Math bac cours 9

Page 1

‫اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‬

‫‪ -I‬ﺗﻘﺪﻳﻢ‬

‫‪ -1‬ﺗﺆدي دراﺳﺔ ﺑﻌﺾ اﻟﻈﻮاهﺮ اﻟﻔﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ و اﻟﺒﻴﻮﻟﻮﺟﻴﺔ و اﻻﻗﺘﺼﺎدﻳﺔ و ﻏﻴﺮهﺎ إﻟﻰ ﻣﻌﺎدﻻت ﻳﻜﻮن ﻓﻴﻬﺎ‬ ‫اﻟﻤﺠﻬﻮل داﻟﺔ وﺗﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ ﻣﺸﺘﻘﺔ أو ﻣﺸﺘﻘﺎت هﺬﻩ اﻟﺪاﻟﺔ‪.‬‬ ‫هﺬا اﻟﻨﻮع ﻣﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻻت ﻳﺴﻤﻰ اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻳﺮﻣﺰ ﻋﺎدة إﻟﻰ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺠﻬﻮﻟﺔ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ‪ ) y‬وﻗﺪ ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑﺄي ﺣﺮف ﺁﺧﺮ ﻣﺜﻞ ‪(............. u , z , f‬‬ ‫ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻳﻌﻨﻲ إﻳﺠﺎد ﺟﻤﻴﻊ اﻟﺪوال ‪ y‬اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ هﺪﻩ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ ,‬و ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ هﺪﻩ اﻟﺪوال‬ ‫ﺗﺴﻤﻰ اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ ،‬آﻞ ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ هﺪﻩ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﻳﺴﻤﻰ ﺣﻼ ﺧﺎﺻﺎ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ ,‬آﻞ ﺣﻞ‬ ‫ﻳﺴﻤﻰ آﺬﻟﻚ ﺗﻜﺎﻣﻼ‪.‬‬ ‫‪ -2‬أﻣﺜﻠﺔ‬ ‫أ(‬ ‫‪ y ' = 0‬هﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‬ ‫ﺑـ ‪ y ( x ) = 1‬ﺣﻞ ﺧﺎص ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬

‫اﻟﺪاﻟﺔ ‪ y‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬

‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺪوال اﻟﺜﺎﺑﺘﺔ ﻋﻠﻰ‬

‫هﻲ اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪. y ' = 0‬‬

‫‪ y ' = x 2 − 1‬هﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ذات اﻟﻤﺠﻬﻮل ‪ ) y‬ﻳﻤﻜﻦ أن ﻧﻜﺘﺐ ‪( y ' ( x ) = x − 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ب(‬

‫ﺣﻠﻮل هﺬﻩ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ هﻲ اﻟﺪوال اﻷﺻﻠﻴﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ x → x 2 − 1‬ﻋﻠﻰ‬

‫‪.‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪x − x + k‬‬ ‫‪3‬‬

‫أي اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻬﺬﻩ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ هﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬

‫→‪x‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪ k‬ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ ‪.‬‬ ‫‪ – II‬ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪y´=ay+b‬‬ ‫‪ /1‬اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪y´=ay‬‬ ‫* اذا آﺎن ‪ a = 0‬ﻓﺎن ‪ y ' = 0‬أي أن اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم هﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺪوال اﻟﺜﺎﺑﺘﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫* اذا آﺎن ‪a ≠ 0‬‬ ‫ﻧﻌﻠﻢ أن‬

‫‪ax‬‬

‫‪( e ) ' = ae‬‬ ‫‪ax‬‬

‫∈ ‪ ∀x‬ادن‬

‫‪ax‬‬

‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ y‬ﺣﻼ اﻋﺘﺒﺎﻃﻴﺎ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪y '− ay = 0‬‬

‫‪ x → e‬ﺣﻞ ﺧﺎص ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪y '− ay = 0‬‬ ‫ﻧﻀﻊ ‪y ( x ) = z ( x ) eax‬‬

‫وﻣﻨﻪ ‪y ' ( x ) = z ' ( x ) eax + az ( x ) eax‬‬ ‫أي‬

‫) ‪y ' ( x ) = z ' ( x ) e ax + ay ( x‬‬

‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪y ' ( x ) − ay ( x ) = z ' ( x ) e ax = 0‬‬

‫و ﻣﻨﻪ ‪ z ' ( x ) = 0‬و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪z ( x ) = λ‬‬

‫∈ ‪ ∀x‬ﺣﻴﺚ ‪ λ‬ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ‬

‫اذن ‪y ( x ) = λ eax‬‬ ‫ﻧﻼﺣﻆ أن اﻟﺤﺎﻟﺔ ‪ a = 0‬هﻲ ﺿﻤﻦ اﻟﺤﺎﻟﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ ‪.‬‬

‫∈ ‪ ∀x‬ﺣﻴﺚ ‪ λ‬ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪ y ' = ay‬ﺗﻘﺒﻞ ﻣﺎ ﻻﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﻠﻮل و هﻲ اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺣﻴﺚ ‪ λ‬ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ‪.‬‬ ‫ﻧﺘﻴﺠﺔ‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ وﺣﻴﺪ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ y ' = ay‬ﻳﺤﻘﻖ اﻟﺸﺮط ‪ y ( x0 ) = y0‬و هﻲ اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫اﻟﺸﺮط ‪ y ( x0 ) = y0‬ﻳﺴﻤﻰ اﻟﺸﺮط اﻟﺒﺪﺋﻲ‬ ‫أﻣﺜﻠﺔ‬

‫ﺑـ‬

‫‪ax‬‬

‫‪x → λe‬‬

‫‪a x− x‬‬ ‫) ‪x → y0 e ( 0‬‬

‫‪ -1‬ﻧﺤﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪y ' = 2 y‬‬ ‫ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪ y ' = 2 y‬هﻲ اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ -2‬ﻧﺤﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪y‬‬ ‫‪3‬‬

‫= '‪y‬‬

‫= '‪y‬‬

‫ﺑـ ﺣﻴﺚ ‪ x → λ e2 x‬ﺣﻴﺚ ‪λ‬‬

‫ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ‬

‫; ‪y (1) = 2‬‬

‫; ‪ y (1) = 2‬هﻲ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬

‫ﺑـ ﺣﻴﺚ‬

‫‪ /2‬ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪y´=ay+b‬‬ ‫اذا آﺎن ‪ a = 0‬ﻓﺎن ‪ y ' = b‬وﻣﻨﻪ ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ هﻲ اﻟﺪوال ‪ f‬ﺣﻴﺚ ‪f ( x ) = bx + c‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫)‪( x −1‬‬ ‫‪2e 3‬‬

‫→‪x‬‬


Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.