ
∀x ∈ f ( I ) ∀x ∈ I
f −1 ( x ) = x ; ∀x ∈ I
-2ﺧﺎﺻﻴﺎت اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﺧﺎﺻﻴﺔ إذا آﺎﻧﺖ داﻟﺔ fﻣﺘﺼﻠﺔ ورﺗﻴﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Iو * f −1 -ن ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ) f ( I
f
) ∀x ∈ f ( I
f −1داﻟﺘﻬﺎ اﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﻓﺎن:
* f −1 -رﺗﻴﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ) f ( Iو ﻟﻬﺎ ﻧﻔﺲ رﺗﺎﺑﺔ fﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل I *-
f −1
Cﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ f −1هﻮ ﻣﻤﺎﺛﻞ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ C fﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ y = xﻓﻲ
ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ و ﻣﻤﻨﻈﻢ.
7
اﺻﻄﻼح اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ y = xﻳﺴﻤﻰ اﻟﻤﻨﺼﻒ اﻻول ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ
ﺗﻤﺮﻳﻦ:
ﺗﻤﺮﻳﻦ
1 ﻟﺘﻜﻦ fاﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ −∞; 2 ﺑـ f ( x ) = 1 − 2 x
ﻟﺘﻜﻦ fاﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ x f (x ) = 2 ﺑـ x +1 ﺑﻴﻦ أن اﻟﻘﺼﻮر gﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻋﻠﻰ ] [ −1;1ﺗﻘﺒﻞ
/1ﺑﻴﻦ أن fﺗﻘﺒﻞ داﻟﺔ ﻋﻜﺴﻴﺔ f −1ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Jﻳﺠﻴﺐ ﺗﺤﺪﻳﺪﻩ /2ﺣﺪد f −1 /3ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ أﻧﺸﺊ C −1ﺛﻢ
داﻟﺔ ﻋﻜﺴﻴﺔ g −1ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Jﻳﺠﻴﺐ ﺗﺤﺪﻳﺪﻩ ﺛﻢ ﺣﺪد g −1
f
اﻧﺸﺊ C fﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﻌﻠﻢ -3داﻟﺔ اﻟﺠﺪر ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ n ﻟﻴﻜﻦ * ∈ n + ﺑﻴﻦ أن اﻟﺪاﻟﺔ x → x nﺗﻘﺒﻞ داﻟﺔ ﻋﻜﺴﻴﺔ ﻣﻦ +إﻟﻰ أ -ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻟﻴﻜﻦ * ∈ n اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ [∞ [ 0; +ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ x → x nﺗﺴﻤﻰ داﻟﺔ اﻟﺠﺪر ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ n ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑـ . nﻧﺮﻣﺰ ﻧﺮﻣﺰ ﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺪد xﺑﺎﻟﺮﻣﺰ x
x = y ⇔ x = yn ﻟﻴﻜﻦ
ﻣﻼﺣﻈﺔ و اﺻﻄﻼح -
+
x =x
n
n
و ﻳﻘﺮأ اﻟﺠﺪر ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ nﻟﻠﻌﺪد . x +2
∈ ) ∀ ( x; y
∈x 1
;
x = x
2
8
-
x
3
ﻳﺴﻤﻰ اﻟﺠﺪر اﻟﻤﻜﻌﺐ ﻟﻠﻌﺪد x
ﺧﺎﺻﻴﺔ ∈n ﻟﻴﻜﻦ n * -اﻟﺪاﻟﺔ x → xﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ *
[∞ [ 0; +و ∞x = +
n
lim
∞x→+
* -ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ x → n xﻣﻤﺎﺛﻞ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ x → x nﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻨﺼﻒ اﻷول ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ ﺣﺎﻟﺔn = 4 :
ﻧﺘﺎﺋﺞ ﻟﻴﻜﻦ
*
∈n
)(n x
+2
∈ ) ∀ ( x; y
y ⇔x= y
n
=x
n
+2
∈ ) ∀ ( x; y
y ⇔ x≺ y
n
≺x
n
+2
∈ ) ∀ ( x; y
=x
n
ب -ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ x n = a
ﺗﻤﺮﻳﻦ
ﺣﻞ ﻓﻲ
∈x
x 4 = 5 ; x 7 = −8 ; x 5 = 243
اﻟﻤﻌﺎدﻻت
*
∈ nو ﻟﻴﻜﻦ ﺗﻤﺮﻳﻦ ج -اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت ﻋﻠﻰ اﻟﺠﺬور ﻟﻴﻜﻦ ; ( n; p ) ∈ *2 ∈a
)(b ≠ 0
a b
=n
اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ x n = a
ﺣﻞ وﻧﺎﻗﺶ ﻓﻲ
∈ ) ( a; b
+2
a
n
b
n
ap
;
np
=a
n
a × n b = n ab
اﻟﺒﺮهﺎن ﺗﻤﺮﻳﻦ
n p
p p p =a ⇔a =a
)( a n
⇔
pn
p
) a
-1ﺑﺮهﻦ أن a m a = nm a n+ m
n
np
(= *2
9
pn
n
= ap
; n
n
p
a
;
)⇔ ( a
p
∈ ) ∀ ( n; m
np
a
) ( a
= a
n
n p
np
=a
+
∈ ∀a
n
1024 5 32
3
-2ﺑﺴﻂ 64 3 256 18 د -اﺗﺼﺎل وﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﺮآﺒﺔ داﻟﺔ و داﻟﺔ اﻟﺠﺪر اﻟﻨﻮﻧﻲ ﺧﺎﺻﻴﺎت ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Iو x 0ﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ I 4
إذا آﺎﻧﺖ fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ Iﻓﺎن f
-3ﻗﺎرن 3
7
; 2
5
ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ I
n
إذا آﺎﻧﺖ lim f ( x ) = lﻓﺎن f ( x ) = n l
n
x→ x0
lim
x→ x0
إذا آﺎﻧﺖ ∞ lim f ( x ) = +ﻓﺎن ∞f ( x ) = +
n
lim
x → x0
x→ x0
ﻣﻼﺣﻈﺔ اﻟﺨﺎﺻﻴﺘﺎن ﺗﻈﻼن ﺻﺎﻟﺤﺘﻴﻦ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﺆول xاﻟﻰ x0ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ أو اﻟﻰ x0ﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر أو اﻟﻰ ∞ +أو إﻟﻰ ∞− ﺗﻤﺮﻳﻦ 3 ∈x -1ﻟﺘﻜﻦ ) ( Eاﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 2 x − 1 = x أ /ﺗﺄآﺪ أن 1ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ
)(E
ب /ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ
)(E
-2ﺑﻴﻦ أن اﻟﺪاﻟﺔ x → 5 x 2 − 2 x − 3ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ آﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ﺣﻴﺰ ﺗﻌﺮﻳﻔﻬﺎ . 3
x3 + x + 1
6
x +1 −1 -3ﺣﺪد , lim 5 x3 + 8 ; lim 8 x3 − x + 3 0 ∞x→+ x → x →2 ∞x→+ x x +1 -4اﻟﻘﻮة اﻟﺠﺪرﻳﺔ ﻟﻌﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻣﻮﺟﺐ )اﻣﺘﺪاد ﻟﻠﻘﻮة اﻟﺼﺤﻴﺤﺔ اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ( ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻟﻴﻜﻦ r ∈ * ; a ∈ + q p p r = ( p; q ) ∈ * × * ; rو ﻳﺴﻤﻰ اﻟﻘﻮة اﻟﺠﺬرﻳﺔ ﻟﻠﻌﺪد aذات ﺣﻴﺚ اﻟﻌﺪد aهﻮ اﻟﻌﺪد a q اﻷس . r
p q
=a
a
q
*+
a0 = 1
ﻣﻼﺣﻈﺔ ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ
p
1 xn
lim
;
lim
=x
n
∈a
[∞[0; +
ﻟﻜﻞ xﻣﻦ
ﺧﺎﺻﻴﺎت
∈ )' ( r; r
ﻟﻴﻜﻦ
2
' = a rr
'r
) ( ar
' = a r −r
n اﻟﺒﺮهﺎن ﻧﻀﻊ m ﺗﻤﺮﻳﻦ
='; r 3
اﺣﺴﺐ :
p q
'r
a
∈ ) ( a; b
) ; a r b r = ( ab r
;
pm+nq qm
=A
10
' a r a r ' = a r +r
ar
a = r b b
=a
5 5 23 32
5 2 2 4 2 3 5 3−3
) (
ar
= rوﻣﻨﻪ ' = ar+r
1 4 2²
; r
;
*2 +
qm pm+nq
a
;
=
= a−r
1 r
a
qm pm mq nq
a
a
q
= ar ar ' = a p m an
ﻃﺮﻳﻘﺔ اﻟﺘﻔﺮع اﻟﻨﻬﺎﺋﻲ DICHOTOMIE ﻧﺘﻴﺠﺔ ﻟﻤﺒﺮهﻨﺔ اﻟﻘﻴﻢ اﻟﻮﺳﻴﻄﻴﺔ إذا آﺎﻧﺖ fﻣﺘﺼﻠﺔ ورﺗﻴﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ] [ a; bوآﺎن f ( a ) ⋅ f ( b ) ≺ 0ﻓﺎن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ f ( x ) = 0ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ وﺣﻴﺪا αﻓﻲ [. ]a; b ﺗﺤﺪﻳﺪ ﺗﺎﻃﻴﺮا ﻟﻠﻌﺪد αﺳﻌﺘﻪ l ﻧﺤﺴﺐ b − a هﻞ ﻟﺪﻳﻨﺎ b − a ≤ l؟
ﻧﻌﻢ
ﻻ
a+b ﻧﺤﺴﺐ ) f ( cﺣﻴﺚ = c 2 هﻞ ﻟﺪﻳﻨﺎ f ( a ) × f ( c ) ≺ 0؟
ﻧﻌﻢ
ﻻ
a≺α ≺ c هﻞ ﻟﺪﻳﻨﺎ c − a ≤ l؟
c≺α ≺b هﻞ ﻟﺪﻳﻨﺎ b − c ≤ l؟
ﻻ
ﻻ
ﻧﻌﻢ
ﻧﻌﻢ
ﻧﻌﻴﺪ اﻟﻤﺮاﺣﻞ اﻟﻤﺘﺎﺑﻌﺔ ﺑﺘﻌﻮﻳﺾ اﻟﻤﺠﺎل [ ]a; bﺑﺎﻟﻤﺠﺎل [ ]c; bأو []a; c
11
ﺗﺤﺪﻳﺪ اﻟﺘﺄﻃﻴﺮ اﻟﻤﻄﻠﻮب