razdel3kim(УГНТУ) by Абзалимов Рамиль

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ)

Кафедра математики

УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ________________________________________________________________________________

РАЗДЕЛ 3 «ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»

Теоретические основы Методические указания для студентов Материалы для самостоятельной работы студентов

Уфа • 2007

УДК 517(07) ББК 22.161 я 7 У90 Ответственный редактор д. ф.-м. наук, проф. Р.Н. Бахтизин Редколлегия: АкмадиеваТ.Р., Аносова Е.П., Байрамгулова Р.С., Галиуллин М.М., Галиева Л.М., Галиакбарова Э.В., Гимаев Р.Г., Гудкова Е.В., Егорова Р.А., Жданова Т.Г., Зарипов Э.М., Зарипов Р.М., Исламгулова Г.Ф., Ковалева Э.А., Майский Р.А., Мухаметзянов И.З., Нагаева З.М., Савлучинская Н.М., Сахарова Л.А., Степанова М.Ф., Сокова И.А., Сулейманов И.Н., Умергалина Т.В., Фаткуллин Н.Ю., Хайбуллин Р.Я., Хакимов Д.К., Хакимова З.Р., Чернятьева М.Р., Юлдыбаев Л.Х., Шамшович В.Ф., Якубова Д.Ф., Якупов В.М., Янчушка А.П., Яфаров Ш.А. Рецензенты: Кафедра программирования и вычислительной математики Башкирского государственного педагогического университета. Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Р.М. Асадуллин. Кафедра вычислительной математики Башкирского государственного университета. Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Н.Д. Морозкин.

Учебно-методический комплекс дисциплины «Математика». Раздел 3 «Введение в математический анализ». Теоретические основы. Методические указания для студентов. Материалы для самостоятельной работы студентов. – Уфа: Издательство УГНТУ, 2007. – 140 с. Содержит теоретические материалы, способы и методы решения практических задач, задания для самостоятельной работы студентов, контрольные вопросы для самопроверки, список рекомендуемой литературы. Разработан для студентов, обучающихся по всем формам обучения по направлениям подготовки и специальностям, реализуемым в УГНТУ.

УДК 517(07) ББК 22.161 я 7

1.1 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.9.1 1.9.2 1.9.3 1.9.4 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.2

СОДЕРЖАНИЕ 1. Теоретические основы Элементы теории множеств Функция Понятие функции Числовые функции. Способы задания функций Основные элементарные функции и их графики Обратная функция Предел функции Бесконечно малые функции и их свойства Основные теоремы о пределах Первый замечательный предел Второй замечательный предел Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые Непрерывность функции Непрерывность функции в точке Точки разрыва функции и их классификация Основные теоремы о непрерывных функциях Свойства функций, непрерывных на отрезке 2. Методические указания для студентов Функция. Основные свойства функции Монотонная, обратная и ограниченая функция Сложная функция. Элементарные функции Неявные и параметрически заданные функции Основные элементарные функции и их графики

2.2.1

Степенная функция y = x m

2.2.2

Показательная функция y = a x ( a > 0, a ≠ 1) Логарифмическая функция y = log a x (a > 0; a ≠ 1 Синусоида – график функции y = sin x Косинусоида – график функции y = cos x Тангенсоида – график функции y = tg x Котангенсоида – график функции y = ctg x . График y = arcsin x График y = arccos x График y = arctg x . График y = arcctg x .

2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.2.7 2.2.8. 2.2.9 2.2.10 2.2.11 2.2.12

⎛ e x − e −x Гиперболический синус y = sh x ⎜⎜ sh x = 2 ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

7 8 8 9 11 14 15 18 21 25 28 30 32 32 34 39 40 43 46 47 48 49 49 50

)

50 51 51 52 52 53 53 53 53 54

2.2.13 2.2.14 2.2.15 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 2.3.6 2.3.7 2.3.8 2.3.9 2.3.10 2.4 2.4.1 2.4.2 2.5 2.6 2.6.1 2.6.2 2.6.3 2.7 2.7.1 2.7.2 2.7.3 2.7.4 2.7.5

⎛ e x + e −x ⎞ ⎟ Гиперболический косинус y = ch x ⎜⎜ ch x = ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ sh x ⎞ ⎟⎟ Гиперболический тангенс y = th x ⎜⎜ th x = ch x ⎝ ⎠ ⎛ ch x ⎞ ⎟⎟ Гиперболический котангенс y = cth x ⎜⎜ cth x = sh x ⎝ ⎠ Преобразование графиков Построение графика y = f (k x ), k ≠ 1, k > 0 Построение графика y = m ⋅ f (x ) , m ≠ 1, m > 0 Построение графика y = f (x − a ) Построение графика y = f (x ) + b Построение графика y = f (− x ) Построение графика y = −f (x ) Построение графика y = f ( x ) Построение графика функции y = f (x ) Порядок действий при построении

y = f ( x + a + b)

2.7.6 2.7.7

Раскрытие неопределенностей вида

Первый замечательный предел Второй замечательный предел

54 55 55 55 56 57 58 60 61 62 62

графика 63

Порядок действий при построении графика функции Построение кривой, заданной в полярной системе координат Полярная система координат. Построение кривой. Построение кривой, заданной в параметрическом виде Предел числовой последовательности Числовые последовательности Ограниченные и неограниченные последовательности Предел числовой последовательности Предел функции Предел функции при x → x 0 Предел функции при x → ∞ Односторонние пределы Бесконечно большие и бесконечно малые функции Вычисление пределов функций

0 0 ∞ 2.7.5.2. Раскрытие неопределенностей вида ∞ 2.7.5.1

64 67 67 67 69 72 72 73 74 76 76 77 78 79 81 83 85 87 88

2.7.8 2.7.9 2.7.10 2.8 2.8.1 2.8.2 2.8.3 3.1. 3.2. 3.3. 3.4.

Раскрытие неопределенностей вида ∞ − ∞ , 0 ⋅ ∞ Следствия замечательных пределов Эквивалентные бесконечно малые и их применение при вычислении пределов Непрерывность функции Определение непрерывности функции в точке Непрерывность элементарных функций Точки разрыва функции и их классификация 3. Материалы для самостоятельной работы студентов Контрольные вопросы Задачи и упражнения для самостоятельной работы Расчетные задания Литература

90 91 92 94 94 95 96 102 103 116 140

УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

РАЗДЕЛ 3 «ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»

1. Теоретические основы

1.1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики. Под множеством понимают совокупность некоторых объектов, объединенных в одно целое по какому-либо признаку. Так, можно говорить о множестве студентов университета, о множестве корней уравнения

x 2 − 5x + 6 = 0 , о множестве целых чисел и т.д. Объекты, из которых состоит множество, называют его элементами. Множество принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита A, B, K , X, Y, K , K , а их элементы – малыми буквами a , b, K , x, y, K Если элемент x принадлежит множеству X , то записывают x ∈ X ; запись x ∈ X или x ∉ X означает, что элемент x не принадлежит множеству X . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом ∅ . Множество задается двумя способами: перечислением и описанием. Например, запись A = {2,4,10} означает, что множество A состоит из трех чисел 2,4 и 10; запись X = {x : 0 ≤ x ≤ 3} означает, что множество X состоит из всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству 0 ≤ x ≤ 3 . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Множество A называется подмножеством множества B , если каждый элемент множества A является элементом множества B . Символически это обозначают так: A ⊂ B . (A содержится в B) . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Два множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, и пишут A = B . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4. Объединением или суммой множеств A и B называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному их этих множеств. Объединение множеств обозначают A U B (или A + B ). Кратко можно записать A U B = {x : x ∈ A или x ∈ B}. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.5. Пересечением или произведением множеств A и B называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству A и множеству B . Пересечение множеств обозначают A I B (или A ⋅ B ). Кратко можно записать A I B = {x : x ∈ A и x ∈ B}. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.6. Разностью множеств A и B называется множество, каждый элемент которого является элементом множества A и не является элементом множества B . Разность множеств обозначают A / B . По определению A / B = {x : x ∈ A и x ∉ B}. Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Примерами числовых множеств являются: N = {1,2,3, K , n , K} − множество натуральных чисел;

Z = {0,±1,±2, K ,± n , K} − множество целых чисел; ⎧m ⎫ Q = ⎨ , m ∈ Z, n ∈ N ⎬ − множество рациональных чисел; ⎩n ⎭ 7

R − множество действительных чисел. Множество R содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью, или бесконечной периодической дробью. Так,

1 1 = 0,5; = 0,333K − рациональные числа. 2 3

Иррациональное число выражается бесконечной непериодической десятичной дробью. Так, 2 = 1,4142356 K , π = 3,1415926 K − иррациональные числа. Введем некоторые наиболее часто встречающиеся подмножества множества действительных чисел R . Пусть a и b − действительные числа, причем a < b . Тогда [a; b] = {x : a ≤ x ≤ b} − отрезок (сегмент, замкнутый промежуток);

(a; b ) = {x : a < x < b} − интервал (открытый промежуток); [a; b ) = {x : a ≤ x < b}, - полуоткрытые интервалы; (a; b] = {x : a < x ≤ b} (−∞; b] = {x : x ≤ b}, [a; + ∞) = {x : x ≥ a}, - бесконечные интервалы. (− ∞; ∞ ) = {x : − ∞ < x < +∞} = R

Пусть x 0 − любое действительное число. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.7. Окрестностью точки x 0 называется любой интер-

вал (a; b ) , содержащий точку x 0 . В частности, интервал

(x 0 − ε;

x 0 + ε ) , где

ε > 0 , называется ε − окрестностью точки x 0 . Число x 0 называется центром, а число ε − радиусом. Если x ∈ (x 0 − ε; x 0 + ε ) , то выполняется неравенство x 0 − ε < x < x 0 + ε , или, что то же, x − x 0 < ε . Выполнение последнего означает попадание точки x в ε − окрестность точки x 0 . 1.2. ФУНКЦИЯ 1.2.1. Понятие функции Понятие функции является одним из основных понятий математики. С помощью этого понятия выявляются зависимости (связи) между элементами двух множеств. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.8. Пусть даны два непустых множества X и Y . Соответствие f , которое каждому элементу x ∈ X сопоставляет один единственный элемент y ∈ Y , называется функцией и записывается y = f (x ) , x ∈ X или f : X → Y . Говорят еще, что функция f отображает множество X на множество Y .

Множество X называется областью определения функции f и обозначается D(f ) . Множество всех y ∈ Y называется множеством значений функции

f и обозначается E (f ) .

1.2.2. Числовые функции. Способы задания функций Пусть задана функция f : X → Y . Если элементами множеств X и Y являются действительные числа, то функцию f называют числовой функцией. В дальнейшем мы будем изучать только числовые функции и их записывать: y = f (x ) . Переменная x называется аргументом или независимой переменной, а y − функцией или зависимой переменной. Пусть каждой паре чисел x и y , где y = f (x ) , поставлена в соответст-

вие точка (x , y ) координатной плоскости. Множество всех точек (x , y ) плоско-

сти таких, что x ∈ D(f ) и y ∈ E(f ) , называется графиком функции. В зависимости от характера соответствия f различают функции, заданные таблично, графически и аналитически. Табличный способ задания функции заключается в перечислении значений аргумента и соответствующих значений функции. Такой способ задания функции особенно часто встречается в различных справочниках. Например, таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы и т.д. На практике часто приходится пользоваться таблицами значений функций, полученных опытным путем или в результате наблюдений. При графическом способе задается график функции (рис 1.1). Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком – его неточность. Следует заметить, что далеко не всякая линия является графиком функции (рис. 1.2). При аналитическом способе функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений.

y y ≠ f (x )

y = f (x ) x

Рис. 1.1

Рис. 1.2

⎧x 2 − 1 при x < 0; Например, y = x ; y = ⎨ ⎩x − 1 при x ≥ 0; 3

y 2 − 4x + 5 = 0 .

Рассмотрим простейшие свойства функций. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.9. Функция y = f (x ) называется периодической, если существует такое число T > 0 , что для всех x из области определения, числа x ± T также принадлежат области определения, справедливо равенство f (x ± T ) = f ( x ) . При этом наименьшее из чисел T называют периодом функции. Если T − период функции, то всякое число n T , где n = ±1;±2, K также является периодом. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.10. Функция y = f (x ) , область определения которой симметрична относительно нуля и для каждого x из области определения f (− x ) = f (x ) , называется четной; нечетной – если ∀ x ∈ D(f ) выполняется равенство f (− x ) = −f (x ). График четной функции симметричен относительно оси ординат, а нечетной – симметричен относительно начала координат. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.11. Пусть функция y = f (x ) определена в области

D . Если для любых x 1 , x 2 ∈ X ⊂ D(f ) , удовлетворяющих неравенству x 1 < x 2 , выполняется неравенство f (x 1 ) < f (x 2 ), то функция называется возрастающей на множестве X ; если же f (x 1 ) ≤ f (x 2 ), то функция называется неубывающей на множестве X ; если f (x 1 ) > f (x 2 ) , то функция называется убывающей на множестве X ; если же f (x 1 ) ≥ f (x 2 ), то функция называется невозрастающей на множестве X .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.12. Функции только возрастающие (неубывающие) или только убывающие (невозрастающие) на множестве X называются монотонными на этом множестве.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.13. Функция y = f (x ) называется ограниченной на множестве X , если существует такое число M > 0 , что для всех x ∈ X выполняется неравенство f (x ) ≤ M . Например, функция y = sin x является ограниченной на всей числовой

(

)

прямой sin x ≤ 1 , а функция y = 2 x + 5 не ограничена на R . 1.2.3. Основные элементарные функции и их графики α

1. Степенная функция y = x , α ∈ R . Графики степенных функций, соответствующих различным показателям степени, представлены на рис. 1.3.

y=x 0

y = x2 x

y y=

1 x

y= x x

y y=

y = x3

y=3 x

Рис. 1.3

2. Показательная функция y = a , a > 0, a ≠ 1;

(a > 1)

(a < 1) 1

Рис. 1.4

3. Логарифмическая функция y = log a x , a > 0, a ≠ 1;

(a > 1)

(a < 1)

Рис. 1.5

4. Тригонометрические функции y = sin x , y = cos x ,

y = cos x

y = sin x 1

−π

π − 2

1 0

x -1

-1 Рис. 1.6

π 2 x

y = tg x, y = ctg x y

π − 2

0 π

y = tg x

−π

y = ctg x

Рис. 1.7 5. Обратные тригнометрические функции

⎡ π π⎤ y = arcsin x , D(f ) = [− 1;1], E(f ) = ⎢− ; ⎥ ; ⎣ 2 2⎦ y = arccos x , D(f ) = [− 1;1], E(f ) = [0; π] ; ⎛ π π⎞ y = arctg x , D(f ) = R , E(f ) = ⎜ − ; ⎟ ; ⎝ 2 2⎠ y = arcctg x , D(f ) = R , E(f ) = (0; π) .

Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных величин с помощью конечного числа 13

арифметических операций сложения, вычитания, умножения, деления и операций взятия функции от функции, называется элементарной функцией. Примерами элементарных функций являются: y = a x + b - линейная функция a , b ∈ R ;

y = ax 2 + bx + c - квадратичная функция a , b, c ∈ R ; целая рациональная функция или y = a 0 x n + a 1 x n −1 + K + a n многочлен степени n a 0 , K , a n ∈ R , n ∈ N ;

a 0 x n + a 1 x n −1 + K + a n

b 0 x m + b1 x m −1 + K + b m

дробно-рациональная

функция;

, a 0 , a n , b 0 ,K, b m ∈ R ,

частным

случаем

функции является дробно-линейная функция y =

n, m ∈ N −

дробно-рациональной

ax + b , a , b, c, d ∈ R . cx + d

Примерами неэлементарных функций могут служить

⎧1, x > 0 ⎪ y = sign x = ⎨0, x = 0 , ⎪− 1, x < 0 ⎩

⎧x, x > 0 ⎪ y = x = ⎨0, x = 0 ⎪− x , x < 0 ⎩

1.2.4. Обратная функция Пусть задана функция y = f (x ) с областью определения D и множеством значений E . Тогда каждому значению x ∈ D соответствует единственное значение y ∈ E . Пусть, в свою очередь, каждому значению y ∈ E соответствует единственное значение x ∈ D , тогда мы получаем новую функцию x = ϕ(y ) с областью определения E и множеством значений D (рис. 1.9).

y1 y2 y E 3

x1 x2 D x3

y2 y3

Рис. 1.9 Такая функция ϕ(y ) называется обратной к функции f (x ) .

Из определения вытекает, что для функции y = f (x ) существует обратная функция тогда и только тогда, когда соответствие f между множествами D и E является взаимно однозначным. Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную. 14

Чтобы найти функцию x = ϕ(y ) , обратную к функции y = f (x ) ,

достаточно решить уравнение f (x ) = y относительно x (если это возможно). ПРИМЕР 1.1. Для функции y = 3x + 5 обратной функцией является

1 5 x = y− . 3 3

ПРИМЕР 1.2. Для функции y = x , x ∈ [0;+∞ ) обратной функцией яв2

y , y ∈ [0;+∞ ) ; заметим, что для функции y = x 2 , заданной в промежутке (− ∞; ∞ ) , обратной не существует, так как одному значению y соответствуют два значения x . Графики взаимно обратных функций y = f (x ) и x = ϕ(y ) симметричны относительно прямой y = x . ляется x =

1.3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Пусть функция y = f (x ) определена в некоторой окрестности точки x 0 , кроме, быть может, самой точки x 0 . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.14. Число A называется пределом функции y = f (x ) в точке x 0 (или при x → x 0 ), если для любого сколь угодно малого числа

ε>0

найдется

удовлетворяющих

f (x ) − A < ε .

такое

неравенству

δ > 0 , что для всех x ≠ x 0 , x − x 0 < δ , выполняется неравенство

число

Это определение предела дано на «языке ε − δ », его коротко можно записать так: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0, ∀ x : x − x 0 < δ, x ≠ x 0 ⇒ f (x ) − A < ε . Предел функции записывают lim f (x ) = A . x →x 0

Геометрический смысл предела функции заключается в следующем: число A = lim f (x ) , если для любой ε − окрестности точки A найдется такая x→ x 0

δ − окрестность точки x 0 , что для всех x ≠ x 0 из этой δ − окрестности соответствующие значения функции f (x ) лежат в ε − окрестности точки A (рис. 1.10)

y = f (x ) A+ε 2ε

A A−ε

x0 − δ

x0 + δ

Рис. 1.10 ПРИМЕР 1.3. Доказать, что lim (3x + 5) = 11. x →2

Решение. Возьмем произвольное ε > 0 и найдем δ = δ(ε ) > 0 такое, что

x , удовлетворяющих неравенству x − 2 < δ , выполняется ε ε неравенство (3x + 5) − 11 < ε , то есть x − 2 < . Взяв δ = , видим, что для 3 3 ε⎞ ⎛ всех x , удовлетворяющих неравенству x − 2 < δ ⎜ δ = ⎟ , 3⎠ ⎝ выполняется неравенство (3x + 5) − 11 < ε , следовательно, lim (3x + 5) = 11. для

всех

x →2

В определении предела функции lim f (x ) = A считается, что x стреx →x 0

мится к x 0 любым способом: оставаясь меньшим, чем x 0 (слева от x 0 ) или большим, чем x 0 (справа от x 0 ). Однако встречаются случаи, когда способ приближения аргумента x к x 0 существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятие односторонних пределов. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.15. Число A1 называется пределом функции

y = f (x ) слева в точке x 0 , если для любого числа ε > 0 найдется число δ > 0 такое, что для всех x ∈ (x 0 − δ; x 0 ) выполняется неравенство f (x ) − A1 < ε . Предел слева записывают так: lim f (x ) = A1 или коротко f (x 0 − 0 ) = A1 . x → x 0 −0

Аналогично определяется предел функции в точке x 0 справа. Число A 2

называется пределом функции y = f (x ) справа в точке x 0 , если для любого

ε > 0 найдется δ > 0 такое, что для всех x ∈ (x 0 ; x 0 + δ ) выполняется неравенство f (x ) − A 2 < ε . В этом случае пишут lim f (x ) = A 2 или коротко x →x 0 +0

f (x 0 + 0 ) = A 2 .

Пределы функции в точке x 0 слева и справа называют односторонними пределами. Очевидно, что если существует lim f (x ) = A , то существуют и оба одx →x 0

носторонних предела, причем A1 = A 2 = A . Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба предела lim f (x ) = A1 , lim f (x ) = A 2 и они равны, то существует предел x → x 0 −0

x →x 0 +0

lim f (x ) = A = A1 = A 2 .

x →x 0

Если же A1 ≠ A 2 , то предел lim f (x ) не существует. x→ x 0

Рассмотрим теперь поведение функции y = f (x ) при неограниченном по абсолютной величине увеличении аргумента x , то есть при x → −∞ , x → +∞ , x → ∞ . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.16. Пусть функция y = f (x ) определена в промежутке (− ∞; ∞ ) . Число A называется пределом функции f (x ) при x → ∞ , если

для любого числа ε > 0 существует такое число M = M (ε ) > 0 , что для всех значений x , удовлетворяющих неравенству x > M , выполняется неравенство

f (x ) − A < ε . В этом случае пишут lim f (x ) = A . Коротко это определение x →∞

можно записать так:

∀ ε > 0 ∃ M > 0, x > M ⇒ f (x ) − A < ε ⇔ lim f (x ) = A . x →∞

Если x → +∞ , то пишут lim f (x ) = A , если же x → −∞ , то пишут

lim f (x ) = A .

x →−∞

x →+∞

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.17. Функция y = f (x ) называется бесконечно боль-

шой (б.б.ф.) при x → x 0 или говорят, что функция стремится к бесконечности

при x → x 0 , если для любого числа M > 0 существует число δ = δ(M ) > 0 ,

такое, что для всех x , удовлетворяющих неравенству x − x 0 < δ, x ≠ x 0 , выполняется неравенство f (x ) > M . Или коротко 17

∀ M > 0 ∃ δ > 0, ∀ x : x − x 0 < δ, x ≠ x 0 ⇒ f (x ) > M . Записывают lim f (x ) = ∞ . x →x 0

Если f (x ) стремится к бесконечности при x → x 0 и принимает лишь

положительные значения, то пишут lim f (x ) = +∞ ; если же принимает лишь x →x 0

отрицательные значения, то lim f (x ) = −∞ . x →x 0

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.18. Функция y = f (x ) , заданная на всей числовой прямой, называется бесконечно большой при x → ∞ , если для любого числа M > 0 найдется такое число N = N(M ) > 0 , что при всех x , удовлетворяющих неравенству x > N , выполняется неравенство f (x ) > M . Коротко:

∀ M > 0 ∃ N > 0, ∀ x : x > N ⇒ f (x ) > M ⇔ lim f (x ) = ∞ . x →∞

ПРИМЕР

1.4.

1 = −∞, x →−3−0 x + 3 lim

Функция

1 x+3

есть

б.б.ф.

при

x → −3 :

1 = +∞ . x →−3+ 0 x + 3 3 ПРИМЕР 1.5. Функция y = x является б.б.ф. при x → ∞ , причем lim

lim x 3 = +∞ , lim x 3 = −∞ .

x →+∞

x →−∞

1.4. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.19. Функция y = f (x ) называется бесконечно малой (б.м.ф.) при x → x 0 , если

lim f (x ) = 0 .

x →x 0

(1.1)

По определению предела функции равенство (1.1) означает: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0, ∀ x : x − x 0 < δ, x ≠ x 0 ⇒ f (x ) < ε . Принято б.м. функции обозначать малыми буквами греческого алфавита α(x ), β(x ) и т.д. Теорема 1.1. Пусть α(x ), β(x ), K , γ (x ) − бесконечно малые функции при

x → x 0 . Тогда:

1) алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция, то есть lim [α(x ) + β(x ) + K + γ (x )] = 0 ; x →x 0

2) произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая, то есть lim [f (x ) ⋅ α(x )] = 0 , где функция f (x ) ограничена при x → x 0 ; x →x 0

3) произведение конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция, то есть lim [α(x ) ⋅ β(x ) ⋅ K ⋅ γ (x )] = 0 ; x →x 0

4) частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая, то есть

α (x ) = 0 , где lim f (x ) = A ≠ 0 . x → x 0 f (x ) x →x 0 lim

Доказательство: 1) Пусть α(x ) и β(x ) − две б.м.ф. при x → x 0 . Это значит, что

∀ ε > 0 ∃ δ1 > 0, ∀ x : x − x 0 < δ1 , x ≠ x 0 ⇒ α(x ) < и ∃ δ 2 > 0, ∀ x : x − x 0 < δ 2 , x ≠ x 0 ⇒ β(x ) <

ε . 2

(1.2)

(1.3)

Пусть δ − наименьшее из чисел δ1 и δ 2 . Тогда для всех x , удовлетво-

ряющих неравенству x − x 0 < δ , выполняются оба неравенства (1.2) и (1.3). Следовательно, имеет место соотношение

α(x ) + β(x ) ≤ α(x ) + β(x ) < Таким образом,

ε ε + = ε. 2 2

∀ ε > 0 ∃ δ > 0, ∀ x : x − x 0 < δ, x ≠ x 0 ⇒ α(x ) + β(x ) < ε . Это значит, что lim [α(x ) + β(x )] = 0 , то есть α(x ) + β(x ) − б.м.ф. при x → x0 .

x →x 0

Аналогично проводится доказательство для любого конечного числа б.м.ф. 2) Пусть функция f (x ) ограничена при x → x 0 . Тогда существует такое

число M > 0 , что для всех x из δ1 − окрестности точки x 0 выполняется неравенство.

f (x ) ≤ M .

(1.4)

Пусть α(x ) − б.м.ф. при x → x 0 . Тогда для любого ε > 0 , а значит, и

ε > 0 найдется такое число δ 2 > 0 , что при всех x , удовлетворяющих нераM венству x − x 0 < δ 2 , выполняется неравенство α (x ) <

ε . M

(1.5)

Обозначим через δ наименьшее из чисел δ1 и δ 2 . Тогда для всех x ,

удовлетворяющих неравенству x − x 0 < δ, x ≠ x 0 , выполняются оба неравенства (1.4) и (1.5) . Следовательно,

f ( x ) ⋅ α ( x ) = f (x ) ⋅ α (x ) <

⋅ M = ε . А это означает, что произ-

ведение f (x ) ⋅ α(x ) при x → x 0 является бесконечно малой функцией. Аналогичным образом доказываются остальные утверждения теоремы. Теорема 1.2. Если α(x ) − бесконечно малая функция при x → x 0 , то

1 − бесконечно большая функция и наоборот: если f (x ) − бесконечно α (x ) 1 − бесконечно малая функция. большая функция при x → x 0 , то f (x ) Доказательство. Пусть α(x ) − б.м.ф. при x → x 0 , то есть lim α(x ) = 0 . Тогда ∀ ε > 0 ∃ δ > 0, ∀ x : x − x 0 < δ, x ≠ x 0 ⇒ x →x 0

⇒ α ( x ) < ε, ⇒ что функция

1 1 1 1 > , то есть > M , где M = . А это означает, α (x ) ε ε α (x )

1 является бесконечно большой. α (x )

Аналогично доказывается обратное утверждение. Теорема 1.3. (о связи между функцией и ее пределом). Если функция f (x ) в точке x 0 имеет предел равный A , то ее можно представить как сумму

числа A и бесконечно малой функции α(x ) , т.е. если lim f (x ) = A , то x →x 0

f ( x ) = A + α (x ) .

Обратно: если f (x ) = A + α(x ) , то lim f (x ) = A . x →x 0

Доказательство.

Пусть

lim f (x ) = A .

x →x 0

Тогда

∀ ε > 0 ∃ δ > 0,

∀ x : x − x 0 < δ, x ≠ x 0 ⇒ f (x ) − A < ε ⇒ (f (x ) − A ) − 0 < ε , это означает, что функция f (x ) − A имеет предел, равный нулю, то есть является б.м.ф., которую обозначим через α(x ) : f (x ) − A = α(x ) ⇒ ⇒ f (x ) = A + α (x ) . Пусть теперь f (x ) = A + α(x ) , где α(x ) − б.м.ф. при x → x 0 , то есть ∀ ε > 0 ∃ δ > 0, ∀ x : x − x 0 < δ, x ≠ x 0 ⇒ α(x ) < ε . Так как по условию f (x ) = A + α(x ) , то α(x ) = f (x ) − A . Тогда α(x ) = f (x ) − A < ε для всех x , удовлетворяющих неравенству x − x 0 < δ, x ≠ x 0 . А это и означает, что lim f (x ) = A . Теорема доказана полностью. x →x 0

Замечание. Теоремы 1.1, 1.2, 1.3 были рассмотрены для случая, когда x → x 0 , но они справедливы и для случая, когда x → ∞ . 1.5. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функции. Формулировка и доказательства теорем для случаев x → x 0 и x → ∞ аналогичны. В приводимых теоремах будем считать, что пределы

lim ϕ(x ) существуют.

lim f (x ) и

x→ x 0

x →x 0

Теорема 1.4. Предел постоянной величины равен самой постоянной. Доказательство. Пусть y = C , требуется доказать, что lim C = C . Из x →x 0

определения предела следует, что C − предел в том случае, если ∀ ε > 0 :

y − C < ε . Но так как y = C , то C − C = 0 < ε , следовательно, lim C = C . x →x 0

Теорема 1.5. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов: lim [f (x ) ± ϕ(x )] = lim f (x ) ± lim ϕ(x ) . x →x 0

x →x 0

Доказательство. Пусть lim f (x ) = A и lim ϕ(x ) = B . Тогда по теоx →x 0

x →x 0

реме 1.3 о связи функции с ее пределом можно записать f (x ) = A + α(x ) ,

ϕ(x ) = B + β(x ) . Следовательно, f (x ) + ϕ(x ) = A + B + α(x ) + β(x ). Здесь α(x ) + β(x ) − б.м.ф. как сумма б.м.ф. Тогда снова по второй части теоремы 4.3 можно записать: lim [f (x ) + ϕ(x )] = A + B = lim f (x ) + lim ϕ(x ) . x →x 0

x →x 0

x→x 0

В случае разности функций доказательство аналогично. Теорема справедлива и для алгебраической суммы любого конечного числа функций, имеющих предел. Теорема 1.6. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов: lim [f (x ) ⋅ ϕ(x )] = lim f (x ) ⋅ lim ϕ(x ) . x →x 0

x →x 0

Доказательство. Так как lim f (x ) = A , lim ϕ(x ) = B , то согласно x →x 0

x →x 0

теореме 1.3 имеем f (x ) = A + α(x ), ϕ(x ) = B + β(x ) , где α(x ), β(x ) − б.м.ф.

Следовательно, f (x ) ⋅ ϕ(x ) = (A + α(x )) (B + β(x )) , то есть

f (x ) ⋅ ϕ(x ) = A B + (A ⋅ β(x ) + B ⋅ α(x ) + α(x ) ⋅ β(x )) .

Выражение

скобках является б.м.ф. (теорема 1.1). Поэтому по теореме 1.3 lim f (x ) ⋅ ϕ(x ) = A ⋅ B = lim f (x ) ⋅ lim ϕ(x ). x →x 0

x →x 0

Отметим, что теорема справедлива для произведения любого конечного числа функций. Следствие 1.1. Постоянный множитель можно вынести за знак предела lim С ⋅ f (x ) = С ⋅ lim f (x ) . x →x 0

x →x 0

Теорема 1.7. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:

lim f (x ) f (x ) x → x 0 = , lim ϕ(x ) ≠ 0 . lim x → x 0 ϕ(x ) lim ϕ(x ) x →x 0 x →x 0

Доказательство. Из равенств lim f (x ) = A и lim ϕ(x ) = B ≠ 0 слеx →x 0

x →x 0

дуют соотношения f (x ) = A + α(x ) , ϕ(x ) = B + β(x ) . Тогда

f (x ) A + α(x ) A ⎛ A + α(x ) A ⎞ A B ⋅ α(x ) − A ⋅ β(x ) . = = +⎜ − ⎟= + 2 ϕ(x ) B + β(x ) B ⎝ B + β(x ) B ⎠ B B + B ⋅ β(x )

Второе слагаемое есть б.м.ф. как частное от деления б.м.ф. на функцию, имеющую отличный от нуля предел (теорема 1.1). Поэтому по теореме 1.3.

lim f (x ) f (x ) A x → x 0 lim . = = x → x 0 ϕ(x ) B lim ϕ(x ) x →x 0

Теорема 1.8. (о пределе промежуточной функции). Если в окрестности точки x 0 выполняются

неравенства

ϕ(x ) ≤ f (x ) ≤ ψ (x ) и lim ϕ(x ) = lim ψ(x ) = A , то lim f (x ) = A . x →x 0

x→x 0

Доказательство. Из равенств

x →x 0

lim ϕ(x ) = lim ψ(x ) = A

x →x 0

(1.6)

x→x 0

вытекает, что для любого ε > 0 существуют числа δ1 и δ 2 > 0 такие, что:

ϕ(x ) − A < ε, ∀ x : x − x 0 < δ1 , x ≠ x 0 .

(1.7)

ψ(x ) − A < ε, ∀ x : x − x 0 < δ 2 , x ≠ x 0 .

(1.8)

− ε < ϕ(x ) − A < ε .

(1.9)

− ε < ψ (x ) − A < ε .

(1.10)

Пусть δ − наименьшее из чисел δ1 и δ 2 . Тогда в δ − окрестности точки

x 0 выполняются оба неравенства (1.9) и (1.10). Из ϕ(x ) ≤ f (x ) ≤ ψ (x ) находим ϕ(x ) − A ≤ f (x ) − A ≤ ψ (x ) − A .

неравенств

Из последнего неравенства с учетом неравенств (1.9) и (1.10) следуют неравенства − ε < f (x ) − A < ε или f (x ) − A < ε . Мы доказали, что

∀ ε > 0 ∃ δ > 0, ∀ x : x − x 0 < δ ⇒ f (x ) − A < ε , то есть lim f (x ) = A .

(

x →x 0

)

ПРИМЕР 1.6. Найти lim 6 x + 7 x − 4 .

(

x →1

)

Решение. lim 6 x + 7 x − 4 = lim 6 x + lim 7 x − lim 4 = x →1

x →1

= 6 lim x ⋅ lim x + 7 lim x − 4 = 6 ⋅ 1 ⋅ 1 + 7 ⋅ 1 − 4 = 9 . x →1

x →1

Из решения видно, что нахождение предела этой функции свелось к подстановке в данное выражение предельного значения аргумента. Сказанное остается справедливым и в более общем случае. Если рассмотреть целую рациональную функцию (многочлен) вида

Pn (x ) = a 0 x n + a 1 x n −1 + K + a n , (a 0 ≠ 0) , то ее предел при x → x 0 равен значению многочлена в этой точке, то есть lim Pn (x ) = Pn (x 0 ) (рекомендуем показать это самостоятельно). x →x 0

Пользуясь

этим,

легко

убедиться,

что

предел

всякой

дробно-

P (x ) Pn (x ) = n 0 , если только знаменаx → x 0 Q m (x ) Q m (x 0 ) тель не обращается в нуль, то есть Q m (x 0 ) ≠ 0 .

рациональной функции равен: lim

4x 3 − 2x + 5

4 ⋅1 − 2 ⋅1 + 5 7 = . x →1 6 x 4 − 3x 3 + 6 x − 1 6 ⋅1 − 3 ⋅1 + 6 ⋅1 − 1 8 f (x ) Будем говорить, что предел отношения двух функций есть неопреg (x ) ∞ 0 или , если числитель и знаменатель дроби одновременно деленность вида 0 ∞ ПРИМЕР 1.7. lim

стремятся к нулю или к бесконечности. Раскрыть эти неопределенности – значит вычислить предел отношения

f (x ) , если он существует или установить, g (x )

что этот предел не существует. ПРИМЕР

= lim

x → −2

1.8.

x+4 x 2 − 2x + 4

lim

x 2 + 6x + 8

x3 + 8 −2+4

x →−2

(− 2)2

0 (x + 2)(x + 4) = = lim 0 x →−2 (x + 2) x 2 − 2x + 4

(

)

1 = . − 2(− 2 ) + 4 6

Здесь мы сократили на множитель x + 2 , который при x → −2 стремится к нулю. Однако из определения предела следует, что аргумент x стремится к своему предельному значению, но никогда с ним не совпадает, поэтому x + 2 ≠ 0 и сокращение правомерно. Из рассмотренного примера следует правило: чтобы раскрыть неопреде-

0 при x → x 0 функции, заданной в виде отношения двух мно0 гочленов, необходимо в числителе и знаменателе выделить множитель x − x 0 ленность вида

и дробь на него сократить. При вычислении пределов отношения двух многочленов при x → ∞ для раскрытия неопределенности вида

∞ надо числитель и знаменатель ∞

дроби разделить на x в старшей степени.

x 2 + 3x − 5 ПРИМЕР 1.9. Найти предел lim x →∞ 3x 2 + 4 x − 1 3 5 1+ − 2 2 x + 3x − 5 ∞ x x = = = lim Решение. lim 2 x → ∞ 3x + 4 x − 1 ∞ x →∞ 3 + 4 − 1 x x2

3 5 − lim 2 1+ 0 − 0 1 x →∞ x →∞ x x →∞ x = . = = 1 4 3+0−0 3 lim 3 + lim − lim 2 x →∞ x →∞ x x →∞ x lim 1 + lim

ПРИМЕР 1.10. Найти предел дробно-рациональной функции

lim

x →∞

a 0 x n + a 1 x n −1 + a 2 x n −2 + K + a n m

b 0 x + b1 x

Решение. lim

m −1

+ b2x

m−2

+ K + bm

, (a 0 , b 0 ≠ 0 ) .

a 0 x n + a 1 x n −1 + a 2 x n −2 + K + a n

b 0 x m + b1 x m −1 + b 2 x m −2 + K + b m a a ⎞ + 22 + K + nn ⎟ x x ⎠ = b2 bm ⎞ + 2 +K+ m ⎟ x x ⎠

x →∞

a ⎛ xn ⎜a0 + 1 x ⎝ lim x →∞ m ⎛ b x ⎜ b0 + 1 x ⎝ = lim x n −m x →∞

⎧0, n < m a1 a 2 a + 2 + K + nn ⎪ ⎪a x x x ⋅ lim =⎨ 0, n=m b b b x →∞ ⎪b0 b 0 + 1 + 22 + K + m x x x m ⎪⎩∞, n > m. a0 +

При вычислении этого предела учтено, что

lim x n − m

x →∞

a a ⎧0, если n < m, a 0 + 1 + K + nn ⎪ x x = a0 . = ⎨1, если n = m, и lim b1 bm b0 x →∞ ⎪∞, если n > m + + + b K 0 ⎩ x xm

Следует отметить, что еще использованы свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций. 1.6. ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел

sin x = 1. x →0 x lim

(1.11)

Данное равенство называют первым замечательным пределом. Читается так: Теорема 1.9. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице. 25

Доказательство.

M x 0

Рис. 1.11 Возьмем круг радиуса 1 (рис. 1.11), обозначим радианную меру центрального угла MOB через x . Пусть 0 < x <

AM = sin x , BC = tg x, ∪ MB = x .

π . Из рисунка видно, что 2

Рассмотрим площади трех фигур: треугольника MOB , кругового сектора MOB , треугольника COB . Очевидно, что S Δ MOB < S сек MOB < S Δ COB . 2

OB ⋅ x 1 1 ⋅ OB ⋅ MA < < ⋅ OB ⋅ BC . Отсюда 2 2 2

1 1 1 sin x < x < tg x . 2 2 2 Разделив все члены неравенства (1.12) на

(1.12)

1 sin x > 0 , получим 2

sin x x 1 или cos x < < 1. < x sin x cos x

(1.13)

Неравенство (1.13) мы получили в предположении x > 0 ; замечая, что

sin (− x ) sin x , заключаем, что оно верно и при x < 0 . = −x x sin x заключена между Но lim cos x = 1 и lim 1 = 1 . Следовательно, функция x →0 x →0 x cos(− x ) = cos x и

двумя функциями, имеющими один и тот же предел, равный 1; таким образом, на основании теоремы 1.8 предыдущего параграфа

sin x = 1. x →0 x lim

tg x x→ 0 x tg x sin x 1 sin x 1 1 Решение. lim = lim ⋅ = lim ⋅ lim = 1⋅ = 1. x →0 x x →0 x cos x x →0 x x →0 cos x 1 sin α x ПРИМЕР 1.12. Найти предел lim x →0 x ПРИМЕР 1.11. Найти предел lim

Решение.

α ⋅ sin α x sin α x sin α x = lim = α lim = α ⋅ 1 = α (α = const ). x →0 x →0 x →0 x α⋅x α x (α x →0 )

lim

sin α x x → 0 sin β x sin αx sin α x lim sin α x α αx α 1 α α x →0 α x Решение. lim = lim ⋅ = ⋅ = = ⋅ x →0 sin β x x →0 β sin β x sin β x β 1 β β lim x →0 β x βx (α, β = const ) 1 − cos x ПРИМЕР 1.14. Найти предел lim x →0 x x x 2 sin 2 sin 1 − cos x 2 = lim 2 ⋅ sin x = Решение. lim = lim x →0 x →0 x →0 x x x 2 2 x sin 2 ⋅ lim sin x = 1 ⋅ 0 = 0 . = lim x →0 x x →0 2 2 πx cos 2 ПРИМЕР 1.15. Найти предел lim x →1 1 − x ПРИМЕР 1.13. Найти предел lim

⎛π π ⎞ πx cos⎜ − t ⎟ ⎝2 2 ⎠ = 2 = 1 − x = t , x = 1 − t = lim Решение. lim x →1 1 − x x → 1 ⇒ t → 0 t →0 t πt πt sin sin 2 = π ⋅1 = π . 2 = π lim = lim t →0 2 2 t 2 t →0 π t 2 cos

1.7. ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ Рассмотрим последовательность чисел

⎧⎪⎛ 1 ⎞ n ⎫⎪ {x n } = ⎨⎜1 + ⎟ ⎬ , где n = 1,2,3,K (n ∈ N ) . ⎪⎩⎝ n ⎠ ⎪⎭ Установлено, что эта последовательность монотонно возрастает и являn

⎛ 1⎞ ется ограниченной: 2 ≤ ⎜1 + ⎟ < 3, ∀ n ∈ N . Следовательно, при n → ∞ ⎝ n⎠ n ⎛ 1⎞ существует предел lim ⎜1 + ⎟ , заключенный между числами 2 и 3. Этот n →∞ ⎝ n⎠ предел обозначают буквой e : n ⎛ 1⎞ lim ⎜1 + ⎟ = e . n →∞ ⎝ n⎠ Число e − иррациональное число, его приближенное значение равно 2,72 (e = 2,718281K) . x

⎛ 1⎞ Теорема 1.10. Функция ⎜1 + ⎟ при x → ∞ стремится к пределу e : ⎝ x⎠ x

⎛ 1⎞ lim ⎜1 + ⎟ = e . n →∞ ⎝ x⎠

(1.14)

Доказательство. 1. Пусть x → +∞ . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: n ≤ x < n + 1 . Отсюда следует

1 1 1 1 1 1 < ≤ ⇒ 1+ < 1 + ≤ 1 + , поэтому n +1 x n n +1 x n

n +1

1 ⎞ ⎛ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎜1 + ⎟ < ⎜1 + ⎟ ≤ ⎜ 1 + ⎟ . ⎝ n + 1⎠ ⎝ x⎠ ⎝ n⎠ Если x → +∞ , то очевидно, и n → ∞ . Найдем пределы переменных веx ⎛ 1⎞ личин, между которыми заключена функция ⎜1 + ⎟ : ⎝ x⎠ ⎛ 1⎞ lim ⎜1 + ⎟ n →∞ ⎝ n⎠ = e ⋅1 = e .

n +1

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ = lim ⎜1 + ⎟ ⋅ ⎜1 + ⎟ = lim ⎜1 + ⎟ ⋅ lim ⎜1 + ⎟ = n →∞⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ n →∞ ⎝ n ⎠ n → ∞ ⎝ n ⎠ n +1

1 ⎞ ⎛ lim ⎜1 + ⎟ n n →∞ ⎝ 1 ⎞ e n + 1⎠ ⎛ lim ⎜1 + = = e. ⎟ = n →∞ ⎝ 1 ⎞ n + 1⎠ 1 ⎛ lim ⎜1 + ⎟ n →∞ ⎝ n + 1⎠ Следовательно, по теореме 1.8 (о пределе промежуточной функции) x

⎛ 1⎞ lim ⎜1 + ⎟ = e . x →+∞ ⎝ x⎠

(1.15)

2. Пусть теперь x → −∞ . Введем новую переменную t = −(x + 1) или

x = −(t + 1) . При x → −∞ будет t → +∞ . Тогда − t −1

1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ ⎛ t ⎞ lim ⎜1 + ⎟ = lim ⎜1 − = lim ⎜ ⎟ ⎟ x →−∞ ⎝ t →+∞ ⎝ t →+∞ ⎝ t + 1 ⎠ x⎠ t + 1⎠ t +1 t ⎛ t + 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ = lim ⎜ ⎟ = lim ⎜1 + ⎟ ⋅ ⎜1 + ⎟ = e ⋅ 1 = e , t →+∞⎝ t ⎠ t →+∞⎝ t⎠ ⎝ t⎠

− t −1

⎛ 1⎞ lim ⎜1 + ⎟ = e . x →−∞ ⎝ x⎠

(1.16)

Из равенств (1.15) и (1.16) вытекает равенство (1.14), теорема доказана. 1 Замечание. Если в равенстве (1.14) положить = α , то при x → ∞ имеем x α → 0 и мы получаем

lim (1 + α )1 α = e .

x →0

(1.17)

Равенства (1.14) и (1.17) называют вторым замечательным пределом. 3x

⎛ 1⎞ ПРИМЕР 1.16. Найти предел lim ⎜1 + ⎟ x → ∞⎝ x⎠ 3x x x x ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ Решение. lim ⎜1 + ⎟ = lim ⎜1 + ⎟ ⎜1 + ⎟ ⋅ ⎜1 + ⎟ = x →∞⎝ x →∞ ⎝ x⎠ x⎠ ⎝ x⎠ ⎝ x⎠ x x x ⎛ 1⎞ 1⎞ 1⎞ 3 ⎛ ⎛ = lim ⎜1 + ⎟ ⋅ lim ⎜1 + ⎟ ⋅ lim ⎜1 + ⎟ = e ⋅ e ⋅ e = e . x → ∞⎝ x⎠ x ⎠ x →∞⎝ x ⎠ x →∞ ⎝ x

⎛ 3⎞ ПРИМЕР 1.17. Найти предел lim ⎜1 + ⎟ x → ∞⎝ x⎠ x 3t x = 3 t, ⎛ 3⎞ ⎛ 1⎞ = lim⎜1 + ⎟ = e 3 . Решение. lim ⎜1 + ⎟ = x →∞⎝ x → ∞ ⇒ t → ∞ t →∞ ⎝ t ⎠ x⎠ ⎛ x + 2⎞ ПРИМЕР 1.18. Найти предел lim ⎜ ⎟ x → ∞⎝ x + 3 ⎠ Решение.

⎛ x + 2⎞ lim ⎜ ⎟ x →∞⎝ x + 3 ⎠

2 x +7

⎛ x + 3 − 1⎞ = lim ⎜ ⎟ x →∞⎝ x + 3 ⎠

2 x +7

2x +7

1 ⎞ ⎛ = lim ⎜1 − ⎟ x →∞ ⎝ x + 3⎠

2 x +7

1 1 ⎛ 1 ⎞ , x = − −3 2⎜ − − 3 ⎟ + 7 ( ) = = lim 1 + t = x+3 t ⎝ t ⎠ t →0 x→∞ ⇒ t→0 lim(1 + t ) 2 1 − +1 t →0 = lim (1 + t ) t = = = e −2 . 1 1 t →0 e⋅e lim(1 + t ) t ⋅ lim(1 + t ) t t=−

t →0

1.8. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ

Пусть α(x ) и β(x ) − бесконечно малые функции при x → x 0 , то есть lim α(x ) = 0 и lim β(x ) = 0 .

x→x 0

x →x 0

α (x ) = A ≠ 0 , то α(x ) и β(x ) называx → x 0 β(x )

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.20. Если lim

ются бесконечно малыми одного порядка. 30

ПРИМЕР 1.19. Функции α = x 2 и β = 3x 2 при x → 0 являются б.м.ф.

1 1 = ≠ 0. x →0 3 x 2 x →0 3 3 α (x ) ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.21. Если lim = 0 , то α(x ) называют б.м.ф. боx → x 0 β(x )

одного порядка: lim

= lim

лее высокого порядка, чем β(x ) .

ПРИМЕР 1.20. Функция α = 3 x 4 при x → 0 есть б.м.ф. более высокого

3x4 α (x ) порядка, чем β = x , так как lim = lim = lim 3x = 0 . x → x 0 β(x ) x →0 x 3 x →0 В этом случае говорят, что б.м.ф. α(x ) стремится к нулю быстрее, чем β(x ) . α (x ) ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.22. Если lim = ∞ , то α(x ) называется б.м.ф. x → x 0 β(x ) более низкого порядка, чем β(x ) . 3

ПРИМЕР 1.21. Сравнить функции α(x ) = sin x и β(x ) = x при x → 0 . 2

sin x sin x 1 α (x ) = lim 2 = lim ⋅ = ∞, x →0 β(x ) x →0 x x →0 x x α(x ) − б.м.ф. более низкого порядка, чем β(x ). Решение.

lim

следовательно

α (x ) = 1 , то α(x ) и β(x ) называются x → x 0 β(x ) эквивалентными бесконечно малыми, это обозначается так: α ~ β . sin x = 1, следовательно, sin x ~ x при x → 0 . ПРИМЕР 1.22. lim x →0 x ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.23. Если lim

tg x = 1, следовательно, tgx ~ x при x → 0 . x →0 x

ПРИМЕР 1.23. lim

ПРИМЕР 1.24.

arcsin sin t arcsin x x = sin t t = = lim = lim = x →0 t →0 sin t x → 0 ⇒ t → 0 t →0 sin t x lim

1 = 1 , следовательно arcsin x ~ x при x → 0 . sin t lim t →0 t

Теорема 1.11. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если их заменить эквивалентными бесконечно малыми, то есть , если

α (x ) α (x ) = A , то lim 1 = A. x → x 0 β(x ) x → x 0 β (x ) 1 ⎛α α β ⎞ α Доказательство. lim = lim ⎜⎜ ⋅ 1 ⋅ 1 ⎟⎟ = x →x 0 β x → x 0 ⎝ β α1 β1 ⎠

α ~ α1 , β ~ β1 и lim

β α α α α ⋅ lim 1 ⋅ lim 1 = 1 ⋅ 1 ⋅ lim 1 = lim 1 . x → x 0 α1 x → x 0 β x → x 0 β1 x → x 0 β1 x → x 0 β1 sin 3x ПРИМЕР 1.25. Найти предел lim x→ 0 sin 5x = lim

sin 3x sin 3x ~ 3x 3x 3 = = lim = . x →0 sin 5x sin 5x ~ 5x x →0 5x 5

Решение. lim

tg 2 2 x ПРИМЕР 1.26. Найти предел lim x→ 0 x sin 2 2 tg 2 x ~ 2 x tg 2 2 x ( 2 x )2 Решение. lim = 16 . = x x = xlim →0 x 2 x →0 sin ~ 2 x ⎛ ⎞ sin 2 2 ⎜ ⎟ 2 ⎝2⎠

x ⋅ arcsin x x →0 tg x

ПРИМЕР 1.27. Найти предел lim

x ⋅ arcsin x arcsin x ~ x x⋅x = = lim = lim x = 0 . x →0 x →0 x x →0 tg x ~ x tg x

Решение. lim

1.9. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 1.9.1. Непрерывность функции в точке Пусть функция y = f (x ) определена в точке x 0 и в некоторой ее окрестности. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.24. Функция y = f (x ) называется непрерывной в точке x 0 , если существует предел lim f (x ) и он равен значению функции в x→ x 0

этой точке, то есть

lim f (x ) = f (x 0 ) .

x →x 0

(1.18)

Так как lim x = x 0 , то равенство (1.18) можно записать в виде x →x 0

⎛ ⎞ lim f (x ) = f ⎜ lim x ⎟ = f (x 0 ) . x →x 0 ⎝ x →x 0 ⎠

(1.19)

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции под знаком функции можно перейти к пределу, то есть в функцию f (x ) вместо аргумента x подставить его предельное значение x 0 . Пользуясь определением предела, можно сформулировать определение непрерывности функции на «языке ε − δ ». ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.25. Функция f (x ) называется непрерывной в точке x 0 , если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x , удовлетворяющих неравенству x − x 0 < δ выполняется неравенство

f ( x ) − f (x 0 ) < ε .

(1.20)

Обозначим Δx = x − x 0 и назовем приращением аргумента, тогда разность Δy = f (x ) − f (x 0 ) = f (x 0 + Δx ) − f (x 0 ) называют приращением функции f (x ) в точке x 0 . Очевидно, приращения Δx и Δy могут быть как положительными, так и отрицательными числами. Так как при x → x 0 Δx → 0 , то равенство (1.20) означает

lim Δy = 0 .

(1.21)

Δx →0

Полученное равенство является еще одним определением непрерывности функции в точке. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.26. Функция f (x ) называется непрерывной в точке x 0 , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции. ПРИМЕР 1.28. Показать, что функция y = x 2 непрерывна в любой точке x∈R. Решение. Δy = (x + Δx ) − x 2 = x 2 + 2 x Δx + Δx 2 − x 2 = 2

= 2 x Δx + Δx 2 .

(

)

lim Δy = lim 2x Δx + Δx 2 = 2x lim Δx + lim Δx ⋅ lim Δx = 0 .

Δx →0

Отсюда, согласно определению 1.26, следует непрерывность функции

y = x 2 на всей числовой оси. ПРИМЕР 1.29. Исследовать на непрерывность функцию y = sin x . Решение. Функция y = sin x определена при всех x ∈ R . Возьмем произвольную точку x и найдем приращение Δy :

Δy = sin (x + Δx ) − sin x = 2 sin Тогда lim Δy = lim 2 sin Δx →0

Δx → 0

Δx ⎞ ⎛ cos⎜ x + ⎟ ≤ 1, 2 ⎠ ⎝

lim sin

Δx →0

то

Δx Δx ⎞ ⎛ ⋅ cos⎜ x + ⎟. 2 2 ⎠ ⎝

Δx ⎞ Δx ⎛ ⋅ cos⎜ x + ⎟ = 0 , так как 2 2 ⎠ ⎝

есть

функция

cos(x + Δx )

ограничена

Δx = 0 , а произведение ограниченной функции на бесконечно малую 2

есть б.м.ф. Следовательно, функция y = sin x непрерывна в любой точке x . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.27. Функция f (x ) называется непрерывной в точке x 0 справа (слева), если

⎞ ⎛ lim f (x ) = f (x 0 ) ⎜ lim f (x ) = f (x 0 )⎟ . x →x 0 +0 ⎝ x → x 0 −0 ⎠

(1.22)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.28. Функция f (x ) непрерывна в интервале (a , b ) , если она непрерывна в каждой точке этого интервала; непрерывна на отрезке [a, b], если она непрерывна в интервале (a, b ) и в точке x = a непрерывна

⎛⎜ lim f (x ) = f (a )⎞⎟ , ⎝ x →a + 0 ⎠ ⎛⎜ lim f (x ) = f (b )⎞⎟ . ⎝ x →b −0 ⎠

справа

точке

x=b

непрерывна

слева

1.9.2. Точки разрыва функции и их классификация Из первого определения непрерывности, то есть из равенства (1.18) следует, что для непрерывности функции f (x ) в точке x 0 необходимо и достаточно выполнение следующих условий: 1) функция f (x ) определена в точке x 0 и некоторой ее окрестности;

2) функция f (x ) имеет предел при x → x 0 ; 3) предел функции в точке x 0 равен значению функции в этой точке. 34

Точки, в которых нарушается хотя бы одно из условий, называются точками разрыва этой функции. Если x = x 0 − точка разрыва функции y = f (x ) , то в этой точке не выполняется по крайней мере одно из приведенных выше условий.

Рис. 1.12 ПРИМЕР 1.30. Функция определена в окрестности точки x 0 , но не определена в самой точке x 0 . Решение. Функция y =

1 не определена в точке x 0 = 3 , следовательx −3

но, x 0 = 3 − точка разрыва (рис. 1.12).

ПРИМЕР 1.31 Функция определена в точке x 0 и ее окрестности, но не существует предел lim f (x ) . x→ x 0

y 2 1

-1

-2 Рис. 1.13

Решение.

⎧x − 2, если x < 1 f (x ) = ⎨ ⎩3 − x , если x ≥ 1

Функция определена в точке x 0 = 1 , f (1) = 2 , однако эта функция не имеет предела при x → 1: lim f (x ) = −1 , x →1−0

lim f (x ) = 2 .

x →1+ 0

Точка x 0 = 1 − точка разрыва (рис. 1.13). ПРИМЕР 1.32. Функция определена в точке x 0 и ее окрестности, существует предел lim f (x ) , но этот предел не равен значению функции в точке x→ x 0

⎛ ⎝ x →x 0

⎞ ⎠ ⎧ sin x , если x ≠ 0 ⎪ Решение. f (x ) = ⎨ x ⎪⎩0, если x = 0

x 0 ⎜ lim f (x ) ≠ f (x 0 )⎟

y 1

−π

−2π

2π

Рис. 1.14

sin x = 1, а f (x 0 ) = f (0 ) = 0 x →0 x →0 x Точка x 0 = 0 − точка разрыва (рис. 1.14). lim f (x ) = lim

Все точки разрыва функции подразделяются на точки разрыва первого и второго рода. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.29. Точка разрыва x 0 называется точкой разрыва первого рода функции y = f (x ) , если в этой точке существуют конечные односторонние пределы, то есть lim f (x ) = A1 и lim f (x ) = A . При этом: x → x 0 −0

x →x 0 +0

1) если A1 = A 2 , то x 0 называется точкой устранимого разрыва. 36

2) если A1 ≠ A 2 , то x 0 называется точкой конечного разрыва; величи-

ну A1 − A 2 называют скачком функции в точке разрыва.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.30. Точка разрыва x 0 называется точкой разрыва второго рода функции y = f (x ) , если в этой точке по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

ПРИМЕР 1.33. Дана функция f (x ) =

x+2 x+2

. Найти точки разрыва и вы-

яснить их характер. Решение. Функция определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме

⎧x + 2 при x > −2, ⎪⎪ x + 2 = 1 точки x = −2 . Очевидно, что f (x ) = ⎨ ⎪ − (x + 2) = −1 при x < −2. ⎪⎩ x + 2 lim f (x ) = −1 и lim f (x ) = 1 . Поэтому в точке Следовательно, x →−2−0

x →−2+ 0

x = −2 функция имеет разрыв первого рода (рис. 1.15). Скачок функции в этой точке равен 1 − (− 1) = 2 .

y 1 -2

-1

-1 Рис. 1.15 ПРИМЕР 1.34. Исследовать на непрерывность функцию y = arcctg

1 . x

Решение. Функция определена, а следовательно, и непрерывна на всей числовой оси, кроме точки x = 0 . Найдем в этой точке односторонние

lim arcctg

пределы:

x →0 −

1 = arcctg(− ∞ ) = π, x

1 = arcctg(+ ∞ ) = 0 . x →0 + x Функция в точке x = 0 терпит разрыв первого рода (рис. 1.16), величина lim arcctg

скачка в этой точке равна π − 0 = π .

π π2

Рис. 1.16

ПРИМЕР 1.35. Найти точки разрыва функции y = рактер. Решение. Функция не определена при x = 1.

1 2 x −1

и выяснить их ха-

Рис. 1.17

lim

1 2 x −1

= 2 −∞ =

lim

1 2 x −1

= 2 +∞ = +∞ ,

x →1−0

x →1+ 0

1 2 +∞

= 0,

следовательно, x = 1 − точка разрыва функции второго рода (рис. 1.17). Здесь учтено, что

lim

1 2 x −1

= 20 = 1 и

lim

1 2 x −1

= 2 0 = 1.

x →+∞

x →−∞

1.9.3. Основные теоремы о непрерывных функциях Теорема 1.12. Пусть функции f (x ) и ϕ(x ) непрерывны в точке x 0 , тогда в этой точке непрерывны функции: 1. f (x ) ± ϕ(x ) ;

2. f (x ) ⋅ ϕ(x )

f (x ) , если ϕ(x 0 ) ≠ 0 . ϕ(x )

Доказательство. Доказательство следует непосредственно из соответствующих теорем о пределах. Пусть функции f (x ) и ϕ(x ) непрерывны в некоторой точке x = x 0 , это значит, что lim f (x ) = f (x 0 ) , lim ϕ(x ) = ϕ(x 0 ) . x →x 0

x →x 0

Докажем, например, непрерывность функции ψ(x ) = f (x ) ⋅ ϕ(x ) . Имеем

lim ψ(x ) = lim f (x ) ⋅ ϕ(x ) = lim f (x ) ⋅ lim ϕ(x ) = f (x 0 ) ⋅ ϕ(x 0 ) = ψ (x 0 ), что и

x →x 0

x→x 0

x →x 0

доказывает непрерывность функции f (x ) ⋅ ϕ(x ) в точке x 0 . Аналогичным образом доказываются остальные утверждения теоремы. Теорема 1.13 (о непрерывности сложной функции). Пусть функция u = ϕ(x ) непрерывна в точке x 0 , а функция y = f (u ) непрерывна в соответствующей точке u 0 = ϕ(x 0 ) . Тогда сложная функция y = f [ϕ(x )] непрерывна в точке x 0 . Доказательство. Из непрерывности функции u = ϕ(x ) следует lim u = lim ϕ(x ) = ϕ(x 0 ) = u 0 , то есть при x → x 0 имеем u → u 0 . Тогда в x →x 0

x→x 0

силу непрерывности функции y = f (u ) получим

lim f [ϕ(x )] = lim f (u ) = f (u 0 ) = f [ϕ(x 0 )].

x →x 0

u →u 0

Это и доказывает, что сложная функция y = f [ϕ(x )] непрерывна в точке

x0 . Пользуясь приведенными выше теоремами, можно доказать, что всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена. Рассмотрим некоторые из них. ПРИМЕР 1.36. Целая рациональная функция (многочлен) Pn (x ) = a 0 x n + a 1 x n −1 + a 2 x n − 2 + K + a n , где n ∈ N ,

a 0 , a 1 , K , a n ∈ R , непрерывна в каждой точке числовой прямой, как

сумма непрерывных функций a 0 x n , a 1 x n −1 , K , a n .

ПРИМЕР 1.37. Дробно-рациональная функция

R (x ) =

Pn (x ) , где Q m (x )

Pn (x ), Q m (x ) − многочлены, непрерывна во всех точках, в которых знамена-

тель отличен от нуля, как частное двух непрерывных функций. Непрерывность тригонометрической функции y = sin x нами уже доказана, аналогичным образом можно показать непрерывность функции y = cos x . А тригонометрические функции y = tg x и y = ctg x непрерывны, как отношение двух непрерывных функций sin x и cos x , во всех точках, в которых их знаменатель отличен от нуля. 1.9.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке Функции, непрерывные на отрезке, имеют ряд важных свойств. Мы сформулируем их в виде теорем, не приводя доказательств. Теорема 1.14. Если функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a , b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

M m 0

Рис. 1.18 Функция принимает наибольшее значение M в точке x 1 , а наименьшее m − в точке x 2 (рис. 1.18). Для любого x ∈ [a , b] имеет место неравенство m ≤ f (x ) ≤ M . Из данной теоремы вытекает следующее следствие. Следствие 1.2. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке. Теорема 1.15. Если функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a , b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка [a , b] найдется хотя бы одна точка с , в которой данная функция обращается в нуль, то есть f (с ) = 0 . На графике f (a ) < 0 , f (b ) > 0, f (c ) = 0 (рис. 1.19).

b Рис. 1.19

Теорема 1.16. Если функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a , b] и на его концах принимает разные значения f (a ) = A и f (b ) = B (A ≠ B) , то для любого числа C , заключенного между A и B , найдется внутри отрезка [a , b] точка с такая, что f (c ) = C .

y B

C A 0

f (b )

f (a ) a

f (c )

Рис. 1.20 Данная теорема утверждает, что непрерывная на [a , b] функция принимает все промежуточные значения между A и B (рис. 1.20).

УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

РАЗДЕЛ 3 «ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»

2. Методические указания для студентов

2.1. ФУНКЦИЯ. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ Пусть даны два множества X и Y . Если каждому значению x из X ставится в соответствие единственное значение y из Y , то говорят, что задана зависимость переменной y от переменной x , которая называется функцией. Функцию обозначают y = f (x ) . Переменную x называют аргументом, y − значением функции. Множество X называется областью определения данной функции и обозначается D (f ) , а множество всех чисел y , соответствующих различным числам x ∈ X, − областью значений этой функции и обозначается E (f ) . Если числу x 0 из области определения функции f (x ) соответствует некоторое число y 0 из области значений, то y 0 называется значением функции в точке x 0 . Функция может быть задана табличным, аналитическим, графическим способами. ПРИМЕР 2.1. Найти область определения функций: 1) f (x ) = 2) f (x ) = ln (x + 3) , 3)

1 3x

Решение. 1) Дробь

+ arccos 2 x −1 3

x −1

2 x −1 3

x −1

x +1 . 2

определена, если ее знаменатель не равен ну-

лю. Поэтому область определения находится из условия x 3 − 1 ≠ 0 , т.е. x ≠ 1. Таким образом, D (f ) = (− ∞;1) U (1, ∞ ) . 2) Выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть положительным, поэтому функция ln (x + 3) определена в том и только в том случае, когда x + 3 > 0 , то есть x > −3 . Значит, D (f ) = (− 3; ∞ ) . 3) Функция a x , a > 0 определена при всех действительных значениях x , при которых имеет смысл выражение

1 , то есть при x ≠ 0 . x

Далее область определения второго слагаемого находим из двойного не-

x +1 ≤ 1 . Отсюда − 2 ≤ x + 1 ≤ 2 , то есть − 3 ≤ x ≤ 1. Область 2 определения функции f (x ) есть пересечение областей определения обоих слагаемых, откуда D (f ) = [− 3; 0 ) U (0;1] .

равенства − 1 ≤

ПРИМЕР 2.2. Найти множества значений функций: 1) f (x ) = x 2 + 2 x + 5 ; 2) f (x ) = 3 x ; 2

3) f (x ) = 2 − 3 cos 2 x . Решение. 1) так как x 2 + 2 x + 5 = (x + 1) + 4, а (x + 1) ≥ 0 для всех 2

значений x , то f (x ) ≥ 4 для всех x . Поскольку к тому же функция (x + 1) принимает все значения от 0 до ∞ , то E (f ) = [4; ∞ ) .

( )

2) E x 2 = [0; ∞ ) , поэтому множество значений функции 3 x совпадает с 2

множеством значений функции 3 x при x ≥ 0 . Отсюда E (f ) = [1; ∞ ) . E (cos 2x ) = [− 1;1] , откуда E (− 3 cos 2 x ) = [− 3; 3] . Так как 3) f (x ) = −3 cos 2 x + 2 , то E (f ) = [− 1; 5] . Графиком функции в декартовой прямоугольной системе координат называется геометрическое место точек (x , y ) . Преимуществом графического способа является наглядность. Аналитический способ задания функции – задание зависимости с помощью формулы. Например, y = 3 x − 1 . Функция называется четной, если для любого x ∈ X , (− x ) ∈ X и f (− x ) = f (x ) . Например, y = x 2 ; так как y (− x ) = (− x ) = x 2 = y (x ) . График четной функции симметричен относительно оси 0Y . Функция называется нечетной, если для любого x ∈ X , (− x ) ∈ X и f (− x ) = −f (x ) . 2

Например, y = x 3 , так как y(− x ) = (− x ) = − x 3 = − y (x ) . График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Для четной или нечетной функции достаточно построить только часть функции справа от оси 0Y , а затем перенести по симметрии. ПРИМЕР 2.3. Какие из следующих функций четные, какие нечетные, а какие – общего вида: 3

1) f (x ) =

; 2) f (x ) = x 2 − 3 x ; 3) f (x ) = 2 x − 72 − x ;

x2 + 4 1+ x . 4) f (x ) = ln 1− x Решение. 1) D (f ) = (− ∞; ∞ ) , область определения функции симметрична

относительно начала координат. Кроме того,

( x3 − x )3 f (− x ) = =− 2 = −f (x ) , то есть данная функция нечетная. x +4 (− x )2 + 4 2 2) D (f ) = (− ∞; ∞ ), f (− x ) = (− x ) − 3 − x = x 2 − 3 x = f (x ) .

Следовательно, функция четная. 3) D (f ) = (− ∞; ∞ ) и f (− x ) = 2 − x − 7 ⋅ 2 x ≠ ± f (x ) , то есть данная функция общего вида. 44

4) D (f ) = (− 1;1) , то есть область определения симметрична относительно

1− x ⎛1 + x ⎞ = ln ⎜ нуля. К тому же f (− x ) = ln ⎟ 1+ x ⎝1 − x ⎠

−1

⎛1 + x ⎞ = − ln ⎜ ⎟ = −f (x ), то есть ⎝1 − x ⎠

функция нечетная. Функция y = f (x ) называется периодической, если существует такое число T , что если x ∈ X , то (x + T ) ∈ X и f (x + T ) = f (x ) . Наименьшее положительное из таких чисел T называется периодом функции y = f (x ) . Например, y = sin x . sin (x + 2 π ) = sin (x ) = sin (x + 4 π ) . T = 2 π . ПРИМЕР 2.4. Определить, является ли данная функция периодической, и найти ее наименьший положительный период, если он существует: 1) f (x ) = sin 3x; 2) f (x ) = cos 2 4 x; 3) f (x ) = tg

x ; 5

4) f (x ) = sin 2 x + cos 3x; 5) f (x ) = x 2 . Решение: 1) Наименьшим положительным периодом функции sin x является число 2 π , покажем, что наименьший положительный период sin 3x − число

2π . 3 Действительно,

2π⎞ ⎛ sin 3 ⎜ x + ⎟ = sin (3 x + 2 π ) = sin 3 x , 3 ⎝ ⎠

то

есть

2π − период данной функции. С другой стороны, если T1 > 0 − какой3 либо другой период этой функции, то sin 4 (x + T1 ) = sin 4 x для всех x , то есть sin (4 x + 4 T1 ) = sin 4x , x ∈ R . Отсюда следует, что 4 T1 − период функции π sin t , где t = 4 x , и, значит, 4 T1 ≥ 2 π , то есть T1 ≥ . 2 π Таким образом, T = − наименьший положительный период функции 2 sin 4 x . T=

Аналогично можно показать, что наименьший положительный период функций sin (k x + b ) и cos (k x + b ) (k ≠ 0 ) − это число 2) Поскольку cos 2 4 x =

2π . k

1 + cos 8 x , то период данной функции совпадает 2

с периодом функции cos 8x . Наименьший положительный период функции

2π π = . Таким образом, наименьший положительный период 8 4 π функции равен . 4 3) Наименьший положительный период tg x равен π , поэтому наименьx π будет равен ший положительный период функции tg = 5π. 5 15 4) Наименьшие положительные периоды функций sin 2 x и cos 3x соот2π 2π ветственно равны , то есть π и . Нетрудно показать, что наименьший 2 3

cos 8x равен

положительный период суммы этих функций будет равен наименьшему общему кратному их периодов, то есть числу 2 π . 5) При x > 0 функция определена и возрастает, поэтому не может быть периодической. Значит, и на интервале (− ∞; ∞ ) функция не является периодической. 2.1.1. Монотонная, обратная и ограниченая функция Функция f (x ) называется неубывающей (невозрастающей) на множестве X ⊆ D (f ) , если для любых значений x 1 , x 2 ∈ X таких, что x 1 < x 2 , справедливо неравенство f (x 1 ) ≤ f (x 2 ) (соответственно, f (x 1 ) ≥ f (x 2 ) ). Функция f (x ) называется монотонной, если она невозрастающая или неубывающая. Функция f (x ) называется возрастающей (убывающей) на множестве X ⊆ D (f ) , если для любых значений x 1 , x 2 ∈ X таких, что x 1 < x 2 , справедливо неравенство f (x 1 ) < f (x 2 ) (соответственно, f (x 1 ) > f (x 2 ) ). Функция f (x ) называется строго монотонной, если она возрастающая или убывающая. Пусть для любых различных значений x 1 , x 2 ∈ D (f ) справедливо, что f (x 1 ) ≠ f (x 2 ) . Тогда для любого y ∈ E (f ) найдется только одно значение x = g (y )∈ D (f ) , такое, что y = f (x ) . Функция x = g (x ) , определенная на E (f ) , называется обратной для функции f (x ) . Отметим, что E (g ) = D (f ) . Если функция f (x ) имеет обратную функцию, то каждая горизонтальная прямая y = c пересекает ее график не более чем в одной точке. Пусть функция x = g (y ) (иногда ее обозначают x = f −1 (y ) ) – обратная для функции y = f (x ) . Если обозначить аргумент этой функции через x , то ее можно записать в виде y = g (x ). Тогда g (f (x )) = x для всех x ∈ D (f ) , 46

f (g (x )) = x для всех x ∈ E (f ).

Иными словами, если функция g (x ) − обратная для функции f (x ) , то функция f (x ) − обратная для функции g (x ) ; поэтому обе эти функции называют еще взаимообратными. Пусть функция y = f (x ) возрастает (убывает) на отрезке [a; b]. Тогда на отрезке [f (a ); f (b )] соответственно, [f (b ); f (a )] определена возрастающая (убывающая) функция g (x ) , обратная для функции f (x ) . График функции g (x ) , обратной для функции f (x ) , симметричен графику f (x ) относительно прямой y = x . Функция y = f (x ) называется ограниченной сверху (снизу) на множестве X ⊂ D (f ) , если существует такое число M , что f (x ) ≤ M ( f (x ) ≥ M для всех x ∈ X ) . Функция y = f (x ) называется ограниченной на множестве X ⊂ D (f ) , если существует такое число M > 0 , что f (x ) ≤ M для всех x ∈ X . 2.1.2. Сложная функция. Элементарные функции Пусть область значений функции y = f (x ) содержится в области определения функции g (y ). Тогда функция

z = g (f (x )), x ∈ D (f )

называется сложной функцией. Основными (или простейшими) элементарными функциями называются: постоянная функция y = c ; степенная функция y = x α , α ∈ R ; пока-

y = a x , a > 0; логарифмическая функция функция y = log a x , a > 0, a ≠ 1; тригонометрические функции y = sin x , y = cos x ,

зательная

⎛ 1 ⎞ ⎟⎟, y = cos ec x y = tg x , y = ctg x , y = sec x ⎜⎜ где sec x = cos x ⎝ ⎠ ⎛ 1 ⎞ ⎜⎜ где co sec x = ⎟, обратные тригонометрические функции y = arcsin x , sin x ⎟⎠ ⎝ y = arccos x , y = arctg x , y = arcctg x . Элементарными функциями называются функции, которые получаются из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций (+, −, ⋅, : ) композиций (т.е. образования сложных функций). ПРИМЕР 2.5. Найти сложные функции f (g (x )) и g (f (x )) , где 1) f (x ) =

x , g (x ) = x 2 ; 2) f (x ) = x 3 , g (x ) = 2 x − 1.

Решение.

По

f (g (x )) = x 2 = x , g (f (x )) =

определению

( x)

сложной

функции

имеем

= x, x ≥ 0 .

2) Аналогично, f (g (x )) = (2 x − 1) , g (f (x )) = 2 x 3 − 1 . ПРИМЕР 2.6. Найти обратную функцию для данной: 3

2 ; 3) y = x . x+3 Решение. 1) Функция y = x − 1 возрастает на промежутке (− ∞; ∞ ) , а значит, для любых x 1 ≠ x 2 имеем f (x 1 ) ≠ f (x 2 ) . Отсюда следует, что на (− ∞;+∞ ) эта функция имеет обратную. Для того, чтобы найти эту обратную функцию, разрешим уравнение y = x − 1 относительно x , откуда x = y + 1. Записывая полученную формулу в традиционном виде (т.е. меняя x и y местами), найдем окончательно: y = x + 1 − обратная функция к исходной. 2 2) Функция убывает на множестве (− ∞;−3) U (− 3; ∞ ) , являющейся x+3 1) y = x − 1; 2) y =

областью определения. Поэтому у нее есть обратная, которую найдем, разрешая

2 − 3 обратная к исходной. x+3 3) Функция y = x возрастает на промежутке [0; ∞ ) и, стало быть, имеет

уравнение y =

обратную. Найдем обратную, рассуждая, как в пунктах 1), 2), y = x 2 , x ∈ [0; ∞ ) . Область определения этой функции совпадает с областью значений исходной функции y = x , то есть с промежутком [0; ∞ ) . 2.1.3. Неявные и параметрически заданные функции Формула y = f (x ) определяет явный способ задания функции. Однако во многих случаях приходится использовать неявный способ задания функции. Пусть данная функция определена на множестве D . Тогда, если каждое значение x ∈ D и соответствующее ему значение функции y удовлетворяют некоторому (одному и тому же) уравнению F (x; y ) = 0 , то говорят, что эта функция задана неявно уравнением F (x; y ) = 0 . Сама функция в этом случае называется неявной функцией. Пусть на некотором множестве X ⊂ R заданы две функции x = x (t ) и y = y (t ) . Тогда множество всех точек на плоскости 0xy с координатами (x (t ), y(t )) , где t ∈ X , называется кривой (или линией), заданной параметрически. Если кривая, заданная параметрически, является графиком некоторой функции y = f (x ) , то эта функция также называется функцией, заданной параметрически (или параметрически заданной). 48

Рассмотрим основные элементарные функции и их графики. 2.2. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ 2.2.1. Степенная функция y = x m В зависимости от m графики этой функции различны, но все они проходят через начало координат

y = x3

1 0

Например, y = x 3

y = x 2 n +1 (n ∈ N )

y y= x

y=x y=

1 0

1 2n

(n ∈ N )

Например, y =

y = x3

(m, n ∈ N )

1 0

2 m −1 x 2 n +1

x Например, y = 3 x

2.2.2. Показательная функция y = a x ( a > 0, a ≠ 1) График показательной функции выше оси 0X и проходит через точку (0;1) .

y = ax y

y = ax

0 < a <1

a >1 1 0

1 1

2.2.3. Логарифмическая функция y = log a x (a > 0; a ≠ 1 ) Логарифмическая кривая расположена справа от оси 0Y и проходит через точку (1; 0 ) .

y = log a x

y = log a x a >1

1 0

0 < a <1 1 0

2.2.4. Синусоида – график функции y = sin x График

проходит

через

точки

(π n; 0); ⎛⎜ π + 2 π n, 1⎞⎟; ⎝2

⎛ π ⎞ ⎜ − + 2 π n , − 1⎟; (n ∈ Z ) . ⎝ 2 ⎠

⎠

y 1

−

3π 2

−π −

π −1 2

π 2

3π 2

2π

2.2.5. Косинусоида – график функции y = cos x

y 1

−

3π 2

−π

−

π 2

3π 2 π 2

⎛π ⎞ + π n; 0 ⎟ , ⎝2 ⎠

Характерные точки графика (2 π n;1); (π + 2 π n;−1); ⎜ где n ∈ Z .

2.2.6. Тангенсоида – график функции y = tg x

−π

3π − 2

−

Точки разрыва x =

π 2

–1

π + πn. 2

π 2

⎛π ⎞ + π n;1⎟ ; ⎝4 ⎠

Характерные точки: (π n; 0 ) ; ⎜

3π 2

⎛ π ⎞ ⎜ − + π n; − 1⎟ , где n ∈ Z . ⎝ 4 ⎠

2.2.7. Котангенсоида – график функции y = ctg x .

−π

π − 2

π 2

π 3π 2

2π

Точки

разрыва: x = π n .

⎛π ⎞ + π n; 0 ⎟ ; ⎝2 ⎠

Характерные точки: ⎜

⎛π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎜ + π n;1⎟ ; ⎜ − + π n; − 1⎟ , где n ∈ Z . ⎝4 ⎠ ⎝ 4 ⎠

2.2.8. График y = arcsin x

2.2. 9. График y = arccos x

y π

π y 2

–1

π 2 1

−

π 2

–1

2.2.10. График y = arctg x .

π2

–1

−π 2 π π и y = − являются асимптотами. 2 2 π⎞ ⎛ π⎞ ⎛ Характерные точки (0; 0 ) ; ⎜1; ⎟; ⎜ − 1; − ⎟ . 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ Прямые y =

2.2.11. График y = arcctg x .

−π 2 –1

Прямые y = 0 и y = π являются асимптотами. 53

⎛ ⎝

π⎞ ⎛ π⎞ ⎛ 2⎠ ⎝ 4⎠ ⎝

Характерные точки ⎜ 0; ⎟; ⎜1; ⎟; ⎜ − 1;

3π ⎞ ⎟. 4 ⎠

⎛ e x − e −x 2.2.12. Гиперболический синус y = sh x ⎜⎜ sh x = 2 ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

График проходит через начало координат.

⎛ e x + e −x 2.2.13. Гиперболический косинус y = ch x ⎜⎜ ch x = 2 ⎝

1 0

График проходит через точку (0; 1).

⎛

2.2.14. Гиперболический тангенс y = th x ⎜⎜ th x =

⎝

y 1

0 –1

sh x ⎞ ⎟ ch x ⎟⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Прямые y = −1 и y = 1 являются асимптотами графика. График проходит через начало координат. 2.2.15. Гиперболический котангенс y = cth x

⎛ ch x ⎞ ⎜⎜ cth x = ⎟⎟ sh x ⎝ ⎠

y 1

0 –1

Прямые y = 1 , y = −1 и x = 0 являются асимптотами.

2.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ 2.3.1. Построение графика y = f (k x ), k ≠ 1, k > 0 . Если k > 1 , то график сжимается в k раз вдоль оси 0X . Если 0 < k < 1, то абсциссы всех точек графика увеличиваются в

1 раз k

(график растягивается). ПРИМЕР 2.7. Построить график функции y = cos 2 x . Решение. График получается из графика y = cos x путем сжатия в 2 раза

⎛π ⎝2

⎛π ⎝4

⎞ ⎠

⎛π ⎝2

⎞ ⎠

вдоль оси 0X . Точка ⎜ ; 0 ⎟ перейдет в точку ⎜ ; 0 ⎟; (π; − 1) → ⎜ ;−1⎟ ;

(2 π;1) → (π;1) и т.д.

y y = cos 2 x −π

y = cos x

−

π 2

3π 2 π 2

ПРИМЕР 2.8. Построить график функции y = sin Решение.

x . 2

y y = sin x

− 3π 2 − π

y = sin

−π 2 0 π 2

x 2 2π

3π 2

-1

Гра

⎛π ⎞ ⎝2 ⎠

фик растягиваем вдоль оси 0X в 2 раза. Точка ⎜ ;1⎟ перейдет в точку (π;1);

⎞ ⎛ π ; − 1⎟ → (− π; − 1). ⎠ ⎝ 2

точки (π; 0) → (2 π; 0); ⎜ −

2.3.2. Построение графика y = m ⋅ f (x ) , m ≠ 1, m > 0 Если m > 1 , то все ординаты увеличиваются в m раз, т.е. график растягивается вдоль оси 0Y в m раз. Если 0 < m < 1 , то ординаты всех точек графика уменьшаются в график сжимается. ПРИМЕР 2.9. Построить график функции y = 2 cos x . Решение.

y = 2 cos x

y = cos x

−

3π 2

−π

−

π 2

0 –1

π 2

–2

m = 2 : график растягивается в 2 раза вдоль оси 0Y .

3π 2

2π

1 раз, m

Точка (0;1) графика y = cos x переходит в (0; 2) ; точки (π;−1) → (π;−2 ) ;

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎜ − ; 0⎟ → ⎜ − ; 0⎟ . ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ y

y = arccos x

π2 y=

1 arccos x 2 1

–1

1 arccos x . 2 Решение. Построим график функции y = arccos x и сожмем его вдоль

ПРИМЕР 2.10. Построить график функции y =

оси Oy в 2 раза. Точка

(− 1; π )

перейдет

точку

π⎞ ⎛ ⎜ − 1; ⎟ ; точки 2⎠ ⎝

⎛ π⎞ ⎛ π⎞ ⎜ 0; ⎟ → ⎜ 0; ⎟ ; ⎝ 2⎠ ⎝ 4⎠

⎛1 π⎞ ⎛1 π⎞ ⎜ ; ⎟ → ⎜ ; ⎟. ⎝2 3⎠ ⎝2 6⎠ 2.3.3. Построение графика y = f (x − a ) Если a > 0 , то график сдвигается без изменения вправо на a единиц, если a < 0 , то сдвиг производят влево на a единиц.

⎛ ⎝

ПРИМЕР 2.11. Построить график функции y = tg ⎜ x +

π⎞ ⎟. 4⎠

⎛ π ⎞⎞ ⎟ ⎟ . Строим y = tg x 4 ⎝ ⎠⎠ ⎝ π π и сдвигаем его вдоль оси 0X влево на единиц, так как a = − . 4 4 ⎛

Решение. Запишем формулу в виде y = tg ⎜ x − ⎜ −

⎛ y = tg ⎜ x + ⎝

π⎞ ⎟ 4⎠

−

−π − π 2

3π 2

π 2

–1

3π 2

y = tg x

Точка

(0; 0)

переходит в точку

⎛ π ⎞ ⎛π ⎞ ⎜ − ; 0 ⎟ ; точки ⎜ ;1⎟ → (0;1) ; ⎝ 4 ⎠ ⎝4 ⎠

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎜ − ;−1⎟ → ⎜ − ;−1⎟ . ⎠ ⎠ ⎝ 2 ⎝ 4

ПРИМЕР 2.12. Построить график функции y = arcsin (x − 1) .

y π2

–1

x y = arcsin(x − 1) 1

−π 2

y = arcsin x

Решение. Строим график функции y = arcsin x и параллельным переносом сдвигаем его вправо без изменения на 1 единицу. 2.3.4. Построение графика y = f (x ) + b Если b > 0 , то график сдвигается на b единиц вверх, если b < 0 − на b единиц вниз.

ПРИМЕР 2.13. Построить график функции y = x 2 + 1 . Решение. Построим график y = x 2 .

y y = x2 +1

y = x2

1 –1

График y = x 2 + 1 получается путем параллельного переноса на 1 единицу вверх (b = 1 > 0 ) . ПРИМЕР 2.14. Построить график функции y =

y= x

1 –1

x − 1.

y = x −1 1

–1

Решение. Строим график y =

x и смещаем его на 1 единицу вниз, тогда

ординаты всех точек графика уменьшаются на 1 единицу. Замечание. В п.п. 2.3.3 и 2.3.4 сдвиг графика по осям можно заменить пе-

реносом координатных осей. Т.е. для построения графика y = f (x − a ) + b необходимо найти новое начало координат (a; b ) и провести новые оси, параллельно исходным. ПРИМЕР 2.15. Построить график функции y = 2 x −1 − 3 . Решение. I способ (с помощью переноса графика) Строим график y = 2 x , смещаем его по оси 0X на 1 единицу вправо – получаем график функции y = 2 x , затем спускаем полученный график на 3 единицы вниз. 59

y y=2

1 -1

y = 2 x −1

y = 2 x −1 − 3

1 0

-1

0 1

-1

0 1

II способ.

На координатной плоскости xOy через точку (1; − 3) проводим пунктир-

ной линией вспомогательные оси O ′x ′ и O ′y ′ , в которых строим график

y ′ = 2 x′ . y′ y = 2 x −1 − 3

1 -1

0 1

0’

x′

В плоскости xOy этот график будет совпадать с графиком функции

y = 2 x −1 − 3 . 2.3.5. Построение графика y = f (− x ) Заметим, что ордината графика y = f (− x ) в некоторой точке x 0 равно

ординате графика функции y = f (x ) в точке − x 0 .

Следовательно, для построения графика функции y = f (− x ) надо график

y = f (x ) отобразить симметрично относительно оси 0Y . ПРИМЕР 2.16. Построить график функции y = log 2 (− x ) .

y = log 2 (− x )

–1

y = log 2 x x

0 1

Решение. Строим график функции y = log 2 x и отображаем его симметрично относительно оси 0Y . 2.3.6. Построение графика y = −f (x ) Ординаты графиков функций y = f (x ) и y = −f (x ) в некоторой точке x 0 отличаются друг от друга только знаком.

Следовательно, для построения графика функции y = −f (x ) необходимо

график функции y = f (x ) отобразить симметрично относительно оси 0X . x

⎛1⎞ ПРИМЕР 2.17. Построить график функции y = −⎜ ⎟ . ⎝ 2⎠ ⎛1⎞ Решение. Строим график y = ⎜ ⎟ ⎝2⎠

y ⎛1⎞ y=⎜ ⎟ ⎝2⎠

0 -1

⎛1⎞ y = −⎜ ⎟ ⎝2⎠

Отображая график симметрично относительно оси 0 x , получаем график x

⎛1⎞ y = −⎜ ⎟ . ⎝ 2⎠

2.3.7. Построение графика y = f ( x

x =x и

Если x ≥ 0 , то

f( x

) = f (− x ), т.е. при

) f ( x ) = f (x ) ,

при x < 0

x = −x и

положительных значениях x график не изменяется, а

при отрицательных происходит симметричное отображение относительно оси

0 y (справа от оси 0 y график сохраняется, при этом левая часть графика относительно 0 y стирается, а затем производится симметрия относительно оси ординат). ПРИМЕР 2.18. Построить график функции y = arccos x

–1

y π

π2

–1

y = arccos x

2.3.8. Построение графика функции y = f (x ) Если f (x ) ≥ 0 , то графики функций y = f (x ) и y = f (x ) совпадают , при f (x ) < 0 f (x ) = −f (x ) . Поэтому, для построения графика y = f (x ) часть графика, расположенная выше оси 0 x не изменяется, нижняя же ее часть отображается симметрично относительно оси 0 x , т.е. весь график будет располагаться в верхней полуплоскости.

ПРИМЕР 2.19. Построить график функции y = tg x . Решение. Строим график функции y = tg x . Отображаем нижнюю полуплоскость на верхнюю симметрично относительно оси Ox .

y −π

π − 2

π 2

y = tg x

y = tg x π

−π

π − 2

π 2

2.3.9. Порядок действий при построении графика y = f ( x + a + b ) Необходимо помнить, что порядок преобразования графиков имеет существенную роль. Для построения графика y = f ( x + a + b )

1) построить график функции y = f (x ) ; 2) в зависимости от знака числа b сдвинуть график y = f (x ) влево или вправо на b единиц (п.2.3.3); 3) отобразить полученный график симметрично относительно оси Oy (п.2.3.7); 4) в зависимости от знака числа а сдвинуть его вправо или влево на a единиц (п.2.3.3).

ПРИМЕР 2.20. Построить график функции y = log 2 ( x + 2 + 1) .

y y = log 2 x

y = log 2 (x + 1)

1 -1

1 1

-1

0 1

y y = log 2 ( x + 2 + 1)

y = log 2 ( x + 1) 1 -1

0 1

-1

ПРИМЕР 2.21. Построить график функции y = 2

0 1

x −3 −1

Решение.

y y = 2x

y = 2 x −1

1 0

-1

y y=2

2.3.10.

y=2

x −1

1 -1

-1

x −3 −1

1 0

Порядок

y = m ⋅ f (k x − c ) + b

действий

-1

при

построении

⎡

⎛ ⎝

Преобразуем функцию к виду y = m ⋅ f ⎢ k ⋅ ⎜ x −

⎣

y = m ⋅ f [k ⋅ (x − a )] + b, где a =

c . k 64

графика

c ⎞⎤ ⎟ + b; k ⎠⎥⎦

функции

Для построения графика необходимо

1) построить график функции y = f (x ) ;

2) произвести сжатие или растяжение вдоль оси 0 x - построить график

функции y = f (k x ) (п.2.3.1);

3) произвести сжатие или растяжение вдоль оси 0 y - построить график функции y = m ⋅ f (k x ) (п.2.3.2); 4) произвести сдвиг вдоль оси 0 x - построить график y = m ⋅ f (k (x − a )) (п.2.3.3); 5)

произвести

сдвиг

вдоль

оси

построить

y = m ⋅ f (k (x − a )) + b (п.2.3.4). Замечание: 1) п.п. 2 и 3 можно поменять местами; 2) п.п.4 и 5 можно поменять местами; 3) сдвиги п.п.4 и 5 можно заменить смещением осей координат.

⎛ ⎝

ПРИМЕР 2.22. Построить график функции y = − sin ⎜ 2 x +

⎛

⎛ ⎝

Решение. Запишем функцию в виде y = − sin ⎜ 2 ⋅ ⎜ x +

⎝

π⎞ ⎟ + 2. 3⎠

π ⎞⎞ ⎟⎟ + 2 . 6 ⎠⎠

1) y = sin x y 1

−

3π 2

−π

π − 2

π −1 2

3π 2

2π

2) y = sin 2 x y

y = sin 2 x

−π

−

π 2

0 -1

π 2

график

3) y = − sin 2 x

y = − sin 2 x

−π

⎛ ⎛ ⎝ ⎝

4) y = − sin ⎜ 2⎜ x +

−

π 2

0 -1

π 2

π ⎞⎞ ⎟⎟ 6 ⎠⎠

y 1

−π

−

π 2

−

⎛ ⎛ π ⎞⎞ y = − sin ⎜⎜ 2⎜ x + ⎟ ⎟⎟ 6 ⎠⎠ ⎝ ⎝

π 6 0

π 2

-1

⎛ π ⎞ 5) y = − sin ⎜⎜ 2⎛⎜ x + ⎞⎟ ⎟⎟ + 2 ⎝ ⎝

6 ⎠⎠

y 3

⎛ ⎛ π ⎞⎞ y = − sin ⎜⎜ 2⎜ x + ⎟ ⎟⎟ + 2 6 ⎠⎠ ⎝ ⎝

2 1

−π

−

π 2

−

π 2

π 0 6

2.4. ПОСТРОЕНИЕ КРИВОЙ, ЗАДАННОЙ В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ 2.4.1. Полярная система координат. Полярная система координат определяется заданием начальной точки O -

полюса и луча Oρ , исходящего из полюса. Тогда любая точка M на плоскости определяется двумя величинами: расстоянием ρ = OM ,

(ρ ≥ 0)

и углом ϕ ,

который образует вектор OM с осью Oρ - M(ρ; ϕ) .

⎛ ⎝

π⎞ 6⎠

Например, M 1 ⎜ 2; ⎟ отмечается на

луче, который образует с осью Oρ угол

π 6

π , на расстоянии 2 от точки O . 6 Если совместить полярную и декартовую системы координат так, чтобы Oρ

совпадала с положительной полуосью Ox , то получим формулы, связывающие декартовые и полярные координаты:

x = ρ cos ϕ ; y = ρ sin ϕ . 2.4.2. Построение кривой. Кривая определяется заданием формулы, связывающей угол ϕ с ρ , т.е.

ρ = ρ(ϕ). Необходимо определить при каких значениях ϕ значение ρ ≥ 0 . Затем придавая полярному углу ϕ возможные различные значения, вычислить соответствующие значения ρ и составить таблицу зависимости ϕ и ρ

ϕ ρ Откладывая от полярной оси заданные значения ϕ , на лучах отмерять соответствующее расстояние ρ . Соединить полученные точки плавной линией. ПРИМЕР 2.23. Построить кривую ρ = cos 2ϕ в полярной системе координат.

Решение. cos 2ϕ ≥ 0 ;

π π + 2πn ≤ 2ϕ ≤ + 2πn ; 2 2 π π − + πn ≤ ϕ ≤ + πn , n ∈ Z . 4 4 −

π π ≤ϕ≤ ; 4 4 3π 5π n = 1: ; ≤ϕ≤ 4 4 π π n = 2 : − + 2π ≤ ϕ ≤ + 2π - эта часть плоскости совпадает с частью 4 4 плоскости при n = 0 . π π Итак, кривая располагается между лучами ϕ = − и ϕ = , а также ме4 4 3π 5π иϕ= . Построим таблицу соответствия ϕ и ρ . жду лучами ϕ = 4 4 3π 5π 7π 5π π π π π ϕ − − π 0 4 4 6 6 4 6 6 4 1 1 1 1 ρ 0 0 0 0 1 1 2 2 2 2 n = 0:

−

Отметим полученные точки на плоскости

5π 6

3π 4

π 4

7π 6

π 6

− −

5π 4 68

π 4

π 6

Данная кривая называется лемнискатой Бернулли. 2.5. ПОСТРОЕНИЕ КРИВОЙ, ЗАДАННОЙ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ВИДЕ

Кривая задана в параметрическом виде, если задана система двух функ-

⎧x = x (t ), Связь между переменными x и y осуществляется через проме⎩ y = y(t ).

ций ⎨

жуточную переменную t , которая называется параметром.

1 ⎧ 1 4 1 ⎪x = , t Например, ⎨ Тогда t = ; y = 2 + - функция задана в явx x x ⎪ y = t 2 + 4 t. ⎩ ном виде. Однако, не всегда есть возможность выразить переменную y через переменную x , или наоборот, поэтому переходить к явному заданию функции не целесообразно. Построение кривой, заданной в параметрическом виде, начинается с анализа: 1) при каких t определена функция; 2) множество значений x (если возможно); 3) множество значений y (если возможно); 4) точки пересечения с осями координат а) Oy : x = 0 - найти параметр t , а затем соответствующее значение y ; б) Ox : y = 0 - найти параметр t , а затем соответствующее значение x . 5) характер изменения x и y при t → ∞ . Далее составляется таблица значений t , x, y причем, желательно параметру t придавать возрастающие значения.

…

x y

…

В декартовой системе координат нанести точки M 1 (x 1 ; y1 ) , M 2 (x 2 ; y 2 ) , … ,

M n (x n ; y n ) , которые соединить последовательно плавной линией.

ПРИМЕР 2.24. Построить кривую, заданную в параметрическом виде

⎧x = t 2 + 1 ⎪ . ⎨ 1 y = − 1 ⎪ t ⎩ Решение. Проведем анализ по пунктам: 1) t ≠ 0 , т.е. x = 1 является точкой разрыва; 2) x > 1; 3) y ∈ R ; 4) а) x ≠ 0 для любого t , следовательно, с осью Oy кривая не пересекается; б) y = 0 , тогда t = 1 и x = 2 . Итак, точка пересечения с осью Ox A(2; 0 ) ; 5) если t → ∞ , то x → +∞ , а y → −1 ; 6) если t → 0 + 0 , то x → 1 , y → +∞ ; если t → 0 − 0 , то x → 1 , y → −∞ . Составим таблицу соответствия

−3

−2

−1

−

− 1,5

−2

4 3

1 2 5 4

−3

−

Построим график

y 2 1 -1

-2 -3

−

1 2

−

2 3

ПРИМЕР 2.25. Построить кривую, заданную в параметрическом виде

⎧x = cos t . ⎨ y = sin t ⎩ Решение.

1) t ∈ R , x = x (t ) и y = y(t ) периодические с периодом равным 2 π , поэтому достаточно рассмотреть t ∈ [0; 2π] ; 2) − 1 ≤ x ≤ 1, 3) − 1 ≤ y ≤ 1 ;

π ⎡ = t ⎢ 2 , следова4) а) пересечение с осью Oy : x = 0 , тогда cos t = 0 ; ⎢ π ⎢t = − ⎣⎢ 2

⎡y = 1

; точки пересечения с осью Oy - (0;1) ; (0; − 1) ; тельно ⎢ y = − 1 ⎣

⎡t = 0

б) пересечение с осью Ox : y = 0 , тогда sin t = 0 ; ⎢ , следоваt = π ⎣

⎡x = 1

тельно ⎢ ; точки пересечения с осью Ox - (1; 0) ; (− 1; 0) ; ⎣ x = −1

5) рассматриваем t ∈ [0; 2π] , поэтому не исследуем при t → ∞ . Составим таблицу

π 6

π 4

π 3

π 2

3 2

2 2

1 2

2 2

3 2

2π 3 −

1 2

3 2

3π 4 −

5π 6

2 3 − 2 2 2 2

1 2

π −1

7π 6

x y

− −

5π 4

3 2

−

2 2

1 2

−

2 2

4π 3

3π 2

5π 3

7π 4

11π 6

1 2

2 2

3 2

−1

−

3 2

−

2 2

−

1 2

Нанесем полученные точки на плоскость xOy .

y 1

-1

Графиком является окружность. Действительно,

x 2 + y 2 = cos 2 t + sin 2 t = 1; уравнение окружности

x 2 + y 2 = 1. 2.6. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.6.1. Числовые последовательности Числовые последовательности встречаются уже в программе средней школы. Примерами таких последовательностей являются: 1) последовательность членов арифметической и геометрической прогрессий; 2) последовательность периметров правильных n − угольников, вписанных в данную окружность. Уточним и расширим понятие числовой последовательности. 72

Пусть каждому натуральному числу n поставлено в соответствие действительное число x n . Тогда говорят, что задана последовательность чисел

x1 , x 2 ,K , x n ,K .

(2.1)

Числа x 1 , x 2 ,K , x n будем называть элементами (или членами) последовательности, x n − общим членом последовательности. Сокращенно по-

следовательность (2.1) будем обозначать символом

⎧1⎫ ⎩n⎭

вол ⎨ ⎬ обозначает последовательность 1,

{x n } . Так, например, сим-

1 1 1 , ,K , ,K . Зная формулу об2 3 n

щего члена последовательности, можно записать любой член этой последовательности. ПРИМЕР 2.26. Дан общий член последовательности: x n = сать пять первых членов последовательности.

n . Напиn+1

Решение. Положив последовательно n = 1, 2 , 3, 4 , 5 в общем члене x n получаем x 1 =

1 2 3 4 5 , x 2 = , x 3 = , x 4 = , x5 = . 2 3 4 5 6

ПРИМЕР 2.27. Задана числовая последовательность: 1,

1 1 1 , , ,K . 32 52 7 2

Написать формулу общего члена. Решение. Знаменатель членов данной последовательности образуют последовательность всех нечетных натуральных чисел в степени 2 . Поэтому

xn =

( 2n − 1)

2.6.2. Ограниченные и неограниченные последовательности ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Последовательность {x n } называется ограниченной сверху (снизу), если существует число M (число m ) такое, что любой элемент x n этой последовательности удовлетворяет неравенству

xn ≤ M

( x n ≥ m) .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Последовательность {x n } называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, т.е. существуют числа m и M такие, что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенствам

Обозначим A = max

m ≤ xn ≤ M

{ m , M } . Тогда условие ограниченности последо-

вательности можно записать в виде x n ≤ A или − A ≤ x n ≤ A .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.3. Последовательность {x n } называется неограни-

ченной, если для любого положительного числа A существует элемент x n

этой последовательности, удовлетворяющей неравенству x n > A . Из данных определений следует, что если последовательность ограничена сверху, то все ее элементы принадлежат промежутку ( − ∞; M ] , а сели последовательность ограничена снизу - промежутку [ m; + ∞ ) , а в случае ограниченно-

сти и сверху и снизу - промежутку [ m; M ] . Неограниченная последовательность может быть ограничена сверху или снизу. Рассмотрим несколько примеров. 1. Последовательность {n} , или, что то же, 1, 2, 3,K , n,K , ограничена снизу ( m = 1) , но не ограничена сверху.

2. Последовательность {− n} , или, что то же − 1, − 2, − 3,K , − n,K , , ог-

раничена сверху ( M = −1) , но не ограничена снизу.

⎧1⎫ ⎩n⎭

3. Последовательность ⎨ ⎬ , или, что то же, 1,

1 1 1 , ,K , ,K , ограниче2 3 n

на, так как любой элемент x n этой последовательности удовлетворяет неравен-

(m = 0, M = 1). n Последовательность {( − 1) n}

ствам 0 ≤ x n ≤ 1 4.

или, что то же,

− 1, 2, − 3,4,

K , ( − 1) n,K− неограниченная. В самом деле, каково бы ни было число A , среди элементов x n этой последовательности найдутся элементы, для которых будет выполняться неравенство x n > A . n

2.6.3. Предел числовой последовательности ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.4. Число a называется пределом числовой последовательности {x n } , если для любого сколь угодно малого ε > 0 найдется число N , зависящее от ε , такое, что для всех натуральных чисел n > N выполняется неравенство x n − a < ε . 74

При этом последовательность случае пишут lim x n = a .

{x n }

называется сходящейся и в этом

n→∞

ПРИМЕР

2.28.

Используя

определение

предела,

показать,

что

n = 1. n→∞ n + 1 lim

Решение.

Возьмем любое число ε > 0 . Так как x n − 1 =

n −1 = n +1

1 , то для нахождения значений n , удовлетворяющих неравенству n+1 1 x n − 1 < ε , достаточно решить неравенство < ε , откуда получим n+1 1− ε 1− ε n> . Следовательно, за N можно взять целую часть числа , т.е. ε ε ⎡1 − ε ⎤ . Тогда неравенство x n − 1 < ε будет выполняться при всех N(ε ) = ⎢ ⎥ ⎣ ε ⎦ n n > N . Так как ε − любое, то доказано, что lim = 1. n→∞ n + 1

Для более четкого понимания определения предела проверим проведенные вычисления на конкретных числах.

⎡1 − 0,01⎤

= 99 и при Пусть, например, ε = 0,01. Тогда N = ⎢ ⎥ ⎣ 0,01 ⎦

n>N

имеем x n − 1 < 0,01 . В частности, при n < N ( n = 97 , n = 98) данное неравенство не выполняется. (Убедиться в этом самостоятельно). Если же взять значение ε = 0,001, то значение номера N увеличивается. В самом деле,

⎡1 − 0,001⎤ = 999 и при n > N = 999 получаем x n − 1 < 0,001 . N=⎢ ⎣ 0,001 ⎥⎦ ПРИМЕР 2.29. Пусть x 1 = 0,9 , x 2 = 0,99 , x 3 = 0,999 , K. Показать, что предел этой последовательности равен 1. 1 Решение. Имеем x n = 1 − n ( n = 1,2 ,3,K) . Возьмем произвольное 10 1 ε > 0 . Тогда x n − 1 = n и неравенство x n − 1 < ε будет выполняться для 10

всех значений n , удовлетворяющих условию

1 1 < ε . Отсюда n > lg , слеε 10 n

⎡ 1⎤ ⎣ ⎦

довательно N(ε ) = ⎢lg ⎥ , а значит lim x n = 1 . n→∞ ε

Из рассмотренных примеров видно, что число N = N(ε ) зависит от

ε.

2.7. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 2.7.1. Предел функции при x → x 0

Пусть функция y = f ( x) определена в некоторой окрестности точки x 0 , в самой же точке x 0 функция может быть даже и не определена.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.5. Число A называется пределом функции f ( x) в

точке x = x 0 (или при x → x 0 ), если для любого сколь угодно малого ε > 0 найдется число δ > 0 (зависящее от ε ) такое, что для всех x , удовлетворяющих неравенству x − x 0 < δ ( x ≠ x 0 ) , выполняется неравенство

f ( x) − A < ε . В этом случае пишут lim f ( x) = A . x→ x0

ПРИМЕР 2.30. Используя определение предела, доказать, что функция f ( x) = 3x − 2 в точке x = 1 имеет предел, равный 1, т.е. lim( 3x − 2) = 1. x→1

Решение. Возьмем любое ε > 0 . Задача состоит в том, чтобы по заданному ε найти такое положительное число δ = δ(ε ) , при котором из неравенства

x −1 < δ следовало бы неравенство f ( x) − 1 = ( 3x − 2) − 1 < ε . Преобраε зуя последнее неравенство, получаем 3( x − 1) < ε , или x − 1 < . 3 Отсюда видно, что если за δ = δ(ε ) принять любое число не превосхоε ε дящее , т.е. положить δ ≤ , то для всех x , удовлетворяющих неравенству 3 3 x − 1 < δ , выполняется требуемое неравенство f ( x) − 1 < ε . Это и означает, 1 ; если ε = 0,5 то что lim( 3x − 2) = 1 . В частности, если ε = 1 , то δ ≤ x→1 3 1 δ ≤ ; если ε = 0,03 , то δ ≤ 0,01 и т.д. Таким образом, δ зависит от ε , по6 этому в определении предела иногда пишут δ = δ(ε ) .

ПРИМЕР 2.31. Используя определение предела, доказать, что функция

1 f ( x) = x ⋅ sin , определенная для всех x ≠ 0 , в точке x = 0 имеет предел, x 1 равный 0 , т.е. lim x ⋅ sin = 0 . x→ 0 x Решение. Возьмем любое ε > 0 . Как и ранее, по этому ε надо найти такое δ > 0 , при котором из неравенства x − 0 < δ следовало бы неравенство 1 1 f ( x) − 0 = x ⋅ sin − 0 = x ⋅ sin < ε . Из последнего неравенства имеем x x 1 1 1 ⎛ ⎞ x ⋅ sin − 0 = x ⋅ sin ≤ x < ε ⎜ sin ≤ 1 п р и x ≠ 0⎟ . Отсюда видно, ⎝ ⎠ x x x что если взять δ ≤ ε , то, как только x < δ , справедливо неравенство 1 1 x ⋅ sin < ε . Следовательно, lim x ⋅ sin = 0 . x→ 0 x x 2.7.2. Предел функции при x → ∞ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.6. Число A называется пределом функции f ( x) при x → ∞ , если для любого сколь угодно малого ε > 0 найдется число M > 0 такое, что для всех значений x , удовлетворяющих неравенству x > M , вы-

полняется неравенство f ( x) − A < ε . В этом случае пишут lim f ( x) = A . x→∞

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.7. Число A называется пределом функции f ( x) при x → +∞ , если для любого сколь угодно малого ε > 0 найдется число M > 0 такое, что для всех значений x , удовлетворяющих неравенству x > M , выполняется неравенство f ( x) − A < ε . Аналогичным образом формулируется определение предела функции при x → −∞ . Рекомендуем это сделать самостоятельно. ПРИМЕР 2.32. Используя определение предела доказать, что

x +1 1 = . x→∞ 2 x + 1 2 lim

x +1 1 = означает, что для любого ε > 0 суx→∞ 2 x + 1 2 ществует M > 0 такое, что из неравенства x > M следует неравенство 1 x+1 1 1 − = < ε или 2 x + 1 > . Найдем значения x , для которых 2x + 1 2 2x + 1 ε выполняется последнее неравенство. Так как 2 x + 1 ≥ 2 x − 1 , то достаточно Решение. Равенство lim

решить неравенство 2 x − 1 >

1 ⎛ 1⎞ 1 , откуда получаем x > ⎜ 1 + ⎟ . Если взять 2 ⎝ ε⎠ ε

1 ⎛ 1⎞ ⎜ 1 + ⎟ , то для всех x , удовлетворяющих неравенству x > M , будет 2 ⎝ ε⎠ x +1 1 x+1 1 = . − < ε , а это означает, что lim выполняться неравенство x→∞ 2 x + 1 2 2x + 1 2 5x + 1 5 = . ПРИМЕР 2.33. Доказать, что lim x→+∞ 3x + 9 3 Решение. Данное равенство означает, что для любого ε > 0 существует 5x + 1 5 M > 0 такое, что из неравенства x > M следует неравенство − = 3x + 9 3 14 = < ε . Так как x > 0 , то последнее неравенство равносильно неравен3x + 9 14 14 − 9ε 14 − 9ε . Если положить M = , ству < ε , отсюда получаем x > 3x + 9 3ε 3ε то для всех x , удовлетворяющих неравенству x > M , будет выполняться нера5x + 1 5 5x + 1 5 венство = . − < ε . А это означает, что lim x →+∞ 3x + 9 3 3x + 9 3 M=

2.7.3. Односторонние пределы ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.8. Пусть переменная x стремится к x 0 , оставаясь

меньше, чем x 0 ( x < x 0 ) . Если при этом функция f ( x) стремится к некоторо-

му пределу A , то этот предел называют пределом функции f ( x) в точке x 0 слева и записывают

lim f (x ) = А . Если же переменная x стремится к x 0 ,

x → x 0 −0

оставаясь больше x 0 ( x > x 0 ) , и при этом функция f ( x) стремится к пределу

B , то этот предел называют пределом функции f ( x) в этой точке x 0 справа и записывают lim f ( x) = B . x→ x 0 + 0

Пределы функции f ( x) в точке x 0 слева и справа называют односторонними пределами. Для чисел A и B иногда употребляется символическая запись A = f ( x 0 − 0) , B = f ( x 0 + 0) .

Для существования предела функции f ( x) при x → x 0 необходимо и достаточно выполнения равенства

lim f (x ) =

x → x 0 −0

lim f (x ) . В этом случае

x →x 0 +0

предел функции равен односторонним пределам. ПРИМЕР 2.34. Найти односторонние пределы функции f ( x) = точке x = 1 . Решение.

x−1 в x−1

При x → 1 − 0 имеем x < 1 или x − 1 < 0 , следовательно

x−1 x−1 = lim = −1 . Аналогично, при x → 1 + 0 имеем x > 1 x→1− 0 x − 1 x→1− 0 − ( x − 1) x −1 x −1 или x − 1 > 0 , поэтому lim = lim = 1 . Функция в точке x = 1 x→1+ 0 x − 1 x→1+ 0 x − 1 lim

имеет левый и правый пределы, но они не равны. Это означает, что данная функция в точке x = 1 предела не имеет.

⎧x п р и x < 0, в точке ПРИМЕР 2.35. Доказать, что функция f ( x) = ⎨ 2 р 0 x п и x > ⎩

x = 0 имеет предел.

Решение. Функция f ( x) определена на всей числовой прямой, кроме точки x = 0 . Вычислим в этой точке односторонние пределы. Имеем lim f ( x) = lim x = 0; lim f ( x) = lim x 2 = 0 . Следовательно, в точке x→ 0−

x→ 0−

x→ 0+

x→ 0 +

x = 0 данная функция имеет правый и левый пределы и они равны. Это означает, что данная функция в точке x = 0 имеет предел и он равен нулю, т.е. lim f (x ) = lim f (x ) = lim f (x ) = 0 . x →0 −

x →0 +

x →0

2.7.4. Бесконечно большие и бесконечно малые функции ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.9. Функция f ( x) называется бесконечно большой

при x → x 0 , если для любого M > 0 существует δ > 0 такое, что для

всех x − x 0 < δ, x ≠ x 0 , выполняется неравенство f ( x) > M . В этом случае

пишут lim f ( x) = ∞ . x→ x 0

Аналогично определяются бесконечно большие функции при x → ∞ , x → +∞ и x → −∞ . Так, например, функция f ( x) называется бесконечно большой при x → ∞ , если для любого M > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x , удовлетворяющих неравенству x > δ выполняется неравенство

f ( x) > M . При этом пишут lim f ( x) = ∞ . x→∞

Предлагаем самостоятельно сформулировать определение бесконечно большой функции при x → +∞ и x → −∞ . ПРИМЕР 2.36. Доказать, что функция f ( x) = бесконечно большой, т.е.

lim

x→ 1

1 = ∞. x −1

1 при x → 1 является x−1

Решение. Согласно определению надо доказать, что для любого M > 0 существует δ > 0 такое, что из неравенства x − 1 < δ следует неравенство

1 > M . Возьмем любое M > 0 и решим неравенство x−1 1 1 > M . Отсюда x − 1 < . Таким образом, в качестве δ можно взять x−1 M 1 . Это и означает, что данная функция является бесконечно большой число M при x → 1 . f ( x) > M , т.е.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.10. Функция f ( x) называется бесконечно малой при

x → x 0 , если lim f ( x) = 0 . x→ x 0

Аналогично определяются бесконечно малые функции при x → ∞, x → +∞ и x → −∞ . Используя определение предела функции, можно дать другое равносильное определение бесконечно малой функции “на языке ε − δ ”: функция f ( x)

называется бесконечно малой при x → x 0 , если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x , удовлетворяющих неравенству x − x 0 < δ , x ≠ x 0 , выполняется неравенство f ( x) < ε . Основные свойства бесконечно малых функций, которые используются на практике, содержатся в следующей теореме: Теорема 2.1. Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при x → x 0 , а также произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию являются бесконечно малыми функциями при x → x 0 . Все сказанное о бесконечно малых функциях при x → x 0 справедливо и для бесконечно малых функций при x → ∞ , x → +∞ , x → −∞ .

ПРИМЕР 2.37. Доказать, что функция f ( x) = ( x + 1) sin

x → −1 является бесконечно малой, т.е. lim ( x + 1) sin x→−1

1 = 0. x+1

1 при x+1

Решение. Так как lim ( x + 1) = 0 (докажите это самостоятельно), то соx→−1

гласно определению 2.10, функция ( x + 1) бесконечно малая при x → −1 , а так как функция sin

1 1 ⎞ ⎛ ≤ 1⎟ , то данная ( x ≠ −1) ограничена ⎜ sin ⎠ ⎝ x+1 x+1

функция f ( x) представляет собой произведение бесконечно малой функции на ограниченную. По предыдущей теореме это означает, что f ( x) − бесконечно малая функция при x → −1 . Понятие бесконечно большой и бесконечно малой функций тесно связаны между собой. А именно имеет место следующая теорема: Теорема 2.2.

1) Функция, обратная бесконечно большой при x → x 0 ,

1 = 0. x→ x 0 x → x 0 f (x ) 2) Функция, обратная бесконечно малой при x → x 0 , есть бесконечно 1 большая, т.е. если lim f ( x) = 0 , то lim = ∞. x→ x 0 x → x 0 f (x ) Данные утверждения остаются в силе и при x → ∞ .

есть бесконечно малая, т.е. если lim f ( x) = ∞ , то

lim

2.7.5. Вычисление пределов функций Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоре-

мах.

Теоремы 2.3.-2.6. Если существуют пределы lim f ( x) и lim g( x) , то: x→ x 0

1) lim [f (x ) ± g (x )] = lim f (x ) ± lim g (x ) . x →x 0

x →x 0

x→ x 0

x→x 0

[ ] x→ x x→ x 3) lim [ C ⋅ f ( x)] = C ⋅ lim f ( x), C ∈ R . x→ x x→ x

2) lim f ( x) ⋅ g( x) = lim f ( x) ⋅ lim g( x) . x→ x 0

f ( x) f ( x) xlim → x0 ⎛⎜ п р и lim g( x) ≠ 0⎞⎟ . = 4) lim ⎠ x→ x 0 g( x ) x→ x 0 lim g( x) ⎝ x→ x 0

Замечание 1. Теоремы верны также и в случае, когда x 0 является одним из символов ∞ , + ∞ или − ∞ . Замечание 2. Если функция является элементарной и предельное значение аргумента принадлежит ее области определения, то вычисление предела функции сводится к простой подстановке предельного значения аргумента.

Замечание 3. Если аргумент стремится к бесконечности или к числу, которое не принадлежит области определения функции, то в каждом таком случае нахождение предела функции требует специального исследования.

(

Решение. lim 5x x →1

( + 6x + 4) = lim 5x

)

Найти lim 5x 2 + 6x + 4 .

ПРИМЕР 2.38.

x →1

+ lim 6x + lim 4 = x →1

= 5 lim x ⋅ lim x + 6 lim x + 4 = 5 ⋅ 1 ⋅ 1 + 6 ⋅ 1 + 4 = 15 . x→1

x→1

x →1

x→1

Из решения данного примера видно, что нахождение предела этой функции свелось к подстановке в данное выражение предельного значения аргумента. Сказанное остается справедливым и в более общем случае. Если рассмотn реть целую рациональную функцию (многочлен) вида Pn ( x) = a 0 x +

+ a 1 x n −1 + a 2 x n − 2 +K+ a n , (a 0 ≠ 0) , то ее предел при x → x 0 равен значению многочлена в этой точке, т.е. lim Pn ( x) = Pn ( x 0 ) . (Рекомендуем показать x→ x 0

это самостоятельно). Пользуясь этим свойством, легко убедиться, что предел всякой дробно-

Pn ( x 0 ) Pn ( x) при x → x 0 равен , если только знаQ m ( x) Q m (x 0 ) P (x ) Pn ( x) = n 0 , менатель не обращается в нуль при x → x 0 , т.е. lim x→ x 0 Q ( x) Q m (x 0 ) m

рациональной функции

( Q m ( x 0 ) ≠ 0) , где Q m ( x) = b 0 x m + b1 x m−1 +K+ b m .

4 x 3 − 3x + 1 4 ⋅ 1 − 3⋅ 1 + 1 2 1 ПРИМЕР 2.39. lim 4 = = = . x→1 5x − 3x 2 + 4 5⋅ 1 − 3⋅ 1 + 4 6 3 x2 − 4 4−4 0 ПРИМЕР 2.40. lim = = 0. = x→ 2 2 x + 1 2⋅2 +1 5 Будем говорить, что отношение двух функций ность вида

f ( x) есть неопределенg( x)

0 ∞ или , если числитель и знаменатель дроби одновременно стре0 ∞

мятся к нулю или к бесконечности. Раскрыть эти неопределенности - значит вычислить предел отношения

f ( x) , если он существует, или установить, что g( x)

он не существует. 82

2.7.5.1. Раскрытие неопределенностей вида

x 2 + 6x + 8 ПРИМЕР 2.41. Найти lim . 3 x→−2 x +8

0 0

Решение. Пределы числителя и знаменателя при x → −2 равны нулю.

Следовательно, имеем неопределенность вида

0 . Для раскрытия неопределен0

ности разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель

x + 2 . Имеем

( x + 2)( x + 4) x 2 + 6x + 8 = lim lim = x→−2 x→−2 ( x + 2) x 2 − 2 x + 4 x3 + 8

(

)

x+4 −2+4 1 = = . 2 x→−2 x 2 − 2 x + 4 6 ( − 2) − 2 ⋅ ( − 2) + 4 Здесь мы сократили на множитель x + 2 , который при x → −2 стремится к нулю. Однако из определения предела следует, что аргумент x стремится к своему предельному значению, никогда с ним не совпадая, поэтому x + 2 ≠ 0 = lim

и сокращение правомерно.

x 2 + 5x − 14 ПРИМЕР 2.42. Найти предел lim 4 x → 2 x + x − 18 x 2 + 5x − 14 (x − 2)(x + 7 ) Решение. lim 4 = lim = x → 2 x + x − 18 x → 2 (x − 2 ) x 3 + 2 x 2 + 4 x + 9 x+7 9 3 = lim 3 = = . x→ 2 x + 2 x 2 + 4 x + 9 33 11

(

)

Из рассмотренных двух примеров следует следующее правило:

Чтобы раскрыть неопределенность вида

0 при x → x 0 функции, за0

данной в виде отношения двух многочленов, необходимо и в числителе и в знаменателе выделить множитель x − x 0 и сократить дробь на него.

sin 2 x ПРИМЕР 2.43. Найти предел lim x → π 1 + cos 3 x sin 2 x 0 1 − cos 2 x Решение. lim = = lim = 2 x → π 1 + cos 3 x x → π 0 (1 + cos x ) 1 − cos x + cos x 1 − cos x 2 = lim = . x→ π 1 − cos x + cos 2 x 3 cos3x − cos x ПРИМЕР 2.44. Найти предел lim x →0 cos x − 1

(

)

cos3x − cos x 0 − 2sin 2 x ⋅ sin x 0 = = lim = = x →0 x cos x − 1 0 x →0 0 − 2sin 2 2

Решение. lim

= lim

2sin x ⋅ cos x ⋅ 2sin

x →0

sin 2

x 2

x x x cos 4sin x ⋅ cos ⋅ cos x 0 2 2 = lim 2 = = x →0 x 0 sin 2

x x x 8 sin cos cos x cos 2 2 2 = lim 8 cos x ⋅ cos2 x = 8 . = lim x→ 0 x→ 0 x 2 sin 2 1− x + 1 . ПРИМЕР 2.45. Найти lim x→ 0 x 0 избавимся от иррациоРешение. Для раскрытия неопределенности 0

нальности в числителе путем умножения числителя и знаменателя на

= lim x→ 0

(

−x

)

x 1+ x +1

(

)(

lim

(

)

1 −1 =− . x→ 0 1 + x + 1 2

= lim

ПРИМЕР 2.46. Найти предел lim x →0

x 1+ x − 1− x

x 0 = = x →0 1 + x − 1 − x 0 x 1+ x + 1− x

Решение. lim

= lim x→ 0

(

1 x→ 0 2

= lim

(

)

)( 1 + x + 1 − x ) = 1.

1+ x − 1− x

(

1+ x +

1− x

)

= lim

(

x 1+ x + 1− x

x→ 0

2− x . x→ 4 3 − 2 x + 1

ПРИМЕР 2.47. Найти lim

Решение. Умножая числитель и знаменатель на произведение

( 2 + x )( 3 +

)

1− x +1 1+ x + 1 1− x +1 0 = = = lim x→ 0 x 0 x→ 0 x 1+ x +1

1 + x + 1 . Получим

2− x = x→ 4 3 − 2 x + 1

2 x + 1 , получим lim

2 − x )( 2 + x )(3 + 2 x + 1) (4 − x)(3 + 2 x + 1) ( = lim = lim = 3 2 x 1 3 2 x 1 2 x 9 2 x 1 2 x − + + + + − − + ( ) ( )( )( ) ( ) x→ 4

= lim x→ 4

x→ 4

3 + 2x + 1

(

2 2+ x

)

6 3 = . 8 4

2.7.5.2. Раскрытие неопределенностей вида

∞ ∞

При вычислении пределов отношения двух многочленов при x → ∞ для раскрытия неопределенности вида

∞ числитель и знаменатель дроби надо де∞

лить на x в старшей степени; величина дроби от этого не изменится.

x 2 + 2x + 3 ПРИМЕР 2.48. Найти lim . x→∞ 2 x 2 − 3x + 5 Решение. Имеем неопределенность вида 2

∞ . Разделив числитель и зна∞

менатель дроби на x , получим

⎛ 2 3⎞ 2 3 lim ⎜ 1 + + 2 ⎟ + 2 x + 2x + 3 x x ⎠ x x = x→∞⎝ = lim lim 2 = x→∞ 2 x − 3x + 5 x→∞ 3 5 3 5⎞ ⎛ 2 − + 2 lim ⎜ 2 − + 2 ⎟ x→∞ ⎝ x x x x ⎠ 2 3 lim 1 + lim + lim 2 1+ 0 + 0 1 x→∞ x→∞ x x→∞ x = = = . 3 5 2− 0+ 0 2 lim 2 − lim + lim 2 x→∞ x→∞ x x→∞ x 2

− 2x + 1 x → ∞ 3x 2 + 4 x + 5 2 1 − + 2 − 2x + 1 x x = 0 + 0 = 0. Решение. lim lim = x → ∞ 3x 2 + 4 x + 5 x →∞ 4 5 3+0+0 3+ + 2 x x ПРИМЕР 2.49. Найти предел lim

x3 + 4 ПРИМЕР 2.50. Найти предел lim 2 x →∞ x − 3 85

4 3 x3 + 4 1+ 0 x Решение. lim 2 = lim = = ∞. x →∞ x − 3 x →∞ 1 3 0−0 − x x3 1+

ПРИМЕР 2.51.

Найти предел дробно-рациональной функции

lim

x →∞

a 0 x n + a 1 x n −1 + K + a n

b 0 x m + b1 x m −1 + K + b m

, a 0 ,b 0 ≠ 0 .

Решение. Имеем

a 0 x n + a 1 x n −1 +K+ a n lim x→∞ b x m + b x m−1 +K+ b m 0 1

a a ⎞ ⎛ x n ⎜ a 0 + 1 +K+ nn ⎟ ⎝ x x ⎠ = lim = x→∞ ⎛ ⎞ b b x m ⎜ b 0 + 1 +K+ m ⎟ x xm ⎠ ⎝

⎧0, ∀ n < m a1 a +K+ nn ⎪ x x = ⎪a0 , n = m . = lim x n− m ⋅ lim x→∞ x→∞ b1 bm ⎨b0 b 0 + +K+ m ⎪ x x ⎪⎩∞ , ∀ n > m a0 +

При вычислении этого предела учтено, что lim x x→∞

n− m

⎧0, если n < m ⎪ = ⎨∞ , если n > m ⎪1, если n = m ⎩

a1 a + K + nn x x = a 0 . Следует также отметить, что во всех примеlim b b x →∞ b0 b0 + 1 + K + m x xm a0 +

рах использованы свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.

x 8 + 5x 4 − 4 ПРИМЕР 2.52. Найти предел lim x →∞ 4x 5 + 2x 5 4 ⎞ 8⎛ x 1 + − ⎟ ⎜ x 8 + 5x 4 − 4 ⎝ x 4 x8 ⎠ Решение. lim = = lim x →∞ x →∞ 2 ⎞ 4x 5 + 2x 5⎛ x ⎜4 + 4 ⎟ x ⎠ ⎝

5 4 5 4 5 4 4 1 x 1 − + − + − x 4 x 8 = lim x 4 x 8 = lim 1 ⋅ lim x 4 x8 = x→∞ x→∞ x x→∞ 2 2⎞ 2⎞ ⎛ ⎛ 4+ 4 x5 ⎜ 4 + 4 ⎟ ⎜4 + 4 ⎟ ⎝ ⎝ x x ⎠ x ⎠

x4 1 + = lim

x→∞

= 0⋅

1 = 0. 4 2.7.6. Первый замечательный предел

sin x не определена при x = 0 , так как числитель и знаменаx тель дроби обращаются в нуль. Найдем предел этой функции при x → 0 . Функция

Теорема 2.7. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице, т.е.

sin x =1 x→ 0 x

lim

Данное равенство называют первым замечательным пределом. С помощью первого замечательного предела вычисляются многие другие пределы.

tgx x→ 0 x sin x tg x 1 1 Решение. lim = lim ⋅ lim = 1 ⋅ = 1. x →0 x x →0 x x →0 cos x 1

ПРИМЕР 2.53. Найти предел lim

sinkx x →0 x sin k x sin k x sin(k x ) Решение. lim = lim k ⋅ = k lim = k ⋅1 = k x →0 x →0 x →0 ( ) x kx k x ( k x →0 ) ПРИМЕР 2.54. Найти предел lim

1 − cosx x →0 x 1 − cosx 2sin 2 (x 2 ) sin (x 2 ) x = lim = lim ⋅ sin = Решение. lim x →0 x →0 x →0 x x x 2 2 sin (x 2) x = lim ⋅ lim sin = 1 ⋅ 0 = 0 x →0 x →0 x 2 2

ПРИМЕР 2.55. Найти предел lim

πx 2 ПРИМЕР 2.56. Найти предел lim x →1 1 − x ⎛π π ⎞ πx cos⎜ − t ⎟ cos ⎝2 2 ⎠ = 2 = 1 − x = t , x = 1 − t = lim Решение. lim x →1 1 − x t →0 x → 1⇒ t → 0 t π π sin t sin t 2 = π lim 2 = π ⋅1 = π = lim t→ 0 t 2 t→ 0 π 2 2 t 2 cos

x2 − 4 ПРИМЕР 2.57. Найти предел lim x → −2 arctg(x + 2 ) arctg(x + 2) = t , x + 2 = tg t x2 − 4 = = Решение. lim x → −2 arctg(x + 2 ) x → −2 ⇒ → t → 0 = lim

( tg t − 2) 2 − 4

t = 1 ⋅ ( − 4 ) = −4 . t →0

= lim

tg t( tg t − 4) t

t →0

tg t ⋅ lim( tg t − 4) = t→0 t t→0

= lim

2.7.7. Второй замечательный предел

⎛ Теорема 2.8. Функция ⎜ 1 + ⎝

1⎞ ⎟ при x → ∞ стремится к пределу e , т.е. x⎠ x 1⎞ ⎛ lim ⎜ 1 + ⎟ = e . x→∞ ⎝ x⎠

Данное равенство называют вторым замечательным пределом. Если положить

1 = α , то при x → ∞ имеем α → 0 ( но α ≠ 0) и мы получаем x 1 α

lim(1 + α ) = e .

α→ 0

Это другая форма записи второго замечательного предела. С помощью ∞ второго замечательного предела раскрываются неопределенность вида 1 .

⎛ 3⎞ ПРИМЕР 2.58. Найти предел lim ⎜1 + ⎟ x → ∞⎝ x⎠

x 3t x = 3t ⎛ 3⎞ ⎛ 1⎞ Решение. lim ⎜1 + ⎟ = = lim⎜1 + ⎟ = x →∞⎝ x → ∞ ⇒ t → ∞ t →∞⎝ t ⎠ x⎠

t t t ⎡⎛ 1 ⎞ t ⎤ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ = lim ⎢⎜1 + ⎟ ⎥ = lim ⎜1 + ⎟ ⋅ lim ⎜1 + ⎟ ⋅ lim ⎜1 + ⎟ = t →∞ ⎢⎝ t →∞ ⎝ t ⎠ ⎥⎦ t ⎠ t →∞⎝ t ⎠ t →∞⎝ t ⎠ . ⎣

= e ⋅ e ⋅ e = e3 ПРИМЕР 2.59. Найти предел limx 1 − 2 x x →0

1 x

Решение. lim 1 − 2 x = lim(1 − 2 x ) = 1 x

x →0

= lim(1 + t) t→ 0

−

2 t

x →0

1 ⎡ ⎤ = lim⎢(1 + t) t ⎥ t→ 0 ⎣ ⎦

∞

t = −2 x x → 0⇒ t → 0

−2

= e−2 .

⎛ x −2⎞ ПРИМЕР 2.60. Найти предел lim ⎜ ⎟ x → ∞⎝ x + 3 ⎠

2 x +1

Решение.

⎛ x − 2⎞ lim ⎜ ⎟ x →∞⎝ x + 3 ⎠

2 x +1

5 ⎞ ⎛ = lim ⎜1 − ⎟ x →∞⎝ x + 3⎠

2 x +1

5 = 1∞ = = x+3 x → ∞⇒ t → 0 t=−

−10

1 ⎡ ⎤ −5 = lim(1 + t) = lim⎢(1 + t) t ⎥ ⋅ lim(1 + t) = e −10 ⋅ 1 = e −10 . t→ 0 t→ 0 ⎣ t→ 0 ⎦ tg2 x ПРИМЕР 2.61. Найти предел lim (tgx )

−

10 −5 t

x→

π 4

Решение.

lim (tg x )

tg x = 1 + t , tg 2 x = tg 2 x

π x→ 4

= lim(1 + t) t→ 0

= 1∞ = x→

2( t +1) − t( t+ 2)

2tg x 2(t + 1) = − t (t + 2 ) 1 − tg 2 x

π ⇒t → 0 4

2( t +1) 1 − t+ 2 t

⎡ ⎤ = lim⎢(1 + t) ⎥ t→ 0 ⎣ ⎦

= e −1 , так как lim− t→ 0

2( t + 1) = −1 . t+2

2.7.8. Раскрытие неопределенностей вида ∞ − ∞ , 0 ⋅ ∞

Неопределенности ∞ − ∞ и

0 ⋅ ∞ путем элементарных преобразований 0 ∞ сводятся к неопределенностям вида и . 0 ∞ 2 ПРИМЕР 2.62. Найти предел lim x + 4 x − x Решение. lim

(x lim

x → +∞

(

x → +∞

)

(

)

x 2 + 4x − x = ∞ − ∞ =

)( x

+ 4x + x

∞ = 2 2 x →+∞ x → +∞ x + 4x + x x + 4x + x ∞ 4x 4x 4 4 = lim = lim = lim = =2 x →+∞ x → +∞ x → +∞ 1 + 1 4 4 ⎛ 4⎞ x 1+ + x 1+ +1 x 2 ⎜1 + ⎟ + x x x x ⎠ ⎝ =

+ 4x − x

lim

ПРИМЕР 2.63. Найти предел lim(2cos ec2 x − ctgx ) x →0

⎛

cosx ⎞ 2 ⎟⎟ = ∞ − ∞ = − x →0 sin 2 x sin x ⎝ ⎠

Решение. lim(2cos ec2 x − ctg x ) = lim⎜⎜ x →0

sin x 0 2 − 2 cos2 x sin 2 x = lim = lim = lim = = 0. x→ 0 2 sin x cos x x→ 0 sin x cos x x→ 0 cos x 1 ПРИМЕР 2.64. Найти предел lim(1 − x )tg x →1

Решение. lim(1 − x )tg x →1

πx = 0 ⋅ ∞ = lim x →1 2

πx 2

(1 − x )sin cos

πx 2

πx 1− x 1− x = lim = 1 ⋅ lim x→1 x→1 πx π πx ⎞ 2 x→1 ⎛ cos sin⎜ − ⎟ ⎝2 2 ⎠ 2 π (1 − x) 2 2 2 2 = lim = ⋅1 = . π π x→1 π π sin (1 − x) 2 limsin

πx 2 =

ПРИМЕР 2.65. Найти предел lim x ⋅ arcctgx x → +∞

∞⋅0 Решение. lim x ⋅ arcctgx = t = arcctgx , x = ctg t = lim t ctg t = x → +∞

x → +∞ ⇒ t → 0 + t cos t t = lim = lim cos t ⋅ lim = 1. t→ 0+ sin t t → 0+ t→ 0+ sin t

t →0 +

2.7.9. Следствия замечательных пределов

ln (1 + x) =1 x→ 0 x

1. lim

1 ln (1 + x) Доказательство. lim = limln (1 + x) x = ln e = 1 . x→ 0 x→ 0 x Мы здесь пользовались тем, что lim ln t = ln a , справедливость этого буx→ a

дет обосновано ниже.

ax − 1 2. lim = ln a x→ 0 x

a x − 1 = t, a x = 1 + t Доказательство.

ln(1 + t) ax −1 = x= lim x→ 0 x ln a x→0 ⇒ t→0

−1

⎡ ln(1 + t) ⎤ = ln a lim⎢ ⎥ = ln a . t→ 0 t ⎣ ⎦ α (1 + x) − 1 3. lim =α x→ 0 x

t ln a = t→ 0 ln(1 + t)

= lim

Доказательство.

(1 + x) α − 1 = t , (1 + x) α ln(1 + t) (1 + x) α − 1 = α= lim x→ 0 x ln(1 + x)

= 1+ t =

x→0 ⇒ t→0

ln (1 + x) t ln (1 + x) t = lim ⋅ ⋅ α = α lim ⋅ lim = α. t→ 0 x ln (1 + t) x→ 0 t→ 0 ln (1 + t ) x x→ 0 2.7.10. Эквивалентные бесконечно малые и их применение при вычислении пределов ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.11. Бесконечно малые функции α( x) и β( x) назы-

α ( x) = 1. Эквивалентность x→ x 0 β( x) двух бесконечно малых обозначается так: α( x) ~ β( x) . 0 Теорема 2.9. При раскрытии неопределенности вида можно и числи0 ваются эквивалентными при x → x 0 , если lim

тель и знаменатель этой неопределенности заменять величинами, им эквива-

α ( x) α ( x) = lim 1 , где α1 ~ α и β1 ~ β . x→ x 0 β( x) x→ x 0 β ( x) 1

лентными, т.е. lim

Приведем примеры эквивалентных бесконечно малых при x → 0

sin x = 1 ⇒ sin x ~ x , sin α x ~ α x . x→ 0 x tg x lim = 1 ⇒ tg x ~ x , tg α x ~ α x . x→ 0 x arcsin x lim = 1 ⇒ arcsin x ~ x , arcsin α x ~ α x . x→ 0 x arctg x lim = 1 ⇒ arctg x ~ x , arctg α x ~ α x . x→ 0 x ln (1 + x) = 1 ⇒ ln (1 + x) ~ x , ln (1 + α x) ~ α x . lim x→ 0 x ax −1 = 1 ⇒ a x − 1 ~ x ln a . lim x→ 0 x ln a

1) lim 2) 3) 4) 5) 6)

7) lim

(1 + x) α − 1 αx

x→ 0

= 1 ⇒ (1 + x) − 1 ~ α x . α

sin5x x → 0 sin3x

ПРИМЕР 2.66. Найти предел lim

sin5x sin5x ~ 5x 5x 5 = = lim = x →0 sin 3x sin3x ~ 3x x →0 3x 3

Решение. lim

tg 2 2 x ПРИМЕР 2.67. Найти предел lim x→ 0 x sin 2 5 tg 2x ~ 2x tg 2 2 x ( 2 x )2 Решение. lim = 100 = x x = xlim 2 → x →0 0 x sin ~ ⎛x⎞ sin 2 5 5 ⎜ ⎟ 5 ⎝5⎠

xsin2 x x → 0 (arctg5x )2

ПРИМЕР 2.68. Найти предел lim Решение. lim

x →0

xsin 2 x

(arctg 5x )2

sin 2 x ~ 2 x arctg5x ~ 5x

= lim

x →0

x ⋅ 2x

(5x )2

ln(1 + 2xsin3x ) x →0 tgx 2

2 25

ПРИМЕР 2.69. Найти предел lim Решение. lim

ln (1 + 2 xsin3x )

x →0

(

ln 1 + 6x 2

tg x 2

sin3x ~ 3x tg x 2 ~ x 2

) = ln 1 + 6x ( )

= lim

ln (1 + 2 x ⋅ 3x )

x →0

6x2 = lim 6x = lim 2 = 6 . x→ 0 x→ 0 x x2 6x − 2x ПРИМЕР 2.70. Найти предел lim x →0 x 2

( (

) )

⎛ 6 x − 1 2 x − 1 ⎞ 6 x − 1 ~ x ln 6 6x − 2x ⎟= = = lim ⎜⎜ − Решение. lim ⎟ x x →0 x →0 x x x ⎝ ⎠ 2 − 1 ~ xln 2 = ln 6 − ln 2 = ln 3 .

2.8. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 2.8.1. Определение непрерывности функции в точке

Пусть функция y = f ( x) определена в точке x 0 и некоторой ее окрестности.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.12. Функция f ( x) называется непрерывной в точке

x 0 , если существует предел lim f ( x) и этот предел равен значению функции в x→ x 0

точке x 0 , т.е. lim f (x ) = f (x 0 ) . x →x 0

Так как lim x = x 0 , то последнее равенство можно записать в виде: x→ x 0

lim f ( x) = f ⎛⎜ lim x⎞⎟ , т.е. для непрерывной функции знаки функции и преде⎝ x→ x 0 ⎠ x→ x 0 ла можно переставлять. По аналогии с определением предела функции можно сформулировать определение непрерывности функции “на языке ε − δ ”. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.13. Функция f ( x) называется непрерывной в точке

x 0 , если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x , удовлетворяющих неравенству x − x 0 < δ , выполняется неравенство f ( x) − f ( x 0 ) < ε .

Можно дать еще одно определение непрерывности функции, которая, по существу, является перефразировкой первого определения. Так как условия x → x 0 и x − x 0 = Δx → 0 равносильны, то из определения 2.12 получаем

lim [ f ( x) − f ( x 0 )] = 0 или lim Δy = 0 , где Δy = f ( x 0 + Δx) − f ( x 0 ) являет-

Δx→ 0

ся приращением функции f ( x) в точке x 0 .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.14. Функция f ( x) называется непрерывной в точке

x 0 , если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при Δx → 0 , т.е. lim Δy = 0 . Δx→ 0

ПРИМЕР 2.71. Используя определение 2.12, доказать непрерывность 2 функции f ( x) = 4 x + 5x − 1 в точке x = 1 . Решение. Сначала найдем предел данной функции при x → 1 :

(

)

lim 4 x 2 + 5x − 1 = 4 lim x ⋅ lim x + 5lim x − 1 = 4 + 5 − 1 = 8 .

x →1

Затем вычислим значение функции в точке x = 1 : f (1) = 4 ⋅ 1 + 5 ⋅ 1 − 1 = 8 .

Сравнивая полученные результаты, видим, что lim f ( x) = f (1) . Согласно опреx→1

делению 2.12, это означает, что данная функция непрерывна в точке x = 1 . 94

ПРИМЕР 2.72. Доказать, что функция y = x непрерывна в произвольной точке x 0 . Решение. Δy = ( x 0 + Δx) − x 0 = x 0 + 3 x 0 Δx + 3 x 0 Δx + 3

+ Δx 3 − x 30 = 3 x 02 Δx + 3 x 0 Δx 2 + Δx 3 .

lim Δy = 3x 02 lim Δx + 3x 0 lim Δx ⋅ lim Δx + lim Δx ⋅ lim Δx ⋅ lim Δx = 0

Δx →0

что и требовалось доказать. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.15. Функция f ( x) называется непрерывной в точке

x 0 справа (слева), если lim f ( x) = f ( x 0 ) ⎛⎜ lim f ( x) = f ( x 0 )⎞⎟ . ⎝ x→ x 0 − 0 ⎠ x→ x 0 + 0 Если функция f ( x) непрерывна в точке x 0 и слева и справа, то она непрерывна в этой точке (убедиться в этом самостоятельно). ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.16. Функция f ( x) непрерывна в интервале ( a , b) , если она непрерывна в каждой точке этого интервала; непрерывна на отрезке [ a , b] , если она непрерывна в интервале ( a , b) , и непрерывна в точке a справа,

а в точке b слева, т.е. lim f ( x) = f ( a), lim f ( x) = f ( b) x→ a + 0

x→ b − 0

2.8.2. Непрерывность элементарных функций Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена. Рассмотрим некоторые из них.

ПРИМЕР 2.73. Целая рациональная функция (полином) Pn ( x) = a 0 x + n

+ a 1 x n−1 + a 2 x n− 2 +K+ a n , где n ∈ N , a 0 , a 1 ,K , a n − любые числа, является

непрерывной в каждой точке числовой прямой, как сумма непрерывных функn n −1 n− 2 ций a 0 x , a 1 x , a 2 x ,K , a n . Дробно-рациональная функция, т.е. функция вида ПРИМЕР 2.74.

R( x) =

Pn ( x) , где Pn ( x), Q m ( x) − многочлены, непрерывна во всех точках Q m ( x)

x , в которых знаменатель отличен от нуля, как частное непрерывных функций. 2 x 2 + 5x + 1 Например, функция R( x) = непрерывна во всех точках x , x2 − 1 отличных от ± 1 .

ПРИМЕР 2.75. Доказать непрерывность тригонометрических функций sin x , cos x , tg x , ctg x . Решение. Покажем, что функция sin x непрерывна в любой точке x . Воспользуемся определением 2.14 непрерывности. Имеем

Δy = sin( x + Δx) − sin x = Δx ⎞ Δx Δx ⎞ Δx ⎤ ⎡ ⎛ ⎛ = 2 cos⎜ x + ⎟ sin ; lim Δy = 2 lim ⎢cos⎜ x + ⎟ sin ⎥ = 0 , так как ⎝ Δx →0 ⎣ 2⎠ 2 Δx →0 2 ⎦ 2 ⎠ ⎝ Δx sin Δx ⎞ Δx ⎛ 2 ⋅ lim Δx = 1 ⋅ 1 lim Δx = 0 , а cos ⎜ x + ⎟ ≤ 1, lim sin = lim Δx → 0 ⎝ 2⎠ 2 Δx→ 0 Δx Δx→ 0 2 2 Δx→ 0 2

произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть бесконечно малая. Таким образом, функция sin x непрерывна в любой точке x . Аналогичным образом доказывается непрерывность функции cosx .

sin x непрерывна, как отношение непрерывных функcos x ций sin x и cosx во всех точках, где cosx ≠ 0 , т.е. во всех точках, кроме π x = + πn . 2 cos x непрерывна во всех точках, кроме Аналогично, функция ctg x = sin x x = πn ( n = 0, ± 1, ± 2,K) . Функция tg x =

2.8.3. Точки разрыва функции и их классификация Для непрерывности функции f ( x) в точке x 0 необходимо и достаточно выполнение следующих условий: 1) функция должна быть определена в некотором интервале, содержащем точку x 0 ; 2) функция должна иметь одинаковые односторонние пределы; 3) эти односторонние пределы должны быть равны значению функции в точке x 0 , т.е. должно выполняться условие

lim f ( x) = lim f ( x) = f ( x 0 )

x→ x 0 − 0

x→ x 0 + 0

(*)

Точка x 0 называется точкой разрыва функции f ( x) , если f ( x) в точке

x 0 не является непрерывной. Разрывы функций классифицируются следующим образом. 96

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.17. Точка x 0 называется точкой разрыва первого

рода функции f ( x) , если в этой точке функция f ( x) имеет конечные односторонние пределы, но хотя бы одно из равенств в условии (*) не выполнено. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.18. Точка x 0 называется точкой разрыва второго

рода функции f ( x) , если в этой точке функция f ( x) не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или хотя бы один из них равен бесконечности. ПРИМЕР 2.76. Найти точки разрыва функций

⎧1, если x > 0 ⎪ y = sign x = ⎨0, если x = 0 ⎪− 1, если x < 0 ⎩ Решение. Данная функция задана с помощью нескольких формул. Если она имеет разрыв, то он возможен только в точке x = 0 . Найдем односторонние пределы в этой точке : lim signx = 1, lim sign x = −1 . Таким образом, x →0 +

x →0 −

точка x = 0 является точкой разрыва первого рода (рис. 2.1).

y 1

-1 Рис. 2.1

ПРИМЕР 2.77. Найти точки разрыва функций y =

1 x2 − 4

Решение. Данная функция непрерывна при всех значениях x , кроме x = ±2 (в этих точках она не определена). Вычислим односторонние пределы :

1 = +∞ , так как при x → −2 − 0 величина x 2 − 4 является 2 x→−2 − 0 x − 4 1 является поположительной бесконечно малой, а обратная ей величина 2 x −4 lim

ложительной бесконечно большой;

0 -2

Рис.2.2

1 = −∞ , так как при x → −2 + 0 величина x 2 − 4 является 2 x→−2 + 0 x − 4 отрицательной бесконечно малой. Следовательно, в точке x = −2 функция lim

имеет разрыв второго рода (бесконечный разрыв). Аналогично

1 1 , lim = +∞ . И в точке x = 2 = −∞ x→ 2 − 0 x 2 − 4 x→ 2 + 0 x 2 − 4 lim

функция имеет разрыв второго рода. (Рис. 2.2).

ПРИМЕР 2.78 Найти точки разрыва функций y = arcctg

1 x

Решение. Функция определена, а следовательно, и непрерывна на всей числовой оси, кроме точки x = 0 . В точке x = 0 функция имеет разрыв, выясним характер разрыва.

1 = arcctg(+ ∞ ) = 0 ; x →0 + x 1 lim arcctg = arcctg(− ∞ ) = π . x →0 − x lim arcctg

π π2

0 Рис. 2.3

Рис. 1.16 98

Следовательно, при x = 0 функция имеет разрыв первого рода, она терпит скачок (рис. 2.3). Величина скачка равна

lim f ( x) − lim f ( x) = π − 0 = π .

x→ 0−

x→ 0+

ПРИМЕР 2.79. Найти точки разрыва функций y =

x−2 x−2

Решение. Функция определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точки x = 2 . Исследуем эту точку разрыва:

x−2 − ( x − 2) = lim = lim ( − 1) = −1; x→ 2 − 0 x − 2 x→ 2 − 0 x − 2 x→ 2 − 0 x−2 ( x − 2) = lim lim = lim 1 = 1 . x→ 2 + 0 x − 2 x→ 2 + 0 x − 2 x→ 2 + 0 В точке x = 2 функция имеет разрыв первого рода (рис. 2.4). lim

y 1 0

-1 Рис. 2.4

x 2 − 16 ПРИМЕР 2.80. Найти точки разрыва функций y = x−4 Решение. В точке x = 4 функция не определена, так как, выполнив под0 становку, получаем неопределенность . В других точках дробь можно сокра0 x 2 − 16 lim = тить на x − 4 , так как x − 4 ≠ 0 . Следовательно, x→ 4 − 0 x − 4 x 2 − 16 = lim = 8. x→ 4 + 0 x − 4 Таким образом, односторонние пределы функции при x = 4 равны; функция имеет устранимый разрыв. Он будет устранен, если условиться, что y = 8 при x = 4 . В этом случае графиком функции является прямая y = x + 4 .

ПРИМЕР 2.81. Найти точки разрыва функций y = Решение. Функция не определена при x = 1 .

lim

x→1+ 0

1 2 x −1

lim

x→1− 0

1 x 2 −1

= 2 −∞ = 0,

= 2 +∞ = +∞ .

При x = 1 функция терпит разрыв второго рода (рис. 2.5) ПРИМЕР 2.82. Найти точки разрыва

⎧ 1 2 ⎪− x y=⎨ 2 ⎪⎩ x

функций

при x ≤ 2 при

x>2

Решение. Функция определена на всей числовой оси. Но из этого не следует, что она и непрерывна на всей числовой оси, так как эта функция неэлементарная. Она задана двумя различными формулами для различных интервалов изменения аргумента x и может иметь разрыв в точке x = 2 , где меняется ее аналитическое выражение. Найдем односторонние пределы функции в этой

⎛ 1 ⎞ lim f ( x) = lim ⎜ − x 2 ⎟ = −2 , lim f ( x) = lim x = 2 . x→ 2 − 0 x→ 2 − 0⎝ x→ 2 + 0 x→ 2 + 0 2 ⎠

точке:

Левый и правый пределы функции конечны, но не равны между собой. Поэтому в точке x = 2 функция имеет разрыв первого рода (рис. 2.6).

y=x

x2 y=− 2 0

x Рис.2.6

Рис.2.5

100

УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

РАЗДЕЛ 3 «ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»

3. Материалы для самостоятельной работы студентов

3.1 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Понятие функции, свойства функции. Элементарные функции. Неявное и параметрическое задания функции Преобразование графиков функции Графики функции в полярных координатах Числовые последовательности. Ограниченные последовательности 7. Предел числовой последовательности 8. Предел функции 9. Односторонние пределы 10. Бесконечно большие и бесконечно малые функции

неограниченные

11. Вычисление пределов функций. Раскрытие неопределенностей

0 ∞ , 0 ∞

12. Первый замечательный предел 13. Второй замечательный предел 14. Эквивалентные, бесконечно малые и их применение при вычислении пределов 15. Определение непрерывности функции 16. Непрерывность элементарных функций 17. Точки разрыва функции и их классификация 18. Свойства функций непрерывных на отрезке

102

3.2 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 3.2.1.

Найти

2) f (x ) = 2 − x 6) f (x ) =

множество

значений

7) f (x ) =

5−x +2

9) f (x ) = e x

4) f (x ) =

3) f (x ) = 2 cos x − 7

− 2 x −3

10) f (x ) =

1) f (x ) = x 2 − 8 x + 20

функций.

3 +4 x

5) f (x ) =

1 arctg x π

8) f (x ) = sin x ⋅ cos x

x2 + 4

x x

3.2.2. Какие из следующих функций четные, какие нечетные, а какие – общего вида 1) f (x ) =

sin x x

2) f (x ) = x 5 + 3 x 3 − x

5) f (x ) = sin x + cos x 9) f (x ) =

x x

6) f (x ) = x − 2

3) f (x ) =

7) f (x ) =

x 4) f (x ) = arcsin x 3

x −1

8) f (x ) = x ⋅ e x

10) z (y ) = ln y 3

3.2.3. Определить, является ли данная функция периодической, и найти ее наименьший положительный период, если он существует

1) f (x ) = cos

x 4

x − ctg x 5) f (x ) = sin 3x cos 3x 2 7) f (x ) = sin 2 x 8) f (x ) = 10

2) f (x ) = x 3) f (x ) = tg (2 x − 1) 4) f (x ) = sin 6) f (x ) = cos 2 x − sin 2 x 9) y =

sin 5x 10) y = ln x cos 4 x − 2

3.2.4. Найти сложные функции f (g (x )), g (f (x )) , где 1) f (x ) = e x , g (x ) = ln x

3) f (x ) = x , g(x ) = cos x

2) f (x ) = 3 x + 1, g (x ) = 2 x − 5

4) f (x ) = x 2 , g (x ) = x + 2 5) f (x ) =

1 x −1 , g (x ) = x −3 x

103

3.2.5. Какие из следующих функцией имеют обратные? Для таких функций найти обратные функции 1) y = 3 x + 5 2) y = x 3 − 2 3) y = x 5) y =

4) y =

x 6) y = 2 x −3 1− x 3.2.6.

Путем

преобразования

графиков

построить

x−2 x

графики

3x + 1 π π⎞ 4) y = − log 2 (2 x − 1) − ⎟ 2) y = 2 arccos x − 1 3) y = 6 2 x ⎝ ⎠ 3 ⎛ 6x − π ⎞ 5) y = 2 arctg x + π 6) y = cos⎜ ⎟ 7) y = 3 − 2 x 8) y = x − 4 + 2 ⎝ 12 ⎠ ⎛

1) y = tg⎜ x +

3.2.7. Построить кривые, заданные в полярной системе координат 1) ρ = ϕ 7) ρ =

1 ϕ

2) ρ =

3) ρ = sin ϕ 4) ρ = cos ϕ 5) ρ = 2 sin 3ϕ

6) ρ = 1 − cos 2ϕ

1 1 − 3 cos ϕ

⎧x = t 2 ⎪ 3.2.8. Построить кривые, заданные в параметрическом виде 1) ⎨ t3 ⎪y = − t 3 ⎩ ⎧⎪x = a 3 cos 3 t ⎧x = 2 t ⎧x = a cos t ⎧x = a (t − sin t ) 2) ⎨ 3) ⎨ 4) ⎨ 5) ⎨ ( ) y a 1 cos t y = b sin t = − y = 1 + t ⎪⎩ y = a 3 sin 3 t ⎩ ⎩ ⎩ 3.2.9. Написать пять первых членов каждой из последовательностей, заданных их общими членами 1) x n =

1 ; 2n + 1

2) x n = n

3) x n = 1 + ( −1) ⋅

1 ; n

3n + 5 ; 2n − 3 π⋅n 1 7) x n = sin ; n 2 5) x n =

n+2 ; n3 + 1 n

4) x n = n ⋅ (1 − (−1) ) ; n

6) x n = (−1) arcsin 8) x n =

104

2n − 1 2

;

3 + πn ; 2

9) x n =

n ; (n + 1)!

⎡ ⎢⎣

11) x n = cos ( −1)

[

π⋅n⎤ ; 4 ⎥⎦

13) x n = − n ⋅ 2 + (−1) 15) x n =

n 2 n +1

;

];

(−1) n 10) x n = arcsin ; 2 2 + (−1) n 1 12) x n = − ; n n 2 − (−1) 14) x n =

n2 1+ n

16) x n = ( − 1)

π⋅n ; 3 n+1 . 2 n

2 cos 2 n −1

3.2.10. Зная несколько первых членов последовательности, написать формулу общего члена:

1 1 1 , , ,K ; 1⋅ 2 1⋅ 2 ⋅ 3 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 1 1 , 2 ,... ; 2) , 2 , 2 2 1 2 3 3) 0 , , , ,... ; 2 3 4 4) 2 , 5 , 10 , 17,... ; 5) − 1 , 2 , − 3 , 4,... ; 4 6 8 6) 2 , , , ,... ; 3 5 7 7) 0 , 2 , 0 , 2,... ; 8)1 , 0 , − 3 , 0 , 5 , 0 , − 7 , 0,... ; 11 7 9 5 9) − 3 , , − , , − ,... ; 9 5 7 3 2 2 2 2 ,1, ,0,− ,−1,− ,0,... ; 10) 0, 2 2 2 2 25 9 9 1 11) − , 1 , − , 1 ,− , ,... ; 32 16 8 2 1 1 12) 1 , 2 , , 4 , ,... 5 3 1 7 1 6 13) 1, 2 , 2 , 3 , 3 , K 4 9 16 25 14) 2 , 10, 26, 82 , 242 , 730, K 1) 1,

105

3.2.11. Ограничены ли последовательности: 2) {2 n} ;

⎧⎪ ( − 1) n ⎫⎪ 1) ⎨ ⎬; ⎪⎩ n ⎪⎭ ⎧ n ⎫ 3) ⎨ ⎬; + 9 n ⎩ ⎭ ⎧ n2 ⎫ 5) ⎨− ; n⎬ ⎩ 2 ⎭ ⎧ π⋅n⎫ 7) ⎨sin ⎬; 2 ⎭ ⎩ ⎧ 5n + 1 ⎫ 9) ⎨ ⎬; ⎩ 7 − 9n ⎭ 11) {ln n} ;

⎧ ⎩

4) ⎨2n +

512 ⎫ ; 2 ⎬ n ⎭

2 ⎧ n n ⎫ 6) ⎨(− 1) ; n⎬ 3 ⎭ ⎩ π(n − 1)⎫ ⎧ 8) ⎨n ⋅ cos ⎬; 2 ⎭ ⎩ π⋅n⎫ ⎧1 10) ⎨ ⋅ cos ⎬; 2 ⎭ ⎩n

{

}

12) ( − 1) sin n . n

Ответы обоснуйте. 3.2.12. Используя определение предела, докажите, что:

n+1 = 0; n→∞ n 2 n −1 3) lim = 1; n →∞ n 1 π⋅n 5) lim cos = 0; n →∞ n 2

2n = 2; n →∞ n + 3

1) lim

2) lim

4) lim q

n →∞

= 0 , если q < 1 ;

4n 2 + 1

4 ; n →∞ 3n 2 + 2 3 ⎛ n 1 ⎞ 8) lim ⎜1 + (− 1) ⎟ = 1; n n →∞ ⎝ 2 ⎠ 6) lim

n2 + 4 7) lim = 1; n →∞ n 2n 9) lim = 0; n →∞ n 2 + 1 3n − 1 11) lim = 1; n→∞ 3 n

(n + 1) 2

1 = ; n →∞ 2 n 2 2 3n + 4 3 = . 12) lim n→∞ 2 n + 1 2

10) lim

3.2.13. Используя определение предела, доказать, что:

(

)

1) lim x + 3 = 7 ; x→−2

2 ( x →3

)

2) lim x − 3x = 0 ; 106

1 = 1; x →1 x x2 −1 3 5) lim = ; x →2 x 2 + 1 5 7) lim sin x = 1 ;

4) lim lg x = 0 ;

3) lim

x →1

x −1 1 = ; x →3 2( x + 1) 4

6) lim

1 = 0; x →0 x 10) lim C = C (f (x ) = C = const ) . 8) lim x ⋅ sin

π x→ 2

9) lim cos x = 1;

x →x 0

x→ 0

3.2.14. Используя определение предела доказать, что:

x+1 = 1; x→∞ x 2x − 1 2 3) lim = ; x→+∞ 3x + 2 3 1 5) lim = 0; x →∞ x 2 + 1 100 7) lim = 0; x →−∞ x − 2

x −1 1 = ; x→∞ 3x + 2 3 sin x 4) lim = 0; x→∞ x x2 −1 = 1; 6) lim 2 → +∞ x x +3 1 1 8) lim ⋅ cos = 0 ; x →∞ x x 1 10) lim = 0 . x→−∞ x

1) lim

2) lim

9) lim e x = 1 ; x →+∞

3.2.15. Найти пределы 1) lim

x →1

3) lim

x →5

5) lim

x →1

7) lim

x3 − x2 − x +1 3

x + x − x −1 2x 2 − 11x + 5 2

3x − 14 x − 5 1− x

1− x (1 + x )5 − (1 + 5x ) 2

;

x −8 x + 2 x 4 + x 2 − 3x − 10 ; 4) lim 4 x→−2 x + 2 x 3 + 3x 2 + 5x − 2 tg x ; 6) lim x →0 1 − 1 + tgx 5

;

x →2

;

x +x ( x + h )3 − x 3 9) lim ; x →0 h x →0

2) lim

;

x 2 + 2x − 8

;

8) lim

x →1

10) lim

1 x→ 2

107

xm −1 n

; m, n ∈ N ;

x −1 8x 3 − 1 2

6 x − 5x + 1

;

3− 4 x 11) lim ; x →81 9 − x n

13) lim

x −1

x →1 m

, n, m ∈ N ;

x →а

x −a

x →0 3

2+x −3 2−x x2 − x 16) lim ; x →1 x −1

;

7 + x3 − 3 + x2 17) lim ; x →1 x −1 19) lim

(1 + x) 3 − 1 x

x→ 0

;

x −1 2+x − 2−x

14) lim

x →1

x −1 x − a + x−a

15) lim

x + x −1 −1

12) lim

18) lim

x →0

20) lim

;

x →π

;

1 + x 2 − 4 1 − 2x x+x sin 2 x 3

1 + cos x

;

3.2.16. Найти пределы.

x 3 + 3x 2 + 4 x − 1 1) lim ; 3 x→∞ 5x + 6x + 7 x 2 + 2x 3) lim 4 ; x→∞ x −3x 3 + 6 3x + 1

5) lim

x →∞

5x + x

x 8 + 7x 6 − 1 2) lim 6 ; x→∞ x + 4 x 4 + 5 x2 + 1 + x ; 4) lim 3 x→∞ 4 x +x−x 2x ; 6) lim x →∞ 3x + 3x + 3x

;

( 2 x − 3)20 ⋅ (3x + 2 )30 7) lim ; 50 x →∞ (2x + 1) x+ x+ x 9) lim ; x →±∞ x +1 1 − 5x 11) lim ; x →∞ 1 − e x 5

13) lim

x →+∞ 3

15) lim

x→∞

12) lim

x →∞

x + x +1 − x 3

x +1

x →±∞

2 −3

;

108

;

x +3 x +4 x ; 2x + 1

x →+∞

x4 + 3 − 5 x3 + 4

8) lim

10) lim

x 7 + 3 + 4 2x 3 − 1 8

2x + 3

8x − 7 x x

6 −5

;

1 + 2x 2 − 1 14) lim ; x →−∞ x

16) lim

x →∞

(n − 1) ⋅ a ⎞⎤ . 1 ⎡⎛ a⎞ ⎛ 2a ⎞ ⎛ x x ... x + + + + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎥ ⎜ n ⎢⎣⎝ n⎠ ⎝ n ⎠ n ⎝ ⎠⎦

3.2.17. Найти пределы.

1− 1− x ; x→ 0 sin 4 x tg m x 4) lim ; x→0 sin n x cos x 6) lim ; π π − 2x x→

sin 3x ; x→0 sin 4 x

1) lim

2) lim

1 − cos 5x ; x→ 0 x2 sin x − cos x 5) lim ; π − x π 4 x→ 3) lim

1 − cos 5x ; x→ 0 1 − cos 3x

7) lim

8) lim

x →0

tg x − sin x x

;

1 + sin x − cos x ; x →0 1 + sin p ⋅ x − cos px

sin 5x − sin 3x ; x →0 sin x

10) lim

9) lim

tg 2 x − 3tg x sin x − sin a ; 12) lim 11) lim ; π x →0 x →a cos( x + ) x−a 6 tg(a + x ) ⋅ tg (a − x ) − tg 2 a 13) lim ; 2 x →0 x 1 + tgx − 1 + sin x sec x − sec a 14) lim ; 15) lim ; x →0 x2 x →a x−a 16) lim

x →0

cos x − 3 coosx sin 2 x

1 − sin 18) lim

x 2

1 − cos x ; x →0 1 − cos x π sin(x - ) 3 ; 19) lim π x → 1 - 2cosx 17) lim

;

x x x cos (cos − sin ) 3 4 4 2 sin(a + x ) − sin(a − x ) 1 − cos x ⋅ cos 2 x 20) lim ; 21) lim . 2 x →0 tg (a + x ) − tg (a − x ) x →0 x x →π

109

3.2.18. Найти пределы

⎛ x + 1⎞ ⎟ x→∞ ⎝ x 2 ⎠ 2

x 2 +1

1) lim ⎜

⎛ k⎞ 3) lim ⎜1 + ⎟ x →∞ ⎝ x⎠

⎛ 2 x − 5⎞ 2) lim ⎜ ⎟ x→∞ ⎝ 2 x + 1⎠

;

⎛ 1⎞ 5) lim ⎜ 1 + ⎟ x→±∞ ⎝ x⎠

;

⎛ x 2 − 2x + 1⎞ 6) lim ⎜ 2 ⎟ ; x→∞ ⎝ x − 4 x + 2 ⎠

8) lim (tgx )

⎛ cos x ⎞ x 2 7) lim ⎜ ⎟ ; x →0 ⎝ cos 2 x ⎠ ⎛ 1 + tgx ⎟ x →0 ⎝ 1 + sin x ⎠

⎡ ⎛π ⎞⎤ 11) lim ⎢ tg⎜ − x ⎟⎥ x →0 ⎣ ⎝ 4 ⎠⎦

⎟

x →2 ⎝ 2 ⎠

( x →0

17) lim 1 + tg

;

1 ⎛ sin x ⎞ x −a

10) lim ⎜

;

x →a ⎝ sin a

ctgx

⎟ ⎠

;

16) lim (1 + cos x )

2 sec x

π x→ 2

;

)1 2x ;

19) lim (cos x + sin x )

x →0

;

1 1⎞ ⎛ 12) lim ⎜ sin + cos ⎟ ; x →∞ ⎝ x x⎠ log a x − 1 14) lim ; x →a x−a

ax − a 13) lim ; x →1 x − 1 15) lim ⎜

tg 2 x

π x→ 4

1 ⎞ sin x

1 ⎛ x ⎞ x −2

;

⎛ x +1 ⎞ 4) lim ⎜ ⎟ ; x→±∞ ⎝ 2 x − 1⎠

9) lim ⎜

x −1

18) lim (cos x )

x →0

;

1 x2

20) lim (cos x ) x →0

;

3.2.19. Найти пределы

⎞ ⎛3 ⎞ ⎛π − x⎟ cos ec ⎜ π + x⎟ ; π ⎠ ⎝4 ⎠ x→ ⎝ 4

1) lim ⎜ 4

(

5) lim x − x→+∞

x→−∞

4) lim sin 2 x ⋅ ctg x ;

3) lim x ctg 2 x ; x→ 0

⎛π ⎞ + arctg x⎟ ; ⎝2 ⎠

2) lim x ⎜ x→ π

)

x 2 + 5x ;

6) lim

x→∞

110

(

)

2 x2 + 1 − x2 + 1 ;

8) lim ( tg x − sec x) ;

1 ⎞ ⎛ 3 + ⎟; x →1⎝ 1 − x 3 x − 1⎠

7) lim ⎜

x→

π 2

( x + 2 − x − 2) lim x ( x + 1 − x ) 3

9) lim ⎜⎛ x + x + x − x ⎞⎟ ; 10) lim x 2 ⎠ x →∞ ⎝ x →∞

( x →∞

)

11) lim sin x + 1 − sin x ;

( x →±∞

13) lim

12)

(x + a )(x + b ) − x );

⎛ 1 ⎞ − ctgx ⎟ ; x →0 ⎝ sin x ⎠ ⎛π ⎞ 17) lim ⎜ − x ⎟ ⋅ tgx ; π ⎠ x→ ⎝ 2 15) lim ⎜

x →±∞ x →0

x →α

18) lim

x →+∞

x−α πx ⋅ sin ; 2α 2

x ⋅ arcctgx ;

⎛π ⎞ + arctgx ⎟ ; ⎝2 ⎠

x →−∞

20) lim sin 2 x ⋅ ctgx ; x →π

⎛ 1 ⎞ ⎜ 22) lim x ⋅ a x − 1⎟ ; ⎟ ⎜ x →∞ ⎝ ⎠

1 1+ x ; ⋅ x →0 x 1− x

21) lim

2⎛

23) lim x ⎜1 − cos x →∞

⎝

1⎞ ⎟. x⎠

3.2.20. Найти следующие пределы.

arcsin 3x ; 1) lim x→0 arctg 6x sin x 3) lim ; x→ π x − π ex − e−x 5) lim ; x→ 0 sin x e x −cosx 7) lim ; x →0 sin3x e 2x − 1 9) lim ; x →0 ln (1 − 4 x )

2) lim

sin 2 ( x − 1)

;

x 2 −1 ln x − 1 4) lim ; x→ e x − e e sin 2 x − e sin x 6) lim ; x→ 0 x x→1

8 + 3x − 2 ) x →0 4 16 + 5x − 2 ln cos x 10) lim ; x →0 ln 1 + x 2 8) lim

(

111

;

14) lim x ⋅ ctg (π ⋅ x ) ; 16) lim tg

19) lim x ⎜

)

;

(1 + x )3 − 1 11) lim ; x →0 (1 + x )3 (1 + x )2 − 1

12) lim

4x 2 − 1 13) lim ; 1 arcsin (1 − 2 x ) x→

14) lim

(

ln 2x 2 + 3x − 26 x 2 − 7 x + 12

x →3

1 − cos 4x 2

2 sin x + x ⋅ tg 7 x

x →0

15) lim

ln cos x x2

x →0

3.2.21.

;

16) lim

(

arctg 2x 2 + 3x − 5 x 2 + 5x − 6

x →1

3.2.22. график.

3) y = 5) y =

2 x−1 x2 − x3

(

)

1+ 3

2 x −1

;

1) y =

[ x]

y = arcsin x их

x+2 ; x+2

1 x− 2 1 x− 2

−1

;

+1 1 6) y = arctg ; x−4 1 8) y = ; sin π x ⎧2 x п р и 0 ≤ x ≤ 1 ⎪ 10) f ( x) = ⎨4 − 2 x п р и 1 < x < 2 ,5 ⎪2 x − 7 п р и 2 ,5 ≤ x < +∞ ⎩ sin x , если x ≠ 0 12) x и f (0 ) = 1 sin x f (x ) = , если x ≠ 0 x 14) f (x ) =

11) f (x ) = [x ]

x−

2 2

7) y = lg x + 3x ;

2) y = x +

4) y =

;

sin x ; x

13) f (x ) =

Найти точки разрыва функций и построить схематично

4 ; 2 x − 2x + 1

9) y =

;

Доказать непрерывность следующих функций:

2) y = 3 x 3) y = cos x 4) y = a 5) y = log a x 7) y = arccosx 8) y = arctg x 9) y = arcctg x

1) y =

);

и 112

f (0 ) = 1

f (x ) =

1 f (x ) = sin , если x ≠ 0 15) x и f (0 ) = произвольное

16)

1 1 1 + e x −1

, если x ≠ 1

и f (1) = произвольные

1 f (x ) = x sin , если x ≠ 0 17) x и f (0 ) = 0

−

2 18) f (x ) = e x , если x ≠ 0

f (0 ) = 0 ⎧2 x + 5 п р и − ∞ < x < −1 ⎪ 20) f ( x) = ⎨ 1 п р и − 1 ≤ x < +∞ ⎪⎩ x и

f (x ) = x ln x 2 , если x ≠ 0 19) и f (0 ) = a ОТВЕТЫ

⎛ 1 1⎞ ; ⎟ 6) [2; ∞ ) 2 2⎠ ⎝

3.2.1. 1) [4; + ∞ ) 2) (0;1] 3) [− 9; − 5] 4) (− ∞; 4 ) U (4; ∞ ) 5) ⎜ −

⎡ 1 1⎤

[

7) [2; ∞ ) 8) ⎢− ; ⎥ 9) e − 4 ; ∞ ) 10) {− 1;1} ⎣ 2 2⎦ 3.2.2. 1)четная 2)нечетная 3)общего вида 4)нечетная 6)четная 7)четная 8)общего вида 9)нечетная10)общего вида 3.2.3.

1) = −8 π

2)не явл. периодической

3) T =

π 2

5)общего вида

4) T = 4 π

5) T = π 3

6) T = π 7) T = π 8)периодическая, наименьшего положительного периода нет 9) T = 2 π 10)непериодическая 3.2.4. 1) f (g (x )) = x , x > 0; g (f (x )) = x , x ∈ R ;

2) f (g (x )) = 6 x − 14, g (f (x )) = 6 x − 3;

3) f (g (x )) = cos x , g (f (x )) = cos x;

4) f (g (x )) = (x + 2 ) , g (f (x )) = x 2 + 2; 2

5) f (g (x )) =

x −3 x , g (f (x )) = − , g (f (x )) = 4 − x 10 − 3x 2x + 1

x −5 3 6) y = 3 + log 2 x 3.2.5. 1) y =

2) y = 3 x + 2

3)нет обратной 4) y =

113

2 1− x

5) y =

x x +1

1 n −1 ( −1) n 2 ; 2) x n = 2 ; 3) x n = ; 4) x n = n + 1 ; n n! 2n π(n − 1) n n ; 7) x n = 1 + (− 1) ; 8) x n = n ⋅ cos ; 5) x n = (− 1) ⋅ n ; 6) x n = 2n − 1 2 2 π(n − 1) n n n 2n + 1 (−1)n ;1 9) x n = (− 1) ;10) x n = sin ;11) x n = (− 1) ;12) x n = n 2n − 1 4 2n 2 n ⎛ 2 n − 1⎞ n 3) x n = ⎜ ⎟ ;14) x n = 3 + ( − 1) . ⎝ n ⎠ 3.2.10. 1) x n =

1 9 3 3 m 2 ; 4) − ; 5) ; 6) − 2 ; 7)10; 8) ; 9) 3x ;10) 6;11) 2 16 5 2 n 1 1 2 m 3⋅ 6 2 1 1 3 2 ;12) ;13) ;14) ;15) ;16) 3;17) − ;18) ;19) ;20) . 6 2 n 2 4 2 5 5 2a

3.2.11. 1)0; 2) ; 3)

1 3.2.161) ; 2) ∞ ; 3) 0; 4) –1; 5 ;

x → −∞ ;

-1 , если

3 2 ⎛3⎞ 5) ; 6) ; 7) ⎜ ⎟ ; 8) 1 , если x → +∞ 5 3 ⎝2⎠ 1 8 6 9) 1;10) ;11) ln 5 ;12) ln ÷ ln ;13) 7 5 2

a ∞ ;14) 2 ;15)0;16) x + . 2 3 4

1 25 m 2 1 25 1 ; 3) ; 4) ; 5) − ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) 8 2 n 4 2 9 2 1 1 π cos 2a ;11) cos a ;12) − 24 ;13) − (a ≠ ( 2k + 1 ) , k ∈ Z ) ;14) ;15) 2;10) 2 p 4 cos 4 a 1 1 2 π sisa − (a ≠ ( 2k + 1 ) , k ∈ Z ) ;16) − ;17) 0;18) ;19) ;20) 2 2 12 2 3 cos a 3 cos 3 a ;21) . 2 3.2.17. 1) ; 2)

3.2.18. 1) e ; 2) e если x → +∞ ;

−3

; 3) e

; 4) 0 , если x → +∞ ; ∞ , если x → −∞ ;

5) ∞ ,

3 e2;

8) ;

0 , если

x → −∞ ;

114

6) e ;

1 e

9)1;10) e

ctga

(a ≠ kπ , k ∈ Z) ;11) e −2 ;12) e ;13) a ⋅ ln a ;14)

1 1 log a e ;15) e ;16) e 2 ;17) e ;18)1;19) e ;20) . a e 3.2.19.

1)1;

2)1;

1 ; 2

4)2;

5) −

5 ; 2

6) + ∞ ;

7)1;

8)0;

1 1 a+b ;10)2;11)0;12) , если x → +∞ ; − ∞ , если x → −∞ 13) , если 2 2 2 α 1 x → +∞ ; + ∞ , если x → −∞ 14) ;15)0;16) − ;17)1;18)1;19)– π π 1 1;20)2;21)1;22) ln a ;23) ; 2 1 2

1 e

3 2

3.2.20. 1) ; 2)0; 3)–1; 4) ; 5)2; 6)1; 7) ; 8)1,6; 9) −

8 9

15;13) –2;14) ;15) −

1 ;16)1. 2

115

1 1 9 ;10) − ;11) ;12)– 2 2 25

3.3 РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ Задание №1 Вычислить предел функции натурального аргумента 2 2 2 − n ) + (2 + n ) ( ; 1) lim n →∞

2) lim

2n 2 + 2n + 1 (1 + n )3 + (n + 3)3

;

(1 + n )4 − (n + 3)4 3 3 2n + 1) − (2n + 3) ( 3) lim ; n →∞ (2n + 1)2 + (2n + 3)2 3 2 n + 7 ) − (n + 2 ) ( 4) lim ; n →∞

n →∞

n3 + n +1

2 2 n + 1) + (n − 1) ( ; 5) lim n →∞

n2 + n

3 3 n + 6 ) − (n + 1) ( 6) lim ; n →∞ (2n + 1)2 + (n − 4 )2 3 2 n + 1) − (n + 1) ( 7) lim ; n →∞ (n − 1)3 + (n + 1)3 3 1 + 2n ) − 8n 3 ( 8) lim ; n →∞ (1 + 2n )2 + 4n 2 3 3 n + 2) − (n − 2) ( 9) lim ; n →∞ (n + 5)2 + (n − 5)2 3 3 2n + 1) + (3n + 2) ( 10) lim ; n →∞ (2n + 3)3 − (n − 3)3 3 3 n + 1) − (n − 3) ( 11) lim ; 2 n →∞ (n + 4) 3 3 2 + n ) + (n − 4 ) ( 12) lim ; n →∞

n3 +1

n 3 − (n + 1) 16) lim 2 ; n →∞ n + 3n + 1 2 1 − 4n ) ( 17) lim ; n →∞ (n − 1)3 − (n + 2 )3 3

3 3 n + 4) − (n − 2) ( 18) lim ; n →∞

3n 2 + 2n + 3

3 3 2n + 3) − (2n − 1) ( ; 19) lim n →∞ (2n + 1)2 + (2n + 3)2 3 3 2(n + 1) − (n + 2 ) ; 20) lim 3 3 n →∞ (n − 6) + n 2 2 3 n + 1) + (n + 2 ) − (n + 3) ( 21) lim ; 3 n →∞ (3 − n ) 2 2 n + 3) + (n + 4 ) ( 22) lim ; n →∞ (3 − n )3 + (3 + n )3 2 2 2n + 3) + (3n + 1) ( 23) lim ; n →∞

n2 + n +1

4 4 n + 2 ) − (n − 2 ) ( 24) lim ; n →∞ (n + 2 )3 + (n − 2 )3 3 3 n + 3) + (n + 5) ( 25) lim ; n →∞ (n + 3)4 − (n + 5)4 3 3 n + 10 ) − (n − 5) ( 26) lim ; n →∞ (n + 10 )2 + (n − 5)2 3 3 2n + 5) − (2n − 3) ( ; 27) lim n →∞ (2n + 5)2 + (2n − 3)2

116

3 3 2n + 1) + (3n + 1) ( 13) lim ; n →∞ (2n + 4 )3 − (n − 3)3

4n 3 − n

14) lim

(n + 1) − (n + 4) 3 1 + 3n ) − 27 n 3 ( 15) lim ; n →∞ (1 + 3n )2 + n 2 4

n →∞

3 3 n + 1) − (n − 1) ( 28) lim ;

n2 +1

n →∞

3 3 n − 15) + (n − 20 ) ( ; 29) lim n →∞ (n − 15)4 − (n − 20 )4 3 3 2 − n ) + (2 + n ) ( 30) lim . n →∞ (n + 1)2 + (n − 1)2

;

Задание №2 Вычислить пределы функций натурального аргумента 1) lim n n →∞

2) lim

n →∞

)

+1 − n2 +1 ;

( (n + 2) 3

)

− 3 (n − 3) ; 2

( n + 4n − 1 − n − 4 ); 4) lim ( 4 + n − 2 + n )⋅ n ; 5) lim n ( n + 4 − n + 3 ); 6) lim ( n + 3n − n − 4n + 3 ); 2

3) lim

n →∞

7) lim

n →∞

8) lim

n →∞

(

9) lim

n →∞

)

n+3 2

n →∞

11) lim 3 n n →∞

n →∞

)

n+5− n+4 ;

n (n + 8) − n ;

10) lim n

12) lim

(

)

n+4− n−2 ; 4

( (n + 1) 3

n3 + 2

)

+ 4 − n4 +1 ;

)

− 3 n (n + 2 ) ;

+1 − n3 −1 ;

)

( (n + 1)(n + 2) − (n − 1)(n 14) lim (n − (n + 1)(n − 2 )); 2

13) lim

n →∞

117

))

−2 ;

15) lim n ⋅ n →∞

( 5 + 8n 3

)

− 2n ;

( (n + 2)(n + 1) − 17) lim (n − n (n + 2 ) );

16) lim

n →∞

(n − 1)(n + 3))⋅ n ;

n →∞

( 4 + 27n − 3n )⋅ n ; 19) lim ( (n + 1)(n + 2 ) − n + 5 ); 20) lim ( n − 3n + 6 − n ); 21) lim (n − n − 5 )⋅ n 22) lim ( n + 2 − n − 3 ) ⋅ ( n + 4 ); 18) lim

n →∞

( 24) lim ( n →∞

(n + 1) ⋅ (n + 2));

23) lim n − n →∞

(n + 3)(n + 1) − (n + 2)(n + 4));

( (n + 2)(n − 4) − n − 6 ); 26) lim (n − n − 9 )⋅ (n + 1) ; 27) lim ( 7 + 64n − 4n )⋅ (n + 4 ); 28) lim ( 4n − 3n + 2 − 2n ); 29) lim ( n + 4 − n − 3 )⋅ (n + 1) ⋅ n ; 2

25) lim

n →∞

(

30) lim n n + 3 − n →∞

)

n (n + 1)(n + 2) ⋅ n + 4 .

Задание №3 Вычислить предел функции натурального аргумента

1) lim

n →∞ 4

n +1 − n2 + 2 5

n +1 − n + 4 5

;

16) lim

n →∞ 4

118

n3 + 7 + 3 n2 +1 3

n + 5 + n +1

;

n 8 + 4 − n + 10

2) lim

n →∞ 8

3) lim

n + 2 + n −1 8

n2 − n3 + 4

n →∞ 3

n +4−n 6

n →∞ 3

n →∞ 7

n →∞

n +6+ n +2 5

n+2− n +2

n →∞ 3

n →∞ 4

n 2 + 1 + 2n 3

n →∞

+n+2−n

21) lim

n →∞

)

n + 5 − n −1

;

12) lim

16n + 1 − n + 1 6

9n + 3 − n

n →∞ 6

(n + n )⋅ 3

n +3+ n+3

n +1 − n − 6 ;

n + 4 − n +1 2

n4 + 2 + n − 2 n +2+ n +2 4

;

4 + n 2 − 3 27 n 3 + 9

27) lim

n →∞ 4

28) lim

n →∞

29) lim

n →∞

119

n + 4 − 2 n −1 4

n8 + 4 − 2 n 4 +1 8 3

;

5n + 2 − 3 8n 3 + 5 26) lim ; 4 n →∞ n+7 −n

;

4n 5 + 4 − n − 3

;

n − 9n 2

;

4n + 3 − n 2 + 9

n →∞ 4

;

6 − n + 4n

3n − 9n + 1

25) lim

n 4 3n + 1 + 81n 4 − n 2 + 1

n →∞

14) lim

6n 3 − n 5 + 4

n →∞

13) lim

n 2 + 2 − 5n 2

n →∞ 3

n + 10 − n 2 + 4

n →∞ 4

n →∞

;

n6 + 4 + n − 4

24) lim

;

3n + 1 − 3 27 n 3 + n ; 10) lim 5 n →∞ n −n 11) lim

23) lim

n +5+ n

n + 1 ⋅ n + 2n + 9

n3 + 4 − n +1

n − n − n +1

n →∞ 5

22) lim

;

n + n + 1 − 6n 6

n7 + 5 − n − 5

n →∞ 7

;

n +n+2 2

4n 2 − 4 n 3

20) lim

n 5 n − 3 27 n 6 + n 2

(n +

9) lim

3n + 4 + n + 1 3

7) lim

(n − 7 n )⋅

n →∞ 3

;

n + n + n − 5n 6

n 4 11n + 25n 4 + 9

19) lim

;

n + 2 − n2 + 2

6) lim

n →∞ 3

18) lim

n + 4 − 3 n3 + 4

5) lim

n →∞

17) lim

;

n + 6 − n2 − 5

4) lim

8) lim

4n 2 − 4 n 3 + 1

n +1 + n − 6 5

n 3 + 1 − 3n 4

2n − n − n + 1 4

;

15) lim

n →∞

4n + 1 − 3 27 n 3 + 4 4

n − n +n 3

;

4n 2 − 1 − n 30) lim 5 . n →∞ n − 2n

Задание №4 Вычислить указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя)

3x 3 − 5x 2 + 2 ; 1) lim x →∞ 2 x 3 − 5x 2 − 1 3x 2 − 2 x + 1 2) lim ; x →∞ 5x 2 − x + 2 2 x 4 + 5x 2 − 2 3) lim ; x →∞ 5x 4 − 2 x 3 − 4 x 5x 2 − 3x + 1 4) lim ; x → ∞ 3x 2 + x − 5 4x 3 − 2x + 1 5) lim ; x → ∞ 2 x 3 + 3x 2 − 2 3 − 7 x 2 + 5x 3 6) lim ; x →∞ 2 + 2 x − x 3 4 + 5x 2 − 3x 5 7) lim ; x →∞ 8 − 6 x − x 5 3x 4 − 2 x 2 − 7 8) lim ; x → ∞ 9 x 4 + 3x + 5 8 − 2 x + 5x 4 9) lim ; x → ∞ 2 + 3x 2 + x 4 3x + 14 x 2 10) lim ; x →∞ 1 + 2 x + 7 x 2

11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20)

2 x 3 − 5x 2 − 1 ; lim x →∞ 3x 3 − 5x 2 + 2 5x 2 − 2 x 3 ; lim x →∞ 3x 2 − 8x 3 5x 4 − 2 x 3 − 4 x ; lim x →∞ − 2 x 4 + 5x 2 − 3 3x 2 + x − 1 ; lim x →∞ 5x 2 − x + 8 x 3 + 3x + 2 ; lim x →∞ 8x 3 − 2 x 2 + 1 2 + 5 x 2 − 3x 4 ; lim x →∞ 3 − 7 x 2 + 5x 4 8 − 6x − x 5 ; lim x →∞ 4 + x 2 + 3x 5 9 x 4 + 3x + 5 ; lim x →∞ 3x 4 − 2 x + 8 3 − x − 5x 3 ; lim x →∞ 2 + 3x 2 + x 3 2 x − 8x 2 ; lim x →∞ 1 + 2 x + 7 x 2

21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30)

3x 5 − x 2 + x ; lim x →∞ x5 − 2 6x 3 − 2x + 7 ; lim x →∞ 3x 3 − 5x + 2 7 x 4 − 2x 3 + 2 lim x →∞ x4 + 3 x 5 + 2x 2 − 3 ; lim x →∞ 3x 5 + 6 x + 5 3x 2 + x 2 − 2 ; lim x →∞ 3x 2 + 4 x + 1 x 2 + 2x − 15 lim x →∞ 2 x 2 + 7 x − 15 8x 3 − 3x 2 + 9 lim x →∞ 2 x 5 + 2 x + 5 x 4 − 5x + 2 lim x →∞ 2 x 4 + 3x 2 − 1 6x 5 − 4x 3 + 8 lim x →∞ 2 x 5 − 3x 2 − 1 x 2 − 4x + 3 . lim x →∞ 3x 2 − 5x + 12

Задание №5 Вычислить указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя)

3x 2 + 8 x + 1 1) lim ; x →∞ 2 x 3 − 8x 2 + 5

3x + 14 x 2 11) lim ; x →∞ 1 + 2 x 2 + 7 x 3

120

3x 2 + 3x + 1 21) lim 3 ; x →∞ x − 8x + 2

2x 2 − x + 3 2) lim ; x →∞ 3x 3 + x − 1 2x 4 + 7 x 3 − 4 3) lim ; x → ∞ 6 x 5 − 3x 3 + 2 2 + 3x 2 − 5x 4 4) lim ; x →∞ 2 x + 3x 2 − 3x 5 x 2 − x − 12 5) lim 3 ; x →∞ x − 2 x 2 − 8 x 2 + 3x + 2 6) lim ; x →∞ 2 x 3 + 5x 2 + 2 x 3x 2 − 5 x + 2 7) lim 3 ; x →∞ x − 4 x 2 + x 3x 2 − 5x + 2 8) lim 3 ; x →∞ x − 4 x 2 + 1 x 2 − 2x + 1 9) lim ; 3 x →∞ x −8 3x 2 − 5 x + 1 ; 10) lim x → ∞ 2 x 3 − 3x 2 + 3

12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20)

x 2 − 25 ; lim x →∞ x 3 + 8x + 15 x 2 + 4x − 21 ; lim x →∞ 2 x 3 − 7 x + 3 8 − 2 x + 5x 3 ; lim x →∞ 2 + 3x 3 + x 4 3x 4 − 2 x 2 − 7 lim x →∞ 9 x 5 + 3x 2 + 5x 4 + 5x 2 − 3x 3 ; lim x →∞ 8 − 6 x − x 4 2 x 2 + x − 10 lim x →∞ x 3 − x 2 − 2 4x 3 − 2x + 1 ; lim x →∞ 2 x 4 + 3x 3 − 2 5x 2 − 3x + 1 ; lim x →∞ 2 x 4 − 3x 3 + 1 2x + 3 lim 2 ; x →∞ 3x + 5x + 6

22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29)

3x 2 − 8x + 1 ; lim x →∞ x 3 − x + 2 2 + 3x 2 + x 3 ; lim x →∞ 1 + x 3 − x 4 2 + x − x2 ; lim x →∞ 1 + x 2 − 3x 3 x 4 − 2x 3 + 3 lim x →∞ 2 x 5 + 3x 4 + 1 2x 3 − 2x − 1 ; lim x → ∞ x 4 − 3x 2 + 2 3x 2 − 2 x + 1 ; lim x →∞ x 3 − 2 x + 1 2 x 2 − 3x + 5 ; lim x →∞ x 3 − 3x 2 + 1 3x + 1 lim 2 ; x →∞ 6 x + 8x + 2

x 4 − 8x 3 + 3x 2 + 1 30) lim . x →∞ x 5 − 2x 3 + 2

Задание №6 Вычислить указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя)

x 8 + 7x 6 − 1 1) lim 6 ; x →∞ x + 4 x 4 + 5 4x 5 + 2x ; 2) lim 4 x →∞ x + 5x 3 − 4 8x − 1 ; 3) lim x x →∞ 4 − 3

11) lim

x →∞

12) lim

x →∞

(x + 2 ) 4

x +1 x 4 + 3x + 5 x + 4x + 4 2

3x − 1 4) lim x ; x →∞ 2 − 1

3x 3 − x 2 + 1 13) lim ; x →∞ 2x 2 + x 4x 6 + x 3 14) lim ; x →∞ 2 x 5 − 1

3 x + 1) − 1 ( ; 5) lim x →∞ (x + 1)2 − 2

4 x + 1) − 2 ( 15) lim ; x →∞ (x + 1)2 + 1

121

; ;

3x 5 + 2 x + 1 ; 21) lim 4 x →∞ x + 3x 2 + 2 ⎛ x3 ⎞ + x 2 ⎟⎟ ; 22) lim ⎜⎜ 2 x →∞ x + 1 ⎝ ⎠ ⎞ ⎛ x 23) lim ⎜ + x2 ⎟; x →∞⎝ x + 1 ⎠ 24) lim

x →∞ 3

25) lim

x →∞ 3

x2 +1

;

x +x x2 + 5 3

(x + 2 )

;

x 3 − 50 x 2 + 2 6) lim x →∞ 10 x 2 + 15x 2 x 4 − 16 ; 7) lim 3 x →∞ x − 8 x 3 + 3x 2 − 4 8) lim ; x →∞ x2 −1 x3 −1 ; 9) lim 2 x →∞ x + 5x − 6 x 2 + x − 12 ; 10) lim x →∞ 3x − 9

x 5 − x 4 + 3x 3 − 1 16) lim x →∞ 10 x 4 − 5x 3 + 3 17) lim

(x + 1)4

20) lim

x →∞

x 3 + 3x + 1 2

x + 2 x + 15

x →∞

27) lim

;

28)

;

2x + 3 x 4 − 2x 2 + 3

(x + 1) 3 x + 1) − 8 ( lim ; 3

x →∞

x +1 x 7 + 3x 6 + 2 ; 18) lim x →∞ 2x 6 + 3x 8x + 1 19) lim x ; x →∞ 5 − 3 x →∞

26) lim

(x + 1)4

;

x2 −1 ⎛ x4 ⎞ − x ⎟⎟ ; 29) lim ⎜⎜ 2 x →∞ x + 1 ⎝ ⎠

;

x →∞

⎛ x2 +1 ⎞ ⎟⎟ . x + 30) lim ⎜⎜ 3 x →∞ ⎝ x ⎠

Задание №7 Вычислить указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя)

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

2x 2 + 3x + 1 ; lim x → −1 2 x 2 + 5x + 3 3x 2 − 14 x − 5 ; lim 2 x →5 x − 2 x − 15 x2 + x − 2 ; lim 2 x →1 2 x − x − 1 x 2 + 7 x + 10 ; lim x → −2 2 x 2 + 9 x + 10 2x 2 − 7 x − 4 lim 2 x → 4 2 x − 13x + 20 x 2 + 10 x + 21 ; lim x → −3 x 2 + 8x + 15 2 x 2 + x − 10 ; lim 2 x →2 x − x − 2 2x 2 + 7 x − 4 lim x → −4 2 x 2 + 13x + 20

11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18)

x2 − x − 6 ; lim 2 x →3 2 x + x − 21 x2 − x − 2 ; lim 2 x →2 x + x − 6 3x 2 + x − 2 ; lim x → −1 3x 2 + 4 x + 1 2 x 2 − 5x − 7 ; lim x → −1 3x 2 + x − 2 x 2 + 2 x − 15 lim x → −5 2 x 2 + 7 x − 15 2x 2 + 9x + 4 ; lim x → −4 x 2 − x − 20 3x 2 − 5x + 2 ; lim 2 x →1 x − 4 x + 3 x 2 + 3x + 2 lim x → −2 2 x 2 + 5x + 2

122

21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28)

x 2 − 5x + 6 ; lim 2 x → 2 x − 3x + 2 x 2 + 5x + 6 ; lim x → −2 x 2 + x − 2 4 x 2 − 8x + 3 ; lim x →1 2 2 x 2 − 7 x + 3 x3 + x2 − x −1 lim x → −1 x 3 + x 2 + x + 1 x3 −1 ; lim 2 x →1 x + 5x − 6 x 3 + 3x 2 − 4 ; lim x →1 x2 −1 3x 2 + 2 x − 1 lim x → −1 9 x 3 + 9 x 2 − x − 1 x3 − 8 lim ; x →2 x x 2 − 4

(

)

x 2 + 4 x − 21 9) lim ; x →3 2 x 2 − 7 x + 3 x 2 − 25 10) lim 2 ; x → −5 x + 8x + 15

x 2 − x − 12 19) lim 2 ; x →4 x − 2 x − 8 x 2 − x − 12 20) lim 2 ; x → −3 x + 5x + 6

2 x 2 − 5x − 3 29) lim ; x → −1 2 4 x 2 − 18x − 10 x 4 − 16 30) lim . x →2 8 − x 3

Задание №8 Вычислить пределы функций 3

1 + 2x − 1 − 2x 1) lim ; 5 x →0 x 9 − x −1

2) lim

x →8 3 3

3) lim

x → −2

x →1

17) lim

;

x →2

x −4 x−6 +2 ; x+2 2

18) lim x →3

x →1

19) lim

1 + 2x − 1 − 2x ; 1 + 2x − 3 1 − 2x

27 + x − 3 27 − x x + 3 3 x4

x →0

8) lim

x →16

9) lim x →3

10) lim

x → −8

x −2 x −4

2 + x − 2x 3

9x − 3

3 + x − 2x 3 16 x − 4

; ;

4 + x − 2x x 1 3 − 4 2 ; 20) lim 1 1 x→ 2 + x − 2x 2 ;

21) lim x →0

27 + x − 3 27 − x 3

x + x 2

;

1 − 2 x + 3x 2 − (1 + x ) 22) lim ; 3 x →0 x+ x 4 x −2 23) lim ; x →16 3 x −4

1 − 2x + x 2 − (1 + x ) 7) lim ; x →0 x 4

4x − 2

x →4

5) lim 3 x →0

x −1

x + 1 − 2x 3

x −1 ; x2 −1

4) lim

6) lim

16) lim

;

x + 13 − 2 x + 1 ; x2 − 9

24) lim x →4

1− x − 3 ; 3 2+ x

25) lim x →3

123

x −2 2

x − 16

;

x + 13 − 2 x + 1 3

−9

)

;

1 + 2x − 3

11) lim

x −2

x →4

x −1

12) lim

x →1 3

8 + 2x − x 2 − 2

26) lim

;

x →0

x2 −1 3 x−6 +2 13) lim ; 3 x → −2 x +8

x →8

28) lim

x → −4 3

5 − 9 + 2x ; 3 x →8 2− x

;

9 − x −1 ; 3 x −2

27) lim

;

x +x 2

x−4+2 3

x + 64

;

10 − x − 6 1 − x ; 3 x → −8 2+ x

14) lim

29) lim

17 + x + 2 − x − 2 . x → −27 3+3 x

8 + 3x + x 2 − 2 ; 15) lim x →0 x2 + x

30) lim Задание №9

Вычислить пределы

arctg 2 x ; 1) lim x→0 4x

sin 2 11) lim

x 4;

x 2 ctg 2x ; 2) lim x→0 sin 3x

x 1 − cos 3x 12) lim ; 2 x →0 x

cos x − cos 5x 3) lim ; 2 x →0 x cos 3x − cos 5x 4) lim x →0 x2 sin x ; 5) lim x →0 arcsin x

cos x − cos 5 x ; 13) lim x →0 x2 arctg 2 x 14) lim ; x →0 5 x 2 + x 1 − cos x 15) lim ; x →0 x sin x

6) lim x →0

1 − cos 6x ; 1 − cos 2x

1 − cos 4x 7) lim ; x →0 2 x ⋅ tg 2 x 8) lim x →0

x tg 5x ; 2 cos x − cos x

x →0

16) lim x →0

cos 3x − 1 ; x tg 2 x

cos x − cos 3 x ; 17) lim x →0 x sin 2x 18) lim x ctg 5x ; x →0

124

sin 2 21) lim x →0

x 3

2x 2

22) lim x ctg x ; x →0

x ; x →0 1 − cos x 2 x sin x 24) lim ; x →0 1 − cos x 23) lim

25) lim

(arcsin 2x )2 ;

5x 2 tg x − sin x ; 26) lim x →0 x3 x →0

2 arcsin 2 x + x 4 27) lim x →0 3x 3 x cos x − cos 2; 28) lim x →0 1 − cos x

3x 2 9) lim ; x →0 cos x − cos 3 x 10) lim x→0

arcsin 3x ; 6x

sin 2 x + tg 2 x 29) lim ; 2 x →0 2x

x tg 3x ; 19) lim x →0 cos x − cos 3 x 1 − cos 4 x 20) lim ; x →0 1 − cos 8x

30) lim x →0

tg 3x − sin 3x . 3 27 x

Задание №10 Вычислить пределы

1 − 2сosx ; π π ⎛ ⎞ x→ 3 sin ⎜ x − ⎟ 3⎠ ⎝ πx 2) lim(1 − x )tg ; x →1 2

16) lim

1) lim

x →2 π

sin 7 x − sin 3x e

−e

4 π2

;

x 2 − π2 17) lim ; x → π sin x arctg x 2 − 2 x 18) lim ; x →2 sin 3πx

1 − 1 − x2 3) lim ; x → 0 cos x − cos 2 x 2− x+4 4) lim ; x →0 sin 2x

(

)

(

)

arctg x 2 − 2 x 19) lim ; x →2 sin 3πx

1+ x −1 5) lim ; x →0 sin π(x + 2 )

1− x2 20) lim ; x →1 sin πx

6) lim

x 2 − 3x + 3 − 1 21) lim ; x →1 sin πx

2 sin π(x + 1) ; x →0 ln (1 + 2 x )

cos 5x − cos 3x ; 2 x →π sin x

sin 5x ; x →0 x 2 + 5 x 3 ln(1 + 2x ) ; 8) lim x →0 4 arctg 2 x

7) lim

22) lim

x2 − x +1 −1 23) lim ; x →1 ln x x+2 arcsin 2 ; 24) lim 2 x → −2 3 2+ x + x − 9 1 − cos 3x ; 25) lim x →0 1 − cos x 1 + x sin x − cos 2 x 26) lim ; 2 x →0 sin x

ln(1 + 4x ) ; x →0 sin (π(x + 4 ))

9) lim

2x −1 10) lim ; x →0 ln (1 − 2 x ) 1 − cos10 x ; 11) lim x2 x →0 e −1 125

1 − 2 cos x ; π sin (π − 3x ) x→

2 x 2 − 3x 12) lim ; x →0 sin 3x

27) lim

1 − cos 2 x ; x →0 cos 8x − cos 2 x arcsin 3x 14) lim ; x →0 2 + x − 2

sin (a + x ) − sin (a − x ) ; x →0 x 3 5+ x −2 29) lim ; x →3 sin πx cos x − 1 30) lim . x →0 sin 2 2 x

13) lim

28) lim

x2 − x +1 −1 15) lim ; x →1 tg πx

Задание №11 Вычислить пределы

1) lim (2 x + 3)[ln (x + 2 ) − ln x ];

16) lim (2 x − 7 )[ln(3x + 4 ) − ln (3x )]

2) lim (x − 4 )[ln (2 − 3x ) − ln (5 − 3x )];

17) lim (2 x + 1)[ln (x + 3) − ln x ] ;

3) lim (3 − x )[ln(1 − x ) − ln(2 − x )];

18) lim (5x + 2 )[ln (x + 1) − ln x ];

4) lim (3x − 2 )[ln(2 x − 1) − ln (2 x + 1)] ;

19) lim (x + 2 )[ln (5x − 4 ) − ln(5x )];

5) lim (2 x − 7 )[ln(3x + 4 ) − ln (3x )] ;

20) lim x ⋅ [ln x − ln (1 + x )];

6) lim (3x + 5)[ln (x + 5) − ln x ];

21) lim (x + 1)[ln (2 x + 3) − ln(2 x + 1)]

7) lim (2 x + 1)[ln (x + 3) − ln x ] ;

22) lim (x + 2 ) ⋅ [ln x − ln (1 + x )];

8) lim (3x + 2 )[ln (x + 1) − ln x ] ;

23) lim x ⋅ [ln (x + 2 ) − ln (1 + x )];

9) lim (x + 2 )[ln(2 x + 1) − ln(2 x − 1)] ;

24) lim (x + 3) ⋅ [ln (x − 1) − ln x ];

10) lim (2 x − 3)[ln (x − 2 ) − ln(x + 1)];

25) lim (2 x + 7 ) ⋅ [ln (3x + 1) − ln 3x ];

11) lim (x − 5)[ln (x − 3) − ln x ];

26) lim (3x + 2 ) ⋅ [ln (4 x − 1) − ln 4 x ];

x →∞

x → −∞ x →∞ x →∞ x →∞

x →∞ x →∞ x →∞ x →∞

x →∞

12) lim (2 x − 5)[ln (2 x + 4 ) − ln (2 x + 1)]; 27) lim (x + 3) ⋅ [ln (x + 3) − ln (x − 1)]; x →∞

x →∞

13) lim (3x − 1)[ln(2 x − 1) − ln (2 x + 1)] ;

28) lim (x + 1) ⋅ [ln (2 x + 3) − ln 2 x ];

14) lim (2 x − 3)[ln (x + 2 ) − ln (x − 1)];

29)

x →∞

lim (4x − 1)[ln(3x + 2) − ln(3x + 1)];

x →∞

126

15) lim (3x + 5)[ln (x + 5) − ln x ];

30) lim x ⋅ [ln (x + 5) − ln (3 + x )] .

x →∞

Задание №12 Вычислить пределы

⎛ 2x + 3 ⎞ 1) lim ⎜ ⎟ x →∞⎝ 2 x + 1 ⎠

x +1

⎛ x −1 ⎞ 16) lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ x + 3 ⎠

;

2) lim ⎜⎜ 2 x →∞ ⎝ x

⎛ 2x + 2 ⎞ ⎟ 3) lim ⎜⎜ x →∞ 2 x 2 + 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2

⎛ 3x 2 + 4x − 1 ⎞ ⎟ 18) lim ⎜⎜ 2 x →∞ 3x + 2 x + 3 ⎟ ⎝ ⎠ x

⎛ 3x + 1 ⎞ 7) lim ⎜ ⎟ x →∞⎝ 3x − 1 ⎠ ⎛ x + 3⎞ 8) lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ x + 5 ⎠

; −x 2

2 x +3

;

x +1

⎛ x 2 + 2x − 3 ⎞ ⎟ 21) lim ⎜⎜ 2 x →∞ x − x + 1 ⎟ ⎝ ⎠

x +2

;

x +4

;

⎛ 13x + 3 ⎞ 23) lim ⎜ ⎟ x →∞⎝ 13x + 1 ⎠

;

⎛ 2x 2 + 21x − 7 ⎞ ⎟ 9) lim ⎜⎜ x →∞ 2 x 2 + 18x + 9 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ x 2 − 6x + 5 ⎞ ⎟ 11) lim ⎜⎜ 2 x →∞ x − 5 x + 6 ⎟ ⎝ ⎠

2 x +5

⎛ x 2 + 5x − 1 ⎞ ⎟ 20) lim ⎜⎜ 2 x →∞ x + 4 x + 4 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ x + 5⎞6 22) lim ⎜ ⎟ ; x →∞ ⎝ x − 7 ⎠

⎛ 3x 2 − 5x ⎞ ⎟ 10) lim ⎜⎜ 2 x →∞ 3x − 5x + 7 ⎟ ⎝ ⎠

;

⎛ 2 x 2 + 5x + 1 ⎞ ⎟ ; 19) lim ⎜⎜ x →∞ 2 x 2 + 5 x + 2 ⎟ ⎝ ⎠

3x + 2

⎛ x 2 + x + 1⎞ ⎟ 6) lim ⎜⎜ 2 x →∞ x + x − 1 ⎟ ⎝ ⎠

− x +1

⎛ x 2 − 3x + 6 ⎞ ⎟ ; 4) lim ⎜⎜ 2 x →∞ x + 5 x + 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 6x − 7 ⎞ 5) lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ 6 x + 4 ⎠

;

⎛ 3x 2 − 6x + 7 ⎞ ⎟ 17) lim ⎜⎜ 2 x →∞ 3x + 20 x − 1 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ x − 1⎞ ⎟⎟ ; ⎠ 2

x+2

2 x +1

⎛ x + 3⎞ 24) lim ⎜ ⎟ x →∞⎝ x + 1 ⎠

;

x +1

; x +1

;

⎛ x3 + 2 ⎞ ⎟ 26) lim ⎜⎜ 3 x →∞ x − 1 ⎟ ⎝ ⎠

127

;

− x +1

⎛ 2x − 1 ⎞ 25) lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ 2 x + 1 ⎠

3x + 2

x −3

; 2x−x3

;

⎛ 7 x 2 + 8x ⎞ ⎟ 12) lim ⎜⎜ x →∞ 7 x 2 + 11x ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ x 3 + x + 1⎞ ⎟⎟ 13) lim ⎜⎜ 3 x →∞ ⎝ x +2 ⎠

x +2

;

⎛ x + 4⎞ 27) lim ⎜ ⎟ ; x →∞ ⎝ x + 2 ⎠

;

⎛ 3x 2 − 1 ⎞ ⎟ 28) lim ⎜⎜ 2 x →∞ 3x + x ⎟ ⎝ ⎠

2x2

⎛ 2x + 2x + 3 ⎞ ⎟ 14) lim ⎜⎜ x →∞ 2 x 2 + 2 x + 1 ⎟ ⎝ ⎠ 2

⎛ 4x 2 + 4x − 1 ⎞ ⎟ 15) lim ⎜⎜ x →∞ 4 x 2 + 2 x + 3 ⎟ ⎝ ⎠

3x 2 −2

x +1

;

⎛ 4x 2 + x ⎞ ⎟ 29) lim ⎜⎜ x →∞ 4 x 2 − x + 1 ⎟ ⎝ ⎠

1− 2 x

⎛ 2x 2 + x ⎞ ⎟ 30) lim ⎜⎜ x →∞ 2 x 2 − x + 2 ⎟ ⎝ ⎠

;

; 3 x −1

Задание №13 Найти точки разрыва функции, если они существуют) Сделать чертеж

⎧ x ⎪− 3 , если x ≤ 0 ⎪ π ⎪ 1) f (x ) = ⎨sin x , 0 < x ≤ ; 2 ⎪ π π ⎪ x − , если x > ⎪⎩ 2 2

⎧3x 2 , если x ≤ 0 ⎪ 16) f (x ) = ⎨x , если 0 < x ≤ 1; ⎪2, если x > 1 ⎩

⎧ ⎪ 1 − x , если x ≤ 0 ⎪ π ⎪ 2) f (x ) = ⎨tgx , если 0 < x ≤ ; 4 ⎪ π ⎪ > 1 , если x ⎪⎩ 4

⎧ 1 − x 2 , если x ≤ 0 ⎪ 17) f (x ) = ⎨1, если 0 < x ≤ 2 ; ⎪x − 2, если x > 2 ⎩

⎧ ⎪2 x 2 , если x ≤ 0 ⎪ π ⎪ 3) f (x ) = ⎨cos x , если 0 < x ≤ ; 2 ⎪ π π ⎪ x − , если x > ⎪⎩ 2 2

⎧x + 1, если x ≤ 0 ⎪ 18) f (x ) = ⎨1, если 0 < x ≤ 1 ; ⎪2 x − 2, если x > 1 ⎩

128

⎧x 2 + 1, если x ≤ 0 ⎪ 4) f (x ) = ⎨1, если 0 < x ≤ 2 ; ⎪x − 2, если x > 2 ⎩

⎧x 2 + 1, если x ≤ 0 ⎪ 19) f (x ) = ⎨1 − x , если 0 < x ≤ 1; ⎪2 x − 1, если x > 1 ⎩

⎧x 2 − 1, если x ≤ 0 ⎪ 5) f (x ) = ⎨x , если 0 < x < 2 ; ⎪2 x − 2, если x ≥ 2 ⎩

⎧− x, если x ≤ 0 ⎪ 2 20) f (x ) = ⎨x , если 0 < x ≤ 1 ; ⎪x − 1, если x > 1 ⎩

⎧− x, если x ≤ 0 ⎪ 2 6) f (x ) = ⎨x , если 0 < x ≤ 2 ; ⎪x + 1, если x > 2 ⎩

π ⎧ ≤ cos x , если x ⎪ 2 ⎪ π ⎪ 21) f (x ) = ⎨0, если < x ≤ π ; 2 ⎪ ⎪π ⎪⎩ 2 , если x > π

⎧3x + 1, если x ≤ 0 ⎪ 2 7) f (x ) = ⎨x + 1, если 0 < x ≤ 1 ; ⎪1, если x > 1 ⎩

⎧x − 1, если x ≤ 0 ⎪ 2 22) f (x ) = ⎨x , если 0 < x ≤ 2 ; ⎪2 x, если x > 2 ⎩

⎧sin x, если x ≤ 0 ⎪ 8) f (x ) = ⎨2 x , если 0 < x ≤ 1 ; ⎪x, если x > 1 ⎩

⎧x 2 + 1, если x ≤ 1 ⎪ 23) f (x ) = ⎨2 x , если 1 < x ≤ 3 ; ⎪x + 2, если x > 3 ⎩

⎧cos x, если x ≤ 0 ⎪ 2 9) f (x ) = ⎨x + 1, если 0 < x ≤ 1 ; ⎪x , если x > 1 ⎩

⎧sin x, если x ≤ 0 ⎪ 24) f (x ) = ⎨x , если 0 < x ≤ 2 ; ⎪0, если x > 2 ⎩

⎧ ⎪− 3x , если x ≤ 0 ⎪ π ⎪ 10) f (x ) = ⎨tgx , если 0 < x ≤ ; 4 ⎪ π ⎪ 2 , если x > ⎪⎩ 4

⎧x − 2, если 0 ≤ x ≤ 2 ⎪ 25) f (x ) = ⎨0, если 2 < x ≤ 3 ; ⎪1, если x > 3 ⎩

129

⎧ ⎪0, если x ≤ 0 ⎪ π ⎪ 26) f (x ) = ⎨tgx , если 0 < x ≤ ; 4 ⎪ π ⎪ x , если x > ⎪⎩ 4 ⎧− x , если x ≤ 0 ⎪ 2 27) f (x ) = ⎨− (x − 1) , если 0 < x ≤ 2 ; ⎪x − 3, если x > 2 ⎩

⎧0, если x ≤ 0 ⎪ 11) f (x ) = ⎨x + 1, если 0 < x ≤ 1 ; ⎪2 x, если x > 1 ⎩ ⎧2 x + 1, если x ≤ 0 ⎪ 2 12) f (x ) = ⎨x + 1, если 0 < x ≤ 1 ; ⎪1, если x > 1 ⎩ ⎧2 x − 1, если x ≤ 0 ⎪ 2 13) f (x ) = ⎨x − 1, если 0 < x ≤ 1 ; ⎪2 x , если x > 1 ⎩ ⎧cos x , если x ≤ 0 ⎪ 14) f (x ) = ⎨1 − x , если 0 < x ≤ 1; ⎪ 2 ⎩x , если x > 1

⎧x − 3, если x ≤ 0 ⎪ 28) f (x ) = ⎨x + 1, если 0 < x ≤ 4 ; ⎪ ⎩3 + x , если x > 4 ⎧x + 4, если x ≤ −1 ⎪ 2 29) f (x ) = ⎨x + 2, если − 1 < x ≤ 1; ⎪2 x, если x > 1 ⎩

⎧tgx , если x ≤ 0 ⎪ 15) f (x ) = ⎨x , если 0 < x ≤ 1; ⎪2, если x > 1 ⎩

⎧x + 1, если x ≤ 0 ⎪ 2 30) f (x ) = ⎨(x + 1) , если 0 < x ≤ 2 . ⎪− x + 4, если x > 2 ⎩

Задание №14 Исследовать на непрерывность функции, при каком выборе параметров A и B функция непрерывна

⎧x 2 − 4 , если x ≠ 2 ⎪ ; 1) f (x ) = ⎨ x − 2 ⎪A, если x = 2 ⎩ ⎧x3 −1 , если x ≠ 1 ⎪ 2) f (x ) = ⎨ x − 1 ; ⎪A, если x = 1 ⎩

130

⎧1 − cos 2 x , если x ≠ 0 ⎪ 3) f (x ) = ⎨ ; x2 ⎪⎩A, если x = 0 ⎧ − 12 ⎪ x , если x ≠ 0 ; 4) f (x ) = ⎨e ⎪⎩A, если x = 0 ⎧1 ⎪ ln(1 + 2x ), если x ≠ 0 5) f (x ) = ⎨ x ; ⎪⎩A, если x = 0 1 ⎧ ⎪x ⋅ sin + 1, если x ≠ 0 ; 6) f (x ) = ⎨ x ⎪⎩A, если x = 0 ⎧e x + 2, если x < 0 ; 7) f (x ) = ⎨ A + x , если x ≥ 0 ⎩ ⎧⎪ x + A, если − 3 ≤ x < 2 ; 8) f (x ) = ⎨ 2 ⎪⎩B x , если x < −3, x ≥ 2 πx ⎧ cos + 2, если x ≤ 1 ⎪ 2 9) f (x ) = ⎨ ; ⎪Ax 2 + Bx, если x > 1 ⎩

π ⎧ − 2 , sin x , если x ≤ − ⎪ 2 ⎪ π π ⎪ 10) f (x ) = ⎨A sin x + B, если − < x < ; 2 2 ⎪ π ⎪ cos x , если x ≥ ⎪⎩ 2 ⎧⎪x 2 + 1, если x ≤ 1 ; 11) f (x ) = ⎨ ⎪⎩3 − Ax 2 , если x > 1 1 ⎧ ⎪1 − x sin 2 , если x ≠ 0 12) f (x ) = ⎨ ; x ⎪⎩x + A, если x = 0 131

⎧(1 + x )n − 1, если x ≠ 0, n ∈ N 13) f (x )⎨ ; A , если x = 0 ⎩ ⎧1 ⎪ [ln(1 + x ) − ln(1 − x )], если x ≠ 0 ; 14) f (x ) = ⎨ x ⎪⎩x + A, если x = 0 ⎧ x + sin 2 x + 2, если x ≠ 0 ⎪ ; 15) f (x ) = ⎨ x ⎪x 2 + B, если x = 0 ⎩ ⎧ e x − e −x , если x ≠ 0 ⎪ ; 16) f (x ) = ⎨ x ⎪A, если x = 0 ⎩ ⎧A, если x ≤ −1 ⎪ 2 17) f (x ) = ⎨x + 1, если − 1 < x ≤ 2 ; ⎪B + x , если x > 2 ⎩ ⎧A x 3 , если x ≤ −1 ⎪ 2 18) f (x ) = ⎨x + 1, если − 1 < x ≤ 2 ; ⎪B, если x > 2 ⎩ πx ⎧ ⋅ , если x ≤ −1 A sin ⎪ 2 ⎪⎪ 4 19) f (x ) = ⎨x + 4, если − 1 < x < 2 ; ⎪ πx ⎪B cos , если x ≥ 2 ⎪⎩ 6 ⎧x 2 + A x , если x < −1 ⎪⎪ 3 20) f (x ) = ⎨x , если − 1 ≤ x ≤ 1 ; ⎪ 2 ⎪⎩x + Bx + 1, если x > 1 ⎧ (1 + 2 x ) − 1 , если x ≠ 0 ⎪ ; 21) f (x ) = ⎨ x ⎪A, если x = 0 ⎩ 132

1 ⎧ , если x ≠ −1 1 ⎪ 2 22) f (x ) = ⎨ ; 1 + 2 ( x −1) ⎪ ⎩Ax, если x = 1 ⎧A x 2 , если x < −1 ⎪ 23) f (x ) = ⎨arcsin x , если − 1 ≤ x ≤ 1; ⎪x + B, если x > 1 ⎩ ⎧A x + 4, если x ≤ −2 ⎪ 2 ⎪x − 4 24) f (x ) = ⎨ , если − 2 < x < 2 ; x 2 − ⎪ ⎪⎩B x 2 , если x ≥ 2 ⎧ x 4 − 16 , если x ≠ 2 ⎪ 25) f (x ) = ⎨ x − 2 ; ⎪Ax 2 + 1, если x = 2 ⎩ ⎧x 2 − A x + 1, если x ≤ −1 ⎪ ; 26) f (x ) = ⎨B, если − 1 ≤ x ≤ 2 ⎪ 3 ⎩x + 1, если x > 2 ⎧ 2 ⎪e x , если x < −1 ⎪ 27) f (x ) = ⎨Ax + B, если − 1 ≤ x ≤ 1; ⎪ π ⎪sin x , если x > 1 ⎩ 2 ⎧ x−4 ⎪⎪ x − 2 , если x ≠ 4 ; 28) f (x ) = ⎨ π ⎪A cos x , если x = 4 ⎪⎩ 4

133

⎧ A ⎪1 + x 2 , если x < −1 ⎪ πx ⎪ 29) f (x ) = ⎨B sin , если − 1 ≤ x ≤ 1 ; 6 ⎪ ⎪Ax 2 + 1, если x > 1 ⎪ ⎩ ⎧A x + 1, если x < 0 ⎪ 2 ⎪Bx + 1, если 0 ≤ x ≤ 2 ; 30) f (x ) = ⎨ 3 ⎪x + A, если 2 < x ≤ 3 ⎪B x + 27, если x > 3 ⎩ Задание №15 Исследовать на непрерывность функции в указанных точках и построить графики 1) y = 2) y = 3) y = 4) y = 5) y = 6) y = 7) y = 8) y = 9) y =

2x ; x 1 = 1, x 2 = 3 ; x 2 − 2x − 3 2x + 1 ; x1 = 2 , x 2 = 4 ; x 2 − 3x + 2 x −5 ; x 1 = 1, x 2 = 3 ; x 2 − 5x + 4 x − 10 ; x 1 = 2, x 2 = 4 ; x 2 − 2x − 8 x+5 ; x 1 = 3, x 2 = 5 ; x 2 − 4x − 5 x+3 ; x 1 = 3, x 2 = 5 ; x 2 − 4x + 3 x+6 ; x 1 = 0, x 2 = 2 ; 2 2x − x − 6 x+3 ; x 1 = 1, x 2 = 3 ; 2 2 x − 5x + 3 x − 14 ; x 1 = 2, x 2 = 4 ; 2 x − x − 12

16) y

1 = 16 x − 2 ;

17) y =

1 3 x −4 ;

18) y =

1 9 x −3 ; x

= 3, x 2 = 8 ;

19) y =

1 7 x −3 ; x

= 3, x 2 = 5 ;

20) y =

1 8 x −2 ; x

= 2, x 2 = 5 ;

21) y =

2 2 x −1 ; x

= 1, x 2 = 4 ;

22) y =

1 ex ;x

= 0, x 2 = 2 ;

23) y =

1 e 1− x ; x

x 1 = 4, x 2 = 6 ;

24) y =

1+ 134

x 1 = 2, x 2 = 6 ;

1 x e −1

= 1, x 2 = 3 ; ; x 1 = 1, x 2 = 3 ;

x − 17 10) y = ; x 1 = 3, x 2 = 5 ; 2x 2 − 9x − 5 11) y =

12) y =

1 4 x −5 ; x

1 x 3 −2 ; x

1 x −4

13) y = 7 14) y = 8 15) y = 9

1 x −3 1 x −7

−

2 25) y = e ( x −1) ; x 1 = 1, x 2 = 3 ;

26) y =

= 5, x 2 = 7 ;

2−e

−

; x 1 = 0, x 2 = 2 ;

1 1

= 2, x 2 = 3 ;

27) y = 1 − e x ; x 1 = 0, x 2 = 1 ; 28) y =

; x 1 = 4, x 2 = 5 ;

1 ; x 1 = 0, x 2 = 2 ; ln x

; x 1 = 3, x 2 = 6 ;

29) y = e

; x 1 = 7, x 2 = 9 ;

30) y =

−

1 x2

; x 1 = 0, x 2 = 2 ;

1− x −1 ; x 1 = 0, x 2 = −2 . x

Задание №16 Построить график функции, применяя операции над графиками 1) y = 1 − 2 lg

x ; 2

11) y = 1 − 3

x −3

1 lg(x − 2 ) ; 2 2 3) y = log 2 x − 1 ;

π − arccos x ; 3 13) y = −2arctg x + 1;

4) y = −2 + log 3 (x + 5) ;

1 arcsin(x + 1) 3 π 15) y = 2 arccos x + 2 x −1 ; 16) y = arctg 3 π⎞ ⎛ 17) y = 2arctg⎜ x + ⎟ 2⎠ ⎝

2) y =

5) y = − log 2 x + 1; 6) y = 2 − lg 1 − x ; 7) y = 2

8) y = −5

− 1; 2x

9) y = 1 + 2

+ 1; x −5

;

⎛ ⎝

21) y = 3 − tg⎜ x +

;

12) y =

22) y = 2 sin x + 2 ; 23) y = tg 2 x + 3 ;

⎛ ⎝ 4x 25) y = ; x +1 3 26) y = − ; 6−x x+2 27) y = ; −x

14) y =

24) y = ctg⎜ − x +

18) y = arcsin x ;

28) y =

⎛ ⎝

19) y = −2 cos⎜ x −

135

π⎞ ⎟ 4⎠

π⎞ ⎟; 4⎠

x+3 ; 1− x x 29) y = ; 2−x

π⎞ ⎟; 3⎠

10) y = 3 − 3 ;

20) y = ctg

2 x + 1; 3

30) y =

x+3 . 3− x

Задание №17 Построить график функций, заданных параметрически

⎧x = 1 − t ; 1) ⎨ 3 ⎩y = 1 − t 1 ⎧ = + x t ⎪⎪ t ; 2) ⎨ 1 ⎪y = t + ⎪⎩ t2 ⎧x = 2(cos t − sin t ) ; 3) ⎨ ( ) y = 2 cos t + sin t ⎩ ⎧x = 3 cos t ; 4) ⎨ y = 4 sin t ⎩

21) ⎨

⎧x = ln t 12) ⎨ ; 2 y = t − 1 ⎩

⎧⎪x = cos 4 t 22) ⎨ ; ⎪⎩ y = sin 4 t

⎧⎪x = 3t 2 + 1 ; 13) ⎨ ⎪⎩ y = 5t 3

⎧x = 2 cos 2 t 23) ⎨ ; ⎩ y = 2 sin t

⎧x = t 2 ⎪ 14) ⎨ t2 ; ⎪y = t − 3 ⎩

⎧⎪x = 1 − t 2 24) ⎨ ; ⎪⎩ y = 1 − t 3

⎧x = R ⋅ sin 2t

⎧⎪x = t − 2t ; ⎪⎩ y = t 2 + 2t

15) ⎨

6) ⎨

⎧x = cos t ; y = t + 2 sin t ⎩

⎧ t3 ⎪x = − t 16) ⎨ ; 3 ⎪y = t 2 + 2 ⎩

⎧⎪x = 3t 2 7) ⎨ ; 3 ⎪⎩ y = 3t − t

⎧x = 10 cos t 17) ⎨ ; y = sin t ⎩

⎧⎪x = t 2 + 1 ; 8) ⎨ ⎪⎩ y = t 3 − t

18) ⎨

5) ⎨

⎧x = 2(2 cos t − cos 2t ) ; ( ) y 2 2 sin t sin 2 t = − ⎩

⎧⎪x = 2 sin 2 t ; 11) ⎨ 3 ⎪⎩ y = 2 cos t

2 ⎩ y = 2R ⋅ sin t

⎧x = t ⋅ cos t ; y t sin t = ⋅ ⎩

136

;

3t ⎧ x = ⎪⎪ 1+ t3 25) ⎨ ; 2 3 t ⎪y = ⎪⎩ 1+ t3 ⎧x = 2(t − sin t ) ; ( ) y 2 1 cos t = − ⎩

26) ⎨

⎧⎪x = 2t − t 2 27) ⎨ ; 2 3 ⎪⎩ y = 2 t − t 1 ⎛ 1⎞ ⎧ = x ⎜t + ⎟ ⎪ 2 ⎝ t⎠ ⎪ 28) ⎨ ; 1 1 ⎪ y = ⎛⎜ t − ⎞⎟ ⎪⎩ 2⎝ t⎠

⎧x = 2(cos t + sin t ) ; y 2 cos t sin t ( ) = − ⎩

⎧⎪x = 2 ⋅ cos 3 t 9) ⎨ ; 3 ⎪⎩ y = 2 ⋅ sin t

⎧⎪x = 2 t 2 19) ⎨ ; 2 ⎪⎩ y = t − t

29) ⎨

⎧⎪x = t 2 − 1 10) ⎨ ; ⎪⎩ y = t 3 − t

⎧⎪x = t 2 − 2 t + 1 20) ⎨ ; ⎪⎩ y = t 3 − 1

30) ⎨

⎧x = t − sin t . y = 1 − cos t ⎩

Задание №18 Построить график функции (в полярной системе координат) 1) ρ = 1 − cos ϕ ; 2) ρ = 2 ⋅ cos 2ϕ ; 3) ρ =

3 ; 2 + sin ϕ

4) ρ = 2 ⋅ 2 cos 2ϕ ; 5) ρ = e

2ϕ

;

6) ρ = 3 ⋅ sin 3ϕ ; 7) ρ = 2(1 + cos ϕ) ; 8) ρ = 4ϕ ; 9) ρ = 2 ⋅ cos 3ϕ ; 10) ρ = 2 ⋅ sin 2ϕ ;

2 ; ϕ 12) ρ = 2 + sin ϕ ; 11) ρ =

13) ρ =

4 ; 1 + cos ϕ 3

14) ρ = 2 cos ϕ ;

2 ; 1 − cos ϕ ϕ 16) ρ = 2 sin ; 2 ϕ 17) ρ = 2 ⋅ cos ; 2 15) ρ =

18) ρ = 2 + cos 2ϕ ;

1 + sin ϕ ; cos ϕ ϕ 20) ρ = sin ; 2 19) ρ =

ϕ ; 2 22) ρ = 2 ⋅ cos ϕ + 1; 21) ρ = 2 ⋅ cos

23) ρ =

2π ; ϕ

24) ρ = 2 − cos 4ϕ ;

ϕ ; 2 2 ϕ 26) ρ = 2 ⋅ cos ; 2

25) ρ = 2 ⋅ sin

27) ρ = 2 28) ρ =

−

ϕ π

;

4 ; sin 2ϕ 3

29) ρ = 2 ⋅ sin ϕ ; 30) ρ = cos ϕ + sin ϕ .

Задание №19 Применяя теоремы о свойствах непрерывных функций на отрезке, решить следующие задачи.

1) Показать, что уравнение x − 3x + 1 = 0 имеет на отрезке [1;2] 3

действительный корень.

137

2) Доказать, что любой многочлен Pn (x ) нечетной степени имеет по меньшей мере один действительный корень. 3) Используя свойства непрерывных функций, доказать, что уравнение

x 3 − 3x = 1 имеет хотя бы один корень на отрезке [1;2].

4) Доказать, что любой многочлен четной степени имеет хотя бы два действительных корня, если он принимает хотя бы одно значение, противоположное по знаку коэффициента при его старшем члене. x

5) Показать, что уравнение x ⋅ 2 = 1 имеет по меньшей мере один положительный корень, не превосходящий 1. 6) Показать, что уравнение 2 = 4 x имеет корень на отрезке [0;1 2] . x

7) Найти наименьшее и наибольшее значение функции y = x + 1 на

отрезке [1;4].

8) Найти наименьшее и наибольшее значение функции y = e

x +1

отрезке [0;1].

на

9) Найти наименьшее значение функции y = (x + 4 ) на отрезке [0;1]. 3

10) Найти отрезок значений функции y = x + 4 x + 6 , если x ∈ [− 2;0]. 2

⎡ π⎤ ⎦ ⎣

11) Найти отрезок значений функции y = x + sin x , если x ∈ ⎢0; ⎥ . 2 2

12) Для какого m уравнение x − x − ln x + m = 0 имеет хотя бы один

корень на отрезке [1;2].

13) Для какого a уравнение x ⋅ ln x = a имеет хотя бы один корень на

отрезке [2;3].

14) Для какого p уравнение x − 3x + p = 0 имеет три вещественных корня. 3

15) Найти наибольшее значение функции y = x − 12 x на отрезке

[− 2;4].

16) Показать, что уравнение x = a sin x + b , где 0 < a < 1, b > 0 имеет по меньшей мере один положительный корень и причем не превосходящий b+a. 17) Найти наибольшее значение функции f (x ) =

138

1 , x ∈ [0; ∞ ) . 3 + x2

18) Для какого p уравнение p x − 2 x + 1 = 0 имеет хотя бы один

действительный корень на отрезке [1;2].

19) Сколько корней имеет уравнение a e = x при 0 < a < 3 . 3

20) Для какого q уравнение x − 2 x + q = 0 имеет три действительных корня. 3

21) Для какого q уравнение x − 2 x − q = 0 имеет только один действительный корень. 22) Определить наименьшее значение функции y = arctg x + x

для

⎡ π⎤ x ∈ ⎢0; ⎥ . ⎣ 4⎦ 4

23) Определить наибольшее значение функции y = sin x + cos x − 1

⎡ π⎤ ⎦ ⎣

для x ∈ ⎢0; ⎥ . 4

(

)

24) Определить наибольшее значение функции y = x + 1 ln x для

x ∈ [1;4] .

25) Для какого p уравнение arcsin x = − x + p имеет хотя бы один действительный корень. 26) Для какого

уравнение

arctgx = a ⋅ x

имеет

ровно

три

e x = 2x + a

имеет

ровно

два

действительных корня. 27) Для какого действительных корня.

уравнение

x⎞ sin 2 β ⎛ 28) Найти наименьшее значение функции y = lim⎜1 + ⎟ + lim α → 0⎝ β→ 0 β 2 α⎠ на отрезке [0;3]. 4

29) Сколько действительных корней имеет уравнение x − 7 x − 5 = 0 ? x

30) Показать, что уравнение x ⋅ 3 = 1 имеет по меньшей мере один положительный корень, не превосходящий 1.

139

ЛИТЕРАТУРА Основная литература: 1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т. 1. М: Наука. 2000 - 430 с. 2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука. 2002 - 576 с. 3. Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. Краткий курс высшей математики. – М.: Высшая школа, 1998. – т.1. - 328 с.

Дополнительная литература: 1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М., Высшая школа, 2000. 2. Черняк Ж.А., Черняк А.А., Феденя О.А., Серебрякова Н.Г. Контрольные задания по общему курсу высшей математики. – Изд.дом «Питер», 2006.

Учебные пособия кафедры: 1. Гимаев Р.Г., Умергалина Т.В. Введение в математический анализ и дифференциальное исчисление функции одной переменной. Уфа: УГНТУ,200571с. 2. Сахарова Л.А., Савлучинская Н.М., Якупов В.М. Расчетное задание по математике. Введение в анализ. Уфа: УГНТУ, 2000 – 24 с. 3. Гимаев Р.Г., Жданова Т.Г. Практикум. Введение в анализ. Уфа, УГНТУ, 2000 – 38 с.

140