Puente autopista Caracas-La Guaira, Venezuela. La estructura principal de este viaducto está definida por parábolas, gráfica de la función cuadrática.
En el papiro Rhind, un antiguo documento egipcio de 1650 a.C., se plantea un problema el cual dice: “un montón y un séptimo del mismo es igual a 19”. ¿Cómo es la expresión matemática de esta igualdad? Esta ecuación se escribe así: x + x = 19 7
En una competencia ciclística entre San Cristóbal y La Fría existen diversos aspectos que van cambiando a medida que los participantes cubren dicho trayecto. Es importante tomarlos en cuenta para llegar a ser el ganador de ella. Para poder predecir el desempeño de los ciclistas, existen datos que se toman durante los entrenamientos: la distancia recorrida, los tiempos para recorrerla, la energía que el cuerpo consume, entre otros. También hay aspectos constantes como la distancia a ser cubierta y la diferencia de altura que existe entre estas dos ciudades. Podemos representar como d la distancia recorrida, t el tiempo, E la energía que consume; d, t y E son variables que describen aspectos de la situación planteada.
Acto I, II, III. (1989) Asdrúbal Colmenares (Trujillo 1936- ).
El lenguaje de las matemáticas Las matemáticas, como muchas actividades humanas, requieren de un lenguaje para su transmisión, difusión y comunicación. Este lenguaje posee varios componentes. Símbolos o signos
Vocabulario
÷ 9 + >
Componentes
“ecuación” “variable” “incógnita” “despejar” “elevar al cuadrado”
Gráficos
Los diversos símbolos o signos presentes en este lenguaje tienen un significado preciso y cumplen diversas funciones: Símbolos que representan números:
0, 1, 2, ..., 9
Signos que indican relaciones: > “mayor que” < “menor que” = “igual a” = “diferente de”.
Símbolos que aparecen en matemáticas superiores: para la derivada.
Signos para las operaciones: + para la adición, - para la sustracción; x o • para la multiplicación, / o ÷ para la división; para la radicación.
Para algunas constantes se usan letras específicas como i , e y la letra griega π.
Signos de agrupación: ( ) paréntesis [ ] corchetes { } llaves.
Letras del alfabeto para simbolizar constantes y variables. Las primeras letras: a, b, c, d se suelen emplear para denotar constantes. Las últimas letras: x, y, z se utilizan generalmente para representar variables. También se utilizan con frecuencia las letras griegas .
En el siglo IX Al-Jwarizmi investigó y escribió acerca de los números, de los métodos de cálculo y de los procedimientos algebraicos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Su nombre latinizado dio origen a la palabra algoritmo. La palabra álgebra deriva del título de su obra más importante, que presenta las reglas fundamentales del álgebra, Al-jabr wal muqabala.
42
La historia del álgebra (Die Algebra der Griechen), según el alemán G.H. Nesselmann (Berlin 1811-1881), pasó por tres grandes fases. En la primera de ellas, llamada álgebra retórica, prácticamente no había simbología y tanto el enunciado como la solución de un problema eran verbales; en la segunda, llamada álgebra sincopada, se empleaban abreviaturas para designar conceptos y representar operaciones; y por último, el álgebra simbólica, en la cual se usa una variedad de símbolos para expresar las ideas matemáticas.
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Cruz de mayo. (1960) Régulo Pérez (estado Bolívar 1936- ).
Los símbolos se pueden combinar de diversas maneras. Estas combinaciones dan lugar a expresiones y fórmulas matemáticas. Una expresión es una combinación de símbolos matemáticos. Una fórmula es una expresión en forma de igualdad o desigualdad que representa una ley, propiedad o condición.
(a+b)2 C+V=A+2 A=πR2
ax + b = 0 x 3+
3 2
an = 3 + nr
A=
bh 2
4
V = 3 πR3
Fórmulas y expresiones
bn = 5rn
hπR2
c 2= a 2+ b 2
sen (ß) at2 + bt + c = 0
-b ± f(x) = ax + b
b2 - 4ac 2a
f(x)=ax2+bx+c
No todas las combinaciones de símbolos que se nos ocurran son válidas. Sucede algo similar con nuestro idioma: cualquier combinación de letras no es necesariamente una palabra; así, “casa” es una palabra bien construida, mientras que “wxathz”, no lo es. En matemáticas, por ejemplo, las expresiones “(x+y) 2” y “f(x)=3e x+1” están bien construídas. Sin embargo, “)3+x)”, “x+-3” y “3x-log” no lo están. ¡Para que obtengamos expresiones válidas tenemos que respetar ciertas reglas! Notemos que aunque la expresión sea válida, ésta puede no representar el resultado correcto de una situación: si queremos sumar 5 más 3 y multiplicar el resultado por 2, la expresión que representa correctamente lo planteado es: (5+3)2. Si usáramos la expresión 5+3(2), ésta sería válida como expresión matemática pero no representa al enunciado dado.
Una variable se representa mediante un símbolo, generalmente una letra. En una expresión matemática cada variable representa un elemento cualquiera de un conjunto de valores posibles. Por ejemplo, en la expresión f(x)=2x+3, x es una variable que puede tomar valores en un conjunto numérico ( , , , , ); por su parte, 2 y 3 en la expresión anterior representan constantes. En la expresión A(r)= πr 2, r es una variable que toma valores positivos en el conjunto de los números reales; mientras que π es constante. También f(x) y A(r) son variables. La distancia cubierta d y el tiempo empleado t en un recorrido en bicicleta también son variables, las cuales sólo pueden tomar valores no negativos. Fundación Polar • Últimas Noticias • El mundo de la matemática • Ecuaciones • 6
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Ayer y hoy del simbolismo de las ecuaciones algebraicas El advenimiento y posterior evolución del simbolismo matemático fue un proceso lento. Veamos una breve reseña: Siglo II
Diofanto
1494
Luca Pacioli
1521
Ghaligai
1577
Gosselin
s. XVI
Viète
B 3 in A q + F 5 in A – AC aequatur D sólido
3 a x 2+ 5 b x - x 3 = D
1629
Forma actual de escritura
Girard
1 4 + 35 2 + 24 = 10 3 + 50 1
x 4+ 3 5 x 2 + 2 4 = 1 0 x 3 + 5 0 x
1637
Forma de escritura para la época
Descartes
x
1693
Matemático
Wallis
x4 + bx3 + cxx + dx + e =0
x + x 2= 1 2
x2 + 32x = 320 1 2 x - x 2+ 4 8 = 1 4 4 - 2 4 x + 2 x 2
12LM1QP48 aequalia 144M24LP2Q
1 a+ 2
x 3= 5 x 2+ 8 x - 1
1 aa + bb 4
x =
1 a+ 2
1 4
a2 + b2
x 4+ b x 3 + c x 2 + d x + e = 0
Notamos que en el período 1494-1693 (casi 200 años) se pasó de una escritura casi en lenguaje natural al simbolismo actual, sin embargo este proceso no se ha detenido. Por ejemplo, en el siglo XX, el conocido grupo Bourbaki introdujo diversas notaciones y popularizó otras. Entre éstas utilizó el símbolo ø para denotar al conjunto vacío.
“El algebra se apropia de pleno derecho el noble problema entre los problemas que es: no dejar ningún problema sin solución.” F. Viète (s. XVI) En Inartem analytican isagoge (1591). Primer tratado moderno de álgebra que lo hizo famoso.
André Weil francés (1906-1998). Uno de los principales matemáticos del siglo XX, miembro fundador del grupo Bourbaki.
Dos matemáticos del siglo XX, el polaco Hugo Steinhaus y el canadiense Leo Moser, idearon una ingeniosa notación para escribir números muy grandes. La notación funciona así:
Hugo Steinhaus matemático polaco (1887-1972).
a
= aa
2
=
a = a dentro de a triángulos 2
=
2
=
22
a
= a dentro de a cuadrados
= 256
El último número representa 256 dentro de 256 triángulos y cada vez que quitamos un triángulo tenemos que tomar lo que está dentro de él como base y elevarlo a un exponente igual a la base. El resultado es un número gigantesco.
Reto: Trata de calcular el valor de
44
= 44
y
3
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Ecuaciones lineales Consideremos la siguiente situación (con los números que utilizamos para contar): se trata del juego o acertijo “Piensa un número...” 1- Piensa un número 2- Multiplícalo por 2 3- Agrégale a lo obtenido 5 4- Multiplica el resultado anterior por 5 5- Súmale 10 a la cantidad obtenida 6- Multiplica el nuevo resultado por 10 7- Dime el resultado y te diré el número que pensaste ¿Cómo funciona el truco? Para ver que hay detrás de este acertijo, basta transformar las frases anteriores en su equivalente simbólico: es decir, construir las expresiones matemáticas que las representan. Lo primero que haremos es simbolizar el número desconocido (el que piensa nuestro adversario) con una letra. Pongamos por caso n. A continuación traducimos todas las instrucciones a expresiones matemáticas:
1- Piensa un número 2- Multiplícalo por 2 3- Agrégale a lo obtenido 5 4- Multiplica el resultado anterior por 5 5- Súmale 10 a la cantidad obtenida 6- Multiplica el nuevo resultado por 10 7- Dime el resultado y te diré el número que pensaste
R es el resultado que nos dan. Una vez escogido n el valor R queda determinado por las operaciones especificadas mediante la fórmula; R se denomina variable dependiente en razón de que su valor depende del valor n.
n 2n 2n+5 (2n+5)5 (2n+5)5+10 [(2n+5)5+10]10 R=[(2n+5)5+10]10
R(n)=100n+350 Esta dependencia se indica por R(n) y es lo que en matemática se denomina una función. La variable n es el número pensado. Como la variable n es de libre escogencia, ella se llama variable independiente.
La incógnita ha recibido diversos nombres en la historia de la matemática. Ahmes (siglo XVII a.C.) usaba la palabra “aha”, que significa montón” o “cantidad”, para designarla. El hindú Aryabhatta (siglos V a VI d.C.) usó la abreviatura “ya” para representarla. En los siglos XV y XVI se emplearon las palabras “res” (latín), “cosa” (italiano), “coss” (alemán) y “cossike” (inglés). En el siglo XV, el matemático Nicolás Chuquet la denominó “premier”. Fundación Polar • Últimas Noticias • El mundo de la matemática • Ecuaciones • 6
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“El álgebra es generosa, frecuentemente da más de lo que pide”
Ecuaciones lineales
Jean D’Alembert matemático, físico y filósofo francés (1717-1783).
¿Cuál es el conjunto de valores posibles que puede tomar n? n
N
En principio, n puede tomar cualquier valor dentro del conjunto de los números naturales, denotado por IN.
El jugador que pensó el número n calcula el número R(n) que produce la fórmula: es decir, está evaluando la función en n. Así, si n=3, entonces le corresponde R(3)=650; si n=11, entonces R(11)=1450, etc. Pero, ¿qué ocurre si pensamos “al revés”?, si damos R ¿habrá algún valor de n que produzca el R dado? Esta es la situación en la cual nos encontramos cuando nuestro oponente da el valor de R y queremos “adivinarle” el número que pensó. Esta nueva situación produce una ecuación y el valor desconocido n pasa a llamarse incógnita. Ecuación es una igualdad entre dos expresiones en la cual aparecen cantidades constantes y una o varias cantidades variables desconocidas llamadas incógnitas. Ejm: x + 6 = 1; x3 - 8 = 0 ... Los valores de la(s) incógnita(s) que satisfagan la igualdad se denominan raíces de la ecuación. Veamos otra situación. Si los triángulos se construyen con fósforos. ¿Será posible encontar una fórmula mediante la cual se establezca una relación entre el número de triángulos y el número de fósforos empleados?. ¡Exploremos el asunto! Para el primer triángulo requerimos tres fósforos. Para poder anexar el segundo se necesita adicionar dos fósforos. Para el siguiente colocamos dos más. Denotemos con la letra n el número de fósforos (variable independiente) y con T(n) el número de triángulos construídos con n fósforos (variable dependiente). Si observamos con un poco de cuidado podemos notar que los números de la segunda columna son los números impares ≥ 3 y en la primera aparecen los números naturales. La pregunta original se transforma en ¿cómo determinar un número de la primera columna conocido su correspondiente en la segunda? En otras palabras, ¿Cómo saber que al 7 le corresponde el 3, al 11 el 5...? La respuesta es que dado un número de la segunda columna, le restamos 1 y luego lo dividimos por 2. Así, la fórmula buscada es:
T(n)=
n-1 n = 2 2
Nº
Nº
1
3
2
5
3
7
4
9
5
11
...
...
1 2
En las dos situaciones que acabamos de presentar, la expresión del lado derecho de la igualdad resultó ser de la forma an + b. En otras ocasiones, como el caso del problema propuesto en el Papiro Rhind cuando las cantidades que intervienen son números reales, se acostumbra emplear la letra x en lugar de n.
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Funciones afín y cuadrática Se dice que la expresión ax+b es un polinomio de grado 1 (o lineal) ya que 1 es el exponente de la variable y la función definida por f(x)=ax+b se denomina función afín (o lineal). La gráfica de la función afín es una línea recta no vertical. y
Tn
Si representamos la sucesión T(n), de los fósforos, se obtienen los puntos que marcamos en la gráfica y observamos que éstos están alineados.
1 1
n
x 2
1 2
1 0
1
x
El área del cuadrado de lado x es x2 y su perímetro es 4x.
Al número que corresponde al área de un cuadrado le resto cinco cuartos del número que corresponde a su perimetro. Si resulta -6, ¿podré determinar las dimensiones del cuadrado?
Por lo que la ecuación queda de la siguiente forma: x2 -
5 5 (4x) = -6 => x2- (4x) = -6 4 4 x2 - 5x =-6
Ecuación de segundo grado o cuadrática 2 Si aplicamos la fórmula -b ± b - 4ac para obtener las raíces de una ecuación de segundo grado (a= 1,
2a
b=-5 y c=6), los valores resultantes, para nuestra ecuación x2 - 5x =-6, son x=2 y x=3. Hay dos cuadrados que cumplen con la premisa dada, los cuadrados de lado 2 y lado 3. -5x+6
y
) = x2
La expresión ax2 + bx + c= 0 se dice
de f(x
que es una ecuación de grado 2 (o cuadrática) y f(x)=ax2+bx+c se
Gráfic a
Veamos otra situación:
0
Si utilizamos en vez de n una variable real x, la representación de esta función da una recta.
f(x)=
denomina función cuadrática. La gráfica de la función cuadrática es una parábola. En este caso ∆ = b2 - 4ac > 0
1 0
x
1
Parábola Rock Armenia.
y a>0
Raíces de la ecuación x2-5x+6=0
Como podemos observar, la parábola corta al eje x en x=2 y en x=3. Estos valores son las raíces que ya habíamos obtenido por métodos algebraicos. Las raíces nos permiten localizar los puntos de corte de la parábola con el eje x. Fundación Polar • Últimas Noticias • El mundo de la matemática • Ecuaciones • 6
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Ecuaciones cuadráticas Grafiquemos algunas funciones de grado 2 a los fines de observar si las mismas cortan el eje x en uno o más puntos, o no lo cortan. Esto da una idea de cómo son las raíces correspondientes a la ecuación cuadrática.
f(x)=-x2-5x-7 y
-1
0 1
f(x)=(x-1)2
y x
1 0
1
x Raíz de la ecuación (x-1)2 = 0
2
La ecuación -x -5x-7=0 no tiene raíces reales. ∆ = -3 < 0
La parábola toca un solo punto del eje x. ∆ = 0
f(x)=x2-3x-4
y
y 0
f(x)= -(2x)2-2x
1
x
Raíces de la ecuación -(2x)2-2x = 0
-1 1 0 1
x Raíces de la ecuación x2-3x-4=0
∆ = 25 > 0
Las ecuaciones y los conjuntos numéricos. Inicialmente cuando sólo se conocían los números naturales N: 0, 1, 2, 3,... y se planteaban ecuaciones del tipo x + a = b, algunas de éstas podían resolverse, es decir tenían solución en el conjunto N, mientras que otras no. De esta manera se crea el conjunto de los números enteros: ..., -3, -2, -2, 0, 1, 2, 3,... donde tienen soluciones las ecuaciones del tipo x + a = b. Pero ahora se plantean ecuaciones de la forma ax = b. Como no todas tienen solución en , se construye el conjunto Q de los números racionales o a y b ≠ 0. Surgen ahora ecuaciones del tipo x2 - a = 0, fracciones, b ,a b a > 0 que no tienen solución. De esta manera se crea el conjunto de los números reales, donde están números como 2, π y e. Pero no todas las ecuaciones del tipo x2 + a = 0 tienen solución en . Finalmente se construye el conjunto C de los números complejos, donde todas las ecuaciones algebraicas anxn +an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0 tienen solución.
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∆=4>0
x+3=5 x+5=2
Solución x = 2 No tiene solución en IN
3x = 18 2x = 1
Solución x = 6 No tiene solución en
x2 - 2 = 0 x2 + 1 = 0
Sin solución en Q Sin solución en
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