Modelado y An´lisis de la Localizaci´n a o de by Adan Levy

Modelado y Análisis de la Localización de Deformaciones Plásticas en Sólidos Matias Gabriel Zielonka

Tesis de Ingenier´õa Mec´anica Facultad de Ingenier´õa Universidad de Buenos Aires

Septiembre de 1997

Tema: Modelado y análisis de la localización de deformaciones plásticas en sólidos Alumno: Matias G. Zielonka Padr´ on: 69.650 Director del trabajo: Dr. Ing. Eduardo N. Dvorkin Fecha de iniciaci´ on: Agosto de 1996 Fecha de Finalizaci´ on: Septiembre de 1997 Informe Þnal aprobado por:

Resumen Al deformarse plásticamente una piezas metálica frecuentemente se observa que la deformación no se distribuye uniformemente dentro de la pieza sino que se concentra en bandas angostas (zonas peque˜ nas de deformación muy intensa) mientras el resto del material practicamente no experimenta deformación alguna. Este fenómeno se conoce como localización de las deformaciones plásticas. En este trabajo se estudia un modelo matemático y numérico capaz de reproducir este fenómeno y de identiÞcar los factores que inßuyen en la maniÞestación del mismo. El enfoque de análisis utilizado para ello es el denominado formulación de ßujo que se caracteriza por suponer despreciable la parte elástica de las deformaciones y describir el comportamiento inelástico en términos de la viscoplasticidad, lo que permite estudiar la deformación del sólido como si fuera el ßujo de un ßuido viscoso incompresible no newtoniano, es decir, utilizando el punto de vista euleriano (de relativamente fácil implementación numérica). Para resolver las ecuaciones que se derivan de este modelo matemático (ecuaciones de Stokes) se utiliza el método de los elementos Þnitos. Como la formulación estándard de este método (la formulación basada en interpolación exclusiva del campo de velocidades) es ineÞcaz para representar ßujos incompresibles, es necesario recurrir a formulaciones alternativas capaces de aproximar adecuadamente esta condición. En este trabajo se exploran algunas de estas alternativas (el método de los multiplicadores de lagrange, el método de penalización y el método de los elementos Þnitos) y se analizan sus alcances y limitaciones y las formas de superarlas.

Agradecimientos Quiero agradecerles al Dr. Eduardo Dvorkin, a mis compa˜ neros de trabajo (Andrea, Marcela, Pablo, Rita, Miguel, Silvina, Marisol, Victor y Javier), a mis padres Eleonora y Salvatore, a mis hermanos Liliana y Ezequiel y a mi novia Alejandra por la conÞanza, el aliento y la ayuda que me brindaron y la paciencia que me tuvieron desde que empec´e este trabajo y sin la que me hubiese sido diÞcil terminarlo. A todos ellos les dedico esta y todas sus p´aginas.

Contenido 1 Introducci´ on 1.1 Notaci´on utilizada

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Ecuaciones del movimiento 2.1 Condición de incompresibilidad . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Conservación de la cantidad de movimiento . . . . . . . . . 2.2.1 Ecuación del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Ecuación del movimiento para ßujos incompresibles 2.2.3 Principio de las Potencias Virtuales . . . . . . . . .

. . . . .

3 7 10 10 12 12 14 15

3 Relaciones constitutivas para metales 3.1 Plasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Condición de ßuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Ley de endurecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Ley de ßujo Asociada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Tensión equivalente y Deformación plástica equivalente . . 3.1.5 Relaciones Tensión-Deformación completas para la plasticidad 3.2 Viscoplasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Relación constitutiva para la viscoplasticidad . . . . . . . 3.2.2 Relación constitutiva para la viscoplasticidad asociada con la ley de ßuencia de Von Mises . . . . . . . . . . . . . . .

19 20 22 26 31 39 42 45 47

4 Formulaci´ on de ßujo 4.1 Ecuaci´on del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Relaci´on constitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Planteo diferencial del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53 53 54 56

5 Modelado de ßujos incompresibles bidimensionales con el m´ etodo de los elementos Þnitos 59 5.1 Principio de los potencias virtuales para un estado plano de velocidades de deformación: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.2 Discretización con el método de los elementos Þnitos: sus limitaciones 64

5.2.1

5.3

5.4

5.5

5.6

Imposición de la condición de incompresibilidad: el problema del bloqueo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Método de los multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Interpretación geométrica del método de los multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Elección del espacio Qh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Forma matricial de la formulación con multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.4 Existencia de la solución: modos de presión . . . . . . . . 5.3.5 PreÞltrado de los modos de presión . . . . . . . . . . . . . Método de penalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Forma matricial del método de penalización . . . . . . . . 5.4.2 Método de penalización formulado en términos exclusivos de las velocidades: integración reducida . . . . . . . . . . . 5.4.3 Convergencia de la solución para κ → ∞ . . . . . . . . . . Procedimientos iterativos para mejorar la solución: Método del lagrangeano aumentado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Lagrangeano aumentado con preÞltrado o rigidización de los modos de presión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conclusiones acerca del comportamiento de las técnicas numéricas utilizadas para imponer la condición de incompresibilidad utilizando el elemento mixto Q1-P0 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76 81 83 85 90 95 100 105 109 110 111 114 118

120

6 An´ alisis de la localizaci´ on de la deformaci´ on pl´ astica 6.1 Formulación de ßujo para un estado plano de deformación . . . . 6.2 Existencia de soluciones discontinuas . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Ejemplo: Localización de la deformación plástica en una probeta compacta sometida a una tracción pura . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Solución anal´õtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Solución numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

131 131 133

7 Conclusiones

167

141 142 148

ń 1. Introduccio El proceso de conformado de piezas por deformación plástica es una de las herramientas más utilizadas en la fabricación de productos metálicos debido a su gran versatilidad y menor costo que otros procesos alternativos. Sin embargo presenta algunas limitaciones que diÞcultan su utilización. Una de ellas es el fenómeno de localización de las deformaciones plásticas que aparece muy frecuentemente durante el proceso de conformado de metales muy d´ uctiles. Este fenómeno consiste en lo siguiente: cuando se deforma un metal d´ uctil, primero las deformaciones se distribuyen en forma aproximadamente homogénea, es decir, resulta un estado de deformación continuo que var´õa suavemente dentro del material. Sin embargo cuando se alcanza un determinado nivel de carga, este patrón de deformación continuo cambia en forma más o menos abrupta a un patrón localizado en el que las deformaciones se concentran en ciertas zonas (en general bandas angostas) mientras el resto del material prácticamente no contin´ ua deformándose (ver Þgura (1.1)); dentro de estas bandas se producen deformaciones intensas, predominantemente de corte tangenciales a la interface que separa a la banda del material adyacente (ver Þgura (1.2)), mientras que fuera de ellas las deformaciones son peque˜ nas, es decir, aparece una discontinuidad del estado de deformación a través de ciertas superÞces (las interfaces banda-material adyacente). Cuando se produce este cambio repentino del patrón de deformación se dice que la deformación se ha localizado en bandas de corte (shear band). La localización de la deformación plástica cambia totalmente el comportamiento macróscopico del material. Una vez que se inicia se convierte en el mecanismo predominante en toda la deformación plástica subsecuente y si persiste puede precipitar una fractura por corte. En circunstancia menos extremas, representa un factor perjudicial en la respuesta en servicio y la vida u ´ til de las piezas metálicas conformadas por deformación plástica; cuando se maniÞesta, las propiedades mecánicas del material resultan mucho más pobres que las esperadas. Es importante entonces evitar que este mecanismo de deformación se maniÞeste y conocer cuales son los factores que favorecen o perjudican su manifestación. El estudio de la deformación de sólidos que experimentan grandes deformaciones inelásticas (y en particular el estudio del mecanismo de localización) se puede abordar mediante dos formulaciones alternativas: la primera, denominada

Figura 1.1: Banda de corte obtenida en el ensayo de tracciÂ´on de una probeta plana (sacado de la referencia [16])

Figura 1.2: Banda de corte (sacado de la referencia [7]). 4

Formulación de Deformación se caracteriza por utilizar el enfoque lagrangeano para la descripción del movimiento del sólido y relaciones constitutivas elástoplásticas para la caracterización del comportamiento del material. El segundo, denominado Formulación de Flujo, propone describir el comportamiento del material mediante una relación constitutiva r´õgido-viscoplástica, y en consecuencia, estudiar su movimiento utilizando el punto de vista euleriano. Es decir, considera despreciable la parte elástica de las deformaciones frente a las inelásticas (hipótesis abalada por el hecho que en los procesos de conformado de metales intervienen deformaciones plásticas mucho mayores a las elásticas) y describe el comportamiento inelástico en términos de la viscoplasticidad con lo que resulta un material que se puede considerar esencialmente un ßuido, y como tal, estudiarse su movimiento desde el punto de vista euleriano. Debido a esta u ´ ltima caracter´õstica la formulación de ßujo resulta mucho mas facil de implementar numéricamente. La formulación utilizada en todas las publicaciones consultadas para el análisis del fenómeno de localización es la formulación de deformación (ver referencias [11], [21], [30], [31], [33], [32]). El propósito de este trabajo es estudiar si con la formulación de ßujo (que resulta muy conveniente debido a su mayor simplicidad numérica) también se puede describir (al menos cualitativamente) el mecanismo de localización. Se analiza entonces si es posible la existencia de estados de deformación discontinuos (patrones localizados) en materiales caracterizados por una relación constitutiva r´õgido-viscoplástica y cuyo movimiento se describe mediante el enfoque euleriano. Para modelar numéricamente la deformación (plástica) del material se utiliza el método de los elementos Þnitos. Como una de las hipótesis con las que se caracterizan al metal asume que el ßujo plástico es incompresible (es decir, cada porción del material se deforma sin cambiar su volumen) y como la formulación estándard del método de los elementos Þnitos (la formulación basada en interpolación exclusiva de velocidades) es ineÞcaz para modelar ßujos incompresibles, se estudian técnicas alternativas capaces de superar los inconvenientes relacionados con la condición de incompresibilidad que se presentan con la formulación estándard. El texto se organiza de la siguiente forma: en el segundo cap´õtulo se plantean las ecuaciones que caracterizan el movimiento de un medio continuo incompresible desde el punto de vista euleriano. También se plantea el principio de las potencias virtuales que es una forma equivalente de expresar dichas ecuaciones y que será utilizado más adelante para formular el método de los elementos Þnitos. En el tercer cap´õtulo se presentan las relaciones constitutivas para la plasticidad y viscoplasticidad y se estudian las caracter´õsticas más importantes de estos dos mecanismos de deformación (inelástica). Un denominador com´ un en casi toda la bibliograf´õa consultada relacionada con este tema (ver referencias [7], [10], 5

[14], [18], [19] o [25]) es el fuerte contenido fenomenológico en la formulación de estas relaciones constitutivas. En este trabajo, a diferencia de los mencionados, se intenta un planteo axiomático de dichas relaciones: se busca traducir en hipótesis matemáticas las observaciones emp´õricas que fundamentan a los modelos constitutivos y deducir con la mayor generalidad posible (y a partir de dichas hipótesis) las ecuaciones de cada modelo. En el cuarto cap´õtulo se presenta la formulación de ßujo, es decir, el conjunto de simpliÞcaciones que permite estudiar la deformación del sólido como si fuera el ßujo de un ßuido viscoso incompresible de viscosidad no constante (ßuido no newtoniano). En el quinto cap´õtulo se estudian las herramientas numéricas (el método de los elementos Þnitos adaptado para el análisis de ßujos incompresibles) que se utilizarán para modelar la localización. La principal diÞcultad que presenta el método de los elementos Þnitos basado en la interpolación exclusiva del campo de velocidades (que es la formulación utilizada en problemas de elasticidad (compresible)) es la imposibilidad de aproximar simultáneamente (para un determinado orden de interpolación) la condición de incompresibilidad (exactamente) y las condiciones de borde cinemáticas (exactamente) (esta diÞcultad se conoce como problema del bloqueo) (ver referencias [5], [3], [12], [20], [28]). Para superar este problema es necesario imponer la condición de incompresibilidad en forma no exacta (o débil) y en este trabajo se investigan tres formas de hacerlo (el método de los multiplicadores de lagrange, el método de penalización y el método del lagrángeano aumentado) con sus respectivos alcances y limitaciones (el segundo método surge a partir de las limitaciones del primero y el tercero a su vez, a partir de las del segundo). Estos tres métodos, si bien solucionan el problema del bloqueo y pueden entonces proporcionar soluciones aceptables para las velocidades, presentan el inconveniente que la solución para las presiones en cambio puede resultar muy pobre (esta solución se caracteriza por la presencia de modos esp´ ureos (no f´õsicos) que tienden a contaminarla completamente). Para solucionar esta diÞcultad se utiliza un método de eliminación o “preÞltrado” de estas componentes esp´ ureas (propuesto en la referencia [6] para el método de los multiplicadores de Lagrange y adaptado en este trabajo para que pueda ser utilizado con el método del lagrangeano aumentado). En la bibliograf´õa consultada la presentación de estos temas no es en todos los casos lo suÞcientemente ordenada (en general se abordan en el marco del estudio de la existencia, estabilidad, convergencia y estimación del error de la solución numérica obtenida con estos métodos (ver referencias [2], [3], [4], [5], [12], [22], [23], [24])). En este trabajo se intenta hacer una s´õntesis más ordenada e intuitiva de los mismos, utilizando para ello (cuendo esto es posible) argumentos, ejemplos y demostraciones simples. En el sexto cap´õtulo se presenta el modelado y análisis propiamente dicho del fenómeno de localización utilizando la formulación de ßujo y las técnicas numéricas estudiadas. Se estudia 6

si con éste modelo es posible obtener, tanto desde el punto de vista análitico como numérico, soluciones discontinuas para las escuaciones que describen la deformación del metal. El desarrollo de los programas con los que han sido hechas todas las simulaciones numéricas que se presentan en este cap´õtulo (al igual que las correspondientes al cap´õtulo anterior) forma también parte de este trabajo.1

1.1. Notaci´ on utilizada Notaci´ on de ´õndices Las componentes de las magnitudes tensoriales y vectoriales que aparecen a lo largo de éste trabajo se simbolizan de la siguiente forma: v1 , v2 y v3 para las componentes de un vector (el vector velocidad por ejemplo) y σ11 , σ22 , σ33 , σ12, σ23 , σ31 , σ21 , σ32 y σ13 para las componentes de un tensor de segundo orden (como el tensor de tensiones por ejemplo). Una componente genérica se simbolizará como vj o σij con i y j ´õndices enteros que pueden valer 1 2 o 3. Las coordenadas cartesianas del espacio se simbolizan como x1, x2 y x3 . El sistema de coordenadas elegido es el cartesiano ortogonal. Convenci´ on de supresi´ on del s´õmbolo de sumatoria Las sumas del tipo n X

σii

i=1 n X

σij i=1 n n X X

ni σij σij

i=1 j=1

son muy comunes en todas las aplicaciones del calculo vectorial y tensorial (en particular en el estudio del movimiento de los medios deformables) y pueden ser representadas con ventaja si se simpliÞca la notaci´on dejando impl´õcita la P sumatoria y el valor de n. Se adopta entonces los s´õmbolos σii

σij ni σij σij para representar respectivamente a las sumas dadas como ejemplo. Los ´õndices de sumaci´on (´õndices mudos) son los ´õndices repetidos dos veces (y solo dos veces) 1

El lenguaje de programaci´ on utilizado es el Mathematica.

y el resto de los ´õndices no participan en la suma y se denomina ´õndices libres. Como el ´õndice mudo solo sirve para expresar la sumatoria, puede ser cambiado por otro sin que se altere el signiÞcado σii = σkk σij ni = σkj nk σij σij = σkl σkl La convenci´on de supresi´on del s´õmbolo

se aplica tambi´en en el siguiente caso:

∂vi ∂xi que representar´a a 3 X ∂vi i=1

∂xi

∂v1 ∂v2 ∂v3 + + ∂x1 ∂x2 ∂x3

o en el siguiente cijkl εkl que estar´a representando a 3 X 3 X

cijkl εkl

k=1 l=1

S´õmbolo δ de Kronecker A lo largo del texto también se usa en forma reiterada el s´õmbolo δ de Kronecker que se deÞne como ( 1 si i = j δij = 0 si i 6= j Por ejemplo un estado hidrostático de tensión puede ser escrito en términos de estos s´õmbolos como:   p 0 0  σij = p δij =   0 p 0  0 0 p Explicitaci´ on de la dependencia de las variables del instante t Todas las magnitudes f´õsicas que se utilizarán en la descripción de la deformación de los metales, tales como velocidad vj tensiones σij velocidades de deformación εúij , densidad ρ, etc., son magnitudes que en general dependen de la posición (x1, x2 , x3 ) y del tiempo t. Para explicitar la dependencia de estas funciones del tiempo y especiÞcar el instante que está siendo considerado se utilizará la 8

convenci´on de escribir a dicho instante t como supra´õndice a la izquierda de la variable en estudio, por ejemplo: t

vj σij t εúij t ρ t

para para para para

las velocidades en el instante t las tensiones en el instante t las velocidades de deformaci´on en el instante t la densidad en el instante t

(Esto se lee de la siguiente forma: t vj como “vj en t”, t σij como “σij en t” etc.). En el caso estacionario (donde todas estas variables no var´õan en el tiempo) está explicitación se omitirá. Representaci´ on de matrices Las matrices se simbolizarán con letras subrayadas. Por ejemplo σ para la matriz que agrupa a las componentes del tensor de tensiones (σ11, σ22, σ33, σ12 , σ23 , σ31 ), V para la matriz (columna) que agrupa a las velocidades nodales, P para la correspondiente a las presiones nodales, K para la matriz (cuadrada) de rigidez, etc.

2. Ecuaciones del movimiento En este cap´õtulo se plantean las ecuaciones diferenciales que se utilizarán para describir la deformación plástica de los metales: la condición de incompresibilidad y la ecuación del movimiento. También se formula el principio de las potencias virtuales (que es el punto de partida del método de los elementos Þnitos) y se demuestra su equivalencia con la ecuación del movimiento. Referencias para este cap´õtulo son [1] o [17].

2.1. Condici´ on de incompresibilidad Una de las hipótesis que se hacen para describir el ßujo plástico de los metales es la hipótesis de incompresibilidad seg´ un la cual el material se mueve manteniendo constante su vol´ umen. Esta condición se expresa matemáticamente (si la densidad ρ es constante) como ∂ t vi =0 (2.1) ∂xi o bien ∂ t v1 ∂ t v2 ∂ t v3 + + =0 ∂x1 ∂x2 ∂x3 Se puede demostrar por qué esta igualdad implica la incompresibilidad observando la Þgura (2.1) en la que se muestra una porción arbitraria de un material que se está deformando. En un instante t esta porción ocupa la región t P del espacio y en un instante posterior t + ∆t ocupa la región t+∆t P . Los vol´ umenes de éstas regiones son Z dV tP

t+∆t P

y el cambio de vol´ umen en el intervalo de tiempo ∆t es entonces Z

t+∆t P

dV −

Esta diferencia es igual a la diferencia entre los vol´ umenes de las zonas sombreadas de la Þgura (2.1) que son respectivamente las regiones ocupadas por el material que sale de la región t P y la ocupada por el que entra. Para calcular los vol´ umenes de estas zonas se observa que el material que ßuye a través de un elemento de superÞcie dS durante el intervalo de tiempo ∆t ocupará un vol´ umen t v ∆t · tn dS (vol´ umen del “cilindro” dibujado en la Þgura). Entonces el vol´ umen de la región t que ocupará el material que sale de P será Z

∆t

(∂ t P )out

v · t n dS

y el correspondiente al material que entra Z

∆t

(∂ t P )

v · t n dS

donde (∂ t P )in y (∂ t P )out son respectivamente las partes de la frontera de t P por las que entra y sale material (estas dos partes est´a limitadas por la curva a lo largo de la cual t v · t n = 0). Restando las dos integrales anteriores se obtiene Z

∆t

∂tP

v · tn dS

(t n es la normal saliente y entonces el signo de la integral sobre (∂ tP )in se invierte). La variación del vol´ umen ocupado por la porción del material será entonces: Z

t+∆t P

dV −

dV = ∆t

∂t P

v · t n dS

Dividiendo por ∆t y haciendo tender ∆t a cero se obtiene Z d Z t dV = v · t n dS t dt t P ∂ P

y aplicando el teorema de la divergencia de Gauss, d dt

dV =

∂ t vi dV ∂ t xi

Para un material incompresible el vol´ umen t P de la regi´on ocupada por cualquier porci´on del material debe permanecer constante en el tiempo. Entonces el miembro izquierdo de la igualdad anterior debe ser cero por lo que Z

∂ t vi dV = 0 ∂xi 11

Figura 2.1: Evolución de una porción de un material que se deforma. para toda porción del material. Esto se cumplirá para cualquier región tP si el integrando es cero en todo punto del espacio por donde se extiende el material es decir ∂ t vi =0 ∂xi La condición de incompresibilidad implica entonces la ecuación (2.1). En términos del tensor velocidad de deformación t εúij que se deÞne seg´ un t

1 εúij = 2

∂ t vj ∂ t vi + ∂xi ∂xj

la condici´on de incompresibilidad (2.1) se expresar´a como t

εúii = t εú11 + t εú22 + t εú33 = 0

2.2. Conservaci´ on de la cantidad de movimiento 2.2.1. Ecuaci´ on del movimiento La segunda ecuación que se utilizará para describir la deformación plástica es la ecuación del movimiento que expresa que la suma de las fuerzas que act´ uan sobre 12

cada part´õcula del medio es igual a la masa de esa part´õcula multiplicada por su aceleración. Para formularla se considera un medio continuo (ya sea un sólido o una porción de un ßuido) como el que se muestra en la Þgura (2.2) que en un instante t se encuentra ocupando una región del espacio t V . Se supone que sobre una parte de la frontera tS de la región tV (la parte t Sf ) act´ uan fuerzas t por unidad de superÞcie conocidas de componentes fj y que sobre la otra parte (la parte t Sv ) se encuentran especiÞcadas las velocidades (de componentes) t vj ; se supone además que sobre el medio se aplican fuerzas por unidad de vol´ umen t conocidas de componentes bj . La resultante de todas las fuerzas que act´ uan sobre cualquier subconjunto t P de la región t V será: Z

bj dV +

∂t P

σij tni dS

donde ∂ t P es la frontera del subconjunto tP y t σij es el tensor de tensiones de Cauchy . La ley de Newton establece que esta resultante debe ser igual a Z

ρ t aj dV

que es la derivada respecto al tiempo de la cantidad de movimiento de la porci´on t P (t ρ es la densidad de masa y t aj son las componentes de la aceleraci´on), es decir, Z Z Z t t t t bj dV + σij t ni dS = ρ aj dV tP

∂tP

o bien, aplicando el teorema de la divergencia de Gauss, Z

∂ t σij t t t bj + − ρ aj ∂xi

dV = 0

Como ésta integral debe ser nula para toda porción t P de la región tV y como el medio es continuo (lo que implica que la densidad t ρ, las tensiones t σij , las aceleraciones t aj y las fuerzas t bj son funciones continuas en t V ), se deduce que el integrando debe anularse en todo punto de t V : t

bj +

∂ t σij t t − ρ aj = 0 ∂xi

en t V

(2.2)

A esta igualdad se la llama ecuaci´on del movimiento. La aceleraci´on de una part´õcula del medio que se en el instante t se posiciona en el punto del espacio de coordenadas t xi es: ∂ t vj t ∂ t vj t aj = + vi ∂t ∂xi 13

es decir, la derivada material de la velocidad. A la ecuaci´on (2.2) se la debe complementar con la condici´on de borde t

fj = t σij t ni

(2.3)

(donde t fj es la componente j de la fuerza por unidad de superÞcie) que se debe cumplir en todo punto de la parte de la frontera t Sf .

Figura 2.2: Fuerzas que act´ uan sobre un medio continuo.

2.2.2. Ecuaci´ on del movimiento para ßujos incompresibles Para estudiar a los materiales que experimentan deformaciones incompresibles es conveniente descomponer al tensor de tensiones en dos partes, una llamada parte volumétrica y la otra parte desviadora. La parte volumétrica es la parte cuyas componentes son tp δij donde t p es la tensión media (o presión hidrostática), es decir ´ 1 ³t t p= σ11 + t σ22 + t σ33 3 Este tensor representa a un estado tensional para el cual la tensión en cualquier dirección t n es t p t n. La parte desviadora se deÞne como



σ11 − t p  t t t sij = σij − p δij =  tσ12 t σ13

σ12 t σ22 − t p t σ23

de manera que



σ13 t σ23   t σ33 − tp

σij = t sij + t p δij

(2.4)

De la igualdad anterior surge que el tensor de tensiones desviador es un tensor cuyas direcciones principales coinciden con las direcciones de t σij y cuyas componentes principales diÞeren en el valor de la presión hidrostática, es decir, t σi = t si − t p. En un material incompresible (en particular en un metal que ßuye plásticamente) se observa (ver referencia [10]) que las deformaciones que experimenta el material son independientes de la presión hidrostática t p. Entonces es conveniente escribir a la ecuación del movimiento en términos de esta descomposición del tensor de tensiones. De la ecuación (2.4) se deduce que ∂ t σij ∂ tsij ∂tp ∂ tsij ∂ tp = + δij = + ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi ∂xj por lo que la ecuación del movimiento (2.2) será ∂ tsij ∂tp t + + bj − t ρ t a j = 0 ∂xi ∂xj

(2.5)

Esta es la expresión de la ecuación del movimiento que se utilizará en el análisis del ßujo plástico de un metal que, como se dirá más adelante, es incompresible. 2.2.3. Principio de las Potencias Virtuales El método de los elementos Þnitos utiliza como punto de partida el principio de las potencias virtuales que es una forma equivalente de plantear la ecuación del movimiento (2.2). Considerando de nuevo un medio continuo (ver Þgura (2.2)) que ocupa una región t V del espacio, sobre el que act´ uan fuerzas exteriores de t t t volumen bj , fuerzas de inercia − ρ aj , fuerzas de superÞcie t fj (sobre la parte t Sf de la frontera de t V ) y velocidades impuestas (sobre la parte t Sv de la frontera de t V ), se llama potencia virtual de las fuerzas exteriores a Z

bj − ρ aj δvj dV +

fj δvj dS

donde δvj es cualquier campo de velocidades (denominado velocidad virtual o variaci´on de la velocidad) distinto al campo de velocidades real y que cumple 15

las condici´on de ser nulo sobre la parte de la frontera donde se encuentran especiÞcadas las velocidades tSv (tambien debe ser continuo con derivadas parciales continuas). Se llama potencia virtual de las fuerzas interiores a Z

δ εúij t σij dV

donde δ εúij es la variación en la velocidad de deformación que se deriva de la variación de la velocidad δvj , es decir, 1 δ εúij = 2

∂δvj ∂δvi + ∂xi ∂xj

El principio de las potencias virtuales establece que las tensiones t σij que se establezcan en el cuerpo (es decir, las tensiones que son solución de la ecuación del movimiento para determinadas fuerzas exteriores tbj , fuerzas de inercia −t ρ t aj , fuerzas de superÞcie t fj y velocidades impuestas) veriÞcan que la potencia virtual de las fuerzas exteriores es igual a la potencia virtual de las fuerzas interiores. Es decir, t σij será solución de la ecuación (2.2) con las condiciones de borde (2.3) si y solo si Z

1 2

∂δvj ∂δvi + ∂xi ∂xj

σij dV =

bj − ρ aj δvj dV +

fj δvj dS (2.6)

para toda variaci´on de la velocidad δvj nula sobre la parte t Sv de la frontera del cuerpo.1 Para demostrar la equivalencia entre esta igualdad y la ecuaci´on (2.2) se observa que ∂ tσij ∂δvj t ∂ (δvj t σij ) = δvj + σij ∂xi ∂xi ∂xi 1

Recordar que se est´ a utilizando la convenci´ on de supresi´ on del s´õmbolo de suma

que 1 2

∂δvj ∂xi

∂δvi ∂x³ j

+ 12 + 12

∂δv1 t σ11 ∂x´ 1 ∂δv2 t σ21 ∂x1

σij =

∂δv1 ∂x2

∂δv1 ∂x3

∂δv3 ∂x1

+ +

σ31 +

1 ∂δv2 t 1 3 1 + ∂δv σ12 + 12 ∂δv + ∂δv 2 ∂x1 ∂x³ ∂x3 2 ´∂x1 ∂δv2 t ∂δv2 t 1 ∂δv3 σ23 + ∂x2 σ22 + 2 ∂x2 + ∂x3 1 2

∂δv2 ∂x3

∂δv3 ∂x2

σ32 +

por lo

σ13

∂δv3 t ∂x3 σ33

que por ser el tensor de tensiones un tensor sim´etrico (es decir, t σ12 = t σ21 , t σ13 = t σ31 y t σ23 = t σ32 ) se reduce a ³ ´ 1 ∂δvj ∂δvi t 1t 2t 3t + σij = ∂δv σ11 + ∂δv σ22 + ∂δv σ33 + 2 ∂xi ∂x ∂x ´1 ´∂x3 ´ ³j ³ ∂x2 ³ t t t 2 1 3 1 3 2 + ∂δv + ∂δv σ12 + ∂δv + ∂δv σ13 + ∂δv + ∂δv σ23 ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x3 ∂x2 ∂x3

por lo que el trabajo virtual de las fuerzas interiores ser´a Z

∂ (δvj t σij ) dV − ∂xi

∂ t σij δvj dV ∂xi

o bien, aplicando el teorema de la divergencia de Gauss Z

δvj t σij t ni dS −

∂ t σij δvj dV ∂xi

Recordando que la variaci´oRn de velocidad en la parte de la frontera t Sv es nula por R lo que t S δvj t σij t ni dS = t Sf δvj t σij t ni dS, entonces el principio de las potencias virtuales (2.6) queda Z

tS f

δvj σij ni dS −

∂ t σij δvj dV = ∂xi

bj − ρ aj δvj dV +

fj δvj dS

o bien Z

! Z ³ ´ ∂ t σij t t t t + bj − ρ aj δvj dV + fj − tσij t ni δvj dS = 0 tS ∂xi f

Estas integrales serán nulas para toda variación de velocidades δvj si y solo si ∂ t σ ij + t bj − tρ t aj = 0 en t V y t fj − t σij t ni = 0 en t Sf es decir, si se cumple la ∂xi ecuación (2.2) con las condiciones de borde (2.3). Principio de las potencias virtuales en t´ erminos de los tensores desviador y volum´ etrico de las tensiones. Utilizando la descomposición (2.4) en la expresión del principio de las potencias virtuales (2.6) se obtiene: R

1 2

R 1 ∂δvj ∂δvj ∂δvi ∂δvi t + sij dV + t V + p δij dV = ∂xi R ∂xj 2 R∂xi ∂xj = t V (t bj − tρ t aj ) δvj dV + t Sf t fj δvj dS ∀ δvj

En el segundo sumando del miembro izquierdo se observa que ∂δvi por lo que este sumando se reduce a ∂ t xi Z

∂δvi t p dV ∂xi

1 2

∂δvj ∂ t xi

∂δvi ∂ t xj

δij =

El primer sumando, si se hace con la velocidad de deformación virtual una descomposición análoga a la hecha con las tensiones, es decir 1 2

∂δvj ∂δvi + t ∂xi ∂ xj

se reduce a R

Ã Ã 1 2

Ã Ã

1 2

∂δvj ∂δvi + ∂xi ∂xj

−

1 ∂δvk 3 ∂xk

Parte desviadora

δij

! }

1 2

∂δvj ∂xi

∂δvi ∂xj

∂δvk δij ∂x k | {z } 1 3

Parte volum´ etrica

R ∂δvk ∂δvj ∂δvi ∂δvk + − 13 δij t sij dV + 13 δij tsij dV = ∂xi Ã Ã∂xj ∂xk! ∂x k ! R ∂δvj ∂δvi 1 1 ∂δvk t + −3 δij sij dV tV 2 ∂xi ∂xj ∂xk

dado que δij tsij = 0. Entonces el principio de las potencias virtuales ser´a R

Ã Ã 1 2

R ∂δvi t ∂δvj ∂δvi ∂δvk + t − 13 δij t sij dV + tV p dV = ∂xiR ∂ xj ∂xk ∂xi R = t V (t bj − t ρ t aj ) δvj dV + t Sf t fj δvj dS ∀ δvj

(2.7)

Al primer término del miembro izquierdo se lo denomina potencia virtual desviadora y al segundo, potencia virtual volumétrica. Se han presentado las ecuaciones diferenciales que se utilizarán para describir el movimiento del material (desde el punto de vista Euleriano): La condicion de incompresibilidad (2.1) (o ecuación de continuidad cuando la densidad ρ es constante) y la ecuación del movimiento (para ßujos incompresibles) (2.5). Para resolverlas numéricamente mediante el método de los elementos Þnitos es necesario reexpresarlas en forma “débil” o integral. Para ello se ha planteado el principio de las potencias virtuales (2.7) (que es la forma “débil” de la ecuación del movimiento (2.5)). Con respecto a la condición de incompresibilidad (2.1), las distintas alternativas de expresarla en forma “débil” serán discutidas en el cap´õtulo 5.

3. Relaciones constitutivas para metales Cuando a un cuerpo metálico se aplican cargas suÞcientemente grandes, se observa que una parte (peque˜ na) de la deformación total resulante puede recuperarse si se remueven las cargas mientras que la parte restante (la mas grande) es acumulada en forma permanente. La parte recuperable o elástica está relacionada con las tensiones mediante la ley de Hooke de la teor´õa de la elasticidad. En este cap´õtulo se construyen un conjunto de ecuaciones análogas a dichas relaciones tensión-deformación de la teor´õa de la elasticidad pero para la parte inelástica (o permanente) de las deformaciones del metal. En particular se formulan las ecuaciones para dos tipos de comportamiento inelástico: Plasticidad inv´õscida y Viscoplasticidad. Ambos comportamientos se diferencian del elástico en que las deformaciones no se encuentran un´õvocamente determinadas por las tensiones como en el caso elástico sino que dependen de toda la historia de carga previa, es decir, de cómo fue alcanzado el estado de tensiones y deformaciones, y se diferencian entre s´õ en que en la plasticidad inv´õscida se desprecia la inßuencia del tiempo (de la duración del proceso de deformación, y por lo tanto de la velocidad de deformación) en la respuesta del material, mientras que en el caso de la viscoplasticidad los efectos dinámicos no se desprecian y la inßuencia de la velocidad de deformación s´õ se tiene en cuenta. Cuando las fuerzas aplicadas sobre el material no son suÞcientemente grandes, la deformación que se produce es totalmente recuperable o elástica. Las deformaciones permanentes comienzan a manifestarse sólo cuando las fuerzas aplicadas superan cierto valor cr´õtico. Existen entonces dos rangos de deformación: el rango elástico y el rango inelástico y se utilizan los términos elasto/plástico o elásto/viscoplástico para describir a los materiales que presentan esta caracter´õstica. Pero frecuentemente las deformaciones inelásticas son tan grandes que, para este rango de cargas, las deformaciones elásticas resultan despreciables. Cuando esto ocurre, es posible considerarlas nulas también para cargas peque˜ nas y asumir que en ese caso, el material es r´õgido. Para describir los materiales en los que es posible hacer esta simpliÞcación, se utilizarán los terminos R´õgido/Plástico o R´õgido/Viscoplástico. Referencias para este cap´õtulo son [8], [10], [14], [17], [18], [19], [25] y [27]. 19

3.1. Plasticidad Como se mencionó antes, la deformación inelástica de un metal empieza solo cuando las tensiones alcanzan cierto valor cr´õtico. Para tensiones menores a este valor la deformación es de naturaleza elástica, y cuando las tensiones igualan este valor comienzan las deformaciones permanentes. Una vez que este estado tensional cr´õtico es alcanzado (y las deformación plásticas estan por manifestarse) se observan los siguientes fenómenos: • La deformación plástica (o permanente) no se incrementa a menos que las tensiones se incrementen continuamente; es decir, si se mantienen las cargas constantes, la deformación plástica no crece; solo crece cuando se incrementan las tensiones a valores mayores a la tensión cr´õtica a la cual se inició la ßuencia. Este fenómeno se conoce con el nombre de endurecimiento por deformación. • Si, alcanzado cierto nivel de tensiones, se suprimen las cargas que le daban or´õgen, durante la descarga, el material se comporta elásticamente. • Si, después de la descarga, se vuelve a tensionar al material la ßuencia no volverá a comenzar sino cuando el u ´ltimo nivel de tensiones al que se hab´õa llegado antes de iniciarse la descarga vuelva a ser alcanzado; es decir, el estado tensional cr´õtico que es necesario aplicar para producir en el material más deformación permanente de la que ya fue impuesta cambia a medida que se acumula deformación plástica. Se pueden entender mejor estos aspectos de la deformación plástica de un metal recordando los resultados del ensayo de tracción uniaxial que se ilustran en la curva Tensión-Deformación de la Þgura (3.1). Se observan: • El rango elástico inicial (Segmento O-A), seguido por • La tensión cr´õtica inicial 0σY (Punto A) (o tensión de ßuencia inicial) que se˜ nala el comienzo de la deformación plástica, y • El rango plástico (con endurecimiento por deformación) (Curva A-B-D) en el que: — son necesarias tensiones cada vez mayores para que crezca la deformación plástica, — si, alcanzado cierto nivel de tensiones t σY (Punto B), se suprimen las cargas, las deformaciones vuelven a ser de naturaleza elástica (Curva B-C). 20

— Para producir mayor cantidad de deformaci´on pl´astica es necesario que las tensiones vuelvan a igualar al u ´ ltimo nivel de tensiones t σY (Punto B) que se hab´õa alcanzado antes de comenzar la descarga.

Figura 3.1: Curva Tensión-Deformación para un material con endurecimiento por deformación En algunos metales el fenómeno de endurecimiento por deformación practicamente no se maniÞesta. Si se lo desprecia completamente la curva tensión deformación pasa a tener la forma mostrada en la Þgura (3.2). Los materiales para los cuales se hace esta idealización se denominan perfectamente plásticos. Se observa que estos materiales, a diferencia de aquellos en los que s´õ existe endurecimiento, ßuyen plásticamente a tensión constante e igual a la tensión cr´õtica inicial 0 σY , y que si en un instante cualquiera se suprimen las cargas (punto B), para que el material vuelva a ßuir plásticamente alcanza con aumentar las tensiones nuevamente hasta 0 σY (y no hasta un valor mayor t σY como antes), es decir, la tensión de ßuencia σY para estos materiales no depende de la cantidad de deformación plástica que se acumula. En s´õntesis, existen ciertos estados tensionales cr´õticos que marcan el comienzo de las deformaciones plásticas y que pueden variar a medida que dichas deformaciones plásticas progresan. Se pretende ahora caracterizar a estos estados cr´õticos 21

Figura 3.2: Curva Tensión-Deformación para un material perfectamente plástico (condición de ßuencia), precisar para aquellos materiales que experimentan endurecimiento por deformación, la forma en que var´õan (condición de endurecimiento) y describir de qué manera se incrementan las deformaciones plásticas cuando alguno de estos estados es alcanzado (ley de ßujo). 3.1.1. Condici´ on de ßuencia Para determinar los estados tensionales cr´õticos que es necesario alcanzar para que las deformaciones plásticas empiecen a manifestarse, se hacen las siguientes hipotesis denominadas condición de ßuencia o ley de ßuencia. Para los materiales que experimentan endurecimiento por deformación esta ley se puede enunciar de la siguiente manera (ver referencias [17] y [18]): 1. Los estados tensionales cr´õticos son aquellos que veriÞcan F (t σij , t Kα ) = 0

i, j = 1, 2, 3

α = 1, 2, · · ·

(3.1)

donde F es la denominada función de ßuencia y t Kα es un conjunto de parámetros que dependen exclusivamente de la cantidad de deformación plástica acumulada hasta el instante t.

2. Para un dado estado de tensiones t σij y determinados valores de los parámetros tKα (Þjados estos u ´ltimos por una dada cantidad de deformación plástica), el material estará en régimen elástico si F (tσij , t Kα ) < 0 o si

∂F t · σú ij < 0 (Condición de descarga) ∂ t σij y se producirán deformaciones plásticas si F (t σij , t Kα) = 0 y

F (tσij , t Kα ) = 0 y

∂F t · σú ij ≥ 0 (Condici´on de Carga) ∂ t σij

La primera condición establece que la deformación plástica comenzará cuando las tensiones veriÞquen F (t σij , t Kα ) = 0; mientras F (t σij , t Kα ) sea menor que 0, las deformaciones serán puramente elásticas. A medida que las deformaciones plásticas aumentan los parámetros t Kα crecen continuamente de manera que, si la ßuencia se inició en el instante t = 0 cuando los parámetros ten´õan ciertos valores 0 Kα y si en un instante posterior t = τ , el material es descargado y después cargado nuevamente, las deformaciones plásticas no volverán a manifestarse sino cuando las tensiones vuelvan a veriÞcar F (tσij , τ Kα ) = 0 siendo τ Kα distintos y mayores a los valores iniciales 0 Kα. La segunda condición se˜ nala que el rango elástico estará formado por todos aquellos estados de tensión t σij para los cuales se cumpla que F (t σij , t Kα ) < 0. A la condición ∂∂F · t σú ij < 0 se la denomina condición de tσ ij descarga debido a que, si las tensiones que se desarrollan en un instante t, cumplen F (t σij , t Kα ) = 0 y se produce un incremento de tensiones tσú ij · ∆t que descarga al material, entonces (por la primera de las condiciones 2) las tensiones en el instante t+∆t (que son iguales a las tensiones que exist´õan en el istante t, mas el incremento de tensión, es decir, t+∆t σij = tσij + t σú ij · ∆t) deberán cumplir F (t+∆t σij , tKα ) < 0 (Recordar que los parámetros t Kα var´õan solo cuando se produce un incremento de deformación plástica por lo que permanecen constantes durante una descarga); · t σú ij · ∆t = 0 + ∂∂F · t σú ij · ∆t luego como F (t+∆t σij , t Kα) ' F (t σij , t Kα) + ∂∂F tσ tσ ij ij deberá ser ∂∂F · t σú ij < 0 para que F (t+∆t σij , t Kα ) sea menor que 0. tσ ij Para materiales perfectamente plásticos los estados tensionales cr´õticos que se˜ nalan el comienzo de la ßuencia no se modiÞcan a medida que progresa la deformación plástica. La condición de ßuencia se reescribe entonces para dichos metales en la siguiente forma: 1. Los estados tensionales cr´õticos son aquellos que cumplen F (tσij , Kα ) = 0

i, j = 1, 2, 3

α = 1, 2, · · ·

siendo F la funci´on de ßuencia y Kα un conjunto de constantes 23

2. Para un dado estado de tensiones t σij , el material estará en régimen elástico si F (t σij , Kα ) < 0 y se producirán deformaciones plásticas si F (t σij , Kα ) = 0 En otras palabras, para materiales perfectamente plásticos los parámetros Kα no aumentan con la deformación sino que permanecen constantes por lo que la ßuencia se produce a tensión constante o cuando las tensiones evolucionen de manera que F = 0 (para estos materiales no existe la posibilidad de que se · tσú ij > 0 porque como los parámetros produzca una carga, es decir, de que ∂∂F tσ ij son constantes si se produce un incremento de tensiones tσú ij ∆t para el que se cumple ∂∂F · t σú ij > 0, las tensiones que se alcanzan después del incremento de tσ ij carga cumplirán F > 0 y esto constradice la segunda condición). Representaci´ on geom´ etrica de la Ley de Fluencia La igualdad F (tσij , t Kα) = 0 se puede interpretar geométricamente como una hipersuperÞcie en el espacio eucl´õdeo 6-dimensional de coordenadas cartesianas dadas por las 6 componentes diferentes del tensor de tensiones (en realidad, una familia de superÞcies de parámetros t Kα ), denominada superÞcie de ßuencia (ver referencias [17] y [18]). Los puntos de esta superÞcie representarán estados tensionales que deÞnen el comienzo de las deformaciones plásticas y el interior F (t σij , t Kα ) < 0 representará el rango elástico. Como los parámetros tKα dependen de la cantidad de deformación plástica que se acumula (cuando existe endurecimiento), la superÞcie de ßuencia cambiará continuamente durante la t ßuencia. La condición de carga ∂∂F σú ij > 0 admite la siguiente interpretación tσ ij en términos de esta representación geométrica (ver Þgura (3.3)): Como ∂∂F será tσ ij t un vector normal saliente a la superÞcie de ßuencia y σú ij ∆t un incremento de t tensiones, ∂∂F σú ij > 0 representará a un incremento de tensiones t σú ij ∆t que tσ ij t apunta hacia el exterior de la superÞcie y ∂∂F σú ij < 0, a un incremento que tσ ij t apunta hacia el interior (rango elástico). Cuando ∂∂F σú ij = 0 el incremento de tσ ij tensiones será tangente. La condición de carga implica que existirá ßuencia solo cuando el incremento de tensiones t σú ij ∆t apunte hacia el exterior o sea tangente. Para los materiales perfectamente plásticos, la superÞcie de ßuencia no cambia con la deformación y en este caso se producirá incremento de deformación plástica cuando la tensión se mantenga constante o cuando el incremento de tensiones t σú ij ∆t sea tangente a la superÞcie.

Figura 3.3: Representación geométrica de los rangos elásticos e inelásticos de carga. La ecuación (3.1) que deÞne a la superÞcie de ßuencia toma una forma más simple si se hace uso de las siguientes hipótesis (ver referencia [17]): 1. La ßuencia es independiente de la presión hidrostática. 2. El material es isótropo. La primera condición surge de observaciones experimentales (ver referencias [10] o [18]) que demostraron que las presiones hidrostáticas producen una cantidad despreciable de deformacion plástica tanto cuando son las u ńicas tensiones aplicadas como cuando act´ uan superpuestas a alg´ un estado tensional combinado. Esta hipótesis implica que la función de carga F depende solamente de la parte desviadora t sij del tensor de tensiones ya que esta parte no es afectada por cambios en la presión hidrostática. Por lo tanto la ley de ßuencia (3.1) se expresará como F (t sij , t Kα ) = 0 La segunda condición (condición de isotrop´õa) implica que no existen direcciones preferenciales para las tensiones que favorezcan el comienzo de la ßuencia y que por lo tanto F puede depender sólo de las componentes principales 25

(t s1, t s2 , t s3 ) del tensor de tensiones desviador pero no de las direcciones principales (tn1, t n2 , t n3 ); Además F debe ser una función simétrica de (t s1 , t s2, t s3 ) porque todas las tensiones principales deben cumplir el mismo rol en la ßuencia. En otras palabras, la función de ßuencia F debe ser una función isótropa del tensor desviador de tensiones y la ley de ßuencia se expresará seg´ un: (

F (ts1 , t s2, t s3 , tKα ) = 0 F (ts1 , t s2, t s3 , tKα ) = F (t s3, t s1 , ts2 , t Kα ) , etc. (F es sim´etrica)

Como las componentes principales del tensor desviador de tensiones son las soluciones de la ecuaci´on caracter´õstica −s3 + t J2 · s + t J3 = 0 donde: t

J2 = t J3 =

1t s t s = t s211 + t s222 + ts233 + 2 (t s213 + t s223 + t s212 ) 2 ij ij 1t s t s t s = |t sij | = t s11 t s22 t s33 − (t s213t s22 + t s223 ts11 3 ij jk ki

+ t s212 t s33 ) + 2 t s12 ts23 t s31 (3.2) son los invariantes principales del tensor desviador de tensiones,1 entonces dichas tensiones desviadoras principales ser´an funciones algebraicas de los invariantes escalares t J2 y t J3 . Luego la ley de ßuencia se podr´a expresar como F

J2 , t J3 , t Kα = 0

(3.3)

3.1.2. Ley de endurecimiento Como se dijo antes, en aquellos metales que experimentan endurecimiento por deformación, la superÞcie de ßuencia cambia a medida que las deformaciones plásticas progresan. La ecuación (3.1) permite conocer para qué estados de tensiones comienzan las deformaciones plásticas pero no dice nada respecto a como var´õa la superÞcie de ßuencia, es decir, como var´õan los parámetros t Kα . Al conjunto de hipótesis que se hacen para determinar dicha variación se lo denomina ley de endurecimiento. La mas simple de estas leyes es la llamada ley de endurecimiento isótropo seg´ un la cual se supone que las sucesivas superÞcies de ßuencia no cambian de forma, sino solo de tama˜ no, medido éste u ´ ltimo con un u ´ nico parámetro. En otras palabras se supone que todas las superÞcies de ßuencia son geométricamente semejantes entre s´õ, y todas ellas se reducen a la misma mediante un cambio de escala. Es decir que si se mide la escala (o tama˜ no) de la t superÞcie con un u ´ nico parámetro K y si, como consecuencia de la deformación, 1

El primer invariante t J1 = t s11 + t s22 + t s33 es nulo porque se trata de un tensor desviador ( sij = t σij − 13 t σkk δij ⇒ t skk = t σkk − 13 t σkk 3 = 0) t

éste parámetro aumenta por ejemplo al doble, se deberán aumentar las tensiones también al doble para comenzar de nuevo la ßuencia. Esta ley postula además que el mecanismo que produce el endurecimiento act´ ua igualmente en tensión que en compresión cualquiera sea la cantidad de deformación que haya acumulado el material (cualquiera sea t K), es decir, si la ßuencia comienza cuando las tensiones alcanzan cierto valor t σij (tracción) entonces también debe comenzar cuando el estado tensional sea (−t σij ). Matemáticamente esta ley se expresa de la siguiente manera: 1. La condición de ßuencia depende de un u ´ nico parámetro t K, es decir: F

J2 , tJ3 , t K = 0

(3.4)

2. La función de ßuencia F es una función homogénea de grado cero de t σij y de t K,2 es decir: F (α tσij , α tK) = F (t σij , t K)

∀α

3. La función de ßuencia F es una función par de t σij para cualquier t K, es decir, F (t σij , tK) = F (−t σij , t K) ∀ tK Combinando la hipótesis de homogeneidad de la función de ßuencia con las condiciones de isotrop´õa e independencia de la presión hidrostática discutidas en la sección anterior, es posible expresar a la condición de ßuencia con endurecimiento isótropo en una forma más conveniente que la de la ecuación (3.4): Observando t que por la condición de homogeneidad resulta F ( t 1K t σij , t 1K t K) = F ( tσKij , 1) y llamando f (x) a F (x, 1) se puede reescribir a la condición de ßuencia como: t σij f( t ) = 0 K 2

Se denomina función homogénea de grado n a aquella función f (x) que veriÞca f (α x) = αn f (x) ∀ α

En particular, una función será homogénea de grado 0 si cumple f(α x) = f (x) cualquiera sea la constante α. Las funciones homogéneas de grado n veriÞcan la siguiente identidad (conocida como teorema de Euler de las funciones homogéneas). ∇f (x) · x = n f (x)

(donde f debe ser una función par de tσKij para que el inicio de la ßuencia sea el mismo en tracción y en compresión) o bien, agregando las hipótesis simpliÞcativas de la sección anterior, como: t

f( t

J2 t J3 , )=0 K 2 tK 3

donde la función de ßuencia f es ahora adimensional dado que se supone que el parámetro tK tiene unidades de tensión (y par porque el mecanismo de endurecimiento es el mismo en tracción y en compresión).3 Observando ahora que ³ √t ´2 ³ √t ´3 ³√ ´ 3t t t f( t KJ22 , t KJ33 ) = f( t KJ2 , t KJ2 · √t JJ23 ) y que entonces la igualdad ³ √t

√ 3t √ J3 , tJ 2

´2 ³ √t

´3

√

tJ 2

³√ 3t

√ J3 ) = 0 deÞne impl´ õcitamente a tJ 2 √ 3t J = M( √t J23 ), entonces la condici´on de

es decir, t K imiento is´otropo) resulta:

√

tJ 2 tK

como funci´on de

ßuencia (con endurec-

√ 3 t J3 √ − M( )=0 tK tJ 2

√

tJ 2

o bien,

√t tK

√ 3

M( √t JJ23 )

−1=0

(3.5)

siendo M(x) una función adimensional (y par, es decir, M(x) = M(−x) para que el inicio de la ßuencia sea el mismo en tracción o compresión). La ecuación (3.5) es la expresión más conveniente para la condición de ßuencia con edurecimiento isótropo. Todas las hipótesis hechas hasta ahora, es decir, independecia de las presiones hidrostáticas, isotrop´õa, igualdad ante tracción o compresión, dependencia de un u ´ nico parámetro y homogeneidad de grado cero, se encuentran condensadas en la misma. Además está forma de expresar a la condición de ßuencia, es la que permitirá más adelante deÞnir a la denominada deformación plastica equivalente, que es la magnitud que mide la cantidad de deformación plástica que se acumula en el material. 3

En realidad f debe ser funci´on par solo de y t J3 (ecuaciones (3.2)) se deduce que t t

t J3 t K3

dado que observando las deÞnciones de t J2

J2 (t sij ) = t J2 ( − t sij ) J3 (t sij ) = −t J3 ( − t sij )

es decir, que t J2 es una función par de t sij y t J3 es una función impar, por lo que para que f sea función par de t sij alcanza con que sea función par solo de t J3 .

Representaci´ on geom´ etrica de la condici´ on de ßuencia con endurecimiento is´ otropo En la sección anterior se dijo que la condición de ßuencia puede asociarse con una hipersuperÞcie en el espacio 6-dimensional de coordenadas tσij . Como la hipótesis de isotrop´õa implica que para deÞnir a un estado tensional cualquiera t σij alcanza con especiÞcar solo sus tres componentes principales (tσ1 , t σ2 , t σ3 ), entonces para representar geométricamente a la condición de ßuencia (3.5) de un material isótropo se podrá utilizar el espacio 3-dimensional con coordenadas cartesianas dadas por las tres componentes principales (t σ1, t σ2, t σ3 ). Para ver que forma tiene en este espacio la superÞcie de ßuencia dada por la igualdad (3.5) se observa primero que (ver Þgura (3.4)) la dirección (1, 1, 1) representa a los estados tensionales puramente hidrostáticos (ya que para dichos estados, t σ1 = t σ2 = t σ3) y que el plano perpendicular a la dirección hidrostática y pasante por el or´õgen, es decir, el plano t σ1 + t σ2 + t σ3 = 0, representa estados tensionales puramente desviadores. Por lo tanto la proyección ortogonal de un estado tensional cualquiera (t σ1 , t σ2 , tσ3 ) sobre la dirección hidrostática (1, 1, 1) representará su parte volumétrica,4 y la proyección sobre el plano desviador, su parte desviadora (t s1, t s2 , ts3 ). Como la condición de ßuencia es independiente de la presión hidrostática, la superÞcie de ßuencia deberá ser paralela a la dirección (1, 1, 1), es decir, las intersecciones de la superÞcie con planos paralelos al plano desviador (que es un plano perpendicular a la dirección hidrostática), deberán ser todas idénticas. En la Þgura (3.5) se dibuja una de estas curvas: la curva intersección con el plano desviador t σ1 + t σ2 + t σ3 = 0. Debido a las condiciones de istorop´õa y de paridad de la condición de ßuencia, esta curva resultará simétrica respecto las proyecciones de los ejes coordenados (que estan separadas entre s´õ por un ańgulo de 120◦ ) y respecto a los tres ejes perpendiculares a éstos (ver referencia [18]). Se puede demostrar (ver referencia [7]) que si r y θ son las coordenadas polares de cualquier punto P ubicado sobre esta curva, (θ medido a partir del eje t σ3 proyectado) entonces: q

2 t J2 Ã√ !6 3 t 27 J 3 cos2 (3 θ) = · √t 4 J2 r =

√ √ 3t es decir, r y θ est´an relacionados respectivamente con los invariante t J2 y √t JJ23 que aparecen en la condici´on de ßuencia (3.5). Por lo tanto la igualdad (3.5)

La proyecci´ on ¸ortogonal de (t σ1 ,t σ2 ,t σ3 ) sobre la direcci´ on (1, 1, 1) esta dada por el vector (t σ1 + t σ2 + t σ3 ) ( · (1, 1, 1) = (1, 1, 1) 3 t

σ1 ,t σ2 ,t σ3 )·(1,1,1) (1,1,1)·(1,1,1)

puede ser reinterpretada como: √

r 2

o bien, r=

m (θ)

√

−1=0

2 t K m (θ)

(3.6)

es decir la ecuaci´on polar de dicha curva.

Figura 3.4: SuperÞcie de Fluencia Con la ecuación (3.6) se puede entender mejor la semejanza geométrica entre las sucesivas superÞcies de ßuencia que caracteriza a la ley de endurecimiento isótropo. Se observa que todas las superÞcies de ßuencia crecen en cada dirección radial (Þjada por el ańgulo θ) proporcionalmente al parámetro t K. (Figura 3.6) Ley de ßuencia de Von-Mises De todas las posibles leyes de ßuencia con endurecimiento isótropo (expresadas matemáticamente por la ecuación (3.5)) la mas simple es la denominada ley de ßuencia de Von Mises en la que se adopta M = cte. Es decir, se hace la suposición que la superÞcie de ßuencia no depende del angulo θ por lo que las intersecciones 30

σ1

σ1 θ P

Plano Desviador

σ2

Figura 3.5: Intersección de la superÞcie de ßuencia con el plano desviador con los planos paralelos al plano hidrostático son c´õrculos de radio proporcional a t K.5 En otras palabras, la superÞcie de ßuencia de Von Mises es un cilindro circular de radio proporcional a t K (cuyo eje es el vector (1, 1, 1)) (Figura (3.7)). Usualmente se la expresa como: √t J2 −1=0 (3.7) tK o, teniendo en cuenta la ecuación (3.2) como: q

1t s ts 2 ij ij tK

−1=0

3.1.3. Ley de ßujo Asociada Hasta ahora se ha hecho una caracterizaci´on de los estados tensionales l´õmite que dan lugar al inicio de la ßuencia (Ley de ßuencia) y de la forma en que 5

Si se utiliza en la ecuaci´ on (3.6) m(θ) = cte., la superÞcie de ßuencia resulta r = o bien, r = cte2 t K.

√

2 K cte

Superficies de fluencia sucesivas σ3

σ2 θ

σ2 Superficie de fluencia inicial

Figura 3.6: Crecimiento de la superÞcie de ßuencia seg´ un el modelo de endurecimiento is´otropo. σ3

σ2

σ1

Figura 3.7: SuperÞcie de ßuencia de Von Mises 32

éstos estados van variando a medida que las deformaciones plásticas progresan (Ley de endurecimiento). Ahora se pretende describir cómo se incrementará la deformación plástica cuando alguno de dichos estados sea alcanzado, es decir, cómo serán las componentes del tensor velocidad de deformación plástica cuando t las tensiones veriÞquen f( tσKij ) = 0, siendo f la función de ßuencia redeÞnida como: √t t σij J2 √ f( t ) = −1 (3.8) 3 t K M ( √ t J3 ) K tJ 2 Para ésto se hacen las siguientes hipótesis: 1. El ßujo plástico en metales es incompresible. 2. Las direcciones principales del tensor desviador de tensiones t sij y las direcciones principales del tensor desviador de velocidad de deformación plástica t εúPij en metales coinciden. La primera condición surge de observaciones experimentales. Si se supone que la velocidad de deformación tεúij puede descomponerse en la forma t

t P εúij = t εúE ij + εúij

t P donde t εúE uramente elástica y ij y εúij son respectivamente las contribuciones p´ puramente plástica a la velocidad de deformación total entonces la condición de incompresibilidad del ßujo plástico se puede expresar como (ver referencias [10], [17] y [18]) t P εúkk = tεúP11 + tεúP22 + t εúP33 = 0

por lo que el tensor velocidad de deformacion plástica tεúPij será idéntico a su parte desviadora.6 La segunda hipótesis es consecuencia de la hipótesis de isótrop´õa del material. Las dos condiciones pueden satisfacerse con suÞciente generalidad si se supone que la deformación plástica y las tensiones se relacionan seg´ un: t P εúij

= λ

∂f K t ∂ σij

(3.9)

Análogamente al tensor de tensiones t σij , el tensor velocidad de deformaci´ on t εúij (o su parte pl´ astica) también se puede descomponer en una parte “desviadora” y otra “volumétrica”: ¢ ¡ t 1t P εúij = t εúij − 13 t εúP εúkk δij kk δij + | {z } |3 {z } Parte desviadora

Parte volum´ etrica

Entonces, si t εúkk = 0, el tensor t εúij resultar´a igual a su parte desviadora.

donde t λ es un factor de proporcionalidad que depende de la posici´on t xi y del tiempo t y ∂ ∂f es el gradiente de la funci´on de ßuencia (3.8) evaluado en un tσ ij t

punto de la superÞcie de ßuencia, es decir, en t σij tal que f ( tσKij ) = 0.7 A esta igualdad se la llama ley de ßujo asociada con la función de ßuencia f.8 Geométricamente signiÞca que el tensor velocidad de deformación plástica tεúPij debe ser perpendicular a la superÞcie de ßuencia.9 Las razones por las cuales las hipotesis mencionadas al principio surgen necesariamente de la misma son las siguientes: como la función de ßuencia no depende de la presión hidrostática, es decir, depende exclusivamente de las tensiones desviadoras t sij , entonces resulta ∂f ∂ t skl 1 t t t t t = ∂ ∂f t s · ∂ t σ . Luego, como skl = σkl − 3 ( σ11 + σ22 + σ33 )·δij , las derivadas ∂ t σ ij ij kl ∂ t skl ∂ t σ ij

cumplir´an

t P εú11 +t εúP22 +t εúP33

∂ t skl ∂ t σ11

∂ t skl ∂ t σ22

∂ t skl ∂ t σ 33

= 0 por lo que

∂f ∂f ∂f = λ t + t + t ∂ σ11 ∂ σ22 ∂ σ33 t

∂f = λ t ∂ skl t

∂ tskl ∂ t skl ∂ t skl + + ∂ t σ11 ∂ t σ22 ∂ tσ33

Esto demuestra por qué (3.9) implica la condición de incompresibilidad. Para ver por qué esta ecuación implica la condición de igualdad entre las direcciones 7

El factor t K se introduce en la ecucaci´ on (3.9) para que el par´ametro t λ tenga unidades de ∂f t velocidad de deformaci´ on ( K ∂ t σij es adimensional). 8 La ley de ßujo se puede formular en forma m´as general como µ ¶ ∂P t P t t εúij = λ K t ∂ σij t

donde P ( tσKij ) es una función isótropa adimensional llamada Potencial Pl´ astico. Si se elige como potencial pl´ astico P a la misma funci´ on de ßuencia f , entonces se obtiene la igualdad (3.9) y se dice que se ha adoptado una ley de ßujo asociada con el criterio de ßuencia o más brevemente que la ley de ßujo es Asociada. Se puede demostrar (ver referencia [10]) que de olido cuando se produce todos los estados tensionales t σij que se pueden establecer dentro del s´ , el estado que veriÞca la igualdad (3.9) es decir, la ley de ßujo la deformaci´ on plástica t εúP ij asociada, es aquel para el cual la potencia necesaria para producir dicha deformación plástica ú P = t σij t εúP (llamada también Disipasi´ on Pl´ astica por su naturaleza irreversible) dada por t W ij es máxima. Se dice entonces que la ley de ßujo asociada es aquella para la cual se maximiza la disipasi´ on pl´ astica. 9 De la misma manera que cada estado tensional t σij puede ser representado por un vector de on componentes (t σ1 , t σ2 , t σ3 ) del espacio 3-dimensional, cada tensor de velocidad de deformaci´ t P t P t P pl´ astica t εúP ij puede ser representado por el vector de componentes ( εú1 , εú2 , εú3 ) del mismo espacio. Cuando se dice que el tensor t εúP on perpendicular a la superÞcie de ij tiene direcci´ ßuencia, lo que se quiere expresar es que el vector representativo de este tensor, es decir, el t P t P on. vector (t εúP 1 , εú2 , εú3 ), tiene dicha direcci´

principales de t σij y t εúPij se desarrollan las derivadas



0 t ∂f 1 1   √sij − M = ∂ t σij 2 M  t J2 M

µ ³ t 2 3

sik t skj tJ 2

−

∂f : ∂ t σij

2 δ − 3 ij ³√ ´2 3t √ J3 tJ 2

³√ 3t

√ J3 tJ 2

´3

ts √ ij tJ 2

¶   

(3.10)

donde M 0 es la derivada de la funci´on M respecto a su argumento y evaluada √ 3t en √t JJ23 . Como t K ∂ ∂f resulta un polinomio tensorial de grado 2 en t sij cuyos tσ ij coeÞcientes son funciones invariantes de t sij , es decir: t

∂f = P δij + Q t sij + R t sik t skj ∂ t σij

√ √ 3t con P , Q, y R, funciones de los invariantes t J2 y √t JJ23 , entonces, si nj es una dirección principal de t sij , es decir, tsij nj = t s ni (siendo ts alguna de las tensiones 10 principales t s1 , t s2 o t s3 ), entonces también lo será de tK ∂ ∂f Esto demuestra tσ . ij p t t entonces que las direcciones principales de εúij y σij serán coincidentes si ambos tensores se relacionan a través de la ley de ßujo (3.9).

Es importante aclarar que la igualdad (3.9) no determina completamente a la velocidad de deformación plástica t εúpij (cuando las tensiones t σij son conocidas), sino que sólo establece pcondiciones sobre su “dirección”, es decir, sólo permite t εú t εúp t εú p t εúp 11 11 11 11 conocer las relaciones t εúp , t εúp , t εúp , t εúp , etc. entre sus componentes. 22

√ 3

En la sección anterior se dijo que el invariante √t JJ23 está relacionado con la dirección del vector de componentes (t s1, t s2 , ts3 ) que representa a las tensiones desviadoras t sij (ángulo θ de la Þgura (3.5)). Una interpretación análoga se puede hacer para la velocidad de deformación plástica t εúpij : Llamando t dP2 y t dP3 a los invariantes principales de este tensor, es decir, t P d2 t P d3

1t p t p εú εú 2 ij ij 1t p t p t p = εú εú εú 3 ik kj ji =

(3.11)

√ 3 t P d se puede demostrar (ver referencia [7] y [18]) que el invariante √t P3 est´a d2

relacionado con la direcci´on del vector de componentes (t εú1, t εú2 , tεú3 ) que representa La direcci´ on nj es tambi´en direcci´ on principal de t K ∂ t∂f porque: t K ∂ ∂f t σ nj σij ij ´ ³ ∂f t t t t 2 t t (P δij + Q sij + R sik skj ) nj = P + Q s + R ( s) ni , es decir, K ∂ t σij nj = αni . 10

a la velocidad de deformación t εúpij . Como la ley de ßujo establece que la dirección del tensor t εúpij es la dirección normal a la supeÞcie de ßuencia, y como seg´ un la ecuación (3.5) los puntos de la superÞcie de ßuencia estan determinados exclusivamente por la dirección de la parte desviadora t sij del tensor de tensiones (por lo que la normal a la superÞce también estará determinada exclusivamente por la dirección del tensor de tensiones desviador) entonces √ la ley de ßujo implicará √ 3t √ J3 J2 t p de εúij

3 t P

d necesariamente cierta relaci´on entre los invariantes √t P3 y d2

dado que ´estos

invariantes representan respectivamente a las direcciones y de t sij . Para encontrar esta relaci´on se hace lo siguiente: elevando al cuadrado cada miembro de la ecuaci´on (3.9) y sumando las nueve componentes se obtiene: Ã

∂f = t λ2 · t K t ∂ σij

t pt p εúij εúij

!Ã

∂f t K t ∂ σij

y elevando al cubo cada miembro y sumando se obtiene: t p t p t p εúik εúkj εúji

t 3

= λ ·

!Ã

∂f K t ∂ σij

∂f K t ∂ σjk

!Ã

∂f K t ∂ σkl

por lo que, teniendo en cuenta las (3.11) resulta: q

t dP 2

q 3

t dP 3

r ³

= λ t

1 2

t K ∂f ∂ t σij

1 3

t K ∂f ∂ t σik

r ³

= λ3

´³

t K ∂f ∂ t σij

´³

t K ∂f ∂ t σkj

´³

t K ∂f ∂ t σji

(3.12)

Adoptando la notaci´on √ 3 t J3 µ = √ J2 q

t dP 3

ν = q

t dP 2

y utilizando la expresión (3.10) del gradiente de la función de ßuencia para desarrollar los miembros derechos de la ecuación anterior, se puede demostrar11 11

Las ecuaciones (3.13) se pueden deducir utilizando las identidades: ½h ³ ´³ ´ i2 ¾ ∂f ∂f ∂f 1 t t t K ∂ t σij K ∂ t σij = T raza K ∂ tσij 2 ½h ³ ´³ ´³ ´ i3 ¾ ∂f ∂f ∂f ∂f 1 t t t t K ∂ t σik K ∂ tσkj K ∂ t σji = T raza K ∂ tσij 3

que las igualdades (??) y (3.12) adquieren la siguiente forma: q

t dP 2

q 3

t dP 3

= λ = tλ

1 1 2 M (µ) 1 1 2 M (µ)

s·

´ M 0 (µ) 2 M (µ)

( 274 −µ6 ) µ4

v" # u 2 ³ 0 ´ 4 −µ6 ³ 0 ´2 4 −µ6 u ) ( 27 ) ³ M 0 (µ) ´3 ( 274 −µ6 ) M (µ) ( 27 M (µ) 3 t µ 1 − 3 M (µ) − 3 M (µ) + M (µ) µ5 µ4 µ9

√ 3 t P d Las relaciones buscadas entre ν y µ (es decir entre √t P3 y d2

(3.13)

√ 3t √ J3 ) tJ 2

ser´an entonces

(dividiendo las ecuaciones anteriores):

ν=µ

v" # u 2 ³ 0 ´ 4 −µ6 ³ 0 ´2 4 −µ6 u ) ( 27 ) ³ M 0 (µ) ´3 ( 274 −µ6 ) M (µ) ( 27 M (µ) 3 t 1 − 3 M (µ) − 3 M (µ) + M (µ) µ5 µ4 µ9 s·

´ M 0 (µ) 2 M (µ)

( 274 −µ6 ) µ4

(3.14)

Resumiendo, la ley de ßujo (3.9) determina que el tensor velocidad de deformación plástica t εúpik tiene dirección normal a la superÞcie de ßuencia; como esta u ´ ltima dirección depende de la “dirección” del tensor desviador de tensiones t sij , entonces la ley de ßujo implica cierta relación entre las “direcciones” de los tensores t εúpik y t sij . Esta relación se expresa en términos de los invariantes ν y µ (que estan relacionados con dichas direcciones) en la forma dada por la ecuación (3.14), o en forma más compacta, como: ν = φ(µ) h

representa a la matriz con las componentes del tensor donde el corchete t K ∂ t∂f σij i i2 h h ∂f ∂f t t t t es un polinomio de grado 2 en [ K ∂ t∂f . Como K s ], entonces K y ij σij ∂ t σik ∂ t σik h i3 t K ∂ t∂f resultar´an ser polinomios de grado 4 y 6 en [t sij ] respectivamente por lo que los σik

t miembros de estas igualdades resultar´ aon ser sumas o n o n n de los o invariantes n T raza o {[ sij ]}, n derechos 2 3 4 5 6 y T raza [t sij ] . La deT raza [t sij ] , T raza [t sij ] , T raza [t sij ] , T raza [t sij ] ducci´ on de las ecuaciones se completa utilizando las igualdades:

=0 T raza n {[t sij ]} o 2 t T raza [ sij ] = 2t J2 o n 3 T raza [t sij ] = 3t J3 o n 4 2 T raza [t sij ] = 2 (t J2 ) 5

T raza [nt sij ] =o5t J2 t J3 6 3 2 T raza [t sij ] = 2 (t J2 ) + 3 (t J3 )

o bien:

√ 3 t J3 q = φ( √t ) t dP J2 2 3

t dP 3

(3.15)

donde φ(µ) es la funci´on dada por el miembro derecho de la igualdad (3.14), es decir:

φ(µ) = µ

v" # u ³ 0 ´ ( 4 −µ6 ) ³ 0 ´2 ( 4 −µ6 ) ³ 0 ´2 ( 4 −µ6 )2 u M (µ) M (µ) M (µ) 3 27 27 27 t 1−3 − 3 M (µ) + M (µ) M (µ) µ5 µ4 µ9 s·

´ M 0 (µ) 2 M (µ)

( 274 −µ6 ) µ4

(3.16)

Eliminaci´ on del par´ ametro t λ Utilizando las ecuaciones (3.13) y (3.15) se puede expresar al factor de proporcionalidad t λ que aparece en la ley de ßujo (3.9) como funci´on invariante exclusiva de t εúpij : asumiendo que la funci´on φ(µ) es inversible por lo que la (3.15) implica que q √ 3 t P 3 t d3 J3 √t = φ−1 ( q ) (3.17) t dP J2 2

y despejando al par´ametro t λ de la ecuaci´on (3.13) resulta: t

2 M(φ−1 (ν))

t dP 2 λ = s· ³ 0 −1 ´2 ( 4 −(φ−1 (ν))6 ) ¸ (φ (ν)) 27 1+ M M (φ−1 (ν)) (φ−1 (ν))4

(3.18)

√ 3 t P d donde ν = √t P3 y φ−1 (ν) es la inversa de la funci´on φ. d2

Ley de ßujo asociada con la ley de ßuencia de Von Mises Cuando se utliliza la ley de ßuencia de Von Mises (3.7) en la que se asume M = cte (por lo que M 0 = 0), la igualdad (3.10) se reduce a: t

∂f 1 t sij √ = ∂ tσij 2 t J2

por lo que la ley de ßujo resulta: t P εúij

1 t sij = t λ √t 2 J2 38

(3.19)

y las igualdades (3.13) se reducen a q

= tλ 12

t dP 2 t dP 3

q 3

por lo que

√ 3

= t λ 12 √t JJ23

√ 3 t J3 q = √t t dP J2 2 t dP 3

(3.20)

(es decir φ(µ) = µ) y el par´ametro t λ resulta: t

λ=2

t dP 2

(3.21)

Combinando las ecuaciones (3.19) y (3.21) se obiene: t P εúij

t sij = √t t dP J2 2

o bien, utilizando la ley de ßuencia (3.7), t

t P εúij

t dP 2

= tsij

3.1.4. Tensi´ on equivalente y Deformaci´ on pl´ astica equivalente La condición de ßuencia (3.5) deÞne a todos los estados de tensión que dan lugar al comienzo de las deformaciones plásticas. En particular, el estado tensional que se produce en un ensayo de tracción uniaxial cuando la tensión en la dirección axial iguala a la tensión de ßuencia del material t σY deberá estar determinado también por dicha condición. Los valores que alcanzan las tensiones principales en el ensayo de tracción cuando se inicia la ßuencia son t σ1 = t σY , t σ2 = 0 y t σ3 = 0. Reemplazando estos valores en la condición de ßuencia (3.5) se obtiene: t σY √ √ q2 −1 =0 3 t K M ( 3 3 27 )

o bien: t

1 t K=√ σY √ q 3 2 3 M ( 3 27 ) 39

(es decir, t K y t σY son proporcionales)12 y combinando la igualdad anterior con la ley de ßuencia (3.5) se obtiene:13 √

√ 3 M( 3

s 3

√t 2 J2 √ ) = t σY 3t J 3 27 M( √t ) J2

(3.22)

A la magnitud deÞnida por el miembro izquierdo de esta ecuación se la llama tensión equivalente (y se la simboliza como tσ). Es una función escalar que depende exclusivamente de las tensiones y que puede ser comparada con la tensión de ßuencia t σY del ensayo de tracción uniaxial para deÞnir el comienzo de la ßuencia. Cuando se enunció la ley de ßuencia (3.5) se dijo que el parámetro t K que deÞne el “tama˜ no” de la superÞcie de ßuencia depende de la cantidad de deformación plástica que se acumula en en material. Para poder determinar la evolución del parámetro t K (y de la superÞcie de ßuencia) es necesario entonces cuantiÞcar primero dicha cantidad de deformación plástica que se acumula. Para ello se utiliza la denominada deformación plástica equivalente tεP . Esta magnitud es una cantidad escalar que depende exclusivamente de las velocidades de deformación plástica t εúPij (de la misma forma que la tension equivalente t σ depende exclusivamente de las tensiones t σij ) y se deÞne de acuerdo a: t

ú P = t σij tεúP = t σ t εúP W ij

(3.23)

ú P es el trabajo por unidad de tiempo y por unidad de vol´ donde t W umen que es necesario realizar para producir un incremento deformaci´on pl´astica y t σ es la 12

Estas relaciones se pueden deducir teniendo en cuenta que cuando las tensiones principales son (t σ1 , t σ2 , t σ3 ) = (t σY , 0, 0) las tensiones desviadoras principales valen:  t  s1 = t σY − 13 t σY = 23 t σY t s2 = 0 − 13 t σY = − 13 t σY  t s3 = 0 − 13 t σY = − 13 t σY

entonces los invariantes

√t

J2 y

p 3

tJ 2

tJ 3

√ 3 t

J3 que aparecen el la ley de ßuencia (3.5) resultan: r 1 1 t 2 t 2 t 2 ( s + s2 + s3 ) = √ t σY = 2 1 3 r r 1 t 3 t 3 t 3 2t ( s1 + s2 + s3 ) = 3 = σY 3 27

√ q2 Recordar que la funci´ on M (µ) es una funci´on adimensional por lo que M ( 3 3 27 ) es un n´ umero. 13

tensi´on equivalente deÞnida por el miembro izquierdo de la ecuaci´on (3.22), es decir, s √ tJ √ √ 3 2 2 t √ σ = 3 M( 3 ) (3.24) 27 M( √3 tt J3 ) J2

La igualdad (3.23) deÞne a la derivada respecto al tiempo de la deformación plástica equivalente t εP denominada velocidad de deformación plástica equivalente t P εú . La deformación equivalente se obtiene a partir de la velocidad equivalente por integración sobre el intervalo de tiempo durante el cual se desarrolla la ßuencia de esta velocidad, es decir: t P

ε =

τ P

εú dτ

(3.25)

Para obtener la expresión expl´õcita de la deformación plástica equivalente como función de las velocidades de deformación t εúPij (exclusivamente) se hace lo siguiente: teniendo en cuenta la ley de ßujo (3.9), el trabajo por unidad de tiempo t ú P W se puede expresar como: t

ú P = t σij tεúP = t σij t λ t K ∂f W ij ∂ t σij

Como la función de ßuencia (3.5) es una función homogenea de grado cero para las variables tσij y t K,14 entonces, por el teorema de Euler para las funciones homogeneas 15 se obtiene: √t ∂f ∂f J2 t t √ σij t =−K t = 3 t K M ( √ tJ3 ) ∂ σij ∂K tJ 2 ú P será: por lo que t W t

ú = λ W P

√t

J2 √ 3t M ( √t JJ23 )

Combinando esta ecuaci´on con la (3.23) se llega a √t J2 t t P t √ σ εú = λ 3 t M ( √t JJ23 ) 14

Recordar las hipotesis que deÞnen al endurecimiento is´ otropo Esto es si f (t σij ,t K) es una funci´on homogenea de grado n (es decir f (α t σij , α t K) = t t f (t σij ,t K)) entonces t σij ∂ t∂f + t K ∂∂f t K = n f ( σij , K)). En particular, si n es cero, resulta σij 15

∂f t σij ∂ t∂f σij + K ∂ t K = 0.

o bien, utilizando la ecuaci´on (3.24) que deÞne a la tensi´on equivalente t σ: √

√

3 M( 3

s 3

√t √t 2 J2 t P t J2 √ √ ) εú = λ 3t 3t J 27 M ( √t 3 ) M( √t JJ23 ) J2 √ 3

Teniendo en cuenta Þnalmente que tanto t λ como √t JJ23 pueden ser expresadas como funciones que dependen exclusivamente de tεúPij (ecuaciones (3.17) y (3.18) de la sección anterior) entonces la expresión expl´õcita para t εúP buscada será: q

M (φ−1 (ν)) t dP2 2 t P q s εú = √ √ · ¸ ³ 0 −1 ´ 6 2 4 −1 3 M ( 3 3 27 ) M (φ (ν)) 2 ( 27 −(φ (ν)) ) 1 + M (φ−1 (ν)) (φ−1 (ν))4 donde ν =

√ 3t √ d3 td 2

(3.26)

y φ−1 (ν) es la inversa de la funci´on φ(µ) (deÞnida en la (3.16)).

Tensi´ on equivalente y Deformaci´ on equivalente asociada con la ley de ßuencia de Von Mises Utilizando la ley de ßuencia de Von Mises, para la cual M(µ) = 1 por lo que M 0 (µ) = 0 y φ(µ) = µ por lo que φ−1 (ν) = ν, la tensi´on equivalente deÞnida por la ecuaci´on (3.24) toma la forma t

σ=

√ q 3 t J2

y la velocidad de deformación plástica equivalente deÞnida por la ecuación (3.26) se reduce a: 2 qt P t P √ εú = d2 3 3.1.5. Relaciones Tensi´ on-Deformaci´ on completas para la plasticidad Como se dijo antes, la ley de ßujo (3.9) no determina completamente a la velocidad de deformación plástica t εúPij conocidas las tensiones t σij sino que especiÞca solamente a sus direcciones principales (t n1 ,√t n2 , t n3) (que son iguales a las 3t direcciones principales de tsij ) y al invariante √t dd23 (que es función del invariante √ 3t √ J3 tJ 2

de tsij ). Entonces, para conocer completamente a t εúPij , lo u ´nico que falta t t 16 es conocer el valor de alguno de los invariantes d2 o d3 . Para encontrar una relaci´on que permita conocer a alguno de estos invariantes (conocidas las 16

Recordar que para especiÞcar completamente a un tensor t εúP sus ij , es¡ necesario conocer ¢ t P t P direcciones principales (t n1 , t n2 , t n3 ) y sus componentes principales t εúP . Como , ε ú , ε ú 1 2 3

tensiones) se observa que debido a la condici´on de ßuencia, la funci´on de ßuencia f debe permanecer igual a 0 en todo instante durante el cual tenga lugar la ßuencia, entonces: ∂f ∂f fú = t t σú ij + t t Kú = 0 ∂ σij ∂K o bien, teniendo en cuenta que t K ∂∂f tK = − t

√

tJ 2 3 tJ 3

√ √ M( t

)

= −1:

∂f t σú ij − t Kú = 0 t ∂ σij

(3.27)

Como el parámetro de endurecimiento t K es función de la cantidad de deformación plástica que se acumula en el material y que se mide con la deformación plástica equivalente t εP deÞnida en la sección anterior (ecuaciones (3.25) y (3.26)), es decir t

K = K(t εP )

entonces, la derivada t Kú ser´a: t

Kú = K 0 (t εP ) t εúP

o bien, utilizando la (3.26), q

M(φ−1(ν)) t dP2 2 t ú q s K = K 0 (tεP ) √ √ · ¸ ³ 0 −1 ´ 6 2 4 −1 3 M( 3 3 27 ) M (φ (ν)) 2 ( 27 −(φ (ν)) ) 1 + M (φ−1 (ν)) (φ−1 (ν))4

(3.28)

donde K 0 (t εP ) es la derivada de la función K(t εP ) que, como se dijo en la sección anterior, es proporcional a la tensión de ßuencia del ensayo de tracción σY (tεP ) (que es una función conocida). Sustituyendo la (3.28) en la (3.27) y teniendo en −1 cuenta que por la √ ley de ßujo, φ (ν) = µ o bien, ν = φ(µ) (siendo como siempre µ=

√ 3t √ J3 , tJ 2

3 t P

d ν = √t P3 y φ(µ) la funci´on dada por la (3.16)) se obtiene la relaci´on d2

buscada que permite conocer al invariante q

t dP 2

√

√ q2 3 M( 3 3 27 ) 2

s·

t dP : 2

´ M 0 (µ) 2 M (µ)

( 274 −µ6 ) µ4

M(µ) K 0 (t εP )

∂f t σú ij ∂ t σij

(3.29)

¡t P ¢ ¡ ¢3 estas u ´ltimas son las soluciones de la ecuaci´ on caracter´õstica t εúP − t dP εú − t dP 2 3 = 0 entonces bastar´a conocer adem´ as de las direcciones principales solo a los invariantes principales √ 3 t P d3 t P t t t √ d2 y t dP . En este caso se conocen las direcciones ( n , n , n ) y el cosiente ; solo falta 1 2 3 3 t P d2

t P conocer a alguno de los invariantes t dP 2 o d3 .

Resumiendo, conocidas las tensiones t σij y la velocidad de cambio de las tensiones t σú ij , la velocidad de deformación plástica t εúPij queda completamente determinada: sus direcciones principales son iguales a las direcciones principales del tensor de tensiones desviador t sij (ley de ßujo), y sus componentes principales son funciones escalares de los invariantes principales t dP2 y t dP3 que están determinados seg´ un las ecuaciones (3.14) (que se deriva de la ley de ßujo) y (3.29) (que se deriva de la ley de ßuencia y la ley de endurecimiento). Combinando la ley de ßujo (3.9) y las ecuaciones (3.18) y (3.29) obtiene: t P εúij

√

√ q2 Ã 3 M( 3 3 27 ) t

M(µ) K 0 (t εP )

∂f K t ∂ σij

!Ã

∂f t K t ∂ σkl

σú kl

(3.30)

que es otra forma de expresar las relaciones entre tεúPij y t σkl y t σú kl mencionadas. Particularizaci´ on para el caso de la ley de ßuencia de Von Mises Utilizando la ley de ßuencia de Von Mises (donde M (µ) = 1 y M 0 (µ) = 0) las ecuaciones (3.29) y (3.30) se reducen respectivamente a √ q t 3 1 sij t t dP = √ súij (3.31) 2 0 t P 2 K ( ε ) t J2 y t P εúij

√ √ t 3 sij t skl t 3 t sij t skl t = 0 t P √t √t sú kl = 0 t P sú kl K(ε ) K ( ε ) t J2 J2 J2

(3.32)

La ecuaciones constitutivas para la plasticidad para materiales isótropos que experimentan endurecimiento isótropo estan dadas entonces por las ecuaciones (3.30), que se pueden expresar a su vez en forma invariante mediante las ecuaciones (3.14) y (3.29). Si en particular se adopta la ley de ßuencia de Von Mises (3.7) estas ecuaciones se reducen respectivamente a las (3.32), (3.20) y (3.31). Para formularlas fue necesario especiÞcar en primer lugar cuales son los estados tensionales a partir de los cuales comienzan a manifestarse las deformaciones inelásticas (dichos estado son los que veriÞcan la ley de ßuencia (3.1) que para materiales isótropos y cuya ßuencia es independiente de la presión hidrostática, se reduce a (3.3)), en segundo lugar decir cómo van variando dichos estados tensionales a medida que las deformaciones plásticas se acumulan (esta variación esta dada por la ley de endurecimiento isótropo como consecuencia de la cual la función de ßuencia se reduce a la forma (3.5)) y en tercer lugar describir cómo se incrementa la deformación plástica cuando alguno de estos estados es 44

alcanzado (ley de ßujo (3.9)) y cómo se cuantiÞca la deformación plástica que se va acumulando dentro del material a medida que las deformaciones plásticas progresan (esto se hace a través de la deformación plástica equivalente obtenida como integración de la velocidad de deformación equivalente (3.26)).

3.2. Viscoplasticidad La relación tensión-deformación para la plasticidad descripta en las secciones anteriores se puede escribir en forma compacta (ver ecuacion (3.30)) como: t P εúij

= cijkl t σú kl

siendo cijkl funciones de las tensiones t σij . Esta relación se caracteriza por ser independiente del tiempo, es decir, prevee que existirán incrementos de deformación plástica en la medida que se impongan simultáneamente incrementos de tensión o bien, que la deformación plástica que se produce como respuesta a un incremento de tensión es instantánea. Sin embargo, se observa experimentalmente que la ßuencia de un metal s´õ depende del tiempo. Por ejemplo, si se realiza un ensayo de tracción uniaxial a diferentes velocidades de deformación (es decir, con procesos de carga de diferentes duraciones de tiempo), se observa que (ver Þgura (3.8)) el l´õmite de ßuencia tσY para procesos de cargas dinámicos (es decir, velocidades de deformación altas) es mayor que el correspondiente a un ensayo estático (es decir, aquel que se desarrolla a velocidades de deformación muy bajas, casi nulas) y que el endurecimiento por deformación (pendiente de la curva σ-ε) se reduce a medida que la velocidad de deformación aumenta (ver referencia [14]). Es decir, la tensión de ßuencia t σY depende no solo de la cantidad de deformación plástica acumulada en el material t εP , sino también de la velocidad de deformación plástica t εúP : t σY = σY (tεP , t εúP ) Para tener en cuenta esta dependencia de la tensión de ßuencia de la velocidad de deformación (y por lo tanto del tiempo) se utiliza el modelo viscoplástico. Una forma particular de este modelo es la propuesta por Perzyna (ver referencia [25]) seg´ un la cual se supone que la velocidad con que aumentará la deformación plástica t P εú cuando se aplique un determinado nivel de tensión t σ depende de la diferencia t σ −σY (t εP ) entre la tensión que esta siendo efectivamente aplicada t σ y la tensión de ßuencia “estática” σY (t εP ), es decir, la tensión que deber´õa ser aplicada para que el material ßuya a velocidades de deformación peque˜ nas (casi nulas)), de t P manera que la velocidad de deformación plástica εú crece a medida que aumenta esta diferencia, (y cuando esta diferencia es negativa, la velocidad de deformación 45

σ ε creciente

σY

Curva Estática

O t

C εE

Figura 3.8: Ensayo de tracción para distintas velocidades de deformación. plástica debe ser nula porque en dicho caso no hay ßuencia). Matemáticamente esto se expresa como: t P

εú =

(

0 si t σ < σY (t εP ) tσ η Φ( σY (t εP ) − 1) si t σ ≥ σY (t εP )

donde η es una constante que depende del material y Φ es una función adimensional creciente que depende también del material, y que se elige para que el modelo pueda reproducir datos experimentales (por ejemplo, se pueden elegir P I funciones del tipo exponencial Φ(f) = exp(α f)−1, polinómica Φ(f) = N I=1 βI f (N ∈ N) o potencial Φ(f) = f δ (δ ∈ Q), donde las constantes α, βI y δ se determinan experimentalmente). Generalmente se escribe a esta expresión en forma más compacta como: t P

εú = η

σ Φ( − 1) σY (t εP )

(3.33)

donde σY (tσεP ) −1 es la diferencia relativa entre la tensión instantánea t σ y la tensión de ßuencia “estática” σY (t εP ) (la correspondiente a velocidades de deformación 46

peque˜ nas), y d´onde el s´õmbolo hΦ(f)i se deÞne seg´ un: hΦ(f)i =

(

0 si f < 0 Φ(f ) si f ≥ 0

(3.34)

Despejando tσ de la ecuación (3.33) (teniendo en cuenta para ello que la función Φ(f) es una función creciente y por lo tanto inversible), se obtiene: t

t P

σ = σY ( ε )

t P

εú 1+Φ ( ) η −1

(3.35)

Esta ecuación deÞne a la relación tensión-deformación dinámica que resulta del modelo de viscoplasticidad de Perzyna. Se observa que la tensión t σ que es necesario aplicar para que el material ßuya plásticamente a velocidades “grandes” (t εúP > 0) (o tensión de ßuencia dinámica) resulta proporcional a la tensión que deber´õa aplicarse para que se produzca ßuencia plástica a velocidades “peque˜ nas” (o tensión de ßuencia estática), con un coeÞciente de proporcionalidad que es función exclusiva de la velocidad de deformación t εúP . Se puede interpretar entonces que el modelo de Perzyna propone describir el comportamiento dinámico del material a partir de su respuesta estática. La incorporación de la variable tiempo (o velocidad de deformación) en el modelo constitutivo del material (variable no tenida en cuenta ni en el modelo elástico ni el de plasticidad inviscida presentado en la sección anterior) tiene la siguiente consecuencia: si se considera a las deformaciones elásticas despreciables frente a las inelásticas, (y teniendo en cuenta que la deformación total esta compuesta por una parte elástica y una parte inelástica, es decir t εú = t εúE + tεúP ) entonces resulta un material caracterizado por una ley constitutiva del tipo t

εú = f(t σ)

, es decir un material que se comporta prácticamente como un ßuido, en el sentido que es incapaz de resistir tensión sin moverse. 3.2.1. Relaci´ on constitutiva para la viscoplasticidad Para generalizar este modelo al caso tridimensional, es decir, al caso en que se someta al cuerpo a un estado multiaxial de tensiones y éste experimente deformaciones plásticas arbitrarias se propone lo siguiente (ver referencia [25] y [29]): • Se deÞne una función de ßuencia estática F (es decir, una función de ßuencia que se˜ nalará el comienzo de la ßuencia para velocidades de deformación muy 47

bajas), que depende de las tensiones t σij , y de una familia de parámetros t Kα , tal que cuando F (t σij , t Kα ) < 0, las deformaciones serán puramente elásticas (es decir, t εúPij = 0) y comenzarán las deformaciones viscoplásticas cuando F (t σij , t Kα ) = 0. • Se propone la siguiente relación constitutiva para describir el comportamiento plástico dependiente del tiempo en términos de la viscoplasticidad: t P εúij

= η hΦ(F )i

∂F ∂ t σij

(3.36)

donde F es la función de ßuencia estática, y, al igual que en el caso unidimensional, η es una constante que depende del material, Φ es una función adimensional (también dependiente del material) y el s´õmbolo hΦ(F )i se deÞne por la ecuación (3.34). La primera condición establece para qué estados de tensiones comienza la ßuencia para velocidades de deformación muy bajas (casi nulas). La igualdad F (t σij , t Kα ) = 0 deÞne a la superÞcie de ßuencia estática en el espacio de las tensiones. Si, como en el caso de la plasticidad, se asume 1) que el material es isótropo y 2) que las ßuencia no depende de la presión hidrostática, la condición de ßuencia estática se expresará como F

J2 , t J3 , t Kα = 0

(con F función par de t J3 ), y si además se utiliza el modelo de endurecimiento isótropo (ver sección 3.1.4.), entonces la función de ßuencia estática estará dada por √t t σij J2 √ f( t ) = −1 (3.37) 3 t K M ( √ t J3 ) K t J2 √ 3t argumento √t JJ23

(siendo M, una función par de su para que el comienzo de la ßuencia sea el mismo para tracción y para compresión) y la superÞcie de ßuencia estática será: √t J2 √ −1=0 3 t K M( √ t J3 ) tJ 2 La segunda hipótesis es una ley análoga a la ley de ßujo asociada formulada para la plásticidad.17 Esta condición establece lo siguiente: Como la superÞcie de 17

Al igual que en el caso de la ley de ßujo asociada para la plasticidad, la relaci´ on constitutiva para la viscoplasticidad se puede formular con mayor generalidad en la forma t P εúij

= η hΦ(F )i

∂P ∂ t σij

ßuencia estática, esta dada por la igualdad F = 0 y como un estado de tensiones t σij que cumple F (t σij , t K) > 0 está representado por un punto en el espacio de las tensiones que se encuentra afuera de la superÞcie de ßuencia F = 0, (y la función F toma valores cada vez mayores a medida que este punto se aleja de la superÞcie) entonces la relación (3.36) prevee que para determinadas tensiones t σij , la velocidad de deformación plástica dependerá de la “distancia” entre dichas tensiones y la superÞcie de ßuencia estática F = 0. Esto es análogo al caso unidimensional en el que la deformación plástica es función de la diferencia entre las tensiones instantánea tσ y las tensión de ßuencia del ensayo de tracción estático t σY . Si se utiliza la función de ßuencia (3.37) la relación constitutiva (3.36) queda: * + √t J ∂f 2 t P √ εúij = η Φ( − 1) t K t (3.38) 3t J tK M ( √ 3 ) ∂ σij tJ 2 con tK ∂ ∂f dada por la ecuación (3.10). Elevando al cuadrado cada miembro de tσ ij la ecuación anterior y sumando todas las componentes se obtiene (ver ecuación 3.13): q

t dP 2

=η

(con t dP2 =

Φ(

√t

1t p t p εú εú 2 ij ij

√t

√ 3t M( √t JJ23 )

yµ= 

− 1)

√ 3t √ J3 ) J2

µ4

M(µ)

e invirtiendo esta u ´ltima ecuaci´on se obiene:

  −1 √ = K  3t 1 + Φ (  M( √t JJ3 )

1 1 2 M(µ)

v ´ u Ã !2 ³ 4 u 6 0 − µ M (µ) u 27  t1 +

t dP 2

s·



   ) ¸  ³ 0 ´2 4 −µ6  ( ) M (µ) 27

2 M (µ) M (µ)

(3.39)

µ4

Esta ecuación representa a las superÞcies de ßuencia dinámicas. La Þgura (3.9) muestra las intersecciones de dichas superÞcies con el plano desviador. √ √t 3t J 3 Recordando que los invariantes J2 y √t J2 están relacionados con el radiovector r y el ángulo θ de cada punto P de estas curvas y llamando K(t dP2 ) al miembro derecho de la igualdad (3.39), esta igualdad se puede interpretar como r = K(t dP2 ) m(θ) donde la función P (t σij , t K) es el denominado potencial viscoplástico. Cuando se adopta como potencial viscopl´ astico a la funci´ on de ßuencia F , la ley constitutiva adquiere la forma (3.36). Se dice entonces que se trata de una ley asociada con la condici´ on de ßuencia y se puede demostrar que dicha ley asociada es aquella para la cual se maximiza la disipasi´ on.

Superficie de fluencia Dinámica Superficie de fluencia Estática

σ3

t ij

θ σ1

σ2

Plano Desviador

Figura 3.9: SuperÞcies de ßuencia estática y dinam´õca o bien, r = K(t dP2 ) m(θ) se puede observar que las superÞcies de ßuencia dinámicas son todas geométricamente semejantes a la superÞcie estática y que crecen a mayor velocidad de deformación plástica. La ecuación (3.38), expresa también que el tensor velocidad de deformación (considerado como vector en el espacio tridimensional de las tensiones) es normal a la superÞcie de ßuencia dinámica (ver Þgura (3.9)). Como existe una analog´õa formal entre la ley constitutiva (3.38) y la ley de ßujo para la plasticidad (3.9), las deÞniciones de tensión equivalente y deformación equivalente dadas en la sección anterior (ecuaciones (3.24) y (3.26) respectivamente), siguen siendo válidas. En términos de estas medidas de la tensión y la deformación acumulada, la ecuación (3.39) se expresa como: t

donde η ∗ =

√

η √ 3 M( 3

σ = σY

t P

εú 1+Φ ( ∗ ) η −1

√ que es la relación tensión deformación dinámica que se 3 2 27

)

obtiene con el ensayo de tracción uniaxial (t σY es la tensión de ßuencia estática 50

de este ensayo18), por lo que la tensión equivalente t σ y la deformación plástica equivalente t εP podrán ser utilizadas para comparar un estado triaxial arbitrario de tensión tσij y deformación t εpij con el estado uniaxial que se produce en el ensayo de tracción. 3.2.2. Relaci´ on constitutiva para la viscoplasticidad asociada con la ley de ßuencia de Von Mises Utilizando la función de ßuencia de Von Mises: √ √ √t J2 3 t J2 −1 f= t −1= t K σY la relación constitutiva para la viscoplasticidad (3.38) y la ecuación que deÞne a la superÞcie de ßuencia dinámica (3.39) se reducen a * √ √ + 3 t J2 1 t sij t P √ εúij = η Φ( t − 1) (3.40) σY 2 t J2 y



√ q 2 3 t J2 = t σY 1 + Φ−1 (

t dP 2



)

(3.41)

Al igual que en la plasticidad inviscida asociada a la ley de √ ßuencia de q Von t Mises, en la que la supeÞcie de ßuencia es un cilindro de radio r = 2 K = 23 t K (de eje (1,1,1)) (ver Þgura (3.7)), en la viscoplasticidad asociada a la ley de ßuencia de Von Mises, las supeÞcies de ßuencia dinámicas son cilindros de radios dependientes de la velocidad de deformación (ver referencia [25]). Si se compara la ecuación (3.40) con la relación constitutiva que deÞne a un ßuido viscoso (ßuido newtoniano) t

εúij =

1 t sij 2µ

donde µ es la viscosidad, se observa que el modelo de viscoplasticidad asociado a la ley de ßuencia de Von Mises prevee la misma relación entre la velocidad de deformación plástica t εúPij y la tensión t sij que la que existe entre la velocidad de deformación total y la tensión en un ßuido newtoniano de viscosidad no constante y dada por: D √ √t E η Φ( 3t σY J2 − 1) 1 √ = 2µ 2 t J2 18

Recordar que el par´ ametro de endurecimiento t K y la tensi´ on de ßuencia del ensayo de 1 t t √ √ σY . tracci´ on uniaxial σY son proporcionales, es decir, t K = √ 3 2 3 M( 3

27 )

Para poner en evidencia esta analog´õa, la relaci´on constitutiva viscoplastica asociada con la ley de ßuencia de Von Mises (ecuaci´on (3.40)) se escribe como  t P  εú =   ij   

1 2µ

1 t s 2µD ij√ √ t η Φ( 3t σY J2 √ 2 t J2

(3.42)

− 1)

o bien, utilizando la ecuación (3.41) para escribir a la viscosidad como función exclusiva de la velocidad de deformación, como:  t t P    sij = 2µ ε³úij t

   2µ =

σY

1 + Φ−1 ( 2 √ √ 3 t d2

√

td 2

)

(3.43)

A diferencia de la plasticidad inviscida presentada en la sección anterior, el modelo viscoplástico incorpora entonces la inßuencia de la duración del proceso de deformación (de la velocidad de deformación) en el comportamiento del material. Como consecuencia de esta caracter´õstica resulta un material, que si no fuera por la existencia de deformaciones elásticas que se superponen a las inelásticas, se comportar´õa prácticamente como un ßuido, en el sentido que la velocidad de deformación t εúij resultar´õa ser función exclusiva de las tensiones tσij (y no de la velocidad con la que aumentan las tensiones t σú ij como ocurre en la plasticidad inviscida) y por lo tanto el material no resistir´õa tensiones sin moverse. En particular si se adopta el modelo viscoplástico de Perzyna asociado a la ley de ßuencia de Von Mises (ecuaciones (3.42) y (3.43)) resulta un material que se comportar´õa (si las deformaciones elásticas fueran despreciables) como un ßuido viscoso incompresible de viscosidad no constante (no newtoniano) y como tal, su movimiento podrá ser estudiado utilizando el enfoque euleriano. Como se dijo en la introducción, esto representa una ventaja numérica muy importante ya que el dominio donde hay que hallar las incógnitas (en este caso, las velocidades vj ) estará Þjo en el espacio en todo instante y no deberá ser actualizado para determinar las sucesivas conÞguraciones que va adoptando el material a medida que las deformaciones plásticas progresan. Esta ventaja es la que hace atractiva la utilización de modelos viscoplásticos para la descripción del comportamiento inelástico de metales d´ uctiles. En la referencia [25] se pueden encontrar diversas comparaciones de datos experimentales obtenidos para algunos aceros con las predicciones de este modelo con funciones Φ(f) de tipo exponencial, potencial y lineal.

´ n de flujo 4. Formulacio Hasta ahora se han planteado las ecuaciones que describen el movimiento de un cuerpo incompresible y las relaciones constitutivas que caracterizan a un metal que experimenta deformaciones plásticas. En este cap´õtulo se presentan algunas simpliÞcaciones a estas ecuaciones que se hacen para estudiar el movimiento de metales en los que se producen deformaciones plásticas muy grandes. Como resultado de estas simpliÞcaciones se obtendrá un sistema de ecuaciones idéntico al que describe el movimiento de un ßuido no newtoniano (ecuaciones de Stokes). Esta analog´õa permitirá estudiar la ßuencia del sólido utilizando las herramientas con las que se analiza el ßujo de ßuidos, es decir adoptar el enfoque euleriano para la descripción del movimiento (cuyas ecuaciones fueron presentadas en el primer cap´õtuo) y elegir al campo de velocidades (en lugar del campo de desplazamientos que es el que se utiliza en los problemas de sólidos) como incógnita primaria a determinar. Como se dijo en la introducción, debido a dicha analogia, esta metodolog´õa de análisis recibe el nombre de formulación de ßujo (ver referencias [28] o [29]).

4.1. Ecuaci´ on del movimiento La ecuaci´on del movimiento establece que ∂ t σij t + bj = t ρ ∂xi

∂ t vj ∂ t vj t + vi ∂t ∂xi

o bien, utilizando la descomposici´on del tensor de tensiones en su parte desviadora t sij y su parte volum´etrica t p δij , ∂ t sij ∂tp t + + bj = t ρ ∂xi ∂xj

∂ tvj ∂ t vj t + vi ∂t ∂xi

donde bj son las fuerzas por unidad de vol´ umen que act´ uan instant´aneamente sobre cada part´õcula. En este trabajo se supone que el ßujo del metal es un ßujo cuyo n´ umero de Reynolds es muy bajo (ßujo de Stokes). Es decir, se supone que el termino 53

ρ ∂∂tvj + ∂∂xvij t vi que representa a las fuerzas de inercia que act´ uan sobre la part´õcula del medio que está ocupando la posición xi (la fuerza con la que la part´õcula se resiste al cambio de su velocidad) es despreciable frente a las fuerzas t que ejercen todas las part´õculas vecinas dadas por el término ∂∂xσiji .1 La ecuación del movimiento que se considerará entonces es t

∂ t sij ∂tp t + + bj = 0 ∂xi ∂xj

4.2. Relaci´ on constitutiva En el cap´õtulo anterior se dijo que las deformaciones que se producen en un metal se pueden descomponer en dos partes: la parte recuperable o el´astica y t P una componente permanente o pl´astica. Llamandolas tεúE ij y εúij respectivamente, se puede escribir entonces (ver referencias [10], [17] y [18]): t

t P εúij = t εúE ij + εúij

(4.1)

donde εúij es la velocidad de deformaci´on total que (como se vio en el primer cap´õtulo) se relaciona con las velocidades vj seg´ un t

1 εúij = 2

∂ t vj ∂ t vi + ∂xi ∂xj

La componente el´astica εúE on deformaci´on de ij debe satisfacer las relaciones tensi´ la teoria de la elasticidad, es decir, t E εúij

1+ν t ν σú ij − t σú kk δij = E E 1+ν t 1 − 2ν 1 t = súij + σú kk δij E E 3

(4.2)

donde E es el módulo de Young, ν el módulo de Poisson y t σú ij = t sú ij + 13 t σú kk δij . La componente inelástica t εúPij está caracterizada por alguna de las relaciones constitutivas discutidas en el cap´õtulo anterior (ver ecuaciones (3.30) o (3.38). En este trabajo se utiliza el modelo viscoplastico de Perzyna asociado a la función de ßuencia de Von Mises (ecuación (3.40)), seg´ un el cual, la componente inelástica de las deformaciones debe satisfacer la relación 1 t t P εúij = sij (4.3) 2µ 1

El n´ umeo de Reynolds mide la importancia relativa de las fuerzas de inercia frente a las fuerzas de naturaleza viscosa. Por lo tanto las fuerzas de inercia ser´an despreciables frente a las viscosas cuando el n´ umero de Reynolds es muy chico.

con

D √ √t E √ q P 3 J2 η Φ( − 1) 3 t d2 1 σY (t εP ) √ √ µ ¶ = = 2 t dP 2µ 2 J2 σY (t εP ) 1 + Φ−1 ( η 2 )

(4.4)

donde η y Φ(f ) son funciones que se eligen para reproducir datos experimentales, σY (εP ) es la tensión de ßuencia estática que se obtiene en el ensayo de tracción y t P d2 = 12 t εúPij t εúPij . Se elige como función Φ(f) a una función de tipo potencial, es decir, Φ(f ) = f δ donde δ es un parámetro que se determina experimentalmente.2 Para simpliÞcar la relaciónes constitutivas dadas por las ecuaciones (4.1), (4.2), (4.3) y (4.4) se supone que las deformaciones elásticas son despreciables. La ecuación (4.1) se reduce entonces a t

εúij ' t εúPij

y la relaci´on constitutiva que resulta es t

con

εúij =

1 t sij 2µ

D √ √t E √ √ η Φ( σ3Y (t ε)J2 − 1) 1 3 t d2 ³ ´ √ √t = = t 2µ 2 J2 σY (t ε) 1 + Φ−1 ( 2 η d2 )

(o bien, utilizando Φ(f) = f δ y llamando η ∗ = η2 ) 1 = 2µ

η∗ (

√ √ 3 t J2 σY (t ε) √t J2

− 1)δ

√ √ 3 t d2

= σY (t ε)

³ √t

η∗

´1 ¶ δ

Estas ecuaciones constitutivas son formalmente idénticas a las que caracterizan a un ßuido viscoso no newtoniano. Se observa entonces que, si la parte elástica de las deformaciones se puede despreciar y si las deformaciones inelásticas se describen mediante el modelo r´õgido-viscoplástico asociado a la ley de ßuencia de Von Mises, el metal quedará caracterizado por una ley constitutiva análoga a la que describe el ßujo de un ßuido viscoso (de viscosidad no constante). Como se dijo antes, este enfoque de análisis recibe el nombre de formulación de ßujo (ver referencia [29]). 2

No confundir con el s´õmbolo δ de Kronecker deÞnido en la introducci´ on.

4.3. Planteo diferencial del problema Si se hacen las simpliÞcaciones discutidas hasta ahora, el problema del ßujo estacionario de un metal que experimenta grandes deformaciones pl´astica queda formulado mediante las siguientes ecuaciones: • Condici´on de incompresibilidad: ∂ t vk =0 ∂xk

(4.5)

• Ecuaci´on del movimiento para ßujo de Stokes (Reynolds bajo): ∂ t sij ∂ tp t + + bj = 0 ∂xi ∂xj

j = 1, 2, 3

(4.6)

• Relaci´on constitutiva:

 t  sij = 2µ t εúij µ        2µ =

σY (t ε)

i, j = 1, 2,¶3 ³ √t

1 + η∗d2 √ √ 3 t d2

´1 δ

(4.7)

donde t d2 = 12 t εúij t εúij , σY (t ε) es la curva tensión deformación del ensayo de tracción uniaxial y las velocidad de deformación εúij se relaciona con las velocidades seg´ un t

1 εúij = 2

∂ t vj ∂ t vj + ∂xi ∂xj

i, j = 1, 2, 3

(4.8)

Para materiales que no experimentan endurecimiento por deformación es decir σY (t ε) = cte las ecuaciones (4.5) y (4.6) con t sij dado por las (4.7) y t εúij dado por las (4.8) constituyen un sistema de 4 ecuaciones diferenciales para cuatro incógnitas que son las 3 componentes de la velocidad t vj y la presión tp. Cuando σY no es constante y depende de las deformación equivalente t ε, (es decir, en aquellos materiales en los que existe endurecimiento por deformación) a este sistema de ecuaciones se le debe agregar la ecuación que relaciona a la nueva incognita t ε con la velocidad de deformación, es decir (ver ecuaciones (3.23) y (3.25)) 2 qt t √ εú = d2 3 56

donde t εú es la derivada material de tε que est´a dada por t

εú =

∂ t ε ∂ tε vi + ∂t ∂xi

Entonces, para el caso en que exista endurecimiento por deformación, se debe incorporar la ecuación 2 qt ∂ t ε ∂ tε vi = √ d2 (4.9) + ∂t ∂xi 3 que junto con las cuatro ecuaciones anteriores constituirán un sistema de 5 ecuaciones diferenciales para las cinco incognitas tvj , t p y t ε. Estas ecuaciones diferenciales deberán satisfacerse para todo punto de coordenadas xj perteneciente a la región del espacio V a través de la cual ßuye el metal (ver Þgura (4.1)) y para resolverlas se deberá tener en cuenta las condiciones de borde µ ¶ 1t t t σij ni = sij + σkk δij ni = t fj 3 sobre la parte Sf de la frontera de V donde se encuentran impuestas las tracciones t fj (llamada condición de borde estática o natural) y t

vj = dato

sobre la otra parte de la frontera (la parte Sv ) en donde se encuentran preÞjadas las velocidades (llamada condición de borde cinemática o artiÞcial). La adopción de el modelo constitutivo viscoplástico de Perzyna asociado a la ley de ßuencia de Von Mises (ecuación (4.7)) para la descripción del comportamiento inelástico del material y el hecho que las deformaciones elásticas sean desrpeciables frente a las inelásticas, permite entonces considerar la deformación plástica del sólido como si fuera el ßujo de un ßuido incompresible viscoso (no newtoniano). Esto posiblita a su vez la utilización del enfoque euleriano para la descripción del movimiento del material y la elección de las velocidades tvj como incógnitas primarias a determinar (hecho que, como se dijo en la introducción, representa una gran ventaja desde el punto de vista numérico dado que el dominio de cálculo no debe ser actualizado instante a instante como sucede al estudiar la deformación del sólido desde el punto de vista lagrangeano). Las ecuaciones con las que se describirá el movimiento del material son entonces las presentadas en primer cap´õtulo (ecuaciones de continuidad y de conservación de la cantidad de movimiento para el enfoque euleriano) que, teniendo en cuenta que las fuerzas de naturaleza viscosa que intervienen son mucho más importante que las fuerzas de inercia (ßujo de Reynolds bajo o ßujo de Stokes) se reducen a las (4.5) y (4.6). 57

Figura 4.1: Flujo de un metal a traves de una regiÂ´on del espacio.

5. Modelado de flujos incompresibles bidimensionales con el m´ etodo de los elementos finitos En el cap´õtulo anterior se plantearon las ecuaciones diferenciales que describen el ßujo de un metal caracterizado por la ley constitutiva r´õgidoviscoplástica de Perzyna asociada a la ley de ßuencia de Von Mises (ecuaciones (4.5), (4.6), (4.7), (4.8) y (4.9)). Como se dijo antes, estas ecuaciones son análogas a las correspondientes al ßujo de un ßuido incompresible viscoso no newtoniano (es decir, de viscosidad dependiente de la velocidad). En este cap´õtulo se estudiará cómo se resulven numéricamente dichas ecuaciones utilizando el Método de los Elementos Finitos. Se verá que la condición de incompresibilidad no puede imponerse en forma exacta con este método y que entonces es necesario buscar formas alternativas de aproximar dicha condición. Si bien la relación constitutiva elegida para el metal es semejante a la correspondiente a un ßuido viscoso cuya viscosidad es función de las velocidades (ßuido no newtoniano), para estudiar los problemas relacionados con la condición de incompresibilidad que se presentan con el método de los elementos Þnitos se considerará un ßuido de viscosidad constante (ßuido newtoniano), dado que todos estos problemas se maniÞestan en igual medida en los dos tipos de ßuidos. La adaptación de estas ideas al caso del ßujo de un metal (que es no newtoniano) se explicará en el sexto cap´õtulo. En particular se describirán dos formas alternativas de imponer la condición de incompresibilidad: el método de los multiplicadores de Lagrange (con interpolación bilineal continua para las velocidades e interpolación constante y discontinua para las presiones) y el método de penalización y se estudiarán sus alcances, sus limitaciones como as´õ también las formas de superarlas. Las referencias para este cap´õtulo son [2], [3], [4], [5], [6], [12], [13], [15], [16], [22], [23], [24], [26], [28] y [29].

5.1. Principio de los potencias virtuales para un estado plano de velocidades de deformaci´ on: El punto de partida del método de elementos Þnitos (y de sus formulaciones alternativas) es el principio de las potencias virtuales formulado en el segundo cap´õtulo (ecuaciones (2.6) y (2.7)). Cuando las deformaciones son planas, varios de los terminos que aparecen en este principio se anulan, y su expresion toma una forma más simple que la correspondiente a deformaciones tridimensionales. Se deÞne como deformación plana a aquella para la cual una de las componentes de la velocidad, (por ejemplo v3) es nula, y las otras dos componentes de la velocidad (v1 y v2 ) y la presión p no dependen de la coordenada x3 que es la dirección perpendicular a la velocidad.1 Es decir,    v1 = v1 (x1 , x2 )  

v2 = v2 (x1, x2 ) v3 = 0 p = p(x1 , x2 )

Si se supone que las deformaciones son planas, las componentes del tensor velocidad de deformación (relacionadas con las velocidades seg´ un las ecuaciones (4.8)) se reducen a :  ∂v1   εú 11 = ∂x1    εú 22 = ∂v2 ∂x³2 ´ (5.1) 1 ∂v1 ∂v2  ε ú = +  12  2 ∂x ∂x 2 1   εú13 = εú23 = εú33 = 0 y las tensiones desviadoras, (relacionadas con la velocidad de deformación seg´ un las ecuación constitutiva de un ßuido viscoso (4.7)) quedan ³ ³ ´´  ∂v1 1 ∂v1 ∂v2  s = 2µ − +  11 3 ³ ∂x1 ∂x2 ´´  ³ ∂x1    ∂v2 1 ∂v1 ∂v2  s = 2µ − +   22 ∂x 2 ³ ∂x2 ³3 ∂x1 ´´

s33 = 2µ      s12 = 2µ    

1 2

0− ³

∂v1 ∂x2

s13 = s23 = 0

1 3

∂v1 + ∂v2 ∂x1 ´ ∂x2 ∂v2 + ∂x 1

(5.2)

Mas adelante se supondr´a que el ßujo es estacionario, es decir, que todas las variables que on describen el movimiento del material (velocidades t vj , tensiones t σij , velocidades de deformaci´ t εúij y densidad t ρ) no var´õan en el tiempo (en cada posici´ on Þja en el espacio). Por lo tanto, de ahora en adelante se omitir´ a el supra´õndice t al escribir a dichas variables.

donde 2µ es la viscosidad, que en adelante se supondr´a constante.2 Las ecuaciones del movimiento para un ßujo estacionario (4.6) adquirir´an entonces la siguiente forma: ∂s11 ∂s12 ∂p + + + b1 = 0 ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂s12 ∂s22 ∂p + + + b2 = 0 ∂x1 ∂x2 ∂x2

(5.3)

y la condici´on de incompresibilidad (4.5) se reducir´an a ∂v1 ∂v2 + =0 ∂x1 ∂x2

(5.4)

Las ecuaciones (5.3) con las tensiones dadas por la relación constitutiva (5.2) y la ecuación de incompresibilidad (5.4), constituyen (cuando la viscosidad 2µ es constante) un sistema de tres ecuaciones diferenciales para las tres incógnitas v1 , v2 y p que caracterizan el ßujo de un medio viscoso incompresible (de viscosidad constante) que experimenta deformaciones planas. Teniendo en cuenta esta particularización de las condiciones cinemáticas (4.8), de las ecuaciones del movimiento (4.6), de la relación constitutiva (4.7) y de la condición de incompresibilidad (4.5) al caso de deformaciones planas, cada uno de los sumandos que aparecen en el principio de las potencias virtuales (2.7) toman respectivamente la siguiente forma:3 2

Si bien cuando el material es exactamente incompresible, constitutiva se reduce a:  ∂v1 s11 = 2µ ∂x  1   ∂v2  s22 = 2µ ∂x ³2 ´ ∂v2 1 ∂v1  s = 2µ + 12  2 ∂x2 ∂x1   s13 = s23 = s33 = 0

∂v1 ∂x1

∂v2 ∂x2

= 0 y la relaci´ on

∂v1 ∂v2 + ∂x en todas las expresiones dado que, como se ver´ a m´ as es conveniente mantener el término ∂x 1 2 adelante, una de las formulaciones alternativas del método de los elementos Þnitos supone que el material admite un cierto grado de compresibilidad, y es necesario entonces que la expresi´ on del principio de los trabajos virtuales que se pretende deducir, sea también aplicable en estos casos. 3 En el seguno cap´õtulo se utiliz´ o la notaci´ on V y Sv y Sf para respresentar a las región del espacio ocupada por el cuerpo en un instante dado y a su frontera. En este cap´õtulo se utilizar´ Ran y la integral los s´õmbolos Ω y Γv y Γf para representar respectivamente a dichos conjuntos V R que es una integral triple sobre una región tridimensional V y la integral Sf que es una integral de superÞcie, se reducir´ an respectivamente en el caso plano, a una integral doble sobre la regi´ on plana Ω y a una integral curvilinea sobre la curva Γ que es la frontera de Ω.

• Potencia virtual desviadora R ³ 1 ³ ∂δv V

∂δvj k − 13 ∂δv δij sij dV = ∂xi h³ ³ ∂xk ´´ ³ ³ ´´ R ∂δv1 1 ∂δv1 ∂δv2 ∂δv2 1 ∂δv1 ∂δv2 − + s + − + s22 + 11 Ω 3 ∂x1 ∂x´´ 3 ´ ∂x1 i ∂x2 2 ³∂x1 ³ ³ ∂x2 1 ∂δv1 ∂δv2 ∂δv1 ∂δv2 + 0 − 3 ∂x1 + ∂x2 s33 + ∂x2 + ∂x1 s12 dΩ i ∂xj

• Potencia virtual volum´etrica R

∂δvk V ∂xk p

dV =

R ³ ∂δv1 Ω

∂x1

∂δv2 ∂x2

p dΩ

• Potencia virtual de las fuerzas exteriores: R

bj δvj dΩ + Sf fj δvj dS = R R Ω (b1 δv1 + b2 δv2 ) dΩ + Γf (f1 δv1 + f2 δv2 ) dΓ

El principio de las potencias virtuales cuando las deformaciones son planas se puede expresar entonces como:   T   Ã ! " Ã !#   1 Z    1 ∂δv1 ∂δv2   1 ∂δv1 ∂δv2  δ ε ú − + 1 · s + 0 − + s dΩ+    33  3 ∂x1 ∂x2 3 ∂x1 ∂x2 Ω     0 ! Z Ã Z Z

Ω

∂δv1 ∂δv2 + p dΩ = ∂x1 ∂x2

Ω

δvT · b dΩ +

Γf

δvT · f dΓ

∀ δv

donde δv, δε, ú s, b y f son matrices (columna) que agrupan respectivamente a las componentes no nulas de las variaciones de la velocidad δv1 y δv2 , de la velocidad de deformaci´on δεú11, δεú22 y δ εú12 , y a las componentes de las tensiones desviadoras s1 , s2 y s12 , las fuerzas volum´etricas exteriores b1 y b2 y las fuerzas de superÞcie f1 y f2 , es decir, Ã

δv1 δv = δv2    δ εú1   δ εú =   δ εú2 = 2δεú12   s1  s=  s2  Ã s12! b1 b= Ã b2 ! f1 f= f2 62

∂δv1 ∂x2

∂δv1 ∂x1 ∂δv2 ∂x2

∂δv2 ∂x1

  

(y el supraindice T indica “traspuesta”). Teniendo en cuenta en primer lugar que ´ ∂δv1 ∂δv2 ³ + = 1 1 0 · δεú ∂x1 ∂x2

y que entonces

δεú −

1 3

∂δv1 ∂x1

∂δv2 ∂x2





   1  = δ εú −

1 3





   1 ·

1 1 0



2 3

  1 · δ εú =   −3 

− 13 0 2 3

 

 0   · δ εú



por lo que la relación constitutiva para un material viscoso que experimenta deformaciones plásticas (las ecuaciones (5.2)) se podrá expresar como       1 0 0 1   ³ ´       1 ∂v ∂v  s = 2µ    0 1 0  · εú − 3 ∂x11 + ∂x22  1  =     0 0 12    2  0  1     − 0  3    3  1 0 0   1 2    − = 2µ  0 1 0  ·  3 3 0    · εú     1   0 0 2  0 1  0   ³ ³ ´´     s33 = 2µ 0 − 1 ∂v1 + ∂v2 =  ∂x  ³3 ∂x1 ´2   1  = −2µ 1 1 0 · δ εú 3

donde εú es la matriz que agrupa a las componentes no nulas de la velocidad de deformaci´on, es decir, 





εú1   εú =  εú2  = 2εú12

∂v1 ∂x2

∂v1 ∂x1 ∂v2 ∂x2

∂v2 ∂x1

  

el principio de las potencias virtuales para deformaciones planas y para un medio viscoso queda Z " Ω

Ω

donde

1 1 δ εú · Id · 2µ D · Id · εú + δ εú · − M 2µ − M 3 Z 3 Z Z + δεúT · M p dΩ = δvT · b dΩ + δvT · f dΓ T

Ω

Γf



2 3

  1 Id =   −3 

− 13 0 2 3

 

 0  



¶T

· εú dΩ+ ∀ δv





1 0 0   D =  0 1 0  0 0 12 



1   M =  1  0

Y teniendo en cuenta en segundo lugar que4 µ

1 Id · D · Id + − M 3 T

¶µ

1 − M 3

¶T

= D · Id

y agrupando t´erminos, el principio de las potencias virtuales para un material viscoso que experimenta deformaciones planas se expresar´a Þnalmente como: Z

Ω

δεúT · 2µ D · Id · εú dΩ +

Ω

δεúT · M p dΩ =

Ω

δv T · b dΩ +

Γf

δv T · f dΓ

∀ δv

(5.5) El primer término del miembro izquierdo es la potencia virtual desviadora, y el segundo, la potencia virtual volumétrica. El miembro derecho representa la potencia virtual de las fuerzas exteriores. Cuando las fuerzas exteriores volumétricas b sean nulas, y las condiciones de borde sean exclusivamente cinemáticas, es decir, sobre toda la frontera Γ del dominio Ω , las velocidades esten impuestas (y por lo tanto Γv = Γ y Γf = ∅), el principio de las potencias virtuales se reducirá a: Z

Ω

δ εúT · 2µ D · Id · εú dΩ +

Ω

δ εúT · M p dΩ = 0

∀ δv

(5.6)

5.2. Discretizaci´ on con el m´ etodo de los elementos Þnitos: sus limitaciones Como se dijo en el segundo cap´õtulo, el principio de las potencias virtuales es una expresión equivalente a las ecuaciones del movimiento de un cuerpo, en el sentido que los campos de presiones p y de velocidades (v1 , v2 ) que satisfacen la igualdad (5.5) (y las condiciones de borde cinemáticas, es decir, (v1 , v2 ) = dato sobre Γv ) para toda variación (δv1 , δv2 ) (nula en Γv ), veriÞcará la ecuación del movimiento 4

Esta identidad se puede demostrar observando que la matriz Id esta dada por Id = I − 13 M · M T

donde I es la matriz identidad de 3 × 3.

(5.3) (con las condiciones de borde estáticas) y la relación constitutiva (5.2).5 Es decir, el principio de las potencias virtuales representa una forma alternativa de plantear estas ecuaciones. El método de elementos Þnitos se apoya en éste resultado y busca una solución aproximada de dichas ecuaciones partiendo del principio de las potencias virtuales (5.5). Para formularlo, se necesita introducir primero la siguiente notación: dado un conjunto plano Ω incluido en <2 , • Se denomina L2(Ω) al Rconjunto de las funciones v(x1 , x2 ) deÞnidas en Ω para las cuales las integral Ω v2 dΩ existe y es Þnita, es decir, ½

L (Ω) = v : Ω ⊂ < → < tal que

Ω

v dΩ < ∞

(< ∞ quiere decir que existe y es 6= ∞). Este conjunto incluye a una gran cantidad de funciones, en particular, a las funciones continuas en Ω a las funciones continuas por partes (es decir, las funciones continuas en subdominios Ωe y que “pegan saltos” a trav´es de la frontera que separa cada subdominio Ωe de los vecinos), etc. • Se denomina H 1 (Ω) al conjunto de las funciones v(x1 , x2 ) deÞnidas en Ω que pertenecen a L2 (Ω) y cuyas derivadas parciales tambi´en pertenecen a R L2 (Ω), es decir, aquellas funciones para las cuales las integrales Ω v2 dΩ y R ³ ∂v ´2 dΩ existen y son Þnitas: Ω ∂xj (

)

∂v H (Ω) = v : Ω ⊂ < → < tal que v ∈ L (Ω) y ∈ L2 (Ω) ∂xj 1

Este conjunto (incluido obviamente en L2 (Ω)) tambi´en es un conjunto muy grande que incluye en particular, a las funciones continuas de derivadas parciales continuas en Ω, a las funciones continuas por partes y/o de derivadas parciales continuas por partes (es decir, las funciones continuas y de derivadas continuas en subdominios Ωe que “pegan saltos” (ellas y/o sus derivadas) entre subdominios Ωe ), etc. (Las componentes del campo de velocidades v1 y v2 pertenecen a este conjunto). Se observa que el conjunto L2 (Ω) constituye un espacio vectorial de funciones6 y H 1 (Ω) un subespacio vectorial de ´el. 7 5

La condici´ on de incompresibilidad (5.4) no esta implicada por el principio de las potencias virtuales. Entonces, además de cumplir el principio de las potencias virtuales, el campo de velocidades deber´ a ser exactamente incompresible. 6 Es decir, si v y w pertenecen a L2 (Ω), entonces cualquier combinaci´ on lineal de ellas αv +βw también pertenecerá a L2 (Ω). 7 La notación elegida es la utilizada convencionalmente en el an´ alisis funcional (ver referencias [34] y [35]).

En relación a un cuerpo cuya sección trasversal ocupa en un instante t cualquiera, cierta región del espacio Ω ⊂ <2 (ver Þgura (5.1)) y que se encuentra sometido a la acción de fuerzas de vol´ umen (b1 , b2), fuerzas de superÞcie (f1 , f2 ) sobre la parte Γf de la frontera de Ω y a velocidades impuestas sobre la otra parte de la frontera Γv (es decir (v1, v2 ) = (g1 , g2 ) = dato sobre Γv ), es necesario introducir también la siguiente notación: • Se denomina U al conjunto de las funciones (v1 , v2 ) deÞnidas en Ω, R R ³ ∂vi ´2 dΩ existen y son pertenecientes a H 1(Ω) (es decir, Ω (vi )2 dΩ y Ω ∂x j Þnitas) y que satisfacen exactamente las condiciones de borde cinemáticas, (es decir, cumplen que (v1 , v2 ) = dato = (g1, g2 ) sobre Γv ). Es decir: n

U = (v1 , v2) tal que vi ∈ H 1 (Ω) y (v1 , v2 ) = (g1, g2) sobre Γv

donde (g1 , g2 ) son las velocidades impuestas sobre la frontera Γv . La función (v1 , v2) que satisface la igualdad (5.5) (y por lo tanto, es solución de las ecuaciones del movimiento) pertenecerá a este conjunto. • Se denomina V al conjunto de las funciones (w1 , w2 ) deÞnidas en Ω (pertenecientes a H 1(Ω)) que son nulas sobre la frontera Γv donde se prescriben las velocidades, es decir n

V = (w1 , w2) tal que wi ∈ H 1(Ω) y (w1, w2 ) = (0, 0) sobre Γv

Las variaciones de la velocidad (o velocidades virtuales) (δv1 , δv2) pertenecen a este espacio. • Se denomina K al conjunto de funciones (v1, v2) deÞnidas en Ω (pertenecientes a H 1(Ω)) que son exactamente incompresibles, es decir, (

)

∂v1 ∂v2 + = 0 en Ω K = (v1 , v2 ) tal que vi ∈ H (Ω) y ∂x1 ∂x2 1

(en Ω quiere decir ∀ (x1, x2 ) ∈ Ω). Se observa que, (llamando H1 (Ω) al conjunto de pares ordenados de funciones de H 1 (Ω), es decir, H1 (Ω) = H 1 (Ω) × H 1(Ω) = (H 1 (Ω))2 ), los conjuntos U, V y K son subespacios vectoriales de funciones de H1 (Ω). Se observa también que el campo de presiones p, (sobre el que no hay especiÞcada ninguna condición de contorno) pertenecerá al espacio L2 (Ω). Utilizando esta notación se puede reexpresar en la siguiente forma la equivalencia entre las ecuaciones (5.2) y (5.3) y el principio de las potencias virtuales 66

(v1,v2)=(g1,g2)

Γv

Γf b

Ω

Figura 5.1: Dominio ocupado por un medio viscoso y condiciones de borde a las que esta sometido. (5.5): el campo de velocidades (v1 , v2) y el de presiones p que satisfacen la ecuación del movimiento (5.3) con las tensiones sij dadas por la relación constitutiva (5.2) (y las condiciones de borde cinemáticas y estáticas) son aquellas funciones p y (v1 , v2) pertenecientes respectivamente a L2 (Ω) y a U tal que para toda función (δv1 , δv2) perteneciente a V veriÞca la igualdad (5.2), es decir, aquellos campos p y (v1 , v2) tales que Z

Ω

p ∈ L2(Ω), (v1 , v2 )Z∈ U y ∀ (δv1, δv2 )Z∈ V se veriÞcaZque:

δεúT · 2µ D · Id · εú dΩ + T

donde δ εú =

∂δv1 ∂x1

∂δv2 ∂x2

∂δv1 ∂x2

Ω

δεúT · M p dΩ =

∂δv2 ∂x1

y εú =

Ω

δvT · b dΩ +

∂v1 ∂x1

∂v2 ∂x2

∂v1 ∂x2

Γf

δvT · f dΓ

∂v2 ∂x1

(5.7)

Asi planteado, el principio de las potencias virtuales representa una forma alternativa de formular las ecuaciones (5.2) y (5.3). Sin embargo no asegura que se satisfacerá también la condición de incompresibilidad (5.4). Para que dicha condición también se cumpla, y obtener as´õ una formulación equivalente a las ecuaciones completas del ßujo de un medio viscoso incompresible viscoso (es decir, una formulación que implique no solo a las ecuaciones (5.3), (5.2) sino también la (5.4)) se puede reescribir al principio de las potencias virtuales de la siguiente forma: el campo de velocidades (v1, v2) y el de presiones p que satisfacen la ecuación del movimiento (5.3), la relación constitutiva (5.2) (con las condiciones de 67

borde cinemáticas y estáticas) y la condición de incompresibilidad (5.4), es aquella función perteneciente a U ∩ K (es decir, se exige ahora a la función (v1 , v2 ) que pertenezca no solo a U como antes, sino también a K) que veriÞca la igualdad (5.5) para toda función (δv1 , δv2) perteneciente a V, es decir, es un campo de velocidades (v1, v2 ) tal que Z

Ω

(v1, v2 ) ∈ U ∩ K Z y ∀ (δv1 , δv2 ) ∈ V Z se veriÞca que: Z

δεú · 2µ D · Id · εú dΩ +

Ω

δεúT · M p dΩ =

Ω

δvT · b dΩ +

Γf

δvT · f dΓ

(5.8) Para completar la formulación del método de los elementos Þnitos es necesario introducir además de los espacios H 1(Ω), U, V y K los siguientes espacios de funciones de dimensión Þnita: • Se denomina Hh a un espacio de dimensión Þnita de funciones que aproximarán (o interpolarán) a las funciones de H 1 (Ω). En el método de los elementos Þnitos este espacio se construye de la siguiente forma: — Se divide el dominio Ω en subdominios Ωe (ver Þgura (5.2)) (Estos subdominios son los llamados elementos Þnitos). En este trabajo se utilizarán elementos de cuatro nodos y cuatro lados rectos. El “tama˜ no” de cada elemento Ωe se mide con un parámetro he , que en el caso de los elementos de cuatro nodos, puede tomarse como la mayor de las distancias entre lados opuestos (ver Þgura (5.3)). Como estos elementos tienen lados rectos, y el dominio Ω tiene en general una frontera Γ curva, entonces la unión de todos estos elementos no coincidirá exactamente con Ω (ver Þgura (5.2)) pero tienden a coincidir cuando el tama˜ no de todos los elementos es chico, es decir, llamando Ωh a la unión de todos los dominios elementales (Ωh =∪ Ωe ) Ωh no e coincide con Ω pero tiende a ser casi igual cuando he → 0 ∀e.

— Sobre cada elemento se deÞne un sistema de coordenadas curvil´õneo local (r, s) (ver Þgura (5.3)) adem´as del sistema de coordenadas global (x1 , x2 ) tal que las coordenadas locales (r, s) correspondientes a cada nodo sean las que se muestran en la siguiente tabla Nodo Coordenada (r, s) 1 (1, 1) 2 (−1, 1) 3 (−1, −1) 4 (1, −1) 68

y las correspondientes a cada lado sean Lado Coordenada (r, s) 1 − 2 (r, 1) con −1 ≤ r ≤ 1 2 − 3 (−1, s) con −1 ≤ s ≤ 1 3 − 4 (r, −1) con −1 ≤ r ≤ 1 4 − 1 (1, s) con −1 ≤ s ≤ 1 Se puede demostrar que las funciones que deÞnen el cambio de coordenadas locales (r, s) a coordenadas globales (x1 , x2 ) y que veriÞca las anteriores correspondencias se puede expresar como (ver referencias [2], [12] y [13]) (

(2) (3) (3) x1(r, s) = h1 (r, s) x(1) 1 + h2 (r, s) x1 + h3 (r, s) x1 + h4 (r, s) x1 (1) (2) (3) (3) x2(r, s) = h1 (r, s) x2 + h2 (r, s) x2 + h3 (r, s) x2 + h4 (r, s) x2 (1)

(1)

(2)

(3)

(4)

donde (x1 , x2 ), (x1 , x2 ), (x1 , x2 ) y (x1 , x2 ), son respectivamente las coordenadas globales de los nodos 1, 2, 3 y 4 y las funciones hj (r, s) son las denominadas funciones de forma (para el elemento bidimensional de cuatro nodos) deÞnidas como: 1 h1 (r, s) = (1 + r)(1 + s) 4 1 h2 (r, s) = (1 − r)(1 + s) 4 1 h3 (r, s) = (1 − r)(1 − s) 4 1 h4 (r, s) = (1 + r)(1 − s) 4

(5.9)

Se observa que todas estas funciones son funciones polinómicas construidas combinando linealmente los polinomios 1, r, s y rs, y que cada función hj (r, s) vale 1 en el nodo j y 0 en los tres restantes, es decir, hj (ri , si ) = δij . — El espacio Hh de funciones que aproximarán a las funciones de H 1(Ω) se deÞne de la siguiente forma: Hh =

(

vh tal que vh es continua en Ωh y es un polinomio dentro de cada elemento Ωe

)

donde Ωh es la uni´on de todos los elementos Ωe en que se particion´o al dominio Ω, (es decir, Ωh =∪ Ωe ) que, como se dijo antes, no e

coincide exactamente con Ω. En la Þgura (5.4) se muestra una de estas funciones. Como dentro de cada elemento la función es polinómica, entonces también será continua (adentro del elemento). El u ńico lugar donde puede ser no continua es en los bordes de cada elemento. Se deduce entonces que la función será continua en todo el dominio Ωh si es continua en dichos bordes. — Se elige como base de los polinomios que se utilizarán dentro de cada elemento a las funciones de forma h1 (r, s), h2 (r, s), h3 (r, s) y h4 (r, s) (que como se dijo antes son combinaciones lineales de los polinomios 1, r, s y rs). Es decir, cada función vh será igual, dentro de cada elemento, a uno de los polinomios que se generan combinando linealmente dichas funciones. Recordando que cada función de forma hj (r, s) vale 1 en el nodo j y 0 en los restantes, se deduce que los parámetros que deÞnen a cada función vh serán los valores de dicha función vh en los nodos (ver referencias [2], [12] y [13]). Dentro de cada elemento la función vh estará dada entonces por: (1)

(2)

(3)

vh (r, s) = h1 (r, s) vh + h2 (r, s) vh + h3(r, s) vh + h4(r, s) vh

(5.10)

donde vh(1) , vh(2) , vh(3) y vh(4) son respectivamente los valores que toma la función vh en los nodos 1, 2, 3 y 4. Se puede demostrar que las funciones vh , deÞnidas dentro de cada elemento de esta forma, son continuas en los bordes de los elementos y por lo tanto, continuas en todo el dominio Ωh . Se observa que este espacio Hh es un espacio vectorial de funciones de dimensión Þnita (y que si los dominios Ω y Ωh coinciden, Hh será un subespacio vectorial de H 1 (Ω)). La dimensión estará dada por la cantidad total de nodos presentes en la malla ya que Þjados los valores de vh en todos los nodos, quedará especiÞcado un u ńico polinomio en cada elemento Ωe y entonces una u ńica función vh de Hh . Se observa también que cuanto mayor cantidad de elementos (y por lo tanto de nodos) se utilicen para discretizar al dominio Ω, mejor será la “calidad” del espacio Hh como espacio de funciones aproximantes de las funciones de H 1 (Ω).8 Si se deÞne como h al supremo de los tama˜ nos de los elementos he (es decir h =sup {he }) entonces, cuando más chico es h, menor será el tama˜ no de todos los e

Esto quiere decir que, dada cualquier funci´on v ∈ H 1 (Ω) entonces la distancia d(v, Hh ) entre esta funci´on y el espacio Hh (entendiendose por distancia entre v y Hh a la m´õnima de las distancias entre v y los elementos vh de Hh , es decir, d(v, Hh ) = inf {d(v, vh )} donde d(v, vh ) vh ∈Hh

es cierta medida del error que se comete al aproximar a la funci´ on v con la funci´ on interpolante vh ) disminuye a medida que aumenta la dimensi´ on del espacio Hh .

elementos, mayor será la cantidad de elementos y de nodos, mayor la dimensión de Hh y mejor la aproximación que se puede hacer de las funciones v ∈ H 1(Ω) con las funciones vh ∈ Hh . El parámetro h, está relacionado entonces con la dimensión del espacio Hh .9 Teniendo en cuenta que la base de cada uno de los polinomios elementales son las funciones de forma (5.9) y como las funciones de Hh son continuas entre elementos se deduce que la base del espacio Hh estará formada por las funciones nJ (x1, x2 ) que valen 1 en el nodo J y 0 en los restantes (ver Þgura 5.5) y que los parámetros que deÞnen a cada una de las funciones vh ∈ Hh serán los valores que toman dichas funciones en los nodos. Es decir, cada función vh ∈ Hh se puede escribir como: vh (x1 , x2 ) =

N X

(J)

nJ (x1 , x2 ) vh

(5.11)

J=1 (J)

donde vh es el valor que toma la funci´on vh en el nodo J, nJ (x1 , x2 ) es la base de Hh y N es la cantidad total de nodos que como se dijo antes, es la dimensi´on de Hh .

Γv

(v1,v2)=(g1,g2) f

Γf

Ωe x1

Ω

Figura 5.2: Discretizaci´on del dominio Ω en elementos Þnitos Ωe 9

El sub´õndice h en el s´õmbolo Hh indica precisamente que el espacio de funciones interpolantes depende de este par´ametro.

Figura 5.3: Sistema de coordenadas local utilizado en cada elemento Para formular el método de los elementos Þnitos además de este espacio Hh , es necesario deÞnir los siguientes espacios de funciones de dimensión Þnita que aproximarán a las funciones de U, V y H: • Se denomina Uh al espacio de dimensión Þnita de funciones (v1h , v2h ) que pertenecen al espacio de funciones aproximantes Hh y que veriÞcan en los nodos de la periferia las condiciones de borde cinemáticas que debe satisfacer la solución continua (v1 , v2 ). Es decir, si el campo de velocidades debe cumplir que (v1 , v2 ) = dato = (g1 , g2 ) sobre la parte de la frontera Γv y si se numera con en ´õndice I a los nodos que se ubican sobre dicha frontera Γv entonces las funciones (v1h , v2h ) de Uh deben cumplir (v1h , v2h )|I = (g1, g2 )|I , ( v|I quiere decir, v evaluada en el nodo I) para todo los nodos I. Simbólicamente: Uh = {(v1h , v2h ) tal que v1h y v2h ∈ Hh y (v1h , v2h )|I = (g1, g2)|I

∀ I}

donde (g1, g2) son las velocidades impuestas sobre la frontera Γv . • Se denomina Vh al espacio de funciones (w1h , w2h ) que pertenecen al espacio de funciones aproximantes Hh y que valen (0, 0) sobre los nodos de la periferia. Es decir, Vh = {(w1h , w2h ) tal que w1h y w2h ∈ Hh y (v1h , v2h )|I = (0, 0)|I

∀ I}

Figura 5.4: Funci´on vh representativa del espacio Hh • Se denomina Kh al espacio de funciones (v1h , v2h ) que pertenecen al conjunto de funciones aproximantes Hh y que son exactamente incompresibles, es decir, (

Kh = (v1h , v2h ) tal que v1h y v2h

∂v1h ∂v2h ∈ Hh y + = 0 en Ωh ∂x1 ∂x2

)

Como Ωh es la unión de los dominios elementales Ωe , para que v1h y v2h veriÞquen la condición de incompresibilidad en todo el dominio Ωh se deberá 1h 2h cumplir ∂v + ∂v = 0 en cada uno de dichos dominios elementales (es decir ∂x1 ∂x2 ∂v1h ∂v2h + ∂x2 = 0 en Ωe para todo elemento e). ∂x1 Se observa que estos tres espacios de funciones son subespacios vectoriales del espacio de los pares ordenados de funciones aproximantes de Hh , es decir, Uh , Vh y Kh estan incluidos en Hh (siendo Hh = Hh ×Hh = (Hh )2) y que entonces, a medida que aumenta la cantidad de elementos (y disminuye el parámetro h) mejora la aproximación que se puede hacer de las funciones de U con las funciones de Uh , de las funciones de V con las de Vh y de las de K con las de Kh . Hasta ahora solo se ha hablado de los espacios que aproximarán a la velocidad (v1 , v2). Para aproximar a las presiones p (que es una función perteneciente al espacio L2 (Ω)) es necesario construir un nuevo espacio de dimensión Þnita 73

1 J

Figura 5.5: Función base del espacio Hh de funciones interpolantes. Como no existen condiciones de borde impuestas sobre las presiones y como en el principio de las potencias virtuales (5.5) no aparece involucrada ninguna derivada de p, alcanzará con un espacio de funciones continuas dentro de cada elemento y discontinua entre elementos (ver referencia [2]). A este espacio se lo simbolizará como Qh y a las funciones que pertenecen a él se las representará con el s´õmbolo qh . Al igual que el espacio de las funciones aproximantes de las componentes de la velocidad Hh este espacio estará formado por funciones polinómicas dentro de cada elemento pero en este caso dichas funciones pueden ser discontinuas entre elementos. Como se verá mas adelante el grado de dichos polinomios no puede elegirse arbitrariamente y está relacionado con el grado de los polinomios con los que se aproxima a las velocidades. Para constuir a este espacio se puede hacer algo análogo a lo hecho en el caso de las velocidades: elegir como base de cada polinomio elemental a ciertas funciones de forma n ˜ E (que serán a su vez polinomios) que valen 1 en ciertos “nodos para la presión” y cero en los restantes por lo que cada función qh ∈ Qh se podrá escribir como qh (x1 , x2 ) =

NP X

(E)

n ˜ E (x1 , x2) qh

E=1 (E)

donde N P es el n´ umero total de “nodos de presi´on” y qh es el valor que toma qh en el nodo numerado con el ´õndice E. Por ejemplo, en este trabajo se usar´a como espacio de presiones aproximantes al formado por funciones que son constantes dentro de cada elemento (es decir, polinomios de grado 0) y discontinuas entre 74

elementos. En este caso los nodos de presión están ubicados en el “centro” de cada elemento (coordenadas (r, s) = (0, 0)) y cada función base n ˜ E valdrá 1 en dicho nodo de presión E (y en todo el elemento E) y cero en los restantes (ver Þgura (5.6)).

ñE

Figura 5.6: Función base del espacio Qh Utilizando estos espacios, y apoyandose en el hecho las funciones p ∈ L2 (Ω) y (v1 , v2) ∈ U que veriÞcan el principio de las potencias virtuales (5.5) (para toda variación de velocidades perteneciente al espacio V) satisfacerán las ecuaciones del movimiento (5.3) (con las condiciones de borde estáticas), la relación constitutiva (5.2) y las condiciones de borde cinemáticas (pero no de la condición de incompresibilidad), el método de los elementos Þnitos propone como solución aproximada de dichas ecuaciones (de las ecuaciones del movimiento y la relación constitutiva) a las funciones ph y (v1h , v2h ) que pertenecen respectivamente a los espacios aproximantes de las presiones Qh y de las velociades Uh y que satisfacen el principio de los trabajos virtuales para toda variación (δv1h , δv2h ) de Vh , es decir Z

Ω

ph ∈ Qh y (v1h , v2h ) ∈ U que: Z h tal que ∀ (δv1h , δvZ2h ) ∈ Vh se veriÞca Z

δεúh T · 2µ D · Id · εúh dΩ +

Ω

δεúh T · M ph dΩ =

Ω

δvh T · b dΩ +

Γf

δvh T · f dΓ (5.12)

donde:  

εúh =    

δ εúh =  

∂v1h ∂x1 ∂v2h ∂x2 ∂v1h 2h + ∂v ∂x2 ∂x1

   

∂δv1h ∂x1 ∂δv2h ∂x2 ∂δv1h 2h + ∂δv ∂x2 ∂x1

   

son las velocidades de deformación que se derivan de las velocidades aproximadas (v1h , v2h ). 5.2.1. Imposici´ on de la condici´ on de incompresibilidad: el problema del bloqueo Las velocidades (v1h , v2h ) ∈ Uh y presiones ph ∈ Qh que veriÞcan la igualdad (5.12) serán entonces soluciones aproximadas de las ecuaciones del movimiento (5.3) y las relaciones constitutivas (5.2). Sin embargo las velocidades aproximadas (v1h , v2h ) no satisfacen todav´õa la condición de incompresibilidad debido a que, como se dijo antes, ésta condición no está implicada por el principio de las potencias virtuales. Si se pretende ahora exigirle a la velocidad (v1h , v2h ) aproximada que cumpla también la condición de incompresibilidad, es decir, que además de veriÞcar (5.12) pertenezca también a Kh se presenta la siguiente diÞcultad: especiÞcadas las condiciones cinemáticas de borde (g1 , g2 ) y la malla de elementos Þnitos, se encuentra que no existe casi ninguna función (v1h , v2h ) que satisfaga a la vez dichas condiciones de borde y la condición de incompresibilidad exactamente, es decir, que pertenezca simultáneamente a Uh y a Kh y tampoco es posible encontrar una función que cumpla ambas condiciones “aÞnando” la malla de elementos Þnitos (es decir achicando el tama˜ no h de los elementos y aumentando entonces el n´ umero total de elementos). En otras palabras, la intersección Uh ∩Kh es “prácticamente” vac´õa cualquiera sea h. Este problema se conoce con el nombre de bloqueo (ver referencias [2], [12] y [28]). Para ilustrar este problema se considera como ejemplo el ßujo de un medio viscoso dentro de una “cavidad” Ω cuadrada (ver Þgura (5.7)) cuyo borde superior se encuentra moviendose con una velocidad arbitraria (y arrastra entonces al ßuido contenido) mientras que el ßuido adyacente a los otros dos bordes permanece en reposo. Para “discretizar” el dominio se utiliza una malla formada por una cantidad arbitraria de elementos Þnitos cuadrados cuyos lados miden una longitud h (ver Þgura (5.7)). Las condiciones de borde que deberá cumplir la solución

aproximada son: (v1 , v2 ) = (g1, g2) = (dato, 0) en los nodos ubicados sobre el borde superior (v1 , v2 ) = (g1, g2) = (0, 0) en los nodos ubicados sobre los otros tres bordes (5.13) donde (g1 , g2 ) son las componentes de las velocidades impuestas en el sistema de coordenadas (x1 , x2 ) mostrado tambi´en en la Þgura (5.7). Este problema es un ejemplo muy estudiado y usado en el analisis de la condici´on de incompresibilidad y se conoce como problema de la cavidad conducida (ver referencia [12]). x2

(v1,v2)=(g1,g2)=(dato,0)

Ω (v1,v2)=(g1,g2)=(0,0)

(v1,v2)=(g1,g2)=(0,0) 6 2 h

A 3

B x1

(v1,v2)=(g1,g2)=(0,0)

Figura 5.7: Problema de la “cavidad conducida”. Condiciones de borde y malla utilizada. Se demostrará que en este ejemplo, el conjunto Uh ∩Kh , es decir, el espacio formado por todas aquellas velocidades aproximadas que satisfacen simultáneamente las condiciones de borde cinemáticas y la condicion de incompresibilidad (exactamente) está formado por una u ńica función y dicha función es un aproximante muy pobre de la solución buscada. En otras palabras, no se puede encontrar ninguna velocidad que aproxime a las ecuaciones del movimiento (y relaciones constitutivas) y a la condición de incompresibilidad a la vez. Para ver qué Uh ∩Kh es muy chico (existe solo una función contenida en él), se observa primero que, si las velocidades de cada elemento se interpolan en la forma 77

(5.10), entonces, para un elemento cuadrado (cuyos lados miden una longitud h) las velocidades ser´an combinaciones lineales de los polinomios 1, x1, x2 y x1 x2 (ver referencia [2]), es decir, v1h (x1 , x2 ) = α1 + β1 x1 + γ1 x2 + δ1 x1x2 v2h (x1 , x2 ) = α2 + β2 x1 + γ2 x2 + δ2 x1x2

(5.14)

donde α1, β1, γ1 , δ1 , α2 , β2 , γ2 y δ2 son parámetros que dependen de las velocidadades en cada nodo (y de h), es decir, α1 , β1 , γ1 y δ1 son funciones (1) (2) (3) (4) (1) (2) (3) (4) , v1h , v1h y v1h y α2 , β2 , γ2 y δ2 son funciones de v2h , v2h , v2h y v2h . Para de v1h que éste elemento se deforme incompresiblemente, se deberá cumplir que: ∂v1h ∂v2h + = (β1 + γ2 ) + δ1 x2 + δ2 x1 = 0 ∂x1 ∂x2 en todos los puntos (x1, x2 ) del elemento. Esto implica que las velocidades dentro de cada elemento cuadrado estarán dadas por (5.14) con β1 + γ2 = 0 δ1 = 0 δ2 = 0 es decir v1h (x1, x2 ) = α1 + β1 x1 + γ1 x2 v2h (x1, x2 ) = α2 + β2 x1 − β1 x2 Estas igualdades se pueden reescribir utilizando notación matricial de la siguiente forma: Ã

v1h (x1 , x2 ) v2h (x1 , x2 )

α1 α2

0 1

1 0 0 −1

# Ã

x1 = + β2 x1 + γ1 x2 + β 1 x2 (5.15) Se observa entonces que un elemento cuadrado cuyas velocidades están dadas por (5.10) se puede deformar incompresiblemente solo de cuatro formas (o modos) distintas (en realidad son cinco porque el primer modo, que es un movimiento r´õgido, es combinación lineal de dos movimientos r´õgidos en las direcciones perpendiculares x1 y x2 ). Estos modos incompresibles de velocidades se dibujan esquemáticamente en la Þgura (5.8). En la Þgura (5.9) se muestra esquemáticamente un elemento representativo del espacio Kh , es decir, un campo de velocidades que es exactamente incompresible en todos los puntos del dominio Ωh (pero que no satisface todav´õa las condiciones de borde preÞjadas), es decir, 78

1 0

Figura 5.8: Modos incompresibles de un elemento de cuatro nodos cuadrado cada elemento se mueve con alguno de los patrones de velocidad mostrados en la Þgura (5.8) (o combinaciones lineales de ellos). Teniendo en cuenta que las u ´ nicas formas en que se puede mover cada elemento cuadrado son las dibujadas en la Þgura (5.8), se puede determinar cómo serán los campos de velocidades que pertenecerán a Uh ∩ Kh : considerando por ejemplo un elemento como el ubicado en el ańgulo inferior izquierdo (elemento A de la Þgura (5.7)) se observa que por estar Þjados los nodos 2 y 3 (ver Þgura (5.10)) el nodo 1 solo podrá moverse en la dirección vertical, mientras que por estar Þjados los nodos 3 y 4, el nodo 1 solo podrá hacerlo en la dirección horizontal. Tomando estas dos condiciones simultáneamente se deduce que la velocidad del nodo 1 deberá ser nula. Repitiendo este razonamiento para los elementos vecinos B y C se deduce la misma conclusión para los nodos 5 y 6, y as´õ para todos los elementos de la malla salvo los que son adyacentes al borde superior, es decir, las velocidades de todos los nodos interiores a la malla deberá ser nula si se pretende que la malla se deforme satisfaciendo la condición de incompresibilidad exáctamente y las condiciones de borde (g1 , g2 ) impuesta sobre los bordes inferior, izquierdo y derecho. Considerando ahora a alguno de los elementos adyacentes al borde superior, se observa que por estar “bloqueados” los nodos inferiores, y por estar especiÞcada la velocidad de los nodos superiores, dichos elementos se deberán deformar en la forma mostrada en la Þgura (5.10) para que la velocidad adentro de la misma sea exactamente incompresible. Por lo tanto, el u ´ nico ńico campo de velocidades (v1h , v2h ) elemento perteneciente a Uh ∩Kh , es decir, el u que satisface simultáneamente las condiciones de borde cinemáticas (5.15) y las condición de incompresibilidad exactamente, es aquel para el cual, las velocidades en todos los nodos interiores a la malla es nula (ver Þgura (5.11)). Se observa que esta situación no mejora si se “aÞna” la malla de elementos Þnitos utilizada 79

Figura 5.9: Campo de velocides aproximado (v1h , v2h )que veriÞca exáctamente la incompresibilidad ((v1h , v2h ) ∈ Kh ) para discretizar al dominio, es decir si se aumenta la cantidad de elementos (y se disminuye la longitud h de cada lado de los cuadrados); la intersección Uh ∩ Kh seguirá estando formada por una u ńica función (v1h , v2h ) y dicha función será idéntica a la esquematizada en la Þgura (5.11), es decir, (v1h , v2h ) es nula en cada uno de los nodos interiores a la cavidad. Si en vez de discretizar la cavidad con elementos cuadrados, se hubiesen elegido elementos cuadriláteros de lados opuestos no paralelos, la situación hubiese sido todav´õa peor en el sentido que el espacio Kh resulta todav´õa más chico que el correspondiente a elementos cuadrados y de las pocas velocidades exactamente incompresibles generalmente ninguna satisface también las condiciones de borde cinemáticas, es decir el espacio Uh ∩ Kh resulta vac´õo (ver referencia [20]). Resumiendo entonces, no es posible exigir que la solución aproximada para las velocidadades de las ecuaciones del movimiento (5.3) y las relaciones constitutivas (con las condiciones de borde cinemáticas), es decir, las funciones (v1h , v2h ) que (junto con la presiones aproximadas ph ) veriÞcan la igualdad (5.12) cumplan también la condición de incompresibilidad exactamente ya que esta condición restringe much´õsimo la familia de “posibles formas” (o modos) en que se pueden mover los elementos y la malla (es decir, el espacio Uh ∩ Kh resulta prácticamente vac´õo). Es necesario entonces pedir que las velocidades aproximadas (v1h , v2h ) en 80

Ω

6 x2

A 3

1 4

B x1

x1 x2 2

A 3

Figura 5.10: Bloqueo de un elemento de la malla utilizada en la discretización del problema de la cavidad conducida vez de ser exactamente incompresibles (es decir, que pertenezcan a Kh ), sean incompresibles en una forma mas “débil” (es decir, que pertenezcan a cierto espacio Kh más grande que Kh ). En las proximas secciones se estudiarán en particular dos formas de “debilitar” la condición de incompresibilidad: el método de los multiplicadores de Lagrange, y el método de penalización.

5.3. M´ etodo de los multiplicadores de Lagrange El m´etodo de los m´ ultiplicadores de Lagrange propone la siguiente forma de aproximar la condici´on de incompresibilidad: se pide que las velocidades aproximadas (v1h , v2h ) cumplan la siguiente igualdad: Z Ã Ω

∂v1h ∂v2h + qh dΩ = 0 ∂x1 ∂x2 81

(5.16)

Ω

x1 h

Figura 5.11: Reprentación esquemática de la u ´ nica función aproximante (v1h , v2h ) contenida en Uh ∩ Kh para toda función qh ∈ Qh . Cuando una función (v1h , v2h ) veriÞca esta condición se dice que dicha función es débilmente incompresible con respecto al espacio Qh . Al conjunto de velocidades aproximantes (v1h , v2h ) que son débilmente incompresibles se lo simbolizará como Kh ,es decir, (

Kh = (v1h , v2h ) ∈ Hh tales que

Z Ã Ω

∂v1h ∂v2h + qh dΩ = 0 ∀ qh ∈ Qh ∂x1 ∂x2

)

El m´etodo de los multiplicadores de Lagrange propone entonces como soluci´on aproximada de las ecuaciones completas del ßujo estacionario de un medio viscoso incompresible (que experimenta deformaciones planas) a las velocidades (v1h , v2h ) ∈ Uh ∩ Kh que junto con las presiones aproximadas ph ∈ Qh veriÞcan la igualdad (5.12), es decir, las funciones (v1h , v2h ) ∈ Uh ∩ Kh y ph ∈ Qh que

cumplen10 Z

δεúh · 2µ D · Id · εúh dΩ + Z

Ω

δvh T · b dΩ +

Γf

Ω

δεúh T · M ph dΩ =

δvh T · f dΓ

∀ (δv1h , δv2h ) ∈ Vh

o bien, las funciones (v1h , v2h ) ∈ Uh y ph ∈ Qh que veriÞcan simult´aneamente Z

Ω

δεúh · 2µ D · Id · εúh dΩ + Z

Ω

δvh T · b dΩ +

qh M T · εúh dΩ = 0

Γf

Ω

δ εúh T · M ph dΩ =

δvh T · f dΓ

∀ (δv1h , δv2h ) ∈ Vh

(5.17)

∀ qh ∈ Qh

donde  

δ εúh =   

 εúh =  

∂δv1h ∂δv2h + ∂x1 ∂x2 ∂v1h ∂v2h = + ∂x1 ∂x2

δ εúh T · M = M T · εúh



∂δv1h ∂x1  ∂δv2h   ∂x2 ∂δv1h ∂δv2h + ∂x2 ∂x1  ∂v1h ∂x1  ∂v2h   ∂x2 ∂v1h ∂v2h + ∂x2 ∂x1

5.3.1. Interpretaci´ on geom´ etrica del m´ etodo de los multiplicadores de Lagrange La igualdad (5.16) admite la siguiente interpretaci´on geom´etrica: el espacio Qh es un subespacio vectorial de L2 (Ω) que es el conjunto al que pertenecen las presiones p.11 Por otra parte, siendo las velocidades aproximantes (v1h , v2h ) funciones 10

Recordar que las velocidades (v1h , v2h ) y presiones ph aproximadas deben cumplir la igualdad (5.12) para que resulten soluciones aproximadas de la ecuación del movimiento y la relaci´ on constitutiva. 11 En realidad, Qh no es un subespacio de L2 (Ω) sino un subespacio de L2 (Ωh ), donde Ωh es la uni´ on de todos los elementos Ωe y LR2 (Ωh ) es el conjunto de las funciones v deÞnidas en Ωh y de “cuadrado integrable”, es decir, Ωh v 2 dΩ < ∞. Si estos dos dominios coinciden (es decir, si Ω = Ωh ), entonces dichos espacios L2 (Ω) y L2 (Ωh ) también coincidir´ an. En adelante an indistintamente a ambos se considerará que Ω y Ωh son efectivamente iguales y se utilizar´ s´õmbolos para representarlos.

continuas y´ polinómicas dentro de cada elemento, entonces sus divergencias ³ ∂v1h ∂v2h + ∂x2 también serán funciones de L2 (Ω), es decir, el conjunto de las ∂x1 “divergencias” de funciones (v1h , v2h ) de Hh también será un subespacio de L2(Ω) (ver referencias [3] y [5]). Llamando Dh a dicho subespacio, es decir (

∂v1h ∂v2h Dh = q ∈ L (Ω) tales que q = + para alguna (v1h , v2h ) ∈ Hh ∂x1 ∂x2 2

)

entonces se deduce que existen dos subespacios de L2(Ω) en juego, el espacio de las presiones aproximadas Qh y el de las “divergencias” de las velocidades aproximadas Dh . R Por otra parte, a la integral Ω p q dΩ se la puede interpretar como un producto interno deÞnido para cada par de elementos p y q pertenecientes al espacio L2 (Ω).12 Esto se expresa representando a dicha integral con el s´õmbolo hp, qi, es decir,13 hp, qi =

p q dΩ

Ω

Teniendo en cuenta ésto, la idea de velocidad (v1h , v2h ) débilmente incompresible se puede reinterpretar de la siguiente forma: una función (v1h , v2h ) ∈ Hh será débilmente incompresible si su divergencia es ortogonal a todo el espacio Qh , es decir, si *Ã ! + ∂v1h ∂v2h + , qh = 0 ∀ qh ∈ Qh (5.18) ∂x1 ∂x2 1h 2h o en otras palabras, si la proyección ortogonal de su divergencia ∂v + ∂v sobre ∂x1 ∂x2 Qh es 0. Al conjunto Kh de velocidades aproximadas (v1h , v2h ) débilmente incompresibles, se lo puede reexpresar entonces como

(

Kh = (v1h , v2h ) ∈ Hh tales que

∂v1h ∂v2h + ∂x1 ∂x2

⊥ Qh

)

El producto interno es una funci´ on que a cada par de elementos de un espacio vectorial (en este caso L2 (Ω)) le hace corresponder un numero real, es decir, h·, ·i : L2 (Ω) × L2 (Ω) → < y que veriÞca las siguientes axiomas: ½ hp, pi > 0 ∀ p ∈ L2 (Ω) y p 6= 0 (deÞnida positiva) hp, pi = 0 ⇔ p = 0 ½ hp + r, qi = hp, qi + hr, qi (linealidad) hα p, qi = α hp, qi ∀ p, q ∈ L2 (Ω) y ∀ α ∈ < hp, qi = hq, pi

∀ p, q ∈ L2 (Ω) (simetr´õa)

Al estar dotado el espacio L2 (Ω) de un producto interno, tendr´a sentido hablar de ortogonalidad y de proyecciones ortogonales. 13 No confundir con el s´õmbolo hΦ(f)i utilizado para escribir en forma m´as compacta la relaci´ on constitutiva para la viscoplasticidad en el tercer cap´õtulo (ecuaci´ on 3.34).

(ortogonal a Qh quiere decir ortogonal a qh ∀ qh ∈ Qh ). De la deÞnición de producto interno, surge en primer lugar que si Dh ⊂ Qh entonces toda función (v1h , v2h ) que veriÞque (5.18) será exactamente incompre1h 2h 1h 2h sible, es decir, cumplirá ∂v + ∂v = 0 ya que como ∂v + ∂v ∈ Dh , si Dh ⊂ Qh ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2 ∂v1h ∂v2h entonces ∂x1 + ∂x2 pertenecerá a Qh y la u ´ nica función perteneciente a Qh que 1h 2h es ortogonal a todo el espacio Qh es la función nula, es decir, ∂v + ∂v = 0. ∂x1 ∂x2 5.3.2. Elecci´ on del espacio Qh Observando las igualdades (5.17) se deduce que el método de multiplicadores de Lagrange superará las diÞcultades discutidas en la sección anterior (el problema del bloqueo) si el espacio de las funciones “débilmente” incompresibles Kh es más “grande” que el de las funciones exáctamente incompresibles Kh de manera la intersección Uh ∩ Kh contenga muchas funciones y no una sola (o a veces ninguna) como sucede en el conjunto Uh ∩ Kh . Como Kh se puede interpretar 1h 2h como el subconjunto de funciones (v1h , v2h ) ∈ Hh cuyas divergencias ∂v + ∂v ∂x1 ∂x2 son ortogonales a Qh se deduce que la “riqueza” de dicho espacio Kh dependerá de cual es el espacio de funciones aproximantes de las presiones Qh que se elige: si el espacio Qh es muy “grande” (en comparación a L2 (Ω)), entonces Kh será muy “chico” (porque si Qh es muy “grande”, muy pocas funciones q serán ortogonales y de las pocas, serán much´õsimo menos las que además sean divergencias de funciones de Hh ), y si el espacio Qh es “chico”, Kh resultará “grande” (porque habrá muchas funciones q perpendiculares a él y será más facil encontrar algunas que además sean divergencias de funciones (v1h , v2h ) ∈ Hh ) (ver referencia [3]). Por ejemplo, si se elige como espacio de las presiones aproximantes Qh a las funciones que son discontinuas entre elementos y dentro de cada elemento son polinomios bilineales, es decir, polinomios construidos como combinación lineal de la base 1, r, s y rs, entonces se puede demostrar que tanto si los elementos son cuadrados (o rectangulares) como si son cuadriláteros de lados no paralelos, los espacios Kh y Kh resultan idénticos, y por lo tanto una interpolación de este tipo para las presiones no soluciona el problema del bloqueo. Para demostrar que este espacio Qh no sirve, se observa en primer lugar que si los elementos son cuadrados o rectangulares, las velocidades aproximantes (v1h , v2h ) dentro de cada elemento serán polinomios bilineales, es decir, estarán dadas por v1h (x1 , x2 ) = α1 + β1 x1 + γ1 x2 + δ1 x1x2 v2h (x1 , x2 ) = α2 + β2 x1 + γ2 x2 + δ2 x1x2 y la divergencia de (v1h , v2h ) dentro de cada elemento será entonces un polinomio lineal: ∂v1h ∂v2h + = (β1 + γ2 ) + +δ1 x2 + δ2 x1 ∂x1 ∂x2 85

Por otra parte si las presiones se interpolan dentro de cada elemento con polinomios bilineales, (y si los elementos son cuadrados o rectangulares) entonces, estarán dadas por: qh (x1 , x2 ) = a + b x1 + c x2 + c x1 x2 Por lo tanto el espacio Dh (es decir, el espacio de funciones q ∈ L2 (Ω) que son divergencias de funciones (v1h , v2h ) aproximantes de las velocidades) estará formado por funciones lineales en cada elemento y el espacio Qh estará formado por funciones bilineales. Claramente resulta Dh ⊂ Qh y como se dijo en la sección anterior, esto implica que las u ńicas funciones (v1h , v2h ) que son débilmente incompresibles respecto a éste espacio Qh son las que son exáctamente incompresible, es decir, es decir Kh = Kh . En segundo lugar, si los elementos son cuadriláteros no cuadrados (ni rectangulares), entonces, se puede demostrar que la divergencia de cada función (v1h , v2h ) aproximante de la velocidad dentro de cada elemento está dada por una expresión del tipo ∂v1h ∂v2h A+B r+C s + = (5.19) ∂x1 ∂x2 |J| donde A, B y C son parámetros que dependen de las coordenadas de los nodos y de las velocidades nodales, y |J| el jacobiano del sistema (x1 (r, s), x2(r, s)).14 14

Esto se demuestra de la siguiente forma: las velocidades aproximantes estar´ an dadas dentro de cada elemento por: v1h (r, s) = α1 + β1 r + γ1 s + δ1 rs v2h (r, s) = α2 + β2 r + γ2 s + δ2 rs con αj , βj , γj y δj par´ametros que dependen de las velocidades en los nodos del elemento. La divergencia de (v1h , v2h ) ser´a entonces: ∂v1h ∂x1

∂v2h ∂x2

∂r ∂s ∂r ∂s = ∂v∂r1h ∂x + ∂v∂s1h ∂x + ∂v∂r2h ∂x + ∂v∂s2h ∂x = 1 1 2 2 ∂r ∂s ∂r ∂s = (β1 + δ1 s) ∂x1 + (γ1 + δ1 r) ∂x1 + (β2 + δ2 s) ∂x + (γ2 + δ2 r) ∂x 2 2

(5.20)

Por otra parte las coordenadas locales (r, s) se relacionar´ an con las globales (x1 , x2 ) por: x1 (r, s) = a1 + b1 r + c1 s + d1 rs x2 (r, s) = a2 + b2 r + c2 s + d2 rs con aj , bj , cj y dj constantes que dependen de las coordenadas de los nodos. Entonces las ∂r ∂s ∂r ∂s , ∂x , ∂x , ∂x ser´an derivadas ∂x 1 1 2 2 ·

∂r ∂x1 ∂r ∂x2

∂s ∂x1 ∂s ∂x2

1 |J |

= ·

∂x1 ∂r ∂x1 ∂s

∂x2 ∂r ∂x2 ∂s

¸−1

1 |J|

∂x2 ∂s 1 − ∂x ∂s ¸

(c2 + d2 r) − (b2 + d2 s) − (c1 + d1 r) (b1 + d1 s)

2 − ∂x ∂r

∂x1 ∂r

Como el espacio de presiones aproximantes Qh consiste en funciones qh que son polinomios bilineales en r y s dentro de cada elemento es decir cada qh ∈ Qh est´a dado por qh (r, s) = a + b r + c s + d rs entonces15 Z Ã Ω

XZ ∂v1h ∂v2h + qh dΩ = ∂x1 ∂x2 E ΩE

1 1 XZ Z E −1 −1

∂v1h ∂v2h + qh dΩ = ∂x1 ∂x2

1 |J |

(A + B r + C s) (a + b r + c s + d rs) |J| dr ds =

donde ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂x1 − = ∂r ∂s ∂r ∂s = (b1 + d1 s) (c2 + d2 r) − (b2 + d2 s) (c1 + d1 r) = = D+E r+F s

|J| =

con D E F

= b1 c2 − b2 c1 = b1 d2 − b2 d1 = d1 c2 − d2 c1

Sustituyendo estas derivadas en la expresi´on de la divergencia (5.20) se obtiene ∂v1h ∂x1

∂v2h ∂x2

1 = |J| (β1 + δ1 s) (c2 + d2 r) − |J1 | (γ1 + δ1 r) (b2 + d2 s) + 1 1 + |J | (γ2 + δ2 r) (b1 + d1 s) − |J| (β2 + δ2 s) (c1 + d1 r) = 1 = |J| (A + B r + C s)

con A = β1 c2 − γ1 b2 + γ2 b1 − β2 c1 B = β1 d2 − δ1 b2 + δ2 b1 − β2 d1 C = δ1 c2 − γ1 d2 + γ2 d1 − δ2 c1 que es lo que se quer´õa demostrar. 15 Recordar que las funciones (x1 (r, s), x2 (r, s)) deÞnen el cambio de coordenadas locales (r, s) (con −1 ≤ r ≤ 1 y −1 ≤ s ≤ 1) a coordenadas globales (x1 , x2 ) (con (x1 , x2 ) ∈ ΩE ) y que por lo on ΩE se podr´a calcular como tanto, la integral de una funci´on cualquiera f(x1 , x2 ) sobre la regi´ Z

ΩE

f (x1 , x2 ) dΩ =

Z1 Z1

f (x1 (r, s), x2 (r, s)) dr ds

−1 −1

X ³

4 A a + 13 B b + 13 C c

Esto será cero para toda función qh ∈ Qh , es decir, para cualquier combinación de valores a, b, c y d si y solo si A = B = C = 0, es decir si y solo si ∂v1h s 2h + ∂v = A+B|Jr+C = 0. Es decir, también para elementos distorsionados, las ∂x1 ∂x2 | u ´ nicas funciones (v1h , v2h ) débilmente incompresibles respecto a este espacio Qh serán las de divergencia exactamente nula, y entonces, cuando Qh esta dado por polinomios bilineales adentro de elementos distorsionados (es decir, ni cuadrados ni rectangulares) también se obtiene Kh = Kh . Un razonamiento idéntico se puede hacer para el caso en que el espacio Qh esté formado por funciones discontinuas entre elementos y que son polinomios lineales dentro de cada elemento, es decir, cuando cada qh ∈ Qh tiene la forma qh (r, s) = a + b r + c s En este caso resulta también Kh = Kh y una interpolación lineal, tampoco sirve para solucionar el problema del bloqueo. Habiéndose descartado a los espacios Qh de funciones bilineales y al de las lineales, se considera ahora el caso de las funciones qh que son discontinuas entre elementos y constantes (es decir, polinomios de grado 0) dentro de cada elemento. Se demostrará que si se elige a este conjunto como espacio de presiones aproximantes Qh , entonces el espacio Kh de funciones débilmente incompresibles con respecto a dicho espacio Qh resuta mucho más grande que Kh y por lo tanto, esta resulta ser la u ´ nica elección posible de Qh (cuando el espacio Hh es el que corresponde a elementos de cuatro nodos) que supera el problema del bloqueo. Para demostrar ésto se observa que si cada función qh es constante dentro de cada elemento, es decir, qh = q(E) dentro del elemento E, donde q(E) = cte, entonces una función (v1h , v2h ) ∈ Hh será débilmente incompresible respecto a dichas funciones qh cuando Z Ã Ω

XZ ∂v1h ∂v2h + qh dΩ = ∂x1 ∂x2 ΩE E

X E

(E)

∂v1h ∂v2h (E) + q dΩ = ∂x1 ∂x2

ΩE

∂v1h ∂v2h + ∂x1 ∂x2

dΩ = 0

∀ q(E)

donde como q(E) es constante (dentro de cada dominio elemental ΩE ), entonces se lo puede “sacar” afuera de cada integral. La igualdad anterior se cumplir´a para 88

cualquier función q ∈ Qh , es decir, para ³cualquier combinaci´ on de valores q (E) , ´ ∂v1h ∂v2h si y solo s´õ cada una de las integrales de ∂x1 + ∂x2 sobre cada elemento E es nula, es decir si ! Z Ã ∂v1h ∂v2h + dΩ = 0 ∀E (5.21) ∂x1 ∂x2 ΩE Esto signiÞca que (v1h , v2h ) será débilmente incompresible respecto al espacio Qh de funciones “constantes en cada elemento”, si es incompresible en sentido “medio”, o bien (teniendo en cuenta el teorema de la divergencia) si Z

ΓE

(v1h , v2h ) · n dΓ = 0

∀E

(5.22)

(siendo ΓE la frontera de cada elemento y n su normal saliente), es decir, si el ßujo neto o caudal que pasa a trav´es de cada elemento es cero (la cantidad de ßuido que entra por unidad de tiempo al elemento es igual a la que sale). Por otra parte, utilizando la igualdad (5.19) y cambiando las variables (x1, x2 ) por las (r, s) en la integral (5.21) se obtiene Z

ΩE

∂v1h ∂v2h + ∂x1 ∂x2

dΩ =

Z1 Z1

−1 −1

1 (A + B r + C s) |J| dr ds = 4 A |J|

donde |J| es el ³jacobiano del ´ cambio de coordenadas (x1 (r, s), x2 (r, s)), y teniendo ∂v1h ∂v2h 1 (A + B r + C s) por lo que en cuenta que ∂x1 + ∂x2 = |J| Ã

∂v1h ∂v2h + ∂x1 ∂x2

!¯ ¯ ¯ ¯ ¯

= (r,s)=(0,0)

A (|J|)|(r,s)=(0,0)

(es decir, la constante A es igual al jacobiano evaluado en (r, s) = (0, 0) multiplicado por la divergencia evaludada en (r, s) = (0, 0)) se deduce que Z

ΩE

∂v1h ∂v2h + ∂x1 ∂x2

dΩ = 4

∂v1h ∂v2h + ∂x1 ∂x2

!¯ ¯ ¯ ¯ ¯

(|J|)|(r,s)=(0,0) (r,s)=(0,0)

Entonces, una funci´on (v1h , v2h ) cumplir´a las igualdades (5.21) si y solo si la devergencia de (v1h , v2h ) en el “centro” (coordenada (r, s) = (0, 0)) de cada elemento E es nula, es decir, si Ã

∂v1h ∂v2h + ∂x1 ∂x2

!¯ ¯ ¯ ¯ ¯

(r,s)=(0,0)

∀E

(5.23)

De las igualdad (5.21) (que se cumple si y solo si se cumple la (5.22) o la (5.23)) se deduce que el espacio Kh de funciones d´ebilmente incompresible respecto al 89

espacio Qh formado por funciones qh que son constantes dentro de cada elemento y discontinuas entre elementos, estar´a dado por todas aquellas funciones (v1h , v2h ) para las cuales se cumple (5.21) o (5.22) o (5.23), es decir, Kh = = =

( ½

(v1h , v2h ) ∈ Hh tales que

 

(v1h , v2h ) ∈ Hh tales que



ΩE

ΓE

∂v1h ∂v2h + ∂x1 ∂x2

dΩ = 0

(v1h , v2h ) · n dΓ = 0

∂v1h ∂v2h + ∂x1 ∂x2

!¯ ¯ ¯ ¯ ¯

∀E =

∀E = =0

(r,s)=(0,0)

)

∀E

  

Claramente este espacio Kh será mucho mas grande que el conjunto de funciones exactamente incompresibles Kh porque es mucho más exigente pedir que ³ ´ ∂v1h ∂v2h + sea nula en todo el elemento E (es decir, en todo (r, s) perteneciente ∂x1 ∂x2 a ΩE ) que pedir solamente que sea nula en (r, s) = (0, 0). Se puede entender mejor por qué este espacio Kh es bastante más grande que Kh y entonces se evita el problema del bloqueo, considerando nuevamente el problema de la cavidad conducida visto en la sección anterior: al analizar como era el espacio Kh ∩ Uh en este ejemplo, se observó que en un elemento como el A de la Þgura (5.10), el nodo 1 resulta “bloqueado” (es decir, no puede moverse en ninguna dirección) si se exige que la velocidad aproximante (v1h , v2h ) en dicho elemento sea exactamente incompresible. En cambio, si se pide que esta velocidad ´ R ³ ∂v1h ∂v2h sea incompresible en “valor medio”, es decir, que ΩE ∂x1 + ∂x2 dΩ = 0 (lo que implica que el ßujo neto que atravieza al elemento es nulo), entonces dicho nodo podrá moverse en la dirección mostrada en la Þgura (5.12) porque cuando la velocidad del nodo 1 tiene dicha dirección, la cantidad de ßuido que ingresará al elemento a través de la cara 4 − 1 se compensa con la que sale por la cara 1 − 2 de manera que el ßujo neto es cero. Es decir, al debilitarse la condición de incompresibilidad, el nodo 1 “gana” un grado de libertad. Lo mismo ocurre con los nodos vecinos y en general con todos los nodos de la malla y entonces existirán muchas funciones en Kh ∩ Uh y no una sola como ocurr´õa en Kh ∩ Uh . 5.3.3. Forma matricial de la formulaci´ on con multiplicadores de Lagrange Como se dijo antes, cada una de las componentes v1h y v2h , de las velocidades aproximadas, son funciones pertenecientes al espacio Hh (el conjunto de funciones continuas y que son polinomios dentro de cada elemento). Como la base de este espacio son las funciones nJ ∈ Hh que valen 1 en el nodo J y 0 en los restantes, entonces dichas componentes se pueden expresar en la forma (5.11), es decir, como 90

Ω

45o

x2 2

1 2

A 3

h 4

B A

1 4

C x1

Figura 5.12: Ejemplo de la cavidad conducida: desbloqueo de la malla al debilitarse la condición de incompresibilidad. combinación lineal de dicha base, dónde los parámetros que acompa˜ nan a la base son los valores que toman dichas componentes en los nodos, es decir, v1h =

N X

(J) nJ v1h

J =1

v2h =

N X

(J)

nJ v2h

J =1

Si se numeran con el ´õndice I a los nodos que se ubican sobre la parte Γv de la frontera de Ω que es donde las velocidades están especiÞcadas y deben valer (g1 , g2 ), y con el ´õndice J a los nodos que se encuentran en el interior del dominio Ωh entonces las funciones (v1h , v2h ) que pertenecen al espacio Uh , (que esta formado por las funciones (v1h , v2h ) pertenecientes a Hh que además cumplen (v1h , v2h ) = (g1 , g2) en los nodos de la periferia) se podrán escribir en la forma: v1h =

Nv X

(J ) nJ v1h

J=1

v2h =

Nv X

Ng X

nI g1(I)

I=1 (J )

nJ v2h +

J=1

Ng X

(I)

nI g2

(5.24)

I=1

(J ) (J ) donde (v1h , v2h ) son los valores de (v1h , v2h ) en cada nodo J, (g1(I) , g2(I)) los valores que toman las velocidades (g1 , g2) sobre los nodos I de la frontera Γv y Nv y Ng son

respectivamente, la cantidad de nodos interiories a Ωh y los ubicados sobre la parte Γv de la frontera de Ω (que es la parte donde están preÞjadas las velocidades). Como las velocidades aproximantes se pueden escribir en la forma (5.24), las velocidades de deformación εúh que se derivarán de de dichas velocidades aproximantes estarán dadas por: 

 εúh = 

∂v1h ∂x1 ∂v2h ∂x2 ∂v1h 2h + ∂v ∂x2 ∂x1



Nv X

(J) v1h

Ng X

∂nJ ∂nI  +  ∂x1 ∂x1  J=1 I=1  Ng Nv X X   ∂nJ (J) ∂nI (I) =   v + g   ∂x2 2h ∂x2 2  J=1 I=1  Nv Ng n o X  Xn ∂nJ (J) ∂nJ (J ) ∂nI (I)  v1h + ∂x v2h + g1 + ∂x ∂x



J =1



g1(I)

∂nI ∂x1

I=1

          o  (I)  g 2

(5.25) Estas identidades se pueden reescribir en una forma mucho m´as compacta si se (J) (J ) (I) (I) umeros g1 y g2 y a las derivadas organiza a los par´ametros v1h y v2h , a los n´ ∂nJ ∂nJ ∂nI I , ∂x2 , ∂x1 y ∂n en matrices: llamando V a la matriz (columna) que agrupa ∂x1 ∂x2 (J) (J) y v2h , y G a la a los valores nodales de las velocidades aproximantes v1h (I) (I) correspondiente a las velocidades impuestas g1 y g2 en los nodos de la frontera, es decir,

VT = GT =

³ ³

(1) (1) (2) (2) (J) (J) (N V ) (N V ) v1h v2h v1h v2h · · · v1h v2h · · · v1h v2h

g1(1) g2(1) g1(2) g2(2) · · · g1(I) g2(I) · · · g1(N G) g2(NG)

(donde V es una matriz de (N V × 1) y G una de (NG × 1) con NV = 2Nv y NG = 2Ng ),16 la igualdad (5.25) se podr´a reescribir como:  

donde:

εúh =    

∂n1 ∂x1

Bv =  0 

 Bg = 

∂n1 ∂x2

∂n1 ∂x1

0 ∂n1 ∂x2

∂v1h ∂x2

0 ∂n1 ∂x2 ∂n1 ∂x1

∂v1h ∂x1 ∂v2h ∂x2



∂v2h ∂x1

∂n2 ∂x1

0 ∂n2 ∂x2 ∂n2 ∂x1

0 ∂n2 ∂x2

  = Bv · V + Bg · G 

0 ∂n2 ∂x2 ∂n1 ∂x1

··· ··· ···

∂nJ ∂x1

··· ··· ···

∂nI ∂x1

0 ∂nJ ∂x2

0 ∂nI ∂x2

0 ∂nJ ∂x2 ∂nJ ∂x1

(5.26) 

···  ···   ··· 

···  ···   ···

(5.27)

Recordar que Nv es la cantidad total de nodos interiores a Ω y Ng es la cantidad total de nodos ubicados sobre la frontera Γv . Como hay dos componentes de velocidad por nodo, entonces el n´ umero total de par´ametros nodales ser´an 2Nv y 2Ng .

son las matrices que agrupan a las derivadas de las funciones base nJ correspondientes respectivamente a los nodos interiores a Ω y a los ubicados sobre Γv cuyas dimensiones son (3 × NV ) y (3 × NG). El mismo razonamiento es aplicable al caso de las funciones (δv1h , δv2h ) que pertenecen al espacio Vh (las velocidades virtuales). Recordando que las funciones (δv1h , δv2h ) ∈ Vh deben valer (0, 0) en los nodos de la frontera Γv , se deduce que cualquiera de ellas se podr´a escribir como δv1h =

Nv X

(J)

nJ δv1h

J =1

δv2h =

Nv X

(J)

nJ δv2h

J =1

y la velocidades de deformaci´on virtual δεúh que se derivan de ellas como  

δ εúh =  

∂δv1h ∂x1 ∂δv2h ∂x2 ∂δv1h 2h + ∂δv ∂x2 ∂x1



  = Bv · δV 

(5.28)

donde δV es la matriz (columna) que agrupa a los valores nodales de las velocidades virtuales (δv1h , δv2h ), es decir, δV T =

(1) δv1h

(1) δv2h

(2) δv1h

(2) δv2h

(J) δv1h

···

(J) δv2h

···

(Nv ) δv1h

(Nv ) δv2h

cuya dimensión es (N V × 1).17 Con respecto al espacio Qh de presiones aproximantes, también se dijo antes que, como se trata de un espacio vectorial de dimensión Þnita, la presión aproximada ph (o cualquier otra función qh ) se podrá escribir como: ph =

NP X

(E)

n ˜ E ph

(5.29)

E=1

donde n ˜ E son las funciones base de este espacio, que valen 1 en el nodo de presión (E) E y cero en los restantes, y ph es el valor que toma la presión aproximada ph en (E) el nodo de presión E. Organizando a los parámetros ph y a las funciones n ˜ E en matrices (columna) esta igualdad se puede reescribir como T

˜ ·P ph = N 17

(5.30)

Recordar que N V = 2Nv , es decir, la dimensi´ on del vector de velocidades nodales es dos veces la cantidad total de nodos interiores a Ω porque existen dos grados de libertad por nodo.

donde ˜T = N PT =

³ ³

n ˜1 n ˜2 · · · n ˜E · · · n ˜N P

) p(1) p(2) · · · p(E) · · · p(NP h h h h

˜ y P son matrices de dimensión (NP × 1) siendo N P el n´ (N umero total de nodos de presión que, como se dijo antes, deÞne la dimensión del espacio Qh ) y en general, cualquier función del espacio Qh se podrá expresar como ˜T · Q qh = N

(5.31)

(siendo Q la matriz que agrupa a los valores de qh en los nodos de presi´on, es decir a los par´ametros qh(E) ). Sustituyendo ahora las expresiones (5.26), (5.28), (5.30) y (5.31) en las igualdades (5.17) se obtiene lo siguiente: ³

δV T · Kd · V + C T · P + Fv + Fb + Ff = 0 QT · (C · V + H) = 0 ∀Q donde: Kd = C=

Fv = Fb =

Ff = H=

Bv T · 2µ D · Id · Bv dΩ

Ω

ZΩ

˜ · M T · Bv dΩ N

ZΩ ZΩ Ω

(5.32)

(NV × N V ) (NP × NV )

Bv T · 2µ D · Id · Bg · G dΩ (NV × 1) Bv T · b dΩ

Z Γf

∀ δV

(NV × 1)

Bv T · f dΩ

(5.33)

(NV × 1)

˜ · M T · Bg · G dΩ N

(NP × 1)

Para que las igualdades (5.32) se cumplan para cualquier vector δV y Q, los términos que se agrupan dentro del paréntesis deberán ser iguales al vector nulo 0. Por lo tanto, las presiones ph y velocidades (v1h , v2h ) que veriÞquen la igualdad (5.17) serán aquellas cuyos valores nodales P y V veriÞquen: Kd · V + C T · P = −F C · V = −H

(5.34)

donde F = Fv + Fb + Ff . El sistema de ecuaciones (5.34) con las matrices Kd , C, Fv , Fb , Ff y H dadas por las relaciones (5.33) constituye un sistema de ecuaciones lineales para las 94

incógnitas P y V que son las presiones y velocidades nodales. Resolviendo este sistema y utilizando las expresiones (5.24) y (5.29) se obtienen las funciones (v1h , v2h ) y ph que satisfacen las igualdades (5.17) propuestas en el método de los multiplicadores de Lagrange. 5.3.4. Existencia de la soluci´ on: modos de presi´ on ˜ j de Qh , cada función (v1h , v2h ) ∈ Uh Habiéndose elegido las bases nj de Hh y n y ph ∈ Qh queda un´õvocamente determinada por los valores que tienen dichas funciones en los respectivos nodos. Como dichos valores nodales se agrupan en matrices V y P , entonces cada función (v1h , v2h ) del espacio Uh se identiÞcará con un vector V (de dimensión NV ) y cada elemento ph del espacio Qh se corresponderá con un vector P (de dimensión N P ). Por lo tanto el problema de encontrar a las funciones (v1h , v2h ) ∈ Uh y ph ∈ Qh que satisfacen la igualdad (5.17) se reducirá al de hallar los vectores V ∈ <NV y P ∈ <NP que son solución del sistema de ecuaciones algebraicas (5.34). Para resolver este sistema de ecuaciones lineales se observa primero que las matrices que intervienen en el mismo tienen las siguientes caracter´õsticas: 1. La matriz Kd es una matriz cuadrada de N V × NV . Se puede demostrar (ver referencia [2]) que esta matriz resulta simétrica (Kd T = Kd ) y deÞnida positiva (es decir, V T · Kd · V > 0 para todo V ∈ <N V y V 6= 0) por lo que será entonces inversible. 2. La matriz C es una matriz no cuadrada de NP × NV con NP menor que NV . Esto es as´õ porque seg´ un se explicó antes, para que no exista bloqueo es necesario que el espacio Kh ∩ Uh contenga muchas funciones y no una sola y como este espacio está generado por todos aquellos vectores V que veriÞquen18 C · V = −H (5.35) entonces para que Kh ∩ Uh sea “grande” es necesario que este sistema no tenga solución u ńica sino “muchas” soluciones. Esto sucederá solamente si NP es menor que NV porque si fuera mayor, entonces el sistema (5.35) estará formado por mayor cantidad de ecuaciones que incógnitas y de existir solución V , dicha solución será u ńica y en cambio si NP es menor que NV entonces el n´ umero de ecuaciones sera menor que el de incógnitas V y (si no existe incompatibilidad) dicho sistema tendrá inÞnitas soluciones que es lo que se necesita. 18

Recordar que la segunda de las ecuaciones (5.34) se obtiene imponiendo la condici´ on de incompresibilidad en forma débil (la condici´ on (5.16)) a una función (v1h , v2h ) perteneciente al espacio Uh (y expresada en términos de la base nJ ).

3. Se puede demostrar (ver referencias [12] y [26]) que frecuentemente (en particular cuando se utilizan elementos cuadrados y cuando Ff = 0) esta matriz C no es de “rango competo”, es decir, la im´agen de C, que es el conjunto de todos los vectores de <N P que se obtienen haciendo C · V para todo V ∈ <N V , es decir, n

Im(C) = H ∈ <N P tal que H = C · V para cierto V ∈ <NV

no es todo <NP sino un subespacio de él. En otras palabras, el sistema C · V = −H no tiene solución para ciertos vectores H ∈ <N P , que son los que están “afuera” de su imágen. 4. Observando que la Im(C) es ortogonal al n´ ucleo de C T , deÞnido como el conjunto de todos los vectores Q ∈ <N P que veriÞcan C T · Q = 0, es decir,19 n

Ker(C T ) = Q ∈ <N P tal que C T · Q = 0

y teniendo en cuenta que Im(C) no es todo el espacio <N P sino un subconjunto de él, entonces dicho n´ ucleo de C T será no vac´õo, es decir, NP existirán ciertos vectores Q ∈ < distintos del vector nulo tales que T 20 C · Q = 0. Teniendo en cuenta estas caracter´õsticas de las matrices Kd , C y C T , se puede demostrar (ver referencia [12]) que existira una solución del sistema (5.34) si y solo s´õ el vector H ∈ <NP que aparece como término independiente de la segunda de dichas ecuaciones, pertenece a la imágen de C, o bien, teniendo en cuenta que Im(C) es ortogonal al n´ ucleo de C T , si dicho vector H es ortogonal a Ker(C T ). A Esto es as´õ porque si Q pertence a Ker(C T ) entonces C T · Q = 0 lo que implica que V T · C T · Q = 0 para cualquier vector V ∈ <N V . Esto es lo mismo que decir que QT · C · V = 0 para todo V ∈ <NV lo que a su vez quiere decir que QT es ortogonal a Im(C). Lo mismo ocurrir´ a con cualquier otro Q ∈ Ker(C T ). Luego Ker(C T ) es ortogonal a Im(C). 20 Para demostrar esto se observa que la ecuación C · V = −H, se puede reescribir de la siguiente forma: NV X C (J) VJ = −H 19

J=1

donde C (J ) son las columnas de C (de dimensi´on N P ) y VJ las componentes de V por lo que la im´ agen de C ser´a el subespacio que se obtiene combinando linealmente a dichas columnas C (J ) es decir, dichas columnas ser´ an una base de Im(C). Si este espacio no es todo <NP entonces existir´ an ciertos vectores Q distintos del vector nulo que son ortogonales a toda la base C (J) de Im(C), es decir, que cumplan QT · C (J) para todo J lo que implica que C · Q = 0 y que Ker(C) contiene vectores Q no nulos.

los vectores Q ∈ <NP distintos del vector nulo, que cumplen C T · Q = 0 (es decir, a los elementos de Ker(C T )) se los llama modos de presión. La condición para que exista solución de las ecuaciones (5.34) es entonces que H sea ortogonal a todos los modos de presión. Se puede demostrar también que cuando dicha condición se satisface, la solución V para las velocidades es u ńica y la correspondiente a las presiones P esta formada por una parte P ∗ ortogonal a todos los modos de presión y u ´ nica, más un modo de presión Q arbitrario, es decir P = P ∗ + Q con P ∗ ⊥ Ker(C T ) (´ unica) y Q ∈ Ker(C T ) (arbitraria) es decir, la solución para las presiones no es u ´ nica pero las inÞnitas soluciones está compuesta por una parte u ńica P ∗ más cualquier elemento Q del Ker(C T ) (cualquier modo de presión). La existencia de modos de presión tiene entonces como consecuencia que para ciertos términos independientes H existirá solución y para otros no. Como este vector H proviene de las condiciones de borde cinemáticas (g1 , g2 ), (ver ecuación (5.33)) entonces la existencia de solución del sistema (5.34) está condicionada a cuáles serán dichas condiciones de borde. Para ilustrar este problema se considera nuevamente el problema de la cavidad conducida (ver Þgura (5.7)). Se puede demostrar (ver referencias [12] y [26]) que, para este ejemplo, existen dos modos de presión linealmente independientes, es decir, dos vectores Q ∈ <NP distintos del vector nulo (y distintos entre s´õ) que veriÞcan CT · Q = 0 Uno es el modo hidrostático QH deÞnido como QH T =

1 1 1 ··· 1 1 1

es decir, constante en todo el dominio Ω y el otro es el denominado modo de damero QC (o modo checkerboard ) que tiene la siguiente expresi´on: QC T =

−1 1 −1 · · · −1 1 · · ·

es decir, los valores de QC T alternan entre un n´ umero positivo y uno negativo de elemento en elemento. En la Þgura (5.13) se muestra esquemáticamente a este u ´ ltimo modo de presión. Existirá solución si las condiciones de borde cinemáticas (g1 , g2 ) que se imponen dan lugar a un vector H (ver igualdades (5.33)) ortogonal a ambos modos de presión. En la Þgura (5.14) se muestran dos tipos de condiciones de borde (g1 , g2) parecidas: en el primer caso, se impone una velocidad tangencial (g1 , g2 ) = (cte, 0) en todos los nodos del borde superior y un velocidad nula (g1 , g2 ) = (0, 0) en el resto de los nodos del borde, y en el otro, se impone una 97

velocidad tangencial en todos los nodos del borde superior salvo el nodo 1 y el N (ver Þgura (5.14)) en los que, al igual que el resto de los nodos de la frontera, se exige que la velocidad sea nula. Si bien ambas condiciones de borde son parecidas, se puede demostrar (ver referencia [12]) que en el primer caso se cumple que H = 0 por lo que QH T · H = 0 QC T · H = 0

es decir, se satisfacen las condiciones de exisitencia de soluci´on, mientras que en el segundo, el vector H proveniente de dichas condiciones cumple: QH T · H = 0 QC T · H = −

´ h³ 1 + (−1)M 2

donde h es la longitud de los lados de cada elemento, y M es la cantidad de elementos que se ubican en el borde superior de la cavidad por lo que, si M es par, el vector H no será ortogonal a uno de los modos de presión, (el modo QC T ) y por lo tanto no existe solución. x2

-1

Ω

Figura 5.13: Modo de presión tipo “damero” o “checkerboard” Se ve entonces que, cuando hay modos de presión, la existencia de soluciones del sistema (5.34) resulta inßuenciada por las condiciones de borde cinemáticas impuestas. Se puede demostrar que la presencia de estos modos depende de la 98

(g1,g2)=(cte,0)

Ω

Ω (g1,g2)=(0,0)

(g1,g2)=(0,0) h

x1 h

(g1,g2)=(0,0)

x1 h

(g1,g2)=(0,0)

Figura 5.14: Condiciones de borde utilizadas en el problema de la cavidad conducida geometr´õa de los elementos, y que en general existen dos modos independientes asociados al elemento elegido (4 on): ³ nodos para la velocidadý 1 nodo para la presi´ T el modo hidrostático QH = 1 1 1 · · · 1 1 1 y el modo checkerboard cuya expresión para mallas cuadradas es la presentada en el ejemplo de la cavidad, y la correspondiente a mallas más generales tiene la forma QC T =

1 α1

− α12

1 α3

···

1 αE

1 − αE+1 ···

donde las constantes αE son positivas y dependen de la geometr´õa de cada elemento E (ver referencia [26]). La presencia de modos de presión, además de condicionar la existencia de una solución del sistema (5.34) tiene otra consecuencia: si bien existirá solución de este sistema cuando H sea ortogonal a los modos de presión dicha solución no se puede hallar con los métodos habituales de resolución de sistemas de ecuaciones lineales dado que, por ser el n´ ucleo de C T no vac´õo (y la matriz C de rango incompleto) la matriz de este sistema, resultará no inversible. Es decir, “despejando” V de la primera de la ecuaciones (5.34) y reemplazando en la segunda para obtener la siguiente ecuación para las presiones ³

C · Kd−1 · C T · P = −C · Kd−1 · F + H

(5.36)

se ucleo de C T no vac´õo, el determinante de la matriz ³ encuentra ´que, por ser el n´ C · Kd −1 C T ser´a nulo y entonces la soluci´on para P (y por lo tanto la de V ), si 99

bien existen, no pueden encontrarse directamente. Resumiendo entonces, cuando hay modos de presión (que son los vectores Q ∈ <N P distintos del vector nulo que veriÞcan C T · Q = 0) la solución de las ecuaciones (5.34) (y la correspondiente a las presiones (5.36) que se deriva de ella) puede no existir. La condición necesaria y suÞciente para que dicha solución s´õ exista es que el vector H ∈ <NP que es uno de los terminos independientes de estas ecuaciónes y que se deriva de las condiciones de borde impuestas para las velocidades, esté contenido en la imágen de C, es decir, sea orotogonal a los modos de presión. Cuando existe, la solución se caracteriza por ser u ´ nica para las velocidades y u ´ nica para las presiones salvo combinaciones lineales arbitrarias de dichos modos de presión y no puede ser hallada directamente dado que la matriz del sistema resulta no inversible. 5.3.5. PreÞltrado de los modos de presi´ on Como se dijo antes, la solución del sistema (5.36) (que es la ecuación para las presiones que se deriva de las (5.34)) se puede escribir (cuando existe) como P = P∗ + Q donde P ∗ es perpendicular a los modos de presión, (y esta componente es u ´ nica) y Q es un modo de presión (arbitrario). Como en general existen dos posibles modos independientes, el modo hidrostático QH y el modo “checkerboard” QC cualquier modo de presión arbitrario Q se podrá escribir como combinación de estos y la solución más general para las presiones es (cuando existe), P = P ∗ + βH QH + βC QC

(5.37)

donde βH y βC son constantes arbitrarias. La parte P ∗ de esta solución no puede encontrarse directamente, ya que la matriz del sistema (5.36) no es inversible. Una de las formas de solucionar esta diÞcultad numérica es el preÞltrado o rigidización de los modos de presión (ver referencia [6]). Este método propone modiÞcar a la ecuación de las presiones (5.36) de la siguiente manera: ³

C · Kd−1 · C T + ηH A · φH · φH T · A + ηC A · φC · φC T · A · P = −C · Kd−1 · F + H (5.38) donde ηH y ηC son dos constantes no nulas, φH y φC son los modos de presi´on

100

QH y QC normalizados,21 es decir, φH = φC =

kQH k QC

kQC k

=√ =√

QH T ·A·QH QC

T ·A·Q

(5.39)

y A es la interno.22 Se puede demostrar que, a diferencia de la ³ matriz del producto ´ matriz C · Kd−1 · C T (la matriz del sistema (5.36)), la matriz de este sistema de ecuaciones modiÞcado s´õ es inversible y que su solución es P ∗ , es decir, está libre de modos de presión. También se puede demostrar, que eligiendo a las constantes ηH y ηC suÞcientemente grandes, el problema de la inexistencia de soluciones cuando el vector H no es ortogonal a los modos de presión no se presenta, es decir, la solución para las presiones y velocidades existe también en dicho caso. Para demostrar esto se observa en primer lugar que los modos de presión QH 21

Si bien QH y QC son linealmente independientes, en general no son mutuamente ortogonales dado que son autovectores asociados a un mismo autovalor (el autovalor nulo). Como más adelante se necesita una base ortonormal de autovectores, φH y φC no se interpretarán entonces como los modos QH y QC normalizados, sino como la base de Ker(C T ) ortonormalizada on construida con estos modos. Es decir, φH y φC son los versores construidos como combinaci´ lineal de QH y QC que son ortogonales entre s´õ. 22 Como se explic´ o antes, el producto interno entre dos vectores p y q de L2 (Ω) está dado por Z p · q dΩ hp, qi = Ω

En particular para dos vectores ph y qh pertenecientes a Qh que es un subespacio de L2 (Ω) el producto interno ser´ a Z hph , qh i = ph · qh dΩ Ω

Expresando a ph y a qh en t´erminos de la base n ˜ E de Qh elegida, es decir, ˜T · P = N ˜T · Q = N

ph qh T

˜ es la matriz (columna) que agrupa a las funciones base n donde N ˜ E (ver ecuaciones (5.29) y (5.30)), el producto interno entre dos elementos de Qh se puede escribir como hph , qh i = P T · A · Q donde A=

Ω

˜ ·N ˜ T dΩ N

101

(5.40)

y QC , por ser vectores del n´ ucleo de C T , cumplir´an ³

C · Kd−1 · C T · QH = 0 = 0 QH ³ ´ C · Kd−1 · C T · QC = 0 = 0 QC

(5.41)

por lo que ser´ ³ ´ an autovectores asociados a autovalores nulos de la matriz C · Kd−1 · C T . En segundo lugar se observa que, como esta matriz es simétrica, el resto de sus autovectores (en total N P − 2) serán todos ortogonales a los modos de presión QH y QC (y ortogonales entre s´õ) por lo que formarán una base del complemento ortogonal de Ker(C T ). Entonces, P ∗ que es la parte de P que pertenece a este u ´ ltimo conjunto (es decir, es ortogonal a los modos de presión) podrá ser expresado como combinación lineal de dicha base de autovectores, es´ ³ −1 T decir, llamando φE (con 1 ≤ E ≤ NP − 2) a los autovectores de C · Kd · C ortogonales a los modos de presión φH y φC (normalizados), que son los vectores que cumplen ³

C · Kd−1 · C T · φE = λE · A · φE φE T · A · φE = 1

(5.42) (5.43)

(donde A es la matriz del producto interno y λE es el autovalor correspondiente al autovector φE ), P ∗ podr´a escribirse como P∗ =

NP −2 X

x E φE

(5.44)

E=1

donde xE son parámetros que dependerán de la “participación” que tenga cada autovector φE en P ∗ . Sustituyendo las igualdades (5.37) y (5.44) en las ecuaciones (5.36) y teniendo en cuenta que los autovectores φE veriÞcan la igualdad (5.42) y A esta matriz se la denomina matriz del producto interno. Recordando que cada elemento n ˜ de la base de Qh vale 1 en el elemento E y cero en los restantes y que ¢ ¡ E T ˜ ˜ E · · · , se deduce que esta matriz ser´ a una matriz diagonal con ˜1 n ˜2 · · · n N = n AEE = Area(ΩE ). En particular si los elementos son cuadrados o tienen todos el mismo a´rea, a m´ ultiplo de la matriz identidad. entonces la matriz A ser´ De la igualdad (5.40) se deduce que la norma de una función ph estará dada por kph k2 = hph , ph i = P T · A · P por lo que kph k = 1 implica que P T · A · P = 1 y que dos vectores ph y qh ser´ an ortogonales cuando hph , qh i = P T · A · Q = 0

102

que los modos de presi´on cumplen (5.41) se obtiene NP −2 X E=1

λE xE A · φE = −C · Kd−1 · F + H

y premultiplicando por cualquier autovector φJ T (1 ≤ J ≤ NP − 2) se obtendr´a23 ³

λJ xJ = φJ T · −C · Kd−1 · F + H

1 ≤ J ≤ NP − 2

Se deduce entonces que la soluci´on P del sistema (5.36) estar´a dada por ÃNP −2 X

P =

con

E=1

xE φE

+xH φH + xC φC

(5.45)

}

P∗

xH = xC = arbitrario ³ ´ (5.46) φE T · −C · Kd−1 · F + H xE = 1 ≤ E ≤ NP − 2 λE Si, en cambio, se sustituyen las igualdades (5.37) y (5.44) en el sistema de ecuaciones modiÞcado (5.38), se obtiene ÃN P −2 X E=1

λE xE A · φE + ηH xH A · φH + ηC xC A · φC = −C · Kd−1 · F + H

donde xH y xC son constantes (m´ ultiplos de las constantes βH yβC que aparecen en la (5.37)) y premultiplicando por cualqui´er autovector φJ , se obtendr´a ahora24 , ³

λJ xJ = φJ T · −C · Kd−1 · F + H

ηH xH = φH T · H

1 ≤ J ≤ NP − 2

ηC xC = φC T · H

Recordar que los autovectores φE son todos ortogonales entre s´õ (porque provienen de una matriz sim´etrica) y estan normalizados, es decir, verÞcan φJ · A · φE = 0 si J 6= E φJ · A · φE = 1 si J = E µNP −2 ¶ NP −2 ¡ ¢ P P λE xE A · φE = λE xE φJ · A · φE = λJ xJ . por lo que φJ · E=1

E=1

Recordar que los modos de presi´ on φH y φC cumplen C T · φH = 0 y C T · φC = 0 por lo que ´ ³ φH T · −C · Kd−1 · F + H = φH T · H ´ ³ φC T · −C · Kd−1 · F + H = φC T · H

103

La soluci´on del sistema modiÞcado (5.38) estar´a dada entonces por ÃNP −2 X

P =

con

E=1

xE φE

P∗

+xH φH + xC φC

(5.47)

}

φH T · H ηH φC T · H xC = ηC ³ ´ φE T · −C · Kd−1 · F + H xE = λE

xH =

(5.48) 1 ≤ E ≤ NP − 2

Comparando la solución del sistema (5.36) (ecuaciones (5.45) y (5.46)) con la correspondiente al sistema modiÞcado (5.38) (ecuaciones (5.47) y (5.48)), se deduce que, si H es perpendicular a los modos de presión, es decir, si φH T · H = φC T · H = 0, entonces la solución del sistema modiÞcado (5.38) será P ∗ y que si H no es perpendicular a los modos de presión y si ηH y ηC se eligen suÞcientemente grandes, entonces la solución de las ecuaciones (5.38) estará dada por (5.47) con xH y xC muy chicas, es decir, es prácticamente igual a P ∗ . Se observa entonces, que con este método de preÞltrado, se puede hallar la ∗ solución para las presiones on a pesar que ³ ´ (la parte P ) libre de modos de presi´ −1 T la matriz C · Kd · C es singular. Una vez obtenida P , la solución para las velocidades se obtiene resolviendo la primera de las ecuaciones (5.34), es decir, ³

V = −Kd−1 · F + C T · P

Ejemplo num´ erico En la Þgura (5.15) y (5.16) se muestran las presiones y velocidades obtenidas al resolver con el método de multiplicadores de Lagrange con “preÞltrado” o “rigidización” de los modos de presión el problema de la cavidad conducida para los dos tipos de condiciones de borde mostrados en la Þgura (5.14) y para dos tipos de mallas: una formada por M × M elementos con M par, y otra formada por M × M elementos con M impar. Se observa que para el segundo tipo de condición de borde impuesta, si bien se pudo obtener una solución, esta solución no es satisfactoria dado que los elementos debieron distorsionarse demasiado para poder cumplir simultáneamente las condiciones de borde cinemáticas (g1 , g2 ) y la condición de incompresibilidad (impuesta en forma débil) hecho que da lugar a una aproximación de las presiones pobre. Esto implica que en este caso, el espacio 104

Kh ∩ Uh (con Qh formado por funciones constantes dentro de cada elemento y discontinuas entre elementos) no resulta lo suÞcientemente rico como para que se puedan encontrar dentro de ´el buenas aproximaciones para las velocidades.

5.4. M´ etodo de penalizaci´ on Como se dijo antes, el método de multiplicadores de lagrange (con Þltrado de los modos de presión) es una de las formas de “debilitar” la condición de incompresibilidad y evitar el problema del bloqueo. Sin embargo presenta la desventaja que para hallar la solución para las velocidades, que son las incógnitas primarias del problema, es necesario resolver primero las ecuaciones para las presiones (5.36).25 Una forma alternativa de “debilitar” la condición de incompresibilidad y que tiene la ventaja que s´õ se puede formular en términos exclusivos de las velocidades, es el método de penalización. Este método propone la siguiente forma de aproximar la condición de incompresibilidad: se modiÞca la ecuación de incompresibilidad (5.4) seg´ un Ã

∂v1 ∂v1 + ∂x1 ∂x2

−

1 p=0 κ

donde κ es una constante (grande) llamada coeÞciente de penalización y p es la presión, y se pide a las velocidades aproximadas (v1h , v2h ) y a la presión aproximada ph que cumplan Z "Ã Ω

∂v1h ∂v2h + ∂x1 ∂x2

1 − ph qh dΩ = 0 κ

(5.49)

para toda función qh ∈ Qh . El método de penalización propone entonces como solución aproximada de las ecuaciones completas del ßujo de un medio viscoso incompresible (plano) a las funciones (v1h , v2h ) ∈ Uh y ph ∈ Qh que veriÞcan: Z

Ω

δεúh T · 2µ D · Id · εúh dΩ + Z

Ω ·

δvh T · b dΩ +

qh M T · εúh −

Γ¸f

Ω

δ εúh T · M ph dΩ =

δvh T · f dΓ

1 ph dΩ = 0 κ

∀ (δv1h , δv2h ) ∈ Vh

(5.50)

∀ qh ∈ Qh

Recordar que en las ecuaciones (5.32) se pudo despejar V de la primera de ellas y reemplazar en la segunda para obtener el sistema(5.36) que involucra exclusivamente a las presiones pero es imposible encontrar una ecuaci´ on en la que aparezcan solamente las velocidades porque las presiones V no se pueden despejar de la segunda de las ecuaciones (5.32).

105

Condiciones de borde utilizadas: Tipo (a) (Velocidades impuestas en los nodos 1 a M inclusive) x2 (g 1,g 2)=(cte,0)

Tipo (b) (Velocidades impuestas en los nodos 2 a M-1; nodos 1 y M fijos) x2 (g 1,g 2)=(cte,0)

Ω

Ω (g 1,g 2)=(0,0)

(g 1,g 2)=(0,0) h

x1 h

(g 1,g2)=(0,0)

x1 h

(g 1,g 2)=(0,0)

Condición de borde tipo (a) 14 x 14 elementos (Numero par)

Condición de borde tipo (b) 14 x 14 elementos (Numero par)

Condición de borde tipo (a) 13 x 13 elementos (Numero impar)

Condición de borde tipo (b) 13 x 13 elementos (Numero impar)

Parámetros numéricos utilizados en ambos casos:

Figura 5.15: Velocidades obtenidas para el problema de la cavidad conducida para distintas mallas y condiciones de borde (M´etodo de multiplicadores de Lagrange con “preÞltrado” de los modos de presi´on).

106

Condiciones de borde utilizadas: Tipo (a) (Velocidades impuestas en los nodos 1 a M inclusive) x2 (g 1,g2)=(cte,0)

Tipo (b) (Velocidades impuestas en los nodos 2 a M -1; nodos 1 y M fijos)

(g 1,g2)=(cte,0)

Ω

Ω (g 1,g 2)=(0,0)

(g 1,g 2)=(0,0) h

(g 1,g 2)=(0,0)

Condición de borde tipo (a) 14 x 14 elem entos (Numero par)

Condición de borde tipo (b) 14 x 14 elem entos (Numero par)

0.2 1

0.1 0

-0.1 5

-0.2

-1

10 5

Condición de borde tipo (a) 13 x 13 elem entos (Numero impar)

Condición de borde tipo (b) 13 x 13 elem entos (Numero impar)

0.2 0.5

2.5

-0.5

-0.2

12.5

7.5

10 7.5

7.5

10 5

5 12.5

12.5

7.5

12.5

2.5

x1 Parámetros numéricos utilizados en ambos casos:

2.5

Figura 5.16: Presiones obtenidas para el problema de la cavidad conducida para distintas mallas y condiciones de borde (M´etodo de multiplicadores de Lagrange con “preÞltrado” de los modos de presi´on).

107

donde δεúh T = εúh T =

∂δv1h ∂x1 ∂v1h ∂x1

∂δv2h ∂x2 ∂v2h ∂x2

∂δv1h ∂x2 ∂v1h ∂x2

∂δv1h ∂δv2h + ∂x1 ∂x2 ∂v1h ∂v2h = + ∂x1 ∂x2

δ εúh T · M = M T · εúh

∂δv2h ∂x1

∂v2h ∂x1

La velocidad (v1h , v2h ) (junto con la presión ph ) deberá cumplir la primera de las igualdades (5.50) (el principio de las potencias virtuales), para que resulte una solución aproximada de las ecuaciones del movimiento (5.3) y la relación constitutiva para un medio viscoso (5.2), y deberán satisfacer la segunda igualdad (5.50) (con κ “grande”) para aproximar la condición de incompresibilidad. La igualdad (5.49) admite una interpretación geométrica análoga a la correspondiente al método de los multiplicadores de Lagrange: recordando que la inteR gral Ω p q dΩ es un producto interno hp, qi, la igualdad (5.49) se puede reescribir como *Ã ! + 1 ∂v1h ∂v2h + − p h , qh = 0 ∀ qh ∈ Qh ∂x1 ∂x2 κ por lo que dicha igualdad expresa que κ1 ph es la proyección ortogonal sobre el espacio Qh de la divergencia de (v1h , v2h ). Entonces, s´õ κ es grande, las velocidades (v1h , v2h ) tendrán una proyección ortogonal sobre Qh que no es nula como en el método de los multiplicadores de Lagrange, pero es “casi” nula. Teniendo ³ en cuenta esto se observa que, cuando κ → ∞ la proyección ´ ∂v2h 1h ortogonal de ∂v + sobre Qh tenderá a cero por lo que las velocidades ∂x1 ∂x2 (v1h , v2h ) tenderán a pertenecer a Kh (ver³ referencias´[3] y [5]) que es el conjunto 1h 2h de funciones (v1h , v2h ) cuya divergencia ∂v + ∂v tiene proyección sobre Qh ∂x1 ∂x2 exactamente cero. Esto implica que con el método de penalización se obtienen velocidades aproximadas (v1h , v2h ) que se encuentran tan “cerca” de Kh como se quiera con tal que κ sea suÞcientemente grande. Recordando que para que no exista bloqueo, el espacio Kh debe ser mucho más “grande” que Kh (el conjunto de las funciones exactamente incompresibles) de manera que Kh ∩ Uh contenga “muchas” funciones y no una sola o ninguna como Kh ∩ Uh , se deduce que, al igual que en el método de los multiplicadores de Lagrange, se debe elegir como espacio de presiones aproximantes Qh al formado por las funciones que son constantes dentro de cada elemento y discontinuas entre elementos, dado que, como se demostró antes, esta es la u ´ nica elección de Qh que proporciona 108

un espacio Kh mas “grande” que Kh (para polinomios de mayor orden resultaba Kh = Kh ). 5.4.1. Forma matricial del m´ etodo de penalizaci´ on Expresando a las velocidades (v1h , v2h ) ∈ Uh y a las velocidades virtuales (δv1h , δv2h ) ∈ Vh como combinación lineal de la base nJ de Hh (las funciones de Hh que valen 1 en el nodo J y cero en los restantes) y a las presiones ph como combinación lineal de la base n ˜ E de Qh (las funciones de Qh que valen 1 en el nodo de presión E y cero en los restantes) (ver ecucaciónes (5.26), (5.28), (5.30) y (5.31)) y reemplazando dichas expresiones en las igualdades (5.50) se obtiene ³

δV T · Kd · V + C T · P + Fv + Fb + Ff = 0 ³ ´ QT · C · V − κ1 A · P + H = 0 ∀Q

∀ δV

(5.51)

donde, al igual que en el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange, V y P son las matrices (columna) de NV × 1 y NP × 1 que agrupan a las velocidades y presiones nodales, Kd , C, Fv , Fb , Ff y H son las mismas matrices que se obtuvieron al deducir la forma matricial del m´etodo de los multiplicadores de Lagrange, deÞnidas en las ecuaciones (5.33), y A es la matriz del producto interno, deÞnida como Z ˜ ·N ˜ T dΩ A= N Ω

˜ la matriz que agrupa a las funciones base n (siendo N ˜ E de Qh ). Las igualdades (5.51) se veriÞcarán para todo δV ∈ <N V y para todo Q ∈ <NP si y solo s´õ V y P cumplen Kd · V + C T · P = −F (5.52) C · V − κ1 A · P = −H donde F = Fv + Fb + Ff . Estas ecuaciones constituyen un sistema de ecuaciones lineales para las incógnitas V y P . Resolviendo este sistema se determinan los valores nodales de las velocidad (v1h , v2h ) ∈ Uh y presión ph ∈ Qh que veriÞca las igualdades (5.50). A diferencia del sistema obtenido con el método de los multiplicadores de Lagrange (5.34), el sistema (5.52) puede ser escrito en términos exclusivos de las velocidades V : “despejando” P de la segunda de las ecuaciones (5.52) y reemplazando en la primera se obtiene la ecuación para las velocidades µ

Kd + C T ·

´−1

1 A κ

· C · V = −F − C T ·

1 A κ

´−1

·H

(5.53)

Resolviendo esta ecuación se podrán hallar las velocidades V sin necesidad de conocer primero las presiones. Estas u ´ ltimas se obtendrán, una vez que se conocen 109

las velocidades, con la segunda de las ecuaciones (5.52), es decir, con P =

´−1

1 A κ

· (C · V + H)

(5.54)

5.4.2. M´ etodo de penalizaci´ on formulado en t´ erminos exclusivos de las velocidades: integraci´ on reducida El sistema de ecuaciones (5.53), que involucra exclusivamente a las velocidades puede ser obtenido sin utilizar expl´õcitamente la discretizaci´on para las presiones ˜ T · P : teniendo en cuenta la deÞnici´on de las matrices C A y H (ecuaciones ph = N ³ ´ ˜T = n ˜1 n ˜2 · · · n ˜ N P siendo n (5.33)) y que N ˜ E las funciones base del espacio Qh que valen 1 en el elemento E y cero en los restantes, se puede demostrar (ver referencias [12] o [16]) que δV · C T · =

NP X E

´−1

1 A κ T

δV · Bv

¯ ¯ donde Bv ¯

· (C · V + H) = ¯ ¯

T¯

(r,s)=(0,0)

¯ ¯ y Bg ¯

· MκM ·

(r,s)=(0,0)

¯ ¯ Bv ¯

(r,s)=(0,0)

¯ ¯ · V + Bg ¯

(r,s)=(0,0)

· G 4 (|J|)|(r,s)=(0,0)

(5.55) son las matrices Bv y Bg deÞnidas en (5.27)

evaluadas en el punto del elemento E de coordenadas locales (r, s) = (0, 0), (|J|)|(r,s)=(0,0) es el jacobiano del cambio de coordenadas locales (r, s) a coordenadas globales (x1 , x2) del elemento E (el jacobiano del sistema (x1 (r, s), x2(r, s))) evaluado en el punto del elemento E de coordenadas locales (r, s) = (0, 0), M T = ( 1 1 0 ) y V y G son las matrices que agrupan a los valores nodales de las velocidades en los nodos interiores y en los de la frontera respectivamente. Recordando que (ver ecuaciones (5.26) y (5.28)) ³

∂v1h ∂v2h + ∂x1 ∂x2 ∂δv1h ∂δv2h ·M = + ∂x1 ∂x2

M T · Bv · V + Bg · G δV T · Bv T

y teniendo en cuenta que la integral de cualquier función f (x1 , x2) se puede estimar utilizando el método de cuadratura de Gauss con un u ´ nico punto de integración26 26

Una integral cualquiera

f(r) dr se puede calcular num´ericamente como

−1 N X

wi f(ξi )

i=1

110

como Z

ΩE

f(x1, x2 ) dΩ =

Z1 Z1

−1 −1

f (x1 (r, s), x2 (r, s)) |J| dr ds ' 4 f(x1, x2 )|(r,s)=(0,0) (|J|)|(r,s)=(0,0)

se deduce que la sumatoria del miembro derecho de la igualdad (5.55) se puede interpretar como la integral Z Ã Ω

∂δv1h ∂δv2h + ∂x1 ∂x2

∂v1h ∂v2h + ∂x1 ∂x2

dΩ

hecha con el método de cuadratura de Gauss con un u ´ nico punto de integración (o integración reducida). Entonces resulta δV · C T ·

´−1

1 A κ

· (C · V + H) '

R ³ ∂δv Ω

1h ∂x1

∂δv2h ∂x2

∂v1h ∂x1

∂v2h ∂x2

y la ecuaci´on (5.53) se podr´a obtener entonces a partir de la igualdad Z

Ω

δεúh · 2µ D · Id · εúh dΩ + Z

Ω

δvh T · b dΩ +

Γf

Ω

dΩ

δεúh T · M κ M T · δ εúh dΩ =

δvh T · f dΓ

∀ (δv1h , δv2h ) ∈ Vh

(haciendo la segunda integral del miembro derecho con integración reducida). Esta u ´ ltima igualdad es otro punto de partida con el que se puede obtener la ecuación (5.53) sin necesidad de interpolar a las presiones (siempre que la segunda integral se resuelva con integración reducida). 5.4.3. Convergencia de la soluci´ on para κ → ∞ Cuando se planteó el método de los multiplicadores de Lagrange, se vió que la solución para las presiones (cuando existe) se puede expresar como P = P ∗ + βH QH + βC QC donde βH y βC son constantes arbitrarias, QH y QC son los modos de presión, es decir, la base del n´ ucleo de C T y P ∗ es la parte de P ortogonal a dichos modos donde ξi son los llamados puntos de integración, wi son constantes positivas y N es la cantidad de puntos de integración utilizados. A este método se lo llama método de cuadratura de Gauss. Se puede demostrar que utilizando N puntos de integración se puede integrar exactamente un polinomio de grado menor o igual que 2N − 1. Si para integrar un polinomio de grado 2N − 1 se utiliza una cantidad de puntos menor que N (por lo que la integraci´ on no será exacta) se dice que la integral ha sido calculada con integraci´ on de Gauss reducida. Los puntos de integración y las constantes wi se encuentran tabulados en función de N (ver por ejemplo referencia [2]). Para N = 1, corresponde w1 = 4 y ξ1 = 0.

111

de presión. También se vió que la solución para las velocidades V y para las presiones P solo existe cuando el vector H es ortogonal a los modos de presión, y que cuando esta condición se cumple, la parte P ∗ no puede hallarse directamente y es necesario modiÞcar la ecuación para las presiones en la forma (5.38) poder encontrarla. Con respecto al método de penalización, se puede demostrar que la solución para las velocidades y para la presión existe independientemente de cual sean H y κ y que cuando κ → ∞ las velocidades V convergen a las obtenidas con el método de los multiplicadores de Lagrange independientemente del valor de H mientras que las presiones P convergen a la parte P ∗ de la solución correspondiente al método de los multiplicadores de Lagrange (es decir, a la parte libre de modos de presión) si H es ortogonal a los modos de presión y convergen a P ∗ + βH QH + βC QC con βH y βC tendiendo a inÞnito (es decir, a una solución totalmente contaminada por modos de presión) si H no es ortogonal a dichos modos. Es decir, llamando Vκ y Pκ a las velocidades y presiones que se obtienen con el método de penalización, entonces Vκ −→ V ∀ H ∈ <NP κ→∞ Pκ −→ P ∗ si QH T · H = 0 y QC T · H = 0 κ→∞ Pκ −→ P ∗ + βH QH + βC QC con βH y βC → ∞ si QH T · H 6= 0 o QC T · H 6= 0 κ→∞

donde V es la solución para las velocidades que se obtiene con el método de multiplicadores de Lagrange. Entonces, si bien con este método la solución existe independientemente de cual sea H, para obtener una solución para las presiones que tenga sentido f´õsico, es necesario que el vector H ∈ <N P que aparece en la segunda de las ecuaciones (5.52) sea perpendicular a QH y a QC . Si esto no pasa, se obtendrán presiones formadas exclusivamente por modos de presión y una solución de este tipo no tiene ninguna utilidad. Para demostrar esto, se observa que de las ecuaciones (5.52) se obtiene la siguiente ecuación para las presiones ³

C · Kd−1 · C T + κ1 A · P = −C · Kd−1 · F + H

(5.56)

Suponiendo que la solución Pκ de este sistema (al igual que la solución P correspondiente al método de multiplicadores de Lagrange) se puede escribir como Pκ =

ÃNP −2 X E=1

xE φE + xH φH + xC φC

donde xE , xH y xC son constantes ,φH y φC son los modos de presi´on normalizados (ver ecuaciones (5.37)) y φE son los autovectores de C · Kd−1 · C T 112

(correspondientes a autovalores λE no nulos) que son id´enticos a los de C · Kd−1 · ³ ´ C T + κ1 A (porque si φE cumple C · Kd−1 · C T · φE = λE A · φE entonces ³

C · Kd−1 · C T + κ1 A · φE = λE + (5.56) se obtiene27 NX P −2

E=1

λE +

1 κ

A · φE + x H

1 κ

1 A κ

A · φE ) y reemplazando en la ecuaci´on

· φH + xC

1 A κ

· φC = −C · Kd−1 · F + H

Premultiplicando ahora por φJ T y recordando que los autovectores φE , φH y φC son todos ortogonales entre s´õ, se obtendr´a ³

λJ + κ1 xJ = −φJ T · C · Kd−1 · F − H 1 x = φH T · H κ H 1 x = φC T · H κ C

1 ≤ J ≤ NP − 2

Por lo tanto, la soluci´on Pκ del sistema (5.56) est´a dada por Pκ =

ÃNP −2 X

xE φE + xH φH + xC φC

E=1

con xE =

φE T · C · Kd−1 · F − H ³

λE + ³ ´ x H = κ φH T · H ³ ´ x C = κ φC T · H

1 κ

1 ≤ E ≤ NP − 2

(5.57)

(5.58)

Comparando las igualdades (5.57) y (5.58) con las ecuaciones (5.45) y (5.46) se deduce que si H es ortogonal a φH y φC entonces Pκ convergerá a la solulción P ∗ del método de multiplicadores de Lagrange cuando κ → ∞, y si H no es ortogonal a φH y φC , entonces los factores xH y xC tienden a ser muy grandes y los modos de presión φH y φC tienden a ser las componentes más importantes en la solución Pκ . Ejemplo num´ erico En las Þguras (5.17) y (5.18) se muestran respectivamente las soluciones para las presiones y velocidades que se obtuvieron al resolver el problema de la cavidad ´ ´ ³ ³ Recordar que C · Kd−1 · C T · φE = λE A · φE y que C · Kd−1 · C T · φH = 0 y ³ ´ C · Kd−1 · C T · φC = 0 porque φH y φC son modos de presi´ on (ver igualdades (5.41) y (5.42)). 27

113

conducida para distintas mallas y distintas condiciones de borde cone el método de penalización. Se observa que en el caso de condiciones de borde tipo b) (ver Þgura (5.14)) y malla formada por un n´ umero par de elementos en cada lado (caso para el cual el vector H no es ortogonal a los modos de presión hidrostático y chekerboard φH y φC ), se obtiene una solución para la presiones que se encuentra completamente contaminada por dichos modos, tal como se prevee teóricamente.

5.5. Procedimientos iterativos para mejorar la soluci´ on: M´ etodo del lagrangeano aumentado Si bien el método de penalización permite obtener soluciones para las velocidades V sin necesidad de hallar primero la solución para las presiones P (como ocurr´õa en el método de multiplicadores de Lagrange) presenta la siguiente limitación: el sistema de ecuaciones para las velocidades que se obtiene con éste método (ecuación (5.53)) se puede reescribir como ³

Kd + κ C T · A−1 · C · V = −F − κ C T · A−1 · H

(5.59)

donde el coeÞciente de penalización κ debe elegirse suÞcientemente “grande” para que la solución Vκ obtenida con este método sea parecida a la correspondiente al método de los multiplicadores de Lagrange, que³ es la solución buscada. Sin ´ T −1 embargo, cuando κ es muy grande, la matriz Kd + κ C · A · C queda numéricamente mal condicionada porque estará formada por sumandos de ordenes de magnitud muy distintos por lo que el error numérico que se obtendrá al resolver el sistema (5.59) será muy grande. Se observa entonces que, por un lado κ debe ser grande para Vκ aproxime mejor a la solución buscada, pero por otro lado no puede ser muy grande porque el sistema de ecuaciones a resolver se vuelve cada vez peor condicionado y la exactitud de Vκ es muy baja. Para superar esta limitación se puede utilizar el procedimiento iterativo, denominado método del lagrangeano aumentado (ver referencias [15] y [28]) que se resume en los siguientes pasos: 1. Conocidas las presiones P (k) correspondientes a la iteración k se calculan las velocidades V (k+1) correspondientes a la iteración k + 1 mediante el sistema de ecuaciones µ

Kd + C T ·

1 A κ

´−1

· C · V (k+1) +C T · P (k) = −F − C T ·

1 A κ

´−1

· H (5.60)

utilizando ahora un par´ametro κ “chico” para que este sistema no quede mal condicionado. 114

2. Con las velocidades V (k+1) se actualizan las presiones seg´ un: P (k+1) = P (k) +

´−1 ³

1 A κ

· C · V (k+1) + H

(5.61)

Este algoritmo iterativo se inicia con P (0) = 0, por lo que las ecuaciones (5.60) y (5.61) quedan idénticas para la primera iteración a las correspondientes al método de penalización (ecuaciones (5.53) y (5.54)) y entonces V (1) y P (1) serán idénticos a la solución Vκ y Pκ que se obtienen con el método de penalización con κ “chico”, y se Þnaliza cuando cierta medida del error de V (k) y P (k) es chica. Las ecuaciones (5.60) y (5.61) se pueden reescribir en forma más compacta como Kd · V (k+1) + C T · P (k+1) = −F (5.62) C · V (k+1) − κ1 A · P (k+1) = −H − κ1 A · P (k) (comparar con las (5.52)). Con este procedimiento se evitan los problemas del mal condicionamiento de la matriz del sistema (5.59) que se presentaban con el método de penalización porque se utiliza un coeÞciente de penalización κ chico (y entonces la matriz del sistema (5.60) estará formada por sumandos de ordenes de magnitud parecidos) y se puede demostrar que la solución V (k) y P (k) que se alcanza después de k iteraciones converge cuando el n´ umero de interaciones es grande (cuando k → ∞) a la misma solución que se obten´õa con el método de penalización para κ → ∞: las velocidades V (k) tienden a las velocidades V correspondientes al método de multiplicadores de Lagrange (con rigidización) independientemente de H y la solución para las presiones P (k) converge a la la parte P ∗ de las presiones correspondientes a este u ´ ltimo método (la parte ortogonal a los modos de presión QH y QC ) si H es ortogonal a QH y QC mientras que converge a P ∗ + βH QH + βC QC con βH y βC muy grandes (tendiendo a inÞnito) en caso contrario, es decir, V (k) −→ V k→∞

P (k) −→ P ∗ k→∞

∀ H ∈ <NP

si QH T · H = 0 y QC T · H = 0

P (k) −→ P ∗ + βH QH + βC QC con βH y βC → ∞ si QH T · H 6= 0 o QC T · H 6= 0 k→∞

La demostración de esta aÞrmación es análoga a la hecha al estudiar la convergencia de la solución del método de penalización Vκ y Pκ para κ → ∞: despejando V (k+1) de la primera de las ecuaciones (5.62) y reemplazando en la segunda se obtiene la siguiente ecuación recursiva para las presiones ³

C · Kd−1 · C T + κ1 A · P (k+1) = −C · Kd−1 · F + H + κ1 A · P (k) 115

(5.63)

Si se supone que las soluci´on P (k) y P (k+1) correspondientes a las iteraciones k y k + 1 pueden escribirse como P P

(k)

(k+1)

ÃNP −2 X

x(k) E

E=1 Ã NX P −2

(k) φE + x(k) H φH + x C φC

(k+1) xE

(k+1)

φE + xH

E=1

(k+1)

φH + xC

φC

es decir, como combinación lineal de una base com´ un (la base de autovectores φE , T −1 1 φH y φC de C · Kd · C + κ A (que son idénticos a los de C · Kd−1 · C T )) pero con (k) (k) (k) constantes distintas para cada iteración (x(k) y x(k+1) , x(k+1) E xH y xC para P E H (k+1) (k+1) y xC para P ) entonces reemplazando en la ecuación (5.56) se obtiene "N P −2 X

(k+1) xE

λE +

E=1

= −C ·

Kd−1

1 κ

(k+1) 1 A κ

A · φE + x H

·F +H +

"NP −2 X E=1

1 x(k) E κA

(k+1) 1 A κ

· φH + x C #

· φC =

(k) 1 1 · φE + x(k) H κ A · φH + x C κ A · φC

y premultiplicando por φJ T , φH T y por φC T se obtendr´a (recordando que los autovectores φE , φH y φC son todos ortogonales entre s´õ) ³

λJ + κ1 x(k+1) = −φJ T · C · Kd−1 · F − H + J 1 (k+1) x = φH T · H + κ1 x(k) H κ H T 1 (k+1) 1 (k) x = φ · H + x C κ C κ C

1 κ

x(k) J

1 ≤ J ≤ NP − 2

Las igualdades anteriores permiten calcular en forma recurrente a las constantes (k) (k) (k) xJ , xH y xC correspondientes a cada iteraci´on k. Reescribiendolas en la forma (k+1)

(k+1)

xH x(k+1) C

−φJ T · C · Kd−1 · F − H

λJ (k) = κ φH T · H + x H = κ φC T · H + x(k) C

−

´ 1 ³ (k+1) (k) xJ − xJ κ λJ

1 ≤ J ≤ NP − 2

se deduce en primer lugar que cuando el n´ umero de iteraciones k tiende a inÞnito, ³ ´ tender´a a x(k) ³J ´ (k+1) (k) xJ − xJ que si φH T · H (0)

−φJ T · C·Kd−1 ·F −H λJ

para 1 ≤ J ≤ N P − 2 porque la diferencia (k)

tiende a cero cuando xJ converje. En segundo lugar se observa = φC T · H = 0 y si, como se dijo antes, se comienza a iterar con (0) (k) = 0 con lo que x(0) an nulas, entonces resultar´a x(k) H xC ser´ H = xC = 0 para 116

todo k. Por u ´ ltimo se observa que si φH T · H 6= 0 o φC T · H 6= 0 entonces para (0) cualquier par de valores iniciales x(0) a H y xC se obtendr´ (

(k)

(0)

xH = k (κ φH T · H) + xH (0) T x(k) C = k (κ φC · H) + xC

que tiende a inÞnito cuando el n´ umero de iteraciones k tiende a inÞnito. Por lo tanto, la sucesion P (k) de presiones que veriÞcan el sistema (5.63) para todo k esta dada por Ã ! P

(k)

NX P −2

(k)

xE φE + xH φH + xC φC

(5.64)

E=1

con (k)

xE −→

−φE T · C · Kd−1 · F − H

k→∞

(k)

xH −→ 0 y xC x(k) H

k→∞

−→ ∞ o

k→∞

para 1 ≤ E ≤ NP − 2 λE −→ 0 si QH T · H = 0 y QC T · H = 0

k→∞ (k) xC −→ k→∞

∞ si QH T · H 6= 0 y QC T · H 6= 0 respectivamente

(5.65) Comparando las igualdades (5.57) y (5.58) con las ecuaciones (5.45) y (5.46) se deduce que si H es ortogonal a φH y φC , entonces P (k) se acerca a la solución P ∗ del método de multiplicadores de Lagrange cuando el n´ umero de interaciones es grande mientras que si H no es ortogonal a φH y φC entonces P (k) tiende a P ∗ + xH φH + xC φC con factores xH y xC muy grandes y los modos de presión tienden a contaminar cada vez mas la solución a medida que el n´ umero de iteraciones k aumenta. Ejemplo num´ erico Para complementar el análisis se resolvió también con el método del lagrangeano aumentado el problema de la cavidad conducida para las distintas condiciones de borde mostradas en la Þgura (5.14) y para mallas de distinta cantidad de elementos. Las soluciones obtenidas se muestran en las Þguras (5.19) y (5.20). Se observa que para el caso de condiciones de borde tipo b) (ver Þgura (5.14)) y para malla formada por un numéro par de elementos en cada lado (caso para el cual el vector H no es ortogonal a los modos de presión φH y φC ) se obtiene una solución para las presiones con una participación de los modos esp´ ureos importante.

117

5.5.1. Lagrangeano aumentado con preÞltrado o rigidizaci´ on de los modos de presi´ on. El método del lagrangeano aumentado es una alternativa para superar el problema del mal condicionamiento de la matriz del sistema (5.56) para coeÞcientes de penalización grandes κ. Sin embargo, cuando H no es ortogonal a φH y φC no permite encontrar solución para las presiones. Una alternativa para solucionar este inconveniente es modiÞcar a la ecuación recurrente de las presiones (5.63) en una forma análoga a la utilizada en el método de multiplicadores de Lagrange con “preÞltrado” o “rigidización”de los modos de presión, es decir, sumando a la matriz de dicho sistema de ecuaciones el término ηH A·φH ·φH T ·A+ηC A·φC ·φC T ·A donde ηH y ηC son constantes positivas (y “grandes”). La ecuación para las presiones propuesta es entonces ³

C · Kd−1 · C T + κ1 A + ηH A · φH · φH T · A + ηC A · φC · φC T · A · P (k+1) = = −C · Kd−1 · F + H + κ1 A · P (k) (5.66) Se puede demostrar (usando el mismo razonando que se utiliz´o para deducir las igualdades (5.57) y (5.58)) que las presiones P (k) que se obtienen con este nuevo algoritmo estr´an dadas por P

(k)

ÃN P −2 X E=1

(k) xE

(k)

φE + xH φH + xC φC

(5.67)

con (k)

xE −→

−φE T · C · Kd−1 · F − H

k→∞ T

λE

para 1 ≤ E ≤ NP − 2

φH · H k→∞ ηH φC T · H −→ k→∞ ηC

x(k) H −→ x(k) C

(5.68)

Se observa que se obtiene la misma solución que con el método del lagrangeano aumentado cuando φH T · H = φC T · H = 0 (es decir, P (k) tiende a P ∗ cuando k tiende a inÞnito) pero con éste nuevo método también se obtiene la solución P ∗ del método de multiplicadores de Lagrange (es decir, una solución libre de modos de presión) cuando φH T · H 6= 0 o φC T · H 6= 0 siempre que se elija ηH y ηC lo φ

·H

suÞcientemente grandes como para que HηH y CηC sean despreciables. Por lo tanto este algor´õtmo iterativo es efectivo incluso en éste u ´ltimo caso. El algor´õtmo iterativo del lagrangeano aumentado con “rigidización” o “preÞltrado” de los modos de presión φH y φC se completa con una ecuación recursiva 118

para las velocidades igual a la correspondiente al m´etodo del lagrangeano aumentado sin rigidizaci´on, es decir Kd · V (k+1) + C T · P (k+1) = −F

(5.69)

Combinando las ecuaciones (5.66) y (5.69) este nuevo procedimiento iterativo se puede reescribir como Kd · V (k+1) +³C T ´· P (k+1) = −F C · V (k+1) − κ1 A · J · P (k+1) = −H − κ1 A · P (k)

donde

(5.70)

J = I + κ ηH φH · φH T · A + κ ηC φC · φC T · A

(5.71)

o bien, despejando P (k+1) de la segunda y reemplazando en la primera, como µ

Kd + C · J

−1

´−1

1 A κ

P (k+1) = P (k) + J −1 ·

· C · V (k+1) + C T · P (k) = −F − C T · J −1 ·

1 A κ

´−1 ³

· C · V (k+1) + H

1 A κ

´−1

·H

(5.72) donde J −1 es la inversa de J (deÞnida en (5.71)) cuya expresi´on expl´õcita es ³

J −1 = I + κ ηH φH · φH T · A + κ ηC φC · φC T · A κ ηH κ ηC = I − 1+κ φH · φH T · A − 1+κ φC · φC T · A ηH ηC

´−1

(5.73)

(es decir, no es necesario invertirla numéricamente porque su expresión expl´õcita es conocida y se puede calcular directamente). El algor´õtmo del lagrangeano aumentado con “preÞltrado” o “rigidización” permite entonces obtener la solución para las velocidades V y la de las presiones P ∗ libre de modos de presión independientemente de cuáles sean las condiciones de borde cinemáticas (g1 , g2 ), es decir, de cuál sea el vector H y sin que existan problemas de mal condicionamiento de la matriz del sistema, ya que la solución P (k) converge a P ∗ cualquieraµsea el coeÞciente κ por lo que ¶ se puede utilizar un κ “chico”. La nueva matriz

Kd + C T · J −1 ·

1 A κ

´−1

·C

tampoco queda mal

κ ηH κ ηC condicionada cuando ηH y ηC son muy grandes porque los factores 1+κ y 1+κ ηH ηC que aparecen en la expresi´on que deÞne a J −1 (igualdad (5.73)) son de orden de magnitud 1 cuando ηH y ηC son “grandes”.

Ejemplo num´ erico Uno de los problemas más utilizados para evaluar y comparar distintos métodos numéricos de resolución de ßujos incompresibles (además del de la cavidad conducida) es el del ßujo a lo largo de un canal que presenta un ensanchamiento 119

brusco de la sección transversal (ver Þgura (5.21)) (en la referencia [26] este ejemplo es utilizado conjuntamente con el de la cavidad conducida para ejempliÞcar el problema de la existencia de modos esp´ ureos de presión). En la Þgura (5.23) se muestran los resultados obtenidos al resolver este problema con dos condiciones de borde distintas (las dos condiciones utilizadas también se muestran en la Þgura (5.23)). Se utilizó una malla de elementos rectangulares para discretizar el canal (malla que presenta un modo esp´ ureo tipo checkerboard) y se resolvió este problema primero mediante el método del lagrangeano aumentado (sin rigidización) y después incorporando el “preÞltrado” o “rigidización” de los modos de presión. Se puede demostrar que para las condiciones de borde tipo (a) se obtiene un vector H perpendicular al modo chekerboard pero que para las condiciones de borde tipo (b) se obtiene ³ ´ H T · QC = h −1 + (−1)(M −1) donde M es el n´ umero de elementos que se ubican a la entrada del canal (ver Þgura (5.23)) y h la longitud del lado vertical de cada elemento, por lo que, si M es par, se obtendrá H T · QC 6= 0. Ambos métodos proporcionaron soluciones idénticas cuando H · QC = 0 (es decir, con condiciones de borde tipo (a)) mientras que cuando H · QC 6= 0 (condiciones de borde tipo (b)) se obtiene una solución para las presiones contaminada de modos de presión cuando no se hace el preÞltrado de modos, pero prácticamente libre de modos cuando s´õ se hace el preÞltrado o rigidización de los modos. Es decir, la técnica del lagrangeano aumentado con rigidización permite obtener soluciones aceptables a´ un en el segundo caso, en el que el método del lagrangeano aumentado sin preÞltrado fracasa (por no ser H perpendicular a QC ) (y en el que también fracasan las técnicas de multiplicadores de Lagrange y de penalización) y sin problemas de mal condicionamiento de la matriz (como ocurre con el método de penalización con κ “grande”).

5.6. Conclusiones acerca del comportamiento de las t´ ecnicas num´ ericas utilizadas para imponer la condici´ on de incompresibilidad utilizando el elemento mixto Q1-P0 En este cap´õtulo se han presentado distintas alternativas para superar los problemas derivados de la condición de incompresibilidad que se presentan en el modelado numérico del ßujo plástico de metales utilizando elementos Þnitos mixtos del tipo Q1-P0 (cuadriláteros con interpolación bilineal de velocidades (orden1) y constante para las presiones (orden 0)). Las técnicas utilizadas para la imposición de la incompresibilidad han sido: • Multiplicadores de Lagrange 120

• Multiplicadores de Lagrange con rigidización de los modos de presión • Penalización • Lagrangeano aumentado • Lagrangeano aumentado con rigidización de los modos de presión Las principales conclusiones que se pueden deducir acerca del comportamiento de las técnicas numéricas implementadas son las siguientes: 1. Técnica de los multiplicadores de Lagrange • Solución para las velocidades: — Existe y es u ´ nica sólo cuando H · QH = 0 y H · QC = 0. — No es posible encontrarla si H · QH 6= 0 o H · QC 6= 0. • Solución para las presiones: — Existe solo cuando H · QH = 0 y H · QC = 0. Sin embargo, dicha solución no puede hallarse debido a que la matriz del sistema de ecuaciones resulta no inversible. — Cuando H · QH 6= 0 o H · QC 6= 0 la solución para las presiones no existe. 2. Técnica de los multiplicadores de Lagrange con rigidización de los modos de presión (Þguras 5.15 y 5.16) • Solución para las velocidades — Existe y puede ser hallada independientemente del valor de H. Sin embargo esta solución resulta poco satisfactoria en ciertos problemas debido a la pobreza de la interpolación utilizada (es decir, debido a las limitaciones inherentes al elemento Q1-P0). — Este método no puede ser formulado en términos exclusivos de las velocidades. Para hallar la solución de las velocidades es necesario encontrar primero la solución para las presiones. • Solución para las presiones — Cuando H · QH = 0 y H · QC = 0 se obtiene una solución libre de modos de presión. — Cuando H · QH 6= 0 o H · QC 6= 0 se obtiene una solución con participaciones bajas de los modos de presión. 121

3. Técnica de penalización (Þguras 5.17 y 5.18): • Solución para las velocidades — Cuando κ → ∞ tiende a la solución para las velocidades que provee el método de multiplicadores de Lagrange con rigidización de los modos de presión. — Puede ser obtenida sin encontrar antes las solución para las presiones. Estas u ´ltimas se pueden hallar a partir de las velocidades con poco esfuerzo de cálculo. — Cuando el coeÞciente de penalización κ es muy grande, la matriz del sistema resulta muy mal condicionada. Esto hace que, en problemas de muchos grados de libertad, la exactitud de la solución numérica obtenida sea limitada. • Solución para las presiones — Cuando H · QH = 0 y H · QC = 0, la solución para las presiones no incorpora a los modos de presión y tiende cuando κ → ∞ a la solución que se obtiene con la técnica de los multiplicadores de Lagrange depurada de los modos de presión QH y QC . — Cuando H · QH 6= 0 y H · QC 6= 0 se obtiene una solución con participaciones muy altas de los modos de presión cuando κ → ∞ (los factores de peso de los modos de presión QH y QC en la solución resultan proporcionales a κ). 4. Técnica del Lagrangeano aumentado (Þguras 5.19 y 5.20) • Solución para las velocidades — Cuando el n´ umero de interaciones k tiende a inÞnito, la solución para las velocidades que provee esta técnica tiende a coincidir con la correspondiente al método de penalización con κ → ∞. — Debido a que se trata de un método iterativo, el esfuerzo de cálculo es mayor que el correspondiente a la técnica de penalización. — Sin embargo, una importante ventaja de esta técnica respecto al método de penalización y que justiÞca el mayor costo de cálculo, es que la matriz del sistema de ecuaciones no resulta mal condicionada y la solución para las velocidades que se obtiene resulta entonces de una exactitud mucho mayor. • Solución para las presiones 122

— Se obtienen soluciones libres de modos de presión cuando el n´ umero de interaciones k tiende a inÞnito y cuando H·QH = 0 y H·QC = 0. — Cuando H · QH 6= 0 y H · QC 6= 0 se obtiene, cuando el n´ umero de interaciones tiende a inÞnito, soluciones para las presiones totalmente contaminadas con modos de presión (los factores de peso de los modos de presión QH y QC en la solución resulta proporcional al n´ umero de interaciones k). 5. Técnica del Lagraneano aumentado con rigidización de los modos de presión (Þguras 5.22 y 5.23) • Solución para las velocidades — El compotamiento de la solución para las velocidades cuando el n´ umero de interaciones k tiende a inÞnito es idéntico al correspondiente a la técnica del lagrangeano aumentado sin rigidización. • Solución para las presiones — Cuando H · QH = 0 y H · QC = 0 se obtiene la misma solución que en el caso del método del lagrangeano aumentado sin rigidización, es decir, una solución libre de modos de presión. — Cuando H · QH 6= 0 y H · QC 6= 0 se obitiene una solución con un aporte m´õnimo de los modos de presión y sin introducir mal condicionamiento en las matrices resultantes. Es importante destacar que la técnica del Lagrangeano aumentado suplementada con la rigidización de los modos de presión parece ser la técnica óptima (dentro de las limitaciones inherentes a la interpolación utilizada (elemento Q1-P0)): porporciona soluciones tanto para las velocidades como para las presiones independientemente del valor de H y sin problemas de mal condicionamiento de la matriz del sistema. Sin embargo, cuando se utilizan mallas que tienen geometr´õas más generales que las utilizadas en los ejemplos presentados en este cap´õtulo (es decir, mallas con elementos distorsionados (ni cuadrados ni rectangulares)) y para las que no es posible conocer a priori la expresión formal del modo de presión esp´ ureo QC , esta T técnica requiere un cálculo de los autovectores de la matriz C · Kd−1 · C (por lo menos de los autovectores asociados a los autovalores nulos) que encarece exageradamente el costo de la solución numérica del problema.

123

Condiciones de borde utilizadas: Tipo (a) (Velocidades impuestas en los nodos 1 a M inclusive) x2 (g1,g2)=(cte,0)

Tipo (b) (Velocidades impuestas en los nodos 2 a M-1; nodos 1 y M fijos) x2 (g1,g2)=(cte,0)

Ω

Ω (g1,g2)=(0,0)

(g1,g2)=(0,0) h

x1 h

(g1,g2)=(0,0)

x1 h

(g1,g2)=(0,0)

Condición de borde tipo (a) 10 x 10 elementos (Numero par)

Condición de borde tipo (b) 10 x 10 elementos (Numero par)

Condición de borde tipo (a) 9 x 9 elementos (Numero impar)

Condición de borde tipo (b) 9 x 9 elementos (Numero impar)

Parámetros numéricos utilizados en ambos casos:

Figura 5.17: Velocidades obtenidas para el problema de la cavidad conducida para distintas mallas y condiciones de borde y con el m´etodo de Penalizaci´on.

124

Condiciones de borde utilizadas: Tipo (a) (Velocidades impuestas en los nodos 1 a M inclusive) x2 (g1,g2)=(cte,0)

Tipo (b) (Velocidades impuestas en los nodos 2 a M-1; nodos 1 y M fijos) x2 (g1,g2)=(cte,0)

Ω

Ω (g1,g2)=(0,0)

(g1,g2)=(0,0) h

(g 1,g2)=(0,0)

(g1,g2)=(0,0)

(g 1,g2)=(0,0)

Condición de borde tipo (a) 10 x 10 elementos (Numero par)

Condición de borde tipo (b) 10 x 10 elementos (Numero par)

p 2000

0.2

1000 0

0 -1000

-0.2 10

10 -2000 8

4 6

6 6

6 4

4 8

Condición de borde tipo (a) 9 x 9 elementos (Numero impar)

Condición de borde tipo (b) 9 x 9 elementos (Numero impar)

0.2

0.5

0.1 0

-0.1 -0.2 2 4

6 6

8 4

6 6

-0.5 2

4 8

Parámetros numéricos utilizados en ambos casos:

Figura 5.18: Presiones obtenidas para el problema de la cavidad conducida para distintas mallas y condiciones de borde y con el m´etodo de Penalizaci´on

125

Condiciones de borde utilizadas: Tipo (a) (Velocidades impuestas en los nodos 1 a M inclusive) x2 (g1,g2)=(cte,0)

Tipo (b) (Velocidades impuestas en los nodos 2 a M-1; nodos 1 y M fijos) x2 (g1,g2)=(cte,0)

Ω

Ω (g1,g2)=(0,0)

(g1,g2)=(0,0) h

x1 h

(g1,g2)=(0,0)

x1 h

(g1,g2)=(0,0)

Condición de borde tipo (a) 10 x 10 elementos (Numero par)

Condición de borde tipo (b) 10 x 10 elementos (Numero par)

Condición de borde tipo (a) 9 x 9 elementos (Numero impar)

Condición de borde tipo (b) 9 x 9 elementos (Numero impar)

Parámetros numéricos utilizados en ambos casos: Numéro de iteraciones: k = 30

Figura 5.19: Velocidades obtenidas para el problema de la cavidad conducida para distintas mallas y condiciones de borde y con el m´etodo del lagrangeano aumentado 126

Condiciones de borde utilizadas: Tipo (a) (Velocidades impuestas en los nodos 1 a M inclusive) x2 (g 1,g2)=(cte,0)

Tipo (b) (Velocidades impuestas en los nodos 2 a M-1; nodos 1 y M fijos) x2 (g1,g2)=(cte,0)

Ω

Ω (g1,g2)=(0,0)

(g1,g2)=(0,0) h

(g1,g2)=(0,0)

(g1,g 2)=(0,0)

(g1,g2)=(0,0)

Condición de borde tipo (a) 10 x 10 elementos (Numero par)

Condición de borde tipo (b) 10 x 10 elementos (Numero par)

0.2

2 0

-0.2 10

2 8

-2 -4 10

2 8

6 6

6 4

8 2

Condición de borde tipo (a) 9 x 9 elementos (Numero impar)

Condición de borde tipo (b) 9 x 9 elementos (Numero impar)

0.2

0.5

0.1 0

-0.1 -0.2 2

8 4

6 6

8 4

6 6

-0.5 2

4 8

Parámetros numéricos utilizados en ambos casos: Numero de iteraciones: k = 30

Figura 5.20: Presiones obtenidas para el problema de la cavidad conducida para distintas mallas y condiciones de borde y con el m´etodo del lagrangeano aumentado

127

Figura 5.21: Problema del canal con un ensanchamiento brusco: condiciones de borde utilizadas

128

Malla y

Velocidades (con condiciones de borde tipo (a))

Velocidades (con condiciones de borde tipo (b))

Presiones (con condiciones de borde tipo (a))

Presiones (con condiciones de borde tipo (b)) 6

0 0

0 2 0

-0.5

-2

-1 -1.5 -2

-4 -6

10 7.5

7.5 5

5 2.5

2.5 0

Parámetros numéricos utilizados en ambos casos:

No de iteraciones: k=60

Figura 5.22: Problema del canal con un ensanchamiento brusco: velocidades y presiones obtenidas con el método del lagrangeano aumentado sin rigidización de los modos de presión.

129

Velocidades (con condiciones de borde tipo (a))

Velocidades (con condiciones de borde tipo (b))

Presiones (con condiciones de borde tipo (a))

Presiones (con condiciones de borde tipo (b)) 6

0 x2

-0.5

-1

-2

-1.5 -2

-3

10 7.5

7.5 5

5 2.5

2.5 0

Parámetros numéricos utilizados en ambos casos:

Cantidad de iteraciones utilizadas: k=30

Figura 5.23: Problema del canal con un ensanchamiento brusco: velocidades y presiones obtenidas con el método del lagrangeano aumentado con rigidización de los modos de presión.

130

´lisis de la localizacio ´ n de la 6. Ana ´ n pla ´ stica deformacio Como se dijo en la introducción, la deformación plástica de un metal d´ uctil inicialmente se produce de forma que las velocidades var´õan suavemente dentro del metal y el estado de deformación (o más precisamente, el estado de velocidades de deformación εúij ) es continuo. Sin embargo, cuando las tensiones alcanzan un determinado valor cr´õtico, este patrón de deformación continuo cambia repent´õnamente a un modo de deformación localizado donde toda la deformación se concentra en una banda angosta fuera de la cual el material permanece prácticamente sin deformarse. Las velocidades de deformación εúij (o lo que es lo mismo, el gradiente de velocidad) pasan a ser entonces discontinuas a través de la superÞcie que separa a la banda del material adyacente. Como dentro de la banda predominan deformaciones cortantes tangenciales a la interface que separa a la banda del resto del material, cuando se produce este cambio abrupto del patrón de deformación, se dice que la deformación plástica se ha localizado en una banda de corte (shear band). Este modo de deformación localizado cambia totalmente el comportamiento mecánico macroscópico del metal, y si persiste, puede ser precursor de fractura. En este cap´õtulo se estudia la localización de la deformación plástica en bandas de corte cuando las deformaciones son planas. Se analiza para este caso, bajo que condiciones es posible obtener como solución de las ecuaciones diferenciales que gobiernan el ßujo del metal (ecuaciones que fueron introducidas en el cuarto cap´õtulo), los dos modos de deformación que se preveen experimentalmente, es decir, el modo de deformación suave y el modo de deformación discontinuo y si es posible representar ambos modos de deformación con las herramientas numéricas estudiadas en el cap´õtulo anterior.

6.1. Formulaci´ on de ßujo para un estado plano de deformaci´ on Para simpliÞcar el estudio de la localizaci´on se considerar´a exclusivamente el caso de deformaciones planas. Como se dijo en el cap´õtulo anterior, se deÞne como 131

deformación plana a aquella para la cual una de las componentes de la velocidad (por ejemplo v3 ) es nula mientras que las otras dos componentes (v1 y v2 ) y la presión p no dependen de la dirección x3 (que es la dirección sobre la cual el vector velocidad tiene proyección nula). Es decir:    v1 = v1 (x1 , x2 )

v2 = v2(x1 , x2 ) v3 = 0 p = p(x1, x2 )  

El modelo de material elegido para analizar la localización es el modelo r´õgidoviscoplástico de Perzyna asociado a la ley de ßuencia de Von Mises (ecuación (4.7)) que está caracterizado por una ley constitutiva análoga a la correspondiente a un ßuido viscoso no newtoniano (ecuación (4.7)). En el cuarto cap´õtulo se formularon las ecuaciones que rigen la deformación de un metal caracterizado por esta relación constitutiva (ecuaciones (4.5), (4.6), (4.7), (4.8) y (4.9)) para el caso de deformaciones tridimiensionales. Si se supone que las deformaciones son planas, entonces dichas ecuaciones adquirirán la siguiente forma: • Condición de incompresibilidad: ∂v1 ∂v2 + =0 ∂x1 ∂x2

(6.1)

• Relaciones cinem´aticas: ∂v1 ∂x1 ∂v2 = ∂x2 Ã ! 1 ∂v1 ∂v2 = + 2 ∂x2 ∂x1 = εú23 = εú33 = 0

εú11 = εú22 εú12 εú13

(6.2)

• Relaci´on constitutiva: s11 s22 s12 s13

= = = =

2µ εú11 2µ εú22 2µ εú22 s23 = s33 = 0

132

(6.3)

d´onde la viscosidad 2µ est´a dada por ³√ ´1

d2 σY (ε) (1 + η∗ √ 2µ = √ d2 3

)

siendo σY (ε) la curva tensión deformación del ensayo de tracción estático, η ∗ y δ parámetros que diÞnen al material y d2 el segundo invariante principal del tensor velocidad de deformación εúij que en este caso esta dado por: d2 =

´ 1³ 2 εú11 + εú222 + 2 εú212 2

• Ecuaci´ones del movimiento para un r´egimen estacionario: ∂s11 ∂s12 ∂p + + =0 ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂s21 ∂s22 ∂p + + =0 ∂x1 ∂x2 ∂x2

(6.4)

• Relación entre deformación equivalente ε y la velocidad de deformación εúij (cuando el movimiento es estacionario): ∂ε ∂ε 2 q v1 + v2 = √ d2 ∂x1 ∂x2 3

(6.5)

Las dos ecuaciones (6.4) con las tensiones dadas por las (6.3) y las velocidades de deformación dadas por las (6.2) junto con la condición de incompresibilidad (6.1) y la relación deformación equivalante-velocidad de deformación equivalente (6.5) constituyen un sistema de cuatro ecuaciones diferenciales para las cuatro incógnitas v1 ,v2 , p y ε y son las ecuaciones que describen la deformación plástica de un metal (caracterizado por la ley constitutiva r´õgido/viscoplástica de Perzyna asociada a la ley de ßuencia de Von Mises) cuando las deformaciones son planas. Al igual que en el caso tridimensional, si se supone que σY (ε) = cte, es decir, que el material no experimenta endurecimiento por deformación, entonces la viscosidad 2µ resulta independiente de la deformación equivalente ε y la cuarta ecuación (la ecuación (6.5)) queda desacoplada de las tres anteriores que constituirán entonces un sistema de tres ecuaciones para las tres incógnitas v1 ,v2 , p.

6.2. Existencia de soluciones discontinuas Como se dijo antes, la localización de la deformación plástica es un cambio repentino de un patrón de deformación suave (donde la velocidad de deformación 133

es continua) a un patrón caracterizado por la presencia de una discontinuidad en la velocidad de deformación (y por lo tanto en el gradiente de velocidades) a través de ciertas curvas. Se estudia entonces si es posible obtener una solución discontinua de las ecuaciones formuladas en la sección anterior. Se entiende por solución discontinua del sistema de ecuaciones (6.1), (6.2), (6.3), (6.4) y (6.5) a través de una curva Γ a aquella que cumple las siguientes dos condiciones (ver referencia [8]): 1. A ambos lados de la curva Γ se satisfacen todas las ecuaciones diferenciales. 2. Al menos una de las derivadas través de Γ.

∂vi ∂xj

es discontinua (es decir, pega un salto) a

Para ver si es posible la existencia de soluciones discontinuas de las ecuaciones diferenciales de la deformación plana, se hace lo siguiente: sustituyendo la relación constitutiva (6.3) en la ecuación del movimiento (6.4) para eliminar las tensiones sij de dichas ecuaciones se obtiene: ∂ (2µ εú11 ) + ∂x1 ∂ (2µ εú12 ) + ∂x1

∂ (2µ εú12 ) + ∂x2 ∂ (2µ εú22 ) + ∂x2

∂p = 0 ∂x1 ∂p = 0 ∂x2

o bien, ∂ εú11 ∂(2µ) + εú11 + 2µ ∂x1 ∂x1 ∂ εú12 ∂(2µ) 2µ + εú12 + 2µ ∂x1 ∂x1 2µ

∂ εú12 ∂(2µ) ∂p + εú12 + = 0 ∂x2 ∂x2 ∂x1 ∂ εú22 ∂(2µ) ∂p + εú22 + = 0 ∂x2 ∂x2 ∂x2

(6.6)

Si se supone que el material no experimenta endurecimiento por deformaci´on, es decir, que σY (ε) = cte, entonces la viscosidad 2µ estar´a dada por σY 2µ = √ 3 y la derivada

∂(2µ) ∂xk

³√ ´1 ¶

√

d2 η∗

ser´a

∂(2µ) ∂(2µ) ∂d2 σY = =√ ∂xk ∂d2 ∂xk 3

1 δ

−1

´ ³√ ´1

√

d2 η∗

−1

1 ∂d2 = 2 d2 ∂xk

µ   ³√ ´1 ¶ d2 δ µ ¶ 1 + ∗ η  1 σY 1 σY 1  1 ∂d2 √ =  − √ √   δ −1 √ δ 3 d2  2 d2 ∂xk d2 3

134

o bien, llamando 2µ∞ al t´ermino σ√Y3 √1d2 (que es la viscosidad que corresponde a η ∗ → ∞) y recordando que d2 = 12 (εú211 + εú222 + 2 εú212 ), por lo que ∂d2 = εú11 ∂∂xεú11k + εú22 ∂∂xεú22k + 2 εú12 ∂∂xεú12k , ∂xk ∂(2µ) =− ∂xk

·µ

1 1− δ

1 2µ + 2µ∞ δ

1 2 d2

εú11

∂ εú11 ∂ εú22 ∂ εú12 + εú22 + 2 εú12 ∂xk ∂xk ∂xk

Para simpliÞcar el análisis se considera el caso de un material para el cual η → ∞, es decir, un material cuya tensión de ßuencia no depende de la velocidad de deformación. En este caso, la viscosidad 2µ esta dada por ∗

σY 1 2µ = 2µ∞ = √ √ 3 d2 y la derivada ∂(2µ) se reduce a: ∂xk ∂(2µ) 1 = −2µ∞ ∂xk 2 d2

εú11

∂ εú11 ∂ εú22 ∂ εú12 + εú22 + 2 εú12 ∂xk ∂xk ∂xk

Sustituyendo la expresi´on anterior de la derivada agrupando t´erminos se obtiene:

∂(2µ) ∂xk

en las ecuaciones (6.6) y

∂ εú11 ∂ εú12 εú11 ∂ εú11 ∂ εú22 ∂ εú12 + − εú11 + εú22 + 2 εú12 − ∂x1 ∂x2 Ã 2 d2 ∂x1 ∂x1 ! ∂x1 εú12 ∂ εú11 ∂ εú22 ∂ εú12 1 ∂p − εú11 + εú22 + 2 εú12 + =0 2 d2 ∂x2 ∂x2 ∂x2 2µ∞ ∂x1 ∂ εú12 ∂ εú22 εú12 ∂ εú11 ∂ εú22 ∂ εú12 + − εú11 + εú22 + 2 εú12 − ∂x1 ∂x2 Ã 2 d2 ∂x1 ∂x1 ! ∂x1 ∂ εú11 ∂ εú22 ∂ εú12 1 ∂p εú22 − εú11 + εú22 + 2 εú12 + =0 2 d2 ∂x2 ∂x2 ∂x2 2µ∞ ∂x2 y utilizando las relaciones cinem´aticas (6.2) para expresar a estas ecuaciones en t´erminos de las derivadas de las componentes de la velocidad se llega a Ã

εú2 ∂ 2 v1 2 εú11 εú12 ∂ 2v1 εú212 ∂ 2v1 1 − 11 − + 1 − − d2 ∂x21 d2 ∂x1 ∂x2 d2 ∂x22 (6.7) εú11 εú12 ∂ 2 v2 εú11 εú22 + εú212 ∂ 2v2 εú12 εú22 ∂ 2 v2 2 ∂p − − − + =0 d2 ∂x21 d2 ∂x1 ∂x2 d2 ∂x22 2µ∞ ∂x1 εú12 εú11 ∂ 2 v1 εú212 + εú11 εú22 ∂ 2v1 εú22 εú12 ∂ 2 v1 − − − + d2 Ã ∂x21 ! d2 ∂x1 ∂x2 d2Ã ∂x22 ! εú2 ∂ 2v2 2 εú22 εú12 ∂ 2 v2 εú222 ∂ 2 v2 2 ∂p + 1 − 12 − + 1 − + =0 2 2 d2 ∂x1 d2 ∂x1 ∂x2 d2 ∂x2 2µ∞ ∂x2 135

Estas ecuaciones (junto con la ecuación de incompresibilidad (6.1)) son las ecuaciones que describen la deformación de un metal caracterizado por la ley constitutiva r´õgido/viscoplástica de Perzyna con σY (ε) = cte (es decir, material sin endurecimiento por deformación) y η ∗ → ∞ (es decir, material para el cual la ßuencia no depende de las variaciones de la velocidad de deformación), expresadas en términos de las componentes de la velocidad (v1 , v2) y de la presión p (ver referencia [8]). Si se supone ahora que en todos los puntos de cierta curva Γ son conocidas ambas componentes de la velocidad, la presión y la derivada de ambas componentes de la velocidad en la dirección normal a la curva Γ, es decir (llamando x1 y x2 a las direcciones tangencial y normal a la curva y (v1 , v2 ) a las componentes de la velocidad en dichas direcciones (ver Þgura (6.1))), si se supone que en todos ∂v1 ∂v2 los puntos de la curva Γ son conocidas v1 , v2 , p, ∂x y ∂x ,entonces también serán 2 2 conocidas las derivadas de todas estas magnitudes respecto a la dirección tangente a la curva Γ (la dirección x1), es decir, también serán conocidas ∂v1 ∂ 2 v1 ∂ 3 v1 , , ∂x3 , · · · ∂x1 ∂x21 1 ∂v2 ∂ 2 v2 ∂ 3 v2 , , , ··· 2 ∂x1 ∂x1 ∂x31 ∂p ∂2 p ∂ 3p , , , ··· ∂x1 ∂x21 ∂x31 2 2 3 ∂ v1 , ∂ v1 , ∂ v1 , ∂x1 ∂x2 ∂x21 ∂x2 ∂x31 ∂x2 2 3 ∂ 2 v2 , ∂ v2 , ∂ v2 , ∂x1 ∂x2 ∂x21 ∂x2 ∂x31 ∂x2

··· ···

Se pretende ahora establecer que condiciones se deben cumplir para que, ∂v1 ∂v2 conociendo v1 , v2 , p, ∂x y ∂x (y todas sus derivadas respecto a x1 ) sobre la 2 2 curva Γ y sabiendo que v1 , v2 y p deben cumplir las ecuaciones diferenciales (6.1) y (6.7),1 se puedan determinar v1 , v2 y p afuera de la curva Γ, (es decir, que condiciones se deben cumplir para que se pueda “propagar” la información conocida sobre la curva Γ afuera de la misma). Para que las velocidades v1 y v2 y la presión p afuera de la curva Γ puedan ∂v1 ∂v2 ser determinadas hace falta conocer además de v1 , v2 , p, ∂x , ∂x y todas sus 2 2 derivadas respecto a x1 , los valores de las derivadas de v1, v2 , p en la dirección normal a la curva (la dirección x2 ) es decir ∂ 2 v1 ∂ 3 v1 , ∂x3 , · · · ∂x22 2 2 ∂ v2 ∂ 3 v2 , , ··· 2 ∂x2 ∂x32 ∂p ∂ 2p ∂3 p , , , ∂x2 ∂x22 ∂x32 1

···

Las ecuaciones (6.1) y (6.7) son v´ alidas para cualquier sistema de coordenadas cartesiano ortogonal y en particular para el sistema cartesiano ortogonal dado por las direcci´ ones tangente y normal a la curva.

136

2 x2

x1 ∆x2

Figura 6.1: Curva caracter´õstica dado que si P es un punto de la curva Γ, (ver Þgura (6.1)), y Q es otro punto que se encuentra a una distancia ∆x2 (en la direcci´on normal a la curva Γ, es decir, la direcci´on x2) del punto P , entonces (utilizando los desarrollos de Taylor) ∂v1 (P ) ∆x2 + ∂x2 ∂v2 v2(Q) = v2 (P ) + ∂x (P ) ∆x2 + 2 ∂p p(Q) = p(P ) + ∂x2 (P ) ∆x2 + 2!1

v1(Q) = v1 (P ) +

3 1 ∂ 2 v1 (P ) (∆x2 )2 + 3!1 ∂∂xv31 (P ) (∆x2 )3 + · · · 2! ∂x22 2 2 1 ∂ 2 v2 1 ∂ 3 v2 (P ) (∆x ) + (P ) (∆x2 )3 + · · · 2 2 2! ∂x2 3! ∂x32 3 ∂2p ∂3 p (P ) (∆x2 )2 + 3!1 ∂x 3 (P ) (∆x2 ) + · · · ∂x22 2

(6.8) Luego, para conocer los valores de v1(Q) v2(Q) y p(Q) hace falta conocer solamente el valor de las derivadas de respecto a la direcci´on normal x2 (de todos los o´rdenes). 2 2 Para conocer las derivadas segundas de la velocidad ∂∂xv21 , ∂∂xv22 y la derivada 2

primera de la presi´on

∂p ∂x2

en la direcci´on x2 se observa que como

2 ∂ 2 v2 , ∂ v2 ∂x21 ∂x1 ∂x2

2 ∂ 2 v1 1 , ∂x∂1 v∂x , ∂x21 2

∂p y ∂x son conocidas sobre Γ, entonces las ecuaciones (6.7) se pueden 1 reescribir (poniendo los terminos desconocidos en el miembro izquierdo y los conocidos en el miembro derecho) como2

εú2 ∂ 2 v1 εú12 εú22 ∂ 2 v2 1 − 12 − = t´erminos conocidos d2 Ã∂x22 ∂x22 ! d2 εú22 εú12 ∂ 2v1 εú222 ∂ 2v2 2 ∂p − + 1− + = t´erminos conocidos 2 2 d2 ∂x2 d2 ∂x2 2µ∞ ∂x2 2

(6.9)

Recordar que los t´erminos que se supusieron conocidos son todos aquellos donde aparecen ∂v1 ∂v2 , ∂x2 o cualquiera de sus derivadas respecto a x1 . v1 , v2 , p, ∂x 2

137

Derivando la condición de incompresibilidad (6.1) respecto a x2 se obtiene la relación ∂ 2 v1 ∂ 2 v2 = − (6.10) ∂x22 ∂x1 ∂x2 donde nuevamente se escribe en el miembro izquierdo el término desconocido y en el derecho el conocido. Estas tres ecuaciones alcanzarán para determinar los 2 2 ∂p valores de ∂∂xv21 , ∂∂xv22 y ∂x conociendo los valores del resto de las derivadas de 2 2 2 orden 2, siempre que el determinante de los coeÞcientes que acompa˜ nan a dichos terminos sea distinto de cero. Es decir,

o bien,

´ ¯ ³ ¯ 1 − εú212 − εú12d2εú22 ¯ d2 ¯ ³ ´ εú222 ¯ 1 − ¯ − εú22dεú12 d2 2 ¯ ¯ 0 1 Ã

εú2 1 − 12 d2

2 2µ∞

¯ 0 ¯¯

2 2µ∞

¯ ¯ 6= 0 ¯ ¯ ¯

6= 0

∂v1 ∂v2 Entonces, la condici´on para que, conocidos los valores de v1, v2 , p, ∂x , ∂x2 2 ∂p ∂ 2 v1 ∂ 2 v1 ∂ 2 v2 ∂ 2 v2 sobre la curva Γ (y por lo tanto los valores de ∂x2 , ∂x1 ∂x2 , ∂x2 , ∂x1 ∂x2 y ∂x1 ), se 2

∂p puedan determinar los valores de ∂∂xv21 , ∂∂xv22 y ∂x , es que la componente tangencial 2 2 2 a la curva Γ de la velocidad de deformaci´on εú12 veriÞque en cada punto de la curva

εú2 1 − 12 d2

6= 0

(6.11)

Para determinar las derivadas de la velocidad respecto a la dirección normal x2 de orden mayor a 2 y las de la presión de orden mayor a 1, se puede derivar respecto a x2 las ecuaciones (6.9) y (6.10) y aplicar el mismo razonamiento que 2 2 ∂p se utilizó para obtener las derivadas ∂∂xv21 , ∂∂xv22 y ∂x . Se puede demostrar (ver 2 2 2 referencias [8] y [27]) que los datos conocidos sobre la curva Γ alcanzan para determinar dichas derivadas (las de mayor orden) solo si se cumple una condición idéntica a la (6.11). ∂v1 ∂v2 Resumiendo entonces, si sobre cierta curva Γ se conoce v1 , v2 , p, ∂x , ∂x2 , (lo 2 que implica que también serán conocidas las derivadas respecto a la dirección tangente x1 de todas estas magnitudes), entonces se podrá conocer también, (sabiendo que la velocidad y la presión deben cumplir las ecuaciones diferenciales (6.9) y (6.10)) los valores de las derivadas respecto a la dirección normal x2 de v1 , v2 y p siempre que sobre la curva Γ se veriÞque la condición (6.11). Una vez que se conocen dichas derivadas en la dirección normal a Γ, se podrá generar una u ´ nica 138

solución de las ecuaciones para cualquier punto ubicado en una región adyacente a la curva Γ (a través de las expansiones de Taylor (6.8)). Rec´õprocamente, si sobre cierta curva Γ la condición (6.11) no se cumple, es decir, si en todo punto de la curva se veriÞca que Ã ! εú212 1− =0 (6.12) d2 ∂v1 ∂v2 entonces los valores preÞjados de v1 , v2 , p, ∂x y ∂x sobre dicha curva no serán 2 2 suÞcientes para determinar la solución de las ecuaciones en una región adyacente a la curva. Las curvas a lo largo de las cuales se veriÞca la condición (6.12) se denominan curvas carácter´õsticas. La información conocida sobre estas curvas no inßuye en los puntos adyacentes a las mismas. Teniendo en cuenta este análisis, se deduce la siguiente conclusión respecto a si es posible o no la existencia de una solución discontinua en alguna de las ∂vi derivadas ∂x de las ecuaciones planteadas en la sección anterior: una solución j discontinua puede existir solo si la curva Γ a lo largo de la cual alguna de las ∂vi derivadas ∂x es discontinua, es una curva caracter´õstica. Esto es as´õ porque j ∂vi una solución discontinua es una solución cuyas derivadas ∂x (o al menos una j de ellas) tienen un valor dado de un “lado” de la curva, y otro valor del otro “lado” y como las curvas caracteristicas tienen la propiedad que la información dada sobre ellas no inßuye en los puntos adyacentes a la misma, entonces una solución de este tipo solo es posible si la curva a lo largo de la cual el gradiente de velocidad es discontinuo es una curva caracter´õstica. Si la curva no fuera una curva caracter´õstica, entonces existe una u ´ nica solución en la región adyacente a ∂vi la curva, y ninguna de las derivadas ∂xj puede pegar un salto a través de misma (ver referencia [8]). Para un material r´õgido/viscoplástico que no tiene endurecimiento por deformación (es decir σY (ε) = cte) y para el cual la ßuencia no depende de las variaciones de la velocidad de deformación, (es decir η ∗ → ∞), la condición para que cierta curva Γ sea una curva caracter´õsticas (y por lo tanto la curva a través de la cual puede existir una solución discontinua) está dada por la igualdad (6.12), es decir Ã ! εú212 1− =0 d2

∂v1 ∂v2 donde εú12 = 12 ∂x + ∂x y x1 y x2 son las direcciones tangente y normal a la 2 1 curva Γ (ver Þgura (6.1)). Llamando 1 y 2 a las direcciones principales, εú1 y εú2 a las componentes principales del tensor velocidad de deformaci´on, y (n1 , n2) a las componentes del vector normal n a la curva caracter´õstica Γ en las direcciones

139

principales, entonces la componente εú12 estar´a dada por: εú12 =

−n2 n1

εú1 0 0 εú2

#Ã

n1 n2

= (εú2 − εú1 ) n1 n2

y el invariante d2 ser´a

1 d2 = (εú21 + εú22) 2 La condici´on para que la curva Γ sea una curva caracter´õstica es entonces 1−

(εú2 − εú1 )2 n21 n22 =0 d2

que, observando que por la condici´on de incompresibilidad, εú1 + εú2 = 0 por lo que se veriÞca la siguiente identidad (εú2 − εú1 )2 = εú21 − 2 εú1 εú2 + εú22 = 2 (εú21 + εú22 ) − (εú1 + εú2 )2 = 4 d2 se reduce a: 1 − 4 n21 n22 = 0

Teniendo en cuenta que adem´as n21 + n22 = 1 se deduce entonces que la condici´on anterior se satisface para aquella curva Γ cuya normal tiene las direcciones Ã

1 1 √ ,√ 2 2

1 1 −√ , √ 2 2

referidas a las direcciones principales 1 y 2. Por lo tanto, para un material caracterizado por la ley constitutiva viscoplástica (6.3) con σY (ε) = cte (es decir, sin endurecimiento por deformación) y para el cual la ßuencia no depende de las variaciones de la velocidad de deformación, (es decir η ∗ → ∞), existen dos familias de curvas carácter´õsticas. Dichas curvas forman en cada punto un angulo de ±45◦ con las direcciones principales de las velocidades de deformación εúij (y con las de la tensión σij ). Para este tipo de material, puede existir entonces un patrón de deformación localizado a lo largo de curvas orientadas a ±45◦ de las direcciones principales de εúij y σij . Para un material para el cual σY (ε) = cte pero η ∗ es Þnito, es decir, un material cuya ßuencia s´õ depende de la velocidad de deformación y cuya viscosidad está dada entonces por µ ¶ 1+

³√ ´1 d2

η∗ σY √ 2µ = √ d2 3 se puede demostrar, (haciendo un razonamiento id´entico al hecho hasta ahora para σY √1 los materiales para los cuales η ∗ → ∞ y 2µ = 2µ∞ = √ ) que la condici´on d2 3

140

para que cierta curva Γ cuya normal respecto a las direcciones principales es (n1, n2 ), sea una curva caracter´õstica es 4 n21 n22 ´ 1 − h³ 1 − 1δ + 1δ

2µ∞ 2µ

i =0

o bien, (recordando que n21 + n22 = 1), n21 n22

= =

1± 1∓

q q

2µ∞ 2µ

1 δ

2µ∞ 2µ

1 δ

q q

1−

6.3. Ejemplo: Localizaci´ on de la deformaci´ on pl´ astica en una probeta compacta sometida a una tracci´ on pura Para completar el análisis hecho en la sección anterior, se considera como ejemplo el caso de la deformación de una probeta plana compacta sometida a una tracción pura como la que se muestra en la Þgura (6.2). Se supone que la deformación es plana, es decir, que v3 = 0, y que la máquina de ensayo impone una velocidad v0 peque˜ na sobre el borde superior e inferior de la probeta, es decir, se supone que el ensayo se realiza controlando la velocidad de las mordazas de la máquina de ensayo. Experimentalmente se observa que inicialmente el patrón de deformación es homogéneo, pero que, alcanzado cierto nivel de carga, la deformación plástica se localiza en una banda de corte que se orienta a 45◦ respecto a la dirección en la que se tracciona a la probeta (ver Þgura (6.2)) (ver referencia [19]). Como se explicó en la sección anterior si se supone que el material esta caracterizado por la ley constitutiva r´õgido/viscoplastica (6.3) con σY (ε) = cte y η∗ → ∞, entonces es posible obtener como solución del sistema de ecuaciones que describe el ßujo plástico del metal (las ecuaciones (6.1), (6.2), (6.3) y (6.4)) los dos modos de deformación que se preveen experimentalmente, es decir, el modo de deformación homogenea y el modo de deformación localizado. Como las direcciones principales son respectivamente la dirección en la que se tracciona a la probeta y la dirección perpedicular a ésta u ´ltima, entonces, teniendo en cuenta los resultados de la sección anterior, se prevee una solución localizada a lo largo de una banda orientada a 45◦ respecto a la dirección en la que se tracciona a la probeta. Se demotrará a continuación que dicha solución (al igual que la solución homogenea) puede ser determinada anal´õticamente y reproducida con las herramientas numéricas estudiadas en el cap´õtulo anterior. 141

x2 y2

Figura 6.2: Ensayo de tracción de una probeta en estado plano de velocidad de deformación. 6.3.1. Soluci´ on anal´õtica a) Patr´ on de deformaci´ on homog´ eneo (Velocidad de deformaci´ on continua) En una tracción pura como la que se produce en el ensayo de tracción, la deformación homogénea esta dada por un alargamiento uniforme en la dirección en la que se tracciona a la probeta (la dirección principal x2 ) y un acortamiento uniforme (para que se conserve el vol´ umen) en la dirección perpendicular, (la dirección principal x1). Se propone entonces como solución para las velocidades a: v1 = −a x1 v 2 = a x2 donde a es una constante y (v1, v2 ) son las componentes del vector velocidad en las direcciones principales x1 y x2. Las velocidades de deformación serán entonces εú11 =

∂v1 = −a = εú1 ∂x1 142

∂v2 = a = εú2 ∂x2 Ã ! 1 ∂v1 ∂v2 = + =0 2 ∂x2 ∂x1

εú22 = εú12

(es decir, el campo de velocidades de deformación es uniforme), y las tensiones desviadoras que se establecerán como consecuencia de estas velocidades de deformación serán, teniendo en cuenta la relación constitutiva (6.3) con σY (ε) = cte y η ∗ → ∞: s11 = s22 = s12 =

√ 3 √ 3 √ 3

q q q

σY 1 2

(

εú 211 +εú222 +2

εú 212

)

σY 1 2

(

εú 211 +εú222 +2

1 2

(

εú 211 +εú222 +2

εú 212

)

σY εú 212 )

εú11 =

Y √ σ√ 3 a2

εú22 =

Y √ σ√ 3 a2

(−a) = − σ√Y3 = s1 a=

σ √Y 3

= s2

εú11 = 0

Para ver que el campo de velocidades propuesto es efectivamente una de las soluciones de las ecuaciones se observa en primer lugar que, independientemente del valor de la constante a, el campo de velocidades propuesto satisface la condición de incompresibilidad: ∂v2 ∂v1 + = εú11 + εú22 = −a + a = 0 ∂x1 ∂x2 En segundo lugar se observa que las tensiones que se derivan del campo de velocidadees propuesto veriÞcarán la ecuación del movimiento si: ∂s11 ∂s12 ∂p + + = 0+0+ ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂s12 ∂s22 ∂p + + = 0+0+ ∂x1 ∂x2 ∂x2

∂p =0 ∂x1 ∂p =0 ∂x2

∂p ∂p es decir, si ∂x = ∂x = 0. Esto implica que la presión p debe ser también uniforme 1 2 dentro de la probeta para que el campo de velocidades propuesto veriÞque la ecuación del movimiento. Falta entonces determinar el valor de esta presión constante p. Este valor se determina teniendo en cuenta que, como la probeta esta sometida a una tracción en la dirección x2, la tensión en la dirección x1 debe ser nula, es decir σY σ11 = s11 + p = − √ +p =0 3

La presi´on uniforme p ser´a entonces p=

σY √ 3

143

y las tensiones que se establecen en la probeta ser´an entonces:  σ √Y    σ11 = − 3 + p = 0

σY √

+p=

22 3    σ =s =0 12 12

√2 3

σY

o bien, siendo x1 y x2 las direcciones principales (

σ1 = 0 σ2 = √23 σY

b) Patr´ on de deformaci´ on localizado en una banda a 45◦ (Velocidad de deformaci´ on discontinua) El patrón de deformación localizado consiste en una deformación plástica puramente tangencial localizada en una banda plana inclinada un ańgulo de 45◦ respecto al eje x2 (ver Þgura (6.2)) y una deformación nula fuera de dicha banda (es decir, el material es plástico adentro de la banda y r´õgido fuera de ella) (ver referencia [12]). Para formular a esta segunda solución se utilizará un nuevo par de ejes coordenados y1 e y2 de direcciones paralela y perpendicular a la banda donde se concentra la deformación plástica (es decir inclinados un angulo 45◦ respecto a los ejes x1 y x2 ) y se adoptarán los supra´õndices in y out para referirse a las velocidades, tensiones y deformaciones de adentro y afuera de la banda. Se propone entonces como segunda solución a (

v1in = a y2 v2in = 0

(6.13)

(   a h2  v out = 1 −a   out

h 2

si y2 ≥ h2 si y2 ≤ − h2

donde a es una constante, h es el espesor de la banda y (v1 , v2 ) son las componentes de la velocidad respecto a los ejes inclinados y1 e y2 (ver Þgura (6.3)).3 Las 3

Si bien el patr´ on de deformación discontinuo propuesto es efectivamente una solución de las ecuaciones que describen el ßujo plástico del metal (las ecuaciones (6.1), (6.2), (6.3) y (6.4)), tanto el espesor h como el par´ ametro a quedan indeterminados. Sin embargo, experimentalmente se observa que las bandas de corte tienen espesores Þnitos que dependen de la estructura microscópica del material (no tenida encuenta en el modelo). Esta es una de las principales diÞcultades que presentan la mayor´õa de los modelos macrosc´ opicos de estudio del fen´ omeno de localizaci´ on y los métodos numéricos de simulaci´ on de este fenómeno basados en dichos modelos macrosc´ opicos. Estos métodos predicen espesores de banda que dependen fuertemente del tama˜ no de los elementos utilizados (ya que las interpolaci´ ones usadas son

144

Figura 6.3: Detalle del modo de deformación localizado velocidades de deformación serán    εúin  11 =  

εúin =

22      εúin 12 =   εúout =    11

   

εúout 22 εúout 12

= =

∂v1in =0 ∂y1 ∂v2in =0 ∂yµ2 ¶ in ∂v ∂v2in 1 1 + ∂y1 2 ∂y2 ∂v1out = ∂y1 ∂v2out = ∂y ³2 out ∂v 1 1 2 ∂y2

a 2

0 0 +

∂v2out ∂y1

y las tensiones desviadoras que se establecerán dentro de la banda serán (utilizando la relación constitutiva (6.3) con σY (ε) = cte y η ∗ → ∞, válida continuas dentro de cada elemento, y por lo tanto es imposible describir con este tipo de interpolaci´ on discontinuidades dentro de los mismos), que es la u ńica escala de longitud que está puesta en juego en el modelo.

145

u ´ nicamente dentro de la banda):   sin  11 =          sin = 22

      sin  12 =    

√ √ √

r ³ 1 2

2 εúin 12

( )

σY 2 εúin + 11

2 εúin +2 11

( ) ( )

r ³ 1 2

2 εúin +2 11

( ) ( )

r ³ 1 2

σY 2 εúin + 11

2 εúin 12

( )

σY 2 εúin + 11

2 εúin +2 11

( ) ( )

2 εúin 12

( )

in ´ εú 11 = 0 in ´ εú 11 = 0 in ´ εú 11 =

√ 3

(6.14) σY q

a 2 2

( )

a 2

σ √Y 3

Entonces, si se propone como solución el campo de velocidades (6.13) se a obtendrán dentro de la banda deformaciones exclusivamente de corte εúin 12 = 2 uniformes, y fuera de ella, deformaciones nulas, por lo que la velocidad de deformación resulta discontinua a través de la curva que separa a la banda del material adyacente. Para ver que la solución propuesta es efectivamente una solución de las ecuaciones del ßujo plástico plano, se observa en primer lugar que la condición de incompresibilidad se cumple para todo valor de la constante a: ∂v1in ∂v2in in + = εúin 11 + εú 22 = 0 + 0 = 0 ∂x1 ∂x2 out ∂v1 ∂vout out + 2 = εúout 11 + εú22 = 0 + 0 = 0 ∂x1 ∂x2 En segundo lugar se observa que sustituyendo las tensiones (6.14) en la ecuación del movimiento (6.4) y teniendo en cuenta que dichas tensiones son uniformes, se obtiene ∂sin ∂pin ∂sin 11 + 12 + = 0+0+ ∂y1 ∂y2 ∂y1 ∂sin ∂sin ∂pin 12 + 22 + = 0+0+ ∂y1 ∂y2 ∂y2 in

∂pin =0 ∂y1 ∂pin =0 ∂y2

Estas ecuaciones se veriÞcarán si ∂p = ∂p = 0 es decir, si la presión p es también ∂y1 ∂y2 uniforme dentro de la banda de corte. Para completar la solución solo falta determinar los valores de esta presión pin y de las tensiones afuera de la banda σijout . Para encontrar estos valores, se observa que las componentes normal y tangencial a la interface que separa a la banda del material adyacente de las tensiones σ deben ser continuas a través de dicha interface. Es decir, ( out in σ12 = σ12 out in σ22 = σ22 146

Del lado de la banda, dichas componentes valen (ver expresiones (6.14)): (

σ in √Y σ12 = sin 12 = 3 in in in σ22 = sin 22 + p = p

Fuera de la banda las componentes del tensor de tensiones expresadas en el sistema de ejes y1 e y2 valen (recordando que dichas ejes forman un angulo de 45◦ = π4 con las direcciones principales (ver Þgura (6.3))): "

out out σ11 σ12 out out σ12 σ22

# "

cos( π4 ) − sin( π4 ) σ1out 0 = · · π π out sin( 0 σ ) cos( ) 2 4 4 " # " # " √ √ 1 1 σ1out 0 1 2 2 = 2 · · 2 out −1 1 0 σ2 # −1 " out out out out σ1 + σ2 σ2 − σ1 = 12 σ2out − σ1out σ1out + σ2out

cos( π4 ) − sin( π4 ) sin(#π4 ) cos( π4 ) 1 = 1

(6.15) y son las tensiones principales (es decir, las componentes del tensor donde de tensiones en la base (x1, x2 )) afuera de la banda. Las componentes normal y tangencial a la interface son entonces σ1out

σ2out

(

out σ12 = 12 (σ2out − σ1out) out σ22 = 12 (σ1out + σ2out )

o bien, recordando que (al igual que en el caso del patrón de deformación homogéneo) σ1out debe ser nulo porque fuera de la banda la probeta está sometida a una tracción pura en la dirección x2 (

out σ12 = 12 σ2out out σ22 = 12 σ2out

Igualando entonces los valores que tienen estas componentes afuera y adentro de la banda, se obtiene ( 1 σout = σ√Y3 2 2 1 out σ = pin 2 2 es decir, la presión dentro de la banda debe valer: σY pin = √ 3 y la tensión principal en la dirección de la tracción x2 debe ser: 2 σ2out = √ σY 3 147

Las tensiones dentro de la banda de corte son entonces:  in in in    σ11 = s11 + p = 0 +

σin = sin + pin = 0 +

22 22    σin = sin = 12 12

σY √ 3

σ √Y 3 σ √Y 3

= =

σ √Y 3 σ √Y 3

y fuera de la banda de corte:

(   σout =   11

σout

22    σout 12

σ1out = 0 σ2out = √23 σY 1 2 1 2 1 2

(σ1out + σ2out ) = = (σ1out + σ2out ) = = (σ2out − σ1out ) =

σY √ 3 σY √ 3 σY √ 3

c) Comparaci´ on entre las dos soluciones Se observa entonces que las ecuaciones que desciben el ßujo plástico de una probeta compacta sometida a una tracción pura admiten dos soluciones: una solución continua (patrón de deformación homogéneo) y una solución discontinua (patrón de deformación localizado). En el primer caso la deformación es uniforme en toda la probeta (alargamiento en la dirección x2 y acortamiento en la dirección x1 ), y en el segundo caso la deformación es cortante dentro de una banda orientada 45◦ de la dirección en que se tracciona a la probeta, mientras que el resto de la probeta se mueve r´õgidamente (sin deformarse). En ambos casos se prevee que la máquina de ensayo deberá imponer una tensión igual a √23 σY para hacer ßuir al material. 6.3.2. Soluci´ on num´ erica Como se vio hasta ahora, tanto experimental como anal´õticamente se prevee que existirán dos patrones de deformación, uno homogéneo y otro localizado en una banda a 45◦ . Es deseable entonces que, si se resuelve numéricamente este problema, ambos modos de deformación puedan ser también previstos. Descripci´ on del modelo num´ erico utilizado Para resolver numéricamente este problema se utilizarón las herramientas numéricas discutidas en el cap´õtulo anterior, es decir, el método de elementos Þnitos para el modelado de ßujos incompresibles planos. La condición de incompresibilidad

148

fue impuesta mediante el método de penalización.4 Como se vió en el cap´õtulo anterior, al discretizar las ecuaciones diferenciales del ßujo de un medio viscoso incompresible bidimensional con este método se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones algebraicas Ã

A Kd + C · κ T

donde: Kd = C =

¶−1 Z

Fv = H =

A · C · V = − Fv + κ

¶−1

·H

(6.16)

B Tv · 2µ D · Id · Bv dΩ

(6.17)

˜ · M T · Bv dΩ N

(6.18)

˜ T dΩ ˜ ·N N

(6.19)

Bv T · 2µ D · Id · Bg · G dΩ

(6.20)

Ω

˜ · M T · Bg · G dΩ N

(6.21)

Ω

ZΩ Ω

A =

ZΩ Z

y donde 



1 0 0   D =  0 1 0  0 0 12  

2 3

Id =  − 13 0 



− 13 0  2 0  3 0 1

1  M =   1  0

˜ están dadas respectivamente por las igualdades (5.27) y (5.30). y Bv , Bg y N, En este caso, a diferencia del problema estudiado en el cap´õtulo anterior, la viscosidad no es constante en el dominio Ω, sino que depende de la velocidad de deformación d2 que a su vez es función de las velocidades V : σY 2µ = 2µ∞ = √ √ 3 d2 4

Si bien el m´etodo de penalizaci´ on presenta el inconveniente de que la matriz del sistema queda mal condicionada cuando el coeÞciente de penalizaci´ on κ es grande, en este caso dicho inconveniente no se maniÞesta dado que se utilizaron muy pocos elementos (y por lo tanto muy pocas inc´ ognitas).

149

donde d2 =

´ 1 ³ 2 εú11 + εú222 + 2 εú212 = 2 

 



1 0 0 εú11 i 1h     = εú11 εú22 2 εú12 ·  0 1 0  ·  εú22  = 2 0 0 12 2 εú12 



εú11 i 1h   = εú11 εú22 2 εú12 · D ·  εú22  2 2 εú12





εú11    εú22  = Bv · V + Bg · G 2 εú12

es decir,

σY 1 2µ = √ r ³ ´T ³ ´ 3 1 B · V + B · G · D · B · V + B · G v g v g 2

(6.22)

En la Þgura (6.4) se graÞca a la viscosidad 2µ en función de la velocidad de deformación equivalente d2 . Como 2µ → ∞ cuando d2 → 0, fue necesario aproximar a las viscosidades correspondientes a velocidades de deformación d2 f chicas (menores de un cierto valor dcutof ) con un valor constante y grande (en 2 cutoff este problema se utilizó d2 = 0.001). Como las viscosidades dependen de las velocidades V (la forma expl´õcita de esta dependencia la da la ecuación (6.22)), la r´õgidez desviadora Kd (que es función de las viscosidades) termina siendo función de las velocidades V , es decir, Kd = Kd (V ) y el sistema de ecuaciones algebraicas que se obtiene al discretizar las ecuaciones diferenciales del ßujo del metal con el método de penalización (el sistema de ecuaciones (6.16)) se convierte en: Ã

A Kd (V ) + C · κ T

¶−1

A · C · V = − Fv + κ

¶−1

·H

(6.23)

es decir, resulta un sistema de ecuaciones no lineales donde la matriz del sistema es función de las incógnitas V . Para resolver este sistema de ecuaciones no lineales se utilizó un algor´õtmo iterativo cuyos pasos son los siguientes: 150

d cutoff

Figura 6.4: Viscosidad para un metal r´õgido/perfectamente plástico 1. Conocidas las velocidades V (n) correspondientes a la iteración n, se calculan las viscosidades que se derivan de dichas velocidades (utilizando para ello la ecuación (6.22)). 2. Con estas viscosidades se computa la matriz de rigidez desviadora Kd (V (n) ) (evaluando la integral (6.17)). 3. Con la matriz de rigidez desviadora Kd (V (n)) (que se calculó con las viscosidades de la iteración n) y las matrices C, A, Fv y H se resuelve el sistema de ecuaciones (6.23 para obtener las velocidades V (n+1) correspondientes a la iteración n + 1: V

(n+1)

A = − Kd (V ) + C · κ T

¶−1

·C

!−1 Ã

A · Fv + κ

¶−1

·H

4. Se repiten los pasos 1 a 3 hasta que se alcance la convergencia. Este algor´õtmo se inicia con una distribución de velocidades arbitraria V (1) (en este problema se utilizó V (1) = 0) y se termina cuando alguna medida del error de la solución numérica obtenida con este algor´õtmo sea menor que cierta tolerancia. La medida del error que se utilizó fue la norma inÞnito de la diferencia entre las velocidad obtenidas en la iteración n + 1 y la correspondiente a la iteración n. Entonces el algor´õtmo se termina cuando ° ° ° (n+1) ° °V − V (n) °

∞

¯ ¯

= max{¯Vi(n+1) − Vi(n) ¯} ≤ tol. ∀i

151

Para minimizar el n´ umero de incógnitas del problema se aprovechó el hecho que la deformación es simétrica respecto a los ejes x1 y x2 (ver Þgura (6.2)). Esta condición de simetr´õa implica que alcanza con considerar solamente la deformación de un cuarto de probeta (el pimer cuadrante) y que sobre los planos de simetr´õa se deben cumplir las condiciones de borde v2(x1 , 0) = 0 v1(0, x2 ) = 0 Además, como la máquina de ensayo impone sobre el borde superior una velocidad constante en el tiempo, sobre dicho borde se deberá satisfacer la condición b v2 (x1 , ) = v0 2 donde v0 es la velocidad de separación de las mordazas de la maqu´õna de ensayo y b la altura de la probeta. Para que la solución numérica satisfaga estas condiciones de borde, se restringieron respectivamente los grados de libertad vertical y horizontal sobre los bordes inferior e izquierdo y se impuso una velocidad vertical v0 sobre todos los nodos del borde superior. Las dimensiones de la probeta y condiciones de borde utilizadas se muestran en la Þgura (6.5). Se utilizaron para discretizar el problema dos mallas de elementos Þnitos isoparámetricos de cuatro nodos: Una con elementos cuya diagonal coincide con la dirección en la que se espera que se forme la banda de corte (elementos cuadrados), y otra cuya diagonal no coincide con dicha dirección (elementos rectangulares) (ver Þgura (6.6)). Esto se hizo para ver si el método numérico era capaz de captar el modo localizado independientemente de la malla utilizada. Los resultados obtenidos se resumen a continuación: a) Patr´ on de deformaci´ on homog´ eneo La Þgura (6.7) muestra la conÞguración de la probeta unos instantes después del comienzo de la ßuencia. Se observa que el patrón de deformación homogéneo obtenido es idéntico al que se determinó anal´õticamente, es decir, se prevee que la probeta experimenta un alargamiento uniforme en la dirección en que se la tracciona y un acortamiento (también uniforme) en la dirección perpendicular. La viscosidades y presiones obtenidas fueron también idénticas (salvo error de redondeo) a las obtenidas anal´õticamente. b) Patr´ on de deformaci´ on localizado Para que el modelo numérico reproduzca la deformación localizada, fue necesario introducir cierta perturbación que genere una concentración de tensiones en alg´ un 152

Velocidades impuestas

Ω Sim

x1 a

Sim

Figura 6.5: Modelado de la tracción de una probeta plana punto de la probeta que sea precursora de la formación de la banda de corte. La perturbación introducida fue una inhomogeneidad en las propiedades del material que fue incorporada sobre los cuatro elementos adyacentes al vertice iquierdo inferior donde se utilizó una tensión de ßuencia σY 10% menor a la existente en el resto de la probeta. La Þgura (6.8) muestra la probeta unos instantes después de comenzar a ßuir. Tanto con los elementos cuadrados como con los rectangulares se puede ver que la deformación se localiza en una banda orientada a 45◦ mientras el resto de la probeta se desplaza prácticamente sin deformarse. Se observa también que la banda prevista con los elementos rectangulares está más difundida que la correspondiente a los elementos cuadrados. La Þguras (6.9) y (6.10) muestran la distribuciones de viscosidades 2µ (adimensionalizada con la tensión de ßuencia σY ) y velocidades de deformación equivalente d2 obtenidas con ambas mallas. También en estas Þguras se puede apreciar que la banda obtenida para elementos rectangulares se presenta más difundida que la correspondiente a elementos cuadrados. En la Þgura (6.11) se muestran las presiones (también adimensionalizadas con la tensión de ßuencia σY ) obtenidas. Se observa que en las zonas que se de-

153

Malla 1: 10 x 15 elementos cuadrados

Malla 2: 6 x 15 elementos rectangulares

Figura 6.6: Mallas de elementos Þnitos utilizadas. splazan r´õgidamente, la presión alcanza un valor que oscila alrededor de 0.57. Este valor es aproximadamente igual a la presión prevista anal´õticamente que era 2µ = √13 ' 0.57735. σY En la Þgura (6.13) se muestran las velocidades, viscosidades y velocidades de deformación obtenidas al introducir una perturbación (también una inhomogeneidad en las propiedades mecánicas del material) en un punto distinto al utilizado en el caso anterior (en este caso el punto elegido está ubicado sobre la mitad del lado izquierdo). Se observa que en este caso, también se obtiene un patrón de deformación localizado, pero esta vez en dos bandas inclinadas respectivamente a +45◦ y −45◦ (que, como se prevee anal´õticamente, son las direcciones caracter´õsticas). Localizaci´ on de la deformaci´ on para probetas de otros materiales Los resultados discutidos hasta ahora corresponden a un material caracterizado por la ley constitutiva r´õgido/viscoplásica (6.3) con σY (ε) = cte (es decir, un material que no presenta endurecimiento por deformación) y η ∗ → ∞ (es decir, un material cuya ßuencia es independiente de la velocidad de deformación). Para complementar este análisis, se estudió también los patrones de deformación obtenidos en probetas de materiales para los cuales σY (ε) = cte pero η ∗ no es 154

Malla 1: 10 x 15 elementos cuadrados

Malla 2: 6 x 15 elementos rectangulares

Figura 6.7: Patrón de deformación homogéneo inÞnito sino que tiene valores acotados, es decir, aquellos materiales cuya ßuencia s´õ depende de la velocidad de deformación y en los que la viscosidad esta dada por: µ ¶ 1+

³√ ´1 d2

η∗ σY √ 2µ = √ d2 3 Los casos analizados se resumen en la siguiente tabla:

Caso Caso Caso Caso

1 2 3 4

Malla η∗ δ 10 × 15 1. 2. 10 × 15 0.01 2. 10 × 15 1. 10. 10 × 15 1. 0.5

y las viscosidades (adimensionalizadas) en función de la velocidad de deformación equivalente d2 que corresponden a cada uno de estos casos se muestran en la Þgura (6.12). En la Þgura (6.14), se graÞcó la conÞguración alcanzada unos segundos después de comenzar la ßuencia para los cuatro casos. Se observa que en los cuatro casos, la banda se presenta mucho mas difundida que la obtenida para un material de 155

σY √1 viscosidad 2µ = 2µ∞ = √ , (en los dos primeros más que en el tercero y el d2 3 cuarto). Esta mayor difusión de la banda de corte puede apreciarse también en las Þguras (6.15) y (6.16) donde se muestran respectivamente la distribución de viscosidades y de velocidades de deformación equivalente obtenidas. Se puede ver también que en el tercer caso, donde δ es mucho mayor que en los otros tres casos, la banda se encuentra mucho más deÞnida (menos difundida), mientras que en el segundo caso, donde η ∗ es mucho menor que en los dos casos, la banda se presenta menos deÞnida (mucho mas difundida). En el cuarto caso, donde δ es menor que 1 los resultados son muy parecidos a los obtenidos en un material de viscosidad 2µ = 2µ∞ . Se concluye entonces que, utilizando para el modelado numérico las herramientas descriptas, la formación de la banda de corte se ve favorecida en aquellos materiales para los cuales δ y de η ∗ tienen valores relativamente grandes. Teniendo en cuenta que el parámetro η ∗ está relacionado con la sensibilidad del material a la velocidad de deformación o “ßuidez”, se concluye que cuanto menor sea esta sensibilidad (es decir, cuánto más parecidas sean las respuestas del material a velocidades de deformación altas y bajas) mayor será la tendencia a que se desarrollen patrones de deformación localizados. Esto concuerda con las observaciones experimentales. Las presiones obtenidas se muestran en la Þgura (6.19).

A través de este ejemplo se observa entonces que la formulación de ßujo es capaz de representar patrones de deformación localizado aunque para que dicho patrón de deformación pueda ser reproducido, es necesario introducir antes cierta perturbación exterior, por ejemplo, una inhomogeneidad en las propiedades mecánicas del material. Si esta perturbación no es incorporada, la solución que se prevee es una solución uniforme (no localizada). Esto implica que la formulación de ßujo no proporciona información respecto a cuál es el nivel cr´õtico de tensiones que se˜ nala el cambio del patrón de deformación uniforme al patrón localizado.

156

x1 Malla 1: 10 x 15 elementos cuadrados x2

x1 Malla 2: 6 x 15 elementos rectangulares

Figura 6.8: PatrÂ´on de deformaciÂ´on localizado

157

2µ

Malla 1: 10 x 15 elementos cuadrados

Malla 2: 6 x 15 elementos rectangulares

Figura 6.9: Distribuci´on de viscosidades.

Malla 1: 10 x 15 elementos cuadrados

Malla 2: 6 x 15 elementos rectangulares

Figura 6.10: Distribuci´on de velocidades de deformaci´on equivalente

158

10 8

0.6

0.58

0.6

0.575

0.62

0.625

0.55

0.56 0.54 15

0.525 15

4 3

10 10

5 5

Malla 1: 10 x 15 elementos cuadrados

Malla 2: 6 x 15 elementos rectangulares

Figura 6.11: Presiones adimensionalizadas

Caso 2 20

Caso 3 Caso 1 Caso 4

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

Figura 6.12: Viscosidades en funciÂ´on de la velocidad de deformaciÂ´on equivalente para los distintos casos estudiados

159

x1 x2

2Âľ

Figura 6.13: PatrÂ´on de deformaciÂ´on localizado obtenido a partir de una inhomogeneidad en una zona distina al vertice inferior izquierdo.

160

Caso 1:

Caso 2:

Caso 3:

Caso 4:

Figura 6.14: ConĂ&#x17E;guraciones alcanzadas por las distintas probetas.

161

2µ

11.8216 11.4104 10.9993 10.5881 10.177 9.76582 9.35467 8.94353 8.53238 8.12123 7.71008 7.29893

Caso 1:

31.6651 31.1053 30.5456 29.9858 29.426 28.8662 28.3065 27.7467 27.1869 26.6271 26.0674 25.5076

Caso 2:

2µ

2µ 18.7259 17.7582 16.7906 15.8229 14.8553 13.8876 12.92 11.9523 10.9847 10.017 9.04934

8.08169

Caso 3:

16.4359 15.2306 14.0253 12.82 11.6147 10.4094 9.20408 7.99879 6.79349 5.58819 4.38289 3.17759

Caso 4:

Figura 6.15: Distribuci´on de viscosidades para los distintos casos analizados

162

0.00862812 0.0081808 0.00773348 0.00728616 0.00683884 0.00639152 0.0059442 0.00549689 0.00504957 0.00460225 0.00415493 0.00370761

Caso 1:

0.00590425 0.00574642 0.00558859 0.00543076 0.00527293 0.0051151 0.00495727 0.00479945 0.00464162 0.00448379 0.00432596 0.00416813

Caso 2:

0.0134877 0.0125252 0.0115627 0.0106002 0.00963768

0.0282738 0.0258159 0.023358 0.0209001 0.0184422 0.0159844 0.0135265 0.0110686 0.00861067 0.00615278 0.00369489 0.00123699

0.00867517 0.00771265 0.00675013 0.00578762 0.0048251 0.00386259 0.00290007

Caso 3:

Caso 4:

Figura 6.16: DistribuciÂ´on de velocidades de deformaciÂ´on equivalentes para los distintos casos analizados

163

2µ

Caso 1:

Caso 2:

2µ

Caso 3:

Caso 4:

Figura 6.17: Distribuci´on de viscosidades para los distintos casos analizados (Escalas uniformizadas)

164

Caso 1:

Caso 2:

Caso 3:

Caso 4:

Figura 6.18: DistribuciÂ´on de velocidades de deformaciÂ´on para los distintos casos analizados (Escalas uniformizadas)

165

2.2 0.75 2.1 0.7

x2 15

15 10

10 5

Caso 1:

Caso 2:

10 10

8 6 6

2 0.6

1.1

0.59

1.05

0.58 0.57

0.95

0.56 15

15 10

Caso 4:

Figura 6.19: Presiones correspondientes a los distintos casos analizados.

166

7. Conclusiones Se ha hecho el análisis del fenómeno de localización de deformaciones plásticas utilizando la denominada formulación de ßujo para la descripción del movimiento y de las caracter´õsticas macroscópicas del material, y se ha modelado numéricamente este mecanismo de deformación mediante el método de los elementos Þnitos (adaptado para que pueda aproximar la condición de incompresibilidad del ßujo plástico). Las conclusiones más importantes son las siguientes: • La formulación tradicional del método de los elementos Þnitos (la utilizada en el modelado de la deformación de materiales elásticos compresibles) no se puede extender inmediatamente al caso de materiales que experimentan deformaciones plásticas (incompresibles) dado que al imponer la condición de incompresibilidad sobre la solución numérica obtenida con dicho método se presenta el denominado problema del bloqueo, como consecuencia del cual se obtienen aproximaciones muy pobres. • Para superar este problema es necesario recurrir a formulaciones alternativas (como el método de los mutliplicadores de Lagrange o el método de penalización) basadas en la interpolación simultánea de velocidades y presiones (elementos mixtos). En este trabajo se utilizó el elemento mixto Q1-P0 (interpolación bilineal para las velocidades y constante para la presión dentro del elemento). Este elemento presenta las siguientes caracter´õsticas: — No bloquea (en el sentido que el espacio Kh ∩ Uh correspondiente a este elemento no es vac´õo o casi vac´õo (como ocurre con otros elementos mixtos). Para la mayor´õa de las condiciones de borde este espacio Kh ∩ Uh resulta lo suÞcientemente grande como para proporcionar soluciones aceptables, pero para ciertas condiciones (en particular cuando se imponen velocidades tangenciales al borde)) Kh ∩ Uh es todav´õa pobre. — Presenta modos de presión esp´ ureos (principalemente en las mallas de elementos no distorsionados que son las más usadas). Esto hace que para determinadas condiciones de borde y determinadas mallas, resulta imposible obtener solución (tanto para las velocidades como para las presiones). 167

— Si bien converge cuando el tama˜ no de los elementos h tiende a cero, su orden de convergencia no es “óptimo”, y depende fuertemente de las condiciones de borde y la mallas utilizadas en la discretización. • Además de estas limitaciones que son inherentes al elemento mixto utilizado (el elemento Q1-P0) las formulaciones alternativas utilizadas para aproximar la condición de incompresibilidad (el método de los multiplicadores de Lagrange y el método de penalización) presentan las siguientes inconvenientes: — La presencia de modos de presión condiciona la existencia de solución cuando se utiliza el método de multiplicadores de Lagrange (es decir, hace que la existencia de solución dependa de las condiciones de borde y la malla utilizada) y trae como consecuencia la obtención de soluciones para las presiones muy pobres (contaminadas completamente por modos de presión) cuando se utiliza el método de penalización. — Por otra parte, el método de los mutiplicadores de Lagrange no puede ser formulado en términos exclusivos de las velocidades (que son las variables primarias del problema) mientras que el método de penalización, que no presenta esta desventaja (es decir, se puede formular en términos exclusivos de las velocidades y obtener las presiones a partir de las velocidades con poco esfuerzo computacional), proporciona frecuentemente soluciones pobres debido al mal condicionamiento de la matriz del sistema de ecuaciones resultante. • El procedimiento iterativo del lagrangeano aumentado con rigidización del modo esp´ ureo es una alternativa posible de superar todas estas diÞcultades. Este método, (que por ser iterativo es mas costoso desde el punto de vista computacional) es capaz de proporcionar soluciones aceptables (dentro de las limitaciones inherentes al elemento) tanto para las velocidades como para las presiones (la solución para las presiones que se obtiene resulta libre de modos de presión) independientemente de las condiciones de borde y de la malla utilizada. • La formulación de ßujo, que es un enfoque de análisis muy atractivo desde el punto de vista computacional porque permite estudiar la deformación de un metal (que experimenta grandes deformaciones plásticas) con herramientas numéricas muy parecidas a las utilizadas para resolver problemas de elasticidad lineal (y con peque˜ nas deformaciones y desplazamientos), es capaz también de reproducir patrónes de deformación localizados que se desarrollan cuando cierta concentración de deformaciones (cuyo or´õgen puede ser una inhomogeneidad en el material) se propaga a través del material. Además 168

permite establecer cuáles son las propiedades macroscópicas del material que favorecen o perjudican el desarrollo de dichos patrones de deformación localizados. Sin embargo, no proporciona información respecto a espesores de banda (que resultan dependientes del tama˜ no de los elementos utilizados) y otros aspectos del fenómeno de localización, principalmente los inßuenciados por la microestructura del material, que no es tenida en cuenta en los modelos macroscópicos (como el de la formulación de ßujo). • Utilizando esta formulación (y las herramientas numéricas descriptas) se puede reproducir el hecho experimental que la localización se ve favorecida en aquellos materiales que presentan menor endurecimiento y menor sensibilidad a las variaciones de la velocidad de deformación (es decir, menores valores de η ∗ y δ).

169

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