APÉNDICE B INTERPOLACIÓN UTILIZANDO FUNCIONES DE BASE RADIAL Características de las Funciones de Base Radial (Radial Basis Functions) El problema consiste en construir una función de interpolación s(x) dado un conjunto de puntos sobre la super cie, nsp , que tendrán valor igua a cero (s(x) = 0), y un conjunto de puntos interiores a la super cie, nip , que tendrán valor distinto de cero (s(x) 6= 0); siendo el número total de puntos con el que se construirá la función de interpolación igual a N (N = nip + nsp ), [12,13]. Luego, dado un conjunto de puntos X = fxI gN R3 y un conjunto de valores I=1 N para la función ffI gI=1 R, se pretende encontrar una interpolación s : R3 ! R tal que s(xI ) = fI ;
(1)
I = 1; ::; N :
La función de interpolación se elige en el espacio de distribuciones de Beppo-Levi en R3 con derivadas segundas cuadrado integrables (BL(2) (R3 )). Sin embargo este espacio es lo su cientemente grande como para de nir un espacio de funciones de interpolación S = fs 2 BL(2) (R3 ) : s(xI ) = fI ;
(2)
I = 1; ::; N g :
Este espacio tiene por propiedad el hecho de ser invariante a la seminorma de rotación1 , la cual puede interpretarse como una medida de la energía o de la suavidad de la función (es decir funciones con seminorma pequeña son más suaves que funciones con seminorma grande). Se demuestra que la función de interpolación más suave s# = arg min ksk ,
(3)
s2S
tiene la forma #
s (x) = (x) = p (x) +
N X
I
x
I
x
= p (x) +
I=1
donde p(x) es un polinomio lineal y
I
N X
I
R(r) ,
(4)
I=1
son números reales.
Esta función es un caso particular de una radial basis function, cuya expresión genérica es (x) = p (x) +
N X
I
R( x
xI ) .
(5)
I=1
donde las "funciones base" son funciones reales en [0; 1) y se tienen por ejemplo las siguientes variantes [12,13]: 1
La seminorma de rotación está de nida como: Z " 2 2 2 @ s(x) @ 2 s(x) @ 2 s(x) 2 ksk = + + @x2 @y 2 @z 2 R3 +2
2
@ 2 s(x) @x@y
38
2
+2
@ 2 s(x) @x@z
2
+2
@ 2 s(x) @y@z
2
#
dx .