ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻟﺤﻠــﻮﻝ
y ' = a y +b, b a
∈ k
ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻯ:
2ﺑﺎﻙ ﻋﻠﻮﻡ ﺍﻟﺤﻴﺎﺓ ﻭ ﺍﻷﺭﺽ
y '' + a y ' + by = 0 , (a;b ) ∈ 2 ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﻴﺰﺓr 2 + a r + b = 0 :
(a;b ) ∈ 2 y (x ) = k .e a.x −
ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﻴﺔ:
.2010/2009
∆ 0 y (x ) = λ.e r1x + µ.e r2x
r1ﻭ r2ﻫﻤﺎ ﺟﺬﺭﻱ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﻴﺰﺓ.
∆=0 y (x ) = (A .x + B ).e r .x rﻫﻮ ﺟﺬﺭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ
∆≺0 )) ( λ.cos(qx ) + µ.sin(qx
p .x
y (x ) = e
p + iqﻭ p − iqﻫﻤﺎ ﺍﻟﺠﺬﺭﺍﻥ ﺍﻟﻌﻘﺪﻳﺎﻥ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﻴﺰﺓ.
ﺍﻟﻤﻤﻴﺰﺓ.
ﺣــﺎﻻﺕ ﺧﺎﺻـــــــــــــــﺔ
ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻠﻮﻝ y '' + ω 2 y = 0 :
ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻠﻮﻝ y '' + a y ' = 0 : ﺗﻜﺘﺐ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞy ( x ) = k 1 .e − a . x + k 2 :
ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻠﻮﻝ y '' − ω 2 y = 0 :
ﺗﻜﺘﺐ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ:
) y (x ) = k 1 cos(ω x ) + k 2 sin(ω x
− ω .x
ﺗﻜﺘﺐ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ:
+ k 2 .e
ω .x
y (x ) = k 1.e
01ـ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
04ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
.1ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ y ' = 2 y :؛ 4y ' = 2 y − 5؛ θ ' = 3θ − 2؛ 3u ' = u + 9؛ y ' + 4y − 6 = 0؛ . 2y ' + y = 1
ﻟﺘﻜﻦ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ . f ( x ) = 3e −2 x − 4
.2ﺣﺪﺩ ﻓﻲ ﻛﻞ ﺣﺎﻟﺔ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ yﺍﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ: 1 ﺃ( . y '' + y = 0 2 9 ﺏ( . y '' + y = 0 4 ﺝ( y '' + 9 y = 0ﻭ y ' ( 0 ) = 1ﻭ . y ( 0 ) = 1 ﺩ(
π π y '' + 4 y = 0ﻭ y ' = 3ﻭ . y = 1 2 2
02ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ x + 2 − x2 .1ﺗﺤﻘﻖ ﺃﻥ: .e x 1 2x + 4 − x2 '' * : y − y = .e ) ( x3 4 .2ﺑﻴﻦ ﺃﻧﻪ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ yﺣﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )* ( ﻓﺈﻥ
= ) f ( xﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ:
1 ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔy = 0 : 4
)
( y − fﻫﻲ ﺣﻞ
03ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ .1ﺃ( ﺣﺪﺩ ﺣﻠﻮﻝ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ. ( E ) : y '' + π 2 y = 0 : 1 1 ﺏ( ﺣﺪﺩ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ Yﺍﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ ) ( Eﻭ Y ( 0 ) = 1ﻭ = Y 2 2 .2ﺣﺪﺩ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻠﻮﻝ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ. y '' + 4 y ' + 4 y = 0 : .3ﺣﺪﺩ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻠﻮﻝ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ. y '' + 2 y ' − 3 y = 0 : .4ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ. y ' + 5 y = 0 : .5ﺣﺪﺩ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻠﻮﻝ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ. y '' + 11y ' + 10 y = 0 : .6ﺣﺪﺩ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻠﻮﻝ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ. y '' − 4 y ' + 13 y = 0 : .7ﺣﺪﺩ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻠﻮﻝ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ. y '' − 2 y ' + 5 y = 0 : .9ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ. 3 y ' + y = 1 :
05ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ 1 .1ﺣﺪﺩ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ fﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ 3 y ' + y = 0 :ﺑﺤﻴﺚ 3 .2ﺣﺪﺩ ﺍﻟﺤﻞ gﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ y '' − 2 2 y ' + 2 y = 0ﺑﺤﻴﺚ
. f (0) = −
g (0) = 1ﻭ . g ' (0) = 0
06ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ. ( E ) : y ' = −3 y + 4e −2 x : .1ﺣﺪﺩ ﺍﻟﻌﺪﺩ λﺑﺤﻴﺚ ﺗﻜﻮﻥ g ( x ) = λ e −2xﺣﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ) . ( E .2ﻧﻀﻊ λ = 4ﻭ ) h ( x ) = f ( x ) − g ( xﺣﻴﺚ fﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ) . ( Eﺗﺤﻘﻖ ﺃﻥ hﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ . ( E ' ) : y ' = −3 y
.3ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ) ' ( Eﺛﻢ ﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﺣﻠﻮﻝ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ) . ( E
. y '' −ﺛﻢ ﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﺣﻠﻮﻝ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )* ( .
.8ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ. y ' − 2 y = 4 :
ﺣﺪﺩ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻣﻦ ﺷﻜﻞ y ' = ay + bﺗﻜﻮﻥ fﺣﻼ ﻟﻬﺎ.
07ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ. ( E ) : y + 6 y − 2 = 0 : '
ﺣﺪﺩ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ fﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ) ( Eﺑﺤﻴﺚ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ fﻳﻘﺒﻞ ﻋﻨﺪ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺃﻓﺼﻮﻟﻬﺎ 1ﻣﻤﺎﺳﺎ ﻣﻌﺎﻣﻠﻪ ﺍﻟﻤﻮﺟﻪ .2
08ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ .1ﺣﻞ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ. y '' + 2 y ' + 5 y = 0 : .2ﺣﺪﺩ ﺍﻟﺤﻞ fﺑﺤﻴﺚ f ( 0 ) = 0ﻭ . f ' ( 0 ) = 2ﺛﻢ ﺍﺳﺘﻨﺘﺞ ﺩﺍﻟﺔ ﺃﺻﻠﻴﺔ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ . f
09ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ 9 '' .1ﺣﺪﺩ ﺍﻟﺤﻞ yﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ y + y = 0ﺑﺤﻴﺚ = −1 4 4π −3 3 ﻭ .y' = 2 3
2π y 3
.2ﺣﺪﺩ ﺍﻷﻋﺪﺍﺩ Aﻭ αﻭ ϕﺑﺤﻴﺚ. y ( x ) = A .cos (α x + ϕ ) :