4°incontro

CORSO DI FORMAZIONE a.s.2009.2010

Dall’analisi dei documenti INVALSI relativi alla Matematica ( Quadri di riferimento, Prove e risultati 2008/2009) alla riflessione condivisa - per individuare: •Quali COMPETENZE “matematiche” nel percorso formativo “PONTE” infanzia/primaria?

•Attraverso quali scelte metodologiche e didattiche strutturare il CURRICOLO? •Quale valutazione?

La valutazione in Matematica

COSTRUIRE E VALUTARE COMPETENZE VALUTAZIONE

INSEGNAMENTO

La Valutazione in Matematica

APPRENDIMENTO

La valutazione in Matematica La problematicità della questione La valutazione in Matematica, da parte di un insegnante, degli apprendimenti dei propri allievi ha principalmente tre macro obiettivi (Fandiño Pinilla, 2002): a)

misurare l’efficacia della propria azione didattica

b)

misurare l’opportunità della scelta di un dato segmento curricolare

c)

misurare lo stato cognitivo di ogni singolo allievo.

La Valutazione in Matematica

Vi sono dei limiti ad una valutazione effettuata dall’insegnante di classe: uso

di metodologie attese (da parte dell’insegnante)

comportamento

secondo copioni standard da parte dell’allievo (contratto didattico, D’Amore, 1999) uso

in aula di linguaggio condiviso che spesso già di per sé comporta risposte standard attese

reciproche che influenzano le risposte e le loro interpretazioni

…

La Valutazione in Matematica

EFFETTI CHE INFLUENZANO LA VALUTAZIONE Prof. Daniela Maccario Dipartimento di Scienze dell’Educazione e della Formazione Università di Torino

Effetto alone: alterazione del giudizio riferito ad una prestazione in forza dell’influenza esercitata dai precedenti giudizi.

La Valutazione in Matematica

Effetto di contrasto: sopra/sottostima di una prova rispetto a standard di prestazioni ideali del docente o a precedenti, contestuali,immediatamente successive prove di altri allievi.

Effetto di stereotipia (pregiudizio, empatia‌): scarsa alterabilità dell’opinione su allievo.

La Valutazione in Matematica

Effetto della distribuzione forzata dei risultati: accettazione dell’ipotesi secondo cui gli esiti della formazione rispecchiano l’andamento della curva normale (curva di Gauss).

Effetto Pigmalione: predizioni di successo/insuccesso influenzano comportamenti di docenti ed allievi.

La Valutazione in Matematica

Se una valutazione non è fatta dall’insegnante di classe, ma dall’esterno, questi limiti cadono, ma si aprono nuove possibili (ma quasi certe) complicazioni: smarrimento incapacità scontro

dello studente che non riconosce le metodologie usuali

di gestire situazioni non abituali

con un linguaggio non usuale

non

riconoscimento degli obiettivi della valutazione

non

riconoscimento del senso delle richieste

incongruenza

tra gli apprendimenti raggiunti e la richiesta La Valutazione in Matematica

Lo studio del complesso meccanismo della valutazione in Matematica in tutte le sue sfaccettature è studiato da decenni da specialisti e quando si dice “apprendimento” in Matematica, oramai ci si indirizza in almeno queste quattro direzioni: 1)

apprendimento dei concetti (noetica)

2)

apprendimento di algoritmi

3)

apprendimento di strategie (es. la risoluzione di problemi)

4)

apprendimento comunicativo (es. la validazione, l’argomentazione, la dimostrazione).

Esse non sono riconducibili l’una all’altra, anche se non sono del tutto indipendenti.

La Valutazione in Matematica

Il punto cruciale è : che cosa vuol dire valutare l’apprendimento in matematica?

Per rispondere, occorre analizzare più in dettaglio le componenti di questo apprendimento. La matematica è UNA, ovviamente, e l’apprendimento è un fatto unitario. È però possibile, nel quadro di questa unità, distinguere diverse componenti.

C’è un apprendimento che riguarda i concetti: la conoscenza e la padronanza di determinate nozioni, o di alcune idee portanti. Ad esempio, pensando ad allievi della seconda primaria, occorre imparare la moltiplicazione, intendendo con questo costruirsi il concetto che c’è alla base dell’operazione di moltiplicazione tra numeri naturali, conoscere e saper usare più o meno consapevolmente le sue proprietà (ad esempio la commutatività) e conoscerne alcune caratteristiche concettuali.

La Valutazione in Matematica

C’è poi, specifico della matematica, un apprendimento che riguarda le procedure e gli algoritmi. Il bambino impara ad eseguire l’algoritmo di moltiplicazione in colonna, ma anche altri (ad esempio la procedura per moltiplicare mentalmente un numero per 9).

Una cosa, poi, è conoscere la moltiplicazione, un’altra è riconoscere in un contesto problematico che la moltiplicazione è l’operazione necessaria per risolverlo. Questo fa parte dell’apprendimento che potremmo definire strategico. Imparare a risolvere i problemi, non coincide con l’imparare ad eseguire le operazioni. Ed infatti, ci sono allievi che sanno eseguire le operazioni ma poi non sanno risolvere i problemi. Si tratta di un apprendimento radicalmente diverso, specifico, che NON si imparerà ricorrendo ad alcun genere di algoritmi.

La Valutazione in Matematica

C’è poi un apprendimento che riguarda le rappresentazioni e coinvolge direttamente la capacità di passare da una forma all’altra, da un registro all’altro di rappresentazione dello stesso concetto (ad esempio, da un grafico a una tabella, o da una espressione algebrica ad una geometrica).

Ci sono infine tutti gli aspetti dell’apprendimento che riguardano la comunicazione, la capacità dell’allievo di esplicitare e comunicare quello che ha appreso (poiché la matematica ha un suo specifico linguaggio, fatto di tantissimi registri semiotici diversi, dei quali occorre impadronirsi, allora questo aspetto non può essere trascurato). Si tratta di un apprendimento a lungo trascurato o considerato implicito, ma che oggi è riconosciuto specifico e di straordinaria importanza.

La Valutazione in Matematica

Tuttavia, la ricerca ha ben messo in evidenza che ci sono apprendimenti “trasversali” a tutti questi, assolutamente necessari.

Tra gli esempi possibili, il dominio semiotico dei registri rappresentativi in cui avvengono: 1)

la descrizione dei concetti (per esempio la loro definizione)

2)

la simbolizzazione dell’apparato algoritmico senza il quale è impossibile riprodurre e generalizzare procedure

3)

4)

la esplicitazione e la messa in campo delle strategie la trasformazione di un modello interno in un modello esterno in La Valutazione in Matematica situazioni comunicative …

In questo quadro generale, che cosa si può valutare (o misurare) con un test o con una prova scritta? È abbastanza condivisa l’idea che un test non possa valutare le competenze, visto che esistono tantissime definizioni di competenze e sembra ormai tramontata l’idea di trovare un punto di convergenza.

Quello che comunque è importante sottolineare è che qualunque sia il significato che si dà all’espressione valutare per competenze, in matematica questo non ha senso senza un puntuale riferimento ai nuclei fondanti della disciplina e alle procedure tipiche del pensiero matematico. Ha invece perfettamente senso domandarsi quali componenti dell’apprendimento della matematica possono essere valutati.

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Le difficoltà in matematica OSSERVARE, INTERPRETARE, INTERVENIRE Il ruolo dell’errore a scuola (alcune riflessioni).

Rosetta Zan Università degli studi di Pisa - Dipartimento di MatematicaLa Valutazione in Matematica

Ci sono almeno due atteggiamenti completamente diversi che gli insegnanti possono assumere davanti alle difficoltà dei propri alunni, una volta che le abbiano percepite.

Il primo consiste nell’andare avanti come se niente fosse, sorretti dalla convinzione che per certi alunni non esiste la strada giusta per imparare certe cose e che quindi è inutile impiegare tempo ed energia sottraendoli agli altri alunni. Il secondo è frutto invece di un’altra convinzione:che l’insegnamento si deve adattare in qualche modo ai bisogni dell’alunno e che proprio l’alunno debole è quello che più ha bisogno di mediazione.

Questo secondo atteggiamento, però, si scontra il più delle volte con il fallimento degli interventi di recupero che l’insegnante mette in atto nella prassi quotidiana:la convinzione di quello che sarebbe giusto fare si carica di un senso di impotenza, che genera emozioni negative e può, alla lunga, portare anche nell’insegnante più motivato, a rassegnazione e fatalismo. È per questo che ritengo importante cominciare queste riflessioni analizzando l’approccio che sta alla base dei tradizionali interventi di recupero e ripensando al concetto stesso di difficoltà.

La Valutazione in Matematica

Comincio con un prologo, tratto da “L’insegnamento come attività sovversiva” di N. Postman e C. Weingartner,un testo molto attuale, dove, attraverso tipologie di medici, si presentano diverse tipologie di insegnanti.

Il primario ha chiamato i suoi collaboratori che iniziano a relazionare.

Ascolta i più anziani e poi si rivolge al più giovane che confessa di essere stato sfortunato perché ci sono tre pazienti morti.

“Dovremmo parlarne, cosa ne dice? E di cosa sono morti? - Non lo so, comunque avevo dato loro buone dosi di penicillina. -Bene, risponde il primario, il sistema tradizionale della cura valida per se stessa? - Non esattamente capo, ho pensato che li avrebbe fatti stare meglio: stavano male e so che la penicillina fa stare meglio, quindi gliel’ho data. - Bene, penso che lei abbia fatto bene.- Sì, ma i morti, capo? - Oh! Quelli figlio mio, cattivi pazienti!

E non c’è niente da fare quando ciinsiMatematica trova davanti a dei cattivi pazienti!”

La Valutazione

La provocazione è evidente, la metafora della medicina è molto usata nella didattica della matematica, anche con dei limiti, ma ha dei punti di forza, perché la scena ci colpisce e ci sembra ovvio in quel contesto, che la cura si adatti al paziente e non viceversa.

Però questa metafora suggerisce anche che una possibile causa dell’insuccesso possa essere una diagnosi errata di fronte a una cura ottima. Questa diagnosi errata è dovuta ad una errata interpretazione dei sintomi, ma ancora prima a un livello di osservazione parziale o inadeguato.

La Valutazione in Matematica

La metafora della medicina:  

 

Sottolinea l’importanza che la cura si adatti al paziente, e non viceversa Suggerisce anche che una possibile causa dell’insuccesso di una cura (intervento) possa essere la diagnosi errata, a sua volta dovuta a carenze: a livello di interpretazione dei ‘sintomi’, o ancora prima a livello di osservazione

La Valutazione in Matematica

OSSERVAZIONE

OSSERVARE

INTERPRETAZIONE

INTERPRETARE

INTERVENTO

INTERVENIRE

La Valutazione in Matematica

DECISIONI dell’insegnante

• L’interpretazione si basa sull’osservazione perché è in base alle informazioni disponibili che si esprime una valutazione MA SI VEDE SOLO CIO’ CHE SI CONOSCE • Osservare non è mai un raccogliere in modo “neutro” delle informazioni.

• L’osservazione è sempre guidata da un MODELLO INTERPRETATIVO

La Valutazione in Matematica

La metafora della medicina ci aiuta ad analizzare il problema delle difficoltà a scuola, è interessante sapere qual è l’approccio tradizionale alle difficoltà, come funzione per eventualmente mettersi in discussione, proprio poggiandosi sulla nostra metafora della medicina. In particolare sull’importanza di quei processi di osservazione e di interpretazione che precedono l’intervento.

La Valutazione in Matematica

L’approccio tradizionale alle difficoltà La didattica delle 8 E •Esporre Esempi •Erogare Esercizi •Esigerli Eseguiti •Evidenziare gli Errori

In effetti nell’intervento tradizionale, la difficoltà è la malattia, il recupero che l’insegnante mette in atto, cioè l’azione didattica di tutti i giorni è la cura; i sintomi sono essenzialmente gli errori, l’intervento attacca questi sintomi, si correggono gli errori e non solo, si rispiegano gli argomenti, spesso si mostra come si deve fare e si mette in guardia da errori tipici. In definitiva l’intervento è quasi automatico per l’insegnante, potremmo sintetizzare che quello che si cerca di fare è ottenere la risposta corretta.

L’osservazione è basata sull’errore, ma più in generale sui processi risolutivi inadeguati, perché se un ragazzo non risponde, ha fatto errori, c’è una mancanza di risposte corrette. Questo è un segnale forte per l’insegnante che si accorge che c’è qualcosa che non va. Qui abbiamo una dimensione temporale, l’intervento dell’insegnante si cala nello stesso contesto, questo sembra lì per lì abbastanza naturale, ma in fondo sarà quello che cercherò di mettere in discussione.

La Valutazione in Matematica

OSSERVAZIONE

• errori

• processi risolutivi inadeguati  mancanza di risposte corrette

La Valutazione in Matematica

INTERVENTO

• si correggono gli errori

• si rispiegano gli argomenti • si fa vedere ‘come si fa’  si cerca di ottenere la risposta corretta

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Questo passaggio dall’osservazione all’intervento è effettivamente veloce, quasi automatico per gli insegnanti, come se in mezzo non ci fosse niente, ma non è così, in mezzo c’è l’interpretazione, anche se non ne siamo consapevoli, ma interpretazioni diverse ci condurrebbero a interventi diversi. Il quadro dell’intervento tradizionale a scuola, vede in realtà un processo di intervento solo come ultima parte di un processo di osservazione e di interpretazione che rimane per lo più implicito.

Cominciamo dal processo di osservazione, allora il ruolo dell’errore è tale che c’è identificazione tra errore e difficoltà, come dire che la presenza di errore è segnale di difficoltà, ma è vero anche che l’assenza di errore non garantisce che difficoltà non ci siano.

La Valutazione in Matematica

intervento

osservazione La Valutazione in Matematica

intervento

INTERPRETAZIONE

osservazione La Valutazione in Matematica

OSSERVARE

- non ha fatto…

- non è in grado di fare - non ha capito - non ha studiato La Valutazione in Matematica

INTERPRETARE

L’interpretazione non è giusta o sbagliata, ma è un’ipotesi di lavoro per l’insegnante, necessaria, non si può non interpretare se si vogliono dare indicazioni didattiche. Come ipotesi di lavoro è molto importante sapere che si sta interpretando e non osservando, perchè se non funziona si può tornare indietro e con un’osservazione più mirata costruire un’interpretazione alternativa con interventi alternativi. Quindi bisogna avere un repertorio di possibili interpretazioni, molto spesso invece le interpretazioni si limitano a dire: non ha studiato, non ha capito, non è capace; non si va al di là di ciò. Di interpretazioni possibili ce ne sono tante e sono all’interno del quadro che ha tracciato Nicoletta Lanciano nel suo intervento sull’apprendimento come attività costruttiva in cui l’allievo è cosciente e interprete dell’esperienza, persona attiva che partecipa alla costruzione della propria conoscenza.

La Valutazione in Matematica

l’interpretazione giusta / sbagliata è un’ipotesi di lavoro funziona / non funziona

è essenziale per dirigere l’intervento di recupero La Valutazione in Matematica

INTERPRETAZIONE

Le parole più usate: “Non riesce …”

“Non ha capito…”

“Non si impegna” “Non ha le basi” “Ha un ATTEGGIAMENTO NEGATIVO” La Valutazione in Matematica

per gli allievi per gli insegnanti

IMPEGNO

per i genitori

‌mito del recupero!!!

La Valutazione in Matematica

L’impegno: ma è davvero così risolutivo?

IMPEGNO

SUCCESSO

La Valutazione in Matematica

Perché l’interpretazione sia un’ipotesi di lavoro: Deve dirigere, e non bloccare, l’intervento  Esempio: ‘non è in grado’  Deve essere puntuale, e non generica  Esempi: 

   

‘Non si impegna’ Quali?

‘Non ha le basi’ Cosa?

‘Non capisce’ ‘Non ha metodo di studio’ Perché?

 ‘Ha un atteggiamento negativo…’

La Valutazione in Matematica

?

 non

ha le conoscenze necessarie  non ha le abilità necessarie …non ‘sa’ abbastanza di quel contesto

INTERPRETAZIONE sottintesa INTERVENTO La Valutazione in Matematica

OSSERVAZIONE • errori • processi risolutivi inadeguati  risposte scorrette

INTERPRETAZIONE ...dovuti a mancanza di conoscenze - non è in grado di fare -non ha capito -- non ha studiato

INTERVENTO La Valutazione in Matematica

A proposito dell’errore, come possa essere risorsa didattica a scuola, una ricercatrice italo-americana Raffaella Borasi propone nuove metafore per l’errore che sono indicative. Parte dalla metafora del perdersi in una città.

Configura tre diversi scenari 1. sono in una città, devo andare a un appuntamento importante, devo essere lì, mi perdo e naturalmente vivo questo fatto in senso negativo, come un ostacolo che non ha niente di positivo neanche dal punto di vista emozionale.

2. sempre perdersi in una città, ma in un contesto diverso, mi sono trasferita da poco in una nuova città, sto tornando dal lavoro e mi perdo, non c’è più la frenesia, la fretta del primo scenario, può essere un’occasione per imparare a muovermi, ci vedo qualcosa di positivo.

3. se invece mi perdo in una città dove sono turista, se mi perdo lì niente di male, anzi proprio perdendomi riesco a trovare delle vie, dei posti che nella guida non erano indicate.

La Valutazione in Matematica

Questa metafora applicata all’errore sta ad indicare che anche a scuola l’errore può essere vissuto in modi totalmente diversi, può dare sensazioni diverse, con diverse esperienze di apprendimento e può essere collegato a emozioni molto diverse, di scoperta piuttosto che di frustrazione o di rabbia.

Tutto questo mette in crisi l’approccio usuale alle difficoltà, già a livello di osservazione, ma andando avanti sulla riflessione dell’intervento di recupero tradizionale, volevo soffermarmi sull’ultimo aspetto in modo pragmatico, cioè al di là delle critiche sull’identificazione errore/difficoltà, la critica che io muovo non è di tipo ideologico, mi pongo la domanda: questo intervento, così come è descritto, funziona?

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In realtà questo intervento funziona con gli allievi bravi, cioè con quelli che non ne hanno bisogno,ma per coloro a cui è dedicato, questo intervento è fallimentare: correggo gli errori, rispiego, faccio vedere come si fa, ma in genere non funziona. La mia ipotesi è legata a un’osservazione sull’errore che pretende di essere oggettiva, ma a mio parere, non può esserlo perché ignora completamente la complessità del processo di recupero, inoltre è un intervento locale, circoscritto al contesto errore/fallimento.

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L’atteggiamento negativo verso la matematica

Processi emotivo-motivazionali coinvolti nell’apprendimento della matematica Molti sono i fattori, psicologici e non, evidenziabili alla base delle difficoltà in matematica: •le abilità cognitive (competenze relative al calcolo, competenze visuospaziali,conoscenza e utilizzo di strategie di soluzione, ecc.); le caratteristiche peculiari della disciplina (richieste diverse secondo l'ambito: geometria,algebra, complessità dei compiti, ecc.); i vissuti e i pensieri di insegnanti, genitori e coetanei in relazione al successo o all'insuccesso; il tipo di didattica, non sempre adeguata al livello scolastico o alla diversità dei compiti affrontati.

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Oltre a tali fattori, rivestono un ruolo cruciale anche gli aspetti emotivomotivazionali, responsabili di molti dei vissuti negativi nei confronti di questa disciplina. Ricordando la nostra storia di studenti, ci ritorna spesso alla memoria la sensazione di attrazione o di disagio che ci ha accompagnato nell'apprendimento della matematica a seconda dei nostri successi o insuccessi.

Alcune rassegne sperimentali relative all'atteggiamento verso la matematica (Feierband, Aiken) hanno evidenziato che, generalmente, i vissuti verso la matematica traggono origine dalle esperienze dei primi anni di scuola, di cui i periodi particolarmente problematici sembrano essere quelli tra la quarta e la quinta elementare e tra la seconda e la terza media (difficoltà che paiono fortemente correlate con l'introduzione di numeri decimali e successivamente dell'algebra). Da questi primi studi risulta evidente che l'apprendimento della matematica è particolarmente influenzato da quelle componenti cognitive ed emotivo-motivazionali che accompagnano il successo e l'insuccesso scolastico.

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Tab.1 Reazioni al successo e all’insuccesso secondo la teoria di Weiner

SUCCESSO Attribuito alla fortuna: reazioni di sorpresa Attribuito all’abilità: reazioni di competenza e sicurezza Attribuito a cause interne: sentimenti di orgoglio e di competenza.

Attribuito all’impegno: contentezza, senso di soddisfazione, la convinzione di possedere buone capacità produce alta stima di sé e ottimismo INSUCCESSO Attribuito allo scarso impegno: frustrazione, senso di vergogna e colpa Attribuito a scarse abilità: scarsa stima di sé e sconforto.

La descrizione dei fattori motivazionali legati all’attribuzione è necessaria per meglio comprendere il particolare atteggiamento verso la matematica che, rispetto agli altri apprendimenti, appare più spesso associato a vissuti negativi, come repulsione o paura.

NUOVI STRUMENTI DI OSSERVAZIONE •

Temi:

Io e la matematica Scrivi una lettera al tuo insegnante di matematica Attraverso il tema gli studenti: •

raccontano gli eventi e le osservazioni che “qui e ora” ritengono più importanti

•

tendono a “cucirli” introducendo nessi percepiti come causali, non in senso logico ma narrativo, cioè morale, sociale, psicologico (Bruner, 1990).

Questo processo ci permette di cogliere la prospettiva di chi scrive.

La Valutazione in Matematica

Frasi da completare: La matematica mi piacerebbe di più se…..

La matematica mi piacerebbe di meno se ….  Dopo un argomento: Cosa ti è piaciuto di più? Perché?

Cosa ti è piaciuto di meno? Perché?

Cosa ti è risultato più difficile? Perché? 

Risolvendo

problemi:

Qui di seguito ci sono 4 problemi che tu devi cercare di risolvere.

IMPORTANTE! Cerca di scrivere tutti i tuoi pensieri, tutti i ragionamenti che fai, le impressioni, le emozioni che provi le difficoltà che incontri. E’ quello che pensi e che provi che ci interessa, non il risultato!

La Valutazione in Matematica

LE EMOZIONI 

Ansia, paura….

Errori

“quando si fa una verifica di matematica mi sento molto male, mi fa male la pancia, ho paura” Dietro a un fallimento/errore c’è una varietà di cause, bisogni,”storie” che devono essere osservate, interpretate.

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

mancata assunzione della responsabilità dell’apprendimento e dell’errore



attribuzioni di fallimento esterne

“Ho fatto male il compito perché era difficile, perché il professore è severo, perché sono sfortunato...” 

emozioni negative: ansia, paura, frustrazione…



rinuncia al controllo dei propri processi di pensiero La Valutazione in Matematica

In matematica quello che conta sono i prodotti In matematica ci vuole tanta memoria

I prodotti vanno ricordati

La matematica è incontrollabile

Io non ho tutta quella memoria

Il successo non è sotto il mio controllo Senso d’inadeguatezza

FATALISMO

Risposte casuali Rinuncia La Valutazione in Matematica

ANSIA

Cortocircuito emotivo Blocco

CONVINZIONI SU DI SE’ “Io ero convinta di non capirci nulla, e con questa convinzione, non cercavo di sforzarmi a capire e migliorare, e pensavo che gli altri, siccome arrivavano alla soluzione prima di me, fossero dei geni, quindi aspettavo che fossero sempre loro a darmi la soluzione”

La Valutazione in Matematica

Confronto con gli altri ‘Se sono da sola non mi preoccupo e mi correggo tranquillamente, mentre se sono alla lavagna o correggo un esercizio ad alta voce in classe e sbaglio mi sento come un’incapace perché tutti mi guardano e capisco che tutti l’hanno saputo fare fuor che io.’ [Patrizia, prima media] La Valutazione in Matematica

Due modi diversi di vedere la matematica Io odio la matematica.[…]

Non mi piace perché ci sono un mare di regole anche per fare un operazione piccina picciò: devi dividere un numero per l’altro, devi togliere il numero che c’era prima e così via. Poi se ti dimentichi una regola sono guai!

Anna (1M)

Imparare le cose a memoria (a parte qualche formula) non mi é mai piaciuto e questa materia, insieme alla Fisica, mi offrono motivo di ragionamento e di discussione. Essa mi piace perché è una materia dove bisogna ragionare, e se non lo fai diventa difficile e molto faticosa, per non dire impossibile. (…) Questa é una materia dove bisogna prima capire il problema, cosa chiede e dove vuole arrivare.

Danilo (3S)

La Valutazione in Matematica

Il tema di Giacomo (prima media) Mi ricordo vagamente della mia maestra di aritmetica di prima, in seconda ricordo una signora anziana che andò subito in pensione. Era nervosa con un tic continuo alle spalle, spesso urlava e a volte ci prendeva per un orecchio.

Ho presente invece molto bene la mia maestra dalla terza alla quinta. Si chiama Elena, è alta e magra ma aveva una natura pessimista, da pessimismo leopardiano: ad esempio verso Pasqua ci faceva fare dei problemi sulle uova con delle situazioni dove tanti pulcini morivano prima di nascere.

Domandava: quanti nasceranno vivi?

A me passava la voglia di saperlo.

La Valutazione in Matematica

Secondo me era troppo formale: teneva molto alla disciplina e pretendeva che chiedessimo il permesso per andare a buttare la carta nel cestino e rispettassimo la fila, buoni e zitti, per farle correggere i quaderni; noi eravamo vivaci e lei diceva “Io parlo, parlo, ma a voi....” e concludeva con un gesto della mano strusciata sotto il mento che voleva dire:...non ve ne importa niente...

Ma a me quello che seccava più di tutto era il continuo ripetermi che avevo fatto la “Primina” come la chiamava lei, come se fosse una colpa e io mi sentivo a disagio con i miei compagni: “Come mai hai fatto la primina?...Vedi Giacomo? Questo ti è mancato... Questo è perché non hai fatto la prima normale...” Infatti quando quest’anno sono andato a trovare le mie maestre lei me lo ha ridetto.

La Valutazione in Matematica

Però Elena mi sorprese quando un giorno la incontrai a scherma, dove c’è anche suo figlio, mi sembrò un’amica che mi volesse bene, mi lodò per la mia intelligenza, mi incoraggiò, mi disse anche che ero bello e che avevo degli “ottimi genitori” e che senz’altro avrei avuto buoni risultati negli studi...poi a scuola non mi disse mai più nulla di queste cose e le lezioni di matematica me le ricordo un po’ tristi.

Elena spiegava con le spalle girate alla classe, riempiva la lavagna e parlava con quel tono di voce monotona. In quinta si ammalò ma venne sempre a scuola ugualmente perché disse che voleva portarci fino in fondo.

La Valutazione in Matematica

Ora sono in prima media e la professoressa di matematica è brava, simpatica, specialmente quando ci fa scienze, ma la vorrei più incoraggiante nei miei confronti.

Penso che il mio rapporto con la matematica sia stato sempre “buio e tenebroso”; non ho mai avuto la padronanza nella materia e fin dai primi tempi delle elementari mi sentivo incerto; anche se una cosa la sapevo mi sorgevano un sacco di dubbi.

Ecco, io non so il “perché” della matematica, perché quello schema, quel procedimento e non un altro; perché, come dice il mio babbo: “Nell’aritmetica non si inventa.”; io a volte invento e sbaglio; vorrei proprio sapere i motivi, le cause, perché così mi sembrano tutte regole astratte e appiccicate qui e là.

(Giacomo, prima media) La Valutazione in Matematica

“Il metodo con cui insegni la “ Mi sono sempre divertita a fare matematica è determinante: anche gli “ Ora so quasi tutte le cose matematica anche forse perché ho avuto argomenti possono risultare “ Mapiùseastratti da una parte l’alunno deve meglio studiare molto, “Analizzando però questa una maestra eccezionale perché spiegava della matematica per merito chiaridall’altra per tutti l’insegnante se l’insegnante li deve aiutarlo a faredi ciò, benissimo e poi perché ci materia faceva entrare scopro che è sempre della maestra” Giulia più (4E) affronta in modo esemplificativo e “ Aconti, mio giudizio une professore essendo piùnei comprensiva neifare suoie confronti e cercare proprio nei problemi per aggrovigliata, mi assicuro che farla scherzoso. Penso che se sei fortunato tuttodi ciò spiegare avevaessere dei metodi stupendi. per considerato molto bene. bravo Maspiegarla spesso con questo nondi e soprattutto un po’ nell’incontrare un insegnante che ti Secondo me è lei che miesperto hal’insegnante fattonella deve essere avviene, o perché è a non sangue freddo e il suo “La maestra era anziana ed faccia apprezzare la matematica con ilamore simpatia e farebbe male, veramente appassionare ed negli io la stimo metodo un spiega po’ rigido e sbrigativo, materia, ma soprattutto deve era non è comprensiva otinon bene” suo entusiasmo allora sìanzi, che la ti alunni, può mattina verrebbe voglia molto, anzi moltissimo ” Elisa (1M)visto che quando un bambinodirimaneva essere “pallino” estroverso, venireAlessandro il famoso perconquistare essa! ” (2S) andare a scuola” Andrea (2S) indietro diceva ‘chi va avanti bene chi Giulia (3M) gli alunni e lasciarsi rimane indietro pazienza’. conquistare ” Federico (2S) La mia reazione è stata di difficoltà nei confronti della matematica ” Ilan (1M)

La Valutazione in Matematica

Secondo me la matematica non sarebbe la stessa se la maestra fosse un’altra. Federica (4E)

La Valutazione in Matematica

RESPONSABILITA’ DELL’INSEGNAMENTO



Poco attento allo sviluppo di abilità metacognitive • privilegia i prodotti, e non i processi •

privilegia gli esercizi, e non i problemi



Poco attento agli aspetti del linguaggio della comunicazione



Poco attento alle differenze individuali



Favorisce lo sviluppo di certe convinzioni sulla matematica • prodotti / processi

La Valutazione in Matematica



Favorisce lo sviluppo di certe convinzioni su di sé:

•

insegnamento poco incoraggiante

•

giudizi iniziali che difficilmente si modificano

(v. effetto

Pigmalione!!)

•

valutazione estesa alla persona, e non limitata alla prestazione

 responsabilità della famiglia  responsabilità di certi luoghi comuni La Valutazione in Matematica

…l’insegnante ha un ruolo cruciale: 

nella visione della matematica che costruiscono gli allievi: disciplina di formule da ricordare di regolarità da scoprire



nell’idea di ‘successo’ che costruiscono gli allievi: prodotti corretti processi di pensiero motivati, argomentati



nella gestione: dell’errore del tempo

La Valutazione in Matematica

‌e le convinzioni degli insegnanti?

?

La Valutazione in Matematica

Implicazioni per il recupero

Prevenzione / recupero 

Presentare la matematica come disciplina di processi, e non di prodotti



Valorizzare l’attività di problem solving



Incoraggiare



Valutare la prestazione, non la persona



Essere disponibili a modificare il proprio giudizio



Smitizzare / valorizzare l’errore

La Valutazione in Matematica

C’è un punto sul quale tutti i ricercatori concordano e cioè la necessità della implicazione personale dello studente nella costruzione della propria conoscenza (e, ovviamente, a maggior ragione, della propria competenza).

Senza l’implicazione non c’è alcuna possibilità di buon funzionamento del processo di apprendimento; l’implicazione personale dello studente, infatti, è assolutamente necessaria al buono svolgimento di una situazione adidattica. Lo scopo di una situazione adidattica è la costruzione di conoscenza, ma senza l’implicazione personale non si ha situazione adidattica.

Dunque, l’implicazione personale è necessaria per la costruzione di conoscenza (e, a maggior ragione, di competenza).

La Valutazione in Matematica

Bisognerebbe dare più enfasi ai processi di comprensione tramite il dialogo e la discussione e meno peso alla correzione delle risposte, così da ridurre il drastico impatto del feedback negativo per ciascuna risposta sbagliata. Tale atteggiamento incoraggerebbe un comportamento più rischioso da parte degli studenti, cioè più predisposto alla prova (e alla sfida) senza eccessivo timore (spesso inibente) per i possibili errori. Inoltre, facilitare e stimolare le esplorazioni e il significato del contributo individuale aumenta il valore percepito di sé e della propria efficacia.

La Valutazione in Matematica

Contro il fatalismo… …il problem solving:  

Per ricostruire il senso di auto-efficacia Per scardinare una visione della matematica distorta (formule da ricordare, esercizi tutti uguali, …)

La Valutazione in Matematica

Concludendo‌

… alla maniera di Postman e Weingartner

Epilogo Intanto, al Blear General Hospital, il dottor Gillupsie si rivolge all’ultimo dottore, il dottor Thinking…

La Valutazione in Matematica

Gillupsie: E i suoi pazienti, Thinking, ‌ come vanno?

Thinking: Bene, dottore. In via di guarigione.

Gillupsie: Fantastico, Thinking. [rivolto a tutti] Come vedete, con i bravi pazienti la penicillina funziona!

Thinking: A dir la veritĂ , dottore, non gli ho dato la penicillina.

Si ricorda di quel paziente che aveva da anni quei dolori tremendi alle gambe?

Gillupsie: Ah, quello! Avevo consigliato di tagliargli le gambe, mi pare.

Thinking: Beh, invece è guarito. Pensi che tutto il suo problema derivava dalle scarpe correttive che gli avevano detto di portare!

La Valutazione in Matematica

Gillupsie: Incredibile, Thinking!

E da quali valori delle analisi se ne è accorto?

Thinking: A dir la verità, dottore, non me ne sono accorto dalle analisi. L’ho guardato camminare…

Gillupsie: Lei è proprio un originale, Thinking! E l’ha dimesso?

Thinking: Beh, ora deve fare un po’ di riabilitazione, ma è contento.

Gillupsie: La riabilitazione costa, Thinking. Era meglio se gli tagliava le gambe. Comunque, mi dica dell’altro paziente…

Thinking: Bene. Quello l’abbiamo dimesso. Si ricorda quelle crisi spaventose di allergia?

Gillupsie: Già. Secondo me di origine alimentare: avevo suggerito che non mangiasse.

Thinking: Invece ho scoperto la causa. Ho ricostruito tutta la sua storia, ho analizzato le informazioni, e ho trovato la causa della allergia!

La Valutazione in Matematica

Gillupsie: Incredibile, Thinking!

Lei non finisce mai di stupirmi! E come ha fatto ad avere tutte queste informazioni? Quale macchinario nuovo ha usato?

Ce lo dica, lo compriamo subito.

E poi ci serve la tabella delle medie, della deviazione standard, quartili e tutte queste cose qui: mica improvvisiamo, noi.

Conosciamo bene il valore dei numeri.

Thinking: A dir la veritĂ , dottor Gillupsie, non ho usato un nuovo macchinario.

Gillupsie: Ma benedetto figliolo, non faccia il misterioso! Come ha scoperto tutte quelle cose sul suo paziente? Chi gliele ha dette?

Thinking: Lui, dottor Gillupsie. ‌Quando gliele ho chieste.

La Valutazione in Matematica

Bibliografia essenziale 

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Fandiño Pinilla M.I. (2008). Molteplici aspetti dell’apprendimento della matematica. Prefazione di Giorgio Bolondi. Trento:Erickson.

D. Maccario, Insegnare per competenze, Torino, SEI, 2006.

Le difficoltà in matematica: OSSERVARE, INTERPRETARE, INTERVENIRE. Rosetta Zan - Università degli studi di Pisa Dipartimento di Matematica

Daniela Lucangeli Mara Fabris-Dipartimento di Psicologia dello Sviluppo Università di Padova - PROCESSI EMOTIVO-MOTIVAZIONALI COINVOLTI NELL’APPRENDIMENTO DELLA MATEMATICA 

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Le prove INValSI e la valutazione in matematica - Gloria Balboni, Anna M. Benini, Bruno D’Amore, Martha I. Fandiño Pinilla, Giorgio Gabellini, Grazia Grassi, Aurelia Orlandoni.

L’ansia, la matematica e la voglia di imparare – prof.Daniela Molinari La Valutazione in Matematica