اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ
-Iﺗﻘﺪﻳﻢ
-1ﺗﺆدي دراﺳﺔ ﺑﻌﺾ اﻟﻈﻮاهﺮ اﻟﻔﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ و اﻟﺒﻴﻮﻟﻮﺟﻴﺔ و اﻻﻗﺘﺼﺎدﻳﺔ و ﻏﻴﺮهﺎ إﻟﻰ ﻣﻌﺎدﻻت ﻳﻜﻮن ﻓﻴﻬﺎ اﻟﻤﺠﻬﻮل داﻟﺔ وﺗﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ ﻣﺸﺘﻘﺔ أو ﻣﺸﺘﻘﺎت هﺬﻩ اﻟﺪاﻟﺔ. هﺬا اﻟﻨﻮع ﻣﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻻت ﻳﺴﻤﻰ اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ. ﻳﺮﻣﺰ ﻋﺎدة إﻟﻰ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺠﻬﻮﻟﺔ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ) yوﻗﺪ ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑﺄي ﺣﺮف ﺁﺧﺮ ﻣﺜﻞ (............. u , z , f ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻳﻌﻨﻲ إﻳﺠﺎد ﺟﻤﻴﻊ اﻟﺪوال yاﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ هﺪﻩ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ,و ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ هﺪﻩ اﻟﺪوال ﺗﺴﻤﻰ اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ،آﻞ ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ هﺪﻩ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﻳﺴﻤﻰ ﺣﻼ ﺧﺎﺻﺎ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ,آﻞ ﺣﻞ ﻳﺴﻤﻰ آﺬﻟﻚ ﺗﻜﺎﻣﻼ. -2أﻣﺜﻠﺔ أ( y ' = 0هﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﺑـ y ( x ) = 1ﺣﻞ ﺧﺎص ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ
اﻟﺪاﻟﺔ yاﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ
ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺪوال اﻟﺜﺎﺑﺘﺔ ﻋﻠﻰ
هﻲ اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ . y ' = 0
y ' = x 2 − 1هﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ذات اﻟﻤﺠﻬﻮل ) yﻳﻤﻜﻦ أن ﻧﻜﺘﺐ ( y ' ( x ) = x − 1 2
ب(
ﺣﻠﻮل هﺬﻩ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ هﻲ اﻟﺪوال اﻷﺻﻠﻴﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ x → x 2 − 1ﻋﻠﻰ
.
1 2 ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ x − x + k 3
أي اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻬﺬﻩ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ هﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ
→x
ﺣﻴﺚ kﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ . – IIﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ y´=ay+b /1اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ y´=ay * اذا آﺎن a = 0ﻓﺎن y ' = 0أي أن اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم هﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺪوال اﻟﺜﺎﺑﺘﺔ ﻋﻠﻰ * اذا آﺎن a ≠ 0 ﻧﻌﻠﻢ أن
ax
( e ) ' = ae ax
∈ ∀xادن
ax
ﻟﻴﻜﻦ yﺣﻼ اﻋﺘﺒﺎﻃﻴﺎ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ y '− ay = 0
x → eﺣﻞ ﺧﺎص ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ y '− ay = 0 ﻧﻀﻊ y ( x ) = z ( x ) eax
وﻣﻨﻪ y ' ( x ) = z ' ( x ) eax + az ( x ) eax أي
) y ' ( x ) = z ' ( x ) e ax + ay ( x
و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ y ' ( x ) − ay ( x ) = z ' ( x ) e ax = 0
و ﻣﻨﻪ z ' ( x ) = 0و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ z ( x ) = λ
∈ ∀xﺣﻴﺚ λﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ
اذن y ( x ) = λ eax ﻧﻼﺣﻆ أن اﻟﺤﺎﻟﺔ a = 0هﻲ ﺿﻤﻦ اﻟﺤﺎﻟﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ .
∈ ∀xﺣﻴﺚ λﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ
ﺧﺎﺻﻴﺔ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ y ' = ayﺗﻘﺒﻞ ﻣﺎ ﻻﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﻠﻮل و هﻲ اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺣﻴﺚ λﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ. ﻧﺘﻴﺠﺔ ﻳﻮﺟﺪ ﺣﻞ وﺣﻴﺪ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ y ' = ayﻳﺤﻘﻖ اﻟﺸﺮط y ( x0 ) = y0و هﻲ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺸﺮط y ( x0 ) = y0ﻳﺴﻤﻰ اﻟﺸﺮط اﻟﺒﺪﺋﻲ أﻣﺜﻠﺔ
ﺑـ
ax
x → λe
a x− x ) x → y0 e ( 0
-1ﻧﺤﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ y ' = 2 y ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ y ' = 2 yهﻲ اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ.
1 -2ﻧﺤﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ y 3 1 ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ y 3
= 'y
= 'y
ﺑـ ﺣﻴﺚ x → λ e2 xﺣﻴﺚ λ
ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ
; y (1) = 2
; y (1) = 2هﻲ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ
ﺑـ ﺣﻴﺚ
/2ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ y´=ay+b اذا آﺎن a = 0ﻓﺎن y ' = bوﻣﻨﻪ ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ هﻲ اﻟﺪوال fﺣﻴﺚ f ( x ) = bx + c
1
1 )( x −1 2e 3
→x