Estocastica No.7 / Departamento de Administración / administracion.azc.uam.mx by administracion.azc.uam.mx

Volumen 4, Número 1, enero - junio 2014, publicación semestral, $ 60.00, ISSN: 2007-5383

Estocástica Estocástica Volumen 3, Número 2, julio - diciembre 2013, publicación semestral, $ 60.00, ISSN: 2007-5375

FINANZAS Y RIESGO FINANZAS YModelación RIESGO del clima

un binomial proceso estocástico El bajo modelo borroso de reversión a la media y la valoración de opcionesestacional reales: el caso de valuación Jesús Cuauhtémoc Téllez Gaytán María Eugenia Serrano Acevedo de un contrato de concesión Jaimepetrolera Ángel Rico Arias para la explotación Gastón Silverio Milanesi

Empresas exitosas y no exitosas que cotizan en la BMV del Sector Cointegration between R2 Comercial:and Una clasificación con Análisis Volatility in the Mexican Discriminante Múltiple, Stock Modelos Logit Stock Exchange Prices y Redes Neuronales Artificiales Roberto J. Santillan-Salgado Alejandro Fonseca Ramírez Oswaldo García Salgado Arturo Morales Castro

Decisiones óptimas de portafolio cuando la tasa forward sigue Interrelaciones y causalidad el modelo Heath, Jarrow y entre los principales mercados Morton (HJM): modeloLatina: de de capitales enun América maximización de de utilidad un enfoque de Series Tiempo Francisco Venegas-Martínez César Gurrola Ríos Abigail Rodríguez Roberto SantillánNava Salgado

Ana Lorena Jiménez Preciado

Estructura de capital Generating covariances y valuación de la empresa: in multifactor model el sector autoservicios en CIR México Ricardo C. Morales Pelagio Wojciech Szatzschneider Francisco López-Herrera

SN 2007-5375

ISSN 2007-5375 VOLUMEN3,4,NúMErO NúMErO2 1 VOLUMEN

ENErO - JUNIO 2014 jULiO - diciEMbrE 2013

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FINANZAS Y RIESGO Volumen 4, número 1 Enero - junio 2014

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Directorio Rector General Dr. Salvador Vega y León Secretario General M. en C. Q. Norberto Manjarrez Álvarez Rector de la Unidad Azcapotzalco Dr. Romualdo López Zárate Secretario de la Unidad Mtro. Abelardo González Aragón Director de la División de Ciencias Sociales y Humanidades Dr. Oscar Lozano Carrillo Secretario Académico Lic. Miguel Pérez López Encargada del Departamento de Administración Lic. Ma. Teresa Godínez Rivera Coordinador de Difusión y Publicaciones de la División Dr. Saúl Jerónimo Romero

Consejo Editorial Dr. Onésimo Hernández-Lerma Departamento de Matemáticas, CINVESTAV, IPN

Dr. Francisco Venegas-Martínez Escuela Superior de Economía, IPN

Dr. Edgar Ortiz Facultad de Ciencias Políticas y Sociales, UNAM

Dr. Miguel Ángel Gutiérrez Andrade División de Ciencias Básicas e Ingeniería, UAM-Izapalapa

Dra. Patricia Saavedra Barrera Departamento de Matemáticas, UAM-Iztapalapa

Dr. Francisco López Herrera Facultad de Contaduría y Administración, UNAM

Dr. Wojciech Szatzschneider Smigielska Escuela de Actuaría, Universidad Anáhuac, México Norte

Comité Editorial Presidente Dr. Luis Fernando Hoyos Reyes Editora Dra. Marissa R. Martínez Preece Coeditores Dra. María G. Henaine Abed Mtro. Carlos Zubieta Badillo

Estocástica: Finanzas y Riesgo. Vol 4, número 1, enero - junio 2014, es una publicación semestral de la Universidad Autónoma Metropolitana, a través de la Unidad Azcapotzalco, División de Ciencias Sociales y Humanidades, Departamento de Administración, Red para el Análisis de Riesgos Financieros. Prolongación Canal de Miramontes 3855, Col. Exhacienda San Juan de Dios, Delegación Tlalpan, C.P. 14387, México, D.F., Av. San Pablo 180, Col. Reynosa Tamaulipas, Delegación Azcapotzalco, C.P. 02200. México, D.F.; teléfono 53-18-94-54 extensiones 157 y 154. Página electrónica de la revista: http://estocastica.azc.uam.mx, y dirección electrónica: estocastica@correo.azc.uam.mx. Editora responsable Dra. Marissa del Rosario Martínez Preece. Reserva de Derechos al Uso Exclusivo número 042011-102016113300-203, ISSN 2007-5383, ambos otorgados por el Instituto Nacional del Derecho de Autor. Responsable de la última actualización de este número, Unidad Azcapotzalco, División de Ciencias Básicas e Ingeniería, Departamento de Sistemas, Dra. María Guadalupe Henaine-Abed; fecha de última modificación: 12 de mayo de 2014, Tamaño del archivo: 7.19 MB. Las opiniones expresadas por los autores no necesariamente reflejan la postura del editor responsable de la publicación. Queda estrictamente prohibida la reproducción total o parcial de los contenidos e imágenes de la publicación sin previa autorización de la Universidad Autónoma Metropolitana.

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CONTENIDO

PRESENTACIÓN

Modelación del clima bajo un proceso estocástico de reversión a la media estacional

Oswaldo García Salgado Arturo Morales Castro

Generating covariances in multifactor CIR model Wojciech Szatzschneider

Interrelaciones y causalidad entre los principales mercados de capitales en América Latina: un enfoque de Series de Tiempo César Gurrola Ríos Roberto Santillán Salgado Ana Lorena Jiménez Preciado

Empresas exitosas y no exitosas que cotizan en la BMV del Sector Comercial: Una clasificación con Análisis Discriminante Múltiple, Modelos Logit y Redes Neuronales Artificiales

Jesús Cuauhtémoc Téllez Gaytán María Eugenia Serrano Acevedo Jaime Ángel Rico Arias

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PRESENTACIÓN

os artículos que en este número se presentan, de alguna manera son congruentes con las temáticas tratadas en el Foro de Económico Mundial de 2014, celebrado en Davos, Suiza, lo cual no es casual, más bien refleja la situación económica y financiera actual que requiere de estudio y análisis. De este Foro podemos rescatar algunas afirmaciones que permiten vislumbrar problemas críticos que demandan soluciones viables a corto plazo, entre las que podemos destacar la desigualdad social, cuya brecha se amplia más entre ricos y pobres, el cambio climático y el desempleo. Así podemos encontrar comentarios de especialistas que nos indican: “Un optimismo cauteloso para la economía mundial en 2014 es la nota con la que concluye este año el Foro Económico Mundial, en Davos, en medio de recordatorios de que los riesgos prevalecen: deflación, inestabilidad en los mercados emergentes, niveles críticos de desempleo y sobre todo la desigualdad”. Por lo anterior, nos parece oportuno presentar en este número diversos artículos que se relacionan con algunas de las conclusiones del Foro Económico Mundial, que se pueden retomar para el caso de México. Por ejemplo, en el artículo Modelación del clima bajo un proceso estocástico de reversión a la media estacional de Jesús Cuauhtémoc Téllez Gaytán, María Eugenia Serrano Acevedo y Jaime Ángel Rico Arias. Donde se modela la temperatura diaria para el estado de Campeche a través de un proceso estocástico de reversión a la media estacional. La importancia de la investigación radica en la valuación de productos derivados climáticos. Se busca contribuir a la intención de la Ley del Desarrollo Rural Sustentable de México y del Plan Nacional de Desarrollo 2012-2018, en materia de coberturas de riesgos de mercado y de eventos climáticos en las actividades productivas del sector rural. Por otro lado, la especialista Lucy Conger señala que: “Los tiempos han cambiado en América Latina. Hoy se habla de políticas macroeconómicas es

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tables, de pobreza en descenso, de una clase media que ha crecido en la última década y en general de una región con casos de crecimiento económico demostrables”. Aunque cabe mencionar que existe una gran disparidad en la región. En algunos casos este crecimiento resulta muy mediocre como en Brasil y México, apenas superior al 1% en 2013, mientras que en Panamá fue del 10% en el último lustro. Asimismo, dentro de cada economía se pueden observar diferencias importantes en distintos sectores industriales. Oswaldo García Salgado y Arturo Morales Castro, en su artículo Empresas exitosas y no exitosas que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores (BMV) del Sector Comercial: una clasificación con Análisis Discriminante Múltiple, Modelos Logit y Redes Neuronales Artificiales, identifican las razones financieras que son determinantes para lograr el éxito económico de las empresas que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores. Los hallazgos mostraron que los modelos paramétricos ADM y Logit, están limitados debido a sus supuestos estadísticos, en específico en la normalidad exigida en las variables exógenas, a diferencia de las RNA que no están sometidas a dichas condiciones. También, algunos especialistas opinan que “el progreso en América Latina tendrá que pasar por explorar formas de cooperación en un comercio intra-área”, dijo Alicia Bárcena, secretaria ejecutiva de la Comisión Económica para América Latina y el Caribe (CEPAL). Así, nuestro tercer artículo titulado Interrelaciones y causalidad entre los principales mercados de capitales en América Latina: un enfoque de Series de Tiempo, de Cesar Gurrola Ríos, Roberto Santillán Salgado y Ana Lorena Jiménez Preciado, presentan un análisis sobre las interrelaciones y causalidad entre los principales mercados accionarios de América Latina: México, Brasil, Argentina y Chile, en el periodo de agosto de 2003 a julio de 2013. Para ello se utilizan diversas técnicas econométricas: Vectores Autorregresivos (VAR), Pruebas de Causalidad de Granger, Descomposición de Varianza y la representación gráfica del modelo de estímulo-respuesta. Por último, se presenta el artículo Generating Covariances in Multifactor CIR Model de Wojciech Szatzschneider, en donde nos muestra un marco para generar covarianzas entre instrumentos con tasas de interés libre de riesgo e instrumentos de riesgo con posibilidad de incumplimiento, en el modelo Cox, Ingersoll, Ross (CIR) o en el modelo extendido CIR multifactorial. Esperamos que estos trabajos representen un estímulo para continuar estudiando los temas aquí tratados y ofrezcan ideas que contribuyan a enriquecer la investigación en las áreas de finanzas y riesgo.

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Siempre es importante mencionar que esta publicación ha llegado a su cuarto año gracias a la colaboración de la comunidad especializada que aceptó la invitación para participar en el esfuerzo de difundir y promover la investigación en las disciplinas objeto de esta revista, por ello, agradecemos el interés mostrado en este proyecto y reiteramos la invitación para continuar formando parte del espacio de colaboración que representa esta publicación. Comité Editorial

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Modelación del clima bajo un proceso estocástico de reversión a la media estacional

Jesús Cuauhtémoc Téllez Gaytán* María Eugenia Serrano Acevedo** Jaime Ángel Rico Arias** Fecha de recepción: 17 de octubre de 2013 Fecha de aceptaciòn: 30 de diciembre de 2013

Universidad Autónoma del Carmen, Facultad de Ciencias Económico Administrativas jctellezg@gmail.com Universidad Autónoma de Bucaramanga, Facultad de Ingenierías Administrativas mserran5@unab.edu.co jrico1@unab.edu.co

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Resumen El presente documento modela la temperatura diaria para el estado de Campeche a través de un proceso estocástico de reversión a la media estacional; el cual es una extensión al proceso Ornstein-Uhlenbeck, comúnmente utilizado para modelar las tasas de interés. El componente determinista del proceso describe el comportamiento de la temperatura que revierte a una media dinámica tipo senoidal; en tanto que el componente estocástico es descrito por el movimiento browniano, en donde se considera que los cambios en la temperatura se comportan bajo una distribución gaussiana. El documento sigue las metodologías de Alaton et al. (2002) quienes modelan la temperatura promedio diaria de Estocolmo, y de Bhowan (2003) quien modela la temperatura de Pretoria para valorar una permuta financiera sobre clima. La investigación tiene su importancia en la valoración de derivados climáticos, la cual requiere primeramente de un modelo que describa la evolución de la temperatura, toda vez que éstos han registrado un creciente volumen de operación para la cobertura del riesgo volumétrico. Seguidamente, se busca contribuir a la intención de la Ley del Desarrollo Rural Sustentable de México y del Plan Nacional de Desarrollo 2012-2018, en materia de coberturas de riesgos de mercado y de eventos climáticos en las actividades productivas del sector rural. Clasificación JEL: C15, G32, Q54. Palabras clave: modelación estocástica, derivados financieros, riesgo de clima Modeling weather under a seasonal mean reversion stochastic process

Abstract This article aims to model Campeche’s daily temperature under a seasonal mean reverting stochastic process, which is an extension of Ornstein-Uhlenbeck’s process for modeling interest rates. The model’s trend component describes the temperature behavior which reverts to a dynamic mean of a sinusoid type function. Meanwhile, the stochastic component evolves as a Brownian motion, in which daily temperature changes are distributed as a Gaussian process. The article follows Alaton et al. (2002) who model the daily average temperature of Stockholm, and Bhowan (2003) who models Pretoria’s daily temperature to pricing a climate swap derivative purpose. The importance of this research is founded on the increasing use of weather derivatives to hedge volumetric risk, where pricing derivatives requires an appropriate description of climate evolution. Also, it is expected to contribute to the Mexican Law of Sustainable Rural Development and the National Development Plan, related to managing market and climate risks for agricultural activities in the rural sector. JEL Classification: C15, G32, Q54. Keywords: stochastic modeling, financial derivatives, weather risk.

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Introducción

a investigación empírica ha evidenciado los hechos estilizados que caracterizan a los rendimientos de activos financieros, tales como: asimetría en ganancias/pérdidas, gaussianidad-agregativa, volatilidad cambiante y medidas granulosas-gruesas de la volatilidad (Cont, 2001). De modo similar, se han identificado patrones que caracterizan al comportamiento de la temperatura, como lo son: estacionalidad, reversión a la media y memoria de largo plazo (Torró et al., 2003). Adicionalmente, algunos estudios han encontrado una tendencia positiva en la temperatura de algunas ciudades como París y Noruega, lo que evidenciaría al fenómeno del cambio climático (Benth y Salythe-Benth, 2005; Zapranis y Alexandridis, 2008). Lo anterior, ha sido fundamental en la valoración de los derivados climáticos, en donde primeramente se requiere establecer un modelo que mejor describa la evolución del activo subyacente, en este caso el clima. Los derivados climáticos se refieren a contratos que permiten proteger a las entidades en contra de las pérdidas financieras ocasionadas por condiciones climáticas no favorables (Jewson y Caballero, 2006). De otra manera, son contratos sobre índices cuyos pagos dependen de la ocurrencia o no de eventos climáticos específicos (Vedenov y Barnett, 2004), mismos que proveen una cobertura de riesgo de producción más que de precio (Turvey, 1999). Algunos contratos, según aquellos negociados en la bolsa mercantil de Chicago (CME, por sus siglas en inglés), son los futuros sobre grados de calentamiento y enfriamiento por día, futuros y opciones sobre huracanes, y futuros sobre heladas, nevadas y lluvias torrenciales.1 Así mismo, la importancia de los derivados climáticos se ha reflejado en el crecimiento significativo en más de 1600% desde su primera negociación 1

Grados de calentamiento por día, (HDD, por sus siglas en inglés) se refiere a una medida de temperatura requerida para calentar una edificación en temporadas de invierno. Por otro lado, los Grados de enfriamiento por día (CDD, por sus siglas en inglés) se refieren a la medida de temperatura requerida para enfriar un inmueble en temporadas cálidas. El CME establece los 65° F (18° C) en los contratos de futuros, como la temperatura de referencia para iniciar el calentamiento o enfriamiento de un inmueble.

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en 1997 hasta hoy en día, según valor nominal de contratos negociados en el CME y en mercados extrabursátiles (Asociación de Administración de Riesgos Climáticos, 2012). Adicionalmente, en la perspectiva académica, numerosos estudios han examinado su efectividad de cobertura para diferentes actividades económicas, y se han explorado diversos modelos estocásticos que mejor describan la evolución del clima para efectos de la valoración de estos instrumentos financieros. Tal como documentan Vedenov y Barnett (2004), los derivados climáticos han sido mayormente utilizados como instrumentos de reaseguro para la protección de las actividades agrícolas. En el contexto anterior, otros estudios como el de Geyser y Van de Venter (2001), revisan la viabilidad para administrar el riesgo de clima en la producción de maíz en Sudáfrica, quienes utilizan las opciones sobre precipitaciones, en donde encuentran una relación positiva entre la precipitación y productividad promedio del maíz. Por lo que el uso de los derivados climáticos contribuiría en disminuir el riesgo de producción ante precipitaciones adversas durante las etapas de formación del grano de maíz. En otro caso, Cyr et al. (2010) analizan la efectividad del uso de opciones sobre precipitación para la cobertura del riesgo por exceso de lluvia en los viñedos de la región del Niagara, Canadá, quienes identifican que el riesgo de la base y la dependencia no lineal entre las variables de clima y la productividad de la cosecha, son factores que inducirían a reducir la efectividad del derivado climático. En otras situaciones, Leggio y Lien (2002) diseñan estrategias de cobertura óptimas con derivados de clima para empresas de gas natural, con el propósito de minimizar la probabilidad y el riesgo creciente al que los consumidores se enfrentan en facturaciones extremas en épocas de invierno. Connors (2003) ejemplifica el uso de una cobertura con futuros y opciones sobre el índice HDD, para cubrir el aumento en los costos de construcción en épocas de invierno con muy bajas temperaturas y aun en inviernos cálidos. Tang y Jang (2011) analizan la exposición al riesgo de los centros vacacionales de esquí debido a los aumentos de temperatura en las épocas de nevada, quienes concluyen que la diversificación geográfica favorecería a la reducción del riesgo para horizontes de planeación de largo plazo, en tanto que la cobertura financiera con derivados climáticos favorecería más a la reducción del riesgo de nevada en horizontes de corto plazo. Ante la importancia que han tenido los derivados climáticos para la cobertura del riesgo (volumétrico), brevemente descrito con anterioridad, su

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forma de valoración e implícitamente la modelación del clima, se tornan influyentes en la determinación del costo de la cobertura,para lo cual debe considerarse que las variables de clima no son bienes transables en los mercados financieros. Por lo anterior, se han recurrido a metodologías de valoración alternas respecto del enfoque de ausencia de arbitraje, ya que éste supone la posibilidad de crear un portafolio que duplique los indicadores de medición con activos negociados en los mercados financieros. En este contexto, los derivados de clima son el ejemplo claro de un mercado incompleto, en donde el precio de mercado del riesgo puede considerarse como una constante para obtener precios únicos de los contratos (Alaton et al., 2002). Por consiguiente, el presente artículo tiene como propósito modelar la temperatura del estado de Campeche para contribuir así en una primera iniciativa, a la evidencia empírica sobre la modelación del clima para efectos de la valoración de los derivados climáticos. El artículo sigue la metodología desarrollada por Alaton et al. (2002) quienes modelan la temperatura promedio diaria de Estocolmo, y de Bhowan (2003) quien modela la temperatura diaria de Pretoria a través de un proceso Ornstein-Uhlenbeck el cual incorpora el componente estacional o cíclico, éste último referenciado como el valor dinámico sobre el cual la temperatura promedio diaria revierte en el largo plazo. Seguidamente, la investigación aplicada se justifica en la trascendencia que ha tenido la administración de riesgos en el desarrollo de las actividades rurales en México, tal como se enuncian en la Ley del Desarrollo Rural Sustentable de México (LDRSM) y en los programas de coberturas gestionados por FIRA (Fideicomisos Instituidos en Relación con la Agricultura). Finalmente, el estudio se circunscribe en el estado de Campeche, por ser éste considerado como “granero potencial del sureste del país”, lo que conlleva a la necesidad de generar esquemas de coberturas financieras que favorezcan al desarrollo tanto de los grandes productores como de aquellos ubicados en las zonas rurales.2 Por lo anterior, el presente documento se divide de la siguiente forma: la sección 1 describe el modelo y en paralelo la metodología de estimación; 2

“Campeche podría convertirse en granero del sureste”, http://elfederalista.mx. En entrevista de quien fuera subdirector regional de FIRA, Eleazar Luna López, argumentó que Campeche tiene siete veces más de disponibilidad natural de agua per cápita respecto a las Zonas del Centro, Norte y Noroeste; tiene abundancia de luz solar, material genético y empresarios dispuestos a invertir. Igualmente se destacó la promoción de esquemas como cobertura de precios y la agricultura por contrato, éste último referido a la Administración de Riesgos de Mercado a través de Intermediarios Financieros (23 de julio de 2011).

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La dinámica de los cambios en la temperatura, del proceso O-U,del fue propuesta La dinámica de los cambios enpartiendo la temperatura, partiendo proceso O-U La en partiendo del O-U, fue La dinámica dinámica de los los cambios cambios en la la temperatura, temperatura, partiendo del proceso proceso O-U, fue propu prop La dinámica de los de cambios en la temperatura, partiendo del proceso O-U, fue propuesta La La dinámica de los cambios en la temperatura, partiendo del proceso O-U, dinámica de los cambios en la temperatura, partiendo del proceso O-U, fue pro por Dornier ydinámica Queruel (2000), yQueruel Alatonet al. (2002), la cualpartiendo se expresa por Dornier (2000), yal. Alatonet al. (2002), lacomo como La de los ycambios la temperatura, proceso O-U, fue pro fue propuesta Dornier y Queruel (2000), y (2002), Alaton et (2002), lacual cualse seexpresa por Dornier yypor Queruel yyen Alatonet cual se expresa por Dornier Queruel (2000), Alatonet al. (2002), laal. cual sedel expresa como por Dornier y Queruel (2000),(2000), y Alatonet al. (2002), la cual la se expresa como como expresa como por Dornier y Queruel (2000), y Alatonet al. (2002), la cual se expresa como por Dornier y Queruel y Alatonet al. (2002), la cual se Vedenov, D.,(2000), and Barnett, B. (2004).“Efficiency of expresa weathercomo derivatives (4) ficiency of weather derivatives as primary crop [ ( [[ (() ) [))] ( ] ]] (4) ) [ ( ] (4) insurance instruments”, )Journal] of Agricultural and Resource Ec [ ( f Agricultural and Resource Economics, 29(3), ( ) [ ] en donde en donde en en donde donde en donde 387-403. en en donde donde en donde ( ) ), (5) ( ) ( ), (( )) (( ), ), ),( ( ) ( (5) M (5) Venegas-Martínez, F. (2006). Riesgos financieros y económicos, ( ) promedio ( o lade ),estacionalidad describe la variación promedio estacional o la estacionalidad la de temperatura describe la variación estacional de ylalatem financieros ydescribe económicos, México, México, describe la variación promedio oo la ( ) estacional (estacionalidad ), la la variación promedio estacional la estacionalidad de la la temperatura temperatura describe la variación promedio estacional o la estacionalidad de temperatura y la describe la variación promedio estacional o la estacionalidad de la tempeThomson. describe la variación promedio estacional o la estacionalidad de 3 la temperatur 33 medio. constante esy la la constante velocidad a la la temperatura revierte aestacionalidad su valor medio. constante es la la cual cual laotemperatura temperatura revierte amedio. sulavalor escual la velocidad la la revierte a3medio. su ratura describe la variación promedio estacional larevierte temperatur constante es avelocidad aa su valor constante es la la velocidad velocidad a la la cual cual la laaatemperatura temperatura revierte su valorde constante es la velocidad a la cual la temperatura revierte a su valor medio. valor medio.3 constante es la velocidad a la cual la temperatura revierte a su valor medio.33 Zapranis, A., and Alexandridis, A.y Saltyte-Benth (2008).“Modelling temperature Una expresión la proponen de la constante es lasimilar velocidad a la cual Benth la temperatura revierte(2005), a su valor medio.time-de Una expresión similar la proponen Benth y Saltyte-Benth (2005), de la siguiente forma: “Modelling temperature time-dependent speedof Una expresión similar la proponen Benth y Saltyte-Benth (2005), de la forma siguie Una la yy Saltyte-Benth de siguiente forma:similar Una expresión expresión similar la proponen proponen Benth Saltyte-Benth (2005), de la la siguiente siguiente Una expresión similar la proponen Benth yBenth Saltyte-Benth (2005),(2005), de la siguiente forma: forma: mean lareversion in they Saltyte-Benth context of (2005), weatherde la derivatives pri Una expresión similar proponen Benth siguiente form t of weather Una derivatives Applied Benth y Saltyte-Benth (2005), de la siguiente form expresiónpricing”, similar la proponen (6) ( (6) ) (())15(4), )355-386. )( Mathematical Finance, ( (6) 386. ( ) en donde y en se donde modelan ay través de series de Fourier truncadas de la forma: se modelan través deFourier series de Fourier truncadas de la for ( de ) en donde se través de series truncadas de se modelan modelan través deade series de Fourier truncadas dela laforma: en endonde donde se modelan través de series de Fourier truncadas de la forma: en donde y seyyymodelan a travésaaade series Fourier truncadas de la forma: forma: en donde y se modelan a través de series de Fourier truncadas de la forma: en donde 1 Grados y de se Calentamiento modelan a través de (HDD, series por de Fourier derefiere la forma: por Día, sus siglastruncadas en inglés) se a una med 1.

s siglas en inglés) se refiere arequerida una medida temperatura paradecalentar una edificación en temporadas de invierno. Por otro lado, los Grad ∑ de temperatura )⁄ a la) medida ( ( requer )⁄ das de invierno. Por otro lado,por los Día Grados de Enfriamiento (CDD, por sus∑ siglas en (inglés)( se refiere re a la medida de temperatura requerida enfriar cálidas. un inmueble en para temporadas El CME establece los 65° F (18° C) en los contratos d ce los 65° F (18° C) en los contratos de futuros, como para la iniciar el calentamiento o enfriamiento de un inmueble. temperatura de referencia 2 nto o enfriamiento de un inmueble. y “Campeche podría convertirse en granero del sureste”, http://elfederalista.mx. En entrev reste”, http://elfederalista.mx. En) entrevista de quien Luna López, (7) argumentó que Campeche tiene s ( ( )⁄ subdirector ∑ ∑ regional ( defuera (FIRA, Eleazar )⁄ ) (7) pez, argumentó que Campeche tiene siete veces de per cápita respecto a las Zonas del Centro, Norte y Noroest disponibilidad naturalmás de agua a las Zonas del Centro, Norte ydeNoroeste; abundancia luz solar,tiene material genético y empresarios dispuestos a invertir. Igualmente se destac uestos a invertir. Igualmente esquemas se destacócomo la promoción cobertura de de precios y la agricultura por contrato, éste último referido a la ( ⁄ Financieros ) ∑(23 de julio ( de 2011). ⁄ ) ∑ ra por contrato, éste último referido a ladeAdministración de Riesgos Mercado a través de Intermediarios 3 ancieros (23 de julio deLa2011). 3 La expresión (4) es la versión modificada del proceso de Vasicek con reversión a la medi expresión (4) es la versión modificada del proceso de Vasicek con reversión a la ceso de Vasicek con reversión ) ( media, a la media, ya que quede delolocontrario contrariono nosesecumpliría cumpliríaque que , , ya (Bhow (Bhowan, 2003; 14). I1, J1Meteorológica io no se cumpliría que , -en4 donde (Bhowan, 2003; 14). Con base la Organización Mundial sequía meteorológica losentérminos en la expresión (7) (OMM), y I2, J2 una en la expresión (8), see dial (OMM), (una sequía que poraquella o déficit notable (8) de precipitación. ⁄ meteorológica ) 5presenta (la ausencia ⁄ seprolongada ) ∑ ∑ es e de precipitación. Canícula, es aquel periodo en donde disminuyen considerablemente las lluvias y se intens de- junio, la el transformada de Wavelet, descomponiendo 17 la serie de te Volumen 4, número 1, enero 2014, pp. 11–34 onsiderablemente las lluviastravés yfenómeno se intensifica calor. Este se debe a la ausencia de nubes de lluvia lo cual permite una mayor filtración de l o cual permite una mayor filtración de la radiación solar intensificación del calor enela superficie (www.miambiente.com.mx, consultado el 18 de se I1, J1 en la expresión (7) 6 I2, J2 en la expresión (8), se determinan a mbiente.com.mx, consultado ely 18 septiembre de diferentes escalas de 2013). tiempo-frecuencia lacomo función de Daubechies. La de prueba estadística de la regresión simpleutilizando se considera una primera aproximaci

y∑

∑

(

( (

⁄ )⁄

)

∑ ∑

(

⁄ (

)

)⁄

)

(7)

(8)

Estocástica en donde los términos (7) y( I2, J2(⁄en la)⁄expresión (8), a ( se determinan ⁄ (8) ) ∑ FINANZAS Y RIESGO ( la expresión ⁄ ∑ ) ∑ ) ∑I1, J1 en y ( ⁄ ) ∑ ( ⁄ ) ∑ ( ⁄ ) ∑ ( ⁄ ) travésy de de lalaforma: transformada de Wavelet, ∑ descomponiendo la serie de temperatura en en donde loslatérminos I1,(7) J1 en (7) y I , J2 en expresión a(8), se en donde los términos I1, J1 en expresión y I2la, Jexpresión se la determinan 2 en la expresión2 (8), en donde los términos I , J en la expresión (7) y I , J en la expresión 1 1 2 2 de Daubechies. (8), se determin diferentes escalas de tiempo-frecuencia utilizando la función en∑ donde los( términos I1, J∑ (7) )y I (8) (8) 1 en la expresión 2, J2 en la expresión ⁄ ) ( ⁄serie través de dela Wavelet, transformada de Wavelet, ladescomponiendo la serie(8) través de la transformada descomponiendo de temperatura ende te través de la transformada de Wavelet, descomponiendo la serie de temperatura través de los la parámetros transformada de Wavelet, (4), descomponiendo la serie de Lametodología para estimar de la expresión base en et al. diferentes escalas deutilizando tiempo-frecuencia utilizando lacon función de Alaton Daubechies. diferentes escalas de tiempo-frecuencia la función de Daubechies. en dondeen losdonde términos I1, J1deentiempo-frecuencia la (7) yutilizando I2(7) , J2 yenI2,laJla2 expresión se(8), determinan a J1 en la expresión en la expresión se los términos I1, expresión diferentes escalas función de(8), Daubechies. diferentes escalas de tiempo-frecuencia utilizando la función de Daubechie través de transformada Wavelet, descomponiendo la serie (2002)determinan y Bhowana(2003), selalleva a cabo de de la siguiente forma: través de la transformada de Wavelet, descomponiendo la serie de temperatura en en Lametodología para estimar los parámetros de la expresión (4), con base de temperatura en diferentes escalasdedelatiempo-frecuencia utilizando funLametodología para estimar los parámetros expresión (4), con base enlaAlaton et al. Lametodología para estimar los parámetros de la expresión (4), con base en Alaton e ción de Daubechies. Lametodología para estimar los parámetros de la expresión (4), con base (utilizando ) laparámetros diferentes escalas de tiempo-frecuencia la afunción Parámetro reversión la media (2002) y aBhowan (2003), sesiguiente lleva cabo laDaubechies. siguiente Lademetodología para los de ladede expresión (4), forma: con base (2002) y Bhowan (2003), se lleva aestimar cabo de forma: (2002) y Bhowan (2003), se lleva a cabo de la siguiente forma: en Alaton et al.(2002) (2002)y yBhowan Bhowan(2003), (2003),se se lleva lleva aa cabo de la siguiente cabo de la siguienteforma: forma: Lametodología para estimar los parámetros la expresión Sea una de conjunta, ( ) (4), con base en Alaton et al. Parámetro de reversión a lademedia ( ) Parámetro defunción reversión adensidad la media Parámetro de reversión a la media ( ) ( ) Parámetro de reversión asiguiente lamedia mediaforma: 2. Parámetro delleva reversión (2002) y Bhowan (2003), se a cabo dealala (una función ) ( conjunta, ) ( ) ( ) (9) de densidad Sea una función de Sea densidad conjunta, Sea Sea una una función funciónde dedensidad densidadconjunta, conjunta, Sea función densidad conjunta, donde de reversión son independientes extraídas de una función de distribución, ( )de Parámetro aobservaciones launa media ( ) ) ( ) (9) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( (9) ) ) ( ) ) ( . Si) se (consideran la cual es descrita por( los parámetros los valores ( ) ( ) extraídas ( )de una ( función ) son observaciones independientes de Sea una funciónson dedonde densidad conjunta, donde observaciones independientes extraídas de una función de distribución, donde son observaciones independientes extraídas de una función de distribuc son observaciones independientes extraídas de una función donde varía libremente, entonces se tiene ladefunción de observados de X fijos dondeen tanto que sonobservaciones independientes extraídas una funció ( ) la cual es descrita por los parámetros . Si se consideran Si se de distribución, la cual es descrita por los parámetros ( ) la cual es descrita por los parámetros . Si se consideran los valores ( losdescrita ) fijos ( en (tanto ) ) que ( θ varía ). Si libremente, la cual es por) los (parámetros se consideran (9) los val consideran valores observados de X verosimilitud: la cual es descrita por los parámetros ( ) . Si se consid entonces se tiene función observados deque X de fijos en libremente, tanto que  entonces varía libremente, entonces observados de Xson fijos en la tanto  verosimilitud: varía tiene la funciónsedetiene donde observados observaciones extraídas de una se función de X fijos enindependientes tanto que  varía libremente, entoncesdesedistribución, tiene la funció observados de X fijos en tanto que  varía libremente, entonces se tie verosimilitud: verosimilitud: la cual es descrita por los (parámetros () )∏ ( . Si) se consideran los valores(10) (10) verosimilitud: verosimilitud: observados de X fijos en tanto que  varía libremente, entonces se tiene la función de Aplicando el logaritmo(a la expresión (10), se tiene (∏ ) ∏ ( ) ) (10), (10) Aplicando el logaritmo a la expresión se( tiene) ( ) ∏ ( ) verosimilitud: ( ) ∏ ( ) Aplicando el logaritmo expresión (10), se tiene Aplicando el logaritmo a la expresión (10), aselatiene se tiene ̂ ( a la expresión )(10),∑ Aplicando el logaritmo ( (10), ) (11) (11) Aplicando el logaritmo la expresión se tiene ( ) a∏ ( ) (10) Considerando que el proceso que describe a la temperatura se expresa de la forma: proceso que AplicandoConsiderando el logaritmo que a la el expresión (10),describe se tienea la temperatura se expresa de la forma:

18 en donde el proceso revierte a

(

)

(

)

Volumen 4, número 1, enero - junio, 2014

(12)

como en la expresión (5), se obtiene entonces la función

̂( ̂( ) ) ∑∑( ( ) ) (11) (11) ̂( ) ) ∑ ( ) (1 ̂( ) (11) (11) ∑ ) ( ∑) ( Considerando que el proceso que describe a la tem ) (11) ∑ ( Considerando que el proceso que describesese a expresa laexpresa temperatura se expresa de la Considerando queConsiderando procesoque que describe temperatura forma: que elelproceso describe a alalatemperatura dedelalaforma: Estocástica Modelación del clima bajo un proceso estocástico... Considerando que el proceso que describe a laa temperatura se expresa de laFINANZAS forma: Considerando que el proceso que describe la temperatura se expresa de la forma: Y RIESGO Considerando que elde proceso a la temperatura se expresa de la forma: ̂que ribeConsiderando a la temperatura forma: ( seelexpresa )la describe (11) ∑que( describe proceso que a la)temperatura se expresa de la forma: ( ) ( emperatura se expresa de la forma: ) ( ) (12) ( ( ) ) ( ( )() (12) ( ( ) ) ( (en)donde (12) (12) ) (12) el revierte a como en la ex(1 (revierte ( como ) que(enel donde ) (12) rando proceso que describe a el la temperatura se)laexpresa de)proceso la(5), forma: ( ) ( ) (12) en donde proceso a en la expresión (5), se obtiene ent el proceso revierte a como en expresión se obtiene entonces la función en donde el proceso revierte a como en la expresión (5), se obtiene entonces la función ) donde (12) en en donde el proceso revierte a a como en en la expresión (5),(5), se se obtiene entonces la función el proceso revierte como la expresión obtiene entonces la función en sese obtiene entondonde proceso enen aa laencomo como enla laexpresión expresión (5), obtiene entonces la funci mo enenladonde expresión (5),elel seproceso obtienerevierte entonces función de máxima verosimilitud en tiempo continuo: eldonde proceso revierte arevierte como la expresión (5), se(5), obtiene entonces la función de máxima verosimilitud en tiempo continuo: demáxima máxima verosimilitud en tiempo continuo: de verosimilitud en tiempo continuo: ces la función de máxima verosimilitud en tiempo continuo: ( tiempo )la función ( ) (12) xpresión (5), verosimilitud se verosimilitud obtiene entonces de de máxima en continuo: máxima en tiempo continuo: de máxima verosimilitud en tiempo continuo: ntinuo: de máxima verosimilitud en tiempo continuo: e el proceso revierte a como en la expresión (5), se obtiene entonces la función ( ) ( ( ( ) ) ) ̂ ( ) (∫ ) ( )) ( (13) ∫ (13) ( ) ̂̂( () )( ∫ ( ∫(∫ ) ) (13) ( ∫) )( ̂)( ) ∫ (en tiempo ma ( ) (13) ) ∫ ( ( ())( () ) ) ) verosimilitud )̂ (̂)(continuo: () ( ) ∫ (13) ) ∫̂∫ ( (1 (13)∫ ( ()∫ ) ∫ ̂ ( ) ∫( () ()∫) ( ) ( ) cuya ( ) discreta se expresa (13) ) ( ) representación de la form ( ) ( ) (13) ∫ cuya representación discreta se expresa de la forma representación discreta expresa forma cuya discreta seseexpresa dedelalade forma ( cuya ) representación cuya representación discreta se la expresa cuya representación discreta se de ( ) expresa (forma ) la forma cuya representación discreta se expresa de la forma ̂ ( )representación cuya se a decuya la forma (13) ∫ discreta discreta ∫ expresa de la forma representación ( ) se expresa de la( forma ) ̇ ( ) ma ( ) ̇ ( ( ) )̃ ( ) (∑ ̇ (̇ ( ( ( ) ) ) ) ( ( ( ) ) ) )̇ (̇ ( ( ( ( ) () ))) ( ) )̇ ( )( ̃ () ) (∑ ( (∑ ̃̃( () ) ̇ ( ∑ ̇ (∑ (14) ( (14) (expresa ( ( ) ( ) )) ̇ ())( ̇ ((( ( ∑ ) ) )) ) ) ( ( ) )) ) ( ∑ ( ) ) ̇ )̇ de resentación se la forma ̃ (̃)( discreta ( ) ()(14) ( ) ( ) ( ) ( ) ̇ ∑ ( ) ∑ ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ) ̃∑ ( ( () ( () )()) ( ( ) ) ) ∑ ( ( ) ( )( (̇ (() (( ( ))) ))̇ () )( ) (14) ( )(̇ ((∑( ) )) ) ( (1 (( ) )(14) ∑( (( ( ) )) ) ( ) ) ( ) )̃ ( )∑ ∑ (14) ∑ ( ( ) ) ( (( ( ) ( ())) () ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (14) ∑ ̇ ( ( ) ( () ) ) ̇ ( ( ) ) ( ( ) ) ) ∑ (14) ( ∑ — (14) ( ) ) Con (base Bibby y Sorensen (2005), la anterior ( ( ) ) ( en ) ) Con base en Bibby y la Sorensen (2005), laeses anterior función sesgada, por l Conbase baseenenBibby Bibby Sorensen (2005), laanterior anterior función sesgada, porloloes que requiere Con y ySorensen (2005), función sesgada, por que seserequiere Con base en en Bibby y Sorensen (2005), la anterior función es sesgada, porpor lo que se requiere Con base Bibby y Sorensen (2005), la anterior función es sesgada, lo que se requiere baseesensesgada, ypor Sorensen (2005), laajustarla anterior es porselorequiere queque se requie , la anterior función lo que se requiere de sesgada, un perm Con baseCon en Bibby y Bibby Sorensen (2005), anterior funciónafunción estravés sesgada, porcompensador loobtener que mar ajustarla a travésla(1995), de un queuna permita unadedemedia martingala media ajustarla através través deunun compensador quecompensador permita obtener una Con base en Bibby y Sorensen la anterior función es sesgada, por lo martingala ajustarla a de compensador que permita obtener orajustarla función es sesgada, lo que se requiere de de media a través de por un un compensador queque permita obtener unauna martingala martingala media ajustarla a través de compensador permita obtener se requiere ajustarla a través un compensador obtener martingala de med ajustarla ade través de martingala un compensador que permita obtener una de de media queajustarla permita obtener una cero, con respecto amartingala la filtración definida p de media aque través un compensador que permita obtener unaque permita ( ). cero, con respecto a la filtración definida por Ba ( ). e en Bibby y Sorensen (2005), la anterior función es sesgada, por lo que se requiere cero, con respecto a la filtración definida por Bajo la notación: ( ). Bajo la notación: cero, con respecto a la filtración definida por martingala de respecto a la filtración definida por una martingala de media mediacero, con mita obtener una ). ).Bajo ( ( cero, cero,conconrespecto respectoa la a lafiltración filtracióndefinida definidaporpor Bajola lanotación: notación: ( ). Bajo ( ). cero, con respecto a la filtración definida Bajo la notación: definida por ( ) por( ( ) se quelael notació compe Bajo la notación: se).tiene tiene cero, con respecto a (la filtración definida por laBajo notación: ) ( ) se tiene que el compensador es: ( ) (( un )compensador martingala de media a través (de que permita obtener una se tiene que el compensador es: ) ( ) se tiene que el compensador es: ). Bajo por( ( ) ) que notación: ) se ( el tiene queque el compensador es:es: ( compensador ) la sees: tiene el compensador ( ) ) se ( que el compensador es: e el compensador es: ( ) ( ) se tiene quetiene el compensador es: ). ( on respecto a la filtración definida por Bajo la notación: ensador es: ̃̇ ( ) ∑ { ̃̇ ( ) } ̇ ̇ ̇ ̇ ̃ ̃ ̇ ̇ ̃ ̃ ( ) ( ) ∑( () ){ es:} } } ̃ ∑ {̃ ( (el)̇ )compensador ∑ { ) ( ̇ se tiene que ̇ ̇ ( )( ) } } ∑∑ { ̃{(̃)( ) ̃̃̇ ̃ ̇( ) { ̃ (̇ )( ) ̃̇ (} ) ∑ } } ̇( ( ) ) ∑ {̃ ̇( ( ) ) ̇ (̇ ( ( ( ) ) ) ) ∑ { ̇ (∑ ̇ (∑ { ( ( ( ( ) ) ) ) {( (( ) ()} } ) ) ( (( )(15) )} ) (15) {∑ ( () )̇ ) ) ) (15) ∑∑ ̇ ( ( ) ( (( {()( )({))) (() ()) ) )( )( ( ) ( )) }) (15) (15) } (1 ∑ { {(̃̇ (( ) ) ̃ )̇ ( )( ) }∑ ( (((∑( )) ))( (15) ) { ( ( {) ( )( ) ( ) ) }̇ ( ) } ( (15) ) ( ) ̇ ( ) ( ) ( ) ( ) ̇ ( ) ) ( ) ( ) ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (15) { ( ( ) ) } ( ) ( ( (∑ ) ) ( ) ) ̇ () ̇ (( ∑ (∑ ) ) ( (( )) ( () (̇ (() (((( ))))))̇ () )( ) () ( ) ) ) ̇( ( ) ) ̇( ( ∑ ) ∑ ( ) (15) ∑ { (∑ ( ( ) (( ()) )) ) ( ) } ) ̇ ( ( ( ) ( )) ) ( ) ( ( )∑ ) ̇ ( ) ( (donde ) . Por lo que la función estimadora de ) ̇ lafunción ̇ donde . Por lo que la función estimadora de media-cero es: ̇ donde . Por lo que función estimadora de media-cero es: donde . Por lo que la estimadora de media-cero es: ) ( ) ̇ ( ( )de media-cero ̇ ̇ . Por (función )estimadora ) media-cero (función ) estimadora donde lo que la es: donde . Por lo que la de es: ̇ . Porlalofunción que la función estimadora de media-cero es: imadora media-cero es: dondedė donde . Por lo∑ que estimadora ) de media-cero es: Volumen 4, número 1, enero - junio, ( 2014, 19 ( pp.)11–34 de media-cero es:

∑

Estocástica

FINANZAS Y RIESGO

donde ̇ donde

(

)

(

)

(

) ̇( (

)

(

)

. Por Por lo lo que quelalafunción funciónestimadora estimadoradedemedia-cero media-ceroes:es:

̇( ) ̃ ( ) ∑ ̇ ( ( ( ) ) ){ ( ) (16) ( ( ) )} (16) ̃ ( ) ∑ ( (16) ( ( ) )} ) { () ( ) ̇ ( ( ( )( )) ) ̇( ( ) ) ̃ ( ) ∑ ̇( ̃ ( ) ∑ (16) { ) ( ( ) )} (y considerando )̇ ( ( ) () ) Retomando la expresión (4) y (12), ( ) ̃ ( (16) ̇ ̃ ( ) ( ) ( ) )( ∑ { ( )} Retomando la expresión (4) y (12), y considerando ( ) ( ) ∑ { ( )} ( ) ( ) Retomando la expresión (4) y (12), y considerando ) ( () ( ) ( ( ̃ )(())( )∑ { () ( ( ) )} ) ( ( ) ) la expresión (4) y (12), y consid Retomando la expresión (4) y (12), y considerando Retomando ( ) y (12), , ( ) (17) Retomando la expresión (4) considerando ) , y (12), - y considerando ( ) (17) Retomando (4) (17) la (expresión Retomando la expresión (4) y (12), y considerando se tiene que la función estimadora del parámetro de reversión a la media del proceso es, se tiene que la función del- parámetro de ( )estimadora , ( reversión a) la media(del proceso (17) ) , es, ( ) , ( ) (17) ( ( estimadora ) , del parámetro ( se tiene que la función de reversión a la)media del ( ) , ( ) se tiene que la función estimadora del parámetro de reversión a la media del proceso es, se tiene que la función estimadora del parám proceso es, ( estimadora ) del parámetro se tieneseque lãfunción estimadora del parámetro de reversión a la media proceso es, tiene que la función de reversión a la del media del proceso es, (que la función ), estimadora ( parámetro)-de reversión a la media (18) de tiene del ̃( ( ) )se ∑ , ( )(18) ∑ ( ) ( ) ̃ ( ) ∑ ( ̃)-( (18) ,) ( (18) , ) ∑ ( ) De la expresióñ(18), para : ) sẽseresuelve ( ) ( )(18) ( ∑ De la expresión ((18), (, (resuelve ) ∑para : , )̃ ( ) ∑ , ( )De la expresión (18), se resuelve para : De la expresión (18), se resuelve para : ∑:para De la expresión (18), sê(18), resuelve para Delalaexpresión expresión (18), se resuelve resuelve para : , , De se ∑ (19) ( De la para-):) (19) ̂ expresión( ∑(18), se resuelve , ∑ , ∑ , ∑ Ecuación pag 16_derivados Ecuación pag climáticos 16_derivados (19) ̂ ( parámetro )climáticos ̂ componente ( el cual representa el estimador del de reversión a la media del ∑ , ∑ , ∑ - ) ∑ el cual representa el estimador de reversión a la) media del (19) ̂ ( parámetro ∑ (19) , - componente ( ̂ del (, ∑ , ∑ , ̂ ( ) ∑ , el del -refieredel eldeterminista cual representa elexpresión estimador deldonde parámetro de reversión a término la media el cual estimador parám . dice: Elrepresenta , secomponente a la de laEn el último (4), párrafo donde párrafo dice: En eldonde último donde de la expresión (4), . El término , se refiere a la eldeterminista cualelrepresenta el estimador del parámetro de reversión a la media del componente cual representa el estimador del parámetro de reversión a la media del compone el cual representa el estimador del parámetro de reversión a la media determinista de larepresenta expresión donde . El término , determina se refiere adonde la determinista el(4), estimador del parámetro de reversión alalaexpresión media del(4),como varianza el de cual un mes específico j, para n días del respectivo mes, ladecual se varianza de un mes específico j, para n días del respectivo mes, la cual se determina como El término … (cambiar la expresión por): determinista de la expresión (4), donde . El término , se refiere a la a determinista de la expresión (4), donde . El término , se refiere El término … (cambiar la expresión por): . El donde El término componentedeterminista deterministade de lala expresión expresión (4), (4), donde dej,lapara forma: la variación cuadráticade varianza de un mes específico n días del respectivo mes, determinaj,como varianza delauncual messeespecífico para n días de ala2laforma: la variación cuadráticade 2 término , se refiere varianza un mes parala n días del y varianza de un mes específico j,y jpara nj, días del respectivo mes, laj,mes, cual se determina como co varianza de jun mes específico parade n días del específico respectivo cual se determina varianza de un mes específico j, para n días del respectivo mes, la cual se la forma: la variación cuadráticade respectivo mes, lade cual se determina como lalavariación de de dela forma: variacióncuadrática cuadráticade ∑ ( por: ) la forma: la variación cuadráticade Lacuadráticade ecuaciónde20 de la variación ∑ la forma: ( 20 cambiarla ) por: (20) Lacambiarla ecuación la forma: (20) la variación cuadráticade de la forma: ∑ 2( ∑ ( 2 ) n (20) n en donde hace referencia a lamtemperatura promedio (entre máxima y mínima) diaria. m ∑ ( ) ∑ ( ) en donde hace referencia (entre máxima y mínima) diaria.  Ti  Ta i la1 temperatura (20) (  Tim  Tim1promedio ∑ ( ) 2 i 1 2 1  i (20) se considera queyreferencia lavolatilidad entre cada mes cambia, entoncesadiaria. a partir yde lalatemperatura enSiSi donde hace promedio (entre máxima y mínima) en donde hace referencia tempera jtemperatura se considera quej la volatilidad de temperatura entre cada mes cambia, entonces la a partir na la n en donde hace referencia a la temperatura promedio (entre máxima y mínima) diaria. dia en donde hace referencia a la temperatura promedio (entre máxima y mínima) entiene: donde hace referencia a lacada temperatura promedio (entre máxima y expresiónque (20)lase Sidede selaconsidera mes cambia, a partir Si se considera que laentonces volatilidad de la temp la expresión (20)volatilidad se tiene: de la temperatura entre 20 Volumen 4, número 1, enero junio, 2014 Si se considera que la volatilidad de la temperatura entre cada mes cambia, entonces a partira pa Si se considera que la volatilidad de la temperatura entre cada mes cambia, entonces Si se considera que la volatilidad de la temperatura entre cada mes cambia, de la expresión (20) se tiene: de la expresión (20) se tiene:



 



∑

(

)

(20) ∑ ( ) Estocástica Modelación del clima bajo un proceso estocástico... FINANZAS Y RIESGO en donde hace referencia a la temperatura promedio (entre máxima y mínima) diaria.

en hace referencia referencia aa la la temperatura temperatura promedio promedio (entre (entre máxima máxima y mínima) d en donde donde hace Si se considera que la volatilidad de la temperatura entre cada mes cambia, entonces a partir

y mínima) diaria. Si se considera que la volatilidad de la temperatura entre cada cambia,que entonces a partirde dela la temperatura expresión (20) se tiene: Si semes considera la volatilidad entre cada mes cambia, entonces a p

de la expresión (20) se tiene:

(21)

{

{ Por loPor que la volatilidad del proceso, se determina como como lalavariación variación cuadrática de la lo que la volatilidaddel proceso, se cuadráPor lo que laPor volatilidad proceso, se determina determina la variación cuadrática la lo que la del volatilidad del proceso, secomo determina como la variacióndecuad tica de la desviación estándar entre cada mes, de la forma: Por loestándar que la entre volatilidad del de proceso, se determina como la variación cuadrática de desviación cada mes, la forma: desviación de estándar entreestándar cada mes, de cada la forma: desviación entre mes, de la forma: riación cuadrática la desviación estándar entre cada mes, de la forma:

(22) √ ∑( ) (22) (22) √ ∑( ) √ ∑( ) ( √ ∑( ) Con base en (22) lo anterior, y siguiendo a Alaton et al. (2002), se estima el parámetro de Con baseCon en Con lo anterior, ylosiguiendo ay Alaton et al. (2002), estima el else parámetro base anterior, siguiendo aetAlaton etseal.se (2002), estima eldep base en lo en anterior, y siguiendo a Alaton al. (2002), estima Con en anterior, a volatilidad; Alaton (2002), el parámetro reversión abase la media de la volatilidad; para lo cual etseal. define un se proceso a la parámetro delo reversión a yla siguiendo media de la para lo cual seestima definesimilar reversión a la media de la volatilidad; para lo cual se define un proceso similar a la reversión a la media de la volatilidad; para lo cual se define un proceso estima el parámetro de un proceso similar a la expresión (6), que describe el comportamiento de la reversión acomo: ladescribe media eldecomportamiento la volatilidad; de para lo cual se como: define un proceso similar a expresión (6), que la volatilidad volatilidad expresión (6), que describe el comportamiento de la volatilidad como: expresión (6), que describe el comportamiento de la volatilidad como: un proceso similar a la expresión (6), que describe el comportamiento de la volatilidad como: ( ) mo: ( )( ) (23) ( ) (23) (23) ) [ ( ] [ ( ] ) [)( ] ( ( ) [ ] (23) en donde es el parámetro de reversión a la media del proceso estocástico, es la en donde es donde el parámetro deparámetro reversión de a lareversión media del proceso es la en es el a la media estocástico, del proceso estocástico en es elelparámetro parámetro reversión laplazo), media delesproceso estocástico, en donde donde es dedereversión laa media del proceso tendencia de la volatilidad (valor promedio de alargo la estocástico, volatilidad del proceso e es plazo), la volatilidad delvolatilidad proceso tendencia dees (valor promedio de largo plazo), tendencia de de la volatilidad (valor promedio de es la estocástico, lavolatilidad esla la tendencia la volatilidad (valor promedio delargo largo plazo), es la volatilidad proceso estocástico, y se asume quedel el componente tendencia de asume ladelvolatilidad (valor promedio de largo plazo), laaleatovolatilidad del un proc estocástico, y se que el componente aleatorio procesoesestocástico sigue estocástico, y se asume que el componente aleatorio del proceso estocástico sigue un rio del proceso estocástico sigue un movimiento browniano. estocástico, y se asume que el componente aleatorio del proceso estocásti a volatilidad del proceso estocástico, y se asume que el componente aleatorio del proceso estocástico sigue movimiento browniano. movimiento browniano. movimiento browniano. so estocástico sigue un Volumen 4, número 1, enero - junio, 2014, pp. 11–34 21 movimiento browniano. A partir de la expresión (16), es igualmente posible conocer la función estimadora del A partir de laA expresión (16), es igualmente conocer la función partir de la expresión (16), esposible igualmente posible conocerestimadora la funcióndel es

movimientoestocástico, browniano. y se asume que el componente aleatorio del proceso estocástico s movimiento browniano. movimiento browniano. A partirEstocástica de la expresión (16), es igualmente posible conocer la función estimadora del FINANZAS Y RIESGO A partir de la expresión (16), es igualmente posible conocer la función estimadora del A partir de alalaexpresión (16), es igualmente posible conocer la función estimad parámetro de reversión media deles proceso estocástico, donde A partir de la expresión (16), igualmente posible en conocer laprimeramente función es- se tiene parámetrotimadora de reversión a la media del proceso estocástico, en donde primeramente se tiene del parámetro de reversión a la media del proceso estocástico, en parámetro de reversión a la media del proceso estocástico, en donde primeramente que, donde primeramente se tiene que, que, que, , ( ) (24) (24) , ( ) (24) , ( En consecuencia, la función estimadora de -media-cero corresponde a: ) En consecuencia, la función estimadora de media-cero corresponde a: En consecuencia, la función estimadora de media-cero corresponde a: En consecuencia, la función estimadora de media-cero corresponde a: ( ) ̃ ( ) ∑ ( )(25) ( ) , , ( )(25) ̃ ( ) ∑ (25) ( ) ̃ ( ) ∑ , ( )y resolviendo para se tiene: y resolviendo para se tiene: resolviendo para se yy resolviendo para se tiene: tiene:

∑ ∑( ( ) ) *( *( (26)(26) ̂ ̂ ( ( ) ) (26) ∑ ( ) ∑ ( ) ( * ( * ∑ ( ) *( (26) ̂ ( ∑ ( ) * () ∑ ( ) ( * simulación la expresiones y (23), a través la aproximación Euler ̂ ) de de La La simulación parapara la expresiones (6) (6) y ((23), a través de de la aproximación Euler La simulación para la expresiones (6)∑y (23), ) de ( a través *de( la aproximación 2003), se la representa La(Bhowan, simulación para expresiones (6) y como: (23), a través de la aproximación de Euler Euler (Bhowan, 2003), se como: representa (Bhowan, 2003), se representa como: La simulación para la expresiones (6) y (23), a través de la aproximación d (Bhowan, 2003), se representa como: ( ( como: ) ) (27)(27) , , (27) (Bhowan, 2003), se representa (28) (( ( ) ) (28) ,, , ) (27)

en donde en donde

(

(). ).

( ). en donde Resultados y análisis Resultados y en análisis en donde donde

(

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, , (28) ) ,

(28)

Resultados y análisis datos corresponden observaciones a observaciones diarias la temperatura máxima, mínima LosLos datos corresponden diarias de de la temperatura máxima, mínima y y Resultados ya análisis

promedio, del estado deaCampeche, enperiodo eldiarias periodo al 31/diciembre/2012, Los datosdel corresponden observaciones la01/enero/2006 temperatura máxima, mínima y promedio, estado de Campeche, en el deldedel 01/enero/2006 al 31/diciembre/2012, Los datos corresponden a observaciones diarias de la temperatura máxima, m 22 total Volumen número 1, al enero - junio, corresponde 2014 para 2,557 observaciones. La fuente de información promedio, del estado de Campeche, en el La periodo del de 01/enero/2006 31/diciembre/2012, para un un total de de 2,557 observaciones. fuente la 4,la información corresponde a a promedio, del estado de Campeche, en el periodo del 01/enero/2006 al 31/diciemb

Estocástica

Modelación del clima bajo un proceso estocástico...

FINANZAS Y RIESGO

3. Resultados y análisis Los datos corresponden a observaciones diarias de la temperatura máxima, mínima y promedio, del estado de Campeche, en el periodo del 01/ enero/2006 al 31/diciembre/2012, para un total de 2,557 observaciones. La fuente de la información corresponde a www.tutiempo.net, de la estación meteorológica 766950, ubicada en la ciudad de Campeche. En el periodo comprendido, tan sólo hubo cuatro días (28/08/2007, 12/02/2008, 18/08/2008, y 31/10/2010) que no mostraron registro, por lo que los valores faltantes se calcularon a través de una interpolación lineal. La Figura 1 muestra la evolución de la temperatura máxima, mínima y promedio diaria, para el periodo comprendido de estudio, en donde el valor máximo corresponde a 43.10° C y la temperatura mínima a 7.5° C. En los tres gráficos se aprecian los componentes cíclicos y estocásticos, en donde el primero se aproxima a través de la expresión (5), en tanto que el comportamiento estocástico se asume que sigue un movimiento browniano bajo la expresión (23). Figura 1. Evolución de la temperatura máxima, mínima y promedio diaria, enero 2006 a diciembre 2012. 50° 45° 40° 35° 30° 25° 20° 15° 10° 5°

Temperatura mínima

01-nov-12

01-jul-12

01-sep-12

01-mar-12

01-may-12

01-nov-11

01-ene-12

01-jul-11

01-sep-11

01-mar-11

01-may-11

01-nov-10

01-ene-11

01-jul-10

01-sep-10

01-may-10

01-ene-10

01-mar-10

01-jul-09

01-sep-09

01-nov-09

01-mar-09

01-may-09

01-nov-08

01-ene-09

01-jul-08

01-sep-08

01-mar-08

Temperatura máxima

01-may-08

01-nov-07

01-ene-08

01-jul-07

01-sep-07

01-mar-07

01-may-07

01-nov-06

01-ene-07

01-jul-06

01-sep-06

01-ene-06

01-mar-06

01-may-06

0°

Temperatura promedio

Fuente: Elaboración propia con datos de www.tutiempo.net. Figura 1. Evolución de la temperatura máxima, mínima y promedio diaria, enero 2006 a diciembre 2012. Fuente: Elaboración propia con datos de www.tutiempo.net. Volumen 4, número 1, enero - junio, 2014, pp. determinista 11–34 La figura 2 muestra la aproximación

de la temperatura promedio diaria, la 23 cual

refleja el componente cíclico característico de una serie de tiempo climática como lo es la

Estocástica

FINANZAS Y RIESGO

La Figura 2 muestra la aproximación determinista de la temperatura promedio diaria, la cual refleja el componente cíclico característico de una serie de tiempo climática como lo es la temperatura. En este caso, se aprecia que el periodo marcado entre marzo y septiembre de cada año, corresponde al ciclo Primavera-Verano (PV); en tanto que el periodo de octubre a febrero se relaciona con el ciclo Otoño-Invierno (OI), periodo en que se observa la fase de descenso de la temperatura. La importancia en identificar el patrón cíclico de la serie de tiempo del índice de clima, se puede referir para la utilización de los derivados climáticos, en donde por ejemplo, es común fijar como temperatura de referencia los 18°C en los contratos de opciones sobre temperatura. Si la temperatura promedio diaria fuese mayor al valor de referencia, situación con mayor probabilidad de ocurrencia en el ciclo PV, entonces se ejercería la opción (tipo de compra) para compensar el mayor gasto en consumo de energía eléctrica, toda vez que un edificio requiere enfriarse cuando la temperatura ambiental es mayor a los 18°C. La situación contraria ocurre cuando la temperatura es inferior a los 18°C, lo cual es mayormente observado en el ciclo OI; en este caso, se ejercería la opción (tipo venta) para compensar el mayor gasto por consumo de energía eléctrica, toda vez que se ha marcado como referencia, que un edificio requiere calentarse cuando la temperatura ambiental es menor a los 18°C. de compra) para compensar el mayor gasto en consumo de energía eléctrica, toda vez que

Figura 2. Evolución de la temperatura promedio diaria y cuando su aproximación determinista, un edificio requiere enfriarse la temperatura ambiental es mayor a los 18°C. enero 2006 a diciembre 2012.

34° 29° 24° 19°

Temperatura observada

01-jul-12

01-oct-12

01-abr-12

01-ene-12

01-jul-11

01-oct-11

01-abr-11

01-ene-11

01-jul-10

01-oct-10

01-abr-10

01-ene-10

01-jul-09

01-oct-09

01-abr-09

01-ene-09

01-jul-08

01-oct-08

01-abr-08

01-ene-08

01-jul-07

01-oct-07

01-abr-07

01-ene-07

01-jul-06

01-oct-06

01-abr-06

01-ene-06

14°

Aproximación determinista

propia. determinista, Figura 2. Evolución de la temperatura Fuente: promedio Elaboración diaria y su aproximación enero 2006 a diciembre 2012. Fuente: Elaboración propia.

24 La situación

1, enerolo - junio, contraria ocurre cuando la temperatura esVolumen inferior4, número a los 18°C, cual 2014 es

mayormente observado en el ciclo OI; en este caso, se ejercería la opción (tipo venta) para

Estocástica

Modelación del clima bajo un proceso estocástico...

FINANZAS Y RIESGO

El Cuadro 1 muestra los valores de la aproximación determinística graficada en la Figura 2, la cual se representa por la expresión (5), en donde los valores de los parámetros se obtienen a través del método de Mínimos Cuadros Ordinarios (MCO), para un nivel de confianza del 95%. A partir de la expresión (5), se tiene:

( )

(

) ( )

( )

(

)

( )

(

) ) ( ) ( ) ( ) ( ) (29) (29) ,( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) relaciones ( para ) su estimación por MCO: donde , y se obtienen las siguientes ( ) (29) ( ) y se obtienen las siguientes relaciones para su estimadonde, donde , y se obtienen las siguientes relaciones para su estimación por MCO , donde , y se obtienen las siguientes relaciones para su estimación por MCO: ción por MCO: ( )

( () , ( ( )

, ,

( )

Cuadro 1. Estimación de los parámetros del componente cíclico. Temperatura Temperatura Temperatura Máxima Cuadro 1. Estimación Mínima de los parámetros delPromedio componente cíclico. Cuadro 1. Estimación de los parámetros del componente cíclico. 32.3608615562798 26.4907585067228 Para efectos de contraste, el Cuadro 220.6206554571657 muestra losTemperatura valores obtenidosTemperatura por Temperatura (0.1139)* (0.0936)* (0.0876)* Promedio Parámetro Máxima Mínima Bhowan (2003), quien modela la temperatura promedio diaria en Pretoria, Temperatura Temperatura Temperatura (284.0789)** (220.3577)** (302.4188)** Parámetro Máximay por32.3608615562798 Mínima Promediomodelan en el periodo 1978-1997, Maroua y Bari (2007), quienes la 20.6206554571657 26.4907585067228 0.0004716321971 0.0000956062443 0.0002836192208 temperatura promedio de Marruecos. (0.1139)*(0.0000)* 26.4907585067228 (0.0936)*(0.0000)* (0.0876)* (0.0000)* 20.6206554571657 32.3608615562798 (6.1044)** (284.0789)** (1.5064)** (220.3577)** (4.7739)** (302.4188)** (0.1139)* (0.0936)* (0.0876)* 0.0004716321971 0.0000956062443 0.0002836192208 (284.0789)** (220.3577)** (302.4188)** 0.8284517683757 -0.6001365186464 0.114157624865 Volumen 4, número 1, enero - junio, 2014, pp. 11–34 25 (0.0000)*(0.0663)* 0.0002836192208 (0.0000)*(0.0620)* (0.0000)* (0.0807)* 0.0000956062443 0.0004716321971 (10.2680)** (6.1044)** (-9.0548)** (1.5064)** (1.8400)** (4.7739)** (0.0000)* (0.0000)* (0.0000)* Parámetro

)

( ), )

() ) ,

(

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(

( )

) ( ( )) (

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(( )) )

Estocástica ( )

(

) ( ( FINANZAS )( ( )() )( )Y RIESGO (29) () ) , ( ) ( ) ( ) ( )( )) Cuadro de los parámetros del componente cíclico. , ( ) ( )( 1.)(Estimación )(29) ) ( ( )relaciones )( (( ))para )en)), las(siguientes por MCO: ) (su estimación (29) ( ), ( ) Estocástica ( Parámetro )() Y RIESGO ( )() ( )()Temperatura Temperatura Temperatura ( ( FINANZAS )relaciones ) siguientes las para )su estimación por(29) MCO: Máxima Mínima Promedio (29) ), las( siguientes ( ))relaciones )(Estimación en su estimación por MCO:del Cuadro de los parámetros componente cíclico. ) (, )( 1.para )(29) n) las siguientes relaciones para su estimación por MCO:

32.3608615562798 20.6206554571657 26.4907585067228

(29) ) siguientes ( )relaciones ( para )Temperatura las su estimación por MCO: Temperatura Temperatura (0.0876)* (0.0936)* , (0.1139)* as siguientes Parámetro relaciones para su estimación por MCO: , Máxima Mínima Promedio (284.0789)** (220.3577)** (302.4188)** , , n las siguientes relaciones para su estimación por MCO: (29) 32.3608615562798

20.6206554571657

26.4907585067228

0.0004716321971 0.0000956062443 0.0002836192208 , as siguientes relaciones su (0.1139)* estimación por MCO: (0.0936)* (0.0876)* , , para (0.0000)* (0.0000)* (0.0000)* ,, , (284.0789)** (220.3577)** (302.4188)**

(

(6.1044)** (1.5064)** (4.7739)**

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0.0000956062443 0.0002836192208 ( , , ) 0.0004716321971 , 0.8284517683757 (0.0000)* -0.6001365186464 (0.0000)* (0.0000)*0.114157624865 , (0.0807)* (0.0663)* (0.0620)* (6.1044)** (1.5064)** (4.7739)** ( ) ( ) ( )-

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0.8284517683757 -0.6001365186464 0.114157624865 ) ( ) (0.0807)* (0.0663)* (0.0620)*-2.913352399563 ( ) ( ) -2.7225729021467 -3.1041318969803 (10.2680)** (-9.0548)** (1.8400)** (29)

(

) ( ( ) ) del componente ( ) (0.0801)* (0.0658)* (0.0616)* ( cíclico. )Estimación ( ,)de (los parámetros (-33.9813)** (-47.1636)** (-47.2877)** -2.7225729021467 -3.1041318969803 -2.913352399563 (Temperatura ) su estimación ( ) Temperatura guientes relaciones para por MCO: Temperatura (29) (0.0801)* (0.0658)* (0.0616)* stimación de los parámetros del componente cíclico. -1.2754083942149 1.3798178125897 -1.5316320799741 Máxima Mínima Promedio (-47.1636)** (-33.9813)** (-47.2877)** (29) ( relaciones ) de losTemperatura Estimación parámetros del componente cíclico. uientes para su estimación por MCO: emperatura Temperatura stimación de los parámetros del componente cíclico.1.3798178125897 .3608615562798 20.6206554571657 26.4907585067228 C 2.8458277425081 -3.1616133025504 2.9155881340404 -1.2754083942149 -1.5316320799741 Máxima Promedio , Mínima (0.1139)* (0.0936)* (0.0876)*por MCO: Temperatura Temperatura Temperatura stimación de los deldel componente cíclico. btienen las relaciones para su estimación stimación desiguientes losparámetros parámetros componente cíclico. mación de los parámetros del componente cíclico. 608615562798 20.6206554571657 26.4907585067228 (284.0789)** (220.3577)** (302.4188)** C Temperatura 2.8458277425081 -3.1616133025504 2.9155881340404 emperatura Temperatura Máxima Mínima Promedio * Error estándar. , (0.1139)* (0.0936)* (0.0876)* emperatura Temperatura Temperatura 0004716321971 0.0000956062443 0.0002836192208 mación de los parámetros del componente cíclico. Máxima Mínima** ValorTemperatura Promediot, para un nivel de confianza del 95%. mperatura Temperatura del estadístico .3608615562798 20.6206554571657 26.4907585067228 284.0789)** (220.3577)** (302.4188)** mperatura Temperatura Máxima Mínima Promedio * Error estándar. (0.0000)* (0.0000)* (0.0000)* ,Temperatura Máxima Mínima Promedio , ValorTemperatura 004716321971 0.0000956062443 0.0002836192208 (0.1139)* (0.0936)* (0.0876)* Máxima Mínima Promedio mperatura Temperatura ** del estadístico t, para un nivel de confianza del 95%. 608615562798 20.6206554571657 26.4907585067228 (6.1044)** 20.6206554571657 (1.5064)** 26.4907585067228 (4.7739)** 608615562798 (0.0000)* (0.0000)* (0.0000)* (284.0789)**, 20.6206554571657 (220.3577)** (302.4188)** Máxima Mínima Promedio 608615562798 26.4907585067228 (0.1139)* (0.0936)* (0.0876)* 8284517683757 -0.6001365186464 0.114157624865 (0.1139)* (0.0936)* (0.0876)* 8615562798 20.6206554571657 26.4907585067228 (6.1044)** (1.5064)** (4.7739)** 0004716321971 0.0000956062443 0.0002836192208 (0.1139)* (0.0936)* (0.0876)* 284.0789)** (220.3577)** (302.4188)** (0.0807)* 20.6206554571657 (0.0663)* (0.0620)* 84.0789)** (220.3577)** (302.4188)** 8615562798 26.4907585067228 .1139)* (0.0936)* (0.0876)* 284517683757 -0.6001365186464 0.114157624865 , (0.0000)* (0.0000)* (0.0000)* 84.0789)** (220.3577)** (302.4188)** 004716321971 0.0000956062443 0.0002836192208 .1139)* (0.0936)* (0.0876)* Cuadro 2. Comparación de valores de parámetros del componente cíclico. (10.2680)** (-9.0548)** (1.8400)** (0.0807)* (0.0663)* (0.0620)* 04716321971 0.0000956062443 0.0002836192208 4.0789)** (220.3577)** (302.4188)** Cuadro 2. Comparación de valores de parámetros del componente cíclico. (6.1044)** (220.3577)** (1.5064)** (4.7739)** (0.0000)* (0.0000)* (0.0000)* 04716321971 0.0000956062443 0.0002836192208 4.0789)** (302.4188)** 7225729021467 -3.1041318969803 -2.913352399563 10.2680)** (-9.0548)** (1.8400)** 4716321971 0.0000956062443 (0.0000)* (0.0000)* 0.0002836192208 (0.0000)* (6.1044)** (1.5064)** (4.7739)** 8284517683757 -0.6001365186464 0.114157624865 (0.0000)* (0.0000)* (0.0000)* 4716321971 (0.0801)* 0.0000956062443 (0.0658)* 0.0002836192208 (0.0616)* 225729021467 -3.1041318969803 -2.913352399563 .0000)* (0.0000)* (0.0000)* 6.1044)** (1.5064)** (4.7739)** 284517683757 -0.6001365186464 0.114157624865 (0.0807)* (0.0663)* (0.0620)* .0000)* (0.0000)* (0.0000)* (0.0658)* Parámetro Bhowan (2003) Maroua y Bari (2007) 6.1044)** (1.5064)** (4.7739)** Parámetro Bhowan (2003) Mraoua y Bari (2007) (0.0801)* (0.0616)* (-33.9813)** (-47.1636)** (-47.2877)** 1044)** (1.5064)** (4.7739)** (0.0807)* (0.0663)* (0.0620)* 1044)** (1.5064)** 84517683757 -0.6001365186464 0.114157624865 (10.2680)** (-9.0548)** (4.7739)** (1.8400)** 84517683757 -0.6001365186464 0.114157624865 33.9813)** (-47.1636)** (-47.2877)** 4517683757 -0.6001365186464 0.114157624865 (-9.0548)** 17.1113 10.2680)** (1.8400)** 4517683757 -0.6001365186464 0.114157624865 AA 18.6053570109476 18.6053570109476 17.1113 (0.0807)* (0.0663)* (0.0620)* 7225729021467 -3.1041318969803 -2.913352399563 (0.0807)* (0.0663)* (0.0620)* 2754083942149 1.3798178125897 -1.5316320799741 .0807)* (0.0663)* (0.0620)* 225729021467 -3.1041318969803 -2.913352399563 .0807)* (0.0663)* (0.0620)* 754083942149 1.3798178125897 -1.5316320799741 (0.0801)* (0.0658)* (0.0616)* 10.2680)** (-9.0548)** (1.8400)** 10.2680)** (-9.0548)** (1.8400)** 0.00009240984128 0.000070201 (-9.0548)** 0.000070201 (0.0801)* (0.0658)* BB 0.00009240984128 (0.0616)* .2680)** .2680)** (1.8400)** (-33.9813)** (-9.0548)** (-47.1636)** (1.8400)** (-47.2877)** 225729021467 -3.1041318969803 -2.913352399563 225729021467 -3.1041318969803 -2.913352399563 33.9813)** (-47.1636)** (-47.2877)** 5729021467 -2.913352399563 5729021467 -3.1041318969803 -3.1041318969803 -2.913352399563 8458277425081 2.9155881340404 1.51698902215660 -4.9956 -3.1616133025504 φ 1.51698902215660 -4.9956 458277425081 -3.1616133025504 2.9155881340404 (0.0801)* (0.0658)* (0.0616)* (0.0801)* (0.0658)* (0.0616)* .0801)* (0.0658)* (0.0616)* .0801)* (0.0658)* (0.0616)* ón de los parámetros del componente cíclico. 2754083942149 1.3798178125897 -1.5316320799741 de los parámetros del componente cíclico. 754083942149 1.3798178125897 -1.5316320799741 33.9813)** (-47.1636)** (-47.2877)** .9813)** (-47.1636)** (-47.2877)** C 5.41444547377098 0.978 33.9813)** (-47.1636)** (-47.2877)** 3.9813)** (-47.2877)** (-47.1636)** C 5.41444547377098 0.978 n nivel de confianza del 95%. nivel de confianza del 95%. dro 1. Estimación de los parámetros del componente cíclico. atura Temperatura Temperatura ura Temperatura Temperatura 754083942149 1.3798178125897 -1.5316320799741 4083942149 1.3798178125897 -1.5316320799741 458277425081 -3.1616133025504 2.9155881340404 8458277425081 -3.1616133025504 2.9155881340404 4083942149Mínima 1.3798178125897 -1.5316320799741 754083942149 1.3798178125897 -1.5316320799741 Promedio ma Mínima Promedio

Temperatura Temperatura Temperatura Con relación al componente estocástico, 3 el muestra el comporta62798 26.4907585067228 o8277425081 Con relación al 26.4907585067228 componente estocástico, la Figurala3Figura muestra comporta56279820.6206554571657 20.6206554571657 -3.1616133025504 2.9155881340404 Máxima Mínima Promedio 58277425081 -3.1616133025504 2.9155881340404 de de confianza del 95%. *nivel (0.0936)* (0.0876)* 8277425081 -3.1616133025504 2.9155881340404 n58277425081 nivel confianza del 95%. 9)* (0.0936)* (0.0876)* -3.1616133025504 2.9155881340404 miento la volatilidad mensual con en la expresión para las series miento de lade volatilidad mensual con base enbase la expresión (22) para (22) las series ** 32.3608615562798 (220.3577)** 20.6206554571657 (302.4188)** 26.4907585067228 9)** (220.3577)** (302.4188)** de temperatura máxima y mínima. Así como encomo la dinámica del componen(0.1139)* (0.0936)* (0.0876)* de la temperatura máxima y mínima. Así en la dinámica del componen1971 0.0000956062443 0.0002836192208 vel de confianza della 95%. 321971 0.0000956062443 0.0002836192208 nivel confianza del 95%. (284.0789)** (220.3577)** (302.4188)** * dede (0.0000)* (0.0000)* te(0.0000)* determinista, la volatilidad del proceso muestramuestra un comportamiento cíclivel confianza del te95%. determinista, la volatilidad del proceso un comportamiento cícli0)* (0.0000)* 0.0000956062443 0.0002836192208 nivel de confianza del 95%. (4.7739)** * 0.0004716321971 (1.5064)** )** (1.5064)** (0.0000)* (4.7739)**(0.0000)* (0.0000)* 3757 -0.6001365186464 0.114157624865 (6.1044)** (1.5064)** (4.7739)** 683757 -0.6001365186464 0.114157624865 * (0.0663)* (0.0620)* 22 Volumen 4, número 1, enero - junio, 2014 0.114157624865 ** 0.8284517683757 (-9.0548)** (1.8400)** 7)* (0.0663)* (0.0620)* 26 -0.6001365186464 Volumen 4, número 1, enero - junio, 2014 21467 -3.1041318969803 -2.913352399563 0)** (0.0807)* (-9.0548)** (0.0663)* (1.8400)**(0.0620)* (10.2680)** (-9.0548)** (1.8400)** *021467 (0.0658)* (0.0616)* -3.1041318969803 -2.913352399563 ** -2.7225729021467 (-47.1636)** -3.1041318969803 (-47.2877)** -2.913352399563

Con relación al componente estocástico, la figura 3 muestra el comportamiento de la volatilidaddel mensual conun base en laestocástico... expresión (22) Modelación clima bajo proceso

Estocástica

para las series de la temperatura máxima FINANZAS Y RIESGO

y mínima. Así como en la dinámica del componente determinista, la volatilidad del proceso

co el cual es modelado a través de la expresión (23); en donde la volatilidad muestra unrevierte comportamiento cíclico el cual modelado mensual a un valor cíclico de es largo plazo.a través de la expresión (23); en donde la volatilidad mensual revierte a un valor cíclico de largo plazo. Figura 3. Volatilidad mensual de la temperatura máxima y mínima. 6.00% 5.00% 4.00% 3.00% 2.00% 1.00%

jul-12

sep-12

nov-12

mar-12

may-12

nov-11

ene-12

jul-11

sep-11

mar-11

may-11

nov-10

ene-11

jul-10

sep-10

mar-10

may-10

nov-09

ene-10

jul-09

sep-09

mar-09

Volatilidad temperatura máxima

may-09

nov-08

ene-09

jul-08

sep-08

mar-08

may-08

nov-07

ene-08

jul-07

sep-07

mar-07

may-07

nov-06

ene-07

jul-06

sep-06

ene-06

mar-06

may-06

0.00%

Volatilidad temperatura mínima

Figura 3. Volatilidad mensual de la Fuente: temperaturaElaboración máxima y mínima. propia. Fuente: Elaboración propia.

El Cuadro 3 muestra la estimación de los parámetros de las expresiones (19), (22) y (26), mismos que se refieren a la velocidad de reversión a la media del componente determinista, estocástico, y la volatilidad del componente estocástico, respectivamente; así mismo, la tendencia de la volatilidad corresponde al promedio de las volatilidades mensuales la cual se refiere al valor promedio de largo plazo. De manera similar que el Cuadro 2, los resultados se comparan con aquellos obtenidos por Bhowan (2003) y Maroua y Bari (2007). Los resultados del Cuadro 3, muestran que la temperatura diaria en Campeche tarda más en regresar al valor cíclico de largo plazo, por lo que dicha región comparada con Pretoria y Marruecos, reflejaría la presencia de mayores sequías (meteorológicas) y de una recuperación lenta después de fuertes descensos en la temperatura.4 Los resultados obtenidos se pueden explicar por la investigación de Márdero et al. (2012), quienes analizan la variabilidad climática del sur de la península de Yucatán y cuyo estudio es motivado por la doble exposición que tiene dicha región a los huracanes y sequías según 4

Con base en la Organización Meteorológica Mundial (OMM), una sequía meteorológica es aquella que se presenta por la ausencia prolongada o déficit notable de precipitación.

Volumen 4, número 1, enero - junio, 2014, pp. 11–34

Estocástica

FINANZAS Y RIESGO

documentado por Orellana et al. en 2009. Los últimos, mencionan que la península presenta dos periodos de sequía: pre-estival (primavera) que ocurre entre enero y abril, e intra-estival (canícula) que se presenta entre los meses de julio y agosto.5 Así mismo, Márdero et al. (2012) argumentan que diversos son los factores que originan una sequía en general, entre los cuales destacan: 1) cambio climático global (calentamiento global); 2) oscurecimiento global (disminución de la radiación solar); y, 3) deforestación, la cual provoca una menor evapotranspiración que es la fuente de la precipitación. De manera particular, sostienen que la sequía en la península de Yucatán podría relacionarse al aumento de aerosoles originado por los incendios forestales; a la vez, referencian que el Chilam Balam ya registraba la ocurrencia de sequías, por lo que dicho fenómeno se consideraría como una constante en la historia climática. Cuadro 3. Estimación de parámetros del modelo estocástico de reversión a la media estacional.

Parámetro Campeche

(Téllez et al., 2013) 2,557 observaciones

Pretoria Marruecos (Bhowan, 2003) (Maroua y Bari, 2007)

7,304 observaciones

Tp Tmax Tmin

3,652 observaciones

Definición

α 0.1153 0.1824 0.1081 0.3768 0.2747

Reversión a la media del proceso determinista

αγ 0.2381 0.2693 0.2189 0.5629 1.8527

Reversión a la media del proceso estocástico

γtend

1.5163

2.3313 1.6757

2.6

1.57

σγ 0.4851 0.8305 0.6557 0.6898 0.7079

Tendencia de la volatilidad Volatilidad del proceso estocástico

En el contexto anterior, Hernández et al. (2000) muestran bajo un escenario actual, que la entidad de Campeche ha registrado un índice de severidad de sequía meteorológica entre leve y fuerte. Sin embargo, bajo el modelo CCC (Canadian Climate Center), el índice se ubicaría de fuerte a muy fuerte, y en 5

Canícula, es aquel periodo en donde disminuyen considerablemente las lluvias y se intensifica el calor. Este fenómeno se debe a la ausencia de nubes de lluvia lo cual permite una mayor filtración de la radiación solar e intensificación del calor en la superficie (www.miambiente.com.mx, consultado el 18 de septiembre de 2013).

Volumen 4, número 1, enero - junio, 2014

Estocástica

Modelación del clima bajo un proceso estocástico...

FINANZAS Y RIESGO

un modelo GFDL-R30 (Geophysical Fluid Dynamics Laboratory), el índice pasaría a un estado muy fuerte en más del 70% de la geografía espacial. A nivel península de Yucatán, encuentran que el cambio en la severidad tendría un aumento en 73.3% de la superficie, en donde el índice cambiaría de fuerte a severo. Por consiguiente, es factible considerar que la velocidad a la cual la temperatura revierte a su valor cíclico, se relaciona con el grado de ausencia prolongada de precipitaciones y la presencia de canículas. Entonces, una tasa baja de reversión reflejaría la presencia de sequías meteorológicas, en tanto que una tasa alta de reversión implicaría una mayor presencia de precipitaciones. La Figura 4 muestra la comparación de la evolución histórica diaria entre la precipitación y la temperatura máxima de Campeche, en la cual primeraLa figurase4 aprecia muestra laque comparación de la evolución histórica diariaentre precipitación mente la disminución en la precipitación hastala su ausencia,y ocurre en el periodo de principios de noviembre a finales de mayo que reprela temperatura máxima de Campeche, en la cual primeramente se aprecia que la senta una proporción del 60% del año. Seguidamente, se detecta que la canícula ocurre en comúnmente en hasta mayo,sumes en que finaliza periodo ausencia disminución la precipitación ausencia, ocurre en elelperiodo dede principios de de precipitación. noviembre a finales de mayo que representa una proporción del 60% del año. Seguidamente, se detecta que la canícula ocurre comúnmente en mayo, mes en que finaliza Figura 4. deprecipitación. la precipitación y temperatura máxima diaria en Campeche, el periodo deEvolución ausencia de enero 2006 a diciembre 2012.

180

160 40 140 35

120 100

30 80 25

60 40

20 20 15 01-nov-12

01-jul-12

01-sep-12

01-mar-12

01-may-12

01-nov-11

01-ene-12

01-jul-11

01-sep-11

01-mar-11

01-may-11

01-nov-10

01-ene-11

01-jul-10

01-sep-10

01-may-10

01-nov-09

01-ene-10

Precipitación (mm/m2)

01-mar-10

01-jul-09

01-sep-09

01-mar-09

01-may-09

01-nov-08

01-ene-09

01-jul-08

01-sep-08

01-mar-08

01-may-08

01-nov-07

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Temperatura máxima °C

Figura 4. Evolución de la precipitación y temperatura máxima en Campeche, enero 2006 a diciembre Fuente. Elaboración propia con datosdiaria de www.tutiempo.net. 2012. Fuente. Elaboración propia con datos de www.tutiempo.net.

Retomando la dinámica del componente estocástico, Volumen 4, número 1, enero - junio, 2014, pp. 11–34

el cuadro 3 igualmente muestra que 29la

volatilidad revierte a su valor cíclico a una tasa aún más lenta de como lo hace el

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Retomando la dinámica del componente estocástico, el Cuadro 3 igualmente muestra que la volatilidad revierte a su valor cíclico a una tasa aún más lenta de como lo hace el componente determinista. Sin embargo, se detecta que la volatilidad del componente estocástico es considerablemente alta, tanto para la temperatura máxima como mínima, en 83.05% y 65.57%, respectivamente. La volatilidad alta se puede explicar a partir de la Figura 4, en donde toda amplia. Para efectos de corroborar estadísticamente entre la precipitación y la corroborar estadísticamente laespacios relación entre la laderelación precipitación y cambio la vez que se presentan los de ausencia precipitación o un de precipitación abrupto, se asocia con un en la temperatura de maoborar estadísticamente la relación entre la cambio precipitación y la volatilidad, se estima un modelo de regresión simple a través de MCO, considerando amplia. Para efectos de corroborar estadísticamente la relación modelo denera regresión simple a través de MCO, considerando comoentre como la precipitación y la volatilidad, se estima un modelo de regresión simple a 6 El cuadro 4, dependiente a la volatilidad e independiente a la precipitación. delovariable de regresión simple a través de MCO, considerando como través de MCO, considerando como variable dependiente a la volatilidad e 6 El cuadro 4, la volatilidad e independiente a la precipitación. independiente a la precipitación.6 El Cuadro 4, muestra los resultados de la muestra los resultados de la regresión simple utilizando valores mensuales, en donde se simple utilizando mensuales,6 en se observa Eldonde cuadro 4, que a olatilidad regresión e independiente a la valores precipitación. pesar del valor del coeficiente cercano a cero, la precipitación es estadísticae laobserva regresión simple utilizando valores mensuales, en donde se que a pesar del valor del coeficiente cercano a cero, la precipitación es mente significativa para explicar el comportamiento de la volatilidad en un regresión sentido simpleinverso. utilizando valores mensuales, en donde se significativa cercano para explicar el comportamiento de la volatilidad en un del estadísticamente valor delFinalmente, coeficiente a cero, la precipitación es con base en las estimaciones del Cuadro 3, la Figura 5 muestra una simulación de la temperatura y mínima a partir de valor del inverso. coeficiente cercano a cero,máxima la precipitación eslas expresentido ativa parasiones explicar el comportamiento deaños. la volatilidad en un (27) y (28), para un periodo de tres

a para explicar el comportamiento demodelo la volatilidad en un Cuadro deregresión regresión simple: Cuadro4.4.Estimación Estimación del del modelo de simple: Parámetro Parámetro

Valor Valor

Error típico Error típico

uadro 4. Estimación del modelo de regresión simple:

Estadístico t Estadístico t

2.60457495 0.10700296 24.3411485

-0.00370076 0.00086615 -4.27263263

2.60457495 4. Estimación del modelo de regresión simple:

Valor

Error-0.00370076 típico

Nivel de confianza del 95%. de confianza R2= Nivel 0.18208886 Error típicodel

95%. Valor 2 R = 0.18208886 Error típico= 0.78619845 2.60457495 0.10700296 Error típico= Observaciones: 84 0.78619845

Observaciones: 84 .60457495 0.10700296 -0.00370076 0.00086615 6

0.10700296

0.00086615 t Estadístico

24.3411485

-4.27263263

Estadístico t 24.3411485 24.3411485 -4.27263263

La prueba estadística de la regresión simple se considera como una primera aproximación para sustentar el valor alto de volatilidad en el proceso estocástico 0.00370076 0.00086615 -4.27263263 anzaFinalmente, del 95%. con explicado porlas la precipitación, ya que cuadro ésta igualmente tiene su sobresimulación la base en estimaciones del 3, la figura 5 incidencia muestra una velocidad lenta a la cual revierte la temperatura a su valor cíclico. Una prueba más 886 robusta deberá ser aquel modelo que considere la no linealidad de la volatilidad del del 95%. 0.78619845 componente dealapartir temperatura. de la temperatura máximaestocástico y mínima de las expresiones (27) y (28), para un periodo

s: 84 619845 de tres años. 30

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Modelación del clima bajo un proceso estocástico...

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Figura 5. Simulación de la temperatura máxima-mínima y su aproximación determinista, enero 2013-diciembre 2015.

55° 50° 45° 40° 35° 30° 25° 20° 15° 10° 5°

Simulación temperatura máxima

Aproximación determinista temperatura máxima

Simulación temperatura mínima

Aproximación determinista temperatura mínima

Figura 5. Simulación de la temperaturaFuente: máxima-mínima y su aproximación Elaboración propia. determinista, enero 2013diciembre 2015. Fuente: Elaboración propia.

Conclusiones

Conclusiones Lapresente presente investigación empírica modeló el comportamiento de la temperatura máxima, La investigación empírica modeló el comportamiento de la temperatura máxima, mínima y promedio diaria de Campeche, a través de un proceso mínima y promedio diaria de Campeche, a través de un proceso estocástico de reversión a estocástico de reversión a la media estacional, el cual permite descomponer la de la temperatura sus componentes determinista y estocásla dinámica media estacional, el cual permiteen descomponer la dinámica de la temperatura en sus tico. El modelo es una extensión al proceso de Ornstein-Uhlenbeck, comúncomponentesdeterminista y estocástico.de El tasas modelode esinterés una extensión proceso de Ornsteinmente utilizado en la modelación y tipoalde cambio. Primeramente, componente determinista se aproxima por unadefunción Uhlenbeck,elcomúnmente utilizado en la modelación de tasas demedio interés de y tipo cambio. senoidal que captura el comportamiento cíclico al cual la temperatura diaria Primeramente, el componente determinista se aproxima por medio deuna senoidal revierte a través del tiempo. Seguidamente, la descripción delfunción componente estocástico fue propuesta por un movimiento browniano, en donde se conque captura el comportamiento cíclico al cual la temperatura diaria revierte a través del sidera que los cambios en la temperatura se distribuyen como una normal. LosSeguidamente, resultados muestran que del la temperatura en Campeche reviertepor a su tiempo. la descripción componente estocástico fue propuesta un valor cíclico de largo plazo a una velocidad baja, fenómeno que igualmente movimiento browniano, en donde se considera que los cambios en la temperatura se

Volumen 4, número 1, enero - junio, 2014, pp. 11–34 distribuyen como una normal.

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ocurre con la reversión de la volatilidad. Así mismo, se encuentra que la volatilidad de la temperatura es alta, comparada con los estudios de Bhowan (2003) y Mraoua y Bari (2007); ambas situaciones, reversión lenta y volatilidad alta, se explican por la ausencia prolongada de precipitación que ocurre tanto en la Península de Yucatán como en el estado de Campeche, así como a la presencia de canícula. Con base en las estadísticas de precipitación, se detecta que la misma se ausenta en un 60% del año y al inicio del nuevo ciclo de precipitación es cuando ocurre la canícula; lo cual es un factor que se refleja en la tasa de reversión. Lo anterior tiene sus implicaciones en el riesgo al que los agricultores y ganaderos se exponen en su producción, ya que la presencia de sequía y canícula desestabilizan principalmente los ingresos de aquellos productores de baja escala y que se encuentran primordialmente en las zonas rurales. Por lo que, una medida para controlar el riesgo de clima, es a través de los derivados climáticos, los cuales en contraste con un seguro, permiten la generación de un pago en función de un índice de clima aún cuando no se haya generado la pérdida física; así mismo, y debido a que un índice sobre clima no es un bien transable en el mercado financiero, el derivado climático no involucra problemas de información asimétrica como selección adversa y riesgo moral. La importancia entonces de los resultados de la investigación, se mostrarían en la valoración de los derivados climáticos, en donde primeramente se requiere describir el comportamiento del índice de clima que procure considerar los hechos estilizados que caracterizan a la variable de riesgo como lo es el fenómeno cíclico. La investigación se limitó en estimar y simular la dinámica de la temperatura bajo la premisa en que el proceso sigue un movimiento browniano. Por lo que la continuación sería estimar los parámetros del modelo bajo procesos más generales como de Levy, que permitan capturar los saltos bruscos en la temperatura y que ello justifique además la volatilidad alta del proceso observado.

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Bibliografía Alaton, P., Djehiche, B. and Stillberger, D. (2002). “On Modelling and Pricing Weather Derivatives”. Applied Mathematical Finance, 9(1), 1-20.

Benth, F., and Saltyte-Benth, J. (2005). “Stochastic Modelling of Temperature Variations with a View Towards Weather Derivatives”. Applied Mathematical Finance, 12(1), 53-85.

Bhowan, A. (2003). “Temperature Derivatives”. School of Computational and Applied Mathematics, University of Wiwatersrand, January. Bibby, B., and Sorensen, M. (1995). “Martingale Estimation Functions for Discretely Observed Diffusion Processes”. Bernoulli, 1(1/2), 17-39.

Cámara de Diputados del H. Congreso de la Unión, (2012). “Ley de Desarrollo Rural Sustentable”. Diario Oficial de la Federación, México. Connors, R.B. (2003). “Weather Derivatives allow Construction to Hedge Weather Risk”. Cost Engineering, Technical Article, 45(3), 21-24.

Cont, R. (2001). “Empirical Properties of Asset Returns: Stylized Facts and Statistical Issues”. Quantitative Finance, 1(2), 223-236.

Cox, J.C., Ingersoll, J.E., and Ross, S.A. (1985). “A Theory of the Term Structure of Interest Rates”. Econometrica, 53(2), 385-407. Cyr, D., Kusy, M., and Shaw, A.B. (2010). “Climate Change and the Potential use of Weather Derivatives to Hedge Vineyard Harvest Rainfall Risk in the Niagara Region”. Journal of Wine Research, 21(2-3), 207-227. Dornier, F., and Queruel, M. (2000). “Caution to the Wind, Weather Risk Special Report”. Energy and Power Risk Management / Risk Magazine.

Geyser, J. M., and van de Venter, T.W.G. (2001). “Hedging Maize Yield with Weather Derivatives”. Working Paper 2001-13, University of Pretoria, Department of Agricultural Economics, Extension and Rural Development, 1-19 (http:// purl.umn.edu/18067).

Gibson, R., and Schwartz, E.S. (1990). “Stochastic Convenience Yield and the Pricing of oil Contingent Claims”. The Journal of Finance, 45(3), 959-976.

Hernández, M.E., Torres, L.A., y Valdez, G. (2000). Sequía meteorológica en México: Una visión hacia el siglo XXI: el cambio climático en México. editorial C. Gay García, 25-39, México, DF: Instituto Nacional de Ecología.

Jewson, S., and Caballero, R. (2006). “Seasonality in the Statistics of Surface air Temperature and the Pricing of Weather Derivatives”, Meteorological Applications, 10(4), 367-376. Volumen 4, número 1, enero - junio, 2014, pp. 11–34

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FINANZAS Y RIESGO

Leggio, K.B., and Lien, D. (2002). “Hedging Gas Bills with Weather Derivatives”. Journal of Economics and Finance, 26(1), 88-100.

Márdero, S., Nickl, E., Schmook, B., Schneider, L., Rogan, J., Christman, Z., y Lawrence, D. (2012). “Sequías en el sur de la península de Yucatán: análisis de la variabilidad anual y estacional de la precipitación”. Investigaciones Geográficas, 78, 19-33.

Mraoua, M., and Bari, D. (2007). “Temperature Stochastic Modeling and Weather Derivatives Pricing: Empirical Study with Moroccan data”. Afrika Statistika, 2(1), 22-43.

Orellana, R., Espadas, C., Conde, C., y Gay, C. (2009). “Atlas escenarios de cambio climático en la Península de Yucatán”. Unidad de Recursos Naturales, Centro de Investigación Científica de Yucatán y Centro de Ciencias de la AtmósferaUNAM, Mérida, Yucatán, México. Secretaría de Gobernación (2013). “Plan Nacional de Desarrollo 2013-2018”. Diario Oficial de Federación, México.

Tang, C., and Jang, S. (2011). “Weather Risk Management in Ski Resorts: Financial Hedging and Geographical Diversification”. International Journal of Hospitality Management, 30, 301-311.

Torró, H., Meneu, V., and Valor, E. (2003). “Single Factor Stochastic Models with Seasonality Applied to Underlying Weather Derivatives Variables”. Journal of Risk Finance, 4(4), 6-17. Turvey, C. (1999). “Weather Derivatives for Specific Event Risks in Agriculture”, Review of Agricultural Economics, 23(2), 333-351.

Vedenov, D., and Barnett, B. (2004). “Efficiency of Weather Derivatives as Primary Crop Insurance Instruments”. Journal of Agricultural and Resource Economics, 29(3), 387-403. Venegas-Martínez, F. (2006). Riesgos financieros y económicos. México, Thomson.

Zapranis, A., and Alexandridis, A. (2008). “Modelling Temperature Time-Dependent Speedof Mean Reversion in the Context of Weather Derivatives Pricing”. Applied Mathematical Finance, 15(4), 355-386.

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Empresas exitosas y no exitosas que cotizan en la BMV del Sector Comercial: Una clasificación con Análisis Discriminante Múltiple, Modelos Logit y Redes Neuronales Artificiales

Oswaldo García Salgado* Arturo Morales Castro** Fecha de recepción: 30 de octubre de 2013 Fecha de aceptación: 26 de diciembre de 2013

Universidad Autónoma del Estado de México, Facultad de Economía. oswgars@gmail.com Universidad Nacional Autónoma de México, Facultad de Contaduría y Administración. amorales@fca.unam.mx

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Resumen El presente estudio tiene el propósito de identificar las razones financieras que son determinantes para lograr el éxito financiero de las empresas que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores (BMV), en específico del sector comercial utilizando las técnicas de Análisis Discriminante Múltiple (ADM), el modelo Logit; y las Redes Neuronales Artificiales (RNA). Para ello se consideraron 24 empresas que pertenecían a este sector, tomando en cuenta para cada empresa 37 razones financieras - de liquidez, apalancamiento, solvencia, actividad, y rentabilidad - para el periodo comprendido entre 1995 y 2005. Se consideró como criterios de éxito financiero a aquellas empresas que crean valor teniendo crecimiento consecutivo por tres años en las utilidades netas, el precio del mercado y la Generación Económica Operativa.

Los hallazgos mostraron que los modelos paramétricos ADM y Logit, están limitados debido a sus supuestos estadísticos, en específico en la normalidad exigida en las variables exógenas, a diferencia de las RNA que no están sometidas a condiciones paramétricas, demostrando que aunque todas las razones financieras tienen una participación en la obtención del éxito financiero, existen algunas que influyen más que otras, y que al hacer uso de las RNA es posible considerar el total de las razones financieras, sin descartar ninguna. Clasificación JEL: C45, G1 y G14

Palabras Claves: Razones financieras, desempeño financiero, redes neuronales artificiales,

Successful and unsuccessful companies from the Commercial Sector listed on the BMV: A classification with Multiple Discriminant Analysis, Logit Models and Artificial Neural Networks.

Abstract The aim of this study is to identify the financial ratios that are crucial for the financial success of the companies listed on the Mexican Stock Exchange (MSE) specifically from the commercial sector using Multiple Discriminant Analysis (MDA), Logit model , and Artificial Neural Networks (ANN) techniques. 24 companies belonging to this sector were considered, taking into account 37 financial ratios - liquidity, leverage, solvency , activity, and profitability - for each company in the period between 1995 and 2005. It was considered as a criteria of financial success the companies that create value and consecutive growth in three years in net incomes, the market price and Operative Economic Generation. The findings showed that the parametric models MDA and Logit , are limited because of their statistical assumptions , specifically in normality required in the exogenous variables, unlike the ANN that are not subject to parametric conditions, showing that although all financial ratios have an interest in obtaining financial success, there are some that have more influence than others, and that in using ANN is possible to consider the total financial ratios, without discarding any. JEL classification: C45, G1 and G14 Key words: Financial ratios, financial performance, artificial neural networks.

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Introducción

n México, el entorno operativo para el sector comercial se ha vuelto menos favorable desde la crisis crediticia del 2008, la crisis económica del 2009 y la recesión prolongada de la economía mexicana. Esto ha provocado que las condiciones del mercado bursátil sean más difíciles. Por ello, los esfuerzos para predecir dificultades financieras han recibido considerable atención en la literatura financiera, la contabilidad y la auditoría durante más de medio siglo (Anandarajan et al., 2001). Estudios previos indican que el desempeño financiero desde el enfoque de quiebras empresariales no es un evento inmediato, sino más bien un proceso que evoluciona a lo largo de un período considerable de tiempo, lo que proporciona una base para los intentos de predecir estas quiebras. A la fecha, los modelos de predicción del desempeño financiero se han desarrollado principalmente para el sector manufacturero, y pocos estudios se han enfocado en otros sectores, como es el comercial. Sin embargo, las empresas en el sector comercial son muy vulnerables a los cambios económicos, especialmente en malas condiciones de mercado (Gu, 2002). El riesgo de una quiebra financiera o la poca capacidad de generar valor en el sector comercial de la Bolsa Mexicana de Valores requiere el desarrollo de modelos de predicción de desempeño con capacidad predictiva superior a los modelos tradicionales, (Kim y Gu, 2006 a y b). En estudios realizados por Dimitras et al. 1996; Sirakaya et al. 2005; Wu et al. 2006, basándose en datos financieros de empresas del sector comercial, en específico restauranteras de Estados Unidos desarrollan modelos de redes neuronales artificiales (RNAs) para la predicción de quiebra. Como una técnica no paramétrica, el modelo de Redes Neuronales tiene la capacidad de predicción al clasificar a las empresas en quiebra en comparación con la regresión logística. Por otro lado, la técnica de RNA, determina razones financieras que la regresión logística no toma en cuenta. En los trabajos realizados en México sobre desempeño financiero se encuentra el de Morales (2007), en el que se analiza este mismo sector, aplicando técnicas estadísticas basadas en modelación paramétrica como el Análisis Discriminante (ADM) y el modelo Logit. Sus resultados fueron que existen Volumen 4, número 1, enero - junio 2014, pp. 35–64

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seis razones financieras que determinan el éxito para el primer modelo, y siete para el segundo. Este autor consideró 37 razones financieras.1 Esta investigación es una ampliación de dicho trabajo en el que se hace un comparativo de las mismas 37 razones financieras pero contrastando sus hallazgos con los obtenidos al aplicar Redes Neuronales Artificiales, debido a que esta técnica de inteligencia artificial ofrece un espectro más amplio de elección a diferencia de las técnicas paramétricas usadas por Morales (2007), que solo detectan aquellas razones financieras que cumplen con las pruebas estadísticas, en contraste las Redes Neuronales Artificiales detectan todas las razones financieras sin importar si cumplen con las pruebas estadísticas para determinar si las empresas son financieramente exitosas o no.

1. Revisión a la Literatura

Un método fundamental para comparar los diferentes modelos es calcular la tasa de precisión global de los modelos de predicción. Hay una serie de trabajos publicados sobre la predicción de empresas en quiebra, en la que utilizaron RNA, ADM y modelos logísticos, además de otros métodos de cálculos estadísticos. En uno de los primeros estudios, Hansen y Messier (1991) usan la RNA de retro propagación, la regresión logística, y los algoritmos genéticos para analizar su desempeño en informes publicados de empresas con problemas financieros del mercado financiero. Sus resultados explican que las redes neuronales artificiales superan a otros métodos. Fanning y Cogger (1994),comparan la capacidad de un procesador de algoritmo de red neuronal adaptativa generalizada del inglés Generalized Adaptive Neural Network Algorithm (GANNA), una RNA de retro propagación, la regresión logística, y un modelo basado en la teoría de juegos para clasificar a los bancos con problemas financieros. Sus resultados indican que el rendimiento de la RNA es un excelente clasificador comparado con las técnicas tradicionales. Bell et al. (1997), utilizan una red neural de retro propagación para clasificar a los bancos, ya sea en quiebra o no quiebra. Comparan los resultados obtenidos por la RNA con un modelo logit con respecto a la precisión del desempeño y llegan a la conclusión de que tanto la RNA como los modelos logit se desempeñan igualmente bien en toda la gama de posibles valores del modelo de corte, pero la RNA tiene mejor precisión. 1

Morales (2007) cita a Westwick (1987), con respecto a su metodología para seleccionar las razones financieras de su investigación.

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Ala vez, Koh (2004) compara la utilidad de las redes neuronales, los árboles de decisión y la regresión logística para predecir el estado de continuidad de las actividades de una empresa. Los resultados de la clasificación indican que las técnicas de minería de datos, tales como las redes neuronales y los árboles de decisión son de gran alcance para el análisis de las complejas relaciones no lineales y la interacción, y por lo tanto, pueden complementar los métodos estadísticos tradicionales en la construcción de los modelos de predicción Yildiz y Yezegel (2010) proponen una arquitectura Neuronal para predecir los rendimientos futuros en valores NYSE / AMEX / Nasdaq para el período 1990-2005, a través del análisis fundamental y los valores de retorno de la tecnología: considerando dieciocho razones financieras como nodos de entrada y los rendimientos de las acciones para un periodo adelantado de un año como nodo de salida. Estos investigadores, concluyen que las redes neuronales artificiales se destacan como una herramienta valiosa para el análisis fundamental y la previsión de rentabilidad de las acciones en los mercados de Estados Unidos de América. Por otra parte Roli (2012) realizó un estudio relacionado con la predicción financiera del Banco Indio HDFC (Housing Development Finance Corporation), mediante la construcción de un modelo BPNN del inglés (Back Propagation Neural Network). Para su arquitectura consideró 55 razones financieras de esta institución crediticia, dentro del periodo 2000-2008 y su objetivo era predecir el comportamiento de cada razón de 2009-2015, entrenando una red neuronal y obteniendo resultados con una alta predicción entre las razones financieras del 2009 y 2010. Roli (2012) concluye su investigación comentando que los modelos BNPP pueden ser utilizados como una herramienta de enlace entre el analista de riesgo de crédito y los responsables de las políticas de riesgo crediticio de los bancos. Además, Ecer Faith (2013), desarrolló un modelo de red neuronal, con el propósito de identificar si los recursos de la empresa se utilizaban de manera eficiente, para las 500 principales empresas de Turquía entre 1993 a 2009. Para ello y para predecir el desempeño financiero de las empresas se tomaron en cuenta como variable dependiente a la utilidad antes de impuestos y como variables independientes las ventas totales, el capital social, los activos circulantes y fijos, la exportación, y el número de empleados. El estudio utilizó técnicas de inteligencia artificial como son los árboles de decisión, los modelos neuronales tipo perceptrón multicapa y las funciones de base radial todos ellos para poder predecir. Volumen 4, número 1, enero - junio 2014, pp. 35–64

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Lo anterior, mostró que los modelos de redes neuronales artificiales tienen un mejor rendimiento que los árboles de decisión en términos de sus tasas de precisión y que pueden ser utilizados para predecir el rendimiento financiero. Por otra parte, se encontró que los modelos perceptrón multicapas tenían mejor capacidad de predicción que las funciones de base radial; también se encontró que las RNA y los árboles de decisión tuvieron la capacidad de modelar con éxito las relaciones no lineales. Por ello el analizar el desempeño financiero a través del uso de las RNA es de interés para hacer estudios comparativos entre diferentes técnicas y en este caso para el área financiera de las empresas.

2. Fundamentos de las Redes Neuronales Artificiales (RNA)

Las Redes Neuronales siguen el modelo de los métodos de procesamiento en paralelo del cerebro humano. El cerebro biológico se compone de miles de millones de elementos de procesamiento interconectados llamadas neuronas, que transmiten información y se fortalecen cuando el cerebro aprende. Una RNA es un modelo lógico matemático compuesto por varias unidades de cómputo interconectadas llamadas neuronas o nodos. Cada nodo realiza una operación sencilla con una entrada seguida de una capa oculta para conectarse a través de una función de trasferencia, y volverse a conectar a la capa oculta con la capa de salida que se envía con otra función de trasferencia en secuencias. Este procesamiento en paralelo tiene ventajas en el análisis de datos, ya que el procesar la información de esta manera no solo permite aprender de los errores, sino que permite aprender de ejemplos, y reconocer patrones en los datos.

Estructura Perceptrón Multicapas (MLP)

Las RNA tienen diferentes estructuras y arquitecturas. En esta investigación se utilizó la RNA de tipo Perceptrón Multicapas creada por Rosenblatt (1958). Su forma de aprender es bajo un proceso de ajuste de las sinapsis de información inicial y al añadirse nueva información, ésta va reconociendo los pesos específicos que le corresponden a cada arquitectura al proponer diferentes funciones de trasferencia. Una estructura simplificada de una RNA-MLP de este proceso se proporciona en la Figura 1.

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de una RNA- MLP de este proceso se proporciona en la Figura 1.

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Figura 1. Figura 1. Estructura simplificadadedeuna unared red neuronal neuronal artificial. Estructura simplificada artificial

Entradas

RNA

Salidas

Fuente: Elaboración propia Fuente: Elaboración propia.

estructurabásica básicadede RNA consta de neuronas artificiales que se agrupan en LaLaestructura la la RNA consta de neuronas artificiales que se agrucapas. Una de (Perceptron) una neurona (Perceptrón) se la presenta en la capas.pan Unaenestructura deestructura una neurona se presenta en Figura 2. Figura 2. Figura 2. Componentes de una Neuronal de tipo Perceptron.

W1j

Figura 2. 0j W2j X2Componentes de una Neuronalf de tipo Perceptron Wij ... Xi

Fuente: Elaboración propia.

Aquí se considera a X1, X 2, .. . Xi, como las variables de entrada de la neur

Xi, peso comounido las variables entrada llamado de la neurona. Aquí se considera a X1, Xtiene Cada conexión a un pesode específico Wij donde j es el núm 2, ... su Cada conexión tiene su peso unido a un peso específico llamado Wij donde j de las neuronas y i representa el i-ésimo elemento de entrada. Los pesos pueden ser t es el número de las neuronas e i representa el i-ésimo elemento de entrada. negativos. La como neurona resume todas las señales quetorecibe multiplica Los pesospositivos pueden como ser tanto positivos negativos. La neurona resume das las señales que recibe cada entrada por sumultiplicando peso asociado:cada entrada por su peso asociado:

∑

(1)

∑( El elemento  es( a )menudo llamado el) nodo de suma. Esta salida hj va a la siguie

etapa1, a enero través de 2014, una función Volumen 4, número - junio pp. 35–64 de

activación o función de transferencia:41

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El elemento Σ es a menudo llamado el nodo de suma. Esta salida hj va a la siguiente etapa a través de una función de activación o función de transferencia: ∑

( )

∑(

) . (2)

La función de activación, en la mayoría de los casos, es una función continua, no lineal, entre valores de su imagen o contra dominio entre valores de 0 y 1, o en otros casos entre -1 y 1. La ∑ función de activación se elige de acuerdo a las necesidades específicas: la función más popular es la función sigmoidea o logística, como se muestra en la ecuación 3:

( )

∑

( )

∑(

)

(3)

)

y otra función muy utilizada son de tipo tangente hiperbólica:

∑

(4)

∑

Estas funciones son las más ampliamente utilizadas debido a su fácil diferenciación entre grupos, es decir funciones clasificadoras que permiten clasificar de manera adecuada. Aunque existen otras funciones que también son posibles, como son la función lineal o identidad, senusoidal, softmax, y los modelos de base radial entre otras. Una estructura de varios Perceptrónes y sus conexiones se llama Modelo Perceptrón Multicapa (MLP). Por lo general se compone de varias capas de neuronas. En la primera capa se recibe la información externa y se llama capa de entrada. La última capa es la capa de salida, donde se logra la respuesta al problema. Estas dos capas están separadas por una o más capas (llamadas capas ocultas). Si todos los nodos están conectados desde la parte inferior a las capas superiores, la RNA se llama una red conectada en capas y nodos.

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La red se alimenta de información fluyendo hacia adelante (feed forward) pa

onocer su objetivo, y después de aprender, su alimentación regresa hacia atrás (feed bac Empresas exitosas y no exitosas que cotizan en la BMV...

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para calibrar el modelo, a través de pesos específicos entre sus interconexiones. Existe FINANZAS Y RIESGO

La red se alimenta de información fluyendo hacia adelante (feed forward)

otros tipos depara RNA, pero esta investigación se centra en las RNA de tipo MLP que son d conocer su objetivo, y después de aprender, su alimentación regresa ha-

cia atrás back) para calibrar el de modelo, a través pesos específicos as más usadas para (feed clasificar. La estructura una RNA se de proporciona en la Figura 3. entre sus interconexiones. Existen otros tipos de RNA, pero esta investigación se centra en las RNA de tipo MLP que son de las más usadas para clasificar. La estructura de una RNA se proporciona en la Figura 3.

Figura 3. Red Neuronal de tipo MLP con feedforward Figura 3. RedArtificial Neuronal Artificial de tipo MLP conaprendizaje aprendizaje feedforward típica. típica Capa de Salida Capa Ocultada

Capa de Entrada Fuente: Elaboración propia.

Fuente: Elaboración propia.

La cantidad de neuronas en cada capa puede tener diferentes característica La cantidad de neuronas en cada capa puede tener diferentes características

specíficas yespecíficas el número de capas ocultas puede ser también de cero a decenas o más segú y el número de capas ocultas puede ser también de cero a decenas

∑

más según losdel objetivos específicos diseñador de la red. La os objetivoso específicos diseñador de ladelred. La estructura deestructura la RNAdede tipo ML la RNA de tipo MLP depende de la naturaleza de todos los datos específicos.

depende de la naturaleza dede todos El algoritmo retrolos propagación es∑( importante ya ) específicos. ) que su fin es encon(datos

trar los pesos más apropiados Wij, que la RNA requiere para el procedimiento de aprendizaje. El aprendizaje supervisado es el tipo más común. La idea de este algoritmo es ajustar los pesos de una manera que se determiné un valor predicho di determinado por las funciones de trasferencia y compararlo con un valor real yi, donde el error debe ser reducido entre la salida deseada y el objetivo y se determina de la siguiente manera:

∑

Volumen 4, número 1, enero - junio 2014, pp. 35–64

(5)

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En una red neuronal se exhiben algunas habilidades estadísticas en función de su arquitectura, especialmente, cuando se enfrenta con un problema de clasificación si una entrada debe ser clasificada de clase A o B. Una red neuronal que tiene función de transferencia y un nivel umbral de conexión se puede utilizar para separar el espacio de decisión en dos categorías con una línea (Ver Figura 4.a). Una red neuronal con dos niveles de conexión puede separar el espacio de entrada al abrir planos cóncavos convexos o cercanos (Ver Figura 4.b). Si la red neuronal tiene niveles de conexión de árbol, tiene la capacidad para separar el espacio de entrada en un número de planos abiertos o cerrados (Ver Figura 4.c) (Bishop, 1997). Figura 4. Arquitectónicas de una RNA MLP según sus capas ocultas debido a la dificultad de clasificación de grupos.

(a)

(b)

(c)

Las redes neuronales pueden presentar una cierta capacidad de estadística de acuerdo con sus estructuras. (a) La red neuronal consiste sólo en Las redes neuronales pueden presentar una cierta capacidad de estadística de acuerdo con sus una capa de entrada y una de salida y se puede separar el espacio de estructuras. (a) La consiste (b) sóloLaenred unaneuronal capa de consta entradadey una una capa de salida y se puede entrada enred dosneuronal grupos lineales. oculta se puede separar el espacio de entrada para cóncava cerrada y la de una capa separar el espacio de entrada en dos grupos lineales. (b) La red neuronal consta grupos convexos. (c) La red neuronal consiste de más de una capa oculta oculta sey puede separar el espacio de entrada parapara cóncava cerrada y laabiertos grupos yconvexos. (c) La se puede separar el espacio de entrada muchos grupos cerrados. red neuronal consiste de más de una capa oculta y se puede separar el espacio de entrada para muchos grupos abiertos cerrados. propia basada en Bishop (1997). Fuente.yElaboración

Fuente. Elaboración propia basada en Bishop Volumen 4, número(1997). 1, enero - junio, 2014

Empresas exitosas y no exitosas que cotizan en la BMV...

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En esta investigación se utilizó el tipo de red neuronal Perceptrón Multicapas, en donde se tomaron como capa de entrada a 37 razones financieras que son los nodos y como capa de salida se consideró al desempeño financiero de las empresas del sector comercial clasificadas como exitosas o no exitosas. La red planteada tuvo como propósito aprender y determinar qué razones financieras llevaban a clasificar a las empresas como exitosas o no exitosas financieramente hablando.

3. Metodología utilizada

El objetivo principal de este análisis se centró en conocer si las técnicas paramétricas ADM y Logit consideraban a las mismas razones financieras que la técnica de las Redes Neuronales Artificiales para determinar si una empresa era exitosa o no financieramente. Para el desarrollo de este análisis se hizo un comparativo de los hallazgos obtenidos por Morales (2007), y se agregó el análisis de la información con la técnica de Redes Neuronales Artificiales. Para dicho análisis, el modelo neuronal utilizó arquitecturas que tomaron en cuenta a todas las razones financieras —37 razones financieras—, a diferencia de los modelo ADM y Logit, que por sus características estadísticas2 deben de excluir variables o razones financieras que no les permiten validar cada modelo, que es lo que hace diferente a la técnica de Inteligencia artificial, pues toma en cuenta todos los factores si es que así lo desea el diseñador de la red. La metodología empleada en esta investigación comprendió las etapas siguientes: 1. Conformación de la base de datos, compuesta por 24 empresas que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores pertenecientes al sector comercial. 2. Obtención de 37 razones financieras que miden el desempeño empresarial en base a su clasificación de liquidez, apalancamiento, solvencia,

Se refiere a que los modelos deben considerar proporcionalidades entre grupos casi iguales, deben de pasar pruebas de inferencia como la lambda de Wilks, M de Box, y prueba de matrices no singulares en el modelo discriminante; y además encontrar rotaciones que maximicen la diferencia entre grupos (Varimax). Para los modelos Logit deben considera las pruebas de los coeficientes de la función de clasificación de Fisher y descomposición de Matrices de Varianzas y Covarianzas, además de la prueba LR. Y por último el comportamiento de las variables exógenas deben pasar la prueba K-S de normalidad. Volumen 4, número 1, enero - junio 2014, pp. 35–64

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actividad, rentabilidad, tasas de crecimiento y generación de valor. En el periodo comprendido de 1995 a 2005 con periodicidad anual. Se consideraron estas porque fueron las que se pudieron deducir de los estados financieros reportados por la BMV.

3. Determinación de los tres indicadores financieros que miden el desempeño financiero empresarial por los accionistas para clasificar a las empresas exitosas y no exitosas. Los indicadores fueron a) variación en el valor de la acción, b)Utilidades netas en los últimos 5 años y c) Generación Económica Operativa.

4. Establecimiento de los criterios de entradas y salidas para la construcción de los diferentes modelos (ADM, Logit y RNA MLP). En donde las entradas fueron las razones financieras y la salida el criterio de desempeño (exitosa y no exitosa).3 Ver Figura 5. Figura 5. Conceptualización de la RNA para Figura 5. determinar las empresas exitosas o nolaexitosas deldeterminar sector comercial de la BMV. Conceptualización de RNA para las empresas exitosas o no exitosas del sector comercial de la BMV Medidas del comportamiento financiero de la empresa

Razones de liquidez (6)

Capa de entrada

Capa Oculta

Medidas de valor

Capa Salida

BURSATILIDAD Razones de apalancamiento

(7)

X2 VALOR DE LA ACCIÓN

Razones de solvencia (3)

X i-2

. . . .

Razones de rentabilidad (7)

38 Razones financieras analizadas emitidas por 24 empresas de la BMV

. . . .

Razones de actividad (5)

Desempeño de las empresas dentro del Mercado Bursátil: Exitosa o no exitosa

EVA GENERACIÓN DE VALOR

Costo de Capital

TASA DE RENDIMIENTO DEL CAPITAL

Capital invertido

RION GEO VALORE

UTILIDADES

EXPANSIÓN DE LA EMPRESA

ALIANZAS ESTRATÉGICAS

Razones de estado de cambio, tasa de crecimiento y Generación de valor (10)

X i-1 GENERACIÓN DE VALOR

APALANCAMIENTO

Fuente: Elaboración propia. Fuente: Elaboración propia. 3

Las empresas exitosas de la BMV del Sector Comercial, según el criterio de Morales (2007), fuero aquellas que: a) Tuvieron crecimiento en n el valor de la acción en los últimos cinco años, b) Su capacidad de Generar Valor Económica Operativa 5. Sede analizaron resultados entrelos losúltimos diferentes modelos manera los positiva durante cinco años planteados. y c) La capacidad de Generar

6. Se compararon las razones financieras que determino cada modelo, para comprobar si o había diferencia. 46 existía similitud en la determinación de las razones financieras, Volumen 4, número 1, enero - junio, 2014

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5. Se analizaron los resultados entre los diferentes modelos planteados.

6. Se compararon las razones financieras que determinó cada modelo, para comprobar si existía similitud en la determinación de las razones financieras, o había diferencia.

4. Resultados y Discusión

Las empresas que fueron consideradas en este estudio se muestran en la tabla siguiente: Tabla 1. Empresas del Sector Comercio de la BMV que participaron en el estudio.

Clave de BMV

NOMBRE DE LA EMPRESA

Clave de BMV

NOMBRE DE LA EMPRESA

Clave de BMV

NOMBRE DE LA EMPRESA

ALMACO COPEL S.A. DE C.V. ECE ECES.A.DEC.V. GPH GRUPO PALACIO DE HIERRO, S.A. DE C.V. ALSEA ALSEA EDOARDO EDOARDOS LIVERPOOL S.A. DE C.V. S.A DE C.V.

EL PUERTO DE LIVERPOOL, S.A. DE C.V.

BEVIDES

FARMACIAS ELEKTRA BENAVIDES S.A. de C.V.

GRUPO MADISA ELEKTRA S.A. DE C.V.

MAQUINARIA DIESEL, S.A. DE C.V.

CNCI

UNIVERSIDAD CNCI S.A. DE C.V.

CORPORATIVO MARTI FRAGUA

MARTIN S.A. DE C.V.

FRAGUA

COLLADO G. COLLADO GCORVI GRUPO CORVI GSANBOR S.A. DE C.V. S.A. DE C.V.

GRUPO SANBORNS S.A. DE C.V.

COMERCI

CONTROLADORA GFAMSA GRUPO FAMSA, SAB COMERCIAL S.A. DE C.V. MEXICANA S.A. DE C.V.

GRUPO CASA SABA, S.A. DE C.V.

DERMET

DERMET GIGANTE DE MÉXICO S.A. DE C.V.

GRUPO SORIANA GIGANTE S.A. DE C.V.

ORGANIZACIÓN SORIANA, S.A. DE C.V.

GRUPO WALMEX COMERCIAL GOMO, S.A. DE C.V.

WALMART DE MEXICO, S.A. DE C.V.

DOCUFOR DOCUFORMAS GOMO S.A. DE C.V.

Fuente: Elaboración propia basada en la información de Morales (2007). Utilidades Netas de manera positiva en los últimos cinco años en forma constante. Y las empresas No Exitosas fueron las que no cumplieron con estos criterios. Volumen 4, número 1, enero - junio 2014, pp. 35–64

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Una vez determinadas las emisoras que conforman el sector comercial se procedió a determinar las razones financieras, clasificadas en seis grupos de razones, obtenidas de la información de la BMV. Esto se muestra en la Tabla 2. Tabla 2. Clasificación de las Razones financieras consideradas en el estudio.

Razón No. Relación financiera Contable

Razón financiera

No. Relación Contable

1 Activo Circulante 14 Pasivo Circulante

Intereses Pagados Resultado de Operación

Activo Circulante SOLVENCIA 15 Activo Total

Pasivo Largo Plazo Activo Fijo

LIQUÍDEZ 3

Activo Circulante 16 Pasivo Total

Ventas Netas Pasivo Total

Efectivo e 17 Inver. Temporales Pasivo Circulante

Ventas Netas Activo Total

Activo Circulante e Invent. 18 Pasivo Circulante

Ventas Netas Activo Fijo

Variación Flujo Efectivo ACTIVIDAD 19 Pasivo Total

Costo Ventas Inventarios

7 Pasivo Total 20 Cuentas Activo Total por Cobrar (Ventas/360) LIQUÍDEZ 8

Intereses Pagados ACTIVIDAD 21 Pasivo con Costo

360/Días de ventas por cobrar

Pasivo Mon .Ext. 22 Pasivo Total

Resultado Neto Ventas Netas

Capital Contable RENTABILIDAD 23 Activo Total

Resultado Neto Activo Total

APALANCAMIENTO 11

Pasivo circulante 24 Activo Total

Resultado Neto Capital Contable

Pasivo Total 25 Capital Contable

Resultado Neto Activo Fijo

ESTADO DE 13 Ventas Netas 26 CAMBIOS, Capital de Trabajo TASAS DE CRECIMIENTO 29 Flujo Derivado 27 Y GENERACIÓN Resultado Neto DE VALOR Ventas Netas

Resultado Operación Activo Total Dividendo Efectivo Resultado Ejerc. Ant.

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Flujo Derivado 28 cambios Capital Trabajo Ventas Netas

CIF Resultado Neto

31 Rec. Generados 34 Adquisición Inm. (Utilizados) Planta y Equipo Operación Recursos Generados Intereses Pagados (Utilizados) Act. Inversión 32 Financiamiento Ajeno 35 ESTADO DE Recursos Generados CAMBIOS, (Utilizados) TASAS DE Financiamiento CRECIMIENTO Y 33 Financiamiento Propio 36 GENERACIÓN Recursos Generados DE VALOR (Utilizados) Financiamiento

Cash Flow Operativo Pasivo Total

Cash Flow Operativo Pasivo Circulante

37 EVA (Valor Económico Agregado) 38 GEO (Generación Operativa Neta)

Fuente: Elaboración propia basada en la información de Morales (2007).

Para la realización de los modelos ADM y Logit se usó el software SPSS v. 17 y para la construcción de la Red Neuronal Artificial se utilizó el Software NN. 4.0. En la Tabla 3 se muestran las razones que se consideraron para los modelos ADM y Logit, que permitieron clasificar a las empresas exitosas y no exitosas. Considerándose como exitosas a aquellas que cumplieron con las tres condiciones del desempeño financiero; a) variación en el valor de la acción, b) Utilidades netas en los últimos 5 años y c) Generación económica operativa. En la Tabla 3 se presentan en la primera columna las variables consideradas en el modelo multivariado como exógenas. En la columna dos y tres se muestra el número de razón financiera que se determinaron en los modelos ADM y Logit. En la Columna cuatro se muestra la Razón financiera que considero el modelo de acuerdo a su numeración en la Tabla 2 y la columna cinco reporta a que grupo de Análisis financiero pertenece la razón respectiva. Estas variables conforman los modelos ADM y Logit que se mencionan a continuación. Volumen 4, número 1, enero - junio 2014, pp. 35–64

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Tabla 3. Razones Financieras usadas para el modelo ADM y el modelo Logit que determinan las empresas exitosas o no exitosas del sector comercial de la BMV. Nombre de la variable

Número de Razón financiera de acuerdo al modelo

Análisis Discriminante Múltiple. (ADM) Variable

Puntuación discriminante Z

Relación contable

Grupo al que pertenece la razón financiera

Logit Puntuación discriminante L

Capacidad de clasificación X1 2 2

Activo Circulante / Activo Total

Liquidez

X2 3

Activo Circulante / Pasivo Total

Liquidez

X3 4 4

(Efectivo e Inversiones Temporales ) / Pasivo Circulante

Liquidez

X4 5

(Activo Circ.-Inventarios) / Pasivo Circulante

Liquidez

Ventas Netas / Activo Fijo

Actividad

Costo Ventas / Inventarios

Actividad

360 / Días de ventas por cobrar

Actividad

x8 26 26

Resultado Operación / Activo Total

Rentabilidad

Fuente: Elaboración propia basada en la información de Morales (2007).

La Función ADM (Z) para el periodo de 1995 a 2005 está dada por la siguiente expresión: Z = −2.814 + 5.772 ( Activo Circulante / Activo Total ) − 0.822 (Activo Circulante / Pasivo Total ) + 0.581) (Efectivo e Inversiones Temporales ) / Pasivo Circulante) − 0.174) (Activo Circ.-Inventarios) / Pasivo Circulante) + 0.078 (Costo Ventas / Inventarios) + 15.223 (360 / Días de ventas por cobrar)

(6)

Por otra parte, el modelo logit (L) para la misma investigación en el mismo periodo está dado por la siguiente expresión:

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L = −8.435 + 13.022 (Activo Circulante / Activo Total ) + 1.08 (1 Efectivo e Inversiones Temporales ) / Pasivo Circulante ) − 1.246 (Activo Circ.-Inventarios) / Pasivo Circulante) − 0.456 (Ventas Netas / Activo Fijo) + 0.203(Costo Ventas / Inventarios ) + 0.008 (360 / Días de ventas por cobrar ) + 24.787 (Resultado Operación / Activo Total)

(7)

5. Diseño de la Red Neuronal Los modelos multivariables clasificadores analizados hasta el momento han sido aplicados para poder predecir el desempeño de las empresas del sector comercial de la BMV; pero en esta etapa se comparara con un modelo de inteligencia artificial, para conocer si existe diferencias en encontrar otras razones financieras que no determinaron los modelos anteriores, o por otro lado, las RNA; también detectan las mismas razones financieras. Esto permitirá de alguna manera conocer si hay diferencias en la determinación de las empresas exitosas y no exitosas debido a la técnica utilizada; y por qué no hay diferencia o por que sí. Para ello, se realizaron un total de quince4 arquitecturas para la construcción de la Red neuronal buscada. La condición de esta Red neuronal fue que la arquitectura buscada considerara las 37 razones financieras tomadas en cuenta en la investigación, con el propósito de conocer la sensibilidad que tiene cada una de ellas para cumplir su objetivo con respecto al criterio de exitosa o no exitosa en cuanto a su desempeño financiero. El criterio para determinar la arquitectura adecuada en la investigación se fundamentó en los siguientes aspectos: a) que la RNA tuviese la mayor capacidad en clasificar correctamente a las empresas exitosas y no exitosas, b) que la RNA convergiera adecuadamente y no entrara en un sobre entrenamiento, c) que esta red tuviese el mínimo número de nodos en la capa oculta de la arquitectura de la Red, d) que las funciones de trasferencia estuviesen entre las funciones de tipo lineal, idéntica, softmax, logística, exponencial, sinusoidal, tangente hiperbólica, lognormal, y funciones de base radial. Como ya se mencionó, las RNA´s consideradas en esta investigación fueron Redes Neuronales Artificiales de tipo perceptrón multicapas, y se consi4

En el Anexo I se presentan las diferentes arquitecturas neuronales planteadas en este trabajo.

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deraron arquitecturas con dos o tres capas ocultas; con la capacidad de clasificar las emisoras exitosas y no exitosas por arriba del 90%. Estas RNA se entrenaron con el 70% de la base de datos para su aprendizaje, y el 30% para comprobar la capacidad de verificación con los datos reales. La base de datos estuvo conformada por 8,8800 datos (24 empresas del sector pertenecientes a la BMV del sector comercial que cotizaron de 1995-2005 x 37 razones financieras por un periodo de 10 años). El algoritmo de entrenamiento se fundamentó en modelos iterativos BFGS,5 con un nivel de decaimiento de 0.05. La mejor Red Neuronal Artificial se consideró bajo tres criterios. El primero por el porcentaje de clasificación que tiene la red para determinar exitosa y no exitosa. El segundo por la parsimonia de las capas ocultas, y el último la sencillez de la función de transferencia. El modelo Neuronal encontrado para esta investigación fue una RNA que tiene una arquitectura MLP 37-10-2, es decir 37 variables de entrada (en este caso las razones financieras), una capa oculta con diez nodos, y dos nodos de salida que fueron el desempeño financiero con el criterio de exitosas y no exitosas con una precisión del 95% (clasificando el 100% en el entrenamiento de su aprendizaje, y 89.8% en su etapa de verificación). En la Tabla 4 se muestra el resumen de esta RNA. En la Tabla 4 se aprecia que las funciones de trasferencia entre los nodos de entrada y la oculta determinaron que una función logística es la apropiaTabla 4. Resultados de la RNA que mejor clasifica a las empresas del Sector Comercial de la BMV 1995. Número

Arquitectura Desempeño Desempeño Algoritmo del Función Activación Activación de corrida de la red del enfren. de la preba enfrentamiento de terror de la capa de la capa oculta de salida

MLP 37-10-2* 100.00000

89.83051

BFGS 57

Entropia

Logistica

Softmax

* Nivel de predicción del 95.0%

Fuente: Elaboración propia basada en los resultados de la construcción de la RNA.

Método Numérico denominado Broyden – Fletcher – Goldfarb – Shanno (BFGS) que permite optimizar el error entre los datos reales y los del modelo propuesto, sin someterlo a ninguna restricción para problemas de funciones no lineales.

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da, mientras que para la función de trasferencia entre la capa oculta y la de salida, el modelo considero una función de tipo softmax; comprobando con estas funciones que las relaciones entre las variables de entrada y de salida son topológicamente no lineales. Es decir, mientras que en los modelos multivariables como son los ADM y Logit, los grupos se clasifican bajo un enfoque de algebra lineal mediante estadística gaussiana, en las redes neuronales se clasifican mediante aprendizaje de funciones de transferencia no lineal y sin las condiciones de normalidad en las variables de análisis, lo que hace que la topología, es decir, los espacios vectoriales de las variables sean más complejos en su arquitectura matemática pero más precisos en su clasificación. En la Figura 6 se muestra un diagrama de la arquitectura neuronal MLP 37-10-2. En este caso como la capa oculta tiene menor número de nodos que las de entrada, muestra que el modelo no es complejo, pero el comportamiento en las funciones de transferencia muestra que muchos de los nodos de entrada son no lineales, esto indica que las variables de entrada que son las Figura 6. Diagrama de RNA MLP 37-10-2 para determinar las empresas exitosas Diagrama deo RNA MLP del 37-10-2 determinar las empresas no exitosas sector para comercial de la BMV.

exitosas o no exitosas del sector comercial de la BMV

Nodos de entrada (37)

Nodos pertenecientes a la capa oculta (10)

Nodos de salida (2) Desempeño financiero

Razones financieras

Función de trasferencia: Softmax

Función de trasferencia: Logística

Fuente: Elaboración propia

Fuente: Elaboración propia.

En la tabla 1, 5 enero se muestra elpp.análisis Volumen 4, número - junio 2014, 35–64

de sensibilidad de las 37 razones financieras 53

consideradas por la RNA determinadas en este trabajo.

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razones financieras no tienen un comportamiento con características de distribución normal y que bajo modelos paramétricos, estas razones financieras serían descartadas, mientras que el modelo neuronal tiene la capacidad de considerarlas, y así dar a conocer con mayor precisión cuales son las razones financieras que realmente son determinantes para el desempeño financiero exitoso o no de una empresa. En la Tabla 5 se muestra el análisis de sensibilidad de las 37 razones financieras consideradas por la RNA determinadas en este trabajo. Tabla 5. Nivel de sensibilidad que tiene la Red Neuronal con el desempeño financiero.

Sensitivity analysis for DESEMPEÑO (BASE DATOS ACCCIONES COMERC BMV 1995-2005) Networks/ Variable 1 AC÷ PC

10.MLP 37-10-2 24.49168

2 AC÷ AT

971.4288

3 AC÷PT

158.8398

4 EfeceInv÷PC

2.013849

5 (AC-Inv)÷PC

48.65535

6 VarFlujo Efec÷PT

2.491939

7 PT÷AT

55.84084

8 InterPag÷PconCosto

28.60636

9 PMon. Ext.÷ PT

176.5400

10 Capital Cont÷AT

18.92683

11 P cir÷AT

146.8014

12 PT÷CapCont

55.72065

13 VN÷ CapTrab

33.68205

14 IntPag÷ResOper

112.5981

15 PLP÷AF

208.5688

16 VN÷PT

1533.334

17 VN÷ AT

1503.321

18 VN÷AF

347.0782

19 CostoVentas÷Inv

86.59802

10.MLP 37-10-2 Ponderación Networks/ Variable Ponderación 298.2641 0.4% 20 CxC ÷(V/360) 4.8% 73.51641 15.5% 21 Rot_CxC 1.2% 5.184025 2.5% 22 ResNeto÷VN 0.1% 22.68604 0.0% 23 RN÷ AT 0.4% 1.003922 0.8% 24 RN÷ Capcont 0.0% 1.884999 0.0% 25 ResN÷AF 0.0% 75.13386 0.9% 26 ROper÷AT 1.2% 30.50380 0.5% 27 DiviEfec÷ResEjerc.Ant. 0.5% 1.156101 2.8% 28 CIF ÷ RN 0.0% 3.066914 0.3% 29 FlujoResulN ÷ VN 0.0% 33.92957 2.3% 30 FlujoCap. Trab÷VN 0.5% 1.007220 0.9% 31 Rec.Oper÷InterPag 0.0% 1.076281 0.5% 32 FinAjeno÷RecurFin 0.0% 2.998009 1.8% 34 I, PyE÷ Inver 0.0% 172.1478 3.3% 35 CashFO÷ PT 2.7% 8.508987 24.4% 36 CashFO÷PCM 0.1% 1.456515 24.0% 37 Tasacrecutil 0.0% 27.36544 5.5% 38 GEO 0.4% 1.4%

Fuente: Fuente:Elaboración Elaboraciónpropia. propia

Como en la la tabla tablaanterior, anterior,lalaRed Red Neuronal MLP 37-10-2, tiene Comose se puede puede apreciar apreciar en Neuronal MLP 37-10-2,

tienefinancieras tres razonesque financieras son muyen sensibles en la determinación tres razones son muyque sensibles la determinación del éxitodely no éxito éxito y no éxito empresarial para el sector comercial de la BMV. Estas razones

empresarial paraorden el sector comercialen de la BMV. en Estas razones son por orden de son por de sensibilidad su ponderación el modelo, comenzando por la 16 que es la en relación entre Ventas Netas entre Total16 (VNque es la sensibilidad enrazón su ponderación el modelo, comenzando por Activo la razón /AT) con una sensibilidad del 24.4%; seguido por la Razón 17 que es la rela-

relación entre Ventas Netas entre Activo con una unasensibilidad sensibilidadendel 24.4%; ción entre Ventas Netas entre PasivoTotal Total(VN (VN //AT) PT) con

el modelo del 24.0%; porlaúltimo la Razón con unNetas nivel de sensibilidad seguido por la Razón 17 quey es relación entre 2Ventas entre Pasivo en Total (VN / el modelo de 15.5% que es la relación entre Activo Circulante y Activo Total.

PT) con una sensibilidad en el modelo del 24.0%; y por último la Razón 2 con un nivel de

54 en el modelo de 15.5%que es la relación Volumen 4, número 1, enero - junio, 2014 y Activo sensibilidad entre Activo Circulante

Total .

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Por lo anterior, se puede decir que al conocer el comportamiento de estas tres razones financieras se conoce el 63.9% del comportamiento del modelo neuronal, es decir que para que las empresas alcancen el éxito o el no éxito empresarial es importante analizar estas tres razones, pues aunque se tenga la información de las 34 razones restantes, esto solo representa el 36%. En la Figura 7 se muestra una gráfica que muestra el nivel de sensibilidad de las 37 razones financieras analizadas. Figura 7. Diagrama de RNA MLP 37-10-2 para determinar las empresas exitosas o no exitosas del sector comercial de la BMV. 24.4%

25.0%

24.0%

20.0% 15.5% 15.0%

10.0%

5.0%

38 GEO

37 Tasacrecutil

35 CashFO÷ PT

36 CashFO÷PCM

34 I, PyE÷ Inver

32 FinAjeno÷RecurFin

30 FlujoCap. Trab÷VN

31 Rec.Oper÷InterPag

28 CIF ÷ RN

29 FlujoResulN ÷ VN

27 DiviEfec÷ResEjerc.Ant.

25 ResN÷AF

26 ROper÷AT

23 RN÷ AT

24 RN÷ Capcont

21 Rot_CxC

22 ResNeto÷VN

20 CxC ÷(V/360)

18 VN÷AF

19 CostoVentas÷Inv

16 VN÷PT

17 VN÷ AT

15 PLP÷AF

13 VN÷ CapTrab

14 IntPag÷ResOper

11 P cir÷AT

12 PT÷CapCont

9 PMon. Ext.÷ PT

10 Capital Cont÷AT

7 PT÷AT

8 InterPag÷PconCosto

5 (AC-Inv)÷PC

6 VarFlujo Efec÷PT

3 AC÷PT

4 EfeceInv÷PC

1 AC÷ PC

2 AC÷ AT

0.0%

Fuente: Elaboración propia Fuente: Elaboración propia.

En el gráfico anterior se aprecia con mayor detalle la magnitud de sensibilidad que

En el gráfico anterior se aprecia con mayor detalle la magnitud de sensibilidad que tienen las 37 razones financieras para la RNA MLP 37-10-2. Para conocer el comportamiento de distribución que tiene cada una de estas tres razones financieras, se le aplicó la prueba K-S,6 con el propósito de Para conocer el comportamiento de distribución que tiene cada una de estas tres demostrar que los modelos paramétricos, en este caso el modelo ADM y Lo6 , con elmás propósito depara demostrar razones financieras, se le del aplicó prueba K-S git, no consideran todolalas razones financieras sensibles deter- que los

tienen las 37 razones financieras para la RNA MLP 37-10-2.

modelos paramétricos, en este caso el modelo ADM y Logit, no consideran del todo las 6

Prueba Kolmogorov- Smirnov, es una prueba no paramétrica que se utiliza para

determinar bondad de para ajustedeterminar de dos distribuciones de probabilidad entre sí.sino que solo razones financieras máslasensibles el desempeño financiero,

consideran aquellas que cumplen las condiciones que le solicitan para realizar el modelo, en Volumen 4, número 1, enero - junio 2014, pp. 35–64 55 este caso la normalidad. En la figura 8 se puede apreciar el histograma de estas razones.

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minar el desempeño financiero, sino que solo consideran aquellas que cumplen las condiciones que le solicitan para realizar el modelo, en este caso la normalidad. En la figura 8 se puede apreciar el histograma de estas razones. Figura 8. Histogramas de las razones financieras más sensibles determinada por la RNA MLP.

Razón 2: AC/AT

b) Razón 16: VN/PT

a) Razón 17: VN/AT

Fuente: Elaboración propia.

Al realizarse la prueba K-S, la única que cumplió con la prueba de normalidad fue

realizarse K-S, la única que cumplió con la prueba de ynormalidad laAl Razón 2, por la lo prueba que los indicadores financieros denominados Razón 16 Razón 17 no fue la Razón porcondición, lo que losmotivo indicadores financieros denominados Razón cumplieron con 2, esta por el cual los modelos ADM y Logit no16 los y Razón 17 no cumplieron con esta condición, motivo por el cual los modelos ADM y Logit no los consideraron. En la tabla 6 se puede se puede apreciar las que consideraron cada uno de los tres modelos analizados en estauno investigación. variables o razones financieras que consideraron cada de los tres modelos analizados en esta investigación.Tabla 6. Comparación de las razones financieras fueron determinados por Como se puede apreciar en la Tabla 6,quelas razones financieras el modelos modelos ADM, Logit y la RNA MLP para determinar las empresas exitosas o no exitosas del lo ADM y Logit consideraron casi las mismas razones financieras. El Modelo sector comercial de la BMV. ADM toma en cuenta seis razones financieras, mientras que el modelo Logit considera siete. El modelo Neuronal de RNA considero 37 razones financieras, pero las más sensibles en la determinación fueron tres, marcadas con un círculo para poder identificarlas con mayor rapidez, como se muestra en la quinta columna de la Tabla 6. Al comparar los tres modelos, se aprecia que el modelo ADM y Logit difieren en poco, pero entre los dos modelos anteriores y la RNA existen diferencias muy marcadas, porque solo coinciden en una de las tres razones

consideraron. En la tabla 6 se puede se puede apreciar las variables o razones financieras

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Tabla 6. Comparación de las razones financieras que fueron determinados por los modelos ADM, Logit y la RNA MLP para determinar las empresas exitosas o no exitosas del sector comercial de la BMV. Me di da s de l comporta mi ne to e mpre s a ri a l fi na nci e ro

Modelos Analizados Razones financieras

ADM Logit

1 AC÷ PC

RNA

2 AC÷ AT

Razones de Liquidez

3 AC÷PT 4 EfeceInv÷PC 5 (AC-Inv)÷PC 6 VarFlujo Efec÷PT 7 PT÷AT 8 InterPag÷PconCosto

9 PMon. Ext.÷ PT Razones de Apalancamient 10 Capital Cont÷AT 11 P cir÷AT o 12 PT÷CapCont 13 VN÷ CapTrab

Razones de Solvencia

14 IntPag÷ResOper 15 PLP÷AF 16 VN÷PT 17 VN÷ AT

Razones de actividad

18 VN÷AF 19 CostoVentas÷Inv 20 CxC ÷(V/360) 21 Rot_CxC 22 ResNeto÷VN 23 RN÷ AT

Razones de Rentabilidad

24 RN÷ Capcont 25 ResN÷AF 26 ROper÷AT 27 DiviEfec÷ResEjerc.Ant. 28 CIF ÷ RN 29 FlujoResulN ÷ VN

Razones de estado de cambio, de crecimiento y Generación de valor

30 FlujoCap. Trab÷VN 31 Rec.Oper÷InterPag 32 FinAjeno÷RecurFin 34 I, PyE÷ Inver 35 CashFO÷ PT 36 CashFO÷PCM 37 Tasacrecutil 38 GEO Nivel de clasificación

78%

81%

p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p 95%

Nota: p signif ica que es una razón f inanciera que toma encuenta el modelo

Nota: ü significa que es una razón financiera que toma en cuenta el modelo.

Fuente: Elaboración Elaboración propia. propia. Fuente:

Como se puede apreciar en la tabla 6, las razones financieras el modelo Volumen 4, número 1, enero - junio 2014, pp. 35–64 57 ADM y Logit consideraron casi las mismas razones financieras. El Modelo ADM toma en cuenta

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financieras que el modelo Neuronal determinó como de mayor sensibilidad, que fue la Razón 2 conocida como Activo Circulante entre Activo Total, mientras que la Razón 16 y la Razón 17 no fueron tomadas en cuenta por los otros modelos. Esto confirma la hipótesis planteada en esta investigación, ya que los modelos paramétricos solo determinan variables exógenas que cumplen con la normalidad dejando afuera aquellas que no cumplen este criterio, haciendo que estos modelos estén limitados al momento de considerar factores que son determinantes para describir las causas de un fenómeno, mientras que las Redes Neuronales Artificiales no están limitadas por estos supuestos, haciendo que esta técnica tenga ventajas sobre los modelos paramétricos.

6. Discusión sobre los resultados

En el análisis de sensibilidad determinada por la Red Neuronal Artificial Multicapas de Retropopagación con arquitectura 37:10:2 muestra que hay tres razones que son fundamentales para obtener el objetivo de estas empresas que son la Razón 2 definida como la relación entre Activo Circulante / Activo Total perteneciente a razones de Liquidez, la razón 16 perteneciente a razones de Solvencia que es definida como la relación de Ventas Netas / Pasivo Total, y la razón financiera de Actividad que es definida como la relación entre Ventas / Activo Total. Estas razones financieras se muestran en la Tabla 7. Tabla 7. Razones financieras que tienen mayor sensibilidad a la RNA MLP para determinar el desempeño de Éxito y No éxito en la BMV.

Razón 2

Razón 16

Razón 17

AC AT

VN PT

VN AT

Fuente: Elaboración propia.

En la Tabla 8, mediante la técnica de Redes Neuronales se puede deducir que hay cuatro elementos de los Estados Financieros —Activos Totales, Activo Circulante, Ventas Netas y Pasivos Totales— que son determinantes para que las empresas de la BMV del Sector comercial tengan éxito dentro de este mer-

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cado. Elementos que no podrían ser deducidos con las técnicas Discriminante Múltiple y Logit. Realizando un análisis de cada una de las razones utilizadas, y analizando los parámetros correspondientes a cada una de ellas, se puede ver que en la segunda columna se encuentran los indicadores que muestran que la empresa es exitosa y en la tercera columna se encuentran los parámetros que determinan que una empresa no es exitosa. Con este estudio se demuestra que al igual que trabajos realizados por Hansen y Messier (1991); Fanning y Cogger (1994); Bell et al. (1997); Koh (2004); Yildiz y Yezegel (2010); Roli (2012), y Ecer Faith (2013); que las RNA Perceptrón Multicapas son modelos con alta capacidad para poder clasificar a las empresas en sus desempeños financieros, basándose en sus razones financieras. Tabla 8. Parámetros de las razones financieras más sensibles para determinar su desempeño de las empresas de la BMV del sector comercial. Parametros del Desempeño

Razón financiera

Relación

Exitosa

No exitosa

Razón 2

AC/AT

≤ 0.31

≥ 0.62

Razón 16

VN/PT

≥ 4.19

≤3.06

Razón 17

VN/AT

≥ 1.76

≤0.96

Fuente: Elaboración propia.

A diferencia de estos estudios, este modelo no trata de encontrar quiebras financieras como los trabajados de Hansen y Messier (1991) y Fanning y Cogger (1994), que pretendían clasificar el desempeño financiero que provocaban la quiebra financiera. Sino que el enfoque de este trabajo fue determinar el desempeño de generación de valor dentro del mercado bursátil. Y aunque Roli (2012) realiza un estudio con 55 razones financieras para una institución crediticia de la India, superando la cantidad de razones financieras, de la presente investigación; este trabajo compara todo el sector comercial de un mercado bursátil. Además de que Roli (2010) utiliza las redes neuronales con el propósito de analizar cada razón como una serie de tiempo, y no como un clasificador de empresas al medir su desempeño. Volumen 4, número 1, enero - junio 2014, pp. 35–64

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La mayoría de los trabajos analizados en la revisión a la literatura fueron comparados con modelos Logit, árboles de decisión, modelos discriminante y modelos basados en teoría de juegos, y en todos los casos demostraron que esta técnica es una alternativa para poder medir el desempeño financiero de las empresas con mayor potencialidad, pero solo mostrando en sus respectivos casos el poder predictivo o clasificatorio. A diferencia de los trabajos mencionados, esta investigación, demuestra el potencial que tiene sobre técnicas multivariadas, como son los modelos Logit y discriminante, ya que como modelos clasificadores del desempeño financiero, estos consideraran solamente razones financieras que tengan un comportamiento gaussiano, y descartan las variables (o razones financieras) que no tengan estas características, dejando fuera muchas razones que por su naturaleza no se comporten así. Por lo anterior, al no depender de estas características las RNA pueden contribuir a la toma de decisiones del analista financiero al considerar razones financieras de todo tipo, y otras variables no tan solo de valor numérico, sino de tipo ordinal y en su caso hasta nominal.

Conclusiones

El objetivo de esta investigación fue determinar si los modelos de Redes Neuronales Artificiales de tipo MLP —basados en inteligencia artificial—, determinan las mismas razones financieras que los modelos de tipo paramétrico que permiten clasificar el desempeño financiero de las empresas del sector comercial de la BMV, en exitosas y no exitosas, como son las técnicas ADM y Logit, Se concluye en esta investigación que entre estas técnicas existen diferencias en la determinación de las razones financieras que permiten medir el desempeño financiero en exitoso y no exitoso ya que los modelos ADM y Logit se limitan a considerar solo indicadores o razones financieras que tienen comportamiento de distribución normal, excluyendo a las que no cumplen con estos supuestos; limitando con ello severamente la determinación de los factores reales en el logro de los objetivos, que en este caso es el éxito empresarial en este mercado. Para el caso que se analiza, se puede apreciar que los modelos ADM y Logit, no detectan que la Razón 16 dada por las Ventas Netas entre Pasivo Total, ni tampoco la Razón 17 que está dada entre las Ventas Netas entre Activo Total, son determinantes para conocer si una empresa es exitosa o no dentro del Sector Comercial de la Bolsa Mexicana de Valores. Y esto se comprueba con el

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poder de clasificación que tiene cada una de las técnicas pues el modelo ADM y Logit clasifican con una precisión del 78% y 81%; mientras que el modelo de la RNA MLP clasifica con una precisión del 95%. Con lo anterior, se puede afirmar que los modelos de Redes Neuronales Artificiales, son una alternativa que permite a los analistas financieros, a los administradores, a los accionistas y a los involucrados en este sector, contar con una herramienta que les da mayor certidumbre para la toma de mejores decisiones financieras y por ende de éxito o no éxito en cuanto al desempeño financiero de las empresas que administran.

Referencias bibliográficas Anandarajan , M., Lee, P. andAnandarajan, A. (2001). “Bankruptcy Prediction of Financially Stressed Firms: An Examination of the Predictive Accuracy of Artificial Neural Networks”. International Journal of Intelligent Systems in Accounting, Finance and Management 10 (2): 69–81.

Bell, T. (1997). “Neural Net or the Logit Model? A Comparison of Each Model’s Ability to Predict Commercial Bank Failures”. Intelligent Systems in Accounting, Finance, and Management, 249–264.

Bishop; C. (1997). Neural Networks for Pattern Recognition. Clerendon Press, Oxford, 1997, p. 123.

Dimitras, A. I., Zanakis, S. H. andZopounidis, C. (1996). “A Survey of Business Failures with an Emphasis on Prediction Methods and Industrial Applications”. European Journal of Operational Research 90 (3): 487–513.

Fanning, K. and K. Cogger. (1994). “A Comparative Analysis of Artificial Neural Networks Using Financial Distress Prediction.International Journal of Intelligent Systems in Accounting”. Finance & Management. Volume 3. Number 4. December. 241-252.

Ecer, Faith (2013). “Artificial Neural Networks In Predicting Financial Performance: An Application Forturkey›s Top 500 Companies”. Economic Computation & Economic Cybernetics Studies & Research. 2013, Vol. 47 Issue 2, p103-114.

Gu, Z. (2002). “Analyzing Bankruptcy in the Restaurantindustry: A Multiple Discriminant Model”. International Journal of Hospitality Management 21 (1): 25–42. Hansen, J. V. and. Messier, W. F. (1991). “Artificial Neural Networks: Foundations and Application to a Decision Problem”. Expert Systems With Applications: An International Journal: 135-141.

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Kim, H. andGu, Z. (2006a). “A Logistic Regression Analysis for Predicting Bankruptcy in the Hospitality Industry”. The Journal of Hospitality Financial Management 14 (1): 17–34 .

(2006b). “Predicting restaurant bankruptcy: A logit model in comparison with a discriminant model”. Journal of Hospitality & Tourism Research 30 (4): 474–493.

Koh, H. (2004). “Going Concern Prediction Using Data Mining Techniques”. Managerial Auditing Journal, 462–476.

Morales, J. (2007). “Razones financieras que describen y clasifican a las empresas financieramente exitosas del sector comercial que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores”. Tesis Doctoral, Universidad Autónoma de México. Roli, P. (2012). “Forecasting Financial Ratios for Credit Lending in Banks using Artificial Neural Network”. A case study of HDFC Bank”. Department of Management Studies, Maulana Azad National Institute of Technology, Bhopal (M.P.), India. Vol. 5. p.41-54. Rosenblatt, F. (1957). “The Perceptrón a Perceiving and Recognizing Automaton”. Report 85-460-1, Cornell Aeronautical Laboratory.

(1958). “The Perceptrón: A Probabilistic Model for Information Storage and Organization in the Brain”. Psychological Review, Vol 65(6), Nov 1958, 386-408.

Sirakaya, E., Delen, D. and Choi, (2005). “Forecasting Gaming Referenda”. Annals of Tourism Research 32 (1): 127–149. SPSS. (2007). SPSS Neural Networks 17.0. Chicago, IL.: SPSS Inc

Westwick, C.A. (1987): Manual para la aplicación de los ratios de gestión, España, Edit Deusto.

Wu, W., Lee, V. C. S. and Tan, T. Y. (2006). “Data Preprocessing and Data Parsimony in Corporate Failure Forecast Models: Evidence from Australian materials industry”. Accounting and Finance 46 (2): 327–345. Yildiz, B; y Yezegel; A. (2010). International Journal of Business & Finance Research. (IJBFR). 2010, Vol. 4 Issue 1, p149-158. 10p.

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ANEXO I ANEXO I Arquitecturas Neuronales analizadas con alto desempeño en la clasificación Arquitecturas Neuronales analizadas condel altoSector desempeño en la clasificación en para el en las empresas Exitosas y No exitosas Comercial de la BMV las empresas Exitosas y período No exitosasde del1995-2005. Sector Comercial de la BMV para el período de 1995-2005

Número

Arquirectula RNA

Desempeño entrenamiento (%)

Desempeño de comprobación (%)

Algoritmo de Entrenamiento

Función de Error

Activación capa Oculta

Activación Capa Salida

MLP 37-14-2

94.44444

81.35593

BFGS 28

Entropy

Logistic

Softmax

MLP 37-23-2

90.07937

81.35593

BFGS 29

Entropy

Tanh

Softmax

MLP 37-18-2

96.82540

88.13559

BFGS 47

SOS

Logistic

Identity

MLP 37-10-2

98.41270

83.05085

BFGS 35

Entropy

Logistic

Softmax

MLP 37-9-2

99.20635

83.05085

BFGS 44

Entropy

Logistic

Softmax

MLP 37-16-2

67.46032

77.96610

BFGS 12

Entropy

Exponential

Softmax

MLP 37-22-2

97.22222

81.35593

BFGS 39

Entropy

Tanh

Softmax

MLP 37-11-2

96.82540

84.74576

BFGS 53

SOS

Logistic

Exponential

MLP 37-23-2

99.20635

81.35593

BFGS 43

Entropy

Tanh

Softmax

MLP 37-10-2

100.00000

89.83051

BFGS 57

Entropy

Logistic

Softmax

MLP 37-11-2

97.61905

84.74576

BFGS 58

SOS

Logistic

MLP 37-9-2

80.95238

81.35593

BFGS 19

SOS

Tanh

Logistic

MLP 37-8-2

88.49206

81.35593

BFGS 31

SOS

Logistic

MLP 37-16-2

96.82540

88.13559

BFGS 49

SOS

Logistic

Tanh

MLP 37-13-2

86.50794

77.96610

BFGS 59

SOS

Exponential

Logistic

Nota: arquitectura sombreada fue la RNA Perceptron considerada en estaconsiderada investigación por capacidad Nota:LaLa arquitectura sombreada fue la RNAMulticapas Perceptrón Multicapas ensuesta de clasificación, supor menor de nodos en la capa oculta,su su menor capacidad de no sobre y que sus investigación su número capacidad de clasificación, número de entrenamiento, nodos en la capa funciones de trasferencias de desarrollar. oculta, su capacidadson de fáciles no sobre entrenamiento, y que sus funciones de trasferencias

son fáciles de desarrollar. Fuente: Elaboración propia basado en los resultados de las diferentes arquitecturas propuestas.

Fuente: Elaboración propia basado en los resultados de las diferentes arquitecturas propuestas.

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Interrelaciones y causalidad entre los principales mercados de capitales en América Latina: un enfoque de Series de Tiempo

César Gurrola Ríos* Roberto Santillán Salgado** Ana Lorena Jiménez Preciado*** Fecha de recepción: 25 de octubre de 2013 Fecha de aprobación: 30 de diciembre de 2013

***

Universidad Juárez del Estado de Durango Facultad de Economía, Contaduría y Administración cgurrola@ujed.mx Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de Monterrey EGADE Business School roberto.santillan@itesm.mx Instituto Politécnico Nacional Escuela Superor de Economía ana_jzp@hotmail.com

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Resumen Los mercados accionarios de los países emergentes pueden caracterizarse como más volátiles e inestables que los de los países industrializados pero, en cambio, prometen al inversionista retornos más elevados. Adicionalmente, el comportamiento de sus rendimientos ha demostrado tener una mayor sensibilidad ante acontecimientos internacionales y de carácter global. Por lo tanto, con alguna frecuencia se observan reacciones desproporcionadas en el comportamiento de las bolsas de los países emergentes en el corto plazo como resultado de influencias del extranjero. En este estudio se ofrece un análisis sobre las interrelaciones y causalidad entre los principales mercados accionarios de América Latina: México, Brasil, Argentina y Chile, en el periodo de agosto de 2003 a julio de 2013. Para ello, se utilizan diversas técnicas econométricas: Vectores Autorregresivos (VAR), Pruebas de Causalidad de Granger, Descomposición de Varianza y la representación gráfica del modelo de Estimulo Respuesta. Clasificación JEL: C32, G15

Palabras clave: causalidad en mercados de capitales, América Latina, vectores autorregresivos Interrelations and causality among the main capital markets in Latin America: a Time Series approach

Abstract The stock markets of emerging countries are characterized as more volatile and unstable than those of industrialized countries but, in exchange, they promise higher returns to the investor. Additionally, the behavior of their returns has shown greater sensibility to international and global events. Because of that, with some frequency, there are disproportionate reactions in the behavior of emerging stock markets in response to foreign influences. In this study we present an analysis of the interrelations and causality among the main stock exchanges in Latin America: Mexico, Brazil, Argentine and Chile. To that end, we use Vector Autoregressive (VAR), Granger Causality, Variance Decomposition and the graphical representation of the Impulse-Response model. JEL Classification: C32, G15 Key words: causality in capital markets, Latin America, vector autoregressive

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Introducción

a desregulación de muchas industrias, el libre flujo de capitales y la cada vez mayor interrelación entre los mercados de distintos países están presentes en todos los sectores de la actividad económica. Sin embargo, su manifestación es más intensa y dinámica en el sector financiero, particularmente como resultado de la ola de procesos de desregulación financiera emprendidos por la mayoría de los países y de los avances tecnológicos en la transmisión y procesamiento de datos. La evidencia disponible sugiere que la integración entre los mercados financieros de los países se vuelve cada vez más profunda. En este trabajo se presenta un estudio de las relaciones observadas en los rendimientos de los principales mercados de capitales en América Latina, entre agosto de 2003 y julio de 2013. Se utilizan las técnicas de Vectores Autorregresivos y pruebas de causalidad de Granger para analizar los rendimientos de las bolsas de valores de México, Brasil, Argentina y Chile, y así determinar si, efectivamente, existe evidencia de una relación de causalidad entre los rendimientos de los mercados considerados. Los resultados obtenidos sugieren que los rendimientos del mercado mexicano son menos propensos a verse afectados ante las innovaciones del resto de las bolsas de valores de la muestra. En contraste, las perturbaciones observadas en el IPC se ven reflejadas con mayor intensidad sobre los rendimientos de los mercados accionarios de Brasil, Argentina y Chile. A su vez, cabe destacar que el índice bursátil que parece mostrar un mayor impacto sobre el IPC, es el chileno. El resto del documento está organizado de la manera siguiente: en la primera sección se presenta una revisión de la literatura relevante que sustenta este trabajo; en las segunda y tercera secciones se presentan los aspectos metodológicos de la investigación, los detalles técnicos de la modelación econométrica, y el análisis de los resultados. Finalmente, se ofrecen las conclusiones.

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1. Revisión de Literatura El tema de las relaciones entre mercados nacionales comenzó a estudiarse durante la segunda mitad del siglo XX. Eun y Shim (1989), se referían ya a distintos trabajos en los cuales se había estudiado el efecto favorable de la diversificación internacional sobre la volatilidad de los rendimientos de un portafolios. En su trabajo citaban a Grubel (1968), Granger y Morgenstern (1970), Ripley (1973), Lessard (1974), Panton, Lessig y Joy (1976) y Hilliard (1979), y afirmaban que a pesar de la diversidad de enfoques metodológicos utilizados por cada uno de esos autores, todos habían encontrado: 1) correlaciones sorprendentemente bajas entre distintos mercados nacionales y 2) que correspondía a los factores nacionales un rol importante en el proceso de generación de rendimientos. Hasta aquella época, la literatura sobre el tema se había preocupado principalmente por demostrar que la interdependencia entre los rendimientos accionarios era mucho menos pronunciada entre países que al interior de un mismo país, y de ahí surgía precisamente el argumento que subrayaba las ventajas de la diversificación internacional de portafolios por encima de la diversificación doméstica solamente. No obstante, se prestaba poca atención a la estructura de interdependencia entre mercados nacionales. Por lo mismo, dichos autores investigaron los mecanismos de transmisión de los movimientos internacionales de los mercados accionarios con un sistema de nueve Vectores Autorregresivos (VAR) y utilizaron respuestas simuladas para estimar las respuestas del sistema. Los resultados obtenidos les permitieron: 1) localizar los principales canales de interacción entre los mercados accionarios nacionales; y, 2) trazar las respuestas dinámicas de un mercado a las innovaciones que tenían lugar en algún otro mercado. Los autores reportaron haber detectado una interacción sustancial entre mercados y concluyeron que el dinamismo de las respuestas identificadas es consistente con la noción de eficiencia informativa en los mercados internacionales. Hasta hace relativamente poco tiempo, los mercados emergentes mostraban una baja correlación entre sí y con respecto al comportamiento de los mercados de los países desarrollados, situación que los inversionistas aprovechaban para diversificar sus carteras. Sin embargo, como resultado de un creciente número de iniciativas de integración económica y comercial en distintas regiones geográficas (e.g., la Unión Europea, ASEAN, NAFTA, etcétera), de la eliminación de barreras a los flujos de inversión extranjera de portafolios, de la desregulación financiera y

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de una notable mejoría en los sistemas de información y procesamiento de información, se ha observado una mayor similitud en el comportamiento de los rendimientos de los distintos mercados de capital, y los beneficios tradicionalmente atribuidos a la diversificación internacional de portafolios han disminuido en el tiempo (ver, por ejemplo, los trabajos de: Claire G. Gilmore, y Ginette M. McManus, 2004; Raj Aggarwal y NyoNyo Kyaw 2005; Ali Darrat y Maosen Zhong, 2005, López-Herrera, Santillán-Salgado y Ortiz 2013). Algunos autores incluso han sugerido que, adicionalmente a los factores del entorno económico y tecnológico que han promovido una creciente integración internacional de los mercados accionarios, la ocurrencia de episodios internacionales excepcionales también ha favorecido ese proceso. Por ejemplo, Arshanapalli y Doukas (1993), estudiaron las interrelaciones entre los cinco mayores mercados bursátiles del mundo, antes y después del crash de 1987, en el intervalo 1980-1990. Utilizando pruebas de cointegración para toda la muestra detectan que los mercados de Japón, Reino Unido y Francia están cointegrados con el mercado americano. Sin embargo, no observan relaciones de cointegración entre los mercados europeos y el japonés. Los mismos autores no detectan relaciones de cointegración antes del crash, pero sí después, al igual que para todo el periodo completo. En el periodo posterior al crash, el estudio sugiere una relación de causalidad en un sentido, de USA hacia los países europeos, adicionalmente que se ha incrementado el grado de integración internacional, excepto en el caso de Japón. En el mismo sentido, Malliaris y Urrutia (1991). examinaron las relaciones de causalidad entre los índices diarios de seis mercados desarrollados (el S&P 500 de Nueva York; el Nikei de Tokio; el FT-30 de Londres; el Hang Seng de Hong Kong; y el All Ordinaries de Sydney). Para ello llevaron a cabo pruebas de causalidad bi-direccional antes, durante y después del crash bursátil internacional de octubre de 1987 mediante la metodología de Granger. Los resultados indicaron que prácticamente no existieron relaciones “hacia adelante o hacia atrás” (lead-lag) durante los periodos previo y posterior al crash. Pero durante el mes del evento (octubre) y el mes siguiente (noviembre), sí se observaron relaciones de retroalimentación y de causalidad unidireccional. El interés por conocer mejor la dinámica interna de los mercados emergentes y su integración con otros mercados, tanto desarrollados cuanto también emergentes, ha fructificado en una lista importante de trabajos de los cuales en este artículo se mencionarán solamente algunos para no perder la atención sobre el tema que nos ocupa. Un primer ejemplo es el de Cashin, Kumar y McDermot (1995), quienes investigaron empíricamente el nivel de Volumen 4, número 1, enero - junio 2014, pp. 65–88

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integración internacional que existía entre los mercados industrializados y los mercados emergentes. Específicamente, ese trabajo analizó el efecto de liberalizar los controles sobre los flujos internacionales de capital, particularmente hacia los países emergentes, la desregulación financiera y el relajamiento de los controles de cambio desde finales de los años 1980s sobre la integración de distintos mercados. En primer lugar, se centra en la medición de la similitud existente en el comportamiento de los precios de las acciones entre países y regiones en el largo plazo; y, en segundo lugar, estudia la fuerza con la que se presentan los efectos de “contagio” entre países. Los resultados reportados por estos autores sugieren que en los años recientes los vínculos intrarregionales e interregionales se han fortalecido. Adicionalmente, utilizando funciones de impulso-respuesta, demuestran que los efectos de contagio causados por eventos en un país determinado tienden a disiparse en unas cuantas semanas, en tanto que los efectos de contagio provocados por shocks globales permanecen durante varios meses. Se reporta que las pruebas de Raíces Unitarias aplicadas a los distintos mercados nacionales siguen una “caminata aleatoria” y, por lo tanto, se requiere de un Análisis de Cointegración para analizar el co-movimiento entre índices. Con base en los resultados de pruebas de Cointegración se infiere que la integración entre los mercados emergentes se ha intensificado desde el comienzo de los años 1990s, pero que los mercados de los países industrializados ya se encontraban bastante integrados al inicio de ese periodo. Concluyen que existe suficiente evidencia de que la creciente integración de los mercados de capitales ha sido consecuencia de una creciente regionalización de los mercados nacionales, y ha resultado en vínculos más fuertes entre algunos mercados emergentes y aquellos países industrializados que comparten una misma región geográfica. Asimismo, sugieren que los vínculos inter-regionales entre países emergentes y países industrializados también se ha fortalecido. Un segundo ejemplo de la misma línea de investigación es el trabajo de Soydemir (2000), quien analizó los patrones de transmisión de los movimientos de los mercados bursátiles, entre países desarrollados y economías emergentes. Para ello utilizó un modelo de Vectores Autorregresivos de cuatro variables, con base en el cual concluyó que algunas variables macroeconómicas fundamentales, tales como las importaciones y las exportaciones, juegan un papel determinante en las diferencias observadas en la transmisión de los movimientos entre distintos mercados. En cuanto a los resultados obtenidos mediante la utilización de las funciones “impulso-respuesta” y la descomposición de la varianza se reporta que existen vínculos significativos entre los mercados

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accionarios de los Estados Unidos y México, así como también vínculos más débiles entre el mercado norteamericano, y los mercados argentino y brasileño. Las diferencias observadas en los patrones de respuesta de distintos mercados accionarios son consistentes con diferencias en sus flujos comerciales. Otro hallazgo indica que la respuesta que tiene lugar en el mercado de capitales de un país emergente cuando tiene lugar un shock en el mercado norteamericano es de mayor duración que la que resulta de un shock en otro mercado desarrollado como el del Reino Unido. Mientras que ningún mercado emergente puede afectar al mercado norteamericano, el efecto combinado de los países emergentes sobre el mercado de los Estados Unidos resultó estadísticamente significativo. Los hallazgos de este autor pueden relacionarse con la distinta velocidad de procesamiento de información y de las estructuras institucionales que prevalecen en los diferentes mercados. En conjunto, los autores concluyeron que la transmisión de movimientos entre mercados de capital tiene lugar de acuerdo con los fundamentales económicos, más que con efectos irracionales de contagio. En la misma línea de investigación de cómo algunos acontecimientos extraordinarios que pueden haber influido en la vinculación de distintos mercados, también se ha explorado el efecto que tuvo la crisis del Sudeste Asiático en 1997 sobre las relaciones internacionales de los mercados de capitales. Por ejemplo, Sheng y Tu (2000), utilizaron técnicas de cointegración y de descomposición de varianza para examinar los vínculos entre los mercados accionarios de 12 países de la región Asia-Pacífico, antes y durante el periodo de la crisis financiera del año 1997. Mediante la utilización de cointegración multivariada y pruebas de corrección de errores, estos autores encontraron evidencia de la existencia de relaciones de cointegración entre los mercados nacionales estudiados durante, pero no antes, del periodo de la crisis. Durante ese periodo, la relación entre países del Sudeste Asiático fue más fuerte que la observada entre los países del Noreste Asiático. Adicionalmente, la descomposición de varianzas reveló el “grado de exogeneidad” de todos los índices se había reducido, implicando que ninguno de los países había sido “exógeno” a la crisis financiera. O bien, el estudio de Tan (1998) que analiza ocho mercados bursátiles del sudeste asiático durante el periodo 1995-1998 y verifica el efecto contagio durante la crisis financiera asiática utilizando un modelo de corrección de error y la función impulso respuesta y la descomposición de la varianza del error de predicción. Baig y Goldfajn (1999), contrastan la existencia de contagio entre los mercados más relacionados con la crisis asiática (Tailandia, Malasia, Indonesia, Corea y Filipinas) durante el Volumen 4, número 1, enero - junio 2014, pp. 65–88

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periodo 1995-1998, concluyendo que durante el periodo de inestabilidad los mercados tienden a moverse conjuntamente, que los shocks generados en un mercado se transmiten al resto con cierta rapidez y, por último, descartan a las variables fundamentales como elementos determinantes en el movimiento de los mercados a favor de un efecto contagio. En fecha más reciente, la Crisis Financiera originada en el segmento de las Hipotecas de Baja Calidad (subprime) en los Estados Unidos, al representar un episodio más de turbulencia extraordinaria en los mercados internacionales, también fue objeto de atención por parte de varios autores. Por ejemplo, Tudor (2011) estudió las tendencias comunes de largo plazo y los mecanismos de interacción de corto plazo entre los mercados de capitales de seis países de Europa Central y Europa del Este, con respecto a los Estados Unidos, dando atención especial a los efectos derivados de la Crisis. La autora utilizó modelos de Vectores Autorregresivos (VAR), pruebas de Cointegración y pruebas de Causalidad de Granger. Para llevar a cabo su análisis, dividió la muestra en dos sub-muestras, con la intención de capturar la manera cambiante en el tiempo como evolucionó el proceso de integración en la zona de la Comunidad Económica Europea antes y durante la crisis. Todas sus pruebas confirmaron que existen fuertes interrelaciones entre todos los mercados de la muestra durante la Crisis, lo que significa que los beneficios de la diversificación internacional de portafolios prácticamente desaparecieron durante la turbulencia financiera. Sin embargo, las fuertes interdependencias que se hicieron presentes durante la crisis no necesariamente implican que las economías de la muestra comparten las mismas relaciones de equilibrio de largo plazo. Por lo tanto, la permanencia de una integración más intensa entre los países estudiados en el largo plazo quedaría por comprobarse y, en ese sentido, enfatiza la importancia de dar atención a su evolución en futuros estudios que expandan la muestra con una submuestra que incluya datos posteriores a la Crisis. En el contexto Latinoamericano diversos estudios también han abordado el tema de la relación de los mercados de capitales, como ejemplo podemos citar los trabajos de Porras-González (2004), Bernardi (2005) y Brugger y Ortiz (2012). En el primero de ellos se analizan las relaciones de los mercados accionarios de Argentina, Brazil, Chile, Colombia, México, Perú, Venezuela y los índices del NYSE y el Dow Jones; en la búsqueda de confirmar la cointegración entre los respectivos países de América Latina y el mercado de capitales estadounidense. Los resultados sugieren la existencia de cointegración entre los mercados de México, Venezuela y los dos índices norteamericanos,

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pero no así para los mercados de Argentina, Brasil, Chile, Colombia y Perú. La autora argumenta, que los resultados encontrados se pueden entender, en el caso del primer grupo, en función de ciclos económicos similares o bien ante la presencia de estrechas relaciones comerciales y pocas restricciones a los flujos de capital. En cuanto al segundo grupo, ante la posibilidad de que los factores domésticos son más importantes que los factores internacionales, la presencia de imperfecciones de mercado o simplemente, ante el desarrollo de relaciones económicas más importantes con países distintos de los Estados Unidos. Bernardi (2005), estudia la existencia de contagio financiero en países emergentes durante las crisis financieras de México, Asia, Rusia y Argentina. Con especial énfasis en Argentina, Brasil, México y Venezuela los resultados del estudio sugieren que el efecto de contagio es débil, y aunque las correlaciones de variación temporal son difíciles de reconciliar con los factores financieros y reales, esto no permite concluir que haya existido contagio entre estos países durante los períodos de crisis analizados. El autor sugiere que el fenómeno comúnmente llamado “contagio financiero” podría explicarse a la luz de los errores en la política financiera doméstica, que simplemente ha sido copiada a través de los países afectados en respuesta a los choques económicos comunes y que han afectado a países con características similares. En la misma línea, Brugger y Ortiz (2012) examinan la relación entre el desempeño de las bolsas latinoamericanas de valores y el comportamiento de su economía para los casos de Argentina, Brasil, Chile y México. En particular, el estudio analiza la relación econométrica entre los rendimientos bursátiles de los mercados de capital de los países y el comportamiento del Producto Interno Bruto. Los principales resultados del estudio sugieren una relación débil entre las variables domésticas por un lado y por otro, que para todos los casos, con excepción de México, se confirma un ligero impulso positivo de la bolsa al PIB.

2. Aspectos Metodológicos

Para obtener evidencia empírica sobre la naturaleza de la relación lineal entre los rendimientos de los principales mercados de capitales de América Latina, se estima un modelo de Vectores Autorregresivos. En particular, el modelo permite examinar la forma en que los rendimientos del IPC de la BMV responden a shocks en los rendimientos de los índices accionarios IBOVESPA, MERVAL e IPSA. Los datos incluidos en la modelación corresponden a los Volumen 4, número 1, enero - junio 2014, pp. 65–88

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rendimientos logarítmicos calculados a partir de los precios de cierre de los índices, reportados en Economática; los valores se expresan en periodicidad mensual, para un total de 119 observaciones comprendidas entre agosto de 2003 y julio de 2013. La Figura 1 ofrece un panorama descriptivo de las series consideradas en el estudio. En dicha Figura se aprecia un comportamiento relativamente estable, con importantes racimos de volatilidad alrededor de episodios económicos relevantes, de corte internacional. Por ejemplo, el impacto de la crisis subprime fue notable en tres de los cuatro mercados: México, Brasil y Argentina. Sorprendentemente, para el mercado chileno el crítico mes de septiembre de 2008, con la quiebra de Lehman Brothers y otros graves acontecimientos financieros relacionados, pasó desapercibido. Por el contrario, el impacto durante ese mes fue notablemente más intenso en el caso de la Bolsa de Buenos Aires, con una baja de casi 20%. En los casos de México y Brasil, los FiguraFigura 1.Comportamiento Comportamiento gráfico de series laslas series dedetiempo. Figura 1. gráfico de las de tiempo 1. Comportamiento gráfico de series tiempo

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4. Modelación 4. Modelación Econométrica 74 Econométrica

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En primera instancia y a partir de losde brincos observados en el comportamiento de de En primera instancia y a partir los brincos observados en el comportamiento

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rendimientos de los índices bursátiles en el mismo mes fueron de aproximadamente -8% en el caso del primero y poco menos de -10% para el segundo.

3. Modelación Econométrica

En primera instancia y a partir de los brincos observados en el comportamiento de las series de tiempo utilizadas en la modelación y mostrados en la Figura 1, se procedió a evaluar la estabilidad de los parámetros con la intención de evitar la obtención de relaciones espurias.1 Una forma de comprobar la posible inestabilidad de los coeficientes es verificando el comportamiento de los residuos recursivos2 de cada variable. Para ello se hace uso de las prueba CUSUM,la cual permite demostrar que la secuencia de una serie a través del tiempo tiene un valor esperado de cero, bajo la hipótesis nula de estabilidad de los coeficientes de regresión; en caso de que exista inestabilidad, entonces los parámetros del modelo serán constantes sólo hasta determinado momento en el tiempo. La Figura 2 muestra la prueba CUSUM para las series de los rendimientos de los índices accionarios de México, Brasil, Argentina y Chile, en donde se observa un gráfico de los residuos —o la suma acumulada de estos— en el tiempo, que permite verificar desviaciones sistemáticas de los residuales. Los puntos de la serie que salgan de la banda de confianza sugerirán posibilidad de inestabilidad en los coeficientes y por tanto, la necesidad de hacer un cambio estructural en el planteamiento econométrico. Como se puede apreciar en la Figura 2, la prueba sugiere que existe estabilidad en los parámetros durante el periodo de estudio.

La presencia de cambios estructurales –rompimientos en la tendencia de la media como consecuencia de acontecimientos económicos, políticos o sociales que afectan a una economía durante el periodo de estudio- puede afectar los resultados de las pruebas de raíz unitaria y del VAR (Presno y López, 2001). Diferencia estandarizada entre el valor actual de la variable dependiente en el momento t y el valor del pronóstico, de tal forma que se obtiene una regresión robusta para todas las observaciones previas a t.

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de hacer un cambio estructural enplanteamiento el planteamiento econométrico. seapreciar puede apreci de de hacer hacer unun cambio cambio estructural estructural en en el el planteamiento econométrico. econométrico. Como Como seComo se puede puede apreciar

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Posteriormente, Posteriormente, utilizamos utilizamos la la especificación especificación econométrica econométrica queque se se presenta presenta en en la la Posteriormente, utilizamos la especificación econométrica que se presenta en Posteriormente, utilizamos la especificación econométrica que se presenta Ecuación Ecuación (1),(1), para para evaluar evaluar la la forma forma en en queque loslos rendimientos rendimientos deldel IPC IPC reaccionan reaccionan ante ante en la Ecuación (1), para evaluar la forma en que los rendimientos del IPC Ecuación (1), para evaluar la forma en que los rendimientos del IPC reaccionan an innovaciones innovaciones deldel IBOVESPA, IBOVESPA, MERVAL MERVAL IPSA. e IPSA. MERVAL e IPSA. reaccionan ante innovaciones del eIBOVESPA, innovaciones del IBOVESPA, MERVAL e IPSA. (1)(1) ∑∑ (1) ∑ (1)

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Prueba de Dickey-Fuller Aumentada para lostoma índices. e solamente toma enTabla cuenta el intercepto, comoque también en la(ADF) prueba enintercepto, como tam e toma en cuenta el intercepto, prueba como que solamente también en toma la prueba en cuenta queeltoma intercepto, en como también en la prue cuenta intercepto y la tendencia. cuenta el intercepto y laeltendencia. ntercepto y la tendencia. CON INTERCEPTO y la tendencia. cuenta el intercepto y la tendencia. Rendimientos Mensuales

Tabla 1. Prueba de Dickey-Fuller Variables t estadísticoAumentada (ADF) p(ADF) value Valores Tabla 1. Prueba de críticos Dickey-Fuller Aumentada (ADF Tabla 1. Prueba de Dickey-Fuller para los índices 1% level 5% level 10%(ADF) level para los índices 1. Prueba de Dickey-Fuller Aumentada (ADF) Tabla para1.los Prueba índices de Dickey-Fuller Aumentada

CON INT IPC CON -9.5140 -3.4866 -2.8861 -2.5799 CON INTERCEPTO INTERCEPTO 0.0000 CON INTERCEPTO CON INTERCEPTO Rendimien IBOVESPA -8.4888 -3.4866 -2.8861 -2.5799 Rendimientos Mensuales Rendimientos Mensuales 0.0000 Rendimientos Mensuales Rendimientos Mensuales MERVAL -9.6755 0.0000 -3.4866 -2.8861 -2.5799 Valores críticos Variables t estadístico (ADF) Valores críticosVariables Valores estadístico (ADF) p value críticos Variables t estadístico p value IPSA (ADF) -10.3741 0.0000 -3.4866 t -2.8861 -2.5799 t estadístico (ADF) p value Variables 1% level t estadístico 1% l 5% level(ADF) 10% level p value 1% level 5% level 10% level 1% level 5% level 10% IPC -9.5140 IPC -9.5140 0.0000 -3.4 IPC -9.5140 0.0000 -3.4866 -2.8861 -2.5799 CON INTERCEPTO Y TENDENCIA -9.5140 0.0000 -3.4866 IPC -2.8861 -2.5799 -9.5140 0.0000 -3.4866 -8.4888 -2.8861 -2 IBOVESPA Rendimientos Mensuales 0.0000 -3.4 IBOVESPA -8.4888 0.0000 -3.4866IBOVESPA -2.8861 -2.5799 -8.4888 -8.4888 0.0000 -3.4866 IBOVESPA -2.8861 -2.5799 -8.4888 0.0000 -3.4866 -9.6755 -2.8861 -2 MERVAL -9.6755 0.0000 -3.4 MERVAL -9.6755estadístico (ADF) 0.0000 p value -3.4866 MERVAL -2.8861 -2.5799 Valores0.0000 críticos -9.6755Variables t 0.0000 -3.4866 MERVAL-2.8861 -2.5799 -9.6755 -3.4866 -10.3741 -2.8861 -2 IPSA -10.3741 0.0000 -3.4 1% level -2.5799 5% level 10% level IPSA -10.3741 0.0000 -3.4866 IPSA -2.8861 -10.3741 0.0000 -3.4866 IPSA -2.8861 -2.5799 -10.3741 0.0000 -3.4866 -2 CON-2.8861 INTERCEP CON INTERCEPTO Y TENDENCIA CON INTERCEPTO Y TENDENCIA IPC -9.7393 0.0000 -4.0377 -3.4483 -3.1493 CON INTERCEPTO Y TENDENCIA CON INTERCEPTO Y TENDENCIA Rendimien Rendimientos Mensuales Rendimientos Mensuales0.0000 IBOVESPA -8.7984 -4.0377 -3.4483 -3.1493 Rendimientos Mensuales Rendimientos Mensuales MERVAL -9.6594 0.0000 Valores -4.0377 -3.4483 -3.1493 críticos Variables t estadístico (ADF) Valores críticosVariables Valores t estadístico (ADF) p value críticos Variables t estadístico (ADF) p value IPSA -10.4471 0.0000 -4.0377 -3.4483 -3.1493 t estadístico (ADF) p value Variables 1% level t estadístico 1% l 5% level(ADF) 10% level p value 1% level 5% level 10% level 1% level 5% level 10% IPC -9.7393 IPC 0.0000 -4.0 IPC -9.7393 0.0000 -4.0377 -3.4483 -3.1493 -9.7393 -9.7393 0.0000 -4.0377 IPC -3.4483 -3.1493 -9.7393 0.0000 -4.0377 -8.7984 -3.4483 -3 Fuente: elaboración propia con salida del E-views. IBOVESPA 0.0000 -4.0 IBOVESPA -8.7984 0.0000 -4.0377IBOVESPA -3.4483 -3.1493 -8.7984 -8.7984 0.0000 -4.0377 IBOVESPA -3.4483 -3.1493 -8.7984 0.0000 -4.0377 -9.6594 -3.4483 -3 MERVAL 0.0000 -4.0 MERVAL -9.6594 0.0000 -4.0377 MERVAL -3.4483 -3.1493 -9.6594 -9.6594 0.0000 -4.0377 MERVAL-3.4483 -3.1493 -9.6594 0.0000 -4.0377 -10.4471 -3.4483 -3 IPSA Volumen 4, número 1, enero - junio 2014, pp. 65–88-4.0377 77 0.0000 IPSA -4.0 IPSA -10.4471 0.0000 -3.4483 -3.1493 -10.4471 -10.4471 0.0000 -4.0377 IPSA -3.4483 -3.1493 -10.4471 0.0000 Fuente: -4.0377elaboración -3.4483 pro -3

Fuente: elaboración propia con salida del Fuente: elaboración propia con salida del E-views Fuente: elaboración propia con salida del E-views Fuente: elaboración propia con salida del E-views

EstocĂĄstica

FINANZAS Y RIESGO La estacionariedad encontrada en nuestra muestra escon consistente con los resultado La estacionariedad encontrada en nuestra muestra es consistente los resultados

el trabajo de Brugger ysobre Ortizmuestra sobre el comportamiento de mercado Lareportados estacionariedad encontrada enennuestra es con losresultados reportados en el trabajo de en Brugger yencontrada Ortiz (2012) el(2012) comportamiento decon mercados La estacionariedad nuestra muestra es consistente consistente los La estacionariedad encontrada en nuestra muestra es consistente con los resu resultados reportados enencontrada el trabajoen denuestra Brugger y Ortizes(2012) sobrecon el combursĂĄtiles Latinoamericanos. La estacionariedad muestra consistente los resultados bursĂĄtiles Latinoamericanos. reportados en el trabajoencontrada de Brugger ynuestra Ortiz (2012) sobre el comportamiento de mercados La estacionariedad en muestra es consistente con los resultados reportados en el bursĂĄtiles trabajo de Latinoamericanos. Brugger y Ortiz (2012) sobre el comportamiento de me portamiento de mercados reportados en En el trabajo de Brugger y Ortiz (2012) sobre el comportamiento de mercados la construcciĂłn del modelo de Vectores Autorregresivos se incluyeron lo bursĂĄtiles Latinoamericanos. En la del modelo de Vectores Autorregresivos incluyeron reportados enconstrucciĂłn el trabajo Brugger y Ortiz (2012)Autorregresivos sobre el comportamiento de mercados En la construcciĂłn delde modelo de Vectores seseincluyeron los bursĂĄtiles Latinoamericanos. bursĂĄtiles Latinoamericanos. , el , el y el como rendimientosdel del comovariables varia- endĂłgenas d los rendimientos bursĂĄtiles En , lael construcciĂłn, del Vectorescomo Autorregresivos se incluyeron los el modelodelde y el variables endĂłgenas dese incluyer rendimientos del Latinoamericanos. En la construcciĂłn modelo de Vectores Autorregresivos bles endĂłgenas de forma cada de una supone una ecuaciĂłn que En forma la construcciĂłn del modelo Autorregresivos se incluyeron los tal quetalcada unaque supone unaVectores ecuaciĂłn que contiene k contievalores rezagados d , elde , el que contiene y el k valores como variables endĂłgenas de rendimientos del supone tal forma ne que cada una unamodelo ecuaciĂłn rezagados de los3. endĂłge la construcciĂłn incluyeron ;como dichas kEn valores rezagados , el de Vectores , el Autorregresivos y el se variables rendimientos del , el, el como variables endĂłgenas rendimientos , del e , el3 ; dichas yvariables se estiman mediante MCO de En form 3. tal forma que cada una supone una En ecuaciĂłn que contiene kMCO valores de forma las ecuaciones del variables setal estiman , rendimientos , del e, el mediante dichasMCO. variables seuna mediante Enkrezagados forma , el yestiman elexplĂcita, como variables endĂłgenas de rezagad forma que ; cada una supone ecuaciĂłn que contiene valores tal forma que cada una supone una ecuaciĂłn que contiene k valores rezagados de explĂcita, las ecuaciones del modelo VAR se explicitan de la siguiente manera: modelo VAR se explicitan dee la siguiente , que , una supone ;ecuaciĂłn dichasmanera: variables se estiman medianterezagados MCO3.En de forma 3. explĂcita, ecuaciones del VAR se explicitan de la siguiente manera: tallasforma cada que contiene k valores , modelo , una e ; dichas variables se estiman mediante MCO En 3. , , eđ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ; dichas variables se đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;estiman mediante MCO En forma đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; 3. explĂcita, lasđ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ,ecuaciones modelo ŕľ&#x2026; VAR se explicitan deđ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020; la siguiente manera: , edel variables se estiman mediante MCO Enŕľ&#x2026;manera: forma đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020; đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;ˇđ?&#x2018;ˇđ?&#x2018;Şđ?&#x2018;Şđ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022; las ŕľ&#x152; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x153;ecuaciones ŕľ&#x2026; â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; ;đ??śđ??śdichas â&#x2C6;&#x2018; đ??żđ??żđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Íłđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą explĂcita, modelo seâ&#x2C6;&#x2018;explicitan deŕľ&#x2026;la siguiente đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;del đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; đ??ľđ??ľđ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2030;đ??¸đ??¸ VAR đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; ŕľ&#x2026; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x20AC;đ??¸đ??¸đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2030; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; explĂcita, las ecuaciones del modelo VAR se explicitan de la siguiente manera: đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; ŕľ&#x152;Íł đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; ŕľ&#x152;Íł đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; ŕľ&#x152;Íł đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; ŕľ&#x152;Íł đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;ˇđ?&#x2018;ˇđ?&#x2018;Şđ?&#x2018;Şđ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022; ŕľ&#x152; đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x153; ŕľ&#x2026; â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; đ??śđ??śđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; ŕľ&#x2026; â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; đ??ľđ??ľđ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2030;đ??¸đ??¸ đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; ŕľ&#x2026; â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x20AC;đ??¸đ??¸đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2030; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ??żđ??żđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; ŕľ&#x2026; â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; ŕľ&#x2026; đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Íłđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą (2) explĂcita, las ecuaciones del modelo VAR seđ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; ŕľ&#x152;Íłexplicitan de lađ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; siguiente manera: đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; (2) đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; ŕľ&#x152;Íł đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; ŕľ&#x152;Íł ŕľ&#x152;Íł

đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; đ??ľđ??ľđ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2030;đ??¸đ??¸ đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x20AC;đ??¸đ??¸đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2030; đ??żđ??ż đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; ŕľ&#x2026;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;ˇđ?&#x2018;ˇđ?&#x2018;Şđ?&#x2018;Şđ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022; ŕľ&#x152; đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x153; ŕľ&#x2026;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2018; đ??śđ??śđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; ŕľ&#x2026;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; ŕľ&#x2026;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; ŕľ&#x2026; đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Íłđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;ˇđ?&#x2018;ˇđ?&#x2018;Şđ?&#x2018;Şđ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022; ŕľ&#x152; đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x153; ŕľ&#x2026; â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; đ??śđ??śđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; ŕľ&#x2026; â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; đ??ľđ??ľđ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2030;đ??¸đ??¸ Â´ đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; 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â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;ŕľ&#x152;Íł đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; đ??ľđ??ľđ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2030;đ??¸đ??¸ đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; ŕľ&#x2026; â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;ŕľ&#x152;Íł đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x20AC;đ??¸đ??¸đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2030; đ??żđ??ż đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; ŕľ&#x2026; â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x2020;ŕľ&#x152;Íł đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; ŕľ&#x2026; đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Íśđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą (5) (5) Un VAR es estable y estacionario cuando los eigenvalores de las matrices de lo đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; ŕľ&#x152;Íł đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; ŕľ&#x152;Íł đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; ŕľ&#x152;Íł đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014; ŕľ&#x152;Íł đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x2014;

menores acuando uno. Esto equivale a que lasmatrices raĂces invertidas, reales Un VAR coeficientes esUnestable yson estacionario los eigenvalores de las de los de los VAR es estable y estacionario cuando los eigenvalores de las matrices Un VAR es estable y estacionario cuando los eigenvalores de las matrices imaginarias polinomio caracterĂstico autorregresivo presenten mĂłdulos Un VAR esadel estable y estacionario cuando los eigenvalores de las matrices coeficientescoeficientes son uno. Esto equivale a que raĂces realesinferiores ede los ea un Un menores VAR es estable y estacionario cuando los las eigenvalores de lasinvertidas, matrices son menores a uno. Esto equivale a que las invertidas, raĂces reales

Un VAR es estable son y estacionario los eigenvalores matrices los coeficientes menores acuando uno. Esto equivale a de quelaslas raĂces de invertidas, re

(Patterson, 1997). Los resultados de la equivale Figura 3muestran que efectivamente, coeficientes son caracterĂstico menores a uno. a que las raĂces invertidas, realeslase raĂce de lospolinomio coeficientes son menores aEsto uno. equivale Esto a mĂłdulos que las mĂłdulos raĂces invertiimaginarias del autorregresivo presenten inferiores a uno imaginarias delmenores polinomio caracterĂstico autorregresivo presenten inferiores ae uno coeficientes son a uno. Esto equivale a que las raĂces invertidas, reales imaginarias del polinomio caracterĂstico autorregresivo presenten mĂłdulos inferiores das, reales e imaginarias del polinomio caracterĂstico autorregresivo presencaracterĂsticas son menores a uno (todas caen dentro del cĂrculo unidad) por lo que se pued imaginarias del polinomio caracterĂstico autorregresivo presenten mĂłdulos inferiores a uno (Patterson, 1997). Los resultados de la Figura 3muestran que efectivamente, las raĂces (Patterson, 1997). LoscaracterĂstico resultados deautorregresivo la Figura 3muestran que efectivamente, las raĂces imaginarias del(Patterson, polinomio presenten mĂłdulos a uno ten mĂłdulos inferiores a unoLos (Patterson, 1997). resultados de inferiores la Figura 1997). resultados de laLos Figura 3muestran que efectivamente, las 4 afirmar que el modelo es estable (Patterson, 1997). Los resultados de la. Figura 3muestran que efectivamente, las raĂces caracterĂsticas son menores a uno (todas caen dentro del cĂrculo unidad) por lo que se puede caracterĂsticas son menores a uno (todas caen dentro del cĂrculo unidad) por lo que se puede 3 muestran que efectivamente, las raĂces caracterĂsticas son menores a uno (Patterson, 1997). Los resultados de la Figura 3muestran que efectivamente, las raĂces caracterĂsticas son menores a uno (todas caen dentro del cĂrculo unidad) por lo que se caracterĂsticas son menores a uno 4(todas caenpor dentro del cĂrculo unidad) por que lo que (todas caen dentro del unidad) lo que se puede afirmar else puede 4 cĂrculo . queson el modelo es estable 4 . afirmar caracterĂsticas queafirmar el modelo es estable menores (todas caen dentro del cĂrculo unidad) por lo que se puede . afirmar que ela uno modelo es estable 4 modeloque es el estable. afirmar modelo es estable4. afirmar que el modelo es estable4. 3

Cada ecuaciĂłn estimada por MCO presenta el mismo nĂşmero de variables endĂłgenas rezagadas; asimismo, el uso de MCO permite que cada ecuaciĂłn por separado suministre estimaciones idĂŠnticas y eficientes (Gujarati y Porter, 2010). 3 4 Cada ecuaciĂłn porrezagos MCO presenta mismo nĂşmero de variables endĂłgenas rezagadas; asimismo La selecciĂłn del estimada nĂşmero de para elelVAR se tomĂł considerando el criterio de Akaike el criterio de Schwarz y el suministre criterio de estimaciones Hannan-Quinn el uso (AIC), de MCO permitebayesiano que cada ecuaciĂłn por (BIC) separado idĂŠnticas y eficiente (HQ). Efectivamente, los tres criterios coincidieron en la inclusiĂłn de 2 rezagos. (Gujarati y Porter, 2010). 3 Cada4ecuaciĂłn estimada por MCO presenta el mismo nĂşmero de variables endĂłgenas rezagadas; asimismo, 3 3 Cada ecuaciĂłn estimada por MCO elsemismo nĂşmero de variables endĂłgenas rezagadas; La selecciĂłn delpresenta nĂşmero de mismo rezagos parapresenta elde VAR tomĂł considerando el criterio de Akaike (AIC),ase Cada ecuaciĂłn estimada por MCO el nĂşmero variables endĂłgenas rezagadas; asimismo, 3 el uso de MCO permiteporque cada ecuaciĂłn por separado suministre idĂŠnticas y eficientes Cada ecuaciĂłn estimada presenta elcada nĂşmero de separado variablesestimaciones endĂłgenas rezagadas; asimismo, usocada de MCO permite que ecuaciĂłn suministre estimaciones idĂŠnticas y ef criterioel bayesiano de MCO Schwarz (BIC) y mismo el criterio de por Hannan-Quinn (HQ). Efectivamente, los tres criterio el uso de3 MCO permite que ecuaciĂłn por separado suministre estimaciones idĂŠnticas y eficientes (Gujarati y Porter, 2010). el78 uso de MCO permite que cada ecuaciĂłn por separado suministre estimaciones idĂŠnticas y eficientes Cada ecuaciĂłn estimada por MCO presenta el mismo nĂşmero de variables endĂłgenas rezagadas; asimismo, Volumen 4, nĂşmero 1,â&#x20AC;&#x201A; enero - junio,â&#x20AC;&#x201A; 2014 (Gujarati y Porter, 2010). coincidieron en la inclusiĂłn de 2 rezagos. 4 2010). (Gujarati y Porter, del2010). nĂşmero de rezagos paraporel separado VAR se tomĂł considerando el criterio de Akaike (AIC), el 4permite y Porter, el (Gujarati usoLadeselecciĂłn MCO que cada ecuaciĂłn estimaciones idĂŠnticas ycriterio eficientes 4 La selecciĂłn del nĂşmero de rezagos para suministre el VAR se considerando el de Akaike (A 4 criterio La selecciĂłn nĂşmero de nĂşmero rezagos para el VAR tomĂł considerando el tomĂł criterio de Akaike (AIC), el criterios bayesiano de Schwarz (BIC) y else criterio de Hannan-Quinn (HQ).elEfectivamente, los tres Ladel selecciĂłn del de rezagos para el VAR se tomĂł considerando criterio de Akaike (AIC), el (Gujarati y Porter, 2010). criterio bayesiano de Schwarz (BIC) y el criterio de Hannan-Quinn (HQ). Efectivamente, los tres1 4 criterio bayesiano de Schwarz (BIC) y de el(BIC) Hannan-Quinn (HQ). Efectivamente, los treslos criterios coincidieron en ladeinclusiĂłn 2criterio rezagos. criterio bayesiano Schwarz y eldecriterio de Hannan-Quinn (HQ). Efectivamente, tres criterios

Inverse Roots of AR Characteristic Polynomial

ersas del polinomio caracterĂstico. El VAR incluye 2 rezagos y constante 1.5

EstocĂĄstica

Interrelaciones y causalidad entre los principales mercados...

FINANZAS Y RIESGO 2 rezagos y Inverse Roots AR Characteristic Polynomial Figura 3:ofRaĂces inversas del polinomio caracterĂstico. El VAR incluye

1.0

1.5

Figuradel 3: polinomio RaĂces inversas del polinomio caracterĂstico. Figura 3: RaĂces inversas caracterĂstico. El VAR 2 rezagos yPolynomial constante Inverse Roots of ARincluye Characteristic

VAR incluye 2 rezagos y constante. olinomio caracterĂstico. El VARElincluye 2 rezagos 0.5 y constante

1.5of AR Characteristic Polynomial Inverse Roots

1.0

verse Roots of AR Characteristic

1.5 Polynomial

0.5

0.0

-0.5

0.5

0.0

1.0

-1.0

0.0

-0.5

-1.5 -1.5

-0.5

-1.0

-1.5 -1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

-1.0 Fuente: elaboraciĂłn propia con salida de Eviews

-1.0

-1.5 0.0 -1.5 0.5 -1.0 1.0-0.5

-0.5

0.0 1.5

0.5

1.0

1.5

Los estadĂsticos de la prueba de Granger permiten Fuente: elaboraciĂłn propia con salida Fuente: elaboraciĂłn propia con salida de-1.5 Eviews -1.0 -0.5 de Eviews 0.0 0.5 1.0 -1.5 propia con salida de Eviews Fuente: elaboraciĂłn

establecer si lo 1.5

Los estadĂsticos de la prueba de Granger establecer si valores pasados de una variable resultan Ăştiles permiten para predecir elloscomportamiento de o Fuente: elaboraciĂłn propia con salida de Eviews s de la de permiten establecer si los valores 1.5 -1.0 0.0 Granger 0.5 1.0 1.5 predecir de prueba una-0.5 variable resultan Ăştiles para el comportamiento de pasados otra variable. Las regresiones utilizadas para probar causalidad de Granger entre las variab Los estadĂsticos de la prueba de Granger permiten establecer si los valores regresiones utilizadas para probar causalidad de Granger entre las variables de interĂŠs tan Ăştiles propia para predecir el comportamiento otra elvariable. Las de sonsi los va Los estadĂsticos de la prueba de de Granger permiten establecer pasados de salida una variable resultan Ăştiles para predecir comportamiento laboraciĂłn con de Eviews las siguientes: otra variable. Las regresiones utilizadas para probar causalidad de Granger las siguientes:

para probar causalidad de Granger entre siguientes: las variables son de una resultan Ăştiles predecir de el interĂŠs comportamiento de otra entrevariable las variables interĂŠs son laspara ueba de Granger permiten de establecer si los valores pasados regresiones utilizadas para probar causalidad de Granger entre las variables para predecir đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;° el đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;comportamiento â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018; de otraâ&#x2C6;&#x2018; variable.â&#x2C6;&#x2018; Las â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018; (6) đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;° đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022; las siguientes: ar causalidad deđ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;° Granger đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022; entre de interĂŠs son â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018; las variables â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018; (7)

â&#x2C6;&#x2018;

đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;

đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022; â&#x2C6;&#x2018;â&#x2C6;&#x2018;

â&#x2C6;&#x2018;

â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´ đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;

â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´ â&#x2C6;&#x2018;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022; đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;° â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;

â&#x2C6;&#x2018;

đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°

â&#x2C6;&#x2018;

â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018;

â&#x2C6;&#x2018;

(6) â&#x2C6;&#x2018;

â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018;â&#x2C6;&#x2018;

â&#x2C6;&#x2018;

(6)

â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018; (7)

đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022; â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018;â&#x2C6;&#x2018;đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;° â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018; (8) (6) Donde las ecuaciones (6), (7), (8) y (9) representan un sistema de ecuaciones

â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018; autorregresivas: â&#x2C6;&#x2018; parĂĄmetros â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018; en elđ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´ casoâ&#x2C6;&#x2018;de â&#x2C6;&#x2018; lađ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022; ecuaciĂłn (6), los

(8)

(9)

â&#x2C6;&#x2018;â&#x2C6;&#x2018;

â&#x2C6;&#x2018;se refieren a los â&#x2C6;&#x2018; , (7) (9) (7)

vectores de informaciĂłn del IBOVESPA, respectivamente,un Donde las ecuaciones MERVAL, (6), (7), IPSA (8) ye IPC, (9) representan

â&#x2C6;&#x2018;

đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;° â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;

â&#x2C6;&#x2018;

rezagados i periodos, en tanto que los parĂĄmetros

â&#x2C6;&#x2018;

â&#x2C6;&#x2018; (8) a la prueba de estĂĄn asociados

autorregresivas: en el caso de la ecuaciĂłn (6), los parĂĄmetros

Granger permiten si los rezagados de la correspondiente â&#x2C6;&#x2018; (6),y (7), â&#x2C6;&#x2018; examinar â&#x2C6;&#x2018; valores un aciones (8) y (9) representan sistema devariable ecuaciones

â&#x2C6;&#x2018;

sistem ,

(9) vectores de informaciĂłn del IBOVESPA, MERVAL, IPSA e IPC, contribuyen a predecir a otra variable. Lo mismo aplica para las ecuaciones restantes. caso de la ecuaciĂłn (6), ecuaciones los parĂĄmetros refieren a los un sistema d Donde las (6), (7), , (8) yse(9) representan Volumen 4, nĂşmero 1,â&#x20AC;&#x201A; enero - junio 2014,â&#x20AC;&#x201A; pp. 65â&#x20AC;&#x201C;88

las siguientes: regresiones utilizadas paraâ&#x2C6;&#x2018;probar causalidad las variables â&#x2C6;&#x2018; de Granger â&#x2C6;&#x2018;entre son â&#x2C6;&#x2018; de interĂŠs đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;° las de siguientes: ra probar causalidad Granger entre las variables de interĂŠs đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022; las siguientes: EstocĂĄstica đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018;RIESGO FINANZAS Y đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;

â&#x2C6;&#x2018;

đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;

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â&#x2C6;&#x2018;

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đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;

â&#x2C6;&#x2018;

â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;° â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;° â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022; â&#x2C6;&#x2018;â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022; â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;° â&#x2C6;&#x2018;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;

đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;° đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;

â&#x2C6;&#x2018;

đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´ â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022; đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022; â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´đ?&#x2018;´ đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;

â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018;

â&#x2C6;&#x2018;

â&#x2C6;&#x2018;â&#x2C6;&#x2018;

â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022; â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022; â&#x2C6;&#x2018;đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;° â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018; (7), (8) đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;°đ?&#x2018;° Donde lasđ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022; ecuaciones (6),

â&#x2C6;&#x2018;

(6)â&#x2C6;&#x2018;

â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018; (7) â&#x2C6;&#x2018;

â&#x2C6;&#x2018;

â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018;

â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018;â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018; (6) (8) â&#x2C6;&#x2018; (8) â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018;â&#x2C6;&#x2018; (7) â&#x2C6;&#x2018; (9) â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018; â&#x2C6;&#x2018; (8)un sistema yâ&#x2C6;&#x2018; (9) representan

autorregresivas: en â&#x2C6;&#x2018; el casoundesistema la â&#x2C6;&#x2018;ecuaciĂłn (6), los (9) parĂĄmetros , se â&#x2C6;&#x2018;(6), (7), (9) (8)â&#x2C6;&#x2018; y (9) representan de ecuaciones Donde las ecuaciones (6), (7), (8) y (9) representan un siste vectores de informaciĂłn del IBOVESPA, MERVAL, IPSA e de IPC, res Donde las ecuaciones y a(9) sistem la ecuaciĂłnDonde (6), los se(7), los representan las parĂĄmetros ecuaciones (6), ,(7),(6), (8) yrefieren (9)(8)representan un sistemaun ecuaci autorregresivas: en(7), el(8) caso la ecuaciĂłn (6), los , Donde las ecuaciones (6), y (9)de representan un sistema de parĂĄmetros ecuaciorezagados i periodos, en tanto que los parĂĄmetros estĂĄn asociados autorregresivas: en el caso de la ecuaciĂłn (6), los parĂĄmetros , autorregresivas: en el caso laede ecuaciĂłn (6),(6),los , , se refieren a nes autorregresivas: en elde caso la ecuaciĂłn losparĂĄmetros parĂĄmetros IBOVESPA, MERVAL, IPSA IPC, respectivamente, de informaciĂłn IBOVESPA, MERVAL, IPSA e IPC iones (6), se (7), (8)vectores (9)vectores representan un del sistema de ecuaciones refieren ay los de informaciĂłn del IBOVESPA, MERVAL, IPSA e IPC, Granger permiten examinar los avalores rezagados la respectivam variable vectores dey informaciĂłn del i periodos, IBOVESPA, MERVAL, IPSA e de IPC, vectores de informaciĂłn delensi IBOVESPA, MERVAL, IPSA e IPC,c que los parĂĄmetros estĂĄn asociados laque prueba de respectivamente, rezagados en tanto losparĂĄmetros parĂĄmetros rezagados i periodos, tanto que los estĂĄn asocia so de la ecuaciĂłn (6), los parĂĄmetros , se refieren a los Se asume que las perturbaciones , re- y no est estĂĄniasociados a la de Granger y permiten examinar si los valores rezagados periodos, enprueba tanto que los que parĂĄmetros estĂĄn asociados aasociado la prueb contribuyen a predecir a otra variable. Lo mismo aplica para las ecuaciones re rezagados i periodos, en tanto los parĂĄmetros estĂĄn Granger y de permiten examinar si losa predecir valores arezagados de la variab r si los valores rezagados la variable correspondiente zagados de la variable correspondiente contribuyen otra variable. estimaciĂłn de las ecuaciones (6), (7), (8) y (9) se distinguen do n del IBOVESPA, MERVAL, IPSA e IPC, respectivamente, Granger y permiten examinar si los valores rezagados de la variable correspond Lo mismo aplica para las ecuaciones restantes. Granger y permiten examinar si variable. los valores rezagados de cuando la alas predecir a otra Lo mismo aplica para las variable ecuacion ariable. Lo mismo contribuyen aplica para primera ecuaciones restantes. instancia, existeycausalidad unidireccional loslaco tantocontribuyen que los parĂĄmetros estĂĄn asociados a la prueba de , y no estĂĄn correlacioasume que las perturbaciones SeSe asume que las perturbaciones , no estĂĄn correlacionadas. De a predecir a otra variable. Lo mismo aplica para las ecuaciones restantes.

contribuyen a predecir otra variable. para dos las ecuaciones nadas. De la estimaciĂłn dealas ecuaciones (6),Lo (7),mismo (8) y (9) seestadĂsticamente distinguen ecuaciĂłn para IPC sonaplica diferentes de las ecuaciones (6),de (7),(6) (8) y (9) serezagada distinguen dos tipos de causalidad: ende aminarestimaciĂłn si los valores rezagados la variable correspondiente tipos de causalidad: en primera instancia, existe causalidad unidireccional

elestimados conjunto de coeficientes estimados para IBOVESPA, MERV primera instancia, existe causalidad unidireccional cuando los IPC coeficientes en la cuando los coeficientes en la ecuaciĂłn (6) para rezagada estimados son

otra variable. Lo mismo aplicason para las ecuaciones restantes. estadĂsticamente diferentes de 0 considerados en grupo,de el conjunto de coefiestadĂsticamente diferentes 0, y viceversa; o bien, existe c

ecuaciĂłn (6) para IPC rezagada son estadĂsticamente diferentes14 de 0 considerados en grupo, cientes estimados para IBOVESPA, MERVAL e IPSA rezagadas no son estadĂslos coeficientes estimados en la ecuaciĂłn (7) para no IBO el conjunto de coeficientes estimados para IBOVESPA, MERVAL e IPSA rezagadas

ticamente diferentes de 0, y viceversa; o bien, existe causalidad bidireccional si los coeficientes estimados en la ecuaciĂłn (7) para IBOVESPA, rezagado estadĂsticamente diferentes 0 considerados en grupo y, siel son estadĂsticamente diferentes de 0, y viceversa; o bien,deexiste causalidad bidireccional son estadĂsticamente diferentes de 0 considerados en grupo y, el conjunto estimados para IPC, MERVAL e IPSA, 14 lo son rezagado de igual maner los coeficientes estimados son de coeficientes estimados en paralaIPC,ecuaciĂłn MERVAL e(7) IPSA,para lo sonIBOVESPA, de igual manera. es decir decir que quecoeficientes La hipĂłtesisdiferentes nula de la ecuaciĂłn ecuaciĂłn (6) es es Ho: Ho: â&#x2C6;&#x2018;en = (6) 0 y â&#x2C6;&#x2018;y, = es los tĂŠrminos estadĂsticamente de 0 considerados grupo el 0,conjunto de los tĂŠrminos rezagados de IBOVESPA, MERVAL e IPSA no pertenecen a la reMERVAL e IPSA no de pertenecen a la regresiĂłn. En lanula Tabla estimados paraEnIPC, MERVAL e IPSA, son manera. La hipĂłtesis de2lase gresiĂłn. la Tabla 2 se presentan loslovalores deigual la prueba de causalidad de de los Granger pararezagados las las ecuaciones (6), (7), (8) Granger (7), (8) yque (9), quetĂŠrminos representan cuatro ecuaciĂłn (6) espara Ho: las â&#x2C6;&#x2018; ecuaciones = 0prueba y â&#x2C6;&#x2018; (6), =de0,causalidad es decir de IBOVESPA, variables por las que estĂĄ conformado el VAR. Los resultados muestran los cuatroa variables por En laslaque estĂĄ2conformado el VAR.Los result MERVAL e IPSA no pertenecen la regresiĂłn. Tabla se presentan valores de significancia estadĂstica (p-values) asociados al estadĂstico F. los valores de la de significancia estadĂstica (p-values) asociados al estadĂsticolas F. resultados que no causalidad en el(8) sentido Granprueba de Los causalidad de sugieren Granger para lasexiste ecuaciones (6), (7), y (9),de que representan ger, debido a que, en ningĂşn caso, los valores del estadĂstico de significancia cuatro(pvariables por lassignificativos que estĂĄ conformado el VAR.Los resultados muestran los valores value) resultan a un nivel del 5%.

de significancia estadĂstica (p-values) asociados al Tabla estadĂstico F. de causalidad de Granger para V 2. Prueba 80 Volumen 4, nĂşmero 1,â&#x20AC;&#x201A; enero - junio,â&#x20AC;&#x201A; 2014 Muestra: 2003M08 - 2013M06 No. De observaciones: 119

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Tabla 2. Prueba de causalidad de Granger para VAR. Muestra: 2003M08 - 2013M06. No. De observaciones: 119

Variable dependiente: IPC

Variable IBOVESPA MERVAL IPSA Conjunto

p-value 0.6323 0.6243 0.0907 0.4311

Variable dependiente: IBOVESPA

Variable IPC MERVAL IPSA Conjunto

p-value 0.4069 0.3214 0.1065 0.3409

Variable dependiente:MERVAL Variable IPC IBOVESPA IPSA Conjunto

p-value 0.4056 0.2922 0.1077 0.0755

Variable dependiente: IPSA Variable IPC IBOVESPA MERVAL Conjunto

p-value 0.2696 0.2492 0.2549 0.0944

Fuente: Elaboración propia con salida de E-views.

Adicionalmente, se llevó a cabo un análisis de la descomposición de la varianza del error, a partir del cual se obtuvieron distintos componentes. Con base en el análisis de éstoses posible aislar el porcentaje de variabilidad que explican cada una de las variables de estudio. Para profundizar en la interpretación de los resultados obtenidos, también se utilizó la Función Impulso Respuesta (FIR) que, en este caso, representa la reacción ante choques en los términos de error, tanto del mismo IPC en términos rezagados, como del IBOVESPA, MERVAL e IPSA. Mientras la descomposición de la varianza proporciona información acerca de la importancia relativa de cada innovación aleatoria de las variables sobre el sistema de vectores autoregresivos modelado, la función FIR muestra el efecto de un cambio de una de las variables endógenas, sobre las demás variables del modelo VAR. En la Tabla 3 se muestra la descomposición de la varianza del IPC para 2 periodos, en este caso, dos meses. De acuerdo con los resultados, el IPC se explica por sí mismo en un 99.06% en el último periodo considerado, las innovaciones del IBOVESPA explican en un 0.29% al IPC en Volumen 4, número 1, enero - junio 2014, pp. 65–88

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tanto que el MERVAL y el IPSA lo hacen en un 0.30% y 0.33% respectivamente para el segundo periodo. Si bien el interés principal es analizarla respuesta del IPC ante perturbaciones en las demás bolsas de la muestra, los resultados de la descomposición de la varianza para el IBOVESPA, el MERVAL y el IPSA no dejan de ser reveladores. Los resultados muestran que el IBOVESPA se explica por sí misma en un 52.12% para el periodo 2; en tanto que las innovaciones del IBOVESPA son explicadas en un 45.98% por el IPC, en un 1.08% por el MERVAL y finalmente, en un 0.81 por el IPSA. La descomposición de la varianza del MERVAL revela que dicha variable se explica por sí misma en 43.66% en el último periodo considerado para el estudio; sus innovaciones se explican en un 44.32 % por el IPC, 11.91% por el IBOVESPA y 0.09 por el IPSA. Finalmente, los shocks asociados al indicador chileno sugiere que en el segundo periodo el IPSA se explica por sí mismo en Tabla 3. Descomposición de la Varianza de los Errores para los rendimientos bursátiles. Periodo Error Estándar

IPC IBOVESPA MERVAL IPSA

Descomposición de Varianza de IPC 1 2

0.0528 100.0000 0.0000 0.0534 99.0660 0.2980

0.0000 0.0000 0.3035 0.3325

Descomposición de Varianza de IBOVESPA 1 2

0.0668 46.3840 53.6160 0.0000 0.0000 0.0690 45.9821 52.1213 1.0836 0.8130 Descomposición de Varianza de MERVAL

1 2

0.0955 0.0979

43.8680 11.6655 44.3200 11.9187

44.4666 0.0000 43.6661 0.0953

Descomposición de Varianza de IPSA 1 2

0.0438 0.0453

18.4193 22.8063

7.9117 8.2191

1.4060 72.2630 1.5111 67.4635

Fuente: elaboración propia con salida de E-views

Volumen 4, número 1, enero - junio, 2014

Fuente: elaboración propia con salida de E-views Fuente: elaboración propia con salida de E-views

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mo, y como complemento de las pruebas anteriores, la FIR permite hacer un pruebas anteriores, la FI Por último, y como complemento de las un 67.46%, por el IPC en22.80%, por el IBOVESPA en 8.21% y por el MERVAL

del comportamiento esperado de cada una de variables endógenas antede cada una de las variab análisis grafico dellas comportamiento esperado en un 1.51%.

y como de las pruebas FIR permiestructurales,paraPor 2 último, periodos, con complemento bandas estructurales,para de confianza de 2±anteriores, 2 erroreslacon perturbaciones periodos, bandas de confian te hacer un análisis grafico del comportamiento esperado de cada una de las

construir esta representación gráfica utilizólaestructurales, descomposición de gráficacon estándar. Parase construir esta representación se utilizóla d variables endógenas ante perturbaciones para 2 periodos,

bandas de confianza de estándar. Para construir esta representacual los errores se ortogonalizan de ±tal2 errores forma matriz de covarianzas Cholesky,en la cualque loslaerrores se ortogonalizan de tal forma que la ma ción gráfica se utilizó la descomposición de Cholesky, en la cual los errores se

ones resultante es diagonal.deLa Figura 4 muestra la gráficas de la FIR lasforma innovaciones resultante es diagonal. Figura 4 muestra la ortogonalizan de tal que la matriz de covarianzas de las La innovaciones

resultante es diagonal. laque gráficas de laasí FIR corresponal IPC contra sí mismo, así comoLalaFigura correspondencia con lascomo correspondiente al4 muestra IPC contra sí tiene mismo, la correspondencia

diente al IPC contra sí mismo, así como la correspondencia que tiene con las demás bolsas de la muestra. Los resultados sugieren que las innovaciones en ctarán directamente a la propia variable yafectarán que el efecto se trasmitirá al resto directamente aalalapropia variable una variable en el el período período afectarán directamente propia variabley que y que el efecto s el efecto se trasmitirá al resto de variables explicadas a través de la estrucplicadas a través de la estructura dinámicaexplicadas representadapor VAR. dinámica representadap de variables a travéseldemodelo la estructura tura dinámica representada por el modelo VAR. Por ejemplo, una innovación (2), modificará modificará valorpresente presente IPC, a innovación en en en enla la ecuación ecuación (2), elelvalor IPC, pero(2), también en del ladel ecuación modificará el valo Por ejemplo, una innovación en puede modificar los valores futuros del IBOVESPA, del MERVAL y del IPSA. La uede modificar los valores pero futuros del IBOVESPA, del MERVAL del también puede modificar los valoresy futuros del IBOVESPA, de misma dinámica aplica para las ecuaciones (3), (4)y (5). a dinámica aplica En parageneral las ecuaciones (4)y (5). se observa que eldinámica IPC reacciona las innovaciones IPSA. La(3), misma aplicapoco para ante las ecuaciones (3), (4)y (5). que tienen lugar en el resto de las bolsas estudiadas, en tanto que las perturbaciones asociadas al IPC se ven reflejadas con una mayor fuerza en el IBOVESPA, el MERVAL y el IPSA. Otro aspecto que merece destacarse es que el índice que más afecta al IPC después de dos periodos es el IPSA, y que su efecto se desvanece al tercer mes. Los efectos de las innovaciones del IBOVESPA

e la muestra.Los resultados sugieren que lasdeinnovaciones en resultados una variable en demás bolsas la muestra.Los sugieren que las innovaciones

Figura 4. Función Impulso Respuesta.

.08

Respuesta de IPC para IPC

.06

.04

.02

.00

-.02

Volumen 4, número 1, enero - junio 2014, pp. 65–88

Estocástica

FINANZAS Y RIESGO

.08

Respuesta de IPC para IBOVESPA

.06

.04

.02

.00

-.02

.06

.04

Respuesta de IBOVESPA para IPC

.02

.00

-.02

-.04

.08

.06

Respuesta de IPC para MERVAL

.04

.02

.00

-.02

Volumen 4, número 1, enero - junio, 2014

Estocástica

Interrelaciones y causalidad entre los principales mercados...

FINANZAS Y RIESGO

.12 .10

Respuesta de MERVAL para IPC

.08 .06 .04 .02 .00 -.02 -.04

.08

.06

Respuesta de IPC para IPSA

.04

.02

.00

-.02

.06 .05

Respuesta de IPSA para IPC

.04 .03 .02 .01 .00 -.01 -.02

Fuente: Elaboración propia con salida de E-views. Volumen 4, número 1, enero - junio 2014, pp. 65–88

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y del MERVAL también se disipan en el mismo periodo, pero con un menor impacto en el IPC. En lo que refiere al efecto que tienen las perturbaciones del IPC sobre el IBOVESPA, el MERVAL y el IPSA, se detectaron efectos más duraderos al disiparse en cuatro periodos, además de que, en los primeros dos meses, la apertura de las bandas es más amplia en comparación con la respuesta del IPC a las demás bolsas de la muestra.

Conclusiones

El interés por estudiar las interacciones entre los mercados financieros de distintos países ha crecido en años recientes, y se ha puesto énfasis en investigar los mecanismos y la velocidad de transmisión de eventos de carácter económico doméstico y/o global por las posibles implicaciones que una mejor comprensión del proceso de integración financiera internacional puede tener sobre la determinación de políticas macroeconómicas, por la posibilidad de mejorar las opciones de diversificación internacional de portafolios y por el propósito legítimo de entender mejor la naturaleza y funcionamiento de los mecanismos de transmisión de eventos económicos. El análisis econométrico desarrollado en este trabajo sugiere que existen interacciones importantes entre los mercados latinoamericanos estudiados. Entre los resultados obtenidos destaca que el comportamiento de los rendimientos del IPC parece ser la variable con mayor capacidad explicativa de las variaciones de rendimientos observadas en el resto de los índices. Los resultados del análisis también revelan que los mercados brasileño y argentino responden en buena medida a los shocks provenientes de México. Especialmente, en el caso del mercado de Argentina se observa que la capacidad explicativa del IPC es prácticamente la misma que la que tiene el propio índice MERVAL. En el caso del mercado de capitales de Chile, se detecta una influencia importante del IPC, aunque en menor importancia que en el caso de los demás países. Finalmente, del análisis de los resultados se desprende que el rendimiento del IPC es la variable menos afectada por shocks provenientes de las otras bolsas de la muestra. Los resultados presentados pueden explicarse, al menos en parte, a la luz de la presencia de algunos factores que determinan el comportamiento de largo plazo de los mercados de capital en América Latina como son, por ejemplo, la dependencia económica de todos los países de la región con respecto a la economía de los Estados Unidos y el hecho de que la economía mexicana presente una mayor integración con aquella.

Volumen 4, número 1, enero - junio, 2014

Interrelaciones y causalidad entre los principales mercados...

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Referencias bibliográficas Aggarwal, Raj, y NyoNyo A. Kyaw (2005). “Equity Market Integration in the NAFTA Region: Evidence From Unit Root and Cointegration Tests”. International Review of Financial Analysis; Vol. 14 (4); pp. 393-406.

Arshanapalli, Bala y Doukas, John (1993). “International Stock Market Linkages Evidence From the Pre and Post-october 1987 Period”. Journal of Banking and Finance, Vol. 17, pp. 193-208. Baig, Taimur y Goldfajn, IIan (1999). “Financial Market Contagion in the Asian Crisis”. IMF Staff Papers, Vol. 46, Nº. 2, pp. 167-195.

Bernardi, B. (2005). “El contagio financiero en países emergentes”. Pensamiento & Gestión, No. 19, pp. 43-77.

Brugger, Samuel y Edgar Ortiz C. (2012). “Mercados accionarios y su relación con la economía real en América Latina”. Problemas del Desarrollo, Vol. 168 (43); pp. 63-93. Capistrán, Constandse y Ramos-Francia (2009). “Using Seasonal Models to Forcast Short-Run Inflation in Mexico”. Working Papers. Banco de México, No. 2009/05.

Cashin, Paul; Kumar, Monmohan, y McDermott, John (1995). “International Integration of Equity Markets and Contagion Effects”. International Monetary Fund, Working Paper 95/110.

Darrat, Ali F., y Maosen Zhong (2005). “Equity Market Integration and Multinational Agreements: the Case of NAFTA”. Journal of International Money and Finance; Vol. 24 (5); pp. 793-817. Eun y Shim (1989). “International Transmission of Stock Market Movements”. Journal of Finance and Quantitative Analysis. Vol 24, No. 2; pp 241-256.

Gilmore, Claire G., and Ginette M. McManus.(2004). “The Impact of NAFTA on the Integration of the Canadian, Mexican and U.S. equity markets”. Research in Global Strategic Management; Vol. 10; pp. 137–151.

Granger, C. y Morgenstern, O. (1970). Predictability of Stock Market Prices. MA: Lexington. Grubel, H. (1968). “Internationally Diversified Portfolios: Welfare Gains and Capital Flows”. American Economic Review, Vol. 58, pp. 1299-1314. Gujarati y Porter, 2010. Econometría, 5ª Edición.

Hilliard, H. (1979). “The Relationship Between Equity Indices on World Exchanges”. Journal of Finance; Vol. 34, pp. 102-114.

Lessard (1974). “World, National, and Industry Factors in Equity Returns”. The Journal of Finance. Vol. 29, No. 2, pp. 379–391.

Volumen 4, número 1, enero - junio 2014, pp. 65–88

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López-Herrera, Francisco, Santillán-Salgado, Roberto J., y Ortíz, Edgar (2013). “Portafolio de mínimo riesgo en los mercados accionarios del TLCAN: interdependencia y decisiones de los inversionistas”. En: Modelos para la toma de decisiones en la Ingeniería Económica y Financiera: Un enfoque estocástico, Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo. Claudia E. Castillo Ramírez, José F. Martínez-Sánchez, Salvador Rivas-Aceves, editores. México.

Malliaris, Anastasios G. y Urrutia, Jorge L. (1991). “Linkages of National Stock Markets Statistical Evidence Before, During And After the October 1987 Crash”. Recent Developments in International Banking and Finance, Vol. 4; no. 5, pp. 336-369.

Panton, D.; V. Lessig; and O. Joy (1976). “Comovements of International Equity Markets: A taxonomic Approach”. Journal of Financial and Quantitative Analysis; No. 11, pp. 415-432. Pateiro, Rodríguez, C., y Pedreira, Freire, L. (2003). “Adaptación de los tipos de interés de intervención a la Regla de Taylor un Análisis Econométrico”. Revista Investigación Operacional. Vol 24; No 1; pp. 28-50.

Patterson, P. (1997). An Introduction to Applied Econometrics: a Time Series Approach. St. Martín Press, USA.

Porras-Gonzalez, Eva R. (2004). “A Test of Cointegration Between Security Markets of Latin American Nations, the NYSE and the Dow Jones Indices”. Instituto de Empresa Working Paper No. 04/25.

Presno, Casquero, M. J., y López, Menéndez, A. J. (2001). “Tratamiento estadístico de series con cambios estructurales: un caso de estudio”. RAE: Revista Asturiana de Economía, Vol. 22, pp. 123-141. Ripley, D. (1973). “Systematic Elements in the Linkage of National Stock Market Indices”. Review of Economics and Statistics, Vol. 55, pp. 263-285.

Sheng, Hsiao-Ching y Tu, Anthony H. (2000). “A Study of Cointegration and Variance Decomposition Among National Equity Indices Before and During the Period of the Asian Financial Crisis”. Journal of Multinational Financial Management, No. 10, pp. 345-365.

Soydemir, Gökçe (2000). “International Transmisión Mechanism of Stock Market Movements: Evidence From Emerging Equity Markets”. Journal of Forecasting, Vol. 19, pp. 149-176.

Tan, José Antonio (1998). “Contagion Effects During the Asian Financial Crisis Some Evidence From Stock Price Data”. Pacific Basin Working Papers Series, Nº. PB98-06. Tudor, Cristina. (2011). “Changes in Stock Markets Interdependencies as a Result of the Global Financial Crisis: Empirical Investigation on the CEE Region”. Panoeconomicus, Vol. 4, pp. 525-543.

Volumen 4, número 1, enero - junio, 2014

Generating covariances in multifactor CIR model

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Generating covariances in multifactor CIR model

Wojciech Szatzschneider* Fecha de recepción: 12 de abril de 2013 Fecha de aceptación: 12 de diciembre de 2013

Universidad Anáhuac, México Norte Escuela de Actuaría wojciech@anahuac.mx

Volumen 4, número 1, enero -junio 2014, pp. 89–100

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Generación de covarianzas con el modelo multifactorial CIR

Resumen Se presenta el marco general para generar covarianzas entre instrumentos con tasas de interés libre de riesgo r(t) e instrumentos con intensidad de incumplimiento λ (t ) , en el modelo Cox, Ingersoll, Ross (CIR) o en el modelo extendido CIR multifactorial. Clasificación JEL: C15, C58, C63

Palabras claves: Modelo CIR, modelo multifactorial -para tasa de interés, Teorema de Girsanov.

Abstract This paper presents a general framework of how to generate covariances between riskless interest rate r (t ) instruments, and financial instruments with intensity of default λ (t ) , in Cox, Ingersoll, Ross (CIR), or in the extended multifactor CIR model. JEL classification: C15, C58, C63 Keywords: CIR model, Multifactor model for interest rate, Girsanov theorem

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Generating covariances in multifactor CIR model

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Introduction

he problem of generating covariances between intensity of default and riskless interest rates that are consistent with observed data has been treated in several theoretical and practical settings, [Duffie, 2011]. For definitions and resulting formulas refer to the second printing of [Bielecki & Rutkowski, 2004]. In the quoted book the general construction of extended Cox, Ingersoll, Ross (CIR) can be found [Szatzschneider, 2002]. In section 1 this method is briefly sketched. Although the use of covariances very often leads to poor measurement of real dependencies, it is assumed that only dependences observed are covariances. A free dependence structure between r (t ) and λ (t ) is proposed to obtain explicit, or almost explicit results for prices of riskless bonds, defaultable bonds and covariances. Sections 1 and 2 present a general method for generating covariances for predefined functions, particularly polynomial ones. Section 2 explains how to deal with plausibly observed negative covariances. Sections 3 and 4 analyze the problem for some classes of functions. It is made clear what can or cannot observedbe negative done in covariances. a CIR setting. Sections 3 and 4 analyze the problem for some classes of functions. It isSeveral made clear what can or cannot be considered: done in a CIR setting. relevant quotations shall be and λ (s ) have (observed) correlation -20% [Schönbucher, 1. r (s ) quotations Several relevant shallnegative be considered: 2003].

1. r s  and  s  have negative (observed) correlation -20% [Schönbucher, 2003].

2. CIR (CSR) correlated square root models are theoretically incapable of

2. CIR (CSR) correlated square root models are theoretically incapable of generating generating negative correlations [Dai & Singleton, 2000]. negative correlations [Dai & Singleton, 2000].

3. The dynamics andrich λ are rich enough to allow a realistic description 3. The dynamics of r and of λ rare enough to allow for afor realistic description of the realof the real-world prices [Schönbucher, 2003]. world prices [Schönbucher, 2003]. usual construction of the multifactor for interest rate intensity and intensity The usualThe construction of the multifactor modelmodel for interest rate and of default is of default is as follows: as follows:

r  m1 X 1  m2 X 2    mn X n

independent (positive) CIR models and scalars   m1 XVolumen Xnúmero mn -junio X n , 2014, X i pp. 1,  enero 89–100 91 m´s are 1  m2 4, 2 

nonnegative. This setting is called “usual construction”

r  m1 X 1  m2 X 2    mn X n

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FINANZAS Y RIESGO   m1 X 1  m 2 X 2    mn X n , X i independent (positive) CIR models and scalars m´s are

nonnegative. This setting is called “usual construction” λ = m1 X 1 + m2 X 2 +  + mn X n , X i independent (positive) CIR models and scalars m´s are nonnegative. This setting is called “usual construction”.

1. Model constraints 0. Model constraints

1. It is not possible to obtain general covariance structure (even positive) if

1. It is not to obtain general covariance structure (even positive) if X CIR. X i possible CIR. Using comparisons theorems for diffusions, one can prove easilyi Usingthat comparisons theorems for diffusions, one can prove easily that

0  Covr t ,  t   At 2  Bt  C .

2. The second constraint is the following.

t 5 cannot be uniformly approximated in 0,1 by Covr t ,  t  . Using well known 5 cannot be uniformly approximated in [0,1] by Cov(r (t ), λ (t )) . Using formulas sucht as: well known formulas such as:









(

)

(

)

Covr t ,  t    mi miVar  X i    Ai e kit  e 2 kit  Bi 1  e kit ,

i 1 n

Cov(r (t ), λ (t )) = ∑ mi miVar ( X i ) = ∑ Ai e − kit − e − 2 kit + Bi 1 − e − ki t , k i , Ai , Bi  0 . i i =1 2

An elementary but somehow tricky proof follows: k i , Ai , Bi > 0 . 1 1  kt e 1  e kt dt  e kt 1  e kt  0 Penúltima ecuación 2pag. 88 An elementary but somewhat tricky proof follows: because: Sustituir por:



1 kt e 0



because:



1  e  kt









1 dt  e kt 1  e kt 2

Ecuaciones quinta y secta. Sustituir por:

e  kt  1  e  kt  1k   t resulting from: 1 k   dt  f t  f 1 resulting from: 1 e  e 0  4  e  kt  1 for t  1 and, 1 e k 1 g 1 t   g t  dt 5t 1 Volumen 4, número 1, enero - junio, 2014 1 0 e k k for some  tc  t c  e , 1 1  e k

 





Estocástica e  ktk 1  e  ktk   t resulting from: FINANZAS Y RIESGO eek  11eek   t resulting from:     resulting from:  t e kkt 1  e kkt  ee  11  e   kt e kt e  t resulting e  kt k k 1 for t t≤11and, for and,from: for and,  1 t  1 e k e1e e  e kk  1 for t  1 and,  k et  kt t 1 e e 1  e kkkt  k tc  t tfor and, c  e  k ,1  1t 1 for  1some 1 1 e ek e tc tt11  t for some c  e kk,1 1  e kk t  tc  t for some c  e ,1 and 1 ee 1 and  tc1t 1  t for some c  e  k ,1 and and k 1 e 2 1 2 1 1  kt  kt k  1  and  11011 e ekt 22dtdt 212   11011 e ekt dtdt 11 11 e ek  . .  kt k   2 e kt dt pag. 00 1  e  dtPenúltima  1  00 1 ecuación 2 1 88e  .  1  2  1  e kt 2 dt  2  1 1  e kt dt  1 1  e k  . therefore 0 por: therefore  0  2 88 Sustituir Penúltima ecuación pag. therefore 1 2 1  kt k 2 1 2 2 1 e ektkt  2dtdt11411e ekk  2, , therefore therefore 01011Sustituir e1 kt dt por:  4kt1  e 1 , kt kt 0 0 ekt 2 1  e41 dt k 22 e 1  e 1 linear combination then, for f t  any 0 1  e1 kt dt  4kt1  e 1 ,  kt kt then, for f t  any linear combination dt  e 1  e then, for f t  any linear combination 0 e 1  e 1 2 1 1 f t dt 1 f 1 ,y secta. Sustituir por: Ecuaciones 10f t dt  1quinta any linear then, for f t then, for f (combination t ) any linear combination   , f 1 001 f t dt  444f 1 , 1quinta y secta. Sustituir por: Ecuaciones 1 f t dt  1 f 1 , and for g t  5t 5 , we have    f t dt  0 and for g t   t 5, we have  44 f 1 0 and for g t   t , we have 1 1 11 g t dt  11 fg11 . 5    f t dt  1 1 0   g t dt  and for g t   t , we have 5 001 g t dt  5145gg11.. and for g (t ) = t , we have 001g t  dt  515 g 1 covariances g 1 . 3. The third constraint is clear: Negative cannot be generated from the 10 g t dtcovariances 1 3. The third constraint is clear: Negative cannot be generated from the 5     g t dt  g 1 3. The third constraint is clear: Negative covariances cannot be generated from the usual construction , [Dai & Singleton, 2000 provides further discussion]. 0 usual construction , [Dai & Singleton, 2000 provides further discussion]. 5 usual construction , [Dai & Singleton, 2000 provides further discussion]. Ecuaciones (1), (2), (4) y última, página 90. Sustituir 3. The third constraint is clear: Negative covariances cannot be generated from the por: t usual construction , [Dai & Singleton, 2000 provides further discussion]. seems  cannot be generated 3. The constraint is clear: Negative covariances dsbe,  r sto The easiest waythird to obtain negative correlations (1),  (1) B0, t   Eseems e 0(2), The easiest way to the obtain negative correlations to be, Ecuaciones (4) última, páginafurther 90. Sustituir por:  from usual construction , [Dai & Singleton, provide The easiest way to obtain negative correlations seems to be, y2000  W X ~ driven by t i i discussion]. X i ~ driven byW 0t ri s ds    Eseems tdriven e  Writos be, XBi~0~,driven The easiest way to obtain negative correlations by ds   s (1) Y by  i 0, t   E  e 0 Wi .   to(2) Yi B~negative  W driven by .   i The easiest way to obtain correlations seems  W .  be, YiX~ ~ driven by i W driven by  t i  i  0 the r s only  s ds  But there is no possibility to get Yexplicit results, possible approach is process  (2) approach    B 0 , t E e  Wii .only possible driven by driven W But there is no possibility to get explicit results, is process iX~i ~  bythe But there is no possibility to get explicit results, the only possible approach is process simulation.         dX t  2 X t dW t   dt (4) simulation. simulation. But there is no possibility to get explicit results, thei . only possible approach is process Yi ~ driven by − W     dX t  2 X t dW t    dt (4) simulation.    t  dr t   2  t  r t  dW t   2 t  r t     t dt   t     1. Particular method and2014, extended        t Volumen 4, número 1, enero -junio pp. 89–100CIR 93 1. Particular method and extended dr t CIR r t     t dt  2  t  r t  dW t   2 t   1.“Explicit” Particular method and extended CIR  t   formulas are desirable for:   “Explicit” formulas are desirable for:  1CIR   emodel Generating covariances in multifactor ekt kt  kt

  

 kt

  

     

 

 

 

 

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Ecuaciones quinta y secta. Sustituir por: Ecuaciones quinta y secta. Sustituir por:

tto dtget f 188results, the only possible ap1 explicit 1 0 fecuación But there is noPenúltima possibility pag. 4     f t dt  f 1 0 proach is process simulation. 4

Sustituir 1por: 1 1 0 g t  dt 1 g 1  dtktextended g51 2. Particular method CIR 0 g tand 1 kt 5  1 e kt 1  e kt e 1  e dt 0 “Explicit” formulas are desirable for: 2 Penúltima ecuación pag. 88 (1), (2), (4) y última, página 90. Sustituir por: Ecuaciones Ecuaciones (1), (2), (4) y última, página 90. Sustituir por:  0t r s ds  t t Ecuaciones quinta y secta. por:   0 r s ds    (1)    B 0 , t E e (1) Sustituir por:  0 r s ds  Sustituir   B0, t   E  e B0, t   E  e   t r sds (1)  0    (1) B110, t   E e t r ss ds  1 t 1 kt  kt  kt  kt      f t dt  f 1 0 t   r  s     s   ds    (2)  e 1  e0 Bdt0B, t20 ,4et E1Eee0 r st s ds  (2)  0, t   E  e 0  B (2) 0     0 r s   s ds      E e  (2) B 0, t     1 1       Cov r t ,  t    t g12 X t  dW t    dt (4) 0 g t  dtdX (3) t , dW  t tpor: (3) Ecuaciones quinta    dt (4) dX yt secta. 5Cov 2 XrSustituir To be able to reproduce a given arbitrary covariance structure, an (ECIR) with time dependent be used.CIR Model 1 To be able to reproduce a1 given covarianceparameters structure, has an to extended f t  dt Ecuaciones f 1 arbitrary  (1), (2), (4) y última, página 90. Sustituir por:    exten tan be0able to reproduce a given arbitrary covariance structure, 4 parameters (ECIR) withTotime dependent  dr t   has 2t tot be r tused. dW t  2 tt   r t      t dt  2dependent ded CIR Model (ECIR) with time parameters has to be   r srdst dW   used. t r t     t dt     dr t t 2      0  t t      E construction B0friendly , ta short, euser friendly First extended CIR with t  references  (1) First 1a short, user ofconstruction extended with  referenc  CIRof 1       g t dt  g 1 introduction isofpresented. quoteduser in0the introduction is presented. First a short, friendly construction extended CIR with references quoted in the 5 t  introduction is presented. B 0, t δ E  e 0 r s  s ds  (2) 1 Start from BESQ .     y tercera Primera, segunda ecuación, página 93. sustituir por: . 1.Primera, Start from BESQ segunda y tercera ecuación, página Ecuaciones (1), (2), (4) y última, página 90. Sustituir por: 93. sustituir por:  1. Start from BESQ .  t tdWtt (4) dX t  2 tX t dW (4)  dtA, ,X(0)>0. (4) sgn Wsdt dW s  B0, t   E  e  0 r sBds 1  t(1)  0  ,X(0)>0. B1 t    sgn W s   A dW s  (4) dX t   2 X t dW t   dt  0 2t  t  r t  (Girsanov). 2. Add the drift  B t  t  sgn W s   B  dW s  2 t (Girsanov). 2βB ⋅r rst(t) 2. Add the drift ssgn  (Girsanov). ds0 W s   B  dW s  t 2   2. Add the drift 2   r t 0  (2) by  0 process  t B 0,t t   E3. eMultiply the  t   dr  t   2  t  r t dW t   2 t   t   r t     t dt 3. Multiply3. theMultiply process the byNow,     process by σ t t

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



dX t   2 X t  dW t    dt (4)   t  dr t   2  t  r t dW t   2 t  r t    t  t       t    t 93. dr t  Primera, 2   r t dW t   2 t ecuación, r t página dt , sustituir por: and t segunda y tercera  t       t  1r t     t dt   dr t   2  t  r t  dW t 2     t  t  2 t exp  t  s ds   x  0   0 B1 t    sgn W s  B A0dW , t ts 1 0  0    t  ds   x   0 2 t t exp B0, tB t    0  2 0 sgn W s0  sB  dW  s  Volumen 4, número 1, eneror- junio, 2014 x 0 Primera, segunda y tercera ecuación, página 93. sustituir  por: r0 0 x

Now,

and



Now,

Estocástica    t  FINANZAS Y RIESGO dr t  2  tt  r t dW  t   2tt  r t   tt  dt ,   t    

Generating covariances in multifactor CIR model  

and

11 22

tt   B0, t    t  exp   0  ssds   x  00   0   0   

x and

and

r00

 00

 s  22 ϕ ′′(s )  hs    ss2   ss  2 ss in [0,t]  s  = h(s ) = β s + β s′ + 2σ s in [0,t] ϕ (s )  t    tt ,  0  1 (Sturm-Liouville equation), ϕ′t(t ) = β , ϕ (0) = 1 (Sturm-Liouville equation), t ϕ (t )

or equivalently in terms of Riccati equation

 s  2 F 22s   F s   hs  , F t    tt , F s   ϕ ′(s ) . F (s ) + F (s ) = h(s ) , F (t ) = β t , F (s ) =  s  . ϕ (s )

Therefore, explicit formulas for bonds prices depend on the solutions of these equations.

3. Generating positive covariances for polynomials Note that the free term of polynomials should be zero. For grade 3 polynomials set F(t)=0, fix time t, and

ri (s ) = X i (s ) ⋅ ε , X i ~ BESQ 0 ,

λi (s ) = σ i (s ) ⋅ X i (s ) ,

λi (s ) + ri (s ) = (σ i (s ) + ε i )X i (s ) .

For a moment only one factor will be considered.

Volumen 4, número 1, enero -junio 2014, pp. 89–100

For a moment only one factor will be considered.

Estocástica Choose F s   Ds  t  , for s<t, D being constant. FINANZAS Y RIESGO

Choose F (s ) = D(s − t ) , for s<t, D being constant. 2 2 2

F s   F s   D  D s  t 

+ D (ts2 D − t2)   sF′:(s )D+ F D(2ss) 2=D2dst 2

2 2 2 2 and assume that  s   0 . σ (s ) := D + D s − 2dst + t D − ε

and assume that σ (s ) > 0 . If X s  ~ BESQ  If X (s ) ~ BESQ δ

Var  X s   4sX 0  2s 2

and

Cov( X (s ), λ (s )) = ε ⋅ σ (s ) ⋅ Var ( X (s ))

Cov X s ,  s      s   Var  X s 

Elementary calculations show that one can generate any positive covariances as polynomial of grade 3 from BESQ 0 using two factors.

 as polynomial Elementary calculations the show thatprocedure one can generate any positivewith covariances For grade 44 polynomials same applies but starting BESQ  instead of For grade polynomials same procedure applies but starting with instead BESQ 04 the For grade polynomials the same procedure applies but starting with of factors. of grade 0 3 fromδ BESQ using two 0 .  0 BESQ 0,   0 . instead of BESQ , δ > 0 . BESQ , BESQ

F (s22 ) = D(sso− on. t ) , and so on. For grade 5 polynomials For and so on. For grade grade 55 polynomials polynomials F F ss   D Dss   tt  ,, and 2

This method leads to a general construction for any positive covariance This leads aa general construction for any positive This method method leads to to general construction for any positive covariance covariance structure, structure, and and structure, and equations (1), (2), (3) can be obtained. equations equations (1), (1), (2), (2), (3) (3) can can be be obtained. obtained.

4. Negative correlation

3. Negative 3. Negative correlation. correlation. 1 Take factors as 1 BESQ , more explicitly: Take factors as BESQ Take factors as BESQ 1 ,, more more explicitly: explicitly:

2 rr tt    W W tt   A A ,, 2

2 2   tt    W W tt   B B  ,, A A,, B B 0 0 ..

1 Both BESQ 1 process1 driven respectively by: Both being being by: BESQ Both being process BESQ driven processrespectively driven respectively by:

t ss  4, número 1, enero - junio, 2014 B Volumen B11 tt    0 sgn sgn W W ss   A AdW dW 0

  t     t   W t   B  , A, B  0 .



Estocástica

Generating covariances in multifactor CIR model

Primera, segunda y terceraby: ecuación, página 93.Y RIESGO sustituir por: FINANZAS Both being BESQ11 process driven respectively Primera, segunda y tercera ecuación, página 93. sustituir por: t

B1 t    sgn W stt   A dW s  0t t   sgn W s   AdW s  11 B1 t    B 00   A dW s  tsgn W s B2 t   0 sgn W s   B  dW s  0t B2 t    sgn W stt   B  dW s  0B t   sgn W s   B dW s  22  00

Now for t  AB . Now Cov t , r t   2t t  AB ,,is is negative negative for

(W (t ) + A)222 + (W (t ) − B )222 = constant + 2BESQ111 starting at (AA− BB)22 = x , so W t   A  W t   B  constant  2BESQ starting at 2  x , so any quadrat 2

2 generated. any quadratic polynomial with explicit formulas (1),(2),(3) can be

polynomial with explicit formulas (1),(2),(3) can be generated.

Grade 3 polynomials with some restrictions can be generated as a combination of the results of this section and the previous one.

Grade 3 polynomials withcan some be generated as a combination of the Grade 6 polynomials be restrictions obtained forcan example multiplying by σ (s ) , results this section and theε)previous one. σ (s ) asofbefore (but without

σ (s ) = D + D 2 s 2 − 2 Dst + t 2 D 2 Grade 6 polynomials can be obtained for example multiplying by  s  ,  s  as before ( without ε) obtained from F (s ) = D(s − t ) .  s   D  D22 s22  2Dst  t 22 D22

s  t  . obtained fromexplicit F s   D 5. Other constructions Set β (s ) =

1 , A < 0, t + A > 0 s+ A β 2 (s ) + β ′(s ) = 0 r (s ) = X (s ) ⋅ ε , X (s ) CIR with drift β (s ), σ = 1 ,

For B(0, t )

λ (s ) = X (s ) ⋅ σ (s ) .

ϕ ′′(s ) =2 ϕ (s )

Volumen 4, número 1, enero -junio 2014, pp. 89–100

For B0, t 

Estocástica

FINANZAS Y RIESGO

 s  2  s  ϕ ′′(s ) = βt ϕ(s )  t  s 

(t ), r(t)t),=r σt (s) ⋅ε ⋅sVar (t )),Xσt still Cov (λ   (XVar , undefined. still undefined. Cov

Set V ~ BESQ δ , V0 = x Set Vt ~ BESQt , V0  x

1 x  2 12 tVt   Ecuación 4 de la Pág 2 2 t 2 90.       constant  f t  x e f V t  x dx . E X t  E V  e  t EcuaciónEcuación 4 de la Pág 90. 0  90.  4 de la Pág   The density f v t  es well known The density f v t  es well eswell wellknown. known The f v t known The density density is





Sustituir por:f The density is well known. SustituirSustituir por: V t  por: t B 0, t   E  exp   t  s    X s  ds   0  s t Xssds X s tds   B 0, t   BE0  exp , t   E0 exp t 0  1     B 0, t   E  exp     s    X s1ds   E texp   t X t   Xs s    ds   .  0  E  exp  1 t X   t  t X s2 ts     0ds     X t 10XXs   sX sdss   ds    E  exp 2E  texp 0 Set t t 0   2    2  Set

F s    t  Ds  t  , Primera ecuación de la pág 91, sustituir F (s )por: = β + D(s − t ) , Primera ecuación de la pág 91, sustituir por: t por: Primera ecuación la págfor91, sustituir and one can obtain explicitde results 2 and explicit results 2 FYbe  Fss2 assuming ss dW dYtscan s  Y s  ds , s s0. 0 ss dW dY t   2dYYts dW 2 ssYs2ds s , Y s dss ,  0 s   0 2 Y 2 σ (s ) = F (s ) + F ′(s ) − ε assuming σ (s ) > 0 .

6. More general construction 1 ri (s ) = σ (s )Y (s ) = λi (s ) for some factor 2

2σ (s ) = c 2 − β 2 (s ) − β ′(s ) > 0 , for some choice of β (s ) B (0, t ) is explicite (CIR).

However in this case B(0, t ) not explicit.

Volumen 4, número 1, enero - junio, 2014

B 0, t  is explicite (CIR). B 0, t  is explicite (CIR).  E  exp  1  X  t X s  s     ds     t t  However  2 in this0case B0, t  not explicit.   HoweverGenerating in this case not explicit. B0, int multifactor covariances CIR model Estocástica

FINANZAS Y RIESGO

Calculation of covariances: Calculation of covariances: Calculation of covariances: 0 BESQ . The de problem easier if The based initiallyison Primera ecuación la págis91, sustituir por: problem easier if based initially on BESQ 0 . 0 The problem is easier if based initially on BESQ . dY t   2 Y s  dW s   2 s  Y s  ds ,  s   0 dY t   2 Y s dW s   2 s Y s ds ,  s   0 dY t   2 Y s dW s   2 s Y s ds ,  s   0 Y (0 ) = 1 for example Y 0  1 for example Y 0  1 for example t E Y t   exp  2  s ds  t  0  E Y t   exp  2  s ds   0  E Y2 2 (t ) = H (t ) , where E Y t   H t  , where E Y 2 t   H t  , where t t 2 β ( s )ds 2    s ds 0 solved explicitly. H ′′(t2)t = s4dsH (t ) +Hβ(t )e∫04 H t and can be and can be solved explicitly.   t e and can be solved explicitly. H t   4 H t    t e 0





( )

Other general modeling possibility uses Laplace transform for the pro) . In this case, modeling possibility uses Laplace transform for t cess Y (t ) for general β (sOther general

Other general modeling possibility uses Laplace transform for the process Y t  for general  s  . ϕ ′(s )  s  . F 2 (s ) + F ′(s ) = β 2 (s ) + β ′(s ) , β (s ) = .  s  ϕ 2 2(s )             In this case, , .   s F s F s  s  s        s  s  In this case, F 2 s   F s    2 s    s  ,  s   .  s and general solution of this But now F (t ) = β (t ) + λ for some λ (⋆)    But now F t   t    for some  (⋆) and general solution of solving: t  be obtained for some (⋆) and general But nowequation  F t   can obtained solving: solution of this equation can be obtained solving:  s  ψ ′(s ) F s   F (s ) =  s   s  F s   ψ (s )  s  s   1  s    s 1  A 2 du  s   1 0  u   s    s 1  A 2 du    0  u   



One can find A to satisfy ⋆ and get explicit formula for E e Y t Y t  λtY (t  )   1 but not One can findOne A tocan satisfy get formula with E eThis model find ⋆Aand to satisfy ⋆ and get formula for E ise−clearly with forexplicit the price of explicit the for bond. quite difficult to for the price the=bond. model is clearly quite difficult to put into practice. A rather σ (t )of =σ 1 but This not for the price of the bond. This model is clearly quite complicated density of CIR is presented in [Jeanblanc et al, 200 complicated density of into CIRpractice. is presented in [Jeanblanc et density al, 2009] difficult to put A rather complicated of (p.358). CIR is presented





(

)

in [Jeanblanc et al, 2009] (p.358).

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Estocástica

FINANZAS Y RIESGO

Conclusions As has been shown, there are many methods to generate given (observed) covariance structure between instantaneous riskless interest rates, and intensity of default. However, to obtain user friendly results in the case of negative correlations, one should not expect substantial extensions of presented use of “degenerated” CIR´s- squares of Brownian motions. As a final comment, the CIR model is very attractive and interesting, being the “Girsanov version “of square of Brownian Motion, but it has generated in the past many erroneous formulas. See for example the excellent textbook by [Jeanblanc et al, 2009] p. 127, where an erroneous application of Ito´s formula appears, this mistake is explained extensively in [Szatzschneider 2008].

References Darrell Duffie (2011). Measuring Corporate Default Risk. Oxford University Press.

Jeanblanc Monique, Yor Marc, Chesney (2009). Mathematical Methods for Financial Markets. Springer-Verlag.

Dai Q. and Singleton K (2000). “Specification Analysis of Affine Term Structure Models”. Journal of Finance 55, 1943-1978. Bielecki T. and Rutkowski M. (2004). “Credit Risk: Modeling, Valuation and Hedging”. Springer. Schönbucher P. (2003). “Credit Derivatives Pricing Models: Models, Pricing and Implementation”. Wiley, p. 175.

Szatzschneider W. (2002). “The Cox, Ingersoll and Ross Extended Model”. Revista Mexicana de Economia y Finanzas 1, 319-332. (2008). “Exponential Martingales and CIR Model”. Advances in Mathematics y of Finance, Banach Center Publications Vol. 83 pp. 243-249.

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Estocástica

Generating covariances in multifactor CIR model

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Convocatoria abierta La revista Estocástica: finanzas y riesgo, invita a someter para su posible publicación artículos originales de investigación. Estocástica es una publicación semestral cuyo objetivo es contribuir al desarrollo del conocimiento de las finanzas, la administración y modelado de riesgos, y la ingeniería financiera. Promueve la comunicación de resultados de investigación original, tanto teórica como empírica, relacionada con el estudio y práctica de estas disciplinas, en las siguientes líneas temáticas:  Administración y análisis de riesgos financieros.  Análisis y modelado del entorno financiero y económico.  Diseño de instrumentos financieros.  Econometría financiera.  Finanzas computacionales.  Finanzas conductuales con métodos cuantitativos.  Finanzas matemáticas.  Ingeniería financiera.

 Innovación financiera.  Mercados financieros.  Modelado del comportamiento de instrumentos financieros.  Modelado matemático de riesgos.  Modelos de regulación financiera.  Procesos estocásticos aplicados a las finanzas.  Teoría financiera.  Teoría del riesgo.  Valuación de activos financieros.

Además de las líneas mencionadas se recibirán aportaciones afines, conforme a los lineamientos editoriales que aparecen en la página electrónica del departamento de administración de la Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Azcapotzalco http://administracion.azc.uam.mx. Los trabajos serán sometidos a dictaminación bajo la modalidad de doble ciego y aquellos aprobados serán programados para su publicación. Los trabajos se recibirán en la siguiente dirección electrónica: estocastica@azc. uam.mx. Informes en el teléfono: 5318-9454 ext. 157 ó 154. En el momento de someter a consideración un artículo, se entenderá que el autor otorga su autorización para que éste sea publicado en la revista Estocástica: finanzas y riesgo, de circulación impresa y electrónica. Asimismo, liberará de toda responsabilidad a la Universidad Autónoma Metropolitana de cualquier demanda o reclamación que llegara a formular alguna persona física o moral que se considere con derecho sobre el artículo, respondiendo por la autoría y originalidad del mismo, asumiendo todas las consecuencias jurídicas y económicas si esto no fuera de su creación. Volumen 4, número 1, enero -junio 2014, pp. 89–100

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Call for papers Estocástica: finanzas y riesgo will consider for possible publication articles written in Spanish or English, provided they contain unpublished work. Estocástica is published twice a year and its objective is to contribute to knowledge development in the areas of finance, risk management and modeling, and financial engineering. Estocástica promotes communication of original research results, either theoretical or empirical, related to the study and practice of the above mentioned disciplines and the following research lines:  Financial risk analysis and management  Financial innovation  Financial and economic analysis and modeling  Financial markets  Financial instruments design  Financial instruments behavior modeling  Financial econometrics  Financial engineering

 Computational finance  Risk modeling  Behavioral finance applying quantitative methods  Financial regulation modeling  Mathematical finance  Stochastic processes applied to finance  Risk Theory  Financial theory  Financial assets valuation

In addition to the research lines mentioned above, closely related original manuscripts will be accepted according to the editorial guidelines published in the web site of the Departamento de Administración of the Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Azcapotzalco: http://estocastica.azc.uam.mx. Research papers will be reviewed by an experts´ panel and those accepted will be scheduled for publication. Manuscripts should be sent to estocastica@azc.uam.mx. Further information may be obtained dialing +52 (55) 5318-9454 ext. 157 or 154. Authors grant, by sending a research work for review and possible publication, the legal authorization to Estocástica: finanzas y riesgo for publishing it in print and electronic formats. In addition, authors will be fully responsible for any legal acts promoted by third parties questioning the authorship and originality of their research work freeing the Universidad Autónoma Metropolitana of any legal or economic responsibility associated to such claims.

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ISSN 2007-5375

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