Math bac cours 4

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‫داﻟﺔ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ‬ ‫اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺳﻠﻚ ﺑﻜﺎﻟﻮرﻳﺎ ﻋﻠﻮم ﺗﺠﺮﻳﺒﻴﺔ‬ ‫‪ -І‬داﻟﺔ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ اﻟﻨﻴﺒﻴﺮي‬ ‫‪ -1‬ﺗﺬآﻴﺮ ‪ -‬ﻧﻌﻠﻢ أن آﻞ داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ I‬ﺗﻘﺒﻞ دوال أﺻﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪x r +1‬‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ ‪ x →x‬ﺗﻘﺒﻞ دوال أﺻﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ [∞‪ ]0; +‬هﻲ ‪+ k‬‬ ‫‪r +1‬‬

‫‪ -‬ﻧﻌﻠﻢ أن ﻟﻜﻞ ‪ r‬ﻣﻦ }‪− {−1‬‬

‫→‪x‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪ k‬ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫‪1‬‬ ‫→ ‪ x‬اﻟﻤﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ [∞‪ ]0; +‬وﻣﻨﻪ ﺗﻘﺒﻞ دوال أﺻﻠﻴﺔ‬ ‫*‪ -‬ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻟﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﻜﻮن ‪ r=-1‬ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ اﻟﺪاﻟﺔ → ‪ x‬ﺗﻘﺒﻞ داﻟﺔ أﺻﻠﻴﺔ وﺣﻴﺪة ﺗﻨﻌﺪم ﻓﻲ ‪.1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ -2‬ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫‪1‬‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ اﻷﺻﻠﻴﺔ ﻟﺪاﻟﺔ → ‪ x‬ﻋﻠﻰ [ ∞ ‪ ]0; +‬اﻟﺘﻲ ﺗﻨﻌﺪم ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ 1‬ﺗﺴﻤﻰ داﻟﺔ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ اﻟﻨﻴﺒﻴﺮي‬ ‫‪x‬‬ ‫و ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ‪ ln‬أو ‪Log‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪ f ' ( x ) = ⇔ f ( x ) = ln( x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ f (1) = 0‬‬ ‫‪ -3‬ﺧﺎﺻﻴﺎت‬ ‫أ‪ -‬ﺧﺎﺻﻴﺎت‬ ‫*‪ -‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ ln‬هﻲ‬ ‫*‪ -‬اﻟﺪاﻟﺔ ‪ ln‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ‬

‫[∞‪]0; +‬‬

‫‪ln(1)=0‬‬

‫[∞‪]0; +‬‬

‫*‪ -‬اﻟﺪاﻟﺔ ‪ ln‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ‬ ‫*‪ -‬اﻟﺪاﻟﺔ ‪ ln‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ‬

‫[∞‪]0; +‬‬

‫[∞‪]0; +‬‬

‫‪1‬‬ ‫و‬ ‫‪x‬‬

‫[ ∞‪∀ x ∈ ]0; +‬‬

‫= ) ‪ln'( x‬‬

‫ﻧﺘﺎﺋﺞ‬ ‫ﻟﻜﻞ ﻋﺪدﻳﻦ ﺣﻘﻴﻘﻴﻴﻦ ﻣﻮﺟﺒﻴﻦ ﻗﻄﻌﺎ ‪ x‬و ‪y‬‬

‫‪ln x = ln y ⇔ x = y‬‬

‫‪y‬‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬

‫‪ln y ⇔ x‬‬

‫‪ln x‬‬

‫‪ln x = 0 ⇔ x = 1‬‬

‫‪ln x 0 ⇔ x 1‬‬ ‫‪ln x ≺ 0 ⇔ 0 ≺ x ≺ 1‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪ -1‬ﺣﺪد ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ ) ‪f : x → ln ( x − 1) + ln ( 4 − x‬‬ ‫‪ -2‬ﺣﻞ ﻓﻲ‬ ‫‪ -3‬ﺣﻞ ﻓﻲ‬

‫(‬

‫)‬ ‫‪ln ( x − x − 2 ) ≺ 0‬‬

‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﻴﻦ ‪ln x 2 + 2x = 0‬‬ ‫اﻟﻤﺘﺮاﺟﺤﺘﻴﻦ‬

‫‪2‬‬

‫)‬

‫)‬

‫(‬

‫‪g : x → ln x 2 − 3x‬‬

‫(‬

‫) ‪ln x 2 − 3 = ln ( 2x‬‬

‫)‬

‫(‬

‫) ‪ln x 2 − 2x ≤ ln ( x‬‬

‫ب‪ -‬ﺧﺎﺻﻴﺔ أﺳﺎﺳﻴﺔ‬ ‫ﻧﺸﺎط ﻟﻴﻜﻦ ‪ a‬و ‪ b‬ﻋﺪدﻳﻦ ﺣﻘﻴﻘﻴﻴﻦ ﻣﻮﺟﺒﻴﻦ ﻗﻄﻌﺎ و ‪ F‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ [∞‪ ]0; +‬ﺑـ )‪F ( x ) = ln(ax‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫[∞‪ ∀x ∈ ]0; +‬و اﺳﺘﻨﺘﺞ ان ‪ F‬داﻟﺔ أﺻﻠﻴﺔ ﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫‪ -1‬ﺑﻴﻦ أن = ) ‪F ' ( x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ -2‬ﺑﻴﻦ أن ‪ ∀x ∈ ]0; +∞[ F ( x ) = ln ( ax ) = ln a + ln x‬ﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ ‪ln ( ab ) = ln a + ln b‬‬

‫→ ‪ x‬ﻋﻠﻰ‬

‫[∞‪]0; +‬‬


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