Math bac cours 8

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‫اﻟﺘﻜﺎﻣـــــﻞ‬

‫اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺳﻠﻚ ﺑﻜﺎﻟﻮرﻳﺎ ﻋﻠﻮم ﺗﺠﺮﻳﺒﻴﺔ‬

‫‪ -I‬ﺗﻜﺎﻣﻞ داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل‬ ‫‪ -1‬ﺗﻌﺮﻳﻒ و ﺗﺮﻣﻴﺰ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ I‬و ‪ a‬و‪ b‬ﻋﻨﺼﺮﻳﻦ ﻣﻦ ‪. I‬‬ ‫إذا آﺎﻧﺖ ‪ F‬و ‪ G‬داﻟﺘﻴﻦ أﺻﻠﻴﺘﻴﻦ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻓﺎن )‪.F(b)-F(a)=G(b)-G(a‬‬ ‫أي أن اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ )‪ F(b)-F(a‬ﻏﻴﺮ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎﺧﺘﻴﺎر اﻟﺪاﻟﺔ اﻷﺻﻠﻴﺔ ‪.F‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ I‬و ‪ a‬و‪ b‬ﻋﻨﺼﺮﻳﻦ ﻣﻦ ‪.I‬‬ ‫اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ)‪ F(b)-F(a‬ﺣﻴﺚ ‪ F‬داﻟﺔ أﺻﻠﻴﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ‪ , I‬ﻳﺴﻤﻰ ﺗﻜﺎﻣﻞ اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫وﻳﻜﺘﺐ‬

‫‪b‬‬

‫‪∫a f ( x )dx‬‬

‫وﻳﻘﺮأ ﻣﺠﻤﻮع ‪ f ( x ) dx‬ﻣﻦ ‪ a‬إﻟﻰ ‪ b‬أو ﺗﻜﺎﻣﻞ ﻣﻦ ‪ a‬إﻟﻰ ‪ b‬ﻟـ ‪. f ( x ) dx‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪∫a f ( x )dx‬‬

‫‪ a‬و‪ b‬ﻳﺴﻤﻴﺎ ﻣﺤﺪا اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ‬ ‫‪b‬‬

‫ﻓﻲ اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ ‪∫a f ( x )dx‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫=‬ ‫‪f‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫=‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪∫a‬‬ ‫‪∫a‬‬ ‫‪∫a f (u )du = ........‬‬

‫ﻳﻤﻜﻦ ﺗﻌﻮﻳﺾ ‪ x‬ﺑﺄي ﺣﺮف ﺁﺧﺮ ‪ ،‬ﺑﻤﻌﻨﻰ أن‬

‫‪b‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪∫a f ( x )dx = F ( x )a‬‬

‫ﻣﻦ أﺟﻞ ﺗﺒﺴﻴﻂ اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ )‪ F(b)-F(a‬ﻧﻜﺘﺒﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫أﻣﺜﻠﺔ‬ ‫*‬

‫ﻧﺤﺴﺐ‬

‫‪1‬‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫‪x‬‬ ‫اذن‬ ‫*‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪∫1 x dx‬‬ ‫→ ‪ x‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ]‪ [1; 2‬و داﻟﺔ أﺻﻠﻴﺔ ﻟﻬﺎ هﻲ ‪x → ln x‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪∫1 x dx = [ln x ]1 = ln 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪∫ 2 cos xdx‬‬

‫أﺣﺴﺐ‬

‫‪π‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪∫−1 x 2 + 1dx‬‬ ‫‪1‬‬

‫;‬

‫‪1‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪cos 2 x‬‬

‫;‬

‫‪π‬‬

‫∫‬

‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪ -2‬ﺧﺎﺻﻴﺎت‬ ‫أ‪ -‬ﺧﺎﺻﻴﺎت‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ I‬و ‪ a‬و‪ b‬و‪ c‬ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻣﻦ‪I‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪a‬‬

‫* ‪f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx‬‬

‫* ‪∫a f ( x )dx = 0‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫=‬ ‫‪f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪∫a‬‬ ‫‪∫a‬‬ ‫* ‪∫c f ( x )dx‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪b‬‬

‫‪∫a‬‬

‫)ﻋﻼﻗﺔ ﺷﺎل(‬

‫أﻣﺜﻠﺔ‬ ‫‪1‬‬

‫أﺣﺴﺐ ‪I = ∫ x dx‬‬ ‫‪−1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ f‬ﻣﻦ ‪ a‬إﻟﻰ ‪b‬‬

‫‪0‬‬

‫‪ −1 2 ‬‬ ‫‪1 2 ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪xdx‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪xdx‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪∫−1‬‬ ‫‪∫−1‬‬ ‫‪∫−1‬‬ ‫‪∫0‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 x  = 1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫ب(‪ -‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ I‬و ‪ a‬ﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ ‪I‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬


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