Tema10 limites continuidad 1b matesccss solucionario

Unidad 10 – Límites de funciones. Continuidad.

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SOLUCIONES 1. Podemos decir lo siguiente: •

f ( x ) tiende a (3) cuando x tiende a ( −∞) y tiende a ( +∞ ) cuando x tiende a ( +∞ ) .

•

g ( x ) tiende a ( −∞ ) cuando x tiende a (−∞) y tiende a ( +∞ ) cuando x tiende a ( +∞ ) .

•

h( x ) tiende a ( −2 ) cuando x tiende a ( −∞) y tiende a (2) cuando x tiende a ( +∞ ) .

•

t ( x ) tiende a ( +∞ ) cuando x tiende a (−∞) y tiende a ( −∞) cuando x tiende a ( +∞ ) .

139

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SOLUCIONES 1. Designamos los colores por: rojo (R), verde (V), azul (Z) y amarillo (A); y las tres formas por: cuadrada (C), circular (O), triangular (T) y pentagonal (P).

Por ensayo y error las colocamos en un tablero 4 x 4, cumpliendo las condiciones que marca el enunciado.

Una solución es:

Podemos encontrar hasta 72 soluciones distintas.

2. El número total de amanitas ha de ser múltiplo de 9 menos 1, es decir, 8 amanitas. Haciendo el problema mediante ecuaciones: 8 8 x+ =x 9 9

⇒

x = 8 amanitas

140

3. El enunciado del problema nos muestra que el número de latas de zumo debe ser un número impar. Por ensayo y error dirigido obtenemos: Hay 7 latas de zumo.

7 El 1.er amigo se bebe + 0,5 = 4 latas. Quedan 3 latas.

2 3 El 2.o amigo se bebe + 0,5 = 2 latas. Queda 1 lata.

2 1 El dueño de la casa se bebe + 0,5 = 1 lata.

2 Luego, efectivamente, había inicialmente 7 latas de zumo.

Este problema se puede resolver también por medio de ecuaciones.

4. Sea n un número real.

(

)

i

Veamos si n 2 ⋅ n 2 − 1 = 12

(

)

n 2 ⋅ n 2 − 1 = n ⋅ n ( n − 1) ⋅ ( n + 1) i

n ( n − 1) ⋅ ( n + 1) = 3, pues es producto de tres números consecutivos. i

i

i

i

i

i

i

Si n = 3 ⇒ n − 1= 2 y n + 1= 2, luego ( n − 1) ⋅ n ⋅ ( n + 1) = 3 ⋅ 2 ⋅ 2 = 12, i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

Si n − 1= 3 ⇒ n = 2, por lo que n ( n − 1) ⋅ n ⋅ ( n + 1) = 2 ⋅ 3 ⋅ 2 = 12, Si n + 1= 3 ⇒ n = 2, por lo que n ( n − 1) ⋅ n ⋅ ( n + 1) = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12,

(

)

i

En cualquier caso, efectivamente, n 2 ⋅ n 2 − 1 = 12.

141

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142

SOLUCIONES 1. Las soluciones quedan: a) f (2) = 1;

g) lím− f ( x ) = 1

l) lím f ( x ) = 1,5

r) lím– g ( x ) no existe

b) lím − f ( x )no existe

h) lím + f ( x ) = 1,5

m) g (1) = − 2

s) g (2,5) no existe

c) lím+ f ( x ) = 2

i) f (–5) no definida

x → −5

x→2

x→2

x → − 2,5

x → − 2,5

n) lím g ( x ) = − 2

t) lím+ g ( x ) no existe u) lím g ( x ) no existe

x →1

d) lím+ f ( x ) = 3

i f (–6) = − 1

o) lím+ g ( x ) = − 2

e) f (5) = 2

j) lím − f ( x ) = − 1

p) g (2) = 0

f) lím + f ( x ) = − 1

k ) lím− f ( x ) = 3

q) lím– g ( x ) = 0

x→5

x → −5

x → −6 x →5

x →3

x →3

x→2

x →3

x→2

2. Las correspondencias quedan: a) ∃ lím+ g ( x ) = 3 x →1

b) g (1) = 3

c) lím g ( x ) = 3 x →1

3. Las gráficas quedan:

143

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SOLUCIONES 4. Las respuestas quedan:

a) lím − f ( x ) = −∞

h) lím− g ( x ) = +∞

b) lím− f ( x ) = +∞

i) lím g ( x ) = +∞

c) lím f ( x ) = −1

j) lím g ( x ) = +∞

d) Asíntota horizontal : y = − 1.

Asíntotas verticales : x = − 1; x = 1.

k) Asíntota horizontal : y = 0.

Asíntota vertical : x = 2.

e) lím + f ( x ) = +∞

l) lím+ g ( x ) = +∞

f) lím+ f ( x ) = −∞

m) lím g ( x ) = 0

g) lím f ( x ) = −1

n) lím g ( x ) = 4

x → −1

x →1

x → +∞

x → −1

x →1

x → −∞

x→2

x→2

x → +∞

x→2

x → −∞

x →1

5. Las representaciones quedan:

145

6. Los resultados son: a) lím 2 = 2

b) lím x –5 = 0

1 1 c) lím 2 = x → −3 x 9

d) lím x 5 = −∞

e) lím ( −7) = −7

1 = +∞ x10 1 h) lím− 13 = −∞ x →0 x

x →0

x → −∞

−1 =0 x → – ∞ x 10 1 i) lím 13 = 0 x → +∞ x g) lím

k) lím− x 3 = 0 x →0

1 = +∞ 7 x →0 x o) lím x 6 = +∞

m) lím+ x → −∞

x → +∞

x → −∞

f) lím+ x →0

j) lím x 6 = +1 x → −1

1 = +∞ x6 1 n) lím− 7 = −∞ x →0 x p) lím x = 1

l) lím

x →0

x →1

146

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SOLUCIONES 7. Los límites y la gráfica quedan:

lím f (x) = lím − (2 x − 1) = − 3 ⎫ ⎪ x → −1 ⇒ lím f (x) = − 3 x → −1 lím + f (x) = lím + ( −3) = − 3 ⎬⎪ x → −1 x → −1 ⎭ x → −1−

lím f (x) = lím− ( −3) = − 3 ⎫ ⎪ x→2 ⇒ lím f (x) no existe x→2 lím+ f (x) = lím+ ( x + 1) = 3 ⎬⎪ x→2 x→2 ⎭ x → 2−

lím f (x) = −∞;

lím f (x) = +∞

x → −∞

x → +∞

8. Los límites quedan:

2 =0 3x 2 − 5x + 2

a) lím [2 x 3 − 7 x + 2] = + ∞

b) lím

c) lím [4 x 4 − 7 x + 5] = + ∞

d) lím [ −3 x 5 + 2 x − 4] = + ∞

x → +∞

x → −∞

x → −∞

x → −∞

− x − 5 x + 1] =0 2x 3 − 3 2

e) lím

x → +∞

g) lím

x → +∞

i) lím

x → +∞

f) lím

x → +∞

x2 + 7 1 = 2x 2 6x + 2 x2 + 2 + x

2x 2 − 7 x + 5 =−1 −2 x 2 + 4 x − 3

h) lím

x → −∞

3x 4 − 7x =+ ∞ 4x 2 + 5

=3

9. Los límites quedan: x3 −1 x → 1 x 3 + 2x 2 − 3 x

0

a) lím

b) lím

x →0

c) lím

x →3

x2 + x x 3 − 2x 2 + x x2 − 9 5 x 2 − 13 x − 6

x 4 −1 x → −1 x 3 + 1

d) lím

0 0

0

( x − 1) ( x 2 + x + 1) 3 = x → 1 x ( x − 1) ( x + 3) 4

= lím

= lím

0

x →0

0

0 0

x ( x + 1) =1 x ( x 2 − 2 x + 1)

( x − 3) ( x + 3) 6 = x → 3 ( x − 3) (5 x + 2) 17

= lím

( x + 1) ( x − 1) ( x 2 + 1) −4 = x → −1 ( x + 1) ( x 2 − x + 1) 3

= lím

148

x− 3 2x − 6

e) lím

x →3

f) lím

x→2

x →0

x2 −1

x →1

i) lím

x →3

0

x −1

0

x→2

0

= lím

0

x →1

x 2 − 2x

0

x +2 −2

2 x ( 1− x + 1)

( x 2 − 1) ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1)

= lím

0

x →0

( 1− x − 1) ( 1− x + 1)

x→0

0

= lím

x→3

x −3 ( x + 3 )( x − 3) 2

=

1 4 3

( x − 2) ( x − 3) =± ∞ ( x − 2)2

= lím

= lím

0

( x + 3 )(2 x − 6)

x →0

0

1− x − 1 2x

( x + 3 )( x − 3 )

= lím

x 2 − 5x + 6 x 2 − 4x + 4

g) lím

h) lím

0

= lím

x→0

1− x − 1 2 x ( 1− x + 1)

( x 2 − 1) ( x + 1) x →1 x −1

= lím

( x 2 − 2 x ) ( x + 2 + 2) ( x + 2 − 2) ( x + 2 + 2)

= lím

x →3

0

= lím

= lím

0

x →1

x→0

−1 2 ( 1− x + 1)

=

−1 4

( x − 1) ( x + 1) ( x + 1) =4 x −1

x ( x − 2)( x + 2 + 2) =8 x −2

10. Los límites quedan:

a) lím−

x2 +1 =− ∞ x −1

b) lím−

2+ x 2+ x 2+ x = + ∞; lím+ = + ∞ ⇒ lím =+ ∞ 2 2 x → 0 x2 x →0 x x

x →1

x→0

( x 2 + 3 − x )( x 2 + 3 + x ) = lím c) lím ⎡ x 2 + 3 − x ⎤ ∞ − ∞ = lím x → +∞ ⎣ x → +∞ x → +∞ ⎦ x2 + 3 + x ⎡ 2 x 2 + 2x ⎤ d) lím ⎢ 3 ⋅ ⎥ x→0 x 3 ⎦ ⎣

∞ ·0

= lím

x→0

2 ( x 2 + 2x ) 3x 3

e) lím ⎡ 9 x 2 + 4 x − 9 x 2 − 2 ⎤ x → +∞ ⎣ ⎦ = lím

x → +∞

4x + 2 9x + 4x + 9x − 2 2

⎡ x2 x3 −1 ⎤ f) lím ⎢ − 2 ⎥ x → +∞ x + 2 x + 2⎦ ⎣

2

∞−∞

=

∞−∞

= lím

x → +∞

0 0

= lím

x →0

3 x +3 + x 2

=0

2 ⋅ x ( x + 2) =+ ∞ 3x 3

( 9 x 2 + 4 x + 9 x 2 − 2)( 9 x 2 + 4 x − 9 x 2 − 2) 9x 2 + 4x + 9x 2 − 2

=

2 3

= lím

x → +∞

x 2 ( x 2 + 2) − ( x + 2)( x 3 − 1) −2 x 3 + 2 x 2 + x + 2 = −2 lím = x → +∞ x 3 + 2 x 2 + 2 x + 4 x 3 + 2x 2 + 2x + 4

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11. Los límites quedan:

⎡ 5x − 2 ⎤ a) lím ⎢ ⎥ x → + ∞ 5x + 3 ⎣ ⎦

3x ∞ 1

=e

⎡ 2x − 6x ⎤ b) lím ⎢ 2 ⎥ x → + ∞ 2x − x − 5 ⎣ ⎦ 2

⎡ 4 − 3x ⎤ c) lím ⎢ x → +∞ 5 − 3x ⎥ ⎣ ⎦

x2 2

⎛ 5x − 2 ⎞ − 1⎟ lím 3 x ⎜ ⎝ 5x + 3 ⎠

x → +∞

∞ 1

=e

=e

x → +∞

x−3 ∞ 1

lím

x → +∞

x2 2

=e

−15 x 5x + 3

lím

x → +∞

⎛ 2x2 − 6 x ⎞ − 1⎟ ⎜⎜ 2 ⎟ ⎝ 2x − x − 5 ⎠

⎛ 4 − 3x ⎞ lím ( x − 3) ⎜ − 1⎟ ⎝ 5 − 3x ⎠

=e

=e

lím

x → +∞

= e −3

lím

x → +∞

−5 x 3 + 5 x 2 4 x 2 − 2 x − 10

−x + 3 5 − 3x

1 3

= e− ∞ = 0

=e = e 3

12. Las asíntotas quedan: a) Asíntota vertical : x = 1

d) Asíntota horizontal : y = 0

Asíntota horizontal : y = 2 b) Asíntotas verticales : x = 2; x = − 2 Asíntota horizontal : y = 0 c) Asíntota vertical : x = 3 Asíntota oblicua : y = x + 3

e) Asíntota verticales : x = 1; x = − 1 Asíntota horizontal : y = 1 f) Asíntota vertical : x = 0 Asíntota oblicua : y = x

150

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151

SOLUCIONES 13. Los límites quedan:

a) lím− x→2

3 =− ∞ x −2

3 −6 x + 3 b) lím ⎡ 4 x 2 − 6 x + 3 − 2 x ⎤ ∞ − ∞ = lím =− 2 x → +∞ ⎣ x → +∞ ⎦ 2 4x − 6 x + 3 + 2x c) lím− 3 x →0

1

x

=0

2x 3 + 4x 2 − 2x − 4 0 (2 x 2 + 6 x + 4)( x − 1) 12 lím = = x →1 x → +∞ 0 (2 x + 3)( x − 1) 5 2x 2 + x − 3 x +4 −2 0 x 1 e) lím = lím =− 2 x →0 x − x 0 x → 0 x ( x + 4 + 2)( x − 1) 4

d) lím

f) lím [1+ 3 x ] x →0

2 x

∞ 1

=e

lím

x→0

2 (1 + 3 x − 1) x

=e

lím

x →0

6x x

= e6

14. Queda: a) F (0) = 5 000 animales hay en la actualidad (t = 0) . b) La población tiende a estabilizarse a 7 500 animales, puesto que: 15 000 t + 10 000 = 7 500 t → +∞ 2t + 2 lím

15. Queda la expresión: lím

x → +∞

60 x + 810 =0 x2 + 9

Los beneficios se anulan cuando el tiempo crece indefinidamente.

16. Queda: a) M (0) = 40 montajes b) lím − t → −3

c)

600 t + 120 600 t + 120 = − ∞ ; lím = 600 t → +∞ t +3 t +3

600 t + 120 = 500 ⇒ t = 13,8 días . El máximo número de montajes que puede hacer es 600. t +3

152

17. Las asíntotas son: x = 0 y C( x ) = 3 .

Las tendencias son: lím

x → 0+

3 x + 60 3 x + 60 = + ∞ ; lím =3 x → +∞ x x

2x es creciente en todo su dominio y el valor máximo lo alcanza en x = 20 y 5 3x vale 8. La función f ( x ) = es decreciente en su dominio ( para x > 20 ) y el valor 0,5 x − 2,5 máximo lo alcanza en x = 20 y vale 8. Por tanto la máxima puntuación es 8 puntos.

18. La función y =

153

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SOLUCIONES 19. Se calcula del siguiente modo:

(

)

lím f ( x ) = lím− x 2 + 1 = 1

x → 0−

x→0

lím f ( x ) = lím+ ( 3 − 3 x ) = 3

x → 0+

x →0

lím f ( x ) = lím ( 3 − 3 x ) = 0

x →1

x →1

⎧ lím− f ( x ) = − 6 ⎪x → 3 lím f ( x ) ⇒ ⎨ ⇒ lím f ( x ) = − 6 x →3 x →3 f (x) = − 6 ⎪⎩ xlím + →3 f (0) = 3;

f (1) = 0;

f (3) = − 6

La función f ( x ) es continua en

− {0}

20. El estudio en cada caso queda: a) f ( x ) no es continua en x = 0 pues no está definida en ese punto. lím f ( x ) no existe. x →0

b) g ( x ) es continua en toda la recta real. lím g ( x ) = 1. x→0

c) h( x ) es continua en toda la recta real. lím h( x ) = − 1. x →1

21. En cada caso queda:

i lím f ( x ) = + ∞ x → −∞

i lím− f ( x ) = 1 x →0

i lím+ f ( x ) = − 2 x →0

i lím f ( x ) = − 2 x → +∞

i f ( x ) es discontinua no evitable en x = 0

155

i lím g ( x ) = 1 x → +∞

i lím g ( x ) = 1 x → −∞

i lím− g ( x ) = − ∞ x→2

i lím+ g ( x ) = + ∞ x→2

i g ( x ) es discontinua no evitable en x = 2

i lím h( x ) = − ∞ x → +∞

i lím h( x ) = 0 x → −∞

i lím− h( x ) = 1 x →1

i lím+ h( x ) = 1 x →1

i h( x ) es continua en x = 1

22. En cada caso queda: a) Veamos la continuidad de f ( x ) en x = 2 y x = 4. f (2) = 0

(

)

lím f ( x ) = lím− x 2 − 4 = 0 ⎫ ⎪ x→2 ⎬ ⇒ lím f ( x ) = 0 = f (2) = 0 ⇒ Luego f ( x ) es continua en x = 2. lím+ f ( x ) = lím+ ( x − 2 ) = 0 ⎪ x → 2 x→2 x→2 ⎭ f (4) = 2 x → 2−

lím f ( x ) = lím− ( x − 2 ) = 2⎫ x→4 ⎪ f ( x ) ⇒ Luego f ( x ) no es continua en x = 4. ⎬ ⇒ ∃ xlím →4 lím+ f ( x ) = lím+ 5 = 5 ⎪ x→4 x→4 ⎭ x → 4−

b) Veamos la continuidad de g ( x ) en x = 0 y x = 3.

g (0) = − 1 5 ⎫ = − 1⎪ ⎪ x →0 x →0 x −5 g ( x ) ⇒ Luego g ( x ) no es continua en x = 0. ⎬ ⇒ ∃ xlím →0 ⎪ lím g ( x ) = lím+ x + 1 = 1 ⎪⎭ x → 0+ x→0 g (3) = 2 lím− g ( x ) = lím−

x + 1 = 2⎫ ⎪⎪ g ( x ) = g (3) = 2 ⇒ Luego g ( x ) es continua en x = 3. ⎬ ⇒ xlím 10 →3 lím+ g ( x ) = lím+ =2 ⎪ x →3 x→3 x +2 ⎪⎭ lím g ( x ) = lím−

x → 3−

x →3

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