APÉNDICE B INTERPOLACIÓN UTILIZANDO FUNCIONES DE BASE RADIAL Características de las Funciones de Base Radial (Radial Basis Functions) El problema consiste en construir una función de interpolación s(x) dado un conjunto de puntos sobre la super cie, nsp , que tendrán valor igua a cero (s(x) = 0), y un conjunto de puntos interiores a la super cie, nip , que tendrán valor distinto de cero (s(x) 6= 0); siendo el número total de puntos con el que se construirá la función de interpolación igual a N (N = nip + nsp ), [12,13]. Luego, dado un conjunto de puntos X = fxI gN R3 y un conjunto de valores I=1 N para la función ffI gI=1 R, se pretende encontrar una interpolación s : R3 ! R tal que s(xI ) = fI ;
(1)
I = 1; ::; N :
La función de interpolación se elige en el espacio de distribuciones de Beppo-Levi en R3 con derivadas segundas cuadrado integrables (BL(2) (R3 )). Sin embargo este espacio es lo su cientemente grande como para de nir un espacio de funciones de interpolación S = fs 2 BL(2) (R3 ) : s(xI ) = fI ;
(2)
I = 1; ::; N g :
Este espacio tiene por propiedad el hecho de ser invariante a la seminorma de rotación1 , la cual puede interpretarse como una medida de la energía o de la suavidad de la función (es decir funciones con seminorma pequeña son más suaves que funciones con seminorma grande). Se demuestra que la función de interpolación más suave s# = arg min ksk ,
(3)
s2S
tiene la forma #
s (x) = (x) = p (x) +
N X
I
x
I
x
= p (x) +
I=1
donde p(x) es un polinomio lineal y
I
N X
I
R(r) ,
(4)
I=1
son números reales.
Esta función es un caso particular de una radial basis function, cuya expresión genérica es (x) = p (x) +
N X
I
R( x
xI ) .
(5)
I=1
donde las "funciones base" son funciones reales en [0; 1) y se tienen por ejemplo las siguientes variantes [12,13]: 1
La seminorma de rotación está de nida como: Z " 2 2 2 @ s(x) @ 2 s(x) @ 2 s(x) 2 ksk = + + @x2 @y 2 @z 2 R3 +2
2
@ 2 s(x) @x@y
38
2
+2
@ 2 s(x) @x@z
2
+2
@ 2 s(x) @y@z
2
#
dx .
Biharmonic spline, R (r) = r . Thin plate spline, R (r) = r2 log(r) . Gaussina, R(r) = e
cr 2
.
Triharmonic spline, R(r) = r3 . p Multiquadratic, R(r) = r2 + c2 . Exponential, R(r) = er . La elección de los coe cientes I debe ser tal que la función de interpolación pertenezca al espacio BL(2) (R3 ), y para ésto deben cumplirse ciertas condiciones, que en el caso de funciones base biharmónicas tienen la siguiente forma N X I=1
I
=
N X
N X
xI1 =
I
I=1
I
xI2 =
I=1
N X
xI3 = 0 .
I
(6)
I=1
El polinomio p(x) se de ne, para el caso particular de funciones base biharmónicas en tres dimensiones (Ec. 4), como p(x) = p(x1 ; x2 ; x3 ) = c0 + c1 x1 + c2 x2 + c3 x3
(7)
El sistema de ecuaciones de nido por la Ec. 1 y la Ec. 6, que tiene por solución el conjunto de coe cientes I y el conjunto de coe cientes del polinomio p(x), puede expresarse de la siguiente forma matricial A PT donde
2
P 0
kx1
6 A=4
.. .
N
x1 k
..
2
N
x x11 .. .
1
6 P=4 1 1 xN 1 =
cT = T
=
.
x
x12 .. . xN 2
1
c0
c1
c2
.. .
3
xN
7 5 ,
N
x 3
x13 .. 7 , . 5 xN 3
(10)
,
(11)
c3
,
(12) .
Nótese que (xI ) será igual a cero excepto en los nip puntos interiores.
39
(9)
N
(xN )
(x1 )
(8)
0
x1
1
x
T
=
c
(13)
Cuando el conjunto de puntos está de nido en R2 , es decir s : R2 ! R, las “funciones base” normalmente utilizadas son thin plate spline. Sin embargo, en nuestro caso, hemos utilizado como “funciones base” tri-harmonic thin plate spline R (r) = r4 log(r)
(14)
para lograr continuidad en derivadas de mayor orden, pruebas numéricas nos han demostrado ventajas frente a las thin plate spline.
Ejemplo de aplicación La gura muestra cómo a partir de un conjunto de siete puntos sobre la super cie ( (x) = 0), y un conjunto de puntos interiores ( (x) < 0)no indicados en la gura, queda de nida la función de interpolación (x) en R2 , determinando para el caso del problema en cuestión la posición de la isoterma de 1150 C y el dominio de cálculo a utilizar. Como puede observarse la frontera “material / no material” es una curva suave y continua, características que se espera tenga el per l real de erosión del crisol del alto horno dados los fenómenos físicos involucrados.
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