اﻷﻋﺪاد اﻟﻌﻘﺪﻳﺔ -اﻟﺠﺰء اﻻول- -1اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ أ/ﻣﺒﺮهﻨﺔ ﺗﻮﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ
(i (ii (iii
ﺗﺘﻀﻤﻦ
ﻋﻠﻰ ﻋﻨﺼﺮ ﻏﻴﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ iو ﻳﺤﻘﻖ i = −1
ﻳﺤﺘﻮي
آﻞ ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ
ﻳﻜﺘﺐ ﺑﻜﻴﻔﻴﺔ و ﺣﻴﺪة ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ a + ib :ﺑﺤﻴﺚ
* ﻣﻼﺣﻈﺔ: ب /ﺗﺴﺎوي ﻋﺪدﻳﻦ ﻋﻘﺪﻳﻴﻦ ﻟﻴﻜﻦ
2
∈ ) ( a; b
ﻣﺰودة ﺑﻌﻤﻠﻴﺘﻲ اﻟﺠﻤﻊ و اﻟﻀﺮب ﺗﻤﺪدان ﻧﻔﺲ اﻟﻌﻤﻠﻴﺘﻴﻦ ﻓﻲ
⊂
ﺧﺎﺻﻴﺔ
و ﺗﺤﻘﻖ: 2
2
⊂
∈ ) ( a; bو
و ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻟﺨﺎﺻﻴﺎت
⊂ ⊂ ⊂ ID 2
∈ )' ( a '; b
' a = a ' ⇔ a + ib = a '+ ibو
' b =b
ﺑﺮهﺎن * ' a = aو ' a + ib = a '+ ib ' ⇐ b = bاﺳﺘﻠﺰام ﺻﺤﻴﺢ * ﻧﻌﺘﺒﺮ ' a + ib = a '+ ibو ﻣﻨﻪ i ( b − b ') = a '− a
a '− a ﻟﻨﻔﺘﺮض أن ' b ≠ bوﻣﻨﻪ 'b − b و ﺣﻴﺚ أن
2
∈ ) ( a; bو
2
∈ )' ( a '; b
=i a '− a ∈ 'b − b
ﻓﺎن
و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ∈ iو هﺬا ﻏﻴﺮ ﺻﺤﻴﺢ ﻻن iﻋﺪد ﻏﻴﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ إذن اﻓﺘﺮاﺿﻨﺎ ﺧﺎﻃﺊ و ﻣﻨﻪ ' b = bو ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ a '− a = 0إذن a ' = a ج /اﺻﻄﻼﺣﺎت و ﺗﻌﺎرﻳﻒ
* ﻟﻴﻜﻦ ﻋﺪد ﻋﻘﺪي z = a + ibﺣﻴﺚ ( a; b ) ∈ 2 اﻟﻌﺪد aﻳﺴﻤﻰ اﻟﺠﺰء اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﻧﻜﺘﺐ . Re ( z ) = a اﻟﻌﺪد bﻳﺴﻤﻰ اﻟﺠﺰء اﻟﺘﺨﻴﻠﻲ ﻧﻜﺘﺐ Im ( z ) = b اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ z = a + ibﺣﻴﺚ ( a; b ) ∈ 2ﺗﺴﻤﻰ اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ اﻟﺠﺒﺮﻳﺔ ﻟﻠﻌﺪد اﻟﻌﻘﺪي
z
• ﻧﻘﻮل إن ﻋﺪدا ﻋﻘﺪﻳﺎ ﻋﺪد ﺗﺨﻴﻠﻲ ﺻﺮف إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن ﺟﺰﺋﻪ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﻣﻨﻌﺪﻣﺎ و ﺟﺰﺋﻪ ﺗﺨﻴﻠﻲ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪم • ﻧﻘﻮل إن ﻋﺪدا ﻋﻘﺪﻳﺎ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن ﺟﺰﺋﻪ اﻟﺘﺨﻴﻠﻲ ﻣﻨﻌﺪﻣﺎ أﻣﺜﻠﺔ ﺣﺪد اﻟﺠﺰء اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ و اﻟﺠﺰء اﻟﺘﺨﻴﻠﻲ ﻟﻠﻌﺪد اﻟﻌﻘﺪي zﻓﻲ اﻟﺤﺎﻻت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ دz = 17 / ب z = 5i − 3 /جz = 2 3i / أz = 2 − 3i / د /اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت ﻟﻴﻜﻦ ﻋﺪدﻳﻦ ﻋﻘﺪﻳﻴﻦ z = a + ibو ' z = a '+ ibﺣﻴﺚ
z + z ' = ( a + a ') + ( b + b ') i
* اﻟﺠﻤﻊ * اﻟﻀﺮب
2
∈ ) ( a; bو
2
∈ )' ( a '; b
z ⋅ z ' = ( aa '− bb ' ) + ( ab '+ a ' b ) i
* = ( a 2 − b 2 ) + 2abi
2
) ( a + ib
( a − ib )2 = ( a 2 − b2 ) − 2abi
( a + ib )( a − ib ) = a 2 + b 2
1 1 a − bi a bi = = 2 = 2 − 2 * ﻣﻘﻠﻮب ﻋﺪد ﻋﻘﺪي ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪم 2 2 z a + bi a + b a +b a + b2 z ) a − bi ( a + bi )( a '− b ' i = = ﺣﻴﺚ z ' ≠ 0 * ﺧﺎرج ﻋﺪدﻳﻦ ﻋﻘﺪﻳﻴﻦ z ' a '+ b ' i a '2 + b '2 * ﺧﺎﺻﻴﺎت اﻟﻌﺪد اﻟﻌﻘﺪي i ﻟﻴﻜﻦ ∈ n i n = iإذا آﺎن n = 4k + 1ﺣﻴﺚ ∈ k i n = 1إذا آﺎن n = 4kﺣﻴﺚ ∈ k i n = −iإذا آﺎن n = 4k + 3ﺣﻴﺚ ∈ k i n = −1إذا آﺎن n = 4k + 2ﺣﻴﺚ ∈ k
1
ﺗﻤﺮﻳﻦ
) (1 − 2i 2i 3 − 2i 1 -1ﻧﺤﺪد اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺠﺒﺮي ﻟﻜﻞ ﻣﻦ اﻷﻋﺪاد اﻟﻌﻘﺪﻳـﺔ + ; ; 3−i i 2+i 2 − 3i 1 2 + 3i 2 + 3i 2 3 = = = + i 2 − 3i ( 2 − 3i )( 2 + 3i ) 4 + 9 13 13 2
3 − 2i ( 3 − 2i )( 2 − i ) 6 − 2 − 3i − 4i 4 7 = = = − i 2+i 5 5 5 ) ( 2 + i )( 2 − i
) (1 − 2i ) 2i ( 3 + i 2i 3 1 21 18 + = − i (1 − 4 − 4i ) = i − + 3i − 4 = − + i 3−i i 10 5 5 5 5 230 -2ﻧﺤﺴﺐ (1 + i ) 2و ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ) (1 + i 2
(1 + i ) 2 = 2i = 2115 i 4×28+3 = −2115 i -3ﻧﺤﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 2iz − 3i + 2 = z + i
) (1 + i ) 230 = ( 2i
115
∈z 2iz − 3i + 2 = z + i ⇔ (1 + 2i ) z = −2 + 4i
−2 + 4i −2 (1 − 2i )(1 − 2i ) 6 8 = = + i 1 + 2i 5 5 5 6 8 إذن S = + i 5 5 -2اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﻬﻨﺪﺳﻲ ﻟﻌﺪد ﻋﻘﺪي -ﻟﺤﻖ ﻣﺘﺠﻬﺔ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ( Pﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ
=⇔z
) . ( O; e1 ; e2
آﻞ ﻧﻘﻄﺔ ) M ( a; bﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ( Pهﻲ ﺻﻮرة ﻋﺪد ﻋﻘﺪي وﺣﻴﺪ . z = a + ibﻧﻜﺘﺐ ) M ( z و z = a + ibﻳﺴﻤﻰ ﻟﺤﻖ ) . M ( a; b
ﻧﻜﺘﺐ ) z = aff ( M
آﻞ ﻣﺘﺠﻬﺔ ) u ( a; bﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى هﻲ ﺻﻮرة ﻋﺪد ﻋﻘﺪي وﺣﻴﺪ . z = a + ibﻧﻜﺘﺐ ) u ( z اﻟﻌﺪد اﻟﻌﻘﺪي z = a + ibﺣﻴﺚ
2
∈ ) ( a; b
ﻳﺴﻤﻰ ﻟﺤﻖ اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ
) u ( a; bﻧﻜﺘﺐ ) z = aff (u
ﻣﻼﺣﻈﺔ و ﻣﺼﻄﻠﺤﺎت * اﻷﻋﺪاد اﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ هﻲ أﻟﺤﺎق ﻧﻘﻂ ﻣﺤﻮر اﻻﻓﺎﺻﻴﻞ اﻟﺬي ﻳﺴﻤﻰ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ * اﻻﻋﺪاد اﻟﺘﺨﻴﻠﻴﺔ اﻟﺼﺮﻓﺔ هﻲ أﻟﺤﺎق ﻧﻘﻂ ﻣﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ اﻟﺬي ﻳﺴﻤﻰ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺘﺨﻴﻠﻲ
2
* -ﻟﺤﻖ AB ﻟﻴﻜﻦ Aو Bﻟﺤﻘﻴﻬﻤﺎ z A = a + ibو ' z B = a '+ ibﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ وﻣﻨﻪ ) A ( a; bو )' B ( a '; bو ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ) AB ( a '− a; b '− bأي
) (
aff AB = ( a '− a ) + i ( b '− b ) = ( a '+ ib ') − ( a + ib ) = zB − z A ﻟﺤﻖ AB
هﻮ z B − z Aﺣﻴﺚ ) A ( z Aو ) B ( z B
* -ﻟﺤﻖ u + vو α u
ﻧﻌﻠﻢ أن اذا آﺎن ) u ( a; bو )' v (a '; bﻓﺎن ) ' u + v ( a + a '; b + bوﻣﻨﻪ ) aff ( u + v ) = aff ( u ) + aff ( v
) aff ( u + v ) = aff ( u ) + aff ( v
ﻟﺘﻜﻦ uو vﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى و ﻟﻜﻞ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ α
) aff (α u ) = α aff ( u ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻌﻘﺪي أﻧﺸﺊ اﻟﻨﻘﻂ Aو Bو Cأﻟﺤﺎﻗﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ z A = 2 و z B = −1 + 4iو zC = −3iو اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ uاﻟﺘﻲ ﻟﺤﻘﻬﺎ −1 + 3i * -اﺳﺘﻘﺎﻣﻴﺔ اﻟﻨﻘﻂ ∈ ∃λ اﻟﻨﻘﻂ اﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ) A ( z Aو ) B ( z Bو ) C ( z Cﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ⇔ / AB = λ AC
)
(
) (
⇔ / aff AB = aff λ AC
∈ ∃λ
/
∈ ∃λ
⇔ ) z B − z A = λ ( zC − z A zB − z A ⇔ =λ zC − z A zB − z A ⇔ ∈ zC − z A ﺗﻜﻮن اﻟﻨﻘﻂ اﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ) A ( z Aو ) B ( z Bو
)
C ( z Cﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن
* -اﻟﻤﺮﺟﺢ
/
∈ ∃λ
zB −zA ∈ zC − z A
ﻟﺘﻜﻦ ) A ( z Aو ) B ( z Bو ) G ( zGﻧﻘﻂ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻌﻘﺪي و αو βﻋﺪدﻳﻦ ﺣﻘﻴﻘﻴﻦ ﺣﻴﺚ α + β ≠ 0
Gﻣﺮﺟﺢ
) ( A;αو ) ( B; β
إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن
(α + β ) zG = α z A + β zB
3
ﻣﻼﺣﻈﺔ ﺑﻨﻔﺲ اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﻧﻌﺮف ﻣﺮﺟﺢ ﺛﻼث ﻧﻘﻂ أو أآﺜﺮ * -ﻣﻨﺘﺼﻒ ﻗﻄﻌﺔ ﻟﺘﻜﻦ ) A ( z Aو ) B ( z Bو ) I ( z Iﻧﻘﻂ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻌﻘﺪي
z A + zB Iﻣﻨﺘﺼﻒ ] [ A; Bإذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن 2
= zI
ﺗﻤﺮﻳﻦ
−1 ﺑﻴﻦ أن اﻟﻨﻘﻂ ) A (1 + iو ) B (1 + 3iو − 2i 2
C ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ
اﻟﺠﻮاب ﻟﺪﻳﻨﺎ
1 −3 − 6i ) − − 2i − (1 + i ( −3 − 6i )(1 − 2i ) −3 + 6i − 6i − 12 3 2 2 = = = ∈ =− 1 + 2i ) 2 (1 + 2i )(1 − 2i 10 2 ) ( 2 + 3i ) − (1 + i
إذن Aو Bو Cﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ -3اﻟﻤﺮاﻓﻖ و اﻟﻤﻌﻴﺎر أ /ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻟﻴﻜﻦ ﻋﺪد ﻋﻘﺪي z = a + ibﺣﻴﺚ
2
∈ ) ( a; b
.
* اﻟﻌﺪد اﻟﻌﻘﺪي z = a − ibﻳﺴﻤﻰ ﻣﺮاﻓﻖ اﻟﻌﺪد اﻟﻌﻘﺪي z = a + ibوﻧﺮﻣﺰ
* اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ zz
ﻣﻼﺣﻈﺔ * اﻟﻨﻘﻄﺘﺎن ) M ( zو
ﻳﺴﻤﻰ ﻣﻌﻴﺎر اﻟﻌﺪد اﻟﻌﻘﺪي . z = a + ibﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑـ
ﻟﻪ ﺑـ . z = a − ib 2
2
z = zz = a + b
) M ' ( zﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺘﺎن ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻮ اﻻﻓﺎﺻﻴﻞ
* إذا آﺎن z = a + ibﻓﺎن z ⋅ z = a 2 + b 2 ب /ﺧﺎﺻﻴﺎت ﻟﻴﻜﻦ ﻋﺪدﻳﻦ ﻋﻘﺪﻳﻴﻦ z = a + ibو ' z = a '+ ibﺣﻴﺚ
∈ ) ( a; bو
2
2
∈ )' ( a '; b
' z + z ' = ( a + a ') + ( b + b ') i = a + a '− ( b + b ' ) i = a − ib + a '− ib ' = z + z ' z ⋅ z ' = ( aa '− bb ') + ( ab '+ a ' b ) i = aa '− bb '− ab ' i − a ' bi = a ( a '− b ' i ) − bi ( a '− b ' i ) = ( a − bi )( a '− b ' i ) = z ⋅ z a b + 2 i = 2 2 a + b2 a +b
bi 1 1 a − 2 = = 2 2 z a + bi a + b a + b2 1 1 a b = = 2 + 2 i 2 z a − ib a + b a + b2
1 1 وﻣﻨﻪ = z z 4
1 1 z z 1 = × = z× = z × = z z' 'z' z z' z' ﺧﺎﺻﻴﺎت 2
ﻟﺘﻜﻦ
∈ ) ' ( z; zو
∈ αو
z=z ; z − z = 2 Im ( z ) i
* *
*
∈n
) z + z = 2 Re ( z
* z ∈ ⇔z =z * z ∈ i ⇔ z = −z * 'z + z' = z + z ﺧﺎﺻﻴﺎت ﻟﺘﻜﻦ
n
' z . z ' = z. z
)(
zn = z
α z = α .z
z' ≠ 0
z z = ' z' z
) A ( z Aو ) B ( z Bﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻌﻘﺪي ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ اﻟﻤﻌﻠﻢ ) . ( O; e1 ; e2
AB = AB = z B − z A ﻟﺘﻜﻦ ( z; z ' ) ∈ 2و
∈ αو
*
OA = z A
∈n
*z = 0 ⇔ z = 0 z = −z = z
*
n
* ' z. z ' = z z
zn = z
z z = 'z 'z
z' ≠ 0
* 'z + z' ≤ z + z ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻌﻘﺪي ﺣﺪد ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ) M(zﻓﻲ آـــﻞ ﺣﺎﻟﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻦ اﻟﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ z − 2 = z + 2i - 2 z − 1 + i = 2 − i 5 -1 -4اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﺜﻠﺜﻲ ﻟﻌﺪد ﻋﻘﺪي و اﻟﻌﻤﺪة
أ /اﻟﻌﻤﺪة ﻟﻌﺪد ﻋﻘﺪي اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ( Pﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ
) ( O; e1 ; e2 ﻟﻴﻜﻦ z = a + ibﺣﻴﺚ
∈ ) ( a; bﻋﺪدا ﻋﻘﺪﻳﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪم و
2
اﻟﻨﻘﻄﺔ Mﺻﻮرﺗﻪ ,وﻟﻴﻜﻦ αﻗﻴﺎﺳﺎ ﻟﻠﺰاوﻳﺔ
)
(
. e1 , OM
اﻟﻌﺪد αﻳﺴﻤﻰ ﻋﻤﺪة ﻟﻠﻌﺪد اﻟﻌﻘﺪي z . arg z ≡ α ﻧﻜﺘﺐ ] [ 2π ﻣﻼﺣﻈﺔ * *
] [ 2π
arg a ≡ 0
π
] [ 2π
2
≡ arg b
*+ *+
∈ ∀a ∀b ∈ i
ب /اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟﻌﺪد ﻋﻘﺪي * -ﻟﻴﻜﻦ z = a + ibﺣﻴﺚ ﻋﺪدا ﺣﻘﻴﻘﻴﺎ
2
] [ 2π ] [ 2π
arg a ≡ π
π 2
arg b ≡ −
*− *−
∈ ∀a ∀b ∈ i
∈ ) ( a;bﻋﺪدا ﻋﻘﺪﻳﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪم و rﻋﺪدا ﺣﻘﻴﻘﻴﺎ ﻣﻮﺟﺒﺎ ﻗﻄﻌﺎ و α
ﻧﻀﻊ z = r = a 2 + b 2
و ﻣﻨﻪ ) z = r ( cos α + i sin αﺣﻴﺚ cosα = a ; sinα = b r r اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ
)
إذن ] [ 2π
arg z ≡ α
z = r( cosα +isinαﺗﺴﻤﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﺜﻠﺜﻲ ﻟﻠﻌﺪد اﻟﻌﻘﺪي zو ﻧﻜﺘﺐ ] z=[r,α
5
أﻣﺜﻠﺔ
2 2 π π π +i 1 + i = 2 = 2 cos + i sin = 2; 2 4 4 4 2 π 15 = [15;0] −2i = 2; − 2 3 1 5π 5π 5π − 3 − i = 2 − − i = 2 cos + i sin = 2; 2 6 6 6 2 ﺧﺎﺻﻴﺎت/ج
z'=[r',α'] وz=[r,α ] ﻟﻴﻜﻦ ( cos α + i sin α )( cos α '+ i sin α ') = ( cos α cos α '− sin α sin α ') + i ( sin α cos α '+ cos α sin α ') ﻋﺪدﻳﻦ ﻋﻘﺪﻳﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﻴﻦ
( cos α + i sin α )( cos α '+ i sin α ') = cos (α + α ') + i sin (α + α ') z × z ' = r ( cos α + i sin α ) × r ' ( cos α '+ i sin α ' ) = rr ' ( cos (α + α ') + i sin (α + α ') ) = [ rr ';α + α '] 1 1 1 1 cos α − i sin α 1 1 = = ( cos ( −α ) + i sin ( −α ) ) = ; −α = 2 2 z r cos α + i sin α r cos α + sin α r r
z 1 1 r == z × = [ r ;α ] × ; −α ' = ;α − α ' z' z' r ' r'
z = r ( c os α + i sin α ) = r ( c os α − i sin α ) = r ( cos ( −α ) + i sin ( −α ) ) = [ r , −α ]
− z = r ( −c os α − i sin α ) r ( c os (α + π ) + i sin (α + π ) ) = [ r ,α + π ] ∀ ( z; n ) ∈
z n = r n ; nα ﻧﺒﻴﻦ أن ﻋﺪد ﻋﻘﺪي ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪمz = [ r ; α ] ﻟﻴﻜﻦ ∀ ( z; n ) ∈
*
×
z n = r n ; nα ﻟﻨﺒﻴﻦ أوﻻ
×
n = 0 اذن اﻟﻌﺒﺎرة ﺻﺤﻴﺤﺔ ﻣﻦ أﺟﻞ1 = [1;0] = [1;0 × α ] و
z n +1
*
z0 = 1
ﻟﺪﻳﻨﺎn = 0 ﻣﻦ أﺟﻞ
z n +1 = r n +1 ; ( n + 1) α و ﻧﺒﻴﻦ أنz n = r n ; nα ﻟﻨﻔﺘﺮض أن = z × z n = [ r ; α ] × r n ; nα = r × r n ; α + nα = r n +1 ; ( n + 1) α z n = r n ; nα إذن ∀ ( z; n ) ∈ * × − n ∈ وﻣﻨﻪn ∈ − ﻟﻴﻜﻦ 1 1 1 z n = −n = −n = − n ; − ( − nα ) = r n ; nα z r ; −nα r z n = r n ; nα إذن ∀ ( z; n ) ∈ * × ﺧﺎﺻﻴﺎت
z'=[r',α'] وz=[r,α ] ﻟﻴﻜﻦ z = z ' ⇔ r = r ' et α = α ' *
ﻋﺪدﻳﻦ ﻋﻘﺪﻳﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﻴﻦ
z arg ≡ arg z − arg z ' z'
−z = [ r ,α + π ] و
[ 2π ]
1 z
[ 2π ] و
وarg ≡ − arg z
z = [ r , −α ]
[ 2π ]
arg ( zz ') ≡ arg z + arg z '
*
z r 1 1 = , α − α ' و = ; −α و zz ' = [ rr ', α + α '] z r z ' r ' arg ( − z ) ≡ π + arg z [ 2π ] وarg ( z ) ≡ − arg z [ 2π ] * ∀ ( z; n ) ∈
*
×
∀ ( z; n ) ∈
6
( )
arg z n ≡ n arg z *
×
[ 2π ]
z n = r n ; nα
*
ﺗﻤﺮﻳﻦ
ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻌﺪدﻳﻦ اﻟﻌﻘﺪﻳﻦ v = 6 +i 2و u = 2− 2i
-1اﺣﺴﺐ ﻣﻌﻴﺎر وﻋﻤﺪة آﻞ ﻣﻦ uو v cos 7π ; sin 7π 12 12
-2ﺣﺪد اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ اﻟﺠﺒﺮﻳﺔ واﻟﻜﺘﺎﺑﺔ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﻟـ uﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘــﺞ
v
ﺧﺎﺻﻴﺔ
ﻟﻴﻜﻦ ) A ( z A ) ≠ B ( z B
و ) D ( z D ) ≠ C ( zC
* -ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ وﺣﻴﺪة Mﺣﻴﺚ OM = ABوﻣﻨﻪ ) M ( z B − z A
و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ] [ 2π
إذن ] [ 2π
arg ( z B − z A ) = e1 ; OM
( AB; CD ) ≡ ( e1 ; CD ) − ( e1 ; AB ) ≡ arg ( zD − zC ) − arg ( zB − z A ) ≡ arg zzDB −− zzCA
] [ 2π
*-
)
(
ﺧﺎﺻﻴﺔ
إذا آﺎن ) A ( z A ) ≠ B ( z B
و ) D ( z D ) ≠ C ( zCﻓﺎن
] [ 2π
)
(
arg ( z B − z A ) = e1 ; AB
( AB; CD ) ≡ arg zzDB −− zzCA
] [ 2π
و
)
(
arg ( z B − z A ) = e1 ; AB
ﻧﺘﻴﺠﺔ
إذا آﺎن ) A ( z A ) ≠ B ( z B د /ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت * اﻻﺳﺘﻘﺎﻣﻴﺔ :ﻟﺘﻜﻦ
و ) A ≠ C ( zCﻓﺎن
) A (z Aو ) B (z Bو
] [ 2π
(
C ( z Cﻧﻘﻂ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ
zB −zA ∈ zC − z A
Aو Bو Cﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ⇔
z − zA arg Cأو ≡0 zB − z A
⇔ ] [ 2π
] [ 2π
z − zA arg C ≡π zB − z A
و ) D ( z D ) ≠ C ( zC
* اﻟﺘﻌﺎﻣﺪ :ﻟﺘﻜﻦ ) A ( z A ) ≠ B ( z B
] [ 2π
)
)
≡ AB; AC
z − zA arg C zB − z A
z − zD π arg C ≡− 2 zB − z A
z − zD π ⇔ arg C ≡ zB − z A 2
] [ 2π
ou
ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻌﻘﺪي اﻟﻤﻨﺴﻮب ﻟﻤﻌﻠﻢ.م.م.م
*
zC − z D ∈i zB − z A
⇔ ) ( AB ) ⊥ ( CD
) ( o;e1 ;e2
.(1ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻂ ) A (6 + 2iو ) B ( −1 + 3iو C 72 − 3i ﺣﺪد ﻗﻴﺎس ﻟﻠﺰاوﻳﺔ اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ )( BA; BC .(2ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻂ ) E ( 2 + 3iو ) F (1 + 2iو ) G ( −1ﺣﺪد ﻗﻴﺎس ﻟﻠﺰاوﻳﺔ اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ ) ( FE; FG ------------------------------------------------------------------------------------------------------
ﻧﻀﻊ ; u1 = 1 − i
ﺗﻤﺮﻳﻦ:
-1ﺣﺪد ﻋﻤﺪة و ﻣﻌﻴﺎر
u1
و
u1 -2ﺣﺪد ﻋﻤﺪة و ﻣﻌﻴﺎر u2 24
-3ﺑﻴﻦ أن = 1
6 −i 2 2
= u2
u2 و اﺳﺘﻨﺘﺞ
π 12
cosو
π 12
sin
6+ 2 6− 2 + i 4 4
اﻟﺤﻞ
-1ﻧﺤﺪد ﻋﻤﺪة و ﻣﻌﻴﺎر u1و u2
2 2 −π −i u1 = 1 − i = 2 ; = 2 2 4 2 7
3 1 6 −i 2 −π = 2 − i = 2; 2 6 2 2 u π π sin وcos و ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ1 ﻧﺤﺪد ﻋﻤﺪة و ﻣﻌﻴﺎر-3 u2 12 12 u2 =
−π 2; u1 4 2 −π π −π ; = = + = 1; −π 2 4 u2 6 12 2; 6
u1 = u2
1− i 6 −i 2 2
=
(
( 2 − 2i ) ( 6 −i 2
6 +i 2
)(
)
6 +i 2
)
ﻟﺪﻳﻨﺎ
6+ 2 6− 2 −( )i 4 4 6+ 2 6− 2 −π −( )i وﻣﻨﻪ 1; 12 = 2 2 6+ 2 −π = cos 12 4 إذن sin −π = −( 6 − 2 ) 12 4 =
π 6+ 2 cos = 12 4 sin π = 6 − 2 12 4
6+ 2 6− 2 + i 4 4 6+ 2 6− 2 + i 4 4
24
π = 1; 12
24
24
= 1 ﻧﺒﻴﻦ أن-3
24π = 1; = [1; 2π ] = 1 12
: ﺣﺪد ﻣﻌﻴﺎر وﻋﻤﺪة اﻷﻋﺪاد اﻟﻌﻘﺪﻳﺔ، θ ∈
a ' = sin θ + i cos θ
;
a = − cos θ + i sin θ ; b = cos θ − i sin θ b ' = sin θ − i cos θ ; c ' = − sin θ − i cos θ
; ;
a = − cos θ + i sin θ = cos (π − θ ) + i sin (π − θ ) = [1; π − θ ]
ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻟﻴﻜﻦ
c = − cos θ − i sin θ d = − sin θ + i cos θ
، θ∈
اﻟﺠﻮاب ﻟﻴﻜﻦ
b = cos θ − i sin θ = cos ( −θ ) + i sin ( −θ ) = [1; −θ ] c = − cos θ − i sin θ = cos (π + θ ) + i sin (π + θ ) = [1; π + θ ] π π π d = − sin θ + i cos θ = cos + θ + i sin + θ = 1; + θ 2 2 2 π π π a ' = sin θ + i cos θ = cos − θ + i sin − θ = 1; − θ 2 2 2 π π π b ' = sin θ − i cos θ = cos − + θ + i sin − + θ = 1; − + θ 2 2 2 π π c ' = − sin θ − i cos θ = sin (π + θ ) + i cos (π + θ ) = cos − (π + θ ) + i sin − (π + θ ) 2 2 π π π = cos − − θ + i sin − − θ = 1; − − θ 2 2 2 ﺗﻤﺮﻳﻦ
8
z1 = 2iو z1 = 2 − 2i
ﻧﻌﺘﺒﺮ a = −4
– 1ﺣﺪد اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﺜﻠﺜﻲ ﻟـ aو z 1و z 2
–2ﺗﺤﻘﻖ أن a + z12 + z2 4 = −72
ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻌﻘﺪي اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻧﻌﺘﺒﺮ ) A ( aو ) B ( z1و ) C ( z2
(1.3 -3ﺑﻴﻦ أن
BAC
ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﻳﺔ و ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻓﻲ
و
و Cﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ ) ( Fﺛﻢ أﻧﺸﺊ
}
(2.3ﺣﺪد اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ) ( Fﺣﻴﺚ = 10
A
( 3.3ﺗﺤﻘﻖ أن
B
B
( F ) = {M ( z ) / z + 1 + i
و ) (F
BAC
اﻟﺤﻞ
– 2ﻧﺤﺪد اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﺜﻠﺜﻲ ﻟـ aو z1و z2 ] a = −4 = [ 4; π
π و z1 = 2i = 2; 2
2 2 π −i و ) = 2 2; − 2 2 4
(z2 = 2 − 2i = 2 2
– 4.2ﻧﺘﺤﻘﻖ أن a + z12 + z2 4 = −72 2
4
4 4 π 2 π a + z12 + z2 4 = [ 4; π ] + 2; + 2 2; − = [ 4; π ] + [ 2; π ] + 2 2 ; −π = −4 − 4 − 2 2 = −4 − 4 − 64 = −72 4 2 (1.3 -3ﻧﺒﻴﻦ أن BACﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﻳﺔ و ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻓﻲ B ﻟﺪﻳﻨﺎ ) A(−4و ) B (2iو ) C (2 − 2i
)
(
(
)
2 − 2i − 2i 2 − 4i ( BA; BC ) ≡ arg ≡ arg −4 − 2i −4 − 2i π i (−2i − 4) ≡ arg ] [ 2π ≡ ) ≡ arg ( i 2 −4 − 2i BA = −4 − 2i = 20 BC = 2 − 4i = 20 إذن اﻟﻤﺜﻠﺚ BACﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﻳﺔ و ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻓﻲ B (2.3ﻧﺤﺪد اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ) ( F M ( z ) ∈ ( F ) ⇔ z + 1 + i = 10 M ( z ) ∈ ( F ) ⇔ ΩM = 10
) / Ω(1 + i )/ Ω(−1; −1
)
( ) ( F ) = C ( Ω; 10
M ( z ) ∈ ( F ) ⇔ M ∈ C Ω; 10
)/ Ω(−1; −1
( 3.4ﻧﺘﺤﻘﻖ أن ) A(−4و ) B (2iو ) C (2 − 2iﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ ) ( Fو ﻧﻨﺸﺊ
ΩA = −4 + 1 + i = −3 + i = 10 ΩB = 2i + 1 + i = 1 + 3i = 10 ΩA = 2 − 2i + 1 + i = 3 − i = 10 إذن Aو Bو C
ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ ) ( F
9
BAC
و ) (F
(OA, OB) ≡
π 3
ﺗﻤﺮﻳﻦ
[ 2π ] وOA = OB
: ﺑﺤﻴﺚB وA (1 + i ) : ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻌﻘﺪي ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻂ . z B ( اﻋﻂ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺠﺒﺮي ل1 . AB ( اﺣﺴﺐ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ2
(e1 , AB) : ( ﺣﺪد اﻟﻘﻴﺎس اﻟﺮﺋﺒﺴﻲ ﻟﻠﺰاوﻳﺔ اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ3 اﻟﺠﻮاب . z B ( ﻧﻌﻄﻲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺠﺒﺮي ل1
z B = OB = OA = 1 + i = 2 arg (1 + i ) ≡
(
) (
π 4
) (
2 2 π +i 1 + i = 2 = 2; 2 4 2
[ 2π ] و ﻣﻨﻪ
)
arg ( z B ) ≡ e1 ; OB ≡ e1 ; OA + OA; OB ≡ arg (1 + i ) +
π 3
=
π 4
+
π 3
=
7π 12
[ 2π ]
7π 7π + i sin z B = 2 cos وﻣﻨﻪ 12 12 7π π π π π 2 6 π π cos = cos + = cos cos − sin sin = − 12 4 3 4 3 4 4 4 3 sin
π π π π 7π 2 6 π π = sin + = sin cos + cos sin = + 12 4 3 4 3 4 4 4 3
2− 6 2 + 6 1− 3 1+ 3 z B = 2 +i +i إذن = 4 4 2 2 . AB ( ﻧﺤﺴﺐ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ2 2
2
2
2
1− 3 1+ 3 1 + 3 −1 + 3 AB = − 1 + − 1 == + = 2 2 2 2 2
(e1 , AB) : ( ﻧﺤﺪد اﻟﻘﻴﺎس اﻟﺮﺋﻴﺴﻲ ﻟﻠﺰاوﻳﺔ اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ3
( e1; AB ) ≡ arg ( zB − z A ) ≡ arg 1 −2 3 + i 1 +2 3 − 1 − i ≡ arg − 1 +2 3 + i −1 +2 (
3
2 + 6 − 2 + 6 7π 7π ≡ arg 2 − sin cos e1 ; AB ≡ arg 2 − i i + − 4 4 12 12
)
( e1; AB ) ≡ arg
2; −
π 2
−
[ 2π ] [ 2π ]
13π 13π 11π 7π ≡ arg 2; − ≡ − ≡ [ 2π ] 12 12 12 12 11π ( هﻮe1 , AB ) إذن اﻟﻘﻴﺎس اﻟﺮﺋﻴﺴﻲ ﻟـ 12 ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻌﻘﺪي ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ
f (z) =
z +i ﺑـ z
*
اﻟﻤﻌﺮف ﻋﻠﻰ
f وﻟﻴﻜﻦ
f ( z ) = 1 ﺑﺤﻴﺚz اﻟﺘﻲ ﻟﺤﻘﻬﺎM ﺣﺪد ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ-1
π θ ∈ 0; 2
ﺣﻴﺚz = cos θ + i sin θ ﻧﻀﻊ-2
D ( z + i ) وC ( z ) وB ( z ) وA ( i ) ﻣﺜﻞ اﻟﻨﻘﻂ-أ 10
ب -ﺗﺤﻘﻖ أن OCDAﻣﻌﻴﻦ و اﺳﺘﻨﺘﺞ ﻋﻤﺪة z + iﺑﺪﻻﻟﺔ θﺛﻢ ﻋﻤﺪة ) f ( zﺑﺪﻻﻟﺔ θ ج -ﺣﺪد ﻣﻌﻴﺎر ) f ( zﺑﺪﻻﻟﺔ θ اﻟﺤﻞ -1ﻧﺤﺪد ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ Mاﻟﺘﻲ ﻟﺤﻘﻬﺎ zﺑﺤﻴﺚ . f ( z ) = 1 ﻟﻴﻜﻦ
*
∈ zﻧﻀﻊ z = x + iyﺣﻴﺚ
2
∈ ) ( x; yو ) ( x; y ) ≠ ( 0;0
) z + i = x + −iy + i = x + i (1 − y z +i 2 = 1 ⇔ z + i = z ⇔ x 2 + (1 − y ) = x 2 + y 2 ⇔ 2 y − 1 = 0 z
⇔ f ( z) = 1
1 إذن ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ Mاﻟﺘﻲ ﻟﺤﻘﻬﺎ zﺑﺤﻴﺚ f ( z ) = 1هﻲ اﻟﻤﺴﺘﻘﻢ اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ 2 -2ﻧﻀﻊ z = cos θ + i sin θﺣﻴﺚ
=y
π θ ∈ 0; 2
أ -ﻧﻤﺜﻞ اﻟﻨﻘﻂ ) A ( iو ) B ( zو ) C ( zو ) D ( z + i و ) B ( zو ) C ( zﻣﺜﻤﺎﺗﻼن ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺤﻮر اﻻﻓﺎﺻﻴﻞ
OD = OA + OC
ب -ﻧﺘﺤﻘﻖ أن OCDAﻣﻌﻴﻦ و ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﻋﻤﺪة z + iﺑﺪﻻﻟﺔ θﺛﻢ ﻋﻤﺪة ) f ( zﺑﺪﻻﻟﺔ θ AD = z = 1
; OC = z = 1 ; OA = i = 1 ; CD = i = 1
وﻣﻨﻪ OCDAﻣﻌﻴﻦ
) (ODﻣﻨﺼﻒ COAو ﻣﻨﻪ(OA; OD ) ≡ 12 (OA; OC ) [2π ] : ] (OA; OD ) ≡ 12 ( arg ( z ) − arg (i )) ≡ 12 −θ − π2 [2π ] [ 2π ] [ 2π
)
( )
( )
1 π π 1 π arg ( z + i ) ≡ arg ( i ) + −θ − ≡ + −θ − 2 2 2 2 2
] [ 2π ﻟﺪﻳﻨﺎ
arg ( f ( z ) ) = arg z z+ i و ﻣﻨﻪ ] [ 2π
(
arg ( z + i ) ≡ e1 ; OD ≡ e1 ; OA + OA; OD
π 4
+
θ 2
arg ( z + i ) ≡ −
) arg ( f ( z ) ) ≡ arg ( z + i ) − arg ( z −θ π −3θ π ≡ + −θ + 2 4 2 4
] [ 2π ج -ﻧﺤﺪد ﻣﻌﻴﺎر ) f ( zﺑﺪﻻﻟﺔ θ 11
≡ ) ) arg ( f ( z
ﻟﺪﻳﻨﺎ z = cos θ + i sin θ و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ 2 − 2 sin θ
وﻣﻨﻪ z = 1
= ) ) ( cos θ + (1 − sin θ 2
2
z +i = = z +i z
- 4اﻹزاﺣﺔ و اﻟﺘﺤﺎآﻲ و اﻻﻋﺪاد اﻟﻌﻘﺪﻳﺔ أ /اﻻزاﺣﺔ ﻧﻌﺘﺒﺮ tإزاﺣﺔ ﻣﺘﺠﻬﺘﻬﺎ uﺣﻴﺚ aff ( u ) = a
)
= )f (z
ﻟﺘﻜﻦ ) M ( zو )' M ' ( z
(
t ( M ) = M ' ⇔ MM ' = u ⇔ aff MM ' = aff ( u ) ⇔ z '− z = a ⇔ z ' = z + a ﺧﺎﺻﻴﺔ اﻟﺘﺤﻮﻳﻞ اﻟﺬي ﻳﺤﻮل آﻞ ﻧﻘﻄﺔ ) M ( zﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ( Pاﻟﻰ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) M ' ( z + aﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ( Pهﻮ
اﻻزاﺣﺔ اﻟﺘﻲ ﻣﺘﺠﻬﺘﻬﺎ u
ﺣﻴﺚ aff ( u ) = a
ﺗﻤﺮﻳﻦ t -1ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻻزاﺣﺔ uﺣﻴﺚ ) u (1; 2
ﻟﺘﻜﻦ ) M ( zو )' M ' ( zﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻌﻘﺪي ﺑﺤﻴﺚ ' tu ( M ) = M أ /ﺣﺪد ' zﺑﺪﻻﻟﺔ z ب /ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻌﻘﺪي ﻧﺮﺑﻂ آﻞ ) M ( zﺑﻨﻘﻄﺔ )' M ' ( zﺣﻴﺚ z' = z + 1 − i ﺑﻴﻦ ان ' Mﺻﻮرة Mﺑﺈزاﺣﺔ و ﺣﺪد ﻣﺘﺠﻬﺘﻬﺎ ب /اﻟﺘﺤﺎآﻲ ﻧﺸﺎط ﻟﺘﻜﻦ ) M ( zو )' M ' ( zو ) Ω (ωﻧﻘﻂ ﻣﻦ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ( Pﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ ) ( O; e1 ; e2و kﻋﺪدا ﺣﻘﻴﻘﻴﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪم
ﻧﺮﺑﻂ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) M ( zﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ )' M ' ( zﺑﺎﻟﺘﺤﻮﻳﻞ hﺣﻴﺚ ) z '− ω = k ( z − ω /1ﺣﺪد اﻟﻨﻘﻂ اﻟﺼﺎﻣﺪة ﺑـ h /2ﺣﺪد ﻋﻼﻗﺔ ﻣﺘﺠﻬﻴﺔ ﺑﻴﻦ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ Mو ' Mﺛﻢ ﺣﺪد ﻃﺒﻴﻌﺔ h ﺧﺎﺻﻴﺔ ﻟﺘﻜﻦ ) M ( zو )' M ' ( zو ) Ω (ωﻧﻘﻂ ﻣﻦ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ( Pﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ
) ( O; e1 ; e2و kﻋﺪدا ﺣﻘﻴﻘﻴﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪم اﻟﺘﺤﻮﻳﻞ اﻟﺬي ﻳﺤﻮل آﻞ ﻧﻘﻄﺔ ) M ( zﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ( Pاﻟﻰ اﻟﻨﻘﻄﺔ )' M ' ( zﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ( P
ﺣﻴﺚ ) z '− ω = k ( z − ωهﻮ اﻟﺘﺤﺎآﻲ اﻟﺬي ﻣﺮآﺰﻩ ) Ω (ωو ﻧﺴﺒﺘﻪ k ﺗﻤﺮﻳﻦ 1 ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻌﻘﺪي ﻧﺮﺑﻂ آﻞ ) M ( zﺑﻨﻘﻄﺔ )' M ' ( zﺣﻴﺚ z' = z + −2i 2 1 /1ﺣﺪد ωﻟﺤﻖ اﻟﻨﻘﻄﺔ Ωﺣﻴﺚ ω = ω + −2i 2 /2ﺑﻴﻦ ان ' Mﺻﻮرة Mﺑﺘﺤﺎك hﻣﺤﺪدا ﻋﻨﺎﺻﺮم اﻟﻤﻤﻴﺰة
12
اﻷﻋﺪاد اﻟﻌﻘﺪﻳﺔ -اﻟﺠﺰء اﻟﺜﺎﻧﻲ- -1اﻟﻤﻌﺎدﻻت ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﺒﺔ
=a = ( −i ) × − a = a 2
2
)
−a
( −i
2
) (− a
; =a
; = i 2 × −a = a
2
2
)
)( a −a
*+
(i
∈ ∀a
*−
∈ ∀a
أ /اﻟﺠﺪر اﻟﻤﺮﺑﻊ ﻟﻌﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻟﻴﻜﻦ aﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪم
اذا آﺎن aﻣﻮﺟﺒﺎ ﻓﺎن ﻟﻠﻌﺪد aﺟﺪرﻳﻦ ﻣﺮﺑﻌﻴﻦ هﻤﺎ aو − a اذا آﺎن aﺳﺎﻟﺒﺎ ﻓﺎن ﻟﻠﻌﺪد aﺟﺪرﻳﻦ ﻣﺮﺑﻌﻴﻦ هﻤﺎ i − aو −i − a ﻟﻜﻞ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ﺟﺪرﻳﻦ ﻣﺮﺑﻌﻲ ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﻴﻦ اﻟﺠﺪر ﻣﺮﺑﻊ ﺻﻔﺮ هﻮ ﺻﻔﺮ أﻣﺜﻠﺔ اﻟﺠﺪران اﻟﻤﺮﺑﻌﺎن ﻟﻠﻌﺪد 3هﻮ 3و − 3 اﻟﺠﺪران اﻟﻤﺮﺑﻌﺎن ﻟﻠﻌﺪد -1هﻮ iو −i اﻟﺠﺪران اﻟﻤﺮﺑﻌﺎن ﻟﻠﻌﺪد -25هﻮ 5iو −5i
اﻟﺠﺪران اﻟﻤﺮﺑﻌﺎن ﻟﻠﻌﺪد -3هﻮ i 3و −i 3 ب /اﻟﻤﻌﺎدﻻت ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﺒﺔ ﻟﺘﻜﻦ aو bو cأﻋﺪادا ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ﺑﺤﻴﺚ aﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪم .
ﻧﺤﻞ az 2 + bz + c = 0
∈z
2 b ∆ az 2 + bz + c = a z + − 2 2a 4a
ﺣﻴﺚ ∆ = b 2 − 4ac
2
b ∆ az 2 + bz + c = 0 ⇔ z + − 2 =0 2a 4a b b ∆ ∆ إذا آﺎن ∆ ≥ 0ﻓﺎن az 2 + bz + c = 0 ⇔ z + − + z + = 0 2 2 2 2 a a a a
∆ −b + ∆ −b − وﻣﻨﻪ = zأو 2a 2a اذا آﺎن ∆ ≺ 0ﻓﺎن −∆ 0 2
2
=z 2
b b ∆2 − ∆2 − = 0 ⇔ z+ =0 az + bz + c = 0 ⇔ z + +i +i 2 2a 2a 4a 4a 2 b i −∆ b −∆ az 2 + bz + c = 0 ⇔ z + − +i z + =0 2a 2a 2a 2a 2
∆−b + − − ∆−b − i − ﻣﻨﻪ = zأو 2a 2a −b − d −b + d ﻓﻲ آﻠﺘﺎ اﻟﺤﺎﻟﻴﺘﻴﻦ ﻳﻤﻜﻦ آﺘﺎﺑﺔ = zﺣﻴﺚ dﺟﺪر ﻣﺮﺑﻊ ﻟﻠﻌﺪد ∆ = ; z 2a 2a ﻟﺘﻜﻦ aو bو cأﻋﺪادا ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ﺑﺤﻴﺚ aﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪم . اﻟﻌﺪد ∆ = b 2 − 4acﻳﺴﻤﻰ ﻣﻤﻴﺰ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ az 2 + bz + c = 0 ﻟﻴﻜﻦ dﺟﺪر ﻣﺮﺑﻊ ﻟﻠﻌﺪد ∆ −b + d = ; z إذا آﺎن ∆ ≠ 0ﻓﺎن ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ az 2 + bz + c = 0ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻠﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ هﻤﺎ 2a −b إذا آﺎن ∆ = 0ﻓﺎن ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ az 2 + bz + c = 0ﺣﻞ وﺣﻴﺪ هﻮ =z 2a 13 =z
1
2
1
−b − d 2a
= z 2
أﻣﺜﻠﺔ
−2 z 2 + 2 z + 3 = 0
(
−2 z 2 − 3 z + 2 = 0
(
((
))
2
)
2z2 − 2 + 2 2 z +
3 + 2=0 2 اﻟﺤﻞ
)
2z2 − 2 + 2 2 z +
∆ = − 2+2 2
ﺣﻞ ﻓﻲ
اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ
3 + 2 = 0 ﻟﻴﻜﻦ ∆ ﻣﻤﻴﺰ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ 2
3 − 8 + 2 = 4 + 8 2 + 8 − 12 − 8 2 = 0 2
1 + 2 S = وﻣﻨﻪ 2
z=
2 + 2 2 1+ 2 = إذن 4 2
−2 z 2 − 3z + 2 = 0 ﻟﻴﻜﻦ ∆ ﻣﻤﻴﺰ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ∆ = 9 + 16 = 25 3−5 1 3+5 أوz = = −2 = z= −4 −4 2
1 S = −2; وﻣﻨﻪ 2
−2 z 2 + 2 z + 3 = 0 ﻟﻴﻜﻦ ∆ ﻣﻤﻴﺰ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ
(
∆ = 4 − 12 = −8 = i 2 2 −2 − i 2 2 1 2 −2 + i 2 2 ؟أوz = = +i = −4 2 2 −4 1 2 1 S = +i ; −i 2 2 2
z=
)
2
1 2 −i 2 2 2 إذن 2
ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺣﻞ ﻓﻲ-1 اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﻴﻦ z² + 2 3 z + 12 = 0 z² – 6 z + 12 = 0 ﻓﻲ ﺷﻜﻠﻬﻤﺎ اﻟﻤﺜﻠﺜﻲz1 = − 3 + 3i وz1 = 3 + i 3 أآﺘﺐ اﻟﻌﺪدﻳﻦ-2
وB ( z2 ) وA ( z1 ) أﻧﺸﺊ، ( O; e1 ; e2 ) ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ
( P)
ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى-3
ﻣﻌﻠﻼ ﺟﻮاﺑﻚOAEB ﺛﻢ ﺣﺪد ﻃﺒﻴﻌﺔ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲE ( z1 + z2 ) ﺻﻴﻐﺔ ﻣﻮاﻓﺮ و ﺗﻄﺒﻴﻘﺎﺗﻬﺎ/2
( cos α + i sin α )
n
= ([1; α ]) = 1 ; nα = [1; nα ] = cos ( nα ) + i sin ( nα ) n
n
ﺧﺎﺻﻴﺔ/أ
∀α ∈
هﺬﻩ اﻟﺼﻴﻐﺔ ﺗﺴﻤﻰ هﺬﻩ ب ﺻﻴﻐﺔ ﻣﻮاﻓﺮ
( cos α + i sin α )
*
∀n ∈
n
= cos nα + i sin nα
sin nθ وcos θ ﺑﺪﻻﻟﺔsin nθ وcos nθ ﺣﺴﺎب/ب أﻧﺸﻄﺔ
( cos θ + i sin θ ) sin 3θ = 3sin θ − 4sin 3 θ
( cos θ + i sin θ )
3
3
أﻧﺸﺮ
cos 3θ = 4 cos3 θ − 3cos θ و اﺳﺘﻨﺘﺞ أن
(
)
(
)
اﻟﺠﻮاب
= cos3 θ + 3i cos 2 θ sin θ − 3 ( cos θ ) sin 2 θ − i sin 3 θ
(
) ((
)
= cos3 θ − 3 ( cos θ ) sin 2 θ + i 3 cos 2 θ sin θ − sin 3 θ
(
)
( cos θ + i sin θ )3 = cos 3θ + sin 3θ
)
(
ﻟﺪﻳﻨﺎ
)
cos 3θ = cos3 θ − 3 ( cos θ ) sin 2 θ = cos3 θ − 3cos θ 1 − cos 2 θ = 4 cos3 θ − 3cos θ وﻣﻨﻪ
(
)
(
)
sin 3θ = 3 cos 2 θ sin θ − sin 3 θ = 3sin θ 1 − sin 2 θ − sin 3 θ = 3sin θ − 4sin 3 θ و ﺗﻤﺮﻳﻦ
14
أﺣﺴﺐ cos xﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﺣﺪودﻳﺔ ﺑـ cos xدرﺟﺘﻬﺎ 5 * ﻟﺘﻜﻦ ) A ( z A ) ≠ B ( z Bو ) D ( z D ) ≠ C ( zCﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى
)( P
ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ
ﻣﺒﺎﺷﺮ ) ( O; e1 ; e2
-3اﻟﺘﺮﻣﻴﺰ اﻻﺳﻴﺔ و ﺗﻄﺒﻴﻘﺎﺗﻪ ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ
أ /اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ eiθ ﻧﺮﻣﺰ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ eiθﺣﻴﺚ
∈ ، θﻟﻜﻞ ﻋﺪد ﻋﻘﺪي ﻣﻌﻴﺎرﻩ 1و ﻋﻤﺪﺗﻪ θأي
eiθ = [1;θ ] = cos θ + i sin θ
أﻣﺜﻠﺔ
π
=i
2
i
eiπ = −1
e0 = 1
e
2 2 +i 2 2
ب/ﺧﺎﺻﻴﺔ أﺳﺎﺳﻴﺔ
)' i(θ +θ
ﻟﻜﻞ ﻋﺪدﻳﻦ ﻋﻘﺪﻳﻴﻦ θو ' θ
π
=
4
i
1 3 = − +i 2 2
e
2π i e 3
eiθ × eiθ ' = e
ج /اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ اﻻﺳﻴﺔ ﻟﻌﺪد ﻋﻘﺪي ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪم
z = [ r , α ] = re θ iα
ﻟﻜﻞ ﻋﺪد ﻋﻘﺪي ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪم zﻣﻌﻴﺎرﻩ rو ﻋﻤﺪﺗﻪ: اﻟﺤﺴﺎب ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﺘﺮﻣﻴﺰ اﻻﺳﻲ ' iθ
z = r ' eﺣﻴﺚ 0 ﻟﻴﻜﻦ zو ' zﻋﺪدﻳﻦ ﻋﻘﺪﻳﻴﻦ ﺑﺤﻴﺚ z = reiθو z r i θ −θ ') 1 1 −iθ )' i θ +θ (= e = e ( z × z ' = rr ' e 'z' r z r
rو 0
'r
z = r n einθ
أﻣﺜﻠﺔ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﺘﺮﻣﻴﺰ اﻻﺳﻲ ﺣﺪد ﻣﻌﻴﺎر و ﻋﻤﺪة آﻞ ﻣﻦ اﻻﻋﺪاد اﻟﻌﻘﺪﻳﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ. 4
)
) 2i (1 − i
(
z2 = 1 − i 3
3 + 3i 3
π
π
i 1 3 3 + 3i 3 = 6 + i * ﻟﺪﻳﻨﺎ = 6e 3 2 2 π π π
π
−i 2 2 −i 1 − i = 2 = 2e 4 2 2
π
2 i 2 − 4 − 6 2 i12 = e = e 3 3
= z1
4
−i
π
× 2e π 3
i
2
i
2e
=
6e 4
π 4π −i −i * ﻟﺪﻳﻨﺎ 1 − i 3 = 2 1 − i 3 = 2e 3وﻣﻨﻪ = 16e 3 2 2
) 2i (1 − i 3 + 3i 3
π 2
i
2i = 2e
= z1
−i π z 2 = 2e 3
د /ﺻﻴﻐﺘﺎ اوﻟﻴﺮ و ﺗﻄﺒﻴﻘﺎﺗﻪ ﻟﻜﻞ ﻋﺪد ﻋﻘﺪي θ
eiθ = cos θ + i sin θ ﻣﻨﻪ 2i sin α = eiθ − e −iθ
و ﻟﻜﻞ ﻋﺪد ﻋﻘﺪي θ
eiθ − e −iθ 2i
eiθ = cos θ − i sin θ 2 cos α = eiθ + e−iθ eiθ + e −iθ 2
= sin α
= cos α
و ﻧﺴﻤﻲ اﻟﺼﻴﻐﺘﻴﻦ ﺑﺼﻴﻐﺘﻲ أوﻟﻴﺮ ﺗﻄﺒﻴﻖ :اﺧﻄﺎط ﺣﺪودﻳﺔ ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ
اﺧﻄﺎط ﺣﺪودﻳﺔ ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ هﻮ ﺗﺤﻮﻳﻞ اﻟﺠﺪاءات اﻟﺘﻲ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ cos n θأو sin n θأو cos n θ × sin m θ اﻟﻰ ﻣﺠﻤﻮع ﺣﺪود ﻣﻦ ﺷﻜﻞ a cos αθ + b sin αθ ﻣﺜﺎل ﻧﺨﻄﻂ cos 4 θ
)
4
1 i 4θ e + 4ei 3θ ⋅ e −iθ + 6ei 2θ ⋅ e−i 2θ + 4eiθ ⋅ e−i 3θ + e−i 4θ = 16
(
15
eiθ + e −iθ cos θ = 2 4
1 i 4θ 1 ei 4θ + e −i 4θ 1 ei 2θ + e−i 2θ 3 × = e + e −i 4θ + 4 ei 2θ + e−i 2θ + 6 × + + 16 8 2 2 2 8 1 1 3 cos 4 θ = cos 4θ + cos 2θ + 8 2 8
) )
(
(
= cos 4 θ
ﺗﻤﺮﻳﻦ أﺧﻄﻂ sin 4 θ × cos3 θ اﻟﺪوران و اﻻﻋﺪاد اﻟﻌﻘﺪﻳﺔﻟﺘﻜﻦ ) M ( zو )' M ' ( zو ) Ω (ωﻧﻘﻂ ﻣﻦ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ( Pﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ
ﻣﺒﺎﺷﺮ ) ( O; e1 ; e2و αﻋﺪدا ﺣﻘﻴﻘﻴﺎ ) [1;α ] = ( cos α + i sin α ﻧﺮﺑﻂ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) M ( zﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ )' M ' ( zﺑﺎﻟﺘﺤﻮﻳﻞ
rﺣﻴﺚ ) z '− ω = [1; α ] ( z − ω
ﻧﺤﺪد ﻋﻼﻗﺔ ﻣﺘﺠﻬﻴﺔ ﺑﻴﻦ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ Mو ' Mﺛﻢ ﻧﺤﺪد ﻃﺒﻴﻌﺔ r ﻧﻼﺣﻆ أن r ( Ω ) = Ω ﻟﺘﻜﻦ ) M ( z ) = Ω (ωو )' M ' ( z
] [ 2π
' ΩM ΩM = 1 ⇔ [ 2π ] ΩM ; ΩM ' ≡ α
(
)
z '− ω =1 z '− ω z −ω ⇔ ) r ( M ) = M ' ⇔ z '− ω = [1; α ] ( z − ω = [1; α ] ⇔ z −ω arg z '− ω ≡ α z − ω
ΩM ' = ΩM ⇔ ] [ 2π ΩM ; ΩM ' ≡ α إذن rاﻟﺪوران اﻟﺬي ﻣﺮآﺰﻩ Ωو زاوﻳﺘﻪ α ﺧﺎﺻﻴﺔ ﻟﺘﻜﻦ ) M ( zو )' M ' ( zو ) Ω (ωﻧﻘﻂ ﻣﻦ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ( Pﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ
)
(
ﻣﺒﺎﺷﺮ ) ( O; e1 ; e2و αﻋﺪدا ﺣﻘﻴﻘﻴﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪم
اﻟﺘﺤﻮﻳﻞ اﻟﺬي ﻳﺤﻮل آﻞ ﻧﻘﻄﺔ ) M ( zﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى
) ( Pاﻟﻰ اﻟﻨﻘﻄﺔ )' M ' ( zﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ( P
ﺣﻴﺚ ) z '− ω = [1; α ] ( z − ωهﻮ اﻟﺪوران اﻟﺬي ﻣﺮآﺰﻩ Ωو زاوﻳﺘﻪ α
) [1;α ] = ( cos α + i sin α اﻟﺪوران ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ اﻻﺳﻴﺔ ﻟﺘﻜﻦ ) M ( zو )' M ' ( zو ) Ω (ωﻧﻘﻂ ﻣﻦ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ( Pﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ ) ( O; e1 ; e2و αﻋﺪدا ﺣﻘﻴﻘﻴﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪم
اﻟﺘﺤﻮﻳﻞ اﻟﺬي ﻳﺤﻮل آﻞ ﻧﻘﻄﺔ ) M ( zﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى
) ( Pاﻟﻰ اﻟﻨﻘﻄﺔ )' M ' ( zﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ( P
ﺣﻴﺚ ) z '− ω = eiα ( z − ωهﻮ اﻟﺪوران اﻟﺬي ﻣﺮآﺰﻩ Ωو زاوﻳﺘﻪ α ﺗﻤﺮﻳﻦ
ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻌﻘﺪي اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ) ( O; e1 ; e2ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ Aو Bاﻟﻠﺘﻴﻦ ﻟﺤﻘﻴﻬﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ هﻤﺎ :
zA = i
; zB = 2
.I (1ﺣﺪد ﻟﺤﻖ اﻟﻨﻘﻄﺔ B1ﺻﻮرة اﻟﻨﻘﻄﺔ ' Bﺑﺎﻟﺘﺤﺎآﻲ اﻟﺬي ﻣﺮآﺰﻩ Aو ﻧﺴﺒﺘﻪ . 2 (2ﺣﺪد ﻟﺤﻖ اﻟﻨﻘﻄﺔ ' Bﺻﻮرة اﻟﻨﻘﻄﺔ B1ﺑﺎﻟﺪوران اﻟﺬي ﻣﺮآﺰﻩ Aو زاوﻳﺘﻪ .II
π
4
.
(3ﻣﺜﻞ اﻟﻨﻘﻂ Aو Bو '. B
2 ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺘﺤﻮﻳﻞ fاﻟﺬي ﻳﺤﻮل آﻞ ﻧﻘﻄﺔ Mﻟﺤﻘﻬﺎ zﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ' Mذات اﻟﺤﻖ ' zﺑﺤﻴﺚ(1 + i ) z + 1 : 2 (1ﺣﺪد ﻟﺤﻖ اﻟﻨﻘﻄﺔ Ωاﻟﺼﺎﻣﺪة ﺑﺎﻟﺘﺤﻮﻳﻞ . f (2ﺣﺪد ﻃﺒﻴﻌﺔ اﻟﺘﺤﻮﻳﻞ fو ﻋﻨﺎﺻﺮﻩ اﻟﻤﻤﻴﺰة
16
= '. z