اﻷﻋﺪاد اﻟﻌﻘﺪﻳﺔ -اﻟﺠﺰء اﻻول- -1اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ أ/ﻣﺒﺮهﻨﺔ ﺗﻮﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ
(i (ii (iii
ﺗﺘﻀﻤﻦ
ﻋﻠﻰ ﻋﻨﺼﺮ ﻏﻴﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ iو ﻳﺤﻘﻖ i = −1
ﻳﺤﺘﻮي
آﻞ ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ
ﻳﻜﺘﺐ ﺑﻜﻴﻔﻴﺔ و ﺣﻴﺪة ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ a + ib :ﺑﺤﻴﺚ
* ﻣﻼﺣﻈﺔ: ب /ﺗﺴﺎوي ﻋﺪدﻳﻦ ﻋﻘﺪﻳﻴﻦ ﻟﻴﻜﻦ
2
∈ ) ( a; b
ﻣﺰودة ﺑﻌﻤﻠﻴﺘﻲ اﻟﺠﻤﻊ و اﻟﻀﺮب ﺗﻤﺪدان ﻧﻔﺲ اﻟﻌﻤﻠﻴﺘﻴﻦ ﻓﻲ
⊂
ﺧﺎﺻﻴﺔ
و ﺗﺤﻘﻖ: 2
2
⊂
∈ ) ( a; bو
و ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻟﺨﺎﺻﻴﺎت
⊂ ⊂ ⊂ ID 2
∈ )' ( a '; b
' a = a ' ⇔ a + ib = a '+ ibو
' b =b
ﺑﺮهﺎن * ' a = aو ' a + ib = a '+ ib ' ⇐ b = bاﺳﺘﻠﺰام ﺻﺤﻴﺢ * ﻧﻌﺘﺒﺮ ' a + ib = a '+ ibو ﻣﻨﻪ i ( b − b ') = a '− a
a '− a ﻟﻨﻔﺘﺮض أن ' b ≠ bوﻣﻨﻪ 'b − b و ﺣﻴﺚ أن
2
∈ ) ( a; bو
2
∈ )' ( a '; b
=i a '− a ∈ 'b − b
ﻓﺎن
و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ∈ iو هﺬا ﻏﻴﺮ ﺻﺤﻴﺢ ﻻن iﻋﺪد ﻏﻴﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ إذن اﻓﺘﺮاﺿﻨﺎ ﺧﺎﻃﺊ و ﻣﻨﻪ ' b = bو ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ a '− a = 0إذن a ' = a ج /اﺻﻄﻼﺣﺎت و ﺗﻌﺎرﻳﻒ
* ﻟﻴﻜﻦ ﻋﺪد ﻋﻘﺪي z = a + ibﺣﻴﺚ ( a; b ) ∈ 2 اﻟﻌﺪد aﻳﺴﻤﻰ اﻟﺠﺰء اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﻧﻜﺘﺐ . Re ( z ) = a اﻟﻌﺪد bﻳﺴﻤﻰ اﻟﺠﺰء اﻟﺘﺨﻴﻠﻲ ﻧﻜﺘﺐ Im ( z ) = b اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ z = a + ibﺣﻴﺚ ( a; b ) ∈ 2ﺗﺴﻤﻰ اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ اﻟﺠﺒﺮﻳﺔ ﻟﻠﻌﺪد اﻟﻌﻘﺪي
z
• ﻧﻘﻮل إن ﻋﺪدا ﻋﻘﺪﻳﺎ ﻋﺪد ﺗﺨﻴﻠﻲ ﺻﺮف إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن ﺟﺰﺋﻪ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﻣﻨﻌﺪﻣﺎ و ﺟﺰﺋﻪ ﺗﺨﻴﻠﻲ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪم • ﻧﻘﻮل إن ﻋﺪدا ﻋﻘﺪﻳﺎ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن ﺟﺰﺋﻪ اﻟﺘﺨﻴﻠﻲ ﻣﻨﻌﺪﻣﺎ أﻣﺜﻠﺔ ﺣﺪد اﻟﺠﺰء اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ و اﻟﺠﺰء اﻟﺘﺨﻴﻠﻲ ﻟﻠﻌﺪد اﻟﻌﻘﺪي zﻓﻲ اﻟﺤﺎﻻت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ دz = 17 / ب z = 5i − 3 /جz = 2 3i / أz = 2 − 3i / د /اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت ﻟﻴﻜﻦ ﻋﺪدﻳﻦ ﻋﻘﺪﻳﻴﻦ z = a + ibو ' z = a '+ ibﺣﻴﺚ
z + z ' = ( a + a ') + ( b + b ') i
* اﻟﺠﻤﻊ * اﻟﻀﺮب
2
∈ ) ( a; bو
2
∈ )' ( a '; b
z ⋅ z ' = ( aa '− bb ' ) + ( ab '+ a ' b ) i
* = ( a 2 − b 2 ) + 2abi
2
) ( a + ib
( a − ib )2 = ( a 2 − b2 ) − 2abi
( a + ib )( a − ib ) = a 2 + b 2
1 1 a − bi a bi = = 2 = 2 − 2 * ﻣﻘﻠﻮب ﻋﺪد ﻋﻘﺪي ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪم 2 2 z a + bi a + b a +b a + b2 z ) a − bi ( a + bi )( a '− b ' i = = ﺣﻴﺚ z ' ≠ 0 * ﺧﺎرج ﻋﺪدﻳﻦ ﻋﻘﺪﻳﻴﻦ z ' a '+ b ' i a '2 + b '2 * ﺧﺎﺻﻴﺎت اﻟﻌﺪد اﻟﻌﻘﺪي i ﻟﻴﻜﻦ ∈ n i n = iإذا آﺎن n = 4k + 1ﺣﻴﺚ ∈ k i n = 1إذا آﺎن n = 4kﺣﻴﺚ ∈ k i n = −iإذا آﺎن n = 4k + 3ﺣﻴﺚ ∈ k i n = −1إذا آﺎن n = 4k + 2ﺣﻴﺚ ∈ k
1