Exames

´ EXAMES E TESTES DE ANOS ANTERIORES DE CALCULO II ´ MORENO ANA FOULQUIE

Universidade de Aveiro Teste 1 de C´ alculo II

10 de Abril de 2013

(1) Indique o valor lˆogico de cada uma das afirma¸co˜es seguintes: (a) Existe L{ln(1 + t)}(2). (b) O problema de valores iniciais x2 y 0 + y + 1 = 0, y(0) = 1 tem solu¸ca˜o u ´nica em R. (c) Se y1 e y2 s˜ao solu¸co˜es de y 00 + x2 y 0 − x = 1, tamb´em y1 + y2 o ´e. (d) Sejam ϕ1 e ϕ2 solu¸co˜es particulares, linearmente independentes da equa¸ca˜o homog´enea associada `a equa¸ca˜o y 00 + a1 y 0 + a2 y = g(x)

(1)

onde a1 e a2 so constantes reais e g ´e uma fun¸ca˜o n˜ao identicamente nula. Se ϕ ´e uma solu¸ca˜o particular da equa¸ca˜o (1), ent˜ao, y = −k1 ϕ1 − k2 ϕ2 + ϕ, com k1 , k2 ∈ R ´e a solu¸ca˜o geral da equa¸c˜ao (1).

ex . cos(3x) x Sol: y 00 − 2y 0 + 10y = cose 3x . Calculamos o polin´omio carater´ıstico r2 − 2r + 10 = 0, e as suas

(2) Resolva a equa¸ca˜o diferencial y 00 − 2y 0 + 10y =

ra´ıces r = 1 ± 3i pelo que o conjunto {y1 , y2 } = {ex cos 3x, ex sin 3x}´e um sistema fundamental de solu¸co˜es. A solu¸ca˜o de equa¸ca˜o diferencial pode ser calculada, atrav´es do m´etodo da varia¸ca˜o das constantes, y(x) = C1 (x)ex cos 3x + C2 (x)ex sin 3x, onde as fun˜oes C1 , C2 verificam C10 (x) =

−b(x)y2 , W (x)

C20 (x) =

b(x)y1 W (x)

x

e, neste caso, b(x) = cose 3x , e

ex cos 3x ex sin 3x

W (x) =

ex cos 3x − 3ex sin 3x ex sin 3x + 3ex cos 3x

ex cos 3x ex sin 3x

=

−3ex sin 3x 3ex cos 3x

Assim C10 (x) = −

1 sin 3x 1 e2x sin 3x = − ⇒ C (x) = ln | cos 3x| + C, C ∈ R, 1 3e2x cos 3x 3 cos 3x 9

e C20 (x) =

e2x cos 3x 1 1 = ⇒ C (x) = x + D, D ∈ R. 2 3e2x cos 3x 3 3 1

= 3e2x .

C´alculo II (2014-2015)

Agrupamento 3

A solu¸c˜ao pretendida ´e y(x) =

1 1 ln | cos 3x|ex cos 3x + xex sin 3x + Cex cos 3x + Dex sin 3x.

9 3

(3) Determine a transformada de Laplace inversa da fun¸ca˜o F (s) =

0.7 s − 4 , s>0 s2 + 0.09

Resolu¸c˜ ao A linearidade permite-nos escrever

0.7 s 4 −1 0.7 s − 4 −1 −1 L − 2 =L +L s2 + 0.09 s2 + 0.09 s + 0.09 Recordando a transformada de laplace das fun¸c˜oes seno e cosseno: L[cos (ax)](s) =

s2

s + a2

e L[sin (ax)](s) =

s2

a + a2

basta observar que s2

s 0.7 s = 0.7 2 + 0.09 s + 0.32

e

−

s2

4 40 0.3 =− 2 + 0.09 3 s + 0.32

Portanto,

0.7 s 7 −1 3 s 7 L = L cos x = s2 + 0.09 10 s2 + 0.32 10 10 e

4 40 −1 0.3 3 40 −1 L − 2 =− L x = − sin s + 0.09 3 s2 + 0.32 3 10 Efetuando os clculos tem-se

3 7 3 40 −1 0.7 s − 4 L sin x + cos x =− s2 + 0.09 3 10 10 10 −1

(4) Considere o problema de valores iniciais    −27 y + 3 y 00 = 9  y(0) = 8    y 0 (0) = −1

Determine a solu¸c˜ao do problema dado.

Resolu¸c˜ ao Aplicando a transformada de Laplace a ambos os membros da equa¸c˜ao diferencial vem: 3L{y 00 } + 0L{y 0 } − 27L{y} = L{9} Atendendo as transformadas de Laplace das derivadas: L{y 00 } = s2 L{y} − sy(0) − y 0 (0) e L{y 0 } = sL{y} − y(0) obtemos L{y 00 } = s2 L{y} − 8 s + 1 e L{y 0 } = sL{y} − 8 foulquie@ua.pt

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C´alculo II (2014-2015)

Agrupamento 3

9 Como a transformada de Laplace de 9 ´e , efetuando os c´alculos temos s 24 s + 9s − 3 9 (3 s2 − 27)L{y} = 24 s + − 3 ⇔ L{y} = s 3 s2 − 27 Portanto, 24 s2 − 3 s + 9 s(3 s2 − 27) Vamos decompor esta fra¸c˜ao em elementos simples. Para isso vejamos se 3 s2 − 27 se pode L{y} =

decompor em elementos de 1 grau. Como as razes da equao 3 s2 − 27 = 0 so −3 e 3 podemos escrever 3 s2 − 27 = 3(s + 3)(s − 3) Assim, 24 s2 − 3 s + 9 24 s2 − 3 s + 9 = (3 s2 − 27)s 3 s(s + 3)(s − 3) A fra¸c˜ao decomposta em elementos simples ´e: A B C 24 s2 − 3 s + 9 = + + 3 s(s + 3)(s − 3) 3s s + 3 s − 3 Para determinar os coeficientes A, B e C podemos atender apenas aos numeradores 24 s2 − 3 s + 9 = (s − 3)(s + 3)A + 3 (s − 3)Bs + 3 (s + 3)Cs Fazendo s igual a 0 obtemos A: −9 A = 9 ⇔ A = −1 Se fizermos s = −3 obtemos imediatamente o valor de B: 54 B = 234 ⇔ B =

13 3

Falta apenas determinar o valor de C. Fazendo s = 3, vem 54 C = 216 ⇔ C = 4 Assim, 13 24 s2 − 3 s + 9 −1 4 = + 3 + 3 s(s + 3)(s − 3) 3s s + 3 s − 3 Aplicando a transformada de Laplace inversa, temos 13

4 −1 −1 −1 −1 3 y=L +L +L 3s s+3 s−3

Calculando as transformadas de Laplace inversas, temos

−1 1 −1 L =− 3s 3 13 13 −3 t 3 L−1 = e s+3 3 foulquie@ua.pt

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C´alculo II (2014-2015)

Agrupamento 3

4 L s−3 Finalmente, a soluo da equao diferencial −1

y=

= 4 e3 t

13 −3 t 1 e + 4 e3 t − 3 3

(5) Determine a solu¸caËœo geral da equa¸caËœo diferencial −4 y + y 0 = −4 y 2 Resolu¸cËœ ao Uma equa¸cËœao de Bernoulli ´e do tipo y 0 + p(x)y = q(x)y Îą com Îą > 1. Estamos assim perante uma equa¸caËœo de Bernoulli com Îą = 2, p(x) = −4 e q(x) = −4.

Para resolver estas equa¸cËœoes faz-se a mudan¸ca de vari´avel u = y 1âˆ’Îą .

Neste caso Îą = 2 e portanto a mudan¸ca de vari´avel ser u = y −1 . Assim, u0 = −y −2 y 0 ; como y 0 = −4 y 2 + 4 y vem u0 = −y −2 (−4 y 2 + 4 y) = −4 u + 4 que ´e uma equa¸cËœao do tipo u0 + P (x)u = Q(x). Procuremos um factor Âľ(x) que transforme a equa¸caËœo numa equa¸cËœao diferencial exata. Este fator pode ser dado por R

Âľ(x) = e

4dx

= e4 x

Multiplicando ambos os membros da equa¸ca˜o diferencial pelo fator integrante obtemos 4 ue4 x + u0 e4 x = 4 e4 x

(2) Observando que

4 ue4 x + u0 e4 x = ue4 x

0

e substituindo em (2) vem ue

4x

Z =

4 e4 x dx = e4 x + k, com k ∈ R

EntËœao,

u = k + e4 x e−4 x , com k ∈ R e, portanto, y = u−1 =

e4 x , com k ∈ R k + e4 x

(6) Considere a equa¸ca˜o diferencial y0 = −

7y

8 ln − 53 xy − 7 x

(a) Verifique que se trata de uma equa¸ca˜o homog´enea. foulquie@ua.pt

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C´alculo II (2014-2015)

Agrupamento 3

(b) Determine a solu¸ca˜o geral da equa¸ca˜o.

Resolu¸c˜ ao 7y

uma fun¸c˜ao homog´enea (f (λx, λy) = f (x, y), para 8 ln − 53 xy − 7 x todo o λ > 0), portanto, para resolver a equa¸c˜ao diferencial faz-se a mudan¸ca de vari´avel y = zx, A fun¸c˜ao f (x, y) = −

resultando daqui que y 0 = z 0 x + z. Substituindo agora na equa¸ca˜o diferencial obtemos

8 z ln − 53 z 7z 0 0

zx+z =− ⇔zx=− 8 ln − 35 z − 7 8 ln − 35 z − 7 Temos agora uma equa¸ca˜o de vari´aveis separ´aveis

8 ln − 35 z − 7 dx dz = − 3 x 8 z ln − 5 z Integrando vem

7 3 3 = ln (x) + k − ln − z + ln ln − z 5 8 5 Ou seja, regressando a` vari´avel y:

3y 7 3y − ln − + ln ln − = ln (x) + k 5x 8 5x Esta express˜ao pode ainda ser simplificada usando a fun¸c˜ao exponencial. Exerc´ıcio que fica para o aluno.

3y 7 5 xe 8 ln(ln(− 5 x )) = kx − 3y

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C´alculo II (2014-2015)

Agrupamento 3

Universidade de Aveiro, Teste 1 de C´ alculo II, agrupamento 3

2 de Abril de 2014 Z

1. Usando a transfomada de Laplace, calcule

+∞

e−t t sin(t) dt .

0

R +∞ Resolu¸c˜ ao: Sabemos que L{f }(s) = 0 f (t)e−st dt, pelo que Z +∞ e−t t sin(t) dt = L{t sin(t)}(1).

0

Se agora usamos as propriedades da transformada de Laplace, temos que 2s L{t sin t}(s) = − (L{sin t}(s))0 = 2 s +1 Z +∞ e−t t sin t dt = 1 . pelo que 0 ( y 0 − y = −2e2x cos 3x − 4e2x sin 3x 2. Usando a transformada de Laplace, resolva a equa¸c˜ao . y(0) = 2 Resolu¸c˜ ao Aplicamos a transformada de Laplace a ambos membros da equa¸ca˜o, tendo em conta que L{y 0 }(s) = sL{y}(s) − y(0), e obtemos (s − 1)L{y}(s) − 2 = −2 (s − 1)L{y}(s) =

s−2 3 −4 2 (s − 2) + 9 (s − 2)2 + 9

−2s − 8 2s2 − 10s + 18 + 2 = (s − 2)2 + 9 (s − 2)2 + 9

pelo que L{y}(s) =

2s2 − 10s + 18 ((s − 2)2 + 9)(s − 1)

Calculamos a decomposi¸c˜ao em elementos simples de

2s2 −10s+18 ((s−2)2 +9)(s−1)

e obtemos

2s2 − 10s + 18 A B(s − 2) + C = + ((s − 2)2 + 9)(s − 1) s−1 (s − 2)2 + 9 onde A = 1, B = 1, C = −3, pelo que y(x) = ex + Be2x cos 3x − e2x sin 3x.

3. Resolva a) y 0 tan x − 1 = y 2 . b) y 0 =

3y−2x . −y+2x

Resolu¸c˜ ao: a) A equa¸ca˜o y 0 tan x − 1 = y 2 ´e uma equa¸ca˜o de vari´aveis separ´aveis. Pode ser escrita de maneira equivalente como 1 cos x y0 = +1 sin x integramos ambos membros desta equa¸c˜ao em ordem a vari´avel x e obtemos y2

arctan y = ln | sin x| + C, C ∈ R. foulquie@ua.pt

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C´alculo II (2014-2015)

Agrupamento 3

ou equivalentemente y = tan(ln | sin x| + C), C ∈ R. b) Esta equa¸ca˜o ´e homogˆenea, pelo que pode ser reescrita como y 0 = de vari´avel z =

y , x

y 3x −2 . y −x +2

Fazemos a mudan¸ca

pelo que y = zx, e derivando em ordem a x, obtemos y 0 = z + xz 0 .

Sustituimos esta vari´avel na equa¸ca˜o diferencial e obtemos z + xz 0 =

3z − 2 −z + 2

ou equivalentemente xz 0 =

3z − 2 z2 + z − 2 −z = −z + 2 −z + 2

Encontramos que esta u ´ltima equa¸c˜ao ´e de vari´aveis separ´aveis, pelo que para z 2 +z −2 6= 0. −z + 2 0 1 z = +z−2 x

z2

Factorizamos o polinomio z 2 + z − 2 = (z − 1)(z + 2), pelo que podemos escrever −z + 2 A B = + +z−2 z−1 z+2

z2 onde A = 13 , B = − 34 .

Obtemos a equa¸c˜ao

1 1 4 1 0 1 − z = , 3z −1 3z +2 x integramos ambos membros desta equa¸c˜ao em rela¸ca˜o a vari´avel x, e obtemos 1 4 ln |z − 1| − ln |z + 2| = ln |x| + C, 3 3

C ∈ R.

Sustituimos z = xy , e obtemos a solu¸c˜ao integral de forma impl´ıcita 1 y 4 y ln | − 1| − ln | + 2| = ln |x| + C, 3 x 3 x

C ∈ R.

Adem´as na resolu¸ca˜o anterior, obtivemos duas solu¸co˜es singulares, pela condi¸c˜ao z 2 + z − 2 = 0, ou seja z = 1, z = −2, pelo que na vari´avel y obtemos as solu¸c˜oes singulares y x

= 1, xy = −2, ou seja y = x, y = −2x.

4. Usando o m´etodo dos coeficientes indeterminados, resolva as equa¸c˜oes a) y 000 − y 00 − 2y 0 = 4x . b) y 000 − y 00 − 2y 0 = 5 sin x . c) y 000 − y 00 − 2y 0 = 4x − 5 sin x .

Resolu¸c˜ ao: Estas equa¸co˜es diferenciais s˜ao lineares de terceira ordem pelo que a solu¸ca˜o geral, de cada uma delas, escreve-se da forma y = yh + yp , onde yh ´e a solu¸ca˜o geral da equa¸ca˜o homog´enea associada, y 000 − y 00 − 2y 0 , e yp ´e uma solu¸ca˜o particular de cada equa¸c˜ao.

Vamos determinar yh , pelo que calculamos o chamado polin´omio caracter´ıstico associado ´a foulquie@ua.pt

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C´alculo II (2014-2015)

Agrupamento 3

equa¸ca˜o homog´enea p(x) = x3 − x2 − 2x = x(x + 1)(x − 2), pelo que o sistema fundamental de solu¸c˜es desta equa¸c˜ao pode ser dado por {1, e−x , e2x }, e yh = C1 + C2 e−x + C3 e2x ,

C1 , C2 , C3 ∈ R.

Vamos determinar yp para cada uma das equa¸c˜es dadas.

No caso a), o segundo membro da equa¸c˜ao, b(x) = 4x, pelo que procuramos uma solu¸ca˜o do tipo yp = x(Ax + B), porque a multiplidade da raiz x = 0 do polin´omio caracter´ıstico ´e 1.

Sustituimos yp na equa¸ca˜o y 000 − y 00 − 2y 0 = 4x e obtemos ( −2A − 2B = 0 −2A − 2(2Ax + B) = 4x ⇒ −4A = 4 pelo que, A = −1, B = 1 yp = −x2 + x.

No caso b) o segundo membro da equa¸c˜ao, b(x) = 5 sin x, pelo que procuramos uma solu¸c˜ao do tipo yp = x0 (A sin x + B cos x), porque a multiplidade da raiz x = i do polin´omio caracter´ıstico ´e 0. Sustituimos yp na equa¸ca˜o y 000 − y 00 − 2y 0 = 5 sin x e obtemos ( A + 3B = 5 (A + 3B) sin x + (−3A + B) cos x = 5 sin x ⇒ −3A + B = 0 pelo que, A = 21 , B =

3 2

yp = 12 sin x + 32 cos x.

No caso c), pelo princ´ıpio da sobreposi¸ca˜o dos efeitos, obtemos que yp = −x2 +x− 21 sin x− 32 cos x. √ 5. Resolva a equa¸ca˜o diferencial de Bernoulli xy 0 + 4y = 2 sin x y Resolu¸c˜ ao: Normalizamos a equa¸c˜ao e obtemos 4 sin x √ y0 + y = 2 y x x Uma equao de Bernoulli do tipo y 0 + p(x)y = q(x)y α com α > 1. Estamos assim perante uma sin x equao de Bernoulli com α = 21 , p(x) = x4 e q(x) = 2 . x √ Dividimos pelo factor y e obtemos y0 4√ sin x y=2 √ + y x x 1

Fazemos a mudan¸ca de vari´avel z = y 2 =

√

y0 y, pelo que z 0 = √ , e reescrevemos a equa¸c˜ao na 2 y

nova vari´avel 4 sin x 2z 0 + z = 2 x x e voltamos a normalizar 2 sin x z0 + z = x x R 2 dx 2 x Calculamos o fator integrante µ(x) = e = x , e multiplicamos ambos membros desta equa¸ca˜o por este fator integrante x2 z 0 + 2xz = x sin x foulquie@ua.pt

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C´alculo II (2014-2015)

Agrupamento 3

pelo que (x2 z)0 = x sin x integramos ambos membros Z Z 2 x z = x sin xdx = −x cos x + cos xdx = −x cos x + sin x + C, C ∈ R. Voltamos a escrever na vari´avel, y √ x2 y = −x cos x + sin x + C, C ∈ R. ou equivalentemente 2

cos x sin x + 2 + C , C ∈ R. y= − x x 1 6. Resolva a equa¸ca˜o y 00 + 2y 0 + y = x xe Resolu¸c˜ ao: Resolvemos pelo m´etodo da varia¸ca˜o das constantes.

Consideramos a equa¸c˜ao homog´enea associada y 00 + 2y 0 + y = 0 e calculamos o polin´omio carater´ıstico p(x) = x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 , pelo que o conjunto de fun¸co˜es {y1 , y2 } = {e−x , xe−x } constituem um sistema fundamental de solu¸c˜oes. Procuramos a solu¸c˜ao geral da equa¸ca˜o inicial, da forma y = C1 (x)e−x + C2 (x)xe−x , onde as fun˜oes C1 , C2 verificam C10 (x) = e, neste caso, b(x) =

−b(x)y2 , W (x)

C20 (x) =

b(x)y1 W (x)

1 ,e xex

e−x xe−x

W (x) =

−e−x e−x − xe−x

1 x

= e−2x

−1 1 − x

= e−2x .

Assim C10 (x) = −1 ⇒ C1 (x) = −x + C, C ∈ R, e C20 (x) =

1 ⇒ C2 (x) = ln |x| + D, D ∈ R. x

A solu¸c˜ao pretendida ´e y(x) = −xe−x + ln |x|xe−x + Ce−x + Dxe−x ,

C, D ∈ R,

ou de manera equivalente y(x) = ln |x|xe−x + Ce−x + Dxe−x ,

foulquie@ua.pt

C, D ∈ R.

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C´alculo II (2014-2015)

Agrupamento 3

16 de junho de 2014, Teste 2.

1. Determine a soma das seguintes sries:

+∞ +∞ X X 1 1 −3n+1 (a) 2 ; (b) − n + 2 n−1 n=2 n=2 Resolu¸c˜ ao:

a)

+∞ X

−3n+1

2

=2

1 2 23 − 213

n +∞ X 1

=2 .

23 1 X X X

+∞ +∞ +∞ +∞ X 1 1 1 1 1 1 1 1 − = − + − + − . b) n+2 n−1 n+2 n+1 n+1 n n n−1 n=2 n=2 n=2 n=2 n=2

n=2

Se agora calcularmos cada uma destas somas,

+∞ X 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − − + − + ··· + − = lim =− . n→+∞ n+2 n+1 4 3 5 4 n+2 n+1 3 n=2 e an´alogamente com as outras, obtemos que

+∞ X 1 1 11 1 1 − =− − −1=− . n+2 n−1 3 2 6 n=2 (1) Discuta a natureza das seguintes sries, indicando divergncia, convergncia simples ou convergncia absoluta. +∞ X √ (−1)n n n; (a) n=1

(b)

+∞ X n=1

(−1)n √ 2n3 + ln n + 1

(c)

+∞ X n=1

(−3)n

n! nn

Resolu¸c˜ ao: √ a) Esta s´erie n˜ao verifica a condi¸c˜ao necess´aria de convergˆencia, de facto, limn→+∞ n n = 1 o √ que implica a n˜ao existˆencia do limite lim (−1)n n n pelo que podemos afirmar que esta s´erie n→+∞

´e divergente. b) Se consideramos a s´erie dos m´odulos

+∞ X n=1

√

2n3

1 e comparamos com a s´erie + ln n + 1

+∞ X 1 atrav´es do limite 3/2 n n=1 √

lim

n→+∞

1 2n3 +ln n+1 1 n3/2

1 = √ 6= 0, 2

o crit´erio de compara¸ca˜o por passagem ao limite diz-nos que estas s´eries tem a mesma natureza, +∞ X 1 pelo que, usando agora que as s´eries do tipo s˜ao convergentes para α > 1, conclu´ımos a nα n=1 P P 1 1 √ convergˆencia da s´erie +∞ erie +∞ encia da s´erie n=1 n3/2 e portanto da s´ n=1 2n3 +ln n+1 . A convergˆ em m´odulo implica a convergˆencia da s´erie pelo que afirmamos neste caso que a s´erie proposta foulquie@ua.pt

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C´alculo II (2014-2015)

Agrupamento 3

´e absolutamente convergente. c) Para estudar a convergˆencia desta s´erie aplicamos o crit´erio de d’Alembert ou da raz˜ao,

(n+1)!

3n+1 (n+1)

an+1

n+1

lim

= = lim

n! n→+∞ n→+∞ an 3n nn

n 3(n + 1)n!nn n lim = lim 3 = 3/e > 1, n→+∞ n!(n + 1)n (n + 1) n→+∞ n+1 pelo que o crit´erio afirma a divergˆencia da s´erie. +∞ X 1 (x − 2)n+2 .

3. Considere a funo f (x) = n + 1 n=1 (a) Determine o domnio de convergncia desta srie de potncias. (b) Determine, justificando, explicitamente a funo f .

Resolu¸c˜ ao: a) Neste caso, f pode ser reescrita, da forma f (x) =

+∞ X n=1

+∞

X 1 1 (x − 2)n+2 = (x − 2)n , n+1 n−1 n=3

uma s´erie de potˆencias centrada em c = 2 e de raio R, que pode ser calculado atrav´es do limite

an

R = lim

n→+∞ an+1

onde an =

1 , n−1

pelo que R = 1. O intervalo de convergˆencia ´e ]c − R, c + R[=]1, 3[. Para calcular

o dom´ınio de convergˆencia teremos de estudar a convergˆencia da s´erie +∞ X n=3

1 (x − 2)n n−1

em x = 1 e x = 3.

Se sustituimos x = 3 obtemos a s´erie +∞ X n=3

que ´e uma s´erie divergente (do tipo

1 n−1

P+∞

1 n=1 nα ),

pelo que x = 3 n˜ao pertence ao dom´ınio de

convergˆencia da s´erie.

Se sustituimos x = 1 obtemos a s´erie +∞ X (−1)n n=3

n−1

que ´e uma s´erie convergente, por aplica¸c˜ao do crit´erio de Leibniz para s´eries alternadas, pelo que conclu´ımos que o dom´ınio de convergˆencia ´e [1, 3[. foulquie@ua.pt

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C´alculo II (2014-2015)

Agrupamento 3

b) temos em conta que f (x) =

+∞ X n=3

+∞ +∞ X X 1 1 1 (x − 2)n = (x − 2) (x − 2)n−1 = (x − 2) (x − 2)n . n−1 n − 1 n n=3 n=2

Se usamos que +∞

X 1 = yn, 1−y n=0

|y| < 1,

e integramos termo a termo no intervalo |y| < 1, obtemos − ln(1 − y) + C =

+∞ X n=0

+∞

X1 1 y n+1 = y n =, n+1 n n=1

|y| < 1,

onde ao substituir por y = 0, obtemos que a constante C = 0. pelo que agora, se sustituimos y = x − 2, obtemos que +∞ +∞ X X 1 1 n (x − 2) = (x − 2) (x − 2)n − (x − 2) f (x) = (x − 2) n n n=1 n=2

= (x − 2) (− ln(1 − (x − 2)) − (x − 2)) ,

! =

|x − 2| < 1.

4. Considere a funo f (x) = cos2 x. (a) Determine o polinmio de MacLaurin de grau 4 desta funo. (b) Verifique que o erro cometido na aproximao de cos2 (0.5), quando se usa o polinmio de MacLaurin calculado anteriormente, inferior a

1 .

120

Resolu¸c˜ ao: a) Calculamos as derivadas sucessivas da fun¸ca˜o f (x) = cos2 x, f 0 (x) = −2 cos x sin x = − sin 2x,

f 00 (x) = −2 cos 2x,

f 000 (x) = 4 sin 2x, f (4) (x) = 8 cos 2x, pelo que o polin´omio de MacLaurin de grau 4 desta fun¸ca˜o ´e dado por 1 1 1 1 T4 (x) = f (0) + f 0 (0)x + f 00 (0)x2 + f 000 (0)x3 + f (4) (0)x4 = 1 − x2 + x4 .

2 3!

4!

3 b) Para estimar o erro cometido,

2

cos (0.5) − (1 − (0.5)2 + 1 (0.5)4 ) = |R4 (0.5))|

3 onde o resto de Lagrange, R4 (x) =

f (5) (θ) 5 x, 5!

onde θ ∈]0, 0.5[, pelo que se temos em conta que

f (5) (x) = −16 sin 2x obtemos como majora¸ca˜o de |f (5) (θ)| ≤ 16 , pelo que

(5)

f (θ)

16 1 1 1 5 |R4 (0.5))| =

(0.5)

≤ (0.5)5 = < .

5!

5!

2 120 120 foulquie@ua.pt

12

C´alculo II (2014-2015)

Agrupamento 3

5. Considere a funo f (x) = π − x. (a) Determine a sua s´erie de Fourier de senos no intervalo [0, π]. (b) Represente gr´aficamente a fun¸ca˜o soma no intervalo [−2π, 2π].

Resolu¸c˜ ao: a) Consideramos a extens˜ao ´ımpar da fun¸ca˜o f , no intervalo [−π, π], pelo que a s´erie de Fourier vir´a dada por +∞ X

bn sin nx,

n=1

2 bn = π

Z

π

(π − x) sin nx = 0

2 n

pelo que a s´erie ´e +∞ X 2 sin nx. n n=1

b) Se queremos calcular a fun¸c˜ao soma, vir´a dada pela fun¸c˜ao g, 2π peri´odica   0<x<π   π−x g(x) =

foulquie@ua.pt

0 x=0    −(π + x) −π ≤ x < 0

13

C´alculo II (2014-2015)

Agrupamento 3

2 de julho de 2014, Exame de Recurso.

1. Indique, justificando, o valor lˆogico de cada uma das afirma¸c˜oes seguintes. (a) O problema de valores iniciais xy 0 = y 2 + 1, y(0) = 1 tem uma solu¸c˜ao em R. (b) Se y = f (x) soluo da equao diferencial xy 0 − y = x2 , ento y = f (−x) soluo da mesma equao.

Resolu¸ca˜o: a) Falso Para resolver esta quest˜ao podemos, substituir diretamente na equa¸c˜ao diferencial a vari´avel x = 0 pelo que obtemos 0 = y 2 (0) + 1, condi¸ca˜o incompat´ıvel com y(0) = 1, pelo que esta equa¸ca˜o n˜ao ter´ıa solu¸ca˜o. b) Verdadeiro Se y = f (x) verifica esta equa¸ca˜o diferencial, teremos que xf 0 (x) − f (x) = x2 , para verificar se y = f (−x) ´e tamb´em solu¸ca˜o temos em conta que y 0 (x) = −f 0 (−x), pelo que se sustituimos na equa¸ca˜o diferencial obtemos −xf 0 (−x) − f (−x) = x2 ou equivalentemente (−x)f 0 (−x) − f (−x) = (−x)2 e esta equa¸c˜ao ´e verificada. (estamos a trocar x por −x na equa¸ca˜o que f verifica).

Outra possibilidade de resolu¸ca˜o ´e resolver esta equa¸c˜ao diferencial, linear de primeira ordem.

2. Resolva o problema de valores iniciais y 00 − y = e−x − 1,y(0) = 1,y 0 (0) = 1.

Resolu¸ca˜o: Temos uma equa¸c˜ao diferencial linear de segunda ordem, de coeficientes constantes. O segundo membro de equa¸c˜ao permite a resolu¸ca˜o pelo m´etodo dos coeficientes indeterminados ou pela aplica¸ca˜o da transformada de Laplace.

M´ etodo dos coeficientes indeterminados A solu¸c˜ao, pelo principio da sobrepossi¸ca˜o dos efeitos, ser´a dada da forma y = yh + yp1 + yp2 onde yh ´e solu¸ca˜o da parte homogˆenea da equa¸ca˜o, e yp1 , yp2 s˜ao solu¸c˜oes particulares, tais que yp001 − yp1 = e−x yp002 − yp2 = −1 Para procurar yh , calculamos o polin´omio caracter´ıstico, p(x) = x2 − 1 = (x − 1)(x + 1), pelo que o Sistema Fundamental de solu¸c˜oes desta equa¸c˜ao pode vir dado por {ex , e−x }, e yh (x) = C1 ex + C2 e−x , C1 , C2 ∈ R foulquie@ua.pt

14

C´alculo II (2014-2015)

Agrupamento 3

Para procurar yp1 , temos em conta que x = −1 ´e uma ra´ız do polin´omio caracter´ıstico de multiplicidade 1, pelo que yp1 (x) = Axe−x calculamos as derivadas sucessivas yp0 1 (x) = Ae−x − Axe−x yp001 (x) = −Ae−x − A(e−x − xe−x ) = −2Ae−x + Axe−x sustituimos na equa¸c˜ao diferencial, yp001 − yp1 = e−x e obtemos −2Ae−x + Axe−x − Axe−x = e−x ou equivalentemente −2A = 1, pelo que A = −1/2.

Para determinar yp2 , temos em conta que x = 0 n˜ao ´e uma ra´ız do polin´omio caracter´ıstico, pelo que yp2 (x) = B se sustituimos na equa¸ca˜o, yp002 − yp2 = −1 obtemos −B = −1, pelo que B = 1. Podemos ent˜ao escrever 1 y = C1 ex + C2 e−x − xe−x + 1, C1 , C2 ∈ R 2 Para determinar as constantes C1 , C2 , impomos as condi¸c˜oes iniciais y(0) = 1, y 0 (0) = 1, pelo que, se temos em conta que 1 1 y 0 = C1 ex − C2 e−x − e−x + xe−x 2 2 obtemos (

C1 + C2 + 1 = 1 C1 − C2 −

1 2

= 1

e C1 = 34 , C2 = − 43 e a solu¸c˜ao vir´a dada por 3 1 3 y = ex − e−x − xe−x + 1 4 4 2 M´ etodo da transformada de Laplace Para resolver esta equa¸c˜ao diferencial, calculamos a transformada de Laplace de esta equa¸ca˜o, L{y 00 − y} = L{e−x − 1} se usamos a nota¸c˜ao, F (s) = L{y(x)}, a linearidade desta transformada, Ly 00 (x) = s2 F (s) − sy(0) − y 0 (0), e a transformadas de e−x e 1 obtemos s2 F (s) − s − 1 − F (s) =

1 1 − s+1 s

ou (s2 − 1)F (s) = foulquie@ua.pt

1 1 − +s+1 s+1 s 15

C´alculo II (2014-2015)

Agrupamento 3

ou (s2 − 1)F (s) =

−1 +s+1 s(s + 1)

ou, tendo em conta que (s2 − 1) = (s − 1)(s + 1) F (s) =

−1 1 + s(s − 1)(s + 1)2 s − 1

Se temos agora em conta que existem constantes reais tais que −1 1 1 1 1 +C +D =A +B 2 s(s − 1)(s + 1) s s−1 (s + 1) (s + 1)2 obtemos, pelo c´alculo da anti-transformada de Laplace, y(x) = A + Bex + Ce−x + Dxe−x + ex Para determinar a constante A, podemos multiplicar ambos os membros de 1 1 1 1 −1 =A +B +C +D 2 s(s − 1)(s + 1) s s−1 (s + 1) (s + 1)2 pelo fator s

1 1 1 −1 =A+s B +C +D (s − 1)(s + 1)2 s−1 (s + 1) (s + 1)2 e sustituimos a seguir s = 0, 1=A Para determinar a constante B, podemos multiplicar ambos os membros de −1 1 1 1 1 =A +B +C +D 2 s(s − 1)(s + 1) s s−1 (s + 1) (s + 1)2 pelo fator s − 1

1 1 1 −1 = (s − 1)A + B + (s − 1) C +D s(s + 1)2 s (s + 1) (s + 1)2 e sustituimos a seguir s = 1, −1 =B 4 Para determinar a constante D, podemos multiplicar ambos os membros de −1 1 1 1 1 =A +B +C +D 2 s(s − 1)(s + 1) s s−1 (s + 1) (s + 1)2 pelo fator (s + 1)2 −1 1 1 = (s + 1)2 A + (s + 1)2 B + C(s + 1) + D s(s − 1) s s−1 e sustituimos a seguir s = −1, −1 =D 2 foulquie@ua.pt

16

C´alculo II (2014-2015)

Agrupamento 3

Para determinar a constante C, podemos derivar ambos os membros de −1 1 1 = (s + 1)2 A + (s + 1)2 B + C(s + 1) + D s(s − 1) s s−1 e sustituimos a seguir s = −1, e obtemos −3 =C 4 3. Determine a solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao diferencial y 0 cos x − y sen x = y 2 Resolu¸ca˜o: Esta equa¸ca˜o diferencial ´e de Bernoulli, normalizamos esta equa¸c˜ao y 0 − y tan x = y 2

1 cos x

dividimos ambos membros da equa¸ca˜o pelo fator y 2 y0 1 1 − tan x = 2 y y cos x 0

e fazemos a mudan¸ca de vari´avel z = y1 , tendo em conta que z 0 = − yy2 , pelo que obtemos 1 cos x

−z 0 − tan xz =

e normalizando novamente, obtemos a equa¸c˜ao linear z 0 + tan xz = −

1 cos x

Podemos resolver esta equa¸ca˜o pelo m´enodo da varia¸c˜ao das constantes, ou pelo m´enodo do fator integrante, pelo primeiro destes m´etodos, consideramos a equa¸c˜ao homogˆenea associada, equa¸ca˜o de vari´avies separ´aveis z 0 + tan xz = 0 ou

z0 = − tan x. z Integramos ambos membros desta equa¸c˜ao e obtemos ln |z| = ln | cos x| + C, C ∈ R ou z = C cos x pelo m´enodo da varia¸ca˜o das constantes, vamos procurar uma fun¸c˜ao C(x) tal que z = C(x) cos x seja solu¸ca˜o de z 0 + tan xz = −

1 . cos x

Sustituimos nesta equa¸c˜ao e obtemos C 0 (x) cos x = − foulquie@ua.pt

1 cos x 17

C´alculo II (2014-2015)

Agrupamento 3

ou C 0 (x) = −

1 cos2 x

e integramos C(x) = − tan x + D, D ∈ R pelo que z = − sin x + D cos x. Agora desfazemos a mudan¸ca de vari´avel e temos y=

1 ,D∈R − sin x + D cos x 1 . cos x

4. Resolva a equa¸ca˜o diferencial y 00 + y = Resolu¸ca˜o:

Resolvemos pelo m´etodo da varia¸ca˜o das constantes.

Consideramos a equa¸c˜ao homog´enea associada y 00 + y = 0 e calculamos o polin´omio carater´ıstico p(x) = x2 + 1, pelo que o conjunto de fun¸co˜es {y1 , y2 } = {cos x, sin x} constituem um sistema fundamental de solu¸co˜es. Procuramos a solu¸ca˜o geral da equa¸ca˜o inicial, da forma y = C1 (x) cos x + C2 (x) sin x, onde as fun¸co˜es C1 , C2 verificam C10 (x) = e, neste caso, b(x) =

−b(x)y2 , W (x)

C20 (x) =

b(x)y1 W (x)

1 ,e cos x

cos x sin x

W (x) =

− sin x cos x

= 1.

Assim C10 (x) = −

sin x ⇒ C1 (x) = − ln | cos x| + C, C ∈ R, cos x

e C20 (x) = 1 ⇒ C2 (x) = x + D, D ∈ R. A solu¸c˜ao pretendida ´e y(x) = ln | cos x| cos x + x sin x + C cos x + D sin x,

C, D ∈ R.

5. Determine o domnio de converg´encia das seguintes s´eries de pot´encias, indicando onde a convergencia ´e simples ou absoluta: P P+∞ 1 n √ (a) +∞ n=1 n2 +3n+1 (2x − 1) (b) n=1 foulquie@ua.pt

(−1)n 2n x (2n)!

18

C´alculo II (2014-2015)

Agrupamento 3

Resolu¸ca˜o: a) Consideramos a mudan¸ca de vari´avel y = 2x − 1, pelo que a s´erie pode ser reescrita como +∞ X

√

n=1

1 yn 2 n + 3n + 1

Calculamos R,o raio de convergˆencia desta s´erie pela f´ormula |an | n→+∞ |an+1 |

R = lim onde an =

√

1 , n2 +3n+1

pelo que p (n + 1)2 + 3(n + 1) + 1 √ =1 lim n→+∞ n2 + 3n + 1

A s´erie ´e absolutamente convergente para |y| < 1 ou equivalentemente para |2x − 1| < 1, ou seja |x − 21 | < 21 , e divergente para |x − 12 | > 12 . Nos extremos do intervalo, ou seja para x = 0, 1 temos de discutir a convergˆencia.

No caso x = 0, obtemos a s´erie +∞ X n=1

1 √ (−1)n 2 n + 3n + 1

e esta s´erie ´e simplesmente convergente, porque n˜ao ´e absolutamente convergente pelo crit´erio de compara¸ca˜o da s´erie do m´odulo +∞ X n=1

com a s´erie

P+∞

1 n=1 n ,

1 √ n2 + 3n + 1

que ´e divergente. A s´erie dada +∞ X n=1

1 √ (−1)n 2 n + 3n + 1

´e convergente pelo crit´erio de Leibniz.

No caso x = 1 obtemos a s´erie +∞ X n=1

1 √ 2 n + 3n + 1

que ´e divergente. O dom´ınio de convergˆencia da s´erie ´e [0, 1[. b) Consideramos a mudan¸ca de vari´avel y = x2 , pelo que a s´erie pode ser reescrita como +∞ X (−1)n n=1

(2n)!

yn

Calculamos R,o raio de convergˆencia desta s´erie pela f´ormula R = lim

n→+∞

foulquie@ua.pt

|an | |an+1 | 19

C´alculo II (2014-2015) onde an =

(−1)n , (2n)!

Agrupamento 3 pelo que

(2(n + 1))!

(2n + 2)!

(2n + 2)(2n + 1)(2n)! = lim = lim = +∞ n→+∞ n→+∞ n→+∞ (2n)!

(2n)!

(2n)! lim

A s´erie ´e absolutamente convergente para y ∈ R ou equivalentemente para x2 ∈ R, ou seja x ∈ R. 6. Determine uma reprsenta¸ca˜o em s´erie de pot´encias, indicando o intervalo onde esta representa¸c˜ao ´e v´alida, das fun¸co˜es definidas por: x 1 (b) (2+x) (a) 2+x .

2.

Resolu¸ca˜o: a) Sabemos que a s´erie geomˆetrica ´e dada por +∞ X

xn =

n=0

1 , 1−x

|x| < 1

pelo que +∞

+∞

X (−1)n 1 1 1X 1 = = (−x/2)n = xn , (n+1) 2+x 2 1 − (−x/2) 2 n=0 2 n=0

|x/2| < 1

b) Podemos considerar que x x+2 −2 1 1 = + = −2 2 2 2 (2 + x) (2 + x) (2 + x) (2 + x) (2 + x)2 Se temos em conta que podemos derivar termo a termo, +∞ X

xn =

n=0

1 , 1−x

|x| < 1

obtemos +∞ X

nxn−1 =

n=1

1 , (1 − x)2

|x| < 1

ou equivalentemente +∞ X

(n + 1)xn =

n=0

1 , (1 − x)2

|x| < 1

pelo que +∞

+∞

X (n + 1)(−1)n 1 1 1 1X n = = (n + 1)(−x/2) = xn , (n+2) (2 + x)2 4 (1 − (−x/2))2 4 n=0 2 n=0

|x/2| < 1

Pelo que finalmente obtemos +∞ +∞ +∞ X X x (−1)n n (n + 1)(−1)n n X (−1)(n+1) n n = x − 2 x = x (n+1) (n+2) (n+1) (2 + x)2 2 2 2 n=0 n=0 n=0

7. Considere a fun¸c˜ao f definida por f (x) = ex sen x. (a) Determine o polinˆomio de MacLaurin de grau 3 desta fun¸ca˜o. foulquie@ua.pt

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C´alculo II (2014-2015)

Agrupamento 3

(b) Determine um majorante para o erro cometido na aproxima¸c˜ao de e sen(1) quando se usa o polinˆomio de MacLaurin calculado anteriormente.

Resolu¸ca˜o: a) O polinˆomio de MacLaurin de grau 3, da fun¸ca˜o f ´e dado por f 00 (0) 2 f 000 (0) 3 T3 (x) = f (0) + f (0)x + x + x 2!

3!

0

Derivamos sucessivamente, a fun¸c˜ao f (x) = ex sin x e obtemos f 0 (x) = ex (sin x + cos x) , f 00 (x) = 2ex cos x , f 000 (x) = 2ex (cos x − sin x) pelo que 1 T3 (x) = x + x2 + x3 3 b) Para estimar o erro cometido, |e sin 1 − T3 (1)| = |R3 (1)| onde o resto de Lagrange, R3 (x) =

f (4) (θ) 4 x, 4!

onde θ ∈]0, 1[, pelo que se temos em conta que

f (4) (x) = −4ex sin x obtemos como majora¸ca˜o de |f (4) (θ)| ≤ 12 , pelo que

(4)

f (θ) 12 1

≤ = . |R3 (1)| =

4!

4!

2   1 , −π ≤ x < 0 e g(x) = f (x) − k, com k ∈ R. (1) Considere f e g, definidas por f (x) = 2 1, 0 ≤ x ≤ π (a) Determine a constante k, tal que a funo g seja mpar no intervalo [−π, π] \ {0}. (b) Determine a srie de Fourier da funo f (pode usar como passo interm´edio a s´erie de Fourier da funo g).

Resolu¸ca˜o: a) A constante k ´e 3/4. b) a s´erie de Fourier da fun¸c˜ao g vir´a dada por +∞ X

bn sin nx,

n=1

onde bn = foulquie@ua.pt

2 π

Z 0

π

 0,

1 2 cos nx π 2 1 sin nx = (− ) |0 = (− )((−1n ) − 1) =  4 π n π n

4 , πn

n par n ´ımpar 21

C´alculo II (2014-2015)

Agrupamento 3

pelo que a s´erie de Fourier de f = g + +∞

+∞

3 4

´e dada por +∞

3 X 4 3 X 3 X + bn sin nx = + sin(2k + 1)x, b2k+1 sin(2k + 1)x = + 4 n=1 4 k=0 4 k=0 π(2k + 1)

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