Dimensi Tiga Jarak

Dimensi Tiga (Jarak)

1

Kita akan membahas jarak antara: titik ke titik titik ke garis titik ke bidang garis ke garis garis ke bidang bidang ke bidang 2

Jarak titik ke titik B

A

Peragaan ini, menunjukan jarak titik A ke B, adalah panjang ruas garis yang menghubungkan titik A ke B 3

Contoh

E

A

Diketahui kubus ABCD.EFGH H P dengan G F panjang rusuk a cm.

Tentukan jarak a cm titik A ke C, D C titik A ke G, a cm a cm B dan jarak titik A ke tengah-tengah bidang EFGH 4

Pembahasan

E

A

Perhatikan segitiga ABC yang siku-siku di B, maka H G 2 2 AB  BC AC = F 2 2 a cm a  a = 2 = 2 a D C a cm = a 2 B a cm Jadi diagonal sisi AC = a 2 cm 5

Jarak AG = ?

Perhatikan segitiga ACG yang siku-siku di C, maka H G 2 2 AC  CG E AG = F 2 2 ( a 2 )  a a cm = 2 2 = 2 a  a D C a cm 2 3 a A = =a 3 B a cm Jadi diagonal ruang AG = a 3 cm 6

Jarak AP = ?

Perhatikan segitiga AEP yang H P G siku-siku di E, maka E 2 2 F AE  EP AP = 2 2 1 = a  2 a 2  D 2 1 2 C a  a = 2 A a cm B 3 2 1 a = 2 = 2a 6 Jadi jarak A ke P = 21 a 6cm 7

Jarak titik ke Garis A

g

Peragaan ini, menunjukan jarak titik A ke garis g adalah panjang ruas garis yang ditarik dari titik A dan tegak lurus garis g 8

Contoh 1 H E

F

D A

G

Diketahui kubus 5 cm ABCD.EFGH dengan panjang C 5 cm rusuk 5 cm.

B Jarak titik A ke rusuk HG adalah‌.

9

Pembahasan H E

G F

Jarak titik A ke 5 cm rusuk HG adalah panjang ruas garis D C 5 cm AH, (AH ď ž HG) A B AH = a 2 (AH diagonal sisi) AH = 5 2 Jadi jarak A ke HG = 5√2 cm 10

Contoh 2 H

G

E

F 6 cm

D A

C 6 cm

B

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm.

Jarak titik B ke diagonal AG adalah‌.

11

H

G

E

F P D

A

C B

6 cm

G

P ?

A

6

6√2

B

Pembahasan Jarak B ke AG = jarak B ke P (BPAG) Diagonal sisi BG = 6√2 cm Diagonal ruang AG = 6√3 cm Lihat segitiga ABG 12

G

P A

6√2

Lihat segitiga ABG BP BG Sin A = AG = AB

?

6

6 2 6 3

B

BP =

( 6 2 )(6 ) 6 3

x

= 3 3

BP 6 2 

6 6 3

BP = 2√6 Jadi jarak B ke AG = 2√6 cm 13

Contoh 3 T

D A

12 cm

Diketahui T.ABCD limas beraturan.

Panjang rusuk alas 12 cm, dan panjang C rusuk tegak 12√2 cm. Jarak A ke TC adalah‌.

B 14

Pembahasan T

D A

12 cm

Jarak A ke TC = AP AC = diagonal persegi = 12√2 AP = AC 2  PC 2 2 2 P ( 12 2 )  ( 6 2 ) = = 2( 144  36 )  2.108 C = 2.3.36  6 6 Jadi jarak A ke TC B = 6√6 cm 15

Contoh 4 H

PG

E

F

D A

C

6 cm

B

6 cm

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm dan

Titik P pada pertengahan FG. Jarak titik A dan garis DP adalah‌.

16

Pembahasan H

PG

E

F

D

6√2 cm

F

 A

G

3 cm P

Q

C

6 cm

6 cm

DP = = =

B DG 2  GP 2

D

6 cm R

A

( 6 2 )2  3 2 72  9  9 17

Pembahasan F

6√2 cm

3 cm P DP = 72  9  9 G Luas segitiga ADP Q ½DP.AQ = ½DA.PR 4 9.AQ = 6.6√2 D 6 cm R AQ = 4√2 Jadi jarak A ke DP = 4√2 cm

A

18

Garis tegak lurus Bidang g

a b g  a, g  b, Jadi g  V

Garis tegak lurus sebuah bidang jika garis tersebut tegak lurus dua buah garis berpotongan yang terdapat pada bidang 19

Jarak titik ke bidang A

ďƒ˜

Peragaan ini menunjukan jarak antara titik A ke bidang V adalah panjang ruas garis yang menghubungkan tegak lurus titik A ke bidang V 20

Contoh 1 H

G

E

F

D A

P 10 cm

C B

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm Jarak titik A ke bidang BDHF adalah‌.

21

Pembahasan H

G

E

F

D A

P 10 cm

C B

Jarak titik A ke bidang BDHF diwakili oleh panjang AP.(APBD) AP = ½ AC (ACBD) = ½.10√2 = 5√2

Jadi jarak A ke BDHF = 5√2 cm 22

Contoh 2 T

D A

8 cm

Diketahui limas segi-4 beraturan T.ABCD. Panjang AB = 8 cm dan TA = 12 cm.

C Jarak titik T ke bidang ABCD B adalah‌.

23

Pembahasan T

D P A

8 cm

Jarak T ke ABCD = Jarak T ke perpotongan AC dan BD = TP C AC diagonal persegi AC = 8√2 B AP = ½ AC = 4√2 24

AP = ½ AC = 4√2 2 2 AT  AP TP = 2 2 12  ( 4 2 ) = = 144  32 112 = C = 4√7

T

D P A

8 cm

B

Jadi jarak T ke ABCD = 4√7 cm 25

Contoh 3 H

G

E

F

D A

C 9 cm

B

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 9 cm.

Jarak titik C ke bidang BDG adalah‌.

26

Pembahasan Jarak titik C ke E bidang BDG = CP F yaitu ruas garis P yang dibuat melalui D C titik C dan tegak T A B 9 cm lurus GT CP = ⅓CE = ⅓.9√3 = 3√3 Jadi jarak C ke BDG = 3√3 cm H

G

27

Jarak garis ke garis g P

Q

h

Peragaan menunjukan jarak antara garis g ke garis h adalah panjang ruas garis yang menghubungkan tegak lurus kedua garis tersebut 28

Contoh H E

D A

Diketahui kubus ABCD.EFGH F dengan panjang rusuk 4 cm.

C Tentukan jarak: B a.Garis AB ke garis HG b.Garis AD ke garis HF c.Garis BD ke garis EG G

4 cm

29

Penyelesaian H E

F

D A

Jarak garis: G a. AB ke garis HG = AH (AH  AB, C

4 cm

B

AH  HG) = 4√2 (diagonal sisi)

b.AD ke garis HF = DH (DH  AD, DH

 HF

= 4 cm 30

E

H Q F

D A

G

P

4 cm

B

Penyelesaian

Jarak garis: b.BD ke garis EG C = PQ (PQ  BD, PQ

 EG

= AE = 4 cm

31

Jarak garis ke bidang g

Peragaan menunjukan Jarak antara garis g ke bidang V adalah panjang ruas garis yang menghubungkan tegak lurus garis dan bidang 32

Contoh 1 H

G

E

F

P

D A

8 cm

C B

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm Jarak garis AE ke bidang BDHF adalah‌.

33

Pembahasan G Jarak

H E

F

P

D A

8 cm

B

garis AE ke bidang BDHF diwakili oleh panjang AP.(AP AE

CAP  BDHF)

AP = ½ AC(ACBDHF) = ½.8√2 = 4√2 Jadi jarak A ke BDHF = 4√2 cm 34

Jarak Bidang dan Bidang peragaan, menunjukan jarak antara bidang W dengan bidang V adalah panjang ruas garis yang tegak lurus bidang W dan tegak lurus bidang V

W

V

35

Contoh 1 H

G

E

F

D A

6 cm

B

Diketahui kubus 6 cm ABCD.EFGH dengan panjang C rusuk 6 cm.

Jarak bidang AFH ke bidang BDG adalah‌.

36

Pembahasan H E

F Q P

D A

Jarak bidang AFH ke bidang BDG 6 cm diwakili oleh PQ PQ = ⅓ CE C (CE diagonal ruang) PQ = ⅓. 9√3 = 3√3

G

6 cm

B

Jadi jarak AFH ke BDG = 4√2 cm 37

H

G

E

F M D

A

L 12 cm

BK

C

Contoh 2 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm.

Titik K, L dan M berturut-turut merupakan titik tengah BC, CD dan CG. Jarak antara bidang AFH dan KLM adalah‌.

38

H

G

E

F

D A

L 12 cm

Pembahasan

•Diagonal EC = 12√3 •Jarak E ke AFH =jarak AFH ke BDG C =jarak BDG ke C

B

Sehingga jarak E ke AFH = ⅓EC =⅓.12√3 = 4√3 Berarti jarak BDG ke C juga 4√3 39

H

G

E

D A

BDG ke C juga 4√3 M Jarak BDG ke KLM = jarak KLM ke C C = ½.4√3 BK = 2√3

F L 12 cm

Jadi jarak AFH ke KLM = jarak AFH ke BDG + jarak BDG ke KLM = 4√3 + 2√3 = 6√3 cm 40

SELAMAT BELAJAR

41