Unidad 10 – Límites de funciones. Continuidad. PÁGINA 201
SOLUCIONES 1. Podemos decir lo siguiente: •
f ( x ) tiende a (3) cuando x tiende a ( −∞) y tiende a ( +∞ ) cuando x tiende a ( +∞ ) .
•
g ( x ) tiende a ( −∞ ) cuando x tiende a (−∞) y tiende a ( +∞ ) cuando x tiende a ( +∞ ) .
•
h( x ) tiende a ( −2 ) cuando x tiende a ( −∞) y tiende a (2) cuando x tiende a ( +∞ ) .
•
t ( x ) tiende a ( +∞ ) cuando x tiende a (−∞) y tiende a ( −∞) cuando x tiende a ( +∞ ) .
139
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SOLUCIONES 1. Designamos los colores por: rojo (R), verde (V), azul (Z) y amarillo (A); y las tres formas por: cuadrada (C), circular (O), triangular (T) y pentagonal (P). Por ensayo y error las colocamos en un tablero 4 x 4, cumpliendo las condiciones que marca el enunciado. Una solución es:
Podemos encontrar hasta 72 soluciones distintas. 2. El número total de amanitas ha de ser múltiplo de 9 menos 1, es decir, 8 amanitas. Haciendo el problema mediante ecuaciones: 8 8 x+ =x 9 9
⇒
x = 8 amanitas
140
3. El enunciado del problema nos muestra que el número de latas de zumo debe ser un número impar. Por ensayo y error dirigido obtenemos: Hay 7 latas de zumo. 7 El 1.er amigo se bebe + 0,5 = 4 latas. Quedan 3 latas. 2 3 El 2.o amigo se bebe + 0,5 = 2 latas. Queda 1 lata. 2 1 El dueño de la casa se bebe + 0,5 = 1 lata. 2 Luego, efectivamente, había inicialmente 7 latas de zumo. Este problema se puede resolver también por medio de ecuaciones. 4. Sea n un número real.
(
)
i
Veamos si n 2 ⋅ n 2 − 1 = 12
(
)
n 2 ⋅ n 2 − 1 = n ⋅ n ( n − 1) ⋅ ( n + 1) i
n ( n − 1) ⋅ ( n + 1) = 3, pues es producto de tres números consecutivos. i
i
i
i
i
i
i
Si n = 3 ⇒ n − 1= 2 y n + 1= 2, luego ( n − 1) ⋅ n ⋅ ( n + 1) = 3 ⋅ 2 ⋅ 2 = 12, i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
Si n − 1= 3 ⇒ n = 2, por lo que n ( n − 1) ⋅ n ⋅ ( n + 1) = 2 ⋅ 3 ⋅ 2 = 12, Si n + 1= 3 ⇒ n = 2, por lo que n ( n − 1) ⋅ n ⋅ ( n + 1) = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12,
(
)
i
En cualquier caso, efectivamente, n 2 ⋅ n 2 − 1 = 12.
141
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142
SOLUCIONES 1. Las soluciones quedan: a) f (2) = 1;
g) lím− f ( x ) = 1
l) lím f ( x ) = 1,5
r) lím– g ( x ) no existe
b) lím − f ( x )no existe
h) lím + f ( x ) = 1,5
m) g (1) = − 2
s) g (2,5) no existe
c) lím+ f ( x ) = 2
i) f (–5) no definida
x → −5
x→2
x→2
x → − 2,5
x → − 2,5
n) lím g ( x ) = − 2
t) lím+ g ( x ) no existe u) lím g ( x ) no existe
x →1
d) lím+ f ( x ) = 3
i f (–6) = − 1
o) lím+ g ( x ) = − 2
e) f (5) = 2
j) lím − f ( x ) = − 1
p) g (2) = 0
f) lím + f ( x ) = − 1
k ) lím− f ( x ) = 3
q) lím– g ( x ) = 0
x→5
x → −5
x → −6 x →5
x →3
x →3
x→2
x →3
x→2
2. Las correspondencias quedan: a) ∃ lím+ g ( x ) = 3 x →1
b) g (1) = 3
c) lím g ( x ) = 3 x →1
3. Las gráficas quedan:
143
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144
SOLUCIONES 4. Las respuestas quedan:
a) lím − f ( x ) = −∞
h) lím− g ( x ) = +∞
b) lím− f ( x ) = +∞
i) lím g ( x ) = +∞
c) lím f ( x ) = −1
j) lím g ( x ) = +∞
d) Asíntota horizontal : y = − 1. Asíntotas verticales : x = − 1; x = 1.
k) Asíntota horizontal : y = 0. Asíntota vertical : x = 2.
e) lím + f ( x ) = +∞
l) lím+ g ( x ) = +∞
f) lím+ f ( x ) = −∞
m) lím g ( x ) = 0
g) lím f ( x ) = −1
n) lím g ( x ) = 4
x → −1
x →1
x → +∞
x → −1
x →1
x → −∞
x→2
x→2
x → +∞
x→2
x → −∞
x →1
5. Las representaciones quedan:
145
6. Los resultados son: a) lím 2 = 2
b) lím x –5 = 0
1 1 c) lím 2 = x → −3 x 9
d) lím x 5 = −∞
e) lím ( −7) = −7
1 = +∞ x10 1 h) lím− 13 = −∞ x →0 x
x →0
x → −∞
−1 =0 x → – ∞ x 10 1 i) lím 13 = 0 x → +∞ x g) lím
k) lím− x 3 = 0 x →0
1 = +∞ 7 x →0 x o) lím x 6 = +∞
m) lím+ x → −∞
x → +∞
x → −∞
f) lím+ x →0
j) lím x 6 = +1 x → −1
1 = +∞ x6 1 n) lím− 7 = −∞ x →0 x p) lím x = 1
l) lím
x →0
x →1
146
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147
SOLUCIONES 7. Los límites y la gráfica quedan:
lím f (x) = lím − (2 x − 1) = − 3 ⎫ ⎪ x → −1 ⇒ lím f (x) = − 3 x → −1 lím + f (x) = lím + ( −3) = − 3 ⎬⎪ x → −1 x → −1 ⎭ x → −1−
lím f (x) = lím− ( −3) = − 3 ⎫ ⎪ x→2 ⇒ lím f (x) no existe x→2 lím+ f (x) = lím+ ( x + 1) = 3 ⎬⎪ x→2 x→2 ⎭ x → 2−
lím f (x) = −∞;
lím f (x) = +∞
x → −∞
x → +∞
8. Los límites quedan:
2 =0 3x 2 − 5x + 2
a) lím [2 x 3 − 7 x + 2] = + ∞
b) lím
c) lím [4 x 4 − 7 x + 5] = + ∞
d) lím [ −3 x 5 + 2 x − 4] = + ∞
x → +∞
x → −∞
x → −∞
x → −∞
− x − 5 x + 1] =0 2x 3 − 3 2
e) lím
x → +∞
g) lím
x → +∞
i) lím
x → +∞
f) lím
x → +∞
x2 + 7 1 = 2x 2 6x + 2 x2 + 2 + x
2x 2 − 7 x + 5 =−1 −2 x 2 + 4 x − 3
h) lím
x → −∞
3x 4 − 7x =+ ∞ 4x 2 + 5
=3
9. Los límites quedan: x3 −1 x → 1 x 3 + 2x 2 − 3 x
0
a) lím
b) lím
x →0
c) lím
x →3
x2 + x x 3 − 2x 2 + x x2 − 9 5 x 2 − 13 x − 6
x 4 −1 x → −1 x 3 + 1
d) lím
0 0
0
( x − 1) ( x 2 + x + 1) 3 = x → 1 x ( x − 1) ( x + 3) 4
= lím
= lím
0
x →0
0
0 0
x ( x + 1) =1 x ( x 2 − 2 x + 1)
( x − 3) ( x + 3) 6 = x → 3 ( x − 3) (5 x + 2) 17
= lím
( x + 1) ( x − 1) ( x 2 + 1) −4 = x → −1 ( x + 1) ( x 2 − x + 1) 3
= lím
148
x− 3 2x − 6
e) lím
x →3
f) lím
x→2
x →0
x2 −1
x →1
i) lím
x →3
0
x −1
0
x→2
0
= lím
0
x →1
x 2 − 2x
0
x +2 −2
2 x ( 1− x + 1)
( x 2 − 1) ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1)
= lím
0
x →0
( 1− x − 1) ( 1− x + 1)
x→0
0
= lím
x→3
x −3 ( x + 3 )( x − 3) 2
=
1 4 3
( x − 2) ( x − 3) =± ∞ ( x − 2)2
= lím
= lím
0
( x + 3 )(2 x − 6)
x →0
0
1− x − 1 2x
( x + 3 )( x − 3 )
= lím
x 2 − 5x + 6 x 2 − 4x + 4
g) lím
h) lím
0
= lím
x→0
1− x − 1 2 x ( 1− x + 1)
( x 2 − 1) ( x + 1) x →1 x −1
= lím
( x 2 − 2 x ) ( x + 2 + 2) ( x + 2 − 2) ( x + 2 + 2)
= lím
x →3
0
= lím
= lím
0
x →1
x→0
−1 2 ( 1− x + 1)
=
−1 4
( x − 1) ( x + 1) ( x + 1) =4 x −1
x ( x − 2)( x + 2 + 2) =8 x −2
10. Los límites quedan:
a) lím−
x2 +1 =− ∞ x −1
b) lím−
2+ x 2+ x 2+ x = + ∞; lím+ = + ∞ ⇒ lím =+ ∞ 2 2 x → 0 x2 x →0 x x
x →1
x→0
( x 2 + 3 − x )( x 2 + 3 + x ) = lím c) lím ⎡ x 2 + 3 − x ⎤ ∞ − ∞ = lím x → +∞ ⎣ x → +∞ x → +∞ ⎦ x2 + 3 + x ⎡ 2 x 2 + 2x ⎤ d) lím ⎢ 3 ⋅ ⎥ x→0 x 3 ⎦ ⎣
∞ ·0
= lím
x→0
2 ( x 2 + 2x ) 3x 3
e) lím ⎡ 9 x 2 + 4 x − 9 x 2 − 2 ⎤ x → +∞ ⎣ ⎦ = lím
x → +∞
4x + 2 9x + 4x + 9x − 2 2
⎡ x2 x3 −1 ⎤ f) lím ⎢ − 2 ⎥ x → +∞ x + 2 x + 2⎦ ⎣
2
∞−∞
=
∞−∞
= lím
x → +∞
0 0
= lím
x →0
3 x +3 + x 2
=0
2 ⋅ x ( x + 2) =+ ∞ 3x 3
( 9 x 2 + 4 x + 9 x 2 − 2)( 9 x 2 + 4 x − 9 x 2 − 2) 9x 2 + 4x + 9x 2 − 2
=
2 3
= lím
x → +∞
x 2 ( x 2 + 2) − ( x + 2)( x 3 − 1) −2 x 3 + 2 x 2 + x + 2 = −2 lím = x → +∞ x 3 + 2 x 2 + 2 x + 4 x 3 + 2x 2 + 2x + 4
149
11. Los límites quedan:
⎡ 5x − 2 ⎤ a) lím ⎢ ⎥ x → + ∞ 5x + 3 ⎣ ⎦
3x ∞ 1
=e
⎡ 2x − 6x ⎤ b) lím ⎢ 2 ⎥ x → + ∞ 2x − x − 5 ⎣ ⎦ 2
⎡ 4 − 3x ⎤ c) lím ⎢ x → +∞ 5 − 3x ⎥ ⎣ ⎦
x2 2
⎛ 5x − 2 ⎞ − 1⎟ lím 3 x ⎜ ⎝ 5x + 3 ⎠
x → +∞
∞ 1
=e
=e
x → +∞
x−3 ∞ 1
lím
x → +∞
x2 2
=e
−15 x 5x + 3
lím
x → +∞
⎛ 2x2 − 6 x ⎞ − 1⎟ ⎜⎜ 2 ⎟ ⎝ 2x − x − 5 ⎠
⎛ 4 − 3x ⎞ lím ( x − 3) ⎜ − 1⎟ ⎝ 5 − 3x ⎠
=e
=e
lím
x → +∞
= e −3
lím
x → +∞
−5 x 3 + 5 x 2 4 x 2 − 2 x − 10
−x + 3 5 − 3x
1 3
= e− ∞ = 0
=e = e 3
12. Las asíntotas quedan: a) Asíntota vertical : x = 1
d) Asíntota horizontal : y = 0
Asíntota horizontal : y = 2 b) Asíntotas verticales : x = 2; x = − 2 Asíntota horizontal : y = 0 c) Asíntota vertical : x = 3 Asíntota oblicua : y = x + 3
e) Asíntota verticales : x = 1; x = − 1 Asíntota horizontal : y = 1 f) Asíntota vertical : x = 0 Asíntota oblicua : y = x
150
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151
SOLUCIONES 13. Los límites quedan:
a) lím− x→2
3 =− ∞ x −2
3 −6 x + 3 b) lím ⎡ 4 x 2 − 6 x + 3 − 2 x ⎤ ∞ − ∞ = lím =− 2 x → +∞ ⎣ x → +∞ ⎦ 2 4x − 6 x + 3 + 2x c) lím− 3 x →0
1
x
=0
2x 3 + 4x 2 − 2x − 4 0 (2 x 2 + 6 x + 4)( x − 1) 12 lím = = x →1 x → +∞ 0 (2 x + 3)( x − 1) 5 2x 2 + x − 3 x +4 −2 0 x 1 e) lím = lím =− 2 x →0 x − x 0 x → 0 x ( x + 4 + 2)( x − 1) 4
d) lím
f) lím [1+ 3 x ] x →0
2 x
∞ 1
=e
lím
x→0
2 (1 + 3 x − 1) x
=e
lím
x →0
6x x
= e6
14. Queda: a) F (0) = 5 000 animales hay en la actualidad (t = 0) . b) La población tiende a estabilizarse a 7 500 animales, puesto que: 15 000 t + 10 000 = 7 500 t → +∞ 2t + 2 lím
15. Queda la expresión: lím
x → +∞
60 x + 810 =0 x2 + 9
Los beneficios se anulan cuando el tiempo crece indefinidamente. 16. Queda: a) M (0) = 40 montajes b) lím − t → −3
c)
600 t + 120 600 t + 120 = − ∞ ; lím = 600 t → +∞ t +3 t +3
600 t + 120 = 500 ⇒ t = 13,8 días . El máximo número de montajes que puede hacer es 600. t +3
152
17. Las asíntotas son: x = 0 y C( x ) = 3 . Las tendencias son: lím
x → 0+
3 x + 60 3 x + 60 = + ∞ ; lím =3 x → +∞ x x
2x es creciente en todo su dominio y el valor máximo lo alcanza en x = 20 y 5 3x vale 8. La función f ( x ) = es decreciente en su dominio ( para x > 20 ) y el valor 0,5 x − 2,5 máximo lo alcanza en x = 20 y vale 8. Por tanto la máxima puntuación es 8 puntos.
18. La función y =
153
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SOLUCIONES 19. Se calcula del siguiente modo:
(
)
lím f ( x ) = lím− x 2 + 1 = 1
x → 0−
x→0
lím f ( x ) = lím+ ( 3 − 3 x ) = 3
x → 0+
x →0
lím f ( x ) = lím ( 3 − 3 x ) = 0
x →1
x →1
⎧ lím− f ( x ) = − 6 ⎪x → 3 lím f ( x ) ⇒ ⎨ ⇒ lím f ( x ) = − 6 x →3 x →3 f (x) = − 6 ⎪⎩ xlím + →3 f (0) = 3;
f (1) = 0;
f (3) = − 6
La función f ( x ) es continua en
− {0}
20. El estudio en cada caso queda: a) f ( x ) no es continua en x = 0 pues no está definida en ese punto. lím f ( x ) no existe. x →0
b) g ( x ) es continua en toda la recta real. lím g ( x ) = 1. x→0
c) h( x ) es continua en toda la recta real. lím h( x ) = − 1. x →1
21. En cada caso queda:
i lím f ( x ) = + ∞ x → −∞
i lím− f ( x ) = 1 x →0
i lím+ f ( x ) = − 2 x →0
i lím f ( x ) = − 2 x → +∞
i f ( x ) es discontinua no evitable en x = 0
155
i lím g ( x ) = 1 x → +∞
i lím g ( x ) = 1 x → −∞
i lím− g ( x ) = − ∞ x→2
i lím+ g ( x ) = + ∞ x→2
i g ( x ) es discontinua no evitable en x = 2
i lím h( x ) = − ∞ x → +∞
i lím h( x ) = 0 x → −∞
i lím− h( x ) = 1 x →1
i lím+ h( x ) = 1 x →1
i h( x ) es continua en x = 1
22. En cada caso queda: a) Veamos la continuidad de f ( x ) en x = 2 y x = 4. f (2) = 0
(
)
lím f ( x ) = lím− x 2 − 4 = 0 ⎫ ⎪ x→2 ⎬ ⇒ lím f ( x ) = 0 = f (2) = 0 ⇒ Luego f ( x ) es continua en x = 2. lím+ f ( x ) = lím+ ( x − 2 ) = 0 ⎪ x → 2 x→2 x→2 ⎭ f (4) = 2 x → 2−
lím f ( x ) = lím− ( x − 2 ) = 2⎫ x→4 ⎪ f ( x ) ⇒ Luego f ( x ) no es continua en x = 4. ⎬ ⇒ ∃ xlím →4 lím+ f ( x ) = lím+ 5 = 5 ⎪ x→4 x→4 ⎭ x → 4−
b) Veamos la continuidad de g ( x ) en x = 0 y x = 3.
g (0) = − 1 5 ⎫ = − 1⎪ ⎪ x →0 x →0 x −5 g ( x ) ⇒ Luego g ( x ) no es continua en x = 0. ⎬ ⇒ ∃ xlím →0 ⎪ lím g ( x ) = lím+ x + 1 = 1 ⎪⎭ x → 0+ x→0 g (3) = 2 lím− g ( x ) = lím−
x + 1 = 2⎫ ⎪⎪ g ( x ) = g (3) = 2 ⇒ Luego g ( x ) es continua en x = 3. ⎬ ⇒ xlím 10 →3 lím+ g ( x ) = lím+ =2 ⎪ x →3 x→3 x +2 ⎪⎭ lím g ( x ) = lím−
x → 3−
x →3
156