Раздел 1. Линейная и векторная алгебра (Учебно-методический комплекс) by Абзалимов Рамиль

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ)

Кафедра математики

УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ________________________________________________________________________________

РАЗДЕЛ 1 «ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА»

Теоретические основы Методические указания для студентов Материалы для самостоятельной работы студентов

Уфа • 2007

УДК 512.64(07) ББК 22.14я7 У90 Ответственный редактор д. ф.-м. наук, проф. Р.Н. Бахтизин Редколлегия: АкмадиеваТ.Р., Аносова Е.П., Байрамгулова Р.С., Галиуллин М.М., Галиева Л.М., Галиакбарова Э.В., Гимаев Р.Г., Гудкова Е.В., Егорова Р.А., Жданова Т.Г., Зарипов Э.М., Зарипов Р.М., Исламгулова Г.Ф., Ковалева Э.А., Майский Р.А., Мухаметзянов И.З., Нагаева З.М., Савлучинская Н.М., Сахарова Л.А., Степанова М.Ф., Сокова И.А., Сулейманов И.Н., Умергалина Т.В., Фаткуллин Н.Ю., Хайбуллин Р.Я., Хакимов Д.К., Хакимова З.Р., Чернятьева М.Р., Юлдыбаев Л.Х., Шамшович В.Ф., Якубова Д.Ф., Якупов В.М., Янчушка А.П., Яфаров Ш.А. Рецензенты: Кафедра программирования и вычислительной математики Башкирского государственного педагогического университета. Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Р.М. Асадуллин. Кафедра вычислительной математики Башкирского государственного университета. Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Н.Д. Морозкин.

Учебно-методический комплекс дисциплины «Математика». Раздел 1 «Линейная и векторная алгебра». Теоретические основы. Методические указания для студентов. Материалы для самостоятельной работы студентов. – Уфа: Издательство УГНТУ, 2007. – 118 с. Содержит теоретические материалы, способы и методы решения практических задач, задания для самостоятельной работы студентов, контрольные вопросы для самопроверки, список рекомендуемой литературы. Разработан для студентов, обучающихся по всем формам обучения по направлениям подготовки и специальностям, реализуемым в УГНТУ.

УДК 512.64(07) ББК 22.14я7

СОДЕРЖАНИЕ

1. Теоретические основы 1.1. Матрицы 1.1.1. Определение матрицы 1.1.2. Виды матриц 1.1.3. Равенство матриц 1.1.4. Сложение матриц 1.1.5. Умножение матриц на число 1.1.6. Умножение матриц 1.2. Определители 1.2.1. Определители второго порядка и их свойства 1.2.2. Определители третьего порядка 1.2.3. Определители n − го порядка 1.3. Обратная матрица 1.4. Ранг матрицы 1.5. Системы линейных уравнений 1.5.1. Основные понятия 1.5.2. Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера – Капелли 1.5.3. Формулы Крамера. Матричный способ решения систем линейных уравнений 1.5.4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса 1.6. Элементы векторной алгебры 1.6.1. Скалярные и векторные величины 1.6.2. Линейные операции над векторами 1.6.3. Угол между векторами. Проекция вектора на ось 1.6.4. Линейная комбинация векторов. Базис 1.6.5. Прямоугольная декартова система координат 1.6.6. Линейные операции над векторами, заданными в координатной форме 1.6.7. Скалярное произведение векторов 1.6.8. Векторное произведение векторов 1.6.9. Смешанное произведение векторов 2. Методические указания для студентов 2.1. Алгебраические операции над матрицами 2.2. Вычисление определителей второго, третьего и n-го порядка 2.3. Обратная матрица. Ранг матрицы 2.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера и матричным способом 2.5. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса (методом исключения неизвестных) 2.6. Векторы и действия над ними 2.7. Скалярное произведение векторов

6 6 6 7 8 8 8 10 10 12 16 18 20 21 21 22 24 28 34 34 35 39 41 43 45 48 51 54 59 60 64 68 70 73 76

2.8. Векторное произведение векторов 2.9. Смешанное произведение векторов 3. Материалы для самостоятельной работы студентов 3.1. Контрольные вопросы 3.2. Задачи и упражнения для самостоятельной работы 3.3. Расчетные задания 3.4. Лабораторная работа 3.5. Литература

78 79 83 84 95 107 118

УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

РАЗДЕЛ 1 «ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА»

1. Теоретические основы

1.1 МАТРИЦЫ 1.1.1 Определение матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1 Прямоугольная таблица, составленная из m × n чисел, называется матрицей. Для обозначения матрицы применяются круглые скобки и прописные буквы А, В, С.....

⎛ a 11 ⎜ ⎜ a 21 Например, A = ⎜ K ⎜⎜ ⎝ a m1

a 12 a 22 K a m2

K a 1n ⎞ ⎟ K a 2n ⎟ K K⎟ ⎟⎟ K a mn ⎠

(1.1)

есть общий вид записи матрицы из m × n чисел. Числа a 11 , a 12 , K , a mn , составляющие матрицу, называются ее элементами. Горизонтальные ряды матрицы называются строками матрицы, вертикальные - столбцами. Индексы i и j у элемента a ij , где i = 1,2,...m; j = 1,2,..., n, означают, что этот элемент расположен в i-й строке и j-м столбце. Например, элемент a 23 расположен во второй строке, в третьем столбце. Числа m и n , указывающие количество строк и столбцов матрицы, называются размерами матрицы. Наряду с обозначением (1.1) матрица обозначается также в форме

A = (a ij )m×n , где i = 1,2,K, m, j = 1,2,K, n

(1.2)

1.1.2 Виды матриц ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2 Матрица, у которой число строк равно числу ее столбцов называется квадратной матрицей. При этом число ее строк (столбцов) называется порядком матрицы.

⎛1 3 4⎞ ⎜ ⎟ Например, матрица A = ⎜ 2 0 5 ⎟ есть квадратная матрица третьего ⎜1 − 3 7⎟ ⎝ ⎠ порядка. Квадратная матрица n-го порядка записывается в виде 6

⎛ a 11 ⎜ ⎜a A = ⎜ 21 K ⎜⎜ ⎝ a n1

K a 1n ⎞ ⎟ a 22 K a 2 n ⎟ (1.3) K K K⎟ ⎟⎟ a n 2 K a nn ⎠ В квадратной матрице (1.3) числа a 11 , a 22 , K , a nn образуют главную диагональ матрицы, а числа a n1 , a (n −1)2 , K , a 1n − побочную диагональ. a 12

Квадратная матрица, у которой все числа, не стоящие на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, матрица

⎛1 0⎞ ⎟⎟ есть диагональная матрица второго A = ⎜⎜ 0 5 ⎝ ⎠

порядка. Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной матрицей. Единичную матрицу обозначают прописной буквой Е. Например, матрица

⎛1 0⎞ E = ⎜⎜ ⎟⎟ есть единичная матрица 0 1 ⎝ ⎠

второго

порядка. Матрица, состоящая только из одной строки, называется матрицейстрокой, состоящая только из одного столбца матрицей - столбцом. Например, матрица А=(2 0 5 4) есть матрица - строка. T

Матрица A называется транспонированной матрице А, если столбцы (строки) матрицы A являются

по

отношению к

соответствующими строчками (столбцами) матрицы A . Например, если матрица A равна

⎛ 2 1⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 2 5 4⎞ A = ⎜⎜ ⎟⎟ , то A Т = ⎜ 5 0 ⎟. ⎝ 1 0 3⎠ ⎜ 4 3⎟ ⎝ ⎠ 1.1.3 Равенство матриц ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3 Две матрицы А и В называются равными (A=B), если они имеют одинаковые размеры и равные соответствующие элементы. Например, если

⎛b ⎛1 2⎞ ⎟⎟, B = ⎜⎜ 11 A = ⎜⎜ ⎝3 4⎠ ⎝ b 21

b12 ⎞ ⎟ и A = B , то b11 = 1, b12 = 2, b 22 ⎟⎠ 7

b 21 = 3, b 22 = 4. 1.1.4 Сложение матриц ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4 Пусть даны матрицы

A = (a ij ) и

B = (b ij ),

имеющие одинаковые размеры m × n . Суммой матриц А и В называется матрица С = A+B тех же размеров m × n , что и заданные матрицы, элементы которой c ij определяются правилом

c ij = a ij + b ij для всех i = 1,2,K, m, j = 1,2,K, n .

⎛1 0⎞

⎛3

4⎞

⎛ 4 4⎞

⎟⎟, B = ⎜⎜ ⎟⎟ Например, если A = ⎜⎜ ⎟⎟, то C = A + B = ⎜⎜ 5 4 1 2 4 6 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Нетрудно проверить, что сумма матриц подчиняется переместительному и сочетательному законам, т.е. A + B = B + A и (A + B) + C = A + (B + C ) 1.1.5 Умножение матриц на число ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.5

( )

Произведением матрицы A = a ij

размеров

λ называется матрица B = (b ij ) тех же размеров, что и матрица А, элементы, которой определяются правилом b ij = λ a ij для всех i = 1,2, K , m; j = 1,2, K , n ⎛ 2 − 5⎞ ⎛ 6 − 15 ⎞ ⎟⎟ и λ = 3 , то B = λA = ⎜⎜ ⎟⎟ Например, если A = ⎜⎜ 4 1 12 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ m × n на число

Умножение матрицы на число подчиняется закону λ(μA ) = (λμ )A , где λ и μ − числа. 1.1.6 Умножение матриц Пусть заданы матрица А размеров m × n и матрица В размеров n × p , т.е. такие, что число столбцов первой равно числу строк второй матрицы. Выберем строку с номером i из матрицы А и столбец с номером j из матрицы В. Умножим каждый элемент a i1 , a i 2 , K , a in выбранной строки на соответствующий элемент

b1 j , b 2 j , K , b nj выбранного столбца и сложим

полученные произведения, т.е. составим сумму n

c ij = a i1 b1 j + a i 2 b 2 j + K + a in b nj = ∑ a ik b kj k =1

Вычислим такие суммы для всех i = 1,2,K, m, и всех 8

(1.4)

j = 1,2,K, p и из

( )

полученных m × p чисел составим матрицу C = c ij .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.6 Произведением матрицы А размеров m × n на матрицу В размеров n × p называется матрица C = A ⋅ B размеров m × p , элементы c ij которой определяются по формуле (1.4) для всех i = 1,2, K , m, и всех

j = 1,2,K, p .

⎛ a 11

a 12 ⎞

⎛ b11

b12 ⎞

⎟⎟ и B = ⎜⎜ ⎟⎟ ПРИМЕР 1.1 Даны A = ⎜⎜ a a b b ⎝ 21 ⎝ 21 22 ⎠ 22 ⎠ Так как число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, то произведение A ⋅ B определено и ⎛ a b + a 12 b 21 A ⋅ B = ⎜⎜ 11 11 ⎝ a 21b11 + a 22 b 21

a 11b12 + a 12 b 22 ⎞ ⎟⎟ . a 21b12 + a 22 b 22 ⎠

⎛ 3 2⎞ ⎜ ⎟ ПРИМЕР 1.2 Даны A = ⎜ 4 1 ⎟, ⎜1 0⎟ ⎝ ⎠

⎛ 2 1 3⎞ B = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ 4 0 1⎠

Решение. Матрица А имеет два столбца, В - две строки; следовательно, A ⋅ B определено.

⎛ 3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 4 3 ⋅ 1 + 2 ⋅ 0 3 ⋅ 3 + 2 ⋅ 1⎞ ⎛14 3 11⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A ⋅ B = ⎜ 4 ⋅ 2 + 1 ⋅ 4 4 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 4 ⋅ 3 + 1 ⋅ 1 ⎟ = ⎜12 4 13 ⎟ ⎜ 1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 4 1 ⋅1 + 0 ⋅ 0 1 ⋅ 3 + 0 ⋅1 ⎟ ⎜ 2 1 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ПРИМЕР 1.3 Даны квадратная матрица А порядка n и матрица - столбец В размеров n × 1 . Решение.

⎛ a 11 ⎜ ⎜a A ⋅ B = ⎜ 21 K ⎜⎜ ⎝ a n1

a 12 a 22 K a n2

K a 1n ⎞ ⎛ b11 ⎞ ⎛ a 11b11 + a 12 b 21 + K + a 1n b n1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ K a 2 n ⎟ ⎜ b 21 ⎟ ⎜ a 21b11 + a 22 b 21 + K + a 2 n b n1 ⎟ ⋅ = K K ⎟ ⎜ K ⎟ ⎜ KKKKKKKKKK ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ K a nn ⎠ ⎝ b n1 ⎠ ⎝ a n1b11 + a n 2 b 21 + K + a nn b n1 ⎠

Из примера следует, что произведение квадратной матрицы на матрицустолбец есть матрица-столбец. Аналогично проверяется, что произведение матрицы-строки размеров 1× n на квадратную матрицу порядка n есть строчная матрица размеров 1× n .

⎛1 2⎞ ⎛1 0⎞ ⎟⎟, E = ⎜⎜ ⎟⎟. 4⎠ 0 1 ⎝ ⎠ 0 ⎞ ⎛ 1 ⋅1 + 2 ⋅ 0 1 ⋅ 0 + 2 ⋅1 ⎞ ⎛ 1 2 ⎞ ⎟=⎜ ⎟=⎜ ⎟=A 1 ⎠⎟ ⎝⎜ 3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 0 3 ⋅ 0 + 4 ⋅ 1⎠⎟ ⎜⎝ 3 4 ⎟⎠ 1⋅ 2 + 0 ⋅ 4⎞ ⎛1 2 ⎞ ⎟ = A. ⎟=⎜ 0 ⋅ 2 + 1 ⋅ 4 ⎟⎠ ⎝⎜ 3 4 ⎠⎟

ПРИМЕР 1.4 Даны A = ⎜⎜ ⎝3

⎛1 2⎞ ⎛ 1 ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ A ⋅ E = ⎜⎜ 3 4 ⎝ ⎠ ⎝0 ⎛1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 3 E ⋅ A = ⎜⎜ ⎝ 0 ⋅1 + 1⋅ 3

Итак, если

Е единичная матрица и А - квадратная, то A ⋅ E = E ⋅ A = A , т.е. единичная матрица играет роль единицы в действиях над матрицами.

⎛ −1 2⎞

⎛ 0 1⎞

⎟⎟, B = ⎜⎜ ⎟⎟. ПРИМЕР 1.5 Даны A = ⎜⎜ 3 4 2 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Очевидно, что определены произведения A ⋅ B и B ⋅ A ⎛ (− 1) ⋅ 0 + 2 ⋅ 2 (− 1) ⋅ 1 + 2 ⋅ 3 ⎞ ⎛ 4 5 ⎞ A ⋅ B = ⎜⎜ ⎟, ⎟=⎜ 3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 8 15 ⎟⎠ ⎝ 3⋅ 0 + 4 ⋅ 2 ⎛ 0 ⋅ (− 1) + 1 ⋅ 3 0 ⋅ 2 + 1 ⋅ 4 ⎞ ⎛ 3 4 ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ B ⋅ A = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ 2 1 3 3 2 2 3 4 7 16 ( ) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Этот пример показывает, что произведение двух матриц не подчиняется переместительному закону, т.е. A ⋅ B ≠ B ⋅ A . Однако можно проверить, что умножение матриц подчиняется сочетательному и распределительному законам, т.е. A(BC ) = (AB)C и (A + B)C = AC + BC . 1.2 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1.2.1 Определители второго порядка и их свойства Определитель – это число, которое по специальным правилам вычисляется для каждой квадратной матрицы. Пусть дана квадратная матрица второго порядка

⎛a A = ⎜⎜ 11 ⎝ a 21

a 12 ⎞ ⎟. a 22 ⎟⎠

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.7 Определителем второго порядка, соответствующим заданной матрице А, называется число равное

a 11a 22 − a 21a 12 .

Для обозначения определителя используются вертикальные черточки и прописная буква Δ . Например,

Δ=

a 11 a 21

a 12 = a 11a 22 − a 12 a 21 a 22 10

(1.5)

есть общий вид определителя второго порядка. Числа a 11 , a 12 , a 21 , a 22 называются элементами определителя. Как и у

a 11 , a 12 образуют первую строку определителя; a 21 , a 22 − вторую строку; a 11 , a 21 − - первый столбец; a 12 , a 22 − второй столбец; a 11 , a 22 − образуют главную диагональ определителя; a 21 , a 12 − побочную диагональ. Используя данную

матрицы второго порядка, элементы

терминологию, можно сказать, что определитель второго порядка есть число, равное разности произведений элементов, расположенных на главной и побочной его диагоналях.

2 3 = 2 ⋅ 5 − 4 ⋅ 3 = 10 − 12 = −2 4 5

ПРИМЕР 1.6

Рассмотрим простейшие свойства определителя второго порядка. Свойство 1.2.1 Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами, т.е.

a 11

a 12

a 21

a 22

a 11

a 21

a 12

a 22

(1.6)

Действительно, согласно (1.5) получим

a 11

a 12

a 21

a 22

= a 11a 22 − a 21a 12 и

a 11

a 21

a 12

a 22

= a 11a 22 − a 12 a 21 .

Из свойства 1.2.1 следует, что свойства, установленные для строк определителя, справедливы и для его столбцов. Свойство 1.2.2 При перестановке местами двух строк (столбцов) определитель меняет свой знак на противоположный. Действительно, если Δ1 =

Δ1 = a 11a 22 − a 21a 12

a 11

a 12

, Δ2 =

a 21

a 22

a 21 a 22 a 11 a 12 = −(a 21a 12 − a 11a 22 ) = − Δ 2

, то

Свойство 1.2.3 Определитель, имеющий две одинаковые (столбца), равен нулю. Например,

a 11

a 12

a 11

a 12

строки

= a 11a 12 − a 11a 12 = 0.

Свойство 1.2.4 Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число.

a 11

a 12

ka 11

ka 12

, где k − число. a 21 a 22 a 21 a 22 Тогда Δ 2 = ka 11a 22 − ka 12 a 21 = k (a 11a 22 − a 12 a 21 ) = k ⋅ Δ1 .

Пусть Δ1 =

, Δ2 =

Свойство 1.2.4 означает, что общий множитель всех элементов строки 11

(столбца) можно вынести за знак определителя. Свойство 1.2.5 Определитель, у которого элементы двух его строк (столбцов) пропорциональны, равен нулю. Действительно,

a 11

a 12

ka 11

ka 12

= ka 11a 12 − ka 11a 12 = 0 при любом k.

Свойство 1.2.6 Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) определителя есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у одного из них элементами соответствующей строки являются первые слагаемые, у другого - вторые. Оставшиеся элементы этих определителей те же, что и у данного. ∗ a 11 + a 11

Пусть Δ1 =

a 12

, Δ2 =

a 11

a 12

, Δ3 =

a 21 a 22 a 21 + a ∗21 a 22 ∗ a 11 + a 11 a 22 − a 21 + a ∗21 a 12 = a 11a 22 ∗ a 11 a 22 − a ∗21a 12 = Δ 2 + Δ 3 .

( +(

Тогда Δ1 =

)

( )

)

∗ a 11

(

a 12

a ∗21

a 22

− a 21a 12 ) +

Свойство 1.2.7 Определитель не изменится, если к элементам какой-либо его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число. Действительно, пусть Δ =

a 11

a 12

a 21

a 22

, Δ1 =

a 11 + ka 12

a 12

a 21 + ka 22

a 22

Тогда, согласно свойствам 1.2.5 и 1.2.6, получим

Δ1 =

a 11

a 12

a 21

a 22

ka 12

a 12

ka 22

a 22

= Δ+k⋅

a 12

a 22

= Δ+0=Δ

1.2.2 Определители третьего порядка Пусть дана квадратная матрица третьего порядка

⎛ a 11 ⎜ A = ⎜ a 21 ⎜a ⎝ 31

a 12 a 22 a 32

a 13 ⎞ ⎟ a 23 ⎟ a 33 ⎟⎠

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.8 Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице А, называется число

Δ = a 11

= a 11a 22 a 33

a 22

a 23

− a 12

a 21

a 23

+ a 13

a 21

a 22

= (1.7) a 31 a 32 a 31 a 33 a 32 a 33 − a 11a 32 a 23 − a 12 a 21a 33 + a 12 a 31a 23 + a 13 a 21a 32 − a 13 a 31a 22 .

Определитель третьего порядка обозначается символом

a 11 a 12 a 13 Δ = a 21 a 22 a 23 , (1.8) a 31 a 32 a 33 где числа a 11 , a 12 , K , a 33 называются его элементами. Индексы i = 1,2,3 и j = 1,2,3 у элемента a ij показывают номера строки и столбца, на пересечении которых записан этот элемент. Например, элемент a 23 расположен на пересечении второй строки

(i = 2) и третьего столбца ( j = 3) .

Элементы a 11 , a 22 , a 33 образуют главную диагональ определителя, а

элементы a 31 , a 22 , a 13 − побочную диагональ. Определение имеет сложный по форме вид, поэтому для нахождения определителя третьего порядка предложены более простые правила. Так, согласно правилу треугольников необходимо: 1) вычислить с собственными знаками произведения элементов , лежащих на главной диагонали и в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны этой диагонали ; 2) найти произведения элементов, лежащих на побочной диагонали и в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали, и взять их с противоположными знаками ; 3) найти общую сумму всех произведений.

2 3 −4 ПРИМЕР 1.7 1 2 0 = 4 + 0 − 16 + 24 + 0 − 3 = 9 3 4 1 Все свойства определителей второго порядка справедливы и для определителей третьего порядка. Доказательства этих свойств основаны на вычислении определителя третьего порядка по формуле (1.7). Например, покажем, что определитель, у которого элементы двух его строк пропорциональны, равен нулю. Действительно,

a 11 Δ = ka 11 a 31

a 12 ka 12 a 32

a 13 ka 13 = ka 11a 12 a 33 + ka 12 a 13 a 31 + ka 11a 32 a 13 − a 33 − ka 31a 12 a 13 − ka 11a 12 a 33 − ka 11a 13 a 32 = 0.

Аналогично проверяется справедливость и других свойств. Пусть дан определитель (1.8) третьего порядка. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.9 Минором M ij элемента a ij , где i, j = 1,2,3 13

определителя третьего порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного вычеркиванием i − й строки и j − го столбца. Так, например, минор M 23 элемента a 23 есть определитель

M 23 =

a 11

a 12

a 31

a 32

, а минор элемента a 11 есть M11 =

a 22

a 23

a 32

a 33

С помощью миноров определитель (1.7) можно записать в виде

Δ = a 11M11 − a 12 M12 + a 13 M13

(1.9)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.10 Алгебраическим дополнением

A ij элемента

a ij , где i, j = 1,2,3 , называется минор M ij этого элемента, взятый со знаком

(− 1)i+ j .

По определению 1.9 имеем

A ij = (− 1)i + j ⋅ M ij , где i, j = 1,2,3 .

(1.10)

Например,

A12 = (− 1)1+ 2 ⋅ M12 = (− 1) ⋅ A 31 = (− 1)3+1 ⋅ M 31 =

a 21

a 23

a 31

a 33

a 12

a 13

a 22

a 23

= a 31a 23 − a 21a 33 ,

= a 12 a 23 − a 22 a 13 и т.д.

Теорема 1.1 (Разложение определителя по элементам строки или столбца) Определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Иными словами, имеют место шесть равенств:

Δ = a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 = a 21 A 21 + a 22 A 22 + a 23 A 23 = K

K = a 13 A13 + a 23 A 23 + a 33 A 33 .

(1.11)

Проверим, например, справедливость равенства

Δ = a 11A11 + a 12 A12 + a 13 A13 .

Согласно определениям минора и алгебраического дополнения получим

a 11A11 + a 12 A12 + a 13 A13 = a 11 (− 1)1+1 ⋅ M11 + a 12 (− 1)1+ 2 ⋅ M12 + 1+ 3 + a 13 (− 1) ⋅ M 13 = a 11 M 11 − a 12 M 12 + a 13 M 13 = a a 23 a a 23 a a 22 = a 11 22 − a 12 21 + a 13 21 = a 32 a 33 a 31 a 33 a 31 a 32 = a 11a 22 a 33 − a 11a 23 a 32 − a 12 a 21a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21a 32 − a 13 a 22 a 31 = Δ

Теорема 1.2. Сумма произведений элементов какой- либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения элементов любой другой его строки (столбца) равна нулю. Для определенности выберем элементы a 11 , a 12 , a 13 первой строки и

A 21 , A 22 , A 23

алгебраические дополнения

элементов второй строки

определителя. Составим сумму произведений a 11 A 21 + a 12 A 22 + a 13 A 23 и покажем, что эта сумма равна нулю. Действительно,

a 11A 21 + a 12 A 22 + a 13 A 23 = −a 11

a 12

a 13

a 32

a 33

+ a 12

a 11

a 13

a 31

a 33

− a 13

a 11

a 12

a 31

a 32

= −a 11a 12 a 33 + a 11a 13 a 32 + a 12 a 11a 33 − a 12 a 13 a 31 − a 13 a 11a 32 + a 13 a 12 a 31 = 0 Аналогично проверяется равенство нулю и всех других подобных сумм. В заключение рассмотрим схему использования свойств определителя и теоремы разложения при вычислении определителя.

2 4 ПРИМЕР 1.8 Вычислить определитель Δ = 3

1 −1 .

2 0

Решение. Разложим определитель по элементам третьей строки.

Δ = a 31A 31 + a 32 A 32 + a 33 A 33 = a 31M 31 − a 32 M 32 + a 33 M 33 = 4 5 = 2M 31 + 0M 32 + 0M 33 = 2 = 2(− 4 − 5) = −18. 1 −1

1 3 7 ПРИМЕР 1.9 Вычислить определитель Δ = 8 26 56 . 3 −4 6 Решение. Прибавляя ко второй строке первую, умноженную на

1 3 7 Δ = 0 2 0. 3 −4 5

получим

Раскладывая этот

определитель по элементам

второй его строки, найдем

Δ = −0

−4 5

1 7 3 5

−0

3 −4

= 2(5 − 21) = −32.

- 8,

1.2.3 Определители n − го порядка Пусть дана квадратная матрица А n − го порядка

⎛ a 11 ⎜ ⎜a A = ⎜ 21 K ⎜⎜ ⎝ a n1

K a 1n ⎞ ⎟ K a 2n ⎟ K K⎟ ⎟⎟ K a nn ⎠

a 12 a 22

K a n2 Определитель n − го порядка, соответствующий квадратной матрице А, обозначается символом

Δ=

a 11

a 12

K a 1n K a 2n

a 21

a 22

K a n1

K K K a n 2 K a nn

(1.12)

и определяется как число

Δ = a 11M 11 − a 12 M 12 + K + (− 1)1+ n a 1n M 1n , (1.13) где M 11 , M 12 , K , M 1n есть миноры соответствующих элементов a 11 , a 12 , K , a 1n , , т.е. определители (n − 1) − го порядка, полученные из

данного вычеркиванием его первой строки и соответственно первого, второго,. . . , n − го его столбцов.

Например, M 11 =

a 22

a 23 K a 2 n

a 32

a 33

K a 3n

a n2

a n 3 K a nn Так как каждый минор M1k , где k = 1,2,..., n есть определитель (n − 1) − го порядка, то согласно (1.13) вычисление определителя n − го порядка сводится к вычислению n определителей ( n − 1) − го порядка. 4 0 2 0 ПРИМЕР 1.10 Вычислить определитель Δ =

3 −1 2

0 1 2 4

0 3

5 1

Решение. Согласно (1.13) получим

3 −1 2

1 −1 2

1 3 2

3 −1

Δ = 41

5 − 00

5 + 20 1 5 − 00 1

0 =

2 4 1 16

2 4

= 4( 6 − 20 + 1 − 45) + 2(1 + 30 − 4 − 20) = −232 + 14 = −218. Определители n − го порядка имеют те же свойства, что и определители третьего порядка. Их справедливость проверяется с помощью соотношения (1.10). Выберем в определителе Δ элемент a ij , где i, j = 1,2,..., n.

M ij элемента a ij определителя n − го порядка называется определитель (n − 1) − го порядка, полученный из Δ вычеркиванием его i − й строки и j − го столбца. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.12 Алгебраическим дополнением A ij элемента a ij ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.11 Минором

минор M ij этого элемента, взятый с дополнительным знаком

называется

(− 1)i+ j , т.е.

A ij = (− 1)i + j M ij , где i, j = 1,2,..., n. (1.14) Для определителей n − го порядка также остается справедливой теорема разложения, т.е. определитель n − го порядка равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на алгебраические дополнения этих элементов

Δ = a 11 A 11 + a 12 A 12 + K + a 1n A 1n = a 21 A 21 + a 22 A 22 + K + a 2 n A 2 n = = K = a 1n A 1n + a 2 n A 2 n + K + a nn A nn (1.15)

Равенство (1.15) содержат 2n формул, по каждой из которых можно произвести вычисление определителя. На практике полезно перед применением теоремы разложения преобразовать определитель с помощью его свойств так, чтобы в одной из его строк (столбцов) образовалось максимальное число нулевых элементов. ПРИМЕР 1.11 Вычислить определитель

Δ=

10 11 12

13 14 15 16 Решение. Вычитая из второго столбца первый, а из четвертого столбца

третий, найдем

Δ=

9 1 11 1 13 1 15 1

= 0,

так как образовавшийся определитель содержит два одинаковых столбца.

1.3 ОБРАТНАЯ МАТРИЦА Пусть дана квадратная матрица A порядка n .

⎛ a 11 ⎜ ⎜a A = ⎜ 21 K ⎜⎜ ⎝ a n1

a 12 a 22 K a n2

K a 1n ⎞ ⎟ K a 2n ⎟ . K K⎟ ⎟⎟ K a nn ⎠

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.13 Квадратная матрица A обратной матрицей для данной матрицы A , если

−1

порядка n называется

A ⋅ A −1 = A −1 ⋅ A = E, где E − единичная матрица (1.16) Обозначим через Δ определитель матрицы A и вычислим его. Тогда, если Δ ≠ 0 , то матрицу A называют неособенной (невырожденной) матрицей, если же Δ = 0 , то особенной (вырожденной) матрицей. Теорема 1.3. Всякая неособенная матрица A имеет обратную матрицу −1 A , определяемую формулой ⎛ A11 A 21 K A n1 ⎞ ⎟ ⎜ A A A K 1 ⎜ 22 n2 ⎟ (1.17) A −1 = ⋅ ⎜ 12 K K K ⎟ Δ K ⎟⎟ ⎜⎜ A A K A ⎝ 1n 2n nn ⎠ где A 11 , A 12 , K , A nn есть алгебраические дополнения соответствующих элементов a 11 , a 12 , K , a nn матрицы A . Доказательство. Покажем, что A ⋅ A

A ⋅ A −1

⎛ a 11 ⎜ 1 ⎜ a 21 = ⋅⎜ Δ K ⎜⎜ ⎝ a n1

⎛ a11A11 + K + a1n A1n ⎜ 1 ⎜ a 21A11 + K + a 2n A1n = ⋅⎜ KKK Δ ⎜⎜ ⎝ a n1A11 + K + a nn A1n

a 12

a 22

K K K

K a n2

−1

= E. Действительно, a 1n ⎞ ⎛ A11 A 21 K A n1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ a 2 n ⎟ ⎜ A12 A 22 K A n 2 ⎟ = ⋅ K⎟ ⎜K K K K ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ a nn ⎟⎠ ⎜⎝ A1n A 2 n K A nn ⎟⎠

a 11A 21 + K + a1n A 2n a11A n1 + K + a1n A nn ⎞ K ⎟ a 21A 21 + K + a 2n A 2n a 21A n1 + K + a 2n A nn ⎟ K ⎟ KKK KKK KKK ⎟ a n1A 21 + K + a nn A 2n K a n1A n1 + K + a nn A nn ⎟⎠

Согласно обобщению теоремы 1.1 о разложении определителя по элементам любой строки все элементы, расположенные на главной диагонали предыдущей матрицы, равны Δ , а оставшиеся элементы, согласно обобщению теоремы 1.2, равны нулю. Тогда 18

⎛Δ 0 K 0⎞ ⎛1 ⎜ ⎟ ⎜ K 0 0 Δ 1⎜ ⎟ ⎜0 =⎜ A ⋅ A −1 = ⎜ ⎟ K K K K K Δ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ 0 0 K Δ⎠ ⎝ 0 −1 Аналогично доказывается, что A ⋅ A = E.

0 K 0⎞ ⎟ 1 K 0⎟ =E K K K⎟ ⎟ 0 K 1 ⎟⎠

⎛1 2 0⎞ ⎜ ⎟ −1 ПРИМЕР 1.12 Найти матрицу A , если A = ⎜ 0 3 1 ⎟. ⎜ 0 1 2⎟ ⎝ ⎠ Решение. Выясним, является ли матрица A невырожденной 1 2 0 2 0 3 1 2 0 3 1 Δ = 0 3 1 = 1⋅ − 0⋅ + 0⋅ = = 5. 3 1 1 2 1 2 1 2 0 1 2 Так как определитель Δ = 5 ≠ 0 , то матрица A невырожденная и имеет −1 обратную матрицу A . ⎛ A11 A 21 A 31 ⎞ ⎜ ⎟ 1 A −1 = ⋅ ⎜ A12 A 22 A 32 ⎟, где Δ ⎜ ⎟ ⎝ A13 A 23 A 33 ⎠

A11 =

3 1 2 0 2 0 = 5, A 21 = − = −4, A 31 = = 2, 1 2 1 2 3 1

A12 = − A13 =

0 1

0 2 0 3 0 1

= 0, A 22 = = 0, A 23

1 0

= 2, A 32 = −

1 0

= −1, 0 2 0 1 1 2 1 2 =− = −1, A 33 = = 3. 0 3 0 1 −1

Подставляя найденные числа в формулу для A , получим

A −1

4 2 ⎞ ⎛ ⎟ ⎜1 − 5 5 ⎟ ⎛5 − 4 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎜ 2 1 = ⋅ ⎜ 0 2 − 1⎟ = 0 − ⎟. ⎜ 5 ⎜ 5 5⎟ ⎟ 1 3 ⎟ ⎝0 −1 3 ⎠ ⎜ − 0 ⎟ ⎜ 5 5 ⎠ ⎝

1.4 РАНГ МАТРИЦЫ

⎛ a 11 ⎜ ⎜ a 21 Рассмотрим матрицу A размера m× n . A = ⎜ K ⎜⎜ ⎝ a m1

a 12 a 22 K a m2

K a 1n ⎞ ⎟ K a 2n ⎟ . K K⎟ ⎟⎟ K a mn ⎠

Выделим в ней k строк и k столбцов (k ≤ min (m; n )) . Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k -го порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.14 Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Обозначается r, r (A ) или rang A . Очевидно, что 0 ≤ r ≤ min (m; n ) , где min (m; n ) − меньшее из чисел m и n. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.15 Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.

⎛1 2 3 5 8 ⎞ ⎟ ⎜ ПРИМЕР 1.13. Дана матрица ⎜ 0 1 4 6 9 ⎟ . Определить ее ранг. ⎜ 0 0 1 7 10 ⎟ ⎠ ⎝ 1 2 3 1 2 Решение. Имеем М1 = 1 ≠ 0, М 2 = ≠ 0, М 3 = 0 1 4 ≠ 0 . 0 1 0 0 1 Минор четвертого порядка составить нельзя. Ответ: rang A = 3. Отметим свойства ранга матрицы: 1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется. 2. если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится. 3. Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы. Простейший способ определения ранга матрицы состоит в приведении ее к ступенчатому виду при помощи последовательности элементарных преобразований. К ним относятся: умножение строки на произвольное число, отличное от нуля; прибавление к некоторой строке любой другой строки, умноженной на одно и тоже число; вычеркивание нулевой строки. Элементарным преобразованиям матрицы соответствуют элементарные преобразования системы уравнений. 20

⎛3 ⎜ ⎜7 ПРИМЕР 1.14 Найти ранг матрицы А = ⎜ 11 ⎜⎜ ⎝10

−8 ⎞ ⎟ − 1 2 1 − 12 ⎟ . − 1 3 0 − 16 ⎟ ⎟ − 2 3 3 − 20 ⎟⎠ −1 1 2

Решение. После вычитания первой строки из остальных получаем эквивалентную матрицу, а из последней умноженную на 2,

⎛3 −1 ⎜ ⎜4 0 А≈⎜ 8 0 ⎜⎜ ⎝4 0

− 8⎞ ⎟ 1 −1 − 4⎟ ⎛ 3 −1 1 2 − 8⎞ ⎟. ≈⎜ 2 − 2 − 8 ⎟ ⎜⎝ 4 0 1 − 1 − 4 ⎟⎠ ⎟ 1 − 1 − 4 ⎟⎠

Поскольку три строки промежуточной матрицы были пропорциональны, то из них можно получить две ненулевые строки, которые мы отбросили. Ясно, что rang A = 2, т.к. M 2 =

3 −1 = 4. 4 0

1.5 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 1.5.1 Основные понятия Определители и матрицы широко применяются при решении систем линейных уравнений, т.е. систем, содержащих m уравнений первой степени относительно n неизвестных x 1 , x 2 , K , x n . В наиболее общем виде такие системы записываются в форме

⎧ a 11 x 1 + a 12 x 2 + K + a 1n x n = b1 , ⎪ a x + a x +K+ a x = b ⎪ 21 1 22 2 2n n 2, (1.18) ⎨ K K K K K K K K K K K K ⎪ ⎪⎩a m1 x 1 + a m 2 x 2 + K + a mn x n = b m. . Числа a 11 , a 12 , K , a mn называются коэффициентами системы или

коэффициентами при неизвестных. Первый индекс у коэффициентов системы указывает на номер уравнения, второй на номер неизвестного, при котором записан этот коэффициент. Числа b1 , b 2 , K , b m называются свободными членами. Если все свободные члены равны нулю, то система называется однородной, если же, хотя бы одно из них отлично от нуля, то неоднородной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.16 Решением системы (1.18) называется любая совокупность чисел x 1 , x 2 , K , x n , подстановка которой в (1.18) обращает каждое уравнение этой системы в верное числовое равенство. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, имеющая только одно решение определенной, имеющая более одного решения - неопределенной, не имеющая ни одного решения - несовместной. Решить систему (1.18) - это значит указать все множество ее решений или доказать ее несовместность. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.17 Две системы линейных уравнений называются равносильными, если каждое решение второй системы является решением первой и наоборот. Доказано, что если над системой (1.18) выполнить преобразования: 1) поменять местами уравнения; 2) умножить обе части любого уравнения системы на любое не равное нулю число; 3) прибавить к обеим частям одного из уравнений системы соответствующие части другого уравнения, умноженные на любое действительное число, то система (1.18) переходит в равносильную ей систему. Перечисленные выше преобразования называются элементарными преобразованиями системы. В результате элементарных преобразований может случиться, что в системе появится уравнение, все коэффициенты которого равны нулю. Тогда, если и свободный член этого уравнения равен нулю, то уравнение справедливо при любых x 1 , x 2 , K , x n и, следовательно, его можно отбросить. Если же свободный член не равен нулю, то этому уравнению не удовлетворяют никакие значения неизвестных, следовательно, полученная система является несовместной, а это означает, что несовместна и исходная система. 1.5.2 Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера – Капелли Пусть

дана

произвольная

система

m линейных

уравнений

⎧ a 11 x 1 + a 12 x 2 + K + a 1n x n = b1 , ⎪ a x + a x +K+ a x = b ⎪ 21 1 22 2 2n n 2, n неизвестными ⎨ ⎪ KKKKKKKKKKKK ⎪⎩a m1 x 1 + a m 2 x 2 + K + a mn x n = b m. . Расширенной

матрицей

системы

называется

матрица

⎛ a11 a12 ⎜ a 22 ~ ⎜a А = ⎜ 21 ... ... ⎜⎜ ⎝ a m1 a m 2

... a1n ... a 2 n ... ... ... a mn

b1 ⎞ ⎟ b2 ⎟ . ... ⎟ ⎟ b m ⎟⎠

Исчерпывающий ответ на вопрос о совместности этой системы дает теорема Кронекера – Капели. Теорема 1.4.. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы Примем ее без доказательства. Правила практического разыскивания всех решений совместной системы линейных уравнений вытекают из следующих теорем. Теорема 1.5. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Теорема 1.6. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений. Правило решения произвольной системы линейных уравнений. 1. Найти ранг основной и расширенной матриц системы. Если ~ r (A ) ≠ r A , то система несовместна.

( )

(~ )

2. Если r (A ) = r A = r , система совместна. Найти какой-либо базисный минор порядка r ( минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным). Взять r уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор. Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называют главными и оставляют слева, а остальные n − r неизвестных называют свободными и переносят в правые части уравнений. 3. Найти выражения главных неизвестных через свободные. Получить общее решение системы. 4. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим соответствующие значения главных неизвестных. Таким образом можно найти частные решения исходной системы уравнений. ПРИМЕР 1.15 Исследовать систему линейных уравнений; если она совместна, то найти ее общее решение и одно частное решение:

⎧x1 + x 2 − x 3 = −4, ⎪ ⎨x1 + 2x 2 − 3x 3 = 0, ⎪− 2x − 2 x = 16. 1 3 ⎩ Решение. Привести к ступенчатому виду расширенную матрицу

⎛ 1 1 −1 − 4⎞ ⎛1 1 −1 − 4⎞ ⎛1 1 −1 − 4⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ системы: ⎜ 1 2 − 3 0 ⎟ ≈ ⎜ 0 1 − 2 4 ⎟ ≈ ⎜ 0 1 − 2 − 4 ⎟. ⎜ − 2 0 − 2 16 ⎟ ⎜ 0 2 − 4 8 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 ⎟⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ~ Так как r (A ) = r A = 2 < 3 = n , то система совместна и неопределенна

( )

(т.е. имеет бесконечно много решений). Количество главных переменных равно r (A ) = 2, количество свободных переменных равно n − r (A ) = 3 − 2 = 1. Выберем какой-нибудь не равный нулю минор 2-го порядка полученной матрицы А, например, минор

1 1 . Его столбцы - 1-ый и 2-ой столбцы матрицы А – соответствуют 0 1 переменным x1 и переменная x 2 − это будут главные переменные, а x 3 − свободная переменная. Запишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице:

⎧x1 + x 2 − x 3 = −4, ⎨ ⎩x 2 − 2x 3 = 4.

Теперь для наглядности запишем эту систему в другом виде:

⎧x1 + x 2 = x 3 − 4, ⎨ ⎩x 2 = 2 x 3 + 4.

Подставляя выражение для x 2 в первое уравнение, получим x1 = − x 3 − 8. Обозначая свободную переменную через t , получим общее решение системы: (− t − 8; 2 t + 4; t ). Частное решение системы получим, например, при t = 0 : (− 8;4;0 ) . 1.5.3 Формулы Крамера. Матричный способ решения систем линейных уравнений Пусть задана система линейных уравнений, содержащая одинаковое число уравнений и неизвестных (m = n )

⎧ a 11 x 1 + a 12 x 2 + K + a 1n x n = b1 , ⎪a x + a x + K + a x = b , ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 ⎨ ⎪ KKKKKKKKKKKK ⎪⎩a n1 x 1 + a n 2 x 2 + K + a nn x n = b n . Введем три матрицы

(1.19)

⎛ a 11 ⎜ ⎜a A = ⎜ 21 K ⎜⎜ ⎝ a n1

K a 1n ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ K a 2n ⎟ x ⎜ 2⎟ ⎜ b2 ⎟ = , X = , B ⎜K⎟ ⎜K⎟ K K⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ K a nn ⎠ ⎝xn ⎠ ⎝ bn ⎠

a 12 a 22

K a n2 коэффициентов системы, является Матрица A , составленная из квадратной матрицей порядка n . Матрицы X и B являются столбцовыми и составлены соответственно из неизвестных и свободных членов системы. Так как число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы X , то существует произведение A ⋅ X , являющееся столбцовой матрицей тех же размеров, что и матрица B . Тогда систему уравнений (1.19) можно записать в форме одного матричного уравнения. A⋅X = B (1.20) Для определения матрицы X из (1.20) допустим, что матрица A имеет обратную матрицу A

−1

определяемую формулой (1.17). Тогда, умножая обе

−1

части (1.20) слева на A , получим

(

)

A −1 (A ⋅ X ) = A −1 ⋅ B ⇔ A −1A ⋅ X = A −1 ⋅ B (1.21) −1 По определению обратной матрицы A ⋅ A = E ,где E − единичная −1 матрица порядка n . Отсюда A ⋅ A ⋅ X = E ⋅ X = X.

(

)

Следовательно, уравнение (1.21) запишется в виде

X = A −1 ⋅ B

(1.22) Матричное равенство (1.22) определяет решение заданной системы уравнений в матричной форме. Для определения конкретных значений неизвестных x 1 , x 2 , K , x n перепишем (1.22) в виде

⎛ x1 ⎞ ⎛ A11 A 21 K A n1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ K A A A x ⎜ 2 ⎟ 1 ⎜ 12 22 n2 ⎟ ⎜ b2 ⎟ = ⋅ , (1.23) ⎜K⎟ Δ⎜ K K K K ⎟ ⎜K⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ K A A A x ⎝ n⎠ ⎝ 1n 2n nn ⎠ ⎝ b n ⎠ где Δ ≠ 0 − определитель, соответствующий матрице A ; A ij − алгебраические дополнения элементов a ij этой матрицы. Перемножив матрицы в правой части (1.23), найдем

⎛ x1 ⎞ ⎛ A 11 b1 + A 21 b 2 + K + A n1 b n ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + x A b A b A b K ⎜ 2 ⎟ 1 ⎜ 12 1 22 2 n2 n ⎟ = ⎜ K ⎟ Δ ⎜ KKKKKKKKKK ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ + + + x A b A b K A b ⎝ n⎠ ⎝ 1n 1 2n 2 nn n ⎠ Отсюда, согласно условию равенства двух матриц, получим 25

x1 =

A11b1 + A 21b 2 + K + A n1b n A b + A 22 b 2 + K + A n 2 b n , x 2 = 12 1 ,K, Δ Δ A b + A 2 n b 2 + K + A nn b n (1.24) K, x n = 1n 1 Δ Формулы (1.24) и определяют матричный способ решения системы

⎧ a 11 x 1 + a 12 x 2 + K + a 1n x n = b1 , ⎪a x + a x + K + a x = b ⎪ 21 1 22 2 2n n 2, ⎨ ⎪ KKKKKKKKKKKK ⎪⎩a n1 x 1 + a n 2 x 2 + K + a nn x n = b n. . Для запоминания этих формул и последующего их применения на практике введем группу определителей:

a 11 a Δ = 21 K a n1

a 12 a 22 K a n2

a 11 a = 21 K a n1

b1 b2 K bn

K a 1n K a 2n , K K K a nn

Δ X1

b1 a 12 b a 22 = 2 K K bn a n2

K a 12 K a 2n , K K K a nn

K a 1n a 11 a 12 K b1 K a 2n a a 22 K b 2 Δ X2 , K , Δ X n = 21 . K K K K K K K a nn a n1 a n 2 K b n Заметим, что определитель Δ X1 получен из Δ заменой его первого столбца на столбец свободных членов, определитель Δ X 2 получен из Δ заменой его второго столбца на столбец свободных членов и т.д.. Разложим каждый из определителей Δ X1 , Δ X 2 , K , Δ X n по столбцу из свободных членов

b1 , b 2 , K , b n . Тогда Δ X1 = b1 A 11 + b 2 A 21 + K + b n A n1 , Δ X 2 = b1 A 12 + b 2 A 22 + K + b n A n 2 , K , Δ X n = b1 A 1n + b 2 A 2 n + K + b n A nn (1.25) Из сравнения полученных результатов (1.25) с числителями равенств (1.24) следует, что решение системы (1.19) можно записать в виде

x1 =

Δ X1 Δ

, x2 =

Δ X2 Δ

,K, x n =

Δ Xn Δ

Формулы (1.26) называются формулами Крамера. 26

(1.26)

ПРИМЕР 1.16 Решить по формулам Крамера систему уравнений

⎧x 1 + 4 x 2 = 9, ⎨ ⎩5x 1 − x 2 = 3. Решение. Система содержит одинаковое число уравнений и неизвестных. Вычислим определитель Δ этой системы.

Δ=

= −21. 5 −1 Так как Δ ≠ 0 ,то решение можно найти по формулам Крамера: 9 4 1 9 Δ X1 = = −21, Δ X 2 = = −42. Тогда 3 −1 5 3 ΔX (− 21) = 1, x = Δ X 2 = (− 42) = 2. Ответ: {1;2}. x1 = 1 = 2 (− 21) (− 21) Δ Δ ПРИМЕР 1.17 Решить матричным способом систему уравнений

⎧ x + 2 y + z = 4, ⎪ ⎨2x − y + 2z = 3, ⎪3x + y − 2z = 2. ⎩ Решение. Система содержит одинаковое число Вычислим определитель Δ этой системы:

уравнений

неизвестных.

1 2 1 1 2 1 1 1 Δ = 2 − 1 2 = 0 − 5 0 = (− 5) = 25 ≠ 0 3 −2 3 1 −2 3 1 −2 Так как Δ ≠ 0 , то система может быть решена матричным способом. 1 ⎞ ⎛1 2 ⎛x⎞ ⎛ 4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Составим матрицы A = ⎜ 2 − 1 2 ⎟, X = ⎜ y ⎟, B = ⎜ 3 ⎟. ⎜ 3 1 − 2⎟ ⎜z⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Так как определитель системы Δ ≠ 0 , то матрица A имеет обратную ⎛ A11 A 21 A 31 ⎞ ⎜ ⎟ 1 −1 матрицу A −1 , где A = ⎜ A 12 A 22 A 32 ⎟. Δ⎜ ⎟ ⎝ A13 A 23 A 33 ⎠ Вычислим алгебраические дополнения A ij всех элементов

−1 1 2 A12 = − 3 2 A13 = 3 A11 =

Тогда A

−1

2 2 1 2 1 = 0, A 21 = − = 5, A 31 = = 5, −2 −1 2 1 −2 2 1 1 1 1 = 10, A 22 = = −5, A 32 = − = 0, −2 3 −2 2 2 −1 1 2 1 2 = 5, A 23 = − = 5, A 33 = = −5. 1 3 1 2 −1 5 ⎞ ⎛0 5 ⎟ 1 ⎜ = ⋅ ⎜10 − 5 0 ⎟. 25 ⎜ ⎟ ⎝ 5 5 − 5⎠ −1

Так как решением является X = A

⋅ B , то 5 ⎞ ⎛ 4⎞ ⎛x⎞ ⎛0 5 ⎛ 25 ⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜10 − 5 0 ⎟ ⋅ ⎜ 3 ⎟ = ⋅ ⎜ 25 ⎟ = ⎜1⎟ ⎜ y⎟ = 25 25 ⎜z⎟ ⎜ 5 5 − 5⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 25 ⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Или x = 1, y = 1, z = 1. Ответ: {1,1,1} 1.5.4 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Пусть задана система из m линейных уравнений с n неизвестными:

⎧ a 11 x 1 + a 12 x 2 + K + a 1n x n = b1 , ⎪ a x + a x +K+ a x = b , ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 ⎨ ⎪ KKKKKKKKKKKK ⎪⎩a m1 x 1 + a m 2 x 2 + K + a mn x n = b m

(1.27)

Допустим, что в системе коэффициент при x 1 в первом уравнении

a 11 ≠ 0. Разделив обе части этого уравнения на a 11 , получим равносильную данной систему:

где

(1) ⎧ x 1 + a 12 x 2 + K + a 1(1n) x n = b1(1) , ⎪ ⎪ a 21 x 1 + a 22 x 2 + K + a 2 n x n = b 2 , ⎨ ⎪ KKKKKKKKKKKK ⎪⎩a x + a x + K + a x = b m1 1 m2 2 mn n m a b (1) a 12 a 12 = ,K, a 1(1n) = 1n , b1(1) = 1 . a 11 a 11 a 11

(1.28)

Исключим с помощью первого уравнения системы (1.28) неизвестное x 1 28

из всех оставшихся уравнений этой системы. Для этого умножим первое уравнение этой системы последовательно на a 21 , a 31 , K , a m1 и в том же порядке вычтем полученное из второго, третьего и последующих уравнений системы (1.28). В результате получим равносильную систему вида (1) (1) (1) ⎧

x 1 + a 12 x 2 + K + a 1n x n = b1 ,

где

⎪ 1) a (22 x 2 + K + a (21n) x n = b (21) , ⎪ ⎨ ⎪ KKKKKKKKKKK 1) 1) ⎪ a (m2 x 2 + K + a (mn x n = b (m1) ⎩ (1) 1) a (22 = a 22 − a 12 ⋅ a 21 , K , a (21n) = a 2 n − a 1(1n) ⋅ a 21 , K,

(1.29)

(1) 1) a (m1)2 = a m 2 − a 12 ⋅ a m1 , K , a (mn = a mn − a 1(1n) ⋅ a m1 , K ,

b (21) = b 2 − b1(1) ⋅ a 21 , K , b (m1) = b m − b1(1) ⋅ a m1 .

(1) Допустим, что коэффициент a 22 при x 2 во втором уравнении системы (1.29) отличен от нуля. В противном случае переставим местами уравнения этой системы, записав вторым другое уравнение с подходящим вторым коэффициентом. Исключим неизвестное x 2 с помощью второго уравнения из всех (1) последующих уравнений. Для этого разделим второе уравнение на a 22 ≠ 0 . Затем умножим последовательно полученное второе уравнение на (1) (1) a 32 , a 42 , K , a (m1)2 и вычтем эти результаты из третьего, четвертого и всех оставшихся уравнений. В итоге получим очередную систему уравнений: (1) (1) ⎧x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + K + a 1(1n) x n = b1(1) , ⎪ ⎪ x 2 + a (232 ) x 3 + K + a (22n) x n = b (22 ) ⎪⎪ ⎨ (2 ) a 33 x 3 + K + a 3(2n) x n = b 3(2 ) ⎪ ⎪ KKKKKKKKKKKKKKK ⎪ 2) 2) ⎪⎩ a (m3 x 3 + K + a (mn x n = b (m2 )

где

(2 )

1) a (23

(2 )

a (21n)

(2 )

b (21)

a 23 = (1) ,K, a 2 n = (1) , b 2 = (1) , a 22 a 22 a 22

(2 ) (1) (1) 2) 1) a 33 = a 33 − a (232 ) ⋅ a 32 , K , a (mn = a (mn − a (22n) ⋅ a (m1)2 , (1) b 3(2 ) = b 3(1) − b (22 ) ⋅ a 32 , K, b (m2 ) = b (m1) − b (22 ) ⋅ a (m1)2

Продолжая этот процесс исключения неизвестных, получим либо несовместную, либо совместную систему уравнений. В первом случае в 29

системе будет содержаться уравнение, в котором все коэффициенты левой части равны нулю, а свободный член отличен от нуля, т.е. уравнение вида 0 ⋅ x k + 0 ⋅ x k +1 + K + 0 ⋅ x n = c k , где c k ≠ 0 . Во втором случае получим либо систему треугольной формы (m = n )

(1) ⎧x 1 + a 12 x 2 + K + a 1(1n) x n = b1(1) , ⎪ ⎪ x 2 + K + a (22n) x n = b (22 ) ⎨ ⎪ KKKKKKKKKKK ⎪ x n = b (nn ) ⎩

(1.30)

либо систему трапециевидной (ступенчатой) формы

(1) ⎧x 1 + a 12 x 2 + K + a 1(1k) x k + K + a 1(1n) x n = b1(1) , ⎪ (2 ) (2 ) (2 ) ⎪ + + + = x K a x a x b 2 k n 2 n 2 2 k ⎨ ⎪ KKKKKKKKKKKKKKK ⎪ x k + K + a (knk ) x n = b (kk ) ⎩

(1.31)

В случае треугольной системы из последнего уравнения (1.30) следует, (n ) что x n = b n . Подставляя это значение в предпоследнее уравнение системы (1.30), найдем неизвестное x n −1 . Подставляя значения

x n −1 в

предыдущее уравнение, найдем значение неизвестного x n − 2 и т.д. Таким образам, если данная система (1.27) с помощью элементарных преобразований приводится к системе треугольной формы, то система имеет единственное решение (т.е. система совместна и определенна). В случае системы ступенчатой формы (1.31), перенося все слагаемые, содержащие неизвестные x k +1 , K , x n в правую часть уравнений, получим систему вида (1) ⎧x 1 + a 12 x 2 + K + a 1(1k) x k = b1(1) − a 1(1k)+1 x k +1 − K − a 1(1n) x n , ⎪ ⎪ x 2 + K + a (22k) x k = b (22 ) − a (22k)+1 x k +1 − K − a (22n) x n ⎨ ⎪ KKKKKKKKKKKKKKKKKKK ⎪ x k = b (kk ) − a (kkk )+1 x k +1 − K − a (knk ) x n ⎩

(1.32)

Из (1.32) следует, что значения неизвестных x 1 , x 2 , K , x k выражаются

через значения неизвестных x k +1 , K , x n . Так как последним неизвестным, называемым свободными неизвестными, можно придавать любые произвольные значения, то система (1.32), а вместе с ней и данная система (1.27), имеет бесконечное множество решений. Итак, если данная система приводится к трапециевидной форме, то она имеет бесконечное множество решений (т.е. система совместна и неопределенна). Найденные решения, записанные в форме 30

x 1 = ϕ1 (x k +1 , x k + 2 , K , x n ), x 2 = ϕ 2 (x k +1 , x k + 2 , K , x n ), K , x k = ϕ k (x k +1 , x k + 2 , K , x n ), где x k +1 , x k + 2 , K , x n − любые числа,

называются общими решениями системы. Решения, полученные из общих решений при конкретных значениях свободных неизвестных x k +1 , x k + 2 , K , x n , называются частными решениями. Заключение. Матричный способ решения систем линейных уравнений, как и решение методом Крамера, применим только для особых систем линейных уравнений, в которых количество неизвестных совпадает с количеством уравнений. Метод Гаусса применим для решения произвольных систем линейных уравнений и, следовательно, является универсальным методом. Этот метод позволяет существенно упростить и сам процесс поиска решений, если все промежуточные преобразования осуществить над специальной матрицей B составленной из коэффициентов системы (1.27) и ее свободных членов.

⎛ a 11 ⎜ ⎜a B = ⎜ 21 ... ⎜ ⎜a ⎝ m1

a 12 a 22 ... a m2

a 1n b1 ⎞ ⎟ ... a 2 n b 2 ⎟ . ... ... ... ⎟ ⎟ ... a mn b m ⎟⎠ ...

Матрица В называется расширенной матрицей системы. Она позволяет заменить элементарные преобразования системы уравнений на соответствующие элементарные преобразования над своими строками, что существенно сокращает процесс поиска решении. ПРИМЕР 1.18 Решить систему уравнений методом Гаусса.

⎧ x 1 + 2 x 2 − x 3 + x 4 = 2, ⎪ 2 x − x + 3x − x = 3, ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪- 3x 1 + 2 x 2 − 4 x 3 + 6 x 4 = 5, ⎪⎩ x 1 − x 2 + x 3 + 2 x 4 = 6. Решение. Построим расширенную матрицу системы

2 −1 1 ⎛ 1 ⎜ ⎜ 2 −1 3 −1 B=⎜ −3 2 −4 6 ⎜ ⎜ 1 −1 1 2 ⎝

2⎞ ⎟ 3⎟ 5⎟ ⎟ 6 ⎟⎠

Исключая с помощью первой строки неизвестное x 1 из всех оставшихся строк матрицы B , получим

⎛1 2 −1 1 ⎜ ⎜0 − 5 5 − 3 B≈⎜ 0 8 −7 9 ⎜ ⎜0 − 3 2 1 ⎝

2⎞ ⎟ − 1⎟ = B1 , 11 ⎟ ⎟ 4 ⎟⎠

где символ ≈ есть символ элементарного преобразования матрицы. Исключая с помощью второй строки неизвестное x 2 из всех последующих строк матрицы B1 , получим

2 ⎞ ⎛1 2 −1 1 ⎜ ⎟ − − − 0 5 5 3 1 ⎜ ⎟ B1 ≈ ⎜ = B2 . 0 0 1 21 5 47 5 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 − 1 14 5 23 5 ⎟ ⎝ ⎠ Исключая с помощью третьей строки неизвестное x 3 из четвертой строки, получим:

2 ⎞ ⎛1 2 −1 1 ⎜ ⎟ − 3 −1 ⎟ ⎜0 − 5 5 B2 ≈ ⎜ = B3 . 0 0 1 21 5 47 5 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 0 0 7 14 ⎟⎠ ⎝ Матрица B 3 имеет треугольную форму. Следовательно, заданная система

⎧ x 1 + 2 x 2 − x 3 + x 4 = 2, ⎪ − 5x + 5x − 3x = −1, ⎪ 2 3 4 эквивалентна системе ⎨ x 3 + (21 5)x 4 = 47 5, ⎪ ⎪⎩ 7 x 4 = 14. Последовательно вычисляя x 4 из последнего уравнения, далее x 3 из третьего, x 2 из второго и x 1 из первого уравнения этой системы найдем, что x 4 = 2 , x 3 = 1 , x 2 = 0 , x 1 = 1 . Итак, заданная система имеет единственное решение x 1 = 1 , x 2 = 0 , x 3 = 1 , x 4 = 2 . ПРИМЕР 1.19 Решить систему уравнений

⎧ − x 1 + 2x 2 − x 3 + x 4 = 1, ⎪ 2x − x + x − 3x = −1, ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪ 2 x 1 + 4 x 2 − 2 x 3 = 4, ⎪⎩ x 1 + 3x 2 − 2x 3 + 2 x 4 = 4. Решение. Построим расширенную матрицу системы 32

⎛−1 2 −1 1 ⎜ ⎜ 2 −1 1 − 3 B=⎜ 2 4 −2 0 ⎜ ⎜1 3 −2 2 ⎝ ⎛−1 ⎜ ⎜ 0 ≈⎜ 0 ⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎝ ⎛−1 ⎜ ≈⎜ 0 ⎜ 0 ⎝

2 3 0 0 2 3 0

1 ⎞ ⎛−1 ⎟ ⎜ − 1⎟ ⎜ 0 ≈ 4⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 0

−1 1 1 ⎞ ⎟ ⎛−1 −1 −1 1 ⎟ ⎜ 4 14 10 ⎟ ⎜ 0 ≈⎜ − 3 3 3⎟ ⎜ 0 4 14 10 ⎟ ⎜ 0 − ⎟ ⎝ 3 3 3⎠ − 1 1 1⎞ ⎟ − 1 − 1 1⎟ − 2 7 5 ⎟⎠

−1

1 1⎞ ⎟ 3 −1 −1 1⎟ ≈ 8 − 4 2 6⎟ ⎟ 5 − 3 3 5 ⎟⎠ 2

2 −1 1 1 ⎞ ⎟ 3 −1 −1 1 ⎟ ≈ 0 − 4 14 10 ⎟ ⎟ 0 0 0 0 ⎟⎠

Таким образом, заданная система эквивалентна системе,

⎧− x 1 + 2 x 2 − x 3 + x 4 = 1, ⎪ 3x 2 − x 3 − x 4 = 1, ⎨ ⎪ - 2x 3 + 7 x 4 = 5. ⎩ которая имеет ступенчатый вид, и, следовательно, имеет бесконечное множество решений. Выразим переменные x 1 , x 2 , x 3 через x 4 :

7x 4 − 5 ; 2 1 + x 3 + x 4 ⎛ 7x 4 − 5 9x − 3 3x 4 − 1 ⎞ x2 = + x4 ⎟ 3 = 4 = ⎜1 + = ; 3 2 6 2 ⎝ ⎠ 7x − 5 x +1 + x4 −1 = 4 x 1 = 2 x 2 − x 3 + x 4 − 1 = 3x 4 − 1 − 4 . 2 2 x3 =

Итак, общим решением данной системы будет

x4 +1 3x − 1 7x − 5 , x2 = 4 , x3 = 4 , x 4 − любое число. 2 2 2 Полагая, в частности, x 4 = 3 найдем, что x 1 = 2, x 2 = 4, x 3 = 8 . Тогда x 1 = 2, x 2 = 4, x 3 = 8 , x 4 = 3 будет одним из частных решений системы. x1 =

1.6 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1.6.1 Скалярные и векторные величины ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.18 Величина, определяемая заданием своего численного значения, называется скалярной величиной. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.19 Величина, определяемая заданием своего численного значения и направления, называется векторной величиной. Примерами скалярных величин являются длина, площадь, объем, масса, температура и др. Скалярные величины обозначаются символами a , b, K, A, BK и изображаются точками соответствующей числовой оси. Примерами векторных величин являются сила, скорость, ускорение и др. Векторные величины изображаются с помощью векторов - направленных отрезков, т.е. таких отрезков, у которых одна из ограничивающих их точек принята за начало вектора, а другая за его конец. Пусть точка A есть начало вектора, а точка B его конец, тогда этот вектор обозначается символом AB и изображается с помощью стрелки (рис.1.1).

A Рис. 1.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.20 Вектор может быть обозначен также одним из символов a , b, c, K . Расстояние между началом и концом вектора называется длиной вектора или его модулем. Модуль вектора обозначается символами

AB , a , K ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.21 Вектор, начало которого совпадает с его концом, называется нулевым и обозначается 0 . Нулевой вектор не имеет определенного направления и его 0 = 0 . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.22 Векторы, расположенные на одной прямой или параллельных прямых, называются коллинеарными. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.23 Векторы, расположенные на одной плоскости или на параллельных плоскостях, называются компланарными.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.24 Два вектора a и b называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковую длину. Равенство векторов записывается в виде a = b . Из определения равенства векторов следует, что вектор можно перенести параллельно самому себе из одной точки пространства в любую другую его точку. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.25 Вектор − a называется противоположным

( )

вектором для вектора a , если он ему коллинеарен, имеет одинаковую с a длину, но направлен в противоположную сторону. Векторы a и − a называются взаимно противоположными векторами. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.26 Вектор, длина которого равна единице, 0

называется единичным вектором и обозначается символом a . 1.6.2 Линейные операции над векторами ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.27 Операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями над векторами. Сложение векторов ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.28 Суммой векторов a и b называется третий вектор c = a + b , начало которого совпадает с началом вектора a , а конец – с концом вектора b , при условии, что начало вектора b приложено к концу вектора a (рис. 1.2).

c=a+b b

a Рис. 1.2

a Рис.1.3

Сумма векторов может быть найдена и по правилу параллелограмма (рис. 1.3). Из определения суммы векторов следует, что сложение векторов подчиняется переместительному закону a + b = b + a . Действительно, пусть MP = a , MN = b и MNQP есть параллелограмм. Тогда

NQ = a ,

MQ = MN + + NQ = b + a . Отсюда, a + b = b + a . 35

PQ = b и MQ = MP + PQ = a + b ,

Понятие суммы векторов, введенное для двух векторов, можно обобщить на сумму любого конечного числа слагаемых. Например, если заданы три вектора a 1 , a 2 и a 3 , то суммой этих векторов называется вектор a 1 + a 2 + a 3 ,

(

)

определяемый по правилу a 1 + a 2 + a 3 = a 1 + a 2 + a 3 . Аналогично, если заданы векторы a 1 , a 2 , K , a k , где k > 3, k ∈ N , то суммой этих векторов называется вектор a 1 + a 2 + K + a k = a 1 + a 2 + K + a k −1 + a k . Покажем, что сложение векторов подчиняется сочетательному закону a + b + c = a + b + c (рис. 1.4).

(

)

(

)

Рис. 1.4 Пусть MN = a , NP = b , PQ = c . Тогда MP = a + b, NQ = b + c ,

MQ = MP + PQ = (a + b ) + c , MQ = MN + NQ = a + (b + c ). Следовательно, a+b +c=a+ b+c .

(

)

(

)

Разность векторов ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.29 Разностью векторов a и b называется такой вектор c = a − b , что a = b + c . Для построения вектора a − b по данным векторам a и b можно воспользоваться одним из способов, сущность которых пояснена на рис. 1.5 и рис. 1.6

Рис 1.6

Рис 1.5

Умножение вектора на число ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.30 Пусть даны вектор a и число λ . Произведением вектора a на число λ называется вектор λ a , коллинеарный вектору a , имеющий длину λ a = λ a и то же направление, что и вектор a , если λ > 0 , и противоположное направление, если λ < 0 . Если λ = 0 , то λ a = 0 . Следствие 1 . Из определения умножения вектора на число следует, что если b = λ a , то векторы b и a коллинеарны. Очевидно, что если a и

b коллинеарные векторы, то b = λ a . Таким образом, два вектора a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство b = λ a . Следствие 2. Противоположный вектор − a можно рассматривать как произведение вектора a на λ = −1 , то есть − a = (− 1) a 0

Следствие 3. Пусть дан вектор a . Рассмотрим вектор a , коллинеарный a , направленный, как a , имеющий длину, равную единице. Тогда, согласно операции умножения вектора на число, следует, что

a=aa

(1.33)

Умножение вектора на число подчиняется распределительным законам

(

)

λ a + b = λ a + λ b, (λ1 + λ 2 ) a = λ1 a + λ 2 a и сочетательному закону (λ1 ⋅ λ 2 ) a = λ1 λ 2 a .

(

)

Покажем, например, справедливость первого из распределительных законов. Построим на векторах MN = a , MQ = b параллелограмм MNPQ , на

′

векторах MN = λ a , MQ = λ b параллелограмм MN ′P ′Q′ (рис. 1.7). Из

(

)

подобия этих параллелограммов следует, что λ a + b = λ a + λ b .

Рис. 1.7 Аналогично можно убедиться и в справедливости оставшихся законов. ПРИМЕР 1.20 Точка O является центром тяжести треугольника ABC . Доказать, что OA + OB + OC = 0 . Решение. Известно, что центр тяжести треугольника находится в точке пересечения его медиан. Обозначим через P середину стороны AC и построим вектор OP (рис. 1.8).

Рис. 1.8 Тогда, согласно операции умножения вектора на скаляр и свойства медианы, получим OP =

1 1 BP = − OB . Построим на векторах OA и OC 3 2

параллелограмм OADC (рис. 1.8). Тогда, согласно операции сложения векторов, OD = OA + OC . Точка P является точкой пересечения диагоналей этого параллелограмма. Следовательно, OP =

OP =

(

)

1 OD или 2

1 OA + OC . Итак, 2

( )

(

)

1 1 OB = OA + OC . 2 2 1 1 Отсюда OA + OC + OB = 0 ⇔ OA + OB + OC = 0 . 2 2 OP = −

(

)

1.6.3 Угол между векторами. Проекция вектора на ось Пусть заданы векторы a и b . Выберем в пространстве произвольную точку O и отложим от этой точки векторы OA = a и OB = b . Углом между векторами a и b называется наименьший угол ϕ (0 ≤ ϕ ≤ π) , на который нужно повернуть один из заданных векторов до его совпадения со вторым (рис. 1.9).

Рис. 1.9 Пусть в пространстве заданы вектор AB и ось l (рис. 1.10).

Рис. 1.10 Обозначим через A 1 и B1 проекции на ось l точек A и B соответственно. Построим вектор A 1 B1 и назовем его компонентом вектора

AB по оси l .

Проекцией вектора AB на ось l называется длина его компоненты A1 B1 по этой оси, если компонента направлена в ту же сторону, что и ось l ; 39

противоположное число, если компонента и ось имеют разные направления; нуль, если компонента есть нулевой вектор. Проекция вектора на ось обозначается в виде пр l AB или пр l a . Выберем на оси l единичный вектор e имеющий то же направление, что и ось l . Углом между векторами AB и e называется угол между вектором AB и осью l . Теорема 1.7. Проекция вектора a на ось l равна модулю вектора a , умноженному на косинус угла ϕ между вектором и осью:

пр l a = a cos ϕ .

(1.34)

Доказательство: Пусть a = AB и A 1 B1 является компонентой вектора

AB на ось l (рис. 1.11).

Рис. 1.11 Если угол ϕ между a и осью острый, то компонента A 1 B1 направлена в ту же сторону, что и ось l . Тогда пр l a = пр l AB = A1B1 . Из треугольника

ABC

следует,

пр l a = a cos ϕ . Если

же

что

π < ϕ ≤ π, 2

A1B1 = AC = AB cos ϕ = a cos ϕ .

то

компонента

A1B1

Тогда

направлена

l сторону. Следовательно, пр l a = пр l AB = − A1B1 . Из треугольника ABC следует, что A1B1 =

противоположную

по

отношению

оси

= AC = AB cos(π − ϕ) = − AB ⋅ cos ϕ . Тогда пр l a = − A1B1 =

= AB cos ϕ = a cos ϕ . π , то компонента есть нулевой вектор. Тогда и пр l a = 0 . 2 Итак, для любых углов ϕ(0 ≤ ϕ ≤ π ) пр l a = a cos ϕ . Опираясь на Если ϕ =

ранее рассмотренные линейные операции над векторами, можно убедиться, что 40

для проекций векторов на ось справедливы следующие теоремы (без доказательств). Теорема 1.8. Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекции слагаемых векторов на ту же ось: пр l a 1 +a 2 + K + a k = пр l a 1 + пр l a 2 + K + пр l a k . (1.35)

(

)

Теорема 1.9. Если вектор a умножить на число λ , то его проекция на ось умножится на это число: пр l λ a = λ пр l a . (1.36)

( )

1.6.4 Линейная комбинация векторов. Базис ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.31 Пусть заданы векторы a 1 , a 2 ,K , a k и числа

λ1 , λ 2 , K , λ k . Выражение λ1 a 1 + λ 2 a 2 + K + λ k a k называется линейной комбинацией векторов a 1 , a 2 ,K , a k . Очевидно, что линейная комбинация

векторов является вектором. Рассмотрим особый случай, когда λ1 a 1 + λ 2 a 2 + K + λ k a k = 0 . (1.37) ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.32 Если равенство (1.37) возможно только при всех λ1 , λ 2 , K , λ k , равных нулю, то векторы a 1 , a 2 ,K , a k называются линейнонезависимыми. Если же это равенство справедливо не при всех λ i = 0 , где i = 1,2, K, k , то векторы называются линейно-зависимыми. Пусть a 1 , a 2 ,K , a k линейно-зависимы. Тогда среди λ i найдется хотя бы одно не равное нулю число. Пусть λ 1≠ 0 . Разделив обе части равенства (1.37) на λ1 , получим

λ λ λ2 a 2 − 3 a 3 − K − k a k = μ 2 a 2 + μ 3a 3 + K + μ k a k , λ1 λ1 λ1 λ λ λ где μ 2 = − 2 , μ 3 = − 3 , K, μ k = − k . λ1 λ1 λ1 Выражение μ 2 a 2 + μ 3 a 3 + K + μ k a k является линейной комбинацией векторов a 2 , a 3 , K , a k . Итак, если векторы линейно-зависимы, то хотя бы a1 = −

один из них является линейной комбинацией остальных. Справедливо и обратное утверждение: если хотя бы один вектор является линейной комбинацией других векторов, то вся группа векторов линейнозависима. Пусть, например, a 1 = μ 2 a 2 + μ 3 a 3 + K + μ k a k .

Тогда − a 1 + μ 2 a 2 + μ 3 a 3 + K + μ k a k = 0 и коэффициент при a 1 отличен от нуля. Это означает, что вектора a 1 , a 2 ,K, a k линейно-зависимы. Примерами линейно-зависимых векторов являются любые два вектора прямой; любые три вектора плоскости; любые четыре вектора пространства (рис. 1.12-1.13).

Рис. 1.12

Рис. 1.13

В то же время два неколлинеарных вектора a 1 и a 2 плоскости (рис. 1.13) или три некомпланарных вектора a 1 , a 2 , a 3 пространства (рис. 1.14) являются примерами линейно-независимых векторов.

Рис. 1.14 ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.33 Любая группа, составленная из максимального числа линейно-независимых векторов некоторого пространства R n , называется базисом этого пространства. Число векторов базиса называется 1 размерностью пространства. Так, базисом на прямой (пространство R ) 42

является любой ненулевой вектор этой прямой. Размерность прямой равна 2 единице. Базисом на плоскости (пространство R ) являются любые два неколлинеарных вектора этой плоскости. Размерность плоскости равна двум. 3 Базисом в объемном пространстве (пространство R ) являются любые три некомпланарные вектора. Размерность этого пространства равна трем. n

Пусть векторы a 1 , a 2 ,K , a n образуют базис R . Тогда любой вектор a этого пространства является линейной комбинацией базисных векторов, то есть a = λ1 a 1 + λ 2 a 2 + K + λ n a n . (1.38) Представление вектора a в форме (1.38) называется разложением этого вектора по базисным векторам. Числа λ1 , λ 2 , K , λ n разложения называются координатами вектора a

по базису a 1 , a 2 ,K , a n . Этот факт записывается в виде a = {λ1 ; λ 2 ;K λ n }.

Векторы λ1 a 1 , λ 2 a 2 , K , λ n a n называется компонентами вектора a по

базисным векторам a 1 , a 2 , K a n .

a 1 , a 2 , K a n , образующие базис, имеют общее начало 0 и вектор a = OM , где M − некоторая точка пространства, то числа λ1 , λ 2 , K, λ n называются также координатами этой точки. Этот факт записывают в виде M (λ1 ; λ 2 ;K; λ n ) . Если векторы

1.6.5 Прямоугольная декартова система координат ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.34 Пусть в пространстве R

векторы a 1 , a 2 , a 3

образуют базис этого пространства. Выберем в R произвольную точку O и отложим с началом в этой точке базисные векторы. Совокупность точки O и 3 трех базисных векторов называется системой координат в пространстве R . 3

Ввиду произвольности выбора точки и выбора базисных векторов в R можно построить бесконечное множество систем координат. Выберем в качестве базисных векторов три взаимно перпендикулярных единичных вектора 0

i = a 1 , j = a 2 , k = a 3 . Совокупность точки O и базисных векторов i, j, k называется прямоугольной декартовой системой координат в пространстве

R 3. 3

Выберем в R произвольную точку M и построим вектор OM . Так как векторы i, j, k образуют базис, то согласно (1.38) вектор OM можно разложить на компоненты по этому базису: OM = λ1 i + λ 2 j + λ 3 k , (1.39) 43

где λ1 , λ 2 , λ 3 − координаты вектора OM в заданном базисе. Проведем через точку O в направлении векторов i, j, k оси 0X,0Y, 0 Z соответственно и спроектируем вектор OM на каждую из осей (рис. 1.15). Пусть точки M1 , M 2 , M 3 есть проекции точки M на оси абсцисс, ординат и аппликат соответственно.

Рис. 1.15 Тогда

OM = OM1 + OM 2 + OM 3 = пр OX OM i + пр OY OM j + пр OZ OM k . (1.40) Из сравнения (1.40) с (1.39) следует, что координаты вектора OM определяется по формулам λ1 = прox OM, λ 2 = прoy OM, λ 3 = прoz OM. . В прямоугольной декартовой системе эти координаты принято обозначать через x , y, z соответственно и называть прямоугольными декартовыми координатами вектора OM или декартовыми координатами 3

точки M ∈ R . Итак,

OM = λ1 i + λ 2 j + λ 3 k = x i + y j + z k = {x; y; z}.

Координаты точки M ∈ R

(1.41)

записываются в форме M ( x; y; z) Пусть

вектор a = OM задан в координатной форме a = {x; y; z}. Так как этот вектор совпадает с диагональю прямоугольного параллелепипеда (рис.1.15), то его длина равна длине этой диагонали. Следовательно,

a = OM = x 2 + y 2 + z 2

(1.42)

Обозначим через α, β, γ углы, между вектором OY, OY, OZ . Тогда из прямоугольных треугольников OMM1 , OMM 2 , OMM 3 получим

cos α =

x 2

x +y +z

, cos β =

y 2

x +y +z

a и осями координат

cos γ =

z 2

x +y +z

(1.43)

α , β , γ , определяемые по (1.43), называются направляющими косинусами вектора a . Нетрудно проверить, ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.35 Косинусы углов

что направляющие косинусы связаны между собой соотношением

cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

(1.44) ПРИМЕР 1.21 Доказать, что в прямоугольной декартовой системе координат векторы i, j, k имеют координаты

i = {1;0;0}, j = {0;1;0}, k = {0;0;1}.

Доказательство. Так как векторы i, j, k декартовой

системы

координат,

образуют базис прямоугольной

то

i⊥ j, i⊥k , j⊥k , i = j = k = 1.

Следовательно, пр i i = 1, пр j i = 0, пр k i = 0 Но пр i i = пр OX i, пр j i = пр OY i, пр k i = пр O Z i По формуле (1.38) получим, что

(

) (

)

i = пр OX i i + пр OY i j + пр OZ i k = 1i + 0 j + 0k = {1;0;0}.

Аналогично доказываются оставшиеся равенства. 1.6.6 Линейные операции над векторами, заданными в координатной форме

Пусть векторы a 1 и a 2 заданы в координатной форме:

a 1 = {x 1 ; y1 ; z1 } = x 1 i + y1 j + z1 k,

a 2 = {x 2 ; y 2 ; z 2 } = x 2 i + y 2 j + z 2 k.

(1.45)

Непосредственно из теорем 1.5 и 1.6 о проекциях векторов на ось и определения координат вектора (1.38) вытекают правила: a 1 = a 2 , если x 1 = x 2 , y1 = y 2 , z1 = z 2 ; (1.46)

a 1 + a 2 = (x 1 + x 2 )i + (y1 + y 2 ) j + (z1 + z 2 )k; a 1 − a 2 = (x 1 − x 2 )i + (y1 − y 2 ) j + (z1 − z 2 )k; λ a 1 = λ x 1 i + λ y1 j + λ z1 k , где λ ∈ R

ПРИМЕР 1.22 (Условие коллинеарности двух векторов). Установить условие коллинеарности векторов a 1 и a 2 , если

a 1 = {x 1 ; y1 ; z1 }, a 2 = {x 2 ; y 2 ; z 2 }. 45

(1.47) (1.48) (1.49)

Решение. Так как векторы коллинеарны, то некоторое число. Согласно (1.46) - (1.49) имеем

a 1 = λ a 2 , где λ −

x 1 i + y1 j + z 1 k = λ x 2 i + λ y 2 j + λ z 2 k ⇔ x y z ⇔ x = λ x 2 , y1 = λ y 2 , z 1 = λ z 2 ⇒ λ = 1 = 1 = 1 x 2 y2 z2

(1.50)

Легко проверяется, что если координаты векторов удовлетворяют равенствам (1.50), то a 1 = λ a 2 Равенства (1.50) называются условием коллинеарности двух векторов. ПРИМЕР 1.23 (Координаты единичного вектора). Определить координаты единичного вектора a , если a = {x; y; z}. 0

Решение. Согласно формуле (1.33) a = a a ⇒ 0

⇒a = =

1 a

xi + y j + z k 2

x +y +z z y x k. j+ i+ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x +y +z x +y +z x +y +z

Из (1.43) следует, что

a = cos α i + cos β j + cos γ k = {cos α; cos β; cos γ}. 0

Под простейшими задачами аналитической геометрии понимаются задачи определения расстояния между двумя точками и деления некоторого отрезка в данном отношении. Задача определения расстояния между двумя точками 3 Пусть в пространстве R заданы своими координатами две точки M1 (x 1 ; y1 ; z1 ) и M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2 ). Построим векторы OM1 , OM 2 , M1M 2 (рис. 1.16).

Рис 1.16 .

Тогда OM1 = {x 1 ; y1 ; z1 }, OM 2 = {x 2 ; y 2 ; z 2 }, M1M 2 = OM 2 − OM1 Согласно правилу (1.48) M1M 2 = (x 2 − x 1 )i + (y 2 − y1 ) j + (z 2 − z1 )k . Так как длина вектора M1M 2 равна расстоянию между точками M1 и

M 2 , то d = M1M 2 =

(x 2 − x 1 )2 + (y 2 − y1 )2 + (z 2 − z1 )2

(1.51)

Заметим, что в процессе решения этой задачи установлена формула определения координат вектора, если заданы координаты его начальной и конечной точек: M1M 2 = (x 2 − x 1 )i + (y 2 + y1 ) j + (z 2 − z1 )k (1.52) Задача деления отрезка в данном отношении

Пусть даны две точки M1 (x 1 ; y1 ; z1 ) и M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2 ) . Требуется на прямой M 1M 2 (рис. 1.17) найти точку M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) , которая разделила бы

отрезок

[M1M 2 ]

заданном

отношении

λ , т.е. так, что

M1M 0 = λ M 0 M 2 . Согласно формуле (1.52) M1M 0 = {x 0 − x 1 ; y 0 − y1 ; z 0 − z1 }, M 0 M 2 = {x 2 − x 0 ; y 2 − y 0 ; z 2 − z 0 }. Тогда по правилу (1.49) равенство M1M 0 = λ M 0 M 2 примет вид x 0 − x 1 = λ (x 2 − x 0 ), y 0 − y1 = λ (y 2 − y 0 ), z 0 − z1 = λ (z 2 − z 0 ) . Определяя x 0 , y 0 , z 0 из этих равенств, получим x + λ x2 y + λ y2 z + λ z2 x0 = 1 , y0 = 1 , z0 = 1 , (1.53) 1+ λ 1+ λ 1+ λ где λ ∈ R , λ ≠ −1 . 47

Рис. 1.17 Формулы (1.53) являются формулами деления отрезка в данном отношении. В частности, при λ = 1 получим формулы деления отрезка пополам:

x1 + x 2 y + y2 z + z2 . (1.54) , y0 = 1 , z0 = 1 2 2 2 ПРИМЕР 1.24 Вершины треугольника ABC имеет координаты A(2;4;0), B(0;3;5), C(2;5;7) . Найти длину медианы AD этого треугольника. Решение. Точка D делит отрезок [BC] пополам. Тогда, согласно формул x0 =

(1.54), получим:

xB + xC 0 + 2 y + yC 3 + 5 = 4, = = 1, y D = B = 2 2 2 2 z + zC 5 + 7 zD = B = = 6. 2 2 xD =

Искомое расстояние найдем по формуле (1.51)

d = AD = ( x D − x A ) 2 + ( y D − y A ) 2 + (z D − z A ) 2 = = 1 + 0 + 36 = 37 . 1.6.7 Скалярное произведение векторов

Пусть даны два вектора a и b . В векторной алгебре рассматриваются два вида умножения векторов: скалярное, результатом которого является число, и векторное, результатом которого является вектор. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.36 Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное произведению модулей перемножаемых векторов на косинус угла ϕ между ними (рис.1.18). Скалярное произведение обозначается символом a b . Итак, 48

a b = a b cos ϕ .

(1.55)

Рис. 1.18

b cos ϕ = п р a b, a cos ϕ = п р b a ,

Так как

то a b = a п р a b = b п р b a.

(1.56)

Из (1.56) следует, что скалярное произведение векторов a и b равно модулю одного из векторов, умноженному на проекцию другого на направление первого вектора. Свойства скалярного произведения векторов:

1) a b = b a; 2) a b = 0 , если a⊥ b или хотя бы один из векторов есть нулевой вектор (справедливо и обратное утверждение); 2

3) a a = a ; 4) λ (a b) = (λ a ) b = a (λ b) для ∀λ ∈ R ;

(

)

5) a + b c = a c + b c. Справедливость первых четырех свойств непосредственно следует из определения скалярного произведения. Докажем справедливость распределительного свойства 5. Согласно формуле (1.56) и теореме 1.5 о проекции имеем

(a + b )c = c пр с (a + b ) = c ( пр с a + пр с b) = c пр с a + c пр с b =

= c a + c b = a c + b c. Пусть векторы a и b заданы своими координатами: a = x 1 i + y 1 j + z 1 k , b = x 2 i + y 2 j + z 2 k. Найдем скалярное произведение a b . Вычислим предварительно скалярные произведения единичных векторов. Имеем ii = i i cos 0 = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1, j j = 1, k k = 1. Векторы i, j, k взаимно перпендикулярны. Тогда, согласно свойству 2, их произведения друг на друга равны нулю. 49

Используя распределительный закон скалярного произведения, получим

(

)(

)

a b = x 1 i + y 1 j + z 1 k x 2 i + y 2 j + z 2 k = x 1 x 2 ii + x 1 y 2 i j + x 1 z 2 i k + + y1 x 2 i j + y1 y 2 j j + y1z 2 jk + z1 x 2 k i + z1 y 2 k j + z1z 2 k k = = x 1 x 2 + y1 y 2 + z 1 z 2

Итак, если векторы a и b заданы своими координатами, то a b = x 1 x 2 + y1 y 2 + z1 z 2 .

(1.57)

π , то a b = 0 или 2 x 1 x 2 + y1 y 2 + z 1 z 2 = 0 .

Следствие 1. Если ϕ =

Условие векторов,

(1.58)

называется

(1.58) перпендикулярности двух

условием

Следствие 2. Так как a b = a b cos ϕ ,то

cos ϕ =

ab ab

x 1 x 2 + y1 y 2 + z 1 z 2 2

x 1 + y1 + z 1

x 2 + y2 + z2

(1.59)

ПРИМЕР 1.25 Вычислить работу по перемещению материальной точки вдоль отрезка, из точки B(1;−2;3) в точку С(3;4;2) под действием постоянной

по величине и направлению силы F = {2;1;5}. Решение. Из курса физики известно, что работа A , совершаемая при указанных в примере условиях, находится по формуле A = F ⋅ S = F⋅ BC. Так как BC ={2;6;−1}, F = {2;1;5}, то

A = FBC = 2 ⋅ 2 + 1 ⋅ 6 + 5 ⋅ (−1) = 5.

Ответ: 5.

ПРИМЕР 1.26 Даны вершины треугольника A ( −1;−2;4), B( −4;−2;0) и C(3;−2;1) . Определить внутренний угол треугольника при вершине B (рис. 1.19).

Рис. 1.19

Решение.

Построим векторы BA = {3;0;4}, BC = {7;0;1} . Тогда

BC .

Имеем

∧ 3 ⋅ 7 + 0 ⋅ 0 + 4 ⋅1 ⎛ ⎞ BA BC = = cos ϕ = cos⎜ BA , BC ⎟ = 9 + 0 + 16 49 + 0 + 1 ⎝ ⎠ BA BC

25 2 π = ⇒ϕ= . 2 4 5 50

π 4

Ответ: .

Из приведенных примеров следует, что скалярное произведение векторов широко применяется в геометрии при поиске величин углов, в физике - при определении работы. 1.6.8 Векторное произведение векторов ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.37 Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c , удовлетворяющий условиям: 1) длина вектора c численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b как на сторонах, т.е.

⎛ ∧ ⎞ c = a b sin ⎜ a , b ⎟; ⎝ ⎠ 2) вектор c перпендикулярен обоим векторам a и b ; 3) вектор c направлен в ту сторону, что если смотреть из его конца вдоль вектора, то кратчайший поворот вектора а к вектору b виден совершающимся против движения часовой стрелки. Векторное произведение вектора a на вектор b обозначаемся символом a × b . Введем декартовую систему координат и рассмотрим векторные произведения единичных векторов i, j, k . Покажем, что i × j = k . Действительно, если c = i × j , то по определению векторного произведения:

π =1= k; 2 ⎝ ⎠ 2) c⊥i, c⊥ j. Но и k⊥i, k⊥ j. 3) если смотреть с конца вектора c или k , то кратчайший поворот вектора i к вектору j виден происходящим против движения часовой ⎛

∧

⎞

1) c = i j sin ⎜ i , j ⎟ = sin

стрелки (рис. 1.20).

Рис. 1.20 Итак, c = k . Следовательно, i × j = k. Аналогично доказывается, что

j × i = − k, j × k = i, k × i = j, i × k = − j, i × i = 0, j × j = 0, k × k = 0

(1.60)

Повторив вышеприведенные рассуждения для произвольных векторов a и b можно убедиться, что векторное произведение обладает свойствами: 1) a × b = − b × a ;

(

) 2) λ (a × b ) = (λ a )× b = a × (λ b ) для ∀λ ∈ R ; 3) a × a = 0;

4) a × b = 0 , если a = λ b или хотя бы один из векторов есть нулевой вектор; 5) a × b + c = a × b + a × c. Найдем выражение для векторного произведения векторов, заданных своими координатами. Пусть a = {x 1 ; y1 ; z1 }, b = {x 2 ; y 2 ; z 2 }. Тогда, согласно свойствам 2,3,4 и равенствам (1.60), получим

(

)

) (

)

a × b = x 1 i + y1 j + z 1 k × x 2 i + y 2 j + z 2 k = x 1 x 2 i × i + x 1 y 2 i × j + + x 1 z 2 i × k + x 2 y 1 j × i + y 1 y 2 j × j + y1 z 2 j × k + x 2 z 1 k × i + y 2 z 1 k × j + + z 1 z 2 k × k = x 1 y 2 k − x 1 z 2 j − x 2 y1 k + y 1 z 2 i + x 2 z 1 j − y 2 z 1 i =

= (y1z 2 − y 2 z1 )i − (x 1z 2 − x 2 z1 ) j + (x 1 y 2 − x 2 y1 )k = y = 1 y2

z1 x i− 1 z2 x2

z1 x j+ 1 z2 x2

i y1 k = x1 y2 x2

j y1 y2

Итак, если a = {x 1 ; y1 ; z1 }, b = {x 2 ; y 2 ; z 2 }, то

k z1 . z2

i a × b = x1 x2

j y1 y2

k z1 z2

(1.61)

ПРИМЕР 1.27 Сила F = {3;2;−4} приложена к точке M ( 2;−1;1) . Определить момент силы относительно начала координат. 3 Решение. Пусть точка A есть некоторая точка R . Моментом силы F , приложенной к точке M , относительно точки A называется вектор AM × F . По условию AM = OM = {2;−1;1}, F = {3;2;−4}. Тогда, согласно формуле (1.61), получим

i j k OM × F = 2 − 1 1 = 2i + 11 j + 7k . 3 2 −4

Ответ: {2;11;7}.

ПРИМЕР 1.28 Даны вершины треугольника A (1;2;0), B(3;0;−3) и C(5;2;6). Вычислить площадь этого треугольника. Решение. Найдем векторы AB, AC (рис. 1.21). Имеем:

Рис. 1.21

AB = {2;−2;−3}, AC = {4;0;6}.

AB× AC равен площади параллелограмма ABCD , то площадь S треугольника ABC найдется по формуле i j k 1 1 1 S = AB × AC = | 2 − 2 − 3 |= − 12i − 24 j + 8k = 2 2 2 4 0 6 Так как

1 1 12 2 + (−24) 2 + 8 2 = 874 = 14. 2 2

Ответ: 14

Из приведенных примеров следует, что векторное произведение в геометрии применяется при определении площадей многоугольников, в механике - при вычислении моментов. 1.6.9 Смешанное произведение векторов

Пусть даны три вектора a , b, c . Так как для векторов введены два вида произведений - скалярное и векторное, то для трех векторов относительно операции умножения существуют следующие виды произведений: 1)двойное векторное произведение, т.е. произведение, в котором вначале находится векторное произведение двух из заданных векторов, затем векторное произведение полученного вектора на третий из данных векторов. Например, вначале находится векторное произведение a × b = d , затем векторное произведение d × c = (a × b) × c ; 2)смешанное произведение, т.е. произведение, в котором вначале находится векторное произведение двух из заданных векторов, затем скалярное произведение полученного вектора на третий из данных векторов. Например, вначале находится векторное произведение a × b = d , затем скалярное произведение d ⋅ c = (a × b) ⋅ c . Двойное векторное произведение обозначается в форме (a × b) × c или в форме a × b × c. Ясно, что результатом двойного векторного произведения является вектор. Смешанное или иначе векторно-скалярное произведение обозначается символом (a × b) ⋅ c или символом a bc . Результатом смешанного произведения является число. Пусть требуется определить смешанное произведение векторов, если известны координаты этих векторов a = {x 1 ; y1 ; z1 }, b = {x 2 ; y 2 ; z 2 }, c = {x 3 ; y 3 ; z 3 }. Вычислим предварительно a × b = d. Имеем

i d = a × b = x1 x2

j y1 y2

k y z1 = 1 y2 z2

z1 x i− 1 z2 x2

z1 x j+ 1 z2 x2

y1 k. y2

Воспользовавшись формулой (1.57), найдем

d c = (a × b ) c =

y1 y2

z1 x x3 − 1 z2 x2

z1 x y3 + 1 x2 z2

y1 z3. y2

Полученное равенство, согласно теореме о разложении определителя по элементам строки, можно переписать в форме 54

x1 a × b c = x2 x3

(

)

y1 y2 y3

z1 z2 z3

(1.62)

Формула (1.62) дает выражение для смешанного произведения в координатной форме. Заметим, что в этой формуле координаты векторов a , b, c записаны соответственно в первой, второй и третьей строках определителя. Покажем, что для смешанного произведения векторов справедливы равенства a × b c = b × c a = c × a b = − a × c b = − c × b a = − b × a c (1.63)

(

) (

)

(

)

(

)

( ) Проверим, например, справедливость равенства (a × b )c = −(b × a )c.

Согласно

формуле (1.62) имеем

x2 b × a c = x1 x3

(

)

y2 y1 y3

z2 z1 z3

Как известно, при перестановке двух срок определителя знак определителя меняется на противоположный. Тогда, умножая обе части предыдущего равенства на ( −1) , получим

x2 − b × a c = − x1 x3

(

)

(

)

y2 y1 y3

z2 x1 z1 = x 2 z3 x3

y1 y2 y3

z1 z 2 = a × b c. z3

(

)

Итак, a × b c = − b × a c. Формулы (1.63) проще всего запомнить с помощью правила круговой перестановки векторов, сущность которого пояснена на рис.1.22 и 1.23.

c a

Рис Рис..1.22 1.25

Рис Рис..1.23 1.26

Выясним геометрический смысл смешанного произведения векторов a × b c . Отложим векторы a , b, c от общего начала и построим на этих векторах, как на ребрах, параллелепипед (рис.1.24).

(

)

Рис. Рис.1.24 1.27

Пусть a × b = d . Тогда, согласно определения векторного произведения векторов, модуль вектора d равен площади S параллелограмма, построенного на векторах a , b как на сторонах. Следовательно,

(a × b)c = d c cos ϕ = S c cos ϕ, где ϕ = ⎛⎜ d , c ⎞⎟ ∧

⎝

⎠

Обозначим через h высоту параллелепипеда, опущенную из конца вектора c на рассматриваемый параллелограмм, и выясним смысл произведения

c cos ϕ .

параллелограмма, тогда

c cos ϕ = h , если 0 ≤ ϕ < c cos ϕ = −h , если

Вектор

перпендикулярен

плоскости

π и 2

π ≤ ϕ < π. 2

Следовательно, если V есть объем параллелепипеда, то

(a × b)c = d c cos ϕ = S h = V , если

0≤ϕ<

π и 2

(a × b)c = d c cos ϕ = S(−h) = −V ,если π2 ≤ ϕ < π. Итак, (a × b )c = ± V или (a × b )c = V

(1.64)

Равенство (1.64) означает, что модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах. Следствие (условие компланарности трех векторов). Для того, чтобы три вектора a , b, c были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их

(

)

смешанное произведение равнялось нулю, т.е. a × b c = 0 или в координатной 56

форме

x1 x2 x3

y1 y2 y3

z1 z2 = 0 z3

(1.65)

Необходимость. Пусть векторы

a , b, c компланарны. Тогда вектор

d = a × b перпендикулярен плоскости, в которой расположены данные векторы, следовательно, перпендикулярен вектору c . Поэтому π dc = d c cos = 0. Следовательно, a × b c = 0. 2 Достаточность. Пусть векторы a , b, c таковы, что a × b c = 0.

(

)

(

)

Если предположить, что векторы не компланарны, то на них можно построить параллелепипед с объемом V ≠ 0 . Но, согласно формуле (1.64)

(

)

(

)

(

)

V = a × b c . Следовательно, a × b c ≠ 0 или, a × b c ≠ 0 , что противоречит исходному утверждению. ПРИМЕР 1.29 Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами в точках A ( 2;−1;1), B(5;5;4), C(3;2;−1), D(4;1;3). Решение. Построим три вектора AB = {3;6;3}, AC = {1;3;−2}, AD = {2;2;2} с общим началом точкой A . На этих векторах, как на ребрах, построим параллелепипед. Его объем равен

(AB× AC)AD .

Объем пирамиды V составляет шестую долю объема

параллелепипеда. Следовательно,

3 6 3 1 2 1 1 2 1 1 1 V = AB × AC AD = | 1 3 − 2 |=| 1 3 − 2 |=| 1 3 − 2 |= 6 6 2 2 2 1 1 1 0 −1 0

(

)

1 1 | = −3 = 3. 1 −2

Ответ: 3

Из геометрического смысла смешанного произведения векторов и рассмотренного примера следует, что оно широко используется при вычислении объемов любых многогранников.

УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС РАЗДЕЛ 1 «ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА»

2. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

2.1 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

⎛3 5 7⎞ ⎛1 2 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ПРИМЕР 2.1 Даны матрицы A = ⎜ 2 − 1 0 ⎟ и B = ⎜ 2 3 − 2 ⎟ ⎜ 4 3 2⎟ ⎜ −1 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ T Найти: а) A + 3 ⋅ B , б) 2 ⋅ B − A , в) A ⋅ B Решение.

5 + 3⋅ 2 7 + 3 ⋅ 4 ⎞ ⎛ 6 11 19 ⎞ ⎛ 3 + 3 ⋅1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (− 1) + 3 ⋅ 3 0 + 3 ⋅ (− 2)⎟ = ⎜ 8 8 − 6 ⎟ ; а) A + 3 ⋅ B = ⎜ 2 + 3 ⋅ 2 ⎜ 4 + 3 ⋅ (− 1) 3 + 3 ⋅ 0 2 + 3 ⋅ 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 3 5 ⎟⎠ ⎝ 2⋅2 2 ⋅ 4 ⎞ ⎛ 3 2 4⎞ ⎛ 2 ⋅1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ T б) 2 ⋅ B − A = ⎜ 2 ⋅ 2 2 ⋅ 3 2 ⋅ (− 2 )⎟ − ⎜ 5 − 1 3 ⎟ = ⎜ 2 ⋅ (− 1) 2 ⋅ 0 2 ⋅ 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 7 0 2 ⎟⎠ ⎝ 4−2 8 − 4 ⎞ ⎛ −1 2 4 ⎞ ⎛ 2−3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ 4 − 5 6 − (− 1) − 4 − 3 ⎟ = ⎜ − 1 7 − 7 ⎟; ⎜− 2 − 7 0−0 2 − 2 ⎟⎠ ⎜⎝ − 9 0 0 ⎟⎠ ⎝ в) A 3×3 ⋅ B3×3 = 3⋅ 2 + 5⋅3 + 7 ⋅0 3 ⋅ 4 + 5 ⋅ (− 2 ) + 7 ⋅ 1 ⎞ ⎛ 3 ⋅ 1 + 5 ⋅ 2 + 7 ⋅ (− 1) ⎜ ⎟ = ⎜ 2 ⋅ 1 + (− 1) ⋅ 2 + 0 ⋅ (− 1) 2 ⋅ 2 + (− 1) ⋅ 3 + 0 ⋅ 0 2 ⋅ 4 + (− 1) ⋅ (− 2 ) + 0 ⋅ 1⎟ = ⎜ 4 ⋅ 1 + 3 ⋅ 2 + 2 ⋅ (− 1) 4 ⋅ 2 + 3⋅3 + 2 ⋅ 0 4 ⋅ 4 + 3 ⋅ (− 2 ) + 2 ⋅ 1 ⎟⎠ ⎝ ⎛ 6 21 9 ⎞ ⎟ ⎜ = ⎜ 0 1 10 ⎟. ⎜ 8 17 12 ⎟ ⎠ ⎝

⎛ 3 5⎞ ⎛2 3 ⎞ ⎟⎟ и B = ⎜⎜ ⎟⎟ . Проверить ⎝ 4 1⎠ ⎝1 − 2⎠

ПРИМЕР 2.2 Даны матрицы A = ⎜⎜

справедливость свойства (A ⋅ B ≠ B ⋅ A ) . Решение.

⎛ 3 5 ⎞ ⎛ 2 3 ⎞ ⎛ 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 1 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ (− 2 )⎞ ⎛11 − 1⎞ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ A 2× 2 ⋅ B2× 2 = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ − ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − ( ) 4 1 1 2 4 2 1 1 4 3 1 2 9 10 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 1 ⎞ ⎛ 18 13 ⎞ ⎛ 2 3 ⎞ ⎛ 3 5⎞ ⎛ 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 ⎟⎟ = ⎜⎜ B ⋅ A = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟. ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ − ⋅ + − ⋅ ⋅ + − ⋅ − ( ) ( ) 1 2 4 1 1 3 2 4 1 5 2 1 5 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 59

⎛11 − 1⎞ ⎛ 18 13 ⎞ ⎟⎟ ≠ ⎜⎜ ⎟⎟ = B ⋅ A. − 9 10 5 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 ПРИМЕР 2.3 Вычислить матрицу D = A ⋅ B − C , где ⎛ 2 0⎞ ⎜ ⎟ 3 4 2 ⎛ ⎞ ⎛1 0⎞ A = ⎜⎜ ⎟⎟ , B = ⎜ 1 3 ⎟ , C = ⎜⎜ ⎟⎟ 1 0 5 0 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ 0 5⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 2 0⎞ ⎟ ⎛1 3⎞ ⎛1 3⎞ 3 4 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜ 1 3 ⎟ − ⎜⎜ Решение. D = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = 1 0 5 0 4 0 4 ⎝ ⎠ ⎜ ⎠ ⎝ ⎠ ⎟ ⎝ ⎝ 0 5⎠ ⎛ 3 ⋅ 2 + 4 ⋅1 + 2 ⋅ 0 3 ⋅ 0 + 4 ⋅ 3 + 2 ⋅ 5 ⎞ ⎛ 1 ⋅1 + 3 ⋅ 0 1 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 ⎞ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ = = ⎜⎜ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ 1 2 0 1 5 0 1 0 0 3 5 5 0 1 4 0 0 3 4 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛10 22 ⎞ ⎛ 1 15 ⎞ ⎛10 − 1 22 − 15 ⎞ ⎛ 9 7 ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟. − − 2 25 0 16 2 0 25 16 2 9 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Итак, A ⋅ B = ⎜⎜

⎛ 1 1⎞ ПРИМЕР 2.4 Найти: ⎜⎜ ⎟⎟ 0 1 ⎝ ⎠ n n −2 ⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 1⎞ Решение. ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ 0 1 0 1 0 1 0 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ n −2 n −2 ⎛ 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 ⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ 1 1⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ n −3 n −3 ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 3 ⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛1 n ⎞ ⎟⎟. = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ... = ⎜⎜ 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2.2 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ ВТОРОГО, ТРЕТЬЕГО И N-ГО ПОРЯДКА Определителем второго порядка, ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1 соответствующим квадратной матрице второго порядка, называется число

Δ= Например, Δ =

a11

a12

a 21 a 22

= a11 ⋅ a 22 − a12 ⋅ a 21

2 −3 = 2 ⋅ 4 − 1 ⋅ (− 3) = 11 1 4 60

Определитель обладает свойствами: 1) При замене строк соответствующими столбцами величина определителя не изменяется. 2) При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный. 3) Определитель, у которого элементы строк (столбцов) пропорциональны (или равны), равен нулю. 4) Общий множитель строки (столбца) можно вынести за знак определителя. 5) Определитель не изменится, если к элементам его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на любое число. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2 Определителем третьего порядка, соответствующим квадратной матрице третьего порядка, называется число

a 11

a 12

a 13

Δ = a 21

a 22

a 23 = a 11 ⋅

a 31

a 32

a 33

a 22

a 23

a 32

a 33

− a 12 ⋅

a 21

a 23

a 31

a 33

+ a 13 ⋅

a 21

a 22

a 31

a 32

= a 11 ⋅ a 22 ⋅ a 33 − a 11 ⋅ a 23 ⋅ a 32 − a 12 ⋅ a 21 ⋅ a 33 + a 12 ⋅ a 23 ⋅ a 31 + + a 13 ⋅ a 21 ⋅ a 32 − a 13 ⋅ a 22 ⋅ a 31 . Определитель третьего порядка обладает всеми свойствами определителя второго порядка. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.3 Минором M ij элемента a ij , где i, j = 1, 2, 3 определителя третьего порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного вычеркиванием его i -й строки и j - го столбца. Например, вычеркивая вторую строку и первый столбец, найдем минор

M 21 элемента a 21 , т.е. M 21 =

a12

a13

a 32

a 33

= a12 ⋅ a 33 − a13 ⋅ a 32 .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.4 Алгебраическим A ij дополнением элемента a ij , где

i, j = 1, 2, 3 называется минор M ij этого элемента, взятый со знаком (− 1) , i+ j

т.е.

A ij = (− 1) M ij , где i, j = 1, 2, 3 . i+ j

Теорема 2.1 (теорема разложения). Определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.

Δ = a 11 ⋅ A 11 + a 12 ⋅ A 12 + a 13 ⋅ A 13 = a 21 ⋅ A 21 + a 22 ⋅ A 22 + a 23 ⋅ A 23 = ... =

= a 13 ⋅ A 13 + a 23 ⋅ A 23 + a 33 ⋅ A 33 .

3 −4

1 ПРИМЕР 2.5 Вычислить определитель Δ = 2

3 .

−3 1

Решение. Рассмотрим различные схемы вычисления данного определителя. 1) Метод треугольников. Согласно этому методу необходимо найти суммы произведений элементов, записанных на главной диагонали, и двух равнобедренных треугольников (рис. 2.1) со стороной основания, параллельной этой диагонали, и вычесть сумму произведения элементов, записанных на побочной диагонали, и двух равнобедренных треугольников со стороной основания, параллельной побочной диагонали (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Рис. 2.1 Тогда

Δ = 1 ⋅ 5 ⋅ 2 + (− 3) ⋅ 3 ⋅ 3 + (− 4 ) ⋅ 2 ⋅ 1 − (− 3) ⋅ (− 4) ⋅ 5 − 2 ⋅ 3 ⋅ 2 − 1 ⋅ 1 ⋅ 3 = = 10 − 27 − 8 − 60 − 12 − 3 = −100.

2) Метод разложения. По теореме 2.1, раскладывая определитель по элементам, например, первой строки, получим

Δ = 1 ⋅ (− 1)

1+1

⋅

5 3 1 2

+ 3 ⋅ (− 1)

1+ 2

⋅

−3 2

+ (− 4 ) ⋅ (− 1)

1+ 3

⋅

−3 1

= 1 ⋅ (10 − 3) − 3 ⋅ (4 + 9 ) − 4 ⋅ (2 + 15) = 7 − 39 − 68 = −100. Аналогично, если определитель разложить по элементам, например, второго столбца, получим тот же результат:

Δ = 3 ⋅ (− 1)

1+ 2

⋅

2 3 1 −4 −4 2+2 3+ 2 1 = + 5 ⋅ (− 1) ⋅ + 1 ⋅ (− 1) ⋅ 2 3 −3 2 −3 2

= −3 ⋅ (4 + 9 ) + 5 ⋅ (2 − 12 ) − 1 ⋅ (3 + 8) = −39 − 50 − 11 = −100. 3) Метод предварительного получения нулей.. Теорема разложения наиболее 1 3 − 4 эффективна, если в определителе имеется строка (столбец), содержащая максимальное количество нулей.

Δ= 2 5 −3 1

3 2

Выберем в качестве базовой строки первую строку и умножив ее на (–2), прибавим ко второй строке. Тогда:

1 3 −4 Умножая базовую строку на 3 и прибавляя к третьей, Δ = 0 − 1 11 получим 2 −3 1 Так как в определителе первый столбец содержит два 1 3 −4 нулевых элемента, то по теореме разложения раскладывая Δ = 0 − 1 11 Δ по элементам первого столбца, получим 0 10 − 10

Δ = 1 ⋅ (− 1)

1 +1

⋅

− 1 11 = 10 − 110 = −100 . 10 − 10

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.5 Определителем n-го порядка, соответствующим квадратной матрице n-го порядка, называется число

⎛ a 11 ⎜ ⎜a Δ = ⎜ 21 ... ⎜⎜ ⎝ a n1

a 12 a 22 ... a n2

... a 1n ⎞ ⎟ ... a 2 n ⎟ = (− 1)1+1 ⋅ a 11 ⋅ M 11 + (− 1)1+ 2 ⋅ a 12 ⋅ M 12 + ... + ⎟ ... ... ⎟ ... a nn ⎟⎠ + (− 1)1+ n ⋅ a 1n ⋅ M 1n ,

где M11 , M12 , ... , M1n есть определители (n–1)-го порядка, полученные из данного вычеркиванием его первой строки и соответственно первого, второго, … , n-го столбцов. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.6

Минором M ij элемента a ij определителя n-го

порядка называется определитель (n–1)-го порядка, полученный из Δ вычеркиванием его i-й строки и j-го столбца. Определители n-го порядка обладают всеми свойствами определителей третьего порядка. Сохраняет свою силу и теорема разложения 2.1, т.е.

Δ = a11 ⋅ A11 + a12 ⋅ A12 + ... + a1n ⋅ A1n = ... = a1n ⋅ A1n + a 2 n ⋅ A 2 n + ... + a nn ⋅ A nn .

−1 ПРИМЕР 2.6 Вычислить определитель Δ =

0 1 −1 − 3 . 1 −1 2 −1 −2 3 1 −2

Решение. Перед использованием теоремы 2.1 наиболее целесообразно преобразовать определитель так, чтобы все элементы какой–либо строки (или столбца), кроме одного, обратились в 0. Например, сделаем так, чтобы в 1-м столбце все элементы, кроме первого, были равны нулю. Для этого: 1) к элементам первой строки прибавим соответствующие элементы третьей строки; 2) умножив элементы первой строки на (–2), прибавим их к соответствующим элементам четвертой строки. Раскладывая далее полученный определитель по элементам первого столбца, найдем

1 1 −1 2 0 −1 2 0 0 1 −1 − 3 0 1 −1 − 3 = Δ= = 1 −1 2 −1 0 1 2 0 0 −1 1 − 4 −2 3 1 −2 1 −1 − 3 1+1 = (− 1) ⋅ (− 1) ⋅ 1 2 0 = (− 1) ⋅ [1 ⋅ 2 ⋅ (− 4 ) + (− 1) ⋅ 0 ⋅ (− 1) + −1 1 − 4 + 1 ⋅ 1 ⋅ (− 3) − (− 3) ⋅ 2 ⋅ (− 1) − 1 ⋅ (− 1) ⋅ (− 4 ) − 1 ⋅ 1 ⋅ 0] = −(− 21) = 21. 1 5 9 13 2 6 10 14 . ПРИМЕР 2.7 Вычислить определитель Δ = 3 7 11 15 4 8 12 16 Решение. Вычитая из второго столбца первый, а из четвертого столбца третий, получим

1 4 Δ=

2 4 10 4 3 4 11 4

= 0,

так как образовавшийся определитель содержит два одинаковых столбца (см. св.1.2.3)

4 4 12 4 2.3 ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. РАНГ МАТРИЦЫ

Дана квадратная матрица A порядка n .

Пусть Δ есть определитель этой матрицы.

⎛ a 11 ⎜ ⎜a A = ⎜ 21 ... ⎜⎜ ⎝ a n1

a 12 a 22 ... a n2

... a 1n ⎞ ⎟ ... a 2 n ⎟ . ... ... ⎟ ⎟ ... a nn ⎟⎠

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.7 Квадратная матрица A порядка n называется неособенной (невырожденной) матрицей, если ее определитель Δ отличен от нуля. Если Δ = 0 , то – особенной (вырожденной) матрицей. −1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.8 Квадратная матрица A порядка n называется −1 −1 обратной матрицей для данной матрицы A , если A ⋅ A = A ⋅ A = E , где E —единичная матрица. −1 Всякая невырожденная матрица A имеет обратную матрицу A , определяемую формулой

A −1

где A 11 , A 12 , ... , A nn

⎛ A11 ⎜ 1 ⎜A = ⋅ ⎜ 12 Δ ... ⎜⎜ ⎝ A1n

A 21 A 22 ... A 2n

... A n1 ⎞ ⎟ ... A n 2 ⎟ , ... ... ⎟ ⎟ ... A nn ⎟⎠

есть алгебраические дополнения соответствующих

элементов a 11 , a 12 , ... , a nn матрицы A .

⎛1 3 2⎞ ⎜ ⎟ −1 ПРИМЕР 2.8 Найти матрицу A , если A = ⎜ 0 2 3 ⎟. ⎜1 4 2⎟ ⎝ ⎠ −1 Решение. Выясним, существует ли обратная матрица A . Вычислим ⎛1 3 2⎞ ⎜ ⎟ 2 3 3 2 1+1 3+1 A = ⎜ 0 2 3 ⎟ = (− 1) ⋅ 1 ⋅ + (− 1) ⋅ 1 ⋅ = 4 − 12 + 9 − 4 = −3. 4 2 2 3 ⎜1 4 2⎟ ⎝ ⎠ −1 невырожденная. Следовательно, Так как Δ = −3 ≠ 0 , то матрица A −1 существует A . Найдем алгебраические дополнения: 2 3 0 3 0 2 A11 = = −8 , A12 = − = 3, A13 = = −2 , 4 2 1 2 1 4 3 2 1 2 1 3 A 21 = − = 2, A 22 = = 0, A 23 = − = −1 , 4 2 1 2 1 4 3 2 1 2 1 3 A 31 = = 5, A 32 = − = −3 , A 33 = = 2. 2 3 0 3 0 2 Вычислим обратную матрицу:

A −1

2 5⎞ ⎛8 − − ⎟ 5 ⎞ ⎜ A 31 ⎞ ⎛−8 2 3 3⎟ ⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎜3 0 − 3⎟ = ⎜ − 1 0 1 ⎟. ⋅⎜ 3 A 22 A 32 ⎟ = 3 − 1 2 ⎜− 2 −1 2 ⎟ ⎜ 2 A 23 A 33 ⎟⎠ − ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎜ 3 3⎠ ⎝3 −1 Проверим правильность вычисления обратной матрицы A , исходя из ее

⎛ A11 1 ⎜ = ⋅ ⎜ A12 Δ ⎜ ⎝ A13

A 21

определения 2.8:

2 ⎛8 − ⎜ 3 ⎜ 3 A −1 ⋅ A = ⎜ − 1 0 1 ⎜ 2 ⎜ 3 3 ⎝ 2 5 ⎛8 ⎜ ⋅1 − ⋅ 0 − ⋅1 3 3 ⎜3 = ⎜ − 1 ⋅1 + 0 ⋅ 0 + 1 ⋅1 ⎜ 2 ⋅1 + 1 ⋅ 0 − 2 ⋅1 ⎜3 3 3 ⎝ ⎛1 0 0⎞ ⎜ ⎟ = ⎜0 1 0⎟ = E ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠

5⎞ − ⎟ ⎛1 3 2⎞ 3⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎟ ⋅ ⎜ 0 2 3⎟ = 2 − ⎟⎟ ⎜⎝ 1 4 2 ⎟⎠ 3⎠ 8 2 5 ⋅3− ⋅2 − ⋅4 3 3 3 − 1⋅ 3 + 0 ⋅ 2 + 1⋅ 4 2 1 2 ⋅3+ ⋅2 − ⋅4 3 3 3

Итак, A

−1

8 2 5 ⎞ ⋅2 − ⋅3− ⋅2⎟ 3 3 3 ⎟ − 1⋅ 2 + 0 ⋅ 3 + 1⋅ 2⎟ = 2 1 2 ⋅ 2 + ⋅ 3 − ⋅ 2 ⎟⎟ 3 3 3 ⎠ 2 5⎞ ⎛8 − − ⎟ ⎜ 3 3⎟ ⎜3 = ⎜−1 0 1 ⎟. 1 2⎟ ⎜2 − ⎜ 3 3 ⎟⎠ ⎝3

Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.9 Минором k -го порядка произвольной матрицы А называется определитель, составленный из элементов матрицы, расположенных на пересечении каких-либо k строк и k столбцов. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.10 Рангом матрицы А называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю.

Обозначается: r (A ), rang(A ) . Базисным минором называется любой из миноров матрицы А, порядок которого равен r (A ). Для следующей матрицы А ее ранг равен 1:

⎛ 3 − 2 2⎞ ⎟⎟, r (A ) = 1. A = ⎜⎜ ⎝0 0 0⎠

Любой из миноров 2-го порядка матрицы А равен нулю, и существует хотя бы один минор 1-го порядка, не равный нулю, например, 3 = 3. Теорема 2.2 При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется. Теорема 2.3 Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее ненулевых строк. Метод элементарных преобразований нахождения ранга матрицы заключается в том, что матрицу А приводят к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований; количество ненулевых строк полученной ступенчатой матрицы есть искомый ранг матрицы А. Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы А состоит в следующем. Необходимо: 1) Найти какой-нибудь минор M 1 первого порядка, отличный от нуля. Если такого минора нет, то матрица нулевая и r (A ) = 0. 2) вычислить миноры 2-го порядка, содержащие M 1 (окаймляющие M 1 ) до тех пор, пока не найдется минор М 2 , отличный от нуля. Если такого минора нет, то r (A ) = 1 , если есть, то r (A ) ≥ 2. И т.д. … k) вычислить (если они существуют) миноры k-го порядка, окаймляющие миноры M k −1 ≠ 0 . Если таких миноров нет, или они все равны нулю, то r (A ) = k − 1 ; если есть хотя бы один такой минор M k ≠ 0 , то r (A ) ≥ k , и процесс продолжается. При нахождении ранга матрицы таким способом достаточно на каждом шаге найти всего один ненулевой минор k-го порядка, причем искать его только среди миноров, содержащих минор M k −1 ≠ 0. ПРИМЕР

2.9

Найти

ранг

матрицы

⎛2 −1 5 6 ⎞ ⎟ ⎜ преобразований: ⎜ 1 1 3 5 ⎟ . ⎜ 1 − 5 1 − 3⎟ ⎠ ⎝

Решение. Приведем матрицу элементарных преобразований:

методом

ступенчатому

виду

элементарных

помощью

6 ⎞ ⎛2 −1 5 6 ⎞ ⎛2 −1 5 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 1 3 5 ≈ 0 3 1 4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 − 5 1 − 3 ⎟ ⎜ 0 − 9 − 3 − 12 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ Выполним: 2 ⋅ II − I и результат запишем второй строкой, 2 ⋅ III − I и результат запишем третьей строкой преобразованной матрицы.

6 ⎞ ⎛ 2 −1 5 6⎞ ⎛2 −1 5 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ≈ 0 3 1 4 0 3 1 4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟. ⎜ 0 − 9 − 3 − 12 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Прибавляя к третьей строке вторую умноженную на 3, мы получим нулевую строку. Полученная ступенчатая матрица содержит две ненулевые строки, значит ее ранг равен 2. Следовательно, ранг исходной матрицы также равен 2. ПРИМЕР 2.10 Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров и

⎛1 3 3 4 ⎞ ⎜ ⎟ указать один из базисных миноров: ⎜ 0 0 1 2 ⎟. ⎜ 2 6 1 − 2⎟ ⎝ ⎠

Решение. Так как у матрицы А есть ненулевые элементы, то r (A ) ≥ 1. Найдем какой-либо ненулевой минор 2-го порядка (если он существует). Таким минором является, например, М 2 =

миноры

3-го

порядка,

3 3 = 3 ≠ 0. Значит, r (A ) ≥ 2. Вычислим 0 1 1 3 3

окаймляющие

M 2 : M 3(1) = 0 0 1 = 0 ; 2 6 1

3 3 4 M 3 = 0 1 2 = 0. 6 1 −2 Все миноры 3-го порядка, окаймляющие M 2 , равны нулю, следовательно, 3 3 r (A ) < 3. Итак, r (A ) = 2. Одним из базисных миноров является M 2 = . 0 1 (2 )

2.4 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПО ФОРМУЛАМ КРАМЕРА И МАТРИЧНЫМ СПОСОБОМ

⎧x 1 − 4 x 2 + x 3 = 3, ⎪ ПРИМЕР 2.11 Решить систему ⎨2 x 1 + x 2 − 2 x 3 = −2, ⎪3x − 2x − x = 1. 2 3 ⎩ 1 Решение. Система содержит одинаковое количество уравнений и неизвестных. Вычислим определитель Δ этой системы.

1 −4 Δ= 2

3 −2

1 − 2 = −1 + 24 − 4 − 3 − 4 − 8 = 4 . Так как Δ = 4 ≠ 0 , то −1

система имеет единственное решение. Составим определители Δ x1 , Δ x 2 , Δ x 3 . Заменяя в определителе Δ первый столбец (т.е. коэффициенты при неизвестном x 1 ) на свободные члены, получим

3 −4 1 Δ x1 = − 2 1 − 2 = −3 + 8 + 4 − 1 − 12 + 8 = 4 . 1 − 2 −1 Заменяя в определителе Δ коэффициенты при неизвестном x 2 (т.е. второй

столбец) на свободные члены, найдем, что

1 3 1 Δ x 2 = 2 − 2 − 2 = 2 − 18 + 2 + 6 + 6 + 2 = 0 . 3 1 −1 Аналогично, заменяя в определителе Δ коэффициенты при x 3 , найдем, что 1 −4 3 Δ x 3 = 2 1 − 2 = 1 + 24 − 12 − 9 − 4 + 8 = 8 . 3 −2 1 Тогда по формулам Крамера , получим

Δ Δ x1 4 Δ 0 8 = = 1, x 2 = x 2 = = 0 , x 3 = x3 = = 2 . Δ 4 4 Δ 4 Δ Проверка: x 1 = 1 , x 2 = 0 , x 3 = 2 ⎧1 − 4 ⋅ 0 + 2 = 3, ⎪ Ответ: x 1 = 1 , x 2 = 0 , x 3 = 2 . ⎨2 ⋅ 1 + 0 − 2 ⋅ 2 = −2, ⎪3 ⋅ 1 − 2 ⋅ 0 − 2 = 1. ⎩ x1 =

Решение систем линейных уравнений матричным способом

⎧x 1 − 4 x 2 + x 3 = 3 ⎪ ПРИМЕР 2.12 Решить систему ⎨2 x 1 + x 2 − 2 x 3 = −2 ⎪3x − 2x − x = 1 ⎩ 1 2 3 матричным способом. Решение. Система содержит одинаковое количество уравнений и неизвестных. Составим три матрицы: 69

⎛1 − 4 1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ 2 1 − 2⎟, X = ⎜ x 2 ⎟ , B = ⎜ − 2⎟ . ⎜3 − 2 −1⎟ ⎜x ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠

Определитель Δ этой системы (см. пример 2.9) равен 4. Так как Δ = 4 ≠ 0 , то −1 существует обратная матрица A , равная:

A 31 ⎞ ⎛ − 5 − 6 7⎞ ⎜ ⎟ ⎟ 1 A −1 A 32 ⎟ = ⋅ ⎜ − 4 − 4 4 ⎟ , где A ij - алгебраические 4 ⎜ ⎟ A 33 ⎟⎠ ⎝ − 7 − 10 9 ⎠ дополнения элементов a ij определителя Δ : ⎛ A11 1 ⎜ = ⋅ ⎜ A12 Δ ⎜ ⎝ A13

A 21 A 22 A 23

1 −2 2 −2 2 1 = −5 , A12 = − = −4 , A13 = = −7 , − 2 −1 3 −1 3 −2 −4 1 1 1 1 −4 A 21 = − = −6 , A 22 = = −4 , A 23 = − = −10 , − 2 −1 3 −1 3 −2 −4 1 1 1 1 −4 A 31 = A 32 = − = 7, = 4 , A 33 = = 9. 1 −2 2 −2 2 1 −1 Тогда, согласно формуле X = A ⋅ B матричное решение запишется в виде ⎛ x1 ⎞ ⎛ − 15 + 12 + 7 ⎞ ⎛ − 5 − 6 7⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 4⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎜ x 2 ⎟ = ⋅ ⎜ − 4 − 4 4 ⎟ ⋅ ⎜ − 2 ⎟ = ⋅ ⎜ − 12 + 8 + 4 ⎟ = ⋅ ⎜ 0 ⎟ = ⎜ 0 ⎟. ⎜ x ⎟ 4 ⎜ − 7 − 10 9 ⎟ ⎜ 1 ⎟ 4 ⎜ − 21 + 20 + 9 ⎟ 4 ⎜ 8 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ A11 =

Из условия равенства двух матриц, найдем искомое решение x 1 = 1, x 2 = 0 , x 3 = 2 . В конце решения системы (любым способом) рекомендуется сделать проверку, подставив найденные значения в исходные уравнения системы, и убедиться в том, что они обращаются в верные равенства. 2.5 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА (МЕТОДОМ ИСКЛЮЧЕНИЯ НЕИЗВЕСТНЫХ) ПРИМЕР 2.13 Решить систему уравнений методом Гаусса

⎧x 1 + 2 ⋅ x 2 − x 3 + x 4 = 2, ⎪2 ⋅ x − x + 3 ⋅ x − x = 3, ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪− 3 ⋅ x 1 + 2 ⋅ x 2 − 4 ⋅ x 3 + 6 ⋅ x 4 = 5, ⎪⎩x 1 − x 2 + x 3 + 2 ⋅ x 4 = 6. 70

Решение. Построим расширенную матрицу системы

2 −1 1 2⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ Исключая с помощью первой строки ⎜ 2 − 1 3 − 1 3 ⎟ неизвестное x из оставшихся строк, 1 B=⎜ 5 ⎟ получим: −3 2 −4 6 ⎜ ⎟ ⎜ 1 −1 1 2 6 ⎟⎠ ⎝ 2 ⎞ ⎛1 2 −1 1 ⎜ ⎟ Исключая неизвестное x с помощью 2 ⎜ 0 − 5 5 − 3 − 1⎟ второй строки из последующих строк, B~⎜ ⎟ 0 8 −7 9 11 ⎜ ⎟ получим: ⎜0 − 3 2 1 4 ⎟⎠ ⎝ 1 2 ⎛1 2 −1 ⎞ ⎜ ⎟ Исключая с помощью третьей строки −3 − 1 ⎟ неизвестное x из четвертой строки, ⎜0 − 5 5 3 B~⎜ 0 0 1 21 5 47 5 ⎟ получим: ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 − 1 14 5 23 5 ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 ⎛1 2 −1 ⎞ ⎜ ⎟ Матрица, а следовательно, и система −3 − 1 ⎟ уравнений, приведена к треугольному ⎜0 − 5 5 B~⎜ 0 0 1 21 5 47 5 ⎟ виду. ⎜ ⎟ ⎜0 0 0 7 14 ⎟⎠ ⎝ ⎧x 1 + 2 ⋅ x 2 − x 3 + x 4 = 2, ⎧x 1 = 1, ⎪ − 5 ⋅ x + 5 ⋅ x − 3 ⋅ x = −1, ⎪x = 0, 2 3 4 ⎪⎪ ⎪ 2 ⎨ 21 47 ⇔ ⎨ x 3 = 1, x3 + ⋅ x4 = , ⎪ ⎪ 5 5 ⎪ ⎪⎩x 4 = 2. ⎪⎩ 7 ⋅ x 4 = 14, ⎧ 1 + 2 ⋅ 0 − 1 + 2 = 2, ⎪ 2 ⋅ 1 − 0 + 3 ⋅ 1 − 2 = 3, ⎪ Проверка ⎨ Ответ {1; 0;1; 2}. ⎪− 3 ⋅ 1 + 2 ⋅ 0 − 4 ⋅ 1 + 6 ⋅ 2 = 5, ⎪⎩ 1 − 0 + 1 + 2 ⋅ 2 = 6. ПРИМЕР 2.14 Решить систему уравнений методом Гаусса

⎧− x 1 + 2 ⋅ x 2 − x 3 + x 4 = 1, ⎪2 ⋅ x − x + x − 3 ⋅ x = −1, ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪2 ⋅ x 1 + 4 ⋅ x 2 − 2 ⋅ x 3 = 4, ⎪⎩x 1 + 3 ⋅ x 2 − 2 ⋅ x 3 + 2 ⋅ x 4 = 4.

Решение. Вновь составим расширенную матрицу данной системы и выполняя элементарные преобразования над ней, получим

1 ⎞ ⎛ −1 2 −1 1 1 ⎞ ⎛−1 2 −1 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 2 − 1 1 − 3 − 1⎟ ⎜ 0 3 − 1 − 1 1 ⎟ ~ ~ B=⎜ 4 ⎟ ⎜ 0 8 − 4 2 6⎟ 2 4 −2 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎜ 4 ⎠ ⎝ 0 5 − 3 3 5 ⎟⎠ 3 −2 2 ⎝ −1 1 ⎞ ⎛−1 2 −1 1 1 ⎞ 1 ⎛−1 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −1 −1 1 ⎟ ⎜ 0 3 −1 −1 1 ⎟ ⎜ 0 3 ~ ~ ~⎜ 0 0 − 4 3 14 3 10 3 ⎟ ⎜ 0 0 − 4 14 10 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 − 4 3 14 3 10 3 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 ⎟⎠ 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎛−1 2 −1 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ ~ ⎜ 0 3 − 1 − 1 1 ⎟. ⎜ 0 0 −2 7 5 ⎟⎠ ⎝ Матрица B , следовательно, и система уравнений, приведена к трапециевидной форме.

⎧− x 1 + 2 ⋅ x 2 − x 3 + x 4 = 1, Тогда x = 7 ⋅ x 4 − 5 , x = 3 ⋅ x 4 − 1 , 2 3 ⎪ 2 2 3 ⋅ x 2 − x 3 − x 4 = 1, ⎨ x +1 ⎪ − 2 ⋅ x 3 + 7 ⋅ x 4 = 5. . x1 = 4 ⎩ 2

Следовательно, общее решение системы запишется в виде

⎧x 4 +1 3 ⋅ x 4 −1 7 ⋅ x 4 − 5 ⎫ , , , x 4 ∈ R⎬ ⎨ 2 2 ⎩ 2 ⎭ Полагая, например, x 4 = 1 , найдем одно из частных решений {1;1;1;1}. ПРИМЕР 2.15 Методом Гаусса решить систему уравнений

⎧ x 1 + 2 ⋅ x 2 − x 3 = 7, ⎪ ⎨2 ⋅ x 1 − 3 ⋅ x 2 + x 3 = 3, . ⎪4 ⋅ x + x − x = 16 ⎩ 1 2 3

Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы

⎛1 ⎜ ⎜2 ⎜4 ⎝

−1

−3 1 1 −1

7 ⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ~⎜ 0 16 ⎟⎠ ⎜⎝ 0

−1

−7 −7

3 3

7 ⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ − 11 ⎟ ~ ⎜ 0 − 12 ⎟⎠ ⎜⎝ 0

−1

−7 0

3 0

7 ⎞ ⎟ − 11 ⎟ . − 1 ⎟⎠

Итак, уравнение, соответствующее третьей строке последней матрицы, противоречиво – оно привелось к неверному равенству 0 = −1 , следовательно, данная система несовместна. 72

2.6 ВЕКТОРЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

r ПРИМЕР 2.16 Доказать, что OA + OB + OC = O , если точка O есть центр тяжести ΔABC (рис. 2.3). Решение. Центр тяжести т. O ΔABC находится в точке пересечения его медиан. Пусть точка P есть середина отрезка AC . 1 1 Тогда по свойству медианы OP = BP = − OB . 3 2 Построим на векторах OA и OC параллелограмм AOCД . 1 Тогда OД = OА + OC и ОР = ОД . Следовательно, 2 r OA + OB + OC = ОД + ОВ = 2 ⋅ ОР + ОВ = −ОВ + ОВ = O . Что и требовалось доказать. r r ПРИМЕР 2.17 Вектора a и b образуют угол Рис. 2.3

r r r r ϕ = 60 , причем a = 5 , b = 8 . Определить a + b и r r a−b . r r r r a+b и a−b Решение. Вектора o

ВД совпадают с диагоналями AC и параллелограмма (рис. 2.4). Тогда по теореме косинусов

ВД 2 = АВ2 + АД 2 − 2 ⋅ АВ ⋅ АД ⋅ cos ϕ ⇒ r r2 r2 r2 r r r r2 a − b = a + b − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos ϕ ⇒ a − b = 52 + 82 − 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ cos 60o = Рис. 2.4

r r 1 = 89 − 80 ⋅ = 49 ⇒ a − b = 7. 2

(

)

Так как в параллелограмме AC 2 + ВД 2 = 2 ⋅ АВ2 + АД 2 , r r2 r r a + b = 2 ⋅ 8 2 + 5 2 − 49 = 129 ⇒ a + b = 129. r r r r Ответ. a + b = 129 и a − b = 7 .

(

)

то

ПРИМЕР 2.18 Доказать, что вектора a1 = {1; 2; 5} , a 2 = {3; 2; − 1},

r a 3 = {2; − 1; 3} образуют базис в пространстве R 3 . r r r Решение. Вектора a1 , a 2 , a 3 образуют базис, если определитель Δ

третьего порядка, составленный из координат данных векторов, отличен от нуля. 73

1 2 5 Δ = 3 2 − 1 = 6 − 4 − 15 − 20 − 1 − 18 = −52 ≠ 0 . 2 −1 3 r a 4 = {3;1; 8} в базисе ПРИМЕР 2.19 Найти координаты вектора r r r a1 = {1; 2; 5}, a 2 = {3; 2; − 1}, a 2 = {2; − 1; 3}. r r r Решение. Из примера 2.16 следует, что a1 , a 2 , a 3 образуют базис в r 3 пространстве R . Тогда вектор a 4 является линейной комбинацией базисных векторов, т.е.

r r r r a 4 = λ1 ⋅ a1 + λ 2 ⋅ a 2 + λ 3 ⋅ a 3 ⇔

λ1 ⋅ {1; 2; 5} + λ 2 ⋅ {3; 2; − 1} + λ 3 ⋅ {2; − 1; 3} = {3;1; 8}. Приравнивая одноименные координаты векторов, получим систему трех линейных уравнений с тремя

⎧λ1 + 3 ⋅ λ 2 + 2 ⋅ λ 3 = 3, ⎪ неизвестными λ1 , λ 2 , λ 3 : ⎨2 ⋅ λ1 + 2 ⋅ λ 2 − λ 3 = 1, ⎪5 ⋅ λ − λ + 3 ⋅ λ = 8. 1 2 3 ⎩ Решим эту систему методом Гаусса

3 2 3 ⎞ ⎛1 3 2 3⎞ ⎛ 1 3 2 3⎞ ⎛ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ B = ⎜ 2 2 −1 1 ⎟~⎜ 0 − 4 − 5 − 5 ⎟ ~⎜ 0 4 5 5 ⎟ ⇔ ⎜ 5 − 1 3 8 ⎟ ⎜ 0 − 16 − 7 − 7 ⎟ ⎜ 0 0 13 13 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎧λ1 + 3 ⋅ λ 2 + 2 ⋅ λ 3 = 3, ⎧λ1 = 1 r r r ⎪ ⎪ 4 ⋅ λ 2 + 5 ⋅ λ 3 = 5, ⇔ ⎨λ 2 = 0, Ответ. a 4 = a1 + a 3 = {1; 0;1}. ⎨ ⎪ ⎪λ = 1. λ 3 = 1. ⎩ 3 ⎩ ПРИМЕР 2.20 Дан прямоугольный треугольник ABC , у которого длина катета AB = 3 ,r длина катета AC = 4 . На стороне AB взят вектор i , на стороне r AC - вектор j . Выразить вектор MC через векторы

r r i и j , если точка M - середина стороны BC .

Рис. 2.5

Решение.

(

)

r r r 1 1 1 3 r ( ) MC = ⋅ BC = ⋅ AC − AB = ⋅ 4 ⋅ j − 3 ⋅ i = − ⋅ i + 2 ⋅ j 2 2 2 2 74

Прямоугольная система координат r r декартова r r Если a = OM = x ⋅ i + y ⋅ j + z ⋅ k , то r a = x 2 + y2 + z2 . (2.1) r Если α, β, γ - углы между вектором a и осями координат, то направляющие r косинусы радиуса-вектора a точки M (x; y; z ) вычисляются по формулам

cos α =

x 2

x +y +z

, cos β =

x +y +z

, cos γ =

z 2

x +y +z

(2.2)

Расстояние d между двумя точками M1 (x1 ; y1 ; z1 ) и M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2 ) находится по формуле

(x 2 − x1 )2 + (y 2 − y1 )2 + (z 2 − z1 )2 . (2.3) Если точка M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) делит отрезок [M1M 2 ] , где M1 (x1 ; y1 ; z1 ) , M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2 ) в отношении λ , т.е. M1M 0 = λ ⋅ M 0 M 2 , то ее координаты d = M1M 2 =

находятся по формулам

x1 + λ ⋅ x 2 z + λ ⋅ z2 y + λ ⋅ y2 , y0 = 1 , z0 = 1 . (2.4) 1+ λ 1+ λ 1+ λ В частности, при λ = 1 точка M 0 делит отрезок пополам, а x + x2 y + y2 z + z2 , y0 = 1 , z0 = 1 . (2.5) x0 = 1 2 2 2 ПРИМЕР 2.21 Найти длину медианы AD треугольника ABC с вершинами A(2;1;4 ) , B(1;7;6 ) , C(5;3;2 ) .(рис. 2.5) Решение. Точка D делит отрезок BC пополам, тогда x + xC 1+ 5 y + yC 7 + 3 xD = B = = 3 , yD = B = = 5, 2 2 2 2 z + zC 6 + 2 zD = B = = 4 . Следовательно, D(3;5;4 ). Согласно формуле (2.3) 2 2 2 2 2 d = M1M 2 = (x D − x A ) + (y D − y A ) + (z D − z A ) = x0 =

(3 − 2)2 + (5 − 1)2 + (4 − 4)2

= 17 .

Ответ:

17 .

ПРИМЕР 2.22 Вектор a = AB задан координатами своих концов: r A(2;1;−4 ) и B(1;3;2 ) . Найти проекции вектора a = AB на координатные оси и его направляющие косинусы. r Решение. Находим проекции вектора a = AB на координатные оси: a x = x B − x A = 1 − 2 = −1 , a y = yB − yA = 3 − 1 = 2 , a z = zB − zA =

= 2 − (− 4) = 6 , а модуль вектора в этом случае определяется по формуле (2.3) 75

r a =

(− 1)2 + 22 + 62

= 41 . Направляющие косинусы вычислим, используя 2 6 −1 формулы (2.2) cos α = ; cos β = ; cos γ = . 41 41 41 2.7 СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

r r

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.11 Скалярным произведением a ⋅ b векторов a и b называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла

r r r r между ними, т.е. a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos ϕ , где 0 ≤ ϕ ≤ π . r r r r r b ⋅ cos ϕ = пр br a Так как a ⋅ cos ϕ = пр a b ,

рис.2.6), то

r r r r r r r a ⋅ b = a ⋅ пр a b = b ⋅ пр br a .

(см. (2.6)

Свойства произведения: r скалярного r r 0 r 1 : a ⋅ br = b ⋅ a ; r r 0 r 2 . a ⋅ b = 0 , если a ⊥ b или хотя бы один из векторов есть

Рис.2.6

нулевой вектор;

r r r2 30 . a ⋅ a = a ; r r r r r r 40 . (λ ⋅ a ) ⋅ b = a ⋅ λ ⋅ b = λ ⋅ a ⋅ b для ∀λ ∈ R ; r r r r r r r 50 . a ⋅ b + c = a ⋅ b + a ⋅ c . r r Если a = (x1 ; y1 ; z1 ) , b = (x 2 ; y 2 ; z 2 ) , то r r a ⋅ b = x1 ⋅ x 2 + y1 ⋅ y 2 + z1 ⋅ z 2 . r r r r Если a ⊥ b , то a ⋅ b = x1 ⋅ x 2 + y1 ⋅ y 2 + z1 ⋅ z 2 = 0 . r r a и b вычисляется по формуле Угол между векторами r r a⋅b x1 ⋅ x 2 + y1 ⋅ y 2 + z1 ⋅ z 2 . cos ϕ = r r = a⋅b x12 + y12 + z12 ⋅ x 22 + y 22 + z 22

(

)

( )

(2.7) (2.8)

(2.9)

ПРИМЕР 2.23 Даны вершины A(5; 6;5), B(2; 6;1) , C(9; 6; 2 ) треугольника ABC . Определить внутренний угол треугольника при вершине B . Решение. Построим вектора BA и BC выходящие из вершины B треугольника ABC . Имеем BA = {3; 0; 4}, BC = {7; 0;1}. Тогда по формуле (2.9), получим

cos(BA, BC) =

BA ⋅ BC 3 ⋅ 7 + 0 ⋅ 0 + 4 ⋅1 2 = = 2 BA ⋅ BC 32 + 0 2 + 4 2 ⋅ 7 2 + 0 2 + 12 76

⇒

внутренний угол треугольника при вершине B равен

π . 4

ПРИМЕР 2.24 Вычислить работу по перемещению материальной точки вдоль отрезка ВC из точки B(2; 4; 3) в точку C(6; 5; 8) под действием

постоянной по величине и направлению силы F = {3; 4; − 2} .

r r

Решение. Так как работа A вычисляется по формуле A = F ⋅ S и

r r r S = BC = {4;1; 5}, то A = F ⋅ S = 3 ⋅ 4 + 1 ⋅ 4 − 2 ⋅ 5 = 6 . Ответ: A = 6 . r r ПРИМЕР 2.25 Даны три вектора a = {2;−1;3}, b = {1;−3;2}, c = {3;2;−4}. r r r r r Найти вектор x = {x1 ; x 2 ; x 3 } , удовлетворяющий условиям: a ⋅ x = 9 , b ⋅ x = 3 r r и c ⊥ x. Решение. Из условия ⊥ векторов (2.8) и формулы (2.7) имеем r r ⎧a ⋅ x = 9, ⎧2 ⋅ x1 − x 2 + 3 ⋅ x 3 = 9, r ⎪ r ⎪ ⎨b ⋅ x = 3, ⇔ ⎨x1 − 3 ⋅ x 2 + 2 ⋅ x 3 = 3, ⎪cr ⊥ xr . ⎪3 ⋅ x + 2 ⋅ x − 4 ⋅ x = 0. 2 3 ⎩ 1 ⎩ Решая систему уравнений методом Гаусса, получим

⎛ 2 −1 3 9⎞ ⎛1 − 3 2 3 ⎞ ⎛1 − 3 2 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ B = ⎜ 1 − 3 2 3⎟ ~⎜ 0 5 −1 3 ⎟~⎜ 0 5 −1 3 ⎟~ ⎜ 3 2 − 4 0 ⎟ ⎜ 0 11 − 10 − 9 ⎟ ⎜ 0 1 − 8 − 15 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 − 3 2 3 ⎞ ⎧x1 − 3 ⋅ x 2 + 2 ⋅ x 3 = 3, ⎜ ⎟ ⎪ x 2 − 8 ⋅ x 3 = −15, ⇔ ~ ⎜ 0 1 − 8 − 15 ⎟ . Тогда, получим систему ⎨ ⎜ 0 0 39 78 ⎟ ⎪ 39 ⋅ x 3 = 78. ⎩ ⎝ ⎠

⎧x1 = 3 ⋅ x 2 − 2 ⋅ x 3 + 3, ⎧x1 = 2, ⎪ ⎪ x 2 = 8 ⋅ x 3 − 15, ⇔ ⎨x 2 = 1, ⎨ ⎪ ⎪x = 2. x 3 = 2. ⎩ 3 ⎩

Ответ: x = {2;1;2} .

ПРИМЕР 2.26 Вычислить проекцию вектора a = {5;2;5} на направление

вектора b = {2;−1;2}.

r r r a ⋅b Решение. Согласно формуле (2.6) пр br a = r . Воспользуемся (2.7) и b r r r 2 2 2 (2.1): a ⋅ b = 5 ⋅ 2 + 2 ⋅ (− 1) + 5 ⋅ 2 = 10 − 2 + 10 = 18 , b = 2 + (− 1) + 2 = 3

r r r a ⋅ b 18 Следовательно, пр br a = r = = 6. 3 b

Ответ: пр br a = 6 .

2.8 ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

r r r ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.12 Векторным произведением a × b вектора a на r r вектор b называется вектор c , удовлетворяющий условиям: r 1) длина вектора c численно равна площади параллелограмма построенного r r r r r на векторах a и b как на сторонах, т.е. c = a ⋅ b ⋅ sin ϕ , где ϕ - угол r r a и b; между векторами r r r r 2) c ⊥ a , c ⊥ b ; r 3) вектор c направлен в ту сторону, что, если смотреть из его конца r вдоль r r вектора c , то кратчайший поворот вектора a к вектору b виден совершающимся против движения часовой стрелки. Векторное произведение обладает свойствами: r r r r 10 . a × b = − b × a .

(

)

r r 20 . a × ra = 0 . r r r 30 . a × b = r0 , если a = λr ⋅ b или хотя r бы один из векторов есть нулевой вектор. r r r 0 4 . λ ⋅ a × b = (λ ⋅ a ) × b = a × λ ⋅ b для ∀λ ∈ R . r r r r r r 0 r 5 . a× b+ c = a×b+a×c. r r Если a = (x1 ; y1 ; z1 ) , b = (x 2 ; y 2 ; z 2 ) заданы своими координатами, то r r r i j k r r (2.10) a × b = x1 y1 z1 . x 2 y2 z2 r ПРИМЕР 2.27 Сила F = {1;5;2} приложена к точке M (3;1;−4 ) . Определить момент этой силы относительно точки N(5;2;−1) . r Решение. Моментом силы F , приложенной к точке M , относительно r точки N называется вектор NM × F . По условию NM = {− 2;−1;−3}. Тогда

( ) ( )

( )

согласно формуле (2.10)

r r r i j k r r r r NM × F = − 2 − 1 − 3 = 13 ⋅ i + j − 9 ⋅ k . 1 5 2

Ответ: {13;1; − 9}.

ПРИМЕР 2.28 Даны вершины A(2;3;1) , B(4;1;−2 ) , C(6;3;7 ) треугольника ABC (рис. 2.7). Вычислить площадь S этого треугольника. Решение. Найдем векторы AB и AC (рис.2.7). Имеем AB = {2;−2;−3}, AC = {4;0;6}. Тогда

Рис. 2.7

r r r i j k r r r AB × AC = 2 − 2 − 3 = −12 ⋅ i − 24 ⋅ j + 8 ⋅ k . 4 0 6

Так как площадь параллелограмма ABCД равна AB × AC , то

1 1 SΔ = ⋅ AB × AC = ⋅ 2 2

1 = ⋅ 874 = 14 . 2 ПРИМЕР 2.29 Вычислить площадь параллелограмма S , построенного на r r r r r r r r o векторах m + 3 ⋅ n и 2 ⋅ n + m , если m = 1, n = 2 , (m, n ) = 45 .

(− 12)2 + (− 24)2 + 82

Решение Найдем векторное произведение данных векторов, используя его r r r r r r r r r r свойства: (m + 3 ⋅ n ) × (2 ⋅ n + m ) = 2 ⋅ m × n + 6 ⋅ n × n + m × m +

r r r r r r r r + 3 ⋅ n × m = −2 ⋅ n × m + 3 ⋅ n × m = n × m.

Вычислим модуль полученного вектора:

r r r r 2 n × m = n ⋅ m ⋅ sin 45o = 2 ⋅ 1 ⋅ = 1. 2

Итак, S = 1 кв.ед.

2.9 СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

(

)

r r r ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.13 Смешанным a × b ⋅ c или векторно-скалярным r r r произведением трех векторов a , b, c называется число, равное векторному r r r произведению векторов ar × b умноженному скалярно на вектор c . r 0 r Свойства: 1 . a × b ⋅ c = 0 , если векторы компланарны. r r r r r r r r r r r r r r r r r 0 r 2 . a × b ⋅ c = b × c ⋅ a = (c × a ) ⋅ b = −(a × c ) ⋅ b = − c × b ⋅ a = − b × a ⋅ c . r r r Если a = (x1 ; y1 ; z1 ) , b = (x 2 ; y 2 ; z 2 ) , c = (x 3 ; y 3 ; z 3 ) , то x1 y1 z1 r r r (2.11) a × b ⋅ c = x 2 y2 z2 .

(

)

( ) ( )

(

)

(

)

С геометрической позиции, модуль смешанного произведения численно r r r равен объему V (рис. 2.8) параллелепипеда построенного на векторах a , b, c как на ребрах, т.е. 79

(

)

r r r V = a×b ⋅c . ПРИМЕР

2.30

(2.12)

Даны

r r r a = {1;2;−1}, b = {2;2;3}, c = {0;1;4}. r r r Вычислить a × b ⋅ c .

(

векторы

)

Решение. По формуле (2.11), имеем

1 2 −1 r r r a × b ⋅ c = 2 2 3 = 8 − 2 − 16 − 3 = −13 .

(

)

0 1 4 r r r Ответ: a × b ⋅ c = −13 .

(

Рис. 2.8

)

ПРИМЕР 2.31 При каком значении

r x ∈ R векторы a = {1;3;0},

r r b = {2;0;6}, c = {x; 0; 3} компланарны? r r r r r r Решение. Векторы a , b, c компланарны, если a × b ⋅ c = 0 . Тогда

(

)

1 3 0 2 0 6 = 0 ⇔ 18 ⋅ x − 18 = 0 ⇔ x = 1 .

Ответ: 1.

x 0 3 ПРИМЕР V параллелепипеда построенного на векторах r 2.32 Вычислить r r a = {1; 4; 3}, b = {0; 2; 5}, c = {2; 3;1}. r r r Решение Согласно формуле (2.12) V = a × b ⋅ c =

(

)

1 4 3 0 2 5 = 2 + 40 − 12 − 15 = 15 .

Ответ: V = 15 куб.ед.

2 3 1 ПРИМЕР 2.33 Вычислить объем пирамиды ABCД и длину высоты, проведенной из вершины Д , если A(2; 3;1) , B(4;1; − 2 ) , C(6; 3; 7 ) , Д (− 5; − 4; 8) . Решение. Так как объем пирамиды V составляет шестую часть объема параллелепипеда, построенного на векторах AB , AC , АД , то

1 V = ⋅ (AB × AC)⋅ АД , 6

AB = {2;−2;−3}, AC = {4;0;6} , 2 −2 −3 AB × AC ⋅ AД = 4 0 6 = 308 .

где

(

)

−7 −7

АД = {− 7;−7;7}. Тогда, V =

Следовательно,

154 1 . ⋅ 308 = 3 6

Для вычисления высоты h д пирамиды воспользуемся формулой V = где S - площадь треугольника ABC . Имеем S =

1 ⋅ AB × AC . Тогда 2

1 ⋅ h ⋅S, 3

r r r i j k r r r AB × AC = 2 − 2 − 3 = −12 ⋅ i − 24 ⋅ j + 8 ⋅ k = {− 12; − 24; 8}. 4 0 6 Следовательно, AB × AC = Итак,

(− 12)2 + (− 24)2 + 8 2

154 1 = ⋅ h д ⋅ 14 ⇔ h д = 11. 3 3

= 28 и S =

1 ⋅ 28 = 14 . 2

Ответ: V = 154 3 куб.ед., h д = 11 ед.

УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС РАЗДЕЛ 1 «ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА»

3. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

3.1 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. 2. 3. 4. 5.

Матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами. Определители. Свойства определителей. Алгебраические дополнения и миноры. Вычисление определителей. Невырожденная матрица. Обратная матрица. Нахождение обратной матрицы. Ранг матрицы. 6. Матричный метод решения систем линейных уравнений. Формулы Крамера. 7. Метод Гаусса решения систем алгебраических линейных уравнений. 8. Скалярные и векторные величины. 9. Действия над векторами. 10. Угол между векторами. Проекция вектора на ось. 11. Линейные комбинации векторов. Базис. 12. Прямоугольная декартова система координат. 13. Линейные операции над векторами, заданными в координатной форме. 14. Скалярное произведение векторов и его свойства. Приложения скалярного произведения. 15. Векторное произведение векторов и его свойства. Приложения векторного произведения. 16. Смешанное произведение векторов и его свойства. Приложения смешанного произведения.

3.2 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 3.2.1.

Даны

0⎞ ⎛3 ⎟ ⎜ 1 ⎟, M = ⎜ 4 ⎜3 5 ⎟⎠ ⎝ ⎛1 0 ⎜ E = ⎜0 1 ⎜0 0 ⎝

⎛ 2 1 ⎜ D=⎜ 3 4 ⎜−1 2 ⎝ ⎛3 1⎞ ⎜ ⎟ K = ⎜ 2 4 ⎟, ⎜0 5⎟ ⎝ ⎠ Найти

⎛1 2⎞ ⎛ 4 − 2⎞ ⎟⎟, B = ⎜⎜ ⎟⎟, C = (1 5 6 ), A = ⎜⎜ 3 5 1 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 5 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ⎛ 1 3 4⎞ ⎟⎟, 0 2 ⎟, N = ⎜ 4 ⎟, P = ⎜⎜ − 2 1 3 ⎝ ⎠ ⎜ 3⎟ − 2 1 ⎟⎠ ⎝ ⎠ 0⎞ ⎟ 0⎟ . 1 ⎟⎠

матрицы

1) A + B;

7) D ⋅ M;

13) P ⋅ N;

2) 2 A − 3 B;

8) M ⋅ N;

14) C ⋅ N;

3) A + M;

9) N ⋅ D;

15) A 2 ;

4) A ⋅ B;

10) C ⋅ D;

5) B ⋅ A;

11) D ⋅ C;

16) (A + B) ;

6) 3 D;

12) P ⋅ K;

19) M T ; 20) D T + M T ; 21) (D + M ) ; 22) D ⋅ E; T

17) A 2 + 2 AB + B 2 ;

23) E ⋅ D;

18) D T ;

24) E T ;

25) M ⋅ E T ; 26) E ⋅ K; 27) C ⋅ E.

Ответы:

⎛ 5 0⎞ ⎟⎟; 1) ⎜⎜ 4 5 ⎝ ⎠ ⎛ − 10 10 ⎞ ⎟⎟; 3 10 ⎝ ⎠

⎛ 29 ⎞ ⎜ ⎟ 8) ⎜ 14 ⎟; ⎜1⎟ ⎝ ⎠

2) ⎜⎜

9) ∅;

3) ∅;

10) (11

11) ∅;

⎛ − 2 − 2⎞ ⎟⎟; 1 2 ⎝ ⎠

12) ⎜⎜

5) ⎜⎜

⎛ 25 ⎝ 40 ⎛ 33 33 35); 17) ⎜⎜ ⎝ 56 ⎛2 ⎜ 18) ⎜ 5 ⎜1 ⎝ ⎛3 ⎜ 33 ⎞ 19) ⎜ 5 ⎟⎟; 17 ⎠ ⎜1 ⎝ 16) ⎜⎜

⎛ 6 − 2⎞ ⎟⎟; 17 6 − ⎝ ⎠

4) ⎜⎜

⎛ 7 12 ⎞ ⎟⎟; 18 31 ⎝ ⎠

15) ⎜⎜

⎛ 9 ⎝− 5

0⎞ ⎟; 25 ⎠⎟ 0⎞ ⎟; 17 ⎟⎠ 3 −1⎞ ⎟ 0 − 2 ⎟; 2 1 ⎟⎠ 4 3 ⎞ ⎟ 0 − 2 ⎟; 2 1 ⎟⎠

22) D;

23) D; 24) E;

25) M;

26) K;

⎛ 6 ⎜ 6) ⎜ 9 ⎜− 3 ⎝ ⎛ 10 ⎜ 7) ⎜ 28 ⎜ 20 ⎝

3 0⎞ ⎟ 12 3 ⎟; 6 15 ⎟⎠ 10 4⎞ ⎟ 13 12 ⎟; − 15 8 ⎟⎠

⎛5 ⎜ 20) ⎜ 6 ⎜1 ⎝ ⎛5 ⎜ 21) ⎜ 7 ⎜2 ⎝

⎛ 26 ⎞ 13) ⎜⎜ ⎟⎟; ⎝9⎠ 14) (40 );

2⎞ ⎟ 0 ⎟; 6 ⎟⎠ 1⎞ ⎟ 3 ⎟; 0 6 ⎟⎠

7 4 3 6 4

27) C.

3.2.2. Умножить матрицы

⎛0 ⎜ ⎜1 1) ⎜ 2 ⎜⎜ ⎝3 ⎛1 ⎜ 3) ⎜ 3 ⎜2 ⎝

0 1⎞ ⎟ ⎛−1 1 2⎟ ⎜ ⋅⎜ 2 2 3⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎝ 1 3 4⎠ − 3 2⎞ ⎛ 2 ⎟ ⎜ − 4 1⎟ ⋅ ⎜1 − 5 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 1

− 1⎞ ⎟ ⎛ 4⎞ 2 ⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟; ⎝1⎠ 1 ⎟⎠

5 6⎞ ⎟ 2 5 ⎟; 3 2 ⎟⎠

⎛ 6 ⎞ ⎛ 5 0 2 3⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ − 2⎟ ⎜ 2) ⎜ 4 1 5 3 ⎟ ⋅ ⎜ ⎟; 7 ⎜ 3 1 − 1 2⎟ ⎜ ⎟ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎝ 4 ⎠ ⎛ 5 8 − 4⎞ ⎛ 3 2 5⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4) ⎜ 6 9 − 5 ⎟ ⋅ ⎜ 4 − 1 3 ⎟. ⎜ 4 7 − 3⎟ ⎜ 9 6 5⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ответы:

⎛5⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 15 ⎟ 1) ⎜ ⎟ ; 25 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 35 ⎠ 3.2.3.

Найти

⎛1 5 − 5⎞ ⎛ 11 − 22 29 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3) ⎜ 3 10 0 ⎟; 4) ⎜ 9 − 27 32 ⎟. ⎜2 9 − 7⎟ ⎜13 − 17 26 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ 56 ⎞ ⎜ ⎟ 2) ⎜ 69 ⎟; ⎜ 17 ⎟ ⎝ ⎠

значения

многочлена

2 ⋅ A2 + 3⋅ A + 5 ⋅ E

при

⎛ 1 1 2⎞ ⎛1 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜1 3 1⎟ и E = ⎜ 0 1 0⎟ . ⎜4 1 1⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 28 15 16 ⎞ ⎜ ⎟ Ответ: ⎜ 19 36 15 ⎟. ⎜ 30 19 28 ⎟ ⎝ ⎠ 3.2.4. Вычислить определители методами: 1) треугольников; 2) по теореме разложения; 3) по теореме разложения с предварительным получением нулей

1 3 5 1) 0 2 1 ; 4 1 2 2 4 −1 4) − 4 2 1 ; 3

4 −1 3 2 ; 1 −2 7 1 3 − 4.

2 2) 7 3 4 5) 2

8 1

2 1 1 3) 3 2 1 ; 1 4 −3

Ответы: 1) – 25; 2) 66;

3) 0;

4) 120;

5) – 236.

3.2.5. Вычислить определители 1)

2 −1 1

2 −1

3 −1 2 3 1 6

3 1

;

2 3 −3

2 1

−1

6 2 2 3

1 0

0 −5

8 ;

−8 2

4 0

4 4 4 −3

5 2

;

9 10 11 12 13 14 15 16

Ответы: 1) 0; 2) 48; 3) 1800; 4) 0. 3.2.6. Решить уравнения

1 3 x 1) 4 5 − 1 = 0; 2 −1 5 4) 7)

3x x

−1

3 = ; 2x −3 2

4 sin x

cos x

Ответы: 1) x = −3;

= 0;

x1 = −10; x 2 = 2;

3 x −4 2) 2 − 1 3 = 0; x + 10 1 1 5) 8)

x +1

−5

x −1

sin 8 x

cos 5 x

6) x = 2;

= 0;

= 0.

1 6

3) x = 12;

4) x 1 = − , x 2 =

x = (− 1) ⋅ n

5) x ∈ ∅;

2 x−4

x2 − 4 −1 = 0; 6) x−2 x+2

= 0;

cos 8 x − sin 5 x

n ∈ Z;

π πn + , 12 2

8) x =

3 ; 2

π (2 n + 1) , n ∈ Z. 6

3.2.7. Решить неравенства

2 x + 2 −1 1 sin x 2 2) 1 1 − 2 > 0; 3) 0 1 − 2 ≥ 0. 5 −3 x −1 0 −2

3 −2 1 1) 1 x − 2 < 0; −1 2 −1 Ответы: 1) x ∈ (4;+∞ );

3) x ∈ [2 π k; (2 k + 1) π], k ∈ Z

2) x ∈ (− 6;−4 );

3.2.8. Найти обратные матрицы

2 − 3⎞ ⎛ 2 ⎟ ⎜ 1) A = ⎜ 1 − 1 0 ⎟; ⎜−1 2 1 ⎟⎠ ⎝

⎛ 1 2 − 3⎞ ⎟ ⎜ 2) B = ⎜ 0 1 2 ⎟; ⎜0 0 1 ⎟ ⎠ ⎝

⎛1 0 0⎞ ⎟ ⎜ 3) E = ⎜ 0 1 0 ⎟; ⎜0 0 1⎟ ⎠ ⎝ 6)

⎛1 ⎜ ⎜0 K=⎜ 0 ⎜⎜ ⎝0

⎛1 2⎞ ⎟ ⎜ 5) D = ⎜ 3 4 ⎟; ⎜5 6⎟ ⎠ ⎝

⎛ 2 3⎞ ⎟⎟; 1 4 ⎝ ⎠

4) C = ⎜⎜

Ответы:

⎛ 1 7 8 7 3 7⎞ ⎟ ⎜ 1) ⎜ 1 7 1 7 3 7 ⎟; ⎜−1 7 6 7 4 7⎟ ⎠ ⎝ ⎛ 4 5 − 3 5⎞ ⎟⎟; 1 5 2 5 − ⎝ ⎠

4) ⎜⎜

⎛1 − 2 7 ⎞ ⎟ ⎜ 2) ⎜ 0 1 − 2 ⎟; ⎜0 0 1 ⎟⎠ ⎝ 5) ∅;

3 −5 1

0 0

1 0

7 ⎞ ⎟ − 3⎟ . 2 ⎟ ⎟ 1 ⎟⎠

0 0⎞ ⎟ 1 0 ⎟; 0 1 ⎟⎠ − 3 11 − 38 ⎞ ⎟ 1 −2 7 ⎟ . −2 ⎟ 0 1 ⎟ 0 0 1 ⎟⎠

⎛1 ⎜ 3) ⎜ 0 ⎜0 ⎝ ⎛1 ⎜ ⎜0 6) ⎜ 0 ⎜⎜ ⎝0

3.2.9. Решить матричные уравнения

⎛1 2⎞ ⎛3 ⎟⎟ ⋅ Χ = ⎜⎜ ⎝3 4⎠ ⎝5 ⎛2 1⎞ ⎛1 ⎟⎟ = ⎜⎜ 3) Χ ⋅ ⎜⎜ 1 2 ⎝ ⎠ ⎝0

1) ⎜⎜

5⎞ ⎟; 9 ⎟⎠ 0⎞ ⎟; 1 ⎟⎠

⎛2 ⎝2 ⎛3 4) ⎜⎜ ⎝5

2) ⎜⎜

1⎞ ⎛2 ⎟⎟ ⋅ Χ = ⎜⎜ 1⎠ ⎝2 −1⎞ ⎛5 ⎟⎟ ⋅ Χ ⋅ ⎜⎜ − 2⎠ ⎝7

1⎞ ⎟; 1⎟⎠ 6 ⎞ ⎛14 16 ⎞ ⎟=⎜ ⎟. 8 ⎟⎠ ⎝⎜ 9 10 ⎟⎠

Ответы:

⎛ − 1 − 1⎞ ⎟⎟; 1) ⎜⎜ 2 3 ⎝ ⎠

b ⎞ ⎛ a ⎟, ⎜⎜ 2) ⎝ 2 − 2a 1 − 2b ⎟⎠ a, b ∈ R; 87

⎛ 2 3 − 1 3⎞ ⎜⎜ ⎟⎟; 1 3 2 3 − ⎝ ⎠

⎛1 2⎞ ⎟⎟. 3 4 ⎝ ⎠

4) ⎜⎜

3.2.10. Решить системы уравнений по формулам Крамера и матричным способом

⎧2 x − 3 y + 5 z = −7, ⎪ 1) ⎨x + y + z = −4, ⎪5 x + 3 y − 4 z = 11. ⎩ ⎧2 x + 3 y − 4 z = −4, ⎪ 2) ⎨3 x + 2 y + 5 z = 22, ⎪x − y + z = 2. ⎩

⎧2 x − y + z = −4, ⎪ 4) ⎨3 x + y − z = −1, ⎪4 x − 2 y + 3 z = −7. ⎩ ⎧2 x + z = 6, ⎪ 5) ⎨2 y − z = 2, ⎪3 x − 4 y = −2. ⎩ ⎧2 x 1 + 3 x 2 + 11 x 3 + 5 x 4 = 2, ⎪x + x + 5 x + 2 x = 1, ⎪ 1 2 3 4 6) ⎨ ⎪2 x 1 + x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 = −3, ⎪⎩x 1 + x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 = −3.

⎧x + 3 y − 3 z = 13, ⎪ 3) ⎨2 x − 3 y + 3 z = −10, ⎪x + z = 0. ⎩ Ответы: 1) x = 1, y = −2, z = −3; 2) x = 1, y = 2, z = 3; 5) x = y = z = 2;

3) x = 1, y = 3, z = −1; 4) x = −1, y = 3, z = 1; 6) x 1 = −2, x 2 = 0, x 3 = 1, x 4 = −1.

3.2.11. Решить системы уравнений методом Гаусса

⎧2 x − 5 y + 4 z = 11, ⎪ ⎨7x − 3 y − z = 17, ⎪16 x − 11 y + 2 z = 20. ⎩ ⎧2 x + y − z = 11, ⎪ ⎨3 x + 2 y − 4 z = 15, ⎪4 x + 3y − 7z = 19. ⎩ ⎧x + 3 y − 4 z = 5, ⎪ ⎨2 x − 3 y + 6 z = 11, . ⎪8 x − 3 y + 10 z = 21 ⎩ ⎧2 x 1 + x 2 + x 3 = 2, ⎪x + 3 x + x = 5, ⎪ 1 2 3 ⎨ ⎪x 1 + x 2 + 5 x 3 = −7, ⎪⎩2 x 1 + 3 x 2 − 3 x 3 = 14.

⎧2 x − 3 y + 5 z = −7, ⎪ ⎨x + y + z = −4, ⎪5 x + 3 y − 4 z = 11. ⎩ ⎧2 x + 3 y − 5 z = 4, ⎪ ⎨4 x + 6 y − 10 z = 8, ⎪8 x + 12 y − 20 z = 16. ⎩ ⎧3 x + 2 y + z = 5, ⎪ ⎨2 x + 3 y + z = 1, ⎪2 x + y + 3 z = 11. ⎩ ⎧x 1 + x 2 − 3 x 3 = −1, ⎪2 x + x − 2 x = 1, ⎪ 1 2 3 ⎨ ⎪x 1 + x 2 + x 3 = 3, ⎪⎩x 1 + 2 x 2 − 3 x 3 = 1.

⎧ x 1 − 2 x 2 + 3 x 3 − 4 x 4 = 4, ⎪x − x + x = −3, ⎪ 2 3 4 9) ⎨ ⎪x 1 + 3 x 2 − 3 x 4 = 17, ⎪⎩− 7 x 2 + 3 x 3 + x 4 = −3. ⎧3 x 1 + x 2 − 2 x 3 + x 4 − x 5 = 1, ⎪2 x − x + 7 x − 3 x + 5 x = 2, ⎪ 1 2 3 4 5 11) ⎨ ⎪x 1 + 3 x 2 − 2 x 3 + 5 x 4 − 7 x 5 = 3, ⎪⎩3 x 1 − 2 x 2 + 7 x 3 − 5 x 4 + 8 x 5 = 3.

⎧ x 1 + 3 x 2 + 2 x 3 = 0, ⎪2 x − x + 3 x = 0, ⎪ 1 2 3 10) ⎨ ⎪3 x 1 − 5 x 2 + 4 x 3 = 0, ⎪⎩x 1 + 17 x 2 + 4 x 3 = 0. ⎧λ x + y + z = 1, ⎪ 12) ⎨x + λ y + z = λ, ⎪ 2 ⎩x + y + λ z = λ .

Ответы: 1) Система несовместна;

2) x = 1, y = −2, z = −3;

3) x = 7 − 2 z, y = −3 + 5 z, z ∈ R ;

4) x = 2 −

5) Система несовместна; 7) x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = −2;

8) Система несовместна;

x 1 = −8, x 2 = 3 + x 4 ,

x 3 = 6 + 2 x 4 , x 4 ∈ R;

3 5 y + z, y ∈ R , z ∈ R ; 2 2 6) x = 2, y = −2, z = 3;

10) x 1 = −

11 1 x 3 , x 2 = − x 3 , x 3 ∈ R; 7 7

11) Система несовместна;

2 ( λ +1 λ + 1) 1 x=− 12) Если (λ − 1) ⋅ (λ + 2 ) ≠ 0 , то , z= ; y= . Если λ+2 λ+2 λ+2 λ = 1, то система имеет решения зависящие от двух параметров. Если λ = −2 , то

система несовместна. 3.2.12. Даны a = 13, b = 19, a + b = 24 . Вычислить a − b . Ответ: a − b = 22 . 3.2.13. Даны a = 11, b = 23, a − b = 30 . Вычислить a + b . Ответ: a + b = 20 . 3.2.14. Векторы a и b взаимно перпендикулярны. Вычислить a + b и

a − b , если a = 5, b = 12 . Ответ: a + b = a − b = 13 . 3.2.15. Векторы a и b образуют угол ϕ = 60 0 . Вычислить a + b и

a − b , если a = 5, b = 8 . Ответ: a + b = 129 , a − b = 7 . 89

3.2.16. Векторы a и b неколлинеарны. Найти числа x и y , если

x a + y b = (y + 1) a + (2 − x ) b .

Ответ: x = 3 2 , y = 1 2 . 3.2.17. Векторы a и b неколлинеарны. Найти числа x и y , если

(2 − x ) a + b = y a + (x − 3) b .

Ответ: x = 4, y = −2 .

3.2.18. Векторы a и b неколлинеарны. Найти число x , если векторы (x − 1) a + 2 b и 3 a + x b коллинеарны. Ответ: x = −2 . 3.2.19. Определить при каких x и y вектор a = {− 2; 3; y} коллинеарен

вектору b = {x; − 6; 2}. 3.2.20.

Найти a = −6 i + 3 j − 2 k .

Ответ: x = 4, y = −1. вектор, сонаправленный

единичный

вектору

⎧ 6 3 2⎫ ; ;− ⎬ ⎩ 7 7 7⎭

Ответ: a = ⎨−

3.2.21. Найти координаты вектора b , коллинеарного вектору a = {− 1; 2}, если b = 10 .

{

}

Ответ: b = − 2 ; 2 2 . 3.2.22. Точка O является центром тяжести треугольника ABC . Доказать, что OA + OB + OC = O . 3.2.23. Найти длину медианы AM треугольника ABC , если A (2; 3 2 ;−4 ) , B (3; − 4; 2), C (1; 3; − 7 ) .

5 . 2 между векторами AB Ответ: AM =

ϕ A (− 5; 1), B (− 1; 4 ), C (1; − 4 ), D (2; 3) . 3.2.24.

Найти

угол

CD , если

π . 4 3.2.25. Дан треугольник ABC с вершинами A (− 1; − 2; 4 ), B (3; 2; − 2 ) , C (3; − 2;1) . Найти длину стороны AB и угол при вершине C этого Ответ: ϕ =

треугольника.

⎛ 9 ⎞ ⎟. ⎝ 25 ⎠

Ответ: AB = 2 17 ; arccos ⎜ −

3.2.26. Даны вектора a = {3; 2; 3} и b = {0; − 4; 3}. Найти проекцию вектора a на вектор b .

1 . 5 3.2.27. Даны вектора a = {4; − 2; − 4} и b = {6; − 3; 2}. Вычислить: 2 1) a ⋅ b ; 2) 2 a − 3 b ⋅ a + 2 b ; 4) 2 a − b ; 3) a − b ; Ответ: пр b a =

(

5) пр a b; Ответ: 1) 22; 2) –200;

)(

)

(

6) пр b a;

3) 41;

)

( )

7) cos a , b .

5) 11 3 ;

4) 105;

6) 27 2 ;

7) 11 21.

3.2.28. Вектор a + 3 b перпендикулярен вектору 7 a − 5 b , а вектор

a − 4 b перпендикулярен вектору 7 a − 2 b . Найти угол между векторами a и b. Ответ: 60 0 . 3.2.29. Векторы a и b образуют угол ϕ = 120 0 . Зная, что

(

)(

)

a = 3, b = 4 вычислить 3 a − 2 b ⋅ a + 2 b . Ответ: − 61 . 3.2.30. Найти косинус углов, которые образуют с базисными векторами вектор a = {2; − 1; 2}. Ответ: cos α =

2 1 2 ; cos β = − ; cos ϕ = . 3 3 3

3.2.31. Вектор a , у которого первая координата вдвое больше второй, образует с базисным вектором k угол 135 0 . Найти его координаты, если a = 5 2.

{

}

Ответ: a = 2 5; 5;−5 . Найти координаты вектора a , коллинеарного вектору b = {6; 8; − 7,5} и образующего тупой угол с базисным вектором j , если 3.2.32.

a = 50. Ответ: a = {− 24; − 32; 30}. Найти координаты вектора b , коллинеарного вектору a = {1;1; − 1 2} , образующего острый угол с базисным вектором k , если 3.2.33.

b = 3. Ответ: b = {− 2; − 2;1} 91

3.2.34.

Найти координаты a = {− 1;1;−2} , если a ⋅ b = 12 .

вектора

коллинеарного

вектору

Ответ: b = {− 2; 2; − 4}.

3.2.35. Найти вектор c , зная, что он перпендикулярен векторам a = {2; 3;−1} , b = {1;−2; 3} и удовлетворяющий условию c ⋅ {2; − 1;1} = −6 . Ответ: c = {− 3; 3; 3}.

3.2.36. Даны три вектора a = {3; − 1}, b = {1; − 2}, c = {− 1; 7}. Разложить вектор p = a + b + c по векторам a и b . Ответ: p = 2 a − 3 b . 3.2.37. Разложить вектор x по векторам a , b и c :

1) x = {− 2; 4; 7},

2) x = {6;12; − 1}, 3) x = {1; − 4; 4},

4) x = {− 9; 5; 5}, Ответ: 1) {2; − 1;1},

a a a a

= {0;1; 2}, = {1; 3; 0}, = {2;1;−1}, = {4;1;1},

b = {1; 0;1}, b = {2; − 1;1}, b = {0; 3; 2}, b = {2; 0; − 3},

c = {− 1; 2; 4}; c = {0; − 1; 2}; c = {1; − 1;1}; c = {− 1; 2;1};

2) {4;1; − 1}, 3) {− 1; 0; 3},

4) {− 1; − 1; 3}.

3.2.38. Вычислить работу силы F = {1; 2;1} при перемещении материальной точки из A (− 1; 2; 0 ) в B (2;1; 3) вдоль прямой AB . Ответ: A = 4. 3.2.39. Даны вектора a = {3;−1;−2} и b = {1; 2; − 1}. Найти векторные

(

)

(

) (

)

произведения: 1) a × b ; 2) 2 a + b × b ; 3) 2 a − b × 2 a + b . Ответ:1) {5;1; 7}; 2) {10; 2;14}; 3) {20; 4; 28};

π . 6 Вычислить: 1) a × b , 2) (2 a + b ) × (a + 2 b ) , если a = 1, b = 2 .

3.2.40. Вектора a и b образуют угол ϕ =

Ответ: 1) 1; 2) 3. 3.2.41. Вектора a , b и c удовлетворяют условию a + b + c = 0 . Доказать, что a × b = b × c = c × a . 3.2.42. Вычислить площадь треугольника построенного на векторах a − 2 b и 3 a + 2 b , если a = b = 5, a , b = π 4 .

(

)

Ответ: S = 50 2 . 92

3.2.43. Вычислить площадь параллелограмма построенного на векторах: 1) a = {2; 3;1}, b = {3; 0; − 1}; 2) a = {1; 5; 2}, b = {2;1; 2}; 3) a = {3; 4; 2}, b = {1; 0; − 1}.

Ответ: 1) 115; 2) 159 ; 3) 3.2.44. Дан треугольник ABC с вершинами: 1) A (3; 5; 4 ), B (0; 3; 2 ), C (− 1; 2; − 1); 2) A (4; 4;1), B (3; 2; 4 ), C (1; 4; 0 ); 3) A (3;1; 2 ), B (1; 3; 4 ), C (0; 3; 1); 4) A (2; − 3; 2 ), B (3; 4; 2 ), C (− 1; 2; 2 ). Вычислить площадь этого треугольника. Ответ: 1) 3.2.45. Найти длину высоты h c B (2;1; 0 ), C (1;1; − 2 ) .

1 66 ; 2) 2

57 .

1 26. 2 треугольника ABC , если A (1; 0; 2 ), 35; 3)

26 ; 4)

1 14 . 2 3.2.46. Вычислить площадь четырехугольника ABCD , если A (1;1; 0 ), B (2; 0; 0 ), C (0; 4; 2 ), D (3; 0;1) . Ответ: 3 3 . 3.2.47. Сила F = {2; 2; 9} приложена к точке M (4; 2; − 3) . Определить Ответ: h c =

величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно точки С (2; 4; 0 ) .

3 6 2 . 7 7 7 3.2.48. Даны вектора a = {2;−3;1}, b = {− 3;1; 2}, c = {1; 2; 3}. Вычислить смешанные произведения векторов: 1) a × b ⋅ c; 2) b × a ⋅ c; 3) a × a ⋅ b. Ответ: 28; cos α = − , cos β = − ; cos γ =

(

)

(

)

(

)

Ответ: 1) 42; 2) – 42; 3) 0. 3.2.49. Установить, компланарны ли вектора a , b, c , если: 1) a = {2; 3; − 1}, 2) a = {3; − 2;1},

3) a = {2; 3;1},

4) a = {1; − 1; − 3},

b = {1; − 1; 3}, b = {2;1; 2}, b = {− 1; 0; − 1}, b = {3; 2;1},

c = {1; 9; − 11}; c = {3; − 1; − 2}; c = {2; 2; 2}; c = {2; 3; 4}.

Ответ: 1) Да; 2) Нет; 3) Нет; 4) Да. 3.2.50. Вычислить объем тетраэдра с вершинами: 1) A (2; − 1;1), B (5; 5; 4 ), C (3; 2; − 1), D (4;1; 3); 2) A (1; 3; 6 ), B (2; 2;1), C (− 1; 0;1), D (− 4; 6; − 3); 3) A (− 4; 2; 6 ), B (2; − 3; 0 ), C (− 10; 5; 8), D (− 5; 2; − 4 ). 93

70 56 ; 3) V = . 3 3 3.2.51. По данным задачи 3.2.51 вычислить высоту h D тетраэдра опущенную из вершины D на грань ABC . 140 18 ; 3) h D = 4. Ответ: 1) h D = ; 2) h D = 19 531 3.2.52. Объем тетраэдра V = 5 . Три его вершины находятся в точках A (2;1;−1), B (3; 0;1), C (2; − 1; 3) . Найти координаты четвертой вершины D , если известно, она находится на оси 0Y . Ответ: D1 (0; 8; 0 ), D 2 (0; − 7; 0 ) . 3.2.53. Доказать, что точки A (1; 2;−1), B (0;1; 5), C (− 1; 2;1) и D (2;1; 3) Ответ:1) V = 3; 2) V =

лежат в одной плоскости.

3.3 РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ Задание №1 Решить систему линейных уравнений методом Крамера с точностью до 0,1

⎧2 x − y + z − 2 = 0 ⎪ 1. ⎨x + 5 y − 4 z + 5 = 0 ⎪4 x + y − 3 z + 4 = 0 ⎩ ⎧ x + 2 y + 3z = 5 ⎪ 4. ⎨2 x − y − z = 1 ⎪ x + 3y + 4z = 6 ⎩ ⎧3 x + 2 y − z = −2 ⎪ 7. ⎨2 x − y + 3 z = 5 ⎪x + 3 y − 4 z = −7 ⎩ ⎧3 x + 2 y + z = 7 ⎪ 10. ⎨2 x − 2 y + 3 z = −1 ⎪3 y − 3 x − 4 z = 7 ⎩ ⎧2 x + 3 y + 4 z = −3 ⎪ 13. ⎨3 x + 2 y + 5 z = −1 ⎪3 x + y + 4 z = 1 ⎩ ⎧x − y + 3z = 4 ⎪ 16. ⎨2 x + 2 y = 5 ⎪3 x + y − z = 4 ⎩ ⎧x + 5 y − z = 0 ⎪ 19. ⎨5 x − y + z = 10 ⎪x + y + z = 8 ⎩ ⎧3 x + 3 y − z = 5 ⎪ 22. ⎨x − 3 y + 3 z = 1 ⎪ x + y +z = 3 ⎩ ⎧2 x + 4 y − 6 z = 3 ⎪ 25. ⎨3 x − 3 y + 2 z = 2 ⎪− 4 x + 2 y + z = 0 ⎩

⎧2 x − 4 y + 3 z = 1 ⎪ 2. ⎨x − 2 y + 4 z = 3 ⎪3 x − y + 5 z = 2 ⎩ ⎧ x − 2 y + z = 11 ⎪ 5. ⎨2 x + 3 y − z = 3 ⎪4 x − y + z = 11 ⎩ ⎧3 x + 2 y + z = 3 ⎪ 8. ⎨2 x − y + 3 z = 9 ⎪3 x − y − 4 z = −4 ⎩ ⎧2 x + 3 y + z = 5 ⎪ 11. ⎨2 x − y + 3 z = −1 ⎪3 x − y − 4 z = −9 ⎩ ⎧3 x + 2 y + 4 z + 3 = 0 ⎪ 14. ⎨2 x + 3 y + 5 z + 1 = 0 ⎪x + 3 y + 4 z − 1 = 0 ⎩ ⎧3 x + 3 y − 2z = 3 ⎪ 17. ⎨x − 5 y + z = 0 ⎪2 x + 4 y − z = 3 ⎩ ⎧4 x − y + 2 z = 2 ⎪ 20. ⎨x + 3 y − z = 4 ⎪− x + y + 2 z = 6 ⎩ ⎧5 x + 2 y − z = 1 ⎪ 23. ⎨− 2 x + 3 y − z = 4 ⎪3 x + y + z = 8 ⎩ ⎧7 x − 2 y + z = 0 ⎪ 26. ⎨3 x + 3 y − z = 2 ⎪4 x + y + z = 6 ⎩

⎧2 x − y + z = 2 ⎪ 3. ⎨3 x + 2 y + 2 z = −2 ⎪ x − 2y + z = 1 ⎩ ⎧ x − 2 y + z = 11 ⎪ 6. ⎨2 x + 3 y − z = 3 ⎪8 x − 2 y − 2 z = 22 ⎩ ⎧3 x − y + 2 z = 9 ⎪ 9. ⎨2 x + 3 y − z = 0 ⎪2 x + 4 y + 3 z = 3 ⎩ ⎧2 x + 3 y + 3 z = 7 ⎪ 12. ⎨3 x + 2 y + z = 2 ⎪4 x + 5 y + 4 z = 10 ⎩ ⎧− x + 2 y + 3 z = 6 ⎪ 15. ⎨2 x − 3 y + z = 0 ⎪x+y+2 z+4=6 ⎩ ⎧4 x − y + z = 4 ⎪ 18. ⎨3 x + 2 y − z = 4 ⎪− x + y + z = 1 ⎩ ⎧ x + 4y − z =1 ⎪ 21. ⎨3 x − 2 y + z = 5 ⎪2 x + y + 4 z = 5 ⎩ ⎧2 x + y − 3 z = 3 ⎪ 24. ⎨3 x − 5 y + z = −1 ⎪− x + 4 y − z = 1 ⎩ ⎧7 x + 2 y − 2z = 3 ⎪ 27. ⎨x − 3 y + z = 1 ⎪− 2 x + y + 2 z = 5 ⎩

⎧ x + 5 y − 2z = 5 ⎪ 28. ⎨2 x − 4 y + 3 z = 3 ⎪− x + 2 y + z = 1 ⎩

⎧2 x − 3 y + 4 z = 2 ⎪ 29. ⎨− 4 x + 7 y + 3 z = −3 ⎪2 x + y + z = 6 ⎩

⎧ x − y + 2z = 5 ⎪ 30. ⎨x + 3 y − 3 z = 2 ⎪− 2 x + 4 y + 7 z = 2 ⎩

Задание №2 Решить систему линейных уравнений матричным способом с точностью до 0,1

⎧ 2x + 3y = 4 ⎪ 1. ⎨x + y + z = 1 ⎪ x − y + 3 z = −3 ⎩ ⎧ 2x + y − z = 2 ⎪ 4. ⎨− x + y + 2 z = 5 ⎪ x −y +z = 4 ⎩ ⎧ 2x + y = 5 ⎪ 7. ⎨ x + 3 y = 16 ⎪5 y − z = 10 ⎩ ⎧ x − y + 2z = 11 ⎪ 10. ⎨2 x + 4 y + z = 7 ⎪ y +z = 5 ⎩ ⎧ 3x + y = 4 ⎪ 13. ⎨x + 2 y + 2 z = 10 ⎪2 x + 2 y + z = 9 ⎩ ⎧ x + 2 y + 4z = 11 ⎪ 16. ⎨2 x + 4 y − 3 z = 5 ⎪ x + y − 3z = 2 ⎩ ⎧ 2 x + 4 y + z = 11 ⎪ 19. ⎨2 x + 3 y − z = 4 ⎪3 x + 7 y + z = 16 ⎩ ⎧ 2x − 2y − z = 9 ⎪ 22. ⎨ x − 2 y − z = 8 ⎪2 x + 5 y + 4 z = −20 ⎩

⎧ x + 2y − z = 2 ⎪ 2. ⎨2 x − 3 y + z = 0 ⎪− x + y + z = 1 ⎩ ⎧ x + y − z = 36 ⎪ 5. ⎨ x + z − y = 13 ⎪ y +z − x = 7 ⎩ ⎧ x + y + z = 36 ⎪ 8. ⎨2 x − 3 z = −17 ⎪6 x − 5 z = 7 ⎩ ⎧ 2 x + y + 2z = 2 ⎪ 11. ⎨3 x + z = 2 ⎪4 y + 2 z = 1 ⎩ ⎧ − x − y + 2z = −1 ⎪ 14. ⎨ x + 2 y − 2 z = 1 ⎪3 x + y − z = −2 ⎩ ⎧ 2x + y + z = 8 ⎪ 17. ⎨ x + y + 2 z = 7 ⎪ z − 3 x − 3 y = −14 ⎩ ⎧ 2 x + 2 y + 3 z = 13 ⎪ 20. ⎨4 x + 3 y + 7 z = 24 ⎪2 x + y + z = 6 ⎩ ⎧ 2 x + y + 2z = −1 ⎪ 23. ⎨5 x − 2 y − 23 z = −21 ⎪4 z − x − y = −15 ⎩

⎧ 3x − 2 y + z = 0 ⎪ 3. ⎨ x + 3 y − z = 1 ⎪2 x − y + 3 z = 5 ⎩ ⎧ x + 2y + z = 4 ⎪ 6. ⎨3 x − 5 y + 3 z = 1 ⎪2 x + 7 y − z = 8 ⎩ ⎧ x + 2y + z = 2 ⎪ 9. ⎨3 x + y − z = −2 ⎪− x + y + 2 z = 4 ⎩ ⎧ x + 3 y + 2z = 7 ⎪ 12. ⎨2 x + y + 3 z = 11 ⎪2 y + z = 3 ⎩ ⎧ 2 x + 2 y + 4z = 2 ⎪ 15. ⎨ x + y − 3 z = −4 ⎪ x + 2y + 4 z =1 ⎩ ⎧ 4 x + 2 y + 4z = 4 ⎪ 18. ⎨2 x + y − 3 z = −3 ⎪2 x + 2 y + 4 z = 2 ⎩ ⎧ x − y + 2z = 5 ⎪ 21. ⎨ x + 3 y − 3 z = 2 ⎪− 2 x + 4 y + 7 z = 2 ⎩ ⎧ 4 x + y − 2z = 8 ⎪ 24. 3⎨2 x + y − 2 z = 5 ⎪2 x + 5 y − 7 z = −11 ⎩

⎧ 4 x + y + 2z = −5 ⎪ 25. ⎨3 x + y + z = −2 ⎪2 x + 5 y − 5 z = 28 ⎩ ⎧ 2 x − 2 y − 5z = 5 ⎪ 28. ⎨2 x + y + 2 z = 3 ⎪2 y − x + 5 z = −3 ⎩

⎧ 4 x + 3 y + 2z = −5 ⎪ 26. ⎨ x + 4 y + 5 z = 12 ⎪2 x + y − 5 z = −20 ⎩ ⎧ 2 x + y + 2z = 5 ⎪ 29. ⎨ x + y + 2 z = 3 ⎪2 y − 2 x + 5 z = 3 ⎩

⎧ 2 x − y − 2z = −1 ⎪ 27. ⎨ x − y + 2 z = 3 ⎪2 y − 2 x + 5 z = 9 ⎩ ⎧ 4 x + y + 2z = −5 ⎪ 30. ⎨3 x + y + 2 z = −3 ⎪2 x + 2 y + 5 z = 3 ⎩

Задание №3 Решить систему линейных уравнений методом Гаусса с точностью до 0,1

3x + 2 y + z = 5 1. 2 x + 3 y + z = 1 2 x + y + 3 z = 11

⎧ 4 x − 3 y + 2z = 9 ⎪ 3. ⎨2 x + 5 y − 3 z = 4 ⎪5 x + 6 y − 2 z = 18 ⎩

⎧ x + y + 2z = −1 ⎪ 5. ⎨2 x − y + 2 z = −4 ⎪4 x + y + 4 z = −2 ⎩

⎧ 2x −y − z = 4 ⎪ 7. ⎨3 x + 4 y − 2 z = 11 ⎪3 x − 2 y + 4 z = 11 ⎩ ⎧ 3 x + 4 y + 2z = 8 ⎪ 9. ⎨2 x − y − 3 z = −4 ⎪ x +5y + z = 0 ⎩ ⎧ x + y−z =1 ⎪ 11. ⎨8 x + 3 y − 6 z = 2 ⎪ 4x + y −3 z = 3 ⎩

⎧ x − 2 y + 3z = 6 ⎪ 2. ⎨2 x + 3 y − 4 z = 20 ⎪3 x − y − 5 z = 6 ⎩ ⎧ 2 x1 + x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 = 4 ⎪3 x + 3 x = 2 ⎪ 1 3 4. ⎨ ⎪2 x 1 − x 2 + 3 x 4 = 5 ⎪⎩x 1 + 2 x 2 − x 3 + 2 x 4 = 3 ⎧ 2 x1 + x 2 − 5 x 3 + x 4 = 8 ⎪ x − 3x − 6x = 9 ⎪ 1 2 4 6. ⎨ ⎪2 x 2 − x 3 + 2 x 4 = −5 ⎪⎩x 1 + 4 x 2 − 7 x 3 + 6 x 4 = 0 ⎧ x1 − 2 x 2 − 8 x 4 = 9 ⎪ x + 4x − 7x + 6x = 0 ⎪ 1 2 3 4 8. ⎨ ⎪x 1 + x 2 − 5 x 3 + x 4 = 8 ⎪⎩2 x 1 − x 2 + 2 x 4 = 5 ⎧ x1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 = 5 ⎪ 2x + 3x + x + 2x = 3 ⎪ 1 2 3 4 10. ⎨ ⎪x 1 + x 2 + x 3 − x 4 = 2 ⎪⎩x 1 − 2 x 3 − 3 x 4 = 1 ⎧ x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 = 11 ⎪ 2 x + 3 x + 4 x + x = 12 ⎪ 1 2 3 4 12. ⎨ ⎪3 x 1 + 4 x 2 + x 3 + 2 x 4 = 13 ⎪⎩4 x 1 + x 3 + 2 x 3 + 3 x 4 = 14

⎧ x − 4 y − 2z = −3 ⎪ 13. ⎨3 x + y + z = 5 ⎪3 x − 5 y − 6 z = −9 ⎩

14.

⎧ x + y + 2z = 5 ⎪ 15. ⎨3 x − 2 y + 3 z = 7 ⎪2 x − 3 y + 5 z = 6 ⎩

16.

⎧ x + 2 y + 2z = 6 ⎪ 17. ⎨2 x − y + z = 3 ⎪ 2x − 4y + 2z = 6 ⎩

18.

⎧ 6 x + 7 y − z = −1 ⎪ 19. ⎨ x − y + z = 1 ⎪ x +2y + 2z =1 ⎩

20.

⎧ x + 2 y + 3z = 7 ⎪ 21. ⎨2 x + 4 y + 6 z = 14 ⎪ x − 4 y + 2 z = 11 ⎩

22.

⎧ 7 x − 5 y = 31 ⎪ 23. ⎨4 x + 11 z = −43 ⎪ 2 x + 3 y + 4 z = −20 ⎩

24.

⎧ x + 2 y + 4z = 31 ⎪ 25. ⎨5 x + y + 23 z = 20 ⎪ 3x − y + z = 9 ⎩

26.

⎧ −x + y + z =1 ⎪ 27. ⎨− 6 x + 3 y + 8 z = 2 ⎪ − 3x + y + 4z = 3 ⎩

28.

⎧ 47 x 1 + 7 x 2 − 7 x 3 − 2 x 4 = 11 ⎪ 39 x + 41 x + 5 x + 8 x = 45 ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 + x 4 = 10 ⎪⎩2 x 1 − 2 x 3 − x 4 = −8 ⎧ 9 x 1 + 10 x 2 − 7 x 3 − x 4 = 50 ⎪ 7 x − 13x − 5 x = 24 ⎪ 1 3 4 ⎨ ⎪5 x 1 − 2 x 3 + x 4 = 8 ⎪⎩2 x 1 − 3 x 3 − 2 x 3 + x 4 = −7 ⎧ 2 x 1 − 8 x 2 − 3 x 3 − 2 x 4 = −5 ⎪ x + x +x =1 ⎪ 2 3 4 ⎨ ⎪14 x 1 − 23 x 2 + 3 x 3 − 2 x 4 = 16 ⎪⎩11x 2 + x 3 + 2 x 4 = −12 ⎧ 10 x 1 − 11 x 2 + 6 x 3 + x 4 = 14 ⎪ − x + 2 x + x = 12 ⎪ 2 3 4 ⎨ ⎪11 x 1 − 38 x 2 + x 3 − 5 x 4 = −38 ⎪⎩3 x 1 − 10 x 2 + x 3 − x 4 = −6 ⎧ 6 x 1 − 19 x 2 + 10 x 3 − x 4 = −14 ⎪ 2 x + x + 10 x + 7 x = 38 ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪3 x 1 − 2 x 2 − 2 x 3 − x 4 = −5 ⎪⎩x 1 − 12 x 2 + 2 x 3 − x 4 = −23 ⎧ − 2 x1 + x 2 − 8 x 4 = 9 ⎪ 4x +x − 7x + 6x = 0 ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪x 1 + x 2 − 5 x 3 + x 4 = 8 ⎪⎩− x 1 + 2 x 2 + 2 x 4 = 5 ⎧ 4 x1 + 3 x 2 + 2 x 3 + x 4 = 5 ⎪ 2x + x + 3x + 2x = 3 ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪− x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 2 ⎪⎩− 3 x 1 − 2 x 2 + x 4 = 1 ⎧ x1 + 2 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 = 4 ⎪ 3x + 3x = 2 ⎪ 2 3 ⎨ ⎪− x 1 + 2 x 2 + 3 x 4 = 5 ⎪⎩2 x 1 + x 2 − x 3 + 2 x 4 = 3

⎧ − 3 x + 4 y + 2z = 9 ⎪ 29. ⎨5 x + 2 y − 3 z = 4 ⎪ 6 x + 5 y − 2 z = 18 ⎩

⎧ 8 x1 − 2 x 2 + x 4 = 9 ⎪6x + 4x − 7x +x = 0 ⎪ 1 2 3 4 30. ⎨ ⎪x 1 + x 2 − 5 x 3 + x 4 = 8 ⎪⎩2 x 1 − 2 x 3 + 2 x 4 = 5

Задание №4 Даны векторы a 1 , a 2 , a 3 , a 4 . Показать, что векторы a 1 , a 2 , a 3 образуют базис трехмерного пространства, и найти координаты вектора a 4 в этом базисе с точностью до 0,1. № a1 a2 a3 a4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

{2, 0, 8} {1, 4, 0} {3, 7, 9} {− 1, 3, 5} {5,1, − 7} {9, 7,1} {2, 9, 0} {1, 9, 0} {− 1, 5, 2} {8, 5, 9} {1, 2, 3} {2, − 3, 5} {2, − 3,1} {1, 2, 3} {3, − 1, 0} {1, − 8, 3} {5, − 1, 7} {1, 2, 5} {1, 2, 3} {4, 7, 8} {8, 2, 3} {10, 3,1} {2, 4,1} {1, 7, 3} {1, − 2, 3}

{− 10, 3, 0} {− 5,1, − 2} {− 3, 0, 7} {5, − 1, 3} {2, − 3, − 1} {8, − 1, − 1} {− 4, − 7,−1} {− 3, − 2, 0} {− 3, 3, − 7} {1, − 3, − 6} {2,1, 2} {1, 2, 3} {1, 2, 7} {2,1, 4} {− 2,1,1} {2,1,1} {2,1,1} {1,−1, 3} {− 1, 3, 2} {9,1, 3} {4, 6,10} {1, 4, 2} {1, 3, 6} {3, 4, 2} {4, 7, 2} 99

{− 3, 5,1} {− 3,1, − 3} {2, − 3, − 5} {− 2, 9, − 2} {− 7, − 1,1} {0, 5, 5} {1, − 2, 5} {− 5, − 6, − 8} {5, − 2, 0} {3, − 1, 5} {3, 2,1} {3, − 1, − 2} {3, − 1, 5} {− 1, 2, 5} {2, − 1, 4} {4, 7, − 4} {1, − 3, 0} {3, − 6,− 1} {7,−3, 5} {2, − 4,1} {3, − 2,1} {3, 9, 2} {5, 3,1} {4, 8, 5} {6, 4, 2}

{− 1, − 7, 9} {2, − 7, 9} {1, − 2, 0} {8, 0,1} {3, 4, − 5} {0, 0, 4} {3, 4, 0} {− 7, 0,1} {2, − 4, 0} {0, 2, − 1} {1,1,1} {− 1, 3, 5} {0, 4,1} {1, 2, 8} {2, 2, 2} {1, 2,1} {3, − 6,1} {1, 2,−7} {6,10,17} {1, − 13, − 13} {7, 4,11} {19, 30, 7} {24, 20, 6} {7, 32,14} {14,18, 6}

26 27 28 29 30

{1, 4, 3} {2, 7, 3} {7, 2,1}

{− 5, − 6, − 8} {3, − 1, 5}

{6, 8, 5} {3,1, 8} {4, 3, 5} {1, 9, 0}

{1, − 3, − 6}

{3,1, 4}

{2, − 7, 4} {3, 4, − 2} {− 3, − 2, 0} {8, 5, 9}

{21,18, 33} {16,14, 27} {2, − 5, − 13} {7, 0, − 1} {1, 2, − 1}

Задание №5 Даны два вектора a и b . Найти наибольший по абсолютной величине из направляющих косинусов вектора c = 2 a − 3 b . № № a b 16 1 {2, − 3, 4} {3, − 1,1} 17 2 {1, − 2,1} {− 2, − 1, 3} 18 3 {− 5, 2, − 4} − {3, 4, − 1} 19 4 {− 1, − 1,1} {− 3, − 2, − 1} 20 5 {1, − 3, 4} {− 2, − 1,1} 21 6 {1, − 3,1} {2, − 1,1} 22 7 {3, − 5, 2} {1, − 2, 3} 23 8 {1, − 1, 5} {2, − 2, 3} 24 9 {3, − 5, 4} {2, 3,1} 25 10 {5, 3, 4} {2, 3,1} 26 11 {3, − 1,1} {2, − 2, − 2} 27 12 {1, − 3, − 3} {4, − 2, − 3} 28 13 {2, − 6, − 3} {2, − 1, − 3} 29 14 {− 3, 2, − 5} {1, − 1, − 4} 30 15 {1, 5,1} {− 2, 3, 3}

a {2, − 3, − 5} {4, − 2,1} {3, 4, − 5} {8, − 9, − 5} {− 5, − 6, 7} {− 7, 8, − 9} {6, − 12, 3} {− 7, 3, − 8} {9, 3, − 6} {8, − 2, 9} {− 7, 5, − 6} {− 9, 3, 5} {10, − 8, − 6} {12, − 11, − 4} {15, − 14,17}

b {3, − 2, − 2} {2, − 3, − 2} {3, 2, − 3} {5, − 6, − 4} {− 3, − 3, 6} {− 6, 6, − 8} {7, − 9, 2} {6, 4, − 7} {8, 3, − 5} {9, − 3, 7} {− 6, 4, − 5} {− 8, 7, 4} {9, − 8, − 5} {9, − 9, − 3} {10, − 12,16}

Задание №6 Радиус вектор точки M составляет с осью 0X угол α , с осью 0Y − угол β . Длина вектора OM известна. Найти аппликату точки M , если известно, что она имеет отрицательный знак. β β № α α № OM OM 0 0 0 0 6 80 1 16 45 60 60 45 5 42 2 17 45 0 120 0 120 0 60 0 4 8 3 18 60 0 45 0 135 0 60 0 5 26 4 19 120 0 45 0 60 0 135 0 10 38 5 20 60 0 135 0 45 0 120 0 100

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

60 0 120 0 60 0 45 0 120 0 60 0 60 0 60 0 120 0 45 0

120 0 60 0 135 0 120 0 45 0 135 0 125 0 60 0 60 0 60 0

7 3 20 16 25 30 32 22 28 34

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

60 0 125 0 45 0 60 0 60 0 60 0 45 0 60 0 60 0 45 0

120 0 60 0 120 0 60 0 45 0 135 0 60 0 45 0 135 0 120 0

Задание №7 Найти координаты вершины D параллелограмма ABCD C № A B A B (1, − 3, 2) (4,1, 0) (5, − 1, − 3) 16 (7, 3, 5) (4,1, 2) (3, 2, − 1) (1, 7, 4) (2, − 3, 5) 17 (2,1, − 2) (3, 0, − 5) 18 (− 5, 4, 5) (3, 2, 7 ) (1, 7, 5) (− 3, 4, 2) (1, 8, 0) (5, − 6, 2) (4, 3,1) (2, 7, 0) 19 (1, 5, 3) (1, 2, 3) (4, 2, − 5) (1, − 1,1) (0, 7, − 4) 20 (4, 3, 6) (4, 2,1) (− 3, 4, 2) (1, 2, 3) (5,1, − 1) 21 (5, 0, 5) (4, 3, 0) 22 (1,1, 2) (3, 2, 0) (1, 4, 5) (7, 3, 2) (1, 2, − 4) (4, 3, 5) (− 1, 4, 3) (2,1, − 1) 23 (1, 4, − 2) (3, 2, 0) (2, 3,1) (− 2,1, 0) (5, 4, − 3) 24 (3, 2, 0) (4,1, 5) 25 (1, 2, 5) (2, 0, 4) (3, 2,1) (2, 4, 6) (4, 3, 0) 26 (6, − 2, 3) (3, 4,1) (1, 3, 5) (3, 2, 4) (3, 0, 5) 27 (1,1, − 1) (3, 7, − 2) (5, 4, 8) (2, 7, 2) (4, 5, − 3) 28 (3, 4, 5) (3, 2,1) 4(1, 4, 2 ) (3, 5, − 3) (1, − 3, 4 ) 29 (2, 3, − 3) (3, − 2,1) (5, − 2, 7 ) (4, − 3,1) (2, 0, 4) 30 (3, 2,1) (3, − 3, 4) (3,1, 7 ) (4, 5, 5) (1, − 3, 2)

Задание №8 Найти косинус угла между векторами a и b № № a b 16 1 {1, 2, 4} {− 3, 4,1} 17 2 {3, − 4, 2} {1, 2, 0} 18 3 {4, − 2,1} {1, 2,1} 101

a {1, 2, 3} {7, 3, − 2} {4, − 5, 3}

24 80 50 48 56 8 18 20 35 14

C (3, − 2,1) (− 2, 7,1) (8, 3,1) (3, 4, 2) (− 3, 2, 5) (1, 5, − 4) (2,1, 3) (4,1, 5) (3, 2, 5) (5, − 1, 2) (4, 2,1) ( − 1, 2, 3) (1, 2, 4) (1, 2, 6) (− 3, 2,1)

b {2,1, 0} {3, 2,1} {1, 0,1}

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

{1, 3, − 1} {2, − 1, 3} {1, − 2,1} {2, 3, − 1} {4, − 1, 3} {− 1, 2, 3} {2, − 3, 4} {3, 4, − 2} {− 1, 3, 0} {1, − 4, 2} {2, − 2,1} {− 3, 3,1}

{2, − 1, 2} {2,1,1} {3,1, 0} {4,1, 2} {2,1,1} {− 3, 2,1} {1, 0,1} {1, 2,− 1} {4, 2,1} {0, 3, 2} {1,1,1} {1, 2, 3}

{6, 4, 2} {1, 4, 3} {2, − 3, 5} {3, 4, − 2} {6, − 5, 3} {1, 2, 7} {3, − 4,1} {4, 3, 5} {1, 7, − 2} {4, 5,1} {6, 3, − 2} {5, − 3, 4}

{− 1, 2,1} {− 1, 2, − 1} {2, 3, − 1} {− 1, 0, 2} {2, 3,1} {3, − 4,1} {1, 2, 0} {− 1, − 2, 3} {− 3, 2,1} {− 2, 0, 3} {− 1, 3,1} {2, 2, − 3}

Задание №9 При каком значении n векторы a и b ортогональны? № a b a 16 {1, 2, n} {3,1, 2} {− 7, 4, n} 17 {3, 4,1} {n, − 2, 3} {4, − 5, 6} 18 {1, 4, − 5} {2, n,1} {1, 2, − 3} 19 {2, 3, − 2} {n, 2, 3} {4, 7, 2} 20 {3, 2, 0} {4, n, − 3} {n, 4, − 3} 21 {− 1, n, 3} {2, 2, − 3} {1, n, − 8} 22 {n, − 2,1} {2, 3, 4} {7, 6, n} 23 {3, n, − 4} {5, 2, 3} {4, − 3, 2} 24 {2, − 3, n} {4, 3,1} {2, 2, − 3} 25 {1, 7, 2} {n, − 2, 3} {7, 3, 4} 26 {2, 5, − 3} {3, n, 2} {n, 5, 7} 27 {1, 2, − 3} {3, 2, n} {7, n, 4} 28 {3, 4, n} {2, − 3,1} {4, − 5, n} 29 {n, 2, 5} {2, − 3, 4} {1, 2, 8} 30 {2, n, 4} {− 3, 2, 7} {3, 2, − 6}

b {2, 3, 4} {n, 3, − 2} {8, n, 6} {1, − 2, n} {4, 3, 2} {3, 4,1} {2, − 3, 2} {n, 3, 5} {4, n, 5} {− 3, 5, n} {− 2, 3,1} {− 3, 2,1} {7, 6, 4} {n, 4, − 2} {− 3, n, 4}

19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

102

Задание №10 Вычислить площадь треугольника ABC : в № 1-16, если известны координаты его вершин; в № 17-30 построенного на векторах a и b . № В С № А В С А 9 1 (1,1, − 1) (3, 5, − 2) (2,1, 0) (3, − 2, 0) (5, − 1, − 1) (2, 0,1) 2 (3, 5, 4) (4, 4,1) (3,1, 2) 10 (2, − 3, 2) (3, − 2, 3) (2,1, 0) 3 (0, 3, 2) (3, 2, 4) (1, 3, 4) 11 (3, 4, 2) (4, 6, 3) (4, 3, 2) 4 (− 1, 2, − 1) (1, 4, 0) (0, 3,1) 12 (− 1, 2, 3) (0, 2, 4) (1, − 2, 3) 5 (4,1, − 3) (5, 3, − 3) (3, 2, 0) 13 (2, 4, − 3) (3, 5, − 4) (3, 4, 0) 6 (1, − 1, − 2) (3, 2, 0) (3, 0, 3) 14 (1, 2, 3) (4, 4, 2) (2, 0, 3) 7 (2, 2,1) (3, 5, 0) (3, 2, 2) 15 (1, 3, 2) (2, 4, 0) (2, 3, 0) 8 (1, 3, 0) (4, 4, − 1) (2, 4,1) 16 (1, − 2, 3) (4, 0, 2) (3, 0, 3) № 17 18 19 20 21

a {3, 0, 0} {− 6, 2,1} {5, − 5, 5} {4, − 6, 5} {− 8, 2, 0}

b {4, − 2, 7} {4, 3, 2} {2, 3, 4} {2,1, − 1} {1, − 1,1}

№ 24 25 26 27 28

a {1, − 8, 4} {2, 6, 5} {1, 7, − 1} {4, 6,1} {4, 5, − 2}

b {2, 3, 0} {1, 2, 3} {2, 0, − 1} {3, − 1, 0} {1, 0, − 1}

22 23

{7, 2, − 4} {5, 3, − 2}

{2, 3,1} {0,1,1}

29 30

{− 3, 7, 0} {2, 6, − 1}

{1,1,1} {− 1, 2,1}

Задание №11 Определить: в № 1-15 значения k , при котором векторы a , b и c компланарны; в № 16-30 значение k , при котором точки A, B, C, D расположены водной плоскости № a b c 1 {− 1,1,1} {2, 0, 3} {2, 2, k} 2 {2, 2,1} {1, 3,1} {2,1, k} 3 {− 1,1, 2} {3,1, 0} {k, 2,1} 4 {3, 3,1} {1, 3, 4} {0, k, 3} 5 {1, 2,1} {0, − 2, 2} {2,1, k} 6 {2, 3,1} {1,1, 2} {3, k, 0} 7 {1, 2, 2} {2, 3,1} {3,1, k} 8 {2, 2, 4} {3, 2, 2} {1, k, 3} 9 {1,1, 3} {2, 2, 4} {k, 2, 2} 103

10 11 12 13 14 15 № 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

{2, 2,1} {2, 2, 5} {0, 3, 5} {1, 4, 4} {3, 4, 6} {3, 4,1} A (1,1, 0) (1, 0,1) (0,1,1) (1, 0, 0) (0,1, 0) (0, 0,1) (− 1, − 1, 0) (− 1, 0,1) (0,−1, − 1) (0, − 1, 0) (0, − 1, 0) (0, 0, − 1) (1,− 1, 0) (1, 0,−1) (0,1, − 1)

{1,1, 2} {3,1, 2} {1, 2, 3} {0, 3, 2} {2, 3,1} {2, 2, 2} B (2, 3,1) (4, 3, 2) (− 1, 2, 3) (3, 2,1) (− 1, 2,1) (2, 3, 2) (1, 2,1) (1, 2, 3) (2,1, 3) (3, 3,1) (3, 3,1) (3, 4, 5) (2, 3, 4) (1, 3, 4) (2, 3, 4)

C (1, − 1, 2) (2, 3, 2) (3, 2,1) (2, 3,1) (2,1, 3) (1,1, 3) (0,1, 2) (2, 2,1) (1, 0, 2) (2,1, 2) (2,1, 2) (2, 3, 0) (1, 2, 2) (2, 2, 2) (3, 2,1)

Задание №12 Найти объем параллелепипеда ABCDA ′B′C′D ′ , координаты его вершин. № А В D 1 (1, 2, − 3) (2, 4, 0) (2, 3, 0) 2 (1, 3, 2) (4, 4, 2) (2, 0, 3) 3 (2, 4, − 3) (3, 5, − 4) (3, 4, 0) 4 (− 1, 2, 3) (0, 2, 4) (1, − 2, 3) 5 (3, 4, 2) (4, 6, 3) (4, 3, 2) 6 (2, − 3, 2) (3, − 2, 3) (3, 0, 2) 7 (3, − 2, 0) (5, − 1, − 1) (2, 0,1) 8 (1, 3, 0) (4, 4, − 1) (2, 4,1) 104

{3, k,1} {k, 0, 3} {2, k,1} {1, 2, k} {k, 2, 2} {2, 3, k} D (3, 2, k ) (1, k, 4) (k, 3, 2) (3,1, k ) (3, 2, k ) (3, k,1) (2, 0, k ) (0, k, 2) (k,1,1) (2, 2, k ) (2, 2, k ) (k, 2,1) (2,1, k ) (3, k, 0) (k,1, 2)

если

известны

A′ (5, 3,1) (2, 5, 3) (2, 7,1) (3, 5, 4) (5, 4, 4) (2, 3, 4) (4,1, 3) (3, 3, 3)

9 10 11 12 13 14 15

(2, 2,1) (1, − 1, 2) (4,1, − 3) (− 1, 2, − 1) (0, 3, 2) (3, 5, 0) (1,1, − 1)

(3, 2, 2) (3, 0, 3) (3, 2, 0) (0, 3,1) (1, 3, 4) (3,1, 2) (2,1, 0)

(3, 5, 0) (3, 2, 0)

(5, 3, − 3) (1, 4, 0) (3, 2, 4) (4, 4,1) (3, 5, − 2)

(4, 5, 3) (2, 3, 2) (6, 5,1) (2,1, 3) (3, 4, 3) (4, 6, 5) (4, 3, 2)

Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах a , b и c . № 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

a {3, 4, − 9} {8, 9, 0} {3, 4,1} {3, 2, 0} {1, 7, 8} {6, 5, − 4} {1, 0, − 1} {3, 0, − 4} {1, 2, 5} {3, 9, − 3} {1, 7, − 1} {4, 3, 0} {7, − 5, 4} {2, 6,1} {3, − 5, 2}

b {1, 0, 7} {4, 5, 2} {6, 2,1} {4, − 5, 2} {4, − 1, 4} {3, 7, 4} {7, 4, 5} {7, 2, − 3} {0, − 3, 4} {2, 5, 7} {3, 5, 0} {1, 5, − 2} {1,1,1} {4, 2, 0} {1, 0,1}

c {1, 2, 3} {1, 2, 2} {3, 5, − 1} {2, 7, 4} {1, − 3, 8} {3, 4, 0} {1, 6, − 3} {0, 2, − 1} {7, 2,0} {1,1,1} {2, 4,1} {1, 2, 3} {2, 4, 3} {3, − 5,1} {2, 4, − 1}

Задание №13 Найти длину высоты параллелепипеда ABCDA ′B′C′D ′ , опущенной из вершины A ′ на основание ABCD . № А В D A′ 1 (1, 2, − 3) (2, 4, 0) (2, 3, 0) (5, 3,1) 2 (1, 3, 2) (4, 4, 2) (2, 0, 3) (2, 5, 3) 3 (2, 4, − 3) (3, 5, − 4) (3, 4, 0) (2, 7,1) 4 (− 1, 2, 3) (0, 2, 4) (1, − 2, 3) (3, 5, 4) 5 (3, 4, 2) (4, 6, 3) (4, 3, 2) (5, 4, 4) 6 (2, − 3, 2) (3, − 2, 3) (3, 0, 2) (2, 3, 4) 105

7 8 9 10 11 12 13 14 15

(3, − 2, 0) (1, 3, 0) (2, 2,1) (1, − 1, 2) (4,1, − 3) (− 1, 2, − 1) (0, 3, 2) (3, 5, 0) (1,1, − 1)

(5, − 1, − 1) (4, 4, − 1) (3, 5, 0) (3, 2, 0) (5, 3, − 3) (1, 4, 0) (3, 2, 4) (4, 4,1) (3, 5, − 2)

(2, 0,1) (2, 4,1) (3, 2, 2) (3, 0, 3) (3, 2, 0) (0, 3,1) (1, 3, 4) (3,1, 2) (2,1, 0)

(4,1, 3) (3, 3, 3) (4, 5, 3) (2, 3, 2) (6, 5,1) (2,1, 3) (3, 4, 3) (4, 6, 5) (4, 3, 2)

Найти длину высоты тетраэдра ABCD , опущенной из вершины D на основание ABC . № 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

(2,1, 0) (2, 3, 0) (1,1,1) (2, 3,1) (1, 3, 2) (3, − 1, 4) (3, 2, 0) (1, − 1,1) (1, 4, − 2) (2, − 1, 2) (2, 3, 4) (1, 2, 0) (1,1,1) (1, 2, 0) (1, 2, − 1)

(5, 3,1)

(3, 7, − 1) (3, 4, 5) (1, 7, 4) (2, 5, − 2) (4,1, 0) (4, 0,1) (4,1, 2) (− 2, 5, 0) (4, − 4,1) (4, 7, 3) (1, 6, 2) (4, − 3,1) (2,1, − 2) (5,1, − 1)

106

(0,1, 2) (3, 2,1) (2, 3,1) (0, 3, 2) (2, 4, 2) (3, 0, 2) (4, 3,1) (2, 0,1) (3, 4, 0) (1, 0,1) (1, 2, 2) (3, 2,1) (2, 3, 0) (1, 3, − 1) (3, 2,1)

(4, 3,1) (5, 4, 2) (4, 5,1) (6, 7, 8) (5, 3, 7 ) (4, 3, 5) (7, 5, 3) (5, 2, 8) (2, 5, − 1) (3, 4, 6) (2, 5, 7 ) (3, 2, 4) (1, 3, 2) (4, 2, 7 ) (1, 4,1)

3.4 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА «Решение систем линейных уравнение методом Гаусса» 3.4.1 ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ Решение систем линейных уравнений является одной из важных вычислительных задача, часто встречающихся в прикладной математике. Значение этой задачи особенно велико еще и потому, что к решению систем линейных уравнений сводится ряд задач высшего анализа, связанных с решением систем обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных, интегральных уравнений и т.д. Способы решения системы линейных уравнений в основном разделяются на две группы: 1) точные методы ведутся точно (без округления) и приводят к точным значениям неизвестных. К точным методам относятся, например, правило Крамера, метод Гаусса, метод квадратных корней; 2) итерационные методы, позволяющие получать корни системы с заданной точностью путем сходящихся бесконечных процессов. К итерационным методам относятся, например, метод итерации, Зейделя и другие. Вследствие неизбежных округлений результаты даже точных методов являются приближенными, причем оценка погрешностей корней в общем случае затруднительна. Постановка задачи. Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными

⎧a 11 x 1 + a 12 x 2 + K + a 1n x n = a 1n +1 ⎪ ⎨a 21 x 1 + a 22 x 2 + K + a 2n x n = a 2n +1 ⎪a + a x + K + a x = a n2 2 nn n n n +1 , ⎩ n1

(3.4.1)

где x i − (i = 1, 2, K , n ) − неизвестные системы, а a i j − коэффициенты. Первый индекс i показывает, какому уравнению принадлежит это коэффициент, а индекс j − при каком неизвестном этот коэффициент находится. Например, a 23 − коэффициент при x 3 во втором уравнении системы. Требуется решить систему (3.4.1), т.е. найти значения x 1 , x 2 , K , x n , удовлетворяющее каждому уравнению системы. Наиболее распространенным методом решения системы линейных уравнений является метод Гаусса. Нетрудно оценить число N арифметических действий, необходимых для решения линейной системы с n неизвестными методом Гаусса (не учитывая контроля). Для прямого хода требуется следующее число умножений и делений:

(

)

n (n + 1) + (n − 1) n + K + 1 ⋅ 2 = 12 + 2 2 + K + n 2 +

107

+ (1 + 2 + K + n ) = требуется

n (n + 1)(n + 2) и столько же вычитаний. Для обратного хода 3

n (n − 1) умножений и делений и такое же число вычитаний. 2

Следовательно, общее число арифметических действий в методе Гаусса есть

2 n (n + 1)(n + 2 ) + n (n − 1) < n 3 . 3

Таким образом, время, необходимое для решения линейной системы методом Гаусса, примерно пропорционально кубу числа неизвестных. Так, для решения системы пяти уравнений с пятью неизвестными потребуется по методу Гаусса 20 и 75 умножений и делений, тогда как метод Крамера требует в этих случаях порядка 2800 операций. То есть метод Гаусса экономичнее с точки зрения числа необходимых арифметических действий. 3.4.2. МЕТОД ГАУССА Метод Гаусса может быть реализован в виде различных вычислительных схем, в основе которых лежит одна и та же идея последовательного исключения неизвестных. Рассмотрим схему единственного деления. Для простоты ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестными

⎧a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 14 x 4 = a 15 ⎪ ⎪a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + a 24 x 4 = a 25 (3.4.2) ⎨ + + + = a a x a x a x a 31 32 2 33 33 34 4 35 ⎪ ⎪⎩a 41 + a 42 x 2 + a 43 x 43 + a 44 x 4 = a 45 . Пусть a 11 ≠ 0 (ведущий элемент), либо в противном случае переставим уравнения так, чтобы это условие было выполнено. 1. Разделим первое уравнение системы (3.4.2) на a 11

a a a 12 a x 2 + 13 x 3 + 14 x 4 = 15 a 11 a 11 a 11 a 11 a a a a и введем обозначения 12 = b12 ; 13 = b13 ; 14 = b14 ; 15 = b15 , получим a 11 a 11 a 11 a 11 x 1 + b 12 x 2 + b 13 x 3 + b 14 x 4 = b 15 . (3.4.3) 2. Пользуясь уравнением (3.4.3), исключим неизвестное x 1 из второго, x1 +

третьего и четвертого уравнений системы (3.4.2). Для этого следует умножить уравнение (3.4.3): на a 21 и вычесть из второго уравнения системы (3.4.2), на a 31 и вычесть из третьего уравнения (3.4.2), на a 31 и вычесть из третьего уравнения (3.4.2), на a 41 и вычесть из четвертого уравнения системы (3.4.2). 108

В результате получим систему трех уравнений, не содержащих x 1 :

⎧a (221) x 2 + a (231) x 3 + a (241) x 4 = a (251) ⎪⎪ (1) (1 ) (1) (1 ) ⎨a 32 x 2 + a 33 x 3 + a 34 x 4 = a 35 ⎪ (1) (1 ) (1) (1 ) ⎪⎩a 42 x 2 + a 43 x 3 + a 44 x 4 = a 45 , где коэффициенты a i(1j) вычисляются по формуле

(3.4.4)

a (i1j) = a i j − a i 1 ⋅ b 1 j (i = 1, 2, 3,4; j = 1, 2, 3, 4, 5 ) .

(3.4.5)

1) ≠ 0 , получим 3. Делим первое уравнение системы (3.4.4) на a (22

x 2 + b (231) x 3 + b (241) x 4 = b (251) ,

(1)

a (21)j

где b 2 j = (1) a

(3.4.6)

( j = 3, 4, 5) .

4. Пользуясь уравнением (3.4.6), исключим неизвестное x 2 из второго и третьего уравнений системы (3.4.4). Для этого умножим уравнение (3.4.6): на (1) 1) a 32 и вычтем из второго уравнения системы (3.4.4), на a (42 и вычтем из третьего уравнения системы (3.4.4). В результате получим систему двух уравнений с двумя неизвестными x 3 и x4:

⎧⎪a (332 ) x 3 + a (342 ) x 4 = a (352 ) ⎨ (2 ) ⎪⎩a 43 x 3 + a (442 ) x 4 = a (452 ) ,

где

a (i 2j ) = a (i1j) − a (i12) b (21j)

(3.4.7)

(i = 3, 4;

j = 3, 4, 5).

(3.4.8)

(2 ) ≠ 0 , получим 5. Разделим первое уравнение системы (3.4.7) на a 35

x 3 + b (342 ) x 4 = b (352 ) , a3j где b 3(2j) = (2 ) ( j = 4, 5) . a 33

(3.4.9)

6. С помощью уравнения (3.4.9) исключим x 3 из второго уравнения

системы (3.4.7). Получим уравнение b (443) x 4 = b (453) , где

b (43j) = a 4(3j) − a (433 ) ⋅ b (32j)

( j = 4, 5 ) .

(3.4.10)

Таким образом, систему (3.4.2) привели к эквивалентной системе с треугольной матрицей:

109

⎧ x 1 + b 12 x 2 + b 13 x 3 + b 14 x 4 = b 15 ⎪ x 2 + b (231) x 3 + b (241) x 4 = b (251) ⎪ ⎨ x 3 + b (342 ) x 4 = b (352 ) ⎪ ⎪ b (443 ) x 4 = b (453 ) . ⎩

(3.4.11)

Из системы (3.4.11) последовательно находим

⎧ b (453 ) ⎪ x 4 = (3 ) b 44 ⎪ ⎪ (2 ) (2 ) ⎨ x 3 = b 35 − b 34 ⋅ x 4 ⎪ (1 ) (1 ) (1 ) ⎪ x 2 = b 25 − b 23 x 3 − b 24 ⋅ x 4 ⎪x = b − b x − b ⋅ x − b ⋅ x ⎩ 1 15 12 2 13 3 14 4

(3.4.12)

Решение системы (3.4.2) распределяется на два этапа: прямой ход – приведение системы (3.4.1) к треугольному виду (3.4.11); обратный ход – определение неизвестных по формулам (3.4.12).

ai1

ai 2

ai 3

ai4

ai5

a 11

a 12

a 13

a 14

a 15

∑ a1 j

a 21

a 22

a 23

a 24

a 25

∑ a2j

a 31

a 32

a 33

a 34

a 35

∑ a3j

Таблица 3.4.1 Контрольные Строчные суммы суммы

a 41

a 42

a 43

a 44

a 45

b12

b13

b14

b15

(1)

a 22

a 23

a 24

a 25

(1) a 32

(1) a 33

(1) a 34

(1) a 35

(1)

1) a (42

1) a (43

b 23

1) a (44

b 243

1) a (45

b 25

110

a 16

j=1 5

a 26

j=1

a 36

j=1 5

∑ a4j

a 46

j=1

b16 =

a 16 a 11

∑ b1 j + 1

j= 2

1) a (26

∑ a2j

j= 2

(1) a 36 1) a (26

b 26 = (1) a 22

1) a (46

∑ b2 j + 1

j=3

III

(2 )

a 33

a 34

a 35

a (432 )

a (442 )

a (452 )

(2 ) b 34

(2 ) b 35

(3 )

b 44 1 1

1 1

(3 )

(2 ) a 36

∑ a3j

j=3

a (462 )

(2 ) a 36

∑ b3 j + 1

b 36 = (2 ) a 23

b 54 x4 x3 x2 x1

j= 4

(3 )

a 46

x4 x3 x2 x1

3.4.3. СХЕМА ГАУССА Если вычисления по схеме единственного деления ведутся с помощью клавишных вычислительных машин, ТОО много времени тратится на запись промежуточных результатов. Компактная схема Гаусса дает экономичный способ записи. Важным элементом решения любой вычислительной задачи является контроль выполняемых вычислений. Для контроля прямого хода пользуются контрольными суммами. Контрольная сумма представляет собой суммы коэффициентов при неизвестных и свободного члена для каждого уравнения данной системы. Над контрольными суммами выполняются те же действия, что и над остальными элементами той же строки. Идея контроля с помощью контрольных сумм заключается в следующем. Рассмотрим систему уравнений

⎧a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 14 x 4 = a 16 ⎪ ⎪a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + a 24 x 4 = a 26 ⎨ ⎪a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + a 34 x 4 = a 36 ⎪ ⎩a 41 x 1 + a 42 x 2 + a 43 x 3 + a 44 x 4 = a 46 .

(3.4.13)

Оказывается, что решение системы (3.4.2) x 1 , x 2 , x 3 , x 4 связано с решением x 1 , x 2 , x 3 , x 4 системы (3.4.13) простой зависимостью

xi = xi + 1

(i = 1, 2, 3, 4) .

(3.4.14)

Таким образом, определяемые соотношениями (3.4.14) x 1 , x 2 , x 3 , x 4 являются решением системы (3.4.13) с теми же коэффициентами при неизвестных, что и у данной системы (3.4.2), но со свободными членами, равными контрольным суммам. Это соответствие остается на каждом шаге 111

прямого хода. Обратный ход контролируется нахождением чисел x i , которые в соответствии с (3.4.14) должны совпадать с числами x i + 1 . Компактная схема Гаусса оказывается особенно выгодной при одновременном решении нескольких систем, отличающихся лишь столбцами свободных членов, что имеет место, например, при вычислении элементов обратной матрицы. Порядок заполнения таблицы 3.4.1 Прямой ход. 1) записываем коэффициенты данной системы в четырех строках и пяти столбцах раздела 1 табл.3.4.1; 2) суммируем все коэффициенты по строке и записываем сумму в столбец ∑ (столбец контроля); 3) делим все числа на a 11 и результаты b1 j =

a1 j a 11

( j = 1, 2, 3, 4, 5)

записываем в пятой строке раздела 1; 5

4) вычисляем ∑ b1 j и делаем проверку. Если вычисления ведутся с j=1

постоянным числом знаков после запятой, то числа b16 и ∑ b1 j не должны j=1

отличаться более чем на единицу последнего разряда. В противном случае следует проверить действия пункта 3); 5) по формулам (3.4.5) вычисляем коэффициенты a i(1j) (i = 2, 3, 4; j = 2, 3, 4, 5, 6 ). Результаты записываются в первые три строки раздела II; 5

(1)

6) делаем проверку. Сумма элементов каждой строки ∑ a i j j= 2

(i = 2, 3, 4)

не должна отличаться от a i(16) более чем единицу последнего разряда;

1) и результаты 7) делим все элементы первой строки раздела II на a (22 записываем в четвертой строке раздела II; 8) делаем проверку, как в пункте 4); 9) по формуле (3.4.8) вычисляем a i(2j ) (i = 3, 4; j = 3, 4, 5) . Результаты

записываем в первые две строки раздела III; 10) делаем проверку, как в пункте 6); (2 ) и находим числа 11) делим элементы первой строки раздела III на a 33

b 3(2j) . Все результаты записываем в третьей строке раздела III; 12) делаем проверку; 13) вычисляем b (43j) = a (43j) − a (423) b 3(2j)

( j = 4, 5) .

Результаты записываем в разделе IV. Обратный ход. 112

1) в разделе V записываем единицы, как это указано в табл. 3.4.1; 2) вычисляем x 4 =

b (453)

(3 ) ;

b 44 3) для вычисления x 3 , x 2 , x 1 используются лишь строки разделов I, II,III содержащие единицы, начиная с последней. Так, для вычисления x 3 умножаем

(2 ) (2 ) x 4 на b 34 и результат вычитаем из b 35 . При этом единицы, расставленные в разделе V, помогают находить для x i (i = 3, 2,1) соответствующие

(2 ) (2 ) − b 34 x4; коэффициенты в отмеченных строках. Таким образом, x 3 = b 35

4) вычисляем x 2 , для чего используем элементы отмеченной строки

1) 1) 1) x 2 = b (25 − b (23 x 3 − b (24 x4; 5) вычисляем x 1 , для чего используем элементы отмеченной строки раздела 1: x 1 = b15 − b12 x 2 − b13 x 3 − b14 x 4 .

раздела II:

Аналогично проводится обратный ход в контрольной системе. Решения этой системы должны отличаться от решений данной системы на 1 (с точностью до единицы последнего разряда) x i = x i + 1 (i = 1,2,3,4 ) . Этот контроль осуществляется с помощью столбца ∑ . ПРИМЕР 3.4.1. Решить систему по компактной схеме Гаусса

⎧− 0,202 x 1 + 1,342 x 2 + 0,432 x 3 − 0,599 x 4 = −0,230 ⎪− 0,599 x + 0,202 x + 1,342 x + 0,432 x = −1,941 ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪0,432 x 1 − 0,599 x 2 + 0,202 x 3 + 1,342 x 4 = 0,230 ⎪⎩1,342 x 1 + 0,432 x 2 − 0,599 x 3 + 0,202 x 4 = 1,941.

В рассматриваемом примере главным элементом является a 11 = 1,342 . Представим четвертое уравнение системы на первое место

⎧1,342 x 1 + 0,432 x 2 − 0,599 x 3 + 0,202 x 4 = 1,941 ⎪0,202 x + 1,342 x + 0,432 x − 0,599 x = −2,230 ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪− 0,599 x 1 + 0,202 x 2 + 1,342 x 3 + 0,432 x 4 = −1,941 ⎪⎩0,432 x 1 − 0,599 x 2 + 0,202 x 3 + 1,342 x 4 = 0,230.

113

Таблица 3.4. 2

ai1

ai 2

ai 3

ai 4

ai 5

∑ ai6

1 2 3 4

1,342 0,202 –0,599 0,432 1

0,432 1,342 0,202 –0,599 0,3219 1,277 0,395 –0,738 1

–0,599 0,432 1,342 0,202 –0,4463 0,522 1,075 0,395 0,409 0,913 0,697 1

0,202 –0,599 0,432 1,342 0,1505 –0,629 0,522 1,277 –0,492 0,716 0,914 0,784 0,368 1

1,941 –0,230 –1,941 0,230 1,4464 –0,522 –1,075 –0,395 –0,409 –0,913 –0,697 –1 0

3,318 1,147 –0,564 1,607 2,4727 0,648 0,917 0,539 0,508 0,716 0,914 0,784 0,368 0 –1 0 1

2 3 4

3 4

III IV

1 1

Прямой ход. 1) записываем коэффициенты системы a i j (i = 1,2,3,4.5; j = 1,2,3,4,5,6 ) в первом разделе табл. 3.4.2; 2) вычисляем сумму коэффициентов по строке 5

∑ a 1 j = 1,342 + 0,432 − 0,599 + 0,202 + 1,941 = 3,318 . j=1

Результат записываем в первой строке столбца ∑ . И т.д.; 3) делим элементы первой строки на a 11 = 1,342 и записываем результаты в пятой строке раздела 1; 4) контроль – вычисляем сумму первых пяти чисел, полученных в п.3), получаем 2,4724, что полностью совпадает с числом, полученным в столбце ∑ ; 5) находим число a i j (i = 2,3,4; j = 2,3,4,5,6 ) и записываем в разделе II; 6) контроль: суммируем полученные коэффициенты по каждой строке. Так как

i = 2 имеем ∑ a (21)j = 0,648 . Результат совпадает с контрольным j= 2

числом; 1) = 1,277 . Результаты 7) делим элементы первой строки раздела II на a (22 записываем в последней строке раздела; 1) 1) 1) 1) + b (24 + b (25 = 0,508 = b (26 ; 8) контроль: сумма 1 + b (23

114

9) определяем числа a i(2j ) (i = 3, 4; j = 3,4,5,6 ) и записываем в разделе III;

(2 ) (2 ) (2 ) (2 ) + a 34 + a 35 = 0,716 = a 36 10) контроль: при i = 3 имеем a 33

при i = 4 : a (432 ) + a (442 ) + a (452 ) = 0,914 = a (462 ) ;

(2 ) 11) делим элементы первой строки раздела III на a 33 = 0,913 . Результат записываем в разделе IV; (2 ) (2 ) (2 ) + b 36 = 0,784 = b 36 ; 12) контроль: 1 + b 34

13) вычисляем b (43j)

( j = 4, 5) . Результат записываем в разделе IV.

14) контроль – b (443) + b (453) = 0,368 = a (463) . Обратный ход. Следуя порядку действий, указанному в п.п.1 – 5 при осуществлении обратного хода, получаем значение неизвестных x 4 = 0, x 3 = −1, x 2 = 0,

x 1 = 1.

Задание к лабораторной работе Решить методом Гаусса систему линейных алгебраических уравнений с точностью 10 −3 . Вариант 1.

Вариант 2.

Вариант 3.

Вариант 4.

Вариант 5.

Вариант 6.

⎧− 8x 1 − 2 x 2 + x 4 = 9, ⎪6x + 4x − 7 x + x = 0, ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪x 1 + x 2 − 5x 3 + x 4 = 8, ⎪⎩2 x 1 − x 2 + 2x 3 = 5. ⎧6x1 + 4x 2 + 5x 3 + 2 x 4 + 3x 5 = 1, ⎪3x + 2x + 4 x + x + 2 x = 3, ⎪ 1 2 3 4 5 ⎨ ⎪3x1 + 2x 2 − 2x 3 + x 4 = −7, ⎪⎩9 x1 + 6 x 2 + x 3 + 3x 4 + 2 x 5 = 2.

⎧3x1 + 4x 2 + x 3 + 2 x 4 = 3, ⎪ ⎨6x1 + 8x 2 + 2 x 3 + 5x 4 = 7, ⎪9x + 12x + 3x + 10x = 13. 2 3 4 ⎩ 1

⎧x1 + x 2 + 3x 3 − 2x 4 + 3x 5 = 1, ⎪2 x + 2x + 4 x − x + 3x = 2, ⎪ 1 2 3 4 5 ⎨ ⎪3x1 + 3x 2 + 5x 3 − 2x 4 + 3x 5 = 1, ⎪⎩2 x1 + 2x 2 + 8x 3 − 3x 4 + 9 x 5 = 2. ⎧3x1 + 2x 2 + x 3 = 5, ⎪2x + 3x + x = 1, ⎪ 1 2 3 ⎨ ⎪2x1 + x 2 + 3x 3 = 11, ⎪⎩3x1 + 4x 2 − x 3 = −5.

⎧2 x1 + x 2 + 3x 4 = 4, ⎪x + x − 2 x = 0, 2 3 ⎪⎪ 1 ⎨3x1 + x 3 − x 4 = 2, ⎪2 x + x + x = 3, 3 4 ⎪ 1 ⎪⎩x1 + x 2 − 4 x 3 + 3x 4 = −3.

115

Вариант 7.

Вариант 8.

Вариант 9.

Вариант 10.

Вариант 11.

Вариант 12.

Вариант 13.

Вариант 14.

Вариант 15.

Вариант 16.

Вариант 17.

Вариант 18.

⎧9 x1 − 3x 2 + 5x 3 + 6x 4 = 4, ⎪ ⎨6x1 − 2 x 2 + 3x 3 + 4 x 4 = 5, ⎪3x − x + 3x + 14x = −8. 2 3 4 ⎩ 1

⎧3x1 − 2x 2 + 2x 3 = 2, ⎪4x − 3x − 3x = 3, ⎪ 1 2 3 ⎨ ⎪x1 + 3x 2 = 0, ⎪⎩5x1 + 3x 3 = 3.

⎧2x1 − x 2 + x 3 + 2 x 4 + 3x 5 = 1, ⎪6x − 3x + 2 x + 4 x + 5x = 3, ⎪ 1 2 3 4 5 ⎨ ⎪6x1 − 3x 2 + 4 x 3 + 8x 4 + 13x 5 = 9, ⎪⎩4x1 − 2 x 2 + x 3 + x 4 + 2 x 5 = 4. ⎧x1 + 2x 2 + 2 x 3 + 3x 4 = 1, ⎪6x − 3x − 3x − x = −9, ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪− 7 x1 + x 2 + x 3 − 4 x 4 = 8, ⎪⎩− 3x1 + 9x 2 + 9x 3 + 10x 4 = 12.

⎧x1 + 2x 2 + 3x 3 − x 4 = 8, ⎪2 x − x − 4 x + 3x = 1, ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪4 x1 − 7 x 2 − 18x 3 + 11x 4 = −13, ⎪⎩3x1 + x 2 − x 3 + 2x 4 = 9. ⎧x1 + x 2 + 3x 3 − 2 x 4 + 3x 5 = 1, ⎪2 x + 2 x + 4x − x + 3x = 2, ⎪ 1 2 3 4 5 ⎨ ⎪3x1 + 3x 2 + 5x 3 − 2 x 4 + 3x 5 = 1, ⎪⎩2 x1 + 2 x 2 + 8x 3 − 3x 4 + 9 x 5 = 2.

⎧x1 − 2 x 2 + x 3 − x 4 + 3x 5 = 2, ⎪ ⎨2 x1 − 4 x 2 + 3x 3 − 2 x 4 + 6 x 5 = 5, ⎪3x − 6 x + 4x − 3x + 9x = 7. 2 3 4 5 ⎩ 1 ⎧8x1 + 6x 2 + 5x 3 + 2 x 4 = 21, ⎪3x + 3x + 2 x + x = 10, 2 3 4 ⎪⎪ 1 ⎨4x1 + 2x 2 + 3x 3 + x 4 = 8, ⎪3x + 5x + x + x = 15, 2 3 4 ⎪ 1 ⎪⎩7 x1 + 4x 2 + 5x 3 + 2x 4 = 18. ⎧2 x1 − x 2 + 3x 3 − 5x 4 = 1, ⎪x − x − 5x = 2, ⎪ 1 2 3 ⎨ ⎪3x1 − 2 x 2 − 2x 3 − 5x 4 = 3, ⎪⎩7 x1 − 5x 2 − 9x 3 + 10x 4 = 8. ⎧4 a − 8 b + 2 c + 4 d = 9, ⎪3 a − 4 b + 2,5 c + d = 2,75, ⎪ ⎨ ⎪5 a − 7 b + 6 c + 6 d = 9,25 ⎪⎩2 a + 6 b + 7 c = 4,5. ⎧− 8x1 − 2 x 2 + x 4 = 9, ⎪6x + 4 x − 7 x + x = 0, ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪x1 + x 2 − 5x 3 + x 4 = 8, ⎪⎩2 x1 − x 2 + 2x 3 = 5. ⎧6x1 + 4x 2 + 5x 3 + 2 x 4 + 3x 5 = 1, ⎪3x + 2x + 4 x + x + 2 x = 3, ⎪ 1 2 3 4 5 ⎨ ⎪3x1 + 2x 2 − 2x 3 + x 4 = −7, ⎪⎩9 x1 + 6 x 2 + x 3 + 3x 4 + 2 x 5 = 2. 116

Вариант 19.

Вариант 20.

Вариант 21.

Вариант 22.

Вариант 23.

Вариант 24.

Вариант 25.

Вариант 26.

Вариант 27.

Вариант 28.

Вариант 29.

Вариант 30.

⎧3x1 + 2x 2 + x 3 = 5, ⎪2x + 3x + x = 1, ⎪ 1 2 3 ⎨ ⎪2x1 + x 2 + 3x 3 = 11, ⎪⎩3x1 + 4x 2 − x 3 = −5. ⎧2 x1 + x 2 + 3x 4 = 4, ⎪x + x − 2 x = 0, 2 3 ⎪⎪ 1 ⎨3x1 + x 3 − x 4 = 2, ⎪2 x + x + x = 3, 3 4 ⎪ 1 ⎪⎩x1 + x 2 − 4 x 3 + 3x 4 = −3. ⎧x1 − 2 x 2 + x 3 − x 4 + 3x 5 = 2, ⎪ ⎨2 x1 − 4x 2 + 3x 3 − 2x 4 + 6x 5 = 5, ⎪3x − 6 x + 4 x − 3x + 9 x = 7. 2 3 4 5 ⎩ 1

⎧8x1 + 6x 2 + 5x 3 + 2 x 4 = 21, ⎪3x + 3x + 2 x + x = 10, 2 3 4 ⎪⎪ 1 ⎨4x1 + 2x 2 + 3x 3 + x 4 = 8, ⎪3x + 5x + x + x = 15, 2 3 4 ⎪ 1 ⎪⎩7 x1 + 4x 2 + 5x 3 + 2x 4 = 18. ⎧2x1 − x 2 + 3x 3 − 5x 4 = 1, ⎪x − x − 5x = 2, ⎪ 1 2 3 ⎨ ⎪3x1 − 2x 2 − 2 x 3 − 5x 4 = 3, ⎪⎩7 x1 − 5x 2 − 9 x 3 + 10x 4 = 8. ⎧4 a − 8 b + 2 c + 4 d = 9, ⎪3 a − 4 b + 2,5 c + d = 2,75, ⎪ ⎨ ⎪5 a − 7 b + 6 c + 6 d = 9,25 ⎪⎩2 a + 6 b + 7 c = 4,5.

⎧3x1 + 4x 2 + x 3 + 2 x 4 = 3, ⎪ ⎨6x1 + 8x 2 + 2 x 3 + 5x 4 = 7, ⎪9x + 12x + 3x + 10x = 13. 2 3 4 ⎩ 1

⎧9 x1 − 3x 2 + 5x 3 + 6x 4 = 4, ⎪ ⎨6x1 − 2 x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 5, ⎪3x − x + 3x + 14x = −8. 2 3 4 ⎩ 1

⎧3x1 − 2x 2 + 2x 3 = 2, ⎪4x − 3x − 3x = 3, ⎪ 1 2 3 ⎨ ⎪x1 + 3x 2 = 0, ⎪⎩5x1 + 3x 3 = 3. ⎧2x1 − x 2 + x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 1, ⎪6x − 3x + 2x + 4x + 5x = 3, ⎪ 1 2 3 4 5 ⎨ ⎪6x1 − 3x 2 + 4x 3 + 8x 4 + 13x 5 = 9, ⎪⎩4x1 − 2x 2 + x 3 + x 4 + 2x 5 = 4.

⎧x1 + 2x 2 + 2 x 3 + 3x 4 = 1, ⎪6x − 3x − 3x − x = −9, ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪− 7 x1 + x 2 + x 3 − 4 x 4 = 8, ⎪⎩− 3x1 + 9x 2 + 9x 3 + 10x 4 = 12.

⎧x1 + 2x 2 + 3x 3 − x 4 = 8, ⎪2 x − x − 4 x + 3x = 1, ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪4 x1 − 7 x 2 − 18x 3 + 11x 4 = −13, ⎪⎩3x1 + x 2 − x 3 + 2x 4 = 9.

117

ЛИТЕРАТУРА Основная литература: 1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии: Учебник для вузов. – 2-е изд., перераб. и доп. - М., Наука, 1997. – 288 с. 2. Сборник задач по математике для втузов: Линейная алгебра и основы математического анализа (под редакцией А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича). - М.: Наука, 2003. – 478 с. 3. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии: Учебное пособие для ВУЗОВ/Под ред. Н.В. Ефимова – 1-е изд., испр. – М.:Наука, 2002. – 224 с. 4. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч.1. – М.. Айрис - Пресс, 2004. – 608 с.

Дополнительная литература: 1. Шипачев В.С. Курс высшей математики. – М.: Изд-во МГУ, 2001. 2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для ВУЗОВ/ Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Высшая школа, 2000. 3. Виноградов И.М. Элементы высшей математики. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление. Основы теории чисел: Учебник для вузов-М.:Высш. шк., 1999. – 511с. 4. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М., Высшая школа, 1998. – 320 с.

Учебные пособия кафедры: 1. Зарипов Э.М., Зарипов Р.М. Алгебра и аналитическая геометрия. Учебное пособие. – Уфа: Изд-во УГНТУ, 2005. – 111 с. 2. Зарипов Э.М., Жданова Т.Г., Байрамгулова Р.С. Практикум по элементам линейной, векторной алгебры и аналитической геометрии. – Уфа: Изд-во УГНТУ, 2001. – 61 с. 3. Егорова Р.А., Галиакбарова Э.В. Расчетные задания по линейной алгебре, аналитической геометрии. – Уфа: Изд-во УГНТУ, 2001. 4. Лабораторный практикум по математике. Юлдыбаев Л.Х., Зарипов Р.М. Уфа, УГНТУ, 2003. 118