Math bac exercice 1

Page 1

‫اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎت اﻟﻌﺪدﻳﺔ‬ ‫‪ (2‬ﺑﻴﻦ أن ) ‪ ( un‬ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻗﻄﻌﺎ و اﺳﺘﻨﺘﺞ أن ) ‪ ( un‬ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪1‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ ( un )n≥1‬و ‪ ( vn )n≥1‬ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ ﻋﺪدﻳﺘﻴﻦ ﻣﻌﺮﻓﺘﻴﻦ‬ ‫ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ‬

‫‪ v = 12‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪u + 3v‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪v = 4‬‬

‫‪ u =1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪u + 2v‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪u = 3‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ -1‬ﻧﻀﻊ‬

‫‪wn = vn − un‬‬

‫*‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫*‬

‫∈ ‪∀n‬‬

‫‪n‬‬

‫∈ ‪∀n‬‬

‫أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ‪ ( wn )n ≥1‬ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ هﻨﺪﺳﻴﺔ و أﺣﺴﺐ ‪ wn‬ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪n‬‬ ‫ب‪ -‬ﺣﺪد ‪lim wn‬‬

‫‪ --2‬أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ‪ ( un )n≥1‬ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ و أن‬ ‫ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ‬ ‫ب‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ‪un ≺ vn‬‬

‫*‬

‫‪( vn )n≥1‬‬

‫∈ ‪∀n‬‬

‫ج‪ -‬اﺳﺘﻨﺘﺞ أن ‪ ( wn )n ≥1‬و ‪ ( vn )n≥1‬ﻣﺘﻘﺎرﺑﺘﻴﻦ‬

‫‪1‬‬ ‫‪un ; bn = 2n un‬‬ ‫‪2‬‬ ‫أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ) ‪ ( an‬ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ هﻨﺪﺳﻴﺔ و أﺣﺴﺐ ‪ an‬ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪n‬‬

‫ت‪ .‬ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ∈‪(un )n‬‬ ‫ﺣﺪد ﻧﻬﺎﻳﺔ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ∈‪(un )n‬‬

‫ج‪ -‬اﺳﺘﻨﺘﺞ ‪ un‬ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪n‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪6‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2 ≥n‬‬ ‫‪ ‬‬

‫‪ u1 = 1‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ ( un )n≥1‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ‬ ‫‪‬‬ ‫‪un +1 = un + 2‬‬

‫∈ ‪∀n‬‬

‫∞‪n →+‬‬

‫‪ (2‬أدرس رﺗﺎﺑﺔ‬ ‫‪ (3‬اﺳﺘﻨﺘﺞ أن‬ ‫أ – ﺑﻴﻦ أن ﻟﻜﻞ‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪( ∀n ∈ ) : un+1‬‬

‫ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ ‪.‬‬ ‫‪ -3‬اﺳﺘﻨﺘﺞ ‪lim un‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪7‬‬

‫= ‪u0‬‬

‫‪ u0 = 3‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ) ‪ ( un‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ‬ ‫‪‬‬ ‫)‪un +1 = un (un + 1‬‬

‫‪( ∀n ∈ ) : un‬‬ ‫∈‪( un )n‬‬ ‫∈‪ ( un )n‬ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ‬

‫‪– (1‬ﺑﻴﻦ أن ‪1‬‬

‫‪ -1‬أﺣﺴﺐ ‪; u1‬‬

‫‪n +1‬‬

‫‪ -3‬ﺑﻴﻦ أن ‪2un‬‬

‫≤ ‪0 ≺ un +1 − 1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪1‬‬ ‫ب – اﺳﺘﻨﺘﺞ ‪) : 0 ≺ un − 1 ≤   :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺛﻢ أﺣﺴﺐ ‪lim un‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪4‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ * ∈‪ ( un )n‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ب ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪ un + ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪un ‬‬

‫=‬

‫‪( ∀n ∈ ) : u‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪ ( 1‬ﺑﻴﻦ أن ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫*‬

‫≤ ‪2 ≺ un‬‬

‫‪3× 2‬‬

‫‪un +1‬‬

‫‪un‬‬

‫∈ ‪∀n‬‬

‫و اﺳﺘﻨﺘﺞ‬

‫∈ ‪∀n‬‬

‫‪ -4‬أﺣﺴﺐ‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪8‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ‬

‫‪lim un‬‬

‫∈ ‪( ∀n‬‬

‫‪n +1‬‬

‫‪. u2‬‬

‫‪ -2‬ﺑﻴﻦ أن ) ‪ ( un‬ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫)‪( un − 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫∈‪: n‬‬

‫∈ ‪∀n‬‬

‫‪ -2‬ﺑﻴﻦ أن ‪ ( un )n≥1‬ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ و اﺳﺘﻨﺘﺞ أن ‪( un )n≥1‬‬

‫∈‪ ( un )n‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ب‪:‬‬

‫‪un 2 + 1‬‬

‫*‬

‫‪ -1‬ﺑﻴﻦ أن ‪un ≺ 2‬‬

‫‪ lim‬ﺛﻢ ‪lim un‬‬

‫‪u n 2 + un‬‬

‫(‬

‫)‬

‫(‬

‫ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ‬

‫‪n‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪3‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ‬

‫)‬

‫∈‪n‬‬

‫ب‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ) ‪ ( bn‬ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺣﺴﺎﺑﻴﺔ و أﺣﺴﺐ ‪ bn‬ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪n‬‬

‫ب‪ -‬ﺣﺪد‬

‫(‬

‫(‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪ u0‬و ‪un‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫أ‪ .‬ﺑﻴﻦ أن ‪(∀n ∈ ) : 0 ≤ un ≤ :‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ب‪ .‬ادرس رﺗﺎﺑﺔ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪(un‬‬

‫‪an = un +1 −‬‬

‫‪2n‬‬

‫= ‪un +1 − 2‬‬

‫‪(∀n ∈ ) : un +1 = un 2 +‬‬

‫‪ -2‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ ) ‪ ( an‬و ) ‪ ( bn‬ﺣﻴﺚ‬

‫‪n‬‬

‫*‬

‫∈ ‪∀n‬‬

‫‪ 1‬‬ ‫‪ (2‬ﻧﻌﺘﺒﺮاﻟﻤﺠﺎل ‪ I = 0; ‬ﺑﻴﻦ أن ‪f ( I ) = I‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ) ‪ ( un‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ب‪:‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪2‬‬ ‫‪u0 = −1 ; u1 = 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ ( un‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪un+2 = un+1 − un‬‬ ‫∈ ‪∀n‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ -1‬أﺣﺴﺐ ‪u3 ; u2‬‬

‫‪ -3‬أ‪ -‬ﺑﻴﻦ ﺑﺎﻟﺘﺮﺟﻊ‬

‫)‬

‫)‬ ‫)‬

‫‪n + 1‬‬

‫‪n + 1‬‬

‫(‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪un − 2 +‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪un‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ب‪.‬اﺳﺘﻨﺘﺞ ‪:‬‬ ‫‪∀n ∈ * : un +1 − 2 ≺ un − 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ت‪ .‬اﺳﺘﻨﺘﺞ ‪∀n ∈ * : 0 ≺ un − 2 ≺ n −1 u1 − 2 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ث‪.‬اﺳﺘﻨﺘﺞ ‪lim un‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ب‪f ( x ) = x 2 + x :‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ (1‬ﺿﻊ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات ‪. f‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪ (3‬أ‪ .‬ﺑﻴﻦ أن ‪:‬‬

‫) ‪ ( un‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ‬

‫‪un +1 = (un + 2) 2 − 2‬‬ ‫‪ -1‬ﺑﻴﻦ أن ‪−2 ≺ un ≺ −1‬‬

‫= ‪u1‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪u0 = −‬‬

‫∈ ‪. ∀n‬‬

‫‪ -2‬ﺑﻴﻦ أن ) ‪ ( un‬ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ و اﺳﺘﻨﺘﺞ أن‬

‫‪(∀n ∈ ) :‬‬

‫ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ ‪.‬‬ ‫‪ -4‬أﺣﺴﺐ‬

‫*‬

‫‪1‬‬

‫‪. lim un‬‬

‫) ‪( un‬‬


Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.
Math bac exercice 1 by abdelilahe - Issuu