Unidad 14 – Distribuciones bidimensionales. Correlación y regresión PÁGINA 305
SOLUCIONES 1. En cada apartado: a) La tabla de doble entrada es:
b) Los distintos parámetros son: •
Los parámetros de las edades:
x =5 •
σ x = 1,517
Los parámetros de los pesos son: y = 23,05
σ y = 6,07
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2. Es un día raro ya que 15 se sitúa en el intervalo ( x − 2σ, x + 2σ ) . La puntuación típica 15 − 10 z= = 1,6667 se aleja bastante de la media estándar que es cero. 3 3. La solución queda:
La nube de puntos aparece en la gráfica de la izquierda. La recta ajustada a ojo puede ser bisectriz del cuadrante, y = x . La correlación será positiva y fuerte, próxima a 1.
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SOLUCIONES 1. La solución queda:
2 9 4
7 5 3
6 1 8
La estrategia consiste en establecer una analogía con el cuadro mágico 3 x 3 que contiene los nueve primeros números naturales 1 … 9 y la constante mágica 15. Hay que utilizarlo como si se jugase a las tres en raya.
2. En total el nabab tenía 36 gemas y 6 hijos. 35 = 6 gemas. Quedan 30. Al mayor le da: 1+ 7 28 = 6 gemas. Quedan 24. Al 2.º le da: 2 + 7 21 Al 3.º le da: 3 + = 6 gemas. Quedan 18. 7 14 = 6 gemas. Quedan 12. Al 4.º le da: 4 + 7 7 Al 5.º le da: 5 + = 6 gemas. Quedan 6. 7 Al 6.º le da: 6 gemas.
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3. La solución queda: Área triángulo =
r2 ; 2
1 Área semicírculo − Área ( x ); 2 1 πr 2 r 2 Área ( x ) = Área círculo − Área triángulo = − 4 4 2 Área lúnula =
⇒
2
1 ⎛ r 2 ⎞ ⎛ πr 2 r 2 ⎞ πr 2 πr 2 r 2 r 2 − − ⎟= − + = Área lúnula = ⋅ π⋅ ⎜ ⎜ 2 ⎟⎟ ⎜ 4 2 2⎠ 4 4 2 2 ⎝ ⎠ ⎝
Ambas áreas son iguales. 4. Cortó la cadena en 4 trozos de 1, 2, 4 y 8 cm cada uno. •
El primer día le dio 1 cm. El segundo día le dio el trozo de 2 cm y le devolvió la patrona el de 1 cm. • El tercer día le dio el trozo de 1 cm, luego la patrona tiene 1 cm y 2 cm. • El cuarto día le dio el trozo de 4 cm y la patrona le devolvió los dos trozos que tenía. • Así sucesivamente. •
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SOLUCIONES 1. En cada caso: a) No es probable que exista correlación. b) Es probable que haya correlación positiva y fuerte. c) Es probable que haya correlación positiva y fuerte. d) No es probable que exista correlación. e) Es probable que haya correlación positiva. f) Es probable que haya correlación positiva y fuerte.
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2. La solución queda: a) La tabla de doble entrada es:
b)
y x viajes / viajes hijos padres
1
2
3
4
1
—
—
—
3
2
—
—
1
3
3
—
—
1
—
4
—
1
1
—
5
—
2
—
—
6
3
3
—
—
7
2
—
—
—
El diagrama de dispersión es:
Las variables presentan una correlación fuerte y negativa.
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3. La solución queda:
4. La solución queda:
b) Para ambas variables queda:
390 = 7,8 horas dormidas y σ x = 0,89 50 141 y= = 2,82 horas dormidas y σ y = 0,71 50 x=
c) El porcentaje de individuos por encima de la media es: d) Para el cálculo de r = Así r =
σ xy σx · σy
20 + 16 + 3 = 0,78, es decir, el 78%. 50
, calculamos la covarianza: σ xy =
1078 − 7,8·2,82 = − 0, 436. 50
−0,436 = − 0,69 . La correlación no es muy fuerte y es negativa. 0,89·0,71
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SOLUCIONES 5. La correspondencia de cada gráfico con su coeficiente de correlación es: a) r = 0,05 b) r = 0,71
c) r = − 0,98 d) r = 0,93
e) r = − 0,62
6. La solución queda: Los parámetros estadísticos son: x = 2,68; y = 15, 4; σ x = 1,98; σ y = 7,96; σ xy = 8, 47.
a) La correlación es r =
8,47 = 0,54. 1,98· 7,96
b) La recta de regresión es: y − 15,4 =
8,47 ( x − 2,68). 3,92
7. Llamamos x al número de CDs vendidos e y al número de conciertos. Los datos en una tabla simple son:
Los parámetros estadísticos son: x = 9,6; y = 41; σ x = 4,71; σ y = 16,55; σ xy = 63, 4. a) El número medio de CDs vendidos es x = 9,6 .
b) El coeficiente de correlación es r =
c) La recta de regresión es: y − 41=
63,4 = 0,814. La dependencia lineal es moderada. 4,71· 16,55
63, 4 ( x − 9,6). 22,18
d) Si x = 18 ⇒ y = 65,01 conciertos.
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8. Los valores de la variable simple son:
a) Los parámetros estadísticos son: x = 60; y = 18, 4; σ x = 27,83; σ y = 2,83; σ xy = − 4, 4. b) El coeficiente de correlación es: r = − 0,56 . La correlación es negativa y débil. c) La recta de regresión de Y sobre X es: y − 18, 4 =
−44 ( x − 60) . 774,51
9. La solución queda: a) El coeficiente de correlación lineal es nulo si la covarianza es nula. Por tanto: 3 + 2a 5+a − ( −0,4)· = 0 ⇒ La solución es : a = − 2,083. 5 5 b) Los parámetros de las variables son: x = 1,8; y = − 0, 4; σ x = 1,72; σ y = 1,85; σ xy = 2,92. La recta de regresión de Y sobre X es: y + 0,4 =
2,92
(1,72 )
2
( x − 1,8) ⇒ y = 0,99 x − 2,18
Si x = − 2 , el valor estimado de y es: y = 0,99( −2) − 2,18 = − 4,16
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SOLUCIONES 10. La solución queda: a) La recta de regresión 2 x + 3 y = 6 pasa por el punto ( x, y ) , por tanto: 2 x + 3·1= 6 ⇒ 2 x = 3 ⇒
b) El coeficiente de regresión σ xy σx
2
σ xy σx 2
x=
3 2
vale para la recta 2 x + 3 y = 6 , por tanto:
2 = − ; al ser σ x = 3, obtenemos σ xy = − 2 3
c) El coeficiente de correlación es: r =
σ xy σx · σy
=
−2 3·2
= − 0,58
−2 ( y − 1) ⇒ x = − 0,5 y + 2 22
d) La recta de regresión de X sobre Y es: x − 1,5 =
11. La solución queda: a) Los parámetros estadísticos son: x = 5,3; y = 5,5; σ x = 1,78; σ y = 1,52; σ xy = 2,55. El coeficiente de correlación es: r = 0,94 . La correlación es positiva y muy fuerte. b) La recta de regresión de Y sobre X es: y − 5,5 =
2,55 ( x − 5,3) ⇒ y = 0,8 x + 1,23 . 1,782
La recta de regresión de X sobre Y es: y − 5,3 =
2,55 ( x − 5,5) ⇒ x = 1,1y − 0,77 . 1,522
c) Las rectas de regresión se cortan en el punto ( x, y ) , es decir, en (5,3;5,5) . 12. La solución queda: a) El número medio de libros prestados es y = 285. b) La recta de regresión de Y sobre X es: y − 285 =
46,67 ( x − 1,5) ⇒ y = 107,14 x + 124,3 0,662
c) Si x = 1,5 se prestarían, aproximadamente: y = 107,14·1,5 + 124,3 = 285libros. 13. La solución queda: a) Si x = 10 000 euros, el gasto anual en alimentación será: y = 600 + 1,5 ·10 000 = 15 600 euros. b) Como la recta de regresión pasa por el punto ( x, y ) , al ser, x = 12000 , obtenemos como gasto medio anual n alimentos: y = 600 + 1,5 ·12000 = 18 600 euros.
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14. Al ser el coeficiente de correlación r = 0,7 ; obtenemos:
r=
σ xy σx · σy
⇒ 0,7 =
σ xy 5· 7,5
⇒ σ xy = 26,25
La recta de regresión de Y (estatura de los hijos) sobre X (estatura de los padres) es: 26,25 ( x − 168) ⇒ y = 1,05 x − 6, 4 52 Si un padre mide 180 cm, se estima que su hijo tendrá: y = 1,05·180 − 6,4 = 182,6 cm. y − 170 =
NOTA: Todos los datos se han convertido a centímetros. 15. La solución queda: En punto de corte de las rectas es (106,48;77,07) por tanto x = 106,48 e y = 77,07. Además como r 2 = m · m´ = 0,52·0,85 ⇒ r = 0,665 es el valor del coeficiente de correlación de Pearson.
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