اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎت اﻟﻌﺪدﻳﺔ (2ﺑﻴﻦ أن ) ( unﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻗﻄﻌﺎ و اﺳﺘﻨﺘﺞ أن ) ( unﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ
ﺗﻤﺮﻳﻦ1 ﻟﺘﻜﻦ ( un )n≥1و ( vn )n≥1ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ ﻋﺪدﻳﺘﻴﻦ ﻣﻌﺮﻓﺘﻴﻦ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ
v = 12 u + 3v v = 4
u =1 u + 2v u = 3
-1ﻧﻀﻊ
wn = vn − un
*
n
n
*
∈ ∀n
n
∈ ∀n
أ -ﺑﻴﻦ أن ( wn )n ≥1ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ هﻨﺪﺳﻴﺔ و أﺣﺴﺐ wnﺑﺪﻻﻟﺔ n ب -ﺣﺪد lim wn
--2أ -ﺑﻴﻦ أن ( un )n≥1ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ و أن ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ب -ﺑﻴﻦ أن un ≺ vn
*
( vn )n≥1
∈ ∀n
ج -اﺳﺘﻨﺘﺞ أن ( wn )n ≥1و ( vn )n≥1ﻣﺘﻘﺎرﺑﺘﻴﻦ
1 un ; bn = 2n un 2 أ -ﺑﻴﻦ أن ) ( anﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ هﻨﺪﺳﻴﺔ و أﺣﺴﺐ anﺑﺪﻻﻟﺔ n
ت .ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ∈(un )n ﺣﺪد ﻧﻬﺎﻳﺔ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ∈(un )n
ج -اﺳﺘﻨﺘﺞ unﺑﺪﻻﻟﺔ n
ﺗﻤﺮﻳﻦ6
3 2 ≥n
u1 = 1 ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ( un )n≥1اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ un +1 = un + 2
∈ ∀n
∞n →+
(2أدرس رﺗﺎﺑﺔ (3اﺳﺘﻨﺘﺞ أن أ – ﺑﻴﻦ أن ﻟﻜﻞ
3 2
= ( ∀n ∈ ) : un+1
ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ . -3اﺳﺘﻨﺘﺞ lim un ﺗﻤﺮﻳﻦ7
= u0
u0 = 3 ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ) ( unاﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ )un +1 = un (un + 1
( ∀n ∈ ) : un ∈( un )n ∈ ( un )nﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ
– (1ﺑﻴﻦ أن 1
-1أﺣﺴﺐ ; u1
n +1
-3ﺑﻴﻦ أن 2un
≤ 0 ≺ un +1 − 1
n
1 ب – اﺳﺘﻨﺘﺞ ) : 0 ≺ un − 1 ≤ : 2 ﺛﻢ أﺣﺴﺐ lim un ﺗﻤﺮﻳﻦ4 ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ * ∈ ( un )nاﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ب : 1 2 un + 2 un
=
( ∀n ∈ ) : u
3 ( 1ﺑﻴﻦ أن : 2
3 2
*
≤ 2 ≺ un
3× 2
un +1
un
∈ ∀n
و اﺳﺘﻨﺘﺞ
∈ ∀n
-4أﺣﺴﺐ ﺗﻤﺮﻳﻦ8 ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ
lim un
∈ ( ∀n
n +1
. u2
-2ﺑﻴﻦ أن ) ( unﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ.
1 )( un − 1 2
∈: n
∈ ∀n
-2ﺑﻴﻦ أن ( un )n≥1ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ و اﺳﺘﻨﺘﺞ أن ( un )n≥1
∈ ( un )nاﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ب:
un 2 + 1
*
-1ﺑﻴﻦ أن un ≺ 2
limﺛﻢ lim un
u n 2 + un
(
)
(
ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ
n
ﺗﻤﺮﻳﻦ3 ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ
)
∈n
ب -ﺑﻴﻦ أن ) ( bnﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺣﺴﺎﺑﻴﺔ و أﺣﺴﺐ bnﺑﺪﻻﻟﺔ n
ب -ﺣﺪد
(
(
3 1 = u0و un 4 5 1 أ .ﺑﻴﻦ أن (∀n ∈ ) : 0 ≤ un ≤ : 4 ب .ادرس رﺗﺎﺑﺔ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) (un
an = un +1 −
2n
= un +1 − 2
(∀n ∈ ) : un +1 = un 2 +
-2ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ ) ( anو ) ( bnﺣﻴﺚ
n
*
∈ ∀n
1 (2ﻧﻌﺘﺒﺮاﻟﻤﺠﺎل I = 0; ﺑﻴﻦ أن f ( I ) = I 4 ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ) ( unاﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ب:
ﺗﻤﺮﻳﻦ2 u0 = −1 ; u1 = 1 ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ( unاﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ: 1 un+2 = un+1 − un ∈ ∀n 4 -1أﺣﺴﺐ u3 ; u2
-3أ -ﺑﻴﻦ ﺑﺎﻟﺘﺮﺟﻊ
)
) )
n + 1
n + 1
(
1 1 1 un − 2 + − un 2 2 1 ب.اﺳﺘﻨﺘﺞ : ∀n ∈ * : un +1 − 2 ≺ un − 2 2 1 ت .اﺳﺘﻨﺘﺞ ∀n ∈ * : 0 ≺ un − 2 ≺ n −1 u1 − 2 : 2 ث.اﺳﺘﻨﺘﺞ lim un ﺗﻤﺮﻳﻦ5 3 ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ fاﻟﻤﻌﺮﻓﺔ بf ( x ) = x 2 + x : 4 (1ﺿﻊ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات . f
1
1
n
(3أ .ﺑﻴﻦ أن :
) ( unاﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ
un +1 = (un + 2) 2 − 2 -1ﺑﻴﻦ أن −2 ≺ un ≺ −1
= u1
5 4
u0 = −
∈ . ∀n
-2ﺑﻴﻦ أن ) ( unﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ و اﺳﺘﻨﺘﺞ أن
(∀n ∈ ) :
ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ . -4أﺣﺴﺐ
*
1
. lim un
) ( un
. ﺗﻤﺮﻳﻦ9 ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ
) ( un
اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ
3 2
un +1 = un + 2
-2ﺗﺄآﺪ أن
un + 2 + un
= u0
ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ و ﺣﺪد ﻧﻬﺎﻳﺘﻬﺎ . 2 (4ﻧﻀﻊ = vn 2un − 3
∈ ∀n
-1ﺑﻴﻦ ﺑﺎﻟﺘﺮﺟﻊ أن 0 ≺ un ≺ 2 2 + un − un2
3 (2ﺑﻴﻦ ﺑﺎﻟﺘﺮﺟﻊ أن < un ≤ 3 : ) ∈ . ( ∀n 2 (3ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ( unﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ .اﺳﺘﻨﺘﺞ أﻧﻬﺎ
∈ ∀nﺛﻢ
= un +1 − un
أ ـ ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ( vn
اﺳﺘﻨﺘﺞ أن ) ( unﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ.
1 -3أ -ﺗﺄآﺪ أن 2 2 − un 2
≺
1 2 + un + 2
≺ 2 − un +1
∈ ∀n
ﺛﻢ ﺑﻴﻦ أن
ﺗﻤﺮﻳﻦ) 12ﺑﻌﺪ درس اﻟﺪوال اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ و اﻻﺳﻴﺔ( ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ( unاﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
∈ ∀nﺛﻢ
1 u0 = 1 + 3 e ( ∀n ∈ ) u = 1 + 3 u − 1 n +1 n
ﺗﻤﺮﻳﻦ10
.1ﺑﻴﻦ ﺑﺎﻟﺘﺮﺟﻊ أن 1 < un < 2 :
ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ
*
∈ ( un )nاﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ب u1 = 1 :وﻟﻜﻞ
n+2 ∈: n )n(n + 1 - (1أﺣﺴﺐ u2و u3
)
un +1 = 2un +
-(2ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ
1 n أ -ﺑﻴﻦ أن
= un +
*
*
*
∈ ( vn )nاﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ب:
*
)vn = ln ( un − 1
∈ ( vn )nهﻨﺪﺳﻴﺔ ﻣﺤﺪدا أﺳﺎﺳﻬﺎ وﺣﺪهﺎ
1 .iﺗﺤﻘﻖ أن 3
Iـ ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ fاﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ
v0 = −ﺛﻢ ﺑﻴﻦ أن ) ( vnﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ
n +1
1 ln ( un − 1 ) = − .iiاﺳﺘﻨﺘﺞ أن : 3 .iiiاﺣﺴﺐ unﺑﺪﻻﻟﺔ . n
*
9 ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ : 4x (1ﺿﻊ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ . f
)
∈
( ∀n
.
1 هﻨﺪﺳﻴﺔ ﻣﺤﺪدا أﺳﺎﺳﻬﺎ . 3
ﺗﻤﺮﻳﻦ11
=3−
)
f( x
3
(2ﻧﻀﻊ . I = , 3 2
أ ـ ﺑﻴﻦ أن . f ( I ) ⊂ I :
ب ـ ﺑﻴﻦ أن :
()
.3ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ( vnاﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ :
∈ ( un )nﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ
(
un+1 − un = 3 un −1 1− 3 un −1 1+ 3 un −1
) ∈ ( ∀n
.iiiﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ( unﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ ﺛﻢ ﺣﺪد ﻧﻬﺎﻳﺘﻬﺎ .
(∀n ∈ ) : v
n
.2 .iﺑﻴﻦ أن :
)
∈ . ( ∀n
.iiاﺳﺘﻨﺘﺞ أن اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ( unﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ .
اﻷول ب – -أﺣﺴﺐ vnﺛﻢ unﺑﺪﻻﻟﺔ n ج – هﻞ
ﺣﺴﺎﺑﻴﺔ ﻣﺤﺪدا أﺳﺎﺳﻬﺎ و
ج ـ أﺣﺴﺐ ﻣﻦ ﺟﺪﻳﺪ . lim un
n
*
ﻣﻦ
ﺣﺪهﺎ اﻷول . ب ـ أﺣﺴﺐ vnﺛﻢ unﺑﺪﻻﻟﺔ . n
∈ ∀n
1 ب -ﺑﻴﻦ أن 0 ≺ 2 − un ≺ 2 اﺳﺘﻨﺘﺞ lim un
ﻟﻜﻞ
n
.
( ∀x ∈ I ) f ( x ) < x
IIـ ﻟﺘﻜﻦ ) ( unاﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺎ
u0 = 3 ﻳﻠﻲ 9 : ( ∀n ∈ ) un + 1 = 3 − 4u n (1أ رﺳﻢ اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﻤﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪاﻟﺔ fو اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذي اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ . y = xﻣﺜﻞ ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ اﻟﺤﺪود اﻟﺜﻼﺛﺔ اﻷوﻟﻰ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) . ( un
2
)
∈ . ( ∀n