Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de

Modelado y An´alisis de la Localizaci´on de Deformaciones Pl´asticas en S´olidos Matias Gabriel Zielonka

Tesis de Ingenier´õa Mec´anica Facultad de Ingenier´õa Universidad de Buenos Aires

Septiembre de 1997

Tema: Modelado y an´alisis de la localizaci´on de deformaciones pl´asticas en s´olidos Alumno: Matias G. Zielonka Padr´ on: 69.650 Director del trabajo: Dr. Ing. Eduardo N. Dvorkin Fecha de iniciaci´ on: Agosto de 1996 Fecha de Finalizaci´ on: Septiembre de 1997 Informe Þnal aprobado por:

Resumen Al deformarse pl´asticamente una piezas met´alica frecuentemente se observa que la deformaci´on no se distribuye uniformemente dentro de la pieza sino que se concentra en bandas angostas (zonas peque˜ nas de deformaci´on muy intensa) mientras el resto del material practicamente no experimenta deformaci´on alguna.

Este fen´omeno se conoce como localizaci´on de las deformaciones pl´asticas. En este trabajo se estudia un modelo matem´atico y num´erico capaz de reproducir este fen´omeno y de identiÞcar los factores que inßuyen en la maniÞestaci´on del mismo. El enfoque de an´alisis utilizado para ello es el denominado formulaci´on de ßujo que se caracteriza por suponer despreciable la parte el´astica de las deformaciones y describir el comportamiento inel´astico en t´erminos de la viscoplasticidad, lo que permite estudiar la deformaci´on del s´olido como si fuera el ßujo de un ßuido viscoso incompresible no newtoniano, es decir, utilizando el punto de vista euleriano (de relativamente f´acil implementaci´on num´erica). Para resolver las ecuaciones que se derivan de este modelo matem´atico (ecuaciones de Stokes) se utiliza el m´etodo de los elementos Þnitos. Como la formulaci´on est´andard de este m´etodo (la formulaci´on basada en interpolaci´on exclusiva del campo de velocidades) es ineÞcaz para representar ßujos incompresibles, es necesario recurrir a formulaciones alternativas capaces de aproximar adecuadamente esta condici´on.

En este trabajo se exploran algunas de estas alternativas (el m´etodo de los multiplicadores de lagrange, el m´etodo de penalizaci´on y el m´etodo de los elementos Þnitos) y se analizan sus alcances y limitaciones y las formas de superarlas.

Agradecimientos Quiero agradecerles al Dr. Eduardo Dvorkin, a mis compa˜ neros de trabajo (Andrea, Marcela, Pablo, Rita, Miguel, Silvina, Marisol, Victor y Javier), a mis padres Eleonora y Salvatore, a mis hermanos Liliana y Ezequiel y a mi novia Alejandra por la conÞanza, el aliento y la ayuda que me brindaron y la paciencia que me tuvieron desde que empec´e este trabajo y sin la que me hubiese sido diÞcil terminarlo. A todos ellos les dedico esta y todas sus p´aginas.

Contenido 1 Introducci´ on 1.1 Notaci´on utilizada

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Ecuaciones del movimiento 2.1 Condici´on de incompresibilidad . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Conservaci´on de la cantidad de movimiento . . . . . . . . .

2.2.1 Ecuaci´on del movimiento . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.2 Ecuaci´on del movimiento para ßujos incompresibles 2.2.3 Principio de las Potencias Virtuales . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

3 7 10 10 12 12 14 15

3 Relaciones constitutivas para metales 3.1 Plasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.1 Condici´on de ßuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.2 Ley de endurecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.3 Ley de ßujo Asociada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.4 Tensi´on equivalente y Deformaci´on pl´astica equivalente . .

3.1.5 Relaciones Tensi´on-Deformaci´on completas para la plasticidad 3.2 Viscoplasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.1 Relaci´on constitutiva para la viscoplasticidad . . . . . . .

3.2.2 Relaci´on constitutiva para la viscoplasticidad asociada con la ley de ßuencia de Von Mises . . . . . . . . . . . . . . .

19 20 22 26 31 39 42 45 47

4 Formulaci´ on de ßujo 4.1 Ecuaci´on del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Relaci´on constitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3 Planteo diferencial del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53 53 54 56

51

5 Modelado de ßujos incompresibles bidimensionales con el m´ etodo de los elementos Þnitos 59 5.1 Principio de los potencias virtuales para un estado plano de velocidades de deformaci´on: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.2 Discretizaci´on con el m´etodo de los elementos Þnitos: sus limitaciones 64

1

5.2.1

5.3

5.4

5.5

5.6

Imposici´on de la condici´on de incompresibilidad: el problema del bloqueo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M´etodo de los multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . .

5.3.1 Interpretaci´on geom´etrica del m´etodo de los multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.2 Elecci´on del espacio Qh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.3 Forma matricial de la formulaci´on con multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.4 Existencia de la soluci´on: modos de presi´on . . . . . . . .

5.3.5 PreÞltrado de los modos de presi´on . . . . . . . . . . . . .

M´etodo de penalizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4.1 Forma matricial del m´etodo de penalizaci´on . . . . . . . .

5.4.2 M´etodo de penalizaci´on formulado en t´erminos exclusivos de las velocidades: integraci´on reducida . . . . . . . . . . .

5.4.3 Convergencia de la soluci´on para κ → ∞ . . . . . . . . . .

Procedimientos iterativos para mejorar la soluci´on: M´etodo del lagrangeano aumentado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5.1 Lagrangeano aumentado con preÞltrado o rigidizaci´on de los modos de presi´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Conclusiones acerca del comportamiento de las t´ecnicas num´ericas utilizadas para imponer la condici´on de incompresibilidad utilizando el elemento mixto Q1-P0 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76 81 83 85 90 95 100 105 109 110 111 114 118

120

6 An´ alisis de la localizaci´ on de la deformaci´ on pl´ astica 6.1 Formulaci´on de ßujo para un estado plano de deformaci´on . . . .

6.2 Existencia de soluciones discontinuas . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3 Ejemplo: Localizaci´on de la deformaci´on pl´astica en una probeta compacta sometida a una tracci´on pura . . . . . . . . . . . . . . .

6.3.1 Soluci´on anal´õtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3.2 Soluci´on num´erica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

131 131 133

7 Conclusiones

167

2

141 142 148

´n 1. Introduccio El proceso de conformado de piezas por deformaci´on pl´astica es una de las herramientas m´as utilizadas en la fabricaci´on de productos met´alicos debido a su gran versatilidad y menor costo que otros procesos alternativos. Sin embargo presenta algunas limitaciones que diÞcultan su utilizaci´on. Una de ellas es el fen´omeno de localizaci´on de las deformaciones pl´asticas que aparece muy frecuentemente durante el proceso de conformado de metales muy d´ uctiles.

Este fen´omeno consiste en lo siguiente: cuando se deforma un metal d´ uctil, primero las deformaciones se distribuyen en forma aproximadamente homog´enea, es decir, resulta un estado de deformaci´on continuo que var´õa suavemente dentro del material. Sin embargo cuando se alcanza un determinado nivel de carga, este patr´on de deformaci´on continuo cambia en forma m´as o menos abrupta a un patr´on localizado en el que las deformaciones se concentran en ciertas zonas (en general bandas angostas) mientras el resto del material pr´acticamente no contin´ ua deform´andose (ver Þgura (1.1)); dentro de estas bandas se producen deformaciones intensas, predominantemente de corte tangenciales a la interface que separa a la banda del material adyacente (ver Þgura (1.2)), mientras que fuera de ellas las deformaciones son peque˜ nas, es decir, aparece una discontinuidad del estado de deformaci´on a trav´es de ciertas superÞces (las interfaces banda-material adyacente). Cuando se produce este cambio repentino del patr´on de deformaci´on se dice que la deformaci´on se ha localizado en bandas de corte (shear band).

La localizaci´on de la deformaci´on pl´astica cambia totalmente el comportamiento macr´oscopico del material. Una vez que se inicia se convierte en el mecanismo predominante en toda la deformaci´on pl´astica subsecuente y si persiste puede precipitar una fractura por corte. En circunstancia menos extremas, representa un factor perjudicial en la respuesta en servicio y la vida u ´ til de las piezas met´alicas conformadas por deformaci´on pl´astica; cuando se maniÞesta, las propiedades mec´anicas del material resultan mucho m´as pobres que las esperadas.

Es importante entonces evitar que este mecanismo de deformaci´on se maniÞeste y conocer cuales son los factores que favorecen o perjudican su manifestaci´on.

El estudio de la deformaci´on de s´olidos que experimentan grandes deformaciones inel´asticas (y en particular el estudio del mecanismo de localizaci´on) se puede abordar mediante dos formulaciones alternativas: la primera, denominada

3

Figura 1.1: Banda de corte obtenida en el ensayo de tracci´on de una probeta plana (sacado de la referencia [16])

Figura 1.2: Banda de corte (sacado de la referencia [7]).

4

Formulaci´on de Deformaci´on se caracteriza por utilizar el enfoque lagrangeano para la descripci´on del movimiento del s´olido y relaciones constitutivas el´astopl´asticas para la caracterizaci´on del comportamiento del material. El segundo, denominado Formulaci´on de Flujo, propone describir el comportamiento del material mediante una relaci´on constitutiva r´õgido-viscopl´astica, y en consecuencia, estudiar su movimiento utilizando el punto de vista euleriano. Es decir, considera despreciable la parte el´astica de las deformaciones frente a las inel´asticas (hip´otesis abalada por el hecho que en los procesos de conformado de metales intervienen deformaciones pl´asticas mucho mayores a las el´asticas) y describe el comportamiento inel´astico en t´erminos de la viscoplasticidad con lo que resulta un material que se puede considerar esencialmente un ßuido, y como tal, estudiarse su movimiento desde el punto de vista euleriano. Debido a esta u ´ ltima caracter´õstica la formulaci´on de ßujo resulta mucho mas facil de implementar num´ericamente.

La formulaci´on utilizada en todas las publicaciones consultadas para el an´alisis del fen´omeno de localizaci´on es la formulaci´on de deformaci´on (ver referencias [11], [21], [30], [31], [33], [32]). El prop´osito de este trabajo es estudiar si con la formulaci´on de ßujo (que resulta muy conveniente debido a su mayor simplicidad num´erica) tambi´en se puede describir (al menos cualitativamente) el mecanismo de localizaci´on. Se analiza entonces si es posible la existencia de estados de deformaci´on discontinuos (patrones localizados) en materiales caracterizados por una relaci´on constitutiva r´õgido-viscopl´astica y cuyo movimiento se describe mediante el enfoque euleriano.

Para modelar num´ericamente la deformaci´on (pl´astica) del material se utiliza el m´etodo de los elementos Þnitos. Como una de las hip´otesis con las que se caracterizan al metal asume que el ßujo pl´astico es incompresible (es decir, cada porci´on del material se deforma sin cambiar su volumen) y como la formulaci´on est´andard del m´etodo de los elementos Þnitos (la formulaci´on basada en interpolaci´on exclusiva de velocidades) es ineÞcaz para modelar ßujos incompresibles, se estudian t´ecnicas alternativas capaces de superar los inconvenientes relacionados con la condici´on de incompresibilidad que se presentan con la formulaci´on est´andard.

El texto se organiza de la siguiente forma: en el segundo cap´õtulo se plantean las ecuaciones que caracterizan el movimiento de un medio continuo incompresible desde el punto de vista euleriano. Tambi´en se plantea el principio de las potencias virtuales que es una forma equivalente de expresar dichas ecuaciones y que ser´a utilizado m´as adelante para formular el m´etodo de los elementos Þnitos. En el tercer cap´õtulo se presentan las relaciones constitutivas para la plasticidad y viscoplasticidad y se estudian las caracter´õsticas m´as importantes de estos dos mecanismos de deformaci´on (inel´astica). Un denominador com´ un en casi toda la bibliograf´õa consultada relacionada con este tema (ver referencias [7], [10], 5

[14], [18], [19] o [25]) es el fuerte contenido fenomenol´ogico en la formulaci´on de estas relaciones constitutivas. En este trabajo, a diferencia de los mencionados, se intenta un planteo axiom´atico de dichas relaciones: se busca traducir en hip´otesis matem´aticas las observaciones emp´õricas que fundamentan a los modelos constitutivos y deducir con la mayor generalidad posible (y a partir de dichas hip´otesis) las ecuaciones de cada modelo. En el cuarto cap´õtulo se presenta la formulaci´on de ßujo, es decir, el conjunto de simpliÞcaciones que permite estudiar la deformaci´on del s´olido como si fuera el ßujo de un ßuido viscoso incompresible de viscosidad no constante (ßuido no newtoniano). En el quinto cap´õtulo se estudian las herramientas num´ericas (el m´etodo de los elementos Þnitos adaptado para el an´alisis de ßujos incompresibles) que se utilizar´an para modelar la localizaci´on. La principal diÞcultad que presenta el m´etodo de los elementos Þnitos basado en la interpolaci´on exclusiva del campo de velocidades (que es la formulaci´on utilizada en problemas de elasticidad (compresible)) es la imposibilidad de aproximar simult´aneamente (para un determinado orden de interpolaci´on) la condici´on de incompresibilidad (exactamente) y las condiciones de borde cinem´aticas (exactamente) (esta diÞcultad se conoce como problema del bloqueo) (ver referencias [5], [3], [12], [20], [28]). Para superar este problema es necesario imponer la condici´on de incompresibilidad en forma no exacta (o d´ebil) y en este trabajo se investigan tres formas de hacerlo (el m´etodo de los multiplicadores de lagrange, el m´etodo de penalizaci´on y el m´etodo del lagr´angeano aumentado) con sus respectivos alcances y limitaciones (el segundo m´etodo surge a partir de las limitaciones del primero y el tercero a su vez, a partir de las del segundo). Estos tres m´etodos, si bien solucionan el problema del bloqueo y pueden entonces proporcionar soluciones aceptables para las velocidades, presentan el inconveniente que la soluci´on para las presiones en cambio puede resultar muy pobre (esta soluci´on se caracteriza por la presencia de modos esp´ ureos (no f´õsicos) que tienden a contaminarla completamente). Para solucionar esta diÞcultad se utiliza un m´etodo de eliminaci´on o “preÞltrado” de estas componentes esp´ ureas (propuesto en la referencia [6] para el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange y adaptado en este trabajo para que pueda ser utilizado con el m´etodo del lagrangeano aumentado). En la bibliograf´õa consultada la presentaci´on de estos temas no es en todos los casos lo suÞcientemente ordenada (en general se abordan en el marco del estudio de la existencia, estabilidad, convergencia y estimaci´on del error de la soluci´on num´erica obtenida con estos m´etodos (ver referencias [2], [3], [4], [5], [12], [22], [23], [24])). En este trabajo se intenta hacer una s´õntesis m´as ordenada e intuitiva de los mismos, utilizando para ello (cuendo esto es posible) argumentos, ejemplos y demostraciones simples. En el sexto cap´õtulo se presenta el modelado y an´alisis propiamente dicho del fen´omeno de localizaci´on utilizando la formulaci´on de ßujo y las t´ecnicas num´ericas estudiadas. Se estudia 6

si con ´este modelo es posible obtener, tanto desde el punto de vista an´alitico como num´erico, soluciones discontinuas para las escuaciones que describen la deformaci´on del metal. El desarrollo de los programas con los que han sido hechas todas las simulaciones num´ericas que se presentan en este cap´õtulo (al igual que las correspondientes al cap´õtulo anterior) forma tambi´en parte de este trabajo.1

1.1. Notaci´ on utilizada Notaci´ on de ´õndices Las componentes de las magnitudes tensoriales y vectoriales que aparecen a lo largo de ´este trabajo se simbolizan de la siguiente forma: v1 , v2 y v3 para las componentes de un vector (el vector velocidad por ejemplo) y σ11 , σ22 , σ33 , σ12, σ23 , σ31 , σ21 , σ32 y σ13 para las componentes de un tensor de segundo orden (como el tensor de tensiones por ejemplo). Una componente gen´erica se simbolizar´a como vj o σij con i y j ´õndices enteros que pueden valer 1 2 o 3. Las coordenadas cartesianas del espacio se simbolizan como x1, x2 y x3 . El sistema de coordenadas elegido es el cartesiano ortogonal.

Convenci´ on de supresi´ on del s´õmbolo de sumatoria Las sumas del tipo n X

P

σii

i=1 n X

σij i=1 n n X X

ni σij σij

i=1 j=1

son muy comunes en todas las aplicaciones del calculo vectorial y tensorial (en particular en el estudio del movimiento de los medios deformables) y pueden ser representadas con ventaja si se simpliÞca la notaci´on dejando impl´õcita la P sumatoria y el valor de n. Se adopta entonces los s´õmbolos σii

σij ni σij σij para representar respectivamente a las sumas dadas como ejemplo. Los ´õndices de sumaci´on (´õndices mudos) son los ´õndices repetidos dos veces (y solo dos veces) 1

El lenguaje de programaci´ on utilizado es el Mathematica.

7

y el resto de los ´õndices no participan en la suma y se denomina ´õndices libres.

Como el ´õndice mudo solo sirve para expresar la sumatoria, puede ser cambiado por otro sin que se altere el signiÞcado σii = σkk σij ni = σkj nk σij σij = σkl σkl La convenci´on de supresi´on del s´õmbolo

P

se aplica tambi´en en el siguiente caso:

∂vi ∂xi que representar´a a 3 X ∂vi i=1

∂xi

=

∂v1 ∂v2 ∂v3 + + ∂x1 ∂x2 ∂x3

o en el siguiente cijkl εkl que estar´a representando a 3 X 3 X

cijkl εkl

k=1 l=1

S´õmbolo δ de Kronecker A lo largo del texto tambi´en se usa en forma reiterada el s´õmbolo δ de Kronecker que se deÞne como ( 1 si i = j δij = 0 si i 6= j Por ejemplo un estado hidrost´atico de tensi´on puede ser escrito en t´erminos de estos s´õmbolos como:   p 0 0  σij = p δij =   0 p 0  0 0 p Explicitaci´ on de la dependencia de las variables del instante t Todas las magnitudes f´õsicas que se utilizar´an en la descripci´on de la deformaci´on de los metales, tales como velocidad vj tensiones σij velocidades de deformaci´on εúij , densidad ρ, etc., son magnitudes que en general dependen de la posici´on (x1, x2 , x3 ) y del tiempo t. Para explicitar la dependencia de estas funciones del tiempo y especiÞcar el instante que est´a siendo considerado se utilizar´a la 8

convenci´on de escribir a dicho instante t como supra´õndice a la izquierda de la variable en estudio, por ejemplo: t

vj σij t εúij t ρ t

para para para para

las velocidades en el instante t las tensiones en el instante t las velocidades de deformaci´on en el instante t la densidad en el instante t

(Esto se lee de la siguiente forma: t vj como “vj en t”, t σij como “σij en t” etc.).

En el caso estacionario (donde todas estas variables no var´õan en el tiempo) est´a explicitaci´on se omitir´a.

Representaci´ on de matrices Las matrices se simbolizar´an con letras subrayadas. Por ejemplo σ para la matriz que agrupa a las componentes del tensor de tensiones (σ11, σ22, σ33, σ12 , σ23 , σ31 ), V para la matriz (columna) que agrupa a las velocidades nodales, P para la correspondiente a las presiones nodales, K para la matriz (cuadrada) de rigidez, etc.

9

2. Ecuaciones del movimiento En este cap´õtulo se plantean las ecuaciones diferenciales que se utilizar´an para describir la deformaci´on pl´astica de los metales: la condici´on de incompresibilidad y la ecuaci´on del movimiento. Tambi´en se formula el principio de las potencias virtuales (que es el punto de partida del m´etodo de los elementos Þnitos) y se demuestra su equivalencia con la ecuaci´on del movimiento. Referencias para este cap´õtulo son [1] o [17].

2.1. Condici´ on de incompresibilidad Una de las hip´otesis que se hacen para describir el ßujo pl´astico de los metales es la hip´otesis de incompresibilidad seg´ un la cual el material se mueve manteniendo constante su vol´ umen. Esta condici´on se expresa matem´aticamente (si la densidad ρ es constante) como ∂ t vi =0 (2.1) ∂xi o bien ∂ t v1 ∂ t v2 ∂ t v3 + + =0 ∂x1 ∂x2 ∂x3 Se puede demostrar por qu´e esta igualdad implica la incompresibilidad observando la Þgura (2.1) en la que se muestra una porci´on arbitraria de un material que se est´a deformando. En un instante t esta porci´on ocupa la regi´on t P del espacio y en un instante posterior t + ∆t ocupa la regi´on t+∆t P . Los vol´ umenes de ´estas regiones son Z dV tP

y

Z

t+∆t P

dV

y el cambio de vol´ umen en el intervalo de tiempo ∆t es entonces Z

t+∆t P

dV −

10

Z

tP

dV

Esta diferencia es igual a la diferencia entre los vol´ umenes de las zonas sombreadas de la Þgura (2.1) que son respectivamente las regiones ocupadas por el material que sale de la regi´on t P y la ocupada por el que entra. Para calcular los vol´ umenes de estas zonas se observa que el material que ßuye a trav´es de un elemento de superÞcie dS durante el intervalo de tiempo ∆t ocupar´a un vol´ umen t v ∆t · tn dS (vol´ umen del “cilindro” dibujado en la Þgura). Entonces el vol´ umen de la regi´on t que ocupar´a el material que sale de P ser´a Z

∆t

t

(∂ t P )out

v · t n dS

y el correspondiente al material que entra Z

∆t

t

(∂ t P )

v · t n dS

in

donde (∂ t P )in y (∂ t P )out son respectivamente las partes de la frontera de t P por las que entra y sale material (estas dos partes est´a limitadas por la curva a lo largo de la cual t v · t n = 0). Restando las dos integrales anteriores se obtiene Z

∆t

t

∂tP

v · tn dS

(t n es la normal saliente y entonces el signo de la integral sobre (∂ tP )in se invierte).

La variaci´on del vol´ umen ocupado por la porci´on del material ser´a entonces: Z

t+∆t P

dV −

Z

tP

dV = ∆t

Z

∂t P

t

v · t n dS

Dividiendo por ∆t y haciendo tender ∆t a cero se obtiene Z d Z t dV = v · t n dS t dt t P ∂ P

y aplicando el teorema de la divergencia de Gauss, d dt

Z

tP

dV =

Z

tP

∂ t vi dV ∂ t xi

Para un material incompresible el vol´ umen t P de la regi´on ocupada por cualquier porci´on del material debe permanecer constante en el tiempo. Entonces el miembro izquierdo de la igualdad anterior debe ser cero por lo que Z

tP

∂ t vi dV = 0 ∂xi 11

Figura 2.1: Evoluci´on de una porci´on de un material que se deforma. para toda porci´on del material. Esto se cumplir´a para cualquier regi´on tP si el integrando es cero en todo punto del espacio por donde se extiende el material es decir ∂ t vi =0 ∂xi La condici´on de incompresibilidad implica entonces la ecuaci´on (2.1).

En t´erminos del tensor velocidad de deformaci´on t εúij que se deÞne seg´ un t

1 εúij = 2

Ã

∂ t vj ∂ t vi + ∂xi ∂xj

!

la condici´on de incompresibilidad (2.1) se expresar´a como t

εúii = t εú11 + t εú22 + t εú33 = 0

2.2. Conservaci´ on de la cantidad de movimiento 2.2.1. Ecuaci´ on del movimiento La segunda ecuaci´on que se utilizar´a para describir la deformaci´on pl´astica es la ecuaci´on del movimiento que expresa que la suma de las fuerzas que act´ uan sobre 12

cada part´õcula del medio es igual a la masa de esa part´õcula multiplicada por su aceleraci´on. Para formularla se considera un medio continuo (ya sea un s´olido o una porci´on de un ßuido) como el que se muestra en la Þgura (2.2) que en un instante t se encuentra ocupando una regi´on del espacio t V . Se supone que sobre una parte de la frontera tS de la regi´on tV (la parte t Sf ) act´ uan fuerzas t por unidad de superÞcie conocidas de componentes fj y que sobre la otra parte (la parte t Sv ) se encuentran especiÞcadas las velocidades (de componentes) t vj ; se supone adem´as que sobre el medio se aplican fuerzas por unidad de vol´ umen t conocidas de componentes bj . La resultante de todas las fuerzas que act´ uan sobre cualquier subconjunto t P de la regi´on t V ser´a: Z

t

tP

bj dV +

Z

∂t P

t

σij tni dS

donde ∂ t P es la frontera del subconjunto tP y t σij es el tensor de tensiones de Cauchy . La ley de Newton establece que esta resultante debe ser igual a Z

tP

t

ρ t aj dV

que es la derivada respecto al tiempo de la cantidad de movimiento de la porci´on t P (t ρ es la densidad de masa y t aj son las componentes de la aceleraci´on), es decir, Z Z Z t t t t bj dV + σij t ni dS = ρ aj dV tP

∂tP

tP

o bien, aplicando el teorema de la divergencia de Gauss, Z

tP

Ã

∂ t σij t t t bj + − ρ aj ∂xi

!

dV = 0

Como ´esta integral debe ser nula para toda porci´on t P de la regi´on tV y como el medio es continuo (lo que implica que la densidad t ρ, las tensiones t σij , las aceleraciones t aj y las fuerzas t bj son funciones continuas en t V ), se deduce que el integrando debe anularse en todo punto de t V : t

bj +

∂ t σij t t − ρ aj = 0 ∂xi

en t V

(2.2)

A esta igualdad se la llama ecuaci´on del movimiento. La aceleraci´on de una part´õcula del medio que se en el instante t se posiciona en el punto del espacio de coordenadas t xi es: ∂ t vj t ∂ t vj t aj = + vi ∂t ∂xi 13

es decir, la derivada material de la velocidad. A la ecuaci´on (2.2) se la debe complementar con la condici´on de borde t

fj = t σij t ni

(2.3)

(donde t fj es la componente j de la fuerza por unidad de superÞcie) que se debe cumplir en todo punto de la parte de la frontera t Sf .

Figura 2.2: Fuerzas que act´ uan sobre un medio continuo.

2.2.2. Ecuaci´ on del movimiento para ßujos incompresibles Para estudiar a los materiales que experimentan deformaciones incompresibles es conveniente descomponer al tensor de tensiones en dos partes, una llamada parte volum´etrica y la otra parte desviadora. La parte volum´etrica es la parte cuyas componentes son tp δij donde t p es la tensi´on media (o presi´on hidrost´atica), es decir ´ 1 ³t t p= σ11 + t σ22 + t σ33 3 Este tensor representa a un estado tensional para el cual la tensi´on en cualquier direcci´on t n es t p t n. La parte desviadora se deÞne como

14



t

σ11 − t p  t t t sij = σij − p δij =  tσ12 t σ13

t

σ12 t σ22 − t p t σ23

de manera que

t

t



σ13 t σ23   t σ33 − tp

σij = t sij + t p δij

(2.4)

De la igualdad anterior surge que el tensor de tensiones desviador es un tensor cuyas direcciones principales coinciden con las direcciones de t σij y cuyas componentes principales diÞeren en el valor de la presi´on hidrost´atica, es decir, t σi = t si − t p.

En un material incompresible (en particular en un metal que ßuye pl´asticamente) se observa (ver referencia [10]) que las deformaciones que experimenta el material son independientes de la presi´on hidrost´atica t p. Entonces es conveniente escribir a la ecuaci´on del movimiento en t´erminos de esta descomposici´on del tensor de tensiones. De la ecuaci´on (2.4) se deduce que ∂ t σij ∂ tsij ∂tp ∂ tsij ∂ tp = + δij = + ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi ∂xj por lo que la ecuaci´on del movimiento (2.2) ser´a ∂ tsij ∂tp t + + bj − t ρ t a j = 0 ∂xi ∂xj

(2.5)

Esta es la expresi´on de la ecuaci´on del movimiento que se utilizar´a en el an´alisis del ßujo pl´astico de un metal que, como se dir´a m´as adelante, es incompresible.

2.2.3. Principio de las Potencias Virtuales El m´etodo de los elementos Þnitos utiliza como punto de partida el principio de las potencias virtuales que es una forma equivalente de plantear la ecuaci´on del movimiento (2.2). Considerando de nuevo un medio continuo (ver Þgura (2.2)) que ocupa una regi´on t V del espacio, sobre el que act´ uan fuerzas exteriores de t t t volumen bj , fuerzas de inercia − ρ aj , fuerzas de superÞcie t fj (sobre la parte t Sf de la frontera de t V ) y velocidades impuestas (sobre la parte t Sv de la frontera de t V ), se llama potencia virtual de las fuerzas exteriores a Z

tV

³

t

t

t

´

bj − ρ aj δvj dV +

Z

tS

t

fj δvj dS

f

donde δvj es cualquier campo de velocidades (denominado velocidad virtual o variaci´on de la velocidad) distinto al campo de velocidades real y que cumple 15

las condici´on de ser nulo sobre la parte de la frontera donde se encuentran especiÞcadas las velocidades tSv (tambien debe ser continuo con derivadas parciales continuas). Se llama potencia virtual de las fuerzas interiores a Z

tV

δ εúij t σij dV

donde δ εúij es la variaci´on en la velocidad de deformaci´on que se deriva de la variaci´on de la velocidad δvj , es decir, 1 δ εúij = 2

Ã

∂δvj ∂δvi + ∂xi ∂xj

!

El principio de las potencias virtuales establece que las tensiones t σij que se establezcan en el cuerpo (es decir, las tensiones que son soluci´on de la ecuaci´on del movimiento para determinadas fuerzas exteriores tbj , fuerzas de inercia −t ρ t aj , fuerzas de superÞcie t fj y velocidades impuestas) veriÞcan que la potencia virtual de las fuerzas exteriores es igual a la potencia virtual de las fuerzas interiores. Es decir, t σij ser´a soluci´on de la ecuaci´on (2.2) con las condiciones de borde (2.3) si y solo si Z

tV

1 2

Ã

∂δvj ∂δvi + ∂xi ∂xj

!

t

σij dV =

Z

³

t

tV

t

t

´

bj − ρ aj δvj dV +

Z

tS

t

fj δvj dS (2.6)

f

para toda variaci´on de la velocidad δvj nula sobre la parte t Sv de la frontera del cuerpo.1 Para demostrar la equivalencia entre esta igualdad y la ecuaci´on (2.2) se observa que ∂ tσij ∂δvj t ∂ (δvj t σij ) = δvj + σij ∂xi ∂xi ∂xi 1

Recordar que se est´ a utilizando la convenci´ on de supresi´ on del s´õmbolo de suma

que 1 2

³

∂δvj ∂xi

+

∂δvi ∂x³ j

+ 12 + 12

³

´

t

∂δv1 t σ11 ∂x´ 1 ∂δv2 t σ21 ∂x1

σij =

∂δv1 ∂x2

+

∂δv1 ∂x3

+

∂δv3 ∂x1

´

t

+ +

σ31 +

³

´

³

1 ∂δv2 t 1 3 1 + ∂δv σ12 + 12 ∂δv + ∂δv 2 ∂x1 ∂x³ ∂x3 2 ´∂x1 ∂δv2 t ∂δv2 t 1 ∂δv3 σ23 + ∂x2 σ22 + 2 ∂x2 + ∂x3 1 2

³

∂δv2 ∂x3

+

∂δv3 ∂x2

´

t

σ32 +

´

t

P

por lo

σ13

∂δv3 t ∂x3 σ33

que por ser el tensor de tensiones un tensor sim´etrico (es decir, t σ12 = t σ21 , t σ13 = t σ31 y t σ23 = t σ32 ) se reduce a ³ ´ 1 ∂δvj ∂δvi t 1t 2t 3t + σij = ∂δv σ11 + ∂δv σ22 + ∂δv σ33 + 2 ∂xi ∂x ∂x ´1 ´∂x3 ´ ³j ³ ∂x2 ³ t t t 2 1 3 1 3 2 + ∂δv + ∂δv σ12 + ∂δv + ∂δv σ13 + ∂δv + ∂δv σ23 ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x3 ∂x2 ∂x3

16

por lo que el trabajo virtual de las fuerzas interiores ser´a Z

tV

∂ (δvj t σij ) dV − ∂xi

Z

∂ t σij δvj dV ∂xi

tV

o bien, aplicando el teorema de la divergencia de Gauss Z

tS

δvj t σij t ni dS −

Z

∂ t σij δvj dV ∂xi

tV

Recordando que la variaci´oRn de velocidad en la parte de la frontera t Sv es nula por R lo que t S δvj t σij t ni dS = t Sf δvj t σij t ni dS, entonces el principio de las potencias virtuales (2.6) queda Z

tS f

t

t

δvj σij ni dS −

Z

tV

∂ t σij δvj dV = ∂xi

Z

tV

³

t

t

t

´

bj − ρ aj δvj dV +

Z

t

tS

fj δvj dS

f

o bien Z

tV

Ã

!

Z ³ ´ ∂ t σij t t t t + bj − ρ aj δvj dV + fj − tσij t ni δvj dS = 0 tS ∂xi f

Estas integrales ser´an nulas para toda variaci´on de velocidades δvj si y solo si ∂ t σ ij + t bj − tρ t aj = 0 en t V y t fj − t σij t ni = 0 en t Sf es decir, si se cumple la ∂xi ecuaci´on (2.2) con las condiciones de borde (2.3).

Principio de las potencias virtuales en t´ erminos de los tensores desviador y volum´ etrico de las tensiones.

Utilizando la descomposici´on (2.4) en la expresi´on del principio de las potencias virtuales (2.6) se obtiene: R

tV

1 2

Ã

!

Ã

!

R 1 ∂δvj ∂δvj ∂δvi ∂δvi t + sij dV + t V + p δij dV = ∂xi R ∂xj 2 R∂xi ∂xj = t V (t bj − tρ t aj ) δvj dV + t Sf t fj δvj dS ∀ δvj

En el segundo sumando del miembro izquierdo se observa que ∂δvi por lo que este sumando se reduce a ∂ t xi Z

tV

∂δvi t p dV ∂xi

17

1 2

³

∂δvj ∂ t xi

+

∂δvi ∂ t xj

´

δij =

El primer sumando, si se hace con la velocidad de deformaci´on virtual una descomposici´on an´aloga a la hecha con las tensiones, es decir 1 2

Ã

∂δvj ∂δvi + t ∂xi ∂ xj

se reduce a R

tV

à à 1 2

!

à Ã

=

1 2

|

∂δvj ∂δvi + ∂xi ∂xj

{z

!

−

1 ∂δvk 3 ∂xk

Parte desviadora

!

δij

! }

+

1 2

³

∂δvj ∂xi

+

∂δvi ∂xj

∂δvk δij ∂x k | {z } 1 3

Parte volum´ etrica

!

R ∂δvk ∂δvj ∂δvi ∂δvk + − 13 δij t sij dV + 13 δij tsij dV = ∂xi à Ã∂xj ∂xk! ∂x k !

R ∂δvj ∂δvi 1 1 ∂δvk t + −3 δij sij dV tV 2 ∂xi ∂xj ∂xk

dado que δij tsij = 0. Entonces el principio de las potencias virtuales ser´a R

tV

à à 1 2

!

!

R ∂δvi t ∂δvj ∂δvi ∂δvk + t − 13 δij t sij dV + tV p dV = ∂xiR ∂ xj ∂xk ∂xi R = t V (t bj − t ρ t aj ) δvj dV + t Sf t fj δvj dS ∀ δvj

(2.7)

Al primer t´ermino del miembro izquierdo se lo denomina potencia virtual desviadora y al segundo, potencia virtual volum´etrica.

Se han presentado las ecuaciones diferenciales que se utilizar´an para describir el movimiento del material (desde el punto de vista Euleriano): La condicion de incompresibilidad (2.1) (o ecuaci´on de continuidad cuando la densidad ρ es constante) y la ecuaci´on del movimiento (para ßujos incompresibles) (2.5). Para resolverlas num´ericamente mediante el m´etodo de los elementos Þnitos es necesario reexpresarlas en forma “d´ebil” o integral. Para ello se ha planteado el principio de las potencias virtuales (2.7) (que es la forma “d´ebil” de la ecuaci´on del movimiento (2.5)). Con respecto a la condici´on de incompresibilidad (2.1), las distintas alternativas de expresarla en forma “d´ebil” ser´an discutidas en el cap´õtulo 5.

18

´

3. Relaciones constitutivas para metales Cuando a un cuerpo met´alico se aplican cargas suÞcientemente grandes, se observa que una parte (peque˜ na) de la deformaci´on total resulante puede recuperarse si se remueven las cargas mientras que la parte restante (la mas grande) es acumulada en forma permanente. La parte recuperable o el´astica est´a relacionada con las tensiones mediante la ley de Hooke de la teor´õa de la elasticidad. En este cap´õtulo se construyen un conjunto de ecuaciones an´alogas a dichas relaciones tensi´on-deformaci´on de la teor´õa de la elasticidad pero para la parte inel´astica (o permanente) de las deformaciones del metal. En particular se formulan las ecuaciones para dos tipos de comportamiento inel´astico: Plasticidad inv´õscida y Viscoplasticidad. Ambos comportamientos se diferencian del el´astico en que las deformaciones no se encuentran un´õvocamente determinadas por las tensiones como en el caso el´astico sino que dependen de toda la historia de carga previa, es decir, de c´omo fue alcanzado el estado de tensiones y deformaciones, y se diferencian entre s´õ en que en la plasticidad inv´õscida se desprecia la inßuencia del tiempo (de la duraci´on del proceso de deformaci´on, y por lo tanto de la velocidad de deformaci´on) en la respuesta del material, mientras que en el caso de la viscoplasticidad los efectos din´amicos no se desprecian y la inßuencia de la velocidad de deformaci´on s´õ se tiene en cuenta.

Cuando las fuerzas aplicadas sobre el material no son suÞcientemente grandes, la deformaci´on que se produce es totalmente recuperable o el´astica. Las deformaciones permanentes comienzan a manifestarse s´olo cuando las fuerzas aplicadas superan cierto valor cr´õtico. Existen entonces dos rangos de deformaci´on: el rango el´astico y el rango inel´astico y se utilizan los t´erminos elasto/pl´astico o el´asto/viscopl´astico para describir a los materiales que presentan esta caracter´õstica. Pero frecuentemente las deformaciones inel´asticas son tan grandes que, para este rango de cargas, las deformaciones el´asticas resultan despreciables.

Cuando esto ocurre, es posible considerarlas nulas tambi´en para cargas peque˜ nas y asumir que en ese caso, el material es r´õgido. Para describir los materiales en los que es posible hacer esta simpliÞcaci´on, se utilizar´an los terminos R´õgido/Pl´astico o R´õgido/Viscopl´astico. Referencias para este cap´õtulo son [8], [10], [14], [17], [18], [19], [25] y [27].

19

3.1. Plasticidad Como se mencion´o antes, la deformaci´on inel´astica de un metal empieza solo cuando las tensiones alcanzan cierto valor cr´õtico. Para tensiones menores a este valor la deformaci´on es de naturaleza el´astica, y cuando las tensiones igualan este valor comienzan las deformaciones permanentes. Una vez que este estado tensional cr´õtico es alcanzado (y las deformaci´on pl´asticas estan por manifestarse) se observan los siguientes fen´omenos: • La deformaci´on pl´astica (o permanente) no se incrementa a menos que las tensiones se incrementen continuamente; es decir, si se mantienen las cargas constantes, la deformaci´on pl´astica no crece; solo crece cuando se incrementan las tensiones a valores mayores a la tensi´on cr´õtica a la cual se inici´o la ßuencia. Este fen´omeno se conoce con el nombre de endurecimiento por deformaci´on.

• Si, alcanzado cierto nivel de tensiones, se suprimen las cargas que le daban or´õgen, durante la descarga, el material se comporta el´asticamente.

• Si, despu´es de la descarga, se vuelve a tensionar al material la ßuencia no volver´a a comenzar sino cuando el u ´ltimo nivel de tensiones al que se hab´õa llegado antes de iniciarse la descarga vuelva a ser alcanzado; es decir, el estado tensional cr´õtico que es necesario aplicar para producir en el material m´as deformaci´on permanente de la que ya fue impuesta cambia a medida que se acumula deformaci´on pl´astica.

Se pueden entender mejor estos aspectos de la deformaci´on pl´astica de un metal recordando los resultados del ensayo de tracci´on uniaxial que se ilustran en la curva Tensi´on-Deformaci´on de la Þgura (3.1). Se observan: • El rango el´astico inicial (Segmento O-A), seguido por • La tensi´on cr´õtica inicial 0σY (Punto A) (o tensi´on de ßuencia inicial) que se˜ nala el comienzo de la deformaci´on pl´astica, y • El rango pl´astico (con endurecimiento por deformaci´on) (Curva A-B-D) en el que: — son necesarias tensiones cada vez mayores para que crezca la deformaci´on pl´astica, — si, alcanzado cierto nivel de tensiones t σY (Punto B), se suprimen las cargas, las deformaciones vuelven a ser de naturaleza el´astica (Curva B-C).

20

— Para producir mayor cantidad de deformaci´on pl´astica es necesario que las tensiones vuelvan a igualar al u ´ ltimo nivel de tensiones t σY (Punto B) que se hab´õa alcanzado antes de comenzar la descarga.

Figura 3.1: Curva Tensi´on-Deformaci´on para un material con endurecimiento por deformaci´on En algunos metales el fen´omeno de endurecimiento por deformaci´on practicamente no se maniÞesta. Si se lo desprecia completamente la curva tensi´on deformaci´on pasa a tener la forma mostrada en la Þgura (3.2). Los materiales para los cuales se hace esta idealizaci´on se denominan perfectamente pl´asticos. Se observa que estos materiales, a diferencia de aquellos en los que s´õ existe endurecimiento, ßuyen pl´asticamente a tensi´on constante e igual a la tensi´on cr´õtica inicial 0 σY , y que si en un instante cualquiera se suprimen las cargas (punto B), para que el material vuelva a ßuir pl´asticamente alcanza con aumentar las tensiones nuevamente hasta 0 σY (y no hasta un valor mayor t σY como antes), es decir, la tensi´on de ßuencia σY para estos materiales no depende de la cantidad de deformaci´on pl´astica que se acumula.

En s´õntesis, existen ciertos estados tensionales cr´õticos que marcan el comienzo de las deformaciones pl´asticas y que pueden variar a medida que dichas deformaciones pl´asticas progresan. Se pretende ahora caracterizar a estos estados cr´õticos 21

Figura 3.2: Curva Tensi´on-Deformaci´on para un material perfectamente pl´astico (condici´on de ßuencia), precisar para aquellos materiales que experimentan endurecimiento por deformaci´on, la forma en que var´õan (condici´on de endurecimiento) y describir de qu´e manera se incrementan las deformaciones pl´asticas cuando alguno de estos estados es alcanzado (ley de ßujo).

3.1.1. Condici´ on de ßuencia Para determinar los estados tensionales cr´õticos que es necesario alcanzar para que las deformaciones pl´asticas empiecen a manifestarse, se hacen las siguientes hipotesis denominadas condici´on de ßuencia o ley de ßuencia. Para los materiales que experimentan endurecimiento por deformaci´on esta ley se puede enunciar de la siguiente manera (ver referencias [17] y [18]): 1. Los estados tensionales cr´õticos son aquellos que veriÞcan F (t σij , t Kα ) = 0

i, j = 1, 2, 3

α = 1, 2, · · ·

(3.1)

donde F es la denominada funci´on de ßuencia y t Kα es un conjunto de par´ametros que dependen exclusivamente de la cantidad de deformaci´on pl´astica acumulada hasta el instante t.

22

2. Para un dado estado de tensiones t σij y determinados valores de los par´ametros tKα (Þjados estos u ´ltimos por una dada cantidad de deformaci´on pl´astica), el material estar´a en r´egimen el´astico si F (tσij , t Kα ) < 0 o si

∂F t · σú ij < 0 (Condici´on de descarga) ∂ t σij y se producir´an deformaciones pl´asticas si F (t σij , t Kα) = 0 y

F (tσij , t Kα ) = 0 y

∂F t · σú ij ≥ 0 (Condici´on de Carga) ∂ t σij

La primera condici´on establece que la deformaci´on pl´astica comenzar´a cuando las tensiones veriÞquen F (t σij , t Kα ) = 0; mientras F (t σij , t Kα ) sea menor que 0, las deformaciones ser´an puramente el´asticas. A medida que las deformaciones pl´asticas aumentan los par´ametros t Kα crecen continuamente de manera que, si la ßuencia se inici´o en el instante t = 0 cuando los par´ametros ten´õan ciertos valores 0 Kα y si en un instante posterior t = τ , el material es descargado y despu´es cargado nuevamente, las deformaciones pl´asticas no volver´an a manifestarse sino cuando las tensiones vuelvan a veriÞcar F (tσij , τ Kα ) = 0 siendo τ Kα distintos y mayores a los valores iniciales 0 Kα. La segunda condici´on se˜ nala que el rango el´astico estar´a formado por todos aquellos estados de tensi´on t σij para los cuales se cumpla que F (t σij , t Kα ) < 0. A la condici´on ∂∂F · t σú ij < 0 se la denomina condici´on de tσ ij descarga debido a que, si las tensiones que se desarrollan en un instante t, cumplen F (t σij , t Kα ) = 0 y se produce un incremento de tensiones tσú ij · ∆t que descarga al material, entonces (por la primera de las condiciones 2) las tensiones en el instante t+∆t (que son iguales a las tensiones que exist´õan en el istante t, mas el incremento de tensi´on, es decir, t+∆t σij = tσij + t σú ij · ∆t) deber´an cumplir F (t+∆t σij , tKα ) < 0 (Recordar que los par´ametros t Kα var´õan solo cuando se produce un incremento de deformaci´on pl´astica por lo que permanecen constantes durante una descarga); · t σú ij · ∆t = 0 + ∂∂F · t σú ij · ∆t luego como F (t+∆t σij , t Kα) ' F (t σij , t Kα) + ∂∂F tσ tσ ij ij deber´a ser ∂∂F · t σú ij < 0 para que F (t+∆t σij , t Kα ) sea menor que 0. tσ ij Para materiales perfectamente pl´asticos los estados tensionales cr´õticos que se˜ nalan el comienzo de la ßuencia no se modiÞcan a medida que progresa la deformaci´on pl´astica. La condici´on de ßuencia se reescribe entonces para dichos metales en la siguiente forma: 1. Los estados tensionales cr´õticos son aquellos que cumplen F (tσij , Kα ) = 0

i, j = 1, 2, 3

α = 1, 2, · · ·

siendo F la funci´on de ßuencia y Kα un conjunto de constantes 23

2. Para un dado estado de tensiones t σij , el material estar´a en r´egimen el´astico si F (t σij , Kα ) < 0 y se producir´an deformaciones pl´asticas si F (t σij , Kα ) = 0 En otras palabras, para materiales perfectamente pl´asticos los par´ametros Kα no aumentan con la deformaci´on sino que permanecen constantes por lo que la ßuencia se produce a tensi´on constante o cuando las tensiones evolucionen de manera que F = 0 (para estos materiales no existe la posibilidad de que se · tσú ij > 0 porque como los par´ametros produzca una carga, es decir, de que ∂∂F tσ ij son constantes si se produce un incremento de tensiones tσú ij ∆t para el que se cumple ∂∂F · t σú ij > 0, las tensiones que se alcanzan despu´es del incremento de tσ ij carga cumplir´an F > 0 y esto constradice la segunda condici´on).

Representaci´ on geom´ etrica de la Ley de Fluencia La igualdad F (tσij , t Kα) = 0 se puede interpretar geom´etricamente como una hipersuperÞcie en el espacio eucl´õdeo 6-dimensional de coordenadas cartesianas dadas por las 6 componentes diferentes del tensor de tensiones (en realidad, una familia de superÞcies de par´ametros t Kα ), denominada superÞcie de ßuencia (ver referencias [17] y [18]). Los puntos de esta superÞcie representar´an estados tensionales que deÞnen el comienzo de las deformaciones pl´asticas y el interior F (t σij , t Kα ) < 0 representar´a el rango el´astico. Como los par´ametros tKα dependen de la cantidad de deformaci´on pl´astica que se acumula (cuando existe endurecimiento), la superÞcie de ßuencia cambiar´a continuamente durante la t ßuencia. La condici´on de carga ∂∂F σú ij > 0 admite la siguiente interpretaci´on tσ ij en t´erminos de esta representaci´on geom´etrica (ver Þgura (3.3)): Como ∂∂F ser´a tσ ij t un vector normal saliente a la superÞcie de ßuencia y σú ij ∆t un incremento de t tensiones, ∂∂F σú ij > 0 representar´a a un incremento de tensiones t σú ij ∆t que tσ ij t apunta hacia el exterior de la superÞcie y ∂∂F σú ij < 0, a un incremento que tσ ij t apunta hacia el interior (rango el´astico). Cuando ∂∂F σú ij = 0 el incremento de tσ ij tensiones ser´a tangente. La condici´on de carga implica que existir´a ßuencia solo cuando el incremento de tensiones t σú ij ∆t apunte hacia el exterior o sea tangente.

Para los materiales perfectamente pl´asticos, la superÞcie de ßuencia no cambia con la deformaci´on y en este caso se producir´a incremento de deformaci´on pl´astica cuando la tensi´on se mantenga constante o cuando el incremento de tensiones t σú ij ∆t sea tangente a la superÞcie.

24

Figura 3.3: Representaci´on geom´etrica de los rangos el´asticos e inel´asticos de carga.

La ecuaci´on (3.1) que deÞne a la superÞcie de ßuencia toma una forma m´as simple si se hace uso de las siguientes hip´otesis (ver referencia [17]): 1. La ßuencia es independiente de la presi´on hidrost´atica.

2. El material es is´otropo.

La primera condici´on surge de observaciones experimentales (ver referencias [10] o [18]) que demostraron que las presiones hidrost´aticas producen una cantidad despreciable de deformacion pl´astica tanto cuando son las u ´nicas tensiones aplicadas como cuando act´ uan superpuestas a alg´ un estado tensional combinado.

Esta hip´otesis implica que la funci´on de carga F depende solamente de la parte desviadora t sij del tensor de tensiones ya que esta parte no es afectada por cambios en la presi´on hidrost´atica. Por lo tanto la ley de ßuencia (3.1) se expresar´a como F (t sij , t Kα ) = 0 La segunda condici´on (condici´on de isotrop´õa) implica que no existen direcciones preferenciales para las tensiones que favorezcan el comienzo de la ßuencia y que por lo tanto F puede depender s´olo de las componentes principales 25

(t s1, t s2 , t s3 ) del tensor de tensiones desviador pero no de las direcciones principales (tn1, t n2 , t n3 ); Adem´as F debe ser una funci´on sim´etrica de (t s1 , t s2, t s3 ) porque todas las tensiones principales deben cumplir el mismo rol en la ßuencia.

En otras palabras, la funci´on de ßuencia F debe ser una funci´on is´otropa del tensor desviador de tensiones y la ley de ßuencia se expresar´a seg´ un: (

F (ts1 , t s2, t s3 , tKα ) = 0 F (ts1 , t s2, t s3 , tKα ) = F (t s3, t s1 , ts2 , t Kα ) , etc. (F es sim´etrica)

Como las componentes principales del tensor desviador de tensiones son las soluciones de la ecuaci´on caracter´õstica −s3 + t J2 · s + t J3 = 0 donde: t

J2 = t J3 =

1t s t s = t s211 + t s222 + ts233 + 2 (t s213 + t s223 + t s212 ) 2 ij ij 1t s t s t s = |t sij | = t s11 t s22 t s33 − (t s213t s22 + t s223 ts11 3 ij jk ki

+ t s212 t s33 ) + 2 t s12 ts23 t s31 (3.2) son los invariantes principales del tensor desviador de tensiones,1 entonces dichas tensiones desviadoras principales ser´an funciones algebraicas de los invariantes escalares t J2 y t J3 . Luego la ley de ßuencia se podr´a expresar como F

³

t

´

J2 , t J3 , t Kα = 0

(3.3)

3.1.2. Ley de endurecimiento Como se dijo antes, en aquellos metales que experimentan endurecimiento por deformaci´on, la superÞcie de ßuencia cambia a medida que las deformaciones pl´asticas progresan. La ecuaci´on (3.1) permite conocer para qu´e estados de tensiones comienzan las deformaciones pl´asticas pero no dice nada respecto a como var´õa la superÞcie de ßuencia, es decir, como var´õan los par´ametros t Kα .

Al conjunto de hip´otesis que se hacen para determinar dicha variaci´on se lo denomina ley de endurecimiento. La mas simple de estas leyes es la llamada ley de endurecimiento is´otropo seg´ un la cual se supone que las sucesivas superÞcies de ßuencia no cambian de forma, sino solo de tama˜ no, medido ´este u ´ ltimo con un u ´ nico par´ametro. En otras palabras se supone que todas las superÞcies de ßuencia son geom´etricamente semejantes entre s´õ, y todas ellas se reducen a la misma mediante un cambio de escala. Es decir que si se mide la escala (o tama˜ no) de la t superÞcie con un u ´ nico par´ametro K y si, como consecuencia de la deformaci´on, 1

El primer invariante t J1 = t s11 + t s22 + t s33 es nulo porque se trata de un tensor desviador ( sij = t σij − 13 t σkk δij ⇒ t skk = t σkk − 13 t σkk 3 = 0) t

26

´este par´ametro aumenta por ejemplo al doble, se deber´an aumentar las tensiones tambi´en al doble para comenzar de nuevo la ßuencia. Esta ley postula adem´as que el mecanismo que produce el endurecimiento act´ ua igualmente en tensi´on que en compresi´on cualquiera sea la cantidad de deformaci´on que haya acumulado el material (cualquiera sea t K), es decir, si la ßuencia comienza cuando las tensiones alcanzan cierto valor t σij (tracci´on) entonces tambi´en debe comenzar cuando el estado tensional sea (−t σij ). Matem´aticamente esta ley se expresa de la siguiente manera: 1. La condici´on de ßuencia depende de un u ´ nico par´ametro t K, es decir: F

³

t

´

J2 , tJ3 , t K = 0

(3.4)

2. La funci´on de ßuencia F es una funci´on homog´enea de grado cero de t σij y de t K,2 es decir: F (α tσij , α tK) = F (t σij , t K)

∀α

3. La funci´on de ßuencia F es una funci´on par de t σij para cualquier t K, es decir, F (t σij , tK) = F (−t σij , t K) ∀ tK Combinando la hip´otesis de homogeneidad de la funci´on de ßuencia con las condiciones de isotrop´õa e independencia de la presi´on hidrost´atica discutidas en la secci´on anterior, es posible expresar a la condici´on de ßuencia con endurecimiento is´otropo en una forma m´as conveniente que la de la ecuaci´on (3.4): Observando t que por la condici´on de homogeneidad resulta F ( t 1K t σij , t 1K t K) = F ( tσKij , 1) y llamando f (x) a F (x, 1) se puede reescribir a la condici´on de ßuencia como: t σij f( t ) = 0 K 2

Se denomina funci´on homog´enea de grado n a aquella funci´on f (x) que veriÞca f (α x) = αn f (x) ∀ α

En particular, una funci´on ser´a homog´enea de grado 0 si cumple f(α x) = f (x) cualquiera sea la constante α. Las funciones homog´eneas de grado n veriÞcan la siguiente identidad (conocida como teorema de Euler de las funciones homog´eneas). ∇f (x) · x = n f (x)

27

t

(donde f debe ser una funci´on par de tσKij para que el inicio de la ßuencia sea el mismo en tracci´on y en compresi´on) o bien, agregando las hip´otesis simpliÞcativas de la secci´on anterior, como: t

f( t

J2 t J3 , )=0 K 2 tK 3

donde la funci´on de ßuencia f es ahora adimensional dado que se supone que el par´ametro tK tiene unidades de tensi´on (y par porque el mecanismo de endurecimiento es el mismo en tracci´on y en compresi´on).3 Observando ahora que ³ √t ´2 ³ √t ´3 ³√ ´ 3t t t f( t KJ22 , t KJ33 ) = f( t KJ2 , t KJ2 · √t JJ23 ) y que entonces la igualdad ³ √t

f(

J2

tK

√ 3t √ J3 , tJ 2

´2 ³ √t

,

J2

tK

´3

√

tJ 2

·

³√ 3t

´

√ J3 ) = 0 deÞne impl´ õcitamente a tJ 2 √ 3t J = M( √t J23 ), entonces la condici´on de

es decir, t K imiento is´otropo) resulta:

√

tJ 2 tK

como funci´on de

ßuencia (con endurec-

√ 3 t J3 √ − M( )=0 tK tJ 2

√

tJ 2

o bien,

√t tK

J2

√ 3

t

M( √t JJ23 )

−1=0

(3.5)

siendo M(x) una funci´on adimensional (y par, es decir, M(x) = M(−x) para que el inicio de la ßuencia sea el mismo en tracci´on o compresi´on).

La ecuaci´on (3.5) es la expresi´on m´as conveniente para la condici´on de ßuencia con edurecimiento is´otropo. Todas las hip´otesis hechas hasta ahora, es decir, independecia de las presiones hidrost´aticas, isotrop´õa, igualdad ante tracci´on o compresi´on, dependencia de un u ´ nico par´ametro y homogeneidad de grado cero, se encuentran condensadas en la misma. Adem´as est´a forma de expresar a la condici´on de ßuencia, es la que permitir´a m´as adelante deÞnir a la denominada deformaci´on plastica equivalente, que es la magnitud que mide la cantidad de deformaci´on pl´astica que se acumula en el material.

3

En realidad f debe ser funci´on par solo de y t J3 (ecuaciones (3.2)) se deduce que t t

t J3 t K3

dado que observando las deÞnciones de t J2

J2 (t sij ) = t J2 ( − t sij ) J3 (t sij ) = −t J3 ( − t sij )

es decir, que t J2 es una funci´on par de t sij y t J3 es una funci´on impar, por lo que para que f sea funci´on par de t sij alcanza con que sea funci´on par solo de t J3 .

28

Representaci´ on geom´ etrica de la condici´ on de ßuencia con endurecimiento is´ otropo En la secci´on anterior se dijo que la condici´on de ßuencia puede asociarse con una hipersuperÞcie en el espacio 6-dimensional de coordenadas tσij . Como la hip´otesis de isotrop´õa implica que para deÞnir a un estado tensional cualquiera t σij alcanza con especiÞcar solo sus tres componentes principales (tσ1 , t σ2 , t σ3 ), entonces para representar geom´etricamente a la condici´on de ßuencia (3.5) de un material is´otropo se podr´a utilizar el espacio 3-dimensional con coordenadas cartesianas dadas por las tres componentes principales (t σ1, t σ2, t σ3 ).

Para ver que forma tiene en este espacio la superÞcie de ßuencia dada por la igualdad (3.5) se observa primero que (ver Þgura (3.4)) la direcci´on (1, 1, 1) representa a los estados tensionales puramente hidrost´aticos (ya que para dichos estados, t σ1 = t σ2 = t σ3) y que el plano perpendicular a la direcci´on hidrost´atica y pasante por el or´õgen, es decir, el plano t σ1 + t σ2 + t σ3 = 0, representa estados tensionales puramente desviadores. Por lo tanto la proyecci´on ortogonal de un estado tensional cualquiera (t σ1 , t σ2 , tσ3 ) sobre la direcci´on hidrost´atica (1, 1, 1) representar´a su parte volum´etrica,4 y la proyecci´on sobre el plano desviador, su parte desviadora (t s1, t s2 , ts3 ). Como la condici´on de ßuencia es independiente de la presi´on hidrost´atica, la superÞcie de ßuencia deber´a ser paralela a la direcci´on (1, 1, 1), es decir, las intersecciones de la superÞcie con planos paralelos al plano desviador (que es un plano perpendicular a la direcci´on hidrost´atica), deber´an ser todas id´enticas. En la Þgura (3.5) se dibuja una de estas curvas: la curva intersecci´on con el plano desviador t σ1 + t σ2 + t σ3 = 0. Debido a las condiciones de istorop´õa y de paridad de la condici´on de ßuencia, esta curva resultar´a sim´etrica respecto las proyecciones de los ejes coordenados (que estan separadas entre s´õ por un a´ngulo de 120◦ ) y respecto a los tres ejes perpendiculares a ´estos (ver referencia [18]). Se puede demostrar (ver referencia [7]) que si r y θ son las coordenadas polares de cualquier punto P ubicado sobre esta curva, (θ medido a partir del eje t σ3 proyectado) entonces: q

2 t J2 Ã√ !6 3 t 27 J 3 cos2 (3 θ) = · √t 4 J2 r =

√ √ 3t es decir, r y θ est´an relacionados respectivamente con los invariante t J2 y √t JJ23 que aparecen en la condici´on de ßuencia (3.5). Por lo tanto la igualdad (3.5)

·

4

La proyecci´ on ¸ortogonal de (t σ1 ,t σ2 ,t σ3 ) sobre la direcci´ on (1, 1, 1) esta dada por el vector (t σ1 + t σ2 + t σ3 ) ( · (1, 1, 1) = (1, 1, 1) 3 t

σ1 ,t σ2 ,t σ3 )·(1,1,1) (1,1,1)·(1,1,1)

29

puede ser reinterpretada como: √

r 2

tK

o bien, r=

m (θ)

√

−1=0

2 t K m (θ)

(3.6)

es decir la ecuaci´on polar de dicha curva.

Figura 3.4: SuperÞcie de Fluencia Con la ecuaci´on (3.6) se puede entender mejor la semejanza geom´etrica entre las sucesivas superÞcies de ßuencia que caracteriza a la ley de endurecimiento is´otropo. Se observa que todas las superÞcies de ßuencia crecen en cada direcci´on radial (Þjada por el a´ngulo θ) proporcionalmente al par´ametro t K. (Figura 3.6) Ley de ßuencia de Von-Mises De todas las posibles leyes de ßuencia con endurecimiento is´otropo (expresadas matem´aticamente por la ecuaci´on (3.5)) la mas simple es la denominada ley de ßuencia de Von Mises en la que se adopta M = cte. Es decir, se hace la suposici´on que la superÞcie de ßuencia no depende del angulo θ por lo que las intersecciones 30

σ1

σ1 θ P

r

Plano Desviador

σ2

Figura 3.5: Intersecci´on de la superÞcie de ßuencia con el plano desviador con los planos paralelos al plano hidrost´atico son c´õrculos de radio proporcional a t K.5 En otras palabras, la superÞcie de ßuencia de Von Mises es un cilindro circular de radio proporcional a t K (cuyo eje es el vector (1, 1, 1)) (Figura (3.7)).

Usualmente se la expresa como: √t J2 −1=0 (3.7) tK o, teniendo en cuenta la ecuaci´on (3.2) como: q

1t s ts 2 ij ij tK

−1=0

3.1.3. Ley de ßujo Asociada Hasta ahora se ha hecho una caracterizaci´on de los estados tensionales l´õmite que dan lugar al inicio de la ßuencia (Ley de ßuencia) y de la forma en que 5

Si se utiliza en la ecuaci´ on (3.6) m(θ) = cte., la superÞcie de ßuencia resulta r = o bien, r = cte2 t K.

31

√

2 K cte

Superficies de fluencia sucesivas σ3

σ2 θ

r2

r1

r0

σ2 Superficie de fluencia inicial

Figura 3.6: Crecimiento de la superÞcie de ßuencia seg´ un el modelo de endurecimiento is´otropo. σ3

σ2

σ1

Figura 3.7: SuperÞcie de ßuencia de Von Mises 32

´estos estados van variando a medida que las deformaciones pl´asticas progresan (Ley de endurecimiento). Ahora se pretende describir c´omo se incrementar´a la deformaci´on pl´astica cuando alguno de dichos estados sea alcanzado, es decir, c´omo ser´an las componentes del tensor velocidad de deformaci´on pl´astica cuando t las tensiones veriÞquen f( tσKij ) = 0, siendo f la funci´on de ßuencia redeÞnida como: √t t σij J2 √ f( t ) = −1 (3.8) 3 t K M ( √ t J3 ) K tJ 2 Para ´esto se hacen las siguientes hip´otesis: 1. El ßujo pl´astico en metales es incompresible.

2. Las direcciones principales del tensor desviador de tensiones t sij y las direcciones principales del tensor desviador de velocidad de deformaci´on pl´astica t εúPij en metales coinciden.

La primera condici´on surge de observaciones experimentales. Si se supone que la velocidad de deformaci´on tεúij puede descomponerse en la forma t

t P εúij = t εúE ij + εúij

t P donde t εúE uramente el´astica y ij y εúij son respectivamente las contribuciones p´ puramente pl´astica a la velocidad de deformaci´on total entonces la condici´on de incompresibilidad del ßujo pl´astico se puede expresar como (ver referencias [10], [17] y [18]) t P εúkk = tεúP11 + tεúP22 + t εúP33 = 0

por lo que el tensor velocidad de deformacion pl´astica tεúPij ser´a id´entico a su parte desviadora.6 La segunda hip´otesis es consecuencia de la hip´otesis de is´otrop´õa del material.

Las dos condiciones pueden satisfacerse con suÞciente generalidad si se supone que la deformaci´on pl´astica y las tensiones se relacionan seg´ un: t P εúij

t

= λ

Ã

t

∂f K t ∂ σij

!

6

(3.9)

An´alogamente al tensor de tensiones t σij , el tensor velocidad de deformaci´ on t εúij (o su parte pl´ astica) tambi´en se puede descomponer en una parte “desviadora” y otra “volum´etrica”: ¢ ¡ t 1t P εúij = t εúij − 13 t εúP εúkk δij kk δij + | {z } |3 {z } Parte desviadora

Parte volum´ etrica

Entonces, si t εúkk = 0, el tensor t εúij resultar´a igual a su parte desviadora.

33

donde t λ es un factor de proporcionalidad que depende de la posici´on t xi y del tiempo t y ∂ ∂f es el gradiente de la funci´on de ßuencia (3.8) evaluado en un tσ ij t

punto de la superÞcie de ßuencia, es decir, en t σij tal que f ( tσKij ) = 0.7 A esta igualdad se la llama ley de ßujo asociada con la funci´on de ßuencia f.8 Geom´etricamente signiÞca que el tensor velocidad de deformaci´on pl´astica tεúPij debe ser perpendicular a la superÞcie de ßuencia.9 Las razones por las cuales las hipotesis mencionadas al principio surgen necesariamente de la misma son las siguientes: como la funci´on de ßuencia no depende de la presi´on hidrost´atica, es decir, depende exclusivamente de las tensiones desviadoras t sij , entonces resulta ∂f ∂ t skl 1 t t t t t = ∂ ∂f t s · ∂ t σ . Luego, como skl = σkl − 3 ( σ11 + σ22 + σ33 )·δij , las derivadas ∂ t σ ij ij kl ∂ t skl ∂ t σ ij

cumplir´an

t P εú11 +t εúP22 +t εúP33

∂ t skl ∂ t σ11

+

∂ t skl ∂ t σ22

+

∂ t skl ∂ t σ 33

= 0 por lo que

Ã

∂f ∂f ∂f = λ t + t + t ∂ σ11 ∂ σ22 ∂ σ33 t

!

∂f = λ t ∂ skl t

Ã

∂ tskl ∂ t skl ∂ t skl + + ∂ t σ11 ∂ t σ22 ∂ tσ33

!

Esto demuestra por qu´e (3.9) implica la condici´on de incompresibilidad. Para ver por qu´e esta ecuaci´on implica la condici´on de igualdad entre las direcciones 7

El factor t K se introduce en la ecucaci´ on (3.9) para que el par´ametro t λ tenga unidades de ∂f t velocidad de deformaci´ on ( K ∂ t σij es adimensional).

8 La ley de ßujo se puede formular en forma m´as general como µ ¶ ∂P t P t t εúij = λ K t ∂ σij t

donde P ( tσKij ) es una funci´on is´otropa adimensional llamada Potencial Pl´ astico. Si se elige como potencial pl´ astico P a la misma funci´ on de ßuencia f , entonces se obtiene la igualdad (3.9) y se dice que se ha adoptado una ley de ßujo asociada con el criterio de ßuencia o m´as brevemente que la ley de ßujo es Asociada. Se puede demostrar (ver referencia [10]) que de olido cuando se produce todos los estados tensionales t σij que se pueden establecer dentro del s´ , el estado que veriÞca la igualdad (3.9) es decir, la ley de ßujo la deformaci´ on pl´astica t εúP ij asociada, es aquel para el cual la potencia necesaria para producir dicha deformaci´on pl´astica ú P = t σij t εúP (llamada tambi´en Disipasi´ on Pl´ astica por su naturaleza irreversible) dada por t W ij es m´axima. Se dice entonces que la ley de ßujo asociada es aquella para la cual se maximiza la disipasi´ on pl´ astica.

9 De la misma manera que cada estado tensional t σij puede ser representado por un vector de on componentes (t σ1 , t σ2 , t σ3 ) del espacio 3-dimensional, cada tensor de velocidad de deformaci´ t P t P t P pl´ astica t εúP ij puede ser representado por el vector de componentes ( εú1 , εú2 , εú3 ) del mismo espacio. Cuando se dice que el tensor t εúP on perpendicular a la superÞcie de ij tiene direcci´ ßuencia, lo que se quiere expresar es que el vector representativo de este tensor, es decir, el t P t P on. vector (t εúP 1 , εú2 , εú3 ), tiene dicha direcci´

34

=0

principales de t σij y t εúPij se desarrollan las derivadas

t

K



Ã

0 t ∂f 1 1   √sij − M = ∂ t σij 2 M  t J2 M

!

µ ³ t 2 3

sik t skj tJ 2

−

∂f : ∂ t σij

´

2 δ − 3 ij ³√ ´2 3t √ J3 tJ 2

³√ 3t

√ J3 tJ 2

´3

ts √ ij tJ 2

¶   

(3.10)

donde M 0 es la derivada de la funci´on M respecto a su argumento y evaluada √ 3t en √t JJ23 . Como t K ∂ ∂f resulta un polinomio tensorial de grado 2 en t sij cuyos tσ ij coeÞcientes son funciones invariantes de t sij , es decir: t

K

∂f = P δij + Q t sij + R t sik t skj ∂ t σij

√ √ 3t con P , Q, y R, funciones de los invariantes t J2 y √t JJ23 , entonces, si nj es una direcci´on principal de t sij , es decir, tsij nj = t s ni (siendo ts alguna de las tensiones 10 principales t s1 , t s2 o t s3 ), entonces tambi´en lo ser´a de tK ∂ ∂f Esto demuestra tσ . ij p t t entonces que las direcciones principales de εúij y σij ser´an coincidentes si ambos tensores se relacionan a trav´es de la ley de ßujo (3.9).

Es importante aclarar que la igualdad (3.9) no determina completamente a la velocidad de deformaci´on pl´astica t εúpij (cuando las tensiones t σij son conocidas), sino que s´olo establece pcondiciones sobre su “direcci´on”, es decir, s´olo permite t εú t εúp t εú p t εúp 11 11 11 11 conocer las relaciones t εúp , t εúp , t εúp , t εúp , etc. entre sus componentes.

22

33

12

23

√ 3

t

En la secci´on anterior se dijo que el invariante √t JJ23 est´a relacionado con la direcci´on del vector de componentes (t s1, t s2 , ts3 ) que representa a las tensiones desviadoras t sij (´angulo θ de la Þgura (3.5)). Una interpretaci´on an´aloga se puede hacer para la velocidad de deformaci´on pl´astica t εúpij : Llamando t dP2 y t dP3 a los invariantes principales de este tensor, es decir, t P d2 t P d3

1t p t p εú εú 2 ij ij 1t p t p t p = εú εú εú 3 ik kj ji =

(3.11)

√ 3 t P d se puede demostrar (ver referencia [7] y [18]) que el invariante √t P3 est´a d2

relacionado con la direcci´on del vector de componentes (t εú1, t εú2 , tεú3 ) que representa La direcci´ on nj es tambi´en direcci´ on principal de t K ∂ t∂f porque: t K ∂ ∂f t σ nj σij ij ´ ³ ∂f t t t t 2 t t (P δij + Q sij + R sik skj ) nj = P + Q s + R ( s) ni , es decir, K ∂ t σij nj = αni .

10

35

=

a la velocidad de deformaci´on t εúpij . Como la ley de ßujo establece que la direcci´on del tensor t εúpij es la direcci´on normal a la supeÞcie de ßuencia, y como seg´ un la ecuaci´on (3.5) los puntos de la superÞcie de ßuencia estan determinados exclusivamente por la direcci´on de la parte desviadora t sij del tensor de tensiones (por lo que la normal a la superÞce tambi´en estar´a determinada exclusivamente por la direcci´on del tensor de tensiones desviador) entonces √ la ley de ßujo implicar´a √ 3t √ J3 J2 t p de εúij

3 t P

d necesariamente cierta relaci´on entre los invariantes √t P3 y d2

dado que ´estos

invariantes representan respectivamente a las direcciones y de t sij . Para encontrar esta relaci´on se hace lo siguiente: elevando al cuadrado cada miembro de la ecuaci´on (3.9) y sumando las nueve componentes se obtiene: Ã

∂f = t λ2 · t K t ∂ σij

t pt p εúij εúij

!Ã

!

∂f t K t ∂ σij

y elevando al cubo cada miembro y sumando se obtiene: t p t p t p εúik εúkj εúji

t 3

= λ ·

Ã

t

!Ã

∂f K t ∂ σij

t

∂f K t ∂ σjk

!Ã

t

∂f K t ∂ σkl

!

por lo que, teniendo en cuenta las (3.11) resulta: q

t dP 2

q 3

t dP 3

t

r ³

= λ t

1 2

t K ∂f ∂ t σij

1 3

t K ∂f ∂ t σik

r ³

= λ3

´³

t K ∂f ∂ t σij

´³

´

t K ∂f ∂ t σkj

´³

t K ∂f ∂ t σji

´

(3.12)

Adoptando la notaci´on √ 3 t J3 µ = √ J2 q

t dP 3

3

ν = q

t dP 2

y utilizando la expresi´on (3.10) del gradiente de la funci´on de ßuencia para desarrollar los miembros derechos de la ecuaci´on anterior, se puede demostrar11 11

Las ecuaciones (3.13) se pueden deducir utilizando las identidades: ½h ³ ´³ ´ i2 ¾ ∂f ∂f ∂f 1 t t t K ∂ t σij K ∂ t σij = T raza K ∂ tσij 2 ½h ³ ´³ ´³ ´ i3 ¾ ∂f ∂f ∂f ∂f 1 t t t t K ∂ t σik K ∂ tσkj K ∂ t σji = T raza K ∂ tσij 3

36

que las igualdades (??) y (3.12) adquieren la siguiente forma: q

t dP 2

q 3

t dP 3

t

= λ = tλ

1 1 2 M (µ) 1 1 2 M (µ)

s·

1+

³

´ M 0 (µ) 2 M (µ)

( 274 −µ6 ) µ4

¸

v" # u 2 ³ 0 ´ 4 −µ6 ³ 0 ´2 4 −µ6 u ) ( 27 ) ³ M 0 (µ) ´3 ( 274 −µ6 ) M (µ) ( 27 M (µ) 3 t µ 1 − 3 M (µ) − 3 M (µ) + M (µ) µ5 µ4 µ9

√ 3 t P d Las relaciones buscadas entre ν y µ (es decir entre √t P3 y d2

(3.13)

√ 3t √ J3 ) tJ 2

ser´an entonces

(dividiendo las ecuaciones anteriores):

ν=µ

v" # u 2 ³ 0 ´ 4 −µ6 ³ 0 ´2 4 −µ6 u ) ( 27 ) ³ M 0 (µ) ´3 ( 274 −µ6 ) M (µ) ( 27 M (µ) 3 t 1 − 3 M (µ) − 3 M (µ) + M (µ) µ5 µ4 µ9 s·

1+

³

´ M 0 (µ) 2 M (µ)

( 274 −µ6 ) µ4

¸

(3.14)

Resumiendo, la ley de ßujo (3.9) determina que el tensor velocidad de deformaci´on pl´astica t εúpik tiene direcci´on normal a la superÞcie de ßuencia; como esta u ´ ltima direcci´on depende de la “direcci´on” del tensor desviador de tensiones t sij , entonces la ley de ßujo implica cierta relaci´on entre las “direcciones” de los tensores t εúpik y t sij . Esta relaci´on se expresa en t´erminos de los invariantes ν y µ (que estan relacionados con dichas direcciones) en la forma dada por la ecuaci´on (3.14), o en forma m´as compacta, como: ν = φ(µ) h

i

representa a la matriz con las componentes del tensor donde el corchete t K ∂ t∂f σij i i2 h h ∂f ∂f t t t t es un polinomio de grado 2 en [ K ∂ t∂f .

Como K s ], entonces K y ij σij ∂ t σik ∂ t σik h i3 t K ∂ t∂f resultar´an ser polinomios de grado 4 y 6 en [t sij ] respectivamente por lo que los σik

t miembros de estas igualdades resultar´ aon ser sumas o n o n n de los o invariantes n T raza o {[ sij ]}, n derechos 2 3 4 5 6 y T raza [t sij ] . La deT raza [t sij ] , T raza [t sij ] , T raza [t sij ] , T raza [t sij ] ducci´ on de las ecuaciones se completa utilizando las igualdades:

=0 T raza n {[t sij ]} o 2 t T raza [ sij ] = 2t J2 o n 3 T raza [t sij ] = 3t J3 o n 4 2 T raza [t sij ] = 2 (t J2 ) 5

T raza [nt sij ] =o5t J2 t J3 6 3 2 T raza [t sij ] = 2 (t J2 ) + 3 (t J3 )

37

o bien:

q

√ 3 t J3 q = φ( √t ) t dP J2 2 3

t dP 3

(3.15)

donde φ(µ) es la funci´on dada por el miembro derecho de la igualdad (3.14), es decir:

φ(µ) = µ

v" # u ³ 0 ´ ( 4 −µ6 ) ³ 0 ´2 ( 4 −µ6 ) ³ 0 ´2 ( 4 −µ6 )2 u M (µ) M (µ) M (µ) 3 27 27 27 t 1−3 − 3 M (µ) + M (µ) M (µ) µ5 µ4 µ9 s·

1+

³

´ M 0 (µ) 2 M (µ)

( 274 −µ6 ) µ4

¸

(3.16)

Eliminaci´ on del par´ ametro t λ Utilizando las ecuaciones (3.13) y (3.15) se puede expresar al factor de proporcionalidad t λ que aparece en la ley de ßujo (3.9) como funci´on invariante exclusiva de t εúpij : asumiendo que la funci´on φ(µ) es inversible por lo que la (3.15) implica que q √ 3 t P 3 t d3 J3 √t = φ−1 ( q ) (3.17) t dP J2 2

y despejando al par´ametro t λ de la ecuaci´on (3.13) resulta: t

2 M(φ−1 (ν))

q

t dP 2 λ = s· ³ 0 −1 ´2 ( 4 −(φ−1 (ν))6 ) ¸ (φ (ν)) 27 1+ M M (φ−1 (ν)) (φ−1 (ν))4

(3.18)

√ 3 t P d donde ν = √t P3 y φ−1 (ν) es la inversa de la funci´on φ. d2

Ley de ßujo asociada con la ley de ßuencia de Von Mises Cuando se utliliza la ley de ßuencia de Von Mises (3.7) en la que se asume M = cte (por lo que M 0 = 0), la igualdad (3.10) se reduce a: t

K

∂f 1 t sij √ = ∂ tσij 2 t J2

por lo que la ley de ßujo resulta: t P εúij

1 t sij = t λ √t 2 J2 38

(3.19)

y las igualdades (3.13) se reducen a q

= tλ 12

t dP 2 t dP 3

q 3

por lo que

√ 3

t

= t λ 12 √t JJ23

q

√ 3 t J3 q = √t t dP J2 2 t dP 3

3

(3.20)

(es decir φ(µ) = µ) y el par´ametro t λ resulta: t

q

λ=2

t dP 2

(3.21)

Combinando las ecuaciones (3.19) y (3.21) se obiene: t P εúij

t sij = √t t dP J2 2

q

o bien, utilizando la ley de ßuencia (3.7), t

t P εúij

Kq

t dP 2

= tsij

3.1.4. Tensi´ on equivalente y Deformaci´ on pl´ astica equivalente La condici´on de ßuencia (3.5) deÞne a todos los estados de tensi´on que dan lugar al comienzo de las deformaciones pl´asticas. En particular, el estado tensional que se produce en un ensayo de tracci´on uniaxial cuando la tensi´on en la direcci´on axial iguala a la tensi´on de ßuencia del material t σY deber´a estar determinado tambi´en por dicha condici´on. Los valores que alcanzan las tensiones principales en el ensayo de tracci´on cuando se inicia la ßuencia son t σ1 = t σY , t σ2 = 0 y t σ3 = 0. Reemplazando estos valores en la condici´on de ßuencia (3.5) se obtiene: t σY √ √ q2 −1 =0 3 t K M ( 3 3 27 )

o bien: t

1 t K=√ σY √ q 3 2 3 M ( 3 27 ) 39

(es decir, t K y t σY son proporcionales)12 y combinando la igualdad anterior con la ley de ßuencia (3.5) se obtiene:13 √

√ 3 M( 3

s 3

√t 2 J2 √ ) = t σY 3t J 3 27 M( √t ) J2

(3.22)

A la magnitud deÞnida por el miembro izquierdo de esta ecuaci´on se la llama tensi´on equivalente (y se la simboliza como tσ). Es una funci´on escalar que depende exclusivamente de las tensiones y que puede ser comparada con la tensi´on de ßuencia t σY del ensayo de tracci´on uniaxial para deÞnir el comienzo de la ßuencia.

Cuando se enunci´o la ley de ßuencia (3.5) se dijo que el par´ametro t K que deÞne el “tama˜ no” de la superÞcie de ßuencia depende de la cantidad de deformaci´on pl´astica que se acumula en en material. Para poder determinar la evoluci´on del par´ametro t K (y de la superÞcie de ßuencia) es necesario entonces cuantiÞcar primero dicha cantidad de deformaci´on pl´astica que se acumula.

Para ello se utiliza la denominada deformaci´on pl´astica equivalente tεP . Esta magnitud es una cantidad escalar que depende exclusivamente de las velocidades de deformaci´on pl´astica t εúPij (de la misma forma que la tension equivalente t σ depende exclusivamente de las tensiones t σij ) y se deÞne de acuerdo a: t

ú P = t σij tεúP = t σ t εúP W ij

(3.23)

ú P es el trabajo por unidad de tiempo y por unidad de vol´ donde t W umen que es necesario realizar para producir un incremento deformaci´on pl´astica y t σ es la 12

Estas relaciones se pueden deducir teniendo en cuenta que cuando las tensiones principales son (t σ1 , t σ2 , t σ3 ) = (t σY , 0, 0) las tensiones desviadoras principales valen:  t  s1 = t σY − 13 t σY = 23 t σY t s2 = 0 − 13 t σY = − 13 t σY  t s3 = 0 − 13 t σY = − 13 t σY

entonces los invariantes

√t

J2 y

p

p 3

tJ 2

tJ 3

√ 3 t

J3 que aparecen el la ley de ßuencia (3.5) resultan: r 1 1 t 2 t 2 t 2 ( s + s2 + s3 ) = √ t σY = 2 1 3 r r 1 t 3 t 3 t 3 2t ( s1 + s2 + s3 ) = 3 = σY 3 27

√ q2 Recordar que la funci´ on M (µ) es una funci´on adimensional por lo que M ( 3 3 27 ) es un n´ umero.

13

40

tensi´on equivalente deÞnida por el miembro izquierdo de la ecuaci´on (3.22), es decir, s √ tJ √ √ 3 2 2 t √ σ = 3 M( 3 ) (3.24) 27 M( √3 tt J3 ) J2

La igualdad (3.23) deÞne a la derivada respecto al tiempo de la deformaci´on pl´astica equivalente t εP denominada velocidad de deformaci´on pl´astica equivalente t P εú . La deformaci´on equivalente se obtiene a partir de la velocidad equivalente por integraci´on sobre el intervalo de tiempo durante el cual se desarrolla la ßuencia de esta velocidad, es decir: t P

ε =

Zt

τ P

εú dτ

(3.25)

0

Para obtener la expresi´on expl´õcita de la deformaci´on pl´astica equivalente como funci´on de las velocidades de deformaci´on t εúPij (exclusivamente) se hace lo siguiente: teniendo en cuenta la ley de ßujo (3.9), el trabajo por unidad de tiempo t ú P W se puede expresar como: t

ú P = t σij tεúP = t σij t λ t K ∂f W ij ∂ t σij

Como la funci´on de ßuencia (3.5) es una funci´on homogenea de grado cero para las variables tσij y t K,14 entonces, por el teorema de Euler para las funciones homogeneas 15 se obtiene: √t ∂f ∂f J2 t t √ σij t =−K t = 3 t K M ( √ tJ3 ) ∂ σij ∂K tJ 2 ú P ser´a: por lo que t W t

ú = λ W P

t

√t

J2 √ 3t M ( √t JJ23 )

Combinando esta ecuaci´on con la (3.23) se llega a √t J2 t t P t √ σ εú = λ 3 t M ( √t JJ23 ) 14

Recordar las hipotesis que deÞnen al endurecimiento is´ otropo Esto es si f (t σij ,t K) es una funci´on homogenea de grado n (es decir f (α t σij , α t K) = t t f (t σij ,t K)) entonces t σij ∂ t∂f + t K ∂∂f t K = n f ( σij , K)). En particular, si n es cero, resulta σij 15

t

∂f t σij ∂ t∂f σij + K ∂ t K = 0.

41

o bien, utilizando la ecuaci´on (3.24) que deÞne a la tensi´on equivalente t σ: √

√

3 M( 3

s 3

√t √t 2 J2 t P t J2 √ √ ) εú = λ 3t 3t J 27 M ( √t 3 ) M( √t JJ23 ) J2 √ 3

t

Teniendo en cuenta Þnalmente que tanto t λ como √t JJ23 pueden ser expresadas como funciones que dependen exclusivamente de tεúPij (ecuaciones (3.17) y (3.18) de la secci´on anterior) entonces la expresi´on expl´õcita para t εúP buscada ser´a: q

M (φ−1 (ν)) t dP2 2 t P q s εú = √ √ · ¸ ³ 0 −1 ´ 6 2 4 −1 3 M ( 3 3 27 ) M (φ (ν)) 2 ( 27 −(φ (ν)) ) 1 + M (φ−1 (ν)) (φ−1 (ν))4 donde ν =

√ 3t √ d3 td 2

(3.26)

y φ−1 (ν) es la inversa de la funci´on φ(µ) (deÞnida en la (3.16)).

Tensi´ on equivalente y Deformaci´ on equivalente asociada con la ley de ßuencia de Von Mises Utilizando la ley de ßuencia de Von Mises, para la cual M(µ) = 1 por lo que M 0 (µ) = 0 y φ(µ) = µ por lo que φ−1 (ν) = ν, la tensi´on equivalente deÞnida por la ecuaci´on (3.24) toma la forma t

σ=

√ q 3 t J2

y la velocidad de deformaci´on pl´astica equivalente deÞnida por la ecuaci´on (3.26) se reduce a: 2 qt P t P √ εú = d2 3 3.1.5. Relaciones Tensi´ on-Deformaci´ on completas para la plasticidad Como se dijo antes, la ley de ßujo (3.9) no determina completamente a la velocidad de deformaci´on pl´astica t εúPij conocidas las tensiones t σij sino que especiÞca solamente a sus direcciones principales (t n1 ,√t n2 , t n3) (que son iguales a las 3t direcciones principales de tsij ) y al invariante √t dd23 (que es funci´on del invariante √ 3t √ J3 tJ 2

de tsij ). Entonces, para conocer completamente a t εúPij , lo u ´nico que falta t t 16 es conocer el valor de alguno de los invariantes d2 o d3 .

Para encontrar una relaci´on que permita conocer a alguno de estos invariantes (conocidas las 16

Recordar que para especiÞcar completamente a un tensor t εúP sus ij , es¡ necesario conocer ¢ t P t P direcciones principales (t n1 , t n2 , t n3 ) y sus componentes principales t εúP .

Como , ε ú , ε ú 1 2 3

42

tensiones) se observa que debido a la condici´on de ßuencia, la funci´on de ßuencia f debe permanecer igual a 0 en todo instante durante el cual tenga lugar la ßuencia, entonces: ∂f ∂f fú = t t σú ij + t t Kú = 0 ∂ σij ∂K o bien, teniendo en cuenta que t K ∂∂f tK = − t

K

√

tK

tJ 2 3 tJ 3

√ √ M( t

)

= −1:

J2

∂f t σú ij − t Kú = 0 t ∂ σij

(3.27)

Como el par´ametro de endurecimiento t K es funci´on de la cantidad de deformaci´on pl´astica que se acumula en el material y que se mide con la deformaci´on pl´astica equivalente t εP deÞnida en la secci´on anterior (ecuaciones (3.25) y (3.26)), es decir t

K = K(t εP )

entonces, la derivada t Kú ser´a: t

Kú = K 0 (t εP ) t εúP

o bien, utilizando la (3.26), q

M(φ−1(ν)) t dP2 2 t ú q s K = K 0 (tεP ) √ √ · ¸ ³ 0 −1 ´ 6 2 4 −1 3 M( 3 3 27 ) M (φ (ν)) 2 ( 27 −(φ (ν)) ) 1 + M (φ−1 (ν)) (φ−1 (ν))4

(3.28)

donde K 0 (t εP ) es la derivada de la funci´on K(t εP ) que, como se dijo en la secci´on anterior, es proporcional a la tensi´on de ßuencia del ensayo de tracci´on σY (tεP ) (que es una funci´on conocida). Sustituyendo la (3.28) en la (3.27) y teniendo en −1 cuenta que por la √ ley de ßujo, φ (ν) = µ o bien, ν = φ(µ) (siendo como siempre µ=

√ 3t √ J3 , tJ 2

3 t P

d ν = √t P3 y φ(µ) la funci´on dada por la (3.16)) se obtiene la relaci´on d2

buscada que permite conocer al invariante q

t dP 2

=

√

√ q2 3 M( 3 3 27 ) 2

s·

1+

³

q

t dP : 2

´ M 0 (µ) 2 M (µ)

( 274 −µ6 ) µ4

M(µ) K 0 (t εP )

¸

t

K

∂f t σú ij ∂ t σij

(3.29)

¡t P ¢ ¡ ¢3 estas u ´ltimas son las soluciones de la ecuaci´ on caracter´õstica t εúP − t dP εú − t dP 2 3 = 0 entonces bastar´a conocer adem´ as de las direcciones principales solo a los invariantes principales √ 3 t P d3 t P t t t √ d2 y t dP .

En este caso se conocen las direcciones ( n , n , n ) y el cosiente ; solo falta 1 2 3 3 t P d2

t P conocer a alguno de los invariantes t dP 2 o d3 .

43

Resumiendo, conocidas las tensiones t σij y la velocidad de cambio de las tensiones t σú ij , la velocidad de deformaci´on pl´astica t εúPij queda completamente determinada: sus direcciones principales son iguales a las direcciones principales del tensor de tensiones desviador t sij (ley de ßujo), y sus componentes principales son funciones escalares de los invariantes principales t dP2 y t dP3 que est´an determinados seg´ un las ecuaciones (3.14) (que se deriva de la ley de ßujo) y (3.29) (que se deriva de la ley de ßuencia y la ley de endurecimiento).

Combinando la ley de ßujo (3.9) y las ecuaciones (3.18) y (3.29) obtiene: t P εúij

=

√

√ q2 Ã 3 M( 3 3 27 ) t

M(µ) K 0 (t εP )

∂f K t ∂ σij

!Ã

∂f t K t ∂ σkl

!

t

σú kl

(3.30)

que es otra forma de expresar las relaciones entre tεúPij y t σkl y t σú kl mencionadas.

Particularizaci´ on para el caso de la ley de ßuencia de Von Mises Utilizando la ley de ßuencia de Von Mises (donde M (µ) = 1 y M 0 (µ) = 0) las ecuaciones (3.29) y (3.30) se reducen respectivamente a √ q t 3 1 sij t t dP = √ súij (3.31) 2 0 t P 2 K ( ε ) t J2 y t P εúij

√ √ t 3 sij t skl t 3 t sij t skl t = 0 t P √t √t sú kl = 0 t P sú kl K(ε ) K ( ε ) t J2 J2 J2

(3.32)

La ecuaciones constitutivas para la plasticidad para materiales is´otropos que experimentan endurecimiento is´otropo estan dadas entonces por las ecuaciones (3.30), que se pueden expresar a su vez en forma invariante mediante las ecuaciones (3.14) y (3.29). Si en particular se adopta la ley de ßuencia de Von Mises (3.7) estas ecuaciones se reducen respectivamente a las (3.32), (3.20) y (3.31).

Para formularlas fue necesario especiÞcar en primer lugar cuales son los estados tensionales a partir de los cuales comienzan a manifestarse las deformaciones inel´asticas (dichos estado son los que veriÞcan la ley de ßuencia (3.1) que para materiales is´otropos y cuya ßuencia es independiente de la presi´on hidrost´atica, se reduce a (3.3)), en segundo lugar decir c´omo van variando dichos estados tensionales a medida que las deformaciones pl´asticas se acumulan (esta variaci´on esta dada por la ley de endurecimiento is´otropo como consecuencia de la cual la funci´on de ßuencia se reduce a la forma (3.5)) y en tercer lugar describir c´omo se incrementa la deformaci´on pl´astica cuando alguno de estos estados es 44

alcanzado (ley de ßujo (3.9)) y c´omo se cuantiÞca la deformaci´on pl´astica que se va acumulando dentro del material a medida que las deformaciones pl´asticas progresan (esto se hace a trav´es de la deformaci´on pl´astica equivalente obtenida como integraci´on de la velocidad de deformaci´on equivalente (3.26)).

3.2. Viscoplasticidad La relaci´on tensi´on-deformaci´on para la plasticidad descripta en las secciones anteriores se puede escribir en forma compacta (ver ecuacion (3.30)) como: t P εúij

= cijkl t σú kl

siendo cijkl funciones de las tensiones t σij . Esta relaci´on se caracteriza por ser independiente del tiempo, es decir, prevee que existir´an incrementos de deformaci´on pl´astica en la medida que se impongan simult´aneamente incrementos de tensi´on o bien, que la deformaci´on pl´astica que se produce como respuesta a un incremento de tensi´on es instant´anea. Sin embargo, se observa experimentalmente que la ßuencia de un metal s´õ depende del tiempo. Por ejemplo, si se realiza un ensayo de tracci´on uniaxial a diferentes velocidades de deformaci´on (es decir, con procesos de carga de diferentes duraciones de tiempo), se observa que (ver Þgura (3.8)) el l´õmite de ßuencia tσY para procesos de cargas din´amicos (es decir, velocidades de deformaci´on altas) es mayor que el correspondiente a un ensayo est´atico (es decir, aquel que se desarrolla a velocidades de deformaci´on muy bajas, casi nulas) y que el endurecimiento por deformaci´on (pendiente de la curva σ-ε) se reduce a medida que la velocidad de deformaci´on aumenta (ver referencia [14]).

Es decir, la tensi´on de ßuencia t σY depende no solo de la cantidad de deformaci´on pl´astica acumulada en el material t εP , sino tambi´en de la velocidad de deformaci´on pl´astica t εúP : t σY = σY (tεP , t εúP ) Para tener en cuenta esta dependencia de la tensi´on de ßuencia de la velocidad de deformaci´on (y por lo tanto del tiempo) se utiliza el modelo viscopl´astico. Una forma particular de este modelo es la propuesta por Perzyna (ver referencia [25]) seg´ un la cual se supone que la velocidad con que aumentar´a la deformaci´on pl´astica t P εú cuando se aplique un determinado nivel de tensi´on t σ depende de la diferencia t σ −σY (t εP ) entre la tensi´on que esta siendo efectivamente aplicada t σ y la tensi´on de ßuencia “est´atica” σY (t εP ), es decir, la tensi´on que deber´õa ser aplicada para que el material ßuya a velocidades de deformaci´on peque˜ nas (casi nulas)), de t P manera que la velocidad de deformaci´on pl´astica εú crece a medida que aumenta esta diferencia, (y cuando esta diferencia es negativa, la velocidad de deformaci´on 45

σ ε creciente

σY

B

σY

0

Curva Estática

D

t

A

O t

ε

C εE

ε

t

P

Figura 3.8: Ensayo de tracci´on para distintas velocidades de deformaci´on. pl´astica debe ser nula porque en dicho caso no hay ßuencia). Matem´aticamente esto se expresa como: t P

εú =

(

0 si t σ < σY (t εP ) tσ η Φ( σY (t εP ) − 1) si t σ ≥ σY (t εP )

donde η es una constante que depende del material y Φ es una funci´on adimensional creciente que depende tambi´en del material, y que se elige para que el modelo pueda reproducir datos experimentales (por ejemplo, se pueden elegir P I funciones del tipo exponencial Φ(f) = exp(α f)−1, polin´omica Φ(f) = N I=1 βI f (N ∈ N) o potencial Φ(f) = f δ (δ ∈ Q), donde las constantes α, βI y δ se determinan experimentalmente). Generalmente se escribe a esta expresi´on en forma m´as compacta como: t P

εú = η

*

t

+

σ Φ( − 1) σY (t εP )

t

(3.33)

donde σY (tσεP ) −1 es la diferencia relativa entre la tensi´on instant´anea t σ y la tensi´on de ßuencia “est´atica” σY (t εP ) (la correspondiente a velocidades de deformaci´on 46

peque˜ nas), y d´onde el s´õmbolo hΦ(f)i se deÞne seg´ un: hΦ(f)i =

(

0 si f < 0 Φ(f ) si f ≥ 0

(3.34)

Despejando tσ de la ecuaci´on (3.33) (teniendo en cuenta para ello que la funci´on Φ(f) es una funci´on creciente y por lo tanto inversible), se obtiene: t

t P

σ = σY ( ε )

Ã

t P

!

εú 1+Φ ( ) η −1

(3.35)

Esta ecuaci´on deÞne a la relaci´on tensi´on-deformaci´on din´amica que resulta del modelo de viscoplasticidad de Perzyna. Se observa que la tensi´on t σ que es necesario aplicar para que el material ßuya pl´asticamente a velocidades “grandes” (t εúP > 0) (o tensi´on de ßuencia din´amica) resulta proporcional a la tensi´on que deber´õa aplicarse para que se produzca ßuencia pl´astica a velocidades “peque˜ nas” (o tensi´on de ßuencia est´atica), con un coeÞciente de proporcionalidad que es funci´on exclusiva de la velocidad de deformaci´on t εúP . Se puede interpretar entonces que el modelo de Perzyna propone describir el comportamiento din´amico del material a partir de su respuesta est´atica.

La incorporaci´on de la variable tiempo (o velocidad de deformaci´on) en el modelo constitutivo del material (variable no tenida en cuenta ni en el modelo el´astico ni el de plasticidad inviscida presentado en la secci´on anterior) tiene la siguiente consecuencia: si se considera a las deformaciones el´asticas despreciables frente a las inel´asticas, (y teniendo en cuenta que la deformaci´on total esta compuesta por una parte el´astica y una parte inel´astica, es decir t εú = t εúE + tεúP ) entonces resulta un material caracterizado por una ley constitutiva del tipo t

εú = f(t σ)

, es decir un material que se comporta pr´acticamente como un ßuido, en el sentido que es incapaz de resistir tensi´on sin moverse.

3.2.1. Relaci´ on constitutiva para la viscoplasticidad Para generalizar este modelo al caso tridimensional, es decir, al caso en que se someta al cuerpo a un estado multiaxial de tensiones y ´este experimente deformaciones pl´asticas arbitrarias se propone lo siguiente (ver referencia [25] y [29]): • Se deÞne una funci´on de ßuencia est´atica F (es decir, una funci´on de ßuencia que se˜ nalar´a el comienzo de la ßuencia para velocidades de deformaci´on muy 47

bajas), que depende de las tensiones t σij , y de una familia de par´ametros t Kα , tal que cuando F (t σij , t Kα ) < 0, las deformaciones ser´an puramente el´asticas (es decir, t εúPij = 0) y comenzar´an las deformaciones viscopl´asticas cuando F (t σij , t Kα ) = 0.

• Se propone la siguiente relaci´on constitutiva para describir el comportamiento pl´astico dependiente del tiempo en t´erminos de la viscoplasticidad: t P εúij

= η hΦ(F )i

∂F ∂ t σij

(3.36)

donde F es la funci´on de ßuencia est´atica, y, al igual que en el caso unidimensional, η es una constante que depende del material, Φ es una funci´on adimensional (tambi´en dependiente del material) y el s´õmbolo hΦ(F )i se deÞne por la ecuaci´on (3.34).

La primera condici´on establece para qu´e estados de tensiones comienza la ßuencia para velocidades de deformaci´on muy bajas (casi nulas). La igualdad F (t σij , t Kα ) = 0 deÞne a la superÞcie de ßuencia est´atica en el espacio de las tensiones. Si, como en el caso de la plasticidad, se asume 1) que el material es is´otropo y 2) que las ßuencia no depende de la presi´on hidrost´atica, la condici´on de ßuencia est´atica se expresar´a como F

³

t

´

J2 , t J3 , t Kα = 0

(con F funci´on par de t J3 ), y si adem´as se utiliza el modelo de endurecimiento is´otropo (ver secci´on 3.1.4.), entonces la funci´on de ßuencia est´atica estar´a dada por √t t σij J2 √ f( t ) = −1 (3.37) 3 t K M ( √ t J3 ) K t J2 √ 3t argumento √t JJ23

(siendo M, una funci´on par de su para que el comienzo de la ßuencia sea el mismo para tracci´on y para compresi´on) y la superÞcie de ßuencia est´atica ser´a: √t J2 √ −1=0 3 t K M( √ t J3 ) tJ 2 La segunda hip´otesis es una ley an´aloga a la ley de ßujo asociada formulada para la pl´asticidad.17 Esta condici´on establece lo siguiente: Como la superÞcie de 17

Al igual que en el caso de la ley de ßujo asociada para la plasticidad, la relaci´ on constitutiva para la viscoplasticidad se puede formular con mayor generalidad en la forma t P εúij

= η hΦ(F )i

48

∂P ∂ t σij

ßuencia est´atica, esta dada por la igualdad F = 0 y como un estado de tensiones t σij que cumple F (t σij , t K) > 0 est´a representado por un punto en el espacio de las tensiones que se encuentra afuera de la superÞcie de ßuencia F = 0, (y la funci´on F toma valores cada vez mayores a medida que este punto se aleja de la superÞcie) entonces la relaci´on (3.36) prevee que para determinadas tensiones t σij , la velocidad de deformaci´on pl´astica depender´a de la “distancia” entre dichas tensiones y la superÞcie de ßuencia est´atica F = 0. Esto es an´alogo al caso unidimensional en el que la deformaci´on pl´astica es funci´on de la diferencia entre las tensiones instant´anea tσ y las tensi´on de ßuencia del ensayo de tracci´on est´atico t σY .

Si se utiliza la funci´on de ßuencia (3.37) la relaci´on constitutiva (3.36) queda: * + √t J ∂f 2 t P √ εúij = η Φ( − 1) t K t (3.38) 3t J tK M ( √ 3 ) ∂ σij tJ 2 con tK ∂ ∂f dada por la ecuaci´on (3.10). Elevando al cuadrado cada miembro de tσ ij la ecuaci´on anterior y sumando todas las componentes se obtiene (ver ecuaci´on 3.13): q

t dP 2

=η

(con t dP2 =

*

Φ(

√t

tK

1t p t p εú εú 2 ij ij

√t

J2

√ 3t M( √t JJ23 )

yµ= 

+

− 1)

√ 3t √ J3 ) J2

2

t

µ4

M(µ)

e invirtiendo esta u ´ltima ecuaci´on se obiene:

  −1 √ = K  3t 1 + Φ (  M( √t JJ3 )

J2

1 1 2 M(µ)

v ´ u à !2 ³ 4 u 6 0 − µ M (µ) u 27  t1 +

q

t dP 2

η

s·

1+



   ) ¸  ³ 0 ´2 4 −µ6  ( ) M (µ) 27

2 M (µ) M (µ)

(3.39)

µ4

Esta ecuaci´on representa a las superÞcies de ßuencia din´amicas. La Þgura (3.9) muestra las intersecciones de dichas superÞcies con el plano desviador. √ √t 3t J 3 Recordando que los invariantes J2 y √t J2 est´an relacionados con el radiovector r y el ´angulo θ de cada punto P de estas curvas y llamando K(t dP2 ) al miembro derecho de la igualdad (3.39), esta igualdad se puede interpretar como r = K(t dP2 ) m(θ) donde la funci´on P (t σij , t K) es el denominado potencial viscopl´astico. Cuando se adopta como potencial viscopl´ astico a la funci´ on de ßuencia F , la ley constitutiva adquiere la forma (3.36). Se dice entonces que se trata de una ley asociada con la condici´ on de ßuencia y se puede demostrar que dicha ley asociada es aquella para la cual se maximiza la disipasi´ on.

49

Superficie de fluencia Dinámica Superficie de fluencia Estática

σ3

ε

t ij

s

P

t ij

r

θ σ1

σ2

Plano Desviador

Figura 3.9: SuperÞcies de ßuencia est´atica y dinam´õca o bien, r = K(t dP2 ) m(θ) se puede observar que las superÞcies de ßuencia din´amicas son todas geom´etricamente semejantes a la superÞcie est´atica y que crecen a mayor velocidad de deformaci´on pl´astica.

La ecuaci´on (3.38), expresa tambi´en que el tensor velocidad de deformaci´on (considerado como vector en el espacio tridimensional de las tensiones) es normal a la superÞcie de ßuencia din´amica (ver Þgura (3.9)). Como existe una analog´õa formal entre la ley constitutiva (3.38) y la ley de ßujo para la plasticidad (3.9), las deÞniciones de tensi´on equivalente y deformaci´on equivalente dadas en la secci´on anterior (ecuaciones (3.24) y (3.26) respectivamente), siguen siendo v´alidas. En t´erminos de estas medidas de la tensi´on y la deformaci´on acumulada, la ecuaci´on (3.39) se expresa como: t

donde η ∗ =

√

η √ 3 M( 3

t

σ = σY

Ã

t P

!

εú 1+Φ ( ∗ ) η −1

√ que es la relaci´on tensi´on deformaci´on din´amica que se 3 2 27

)

obtiene con el ensayo de tracci´on uniaxial (t σY es la tensi´on de ßuencia est´atica 50

de este ensayo18), por lo que la tensi´on equivalente t σ y la deformaci´on pl´astica equivalente t εP podr´an ser utilizadas para comparar un estado triaxial arbitrario de tensi´on tσij y deformaci´on t εpij con el estado uniaxial que se produce en el ensayo de tracci´on.

3.2.2. Relaci´ on constitutiva para la viscoplasticidad asociada con la ley de ßuencia de Von Mises Utilizando la funci´on de ßuencia de Von Mises: √ √ √t J2 3 t J2 −1 f= t −1= t K σY la relaci´on constitutiva para la viscoplasticidad (3.38) y la ecuaci´on que deÞne a la superÞcie de ßuencia din´amica (3.39) se reducen a * √ √ + 3 t J2 1 t sij t P √ εúij = η Φ( t − 1) (3.40) σY 2 t J2 y



√ q 2 3 t J2 = t σY 1 + Φ−1 (

q

t dP 2

η



)

(3.41)

Al igual que en la plasticidad inviscida asociada a la ley de √ ßuencia de q Von t Mises, en la que la supeÞcie de ßuencia es un cilindro de radio r = 2 K = 23 t K (de eje (1,1,1)) (ver Þgura (3.7)), en la viscoplasticidad asociada a la ley de ßuencia de Von Mises, las supeÞcies de ßuencia din´amicas son cilindros de radios dependientes de la velocidad de deformaci´on (ver referencia [25]).

Si se compara la ecuaci´on (3.40) con la relaci´on constitutiva que deÞne a un ßuido viscoso (ßuido newtoniano) t

εúij =

1 t sij 2µ

donde µ es la viscosidad, se observa que el modelo de viscoplasticidad asociado a la ley de ßuencia de Von Mises prevee la misma relaci´on entre la velocidad de deformaci´on pl´astica t εúPij y la tensi´on t sij que la que existe entre la velocidad de deformaci´on total y la tensi´on en un ßuido newtoniano de viscosidad no constante y dada por: D √ √t E η Φ( 3t σY J2 − 1) 1 √ = 2µ 2 t J2 18

Recordar que el par´ ametro de endurecimiento t K y la tensi´ on de ßuencia del ensayo de 1 t t √ √ σY . tracci´ on uniaxial σY son proporcionales, es decir, t K = √ 3 2 3 M( 3

51

27 )

Para poner en evidencia esta analog´õa, la relaci´on constitutiva viscoplastica asociada con la ley de ßuencia de Von Mises (ecuaci´on (3.40)) se escribe como  t P  εú =   ij   

1 2µ

=

1 t s 2µD ij√ √ t η Φ( 3t σY J2 √ 2 t J2

E

(3.42)

− 1)

o bien, utilizando la ecuaci´on (3.41) para escribir a la viscosidad como funci´on exclusiva de la velocidad de deformaci´on, como:  t t P    sij = 2µ ε³úij t

   2µ =

σY

1 + Φ−1 ( 2 √ √ 3 t d2

√

td 2

η

´

)

(3.43)

A diferencia de la plasticidad inviscida presentada en la secci´on anterior, el modelo viscopl´astico incorpora entonces la inßuencia de la duraci´on del proceso de deformaci´on (de la velocidad de deformaci´on) en el comportamiento del material.

Como consecuencia de esta caracter´õstica resulta un material, que si no fuera por la existencia de deformaciones el´asticas que se superponen a las inel´asticas, se comportar´õa pr´acticamente como un ßuido, en el sentido que la velocidad de deformaci´on t εúij resultar´õa ser funci´on exclusiva de las tensiones tσij (y no de la velocidad con la que aumentan las tensiones t σú ij como ocurre en la plasticidad inviscida) y por lo tanto el material no resistir´õa tensiones sin moverse. En particular si se adopta el modelo viscopl´astico de Perzyna asociado a la ley de ßuencia de Von Mises (ecuaciones (3.42) y (3.43)) resulta un material que se comportar´õa (si las deformaciones el´asticas fueran despreciables) como un ßuido viscoso incompresible de viscosidad no constante (no newtoniano) y como tal, su movimiento podr´a ser estudiado utilizando el enfoque euleriano. Como se dijo en la introducci´on, esto representa una ventaja num´erica muy importante ya que el dominio donde hay que hallar las inc´ognitas (en este caso, las velocidades vj ) estar´a Þjo en el espacio en todo instante y no deber´a ser actualizado para determinar las sucesivas conÞguraciones que va adoptando el material a medida que las deformaciones pl´asticas progresan. Esta ventaja es la que hace atractiva la utilizaci´on de modelos viscopl´asticos para la descripci´on del comportamiento inel´astico de metales d´ uctiles. En la referencia [25] se pueden encontrar diversas comparaciones de datos experimentales obtenidos para algunos aceros con las predicciones de este modelo con funciones Φ(f) de tipo exponencial, potencial y lineal.

52

´ n de flujo 4. Formulacio Hasta ahora se han planteado las ecuaciones que describen el movimiento de un cuerpo incompresible y las relaciones constitutivas que caracterizan a un metal que experimenta deformaciones pl´asticas. En este cap´õtulo se presentan algunas simpliÞcaciones a estas ecuaciones que se hacen para estudiar el movimiento de metales en los que se producen deformaciones pl´asticas muy grandes. Como resultado de estas simpliÞcaciones se obtendr´a un sistema de ecuaciones id´entico al que describe el movimiento de un ßuido no newtoniano (ecuaciones de Stokes).

Esta analog´õa permitir´a estudiar la ßuencia del s´olido utilizando las herramientas con las que se analiza el ßujo de ßuidos, es decir adoptar el enfoque euleriano para la descripci´on del movimiento (cuyas ecuaciones fueron presentadas en el primer cap´õtuo) y elegir al campo de velocidades (en lugar del campo de desplazamientos que es el que se utiliza en los problemas de s´olidos) como inc´ognita primaria a determinar. Como se dijo en la introducci´on, debido a dicha analogia, esta metodolog´õa de an´alisis recibe el nombre de formulaci´on de ßujo (ver referencias [28] o [29]).

4.1. Ecuaci´ on del movimiento La ecuaci´on del movimiento establece que ∂ t σij t + bj = t ρ ∂xi

Ã

∂ t vj ∂ t vj t + vi ∂t ∂xi

!

o bien, utilizando la descomposici´on del tensor de tensiones en su parte desviadora t sij y su parte volum´etrica t p δij , ∂ t sij ∂tp t + + bj = t ρ ∂xi ∂xj

Ã

∂ tvj ∂ t vj t + vi ∂t ∂xi

!

donde bj son las fuerzas por unidad de vol´ umen que act´ uan instant´aneamente sobre cada part´õcula.

En este trabajo se supone que el ßujo del metal es un ßujo cuyo n´ umero de Reynolds es muy bajo (ßujo de Stokes). Es decir, se supone que el termino 53

³

t

t

´

ρ ∂∂tvj + ∂∂xvij t vi que representa a las fuerzas de inercia que act´ uan sobre la part´õcula del medio que est´a ocupando la posici´on xi (la fuerza con la que la part´õcula se resiste al cambio de su velocidad) es despreciable frente a las fuerzas t que ejercen todas las part´õculas vecinas dadas por el t´ermino ∂∂xσiji .1 La ecuaci´on del movimiento que se considerar´a entonces es t

∂ t sij ∂tp t + + bj = 0 ∂xi ∂xj

4.2. Relaci´ on constitutiva En el cap´õtulo anterior se dijo que las deformaciones que se producen en un metal se pueden descomponer en dos partes: la parte recuperable o el´astica y t P una componente permanente o pl´astica. Llamandolas tεúE ij y εúij respectivamente, se puede escribir entonces (ver referencias [10], [17] y [18]): t

t P εúij = t εúE ij + εúij

(4.1)

donde εúij es la velocidad de deformaci´on total que (como se vio en el primer cap´õtulo) se relaciona con las velocidades vj seg´ un t

1 εúij = 2

Ã

∂ t vj ∂ t vi + ∂xi ∂xj

!

La componente el´astica εúE on deformaci´on de ij debe satisfacer las relaciones tensi´ la teoria de la elasticidad, es decir, t E εúij

1+ν t ν σú ij − t σú kk δij = E E 1+ν t 1 − 2ν 1 t = súij + σú kk δij E E 3

=

(4.2)

donde E es el m´odulo de Young, ν el m´odulo de Poisson y t σú ij = t sú ij + 13 t σú kk δij .

La componente inel´astica t εúPij est´a caracterizada por alguna de las relaciones constitutivas discutidas en el cap´õtulo anterior (ver ecuaciones (3.30) o (3.38).

En este trabajo se utiliza el modelo viscoplastico de Perzyna asociado a la funci´on de ßuencia de Von Mises (ecuaci´on (3.40)), seg´ un el cual, la componente inel´astica de las deformaciones debe satisfacer la relaci´on 1 t t P εúij = sij (4.3) 2µ 1

El n´ umeo de Reynolds mide la importancia relativa de las fuerzas de inercia frente a las fuerzas de naturaleza viscosa. Por lo tanto las fuerzas de inercia ser´an despreciables frente a las viscosas cuando el n´ umero de Reynolds es muy chico.

54

con

D √ √t E √ q P 3 J2 η Φ( − 1) 3 t d2 1 σY (t εP ) √ √ µ ¶ = = 2 t dP 2µ 2 J2 σY (t εP ) 1 + Φ−1 ( η 2 )

(4.4)

donde η y Φ(f ) son funciones que se eligen para reproducir datos experimentales, σY (εP ) es la tensi´on de ßuencia est´atica que se obtiene en el ensayo de tracci´on y t P d2 = 12 t εúPij t εúPij . Se elige como funci´on Φ(f) a una funci´on de tipo potencial, es decir, Φ(f ) = f δ donde δ es un par´ametro que se determina experimentalmente.2 Para simpliÞcar la relaci´ones constitutivas dadas por las ecuaciones (4.1), (4.2), (4.3) y (4.4) se supone que las deformaciones el´asticas son despreciables. La ecuaci´on (4.1) se reduce entonces a t

εúij ' t εúPij

y la relaci´on constitutiva que resulta es t

con

εúij =

1 t sij 2µ

D √ √t E √ √ η Φ( σ3Y (t ε)J2 − 1) 1 3 t d2 ³ ´ √ √t = = t 2µ 2 J2 σY (t ε) 1 + Φ−1 ( 2 η d2 )

(o bien, utilizando Φ(f) = f δ y llamando η ∗ = η2 ) 1 = 2µ

D

η∗ (

√ √ 3 t J2 σY (t ε) √t J2

− 1)δ

E

√ √ 3 t d2

= σY (t ε)

µ

1+

³ √t

d2

η∗

´1 ¶ δ

Estas ecuaciones constitutivas son formalmente id´enticas a las que caracterizan a un ßuido viscoso no newtoniano. Se observa entonces que, si la parte el´astica de las deformaciones se puede despreciar y si las deformaciones inel´asticas se describen mediante el modelo r´õgido-viscopl´astico asociado a la ley de ßuencia de Von Mises, el metal quedar´a caracterizado por una ley constitutiva an´aloga a la que describe el ßujo de un ßuido viscoso (de viscosidad no constante). Como se dijo antes, este enfoque de an´alisis recibe el nombre de formulaci´on de ßujo (ver referencia [29]).

2

No confundir con el s´õmbolo δ de Kronecker deÞnido en la introducci´ on.

55

4.3. Planteo diferencial del problema Si se hacen las simpliÞcaciones discutidas hasta ahora, el problema del ßujo estacionario de un metal que experimenta grandes deformaciones pl´astica queda formulado mediante las siguientes ecuaciones: • Condici´on de incompresibilidad: ∂ t vk =0 ∂xk

(4.5)

• Ecuaci´on del movimiento para ßujo de Stokes (Reynolds bajo): ∂ t sij ∂ tp t + + bj = 0 ∂xi ∂xj

j = 1, 2, 3

(4.6)

• Relaci´on constitutiva:

 t  sij = 2µ t εúij µ        2µ =

σY (t ε)

i, j = 1, 2,¶3 ³ √t

1 + η∗d2 √ √ 3 t d2

´1 δ

(4.7)

donde t d2 = 12 t εúij t εúij , σY (t ε) es la curva tensi´on deformaci´on del ensayo de tracci´on uniaxial y las velocidad de deformaci´on εúij se relaciona con las velocidades seg´ un t

1 εúij = 2

Ã

∂ t vj ∂ t vj + ∂xi ∂xj

!

i, j = 1, 2, 3

(4.8)

Para materiales que no experimentan endurecimiento por deformaci´on es decir σY (t ε) = cte las ecuaciones (4.5) y (4.6) con t sij dado por las (4.7) y t εúij dado por las (4.8) constituyen un sistema de 4 ecuaciones diferenciales para cuatro inc´ognitas que son las 3 componentes de la velocidad t vj y la presi´on tp.

Cuando σY no es constante y depende de las deformaci´on equivalente t ε, (es decir, en aquellos materiales en los que existe endurecimiento por deformaci´on) a este sistema de ecuaciones se le debe agregar la ecuaci´on que relaciona a la nueva incognita t ε con la velocidad de deformaci´on, es decir (ver ecuaciones (3.23) y (3.25)) 2 qt t √ εú = d2 3 56

donde t εú es la derivada material de tε que est´a dada por t

εú =

∂ t ε ∂ tε vi + ∂t ∂xi

Entonces, para el caso en que exista endurecimiento por deformaci´on, se debe incorporar la ecuaci´on 2 qt ∂ t ε ∂ tε vi = √ d2 (4.9) + ∂t ∂xi 3 que junto con las cuatro ecuaciones anteriores constituir´an un sistema de 5 ecuaciones diferenciales para las cinco incognitas tvj , t p y t ε.

Estas ecuaciones diferenciales deber´an satisfacerse para todo punto de coordenadas xj perteneciente a la regi´on del espacio V a trav´es de la cual ßuye el metal (ver Þgura (4.1)) y para resolverlas se deber´a tener en cuenta las condiciones de borde µ ¶ 1t t t σij ni = sij + σkk δij ni = t fj 3 sobre la parte Sf de la frontera de V donde se encuentran impuestas las tracciones t fj (llamada condici´on de borde est´atica o natural) y t

vj = dato

sobre la otra parte de la frontera (la parte Sv ) en donde se encuentran preÞjadas las velocidades (llamada condici´on de borde cinem´atica o artiÞcial).

La adopci´on de el modelo constitutivo viscopl´astico de Perzyna asociado a la ley de ßuencia de Von Mises (ecuaci´on (4.7)) para la descripci´on del comportamiento inel´astico del material y el hecho que las deformaciones el´asticas sean desrpeciables frente a las inel´asticas, permite entonces considerar la deformaci´on pl´astica del s´olido como si fuera el ßujo de un ßuido incompresible viscoso (no newtoniano). Esto posiblita a su vez la utilizaci´on del enfoque euleriano para la descripci´on del movimiento del material y la elecci´on de las velocidades tvj como inc´ognitas primarias a determinar (hecho que, como se dijo en la introducci´on, representa una gran ventaja desde el punto de vista num´erico dado que el dominio de c´alculo no debe ser actualizado instante a instante como sucede al estudiar la deformaci´on del s´olido desde el punto de vista lagrangeano). Las ecuaciones con las que se describir´a el movimiento del material son entonces las presentadas en primer cap´õtulo (ecuaciones de continuidad y de conservaci´on de la cantidad de movimiento para el enfoque euleriano) que, teniendo en cuenta que las fuerzas de naturaleza viscosa que intervienen son mucho m´as importante que las fuerzas de inercia (ßujo de Reynolds bajo o ßujo de Stokes) se reducen a las (4.5) y (4.6).

57

x3

x1

x2

Figura 4.1: Flujo de un metal a traves de una regi´on del espacio.

58

5. Modelado de flujos incompresibles bidimensionales con el m´ etodo de los elementos finitos En el cap´õtulo anterior se plantearon las ecuaciones diferenciales que describen el ßujo de un metal caracterizado por la ley constitutiva r´õgidoviscopl´astica de Perzyna asociada a la ley de ßuencia de Von Mises (ecuaciones (4.5), (4.6), (4.7), (4.8) y (4.9)). Como se dijo antes, estas ecuaciones son an´alogas a las correspondientes al ßujo de un ßuido incompresible viscoso no newtoniano (es decir, de viscosidad dependiente de la velocidad). En este cap´õtulo se estudiar´a c´omo se resulven num´ericamente dichas ecuaciones utilizando el M´etodo de los Elementos Finitos. Se ver´a que la condici´on de incompresibilidad no puede imponerse en forma exacta con este m´etodo y que entonces es necesario buscar formas alternativas de aproximar dicha condici´on.

Si bien la relaci´on constitutiva elegida para el metal es semejante a la correspondiente a un ßuido viscoso cuya viscosidad es funci´on de las velocidades (ßuido no newtoniano), para estudiar los problemas relacionados con la condici´on de incompresibilidad que se presentan con el m´etodo de los elementos Þnitos se considerar´a un ßuido de viscosidad constante (ßuido newtoniano), dado que todos estos problemas se maniÞestan en igual medida en los dos tipos de ßuidos. La adaptaci´on de estas ideas al caso del ßujo de un metal (que es no newtoniano) se explicar´a en el sexto cap´õtulo.

En particular se describir´an dos formas alternativas de imponer la condici´on de incompresibilidad: el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange (con interpolaci´on bilineal continua para las velocidades e interpolaci´on constante y discontinua para las presiones) y el m´etodo de penalizaci´on y se estudiar´an sus alcances, sus limitaciones como as´õ tambi´en las formas de superarlas. Las referencias para este cap´õtulo son [2], [3], [4], [5], [6], [12], [13], [15], [16], [22], [23], [24], [26], [28] y [29].

59

5.1. Principio de los potencias virtuales para un estado plano de velocidades de deformaci´ on: El punto de partida del m´etodo de elementos Þnitos (y de sus formulaciones alternativas) es el principio de las potencias virtuales formulado en el segundo cap´õtulo (ecuaciones (2.6) y (2.7)). Cuando las deformaciones son planas, varios de los terminos que aparecen en este principio se anulan, y su expresion toma una forma m´as simple que la correspondiente a deformaciones tridimensionales.

Se deÞne como deformaci´on plana a aquella para la cual una de las componentes de la velocidad, (por ejemplo v3) es nula, y las otras dos componentes de la velocidad (v1 y v2 ) y la presi´on p no dependen de la coordenada x3 que es la direcci´on perpendicular a la velocidad.1 Es decir,    v1 = v1 (x1 , x2 )  

y

v2 = v2 (x1, x2 ) v3 = 0 p = p(x1 , x2 )

Si se supone que las deformaciones son planas, las componentes del tensor velocidad de deformaci´on (relacionadas con las velocidades seg´ un las ecuaciones (4.8)) se reducen a :  ∂v1   εú 11 = ∂x1    εú 22 = ∂v2 ∂x³2 ´ (5.1) 1 ∂v1 ∂v2  ε ú = +  12  2 ∂x ∂x 2 1   εú13 = εú23 = εú33 = 0 y las tensiones desviadoras, (relacionadas con la velocidad de deformaci´on seg´ un las ecuaci´on constitutiva de un ßuido viscoso (4.7)) quedan ³ ³ ´´  ∂v1 1 ∂v1 ∂v2  s = 2µ − +  11 3 ³ ∂x1 ∂x2 ´´  ³ ∂x1    ∂v2 1 ∂v1 ∂v2  s = 2µ − +   22 ∂x 2 ³ ∂x2 ³3 ∂x1 ´´

s33 = 2µ      s12 = 2µ    

1 2

0− ³

∂v1 ∂x2

s13 = s23 = 0

1

1 3

∂v1 + ∂v2 ∂x1 ´ ∂x2 ∂v2 + ∂x 1

(5.2)

Mas adelante se supondr´a que el ßujo es estacionario, es decir, que todas las variables que on describen el movimiento del material (velocidades t vj , tensiones t σij , velocidades de deformaci´ t εúij y densidad t ρ) no var´õan en el tiempo (en cada posici´ on Þja en el espacio). Por lo tanto, de ahora en adelante se omitir´ a el supra´õndice t al escribir a dichas variables.

60

donde 2µ es la viscosidad, que en adelante se supondr´a constante.2 Las ecuaciones del movimiento para un ßujo estacionario (4.6) adquirir´an entonces la siguiente forma: ∂s11 ∂s12 ∂p + + + b1 = 0 ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂s12 ∂s22 ∂p + + + b2 = 0 ∂x1 ∂x2 ∂x2

(5.3)

y la condici´on de incompresibilidad (4.5) se reducir´an a ∂v1 ∂v2 + =0 ∂x1 ∂x2

(5.4)

Las ecuaciones (5.3) con las tensiones dadas por la relaci´on constitutiva (5.2) y la ecuaci´on de incompresibilidad (5.4), constituyen (cuando la viscosidad 2µ es constante) un sistema de tres ecuaciones diferenciales para las tres inc´ognitas v1 , v2 y p que caracterizan el ßujo de un medio viscoso incompresible (de viscosidad constante) que experimenta deformaciones planas.

Teniendo en cuenta esta particularizaci´on de las condiciones cinem´aticas (4.8), de las ecuaciones del movimiento (4.6), de la relaci´on constitutiva (4.7) y de la condici´on de incompresibilidad (4.5) al caso de deformaciones planas, cada uno de los sumandos que aparecen en el principio de las potencias virtuales (2.7) toman respectivamente la siguiente forma:3 2

Si bien cuando el material es exactamente incompresible, constitutiva se reduce a:  ∂v1 s11 = 2µ ∂x  1   ∂v2  s22 = 2µ ∂x ³2 ´ ∂v2 1 ∂v1  s = 2µ + 12  2 ∂x2 ∂x1   s13 = s23 = s33 = 0

∂v1 ∂x1

+

∂v2 ∂x2

= 0 y la relaci´ on

∂v1 ∂v2 + ∂x en todas las expresiones dado que, como se ver´ a m´ as es conveniente mantener el t´ermino ∂x 1 2 adelante, una de las formulaciones alternativas del m´etodo de los elementos Þnitos supone que el material admite un cierto grado de compresibilidad, y es necesario entonces que la expresi´ on del principio de los trabajos virtuales que se pretende deducir, sea tambi´en aplicable en estos casos.

3 En el seguno cap´õtulo se utiliz´ o la notaci´ on V y Sv y Sf para respresentar a las regi´on del espacio ocupada por el cuerpo en un instante dado y a su frontera. En este cap´õtulo se utilizar´ Ran y la integral los s´õmbolos Ω y Γv y Γf para representar respectivamente a dichos conjuntos V R que es una integral triple sobre una regi´on tridimensional V y la integral Sf que es una integral de superÞcie, se reducir´ an respectivamente en el caso plano, a una integral doble sobre la regi´ on plana Ω y a una integral curvilinea sobre la curva Γ que es la frontera de Ω.

61

• Potencia virtual desviadora R ³ 1 ³ ∂δv V

2

=

´

´

∂δvj k − 13 ∂δv δij sij dV = ∂xi h³ ³ ∂xk ´´ ³ ³ ´´ R ∂δv1 1 ∂δv1 ∂δv2 ∂δv2 1 ∂δv1 ∂δv2 − + s + − + s22 + 11 Ω 3 ∂x1 ∂x´´ 3 ´ ∂x1 i ∂x2 2 ³∂x1 ³ ³ ∂x2 1 ∂δv1 ∂δv2 ∂δv1 ∂δv2 + 0 − 3 ∂x1 + ∂x2 s33 + ∂x2 + ∂x1 s12 dΩ i ∂xj

+

• Potencia virtual volum´etrica R

∂δvk V ∂xk p

dV =

R ³ ∂δv1 Ω

∂x1

+

∂δv2 ∂x2

´

p dΩ

• Potencia virtual de las fuerzas exteriores: R

V

R

bj δvj dΩ + Sf fj δvj dS = R R Ω (b1 δv1 + b2 δv2 ) dΩ + Γf (f1 δv1 + f2 δv2 ) dΓ

El principio de las potencias virtuales cuando las deformaciones son planas se puede expresar entonces como:   T   Ã ! " Ã !#   1 Z    1 ∂δv1 ∂δv2   1 ∂δv1 ∂δv2  δ ε ú − + 1 · s + 0 − + s dΩ+    33  3 ∂x1 ∂x2 3 ∂x1 ∂x2 Ω     0 !

Z Ã Z Z

+

Ω

∂δv1 ∂δv2 + p dΩ = ∂x1 ∂x2

Ω

δvT · b dΩ +

Γf

δvT · f dΓ

∀ δv

donde δv, δε, ú s, b y f son matrices (columna) que agrupan respectivamente a las componentes no nulas de las variaciones de la velocidad δv1 y δv2 , de la velocidad de deformaci´on δεú11, δεú22 y δ εú12 , y a las componentes de las tensiones desviadoras s1 , s2 y s12 , las fuerzas volum´etricas exteriores b1 y b2 y las fuerzas de superÞcie f1 y f2 , es decir, Ã

!

δv1 δv = δv2    δ εú1   δ εú =   δ εú2 = 2δεú12   s1  s=  s2  Ã s12! b1 b= Ã b2 ! f1 f= f2 62

∂δv1 ∂x2

∂δv1 ∂x1 ∂δv2 ∂x2

+

∂δv2 ∂x1

  

(y el supraindice T indica “traspuesta”). Teniendo en cuenta en primer lugar que ´ ∂δv1 ∂δv2 ³ + = 1 1 0 · δεú ∂x1 ∂x2

y que entonces

δεú −

1 3

³

∂δv1 ∂x1

+

∂δv2 ∂x2

´



1



   1  = δ εú −

0

1 3





1

   1 ·

0

³

1 1 0

´



2 3

  1 · δ εú =   −3 

0

− 13 0 2 3

0

 

 0   · δ εú

1



por lo que la relaci´on constitutiva para un material viscoso que experimenta deformaciones pl´asticas (las ecuaciones (5.2)) se podr´a expresar como       1 0 0 1   ³ ´       1 ∂v ∂v  s = 2µ    0 1 0  · εú − 3 ∂x11 + ∂x22  1  =     0 0 12    2  0  1     − 0  3    3  1 0 0   1 2    − = 2µ  0 1 0  ·  3 3 0    · εú     1   0 0 2  0 1  0   ³ ³ ´´     s33 = 2µ 0 − 1 ∂v1 + ∂v2 =  ∂x  ³3 ∂x1 ´2   1  = −2µ 1 1 0 · δ εú 3

donde εú es la matriz que agrupa a las componentes no nulas de la velocidad de deformaci´on, es decir, 





εú1   εú =  εú2  = 2εú12

∂v1 ∂x2

∂v1 ∂x1 ∂v2 ∂x2

+

∂v2 ∂x1

  

el principio de las potencias virtuales para deformaciones planas y para un medio viscoso queda Z " Ω

T

Ω

donde

µ

¶

µ

1 1 δ εú · Id · 2µ D · Id · εú + δ εú · − M 2µ − M 3 Z 3 Z Z + δεúT · M p dΩ = δvT · b dΩ + δvT · f dΓ T

T

Ω

Γf



2 3

  1 Id =   −3 

0

63

− 13 0 2 3

0

 

 0  

1



¶T

#

· εú dΩ+ ∀ δv





1 0 0   D =  0 1 0  0 0 12 



1   M =  1  0

Y teniendo en cuenta en segundo lugar que4 µ

1 Id · D · Id + − M 3 T

¶µ

1 − M 3

¶T

= D · Id

y agrupando t´erminos, el principio de las potencias virtuales para un material viscoso que experimenta deformaciones planas se expresar´a Þnalmente como: Z

Ω

δεúT · 2µ D · Id · εú dΩ +

Z

Ω

δεúT · M p dΩ =

Z

Ω

δv T · b dΩ +

Z

Γf

δv T · f dΓ

∀ δv

(5.5) El primer t´ermino del miembro izquierdo es la potencia virtual desviadora, y el segundo, la potencia virtual volum´etrica. El miembro derecho representa la potencia virtual de las fuerzas exteriores. Cuando las fuerzas exteriores volum´etricas b sean nulas, y las condiciones de borde sean exclusivamente cinem´aticas, es decir, sobre toda la frontera Γ del dominio Ω , las velocidades esten impuestas (y por lo tanto Γv = Γ y Γf = ∅), el principio de las potencias virtuales se reducir´a a: Z

Ω

δ εúT · 2µ D · Id · εú dΩ +

Z

Ω

δ εúT · M p dΩ = 0

∀ δv

(5.6)

5.2. Discretizaci´ on con el m´ etodo de los elementos Þnitos: sus limitaciones Como se dijo en el segundo cap´õtulo, el principio de las potencias virtuales es una expresi´on equivalente a las ecuaciones del movimiento de un cuerpo, en el sentido que los campos de presiones p y de velocidades (v1 , v2 ) que satisfacen la igualdad (5.5) (y las condiciones de borde cinem´aticas, es decir, (v1 , v2 ) = dato sobre Γv ) para toda variaci´on (δv1 , δv2 ) (nula en Γv ), veriÞcar´a la ecuaci´on del movimiento 4

Esta identidad se puede demostrar observando que la matriz Id esta dada por Id = I − 13 M · M T

donde I es la matriz identidad de 3 × 3.

64

(5.3) (con las condiciones de borde est´aticas) y la relaci´on constitutiva (5.2).5 Es decir, el principio de las potencias virtuales representa una forma alternativa de plantear estas ecuaciones. El m´etodo de elementos Þnitos se apoya en ´este resultado y busca una soluci´on aproximada de dichas ecuaciones partiendo del principio de las potencias virtuales (5.5). Para formularlo, se necesita introducir primero la siguiente notaci´on: dado un conjunto plano Ω incluido en <2 , • Se denomina L2(Ω) al Rconjunto de las funciones v(x1 , x2 ) deÞnidas en Ω para las cuales las integral Ω v2 dΩ existe y es Þnita, es decir, ½

2

2

L (Ω) = v : Ω ⊂ < → < tal que

Z

Ω

2

¾

v dΩ < ∞

(< ∞ quiere decir que existe y es 6= ∞). Este conjunto incluye a una gran cantidad de funciones, en particular, a las funciones continuas en Ω a las funciones continuas por partes (es decir, las funciones continuas en subdominios Ωe y que “pegan saltos” a trav´es de la frontera que separa cada subdominio Ωe de los vecinos), etc.

• Se denomina H 1 (Ω) al conjunto de las funciones v(x1 , x2 ) deÞnidas en Ω que pertenecen a L2 (Ω) y cuyas derivadas parciales tambi´en pertenecen a R L2 (Ω), es decir, aquellas funciones para las cuales las integrales Ω v2 dΩ y R ³ ∂v ´2 dΩ existen y son Þnitas: Ω ∂xj (

)

∂v H (Ω) = v : Ω ⊂ < → < tal que v ∈ L (Ω) y ∈ L2 (Ω) ∂xj 1

2

2

Este conjunto (incluido obviamente en L2 (Ω)) tambi´en es un conjunto muy grande que incluye en particular, a las funciones continuas de derivadas parciales continuas en Ω, a las funciones continuas por partes y/o de derivadas parciales continuas por partes (es decir, las funciones continuas y de derivadas continuas en subdominios Ωe que “pegan saltos” (ellas y/o sus derivadas) entre subdominios Ωe ), etc. (Las componentes del campo de velocidades v1 y v2 pertenecen a este conjunto).

Se observa que el conjunto L2 (Ω) constituye un espacio vectorial de funciones6 y H 1 (Ω) un subespacio vectorial de ´el. 7 5

La condici´ on de incompresibilidad (5.4) no esta implicada por el principio de las potencias virtuales. Entonces, adem´as de cumplir el principio de las potencias virtuales, el campo de velocidades deber´ a ser exactamente incompresible.

6 Es decir, si v y w pertenecen a L2 (Ω), entonces cualquier combinaci´ on lineal de ellas αv +βw tambi´en pertenecer´a a L2 (Ω).

7 La notaci´on elegida es la utilizada convencionalmente en el an´ alisis funcional (ver referencias [34] y [35]).

65

En relaci´on a un cuerpo cuya secci´on trasversal ocupa en un instante t cualquiera, cierta regi´on del espacio Ω ⊂ <2 (ver Þgura (5.1)) y que se encuentra sometido a la acci´on de fuerzas de vol´ umen (b1 , b2), fuerzas de superÞcie (f1 , f2 ) sobre la parte Γf de la frontera de Ω y a velocidades impuestas sobre la otra parte de la frontera Γv (es decir (v1, v2 ) = (g1 , g2 ) = dato sobre Γv ), es necesario introducir tambi´en la siguiente notaci´on: • Se denomina U al conjunto de las funciones (v1 , v2 ) deÞnidas en Ω, R R ³ ∂vi ´2 dΩ existen y son pertenecientes a H 1(Ω) (es decir, Ω (vi )2 dΩ y Ω ∂x j Þnitas) y que satisfacen exactamente las condiciones de borde cinem´aticas, (es decir, cumplen que (v1 , v2 ) = dato = (g1, g2 ) sobre Γv ). Es decir: n

U = (v1 , v2) tal que vi ∈ H 1 (Ω) y (v1 , v2 ) = (g1, g2) sobre Γv

o

donde (g1 , g2 ) son las velocidades impuestas sobre la frontera Γv . La funci´on (v1 , v2) que satisface la igualdad (5.5) (y por lo tanto, es soluci´on de las ecuaciones del movimiento) pertenecer´a a este conjunto.

• Se denomina V al conjunto de las funciones (w1 , w2 ) deÞnidas en Ω (pertenecientes a H 1(Ω)) que son nulas sobre la frontera Γv donde se prescriben las velocidades, es decir n

V = (w1 , w2) tal que wi ∈ H 1(Ω) y (w1, w2 ) = (0, 0) sobre Γv

o

Las variaciones de la velocidad (o velocidades virtuales) (δv1 , δv2) pertenecen a este espacio.

• Se denomina K al conjunto de funciones (v1, v2) deÞnidas en Ω (pertenecientes a H 1(Ω)) que son exactamente incompresibles, es decir, (

)

∂v1 ∂v2 + = 0 en Ω K = (v1 , v2 ) tal que vi ∈ H (Ω) y ∂x1 ∂x2 1

(en Ω quiere decir ∀ (x1, x2 ) ∈ Ω).

Se observa que, (llamando H1 (Ω) al conjunto de pares ordenados de funciones de H 1 (Ω), es decir, H1 (Ω) = H 1 (Ω) × H 1(Ω) = (H 1 (Ω))2 ), los conjuntos U, V y K son subespacios vectoriales de funciones de H1 (Ω). Se observa tambi´en que el campo de presiones p, (sobre el que no hay especiÞcada ninguna condici´on de contorno) pertenecer´a al espacio L2 (Ω).

Utilizando esta notaci´on se puede reexpresar en la siguiente forma la equivalencia entre las ecuaciones (5.2) y (5.3) y el principio de las potencias virtuales 66

(v1,v2)=(g1,g2)

x2

f

Γv

Γf b

Ω

x1

Figura 5.1: Dominio ocupado por un medio viscoso y condiciones de borde a las que esta sometido.

(5.5): el campo de velocidades (v1 , v2) y el de presiones p que satisfacen la ecuaci´on del movimiento (5.3) con las tensiones sij dadas por la relaci´on constitutiva (5.2) (y las condiciones de borde cinem´aticas y est´aticas) son aquellas funciones p y (v1 , v2) pertenecientes respectivamente a L2 (Ω) y a U tal que para toda funci´on (δv1 , δv2) perteneciente a V veriÞca la igualdad (5.2), es decir, aquellos campos p y (v1 , v2) tales que Z

Ω

p ∈ L2(Ω), (v1 , v2 )Z∈ U y ∀ (δv1, δv2 )Z∈ V se veriÞcaZque:

δεúT · 2µ D · Id · εú dΩ + T

donde δ εú =

³

∂δv1 ∂x1

∂δv2 ∂x2

∂δv1 ∂x2

Ω

δεúT · M p dΩ =

+

∂δv2 ∂x1

´

T

y εú =

³

Ω

δvT · b dΩ +

∂v1 ∂x1

∂v2 ∂x2

∂v1 ∂x2

Γf

+

δvT · f dΓ

∂v2 ∂x1

´

(5.7)

.

Asi planteado, el principio de las potencias virtuales representa una forma alternativa de formular las ecuaciones (5.2) y (5.3). Sin embargo no asegura que se satisfacer´a tambi´en la condici´on de incompresibilidad (5.4). Para que dicha condici´on tambi´en se cumpla, y obtener as´õ una formulaci´on equivalente a las ecuaciones completas del ßujo de un medio viscoso incompresible viscoso (es decir, una formulaci´on que implique no solo a las ecuaciones (5.3), (5.2) sino tambi´en la (5.4)) se puede reescribir al principio de las potencias virtuales de la siguiente forma: el campo de velocidades (v1, v2) y el de presiones p que satisfacen la ecuaci´on del movimiento (5.3), la relaci´on constitutiva (5.2) (con las condiciones de 67

borde cinem´aticas y est´aticas) y la condici´on de incompresibilidad (5.4), es aquella funci´on perteneciente a U ∩ K (es decir, se exige ahora a la funci´on (v1 , v2 ) que pertenezca no solo a U como antes, sino tambi´en a K) que veriÞca la igualdad (5.5) para toda funci´on (δv1 , δv2) perteneciente a V, es decir, es un campo de velocidades (v1, v2 ) tal que Z

Ω

T

(v1, v2 ) ∈ U ∩ K Z y ∀ (δv1 , δv2 ) ∈ V Z se veriÞca que: Z

δεú · 2µ D · Id · εú dΩ +

Ω

δεúT · M p dΩ =

Ω

δvT · b dΩ +

Γf

δvT · f dΓ

(5.8) Para completar la formulaci´on del m´etodo de los elementos Þnitos es necesario introducir adem´as de los espacios H 1(Ω), U, V y K los siguientes espacios de funciones de dimensi´on Þnita: • Se denomina Hh a un espacio de dimensi´on Þnita de funciones que aproximar´an (o interpolar´an) a las funciones de H 1 (Ω). En el m´etodo de los elementos Þnitos este espacio se construye de la siguiente forma: — Se divide el dominio Ω en subdominios Ωe (ver Þgura (5.2)) (Estos subdominios son los llamados elementos Þnitos). En este trabajo se utilizar´an elementos de cuatro nodos y cuatro lados rectos. El “tama˜ no” de cada elemento Ωe se mide con un par´ametro he , que en el caso de los elementos de cuatro nodos, puede tomarse como la mayor de las distancias entre lados opuestos (ver Þgura (5.3)). Como estos elementos tienen lados rectos, y el dominio Ω tiene en general una frontera Γ curva, entonces la uni´on de todos estos elementos no coincidir´a exactamente con Ω (ver Þgura (5.2)) pero tienden a coincidir cuando el tama˜ no de todos los elementos es chico, es decir, llamando Ωh a la uni´on de todos los dominios elementales (Ωh =∪ Ωe ) Ωh no e coincide con Ω pero tiende a ser casi igual cuando he → 0 ∀e.

— Sobre cada elemento se deÞne un sistema de coordenadas curvil´õneo local (r, s) (ver Þgura (5.3)) adem´as del sistema de coordenadas global (x1 , x2 ) tal que las coordenadas locales (r, s) correspondientes a cada nodo sean las que se muestran en la siguiente tabla Nodo Coordenada (r, s) 1 (1, 1) 2 (−1, 1) 3 (−1, −1) 4 (1, −1) 68

y las correspondientes a cada lado sean Lado Coordenada (r, s) 1 − 2 (r, 1) con −1 ≤ r ≤ 1 2 − 3 (−1, s) con −1 ≤ s ≤ 1 3 − 4 (r, −1) con −1 ≤ r ≤ 1 4 − 1 (1, s) con −1 ≤ s ≤ 1 Se puede demostrar que las funciones que deÞnen el cambio de coordenadas locales (r, s) a coordenadas globales (x1 , x2 ) y que veriÞca las anteriores correspondencias se puede expresar como (ver referencias [2], [12] y [13]) (

(2) (3) (3) x1(r, s) = h1 (r, s) x(1) 1 + h2 (r, s) x1 + h3 (r, s) x1 + h4 (r, s) x1 (1) (2) (3) (3) x2(r, s) = h1 (r, s) x2 + h2 (r, s) x2 + h3 (r, s) x2 + h4 (r, s) x2 (1)

(1)

(2)

(2)

(3)

(3)

(4)

(4)

donde (x1 , x2 ), (x1 , x2 ), (x1 , x2 ) y (x1 , x2 ), son respectivamente las coordenadas globales de los nodos 1, 2, 3 y 4 y las funciones hj (r, s) son las denominadas funciones de forma (para el elemento bidimensional de cuatro nodos) deÞnidas como: 1 h1 (r, s) = (1 + r)(1 + s) 4 1 h2 (r, s) = (1 − r)(1 + s) 4 1 h3 (r, s) = (1 − r)(1 − s) 4 1 h4 (r, s) = (1 + r)(1 − s) 4

(5.9)

Se observa que todas estas funciones son funciones polin´omicas construidas combinando linealmente los polinomios 1, r, s y rs, y que cada funci´on hj (r, s) vale 1 en el nodo j y 0 en los tres restantes, es decir, hj (ri , si ) = δij .

— El espacio Hh de funciones que aproximar´an a las funciones de H 1(Ω) se deÞne de la siguiente forma: Hh =

(

vh tal que vh es continua en Ωh y es un polinomio dentro de cada elemento Ωe

)

donde Ωh es la uni´on de todos los elementos Ωe en que se particion´o al dominio Ω, (es decir, Ωh =∪ Ωe ) que, como se dijo antes, no e

69

coincide exactamente con Ω. En la Þgura (5.4) se muestra una de estas funciones. Como dentro de cada elemento la funci´on es polin´omica, entonces tambi´en ser´a continua (adentro del elemento). El u ´nico lugar donde puede ser no continua es en los bordes de cada elemento. Se deduce entonces que la funci´on ser´a continua en todo el dominio Ωh si es continua en dichos bordes.

— Se elige como base de los polinomios que se utilizar´an dentro de cada elemento a las funciones de forma h1 (r, s), h2 (r, s), h3 (r, s) y h4 (r, s) (que como se dijo antes son combinaciones lineales de los polinomios 1, r, s y rs). Es decir, cada funci´on vh ser´a igual, dentro de cada elemento, a uno de los polinomios que se generan combinando linealmente dichas funciones. Recordando que cada funci´on de forma hj (r, s) vale 1 en el nodo j y 0 en los restantes, se deduce que los par´ametros que deÞnen a cada funci´on vh ser´an los valores de dicha funci´on vh en los nodos (ver referencias [2], [12] y [13]). Dentro de cada elemento la funci´on vh estar´a dada entonces por: (1)

(2)

(3)

(3)

vh (r, s) = h1 (r, s) vh + h2 (r, s) vh + h3(r, s) vh + h4(r, s) vh

(5.10)

donde vh(1) , vh(2) , vh(3) y vh(4) son respectivamente los valores que toma la funci´on vh en los nodos 1, 2, 3 y 4. Se puede demostrar que las funciones vh , deÞnidas dentro de cada elemento de esta forma, son continuas en los bordes de los elementos y por lo tanto, continuas en todo el dominio Ωh .

Se observa que este espacio Hh es un espacio vectorial de funciones de dimensi´on Þnita (y que si los dominios Ω y Ωh coinciden, Hh ser´a un subespacio vectorial de H 1 (Ω)). La dimensi´on estar´a dada por la cantidad total de nodos presentes en la malla ya que Þjados los valores de vh en todos los nodos, quedar´a especiÞcado un u ´nico polinomio en cada elemento Ωe y entonces una u ´nica funci´on vh de Hh . Se observa tambi´en que cuanto mayor cantidad de elementos (y por lo tanto de nodos) se utilicen para discretizar al dominio Ω, mejor ser´a la “calidad” del espacio Hh como espacio de funciones aproximantes de las funciones de H 1 (Ω).8 Si se deÞne como h al supremo de los tama˜ nos de los elementos he (es decir h =sup {he }) entonces, cuando m´as chico es h, menor ser´a el tama˜ no de todos los e

8

Esto quiere decir que, dada cualquier funci´on v ∈ H 1 (Ω) entonces la distancia d(v, Hh ) entre esta funci´on y el espacio Hh (entendiendose por distancia entre v y Hh a la m´õnima de las distancias entre v y los elementos vh de Hh , es decir, d(v, Hh ) = inf {d(v, vh )} donde d(v, vh ) vh ∈Hh

es cierta medida del error que se comete al aproximar a la funci´ on v con la funci´ on interpolante vh ) disminuye a medida que aumenta la dimensi´ on del espacio Hh .

70

elementos, mayor ser´a la cantidad de elementos y de nodos, mayor la dimensi´on de Hh y mejor la aproximaci´on que se puede hacer de las funciones v ∈ H 1(Ω) con las funciones vh ∈ Hh . El par´ametro h, est´a relacionado entonces con la dimensi´on del espacio Hh .9 Teniendo en cuenta que la base de cada uno de los polinomios elementales son las funciones de forma (5.9) y como las funciones de Hh son continuas entre elementos se deduce que la base del espacio Hh estar´a formada por las funciones nJ (x1, x2 ) que valen 1 en el nodo J y 0 en los restantes (ver Þgura 5.5) y que los par´ametros que deÞnen a cada una de las funciones vh ∈ Hh ser´an los valores que toman dichas funciones en los nodos. Es decir, cada funci´on vh ∈ Hh se puede escribir como: vh (x1 , x2 ) =

N X

(J)

nJ (x1 , x2 ) vh

(5.11)

J=1 (J)

donde vh es el valor que toma la funci´on vh en el nodo J, nJ (x1 , x2 ) es la base de Hh y N es la cantidad total de nodos que como se dijo antes, es la dimensi´on de Hh .

x2

Γv

(v1,v2)=(g1,g2) f

Γf

Ωe x1

Ω

Figura 5.2: Discretizaci´on del dominio Ω en elementos Þnitos Ωe 9

El sub´õndice h en el s´õmbolo Hh indica precisamente que el espacio de funciones interpolantes depende de este par´ametro.

71

s

r

Figura 5.3: Sistema de coordenadas local utilizado en cada elemento Para formular el m´etodo de los elementos Þnitos adem´as de este espacio Hh , es necesario deÞnir los siguientes espacios de funciones de dimensi´on Þnita que aproximar´an a las funciones de U, V y H: • Se denomina Uh al espacio de dimensi´on Þnita de funciones (v1h , v2h ) que pertenecen al espacio de funciones aproximantes Hh y que veriÞcan en los nodos de la periferia las condiciones de borde cinem´aticas que debe satisfacer la soluci´on continua (v1 , v2 ). Es decir, si el campo de velocidades debe cumplir que (v1 , v2 ) = dato = (g1 , g2 ) sobre la parte de la frontera Γv y si se numera con en ´õndice I a los nodos que se ubican sobre dicha frontera Γv entonces las funciones (v1h , v2h ) de Uh deben cumplir (v1h , v2h )|I = (g1, g2 )|I , ( v|I quiere decir, v evaluada en el nodo I) para todo los nodos I. Simb´olicamente: Uh = {(v1h , v2h ) tal que v1h y v2h ∈ Hh y (v1h , v2h )|I = (g1, g2)|I

∀ I}

donde (g1, g2) son las velocidades impuestas sobre la frontera Γv .

• Se denomina Vh al espacio de funciones (w1h , w2h ) que pertenecen al espacio de funciones aproximantes Hh y que valen (0, 0) sobre los nodos de la periferia. Es decir, Vh = {(w1h , w2h ) tal que w1h y w2h ∈ Hh y (v1h , v2h )|I = (0, 0)|I

72

∀ I}

vh

x2

x1

Figura 5.4: Funci´on vh representativa del espacio Hh • Se denomina Kh al espacio de funciones (v1h , v2h ) que pertenecen al conjunto de funciones aproximantes Hh y que son exactamente incompresibles, es decir, (

Kh = (v1h , v2h ) tal que v1h y v2h

∂v1h ∂v2h ∈ Hh y + = 0 en Ωh ∂x1 ∂x2

)

Como Ωh es la uni´on de los dominios elementales Ωe , para que v1h y v2h veriÞquen la condici´on de incompresibilidad en todo el dominio Ωh se deber´a 1h 2h cumplir ∂v + ∂v = 0 en cada uno de dichos dominios elementales (es decir ∂x1 ∂x2 ∂v1h ∂v2h + ∂x2 = 0 en Ωe para todo elemento e). ∂x1 Se observa que estos tres espacios de funciones son subespacios vectoriales del espacio de los pares ordenados de funciones aproximantes de Hh , es decir, Uh , Vh y Kh estan incluidos en Hh (siendo Hh = Hh ×Hh = (Hh )2) y que entonces, a medida que aumenta la cantidad de elementos (y disminuye el par´ametro h) mejora la aproximaci´on que se puede hacer de las funciones de U con las funciones de Uh , de las funciones de V con las de Vh y de las de K con las de Kh .

Hasta ahora solo se ha hablado de los espacios que aproximar´an a la velocidad (v1 , v2). Para aproximar a las presiones p (que es una funci´on perteneciente al espacio L2 (Ω)) es necesario construir un nuevo espacio de dimensi´on Þnita 73

nJ

x2

1 J

x1

Figura 5.5: Funci´on base del espacio Hh de funciones interpolantes. Como no existen condiciones de borde impuestas sobre las presiones y como en el principio de las potencias virtuales (5.5) no aparece involucrada ninguna derivada de p, alcanzar´a con un espacio de funciones continuas dentro de cada elemento y discontinua entre elementos (ver referencia [2]). A este espacio se lo simbolizar´a como Qh y a las funciones que pertenecen a ´el se las representar´a con el s´õmbolo qh . Al igual que el espacio de las funciones aproximantes de las componentes de la velocidad Hh este espacio estar´a formado por funciones polin´omicas dentro de cada elemento pero en este caso dichas funciones pueden ser discontinuas entre elementos. Como se ver´a mas adelante el grado de dichos polinomios no puede elegirse arbitrariamente y est´a relacionado con el grado de los polinomios con los que se aproxima a las velocidades. Para constuir a este espacio se puede hacer algo an´alogo a lo hecho en el caso de las velocidades: elegir como base de cada polinomio elemental a ciertas funciones de forma n ˜ E (que ser´an a su vez polinomios) que valen 1 en ciertos “nodos para la presi´on” y cero en los restantes por lo que cada funci´on qh ∈ Qh se podr´a escribir como qh (x1 , x2 ) =

NP X

(E)

n ˜ E (x1 , x2) qh

E=1 (E)

donde N P es el n´ umero total de “nodos de presi´on” y qh es el valor que toma qh en el nodo numerado con el ´õndice E. Por ejemplo, en este trabajo se usar´a como espacio de presiones aproximantes al formado por funciones que son constantes dentro de cada elemento (es decir, polinomios de grado 0) y discontinuas entre 74

elementos. En este caso los nodos de presi´on est´an ubicados en el “centro” de cada elemento (coordenadas (r, s) = (0, 0)) y cada funci´on base n ˜ E valdr´a 1 en dicho nodo de presi´on E (y en todo el elemento E) y cero en los restantes (ver Þgura (5.6)).

x2

ñE

1

E

x1

Figura 5.6: Funci´on base del espacio Qh Utilizando estos espacios, y apoyandose en el hecho las funciones p ∈ L2 (Ω) y (v1 , v2) ∈ U que veriÞcan el principio de las potencias virtuales (5.5) (para toda variaci´on de velocidades perteneciente al espacio V) satisfacer´an las ecuaciones del movimiento (5.3) (con las condiciones de borde est´aticas), la relaci´on constitutiva (5.2) y las condiciones de borde cinem´aticas (pero no de la condici´on de incompresibilidad), el m´etodo de los elementos Þnitos propone como soluci´on aproximada de dichas ecuaciones (de las ecuaciones del movimiento y la relaci´on constitutiva) a las funciones ph y (v1h , v2h ) que pertenecen respectivamente a los espacios aproximantes de las presiones Qh y de las velociades Uh y que satisfacen el principio de los trabajos virtuales para toda variaci´on (δv1h , δv2h ) de Vh , es decir Z

Ω

ph ∈ Qh y (v1h , v2h ) ∈ U que: Z h tal que ∀ (δv1h , δvZ2h ) ∈ Vh se veriÞca Z

δεúh T · 2µ D · Id · εúh dΩ +

Ω

δεúh T · M ph dΩ =

75

Ω

δvh T · b dΩ +

Γf

δvh T · f dΓ (5.12)

donde:  

εúh =    

δ εúh =  

∂v1h ∂x1 ∂v2h ∂x2 ∂v1h 2h + ∂v ∂x2 ∂x1

   

∂δv1h ∂x1 ∂δv2h ∂x2 ∂δv1h 2h + ∂δv ∂x2 ∂x1

   

son las velocidades de deformaci´on que se derivan de las velocidades aproximadas (v1h , v2h ).

5.2.1. Imposici´ on de la condici´ on de incompresibilidad: el problema del bloqueo Las velocidades (v1h , v2h ) ∈ Uh y presiones ph ∈ Qh que veriÞcan la igualdad (5.12) ser´an entonces soluciones aproximadas de las ecuaciones del movimiento (5.3) y las relaciones constitutivas (5.2). Sin embargo las velocidades aproximadas (v1h , v2h ) no satisfacen todav´õa la condici´on de incompresibilidad debido a que, como se dijo antes, ´esta condici´on no est´a implicada por el principio de las potencias virtuales.

Si se pretende ahora exigirle a la velocidad (v1h , v2h ) aproximada que cumpla tambi´en la condici´on de incompresibilidad, es decir, que adem´as de veriÞcar (5.12) pertenezca tambi´en a Kh se presenta la siguiente diÞcultad: especiÞcadas las condiciones cinem´aticas de borde (g1 , g2 ) y la malla de elementos Þnitos, se encuentra que no existe casi ninguna funci´on (v1h , v2h ) que satisfaga a la vez dichas condiciones de borde y la condici´on de incompresibilidad exactamente, es decir, que pertenezca simult´aneamente a Uh y a Kh y tampoco es posible encontrar una funci´on que cumpla ambas condiciones “aÞnando” la malla de elementos Þnitos (es decir achicando el tama˜ no h de los elementos y aumentando entonces el n´ umero total de elementos). En otras palabras, la intersecci´on Uh ∩Kh es “pr´acticamente” vac´õa cualquiera sea h. Este problema se conoce con el nombre de bloqueo (ver referencias [2], [12] y [28]).

Para ilustrar este problema se considera como ejemplo el ßujo de un medio viscoso dentro de una “cavidad” Ω cuadrada (ver Þgura (5.7)) cuyo borde superior se encuentra moviendose con una velocidad arbitraria (y arrastra entonces al ßuido contenido) mientras que el ßuido adyacente a los otros dos bordes permanece en reposo. Para “discretizar” el dominio se utiliza una malla formada por una cantidad arbitraria de elementos Þnitos cuadrados cuyos lados miden una longitud h (ver Þgura (5.7)). Las condiciones de borde que deber´a cumplir la soluci´on

76

aproximada son: (v1 , v2 ) = (g1, g2) = (dato, 0) en los nodos ubicados sobre el borde superior (v1 , v2 ) = (g1, g2) = (0, 0) en los nodos ubicados sobre los otros tres bordes (5.13) donde (g1 , g2 ) son las componentes de las velocidades impuestas en el sistema de coordenadas (x1 , x2 ) mostrado tambi´en en la Þgura (5.7). Este problema es un ejemplo muy estudiado y usado en el analisis de la condici´on de incompresibilidad y se conoce como problema de la cavidad conducida (ver referencia [12]). x2

(v1,v2)=(g1,g2)=(dato,0)

Ω (v1,v2)=(g1,g2)=(0,0)

(v1,v2)=(g1,g2)=(0,0) 6 2 h

C

1

A 3

4

5

B x1

h

(v1,v2)=(g1,g2)=(0,0)

Figura 5.7: Problema de la “cavidad conducida”. Condiciones de borde y malla utilizada.

Se demostrar´a que en este ejemplo, el conjunto Uh ∩Kh , es decir, el espacio formado por todas aquellas velocidades aproximadas que satisfacen simult´aneamente las condiciones de borde cinem´aticas y la condicion de incompresibilidad (exactamente) est´a formado por una u ´nica funci´on y dicha funci´on es un aproximante muy pobre de la soluci´on buscada. En otras palabras, no se puede encontrar ninguna velocidad que aproxime a las ecuaciones del movimiento (y relaciones constitutivas) y a la condici´on de incompresibilidad a la vez.

Para ver qu´e Uh ∩Kh es muy chico (existe solo una funci´on contenida en ´el), se observa primero que, si las velocidades de cada elemento se interpolan en la forma 77

(5.10), entonces, para un elemento cuadrado (cuyos lados miden una longitud h) las velocidades ser´an combinaciones lineales de los polinomios 1, x1, x2 y x1 x2 (ver referencia [2]), es decir, v1h (x1 , x2 ) = α1 + β1 x1 + γ1 x2 + δ1 x1x2 v2h (x1 , x2 ) = α2 + β2 x1 + γ2 x2 + δ2 x1x2

(5.14)

donde α1, β1, γ1 , δ1 , α2 , β2 , γ2 y δ2 son par´ametros que dependen de las velocidadades en cada nodo (y de h), es decir, α1 , β1 , γ1 y δ1 son funciones (1) (2) (3) (4) (1) (2) (3) (4) , v1h , v1h y v1h y α2 , β2 , γ2 y δ2 son funciones de v2h , v2h , v2h y v2h . Para de v1h que ´este elemento se deforme incompresiblemente, se deber´a cumplir que: ∂v1h ∂v2h + = (β1 + γ2 ) + δ1 x2 + δ2 x1 = 0 ∂x1 ∂x2 en todos los puntos (x1, x2 ) del elemento. Esto implica que las velocidades dentro de cada elemento cuadrado estar´an dadas por (5.14) con β1 + γ2 = 0 δ1 = 0 δ2 = 0 es decir v1h (x1, x2 ) = α1 + β1 x1 + γ1 x2 v2h (x1, x2 ) = α2 + β2 x1 − β1 x2 Estas igualdades se pueden reescribir utilizando notaci´on matricial de la siguiente forma: Ã

v1h (x1 , x2 ) v2h (x1 , x2 )

!

Ã

α1 α2

!

Ã

0 1

!

Ã

!

"

1 0 0 −1

# Ã

!

x1 = + β2 x1 + γ1 x2 + β 1 x2 (5.15) Se observa entonces que un elemento cuadrado cuyas velocidades est´an dadas por (5.10) se puede deformar incompresiblemente solo de cuatro formas (o modos) distintas (en realidad son cinco porque el primer modo, que es un movimiento r´õgido, es combinaci´on lineal de dos movimientos r´õgidos en las direcciones perpendiculares x1 y x2 ). Estos modos incompresibles de velocidades se dibujan esquem´aticamente en la Þgura (5.8). En la Þgura (5.9) se muestra esquem´aticamente un elemento representativo del espacio Kh , es decir, un campo de velocidades que es exactamente incompresible en todos los puntos del dominio Ωh (pero que no satisface todav´õa las condiciones de borde preÞjadas), es decir, 78

1 0

x2

x2

x1

x2

x1

x2

x1

x1

Figura 5.8: Modos incompresibles de un elemento de cuatro nodos cuadrado cada elemento se mueve con alguno de los patrones de velocidad mostrados en la Þgura (5.8) (o combinaciones lineales de ellos).

Teniendo en cuenta que las u ´ nicas formas en que se puede mover cada elemento cuadrado son las dibujadas en la Þgura (5.8), se puede determinar c´omo ser´an los campos de velocidades que pertenecer´an a Uh ∩ Kh : considerando por ejemplo un elemento como el ubicado en el a´ngulo inferior izquierdo (elemento A de la Þgura (5.7)) se observa que por estar Þjados los nodos 2 y 3 (ver Þgura (5.10)) el nodo 1 solo podr´a moverse en la direcci´on vertical, mientras que por estar Þjados los nodos 3 y 4, el nodo 1 solo podr´a hacerlo en la direcci´on horizontal.

Tomando estas dos condiciones simult´aneamente se deduce que la velocidad del nodo 1 deber´a ser nula. Repitiendo este razonamiento para los elementos vecinos B y C se deduce la misma conclusi´on para los nodos 5 y 6, y as´õ para todos los elementos de la malla salvo los que son adyacentes al borde superior, es decir, las velocidades de todos los nodos interiores a la malla deber´a ser nula si se pretende que la malla se deforme satisfaciendo la condici´on de incompresibilidad ex´actamente y las condiciones de borde (g1 , g2 ) impuesta sobre los bordes inferior, izquierdo y derecho. Considerando ahora a alguno de los elementos adyacentes al borde superior, se observa que por estar “bloqueados” los nodos inferiores, y por estar especiÞcada la velocidad de los nodos superiores, dichos elementos se deber´an deformar en la forma mostrada en la Þgura (5.10) para que la velocidad adentro de la misma sea exactamente incompresible. Por lo tanto, el u ´ nico ´nico campo de velocidades (v1h , v2h ) elemento perteneciente a Uh ∩Kh , es decir, el u que satisface simult´aneamente las condiciones de borde cinem´aticas (5.15) y las condici´on de incompresibilidad exactamente, es aquel para el cual, las velocidades en todos los nodos interiores a la malla es nula (ver Þgura (5.11)). Se observa que esta situaci´on no mejora si se “aÞna” la malla de elementos Þnitos utilizada 79

Figura 5.9: Campo de velocides aproximado (v1h , v2h )que veriÞca ex´actamente la incompresibilidad ((v1h , v2h ) ∈ Kh ) para discretizar al dominio, es decir si se aumenta la cantidad de elementos (y se disminuye la longitud h de cada lado de los cuadrados); la intersecci´on Uh ∩ Kh seguir´a estando formada por una u ´nica funci´on (v1h , v2h ) y dicha funci´on ser´a id´entica a la esquematizada en la Þgura (5.11), es decir, (v1h , v2h ) es nula en cada uno de los nodos interiores a la cavidad.

Si en vez de discretizar la cavidad con elementos cuadrados, se hubiesen elegido elementos cuadril´ateros de lados opuestos no paralelos, la situaci´on hubiese sido todav´õa peor en el sentido que el espacio Kh resulta todav´õa m´as chico que el correspondiente a elementos cuadrados y de las pocas velocidades exactamente incompresibles generalmente ninguna satisface tambi´en las condiciones de borde cinem´aticas, es decir el espacio Uh ∩ Kh resulta vac´õo (ver referencia [20]).

Resumiendo entonces, no es posible exigir que la soluci´on aproximada para las velocidadades de las ecuaciones del movimiento (5.3) y las relaciones constitutivas (con las condiciones de borde cinem´aticas), es decir, las funciones (v1h , v2h ) que (junto con la presiones aproximadas ph ) veriÞcan la igualdad (5.12) cumplan tambi´en la condici´on de incompresibilidad exactamente ya que esta condici´on restringe much´õsimo la familia de “posibles formas” (o modos) en que se pueden mover los elementos y la malla (es decir, el espacio Uh ∩ Kh resulta pr´acticamente vac´õo).

Es necesario entonces pedir que las velocidades aproximadas (v1h , v2h ) en 80

x2

g1

g1

x2

x1

Ω

6 x2

1

2

h

A 3

4

C

2

1

A

3

1 4

5

B x1

h

x1 x2 2

1

1

4

x1

A 3

Figura 5.10: Bloqueo de un elemento de la malla utilizada en la discretizaci´on del problema de la cavidad conducida vez de ser exactamente incompresibles (es decir, que pertenezcan a Kh ), sean incompresibles en una forma mas “d´ebil” (es decir, que pertenezcan a cierto espacio Kh m´as grande que Kh ). En las proximas secciones se estudiar´an en particular dos formas de “debilitar” la condici´on de incompresibilidad: el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange, y el m´etodo de penalizaci´on.

5.3. M´ etodo de los multiplicadores de Lagrange El m´etodo de los m´ ultiplicadores de Lagrange propone la siguiente forma de aproximar la condici´on de incompresibilidad: se pide que las velocidades aproximadas (v1h , v2h ) cumplan la siguiente igualdad: Z Ã Ω

!

∂v1h ∂v2h + qh dΩ = 0 ∂x1 ∂x2 81

(5.16)

x2

Ω

h

x1 h

Figura 5.11: Reprentaci´on esquem´atica de la u ´ nica funci´on aproximante (v1h , v2h ) contenida en Uh ∩ Kh para toda funci´on qh ∈ Qh . Cuando una funci´on (v1h , v2h ) veriÞca esta condici´on se dice que dicha funci´on es d´ebilmente incompresible con respecto al espacio Qh .

Al conjunto de velocidades aproximantes (v1h , v2h ) que son d´ebilmente incompresibles se lo simbolizar´a como Kh ,es decir, (

Kh = (v1h , v2h ) ∈ Hh tales que

Z Ã Ω

!

∂v1h ∂v2h + qh dΩ = 0 ∀ qh ∈ Qh ∂x1 ∂x2

)

El m´etodo de los multiplicadores de Lagrange propone entonces como soluci´on aproximada de las ecuaciones completas del ßujo estacionario de un medio viscoso incompresible (que experimenta deformaciones planas) a las velocidades (v1h , v2h ) ∈ Uh ∩ Kh que junto con las presiones aproximadas ph ∈ Qh veriÞcan la igualdad (5.12), es decir, las funciones (v1h , v2h ) ∈ Uh ∩ Kh y ph ∈ Qh que

82

cumplen10 Z

T

δεúh · 2µ D · Id · εúh dΩ + Z

Ω

Ω

δvh T · b dΩ +

Z

Γf

Z

Ω

δεúh T · M ph dΩ =

δvh T · f dΓ

∀ (δv1h , δv2h ) ∈ Vh

o bien, las funciones (v1h , v2h ) ∈ Uh y ph ∈ Qh que veriÞcan simult´aneamente Z

Ω

Z

Ω

T

δεúh · 2µ D · Id · εúh dΩ + Z

Ω

δvh T · b dΩ +

qh M T · εúh dΩ = 0

Z

Γf

Z

Ω

δ εúh T · M ph dΩ =

δvh T · f dΓ

∀ (δv1h , δv2h ) ∈ Vh

(5.17)

∀ qh ∈ Qh

donde  

δ εúh =   

 εúh =  

∂δv1h ∂δv2h + ∂x1 ∂x2 ∂v1h ∂v2h = + ∂x1 ∂x2

δ εúh T · M = M T · εúh



∂δv1h ∂x1  ∂δv2h   ∂x2 ∂δv1h ∂δv2h + ∂x2 ∂x1  ∂v1h ∂x1  ∂v2h   ∂x2 ∂v1h ∂v2h + ∂x2 ∂x1

5.3.1. Interpretaci´ on geom´ etrica del m´ etodo de los multiplicadores de Lagrange La igualdad (5.16) admite la siguiente interpretaci´on geom´etrica: el espacio Qh es un subespacio vectorial de L2 (Ω) que es el conjunto al que pertenecen las presiones p.11 Por otra parte, siendo las velocidades aproximantes (v1h , v2h ) funciones 10

Recordar que las velocidades (v1h , v2h ) y presiones ph aproximadas deben cumplir la igualdad (5.12) para que resulten soluciones aproximadas de la ecuaci´on del movimiento y la relaci´ on constitutiva.

11 En realidad, Qh no es un subespacio de L2 (Ω) sino un subespacio de L2 (Ωh ), donde Ωh es la uni´ on de todos los elementos Ωe y LR2 (Ωh ) es el conjunto de las funciones v deÞnidas en Ωh y de “cuadrado integrable”, es decir, Ωh v 2 dΩ < ∞. Si estos dos dominios coinciden (es decir, si Ω = Ωh ), entonces dichos espacios L2 (Ω) y L2 (Ωh ) tambi´en coincidir´ an. En adelante an indistintamente a ambos se considerar´a que Ω y Ωh son efectivamente iguales y se utilizar´ s´õmbolos para representarlos.

83

continuas y´ polin´omicas dentro de cada elemento, entonces sus divergencias ³ ∂v1h ∂v2h + ∂x2 tambi´en ser´an funciones de L2 (Ω), es decir, el conjunto de las ∂x1 “divergencias” de funciones (v1h , v2h ) de Hh tambi´en ser´a un subespacio de L2(Ω) (ver referencias [3] y [5]). Llamando Dh a dicho subespacio, es decir (

∂v1h ∂v2h Dh = q ∈ L (Ω) tales que q = + para alguna (v1h , v2h ) ∈ Hh ∂x1 ∂x2 2

)

entonces se deduce que existen dos subespacios de L2(Ω) en juego, el espacio de las presiones aproximadas Qh y el de las “divergencias” de las velocidades aproximadas Dh .

R Por otra parte, a la integral Ω p q dΩ se la puede interpretar como un producto interno deÞnido para cada par de elementos p y q pertenecientes al espacio L2 (Ω).12 Esto se expresa representando a dicha integral con el s´õmbolo hp, qi, es decir,13 hp, qi =

Z

p q dΩ

Ω

Teniendo en cuenta ´esto, la idea de velocidad (v1h , v2h ) d´ebilmente incompresible se puede reinterpretar de la siguiente forma: una funci´on (v1h , v2h ) ∈ Hh ser´a d´ebilmente incompresible si su divergencia es ortogonal a todo el espacio Qh , es decir, si *Ã ! + ∂v1h ∂v2h + , qh = 0 ∀ qh ∈ Qh (5.18) ∂x1 ∂x2 1h 2h o en otras palabras, si la proyecci´on ortogonal de su divergencia ∂v + ∂v sobre ∂x1 ∂x2 Qh es 0.

Al conjunto Kh de velocidades aproximadas (v1h , v2h ) d´ebilmente incompresibles, se lo puede reexpresar entonces como

(

Kh = (v1h , v2h ) ∈ Hh tales que

Ã

∂v1h ∂v2h + ∂x1 ∂x2

!

⊥ Qh

)

12

El producto interno es una funci´ on que a cada par de elementos de un espacio vectorial (en este caso L2 (Ω)) le hace corresponder un numero real, es decir, h·, ·i : L2 (Ω) × L2 (Ω) → < y que veriÞca las siguientes axiomas: ½ hp, pi > 0 ∀ p ∈ L2 (Ω) y p 6= 0 (deÞnida positiva) hp, pi = 0 ⇔ p = 0 ½ hp + r, qi = hp, qi + hr, qi (linealidad) hα p, qi = α hp, qi ∀ p, q ∈ L2 (Ω) y ∀ α ∈ < hp, qi = hq, pi

∀ p, q ∈ L2 (Ω) (simetr´õa)

Al estar dotado el espacio L2 (Ω) de un producto interno, tendr´a sentido hablar de ortogonalidad y de proyecciones ortogonales.

13 No confundir con el s´õmbolo hΦ(f)i utilizado para escribir en forma m´as compacta la relaci´ on constitutiva para la viscoplasticidad en el tercer cap´õtulo (ecuaci´ on 3.34).

84

(ortogonal a Qh quiere decir ortogonal a qh ∀ qh ∈ Qh ).

De la deÞnici´on de producto interno, surge en primer lugar que si Dh ⊂ Qh entonces toda funci´on (v1h , v2h ) que veriÞque (5.18) ser´a exactamente incompre1h 2h 1h 2h sible, es decir, cumplir´a ∂v + ∂v = 0 ya que como ∂v + ∂v ∈ Dh , si Dh ⊂ Qh ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2 ∂v1h ∂v2h entonces ∂x1 + ∂x2 pertenecer´a a Qh y la u ´ nica funci´on perteneciente a Qh que 1h 2h es ortogonal a todo el espacio Qh es la funci´on nula, es decir, ∂v + ∂v = 0. ∂x1 ∂x2 5.3.2. Elecci´ on del espacio Qh Observando las igualdades (5.17) se deduce que el m´etodo de multiplicadores de Lagrange superar´a las diÞcultades discutidas en la secci´on anterior (el problema del bloqueo) si el espacio de las funciones “d´ebilmente” incompresibles Kh es m´as “grande” que el de las funciones ex´actamente incompresibles Kh de manera la intersecci´on Uh ∩ Kh contenga muchas funciones y no una sola (o a veces ninguna) como sucede en el conjunto Uh ∩ Kh . Como Kh se puede interpretar 1h 2h como el subconjunto de funciones (v1h , v2h ) ∈ Hh cuyas divergencias ∂v + ∂v ∂x1 ∂x2 son ortogonales a Qh se deduce que la “riqueza” de dicho espacio Kh depender´a de cual es el espacio de funciones aproximantes de las presiones Qh que se elige: si el espacio Qh es muy “grande” (en comparaci´on a L2 (Ω)), entonces Kh ser´a muy “chico” (porque si Qh es muy “grande”, muy pocas funciones q ser´an ortogonales y de las pocas, ser´an much´õsimo menos las que adem´as sean divergencias de funciones de Hh ), y si el espacio Qh es “chico”, Kh resultar´a “grande” (porque habr´a muchas funciones q perpendiculares a ´el y ser´a m´as facil encontrar algunas que adem´as sean divergencias de funciones (v1h , v2h ) ∈ Hh ) (ver referencia [3]).

Por ejemplo, si se elige como espacio de las presiones aproximantes Qh a las funciones que son discontinuas entre elementos y dentro de cada elemento son polinomios bilineales, es decir, polinomios construidos como combinaci´on lineal de la base 1, r, s y rs, entonces se puede demostrar que tanto si los elementos son cuadrados (o rectangulares) como si son cuadril´ateros de lados no paralelos, los espacios Kh y Kh resultan id´enticos, y por lo tanto una interpolaci´on de este tipo para las presiones no soluciona el problema del bloqueo. Para demostrar que este espacio Qh no sirve, se observa en primer lugar que si los elementos son cuadrados o rectangulares, las velocidades aproximantes (v1h , v2h ) dentro de cada elemento ser´an polinomios bilineales, es decir, estar´an dadas por v1h (x1 , x2 ) = α1 + β1 x1 + γ1 x2 + δ1 x1x2 v2h (x1 , x2 ) = α2 + β2 x1 + γ2 x2 + δ2 x1x2 y la divergencia de (v1h , v2h ) dentro de cada elemento ser´a entonces un polinomio lineal: ∂v1h ∂v2h + = (β1 + γ2 ) + +δ1 x2 + δ2 x1 ∂x1 ∂x2 85

Por otra parte si las presiones se interpolan dentro de cada elemento con polinomios bilineales, (y si los elementos son cuadrados o rectangulares) entonces, estar´an dadas por: qh (x1 , x2 ) = a + b x1 + c x2 + c x1 x2 Por lo tanto el espacio Dh (es decir, el espacio de funciones q ∈ L2 (Ω) que son divergencias de funciones (v1h , v2h ) aproximantes de las velocidades) estar´a formado por funciones lineales en cada elemento y el espacio Qh estar´a formado por funciones bilineales. Claramente resulta Dh ⊂ Qh y como se dijo en la secci´on anterior, esto implica que las u ´nicas funciones (v1h , v2h ) que son d´ebilmente incompresibles respecto a ´este espacio Qh son las que son ex´actamente incompresible, es decir, es decir Kh = Kh .

En segundo lugar, si los elementos son cuadril´ateros no cuadrados (ni rectangulares), entonces, se puede demostrar que la divergencia de cada funci´on (v1h , v2h ) aproximante de la velocidad dentro de cada elemento est´a dada por una expresi´on del tipo ∂v1h ∂v2h A+B r+C s + = (5.19) ∂x1 ∂x2 |J| donde A, B y C son par´ametros que dependen de las coordenadas de los nodos y de las velocidades nodales, y |J| el jacobiano del sistema (x1 (r, s), x2(r, s)).14 14

Esto se demuestra de la siguiente forma: las velocidades aproximantes estar´ an dadas dentro de cada elemento por: v1h (r, s) = α1 + β1 r + γ1 s + δ1 rs v2h (r, s) = α2 + β2 r + γ2 s + δ2 rs con αj , βj , γj y δj par´ametros que dependen de las velocidades en los nodos del elemento. La divergencia de (v1h , v2h ) ser´a entonces: ∂v1h ∂x1

+

∂v2h ∂x2

∂r ∂s ∂r ∂s = ∂v∂r1h ∂x + ∂v∂s1h ∂x + ∂v∂r2h ∂x + ∂v∂s2h ∂x = 1 1 2 2 ∂r ∂s ∂r ∂s = (β1 + δ1 s) ∂x1 + (γ1 + δ1 r) ∂x1 + (β2 + δ2 s) ∂x + (γ2 + δ2 r) ∂x 2 2

(5.20)

Por otra parte las coordenadas locales (r, s) se relacionar´ an con las globales (x1 , x2 ) por: x1 (r, s) = a1 + b1 r + c1 s + d1 rs x2 (r, s) = a2 + b2 r + c2 s + d2 rs con aj , bj , cj y dj constantes que dependen de las coordenadas de los nodos. Entonces las ∂r ∂s ∂r ∂s , ∂x , ∂x , ∂x ser´an derivadas ∂x 1 1 2 2 ·

∂r ∂x1 ∂r ∂x2

∂s ∂x1 ∂s ∂x2

¸

=

1 |J |

= ·

·

∂x1 ∂r ∂x1 ∂s

∂x2 ∂r ∂x2 ∂s

¸−1

=

1 |J|

·

∂x2 ∂s 1 − ∂x ∂s ¸

(c2 + d2 r) − (b2 + d2 s) − (c1 + d1 r) (b1 + d1 s)

86

2 − ∂x ∂r

∂x1 ∂r

¸

=

Como el espacio de presiones aproximantes Qh consiste en funciones qh que son polinomios bilineales en r y s dentro de cada elemento es decir cada qh ∈ Qh est´a dado por qh (r, s) = a + b r + c s + d rs entonces15 Z Ã Ω

!

XZ ∂v1h ∂v2h + qh dΩ = ∂x1 ∂x2 E ΩE

=

Ã

1 1 XZ Z E −1 −1

!

∂v1h ∂v2h + qh dΩ = ∂x1 ∂x2

1 |J |

(A + B r + C s) (a + b r + c s + d rs) |J| dr ds =

donde ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂x1 − = ∂r ∂s ∂r ∂s = (b1 + d1 s) (c2 + d2 r) − (b2 + d2 s) (c1 + d1 r) = = D+E r+F s

|J| =

con D E F

= b1 c2 − b2 c1 = b1 d2 − b2 d1 = d1 c2 − d2 c1

Sustituyendo estas derivadas en la expresi´on de la divergencia (5.20) se obtiene ∂v1h ∂x1

+

∂v2h ∂x2

1 = |J| (β1 + δ1 s) (c2 + d2 r) − |J1 | (γ1 + δ1 r) (b2 + d2 s) + 1 1 + |J | (γ2 + δ2 r) (b1 + d1 s) − |J| (β2 + δ2 s) (c1 + d1 r) = 1 = |J| (A + B r + C s)

con A = β1 c2 − γ1 b2 + γ2 b1 − β2 c1 B = β1 d2 − δ1 b2 + δ2 b1 − β2 d1 C = δ1 c2 − γ1 d2 + γ2 d1 − δ2 c1 que es lo que se quer´õa demostrar.

15 Recordar que las funciones (x1 (r, s), x2 (r, s)) deÞnen el cambio de coordenadas locales (r, s) (con −1 ≤ r ≤ 1 y −1 ≤ s ≤ 1) a coordenadas globales (x1 , x2 ) (con (x1 , x2 ) ∈ ΩE ) y que por lo on ΩE se podr´a calcular como tanto, la integral de una funci´on cualquiera f(x1 , x2 ) sobre la regi´ Z

ΩE

f (x1 , x2 ) dΩ =

Z1 Z1

f (x1 (r, s), x2 (r, s)) dr ds

−1 −1

87

=

X ³

´

4 A a + 13 B b + 13 C c

E

Esto ser´a cero para toda funci´on qh ∈ Qh , es decir, para cualquier combinaci´on de valores a, b, c y d si y solo si A = B = C = 0, es decir si y solo si ∂v1h s 2h + ∂v = A+B|Jr+C = 0. Es decir, tambi´en para elementos distorsionados, las ∂x1 ∂x2 | u ´ nicas funciones (v1h , v2h ) d´ebilmente incompresibles respecto a este espacio Qh ser´an las de divergencia exactamente nula, y entonces, cuando Qh esta dado por polinomios bilineales adentro de elementos distorsionados (es decir, ni cuadrados ni rectangulares) tambi´en se obtiene Kh = Kh .

Un razonamiento id´entico se puede hacer para el caso en que el espacio Qh est´e formado por funciones discontinuas entre elementos y que son polinomios lineales dentro de cada elemento, es decir, cuando cada qh ∈ Qh tiene la forma qh (r, s) = a + b r + c s En este caso resulta tambi´en Kh = Kh y una interpolaci´on lineal, tampoco sirve para solucionar el problema del bloqueo.

Habi´endose descartado a los espacios Qh de funciones bilineales y al de las lineales, se considera ahora el caso de las funciones qh que son discontinuas entre elementos y constantes (es decir, polinomios de grado 0) dentro de cada elemento. Se demostrar´a que si se elige a este conjunto como espacio de presiones aproximantes Qh , entonces el espacio Kh de funciones d´ebilmente incompresibles con respecto a dicho espacio Qh resuta mucho m´as grande que Kh y por lo tanto, esta resulta ser la u ´ nica elecci´on posible de Qh (cuando el espacio Hh es el que corresponde a elementos de cuatro nodos) que supera el problema del bloqueo.

Para demostrar ´esto se observa que si cada funci´on qh es constante dentro de cada elemento, es decir, qh = q(E) dentro del elemento E, donde q(E) = cte, entonces una funci´on (v1h , v2h ) ∈ Hh ser´a d´ebilmente incompresible respecto a dichas funciones qh cuando Z Ã Ω

!

Ã

XZ ∂v1h ∂v2h + qh dΩ = ∂x1 ∂x2 ΩE E

=

X E

q

(E)

Z

!

∂v1h ∂v2h (E) + q dΩ = ∂x1 ∂x2

ΩE

Ã

∂v1h ∂v2h + ∂x1 ∂x2

!

dΩ = 0

∀ q(E)

donde como q(E) es constante (dentro de cada dominio elemental ΩE ), entonces se lo puede “sacar” afuera de cada integral. La igualdad anterior se cumplir´a para 88

cualquier funci´on q ∈ Qh , es decir, para ³cualquier combinaci´ on de valores q (E) , ´ ∂v1h ∂v2h si y solo s´õ cada una de las integrales de ∂x1 + ∂x2 sobre cada elemento E es nula, es decir si !

Z Ã ∂v1h ∂v2h + dΩ = 0 ∀E (5.21) ∂x1 ∂x2 ΩE Esto signiÞca que (v1h , v2h ) ser´a d´ebilmente incompresible respecto al espacio Qh de funciones “constantes en cada elemento”, si es incompresible en sentido “medio”, o bien (teniendo en cuenta el teorema de la divergencia) si Z

ΓE

(v1h , v2h ) · n dΓ = 0

∀E

(5.22)

(siendo ΓE la frontera de cada elemento y n su normal saliente), es decir, si el ßujo neto o caudal que pasa a trav´es de cada elemento es cero (la cantidad de ßuido que entra por unidad de tiempo al elemento es igual a la que sale).

Por otra parte, utilizando la igualdad (5.19) y cambiando las variables (x1, x2 ) por las (r, s) en la integral (5.21) se obtiene Z

ΩE

Ã

∂v1h ∂v2h + ∂x1 ∂x2

!

dΩ =

Z1 Z1

−1 −1

1 (A + B r + C s) |J| dr ds = 4 A |J|

donde |J| es el ³jacobiano del ´ cambio de coordenadas (x1 (r, s), x2 (r, s)), y teniendo ∂v1h ∂v2h 1 (A + B r + C s) por lo que en cuenta que ∂x1 + ∂x2 = |J| Ã

∂v1h ∂v2h + ∂x1 ∂x2

!¯ ¯ ¯ ¯ ¯

= (r,s)=(0,0)

A (|J|)|(r,s)=(0,0)

(es decir, la constante A es igual al jacobiano evaluado en (r, s) = (0, 0) multiplicado por la divergencia evaludada en (r, s) = (0, 0)) se deduce que Z

ΩE

Ã

∂v1h ∂v2h + ∂x1 ∂x2

!

dΩ = 4

Ã

∂v1h ∂v2h + ∂x1 ∂x2

!¯ ¯ ¯ ¯ ¯

(|J|)|(r,s)=(0,0) (r,s)=(0,0)

Entonces, una funci´on (v1h , v2h ) cumplir´a las igualdades (5.21) si y solo si la devergencia de (v1h , v2h ) en el “centro” (coordenada (r, s) = (0, 0)) de cada elemento E es nula, es decir, si Ã

∂v1h ∂v2h + ∂x1 ∂x2

!¯ ¯ ¯ ¯ ¯

(r,s)=(0,0)

∀E

(5.23)

De las igualdad (5.21) (que se cumple si y solo si se cumple la (5.22) o la (5.23)) se deduce que el espacio Kh de funciones d´ebilmente incompresible respecto al 89

espacio Qh formado por funciones qh que son constantes dentro de cada elemento y discontinuas entre elementos, estar´a dado por todas aquellas funciones (v1h , v2h ) para las cuales se cumple (5.21) o (5.22) o (5.23), es decir, Kh = = =

( ½

(v1h , v2h ) ∈ Hh tales que

(v1h , v2h ) ∈ Hh tales que

 

(v1h , v2h ) ∈ Hh tales que



Z

Z

ΩE

ΓE

Ã

Ã

∂v1h ∂v2h + ∂x1 ∂x2

!

dΩ = 0

(v1h , v2h ) · n dΓ = 0

∂v1h ∂v2h + ∂x1 ∂x2

!¯ ¯ ¯ ¯ ¯

∀E =

¾

∀E = =0

(r,s)=(0,0)

)

∀E

  

Claramente este espacio Kh ser´a mucho mas grande que el conjunto de funciones exactamente incompresibles Kh porque es mucho m´as exigente pedir que ³ ´ ∂v1h ∂v2h + sea nula en todo el elemento E (es decir, en todo (r, s) perteneciente ∂x1 ∂x2 a ΩE ) que pedir solamente que sea nula en (r, s) = (0, 0).

Se puede entender mejor por qu´e este espacio Kh es bastante m´as grande que Kh y entonces se evita el problema del bloqueo, considerando nuevamente el problema de la cavidad conducida visto en la secci´on anterior: al analizar como era el espacio Kh ∩ Uh en este ejemplo, se observ´o que en un elemento como el A de la Þgura (5.10), el nodo 1 resulta “bloqueado” (es decir, no puede moverse en ninguna direcci´on) si se exige que la velocidad aproximante (v1h , v2h ) en dicho elemento sea exactamente incompresible. En cambio, si se pide que esta velocidad ´ R ³ ∂v1h ∂v2h sea incompresible en “valor medio”, es decir, que ΩE ∂x1 + ∂x2 dΩ = 0 (lo que implica que el ßujo neto que atravieza al elemento es nulo), entonces dicho nodo podr´a moverse en la direcci´on mostrada en la Þgura (5.12) porque cuando la velocidad del nodo 1 tiene dicha direcci´on, la cantidad de ßuido que ingresar´a al elemento a trav´es de la cara 4 − 1 se compensa con la que sale por la cara 1 − 2 de manera que el ßujo neto es cero. Es decir, al debilitarse la condici´on de incompresibilidad, el nodo 1 “gana” un grado de libertad. Lo mismo ocurre con los nodos vecinos y en general con todos los nodos de la malla y entonces existir´an muchas funciones en Kh ∩ Uh y no una sola como ocurr´õa en Kh ∩ Uh .

5.3.3. Forma matricial de la formulaci´ on con multiplicadores de Lagrange Como se dijo antes, cada una de las componentes v1h y v2h , de las velocidades aproximadas, son funciones pertenecientes al espacio Hh (el conjunto de funciones continuas y que son polinomios dentro de cada elemento). Como la base de este espacio son las funciones nJ ∈ Hh que valen 1 en el nodo J y 0 en los restantes, entonces dichas componentes se pueden expresar en la forma (5.11), es decir, como 90

x2

Ω

45o

x2 2

1 2

A 3

h 4

3

x1

B A

1 4

C x1

h

Figura 5.12: Ejemplo de la cavidad conducida: desbloqueo de la malla al debilitarse la condici´on de incompresibilidad. combinaci´on lineal de dicha base, d´onde los par´ametros que acompa˜ nan a la base son los valores que toman dichas componentes en los nodos, es decir, v1h =

N X

(J) nJ v1h

J =1

v2h =

N X

(J)

nJ v2h

J =1

Si se numeran con el ´õndice I a los nodos que se ubican sobre la parte Γv de la frontera de Ω que es donde las velocidades est´an especiÞcadas y deben valer (g1 , g2 ), y con el ´õndice J a los nodos que se encuentran en el interior del dominio Ωh entonces las funciones (v1h , v2h ) que pertenecen al espacio Uh , (que esta formado por las funciones (v1h , v2h ) pertenecientes a Hh que adem´as cumplen (v1h , v2h ) = (g1 , g2) en los nodos de la periferia) se podr´an escribir en la forma: v1h =

Nv X

(J ) nJ v1h

+

J=1

v2h =

Nv X

Ng X

nI g1(I)

I=1 (J )

nJ v2h +

J=1

Ng X

(I)

nI g2

(5.24)

I=1

(J ) (J ) donde (v1h , v2h ) son los valores de (v1h , v2h ) en cada nodo J, (g1(I) , g2(I)) los valores que toman las velocidades (g1 , g2) sobre los nodos I de la frontera Γv y Nv y Ng son

91

respectivamente, la cantidad de nodos interiories a Ωh y los ubicados sobre la parte Γv de la frontera de Ω (que es la parte donde est´an preÞjadas las velocidades).

Como las velocidades aproximantes se pueden escribir en la forma (5.24), las velocidades de deformaci´on εúh que se derivar´an de de dichas velocidades aproximantes estar´an dadas por: 

 εúh = 

∂v1h ∂x1 ∂v2h ∂x2 ∂v1h 2h + ∂v ∂x2 ∂x1



Nv X

(J) v1h

Ng X

∂nJ ∂nI  +  ∂x1 ∂x1  J=1 I=1  Ng Nv X X   ∂nJ (J) ∂nI (I) =   v + g   ∂x2 2h ∂x2 2  J=1 I=1  Nv Ng n o X  Xn ∂nJ (J) ∂nJ (J ) ∂nI (I)  v1h + ∂x v2h + g1 + ∂x ∂x



2

1

2

J =1



g1(I)

∂nI ∂x1

I=1

          o  (I)  g 2

(5.25) Estas identidades se pueden reescribir en una forma mucho m´as compacta si se (J) (J ) (I) (I) umeros g1 y g2 y a las derivadas organiza a los par´ametros v1h y v2h , a los n´ ∂nJ ∂nJ ∂nI I , ∂x2 , ∂x1 y ∂n en matrices: llamando V a la matriz (columna) que agrupa ∂x1 ∂x2 (J) (J) y v2h , y G a la a los valores nodales de las velocidades aproximantes v1h (I) (I) correspondiente a las velocidades impuestas g1 y g2 en los nodos de la frontera, es decir,

VT = GT =

³ ³

(1) (1) (2) (2) (J) (J) (N V ) (N V ) v1h v2h v1h v2h · · · v1h v2h · · · v1h v2h

g1(1) g2(1) g1(2) g2(2) · · · g1(I) g2(I) · · · g1(N G) g2(NG)

´

´

(donde V es una matriz de (N V × 1) y G una de (NG × 1) con NV = 2Nv y NG = 2Ng ),16 la igualdad (5.25) se podr´a reescribir como:  

donde:

εúh =    

∂n1 ∂x1

Bv =  0 

 Bg = 

∂n1 ∂x2

∂n1 ∂x1

0 ∂n1 ∂x2

∂v1h ∂x2

0 ∂n1 ∂x2 ∂n1 ∂x1

0 ∂n1 ∂x2 ∂n1 ∂x1

∂v1h ∂x1 ∂v2h ∂x2

+



∂v2h ∂x1

∂n2 ∂x1

0 ∂n2 ∂x2 ∂n2 ∂x1

0 ∂n2 ∂x2

  = Bv · V + Bg · G 

0 ∂n2 ∂x2 ∂n1 ∂x1

0 ∂n2 ∂x2 ∂n1 ∂x1

16

··· ··· ···

∂nJ ∂x1

··· ··· ···

∂nI ∂x1

0 ∂nJ ∂x2

0 ∂nI ∂x2

0 ∂nJ ∂x2 ∂nJ ∂x1

0 ∂nJ ∂x2 ∂nJ ∂x1

(5.26) 

···  ···   ··· 

···  ···   ···

(5.27)

Recordar que Nv es la cantidad total de nodos interiores a Ω y Ng es la cantidad total de nodos ubicados sobre la frontera Γv . Como hay dos componentes de velocidad por nodo, entonces el n´ umero total de par´ametros nodales ser´an 2Nv y 2Ng .

92

son las matrices que agrupan a las derivadas de las funciones base nJ correspondientes respectivamente a los nodos interiores a Ω y a los ubicados sobre Γv cuyas dimensiones son (3 × NV ) y (3 × NG).

El mismo razonamiento es aplicable al caso de las funciones (δv1h , δv2h ) que pertenecen al espacio Vh (las velocidades virtuales). Recordando que las funciones (δv1h , δv2h ) ∈ Vh deben valer (0, 0) en los nodos de la frontera Γv , se deduce que cualquiera de ellas se podr´a escribir como δv1h =

Nv X

(J)

nJ δv1h

J =1

δv2h =

Nv X

(J)

nJ δv2h

J =1

y la velocidades de deformaci´on virtual δεúh que se derivan de ellas como  

δ εúh =  

∂δv1h ∂x1 ∂δv2h ∂x2 ∂δv1h 2h + ∂δv ∂x2 ∂x1



  = Bv · δV 

(5.28)

donde δV es la matriz (columna) que agrupa a los valores nodales de las velocidades virtuales (δv1h , δv2h ), es decir, δV T =

³

(1) δv1h

(1) δv2h

(2) δv1h

(2) δv2h

(J) δv1h

···

(J) δv2h

···

(Nv ) δv1h

(Nv ) δv2h

´

cuya dimensi´on es (N V × 1).17 Con respecto al espacio Qh de presiones aproximantes, tambi´en se dijo antes que, como se trata de un espacio vectorial de dimensi´on Þnita, la presi´on aproximada ph (o cualquier otra funci´on qh ) se podr´a escribir como: ph =

NP X

(E)

n ˜ E ph

(5.29)

E=1

donde n ˜ E son las funciones base de este espacio, que valen 1 en el nodo de presi´on (E) E y cero en los restantes, y ph es el valor que toma la presi´on aproximada ph en (E) el nodo de presi´on E. Organizando a los par´ametros ph y a las funciones n ˜ E en matrices (columna) esta igualdad se puede reescribir como T

˜ ·P ph = N 17

(5.30)

Recordar que N V = 2Nv , es decir, la dimensi´ on del vector de velocidades nodales es dos veces la cantidad total de nodos interiores a Ω porque existen dos grados de libertad por nodo.

93

donde ˜T = N PT =

³ ³

n ˜1 n ˜2 · · · n ˜E · · · n ˜N P

´

) p(1) p(2) · · · p(E) · · · p(NP h h h h

´

˜ y P son matrices de dimensi´on (NP × 1) siendo N P el n´ (N umero total de nodos de presi´on que, como se dijo antes, deÞne la dimensi´on del espacio Qh ) y en general, cualquier funci´on del espacio Qh se podr´a expresar como ˜T · Q qh = N

(5.31)

(siendo Q la matriz que agrupa a los valores de qh en los nodos de presi´on, es decir a los par´ametros qh(E) ).

Sustituyendo ahora las expresiones (5.26), (5.28), (5.30) y (5.31) en las igualdades (5.17) se obtiene lo siguiente: ³

´

δV T · Kd · V + C T · P + Fv + Fb + Ff = 0 QT · (C · V + H) = 0 ∀Q donde: Kd = C=

Z

Fv = Fb =

Ff = H=

Z

Bv T · 2µ D · Id · Bv dΩ

Ω

ZΩ

˜ · M T · Bv dΩ N

ZΩ ZΩ Ω

(5.32)

(NV × N V ) (NP × NV )

Bv T · 2µ D · Id · Bg · G dΩ (NV × 1) Bv T · b dΩ

Z Γf

∀ δV

(NV × 1)

Bv T · f dΩ

(5.33)

(NV × 1)

˜ · M T · Bg · G dΩ N

(NP × 1)

Para que las igualdades (5.32) se cumplan para cualquier vector δV y Q, los t´erminos que se agrupan dentro del par´entesis deber´an ser iguales al vector nulo 0. Por lo tanto, las presiones ph y velocidades (v1h , v2h ) que veriÞquen la igualdad (5.17) ser´an aquellas cuyos valores nodales P y V veriÞquen: Kd · V + C T · P = −F C · V = −H

(5.34)

donde F = Fv + Fb + Ff .

El sistema de ecuaciones (5.34) con las matrices Kd , C, Fv , Fb , Ff y H dadas por las relaciones (5.33) constituye un sistema de ecuaciones lineales para las 94

inc´ognitas P y V que son las presiones y velocidades nodales. Resolviendo este sistema y utilizando las expresiones (5.24) y (5.29) se obtienen las funciones (v1h , v2h ) y ph que satisfacen las igualdades (5.17) propuestas en el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange.

5.3.4. Existencia de la soluci´ on: modos de presi´ on ˜ j de Qh , cada funci´on (v1h , v2h ) ∈ Uh Habi´endose elegido las bases nj de Hh y n y ph ∈ Qh queda un´õvocamente determinada por los valores que tienen dichas funciones en los respectivos nodos. Como dichos valores nodales se agrupan en matrices V y P , entonces cada funci´on (v1h , v2h ) del espacio Uh se identiÞcar´a con un vector V (de dimensi´on NV ) y cada elemento ph del espacio Qh se corresponder´a con un vector P (de dimensi´on N P ). Por lo tanto el problema de encontrar a las funciones (v1h , v2h ) ∈ Uh y ph ∈ Qh que satisfacen la igualdad (5.17) se reducir´a al de hallar los vectores V ∈ <NV y P ∈ <NP que son soluci´on del sistema de ecuaciones algebraicas (5.34).

Para resolver este sistema de ecuaciones lineales se observa primero que las matrices que intervienen en el mismo tienen las siguientes caracter´õsticas: 1. La matriz Kd es una matriz cuadrada de N V × NV . Se puede demostrar (ver referencia [2]) que esta matriz resulta sim´etrica (Kd T = Kd ) y deÞnida positiva (es decir, V T · Kd · V > 0 para todo V ∈ <N V y V 6= 0) por lo que ser´a entonces inversible.

2. La matriz C es una matriz no cuadrada de NP × NV con NP menor que NV . Esto es as´õ porque seg´ un se explic´o antes, para que no exista bloqueo es necesario que el espacio Kh ∩ Uh contenga muchas funciones y no una sola y como este espacio est´a generado por todos aquellos vectores V que veriÞquen18 C · V = −H (5.35) entonces para que Kh ∩ Uh sea “grande” es necesario que este sistema no tenga soluci´on u ´nica sino “muchas” soluciones. Esto suceder´a solamente si NP es menor que NV porque si fuera mayor, entonces el sistema (5.35) estar´a formado por mayor cantidad de ecuaciones que inc´ognitas y de existir soluci´on V , dicha soluci´on ser´a u ´nica y en cambio si NP es menor que NV entonces el n´ umero de ecuaciones sera menor que el de inc´ognitas V y (si no existe incompatibilidad) dicho sistema tendr´a inÞnitas soluciones que es lo que se necesita.

18

Recordar que la segunda de las ecuaciones (5.34) se obtiene imponiendo la condici´ on de incompresibilidad en forma d´ebil (la condici´ on (5.16)) a una funci´on (v1h , v2h ) perteneciente al espacio Uh (y expresada en t´erminos de la base nJ ).

95

3. Se puede demostrar (ver referencias [12] y [26]) que frecuentemente (en particular cuando se utilizan elementos cuadrados y cuando Ff = 0) esta matriz C no es de “rango competo”, es decir, la im´agen de C, que es el conjunto de todos los vectores de <N P que se obtienen haciendo C · V para todo V ∈ <N V , es decir, n

Im(C) = H ∈ <N P tal que H = C · V para cierto V ∈ <NV

o

no es todo <NP sino un subespacio de ´el. En otras palabras, el sistema C · V = −H no tiene soluci´on para ciertos vectores H ∈ <N P , que son los que est´an “afuera” de su im´agen.

4. Observando que la Im(C) es ortogonal al n´ ucleo de C T , deÞnido como el conjunto de todos los vectores Q ∈ <N P que veriÞcan C T · Q = 0, es decir,19 n

Ker(C T ) = Q ∈ <N P tal que C T · Q = 0

o

y teniendo en cuenta que Im(C) no es todo el espacio <N P sino un subconjunto de ´el, entonces dicho n´ ucleo de C T ser´a no vac´õo, es decir, NP existir´an ciertos vectores Q ∈ < distintos del vector nulo tales que T 20 C · Q = 0.

Teniendo en cuenta estas caracter´õsticas de las matrices Kd , C y C T , se puede demostrar (ver referencia [12]) que existira una soluci´on del sistema (5.34) si y solo s´õ el vector H ∈ <NP que aparece como t´ermino independiente de la segunda de dichas ecuaciones, pertenece a la im´agen de C, o bien, teniendo en cuenta que Im(C) es ortogonal al n´ ucleo de C T , si dicho vector H es ortogonal a Ker(C T ). A Esto es as´õ porque si Q pertence a Ker(C T ) entonces C T · Q = 0 lo que implica que V T · C T · Q = 0 para cualquier vector V ∈ <N V . Esto es lo mismo que decir que QT · C · V = 0 para todo V ∈ <NV lo que a su vez quiere decir que QT es ortogonal a Im(C). Lo mismo ocurrir´ a con cualquier otro Q ∈ Ker(C T ). Luego Ker(C T ) es ortogonal a Im(C).

20 Para demostrar esto se observa que la ecuaci´on C · V = −H, se puede reescribir de la siguiente forma: NV X C (J) VJ = −H 19

J=1

donde C (J ) son las columnas de C (de dimensi´on N P ) y VJ las componentes de V por lo que la im´ agen de C ser´a el subespacio que se obtiene combinando linealmente a dichas columnas C (J ) es decir, dichas columnas ser´ an una base de Im(C). Si este espacio no es todo <NP entonces existir´ an ciertos vectores Q distintos del vector nulo que son ortogonales a toda la base C (J) de Im(C), es decir, que cumplan QT · C (J) para todo J lo que implica que C · Q = 0 y que Ker(C) contiene vectores Q no nulos.

96

los vectores Q ∈ <NP distintos del vector nulo, que cumplen C T · Q = 0 (es decir, a los elementos de Ker(C T )) se los llama modos de presi´on. La condici´on para que exista soluci´on de las ecuaciones (5.34) es entonces que H sea ortogonal a todos los modos de presi´on. Se puede demostrar tambi´en que cuando dicha condici´on se satisface, la soluci´on V para las velocidades es u ´nica y la correspondiente a las presiones P esta formada por una parte P ∗ ortogonal a todos los modos de presi´on y u ´ nica, m´as un modo de presi´on Q arbitrario, es decir P = P ∗ + Q con P ∗ ⊥ Ker(C T ) (´ unica) y Q ∈ Ker(C T ) (arbitraria) es decir, la soluci´on para las presiones no es u ´ nica pero las inÞnitas soluciones est´a compuesta por una parte u ´nica P ∗ m´as cualquier elemento Q del Ker(C T ) (cualquier modo de presi´on).

La existencia de modos de presi´on tiene entonces como consecuencia que para ciertos t´erminos independientes H existir´a soluci´on y para otros no. Como este vector H proviene de las condiciones de borde cinem´aticas (g1 , g2 ), (ver ecuaci´on (5.33)) entonces la existencia de soluci´on del sistema (5.34) est´a condicionada a cu´ales ser´an dichas condiciones de borde.

Para ilustrar este problema se considera nuevamente el problema de la cavidad conducida (ver Þgura (5.7)). Se puede demostrar (ver referencias [12] y [26]) que, para este ejemplo, existen dos modos de presi´on linealmente independientes, es decir, dos vectores Q ∈ <NP distintos del vector nulo (y distintos entre s´õ) que veriÞcan CT · Q = 0 Uno es el modo hidrost´atico QH deÞnido como QH T =

³

1 1 1 ··· 1 1 1

´

es decir, constante en todo el dominio Ω y el otro es el denominado modo de damero QC (o modo checkerboard ) que tiene la siguiente expresi´on: QC T =

³

−1 1 −1 · · · −1 1 · · ·

´

es decir, los valores de QC T alternan entre un n´ umero positivo y uno negativo de elemento en elemento. En la Þgura (5.13) se muestra esquem´aticamente a este u ´ ltimo modo de presi´on. Existir´a soluci´on si las condiciones de borde cinem´aticas (g1 , g2 ) que se imponen dan lugar a un vector H (ver igualdades (5.33)) ortogonal a ambos modos de presi´on. En la Þgura (5.14) se muestran dos tipos de condiciones de borde (g1 , g2) parecidas: en el primer caso, se impone una velocidad tangencial (g1 , g2 ) = (cte, 0) en todos los nodos del borde superior y un velocidad nula (g1 , g2 ) = (0, 0) en el resto de los nodos del borde, y en el otro, se impone una 97

velocidad tangencial en todos los nodos del borde superior salvo el nodo 1 y el N (ver Þgura (5.14)) en los que, al igual que el resto de los nodos de la frontera, se exige que la velocidad sea nula. Si bien ambas condiciones de borde son parecidas, se puede demostrar (ver referencia [12]) que en el primer caso se cumple que H = 0 por lo que QH T · H = 0 QC T · H = 0

es decir, se satisfacen las condiciones de exisitencia de soluci´on, mientras que en el segundo, el vector H proveniente de dichas condiciones cumple: QH T · H = 0 QC T · H = −

´ h³ 1 + (−1)M 2

donde h es la longitud de los lados de cada elemento, y M es la cantidad de elementos que se ubican en el borde superior de la cavidad por lo que, si M es par, el vector H no ser´a ortogonal a uno de los modos de presi´on, (el modo QC T ) y por lo tanto no existe soluci´on. x2

h

1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

1

Ω

x1

h

Figura 5.13: Modo de presi´on tipo “damero” o “checkerboard” Se ve entonces que, cuando hay modos de presi´on, la existencia de soluciones del sistema (5.34) resulta inßuenciada por las condiciones de borde cinem´aticas impuestas. Se puede demostrar que la presencia de estos modos depende de la 98

x2

x2

(g1,g2)=(cte,0)

M

1

(g1,g2)=(cte,0)

M

1

Ω

Ω (g1,g2)=(0,0)

(g1,g2)=(0,0) h

h

x1 h

(g1,g2)=(0,0)

x1 h

(g1,g2)=(0,0)

(g1,g2)=(0,0)

Figura 5.14: Condiciones de borde utilizadas en el problema de la cavidad conducida geometr´õa de los elementos, y que en general existen dos modos independientes asociados al elemento elegido (4 on): ³ nodos para la velocidad´y 1 nodo para la presi´ T el modo hidrost´atico QH = 1 1 1 · · · 1 1 1 y el modo checkerboard cuya expresi´on para mallas cuadradas es la presentada en el ejemplo de la cavidad, y la correspondiente a mallas m´as generales tiene la forma QC T =

³

1 α1

− α12

1 α3

···

1 αE

1 − αE+1 ···

´

donde las constantes αE son positivas y dependen de la geometr´õa de cada elemento E (ver referencia [26]).

La presencia de modos de presi´on, adem´as de condicionar la existencia de una soluci´on del sistema (5.34) tiene otra consecuencia: si bien existir´a soluci´on de este sistema cuando H sea ortogonal a los modos de presi´on dicha soluci´on no se puede hallar con los m´etodos habituales de resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineales dado que, por ser el n´ ucleo de C T no vac´õo (y la matriz C de rango incompleto) la matriz de este sistema, resultar´a no inversible. Es decir, “despejando” V de la primera de la ecuaciones (5.34) y reemplazando en la segunda para obtener la siguiente ecuaci´on para las presiones ³

´

C · Kd−1 · C T · P = −C · Kd−1 · F + H

(5.36)

se ucleo de C T no vac´õo, el determinante de la matriz ³ encuentra ´que, por ser el n´ C · Kd −1 C T ser´a nulo y entonces la soluci´on para P (y por lo tanto la de V ), si 99

bien existen, no pueden encontrarse directamente.

Resumiendo entonces, cuando hay modos de presi´on (que son los vectores Q ∈ <N P distintos del vector nulo que veriÞcan C T · Q = 0) la soluci´on de las ecuaciones (5.34) (y la correspondiente a las presiones (5.36) que se deriva de ella) puede no existir. La condici´on necesaria y suÞciente para que dicha soluci´on s´õ exista es que el vector H ∈ <NP que es uno de los terminos independientes de estas ecuaci´ones y que se deriva de las condiciones de borde impuestas para las velocidades, est´e contenido en la im´agen de C, es decir, sea orotogonal a los modos de presi´on. Cuando existe, la soluci´on se caracteriza por ser u ´ nica para las velocidades y u ´ nica para las presiones salvo combinaciones lineales arbitrarias de dichos modos de presi´on y no puede ser hallada directamente dado que la matriz del sistema resulta no inversible.

5.3.5. PreÞltrado de los modos de presi´ on Como se dijo antes, la soluci´on del sistema (5.36) (que es la ecuaci´on para las presiones que se deriva de las (5.34)) se puede escribir (cuando existe) como P = P∗ + Q donde P ∗ es perpendicular a los modos de presi´on, (y esta componente es u ´ nica) y Q es un modo de presi´on (arbitrario). Como en general existen dos posibles modos independientes, el modo hidrost´atico QH y el modo “checkerboard” QC cualquier modo de presi´on arbitrario Q se podr´a escribir como combinaci´on de estos y la soluci´on m´as general para las presiones es (cuando existe), P = P ∗ + βH QH + βC QC

(5.37)

donde βH y βC son constantes arbitrarias. La parte P ∗ de esta soluci´on no puede encontrarse directamente, ya que la matriz del sistema (5.36) no es inversible.

Una de las formas de solucionar esta diÞcultad num´erica es el preÞltrado o rigidizaci´on de los modos de presi´on (ver referencia [6]). Este m´etodo propone modiÞcar a la ecuaci´on de las presiones (5.36) de la siguiente manera: ³

´

C · Kd−1 · C T + ηH A · φH · φH T · A + ηC A · φC · φC T · A · P = −C · Kd−1 · F + H (5.38) donde ηH y ηC son dos constantes no nulas, φH y φC son los modos de presi´on

100

QH y QC normalizados,21 es decir, φH = φC =

QH

kQH k QC

kQC k

=√ =√

QH

QH T ·A·QH QC

QC

T ·A·Q

(5.39)

C

y A es la interno.22 Se puede demostrar que, a diferencia de la ³ matriz del producto ´ matriz C · Kd−1 · C T (la matriz del sistema (5.36)), la matriz de este sistema de ecuaciones modiÞcado s´õ es inversible y que su soluci´on es P ∗ , es decir, est´a libre de modos de presi´on. Tambi´en se puede demostrar, que eligiendo a las constantes ηH y ηC suÞcientemente grandes, el problema de la inexistencia de soluciones cuando el vector H no es ortogonal a los modos de presi´on no se presenta, es decir, la soluci´on para las presiones y velocidades existe tambi´en en dicho caso.

Para demostrar esto se observa en primer lugar que los modos de presi´on QH 21

Si bien QH y QC son linealmente independientes, en general no son mutuamente ortogonales dado que son autovectores asociados a un mismo autovalor (el autovalor nulo). Como m´as adelante se necesita una base ortonormal de autovectores, φH y φC no se interpretar´an entonces como los modos QH y QC normalizados, sino como la base de Ker(C T ) ortonormalizada on construida con estos modos. Es decir, φH y φC son los versores construidos como combinaci´ lineal de QH y QC que son ortogonales entre s´õ.

22 Como se explic´ o antes, el producto interno entre dos vectores p y q de L2 (Ω) est´a dado por Z p · q dΩ hp, qi = Ω

En particular para dos vectores ph y qh pertenecientes a Qh que es un subespacio de L2 (Ω) el producto interno ser´ a Z hph , qh i = ph · qh dΩ Ω

Expresando a ph y a qh en t´erminos de la base n ˜ E de Qh elegida, es decir, ˜T · P = N ˜T · Q = N

ph qh T

˜ es la matriz (columna) que agrupa a las funciones base n donde N ˜ E (ver ecuaciones (5.29) y (5.30)), el producto interno entre dos elementos de Qh se puede escribir como hph , qh i = P T · A · Q donde A=

Z

Ω

˜ ·N ˜ T dΩ N

101

(5.40)

y QC , por ser vectores del n´ ucleo de C T , cumplir´an ³

´

C · Kd−1 · C T · QH = 0 = 0 QH ³ ´ C · Kd−1 · C T · QC = 0 = 0 QC

(5.41)

por lo que ser´ ³ ´ an autovectores asociados a autovalores nulos de la matriz C · Kd−1 · C T . En segundo lugar se observa que, como esta matriz es sim´etrica, el resto de sus autovectores (en total N P − 2) ser´an todos ortogonales a los modos de presi´on QH y QC (y ortogonales entre s´õ) por lo que formar´an una base del complemento ortogonal de Ker(C T ). Entonces, P ∗ que es la parte de P que pertenece a este u ´ ltimo conjunto (es decir, es ortogonal a los modos de presi´on) podr´a ser expresado como combinaci´on lineal de dicha base de autovectores, es´ ³ −1 T decir, llamando φE (con 1 ≤ E ≤ NP − 2) a los autovectores de C · Kd · C ortogonales a los modos de presi´on φH y φC (normalizados), que son los vectores que cumplen ³

´

C · Kd−1 · C T · φE = λE · A · φE φE T · A · φE = 1

(5.42) (5.43)

(donde A es la matriz del producto interno y λE es el autovalor correspondiente al autovector φE ), P ∗ podr´a escribirse como P∗ =

NP −2 X

x E φE

(5.44)

E=1

donde xE son par´ametros que depender´an de la “participaci´on” que tenga cada autovector φE en P ∗ . Sustituyendo las igualdades (5.37) y (5.44) en las ecuaciones (5.36) y teniendo en cuenta que los autovectores φE veriÞcan la igualdad (5.42) y A esta matriz se la denomina matriz del producto interno. Recordando que cada elemento n ˜ de la base de Qh vale 1 en el elemento E y cero en los restantes y que ¢ ¡ E T ˜ ˜ E · · · , se deduce que esta matriz ser´ a una matriz diagonal con ˜1 n ˜2 · · · n N = n AEE = Area(ΩE ). En particular si los elementos son cuadrados o tienen todos el mismo a´rea, a m´ ultiplo de la matriz identidad. entonces la matriz A ser´ De la igualdad (5.40) se deduce que la norma de una funci´on ph estar´a dada por kph k2 = hph , ph i = P T · A · P por lo que kph k = 1 implica que P T · A · P = 1 y que dos vectores ph y qh ser´ an ortogonales cuando hph , qh i = P T · A · Q = 0

102

que los modos de presi´on cumplen (5.41) se obtiene NP −2 X E=1

λE xE A · φE = −C · Kd−1 · F + H

y premultiplicando por cualquier autovector φJ T (1 ≤ J ≤ NP − 2) se obtendr´a23 ³

λJ xJ = φJ T · −C · Kd−1 · F + H

´

1 ≤ J ≤ NP − 2

Se deduce entonces que la soluci´on P del sistema (5.36) estar´a dada por ÃNP −2 X

P =

|

con

E=1

xE φE

{z

!

+xH φH + xC φC

(5.45)

}

P∗

xH = xC = arbitrario ³ ´ (5.46) φE T · −C · Kd−1 · F + H xE = 1 ≤ E ≤ NP − 2 λE Si, en cambio, se sustituyen las igualdades (5.37) y (5.44) en el sistema de ecuaciones modiÞcado (5.38), se obtiene ÃN P −2 X E=1

!

λE xE A · φE + ηH xH A · φH + ηC xC A · φC = −C · Kd−1 · F + H

donde xH y xC son constantes (m´ ultiplos de las constantes βH yβC que aparecen en la (5.37)) y premultiplicando por cualqui´er autovector φJ , se obtendr´a ahora24 , ³

λJ xJ = φJ T · −C · Kd−1 · F + H

ηH xH = φH T · H

´

1 ≤ J ≤ NP − 2

ηC xC = φC T · H

23

Recordar que los autovectores φE son todos ortogonales entre s´õ (porque provienen de una matriz sim´etrica) y estan normalizados, es decir, verÞcan φJ · A · φE = 0 si J 6= E φJ · A · φE = 1 si J = E µNP −2 ¶ NP −2 ¡ ¢ P P λE xE A · φE = λE xE φJ · A · φE = λJ xJ . por lo que φJ · E=1

24

E=1

Recordar que los modos de presi´ on φH y φC cumplen C T · φH = 0 y C T · φC = 0 por lo que ´ ³ φH T · −C · Kd−1 · F + H = φH T · H ´ ³ φC T · −C · Kd−1 · F + H = φC T · H

103

La soluci´on del sistema modiÞcado (5.38) estar´a dada entonces por ÃNP −2 X

P =

con

|

E=1

xE φE

{z

P∗

!

+xH φH + xC φC

(5.47)

}

φH T · H ηH φC T · H xC = ηC ³ ´ φE T · −C · Kd−1 · F + H xE = λE

xH =

(5.48) 1 ≤ E ≤ NP − 2

Comparando la soluci´on del sistema (5.36) (ecuaciones (5.45) y (5.46)) con la correspondiente al sistema modiÞcado (5.38) (ecuaciones (5.47) y (5.48)), se deduce que, si H es perpendicular a los modos de presi´on, es decir, si φH T · H = φC T · H = 0, entonces la soluci´on del sistema modiÞcado (5.38) ser´a P ∗ y que si H no es perpendicular a los modos de presi´on y si ηH y ηC se eligen suÞcientemente grandes, entonces la soluci´on de las ecuaciones (5.38) estar´a dada por (5.47) con xH y xC muy chicas, es decir, es pr´acticamente igual a P ∗ .

Se observa entonces, que con este m´etodo de preÞltrado, se puede hallar la ∗ soluci´on para las presiones on a pesar que ³ ´ (la parte P ) libre de modos de presi´ −1 T la matriz C · Kd · C es singular. Una vez obtenida P , la soluci´on para las velocidades se obtiene resolviendo la primera de las ecuaciones (5.34), es decir, ³

V = −Kd−1 · F + C T · P

´

Ejemplo num´ erico En la Þgura (5.15) y (5.16) se muestran las presiones y velocidades obtenidas al resolver con el m´etodo de multiplicadores de Lagrange con “preÞltrado” o “rigidizaci´on” de los modos de presi´on el problema de la cavidad conducida para los dos tipos de condiciones de borde mostrados en la Þgura (5.14) y para dos tipos de mallas: una formada por M × M elementos con M par, y otra formada por M × M elementos con M impar. Se observa que para el segundo tipo de condici´on de borde impuesta, si bien se pudo obtener una soluci´on, esta soluci´on no es satisfactoria dado que los elementos debieron distorsionarse demasiado para poder cumplir simult´aneamente las condiciones de borde cinem´aticas (g1 , g2 ) y la condici´on de incompresibilidad (impuesta en forma d´ebil) hecho que da lugar a una aproximaci´on de las presiones pobre. Esto implica que en este caso, el espacio 104

Kh ∩ Uh (con Qh formado por funciones constantes dentro de cada elemento y discontinuas entre elementos) no resulta lo suÞcientemente rico como para que se puedan encontrar dentro de ´el buenas aproximaciones para las velocidades.

5.4. M´ etodo de penalizaci´ on Como se dijo antes, el m´etodo de multiplicadores de lagrange (con Þltrado de los modos de presi´on) es una de las formas de “debilitar” la condici´on de incompresibilidad y evitar el problema del bloqueo. Sin embargo presenta la desventaja que para hallar la soluci´on para las velocidades, que son las inc´ognitas primarias del problema, es necesario resolver primero las ecuaciones para las presiones (5.36).25 Una forma alternativa de “debilitar” la condici´on de incompresibilidad y que tiene la ventaja que s´õ se puede formular en t´erminos exclusivos de las velocidades, es el m´etodo de penalizaci´on.

Este m´etodo propone la siguiente forma de aproximar la condici´on de incompresibilidad: se modiÞca la ecuaci´on de incompresibilidad (5.4) seg´ un Ã

∂v1 ∂v1 + ∂x1 ∂x2

!

−

1 p=0 κ

donde κ es una constante (grande) llamada coeÞciente de penalizaci´on y p es la presi´on, y se pide a las velocidades aproximadas (v1h , v2h ) y a la presi´on aproximada ph que cumplan Z "Ã Ω

∂v1h ∂v2h + ∂x1 ∂x2

!

#

1 − ph qh dΩ = 0 κ

(5.49)

para toda funci´on qh ∈ Qh .

El m´etodo de penalizaci´on propone entonces como soluci´on aproximada de las ecuaciones completas del ßujo de un medio viscoso incompresible (plano) a las funciones (v1h , v2h ) ∈ Uh y ph ∈ Qh que veriÞcan: Z

Ω

Z

Ω

δεúh T · 2µ D · Id · εúh dΩ + Z

Ω ·

δvh T · b dΩ +

qh M T · εúh −

Z

Γ¸f

Z

Ω

δ εúh T · M ph dΩ =

δvh T · f dΓ

1 ph dΩ = 0 κ

25

∀ (δv1h , δv2h ) ∈ Vh

(5.50)

∀ qh ∈ Qh

Recordar que en las ecuaciones (5.32) se pudo despejar V de la primera de ellas y reemplazar en la segunda para obtener el sistema(5.36) que involucra exclusivamente a las presiones pero es imposible encontrar una ecuaci´ on en la que aparezcan solamente las velocidades porque las presiones V no se pueden despejar de la segunda de las ecuaciones (5.32).

105

Condiciones de borde utilizadas: Tipo (a) (Velocidades impuestas en los nodos 1 a M inclusive) x2 (g 1,g 2)=(cte,0)

Tipo (b) (Velocidades impuestas en los nodos 2 a M-1; nodos 1 y M fijos) x2 (g 1,g 2)=(cte,0)

M

1

M

1

Ω

Ω (g 1,g 2)=(0,0)

(g 1,g 2)=(0,0) h

h

x1 h

(g 1,g2)=(0,0)

x1 h

(g 1,g 2)=(0,0)

(g 1,g 2)=(0,0)

Condición de borde tipo (a) 14 x 14 elementos (Numero par)

Condición de borde tipo (b) 14 x 14 elementos (Numero par)

Condición de borde tipo (a) 13 x 13 elementos (Numero impar)

Condición de borde tipo (b) 13 x 13 elementos (Numero impar)

Parámetros numéricos utilizados en ambos casos:

Figura 5.15: Velocidades obtenidas para el problema de la cavidad conducida para distintas mallas y condiciones de borde (M´etodo de multiplicadores de Lagrange con “preÞltrado” de los modos de presi´on).

106

Condiciones de borde utilizadas: Tipo (a) (Velocidades impuestas en los nodos 1 a M inclusive) x2 (g 1,g2)=(cte,0)

Tipo (b) (Velocidades impuestas en los nodos 2 a M -1; nodos 1 y M fijos)

x2

M

1

(g 1,g2)=(cte,0)

M

1

Ω

Ω (g 1,g 2)=(0,0)

(g 1,g 2)=(0,0) h

(g 1,g 2)=(0,0)

h

x1

x1

(g 1,g 2)=(0,0)

h

(g 1,g 2)=(0,0)

h

Condición de borde tipo (a) 14 x 14 elem entos (Numero par)

Condición de borde tipo (b) 14 x 14 elem entos (Numero par)

p

p

0.2 1

0.1 0

0

-0.1 5

-0.2

x2

-1

5

x2

10

10

10

10 5

5

x1

x1

Condición de borde tipo (a) 13 x 13 elem entos (Numero impar)

Condición de borde tipo (b) 13 x 13 elem entos (Numero impar)

p

p

0.2 0.5

0

2.5

0

2.5

-0.5

-0.2

5

12.5

7.5

x2

5

10

10 7.5

10

7.5

10 5

5 12.5

x2

12.5

7.5

12.5

2.5

x1 Parámetros numéricos utilizados en ambos casos:

2.5

x1

Figura 5.16: Presiones obtenidas para el problema de la cavidad conducida para distintas mallas y condiciones de borde (M´etodo de multiplicadores de Lagrange con “preÞltrado” de los modos de presi´on).

107

donde δεúh T = εúh T =

³

∂δv1h ∂x1 ∂v1h ∂x1

∂δv2h ∂x2 ∂v2h ∂x2

∂δv1h ∂x2 ∂v1h ∂x2

∂δv1h ∂δv2h + ∂x1 ∂x2 ∂v1h ∂v2h = + ∂x1 ∂x2

δ εúh T · M = M T · εúh

³

+

+

∂δv2h ∂x1

∂v2h ∂x1

´

´

La velocidad (v1h , v2h ) (junto con la presi´on ph ) deber´a cumplir la primera de las igualdades (5.50) (el principio de las potencias virtuales), para que resulte una soluci´on aproximada de las ecuaciones del movimiento (5.3) y la relaci´on constitutiva para un medio viscoso (5.2), y deber´an satisfacer la segunda igualdad (5.50) (con κ “grande”) para aproximar la condici´on de incompresibilidad.

La igualdad (5.49) admite una interpretaci´on geom´etrica an´aloga a la correspondiente al m´etodo de los multiplicadores de Lagrange: recordando que la inteR gral Ω p q dΩ es un producto interno hp, qi, la igualdad (5.49) se puede reescribir como *Ã ! + 1 ∂v1h ∂v2h + − p h , qh = 0 ∀ qh ∈ Qh ∂x1 ∂x2 κ por lo que dicha igualdad expresa que κ1 ph es la proyecci´on ortogonal sobre el espacio Qh de la divergencia de (v1h , v2h ). Entonces, s´õ κ es grande, las velocidades (v1h , v2h ) tendr´an una proyecci´on ortogonal sobre Qh que no es nula como en el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange, pero es “casi” nula.

Teniendo ³ en cuenta esto se observa que, cuando κ → ∞ la proyecci´on ´ ∂v2h 1h ortogonal de ∂v + sobre Qh tender´a a cero por lo que las velocidades ∂x1 ∂x2 (v1h , v2h ) tender´an a pertenecer a Kh (ver³ referencias´[3] y [5]) que es el conjunto 1h 2h de funciones (v1h , v2h ) cuya divergencia ∂v + ∂v tiene proyecci´on sobre Qh ∂x1 ∂x2 exactamente cero. Esto implica que con el m´etodo de penalizaci´on se obtienen velocidades aproximadas (v1h , v2h ) que se encuentran tan “cerca” de Kh como se quiera con tal que κ sea suÞcientemente grande. Recordando que para que no exista bloqueo, el espacio Kh debe ser mucho m´as “grande” que Kh (el conjunto de las funciones exactamente incompresibles) de manera que Kh ∩ Uh contenga “muchas” funciones y no una sola o ninguna como Kh ∩ Uh , se deduce que, al igual que en el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange, se debe elegir como espacio de presiones aproximantes Qh al formado por las funciones que son constantes dentro de cada elemento y discontinuas entre elementos, dado que, como se demostr´o antes, esta es la u ´ nica elecci´on de Qh que proporciona 108

un espacio Kh mas “grande” que Kh (para polinomios de mayor orden resultaba Kh = Kh ).

5.4.1. Forma matricial del m´ etodo de penalizaci´ on Expresando a las velocidades (v1h , v2h ) ∈ Uh y a las velocidades virtuales (δv1h , δv2h ) ∈ Vh como combinaci´on lineal de la base nJ de Hh (las funciones de Hh que valen 1 en el nodo J y cero en los restantes) y a las presiones ph como combinaci´on lineal de la base n ˜ E de Qh (las funciones de Qh que valen 1 en el nodo de presi´on E y cero en los restantes) (ver ecucaci´ones (5.26), (5.28), (5.30) y (5.31)) y reemplazando dichas expresiones en las igualdades (5.50) se obtiene ³

´

δV T · Kd · V + C T · P + Fv + Fb + Ff = 0 ³ ´ QT · C · V − κ1 A · P + H = 0 ∀Q

∀ δV

(5.51)

donde, al igual que en el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange, V y P son las matrices (columna) de NV × 1 y NP × 1 que agrupan a las velocidades y presiones nodales, Kd , C, Fv , Fb , Ff y H son las mismas matrices que se obtuvieron al deducir la forma matricial del m´etodo de los multiplicadores de Lagrange, deÞnidas en las ecuaciones (5.33), y A es la matriz del producto interno, deÞnida como Z ˜ ·N ˜ T dΩ A= N Ω

˜ la matriz que agrupa a las funciones base n (siendo N ˜ E de Qh ). Las igualdades (5.51) se veriÞcar´an para todo δV ∈ <N V y para todo Q ∈ <NP si y solo s´õ V y P cumplen Kd · V + C T · P = −F (5.52) C · V − κ1 A · P = −H donde F = Fv + Fb + Ff . Estas ecuaciones constituyen un sistema de ecuaciones lineales para las inc´ognitas V y P . Resolviendo este sistema se determinan los valores nodales de las velocidad (v1h , v2h ) ∈ Uh y presi´on ph ∈ Qh que veriÞca las igualdades (5.50). A diferencia del sistema obtenido con el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange (5.34), el sistema (5.52) puede ser escrito en t´erminos exclusivos de las velocidades V : “despejando” P de la segunda de las ecuaciones (5.52) y reemplazando en la primera se obtiene la ecuaci´on para las velocidades µ

Kd + C T ·

³

´−1

1 A κ

¶

· C · V = −F − C T ·

³

1 A κ

´−1

·H

(5.53)

Resolviendo esta ecuaci´on se podr´an hallar las velocidades V sin necesidad de conocer primero las presiones. Estas u ´ ltimas se obtendr´an, una vez que se conocen 109

las velocidades, con la segunda de las ecuaciones (5.52), es decir, con P =

³

´−1

1 A κ

· (C · V + H)

(5.54)

5.4.2. M´ etodo de penalizaci´ on formulado en t´ erminos exclusivos de las velocidades: integraci´ on reducida El sistema de ecuaciones (5.53), que involucra exclusivamente a las velocidades puede ser obtenido sin utilizar expl´õcitamente la discretizaci´on para las presiones ˜ T · P : teniendo en cuenta la deÞnici´on de las matrices C A y H (ecuaciones ph = N ³ ´ ˜T = n ˜1 n ˜2 · · · n ˜ N P siendo n (5.33)) y que N ˜ E las funciones base del espacio Qh que valen 1 en el elemento E y cero en los restantes, se puede demostrar (ver referencias [12] o [16]) que δV · C T · =

NP X E

³

´−1

1 A κ T

δV · Bv

¯ ¯ donde Bv ¯

· (C · V + H) = ¯ ¯

T¯

(r,s)=(0,0)

T

(r,s)=(0,0)

¯ ¯ y Bg ¯

· MκM ·

(r,s)=(0,0)

µ

¯ ¯ Bv ¯

(r,s)=(0,0)

¯ ¯ · V + Bg ¯

(r,s)=(0,0)

¶

· G 4 (|J|)|(r,s)=(0,0)

(5.55) son las matrices Bv y Bg deÞnidas en (5.27)

evaluadas en el punto del elemento E de coordenadas locales (r, s) = (0, 0), (|J|)|(r,s)=(0,0) es el jacobiano del cambio de coordenadas locales (r, s) a coordenadas globales (x1 , x2) del elemento E (el jacobiano del sistema (x1 (r, s), x2(r, s))) evaluado en el punto del elemento E de coordenadas locales (r, s) = (0, 0), M T = ( 1 1 0 ) y V y G son las matrices que agrupan a los valores nodales de las velocidades en los nodos interiores y en los de la frontera respectivamente.

Recordando que (ver ecuaciones (5.26) y (5.28)) ³

´

∂v1h ∂v2h + ∂x1 ∂x2 ∂δv1h ∂δv2h ·M = + ∂x1 ∂x2

M T · Bv · V + Bg · G δV T · Bv T

=

y teniendo en cuenta que la integral de cualquier funci´on f (x1 , x2) se puede estimar utilizando el m´etodo de cuadratura de Gauss con un u ´ nico punto de integraci´on26 26

Una integral cualquiera

R1

f(r) dr se puede calcular num´ericamente como

−1 N X

wi f(ξi )

i=1

110

como Z

ΩE

f(x1, x2 ) dΩ =

Z1 Z1

−1 −1

f (x1 (r, s), x2 (r, s)) |J| dr ds ' 4 f(x1, x2 )|(r,s)=(0,0) (|J|)|(r,s)=(0,0)

se deduce que la sumatoria del miembro derecho de la igualdad (5.55) se puede interpretar como la integral Z Ã Ω

∂δv1h ∂δv2h + ∂x1 ∂x2

!

κ

Ã

∂v1h ∂v2h + ∂x1 ∂x2

!

dΩ

hecha con el m´etodo de cuadratura de Gauss con un u ´ nico punto de integraci´on (o integraci´on reducida). Entonces resulta δV · C T ·

³

´−1

1 A κ

· (C · V + H) '

R ³ ∂δv Ω

1h ∂x1

+

∂δv2h ∂x2

´

κ

³

∂v1h ∂x1

+

∂v2h ∂x2

y la ecuaci´on (5.53) se podr´a obtener entonces a partir de la igualdad Z

Ω

T

δεúh · 2µ D · Id · εúh dΩ + Z

Ω

δvh T · b dΩ +

Z

Γf

Z

Ω

´

dΩ

δεúh T · M κ M T · δ εúh dΩ =

δvh T · f dΓ

∀ (δv1h , δv2h ) ∈ Vh

(haciendo la segunda integral del miembro derecho con integraci´on reducida). Esta u ´ ltima igualdad es otro punto de partida con el que se puede obtener la ecuaci´on (5.53) sin necesidad de interpolar a las presiones (siempre que la segunda integral se resuelva con integraci´on reducida).

5.4.3. Convergencia de la soluci´ on para κ → ∞ Cuando se plante´o el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange, se vi´o que la soluci´on para las presiones (cuando existe) se puede expresar como P = P ∗ + βH QH + βC QC donde βH y βC son constantes arbitrarias, QH y QC son los modos de presi´on, es decir, la base del n´ ucleo de C T y P ∗ es la parte de P ortogonal a dichos modos donde ξi son los llamados puntos de integraci´on, wi son constantes positivas y N es la cantidad de puntos de integraci´on utilizados. A este m´etodo se lo llama m´etodo de cuadratura de Gauss.

Se puede demostrar que utilizando N puntos de integraci´on se puede integrar exactamente un polinomio de grado menor o igual que 2N − 1. Si para integrar un polinomio de grado 2N − 1 se utiliza una cantidad de puntos menor que N (por lo que la integraci´ on no ser´a exacta) se dice que la integral ha sido calculada con integraci´ on de Gauss reducida. Los puntos de integraci´on y las constantes wi se encuentran tabulados en funci´on de N (ver por ejemplo referencia [2]).

Para N = 1, corresponde w1 = 4 y ξ1 = 0.

111

de presi´on. Tambi´en se vi´o que la soluci´on para las velocidades V y para las presiones P solo existe cuando el vector H es ortogonal a los modos de presi´on, y que cuando esta condici´on se cumple, la parte P ∗ no puede hallarse directamente y es necesario modiÞcar la ecuaci´on para las presiones en la forma (5.38) poder encontrarla.

Con respecto al m´etodo de penalizaci´on, se puede demostrar que la soluci´on para las velocidades y para la presi´on existe independientemente de cual sean H y κ y que cuando κ → ∞ las velocidades V convergen a las obtenidas con el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange independientemente del valor de H mientras que las presiones P convergen a la parte P ∗ de la soluci´on correspondiente al m´etodo de los multiplicadores de Lagrange (es decir, a la parte libre de modos de presi´on) si H es ortogonal a los modos de presi´on y convergen a P ∗ + βH QH + βC QC con βH y βC tendiendo a inÞnito (es decir, a una soluci´on totalmente contaminada por modos de presi´on) si H no es ortogonal a dichos modos. Es decir, llamando Vκ y Pκ a las velocidades y presiones que se obtienen con el m´etodo de penalizaci´on, entonces Vκ −→ V ∀ H ∈ <NP κ→∞ Pκ −→ P ∗ si QH T · H = 0 y QC T · H = 0 κ→∞ Pκ −→ P ∗ + βH QH + βC QC con βH y βC → ∞ si QH T · H 6= 0 o QC T · H 6= 0 κ→∞

donde V es la soluci´on para las velocidades que se obtiene con el m´etodo de multiplicadores de Lagrange. Entonces, si bien con este m´etodo la soluci´on existe independientemente de cual sea H, para obtener una soluci´on para las presiones que tenga sentido f´õsico, es necesario que el vector H ∈ <N P que aparece en la segunda de las ecuaciones (5.52) sea perpendicular a QH y a QC . Si esto no pasa, se obtendr´an presiones formadas exclusivamente por modos de presi´on y una soluci´on de este tipo no tiene ninguna utilidad.

Para demostrar esto, se observa que de las ecuaciones (5.52) se obtiene la siguiente ecuaci´on para las presiones ³

´

C · Kd−1 · C T + κ1 A · P = −C · Kd−1 · F + H

(5.56)

Suponiendo que la soluci´on Pκ de este sistema (al igual que la soluci´on P correspondiente al m´etodo de multiplicadores de Lagrange) se puede escribir como Pκ =

ÃNP −2 X E=1

!

xE φE + xH φH + xC φC

donde xE , xH y xC son constantes ,φH y φC son los modos de presi´on normalizados (ver ecuaciones (5.37)) y φE son los autovectores de C · Kd−1 · C T 112

(correspondientes a autovalores λE no nulos) que son id´enticos a los de C · Kd−1 · ³ ´ C T + κ1 A (porque si φE cumple C · Kd−1 · C T · φE = λE A · φE entonces ³

´

³

C · Kd−1 · C T + κ1 A · φE = λE + (5.56) se obtiene27 NX P −2

xE

E=1

³

λE +

1 κ

´

A · φE + x H

1 κ

´

1 A κ

A · φE ) y reemplazando en la ecuaci´on

· φH + xC

1 A κ

· φC = −C · Kd−1 · F + H

Premultiplicando ahora por φJ T y recordando que los autovectores φE , φH y φC son todos ortogonales entre s´õ, se obtendr´a ³

´

³

λJ + κ1 xJ = −φJ T · C · Kd−1 · F − H 1 x = φH T · H κ H 1 x = φC T · H κ C

´

1 ≤ J ≤ NP − 2

Por lo tanto, la soluci´on Pκ del sistema (5.56) est´a dada por Pκ =

ÃNP −2 X

!

xE φE + xH φH + xC φC

E=1

con xE =

³

φE T · C · Kd−1 · F − H ³

λE + ³ ´ x H = κ φH T · H ³ ´ x C = κ φC T · H

1 κ

´

´

1 ≤ E ≤ NP − 2

(5.57)

(5.58)

Comparando las igualdades (5.57) y (5.58) con las ecuaciones (5.45) y (5.46) se deduce que si H es ortogonal a φH y φC entonces Pκ converger´a a la solulci´on P ∗ del m´etodo de multiplicadores de Lagrange cuando κ → ∞, y si H no es ortogonal a φH y φC , entonces los factores xH y xC tienden a ser muy grandes y los modos de presi´on φH y φC tienden a ser las componentes m´as importantes en la soluci´on Pκ .

Ejemplo num´ erico En las Þguras (5.17) y (5.18) se muestran respectivamente las soluciones para las presiones y velocidades que se obtuvieron al resolver el problema de la cavidad ´ ´ ³ ³ Recordar que C · Kd−1 · C T · φE = λE A · φE y que C · Kd−1 · C T · φH = 0 y ³ ´ C · Kd−1 · C T · φC = 0 porque φH y φC son modos de presi´ on (ver igualdades (5.41) y (5.42)).

27

113

conducida para distintas mallas y distintas condiciones de borde cone el m´etodo de penalizaci´on. Se observa que en el caso de condiciones de borde tipo b) (ver Þgura (5.14)) y malla formada por un n´ umero par de elementos en cada lado (caso para el cual el vector H no es ortogonal a los modos de presi´on hidrost´atico y chekerboard φH y φC ), se obtiene una soluci´on para la presiones que se encuentra completamente contaminada por dichos modos, tal como se prevee te´oricamente.

5.5. Procedimientos iterativos para mejorar la soluci´ on: M´ etodo del lagrangeano aumentado Si bien el m´etodo de penalizaci´on permite obtener soluciones para las velocidades V sin necesidad de hallar primero la soluci´on para las presiones P (como ocurr´õa en el m´etodo de multiplicadores de Lagrange) presenta la siguiente limitaci´on: el sistema de ecuaciones para las velocidades que se obtiene con ´este m´etodo (ecuaci´on (5.53)) se puede reescribir como ³

´

Kd + κ C T · A−1 · C · V = −F − κ C T · A−1 · H

(5.59)

donde el coeÞciente de penalizaci´on κ debe elegirse suÞcientemente “grande” para que la soluci´on Vκ obtenida con este m´etodo sea parecida a la correspondiente al m´etodo de los multiplicadores de Lagrange, que³ es la soluci´on buscada.

Sin ´ T −1 embargo, cuando κ es muy grande, la matriz Kd + κ C · A · C queda num´ericamente mal condicionada porque estar´a formada por sumandos de ordenes de magnitud muy distintos por lo que el error num´erico que se obtendr´a al resolver el sistema (5.59) ser´a muy grande. Se observa entonces que, por un lado κ debe ser grande para Vκ aproxime mejor a la soluci´on buscada, pero por otro lado no puede ser muy grande porque el sistema de ecuaciones a resolver se vuelve cada vez peor condicionado y la exactitud de Vκ es muy baja.

Para superar esta limitaci´on se puede utilizar el procedimiento iterativo, denominado m´etodo del lagrangeano aumentado (ver referencias [15] y [28]) que se resume en los siguientes pasos: 1. Conocidas las presiones P (k) correspondientes a la iteraci´on k se calculan las velocidades V (k+1) correspondientes a la iteraci´on k + 1 mediante el sistema de ecuaciones µ

Kd + C T ·

³

1 A κ

´−1

¶

· C · V (k+1) +C T · P (k) = −F − C T ·

³

1 A κ

´−1

· H (5.60)

utilizando ahora un par´ametro κ “chico” para que este sistema no quede mal condicionado.

114

2. Con las velocidades V (k+1) se actualizan las presiones seg´ un: P (k+1) = P (k) +

³

´−1 ³

1 A κ

· C · V (k+1) + H

´

(5.61)

Este algoritmo iterativo se inicia con P (0) = 0, por lo que las ecuaciones (5.60) y (5.61) quedan id´enticas para la primera iteraci´on a las correspondientes al m´etodo de penalizaci´on (ecuaciones (5.53) y (5.54)) y entonces V (1) y P (1) ser´an id´enticos a la soluci´on Vκ y Pκ que se obtienen con el m´etodo de penalizaci´on con κ “chico”, y se Þnaliza cuando cierta medida del error de V (k) y P (k) es chica.

Las ecuaciones (5.60) y (5.61) se pueden reescribir en forma m´as compacta como Kd · V (k+1) + C T · P (k+1) = −F (5.62) C · V (k+1) − κ1 A · P (k+1) = −H − κ1 A · P (k) (comparar con las (5.52)). Con este procedimiento se evitan los problemas del mal condicionamiento de la matriz del sistema (5.59) que se presentaban con el m´etodo de penalizaci´on porque se utiliza un coeÞciente de penalizaci´on κ chico (y entonces la matriz del sistema (5.60) estar´a formada por sumandos de ordenes de magnitud parecidos) y se puede demostrar que la soluci´on V (k) y P (k) que se alcanza despu´es de k iteraciones converge cuando el n´ umero de interaciones es grande (cuando k → ∞) a la misma soluci´on que se obten´õa con el m´etodo de penalizaci´on para κ → ∞: las velocidades V (k) tienden a las velocidades V correspondientes al m´etodo de multiplicadores de Lagrange (con rigidizaci´on) independientemente de H y la soluci´on para las presiones P (k) converge a la la parte P ∗ de las presiones correspondientes a este u ´ ltimo m´etodo (la parte ortogonal a los modos de presi´on QH y QC ) si H es ortogonal a QH y QC mientras que converge a P ∗ + βH QH + βC QC con βH y βC muy grandes (tendiendo a inÞnito) en caso contrario, es decir, V (k) −→ V k→∞

P (k) −→ P ∗ k→∞

∀ H ∈ <NP

si QH T · H = 0 y QC T · H = 0

P (k) −→ P ∗ + βH QH + βC QC con βH y βC → ∞ si QH T · H 6= 0 o QC T · H 6= 0 k→∞

La demostraci´on de esta aÞrmaci´on es an´aloga a la hecha al estudiar la convergencia de la soluci´on del m´etodo de penalizaci´on Vκ y Pκ para κ → ∞: despejando V (k+1) de la primera de las ecuaciones (5.62) y reemplazando en la segunda se obtiene la siguiente ecuaci´on recursiva para las presiones ³

´

C · Kd−1 · C T + κ1 A · P (k+1) = −C · Kd−1 · F + H + κ1 A · P (k) 115

(5.63)

Si se supone que las soluci´on P (k) y P (k+1) correspondientes a las iteraciones k y k + 1 pueden escribirse como P P

(k)

=

(k+1)

ÃNP −2 X

=

x(k) E

E=1 Ã NX P −2

!

(k) φE + x(k) H φH + x C φC

(k+1) xE

!

(k+1)

φE + xH

E=1

(k+1)

φH + xC

φC

es decir, como combinaci´on lineal de una base com´ un (la base de autovectores φE , T −1 1 φH y φC de C · Kd · C + κ A (que son id´enticos a los de C · Kd−1 · C T )) pero con (k) (k) (k) constantes distintas para cada iteraci´on (x(k) y x(k+1) , x(k+1) E xH y xC para P E H (k+1) (k+1) y xC para P ) entonces reemplazando en la ecuaci´on (5.56) se obtiene "N P −2 X

³

(k+1) xE

λE +

E=1

= −C ·

Kd−1

1 κ

´

#

(k+1) 1 A κ

A · φE + x H

·F +H +

"NP −2 X E=1

1 x(k) E κA

(k+1) 1 A κ

· φH + x C #

· φC =

(k) 1 1 · φE + x(k) H κ A · φH + x C κ A · φC

y premultiplicando por φJ T , φH T y por φC T se obtendr´a (recordando que los autovectores φE , φH y φC son todos ortogonales entre s´õ) ³

´

³

´

λJ + κ1 x(k+1) = −φJ T · C · Kd−1 · F − H + J 1 (k+1) x = φH T · H + κ1 x(k) H κ H T 1 (k+1) 1 (k) x = φ · H + x C κ C κ C

1 κ

x(k) J

1 ≤ J ≤ NP − 2

Las igualdades anteriores permiten calcular en forma recurrente a las constantes (k) (k) (k) xJ , xH y xC correspondientes a cada iteraci´on k. Reescribiendolas en la forma (k+1)

xJ

(k+1)

xH x(k+1) C

=

³

−φJ T · C · Kd−1 · F − H

λJ (k) = κ φH T · H + x H = κ φC T · H + x(k) C

´

−

´ 1 ³ (k+1) (k) xJ − xJ κ λJ

1 ≤ J ≤ NP − 2

se deduce en primer lugar que cuando el n´ umero de iteraciones k tiende a inÞnito, ³ ´ tender´a a x(k) ³J ´ (k+1) (k) xJ − xJ que si φH T · H (0)

P

−φJ T · C·Kd−1 ·F −H λJ

para 1 ≤ J ≤ N P − 2 porque la diferencia (k)

tiende a cero cuando xJ converje. En segundo lugar se observa = φC T · H = 0 y si, como se dijo antes, se comienza a iterar con (0) (k) = 0 con lo que x(0) an nulas, entonces resultar´a x(k) H xC ser´ H = xC = 0 para 116

todo k. Por u ´ ltimo se observa que si φH T · H 6= 0 o φC T · H 6= 0 entonces para (0) cualquier par de valores iniciales x(0) a H y xC se obtendr´ (

(k)

(0)

xH = k (κ φH T · H) + xH (0) T x(k) C = k (κ φC · H) + xC

que tiende a inÞnito cuando el n´ umero de iteraciones k tiende a inÞnito. Por lo tanto, la sucesion P (k) de presiones que veriÞcan el sistema (5.63) para todo k esta dada por à !

P

(k)

=

NX P −2

(k)

(k)

(k)

xE φE + xH φH + xC φC

(5.64)

E=1

con (k)

xE −→

³

−φE T · C · Kd−1 · F − H

k→∞

(k)

(k)

xH −→ 0 y xC x(k) H

k→∞

−→ ∞ o

k→∞

´

para 1 ≤ E ≤ NP − 2 λE −→ 0 si QH T · H = 0 y QC T · H = 0

k→∞ (k) xC −→ k→∞

∞ si QH T · H 6= 0 y QC T · H 6= 0 respectivamente

(5.65) Comparando las igualdades (5.57) y (5.58) con las ecuaciones (5.45) y (5.46) se deduce que si H es ortogonal a φH y φC , entonces P (k) se acerca a la soluci´on P ∗ del m´etodo de multiplicadores de Lagrange cuando el n´ umero de interaciones es grande mientras que si H no es ortogonal a φH y φC entonces P (k) tiende a P ∗ + xH φH + xC φC con factores xH y xC muy grandes y los modos de presi´on tienden a contaminar cada vez mas la soluci´on a medida que el n´ umero de iteraciones k aumenta.

Ejemplo num´ erico Para complementar el an´alisis se resolvi´o tambi´en con el m´etodo del lagrangeano aumentado el problema de la cavidad conducida para las distintas condiciones de borde mostradas en la Þgura (5.14) y para mallas de distinta cantidad de elementos. Las soluciones obtenidas se muestran en las Þguras (5.19) y (5.20). Se observa que para el caso de condiciones de borde tipo b) (ver Þgura (5.14)) y para malla formada por un num´ero par de elementos en cada lado (caso para el cual el vector H no es ortogonal a los modos de presi´on φH y φC ) se obtiene una soluci´on para las presiones con una participaci´on de los modos esp´ ureos importante.

117

5.5.1. Lagrangeano aumentado con preÞltrado o rigidizaci´ on de los modos de presi´ on.

El m´etodo del lagrangeano aumentado es una alternativa para superar el problema del mal condicionamiento de la matriz del sistema (5.56) para coeÞcientes de penalizaci´on grandes κ. Sin embargo, cuando H no es ortogonal a φH y φC no permite encontrar soluci´on para las presiones. Una alternativa para solucionar este inconveniente es modiÞcar a la ecuaci´on recurrente de las presiones (5.63) en una forma an´aloga a la utilizada en el m´etodo de multiplicadores de Lagrange con “preÞltrado” o “rigidizaci´on”de los modos de presi´on, es decir, sumando a la matriz de dicho sistema de ecuaciones el t´ermino ηH A·φH ·φH T ·A+ηC A·φC ·φC T ·A donde ηH y ηC son constantes positivas (y “grandes”). La ecuaci´on para las presiones propuesta es entonces ³

´

C · Kd−1 · C T + κ1 A + ηH A · φH · φH T · A + ηC A · φC · φC T · A · P (k+1) = = −C · Kd−1 · F + H + κ1 A · P (k) (5.66) Se puede demostrar (usando el mismo razonando que se utiliz´o para deducir las igualdades (5.57) y (5.58)) que las presiones P (k) que se obtienen con este nuevo algoritmo estr´an dadas por P

(k)

=

ÃN P −2 X E=1

(k) xE

!

(k)

(k)

φE + xH φH + xC φC

(5.67)

con (k)

xE −→

³

−φE T · C · Kd−1 · F − H

k→∞ T

λE

´

para 1 ≤ E ≤ NP − 2

φH · H k→∞ ηH φC T · H −→ k→∞ ηC

x(k) H −→ x(k) C

(5.68)

Se observa que se obtiene la misma soluci´on que con el m´etodo del lagrangeano aumentado cuando φH T · H = φC T · H = 0 (es decir, P (k) tiende a P ∗ cuando k tiende a inÞnito) pero con ´este nuevo m´etodo tambi´en se obtiene la soluci´on P ∗ del m´etodo de multiplicadores de Lagrange (es decir, una soluci´on libre de modos de presi´on) cuando φH T · H 6= 0 o φC T · H 6= 0 siempre que se elija ηH y ηC lo φ

T

·H

φ

T

·H

suÞcientemente grandes como para que HηH y CηC sean despreciables. Por lo tanto este algor´õtmo iterativo es efectivo incluso en ´este u ´ltimo caso.

El algor´õtmo iterativo del lagrangeano aumentado con “rigidizaci´on” o “preÞltrado” de los modos de presi´on φH y φC se completa con una ecuaci´on recursiva 118

para las velocidades igual a la correspondiente al m´etodo del lagrangeano aumentado sin rigidizaci´on, es decir Kd · V (k+1) + C T · P (k+1) = −F

(5.69)

Combinando las ecuaciones (5.66) y (5.69) este nuevo procedimiento iterativo se puede reescribir como Kd · V (k+1) +³C T ´· P (k+1) = −F C · V (k+1) − κ1 A · J · P (k+1) = −H − κ1 A · P (k)

donde

(5.70)

J = I + κ ηH φH · φH T · A + κ ηC φC · φC T · A

(5.71)

o bien, despejando P (k+1) de la segunda y reemplazando en la primera, como µ

T

Kd + C · J

−1

·

³

´−1

1 A κ

P (k+1) = P (k) + J −1 ·

³

¶

· C · V (k+1) + C T · P (k) = −F − C T · J −1 ·

1 A κ

´−1 ³

· C · V (k+1) + H

´

³

1 A κ

´−1

·H

(5.72) donde J −1 es la inversa de J (deÞnida en (5.71)) cuya expresi´on expl´õcita es ³

J −1 = I + κ ηH φH · φH T · A + κ ηC φC · φC T · A κ ηH κ ηC = I − 1+κ φH · φH T · A − 1+κ φC · φC T · A ηH ηC

´−1

=

(5.73)

(es decir, no es necesario invertirla num´ericamente porque su expresi´on expl´õcita es conocida y se puede calcular directamente).

El algor´õtmo del lagrangeano aumentado con “preÞltrado” o “rigidizaci´on” permite entonces obtener la soluci´on para las velocidades V y la de las presiones P ∗ libre de modos de presi´on independientemente de cu´ales sean las condiciones de borde cinem´aticas (g1 , g2 ), es decir, de cu´al sea el vector H y sin que existan problemas de mal condicionamiento de la matriz del sistema, ya que la soluci´on P (k) converge a P ∗ cualquieraµsea el coeÞciente κ por lo que ¶ se puede utilizar un κ “chico”. La nueva matriz

Kd + C T · J −1 ·

³

1 A κ

´−1

·C

tampoco queda mal

κ ηH κ ηC condicionada cuando ηH y ηC son muy grandes porque los factores 1+κ y 1+κ ηH ηC que aparecen en la expresi´on que deÞne a J −1 (igualdad (5.73)) son de orden de magnitud 1 cuando ηH y ηC son “grandes”.

Ejemplo num´ erico Uno de los problemas m´as utilizados para evaluar y comparar distintos m´etodos num´ericos de resoluci´on de ßujos incompresibles (adem´as del de la cavidad conducida) es el del ßujo a lo largo de un canal que presenta un ensanchamiento 119

brusco de la secci´on transversal (ver Þgura (5.21)) (en la referencia [26] este ejemplo es utilizado conjuntamente con el de la cavidad conducida para ejempliÞcar el problema de la existencia de modos esp´ ureos de presi´on). En la Þgura (5.23) se muestran los resultados obtenidos al resolver este problema con dos condiciones de borde distintas (las dos condiciones utilizadas tambi´en se muestran en la Þgura (5.23)). Se utiliz´o una malla de elementos rectangulares para discretizar el canal (malla que presenta un modo esp´ ureo tipo checkerboard) y se resolvi´o este problema primero mediante el m´etodo del lagrangeano aumentado (sin rigidizaci´on) y despu´es incorporando el “preÞltrado” o “rigidizaci´on” de los modos de presi´on. Se puede demostrar que para las condiciones de borde tipo (a) se obtiene un vector H perpendicular al modo chekerboard pero que para las condiciones de borde tipo (b) se obtiene ³ ´ H T · QC = h −1 + (−1)(M −1) donde M es el n´ umero de elementos que se ubican a la entrada del canal (ver Þgura (5.23)) y h la longitud del lado vertical de cada elemento, por lo que, si M es par, se obtendr´a H T · QC 6= 0. Ambos m´etodos proporcionaron soluciones id´enticas cuando H · QC = 0 (es decir, con condiciones de borde tipo (a)) mientras que cuando H · QC 6= 0 (condiciones de borde tipo (b)) se obtiene una soluci´on para las presiones contaminada de modos de presi´on cuando no se hace el preÞltrado de modos, pero pr´acticamente libre de modos cuando s´õ se hace el preÞltrado o rigidizaci´on de los modos. Es decir, la t´ecnica del lagrangeano aumentado con rigidizaci´on permite obtener soluciones aceptables a´ un en el segundo caso, en el que el m´etodo del lagrangeano aumentado sin preÞltrado fracasa (por no ser H perpendicular a QC ) (y en el que tambi´en fracasan las t´ecnicas de multiplicadores de Lagrange y de penalizaci´on) y sin problemas de mal condicionamiento de la matriz (como ocurre con el m´etodo de penalizaci´on con κ “grande”).

5.6. Conclusiones acerca del comportamiento de las t´ ecnicas num´ ericas utilizadas para imponer la condici´ on de incompresibilidad utilizando el elemento mixto Q1-P0 En este cap´õtulo se han presentado distintas alternativas para superar los problemas derivados de la condici´on de incompresibilidad que se presentan en el modelado num´erico del ßujo pl´astico de metales utilizando elementos Þnitos mixtos del tipo Q1-P0 (cuadril´ateros con interpolaci´on bilineal de velocidades (orden1) y constante para las presiones (orden 0)). Las t´ecnicas utilizadas para la imposici´on de la incompresibilidad han sido: • Multiplicadores de Lagrange 120

• Multiplicadores de Lagrange con rigidizaci´on de los modos de presi´on • Penalizaci´on • Lagrangeano aumentado • Lagrangeano aumentado con rigidizaci´on de los modos de presi´on Las principales conclusiones que se pueden deducir acerca del comportamiento de las t´ecnicas num´ericas implementadas son las siguientes: 1. T´ecnica de los multiplicadores de Lagrange • Soluci´on para las velocidades: — Existe y es u ´ nica s´olo cuando H · QH = 0 y H · QC = 0.

— No es posible encontrarla si H · QH 6= 0 o H · QC 6= 0.

• Soluci´on para las presiones: — Existe solo cuando H · QH = 0 y H · QC = 0. Sin embargo, dicha soluci´on no puede hallarse debido a que la matriz del sistema de ecuaciones resulta no inversible.

— Cuando H · QH 6= 0 o H · QC 6= 0 la soluci´on para las presiones no existe.

2. T´ecnica de los multiplicadores de Lagrange con rigidizaci´on de los modos de presi´on (Þguras 5.15 y 5.16) • Soluci´on para las velocidades — Existe y puede ser hallada independientemente del valor de H. Sin embargo esta soluci´on resulta poco satisfactoria en ciertos problemas debido a la pobreza de la interpolaci´on utilizada (es decir, debido a las limitaciones inherentes al elemento Q1-P0).

— Este m´etodo no puede ser formulado en t´erminos exclusivos de las velocidades. Para hallar la soluci´on de las velocidades es necesario encontrar primero la soluci´on para las presiones.

• Soluci´on para las presiones — Cuando H · QH = 0 y H · QC = 0 se obtiene una soluci´on libre de modos de presi´on.

— Cuando H · QH 6= 0 o H · QC 6= 0 se obtiene una soluci´on con participaciones bajas de los modos de presi´on.

121

3. T´ecnica de penalizaci´on (Þguras 5.17 y 5.18): • Soluci´on para las velocidades — Cuando κ → ∞ tiende a la soluci´on para las velocidades que provee el m´etodo de multiplicadores de Lagrange con rigidizaci´on de los modos de presi´on.

— Puede ser obtenida sin encontrar antes las soluci´on para las presiones. Estas u ´ltimas se pueden hallar a partir de las velocidades con poco esfuerzo de c´alculo.

— Cuando el coeÞciente de penalizaci´on κ es muy grande, la matriz del sistema resulta muy mal condicionada. Esto hace que, en problemas de muchos grados de libertad, la exactitud de la soluci´on num´erica obtenida sea limitada.

• Soluci´on para las presiones — Cuando H · QH = 0 y H · QC = 0, la soluci´on para las presiones no incorpora a los modos de presi´on y tiende cuando κ → ∞ a la soluci´on que se obtiene con la t´ecnica de los multiplicadores de Lagrange depurada de los modos de presi´on QH y QC .

— Cuando H · QH 6= 0 y H · QC 6= 0 se obtiene una soluci´on con participaciones muy altas de los modos de presi´on cuando κ → ∞ (los factores de peso de los modos de presi´on QH y QC en la soluci´on resultan proporcionales a κ).

4. T´ecnica del Lagrangeano aumentado (Þguras 5.19 y 5.20) • Soluci´on para las velocidades — Cuando el n´ umero de interaciones k tiende a inÞnito, la soluci´on para las velocidades que provee esta t´ecnica tiende a coincidir con la correspondiente al m´etodo de penalizaci´on con κ → ∞.

— Debido a que se trata de un m´etodo iterativo, el esfuerzo de c´alculo es mayor que el correspondiente a la t´ecnica de penalizaci´on.

— Sin embargo, una importante ventaja de esta t´ecnica respecto al m´etodo de penalizaci´on y que justiÞca el mayor costo de c´alculo, es que la matriz del sistema de ecuaciones no resulta mal condicionada y la soluci´on para las velocidades que se obtiene resulta entonces de una exactitud mucho mayor.

• Soluci´on para las presiones 122

— Se obtienen soluciones libres de modos de presi´on cuando el n´ umero de interaciones k tiende a inÞnito y cuando H·QH = 0 y H·QC = 0.

— Cuando H · QH 6= 0 y H · QC 6= 0 se obtiene, cuando el n´ umero de interaciones tiende a inÞnito, soluciones para las presiones totalmente contaminadas con modos de presi´on (los factores de peso de los modos de presi´on QH y QC en la soluci´on resulta proporcional al n´ umero de interaciones k).

5. T´ecnica del Lagraneano aumentado con rigidizaci´on de los modos de presi´on (Þguras 5.22 y 5.23) • Soluci´on para las velocidades — El compotamiento de la soluci´on para las velocidades cuando el n´ umero de interaciones k tiende a inÞnito es id´entico al correspondiente a la t´ecnica del lagrangeano aumentado sin rigidizaci´on.

• Soluci´on para las presiones — Cuando H · QH = 0 y H · QC = 0 se obtiene la misma soluci´on que en el caso del m´etodo del lagrangeano aumentado sin rigidizaci´on, es decir, una soluci´on libre de modos de presi´on.

— Cuando H · QH 6= 0 y H · QC 6= 0 se obitiene una soluci´on con un aporte m´õnimo de los modos de presi´on y sin introducir mal condicionamiento en las matrices resultantes.

Es importante destacar que la t´ecnica del Lagrangeano aumentado suplementada con la rigidizaci´on de los modos de presi´on parece ser la t´ecnica ´optima (dentro de las limitaciones inherentes a la interpolaci´on utilizada (elemento Q1-P0)): porporciona soluciones tanto para las velocidades como para las presiones independientemente del valor de H y sin problemas de mal condicionamiento de la matriz del sistema. Sin embargo, cuando se utilizan mallas que tienen geometr´õas m´as generales que las utilizadas en los ejemplos presentados en este cap´õtulo (es decir, mallas con elementos distorsionados (ni cuadrados ni rectangulares)) y para las que no es posible conocer a priori la expresi´on formal del modo de presi´on esp´ ureo QC , esta T t´ecnica requiere un c´alculo de los autovectores de la matriz C · Kd−1 · C (por lo menos de los autovectores asociados a los autovalores nulos) que encarece exageradamente el costo de la soluci´on num´erica del problema.

123

Condiciones de borde utilizadas: Tipo (a) (Velocidades impuestas en los nodos 1 a M inclusive) x2 (g1,g2)=(cte,0)

Tipo (b) (Velocidades impuestas en los nodos 2 a M-1; nodos 1 y M fijos) x2 (g1,g2)=(cte,0)

M

1

M

1

Ω

Ω (g1,g2)=(0,0)

(g1,g2)=(0,0) h

h

x1 h

(g1,g2)=(0,0)

(g1,g2)=(0,0)

x1 h

(g1,g2)=(0,0)

Condición de borde tipo (a) 10 x 10 elementos (Numero par)

Condición de borde tipo (b) 10 x 10 elementos (Numero par)

Condición de borde tipo (a) 9 x 9 elementos (Numero impar)

Condición de borde tipo (b) 9 x 9 elementos (Numero impar)

Parámetros numéricos utilizados en ambos casos:

Figura 5.17: Velocidades obtenidas para el problema de la cavidad conducida para distintas mallas y condiciones de borde y con el m´etodo de Penalizaci´on.

124

Condiciones de borde utilizadas: Tipo (a) (Velocidades impuestas en los nodos 1 a M inclusive) x2 (g1,g2)=(cte,0)

Tipo (b) (Velocidades impuestas en los nodos 2 a M-1; nodos 1 y M fijos) x2 (g1,g2)=(cte,0)

M

1

M

1

Ω

Ω (g1,g2)=(0,0)

(g1,g2)=(0,0) h

(g 1,g2)=(0,0)

h

x1

x1

(g1,g2)=(0,0)

h

(g 1,g2)=(0,0)

h

Condición de borde tipo (a) 10 x 10 elementos (Numero par)

Condición de borde tipo (b) 10 x 10 elementos (Numero par)

p

p 2000

0.2

1000 0

0 -1000

-0.2 10

2

2

8

4

10 -2000 8

4 6

6 6

6 4

4 8

8

2

2

10

10

x1

x1

Condición de borde tipo (a) 9 x 9 elementos (Numero impar)

Condición de borde tipo (b) 9 x 9 elementos (Numero impar)

p

p

0.2

0.5

0.1 0

0

-0.1 -0.2 2 4

6 6

4

8

8 4

6 6

-0.5 2

8

4 8

2

x1

2

x1

Parámetros numéricos utilizados en ambos casos:

Figura 5.18: Presiones obtenidas para el problema de la cavidad conducida para distintas mallas y condiciones de borde y con el m´etodo de Penalizaci´on

125

Condiciones de borde utilizadas: Tipo (a) (Velocidades impuestas en los nodos 1 a M inclusive) x2 (g1,g2)=(cte,0)

Tipo (b) (Velocidades impuestas en los nodos 2 a M-1; nodos 1 y M fijos) x2 (g1,g2)=(cte,0)

M

1

M

1

Ω

Ω (g1,g2)=(0,0)

(g1,g2)=(0,0) h

h

x1 h

(g1,g2)=(0,0)

(g1,g2)=(0,0)

x1 h

(g1,g2)=(0,0)

Condición de borde tipo (a) 10 x 10 elementos (Numero par)

Condición de borde tipo (b) 10 x 10 elementos (Numero par)

Condición de borde tipo (a) 9 x 9 elementos (Numero impar)

Condición de borde tipo (b) 9 x 9 elementos (Numero impar)

Parámetros numéricos utilizados en ambos casos: Numéro de iteraciones: k = 30

Figura 5.19: Velocidades obtenidas para el problema de la cavidad conducida para distintas mallas y condiciones de borde y con el m´etodo del lagrangeano aumentado 126

Condiciones de borde utilizadas: Tipo (a) (Velocidades impuestas en los nodos 1 a M inclusive) x2 (g 1,g2)=(cte,0)

Tipo (b) (Velocidades impuestas en los nodos 2 a M-1; nodos 1 y M fijos) x2 (g1,g2)=(cte,0)

M

1

M

1

Ω

Ω (g1,g2)=(0,0)

(g1,g2)=(0,0) h

(g1,g2)=(0,0)

h

x1

x1

(g1,g 2)=(0,0)

h

(g1,g2)=(0,0)

h

Condición de borde tipo (a) 10 x 10 elementos (Numero par)

Condición de borde tipo (b) 10 x 10 elementos (Numero par)

p

p

4

0.2

2 0

0

-0.2 10

2 8

4

-2 -4 10

2 8

4

6

6 6

6 4

4

8

8 2

2

10

10

x1

x1

Condición de borde tipo (a) 9 x 9 elementos (Numero impar)

Condición de borde tipo (b) 9 x 9 elementos (Numero impar)

p

p

0.2

0.5

0.1 0

0

-0.1 -0.2 2

8 4

6 6

4

8

8 4

6 6

-0.5 2

4 8

2

x1

2

x1

Parámetros numéricos utilizados en ambos casos: Numero de iteraciones: k = 30

Figura 5.20: Presiones obtenidas para el problema de la cavidad conducida para distintas mallas y condiciones de borde y con el m´etodo del lagrangeano aumentado

127

Figura 5.21: Problema del canal con un ensanchamiento brusco: condiciones de borde utilizadas

128

Malla y

Velocidades (con condiciones de borde tipo (a))

Velocidades (con condiciones de borde tipo (b))

Presiones (con condiciones de borde tipo (a))

Presiones (con condiciones de borde tipo (b)) 6

6

4

4

2

p

2

x2

0 0

p

x2

0 2 0

-0.5

-2

-1 -1.5 -2

-4 -6

x1

x1

10

10 7.5

7.5 5

5 2.5

2.5 0

0

Parámetros numéricos utilizados en ambos casos:

No de iteraciones: k=60

Figura 5.22: Problema del canal con un ensanchamiento brusco: velocidades y presiones obtenidas con el m´etodo del lagrangeano aumentado sin rigidizaci´on de los modos de presi´on.

129

Velocidades (con condiciones de borde tipo (a))

Velocidades (con condiciones de borde tipo (b))

Presiones (con condiciones de borde tipo (a))

Presiones (con condiciones de borde tipo (b)) 6

6

4

4

p

2

x2

p

2

0 x2

0

0

0

-0.5

-1

-1

-2

-1.5 -2

-3

x1

x1

10

10 7.5

7.5 5

5 2.5

2.5 0

0

Parámetros numéricos utilizados en ambos casos:

Cantidad de iteraciones utilizadas: k=30

Figura 5.23: Problema del canal con un ensanchamiento brusco: velocidades y presiones obtenidas con el m´etodo del lagrangeano aumentado con rigidizaci´on de los modos de presi´on.

130

´lisis de la localizacio ´ n de la 6. Ana ´ n pla ´ stica deformacio Como se dijo en la introducci´on, la deformaci´on pl´astica de un metal d´ uctil inicialmente se produce de forma que las velocidades var´õan suavemente dentro del metal y el estado de deformaci´on (o m´as precisamente, el estado de velocidades de deformaci´on εúij ) es continuo. Sin embargo, cuando las tensiones alcanzan un determinado valor cr´õtico, este patr´on de deformaci´on continuo cambia repent´õnamente a un modo de deformaci´on localizado donde toda la deformaci´on se concentra en una banda angosta fuera de la cual el material permanece pr´acticamente sin deformarse. Las velocidades de deformaci´on εúij (o lo que es lo mismo, el gradiente de velocidad) pasan a ser entonces discontinuas a trav´es de la superÞcie que separa a la banda del material adyacente. Como dentro de la banda predominan deformaciones cortantes tangenciales a la interface que separa a la banda del resto del material, cuando se produce este cambio abrupto del patr´on de deformaci´on, se dice que la deformaci´on pl´astica se ha localizado en una banda de corte (shear band). Este modo de deformaci´on localizado cambia totalmente el comportamiento mec´anico macrosc´opico del metal, y si persiste, puede ser precursor de fractura.

En este cap´õtulo se estudia la localizaci´on de la deformaci´on pl´astica en bandas de corte cuando las deformaciones son planas. Se analiza para este caso, bajo que condiciones es posible obtener como soluci´on de las ecuaciones diferenciales que gobiernan el ßujo del metal (ecuaciones que fueron introducidas en el cuarto cap´õtulo), los dos modos de deformaci´on que se preveen experimentalmente, es decir, el modo de deformaci´on suave y el modo de deformaci´on discontinuo y si es posible representar ambos modos de deformaci´on con las herramientas num´ericas estudiadas en el cap´õtulo anterior.

6.1. Formulaci´ on de ßujo para un estado plano de deformaci´ on Para simpliÞcar el estudio de la localizaci´on se considerar´a exclusivamente el caso de deformaciones planas. Como se dijo en el cap´õtulo anterior, se deÞne como 131

deformaci´on plana a aquella para la cual una de las componentes de la velocidad (por ejemplo v3 ) es nula mientras que las otras dos componentes (v1 y v2 ) y la presi´on p no dependen de la direcci´on x3 (que es la direcci´on sobre la cual el vector velocidad tiene proyecci´on nula). Es decir:    v1 = v1 (x1 , x2 )

v2 = v2(x1 , x2 ) v3 = 0 p = p(x1, x2 )  

El modelo de material elegido para analizar la localizaci´on es el modelo r´õgidoviscopl´astico de Perzyna asociado a la ley de ßuencia de Von Mises (ecuaci´on (4.7)) que est´a caracterizado por una ley constitutiva an´aloga a la correspondiente a un ßuido viscoso no newtoniano (ecuaci´on (4.7)). En el cuarto cap´õtulo se formularon las ecuaciones que rigen la deformaci´on de un metal caracterizado por esta relaci´on constitutiva (ecuaciones (4.5), (4.6), (4.7), (4.8) y (4.9)) para el caso de deformaciones tridimiensionales. Si se supone que las deformaciones son planas, entonces dichas ecuaciones adquirir´an la siguiente forma: • Condici´on de incompresibilidad: ∂v1 ∂v2 + =0 ∂x1 ∂x2

(6.1)

• Relaciones cinem´aticas: ∂v1 ∂x1 ∂v2 = ∂x2 Ã !

1 ∂v1 ∂v2 = + 2 ∂x2 ∂x1 = εú23 = εú33 = 0

εú11 = εú22 εú12 εú13

(6.2)

• Relaci´on constitutiva: s11 s22 s12 s13

= = = =

2µ εú11 2µ εú22 2µ εú22 s23 = s33 = 0

132

(6.3)

d´onde la viscosidad 2µ est´a dada por ³√ ´1

d2 σY (ε) (1 + η∗ √ 2µ = √ d2 3

δ

)

siendo σY (ε) la curva tensi´on deformaci´on del ensayo de tracci´on est´atico, η ∗ y δ par´ametros que diÞnen al material y d2 el segundo invariante principal del tensor velocidad de deformaci´on εúij que en este caso esta dado por: d2 =

´ 1³ 2 εú11 + εú222 + 2 εú212 2

• Ecuaci´ones del movimiento para un r´egimen estacionario: ∂s11 ∂s12 ∂p + + =0 ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂s21 ∂s22 ∂p + + =0 ∂x1 ∂x2 ∂x2

(6.4)

• Relaci´on entre deformaci´on equivalente ε y la velocidad de deformaci´on εúij (cuando el movimiento es estacionario): ∂ε ∂ε 2 q v1 + v2 = √ d2 ∂x1 ∂x2 3

(6.5)

Las dos ecuaciones (6.4) con las tensiones dadas por las (6.3) y las velocidades de deformaci´on dadas por las (6.2) junto con la condici´on de incompresibilidad (6.1) y la relaci´on deformaci´on equivalante-velocidad de deformaci´on equivalente (6.5) constituyen un sistema de cuatro ecuaciones diferenciales para las cuatro inc´ognitas v1 ,v2 , p y ε y son las ecuaciones que describen la deformaci´on pl´astica de un metal (caracterizado por la ley constitutiva r´õgido/viscopl´astica de Perzyna asociada a la ley de ßuencia de Von Mises) cuando las deformaciones son planas.

Al igual que en el caso tridimensional, si se supone que σY (ε) = cte, es decir, que el material no experimenta endurecimiento por deformaci´on, entonces la viscosidad 2µ resulta independiente de la deformaci´on equivalente ε y la cuarta ecuaci´on (la ecuaci´on (6.5)) queda desacoplada de las tres anteriores que constituir´an entonces un sistema de tres ecuaciones para las tres inc´ognitas v1 ,v2 , p.

6.2. Existencia de soluciones discontinuas Como se dijo antes, la localizaci´on de la deformaci´on pl´astica es un cambio repentino de un patr´on de deformaci´on suave (donde la velocidad de deformaci´on 133

es continua) a un patr´on caracterizado por la presencia de una discontinuidad en la velocidad de deformaci´on (y por lo tanto en el gradiente de velocidades) a trav´es de ciertas curvas. Se estudia entonces si es posible obtener una soluci´on discontinua de las ecuaciones formuladas en la secci´on anterior. Se entiende por soluci´on discontinua del sistema de ecuaciones (6.1), (6.2), (6.3), (6.4) y (6.5) a trav´es de una curva Γ a aquella que cumple las siguientes dos condiciones (ver referencia [8]): 1. A ambos lados de la curva Γ se satisfacen todas las ecuaciones diferenciales.

2. Al menos una de las derivadas trav´es de Γ.

∂vi ∂xj

es discontinua (es decir, pega un salto) a

Para ver si es posible la existencia de soluciones discontinuas de las ecuaciones diferenciales de la deformaci´on plana, se hace lo siguiente: sustituyendo la relaci´on constitutiva (6.3) en la ecuaci´on del movimiento (6.4) para eliminar las tensiones sij de dichas ecuaciones se obtiene: ∂ (2µ εú11 ) + ∂x1 ∂ (2µ εú12 ) + ∂x1

∂ (2µ εú12 ) + ∂x2 ∂ (2µ εú22 ) + ∂x2

∂p = 0 ∂x1 ∂p = 0 ∂x2

o bien, ∂ εú11 ∂(2µ) + εú11 + 2µ ∂x1 ∂x1 ∂ εú12 ∂(2µ) 2µ + εú12 + 2µ ∂x1 ∂x1 2µ

∂ εú12 ∂(2µ) ∂p + εú12 + = 0 ∂x2 ∂x2 ∂x1 ∂ εú22 ∂(2µ) ∂p + εú22 + = 0 ∂x2 ∂x2 ∂x2

(6.6)

Si se supone que el material no experimenta endurecimiento por deformaci´on, es decir, que σY (ε) = cte, entonces la viscosidad 2µ estar´a dada por σY 2µ = √ 3 y la derivada

∂(2µ) ∂xk

µ

1+

³√ ´1 ¶

√

d2 η∗

δ

d2

ser´a

∂(2µ) ∂(2µ) ∂d2 σY = =√ ∂xk ∂d2 ∂xk 3

³

1 δ

−1

´ ³√ ´1

√

d2 η∗

d2

δ

−1

1 ∂d2 = 2 d2 ∂xk

µ   ³√ ´1 ¶ d2 δ µ ¶ 1 + ∗ η  1 σY 1 σY 1  1 ∂d2 √ =  − √ √   δ −1 √ δ 3 d2  2 d2 ∂xk d2 3

134

o bien, llamando 2µ∞ al t´ermino σ√Y3 √1d2 (que es la viscosidad que corresponde a η ∗ → ∞) y recordando que d2 = 12 (εú211 + εú222 + 2 εú212 ), por lo que ∂d2 = εú11 ∂∂xεú11k + εú22 ∂∂xεú22k + 2 εú12 ∂∂xεú12k , ∂xk ∂(2µ) =− ∂xk

·µ

1 1− δ

¶

1 2µ + 2µ∞ δ

¸

1 2 d2

Ã

εú11

∂ εú11 ∂ εú22 ∂ εú12 + εú22 + 2 εú12 ∂xk ∂xk ∂xk

!

Para simpliÞcar el an´alisis se considera el caso de un material para el cual η → ∞, es decir, un material cuya tensi´on de ßuencia no depende de la velocidad de deformaci´on. En este caso, la viscosidad 2µ esta dada por ∗

σY 1 2µ = 2µ∞ = √ √ 3 d2 y la derivada ∂(2µ) se reduce a: ∂xk ∂(2µ) 1 = −2µ∞ ∂xk 2 d2

Ã

εú11

∂ εú11 ∂ εú22 ∂ εú12 + εú22 + 2 εú12 ∂xk ∂xk ∂xk

Sustituyendo la expresi´on anterior de la derivada agrupando t´erminos se obtiene:

∂(2µ) ∂xk

!

en las ecuaciones (6.6) y

Ã

!

Ã

!

∂ εú11 ∂ εú12 εú11 ∂ εú11 ∂ εú22 ∂ εú12 + − εú11 + εú22 + 2 εú12 − ∂x1 ∂x2 Ã 2 d2 ∂x1 ∂x1 ! ∂x1 εú12 ∂ εú11 ∂ εú22 ∂ εú12 1 ∂p − εú11 + εú22 + 2 εú12 + =0 2 d2 ∂x2 ∂x2 ∂x2 2µ∞ ∂x1 ∂ εú12 ∂ εú22 εú12 ∂ εú11 ∂ εú22 ∂ εú12 + − εú11 + εú22 + 2 εú12 − ∂x1 ∂x2 Ã 2 d2 ∂x1 ∂x1 ! ∂x1 ∂ εú11 ∂ εú22 ∂ εú12 1 ∂p εú22 − εú11 + εú22 + 2 εú12 + =0 2 d2 ∂x2 ∂x2 ∂x2 2µ∞ ∂x2 y utilizando las relaciones cinem´aticas (6.2) para expresar a estas ecuaciones en t´erminos de las derivadas de las componentes de la velocidad se llega a Ã

!

Ã

!

εú2 ∂ 2 v1 2 εú11 εú12 ∂ 2v1 εú212 ∂ 2v1 1 − 11 − + 1 − − d2 ∂x21 d2 ∂x1 ∂x2 d2 ∂x22 (6.7) εú11 εú12 ∂ 2 v2 εú11 εú22 + εú212 ∂ 2v2 εú12 εú22 ∂ 2 v2 2 ∂p − − − + =0 d2 ∂x21 d2 ∂x1 ∂x2 d2 ∂x22 2µ∞ ∂x1 εú12 εú11 ∂ 2 v1 εú212 + εú11 εú22 ∂ 2v1 εú22 εú12 ∂ 2 v1 − − − + d2 Ã ∂x21 ! d2 ∂x1 ∂x2 d2Ã ∂x22 ! εú2 ∂ 2v2 2 εú22 εú12 ∂ 2 v2 εú222 ∂ 2 v2 2 ∂p + 1 − 12 − + 1 − + =0 2 2 d2 ∂x1 d2 ∂x1 ∂x2 d2 ∂x2 2µ∞ ∂x2 135

Estas ecuaciones (junto con la ecuaci´on de incompresibilidad (6.1)) son las ecuaciones que describen la deformaci´on de un metal caracterizado por la ley constitutiva r´õgido/viscopl´astica de Perzyna con σY (ε) = cte (es decir, material sin endurecimiento por deformaci´on) y η ∗ → ∞ (es decir, material para el cual la ßuencia no depende de las variaciones de la velocidad de deformaci´on), expresadas en t´erminos de las componentes de la velocidad (v1 , v2) y de la presi´on p (ver referencia [8]).

Si se supone ahora que en todos los puntos de cierta curva Γ son conocidas ambas componentes de la velocidad, la presi´on y la derivada de ambas componentes de la velocidad en la direcci´on normal a la curva Γ, es decir (llamando x1 y x2 a las direcciones tangencial y normal a la curva y (v1 , v2 ) a las componentes de la velocidad en dichas direcciones (ver Þgura (6.1))), si se supone que en todos ∂v1 ∂v2 los puntos de la curva Γ son conocidas v1 , v2 , p, ∂x y ∂x ,entonces tambi´en ser´an 2 2 conocidas las derivadas de todas estas magnitudes respecto a la direcci´on tangente a la curva Γ (la direcci´on x1), es decir, tambi´en ser´an conocidas ∂v1 ∂ 2 v1 ∂ 3 v1 , , ∂x3 , · · · ∂x1 ∂x21 1 ∂v2 ∂ 2 v2 ∂ 3 v2 , , , ··· 2 ∂x1 ∂x1 ∂x31 ∂p ∂2 p ∂ 3p , , , ··· ∂x1 ∂x21 ∂x31 2 2 3 ∂ v1 , ∂ v1 , ∂ v1 , ∂x1 ∂x2 ∂x21 ∂x2 ∂x31 ∂x2 2 3 ∂ 2 v2 , ∂ v2 , ∂ v2 , ∂x1 ∂x2 ∂x21 ∂x2 ∂x31 ∂x2

··· ···

Se pretende ahora establecer que condiciones se deben cumplir para que, ∂v1 ∂v2 conociendo v1 , v2 , p, ∂x y ∂x (y todas sus derivadas respecto a x1 ) sobre la 2 2 curva Γ y sabiendo que v1 , v2 y p deben cumplir las ecuaciones diferenciales (6.1) y (6.7),1 se puedan determinar v1 , v2 y p afuera de la curva Γ, (es decir, que condiciones se deben cumplir para que se pueda “propagar” la informaci´on conocida sobre la curva Γ afuera de la misma).

Para que las velocidades v1 y v2 y la presi´on p afuera de la curva Γ puedan ∂v1 ∂v2 ser determinadas hace falta conocer adem´as de v1 , v2 , p, ∂x , ∂x y todas sus 2 2 derivadas respecto a x1 , los valores de las derivadas de v1, v2 , p en la direcci´on normal a la curva (la direcci´on x2 ) es decir ∂ 2 v1 ∂ 3 v1 , ∂x3 , · · · ∂x22 2 2 ∂ v2 ∂ 3 v2 , , ··· 2 ∂x2 ∂x32 ∂p ∂ 2p ∂3 p , , , ∂x2 ∂x22 ∂x32 1

···

Las ecuaciones (6.1) y (6.7) son v´ alidas para cualquier sistema de coordenadas cartesiano ortogonal y en particular para el sistema cartesiano ortogonal dado por las direcci´ ones tangente y normal a la curva.

136

2 x2

x1 ∆x2

Γ

Q

1

P

Figura 6.1: Curva caracter´õstica dado que si P es un punto de la curva Γ, (ver Þgura (6.1)), y Q es otro punto que se encuentra a una distancia ∆x2 (en la direcci´on normal a la curva Γ, es decir, la direcci´on x2) del punto P , entonces (utilizando los desarrollos de Taylor) ∂v1 (P ) ∆x2 + ∂x2 ∂v2 v2(Q) = v2 (P ) + ∂x (P ) ∆x2 + 2 ∂p p(Q) = p(P ) + ∂x2 (P ) ∆x2 + 2!1

v1(Q) = v1 (P ) +

3 1 ∂ 2 v1 (P ) (∆x2 )2 + 3!1 ∂∂xv31 (P ) (∆x2 )3 + · · · 2! ∂x22 2 2 1 ∂ 2 v2 1 ∂ 3 v2 (P ) (∆x ) + (P ) (∆x2 )3 + · · · 2 2 2! ∂x2 3! ∂x32 3 ∂2p ∂3 p (P ) (∆x2 )2 + 3!1 ∂x 3 (P ) (∆x2 ) + · · · ∂x22 2

(6.8) Luego, para conocer los valores de v1(Q) v2(Q) y p(Q) hace falta conocer solamente el valor de las derivadas de respecto a la direcci´on normal x2 (de todos los o´rdenes).

2 2 Para conocer las derivadas segundas de la velocidad ∂∂xv21 , ∂∂xv22 y la derivada 2

primera de la presi´on

∂p ∂x2

2

en la direcci´on x2 se observa que como

2 ∂ 2 v2 , ∂ v2 ∂x21 ∂x1 ∂x2

2 ∂ 2 v1 1 , ∂x∂1 v∂x , ∂x21 2

∂p y ∂x son conocidas sobre Γ, entonces las ecuaciones (6.7) se pueden 1 reescribir (poniendo los terminos desconocidos en el miembro izquierdo y los conocidos en el miembro derecho) como2

Ã

!

εú2 ∂ 2 v1 εú12 εú22 ∂ 2 v2 1 − 12 − = t´erminos conocidos d2 Ã∂x22 ∂x22 ! d2 εú22 εú12 ∂ 2v1 εú222 ∂ 2v2 2 ∂p − + 1− + = t´erminos conocidos 2 2 d2 ∂x2 d2 ∂x2 2µ∞ ∂x2 2

(6.9)

Recordar que los t´erminos que se supusieron conocidos son todos aquellos donde aparecen ∂v1 ∂v2 , ∂x2 o cualquiera de sus derivadas respecto a x1 . v1 , v2 , p, ∂x 2

137

Derivando la condici´on de incompresibilidad (6.1) respecto a x2 se obtiene la relaci´on ∂ 2 v1 ∂ 2 v2 = − (6.10) ∂x22 ∂x1 ∂x2 donde nuevamente se escribe en el miembro izquierdo el t´ermino desconocido y en el derecho el conocido. Estas tres ecuaciones alcanzar´an para determinar los 2 2 ∂p valores de ∂∂xv21 , ∂∂xv22 y ∂x conociendo los valores del resto de las derivadas de 2 2 2 orden 2, siempre que el determinante de los coeÞcientes que acompa˜ nan a dichos terminos sea distinto de cero. Es decir,

o bien,

´ ¯ ³ ¯ 1 − εú212 − εú12d2εú22 ¯ d2 ¯ ³ ´ εú222 ¯ 1 − ¯ − εú22dεú12 d2 2 ¯ ¯ 0 1 Ã

εú2 1 − 12 d2

2 2µ∞

!

¯ 0 ¯¯

2 2µ∞

0

¯ ¯ 6= 0 ¯ ¯ ¯

6= 0

∂v1 ∂v2 Entonces, la condici´on para que, conocidos los valores de v1, v2 , p, ∂x , ∂x2 2 ∂p ∂ 2 v1 ∂ 2 v1 ∂ 2 v2 ∂ 2 v2 sobre la curva Γ (y por lo tanto los valores de ∂x2 , ∂x1 ∂x2 , ∂x2 , ∂x1 ∂x2 y ∂x1 ), se 2

1

2

1

∂p puedan determinar los valores de ∂∂xv21 , ∂∂xv22 y ∂x , es que la componente tangencial 2 2 2 a la curva Γ de la velocidad de deformaci´on εú12 veriÞque en cada punto de la curva

Ã

εú2 1 − 12 d2

!

6= 0

(6.11)

Para determinar las derivadas de la velocidad respecto a la direcci´on normal x2 de orden mayor a 2 y las de la presi´on de orden mayor a 1, se puede derivar respecto a x2 las ecuaciones (6.9) y (6.10) y aplicar el mismo razonamiento que 2 2 ∂p se utiliz´o para obtener las derivadas ∂∂xv21 , ∂∂xv22 y ∂x . Se puede demostrar (ver 2 2 2 referencias [8] y [27]) que los datos conocidos sobre la curva Γ alcanzan para determinar dichas derivadas (las de mayor orden) solo si se cumple una condici´on id´entica a la (6.11). ∂v1 ∂v2 Resumiendo entonces, si sobre cierta curva Γ se conoce v1 , v2 , p, ∂x , ∂x2 , (lo 2 que implica que tambi´en ser´an conocidas las derivadas respecto a la direcci´on tangente x1 de todas estas magnitudes), entonces se podr´a conocer tambi´en, (sabiendo que la velocidad y la presi´on deben cumplir las ecuaciones diferenciales (6.9) y (6.10)) los valores de las derivadas respecto a la direcci´on normal x2 de v1 , v2 y p siempre que sobre la curva Γ se veriÞque la condici´on (6.11). Una vez que se conocen dichas derivadas en la direcci´on normal a Γ, se podr´a generar una u ´ nica 138

soluci´on de las ecuaciones para cualquier punto ubicado en una regi´on adyacente a la curva Γ (a trav´es de las expansiones de Taylor (6.8)). Rec´õprocamente, si sobre cierta curva Γ la condici´on (6.11) no se cumple, es decir, si en todo punto de la curva se veriÞca que à ! εú212 1− =0 (6.12) d2 ∂v1 ∂v2 entonces los valores preÞjados de v1 , v2 , p, ∂x y ∂x sobre dicha curva no ser´an 2 2 suÞcientes para determinar la soluci´on de las ecuaciones en una regi´on adyacente a la curva. Las curvas a lo largo de las cuales se veriÞca la condici´on (6.12) se denominan curvas car´acter´õsticas. La informaci´on conocida sobre estas curvas no inßuye en los puntos adyacentes a las mismas.

Teniendo en cuenta este an´alisis, se deduce la siguiente conclusi´on respecto a si es posible o no la existencia de una soluci´on discontinua en alguna de las ∂vi derivadas ∂x de las ecuaciones planteadas en la secci´on anterior: una soluci´on j discontinua puede existir solo si la curva Γ a lo largo de la cual alguna de las ∂vi derivadas ∂x es discontinua, es una curva caracter´õstica. Esto es as´õ porque j ∂vi una soluci´on discontinua es una soluci´on cuyas derivadas ∂x (o al menos una j de ellas) tienen un valor dado de un “lado” de la curva, y otro valor del otro “lado” y como las curvas caracteristicas tienen la propiedad que la informaci´on dada sobre ellas no inßuye en los puntos adyacentes a la misma, entonces una soluci´on de este tipo solo es posible si la curva a lo largo de la cual el gradiente de velocidad es discontinuo es una curva caracter´õstica. Si la curva no fuera una curva caracter´õstica, entonces existe una u ´ nica soluci´on en la regi´on adyacente a ∂vi la curva, y ninguna de las derivadas ∂xj puede pegar un salto a trav´es de misma (ver referencia [8]).

Para un material r´õgido/viscopl´astico que no tiene endurecimiento por deformaci´on (es decir σY (ε) = cte) y para el cual la ßuencia no depende de las variaciones de la velocidad de deformaci´on, (es decir η ∗ → ∞), la condici´on para que cierta curva Γ sea una curva caracter´õsticas (y por lo tanto la curva a trav´es de la cual puede existir una soluci´on discontinua) est´a dada por la igualdad (6.12), es decir à ! εú212 1− =0 d2

³

´

∂v1 ∂v2 donde εú12 = 12 ∂x + ∂x y x1 y x2 son las direcciones tangente y normal a la 2 1 curva Γ (ver Þgura (6.1)). Llamando 1 y 2 a las direcciones principales, εú1 y εú2 a las componentes principales del tensor velocidad de deformaci´on, y (n1 , n2) a las componentes del vector normal n a la curva caracter´õstica Γ en las direcciones

139

principales, entonces la componente εú12 estar´a dada por: εú12 =

³

−n2 n1

´

"

εú1 0 0 εú2

#Ã

n1 n2

!

= (εú2 − εú1 ) n1 n2

y el invariante d2 ser´a

1 d2 = (εú21 + εú22) 2 La condici´on para que la curva Γ sea una curva caracter´õstica es entonces 1−

(εú2 − εú1 )2 n21 n22 =0 d2

que, observando que por la condici´on de incompresibilidad, εú1 + εú2 = 0 por lo que se veriÞca la siguiente identidad (εú2 − εú1 )2 = εú21 − 2 εú1 εú2 + εú22 = 2 (εú21 + εú22 ) − (εú1 + εú2 )2 = 4 d2 se reduce a: 1 − 4 n21 n22 = 0

Teniendo en cuenta que adem´as n21 + n22 = 1 se deduce entonces que la condici´on anterior se satisface para aquella curva Γ cuya normal tiene las direcciones Ã

1 1 √ ,√ 2 2

!

o

Ã

1 1 −√ , √ 2 2

!

referidas a las direcciones principales 1 y 2.

Por lo tanto, para un material caracterizado por la ley constitutiva viscopl´astica (6.3) con σY (ε) = cte (es decir, sin endurecimiento por deformaci´on) y para el cual la ßuencia no depende de las variaciones de la velocidad de deformaci´on, (es decir η ∗ → ∞), existen dos familias de curvas car´acter´õsticas. Dichas curvas forman en cada punto un angulo de ±45◦ con las direcciones principales de las velocidades de deformaci´on εúij (y con las de la tensi´on σij ). Para este tipo de material, puede existir entonces un patr´on de deformaci´on localizado a lo largo de curvas orientadas a ±45◦ de las direcciones principales de εúij y σij .

Para un material para el cual σY (ε) = cte pero η ∗ es Þnito, es decir, un material cuya ßuencia s´õ depende de la velocidad de deformaci´on y cuya viscosidad est´a dada entonces por µ ¶ 1+

³√ ´1 d2

δ

η∗ σY √ 2µ = √ d2 3 se puede demostrar, (haciendo un razonamiento id´entico al hecho hasta ahora para σY √1 los materiales para los cuales η ∗ → ∞ y 2µ = 2µ∞ = √ ) que la condici´on d2 3

140

para que cierta curva Γ cuya normal respecto a las direcciones principales es (n1, n2 ), sea una curva caracter´õstica es 4 n21 n22 ´ 1 − h³ 1 − 1δ + 1δ

2µ∞ 2µ

i =0

o bien, (recordando que n21 + n22 = 1), n21 n22

= =

1± 1∓

q q

2µ∞ 2µ

1 δ

2µ∞ 2µ

1 δ

2

q q

1−

2

1−

6.3. Ejemplo: Localizaci´ on de la deformaci´ on pl´ astica en una probeta compacta sometida a una tracci´ on pura Para completar el an´alisis hecho en la secci´on anterior, se considera como ejemplo el caso de la deformaci´on de una probeta plana compacta sometida a una tracci´on pura como la que se muestra en la Þgura (6.2). Se supone que la deformaci´on es plana, es decir, que v3 = 0, y que la m´aquina de ensayo impone una velocidad v0 peque˜ na sobre el borde superior e inferior de la probeta, es decir, se supone que el ensayo se realiza controlando la velocidad de las mordazas de la m´aquina de ensayo. Experimentalmente se observa que inicialmente el patr´on de deformaci´on es homog´eneo, pero que, alcanzado cierto nivel de carga, la deformaci´on pl´astica se localiza en una banda de corte que se orienta a 45◦ respecto a la direcci´on en la que se tracciona a la probeta (ver Þgura (6.2)) (ver referencia [19]). Como se explic´o en la secci´on anterior si se supone que el material esta caracterizado por la ley constitutiva r´õgido/viscoplastica (6.3) con σY (ε) = cte y η∗ → ∞, entonces es posible obtener como soluci´on del sistema de ecuaciones que describe el ßujo pl´astico del metal (las ecuaciones (6.1), (6.2), (6.3) y (6.4)) los dos modos de deformaci´on que se preveen experimentalmente, es decir, el modo de deformaci´on homogenea y el modo de deformaci´on localizado. Como las direcciones principales son respectivamente la direcci´on en la que se tracciona a la probeta y la direcci´on perpedicular a ´esta u ´ltima, entonces, teniendo en cuenta los resultados de la secci´on anterior, se prevee una soluci´on localizada a lo largo de una banda orientada a 45◦ respecto a la direcci´on en la que se tracciona a la probeta. Se demotrar´a a continuaci´on que dicha soluci´on (al igual que la soluci´on homogenea) puede ser determinada anal´õticamente y reproducida con las herramientas num´ericas estudiadas en el cap´õtulo anterior.

141

x2 y2

y1

x1

Figura 6.2: Ensayo de tracci´on de una probeta en estado plano de velocidad de deformaci´on.

6.3.1. Soluci´ on anal´õtica a) Patr´ on de deformaci´ on homog´ eneo (Velocidad de deformaci´ on continua) En una tracci´on pura como la que se produce en el ensayo de tracci´on, la deformaci´on homog´enea esta dada por un alargamiento uniforme en la direcci´on en la que se tracciona a la probeta (la direcci´on principal x2 ) y un acortamiento uniforme (para que se conserve el vol´ umen) en la direcci´on perpendicular, (la direcci´on principal x1). Se propone entonces como soluci´on para las velocidades a: v1 = −a x1 v 2 = a x2 donde a es una constante y (v1, v2 ) son las componentes del vector velocidad en las direcciones principales x1 y x2. Las velocidades de deformaci´on ser´an entonces εú11 =

∂v1 = −a = εú1 ∂x1 142

∂v2 = a = εú2 ∂x2 Ã !

1 ∂v1 ∂v2 = + =0 2 ∂x2 ∂x1

εú22 = εú12

(es decir, el campo de velocidades de deformaci´on es uniforme), y las tensiones desviadoras que se establecer´an como consecuencia de estas velocidades de deformaci´on ser´an, teniendo en cuenta la relaci´on constitutiva (6.3) con σY (ε) = cte y η ∗ → ∞: s11 = s22 = s12 =

√ 3 √ 3 √ 3

q q q

σY 1 2

(

εú 211 +εú222 +2

εú 212

)

σY 1 2

(

εú 211 +εú222 +2

1 2

(

εú 211 +εú222 +2

εú 212

)

σY εú 212 )

εú11 =

Y √ σ√ 3 a2

εú22 =

Y √ σ√ 3 a2

(−a) = − σ√Y3 = s1 a=

σ √Y 3

= s2

εú11 = 0

Para ver que el campo de velocidades propuesto es efectivamente una de las soluciones de las ecuaciones se observa en primer lugar que, independientemente del valor de la constante a, el campo de velocidades propuesto satisface la condici´on de incompresibilidad: ∂v2 ∂v1 + = εú11 + εú22 = −a + a = 0 ∂x1 ∂x2 En segundo lugar se observa que las tensiones que se derivan del campo de velocidadees propuesto veriÞcar´an la ecuaci´on del movimiento si: ∂s11 ∂s12 ∂p + + = 0+0+ ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂s12 ∂s22 ∂p + + = 0+0+ ∂x1 ∂x2 ∂x2

∂p =0 ∂x1 ∂p =0 ∂x2

∂p ∂p es decir, si ∂x = ∂x = 0. Esto implica que la presi´on p debe ser tambi´en uniforme 1 2 dentro de la probeta para que el campo de velocidades propuesto veriÞque la ecuaci´on del movimiento. Falta entonces determinar el valor de esta presi´on constante p. Este valor se determina teniendo en cuenta que, como la probeta esta sometida a una tracci´on en la direcci´on x2, la tensi´on en la direcci´on x1 debe ser nula, es decir σY σ11 = s11 + p = − √ +p =0 3

La presi´on uniforme p ser´a entonces p=

σY √ 3

143

y las tensiones que se establecen en la probeta ser´an entonces:  σ √Y    σ11 = − 3 + p = 0

σ

=

σY √

+p=

22 3    σ =s =0 12 12

√2 3

σY

o bien, siendo x1 y x2 las direcciones principales (

σ1 = 0 σ2 = √23 σY

b) Patr´ on de deformaci´ on localizado en una banda a 45◦ (Velocidad de deformaci´ on discontinua) El patr´on de deformaci´on localizado consiste en una deformaci´on pl´astica puramente tangencial localizada en una banda plana inclinada un a´ngulo de 45◦ respecto al eje x2 (ver Þgura (6.2)) y una deformaci´on nula fuera de dicha banda (es decir, el material es pl´astico adentro de la banda y r´õgido fuera de ella) (ver referencia [12]). Para formular a esta segunda soluci´on se utilizar´a un nuevo par de ejes coordenados y1 e y2 de direcciones paralela y perpendicular a la banda donde se concentra la deformaci´on pl´astica (es decir inclinados un angulo 45◦ respecto a los ejes x1 y x2 ) y se adoptar´an los supra´õndices in y out para referirse a las velocidades, tensiones y deformaciones de adentro y afuera de la banda. Se propone entonces como segunda soluci´on a (

v1in = a y2 v2in = 0

(6.13)

(   a h2  v out = 1 −a   out

v2

=0

h 2

si y2 ≥ h2 si y2 ≤ − h2

donde a es una constante, h es el espesor de la banda y (v1 , v2 ) son las componentes de la velocidad respecto a los ejes inclinados y1 e y2 (ver Þgura (6.3)).3 Las 3

Si bien el patr´ on de deformaci´on discontinuo propuesto es efectivamente una soluci´on de las ecuaciones que describen el ßujo pl´astico del metal (las ecuaciones (6.1), (6.2), (6.3) y (6.4)), tanto el espesor h como el par´ ametro a quedan indeterminados. Sin embargo, experimentalmente se observa que las bandas de corte tienen espesores Þnitos que dependen de la estructura microsc´opica del material (no tenida encuenta en el modelo). Esta es una de las principales diÞcultades que presentan la mayor´õa de los modelos macrosc´ opicos de estudio del fen´ omeno de localizaci´ on y los m´etodos num´ericos de simulaci´ on de este fen´omeno basados en dichos modelos macrosc´ opicos. Estos m´etodos predicen espesores de banda que dependen fuertemente del tama˜ no de los elementos utilizados (ya que las interpolaci´ ones usadas son

144

Figura 6.3: Detalle del modo de deformaci´on localizado velocidades de deformaci´on ser´an    εúin  11 =  

εúin =

22      εúin 12 =   εúout =    11

   

εúout 22 εúout 12

= =

∂v1in =0 ∂y1 ∂v2in =0 ∂yµ2 ¶ in ∂v ∂v2in 1 1 + ∂y1 2 ∂y2 ∂v1out = ∂y1 ∂v2out = ∂y ³2 out ∂v 1 1 2 ∂y2

=

a 2

0 0 +

∂v2out ∂y1

´

=0

y las tensiones desviadoras que se establecer´an dentro de la banda ser´an (utilizando la relaci´on constitutiva (6.3) con σY (ε) = cte y η ∗ → ∞, v´alida continuas dentro de cada elemento, y por lo tanto es imposible describir con este tipo de interpolaci´ on discontinuidades dentro de los mismos), que es la u ´nica escala de longitud que est´a puesta en juego en el modelo.

145

u ´ nicamente dentro de la banda):   sin  11 =          sin = 22

      sin  12 =    

√ √ √

3

3

3

r ³ 1 2

2 εúin 12

( )

σY 2 εúin + 11

2 εúin +2 11

( ) ( )

r ³ 1 2

2 εúin +2 11

( ) ( )

r ³ 1 2

σY 2 εúin + 11

2 εúin 12

( )

σY 2 εúin + 11

2 εúin +2 11

( ) ( )

2 εúin 12

( )

in ´ εú 11 = 0 in ´ εú 11 = 0 in ´ εú 11 =

√ 3

(6.14) σY q

a 2 2

( )

a 2

=

σ √Y 3

Entonces, si se propone como soluci´on el campo de velocidades (6.13) se a obtendr´an dentro de la banda deformaciones exclusivamente de corte εúin 12 = 2 uniformes, y fuera de ella, deformaciones nulas, por lo que la velocidad de deformaci´on resulta discontinua a trav´es de la curva que separa a la banda del material adyacente.

Para ver que la soluci´on propuesta es efectivamente una soluci´on de las ecuaciones del ßujo pl´astico plano, se observa en primer lugar que la condici´on de incompresibilidad se cumple para todo valor de la constante a: ∂v1in ∂v2in in + = εúin 11 + εú 22 = 0 + 0 = 0 ∂x1 ∂x2 out ∂v1 ∂vout out + 2 = εúout 11 + εú22 = 0 + 0 = 0 ∂x1 ∂x2 En segundo lugar se observa que sustituyendo las tensiones (6.14) en la ecuaci´on del movimiento (6.4) y teniendo en cuenta que dichas tensiones son uniformes, se obtiene ∂sin ∂pin ∂sin 11 + 12 + = 0+0+ ∂y1 ∂y2 ∂y1 ∂sin ∂sin ∂pin 12 + 22 + = 0+0+ ∂y1 ∂y2 ∂y2 in

in

∂pin =0 ∂y1 ∂pin =0 ∂y2

Estas ecuaciones se veriÞcar´an si ∂p = ∂p = 0 es decir, si la presi´on p es tambi´en ∂y1 ∂y2 uniforme dentro de la banda de corte.

Para completar la soluci´on solo falta determinar los valores de esta presi´on pin y de las tensiones afuera de la banda σijout . Para encontrar estos valores, se observa que las componentes normal y tangencial a la interface que separa a la banda del material adyacente de las tensiones σ deben ser continuas a trav´es de dicha interface. Es decir, ( out in σ12 = σ12 out in σ22 = σ22 146

Del lado de la banda, dichas componentes valen (ver expresiones (6.14)): (

σ in √Y σ12 = sin 12 = 3 in in in σ22 = sin 22 + p = p

Fuera de la banda las componentes del tensor de tensiones expresadas en el sistema de ejes y1 e y2 valen (recordando que dichas ejes forman un angulo de 45◦ = π4 con las direcciones principales (ver Þgura (6.3))): "

out out σ11 σ12 out out σ12 σ22

#

"

#T

"

# "

cos( π4 ) − sin( π4 ) σ1out 0 = · · π π out sin( 0 σ ) cos( ) 2 4 4 " # " # " √ √ 1 1 σ1out 0 1 2 2 = 2 · · 2 out −1 1 0 σ2 # −1 " out out out out σ1 + σ2 σ2 − σ1 = 12 σ2out − σ1out σ1out + σ2out

cos( π4 ) − sin( π4 ) sin(#π4 ) cos( π4 ) 1 = 1

#

=

(6.15) y son las tensiones principales (es decir, las componentes del tensor donde de tensiones en la base (x1, x2 )) afuera de la banda. Las componentes normal y tangencial a la interface son entonces σ1out

σ2out

(

out σ12 = 12 (σ2out − σ1out) out σ22 = 12 (σ1out + σ2out )

o bien, recordando que (al igual que en el caso del patr´on de deformaci´on homog´eneo) σ1out debe ser nulo porque fuera de la banda la probeta est´a sometida a una tracci´on pura en la direcci´on x2 (

out σ12 = 12 σ2out out σ22 = 12 σ2out

Igualando entonces los valores que tienen estas componentes afuera y adentro de la banda, se obtiene ( 1 σout = σ√Y3 2 2 1 out σ = pin 2 2 es decir, la presi´on dentro de la banda debe valer: σY pin = √ 3 y la tensi´on principal en la direcci´on de la tracci´on x2 debe ser: 2 σ2out = √ σY 3 147

Las tensiones dentro de la banda de corte son entonces:  in in in    σ11 = s11 + p = 0 +

σin = sin + pin = 0 +

22 22    σin = sin = 12 12

σY √ 3

σ √Y 3 σ √Y 3

= =

σ √Y 3 σ √Y 3

y fuera de la banda de corte:

(   σout =   11

σout

22    σout 12

σ1out = 0 σ2out = √23 σY 1 2 1 2 1 2

(σ1out + σ2out ) = = (σ1out + σ2out ) = = (σ2out − σ1out ) =

σY √ 3 σY √ 3 σY √ 3

c) Comparaci´ on entre las dos soluciones Se observa entonces que las ecuaciones que desciben el ßujo pl´astico de una probeta compacta sometida a una tracci´on pura admiten dos soluciones: una soluci´on continua (patr´on de deformaci´on homog´eneo) y una soluci´on discontinua (patr´on de deformaci´on localizado). En el primer caso la deformaci´on es uniforme en toda la probeta (alargamiento en la direcci´on x2 y acortamiento en la direcci´on x1 ), y en el segundo caso la deformaci´on es cortante dentro de una banda orientada 45◦ de la direcci´on en que se tracciona a la probeta, mientras que el resto de la probeta se mueve r´õgidamente (sin deformarse). En ambos casos se prevee que la m´aquina de ensayo deber´a imponer una tensi´on igual a √23 σY para hacer ßuir al material.

6.3.2. Soluci´ on num´ erica Como se vio hasta ahora, tanto experimental como anal´õticamente se prevee que existir´an dos patrones de deformaci´on, uno homog´eneo y otro localizado en una banda a 45◦ . Es deseable entonces que, si se resuelve num´ericamente este problema, ambos modos de deformaci´on puedan ser tambi´en previstos.

Descripci´ on del modelo num´ erico utilizado Para resolver num´ericamente este problema se utilizar´on las herramientas num´ericas discutidas en el cap´õtulo anterior, es decir, el m´etodo de elementos Þnitos para el modelado de ßujos incompresibles planos. La condici´on de incompresibilidad

148

fue impuesta mediante el m´etodo de penalizaci´on.4 Como se vi´o en el cap´õtulo anterior, al discretizar las ecuaciones diferenciales del ßujo de un medio viscoso incompresible bidimensional con este m´etodo se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones algebraicas Ã

µ

A Kd + C · κ T

donde: Kd = C =

¶−1 Z

Fv = H =

Ã

µ

A · C · V = − Fv + κ

¶−1

·H

!

(6.16)

B Tv · 2µ D · Id · Bv dΩ

(6.17)

˜ · M T · Bv dΩ N

(6.18)

˜ T dΩ ˜ ·N N

(6.19)

Bv T · 2µ D · Id · Bg · G dΩ

(6.20)

Ω

˜ · M T · Bg · G dΩ N

(6.21)

Ω

ZΩ Ω

A =

!

Z

ZΩ Z

y donde 



1 0 0   D =  0 1 0  0 0 12  

2 3

Id =  − 13 0 





− 13 0  2 0  3 0 1

1  M =   1  0

˜ est´an dadas respectivamente por las igualdades (5.27) y (5.30). y Bv , Bg y N, En este caso, a diferencia del problema estudiado en el cap´õtulo anterior, la viscosidad no es constante en el dominio Ω, sino que depende de la velocidad de deformaci´on d2 que a su vez es funci´on de las velocidades V : σY 2µ = 2µ∞ = √ √ 3 d2 4

Si bien el m´etodo de penalizaci´ on presenta el inconveniente de que la matriz del sistema queda mal condicionada cuando el coeÞciente de penalizaci´ on κ es grande, en este caso dicho inconveniente no se maniÞesta dado que se utilizaron muy pocos elementos (y por lo tanto muy pocas inc´ ognitas).

149

donde d2 =

´ 1 ³ 2 εú11 + εú222 + 2 εú212 = 2 

 



1 0 0 εú11 i 1h     = εú11 εú22 2 εú12 ·  0 1 0  ·  εú22  = 2 0 0 12 2 εú12 



εú11 i 1h   = εú11 εú22 2 εú12 · D ·  εú22  2 2 εú12

y





εú11    εú22  = Bv · V + Bg · G 2 εú12

es decir,

σY 1 2µ = √ r ³ ´T ³ ´ 3 1 B · V + B · G · D · B · V + B · G v g v g 2

(6.22)

En la Þgura (6.4) se graÞca a la viscosidad 2µ en funci´on de la velocidad de deformaci´on equivalente d2 . Como 2µ → ∞ cuando d2 → 0, fue necesario aproximar a las viscosidades correspondientes a velocidades de deformaci´on d2 f chicas (menores de un cierto valor dcutof ) con un valor constante y grande (en 2 cutoff este problema se utiliz´o d2 = 0.001).

Como las viscosidades dependen de las velocidades V (la forma expl´õcita de esta dependencia la da la ecuaci´on (6.22)), la r´õgidez desviadora Kd (que es funci´on de las viscosidades) termina siendo funci´on de las velocidades V , es decir, Kd = Kd (V ) y el sistema de ecuaciones algebraicas que se obtiene al discretizar las ecuaciones diferenciales del ßujo del metal con el m´etodo de penalizaci´on (el sistema de ecuaciones (6.16)) se convierte en: Ã

µ

A Kd (V ) + C · κ T

¶−1

!

Ã

µ

A · C · V = − Fv + κ

¶−1

·H

!

(6.23)

es decir, resulta un sistema de ecuaciones no lineales donde la matriz del sistema es funci´on de las inc´ognitas V . Para resolver este sistema de ecuaciones no lineales se utiliz´o un algor´õtmo iterativo cuyos pasos son los siguientes: 150

d cutoff

d2

Figura 6.4: Viscosidad para un metal r´õgido/perfectamente pl´astico 1. Conocidas las velocidades V (n) correspondientes a la iteraci´on n, se calculan las viscosidades que se derivan de dichas velocidades (utilizando para ello la ecuaci´on (6.22)).

2. Con estas viscosidades se computa la matriz de rigidez desviadora Kd (V (n) ) (evaluando la integral (6.17)).

3. Con la matriz de rigidez desviadora Kd (V (n)) (que se calcul´o con las viscosidades de la iteraci´on n) y las matrices C, A, Fv y H se resuelve el sistema de ecuaciones (6.23 para obtener las velocidades V (n+1) correspondientes a la iteraci´on n + 1: V

(n+1)

Ã

µ

A = − Kd (V ) + C · κ T

¶−1

·C

!−1 Ã

µ

A · Fv + κ

¶−1

·H

!

4. Se repiten los pasos 1 a 3 hasta que se alcance la convergencia.

Este algor´õtmo se inicia con una distribuci´on de velocidades arbitraria V (1) (en este problema se utiliz´o V (1) = 0) y se termina cuando alguna medida del error de la soluci´on num´erica obtenida con este algor´õtmo sea menor que cierta tolerancia.

La medida del error que se utiliz´o fue la norma inÞnito de la diferencia entre las velocidad obtenidas en la iteraci´on n + 1 y la correspondiente a la iteraci´on n.

Entonces el algor´õtmo se termina cuando ° ° ° (n+1) ° °V − V (n) °

∞

¯ ¯

¯ ¯

= max{¯Vi(n+1) − Vi(n) ¯} ≤ tol. ∀i

151

Para minimizar el n´ umero de inc´ognitas del problema se aprovech´o el hecho que la deformaci´on es sim´etrica respecto a los ejes x1 y x2 (ver Þgura (6.2)). Esta condici´on de simetr´õa implica que alcanza con considerar solamente la deformaci´on de un cuarto de probeta (el pimer cuadrante) y que sobre los planos de simetr´õa se deben cumplir las condiciones de borde v2(x1 , 0) = 0 v1(0, x2 ) = 0 Adem´as, como la m´aquina de ensayo impone sobre el borde superior una velocidad constante en el tiempo, sobre dicho borde se deber´a satisfacer la condici´on b v2 (x1 , ) = v0 2 donde v0 es la velocidad de separaci´on de las mordazas de la maqu´õna de ensayo y b la altura de la probeta. Para que la soluci´on num´erica satisfaga estas condiciones de borde, se restringieron respectivamente los grados de libertad vertical y horizontal sobre los bordes inferior e izquierdo y se impuso una velocidad vertical v0 sobre todos los nodos del borde superior. Las dimensiones de la probeta y condiciones de borde utilizadas se muestran en la Þgura (6.5).

Se utilizaron para discretizar el problema dos mallas de elementos Þnitos isopar´ametricos de cuatro nodos: Una con elementos cuya diagonal coincide con la direcci´on en la que se espera que se forme la banda de corte (elementos cuadrados), y otra cuya diagonal no coincide con dicha direcci´on (elementos rectangulares) (ver Þgura (6.6)). Esto se hizo para ver si el m´etodo num´erico era capaz de captar el modo localizado independientemente de la malla utilizada.

Los resultados obtenidos se resumen a continuaci´on: a) Patr´ on de deformaci´ on homog´ eneo La Þgura (6.7) muestra la conÞguraci´on de la probeta unos instantes despu´es del comienzo de la ßuencia. Se observa que el patr´on de deformaci´on homog´eneo obtenido es id´entico al que se determin´o anal´õticamente, es decir, se prevee que la probeta experimenta un alargamiento uniforme en la direcci´on en que se la tracciona y un acortamiento (tambi´en uniforme) en la direcci´on perpendicular.

La viscosidades y presiones obtenidas fueron tambi´en id´enticas (salvo error de redondeo) a las obtenidas anal´õticamente. b) Patr´ on de deformaci´ on localizado Para que el modelo num´erico reproduzca la deformaci´on localizada, fue necesario introducir cierta perturbaci´on que genere una concentraci´on de tensiones en alg´ un 152

x2

Velocidades impuestas

v0

Ω Sim

b

x1 a

Sim

Figura 6.5: Modelado de la tracci´on de una probeta plana punto de la probeta que sea precursora de la formaci´on de la banda de corte. La perturbaci´on introducida fue una inhomogeneidad en las propiedades del material que fue incorporada sobre los cuatro elementos adyacentes al vertice iquierdo inferior donde se utiliz´o una tensi´on de ßuencia σY 10% menor a la existente en el resto de la probeta.

La Þgura (6.8) muestra la probeta unos instantes despu´es de comenzar a ßuir.

Tanto con los elementos cuadrados como con los rectangulares se puede ver que la deformaci´on se localiza en una banda orientada a 45◦ mientras el resto de la probeta se desplaza pr´acticamente sin deformarse. Se observa tambi´en que la banda prevista con los elementos rectangulares est´a m´as difundida que la correspondiente a los elementos cuadrados.

La Þguras (6.9) y (6.10) muestran la distribuciones de viscosidades 2µ (adimensionalizada con la tensi´on de ßuencia σY ) y velocidades de deformaci´on equivalente d2 obtenidas con ambas mallas. Tambi´en en estas Þguras se puede apreciar que la banda obtenida para elementos rectangulares se presenta m´as difundida que la correspondiente a elementos cuadrados.

En la Þgura (6.11) se muestran las presiones (tambi´en adimensionalizadas con la tensi´on de ßuencia σY ) obtenidas. Se observa que en las zonas que se de-

153

x2

x2

x1

x1

Malla 1: 10 x 15 elementos cuadrados

Malla 2: 6 x 15 elementos rectangulares

Figura 6.6: Mallas de elementos Þnitos utilizadas. splazan r´õgidamente, la presi´on alcanza un valor que oscila alrededor de 0.57.

Este valor es aproximadamente igual a la presi´on prevista anal´õticamente que era 2µ = √13 ' 0.57735. σY En la Þgura (6.13) se muestran las velocidades, viscosidades y velocidades de deformaci´on obtenidas al introducir una perturbaci´on (tambi´en una inhomogeneidad en las propiedades mec´anicas del material) en un punto distinto al utilizado en el caso anterior (en este caso el punto elegido est´a ubicado sobre la mitad del lado izquierdo). Se observa que en este caso, tambi´en se obtiene un patr´on de deformaci´on localizado, pero esta vez en dos bandas inclinadas respectivamente a +45◦ y −45◦ (que, como se prevee anal´õticamente, son las direcciones caracter´õsticas).

Localizaci´ on de la deformaci´ on para probetas de otros materiales Los resultados discutidos hasta ahora corresponden a un material caracterizado por la ley constitutiva r´õgido/viscopl´asica (6.3) con σY (ε) = cte (es decir, un material que no presenta endurecimiento por deformaci´on) y η ∗ → ∞ (es decir, un material cuya ßuencia es independiente de la velocidad de deformaci´on).

Para complementar este an´alisis, se estudi´o tambi´en los patrones de deformaci´on obtenidos en probetas de materiales para los cuales σY (ε) = cte pero η ∗ no es 154

x2

x2

x1

x1

Malla 1: 10 x 15 elementos cuadrados

Malla 2: 6 x 15 elementos rectangulares

Figura 6.7: Patr´on de deformaci´on homog´eneo inÞnito sino que tiene valores acotados, es decir, aquellos materiales cuya ßuencia s´õ depende de la velocidad de deformaci´on y en los que la viscosidad esta dada por: µ ¶ 1+

³√ ´1 d2

δ

η∗ σY √ 2µ = √ d2 3 Los casos analizados se resumen en la siguiente tabla:

Caso Caso Caso Caso

1 2 3 4

Malla η∗ δ 10 × 15 1.

2.

10 × 15 0.01 2.

10 × 15 1. 10.

10 × 15 1. 0.5

y las viscosidades (adimensionalizadas) en funci´on de la velocidad de deformaci´on equivalente d2 que corresponden a cada uno de estos casos se muestran en la Þgura (6.12).

En la Þgura (6.14), se graÞc´o la conÞguraci´on alcanzada unos segundos despu´es de comenzar la ßuencia para los cuatro casos. Se observa que en los cuatro casos, la banda se presenta mucho mas difundida que la obtenida para un material de 155

σY √1 viscosidad 2µ = 2µ∞ = √ , (en los dos primeros m´as que en el tercero y el d2 3 cuarto). Esta mayor difusi´on de la banda de corte puede apreciarse tambi´en en las Þguras (6.15) y (6.16) donde se muestran respectivamente la distribuci´on de viscosidades y de velocidades de deformaci´on equivalente obtenidas. Se puede ver tambi´en que en el tercer caso, donde δ es mucho mayor que en los otros tres casos, la banda se encuentra mucho m´as deÞnida (menos difundida), mientras que en el segundo caso, donde η ∗ es mucho menor que en los dos casos, la banda se presenta menos deÞnida (mucho mas difundida). En el cuarto caso, donde δ es menor que 1 los resultados son muy parecidos a los obtenidos en un material de viscosidad 2µ = 2µ∞ . Se concluye entonces que, utilizando para el modelado num´erico las herramientas descriptas, la formaci´on de la banda de corte se ve favorecida en aquellos materiales para los cuales δ y de η ∗ tienen valores relativamente grandes.

Teniendo en cuenta que el par´ametro η ∗ est´a relacionado con la sensibilidad del material a la velocidad de deformaci´on o “ßuidez”, se concluye que cuanto menor sea esta sensibilidad (es decir, cu´anto m´as parecidas sean las respuestas del material a velocidades de deformaci´on altas y bajas) mayor ser´a la tendencia a que se desarrollen patrones de deformaci´on localizados. Esto concuerda con las observaciones experimentales.

Las presiones obtenidas se muestran en la Þgura (6.19).

A trav´es de este ejemplo se observa entonces que la formulaci´on de ßujo es capaz de representar patrones de deformaci´on localizado aunque para que dicho patr´on de deformaci´on pueda ser reproducido, es necesario introducir antes cierta perturbaci´on exterior, por ejemplo, una inhomogeneidad en las propiedades mec´anicas del material. Si esta perturbaci´on no es incorporada, la soluci´on que se prevee es una soluci´on uniforme (no localizada). Esto implica que la formulaci´on de ßujo no proporciona informaci´on respecto a cu´al es el nivel cr´õtico de tensiones que se˜ nala el cambio del patr´on de deformaci´on uniforme al patr´on localizado.

156

x2

x1 Malla 1: 10 x 15 elementos cuadrados x2

x1 Malla 2: 6 x 15 elementos rectangulares

Figura 6.8: Patr´on de deformaci´on localizado

157

x2

x2

2µ

2µ

Malla 1: 10 x 15 elementos cuadrados

x1

Malla 2: 6 x 15 elementos rectangulares

x1

Figura 6.9: Distribuci´on de viscosidades.

x2

x2

d2

d2

Malla 1: 10 x 15 elementos cuadrados

x1

Malla 2: 6 x 15 elementos rectangulares

x1

Figura 6.10: Distribuci´on de velocidades de deformaci´on equivalente

158

10 8

p

6

p

4

x1

2

0.6

6

0.58

0.6

x2

0.575

x2

x1

0.62

0.625

0.55

5

0.56 0.54 15

0.525 15

4 3

10 10

2

5 5

1

Malla 1: 10 x 15 elementos cuadrados

Malla 2: 6 x 15 elementos rectangulares

Figura 6.11: Presiones adimensionalizadas

50

40

30

Caso 2 20

Caso 3 Caso 1 Caso 4

10

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

d2

Figura 6.12: Viscosidades en funci´on de la velocidad de deformaci´on equivalente para los distintos casos estudiados

159

x2

x1 x2

x2

2Âľ

d2

x1

x1

Figura 6.13: Patr´on de deformaci´on localizado obtenido a partir de una inhomogeneidad en una zona distina al vertice inferior izquierdo.

160

x2

x2

x1

x1

Caso 1:

Caso 2:

x2

x2

x1

x1

Caso 3:

Caso 4:

Figura 6.14: ConĂ&#x17E;guraciones alcanzadas por las distintas probetas.

161

x2

x2

2µ

2µ

x1

11.8216 11.4104 10.9993 10.5881 10.177 9.76582 9.35467 8.94353 8.53238 8.12123 7.71008 7.29893

Caso 1:

x1

31.6651 31.1053 30.5456 29.9858 29.426 28.8662 28.3065 27.7467 27.1869 26.6271 26.0674 25.5076

Caso 2:

x2

2µ

2µ 18.7259 17.7582 16.7906 15.8229 14.8553 13.8876 12.92 11.9523 10.9847 10.017 9.04934

x1

8.08169

Caso 3:

x1

16.4359 15.2306 14.0253 12.82 11.6147 10.4094 9.20408 7.99879 6.79349 5.58819 4.38289 3.17759

Caso 4:

Figura 6.15: Distribuci´on de viscosidades para los distintos casos analizados

162

x2

x2

d2

d2

x1

0.00862812 0.0081808 0.00773348 0.00728616 0.00683884 0.00639152 0.0059442 0.00549689 0.00504957 0.00460225 0.00415493 0.00370761

Caso 1:

x1

0.00590425 0.00574642 0.00558859 0.00543076 0.00527293 0.0051151 0.00495727 0.00479945 0.00464162 0.00448379 0.00432596 0.00416813

Caso 2:

x2

x2

x1

d2

d2

0.0134877 0.0125252 0.0115627 0.0106002 0.00963768

0.0282738 0.0258159 0.023358 0.0209001 0.0184422 0.0159844 0.0135265 0.0110686 0.00861067 0.00615278 0.00369489 0.00123699

0.00867517 0.00771265 0.00675013 0.00578762 0.0048251 0.00386259 0.00290007

Caso 3:

x1

Caso 4:

Figura 6.16: Distribuci´on de velocidades de deformaci´on equivalentes para los distintos casos analizados

163

x2

x2

2µ

2µ

x1

x1

Caso 1:

Caso 2:

x2

x2

2µ

2µ

x1

Caso 3:

x1

Caso 4:

Figura 6.17: Distribuci´on de viscosidades para los distintos casos analizados (Escalas uniformizadas)

164

x2

x2

d2

d2

x1

x1

Caso 1:

Caso 2:

x2

x2

d2

d2

x1

x1

Caso 3:

Caso 4:

Figura 6.18: Distribuci´on de velocidades de deformaci´on para los distintos casos analizados (Escalas uniformizadas)

165

10

10

8

8

6

6

4

p

x1

2

4

p

x1

2

2.2 0.75 2.1 0.7

x2

2

x2 15

15 10

10 5

5

Caso 1:

Caso 2:

10 10

8

8 6 6

p

x1

2

x1

2 0.6

1.1

0.59

1.05

0.58 0.57

1

x2

4

p

4

x2

0.95

0.56 15

15 10

10

5

5

Caso 4:

Figura 6.19: Presiones correspondientes a los distintos casos analizados.

166

7. Conclusiones Se ha hecho el an´alisis del fen´omeno de localizaci´on de deformaciones pl´asticas utilizando la denominada formulaci´on de ßujo para la descripci´on del movimiento y de las caracter´õsticas macrosc´opicas del material, y se ha modelado num´ericamente este mecanismo de deformaci´on mediante el m´etodo de los elementos Þnitos (adaptado para que pueda aproximar la condici´on de incompresibilidad del ßujo pl´astico). Las conclusiones m´as importantes son las siguientes: • La formulaci´on tradicional del m´etodo de los elementos Þnitos (la utilizada en el modelado de la deformaci´on de materiales el´asticos compresibles) no se puede extender inmediatamente al caso de materiales que experimentan deformaciones pl´asticas (incompresibles) dado que al imponer la condici´on de incompresibilidad sobre la soluci´on num´erica obtenida con dicho m´etodo se presenta el denominado problema del bloqueo, como consecuencia del cual se obtienen aproximaciones muy pobres.

• Para superar este problema es necesario recurrir a formulaciones alternativas (como el m´etodo de los mutliplicadores de Lagrange o el m´etodo de penalizaci´on) basadas en la interpolaci´on simult´anea de velocidades y presiones (elementos mixtos). En este trabajo se utiliz´o el elemento mixto Q1-P0 (interpolaci´on bilineal para las velocidades y constante para la presi´on dentro del elemento). Este elemento presenta las siguientes caracter´õsticas: — No bloquea (en el sentido que el espacio Kh ∩ Uh correspondiente a este elemento no es vac´õo o casi vac´õo (como ocurre con otros elementos mixtos). Para la mayor´õa de las condiciones de borde este espacio Kh ∩ Uh resulta lo suÞcientemente grande como para proporcionar soluciones aceptables, pero para ciertas condiciones (en particular cuando se imponen velocidades tangenciales al borde)) Kh ∩ Uh es todav´õa pobre.

— Presenta modos de presi´on esp´ ureos (principalemente en las mallas de elementos no distorsionados que son las m´as usadas). Esto hace que para determinadas condiciones de borde y determinadas mallas, resulta imposible obtener soluci´on (tanto para las velocidades como para las presiones).

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— Si bien converge cuando el tama˜ no de los elementos h tiende a cero, su orden de convergencia no es “´optimo”, y depende fuertemente de las condiciones de borde y la mallas utilizadas en la discretizaci´on.

• Adem´as de estas limitaciones que son inherentes al elemento mixto utilizado (el elemento Q1-P0) las formulaciones alternativas utilizadas para aproximar la condici´on de incompresibilidad (el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange y el m´etodo de penalizaci´on) presentan las siguientes inconvenientes: — La presencia de modos de presi´on condiciona la existencia de soluci´on cuando se utiliza el m´etodo de multiplicadores de Lagrange (es decir, hace que la existencia de soluci´on dependa de las condiciones de borde y la malla utilizada) y trae como consecuencia la obtenci´on de soluciones para las presiones muy pobres (contaminadas completamente por modos de presi´on) cuando se utiliza el m´etodo de penalizaci´on.

— Por otra parte, el m´etodo de los mutiplicadores de Lagrange no puede ser formulado en t´erminos exclusivos de las velocidades (que son las variables primarias del problema) mientras que el m´etodo de penalizaci´on, que no presenta esta desventaja (es decir, se puede formular en t´erminos exclusivos de las velocidades y obtener las presiones a partir de las velocidades con poco esfuerzo computacional), proporciona frecuentemente soluciones pobres debido al mal condicionamiento de la matriz del sistema de ecuaciones resultante.

• El procedimiento iterativo del lagrangeano aumentado con rigidizaci´on del modo esp´ ureo es una alternativa posible de superar todas estas diÞcultades.

Este m´etodo, (que por ser iterativo es mas costoso desde el punto de vista computacional) es capaz de proporcionar soluciones aceptables (dentro de las limitaciones inherentes al elemento) tanto para las velocidades como para las presiones (la soluci´on para las presiones que se obtiene resulta libre de modos de presi´on) independientemente de las condiciones de borde y de la malla utilizada.

• La formulaci´on de ßujo, que es un enfoque de an´alisis muy atractivo desde el punto de vista computacional porque permite estudiar la deformaci´on de un metal (que experimenta grandes deformaciones pl´asticas) con herramientas num´ericas muy parecidas a las utilizadas para resolver problemas de elasticidad lineal (y con peque˜ nas deformaciones y desplazamientos), es capaz tambi´en de reproducir patr´ones de deformaci´on localizados que se desarrollan cuando cierta concentraci´on de deformaciones (cuyo or´õgen puede ser una inhomogeneidad en el material) se propaga a trav´es del material. Adem´as 168

permite establecer cu´ales son las propiedades macrosc´opicas del material que favorecen o perjudican el desarrollo de dichos patrones de deformaci´on localizados. Sin embargo, no proporciona informaci´on respecto a espesores de banda (que resultan dependientes del tama˜ no de los elementos utilizados) y otros aspectos del fen´omeno de localizaci´on, principalmente los inßuenciados por la microestructura del material, que no es tenida en cuenta en los modelos macrosc´opicos (como el de la formulaci´on de ßujo).

• Utilizando esta formulaci´on (y las herramientas num´ericas descriptas) se puede reproducir el hecho experimental que la localizaci´on se ve favorecida en aquellos materiales que presentan menor endurecimiento y menor sensibilidad a las variaciones de la velocidad de deformaci´on (es decir, menores valores de η ∗ y δ).

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