اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ
-Iﺗﻘﺪﻳﻢ
-1ﺗﺆدي دراﺳﺔ ﺑﻌﺾ اﻟﻈﻮاهﺮ اﻟﻔﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ و اﻟﺒﻴﻮﻟﻮﺟﻴﺔ و اﻻﻗﺘﺼﺎدﻳﺔ و ﻏﻴﺮهﺎ إﻟﻰ ﻣﻌﺎدﻻت ﻳﻜﻮن ﻓﻴﻬﺎ اﻟﻤﺠﻬﻮل داﻟﺔ وﺗﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ ﻣﺸﺘﻘﺔ أو ﻣﺸﺘﻘﺎت هﺬﻩ اﻟﺪاﻟﺔ. هﺬا اﻟﻨﻮع ﻣﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻻت ﻳﺴﻤﻰ اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ. ﻳﺮﻣﺰ ﻋﺎدة إﻟﻰ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺠﻬﻮﻟﺔ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ) yوﻗﺪ ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑﺄي ﺣﺮف ﺁﺧﺮ ﻣﺜﻞ (............. u , z , f ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻳﻌﻨﻲ إﻳﺠﺎد ﺟﻤﻴﻊ اﻟﺪوال yاﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ هﺪﻩ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ,و ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ هﺪﻩ اﻟﺪوال ﺗﺴﻤﻰ اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ،آﻞ ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ هﺪﻩ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﻳﺴﻤﻰ ﺣﻼ ﺧﺎﺻﺎ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ,آﻞ ﺣﻞ ﻳﺴﻤﻰ آﺬﻟﻚ ﺗﻜﺎﻣﻼ. -2أﻣﺜﻠﺔ أ( y ' = 0هﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﺑـ y ( x ) = 1ﺣﻞ ﺧﺎص ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ
اﻟﺪاﻟﺔ yاﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ
ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺪوال اﻟﺜﺎﺑﺘﺔ ﻋﻠﻰ
هﻲ اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ . y ' = 0
y ' = x 2 − 1هﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ذات اﻟﻤﺠﻬﻮل ) yﻳﻤﻜﻦ أن ﻧﻜﺘﺐ ( y ' ( x ) = x − 1 2
ب(
ﺣﻠﻮل هﺬﻩ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ هﻲ اﻟﺪوال اﻷﺻﻠﻴﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ x → x 2 − 1ﻋﻠﻰ
.
1 2 ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ x − x + k 3
أي اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻬﺬﻩ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ هﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ
→x
ﺣﻴﺚ kﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ . – IIﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ y´=ay+b /1اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ y´=ay * اذا آﺎن a = 0ﻓﺎن y ' = 0أي أن اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم هﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺪوال اﻟﺜﺎﺑﺘﺔ ﻋﻠﻰ * اذا آﺎن a ≠ 0 ﻧﻌﻠﻢ أن
ax
( e ) ' = ae ax
∈ ∀xادن
ax
ﻟﻴﻜﻦ yﺣﻼ اﻋﺘﺒﺎﻃﻴﺎ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ y '− ay = 0
x → eﺣﻞ ﺧﺎص ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ y '− ay = 0 ﻧﻀﻊ y ( x ) = z ( x ) eax
وﻣﻨﻪ y ' ( x ) = z ' ( x ) eax + az ( x ) eax أي
) y ' ( x ) = z ' ( x ) e ax + ay ( x
و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ y ' ( x ) − ay ( x ) = z ' ( x ) e ax = 0
و ﻣﻨﻪ z ' ( x ) = 0و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ z ( x ) = λ
∈ ∀xﺣﻴﺚ λﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ
اذن y ( x ) = λ eax ﻧﻼﺣﻆ أن اﻟﺤﺎﻟﺔ a = 0هﻲ ﺿﻤﻦ اﻟﺤﺎﻟﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ .
∈ ∀xﺣﻴﺚ λﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ
ﺧﺎﺻﻴﺔ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ y ' = ayﺗﻘﺒﻞ ﻣﺎ ﻻﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﻠﻮل و هﻲ اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺣﻴﺚ λﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ. ﻧﺘﻴﺠﺔ ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ وﺣﻴﺪ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ y ' = ayﻳﺤﻘﻖ اﻟﺸﺮط y ( x0 ) = y0و هﻲ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺸﺮط y ( x0 ) = y0ﻳﺴﻤﻰ اﻟﺸﺮط اﻟﺒﺪﺋﻲ أﻣﺜﻠﺔ
ﺑـ
ax
x → λe
a x− x ) x → y0 e ( 0
-1ﻧﺤﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ y ' = 2 y ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ y ' = 2 yهﻲ اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ.
1 -2ﻧﺤﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ y 3 1 ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ y 3
= 'y
= 'y
ﺑـ ﺣﻴﺚ x → λ e2 xﺣﻴﺚ λ
ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ
; y (1) = 2
; y (1) = 2هﻲ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ
ﺑـ ﺣﻴﺚ
/2ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ y´=ay+b اذا آﺎن a = 0ﻓﺎن y ' = bوﻣﻨﻪ ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ هﻲ اﻟﺪوال fﺣﻴﺚ f ( x ) = bx + c
1
1 )( x −1 2e 3
→x
b اذا آﺎن a ≠ 0ﻓﺎن y ' = ay + b ⇔ y ' = a y + a b ﻧﻀﻊ z = y +و ﻣﻨﻪ ' z ' = y a وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ
∈/λ
b a
⇔ y ( x ) = λ e ax −
∈/λ
b = λ e ax a
⇔ y ( x) +
y ' = ay + b ⇔ z ' = az ⇔ z ( x ) = λ e ax
∈/λ
ﺧﺎﺻﻴﺔ ﻟﻴﻜﻦ aو bﻋﺪدﻳﻦ ﺣﻘﻴﻘﻴﻦ ﺣﻴﺚ a ≠ 0
b ﺑـ a
اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ y ' = ay + bﺗﻘﺒﻞ ﻣﺎ ﻻﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﻠﻮل و هﻲ اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ
ﺣﻴﺚ λ
x → λ e ax −
ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ.
ﻧﺘﻴﺠﺔ
b a x− x b ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ وﺣﻴﺪ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ y ' = ay + bﻳﺤﻘﻖ اﻟﺸﺮط y ( x0 ) = y0و هﻲ اﻟﺪاﻟﺔ x → y0 + e ( 0 ) − a a اﻟﺸﺮط y ( x0 ) = y0ﻳﺴﻤﻰ اﻟﺸﺮط اﻟﺒﺪﺋﻲ ﻣﺜﺎل
ﻧﺤﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ y ' = −3 y + 2
ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ y ' = −3 y + 2هﻲ اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ
2 ﺑـ ﺣﻴﺚ 3
x → λ e−3 x +ﺣﻴﺚ λ
ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ
اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ. -IIIﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ y"+ay'+by=0 -1اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ y"+ay'+by=0ﺣﻴﺚ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ذات اﻟﻤﻌﺎﻣﻼت اﻟﺜﺎﺑﺘﺔ -2ﺑﻌﺾ اﻟﺤﺎﻻت اﻟﺨﺎﺻﺔ * -اذا آﺎن a = b = 0ﻓﺎن y '' = 0
' y ( x ) = kx + k
2
2
∈ ) (a,bﺗﺴﻤﻰ ﻣﻌﺎدﻻت ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﺧﻄﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ
∈ )' y ' ( x ) = k ⇔ ∃ ( k ; k
∈ y " = 0 ⇔ ∃k
اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ y '' = 0هﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺪوال ' x → kx + kﺑﺤﻴﺚ
* -اذا آﺎن b = 0ﻓﺎن y ''+ ay ' = 0 y "+ ay ' = 0 ⇔ ( y ') '+ ay ' = 0
2
∈ )' ( k ; k
وﻣﻨﻪ ' yﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ z '+ az = 0
و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ y ' ( x ) = λ e − axﺑﺤﻴﺚ λﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ اذن اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ y ''+ ay ' = 0هﻲ اﻟﺪوال اﻷﺻﻠﻴﺔ
− λ − ax e أي اﻟﺪوال +µ a – 3ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ; E : y "+ ay '+ by = 0 ﻟﻨﺒﺤﺚ ﻋﻦ ﺣﻠﻮل ﻣﻦ ﻧﻮع
y : x → e rx
∈ ) (λ ; µ
2
→x
x → λe −ax
) ( a; b ) ≠ ( 0;0 ∈r
;
yﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ r 2 + ar + b = 0 ⇔ r 2 e x + are x + be x = 0 ⇔ E rx
اذن اذا آﺎن rﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ r 2 + ar + b = 0ﻓﺎن اﻟﺪاﻟﺔ x → eﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ E اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ r 2 + ar + b = 0ﺗﺴﻤﻰ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﻴﺰة ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ; E : y "+ ay '+ by = 0
2
∈ ) ( a; b
ﻣﻤﻴﺰ هﺬﻩ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ هﻮ a 2 − 4b ﻧﺸﺎط -1أ /ﺣﻞ اﻟﻤﻤﻴﺰة ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ
y "+ 3 y '− 4 y = 0 ( E1 ) :و اﺳﺘﻨﺘﺞ ﺣﻠﻴﻦ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ) ( E1 ب /ﺑﻴﻦ ان اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺑـ x → α e x + β e−4 xﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ) ( E1 -2أ /ﺣﻞ اﻟﻤﻤﻴﺰة ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ y "− 6 y '+ 9 y = 0 ( E2 ) : ب /ﺑﻴﻦ ان اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺑـ x → (α + β x ) e3xﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ) ( E1
2
ﺣﻴﺚ
2
∈ ) (α ; β
ﺣﻴﺚ
2
∈ ) (α ; β
( E3 ) :
y "+ 4 y '+ 13 y = 0
-3أ /ﺣﻞ اﻟﻤﻤﻴﺰة ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ
ﺑـ f : x → e −2 x cos 3 xو g : x → e −2 x sin 3 xﺣﻠﻴﻦ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ
ب /ﺑﻴﻦ ان اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ اﻟﻤﻌﺮﻓﺘﻴﻦ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ) ( E3
ﺑـ x → α f + β gﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ) ( E1ﺣﻴﺚ
ج /ﺑﻴﻦ ان اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ
2
∈ ) (α ; β
ﺧﺎﺻﻴﺔ 2
ﻟﺘﻜﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ; E : y "+ ay '+ by = 0 :E * -اذا آﺎن 0
a 2 − 4b
∈ ) ( a; b
ﻓﺎن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﻴﺰة ﻟﻬﺎ ﺟﺪرﻳﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ
2
و ﻟﺘﻜﻦ r + ar + b = 0اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﻴﺰة
; r1
ﺣﻴﺚ αو βﻋﺪدان اﻋﺘﺒﺎﻃﻴﺎن
و ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ Eهﻲ اﻟﺪوال x → α e r1 x + β e r 2 x * -اذا آﺎن a 2 − 4b = 0
r2
ﻓﺎن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﻴﺰة ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻞ ﻣﺰدوج . r
و ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ Eهﻲ اﻟﺪوال x → (α + β x ) e rxﺣﻴﺚ αو βﻋﺪدان اﻋﺘﺒﺎﻃﻴﺎن
* -اذا آﺎن a 2 − 4b ≺ 0
ﻓﺎن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﻴﺰة ﺗﻘﺒﻞ ﺟﺬرﻳﻦ ﻣﺘﺮاﻓﻘﻴﻦ
) x → e px (α cos qx + β sixqxﺣﻴﺚ αو βﻋﺪدان
و ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ Eهﻲ اﻟﺪوال اﻋﺘﺒﺎﻃﻴﺎن. اﻟﺤﻞ اﻟﺬي ﻳﺤﻘﻖ y ( x0 ) = y0
y ' ( x0 ) = y '0
;
y ( x0 ) = y0
ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ وﺣﻴﺪ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ Eﻳﺤﻘﻖ اﻟﺸﺮﻃﻴﻦ
y ( x0 ) = y0
اﻟﺸﺮﻃﺎن
;
= p + iq
r1و
r2 = p − iq
;
y ' ( x0 ) = y '0
y ' ( x0 ) = y '0ﻳﺴﻤﻴﺎن اﻟﺸﺮﻃﻴﻦ اﻟﺒﺪﺋﻴﻴﻦ .
ﻳﻤﻜﻦ إﻋﻄﺎء ﺷﺮﻃﻴﻦ ﺑﺪﺋﻴﻴﻦ ﺁﺧﺮﻳﻦ. ﻣﻼﺣﻈﺔ
β α ) cos qx + sin qx = k ( cos ϕ cos qx + sin ϕ sin qx ) = k cos ( qx − ϕ k k
α cos qx + β sin qx = k
ﻟﺪﻳﻨﺎ
β
ﺑﻮﺿﻊ ; k = α 2 + β 2
α
= ; sin ϕ
= cos ϕ
k k ﺗﺴﺘﻨﺘﺞ اذا آﺎن a 2 − 4b ≺ 0ﻓﺎن ) x → ke cos ( qx − ϕﺣﻴﺚ kو ϕاﻋﺘﺒﺎﻃﻴﺎن px
5 ﺗﻤﺮﻳﻦ -1ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ y = 0 4 -2ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ y "+ 4 y '+ 4 y = 0 -3ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ y "+ 2 y '+ 5 y = 0 ﺣﺎﻻت ﺧﺎﺻﺔ * -اذا آﺎن a 0ﻓﺎن ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ y "+ ay = 0هﻲ اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ
y "+ 2 y '−
و ﺣﺪد اﻟﺤﻞ اﻟﺨﺎص y1ﺣﻴﺚ y1 ( 0 ) = 1
ﻳﻠﻲ x → α cos ax + β sin axﺣﻴﺚ
2
; y1 ' ( 0 ) = −1
ﺑﻤﺎ
∈ ) . (α ; β
* -اذا آﺎن a ≺ 0ﻓﺎن ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ y "+ ay = 0هﻲ اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻳﻠﻲ
− ax
+ β e−
− ax
x → α eﺣﻴﺚ
ﻣﺜﺎل ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﻴﻦ y "+ 2 y = 0
2
ﺑﻤﺎ
∈ ) . (α ; β
; y "− 4 y = 0
ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ y "+ 2 y = 0هﻲ اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ x → α cos 2 x + β sin 2 xﺣﻴﺚ
2
ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ y "+ 2 y = 0 y "− 4 y = 0هﻲ اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ x → α e 2 x + β e −2 xﺣﻴﺚ
3
∈ ) . (α ; β 2
∈ ) . (α ; β