Formazione 2°

CORSO DI FORMAZIONE a.s.2009.2010

Quali COMPETENZE “matematiche” nel percorso formativo “PONTE” infanzia/primaria?

Attraverso quali scelte metodologiche e didattiche strutturare il CURRICOLO?

La competenza è il reale valore aggiunto della conoscenza le conoscenze senza competenze sono cieche, le competenze senza conoscenze… non esistono! conoscenze

La scuola tradizionale è selettiva, si ferma alle conoscenze, le TRASMETTE e le VALUTA dal meno al più

competenze

Abilità, capacità, attitudini, stili cognitivi, atteggiamenti, emozioni, motivazioni e valori La scuola di oggi (domani) è inclusiva, ATTIVA le conoscenze, PROMUOVE competenze che accerta e CERTIFICA

La competenza matematica include la capacità dell’allievo di risolvere diversi tipi di situazioni problematiche all’interno di diversi domini matematici (l’aritmetica, la geometria, la logica,…)

Cioè, non si tratta solo di una competenza a saper porre e risolvere problemi, ma anche (soprattutto?) di un’interconnessa capacità di argomentazione, giustificazione, elaborazione di strategie efficaci, ed INFINE, di rappresentazione formale

Complessivamente un apprendimento profondo al quale contribuisce ogni ambiente .

SCUOLA DELL’INFANZIA, INDICAZIONI NAZIONALI E MATEMATICA di Anna Paola Longo Politecnico di Torino, Dipartimento di matematica - gennaio 2008 L’apprendimento attraverso l’esperienza

La finalità primaria dichiarata per la scuola dell’infanzia è “di promuovere lo sviluppo dell’identità, dell’autonomia, della competenza, della cittadinanza”.

Il documento propone la scuola dell’infanzia come luogo di cura e di apprendimento attraverso una pedagogia attiva.

“L’apprendimento avviene attraverso l’esperienza”, e la scuola si pone come luogo in cui “le sollecitazioni che i bambini sperimentano possano essere analizzate, discusse ed elaborate”.

Matematica ed esperienza SCUOLA DELL’INFANZIA, INDICAZIONI NAZIONALI E MATEMATICA di Anna Paola Longo Politecnico di Torino, Dipartimento di matematica - gennaio 2008

Bisognerà approfondire come l’esperienza permetta di costruire una solida base anche per la conoscenza della matematica. In questa disciplina, si verificano casi di bambini che toccano, manipolano, giocano, ma non riescono a raggiungere idee e concetti in modo personale e significativo.

Matematica ed esperienza SCUOLA DELL’INFANZIA, INDICAZIONI NAZIONALI E MATEMATICA di Anna Paola Longo Politecnico di Torino, Dipartimento di matematica - gennaio 2008

L’esperienza può non lasciare tracce nel soggetto che la compie, cioè l’apprendimento non si genera da essa in modo automatico. Occorre quindi comprendere non solo quali esperienze proporre, ma anche come intervenire per permettere di rielaborarle. Cito brevemente l’insostituibile funzione del linguaggio: narrazione, discussione, rendere conto delle ragioni dei propri tentativi o affermazioni.

Matematica ed esperienza SCUOLA DELL’INFANZIA, INDICAZIONI NAZIONALI E MATEMATICA di Anna Paola Longo Politecnico di Torino, Dipartimento di matematica - gennaio 2008

Noto qui per inciso che le schede di cui si fa tanto (troppo!) uso per l’insegnamento della matematica sia nella scuola elementare che nella scuola materna sono davvero inutili al fine dell’apprendimento perché non costituiscono né un’esperienza né un momento di rielaborazione. La scheda non è una situazione problematica, in essa il bambino interpreta la rappresentazione o la domanda e per rispondere applica il suo sapere, perciò essa può costituire (ma solo in parte) un momento valutativo...

Matematica ed esperienza SCUOLA DELL’INFANZIA, INDICAZIONI NAZIONALI E MATEMATICA di Anna Paola Longo Politecnico di Torino, Dipartimento di matematica - gennaio 2008

L’idea che l’apprendimento della matematica sia legato all’esperienza non è nuova, anche se di non facile applicazione. Freudenthal sottolinea che per insegnare la matematica bisogna insegnare non le parole, ma a parlare, non le dimostrazioni ma a dimostrare, non i formalismi ma a formalizzare, ecc. (Freudenthal, 1994).

Matematica ed esperienza SCUOLA DELL’INFANZIA, INDICAZIONI NAZIONALI E MATEMATICA di Anna Paola Longo Politecnico di Torino, Dipartimento di matematica - gennaio 2008

Le azioni del fare matematica: giocare, osservare, descrivere, definire, ragionare, immaginare, simbolizzare, progettare, sbagliare, ricordare.

Ma molte altre azioni entrano in gioco quando si entra nei vari ambiti della disciplina: aggiungere, togliere, suddividere, trasformare, spostare, ruotare, ecc. (Manara, 2002).

Matematica ed esperienza SCUOLA DELL’INFANZIA, INDICAZIONI NAZIONALI E MATEMATICA di Anna Paola Longo Politecnico di Torino, Dipartimento di matematica - gennaio 2008

Tutto ciò presuppone un lungo apprendistato per imparare a rappresentare, azione personale (disegno, mimo, costruzioni) che facilita l’elaborazione di rappresentazioni mentali.

Rappresentare e simbolizzare sono capacità che si evolvono e richiedono perciò nella scuola dell’infanzia una lunga ed intelligente formazione, in cui il bambino lavora personalmente, ma è accompagnato in modo intelligente dall’adulto.

Matematica ed esperienza SCUOLA DELL’INFANZIA, INDICAZIONI NAZIONALI E MATEMATICA di Anna Paola Longo Politecnico di Torino, Dipartimento di matematica - gennaio 2008

... l’esperienza è una via che non produce frutti immediati e produce meglio dei frutti se l’insegnante comprende quali germogli culturali ne possono sorgere e ne agevola la crescita, cioè la presa di coscienza. Orientare l’esperienza, proporre situazioni problematiche, valorizzare i processi per tentativi, saper osservare i bambini, essere in grado di fare loro domande, ascoltare con pertinenza le loro osservazioni, richiede una notevole cultura matematica: non solo la conoscenza delle formule, ma la padronanza della struttura del pensiero ...

Il numero scrittoJudit Jassò - Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Perugia

Strategie ingenue per rappresentare un numero: Disegno-scarabocchio Contorno o disegno di oggetti (rappr.pittorica) Segni-simbolo (rappr. Iconica) Disegno delle dita della mano Simboli numerici personali Simboli numerici convenzionali Segno convenzionale del numerale

Jassò - Dipartimento di Matematica e Informatica Modelli intuitiviJudit Universita degli Studi di Perugia



importanza dell’esplicitazione dei modelli intuitivi



valorizzare le competenze numeriche dei bambini, renderle patrimonio comune



problemi-stimolo per favorire l’esplicitazione dei modelli intuitivi (come spiegheresti ai bambini più piccoli …… se fossi mamma e papà…)

Judit Jassò - Dipartimento di Matematica e Informatica Possibili esperienze Universita degli Studi di Perugia

Creare situazioni in cui il bambino debba comunicare utilizzando dei numeri • • • • • •

Uomo primitivo e conteggio delle pecore Lettere e numeri (a 5 anni molti non distinguono con sicurezza) Caccia al numero (in occasione di un’uscita o a casa) Il paese senza numeri (Nel mondo senza numeri di Lucy Coats) Il calendario Creazione di braccialetti con le perle in gruppi

Judit Jassò - Dipartimento di Matematica e Informatica Esempi di attivita’ Universita degli Studi di Perugia

Corsa al 7: due giocatori, si inizia da 1 o 2, a ogni passo si può aggiungere 1 o 2 al numero precedentemente detto.  Vince chi riesce prima a dire 7  Carte, dama, scacchiere  Memoria  NIM: 16 bastoncini disposti in 4 file. 2 giocatori, si può prendere qualunque numero di bastoncini da una sola riga alla volta. Vince chi prende l’ultimo bastoncino . Non è possibile passare (saltare la mossa).  Esiste anche una variante, secondo la quale chi toglie l'ultimo elemento perde. 

Situazione fondamentale per il conteggio (Brousseau) Judit Jassò - Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Perugia

Abbiamo dei disegni con dei vasi: devi cercare dei pennelli nella stanza vicina e al ritorno metterne uno solo in ogni vaso: devi portare tutti i pennelli in un sol colpo e devi fare in modo che non resti né pennello senza vaso, né vaso senza pennello. Se ti sbagli, riprendi tutti i pennelli, li riporti e riprovi di nuovo.

La situazione prevede che il bambino: o Chieda la quantità giusta di pennelli o Verifichi la correttezza della quantità

Judit Jassò - Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Perugia

La situazione ha alcune caratteristiche importanti: o

o o

I concetti di numero o di conteggio non appaiono nell’enunciato: può essere compreso da un allievo che non sappia contare Il conteggio è il mezzo di soluzione di questa situazione Permette varianti per poter sviluppare progressivamente la conoscenza dei numeri come risposta a queste situazioni.

PONTE infanzia/primaria

Judit Jassò

Quali le reali competenze dei bambini su numeri e operazioni all’arrivo alla primaria?

Ultimo anno scuola dell’infanzia: Cartelloni di “numeri grandi” e “numeri piccoli” con numeri tagliati da riviste

TRAGUARDI PER LO SVILUPPO DELLA COMPETENZA NELLA SCUOLA DELL’INFANZIA •Il

bambino raggruppa e ordina secondo criteri diversi, confronta e valuta quantità.

•Utilizza semplici simboli per registrare, compie misurazioni mediante strumenti.

•Colloca correttamente nello spazio sé stesso, oggetti, persone; segue correttamente un percorso sulla base di indicazioni verbali.

•Si orienta nel tempo della vita quotidiana.

•Riferisce eventi del passato recente mostrando consapevolezza della loro collocazione temporale, formula correttamente riflessioni e considerazioni relative al futuro immediato e prossimo.

TRAGUARDI PER LO SVILUPPO DELLA COMPETENZA NELLA SCUOLA DELL’INFANZIA

• •

• • •

Coglie trasformazioni naturali.

Osserva fenomeni naturali e gli organismi viventi sulla base di criteri o ipotesi, con attenzione e sistematicità.

Prova interesse per gli artefatti tecnologici, li esplora e sa scoprirne funzioni e possibili usi.

E’ curioso, esplorativo, pone domande, discute, confronta ipotesi, spiegazioni, soluzioni e azioni.

Utilizza un linguaggio appropriato per descrivere le osservazioni o le esperienze.

TRAGUARDI PER LO SVILUPPO DELLA COMPETENZA NELLA SCUOLA PRIMARIA L’alunno

sviluppa un atteggiamento positivo rispetto alla matematica, anche grazie a molte esperienze in contesti significativi, che gli hanno fatto intuire come gli strumenti matematici cha ha imparato siano utili per operare nella realtà Si muove con sicurezza nel calcolo scritto e mentale con i numeri naturali e sa valutare l’opportunità di ricorrere a una calcolatrice Percepisce e rappresenta forme, relazioni e strutture che si trovano in natura o che sono state create dall’uomo, utilizzando in particolare strumenti per il disegno geometrico (riga, compasso, squadra) e i più comuni strumenti di misura

TRAGUARDI PER LO SVILUPPO DELLA COMPETENZA NELLA SCUOLA PRIMARIA

Utilizza rappresentazioni di dati adeguate e le sa utilizzare in situazioni significative per ricavare informazioni  Riconosce che gli oggetti possono apparire diversi a seconda dei punti di vista  Descrive e classifica figure in base a caratteristiche geometriche e utilizza modelli concreti di vario tipo anche costruiti o progettati con i suoi compagni  Affronta i problemi con strategie diverse e si rende conto che in molti casi posso ammettere più soluzioni 

TRAGUARDI PER LO SVILUPPO DELLA COMPETENZA NELLA SCUOLA PRIMARIA

Riesce

a risolvere facili problemi (non necessariamente ristretti a un unico ambito) mantenendo il controllo sia sul processo risolutivo, sia sui risultati e spiegando a parole il procedimento seguito Impara a costruire ragionamenti (se pure non formalizzati) e a sostenere le proprie tesi, grazie ad attività laboratoriali, alla discussione tra pari e alla manipolazione di modelli costruiti con i compagni Impara a riconoscere situazioni di incertezza e ne parla con i compagni iniziando a usare le espressioni “è più/meno probabile” e, nei casi più semplici, dando una prima quantificazione

AMBITO DI CONTENUTO

Numeri

OGGETTI DI VALUTAZIONE ENTRO LA CLASSE II PRIMARIA

Numeri naturali e loro rappresentazione in base dieci.

Addizione e sottrazione fra numeri naturali.

Moltiplicazione e divisione fra numeri naturali. Proprietà dei numeri naturali: precedente successivo, pari dispari, doppio, metà…. Operazioni con i numeri interi.

OGGETTI DI VALUTAZIONE ENTRO LA CLASSE V PRIMARIA

Numeri naturali e loro rappresentazione in base dieci.

Addizione e sottrazione fra numeri naturali.

Moltiplicazione e divisione fra numeri naturali. Proprietà dei numeri naturali: precedente successivo, pari dispari, doppio, metà…. Operazioni con i numeri interi.

Scrittura posizionale dei numeri naturali e decimali.

Numeri decimali e frazioni. Frazioni equivalenti.

Operazioni fra numeri decimali. Proprietà delle operazioni. Significato delle parentesi in sequenze di operazioni. Calcolo approssimato. Potenze di numeri naturali e interi. Numeri primi. Multipli e divisori.

Percentuali.

Ostacoli e criticitĂ che possono indurre misconcetti o/e malgoritmi invalidanti per le successive acquisizioni

Ostacoli Da qualche decennio si sono individuati in didattica della matematica tre tipi di ostacoli che si frappongono all'apprendimento: Ontogenetici: dipendono da situazioni genetiche sono legati allo studente ed alla sua maturitĂ (etĂ , capacitĂ , ecc.)

Didattici: dipendono dalle scelte didattiche del docente, (modelli implicitamente insegnati) Epistemologici: dipendono dalla natura stessa del concetto complesso (prodotto di due numeri negativi diventa positivo)

Le basi della didattica della matematica Bruno D’Amore Il contratto didattico L’idea di contratto didattico fu lanciata da Guy Brousseau.

Uno dei primi tentativi di “definizione” del contratto didattico è il seguente: «In una situazione d’insegnamento, preparata e realizzata da un insegnante, l’allievo ha generalmente come compito di risolvere un problema (matematico) che gli è presentato, ma l’accesso a questo compito si fa attraverso un’interpretazione delle domande poste, delle informazioni fornite, degli obblighi imposti che sono costanti del modo di insegnare del maestro. Queste abitudini (specifiche) del maestro attese dall’allievo ed i comportamenti dell’allievo attesi dal docente costituiscono il contratto didattico» (Brousseau, 1986).

Il contratto didattico

Le basi della didattica della matematica Bruno D’Amore

Uno degli studi più noti è quello che va sotto il nome di L'età del capitano. Io lo racconterò qui di seguito, così come l'ho vissuto (e fatto vivere) personalmente. In una classe IV elementare (età degli allievi 9-10 anni) di un importante centro agricolo, ho proposto il celeberrimo problema (nel quale il "capitano" diventa un "pastore"): «Un pastore ha 12 pecore e 6 capre. Quanti anni ha il pastore?».

In coro, con sicurezza, e tutti senza eccezioni o riserve, i bambini hanno dato la risposta attesa: «18».

Il contratto didattico

Le basi della didattica della matematica Bruno D’Amore

Di fronte allo sgomento della maestra, ho reagito spiegandole che si tratta di un fatto legato al contratto didattico: lei non aveva mai dato problemi senza soluzione, o impossibili (per una delle tante forme di impossibilità), dunque i bambini avevano introdotto nel contratto didattico una clausola in base alla quale, per così dire: «Se la maestra ci dà un problema, questo deve essere risolto certamente». E, poiché vige un'altra clausola micidiale secondo la quale i dati numerici presenti nel testo vanno presi tutti e possibilmente nell'ordine in cui compaiono, i bambini di quella classe non avevano nessun'altra possibilità, nessuno scampo: dovevano rispondere usando i dati 12 e 6.

Il contratto didattico

Le basi della didattica della matematica Bruno D’Amore

L'unico imbarazzo stava semmai nella scelta della operazione da eseguire. Ora, può darsi che quella dell'addizione sia stata una scelta casuale; ma va detto che alla mia richiesta ad un biondino particolarmente vivace di spiegare perché non avesse fatto uso per esempio della divisione, questo, dopo un attimo di riflessione, mi ha spiegato che: «No, è troppo piccolo!», riferendosi ovviamente all'età del pastore... Gli studi sul contratto didattico, praticamente coltivati in tutto il mondo, si stanno rivelando molto fruttiferi ed hanno dato, in pochissimi anni, risultati di grande interesse, che sempre più ci stanno facendo conoscere l'epistemologia dell'apprendimento matematico.

Misconcezioni

Le basi della didattica della matematica Bruno D’Amore

Una misconcezione è un concetto errato e dunque costituisce genericamente un evento da evitare. Lo studente rivela le proprie misconcezioni quando applica correttamente regole scorrette. Spesso, all’origine di questo fatto c’è una mancata comprensione od un’errata interpretazione. Se l’insegnante non si rende conto di ciò, le sue sollecitazioni cadono a vuoto perché lo studente ha già incluso nel proprio curricolo quelle regole che ritiene corrette e che, in taluni casi, hanno funzionato.

Misconcezioni

Le basi della didattica della matematica Bruno D’Amore

Per esempio, in una III elementare, uno studente eseguiva in colonna le seguenti sottrazioni:

3 7 -

8 9

-

2 6 -

5 6 -

2 4

6 7

=

1 8

4 3

1 3

=

2 2

1 2

=

1 3

=

Misconcezioni

Le basi della didattica della matematica Bruno D’Amore

L’insegnante osservò che tre sottrazioni su quattro erano state eseguite correttamente, diede dunque una valutazione positiva, ma invitò lo studente, nella terza, a “prendere in prestito una decina”. Lo studente non capiva di che decina si stava parlando perché aveva in mente un’altra regola personale: per eseguire le sottrazioni in colonna si procede da destra verso sinistra e, in ogni colonna, si sottrae dal più grande il più piccolo.

Essa funzionava quasi sempre e nei casi negativi egli non capiva perché: stava usando correttamente, infatti, una regola che non sapeva essere invece scorretta. Una vera e propria misconcezione.

Misconcezioni

Le basi della didattica della matematica Bruno D’Amore

Dunque, le misconcezioni si possono interpretare come concezioni momentanee non corrette, in attesa di sistemazione cognitiva più elaborata e critica. Attenzione, però: lo studente non lo sa e dunque ritiene che le sue, quelle che per il ricercatore sono misconcezioni, siano invece concezioni vere e proprie. Dunque è l'adulto che sa essere quelle elaborate e fatte proprie dai ragazzi delle misconcezioni. Chiamarle errori è troppo semplicistico e banale: non si tratta di punire, di valutare negativamente; si tratta, invece, di dare gli strumenti per l'elaborazione critica.

Misconcezioni

Le basi della didattica della matematica Bruno D’Amore

Altri classici esempi di misconcezioni, per esempio riportati in Zan (1998), sono i seguenti: «“Se moltiplico due numeri il risultato è maggiore di entrambi.”

Questa, come la convinzione “simmetrica” sul risultato di una divisione (che deve essere più piccolo del dividendo), produce gravi conseguenze in molti contesti. Tipico il caso dei problemi di proporzionalità, nei quali la presenza di numeri decimali minori di 1 “blocca” strategie utilizzate in modo naturale con numeri interi.

Altri esempi: “Questo è un quadrato:

… ma questo è un rombo:

“Siccome

31>5, allora 0,31>0,5”.»

Ponti di senso

Judit Jassò

La struttura formale dei metodi “standard” sprona all’errore (senza la comprensione il bambino non è in grado di ricostruire l’algoritmo, se non si ricorda): improvvisazione di “malgoritmi”  E’ importante che gli allievi imparino a descrivere i propri processi di pensiero, le proprie emozioni  Promuovere la comprensione di ciò che la matematica esprime Sviluppare le loro abilità metacognitive 

Basta con i numeri da 1 a 9, basta con i numeri in colore, basta con i blocchi logici, basta con gli abaci multibase Bruno D’Amore 1. Numeri da 1 a 9 tra settembre e dicembre della prima elementare

...Una prima proposta didattica: aboliamo questa tristezza, questa idiozia. Basiamoci davvero su quel che davvero i bambini sanno. Non avviliamoli, non scolarizziamoli, valorizziamo le loro competenze. Partiamo dalla vita reale, dalle fiabe, dalle storie e dovunque troviamo numeri. Nella scuola dell’infanzia i bambini hanno giocato con il calendario. Non è possibile mostrare loro 2 mele e chiedere «Quante sono?» solo per sentirsi rispondere «2». È un insulto a noi ed a loro, è un insulto all’intelligenza umana!...

I numeri in colore

Bruno D’Amore

Alla relazione formale usuale nella didattica: numero numerale (orale e scritto) si aggiungono due nuovi formalismi: colore e lunghezza.

L’aggiunta di un registro semiotico nuovo, addirittura innaturale (onestamente, che cosa c’entrano i numeri con i colori?), su un argomento già costruito e formato, non può certo aiutare chi sa già, ma solo confondergli le idee; né può aiutare chi non sa dato che, con molta probabilità, chi non sa, non sa proprio per confusione di registri semiotici.

I numeri in colore

Bruno D’Amore

Detto in altre parole, e riferito al nostro caso specifico, un “rafforzamento semiotico” (come sembra essere quello del colore) è: · inutile per chi possiede già il concetto (l’insegnante, l’adulto) · ulteriore fonte di confusione e smarrimento per chi il concetto ancora non possiede (l’allievo).

L’allievo rischia di perdersi nei meandri dei registri semiotici e, visto che nessun oggetto matematico è concreto, sempre più perderà di vista la costruzione del concetto per limitarsi in sua vece ad accumulare possibili registri semiotici nei quali esprimerlo e rappresentarlo.

I numeri in colore

Bruno D’Amore

C’è ancora di peggio, per quanto sembri impossibile, e penso a tre punti.

1. Chi usa i numeri in colore si fa gran vanto della seguente attività: si dispone sul banco il regolo del 10 e su di esso le coppie additive, cioè quelle coppie di regoli la cui “somma” è 10; effettivamente la cosa è carina perché si rende visibile la scomposizione additiva; solo che a nessun bambino mai verranno spontaneamente in mente le coppie 0+10 e 10+0, dato che esse, appunto, non sono visibili! Lo zero continua ad essere sinonimo di vuoto, di assenza, di nulla, come molti insegnanti auspicano e loro stesse suggeriscono; il che provoca la costruzione di un modello che, successivamente, farà da ostacolo (didattico!) all’apprendimento del concetto.

I numeri in colore

Bruno D’Amore

Chi usa i numeri in colore si fa gran vanto della seguente attività: si dispone in verticale il regolo 2 accanto al regolo 5 e si insegna che 5 è più grande di 2; questa “scoperta” è suffragata dall’immagine visiva: il 5 è infatti percettibilmente più alto. Il bambino si convince allora che “maggiore” in matematica è sinonimo di “più grande, più alto, più grosso” e simili, con la conseguenza che non sarà più possibile paragonare numeri che indicano cardinalità di differenti specie di oggetti. Se mettiamo in verticale 5 ciliege e 2 elefanti, qual è la colonna, il mucchio, il risultato “più grande”? Con questa confusione tra numerico astratto e quantità, la risposta è ovvia. Ecco l’origine di un altro ostacolo (didattico!).

2.

Bruno D’Amore I numeri in colore Chi fa usare i numeri in colore, spesso lo fa per i primi giorni della prima; ma più e più volte ho letto di progetti, unità, programmazioni etc. che li trascinano per tutto il primo ciclo (anche se non riesco ad immaginare come).

Ebbene, ecco un esempio di attività per la cui realizzazione occorre tempo, dispendio di energia, costruzioni didattiche etc. da parte dell’insegnante e dell’allievo e poi, pluff!, tutto sparisce: in terza elementare i numeri in colore non esistono più, svaniti nel nulla, non servono più.

Suggerirei: questo strumento ha avuto il suo periodo di successo, soprattutto perché non c’era altro in giro; ma la riflessione didattica seria ne ha dimostrato i limiti ed ora basta! Ora ci siamo tutti accorti che non solo tale strumento non serve a nulla, ma può anche essere dannoso. Numeri in colore addio!

L’abaco multibase

Bruno D’Amore

I bambini apprendono a trattare i numeri in base 10 fin dai loro 2 anni di età e, giunti nella scuola elementare, lo fanno, ad un certo punto, da veri e propri maestri!

Sorge però una domanda: avranno davvero capito che cos’è una numerazione a base dieci?

La domanda è legittima. Ecco allora l’idea: oltre alla base 10 (che consiste sostanzialmente nel raggruppare le unità a 10 a 10), facciamo conoscere le basi 2, 5, 6 così il bambino avrà l’idea che la base 10 non è l’unica, non è necessaria, ma è solo una delle possibili. Ottima idea!

L’abaco multibase

Bruno D’Amore

Questa intuizione è però degenerata; ed ecco così mesi e mesi di cambi di base, di passaggi tra la base 4 e la 6, la base 2, la 10… Che confusione! I bambini si perdono in questo mare! E, anche qui, la cosa incredibile è che, dopo tutto ‘sto putiferio, le basi spariscono per lasciare il posto definitivo alla sola base 10, che i bambini conoscevano già, ovviamente, dato che è l’unica che si usa nella realtà.

L’abaco multibase

Bruno D’Amore

Rimettiamo le cose a posto! L’unico sistema numerico che serve ai bambini dell’intera scuola dell’obbligo e alla gente comune (a parte casi rarissimi, ma proprio rarissimi) è quello a base 10 (a parte angoli e tempo); temo che sarebbe meglio concentrarsi su quello (che già per molti è fatica non banale) e lasciar stare il resto, lusso inutile.

E poi: il vero punto nevralgico dal punto di vista cognitivo non è tanto la base, ma il fatto che il sistema sia posizionale. È questa la cosa più importante, anzi: l’unica cosa che conta.

La domanda giusta allora è: i bambini che usano tanto bene l’aritmetica nella base 10, avranno capito che tutto funziona perché possiamo sfruttare un sistema posizionale?

L’abaco multibase

Bruno D’Amore

L’idea didattica vincente, allora, non è quella di cambiare base, ma di provare a usare sistemi non posizionali, per vedere che cosa succede. Per esempio, attraverso pochi e semplici cenni storici di grande efficacia, si potrebbe giocherellare con il sistema numerico romano. A prima vista sembra addirittura più semplice, ma basta arrivare a dover fare operazioni anche semplici per rendersi conto che così non é. Mentre con un sistema posizionale (per esempio, il nostro a base 10, indiano-arabo), è facilissimo in terza fare 14×6, vorrei vedere chiunque alle prese con un bel XIV×VI.

A mo’ di conclusione

Bruno D’Amore

Il lettore intelligente a questo punto capirà che mi sono voluto a bella posta scagliare contro 4 “strumenti” dell’ingegneria didattica ingenua scelti tra i più osannati dall’acritica scelta di alcuni insegnanti. Certo, lo ammetto, l’ho fatto di proposito Apprendere è fatto complesso; ma sappiamo almeno che apprendere un concetto vuol dire vederlo, il concetto, in azione nel modo più vasto possibile, in tutte le sue sfaccettature e campi d’applicazione. Numeri da 1 a 9 dal settembre al gennaio della prima elementare; numeri in colore; blocchi logici; abaci multibase; addio!

Che sia la volta buona?

NOTA METODOLOGICA In tal senso, in classe prima, sono valorizzate le competenze numeriche acquisite dai bambini nella scuola dell’infanzia e in famiglia. L’approccio al numero sarà basato sulle conoscenze già in possesso degli alunni.

Il lavoro procederà per ‘soluzione di problemi’, rendendo i bambini (singolarmente e in gruppo) protagonisti dell’apprendimento. Si cercherà, quando possibile, di utilizzare situazioni e contesti reali, privilegiando materiali meno strutturati ma più ricchi di significato per il bambino. (gruppo RSDDM del Dipartimento di matematica dell’Università di Bologna coordinato dal prof. Bruno D’Amore, esperienze raccolte nel volume I Numeri Grandi, Erickson 2007, a cura di Ines Marazzani.)

LA SCRITTURA POSIZIONALE DEI NUMERI FORMAZIONE DEGLI INSEGNANTI PER PREVENIRE LE DIFFICOLTÀ di Anna Paola Longo

Il compito dell’ insegnante è quello di elaborare una didattica dove gli aspetti più tradizionali interagiscono e fanno da supporto a quelli più avanzati, in cui il contributo personale di ogni bambino diventa importante.

Bisogna far nascere problemi da momenti di gioco perché, se è vero che nei giochi è presente molta matematica è pur vero che la matematica ha bisogno del gioco per essere insegnata, da storie, da vissuti quotidiani stimolando ogni volta la discussione, passando ad analizzare i problemi emersi per cercarne la soluzione e infine confrontando le strategie risolutive trovate.

LA SCRITTURA POSIZIONALE DEI NUMERI

di Anna Paola Longo

Bisogna dare spazio alle attività individuali e di piccolo gruppo, in cui gli alunni si abituano ad ipotizzare soluzioni e strategie senza il continuo supporto dell’insegnante. Sempre più frequenti invece devono diventare i momenti che favoriscono un sapere di tipo sociale fatto di molte interazioni verbali in quanto il processo che permette il raggiungimento dei concetti matematici passa attraverso il linguaggio naturale e spontaneo e soltanto in seguito diviene linguaggio rigoroso

LA SCRITTURA POSIZIONALE DEI NUMERI

di Anna Paola Longo

Le difficoltà incontrate in aritmetica dai bambini dipendono, almeno in parte, da una inadeguata comprensione del sistema di numerazione, come negli errori di scrittura, ad esempio 7000 500 invece di 7.500 (Longo, 1997), nell’incolonnamento dei numeri, nel riconoscere l’ordine di numeri decimali, ad esempio tra 37.29 e 37.4, quando i bambini si lasciano guidare dal confronto tra 29 e 4 considerandoli numeri interi, senza riconoscere dalla posizione che si tratta di 29 centesimi e 4 decimi.

LA SCRITTURA POSIZIONALE DEI NUMERI

di Anna Paola Longo

Per superare gli ostacoli, occorre perciò distinguere con cura le difficoltà e gli errori derivanti dalla mancanza di acquisizione e riconoscimento del significato della scrittura posizionale.

Lo scopo del lavoro didattico non è introdurre decina, centinaio, eccetera, ma far comprendere che si mette in opera un meccanismo di raggruppamento che si può ripetere successivamente quante volte si vuole e un conseguente sistema di registrazione.

LA SCRITTURA POSIZIONALE DEI NUMERI

di Anna Paola Longo

Un nuovo modo di contare Riflettiamo sui passi necessari per giungere alla rappresentazione posizionale. Occorre avere chiara, e trasmetterla operando, una ragione adeguata al lavoro che ci si accinge a proporre.

Una buona motivazione per iniziare a raggruppare (e contare poi gli oggetti attraverso i raggruppamenti ottenuti) è porsi il problema di contare un insieme abbastanza numeroso di oggetti, in cui facilmente, procedendo uno a uno, si commettono errori dovuti alla difficoltà percettiva ed all’attenzione.

LA SCRITTURA POSIZIONALE DEI NUMERI

di Anna Paola Longo

Il conteggio è facilitato se si formano gruppi di oggetti e si conta servendosi dei gruppi. Ci si accorge poi che è più conveniente che i gruppi siano tutti uguali. Questo cambia la situazione dal punto di vista della percezione, poiché non ci si trova più di fronte ad un grande numero di oggetti, ma ad un numero molto più piccolo di gruppi.

Alla fine, fissato un numero naturale n, che chiamiamo “base”, si raggruppano gli oggetti in mucchi contenenti tutti lo stesso numero n di oggetti.

LA SCRITTURA POSIZIONALE DEI NUMERI

di Anna Paola Longo

Questi possono essere lasciati liberi solo se sono in numero minore di n. Per esempio, se si sceglie la base 5, si possono trovare liberi al massimo 4 oggetti; nel caso che se ne aggiunga un altro, scatta la legge del raggruppamento ed i 5 oggetti devono essere riuniti in un unico raggruppamento. Anche questi possono essere liberi solo se sono in numero minore di n.

Quando arrivano ad essere n, vanno nuovamente raggruppati formando raggruppamenti del secondo ordine: 5 raggruppamenti da 5 elementi vanno raggruppati in un raggruppamento del secondo ordine, e cosĂŹ via.

LA SCRITTURA POSIZIONALE DEI NUMERI

di Anna Paola Longo

La base dieci La scrittura ordinaria dei numeri usa la base 10; i raggruppamenti successivi prendono il nome di decina, centinaio, migliaio. Tenendo conto di quanto sopra affermato, se si è scelto n = 10, non possono restare liberi 10 oggetti oppure 10 decine, e così via. Esercizi in altre basi possono essere utili per capire il meccanismo, ma lo scopo è quello di imparare ad usare la base 10. Se un bambino ha compreso il meccanismo iterativo della formazione dei gruppi, non è una sorpresa, ma anzi un rafforzamento, arrivare in breve tempo al centinaio, dopo aver fatto 10 mucchi da 10, e proseguire rapidamente con gli ordini successivi.

LA SCRITTURA POSIZIONALE DEI NUMERI

Esempi di attività

“Il calcolo" con l'uso dei Blocchi Aritmetici Multibase (B.A.M.).

I B.A.M. sono suddivisi in scatole che contengono i pezzi, per lo più in legno, delle varie Basi (base due, base tre ... fino a base dieci) Ci sono: i cubetti, che rappresentano le unità i lunghi, detti anche basi o bastoncini, che rappresentano il primo raggruppamento, cioè la base i piatti o quadrati che rappresentano il secondo raggruppamento, vale a dire il quadrato delle basi i cubi o blocchi, che rappresentano il terzo raggruppamento, cioè il cubo della base

LA SCRITTURA POSIZIONALE DEI NUMERI

L'attività proposta ai bambini è "il gioco della banca".

Un bambino tiene la scatola e cambia le unità dei compagni con i pezzi che corrispondono a quel raggruppamento.

Per esempio: se la scatola è quella del tre, il banchiere cambia tre unità con un lungo, tre lunghi con un piatto, tre piatti con un cubo e così per tutte le basi. I bambini partono dalle unità, effettuano i cambi con il materiale, poi passano a registrare le esperienze per iscritto, con il disegno e con i numeri.

Dai traguardi per lo sviluppo della competenza nella scuola primaria L’alunno sviluppa un atteggiamento positivo rispetto alla matematica, anche grazie a molte esperienze in contesti significativi, che gli hanno fatto intuire come gli strumenti matematici cha ha imparato siano utili per operare nella realtà  Si muove con sicurezza nel calcolo scritto e mentale con i numeri naturali e sa valutare l’opportunità di ricorrere a una calcolatrice  Impara a costruire ragionamenti (se pure non formalizzati) e a sostenere le proprie tesi, grazie ad attività laboratoriali, alla discussione tra pari e alla manipolazione di modelli 

L’ addizione con i B.A.M. 13 + 25 = 38 lunghi

entrata

unitĂ

entrata

Operatore

Operatore

+

+

uscita

Uscita

=

=

L

u

1

3

2

5

3

8

Addizione in colonna con il cambio 27 + 28 = 55 Comincio dalle unità:

lunghi

entrata

Operatore

+ uscita

=

unità

Porto all’uscita tante unità quante ne indica l’entrata Aggiungo all’uscita tante unità quante ne indica l’operatore.

Quante unità in tutto? Ho ottenuto una quantità superiore a 9? Se sì, allora devo operare un cambio: raggruppo 10 cubetti unità all’uscita e li cambio con un lungo . Porto il lungo nella casella d’entrata dei lunghi.

Passo a lavorare con i lunghi: Porto all’uscita tanti lunghi quanti ne indica l’entrata.

Aggiungo all’uscita tanti lunghi quanti ne indica l’operatore.

Conto i lunghi all’uscita: ho ottenuto una quantità superiore a 9?

No, allora registro il risultato all’uscita dell’addizione.

Proprietà dell’addizione per il calcolo

entrata

L

u

+1 2

7

2

8

5

15

7 + 8

Operatore

+ Uscita

=

7+ 3 + 5

10 + 5

15

La sottrazione con i B.A.M. 37 - 23 = 14 lunghi

entrata

Operatore

uscita

=

unitĂ

entrata

L

u

3

7

2

3

1

4

Operatore

Uscita

=

Sottrazione in colonna con il cambio

47 - 29 = 18

Comincio dalle unità: Porto all’uscita tante unità quante ne indica l’entrata

lunghi unità entrata

Operatore

uscita

=

Tolgo dall’uscita tante unità quante ne indica l’operatore. Mi bastano i cubetti unità? No, perché 7 è minore di 9. Allora devo operare un cambio: nella casella d’entrata dei lunghi cambio un lungo con 10 cubetti unità e li porto nella casella all’uscita dei cubetti unità.

Adesso che ho 17 unità, posso togliere tante unità quante ne indica l’operatore e mi restano 8 unità.

Passo a lavorare con i lunghi: Porto all’uscita tanti lunghi quanti ne indica l’entrata.

Tolgo dall’uscita tanti lunghi quanti ne indica l’operatore. È possibile? Si perché 2 è minore di 3. Allora opero.

Mi resta 1 lungo e registro il risultato all’uscita della sottrazione.

ProprietĂ della sottrazione per il calcolo L entrata

3 4

u 1

Operatore

-

2

9

1

8

7

17

-

17 + 1

-

9 9 + 1

Uscita

=

18 - 10

8

Situazione - Problema

Oggi abbiamo aperto le nostre cartelline di immagine: in ogni cartellina c’erano 6 lavori , le abbiamo controllate tutte!

Giorgia ha chiesto: “Ma quanti disegni sono?”.

Andrea le ha risposto: “ Beh, bisogna contarli! Cominciamo dai miei. 6 + 6 tuoi...”. “ Ma no, non conviene contarli uno per uno, ci sono 14 cartelline, verrebbe un’addizione troppo lunga!”

“Ho un’idea, applichiamo la macchina della moltiplicazione!”

La moltiplicazione con i B.A.M. Entrata 14

operatore x6

uscita =

Nell’esecuzione di questa operazione, l’operatore “ x6 ” va inteso come operatore di rapporto moltiplicativo e va così espresso:

In cifre:. mettere all’uscita 6 -Per ogni1 che c’è all’entrata

Con i B.A.M:

mettere all’uscita -Per ogni-

mettere all’uscita -Per ogniche c’è all’entrata

che c’è all’entrata

Entrata 14

operatore

uscita

x6

= 84

lunghi unità

x6 uscita

Metto all’uscita 6 cubetti unità per ogni cubetto dell’entrata e ottengo 24 unità.

Nella casella uscita-unità raggruppo per 10 le unità, ottengo 2 gruppi e li cambio con 2 lunghi che porto nella casella uscita dei lunghi.

entrata

Operatore

Opero con le unità:

6 All’uscita per ogni 1 all’entrata

Opero con i lunghi: metto all’uscita 6 lunghi per l’unico lungo dell’entrata.

Conto i lunghi in uscita: sono 8

=

Conto i cubetti unità all’uscita: sono 4.

Registro il risultato dell’operazione.

Entrata

operatore

14

entrata

x6

da

u

1

4

Operatore

6

x Uscita =

+2 8

24

uscita = 84

Opero con le unità: Moltiplico 6 x 4= 24.

Scrivo 4 nella casella uscita-unità e 2 nella “soffitta” dell’uscita delle decine.

Opero con le decine: Moltiplico 6 x 1= 6, aggiungo le 2 decine del cambio e scrivo 8 in uscita.

Registro il risultato dell’operazione.

La divisione con i B.A.M. Entrata

48

operatore

:2

uscita

=

Nell’esecuzione di questa operazione, l’operatore “ : 2 ” fa parte di una famiglia di operatori che esprimono tutti lo stesso rapporto: 1 su 2

Entrata

operatore

uscita

:2

48

=

Quando abbiamo l’entrata rappresentata anche dai lunghi o dai piatti, gli operatori sono tanti quante le cifre dell’entrata e, cominciando dal valore maggiore, si applicano di volta in volta.

Ecco i due operatori: Operatore A

All’uscita 1

per ogni

all’entrata

Operatore B

All’uscita 1

per ogni

all’entrata

Entrata

operatore :2

48 Entrata

Operatore A

All’uscita 1

per ogni

all’entrata

uscita =2 uscita

Entrata 48 Entrata

operatore :2

= 24

Operatore B

All’uscita 1

uscita

per ogni

all’entrata

uscita

La divisione con il cambio Entrata 129

Operatore A

All’uscita 1

operatore :3

=

Ecco i tre operatori: Operatore B

All’uscita 1

uscita

per ogni

Operatore C

All’uscita 1

per ogni

per ogni all’entrata all’entrata

all’entrata

Entrata 129 Entrata

operatore :3 Operatore A

All’uscita 1 per ogni

all’entrata

uscita = uscita È possibile?

No, perché il 3 è maggiore di 1: devo operare un cambio

Entrata 129 Entrata

operatore :3 Operatore B

All’uscita 1 per ogni

all’entrata

uscita =4 uscita

Entrata 129 Entrata

operatore :3 Operatore C

All’uscita 1 per ogni

all’entrata

uscita = 43 uscita

Valutazione esperienza

Ambito di contenuto

OGGETTI

DI VALUTAZIONE

NUMERO

Numeri naturali e loro rappresentazione in base dieci.

Scrittura posizionale dei numeri naturali. Numeri naturali e loro rappresentazione in base dieci.

Addizione e sottrazione fra numeri naturali. Moltiplicazione e divisione fra numeri naturali.

Proprietà dei numeri naturali: precedente successivo, pari dispari, doppio, metà….

Operazioni con i numeri interi.

Scrittura posizionale dei numeri naturali e decimali. Numeri decimali e frazioni. Frazioni equivalenti. Operazioni fra numeri decimali. Proprietà delle operazioni. Significato delle parentesi in sequenze di operazioni.

processi cognitivi conoscere

e padroneggiare i contenuti specifici della matematica (oggetti matematici, proprietà, strutture...); conoscere e padroneggiare algoritmi e procedure (in ambito aritmetico, geometrico...); conoscere e padroneggiare diverse forme di rappresentazione e sapere passare da una all'altra (verbale, scritta, simbolica, grafica, ...); OSSERVAZIONI

Sono necessari dei prerequisiti? quali”?

Quali ostacoli incontra l’alunno?

Altro………………………………………

Riflessioni conclusive Una profonda comprensione della struttura del sistema decimale è requisito essenziale per affrontare argomenti quali: 1) I numeri con la virgola e le relative operazioni. Soltanto se è chiaro che un cubo da mille può essere cambiato con dieci quadrati da dieci si può intuire come una unità possa essere a sua volta cambiata con 10 decimi, e via dicendo.

2) La scomposizione dei numeri e lo studio di multipli e divisori. Un dato numero infatti può essere costruito in modi diversi utilizzando sempre bastoncini uguali. Ad esempio 36 si può costruire con 18 bastoncini da due, con 12 bastoncini da tre, con 9 bastoncini da quattro, con 6 bastoncini da sei, con 4 bastoncini da 9.

3) Il sistema metrico decimale, che si basa, come è ovvio, sul sistema di numerazione decimale.

4) Le potenze dei numeri. I bambini maneggiano e visualizzano oggetti che sono rappresentazioni concrete dei quadrati e dei cubi dei numeri.

5) Il concetto di volume. Nei blocchi aritmetici multibase, l’unità è rappresentata da un centimetro cubo, il mille da un decimetro cubo ottenuto dall’unione di mille centimetri cubi-unità.

L’avere lavorato con questi materiali ha sicuramente un effetto positivo sulla comprensione delle misure di volume.