Math bac cours 7

Page 1

‫اﻷﻋﺪاد اﻟﻌﻘﺪﻳﺔ ‪ -‬اﻟﺠﺰء اﻻول‪-‬‬ ‫‪ -1‬اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫أ‪/‬ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬ ‫ﺗﻮﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬

‫‪(i‬‬ ‫‪(ii‬‬ ‫‪(iii‬‬

‫ﺗﺘﻀﻤﻦ‬

‫ﻋﻠﻰ ﻋﻨﺼﺮ ﻏﻴﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ ‪ i‬و ﻳﺤﻘﻖ ‪i = −1‬‬

‫ﻳﺤﺘﻮي‬

‫آﻞ ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ‬

‫ﻳﻜﺘﺐ ﺑﻜﻴﻔﻴﺔ و ﺣﻴﺪة ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ‪ a + ib :‬ﺑﺤﻴﺚ‬

‫*‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‪:‬‬ ‫ب‪ /‬ﺗﺴﺎوي ﻋﺪدﻳﻦ ﻋﻘﺪﻳﻴﻦ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ‬

‫‪2‬‬

‫∈ ) ‪( a; b‬‬

‫ﻣﺰودة ﺑﻌﻤﻠﻴﺘﻲ اﻟﺠﻤﻊ و اﻟﻀﺮب ﺗﻤﺪدان ﻧﻔﺲ اﻟﻌﻤﻠﻴﺘﻴﻦ ﻓﻲ‬

‫⊂‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬

‫و ﺗﺤﻘﻖ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫⊂‬

‫∈ ) ‪ ( a; b‬و‬

‫و ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻟﺨﺎﺻﻴﺎت‬

‫⊂ ‪⊂ ⊂ ID‬‬ ‫‪2‬‬

‫∈ )' ‪( a '; b‬‬

‫' ‪ a = a ' ⇔ a + ib = a '+ ib‬و‬

‫' ‪b =b‬‬

‫ﺑﺮهﺎن‬ ‫* ' ‪ a = a‬و ' ‪ a + ib = a '+ ib ' ⇐ b = b‬اﺳﺘﻠﺰام ﺻﺤﻴﺢ‬ ‫* ﻧﻌﺘﺒﺮ ' ‪ a + ib = a '+ ib‬و ﻣﻨﻪ ‪i ( b − b ') = a '− a‬‬

‫‪a '− a‬‬ ‫ﻟﻨﻔﺘﺮض أن ' ‪ b ≠ b‬وﻣﻨﻪ‬ ‫'‪b − b‬‬ ‫و ﺣﻴﺚ أن‬

‫‪2‬‬

‫∈ ) ‪ ( a; b‬و‬

‫‪2‬‬

‫∈ )' ‪( a '; b‬‬

‫=‪i‬‬ ‫‪a '− a‬‬ ‫∈‬ ‫'‪b − b‬‬

‫ﻓﺎن‬

‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ∈ ‪ i‬و هﺬا ﻏﻴﺮ ﺻﺤﻴﺢ ﻻن ‪ i‬ﻋﺪد ﻏﻴﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ‬ ‫إذن اﻓﺘﺮاﺿﻨﺎ ﺧﺎﻃﺊ و ﻣﻨﻪ ' ‪ b = b‬و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ a '− a = 0‬إذن ‪a ' = a‬‬ ‫ج‪ /‬اﺻﻄﻼﺣﺎت و ﺗﻌﺎرﻳﻒ‬

‫* ﻟﻴﻜﻦ ﻋﺪد ﻋﻘﺪي ‪ z = a + ib‬ﺣﻴﺚ ‪( a; b ) ∈ 2‬‬ ‫اﻟﻌﺪد ‪ a‬ﻳﺴﻤﻰ اﻟﺠﺰء اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﻧﻜﺘﺐ ‪. Re ( z ) = a‬‬ ‫اﻟﻌﺪد ‪ b‬ﻳﺴﻤﻰ اﻟﺠﺰء اﻟﺘﺨﻴﻠﻲ ﻧﻜﺘﺐ ‪Im ( z ) = b‬‬ ‫اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ ‪ z = a + ib‬ﺣﻴﺚ ‪ ( a; b ) ∈ 2‬ﺗﺴﻤﻰ اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ اﻟﺠﺒﺮﻳﺔ ﻟﻠﻌﺪد اﻟﻌﻘﺪي‬

‫‪z‬‬

‫• ﻧﻘﻮل إن ﻋﺪدا ﻋﻘﺪﻳﺎ ﻋﺪد ﺗﺨﻴﻠﻲ ﺻﺮف إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن ﺟﺰﺋﻪ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﻣﻨﻌﺪﻣﺎ و ﺟﺰﺋﻪ ﺗﺨﻴﻠﻲ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪم‬ ‫• ﻧﻘﻮل إن ﻋﺪدا ﻋﻘﺪﻳﺎ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن ﺟﺰﺋﻪ اﻟﺘﺨﻴﻠﻲ ﻣﻨﻌﺪﻣﺎ‬ ‫أﻣﺜﻠﺔ‬ ‫ﺣﺪد اﻟﺠﺰء اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ و اﻟﺠﺰء اﻟﺘﺨﻴﻠﻲ ﻟﻠﻌﺪد اﻟﻌﻘﺪي ‪ z‬ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻻت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫د‪z = 17 /‬‬ ‫ب‪ z = 5i − 3 /‬ج‪z = 2 3i /‬‬ ‫أ‪z = 2 − 3i /‬‬ ‫د‪ /‬اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ﻋﺪدﻳﻦ ﻋﻘﺪﻳﻴﻦ ‪ z = a + ib‬و ' ‪ z = a '+ ib‬ﺣﻴﺚ‬

‫‪z + z ' = ( a + a ') + ( b + b ') i‬‬

‫* اﻟﺠﻤﻊ‬ ‫* اﻟﻀﺮب‬

‫‪2‬‬

‫∈ ) ‪ ( a; b‬و‬

‫‪2‬‬

‫∈ )' ‪( a '; b‬‬

‫‪z ⋅ z ' = ( aa '− bb ' ) + ( ab '+ a ' b ) i‬‬

‫* ‪= ( a 2 − b 2 ) + 2abi‬‬

‫‪2‬‬

‫) ‪( a + ib‬‬

‫‪( a − ib )2 = ( a 2 − b2 ) − 2abi‬‬

‫‪( a + ib )( a − ib ) = a 2 + b 2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a − bi‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪bi‬‬ ‫=‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪− 2‬‬ ‫* ﻣﻘﻠﻮب ﻋﺪد ﻋﻘﺪي ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪم‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪z a + bi a + b‬‬ ‫‪a +b‬‬ ‫‪a + b2‬‬ ‫‪z‬‬ ‫) ‪a − bi ( a + bi )( a '− b ' i‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫ﺣﻴﺚ ‪z ' ≠ 0‬‬ ‫* ﺧﺎرج ﻋﺪدﻳﻦ ﻋﻘﺪﻳﻴﻦ‬ ‫‪z ' a '+ b ' i‬‬ ‫‪a '2 + b '2‬‬ ‫* ﺧﺎﺻﻴﺎت اﻟﻌﺪد اﻟﻌﻘﺪي ‪i‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ∈ ‪n‬‬ ‫‪ i n = i‬إذا آﺎن ‪ n = 4k + 1‬ﺣﻴﺚ ∈ ‪k‬‬ ‫‪ i n = 1‬إذا آﺎن ‪ n = 4k‬ﺣﻴﺚ ∈ ‪k‬‬ ‫‪ i n = −i‬إذا آﺎن ‪ n = 4k + 3‬ﺣﻴﺚ ∈ ‪k‬‬ ‫‪ i n = −1‬إذا آﺎن ‪ n = 4k + 2‬ﺣﻴﺚ ∈ ‪k‬‬

‫‪1‬‬


Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.
Math bac cours 7 by abdelilahe - Issuu