Math bac cours 9

‫اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‬

‫‪ -I‬ﺗﻘﺪﻳﻢ‬

‫‪ -1‬ﺗﺆدي دراﺳﺔ ﺑﻌﺾ اﻟﻈﻮاهﺮ اﻟﻔﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ و اﻟﺒﻴﻮﻟﻮﺟﻴﺔ و اﻻﻗﺘﺼﺎدﻳﺔ و ﻏﻴﺮهﺎ إﻟﻰ ﻣﻌﺎدﻻت ﻳﻜﻮن ﻓﻴﻬﺎ‬ ‫اﻟﻤﺠﻬﻮل داﻟﺔ وﺗﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ ﻣﺸﺘﻘﺔ أو ﻣﺸﺘﻘﺎت هﺬﻩ اﻟﺪاﻟﺔ‪.‬‬ ‫هﺬا اﻟﻨﻮع ﻣﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻻت ﻳﺴﻤﻰ اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻳﺮﻣﺰ ﻋﺎدة إﻟﻰ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺠﻬﻮﻟﺔ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ‪ ) y‬وﻗﺪ ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑﺄي ﺣﺮف ﺁﺧﺮ ﻣﺜﻞ ‪(............. u , z , f‬‬ ‫ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻳﻌﻨﻲ إﻳﺠﺎد ﺟﻤﻴﻊ اﻟﺪوال ‪ y‬اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ هﺪﻩ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ ,‬و ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ هﺪﻩ اﻟﺪوال‬ ‫ﺗﺴﻤﻰ اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ ،‬آﻞ ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ هﺪﻩ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﻳﺴﻤﻰ ﺣﻼ ﺧﺎﺻﺎ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ ,‬آﻞ ﺣﻞ‬ ‫ﻳﺴﻤﻰ آﺬﻟﻚ ﺗﻜﺎﻣﻼ‪.‬‬ ‫‪ -2‬أﻣﺜﻠﺔ‬ ‫أ(‬ ‫‪ y ' = 0‬هﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‬ ‫ﺑـ ‪ y ( x ) = 1‬ﺣﻞ ﺧﺎص ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬

‫اﻟﺪاﻟﺔ ‪ y‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬

‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺪوال اﻟﺜﺎﺑﺘﺔ ﻋﻠﻰ‬

‫هﻲ اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪. y ' = 0‬‬

‫‪ y ' = x 2 − 1‬هﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ذات اﻟﻤﺠﻬﻮل ‪ ) y‬ﻳﻤﻜﻦ أن ﻧﻜﺘﺐ ‪( y ' ( x ) = x − 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ب(‬

‫ﺣﻠﻮل هﺬﻩ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ هﻲ اﻟﺪوال اﻷﺻﻠﻴﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ x → x 2 − 1‬ﻋﻠﻰ‬

‫‪.‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪x − x + k‬‬ ‫‪3‬‬

‫أي اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻬﺬﻩ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ هﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬

‫→‪x‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪ k‬ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ ‪.‬‬ ‫‪ – II‬ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪y´=ay+b‬‬ ‫‪ /1‬اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪y´=ay‬‬ ‫* اذا آﺎن ‪ a = 0‬ﻓﺎن ‪ y ' = 0‬أي أن اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم هﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺪوال اﻟﺜﺎﺑﺘﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫* اذا آﺎن ‪a ≠ 0‬‬ ‫ﻧﻌﻠﻢ أن‬

‫‪ax‬‬

‫‪( e ) ' = ae‬‬ ‫‪ax‬‬

‫∈ ‪ ∀x‬ادن‬

‫‪ax‬‬

‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ y‬ﺣﻼ اﻋﺘﺒﺎﻃﻴﺎ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪y '− ay = 0‬‬

‫‪ x → e‬ﺣﻞ ﺧﺎص ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪y '− ay = 0‬‬ ‫ﻧﻀﻊ ‪y ( x ) = z ( x ) eax‬‬

‫وﻣﻨﻪ ‪y ' ( x ) = z ' ( x ) eax + az ( x ) eax‬‬ ‫أي‬

‫) ‪y ' ( x ) = z ' ( x ) e ax + ay ( x‬‬

‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪y ' ( x ) − ay ( x ) = z ' ( x ) e ax = 0‬‬

‫و ﻣﻨﻪ ‪ z ' ( x ) = 0‬و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪z ( x ) = λ‬‬

‫∈ ‪ ∀x‬ﺣﻴﺚ ‪ λ‬ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ‬

‫اذن ‪y ( x ) = λ eax‬‬ ‫ﻧﻼﺣﻆ أن اﻟﺤﺎﻟﺔ ‪ a = 0‬هﻲ ﺿﻤﻦ اﻟﺤﺎﻟﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ ‪.‬‬

‫∈ ‪ ∀x‬ﺣﻴﺚ ‪ λ‬ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪ y ' = ay‬ﺗﻘﺒﻞ ﻣﺎ ﻻﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﻠﻮل و هﻲ اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺣﻴﺚ ‪ λ‬ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ‪.‬‬ ‫ﻧﺘﻴﺠﺔ‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ وﺣﻴﺪ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ y ' = ay‬ﻳﺤﻘﻖ اﻟﺸﺮط ‪ y ( x0 ) = y0‬و هﻲ اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫اﻟﺸﺮط ‪ y ( x0 ) = y0‬ﻳﺴﻤﻰ اﻟﺸﺮط اﻟﺒﺪﺋﻲ‬ ‫أﻣﺜﻠﺔ‬

‫ﺑـ‬

‫‪ax‬‬

‫‪x → λe‬‬

‫‪a x− x‬‬ ‫) ‪x → y0 e ( 0‬‬

‫‪ -1‬ﻧﺤﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪y ' = 2 y‬‬ ‫ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪ y ' = 2 y‬هﻲ اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ -2‬ﻧﺤﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪y‬‬ ‫‪3‬‬

‫= '‪y‬‬

‫= '‪y‬‬

‫ﺑـ ﺣﻴﺚ ‪ x → λ e2 x‬ﺣﻴﺚ ‪λ‬‬

‫ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ‬

‫; ‪y (1) = 2‬‬

‫; ‪ y (1) = 2‬هﻲ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬

‫ﺑـ ﺣﻴﺚ‬

‫‪ /2‬ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪y´=ay+b‬‬ ‫اذا آﺎن ‪ a = 0‬ﻓﺎن ‪ y ' = b‬وﻣﻨﻪ ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ هﻲ اﻟﺪوال ‪ f‬ﺣﻴﺚ ‪f ( x ) = bx + c‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫)‪( x −1‬‬ ‫‪2e 3‬‬

‫→‪x‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫اذا آﺎن ‪ a ≠ 0‬ﻓﺎن ‪y ' = ay + b ⇔ y ' = a  y + ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻧﻀﻊ ‪ z = y +‬و ﻣﻨﻪ ' ‪z ' = y‬‬ ‫‪a‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬

‫∈‪/λ‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪⇔ y ( x ) = λ e ax −‬‬

‫∈‪/λ‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪= λ e ax‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪⇔ y ( x) +‬‬

‫‪y ' = ay + b ⇔ z ' = az ⇔ z ( x ) = λ e ax‬‬

‫∈‪/λ‬‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ a‬و ‪ b‬ﻋﺪدﻳﻦ ﺣﻘﻴﻘﻴﻦ ﺣﻴﺚ ‪a ≠ 0‬‬

‫‪b‬‬ ‫ﺑـ‬ ‫‪a‬‬

‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪ y ' = ay + b‬ﺗﻘﺒﻞ ﻣﺎ ﻻﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﻠﻮل و هﻲ اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬

‫ﺣﻴﺚ ‪λ‬‬

‫‪x → λ e ax −‬‬

‫ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ‪.‬‬

‫ﻧﺘﻴﺠﺔ‬

‫‪b  a x− x‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ وﺣﻴﺪ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ y ' = ay + b‬ﻳﺤﻘﻖ اﻟﺸﺮط ‪ y ( x0 ) = y0‬و هﻲ اﻟﺪاﻟﺔ ‪x →  y0 +  e ( 0 ) −‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫اﻟﺸﺮط ‪ y ( x0 ) = y0‬ﻳﺴﻤﻰ اﻟﺸﺮط اﻟﺒﺪﺋﻲ‬ ‫ﻣﺜﺎل‬

‫ﻧﺤﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪y ' = −3 y + 2‬‬

‫ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪ y ' = −3 y + 2‬هﻲ اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬

‫‪2‬‬ ‫ﺑـ ﺣﻴﺚ‬ ‫‪3‬‬

‫‪ x → λ e−3 x +‬ﺣﻴﺚ ‪λ‬‬

‫ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ‬

‫اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ‪.‬‬ ‫‪ -III‬ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪y"+ay'+by=0‬‬ ‫‪ -1‬اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪ y"+ay'+by=0‬ﺣﻴﺚ‬ ‫اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ذات اﻟﻤﻌﺎﻣﻼت اﻟﺜﺎﺑﺘﺔ‬ ‫‪ -2‬ﺑﻌﺾ اﻟﺤﺎﻻت اﻟﺨﺎﺻﺔ‬ ‫*‪ -‬اذا آﺎن ‪ a = b = 0‬ﻓﺎن ‪y '' = 0‬‬

‫' ‪y ( x ) = kx + k‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫∈ )‪ (a,b‬ﺗﺴﻤﻰ ﻣﻌﺎدﻻت ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﺧﻄﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ‬

‫∈ )' ‪y ' ( x ) = k ⇔ ∃ ( k ; k‬‬

‫∈ ‪y " = 0 ⇔ ∃k‬‬

‫اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ y '' = 0‬هﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺪوال ' ‪ x → kx + k‬ﺑﺤﻴﺚ‬

‫*‪ -‬اذا آﺎن ‪ b = 0‬ﻓﺎن ‪y ''+ ay ' = 0‬‬ ‫‪y "+ ay ' = 0 ⇔ ( y ') '+ ay ' = 0‬‬

‫‪2‬‬

‫∈ )' ‪( k ; k‬‬

‫وﻣﻨﻪ ' ‪ y‬ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪z '+ az = 0‬‬

‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ y ' ( x ) = λ e − ax‬ﺑﺤﻴﺚ ‪ λ‬ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ‬ ‫اذن اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ y ''+ ay ' = 0‬هﻲ اﻟﺪوال اﻷﺻﻠﻴﺔ‬

‫‪− λ − ax‬‬ ‫‪e‬‬ ‫أي اﻟﺪوال‬ ‫‪+µ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ – 3‬ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪; E : y "+ ay '+ by = 0‬‬ ‫ﻟﻨﺒﺤﺚ ﻋﻦ ﺣﻠﻮل ﻣﻦ ﻧﻮع‬

‫‪y : x → e rx‬‬

‫∈ ) ‪(λ ; µ‬‬

‫‪2‬‬

‫→‪x‬‬

‫‪x → λe −ax‬‬

‫) ‪( a; b ) ≠ ( 0;0‬‬ ‫∈‪r‬‬

‫;‬

‫‪ y‬ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪r 2 + ar + b = 0 ⇔ r 2 e x + are x + be x = 0 ⇔ E‬‬ ‫‪rx‬‬

‫اذن اذا آﺎن ‪ r‬ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ r 2 + ar + b = 0‬ﻓﺎن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ x → e‬ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪E‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ r 2 + ar + b = 0‬ﺗﺴﻤﻰ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﻴﺰة ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪; E : y "+ ay '+ by = 0‬‬

‫‪2‬‬

‫∈ ) ‪( a; b‬‬

‫ﻣﻤﻴﺰ هﺬﻩ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ هﻮ ‪a 2 − 4b‬‬ ‫ﻧﺸﺎط‬ ‫‪ -1‬أ‪ /‬ﺣﻞ اﻟﻤﻤﻴﺰة ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬

‫‪y "+ 3 y '− 4 y = 0‬‬ ‫‪ ( E1 ) :‬و اﺳﺘﻨﺘﺞ ﺣﻠﻴﻦ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ) ‪( E1‬‬ ‫ب‪ /‬ﺑﻴﻦ ان اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺑـ ‪ x → α e x + β e−4 x‬ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ) ‪( E1‬‬ ‫‪ -2‬أ‪ /‬ﺣﻞ اﻟﻤﻤﻴﺰة ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪y "− 6 y '+ 9 y = 0‬‬ ‫‪( E2 ) :‬‬ ‫ب‪ /‬ﺑﻴﻦ ان اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺑـ ‪ x → (α + β x ) e3x‬ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ) ‪( E1‬‬

‫‪2‬‬

‫ﺣﻴﺚ‬

‫‪2‬‬

‫∈ ) ‪(α ; β‬‬

‫ﺣﻴﺚ‬

‫‪2‬‬

‫∈ ) ‪(α ; β‬‬

‫‪( E3 ) :‬‬

‫‪y "+ 4 y '+ 13 y = 0‬‬

‫‪ -3‬أ‪ /‬ﺣﻞ اﻟﻤﻤﻴﺰة ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬

‫ﺑـ ‪ f : x → e −2 x cos 3 x‬و ‪ g : x → e −2 x sin 3 x‬ﺣﻠﻴﻦ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬

‫ب‪ /‬ﺑﻴﻦ ان اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ اﻟﻤﻌﺮﻓﺘﻴﻦ ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ) ‪( E3‬‬

‫ﺑـ ‪ x → α f + β g‬ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ) ‪ ( E1‬ﺣﻴﺚ‬

‫ج‪ /‬ﺑﻴﻦ ان اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬

‫‪2‬‬

‫∈ ) ‪(α ; β‬‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫‪2‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪; E : y "+ ay '+ by = 0 :E‬‬ ‫*‪ -‬اذا آﺎن ‪0‬‬

‫‪a 2 − 4b‬‬

‫∈ ) ‪( a; b‬‬

‫ﻓﺎن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﻴﺰة ﻟﻬﺎ ﺟﺪرﻳﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ‬

‫‪2‬‬

‫و ﻟﺘﻜﻦ ‪ r + ar + b = 0‬اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﻴﺰة‬

‫‪; r1‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪ α‬و ‪ β‬ﻋﺪدان اﻋﺘﺒﺎﻃﻴﺎن‬

‫و ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‪ E‬هﻲ اﻟﺪوال ‪x → α e r1 x + β e r 2 x‬‬ ‫*‪ -‬اذا آﺎن ‪a 2 − 4b = 0‬‬

‫‪r2‬‬

‫ﻓﺎن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﻴﺰة ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻞ ﻣﺰدوج ‪. r‬‬

‫و ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪ E‬هﻲ اﻟﺪوال ‪ x → (α + β x ) e rx‬ﺣﻴﺚ ‪ α‬و ‪ β‬ﻋﺪدان اﻋﺘﺒﺎﻃﻴﺎن‬

‫*‪ -‬اذا آﺎن ‪a 2 − 4b ≺ 0‬‬

‫ﻓﺎن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﻴﺰة ﺗﻘﺒﻞ ﺟﺬرﻳﻦ ﻣﺘﺮاﻓﻘﻴﻦ‬

‫) ‪ x → e px (α cos qx + β sixqx‬ﺣﻴﺚ ‪ α‬و ‪ β‬ﻋﺪدان‬

‫و ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪ E‬هﻲ اﻟﺪوال‬ ‫اﻋﺘﺒﺎﻃﻴﺎن‪.‬‬ ‫اﻟﺤﻞ اﻟﺬي ﻳﺤﻘﻖ ‪y ( x0 ) = y0‬‬

‫‪y ' ( x0 ) = y '0‬‬

‫;‬

‫‪y ( x0 ) = y0‬‬

‫ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ وﺣﻴﺪ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪ E‬ﻳﺤﻘﻖ اﻟﺸﺮﻃﻴﻦ‬

‫‪y ( x0 ) = y0‬‬

‫اﻟﺸﺮﻃﺎن‬

‫;‬

‫‪= p + iq‬‬

‫‪ r1‬و‬

‫‪r2 = p − iq‬‬

‫;‬

‫‪y ' ( x0 ) = y '0‬‬

‫‪ y ' ( x0 ) = y '0‬ﻳﺴﻤﻴﺎن اﻟﺸﺮﻃﻴﻦ اﻟﺒﺪﺋﻴﻴﻦ ‪.‬‬

‫ﻳﻤﻜﻦ إﻋﻄﺎء ﺷﺮﻃﻴﻦ ﺑﺪﺋﻴﻴﻦ ﺁﺧﺮﻳﻦ‪.‬‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬

‫‪β‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪cos qx + sin qx  = k ( cos ϕ cos qx + sin ϕ sin qx ) = k cos ( qx − ϕ‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪‬‬

‫‪α cos qx + β sin qx = k ‬‬

‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬

‫‪β‬‬

‫ﺑﻮﺿﻊ ‪; k = α 2 + β 2‬‬

‫‪α‬‬

‫= ‪; sin ϕ‬‬

‫= ‪cos ϕ‬‬

‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫ﺗﺴﺘﻨﺘﺞ اذا آﺎن ‪ a 2 − 4b ≺ 0‬ﻓﺎن ) ‪ x → ke cos ( qx − ϕ‬ﺣﻴﺚ ‪ k‬و ‪ ϕ‬اﻋﺘﺒﺎﻃﻴﺎن‬ ‫‪px‬‬

‫‪5‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪ -1‬ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪y = 0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ -2‬ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪y "+ 4 y '+ 4 y = 0‬‬ ‫‪ -3‬ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪y "+ 2 y '+ 5 y = 0‬‬ ‫ﺣﺎﻻت ﺧﺎﺻﺔ‬ ‫*‪ -‬اذا آﺎن ‪ a 0‬ﻓﺎن ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪ y "+ ay = 0‬هﻲ اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬

‫‪y "+ 2 y '−‬‬

‫و ﺣﺪد اﻟﺤﻞ اﻟﺨﺎص ‪ y1‬ﺣﻴﺚ ‪y1 ( 0 ) = 1‬‬

‫ﻳﻠﻲ ‪ x → α cos ax + β sin ax‬ﺣﻴﺚ‬

‫‪2‬‬

‫; ‪y1 ' ( 0 ) = −1‬‬

‫ﺑﻤﺎ‬

‫∈ ) ‪. (α ; β‬‬

‫*‪ -‬اذا آﺎن ‪ a ≺ 0‬ﻓﺎن ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪ y "+ ay = 0‬هﻲ اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻳﻠﻲ‬

‫‪− ax‬‬

‫‪+ β e−‬‬

‫‪− ax‬‬

‫‪ x → α e‬ﺣﻴﺚ‬

‫ﻣﺜﺎل ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﻴﻦ ‪y "+ 2 y = 0‬‬

‫‪2‬‬

‫ﺑﻤﺎ‬

‫∈ ) ‪. (α ; β‬‬

‫; ‪y "− 4 y = 0‬‬

‫ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ y "+ 2 y = 0‬هﻲ اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ ‪ x → α cos 2 x + β sin 2 x‬ﺣﻴﺚ‬

‫‪2‬‬

‫ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ y "+ 2 y = 0 y "− 4 y = 0‬هﻲ اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ ‪ x → α e 2 x + β e −2 x‬ﺣﻴﺚ‬

‫‪3‬‬

‫∈ ) ‪. (α ; β‬‬ ‫‪2‬‬

‫∈ ) ‪. (α ; β‬‬