UNIDAD EDUCATIVA FISCOMISIONAL “SAN FRANCISCO”
LOGARITMO
2014-2015 INTEGRANTES:
ADRIANA ANDRADE, JHANIEL CHIRIBOGA, LADY CORDERO, KAREN VIVANCO , JHONATHAN JUMBO, JORDELY REYES , KAREN GARCIA , CAROLINA PUZMA .
ZAMORA - ECUADOR
INDICE
1 Definición 2 Propiedades generales 3 Propiedades analíticas
3.1 Función logarítmica 3.2 Función inversa 3.3 Derivada e integral indefinida 3.4 Representación integral del logaritmo natural 3.5 Transcendencia del logaritmo
4 Cálculo
4.1 Serie de potencias 4.2 Aproximación mediante media aritmético-geométrica
5 Extensiones
5.1 Números reales 5.2 Números complejos 5.3 Logaritmo en base imaginaria 5.4 Matrices 5.5 Logaritmo discreto
1. Definición Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un número fijo b (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de b a la potencia n. Esta función se escribe como: n = logb x, lo que permite obtener n.1
(Esto se lee como: logaritmo en base b de x es igual a n; si y sólo si b elevado a la n da por resultado a x) Para que la definición sea válida, no todas las bases y números son posibles. La base b tiene que ser positiva y distinta de 1, luego b> 0 y b ≠ 1, x tiene que ser un número positivo x > 0 y n puede ser cualquier número real (n ∈ R).2 Así, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log10 100 = 2. INVENTOR DE LOS LOGARITMOS: JHON NAPIER Matemático escocés. Estudió en la Universidad de San Andrés y durante su estancia allí fue seguidor del movimiento de la Reforma en Escocia y años más tarde tomó parte activa en los asuntos políticos promovidos por los protestantes. Es autor de la primera interpretación importante en Escocia de la Biblia. Neper es más conocido por introducir el primer sistema de logaritmos, descrito en Mirifici logarithmorum canonis descriptio (1614). Los sistemas comunes y naturales de logaritmos que se utilizan actualmente no usan la misma base que los logaritmos de Napier, aunque a los logaritmos naturales a veces se les denomina logaritmos neperianos. Napier fue uno de los primeros, si no el primero, en utilizar la moderna notación decimal para expresar fracciones decimales de una forma sistemática.
2. Propiedades generales
Los logaritmos, independientemente de la base elegida, cumplen una serie de propiedades comunes que los caracterizan. Así, logaritmo de su base es siempre 1; logb b = 1 ya que b1 = b. El logaritmo de 1 es cero (independientemente de la base); logb 1=0 ya que b0 = 1. Si el número real a se encuentra dentro del intervalo 0 < a < 1 entonces logb a da un valor negativo o se dice que es un logaritmo negativo. Es evidente, ya que si logaritmo de 1 es cero, entonces valores reales menores que uno serán negativos por ser la función logarítmica estrictamente creciente y cuyo recorrido es (-∞, +∞). También se puede demostrar usando la identidad logarítmica logb(x/y)=logb x - logb y; puesto que a pertenece al intervalo 0 < a < 1, su inverso a-1 será mayor que uno, con lo que logb(a)=logb(1/a-1) = logb 1 - logb(a-1)= -logb(a-1). Los números negativos no tienen logaritmo en el cuerpo de los reales R, ya que cualquiera que sea el exponente n, se tendrá siempre que bn será mayor que cero, bn > 0; en consecuencia, no hay ningún valor real de n que pueda satisfacer bn = x cuando x sea menor que 0. Sin embargo, este obstáculo se puede salvar, ampliando el dominio de definición al cuerpo de los números complejos C, pudiendo calcular logaritmos de números negativos usando el logaritmo complejo o recurriendo a la fórmula de Euler.
Las potencias consecutivas de una base forman una progresión geométrica y la de los exponentes una progresión aritmética. Por ejemplo, las potencias de 2 son 1,2,4,8,16,32,64,..., etc. y sus exponentes serán 0, 1, 2, 3, 4,..., etc. ya que 20 = 1, 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, y 24 = 16, etc. luego log2 1 = 0, log2 2 = 1, log2 4 = 2, log2 8 = 3 y log2 16 = 4, etc.
3. Propiedades analíticas Un estudio más profundo de los logaritmos requiere el concepto de función. Un ejemplo es la función que produce la x-ésima potencia de b para cualquier número real x, donde la base (o raíz) b es un número fijo. Esta función se escribe como
3.1. Función logarítmica Para justificar la definición de logaritmos, es necesario mostrar que la ecuación exponencial
tiene una solución x y que esta solución es única, provista de que y es positivo y que b es positivo y distinto de 1. Una demostración de este hecho requiere del teorema del valor intermedio del cálculo elemental.3 Este teorema establece que una función continua que produce dos valores m y n también produce cualquier valor que se encuentre entre m y n. Una función es continua si esta no «salta», esto es, si su gráfico puede ser escrito sin levantar el lápiz del papel. Esta propiedad se puede demostrar que se cumple para la función f(x) = bx. Puesto que f toma arbitrariamente valores grandes positivos y valores pequeños positivos, cualquier número y > 0 que se encuentra entre f(x0) y f(x1) para un adecuado x0 y x1. Por lo tanto, el teorema del valor intermedio asegura que la ecuación f(x) = y tiene una solución. Más aún, hay únicamente una solución para esta ecuación, puesto que la función f es estrictamente creciente (para b > 1), o estrictamente decreciente (para 0 < b < 1).4 La única solución x es el logaritmo de y en la base b, logb(y). La función que asigna a cada y su logaritmo se llama función logaritmo o función logarítmica (o logaritmo a secas).
3.2. Función inversa Gráfico de la función logarítmica logb(x) (azul) se obtiene mediante reflexión del gráfico de la función bx (roja) sobre la línea diagonal (x = y).
La fórmula para el logaritmo de una potencia dice en particular que para cualquier número x,
En lenguaje llano, tomando la x-ésima potencia de b y luego el base-b logaritmo se vuelve a obtener x. De modo contrario, dado un número positivo y, la fórmula
dice que tomando primero el logaritmo y después exponenciando se vuelve a obtener y. Así, las dos maneras posibles de combinar (o componer) logaritmos y exponenciales vuelve a dar el número original. Por lo tanto, el logaritmo en base b es la función inversa de f(x) = bx.5 Las funciones inversas están íntimamente relacionadas con las funciones originales. Sus gráficos se corresponden el uno con el otro mediante el intercambio de las coordenadas x e y (o por reflexión sobre la línea diagonal x = y), como se muestra en la figura de la derecha: un punto (t, u = bt) sobre el gráfico de f proporciona un punto (u, t = logbu) sobre el gráfico del logaritmo y viceversa. Como consecuencia, logb(x) diverge a infinito (se hace más grande que cualquier número dado) si x tiende a infinito, siempre que b sea mayor que 1. En ese caso, logb(x) es un función creciente. Para b < 1, logb(x) tiende a menos infinito en lugar de a infinito. Cuando x se aproxima a cero, logb(x) tiende a menos infinito para b > 1 (a más infinito cuando b < 1, respectivamente).
3.3 Derivada e integral indefinida
El gráfico del logaritmo natural (verde) y su tangente en x = 1.5 (negro)
Las propiedades analíticas de las funciones pasan a sus inversas.3 Así, como f(x) = bx es una función continua y diferenciable, también lo será logb(y). Toscamente hablando, una función continua es diferenciable si su gráfico no tiene «trazos puntiagudos». Más aún, como la derivada de f(x) evaluada en ln(b)bx por las propiedades de la función exponencial, la regla de la cadena implica que la derivada de logb(x) es dada por4 6
Esto es, la pendiente de la tangente que toca el gráfico del logaritmo en base-b en el punto (x, logb(x)) es igual a 1/(x ln(b)). En particular, la derivada de ln(x) es 1/x, lo que implica que la integral indefinida de 1/x es ln(x) + C.La derivada con un argumento funcional generalizado f(x) es
El cociente del miembro derecho es denominado derivada logarítmica de f. Calcular f'(x) por medio de la derivada de ln(f(x)) se conoce como diferenciación logarítmica.7 La integral indefinida del logaritmo natural ln(x) es:8
Fórmulas relacionadas, tales como integrales indefinidas de logaritmos en otras bases pueden ser obtenidas de esta ecuación usando el cambio de bases.
3.4 Representación integral del logaritmo natural
El logaritmo natural de t es el área sombreada bajo el gráfico de la función f(x) = 1/x (inversa de x). Artículo principal: Logaritmo natural El logaritmo natural de t concuerda con la integral de 1/x dx desde 1 a t:
En otras palabras, ln(t) es igual al área entre el eje x y el gráfico de la función 1/x, recorrido desde x = 1 a x = t (figura a la derecha). Esto es una consecuencia del teorema fundamental del cálculo y del hecho de que la derivada de ln(x) sea 1/x. El miembro de la derecha de esta ecuación puede servir con una definición para el logaritmo natural.
Las fórmulas del producto y potencias de logaritmo pueden ser obtenidas de esta definición.10 Por ejemplo, la fórmula del producto ln(tu) = ln(t) + ln(u) se deduce como:
La igualdad (1) descompone la integral en dos partes, mientras que la igualdad (2) es un cambio de variable (w = x/t). En la ilustración de abajo, la descomposición corresponde a dividir el área en las partes azul y amarilla. Reescalando el área azul de la izquierda verticalmente mediante el factor t y contrayendo esta por el mismo factor horizontalmente no se cambia su tamaño. Moviéndola apropiadamente, el área de la gráfica se ajusta a la función f(x) = 1/x de nuevo. Por lo tanto, el área azul del término izquierdo, que es la integral de f(x) desde t a tu es la misma que la de la integral desde 1 a u. Esto justifica la igualdad (2) con otra demostración geométrica más.
Una demostración visual de la fórmula del producto del logaritmo natural. La fórmula de la potencia ln(tr) = r ln(t) puede ser obtenida de manera similar:
La segunda igualdad usa los cambios de variable (integración por sustitución), w := x1/r. La suma sobre los inversos de los números naturales,
es llamada serie armónica. Está estrechamente vinculada al logaritmo natural: cuando n tiende a infinito, la diferencia,
converge (i.e., se aproxima arbitrariamente cerca) a un número conocido como constante de Euler-Mascheroni. Esta relación ayuda a analizar el rendimiento de algoritmos, como quicksort.
3.5. Transcendencia del logaritmo El logaritmo es un ejemplo de función trascendente y desde un punto de vista teórico, el teorema de Gelfond-Schneider afirma que los logaritmos suelen tomar valores «difíciles» . La declaración formal se basa en la noción de números algebraicos, que incluye a todos los números racionales, pero también números tales como la raíz cuadrada de 2 o
Números complejos que no son algebraicos son llamados transcendentes;12 por ejemplo, π y e son dos de esos números. Casi todos los números complejos son trascendentes. Usando estas nociones, el teorema de Gelfond–Scheider declara que dados dos números algebraicos a y b, logb(a) es, o un número trascendente, o un número racional p / q (en cuyo caso aq = bp, de manera que, para empezar, a y b estaban estrechamente relacionados)
4. Calculo
Los logaritmos son fáciles del calcular en algunos casos, tales como log10(1,000) = 3. En general, los logaritmos pueden ser calculados usando series de potencias o la media aritmético-geométrica, o ser obtenidos de una tabla de logaritmos precalculada que proporciona una precisión fijada.14 15 El método de Newton, un método iterativo para resolver ecuaciones aproximadamente, puede ser usado también para calcular el logaritmo, porque su función inversa, la función exponencial, puede ser calculada eficientemente.16 Usando tablas de referencias, métodos como CORDIC pueden ser usados para calcular logaritmos si la únicas operaciones disponibles son la adición y el desplazamiento de bits.17 18 Más aún, el algoritmo del logaritmo binario calcula lb(x) recursivamente basado en la repetición cuadrática de x, aprovechando la relación
4.1. Serie de potencias Serie de Taylor de ln(z) at z = 1. La animación muestra las primeras 10 aproximaciones junto con las aproximaciones 99 y 100.
Para cualquier número real z que satisfaga 0 < z < 2, la siguiente serie de potencias se cumple:nb 1 19
Esta es una manera rápida de decir que ln(z) puede ser aproximado a un valor más y más preciso mediante las siguientes expresiones:
Por ejemplo, con z = 1.5 la tercera aproximación obtiene 0.4167, que es alrededor de 0.011 mayor que ln(1.5) = 0.405465. Esta serie aproxima ln(z) con precisión arbitraria, siempre que el número de sumandos sea lo suficientemente grande. En cálculo elemental, ln(z) es por tanto, el límite de la serie. Esta es la serie de Taylor del logaritmo natural en z = 1. La serie de Taylor de ln z proporciona una particular aproximación útil de ln(1+z) cuando z es pequeño, |z| << 1, puesto que
Por ejemplo, con z = 0.1 el primer orden de aproximación da ln(1.1) ≈ 0.1, que es menor del 5% del valor correcto 0.0953.
4.2Aproximación mediante media aritmético-geométrica La media aritmético-geométrica da aproximaciones con gran precisión del logaritmo natural. ln(x) es aproximado con una precisión de 2−p (o p bits precisos) mediante la siguiente fórmula (dada por Carl Friedrich Gauss):20 21
Aquí M denota la media aritmético-geométrica. Se puede obtener mediante el cálculo repetido de la media (media aritmética) y de la raíz cuadrada del producto de dos números (media geométrica). Más aún, m es escogido tal que
Ambas, media aritmético-geométrica y las constantes π y ln(2) pueden ser calculadas mediante series convergentes muy rápidas.
5.EXTENSIONES 5.1Números reales
Para enteros b y x, el número es irracional (no puede representarse como el cociente de dos enteros) si b o x tienen un factor primo que el otro no tiene. El logaritmo natural de un número real positivo está bien definido y es un número real. Sin embargo, generalizar el logaritmo natural a números reales negativos sólo puede hacerse introduciendo números complejos. Sin embargo, al igual que sucede el logaritmo de números complejos la elección de logaritmo de un número negativo no es única, aunque la elección hecha es la más frecuentemente usada para extender el logaritmo a números reales negativos.
5.2Números complejos Artículo principal: Logaritmo complejo
Principal rama del logaritmo complejo, Log(z).
El logaritmo natural de un número complejo z es otro número complejo b = ln(z) que sea solución de la ecuación: (*) La ecuación anterior no tiene solución única. De hecho, tiene un número infinito de soluciones, aunque todas ellas son fáciles de encontrar. Dado un número complejo z escrito en forma polar, una solución posible de la ecuación (*) es b0:
Puede comprobarse que ésta no es la única solución, sino que para cualquier valor resulta que el número complejo bk, definido a continuación, también es solución:
5.3Logaritmo en base imaginaria Artículo principal: Logaritmo en base imaginaria
Un logaritmo en base imaginaria es un logaritmo que tiene como base i (la unidad imaginaria). Este tipo de logaritmos se puede resolver fácilmente con la fórmula:
Dónde z es cualquier número complejo excepto 0. Sin embargo, cabe señalar que la fórmula anterior sólo es una de las posibles soluciones ya que la ecuación:
admite no sólo la solución dada anteriormente sino que cualquier x de la forma:
también es solución. 5.4Matrices Artículo principal: Logaritmo de una matriz
Una matriz B es logaritmo de una matriz dada A si la exponenciación de B es A:
A diferencia de la exponenciación de matrices, el logaritmo de una matriz real puede no estar definido siempre. En el caso de una matriz diagonalizable es necesario que logaritmo esté definido para todos y cada uno de los autovalores o valores propios de la matriz. En ese caso el logaritmo de la matriz está definido y es logaritmo de una matriz con autovalores positivos es otra matriz real. Si el 0 es un autovalor de la matriz, entonces su logaritmo no está definido. Si el logaritmo está definido sobre el espectro o conjunto de autovalores y estos incluyen algún número negativo, aun así es posible definir una matriz logaritmo (en forma similar a como se definen los logaritmos de números negativos o complejos), aunque no resulta única. En el caso de una matriz no diagonalizable, este proceso es más complicado, ya que requiere encontrar primero su forma canónica de Jordan.
5.5Logaritmo discreto Artículo principal: Logaritmo discreto
Los logaritmos discretos son los análogos en teoría de grupos de los logaritmos ordinarios. En particular, un logaritmo ordinario loga(b) es una solución de la ecuación ax = b sobre números reales o números complejos. De manera similar, si g y h son elementos de un grupo cíclico finito G, entonces una solución x de la ecuación gx = h es llamada logaritmo discreto en la base g de h en el grupo G. Si (G,·) es un grupo cíclico finito de orden n, donde · es el operador multiplicación, si se escoge un generador g de G, entonces cada elemento h de G puede ser escrito como h = gk para algún entero k, de manera que la función
asigna a cada h la clase de equivalencia modulo n de k, esto es, todos los k que cumplan que h ≡ gk mod n. Este logaritmo tiene aplicaciones en criptografía, en especial en el método de intercambio de claves de Diffie-Hellman o en el sistema de ElGamal.
Esperamos que esta revista sea de su agrado, gracias por su atenci贸n prestada,